第 3 章 · 数と式

项目	内容
シラバス项目	1. 数と式（数学Ⅰ）：(1) 式の計算（① 多項式の加法と減法および乗法 ② 因数分解）、(2) 実数（① 実数 ② 根号を含む式の計算）、(3) 1次不等式（① 絶対値を含む方程式・不等式）
コース	コース1、コース2 都考
国内书对应	国内书第 3 章（不等式的性质）、第 4 章（解二次不等式时用到因式分解）；整式运算、因式分解、根式在国内是初中内容，国内书没有专节
本章新内容的分量	中等。运算国内学生都会，要补的是四样：たすき掛け和多文字式的因式分解、对称式求值、二重根号、含绝对值的方程和不等式

这一章的内容国内学生在初中大多见过，所以容易轻视。EJU 却几乎每回都在大问 Ⅰ 或 Ⅱ 里放一道“数と式”的小问，而且考法和国内不同：一个无理数先有理化，再求对称式的值，再问整数部分和小数部分，一环扣一环。丢分主要丢在四处：二元二次式不会按一个字母整理来分解，$x^3 + y^3$ 用基本对称式表示时漏项，二重根号开出来是负数，含绝对值的方程分段后忘了检查解是否落在这一段里。

3.1 与国内的对照

シラバス小项目（日文原文）	国内书位置	相同 / 讲法不同 / 国内没有	本章哪节讲
(1) ① 多項式の加法と減法および乗法	无（初中整式运算）	讲法不同：日本高中要求 $(a + b)^3$、$a^3 + b^3$ 等三次乘法公式，国内初中只到平方	3.2
(1) ② 因数分解	无（初中提公因式、公式法）；国内书第 4 章 4.3 节解不等式时直接用	讲法不同：日本要求熟练的たすき掛け、按次数最低的字母整理、置き換え、複2次式、三次公式	3.2、3.3
(2) ① 実数	国内书第 1 章 1.2 节（数集）	讲法不同：日本在这里讲有理数与无理数、循環小数化分数、绝对值的定义和 $\sqrt{a^2} = \lvert a \rvert$	3.4
(2) ② 根号を含む式の計算	国内书第 8 章 8.2 节（根式）只讲 $\sqrt[n]{a^n}$	部分国内没有：分母有理化初中学过；整数部分与小数部分、对称式求值、二重根号国内高中不练	3.3、3.4、3.5
(3) 1次不等式（解法、連立不等式）	国内书第 3 章 3.2 节（不等式的性质）	相同，见国内书第 3 章；日本多问“满足条件的整数恰有几个”	3.6
(3) ① 絶対値を含む方程式・不等式	国内书第 5 章 5.5 节有含绝对值的分段函数，没有方程和不等式	国内没有（新课标删去了旧选修 4-5 的绝对值不等式）	3.6

国内初中课标只要求提公因式法和公式法，人教版八年级上册只在“阅读与思考”里介绍 $x^2 + (p + q)x + pq$ 型的十字相乘，很多学生只会二次项系数为 1 的情形；日本数学Ⅰ把二次项系数不是 1 的たすき掛け当作基本功，还要分解含两个字母的二次式。对称式、二重根号和绝对值方程，国内高中基本不练。

本章五个知识点分两条线：一条是“式”，展开和因式分解（3.2）为对称式（3.3）提供工具；另一条是“数”，实数和根号（3.4）引出二重根号（3.5），开出来的结果又常拿去求对称式的值。绝对值（3.6）连接两条线：定义在 3.4，解方程靠 3.2 的整式运算。

3.2 展開と因数分解（たすき掛け）

说明

展開（展开）是把积化成和，因数分解（因式分解）是反过来把和化成积。日本高中要用的乘法公式：

公式	展开
和与差的平方	$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$
平方差	$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
一次式的积	$(ax + b)(cx + d) = acx^2 + (ad + bc)x + bd$
三项的平方	$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$
和与差的立方	$(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2 b + 3ab^2 \pm b^3$
立方和、立方差	$(a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2) = a^3 \pm b^3$

因式分解按下面的顺序试：

1. 共通因数（公因式）先提出来。
2. 看能不能直接用公式（平方差、完全平方、立方和与立方差）。
3. 二次三项式用たすき掛け（十字相乘）。
4. 有重复出现的部分，置き換え（换元）。
5. 含几个字母时，按次数最低的字母整理（「最も次数の低い文字について整理する」）；次数相同时，按其中一个字母降幂排列，再对常数项部分用たすき掛け。
6. $x^4 + px^2 + q$ 这类複2次式：令 $x^2 = t$ 能分解就分解；不能时凑成平方差 $A^2 - B^2$。

たすき掛け：要把 $acx^2 + (ad + bc)x + bd$ 分解成 $(ax + b)(cx + d)$，把二次项系数拆成 $a \times c$ 写在左列，常数项拆成 $b \times d$ 写在中列，交叉相乘 $ad$、$bc$ 写在右边，和等于一次项系数就找到了。「たすき」是和服上交叉系袖的带子，所以叫“たすき掛け”。

使用场景

• 二次项系数不是 1 的二次三项式，如 $6x^2 - 7x - 3$：用たすき掛け。
• 含 $x$、$y$ 两个字母的二次式，如 $2x^2 + 5xy + 2y^2 - x + y - 1$：按 $x$ 降幂整理，常数项部分先分解，再对整体用たすき掛け。
• 含几个字母、某个字母只有一次：按这个字母整理，提出公因式。
• 式子里有反复出现的部分，如 $(x^2 + 3x)^2 - 2(x^2 + 3x) - 8$：把重复部分换成一个字母。
• 四次式只有 $x^4$、$x^2$ 和常数项：令 $x^2 = t$，不行就加减一项凑平方差。
• 出现 $8a^3 - 27b^3$ 这类立方：用立方和或立方差公式。

注意点

• 「因数分解せよ」默认在有理数范围内分解，要分解到每个因式都不能再分为止。$x^4 - 1 = (x^2 + 1)(x^2 - 1)$ 还没完，要写成 $(x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)$。
• たすき掛け时，常数项是负数就要考虑哪个因数带负号，左列一般取正数。
• 立方差 $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$，第二个因式中间是正号；立方和第二个因式中间是负号。第二个因式在实数范围内不能再分解。
• 换元后要把字母换回去，并检查换回来的每个因式能否继续分解。
• 日本教科书习惯把答案写成“一次项系数为正”的形式，如 $(2x - 1)(3x + 2)$；EJU 填空时题干给出的形式就是唯一答案，要按题干的形式和字母顺序填。
• EJU 题干的说法：「次の式を因数分解せよ」「展開すると」「〜について整理すると」「$x^2 + 3x = t$ とおくと」。

证明

结论 1：たすき掛け。 直接展开：

$$(ax + b)(cx + d) = acx^2 + adx + bcx + bd = acx^2 + (ad + bc)x + bd.$$

（关键一步：一次项系数 $ad + bc$ 正好是“左上乘右下”加“左下乘右上”，所以把四个数排成两行两列，斜着乘再相加就能检验。）

结论 2：立方和公式。 展开右边：

$$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 - a^2 b + ab^2 + a^2 b - ab^2 + b^3 = a^3 + b^3.$$

把 $b$ 换成 $-b$ 就得到立方差公式。

结论 3：为什么按次数最低的字母整理。 若某个字母（如 $y$）只出现一次方，整式就能写成 $y \cdot A + B$，$A$、$B$ 不含 $y$。这个式子要能分解，只能是 $A$、$B$ 有公因式 $C$：$yA + B = C(yA' + B')$。所以按 $y$ 整理后，问题就变成分解两个较简单的式子 $A$、$B$ 并找公因式，比整体去凑容易得多。

结论 4：複2次式凑平方差。 例如 $x^4 + 3x^2 + 4$：

$$x^4 + 3x^2 + 4 = (x^4 + 4x^2 + 4) - x^2 = (x^2 + 2)^2 - x^2 = (x^2 + x + 2)(x^2 - x + 2).$$

（关键一步：常数项 4 是 $2^2$，所以凑完全平方 $(x^2 + 2)^2$ 时中间项要 $4x^2$，多加的 $x^2$ 恰好是一个平方，于是能用平方差。）

例题

例 1　（场景：二次项系数不是 1 的二次三项式）

問題　$6x^2 - 7x - 3$ を因数分解せよ。

解答　$x^2$ の係数 $6$ を $2 \times 3$，定数項 $-3$ を $-3 \times 1$ に分け，たすき掛けで一次の項の係数が $-7$ になる組合せを探す。$2 \times 1 + 3 \times (-3) = 2 - 9 = -7$ であるから $6x^2 - 7x - 3 = (2x - 3)(3x + 1)$。

中文翻译　题目：因式分解 $6x^2 - 7x - 3$。解答：把二次项系数 $6$ 分成 $2 \times 3$，常数项 $-3$ 分成 $-3 \times 1$，用十字相乘找一次项系数为 $-7$ 的组合。因为 $2 \times 1 + 3 \times (-3) = 2 - 9 = -7$，所以 $6x^2 - 7x - 3 = (2x - 3)(3x + 1)$。

解说　容易卡在：试的顺序没有章法。先固定左列（$6 = 1 \times 6$ 或 $2 \times 3$），再让常数项的因数对轮流上下交换，最多试十来次。也可以先算判别式 $D = 49 + 72 = 121 = 11^2$，确认能在有理数范围分解。

例 2　（场景：含两个字母的二次式）

問題　$2x^2 + 5xy + 2y^2 - x + y - 1$ を因数分解せよ。

解答　$x$ について降べきの順に整理すると $2x^2 + (5y - 1)x + (2y^2 + y - 1)$。 まず $2y^2 + y - 1 = (2y - 1)(y + 1)$ と分解する。全体をたすき掛けで分解すると，$2 \times (2y - 1) + 1 \times (y + 1) = 5y - 1$ であるから $2x^2 + 5xy + 2y^2 - x + y - 1 = (2x + y + 1)(x + 2y - 1)$。

中文翻译　题目：因式分解 $2x^2 + 5xy + 2y^2 - x + y - 1$。解答：按 $x$ 降幂整理，得 $2x^2 + (5y - 1)x + (2y^2 + y - 1)$。先分解 $2y^2 + y - 1 = (2y - 1)(y + 1)$。对整体做十字相乘，因为 $2 \times (2y - 1) + 1 \times (y + 1) = 5y - 1$，所以 $2x^2 + 5xy + 2y^2 - x + y - 1 = (2x + y + 1)(x + 2y - 1)$。

解说　容易卡在：中列的两个式子上下放反，得到 $2(y + 1) + (2y - 1) = 4y + 1$，不符合，要换过来再试。两个字母都出现二次时，按其中一个字母降幂，把另一个字母的部分当作系数和常数项，常数项部分先分解，再整体たすき掛け。

例 3　（场景：某个字母只有一次）

問題　$x^2 + xy - 3x - 2y + 2$ を因数分解せよ。

解答　$y$ について整理すると $x^2 + xy - 3x - 2y + 2 = (x - 2)y + (x^2 - 3x + 2) = (x - 2)y + (x - 1)(x - 2)$。 $x - 2$ をくくり出すと $x^2 + xy - 3x - 2y + 2 = (x - 2)(x + y - 1)$。

中文翻译　题目：因式分解 $x^2 + xy - 3x - 2y + 2$。解答：按 $y$ 整理，得 $x^2 + xy - 3x - 2y + 2 = (x - 2)y + (x^2 - 3x + 2) = (x - 2)y + (x - 1)(x - 2)$。提出 $x - 2$，得 $x^2 + xy - 3x - 2y + 2 = (x - 2)(x + y - 1)$。

解说　一个字母是一次、另一个是二次时，按次数低的字母整理，会出现公共因式。本题如果按 $x$ 降幂整理，常数项里含 $y$ 的部分反而难分解；先看两个字母的次数再选整理对象。

例 4　（场景：重复部分换元）

問題　$(x^2 + 3x)^2 - 2(x^2 + 3x) - 8$ を因数分解せよ。

解答　$x^2 + 3x = t$ とおくと $t^2 - 2t - 8 = (t - 4)(t + 2)$。 $t$ を $x^2 + 3x$ に戻すと $(x^2 + 3x - 4)(x^2 + 3x + 2) = (x + 4)(x - 1)(x + 1)(x + 2)$。

中文翻译　题目：因式分解 $(x^2 + 3x)^2 - 2(x^2 + 3x) - 8$。解答：令 $x^2 + 3x = t$，则 $t^2 - 2t - 8 = (t - 4)(t + 2)$。把 $t$ 换回 $x^2 + 3x$，得 $(x^2 + 3x - 4)(x^2 + 3x + 2) = (x + 4)(x - 1)(x + 1)(x + 2)$。

解说　容易卡在：换回后停在 $(x^2 + 3x - 4)(x^2 + 3x + 2)$，没有继续分解。每个二次因式都要再看一眼能否分解：$x^2 + 3x - 4 = (x + 4)(x - 1)$，$x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$。

例 5　（场景：複2次式）

問題　$x^4 + 3x^2 + 4$ を因数分解せよ。

解答　$x^2 = t$ とおくと $t^2 + 3t + 4$ となり，判別式は $9 - 16 < 0$ であるから，有理数の範囲では $t$ の $2$ 次式として分解できない。そこで平方の差を作ると $x^4 + 3x^2 + 4 = (x^2 + 2)^2 - x^2 = (x^2 + x + 2)(x^2 - x + 2)$。

中文翻译　题目：因式分解 $x^4 + 3x^2 + 4$。解答：令 $x^2 = t$，得 $t^2 + 3t + 4$，判别式 $9 - 16 < 0$，所以在有理数范围内不能作为 $t$ 的二次式分解。于是凑平方差：$x^4 + 3x^2 + 4 = (x^2 + 2)^2 - x^2 = (x^2 + x + 2)(x^2 - x + 2)$。

解说　複2次式先令 $x^2 = t$；$t$ 的二次式不能分解时，凑成 $(x^2 + a)^2 - (bx)^2$ 再用平方差。$(x^2 + 2)^2 = x^4 + 4x^2 + 4$ 比原式多 $x^2$，所以要减去 $x^2$；中间项的系数决定减去的平方是什么。

例 6　（场景：立方和与立方差）

問題　$8a^3 - 27b^3$ を因数分解せよ。

解答　$8a^3 = (2a)^3$，$27b^3 = (3b)^3$ であるから，立方差の公式 $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ により $8a^3 - 27b^3 = (2a - 3b)\{(2a)^2 + 2a \cdot 3b + (3b)^2\} = (2a - 3b)(4a^2 + 6ab + 9b^2)$。

中文翻译　题目：因式分解 $8a^3 - 27b^3$。解答：因为 $8a^3 = (2a)^3$，$27b^3 = (3b)^3$，由立方差公式 $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ 得 $8a^3 - 27b^3 = (2a - 3b)\{(2a)^2 + 2a \cdot 3b + (3b)^2\} = (2a - 3b)(4a^2 + 6ab + 9b^2)$。

解说　日本教科书在小括号外再套一层时用花括号 $\{\ \}$，这是常见写法。立方差公式的第二个因式中间是 $+$，别把立方和的符号搬过来；展开验算：$(2a - 3b)(4a^2 + 6ab + 9b^2) = 8a^3 - 27b^3$。

常用推论

• 能不能用たすき掛け：整系数二次式 $ax^2 + bx + c$ 能在有理数范围分解，当且仅当判别式 $D = b^2 - 4ac$ 是整数的平方。推导：分解成一次式之积等价于方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 有有理数根，而求根公式里出现 $\sqrt{D}$（国内书第 4 章 4.2 节）。例：$6x^2 - 7x - 3$ 的 $D = 49 + 72 = 121 = 11^2$，能分解。
• 分解后直接读根：分解成 $(ax + b)(cx + d)$ 后，根是 $-\dfrac{b}{a}$ 和 $-\dfrac{d}{c}$。这就是国内书第 4 章 4.3 节解二次不等式的第一步。
• $x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$、$x^4 + 4 = (x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2)$：複2次式的两个常见结果，推导同证明结论 4。
• $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ 的分解见 3.3 节。

易错点

• 错在哪：$x^4 - 1$ 分解成 $(x^2 + 1)(x^2 - 1)$ 就停下。 为什么错：$x^2 - 1$ 还能分解。「因数分解せよ」要分到不能再分。 正确做法：$(x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)$；每得到一个因式，都再看一眼能否继续分。
• 错在哪：$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 - ab + b^2)$。 为什么错：把立方和的符号搬到了立方差上。展开验算：$(a - b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 - 2a^2 b + 2ab^2 - b^3$，不对。 正确做法：记“第一个因式的符号跟原式，第二个因式中间项符号相反，末项总是正”：$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$。
• 错在哪：二元二次式直接对 $x$、$y$ 两个字母一起凑，凑不出来就放弃。 为什么错：两个字母同时变，试的组合太多。 正确做法：先按一个字母（次数最低的，或任选一个）降幂整理，把另一个字母的部分看作“系数”和“常数项”，常数项部分先分解，再たすき掛け。
• 错在哪：たすき掛け凑出 $(3x + 1)(2x - 3)$，填空时题干是 $(\fbox{A}x - \fbox{B})(\fbox{C}x + \fbox{D})$，结果按自己的顺序填成 A = 3。 为什么错：题干已经规定第一个因式里是减号。 正确做法：先看题干的形式，再把自己的结果调成这个顺序：$(2x - 3)(3x + 1)$，A = 2，B = 3，C = 3，D = 1。

直观理解

展开的面积图：$(2x + 3)(x + 1)$ 是长 $2x + 3$、宽 $x + 1$ 的长方形，切成四块 $2x \cdot x$、$2x \cdot 1$、$3 \cdot x$、$3 \cdot 1$，加起来是 $2x^2 + 5x + 3$。因式分解就是反过来：给四块面积，拼回一个长方形。たすき掛け里的“斜着乘”，正好对应长方形右上和左下的两块，它们合起来是一次项。

一句话的记法：たすき掛け是“拆两头，斜着乘，凑中间”。

关联知识点

• 前置：初中的整式运算、提公因式法、公式法。
• 国内书第 4 章 4.3 节：解一元二次不等式的第一步是因式分解，二次项系数不为 1 时就要用たすき掛け。
• 国内书第 4 章 4.2 节：判别式决定能不能在有理数范围分解。
• 后续：3.3 节用乘法公式推出对称式的表示；本书第 5 章 2次関数 用分解求与 $x$ 轴的交点；本书第 10 章 いろいろな式 的因数定理把分解推广到三次以上。
• 常一起考：EJU 常在同一小问里先因式分解，再解不等式或求值。

3.3 対称式・交代式

说明

対称式（对称式）：任意交换两个字母，式子不变。如 $x^2 + y^2$、$x^3 + y^3$、$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}$；三个字母时如 $a^2 + b^2 + c^2$、$(a + b)(b + c)(c + a)$。

基本対称式（基本对称式）：两个字母时是 $x + y$ 和 $xy$；三个字母时是 $a + b + c$、$ab + bc + ca$、$abc$。

核心事实：任何对称式（多项式）都能用基本对称式表示。所以只要知道 $x + y$ 和 $xy$，不必求出 $x$、$y$ 本身，就能算出任何对称式的值。最常用的几条：

$$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy,$$ $$x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y),$$ $$(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy,$$ $$a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca).$$

$xy = 1$ 的特殊情形就是 $x$ 与 $\dfrac{1}{x}$：

$$x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 2, \qquad x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x + \frac{1}{x}\right).$$

交代式（交代式，也叫反对称式）：交换任意两个字母，式子变成原来的相反数。如 $x - y$、$(a - b)(b - c)(c - a)$。交代式一定含有因式 $(a - b)(b - c)(c - a)$（三个字母时），去掉这个因式后剩下的是对称式。

輪環の順に入れかえても変わらない式（国内叫轮换式）：把字母按 $a \to b \to c \to a$（「輪環の順」）换一遍，式子不变。如 $a^2 b + b^2 c + c^2 a$、$a^2(b - c) + b^2(c - a) + c^2(a - b)$。对称式一定是轮换式，反过来不一定。三个字母的式子分解时，先判断它是哪一类，就能预先知道答案的样子。

三个字母的立方公式：

$$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca).$$

使用场景

• 已知 $x$、$y$ 是一对共轭的无理数（如 $4 \pm \sqrt{15}$），求 $x^2 + y^2$、$x^3 + y^3$：先算 $x + y$、$xy$，再用基本对称式表示。
• 已知 $x + \dfrac{1}{x}$ 的值，求 $x^2 + \dfrac{1}{x^2}$、$x^3 + \dfrac{1}{x^3}$：看作 $xy = 1$ 的对称式。
• 已知 $a + b + c$、$ab + bc + ca$、$abc$，求 $a^2 + b^2 + c^2$、$(a + b)(b + c)(c + a)$ 等：用三个字母的基本对称式。
• 三个字母的式子要因式分解，交换两个字母后式子变号或不变：按一个字母整理，或者用“交代式含 $(a - b)(b - c)(c - a)$“直接定形。
• 出现 $a + b + c = 0$ 或三个立方之和：用 $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ 的分解。

注意点

• 基本对称式的关系式不需要 $x$、$y$ 是实数，也不需要 $x \ne y$。
• 用 $x - y$ 时要小心：$x - y$ 不是对称式，$(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy$ 只给出平方，开方时符号要由 $x$、$y$ 的大小决定。
• 交代式的标准写法日本教科书多用 $(a - b)(b - c)(c - a)$（轮换着写），和 $(a - b)(b - c)(a - c)$ 差一个负号，填空时按题干的写法。
• 国内书在韦达定理那里讲过“两根的对称式”（国内书第 4 章 4.2 节），方法相同；EJU 更常给出无理数让学生自己算 $x + y$ 和 $xy$。
• EJU 题干的说法：「$x + y$，$xy$ の値を求めると」「$x^2 + y^2$ の値は」「$x + \dfrac{1}{x} = 3$ のとき」「$a$ について整理すると」。

证明

结论 1：两个字母的常用式。 展开 $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，移项得 $x^2 + y^2$ 的式子。展开

$$(x + y)^3 = x^3 + 3x^2 y + 3xy^2 + y^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x + y),$$

（关键一步：中间两项 $3x^2 y + 3xy^2$ 提出 $3xy$ 后剩下的正是 $x + y$，它又是基本对称式。）移项得 $x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$。$(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 = (x^2 + y^2) - 2xy = (x + y)^2 - 4xy$。

结论 2：三个字母的立方公式。 令 $s = a + b$，由结论 1，$a^3 + b^3 = s^3 - 3abs$。于是

$$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (s^3 + c^3) - 3ab(s + c) = (s + c)(s^2 - sc + c^2) - 3ab(s + c).$$

提出 $s + c = a + b + c$：

$$= (a + b + c)(s^2 - sc + c^2 - 3ab) = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca).$$

（最后一步把 $s = a + b$ 代回：$s^2 - 3ab = a^2 - ab + b^2$，$-sc = -ac - bc$。）

结论 3：交代式含因式 $a - b$。 把交代式 $f(a, b, c)$ 里的 $a$ 和 $b$ 交换，得 $f(b, a, c) = -f(a, b, c)$。令 $a = b$，得 $f(a, a, c) = -f(a, a, c)$，所以 $f(a, a, c) = 0$。把 $f$ 看作 $a$ 的多项式，$a = b$ 时值为 0，由因数定理（本书第 10 章），$f$ 含因式 $a - b$。同理含 $b - c$、$c - a$。

“任何对称多项式都能用基本对称式表示”是对称多项式基本定理，严格证明要用大学代数里对多项式按字典序归纳的方法；高中只要会上面几个具体公式。

例题

例 1　（场景：共轭无理数的对称式）

問題　$x = \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$，$y = \dfrac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ とする。$x + y$，$xy$，$x^2 + y^2$，$x^3 + y^3$ を求めよ。

解答　まず分母を有理化する（3.4 節）。 $x = \dfrac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{5 - 3} = \dfrac{8 + 2\sqrt{15}}{2} = 4 + \sqrt{15}$，$y = 4 - \sqrt{15}$。 よって $x + y = 8$，$xy = 16 - 15 = 1$ である。したがって $x^2 + y^2 = 8^2 - 2 \cdot 1 = 62$，$x^3 + y^3 = 8^3 - 3 \cdot 1 \cdot 8 = 488$。

中文翻译　题目：设 $x = \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$，$y = \dfrac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$，求 $x + y$、$xy$、$x^2 + y^2$、$x^3 + y^3$。解答：先把分母有理化（3.4 节）。$x = \dfrac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{5 - 3} = \dfrac{8 + 2\sqrt{15}}{2} = 4 + \sqrt{15}$，$y = 4 - \sqrt{15}$。所以 $x + y = 8$，$xy = 16 - 15 = 1$。因此 $x^2 + y^2 = 8^2 - 2 \cdot 1 = 62$，$x^3 + y^3 = 8^3 - 3 \cdot 1 \cdot 8 = 488$。

解说　另一种解法：不有理化，直接看出 $xy = 1$（两个分数互为倒数），$x + y = \dfrac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 + (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2}{5 - 3} = \dfrac{16}{2} = 8$。通分一步就得到 $x + y$。题目只要对称式的值时用这个更快；后面还要问 $x$ 的整数部分时，先有理化更方便。

例 2　（场景：已知 $x + \dfrac{1}{x}$）

問題　$x + \dfrac{1}{x} = 3$ のとき，$x^2 + \dfrac{1}{x^2}$ と $x^3 + \dfrac{1}{x^3}$ を求めよ。

解答　$x^2 + \dfrac{1}{x^2} = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 - 2 = 3^2 - 2 = 7$。 $x^3 + \dfrac{1}{x^3} = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x + \dfrac{1}{x}\right) = 3^3 - 3 \cdot 3 = 18$。

中文翻译　题目：已知 $x + \dfrac{1}{x} = 3$，求 $x^2 + \dfrac{1}{x^2}$ 和 $x^3 + \dfrac{1}{x^3}$。解答：$x^2 + \dfrac{1}{x^2} = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 - 2 = 3^2 - 2 = 7$。$x^3 + \dfrac{1}{x^3} = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x + \dfrac{1}{x}\right) = 3^3 - 3 \cdot 3 = 18$。

解说　两个公式都是“从 $x + \dfrac{1}{x}$ 出发”：平方减去 $2$，立方减去 $3$ 倍本身。容易错成平方加 $2$，那是 $\left(x - \dfrac{1}{x}\right)^2$ 的公式。三次式也可以先用 $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 7$ 乘 $x + \dfrac{1}{x}$ 再减 $x + \dfrac{1}{x}$ 得到。

例 3　（场景：三个字母的基本对称式）

問題　$a + b + c = 6$，$ab + bc + ca = 11$，$abc = 6$ とする。$a^2 + b^2 + c^2$，$(a + b)(b + c)(c + a)$，$a^3 + b^3 + c^3$ を求めよ。

解答　$a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca) = 6^2 - 2 \times 11 = 14$。

$(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc = 6 \times 11 - 6 = 60$。

$a^3 + b^3 + c^3 = 3abc + (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = 3 \times 6 + 6 \times (14 - 11) = 18 + 18 = 36$。

中文翻译　题目：设 $a + b + c = 6$，$ab + bc + ca = 11$，$abc = 6$，求 $a^2 + b^2 + c^2$、$(a + b)(b + c)(c + a)$、$a^3 + b^3 + c^3$。解答：$a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca) = 6^2 - 2 \times 11 = 14$。$(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc = 6 \times 11 - 6 = 60$。$a^3 + b^3 + c^3 = 3abc + (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = 3 \times 6 + 6 \times (14 - 11) = 18 + 18 = 36$。

解说　三式都用基本对称式表示，不要先解出 $a$、$b$、$c$。验算：$a$、$b$、$c$ 取 $1$、$2$、$3$ 时三个条件都成立，$1 + 8 + 27 = 36$，$3 \times 5 \times 4 = 60$。$(a + b)(b + c)(c + a)$ 的公式也可以由 $(a + b + c)(ab + bc + ca) - abc$ 推出，展开后两边相同。

例 4　（场景：三个字母的式子因式分解）

問題　$a^2(b - c) + b^2(c - a) + c^2(a - b)$ を因数分解せよ。

解答　$a$ について整理すると $a^2(b - c) - a(b^2 - c^2) + (b^2 c - bc^2) = a^2(b - c) - a(b - c)(b + c) + bc(b - c)$。 $b - c$ をくくり出すと $(b - c)\{a^2 - (b + c)a + bc\} = (b - c)(a - b)(a - c) = -(a - b)(b - c)(c - a)$。

中文翻译　题目：因式分解 $a^2(b - c) + b^2(c - a) + c^2(a - b)$。解答：按 $a$ 整理，得 $a^2(b - c) - a(b^2 - c^2) + (b^2 c - bc^2) = a^2(b - c) - a(b - c)(b + c) + bc(b - c)$。提出 $b - c$，得 $(b - c)\{a^2 - (b + c)a + bc\} = (b - c)(a - b)(a - c) = -(a - b)(b - c)(c - a)$。

解说　另一种解法：交换 $a$、$b$，式子变为 $b^2(a - c) + a^2(c - b) + c^2(b - a)$，正好是原式的相反数，所以原式是交代式，又是三次式，只能是 $k(a - b)(b - c)(c - a)$（$k$ 是常数）。比较 $a^2 b$ 的系数：原式里是 $+1$；$(a - b)(b - c)(c - a)$ 里 $a^2 b$ 只能由 $a \cdot b \cdot (-a)$ 得到，系数 $-1$。所以 $k = -1$。按字母整理的方法总能做出来；交代式的方法快，但要先认出类型，适合选择题和核对答案。

例 5　（场景：三项之和为 0）

問題　$(x - y)^3 + (y - z)^3 + (z - x)^3$ を因数分解せよ。

解答　$a = x - y$，$b = y - z$，$c = z - x$ とおくと $a + b + c = 0$ である。$a + b + c = 0$ のとき $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ であるから $(x - y)^3 + (y - z)^3 + (z - x)^3 = 3(x - y)(y - z)(z - x)$。

中文翻译　题目：因式分解 $(x - y)^3 + (y - z)^3 + (z - x)^3$。解答：令 $a = x - y$，$b = y - z$，$c = z - x$，则 $a + b + c = 0$。当 $a + b + c = 0$ 时 $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$，所以 $(x - y)^3 + (y - z)^3 + (z - x)^3 = 3(x - y)(y - z)(z - x)$。

解说　关键是看出三项的“底”加起来为 $0$：$(x - y) + (y - z) + (z - x) = 0$。不换元也可以直接用立方公式展开，但项多容易错；换成 $a$、$b$、$c$ 后只剩一条公式。$a + b + c = 0$ 时 $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ 是本节常用推论，要记牢。

常用推论

• $a + b + c = 0$ 时 $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$。推导：立方公式左边的因式 $a + b + c = 0$。
• $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \dfrac{1}{2}\{(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2\} \ge 0$，等号仅当 $a = b = c$。推导：右边展开即得。由此 $a$、$b$、$c$ 都不小于 0 时 $a^3 + b^3 + c^3 \ge 3abc$。
• $(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc$。推导：两边展开，都等于 $a^2 b + a^2 c + b^2 a + b^2 c + c^2 a + c^2 b + 2abc$。
• $x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2(xy)^2$；$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{x + y}{xy}$；$\dfrac{y}{x} + \dfrac{x}{y} = \dfrac{x^2 + y^2}{xy}$。推导：通分或配方。
• $x - \dfrac{1}{x}$ 的值：$\left(x - \dfrac{1}{x}\right)^2 = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 - 4$，再按 $x$ 的范围定符号。

易错点

• 错在哪：$x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy$。 为什么错：$3x^2 y + 3xy^2 = 3xy(x + y)$，漏了因式 $x + y$。 正确做法：$x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$；记不清时用 $x = y = 1$ 检验：左边 2，右边 $8 - 6 = 2$。
• 错在哪：$x^2 + \dfrac{1}{x^2} = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 + 2$。 为什么错：$\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2}$，要减去 2 才对；加 2 的是 $\left(x - \dfrac{1}{x}\right)^2$ 那一条的移项。 正确做法：$x^2 + \dfrac{1}{x^2} = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 - 2 = \left(x - \dfrac{1}{x}\right)^2 + 2$。
• 错在哪：由 $(x - y)^2 = 4$ 直接写 $x - y = 2$。 为什么错：$x - y$ 不是对称式，平方丢了符号。 正确做法：$x - y = \pm 2$，再看题目给的 $x$、$y$ 谁大定号。
• 错在哪：例 4 的结果写成 $(a - b)(b - c)(c - a)$。 为什么错：$(b - c)(a - b)(a - c)$ 里的 $a - c = -(c - a)$，改写成轮换的形式要多一个负号。 正确做法：$-(a - b)(b - c)(c - a)$；改写顺序后用 $a = 2$，$b = 1$，$c = 0$ 代入两边核对一次。

直观理解

把 $(x + y)^2$ 画成边长 $x + y$ 的正方形：它由一个 $x^2$、一个 $y^2$ 和两个 $xy$ 的长方形拼成。去掉两个长方形，剩下的就是 $x^2 + y^2$，这就是 $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$。

对称式的意思是”$x$ 和 $y$ 的地位一样”，所以它的值只能依赖 $x$、$y$ 共同的特征：它们的和与积。这也是为什么二次方程两根的对称式能用韦达定理直接算。

关联知识点

• 前置：3.2 节的乘法公式。
• 国内书第 4 章 4.2 节：韦达定理与两根的对称式，方法与本节相同。
• 国内书第 8 章 8.3 节：已知 $a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}$ 求 $a + a^{-1}$，就是本节 $x + \dfrac{1}{x}$ 的类型。
• 后续：3.4、3.5 节求出的无理数常拿来算对称式的值；本书第 10 章 いろいろな式 的解と係数の関係、恒等式、等式与不等式的证明（$a^3 + b^3 + c^3 \ge 3abc$）都用到本节。
• 常一起考：EJU 的“数と式”小问常是“有理化 → 求 $x + y$、$xy$ → 求 $x^2 + y^2$ → 求整数部分”一条龙。

3.4 実数と根号を含む式の計算

说明

实数的分类：整数和分数统称有理数，即能写成 $\dfrac{m}{n}$（$m$、$n$ 是整数，$n \ne 0$）的数；不能这样写的实数叫無理数，如 $\sqrt{2}$、$\pi$。

有理数与小数：有理数化成小数，要么是有限小数，要么是循環小数（循环小数）；无理数是不循环的无限小数。循环小数的写法：在循环节第一位和最后一位的数字上加点，$0.\dot{3} = 0.333\cdots$，$0.1\dot{2}\dot{3} = 0.1232323\cdots$，$0.\dot{1}4\dot{2} = 0.142142\cdots$。

循环小数化分数：设 $x$ 等于这个小数，乘 10 的适当次幂使小数部分对齐，两式相减消去无限的尾巴。

絶対値（绝对值）：数轴上点 $a$ 到原点的距离，

$$\lvert a \rvert = \begin{cases} a & (a \geqq 0) \\ -a & (a < 0) \end{cases}$$

$|a - b|$ 是数轴上 $a$、$b$ 两点之间的距离。

$\sqrt{a^2} = |a|$：根号表示非负的平方根，所以 $\sqrt{a^2}$ 是 $a$ 的绝对值，不一定是 $a$。

根号的运算：$a > 0$，$b > 0$ 时 $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$，$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$，$\sqrt{k^2 a} = k\sqrt{a}$（$k > 0$）。

分母の有理化（分母有理化）：分母含根号时，分子分母同乘一个数，使分母变成有理数：

$$\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}, \qquad \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}.$$

整数部分と小数部分：对实数 $x$，满足 $n \le x < n + 1$ 的整数 $n$ 叫 $x$ 的整数部分，$x - n$ 叫小数部分。小数部分总满足 $0 \le x - n < 1$。例如 $\sqrt{5} = 2.236\cdots$，整数部分 2，小数部分 $\sqrt{5} - 2$。

使用场景

• 题目给出循环小数，要求化成分数：设 $x$，乘 $10^k$ 相减。
• 化简 $\sqrt{x^2 - 6x + 9}$ 这类式子：配成 $\sqrt{(x - 3)^2} = |x - 3|$，按 $x$ 的范围去绝对值。
• 分母是两项或三项含根号的和：乘共轭式有理化，三项时分两次。
• 题目问一个无理数的「整数部分」「小数部分」，再用小数部分算一个式子：先有理化、估值定整数部分，小数部分 = 原数 − 整数部分。

注意点

• EJU 答题卡要求分母有理化、根号内最小（本书第 2 章），所以最后结果一律有理化：$\dfrac{2}{\sqrt{6}}$ 要写成 $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$。
• $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$ 要求 $a$、$b$ 非负；负数开方在数学Ⅱ的复数里另讲（本书第 10 章）。
• 估计根号的大小：记住 $\sqrt{2} = 1.414\cdots$，$\sqrt{3} = 1.732\cdots$，$\sqrt{5} = 2.236\cdots$，$\sqrt{6} = 2.449\cdots$，$\sqrt{7} = 2.645\cdots$；其余用“夹在两个平方数之间”判断，如 $16 < 21 < 25$，所以 $4 < \sqrt{21} < 5$。
• 负数的整数部分：$-1.3$ 的整数部分是 $-2$（因为 $-2 \le -1.3 < -1$），小数部分是 $0.7$，不是 $-0.3$。
• EJU 题干的说法：「分母を有理化すると」「$x$ の整数部分を $a$，小数部分を $b$ とする」「循環小数 $0.\dot{1}\dot{8}$ を分数で表すと」「$\sqrt{(a - 2)^2}$ を簡単にせよ」。

证明

结论 1：$\sqrt{a^2} = |a|$。 见国内书第 8 章 8.2 节证明结论 1（$n = 2$ 的情形）：$\sqrt{a^2}$ 是 $a^2$ 的非负平方根，而 $|a| \ge 0$ 且 $|a|^2 = a^2$，所以两者相等。

结论 2：循环小数是有理数。 以 $x = 0.1\dot{2}\dot{3}$ 为例：

$$1000x = 123.2323\cdots, \qquad 10x = 1.2323\cdots.$$

（关键一步：两个式子的小数部分完全相同，都是 $0.2323\cdots$，相减把无限的部分整个消掉。）相减得 $990x = 122$，$x = \dfrac{122}{990} = \dfrac{61}{495}$。一般地，循环节长 $k$ 的循环小数用 $10^k$ 倍相减都能化成分数。

反过来，$\dfrac{m}{n}$ 做除法时，每一步的余数只能是 $0, 1, \dots, n - 1$ 之一。余数出现 0 就是有限小数；否则至多 $n - 1$ 步后余数必然重复，从那里起商的数字也重复，所以是循环小数。

结论 3：分母有理化。 由平方差 $(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b$，分母乘以 $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ 后变成有理数 $a - b$，分子同乘同一个数，分数的值不变。

结论 4：$\sqrt{2}$ 是无理数，用背理法证明，见本书第 4 章 集合と命題。

例题

例 1　（场景：循环小数化分数）

問題　$0.1\dot{2}\dot{3}$ を分数で表せ。

解答　$x = 0.1\dot{2}\dot{3}$ とおく。循環節「23」は $2$ 桁，循環しない部分「1」は $1$ 桁である。 $1000x = 123.2323\cdots$，$10x = 1.2323\cdots$ の辺々を引くと $990x = 122$ であるから $x = \dfrac{122}{990} = \dfrac{61}{495}$。

中文翻译　题目：把 $0.1\dot{2}\dot{3}$ 化成分数。解答：设 $x = 0.1\dot{2}\dot{3}$。循环节“23”有 $2$ 位，不循环部分“1”有 $1$ 位。$1000x = 123.2323\cdots$，$10x = 1.2323\cdots$，两式相减得 $990x = 122$，所以 $x = \dfrac{122}{990} = \dfrac{61}{495}$。

解说　容易卡在：直接用 $100x - x$ 相减。$100x = 12.32323\cdots$ 与 $x = 0.12323\cdots$ 的小数部分没有对齐，消不掉。做法是先把不循环部分移到小数点左边（乘 $10$），再乘一个循环节长度（乘 $100$），用 $1000x - 10x$。分母的 $990$ 就是 $1000 - 10$。

例 2　（场景：$\sqrt{A^2}$ 化简）

問題　$-2 \leqq x \leqq 3$ のとき，$P = \sqrt{x^2 + 4x + 4} + \sqrt{x^2 - 6x + 9}$ を簡単にせよ。

解答　$P = \sqrt{(x + 2)^2} + \sqrt{(x - 3)^2} = |x + 2| + |x - 3|$。 $-2 \leqq x \leqq 3$ のとき $x + 2 \geqq 0$，$x - 3 \leqq 0$ であるから $P = (x + 2) + (3 - x) = 5$。

中文翻译　题目：当 $-2 \leqq x \leqq 3$ 时，化简 $P = \sqrt{x^2 + 4x + 4} + \sqrt{x^2 - 6x + 9}$。解答：$P = \sqrt{(x + 2)^2} + \sqrt{(x - 3)^2} = |x + 2| + |x - 3|$。当 $-2 \leqq x \leqq 3$ 时，$x + 2 \geqq 0$，$x - 3 \leqq 0$，所以 $P = (x + 2) + (3 - x) = 5$。

解说　容易卡在：直接写 $\sqrt{(x - 3)^2} = x - 3$，得 $P = 2x - 1$。这只在 $x \geqq 3$ 时成立。$\sqrt{A^2} = |A|$，去绝对值前先看 $x$ 的范围定符号。

例 3　（场景：三项分母有理化）

問題　$\dfrac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}$ の分母を有理化せよ。

解答　$1 + \sqrt{2}$ をひとまとまりと見て，分子分母に $(1 + \sqrt{2}) - \sqrt{3}$ を掛ける。 $\dfrac{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}{(1 + \sqrt{2})^2 - 3} = \dfrac{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$。 分母にまだ根号が残っているから，さらに $\sqrt{2}$ を掛ける。 $\dfrac{(1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})\sqrt{2}}{4} = \dfrac{2 + \sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$。

中文翻译　题目：把 $\dfrac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}$ 的分母有理化。解答：把 $1 + \sqrt{2}$ 看成一个整体，分子分母同乘 $(1 + \sqrt{2}) - \sqrt{3}$，得 $\dfrac{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}{(1 + \sqrt{2})^2 - 3} = \dfrac{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$。分母还有根号，再同乘 $\sqrt{2}$，得 $\dfrac{(1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})\sqrt{2}}{4} = \dfrac{2 + \sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$。

解说　容易卡在：第一步乘 $1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}$ 时选错组合。选组合的原则是让平方后的根号项尽量少：$(1 + \sqrt{2})^2 - 3 = 2\sqrt{2}$ 只剩一个根号。三项分母有理化一般分两步：先把其中两项合成一组，消掉一项，再处理剩下的根号。

例 4　（场景：整数部分与小数部分）

問題　$\dfrac{2}{3 - \sqrt{5}}$ の整数部分を $a$，小数部分を $b$ とする。$a$，$b$ および $b^2 + b$ の値を求めよ。

解答　まず分母を有理化する。 $\dfrac{2}{3 - \sqrt{5}} = \dfrac{2(3 + \sqrt{5})}{9 - 5} = \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}$。 $2 < \sqrt{5} < 3$ であるから $\dfrac{5}{2} < \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2} < 3$ であり，整数部分は $a = 2$。小数部分は $b = \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2} - 2 = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}$。 $b^2 = \dfrac{6 - 2\sqrt{5}}{4} = \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}$ であるから $b^2 + b = \dfrac{3 - \sqrt{5} + \sqrt{5} - 1}{2} = 1$。

中文翻译　题目：设 $\dfrac{2}{3 - \sqrt{5}}$ 的整数部分为 $a$，小数部分为 $b$，求 $a$、$b$ 以及 $b^2 + b$ 的值。解答：先把分母有理化。$\dfrac{2}{3 - \sqrt{5}} = \dfrac{2(3 + \sqrt{5})}{9 - 5} = \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}$。因为 $2 < \sqrt{5} < 3$，所以 $\dfrac{5}{2} < \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2} < 3$，整数部分 $a = 2$。小数部分 $b = \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2} - 2 = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}$。$b^2 = \dfrac{6 - 2\sqrt{5}}{4} = \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}$，所以 $b^2 + b = \dfrac{3 - \sqrt{5} + \sqrt{5} - 1}{2} = 1$。

解说　另一种解法：$b = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 满足 $2b + 1 = \sqrt{5}$，两边平方得 $4b^2 + 4b + 1 = 5$，即 $b^2 + b = 1$。要算的式子次数高时（如 $b^3 + 2b^2$），先得出 $b^2 = 1 - b$ 再降次，比直接代入快。

常用推论

• 有理数与无理数的比较系数：$a$、$b$、$c$、$d$ 是有理数，$a + b\sqrt{2} = c + d\sqrt{2}$，则 $a = c$ 且 $b = d$。推导：若 $b \ne d$，则 $\sqrt{2} = \dfrac{a - c}{d - b}$ 是有理数，矛盾。$\sqrt{2}$ 换成任何无理的平方根都成立。
• $0.\dot{9} = 1$。推导：$x = 0.\dot{9}$，$10x - x = 9$，$x = 1$。
• 纯循环小数：$0.\dot{a}\dot{b} = \dfrac{ab}{99}$（$ab$ 表示两位数），如 $0.\dot{2}\dot{7} = \dfrac{27}{99} = \dfrac{3}{11}$。循环节 $k$ 位时分母是 $k$ 个 9。
• $|ab| = |a||b|$，$|a|^2 = a^2$，$|a| \ge a$。推导：按 $a$、$b$ 的正负分情况。
• 整数部分为 $a$、小数部分为 $b$ 时，$b$ 往往满足一个简单的二次方程（例 4 的另一种解法），可以用来降次。

易错点

• 错在哪：$\sqrt{(a - 2)^2} = a - 2$。 为什么错：$a < 2$ 时左边是正数，右边是负数。 正确做法：$\sqrt{(a - 2)^2} = |a - 2|$，再按 $a \ge 2$ 和 $a < 2$ 去绝对值。
• 错在哪：$\sqrt{2}$ 的小数部分是 $\sqrt{2} - 1$，于是认为 $3 - \sqrt{2}$ 的小数部分也是 $\sqrt{2} - 1$。 为什么错：$3 - \sqrt{2} = 1.585\cdots$，小数部分是 $0.585\cdots$，而 $\sqrt{2} - 1 = 0.414\cdots$。减去一个无理数时，小数部分不是原来那个。 正确做法：一律按定义算：先估值定整数部分 1，小数部分 $= (3 - \sqrt{2}) - 1 = 2 - \sqrt{2}$。
• 错在哪：$0.1\dot{2}\dot{3}$ 用 $100x - x$ 相减。 为什么错：$100x = 12.32323\cdots$，$x = 0.12323\cdots$，小数部分没有对齐，消不掉。 正确做法：先把非循环部分移到小数点左边（乘 10），再乘一个循环节长度（乘 100），用 $1000x - 10x$。
• 错在哪：答案写成 $\dfrac{3}{\sqrt{3}}$ 或 $\dfrac{-1}{\sqrt{2}}$ 去填空。 为什么错：EJU 要求分母有理化、负号在分子。 正确做法：$\sqrt{3}$；$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，按格子形式 $\dfrac{-\sqrt{\fbox{A}}}{\fbox{B}}$ 填。

直观理解

$|a - b|$ 是数轴上两点的距离，这一点在 3.6 节解绝对值方程时最有用。$\sqrt{a^2} = |a|$ 可以想成“平方把方向丢了，开方只能还回长度”。

循环小数化分数的“错位相减”可以想成两把一样长的尺子：只要从同一个循环位置开始，后面无穷多位一一对齐，相减时全部抵消。

关联知识点

• 前置：初中的平方根、二次根式、分母有理化。
• 国内书第 1 章 1.2 节：数集 $\mathbf{N}$、$\mathbf{Z}$、$\mathbf{Q}$、$\mathbf{R}$ 的记号，本节补上循环小数与有理数的关系。
• 国内书第 8 章 8.2 节：根式 $\sqrt[n]{a^n}$ 的结论，本节的 $\sqrt{a^2} = |a|$ 是它的特例。
• 后续：3.5 节二重根号开出来常要再有理化；本书第 4 章 用背理法证 $\sqrt{2}$ 是无理数；本书第 10 章 讲负数的平方根和复数。
• 本书第 2 章 答题卡与记号：有理化和根号最简直接关系到能不能把答案填进格子。

3.5 二重根号

说明

根号里面还有根号的式子叫二重根号，如 $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$。能化简的情形是：根号里能写成 $(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})^2$。设 $a > 0$，$b > 0$，

$$\sqrt{(a + b) + 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b},$$ $$\sqrt{(a + b) - 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} \quad (a > b).$$

做法：把根号里写成 $p \pm 2\sqrt{q}$ 的形式，找两个正数 $a$、$b$，使

$$a + b = p, \qquad ab = q,$$

答案就是 $\sqrt{a} \pm \sqrt{b}$，减号时大的数放前面。

里面的根号前系数不是 2 时：

• 是 4、6 等偶数：把多出的因数移进根号，$4\sqrt{3} = 2\sqrt{12}$，$6\sqrt{2} = 2\sqrt{18}$。
• 是 1（没有 2）：根号里乘 2、外面除以 $\sqrt{2}$，$\sqrt{4 + \sqrt{15}} = \sqrt{\dfrac{8 + 2\sqrt{15}}{2}} = \dfrac{\sqrt{8 + 2\sqrt{15}}}{\sqrt{2}}$，最后再有理化。

使用场景

• 根号里正好是 $p \pm 2\sqrt{q}$：直接找和为 $p$、积为 $q$ 的两个数。
• 里面根号前的系数是 4、6 等偶数：先把系数的一半移进根号，变成 $2\sqrt{\ }$ 的形式。
• 里面根号前没有 2：乘 2 除以 $\sqrt{2}$，最后分母有理化。
• 二重根号开出来后，再求倒数、对称式或整数部分：和 3.3、3.4 节连着用。

注意点

• 结果必须是正数（根号的值非负），所以减号时一定写成“大减小”：$\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$，不是 $\sqrt{2} - \sqrt{3}$。
• 和为 $p$、积为 $q$ 的两个数，就是二次方程 $t^2 - pt + q = 0$ 的两根；找不到有理数解时（判别式 $p^2 - 4q$ 不是平方数），这个二重根号在本节意义下不能化简，EJU 不会这样出。
• $a$ 或 $b$ 是平方数时，结果里会出现整数：$\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{4} - \sqrt{3} = 2 - \sqrt{3}$。
• 二重根号在日本各出版社数学Ⅰ教科书里的处理不同（本书没有逐本核对），备考按常规题准备。
• EJU 题干的说法：「$\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$ の二重根号をはずすと」「$\sqrt{\fbox{A}} - \sqrt{\fbox{B}}$ と表される」。

证明

结论：$\sqrt{(a + b) \pm 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b}$（$a > b > 0$）。

$$(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})^2 = a \pm 2\sqrt{a}\sqrt{b} + b = (a + b) \pm 2\sqrt{ab}.$$

所以 $\sqrt{a} \pm \sqrt{b}$ 是 $(a + b) \pm 2\sqrt{ab}$ 的一个平方根。（关键一步：根号只取非负的那个平方根。$\sqrt{a} + \sqrt{b} > 0$ 显然；减号时要 $a > b$，才有 $\sqrt{a} - \sqrt{b} > 0$，否则非负的平方根是 $\sqrt{b} - \sqrt{a}$。）由 $\sqrt{X^2} = |X|$（3.4 节），

$$\sqrt{(a + b) - 2\sqrt{ab}} = |\sqrt{a} - \sqrt{b}|.$$

系数是 1 时为什么乘 2：$\sqrt{p + \sqrt{q}} = \sqrt{\dfrac{2p + 2\sqrt{q}}{2}} = \dfrac{\sqrt{2p + 2\sqrt{q}}}{\sqrt{2}}$，根号里的分子变成了 $2\sqrt{\ }$ 的形式，就能套上面的结论。

例题

例 1　（场景：根号里正好是 $p \pm 2\sqrt{q}$）

問題　$\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$ と $\sqrt{9 - 2\sqrt{14}}$ を簡単にせよ。

解答　和が $5$，積が $6$ である $2$ 数は $3$ と $2$ であるから $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$。 和が $9$，積が $14$ である $2$ 数は $7$ と $2$ である。マイナスのときは大きい方を前に置くから $\sqrt{9 - 2\sqrt{14}} = \sqrt{7} - \sqrt{2}$。

中文翻译　题目：化简 $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$ 和 $\sqrt{9 - 2\sqrt{14}}$。解答：和为 $5$、积为 $6$ 的两个数是 $3$ 和 $2$，所以 $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$。和为 $9$、积为 $14$ 的两个数是 $7$ 和 $2$，减号时大的在前，所以 $\sqrt{9 - 2\sqrt{14}} = \sqrt{7} - \sqrt{2}$。

解说　二重根号 $\sqrt{p \pm 2\sqrt{q}}$ 的关键是找和为 $p$、积为 $q$ 的两个数 $a$、$b$，结果就是 $\sqrt{a} \pm \sqrt{b}$。减号时必须大的在前，否则结果是负数，而根号的值不能为负。验证：$(\sqrt{7} - \sqrt{2})^2 = 7 + 2 - 2\sqrt{14} = 9 - 2\sqrt{14}$。

例 2　（场景：系数是偶数）

問題　$\sqrt{11 - 6\sqrt{2}}$ を簡単にせよ。

解答　$6\sqrt{2} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 2\sqrt{18}$ であるから $\sqrt{11 - 6\sqrt{2}} = \sqrt{11 - 2\sqrt{18}}$。 和が $11$，積が $18$ である $2$ 数は $9$ と $2$ であるから $\sqrt{11 - 2\sqrt{18}} = \sqrt{9} - \sqrt{2} = 3 - \sqrt{2}$。

中文翻译　题目：化简 $\sqrt{11 - 6\sqrt{2}}$。解答：因为 $6\sqrt{2} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 2\sqrt{18}$，所以 $\sqrt{11 - 6\sqrt{2}} = \sqrt{11 - 2\sqrt{18}}$。和为 $11$、积为 $18$ 的两个数是 $9$ 和 $2$，所以 $\sqrt{11 - 2\sqrt{18}} = \sqrt{9} - \sqrt{2} = 3 - \sqrt{2}$。

解说　系数不是 $2$ 时，先把根号外的因数移进根号，凑成 $2\sqrt{q}$ 的形式。$6\sqrt{2} = 2\sqrt{18}$，这一步不能省；直接找和为 $11$、积为 $2$ 的数是错的。

例 3　（场景：没有系数 2）

問題　$\sqrt{4 + \sqrt{15}}$ を簡単にせよ。

解答　$\sqrt{4 + \sqrt{15}} = \dfrac{\sqrt{8 + 2\sqrt{15}}}{\sqrt{2}}$。 和が $8$，積が $15$ である $2$ 数は $5$ と $3$ であるから $\dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{2}$。

中文翻译　题目：化简 $\sqrt{4 + \sqrt{15}}$。解答：$\sqrt{4 + \sqrt{15}} = \dfrac{\sqrt{8 + 2\sqrt{15}}}{\sqrt{2}}$。和为 $8$、积为 $15$ 的两个数是 $5$ 和 $3$，所以 $\dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{2}$。

解说　另一种解法：设 $\sqrt{4 + \sqrt{15}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}$，平方得 $x + y + 2\sqrt{xy} = 4 + \sqrt{15}$，用 3.4 节“有理数与无理数比较系数”得 $x + y = 4$，$4xy = 15$。$x$、$y$ 是 $t^2 - 4t + \dfrac{15}{4} = 0$ 的两根 $\dfrac{5}{2}$、$\dfrac{3}{2}$，所以结果是 $\sqrt{\dfrac{5}{2}} + \sqrt{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{2}$。待定系数的方法不用记“乘 2”的技巧，但计算多一步；考场上乘 2 的做法更快。

例 4　（场景：开出来后再求对称式和整数部分）

問題　$x = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$ とする。$\dfrac{1}{x}$，$x + \dfrac{1}{x}$，$x^2 + \dfrac{1}{x^2}$，および $x$ の整数部分を求めよ。

解答　$4\sqrt{3} = 2\sqrt{12}$ であり，和が $7$，積が $12$ である $2$ 数は $4$ と $3$ であるから $x = \sqrt{4} + \sqrt{3} = 2 + \sqrt{3}$，$\dfrac{1}{x} = \dfrac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}$。 よって $x + \dfrac{1}{x} = 4$，$x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 4^2 - 2 = 14$。 $1 < \sqrt{3} < 2$ であるから $3 < 2 + \sqrt{3} < 4$ であり，整数部分は $3$。

中文翻译　题目：设 $x = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$，求 $\dfrac{1}{x}$、$x + \dfrac{1}{x}$、$x^2 + \dfrac{1}{x^2}$ 以及 $x$ 的整数部分。解答：$4\sqrt{3} = 2\sqrt{12}$，和为 $7$、积为 $12$ 的两个数是 $4$ 和 $3$，所以 $x = \sqrt{4} + \sqrt{3} = 2 + \sqrt{3}$，$\dfrac{1}{x} = \dfrac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}$。因此 $x + \dfrac{1}{x} = 4$，$x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 4^2 - 2 = 14$。因为 $1 < \sqrt{3} < 2$，所以 $3 < 2 + \sqrt{3} < 4$，整数部分是 $3$。

解说　先化简二重根号，再求倒数和对称式，顺序不要反。$\dfrac{1}{x}$ 的分母有理化用平方差：$(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 1$，所以倒数就是共轭式。整数部分靠夹逼：$1 < \sqrt{3} < 2$，加 $2$ 得 $3 < x < 4$。

常用推论

• 能不能化简：$\sqrt{p \pm 2\sqrt{q}}$（$p$、$q$ 是正有理数，$q$ 不是平方数）能化成 $\sqrt{a} \pm \sqrt{b}$（$a$、$b$ 有理数）的形式，当且仅当 $p^2 - 4q$ 是有理数的平方。推导：$a$、$b$ 是 $t^2 - pt + q = 0$ 的根，根是有理数当且仅当判别式是平方数。
• 一般公式：$\sqrt{p \pm \sqrt{q}} = \sqrt{\dfrac{p + r}{2}} \pm \sqrt{\dfrac{p - r}{2}}$，其中 $r = \sqrt{p^2 - q}$。推导：右边平方得 $p \pm 2\sqrt{\dfrac{p^2 - r^2}{4}} = p \pm \sqrt{q}$。考场上不必记，例 3 的做法就是它的具体化。
• $\sqrt{2 \pm \sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{6} \pm \sqrt{2}}{2}$：常见于 $\cos 15^\circ$、$\sin 15^\circ$ 一类的值（本书第 6 章）。推导同例 3。

易错点

• 错在哪：$\sqrt{8 - 2\sqrt{15}} = \sqrt{3} - \sqrt{5}$。 为什么错：$\sqrt{3} - \sqrt{5} < 0$，根号的值不能是负数。 正确做法：大的在前，$\sqrt{5} - \sqrt{3}$。
• 错在哪：$\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$ 直接找和为 7、积为 3 的数。 为什么错：公式要求里面是 $2\sqrt{q}$，系数 4 没有先化成 2。 正确做法：$4\sqrt{3} = 2\sqrt{12}$，找和为 7、积为 12 的数，得 $2 + \sqrt{3}$。
• 错在哪：$\sqrt{4 + \sqrt{15}}$ 化成 $\dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ 就填空。 为什么错：EJU 要求分母有理化，格子形式一般是 $\dfrac{\sqrt{\fbox{A}} + \sqrt{\fbox{B}}}{\fbox{C}}$。 正确做法：再乘 $\sqrt{2}$，写成 $\dfrac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{2}$。

直观理解

二重根号就是“倒着用完全平方公式”：$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$ 展开后，“平方项”合起来是有理数 $a + b$，“交叉项”是 $2\sqrt{ab}$。看到 $p + 2\sqrt{q}$，就想：$p$ 是两个数的和，$q$ 是它们的积，这和“已知两根之和与两根之积求两根”是同一件事。

一句话的记法：和是外面的数，积是根号里的数，系数凑成 2，减号大在前。

关联知识点

• 前置：3.4 节的根号运算、分母有理化、$\sqrt{X^2} = |X|$。
• 国内书第 4 章 4.2 节：已知两数之和与积求两数，就是解 $t^2 - pt + q = 0$，判别式决定能否化简。
• 后续：3.3 节的对称式求值常用二重根号开出的数；本书第 6 章 図形と計量 求 $15^\circ$、$75^\circ$ 的三角比时会遇到 $\sqrt{2 \pm \sqrt{3}}$。
• 本书第 2 章 答题卡与记号：结果要有理化、根号内最小。

3.6 1次不等式と絶対値を含む方程式・不等式

说明

1次不等式：解法和国内相同（国内书第 3 章 3.2 节），两边乘或除以负数时不等号反向。連立不等式（不等式组）取各个解的公共部分。日本题目常问“满足条件的整数有几个”“恰有 3 个时参数的范围”。

含参数的一次不等式 $ax > b$：$a > 0$ 时 $x > \dfrac{b}{a}$；$a < 0$ 时 $x < \dfrac{b}{a}$；$a = 0$ 时看 $0 > b$ 是否成立（成立则所有实数都是解，不成立则无解）。

绝对值的基本型（$c > 0$）：

方程或不等式	解	几何意义
$\lvert x \rvert = c$	$x = \pm c$	到原点距离为 $c$
$\lvert x \rvert < c$	$-c < x < c$	到原点距离小于 $c$
$\lvert x \rvert > c$	$x < -c$ 或 $x > c$	到原点距离大于 $c$
$\lvert x - p \rvert < c$	$p - c < x < p + c$	到 $p$ 距离小于 $c$

$c \le 0$ 时：$|x| = c$ 只在 $c = 0$ 时有解 $x = 0$；$|x| < c$ 无解；$|x| > c$ 在 $c < 0$ 时所有实数都是解，在 $c = 0$ 时是 $x \ne 0$。

一般方法：場合分け（分情况）。找出每个绝对值里面等于 0 的点，把数轴分成几段，每段里绝对值都能去掉，分别解，解要落在这一段里才算数，最后合并。

右边含 $x$ 的型：

$$\lvert A \rvert = B \iff B \geqq 0 \text{ かつ } (A = B \text{ または } A = -B),$$ $$\lvert A \rvert < B \iff -B < A < B, \qquad \lvert A \rvert > B \iff A < -B \text{ または } A > B.$$

这三条对任何式子 $B$ 都成立（$B$ 可以含 $x$）。

使用场景

• 一个绝对值和常数比较，如 $|2x - 3| < 5$：用基本型直接去绝对值。
• 两个以上的绝对值，如 $|x - 1| + |x + 2| = 5$：按零点分段讨论，或者画图、用距离。
• 绝对值的另一边含 $x$，如 $|x - 2| < 2x - 1$：用 $|A| < B \iff -B < A < B$，或按绝对值里的符号分两段。
• 连立不等式的整数解个数含参数：在数轴上画出解，看端点 $a$ 应落在哪两个整数之间，再定端点能否取到。

注意点

• 分段时每一段的范围要写清（一端取等号、另一端不取），解出来后检查是否落在这一段。
• 「または」的解写成两段，「かつ」取公共部分。EJU 的答案格子通常是 $x < \fbox{A}$, $\fbox{B} < x$ 这样分开填。
• 题目问“整数解恰有 $n$ 个”时，参数的范围一端取等号、一端不取，要逐个检查端点：把端点值代回去，数一数整数个数。
• EJU 不用区间记号，解写成不等式：「$-1 < x < 4$」「$x \leqq -1, \ 4 \leqq x$」。
• EJU 题干的说法：「方程式 $|x - 1| + |x + 2| = 5$ の解は」「不等式 $|2x - 3| < 5$ を解くと」「連立不等式を満たす整数 $x$ がちょうど 3 個となるような $a$ の値の範囲は」「場合分けをして」。

证明

结论 1：$|x| < c \iff -c < x < c$（$c > 0$）。 分两种情况：

• $x \ge 0$ 时 $|x| = x$，条件是 $0 \le x < c$；
• $x < 0$ 时 $|x| = -x$，条件是 $-x < c$，即 $-c < x < 0$。

两段合起来是 $-c < x < c$。$|x| > c$ 的情形同理，得 $x > c$ 或 $x < -c$。

结论 2：$|A| < B \iff -B < A < B$（$B$ 任意）。 若 $B \le 0$，左边 $|A| < B \le 0$ 不可能成立；右边 $-B < A < B$ 要求 $-B < B$，即 $B > 0$，也不成立，两边都无解，等价。若 $B > 0$，由结论 1。（关键一步：$B$ 可以是含 $x$ 的式子，等价关系对每个 $x$ 逐点成立，所以不必先讨论 $B$ 的符号。）

结论 3：$|A| = B$ 要求 $B \ge 0$。 $|A| \ge 0$，所以 $B < 0$ 时无解；$B \ge 0$ 时，$|A| = B$ 就是 $A = B$ 或 $A = -B$。

例题

例 1　（场景：单个绝对值与常数）

問題　不等式 $|2x - 3| < 5$ と $|2x - 3| \geqq 5$ を解け。

解答　$|2x - 3| < 5 \iff -5 < 2x - 3 < 5 \iff -2 < 2x < 8 \iff -1 < x < 4$。

$|2x - 3| \geqq 5 \iff 2x - 3 \leqq -5$ または $2x - 3 \geqq 5 \iff x \leqq -1$ または $x \geqq 4$。

中文翻译　题目：解不等式 $|2x - 3| < 5$ 和 $|2x - 3| \geqq 5$。解答：$|2x - 3| < 5 \iff -5 < 2x - 3 < 5 \iff -2 < 2x < 8 \iff -1 < x < 4$。$|2x - 3| \geqq 5 \iff 2x - 3 \leqq -5$ 或 $2x - 3 \geqq 5 \iff x \leqq -1$ 或 $x \geqq 4$。

解说　两者正好互补：数轴上到 $\dfrac{3}{2}$ 的距离小于 $\dfrac{5}{2}$ 的是前者，其余是后者。解 $|A| < B$ 用夹逼，解 $|A| \geqq B$ 用两侧；$B$ 是正数时才能直接这样写，$B \leqq 0$ 要单独判断。

例 2　（场景：两个绝对值）

問題　方程式 $|x - 1| + |x + 2| = 5$ を解け。

解答　零点は $x = -2$ と $x = 1$ であるから，次の $3$ つの場合に分ける。

$x < -2$ のとき $-(x - 1) - (x + 2) = 5$，すなわち $-2x - 1 = 5$ より $x = -3$。これは $x < -2$ を満たす。

$-2 \leqq x < 1$ のとき $-(x - 1) + (x + 2) = 3 \ne 5$ であり，解はない。

$x \geqq 1$ のとき $(x - 1) + (x + 2) = 5$，すなわち $2x + 1 = 5$ より $x = 2$。これは $x \geqq 1$ を満たす。

よって $x = -3, 2$。

中文翻译　题目：解方程 $|x - 1| + |x + 2| = 5$。解答：零点是 $x = -2$ 和 $x = 1$，所以分三种情况。当 $x < -2$ 时，$-(x - 1) - (x + 2) = 5$，即 $-2x - 1 = 5$，得 $x = -3$。它满足 $x < -2$。当 $-2 \leqq x < 1$ 时，$-(x - 1) + (x + 2) = 3 \ne 5$，无解。当 $x \geqq 1$ 时，$(x - 1) + (x + 2) = 5$，即 $2x + 1 = 5$，得 $x = 2$。它满足 $x \geqq 1$。所以 $x = -3, 2$。

解说　另一种解法：$|x - 1| + |x + 2|$ 是点 $x$ 到 $1$ 和到 $-2$ 的距离之和。$x$ 在 $-2$ 和 $1$ 之间时和恒为 $3$；$x$ 每往外走 $1$，和增加 $2$。要和为 $5$，需往外走 $1$：$x = 1 + 1 = 2$ 或 $x = -2 - 1 = -3$。看图也一样：折线和直线 $y = 5$ 的交点。距离法几秒钟就出答案，适合填空；系数不是 $1$（如 $|2x - 1| + |x + 3|$）时距离不好看，还是分段稳妥。

例 3　（场景：绝对值另一边含 $x$）

問題　不等式 $|x - 2| < 2x - 1$ を解け。

解答　$|A| < B \iff -B < A < B$ を用いると $-(2x - 1) < x - 2 < 2x - 1$。 左側 $-2x + 1 < x - 2$ より $x > 1$，右側 $x - 2 < 2x - 1$ より $x > -1$。共通部分は $x > 1$。

中文翻译　题目：解不等式 $|x - 2| < 2x - 1$。解答：由 $|A| < B \iff -B < A < B$，得 $-(2x - 1) < x - 2 < 2x - 1$。左边 $-2x + 1 < x - 2$ 得 $x > 1$，右边 $x - 2 < 2x - 1$ 得 $x > -1$。公共部分是 $x > 1$。

解说　另一种解法：按 $x - 2$ 的符号分两段。$x \geqq 2$ 时 $x - 2 < 2x - 1$，$x > -1$，与 $x \geqq 2$ 合起来是 $x \geqq 2$；$x < 2$ 时 $2 - x < 2x - 1$，$x > 1$，合起来是 $1 < x < 2$。两段合并得 $x > 1$。等价变形一步到位、不用合并；分段法虽然长，但不必记公式，绝对值不止一个时只能用它。

例 4　（场景：整数解个数含参数）

問題　連立不等式 $5x - 7 > 2x + 2$，$x < a$ の整数解がちょうど $3$ 個であるとき，$a$ の値の範囲を求めよ。

解答　$5x - 7 > 2x + 2$ より $3x > 9$，すなわち $x > 3$。よって解は $3 < x < a$ である。

整数解がちょうど $3$ 個であるから，それは $4$，$5$，$6$ でなければならない。したがって $6$ は範囲に含まれ，$7$ は含まれない。

$6 < a$（$a = 6$ のとき $x < 6$ となり，$6$ が入らないので整数解は $2$ 個）。

$a \leqq 7$（$a = 7$ のとき整数解は $4$，$5$，$6$ の $3$ 個。$a > 7$ だと $7$ も入る）。

よって $6 < a \leqq 7$。

中文翻译　题目：当连立不等式 $5x - 7 > 2x + 2$、$x < a$ 的整数解恰好有 $3$ 个时，求 $a$ 的取值范围。解答：由 $5x - 7 > 2x + 2$ 得 $3x > 9$，即 $x > 3$。所以解是 $3 < x < a$。整数解恰好有 $3$ 个，只能是 $4$、$5$、$6$，所以 $6$ 在范围内、$7$ 不在范围内。$6 < a$（$a = 6$ 时 $x < 6$，$6$ 不在内，只有 $2$ 个整数解）。$a \leqq 7$（$a = 7$ 时整数解是 $4$、$5$、$6$，正好 $3$ 个；$a > 7$ 时 $7$ 也会进来）。所以 $6 < a \leqq 7$。

解说　容易卡在：端点的等号。办法是把 $a = 6$、$a = 7$ 分别代回原不等式，直接数整数。$a = 6$ 时 $x < 6$，$6$ 取不到；$a = 7$ 时 $x < 7$，$7$ 取不到但 $6$ 在，所以左端不带等号、右端带等号。

常用推论

• $|x - a| + |x - b|$ 的最小值是 $|a - b|$，在 $x$ 位于 $a$、$b$ 之间（含端点）时取到。推导：两段距离之和不小于两点之间的距离（例 2 的图）。所以 $|x - a| + |x - b| = k$ 在 $k < |a - b|$ 时无解，$k = |a - b|$ 时解是整段，$k > |a - b|$ 时恰有两个解。
• 三角不等式 $|a + b| \le |a| + |b|$，等号仅当 $ab \ge 0$。证明见本书第 10 章（等式与不等式的证明）。
• $|x - p| < c$ 的解是以 $p$ 为中心、半宽为 $c$ 的范围；反过来，$m < x < M$ 可以写成 $\left| x - \dfrac{m + M}{2} \right| < \dfrac{M - m}{2}$。
• 含参的 $ax > b$：系数 $a$ 的符号决定不等号方向，$a = 0$ 单独讨论。

易错点

• 错在哪：解 $|x + 1| + |x - 2| = 1$，$x < -1$ 段得 $-2x + 1 = 1$，$x = 0$；$x \ge 2$ 段得 $2x - 1 = 1$，$x = 1$；于是答 $x = 0, 1$。 为什么错：$x = 0$ 不在 $x < -1$ 里，$x = 1$ 不在 $x \ge 2$ 里。每一段去掉绝对值的方式只在这一段成立，解出范围外的值说明这一段无解。实际上到 $-1$ 和 2 的距离之和至少是 3，不可能等于 1。 正确做法：每一段解完都对照这一段的范围，不在的舍去。本题无解。
• 错在哪：$|x - 3| = 2x$ 解出 $x - 3 = 2x$ 得 $x = -3$，和 $x - 3 = -2x$ 得 $x = 1$，两个都写上。 为什么错：$|A| = B$ 要求 $B \ge 0$。$x = -3$ 时右边 $2x = -6 < 0$，不可能等于绝对值。 正确做法：加上 $2x \ge 0$ 的条件，只有 $x = 1$。
• 错在哪：$ax > 3$ 直接写 $x > \dfrac{3}{a}$。 为什么错：$a$ 可能是负数或 0。 正确做法：分 $a > 0$（$x > \dfrac{3}{a}$）、$a < 0$（$x < \dfrac{3}{a}$）、$a = 0$（$0 > 3$ 不成立，无解）三种情况。
• 错在哪：例 4 写成 $6 \le a < 7$。 为什么错：把”$x \le a$“和”$x < a$“弄混了。$x < a$ 时，$a = 6$ 取不到 6，$a = 7$ 恰好不含 7。 正确做法：端点值代回原不等式数一数，得 $6 < a \le 7$。

直观理解

绝对值就是距离：$|x - 2| < 3$ 读作”$x$ 到 2 的距离小于 3”，答案是以 2 为中心、左右各 3 的范围 $-1 < x < 5$。多个绝对值之和是“到几个点的距离之和”，图像是一条折线，拐点在各个零点处。

$y = |A|$ 的图像是把 $y = A$ 在 $x$ 轴下方的部分翻上去。解 $|A| < B$ 就是看折线在直线下方的那一段。

关联知识点

• 前置：3.4 节绝对值的定义；国内书第 3 章 3.2 节不等式的性质（乘负数变号）。
• 国内书第 5 章 5.5 节：含绝对值的函数是分段函数，例题里求过 $y = |x - 1| + |x + 2|$ 的值域，本节反过来解方程。
• 后续：本书第 5 章 2次関数 有含绝对值的二次函数图像（如 $y = |x^2 - 4|$）；本书第 10 章 证明三角不等式；本书第 11 章 図形と方程式 用不等式表示领域。
• 本书第 4 章 集合と命題：不等式的解集、“かつ”“または”的处理与集合的交、并一致。

3.7 题型与答法

EJU 的“数と式”很少单独成一道大问，在コース1 里多作为大问 Ⅱ 的問1 出现：2017 年第 1 回（含绝对值的方程）、2017 年第 2 回和 2018 年第 2 回（有理化后求值）、2019 年第 1 回（有理化后求整数）、2020 年第 2 回（整数部分与小数部分）、2021 年第 1 回（实数大小比较与有理化）都是这一类。コース2 的大问 Ⅰ、Ⅱ 多考 2 次関数、数列等，“数と式”只作为计算工具出现。和它一起考的通常是 2 次関数（先因式分解再求交点或解不等式）、集合と命題（解集的包含关系）。

誘導的典型骨架：

• 根号与对称式：(1) 分母有理化，求 $x + y$、$xy$ →(2) 求 $x^2 + y^2$、$x^3 + y^3$ →(3) 求整数部分、小数部分，再用小数部分算一个式子的值。
• 因式分解：(1) 二次三项式たすき掛け →(2) 二元二次式按一个字母整理 →(3) 结合二重根号或代值计算。
• 绝对值：(1) $|ax + b| < c$ 的解 →(2) 两个绝对值的方程 →(3) 和另一个不等式联立，求整数解个数或参数范围。

填涂提醒：结果按题干的形式填，分母有理化、根号内最小（本书第 2 章）；负数占两格以上时第一格填「－」；不等式的解端点是负数时同样占格；因式分解的格子按题干给出的顺序和符号填。

問題 1　（根号・対称式・整数部分）

$$x = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}, \qquad y = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$$

とする。

(1) $x + y = \fbox{A}$，$xy = \fbox{B}$ である。

(2) $x^2 + y^2 = \fbox{CD}$，$x^3 + y^3 = \fbox{EFG}$ である。

(3) $x$ の整数部分は $\fbox{H}$ であり，小数部分を $b$ とすると $b = \dfrac{\sqrt{\fbox{IJ}} - \fbox{K}}{\fbox{L}}$ である。また，$b^2 + 3b = \fbox{M}$ である。

解答　(1) 分母を有理化すると $x = \dfrac{(\sqrt{7} + \sqrt{3})^2}{7 - 3} = \dfrac{10 + 2\sqrt{21}}{4} = \dfrac{5 + \sqrt{21}}{2}$，$y = \dfrac{5 - \sqrt{21}}{2}$。 よって $x + y = 5$，$xy = \dfrac{25 - 21}{4} = 1$。

(2) $x^2 + y^2 = 5^2 - 2 \times 1 = 23$，$x^3 + y^3 = 5^3 - 3 \times 1 \times 5 = 110$。

(3) $16 < 21 < 25$ より $4 < \sqrt{21} < 5$ であるから $\dfrac{9}{2} < x < 5$ であり，整数部分は $4$。小数部分は $b = \dfrac{5 + \sqrt{21}}{2} - 4 = \dfrac{\sqrt{21} - 3}{2}$。 $2b + 3 = \sqrt{21}$ の両辺を $2$ 乗すると $4b^2 + 12b + 9 = 21$，よって $b^2 + 3b = 3$。

したがって $\fbox{A} = 5$，$\fbox{B} = 1$，$\fbox{CD} = 2, 3$，$\fbox{EFG} = 1, 1, 0$，$\fbox{H} = 4$，$\fbox{IJ} = 2, 1$，$\fbox{K} = 3$，$\fbox{L} = 2$，$\fbox{M} = 3$ である。

中文翻译　题目：设 $x = \dfrac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$，$y = \dfrac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$。（1）$x + y = \fbox{A}$，$xy = \fbox{B}$。（2）$x^2 + y^2 = \fbox{CD}$，$x^3 + y^3 = \fbox{EFG}$。（3）$x$ 的整数部分是 $\fbox{H}$；设小数部分为 $b$，则 $b = \dfrac{\sqrt{\fbox{IJ}} - \fbox{K}}{\fbox{L}}$，且 $b^2 + 3b = \fbox{M}$。解答：（1）分母有理化，得 $x = \dfrac{(\sqrt{7} + \sqrt{3})^2}{7 - 3} = \dfrac{10 + 2\sqrt{21}}{4} = \dfrac{5 + \sqrt{21}}{2}$，$y = \dfrac{5 - \sqrt{21}}{2}$。所以 $x + y = 5$，$xy = \dfrac{25 - 21}{4} = 1$。（2）$x^2 + y^2 = 5^2 - 2 \times 1 = 23$，$x^3 + y^3 = 5^3 - 3 \times 1 \times 5 = 110$。（3）由 $16 < 21 < 25$ 得 $4 < \sqrt{21} < 5$，所以 $\dfrac{9}{2} < x < 5$，整数部分是 $4$。小数部分 $b = \dfrac{5 + \sqrt{21}}{2} - 4 = \dfrac{\sqrt{21} - 3}{2}$。把 $2b + 3 = \sqrt{21}$ 两边平方，得 $4b^2 + 12b + 9 = 21$，所以 $b^2 + 3b = 3$。因此 $\fbox{A} = 5$，$\fbox{B} = 1$，$\fbox{CD} = 2, 3$，$\fbox{EFG} = 1, 1, 0$，$\fbox{H} = 4$，$\fbox{IJ} = 2, 1$，$\fbox{K} = 3$，$\fbox{L} = 2$，$\fbox{M} = 3$。

解说　两分钟做法：先有理化求 $x + y$、$xy$，后面所有对称式都从这两个数出发；$x^2 + y^2$ 用平方减 $2$ 倍积，$x^3 + y^3$ 用立方减 $3$ 倍积乘和。空格判断：$\fbox{B} = 1$ 系数是 $1$ 也要填；$\fbox{CD} = 2, 3$ 是两位数；$\fbox{EFG} = 1, 1, 0$ 是三位数，$110$ 的每一位都要占格；$\fbox{H} = 4$ 因为 $\sqrt{21}$ 夹在 $4$ 和 $5$ 之间；$\fbox{IJ} = 2, 1$，$\fbox{K} = 3$，$\fbox{L} = 2$；$\fbox{M} = 3$ 用 $2b + 3 = \sqrt{21}$ 平方，比直接代入快。

問題 2　（因数分解・二重根号）

(1) $6x^2 + xy - 12y^2$ を因数分解すると $(\fbox{A}\,x + \fbox{B}\,y)(\fbox{C}\,x - \fbox{D}\,y)$ である。ただし，$\fbox{A} < \fbox{C}$ とする。

(2) $2x^2 - xy - y^2 - 7x + y + 6$ を因数分解すると $(2x + y - \fbox{E})(x - y - \fbox{F})$ である。

(3) $\sqrt{12 - 6\sqrt{3}}$ の二重根号をはずすと $\fbox{G} - \sqrt{\fbox{H}}$ であり，その逆数は $\dfrac{\fbox{I} + \sqrt{\fbox{J}}}{\fbox{K}}$ である。

解答　(1) $y$ を定数とみて $x$ についてたすき掛けする。$6 = 2 \times 3$，$-12y^2 = 3y \times (-4y)$ で，$2 \times (-4y) + 3 \times 3y = y$ となるから $6x^2 + xy - 12y^2 = (2x + 3y)(3x - 4y)$。 よって $\fbox{A} = 2$，$\fbox{B} = 3$，$\fbox{C} = 3$，$\fbox{D} = 4$。

(2) $x$ について降べきの順に整理すると $2x^2 - (y + 7)x - (y^2 - y - 6)$。 定数項部分は $-(y^2 - y - 6) = -(y - 3)(y + 2) = (y - 3)(-y - 2)$ である。左列 $2$，$1$，中列 $y - 3$，$-y - 2$ でたすき掛けすると，$2(-y - 2) + (y - 3) = -y - 7$ となり一次の項の係数に一致する。よって $2x^2 - xy - y^2 - 7x + y + 6 = (2x + y - 3)(x - y - 2)$。 したがって $\fbox{E} = 3$，$\fbox{F} = 2$。

(3) $6\sqrt{3} = 2\sqrt{27}$ であり，和が $12$，積が $27$ である $2$ 数は $9$ と $3$ であるから $\sqrt{12 - 6\sqrt{3}} = \sqrt{12 - 2\sqrt{27}} = \sqrt{9} - \sqrt{3} = 3 - \sqrt{3}$。 その逆数は $\dfrac{1}{3 - \sqrt{3}} = \dfrac{3 + \sqrt{3}}{9 - 3} = \dfrac{3 + \sqrt{3}}{6}$。 したがって $\fbox{G} = 3$，$\fbox{H} = 3$，$\fbox{I} = 3$，$\fbox{J} = 3$，$\fbox{K} = 6$ である。

中文翻译　题目：（1）把 $6x^2 + xy - 12y^2$ 因式分解，得 $(\fbox{A}\,x + \fbox{B}\,y)(\fbox{C}\,x - \fbox{D}\,y)$，其中 $\fbox{A} < \fbox{C}$。（2）把 $2x^2 - xy - y^2 - 7x + y + 6$ 因式分解，得 $(2x + y - \fbox{E})(x - y - \fbox{F})$。（3）去掉 $\sqrt{12 - 6\sqrt{3}}$ 的二重根号得 $\fbox{G} - \sqrt{\fbox{H}}$，它的倒数是 $\dfrac{\fbox{I} + \sqrt{\fbox{J}}}{\fbox{K}}$。解答：（1）把 $y$ 当作常数，对 $x$ 做十字相乘：$6 = 2 \times 3$，$-12y^2 = 3y \times (-4y)$，且 $2 \times (-4y) + 3 \times 3y = y$，所以 $6x^2 + xy - 12y^2 = (2x + 3y)(3x - 4y)$。因此 $\fbox{A} = 2$，$\fbox{B} = 3$，$\fbox{C} = 3$，$\fbox{D} = 4$。（2）按 $x$ 降幂整理，得 $2x^2 - (y + 7)x - (y^2 - y - 6)$。常数项部分 $-(y^2 - y - 6) = -(y - 3)(y + 2) = (y - 3)(-y - 2)$。左列 $2$、$1$，中列 $y - 3$、$-y - 2$，十字相乘得 $2(-y - 2) + (y - 3) = -y - 7$，正好是一次项系数。所以 $2x^2 - xy - y^2 - 7x + y + 6 = (2x + y - 3)(x - y - 2)$。因此 $\fbox{E} = 3$，$\fbox{F} = 2$。（3）$6\sqrt{3} = 2\sqrt{27}$，和为 $12$、积为 $27$ 的两个数是 $9$ 和 $3$，所以 $\sqrt{12 - 6\sqrt{3}} = \sqrt{12 - 2\sqrt{27}} = \sqrt{9} - \sqrt{3} = 3 - \sqrt{3}$。它的倒数是 $\dfrac{1}{3 - \sqrt{3}} = \dfrac{3 + \sqrt{3}}{9 - 3} = \dfrac{3 + \sqrt{3}}{6}$。因此 $\fbox{G} = 3$，$\fbox{H} = 3$，$\fbox{I} = 3$，$\fbox{J} = 3$，$\fbox{K} = 6$。

解说　两分钟做法：先看题干给出的因式形式，再按它的顺序填。空格判断：$\fbox{A} = 2$、$\fbox{C} = 3$ 受 $\fbox{A} < \fbox{C}$ 限制；题干已写 $(\fbox{A}x + \fbox{B}y)(\fbox{C}x - \fbox{D}y)$，减号固定，所以 $\fbox{D}$ 只填 $4$。二重根号 $\fbox{G}$ 要把 $\sqrt{9}$ 化成整数 $3$；逆数的分子 $3 + \sqrt{3}$ 与分母 $6$ 没有公因数，$\fbox{K} = 6$。

問題 3　（絶対値を含む方程式・不等式）

(1) 不等式 $|2x - 5| \leqq 3$ の解は $\fbox{A} \leqq x \leqq \fbox{B}$ である。

(2) 方程式 $|x + 1| + |x - 3| = 6$ の解は $x = \fbox{CD}$，$\fbox{E}$ である。

(3) 連立不等式

$$\lvert x - 2 \rvert < 3, \qquad x > a$$

を満たす整数 $x$ がちょうど 2 個となるような定数 $a$ の値の範囲は $\fbox{F} \leqq a < \fbox{G}$ である。

解答　(1) $-3 \leqq 2x - 5 \leqq 3$ より $2 \leqq 2x \leqq 8$，すなわち $1 \leqq x \leqq 4$。よって $\fbox{A} = 1$，$\fbox{B} = 4$。

(2) 零点は $-1$ と $3$ である。$x < -1$ のとき $-2x + 2 = 6$ より $x = -2$（範囲内）。$-1 \leqq x < 3$ のとき左辺は常に $4$ で，解はない。$x \geqq 3$ のとき $2x - 2 = 6$ より $x = 4$（範囲内）。よって $x = -2, 4$ であり，$\fbox{CD}$ には「－」と「2」，$\fbox{E}$ には $4$ を入れる。

(3) $|x - 2| < 3$ の解は $-1 < x < 5$ であり，その中の整数は $0, 1, 2, 3, 4$ である。これに $x > a$ を加えて整数がちょうど $2$ 個になるのは，それが $3$ と $4$ のときである。よって $3$ は含まれ，$2$ は含まれないから，$a < 3$ かつ $a \geqq 2$ である。端点を検討すると，$a = 2$ のとき $2 < x < 5$ で整数は $3, 4$ の $2$ 個，$a = 3$ のとき整数は $4$ だけである。よって $2 \leqq a < 3$ であり，$\fbox{F} = 2$，$\fbox{G} = 3$ である。

中文翻译　题目：（1）不等式 $|2x - 5| \leqq 3$ 的解是 $\fbox{A} \leqq x \leqq \fbox{B}$。（2）方程 $|x + 1| + |x - 3| = 6$ 的解是 $x = \fbox{CD}$ 和 $\fbox{E}$。（3）使满足连立不等式 $|x - 2| < 3$、$x > a$ 的整数 $x$ 恰有 2 个的常数 $a$ 的取值范围是 $\fbox{F} \leqq a < \fbox{G}$。解答：（1）$-3 \leqq 2x - 5 \leqq 3$，所以 $2 \leqq 2x \leqq 8$，即 $1 \leqq x \leqq 4$。因此 $\fbox{A} = 1$，$\fbox{B} = 4$。（2）零点是 $-1$ 和 $3$。当 $x < -1$ 时，$-2x + 2 = 6$，得 $x = -2$，在范围内。当 $-1 \leqq x < 3$ 时，左边恒为 $4$，无解。当 $x \geqq 3$ 时，$2x - 2 = 6$，得 $x = 4$，在范围内。所以 $x = -2, 4$，$\fbox{CD}$ 填「－」和「2」，$\fbox{E}$ 填 $4$。（3）$|x - 2| < 3$ 的解是 $-1 < x < 5$，其中的整数是 $0, 1, 2, 3, 4$。再加上 $x > a$，整数恰有 $2$ 个，只能是 $3$ 和 $4$，所以 $3$ 在内、$2$ 不在内：$a < 3$ 且 $a \geqq 2$。检验端点：$a = 2$ 时 $2 < x < 5$，整数是 $3$、$4$，恰 $2$ 个；$a = 3$ 时只剩 $4$。所以 $2 \leqq a < 3$，$\fbox{F} = 2$，$\fbox{G} = 3$。

解说　两分钟做法：绝对值先拆成夹逼或两侧，两个绝对值先找零点分段。空格判断：$\fbox{CD}$ 是负数解 $-2$，负号占一格；$\fbox{F} = 2$ 要取等号（$a = 2$ 时整数 $3$、$4$ 恰 $2$ 个），$\fbox{G} = 3$ 不取等号（$a = 3$ 时只剩 $4$）。端点代回数整数是最稳的检查。

3.8 术语与题干用语

日文	读音	中文	例句或说明
式の計算	しきのけいさん	式的运算	シラバスの中項目名
多項式	たこうしき	多项式
単項式	たんこうしき	单项式
同類項	どうるいこう	同类项	「同類項をまとめる」
次数	じすう	次数	「$x$ について 2 次の式」
係数	けいすう	系数	「$x$ の係数」
定数項	ていすうこう	常数项
降べきの順	こうべきのじゅん	降幂排列	「$x$ について降べきの順に整理する」
整理する	せいりする	整理（按某字母排列）	「$a$ について整理すると」
展開	てんかい	展开	「$(a + b)^3$ を展開せよ」
乗法公式	じょうほうこうしき	乘法公式
因数分解	いんすうぶんかい	因式分解	「次の式を因数分解せよ」
共通因数	きょうつういんすう	公因式	「共通因数をくくり出す」
たすき掛け	たすきがけ	十字相乘法
置き換え	おきかえ	换元	「$x^2 + 3x = t$ とおく」
複2次式	ふくにじしき	双二次式	$x^4 + px^2 + q$
対称式	たいしょうしき	对称式
基本対称式	きほんたいしょうしき	基本对称式	$x + y$，$xy$
交代式	こうたいしき	交代式（反对称式）	$(a - b)(b - c)(c - a)$
輪環の順	りんかんのじゅん	轮换顺序 $a \to b \to c \to a$	「輪環の順に整理する」；按这个顺序换字母后不变的式子，本书叫轮换式
実数	じっすう	实数
有理数	ゆうりすう	有理数
無理数	むりすう	无理数	「$\sqrt{2}$ は無理数である」
有限小数	ゆうげんしょうすう	有限小数
循環小数	じゅんかんしょうすう	循环小数	「循環小数を分数で表せ」
絶対値	ぜったいち	绝对值
根号	こんごう	根号	「根号を含む式の計算」
平方根	へいほうこん	平方根
分母の有理化	ぶんぼのゆうりか	分母有理化	「分母を有理化せよ」
二重根号	にじゅうこんごう	二重根号	「二重根号をはずす」
整数部分	せいすうぶぶん	整数部分	「$x$ の整数部分を $a$ とする」
小数部分	しょうすうぶぶん	小数部分	「小数部分を $b$ とする」
逆数	ぎゃくすう	倒数	「その逆数は」
1次不等式	いちじふとうしき	一元一次不等式
連立不等式	れんりつふとうしき	不等式组
場合分け	ばあいわけ	分情况讨论	「$x$ の値の範囲で場合分けする」
かつ	かつ	且	「$x > 3$ かつ $x < a$」
または	または	或	「$x < -1$ または $x > 4$」
〜を満たす	〜をみたす	满足……	「不等式を満たす整数 $x$」
ちょうど〜個	ちょうど〜こ	恰好……个	「ちょうど 3 個となるような $a$」
値の範囲	あたいのはんい	取值范围	「$a$ の値の範囲を求めよ」
〜を簡単にせよ	〜をかんたんにせよ	化简……	「$\sqrt{(a - 2)^2}$ を簡単にせよ」
〜とおく	〜とおく	设……为	「$x + y = s$ とおく」
解	かい	解	「方程式の解」「不等式の解」

3.9 自测

1. 因式分解 $6x^2 - 11x - 10$。
2. 因式分解 $x^2 + 3xy + 2y^2 + 2x + y - 3$。
3. 因式分解 $x^4 + x^2 + 1$。
4. $x + y = 4$，$xy = 2$，求 $x^3 + y^3$。
5. $a + b + c = 2$，$a^2 + b^2 + c^2 = 10$，求 $ab + bc + ca$。
6. 把 $0.\dot{2}\dot{7}$ 化成既约分数。
7. 化简 $\sqrt{9 + 4\sqrt{5}}$。
8. $\dfrac{1}{2 - \sqrt{3}}$ 的小数部分为 $b$，求 $b^2 + 2b$。
9. 解不等式 $|3x + 1| > 5$。
10. 解方程 $|x - 3| = 2x$。
11. 连立不等式 $x > 2$，$x \le a$ 的整数解恰有 4 个，求 $a$ 的范围。

答案：1. $(2x - 5)(3x + 2)$；2. $(x + y - 1)(x + 2y + 3)$；3. $(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$；4. 40；5. $-3$；6. $\dfrac{3}{11}$；7. $2 + \sqrt{5}$；8. 2；9. $x < -2$ 或 $x > \dfrac{4}{3}$；10. $x = 1$；11. $6 \le a < 7$。

3.10 深入阅读

• JASSO · 日本留学試験 数学シラバス：官方出题范围原文，第 1 项「数と式」列出本章的全部小项目。
• 维基百科（日文）· 因数分解：因数分解的日文术语和各种公式，查たすき掛け以外的分解方法时用。
• 维基百科（日文）· 絶対値：绝对值的定义、性质和三角不等式的日文说法。
• 高校数学の美しい物語：日本长期维护的高中数学学习站，可按关键词搜「二重根号」「対称式」「たすき掛け」看日文讲解和例题。