第 4 章 · 集合と命題

项目	内容
シラバス项目	2. 集合と命題（数学Ⅰ）：(1) 集合、(2) 命題と条件
コース	コース1、コース2 都考
国内书对应	国内书第 1 章 集合、第 2 章 常用逻辑用语
本章新内容的分量	集合部分只差记号；命题部分差得多：逆・裏・対偶、背理法、“かつ・または”的否定在人教 A 版（2019）里没有单列的小节，必要条件・十分条件的日式问法也要专门适应

国内学过集合的交、并、补，学过充分条件、必要条件和含量词命题的否定。EJU 在此之外还要用到三样国内新课标不再单讲的东西：逆・裏・対偶（旧教材的逆命题、否命题、逆否命题）、背理法（反证法）、“かつ・または”的否定。丢分主要丢在四处：把日本的 $A \subset B$ 当成真子集，“〜であるための必要条件”的方向读反，写裏和対偶时“かつ”忘了变“または”，选择型空格涂成了选项内容而不是编号。

4.1 与国内的对照

シラバス小项目（日文原文）	国内书位置	相同 / 讲法不同 / 国内没有	本章哪节讲
(1) 集合	国内书第 1 章 1.2–1.4 节	相同，记号不同：补集写 $\overline{A}$，子集写 $A \subset B$（含相等），元素个数写 $n(A)$，数集不用区间	4.2
(2) 命題と条件：命題の真偽、条件と集合	国内书第 2 章 2.2 节	讲法不同：日本把“命題”和含变量的“条件”分开讲，用“真理集合”判断真伪	4.3
(2) 命題と条件：条件の否定（かつ・または、すべて・ある）	国内书第 2 章 2.5 节（量词的否定）；“且”“或”的否定只在表里带过	讲法不同：日本把“かつ・または”的否定（ド・モルガンの法則）作为正课，否定写 $\overline{p}$	4.3
(2) 命題と条件：必要条件と十分条件	国内书第 2 章 2.2、2.3 节	概念相同，问法不同：EJU 用”〜であるための〜条件“的句型和 ⓪〜③ 选择型空格	4.4
(2) 命題と条件：逆・裏・対偶	无（人教 A 版 2019 删去了四种命题）	国内没有	4.5
(2) 命題と条件：対偶を利用した証明、背理法	国内书只在别的章的证明里顺带用到反证法	国内没有系统讲	4.5、4.6

シラバス第 2 项只写了”(1) 集合”“(2) 命題と条件”两行，上表把 (2) 按日本数学Ⅰ教科书的通行内容拆开，方便和国内书逐条对。

本章五个知识点：先把集合的日式记号对齐（4.2），再学“条件”和它的否定（4.3）；必要・十分（4.4）和逆・裏・対偶（4.5）都建立在“条件对应集合”上；背理法（4.6）和対偶证明是两种间接证明，常放在一起比较。

4.2 集合の記号と補集合

说明

集合的概念、交、并、补和国内完全相同（国内书第 1 章）。不同的是写法，EJU 题干照日本教科书写：

内容	日本（EJU）	读法	国内
$a$ 属于 $A$	$a \in A$	a は A の要素である，A に属する	同
$A$ 是 $B$ 的子集	$A \subset B$（包括 $A = B$）	A は B の部分集合である	$A \subseteq B$
真子集	可写”$A \subset B$ かつ $A \ne B$”	真部分集合	$A \subsetneqq B$
空集	$\varnothing$	空集合	同
交集	$A \cap B$	共通部分，A かつ B	同
并集	$A \cup B$	和集合，A または B	同
补集	$\overline{A}$（全集 $U$ 由题目先给出）	A の補集合，A バー	$\complement_U A$
元素个数	$n(A)$	A の要素の個数	$\mathrm{card}(A)$
数的范围	$\{x \mid -1 < x \leqq 3\}$		$(-1, 3]$

几点要特别记住：

• $\subset$ 在日本包括相等。$A = B$ 时 $A \subset B$ 也成立。国内读者看到 $\subset$ 容易当成真子集。
• 补集写成上划线 $\overline{A}$。题目开头会说“全体集合を $U$ とする”，之后 $\overline{A}$ 都是相对这个 $U$ 的。
• 数集不用区间。EJU 的题干没有 $(-1, 3]$ 这种写法，一律写不等式，不等号用 $\leqq$、$\geqq$。
• 交、并在日文里叫“共通部分”“和集合”，不叫“交集”“并集”。

ド・モルガンの法則（德摩根律）用日式记号写：

$$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}, \qquad \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}.$$

还有 $\overline{\overline{A}} = A$，$A \cap \overline{A} = \varnothing$，$A \cup \overline{A} = U$。

使用场景

• 题目用 $\overline{A}$、$n(A)$ 给出有限集，问某一块的元素或个数：先换成自己熟悉的说法，画 Venn 图逐块填。
• 题目出现 $\overline{A} \cap \overline{B}$、$\overline{A} \cup \overline{B}$ 这种“补集再交并”：用ド・モルガン化成一个补集，往往只要算 $n(A \cup B)$ 或 $n(A \cap B)$。
• 数集用 $\{x \mid \dots\}$ 写，问 $A \cap \overline{B}$ 之类：画数轴，补集的端点开闭互换。
• 已知 $A \subset B$（日式记号）求参数：按“可以相等”处理，端点不等式带等号。

注意点

• 读题时把 $A \subset B$ 一律理解成国内的 $A \subseteq B$。题目真要真子集时会明写”$A \ne B$“。
• $\overline{A}$ 一定要知道全集 $U$ 是什么。同一个 $A$，$U$ 不同，$\overline{A}$ 也不同。
• 涉及元素个数的题（$n(A \cup B)$、$n(\overline{A})$）在シラバス里归第 5 项“場合の数”，本书第 7 章还会用到。
• EJU 题干的说法：「全体集合を $U$ とする」「$A$ の補集合を $\overline{A}$ で表す」「$A \cap \overline{B}$ の要素の個数は」「$A \subset B$ となるような $a$ の値の範囲は」。

证明

结论 1：ド・モルガンの法則（国内书第 1 章 1.4 节有逐个元素的证明，这里用条件的语言再写一遍，4.3 节要用）。

$x \in \overline{A \cup B}$ $\iff$ “$x \in A$ または $x \in B$“不成立 $\iff$ $x \notin A$ かつ $x \notin B$（关键一步：“两件事至少一件成立”的否定是“两件都不成立”） $\iff$ $x \in \overline{A}$ かつ $x \in \overline{B}$ $\iff$ $x \in \overline{A} \cap \overline{B}$。

另一个同理。

结论 2：$n(\overline{A}) = n(U) - n(A)$。 $A$ 和 $\overline{A}$ 没有公共元素，合起来是 $U$，所以 $n(A) + n(\overline{A}) = n(U)$。

结论 3：$A \subset B \iff \overline{B} \subset \overline{A}$。 设 $A \subset B$，任取 $x \in \overline{B}$。若 $x \in A$，则由 $A \subset B$ 得 $x \in B$，和 $x \in \overline{B}$ 矛盾，所以 $x \notin A$，即 $x \in \overline{A}$。反过来，对 $\overline{B} \subset \overline{A}$ 用同样的论证，得 $\overline{\overline{A}} \subset \overline{\overline{B}}$，即 $A \subset B$。这个结论是 4.5 节“命题和対偶真假一致”的依据。

例题

例 1　（场景：有限集，用日式记号求某一块）

問題　全体集合を $U = \{1, 2, 3, \dots, 12\}$ とし，$U$ の部分集合 $A$，$B$ を $A = \{x \mid x \text{ は } 12 \text{ の約数}\}$，$B = \{x \mid x \text{ は偶数}\}$ とする。このとき，$\overline{A} \cap B$，$\overline{A \cup B}$，$\overline{A} \cup \overline{B}$ を求めよ。

解答　$A = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$，$B = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$ である。

(1) $B$ の要素のうち $A$ に属さないものは $8$，$10$ であるから，$\overline{A} \cap B = \{8, 10\}$。

(2) $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12\}$ であるから，$\overline{A \cup B} = \{5, 7, 9, 11\}$。

(3) ド・モルガンの法則より $\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}$ である。$A \cap B = \{2, 4, 6, 12\}$ であるから，$\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11\}$。

中文翻译　题目：设全集 $U = \{1, 2, 3, \dots, 12\}$，$A = \{x \mid x \text{ 是 } 12 \text{ 的约数}\}$，$B = \{x \mid x \text{ 是偶数}\}$。求 $\overline{A} \cap B$、$\overline{A \cup B}$、$\overline{A} \cup \overline{B}$。解答：$A = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$，$B = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$。（1）$B$ 中不属于 $A$ 的元素是 $8$、$10$，所以 $\overline{A} \cap B = \{8, 10\}$。（2）$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12\}$，所以 $\overline{A \cup B} = \{5, 7, 9, 11\}$。（3）由德摩根律 $\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}$。$A \cap B = \{2, 4, 6, 12\}$，所以 $\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11\}$。

解说　三个问分别练交集、补集再交、ド・モルガンの法則，在 Venn 图上就是三块不同的涂色。第 (3) 问先化成 $\overline{A \cap B}$，只要数出交集再取补集，比分别求 $\overline{A}$、$\overline{B}$ 再并起来快得多。注意 $\overline{A} \cup \overline{B}$ 有 $8$ 个元素，$2$、$4$、$6$、$12$ 都在 $A \cap B$ 里，不在答案中。

例 2　（场景：补集再交并，化成一个补集）

問題　$1$ から $100$ までの整数全体を全体集合 $U$ とし，$U$ の部分集合 $A$，$B$ を $A = \{x \mid x \text{ は } 3 \text{ の倍数}\}$，$B = \{x \mid x \text{ は } 4 \text{ の倍数}\}$ とする。このとき，$n(\overline{A} \cap \overline{B})$ を求めよ。

解答　ド・モルガンの法則より $\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$ であるから，$n(A \cup B)$ を求めればよい。

$100 = 3 \cdot 33 + 1$，$100 = 4 \cdot 25$，$100 = 12 \cdot 8 + 4$ であるから $n(A) = 33$，$n(B) = 25$，$n(A \cap B) = 8$。 よって $n(A \cup B) = 33 + 25 - 8 = 50$， したがって $n(\overline{A} \cap \overline{B}) = n(U) - n(A \cup B) = 100 - 50 = 50$。

中文翻译　题目：设 $1$ 到 $100$ 的整数全体为全集 $U$，$A = \{x \mid x \text{ 是 } 3 \text{ 的倍数}\}$，$B = \{x \mid x \text{ 是 } 4 \text{ 的倍数}\}$。求 $n(\overline{A} \cap \overline{B})$。解答：由德摩根律 $\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$，所以只要求 $n(A \cup B)$。因为 $100 = 3 \cdot 33 + 1$，$100 = 4 \cdot 25$，$100 = 12 \cdot 8 + 4$，所以 $n(A) = 33$，$n(B) = 25$，$n(A \cap B) = 8$。因此 $n(A \cup B) = 33 + 25 - 8 = 50$，所以 $n(\overline{A} \cap \overline{B}) = n(U) - n(A \cup B) = 100 - 50 = 50$。

解说　容易卡在：直接去数“既不是 3 的倍数也不是 4 的倍数”，越数越乱。先用ド・モルガン化成补集，再用容斥 $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$，一步就到。$A \cap B$ 是 12 的倍数，因为 3 和 4 互素。本题 $n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 50$ 恰好和 $n(A \cup B) = 50$ 相等，这是 $n(A \cup B)$ 正好等于 $n(U)$ 的一半造成的巧合，不是一般规律。

例 3　（场景：数集，补集的端点）

問題　全体集合を実数全体とする。$A = \{x \mid -2 < x \leqq 3\}$，$B = \{x \mid x > 1\}$ とするとき，$\overline{A}$，$A \cap \overline{B}$，$\overline{A} \cap B$ を求めよ。

解答　(1) $\overline{A}$ は $A$ に属さない実数全体である。$-2$ は $A$ に属さないから $\overline{A}$ に属し，$3$ は $A$ に属するから $\overline{A}$ に属さない。よって $\overline{A} = \{x \mid x \leqq -2 \text{ または } x > 3\}$。

(2) $\overline{B} = \{x \mid x \leqq 1\}$ であるから， $A \cap \overline{B} = \{x \mid -2 < x \leqq 1\}$。

(3) $\overline{A} \cap B$ は $x > 1$ かつ（$x \leqq -2$ または $x > 3$）を満たす実数全体である。$x > 1$ と $x \leqq -2$ は同時に成り立たないから， $\overline{A} \cap B = \{x \mid x > 3\}$。

中文翻译　题目：全集为实数全体。设 $A = \{x \mid -2 < x \leqq 3\}$，$B = \{x \mid x > 1\}$，求 $\overline{A}$、$A \cap \overline{B}$、$\overline{A} \cap B$。解答：（1）$\overline{A}$ 是不属于 $A$ 的实数全体。$-2$ 不属于 $A$，所以属于 $\overline{A}$；$3$ 属于 $A$，所以不属于 $\overline{A}$。因此 $\overline{A} = \{x \mid x \leqq -2 \text{ 或 } x > 3\}$。（2）$\overline{B} = \{x \mid x \leqq 1\}$，所以 $A \cap \overline{B} = \{x \mid -2 < x \leqq 1\}$。（3）$\overline{A} \cap B$ 是满足 $x > 1$ 且（$x \leqq -2$ 或 $x > 3$）的实数全体。$x > 1$ 与 $x \leqq -2$ 不能同时成立，所以 $\overline{A} \cap B = \{x \mid x > 3\}$。

解说　求补集时，每个端点的开闭都要反过来：$-2$ 处 $<$ 变 $\leqq$，$3$ 处 $\leqq$ 变 $>$。拿不准时画数轴，把 $A$、$B$、$\overline{A}$、$\overline{B}$ 各画一条，逐段取交。第 (3) 问只剩 $x > 3$，别把 $x \leqq -2$ 那一段并进去，它和 $x > 1$ 没有公共部分。

例 4　（场景：$A \subset B$ 求参数）

問題　$A = \{x \mid a \leqq x \leqq a + 3\}$，$B = \{x \mid -1 \leqq x \leqq 4\}$ とする。$A \subset B$ となるような $a$ の値の範囲を求めよ。

解答　$A$ は幅 $3$ の閉区間であり，$A \subset B$ となるためには，$A$ の左端が $B$ の左端以上で，右端が $B$ の右端以下であればよい。よって $a \geqq -1$ かつ $a + 3 \leqq 4$， すなわち $-1 \leqq a \leqq 1$。

中文翻译　题目：设 $A = \{x \mid a \leqq x \leqq a + 3\}$，$B = \{x \mid -1 \leqq x \leqq 4\}$。求使 $A \subset B$ 的 $a$ 的取值范围。解答：$A$ 是长度为 $3$ 的闭区间，要满足 $A \subset B$，只要 $A$ 的左端不小于 $B$ 的左端、右端不大于 $B$ 的右端即可。所以 $a \geqq -1$ 且 $a + 3 \leqq 4$，即 $-1 \leqq a \leqq 1$。

解说　两端都带等号：$a = -1$ 时 $A = \{x \mid -1 \leqq x \leqq 2\}$，仍是 $B$ 的子集；日本的 $\subset$ 允许端点重合，甚至允许 $A = B$。题目要真子集时会写 $A \ne B$。容易错写成 $-1 < a < 1$，那是把日本的 $\subset$ 当成了真子集。

常用推论

• $n(\overline{A}) = n(U) - n(A)$，$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = n(U) - n(A \cup B)$。推导见证明结论 2 和ド・モルガン。
• $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$（国内书第 1 章 1.4 节，国内写 $\mathrm{card}$）。
• $n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B)$：$A$ 分成“在 $B$ 里”和“不在 $B$ 里”两块。
• $A \subset B \iff A \cap B = A \iff A \cup B = B \iff \overline{B} \subset \overline{A}$。前三个见国内书第 1 章 1.4 节，最后一个见证明结论 3。

易错点

• 错在哪：例 4 写成 $-1 < a < 1$。 为什么错：把日本的 $A \subset B$ 当成了真子集，以为端点不能重合。 正确做法：$\subset$ 含相等，端点不等式带等号；题目要真子集时会写 $A \ne B$。
• 错在哪：$A = \{x \mid -2 < x \leqq 3\}$，写 $\overline{A} = \{x \mid x < -2 \text{ または } x \geqq 3\}$。 为什么错：$-2$ 不在 $A$ 里，应在补集里；3 在 $A$ 里，不应在补集里。 正确做法：求补集时每个端点的开闭都反过来：$<$ 变 $\geqq$，$\leqq$ 变 $>$。
• 错在哪：把 $\overline{A} \cap \overline{B}$ 当成 $\overline{A \cap B}$。 为什么错：$\overline{A} \cap \overline{B}$ 是两个圈外面的部分，$\overline{A \cap B}$ 是重叠部分以外的全部，后者大得多。 正确做法：上划线下面是“交”就变“并”，是“并”就变“交”：$\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$。

直观理解

在 Venn 图上，上划线就是“圈外面”。$\overline{A} \cap \overline{B}$ 是“既在 $A$ 外面、又在 $B$ 外面”，也就是两个圈都没盖到的地方；两个圈合起来盖到的地方是 $A \cup B$，没盖到的就是 $\overline{A \cup B}$。两种说法指同一块。

记号上可以这么记：上划线“断开”时，下面的 $\cup$ 和 $\cap$ 要互换，像把一根长横线剪成两段时，中间的符号翻个面。

关联知识点

• 前置：国内书第 1 章 1.3、1.4 节，子集、交并补、德摩根律和容斥原理，本节只换记号。
• 后续：4.3 节，“かつ・または”的否定就是ド・モルガン在条件上的说法。
• 后续：4.5 节，$A \subset B \iff \overline{B} \subset \overline{A}$ 是“命题与対偶真假一致”的依据。
• 后续：本书第 7 章 場合の数と確率，$n(A \cup B)$、$n(\overline{A})$ 在计数和“余事象”里反复用。
• 本书第 2 章：$\leqq$、$\geqq$ 等记号的写法。

4.3 命題と条件・条件の否定

说明

命題：真假能确定的式子或文章，如”$\sqrt{2}$ は無理数である”（真）、“$3 > 5$”（偽）。日语说“真”（しん）、“偽”（ぎ）。

条件：含变量、真假随变量取值而定的式子或文章，如”$x > 3$“。日本教科书把它和命题分开：条件本身不是命题，代入具体值或加上”すべての”“ある”后才成为命题。国内书没有专门区分这两个词。

真理集合：全集 $U$ 中使条件 $p$ 成立的元素全体，记作 $P$。条件 $p$、$q$ 的真理集合习惯用对应的大写字母 $P$、$Q$。

命题”$p$ ならば $q$“，写作 $p \Longrightarrow q$：

• 真，当且仅当 $P \subset Q$；
• 偽，只要举出一个反例（はんれい）：满足 $p$ 但不满足 $q$ 的一个元素。

条件的否定写作 $\overline{p}$（读“p バー”），真理集合是 $\overline{P}$。国内写 $\neg p$。否定的规则：

原条件	否定
$p$ かつ $q$	$\overline{p}$ または $\overline{q}$
$p$ または $q$	$\overline{p}$ かつ $\overline{q}$
すべての $x$ について $p$	ある $x$ について $\overline{p}$
ある $x$ について $p$	すべての $x$ について $\overline{p}$
$x > 0$	$x \leqq 0$
$x = 1$ かつ $y = 2$	$x \ne 1$ または $y \ne 2$
$x = 0$ または $y = 0$（即 $xy = 0$）	$x \ne 0$ かつ $y \ne 0$（即 $xy \ne 0$）
$x$，$y$ の少なくとも一方は正	$x$，$y$ はともに 0 以下

EJU 题干用文字表达全称和存在：全称说“すべての $x$ について”，存在说“ある $x$ について”；答案都填在格子里，用不到 $\forall$、$\exists$ 这类记号。注意日语的“ある”在这里是“某一个、存在”的意思，不是“有”，也不是“所有”。

使用场景

• 选择型空格问“条件 $p$ の否定”：按上表把“かつ・または”互换、“すべて・ある”互换，不等号取反。
• 条件里有“少なくとも”“ともに”“いずれも”：先改写成“かつ”“または”再否定。
• 判断命题”$p \Longrightarrow q$“的真偽：真的用真理集合的包含说明，偽的给一个反例。
• 已知“すべての $x$ について〜“为偽，或”ある $x$ について〜“为偽，求参数：先写出它的否定，变成否定为真时的问题。

注意点

• 否定“かつ”连接的条件时，每一部分都要否定，连接词也要改。只改一样是最常见的错。
• $>$ 的否定是 $\leqq$，等号不能丢；$=$ 的否定是 $\ne$。
• 题干说“ある $x$”，中文要译成“存在 $x$“或”某个 $x$“。
• 命题为偽只要一个反例；命题为真必须对所有情况说明，举例不算。
• EJU 题干的说法：「条件 $p$ の否定 $\overline{p}$ は」「次の命題の真偽を調べよ」「反例は」「少なくとも一方」「ともに」。

证明

结论 1：$\overline{p \text{ かつ } q}$ 与”$\overline{p}$ または $\overline{q}$“等价。 “$p$ かつ $q$“的真理集合是 $P \cap Q$，它的否定的真理集合是 $\overline{P \cap Q}$。由 4.2 节的ド・モルガン，$\overline{P \cap Q} = \overline{P} \cup \overline{Q}$，这正是”$\overline{p}$ または $\overline{q}$“的真理集合。（关键一步：条件之间的”かつ・または・否定“一一对应集合的”交・并・补”，所以集合的定律可以直接搬过来。）“または”的否定同理。

结论 2：“すべての $x$ について $p$“的否定是”ある $x$ について $\overline{p}$“。 证明见国内书第 2 章 2.5 节：前者说 $P = U$，否定说 $P \ne U$，即 $\overline{P}$ 里至少有一个元素。

结论 3：一个反例就能说明 $p \Longrightarrow q$ 为偽。 $p \Longrightarrow q$ 为真的意思是 $P \subset Q$，即 $P$ 的每个元素都在 $Q$ 里。只要有一个元素在 $P$ 里而不在 $Q$ 里，$P \subset Q$ 就不成立。

例题

例 1　（场景：かつ・または的否定）

問題　$x$，$y$ を実数とする。次の条件の否定を述べよ。

(1) $x > 2$ かつ $y \leqq 1$

(2) $x = 0$ または $y = 0$

解答　(1) 「かつ」を「または」に変え，各部分をそれぞれ否定する。 $x \leqq 2$ または $y > 1$。

(2) 「または」を「かつ」に変え，各部分をそれぞれ否定する。 $x \ne 0$ かつ $y \ne 0$。 これは $xy \ne 0$ と表すこともできる。

中文翻译　题目：设 $x$、$y$ 为实数，写出下列条件的否定。（1）$x > 2$ 且 $y \leqq 1$；（2）$x = 0$ 或 $y = 0$。解答：（1）把“且”改为“或”，各部分分别否定：$x \leqq 2$ 或 $y > 1$。（2）把“或”改为“且”，各部分分别否定：$x \ne 0$ 且 $y \ne 0$。也可以写成 $xy \ne 0$。

解说　否定“かつ”连接的条件时，每一部分都要否定，连接词也要改，只改一样是最常见的错。$>$ 的否定是 $\leqq$，等号不能丢；$=$ 的否定是 $\ne$。第 (2) 问的结果和”$xy = 0$ 的否定是 $xy \ne 0$“是同一件事。

例 2　（场景：少なくとも・ともに）

問題　次の条件の否定を述べよ。

(1) $a$，$b$ の少なくとも一方は無理数である。

(2) $a$，$b$，$c$ のうち少なくとも $1$ つは $1$ に等しい。

解答　(1) 「少なくとも一方は無理数」は「$a$ は無理数 または $b$ は無理数」である。その否定は「$a$ は有理数 かつ $b$ は有理数」，すなわち「$a$，$b$ はともに有理数である」。

(2) もとの条件は「$a = 1$ または $b = 1$ または $c = 1$」である。その否定は「$a \ne 1$ かつ $b \ne 1$ かつ $c \ne 1$」，すなわち「$a$，$b$，$c$ はいずれも $1$ に等しくない」。式で書くと $(a - 1)(b - 1)(c - 1) \ne 0$ である。

中文翻译　题目：写出下列条件的否定。（1）$a$、$b$ 中至少有一个是无理数；（2）$a$、$b$、$c$ 中至少有 $1$ 个等于 $1$。解答：（1）“至少一方是无理数”即”$a$ 是无理数或 $b$ 是无理数”。它的否定是”$a$ 是有理数且 $b$ 是有理数”，即”$a$、$b$ 都是有理数”。（2）原条件是”$a = 1$ 或 $b = 1$ 或 $c = 1$“。其否定是”$a \ne 1$ 且 $b \ne 1$ 且 $c \ne 1$“，即”$a$、$b$、$c$ 都不等于 $1$“。用式子写是 $(a - 1)(b - 1)(c - 1) \ne 0$。

解说　“少なくとも”的否定是“すべて〜でない／ともに〜でない”，不是“少なくとも〜でない”。“または”链的否定要把每个“または”都换成“かつ”，且各部分分别否定。第 (2) 问写成乘积形式可以省字，但要说明每个因式都不为 $0$，才等价于三个条件同时成立。

例 3　（场景：判断命题的真偽）

問題　$x$ を実数とする。次の命題の真偽を調べよ。偽であるときは，反例を挙げよ。

(1) $x^2 = x \Longrightarrow x = 1$

(2) $|x| < 1 \Longrightarrow x < 1$

解答　(1) $x^2 = x$ を解くと $x(x - 1) = 0$ より $x = 0$ または $x = 1$ である。$x = 0$ は $x^2 = x$ を満たすが $x = 1$ を満たさない。よって偽であり，反例は $x = 0$。

(2) 条件 $p$：$|x| < 1$，$q$：$x < 1$ とし，真理集合をそれぞれ $P$，$Q$ とすると $P = \{x \mid -1 < x < 1\}$，$Q = \{x \mid x < 1\}$ であり，$P \subset Q$ である。よって命題は真。

中文翻译　题目：设 $x$ 为实数，判断下列命题的真假。为假时举出反例。（1）$x^2 = x \Longrightarrow x = 1$；（2）$|x| < 1 \Longrightarrow x < 1$。解答：（1）解 $x^2 = x$，由 $x(x - 1) = 0$ 得 $x = 0$ 或 $x = 1$。$x = 0$ 满足 $x^2 = x$ 但不满足 $x = 1$。所以为假，反例是 $x = 0$。（2）设条件 $p$：$|x| < 1$，$q$：$x < 1$，真理集合分别为 $P$、$Q$，则 $P = \{x \mid -1 < x < 1\}$，$Q = \{x \mid x < 1\}$，且 $P \subset Q$。所以命题为真。

解说　命题为真必须对所有情况说明，举例不算；为假只要一个反例。第 (1) 问也可以先看真理集合：$P = \{0, 1\}$，$Q = \{1\}$，$P \not\subset Q$，多出来的 $0$ 就是反例。直接找反例适合一眼能看出的题；画真理集合适合条件是不等式、反例不好凑的题。

例 4　（场景：含量词的命题为偽，求参数）

問題　「ある実数 $x$ について $x^2 + 2ax + 4 \leqq 0$」が偽となるような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

解答　この命題が偽であることは，その否定 「すべての実数 $x$ について $x^2 + 2ax + 4 > 0$」 が真であることと同じである。$x^2$ の係数が正であるから，すべての実数 $x$ についてこの不等式が成り立つのは，$2$ 次方程式 $x^2 + 2ax + 4 = 0$ が実数解をもたないとき，すなわち判別式が負のときである。 $\dfrac{D}{4} = a^2 - 4 < 0$ より，$-2 < a < 2$。

中文翻译　题目：求使“存在实数 $x$ 满足 $x^2 + 2ax + 4 \leqq 0$“为假的常数 $a$ 的取值范围。解答：这个命题为假，等价于它的否定”对所有实数 $x$，$x^2 + 2ax + 4 > 0$“为真。因为二次项系数为正，所以该不等式对所有实数 $x$ 成立，当且仅当二次方程 $x^2 + 2ax + 4 = 0$ 没有实数解，即判别式为负。由 $\dfrac{D}{4} = a^2 - 4 < 0$ 得 $-2 < a < 2$。

解说　容易卡在：直接研究“存在 $x$ 使……“为假，不知从何下手。先否定，把它变成恒成立问题。判别式用 $\dfrac{D}{4}$ 是因为 $x$ 的系数 $2a$ 是偶数，计算更快；用 $D = 4a^2 - 16 < 0$ 结论相同。$a = \pm 2$ 时方程有重根，原命题为真，所以端点不带等号。

常用推论

• $\overline{\overline{p}}$ 就是 $p$。
• $xy = 0 \iff x = 0$ または $y = 0$；$xy \ne 0 \iff x \ne 0$ かつ $y \ne 0$。
• $x^2 + y^2 = 0 \iff x = 0$ かつ $y = 0$（$x$、$y$ 是实数）；否定是”$x \ne 0$ または $y \ne 0$“。
• 命题”$p \Longrightarrow q$“本身的否定是”$p$ かつ $\overline{q}$“（存在满足 $p$ 而不满足 $q$ 的元素），也就是”有反例”。这和 4.5 节的“裏”不是一回事。推导：$P \subset Q$ 不成立，等价于 $P \cap \overline{Q} \ne \varnothing$。

易错点

• 错在哪：“$x > 2$ かつ $y \leqq 1$“的否定写成”$x \leqq 2$ かつ $y > 1$“。 为什么错：只否定了两部分，没把”かつ“改成”または”。例如 $x = 3$，$y = 5$ 不满足原条件，却也不满足这个错误的“否定”。 正确做法：两部分各自否定，同时“かつ”变“または”。
• 错在哪：“$x$，$y$ の少なくとも一方は正”的否定写成”$x$，$y$ はともに負”。 为什么错：“正”的否定是“0 以下”，漏了 0。 正确做法：否定是”$x \leqq 0$ かつ $y \leqq 0$“。
• 错在哪：把题干“ある $x$ について”理解成“有 $x$ 使得……“之外的意思，比如”所有 $x$“。 为什么错：日语”ある“作连体词时是”某个”，对应存在量词。 正确做法：见到“ある〜について”就译成“存在〜”，见到“すべての〜について”就译成“对任意〜”。

直观理解

“$p$ かつ $q$“是两个真理集合重叠的那一块。它不成立，就是落在重叠块外面：要么在 $P$ 外面，要么在 $Q$ 外面，这就是”$\overline{p}$ または $\overline{q}$“。生活里的例子：“会英语且会日语”的否定是“不会英语，或者不会日语”，不是“既不会英语也不会日语”。

关联知识点

• 前置：4.2 节ド・モルガンの法則，条件的否定和它一一对应。
• 国内书第 2 章 2.4、2.5 节：全称量词、存在量词和它们的否定，规则和日本一样，只是日本用文字不用符号。
• 后续：4.4 节用真理集合判断必要・十分；4.5 节写裏和対偶时要用这里的否定规则。
• 后续：4.6 节背理法的第一步就是写出结论的否定，“少なくとも”的否定在那里常用。
• 本书第 5 章 2次関数：恒成立、存在性问题化成判别式或最值。

4.4 必要条件・十分条件の日式問法

说明

概念和国内完全一样（国内书第 2 章 2.2、2.3 节）：命题 $p \Longrightarrow q$ 为真时，

• $p$ は $q$ であるための十分条件である（$p$ 是 $q$ 的充分条件）；
• $q$ は $p$ であるための必要条件である（$q$ 是 $p$ 的必要条件）。

$p \Longrightarrow q$ 和 $q \Longrightarrow p$ 都真时，写 $p \Longleftrightarrow q$，说 $p$ は $q$ であるための必要十分条件である，或 $p$ と $q$ は同値である。

EJU 的问法：答案只能涂格子，所以这类题做成选择型空格，题干末尾写”$\fbox{A}$ に当てはまるものを，下の⓪〜③の中から一つ選びなさい”。选项就是下面四种说法（日本教科书的通行说法；顺序和编号以题目为准）：

日文选项	中文	$p \Longrightarrow q$	$q \Longrightarrow p$
必要十分条件である	充要条件	真	真
必要条件であるが，十分条件でない	必要不充分条件	偽	真
十分条件であるが，必要条件でない	充分不必要条件	真	偽
必要条件でも十分条件でもない	既不充分也不必要	偽	偽

句型怎么读：“$p$ は $q$ であるための〜条件”里，$p$ 是被判断的那个，$q$ 是目标，和中文”$p$ 是 $q$ 的〜条件“的语序一样。记法：箭头 $p \Longrightarrow q$ 的出发点是十分，到达点是必要，“十分 $\Longrightarrow$ 必要”。

用真理集合说：$P \subset Q$ 且 $P \ne Q$ 时，小的 $P$ 是十分条件，大的 $Q$ 是必要条件，和国内“小范围推出大范围”一样。

使用场景

• 选择型空格问”$p$ は $q$ であるための $\fbox{A}$“：两个方向各判断一次，真的说明理由，偽的举反例，再对着选项表找编号。
• 条件是不等式或方程的解：解出真理集合，在数轴上比较谁包含谁。
• 已知”$p$ が $q$ であるための十分（必要）条件“求参数：化成真理集合的包含关系，列端点不等式。
• 条件是”$a^2 = b^2$“”$ab = 0$““ひし形”“対角線が直交”这类常见说法：先改写成等价的形式，再判断。

注意点

• 动笔前先把句子改写成箭头：谁在“は”前面，谁在“ための”前面。“$p$ は $q$ であるための必要条件”是 $q \Longrightarrow p$，方向和“十分”相反。
• 选项顺序不固定，同一回考试里前后两题的 ⓪〜③ 也可能排法不同。做完判断后再对选项文字找编号。
• 答题卡上涂的是选项编号（0〜3），不是“1 表示第一个”。⓪ 就涂 0（本书第 2 章规则六）。
• 题目可能用”〜であるためには，〜であることが必要である“之类的变体，意思不变：要 $q$ 成立必须有 $p$，即 $q \Longrightarrow p$。

证明

结论：$p \Longrightarrow q$ 为真当且仅当 $P \subset Q$。 这是 4.3 节命题真偽的定义本身，国内书第 2 章 2.2 节结论 1 有完整说明。

由它推出四个选项互不相同、恰有一个成立。 $p \Longrightarrow q$ 真或偽、$q \Longrightarrow p$ 真或偽，组合起来恰好四种，每种对应一个选项。所以只要两个方向的真偽判断对了，选项是唯一的。（关键一步：判断要分两个方向各做一次，少做一个方向就只能排除两个选项，剩两个里还得猜。）

例题

例 1　（场景：选择型，两个方向各判断）

問題　$x$，$y$ を実数とする。次の問いに答えよ。

(1) 「$x + y > 0$」は「$x > 0$ かつ $y > 0$」であるための何条件か。

(2) 「$x^2 + y^2 = 0$」は「$x = 0$ かつ $y = 0$」であるための何条件か。

解答　(1) $p$：「$x + y > 0$」，$q$：「$x > 0$ かつ $y > 0$」とする。$q \Longrightarrow p$ は真である。$p \Longrightarrow q$ は偽で，反例は $x = 2$，$y = -1$ である（$x + y = 1 > 0$ だが $y < 0$）。よって $p$ は $q$ であるための必要条件であるが，十分条件でない。

(2) $p$：「$x^2 + y^2 = 0$」，$q$：「$x = 0$ かつ $y = 0$」とする。実数の平方は負でないから，$x^2 + y^2 = 0$ は $x^2 = 0$ かつ $y^2 = 0$，すなわち $x = 0$ かつ $y = 0$ と同値である。よって $p$ は $q$ であるための必要十分条件である。

中文翻译　题目：设 $x$、$y$ 为实数，回答下列问题。（1）“$x + y > 0$“是”$x > 0$ 且 $y > 0$“的什么条件？（2）”$x^2 + y^2 = 0$“是”$x = 0$ 且 $y = 0$“的什么条件？解答：（1）设 $p$：”$x + y > 0$“，$q$：”$x > 0$ 且 $y > 0$“。$q \Longrightarrow p$ 为真。$p \Longrightarrow q$ 为假，反例是 $x = 2$，$y = -1$（$x + y = 1 > 0$ 但 $y < 0$）。所以 $p$ 是 $q$ 的必要条件，但不是充分条件。（2）设 $p$：”$x^2 + y^2 = 0$“，$q$：”$x = 0$ 且 $y = 0$“。实数的平方非负，所以 $x^2 + y^2 = 0$ 与 $x^2 = 0$ 且 $y^2 = 0$，即 $x = 0$ 且 $y = 0$ 等价。所以 $p$ 是 $q$ 的充要条件。

解说　两个方向各判断一次：$q \Longrightarrow p$ 和 $p \Longrightarrow q$。句子「$p$ は $q$ であるための必要条件」里，$p$ 是被判断的对象，$q$ 是目标；$q \Longrightarrow p$ 说明 $p$ 在箭头的到达点。凑反例专找一正一负、等于 $0$ 的边缘情况。第 (2) 问两个方向都真，不要只验证一个方向就下结论。

例 2　（场景：不等式，比较真理集合）

問題　$x$ を実数とする。「$|x - 2| < 1$」は「$0 < x < 4$」であるための何条件か。

解答　$|x - 2| < 1 \iff -1 < x - 2 < 1 \iff 1 < x < 3$ である。$p$：「$|x - 2| < 1$」，$q$：「$0 < x < 4$」とし，真理集合をそれぞれ $P$，$Q$ とすると $P = \{x \mid 1 < x < 3\}$，$Q = \{x \mid 0 < x < 4\}$ であり，$P \subset Q$ かつ $P \ne Q$ である（たとえば $x = 0.5$ は $Q$ に属すが $P$ に属さない）。よって $p \Longrightarrow q$ は真，$q \Longrightarrow p$ は偽であり，$p$ は $q$ であるための十分条件であるが，必要条件でない。

中文翻译　题目：设 $x$ 为实数。“$|x - 2| < 1$“是”$0 < x < 4$“的什么条件？解答：$|x - 2| < 1 \iff -1 < x - 2 < 1 \iff 1 < x < 3$。设 $p$：”$|x - 2| < 1$“，$q$：”$0 < x < 4$“，真理集合分别为 $P$、$Q$，则 $P = \{x \mid 1 < x < 3\}$，$Q = \{x \mid 0 < x < 4\}$，且 $P \subset Q$、$P \ne Q$（例如 $x = 0.5$ 属于 $Q$ 但不属于 $P$）。所以 $p \Longrightarrow q$ 为真，$q \Longrightarrow p$ 为假，$p$ 是 $q$ 的充分条件，但不是必要条件。

解说　数轴上 $P$ 整段落在 $Q$ 里面：小的真理集合是充分条件，大的真理集合是必要条件。判断 $P \ne Q$ 只要举出一个属于 $Q$ 而不属于 $P$ 的数。第一步先把绝对值不等式化成区间；本题两个端点都取不到，不涉及等号。

例 3　（场景：已知十分条件求参数）

問題　$a$ を定数とする。「$|x - a| \leqq 1$」が「$-1 \leqq x \leqq 4$」であるための十分条件となるような $a$ の値の範囲を求めよ。

解答　$|x - a| \leqq 1 \iff a - 1 \leqq x \leqq a + 1$ である。$p$：「$|x - a| \leqq 1$」，$q$：「$-1 \leqq x \leqq 4$」とし，真理集合をそれぞれ $P$，$Q$ とすると，$p$ が $q$ であるための十分条件であることは $P \subset Q$ であることと同じである。よって $a - 1 \geqq -1$ かつ $a + 1 \leqq 4$， すなわち $0 \leqq a \leqq 3$ である。 （$a = 0$ のとき $P = \{x \mid -1 \leqq x \leqq 1\}$，$a = 3$ のとき $P = \{x \mid 2 \leqq x \leqq 4\}$ であり，いずれも $P \subset Q$ を満たす。）

中文翻译　题目：设 $a$ 为常数。求使”$|x - a| \leqq 1$“成为”$-1 \leqq x \leqq 4$“的充分条件的 $a$ 的取值范围。解答：$|x - a| \leqq 1 \iff a - 1 \leqq x \leqq a + 1$。设 $p$：”$|x - a| \leqq 1$“，$q$：”$-1 \leqq x \leqq 4$“，真理集合分别为 $P$、$Q$，则 $p$ 是 $q$ 的充分条件等价于 $P \subset Q$。所以 $a - 1 \geqq -1$ 且 $a + 1 \leqq 4$，即 $0 \leqq a \leqq 3$。（$a = 0$ 时 $P = \{x \mid -1 \leqq x \leqq 1\}$，$a = 3$ 时 $P = \{x \mid 2 \leqq x \leqq 4\}$，都满足 $P \subset Q$。）

解说　容易卡在：分不清”$p$ が $q$ であるための十分条件“是 $P \subset Q$ 还是 $Q \subset P$。先写箭头 $p \Longrightarrow q$，箭头出发的一方是小集合，所以是 $P \subset Q$。端点检验：$a = 0$、$a = 3$ 时区间端点重合，仍有 $P \subset Q$，所以等号可取；题目问真子集时才会去掉等号。

例 4　（场景：常见说法先改写）

問題　次の問いに答えよ。

(1) $a$，$b$ を実数とする。「$a^2 = b^2$」は「$a = b$」であるための何条件か。

(2) 四角形 ABCD について，「ABCD はひし形である」は「ABCD の対角線が直交する」であるための何条件か。

解答　(1) $a^2 = b^2 \iff (a - b)(a + b) = 0 \iff a = b$ または $a = -b$ である。$a = b \Longrightarrow a^2 = b^2$ は真である。$a^2 = b^2 \Longrightarrow a = b$ は偽で，反例は $a = 1$，$b = -1$ である。よって「$a^2 = b^2$」は「$a = b$」であるための必要条件であるが，十分条件でない。

(2) ひし形の対角線は直交するから，「ひし形である $\Longrightarrow$ 対角線が直交する」は真である。逆は偽で，反例として，対角線が直交するがひし形でない四角形（たとえば凧形）がある。よって「ひし形である」は「対角線が直交する」であるための十分条件であるが，必要条件でない。

中文翻译　题目：回答下列问题。（1）设 $a$、$b$ 为实数。“$a^2 = b^2$“是”$a = b$“的什么条件？（2）对于四边形 ABCD，“ABCD 是菱形”是“ABCD 的对角线互相垂直”的什么条件？解答：（1）$a^2 = b^2 \iff (a - b)(a + b) = 0 \iff a = b$ 或 $a = -b$。$a = b \Longrightarrow a^2 = b^2$ 为真。$a^2 = b^2 \Longrightarrow a = b$ 为假，反例是 $a = 1$，$b = -1$。所以”$a^2 = b^2$“是”$a = b$“的必要条件，但不是充分条件。（2）菱形的对角线互相垂直，所以”是菱形 $\Longrightarrow$ 对角线互相垂直“为真。逆为假，反例是对角线互相垂直但不是菱形的四边形（例如筝形）。所以”是菱形“是”对角线互相垂直“的充分条件，但不是必要条件。

解说　常见说法先改写成熟悉的形式：$a^2 = b^2$ 化成 $a = \pm b$；四边形的性质画图或想筝形。判断“必要”“十分”时抓住箭头方向：「$p$ は $q$ であるための十分条件」就是 $p \Longrightarrow q$。第 (2) 问的逆是“对角线垂直 $\Longrightarrow$ 菱形”，筝形的对角线也垂直，所以不是必要条件。

常用推论

• $p \Longrightarrow q$ 为真时，对偶地 $\overline{q} \Longrightarrow \overline{p}$ 也真（4.5 节），所以”$\overline{q}$ は $\overline{p}$ であるための十分条件”。问”$\overline{p}$ は $\overline{q}$ であるための何条件か“时，答案和”$p$ は $q$ であるための何条件か“中”必要”“十分”对调。推导：$p \Longrightarrow q$ 与 $\overline{q} \Longrightarrow \overline{p}$ 同真同偽，$q \Longrightarrow p$ 与 $\overline{p} \Longrightarrow \overline{q}$ 同真同偽。
• 必要十分条件可以连成链：$p \Longleftrightarrow q$，$q \Longleftrightarrow r$，则 $p \Longleftrightarrow r$。解方程、不等式时每一步写 $\Longleftrightarrow$，就是这个道理。
• “$p$ かつ $q$“は $p$ であるための十分条件；”$p$ または $q$“は $p$ であるための必要条件。推导：$P \cap Q \subset P \subset P \cup Q$。

易错点

• 错在哪：「$p$ は $q$ であるための必要条件」理解成 $p \Longrightarrow q$。 为什么错：“必要条件”在箭头的到达点。$p$ 是必要条件，意思是 $q$ 推出 $p$。 正确做法：先把句子改写成箭头。十分在出发点，必要在到达点。
• 错在哪：例 1（1）选成“必要十分条件”，因为试了 $x = 1$，$y = 1$ 两边都成立。 为什么错：举几个例子只能说明“不矛盾”，证明不了推出关系；反过来，偽只需要一个反例。 正确做法：$p \Longrightarrow q$ 要么给一般的理由，要么找反例。凑反例时专找“满足 $p$、刚好不满足 $q$“的边缘情况，如一正一负、等于 0。
• 错在哪：判断出“必要条件であるが，十分条件でない”，看它排在选项第二个，就涂 2。 为什么错：选项从 ⓪ 开始编号，第二个是 ①；而且各题选项顺序不固定。 正确做法：判断完回到选项列表，找到对应文字前面的编号再涂。

直观理解

把条件想成“门槛”。十分条件是一道高门槛：跨过了就一定达标（$p$ 成立就保证 $q$ 成立），但没跨过也可能达标。必要条件是一道低门槛：不跨过一定不达标（没有 $q$ 就没有 $p$），但跨过了也不一定达标。数轴上看，十分条件的真理集合是里面的一小段，必要条件的真理集合是外面的一大段。

关联知识点

• 前置：国内书第 2 章 2.2、2.3 节，概念、集合判断法、求参数的方法全部相同。
• 前置：4.3 节，命题的真偽和反例。
• 后续：4.5 节，$\overline{p}$ 与 $\overline{q}$ 之间的条件关系用対偶判断。
• 本书第 2 章：⓪〜⑨ 选择型空格的涂法。
• 常一起考：本书第 3 章（绝对值方程与不等式）、第 5 章（2次不等式的解集）、第 9 章（四边形、三角形的性质），条件常取自这些章。

4.5 逆・裏・対偶

说明

对命题”$p \Longrightarrow q$“：

名称	日文读音	形式	国内旧教材叫法
逆	ぎゃく	$q \Longrightarrow p$	逆命题
裏	うら	$\overline{p} \Longrightarrow \overline{q}$	否命题
対偶	たいぐう	$\overline{q} \Longrightarrow \overline{p}$	逆否命题

人教 A 版（2019）已经删去“四种命题”（国内书第 2 章引言），所以这一节对国内读者是新内容。

真偽的关系：

• 命题和它的対偶真偽一致；
• 逆和裏互为対偶，所以逆和裏真偽也一致；
• 命题真，逆不一定真；命题真，裏也不一定真。

対偶を利用した証明：要证 $p \Longrightarrow q$，可以改证 $\overline{q} \Longrightarrow \overline{p}$。适合 $\overline{q}$ 比 $q$ 好用的时候，比如 $q$ 是“偶数”，$\overline{q}$ 是“奇数”，可以写成 $2k + 1$ 直接代入。

使用场景

• 题目给一个命题，要求写出逆・裏・対偶或判断它们的真偽（常是选择型）：按定义写，真偽先看原命题和逆，另外两个由“对偶真假一致”得出。
• 直接证明不好下手，而结论的否定是能写成式子的形式（奇数、$\ne$、“3 の倍数でない”）：改证対偶。
• 原命题本身不好判断真偽：判断它的対偶。
• 条件或结论里有“かつ・または”：写裏和対偶时，用 4.3 节的否定规则一并改写。

注意点

• 裏是“条件、结论都否定、顺序不变”；対偶是“都否定、再对调”。対偶不能写成 $\overline{p} \Longrightarrow \overline{q}$。
• “裏”和“命题的否定”是两回事。“$p \Longrightarrow q$“的否定是”$p$ かつ $\overline{q}$“（有反例），裏是另一个命题 $\overline{p} \Longrightarrow \overline{q}$（4.3 节常用推论）。
• 用対偶证明时，答案开头要写“対偶「〜ならば〜」を証明する”，最后写“対偶が真であるから，もとの命題も真である”。EJU 是填空不写过程，但证明填空题的骨架就是这两句。
• EJU 题干的说法：「命題『〜ならば〜』の逆」「裏」「対偶」「次の命題の対偶を考える」「対偶が真であるから」。

证明

结论 1：命题与対偶真偽一致。

$p \Longrightarrow q$ が真 $\iff P \subset Q$ $\iff \overline{Q} \subset \overline{P}$（关键一步：4.2 节证明结论 3。$P$ 在 $Q$ 里面，那么 $Q$ 外面的东西一定在 $P$ 外面） $\iff \overline{q} \Longrightarrow \overline{p}$ が真。

结论 2：逆与裏真偽一致。 逆 $q \Longrightarrow p$ 的対偶是 $\overline{p} \Longrightarrow \overline{q}$，正是裏。由结论 1，两者真偽一致。

结论 3：命题真不能推出逆真。 一个反例就够：$x = 2 \Longrightarrow x^2 = 4$ 为真，逆 $x^2 = 4 \Longrightarrow x = 2$ 为偽（$x = -2$）。

例题

例 1　（场景：写出逆・裏・対偶并判断真偽）

問題　$x$ を実数とする。命題「$x = 2$ ならば $x^2 = 4$」の逆，裏，対偶を書き，それぞれの真偽を調べよ。

解答　もとの命題は真である（$x = 2$ を代入すればよい）。

逆：「$x^2 = 4$ ならば $x = 2$」は偽である（反例 $x = -2$）。

裏：「$x \ne 2$ ならば $x^2 \ne 4$」は偽である（反例 $x = -2$）。

対偶：「$x^2 \ne 4$ ならば $x \ne 2$」は真である（もとの命題が真であるから，対偶も真）。

逆と裏の反例が同じ $x = -2$ になるのは，逆と裏が互いに対偶の関係にあるからである。

中文翻译　题目：设 $x$ 为实数。写出命题“若 $x = 2$，则 $x^2 = 4$“的逆命题、否命题、逆否命题，并判断各自的真假。解答：原命题为真（代入 $x = 2$ 即可）。逆命题：“若 $x^2 = 4$，则 $x = 2$“为假（反例 $x = -2$）。否命题：“若 $x \ne 2$，则 $x^2 \ne 4$“为假（反例 $x = -2$）。逆否命题：“若 $x^2 \ne 4$，则 $x \ne 2$“为真（原命题为真，所以逆否命题也为真）。逆命题和否命题的反例同为 $x = -2$，这是因为逆命题和否命题互为逆否命题。

解说　四个命题只要判断原命题和逆两个，裏、対偶由“原命题与対偶真假一致、逆与裏真假一致”得出。裏是“条件、结论都否定、顺序不变”；対偶是“都否定、再对调”。别把対偶写成 $\overline{p} \Longrightarrow \overline{q}$，那是裏。原命题真不能推出逆真。

例 2　（场景：用対偶证明）

問題　$n$ を整数とする。「$n^2$ が偶数ならば，$n$ は偶数である」を証明せよ。

解答　対偶「$n$ が奇数ならば，$n^2$ は奇数である」を証明する。

$n$ が奇数のとき，整数 $k$ を用いて $n = 2k + 1$ と表せる。このとき $n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$。 $2k^2 + 2k$ は整数であるから，$n^2$ は奇数である。

よって対偶が真であるから，もとの命題も真である。

中文翻译　题目：设 $n$ 为整数。证明“若 $n^2$ 是偶数，则 $n$ 是偶数”。解答：证明逆否命题“若 $n$ 是奇数，则 $n^2$ 是奇数”。当 $n$ 为奇数时，存在整数 $k$ 使 $n = 2k + 1$。此时 $n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$。$2k^2 + 2k$ 是整数，所以 $n^2$ 是奇数。因此逆否命题为真，原命题也为真。

解说　容易卡在：想从 $n^2 = 2m$ 开平方推 $n$，走不通。结论“偶数”的否定“奇数”能写成 $2k + 1$，这正是改证対偶的信号。用対偶证明时，答案开头要写“対偶「〜ならば〜」を証明する”，最后写“対偶が真であるから，もとの命題も真である”。EJU 是填空不写过程，但证明填空题的骨架就是这两句。

例 3　（场景：原命题难判断，看対偶）

問題　$x$，$y$ を実数とする。命題「$x + y \ne 2$ ならば，$x \ne 1$ または $y \ne 1$」の真偽を調べよ。

解答　対偶を考える。結論「$x \ne 1$ または $y \ne 1$」の否定は「$x = 1$ かつ $y = 1$」であり，条件「$x + y \ne 2$」の否定は「$x + y = 2$」である。

対偶は「$x = 1$ かつ $y = 1$ ならば，$x + y = 2$」であり，これは真である。よって，もとの命題も真である。

中文翻译　题目：设 $x$、$y$ 为实数。判断命题“若 $x + y \ne 2$，则 $x \ne 1$ 或 $y \ne 1$“的真假。解答：考虑逆否命题。结论”$x \ne 1$ 或 $y \ne 1$“的否定是”$x = 1$ 且 $y = 1$“，条件”$x + y \ne 2$“的否定是”$x + y = 2$“。逆否命题是”若 $x = 1$ 且 $y = 1$，则 $x + y = 2$“，为真。所以原命题也为真。

解说　条件和结论都是”$\ne$“，直接判断别扭；写対偶把两个”$\ne$“都变成”$=$“，一眼为真。另一种解法：直接论证——设 $x + y \ne 2$，若”$x \ne 1$ 或 $y \ne 1$“不成立，则 $x = 1$ 且 $y = 1$，$x + y = 2$，矛盾；这其实是 4.6 节的背理法。改看対偶更快，适合选择题；背理法的写法适合要写证明的场合。

例 4　（场景：含かつ・または的裏和対偶）

問題　$x$，$y$ を実数とする。命題「$x > 1$ かつ $y > 1$ ならば $x + y > 2$」の裏と対偶を書き，それぞれの真偽を調べよ。

解答　条件「$x > 1$ かつ $y > 1$」の否定は「$x \leqq 1$ または $y \leqq 1$」であり，結論「$x + y > 2$」の否定は「$x + y \leqq 2$」である。

裏：「$x \leqq 1$ または $y \leqq 1$ ならば $x + y \leqq 2$」。これは偽である。反例：$x = 0$，$y = 5$ のとき，$x \leqq 1$ を満たすが $x + y = 5 > 2$ である。

対偶：「$x + y \leqq 2$ ならば $x \leqq 1$ または $y \leqq 1$」。もとの命題は真である（$x > 1$，$y > 1$ ならば $x + y > 2$）から，対偶も真である。

中文翻译　题目：设 $x$、$y$ 为实数。写出命题“若 $x > 1$ 且 $y > 1$，则 $x + y > 2$“的否命题和逆否命题，并判断各自的真假。解答：条件”$x > 1$ 且 $y > 1$“的否定是”$x \leqq 1$ 或 $y \leqq 1$“，结论”$x + y > 2$“的否定是”$x + y \leqq 2$“。否命题：“若 $x \leqq 1$ 或 $y \leqq 1$，则 $x + y \leqq 2$”。为假。反例：$x = 0$，$y = 5$ 时，满足 $x \leqq 1$ 但 $x + y = 5 > 2$。逆否命题：“若 $x + y \leqq 2$，则 $x \leqq 1$ 或 $y \leqq 1$”。原命题为真（$x > 1$，$y > 1$ 则 $x + y > 2$），所以逆否命题也为真。

解说　写裏、対偶时，条件和结论各按 4.3 节的规则否定：“かつ”的否定是“または”，漏改连接词是最常见的错。原命题真，所以対偶真；裏的真假要自己判断，别以为原命题真裏就真。対偶也别写成”$x + y \leqq 2$ ならば $x \leqq 1$ かつ $y \leqq 1$“，那是否定了连接词却没换。

常用推论

• 逆と裏の真偽は一致する（证明结论 2）。所以判断四个命题，只要判断原命题和逆两个。
• $p \Longleftrightarrow q$（必要十分）$\iff$ 原命题和逆都真 $\iff$ 四个命题全真。
• 整数的奇偶、“3 の倍数”类结论：$n^2$ が 3 の倍数ならば $n$ は 3 の倍数。证法同例 2，対偶分 $n = 3k + 1$、$3k + 2$ 两类（见 4.7 节问题 2）。

易错点

• 错在哪：把対偶写成 $\overline{p} \Longrightarrow \overline{q}$。 为什么错：那是裏。対偶要否定后再对调顺序。 正确做法：対偶 = “结论的否定 $\Longrightarrow$ 条件的否定”，箭头起点是原来的结论那边。
• 错在哪：例 4 的対偶写成「$x + y \leqq 2$ ならば $x \leqq 1$ かつ $y \leqq 1$」。 为什么错：“かつ”的否定是“または”，没改连接词。这个错误的命题是偽的（$x = 1.5$，$y = 0$）。 正确做法：写裏、対偶时，条件和结论各按 4.3 节的规则否定。
• 错在哪：原命题真，就认定逆也真，选“必要十分条件”。 为什么错：原命题和逆之间没有真偽关系，要另外判断。 正确做法：原命题和逆分别判断，裏、対偶再用“对偶真假一致”得出。

直观理解

“下雨就带伞”为真，那么“没带伞”的那天一定没下雨（対偶）。但“带伞了”不一定下雨，可能是晒太阳（逆）；“没下雨”也不一定没带伞（裏）。

用 Venn 图看：真理集合 $P$ 在 $Q$ 里面时，从外往里看是 $\overline{Q}$ 在 $\overline{P}$ 里面，包含关系整个翻过来，这就是对偶。

关联知识点

• 前置：4.3 节，条件的否定（写裏、対偶要用）。
• 前置：4.2 节，$A \subset B \iff \overline{B} \subset \overline{A}$。
• 国内书第 2 章引言：新课标删去四种命题的说明；国内旧教材的“否命题”即裏。
• 后续：4.6 节背理法，和対偶证明常一起出现。
• 后续：本书第 8 章 整数の性質：$n^2$ 是 3 的倍数则 $n$ 是 3 的倍数，按余数分类正是対偶证明的常用手段。

4.6 背理法

说明

背理法（はいりほう，国内叫反证法）：要证结论成立，先假设结论不成立，由此推出矛盾，从而断定假设错误、结论成立。

步骤：

1. 写出结论的否定，作为假设（“〜でないと仮定する”）；
2. 从假设出发，结合已知条件、定义、已知定理推理；
3. 推出矛盾（“〜に矛盾する”）：和已知条件冲突、和已知事实冲突、或自相矛盾；
4. 结论：“したがって，〜である”。

国内书没有为反证法单设一节，只在各章证明里用到（国内书第 1 章 1.3 节证空集是子集、第 19 章证线面关系等）。日本数学Ⅰ把背理法和対偶证明一起作为正课讲，EJU 会出“证明的填空”。

和対偶证明的区别：

• 対偶证明：假设 $\overline{q}$，目标固定为推出 $\overline{p}$。
• 背理法：假设 $p$ 且 $\overline{q}$，推出任何矛盾都行。

対偶证明可以看成背理法的特例（推出的矛盾恰好是”$\overline{p}$ 与 $p$ 冲突”）。背理法更灵活，还能证明不是“ならば”形式的命题，如”$\sqrt{2}$ は無理数である”“素数は無限に存在する”。

使用场景

• 结论是否定的形式：“無理数である”（不是有理数）、“〜でない”、“存在しない”：直接证明无从下手，假设其反面就有了可用的式子。
• 结论含“少なくとも 1 つは〜”：否定是“すべて〜でない”，条件一下子变多了。
• 证明”$a$，$b$ が有理数で $a + b\sqrt{2} = 0$ ならば $a = b = 0$“，并用它比较系数求有理数。
• 证明“无限”“无穷多”：假设只有有限个，造出一个新的来。

注意点

• 第一步写否定一定要准，“少なくとも”“かつ・または”的否定按 4.3 节的规则写。
• 证 $\sqrt{2}$ 是无理数时，设 $\sqrt{2} = \dfrac{m}{n}$ 要写明”$m$，$n$ は互いに素な自然数”（既约分数），矛盾正是从“互素”来的。
• 除以某个量之前，确认它不为 0（如 $a + b\sqrt{2} = 0$ 中先假设 $b \ne 0$ 才能除以 $b$）。
• EJU 题干的说法：「背理法を用いて証明する」「〜でないと仮定する」「これは〜に矛盾する」「したがって」「互いに素な自然数 $m$，$n$ を用いて」。

证明

背理法为什么成立。 一个命题只有真偽两种可能。假设结论不成立，经过正确的推理得出矛盾，说明“结论不成立”这一假设不可能为真，所以结论成立。（关键一步：推理每一步都正确，矛盾就只能来自假设本身。）

教科书的经典例子：$\sqrt{2}$ は無理数である。

$\sqrt{2}$ が無理数でない，すなわち有理数であると仮定する。互いに素な自然数 $m$，$n$ を用いて $\sqrt{2} = \dfrac{m}{n}$ と表せる。両辺を 2 乗して整理すると

$$m^2 = 2n^2.$$

$m^2$ は偶数であるから，4.5 節例 2 より $m$ も偶数。$m = 2k$（$k$ は自然数）とおくと $4k^2 = 2n^2$，$n^2 = 2k^2$，よって $n^2$ は偶数で，$n$ も偶数。$m$，$n$ がともに偶数となり，互いに素であることに矛盾する。したがって $\sqrt{2}$ は無理数である。

这个证明用到了 4.5 节用対偶证明的”$n^2$ 偶数 $\Rightarrow$ $n$ 偶数”，两种间接证明在这里连在一起。

例题

例 1　（场景：结论是否定形式）

問題　$\sqrt{2}$ が無理数であることを用いて，$\sqrt{2} + \sqrt{3}$ が無理数であることを証明せよ。

解答　$\sqrt{2} + \sqrt{3}$ が有理数であると仮定し，$\sqrt{2} + \sqrt{3} = r$（$r$ は有理数）とおく。$r > 0$ である。

$\sqrt{3} = r - \sqrt{2}$ の両辺を $2$ 乗すると $3 = r^2 - 2r\sqrt{2} + 2$， よって $\sqrt{2} = \dfrac{r^2 - 1}{2r}$。

$r \ne 0$ であるから右辺は計算でき，有理数の四則演算の結果であるから有理数である。これは $\sqrt{2}$ が無理数であることに矛盾する。

したがって，$\sqrt{2} + \sqrt{3}$ は無理数である。

中文翻译　题目：利用 $\sqrt{2}$ 是无理数，证明 $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ 是无理数。解答：假设 $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ 是有理数，设 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = r$（$r$ 是有理数）。$r > 0$。把 $\sqrt{3} = r - \sqrt{2}$ 两边平方，得 $3 = r^2 - 2r\sqrt{2} + 2$，所以 $\sqrt{2} = \dfrac{r^2 - 1}{2r}$。因为 $r \ne 0$，右边可以计算，且是有理数四则运算的结果，所以是有理数。这与 $\sqrt{2}$ 是无理数矛盾。因此 $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ 是无理数。

解说　关键一步：$r \ne 0$ 才能除以 $2r$，这里 $r > 0$ 已经保证。容易卡在：直接平方 $(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{6}$，得到的是关于 $\sqrt{6}$ 的结论，还要再证 $\sqrt{6}$ 是无理数。先移项再平方，只剩一个根号。无理数之和一般不是无理数（$\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$），必须像本题这样单独证。

例 2　（场景：结论含“少なくとも”）

問題　実数 $a$，$b$，$c$ が $a + b + c > 3$ を満たすならば，$a$，$b$，$c$ のうち少なくとも $1$ つは $1$ より大きいことを証明せよ。

解答　結論の否定「$a$，$b$，$c$ はすべて $1$ 以下である」が成り立つと仮定する。すなわち $a \leqq 1$ かつ $b \leqq 1$ かつ $c \leqq 1$ と仮定する。このとき $a + b + c \leqq 1 + 1 + 1 = 3$ となり，$a + b + c > 3$ に矛盾する。

したがって，$a$，$b$，$c$ のうち少なくとも $1$ つは $1$ より大きい。

中文翻译　题目：证明：若实数 $a$、$b$、$c$ 满足 $a + b + c > 3$，则 $a$、$b$、$c$ 中至少有一个大于 $1$。解答：假设结论的否定”$a$、$b$、$c$ 都小于等于 $1$“成立，即假设 $a \leqq 1$ 且 $b \leqq 1$ 且 $c \leqq 1$。此时 $a + b + c \leqq 1 + 1 + 1 = 3$，与 $a + b + c > 3$ 矛盾。因此 $a$、$b$、$c$ 中至少有一个大于 $1$。

解说　第一步写出结论的否定一定要准：“$1$ より大きい”的否定是”$1$ 以下”（$a \leqq 1$），漏了等于 $1$ 的情况就是常见错误。若假设“都小于 $1$”，条件比真正的否定更强，即使推出矛盾，也只证明了“至少有一个 $\geqq 1$”，证不到“大于 $1$”。结论含“少なくとも $1$ つは”时，否定是“すべて〜でない”，条件一下子变多，这正是背理法好用的信号。

例 3　（场景：$a + b\sqrt{2} = 0$ 与比较系数）

問題　(1) $a$，$b$ が有理数で $a + b\sqrt{2} = 0$ ならば $a = b = 0$ であることを証明せよ。

(2) 有理数 $p$，$q$ が $p + q\sqrt{2} = (3 - \sqrt{2})^2$ を満たすとき，$p$，$q$ の値を求めよ。

解答　(1) $b \ne 0$ と仮定すると，$\sqrt{2} = -\dfrac{a}{b}$ と表せる。右辺は有理数であるから，$\sqrt{2}$ が無理数であることに矛盾する。よって $b = 0$ である。これを $a + b\sqrt{2} = 0$ に代入すると $a = 0$ である。

(2) $(3 - \sqrt{2})^2 = 9 - 6\sqrt{2} + 2 = 11 - 6\sqrt{2}$ であるから $(p - 11) + (q + 6)\sqrt{2} = 0$。 $p - 11$，$q + 6$ は有理数であるから，(1) より $p - 11 = 0$，$q + 6 = 0$，すなわち $p = 11$，$q = -6$ である。

中文翻译　题目：（1）证明：若 $a$、$b$ 是有理数且 $a + b\sqrt{2} = 0$，则 $a = b = 0$。（2）当有理数 $p$、$q$ 满足 $p + q\sqrt{2} = (3 - \sqrt{2})^2$ 时，求 $p$、$q$ 的值。解答：（1）假设 $b \ne 0$，则可写成 $\sqrt{2} = -\dfrac{a}{b}$。右边是有理数，与 $\sqrt{2}$ 是无理数矛盾。所以 $b = 0$。代入 $a + b\sqrt{2} = 0$ 得 $a = 0$。（2）因为 $(3 - \sqrt{2})^2 = 9 - 6\sqrt{2} + 2 = 11 - 6\sqrt{2}$，所以 $(p - 11) + (q + 6)\sqrt{2} = 0$。$p - 11$、$q + 6$ 是有理数，由（1）得 $p - 11 = 0$，$q + 6 = 0$，即 $p = 11$，$q = -6$。

解说　容易卡在：（2）直接写“有理部分相等、无理部分相等”，没交代 $p$、$q$ 是有理数这个前提；没有这个前提结论就不对（例如 $p = 11 + \sqrt{2}$，$q = -7$ 也满足等式）。（1）要除以 $b$，所以假设 $b \ne 0$，这是背理法里“假设的反面给了你抓手”的典型。

例 4　（场景：证明无限）

問題　素数は無限に存在することを証明せよ。

解答　素数が有限個しかないと仮定し，それらを $p_1, p_2, \dots, p_n$ とする。

$N = p_1 p_2 \cdots p_n + 1$ とおくと，$N > 1$ であるから $N$ は素因数をもつ。$N$ を $p_1, p_2, \dots, p_n$ のどれで割っても余りは $1$ であるから，$N$ はこれらの素数では割り切れない。よって $N$ の素因数は $p_1, p_2, \dots, p_n$ 以外の素数である。これは素数が $p_1, p_2, \dots, p_n$ の $n$ 個だけであることに矛盾する。

したがって，素数は無限に存在する。

中文翻译　题目：证明素数有无限多个。解答：假设素数只有有限个，设为 $p_1, p_2, \dots, p_n$。令 $N = p_1 p_2 \cdots p_n + 1$。由于 $N > 1$，$N$ 有素因数。用 $p_1, p_2, \dots, p_n$ 中任何一个去除 $N$，余数都是 $1$，所以这些素数都不能整除 $N$。因此 $N$ 的素因数是 $p_1, p_2, \dots, p_n$ 以外的素数。这与“素数只有这 $n$ 个”矛盾。因此素数有无限多个。

解说　容易卡在：以为 $N$ 本身一定是素数。不一定（$2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 + 1 = 30031 = 59 \times 509$），只能说它的素因数是“新”的。$N = p_1 p_2 \cdots p_n + 1$ 的构造保证除以这些素数都余 $1$，这是矛盾的关键；“$N > 1$ 必有素因数”用到本书第 8 章 8.2 节的结论。

常用推论

• $a$，$b$，$c$，$d$ が有理数のとき，$a + b\sqrt{2} = c + d\sqrt{2} \iff a = c$ かつ $b = d$。推导：移项得 $(a - c) + (b - d)\sqrt{2} = 0$，用例 3（1）。$\sqrt{2}$ 换成其他无理数 $\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$ 等同样成立。
• 有理数 + 無理数 = 無理数；0 でない有理数 × 無理数 = 無理数。推导：若 $r + x = s$（$r$、$s$ 有理），则 $x = s - r$ 有理，矛盾。乘法同理（要除以非零有理数）。
• $\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$、$\sqrt{6}$ 等（被开方数不是平方数）都是无理数，证法同 $\sqrt{2}$，把“偶数”换成“3 の倍数”等。

易错点

• 错在哪：证 $\sqrt{2}$ 是无理数时，只写”$\sqrt{2} = \dfrac{m}{n}$“，最后推出 $m$、$n$ 都是偶数，却说不出矛盾在哪。 为什么错：没有一开始规定 $m$、$n$ 互素，$m$、$n$ 都是偶数本身并不矛盾。 正确做法：设成既约分数，写明”互いに素な自然数 $m$，$n$“。
• 错在哪：例 2 的假设写成”$a$，$b$，$c$ はすべて 1 より小さい”。 为什么错：“1 より大きい”的否定是“1 以下”，漏了等于 1 的情况，假设不是结论的完整否定。 正确做法：$a \leqq 1$ かつ $b \leqq 1$ かつ $c \leqq 1$。
• 错在哪：认为“無理数 + 無理数 = 無理数”，用它证明 $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ 是无理数。 为什么错：这个“结论”是偽的，$\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$ 是有理数。 正确做法：只有“有理数 + 無理数 = 無理数”可以直接用，无理数之和要像例 1 那样单独证。

直观理解

背理法像侦探排除嫌疑：“如果凶手是他，那他当时必须在现场；可监控显示他在别处，矛盾，所以不是他。“先站到对立面去，顺着走到撞墙，就知道对立面走不通。

为什么结论是“否定形式”时特别好用：要证“不是有理数”，手里什么式子都没有；假设“是有理数”，马上就有了 $\dfrac{m}{n}$ 可以算。假设的反面给了你抓手。

关联知识点

• 前置：4.3 节，写出结论的否定；4.5 节，対偶证明（$\sqrt{2}$ 的证明里要用 $n^2$ 偶数则 $n$ 偶数）。
• 本书第 3 章 数と式：根号的运算（国内书没有专讲无理数运算的章节，这是初中内容）；国内书各章证明中零散使用的反证法（如第 1 章 1.3 节、第 19 章）。
• 后续：本书第 8 章 整数の性質，素数无穷、互素的论证常用背理法。
• 后续：本书第 10 章 いろいろな式：复数相等（实部虚部分别相等）和本节“比较有理部分与 $\sqrt{2}$ 的系数”是同一个思路。
• 后续：本书第 14 章 数学的帰納法，是另一种常考的证明方法，题型同样是证明填空。

4.7 题型与答法

本书抽查的 2017–2021 年公开过去问里，集合与命题没有单独成大问，见到的是大问中一小问用到它的思路（如 2017 年第 2 回コース1 Ⅱ問1 用”$a,b$ は有理数“比较系数）。备考按这样的形式准备：和数と式（绝对值、根号）、2次関数（解集）、整数（倍数）放在一起，用 ⓪〜③ 选择型空格问必要・十分，或用数字空格填集合元素个数、证明中的式子。

誘導的典型骨架：

• 集合：(1) 列举 $A$、$B$ →(2) 求 $A \cap \overline{B}$ 等的元素或个数 →(3) 用ド・モルガン或 $n(A \cup B)$ 求补集的个数。
• 必要・十分：给出 3〜4 组条件，每组一个选择型空格，选项 ⓪〜③ 共用一张表。
• 证明填空：(1) 写出対偶或”〜と仮定する” →(2) 按余数分类，或设 $\sqrt{a} = \dfrac{m}{n}$，空格填式子里的系数 →(3) 选择型空格选“矛盾する”“対偶が真”等。

填涂提醒：选择型空格涂的是选项的编号（⓪ 涂 0），不是选项排第几；同一回的不同题选项顺序可能不同。数字空格里，系数是 1 也要填，负数第一格填「－」。

問題 1　（集合と条件）

(1) 全体集合を $U = \{n \mid n \text{ は } 1 \leqq n \leqq 20 \text{ を満たす整数}\}$ とし，$U$ の部分集合 $A$，$B$ を

$A = \{n \mid n \text{ は } 2 \text{ の倍数}\}$，$B = \{n \mid n \text{ は } 5 \text{ の倍数}\}$

とする。このとき，$n(A \cap B) = \fbox{A}$，$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = \fbox{B}$，$n(\overline{A} \cup \overline{B}) = \fbox{CD}$ である。

(2) $x$，$y$ は実数とする。次の $\fbox{E}$ 〜 $\fbox{H}$ に当てはまるものを，下の ⓪ 〜 ③ の中から一つずつ選びなさい。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。

　(i) $x^2 = 4$ は $x = 2$ であるための $\fbox{E}$。

　(ii) 「$x > 0$ かつ $y > 0$」は「$x + y > 0$ かつ $xy > 0$」であるための $\fbox{F}$。

　(iii) $x^2 - 3x < 0$ は $|x - 1| < 2$ であるための $\fbox{G}$。

　(iv) $x > 1$ は $x^2 > 2x$ であるための $\fbox{H}$。

　⓪ 必要十分条件である 　① 必要条件であるが，十分条件でない 　② 十分条件であるが，必要条件でない 　③ 必要条件でも十分条件でもない

解答　(1) $A \cap B$ は $10$ の倍数全体であり，$10$，$20$ の $2$ 個であるから，$n(A \cap B) = 2$ である。$n(A) = 10$，$n(B) = 4$ であるから $n(A \cup B) = 10 + 4 - 2 = 12$。 ド・モルガンの法則より $n(\overline{A} \cap \overline{B}) = n(\overline{A \cup B}) = 20 - 12 = 8$， $n(\overline{A} \cup \overline{B}) = n(\overline{A \cap B}) = 20 - 2 = 18$。 よって $\fbox{A} = 2$，$\fbox{B} = 8$，$\fbox{CD} = 1, 8$ である。

(2) (i) $x = 2 \Longrightarrow x^2 = 4$ は真。$x^2 = 4 \Longrightarrow x = 2$ は偽（反例 $x = -2$）。$x^2 = 4$ は到達点，すなわち必要条件であるから，①。

(ii) 「$x > 0$ かつ $y > 0$」$\Longrightarrow$「$x + y > 0$ かつ $xy > 0$」は真である。逆に，$xy > 0$ より $x$，$y$ は同符号であり，$x + y > 0$ と合わせると $x > 0$ かつ $y > 0$ である。よって必要十分条件で，⓪。

(iii) $x^2 - 3x < 0 \iff 0 < x < 3$，$|x - 1| < 2 \iff -1 < x < 3$。前者の真理集合は後者の真理集合の真部分集合であるから，②。

(iv) $x^2 > 2x \iff x(x - 2) > 0 \iff x < 0$ または $x > 2$。$x > 1 \Longrightarrow x^2 > 2x$ は偽（反例 $x = \dfrac{3}{2}$），$x^2 > 2x \Longrightarrow x > 1$ も偽（反例 $x = -1$）。よって③。

したがって，$\fbox{E} = 1$，$\fbox{F} = 0$，$\fbox{G} = 2$，$\fbox{H} = 3$ である。

中文翻译　题目：（1）设全集 $U = \{n \mid n \text{ 是满足 } 1 \leqq n \leqq 20 \text{ 的整数}\}$，$A = \{n \mid n \text{ 是 } 2 \text{ 的倍数}\}$，$B = \{n \mid n \text{ 是 } 5 \text{ 的倍数}\}$。则 $n(A \cap B) = \fbox{A}$，$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = \fbox{B}$，$n(\overline{A} \cup \overline{B}) = \fbox{CD}$。（2）$x$、$y$ 是实数。从下面 ⓪〜③ 中各选一个填入 $\fbox{E}$〜$\fbox{H}$，可以重复选。（i）$x^2 = 4$ 是 $x = 2$ 的 $\fbox{E}$；（ii）“$x > 0$ 且 $y > 0$“是”$x + y > 0$ 且 $xy > 0$“的 $\fbox{F}$；（iii）$x^2 - 3x < 0$ 是 $|x - 1| < 2$ 的 $\fbox{G}$；（iv）$x > 1$ 是 $x^2 > 2x$ 的 $\fbox{H}$。⓪ 充要条件；① 必要不充分；② 充分不必要；③ 既不充分也不必要。解答：（1）$A \cap B$ 是 $10$ 的倍数全体，有 $10$、$20$ 共 $2$ 个，所以 $n(A \cap B) = 2$。$n(A) = 10$，$n(B) = 4$，所以 $n(A \cup B) = 10 + 4 - 2 = 12$。由德摩根律 $n(\overline{A} \cap \overline{B}) = n(\overline{A \cup B}) = 20 - 12 = 8$，$n(\overline{A} \cup \overline{B}) = n(\overline{A \cap B}) = 20 - 2 = 18$。所以 $\fbox{A} = 2$，$\fbox{B} = 8$，$\fbox{CD} = 1, 8$。（2）（i）$x = 2 \Longrightarrow x^2 = 4$ 为真；$x^2 = 4 \Longrightarrow x = 2$ 为假（反例 $x = -2$）。$x^2 = 4$ 在到达点，是必要条件，所以填 ①。（ii）”$x > 0$ 且 $y > 0$” $\Longrightarrow$ “$x + y > 0$ 且 $xy > 0$“为真。反过来，由 $xy > 0$ 知 $x$、$y$ 同号，再结合 $x + y > 0$ 得 $x > 0$ 且 $y > 0$。所以是充要条件，填 ⓪。（iii）$x^2 - 3x < 0 \iff 0 < x < 3$，$|x - 1| < 2 \iff -1 < x < 3$。前者的真理集合是后者的真子集，所以填 ②。（iv）$x^2 > 2x \iff x(x - 2) > 0 \iff x < 0$ 或 $x > 2$。$x > 1 \Longrightarrow x^2 > 2x$ 为假（反例 $x = \dfrac{3}{2}$），$x^2 > 2x \Longrightarrow x > 1$ 也为假（反例 $x = -1$）。所以填 ③。因此 $\fbox{E} = 1$，$\fbox{F} = 0$，$\fbox{G} = 2$，$\fbox{H} = 3$。

解说　两分钟做法：集合部分先列举、再用容斥和ド・モルガン。两个补集不要分别求，先化成 $n(\overline{A \cup B})$、$n(\overline{A \cap B})$，各做一次减法。空格判断：$\fbox{A}$ 数 $10$ 的倍数；$\fbox{B}$ 用 $\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$；$\fbox{CD}$ 用 $\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}$，是两格，分别填 $1$、$8$，不是只填 $8$。选项排除：必要・十分题两个方向各判断一次，判断完回选项表找编号再涂；① 是必要不充分，② 是充分不必要，顺序以题面为准，不能按“第二个”涂 $2$。

問題 2　（対偶を利用した証明）

(1) $n$ を整数とする。命題「$n^2$ が 3 の倍数ならば，$n$ は 3 の倍数である」を，対偶を用いて証明する。

対偶「$n$ が 3 の倍数でないならば，$n^2$ は 3 の倍数でない」を示す。$n$ が 3 の倍数でないとき，$k$ を整数として $n = 3k + 1$ または $n = 3k + 2$ と表せる。

$n = 3k + 1$ のとき　$n^2 = 3(\fbox{A}\,k^2 + \fbox{B}\,k) + \fbox{C}$

$n = 3k + 2$ のとき　$n^2 = 3(\fbox{D}\,k^2 + \fbox{E}\,k + \fbox{F}) + \fbox{G}$

いずれの場合も $n^2$ は 3 の倍数でない。よって対偶は真であり，もとの命題も真である。

(2) $x$，$y$ は実数とする。命題「$x + y > 2$ ならば，$x > 1$ または $y > 1$」の対偶は $\fbox{H}$ であり，逆は $\fbox{I}$ である。$\fbox{H}$，$\fbox{I}$ に当てはまるものを，下の ⓪ 〜 ③ の中から一つずつ選びなさい。

　⓪ 「$x \leqq 1$ かつ $y \leqq 1$ ならば，$x + y \leqq 2$」 　① 「$x \leqq 1$ または $y \leqq 1$ ならば，$x + y \leqq 2$」 　② 「$x > 1$ または $y > 1$ ならば，$x + y > 2$」 　③ 「$x + y \leqq 2$ ならば，$x \leqq 1$ かつ $y \leqq 1$」

また，この命題の逆の真偽について，$\fbox{J}$ に当てはまるものを次の ⓪，① から選びなさい。　⓪ 真である　① 偽である

解答　(1) $(3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$ であるから，$\fbox{A} = 3$，$\fbox{B} = 2$，$\fbox{C} = 1$。 $(3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$ であるから，$\fbox{D} = 3$，$\fbox{E} = 4$，$\fbox{F} = 1$，$\fbox{G} = 1$。

(2) 条件 $p$：「$x + y > 2$」，結論 $q$：「$x > 1$ または $y > 1$」とすると，$\overline{q}$ は「$x \leqq 1$ かつ $y \leqq 1$」，$\overline{p}$ は「$x + y \leqq 2$」である。対偶 $\overline{q} \Longrightarrow \overline{p}$ は ⓪ であり，$\fbox{H} = 0$。逆 $q \Longrightarrow p$ は ② であり，$\fbox{I} = 2$。

逆の真偽：反例 $x = 2$，$y = -5$ では $x > 1$ を満たすが $x + y = -3 \leqq 2$ である。よって逆は偽であり，$\fbox{J} = 1$（①）。

（選択肢 ③ は裏であり，① は「$x > 1$ または $y > 1$」の否定を「または」のまま書いた誤りである。）

中文翻译　题目：（1）$n$ 是整数。用逆否命题证明命题“若 $n^2$ 是 3 的倍数，则 $n$ 是 3 的倍数”。证明逆否命题“若 $n$ 不是 3 的倍数，则 $n^2$ 不是 3 的倍数”：这时 $n = 3k + 1$ 或 $n = 3k + 2$（$k$ 是整数）。$n = 3k + 1$ 时 $n^2 = 3(\fbox{A}\,k^2 + \fbox{B}\,k) + \fbox{C}$；$n = 3k + 2$ 时 $n^2 = 3(\fbox{D}\,k^2 + \fbox{E}\,k + \fbox{F}) + \fbox{G}$。两种情况 $n^2$ 都不是 3 的倍数，所以逆否命题为真，原命题也为真。（2）$x$、$y$ 是实数。命题“若 $x + y > 2$，则 $x > 1$ 或 $y > 1$“的逆否命题是 $\fbox{H}$，逆命题是 $\fbox{I}$，从 ⓪〜③ 中各选一个。另外，这个命题的逆命题的真假，从 ⓪ 真、① 假 中选一个填入 $\fbox{J}$。⓪ 若 $x \leqq 1$ 且 $y \leqq 1$，则 $x + y \leqq 2$；① 若 $x \leqq 1$ 或 $y \leqq 1$，则 $x + y \leqq 2$；② 若 $x > 1$ 或 $y > 1$，则 $x + y > 2$；③ 若 $x + y \leqq 2$，则 $x \leqq 1$ 且 $y \leqq 1$。解答：（1）$(3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$，所以 $\fbox{A} = 3$，$\fbox{B} = 2$，$\fbox{C} = 1$。$(3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$，所以 $\fbox{D} = 3$，$\fbox{E} = 4$，$\fbox{F} = 1$，$\fbox{G} = 1$。（2）设条件 $p$：”$x + y > 2$“，结论 $q$：”$x > 1$ 或 $y > 1$“，则 $\overline{q}$ 是”$x \leqq 1$ 且 $y \leqq 1$“，$\overline{p}$ 是”$x + y \leqq 2$“。逆否命题 $\overline{q} \Longrightarrow \overline{p}$ 是 ⓪，$\fbox{H} = 0$。逆命题 $q \Longrightarrow p$ 是 ②，$\fbox{I} = 2$。逆命题的真假：反例 $x = 2$，$y = -5$ 满足 $x > 1$，但 $x + y = -3 \leqq 2$。所以逆命题为假，$\fbox{J} = 1$（①）。（选项 ③ 是否命题，① 是把”$x > 1$ 或 $y > 1$“的否定错写成”或“的错误。）

解说　两分钟做法：対偶证明先写“対偶「〜」を証明する”，把结论的否定和条件的否定各写一遍，再按余数分类。空格判断：$n = 3k + 1$ 时展开的常数项 $1$ 要单独占 $\fbox{C}$；$n = 3k + 2$ 时 $4$ 拆成 $3 + 1$，括号里的常数 $1$（$\fbox{F}$）不能漏，否则余数会填成 $4$。选项排除：対偶是“结论的否定 $\Longrightarrow$ 条件的否定”，逆是“结论 $\Longrightarrow$ 条件”；③ 是否命题（裏），① 把“または”的否定错写成“または”。逆命题为假用 $x = 2$，$y = -5$ 核对。

問題 3　（背理法と有理数・無理数）

(1) $\sqrt{2}$ が無理数であることを用いて，「$a$，$b$ が有理数で $a + b\sqrt{2} = 0$ ならば $a = b = 0$」を背理法で証明する。

まず $\fbox{A}$ と仮定すると，$\sqrt{2} = -\dfrac{a}{b}$ となり，右辺は有理数であるから，$\sqrt{2}$ が無理数であることに矛盾する。よって $b = 0$ であり，このとき $a = 0$ である。

$\fbox{A}$ に当てはまるものを，次の ⓪ 〜 ③ の中から一つ選びなさい。

　⓪ $a = 0$　① $a \neq 0$　② $b = 0$　③ $b \neq 0$

(2) 有理数 $p$，$q$ が

$$(1 + \sqrt{2})\,p + (2 - 3\sqrt{2})\,q = 1 + 6\sqrt{2}$$

を満たすとき，$p = \fbox{B}$，$q = \fbox{CD}$ である。

解答　(1) $\sqrt{2} = -\dfrac{a}{b}$ と変形するには $b \ne 0$ である必要があるから，仮定するのは $b \ne 0$ である：③。よって $\fbox{A} = 3$。

(2) 左辺を整理すると $(p + 2q) + (p - 3q)\sqrt{2} = 1 + 6\sqrt{2}$。 $p + 2q$，$p - 3q$ は有理数であるから，(1) より $p + 2q = 1$，$p - 3q = 6$。 これを解くと $5q = -5$，すなわち $q = -1$，$p = 3$ である。よって $\fbox{B} = 3$，$\fbox{CD}$ には「－」と「1」を入れる。

検算：$(1 + \sqrt{2}) \cdot 3 + (2 - 3\sqrt{2}) \cdot (-1) = 3 + 3\sqrt{2} - 2 + 3\sqrt{2} = 1 + 6\sqrt{2}$。

中文翻译　题目：（1）利用 $\sqrt{2}$ 是无理数，用反证法证明“若 $a$、$b$ 是有理数且 $a + b\sqrt{2} = 0$，则 $a = b = 0$”。先假设 $\fbox{A}$，则 $\sqrt{2} = -\dfrac{a}{b}$，右边是有理数，与 $\sqrt{2}$ 是无理数矛盾。所以 $b = 0$，这时 $a = 0$。从 ⓪ $a = 0$、① $a \ne 0$、② $b = 0$、③ $b \ne 0$ 中选一个填入 $\fbox{A}$。（2）有理数 $p$、$q$ 满足 $(1 + \sqrt{2})p + (2 - 3\sqrt{2})q = 1 + 6\sqrt{2}$ 时，$p = \fbox{B}$，$q = \fbox{CD}$。解答：（1）要变形成 $\sqrt{2} = -\dfrac{a}{b}$，需要 $b \ne 0$，所以假设的是 $b \ne 0$：③。因此 $\fbox{A} = 3$。（2）左边整理得 $(p + 2q) + (p - 3q)\sqrt{2} = 1 + 6\sqrt{2}$。$p + 2q$、$p - 3q$ 是有理数，由（1）得 $p + 2q = 1$，$p - 3q = 6$。解得 $5q = -5$，即 $q = -1$，$p = 3$。所以 $\fbox{B} = 3$，$\fbox{CD}$ 填「－」和「1」。检验：$(1 + \sqrt{2}) \cdot 3 + (2 - 3\sqrt{2}) \cdot (-1) = 3 + 3\sqrt{2} - 2 + 3\sqrt{2} = 1 + 6\sqrt{2}$。

解说　两分钟做法：证明填空先找“要除以谁”，那里就是假设的起点；比较系数前先把左边展开、按有理部分和 $\sqrt{2}$ 部分合并。空格判断：$\fbox{A}$ 选 $b \ne 0$；$\fbox{B}$ 是 $3$；$\fbox{CD}$ 是两格，负号单独占一格，填「－」「1」，$1$ 不能省。选项排除：⓪ $a = 0$ 代入后只能得 $b = 0$，推不出矛盾；② $b = 0$ 时分母为 $0$，式子没有意义；① $a \ne 0$ 除以的是 $a$，得不到关于 $\sqrt{2}$ 的有理数表达式。只有 ③ $b \ne 0$ 才能把 $a + b\sqrt{2} = 0$ 变形成 $\sqrt{2} = -\dfrac{a}{b}$。验算代回是最后一步，一定做。

4.8 术语与题干用语

日文	读音	中文	例句或说明
集合	しゅうごう	集合
要素	ようそ	元素	「$a$ は集合 $A$ の要素である」
属する	ぞくする	属于	「$a$ は $A$ に属する」，记作 $a \in A$
部分集合	ぶぶんしゅうごう	子集	$A \subset B$，包括 $A = B$
真部分集合	しんぶぶんしゅうごう	真子集	$A \subset B$ かつ $A \ne B$
空集合	くうしゅうごう	空集	$\varnothing$
共通部分	きょうつうぶぶん	交集	$A \cap B$
和集合	わしゅうごう	并集	$A \cup B$
全体集合	ぜんたいしゅうごう	全集	「全体集合を $U$ とする」
補集合	ほしゅうごう	补集	$\overline{A}$，读「A バー」
要素の個数	ようそのこすう	元素个数	$n(A)$
ド・モルガンの法則	ど・もるがんのほうそく	德摩根律	$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$
命題	めいだい	命题	「次の命題の真偽を調べよ」
条件	じょうけん	条件（含变量的式子）	「条件 $p$：$x > 3$」
真理集合	しんりしゅうごう	使条件成立的元素集合	条件 $p$ の真理集合 $P$
真	しん	真
偽	ぎ	假	「この命題は偽である」
反例	はんれい	反例	「反例を挙げよ」
仮定	かてい	条件（前件）；假设	「〜と仮定する」
結論	けつろん	结论
否定	ひてい	否定	「条件 $p$ の否定を $\overline{p}$ で表す」
かつ	かつ	且	「$x > 0$ かつ $y > 0$」
または	または	或	「$x = 0$ または $y = 0$」
すべての	すべての	所有的、任意的	「すべての実数 $x$ について」
ある	ある	某个、存在	「ある実数 $x$ について」，不是“有”
少なくとも	すくなくとも	至少	「少なくとも一方は」「少なくとも 1 つは」
ともに	ともに	都、同时	「$x$，$y$ はともに正である」
いずれも	いずれも	都（三个以上）	「いずれも 1 に等しくない」
十分条件	じゅうぶんじょうけん	充分条件	「$p$ は $q$ であるための十分条件である」
必要条件	ひつようじょうけん	必要条件	「$q$ は $p$ であるための必要条件である」
必要十分条件	ひつようじゅうぶんじょうけん	充要条件
同値	どうち	等价	「$p$ と $q$ は同値である」，$p \Longleftrightarrow q$
〜であるための	〜であるための	……的（条件）	「〜であるための必要条件」
逆	ぎゃく	逆命题	$q \Longrightarrow p$
裏	うら	否命题	$\overline{p} \Longrightarrow \overline{q}$
対偶	たいぐう	逆否命题	$\overline{q} \Longrightarrow \overline{p}$
背理法	はいりほう	反证法	「背理法を用いて証明せよ」
矛盾	むじゅん	矛盾	「これは〜に矛盾する」
有理数	ゆうりすう	有理数
無理数	むりすう	无理数	「$\sqrt{2}$ は無理数である」
互いに素	たがいにそ	互素	「互いに素な自然数 $m$，$n$」
ひし形	ひしがた	菱形
当てはまる	あてはまる	合适、符合	「$\fbox{A}$ に当てはまるもの」
証明せよ	しょうめいせよ	证明
〜を満たす	〜をみたす	满足……	「$a + b + c > 3$ を満たす」
したがって	したがって	因此	证明的最后一句
繰り返し選んでもよい	くりかえしえらんでもよい	可以重复选	选择型空格的说明

4.9 自测

1. 全集 $U = \{1, 2, \dots, 10\}$，$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$，$B = \{2, 4, 6, 8, 10\}$。求 $\overline{A} \cap \overline{B}$ 的元素。
2. $A = \{x \mid a - 1 \le x \le 2a\}$（$a > -1$），$B = \{x \mid 0 \le x \le 8\}$。按日本记号 $A \subset B$，求 $a$ 的范围。
3. 写出条件”$x \ge 1$ かつ $y < 3$“的否定。
4. 写出“すべての実数 $x$ について $x^2 + ax + 1 > 0$“的否定，并求使原命题为真的 $a$ 的范围。
5. $x$ 是实数。“$x^2 < 1$“是”$x < 1$“的什么条件？从 ⓪ 必要十分条件、① 必要条件であるが十分条件でない、② 十分条件であるが必要条件でない、③ 必要条件でも十分条件でもない 中选编号。
6. “$|x - a| < 2$“是”$-1 < x < 5$“的十分条件，求 $a$ 的范围。
7. 写出命题”$x = 1$ ならば $x^2 = 1$“的逆、裏、対偶，并指出哪些为真。
8. 用背理法证明 $\sqrt{3}$ 是无理数时，第一步应设什么？证明中要用到哪个用対偶证明的结论？

答案：1. $\{7, 9\}$；2. $1 \le a \le 4$；3. “$x < 1$ または $y \ge 3$”；4. 否定“ある実数 $x$ について $x^2 + ax + 1 \le 0$”，原命题为真时 $-2 < a < 2$；5. 选 ②（$x^2 < 1 \iff -1 < x < 1$，含于 $x < 1$）；6. $1 \le a \le 3$；7. 逆”$x^2 = 1$ ならば $x = 1$“偽，裏”$x \ne 1$ ならば $x^2 \ne 1$“偽，対偶”$x^2 \ne 1$ ならば $x \ne 1$“真（原命题也真）；8. 设 $\sqrt{3} = \dfrac{m}{n}$（$m$、$n$ 是互素的自然数），要用”$n^2$ 是 3 的倍数则 $n$ 是 3 的倍数”。

4.10 深入阅读

• JASSO · 日本留学試験 数学シラバス：官方出题范围原文，第 2 项「集合と命題」只列集合、命題と条件两个中项目，本章按日本数学Ⅰ教科书展开。
• 维基百科（日文）· 対偶 (論理学)：逆・裏・対偶的日文定义和真偽关系，查日文术语的标准说法时用。
• 维基百科（日文）· 背理法：背理法的原理和 √2 是无理数、素数无限等经典例子的日文写法。
• 维基百科（日文）· ド・モルガンの法則：集合和命题两种形式的德摩根律，上划线补集记号的写法。