第 22 章 · 積分法（不定積分と定積分）

项目	内容
シラバス项目	20. 積分法（数学Ⅱ，数学Ⅲ）：(1) 不定積分と定積分（① 積分とその基本的な性質 ② 置換積分法・部分積分法 ③ いろいろな関数の積分）
コース	仅コース2
国内书对应	无。国内书第 24、25 章（导数）是前置，积分一节都没有
本章新内容的分量	全新。定积分、原始関数、两种积分法、各类函数的积分、微分積分学の基本定理，全部从零学

国内现行高中课程没有积分：旧课标选修 2-2 讲过定积分和微积分基本定理，新课标已经删掉。EJU コース2 却几乎每回都考：查 2017–2021 年公开的七份过去问（2017 年第 1、2 回，2018 年第 1、2 回，2019 年第 1 回，2020 年第 2 回，2021 年第 1 回），コース2 的大问 Ⅳ 每一份都以定积分收尾，七份里有六份是求面积，前面先用微分（第 21 章 21.7 节）求增减或交点。丢分主要丢在四处：忘了换积分上下限，部分积分的符号弄反，$\sin^2 x$ 不会降次，把 $\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt$ 当成 $x$ 的函数。

本章的 $\log$ 一律指自然对数（底为 $e$，国内写 $\ln$），这是 EJU 和日本教科书的写法，第 2 章已经说过。面积、体积、曲线长等应用放在第 23 章。

22.1 与国内的对照

シラバス小项目（日文原文）	国内书位置	相同 / 讲法不同 / 国内没有	本章哪节讲
① 積分とその基本的な性質：定積分の意味、区分求積法	无（国内书第 11 章只用面积比较过 $\sin\alpha < \alpha < \tan\alpha$）	国内没有	22.2
① 積分とその基本的な性質：原始関数、不定積分	无	国内没有	22.3
① 積分とその基本的な性質：定積分の計算と性質	无	国内没有	22.4
② 置換積分法	无（国内书第 24 章 24.6 节的复合函数求导是它的反方向）	国内没有	22.5
② 部分積分法	无（国内书第 24 章 24.5 节积的导数是它的反方向）	国内没有	22.6
③ いろいろな関数の積分（分数関数、三角関数、指数・対数関数）	无	国内没有	22.7
微分積分学の基本定理、定積分で表された関数（シラバス没有单列，属于 ① 的内容）	无	国内没有	22.8

在日本教科书里，积分分两段学：数学Ⅱ 只积多项式，用“原始関数の差”定义定积分，配合求面积；数学Ⅲ 才学三角、指数、对数、分数函数的积分，置換積分法、部分積分法，以及把定积分看成和的极限的区分求積法。EJU コース2 两段都考，而且常把它们混在一道大题里。

本章七个知识点的顺序：先从面积弄懂定积分是什么（22.2），再学怎么找原始関数（22.3），两者由微分積分学の基本定理接起来，得到计算方法和性质（22.4）；22.5、22.6 是两种变形技巧，22.7 按函数类型汇总；22.8 反过来对积分求导，处理“用定积分定义的函数”。

22.2 定積分の意味と区分求積法

说明

面积的想法：函数 $f(x)$ 在 $a \le x \le b$ 上连续且 $f(x) \ge 0$，曲线 $y = f(x)$、$x$ 轴、直线 $x = a$、$x = b$ 围成一块图形。它的面积怎么算？把区间 $n$ 等分，每段宽 $\Delta x = \dfrac{b - a}{n}$，在每段上立一个矩形，高取这段右端点的函数值。$n$ 个矩形的面积之和

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x, \qquad x_k = a + k\,\Delta x$$

是面积的近似值。$n$ 越大，矩形越细，误差越小。$n \to \infty$ 时 $S_n$ 的极限就是这块面积，记作

$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x.$$

读作「$a$ から $b$ までの $f(x)$ の定積分」。$\int$ 是拉长的 S（sum，和），$f(x)\,dx$ 是“高 × 很窄的宽”。$a$ 叫下端，$b$ 叫上端，$f(x)$ 叫被積分関数，$x$ 叫積分変数。

有正有负：$f(x)$ 有负值时，上面的和里 $f(x_k)\,\Delta x$ 是负数。所以定积分是“带符号的面积”：$x$ 轴上方的面积算正，下方的算负，两部分相加。

区分求積法：把上面的定义倒过来用，就能求某些和的极限。区间取 $0 \le x \le 1$ 时 $\Delta x = \dfrac{1}{n}$，$x_k = \dfrac{k}{n}$：

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\!\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x)\,dx.$$

日本数学Ⅱ 的教科书先用原始関数定义定积分（见 22.4），数学Ⅲ 再说明它等于这里的和的极限，叫「区分求積法」。两种说法对连续函数是一致的。本节先讲面积的意思，因为它告诉我们积分在算什么。

使用场景

• 被积函数的图形是直线、圆、半圆：定积分可以直接看成三角形、梯形、扇形的面积。
• 题目问定积分的符号，或积分区间里函数有正有负：按“上方算正、下方算负”判断。
• 题目给出 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sum$ 形式的和，每项能整理成 $\dfrac{1}{n} f\!\left(\dfrac{k}{n}\right)$：用区分求積法化成定积分。

注意点

• 定积分是一个数，不是函数；它的值跟积分变数用什么字母无关：$\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx = \int_0^1 t^2\,dt$。
• 定积分是带符号的面积。题目问“面积”时要的是正数，$f(x)$ 在 $x$ 轴下方的部分要取绝对值（第 23 章）。
• 区分求積法的关键是凑出 $\dfrac{1}{n}$ 和 $\dfrac{k}{n}$：和里的 $n$ 要全部变成 $\dfrac{k}{n}$ 的形式，剩下一个 $\dfrac{1}{n}$ 当宽。$k$ 从 1 到 $n$ 或从 0 到 $n - 1$，极限相同。
• EJU 题干的说法：「定積分 $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx$ の値を求めよ」「$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{n + k}$ を定積分で表すと」。

证明

结论：$\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{3}$（直接由定义算）。 把 $0 \le x \le 1$ 等分成 $n$ 段，用右端点作高（矩形在曲线上方）：

$$S_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{k}{n}\right)^2 = \frac{1}{n^3} \cdot \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} = \frac{(n + 1)(2n + 1)}{6n^2}.$$

（关键一步：$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ 是第 14 章的公式，有了它，和才能写成 $n$ 的式子再取极限。）用左端点作高（矩形在曲线下方）：

$$s_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{k}{n}\right)^2 = \frac{(n - 1)(2n - 1)}{6n^2}.$$

真正的面积 $S$ 夹在两者之间：$s_n \le S \le S_n$。$n \to \infty$ 时 $S_n \to \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$，$s_n \to \dfrac{1}{3}$（第 20 章），所以 $S = \dfrac{1}{3}$。

严格性：高中只对具体函数这样算。“连续函数的这种和一定有极限，而且怎么分、取哪一点作高都得到同一个值”（黎曼积分的存在性）要用大学分析里的一致连续性才能证明，日本高中教科书把它当作事实使用。

例题

例 1　（场景：图形是圆、直线）

問題　$\displaystyle\int_{-2}^{2} \sqrt{4 - x^2}\,dx$ と $\displaystyle\int_0^3 |x - 1|\,dx$ を求めよ。

解答　(1) $y = \sqrt{4 - x^2}$ の両辺を $2$ 乗すると $x^2 + y^2 = 4$（$y \geqq 0$）で，半径 $2$ の上半円を表す。定積分はこの半円の面積であるから，$\dfrac{1}{2} \cdot \pi \cdot 2^2 = 2\pi$。

(2) $y = |x - 1|$ は $0 \leqq x \leqq 3$ で $2$ 本の線分からなり，$x$ 軸と $2$ つの三角形を囲む。左側は底辺 $1$，高さ $1$ で面積 $\dfrac{1}{2}$，右側は底辺 $2$，高さ $2$ で面積 $2$ である。よって $\displaystyle\int_0^3 |x - 1|\,dx = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$。

中文翻译　题目：求 $\displaystyle\int_{-2}^{2} \sqrt{4 - x^2}\,dx$ 和 $\displaystyle\int_0^3 |x - 1|\,dx$。解答：（1）$y = \sqrt{4 - x^2}$ 两边平方得 $x^2 + y^2 = 4$（$y \geqq 0$），是半径 $2$ 的上半圆。定积分就是这半个圆的面积，$\dfrac{1}{2} \cdot \pi \cdot 2^2 = 2\pi$。（2）$y = |x - 1|$ 在 $0 \leqq x \leqq 3$ 上是两条线段，和 $x$ 轴围成两个三角形。左边底 $1$、高 $1$，面积 $\dfrac{1}{2}$；右边底 $2$、高 $2$，面积 $2$。所以 $\displaystyle\int_0^3 |x - 1|\,dx = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$。

解说　被积函数的图形是半圆、三角形、梯形时，不必找原函数，直接算面积最快。第 2 小题的折线在 $x = 1$ 处转折，两块都在 $x$ 轴上方，所以都算正。

例 2　（场景：函数有正有负，判断符号和值）

問題　$\displaystyle\int_0^3 (x - 2)\,dx$ を求めよ。また，計算しないで $\displaystyle\int_0^{2\pi} \sin x\,dx$ の値を説明せよ。

解答　(1) $y = x - 2$ は $0 \leqq x \leqq 2$ では $x$ 軸の下側にあり，$x$ 軸と底辺 $2$，高さ $2$ の三角形を囲む。面積は $2$ で符号は負だから $-2$。$2 \leqq x \leqq 3$ では $x$ 軸の上側にあり，底辺 $1$，高さ $1$ の三角形の面積は $\dfrac{1}{2}$ である。よって $\displaystyle\int_0^3 (x - 2)\,dx = -2 + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$。

(2) $y = \sin x$ の $0 \leqq x \leqq \pi$ の山と $\pi \leqq x \leqq 2\pi$ の山は点 $(\pi, 0)$ に関して対称で，一方は $x$ 軸の上側，他方は下側にあり，面積が等しく符号が反対である。よって $\displaystyle\int_0^{2\pi} \sin x\,dx = 0$。

中文翻译　题目：求 $\displaystyle\int_0^3 (x - 2)\,dx$。另外，不计算，说明 $\displaystyle\int_0^{2\pi} \sin x\,dx$ 的值。解答：（1）$y = x - 2$ 在 $0 \leqq x \leqq 2$ 上位于 $x$ 轴下方，与 $x$ 轴围成底 $2$、高 $2$ 的三角形，面积 $2$，符号为负，所以是 $-2$。在 $2 \leqq x \leqq 3$ 上位于 $x$ 轴上方，底 $1$、高 $1$ 的三角形面积是 $\dfrac{1}{2}$。所以 $\displaystyle\int_0^3 (x - 2)\,dx = -2 + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$。（2）$y = \sin x$ 在 $0 \leqq x \leqq \pi$ 的拱与 $\pi \leqq x \leqq 2\pi$ 的拱关于点 $(\pi, 0)$ 对称，一个在 $x$ 轴上方，一个在下方，面积相等、符号相反。所以 $\displaystyle\int_0^{2\pi} \sin x\,dx = 0$。

解说　容易卡在：把“定积分”和“面积”混为一谈，以为第 1 小题答案是 $2 + \dfrac{1}{2}$。定积分是带符号的面积，$x$ 轴下方的部分算负；题目问“面积”时才取正（第 23 章）。

例 3　（场景：和的极限化成定积分）

問題　$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1^3 + 2^3 + \cdots + n^3}{n^4}$ を求めよ。

解答　$\dfrac{1}{n}$ と $\dfrac{k}{n}$ が現れるように整理する：

$$\frac{1}{n^4} \sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{k}{n}\right)^3 \longrightarrow \int_0^1 x^3\,dx = \frac{1}{4}.$$

最後の値は，$x^3$ の原始関数 $\dfrac{x^4}{4}$ より $\dfrac{1}{4} - 0 = \dfrac{1}{4}$ である。

中文翻译　题目：求 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1^3 + 2^3 + \cdots + n^3}{n^4}$。解答：整理成出现 $\dfrac{1}{n}$ 和 $\dfrac{k}{n}$ 的形式：$\displaystyle\frac{1}{n^4} \sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{k}{n}\right)^3 \longrightarrow \int_0^1 x^3\,dx = \frac{1}{4}$。最后的值由 $x^3$ 的原函数 $\dfrac{x^4}{4}$ 得 $\dfrac{1}{4} - 0 = \dfrac{1}{4}$。

解说　另一种解法：用第 14 章的公式 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{n^2(n + 1)^2}{4}$，原式 $= \dfrac{(n + 1)^2}{4n^2} \to \dfrac{1}{4}$。能用 Σ 公式求出和时两种方法都行；和求不出来时（如下面的例 4），只能用区分求積法。

例 4　（场景：和的极限化成定积分）

問題　$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \cdots + \frac{1}{2n}\right)$ を求めよ。

解答　各項の分母と分子を $n$ で割ると

$$\frac{1}{n + k} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + \frac{k}{n}}$$

であるから，

$$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n + k} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + \frac{k}{n}} = \int_0^1 \frac{1}{1 + x}\,dx = \Big[\log(1 + x)\Big]_0^1 = \log 2.$$

（$\dfrac{1}{1 + x}$ の原始関数は $\log(1 + x)$ である。）

中文翻译　题目：求 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \cdots + \frac{1}{2n}\right)$。解答：把每一项的分母和分子都除以 $n$：$\displaystyle\frac{1}{n + k} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + \frac{k}{n}}$，所以 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n + k} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + \frac{k}{n}} = \int_0^1 \frac{1}{1 + x}\,dx = \Big[\log(1 + x)\Big]_0^1 = \log 2$。（$\dfrac{1}{1 + x}$ 的原函数是 $\log(1 + x)$。）

解说　容易卡在：$\dfrac{1}{n + k}$ 里没有现成的 $\dfrac{1}{n}$，要先提出来。凑成 $\dfrac{1}{n} f\!\left(\dfrac{k}{n}\right)$ 后，把 $\dfrac{k}{n}$ 换成 $x$、把 $\dfrac{1}{n}$ 换成 $dx$。

常用推论

• 一般区间的区分求積法：$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{b - a}{n} \sum_{k=1}^{n} f\!\left(a + \frac{k(b - a)}{n}\right) = \int_a^b f(x)\,dx$。推导：就是本节定义里的 $\Delta x = \dfrac{b - a}{n}$。
• 和的项数可以差几项：$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\!\left(\frac{k}{n}\right)$ 也等于 $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx$；$k$ 从 1 到 $2n$ 时对应 $\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx$。推导：多一项或少一项 $\dfrac{1}{n} f(\cdot)$，它趋于 0；$\dfrac{k}{n}$ 的范围决定上下端。
• 常数的定积分：$\displaystyle\int_a^b c\,dx = c(b - a)$，就是矩形面积。
• 定积分与不等式：$a \le x \le b$ 上 $f(x) \le g(x)$，则 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \le \int_a^b g(x)\,dx$。推导：每个矩形的高都是 $f(x_k) \le g(x_k)$，和的极限保持不等号。

易错点

• 错在哪：认为 $\displaystyle\int_0^3 (x - 2)\,dx$ 是图形的面积 $\dfrac{5}{2}$。 为什么错：定积分对 $x$ 轴下方的部分算负值，是带符号的面积。 正确做法：分清题目要“定积分的值”还是“面积”；求面积时把下方部分取正（第 23 章）。
• 错在哪：区分求積法里把 $\displaystyle\lim \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n + k}$ 写成 $\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{n + x}\,dx$。 为什么错：积分号里不能再出现 $n$。$n$ 必须全部化进 $\dfrac{k}{n}$ 和最外面的 $\dfrac{1}{n}$。 正确做法：分子分母同除以 $n$，写成 $\dfrac{1}{n} f\!\left(\dfrac{k}{n}\right)$，再把 $\dfrac{k}{n}$ 换成 $x$、$\dfrac{1}{n}$ 换成 $dx$。
• 错在哪：$\displaystyle\lim \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{2n} f\!\left(\frac{k}{n}\right)$ 仍写成 $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx$。 为什么错：$k$ 走到 $2n$ 时 $\dfrac{k}{n}$ 走到 2，积分区间是 $0 \le x \le 2$。 正确做法：看 $\dfrac{k}{n}$ 最小值和最大值的极限，定出下端和上端。

直观理解

定积分是“无数个细长条的面积加起来”。$\int$ 这个符号是莱布尼茨从拉丁文 summa（和）的首字母 S 拉长来的，$dx$ 是每个细条的宽。所以“积分 = 和的极限”写在记号里了。

物理上，速度 $v(t)$ 在 $a \le t \le b$ 上的定积分是这段时间的位移：每一小段时间 $\Delta t$ 里走了约 $v(t)\,\Delta t$，加起来就是位移。速度为负（往回走）时位移减少，这正是“带符号”的含义。

关联知识点

• 前置：第 14 章 数列：$\sum k$、$\sum k^2$、$\sum k^3$ 公式，用来直接算矩形和。
• 前置：第 20 章 極限：和的极限、夹逼。
• 国内书第 11 章：用扇形、三角形面积比较 $\sin\alpha$、$\alpha$、$\tan\alpha$，是“用面积看函数”的一个例子。
• 后续：22.4 节用原始関数算定积分，并证明它等于这里的面积。
• 后续：第 23 章 積分の応用：面积、体积、曲线长都是“细条求和取极限”。

22.3 原始関数と不定積分

说明

原始関数：若 $F'(x) = f(x)$，就说 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原始関数（原函数）。例如 $(x^3)' = 3x^2$，所以 $x^3$ 是 $3x^2$ 的原始関数；$x^3 + 5$、$x^3 - 2$ 也是。

不定積分：$f(x)$ 的原始関数有无穷多个，彼此只差一个常数。把它们合起来写成

$$\int f(x)\,dx = F(x) + C \qquad (C \text{ は積分定数}),$$

叫 $f(x)$ 的不定積分，$C$ 叫積分定数。求不定积分叫“积分”（積分する），它是微分的逆运算。日本教科书和 EJU 题干固定写一句「ただし，$C$ は積分定数とする」。

基本公式（都由第 21 章 21.4 节的导数公式倒过来得到，$C$ 是积分常数）：

被积函数 $f(x)$	不定积分 $\displaystyle\int f(x)\,dx$	由哪个导数来
$x^{\alpha}$（$\alpha \ne -1$）	$\dfrac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C$	$(x^{\alpha+1})' = (\alpha + 1)x^{\alpha}$
$\dfrac{1}{x}$	$\log\lvert x \rvert + C$	$(\log\lvert x\rvert)' = \dfrac{1}{x}$
$e^x$	$e^x + C$	$(e^x)' = e^x$
$a^x$（$a > 0$，$a \ne 1$）	$\dfrac{a^x}{\log a} + C$	$(a^x)' = a^x \log a$
$\sin x$	$-\cos x + C$	$(\cos x)' = -\sin x$
$\cos x$	$\sin x + C$	$(\sin x)' = \cos x$
$\dfrac{1}{\cos^2 x}$	$\tan x + C$	$(\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}$
$\dfrac{1}{\sin^2 x}$	$-\dfrac{1}{\tan x} + C$	$\left(\dfrac{1}{\tan x}\right)' = -\dfrac{1}{\sin^2 x}$

线性：$\displaystyle\int \{kf(x) + lg(x)\}\,dx = k\int f(x)\,dx + l\int g(x)\,dx$（$k$、$l$ 是常数），所以多项式可以逐项积分。

一次式代入：$F'(x) = f(x)$，$a \ne 0$ 时

$$\int f(ax + b)\,dx = \frac{1}{a} F(ax + b) + C.$$

例如 $\displaystyle\int (2x - 1)^4\,dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x - 1)^5}{5} + C$。

使用场景

• 被积函数是多项式、$\sqrt{x}$、$\dfrac{1}{x^2}$ 这类幂函数的和：先展开或化成 $x^{\alpha}$，再逐项用幂的公式。
• 被积函数是 $e^x$、$a^x$、$\sin x$、$\cos x$、$\dfrac{1}{\cos^2 x}$ 的组合：直接查表；$\tan^2 x$ 先化成 $\dfrac{1}{\cos^2 x} - 1$。
• 被积函数是 $f(ax + b)$ 的形状（如 $(2x - 1)^4$、$e^{3x+1}$、$\cos 2x$）：用一次式代入的公式，别忘了乘 $\dfrac{1}{a}$。
• 题目给出导函数（或“切线斜率”）和曲线经过的一点，求函数：先求不定积分，再用这一点定 $C$。

注意点

• 不定积分一定要写 $+C$；EJU 的空格里不会出现 $C$，但选择项会写成「$\cdots + C$」，题干会注明 $C$ 是积分常数。
• $\dfrac{1}{x}$ 的原始関数是 $\log\lvert x\rvert$，绝对值不能丢：$x < 0$ 时 $\log x$ 没有定义。题目已限定 $x > 0$ 时可以写 $\log x$。
• 幂的公式 $\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}$ 在 $\alpha = -1$ 时分母为 0，不能用，这正是 $\dfrac{1}{x}$ 要单独记的原因。
• 积不能逐个积分：$\displaystyle\int x \cos x\,dx \ne \int x\,dx \cdot \int \cos x\,dx$。积的积分要用 22.5、22.6 节的方法。
• 根号先化成分数指数：$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$，$\dfrac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$；答案常写回 $x\sqrt{x}$ 的形式。

证明

结论 1：$f(x)$ 的任意两个原始関数只差一个常数。 设 $F'(x) = G'(x) = f(x)$，令 $H(x) = G(x) - F(x)$，则 $H'(x) = 0$。由第 21 章 21.6 节的平均値の定理，对区间内任意 $x_1 < x_2$，有 $c$ 使

$$H(x_2) - H(x_1) = H'(c)(x_2 - x_1) = 0.$$

（关键一步：导数处处为 0，函数在区间上任意两点的值都相等，所以是常数。）于是 $G(x) = F(x) + C$。注意这里要求在一个区间上：$\dfrac{1}{x}$ 的定义域分成 $x < 0$ 和 $x > 0$ 两段，两段上的常数可以不同，高中不讨论这种细节。

结论 2：$\displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx = \log\lvert x\rvert + C$。 $x > 0$ 时 $(\log x)' = \dfrac{1}{x}$。$x < 0$ 时 $\log\lvert x\rvert = \log(-x)$，由合成関数の微分法，$\{\log(-x)\}' = \dfrac{1}{-x} \cdot (-1) = \dfrac{1}{x}$。两种情况合起来就是 $(\log\lvert x\rvert)' = \dfrac{1}{x}$。

结论 3：一次式代入。 $\left\{\dfrac{1}{a}F(ax + b)\right\}' = \dfrac{1}{a} \cdot F'(ax + b) \cdot a = f(ax + b)$，用的是合成関数の微分法（第 21 章 21.3 节；国内书第 24 章 24.6 节讲过 $f(ax + b)$ 的求导）。

表中其余公式都是把右边求导验证，不再一一写出。

例题

例 1　（场景：幂函数逐项积分）

問題　$\displaystyle\int (3x^2 - 4x + 5)\,dx$ と $\displaystyle\int \frac{(x + 1)^2}{\sqrt{x}}\,dx$ を求めよ。ただし，$C$ は積分定数とする。

解答　(1) 項ごとに積分する：$\displaystyle\int (3x^2 - 4x + 5)\,dx = x^3 - 2x^2 + 5x + C$。

(2) 展開してから累乗の形に直す：$\dfrac{(x + 1)^2}{\sqrt{x}} = \dfrac{x^2 + 2x + 1}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{3}{2}} + 2x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}$。項ごとに積分すると

$$\int \frac{(x + 1)^2}{\sqrt{x}}\,dx = \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + \frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}} + 2x^{\frac{1}{2}} + C = \frac{2}{5}x^2\sqrt{x} + \frac{4}{3}x\sqrt{x} + 2\sqrt{x} + C.$$

中文翻译　题目：求 $\displaystyle\int (3x^2 - 4x + 5)\,dx$ 和 $\displaystyle\int \frac{(x + 1)^2}{\sqrt{x}}\,dx$，$C$ 是积分常数。解答：（1）逐项积分：$\displaystyle\int (3x^2 - 4x + 5)\,dx = x^3 - 2x^2 + 5x + C$。（2）先展开再化成幂：$\dfrac{(x + 1)^2}{\sqrt{x}} = \dfrac{x^2 + 2x + 1}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{3}{2}} + 2x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}$。逐项积分：$\displaystyle\int \frac{(x + 1)^2}{\sqrt{x}}\,dx = \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + \frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}} + 2x^{\frac{1}{2}} + C = \frac{2}{5}x^2\sqrt{x} + \frac{4}{3}x\sqrt{x} + 2\sqrt{x} + C$。

解说　容易卡在：$x^{-\frac{1}{2}}$ 积分后是 $\dfrac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2x^{\frac{1}{2}}$，除以 $\dfrac{1}{2}$ 等于乘 2。根号先化成分数指数，积完再把 $x^{\frac{5}{2}}$ 写回 $x^2\sqrt{x}$，和 EJU 选择项的形式一致。

例 2　（场景：指数、三角函数查表）

問題　$\displaystyle\int \left(e^x - 2\sin x + \frac{3}{\cos^2 x}\right)dx$，$\displaystyle\int 2^x\,dx$，$\displaystyle\int \tan^2 x\,dx$ を求めよ。ただし，$C$ は積分定数とする。

解答　(1) 項ごとに公式を使う：$e^x - 2(-\cos x) + 3\tan x + C = e^x + 2\cos x + 3\tan x + C$。

(2) $\displaystyle\int 2^x\,dx = \frac{2^x}{\log 2} + C$。

(3) $\tan^2 x$ は公式表にないので，$1 + \tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}$ を使って表にある形に直す：$\displaystyle\int \tan^2 x\,dx = \int \left(\frac{1}{\cos^2 x} - 1\right)dx = \tan x - x + C$。

中文翻译　题目：求 $\displaystyle\int \left(e^x - 2\sin x + \frac{3}{\cos^2 x}\right)dx$、$\displaystyle\int 2^x\,dx$ 和 $\displaystyle\int \tan^2 x\,dx$，$C$ 是积分常数。解答：（1）逐项查表：$e^x - 2(-\cos x) + 3\tan x + C = e^x + 2\cos x + 3\tan x + C$。（2）$\displaystyle\int 2^x\,dx = \frac{2^x}{\log 2} + C$。（3）$\tan^2 x$ 不在表里，用 $1 + \tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}$ 化成表里有的形式：$\displaystyle\int \tan^2 x\,dx = \int \left(\frac{1}{\cos^2 x} - 1\right)dx = \tan x - x + C$。

解说　$\tan^2 x$ 这类“表里没有”的函数，先用三角恒等式变形（第 13 章）。$\displaystyle\int \sin x\,dx = -\cos x + C$ 的负号最容易丢；$\displaystyle\int a^x\,dx = \dfrac{a^x}{\log a} + C$ 的底数 $a$ 是 $2$ 时就是 $\log 2$，不要写成 $\log 10$。

例 3　（场景：$f(ax + b)$ 型）

問題　$\displaystyle\int (2x - 1)^4\,dx$，$\displaystyle\int e^{3x + 1}\,dx$，$\displaystyle\int \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)dx$，$\displaystyle\int \frac{1}{2x + 1}\,dx$ を求めよ。ただし，$C$ は積分定数とする。

解答　いずれも $\displaystyle\int f(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}F(ax + b) + C$ による。

(1) $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{(2x - 1)^5}{5} + C = \dfrac{(2x - 1)^5}{10} + C$。

(2) $\dfrac{1}{3}e^{3x + 1} + C$。

(3) $\dfrac{1}{2}\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) + C$。

(4) $\dfrac{1}{2}\log\lvert 2x + 1\rvert + C$。

中文翻译　题目：求 $\displaystyle\int (2x - 1)^4\,dx$、$\displaystyle\int e^{3x + 1}\,dx$、$\displaystyle\int \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)dx$、$\displaystyle\int \frac{1}{2x + 1}\,dx$，$C$ 是积分常数。解答：都套 $\displaystyle\int f(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}F(ax + b) + C$：（1）$\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{(2x - 1)^5}{5} + C = \dfrac{(2x - 1)^5}{10} + C$。（2）$\dfrac{1}{3}e^{3x + 1} + C$。（3）$\dfrac{1}{2}\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) + C$。（4）$\dfrac{1}{2}\log\lvert 2x + 1\rvert + C$。

解说　验算任何一个都只要求导：例如 $\left\{\dfrac{(2x - 1)^5}{10}\right\}' = \dfrac{5(2x - 1)^4 \cdot 2}{10} = (2x - 1)^4$。容易卡在：把 $(2x - 1)^4$ 展开再积分，费时又容易错；或者忘了乘 $\dfrac{1}{2}$。

例 4　（场景：由导函数和一点定函数）

問題　曲線 $y = f(x)$ が点 $(1, 4)$ を通り，曲線上の各点 $(x, y)$ における接線の傾きが $6x^2 - 2x + 1$ であるとき，$f(x)$ を求めよ。

解答　接線の傾きは $f'(x)$ であるから，

$$f(x) = \int (6x^2 - 2x + 1)\,dx = 2x^3 - x^2 + x + C.$$

点 $(1, 4)$ を通るから $f(1) = 2 - 1 + 1 + C = 4$，よって $C = 2$ である。したがって $f(x) = 2x^3 - x^2 + x + 2$。

中文翻译　题目：曲线 $y = f(x)$ 过点 $(1, 4)$，曲线上每一点 $(x, y)$ 处切线的斜率是 $6x^2 - 2x + 1$，求 $f(x)$。解答：切线斜率就是 $f'(x)$，所以 $f(x) = \displaystyle\int (6x^2 - 2x + 1)\,dx = 2x^3 - x^2 + x + C$。过点 $(1, 4)$，所以 $f(1) = 2 - 1 + 1 + C = 4$，$C = 2$。因此 $f(x) = 2x^3 - x^2 + x + 2$。

解说　“切线斜率”就是导函数，这是积分与微分之间最常见的应用题型：先求不定积分，再代入已知点定积分常数。题目给的是一点而不是两点，因为一个常数只需要一个条件。（答案里的 $C$ 最后由点定出，不再保留。）

常用推论

• $\displaystyle\int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + C$，$\displaystyle\int \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + C$，$\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = 2\sqrt{x} + C$。推导：幂的公式取 $\alpha = -2$、$\dfrac{1}{2}$、$-\dfrac{1}{2}$。
• $\displaystyle\int \tan^2 x\,dx = \tan x - x + C$。推导：本节例 2。
• $\displaystyle\int (x - a)^n\,dx = \frac{(x - a)^{n+1}}{n + 1} + C$（$n \ne -1$）。推导：一次式代入取 $a = 1$。数学Ⅱ 的面积题常用它，不必展开。
• $\displaystyle\int \sin(ax + b)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(ax + b) + C$，$\displaystyle\int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C$。推导：一次式代入。

易错点

• 错在哪：$\displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx$ 用幂的公式写成 $\dfrac{x^0}{0}$，或写成 $\log x + C$ 而题目里 $x$ 可以是负数。 为什么错：幂的公式要求 $\alpha \ne -1$；$\log x$ 只在 $x > 0$ 有定义。 正确做法：单独记 $\displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx = \log\lvert x\rvert + C$。
• 错在哪：$\displaystyle\int \sin x\,dx = \cos x + C$。 为什么错：$(\cos x)' = -\sin x$，所以 $\cos x$ 是 $-\sin x$ 的原始関数。 正确做法：$\displaystyle\int \sin x\,dx = -\cos x + C$。拿不准就求导验算一次。
• 错在哪：$\displaystyle\int e^{3x}\,dx = e^{3x} + C$ 或 $3e^{3x} + C$。 为什么错：$(e^{3x})' = 3e^{3x}$，多出的 3 要除掉，不是乘上。 正确做法：$\displaystyle\int e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x} + C$。
• 错在哪：$\displaystyle\int \frac{1}{(2x+1)^2}\,dx$ 写成 $\log(2x+1)^2 + C$。 为什么错：只有分母是一次式的 1 次方时才得 $\log$；平方时是幂 $(2x + 1)^{-2}$。 正确做法：$\displaystyle\int (2x + 1)^{-2}\,dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x + 1)^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{2(2x + 1)} + C$。

直观理解

微分是“已知路程求速度”，积分是“已知速度求路程”。知道每一时刻的速度，只能推出“走了多远”，推不出“从哪里出发”：出发点不同，路程函数就差一个常数，这个常数就是 $C$。题目再给“某一时刻在哪里”（曲线过某点），$C$ 才定下来。

图像上，$f(x)$ 的原始関数是一族曲线，它们互相上下平移；在同一个 $x$ 处，每条曲线的切线斜率都等于 $f(x)$。

关联知识点

• 前置：第 21 章 21.3、21.4 节：合成関数の微分法和三角、指数、对数函数的导数，本节的表就是把它倒过来。
• 前置：国内书第 24 章 24.4、24.6 节：基本初等函数的导数、$f(ax + b)$ 的导数。
• 前置：第 21 章 21.6 节 平均値の定理：证明原始関数只差常数。
• 后续：22.4 节用原始関数计算定积分。
• 后续：22.5、22.6 节处理表里没有、不能逐项积分的函数。
• 常一起考：第 13 章 三角関数：$1 + \tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}$ 这类恒等式用来把被积函数化成表里有的形式。

22.4 定積分の計算と性質

说明

用原始関数算定积分：$f(x)$ 在 $a \le x \le b$ 上连续，$F(x)$ 是它的一个原始関数，则

$$\int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a).$$

$\Big[F(x)\Big]_a^b$ 是 $F(b) - F(a)$ 的简写，日本教科书写成 $\left[F(x)\right]_a^b$。换一个原始関数 $F(x) + C$，$C$ 在相减时消掉，所以定积分的结果是唯一的数。日本数学Ⅱ 直接把这个式子当作定积分的定义；它和 22.2 节“面积”的意思一致，是本节证明的微分積分学の基本定理保证的。

定积分的性质（$k$ 是常数）：

1. $\displaystyle\int_a^b kf(x)\,dx = k\int_a^b f(x)\,dx$；
2. $\displaystyle\int_a^b \{f(x) \pm g(x)\}\,dx = \int_a^b f(x)\,dx \pm \int_a^b g(x)\,dx$；
3. $\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx = 0$；
4. $\displaystyle\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$（上下端交换，变号）；
5. $\displaystyle\int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx$（$c$ 在不在 $a$、$b$ 之间都成立）。

偶函数与奇函数：

$$f(-x) = f(x) \ (\text{偶関数}) \Longrightarrow \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx, \qquad f(-x) = -f(x) \ (\text{奇関数}) \Longrightarrow \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0.$$

多项式里偶次项（含常数项）是偶函数，奇次项是奇函数；$\cos x$ 是偶函数，$\sin x$、$\tan x$ 是奇函数。

$\dfrac{1}{6}$ 公式：

$$\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta)\,dx = -\frac{(\beta - \alpha)^3}{6}.$$

二次函数在它的两个零点之间积分时，不必展开，直接用这个公式。这是数学Ⅱ 面积题的标准工具（第 23 章）。

使用场景

• 被积函数的原始関数能直接写出：找原始関数，代上端减代下端。
• 积分区间关于原点对称（$-a$ 到 $a$）：先把奇次项、奇函数扔掉，偶函数部分写成 $2\displaystyle\int_0^a$。
• 被积函数含绝对值 $\lvert f(x)\rvert$：先找 $f(x) = 0$ 的点，按符号把区间拆开，去掉绝对值再积。
• 二次函数在它的两个零点之间积分（尤其零点含根号）：用 $\dfrac{1}{6}$ 公式。
• 被积函数含参数 $a$，定积分的值是 $a$ 的函数，问它的最值：先积分得到 $a$ 的式子，再按第 5 章或第 21 章 21.7 节求最值。

注意点

• 代入时先写 $\Big[F(x)\Big]_a^b$ 这一步，再整体相减；下端的值前面是减号，里面每一项都要变号。
• 绝对值的积分要拆区间，拆的点是 $f(x) = 0$ 的解，不是区间的中点。
• 奇偶性只在对称区间上能用；$\displaystyle\int_0^2 x^3\,dx$ 不是 0。
• $\dfrac{1}{6}$ 公式的被积函数首项系数是 1；系数是 $a$ 时 $\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} a(x - \alpha)(x - \beta)\,dx = -\frac{a(\beta - \alpha)^3}{6}$。积分方向必须是从小的零点 $\alpha$ 到大的零点 $\beta$。
• EJU 题干的说法：「定積分 $\displaystyle\int_{-1}^{2} (x^2 - x)\,dx$ を計算すると」「$a$ の値が変化するとき，$I(a)$ の最小値は」。

证明

结论 1（微分積分学の基本定理）：$f(x)$ 连续时，$S(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$（从 $a$ 到 $x$ 的带符号面积）满足 $S'(x) = f(x)$。

取 $h > 0$。$S(x + h) - S(x)$ 是 $x$ 到 $x + h$ 之间的细条面积。设 $f(t)$ 在 $x \le t \le x + h$ 上的最小值为 $m$、最大值为 $M$，细条夹在高 $m$ 和高 $M$ 的两个矩形之间：

$$mh \le S(x + h) - S(x) \le Mh, \qquad m \le \frac{S(x + h) - S(x)}{h} \le M.$$

（关键一步：$h \to 0$ 时区间缩到一点 $x$，$f$ 连续，所以 $m$ 和 $M$ 都趋于 $f(x)$，夹在中间的差商也趋于 $f(x)$。）$h < 0$ 时同理。所以 $S'(x) = f(x)$。

结论 2：$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$。 由结论 1，$S(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原始関数，所以 $S(x) = F(x) + C$（22.3 节结论 1）。令 $x = a$：$S(a) = 0$，得 $C = -F(a)$。再令 $x = b$：$S(b) = F(b) - F(a)$。

严格地说，“连续函数在闭区间上有最大值和最小值”（最大値・最小値の定理）和“面积存在”都要用大学分析证明，高中当作事实。

结论 3：性质 1–5。 都由 $F(b) - F(a)$ 直接推出。例如性质 5：$\{F(c) - F(a)\} + \{F(b) - F(c)\} = F(b) - F(a)$。

结论 4：$\dfrac{1}{6}$ 公式。 令 $d = \beta - \alpha$，把 $x - \beta$ 写成 $(x - \alpha) - d$：

$$\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)\{(x - \alpha) - d\}\,dx = \left[\frac{(x - \alpha)^3}{3} - \frac{d(x - \alpha)^2}{2}\right]_{\alpha}^{\beta} = \frac{d^3}{3} - \frac{d^3}{2} = -\frac{d^3}{6}.$$

（这里用了 22.3 节常用推论 $\displaystyle\int (x - \alpha)^n\,dx = \frac{(x - \alpha)^{n+1}}{n + 1} + C$。）

结论 5：奇偶函数。 由性质 5 拆成 $\displaystyle\int_{-a}^{0} + \int_0^a$。在 $\displaystyle\int_{-a}^{0} f(x)\,dx$ 里令 $x = -t$（22.5 节的置換積分法），它等于 $\displaystyle\int_0^a f(-t)\,dt$。偶函数时这等于 $\displaystyle\int_0^a f(t)\,dt$，奇函数时等于 $-\displaystyle\int_0^a f(t)\,dt$，分别得到结论。

例题

例 1　（场景：直接找原始関数）

問題　$\displaystyle\int_1^2 (3x^2 - 2x + 1)\,dx$ と $\displaystyle\int_1^e \frac{x + 1}{x}\,dx$ を求めよ。

解答　(1)

$$\int_1^2 (3x^2 - 2x + 1)\,dx = \Big[x^3 - x^2 + x\Big]_1^2 = (8 - 4 + 2) - (1 - 1 + 1) = 5.$$

(2)

$$\int_1^e \frac{x + 1}{x}\,dx = \int_1^e \left(1 + \frac{1}{x}\right)dx = \Big[x + \log x\Big]_1^e = (e + 1) - (1 + 0) = e.$$

中文翻译　题目：求 $\displaystyle\int_1^2 (3x^2 - 2x + 1)\,dx$ 和 $\displaystyle\int_1^e \frac{x + 1}{x}\,dx$。解答：（1）$\displaystyle\int_1^2 (3x^2 - 2x + 1)\,dx = \Big[x^3 - x^2 + x\Big]_1^2 = (8 - 4 + 2) - (1 - 1 + 1) = 5$。（2）$\displaystyle\int_1^e \frac{x + 1}{x}\,dx = \int_1^e \left(1 + \frac{1}{x}\right)dx = \Big[x + \log x\Big]_1^e = (e + 1) - (1 + 0) = e$。

解说　代入时先写 $\Big[F(x)\Big]_a^b$ 这一步，再整体相减；下端的值前面是减号，里面的每一项都要变号。第 2 小题先约分再积分，比先通分快。

例 2　（场景：对称区间）

問題　$\displaystyle\int_{-2}^{2} (x^3 + 3x^2 - 5x + 1)\,dx$ と $\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (x\cos x + \cos x)\,dx$ を求めよ。

解答　(1) $x^3$，$-5x$ は奇関数で定積分は $0$，$3x^2 + 1$ は偶関数であるから，

$$\int_{-2}^{2} (x^3 + 3x^2 - 5x + 1)\,dx = 2\int_0^2 (3x^2 + 1)\,dx = 2\Big[x^3 + x\Big]_0^2 = 2 \times 10 = 20.$$

(2) $x\cos x$ は奇関数（奇関数 × 偶関数 = 奇関数）で定積分は $0$，$\cos x$ は偶関数であるから，

$$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (x\cos x + \cos x)\,dx = 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x\,dx = 2\Big[\sin x\Big]_0^{\frac{\pi}{2}} = 2.$$

中文翻译　题目：求 $\displaystyle\int_{-2}^{2} (x^3 + 3x^2 - 5x + 1)\,dx$ 和 $\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (x\cos x + \cos x)\,dx$。解答：（1）$x^3$、$-5x$ 是奇函数，定积分为 $0$；$3x^2 + 1$ 是偶函数，所以 $\displaystyle\int_{-2}^{2} (x^3 + 3x^2 - 5x + 1)\,dx = 2\int_0^2 (3x^2 + 1)\,dx = 2\Big[x^3 + x\Big]_0^2 = 2 \times 10 = 20$。（2）$x\cos x$ 是奇函数（奇函数 × 偶函数 = 奇函数），定积分为 $0$；$\cos x$ 是偶函数，所以 $\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (x\cos x + \cos x)\,dx = 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x\,dx = 2\Big[\sin x\Big]_0^{\frac{\pi}{2}} = 2$。

解说　第 2 小题如果不看奇偶，$x\cos x$ 要用 22.6 节的部分積分法，费时得多。奇偶性只在关于原点对称的区间上能用；拆项后逐项看奇偶，是最快的化简。

例 3　（场景：含绝对值）

問題　$\displaystyle\int_0^2 \lvert x^2 - 1\rvert\,dx$ を求めよ。

解答　$x^2 - 1 = 0$ の解は $x = \pm 1$ で，区間 $0 \leqq x \leqq 2$ にあるのは $x = 1$ だけである。$0 \leqq x \leqq 1$ では $x^2 - 1 \leqq 0$ だから $\lvert x^2 - 1\rvert = 1 - x^2$，$1 \leqq x \leqq 2$ では $\lvert x^2 - 1\rvert = x^2 - 1$ である。

$$\int_0^2 \lvert x^2 - 1\rvert\,dx = \int_0^1 (1 - x^2)\,dx + \int_1^2 (x^2 - 1)\,dx = \left[x - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 + \left[\frac{x^3}{3} - x\right]_1^2 = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 2.$$

中文翻译　题目：求 $\displaystyle\int_0^2 \lvert x^2 - 1\rvert\,dx$。解答：$x^2 - 1 = 0$ 的解是 $x = \pm 1$，区间 $0 \leqq x \leqq 2$ 里只有 $x = 1$。$0 \leqq x \leqq 1$ 时 $x^2 - 1 \leqq 0$，$\lvert x^2 - 1\rvert = 1 - x^2$；$1 \leqq x \leqq 2$ 时 $\lvert x^2 - 1\rvert = x^2 - 1$。所以 $\displaystyle\int_0^2 \lvert x^2 - 1\rvert\,dx = \int_0^1 (1 - x^2)\,dx + \int_1^2 (x^2 - 1)\,dx = \left[x - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 + \left[\frac{x^3}{3} - x\right]_1^2 = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 2$。

解说　对比：不加绝对值时 $\displaystyle\int_0^2 (x^2 - 1)\,dx = -\frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$，下方那块被减掉了（见 22.2 节的图）。拆区间的点是 $f(x) = 0$ 的解，不是区间的中点。

例 4　（场景：二次函数在两零点间积分）

問題　$\displaystyle\int_{1 - \sqrt{3}}^{1 + \sqrt{3}} (x^2 - 2x - 2)\,dx$ を求めよ。

解答　$x^2 - 2x - 2 = 0$ の解は $x = 1 \pm \sqrt{3}$ で，積分の下端と上端に一致する。$\alpha = 1 - \sqrt{3}$，$\beta = 1 + \sqrt{3}$ とおくと $\beta - \alpha = 2\sqrt{3}$ であるから，

$$\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta)\,dx = -\frac{(2\sqrt{3})^3}{6} = -\frac{24\sqrt{3}}{6} = -4\sqrt{3}.$$

中文翻译　题目：求 $\displaystyle\int_{1 - \sqrt{3}}^{1 + \sqrt{3}} (x^2 - 2x - 2)\,dx$。解答：$x^2 - 2x - 2 = 0$ 的解是 $x = 1 \pm \sqrt{3}$，正好是积分的下端和上端。设 $\alpha = 1 - \sqrt{3}$，$\beta = 1 + \sqrt{3}$，$\beta - \alpha = 2\sqrt{3}$，所以 $\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta)\,dx = -\frac{(2\sqrt{3})^3}{6} = -\frac{24\sqrt{3}}{6} = -4\sqrt{3}$。

解说　另一种解法：硬算。原函数是 $\dfrac{x^3}{3} - x^2 - 2x$，把 $1 \pm \sqrt{3}$ 代进去要算 $(1 + \sqrt{3})^3 = 10 + 6\sqrt{3}$ 等，最后同样得 $-4\sqrt{3}$，但步骤多、容易错。上下端恰好是被积二次函数的两个零点时用 $\dfrac{1}{6}$ 公式；上下端不是零点时只能硬算。

例 5　（场景：定积分是参数的函数）

問題　$I(a) = \displaystyle\int_0^1 (x - a)^2\,dx$ とする。$I(a)$ の最小値と，そのときの $a$ の値を求めよ。

解答　$x$ は積分変数で，$a$ は定数として扱う：

$$I(a) = \int_0^1 (x^2 - 2ax + a^2)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} - ax^2 + a^2 x\right]_0^1 = a^2 - a + \frac{1}{3} = \left(a - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{12}.$$

よって $a = \dfrac{1}{2}$ のとき $I(a)$ は最小になり，最小値は $\dfrac{1}{12}$ である。

中文翻译　题目：$I(a) = \displaystyle\int_0^1 (x - a)^2\,dx$，求 $I(a)$ 的最小值和此时的 $a$。解答：$x$ 是积分变量，$a$ 当常数处理：$I(a) = \displaystyle\int_0^1 (x^2 - 2ax + a^2)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} - ax^2 + a^2 x\right]_0^1 = a^2 - a + \frac{1}{3} = \left(a - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{12}$。所以 $a = \dfrac{1}{2}$ 时 $I(a)$ 最小，最小值是 $\dfrac{1}{12}$。

解说　容易卡在：分不清谁是积分变数。$dx$ 说明对 $x$ 积分，$a$ 在积分过程中不变，积完以后才是变量。积出 $a$ 的二次式后配方，就是第 5 章的做法。

常用推论

• $\dfrac{1}{6}$ 公式：$\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta)\,dx = -\frac{(\beta - \alpha)^3}{6}$。推导见本节证明结论 4。
• $\dfrac{1}{12}$ 公式：$\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)^2(x - \beta)\,dx = -\frac{(\beta - \alpha)^4}{12}$，三次函数与切线围成的面积会用到。推导：同结论 4，令 $u = x - \alpha$，$\displaystyle\int_0^d u^2(u - d)\,du = \frac{d^4}{4} - \frac{d^4}{3} = -\frac{d^4}{12}$。
• $\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)^2\,dx = \frac{(\beta - \alpha)^3}{3}$。推导：一次式代入的不定积分，代上下端。
• 对称区间上的多项式：$\displaystyle\int_{-a}^{a} (px^3 + qx^2 + rx + s)\,dx = 2\int_0^a (qx^2 + s)\,dx = \frac{2qa^3}{3} + 2sa$。推导：奇次项为 0。

易错点

• 错在哪：$\Big[x^3 - x^2 + x\Big]_{-1}^{2}$ 算成 $(8 - 4 + 2) - (-1 - 1 - 1)$ 时把 $(-1)^2$ 当成 $-1$，或者减号只作用在第一项。 为什么错：代入负数时每一项的符号要按乘方规则算，下端的值是一个整体，前面的减号要分配到每一项。 正确做法：先单独算出 $F(-1) = -1 - 1 - 1 = -3$，再写 $F(2) - F(-1) = 6 - (-3) = 9$。
• 错在哪：$\displaystyle\int_0^2 \lvert x^2 - 1\rvert\,dx$ 直接写成 $\left\lvert \displaystyle\int_0^2 (x^2 - 1)\,dx\right\rvert = \dfrac{2}{3}$。 为什么错：绝对值在积分号里和在外面是两回事。先积分再取绝对值，正负两块已经抵消了。 正确做法：按 $f(x)$ 的符号拆区间，每段去掉绝对值再积（本节例 3 得 2）。
• 错在哪：$\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (2x^2 - 4x - 4)\,dx$ 直接写 $-\dfrac{(\beta - \alpha)^3}{6}$。 为什么错：$\dfrac{1}{6}$ 公式是对首项系数为 1 的 $(x - \alpha)(x - \beta)$ 而言的，$2x^2 - 4x - 4 = 2(x - \alpha)(x - \beta)$。 正确做法：提出首项系数，结果乘 2：$-\dfrac{2(\beta - \alpha)^3}{6}$。
• 错在哪：$\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\,dx$ 因为”$\sin x$ 是奇函数“写成 0。 为什么错：奇偶性只在关于原点对称的区间上能用，$0 \le x \le \pi$ 不对称。 正确做法：$\Big[-\cos x\Big]_0^{\pi} = 1 - (-1) = 2$。

直观理解

微分積分学の基本定理说的是：面积的增长速度等于曲线的高度。把面积 $S(x)$ 想成用油漆从左往右刷，刷子的宽度就是此处曲线的高 $f(x)$，刷子往右移一点 $h$，多刷的面积约是 $f(x) \cdot h$，所以面积的变化率是 $f(x)$。于是“求面积”变成“找一个导数等于 $f(x)$ 的函数”，这就是积分能用原始関数来算的原因。

奇函数的图像关于原点对称，左边的面积和右边的面积大小相等、一正一负，抵消为 0；偶函数关于 $y$ 轴对称，两边一样，所以是一边的 2 倍。

关联知识点

• 前置：22.2 节（定积分的意思）、22.3 节（原始関数）。
• 前置：第 21 章 21.6 节 平均値の定理（证明里承认的最大値・最小値の定理）；第 20 章 極限 函数的连续性。
• 国内书第 6 章：奇函数、偶函数的定义和图像对称性。
• 后续：22.8 节把基本定理 $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$ 用来处理“用定积分定义的函数”。
• 后续：第 23 章 面積：$\dfrac{1}{6}$ 公式、$\dfrac{1}{12}$ 公式、绝对值拆区间都是面积题的基本动作。
• 常一起考：第 5 章 2次関数：例 5 这类“积分后配方求最值”。

22.5 置換積分法

说明

置換積分法是把合成関数の微分法倒过来用。有两种用法。

用法一：被积函数里有“里层的导数”。 若被积函数能看成 $f(g(x))\,g'(x)$，令 $u = g(x)$，则 $du = g'(x)\,dx$，

$$\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.$$

例如 $\displaystyle\int 2x(x^2 + 1)^3\,dx$：令 $u = x^2 + 1$，$du = 2x\,dx$，得 $\displaystyle\int u^3\,du = \frac{u^4}{4} + C = \frac{(x^2 + 1)^4}{4} + C$。

两个特别常用的形状：

$$\int \frac{g'(x)}{g(x)}\,dx = \log\lvert g(x)\rvert + C, \qquad \int \{g(x)\}^n g'(x)\,dx = \frac{\{g(x)\}^{n+1}}{n + 1} + C \quad (n \ne -1).$$

用法二：把 $x$ 换成新变数的函数。 令 $x = g(t)$，则 $dx = g'(t)\,dt$。定积分时 $x$ 从 $a$ 变到 $b$，对应 $t$ 从 $\alpha$ 变到 $\beta$（$g(\alpha) = a$，$g(\beta) = b$）：

$$\int_a^b f(x)\,dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t))\,g'(t)\,dt.$$

日本教科书写对应关系时画一张小表：

$x$	$a \to b$
$t$	$\alpha \to \beta$

固定的换法：

被积函数含	令	化简用到
$\sqrt{a^2 - x^2}$	$x = a\sin\theta$	$1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta$
$\dfrac{1}{x^2 + a^2}$	$x = a\tan\theta$	$1 + \tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}$
$\sqrt{ax + b}$	$t = \sqrt{ax + b}$（或 $t = ax + b$）	$x = \dfrac{t^2 - b}{a}$

使用场景

• 被积函数是“某个式子的函数 × 这个式子的导数”（如 $x(x^2 + 1)^3$、$xe^{x^2}$、$\sin^3 x\cos x$）：令 $u$ 等于里层的式子（用法一）。
• 被积函数是分数，分子正好是分母的导数（或差一个常数倍），如 $\dfrac{2x + 1}{x^2 + x + 1}$、$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$：直接写成 $\log\lvert\text{分母}\rvert$。
• 被积函数含 $\sqrt{a^2 - x^2}$：令 $x = a\sin\theta$（用法二）。
• 被积函数含 $\dfrac{1}{x^2 + a^2}$：令 $x = a\tan\theta$。
• 被积函数含 $\sqrt{ax + b}$ 或 $(ax + b)^n$ 乘别的多项式：令 $t$ 等于根号整体或括号整体。

注意点

• 定积分换元时上下端跟着换，换完以后不再回到 $x$；不定积分换元后要把结果写回 $x$。
• $dx$ 也要换：用法二里 $dx = g'(t)\,dt$，漏掉 $g'(t)$ 是最常见的错。
• $\sqrt{a^2 - a^2\sin^2\theta} = a\lvert\cos\theta\rvert$，选 $\theta$ 的范围（通常在 $-\dfrac{\pi}{2} \le \theta \le \dfrac{\pi}{2}$ 内）使 $\cos\theta \ge 0$，才能去掉绝对值。
• 用法一凑导数时，可以差一个常数倍：$\displaystyle\int xe^{x^2}\,dx$ 里 $(x^2)' = 2x$，补一个 $\dfrac{1}{2}$ 即可；差的是含 $x$ 的因子就不行。
• EJU 题干的说法：「$x = 2\sin\theta$ とおくと」「$t = \sqrt{1 - x}$ と置換すると」「$x$ が 0 から 1 まで変化するとき，$\theta$ は 0 から $\dfrac{\pi}{\fbox{A}}$ まで変化する」。日文教科书写「とおく」（置く）。

证明

用法一。 设 $F'(u) = f(u)$。由合成関数の微分法，

$$\frac{d}{dx}F(g(x)) = F'(g(x))\,g'(x) = f(g(x))\,g'(x).$$

所以 $F(g(x))$ 是 $f(g(x))\,g'(x)$ 的原始関数，即 $\displaystyle\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = F(g(x)) + C = \int f(u)\,du\ \Big|_{u = g(x)}$。

用法二（定积分）。 设 $F'(x) = f(x)$。同样由合成関数の微分法，$\dfrac{d}{dt}F(g(t)) = f(g(t))\,g'(t)$，所以

$$\int_{\alpha}^{\beta} f(g(t))\,g'(t)\,dt = \Big[F(g(t))\Big]_{\alpha}^{\beta} = F(g(\beta)) - F(g(\alpha)) = F(b) - F(a) = \int_a^b f(x)\,dx.$$

（关键一步：$g(\beta) = b$、$g(\alpha) = a$，换元前后的两个定积分都等于同一个 $F(b) - F(a)$，所以不必回到 $x$。）

$\dfrac{g'}{g}$ 型：$\{\log\lvert g(x)\rvert\}' = \dfrac{g'(x)}{g(x)}$，由 22.3 节结论 2 和合成関数の微分法得到。

例题

例 1　（场景：里层的导数在外面）

問題　$\displaystyle\int x(x^2 + 1)^3\,dx$ と $\displaystyle\int_0^1 xe^{x^2}\,dx$ を求めよ。ただし，$C$ は積分定数とする。

解答　(1) $u = x^2 + 1$ とおくと $du = 2x\,dx$，$x\,dx = \dfrac{1}{2}du$ であるから，

$$\int x(x^2 + 1)^3\,dx = \frac{1}{2}\int u^3\,du = \frac{u^4}{8} + C = \frac{(x^2 + 1)^4}{8} + C.$$

(2) $u = x^2$ とおくと $du = 2x\,dx$。$x$ が $0$ から $1$ まで変化するとき，$u$ は $0$ から $1$ まで変化するから，

$$\int_0^1 xe^{x^2}\,dx = \frac{1}{2}\int_0^1 e^u\,du = \frac{1}{2}\Big[e^u\Big]_0^1 = \frac{e - 1}{2}.$$

中文翻译　题目：求 $\displaystyle\int x(x^2 + 1)^3\,dx$ 和 $\displaystyle\int_0^1 xe^{x^2}\,dx$，$C$ 是积分常数。解答：（1）令 $u = x^2 + 1$，$du = 2x\,dx$，$x\,dx = \dfrac{1}{2}du$：$\displaystyle\int x(x^2 + 1)^3\,dx = \frac{1}{2}\int u^3\,du = \frac{u^4}{8} + C = \frac{(x^2 + 1)^4}{8} + C$。（2）令 $u = x^2$，$du = 2x\,dx$。$x$ 从 $0$ 变到 $1$ 时 $u$ 从 $0$ 变到 $1$：$\displaystyle\int_0^1 xe^{x^2}\,dx = \frac{1}{2}\int_0^1 e^u\,du = \frac{1}{2}\Big[e^u\Big]_0^1 = \frac{e - 1}{2}$。

解说　用法一的判断标准：被积函数里有一部分正好是另一部分的导数（差常数倍也可以）。第 2 小题定积分换元后上下端跟着换，算完不必回到 $x$；第 1 小题是不定积分，最后要把 $u$ 写回 $x$。

例 2　（场景：分子是分母的导数）

問題　$\displaystyle\int \tan x\,dx$ と $\displaystyle\int_0^1 \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1}\,dx$ を求めよ。ただし，$C$ は積分定数とする。

解答　(1) $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ で，$(\cos x)' = -\sin x$ だから，分子は分母の導関数の $-1$ 倍である：

$$\int \tan x\,dx = -\int \frac{(\cos x)'}{\cos x}\,dx = -\log\lvert\cos x\rvert + C.$$

(2) $(x^2 + x + 1)' = 2x + 1$ で，しかも $x^2 + x + 1 > 0$ であるから，

$$\int_0^1 \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1}\,dx = \Big[\log(x^2 + x + 1)\Big]_0^1 = \log 3 - \log 1 = \log 3.$$

中文翻译　题目：求 $\displaystyle\int \tan x\,dx$ 和 $\displaystyle\int_0^1 \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1}\,dx$，$C$ 是积分常数。解答：（1）$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$，$(\cos x)' = -\sin x$，分子是分母导数的 $-1$ 倍：$\displaystyle\int \tan x\,dx = -\int \frac{(\cos x)'}{\cos x}\,dx = -\log\lvert\cos x\rvert + C$。（2）$(x^2 + x + 1)' = 2x + 1$，而且 $x^2 + x + 1 > 0$，所以 $\displaystyle\int_0^1 \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1}\,dx = \Big[\log(x^2 + x + 1)\Big]_0^1 = \log 3 - \log 1 = \log 3$。

解说　$\dfrac{g'}{g}$ 型直接得 $\log\lvert g\rvert$；分子差一个常数倍时，把常数提到积分号外（第 1 小题的 $-1$ 倍）。第 2 小题在积分区间上分母恒正，所以不用绝对值。

例 3　（场景：含 $\sqrt{a^2 - x^2}$）

問題　$\displaystyle\int_0^1 \sqrt{4 - x^2}\,dx$ を求めよ。

解答　$x = 2\sin\theta$ とおくと $dx = 2\cos\theta\,d\theta$。$x = 0$ のとき $\theta = 0$，$x = 1$ のとき $\sin\theta = \dfrac{1}{2}$ より $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ である：

$x$	$0 \to 1$
$\theta$	$0 \to \dfrac{\pi}{6}$

$0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{6}$ では $\cos\theta > 0$ だから $\sqrt{4 - 4\sin^2\theta} = 2\cos\theta$。よって

$$\int_0^1 \sqrt{4 - x^2}\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{6}} 2\cos\theta \cdot 2\cos\theta\,d\theta = 4\int_0^{\frac{\pi}{6}} \cos^2\theta\,d\theta = 2\int_0^{\frac{\pi}{6}} (1 + \cos 2\theta)\,d\theta.$$

（$\cos^2\theta = \dfrac{1 + \cos 2\theta}{2}$ は 22.7 節の次数下げによる。）したがって

$$\int_0^1 \sqrt{4 - x^2}\,dx = 2\left[\theta + \frac{\sin 2\theta}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{6}} = 2\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4}\right) = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

中文翻译　题目：求 $\displaystyle\int_0^1 \sqrt{4 - x^2}\,dx$。解答：令 $x = 2\sin\theta$，$dx = 2\cos\theta\,d\theta$。$x = 0$ 时 $\theta = 0$；$x = 1$ 时 $\sin\theta = \dfrac{1}{2}$，$\theta = \dfrac{\pi}{6}$。$0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{6}$ 上 $\cos\theta > 0$，所以 $\sqrt{4 - 4\sin^2\theta} = 2\cos\theta$。因此 $\displaystyle\int_0^1 \sqrt{4 - x^2}\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{6}} 2\cos\theta \cdot 2\cos\theta\,d\theta = 4\int_0^{\frac{\pi}{6}} \cos^2\theta\,d\theta = 2\int_0^{\frac{\pi}{6}} (1 + \cos 2\theta)\,d\theta$。（$\cos^2\theta = \dfrac{1 + \cos 2\theta}{2}$ 是 22.7 节的降次。）所以 $\displaystyle\int_0^1 \sqrt{4 - x^2}\,dx = 2\left[\theta + \frac{\sin 2\theta}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{6}} = 2\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4}\right) = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$。

解说　另一种解法：看图形。$y = \sqrt{4 - x^2}$ 是半径 2 的上半圆，所求是 $0 \le x \le 1$ 部分的面积。圆上 $x = 1$ 的点是 $P(1, \sqrt{3})$。连 $OP$，图形分成一个直角三角形（顶点 $O$、$(1, 0)$、$P$，面积 $\dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$）和一个扇形（$OP$ 与 $y$ 轴的夹角 $30^\circ$，面积 $\dfrac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{3}$），合计 $\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}$。上端对应圆上的“好角度”时画图最快，也能用来验算；EJU 的誘導通常指定 $x = 2\sin\theta$，按换元写才能填空格。

例 4　（场景：含 $\dfrac{1}{x^2 + a^2}$）

問題　$\displaystyle\int_0^2 \frac{dx}{x^2 + 4}$ を求めよ。

解答　$x = 2\tan\theta$ とおくと $dx = \dfrac{2}{\cos^2\theta}\,d\theta$。$x$ が $0$ から $2$ まで変化するとき $\theta$ は $0$ から $\dfrac{\pi}{4}$ まで変化する。$x^2 + 4 = 4(\tan^2\theta + 1) = \dfrac{4}{\cos^2\theta}$ であるから，

$$\int_0^2 \frac{dx}{x^2 + 4} = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos^2\theta}{4} \cdot \frac{2}{\cos^2\theta}\,d\theta = \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}} d\theta = \frac{\pi}{8}.$$

中文翻译　题目：求 $\displaystyle\int_0^2 \frac{dx}{x^2 + 4}$。解答：令 $x = 2\tan\theta$，$dx = \dfrac{2}{\cos^2\theta}\,d\theta$。$x$ 从 $0$ 变到 $2$ 时 $\theta$ 从 $0$ 变到 $\dfrac{\pi}{4}$。$x^2 + 4 = 4(\tan^2\theta + 1) = \dfrac{4}{\cos^2\theta}$，所以 $\displaystyle\int_0^2 \frac{dx}{x^2 + 4} = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos^2\theta}{4} \cdot \frac{2}{\cos^2\theta}\,d\theta = \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}} d\theta = \frac{\pi}{8}$。

解说　容易卡在：想找 $\dfrac{1}{x^2 + 4}$ 的原函数，在表里找不到。日本高中不学反正切函数，这类积分一律靠 $x = a\tan\theta$ 换元，而且上下端会选成能算出角度的值。

例 5　（场景：含 $\sqrt{ax + b}$）

問題　$\displaystyle\int_0^1 x\sqrt{1 - x}\,dx$ を求めよ。

解答　$t = \sqrt{1 - x}$ とおくと $x = 1 - t^2$，$dx = -2t\,dt$ である。$x$ が $0$ から $1$ まで変化するとき $t$ は $1$ から $0$ まで変化するから，

$$\int_0^1 x\sqrt{1 - x}\,dx = \int_1^0 (1 - t^2) \cdot t \cdot (-2t)\,dt = \int_0^1 2(t^2 - t^4)\,dt = 2\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) = \frac{4}{15}.$$

中文翻译　题目：求 $\displaystyle\int_0^1 x\sqrt{1 - x}\,dx$。解答：令 $t = \sqrt{1 - x}$，则 $x = 1 - t^2$，$dx = -2t\,dt$。$x$ 从 $0$ 变到 $1$ 时 $t$ 从 $1$ 变到 $0$：$\displaystyle\int_0^1 x\sqrt{1 - x}\,dx = \int_1^0 (1 - t^2) \cdot t \cdot (-2t)\,dt = \int_0^1 2(t^2 - t^4)\,dt = 2\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) = \frac{4}{15}$。

解说　另一种解法：令 $t = 1 - x$，$x = 1 - t$，$dx = -dt$，$t$ 从 1 到 0：$\displaystyle\int_1^0 (1 - t)\sqrt{t}\,(-dt) = \int_0^1 \left(t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{3}{2}}\right)dt = \frac{2}{3} - \frac{2}{5} = \frac{4}{15}$。换根号整体能完全去掉根号，适合根号里的式子更复杂时；换括号整体步骤更少，适合根号里是一次式、剩下的部分是多项式时。

常用推论

• $\displaystyle\int \frac{g'(x)}{g(x)}\,dx = \log\lvert g(x)\rvert + C$，$\displaystyle\int \{g(x)\}^n g'(x)\,dx = \frac{\{g(x)\}^{n+1}}{n + 1} + C$。推导见本节证明。
• $\displaystyle\int \tan x\,dx = -\log\lvert\cos x\rvert + C$。推导：本节例 2。
• $\displaystyle\int_0^a \sqrt{a^2 - x^2}\,dx = \frac{\pi a^2}{4}$（四分之一圆）。推导：$x = a\sin\theta$，或直接看图形。
• $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x\,dx$。推导：令 $x = \dfrac{\pi}{2} - t$，$\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - t\right) = \cos t$，$dx = -dt$，上下端 0 与 $\dfrac{\pi}{2}$ 对调。
• $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(a + b - x)\,dx$。推导：令 $x = a + b - t$，上下端对调，$dx = -dt$。

易错点

• 错在哪：$\displaystyle\int_0^1 xe^{x^2}\,dx$ 令 $u = x^2$ 后写成 $\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 e^u\,du$ 是对的，但 $\displaystyle\int_0^2 xe^{x^2}\,dx$ 也写成 $\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^2 e^u\,du$。 为什么错：$x = 2$ 时 $u = 4$，上端要跟着换。 正确做法：每次换元都写出”$x$ 从 … 到 … 时 $u$ 从 … 到 …“，再写新的积分。
• 错在哪：令 $x = 2\sin\theta$ 后写成 $\displaystyle\int \sqrt{4 - 4\sin^2\theta}\,d\theta$。 为什么错：$dx$ 没有换成 $2\cos\theta\,d\theta$，少乘了 $g'(t)$。 正确做法：先写 $dx = 2\cos\theta\,d\theta$，再把被积函数和 $dx$ 一起换。
• 错在哪：$\sqrt{\cos^2\theta}$ 一律写成 $\cos\theta$。 为什么错：$\sqrt{\cos^2\theta} = \lvert\cos\theta\rvert$，$\theta$ 的范围里 $\cos\theta$ 可能为负。 正确做法：选 $\theta$ 的范围在 $-\dfrac{\pi}{2} \le \theta \le \dfrac{\pi}{2}$ 内，使 $\cos\theta \ge 0$，写明“この範囲で $\cos\theta \geqq 0$”。
• 错在哪：$\displaystyle\int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \log(x^2 + 1) + C$。 为什么错：$(x^2 + 1)' = 2x$，分子只有 $x$，差了 $\dfrac{1}{2}$。 正确做法：$\dfrac{1}{2}\log(x^2 + 1) + C$。凑完求导验算一次。

直观理解

换元就是“换一把尺子量同一块面积”。用 $x$ 量时每个细条宽 $dx$；改用 $t$ 量，同一个细条的宽是 $dx = g'(t)\,dt$——$g'(t)$ 就是两把尺子的换算比例。所以换元后被积函数要多乘一个 $g'(t)$，上下端也要换成新尺子上的刻度。

$x = a\sin\theta$ 的几何意思：圆 $x^2 + y^2 = a^2$ 上的点写成 $(a\sin\theta, a\cos\theta)$，用角度代替横坐标去描述圆，根号自然就消失了。

关联知识点

• 前置：第 21 章 21.3 节 合成関数の微分法；国内书第 24 章 24.6 节 简单复合函数的导数。
• 前置：第 13 章 三角関数：$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$、$1 + \tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}$。
• 后续：22.7 节 $\sin^3 x$ 这类奇数次幂、$\dfrac{1}{e^x + 1}$ 这类积分都要用换元。
• 后续：第 23 章 曲線の長さ、媒介変数表示の面積：本质上是用法二。
• 本书第 18 章 媒介変数表示：$x = a\cos\theta$、$y = a\sin\theta$ 和这里的换元是同一个想法。

22.6 部分積分法

说明

部分積分法是把积的微分法 $\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ 倒过来用：

$$\int f(x)\,g'(x)\,dx = f(x)\,g(x) - \int f'(x)\,g(x)\,dx.$$

定积分时：

$$\int_a^b f(x)\,g'(x)\,dx = \Big[f(x)\,g(x)\Big]_a^b - \int_a^b f'(x)\,g(x)\,dx.$$

用法：被积函数是两个因子的积，把一个看成 $g'$（要能积分），另一个看成 $f$（求导后变简单）。积分后剩下的 $\displaystyle\int f'g\,dx$ 应该比原来的好积。

选哪个当 $f$（求导的一方）：

积的形状	当 $f$（求导）	当 $g'$（积分）
多项式 × $e^x$	多项式	$e^x$
多项式 × $\sin x$、$\cos x$	多项式	$\sin x$、$\cos x$
多项式 × $\log x$	$\log x$	多项式
$e^x$ × $\sin x$、$\cos x$	哪个都行，但两次要选同一种	另一个

$\log x$ 单独出现时看成 $1 \cdot \log x$，令 $g' = 1$。

使用场景

• 多项式乘 $e^x$、$\sin x$、$\cos x$（如 $xe^x$、$x\sin x$）：多项式当 $f$，求导后次数降低。
• 被积函数含 $\log x$（如 $\log x$、$x\log x$、$(\log x)^2$）：$\log x$ 当 $f$，求导后变成 $\dfrac{1}{x}$，对数就消失了。
• 多项式是 2 次以上（如 $x^2e^x$）：部分積分法连用几次，每次降一次。
• $e^x\sin x$、$e^x\cos x$：用两次部分積分，原积分再次出现，把它当未知数解方程（同型出現）。

注意点

• 公式里是减号：$fg - \displaystyle\int f'g\,dx$。
• 定积分时 $\Big[fg\Big]_a^b$ 这一项要先代上下端算出来，别忘记它。
• 选错 $f$ 会越积越难：$\displaystyle\int xe^x\,dx$ 若让 $e^x$ 求导、$x$ 积分，就得到 $\dfrac{x^2}{2}e^x - \displaystyle\int \dfrac{x^2}{2}e^x\,dx$，次数反而升高。
• 同型出現时，两次部分积分要把同一类函数（都是 $e^x$，或都是三角函数）当 $g'$，否则会绕回原式得到 $0 = 0$。
• EJU 题干常把不定积分做成选择题：「$\displaystyle\int x\log x\,dx = \fbox{A} + C$（$\fbox{A}$ には下の ⓪ ～ ③ の中から適するものを選びなさい）」。求导验算各选项是最快的办法（见 22.9 节）。

证明

由积的微分法（国内书第 24 章 24.5 节）：

$$\{f(x)\,g(x)\}' = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x).$$

两边积分：$f(x)\,g(x) = \displaystyle\int f'(x)\,g(x)\,dx + \int f(x)\,g'(x)\,dx$。（关键一步：$f(x)g(x)$ 是 $\{f(x)g(x)\}'$ 的原始関数，积分常数归到右边的不定积分里。）移项即得公式。定积分的形式由 22.4 节的 $F(b) - F(a)$ 得到。

例题

例 1　（场景：多项式 × 指数、三角）

問題　$\displaystyle\int xe^x\,dx$ と $\displaystyle\int_0^{\pi} x\sin x\,dx$ を求めよ。ただし，$C$ は積分定数とする。

解答　(1) $f = x$，$g' = e^x$ とすると $f' = 1$，$g = e^x$ であるから，

$$\int xe^x\,dx = xe^x - \int e^x\,dx = xe^x - e^x + C = (x - 1)e^x + C.$$

(2) $f = x$，$g' = \sin x$ とすると $f' = 1$，$g = -\cos x$ であるから，

$$\int_0^{\pi} x\sin x\,dx = \Big[-x\cos x\Big]_0^{\pi} + \int_0^{\pi} \cos x\,dx = (-\pi \cdot (-1) - 0) + \Big[\sin x\Big]_0^{\pi} = \pi + 0 = \pi.$$

中文翻译　题目：求 $\displaystyle\int xe^x\,dx$ 和 $\displaystyle\int_0^{\pi} x\sin x\,dx$，$C$ 是积分常数。解答：（1）$f = x$，$g' = e^x$，则 $f' = 1$，$g = e^x$，所以 $\displaystyle\int xe^x\,dx = xe^x - \int e^x\,dx = xe^x - e^x + C = (x - 1)e^x + C$。（2）$f = x$，$g' = \sin x$，则 $f' = 1$，$g = -\cos x$，所以 $\displaystyle\int_0^{\pi} x\sin x\,dx = \Big[-x\cos x\Big]_0^{\pi} + \int_0^{\pi} \cos x\,dx = (-\pi \cdot (-1) - 0) + \Big[\sin x\Big]_0^{\pi} = \pi + 0 = \pi$。

解说　容易卡在：$g = -\cos x$ 的负号和公式的减号相遇，变成 $+\displaystyle\int \cos x\,dx$。定积分的部分积分要先算边界项 $\Big[fg\Big]_a^b$，它通常不是 0。

例 2　（场景：含 $\log x$）

問題　$\displaystyle\int \log x\,dx$ と $\displaystyle\int_1^e x\log x\,dx$ を求めよ。ただし，$C$ は積分定数とする。

解答　(1) $1 \cdot \log x$ とみて，$f = \log x$，$g' = 1$ とすると $f' = \dfrac{1}{x}$，$g = x$ であるから，

$$\int \log x\,dx = x\log x - \int x \cdot \frac{1}{x}\,dx = x\log x - x + C.$$

(2) $f = \log x$，$g' = x$ とすると $f' = \dfrac{1}{x}$，$g = \dfrac{x^2}{2}$ であるから，

$$\int_1^e x\log x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\log x\right]_1^e - \int_1^e \frac{x}{2}\,dx = \frac{e^2}{2} - \left[\frac{x^2}{4}\right]_1^e = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2 - 1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4}.$$

中文翻译　题目：求 $\displaystyle\int \log x\,dx$ 和 $\displaystyle\int_1^e x\log x\,dx$，$C$ 是积分常数。解答：（1）看成 $1 \cdot \log x$：$f = \log x$，$g' = 1$，$f' = \dfrac{1}{x}$，$g = x$，所以 $\displaystyle\int \log x\,dx = x\log x - \int x \cdot \frac{1}{x}\,dx = x\log x - x + C$。（2）$f = \log x$，$g' = x$，$f' = \dfrac{1}{x}$，$g = \dfrac{x^2}{2}$，所以 $\displaystyle\int_1^e x\log x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\log x\right]_1^e - \int_1^e \frac{x}{2}\,dx = \frac{e^2}{2} - \left[\frac{x^2}{4}\right]_1^e = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2 - 1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4}$。

解说　有 $\log x$ 时让 $\log x$ 求导，对数在下一步就消失；反过来让 $\log x$ 积分会越做越复杂。$\log x$ 单独出现时看成 $1 \cdot \log x$，令 $g' = 1$。

例 3　（场景：连用两次）

問題　$\displaystyle\int_0^1 x^2e^x\,dx$ を求めよ。

解答　最初は $f = x^2$，$g' = e^x$ とすると $\displaystyle\int x^2e^x\,dx = x^2e^x - 2\int xe^x\,dx$ である。例 1 の結果 $\displaystyle\int xe^x\,dx = (x - 1)e^x + C$ を使うと，

$$\int x^2e^x\,dx = x^2e^x - 2(x - 1)e^x + C = (x^2 - 2x + 2)e^x + C.$$

よって $\displaystyle\int_0^1 x^2e^x\,dx = \Big[(x^2 - 2x + 2)e^x\Big]_0^1 = e - 2$。

中文翻译　题目：求 $\displaystyle\int_0^1 x^2e^x\,dx$。解答：第一次令 $f = x^2$，$g' = e^x$：$\displaystyle\int x^2e^x\,dx = x^2e^x - 2\int xe^x\,dx$。再用例 1 的结果 $\displaystyle\int xe^x\,dx = (x - 1)e^x + C$：$\displaystyle\int x^2e^x\,dx = x^2e^x - 2(x - 1)e^x + C = (x^2 - 2x + 2)e^x + C$。所以 $\displaystyle\int_0^1 x^2e^x\,dx = \Big[(x^2 - 2x + 2)e^x\Big]_0^1 = e - 2$。

解说　另一种解法：待定系数。积分结果一定形如 $(ax^2 + bx + c)e^x$，求导得 $\{ax^2 + (2a + b)x + (b + c)\}e^x$，要等于 $x^2e^x$：$a = 1$，$2a + b = 0$，$b + c = 0$，所以 $a = 1$，$b = -2$，$c = 2$。多项式次数高、要连用多次部分积分时，待定系数更快也不容易错符号；只积一次时直接部分积分就行。

例 4　（场景：同型出現）

問題　$\displaystyle\int e^x\sin x\,dx$ を求めよ。また，$\displaystyle\int_0^{\pi} e^x\sin x\,dx$ を求めよ。ただし，$C$ は積分定数とする。

解答　$I = \displaystyle\int e^x\sin x\,dx$ とおく。$2$ 回とも $e^x$ を $g'$ とする：

$$I = e^x\sin x - \int e^x\cos x\,dx = e^x\sin x - \left(e^x\cos x + \int e^x\sin x\,dx\right) = e^x(\sin x - \cos x) - I.$$

（$2$ 回目：$f = \cos x$，$f' = -\sin x$，$\displaystyle\int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + \int e^x\sin x\,dx$。）移項して $2I = e^x(\sin x - \cos x)$，すなわち

$$\int e^x\sin x\,dx = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C.$$

定積分は

$$\left[\frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2}\right]_0^{\pi} = \frac{e^{\pi}(0 + 1)}{2} - \frac{1 \cdot (0 - 1)}{2} = \frac{e^{\pi} + 1}{2}.$$

中文翻译　题目：求 $\displaystyle\int e^x\sin x\,dx$，并求 $\displaystyle\int_0^{\pi} e^x\sin x\,dx$，$C$ 是积分常数。解答：记 $I = \displaystyle\int e^x\sin x\,dx$。两次都把 $e^x$ 当 $g'$：$I = e^x\sin x - \int e^x\cos x\,dx = e^x\sin x - \left(e^x\cos x + \int e^x\sin x\,dx\right) = e^x(\sin x - \cos x) - I$。（第二次：$f = \cos x$，$f' = -\sin x$，$\displaystyle\int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + \int e^x\sin x\,dx$。）移项 $2I = e^x(\sin x - \cos x)$，所以 $\displaystyle\int e^x\sin x\,dx = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C$。定积分：$\left[\frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2}\right]_0^{\pi} = \frac{e^{\pi}(0 + 1)}{2} - \frac{1 \cdot (0 - 1)}{2} = \frac{e^{\pi} + 1}{2}$。

解说　容易卡在：以为积不出来。原积分在右边重新出现，正是可以解方程的信号；积分常数最后补上。两次部分积分必须把同一类函数当 $g'$，否则会绕回原式得到 $0 = 0$。

常用推论

• $\displaystyle\int \log x\,dx = x\log x - x + C$。推导：本节例 2。EJU 常把它放进选择项。
• $\displaystyle\int xe^x\,dx = (x - 1)e^x + C$，$\displaystyle\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \sin x + C$，$\displaystyle\int x\cos x\,dx = x\sin x + \cos x + C$。推导：本节例 1 的做法。
• $\displaystyle\int x\log x\,dx = \frac{x^2}{2}\log x - \frac{x^2}{4} + C$。推导：本节例 2。
• $\displaystyle\int e^x\cos x\,dx = \frac{e^x(\sin x + \cos x)}{2} + C$。推导：同例 4，或直接求导验证。
• 多项式 × $e^x$ 的待定系数法：$\displaystyle\int P(x)e^x\,dx = Q(x)e^x + C$，$Q$ 与 $P$ 次数相同，由 $Q + Q' = P$ 定系数。推导：$\{Q(x)e^x\}' = \{Q(x) + Q'(x)\}e^x$。

易错点

• 错在哪：$\displaystyle\int x\sin x\,dx = -x\cos x - \int \cos x\,dx$。 为什么错：$g = -\cos x$，公式是 $fg - \displaystyle\int f'g\,dx = -x\cos x - \int (-\cos x)\,dx$，两个负号相乘得正。 正确做法：先把 $f$、$f'$、$g'$、$g$ 四个写在一边，再代入公式：$-x\cos x + \sin x + C$。
• 错在哪：$\displaystyle\int_0^{\pi} x\sin x\,dx = \int_0^{\pi} \cos x\,dx = 0$，漏了 $\Big[-x\cos x\Big]_0^{\pi}$。 为什么错：定积分的部分积分有一项边界值 $\Big[fg\Big]_a^b$，它通常不为 0。 正确做法：先算 $\Big[fg\Big]_a^b$，再算剩下的积分。
• 错在哪：$\displaystyle\int x\log x\,dx$ 让 $x$ 求导、$\log x$ 积分。 为什么错：$\log x$ 的原始関数 $x\log x - x$ 本身就要部分积分，越做越复杂。 正确做法：有 $\log x$ 时让 $\log x$ 求导。
• 错在哪：$e^x\sin x$ 第一次让 $e^x$ 积分，第二次改让 $e^x$ 求导，结果绕回 $I = I$。 为什么错：第二次把第一次的操作撤销了。 正确做法：两次都让同一种函数（例如 $e^x$）当 $g'$。

直观理解

在坐标平面上画出点 $(g, f)$ 随 $x$ 移动的曲线。长方形 $fg$ 的面积可以分成两块：曲线“下面”的 $\displaystyle\int f\,dg$ 和“左边”的 $\displaystyle\int g\,df$，这就是 $\displaystyle\int f\,dg = fg - \int g\,df$。最典型的例子是 $\displaystyle\int_1^e \log x\,dx$：在 $0 \le x \le e$、$0 \le y \le 1$ 的长方形（面积 $e$）里，曲线 $y = \log x$ 左边那块是 $\displaystyle\int_0^1 e^y\,dy = e - 1$，所以曲线下面那块是 $e - (e - 1) = 1$，与 $\Big[x\log x - x\Big]_1^e = 1$ 一致。

关联知识点

• 前置：国内书第 24 章 24.5 节 积的导数；第 21 章 21.2 节 積の導関数。
• 前置：22.3 节 基本公式（$g'$ 要能积出来）。
• 后续：22.7 节 对数函数的积分基本都靠部分積分法。
• 后续：第 23 章 面積・体積：$y = x\sin x$、$y = \log x$ 围成的面积，回转体体积里的 $\displaystyle\int x^2e^{2x}\,dx$ 之类。
• 常一起考：第 21 章 21.7 节 増減表：先求导画图，再用部分積分法求面积，是コース2 Ⅳ 的固定结构。

22.7 いろいろな関数の積分

说明

表里没有的函数，先变形成表里有的，再用 22.5、22.6 节的方法。按函数类型分：

分数関数

• 分子的次数 ≥ 分母的次数：先做多项式除法（第 10 章），写成“多项式 + 真分式”。例：$\dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1} = x + \dfrac{1}{x + 1}$。
• 分母能因式分解：部分分数分解，拆成几个简单分式之差。最常用的是

$$\frac{1}{(x - a)(x - b)} = \frac{1}{b - a}\left(\frac{1}{x - b} - \frac{1}{x - a}\right) \qquad (a \ne b).$$

• 分子是分母的导数：$\displaystyle\int \frac{g'(x)}{g(x)}\,dx = \log\lvert g(x)\rvert + C$（22.5 节）。
• 分母是 $x^2 + a^2$：令 $x = a\tan\theta$（22.5 节）。

三角関数

• 2 次的降次（次数下げ）：由二倍角公式

$$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \qquad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}, \qquad \sin x\cos x = \frac{\sin 2x}{2}.$$

• 积化和：$\sin mx\cos nx = \dfrac{1}{2}\{\sin(m + n)x + \sin(m - n)x\}$，$\cos mx\cos nx = \dfrac{1}{2}\{\cos(m + n)x + \cos(m - n)x\}$，$\sin mx\sin nx = -\dfrac{1}{2}\{\cos(m + n)x - \cos(m - n)x\}$。
• 奇数次：$\sin^3 x = (1 - \cos^2 x)\sin x$，留一个 $\sin x$ 当“里层的导数”，令 $t = \cos x$（22.5 节用法一）。$\cos^3 x$ 同理令 $t = \sin x$。
• 4 次：降两次，$\cos^4 x = \left(\dfrac{1 + \cos 2x}{2}\right)^2$，再对 $\cos^2 2x$ 降次。

指数・対数関数

• $e^{ax}$、$a^x$ 直接查表；$\dfrac{1}{e^x + 1}$ 这类分式先改写：$\dfrac{1}{e^x + 1} = 1 - \dfrac{e^x}{e^x + 1}$，后一项分子是分母的导数。
• $\log x$ 的积分用部分積分法（22.6 节）；$\dfrac{\log x}{x}$ 看成 $\log x \cdot (\log x)'$，用置換。

使用场景

• 分数函数，分子次数不低于分母：先做除法降次。
• 分数函数，分母是能分解的二次式（如 $x^2 - 1$、$x(x - 1)$）：部分分数分解。
• $\sin^2 x$、$\cos^2 x$、$\cos^4 x$ 这类偶数次幂：用二倍角公式降次。
• 两个不同频率的三角函数相乘（如 $\sin 3x\cos x$）：积化和。
• $\sin x$ 或 $\cos x$ 的奇数次幂：拆出一个一次因子，换元。
• 含 $e^x$ 的分式或含 $\log x$ 的分式：改写成“分子是分母的导数”或”$f(\log x) \cdot \dfrac{1}{x}$“。

注意点

• 部分分数分解要用恒等式验算一次：通分回去分子应与原式相同。
• 降次公式里 $\cos 2x$ 的积分是 $\dfrac{\sin 2x}{2}$，不是 $\sin 2x$。
• 积化和的公式不必背：用加法定理 $\sin(A + B) + \sin(A - B) = 2\sin A\cos B$ 现推（第 13 章）。
• 日本教科书把“二倍角、半角、积化和”都归在「加法定理の応用」，EJU 的誘導会写出降次的结果让你填，如「$\sin^2 x = \dfrac{\fbox{A} - \cos \fbox{B}\,x}{2}$」。
• EJU 题干的说法：「部分分数に分解すると」「次数を下げて」「$\cos x = t$ とおくと」。

证明

部分分数分解：右边通分，

$$\frac{1}{b - a}\left(\frac{1}{x - b} - \frac{1}{x - a}\right) = \frac{1}{b - a} \cdot \frac{(x - a) - (x - b)}{(x - a)(x - b)} = \frac{1}{b - a} \cdot \frac{b - a}{(x - a)(x - b)} = \frac{1}{(x - a)(x - b)}.$$

一般的分解用恒等式（第 10 章）：设 $\dfrac{px + q}{(x - a)(x - b)} = \dfrac{A}{x - a} + \dfrac{B}{x - b}$，去分母得 $px + q = A(x - b) + B(x - a)$，令 $x = a$、$x = b$ 定出 $A$、$B$。

降次公式：由二倍角 $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1$ 解出 $\sin^2 x$、$\cos^2 x$；$\sin 2x = 2\sin x\cos x$。

积化和：加法定理两式相加，

$$\sin(A + B) + \sin(A - B) = (\sin A\cos B + \cos A\sin B) + (\sin A\cos B - \cos A\sin B) = 2\sin A\cos B.$$

（关键一步：$\cos A\sin B$ 两项一正一负抵消，积变成了和。）其余两个同理。

例题

例 1　（场景：分子次数不低于分母）

問題　$\displaystyle\int_0^1 \frac{x^2 + x + 1}{x + 1}\,dx$ を求めよ。

解答　割り算をすると $x^2 + x + 1 = (x + 1) \cdot x + 1$ であるから，$\dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1} = x + \dfrac{1}{x + 1}$ である。

$$\int_0^1 \left(x + \frac{1}{x + 1}\right)dx = \left[\frac{x^2}{2} + \log(x + 1)\right]_0^1 = \frac{1}{2} + \log 2.$$

中文翻译　题目：求 $\displaystyle\int_0^1 \frac{x^2 + x + 1}{x + 1}\,dx$。解答：做除法：$x^2 + x + 1 = (x + 1) \cdot x + 1$，所以 $\dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1} = x + \dfrac{1}{x + 1}$。$\displaystyle\int_0^1 \left(x + \frac{1}{x + 1}\right)dx = \left[\frac{x^2}{2} + \log(x + 1)\right]_0^1 = \frac{1}{2} + \log 2$。

解说　分子次数不低于分母时，先做多项式除法，写成“多项式 + 真分式”（第 10 章）。直接当对数积是错的：分子不是分母的导数。

例 2　（场景：部分分数分解）

問題　$\displaystyle\int_2^3 \frac{dx}{x^2 - 1}$ を求めよ。

解答　$\dfrac{1}{x^2 - 1} = \dfrac{1}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 1}\right)$ である。$2 \leqq x \leqq 3$ では $x - 1 > 0$，$x + 1 > 0$ だから，

$$\int_2^3 \frac{dx}{x^2 - 1} = \frac{1}{2}\Big[\log(x - 1) - \log(x + 1)\Big]_2^3 = \frac{1}{2}\{(\log 2 - \log 4) - (\log 1 - \log 3)\} = \frac{1}{2}\log\frac{3}{2}.$$

中文翻译　题目：求 $\displaystyle\int_2^3 \frac{dx}{x^2 - 1}$。解答：$\dfrac{1}{x^2 - 1} = \dfrac{1}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 1}\right)$。在 $2 \leqq x \leqq 3$ 上 $x - 1 > 0$，$x + 1 > 0$，所以 $\displaystyle\int_2^3 \frac{dx}{x^2 - 1} = \frac{1}{2}\Big[\log(x - 1) - \log(x + 1)\Big]_2^3 = \frac{1}{2}\{(\log 2 - \log 4) - (\log 1 - \log 3)\} = \frac{1}{2}\log\frac{3}{2}$。

解说　容易卡在：把对数合并时符号出错。$\log 2 - \log 4 + \log 3 = \log\dfrac{2 \times 3}{4} = \log\dfrac{3}{2}$。部分分数分解后要通分验算一次。

例 3　（场景：偶数次幂降次）

問題　$\displaystyle\int_0^{\pi} \sin^2 x\,dx$ と $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4 x\,dx$ を求めよ。

解答　(1) $\displaystyle\int_0^{\pi} \frac{1 - \cos 2x}{2}\,dx = \left[\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4}\right]_0^{\pi} = \frac{\pi}{2}$。

(2) $\cos^4 x = \left(\dfrac{1 + \cos 2x}{2}\right)^2 = \dfrac{1 + 2\cos 2x + \cos^2 2x}{4}$ で，さらに $\cos^2 2x = \dfrac{1 + \cos 4x}{2}$ と次数を下げると，

$$\cos^4 x = \frac{3}{8} + \frac{\cos 2x}{2} + \frac{\cos 4x}{8}.$$

よって

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4 x\,dx = \left[\frac{3x}{8} + \frac{\sin 2x}{4} + \frac{\sin 4x}{32}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{3\pi}{16}.$$

中文翻译　题目：求 $\displaystyle\int_0^{\pi} \sin^2 x\,dx$ 和 $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4 x\,dx$。解答：（1）$\displaystyle\int_0^{\pi} \frac{1 - \cos 2x}{2}\,dx = \left[\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4}\right]_0^{\pi} = \frac{\pi}{2}$。（2）$\cos^4 x = \left(\dfrac{1 + \cos 2x}{2}\right)^2 = \dfrac{1 + 2\cos 2x + \cos^2 2x}{4}$，再对 $\cos^2 2x = \dfrac{1 + \cos 4x}{2}$ 降次：$\cos^4 x = \frac{3}{8} + \frac{\cos 2x}{2} + \frac{\cos 4x}{8}$。所以 $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4 x\,dx = \left[\frac{3x}{8} + \frac{\sin 2x}{4} + \frac{\sin 4x}{32}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{3\pi}{16}$。

解说　另一种解法（第 1 小题）：$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$，而在 $0 \le x \le \pi$ 上 $\sin^2 x$ 和 $\cos^2 x$ 的图形只是平移了 $\dfrac{\pi}{2}$，两者积分相等，各占 $\displaystyle\int_0^{\pi} 1\,dx = \pi$ 的一半，即 $\dfrac{\pi}{2}$。积分区间是 $\dfrac{\pi}{2}$ 的整数倍时这样想最快；区间不规则（如 0 到 $\dfrac{\pi}{3}$）时必须降次计算。降次后 $\cos 2x$ 的积分是 $\dfrac{\sin 2x}{2}$，不要漏掉分母的 $2$。

例 4　（场景：不同频率相乘）

問題　$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 3x\cos x\,dx$ を求めよ。

解答　積を和に直すと $\sin 3x\cos x = \dfrac{1}{2}(\sin 4x + \sin 2x)$ であるから，

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 3x\cos x\,dx = \frac{1}{2}\left[-\frac{\cos 4x}{4} - \frac{\cos 2x}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2}\left\{\left(-\frac{1}{4} + \frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right)\right\} = \frac{1}{2}.$$

中文翻译　题目：求 $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 3x\cos x\,dx$。解答：积化和：$\sin 3x\cos x = \dfrac{1}{2}(\sin 4x + \sin 2x)$。所以 $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 3x\cos x\,dx = \frac{1}{2}\left[-\frac{\cos 4x}{4} - \frac{\cos 2x}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2}\left\{\left(-\frac{1}{4} + \frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right)\right\} = \frac{1}{2}$。

解说　积化和公式不必背：用加法定理 $\sin(A + B) + \sin(A - B) = 2\sin A\cos B$ 现推（第 13 章）。两个频率相乘时，先化成同频率的正弦之和，再逐项积分。

例 5　（场景：奇数次幂）

問題　$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 x\,dx$ を求めよ。

解答　$\sin^3 x = (1 - \cos^2 x)\sin x$ である。$t = \cos x$ とおくと $dt = -\sin x\,dx$ で，$x$ が $0$ から $\dfrac{\pi}{2}$ まで変化するとき $t$ は $1$ から $0$ まで変化するから，

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos^2 x)\sin x\,dx = \int_1^0 (1 - t^2)(-dt) = \int_0^1 (1 - t^2)\,dt = \frac{2}{3}.$$

中文翻译　题目：求 $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 x\,dx$。解答：$\sin^3 x = (1 - \cos^2 x)\sin x$。令 $t = \cos x$，$dt = -\sin x\,dx$；$x$ 从 $0$ 变到 $\dfrac{\pi}{2}$ 时 $t$ 从 $1$ 变到 $0$：$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos^2 x)\sin x\,dx = \int_1^0 (1 - t^2)(-dt) = \int_0^1 (1 - t^2)\,dt = \frac{2}{3}$。

解说　奇数次幂的固定做法：拆出一个一次因子当“里层的导数”，令 $t$ 等于另一个三角函数。$\cos^3 x$ 同理，令 $t = \sin x$。偶数次幂不能这样换元，必须降次。

例 6　（场景：含 $e^x$、$\log x$ 的分式）

問題　$\displaystyle\int_0^1 \frac{dx}{e^x + 1}$ と $\displaystyle\int_1^e \frac{\log x}{x}\,dx$ を求めよ。

解答　(1) $\dfrac{1}{e^x + 1} = \dfrac{(e^x + 1) - e^x}{e^x + 1} = 1 - \dfrac{e^x}{e^x + 1}$ で，後ろの項は分子が分母の導関数である：

$$\int_0^1 \frac{dx}{e^x + 1} = \Big[x - \log(e^x + 1)\Big]_0^1 = 1 - \log(e + 1) + \log 2 = 1 + \log\frac{2}{e + 1}.$$

(2) $\dfrac{\log x}{x} = \log x \cdot (\log x)'$ である。$t = \log x$ とおくと $t$ は $0$ から $1$ まで変化するから，$\displaystyle\int_0^1 t\,dt = \frac{1}{2}$。

中文翻译　题目：求 $\displaystyle\int_0^1 \frac{dx}{e^x + 1}$ 和 $\displaystyle\int_1^e \frac{\log x}{x}\,dx$。解答：（1）$\dfrac{1}{e^x + 1} = \dfrac{(e^x + 1) - e^x}{e^x + 1} = 1 - \dfrac{e^x}{e^x + 1}$，后一项的分子是分母的导数：$\displaystyle\int_0^1 \frac{dx}{e^x + 1} = \Big[x - \log(e^x + 1)\Big]_0^1 = 1 - \log(e + 1) + \log 2 = 1 + \log\frac{2}{e + 1}$。（2）$\dfrac{\log x}{x} = \log x \cdot (\log x)'$。令 $t = \log x$，$t$ 从 $0$ 变到 $1$：$\displaystyle\int_0^1 t\,dt = \frac{1}{2}$。

解说　含 $e^x$ 的分式先改写成“常数 + 分子是分母导数的分式”；$\dfrac{\log x}{x}$ 看成 $\log x \cdot (\log x)'$，整体换元。两题都用 22.5 节的 $\dfrac{g'}{g}$ 型。

常用推论

• $\displaystyle\int \sin^2 x\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$，$\displaystyle\int \cos^2 x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$。推导：降次公式。
• $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x\,dx = \frac{\pi}{4}$。推导：例 3 的另一种解法。
• $\displaystyle\int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a}\log\left\lvert\frac{x - a}{x + a}\right\rvert + C$（$a > 0$）。推导：部分分数分解。
• $m$、$n$ 是不相等的正整数时，$\displaystyle\int_0^{2\pi} \sin mx\cos nx\,dx = 0$，$\displaystyle\int_0^{2\pi} \sin mx\sin nx\,dx = 0$，$\displaystyle\int_0^{2\pi} \sin^2 mx\,dx = \pi$。推导：积化和后每项都是整周期的正弦或余弦，积分为 0；$\sin^2 mx$ 降次后只剩常数 $\dfrac{1}{2}$。
• $\displaystyle\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx$ 型最常见的三种：$\dfrac{2x}{x^2 + 1}$、$\dfrac{\cos x}{\sin x}$、$\dfrac{e^x}{e^x + 1}$。

易错点

• 错在哪：$\displaystyle\int \sin^2 x\,dx = \frac{\sin^3 x}{3} + C$。 为什么错：把 $\sin x$ 当成 $x$ 用幂的公式，少了“里层的导数” $\cos x$。$\left(\dfrac{\sin^3 x}{3}\right)' = \sin^2 x\cos x$。 正确做法：偶数次先降次：$\dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C$。
• 错在哪：$\displaystyle\int \frac{dx}{x^2 - 1} = \log\lvert x^2 - 1\rvert + C$。 为什么错：分子不是分母的导数 $2x$，不能直接写对数。 正确做法：部分分数分解，$\dfrac{1}{2}\log\left\lvert\dfrac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C$。
• 错在哪：$\displaystyle\int \frac{x^2 + x + 1}{x + 1}\,dx$ 直接写成 $\log\lvert x + 1\rvert$ 乘什么。 为什么错：分子次数高于分母时，对数形式不成立。 正确做法：先做除法，把多项式部分分出来。
• 错在哪：$\displaystyle\int \cos 2x\,dx = \sin 2x + C$。 为什么错：一次式代入要乘 $\dfrac{1}{2}$。 正确做法：$\dfrac{\sin 2x}{2} + C$。

直观理解

降次公式说 $\sin^2 x$ 是一条在 $0$ 和 $1$ 之间以 $\dfrac{1}{2}$ 为中线起伏的余弦波（周期 $\pi$）。积分时起伏部分正负抵消，只剩中线 $\dfrac{1}{2}$ 乘区间长——所以整周期上 $\displaystyle\int \sin^2 x\,dx$ 总是“区间长的一半”。

部分分数分解是“通分的逆运算”：通分把两个简单分式合成一个复杂的，分解把复杂的拆回简单的，而简单分式 $\dfrac{1}{x - a}$ 的积分就是 $\log\lvert x - a\rvert$。

关联知识点

• 前置：第 10 章 いろいろな式：多项式除法、恒等式（部分分数分解的系数比较）。
• 前置：第 13 章 三角関数：加法定理、二倍角公式；国内书第 13 章 三角恒等变换。
• 前置：22.5 节 置換積分法、22.6 节 部分積分法。
• 后续：第 23 章 面積・体積：回转体体积 $\pi\displaystyle\int y^2\,dx$ 里经常出现 $\sin^2 x$、$\cos^2 x$，必须降次。
• 本书第 19 章 関数：分数函数 $\dfrac{ax + b}{cx + d}$ 化成“常数 + $\dfrac{k}{cx + d}$“的写法，就是这里的除法降次。

22.8 微分積分学の基本定理と定積分で表された関数

说明

基本定理（再写一次）：$a$ 是常数，$f(t)$ 连续，则

$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x).$$

上端是 $x$ 的定积分是 $x$ 的函数，对 $x$ 求导，就是把被积函数里的 $t$ 换成 $x$。下端 $a$ 是多少都没有关系。

上端是 $x$ 的函数：由合成関数の微分法，

$$\frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))\,g'(x), \qquad \frac{d}{dx}\int_{h(x)}^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))\,g'(x) - f(h(x))\,h'(x).$$

上下端都是常数的定积分是常数：$\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt$ 是一个数。所以题目给出

$$f(x) = x + \int_0^{\pi} f(t)\sin t\,dt$$

这种式子时，令 $k = \displaystyle\int_0^{\pi} f(t)\sin t\,dt$（常数），$f(x) = x + k$，再代回 $k$ 的定义列方程。

上端是 $x$ 的等式：$\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt = g(x)$ 时，两边对 $x$ 求导得 $f(x) = g'(x)$；令 $x = a$，左边是 $\displaystyle\int_a^a = 0$，得 $g(a) = 0$，由此定出 $a$。

被积函数里含 $x$：$\displaystyle\int_0^x (x - t)f(t)\,dt$ 里的 $x$ 对 $t$ 来说是常数，先提到积分号外：

$$\int_0^x (x - t)f(t)\,dt = x\int_0^x f(t)\,dt - \int_0^x t f(t)\,dt,$$

再用积的微分法和基本定理求导。

使用场景

• 函数用 $\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$ 定义，问它的导数、增减、极值：直接用基本定理求导，不必先积出来。
• 上端是 $x^2$、$2x$ 这类 $x$ 的函数：用 $f(g(x))\,g'(x)$。
• 等式里含 $\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt$ 这类上下端都是常数的定积分，求 $f(x)$：把定积分设为常数 $k$。
• 已知 $\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt = g(x)$，求 $f(x)$ 和常数 $a$：求导得 $f$，令 $x = a$ 得 $a$。
• 被积函数同时含 $x$ 和 $t$：先把 $x$ 提到积分号外，再求导。

注意点

• 求导前先看清积分变数：$dt$ 说明对 $t$ 积分，$x$ 在积分里是常数。
• 上端是 $g(x)$ 时，别忘了乘 $g'(x)$。
• $\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt$ 是常数，对 $x$ 求导是 0；$\displaystyle\int_0^x f(t)\,dt$ 是函数，求导是 $f(x)$。两者要分清。
• 设常数 $k$ 解出 $f(x)$ 后，代回原式验算一次。
• EJU 题干的说法：「関数 $f(x)$ が等式 $f(x) = x + \displaystyle\int_0^{\pi} f(t)\sin t\,dt$ を満たすとき」「等式 $\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt = \cdots$ を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値」「$F(x) = \displaystyle\int_0^x (t^2 - 3t + 2)\,dt$ の極大値」。

证明

基本定理 $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$：见 22.4 节证明结论 1。也可以从原始関数看：设 $F'(t) = f(t)$，则 $\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt = F(x) - F(a)$，$F(a)$ 是常数，求导得 $F'(x) = f(x)$。

上端是 $g(x)$：$\displaystyle\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = F(g(x)) - F(a)$，由合成関数の微分法，导数是 $F'(g(x))\,g'(x) = f(g(x))\,g'(x)$。（关键一步：把定积分写成“原始関数在上端的值减常数”，就变成普通的合成函数求导。）两端都变时，把 $F(h(x))$ 也求导减去即可。

第二种证明要先承认“连续函数一定有原始関数”，这正是由第一种证明（面积函数 $S(x)$ 就是一个原始関数）保证的；更严格的论证属于大学分析。

例题

例 1　（场景：对上端为 $x$ 的积分求导，求极值）

問題　$F(x) = \displaystyle\int_0^x (t^2 - 3t + 2)\,dt$ とする。$F(x)$ の極大値と極小値を求めよ。

解答　基本定理より $F'(x) = x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$ である。増減表は次のようになる。

$x$	$\cdots$	1	$\cdots$	2	$\cdots$
$F'(x)$	$+$	0	$-$	0	$+$
$F(x)$	↗	極大	↘	極小	↗

$F(x) = \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{3x^2}{2} + 2x$ であるから，極大値は $F(1) = \dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{2} + 2 = \dfrac{5}{6}$，極小値は $F(2) = \dfrac{8}{3} - 6 + 4 = \dfrac{2}{3}$ である。

中文翻译　题目：$F(x) = \displaystyle\int_0^x (t^2 - 3t + 2)\,dt$，求 $F(x)$ 的极大值和极小值。解答：由基本定理，$F'(x) = x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$。增减表如下。$F(x) = \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{3x^2}{2} + 2x$，所以极大值 $F(1) = \dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{2} + 2 = \dfrac{5}{6}$，极小值 $F(2) = \dfrac{8}{3} - 6 + 4 = \dfrac{2}{3}$。

解说　先求导再画增减表，不必先把积分算出来；只有算极值时再把 $x = 1$、$2$ 代入原函数。积分上端是 $x$ 时，被积函数里的 $t$ 直接换成 $x$ 就是导数。

例 2　（场景：上端是 $x$ 的函数）

問題　$F(x) = \displaystyle\int_x^{x^2} \log t\,dt$（$x > 0$）とする。$F'(x)$ を求めよ。

解答　両端が変わる公式で，上端 $g(x) = x^2$，下端 $h(x) = x$ とすると，

$$F'(x) = \log(x^2) \cdot 2x - \log x \cdot 1 = 4x\log x - \log x = (4x - 1)\log x.$$

中文翻译　题目：$F(x) = \displaystyle\int_x^{x^2} \log t\,dt$（$x > 0$），求 $F'(x)$。解答：由两端都变的公式，上端 $g(x) = x^2$，下端 $h(x) = x$：$F'(x) = \log(x^2) \cdot 2x - \log x \cdot 1 = 4x\log x - \log x = (4x - 1)\log x$。

解说　另一种解法：先积出来。$\displaystyle\int \log t\,dt = t\log t - t$，所以 $F(x) = (x^2 \cdot 2\log x - x^2) - (x\log x - x)$，再求导：$F'(x) = (4x\log x + 2x - 2x) - (\log x + 1 - 1) = (4x - 1)\log x$。被积函数好积时两种都行；被积函数积不出来（如 $e^{t^2}$）时只能用公式。上端是 $x^2$ 时要乘上端的导数 $2x$。

例 3　（场景：等式里含常数定积分）

問題　$f(x) = x + \displaystyle\int_0^{\pi} f(t)\sin t\,dt$ を満たす関数 $f(x)$ を求めよ。

解答　$k = \displaystyle\int_0^{\pi} f(t)\sin t\,dt$（定数）とおくと $f(x) = x + k$ である。これを $k$ の定義に代入すると，

$$k = \int_0^{\pi} (t + k)\sin t\,dt = \int_0^{\pi} t\sin t\,dt + k\int_0^{\pi} \sin t\,dt = \pi + 2k.$$

（$\displaystyle\int_0^{\pi} t\sin t\,dt = \pi$ は 22.6 節例 1，$\displaystyle\int_0^{\pi} \sin t\,dt = 2$ による。）よって $k = -\pi$，したがって $f(x) = x - \pi$ である。

中文翻译　题目：求满足 $f(x) = x + \displaystyle\int_0^{\pi} f(t)\sin t\,dt$ 的函数 $f(x)$。解答：令 $k = \displaystyle\int_0^{\pi} f(t)\sin t\,dt$（常数），则 $f(x) = x + k$。代回 $k$ 的定义：$k = \displaystyle\int_0^{\pi} (t + k)\sin t\,dt = \int_0^{\pi} t\sin t\,dt + k\int_0^{\pi} \sin t\,dt = \pi + 2k$。（$\displaystyle\int_0^{\pi} t\sin t\,dt = \pi$ 见 22.6 节例 1，$\displaystyle\int_0^{\pi} \sin t\,dt = 2$。）所以 $k = -\pi$，因此 $f(x) = x - \pi$。

解说　验算：$\displaystyle\int_0^{\pi} (t - \pi)\sin t\,dt = \pi - 2\pi = -\pi$，与 $k$ 一致。上下端都是常数的定积分是一个数，两边对 $x$ 求导会得到 0，所以必须设成常数 $k$ 代回定义。

例 4　（场景：已知 $\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt = g(x)$）

問題　$\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt = 2\sin x - 1$ を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$（$0 \leqq a \leqq \pi$）を求めよ。

解答　両辺を $x$ で微分すると $f(x) = 2\cos x$ である。$x = a$ とすると左辺は $0$ だから，$2\sin a - 1 = 0$，すなわち $\sin a = \dfrac{1}{2}$。$0 \leqq a \leqq \pi$ の範囲で $a = \dfrac{\pi}{6}$ または $\dfrac{5\pi}{6}$ である。

中文翻译　题目：求满足 $\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt = 2\sin x - 1$ 的函数 $f(x)$ 和常数 $a$（$0 \leqq a \leqq \pi$）。解答：两边对 $x$ 求导，$f(x) = 2\cos x$。令 $x = a$，左边 $= 0$，所以 $2\sin a - 1 = 0$，即 $\sin a = \dfrac{1}{2}$。在 $0 \leqq a \leqq \pi$ 内 $a = \dfrac{\pi}{6}$ 或 $\dfrac{5\pi}{6}$。

解说　容易卡在：只求了 $f(x)$，忘了 $a$ 由“令 $x = a$“来定。求导会丢掉常数信息，$a$ 要另外由 $g(a) = 0$ 求；给定范围里有两个解，不能只写一个（第 13 章解三角方程）。

例 5　（场景：被积函数含 $x$）

問題　$F(x) = \displaystyle\int_0^x (x - t)\cos t\,dt$ とする。$F'(x)$，$F''(x)$ を求め，さらに $F(x)$ を求めよ。

解答　$x$ を積分記号の外に出す：$F(x) = x\displaystyle\int_0^x \cos t\,dt - \int_0^x t\cos t\,dt$。積の微分法と基本定理より，

$$F'(x) = \int_0^x \cos t\,dt + x\cos x - x\cos x = \int_0^x \cos t\,dt = \sin x.$$

よって $F''(x) = \cos x$ である。また $F(0) = 0$ だから，$F(x) = \displaystyle\int_0^x \sin t\,dt = 1 - \cos x$ である。

中文翻译　题目：$F(x) = \displaystyle\int_0^x (x - t)\cos t\,dt$，求 $F'(x)$、$F''(x)$，并求 $F(x)$。解答：把 $x$ 提到积分号外：$F(x) = x\displaystyle\int_0^x \cos t\,dt - \int_0^x t\cos t\,dt$。用积的微分法和基本定理：$F'(x) = \displaystyle\int_0^x \cos t\,dt + x\cos x - x\cos x = \int_0^x \cos t\,dt = \sin x$。所以 $F''(x) = \cos x$。又 $F(0) = 0$，所以 $F(x) = \displaystyle\int_0^x \sin t\,dt = 1 - \cos x$。

解说　验算：直接积分，$\displaystyle\int_0^x t\cos t\,dt = x\sin x + \cos x - 1$（22.6 节常用推论），$F(x) = x\sin x - (x\sin x + \cos x - 1) = 1 - \cos x$。容易卡在：直接用基本定理写 $F'(x) = (x - x)\cos x = 0$。被积函数含 $x$ 时基本定理不能直接用。

常用推论

• $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_x^b f(t)\,dt = -f(x)$。推导：上下端交换变号，再用基本定理。
• $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))\,g'(x)$。推导见本节证明。
• $\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\int_x^{x + h} f(t)\,dt = f(x)$。推导：这就是 $S(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$ 的导数定义。
• 若 $\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt = g(x)$，则 $f(x) = g'(x)$ 且 $g(a) = 0$。推导：本节例 4。
• $\displaystyle\int_0^x (x - t)f(t)\,dt$ 的二阶导数是 $f(x)$。推导：本节例 5 的做法，一般的 $f$ 同样成立。

易错点

• 错在哪：$f(x) = x + \displaystyle\int_0^{\pi} f(t)\sin t\,dt$ 两边对 $x$ 求导，得 $f'(x) = 1 + f(x)\sin x$。 为什么错：上下端都是常数，$\displaystyle\int_0^{\pi} f(t)\sin t\,dt$ 是常数，导数是 0。 正确做法：设它为常数 $k$，代回定义列方程。
• 错在哪：$\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^{x^2} e^{t}\,dt = e^{x^2}$。 为什么错：上端是 $x^2$，要乘上端的导数 $2x$。 正确做法：$2xe^{x^2}$。
• 错在哪：$\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^x (x - t)\cos t\,dt = (x - x)\cos x = 0$。 为什么错：基本定理只适用于被积函数不含 $x$ 的情况；这里 $x$ 既在上端又在被积函数里。 正确做法：先把 $x$ 提到积分号外，用积的微分法。
• 错在哪：$\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt = 2\sin x - 1$ 只写出 $f(x) = 2\cos x$。 为什么错：求导会丢掉常数信息，$a$ 要另外定。 正确做法：令 $x = a$，由 $g(a) = 0$ 求 $a$。

直观理解

$\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$ 是“从 $a$ 刷到 $x$ 的油漆面积”。刷子往右推，面积增长的速度就是刷子此刻的宽 $f(x)$，所以求导得 $f(x)$。上端换成 $x^2$，相当于刷子的移动速度是 $2x$，面积增长的速度就变成 $f(x^2) \cdot 2x$。

至于 $\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt$，它是从 0 刷到 1 的整块面积，刷完就是一个固定的数，跟 $x$ 没有关系。

关联知识点

• 前置：22.4 节 微分積分学の基本定理的证明。
• 前置：第 21 章 21.3 节 合成関数の微分法、21.2 节 积的微分法、21.7 节 増減表与极值；国内书第 25 章 25.3 节 极值与最值。
• 后续：第 23 章 面積：面积函数 $S(t)$ 求最大最小时用基本定理求导。
• 常一起考：第 13 章 三角関数：例 4 由 $\sin a = \dfrac{1}{2}$ 定 $a$，要会在给定范围内解三角方程。
• 常一起考：22.6 节 部分積分法（例 3、例 5 都要用到）。

22.9 题型与答法

积分是コース2 的压轴内容。查 2017–2021 年公开的七份过去问，コース2 的 Ⅳ 每一份都落在定积分上：2017 年第 1 回求 $y = x\sin^2 x$ 的不定积分（选择）和面积，2017 年第 2 回用 $x = \cos\theta$ 换元算 $\displaystyle\int \sqrt{1 - x^2}\,dx$ 求圆与双曲线围成的面积，2018 年第 1 回用部分積分法导出 $a_n = \displaystyle\int_0^1 x^{2n}\sqrt{1 - x^2}\,dx$ 的递推关系并求 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}$（唯一不求面积的一份），2018 年第 2 回从选项中选 $\displaystyle\int x\log ax\,dx$ 再求面积，2019 年第 1 回从选项中选 $\log x$ 的原始関数求面积，2020 年第 2 回先用导数证明 $f(x) > 0$ 再求面积，2021 年第 1 回用 $\sin^2 x$ 的降次求两曲线围成的面积。2026 年新シラバス下还没有公开样题。

誘導的典型骨架：

1. 前半用微分：求导、做增减表、求交点或证明某个不等式（第 21 章 21.7 节）。
2. 中间给一个不定积分：常做成 ⓪ ～ ③ 的选择题，选项是几个看起来很像的原始関数。把每个选项求导，等于被积函数的就是答案，比自己积分快。
3. 最后算定积分：答案里常有 $\pi$、$\log$、$e$、根号，格子写成 $\dfrac{\fbox{A}}{\fbox{B}}\pi - \log\fbox{C}$、$\fbox{D}e^2 + \fbox{E}$ 之类。按格子的形状整理答案：$\log$ 合并成一个、分数约到最简、负号放在分子。

也有题目让你填换元后的上下端（「$\theta$ は 0 から $\dfrac{\pi}{\fbox{A}}$ まで変化する」）或降次公式里的数（「$\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos\fbox{B}\,x}{\fbox{C}}$」），这些是送分格，按 22.5、22.7 节的标准做法写就能对上。

問題 1　（部分積分法と次数下げ）

(1) 不定積分 $\displaystyle\int x\cos 2x\,dx$ は $\fbox{A} + C$ である。ただし，$C$ は積分定数とする。$\fbox{A}$ には，下の ⓪ ～ ③ の中から適するものを選びなさい。

⓪ $\dfrac{1}{2}x\sin 2x + \dfrac{1}{4}\cos 2x$　① $\dfrac{1}{2}x\sin 2x - \dfrac{1}{4}\cos 2x$　② $2x\sin 2x + \cos 2x$　③ $-\dfrac{1}{2}x\sin 2x + \dfrac{1}{4}\cos 2x$

(2) $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} x\cos 2x\,dx = \dfrac{\pi}{\fbox{B}} - \dfrac{\fbox{C}}{\fbox{D}}$ である。

(3) $\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{\fbox{E}}$ を用いると，$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} x\cos^2 x\,dx = \dfrac{\pi^2}{\fbox{FG}} - \dfrac{\fbox{H}}{\fbox{I}}$ である。

解答　(1) $f = x$，$g' = \cos 2x$ とすると $f' = 1$，$g = \dfrac{1}{2}\sin 2x$ であるから，

$$\int x\cos 2x\,dx = \frac{1}{2}x\sin 2x - \frac{1}{2}\int \sin 2x\,dx = \frac{1}{2}x\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x + C.$$

よって $\fbox{A}$ は ⓪ である。

(2) $\left[\dfrac{1}{2}x\sin 2x + \dfrac{1}{4}\cos 2x\right]_0^{\frac{\pi}{4}} = \left(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi}{4} \cdot 1 + 0\right) - \left(0 + \dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{\pi}{8} - \dfrac{1}{4}$。よって $\fbox{B} = 8$，$\fbox{C} = 1$，$\fbox{D} = 4$ である。

(3) $\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}$ より $\fbox{E} = 2$ である。また，

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} x\cos^2 x\,dx = \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}} x\,dx + \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}} x\cos 2x\,dx$$

で，前の項は $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^2 = \dfrac{\pi^2}{16}$，後ろの項は (1) より

$$\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}x\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2}\left\{\left(0 - \frac{1}{4}\right) - \frac{1}{4}\right\} = -\frac{1}{4}.$$

よって $\dfrac{\pi^2}{16} - \dfrac{1}{4}$ で，$\fbox{FG} = 1, 6$，$\fbox{H} = 1$，$\fbox{I} = 4$ である。

中文翻译　题目：（1）不定积分 $\displaystyle\int x\cos 2x\,dx = \fbox{A} + C$，$C$ 是积分常数。$\fbox{A}$ 从下面 ⓪ ～ ③ 中选一个。（2）$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} x\cos 2x\,dx = \dfrac{\pi}{\fbox{B}} - \dfrac{\fbox{C}}{\fbox{D}}$。（3）利用 $\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{\fbox{E}}$，得 $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} x\cos^2 x\,dx = \dfrac{\pi^2}{\fbox{FG}} - \dfrac{\fbox{H}}{\fbox{I}}$。解答：（1）令 $f = x$，$g' = \cos 2x$，则 $f' = 1$，$g = \dfrac{1}{2}\sin 2x$，所以 $\displaystyle\int x\cos 2x\,dx = \frac{1}{2}x\sin 2x - \frac{1}{2}\int \sin 2x\,dx = \frac{1}{2}x\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x + C$。所以 $\fbox{A}$ 是 ⓪。（2）$\left[\dfrac{1}{2}x\sin 2x + \dfrac{1}{4}\cos 2x\right]_0^{\frac{\pi}{4}} = \left(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi}{4} \cdot 1 + 0\right) - \left(0 + \dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{\pi}{8} - \dfrac{1}{4}$。所以 $\fbox{B} = 8$，$\fbox{C} = 1$，$\fbox{D} = 4$。（3）由 $\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}$ 得 $\fbox{E} = 2$。又 $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} x\cos^2 x\,dx = \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}} x\,dx + \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}} x\cos 2x\,dx$，前一项是 $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^2 = \dfrac{\pi^2}{16}$，后一项由（1）得 $\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}x\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2}\left\{\left(0 - \frac{1}{4}\right) - \frac{1}{4}\right\} = -\frac{1}{4}$。所以是 $\dfrac{\pi^2}{16} - \dfrac{1}{4}$，$\fbox{FG} = 1, 6$，$\fbox{H} = 1$，$\fbox{I} = 4$。

解说　两分钟做法：不定积分的选项题最快的是逐项求导，等于被积函数的就是答案；① 求导后多出 $\sin 2x$，③ 的符号不对。空格判断：$\fbox{B} = 8$ 是分母；$\fbox{C} = 1$ 虽然是 $1$ 也要填；$\fbox{FG}$ 是两位，填 $1$、$6$（$\pi^2/16$）；$\fbox{E} = 2$ 是降次公式的分母。负号在算式中已经给出时，格子里只填正数。

問題 2　（定積分で表された関数）

(1) 関数 $f(x)$ が等式

$$f(x) = x^2 - 2x + 2\int_0^1 f(t)\,dt$$

を満たすとき，$\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt = \dfrac{\fbox{A}}{\fbox{B}}$ であり，$f(x) = x^2 - 2x + \dfrac{\fbox{C}}{\fbox{D}}$ である。

(2) 関数 $g(x)$ と定数 $a$ が，すべての $x$ について

$$\int_a^x g(t)\,dt = x^3 - 3x^2 + 4$$

を満たすとき，$g(x) = \fbox{E}\,x^2 - \fbox{F}\,x$ であり，$a = \fbox{GH}$，$\fbox{I}$ である。ただし，$\fbox{GH} < \fbox{I}$ とする。

(3) $F(x) = \displaystyle\int_0^x (t^2 - 4t + 3)\,dt$ は，$x = \fbox{J}$ で極大値 $\dfrac{\fbox{K}}{\fbox{L}}$ をとり，$x = \fbox{M}$ で極小値 $\fbox{N}$ をとる。

解答　(1) $k = \displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt$ とおくと $f(x) = x^2 - 2x + 2k$ である。これを $k$ の定義に代入すると，$k = \displaystyle\int_0^1 (t^2 - 2t + 2k)\,dt = \frac{1}{3} - 1 + 2k$。よって $k = \dfrac{2}{3}$ で，$f(x) = x^2 - 2x + \dfrac{4}{3}$ である。したがって $\fbox{A} = 2$，$\fbox{B} = 3$，$\fbox{C} = 4$，$\fbox{D} = 3$。

(2) 両辺を $x$ で微分すると $g(x) = 3x^2 - 6x$ である。$x = a$ とすると $a^3 - 3a^2 + 4 = 0$。$a = -1$ のとき成り立つから，$(a + 1)(a^2 - 4a + 4) = (a + 1)(a - 2)^2 = 0$，よって $a = -1$ または $2$ である。したがって $\fbox{E} = 3$，$\fbox{F} = 6$，$\fbox{GH}$ は「－」と「1」，$\fbox{I} = 2$。

(3) $F'(x) = x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$ で，$x = 1$ で正から負に変わるから極大，$x = 3$ で負から正に変わるから極小である。$F(x) = \dfrac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x$ だから $F(1) = \dfrac{1}{3} - 2 + 3 = \dfrac{4}{3}$，$F(3) = 9 - 18 + 9 = 0$。したがって $\fbox{J} = 1$，$\fbox{K} = 4$，$\fbox{L} = 3$，$\fbox{M} = 3$，$\fbox{N} = 0$。

中文翻译　题目：（1）函数 $f(x)$ 满足 $f(x) = x^2 - 2x + 2\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt$ 时，$\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt = \dfrac{\fbox{A}}{\fbox{B}}$，$f(x) = x^2 - 2x + \dfrac{\fbox{C}}{\fbox{D}}$。（2）函数 $g(x)$ 和常数 $a$ 对所有 $x$ 满足 $\displaystyle\int_a^x g(t)\,dt = x^3 - 3x^2 + 4$ 时，$g(x) = \fbox{E}\,x^2 - \fbox{F}\,x$，$a = \fbox{GH}$ 或 $\fbox{I}$（$\fbox{GH} < \fbox{I}$）。（3）$F(x) = \displaystyle\int_0^x (t^2 - 4t + 3)\,dt$ 在 $x = \fbox{J}$ 处取极大值 $\dfrac{\fbox{K}}{\fbox{L}}$，在 $x = \fbox{M}$ 处取极小值 $\fbox{N}$。解答：（1）令 $k = \displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt$，则 $f(x) = x^2 - 2x + 2k$。代回 $k$ 的定义：$k = \displaystyle\int_0^1 (t^2 - 2t + 2k)\,dt = \frac{1}{3} - 1 + 2k$。所以 $k = \dfrac{2}{3}$，$f(x) = x^2 - 2x + \dfrac{4}{3}$。因此 $\fbox{A} = 2$，$\fbox{B} = 3$，$\fbox{C} = 4$，$\fbox{D} = 3$。（2）两边对 $x$ 求导，$g(x) = 3x^2 - 6x$。令 $x = a$：$a^3 - 3a^2 + 4 = 0$。$a = -1$ 时成立，所以 $(a + 1)(a^2 - 4a + 4) = (a + 1)(a - 2)^2 = 0$，$a = -1$ 或 $2$。因此 $\fbox{E} = 3$，$\fbox{F} = 6$，$\fbox{GH}$ 填「－」和「1」，$\fbox{I} = 2$。（3）$F'(x) = x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$，$x = 1$ 处由正变负取极大，$x = 3$ 处由负变正取极小。$F(x) = \dfrac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x$，所以 $F(1) = \dfrac{1}{3} - 2 + 3 = \dfrac{4}{3}$，$F(3) = 9 - 18 + 9 = 0$。因此 $\fbox{J} = 1$，$\fbox{K} = 4$，$\fbox{L} = 3$，$\fbox{M} = 3$，$\fbox{N} = 0$。

解说　两分钟做法：（1）上下端都是常数的定积分是数，设 $k$ 后原式变成一次方程；（2）求导得 $g$，再令 $x = a$ 得 $a$，两个解都要写；（3）先求导画增减表，再代原函数求极值。空格判断：$\fbox{GH}$ 是负数，负号占一格，填「－」「1」；$\fbox{F} = 6$ 因为题干已印出负号；$\fbox{N} = 0$ 是极小值，$0$ 也要填。

問題 3　（置換積分法・部分分数分解）

(1) $\displaystyle\int_0^1 \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \dfrac{\fbox{A}}{\fbox{B}}\log\fbox{C}$ である。ただし，$\log$ は自然対数とする。

(2) $\dfrac{1}{x(x - 1)} = \dfrac{1}{x - \fbox{D}} - \dfrac{1}{x}$ であるから，$\displaystyle\int_2^3 \frac{dx}{x(x - 1)} = \log\dfrac{\fbox{E}}{\fbox{F}}$ である。

(3) 定積分 $I = \displaystyle\int_0^{\sqrt{3}} \sqrt{4 - x^2}\,dx$ を求める。$x = 2\sin\theta$ とおくと，$x$ が 0 から $\sqrt{3}$ まで変化するとき，$\theta$ は 0 から $\dfrac{\pi}{\fbox{G}}$ まで変化する。よって

$$I = \fbox{H}\int_0^{\frac{\pi}{\fbox{G}}} \cos^2\theta\,d\theta = \dfrac{\fbox{I}}{\fbox{J}}\pi + \dfrac{\sqrt{\fbox{K}}}{\fbox{L}}$$

である。

解答　(1) $(x^2 + 1)' = 2x$ より，$\displaystyle\int_0^1 \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\Big[\log(x^2 + 1)\Big]_0^1 = \frac{1}{2}\log 2$。よって $\fbox{A} = 1$，$\fbox{B} = 2$，$\fbox{C} = 2$。

(2) $\dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x - (x - 1)}{x(x - 1)} = \dfrac{1}{x(x - 1)}$ より $\fbox{D} = 1$ である。

$$\int_2^3 \left(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x}\right)dx = \Big[\log(x - 1) - \log x\Big]_2^3 = (\log 2 - \log 3) - (0 - \log 2) = \log\frac{4}{3}.$$

よって $\fbox{E} = 4$，$\fbox{F} = 3$。

(3) $\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ より $\theta = \dfrac{\pi}{3}$ で，$\fbox{G} = 3$。$dx = 2\cos\theta\,d\theta$ で，$0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{3}$ では $\cos\theta > 0$ だから $\sqrt{4 - 4\sin^2\theta} = 2\cos\theta$ である。よって $I = 4\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{3}} \cos^2\theta\,d\theta$ で，次数を下げると

$$I = 2\int_0^{\frac{\pi}{3}} (1 + \cos 2\theta)\,d\theta = 2\left[\theta + \frac{\sin 2\theta}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{3}} = 2\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4}\right) = \frac{2}{3}\pi + \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

したがって $\fbox{H} = 4$，$\fbox{I} = 2$，$\fbox{J} = 3$，$\fbox{K} = 3$，$\fbox{L} = 2$。

中文翻译　题目：（1）$\displaystyle\int_0^1 \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \dfrac{\fbox{A}}{\fbox{B}}\log\fbox{C}$，$\log$ 是自然对数。（2）因为 $\dfrac{1}{x(x - 1)} = \dfrac{1}{x - \fbox{D}} - \dfrac{1}{x}$，所以 $\displaystyle\int_2^3 \frac{dx}{x(x - 1)} = \log\dfrac{\fbox{E}}{\fbox{F}}$。（3）求 $I = \displaystyle\int_0^{\sqrt{3}} \sqrt{4 - x^2}\,dx$。令 $x = 2\sin\theta$，$x$ 从 0 变到 $\sqrt{3}$ 时 $\theta$ 从 0 变到 $\dfrac{\pi}{\fbox{G}}$，于是 $I = \fbox{H}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{\fbox{G}}} \cos^2\theta\,d\theta = \dfrac{\fbox{I}}{\fbox{J}}\pi + \dfrac{\sqrt{\fbox{K}}}{\fbox{L}}$。解答：（1）$(x^2 + 1)' = 2x$，所以 $\displaystyle\int_0^1 \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\Big[\log(x^2 + 1)\Big]_0^1 = \frac{1}{2}\log 2$。因此 $\fbox{A} = 1$，$\fbox{B} = 2$，$\fbox{C} = 2$。（2）$\dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x - (x - 1)}{x(x - 1)} = \dfrac{1}{x(x - 1)}$，所以 $\fbox{D} = 1$。$\displaystyle\int_2^3 \left(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x}\right)dx = \Big[\log(x - 1) - \log x\Big]_2^3 = (\log 2 - \log 3) - (0 - \log 2) = \log\frac{4}{3}$。因此 $\fbox{E} = 4$，$\fbox{F} = 3$。（3）$\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\theta = \dfrac{\pi}{3}$，$\fbox{G} = 3$。$dx = 2\cos\theta\,d\theta$，$0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{3}$ 上 $\cos\theta > 0$，所以 $\sqrt{4 - 4\sin^2\theta} = 2\cos\theta$。因此 $I = 4\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{3}} \cos^2\theta\,d\theta$，降次：$I = 2\int_0^{\frac{\pi}{3}} (1 + \cos 2\theta)\,d\theta = 2\left[\theta + \frac{\sin 2\theta}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{3}} = 2\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4}\right) = \frac{2}{3}\pi + \frac{\sqrt{3}}{2}$。因此 $\fbox{H} = 4$，$\fbox{I} = 2$，$\fbox{J} = 3$，$\fbox{K} = 3$，$\fbox{L} = 2$。

解说　两分钟做法：$\dfrac{g'}{g}$ 型直接写 $\log\lvert g\rvert$；分母是 $x(x - 1)$ 时先部分分数分解，再逐项积；含 $\sqrt{a^2 - x^2}$ 一律令 $x = a\sin\theta$，先换上下端、再换 $dx$、再降次。验算（图形）：扇形圆心角 $\dfrac{\pi}{3}$，面积 $\dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2}{3}\pi$；三角形顶点 $O$、$(\sqrt{3}, 0)$、$(\sqrt{3}, 1)$，面积 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，与答案一致。空格判断：$\fbox{A} = 1$ 分子是 $1$ 也要填；$\fbox{G} = 3$ 第二次出现时题册会印成网底的 G，不再另填；$\fbox{I} = 2$、$\fbox{J} = 3$ 是 $\dfrac{2}{3}\pi$；$\fbox{K} = 3$、$\fbox{L} = 2$ 是 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。

22.10 术语与题干用语

日文	读音	中文	例句或说明
積分法	せきぶんほう	积分法	シラバス第 20 项的名称
積分する	せきぶんする	积分（动词）	「$f(x)$ を積分すると」
原始関数	げんしかんすう	原函数	「$F(x)$ は $f(x)$ の原始関数である」
不定積分	ふていせきぶん	不定积分	「次の不定積分を求めよ」
積分定数	せきぶんていすう	积分常数	「ただし，$C$ は積分定数とする」
定積分	ていせきぶん	定积分	「定積分 $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx$ の値」
被積分関数	ひせきぶんかんすう	被积函数
積分変数	せきぶんへんすう	积分变量	$dt$ の $t$
上端	じょうたん	积分上限	「上端が $x$ の定積分」
下端	かたん	积分下限
積分区間	せきぶんくかん	积分区间
区分求積法	くぶんきゅうせきほう	用和的极限求定积分（“分割求积”）	「区分求積法を用いて極限値を求めよ」
微分積分学の基本定理	びぶんせきぶんがくのきほんていり	微积分基本定理	$\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$
置換積分法	ちかんせきぶんほう	换元积分法
〜とおく	〜とおく	令……	「$x = 2\sin\theta$ とおく」（「置く」）
置換する	ちかんする	换元	「$t = \cos x$ と置換すると」
部分積分法	ぶぶんせきぶんほう	分部积分法
部分分数に分解する	ぶぶんぶんすうにぶんかいする	拆成部分分式	「$\dfrac{1}{x(x - 1)}$ を部分分数に分解すると」
次数を下げる	じすうをさげる	降次	「半角の公式で次数を下げる」
偶関数	ぐうかんすう	偶函数
奇関数	きかんすう	奇函数
自然対数	しぜんたいすう	自然对数	「ただし，$\log$ は自然対数とする」
定数	ていすう	常数	「定数 $a$ の値を求めよ」
等式を満たす	とうしきをみたす	满足等式	「次の等式を満たす関数 $f(x)$」
〜で表された関数	〜であらわされたかんすう	用……表示的函数	「定積分で表された関数」
極大値・極小値	きょくだいち・きょくしょうち	极大值、极小值	「$x = 1$ で極大値をとる」
〜から〜まで変化する	〜から〜までへんかする	从……变到……	「$x$ が 0 から 1 まで変化するとき」
適するものを選びなさい	てきするものをえらびなさい	选出合适的一项	选择型空格的固定说法
面積	めんせき	面积	第 23 章的主题，本章的定积分常作为它的前一步

22.11 自测

1. 求 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{(n + k)^2}$。
2. 求 $\displaystyle\int (x - 1)(x + 2)\,dx$。
3. 求 $\displaystyle\int (2\cos x - e^{-x})\,dx$。
4. 求 $\displaystyle\int_{-1}^{1} (x^5 + 4x^3 + 3x^2 - x + 1)\,dx$。
5. 用 $\dfrac{1}{6}$ 公式求 $\displaystyle\int_{-1}^{3} (x^2 - 2x - 3)\,dx$。
6. 求 $\displaystyle\int_0^2 \lvert x^2 - x\rvert\,dx$。
7. 求 $\displaystyle\int_0^1 \frac{x^2}{x^3 + 1}\,dx$。
8. 用 $x = 2\sin\theta$ 求 $\displaystyle\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{4 - x^2}}$。
9. 求 $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} x\cos x\,dx$。
10. 求 $\displaystyle\int_1^e (\log x)^2\,dx$。
11. 求 $\displaystyle\int_1^2 \frac{dx}{x(x + 1)}$。
12. 求 $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin^2 x\,dx$。
13. 求满足 $f(x) = 2x + 3\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt$ 的函数 $f(x)$。
14. 求满足 $\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt = x^2 - 4$ 的函数 $f(x)$ 和常数 $a$。
15. 求 $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^{2x} e^{t^2}\,dt$。

答案：1. $\dfrac{1}{2}$；2. $\dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^2}{2} - 2x + C$；3. $2\sin x + e^{-x} + C$；4. 4；5. $-\dfrac{32}{3}$；6. 1；7. $\dfrac{1}{3}\log 2$；8. $\dfrac{\pi}{6}$；9. $\dfrac{\pi}{2} - 1$；10. $e - 2$；11. $\log\dfrac{4}{3}$；12. $\dfrac{\pi}{8} - \dfrac{1}{4}$；13. $f(x) = 2x - \dfrac{3}{2}$；14. $f(x) = 2x$，$a = \pm 2$；15. $2e^{4x^2}$。

22.12 深入阅读

• JASSO · 過去問題サンプル：官方公开的过去问，2017–2021 年公开的六份コース2 Ⅳ 都以定积分或面积收尾，可对照本章 22.9 节的誘導骨架。
• 维基百科（日文）· 微分積分学の基本定理：基本定理的日文表述和证明，对照 22.4、22.8 节。
• 维基百科（日文）· 置換積分：置換積分法的日文术语和例子，含三角置换。
• 维基百科（日文）· 部分積分：部分積分法的公式、几何解释和反复使用的例子。