附录 B · EJU 专有公式速查

这张表按章排列，只收第 3 章到第 23 章各节“说明”和“常用推论”里国内书没有、或者写法与国内不同的公式，写法和正文一致。两边相同的公式（正弦定理、余弦定理、求根公式、导数公式等）不重复列，请查国内书附录 A。复习时先看“条件”一栏，确认公式在什么前提下成立；记不清推导或用法时，按“出处”一栏回到对应的节。表格只管查，不管讲，第一次学某个公式请先读正文。

第 3 章 · 数と式

公式	条件	出处
$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$	三项的平方	3.2 节
$(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2 b + 3ab^2 \pm b^3$	和与差的立方	3.2 节
$(a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2) = a^3 \pm b^3$	立方和、立方差	3.2 节
$ax^2 + bx + c$ 能在有理数范围分解 $\iff D = b^2 - 4ac$ 是整数的平方	整系数二次式，判断能否たすき掛け	3.2 节
$x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$，$x^4 + 4 = (x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2)$	複2次式的常见结果	3.2 节
$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$，$x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$，$(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy$	用基本对称式表示	3.3 节
$a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca)$	三个字母的对称式	3.3 节
$x^2 + \dfrac{1}{x^2} = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 - 2$，$x^3 + \dfrac{1}{x^3} = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x + \dfrac{1}{x}\right)$	$xy = 1$ 的特殊情形	3.3 节
$\left(x - \dfrac{1}{x}\right)^2 = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 - 4$	再按 $x$ 的范围定符号	3.3 节
$x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2(xy)^2$，$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{x + y}{xy}$，$\dfrac{y}{x} + \dfrac{x}{y} = \dfrac{x^2 + y^2}{xy}$	通分或配方	3.3 节
$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$	三个字母的立方公式	3.3 节
$a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$	$a + b + c = 0$	3.3 节
$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \dfrac{1}{2}\{(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2\} \ge 0$	等号仅当 $a = b = c$	3.3 节
$(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc$	两边展开	3.3 节
$\sqrt{a^2} = \lvert a \rvert$	根号表示非负的平方根	3.4 节
$\dfrac{1}{\sqrt{a}} = \dfrac{\sqrt{a}}{a}$，$\dfrac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \dfrac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}$	分母の有理化	3.4 节
$0 \le x - n < 1$	$n$ 是 $x$ 的整数部分，$x - n$ 是小数部分	3.4 节
$a + b\sqrt{2} = c + d\sqrt{2}$ 则 $a = c$ 且 $b = d$	$a, b, c, d$ 是有理数；$\sqrt{2}$ 换成任何无理的平方根都成立	3.4 节
$0.\dot{9} = 1$；$0.\dot{a}\dot{b} = \dfrac{ab}{99}$	纯循环小数，循环节 $k$ 位时分母是 $k$ 个 9	3.4 节
$\lvert ab \rvert = \lvert a \rvert \lvert b \rvert$，$\lvert a \rvert^2 = a^2$，$\lvert a \rvert \ge a$	任意实数	3.4 节
$\sqrt{(a + b) + 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$，$\sqrt{(a + b) - 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$	$a > 0$，$b > 0$；减号时 $a > b$	3.5 节
$\sqrt{p \pm 2\sqrt{q}}$ 能化成 $\sqrt{a} \pm \sqrt{b}$ $\iff p^2 - 4q$ 是有理数的平方	$p$、$q$ 是正有理数，$q$ 不是平方数	3.5 节
$\sqrt{p \pm \sqrt{q}} = \sqrt{\dfrac{p + r}{2}} \pm \sqrt{\dfrac{p - r}{2}}$，$r = \sqrt{p^2 - q}$	二重根号的一般公式	3.5 节
$\sqrt{2 \pm \sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{6} \pm \sqrt{2}}{2}$	常见于 $\cos 15^\circ$、$\sin 15^\circ$	3.5 节
$\lvert x \rvert < c \iff -c < x < c$；$\lvert x \rvert > c \iff x < -c$ 或 $x > c$；$\lvert x - p \rvert < c \iff p - c < x < p + c$	$c > 0$	3.6 节
$\lvert A \rvert = B \iff B \geqq 0 \text{ かつ } (A = B \text{ または } A = -B)$	$B$ 可以含 $x$	3.6 节
$\lvert A \rvert < B \iff -B < A < B$，$\lvert A \rvert > B \iff A < -B \text{ または } A > B$	$B$ 可以含 $x$	3.6 节
$\lvert x - a \rvert + \lvert x - b \rvert$ 的最小值是 $\lvert a - b \rvert$	$x$ 位于 $a$、$b$ 之间（含端点）时取到	3.6 节
$\lvert a + b \rvert \le \lvert a \rvert + \lvert b \rvert$	三角不等式，等号仅当 $ab \ge 0$	3.6 节
$m < x < M$ 可以写成 $\left\lvert x - \dfrac{m + M}{2} \right\rvert < \dfrac{M - m}{2}$	以中点为中心、半宽表示范围	3.6 节

第 4 章 · 集合と命題

公式	条件	出处
$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$，$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$	ド・モルガンの法則，补集写上划线	4.2 节
$\overline{\overline{A}} = A$，$A \cap \overline{A} = \varnothing$，$A \cup \overline{A} = U$	全体集合 $U$	4.2 节
$n(\overline{A}) = n(U) - n(A)$，$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = n(U) - n(A \cup B)$	元素个数写 $n(A)$	4.2 节
$n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B)$	“只属于 $A$“的个数	4.2 节
$A \subset B \iff A \cap B = A \iff A \cup B = B \iff \overline{B} \subset \overline{A}$	日本的 $\subset$ 包括相等	4.2 节
$p \Longrightarrow q$ 为真 $\iff P \subset Q$	$P$、$Q$ 是 $p$、$q$ 的真理集合	4.3 节
“$p$ かつ $q$“的否定是”$\overline{p}$ または $\overline{q}$“，”$p$ または $q$“的否定是”$\overline{p}$ かつ $\overline{q}$”	条件的否定写 $\overline{p}$	4.3 节
“すべての $x$ について $p$“的否定是”ある $x$ について $\overline{p}$“，反之亦然	日本不用 $\forall$、$\exists$	4.3 节
$x^2 + y^2 = 0 \iff x = 0$ かつ $y = 0$	$x$、$y$ 是实数	4.3 节
命题”$p \Longrightarrow q$“的否定是”$p$ かつ $\overline{q}$”	即“有反例”，不是“裏”	4.3 节
“$p$ かつ $q$“は $p$ であるための十分条件；”$p$ または $q$“は $p$ であるための必要条件	$P \cap Q \subset P \subset P \cup Q$	4.4 节
逆 $q \Longrightarrow p$，裏 $\overline{p} \Longrightarrow \overline{q}$，対偶 $\overline{q} \Longrightarrow \overline{p}$	对命题 $p \Longrightarrow q$；命题与対偶、逆与裏真偽一致	4.5 节

第 5 章 · 2次関数

公式	条件	出处
$y - q = f(x - p)$	$y = f(x)$ を $x$ 軸方向に $p$，$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動	5.2 节
$x$ 軸に関して $-y = f(x)$；$y$ 軸に関して $y = f(-x)$；原点に関して $-y = f(-x)$	対称移動	5.2 节
$2t - y = f(2s - x)$	关于点 $(s, t)$ 的対称移動	5.2 节
$y = f(2s - x)$	关于直线 $x = s$ 的対称移動	5.2 节
最小值的分界点 $t = p - h$、$t = p$；最大值的分界点 $t = p - \dfrac{h}{2}$	开口向上，轴 $x = p$，区间 $t \le x \le t + h$	5.3 节
最小值分界点 $a = \alpha$、$a = \beta$；最大值分界点 $a = \dfrac{\alpha + \beta}{2}$	轴 $x = a$，区间 $\alpha \le x \le \beta$	5.3 节
標準形 $y = a(x - p)^2 + q$；一般形 $y = ax^2 + bx + c$；分解形 $y = a(x - \alpha)(x - \beta)$	分别对应已知顶点、已知三点、已知与 $x$ 轴的交点	5.4 节
轴 $x = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$	图像经过 $(x_1, k)$、$(x_2, k)$	5.4 节

第 6 章 · 図形と計量

公式	条件	出处
$\sin\theta = \dfrac{y}{r}$，$\cos\theta = \dfrac{x}{r}$，$\tan\theta = \dfrac{y}{x}$	半径 $r$ 的上半圆上的点 $P(x, y)$，$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$；$\tan$ 要求 $\theta \ne 90^\circ$	6.2 节
$m = \tan\theta$	直线 $y = mx + n$ 的倾斜角 $\theta$	6.2 节
$h = \dfrac{d}{\dfrac{1}{\tan\alpha} - \dfrac{1}{\tan\beta}}$	两观测点与塔底共线，相距 $d$，仰角 $\alpha < \beta$	6.2 节
$\sin(90^\circ - \theta) = \cos\theta$，$\cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta$，$\tan(90^\circ - \theta) = \dfrac{1}{\tan\theta}$	$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$；正切式要求 $0^\circ < \theta < 90^\circ$	6.3 节
$\sin(180^\circ - \theta) = \sin\theta$，$\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta$，$\tan(180^\circ - \theta) = -\tan\theta$	$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$	6.3 节
$\sin\theta\cos\theta = \dfrac{t^2 - 1}{2}$	$\sin\theta + \cos\theta = t$	6.3 节
$\sin(B + C) = \sin A$，$\cos(B + C) = -\cos A$，$\sin\dfrac{B + C}{2} = \cos\dfrac{A}{2}$	三角形内角	6.3 节
$(\sin\theta + \cos\theta)^2 + (\sin\theta - \cos\theta)^2 = 2$	展开相加	6.3 节
$\tan\theta + \dfrac{1}{\tan\theta} = \dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta}$	$\theta \ne 90^\circ$，$\tan\theta \ne 0$	6.3 节
$AD = \dfrac{bc}{b + c}$（$A = 120^\circ$），$AD = \dfrac{\sqrt{3}bc}{b + c}$（$A = 60^\circ$），$AD = \dfrac{\sqrt{2}bc}{b + c}$（$A = 90^\circ$）	$\angle A$ 的平分线长，由面积拆分得到	6.4 节
$S = \dfrac{abc}{4R}$	$R$ 是外接円の半径	6.4 节
$S = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$，$s = \dfrac{a + b + c}{2}$	海伦公式，日本写 $s$，国内写 $p$	6.4 节
$\cos A = \dfrac{p^2 + q^2 - m^2 - n^2}{2(pq + mn)}$	圆内接四边形，$p$、$q$ 夹 $A$，$m$、$n$ 夹 $C$	6.5 节
$S = \dfrac{1}{2}(pq + mn)\sin A$	圆内接四边形的面积	6.5 节
$AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$	トレミーの定理，圆内接四边形	6.5 节
$R = \dfrac{BD}{2\sin A} = \dfrac{AC}{2\sin B}$	圆内接四边形的外接圆半径	6.5 节
$AH = BH = CH = R$，$OH = \sqrt{OA^2 - R^2}$，$V = \dfrac{1}{3} \cdot \triangle ABC \cdot OH$	$OA = OB = OC$，垂足 $H$ 是底面外心	6.6 节
$V = \dfrac{1}{6} \cdot OA \cdot OB \cdot OC$，$d = \dfrac{3V}{\triangle ABC}$	$OA$、$OB$、$OC$ 两两垂直	6.6 节
$\dfrac{1}{d^2} = \dfrac{1}{OA^2} + \dfrac{1}{OB^2} + \dfrac{1}{OC^2}$	三直角四面体，$d$ 是 $O$ 到平面 $ABC$ 的距离	6.6 节
$r = \dfrac{3V}{S_{\text{表}}}$	四面体内切球半径，$S_{\text{表}}$ 是四个面的面积和	6.6 节
$h = \dfrac{\sqrt{6}}{3}a$，$V = \dfrac{\sqrt{2}}{12}a^3$，$R = \dfrac{\sqrt{6}}{4}a$，$r = \dfrac{\sqrt{6}}{12}a$，$R = 3r$	正四面体，棱长 $a$	6.6 节
$R_{\text{球}} = \dfrac{OA^2}{2 \cdot OH}$	侧棱相等的四面体的外接球	6.6 节

第 7 章 · 場合の数と確率

公式	条件	出处
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$，$n(\overline{A}) = n(U) - n(A)$	元素个数写 $n(A)$，补集写 $\overline{A}$	7.2 节
$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$	三つの集合	7.2 节
1 到 $N$ 中 $k$ 的倍数有 $\left\lfloor \dfrac{N}{k} \right\rfloor$ 个	$\lfloor x \rfloor$ 是不超过 $x$ 的最大整数	7.2 节
$\max\{0,\ n(A) + n(B) - n(U)\} \le n(A \cap B) \le \min\{n(A),\ n(B)\}$	交集的范围	7.2 节
${}_n\mathrm{P}_r = \dfrac{n!}{(n - r)!}$，${}_n\mathrm{C}_r = \dfrac{n!}{r!\,(n - r)!}$	国内写 $\mathrm{A}_n^r$、$\mathrm{C}_n^r$	7.3 节
円順列 $(n - 1)!$	$n$ 个不同元素排成一圈	7.3 节
じゅず順列 $\dfrac{(n - 1)!}{2}$	$n \ge 3$，翻过来相同的也算一种	7.3 节
重複順列 $n^r$	从 $n$ 种元素允许重复地取 $r$ 个排成一列	7.3 节
$2^r - 2$（$n = 2$），$3^r - 3 \cdot 2^r + 3$（$n = 3$）	$r$ 个人分进 $n$ 个有名字的房间且不空	7.3 节
$\dfrac{n!}{p!\,q!\,r!}$	同じものを含む順列，$p + q + r = n$	7.4 节
$\dfrac{(m + n)!}{m!\,n!} = {}_{m + n}\mathrm{C}_m$	最短経路，向右 $m$ 段、向上 $n$ 段	7.4 节
$\dfrac{n!}{k!}$	指定 $k$ 个元素顺序的排列数	7.4 节
${}_n\mathrm{C}_r\, p^r (1 - p)^{n - r}$	反復試行，$n$ 次中恰好发生 $r$ 次	7.5 节
$1 - (1 - p)^n$	「少なくとも 1 回」	7.5 节
$(1 - p)^{n - 1} p$	「$n$ 回目に初めて $A$ が起こる」	7.5 节
${}_{m - 1}\mathrm{C}_{k - 1}\, p^{k} (1 - p)^{m - k}$	「先に $k$ 勝」在第 $m$ 局结束且由 A 夺冠	7.5 节
$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$	$P(A) > 0$；国内写 $P(B \mid A)$	7.6 节
$P_A(B) = \dfrac{n(A \cap B)}{n(A)}$	所有结果等可能	7.6 节
$P(A \cap B) = P(A)\, P_A(B)$	乗法定理	7.6 节
$P(A)\,P_A(B) = P(B)\,P_B(A)$	$P(A) > 0$、$P(B) > 0$	7.6 节
$P(A \cap B \cap C) = P(A)\,P_A(B)\,P_{A \cap B}(C)$	三步的乗法定理	7.6 节
$E = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n$	期待値，$p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1$	7.7 节
$a x_i + b$ 的期待値是 $aE + b$	每个取值统一乘 $a$ 再加 $b$	7.7 节

第 8 章 · 整数の性質

公式	条件	出处
$\text{正の約数の個数} = (a + 1)(b + 1)(c + 1)$	$N = p^a q^b r^c$，$p$、$q$、$r$ 是不同的素数	8.2 节
$\text{正の約数の総和} = (1 + p + \dots + p^a)(1 + q + \dots + q^b)(1 + r + \dots + r^c)$	同上	8.2 节
$1 + p + \dots + p^a = \dfrac{p^{a + 1} - 1}{p - 1}$	约数总和的每个括号	8.2 节
$n!$ 中素数 $p$ 的指数 $= \left\lfloor \dfrac{n}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \dfrac{n}{p^2} \right\rfloor + \left\lfloor \dfrac{n}{p^3} \right\rfloor + \cdots$	$\lfloor x \rfloor$ 是不超过 $x$ 的最大整数	8.2 节
$a = g a'$，$b = g b'$，$l = g a' b'$，$ab = gl$	$g$、$l$ 是最大公约数、最小公倍数，$a'$、$b'$ 互素	8.3 节
$a = bq + r$，$0 \le r < b$	整数 $a$，正整数 $b$，$q$、$r$ 唯一	8.3 节
$a \pm c \equiv b \pm d$，$ac \equiv bd$，$a^n \equiv b^n \pmod{m}$	$a \equiv b$，$c \equiv d \pmod{m}$；EJU 题干一般不用合同式	8.3 节
$\gcd(a, b) = \gcd(b, r)$	$a = bq + r$，ユークリッドの互除法	8.4 节
$\gcd(a, b) = \gcd(a - kb, b)$	任意整数 $k$	8.4 节
存在整数 $x$、$y$ 使 $ax + by = \gcd(a, b)$	$a$、$b$ 互素当且仅当可使 $ax + by = 1$	8.4 节
$ax + by = c$ 有整数解 $\iff \gcd(a, b)$ 整除 $c$	1次不定方程式	8.5 节
$x = x_0 + bk$，$y = y_0 - ak$（$k$ は整数）	$a$、$b$ 互素，$(x_0, y_0)$ 是一组解	8.5 节
$abcd_{(n)} = a \cdot n^3 + b \cdot n^2 + c \cdot n + d$	$n$ 進法	8.6 节
$0.abc_{(n)} = \dfrac{a}{n} + \dfrac{b}{n^2} + \dfrac{c}{n^3}$	$n$ 進法的小数	8.6 节
$n^k - n^{k-1} = (n - 1)n^{k-1}$	$n$ 进制下 $k$ 位自然数的个数	8.6 节

第 9 章 · 図形の性質

公式	条件	出处
$BD : DC = AB : AC$	角の二等分線の定理，$\angle A$ 的平分线交 $BC$ 于 $D$	9.2 节
$BE : EC = AB : AC$	$AB \ne AC$，$\angle A$ 的外角平分线交直线 $BC$ 于 $E$	9.2 节
$BD = \dfrac{ac}{b + c}$，$DC = \dfrac{ab}{b + c}$	$BC = a$，$AB = c$，$AC = b$	9.2 节
$AD^2 = AB \cdot AC - BD \cdot DC$	角平分线长	9.2 节
$AP = \dfrac{m}{m + n} AB$；$AQ = \dfrac{m}{m - n} AB$	$P$ 内分 $AB$ 为 $m : n$；$Q$ 外分 $AB$ 为 $m : n$（$m > n$）	9.2 节
$r = \dfrac{S}{s}$	内接円的半径，$s = \dfrac{a + b + c}{2}$	9.3 节
$\angle BOC = 2A$，$\angle BIC = 90^\circ + \dfrac{A}{2}$，$\angle BHC = 180^\circ - A$，$\angle BI_A C = 90^\circ - \dfrac{A}{2}$	外心、内心、垂心、傍心；第一式要求 $A$ 为锐角	9.3 节
$AQ = AR = s - a$，$BR = BP = s - b$，$CP = CQ = s - c$	内接円的切线长	9.3 节
$r_A = \dfrac{S}{s - a}$	与 $\angle A$ 相对的傍接円的半径；从 $A$ 到切点的切线长等于 $s$	9.3 节
$AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$	パップスの中線定理，$M$ 是 $BC$ 的中点	9.3 节
$AI : ID = (b + c) : a$	内心分角平分线	9.3 节
$\triangle GBC = \triangle GCA = \triangle GAB = \dfrac{1}{3}S$	重心分面积	9.3 节
$r = \dfrac{a + b - c}{2}$，$R = \dfrac{c}{2}$	直角三角形，$c$ 为斜边	9.3 节
$OG : GH = 1 : 2$，$\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG}$	オイラー線，不是正三角形；外心为原点	9.3 节
$\dfrac{AF}{FB} \cdot \dfrac{BD}{DC} \cdot \dfrac{CE}{EA} = 1$	チェバの定理（$AD$、$BE$、$CF$ 交于一点）；メネラウスの定理（直线交三边或延长线于 $D$、$E$、$F$）	9.4 节
$\dfrac{\triangle AB'C'}{\triangle ABC} = \dfrac{AB'}{AB} \cdot \dfrac{AC'}{AC}$	共角三角形的面积比	9.4 节
$\angle BAT = \angle ACB$	接弦定理，$AT$ 是切线，$AB$ 是过切点的弦	9.5 节
$AB + CD = AD + BC$	円に外接する四角形	9.5 节
$EF = BC \cos A$	$\triangle AEF \backsim \triangle ABC$，相似比 $\cos A$	9.5 节
$PA \cdot PB = PC \cdot PD$	方べきの定理，两弦交于圆内或两割线交于圆外一点 $P$	9.6 节
$PA \cdot PB = PT^2$	$PT$ 是切线，$T$ 是切点	9.6 节
方べき $= \lvert OP^2 - r^2 \rvert$	圆心 $O$、半径 $r$	9.6 节
$\text{共通外接線の長さ} = \sqrt{d^2 - (r_1 - r_2)^2}$，$\text{共通内接線の長さ} = \sqrt{d^2 - (r_1 + r_2)^2}$	两圆半径 $r_1 \ge r_2$，圆心距 $d$	9.7 节
$2\sqrt{r_1 r_2}$	外切两圆在公切线上的切点间距离	9.7 节
$\dfrac{1}{\sqrt{r_3}} = \dfrac{1}{\sqrt{r_1}} + \dfrac{1}{\sqrt{r_2}}$	三个圆相切于同一直线，$r_3$ 是中间的圆	9.7 节
$PO \perp \alpha$，$OA \perp l \Rightarrow PA \perp l$；$PO \perp \alpha$，$PA \perp l \Rightarrow OA \perp l$；$PA \perp l$，$OA \perp l$，$PO \perp OA \Rightarrow PO \perp \alpha$	三垂線の定理，$l$ 在平面 $\alpha$ 上	9.8 节
$\dfrac{1}{h^2} = \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2}$	直角四面体，棱长 $a$、$b$、$c$	9.8 节
$v - e + f = 2$	オイラーの多面体定理，凸多面体	9.9 节
$V = \dfrac{\sqrt{2}}{3}a^3$	棱长 $a$ 的正八面体	9.9 节

第 10 章 · いろいろな式

公式	条件	出处
$(a + b + c)^n$ 中 $a^p b^q c^r$ 的系数是 $\dfrac{n!}{p!\,q!\,r!}$	多項定理，$p + q + r = n$	10.1 节
$A = BQ + R$，$R = 0 \text{ または } (R \text{ の次数}) < (B \text{ の次数})$	多項式の除法	10.2 节
$\dfrac{ax + b}{cx + d} = \dfrac{a}{c} + \dfrac{bc - ad}{c(cx + d)}$	$c \ne 0$	10.2 节
$ax^2 + bx + c = a'x^2 + b'x + c'$ が恒等式 $\iff a = a',\ b = b',\ c = c'$	恒等式の性質	10.3 节
$\dfrac{1}{(x + a)(x + b)} = \dfrac{1}{b - a}\left(\dfrac{1}{x + a} - \dfrac{1}{x + b}\right)$	部分分数分解，$a \ne b$	10.3 节
$A > B \iff A^2 > B^2$	$A \ge 0$，$B \ge 0$，平方比较	10.4 节
$(a^2 + b^2)(x^2 + y^2) \ge (ax + by)^2$	コーシー・シュワルツの不等式，等号在 $ay = bx$	10.4 节
$(a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2) \ge (ax + by + cz)^2$	三元的情形	10.4 节
$\lvert a \rvert - \lvert b \rvert \le \lvert a + b \rvert \le \lvert a \rvert + \lvert b \rvert$	三角不等式	10.4 节
$\big\lvert \lvert a \rvert - \lvert b \rvert \big\rvert \le \lvert a \pm b \rvert \le \lvert a \rvert + \lvert b \rvert$	把 $b$ 换成 $-b$	10.4 节
$\sqrt{-a} = \sqrt{a}\,i$	$a > 0$，含 $\sqrt{-a}$ 的式子先化成 $\sqrt{a}\,i$ 再算	10.5 节
$x = \dfrac{-b' \pm \sqrt{b'^2 - ac}}{a}$，$\dfrac{D}{4} = b'^2 - ac$	$b = 2b'$；判别式写 $D$	10.5 节
$ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)$	$\alpha$、$\beta$ 是解，复数范围内总能分解	10.6 节
$\alpha + \beta + \gamma = -\dfrac{b}{a}$，$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \dfrac{c}{a}$，$\alpha\beta\gamma = -\dfrac{d}{a}$	$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ 的三个解	10.6 节
$P(x)$ 除以 $x - a$ 的余り是 $P(a)$；除以 $ax + b$ 的余り是 $P\left(-\dfrac{b}{a}\right)$	剰余の定理	10.7 节
$P(x)$ 有因式 $x - a \iff P(a) = 0$	因数定理	10.7 节
$P(x) = (x - a)(x - b)Q(x) + px + q$	除以 $(x - a)(x - b)$，$a \ne b$	10.7 节
余り $= \dfrac{P(a) - P(b)}{a - b}(x - a) + P(a)$	除以 $(x - a)(x - b)$，$a \ne b$	10.7 节
有理数の解 $= \pm\dfrac{\text{定数項の約数}}{\text{最高次の係数の約数}}$	整数系数的 $P(x)$	10.8 节
$\omega^3 = 1$，$\omega^2 + \omega + 1 = 0$	$\omega$ 是 $x^3 = 1$ 的虚数解 $\dfrac{-1 \pm \sqrt{3}\,i}{2}$ 之一	10.8 节
$\omega^{3k} = 1$，$\omega^{3k + 1} = \omega$，$\omega^{3k + 2} = \omega^2$	$k$ 是整数	10.8 节
$\omega^2 = \overline{\omega} = \dfrac{1}{\omega}$，$\omega + \overline{\omega} = -1$，$\omega\overline{\omega} = 1$	1 の 3 乗根	10.8 节
$x^3 - 1 = (x - 1)(x - \omega)(x - \omega^2)$	复数范围内的因式分解	10.8 节

第 11 章 · 図形と方程式

公式	条件	出处
内分点 $\left(\dfrac{nx_1 + mx_2}{m + n},\ \dfrac{ny_1 + my_2}{m + n}\right)$	$A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$，内分 $m : n$	11.2 节
外分点 $\left(\dfrac{-nx_1 + mx_2}{m - n},\ \dfrac{-ny_1 + my_2}{m - n}\right)$	外分 $m : n$，$m \ne n$；即把 $n$ 换成 $-n$	11.2 节
$G\left(\dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3},\ \dfrac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)$	三角形的重心	11.2 节
$D = A + C - B$	平行四边形 $ABCD$ 的第四个顶点	11.2 节
$A' = 2M - A$	点 $A$ 关于点 $M$ 的对称点	11.2 节
以 $AB$ 的 $m : n$ 内分点和外分点为直径两端的圆	アポロニウスの円，$PA : PB = m : n$，$m \ne n$	11.3 节
顶点 $\left(-\dfrac{p}{2}, q - \dfrac{p^2}{4}\right)$	抛物线 $y = x^2 + px + q$	11.3 节
两点在直线两侧 $\iff (ax_1 + by_1 + c)(ax_2 + by_2 + c) < 0$	直线 $ax + by + c = 0$	11.4 节
$\lvert x \rvert + \lvert y \rvert \le a$ 是以 $(\pm a, 0)$、$(0, \pm a)$ 为顶点的正方形，面积 $2a^2$	$a > 0$	11.4 节
最大值 $ap + bq + r\sqrt{a^2 + b^2}$，最小值 $ap + bq - r\sqrt{a^2 + b^2}$	$ax + by$ 在圆 $(x - p)^2 + (y - q)^2 \le r^2$ 上	11.5 节

第 12 章 · 指数関数・対数関数

公式	条件	出处
$\log_{10} 2 = 0.3010$，$\log_{10} 3 = 0.4771$，$\log_{10} 7 = 0.8451$	题目常给的常用対数近似值；国内写 $\lg$	12.2 节
$10^{n-1} \le N < 10^n \iff n - 1 \le \log_{10} N < n$	正整数 $N$ 是 $n$ 位数（桁数）	12.2 节
$m \le 10^\alpha < m + 1 \iff \log_{10} m \le \alpha < \log_{10}(m + 1)$	最高位的数字是 $m$，$\log_{10} N = k + \alpha$，$0 \le \alpha < 1$	12.2 节
$10^{-n} \le N < 10^{-n+1} \iff -n \le \log_{10} N < -n + 1$	$0 < N < 1$，小数第 $n$ 位第一次出现非零数字	12.2 节
$n > \dfrac{\log_{10} M}{\log_{10} a}$ 的最小自然数	$a^n$ 第一次超过 $M$（$a > 1$）或第一次小于 $M$（$0 < a < 1$）	12.2 节
$a > 0$，$a \ne 1$（底の条件），$M > 0$（真数条件）	$\log_a M$ 有意义	12.3 节
$\log 1 = 0$，$\log e = 1$，$\log e^k = k$，$e^{\log a} = a$	不写底的 $\log$ 是自然对数（国内写 $\ln$），$a > 0$	12.3 节
$\log_a b = \dfrac{\log b}{\log a} = \dfrac{\log_{10} b}{\log_{10} a}$，$\log_{10} x = \dfrac{\log x}{\log 10}$	换底到自然对数或常用对数	12.3 节
$t \ge 2$，$a^{2x} + a^{-2x} = t^2 - 2$，$a^{3x} + a^{-3x} = t^3 - 3t$	$t = a^x + a^{-x}$，$a > 0$，$a \ne 1$	12.4 节
$a^{2x} + a^{-2x} = s^2 + 2$	$s = a^x - a^{-x}$，可取一切实数	12.4 节

第 13 章 · 三角関数

公式	条件	出处
$\sin n\theta = a$ 有 $2n$ 个解	$0 \le \theta < 2\pi$，$\lvert a \rvert < 1$	13.2 节
$\sin\theta = a$ 的两解之和是 $\pi$（$a > 0$）或 $3\pi$（$a < 0$）；$\cos\theta = a$ 的两解之和是 $2\pi$	$0 \le \theta < 2\pi$	13.2 节
$\sin^2\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 - \cos\alpha}{2}$，$\cos^2\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 + \cos\alpha}{2}$，$\tan^2\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}$	半角の公式，日本写平方形式	13.3 节
$\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$，$\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$	3倍角の公式，国内不要求	13.3 节
$\sin\alpha\cos\beta = \dfrac{1}{2}\{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)\}$，$\cos\alpha\sin\beta = \dfrac{1}{2}\{\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)\}$	積を和に直す公式	13.3 节
$\cos\alpha\cos\beta = \dfrac{1}{2}\{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)\}$，$\sin\alpha\sin\beta = -\dfrac{1}{2}\{\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)\}$	積を和に直す公式	13.3 节
$\sin A + \sin B = 2\sin\dfrac{A + B}{2}\cos\dfrac{A - B}{2}$，$\sin A - \sin B = 2\cos\dfrac{A + B}{2}\sin\dfrac{A - B}{2}$	和を積に直す公式	13.3 节
$\cos A + \cos B = 2\cos\dfrac{A + B}{2}\cos\dfrac{A - B}{2}$，$\cos A - \cos B = -2\sin\dfrac{A + B}{2}\sin\dfrac{A - B}{2}$	和を積に直す公式	13.3 节
$\tan\theta = \left\lvert \dfrac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right\rvert$	2直線のなす角，$0 < \theta \le \dfrac{\pi}{2}$，$1 + m_1 m_2 \ne 0$	13.3 节
$\cos 36^\circ = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{4}$	由 $\sin 18^\circ$ 求得	13.3 节
$\sin 2\alpha = \dfrac{2t}{1 + t^2}$，$\cos 2\alpha = \dfrac{1 - t^2}{1 + t^2}$	$\tan\alpha = t$	13.3 节
$a\sin\theta + b\cos\theta = r\sin(\theta + \alpha)$，$r = \sqrt{a^2 + b^2}$	三角関数の合成，$\cos\alpha = \dfrac{a}{r}$，$\sin\alpha = \dfrac{b}{r}$；国内写 $\varphi$	13.4 节
$\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right)$，$\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta = 2\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{6}\right)$，$\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta = 2\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{3}\right)$	三个常用的合成	13.4 节
$p\sin^2\theta + q\sin\theta\cos\theta + s\cos^2\theta = \dfrac{q}{2}\sin 2\theta + \dfrac{s - p}{2}\cos 2\theta + \dfrac{p + s}{2}$	二次齐次式化成可合成的形式	13.4 节
$a\sin\theta + b\cos\theta = c$ 有实数解 $\iff c^2 \le a^2 + b^2$	合成后看 $\left\lvert \dfrac{c}{r} \right\rvert \le 1$	13.4 节
$\sin\theta\cos\theta = \dfrac{t^2 - 1}{2}$，$\sin 2\theta = t^2 - 1$，$\sin^3\theta + \cos^3\theta = \dfrac{t(3 - t^2)}{2}$	$t = \sin\theta + \cos\theta$	13.5 节
$\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1 - t^2}{2}$	$t = \sin\theta - \cos\theta$	13.5 节
$\cos 2\theta = 2t^2 - 1$，$\cos 3\theta = 4t^3 - 3t$；$\cos 2\theta = 1 - 2t^2$，$\sin 3\theta = 3t - 4t^3$	前两式 $t = \cos\theta$，后两式 $t = \sin\theta$	13.5 节
$-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$；$-1 \le t \le \sqrt{2}$；$1 \le t \le \sqrt{2}$	$t = \sin\theta + \cos\theta$，$\theta$ 依次在 $0 \le \theta < 2\pi$、$0 \le \theta \le \pi$、$0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{2}$	13.5 节

第 14 章 · 数列

公式	条件	出处
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} c = nc$，$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{1}{2}n(n + 1)$	$c$ 是常数	14.2 节
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 = \dfrac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1)$	平方和	14.2 节
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left\{\dfrac{1}{2}n(n + 1)\right\}^2 = \left(\sum_{k=1}^{n} k\right)^2$	立方和，国内不系统讲	14.2 节
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} r^{k-1} = \dfrac{r^n - 1}{r - 1}$	$r \ne 1$	14.2 节
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (p a_k + q b_k) = p\sum_{k=1}^{n} a_k + q\sum_{k=1}^{n} b_k$	$p$、$q$ 与 $k$ 无关	14.2 节
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k(k + 1) = \dfrac{1}{3}n(n + 1)(n + 2)$，$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k(k + 1)(k + 2) = \dfrac{1}{4}n(n + 1)(n + 2)(n + 3)$	连续整数之积	14.2 节
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (2k - 1) = n^2$	前 $n$ 个奇数之和	14.2 节
$a_n = a_1 + \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_k$	階差数列 $b_n = a_{n+1} - a_n$，$n \ge 2$	14.3 节
$\dfrac{1}{2}(n - 1)n < m \le \dfrac{1}{2}n(n + 1)$	群数列，第 $n$ 群有 $n$ 项，第 $m$ 项在第 $n$ 群	14.4 节
前 $n$ 群共 $n^2$ 项，第 $n$ 群从第 $(n - 1)^2 + 1$ 项开始	第 $n$ 群有 $2n - 1$ 项	14.4 节
前 $n$ 群共 $2^n - 1$ 项	第 $n$ 群有 $2^{n-1}$ 项	14.4 节
$a_{n+1} - \alpha = p(a_n - \alpha)$，$a_n = (a_1 - \alpha)p^{n-1} + \alpha$	$a_{n+1} = pa_n + q$，$p \ne 1$，特性方程式 $\alpha = p\alpha + q$，$\alpha = \dfrac{q}{1 - p}$	14.5 节
$\dfrac{1}{a_{n+1}} = \dfrac{s}{a_n} + r$	分数型 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{ra_n + s}$，取逆数	14.5 节
$a_{n+1} + \alpha(n + 1) + \beta = p(a_n + \alpha n + \beta)$	一次式型 $a_{n+1} = pa_n + cn + d$	14.5 节
$a_{n+2} - \alpha a_{n+1} = \beta(a_{n+1} - \alpha a_n)$	3 項間漸化式 $a_{n+2} + sa_{n+1} + ta_n = 0$，$\alpha$、$\beta$ 是 $x^2 + sx + t = 0$ 的两根	14.5 节
$\log a_{n+1} = \log p + r\log a_n$	$a_{n+1} = pa_n^r$，各项为正	14.5 节
$a^{k+1} - b = a(a^k - b) + (ab - b)$	整除的帰納法	14.6 节
$s_{n+2} = ps_{n+1} + qs_n$	$s_n = \alpha^n + \beta^n$，$\alpha$、$\beta$ 是 $x^2 - px - q = 0$ 的两根	14.6 节

第 15 章 · 確率分布

公式	条件	出处
$V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2$	分散记 $V(X)$，国内记 $D(X)$	15.2 节
$E(aX + b) = aE(X) + b$，$V(aX + b) = a^2 V(X)$，$\sigma(aX + b) = \lvert a \rvert\sigma(X)$	$a$、$b$ 是常数	15.2 节
$Z = \dfrac{X - m}{\sigma}$，$E(Z) = 0$，$V(Z) = 1$	標準化，$m = E(X)$，$\sigma = \sigma(X) > 0$	15.2 节
$T = 10 \cdot \dfrac{X - m}{\sigma} + 50$	偏差値	15.2 节
$V(X) = p(1-p)(a-b)^2$	$X$ 以概率 $p$ 取 $a$、以概率 $1-p$ 取 $b$	15.2 节
$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$，$E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$	任意两个确率变数，不论是否独立	15.3 节
$P(X = x_i,\ Y = y_j) = P(X = x_i)\,P(Y = y_j)$	$X$ 与 $Y$ 互いに独立的定义	15.3 节
$E(XY) = E(X)E(Y)$，$V(X + Y) = V(X) + V(Y)$	$X$、$Y$ 独立（补充）	15.3 节
$V(X - Y) = V(X) + V(Y)$，$V(aX + bY) = a^2V(X) + b^2V(Y)$	$X$、$Y$ 独立（补充）	15.3 节
$E(X) = np$，$V(X) = np(1 - p)$	二项分布，$n$ 次反復試行，每次成功概率 $p$	15.3 节
$E(S) = nE(X)$，$V(S) = nV(X)$；$E(\bar{X}) = E(X)$，$V(\bar{X}) = \dfrac{V(X)}{n}$	同一分布独立重复 $n$ 次，$S$ 是和，$\bar{X} = \dfrac{S}{n}$	15.3 节
$s_{xy} = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = \overline{xy} - \bar{x}\,\bar{y}$	数据的共分散	15.4 节
$r = \dfrac{s_{xy}}{s_x s_y}$	数据的相関係数	15.4 节
$\mathrm{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$，$\rho = \dfrac{\mathrm{Cov}(X, Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}$	确率变数的共分散（补充）	15.4 节
$s_{uv} = ac\,s_{xy}$；$r_{uv} = r$（$ac > 0$）或 $-r$（$ac < 0$）	$u = ax + b$，$v = cy + d$	15.4 节
$V(X \pm Y) = V(X) + V(Y) \pm 2\,\mathrm{Cov}(X, Y)$	不独立时	15.4 节
$\rho = -\dfrac{1}{N - 1}$	不放回地从 $N$ 个里取两次，两次的 0–1 变数	15.4 节

第 16 章 · ベクトル

公式	条件	出处
$\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{b} - \boldsymbol{a}$	位置ベクトル；EJU 写 $\overrightarrow{a}$，不用粗体	16.2 节
$\boldsymbol{p} = \dfrac{n\boldsymbol{a} + m\boldsymbol{b}}{m + n}$	$P$ 把 $AB$ 内分成 $m : n$	16.2 节
$\boldsymbol{q} = \dfrac{-n\boldsymbol{a} + m\boldsymbol{b}}{m - n}$	$Q$ 把 $AB$ 外分成 $m : n$，$m \ne n$	16.2 节
$\boldsymbol{g} = \dfrac{\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}}{3}$	$\triangle ABC$ 的重心	16.2 节
$\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = \alpha : \beta : \gamma$，$\overrightarrow{AP} = \dfrac{\beta\overrightarrow{AB} + \gamma\overrightarrow{AC}}{\alpha + \beta + \gamma}$	$\alpha\overrightarrow{PA} + \beta\overrightarrow{PB} + \gamma\overrightarrow{PC} = \boldsymbol{0}$，$\alpha, \beta, \gamma > 0$	16.2 节
$\left(\dfrac{nx_1 + mx_2}{m + n}, \dfrac{ny_1 + my_2}{m + n}, \dfrac{nz_1 + mz_2}{m + n}\right)$	空间两点的 $m : n$ 内分点；外分点把 $n$ 换成 $-n$	16.2 节
$\overrightarrow{OQ} = \dfrac{x\boldsymbol{a} + y\boldsymbol{b}}{x + y}$，$AQ : QB = y : x$，$OP : OQ = (x + y) : 1$	$\overrightarrow{OP} = x\boldsymbol{a} + y\boldsymbol{b}$（$x, y > 0$），直线 $OP$ 交 $AB$ 于 $Q$	16.3 节
$\overrightarrow{OQ} = \dfrac{\overrightarrow{OP}}{x + y + z}$	$\overrightarrow{OP} = x\boldsymbol{a} + y\boldsymbol{b} + z\boldsymbol{c}$，直线 $OP$ 交平面 $ABC$ 于 $Q$	16.3 节
$\dfrac{OP}{OD} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{\lambda} + \dfrac{1}{\mu} + \dfrac{1}{\nu}}$	$OL = \lambda OA$，$OM = \mu OB$，$ON = \nu OC$，$OD$ 交平面 $LMN$ 于 $P$	16.3 节
$S = \dfrac{1}{2}\sqrt{\lvert\boldsymbol{a}\rvert^2\lvert\boldsymbol{b}\rvert^2 - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})^2}$	$\triangle OAB$，$\overrightarrow{OA} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB} = \boldsymbol{b}$	16.4 节
$S = \dfrac{1}{2}\lvert a_1b_2 - a_2b_1 \rvert$	平面上 $\boldsymbol{a} = (a_1, a_2)$，$\boldsymbol{b} = (b_1, b_2)$	16.4 节
$\overrightarrow{OH} = \dfrac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{\lvert\boldsymbol{a}\rvert^2}\boldsymbol{a}$	垂線の足，$B$ 向直线 $OA$ 作垂线	16.4 节
$\overrightarrow{OD} = \dfrac{\lvert\boldsymbol{b}\rvert\boldsymbol{a} + \lvert\boldsymbol{a}\rvert\boldsymbol{b}}{\lvert\boldsymbol{a}\rvert + \lvert\boldsymbol{b}\rvert}$	$\angle AOB$ 的平分线交 $AB$ 于 $D$	16.4 节
$\dfrac{1}{2}\lvert (x_2 - x_1)(y_3 - y_1) - (x_3 - x_1)(y_2 - y_1) \rvert$	三点坐标求 $\triangle ABC$ 的面积	16.4 节
$BH = \dfrac{2S}{\lvert\boldsymbol{a}\rvert} = \sqrt{\lvert\boldsymbol{b}\rvert^2 - \dfrac{(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})^2}{\lvert\boldsymbol{a}\rvert^2}}$	$B$ 到直线 $OA$ 的距离	16.4 节
$\overrightarrow{OB'} = 2\overrightarrow{OH} - \boldsymbol{b}$	$B$ 关于直线 $OA$ 的对称点	16.4 节
$\overrightarrow{OI} = \dfrac{OB \cdot \boldsymbol{a} + OA \cdot \boldsymbol{b}}{OA + OB + AB}$	$\triangle OAB$ 的内心	16.4 节
$\boldsymbol{p} = \boldsymbol{a} + t\boldsymbol{u}$	直线，过 $A(\boldsymbol{a})$，方向ベクトル $\boldsymbol{u}$	16.5 节
$\boldsymbol{p} = (1 - t)\boldsymbol{a} + t\boldsymbol{b}$，即 $\boldsymbol{p} = s\boldsymbol{a} + t\boldsymbol{b}$，$s + t = 1$	直线，过两点 $A$、$B$	16.5 节
$\boldsymbol{n} \cdot (\boldsymbol{p} - \boldsymbol{a}) = 0$	直线，过 $A(\boldsymbol{a})$，法線ベクトル $\boldsymbol{n}$	16.5 节
$\lvert\boldsymbol{p} - \boldsymbol{c}\rvert = r$	圆，中心 $C(\boldsymbol{c})$、半径 $r$	16.5 节
$(\boldsymbol{p} - \boldsymbol{a}) \cdot (\boldsymbol{p} - \boldsymbol{b}) = 0$	以 $AB$ 为直径的圆	16.5 节
$s + t \le 1$，$s \ge 0$，$t \ge 0$：$\triangle OAB$ 的周及内部；$0 \le s \le 1$，$0 \le t \le 1$：平行四边形	$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$，点的存在范围	16.5 节
面积 $= (k_2^2 - k_1^2) \times \triangle OAB$	$k_1 \le s + t \le k_2$，$s \ge 0$，$t \ge 0$	16.5 节
法线向量 $(a, b)$，方向向量 $(b, -a)$	直线 $ax + by + c = 0$	16.5 节
关于 $xy$ 平面 $(a, b, -c)$；关于 $x$ 轴 $(a, -b, -c)$；关于原点 $(-a, -b, -c)$	点 $P(a, b, c)$ 的对称点	16.6 节
$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2$	球面の方程式，中心 $(a, b, c)$、半径 $r$	16.6 节
$\rho = \sqrt{r^2 - d^2}$	球面与平面的交线圆，$d < r$	16.6 节
与 $xy$ 平面相切 $\iff \lvert c \rvert = r$	球面中心 $(a, b, c)$	16.6 节
$x = x_1 + lt$，$y = y_1 + mt$，$z = z_1 + nt$	空间直线，方向向量 $(l, m, n)$	16.7 节
$\boldsymbol{p} = \boldsymbol{a} + s\boldsymbol{u} + t\boldsymbol{v}$；$\boldsymbol{p} = s\boldsymbol{a} + t\boldsymbol{b} + u\boldsymbol{c}$，$s + t + u = 1$	平面，$\boldsymbol{u}$、$\boldsymbol{v}$ 1 次独立；或过不共线三点	16.7 节
$a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$	平面，过 $A(x_1, y_1, z_1)$，法线向量 $(a, b, c)$	16.7 节
$\dfrac{\lvert ax_0 + by_0 + cz_0 + d \rvert}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$	点 $(x_0, y_0, z_0)$ 到平面 $ax + by + cz + d = 0$ 的距离	16.7 节
$\dfrac{x}{p} + \dfrac{y}{q} + \dfrac{z}{r} = 1$	平面的截距式，$pqr \ne 0$	16.7 节
弦长 $2\sqrt{r^2 - d^2}$	直线与球面相交，$d < r$	16.7 节

第 17 章 · 複素数平面

公式	条件	出处
$\overline{\alpha \pm \beta} = \overline{\alpha} \pm \overline{\beta}$，$\overline{\alpha\beta} = \overline{\alpha}\,\overline{\beta}$，$\overline{\left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right)} = \dfrac{\overline{\alpha}}{\overline{\beta}}$	$\beta \ne 0$	17.2 节
$z \text{ が実数} \iff \overline{z} = z$，$z \text{ が純虚数} \iff \overline{z} = -z \text{ かつ } z \ne 0$	实数、纯虚数的判定	17.2 节
$\lvert z \rvert^2 = z\overline{z}$，$\lvert \alpha\beta \rvert = \lvert \alpha \rvert \lvert \beta \rvert$，$\left\lvert \dfrac{\alpha}{\beta} \right\rvert = \dfrac{\lvert \alpha \rvert}{\lvert \beta \rvert}$，$\lvert z^n \rvert = \lvert z \rvert^n$	絶対値の性質	17.2 节
$\lvert z \rvert = 1 \iff \overline{z} = \dfrac{1}{z}$	单位圆上的点	17.2 节
$\lvert \alpha + \beta \rvert^2 + \lvert \alpha - \beta \rvert^2 = 2\left(\lvert \alpha \rvert^2 + \lvert \beta \rvert^2\right)$	平行四辺形の性質	17.2 节
$\lvert \alpha \rvert - \lvert \beta \rvert \le \lvert \alpha + \beta \rvert \le \lvert \alpha \rvert + \lvert \beta \rvert$	三角不等式	17.2 节
$f(\overline{z}) = \overline{f(z)}$	$f(x)$ 的系数都是实数	17.2 节
$z_1 z_2 = r_1 r_2\left\{\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)\right\}$，$\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2}\left\{\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)\right\}$	積・商の極形式	17.3 节
$\arg(z_1 z_2) = \arg z_1 + \arg z_2$，$\arg\dfrac{z_1}{z_2} = \arg z_1 - \arg z_2$	相差 $2\pi$ 的整数倍意义下相等	17.3 节
$\arg\overline{z} = \arg\dfrac{1}{z} = -\arg z$	$z \ne 0$	17.3 节
$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$，$z^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$	ド・モアブルの定理，$n$ 是整数	17.4 节
$z^n + \dfrac{1}{z^n} = 2\cos n\theta$，$z^n - \dfrac{1}{z^n} = 2i\sin n\theta$	$z = \cos\theta + i\sin\theta$	17.4 节
$r = \sqrt[n]{R}$，$\theta = \dfrac{\varphi}{n} + \dfrac{2k\pi}{n}$（$k = 0, 1, \dots, n - 1$）	$z^n = a$，$a = R(\cos\varphi + i\sin\varphi)$	17.5 节
$z_k = \cos\dfrac{2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{2k\pi}{n}$（$k = 0, 1, \dots, n - 1$）	1 の $n$ 乗根	17.5 节
$1 + \alpha + \alpha^2 + \dots + \alpha^{n - 1} = 0$	$\alpha = \cos\dfrac{2\pi}{n} + i\sin\dfrac{2\pi}{n}$，$n \ge 2$	17.5 节
$\overline{\alpha} = \dfrac{1}{\alpha} = \alpha^{n - 1}$	$\alpha^n = 1$	17.5 节
$\dfrac{n}{2}r^2\sin\dfrac{2\pi}{n}$	半径 $r$ 的圆内接正 $n$ 边形的面积	17.5 节
$\gamma = \alpha + (\cos\theta + i\sin\theta)(\beta - \alpha)$	点 $\beta$ 绕点 $\alpha$ 旋转 $\theta$ 得 $\gamma$	17.6 节
$\arg\dfrac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ 是从半直线 AB 转到半直线 AC 的角	2 直線のなす角	17.6 节
3 点共线 $\iff \dfrac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ が実数；$\mathrm{AB} \perp \mathrm{AC} \iff \dfrac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ が純虚数	$\mathrm{A}(\alpha)$、$\mathrm{B}(\beta)$、$\mathrm{C}(\gamma)$ 互不相同	17.6 节
$\dfrac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}} = r$，$\angle\mathrm{BAC} = \lvert \theta \rvert$	$\dfrac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = r(\cos\theta + i\sin\theta)$	17.6 节
$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha$	$\triangle\mathrm{ABC}$ 是正三角形的充要条件	17.6 节
$\delta = \alpha + i(\beta - \alpha)$，$\gamma = \beta + i(\beta - \alpha)$	正方形 ABCD 逆时针排列	17.6 节
O、A、B 共线 $\iff \alpha\overline{\beta} = \overline{\alpha}\beta$；$\mathrm{OA} \perp \mathrm{OB} \iff \alpha\overline{\beta} + \overline{\alpha}\beta = 0$	过原点的情形	17.6 节
中心 $\dfrac{\alpha - k^2\beta}{1 - k^2}$，半径 $\dfrac{k\lvert \alpha - \beta \rvert}{\lvert 1 - k^2 \rvert}$	$\lvert z - \alpha \rvert = k\lvert z - \beta \rvert$，$k > 0$，$k \ne 1$	17.7 节
$z\overline{z} + \overline{\alpha}z + \alpha\overline{z} + c = 0 \iff \lvert z + \alpha \rvert^2 = \lvert \alpha \rvert^2 - c$	$c$ 是实数	17.7 节
$\lvert z \rvert$ 的最大值 $\lvert \alpha \rvert + r$，最小值 $\lvert \lvert \alpha \rvert - r \rvert$	$z$ 在圆 $\lvert z - \alpha \rvert = r$ 上	17.7 节

第 18 章 · 式と曲線

公式	条件	出处
放物線 $y^2 = 4px$，焦点 $(p, 0)$，準線 $x = -p$；$x^2 = 4py$，焦点 $(0, p)$，準線 $y = -p$	日本的 $p$ 是焦点坐标，可以是负数；国内写 $y^2 = 2px$	18.2 节
$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，焦点 $(\pm\sqrt{a^2 - b^2}, 0)$（$a > b > 0$）或 $(0, \pm\sqrt{b^2 - a^2})$（$b > a > 0$）	楕円，$a$ 总在 $x^2$ 下面	18.2 节
$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = -1$，焦点 $(0, \pm\sqrt{a^2 + b^2})$，漸近線 $y = \pm\dfrac{b}{a}x$	上下两支的双曲線	18.2 节
$F(x - p, y - q) = 0$	$F(x, y) = 0$ 沿 $x$ 轴方向移 $p$、沿 $y$ 轴方向移 $q$	18.2 节
焦点 $\left(0, \dfrac{1}{4a}\right)$，准线 $y = -\dfrac{1}{4a}$	$y = ax^2$	18.2 节
$x_1 x + y_1 y = r^2$	円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上点 $(x_1, y_1)$ 处的接线	18.3 节
$\dfrac{x_1 x}{a^2} + \dfrac{y_1 y}{b^2} = 1$	楕円上点 $(x_1, y_1)$ 处的接线	18.3 节
$\dfrac{x_1 x}{a^2} - \dfrac{y_1 y}{b^2} = 1$；$\dfrac{x_1 x}{a^2} - \dfrac{y_1 y}{b^2} = -1$	双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = \pm 1$ 上点 $(x_1, y_1)$ 处的接线	18.3 节
$y_1 y = 2p(x + x_1)$	放物線 $y^2 = 4px$ 上点 $(x_1, y_1)$ 处的接线	18.3 节
$n^2 = a^2 m^2 + b^2$	$y = mx + n$ 与楕円 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 相切	18.3 节
$n^2 = a^2 m^2 - b^2$	与双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 相切，需 $\lvert m \rvert > \dfrac{b}{a}$	18.3 节
$n = \dfrac{p}{m}$	与放物線 $y^2 = 4px$ 相切，$m \ne 0$	18.3 节
$\dfrac{x_0 x}{a^2} + \dfrac{y_0 y}{b^2} = 1$	極線，从楕円外一点 $(x_0, y_0)$ 引两条接线，两接点的连线	18.3 节
$x = a + r\cos\theta$，$y = b + r\sin\theta$	円 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ 的媒介変数表示	18.4 节
$x = a\cos\theta$，$y = b\sin\theta$	楕円 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$；$\theta$ 是補助円上的角	18.4 节
$x = \dfrac{a}{\cos\theta}$，$y = b\tan\theta$	双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$	18.4 节
$x = pt^2$，$y = 2pt$	放物線 $y^2 = 4px$	18.4 节
$x = a(\theta - \sin\theta)$，$y = a(1 - \cos\theta)$	サイクロイド，一拱宽 $2\pi a$、高 $2a$	18.4 节
$x = \dfrac{1 - t^2}{1 + t^2}$，$y = \dfrac{2t}{1 + t^2}$	单位圆去掉点 $(-1, 0)$	18.4 节
$x = a\cos^3\theta$，$y = a\sin^3\theta$；$x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}$	アステロイド	18.4 节
$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$；$r = \sqrt{x^2 + y^2}$	極座標与直交座標的互化	18.5 节
$r = 2a\cos\theta$	圆心 $(a, 0)$、过极的圆	18.5 节
$r = 2a\cos(\theta - \alpha)$	圆心极坐标 $(a, \alpha)$、过极的圆	18.5 节
$r^2 - 2r r_0\cos(\theta - \theta_0) + r_0^2 = a^2$	圆心极坐标 $(r_0, \theta_0)$、半径 $a$ 的圆	18.5 节
$r\cos(\theta - \alpha) = p$	从极到直线的垂足为 $H(p, \alpha)$ 的直线	18.5 节
$r = a(1 + \cos\theta)$	カージオイド	18.5 节
$P_1P_2^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2r_1 r_2\cos(\theta_2 - \theta_1)$	极坐标下两点间距离	18.5 节
$\triangle OP_1P_2 = \dfrac{1}{2}r_1 r_2\lvert \sin(\theta_2 - \theta_1) \rvert$	极坐标下的三角形面积	18.5 节
$\dfrac{PF}{PH} = e$	$0 < e < 1$ 楕円，$e = 1$ 放物線，$e > 1$ 双曲線	18.6 节
準線 $x = \pm\dfrac{a^2}{c}$	楕円（$c = \sqrt{a^2 - b^2}$）、双曲線（$c = \sqrt{a^2 + b^2}$）	18.6 节
$r = \dfrac{ek}{1 - e\cos\theta}$；$r = \dfrac{ek}{1 + e\cos\theta}$	焦点为极，准线 $x = -k$；准线 $x = k$	18.6 节
$\dfrac{1}{FP} + \dfrac{1}{FQ} = \dfrac{2}{l}$，$PQ = \dfrac{2l}{1 - e^2\cos^2\theta}$	$r = \dfrac{l}{1 - e\cos\theta}$ 的焦点弦，$l = ek$	18.6 节
$PF = a - ex$，$PF' = a + ex$	椭圆的焦半径	18.6 节
$\dfrac{a^2}{c} = \dfrac{a}{e}$；$\dfrac{a^2}{c} - c = \dfrac{b^2}{c}$	中心到准线、焦点到相应准线的距离	18.6 节

第 19 章 · 関数

公式	条件	出处
漸近線 $x = p$、$y = q$，定義域 $x \ne p$，値域 $y \ne q$	分数関数 $y = \dfrac{k}{x - p} + q$	19.2 节
$\dfrac{ax + b}{cx + d} = \dfrac{a}{c} + \dfrac{bc - ad}{c(cx + d)}$，漸近線 $x = -\dfrac{d}{c}$、$y = \dfrac{a}{c}$	$c \ne 0$，$ad - bc \ne 0$	19.2 节
$k = \dfrac{bc - ad}{c^2}$	化成 $y = \dfrac{k}{x - p} + q$ 时的系数	19.2 节
$y = \sqrt{a\left(x + \dfrac{b}{a}\right)}$，端点 $\left(-\dfrac{b}{a}, 0\right)$	無理関数 $y = \sqrt{ax + b}$	19.3 节
$\sqrt{A} = B \iff A = B^2$ かつ $B \ge 0$	無理方程式	19.3 节
$\sqrt{A} < B \iff A \ge 0 \text{ 且 } B > 0 \text{ 且 } A < B^2$	無理不等式	19.3 节
$y = \dfrac{x^2 - b}{a}$（$x \ge 0$）	$y = \sqrt{ax + b}$ 的逆関数	19.3 节
$b = f(a) \iff a = f^{-1}(b)$	逆関数，$f^{-1}$ 的定义域是 $f$ 的值域	19.4 节
$y = \dfrac{-dx + b}{cx - a}$	$y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ 的逆関数	19.4 节
$f^{-1} = f \iff a + d = 0$	$f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d}$	19.4 节
$(g \circ f)(x) = g(f(x))$	合成関数，右边的 $f$ 先做	19.5 节
$h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$；一般 $g \circ f \ne f \circ g$	结合律成立，交换律不成立	19.5 节
$(f^{-1} \circ f)(x) = x$，$(f \circ f^{-1})(x) = x$	前式 $x$ 在 $f$ 的定义域里，后式 $x$ 在 $f$ 的值域里	19.5 节
$(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$	合成的逆関数	19.5 节

第 20 章 · 極限

公式	条件	出处
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} (ka_n + lb_n) = k\alpha + l\beta$，$\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n b_n = \alpha\beta$，$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{b_n} = \dfrac{\alpha}{\beta}$	$a_n \to \alpha$，$b_n \to \beta$（有限值）；商要求 $\beta \ne 0$	20.2 节
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n^k} = 0$，$\displaystyle\lim_{n \to \infty} n^k = \infty$	$k > 0$	20.2 节
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_k n^k + \cdots}{b_m n^m + \cdots}$：$k < m$ 时 0，$k = m$ 时 $\dfrac{a_k}{b_m}$，$k > m$ 时发散	$a_k \ne 0$，$b_m \ne 0$	20.2 节
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n^2 + an + b} - n\right) = \dfrac{a}{2}$	有理化	20.2 节
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} r^n$：$r > 1$ 时 $\infty$，$r = 1$ 时 1，$-1 < r < 1$ 时 0，$r \le -1$ 时振動	收敛 $\iff -1 < r \le 1$	20.3 节
$a_n \le c_n \le b_n$，$a_n \to \alpha$，$b_n \to \alpha$ $\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{n \to \infty} c_n = \alpha$	はさみうちの原理	20.3 节
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} n^k r^n = 0$	$\lvert r \rvert < 1$	20.3 节
$\{a_n\}$ 收敛于 $\dfrac{q}{1 - p}$	$a_{n+1} = pa_n + q$，$\lvert p \rvert < 1$	20.3 节
$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{n \to \infty} S_n$	無限級数的和是部分和的极限	20.4 节
$a + ar + ar^2 + \cdots = \dfrac{a}{1 - r}$	無限等比級数，$a \ne 0$，$-1 < r < 1$；收敛 $\iff a = 0$ 或 $-1 < r < 1$	20.4 节
$\displaystyle\sum a_n$ 收敛 $\Rightarrow \lim_{n \to \infty} a_n = 0$	一般项不趋于 0 则发散；反之不成立	20.4 节
$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n(n + 1)} = 1$	裂项	20.4 节
$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} r^{n-1} = \dfrac{1}{1 - r}$，$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} r^n = \dfrac{r}{1 - r}$	$\lvert r \rvert < 1$	20.4 节
$\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \alpha \iff \lim_{x \to a + 0} f(x) = \lim_{x \to a - 0} f(x) = \alpha$	片側極限，日本写 $a + 0$、$a - 0$	20.5 节
$\displaystyle\lim_{x \to \infty} e^x = \infty$，$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$，$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \log x = \infty$，$\displaystyle\lim_{x \to +0} \log x = -\infty$	$\log$ 是自然对数	20.5 节
$\displaystyle\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}$ 有限且 $g(x) \to 0$ $\Rightarrow$ $f(x) \to 0$	求未知常数	20.5 节
$\displaystyle\lim_{x \to a} \dfrac{x^n - a^n}{x - a} = na^{n-1}$	$n$ 是正整数	20.5 节
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left(\sqrt{x^2 + ax + b} + x\right) = -\dfrac{a}{2}$	令 $t = -x$	20.5 节
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$，$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x} = 1$，$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2} = \dfrac{1}{2}$	$x$ 用弧度	20.6 节
$e = \displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n = \lim_{h \to 0}(1 + h)^{\frac{1}{h}} = 2.71828\cdots$	$e$ 的定义	20.6 节
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\log(1 + x)}{x} = 1$，$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = 1$	由 $e$ 的定义推出	20.6 节
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax}{bx} = \dfrac{a}{b}$，$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax}{\sin bx} = \dfrac{a}{b}$	$b \ne 0$	20.6 节
$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(1 + \dfrac{a}{n}\right)^n = e^a$，$\displaystyle\lim_{x \to 0}(1 + ax)^{\frac{1}{x}} = e^a$	凑 $e$ 的定义	20.6 节
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{ax} - 1}{x} = a$，$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\log(1 + ax)}{x} = a$	凑重要极限	20.6 节
$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{\sin x}{x} = 0$	夹逼	20.6 节
$\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$	連続の定義	20.7 节
$\displaystyle\lim_{x \to a} g(f(x)) = g\left(\lim_{x \to a} f(x)\right)$	$g$ 连续	20.7 节

第 21 章 · 微分法

公式	条件	出处
$f'(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h} = \lim_{x \to a}\dfrac{f(x) - f(a)}{x - a}$	微分係数，增量写 $h$	21.2 节
$\{f(x)g(x)h(x)\}' = f'gh + fg'h + fgh'$	三个函数的积	21.2 节
$(x^{-n})' = -nx^{-n-1}$	$n$ 是正整数，$x \ne 0$	21.2 节
在 $x = a$ 可导 $\iff g(a) = k(a)$ 且 $g'(a) = k'(a)$	分段函数 $x \le a$ 时 $g(x)$，$x > a$ 时 $k(x)$	21.2 节
$\displaystyle\lim_{h \to 0}\dfrac{f(a + ph) - f(a + qh)}{h} = (p - q)f'(a)$	$f$ 在 $a$ 可导	21.2 节
$\displaystyle\lim_{x \to a}\dfrac{x^n f(a) - a^n f(x)}{x - a} = na^{n-1}f(a) - a^n f'(a)$	加一项减一项	21.2 节
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}$，$\{f(g(x))\}' = f'(g(x))\,g'(x)$	合成関数の導関数，内层是任意可导函数	21.3 节
$\{f(x)\}^n$ 的导数 $n\{f(x)\}^{n-1}f'(x)$；$\sqrt{f(x)}$ 的导数 $\dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$	链式法则的常用形式	21.3 节
$\sin f(x)$ 的导数 $f'(x)\cos f(x)$；$e^{f(x)}$ 的导数 $f'(x)e^{f(x)}$	链式法则的常用形式	21.3 节
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\dfrac{dx}{dy}}$；$(f^{-1})'(b) = \dfrac{1}{f'(a)}$	逆関数の導関数，$\dfrac{dx}{dy} \ne 0$，$f(a) = b$	21.3 节
$(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}$	$x > 0$，$\alpha$ 为实数（対数微分法）	21.3 节
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$	媒介変数表示 $x = f(t)$，$y = g(t)$，$\dfrac{dx}{dt} \ne 0$	21.3 节
$y^n$ 对 $x$ 求导得 $ny^{n-1}y'$	陰関数の導関数	21.3 节
$y - f(a) = -\dfrac{1}{f'(a)}(x - a)$	法線，$f'(a) \ne 0$	21.3 节
$(\sqrt[n]{x})' = \dfrac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$	$\alpha = \dfrac{1}{n}$	21.3 节
$(\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$	国内书没有	21.4 节
$(\log\lvert x\rvert)' = \dfrac{1}{x}$，$(\log_a x)' = \dfrac{1}{x\log a}$，$(a^x)' = a^x\log a$	EJU 的 $\log$ 是自然对数，$a > 0$，$a \ne 1$	21.4 节
$\left(\dfrac{1}{\tan x}\right)' = -\dfrac{1}{\sin^2 x}$	商的法则	21.4 节
$\{\ln\lvert f(x)\rvert\}' = \dfrac{f'(x)}{f(x)}$	EJU 写 $\log$	21.4 节
$(e^{ax}\sin bx)' = e^{ax}(a\sin bx + b\cos bx)$	积的法则加链式法则	21.4 节
$(e^{ax})^{(n)} = a^ne^{ax}$，$(\sin x)^{(n)} = \sin\left(x + \dfrac{n\pi}{2}\right)$，$(\cos x)^{(n)} = \cos\left(x + \dfrac{n\pi}{2}\right)$	第 $n$ 次導関数	21.5 节
$(x^m)^{(n)} = \dfrac{m!}{(m - n)!}x^{m - n}$（$n \le m$），$n > m$ 时 0	$m$ 为正整数	21.5 节
$(\ln x)^{(n)} = \dfrac{(-1)^{n-1}(n - 1)!}{x^n}$，$\left(\dfrac{1}{x}\right)^{(n)} = \dfrac{(-1)^nn!}{x^{n+1}}$	EJU 写 $\log x$	21.5 节
$\left(\dfrac{1}{x + a}\right)^{(n)} = \dfrac{(-1)^nn!}{(x + a)^{n+1}}$	归纳	21.5 节
$a_k = \dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}$	$f(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{m} a_kx^k$	21.5 节
$(fg)'' = f''g + 2f'g' + fg''$	积的第 2 次导数	21.5 节
$\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$，$a < c < b$	平均値の定理，$[a, b]$ 上连续、$(a, b)$ 内可导	21.6 节
$\lvert \sin b - \sin a \rvert \le \lvert b - a \rvert$	平均値の定理的应用	21.6 节
$f''(x) > 0$：下に凸；$f''(x) < 0$：上に凸	曲線の凹凸	21.7 节
$f'(a) = 0$ 且 $f''(a) > 0$ ⇒ 極小値；$f''(a) < 0$ ⇒ 極大値	第 2 次導関数による極値の判定	21.7 节
$p = \displaystyle\lim_{x \to \infty}\dfrac{f(x)}{x}$，$q = \displaystyle\lim_{x \to \infty}\{f(x) - px\}$	斜的漸近線 $y = px + q$	21.7 节
$e^x \ge x + 1$，$\ln x \le x - 1$	曲线与切线的位置	21.7 节
変曲点在 $x = -\dfrac{b}{3a}$，图像关于它中心对称	$y = ax^3 + bx^2 + cx + d$	21.7 节
$\vec{v} = \left(\dfrac{dx}{dt}, \dfrac{dy}{dt}\right)$，$\lvert\vec{v}\rvert = \sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}$	平面上の運動的速度	21.8 节
$\vec{\alpha} = \left(\dfrac{d^2x}{dt^2}, \dfrac{d^2y}{dt^2}\right)$	加速度ベクトル	21.8 节
速さ $r\omega$，加速度的大小 $r\omega^2$，加速度 $= -\omega^2\overrightarrow{\mathrm{OP}}$	等速円運動 $x = r\cos\omega t$，$y = r\sin\omega t$	21.8 节
$\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dr}\cdot\dfrac{dr}{dt}$	時間的変化率	21.8 节
$f(a + h) \approx f(a) + f'(a)h$；$f(x) \approx f(0) + f'(0)x$	1 次近似式，$h$、$x$ 接近 0	21.9 节
$(1 + x)^p \approx 1 + px$，$\sqrt{1 + x} \approx 1 + \dfrac{x}{2}$，$\sin x \approx x$，$\tan x \approx x$，$e^x \approx 1 + x$，$\ln(1 + x) \approx x$	$x$ 接近 0	21.9 节
$\Delta y \approx f'(x)\Delta x$；$\dfrac{\Delta y}{y} \approx n\dfrac{\Delta x}{x}$	微小变化；后式 $y = x^n$	21.9 节

第 22 章 · 積分法（不定積分と定積分）

公式	条件	出处
$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x$	$\Delta x = \dfrac{b - a}{n}$，$x_k = a + k\,\Delta x$	22.2 节
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\!\left(\dfrac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x)\,dx$	区分求積法	22.2 节
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{b - a}{n} \sum_{k=1}^{n} f\!\left(a + \dfrac{k(b - a)}{n}\right) = \int_a^b f(x)\,dx$	一般区间的区分求積法	22.2 节
$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \le \int_a^b g(x)\,dx$	$a \le x \le b$ 上 $f(x) \le g(x)$	22.2 节
$\displaystyle\int f(x)\,dx = F(x) + C$	$F'(x) = f(x)$，$C$ は積分定数	22.3 节
$\displaystyle\int x^{\alpha}\,dx = \dfrac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C$，$\displaystyle\int \dfrac{1}{x}\,dx = \log\lvert x \rvert + C$	$\alpha \ne -1$	22.3 节
$\displaystyle\int e^x\,dx = e^x + C$，$\displaystyle\int a^x\,dx = \dfrac{a^x}{\log a} + C$	$a > 0$，$a \ne 1$	22.3 节
$\displaystyle\int \sin x\,dx = -\cos x + C$，$\displaystyle\int \cos x\,dx = \sin x + C$	三角函数	22.3 节
$\displaystyle\int \dfrac{1}{\cos^2 x}\,dx = \tan x + C$，$\displaystyle\int \dfrac{1}{\sin^2 x}\,dx = -\dfrac{1}{\tan x} + C$	三角函数	22.3 节
$\displaystyle\int f(ax + b)\,dx = \dfrac{1}{a} F(ax + b) + C$	$F'(x) = f(x)$，$a \ne 0$	22.3 节
$\displaystyle\int \tan^2 x\,dx = \tan x - x + C$	用 $\tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x} - 1$	22.3 节
$\displaystyle\int (x - a)^n\,dx = \dfrac{(x - a)^{n+1}}{n + 1} + C$	$n \ne -1$	22.3 节
$\displaystyle\int \sin(ax + b)\,dx = -\dfrac{1}{a}\cos(ax + b) + C$，$\displaystyle\int e^{ax}\,dx = \dfrac{1}{a}e^{ax} + C$	$a \ne 0$	22.3 节
$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)$	$F$ 是 $f$ 的一个原始関数	22.4 节
$\displaystyle\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$，$\displaystyle\int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx$	定积分的性质	22.4 节
$\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx$（偶関数）；$\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0$（奇関数）	$f(-x) = f(x)$；$f(-x) = -f(x)$	22.4 节
$\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta)\,dx = -\dfrac{(\beta - \alpha)^3}{6}$	$\dfrac{1}{6}$ 公式	22.4 节
$\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)^2(x - \beta)\,dx = -\dfrac{(\beta - \alpha)^4}{12}$	$\dfrac{1}{12}$ 公式	22.4 节
$\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)^2\,dx = \dfrac{(\beta - \alpha)^3}{3}$	一次式代入	22.4 节
$\displaystyle\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$	置換積分法，$u = g(x)$	22.5 节
$\displaystyle\int \dfrac{g'(x)}{g(x)}\,dx = \log\lvert g(x)\rvert + C$，$\displaystyle\int \{g(x)\}^n g'(x)\,dx = \dfrac{\{g(x)\}^{n+1}}{n + 1} + C$	后式 $n \ne -1$	22.5 节
$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t))\,g'(t)\,dt$	$x = g(t)$，$g(\alpha) = a$，$g(\beta) = b$	22.5 节
$\sqrt{a^2 - x^2}$：$x = a\sin\theta$；$\dfrac{1}{x^2 + a^2}$：$x = a\tan\theta$；$\sqrt{ax + b}$：$t = \sqrt{ax + b}$	固定的换法	22.5 节
$\displaystyle\int \tan x\,dx = -\log\lvert\cos x\rvert + C$	分子是分母的导数（差一个负号）	22.5 节
$\displaystyle\int_0^a \sqrt{a^2 - x^2}\,dx = \dfrac{\pi a^2}{4}$	四分之一圆	22.5 节
$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x\,dx$	令 $x = \dfrac{\pi}{2} - t$	22.5 节
$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(a + b - x)\,dx$	令 $x = a + b - t$	22.5 节
$\displaystyle\int f(x)\,g'(x)\,dx = f(x)\,g(x) - \int f'(x)\,g(x)\,dx$	部分積分法	22.6 节
$\displaystyle\int_a^b f(x)\,g'(x)\,dx = \Big[f(x)\,g(x)\Big]_a^b - \int_a^b f'(x)\,g(x)\,dx$	定积分的部分積分法	22.6 节
$\displaystyle\int \log x\,dx = x\log x - x + C$	看成 $1 \cdot \log x$	22.6 节
$\displaystyle\int xe^x\,dx = (x - 1)e^x + C$，$\displaystyle\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \sin x + C$，$\displaystyle\int x\cos x\,dx = x\sin x + \cos x + C$	多项式求导	22.6 节
$\displaystyle\int x\log x\,dx = \dfrac{x^2}{2}\log x - \dfrac{x^2}{4} + C$	$\log x$ 求导	22.6 节
$\displaystyle\int e^x\cos x\,dx = \dfrac{e^x(\sin x + \cos x)}{2} + C$	两次部分積分	22.6 节
$\displaystyle\int P(x)e^x\,dx = Q(x)e^x + C$，$Q + Q' = P$	$Q$ 与 $P$ 次数相同	22.6 节
$\dfrac{1}{(x - a)(x - b)} = \dfrac{1}{b - a}\left(\dfrac{1}{x - b} - \dfrac{1}{x - a}\right)$	部分分数分解，$a \ne b$	22.7 节
$\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}$，$\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}$，$\sin x\cos x = \dfrac{\sin 2x}{2}$	次数下げ	22.7 节
$\sin mx\cos nx = \dfrac{1}{2}\{\sin(m + n)x + \sin(m - n)x\}$	积化和，其余两式见正文	22.7 节
$\displaystyle\int \sin^2 x\,dx = \dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C$，$\displaystyle\int \cos^2 x\,dx = \dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin 2x}{4} + C$	降次	22.7 节
$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x\,dx = \dfrac{\pi}{4}$	两者相等、和为 $\dfrac{\pi}{2}$	22.7 节
$\displaystyle\int \dfrac{dx}{x^2 - a^2} = \dfrac{1}{2a}\log\left\lvert\dfrac{x - a}{x + a}\right\rvert + C$	$a > 0$	22.7 节
$\displaystyle\int_0^{2\pi} \sin mx\cos nx\,dx = 0$，$\displaystyle\int_0^{2\pi} \sin mx\sin nx\,dx = 0$，$\displaystyle\int_0^{2\pi} \sin^2 mx\,dx = \pi$	$m$、$n$ 是不相等的正整数	22.7 节
$\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$	微分積分学の基本定理，$a$ 是常数	22.8 节
$\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))\,g'(x)$，$\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{h(x)}^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))\,g'(x) - f(h(x))\,h'(x)$	上端是 $x$ 的函数	22.8 节
$\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_x^b f(t)\,dt = -f(x)$	下端是 $x$	22.8 节
$\displaystyle\int_0^x (x - t)f(t)\,dt = x\int_0^x f(t)\,dt - \int_0^x t f(t)\,dt$	被积函数里含 $x$，二阶导数是 $f(x)$	22.8 节
$\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{1}{h}\int_x^{x + h} f(t)\,dt = f(x)$	$f$ 连续	22.8 节
$\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt = g(x)$ $\Rightarrow$ $f(x) = g'(x)$ 且 $g(a) = 0$	由此定出 $a$	22.8 节

第 23 章 · 積分の応用

公式	条件	出处
$S = \displaystyle\int_a^b \lvert f(x) \rvert\,dx$	曲线 $y = f(x)$ 与 $x$ 轴之间的面积	23.2 节
$S = \displaystyle\int_a^b \{f(x) - g(x)\}\,dx$；交叉时 $S = \displaystyle\int_a^b \lvert f(x) - g(x) \rvert\,dx$	两条曲线之间，$f(x) \ge g(x)$，“上减下”	23.2 节
$S = \dfrac{\lvert a' \rvert}{6}(\beta - \alpha)^3$	6分の1公式，抛物线与直线或抛物线交于 $\alpha$、$\beta$，$a'$ 是 $x^2$ 系数之差	23.2 节
$\dfrac{\lvert a \rvert}{3}(\beta - \alpha)^3$	抛物线与它在 $x = \alpha$ 处的切线、直线 $x = \beta$ 围成的面积	23.2 节
$\dfrac{\lvert a \rvert}{12}(\beta - \alpha)^3$	抛物线与它在 $x = \alpha$、$x = \beta$ 处的两条切线围成的面积	23.2 节
$(\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = \dfrac{D}{a^2}$	$\alpha$、$\beta$ 是二次方程的两根	23.2 节
$S = \displaystyle\int_c^d \{g_1(y) - g_2(y)\}\,dy$	按 $y$ 积分，$g_1(y) \ge g_2(y)$，“右减左”	23.3 节
$S = \displaystyle\int_a^b y\,dx = \int_\alpha^\beta g(t)\,f'(t)\,dt$	媒介変数表示 $x = f(t)$，$y = g(t)$，$x$ 单调增加，$y \ge 0$	23.3 节
$\pi ab$	椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 的面积	23.3 节
$3\pi a^2$	半径 $a$ 的サイクロイド一拱与 $x$ 轴围成的面积	23.3 节
$\displaystyle\int_0^a f(x)\,dx + \int_0^{f(a)} f^{-1}(y)\,dy = a f(a)$	$f$ 单调增加，$f(0) = 0$	23.3 节
$V = \displaystyle\int_a^b S(x)\,dx$	断面積 $S(x)$	23.4 节
$V = \pi\displaystyle\int_a^b \{f(x)\}^2\,dx = \pi\int_a^b y^2\,dx$	绕 $x$ 轴的回転体	23.5 节
$V = \pi\displaystyle\int_a^b \left[\{f(x)\}^2 - \{g(x)\}^2\right]dx$	两曲线之间绕 $x$ 轴，$f(x) \ge g(x) \ge 0$	23.5 节
$V = \pi\displaystyle\int_c^d \{g(y)\}^2\,dy = \pi\int_c^d x^2\,dy$	绕 $y$ 轴的回転体，曲线 $x = g(y)$	23.5 节
$V = \pi\displaystyle\int_\alpha^\beta \{g(t)\}^2 f'(t)\,dt$	参数曲线 $x = f(t)$，$y = g(t)$ 绕 $x$ 轴	23.5 节
$V = 2\pi\displaystyle\int_a^b x f(x)\,dx$	バウムクーヘン積分，绕 $y$ 轴，$0 \le a < b$，$f(x) \ge 0$	23.5 节
$V = 5\pi^2a^3$	半径 $a$ 的サイクロイド一拱绕 $x$ 轴	23.5 节
$L = \displaystyle\int_\alpha^\beta \sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}\,dt$	参数曲线的长度	23.6 节
$L = \displaystyle\int_a^b \sqrt{1 + \{f'(x)\}^2}\,dx$	$y = f(x)$ 的长度	23.6 节
位置的变化量 $= \displaystyle\int_a^b v(t)\,dt$，道のり $= \displaystyle\int_a^b \lvert v(t) \rvert\,dt$	直线上的运动	23.6 节
道のり $= \displaystyle\int_a^b \lvert\vec{v}\rvert\,dt$	平面上的运动	23.6 节
サイクロイド一拱长 $8a$；アステロイド全长 $6a$	半径 $a$；$x = a\cos^3 t$，$y = a\sin^3 t$	23.6 节
$e - \dfrac{1}{e}$	悬链线 $y = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$ 在 $-1 \le x \le 1$ 上的长度	23.6 节