第 19 章 · 関数

项目	内容
シラバス项目	17. 関数（数学Ⅲ）：(1) 分数関数と無理関数、(2) 逆関数と合成関数
コース	仅コース2
国内书对应	国内书第 5 章（函数概念、$f(g(x))$ 的求值和定义域）、第 9 章 9.6 节（只讲指数与对数互为反函数）；零散的还有第 6 章 6.6 节（分式函数的对称中心）、第 7 章 7.3 节（$y = x^{-1}$、$y = x^{\frac{1}{2}}$）
本章新内容的分量	中等。函数概念相同；分数関数的漸近線、無理関数的图像、一般函数的逆関数、$g \circ f$ 记号要补

国内高中把函数的“概念”讲得很细，却没有系统讲两类具体函数：分式函数 $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ 只在对称性的推论里露一面，根式函数只有 $y = \sqrt{x}$ 一个；反函数也只讲指数与对数这一对。日本的数学Ⅲ 开头就把这四件事各讲一节，EJU コース2 很少单独考它们，多是作为后面求导、求面积的一步出现。丢分主要丢在三处：分数不等式两边乘分母时不管正负，無理方程式平方后不验根，逆関数忘了写定义域。

19.1 与国内的对照

シラバス第 17 项只列了两个中项目，没有再分小项目；下表把每个中项目按教科书的讲法拆成两行。

シラバス小项目（日文原文）	国内书位置	相同 / 讲法不同 / 国内没有	本章哪节讲
(1) 分数関数と無理関数（分数関数）	国内书第 7 章 7.3 节有 $y = \dfrac{1}{x}$；第 6 章 6.6 节常用推论提到 $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ 的对称中心	讲法不同：国内只当推论，EJU 要求化成 $y = \dfrac{k}{x - p} + q$、写漸近線、画图、用图解分数不等式	19.2
(1) 分数関数と無理関数（無理関数）	国内书第 7 章 7.3 节只有 $y = x^{\frac{1}{2}}$	国内没有：$y = \sqrt{ax + b}$ 的平移、無理方程式和無理不等式	19.3
(2) 逆関数と合成関数（逆関数）	国内书第 9 章 9.6 节，只讲 $y = a^x$ 与 $y = \log_a x$	讲法不同：EJU 要求一般函数的逆関数 $f^{-1}(x)$，含定义域，以及与原函数图像的交点	19.4
(2) 逆関数と合成関数（合成関数）	国内书第 5 章 5.3、5.4 节（$f(g(x))$ 的求值和定义域）；第 6 章 6.2 节（同增异减）	讲法不同：计算相同，EJU 用记号 $(g \circ f)(x)$，要分清先后，并注意定义域	19.5

日本现行学習指導要領（2018 年告示）把「分数関数と無理関数」「合成関数や逆関数」列在数学Ⅲ 的「極限」一项之下；教科书（如数研出版《数学Ⅲ》）把它们编成第 1 章「関数」，紧接着就是極限（本书第 20 章）和微分（第 21 章）。所以本章不只是两类新函数，还是后面“求漸近線”“求逆関数的导数”“合成関数的微分”的基础。

19.2 分数関数

说明

分数関数：$y$ 用 $x$ 的分数式（分母含 $x$ 的式子）表示的函数叫分数関数。没有特别说明时，定义域是使分母不为 0 的全体实数。

基本形 $y = \dfrac{k}{x}$（$k \ne 0$）：图像是直角双曲線，两条漸近線是 $x$ 轴和 $y$ 轴。$k > 0$ 时图像在第一、三象限，$k < 0$ 时在第二、四象限。国内书第 7 章 7.3 节讲过 $k = 1$ 的情形。

标准形 $y = \dfrac{k}{x - p} + q$：把 $y = \dfrac{k}{x}$ 的图像沿 $x$ 轴方向平移 $p$、沿 $y$ 轴方向平移 $q$ 得到。

项目	结果
漸近線	直线 $x = p$ 和直线 $y = q$
定義域	$x \ne p$
値域	$y \ne q$
对称中心	点 $(p, q)$（两条漸近線的交点）
增减	$k > 0$ 时在 $x < p$、$x > p$ 上各自递减；$k < 0$ 时各自递增

一般形 $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$（$c \ne 0$，$ad - bc \ne 0$）：用分子除以分母化成标准形：

$$\frac{ax + b}{cx + d} = \frac{a}{c} + \frac{bc - ad}{c(cx + d)} = \frac{a}{c} + \frac{\frac{bc - ad}{c^2}}{x + \frac{d}{c}},$$

所以漸近線是 $x = -\dfrac{d}{c}$ 和 $y = \dfrac{a}{c}$。实际做题不背这个式子，直接做除法：例如 $\dfrac{3x - 4}{x - 2} = \dfrac{3(x - 2) + 2}{x - 2} = 3 + \dfrac{2}{x - 2}$。

分数方程式・分数不等式：含分数式的方程和不等式。日本教科书的标准做法是画图：把两边看成两个函数，找图像的交点，再看哪一段曲线在上面。

使用场景

• 题目给出 $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$，问漸近線、平移、图像经过的象限：分子除以分母，化成 $y = \dfrac{k}{x - p} + q$。
• 题目给出漸近線和图像上的一点，求函数（「関数を決定する」）：设 $y = \dfrac{k}{x - p} + q$，只剩 $k$ 一个未知数。
• 分数方程式、分数不等式，特别是“分数関数 $\gtrless$ 一次函数”：画两个图像，求交点，看上下；或者移项通分后做符号表。
• 在限定的范围内求分数関数的最大、最小或値域：先看范围在漸近線的哪一侧，再用单调性。

注意点

• 单调性只能分两段说：$y = 3 + \dfrac{2}{x - 2}$ 在 $x < 2$ 上递减、在 $x > 2$ 上递减，不能说“在定义域上递减”（$x = 1$ 时 $y = 1$，$x = 3$ 时 $y = 5$，自变量变大函数值也变大）。
• $ad - bc = 0$ 时分子分母成比例，函数是常数（并在分母为 0 处挖去一点），不是分数関数的图像。
• 解分数不等式时，不能直接两边乘分母，因为分母的正负不知道。要么画图，要么移项通分后看符号，要么两边乘分母的平方。
• EJU 的写法：「漸近線は 2 直線 $x = 2$，$y = 3$ である」「$y = \dfrac{2}{x}$ のグラフを $x$ 軸方向に 2，$y$ 軸方向に 3 だけ平行移動したもの」；定义域写成「$x \neq 2$」，不写区间。
• 中文说的“分式函数”“反比例函数平移”，日文就是「分数関数」；“渐近线”是「漸近線」。

证明

结论 1：平移规则。 点 $(X, Y)$ 在 $y = \dfrac{k}{x}$ 的图像上，平移后的点是 $(x, y) = (X + p, Y + q)$。代回 $X = x - p$，$Y = y - q$，得 $y - q = \dfrac{k}{x - p}$，即 $y = \dfrac{k}{x - p} + q$。（关键一步：平移 $p$ 后的点要满足的关系，是把原式里的 $x$ 换成 $x - p$，所以是“减 $p$“而不是”加 $p$“。）这和本书第 5 章二次函数的平移规则一样。

结论 2：漸近線。 以 $y = \dfrac{k}{x - p} + q$ 为例。

• $x$ 越来越接近 $p$ 时，$x - p$ 越来越接近 0，$\left|\dfrac{k}{x - p}\right|$ 要多大有多大，图像沿直线 $x = p$ 向上或向下无限延伸。
• $|x|$ 越来越大时，$\dfrac{k}{x - p}$ 越来越接近 0，$y$ 越来越接近 $q$，但永远不等于 $q$（因为 $\dfrac{k}{x - p} \ne 0$），图像无限接近直线 $y = q$。

这里“越来越接近”的严格说法是极限：$\displaystyle\lim_{x \to p} |y| = \infty$，$\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} y = q$，见本书第 20 章。

结论 3：値域是 $y \ne q$。 对任意 $y_0 \ne q$，解 $y_0 = \dfrac{k}{x - p} + q$ 得 $x = p + \dfrac{k}{y_0 - q}$，这个 $x$ 不等于 $p$，在定义域里；$y_0 = q$ 时方程无解。

例题

例 1　（场景：求漸近線、画图）

問題　関数 $y = \dfrac{3x - 4}{x - 2}$ の漸近線を求め，そのグラフをかけ。

解答　分子を分母で割ると $y = \dfrac{3(x - 2) + 2}{x - 2} = \dfrac{2}{x - 2} + 3$。 これは $y = \dfrac{2}{x}$ のグラフを $x$ 軸方向に $2$，$y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動したものである。漸近線は 2 直線 $x = 2$，$y = 3$ である。

グラフをかくために，$x$ 軸，$y$ 軸との交点を求める。$x = 0$ のとき $y = 2$，$y = 0$ のとき $3x - 4 = 0$ より $x = \dfrac{4}{3}$。$k = 2 > 0$ であるから，グラフは 2 直線で分けられた右上と左下の部分にある。

中文翻译　题目：求函数 $y = \dfrac{3x - 4}{x - 2}$ 的渐近线，并画出图像。解答：分子除以分母：$y = \dfrac{3(x - 2) + 2}{x - 2} = \dfrac{2}{x - 2} + 3$。这是把 $y = \dfrac{2}{x}$ 的图像沿 $x$ 轴方向平移 $2$、沿 $y$ 轴方向平移 $3$ 得到的。渐近线是两条直线 $x = 2$，$y = 3$。画图时再求与 $x$ 轴、$y$ 轴的交点：$x = 0$ 时 $y = 2$；$y = 0$ 时 $3x - 4 = 0$，$x = \dfrac{4}{3}$。$k = 2 > 0$，图像在两条渐近线分出的右上、左下两块里。

解说　容易卡在：分子凑不出分母的倍数。$3x - 4$ 里先凑出 $3(x - 2) = 3x - 6$，剩下 $-4 - (-6) = 2$。

例 2　（场景：由漸近線和一点定函数）

問題　分数関数のグラフが 2 直線 $x = -1$，$y = 2$ を漸近線にもち，点 $(1, 3)$ を通る。この関数を $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ の形で求めよ。

解答　漸近線が $x = -1$，$y = 2$ であるから，$y = \dfrac{k}{x + 1} + 2$ とおける。$(1, 3)$ を代入すると $3 = \dfrac{k}{2} + 2$ より $k = 2$。よって $y = \dfrac{2}{x + 1} + 2 = \dfrac{2x + 4}{x + 1}$。

中文翻译　题目：分式函数的图像以两条直线 $x = -1$，$y = 2$ 为渐近线，并经过点 $(1, 3)$。求这个函数，写成 $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ 的形式。解答：渐近线是 $x = -1$，$y = 2$，所以设 $y = \dfrac{k}{x + 1} + 2$。代入 $(1, 3)$：$3 = \dfrac{k}{2} + 2$，$k = 2$。所以 $y = \dfrac{2}{x + 1} + 2 = \dfrac{2x + 4}{x + 1}$。

解说　由渐近线写出标准形 $y = \dfrac{k}{x - p} + q$，未知数只剩 $k$ 一个，再代入一点即可确定。最后要按题干要求化成 $\dfrac{ax + b}{cx + d}$ 的形式：$2 + \dfrac{2}{x + 1} = \dfrac{2(x + 1) + 2}{x + 1}$。

例 3　（场景：分数不等式）

問題　不等式 $\dfrac{3x - 4}{x - 2} \geqq x$ を解け。

解答　例 1 より，左辺は $y = \dfrac{2}{x - 2} + 3$，右辺は直線 $y = x$ である。まず交点を求める。$\dfrac{3x - 4}{x - 2} = x$ の両辺に $x - 2$ を掛けると（交点では $x \ne 2$） $3x - 4 = x^2 - 2x$，$x^2 - 5x + 4 = 0$，$x = 1, 4$。

2 つのグラフをかくと，$x \leqq 1$ のとき曲線は直線の上側にあり，$1 < x < 2$ のとき下側，$2 < x \leqq 4$ のとき再び上側，$x > 4$ のとき下側にある。$x = 2$ は定義域に含まれない。よって解は $x \leqq 1$，$2 < x \leqq 4$。

中文翻译　题目：解不等式 $\dfrac{3x - 4}{x - 2} \geqq x$。解答：由例 1，左边是 $y = \dfrac{2}{x - 2} + 3$，右边是直线 $y = x$。先求交点：$\dfrac{3x - 4}{x - 2} = x$ 两边乘 $x - 2$（交点处 $x \ne 2$）：$3x - 4 = x^2 - 2x$，$x^2 - 5x + 4 = 0$，$x = 1, 4$。画出两个图像：$x \leqq 1$ 时曲线在直线上方，$1 < x < 2$ 时在下方，$2 < x \leqq 4$ 时又在上方，$x > 4$ 时在下方。$x = 2$ 不在定义域里。所以解是 $x \leqq 1$，$2 < x \leqq 4$。

解说　另一种解法：移项通分， $\dfrac{3x - 4}{x - 2} - x = \dfrac{3x - 4 - x^2 + 2x}{x - 2} = \dfrac{-(x - 1)(x - 4)}{x - 2} \geqq 0$， 即 $\dfrac{(x - 1)(x - 4)}{x - 2} \leqq 0$。三个分界点 1、2、4 把数轴分成四段，右起符号依次是 $+$、$-$、$+$、$-$，取 $\leqq 0$ 的两段，并注意分母 $x \ne 2$：$x \leqq 1$ 或 $2 < x \leqq 4$。画图法一眼看出哪段成立，适合 EJU 誘導里“先画图再解”的题；符号表法不用画图，适合分母、分子次数高、图不好画的题。

容易卡在：两边直接乘 $x - 2$ 得 $3x - 4 \geqq x^2 - 2x$，解出 $1 \leqq x \leqq 4$。这只在 $x > 2$ 时对，$x < 2$ 时不等号要反向。

例 4　（场景：限定范围求値域）

問題　関数 $y = \dfrac{3x - 4}{x - 2}$ の $3 \leqq x \leqq 6$ における値域を求めよ。

解答　$y = \dfrac{2}{x - 2} + 3$ である。区間 $3 \leqq x \leqq 6$ は漸近線 $x = 2$ の右側にあり，この区間で関数は減少する（$k = 2 > 0$）。よって最大値は $x = 3$ のとき $y = 5$，最小値は $x = 6$ のとき $y = \dfrac{2}{4} + 3 = \dfrac{7}{2}$ である。値域は $\dfrac{7}{2} \leqq y \leqq 5$。

中文翻译　题目：求函数 $y = \dfrac{3x - 4}{x - 2}$ 在 $3 \leqq x \leqq 6$ 上的值域。解答：$y = \dfrac{2}{x - 2} + 3$。区间 $3 \leqq x \leqq 6$ 全在渐近线 $x = 2$ 的右侧，在这一段上函数递减（$k = 2 > 0$）。所以最大值是 $x = 3$ 时的 $y = 5$，最小值是 $x = 6$ 时的 $y = \dfrac{2}{4} + 3 = \dfrac{7}{2}$。值域是 $\dfrac{7}{2} \leqq y \leqq 5$。

解说　容易卡在：范围跨过渐近线时不能这样算。例如 $0 \leqq x \leqq 3$（$x \ne 2$）上，$x \to 2$ 时 $y$ 向上、向下都没有界，没有最大值也没有最小值。

常用推论

• 对称中心：$y = \dfrac{k}{x - p} + q$ 的图像关于点 $(p, q)$ 中心对称。推导：$y = \dfrac{k}{x}$ 是奇函数，关于原点对称，平移后对称中心跟着移到 $(p, q)$。国内书第 6 章 6.6 节常用推论有同样的结论。
• 漸近線速读：$y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ 的漸近線是 $x = -\dfrac{d}{c}$（分母为 0）和 $y = \dfrac{a}{c}$（一次项系数之比）。推导见本节“说明”里的除法。
• 系数 $k$ 的速算：$k = \dfrac{bc - ad}{c^2}$；$c = 1$ 时 $k = b - ad$。例 1：$a = 3$，$b = -4$，$d = -2$，$k = -4 - 3 \times (-2) = 2$。
• 与直线的公共点：曲线 $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ 与直线 $y = mx + n$ 的交点，由 $ax + b = (mx + n)(cx + d)$（$cx + d \ne 0$）解出；这是一个二次方程，判别式 $D = 0$ 时直线与曲线相切。推导：两边乘分母，交点的 $x$ 不会是 $-\dfrac{d}{c}$，所以不会多出解，只要检查二次方程的根不等于 $-\dfrac{d}{c}$。

易错点

• 错在哪：说”$y = \dfrac{2}{x - 2} + 3$ 在定义域上单调递减”。 为什么错：定义域被 $x = 2$ 断成两段，跨过断点时函数值会从 $-\infty$ 那边跳到 $+\infty$ 那边。$x = 1$ 时 $y = 1$，$x = 3$ 时 $y = 5$，不是递减。 正确做法：写“在 $x < 2$ 和 $x > 2$ 上各自递减”。
• 错在哪：把 $y = \dfrac{2}{x + 1} + 2$ 说成”$y = \dfrac{2}{x}$ 沿 $x$ 轴方向平移 1”。 为什么错：$x$ 换成了 $x + 1 = x - (-1)$，平移量是 $-1$。 正确做法：看分母为 0 的点：$x + 1 = 0$，$x = -1$，所以漸近線是 $x = -1$，平移 $-1$。
• 错在哪：解 $\dfrac{3x - 4}{x - 2} \ge x$ 时两边乘 $x - 2$，得 $1 \le x \le 4$。 为什么错：$x - 2$ 可能为负，乘负数时不等号要反向；而且 $x = 2$ 不在定义域里。 正确做法：画图，或移项通分后看符号（例 3）；乘分母时就乘 $(x - 2)^2$，它总是正的。

直观理解

把分数化成“带分数”：$\dfrac{7}{3} = 2 + \dfrac{1}{3}$。$\dfrac{3x - 4}{x - 2} = 3 + \dfrac{2}{x - 2}$ 也是这样，整数部分 3 就是 $x$ 很大时 $y$ 的“近似值”，所以是水平漸近線；余下的 $\dfrac{2}{x - 2}$ 在 $x$ 很大时几乎为 0，在 $x$ 接近 2 时变得很大。

另一个看法：直角双曲線就像一个被两条漸近線“框住”的十字架，平移函数就是把十字架的中心从原点搬到 $(p, q)$，曲线跟着走。只要先画出两条虚线，再在对应的两块里各画一支，图像就不会画错。

关联知识点

• 前置：国内书第 7 章 7.3 节，$y = x^{-1}$ 的图像与性质。
• 前置：本书第 5 章 2次関数，平行移動的规则相同（把 $x$ 换成 $x - p$，$y$ 换成 $y - q$）。
• 国内书第 6 章 6.6 节：分式函数的对称中心，本节把它化成标准形后一眼看出。
• 本书第 10 章 いろいろな式：分数式的约分、通分和除法。
• 本书第 18 章 式と曲線：直角双曲線是双曲線的一种，$xy = k$ 旋转 45° 就是 $x^2 - y^2 = 2k$。
• 后续：本书第 20 章 極限，漸近線的严格定义；第 21 章 微分法，用导数求分数関数的增减和极值。

19.3 無理関数

说明

無理関数：根号里含有 $x$ 的函数，如 $y = \sqrt{x}$、$y = \sqrt{2x + 4}$、$y = -\sqrt{3 - x}$。没有特别说明时，定义域是使根号内不小于 0 的全体实数。

基本形 $y = \sqrt{ax}$（$a \ne 0$）：

	定義域	値域	增减	图像
$a > 0$	$x \ge 0$	$y \ge 0$	递增	从原点向右上
$a < 0$	$x \le 0$	$y \ge 0$	递减	从原点向左上

$y = -\sqrt{ax}$ 是 $y = \sqrt{ax}$ 关于 $x$ 轴的对称图形，値域 $y \le 0$。

图像是半条抛物线：$y = \sqrt{ax}$ 两边平方得 $y^2 = ax$，并且 $y \ge 0$。$y^2 = ax$ 是开口朝右（$a > 0$）或朝左（$a < 0$）的抛物线，$y = \sqrt{ax}$ 是它在 $x$ 轴上方（含 $x$ 轴上）的那一半。

一般形 $y = \sqrt{ax + b}$：先提出 $a$，写成 $y = \sqrt{a\left(x + \dfrac{b}{a}\right)}$，它是 $y = \sqrt{ax}$ 沿 $x$ 轴方向平移 $-\dfrac{b}{a}$ 得到的。起点（端点）是 $\left(-\dfrac{b}{a}, 0\right)$。

無理方程式・無理不等式：含无理式的方程、不等式。方程常用“平方再验根”，不等式常用画图。

使用场景

• 题目给出 $y = \sqrt{ax + b}$，问定义域、値域、图像是由哪个函数平移来的：提出 $a$，找端点。
• 無理方程式，如 $\sqrt{x + 2} = x$：两边平方，但要加上“右边 $\ge 0$“的条件，或者平方后代回验根。
• 無理不等式，如 $\sqrt{x + 2} > x$：画曲线和直线，求交点，看上下。
• 含参数的直线与無理関数图像的公共点个数（「異なる 2 点で交わる $k$ の値の範囲」）：看直线经过端点和与曲线相切这两个临界位置。

注意点

• 平方不是“同值变形”：$A = B$ 能推出 $A^2 = B^2$，反过来不行。平方后得到的解要验根，日本教科书称不满足原方程的解为「適さない」。
• 不等式两边平方前，两边都必须 $\ge 0$。$\sqrt{x + 2} > x$ 中右边 $x$ 可能是负数，不能直接平方。
• 端点是图像的一部分：$y = \sqrt{x + 2}$ 包括点 $(-2, 0)$，画图时用实心点。
• 提出系数时 $a$ 要留在根号里：$\sqrt{2x + 4} = \sqrt{2(x + 2)}$，不是 $2\sqrt{x + 2}$。
• EJU 的写法：「$y = \sqrt{2x}$ のグラフを $x$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動したもの」「定義域は $x \geqq -2$，値域は $y \geqq 0$」。

证明

结论 1：$y = \sqrt{ax}$ 的单调性。 设 $a > 0$，$0 \le x_1 < x_2$，则 $0 \le ax_1 < ax_2$。

$$\sqrt{ax_2} - \sqrt{ax_1} = \frac{ax_2 - ax_1}{\sqrt{ax_2} + \sqrt{ax_1}} > 0.$$

（关键一步：分子有理化，差变成正数除以正数。）所以 $a > 0$ 时递增。$a < 0$ 时同理可证递减。

结论 2：無理方程式的同值变形。

$$\sqrt{A} = B \iff A = B^2 \text{ 且 } B \ge 0.$$

从左到右：$\sqrt{A} \ge 0$，所以 $B \ge 0$；两边平方得 $A = B^2$。从右到左：$A = B^2 \ge 0$，$\sqrt{A} = \sqrt{B^2} = |B| = B$（因为 $B \ge 0$）。（关键一步：$\sqrt{B^2} = |B|$，只有 $B \ge 0$ 时才等于 $B$。条件 $A \ge 0$ 由 $A = B^2$ 自动保证，不必另写。）

结论 3：無理不等式的同值变形。

$$\sqrt{A} > B \iff (B < 0 \text{ 且 } A \ge 0) \text{ 或 } (B \ge 0 \text{ 且 } A > B^2).$$

$B < 0$ 时，只要根号有意义，$\sqrt{A} \ge 0 > B$ 总成立；$B \ge 0$ 时两边非负，平方不改变大小关系。

例题

例 1　（场景：定义域、値域、平移）

問題　関数 $y = \sqrt{4 - 2x}$ のグラフは，$y = \sqrt{-2x}$ のグラフをどのように平行移動したものか。また，定義域と，$-6 \leqq x \leqq 0$ における値域を求めよ。

解答　$y = \sqrt{-2(x - 2)}$ であるから，$y = \sqrt{-2x}$ のグラフを $x$ 軸方向に $2$ だけ平行移動したもので，端点は $(2, 0)$ である（上の図の赤線）。定義域は $4 - 2x \geqq 0$，すなわち $x \leqq 2$。$a = -2 < 0$ であるから関数は減少する。$x = -6$ のとき $y = \sqrt{16} = 4$，$x = 0$ のとき $y = \sqrt{4} = 2$ であるから，値域は $2 \leqq y \leqq 4$。

中文翻译　题目：函数 $y = \sqrt{4 - 2x}$ 的图像是 $y = \sqrt{-2x}$ 的图像怎样平移得到的？求它的定义域，以及 $-6 \leqq x \leqq 0$ 时的值域。解答：$y = \sqrt{-2(x - 2)}$，是把 $y = \sqrt{-2x}$ 的图像沿 $x$ 轴方向平移 $2$ 得到的，端点 $(2, 0)$（上图的红线）。定义域 $4 - 2x \geqq 0$，即 $x \leqq 2$。$a = -2 < 0$，函数递减。$x = -6$ 时 $y = \sqrt{16} = 4$，$x = 0$ 时 $y = \sqrt{4} = 2$，所以值域是 $2 \leqq y \leqq 4$。

解说　先提出根号内 $x$ 的系数 $a$：$\sqrt{4 - 2x} = \sqrt{-2(x - 2)}$，平移量看括号里的常数，平移方向与常数符号相反。定义域由根号内非负决定；值域用单调性和区间端点值求，不要漏看区间在端点的哪一侧。

例 2　（场景：無理方程式）

問題　方程式 $\sqrt{x + 2} = x$ を解け。

解答　$\sqrt{x + 2} = x$ より $x \geqq 0$ である。両辺を平方して $x + 2 = x^2$，すなわち $x^2 - x - 2 = 0$，$(x - 2)(x + 1) = 0$，$x = 2, -1$。 $x = -1$ は $x \geqq 0$ を満たさないので不適である。よって $x = 2$。

中文翻译　题目：解方程 $\sqrt{x + 2} = x$。解答：由 $\sqrt{x + 2} = x$ 得 $x \geqq 0$。两边平方得 $x + 2 = x^2$，即 $x^2 - x - 2 = 0$，$(x - 2)(x + 1) = 0$，$x = 2, -1$。$x = -1$ 不满足 $x \geqq 0$，舍去。所以 $x = 2$。

解说　验算：$x = -1$ 代回原方程，左边 $\sqrt{1} = 1$，右边 $-1$，不成立。另一种解法：画 $y = \sqrt{x + 2}$ 和 $y = x$ 的图像（见例 3 的图），两者只在 $(2, 2)$ 相交。平方后的 $x = -1$ 其实是直线 $y = x$ 与下半支 $y = -\sqrt{x + 2}$ 的交点 $(-1, -1)$，平方把上下两半都算进来了。代数法适合要精确值的题；画图法能一眼看出解的个数，适合问“有几个实数解”的题。

例 3　（场景：無理不等式）

問題　不等式 $\sqrt{x + 2} > x$ を解け。

解答　$y = \sqrt{x + 2}$（端点 $(-2, 0)$）と $y = x$ のグラフをかく。例 2 より，両者は $(2, 2)$ でのみ交わる。グラフから，$-2 \leqq x < 2$ のとき曲線は直線の上側にあり，$x > 2$ のとき下側にある。よって解は $-2 \leqq x < 2$。

中文翻译　题目：解不等式 $\sqrt{x + 2} > x$。解答：画出 $y = \sqrt{x + 2}$（端点 $(-2, 0)$）和 $y = x$。由例 2，两者只交于 $(2, 2)$。从图上看，$-2 \leqq x < 2$ 时曲线在直线上方，$x > 2$ 时在下方。所以解是 $-2 \leqq x < 2$。

解说　另一种解法：分两种情况。$x < 0$ 且 $x + 2 \geqq 0$：得 $-2 \leqq x < 0$。$x \geqq 0$ 且 $x + 2 > x^2$：$x^2 - x - 2 < 0$，$-1 < x < 2$，与 $x \geqq 0$ 合起来是 $0 \leqq x < 2$。合起来 $-2 \leqq x < 2$。画图法快，适合有图可依的誘導题；分情况法不怕看错图，适合直线和曲线贴得很近、交点不好判断的题。

容易卡在：左端点 $x = -2$ 时 $\sqrt{0} = 0 > -2$，成立，要包括进来。

例 4　（场景：含参数的公共点个数）

問題　直線 $y = x + k$ と曲線 $y = \sqrt{x + 1}$ が異なる 2 点で交わるような $k$ の値の範囲を求めよ。

解答　直線の傾きは $1$ で一定であり，$k$ が大きいほど直線は上にある。臨界となる位置は次の 2 つである。

1. 端点 $(-1, 0)$ を通るとき：$0 = -1 + k$ より $k = 1$。
2. 曲線に接するとき：$\sqrt{x + 1} = x + k$ の両辺を平方して $x + 1 = (x + k)^2$，すなわち $x^2 + (2k - 1)x + k^2 - 1 = 0$。 判別式 $D = (2k - 1)^2 - 4(k^2 - 1) = -4k + 5 = 0$ より $k = \dfrac{5}{4}$。このとき接点は $x = -\dfrac{2k - 1}{2} = -\dfrac{3}{4}$，$y = x + k = \dfrac{1}{2} \geqq 0$ で，確かに上半分にある。

グラフから，$k < 1$ のとき共有点は 1 個，$k = 1$ のとき端点を通りさらに右側でも交わるので 2 個，$1 < k < \dfrac{5}{4}$ のとき 2 個，$k = \dfrac{5}{4}$ のとき接して 1 個，$k > \dfrac{5}{4}$ のとき 0 個である。よって $1 \leqq k < \dfrac{5}{4}$。

中文翻译　题目：直线 $y = x + k$ 与曲线 $y = \sqrt{x + 1}$ 有两个不同的公共点，求 $k$ 的取值范围。解答：直线的斜率固定为 $1$，$k$ 越大直线越靠上。两个临界位置：（1）经过端点 $(-1, 0)$：$0 = -1 + k$，$k = 1$。（2）与曲线相切：$\sqrt{x + 1} = x + k$ 两边平方得 $x + 1 = (x + k)^2$，即 $x^2 + (2k - 1)x + k^2 - 1 = 0$。判别式 $D = (2k - 1)^2 - 4(k^2 - 1) = -4k + 5 = 0$，$k = \dfrac{5}{4}$。这时切点 $x = -\dfrac{2k - 1}{2} = -\dfrac{3}{4}$，$y = x + k = \dfrac{1}{2} \geqq 0$，确实在上半支。从图上看：$k < 1$ 时只有一个公共点；$k = 1$ 时经过端点，并且还在右边再交一次，有两个；$1 < k < \dfrac{5}{4}$ 时有两个；$k = \dfrac{5}{4}$ 时相切，一个；$k > \dfrac{5}{4}$ 时没有。所以 $1 \leqq k < \dfrac{5}{4}$。

解说　容易卡在：只用判别式 $D > 0$ 得 $k < \dfrac{5}{4}$。$D > 0$ 只说明平方后的二次方程有两个根，其中一个可能落在下半支 $y = -\sqrt{x + 1}$ 上（$k < 1$ 时就是这样）。

常用推论

• $\sqrt{A} = B$ 只需加 $B \ge 0$：$A \ge 0$ 由 $A = B^2$ 自动成立。推导见本节证明结论 2。
• $\sqrt{A} < B \iff A \ge 0 \text{ 且 } B > 0 \text{ 且 } A < B^2$。推导：左边 $\ge 0$，所以 $B$ 必须为正；两边非负时平方不改变大小。
• 無理関数与直线公共点个数的套路：临界位置只有两种，“过端点”和“相切”（相切用平方后的判别式 $D = 0$）。先画图把直线从上往下（或绕定点）移动，再数个数。
• $y = \sqrt{ax + b}$ 与它的逆関数：$y = \dfrac{x^2 - b}{a}$（$x \ge 0$），是半条抛物线。推导见 19.4 节。

易错点

• 错在哪：解 $\sqrt{x + 2} = x$ 得 $x = 2, -1$，两个都留。 为什么错：平方把 $\sqrt{x + 2} = -x$ 的解也混进来了。$x = -1$ 时左边是 1，右边是 $-1$。 正确做法：平方前写上 $x \ge 0$，或平方后逐个代回验根。
• 错在哪：解 $\sqrt{x + 2} > x$ 时直接平方，得 $x^2 - x - 2 < 0$，$-1 < x < 2$。 为什么错：右边 $x$ 为负时不能平方；而 $-2 \le x \le -1$ 时左边 $\ge 0$、右边 $< 0$，不等式其实成立，被漏掉了。 正确做法：画图，或按右边的正负分情况（例 3）。
• 错在哪：说 $y = \sqrt{2x + 4}$ 是 $y = \sqrt{2x}$ 沿 $x$ 轴方向平移 $-4$。 为什么错：$2x + 4 = 2(x + 2)$，$x$ 换成的是 $x + 2$，平移量是 $-2$。 正确做法：先提出 $x$ 的系数，再看平移量；或者直接求端点：$2x + 4 = 0$，$x = -2$。

直观理解

把抛物线 $x = y^2$ 横过来看：它是一条开口向右的抛物线，上半支是 $y = \sqrt{x}$，下半支是 $y = -\sqrt{x}$。無理関数之所以“只有半条”，是因为根号规定取非负的那个平方根。平方再验根的道理也在这里：平方等于把丢掉的下半支又捡了回来，所以要检查解是不是落在上半支上。

含参数的公共点问题可以想成“把直尺平行地往上推”：直尺先只碰到曲线一次（在端点右侧），碰到端点时变成两次，继续往上推到切线位置变回一次，再往上就离开了曲线。

关联知识点

• 前置：国内书第 7 章 7.3 节，$y = x^{\frac{1}{2}}$ 的图像与性质。
• 前置：国内书第 3 章、第 4 章，一元二次不等式和判别式。
• 本书第 3 章 数と式：根式的化简、分母有理化（本节证明结论 1 用到分子有理化）。
• 本书第 18 章 式と曲線：$y^2 = ax$ 是抛物线，無理関数的图像是它的一半。
• 后续：19.4 节，無理関数与二次函数（限定定义域）互为逆関数。
• 后续：本书第 21 章 微分法，$(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$，求無理関数的切线；第 23 章 積分の応用，求無理関数图像围成的面积。

19.4 逆関数

说明

逆関数：函数 $y = f(x)$ 中，如果值域里的每个 $y$ 都只对应定义域里的一个 $x$（一一对应），就可以把 $x$ 看成 $y$ 的函数 $x = g(y)$。把变量名换回习惯写法，得到的 $y = g(x)$ 叫 $f(x)$ 的逆関数，记作 $f^{-1}(x)$（通行读法「エフ・インバース・エックス」）。

求法三步：

1. 由 $y = f(x)$ 解出 $x = (y \text{ 的式子})$；
2. 把 $x$ 和 $y$ 互换；
3. 写上定义域：$f^{-1}$ 的定义域 = $f$ 的值域。

性质：

项目	关系
定义域与值域	$f^{-1}$ 的定义域是 $f$ 的值域，$f^{-1}$ 的值域是 $f$ 的定义域
点	$b = f(a) \iff a = f^{-1}(b)$
图像	$y = f(x)$ 与 $y = f^{-1}(x)$ 的图像关于直线 $y = x$ 对称
单调性	$f$ 递增，$f^{-1}$ 也递增；$f$ 递减，$f^{-1}$ 也递减

逆関数存在的条件：一一对应。单调函数一定有逆関数。$y = x^2$（$x$ 为全体实数）没有逆関数，但把定义域限制为 $x \ge 0$ 后就有，逆関数是 $y = \sqrt{x}$。

国内书第 9 章 9.6 节只讲了 $y = a^x$ 与 $y = \log_a x$ 这一对；EJU 要求对分数関数、無理関数、限定定义域的二次函数都会求。

使用场景

• 求分数関数的逆関数：交叉相乘解出 $x$，结果仍是分数関数。
• 求無理関数或限定定义域的二次函数的逆関数：平方或配方解出 $x$，一定要写定义域（由原函数的值域来）。
• 已知逆関数的图像过某点，求原函数的参数：把点的两个坐标互换，变成原函数过的点。
• 求 $y = f(x)$ 与 $y = f^{-1}(x)$ 的图像的交点：$f$ 递增时，交点都在直线 $y = x$ 上，解 $f(x) = x$ 即可。

注意点

• $f^{-1}(x)$ 不是 $\dfrac{1}{f(x)}$。$-1$ 是“逆”的记号，不是指数。
• 逆関数的定义域必须写。EJU 题干常写「$f^{-1}(x) = \fbox{A} + \sqrt{x - \fbox{B}}$ $(x \geqq \fbox{C})$」，括号里的定义域也是一个空格。
• 二次函数要先看定义域在对称轴的哪一侧，才能决定解出的 $x$ 取根号前的 $+$ 还是 $-$。
• 互换 $x$、$y$ 这一步，日本教科书写成「$x$ と $y$ を入れかえて」。

证明

结论 1：图像关于 $y = x$ 对称。 设点 $(a, b)$ 在 $y = f(x)$ 的图像上，即 $b = f(a)$。由逆関数的定义 $a = f^{-1}(b)$，所以点 $(b, a)$ 在 $y = f^{-1}(x)$ 的图像上。点 $(a, b)$ 和 $(b, a)$ 关于直线 $y = x$ 对称（它们的中点 $\left(\dfrac{a + b}{2}, \dfrac{a + b}{2}\right)$ 在 $y = x$ 上，连线斜率 $-1$ 与 $y = x$ 垂直）。反过来也一样。所以两个图像关于 $y = x$ 对称。

结论 2：$f$ 递增时，$y = f(x)$ 与 $y = f^{-1}(x)$ 的交点都在 $y = x$ 上。 设 $(a, b)$ 是交点，则 $b = f(a)$，又 $b = f^{-1}(a)$ 即 $a = f(b)$。假设 $a < b$，由 $f$ 递增得 $f(a) < f(b)$，即 $b < a$，矛盾；同理 $a > b$ 也矛盾。所以 $a = b$，交点在 $y = x$ 上。（关键一步：把“交点在 $f^{-1}$ 上”翻译成”$(b, a)$ 在 $f$ 上”，两个点都在同一条递增曲线上，就能比较大小。）

$f$ 递减时这个结论不成立，见易错点。

结论 3：$f^{-1}(f(x)) = x$，$f(f^{-1}(x)) = x$。 由 $b = f(a) \iff a = f^{-1}(b)$ 直接得到：先用 $f$ 再用 $f^{-1}$，回到原来的数。

例题

例 1　（场景：分数関数的逆関数）

問題　$f(x) = \dfrac{3x - 4}{x - 2}$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求めよ。

解答　$y = \dfrac{3x - 4}{x - 2}$ の値域は $y \ne 3$ である（19.2 節例 1）。両辺に $x - 2$ を掛けて $xy - 2y = 3x - 4$，$x(y - 3) = 2y - 4$，$x = \dfrac{2y - 4}{y - 3}$。 $x$ と $y$ を入れかえて $f^{-1}(x) = \dfrac{2x - 4}{x - 3}$。その定義域 $x \ne 3$ は $f$ の値域に一致するので，改めて断る必要はない。

中文翻译　题目：求 $f(x) = \dfrac{3x - 4}{x - 2}$ 的逆函数。解答：$y = \dfrac{3x - 4}{x - 2}$ 的值域是 $y \ne 3$（19.2 节例 1）。两边乘 $x - 2$：$xy - 2y = 3x - 4$，$x(y - 3) = 2y - 4$，$x = \dfrac{2y - 4}{y - 3}$。$x$、$y$ 互换：$f^{-1}(x) = \dfrac{2x - 4}{x - 3}$。它的定义域 $x \ne 3$ 正好是 $f$ 的值域，所以不用另写。

解说　验算：$f(0) = 2$，$f^{-1}(2) = \dfrac{0}{-1} = 0$，一致。求逆函数时先求原函数的值域，它就是逆函数的定义域；分数函数交叉相乘后把含 $x$ 的项集中到一边，注意 $y \ne 3$ 时才能除以 $y - 3$。

例 2　（场景：限定定义域的二次函数的逆関数）

問題　$f(x) = x^2 - 4x$（$x \leqq 2$）の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求めよ。

解答　$f(x) = (x - 2)^2 - 4$ であり，$x \leqq 2$ で減少し，値域は $y \geqq -4$ である。$y = (x - 2)^2 - 4$ より $(x - 2)^2 = y + 4$。$x \leqq 2$ より $x - 2 \leqq 0$ であるから，負の平方根をとって $x - 2 = -\sqrt{y + 4}$，$x = 2 - \sqrt{y + 4}$。 $x$ と $y$ を入れかえて $f^{-1}(x) = 2 - \sqrt{x + 4}$（$x \geqq -4$）。

中文翻译　题目：求 $f(x) = x^2 - 4x$（$x \leqq 2$）的逆函数。解答：$f(x) = (x - 2)^2 - 4$，在 $x \leqq 2$ 上递减，值域 $y \geqq -4$。由 $y = (x - 2)^2 - 4$ 得 $(x - 2)^2 = y + 4$。因为 $x \leqq 2$，$x - 2 \leqq 0$，取负的平方根：$x - 2 = -\sqrt{y + 4}$，$x = 2 - \sqrt{y + 4}$。互换得 $f^{-1}(x) = 2 - \sqrt{x + 4}$（$x \geqq -4$）。

解说　验算：$f(-3) = 9 + 12 = 21$，$f^{-1}(21) = 2 - 5 = -3$，一致。容易卡在：取 $x - 2 = +\sqrt{y + 4}$。根号前的符号由原函数的定义域决定：$x \leqq 2$ 在对称轴左边，所以取负。

例 3　（场景：逆関数的图像过某点）

問題　関数 $f(x) = \dfrac{ax + b}{x + 2}$ の逆関数のグラフが点 $(2, 0)$，$(3, 2)$ を通る。定数 $a$，$b$ の値を求めよ。

解答　$y = f^{-1}(x)$ が $(2, 0)$，$(3, 2)$ を通ることは，$y = f(x)$ が $(0, 2)$，$(2, 3)$ を通ることと同値である。よって $f(0) = \dfrac{b}{2} = 2$，$f(2) = \dfrac{2a + b}{4} = 3$。 これより $b = 4$，$2a + 4 = 12$ すなわち $a = 4$。

中文翻译　题目：函数 $f(x) = \dfrac{ax + b}{x + 2}$ 的逆函数的图像经过点 $(2, 0)$ 和 $(3, 2)$。求 $a$、$b$。解答：$y = f^{-1}(x)$ 过 $(2, 0)$、$(3, 2)$，等价于 $y = f(x)$ 过 $(0, 2)$、$(2, 3)$：$f(0) = \dfrac{b}{2} = 2$，$f(2) = \dfrac{2a + b}{4} = 3$。得 $b = 4$，$2a + 4 = 12$，$a = 4$。

解说　另一种解法：先求逆函数。$y = \dfrac{ax + b}{x + 2}$ 得 $x = \dfrac{-2y + b}{y - a}$，所以 $f^{-1}(x) = \dfrac{-2x + b}{x - a}$。代入 $(2, 0)$：$-4 + b = 0$，$b = 4$；代入 $(3, 2)$：$\dfrac{-6 + 4}{3 - a} = 2$，$a = 4$。主解法不求逆函数，计算量小；先求逆函数的方法在后面的小问还要用 $f^{-1}(x)$ 的式子时更划算。

例 4　（场景：原函数与逆関数图像的交点）

問題　$f(x) = \sqrt{x + 2}$ とする。$f^{-1}(x)$ を求め，$y = f(x)$ と $y = f^{-1}(x)$ のグラフの共有点の座標を求めよ。

解答　$f(x)$ の値域は $y \geqq 0$ である。$y = \sqrt{x + 2}$ より $y^2 = x + 2$，$x = y^2 - 2$。$x$ と $y$ を入れかえて $f^{-1}(x) = x^2 - 2$（$x \geqq 0$）。

$f$ は増加するから，共有点は直線 $y = x$ 上にある。$\sqrt{x + 2} = x$ を解くと，19.3 節例 2 より $x = 2$。よって共有点は $(2, 2)$ である。

中文翻译　题目：设 $f(x) = \sqrt{x + 2}$。求 $f^{-1}(x)$，以及 $y = f(x)$ 与 $y = f^{-1}(x)$ 的图像的交点。解答：$f(x)$ 的值域是 $y \geqq 0$。由 $y = \sqrt{x + 2}$ 得 $y^2 = x + 2$，$x = y^2 - 2$。互换：$f^{-1}(x) = x^2 - 2$（$x \geqq 0$）。$f$ 递增，所以公共点都在 $y = x$ 上，解 $\sqrt{x + 2} = x$：由 19.3 节例 2，$x = 2$。公共点是 $(2, 2)$。

解说　容易卡在：直接解 $\sqrt{x + 2} = x^2 - 2$，得到四次方程。用”$f$ 递增时交点都在 $y = x$ 上“把它换成 $f(x) = x$，计算量小得多。注意逆函数要写 $x \geqq 0$，否则 $y = x^2 - 2$ 的左半支也会被算进来。

常用推论

• 分数関数的逆関数：$y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ 的逆関数是 $y = \dfrac{-dx + b}{cx - a}$。推导：$y(cx + d) = ax + b$，$x(cy - a) = -dy + b$，再互换 $x$、$y$。例 1、例 3 都可以直接套。
• 自己是自己的逆関数：$y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ 满足 $f^{-1} = f$，当且仅当 $a + d = 0$，即形如 $y = \dfrac{ax + b}{cx - a}$。推导：比较上一条的系数。这时图像本身关于 $y = x$ 对称，例如 $y = \dfrac{1}{x}$、$y = \dfrac{x + 3}{x - 1}$。
• 逆関数的逆関数是原函数：$(f^{-1})^{-1} = f$。推导：互换两次 $x$、$y$ 回到原样。
• $f(a) = b$ 与 $f^{-1}(b) = a$ 互换使用：求 $f^{-1}(5)$ 不必求出 $f^{-1}(x)$，解 $f(x) = 5$ 就行。
• 逆関数的微分：$\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{\frac{dy}{dx}}$，见本书第 21 章。

易错点

• 错在哪：$f(x) = \sqrt{x + 2}$ 的逆関数写成 $f^{-1}(x) = x^2 - 2$，不写定义域。 为什么错：$f$ 的值域只有 $y \ge 0$，$f^{-1}$ 的定义域也只有 $x \ge 0$。不写的话 $y = x^2 - 2$ 是整条抛物线，与 $f$ 的图像不再关于 $y = x$ 对称，求交点还会多出假的解。 正确做法：每次求逆関数都先求原函数的值域，最后写成 $f^{-1}(x) = x^2 - 2$（$x \ge 0$）。
• 错在哪：把 $f^{-1}(x)$ 当成 $\dfrac{1}{f(x)}$，如 $f(x) = 2x + 1$ 时写 $f^{-1}(x) = \dfrac{1}{2x + 1}$。 为什么错：$f^{-1}$ 是“把 $f$ 倒着做”，不是倒数。$f(1) = 3$，所以 $f^{-1}(3) = 1$，而 $\dfrac{1}{f(3)} = \dfrac{1}{7}$。 正确做法：解出 $x = \dfrac{y - 1}{2}$，$f^{-1}(x) = \dfrac{x - 1}{2}$。
• 错在哪：对递减函数也只解 $f(x) = x$ 来求它与逆関数的交点。 为什么错：结论 2 要求 $f$ 递增。例如 $f(x) = -x^3$ 递减，$f(1) = -1$，$f(-1) = 1$，所以点 $(1, -1)$ 既在 $y = f(x)$ 上，又（由 $(-1, 1)$ 在 $f$ 上）在 $y = f^{-1}(x)$ 上，它不在 $y = x$ 上。 正确做法：递减时要解方程组 $y = f(x)$，$x = f(y)$，不能只看 $y = x$。

直观理解

函数是一台“输入 $x$、输出 $y$“的机器，逆関数就是把这台机器倒着开。能倒着开的前提是”不撞号”：两个不同的输入不能给出同一个输出，否则倒着开时不知道该吐回哪一个。$y = x^2$ 把 2 和 $-2$ 都变成 4，倒着开就不知道吐回哪个；砍掉左半边（限定 $x \ge 0$）后才能倒着开。

把坐标纸沿直线 $y = x$ 对折，$x$ 轴和 $y$ 轴互换，原函数的图像就印到了逆関数的图像上。递增的曲线对折后还是递增的，两条递增曲线若相交，只能在折痕上相交。

关联知识点

• 前置：国内书第 9 章 9.6 节，指数函数与对数函数互为反函数，本节把它推广到一般函数。
• 前置：国内书第 5 章 5.3 节，定义域和值域；第 6 章 6.2 节，单调性。
• 前置：19.2、19.3 节，本节的例题都用这两类函数。
• 本书第 12 章 指数関数・対数関数：$y = a^x$ 与 $y = \log_a x$ 互为逆関数，常和本节一起考交点问题。
• 后续：19.5 节，$f^{-1} \circ f$ 是恒等函数。
• 后续：本书第 21 章 微分法，逆関数的导数；第 23 章 積分の応用，用对称性求原函数与逆関数之间的面积。

19.5 合成関数

说明

合成関数：两个函数 $f(x)$、$g(x)$，若 $f(x)$ 的值都在 $g$ 的定义域里，就可以把 $f(x)$ 再送进 $g$，得到 $g(f(x))$。这个函数叫 $f$ 与 $g$ 的合成関数，记作 $(g \circ f)(x)$：

$$(g \circ f)(x) = g(f(x)).$$

记号 $g \circ f$ 里右边的 $f$ 先做，左边的 $g$ 后做，和 $g(f(x))$ 的书写顺序一致。

国内书第 5 章已经讲过 $f(g(x))$ 的求值、求定义域和换元求解析式，计算方法完全相同；本节补的是 $g \circ f$ 这个记号、先后顺序、定义域的完整条件，以及合成与逆関数的关系。

性质：

项目	结论
交换律	一般不成立：$g \circ f \ne f \circ g$
结合律	成立：$h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$
与逆関数	$(f^{-1} \circ f)(x) = x$（$x$ 在 $f$ 的定义域里），$(f \circ f^{-1})(x) = x$（$x$ 在 $f$ 的值域里）
定义域	$g \circ f$ 的定义域是”$x$ 在 $f$ 的定义域里，且 $f(x)$ 在 $g$ 的定义域里“的 $x$ 的全体

使用场景

• 题目给出 $f(x)$、$g(x)$，求 $(g \circ f)(x)$、$(f \circ g)(x)$，或解 $(g \circ f)(x) = (f \circ g)(x)$：分清先后，从里往外代。
• 题目里有根号、分母的函数相合成，问合成関数的定义域：两层条件都要写。
• 已知 $(g \circ f)(x)$ 和 $f(x)$，求 $g(x)$：把右边凑成 $f(x)$ 的式子，或令 $t = f(x)$ 换元。
• 同一个函数合成两次 $(f \circ f)(x)$，如果结果是 $x$，说明 $f$ 是自己的逆関数。

注意点

• $(g \circ f)(x)$ 通常读作「$g$ マル $f$」，也说「$f$ と $g$ の合成関数」；注意日文说「$f$ と $g$ の合成関数 $g \circ f$」时，$f$ 在前是“先做 $f$”。
• 不要把 $g \circ f$ 当成乘积 $g(x) f(x)$。
• 合成后的式子化简了，定义域也不能从化简后的式子看，要从原来两层的条件求。例如 $(f \circ f^{-1})$ 化简成 $x$，定义域却只是 $f$ 的值域。
• EJU 题干常写「$(g \circ f)(x) = g(f(x))$ とする」，先给出定义再考计算，记号上一般不会刁难，难在定义域和后续的方程。

证明

结论 1：交换律一般不成立。 反例：$f(x) = 2x + 1$，$g(x) = x^2$。$(g \circ f)(x) = (2x + 1)^2$，$(f \circ g)(x) = 2x^2 + 1$。取 $x = 1$：$(g \circ f)(1) = 9$，$(f \circ g)(1) = 3$，不相等。

结论 2：结合律成立。 对任意 $x$，

$$(h \circ (g \circ f))(x) = h((g \circ f)(x)) = h(g(f(x))), \quad ((h \circ g) \circ f)(x) = (h \circ g)(f(x)) = h(g(f(x))).$$

两边都是“先 $f$、再 $g$、最后 $h$”，所以相等。（关键一步：按定义把外层拆开，两种括号最后都落到同一个 $h(g(f(x)))$。）

结论 3：$(f^{-1} \circ f)(x) = x$。 设 $f(x) = b$，由逆関数的定义 $f^{-1}(b) = x$，所以 $f^{-1}(f(x)) = x$。

例题

例 1　（场景：计算两种合成并解方程）

問題　$f(x) = 2x + 1$，$g(x) = x^2$ とする。$(g \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ を求め，方程式 $(g \circ f)(x) = (f \circ g)(x)$ を解け。

解答　$(g \circ f)(x) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$，$(f \circ g)(x) = f(x^2) = 2x^2 + 1$。 方程式 $4x^2 + 4x + 1 = 2x^2 + 1$ より $2x^2 + 4x = 0$，すなわち $x = 0, -2$。

中文翻译　题目：$f(x) = 2x + 1$，$g(x) = x^2$。求 $(g \circ f)(x)$ 和 $(f \circ g)(x)$，并解方程 $(g \circ f)(x) = (f \circ g)(x)$。解答：$(g \circ f)(x) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$，$(f \circ g)(x) = f(x^2) = 2x^2 + 1$。方程 $4x^2 + 4x + 1 = 2x^2 + 1$，$2x^2 + 4x = 0$，$x = 0, -2$。

解说　$(g \circ f)$ 先做 $f$：把 $f(x)$ 代进 $g$；$(f \circ g)$ 反过来。先分别算出两个合成函数的表达式，再移项解方程，不要一上来就把两个式子当成相等去整理。

例 2　（场景：合成関数的定义域）

問題　$f(x) = \sqrt{x - 1}$，$g(x) = \dfrac{1}{x - 2}$ とする。$(g \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ を求め，それぞれの定義域を求めよ。

解答　(1) $(g \circ f)(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x - 1} - 2}$。$x$ が $f$ の定義域に含まれる条件は $x \geqq 1$，$f(x)$ が $g$ の定義域に含まれる条件は $\sqrt{x - 1} \ne 2$，すなわち $x \ne 5$ である。よって定義域は $x \geqq 1$ かつ $x \ne 5$。

(2) $(f \circ g)(x) = \sqrt{\dfrac{1}{x - 2} - 1} = \sqrt{\dfrac{3 - x}{x - 2}}$。条件は $x \ne 2$ かつ $\dfrac{3 - x}{x - 2} \geqq 0$，すなわち $\dfrac{x - 3}{x - 2} \leqq 0$ より $2 < x \leqq 3$ である。よって定義域は $2 < x \leqq 3$。

中文翻译　题目：$f(x) = \sqrt{x - 1}$，$g(x) = \dfrac{1}{x - 2}$。求 $(g \circ f)(x)$ 和 $(f \circ g)(x)$ 以及它们的定义域。解答：（1）$(g \circ f)(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x - 1} - 2}$。条件：$x$ 在 $f$ 的定义域里，$x \geqq 1$；$f(x)$ 在 $g$ 的定义域里，$\sqrt{x - 1} \ne 2$，即 $x \ne 5$。定义域是 $x \geqq 1$ 且 $x \ne 5$。（2）$(f \circ g)(x) = \sqrt{\dfrac{1}{x - 2} - 1} = \sqrt{\dfrac{3 - x}{x - 2}}$。条件：$x \ne 2$；$\dfrac{3 - x}{x - 2} \geqq 0$，即 $\dfrac{x - 3}{x - 2} \leqq 0$，$2 < x \leqq 3$。定义域是 $2 < x \leqq 3$。

解说　容易卡在：（1）只写 $x \geqq 1$，漏了 $x \ne 5$。外层 $g$ 的分母不能为 $0$，翻译成内层就是 $f(x) \ne 2$。

例 3　（场景：由合成反求一个函数）

問題　$f(x) = x + 1$，$(g \circ f)(x) = x^2 + 4x + 5$ とする。$g(x)$ を求めよ。

解答　$(g \circ f)(x) = g(x + 1)$ である。右辺を $x + 1$ の式に直すと $x^2 + 4x + 5 = (x + 1)^2 + 2(x + 1) + 2$。 よって $g(t) = t^2 + 2t + 2$，すなわち $g(x) = x^2 + 2x + 2$。

中文翻译　题目：$f(x) = x + 1$，$(g \circ f)(x) = x^2 + 4x + 5$。求 $g(x)$。解答：$(g \circ f)(x) = g(x + 1)$。把右边写成 $x + 1$ 的式子：$x^2 + 4x + 5 = (x + 1)^2 + 2(x + 1) + 2$。所以 $g(t) = t^2 + 2t + 2$，即 $g(x) = x^2 + 2x + 2$。

解说　另一种解法：令 $t = x + 1$，$x = t - 1$，代入：$g(t) = (t - 1)^2 + 4(t - 1) + 5 = t^2 + 2t + 2$。凑配法在右边容易看出 $x + 1$ 的结构时快；换元法不用看结构，什么时候都能做。这两种方法国内书第 5 章 5.4 节都讲过，只是记号换成了 $g \circ f$。

例 4　（场景：$f \circ f$）

問題　$f(x) = \dfrac{x + 3}{x - 1}$ とする。$(f \circ f)(x)$ を求め，その結果から $f^{-1}(x)$ を求めよ。

解答　$x \ne 1$ かつ $f(x) \ne 1$ である（$f(x) = 1$ とすると $x + 3 = x - 1$ となり解がないので，この条件は常に満たされる）。 $(f \circ f)(x) = \dfrac{\dfrac{x + 3}{x - 1} + 3}{\dfrac{x + 3}{x - 1} - 1} = \dfrac{x + 3 + 3(x - 1)}{x + 3 - (x - 1)} = \dfrac{4x}{4} = x \quad (x \ne 1)$。 $(f \circ f)(x) = x$ より $f(f(x)) = x$ である。よって $f^{-1}(x) = \dfrac{x + 3}{x - 1}$。

中文翻译　题目：$f(x) = \dfrac{x + 3}{x - 1}$。求 $(f \circ f)(x)$，并由结果写出 $f^{-1}(x)$。解答：$x \ne 1$ 且 $f(x) \ne 1$（$f(x) = 1$ 时 $x + 3 = x - 1$，无解，所以这个条件总满足）。$(f \circ f)(x) = \dfrac{\dfrac{x + 3}{x - 1} + 3}{\dfrac{x + 3}{x - 1} - 1} = \dfrac{x + 3 + 3(x - 1)}{x + 3 - (x - 1)} = \dfrac{4x}{4} = x$（$x \ne 1$）。由 $(f \circ f)(x) = x$ 得 $f(f(x)) = x$。所以 $f^{-1}(x) = \dfrac{x + 3}{x - 1}$。

解说　$f(f(x)) = x$ 说明“做两次 $f$ 回到原处”，即 $f$ 倒着做就是 $f$ 本身。这与 19.4 节常用推论”$a + d = 0$ 时自己是自己的逆関数“一致（$a = 1$，$d = -1$）。

常用推论

• 合成的逆関数：$(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$。推导：倒着做时，后做的 $g$ 要先撤销。像穿袜子再穿鞋，脱的时候先脱鞋。
• $f \circ f$ 是恒等函数 $\iff f = f^{-1}$。推导：两边左合成 $f^{-1}$ 即可（例 4）。
• 合成関数的单调性：内外同增或同减则递增，一增一减则递减。国内书第 6 章 6.2 节“同增异减”。
• 合成関数的微分：$\{g(f(x))\}' = g'(f(x)) f'(x)$，见本书第 21 章。

易错点

• 错在哪：把 $(g \circ f)(x)$ 算成 $f(g(x))$。 为什么错：$\circ$ 记号是“右边先做”，$g \circ f$ 先做 $f$。 正确做法：每次都改写成 $g(f(x))$ 再算，括号里面的先做。
• 错在哪：求 $(g \circ f)(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x - 1} - 2}$ 的定义域时只写 $x \ge 1$。 为什么错：外层 $g$ 也有定义域限制，$g$ 的分母 $f(x) - 2$ 不能为 0。 正确做法：分两层写条件：$x \in f$ 的定义域，$f(x) \in g$ 的定义域。
• 错在哪：$f(x) = \sqrt{x}$，认为 $(f \circ f^{-1})(x) = x$ 对所有实数 $x$ 成立。 为什么错：$f^{-1}(x) = x^2$（$x \ge 0$），只在 $x \ge 0$ 上有定义，$(f \circ f^{-1})(x) = \sqrt{x^2} = x$ 也只在 $x \ge 0$ 上成立。 正确做法：$f \circ f^{-1}$ 的定义域是 $f$ 的值域。

直观理解

两台机器串起来：$x$ 先进 $f$，出来的东西再进 $g$。$g \circ f$ 的写法像从右往左读的流水线，最右边的机器离输入最近。串联时要保证“前一台的出口能接上后一台的入口”，这就是定义域的第二层条件。

不能交换的直观：先穿袜子再穿鞋，和先穿鞋再穿袜子，结果不一样。

关联知识点

• 前置：国内书第 5 章 5.3 节（抽象函数 $f(g(x))$ 的定义域）、5.4 节（换元法、配凑法求解析式）。
• 前置：国内书第 6 章 6.2 节，复合函数的单调性“同增异减”。
• 前置：19.4 节，逆関数；$f^{-1} \circ f$ 是恒等函数。
• 本书第 12 章 指数関数・対数関数：$y = 2^{x^2 - 2x}$、$y = \log(x^2 + 1)$ 这类函数是合成関数，求值域时先求内层的范围。
• 后续：本书第 21 章 微分法，合成関数的微分（链式法则）；第 22 章 積分法，置換積分法是合成関数微分的逆过程。

19.6 题型与答法

本章内容在 EJU コース2 里很少单独成一道大问。2017–2021 年公开的 6 份过去问里，它只作为微分、积分大问里的一步出现：如 2017 年第 2 回 Ⅲ 对含分数式 $\dfrac{3x}{4x + 1}$ 的对数函数求导，2021 年第 1 回 Ⅲ 令 $t = 2^x + 2^{-x}$ 把函数化成 $t$ 的函数 $g(t)$（这就是合成関数）。2026 年度起的新シラバス真题尚未公开。下面的问题 1–3 是把本章内容单独拿出来练的题。

誘導的典型骨架：

• 分数関数：(1) 化成 $\dfrac{k}{x - p} + q$，写漸近線 →(2) 求交点或截距 →(3) 用图像解分数不等式，或求与直线相切的条件。
• 無理関数：(1) 定义域、値域、平移 →(2) 解無理方程式或不等式 →(3) 含参数直线的公共点个数（端点、相切两个临界值）。
• 逆関数・合成関数：(1) 求值域，求 $f^{-1}(x)$ 及其定义域 →(2) $y = f(x)$ 与 $y = f^{-1}(x)$ 的交点 →(3) 求 $(f \circ g)(x)$ 及其定义域，解方程。

填涂提醒：分数先约分、负号放分子；$\sqrt{\phantom{x}}$ 里的数最小；定义域 $x \geqq \fbox{A}$ 的 $\fbox{A}$ 也是一个空格；系数是 1 时题干若留了格也要填 1。

問題 1　（分数関数）

関数

$$f(x) = \frac{2x + 5}{x + 2}$$

について考える。

(1) $f(x) = \fbox{A} + \dfrac{\fbox{B}}{x + \fbox{C}}$ と変形できる。したがって，$y = f(x)$ のグラフの漸近線は 2 直線 $x = -\fbox{D}$，$y = \fbox{E}$ である。

(2) $y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸との交点の $x$ 座標は $-\dfrac{\fbox{F}}{\fbox{G}}$，$y$ 軸との交点の $y$ 座標は $\dfrac{\fbox{H}}{\fbox{I}}$ である。

(3) 不等式 $f(x) \geqq x + 4$ の解は

$$x \leqq -\fbox{J}, \quad -\fbox{K} < x \leqq -\fbox{L}$$

である。

解答　(1) $2x + 5 = 2(x + 2) + 1$ であるから，$f(x) = 2 + \dfrac{1}{x + 2}$。漸近線は 2 直線 $x = -2$，$y = 2$ である。よって $\fbox{A} = 2$，$\fbox{B} = 1$，$\fbox{C} = 2$，$\fbox{D} = 2$，$\fbox{E} = 2$。

(2) $y = 0$ のとき $2x + 5 = 0$ より $x = -\dfrac{5}{2}$，$x = 0$ のとき $y = \dfrac{5}{2}$ である。よって $\fbox{F} = 5$，$\fbox{G} = 2$，$\fbox{H} = 5$，$\fbox{I} = 2$。

(3) まず交点を求める。$2x + 5 = (x + 4)(x + 2)$ より $x^2 + 4x + 3 = 0$，$x = -1, -3$。移項して通分すると $f(x) - (x + 4) = \dfrac{2x + 5 - (x + 4)(x + 2)}{x + 2} = \dfrac{-(x + 1)(x + 3)}{x + 2} \geqq 0$， すなわち $\dfrac{(x + 1)(x + 3)}{x + 2} \leqq 0$。境界点は $-3$，$-2$，$-1$ で，右から順に符号は $+$，$-$，$+$，$-$ であるから，解は $x \leqq -3$ または $-2 < x \leqq -1$ である。よって $\fbox{J} = 3$，$\fbox{K} = 2$，$\fbox{L} = 1$。

中文翻译　题目：考虑函数 $f(x) = \dfrac{2x + 5}{x + 2}$。（1）$f(x)$ 可以变形为 $\fbox{A} + \dfrac{\fbox{B}}{x + \fbox{C}}$，所以 $y = f(x)$ 的图像的两条渐近线是 $x = -\fbox{D}$，$y = \fbox{E}$。（2）$y = f(x)$ 的图像与 $x$ 轴交点的 $x$ 坐标是 $-\dfrac{\fbox{F}}{\fbox{G}}$，与 $y$ 轴交点的 $y$ 坐标是 $\dfrac{\fbox{H}}{\fbox{I}}$。（3）不等式 $f(x) \geqq x + 4$ 的解是 $x \leqq -\fbox{J}$，$-\fbox{K} < x \leqq -\fbox{L}$。解答：（1）$2x + 5 = 2(x + 2) + 1$，所以 $f(x) = 2 + \dfrac{1}{x + 2}$。渐近线是 $x = -2$，$y = 2$，所以 $\fbox{A} = 2$，$\fbox{B} = 1$，$\fbox{C} = 2$，$\fbox{D} = 2$，$\fbox{E} = 2$。（2）$y = 0$ 时 $2x + 5 = 0$，$x = -\dfrac{5}{2}$；$x = 0$ 时 $y = \dfrac{5}{2}$。所以 $\fbox{F} = 5$，$\fbox{G} = 2$，$\fbox{H} = 5$，$\fbox{I} = 2$。（3）先求交点：$2x + 5 = (x + 4)(x + 2)$，$x^2 + 4x + 3 = 0$，$x = -1, -3$。移项通分：$f(x) - (x + 4) = \dfrac{2x + 5 - (x + 4)(x + 2)}{x + 2} = \dfrac{-(x + 1)(x + 3)}{x + 2} \geqq 0$，即 $\dfrac{(x + 1)(x + 3)}{x + 2} \leqq 0$。分界点 $-3$、$-2$、$-1$，右起符号 $+$、$-$、$+$、$-$，所以 $x \leqq -3$ 或 $-2 < x \leqq -1$，所以 $\fbox{J} = 3$，$\fbox{K} = 2$，$\fbox{L} = 1$。

解说　两分钟做法：先做除法化成 $\fbox{A} + \dfrac{\fbox{B}}{x + \fbox{C}}$，由分母为 $0$ 和常数项读出两条渐近线；截距令 $y = 0$、$x = 0$ 各求一个；不等式移项通分，用数轴定符号，最后检查 $x = -2$ 不在定义域里。也可从图上看：曲线在渐近线左侧的那支，$x \leqq -3$ 时在直线上方；右侧那支，$-2 < x \leqq -1$ 时在直线上方。空格判断：$\fbox{B} = 1$，系数 $1$ 也要填；$\fbox{D} = 2$，题干已经写出负号；$\fbox{K} = 2$ 对应 $x = -2$，它不在定义域里，所以是 $<$ 而不是 $\leqq$。

問題 2　（無理関数）

関数 $f(x) = \sqrt{2x + 4}$ について考える。

(1) $y = f(x)$ のグラフは，$y = \sqrt{2x}$ のグラフを $x$ 軸方向に $-\fbox{A}$ だけ平行移動したものである。$f(x)$ の定義域は $x \geqq -\fbox{A}$，値域は $y \geqq \fbox{B}$ である。

(2) 不等式 $\sqrt{2x + 4} > x + 2$ の解は $-\fbox{C} < x < \fbox{D}$ である。

(3) 点 $(-3, 0)$ を通り傾きが $m$ の直線を $\ell$ とする。$\ell$ と曲線 $y = f(x)$ が異なる 2 点で交わるような $m$ の値の範囲は

$$\fbox{E} < m < \frac{\sqrt{\fbox{F}}}{\fbox{G}}$$

である。また，$m = \dfrac{\sqrt{\fbox{F}}}{\fbox{G}}$ のとき，$\ell$ と曲線 $y = f(x)$ の接点の座標は $\left(-\fbox{H}, \sqrt{\fbox{I}}\right)$ である。

解答　(1) $\sqrt{2x + 4} = \sqrt{2(x + 2)}$ であるから，グラフは $y = \sqrt{2x}$ を $x$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動したものである。定義域は $x \geqq -2$，値域は $y \geqq 0$ である。よって $\fbox{A} = 2$，$\fbox{B} = 0$。

(2) 直線 $y = x + 2$ は曲線の端点 $(-2, 0)$ を通る。$2x + 4 = (x + 2)^2$ より $x^2 + 2x = 0$，$x = 0, -2$ で，交点 $(-2, 0)$，$(0, 2)$ はともに上半分（$x + 2 \geqq 0$）にある。2 つの交点の間で曲線は直線の上側にあり，両端で等しいから，解は $-2 < x < 0$ である。よって $\fbox{C} = 2$，$\fbox{D} = 0$。

(3) $\ell$：$y = m(x + 3)$ である。$m < 0$ のとき，$x \geqq -2$ で $\ell$ は $x$ 軸の下側にあり，共有点はない。$m = 0$ のときは端点 $(-2, 0)$ のみで交わる。$m > 0$ のとき，$2x + 4 = m^2(x + 3)^2$ より $m^2 x^2 + (6m^2 - 2)x + 9m^2 - 4 = 0$。 判別式 $\dfrac{D}{4} = (3m^2 - 1)^2 - m^2(9m^2 - 4) = 1 - 2m^2$。$D > 0$ すなわち $m^2 < \dfrac{1}{2}$ より $0 < m < \dfrac{\sqrt{2}}{2}$。このとき 2 つの解はともに $x \geqq -2$ を満たす（平方した方程式から $2x + 4 = m^2(x + 3)^2 \geqq 0$）。また $m > 0$，$x + 3 > 0$ より $m(x + 3) > 0$ で，2 点とも上半分にある。よって $\fbox{E} = 0$，$\fbox{F} = 2$，$\fbox{G} = 2$。

$m = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ のとき $m^2 = \dfrac{1}{2}$ で，方程式は $\dfrac{1}{2}x^2 + x + \dfrac{1}{2} = 0$，$(x + 1)^2 = 0$，$x = -1$，$y = \sqrt{2}$ である。接点は $(-1, \sqrt{2})$ である。よって $\fbox{H} = 1$，$\fbox{I} = 2$。

中文翻译　题目：考虑函数 $f(x) = \sqrt{2x + 4}$。（1）$y = f(x)$ 的图像是把 $y = \sqrt{2x}$ 的图像沿 $x$ 轴方向平移 $-\fbox{A}$ 得到的。$f(x)$ 的定义域是 $x \geqq -\fbox{A}$，值域是 $y \geqq \fbox{B}$。（2）不等式 $\sqrt{2x + 4} > x + 2$ 的解是 $-\fbox{C} < x < \fbox{D}$。（3）过点 $(-3, 0)$、斜率为 $m$ 的直线记为 $\ell$。$\ell$ 与曲线 $y = f(x)$ 交于两个不同点的 $m$ 的范围是 $\fbox{E} < m < \dfrac{\sqrt{\fbox{F}}}{\fbox{G}}$。$m = \dfrac{\sqrt{\fbox{F}}}{\fbox{G}}$ 时，$\ell$ 与曲线的切点坐标是 $\left(-\fbox{H}, \sqrt{\fbox{I}}\right)$。解答：（1）$\sqrt{2x + 4} = \sqrt{2(x + 2)}$，所以是把 $y = \sqrt{2x}$ 沿 $x$ 轴方向平移 $-2$ 得到的。定义域 $x \geqq -2$，值域 $y \geqq 0$，所以 $\fbox{A} = 2$，$\fbox{B} = 0$。（2）直线 $y = x + 2$ 经过曲线的端点 $(-2, 0)$。由 $2x + 4 = (x + 2)^2$ 得 $x^2 + 2x = 0$，$x = 0, -2$，交点 $(-2, 0)$、$(0, 2)$ 都在上半支（$x + 2 \geqq 0$）。两交点之间曲线在直线上方，两端点处相等，所以解是 $-2 < x < 0$，即 $\fbox{C} = 2$，$\fbox{D} = 0$。（3）$\ell$：$y = m(x + 3)$。$m < 0$ 时，$x \geqq -2$ 上 $\ell$ 在 $x$ 轴下方，无公共点；$m = 0$ 时只交于端点 $(-2, 0)$。$m > 0$ 时，由 $2x + 4 = m^2(x + 3)^2$ 得 $m^2 x^2 + (6m^2 - 2)x + 9m^2 - 4 = 0$。判别式 $\dfrac{D}{4} = (3m^2 - 1)^2 - m^2(9m^2 - 4) = 1 - 2m^2$。$D > 0$ 即 $m^2 < \dfrac{1}{2}$，$0 < m < \dfrac{\sqrt{2}}{2}$。此时两个根都满足 $x \geqq -2$（平方后的方程保证 $2x + 4 = m^2(x + 3)^2 \geqq 0$），又 $m > 0$、$x + 3 > 0$，所以 $m(x + 3) > 0$，都在上半支上。所以 $\fbox{E} = 0$，$\fbox{F} = 2$，$\fbox{G} = 2$。$m = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 时 $m^2 = \dfrac{1}{2}$，方程变为 $\dfrac{1}{2}x^2 + x + \dfrac{1}{2} = 0$，$(x + 1)^2 = 0$，$x = -1$，$y = \sqrt{2}$，切点 $(-1, \sqrt{2})$，即 $\fbox{H} = 1$，$\fbox{I} = 2$。

解说　两分钟做法：根号内提出 $2$ 看平移量；方程式平方后定交点；含参数直线先看斜率的正负，再用判别式找相切，切点要确认在上半支。空格判断：$\fbox{A} = 2$，第二次出现时不再填；$\fbox{B} = 0$；$\fbox{C} = 2$，端点 $x = -2$ 时两边都是 $0$，不满足 $>$；$\fbox{D} = 0$；$\fbox{E} = 0$；$\fbox{F} = 2$，$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ 要有理化成 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$；$\fbox{G} = 2$；$\fbox{H} = 1$；$\fbox{I} = 2$。

問題 3　（逆関数・合成関数）

関数 $f(x) = x^2 - 4x + 6$ $(x \geqq 2)$，$g(x) = 2x - 3$ について考える。

(1) $f(x)$ の値域は $y \geqq \fbox{A}$ である。$f(x)$ の逆関数は

$$f^{-1}(x) = \fbox{B} + \sqrt{x - \fbox{C}} \quad (x \geqq \fbox{D})$$

である。

(2) $y = f(x)$ のグラフと $y = f^{-1}(x)$ のグラフの共有点の座標は $(\fbox{E}, \fbox{E})$，$(\fbox{F}, \fbox{F})$ である。ただし，$\fbox{E} < \fbox{F}$ とする。

(3) 合成関数 $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ は

$$(f \circ g)(x) = \fbox{G}\,x^2 - \fbox{HI}\,x + \fbox{JK}$$

であり，その定義域は $x \geqq \dfrac{\fbox{L}}{\fbox{M}}$ である。また，$(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ を満たす $x$ は $x = \fbox{N}$ である。

解答　(1) $f(x) = (x - 2)^2 + 2$ で，$x \geqq 2$ において増加するから，値域は $y \geqq 2$ である。$(x - 2)^2 = y - 2$ より，$x \geqq 2$ では正の平方根をとって $x = 2 + \sqrt{y - 2}$。$x$ と $y$ を入れかえて $f^{-1}(x) = 2 + \sqrt{x - 2}$（$x \geqq 2$）である。よって $\fbox{A} = 2$，$\fbox{B} = 2$，$\fbox{C} = 2$，$\fbox{D} = 2$。

(2) $f$ は増加するから，共有点は直線 $y = x$ 上にある。$x^2 - 4x + 6 = x$ より $x^2 - 5x + 6 = 0$，$x = 2, 3$ で，いずれも $x \geqq 2$ を満たす。共有点は $(2, 2)$，$(3, 3)$ である。よって $\fbox{E} = 2$，$\fbox{F} = 3$。

(3) $(f \circ g)(x) = (2x - 3)^2 - 4(2x - 3) + 6 = 4x^2 - 20x + 27$。定義域は $g(x)$ が $f$ の定義域に含まれる条件 $2x - 3 \geqq 2$ より $x \geqq \dfrac{5}{2}$ である。よって $\fbox{G} = 4$，$\fbox{HI} = 2, 0$，$\fbox{JK} = 2, 7$，$\fbox{L} = 5$，$\fbox{M} = 2$。

$(g \circ f)(x) = 2(x^2 - 4x + 6) - 3 = 2x^2 - 8x + 9$（$x \geqq 2$）。両者が等しいとき，$4x^2 - 20x + 27 = 2x^2 - 8x + 9$ より $2x^2 - 12x + 18 = 0$，$(x - 3)^2 = 0$，$x = 3$。$x = 3$ は $x \geqq \dfrac{5}{2}$ と $x \geqq 2$ を満たす。よって $\fbox{N} = 3$。

中文翻译　题目：考虑函数 $f(x) = x^2 - 4x + 6$（$x \geqq 2$）和 $g(x) = 2x - 3$。（1）$f(x)$ 的值域是 $y \geqq \fbox{A}$，$f(x)$ 的逆函数是 $f^{-1}(x) = \fbox{B} + \sqrt{x - \fbox{C}}$（$x \geqq \fbox{D}$）。（2）$y = f(x)$ 与 $y = f^{-1}(x)$ 图像的公共点坐标是 $(\fbox{E}, \fbox{E})$、$(\fbox{F}, \fbox{F})$，其中 $\fbox{E} < \fbox{F}$。（3）合成函数 $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ 是 $\fbox{G}\,x^2 - \fbox{HI}\,x + \fbox{JK}$，定义域是 $x \geqq \dfrac{\fbox{L}}{\fbox{M}}$。满足 $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ 的 $x$ 是 $x = \fbox{N}$。解答：（1）$f(x) = (x - 2)^2 + 2$，在 $x \geqq 2$ 上递增，值域 $y \geqq 2$。由 $(x - 2)^2 = y - 2$，$x \geqq 2$ 取正根：$x = 2 + \sqrt{y - 2}$。互换：$f^{-1}(x) = 2 + \sqrt{x - 2}$（$x \geqq 2$），所以 $\fbox{A} = 2$，$\fbox{B} = 2$，$\fbox{C} = 2$，$\fbox{D} = 2$。（2）$f$ 递增，公共点在 $y = x$ 上：$x^2 - 4x + 6 = x$，$x^2 - 5x + 6 = 0$，$x = 2, 3$，都满足 $x \geqq 2$。公共点 $(2, 2)$、$(3, 3)$，所以 $\fbox{E} = 2$，$\fbox{F} = 3$。（3）$(f \circ g)(x) = (2x - 3)^2 - 4(2x - 3) + 6 = 4x^2 - 20x + 27$。定义域：$g(x)$ 要在 $f$ 的定义域里，$2x - 3 \geqq 2$，$x \geqq \dfrac{5}{2}$，所以 $\fbox{G} = 4$，$\fbox{HI} = 2, 0$，$\fbox{JK} = 2, 7$，$\fbox{L} = 5$，$\fbox{M} = 2$。$(g \circ f)(x) = 2(x^2 - 4x + 6) - 3 = 2x^2 - 8x + 9$（$x \geqq 2$）。两者相等：$4x^2 - 20x + 27 = 2x^2 - 8x + 9$，$2x^2 - 12x + 18 = 0$，$(x - 3)^2 = 0$，$x = 3$。$x = 3$ 满足 $x \geqq \dfrac{5}{2}$ 和 $x \geqq 2$，所以 $\fbox{N} = 3$。

解说　两分钟做法：限定定义域的二次函数先配方，看对称轴定根号前的符号；与逆函数的交点用 $y = x$；合成函数的定义域看内层值是否落在外层定义域里。空格判断：$\fbox{A} = 2$；$\fbox{B} = 2$；$\fbox{C} = 2$；$\fbox{D} = 2$ 来自 $f$ 的值域；$\fbox{E} = 2$，$\fbox{F} = 3$；$\fbox{G} = 4$；$\fbox{HI} = 2, 0$，题干已写出负号；$\fbox{JK} = 2, 7$；$\fbox{L} = 5$，$\fbox{M} = 2$；$\fbox{N} = 3$，要确认在两个合成函数的定义域里。验算：$(f \circ g)(3) = f(3) = 3$，$(g \circ f)(3) = g(3) = 3$。

19.7 术语与题干用语

日文	读音	中文	例句或说明
関数	かんすう	函数
分数関数	ぶんすうかんすう	分式函数	「分数関数 $y = \dfrac{2x + 5}{x + 2}$」
無理関数	むりかんすう	无理函数（根式函数）	「無理関数 $y = \sqrt{2x + 4}$ のグラフ」
分数式	ぶんすうしき	分式
無理式	むりしき	无理式（根式）
直角双曲線	ちょっかくそうきょくせん	等轴双曲线	$y = \dfrac{k}{x}$ のグラフ
漸近線	ぜんきんせん	渐近线	「漸近線は 2 直線 $x = 2$，$y = 3$ である」
平行移動	へいこういどう	平移	「$x$ 軸方向に $p$，$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動する」
定義域	ていぎいき	定义域	「定義域は $x \neq 2$」
値域	ちいき	值域	「値域は $y \geqq 0$」
分数方程式	ぶんすうほうていしき	分式方程
分数不等式	ぶんすうふとうしき	分式不等式
無理方程式	むりほうていしき	无理方程	「無理方程式 $\sqrt{x + 2} = x$ を解け」
無理不等式	むりふとうしき	无理不等式
同値	どうち	等价	「$\sqrt{A} = B \iff A = B^2$ かつ $B \geqq 0$」を同値変形という
適する	てきする	符合（题意）	「$x = -1$ は適さない」（舍去）
逆関数	ぎゃくかんすう	反函数	「$f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求めよ」
$x$ と $y$ を入れかえる	えっくすとわいをいれかえる	互换 $x$ 与 $y$	逆関数の求め方
合成関数	ごうせいかんすう	复合函数	「$f$ と $g$ の合成関数 $g \circ f$」
単調に増加する	たんちょうにぞうかする	单调递增	「$f(x)$ は $x \geqq 2$ で単調に増加する」
単調に減少する	たんちょうにげんしょうする	单调递减
直線 $y = x$ に関して対称	ちょくせんわいいこーるえっくすにかんしてたいしょう	关于直线 $y = x$ 对称	逆関数のグラフの性質
共有点	きょうゆうてん	公共点	「共有点の座標を求めよ」
交点	こうてん	交点
接する	せっする	相切	「直線 $\ell$ が曲線に接する」
接点	せってん	切点
異なる 2 点で交わる	ことなるにてんでまじわる	交于两个不同点	「異なる 2 点で交わるような $m$ の値の範囲」
グラフの概形	ぐらふのがいけい	图像的大致形状	「グラフの概形をかけ」
〜を満たす	〜をみたす	满足……	「$(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ を満たす $x$」
〜と変形できる	〜とへんけいできる	可以变形为……	「$f(x) = 2 + \dfrac{1}{x + 2}$ と変形できる」
〜の値の範囲	〜のあたいのはんい	……的取值范围

19.8 自测

1. 求 $y = \dfrac{-2x + 7}{x - 3}$ 的漸近線。
2. 解不等式 $\dfrac{x + 3}{x - 1} \le x + 3$。
3. 解方程 $\sqrt{3x + 1} = x - 1$。
4. 直线 $y = x + k$ 与曲线 $y = \sqrt{x}$ 有两个不同的公共点，求 $k$ 的取值范围。
5. 求 $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$ 的逆関数。
6. 求 $f(x) = \sqrt{3x - 2}$ 的逆関数（写出定义域），并求 $y = f(x)$ 与 $y = f^{-1}(x)$ 图像的交点。
7. $f(x) = x^2 + 1$，$g(x) = \dfrac{1}{x}$。求 $(g \circ f)(x)$ 和 $(f \circ g)(x)$。
8. $f(x) = \sqrt{x}$，$g(x) = 4 - x^2$。求 $(f \circ g)(x)$ 的定义域。

答案：1. $x = 3$，$y = -2$；2. $-3 \le x < 1$ 或 $x \ge 2$；3. $x = 5$；4. $0 \le k < \dfrac{1}{4}$；5. $f^{-1}(x) = \dfrac{3x + 1}{x - 2}$；6. $f^{-1}(x) = \dfrac{x^2 + 2}{3}$（$x \ge 0$），交点 $(1, 1)$、$(2, 2)$；7. $(g \circ f)(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$，$(f \circ g)(x) = \dfrac{1}{x^2} + 1$；8. $-2 \le x \le 2$。

19.9 深入阅读

• JASSO · 日本留学試験 数学シラバス：官方出题范围原文，第 17 项「関数」列出分数関数・無理関数・逆関数・合成関数。
• 维基百科（日文）· 逆関数：逆関数的定义、存在条件和记号 f^{-1}，查日文说法时用。
• 维基百科（日文）· 写像の合成：合成 g∘f 的定义和“右边先做”的约定，以及结合律。
• GeoGebra 图形计算器：输入 (3x-4)/(x-2)、sqrt(x+1) 和 y = x + k 的滑动条，可以直接看漸近線和公共点个数怎样随 k 变化。