第 5 章 · 2次関数

项目	内容
シラバス项目	3. 2次関数（数学Ⅰ）：(1) 2次関数とグラフ（① 2次関数のグラフ ② 2次関数の最大と最小 ③ 2次関数の決定）、(2) 2次方程式と2次不等式（① 2次方程式の解 ② 2次関数のグラフと2次方程式 ③ 2次関数のグラフと2次不等式）
コース	コース1、コース2 都考
国内书对应	国内书第 4 章（三个“二次”、二次不等式、含参、恒成立）；第 5 章 5.4 节（平移、翻折、待定系数法）；第 6 章 6.3 节（二次函数在区间上的最值）
本章新内容的分量	少。概念和国内完全一样；新的是写法和题型：平行移動・対称移動的日式说法、区间动的最大最小和它的整套分类、2次関数の決定的三种设法

二次函数国内初中、高一都学过，判别式、韦达定理、二次不等式、恒成立在国内书第 4 章已经讲透，本章不重抄。EJU 的特点是考得多而且考得“细”：2 次関数几乎每回都出现在コース1・2 共用的大问 Ⅰ 里，题目一步一步引导你配方、平移、分情况求最大最小，每一步都要填数字。丢分主要丢在三处：「x 軸方向に $-3$」的符号代错，区间动的最大最小漏掉一种情况或分界点写错，求出参数后不检查它是否落在该情况的范围里。

5.1 与国内的对照

シラバス小项目（日文原文）	国内书位置	相同 / 讲法不同 / 国内没有	本章哪节讲
(1) ① 2次関数のグラフ	国内书第 4 章 4.2 节（配方、顶点、对称轴）；第 5 章 5.4 节（平移“左加右减”、翻折）	讲法不同：日本用“x 軸方向に $p$，y 軸方向に $q$“带符号地说平移，用”把 $x$ 换成 $x - p$，$y$ 换成 $y - q$“来写；对称移動分 x 軸、y 軸、原点三种	5.2
(1) ② 2次関数の最大と最小	国内书第 6 章 6.3 节例 2（轴动、区间定）	讲法不同：国内只有“轴动区间定”一种；EJU 还考区间动、最小值 $m(a)$ 再求最大、由最大最小值反求参数、有条件的两变量、换元	5.3
(1) ③ 2次関数の決定	国内书第 5 章 5.4 节（“待定系数法”一行）	讲法不同：日本按条件分三种设法（標準形、一般形、分解形），EJU 题干常直接给出要设的形式	5.4
(2) ① 2次方程式の解	国内书第 4 章 4.2 节（求根公式、判别式）	相同，见国内书第 4 章。判别式记作 $D$，不写 $\Delta$	5.6 术语
(2) ② 2次関数のグラフと2次方程式	国内书第 4 章 4.2 节（交点个数、根的分布）	相同，见国内书第 4 章。题干说法见 5.6	5.5 问题 3
(2) ③ 2次関数のグラフと2次不等式	国内书第 4 章 4.3–4.5 节	相同，见国内书第 4 章	5.5 问题 3

还有几处只是说法、记号不同，概念一样，在 5.6 节列表：

• 判别式写 $D = b^2 - 4ac$；用 $b = 2b'$ 时写 $\dfrac{D}{4} = b'^2 - ac$，EJU 解答里很常见。
• 开口向上叫「下に凸」，开口向下叫「上に凸」，字面和中文的直觉正好相反。
• 范围一律写成不等式（$0 \le x \le 2$ 写作「$0 \leqq x \leqq 2$」），不用区间记号。
• 抛物线在 $x$ 轴上截得的弦长叫「x 軸から切り取る線分の長さ」，就是两根之差的绝对值 $|\alpha - \beta|$。

本章三个知识点都从“配方得标准形”出发：标准形给出顶点，平移和对称移动只是移动顶点（5.2）；最大最小看顶点（轴）和区间的位置（5.3）；决定二次函数时，知道顶点就设标准形（5.4）。

5.2 平行移動と対称移動

说明

標準形：$y = a(x - p)^2 + q$（$a \ne 0$）。它的图像是放物線（抛物线），頂点是 $(p, q)$，軸是直线 $x = p$。日本教科书说“轴是直线 $x = p$”（「軸は直線 $x = p$」），答题时也这样写。把一般形 $y = ax^2 + bx + c$ 化成标准形叫平方完成（配方），见国内书第 4 章 4.2 节。

平行移動：把图形上每一点沿 $x$ 轴方向移动 $p$、沿 $y$ 轴方向移动 $q$，日文说「$x$ 軸方向に $p$，$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動する」。$p$、$q$ 带符号：$p = -3$ 就是向左移 3，$q = -2$ 就是向下移 2。

「図形 $y = f(x)$ を $x$ 軸方向に $p$，$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した図形の方程式は

$$y - q = f(x - p)$$

である。」つまり，$x$ を $x - p$ に，$y$ を $y - q$ に置き換える（把 $x$ 换成 $x - p$，把 $y$ 换成 $y - q$）。

国内的口诀“左加右减，上加下减”说的是同一件事（国内书第 5 章 5.4 节），但 EJU 题干不说“左”“右”，只给带符号的 $p$、$q$，所以要按“把 $x$ 换成 $x - p$，$y$ 换成 $y - q$“直接代，不必先翻译成左右。

对二次函数：$y = a(x - p_0)^2 + q_0$ 平移 $(p, q)$ 后是 $y = a(x - p_0 - p)^2 + q_0 + q$。也就是

• 顶点从 $(p_0, q_0)$ 移到 $(p_0 + p, q_0 + q)$；
• $x^2$ 的系数 $a$ 不变（形状和开口不变）。

対称移動：把图形上每一点换成它关于某条直线或某一点的对称点。

对称移动	点的变化	方程的写法	$y = ax^2 + bx + c$ 变成	顶点 $(p, q)$ 变成
$x$ 軸に関して	$(x, y) \to (x, -y)$	$y$ を $-y$ に：$-y = f(x)$	$y = -ax^2 - bx - c$	$(p, -q)$，开口反向
$y$ 軸に関して	$(x, y) \to (-x, y)$	$x$ を $-x$ に：$y = f(-x)$	$y = ax^2 - bx + c$	$(-p, q)$，开口不变
原点に関して	$(x, y) \to (-x, -y)$	両方：$-y = f(-x)$	$y = -ax^2 + bx - c$	$(-p, -q)$，开口反向

记法：关于哪条轴对称，就是那条轴上的坐标不变、另一个坐标变号；关于原点就两个都变号。看系数：关于 $x$ 轴全部变号；关于 $y$ 轴只有一次项变号；关于原点除一次项外都变号。

使用场景

• 题目给出一条抛物线，说「$x$ 軸方向に $p$，$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した放物線の方程式を求めよ」：直接代换，或移动顶点。
• 题目给出移动前后两条抛物线，问「どのように平行移動したものか」：两条都配方，比较顶点。
• 题目说「$x$ 軸（$y$ 軸，原点）に関して対称移動した」：按上表变号。
• 多次移动后的结果已知，反求原来的系数（「〜したところ，放物線 $y = \cdots$ になった」）：倒着走，每一步都用反向的移动。

注意点

• 平行移動不改变 $x^2$ 的系数；两条抛物线能通过平行移動重合，当且仅当 $x^2$ 的系数相同。
• 代换是”$x \to x - p$“，不是”$x \to x + p$“：向右移（$p > 0$）时括号里是减号。
• $y$ 轴方向的移动也是代换：$y \to y - q$，整理后变成 $y = f(x - p) + q$。
• 关于 $x$ 轴、原点对称会使开口反向，$a$ 变成 $-a$；关于 $y$ 轴对称不改开口。
• 移动的顺序：几次平行移動可以合并（$p$、$q$ 分别相加）；但平行移動和对称移動一般不能交换顺序（见易错点）。
• EJU 题干常把结果写成一般形，例如「$y = \fbox{A}x^2 + \fbox{BC}x + \fbox{D}$」，用顶点法算出标准形后还要展开。

证明

结论 1：平行移動的方程。 设图形 $G$ 是 $y = f(x)$，把它平移 $(p, q)$ 得到图形 $G'$。点 $(X, Y)$ 在 $G'$ 上，当且仅当把它反向移回去的点 $(X - p, Y - q)$ 在 $G$ 上，即

$$Y - q = f(X - p).$$

（关键一步：要找的是新图形上的点满足的条件，所以从新点出发“倒退回原图形”。移动是 $+p$，倒退就是 $-p$，这就是括号里出现减号的原因。）把 $X$、$Y$ 改写成 $x$、$y$，得 $y - q = f(x - p)$。

结论 2：対称移動的方程。 同样从新图形上的点 $(X, Y)$ 出发：关于 $x$ 轴的对称点是 $(X, -Y)$，它在 $G$ 上，所以 $-Y = f(X)$；关于 $y$ 轴的对称点是 $(-X, Y)$，得 $Y = f(-X)$；关于原点的对称点是 $(-X, -Y)$，得 $-Y = f(-X)$。

结论 3：系数的变化。 以关于原点为例：$-y = a(-x)^2 + b(-x) + c = ax^2 - bx + c$，两边乘 $-1$ 得 $y = -ax^2 + bx - c$。另外两行同理。

结论 4：只看顶点就够了。 平行移動、対称移動都不改变图形的形状，抛物线移动后还是抛物线，顶点移到顶点。标准形由 $a$ 和顶点决定，所以算出新的 $a$（平移不变，关于 $x$ 轴或原点对称变号）和新顶点，就能写出新方程。

例题

例 1　（场景：给出平移量求方程）

問題　放物線 $y = x^2 - 4x + 1$ を $x$ 軸方向に $-1$，$y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動した放物線の方程式を求めよ。

解答　$x$ を $x - (-1) = x + 1$，$y$ を $y - 3$ に置き換える。 $y - 3 = (x + 1)^2 - 4(x + 1) + 1 = x^2 + 2x + 1 - 4x - 4 + 1 = x^2 - 2x - 2$。 よって $y = x^2 - 2x + 1$。

中文翻译　题目：把抛物线 $y = x^2 - 4x + 1$ 沿 $x$ 轴方向平移 $-1$、沿 $y$ 轴方向平移 $3$，求所得抛物线的方程。解答：把 $x$ 换成 $x - (-1) = x + 1$，把 $y$ 换成 $y - 3$。$y - 3 = (x + 1)^2 - 4(x + 1) + 1 = x^2 + 2x + 1 - 4x - 4 + 1 = x^2 - 2x - 2$。所以 $y = x^2 - 2x + 1$。

解说　容易卡在：$p = -1$ 时代换成 $x - 1$。$x - p$ 中 $p = -1$，得 $x + 1$。另一种解法：移动顶点。$y = x^2 - 4x + 1 = (x - 2)^2 - 3$，顶点 $(2, -3)$。平移后顶点 $(2 - 1, -3 + 3) = (1, 0)$，$a = 1$ 不变，所以 $y = (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$。原式容易配方时顶点法更快，而且不容易弄错符号；原式不是二次函数（例如三次函数、分数函数）时只能用代换法。

例 2　（场景：比较两条抛物线，求平移量）

問題　放物線 $y = 2x^2 - 8x + 9$ は，放物線 $y = 2x^2 + 4x - 1$ をどのように平行移動したものか。

解答　両方を平方完成すると $y = 2x^2 + 4x - 1 = 2(x + 1)^2 - 3$，$y = 2x^2 - 8x + 9 = 2(x - 2)^2 + 1$。 $x^2$ の係数がともに $2$ であるから，平行移動で重ねることができる。頂点は $(-1, -3)$ から $(2, 1)$ へ移るので，$x$ 軸方向に $2 - (-1) = 3$，$y$ 軸方向に $1 - (-3) = 4$ だけ平行移動すればよい。

中文翻译　题目：抛物线 $y = 2x^2 - 8x + 9$ 是把抛物线 $y = 2x^2 + 4x - 1$ 怎样平移得到的？解答：把两条都配方，得 $y = 2x^2 + 4x - 1 = 2(x + 1)^2 - 3$，$y = 2x^2 - 8x + 9 = 2(x - 2)^2 + 1$。因为二次项系数都是 $2$，所以可以通过平移重合。顶点从 $(-1, -3)$ 移到 $(2, 1)$，因此沿 $x$ 轴方向平移 $2 - (-1) = 3$、沿 $y$ 轴方向平移 $1 - (-3) = 4$ 即可。

解说　两条抛物线能通过平移重合，条件是 $x^2$ 的系数相同。求平移量用顶点差，不要拿一般形式的系数直接相减；顶点法同时检验了“形状相同”这个前提。

例 3　（场景：対称移動）

問題　放物線 $y = x^2 - 6x + 5$ を $x$ 軸，$y$ 軸，原点に関してそれぞれ対称移動した放物線の方程式を求めよ。

解答　$x$ 軸に関して：$-y = x^2 - 6x + 5$ より $y = -x^2 + 6x - 5$。

$y$ 軸に関して：$y = (-x)^2 - 6(-x) + 5 = x^2 + 6x + 5$。

原点に関して：$-y = (-x)^2 - 6(-x) + 5 = x^2 + 6x + 5$ より $y = -x^2 - 6x - 5$。

中文翻译　题目：把抛物线 $y = x^2 - 6x + 5$ 分别关于 $x$ 轴、$y$ 轴、原点作对称移动，求所得抛物线的方程。解答：关于 $x$ 轴：$-y = x^2 - 6x + 5$，所以 $y = -x^2 + 6x - 5$。关于 $y$ 轴：$y = (-x)^2 - 6(-x) + 5 = x^2 + 6x + 5$。关于原点：$-y = (-x)^2 - 6(-x) + 5 = x^2 + 6x + 5$，所以 $y = -x^2 - 6x - 5$。

解说　关于 $x$ 轴把 $y$ 变号，关于 $y$ 轴把 $x$ 变号，关于原点两者都变号。用顶点验算：原式 $= (x - 3)^2 - 4$，顶点 $(3, -4)$；关于 $x$ 轴后顶点 $(3, 4)$，开口向下，$-(x - 3)^2 + 4 = -x^2 + 6x - 5$，一致。开口方向也能快速自查：关于 $x$ 轴、原点开口反向，关于 $y$ 轴开口不变。

例 4　（场景：已知移动后的结果，反求原式）

問題　放物線 $y = x^2 + bx + c$ を $x$ 軸方向に $2$，$y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動すると，放物線 $y = x^2 - 2x + 3$ になった。$b$，$c$ の値を求めよ。

解答　逆に移動する。$y = x^2 - 2x + 3$ を $x$ 軸方向に $-2$，$y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動すればもとの放物線に戻る。$x$ を $x + 2$，$y$ を $y - 1$ に置き換えると $y - 1 = (x + 2)^2 - 2(x + 2) + 3 = x^2 + 2x + 3$， よって $y = x^2 + 2x + 4$。したがって $b = 2$，$c = 4$ である。

中文翻译　题目：把抛物线 $y = x^2 + bx + c$ 沿 $x$ 轴方向平移 $2$、沿 $y$ 轴方向平移 $-1$，得到抛物线 $y = x^2 - 2x + 3$。求 $b$、$c$。解答：反向移动。把 $y = x^2 - 2x + 3$ 沿 $x$ 轴方向平移 $-2$、沿 $y$ 轴方向平移 $1$，就回到原来的抛物线。把 $x$ 换成 $x + 2$，把 $y$ 换成 $y - 1$，得 $y - 1 = (x + 2)^2 - 2(x + 2) + 3 = x^2 + 2x + 3$，所以 $y = x^2 + 2x + 4$。因此 $b = 2$，$c = 4$。

解说　验算：$y = x^2 + 2x + 4 = (x + 1)^2 + 3$，顶点 $(-1, 3)$，平移 $(2, -1)$ 后到 $(1, 2)$，$(x - 1)^2 + 2 = x^2 - 2x + 3$，正确。容易卡在：倒着走时仍用原来的移动量 $(2, -1)$。倒退要把两个方向都变号。

常用推论

• 关于点 $(s, t)$ 的对称移動：$y = f(x)$ 变成 $2t - y = f(2s - x)$。推导：$(X, Y)$ 关于 $(s, t)$ 的对称点是 $(2s - X, 2t - Y)$，按结论 2 的方法代入。
• 关于直线 $x = s$ 的对称移動：$y = f(x)$ 变成 $y = f(2s - x)$。对抛物线来说就是顶点 $(p, q)$ 变成 $(2s - p, q)$，$a$ 不变。
• 先关于 $x$ 轴、再关于 $y$ 轴对称移动，等于关于原点对称移动。推导：$(x, y) \to (x, -y) \to (-x, -y)$。
• 两条抛物线 $y = ax^2 + \cdots$ 与 $y = a'x^2 + \cdots$ 能通过平行移動重合 $\iff a = a'$；能通过平行移動与关于 $x$ 轴的对称移動重合 $\iff a = \pm a'$。推导：见本节证明结论 4。

易错点

• 错在哪：「$x$ 軸方向に $-3$」平移 $y = x^2$，写成 $y = (x - 3)^2$。 为什么错：代换是 $x \to x - p$，$p = -3$，所以是 $x - (-3) = x + 3$。$(x - 3)^2$ 是向右移 3。 正确做法：先写”$x - p$“，再把 $p$ 连同符号代进去：$y = (x + 3)^2$。最稳的是用顶点检查：顶点应从 $(0, 0)$ 到 $(-3, 0)$。
• 错在哪：「$y$ 軸方向に 4」平移，把 $y$ 换成 $y + 4$，得 $y = f(x) - 4$。 为什么错：$y$ 方向和 $x$ 方向的规则一样，是 $y \to y - q$。向上移 4，函数值应该变大。 正确做法：$y - 4 = f(x)$，即 $y = f(x) + 4$。
• 错在哪：关于原点对称移动 $y = x^2 - 6x + 5$，只把 $x$ 换成 $-x$，得 $y = x^2 + 6x + 5$。 为什么错：那是关于 $y$ 轴的对称。关于原点要 $x$、$y$ 同时变号。 正确做法：$-y = x^2 + 6x + 5$，$y = -x^2 - 6x - 5$。检查：开口应该反向。
• 错在哪：「$x$ 軸に関して対称移動し，さらに $y$ 軸方向に 2 だけ平行移動した」，先平移再对称。 为什么错：平行移動和对称移動的顺序一般不能交换。顶点 $(1, 1)$ 先关于 $x$ 轴对称再上移 2 到 $(1, 1)$；先上移 2 再对称到 $(1, -3)$，结果不同。 正确做法：严格按题目给的顺序一步一步做，每一步都写出顶点。

直观理解

代换 $x \to x - p$ 可以这样想：新图形在 $X$ 处的高度，等于旧图形在 $X - p$ 处的高度，也就是“往回看 $p$ 那么远”。图形整体往右挪了 $p$，所以要在左边 $p$ 处找原来的值。

对抛物线来说，可以把它想成一个固定形状的“模具”：平行移動只是把模具的顶点拿到另一个位置；关于 $x$ 轴或原点对称还要把模具翻过来（开口反向）；关于 $y$ 轴对称只是左右镜像，模具不用翻。

关联知识点

• 前置：国内书第 4 章 4.2 节，配方得顶点和对称轴；国内书第 5 章 5.4 节，平移“左加右减”和翻折，本节是同一件事的日式写法。
• 国内书第 6 章 6.6 节：函数图像自身的对称和两个函数之间的对称，本节常用推论里关于直线 $x = s$、关于点的对称移動与那里一致。
• 后续：5.4 节“2次関数の決定”里，平行移動后重合的条件给出 $a$。
• 本书第 18 章 式と曲線：椭圆、双曲线也用”$x$ 换成 $x - p$，$y$ 换成 $y - q$“平移，写法完全一样。
• 本书第 13 章 三角関数、第 19 章 関数：三角函数图像的平移、分数函数 $y = \dfrac{k}{x - p} + q$ 都按本节的代换规则。

5.3 最大・最小の場合分け

说明

二次函数在区间上的最大值、最小值，国内书第 6 章 6.3 节已经讲了原理和“轴动区间定”的例子：最小值看对称轴在区间的左、中、右，最大值看哪个端点离轴远。EJU 把它做成一整套题型，按“什么在动”分成下面几类。设 $a > 0$（开口向上，日文「下に凸」），轴 $x = p$，区间 $\alpha \le x \le \beta$：

	最小值	最大值
$p < \alpha$（轴在区间左边）	$f(\alpha)$	$f(\beta)$
$\alpha \le p \le \beta$（轴在区间内）	$f(p)$（顶点的 $y$ 坐标）	比较 $p$ 与区间中点 $\dfrac{\alpha + \beta}{2}$：$p \ge \dfrac{\alpha + \beta}{2}$ 时 $f(\alpha)$，$p < \dfrac{\alpha + \beta}{2}$ 时 $f(\beta)$
$p > \beta$（轴在区间右边）	$f(\beta)$	$f(\alpha)$

$a < 0$（「上に凸」）时最大、最小两列对调。

EJU 的几类问法：

1. 軸が動く（轴含参数 $a$，区间固定）：例如 $f(x) = x^2 - 2ax + 3$，$0 \le x \le 2$。分界点是“轴碰到区间端点”的 $a$（求最大值时还有“轴碰到区间中点”）。
2. 定義域が動く（区间含参数 $t$，轴固定）：例如 $f(x) = (x - 2)^2 + 1$，$t \le x \le t + 1$。分界点是“区间端点碰到轴”的 $t$，即 $t + 1 = 2$ 和 $t = 2$；求最大值时是“区间中点碰到轴”：$t + \dfrac{1}{2} = 2$。
3. 最大値・最小値を文字の関数として扱う：先求出最小值 $m(a)$（分段），再问 $m(a)$ 的最大值、或 $m(a) = k$ 的 $a$。这时要分段处理，每段算出的 $a$ 都要检查是否在该段的范围里。
4. 条件つき：两个变量满足一次式（如 $x + 2y = 4$），求 $x^2 + y^2$ 等的最大最小。用条件消去一个变量，剩下的变量的范围由原来的条件（如 $x \ge 0$，$y \ge 0$）决定。
5. 置き換え：式子里反复出现同一块（如 $x^2 - 2x$），设 $t = x^2 - 2x$ 化成 $t$ 的二次函数。$t$ 的范围要先求出来。

EJU 答题时最小值常写成「$m(a)$」或「$m$」，分段的写法是「$a < 0$ のとき $m = \cdots$」，题目里的空格会把分界点也挖成空格（如「$a < \fbox{A}$ のとき」），所以分界点写错，后面几格全错。

使用场景

• 二次函数的系数含字母，区间固定，问最大值或最小值：軸が動く，按轴的位置分情况。
• 区间写成「$t \leqq x \leqq t + 2$」这类含字母的形式：定義域が動く，按区间相对于轴的位置分情况。
• 题目先让求最小值 $m(a)$，再问「$m(a)$ の最大値」或「最小値が $-6$ となる $a$」：分段求、分段检查。
• 两个变量满足一次关系式，求二次式的最大最小：消元，注意剩下变量的范围。
• 四次式或复合式里有反复出现的二次式：换元，先求新变量的范围。

注意点

• 分情况时各段要不重不漏地覆盖全体实数。分界点归到哪一段都可以（边界上两段的结果相等），但不能漏掉。
• 最大值不按“左、中、右”三分，而是按轴与区间中点的位置二分（开口向上时）。
• 区间动时，“区间在轴左边”写成“右端点 $< p$”，即 $t + h < p$，不是 $t < p$。
• 求出的最大最小要写出在哪个 $x$ 取到，EJU 常把“取到时的 $x$“也挖成空格。
• 换元后新变量的范围要单独求；求出 $t$ 的值后还要回到 $x$，并检查 $x$ 在原来的范围里。
• 分段函数 $m(a)$ 在分界点处是连在一起的（相邻两段在分界点的值相等），可以用来检查算得对不对。

证明

设 $f(x) = a(x - p)^2 + q$，$a > 0$。

结论 1：最小值。 在 $x \le p$ 上 $f$ 递减，在 $x \ge p$ 上 $f$ 递增（国内书第 6 章 6.2 节）。

• $p < \alpha$：区间整个在 $x \ge p$ 一侧，$f$ 在区间上递增，最小值 $f(\alpha)$。
• $p > \beta$：区间整个在 $x \le p$ 一侧，$f$ 递减，最小值 $f(\beta)$。
• $\alpha \le p \le \beta$：对区间内任意 $x$，$f(x) - f(p) = a(x - p)^2 \ge 0$，最小值 $f(p) = q$。

结论 2：最大值。 $f(x) = a(x - p)^2 + q$，$a > 0$，所以 $f(x)$ 随 $|x - p|$（$x$ 到轴的距离）增大而增大。（关键一步：把“比较函数值”换成“比较到轴的距离”，就不用管轴在区间哪里了。）区间里离轴最远的点一定是某个端点，比较 $|\alpha - p|$ 与 $|\beta - p|$：

$$|\beta - p| - |\alpha - p| \ge 0 \iff (\beta - p)^2 - (\alpha - p)^2 \ge 0 \iff (\beta - \alpha)(\beta + \alpha - 2p) \ge 0 \iff p \le \frac{\alpha + \beta}{2}.$$

所以 $p \le \dfrac{\alpha + \beta}{2}$ 时右端点 $\beta$ 离轴远（或一样远），最大值 $f(\beta)$；否则最大值 $f(\alpha)$。这一个判断已经包括了轴在区间外的情况，所以最大值只分两种。

结论 3：分段结果在分界点相等。 以最小值为例，$p = \alpha$ 时，“轴在区间内”给 $f(p) = f(\alpha)$，“轴在左边”给 $f(\alpha)$，相等。所以 $m$ 作为参数的函数是连续的，这就是注意点里那条检查方法的依据。

例题

例 1　（场景：軸が動く，开口向下）

問題　$a$ を定数とする。関数 $f(x) = -x^2 + 2ax - a$ の $0 \leqq x \leqq 2$ における最大値 $M(a)$ を求めよ。

解答　$f(x) = -(x - a)^2 + a^2 - a$ であり，グラフは上に凸で，軸は $x = a$ である。上に凸のときの最大値は，下に凸のときの最小値と同じ場合分けで求める。

(1) $a < 0$ のとき，軸は区間の左にあるから，$f$ は $0 \leqq x \leqq 2$ で減少し，$M(a) = f(0) = -a$。

(2) $0 \leqq a \leqq 2$ のとき，軸は区間内にあり，$M(a) = f(a) = a^2 - a$。

(3) $a > 2$ のとき，軸は区間の右にあるから，$f$ は増加し，$M(a) = f(2) = -4 + 4a - a = 3a - 4$。

中文翻译　题目：设 $a$ 为常数。求函数 $f(x) = -x^2 + 2ax - a$ 在 $0 \leqq x \leqq 2$ 上的最大值 $M(a)$。解答：$f(x) = -(x - a)^2 + a^2 - a$，图像开口向下，对称轴是 $x = a$。开口向下时的最大值，与开口向上时的最小值用同样的分类方法。（1）当 $a < 0$ 时，轴在区间左边，$f$ 在 $0 \leqq x \leqq 2$ 上递减，$M(a) = f(0) = -a$。（2）当 $0 \leqq a \leqq 2$ 时，轴在区间内，$M(a) = f(a) = a^2 - a$。（3）当 $a > 2$ 时，轴在区间右边，$f$ 递增，$M(a) = f(2) = -4 + 4a - a = 3a - 4$。

解说　检查分界点：$a = 0$ 时 $-a = 0$，$a^2 - a = 0$；$a = 2$ 时 $a^2 - a = 2$，$3a - 4 = 2$，两段都连上了。分情况前先画“轴在左、轴在内、轴在右”三张草图，分界点就是把轴推到区间端点的值 $a = 0$、$a = 2$。

例 2　（场景：定義域が動く）

問題　$t$ を実数とする。関数 $f(x) = x^2 - 4x + 5$ の $t \leqq x \leqq t + 1$ における最小値 $m(t)$ と最大値 $M(t)$ を求めよ。

解答　$f(x) = (x - 2)^2 + 1$ であり，軸は $x = 2$，下に凸である。

最小値は，区間と軸の位置で場合分けする。

(1) $t + 1 < 2$，すなわち $t < 1$ のとき，区間は軸の左にあり，$f$ は減少するから，最小値は右端点で $m(t) = f(t + 1) = (t - 1)^2 + 1 = t^2 - 2t + 2$。

(2) $t \leqq 2 \leqq t + 1$，すなわち $1 \leqq t \leqq 2$ のとき，軸は区間内にあり，$m(t) = f(2) = 1$。

(3) $t > 2$ のとき，区間は軸の右にあり，$f$ は増加するから，$m(t) = f(t) = t^2 - 4t + 5$。

最大値は，区間の中点 $t + \dfrac{1}{2}$ と軸 $x = 2$ の位置で場合分けする。

(4) $t + \dfrac{1}{2} \leqq 2$，すなわち $t \leqq \dfrac{3}{2}$ のとき，左端点の方が軸から遠い（または同じ距離である）から，$M(t) = f(t) = t^2 - 4t + 5$。

(5) $t > \dfrac{3}{2}$ のとき，右端点の方が軸から遠いから，$M(t) = f(t + 1) = t^2 - 2t + 2$。

中文翻译　题目：设 $t$ 为实数。求函数 $f(x) = x^2 - 4x + 5$ 在 $t \leqq x \leqq t + 1$ 上的最小值 $m(t)$ 和最大值 $M(t)$。解答：$f(x) = (x - 2)^2 + 1$，轴是 $x = 2$，开口向上。最小值按区间与轴的位置分类。（1）当 $t + 1 < 2$，即 $t < 1$ 时，区间在轴左边，$f$ 递减，最小值在右端点：$m(t) = f(t + 1) = (t - 1)^2 + 1 = t^2 - 2t + 2$。（2）当 $t \leqq 2 \leqq t + 1$，即 $1 \leqq t \leqq 2$ 时，轴在区间内，$m(t) = f(2) = 1$。（3）当 $t > 2$ 时，区间在轴右边，$f$ 递增，$m(t) = f(t) = t^2 - 4t + 5$。最大值按区间中点 $t + \dfrac{1}{2}$ 与轴 $x = 2$ 的位置分类。（4）当 $t + \dfrac{1}{2} \leqq 2$，即 $t \leqq \dfrac{3}{2}$ 时，左端点离轴更远（或一样远），$M(t) = f(t) = t^2 - 4t + 5$。（5）当 $t > \dfrac{3}{2}$ 时，右端点离轴更远，$M(t) = f(t + 1) = t^2 - 2t + 2$。

解说　检查：$t = \dfrac{3}{2}$ 时 $f\left(\dfrac{3}{2}\right) = f\left(\dfrac{5}{2}\right) = \dfrac{5}{4}$，两种写法相等。容易卡在：情况 (1) 写成”$t < 2$“。区间在轴左边要求整个区间都在左边，看的是右端点 $t + 1$。最大值只看两个端点谁离轴远，分界点是区间中点 $t + \dfrac{1}{2} = 2$，不要套用最小值的三分法。

例 3　（场景：由最小值反求参数）

問題　関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 3$ の $0 \leqq x \leqq 2$ における最小値が $-6$ であるとき，定数 $a$ の値を求めよ。

解答　$f(x) = (x - a)^2 + 3 - a^2$ であり，軸は $x = a$ である。最小値を $m$ として，各場合で $m = -6$ を解く。

(1) $a < 0$ のとき $m = f(0) = 3$ であり，$-6$ になることはない。

(2) $0 \leqq a \leqq 2$ のとき $m = f(a) = 3 - a^2$。$3 - a^2 = -6$ より $a = \pm 3$ であるが，どちらも $0 \leqq a \leqq 2$ に含まれないから不適。

(3) $a > 2$ のとき $m = f(2) = 7 - 4a$。$7 - 4a = -6$ より $a = \dfrac{13}{4}$ であり，これは $a > 2$ を満たす。

よって $a = \dfrac{13}{4}$ である。

中文翻译　题目：当函数 $f(x) = x^2 - 2ax + 3$ 在 $0 \leqq x \leqq 2$ 上的最小值为 $-6$ 时，求常数 $a$ 的值。解答：$f(x) = (x - a)^2 + 3 - a^2$，轴是 $x = a$。设最小值为 $m$，在各段解 $m = -6$。（1）当 $a < 0$ 时，$m = f(0) = 3$，不可能等于 $-6$。（2）当 $0 \leqq a \leqq 2$ 时，$m = f(a) = 3 - a^2$。由 $3 - a^2 = -6$ 得 $a = \pm 3$，但都不在 $0 \leqq a \leqq 2$ 内，舍去。（3）当 $a > 2$ 时，$m = f(2) = 7 - 4a$。由 $7 - 4a = -6$ 得 $a = \dfrac{13}{4}$，满足 $a > 2$。所以 $a = \dfrac{13}{4}$。

解说　容易卡在：在第 (2) 段解出 $a = 3$ 就停下。$a = 3$ 时轴不在区间里，最小值不是 $3 - a^2$，这个解是假的。每一段解出的 $a$ 都要和该段的条件取交集，留下的才是答案。

例 4　（场景：条件つき最大最小）

問題　実数 $x$，$y$ が $x \geqq 0$，$y \geqq 0$，$x + 2y = 4$ を満たす。$x^2 + y^2$ の最小値と最大値，およびそれぞれのときの $x$，$y$ の値を求めよ。

解答　$x = 4 - 2y$ である。$x \geqq 0$ より $y \leqq 2$ であり，$y \geqq 0$ と合わせて $0 \leqq y \leqq 2$ である。 $x^2 + y^2 = (4 - 2y)^2 + y^2 = 5y^2 - 16y + 16 = 5\left(y - \dfrac{8}{5}\right)^2 + \dfrac{16}{5}$。 軸 $y = \dfrac{8}{5}$ は $0 \leqq y \leqq 2$ の中にあるから，最小値は $\dfrac{16}{5}$ で，このとき $y = \dfrac{8}{5}$，$x = 4 - \dfrac{16}{5} = \dfrac{4}{5}$ である。 最大値は端点で調べる。$y = 0$ のとき $16$，$y = 2$ のとき $5 \times 4 - 32 + 16 = 4$ であるから，最大値は $16$ で，このとき $x = 4$，$y = 0$ である。

中文翻译　题目：实数 $x$、$y$ 满足 $x \geqq 0$，$y \geqq 0$，$x + 2y = 4$。求 $x^2 + y^2$ 的最小值和最大值，以及取到时的 $x$、$y$。解答：$x = 4 - 2y$。由 $x \geqq 0$ 得 $y \leqq 2$，又 $y \geqq 0$，所以 $0 \leqq y \leqq 2$。$x^2 + y^2 = (4 - 2y)^2 + y^2 = 5y^2 - 16y + 16 = 5\left(y - \dfrac{8}{5}\right)^2 + \dfrac{16}{5}$。轴 $y = \dfrac{8}{5}$ 在 $0 \leqq y \leqq 2$ 内，所以最小值是 $\dfrac{16}{5}$，此时 $y = \dfrac{8}{5}$，$x = 4 - \dfrac{16}{5} = \dfrac{4}{5}$。最大值在端点检验：$y = 0$ 时为 $16$，$y = 2$ 时为 $5 \times 4 - 32 + 16 = 4$，所以最大值是 $16$，此时 $x = 4$，$y = 0$。

解说　容易卡在：消元后忘记 $y$ 的范围，把 $y$ 当成任意实数，得出“没有最大值”。另一种解法：几何意义。$x^2 + y^2$ 是点 $(x, y)$ 到原点距离的平方，点在线段 $x + 2y = 4$（$x \geqq 0$，$y \geqq 0$）上。最小值是原点到直线距离的平方：$\left(\dfrac{4}{\sqrt{1 + 4}}\right)^2 = \dfrac{16}{5}$；最大值在线段端点 $(4, 0)$、$(0, 2)$ 中离原点远的 $(4, 0)$，为 $16$。几何法求最小值快，但要知道点到直线的距离公式（本书第 11 章、国内书第 28 章），而且垂足要在线段上；EJU 誘導多半让你走消元配方这条路，空格是按消元的步骤挖的。

例 5　（场景：置き換え）

問題　$y = (x^2 - 2x)^2 - 4(x^2 - 2x) + 1$（$0 \leqq x \leqq 3$）の最大値と最小値を求めよ。

解答　$t = x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1$ とおく。$0 \leqq x \leqq 3$ のとき $(x - 1)^2$ の範囲は $0 \leqq (x - 1)^2 \leqq 4$ であるから，$-1 \leqq t \leqq 3$ である。 $y = t^2 - 4t + 1 = (t - 2)^2 - 3$（$-1 \leqq t \leqq 3$）。

最小値：軸 $t = 2$ は範囲内にあるから，最小値は $-3$。このとき $x^2 - 2x = 2$，すなわち $x = 1 \pm \sqrt{3}$ であり，$0 \leqq x \leqq 3$ に含まれるのは $x = 1 + \sqrt{3}$ だけである。

最大値：$t = -1$ のとき $1 + 4 + 1 = 6$，$t = 3$ のとき $9 - 12 + 1 = -2$ であるから，最大値は $6$。このとき $t = -1$，すなわち $x = 1$ である。

中文翻译　题目：求 $y = (x^2 - 2x)^2 - 4(x^2 - 2x) + 1$（$0 \leqq x \leqq 3$）的最大值和最小值。解答：令 $t = x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1$。当 $0 \leqq x \leqq 3$ 时，$(x - 1)^2$ 的范围是 $0 \leqq (x - 1)^2 \leqq 4$，所以 $-1 \leqq t \leqq 3$。$y = t^2 - 4t + 1 = (t - 2)^2 - 3$（$-1 \leqq t \leqq 3$）。最小值：轴 $t = 2$ 在范围内，所以最小值是 $-3$。此时 $x^2 - 2x = 2$，即 $x = 1 \pm \sqrt{3}$，其中在 $0 \leqq x \leqq 3$ 内的只有 $x = 1 + \sqrt{3}$。最大值：$t = -1$ 时为 $1 + 4 + 1 = 6$，$t = 3$ 时为 $9 - 12 + 1 = -2$，所以最大值是 $6$。此时 $t = -1$，即 $x = 1$。

解说　容易卡在：$t$ 的范围写成 $t \geqq -1$（忘了 $x \leqq 3$），或者把 $x = 1 - \sqrt{3}$ 也算进去。换元的第一步一定是写出新变量的范围；求出 $t$ 后再回到 $x$ 时，解出的每个 $x$ 都要对照原范围取舍。

常用推论

• 区间动的分界点（开口向上，轴 $x = p$，区间 $t \le x \le t + h$）：最小值的分界点是 $t = p - h$ 和 $t = p$；最大值的分界点是 $t = p - \dfrac{h}{2}$。推导：分别是“右端碰轴”“左端碰轴”“中点碰轴”，见本节证明结论 1、2。
• 轴动的分界点（轴 $x = a$，区间 $\alpha \le x \le \beta$）：最小值分界点 $a = \alpha$、$a = \beta$；最大值分界点 $a = \dfrac{\alpha + \beta}{2}$。
• 区间上 $f(x) > 0$ 恒成立 $\iff$ 最小值 $> 0$。这是国内书第 4 章 4.5 节的结论，EJU 用“最小值 $m(a) > 0$“分段解，见 5.5 节问题 3。
• 开口向上的二次函数在区间两端点的值相等时，轴正好在区间中点。推导：$f(\alpha) = f(\beta)$ 且 $\alpha \ne \beta$ 时，$a(\alpha - p)^2 = a(\beta - p)^2$，得 $p = \dfrac{\alpha + \beta}{2}$。

易错点

• 错在哪：例 2 的最小值写成 “$t < 2$ 时 $m = f(t + 1)$”。 为什么错：$1 \le t < 2$ 时区间 $t \le x \le t + 1$ 已经盖住了轴 $x = 2$，最小值是顶点的值 1，不是右端点的值。 正确做法：区间在轴左边的条件是右端点 $t + 1 < 2$。每段写之前先画区间和轴的草图。
• 错在哪：开口向上时最大值也按“轴在左、中、右”分三种。 为什么错：最大值总在端点，只取决于哪个端点离轴远，分界点是区间中点，三分法会把“轴在区间内”一段算错。 正确做法：最大值按“轴在区间中点的左边还是右边”分两种（见证明结论 2）。
• 错在哪：例 3 中由 $3 - a^2 = -6$ 得 $a = \pm 3$，直接作答。 为什么错：$3 - a^2$ 是”$0 \le a \le 2$“这一段的最小值公式，$a = \pm 3$ 不在这一段，公式对它不成立。 正确做法：每一段解出的 $a$ 都和该段的条件取交集，留下的才是答案。
• 错在哪：换元 $t = x^2 - 2x$ 后，把 $t$ 当成任意实数求 $y = (t - 2)^2 - 3$ 的最大最小。 为什么错：$t$ 由 $x$ 决定，取不到所有实数；定义域变了，最值也变了。 正确做法：换元的第一步写出新变量的范围，再在这个范围里求最值。

直观理解

轴动和区间动是同一件事的两种看法：抛物线和区间的相对位置在变。“区间动”就像拿一个宽度固定的窗口沿 $x$ 轴滑过一只碗：窗口在碗的左坡，最低点在窗口右边缘；窗口盖住碗底，最低点就是碗底；窗口到了右坡，最低点在左边缘。

把最小值 $m(t)$ 画成 $t$ 的函数，三段连成一条平滑的曲线，中间有一段平台（窗口盖住碗底时最小值不变）。EJU 问”$m(t)$ 的最小值”“$m(t) = k$ 的 $t$“时，看这张图就知道答案在哪一段。

关联知识点

• 前置：国内书第 6 章 6.3 节例 2，轴动区间定的最小值和最大值，本节的情况 1 与之相同；国内书第 6 章 6.2 节，二次函数在轴两侧的单调性。
• 国内书第 4 章 4.5 节：恒成立与有解问题，在区间上转化为最大最小值。
• 常一起考：本书第 11 章 図形と方程式，用领域和几何意义求最大最小（例 4 的另一种解法）。
• 后续：本书第 12 章 指数関数・対数関数（设 $t = 2^x$）、第 13 章 三角関数（设 $t = \sin\theta$）都把问题换元成二次函数在区间上的最大最小，换元后的范围是关键。
• 后续：本书第 21 章 微分法，三次函数在区间上的最大最小同样按“极值点在不在区间里”分情况。

5.4 2次関数の決定

说明

“决定二次函数”就是由条件求出 $y = ax^2 + bx + c$ 的系数。二次函数有 3 个系数，一般需要 3 个独立的条件。日本教科书按条件的类型给出三种设法：

已知条件	设成	待求
顶点 $(p, q)$，或轴 $x = p$，或最大值、最小值	標準形 $y = a(x - p)^2 + q$	$a$（和未知的 $p$ 或 $q$）
图像经过的 3 个点	一般形 $y = ax^2 + bx + c$	$a, b, c$，解三元一次方程组
与 $x$ 轴的交点 $(\alpha, 0)$、$(\beta, 0)$	分解形（因数分解形）$y = a(x - \alpha)(x - \beta)$	$a$

再加上几种常见的“变形条件”：

• 「$x = 3$ で最大値 7 をとる」：顶点 $(3, 7)$，并且 $a < 0$。
• 「$x$ 軸に接する」：顶点在 $x$ 轴上，$q = 0$，即 $y = a(x - p)^2$；也可以说判别式 $D = 0$。
• 「放物線 $y = 2x^2$ を平行移動したもので」：$a = 2$（5.2 节）。
• 「軸が直線 $x = 1$」：$p = 1$。

国内书第 5 章 5.4 节只用一句“待定系数法：设出一般式，按条件列方程”带过。EJU 的题干通常一句话里给出顶点或交点，按上表选对形式，未知数从 3 个降到 1 个，计算量差很多。

使用场景

• 题目给出顶点或轴，再给一个点：设標準形，只剩 $a$。
• 题目给出图像经过的三个点，没有顶点、交点信息：设一般形，代入三点解方程组。
• 题目给出与 $x$ 轴的两个交点（或”$x$ 轴上截得的点”），再给一个点：设分解形。
• 题目给出最大值或最小值以及在哪个 $x$ 取到，再给一个点：设標準形，最后检查 $a$ 的符号。
• 题目说「$x$ 軸に接し」，再给两个点：设 $y = a(x - p)^2$，两个未知数 $a$、$p$。

注意点

• 三点中有两点的 $y$ 坐标相等时，轴就是这两点横坐标的中点，可以先求轴再设標準形。
• 「最大値をとる」意味着 $a < 0$，「最小値をとる」意味着 $a > 0$，求出 $a$ 后要检查。
• 三个点在同一条直线上时，解出 $a = 0$，不是二次函数，此时“这样的二次函数不存在”。
• 「$x$ 軸に接する」的题常有两组解，因为 $(x - p)^2$ 两边开方时有 $\pm$。
• EJU 的答案多写成一般形「$y = \fbox{A}x^2 - \fbox{B}x + \fbox{C}$」，用標準形或分解形求出后要展开。

证明

结论 1：过三点的二次函数至多一个。 设 $f(x)$、$g(x)$ 都是次数不超过 2 的多项式，在三个不同的 $x_1, x_2, x_3$ 处取值相同。则 $h(x) = f(x) - g(x)$ 次数不超过 2，却有三个根 $x_1, x_2, x_3$。由因数定理（本书第 10 章），$h(x) = k(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$，次数不超过 2 迫使 $k = 0$，所以 $f = g$。（关键一步：非零的二次以下多项式最多有两个根。）

结论 2：过三点的二次函数存在的条件。 三点横坐标互不相同时，方程组

$$\begin{cases} a x_1^2 + b x_1 + c = y_1, \\ a x_2^2 + b x_2 + c = y_2, \\ a x_3^2 + b x_3 + c = y_3 \end{cases}$$

总有唯一解（高中阶段用消元法实际解出来即可；一般的证明要用到大学线性代数里的范德蒙德行列式不为 0）。解出的 $a$ 不为 0 时才是二次函数；$a = 0$ 恰好对应三点共线。

结论 3：分解形。 二次函数与 $x$ 轴交于 $(\alpha, 0)$、$(\beta, 0)$，即 $\alpha$、$\beta$ 是 $ax^2 + bx + c = 0$ 的两根。由韦达定理（国内书第 4 章 4.2 节），$ax^2 + bx + c = a\left(x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta\right) = a(x - \alpha)(x - \beta)$。

例题

例 1　（场景：顶点和一个点）

問題　頂点が $(1, -2)$ で，点 $(3, 6)$ を通る $2$ 次関数を求めよ。

解答　$y = a(x - 1)^2 - 2$ とおく。$(3, 6)$ を代入すると $6 = 4a - 2$ より $a = 2$。よって $y = 2(x - 1)^2 - 2 = 2x^2 - 4x$。

中文翻译　题目：求顶点为 $(1, -2)$、经过点 $(3, 6)$ 的二次函数。解答：设 $y = a(x - 1)^2 - 2$。代入 $(3, 6)$，得 $6 = 4a - 2$，所以 $a = 2$。因此 $y = 2(x - 1)^2 - 2 = 2x^2 - 4x$。

解说　已知顶点就直接设顶点式，只剩 $a$ 一个未知数；比设一般形再解三元方程组快。最后按题目要求展开成一般形或保留顶点式。

例 2　（场景：三个点）

問題　$3$ 点 $(-1, 6)$，$(1, 0)$，$(2, 3)$ を通る $2$ 次関数を求めよ。

解答　$y = ax^2 + bx + c$ とおき，$3$ 点を代入すると $\begin{cases} a - b + c = 6, & ① \\ a + b + c = 0, & ② \\ 4a + 2b + c = 3. & ③ \end{cases}$ ② $-$ ① より $2b = -6$，$b = -3$。② に代入して $a + c = 3$。③ に $b = -3$ を代入して $4a + c = 9$。この $2$ 式を辺々引くと $3a = 6$，$a = 2$，$c = 1$。 よって $y = 2x^2 - 3x + 1$ である。

中文翻译　题目：求经过三点 $(-1, 6)$、$(1, 0)$、$(2, 3)$ 的二次函数。解答：设 $y = ax^2 + bx + c$，代入三点得 $\begin{cases} a - b + c = 6, & ① \\ a + b + c = 0, & ② \\ 4a + 2b + c = 3. & ③ \end{cases}$。② $-$ ① 得 $2b = -6$，$b = -3$。代入 ② 得 $a + c = 3$。把 $b = -3$ 代入 ③ 得 $4a + c = 9$。两式相减得 $3a = 6$，$a = 2$，$c = 1$。所以 $y = 2x^2 - 3x + 1$。

解说　验算：$x = 2$ 时 $8 - 6 + 1 = 3$，正确。容易卡在：三元方程组一次消两个未知数，算乱。先用两个 $x$ 互为相反数的点（这里是 $\pm 1$）相减，立刻得到 $b$；再代回消去 $b$，就只剩 $a$、$c$ 的二元方程组。

例 3　（场景：与 $x$ 轴的两个交点）

問題　グラフが $x$ 軸と $(-1, 0)$，$(3, 0)$ で交わり，点 $(1, 8)$ を通る $2$ 次関数を求めよ。

解答　$y = a(x + 1)(x - 3)$ とおく。$(1, 8)$ を代入すると $8 = a \times 2 \times (-2) = -4a$ より $a = -2$。よって $y = -2(x + 1)(x - 3) = -2x^2 + 4x + 6$。

中文翻译　题目：求图像与 $x$ 轴交于 $(-1, 0)$、$(3, 0)$，并经过点 $(1, 8)$ 的二次函数。解答：设 $y = a(x + 1)(x - 3)$。代入 $(1, 8)$，得 $8 = a \times 2 \times (-2) = -4a$，所以 $a = -2$。因此 $y = -2(x + 1)(x - 3) = -2x^2 + 4x + 6$。

解说　另一种解法：两个交点的中点是 $x = 1$，这就是轴；点 $(1, 8)$ 正好在轴上，所以是顶点。设 $y = a(x - 1)^2 + 8$，代入 $(3, 0)$：$4a + 8 = 0$，$a = -2$，$y = -2(x - 1)^2 + 8 = -2x^2 + 4x + 6$。已知点恰好在轴上时，用顶点更直观，还能直接读出最大值 $8$；一般情况下分解形只有一个未知数，最省事。

例 4　（场景：最大值和一个点）

問題　$x = 3$ で最大値 $7$ をとり，点 $(1, -1)$ を通る $2$ 次関数を求めよ。

解答　頂点は $(3, 7)$ であるから，$y = a(x - 3)^2 + 7$ とおく。$(1, -1)$ を代入すると $-1 = 4a + 7$ より $a = -2$。$a < 0$ であるから，確かに $x = 3$ で最大値をとる。よって $y = -2(x - 3)^2 + 7 = -2x^2 + 12x - 11$。

中文翻译　题目：求在 $x = 3$ 时取最大值 $7$、且经过点 $(1, -1)$ 的二次函数。解答：顶点是 $(3, 7)$，设 $y = a(x - 3)^2 + 7$。代入 $(1, -1)$，得 $-1 = 4a + 7$，所以 $a = -2$。因为 $a < 0$，确实在 $x = 3$ 取最大值。因此 $y = -2(x - 3)^2 + 7 = -2x^2 + 12x - 11$。

解说　用“最大值”“最小值”设顶点式后，求出 $a$ 一定要检查符号：本题必须 $a < 0$，若算出 $a > 0$，则 $x = 3$ 处是最小值，与题目矛盾，说明这样的二次函数不存在。

例 5　（场景：与 $x$ 轴相切）

問題　グラフが $x$ 軸に接し，$2$ 点 $(0, 4)$，$(3, 1)$ を通る $2$ 次関数を求めよ。

解答　$x$ 軸に接するから，頂点は $x$ 軸上にあり，$y = a(x - p)^2$ とおける。$2$ 点を代入すると $ap^2 = 4$，$a(3 - p)^2 = 1$。 辺々を割ると $\dfrac{(3 - p)^2}{p^2} = \dfrac{1}{4}$，すなわち $\dfrac{3 - p}{p} = \pm\dfrac{1}{2}$ である。

$\dfrac{3 - p}{p} = \dfrac{1}{2}$ のとき，$6 - 2p = p$ より $p = 2$，$a = 1$。よって $y = (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$。

$\dfrac{3 - p}{p} = -\dfrac{1}{2}$ のとき，$6 - 2p = -p$ より $p = 6$，$a = \dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9}$。よって $y = \dfrac{1}{9}(x - 6)^2 = \dfrac{1}{9}x^2 - \dfrac{4}{3}x + 4$。

以上より，求める $2$ 次関数は $y = x^2 - 4x + 4$ と $y = \dfrac{1}{9}x^2 - \dfrac{4}{3}x + 4$ の $2$ つである。

中文翻译　题目：求图像与 $x$ 轴相切、经过两点 $(0, 4)$、$(3, 1)$ 的二次函数。解答：因为与 $x$ 轴相切，顶点在 $x$ 轴上，可设 $y = a(x - p)^2$。代入两点得 $ap^2 = 4$，$a(3 - p)^2 = 1$。两式相除得 $\dfrac{(3 - p)^2}{p^2} = \dfrac{1}{4}$，即 $\dfrac{3 - p}{p} = \pm\dfrac{1}{2}$。当 $\dfrac{3 - p}{p} = \dfrac{1}{2}$ 时，$6 - 2p = p$，$p = 2$，$a = 1$，所以 $y = (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$。当 $\dfrac{3 - p}{p} = -\dfrac{1}{2}$ 时，$6 - 2p = -p$，$p = 6$，$a = \dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9}$，所以 $y = \dfrac{1}{9}(x - 6)^2 = \dfrac{1}{9}x^2 - \dfrac{4}{3}x + 4$。因此所求二次函数有两个：$y = x^2 - 4x + 4$ 和 $y = \dfrac{1}{9}x^2 - \dfrac{4}{3}x + 4$。

解说　容易卡在：开平方时只取正号，漏掉 $p = 6$。平方等于 $\dfrac{1}{4}$ 的数有 $\pm\dfrac{1}{2}$ 两个，两种情况都要算到底再检查。由 $ap^2 = 4$ 可知 $p \ne 0$，所以相除不会丢分母为零的情况。

常用推论

• 轴的位置：图像与 $x$ 轴交于 $(\alpha, 0)$、$(\beta, 0)$ 时，轴是 $x = \dfrac{\alpha + \beta}{2}$；图像经过 $(x_1, k)$、$(x_2, k)$ 两点（$y$ 坐标相同）时，轴是 $x = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$。推导：抛物线关于轴对称，同高的两点关于轴对称。
• $y$ 轴上的截距就是 $c$：图像经过 $(0, k)$，则一般形里 $c = k$，三元方程组立刻降成二元。
• $x$ 轴上截得的线段长：$|\alpha - \beta| = \dfrac{\sqrt{D}}{|a|}$。推导：由求根公式，两根之差是 $\dfrac{2\sqrt{D}}{2|a|}$。题目给出”$x$ 轴から切り取る線分の長さ“时用它列方程。
• 三个点共线时不存在过这三点的二次函数（见证明结论 2）。

易错点

• 错在哪：例 4 设 $y = a(x - 3)^2 + 7$，算出 $a$ 后不看符号。 为什么错：如果算出 $a > 0$，那么 $x = 3$ 处是最小值，与“最大值 7”矛盾，这样的二次函数不存在。 正确做法：用“最大值”“最小值”设標準形后，求出 $a$ 一定检查 $a < 0$ 或 $a > 0$。
• 错在哪：例 5 由 $\dfrac{(3 - p)^2}{p^2} = \dfrac{1}{4}$ 只写 $\dfrac{3 - p}{p} = \dfrac{1}{2}$。 为什么错：平方等于 $\dfrac{1}{4}$ 的数有 $\pm \dfrac{1}{2}$ 两个。 正确做法：开平方写 $\pm$，两种情况都算到底再检查。
• 错在哪：分解形写成 $y = (x - \alpha)(x - \beta)$，漏了系数 $a$。 为什么错：与 $x$ 轴交于同样两点的抛物线有无穷多条，开口大小不同，$a$ 要由第三个条件定。 正确做法：写 $y = a(x - \alpha)(x - \beta)$，再代入第三个点。

直观理解

一条抛物线由“形状”和“位置”决定：形状是 $a$（开口方向和宽窄），位置是顶点 $(p, q)$ 两个数。一共 3 个自由度，所以要 3 个条件。顶点一次就给了 2 个条件，再给一个点就够了；两个 $x$ 轴交点也是 2 个条件；如果什么都不知道，就只能靠 3 个点。选对形式，就是把题目已经给的“位置”信息直接写进式子里，不用再去解。

关联知识点

• 前置：国内书第 5 章 5.4 节，待定系数法求解析式；国内书第 4 章 4.2 节，配方和韦达定理（分解形的来历）。
• 5.2 节：平行移動后重合，给出 $a$ 相同；常和本节的“顶点 + 一点”连在一起考。
• 本书第 10 章 いろいろな式：恒等式与因数定理，是“过三点的二次函数唯一”的依据。
• 本书第 11 章 図形と方程式：过三点的圆也是设一般形代入三点，解法相同。
• 本书第 18 章 式と曲線：由焦点、准线等条件决定抛物线、椭圆方程，同样是“按条件选形式”。

5.5 题型与答法

2 次関数是 EJU 数学出现最频繁的主题。大问 Ⅰ 是コース1・2 共用的，JASSO 公开的 2017 年第 1 回、2017 年第 2 回、2018 年第 2 回、2019 年第 1 回、2020 年第 2 回、2021 年第 1 回过去问里，Ⅰ問1 全都是 2 次関数（2026 年新シラバス下还没有官方样题）；コース1 有时还在别的大问里再考一次，如同回コース1 的 Ⅱ問2 是 2 次関数的最小值。一问通常 10 来个空格，题型很固定：

• 基本型：(1) 平方完成，填顶点 →(2) 平行移動・対称移動，填移动后的一般形 →(3) 加一个条件（经过某点、最小值为某值）决定参数。
• 最大最小型：(1) 配方，用参数表示轴 →(2) 分情况写最小值（空格包括分界点）→(3) $m(a)$ 的最大值，或 $m(a) = k$ 的 $a$。
• 方程不等式型：(1) 与 $x$ 轴的共有点个数（判别式）→(2) 区间上恒为正的参数范围 →(3) 解的配置（两个根都在某范围里）。

填涂提醒：分界点作为空格出现时，各段的结果要在分界点处连上，用这一点自查；题干已经印出负号时（如问题 2 的「$g(t) = -\fbox{E}$」）格子里只填数字；分数先约分，负号放分子（第 2 章）。

問題 1　（平行移動・対称移動と決定）

2 次関数 $y = 2x^2 - 8x + 5$ のグラフを $G$ とする。

(1) $G$ の頂点の座標は $\left(\fbox{A},\ -\fbox{B}\right)$ である。

(2) $G$ を $x$ 軸方向に $-3$，$y$ 軸方向に $4$ だけ平行移動したグラフを表す 2 次関数は

$$y = \fbox{C}\,x^2 + \fbox{D}\,x + \fbox{E}$$

である。

(3) 放物線 $y = x^2 + ax + b$ を $x$ 軸に関して対称移動し，さらに $x$ 軸方向に $1$，$y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動したところ，放物線 $y = -x^2 + 6x - 4$ になった。このとき，$a = \fbox{FG}$，$b = \fbox{HI}$ である。

解答　(1) $y = 2(x^2 - 4x) + 5 = 2(x - 2)^2 - 3$ であるから，頂点は $(2, -3)$。よって $\fbox{A} = 2$，$\fbox{B} = 3$。

(2) 頂点は $(2 - 3, -3 + 4) = (-1, 1)$ に移り，$a = 2$ は変わらない。よって $y = 2(x + 1)^2 + 1 = 2x^2 + 4x + 3$ であり，$\fbox{C} = 2$，$\fbox{D} = 4$，$\fbox{E} = 3$。

(3) 逆にたどる。まず $y = -x^2 + 6x - 4$ を $x$ 軸方向に $-1$，$y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動する。$x$ を $x + 1$，$y$ を $y - 2$ に置き換えると $y - 2 = -(x + 1)^2 + 6(x + 1) - 4 = -x^2 + 4x + 1$， すなわち $y = -x^2 + 4x + 3$。次に $x$ 軸に関して対称移動する（対称移動を 2 回行うともとに戻るから，同じ操作で戻せる）。$y = x^2 - 4x - 3$。 したがって $a = -4$，$b = -3$ であり，$\fbox{FG}$ には「－」と「4」，$\fbox{HI}$ には「－」と「3」を入れる。

中文翻译　题目：设二次函数 $y = 2x^2 - 8x + 5$ 的图像为 $G$。（1）$G$ 的顶点坐标是 $(\fbox{A}, -\fbox{B})$。（2）把 $G$ 沿 $x$ 轴方向平移 $-3$、沿 $y$ 轴方向平移 $4$，所得图像表示的二次函数是 $y = \fbox{C}\,x^2 + \fbox{D}\,x + \fbox{E}$。（3）把抛物线 $y = x^2 + ax + b$ 关于 $x$ 轴作对称移动，再沿 $x$ 轴方向平移 $1$、沿 $y$ 轴方向平移 $-2$，得到抛物线 $y = -x^2 + 6x - 4$。这时 $a = \fbox{FG}$，$b = \fbox{HI}$。解答：（1）$y = 2(x^2 - 4x) + 5 = 2(x - 2)^2 - 3$，顶点是 $(2, -3)$。所以 $\fbox{A} = 2$，$\fbox{B} = 3$。（2）顶点移到 $(2 - 3, -3 + 4) = (-1, 1)$，$a = 2$ 不变。所以 $y = 2(x + 1)^2 + 1 = 2x^2 + 4x + 3$，$\fbox{C} = 2$，$\fbox{D} = 4$，$\fbox{E} = 3$。（3）反向追溯。先把 $y = -x^2 + 6x - 4$ 沿 $x$ 轴方向平移 $-1$、沿 $y$ 轴方向平移 $2$。把 $x$ 换成 $x + 1$，把 $y$ 换成 $y - 2$，得 $y - 2 = -(x + 1)^2 + 6(x + 1) - 4 = -x^2 + 4x + 1$，即 $y = -x^2 + 4x + 3$。再关于 $x$ 轴作对称移动（对称移动做两次就回到原处，所以用同一操作即可还原），得 $y = x^2 - 4x - 3$。因此 $a = -4$，$b = -3$，$\fbox{FG}$ 填「－」和「4」，$\fbox{HI}$ 填「－」和「3」。

解说　验算：$y = x^2 - 4x - 3$ 关于 $x$ 轴对称得 $y = -x^2 + 4x + 3 = -(x - 2)^2 + 7$，顶点 $(2, 7)$ 平移到 $(3, 5)$，$-(x - 3)^2 + 5 = -x^2 + 6x - 4$，正确。空格判断：$\fbox{B}$ 题干已印出负号，只填 $3$；$\fbox{FG}$、$\fbox{HI}$ 是负数，负号各占一格。倒着算移动量时两个方向都要变号。

問題 2　（定義域が動くときの最大・最小）

$t$ を実数とし，2 次関数 $f(x) = x^2 - 6x + 7$ の $t \leqq x \leqq t + 2$ における最小値を $g(t)$，最大値を $h(t)$ とする。

(1) $g(t)$ は次のように表される。

$t < \fbox{A}$ のとき $g(t) = t^2 - \fbox{B}\,t - \fbox{C}$

$\fbox{A} \leqq t \leqq \fbox{D}$ のとき $g(t) = -\fbox{E}$

$t > \fbox{D}$ のとき $g(t) = t^2 - \fbox{F}\,t + \fbox{G}$

(2) $h(t)$ は次のように表される。

$t \leqq \fbox{H}$ のとき $h(t) = t^2 - \fbox{I}\,t + \fbox{J}$

$t > \fbox{H}$ のとき $h(t) = t^2 - \fbox{K}\,t - \fbox{L}$

(3) $g(t) = 2$ となる $t$ の値は $t = -\fbox{M}$，$\fbox{N}$ である。

（实际题册里同一空格第二次出现时印成灰底，如第二个 $\fbox{A}$，表示不用再涂。）

解答　$f(x) = (x - 3)^2 - 2$ であり，軸は $x = 3$，下に凸である。

(1) 右端点 $t + 2 < 3$，すなわち $t < 1$ のとき $g(t) = f(t + 2) = (t - 1)^2 - 2 = t^2 - 2t - 1$。 $t \leqq 3 \leqq t + 2$，すなわち $1 \leqq t \leqq 3$ のとき $g(t) = f(3) = -2$。 $t > 3$ のとき $g(t) = f(t) = t^2 - 6t + 7$。 よって $\fbox{A} = 1$，$\fbox{B} = 2$，$\fbox{C} = 1$，$\fbox{D} = 3$，$\fbox{E} = 2$，$\fbox{F} = 6$，$\fbox{G} = 7$。

(2) 区間の中点 $t + 1$ と軸 $3$ を比べる。$t + 1 \leqq 3$，すなわち $t \leqq 2$ のとき，左端点の方が軸から遠い（または同じ距離である）から $h(t) = f(t) = t^2 - 6t + 7$。$t > 2$ のとき $h(t) = f(t + 2) = t^2 - 2t - 1$。 よって $\fbox{H} = 2$，$\fbox{I} = 6$，$\fbox{J} = 7$，$\fbox{K} = 2$，$\fbox{L} = 1$。

(3) 中央の区間では $g(t) = -2 \ne 2$。 $t < 1$ のとき $t^2 - 2t - 1 = 2$，$t^2 - 2t - 3 = 0$ より $t = -1$ または $3$。$t < 1$ を満たすのは $t = -1$。 $t > 3$ のとき $t^2 - 6t + 7 = 2$，$t^2 - 6t + 5 = 0$ より $t = 1$ または $5$。$t > 3$ を満たすのは $t = 5$。 よって $t = -1, 5$ であり，$\fbox{M} = 1$，$\fbox{N} = 5$。

中文翻译　题目：设 $t$ 为实数，二次函数 $f(x) = x^2 - 6x + 7$ 在 $t \leqq x \leqq t + 2$ 上的最小值为 $g(t)$，最大值为 $h(t)$。（1）$g(t)$ 表示如下：$t < \fbox{A}$ 时 $g(t) = t^2 - \fbox{B}\,t - \fbox{C}$；$\fbox{A} \leqq t \leqq \fbox{D}$ 时 $g(t) = -\fbox{E}$；$t > \fbox{D}$ 时 $g(t) = t^2 - \fbox{F}\,t + \fbox{G}$。（2）$h(t)$ 表示如下：$t \leqq \fbox{H}$ 时 $h(t) = t^2 - \fbox{I}\,t + \fbox{J}$；$t > \fbox{H}$ 时 $h(t) = t^2 - \fbox{K}\,t - \fbox{L}$。（3）使 $g(t) = 2$ 的 $t$ 是 $t = -\fbox{M}$ 和 $\fbox{N}$。解答：$f(x) = (x - 3)^2 - 2$，轴是 $x = 3$，开口向上。（1）当右端点 $t + 2 < 3$，即 $t < 1$ 时，$g(t) = f(t + 2) = (t - 1)^2 - 2 = t^2 - 2t - 1$。当 $t \leqq 3 \leqq t + 2$，即 $1 \leqq t \leqq 3$ 时，$g(t) = f(3) = -2$。当 $t > 3$ 时，$g(t) = f(t) = t^2 - 6t + 7$。所以 $\fbox{A} = 1$，$\fbox{B} = 2$，$\fbox{C} = 1$，$\fbox{D} = 3$，$\fbox{E} = 2$，$\fbox{F} = 6$，$\fbox{G} = 7$。（2）比较区间中点 $t + 1$ 与轴 $3$。当 $t + 1 \leqq 3$，即 $t \leqq 2$ 时，左端点离轴更远（或一样远），$h(t) = f(t) = t^2 - 6t + 7$。当 $t > 2$ 时，$h(t) = f(t + 2) = t^2 - 2t - 1$。所以 $\fbox{H} = 2$，$\fbox{I} = 6$，$\fbox{J} = 7$，$\fbox{K} = 2$，$\fbox{L} = 1$。（3）中间一段 $g(t) = -2 \ne 2$。当 $t < 1$ 时，$t^2 - 2t - 1 = 2$，$t^2 - 2t - 3 = 0$，得 $t = -1$ 或 $3$，满足 $t < 1$ 的是 $t = -1$。当 $t > 3$ 时，$t^2 - 6t + 7 = 2$，$t^2 - 6t + 5 = 0$，得 $t = 1$ 或 $5$，满足 $t > 3$ 的是 $t = 5$。所以 $t = -1, 5$，$\fbox{M} = 1$，$\fbox{N} = 5$。

解说　检查：$t = 1$ 时 $1 - 2 - 1 = -2$；$t = 3$ 时 $9 - 18 + 7 = -2$，分段处连上了。空格判断：$\fbox{A} = 1$ 是右端点碰轴 $t + 2 = 3$；$\fbox{D} = 3$ 是左端点碰轴 $t = 3$；$\fbox{H} = 2$ 是中点碰轴 $t + 1 = 3$；$\fbox{E}$ 题干已印出负号，只填 $2$。第 (3) 问每段的解都要和该段的范围取交集，$t = 3$、$t = 1$ 都是段外的假解。

問題 3　（軸が動くときの最小値と 2 次不等式）

$a$ を定数とし，2 次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + a + 6$ を考える。

(1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の $y$ 座標は $-a^2 + \fbox{A}\,a + \fbox{B}$ である。したがって，このグラフが $x$ 軸と異なる 2 点で交わるような $a$ の値の範囲は $a < -\fbox{C}$，$\fbox{D} < a$ である。

(2) $0 \leqq x \leqq 2$ における $f(x)$ の最小値を $m$ とする。$m$ は $a = \dfrac{\fbox{E}}{\fbox{F}}$ のとき最大となり，その最大値は $\dfrac{\fbox{GH}}{\fbox{I}}$ である。

(3) $0 \leqq x \leqq 2$ を満たすすべての $x$ に対して $f(x) > 0$ が成り立つような $a$ の値の範囲は

$$-\fbox{J} < a < \frac{\fbox{KL}}{\fbox{M}}$$

である。

解答　(1) $f(x) = (x - a)^2 - a^2 + a + 6$ であるから，頂点の $y$ 座標は $-a^2 + a + 6$。グラフが $x$ 軸と異なる $2$ 点で交わるのは，頂点が $x$ 軸の下方にあるとき（下に凸）であるから $-a^2 + a + 6 < 0$，すなわち $a^2 - a - 6 > 0$。 $(a + 2)(a - 3) > 0$ より $a < -2$ または $a > 3$。 よって $\fbox{A} = 1$，$\fbox{B} = 6$，$\fbox{C} = 2$，$\fbox{D} = 3$。

(2) 軸は $x = a$，区間は $0 \leqq x \leqq 2$ である。 $a < 0$ のとき $m = f(0) = a + 6$。 $0 \leqq a \leqq 2$ のとき $m = -a^2 + a + 6 = -\left(a - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{25}{4}$。 $a > 2$ のとき $m = f(2) = 4 - 4a + a + 6 = 10 - 3a$。 $a < 0$ のとき $m < 6$，$a > 2$ のとき $m < 4$ であり，$0 \leqq a \leqq 2$ のとき $m$ は $a = \dfrac{1}{2}$ で最大値 $\dfrac{25}{4}$ をとる。これは $6$ より大きい。 よって $\fbox{E} = 1$，$\fbox{F} = 2$，$\fbox{GH} = 2, 5$，$\fbox{I} = 4$。

(3) 条件は $0 \leqq x \leqq 2$ における最小値 $m > 0$ と同値である。各場合で解く。 $a < 0$ のとき $a + 6 > 0$ より $-6 < a < 0$。 $0 \leqq a \leqq 2$ のとき $-a^2 + a + 6 > 0 \iff -2 < a < 3$ であり，この区間のすべてが条件を満たす。 $a > 2$ のとき $10 - 3a > 0$ より $2 < a < \dfrac{10}{3}$。 以上を合わせると $-6 < a < \dfrac{10}{3}$ であり，$\fbox{J} = 6$，$\fbox{KL} = 1, 0$，$\fbox{M} = 3$ である。

中文翻译　题目：设 $a$ 为常数，考虑二次函数 $f(x) = x^2 - 2ax + a + 6$。（1）$y = f(x)$ 图像顶点的 $y$ 坐标是 $-a^2 + \fbox{A}\,a + \fbox{B}$。所以图像与 $x$ 轴交于不同两点的 $a$ 的范围是 $a < -\fbox{C}$ 或 $\fbox{D} < a$。（2）设 $f(x)$ 在 $0 \leqq x \leqq 2$ 上的最小值为 $m$。$a = \dfrac{\fbox{E}}{\fbox{F}}$ 时 $m$ 最大，最大值是 $\dfrac{\fbox{GH}}{\fbox{I}}$。（3）对满足 $0 \leqq x \leqq 2$ 的所有 $x$，$f(x) > 0$ 都成立的 $a$ 的范围是 $-\fbox{J} < a < \dfrac{\fbox{KL}}{\fbox{M}}$。解答：（1）$f(x) = (x - a)^2 - a^2 + a + 6$，顶点的 $y$ 坐标是 $-a^2 + a + 6$。图像与 $x$ 轴交于不同两点，当且仅当顶点在 $x$ 轴下方（开口向上），所以 $-a^2 + a + 6 < 0$，即 $a^2 - a - 6 > 0$。由 $(a + 2)(a - 3) > 0$ 得 $a < -2$ 或 $a > 3$。所以 $\fbox{A} = 1$，$\fbox{B} = 6$，$\fbox{C} = 2$，$\fbox{D} = 3$。（2）轴是 $x = a$，区间是 $0 \leqq x \leqq 2$。当 $a < 0$ 时，$m = f(0) = a + 6$。当 $0 \leqq a \leqq 2$ 时，$m = -a^2 + a + 6 = -\left(a - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{25}{4}$。当 $a > 2$ 时，$m = f(2) = 4 - 4a + a + 6 = 10 - 3a$。当 $a < 0$ 时 $m < 6$，当 $a > 2$ 时 $m < 4$；当 $0 \leqq a \leqq 2$ 时，$m$ 在 $a = \dfrac{1}{2}$ 取最大值 $\dfrac{25}{4}$，比 $6$ 大。所以 $\fbox{E} = 1$，$\fbox{F} = 2$，$\fbox{GH} = 2, 5$，$\fbox{I} = 4$。（3）条件等价于最小值为正，即 $m > 0$。分段解：当 $a < 0$ 时，$a + 6 > 0$，得 $-6 < a < 0$。当 $0 \leqq a \leqq 2$ 时，$-a^2 + a + 6 > 0 \iff -2 < a < 3$，整个区间都满足。当 $a > 2$ 时，$10 - 3a > 0$，得 $2 < a < \dfrac{10}{3}$。合并得 $-6 < a < \dfrac{10}{3}$，所以 $\fbox{J} = 6$，$\fbox{KL} = 1, 0$，$\fbox{M} = 3$。

解说　两分钟做法：顶点、轴、区间的位置先平方完成，再按“轴在左、在内、在右”分段；“所有 $x$ 都满足”一律化成最小值条件。空格判断：$\fbox{A} = 1$ 系数 $1$ 也要填；$\fbox{C}$ 题干已印出负号，只填 $2$；$\fbox{GH} = 2, 5$ 是分子两格，$\fbox{I} = 4$；$\fbox{KL} = 1, 0$ 提示分子是两位数 $10$，$\fbox{M} = 3$。分界点 $a = 0$、$a = 2$ 处把两段式子代进去，确认连上再往下做。

5.6 术语与题干用语

「標準形」「一般形」「分解形」是参考书和解说里通行的叫法（標準形也常叫「基本形」）；教科书正文多只写「$y = a(x - \alpha)(x - \beta)$ とおく」而不命名，EJU 题干也是直接给出要设的式子，所以认得式子比记名字更要紧。

日文	读音	中文	例句或说明
2次関数	にじかんすう	二次函数	「2 次関数 $y = x^2 - 4x + 1$ のグラフ」
放物線	ほうぶつせん	抛物线	「放物線 $y = 2x^2$ を平行移動した放物線」
頂点	ちょうてん	顶点	「頂点の座標は $(2, -3)$ である」
軸	じく	对称轴	「軸は直線 $x = 2$ である」，不说“对称轴”
平方完成	へいほうかんせい	配方	「右辺を平方完成すると」
標準形	ひょうじゅんけい	顶点式	$y = a(x - p)^2 + q$
一般形	いっぱんけい	一般式	$y = ax^2 + bx + c$
分解形	ぶんかいけい	交点式	$y = a(x - \alpha)(x - \beta)$
下に凸	したにとつ	开口向上	$a > 0$ のとき，グラフは下に凸
上に凸	うえにとつ	开口向下	$a < 0$ のとき，グラフは上に凸
平行移動	へいこういどう	平移	「$x$ 軸方向に $p$，$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動する」
〜軸方向に	〜じくほうこうに	沿……轴方向	「$x$ 軸方向に $-3$」= 向左 3
対称移動	たいしょういどう	对称变换	「$x$ 軸に関して対称移動する」
〜に関して対称	〜にかんしてたいしょう	关于……对称	「原点に関して対称な放物線」
置き換える	おきかえる	替换，代换	「$x$ を $x - p$ に置き換える」
最大値	さいだいち	最大值	「$x = 3$ で最大値 7 をとる」
最小値	さいしょうち	最小值	「最小値を $m$ とする」
〜をとる	〜をとる	取（某值）	「$x = 1$ のとき最小値 $-2$ をとる」
定義域	ていぎいき	定义域	「定義域が $t \leqq x \leqq t + 2$ のとき」
値域	ちいき	值域	「この関数の値域を求めよ」
場合分け	ばあいわけ	分类讨论	「軸の位置で場合分けする」
軸が動く	じくがうごく	轴动	「軸が定義域に含まれるとき」
定数	ていすう	常数	「$a$ を定数とする」
決定	けってい	确定（求解析式）	「次の条件を満たす 2 次関数を求めよ」
〜を通る	〜をとおる	经过……	「3 点 $(-1, 6)$，$(1, 0)$，$(2, 3)$ を通る」
判別式	はんべつしき	判别式	$D = b^2 - 4ac$，$\dfrac{D}{4} = b'^2 - ac$
共有点	きょうゆうてん	公共点	「$x$ 軸との共有点の個数」
異なる 2 点で交わる	ことなるにてんでまじわる	交于不同两点	$D > 0$
接する	せっする	相切	「$x$ 軸に接する」，$D = 0$
切り取る線分の長さ	きりとるせんぶんのながさ	截得的线段长	「$x$ 軸から切り取る線分の長さ」
解の配置	かいのはいち	根的分布	「2 つの解がともに正となる $a$ の範囲」
実数解	じっすうかい	实数根	日文说「解」，不说“根”
重解	じゅうかい	重根	「重解をもつ」，$D = 0$
すべての $x$ に対して	すべてのえっくすにたいして	对所有 $x$	「すべての実数 $x$ に対して $f(x) > 0$」
〜が成り立つ	〜がなりたつ	……成立	「不等式が成り立つ」
〜の値の範囲	〜のあたいのはんい	……的取值范围	「$a$ の値の範囲を求めよ」
〜のとき	〜のとき	当……时	分段写法「$a < 0$ のとき $m = a + 6$」

5.7 自测

1. 把抛物线 $y = x^2 + 2x - 3$ 沿 $x$ 轴方向平移 3、沿 $y$ 轴方向平移 $-2$，求所得抛物线的方程（写成一般形）。
2. 把抛物线 $y = 2x^2 - 4x + 1$ 关于原点作对称移动，求所得抛物线的方程。
3. 求 $f(x) = x^2 - 2x$ 在 $t \le x \le t + 2$ 上的最小值 $m(t)$。
4. 实数 $x$、$y$ 满足 $x \ge 0$，$y \ge 0$，$2x + y = 2$，求 $x^2 + y^2$ 的最小值和最大值。
5. 求图像经过三点 $(0, 3)$、$(1, 0)$、$(3, 0)$ 的二次函数。
6. 求 $x = -1$ 时取最小值 $-3$、图像经过点 $(1, 5)$ 的二次函数。

答案：1. $y = x^2 - 4x - 2$；2. $y = -2x^2 - 4x - 1$；3. $t < -1$ 时 $m = t^2 + 2t$，$-1 \le t \le 1$ 时 $m = -1$，$t > 1$ 时 $m = t^2 - 2t$；4. 最小值 $\dfrac{4}{5}$，最大值 4；5. $y = x^2 - 4x + 3$；6. $y = 2x^2 + 4x - 1$。

5.8 深入阅读

• JASSO · 日本留学試験 数学シラバス：官方出题范围原文，第 3 项「2次関数」列出本章的六个小项目。
• JASSO · 過去問題サンプル：官方公开的过去问，2021 年第 1 回的Ⅰ問1 和コース1 Ⅱ問2 都是 2 次関数，可以对照本章的誘導骨架。
• 维基百科（日文）· 二次関数：頂点、軸、平方完成等日文术语的规范写法和图像性质。
• 维基百科（日文）· 平方完成：平方完成的日文说法和推导，读 EJU 题干里「平方完成すると」时可对照。