第 23 章 · 積分の応用

项目	内容
シラバス项目	20. 積分法（数学Ⅱ，数学Ⅲ）：(2) 積分の応用（① 面積 ② 体積 ③ 曲線の長さ）
コース	仅コース2
国内书对应	无。国内书第 18 章 18.5 节的祖暅原理是“截面积求体积”的雏形，第 24 章 24.2 节的瞬时速度是“速度求路程”的反方向，此外没有任何对应内容
本章新内容的分量	全新。面积、体积、曲线长、道のり都要从零学；计算全靠第 22 章的积分技巧

国内现行高中课程没有积分，自然也没有积分的应用。EJU コース2 的大问 Ⅳ 几乎每回都以“求面积”收尾（2021 年第 1 回コース2 Ⅳ 就是三角函数加定积分求面积），前面几问先用第 21 章的微分求增减、切线或交点，最后一问才积分；体积（回转体）和曲线长在 2017–2021 年公开的六份过去问里一次也没出现，但都在シラバス里。丢分主要丢在四处：曲线在 $x$ 轴下方时直接拿定积分当面积，两条曲线中途交换上下却没分段，旋转体把 $\pi\displaystyle\int(f - g)^2\,dx$ 当成 $\pi\displaystyle\int(f^2 - g^2)\,dx$，参数曲线换成 $t$ 积分时忘了乘 $\dfrac{dx}{dt}$。

本章的 $\log$ 指自然对数（底为 $e$），积分的计算方法（置換積分法、部分積分法、三角函数降次等）见第 22 章，这里只用不讲。

23.1 与国内的对照

シラバス小项目（日文原文）	国内书位置	相同 / 讲法不同 / 国内没有	本章哪节讲
① 面積（数学Ⅱ：放物線・3次関数のグラフと $x$ 軸や直線で囲まれた部分）	无	国内没有	23.2
① 面積（数学Ⅲ：いろいろな関数、2曲線間、$x$ 軸の下の部分）	无	国内没有	23.2
① 面積（$y$ で積分する場合、媒介変数表示の曲線）	无	国内没有	23.3
② 体積（断面積の積分）	国内书第 18 章 18.5 节只有祖暅原理和柱、锥、球的公式	国内没有（只有思想）	23.4
② 体積（$x$ 軸・$y$ 軸のまわりの回転体）	无	国内没有	23.5
③ 曲線の長さ（$y = f(x)$、媒介変数表示）	无	国内没有	23.6
速度と道のり（补充：シラバス 20 (2) 没有列出，日本数学Ⅲ 教科书放在积分的应用里）	国内书第 24 章 24.2 节只有“位移求导得速度”	国内没有	23.6

“速度と道のり”在シラバス 20 (2) 里没有列出（只列 ① 面積 ② 体積 ③ 曲線の長さ），本章作为补充内容讲：日本数学Ⅲ 的教科书把它和曲线长放在一起讲，平面上的道のり本身就是曲线长，所以本章一并收进 23.6。

本章五个知识点都建立在同一个想法上：把要求的量切成很多薄片，每片近似地算出来，再用定积分加起来。面积切成细长条（23.2、23.3），体积切成薄片（23.4、23.5），曲线切成小段（23.6）。

23.2 面積：2曲線の間・$x$ 軸の下の部分

说明

曲线与 $x$ 轴之间的面积：$f(x)$ 在 $a \le x \le b$ 上连续，曲线 $y = f(x)$、$x$ 轴、直线 $x = a$、$x = b$ 围成的部分的面积是

$$S = \int_a^b |f(x)|\,dx.$$

• $f(x) \ge 0$（曲线在 $x$ 轴上方）时，$S = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$。
• $f(x) \le 0$（曲线在 $x$ 轴下方）时，$S = -\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$。
• 有正有负时，在 $f(x) = 0$ 的点分段，每段按上面两种情形算，再相加。

第 22 章 22.2 节说过，定积分是“带符号的面积”，$x$ 轴下方的部分算负。题目问「面積」时要的是正数，所以要加绝对值。

两条曲线之间的面积：在 $a \le x \le b$ 上 $f(x) \ge g(x)$，曲线 $y = f(x)$、$y = g(x)$ 和直线 $x = a$、$x = b$ 围成的部分的面积是

$$S = \int_a^b \{f(x) - g(x)\}\,dx.$$

口诀是”上减下“。这个公式不管两条曲线在 $x$ 轴上方还是下方都成立。两条曲线在区间内交叉、上下互换时，在交点处分段：

$$S = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx.$$

两条曲线自己围成一块（没有给 $x = a$、$x = b$）时，积分上下限就是交点的 $x$ 坐标，要先解方程 $f(x) = g(x)$。

1/6 公式：抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 与直线（或另一条抛物线）交于 $x = \alpha$、$x = \beta$（$\alpha < \beta$）时，两者之差是 $\pm a'(x - \alpha)(x - \beta)$ 的形式（$a'$ 是 $x^2$ 系数之差），围成的面积是

$$S = \frac{|a'|}{6}(\beta - \alpha)^3.$$

它来自

$$\int_\alpha^\beta (x - \alpha)(x - \beta)\,dx = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3.$$

日本学生叫它「6分の1公式」，是数学Ⅱ 面积题的标准工具。

使用场景

• 曲线有一部分在 $x$ 轴下方，问它和 $x$ 轴围成的面积：在零点处分段，下方的部分取负号。
• 两条曲线围成的面积：先解方程求交点，再看每一段里谁在上，上减下。
• 抛物线与直线、抛物线与抛物线围成的面积：求出两个交点 $\alpha$、$\beta$，用 1/6 公式，几乎不用积分。
• 三角函数、指数函数、对数函数之间围成的面积：步骤相同，原始関数用第 22 章 22.3 节（基本公式）、22.7 节（变形后积分）。
• 面积里含参数，问面积的最小值，或问参数取何值时面积被平分：先把面积写成参数的函数，再用第 21 章求最值或解方程。

注意点

• 先画草图。上下关系、交点个数、要不要分段，都要靠图来判断，光看式子很容易漏。
• 判断“谁在上”可以在区间里任取一个点代进去比较，不必画得很准。
• 1/6 公式只适用于”$x$ 的二次式与 $x$ 的二次式（或一次式）之差“在两个交点之间的积分。三次函数与直线围成的面积不能直接套。
• 用 1/6 公式时 $a'$ 是两个函数 $x^2$ 系数之差，不是抛物线自己的系数（另一边是直线时两者才相同）。
• 偶函数、奇函数的对称性可以省计算：$\displaystyle\int_{-a}^{a}$ 奇函数 $= 0$，$\displaystyle\int_{-a}^{a}$ 偶函数 $= 2\displaystyle\int_0^a$（第 22 章 22.4 节）。但求面积时奇函数的两块面积要相加，不能抵消。
• EJU 题干的说法：「曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積」「2 曲線で囲まれた部分の面積」「直線 $x = 2$ および $x$ 軸で囲まれた図形」「面積を 2 等分する」。

证明

结论 1：曲线下的面积等于定积分。 设 $f(x) \ge 0$ 连续，$S(x)$ 表示从 $a$ 到 $x$ 这一段曲线下的面积。$x$ 增加 $\Delta x$（$\Delta x > 0$）时，面积增加的细长条 $\Delta S = S(x + \Delta x) - S(x)$ 夹在两个矩形之间：

$$m\,\Delta x \le \Delta S \le M\,\Delta x,$$

$m$、$M$ 是 $f$ 在 $[x, x + \Delta x]$ 上的最小值和最大值。除以 $\Delta x$，令 $\Delta x \to 0$，由 $f$ 连续，$m$ 和 $M$ 都趋于 $f(x)$，所以 $S'(x) = f(x)$。（关键一步：面积函数的导数就是曲线的高度，所以 $S(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原始関数。）又 $S(a) = 0$，所以

$$S(b) = S(b) - S(a) = \int_a^b f(x)\,dx.$$

严格地说“面积是什么”要用第 22 章 22.2 节的区分求積法定义，日本高中教科书就按上面这样说明。

结论 2：两曲线之间的面积是上减下。 设在 $[a, b]$ 上 $f(x) \ge g(x)$。取一个足够大的常数 $k$，使 $g(x) + k \ge 0$。把两条曲线都向上平移 $k$，围成的图形形状不变，面积也不变。平移后两条曲线都在 $x$ 轴上方，所求面积等于”$f + k$ 下的面积“减去”$g + k$ 下的面积”：

$$S = \int_a^b \{f(x) + k\}\,dx - \int_a^b \{g(x) + k\}\,dx = \int_a^b \{f(x) - g(x)\}\,dx.$$

（关键一步：平移不改变面积，$k$ 在相减时消掉，所以公式和曲线在不在 $x$ 轴上方无关。）$g(x) = 0$ 时就得到”$x$ 轴下方的部分取负号”：$S = \displaystyle\int_a^b \{0 - f(x)\}\,dx$。

结论 3：1/6 公式。 把被积函数写成 $x - \alpha$ 的式子：$x - \beta = (x - \alpha) - (\beta - \alpha)$，所以

$$(x - \alpha)(x - \beta) = (x - \alpha)^2 - (\beta - \alpha)(x - \alpha).$$

（关键一步：以 $x - \alpha$ 为整体，原始関数可以直接写出，代入下限 $x = \alpha$ 时整项为 0。）

$$\int_\alpha^\beta (x - \alpha)(x - \beta)\,dx = \left[\frac{(x - \alpha)^3}{3} - (\beta - \alpha)\frac{(x - \alpha)^2}{2}\right]_\alpha^\beta = \frac{(\beta - \alpha)^3}{3} - \frac{(\beta - \alpha)^3}{2} = -\frac{(\beta - \alpha)^3}{6}.$$

抛物线 $y = f(x)$ 与直线（或抛物线）$y = g(x)$ 交于 $\alpha$、$\beta$ 时，$f(x) - g(x)$ 是以 $\alpha$、$\beta$ 为根的二次式，等于 $a'(x - \alpha)(x - \beta)$，代入上式取绝对值即得 $S = \dfrac{|a'|}{6}(\beta - \alpha)^3$。

例题

例 1　（场景：曲线有一部分在 $x$ 轴下方）

問題　曲線 $y = x^3 - 4x$ と $x$ 軸で囲まれた 2 つの部分の面積の和を求めよ。

解答　$x^3 - 4x = x(x + 2)(x - 2) = 0$ より，共有点の $x$ 座標は $x = -2, 0, 2$ である。$-2 \leqq x \leqq 0$ では $y \geqq 0$（$x = -1$ のとき $y = 3 > 0$），$0 \leqq x \leqq 2$ では $y \leqq 0$（$x = 1$ のとき $y = -3 < 0$）である。

$$S_1 = \int_{-2}^{0} (x^3 - 4x)\,dx = \left[\frac{x^4}{4} - 2x^2\right]_{-2}^{0} = 0 - (4 - 8) = 4,$$ $$S_2 = -\int_{0}^{2} (x^3 - 4x)\,dx = -\left[\frac{x^4}{4} - 2x^2\right]_{0}^{2} = -(4 - 8) = 4.$$

よって，面積の和は $S = S_1 + S_2 = 8$ である。

中文翻译　题目：求曲线 $y = x^3 - 4x$ 与 $x$ 轴围成的两部分面积之和。解答：由 $x^3 - 4x = x(x + 2)(x - 2) = 0$，交点 $x = -2, 0, 2$。$-2 \le x \le 0$ 时 $y \ge 0$（取 $x = -1$：$y = 3 > 0$），$0 \le x \le 2$ 时 $y \le 0$（取 $x = 1$：$y = -3 < 0$）。$S_1 = \int_{-2}^{0} (x^3 - 4x)\,dx = \left[\frac{x^4}{4} - 2x^2\right]_{-2}^{0} = 0 - (4 - 8) = 4$，$S_2 = -\int_{0}^{2} (x^3 - 4x)\,dx = -\left[\frac{x^4}{4} - 2x^2\right]_{0}^{2} = -(4 - 8) = 4$。所以面积之和 $S = S_1 + S_2 = 8$。

解说　容易卡在：直接算 $\displaystyle\int_{-2}^{2}(x^3 - 4x)\,dx = 0$。被积函数是奇函数，上下两块正好抵消，0 是定积分，不是面积。求面积要在零点处分段，$x$ 轴下方的部分取负号。

例 2　（场景：两条曲线围成，中途交换上下）

問題　曲線 $y = x^3$ と直線 $y = x$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

解答　$x^3 = x$ より $x(x + 1)(x - 1) = 0$，共有点の $x$ 座標は $x = -1, 0, 1$ である。$-1 < x < 0$ では $x = -\dfrac{1}{2}$ のとき $x^3 = -\dfrac{1}{8} > -\dfrac{1}{2} = x$ で，曲線が上にある。$0 < x < 1$ では $x = \dfrac{1}{2}$ のとき $x^3 = \dfrac{1}{8} < \dfrac{1}{2} = x$ で，直線が上にある。

$$S = \int_{-1}^{0} (x^3 - x)\,dx + \int_{0}^{1} (x - x^3)\,dx = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{0} + \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}.$$

中文翻译　题目：求曲线 $y = x^3$ 与直线 $y = x$ 围成的部分的面积。解答：由 $x^3 = x$，$x(x + 1)(x - 1) = 0$，交点 $x = -1, 0, 1$。$-1 < x < 0$ 时取 $x = -\dfrac{1}{2}$：$x^3 = -\dfrac{1}{8} > -\dfrac{1}{2} = x$，曲线在上；$0 < x < 1$ 时取 $x = \dfrac{1}{2}$：$x^3 = \dfrac{1}{8} < \dfrac{1}{2} = x$，直线在上。$S = \int_{-1}^{0} (x^3 - x)\,dx + \int_{0}^{1} (x - x^3)\,dx = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{0} + \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$。

解说　两块关于原点对称，也可以写成 $S = 2\displaystyle\int_0^1 (x - x^3)\,dx = \dfrac{1}{2}$。两条曲线中途交换上下，必须在交点 $x = 0$ 处分段，每段重新判断谁在上；写成 $\displaystyle\int_{-1}^{1}(x - x^3)\,dx$ 会把两块抵消成 0。

例 3　（场景：两条抛物线围成，用 1/6 公式）

問題　放物線 $y = x^2$ と $y = -x^2 + 2x + 4$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

解答　$x^2 = -x^2 + 2x + 4$ より $2x^2 - 2x - 4 = 0$，$x^2 - x - 2 = 0$，$(x + 1)(x - 2) = 0$ で，共有点の $x$ 座標は $x = -1, 2$ である。$-1 < x < 2$ では $x = 0$ のとき $-x^2 + 2x + 4 = 4 > 0 = x^2$ で，$y = -x^2 + 2x + 4$ が上にある。

$$(-x^2 + 2x + 4) - x^2 = -2x^2 + 2x + 4 = -2(x + 1)(x - 2).$$

6分の1公式より，$a' = -2$，

$$S = \frac{2}{6}\{2 - (-1)\}^3 = \frac{1}{3} \times 27 = 9.$$

中文翻译　题目：求抛物线 $y = x^2$ 与 $y = -x^2 + 2x + 4$ 围成的部分的面积。解答：由 $x^2 = -x^2 + 2x + 4$，$2x^2 - 2x - 4 = 0$，$x^2 - x - 2 = 0$，$(x + 1)(x - 2) = 0$，交点 $x = -1, 2$。$-1 < x < 2$ 上（取 $x = 0$：$4 > 0$），$y = -x^2 + 2x + 4$ 在上。$(-x^2 + 2x + 4) - x^2 = -2x^2 + 2x + 4 = -2(x + 1)(x - 2)$。由 1/6 公式，$a' = -2$，$S = \dfrac{2}{6}\{2 - (-1)\}^3 = \dfrac{1}{3} \times 27 = 9$。

解说　另一种解法：直接积分。$S = \displaystyle\int_{-1}^{2} (-2x^2 + 2x + 4)\,dx = \left[-\dfrac{2}{3}x^3 + x^2 + 4x\right]_{-1}^{2} = \left(-\dfrac{16}{3} + 4 + 8\right) - \left(\dfrac{2}{3} + 1 - 4\right) = \dfrac{20}{3} + \dfrac{7}{3} = 9$。1/6 公式只要求出交点就能写答案，填空题首选；直接积分步骤多，但适用于任何函数，可以拿来验算，也是用不了公式时（三次函数等）的唯一办法。注意公式里的系数是两个函数 $x^2$ 系数之差 $-2$，不是某一条抛物线的系数 $1$。

例 4　（场景：三角函数之间的面积）

問題　$\dfrac{\pi}{4} \leqq x \leqq \dfrac{5}{4}\pi$ において，曲線 $y = \sin x$ と $y = \cos x$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

解答　$\sin x = \cos x$ すなわち $\tan x = 1$ より，$0 \leqq x \leqq 2\pi$ において $x = \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{5}{4}\pi$ である。この間で $x = \dfrac{\pi}{2}$ のとき $\sin x = 1 > 0 = \cos x$ であるから，$\sin x$ が上にある。

$$S = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5}{4}\pi} (\sin x - \cos x)\,dx = \Big[-\cos x - \sin x\Big]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5}{4}\pi} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2\sqrt{2}.$$

中文翻译　题目：求 $\dfrac{\pi}{4} \le x \le \dfrac{5}{4}\pi$ 内曲线 $y = \sin x$ 与 $y = \cos x$ 围成的部分的面积。解答：$\sin x = \cos x$ 即 $\tan x = 1$，在 $0 \le x \le 2\pi$ 内 $x = \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{5}{4}\pi$。在两者之间取 $x = \dfrac{\pi}{2}$：$\sin x = 1 > 0 = \cos x$，$\sin x$ 在上。$S = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5}{4}\pi} (\sin x - \cos x)\,dx = \Big[-\cos x - \sin x\Big]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5}{4}\pi} = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) - \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2\sqrt{2}$。

解说　容易卡在：$\cos\dfrac{5}{4}\pi = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，前面再有一个负号，变成 $+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。符号要一个一个写出来。

例 5　（场景：面积含参数，求最小值）

問題　点 $(1, 2)$ を通り，傾き $m$ の直線と放物線 $y = x^2$ で囲まれた部分の面積を $S(m)$ とする。$S(m)$ の最小値と，そのときの $m$ の値を求めよ。

解答　直線は $y = m(x - 1) + 2$ である。$y = x^2$ と連立すると $x^2 - mx + m - 2 = 0$ になる。判別式は $D = m^2 - 4(m - 2) = (m - 2)^2 + 4 > 0$ であるから，任意の $m$ について共有点は 2 個あり，それらを $\alpha < \beta$ とすると

$$(\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = m^2 - 4(m - 2) = (m - 2)^2 + 4.$$

直線が上で，差は $-(x - \alpha)(x - \beta)$ であるから，6分の1公式より

$$S(m) = \frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3 = \frac{1}{6}\left\{(m - 2)^2 + 4\right\}^{\frac{3}{2}}.$$

$S(m)$ は $(m - 2)^2 + 4$ が大きいほど大きくなる。この式は $m = 2$ のとき最小で $4$ になるから，$m = 2$ のとき $S(m)$ は最小になり，最小値は $\dfrac{1}{6} \times 4^{\frac{3}{2}} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$ である。

中文翻译　题目：过点 $(1, 2)$、斜率为 $m$ 的直线与抛物线 $y = x^2$ 围成的部分的面积记为 $S(m)$。求 $S(m)$ 的最小值和此时的 $m$。解答：直线 $y = m(x - 1) + 2$。与 $y = x^2$ 联立：$x^2 - mx + m - 2 = 0$。判别式 $D = m^2 - 4(m - 2) = (m - 2)^2 + 4 > 0$，所以对任意 $m$ 都有两个交点，设为 $\alpha < \beta$，则 $(\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = m^2 - 4(m - 2) = (m - 2)^2 + 4$。直线在上，差是 $-(x - \alpha)(x - \beta)$，由 1/6 公式 $S(m) = \dfrac{1}{6}(\beta - \alpha)^3 = \dfrac{1}{6}\left\{(m - 2)^2 + 4\right\}^{\frac{3}{2}}$。$S(m)$ 随 $(m - 2)^2 + 4$ 增大而增大。这个式子在 $m = 2$ 时最小，等于 $4$。所以 $m = 2$ 时 $S(m)$ 最小，最小值 $\dfrac{1}{6} \times 4^{\frac{3}{2}} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$。

解说　容易卡在：想把 $\alpha$、$\beta$ 用求根公式写出来再积分。用根与系数的关系求 $\beta - \alpha$ 再套 1/6 公式，省掉一大段计算。

常用推论

• 1/6 公式：$\displaystyle\int_\alpha^\beta (x - \alpha)(x - \beta)\,dx = -\dfrac{(\beta - \alpha)^3}{6}$。推导见本节证明结论 3。
• 1/3 公式：$\displaystyle\int_\alpha^\beta (x - \alpha)^2\,dx = \dfrac{(\beta - \alpha)^3}{3}$。抛物线 $y = ax^2 + \cdots$ 与它在 $x = \alpha$ 处的切线、直线 $x = \beta$ 围成的面积是 $\dfrac{|a|}{3}(\beta - \alpha)^3$。推导：抛物线减切线是 $a(x - \alpha)^2$（切点是二重根），直接积分。
• 1/12 公式：抛物线 $y = ax^2 + \cdots$ 与它在 $x = \alpha$、$x = \beta$ 处的两条切线围成的面积是 $\dfrac{|a|}{12}(\beta - \alpha)^3$。推导：两条切线交点的 $x$ 坐标是 $\dfrac{\alpha + \beta}{2}$，在它两侧分别用 1/3 公式，每块是 $\dfrac{|a|}{3}\left(\dfrac{\beta - \alpha}{2}\right)^3$，两块相加。
• 面积用 $\beta - \alpha$ 表示：交点是二次方程的两根时，$(\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = \dfrac{D}{a^2}$（$D$ 是判别式）。推导：根与系数的关系，见例 5。

易错点

• 错在哪：求 $y = x^3 - 4x$ 与 $x$ 轴围成的面积，写成 $\displaystyle\int_{-2}^{2}(x^3 - 4x)\,dx = 0$。 为什么错：定积分把 $x$ 轴下方的部分算成负数，上下两块抵消了。 正确做法：在零点 $x = 0$ 处分段，下方的部分取负号（或者积分 $|f(x)|$）。
• 错在哪：$y = x^3$ 与 $y = x$ 围成的面积写成 $\displaystyle\int_{-1}^{1}(x - x^3)\,dx$。 为什么错：在 $-1 < x < 0$ 上 $x^3$ 在上，这一段 $x - x^3 < 0$，又被抵消了（结果是 0）。 正确做法：在每个交点处分段，每段重新判断谁在上。
• 错在哪：$y = x^2$ 与 $y = -x^2 + 2x + 4$ 围成的面积用 1/6 公式写成 $\dfrac{1}{6} \times 3^3 = \dfrac{9}{2}$。 为什么错：公式里的系数是两个函数之差的 $x^2$ 系数 $-2$，不是某一条抛物线的系数 1。 正确做法：先作差 $-2x^2 + 2x + 4 = -2(x + 1)(x - 2)$，再用 $\dfrac{|-2|}{6}(\beta - \alpha)^3 = 9$。
• 错在哪：把 1/6 公式用在三次函数与直线围成的面积上。 为什么错：1/6 公式的前提是被积函数为 $a'(x - \alpha)(x - \beta)$；三次函数减直线是三次式，因式分解后是三个因子。 正确做法：三次的情形老老实实积分；如果是切线（如 $a(x - \alpha)^2(x - \beta)$），可以用 $(x - \alpha)$ 为整体展开积分。

直观理解

两条曲线之间的部分切成很多宽 $\Delta x$ 的细长条，每一条近似是长方形，高是“上面的 $y$ 减下面的 $y$”，面积 $\{f(x) - g(x)\}\Delta x$。把所有长条加起来、再让 $\Delta x \to 0$，就是 $\displaystyle\int_a^b \{f(x) - g(x)\}\,dx$。高度是两个 $y$ 的差，所以整块图形上下平移时高度不变，这就是“不管在不在 $x$ 轴上方”的理由。

做题的顺序可以画成一张流程图：

关联知识点

• 前置：第 22 章 22.2 节（定积分是带符号的面积）、22.4 节（定积分的计算）、22.3、22.7 节（三角、指数、对数函数的原始関数和变形积分）。
• 前置：国内书第 4 章（二次函数与一元二次方程，根与系数的关系）、本书第 10 章（高次方程求交点）。
• 常一起考：本书第 21 章 21.7 节（增减表、凹凸画草图）、第 21 章的切线方程（1/3、1/12 公式里的切线）。
• 常一起考：本书第 13 章（$\sin x = \cos x$ 这类三角方程求交点）。
• 后续：23.3 节换成 $y$ 积分或 $t$ 积分；23.5 节旋转体同样要判断谁在外、谁在内。

23.3 いろいろな面積：$y$ で積分・媒介変数表示の曲線

说明

按 $y$ 积分：曲线写成 $x = g(y)$ 的形式时，在 $c \le y \le d$ 上它与 $y$ 轴、直线 $y = c$、$y = d$ 围成的部分的面积是

$$S = \int_c^d |g(y)|\,dy.$$

两条曲线 $x = g_1(y)$、$x = g_2(y)$ 之间，$g_1(y) \ge g_2(y)$ 时

$$S = \int_c^d \{g_1(y) - g_2(y)\}\,dy.$$

口诀从“上减下”变成”右减左“。这时细长条是横的，宽 $\Delta y$，长”右边的 $x$ 减左边的 $x$“。

什么时候按 $y$ 积分：曲线本来就写成 $x = g(y)$（开口向左右的抛物线）；或者按 $x$ 积分要分好几段、按 $y$ 积分只要一段；或者 $y = \log x$ 这类函数，反过来写成 $x = e^y$ 更好积。

媒介変数表示の曲線：曲线写成 $x = f(t)$，$y = g(t)$。$t$ 从 $\alpha$ 变到 $\beta$ 时 $x$ 从 $a$ 单调增加到 $b$，并且 $y \ge 0$，则曲线与 $x$ 轴、$x = a$、$x = b$ 围成的面积是

$$S = \int_a^b y\,dx = \int_\alpha^\beta g(t)\,f'(t)\,dt.$$

这就是第 22 章 22.5 节的置換積分法：$x = f(t)$，$dx = f'(t)\,dt$，上下限跟着换成 $t$ 的值。不必把 $t$ 消掉写成 $y = F(x)$，那样常常写不出来。

使用场景

• 曲线是 $x = g(y)$ 的形式（如 $x = y^2 - 2y$），问它与 $y$ 轴围成的面积：按 $y$ 积分，右减左。
• 按 $x$ 积分要分段，或者被积函数是 $\log x$ 这类难积的函数：换成按 $y$ 积分。
• 曲线用参数 $t$ 表示（サイクロイド、椭圆、$x = t^2$ 型），问它围成的面积：写成 $\displaystyle\int y\,dx$，换成对 $t$ 积分。

注意点

• 按 $y$ 积分时，积分上下限是 $y$ 的值（交点的 $y$ 坐标），不是 $x$ 的值。
• 参数曲线换元时，上下限要对应：$x = a$ 对应的 $t$ 写在下面，$x = b$ 对应的 $t$ 写在上面。如果 $t$ 增加时 $x$ 减少（例如椭圆 $x = a\cos t$ 在 $0 \le t \le \pi$ 上），$t$ 的上下限会是“大在下、小在上”，照写即可，不要擅自交换，否则差一个负号。
• 参数曲线的面积公式里乘的是 $f'(t)$（即 $\dfrac{dx}{dt}$），不是 $g'(t)$。
• EJU 题干的说法：「媒介変数 $t$ を用いて $x = t - \sin t$，$y = 1 - \cos t$ と表される曲線」「$y$ 軸で囲まれた部分」「$y$ について積分すると」。

证明

结论 1：按 $y$ 积分。 把整个图形关于直线 $y = x$ 翻折，$x$ 与 $y$ 互换：曲线 $x = g(y)$ 变成 $y = g(x)$，$y$ 轴变成 $x$ 轴。翻折不改变面积，翻折后用 23.2 节的公式，再把变量名 $x$ 改回 $y$（定积分的值与积分变量用什么字母无关）。（关键一步：关于 $y = x$ 对称是全等变换，“右减左”在翻折后就是“上减下”。）

结论 2：参数曲线的面积。 由 23.2 节，$S = \displaystyle\int_a^b y\,dx$，这里 $y$ 是 $x$ 的函数。用置換積分法（第 22 章 22.5 节）把积分变量换成 $t$：$x = f(t)$，$\dfrac{dx}{dt} = f'(t)$，$x = a$ 时 $t = \alpha$，$x = b$ 时 $t = \beta$，而 $y = g(t)$，所以

$$\int_a^b y\,dx = \int_\alpha^\beta g(t)\,f'(t)\,dt.$$

（关键一步：置換積分法只要求 $x = f(t)$ 可微，不需要把 $y$ 写成 $x$ 的式子，所以对消不掉 $t$ 的曲线也能用。）

例题

例 1　（场景：曲线是 $x = g(y)$ 的形式）

問題　曲線 $x = y^2 - 2y$ と $y$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

解答　$y$ 軸との共有点は $x = 0$ より $y(y - 2) = 0$，$y = 0, 2$ である。$0 < y < 2$ では $x = y(y - 2) < 0$ で，曲線は $y$ 軸の左側にある。よって右が $y$ 軸（$x = 0$），左が曲線であるから

$$S = \int_0^2 \{0 - (y^2 - 2y)\}\,dy = \left[y^2 - \frac{y^3}{3}\right]_0^2 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}.$$

中文翻译　题目：求曲线 $x = y^2 - 2y$ 与 $y$ 轴围成的部分的面积。解答：与 $y$ 轴的交点：$x = 0$，$y(y - 2) = 0$，$y = 0, 2$。在 $0 < y < 2$ 上 $x = y(y - 2) < 0$，曲线在 $y$ 轴左边，所以右边是 $y$ 轴（$x = 0$），左边是曲线：$S = \int_0^2 \{0 - (y^2 - 2y)\}\,dy = \left[y^2 - \dfrac{y^3}{3}\right]_0^2 = 4 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{4}{3}$。

解说　也可以用 1/6 公式：$-(y - 0)(y - 2)$ 在 $0$ 到 $2$ 上的积分是 $\dfrac{1}{6} \times 2^3 = \dfrac{4}{3}$。按 $y$ 积分时口诀是“右减左”，上下限是交点的 $y$ 坐标，不是 $x$ 坐标。

例 2　（场景：$\log x$ 的面积，换成按 $y$ 积分）

問題　曲線 $y = \log x$ の原点を通る接線を $\ell$ とする。曲線，$\ell$ および $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

解答　接点を $(s, \log s)$ とおくと，接線は $y = \dfrac{1}{s}(x - s) + \log s$ である。原点を通るから $0 = -1 + \log s$，よって $s = e$ である。接点は $(e, 1)$，接線は $\ell : y = \dfrac{x}{e}$ である。

$y$ について積分する。$0 \leqq y \leqq 1$ で，右が曲線 $x = e^y$，左が接線 $x = ey$ であるから

$$S = \int_0^1 (e^y - ey)\,dy = \left[e^y - \frac{e}{2}y^2\right]_0^1 = \left(e - \frac{e}{2}\right) - 1 = \frac{e}{2} - 1.$$

中文翻译　题目：曲线 $y = \log x$ 过原点的切线为 $\ell$。求曲线、$\ell$ 和 $x$ 轴围成的部分的面积。解答：设切点 $(s, \log s)$，切线 $y = \dfrac{1}{s}(x - s) + \log s$。过原点：$0 = -1 + \log s$，$s = e$。所以切点 $(e, 1)$，切线 $\ell$：$y = \dfrac{x}{e}$。按 $y$ 积分：$0 \le y \le 1$，右边是曲线 $x = e^y$，左边是切线 $x = ey$。$S = \int_0^1 (e^y - ey)\,dy = \left[e^y - \dfrac{e}{2}y^2\right]_0^1 = \left(e - \dfrac{e}{2}\right) - 1 = \dfrac{e}{2} - 1$。

解说　另一种解法：按 $x$ 积分要分两段：$0 \le x \le 1$ 是切线与 $x$ 轴之间，$1 \le x \le e$ 是切线与曲线之间。合起来等于“切线下的三角形”减去“曲线下 $1$ 到 $e$ 的部分”：$S = \dfrac{1}{2} \cdot e \cdot 1 - \displaystyle\int_1^e \log x\,dx = \dfrac{e}{2} - \Big[x\log x - x\Big]_1^e = \dfrac{e}{2} - \{(e - e) - (0 - 1)\} = \dfrac{e}{2} - 1$。这里 $\displaystyle\int \log x\,dx = x\log x - x + C$ 要用部分積分法（第 22 章 22.6 节）。按 $y$ 积分一段完事，被积函数也简单；按 $x$ 积分适合已经熟记 $\log x$ 原始関数、又能看出“三角形减曲边”的人。

例 3　（场景：参数曲线围成的面积）

問題　曲線 $x = t - \sin t$，$y = 1 - \cos t$（$0 \leqq t \leqq 2\pi$）は，半径 $1$ の円が転がってできるサイクロイドの 1 アーチである。この曲線と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

解答　$\dfrac{dx}{dt} = 1 - \cos t \geqq 0$ より $x$ は $t$ とともに単調に増加し，$t = 0$ のとき $x = 0$，$t = 2\pi$ のとき $x = 2\pi$ である。また $y = 1 - \cos t \geqq 0$ である。

$$S = \int_0^{2\pi} y\,dx = \int_0^{2\pi} (1 - \cos t)(1 - \cos t)\,dt = \int_0^{2\pi} (1 - 2\cos t + \cos^2 t)\,dt.$$

$\cos^2 t = \dfrac{1 + \cos 2t}{2}$（第 13 章の半角の公式）で，$\displaystyle\int_0^{2\pi}\cos t\,dt = 0$，$\displaystyle\int_0^{2\pi}\cos 2t\,dt = 0$ であるから

$$S = 2\pi - 0 + \frac{1}{2} \cdot 2\pi = 3\pi.$$

中文翻译　题目：曲线 $x = t - \sin t$，$y = 1 - \cos t$（$0 \le t \le 2\pi$）是半径 $1$ 的圆滚出的サイクロイド的一拱。求它与 $x$ 轴围成的部分的面积。解答：$\dfrac{dx}{dt} = 1 - \cos t \ge 0$，$x$ 随 $t$ 单调增加，$t = 0$ 时 $x = 0$，$t = 2\pi$ 时 $x = 2\pi$；$y = 1 - \cos t \ge 0$。$S = \int_0^{2\pi} y\,dx = \int_0^{2\pi} (1 - \cos t)(1 - \cos t)\,dt = \int_0^{2\pi} (1 - 2\cos t + \cos^2 t)\,dt$。$\cos^2 t = \dfrac{1 + \cos 2t}{2}$（第 13 章半角公式），$\int_0^{2\pi}\cos t\,dt = 0$，$\int_0^{2\pi}\cos 2t\,dt = 0$，所以 $S = 2\pi - 0 + \dfrac{1}{2} \cdot 2\pi = 3\pi$。

解说　容易卡在：写成 $\displaystyle\int_0^{2\pi}(1 - \cos t)\,dt$，漏乘 $\dfrac{dx}{dt}$，得到 $2\pi$。参数曲线换元时 $y \to 1 - \cos t$、$dx \to (1 - \cos t)\,dt$、上下限换成 $t$，三项一项都不能少。半径 $a$ 的サイクロイド一拱的面积是 $3\pi a^2$。

常用推论

• 椭圆的面积：$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 围成的面积是 $\pi ab$。推导：参数表示 $x = a\cos t$，$y = b\sin t$，上半部分 $t$ 从 $\pi$ 到 $0$ 时 $x$ 从 $-a$ 到 $a$，$S = 2\displaystyle\int_\pi^0 b\sin t \cdot (-a\sin t)\,dt = 2ab\displaystyle\int_0^\pi \sin^2 t\,dt = \pi ab$。$a = b = r$ 时是圆的面积 $\pi r^2$。
• サイクロイド一拱的面积 $= 3\pi a^2$（半径 $a$）。推导：例 3 中处处乘 $a$，面积乘 $a^2$。
• 反函数的面积关系：$f$ 单调增加、$f(0) = 0$ 时，$\displaystyle\int_0^a f(x)\,dx + \displaystyle\int_0^{f(a)} f^{-1}(y)\,dy = a f(a)$。推导：两个积分分别是矩形 $[0, a] \times [0, f(a)]$ 被曲线分开的下块和左块（第 19 章反函数）。

易错点

• 错在哪：按 $y$ 积分时，上下限写成交点的 $x$ 坐标。 为什么错：积分变量是 $y$，上下限必须是 $y$ 的范围。 正确做法：先列出交点的 $y$ 坐标，在草图上看 $y$ 从哪到哪。
• 错在哪：参数曲线的面积写成 $\displaystyle\int_\alpha^\beta g(t)\,dt$。 为什么错：面积是对 $x$ 积分，换成 $t$ 时 $dx = f'(t)\,dt$，漏了 $f'(t)$ 就不是换元。 正确做法：先写 $\displaystyle\int y\,dx$，再一项一项替换：$y \to g(t)$，$dx \to f'(t)\,dt$，上下限换成 $t$。
• 错在哪：椭圆 $x = a\cos t$ 上半部分写成 $\displaystyle\int_0^\pi b\sin t \cdot (-a\sin t)\,dt$，得到负的面积。 为什么错：$t = 0$ 对应 $x = a$（右端），$t = \pi$ 对应 $x = -a$（左端）。$\displaystyle\int_{-a}^{a}$ 换元后应是 $\displaystyle\int_\pi^0$。 正确做法：$x$ 的下限对应的 $t$ 写在下面，照写 $\displaystyle\int_\pi^0$，再用 $\displaystyle\int_\pi^0 = -\displaystyle\int_0^\pi$ 化简。

直观理解

按 $x$ 积分是用竖条去铺，按 $y$ 积分是用横条去铺，铺的是同一块地，面积当然一样（例 2 两种解法）。选哪种，看哪种的“条”两端各只贴着一条曲线：竖条下端有时贴着 $x$ 轴、有时贴着曲线，就得分段；横条两端始终贴着同一对曲线，就一段完事。

参数曲线可以想成一个点按时间 $t$ 走出来的轨迹。$\displaystyle\int y\,\dfrac{dx}{dt}\,dt$ 是在每一小段时间里，点横着走了 $\dfrac{dx}{dt}\,dt$，乘上当时的高度 $y$，得到一根竖条。时间走完，竖条铺满整块面积。

关联知识点

• 前置：第 22 章 22.5 节（置換積分法）、22.6 节（部分積分法，$\log x$ 的积分）。
• 前置：本书第 18 章 18.4 节（媒介変数表示、サイクロイド）、第 19 章（逆関数）、第 13 章（半角公式降次）。
• 前置：国内书第 30 章（椭圆的标准方程），这里给出它的面积 $\pi ab$。
• 常一起考：本书第 21 章（切线方程，如例 2 先求过原点的切线）。
• 后续：23.5 节绕 $y$ 轴旋转时同样按 $y$ 积分；23.6 节参数曲线的长度同样换成 $t$ 积分。

23.4 体積：断面積の積分

说明

立体夹在两个垂直于 $x$ 轴的平面 $x = a$ 与 $x = b$ 之间。用垂直于 $x$ 轴的平面在位置 $x$ 处去截，截面面积是 $S(x)$。则立体的体积是

$$V = \int_a^b S(x)\,dx.$$

这就是把立体切成很多厚 $\Delta x$ 的薄片，每片近似是底面积 $S(x)$、高 $\Delta x$ 的柱体，体积 $S(x)\Delta x$，加起来取极限。

国内书第 18 章 18.5 节的祖暅原理说“截面积处处相等，体积就相等”，这个公式说得更多：“截面积是什么函数，体积就是它的积分”。截面积相等时积分相等，祖暅原理就是它的特例。

做题的三步：

1. 选好积分的方向（截面垂直于哪个轴），定积分范围。
2. 在位置 $x$ 处画出截面，求出 $S(x)$（截面常是正方形、三角形、长方形、圆）。
3. 积分。

使用场景

• 题目说明了截面形状（「$x$ 軸に垂直な平面で切った切り口が正方形」）：直接求 $S(x)$ 积分。
• 圆柱被斜平面切下的楔形之类，题目没给截面：自己选截面方向，选使截面形状最简单的那个。
• 立体用不等式给出（如 $0 \le z \le 1 - x^2 - y^2$）：用垂直于某一轴的平面去截，截面是平面图形，求出面积再积分。

注意点

• 截面必须垂直于积分的那个轴。沿 $x$ 方向积分，就用平面 $x =$ 常数去截。
• $S(x)$ 是截面的面积，要把截面的边长、高都写成 $x$ 的式子。
• 同一个立体可以从不同方向截，截面形状不同，积分的难易也不同（例 2 两种解法）。
• 锥体、球的体积公式可以用这个方法推出来（证明结论 2、3），但做题时直接用公式。
• EJU 题干的说法：「$x$ 軸に垂直な平面で切ったときの切り口」「断面積」「立体の体積を求めよ」「点 $(x, 0, 0)$ を通り $x$ 軸に垂直な平面」。

证明

结论 1：$V = \displaystyle\int_a^b S(x)\,dx$。 设 $V(x)$ 表示立体在 $a$ 到 $x$ 之间那部分的体积。$x$ 增加 $\Delta x$ 时多出来的薄片 $\Delta V$ 夹在两个柱体之间：

$$m\,\Delta x \le \Delta V \le M\,\Delta x,$$

$m$、$M$ 是 $S$ 在 $[x, x + \Delta x]$ 上的最小值和最大值。令 $\Delta x \to 0$，得 $V'(x) = S(x)$。（关键一步：和 23.2 节证明结论 1 完全相同，只是“长条的高”换成“薄片的截面积”。）又 $V(a) = 0$，所以 $V = V(b) = \displaystyle\int_a^b S(x)\,dx$。日本高中教科书就这样说明，把 $S(x)$ 连续当作前提。

结论 2：锥体体积 $V = \dfrac{1}{3}Sh$。 底面积 $S$、高 $h$ 的锥体，以顶点为原点、沿高的方向取 $x$ 轴。距顶点 $x$ 处的截面与底面相似，相似比 $\dfrac{x}{h}$，面积比是相似比的平方（国内书第 18 章 18.2 节）：$S(x) = S\left(\dfrac{x}{h}\right)^2$。

$$V = \int_0^h S\frac{x^2}{h^2}\,dx = \frac{S}{h^2} \cdot \frac{h^3}{3} = \frac{1}{3}Sh.$$

结论 3：球的体积 $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$。 半径 $r$ 的球，球心为原点，距球心 $x$ 处的截面是半径 $\sqrt{r^2 - x^2}$ 的圆，$S(x) = \pi(r^2 - x^2)$。

$$V = \int_{-r}^{r} \pi(r^2 - x^2)\,dx = 2\pi\left[r^2x - \frac{x^3}{3}\right]_0^r = 2\pi \cdot \frac{2}{3}r^3 = \frac{4}{3}\pi r^3.$$

例题

例 1　（场景：题目给出截面形状）

問題　底面が $xy$ 平面上の円 $x^2 + y^2 \leqq 1$ である立体がある。この立体を $x$ 軸に垂直な平面で切ると，切り口はつねに正方形で，その一辺は底面の円の弦になる。この立体の体積を求めよ。

解答　位置 $x$（$-1 \leqq x \leqq 1$）において，切り口の正方形の一辺は円の弦で，その両端の $y$ 座標は $y = \pm\sqrt{1 - x^2}$ であるから，一辺の長さは $2\sqrt{1 - x^2}$ である。

$$S(x) = \left(2\sqrt{1 - x^2}\right)^2 = 4(1 - x^2).$$ $$V = \int_{-1}^{1} 4(1 - x^2)\,dx = 8\int_0^1 (1 - x^2)\,dx = 8 \cdot \frac{2}{3} = \frac{16}{3}.$$

中文翻译　题目：一个立体的底面是 $xy$ 平面上的圆 $x^2 + y^2 \le 1$，用垂直于 $x$ 轴的平面去截，截面都是一边在底面上的正方形。求这个立体的体积。解答：位置 $x$（$-1 \le x \le 1$）处，截面的一边是圆的弦，两端 $y = \pm\sqrt{1 - x^2}$，边长 $2\sqrt{1 - x^2}$。$S(x) = \left(2\sqrt{1 - x^2}\right)^2 = 4(1 - x^2)$。$V = \int_{-1}^{1} 4(1 - x^2)\,dx = 8\int_0^1 (1 - x^2)\,dx = 8 \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{16}{3}$。

解说　容易卡在：把正方形的边长写成 $\sqrt{1 - x^2}$。$\sqrt{1 - x^2}$ 只是从 $x$ 轴到圆周的一半，弦长是它的两倍，要在底面图上把 $y = \pm\sqrt{1 - x^2}$ 两个端点都标出来。另外，截面积处处乘 $k$ 时体积也乘 $k$，所以底面换成半径 $r$ 的圆时体积变成 $\dfrac{16}{3}r^3$。

例 2　（场景：题目没给截面，自己选方向）

問題　底面の半径が $3$ の直円柱を，底面の直径 $AB$ を通り，底面と $45°$ の角をなす平面で切る。切り取られる小さい方の部分（くさび形）の体積を求めよ。

解答　底面の中心を原点とし，$AB$ を $x$ 軸，底面を $xy$ 平面にとる。くさび形は $y \geqq 0$ の側にある。斜めの平面は $x$ 軸を通り $45°$ 傾いているから，その方程式は $z = y$ である。くさび形は $x^2 + y^2 \leqq 9$，$y \geqq 0$，$0 \leqq z \leqq y$ で表される。

$x$ 軸に垂直な平面で切る。位置 $x$ において，$y$ は $0$ から $\sqrt{9 - x^2}$ まで動き，高さは $z = y$ であるから，切り口は直角をはさむ 2 辺の長さが $\sqrt{9 - x^2}$ の直角二等辺三角形である：

$$S(x) = \frac{1}{2}(9 - x^2).$$ $$V = \int_{-3}^{3} \frac{1}{2}(9 - x^2)\,dx = \int_0^3 (9 - x^2)\,dx = 27 - 9 = 18.$$

中文翻译　题目：底面半径 $3$ 的直圆柱，用一个过底面直径 $AB$、与底面成 $45°$ 角的平面去切，求切下的较小部分（楔形）的体积。解答：以底面圆心为原点，$AB$ 为 $x$ 轴，底面在 $xy$ 平面。楔形在 $y \ge 0$ 一侧。斜平面过 $x$ 轴、倾斜 $45°$，方程 $z = y$。楔形是 $x^2 + y^2 \le 9$，$y \ge 0$，$0 \le z \le y$。用垂直于 $x$ 轴的平面截：位置 $x$ 处，$y$ 从 $0$ 到 $\sqrt{9 - x^2}$，高 $z = y$，截面是两条直角边都等于 $\sqrt{9 - x^2}$ 的等腰直角三角形：$S(x) = \dfrac{1}{2}(9 - x^2)$。$V = \int_{-3}^{3} \dfrac{1}{2}(9 - x^2)\,dx = \int_0^3 (9 - x^2)\,dx = 27 - 9 = 18$。

解说　另一种解法：用垂直于 $y$ 轴的平面截。位置 $y$（$0 \le y \le 3$）处，$x$ 从 $-\sqrt{9 - y^2}$ 到 $\sqrt{9 - y^2}$，高 $z$ 从 $0$ 到 $y$，截面是长 $2\sqrt{9 - y^2}$、高 $y$ 的长方形：$V = \displaystyle\int_0^3 2y\sqrt{9 - y^2}\,dy = \left[-\dfrac{2}{3}(9 - y^2)^{\frac{3}{2}}\right]_0^3 = \dfrac{2}{3} \cdot 27 = 18$。这里用了置換積分法（$u = 9 - y^2$）。垂直于 $x$ 轴的截面是三角形，被积函数是多项式，最好算；垂直于 $y$ 轴的截面是长方形，形状更好想，但积分要换元。考场上先在两个方向各画一眼截面，挑积分简单的那个。

例 3　（场景：立体用不等式给出）

問題　不等式 $0 \leqq z \leqq 1 - x^2 - y^2$ が表す立体の体積を求めよ。

解答　$z$ 軸に垂直な平面で切る。高さ $z$（$0 \leqq z \leqq 1$）における切り口は $x^2 + y^2 \leqq 1 - z$，すなわち半径 $\sqrt{1 - z}$ の円である：

$$S(z) = \pi(1 - z).$$ $$V = \int_0^1 \pi(1 - z)\,dz = \pi\left[z - \frac{z^2}{2}\right]_0^1 = \frac{\pi}{2}.$$

中文翻译　题目：求不等式 $0 \le z \le 1 - x^2 - y^2$ 表示的立体的体积。解答：用垂直于 $z$ 轴的平面截。高度 $z$（$0 \le z \le 1$）处，截面是 $x^2 + y^2 \le 1 - z$，半径 $\sqrt{1 - z}$ 的圆：$S(z) = \pi(1 - z)$。$V = \int_0^1 \pi(1 - z)\,dz = \pi\left[z - \dfrac{z^2}{2}\right]_0^1 = \dfrac{\pi}{2}$。

解说　容易卡在：想用垂直于 $x$ 轴的平面截，截面是抛物线下的弓形，面积又要再积一次。按 $z$ 截，截面是圆，一步得到。选截面方向的原则是让截面的形状和面积最好写，不是固定沿 $x$ 轴。

常用推论

• 锥体 $V = \dfrac{1}{3}Sh$，球 $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$。推导见本节证明结论 2、3。
• 祖暅原理（卡瓦列里原理）：两个立体在每个位置 $x$ 的截面积相等，则体积相等。推导：$S_1(x) = S_2(x)$，积分相等。
• 截面积按比例缩放：截面积处处乘 $k$，体积也乘 $k$。推导：$\displaystyle\int kS(x)\,dx = k\displaystyle\int S(x)\,dx$。例如底面换成半径 $r$ 的圆，例 1 的体积变成 $\dfrac{16}{3}r^3$。

易错点

• 错在哪：例 1 截面正方形的边长写成 $\sqrt{1 - x^2}$。 为什么错：$\sqrt{1 - x^2}$ 只是从 $x$ 轴到圆周的一半，弦长是它的两倍。 正确做法：在底面图上把弦的两个端点 $y = \pm\sqrt{1 - x^2}$ 都标出来，边长是两者之差。
• 错在哪：截面不垂直于积分轴，例如沿 $x$ 方向积分，却用斜平面截出的面积。 为什么错：公式里的薄片厚度 $\Delta x$ 是沿 $x$ 轴量的，只有垂直于 $x$ 轴的截面才和它配成“底面积 × 高”。 正确做法：截面平面写成”$x =$ 常数“的形式，再求它和立体的交。
• 错在哪：例 2 的斜平面写成 $z = x$。 为什么错：平面过直径 AB（$x$ 轴），沿 $x$ 方向高度不变，只随离 AB 的距离 $y$ 升高。 正确做法：过 $x$ 轴、倾角 $\theta$ 的平面是 $z = y\tan\theta$，$45°$ 时 $z = y$。

直观理解

把一条吐司面包切成很多薄片：每片的体积约是“切面面积 × 片厚”，全部加起来就是整条面包。片切得越薄，加出来越准，极限就是积分。面包各处粗细不同，切面面积随位置变，就是 $S(x)$。

祖暅原理说的是两条形状不同的面包，只要每一刀切出来的面积都一样，总体积就一样；积分公式则直接告诉你总体积是多少。

关联知识点

• 前置：国内书第 18 章 18.2 节（相似截面）、18.5 节（祖暅原理，柱、锥、球的体积公式）。
• 前置：第 22 章 22.4、22.5 节（定积分的计算、置換積分法）。
• 前置：本书第 16 章（空间坐标、平面方程），立体常用坐标或不等式给出。
• 后续：23.5 节旋转体是截面为圆的特例，$S(x) = \pi\{f(x)\}^2$。
• 本书第 6 章（空间图形的计量）：锥体、球的体积公式在那里直接用。

23.5 回転体の体積

说明

绕 $x$ 轴旋转：$a \le x \le b$ 上，曲线 $y = f(x)$、$x$ 轴、直线 $x = a$、$x = b$ 围成的部分绕 $x$ 轴转一周，得到的旋转体的体积是

$$V = \pi\int_a^b \{f(x)\}^2\,dx = \pi\int_a^b y^2\,dx.$$

位置 $x$ 处的截面是半径 $|f(x)|$ 的圆，$S(x) = \pi\{f(x)\}^2$，代入 23.4 节的公式。

两条曲线之间的部分绕 $x$ 轴旋转：在 $a \le x \le b$ 上 $f(x) \ge g(x) \ge 0$，两条曲线之间的部分绕 $x$ 轴转一周，截面是外半径 $f(x)$、内半径 $g(x)$ 的圆环：

$$V = \pi\int_a^b \left[\{f(x)\}^2 - \{g(x)\}^2\right]dx.$$

绕 $y$ 轴旋转：$c \le y \le d$ 上，曲线 $x = g(y)$、$y$ 轴、直线 $y = c$、$y = d$ 围成的部分绕 $y$ 轴转一周：

$$V = \pi\int_c^d \{g(y)\}^2\,dy = \pi\int_c^d x^2\,dy.$$

曲线给成 $y = f(x)$ 时，要先解出 $x = g(y)$；解不出来，或者解出两支时，可以用置換積分法把 $\displaystyle\int x^2\,dy$ 换回对 $x$ 积分：$dy = f'(x)\,dx$。

参数曲线的旋转体：$x = f(t)$，$y = g(t)$，绕 $x$ 轴：$V = \pi\displaystyle\int y^2\,dx = \pi\displaystyle\int_\alpha^\beta \{g(t)\}^2 f'(t)\,dt$。

使用场景

• 一条曲线与 $x$ 轴之间的部分绕 $x$ 轴旋转：$\pi\displaystyle\int y^2\,dx$，被积函数含 $\sin^2 x$、$e^{2x}$ 等时用第 22 章 22.7 节的方法。
• 两条曲线之间的部分绕 $x$ 轴旋转：截面是圆环，外半径的平方减内半径的平方。
• 绕 $y$ 轴旋转：把曲线写成 $x = g(y)$，对 $y$ 积分；曲线对每个 $y$ 有两个 $x$ 时，截面是圆环。
• 参数曲线（サイクロイド等）绕 $x$ 轴旋转：$\pi\displaystyle\int y^2\,dx$ 换成对 $t$ 积分。

注意点

• 公式前面的 $\pi$ 不要忘；被积函数是 $y^2$，不是 $y$。
• 圆环要先平方再相减：$f^2 - g^2$，不是 $(f - g)^2$。
• 绕 $y$ 轴时积分变量是 $y$，上下限是 $y$ 的范围。
• 图形跨在旋转轴两侧时（一部分在 $x$ 轴上方、一部分在下方），转出来的立体会重叠。把下方的部分翻到上方，每个 $x$ 处取离轴较远的那一个作半径，不能两部分体积直接相加。
• 曲线在 $x$ 轴下方时 $\{f(x)\}^2$ 仍然是正数，不必像面积那样加负号。
• EJU 题干的说法：「$x$ 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積」「$y$ 軸のまわりに 1 回転」「回転体」。

证明

结论 1：绕 $x$ 轴。 旋转体上，过点 $(x, 0, 0)$ 且垂直于 $x$ 轴的平面截出的，是曲线上的点 $(x, f(x))$ 绕 $x$ 轴转一圈画出的圆盘，半径 $|f(x)|$，面积 $\pi\{f(x)\}^2$。代入 23.4 节结论 1：$V = \displaystyle\int_a^b \pi\{f(x)\}^2\,dx$。（关键一步：旋转体垂直于旋转轴的截面一定是圆或圆环，所以 $S(x)$ 总能写出来。）

结论 2：圆环。 两条曲线之间的线段 $g(x) \le y \le f(x)$ 绕 $x$ 轴转一圈，扫出外半径 $f(x)$、内半径 $g(x)$ 的圆环，面积 $\pi f^2 - \pi g^2$。再积分。

结论 3：绕 $y$ 轴。 把 $x$、$y$ 的角色互换，截面是垂直于 $y$ 轴的圆，半径 $|g(y)|$，同理得 $V = \pi\displaystyle\int_c^d \{g(y)\}^2\,dy$。

例题

例 1　（场景：一条曲线绕 $x$ 轴）

問題　$0 \leqq x \leqq \pi$ において，曲線 $y = \sin x$ と $x$ 軸で囲まれた部分を $x$ 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積を求めよ。

解答

$$V = \pi\int_0^\pi \sin^2 x\,dx = \pi\int_0^\pi \frac{1 - \cos 2x}{2}\,dx = \frac{\pi}{2}\left[x - \frac{\sin 2x}{2}\right]_0^\pi = \frac{\pi}{2} \cdot \pi = \frac{\pi^2}{2}.$$

中文翻译　题目：在 $0 \le x \le \pi$ 上，曲线 $y = \sin x$ 与 $x$ 轴围成的部分绕 $x$ 轴转一周，求旋转体的体积。解答：$V = \pi\int_0^\pi \sin^2 x\,dx = \pi\int_0^\pi \dfrac{1 - \cos 2x}{2}\,dx = \dfrac{\pi}{2}\left[x - \dfrac{\sin 2x}{2}\right]_0^\pi = \dfrac{\pi}{2} \cdot \pi = \dfrac{\pi^2}{2}$。

解说　容易卡在：$\sin^2 x$ 不会积。用半角公式降次（第 13 章、第 22 章 22.7 节）。旋转体的被积函数是 $y^2$，不是 $y$，公式前面的 $\pi$ 也不要忘。

例 2　（场景：两条曲线之间绕 $x$ 轴）

問題　直線 $y = x$ と放物線 $y = x^2$ で囲まれた部分を $x$ 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積を求めよ。

解答　共有点は $x = 0, 1$ である。$0 \leqq x \leqq 1$ では $x \geqq x^2 \geqq 0$ であるから，切り口は外半径 $x$，内半径 $x^2$ の円環である。

$$V = \pi\int_0^1 (x^2 - x^4)\,dx = \pi\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) = \frac{2}{15}\pi.$$

中文翻译　题目：直线 $y = x$ 与抛物线 $y = x^2$ 围成的部分绕 $x$ 轴转一周，求旋转体的体积。解答：交点 $x = 0, 1$。$0 \le x \le 1$ 上 $x \ge x^2 \ge 0$，截面是外半径 $x$、内半径 $x^2$ 的圆环。$V = \pi\int_0^1 (x^2 - x^4)\,dx = \pi\left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5}\right) = \dfrac{2}{15}\pi$。

解说　两条曲线之间的部分绕 $x$ 轴旋转，截面是圆环，面积是外半径的平方减内半径的平方：$\pi(x^2 - x^4)$。容易写错成 $\pi(x - x^2)^2$，那是把细长条的高当成了半径，算出来是 $\dfrac{\pi}{30}$，不是圆环。

例 3　（场景：绕 $y$ 轴，曲线对一个 $y$ 有两个 $x$）

問題　放物線 $y = -x^2 + 2x$ と $x$ 軸で囲まれた部分を $y$ 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積を求めよ。

解答　放物線の頂点は $(1, 1)$ で，$x$ 軸との共有点は $x = 0, 2$ である。$0 \leqq y \leqq 1$ において，$x^2 - 2x + y = 0$ を解くと

$$x_1 = 1 - \sqrt{1 - y}, \qquad x_2 = 1 + \sqrt{1 - y}.$$

高さ $y$ における切り口は外半径 $x_2$，内半径 $x_1$ の円環である：

$$V = \pi\int_0^1 (x_2^2 - x_1^2)\,dy = \pi\int_0^1 (x_2 + x_1)(x_2 - x_1)\,dy = \pi\int_0^1 2 \cdot 2\sqrt{1 - y}\,dy = 4\pi\left[-\frac{2}{3}(1 - y)^{\frac{3}{2}}\right]_0^1 = \frac{8}{3}\pi.$$

中文翻译　题目：抛物线 $y = -x^2 + 2x$ 与 $x$ 轴围成的部分绕 $y$ 轴转一周，求旋转体的体积。解答：抛物线顶点 $(1, 1)$，与 $x$ 轴交于 $x = 0, 2$。对 $0 \le y \le 1$，由 $x^2 - 2x + y = 0$ 解出两个 $x$：$x_1 = 1 - \sqrt{1 - y}$，$x_2 = 1 + \sqrt{1 - y}$。高度 $y$ 处截面是外半径 $x_2$、内半径 $x_1$ 的圆环：$V = \pi\int_0^1 (x_2^2 - x_1^2)\,dy = \pi\int_0^1 (x_2 + x_1)(x_2 - x_1)\,dy = \pi\int_0^1 2 \cdot 2\sqrt{1 - y}\,dy = 4\pi\left[-\dfrac{2}{3}(1 - y)^{\frac{3}{2}}\right]_0^1 = \dfrac{8}{3}\pi$。

解说　另一种解法（补充・発展，不是教科书正文的标准方法）：把图形切成以 $y$ 轴为中心的薄圆筒。半径 $x$、高 $y = -x^2 + 2x$、厚 $\Delta x$ 的圆筒展开近似一块长方体，体积约 $2\pi x \cdot y \cdot \Delta x$：$V = 2\pi\displaystyle\int_0^2 x(-x^2 + 2x)\,dx = 2\pi\left[-\dfrac{x^4}{4} + \dfrac{2}{3}x^3\right]_0^2 = 2\pi\left(-4 + \dfrac{16}{3}\right) = \dfrac{8}{3}\pi$。这个公式日本参考书叫「バウムクーヘン積分」（年轮蛋糕积分）。在 EJU 的填空题里直接用它得出数值没有问题，但它不是所有教科书的正文内容，题目的引导（誘導）通常按圆环截面一步一步来。圆环法要解出 $x = g(y)$，曲线在 $y$ 方向有两支时很麻烦；圆筒法始终对 $x$ 积分，适合 $y = f(x)$ 解不出 $x$ 的情形，可以拿来快速验算。

例 4　（场景：参数曲线绕 $x$ 轴）

問題　サイクロイド $x = t - \sin t$，$y = 1 - \cos t$（$0 \leqq t \leqq 2\pi$）と $x$ 軸で囲まれた部分を $x$ 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積を求めよ。

解答　$dx = (1 - \cos t)\,dt$ で，$t$ が $0$ から $2\pi$ まで動くとき $x$ は $0$ から $2\pi$ まで動く。

$$V = \pi\int_0^{2\pi} y^2\,dx = \pi\int_0^{2\pi} (1 - \cos t)^3\,dt = \pi\int_0^{2\pi} (1 - 3\cos t + 3\cos^2 t - \cos^3 t)\,dt.$$

$0$ から $2\pi$ までの積分で，$\displaystyle\int\cos t\,dt = 0$，$\displaystyle\int\cos^3 t\,dt = 0$（$\cos^3 t = \cos t(1 - \sin^2 t)$ で，原始関数 $\sin t - \dfrac{\sin^3 t}{3}$ は両端で $0$），$\displaystyle\int\cos^2 t\,dt = \pi$ である。よって

$$V = \pi(2\pi + 3\pi) = 5\pi^2.$$

中文翻译　题目：サイクロイド $x = t - \sin t$，$y = 1 - \cos t$（$0 \le t \le 2\pi$）与 $x$ 轴围成的部分绕 $x$ 轴转一周，求旋转体的体积。解答：$dx = (1 - \cos t)\,dt$，$t$ 从 $0$ 到 $2\pi$ 对应 $x$ 从 $0$ 到 $2\pi$。$V = \pi\int_0^{2\pi} y^2\,dx = \pi\int_0^{2\pi} (1 - \cos t)^3\,dt = \pi\int_0^{2\pi} (1 - 3\cos t + 3\cos^2 t - \cos^3 t)\,dt$。在 $0$ 到 $2\pi$ 上，$\int\cos t\,dt = 0$，$\int\cos^3 t\,dt = 0$（$\cos^3 t = \cos t(1 - \sin^2 t)$，原函数 $\sin t - \dfrac{\sin^3 t}{3}$ 在两端都是 $0$），$\int\cos^2 t\,dt = \pi$。所以 $V = \pi(2\pi + 3\pi) = 5\pi^2$。

解说　参数曲线的体积里乘的是 $\dfrac{dx}{dt}$，和 23.3 节的面积是同一个道理；漏掉它写成 $\pi\displaystyle\int_0^{2\pi}(1 - \cos t)^2\,dt$ 就错了。展开 $(1 - \cos t)^3$ 时注意 $\cos^3 t$ 一项在整周期上的积分为 $0$，只需算 $\cos^2 t$ 的 $\pi$。

常用推论

• 圆锥：$y = \dfrac{r}{h}x$（$0 \le x \le h$）绕 $x$ 轴，$V = \pi\displaystyle\int_0^h \dfrac{r^2}{h^2}x^2\,dx = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$。
• 球：$y = \sqrt{r^2 - x^2}$ 绕 $x$ 轴，$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$，和 23.4 节证明结论 3 是同一个计算。
• 圆筒法（バウムクーヘン積分，补充・発展）：$0 \le a < b$，$f(x) \ge 0$，曲线 $y = f(x)$ 与 $x$ 轴、$x = a$、$x = b$ 围成的部分绕 $y$ 轴，$V = 2\pi\displaystyle\int_a^b x f(x)\,dx$。推导：薄圆筒的体积近似 $2\pi x f(x)\Delta x$，或者对例 3 的圆环积分做换元，结果相同。
• 半径 $a$ 的サイクロイド一拱绕 $x$ 轴：$V = 5\pi^2a^3$。推导：例 4 中处处乘 $a$，体积乘 $a^3$。

易错点

• 错在哪：例 2 写成 $V = \pi\displaystyle\int_0^1 (x - x^2)^2\,dx = \dfrac{\pi}{30}$。 为什么错：这是把细长条的高 $x - x^2$ 当作半径，转出来的是实心圆盘，不是圆环；圆环面积是 $\pi(\text{外}^2 - \text{内}^2)$。 正确做法：$\pi\displaystyle\int_0^1 \{x^2 - (x^2)^2\}\,dx = \dfrac{2}{15}\pi$。
• 错在哪：绕 $y$ 轴的体积写成 $\pi\displaystyle\int_0^2 y^2\,dx$。 为什么错：绕哪个轴转，截面就垂直于哪个轴，半径是到该轴的距离 $x$，积分变量是 $y$。 正确做法：$\pi\displaystyle\int x^2\,dy$，上下限是 $y$ 的范围；或用圆筒法 $2\pi\displaystyle\int x f(x)\,dx$。
• 错在哪：图形跨在 $x$ 轴两侧时，上下两部分分别算体积再相加。 为什么错：两部分转出来的立体重叠，重叠处被算了两次。 正确做法：把 $x$ 轴下方的部分关于 $x$ 轴翻到上方，与上方部分合并，每个 $x$ 处取离 $x$ 轴最远的点作半径。
• 错在哪：参数曲线的体积写成 $\pi\displaystyle\int_0^{2\pi}(1 - \cos t)^2\,dt$。 为什么错：漏了 $\dfrac{dx}{dt}$，和 23.3 节的面积是同一个错。 正确做法：$\pi\displaystyle\int y^2\,dx = \pi\displaystyle\int y^2\,\dfrac{dx}{dt}\,dt$。

直观理解

旋转体就是陶艺转盘上拉出来的瓶子。从侧面看，瓶子的轮廓是 $y = f(x)$；用刀垂直于转轴切，每个切口都是圆，半径就是那里的轮廓高度。所以旋转体的体积只要把“每个切口的圆面积”加起来，比一般立体还好算。

挖空的瓶子（两条曲线之间旋转）切口是圆环：外圆减内圆。外圆半径 0.6、内圆半径 0.36 时，圆环面积是 $\pi(0.36 - 0.1296)$，不是 $\pi(0.6 - 0.36)^2$。

关联知识点

• 前置：23.4 节（截面积的积分）；23.3 节（按 $y$ 积分、参数曲线换元）。
• 前置：第 22 章 22.5 节（置換積分法）、22.7 节（$\sin^2 x$、$\cos^3 x$ 的积分）。
• 前置：国内书第 18 章 18.5 节（圆锥、球的体积公式，这里用积分重新得到）。
• 本书第 18 章 18.4 节：サイクロイド的参数表示。
• 常一起考：23.2 节，同一个图形先问面积、再问旋转体体积，是 EJU 大问的常见结尾。

23.6 曲線の長さと速度・道のり

说明

参数曲线的长度：曲线 $x = f(t)$，$y = g(t)$（$\alpha \le t \le \beta$），$f'(t)$、$g'(t)$ 连续，曲线不重复走同一段时，长度是

$$L = \int_\alpha^\beta \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt = \int_\alpha^\beta \sqrt{\{f'(t)\}^2 + \{g'(t)\}^2}\,dt.$$

$y = f(x)$ 的长度：取 $x$ 本身当参数（$x = t$，$y = f(t)$），$\dfrac{dx}{dt} = 1$：

$$L = \int_a^b \sqrt{1 + \{f'(x)\}^2}\,dx.$$

直线上运动的位置和道のり：点 P 在数轴上运动，时刻 $t$ 的速度是 $v(t)$（第 21 章 21.8 节：$v = \dfrac{dx}{dt}$）。从 $t = a$ 到 $t = b$：

$$\text{位置的变化量} = \int_a^b v(t)\,dt, \qquad \text{道のり} = \int_a^b |v(t)|\,dt.$$

时刻 $b$ 的位置 $=$ 时刻 $a$ 的位置 $+ \displaystyle\int_a^b v(t)\,dt$。道のり（路程）是实际走过的总长度，往回走的部分也算正的，所以要加绝对值，和 23.2 节“面积要加绝对值”是同一件事。

平面上运动的道のり：点 P$(x, y)$ 的坐标是 $t$ 的函数，速度的大小（速さ）是 $|\vec{v}| = \sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}$（第 21 章 21.8 节），道のり $= \displaystyle\int_a^b |\vec{v}|\,dt$，就是轨迹的曲线长。

使用场景

• 给出 $y = f(x)$ 求一段曲线的长：$\displaystyle\int\sqrt{1 + (y')^2}\,dx$，题目的函数一般会让根号里成为完全平方。
• 给出参数曲线（サイクロイド、アステロイド、$e^t\cos t$ 型）求长度：$\displaystyle\int\sqrt{(x')^2 + (y')^2}\,dt$，根号里常要用 $\sin^2 + \cos^2 = 1$ 或半角公式化简。
• 数轴上运动，给出速度 $v(t)$，问某时刻的位置或走过的道のり：位置用 $\displaystyle\int v\,dt$，道のり用 $\displaystyle\int|v|\,dt$，在 $v = 0$ 处分段。
• 平面上运动，给出 $x(t)$、$y(t)$，问走过的道のり：就是曲线长的公式。

注意点

• 曲线长的被积函数一定是正的，根号开出来时要注意符号：$\sqrt{A^2} = |A|$。例如 $\sqrt{4\sin^2\dfrac{t}{2}} = 2\left|\sin\dfrac{t}{2}\right|$，要看 $t$ 的范围决定能不能去掉绝对值。
• 能求出长度的题，根号里几乎都能化成完全平方或常数；化不开时先检查导数算对没有。
• “位置的变化量”（日本教科书也叫「位置の変化量」）可正可负；“道のり”总是非负。题目问「道のり」时，$v(t)$ 变号的地方必须分段。
• 速度 $v$ 和速さ $|v|$ 是两个词：「速度」有符号（有方向），「速さ」是大小。
• EJU 题干的说法：「曲線の長さ $L$ を求めよ」「点 P が動く道のり」「時刻 $t$ における速度」「$t = 0$ から $t = 3$ までに P が通過する道のり」。

证明

结论 1：曲线长公式。 把 $[\alpha, \beta]$ 分成很多小段。$t$ 增加 $\Delta t$ 时，点从 $(x, y)$ 移到 $(x + \Delta x, y + \Delta y)$，这一小段曲线的长近似等于弦长

$$\Delta s \approx \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{\left(\frac{\Delta x}{\Delta t}\right)^2 + \left(\frac{\Delta y}{\Delta t}\right)^2}\,\Delta t.$$

（关键一步：把 $\Delta t$ 提到根号外，根号里变成平均变化率，$\Delta t \to 0$ 时趋于 $\dfrac{dx}{dt}$、$\dfrac{dy}{dt}$。）全部小段加起来，取极限得到公式。日本高中教科书这样说明；严格证明要先把“曲线的长度”定义为内接折线长的上确界，属于大学微积分。

结论 2：$y = f(x)$ 的情形。 令 $x = t$，$y = f(t)$，则 $\dfrac{dx}{dt} = 1$，$\dfrac{dy}{dt} = f'(t)$，代入结论 1。

结论 3：位置的变化量。 位置 $x(t)$ 是速度 $v(t)$ 的原始関数（$x'(t) = v(t)$），由第 22 章 22.4 节的微分積分学の基本定理，$\displaystyle\int_a^b v(t)\,dt = x(b) - x(a)$。道のり：在 $v \ge 0$ 的时段点向正方向走，走过的长度等于位置增加量 $\displaystyle\int v\,dt$；在 $v \le 0$ 的时段点向负方向走，走过的长度是位置减少量 $-\displaystyle\int v\,dt$。两者合起来是 $\displaystyle\int|v|\,dt$。

例题

例 1　（场景：$y = f(x)$ 的曲线长）

問題　曲線 $y = \dfrac{2}{3}x\sqrt{x}$（$0 \leqq x \leqq 3$）の長さを求めよ。

解答　$y = \dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$ より $y' = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$，$1 + (y')^2 = 1 + x$ である。

$$L = \int_0^3 \sqrt{1 + x}\,dx = \left[\frac{2}{3}(1 + x)^{\frac{3}{2}}\right]_0^3 = \frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{14}{3}.$$

中文翻译　题目：求曲线 $y = \dfrac{2}{3}x\sqrt{x}$（$0 \le x \le 3$）的长度。解答：$y = \dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$，$y' = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$，$1 + (y')^2 = 1 + x$。$L = \int_0^3 \sqrt{1 + x}\,dx = \left[\dfrac{2}{3}(1 + x)^{\frac{3}{2}}\right]_0^3 = \dfrac{2}{3}(8 - 1) = \dfrac{14}{3}$。

解说　曲线长的被积函数是 $\sqrt{1 + (y')^2}$，导数要平方、根号不能丢。这条题根号里正好是 $1 + x$，直接当 $(1 + x)^{1/2}$ 积分即可；能求出长度的题，根号里几乎都能化成完全平方或这样的单项式，化不开时先检查导数算对没有。

例 2　（场景：参数曲线的长度）

問題　サイクロイド $x = t - \sin t$，$y = 1 - \cos t$（$0 \leqq t \leqq 2\pi$）の 1 アーチの長さを求めよ。

解答　$\dfrac{dx}{dt} = 1 - \cos t$，$\dfrac{dy}{dt} = \sin t$ である。

$$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = 1 - 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t = 2(1 - \cos t) = 4\sin^2\frac{t}{2}.$$

最後の変形は半角の公式 $1 - \cos t = 2\sin^2\dfrac{t}{2}$ による。$0 \leqq t \leqq 2\pi$ のとき $0 \leqq \dfrac{t}{2} \leqq \pi$ で $\sin\dfrac{t}{2} \geqq 0$ であるから，根号は $2\sin\dfrac{t}{2}$ になる：

$$L = \int_0^{2\pi} 2\sin\frac{t}{2}\,dt = \left[-4\cos\frac{t}{2}\right]_0^{2\pi} = -4(-1) + 4 = 8.$$

中文翻译　题目：求サイクロイド $x = t - \sin t$，$y = 1 - \cos t$（$0 \le t \le 2\pi$）一拱的长度。解答：$\dfrac{dx}{dt} = 1 - \cos t$，$\dfrac{dy}{dt} = \sin t$。$\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2 = 1 - 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t = 2(1 - \cos t) = 4\sin^2\dfrac{t}{2}$。最后一步是半角公式 $1 - \cos t = 2\sin^2\dfrac{t}{2}$。$0 \le t \le 2\pi$ 时 $0 \le \dfrac{t}{2} \le \pi$，$\sin\dfrac{t}{2} \ge 0$，所以根号开出来是 $2\sin\dfrac{t}{2}$：$L = \int_0^{2\pi} 2\sin\dfrac{t}{2}\,dt = \left[-4\cos\dfrac{t}{2}\right]_0^{2\pi} = -4(-1) + 4 = 8$。

解说　容易卡在：看到 $\sqrt{2 - 2\cos t}$ 不会积。见到 $1 - \cos t$ 就想半角公式，把根号开掉。开根号时要写成 $\sqrt{4\sin^2\dfrac{t}{2}} = 2\left|\sin\dfrac{t}{2}\right|$，再按 $t$ 的范围去掉绝对值；本题 $\sin\dfrac{t}{2} \ge 0$ 才能直接写成 $2\sin\dfrac{t}{2}$。半径 $a$ 时长度是 $8a$。

例 3　（场景：数轴上运动的位置和道のり）

問題　数直線上を運動する点 P の時刻 $t$ における速度が $v(t) = t^2 - 4t + 3$ で，$t = 0$ のとき P は原点にある。$t = 3$ における P の位置と，$t = 0$ から $t = 3$ までに P が動いた道のりを求めよ。

解答　位置は

$$x(3) = 0 + \int_0^3 (t^2 - 4t + 3)\,dt = \left[\frac{t^3}{3} - 2t^2 + 3t\right]_0^3 = 9 - 18 + 9 = 0.$$

道のり：$v(t) = (t - 1)(t - 3)$ より，$0 \leqq t \leqq 1$ では $v \geqq 0$，$1 \leqq t \leqq 3$ では $v \leqq 0$ である。

$$\int_0^1 v\,dt = \frac{1}{3} - 2 + 3 = \frac{4}{3}, \qquad \int_1^3 v\,dt = 0 - \frac{4}{3} = -\frac{4}{3}.$$

よって道のりは $\dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{3}$ である。P はまず正の向きに $\dfrac{4}{3}$ 進み，次に $\dfrac{4}{3}$ 戻って原点に帰る。

中文翻译　题目：数轴上的点 P 在时刻 $t$ 的速度是 $v(t) = t^2 - 4t + 3$，$t = 0$ 时 P 在原点。求 $t = 3$ 时 P 的位置，以及 $t = 0$ 到 $t = 3$ 之间 P 走过的道のり。解答：位置 $x(3) = 0 + \int_0^3 (t^2 - 4t + 3)\,dt = \left[\dfrac{t^3}{3} - 2t^2 + 3t\right]_0^3 = 9 - 18 + 9 = 0$。道のり：$v(t) = (t - 1)(t - 3)$，$0 \le t \le 1$ 时 $v \ge 0$，$1 \le t \le 3$ 时 $v \le 0$。$\int_0^1 v\,dt = \dfrac{1}{3} - 2 + 3 = \dfrac{4}{3}$，$\int_1^3 v\,dt = 0 - \dfrac{4}{3} = -\dfrac{4}{3}$。所以道のり $= \dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{3}$。P 先向正方向走了 $\dfrac{4}{3}$，再退回 $\dfrac{4}{3}$，回到原点。

解说　容易卡在：把道のり算成 $\displaystyle\int_0^3 v\,dt = 0$。$\int v\,dt$ 是位置的变化量，后退的部分把前进的部分抵消了；道のり要在 $v = 0$ 的 $t = 1$ 处分段，$v < 0$ 的段取负号，即 $\displaystyle\int|v|\,dt$，两块相加才是走过的总长度。

例 4　（场景：平面上运动的道のり）

問題　平面上の点 P の時刻 $t$ における座標が $x = e^t\cos t$，$y = e^t\sin t$ である。$t = 0$ から $t = 1$ までに P が動いた道のりを求めよ。

解答

$$\frac{dx}{dt} = e^t(\cos t - \sin t), \qquad \frac{dy}{dt} = e^t(\sin t + \cos t).$$ $$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = e^{2t}\left\{(\cos t - \sin t)^2 + (\sin t + \cos t)^2\right\} = 2e^{2t}.$$

よって速さは $\sqrt{2}e^t$ である。

$$\text{道のり} = \int_0^1 \sqrt{2}e^t\,dt = \sqrt{2}(e - 1).$$

中文翻译　题目：平面上的点 P 在时刻 $t$ 的坐标是 $x = e^t\cos t$，$y = e^t\sin t$。求 $t = 0$ 到 $t = 1$ 之间 P 走过的道のり。解答：$\dfrac{dx}{dt} = e^t(\cos t - \sin t)$，$\dfrac{dy}{dt} = e^t(\sin t + \cos t)$。$\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2 = e^{2t}\left\{(\cos t - \sin t)^2 + (\sin t + \cos t)^2\right\} = 2e^{2t}$。所以速さ $\sqrt{2}e^t$：$\text{道のり} = \int_0^1 \sqrt{2}e^t\,dt = \sqrt{2}(e - 1)$。

解说　关键一步：展开后交叉项 $-2\sin t\cos t$ 与 $+2\sin t\cos t$ 抵消，剩下 $2(\sin^2 t + \cos^2 t) = 2$。平面上的道のり就是曲线长，速さ $|\vec{v}| = \sqrt{(x')^2 + (y')^2}$，这里正好化成 $\sqrt{2}e^t$，积分一步得到。

常用推论

• 圆周长：$x = r\cos t$，$y = r\sin t$（$0 \le t \le 2\pi$），$\sqrt{(x')^2 + (y')^2} = r$，$L = 2\pi r$。用来检验公式。
• サイクロイド一拱长 $8a$。推导见例 2。
• アステロイド $x = a\cos^3 t$，$y = a\sin^3 t$ 的全长 $6a$。推导：$\sqrt{(x')^2 + (y')^2} = 3a|\sin t\cos t|$，在 $0 \le t \le \dfrac{\pi}{2}$ 上积分得 $\dfrac{3}{2}a$，乘 4。
• 悬链线 $y = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$：$1 + (y')^2 = \left(\dfrac{e^x + e^{-x}}{2}\right)^2$，根号直接开掉，$-1 \le x \le 1$ 上长度 $e - \dfrac{1}{e}$。
• 道のり $\ge$ |位置的变化量|，等号成立当且仅当运动中途不掉头。推导：$\left|\displaystyle\int v\,dt\right| \le \displaystyle\int|v|\,dt$。

易错点

• 错在哪：曲线长写成 $\displaystyle\int_a^b \sqrt{1 + f'(x)}\,dx$ 或 $\displaystyle\int_a^b \{1 + f'(x)\}\,dx$。 为什么错：公式来自勾股定理，$\Delta s = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$，导数要平方，根号不能丢。 正确做法：记住 $\sqrt{1 + (y')^2}$；考场上可以用圆 $y = \sqrt{r^2 - x^2}$ 或直线 $y = x$（$0 \le x \le 1$ 长 $\sqrt{2}$）检验。
• 错在哪：$\sqrt{4\sin^2\dfrac{t}{2}}$ 不看范围直接写 $2\sin\dfrac{t}{2}$，换个范围（如 $2\pi \le t \le 4\pi$）就得到负的长度。 为什么错：$\sqrt{A^2} = |A|$，$\sin\dfrac{t}{2}$ 在 $\pi \le \dfrac{t}{2} \le 2\pi$ 上是负的。 正确做法：开根号时写成绝对值，再按积分范围去掉绝对值。
• 错在哪：例 3 把道のり算成 $\displaystyle\int_0^3 v\,dt = 0$。 为什么错：$\displaystyle\int v\,dt$ 是位置的变化量，后退的部分把前进的部分抵消了。 正确做法：在 $v = 0$ 处分段，$v < 0$ 的段取负号，即 $\displaystyle\int|v|\,dt$。

直观理解

拿一根线沿曲线摆好再拉直，量出来的就是曲线长。积分的做法是把曲线看成很多很短的直线段，每段用勾股定理算长度。参数 $t$ 可以想成时间，$\sqrt{(x')^2 + (y')^2}$ 就是那一刻的速さ，速さ乘时间得路程，所以“曲线长 = 速さ的积分”。

数轴上的运动是它的一维版本：汽车的里程表记的是道のり（倒车也往上加），导航里“离出发点多远”记的是位置的变化量（倒车就减少）。

关联知识点

• 前置：本书第 21 章 21.8 节（速度、速さ、速度ベクトル），国内书第 24 章 24.2 节（位移求导得瞬时速度，这里反过来由速度积分得位移）。
• 前置：本书第 18 章 18.4 节（媒介変数表示）、第 13 章（半角公式开根号）。
• 前置：第 22 章 22.4 节（微分積分学の基本定理）。
• 常一起考：23.3、23.5 节，同一条参数曲线依次问面积、体积、长度。

23.7 题型与答法

积分的应用在 EJU 里固定出现在コース2 的大问 Ⅳ（偶尔是 Ⅲ），是一整道题的最后一两问。查 2017–2021 年公开的六份过去问，コース2 Ⅳ 都以定积分收尾，多数求面积：典型的流程是先给一个含三角、指数或对数的函数，用微分求极值、切线或交点，再求某几条曲线围成的面积；2021 年第 1 回コース2 Ⅳ 就是三角函数和定积分求面积。这六份的コース2 Ⅲ、Ⅳ 里没有一道考旋转体体积、曲线长或道のり，但体积和曲线长都在新シラバス里。2026 年新シラバス下还没有公开样题。

誘導的典型骨架：

• 面积：(1) 求导，写增减表或求切线 →(2) 解方程求交点 →(3) 判断上下，写出 $\displaystyle\int(\text{上} - \text{下})\,dx$ →(4) 填数值。
• 面积 + 旋转体：(1) 求围成部分的面积 →(2) 同一部分绕 $x$ 轴（或 $y$ 轴）旋转的体积。
• 参数曲线：(1) 求 $\dfrac{dx}{dt}$、$\dfrac{dy}{dt}$ →(2) 化简 $\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2$ →(3) 长度或面积。

填涂提醒：答案含 $\pi$、$e$、$\sqrt{\ }$ 时，格子只填数字，$\pi$、$e$、根号已经印在题干上；分数一律约到最简；$\dfrac{\fbox{A}}{\fbox{B}}\pi$ 型的答案要先把 $\pi$ 的系数约分。

問題 1　（三角関数のグラフで囲まれた部分の面積）

$0 \leqq x \leqq \pi$ の範囲で，2 曲線 $y = \sin x$，$y = \sin 2x$ を考える。

(1) 2 曲線の共有点の $x$ 座標は，$x = 0$，$\dfrac{\pi}{\fbox{A}}$，$\pi$ である。

(2) $0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{\fbox{A}}$ の範囲では $\sin 2x \geqq \sin x$ であり，この範囲で 2 曲線によって囲まれた部分の面積は $\dfrac{\fbox{B}}{\fbox{C}}$ である。

(3) $0 \leqq x \leqq \pi$ の範囲で 2 曲線によって囲まれた 2 つの部分の面積の和は $\dfrac{\fbox{D}}{\fbox{E}}$ である。

解答　(1) $\sin 2x = \sin x$ より $2\sin x\cos x - \sin x = 0$，$\sin x(2\cos x - 1) = 0$ である。$\sin x = 0$ から $x = 0, \pi$，$\cos x = \dfrac{1}{2}$ から $x = \dfrac{\pi}{3}$。よって $\fbox{A} = 3$。

(2) $0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{3}$ の範囲で

$$\int_0^{\frac{\pi}{3}} (\sin 2x - \sin x)\,dx = \left[-\frac{\cos 2x}{2} + \cos x\right]_0^{\frac{\pi}{3}} = \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{2} + 1\right) = \frac{1}{4}.$$

よって $\fbox{B} = 1$，$\fbox{C} = 4$。

(3) $\dfrac{\pi}{3} \leqq x \leqq \pi$ では $\sin x \geqq \sin 2x$ である（$x = \dfrac{\pi}{2}$ のとき $1 > 0$）。

$$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} (\sin x - \sin 2x)\,dx = \left[-\cos x + \frac{\cos 2x}{2}\right]_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} = \left(1 + \frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) = \frac{9}{4}.$$

面積の和は $\dfrac{1}{4} + \dfrac{9}{4} = \dfrac{5}{2}$ である。よって $\fbox{D} = 5$，$\fbox{E} = 2$。

中文翻译　题目：在 $0 \le x \le \pi$ 内考虑两条曲线 $y = \sin x$、$y = \sin 2x$。（1）两条曲线公共点的 $x$ 坐标是 $x = 0$、$\dfrac{\pi}{\fbox{A}}$、$\pi$。（2）在 $0 \le x \le \dfrac{\pi}{\fbox{A}}$ 内 $\sin 2x \ge \sin x$，这一范围内两条曲线围成的部分的面积是 $\dfrac{\fbox{B}}{\fbox{C}}$。（3）在 $0 \le x \le \pi$ 内两条曲线围成的两个部分的面积之和是 $\dfrac{\fbox{D}}{\fbox{E}}$。解答：（1）由 $\sin 2x = \sin x$，$2\sin x\cos x - \sin x = 0$，$\sin x(2\cos x - 1) = 0$。$\sin x = 0$ 得 $x = 0, \pi$，$\cos x = \dfrac{1}{2}$ 得 $x = \dfrac{\pi}{3}$，$\fbox{A} = 3$。（2）在 $0 \le x \le \dfrac{\pi}{3}$ 内，$\int_0^{\frac{\pi}{3}} (\sin 2x - \sin x)\,dx = \left[-\dfrac{\cos 2x}{2} + \cos x\right]_0^{\frac{\pi}{3}} = \left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2}\right) - \left(-\dfrac{1}{2} + 1\right) = \dfrac{1}{4}$，$\fbox{B} = 1$，$\fbox{C} = 4$。（3）$\dfrac{\pi}{3} \le x \le \pi$ 上 $\sin x \ge \sin 2x$（取 $x = \dfrac{\pi}{2}$：$1 > 0$），$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} (\sin x - \sin 2x)\,dx = \left[-\cos x + \dfrac{\cos 2x}{2}\right]_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} = \left(1 + \dfrac{1}{2}\right) - \left(-\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{9}{4}$。面积之和 $\dfrac{1}{4} + \dfrac{9}{4} = \dfrac{5}{2}$，$\fbox{D} = 5$，$\fbox{E} = 2$。

解说　两分钟做法：先解 $\sin 2x = \sin x$，用二倍角公式化成 $\sin x(2\cos x - 1) = 0$，公共点 $x = 0, \dfrac{\pi}{3}, \pi$；两块区域的上下关系在区间内取一点代入判断；$\sin 2x$ 的原函数是 $-\dfrac{\cos 2x}{2}$，系数 $2$ 要除到分母。空格判断：$\fbox{A}$ 填 $\dfrac{\pi}{3}$ 的分母 $3$；$\fbox{B}$ 是分子 $1$，分子是 $1$ 也要填；$\fbox{C}$ 是分母 $4$；$\fbox{D}$、$\fbox{E}$ 分别是 $\dfrac{5}{2}$ 的分子和分母。

問題 2　（微分と面積・回転体の体積）

関数 $f(x) = xe^{-x}$ について，曲線 $y = f(x)$ を $C$ とする。

(1) $f'(x) = (\fbox{A} - x)e^{-x}$ であるから，$f(x)$ は $x = \fbox{A}$ で極大値 $\dfrac{\fbox{B}}{e}$ をとる。また，$C$ の変曲点の $x$ 座標は $\fbox{C}$ である。

(2) 曲線 $C$，$x$ 軸および直線 $x = \fbox{C}$ で囲まれた部分の面積は $\fbox{D} - \dfrac{\fbox{E}}{e^{\fbox{F}}}$ である。

(3) (2) の部分を $x$ 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積は $\dfrac{\pi}{\fbox{G}}\left(1 - \dfrac{\fbox{HI}}{e^4}\right)$ である。

解答　(1) $f'(x) = e^{-x} - xe^{-x} = (1 - x)e^{-x}$ である。$x < 1$ では正，$x > 1$ では負になるから，$x = 1$ で極大値 $f(1) = \dfrac{1}{e}$ をとる。$f''(x) = -e^{-x} - (1 - x)e^{-x} = (x - 2)e^{-x}$ で，$x = 2$ の前後で符号が変わるから，変曲点の $x$ 座標は $2$ である。よって $\fbox{A} = 1$，$\fbox{B} = 1$，$\fbox{C} = 2$。

(2) $0 \leqq x \leqq 2$ では $f(x) \geqq 0$ である。部分積分法（第 22 章 22.6 節）により $\displaystyle\int xe^{-x}\,dx = -xe^{-x} - e^{-x} + C = -(x + 1)e^{-x} + C$。

$$S = \Big[-(x + 1)e^{-x}\Big]_0^2 = -3e^{-2} + 1 = 1 - \frac{3}{e^2}.$$

よって $\fbox{D} = 1$，$\fbox{E} = 3$，$\fbox{F} = 2$。

(3) 部分積分法を 2 回用いると $\displaystyle\int x^2e^{-2x}\,dx = -e^{-2x}\left(\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{4}\right) + C$ である。

$$V = \pi\int_0^2 x^2e^{-2x}\,dx = \pi\left\{\frac{1}{4} - e^{-4}\left(2 + 1 + \frac{1}{4}\right)\right\} = \pi\left(\frac{1}{4} - \frac{13}{4e^4}\right) = \frac{\pi}{4}\left(1 - \frac{13}{e^4}\right).$$

よって $\fbox{G} = 4$，$\fbox{HI} = 1, 3$。

中文翻译　题目：设函数 $f(x) = xe^{-x}$，曲线 $y = f(x)$ 记为 $C$。（1）$f'(x) = (\fbox{A} - x)e^{-x}$，所以 $f(x)$ 在 $x = \fbox{A}$ 处取极大值 $\dfrac{\fbox{B}}{e}$；$C$ 的拐点的 $x$ 坐标是 $\fbox{C}$。（2）曲线 $C$、$x$ 轴和直线 $x = \fbox{C}$ 围成的部分的面积是 $\fbox{D} - \dfrac{\fbox{E}}{e^{\fbox{F}}}$。（3）把（2）的部分绕 $x$ 轴转一周，得到的立体的体积是 $\dfrac{\pi}{\fbox{G}}\left(1 - \dfrac{\fbox{HI}}{e^4}\right)$。解答：（1）$f'(x) = e^{-x} - xe^{-x} = (1 - x)e^{-x}$，$x < 1$ 时为正，$x > 1$ 时为负，极大值 $f(1) = \dfrac{1}{e}$。$f''(x) = -e^{-x} - (1 - x)e^{-x} = (x - 2)e^{-x}$，在 $x = 2$ 前后变号，拐点 $x = 2$。所以 $\fbox{A} = 1$，$\fbox{B} = 1$，$\fbox{C} = 2$。（2）$0 \le x \le 2$ 上 $f(x) \ge 0$。部分積分法（第 22 章 22.6 节）：$\int xe^{-x}\,dx = -xe^{-x} - e^{-x} + C = -(x + 1)e^{-x} + C$。$S = \Big[-(x + 1)e^{-x}\Big]_0^2 = -3e^{-2} + 1 = 1 - \dfrac{3}{e^2}$。所以 $\fbox{D} = 1$，$\fbox{E} = 3$，$\fbox{F} = 2$。（3）部分積分法用两次：$\int x^2e^{-2x}\,dx = -e^{-2x}\left(\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{4}\right) + C$。$V = \pi\int_0^2 x^2e^{-2x}\,dx = \pi\left\{\dfrac{1}{4} - e^{-4}\left(2 + 1 + \dfrac{1}{4}\right)\right\} = \pi\left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{13}{4e^4}\right) = \dfrac{\pi}{4}\left(1 - \dfrac{13}{e^4}\right)$。所以 $\fbox{G} = 4$，$\fbox{HI} = 1, 3$。

解说　两分钟做法：先求导定极大值和拐点，$f'$ 的零点 $x = 1$ 与 $f''$ 的零点 $x = 2$ 正好是后面两问的积分上限；面积用部分积分 $\int xe^{-x}\,dx = -(x + 1)e^{-x}$；体积的被积函数是 $x^2e^{-2x}$，部分积分两次，$\int x^2e^{-2x}\,dx = -e^{-2x}\left(\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{4}\right)$ 可以求导验证。空格判断：$\fbox{A}$ 在导数式和极值点两处是同一个数，都填 $1$；$\fbox{F}$ 是 $e$ 的指数 $2$；$\fbox{HI}$ 是 $13$ 的两位，$1$ 和 $3$ 分填两格；$\pi$ 已印在题干里，$\fbox{G}$ 只填 $4$。

問題 3　（放物線と直線で囲まれた部分・回転体）

放物線 $y = x^2$ と直線 $y = 2x$ で囲まれた部分を $D$ とする。

(1) $D$ の面積は $\dfrac{\fbox{A}}{\fbox{B}}$ である。

(2) $D$ を $x$ 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積は $\dfrac{\fbox{CD}}{\fbox{EF}}\pi$ である。

(3) $D$ を $y$ 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積は $\dfrac{\fbox{G}}{\fbox{H}}\pi$ である。

解答　(1) 共有点は $x^2 = 2x$ より $x = 0, 2$ である。$0 < x < 2$ では直線が上で，差は $-x(x - 2)$ であるから，6分の1公式より $S = \dfrac{1}{6} \times 2^3 = \dfrac{4}{3}$。よって $\fbox{A} = 4$，$\fbox{B} = 3$。

(2) $0 \leqq x \leqq 2$ では $2x \geqq x^2 \geqq 0$ で，切り口は外半径 $2x$，内半径 $x^2$ の円環である。

$$V_1 = \pi\int_0^2 (4x^2 - x^4)\,dx = \pi\left(\frac{32}{3} - \frac{32}{5}\right) = \frac{64}{15}\pi.$$

よって $\fbox{CD} = 6, 4$，$\fbox{EF} = 1, 5$。

(3) $0 \leqq y \leqq 4$ で，直線については $x = \dfrac{y}{2}$，放物線については $x = \sqrt{y}$ である。$0 < y < 4$ では $\sqrt{y} > \dfrac{y}{2}$ で，切り口は外半径 $\sqrt{y}$，内半径 $\dfrac{y}{2}$ の円環である。

$$V_2 = \pi\int_0^4 \left(y - \frac{y^2}{4}\right)dy = \pi\left(8 - \frac{16}{3}\right) = \frac{8}{3}\pi.$$

よって $\fbox{G} = 8$，$\fbox{H} = 3$。

中文翻译　题目：抛物线 $y = x^2$ 与直线 $y = 2x$ 围成的部分记为 $D$。（1）$D$ 的面积是 $\dfrac{\fbox{A}}{\fbox{B}}$。（2）$D$ 绕 $x$ 轴转一周得到的立体的体积是 $\dfrac{\fbox{CD}}{\fbox{EF}}\pi$。（3）$D$ 绕 $y$ 轴转一周得到的立体的体积是 $\dfrac{\fbox{G}}{\fbox{H}}\pi$。解答：（1）交点由 $x^2 = 2x$ 得 $x = 0, 2$。$0 < x < 2$ 上直线在上，差 $-x(x - 2)$，由 1/6 公式 $S = \dfrac{1}{6} \times 2^3 = \dfrac{4}{3}$，$\fbox{A} = 4$，$\fbox{B} = 3$。（2）$0 \le x \le 2$ 上 $2x \ge x^2 \ge 0$，截面是外半径 $2x$、内半径 $x^2$ 的圆环：$V_1 = \pi\int_0^2 (4x^2 - x^4)\,dx = \pi\left(\dfrac{32}{3} - \dfrac{32}{5}\right) = \dfrac{64}{15}\pi$，$\fbox{CD} = 6, 4$，$\fbox{EF} = 1, 5$。（3）$0 \le y \le 4$，直线上 $x = \dfrac{y}{2}$，抛物线上 $x = \sqrt{y}$；在 $0 < y < 4$ 上 $\sqrt{y} > \dfrac{y}{2}$，截面是外半径 $\sqrt{y}$、内半径 $\dfrac{y}{2}$ 的圆环：$V_2 = \pi\int_0^4 \left(y - \dfrac{y^2}{4}\right)dy = \pi\left(8 - \dfrac{16}{3}\right) = \dfrac{8}{3}\pi$，$\fbox{G} = 8$，$\fbox{H} = 3$。

解说　两分钟做法：面积先用 1/6 公式一步出 $\dfrac{4}{3}$；绕 $x$ 轴时外半径是上方的直线 $2x$、内半径是抛物线 $x^2$，截面是圆环；绕 $y$ 轴时把两条曲线解成 $x = \dfrac{y}{2}$、$x = \sqrt{y}$，右减左。验算（圆筒法）：$2\pi\displaystyle\int_0^2 x(2x - x^2)\,dx = 2\pi\left(\dfrac{16}{3} - 4\right) = \dfrac{8}{3}\pi$，一致。空格判断：$\fbox{CD}$ 是 $\dfrac{64}{15}$ 的分子 $64$，$\fbox{EF}$ 是分母 $15$，各两位分填；$\fbox{G}$、$\fbox{H}$ 是 $\dfrac{8}{3}$ 的分子分母；$\pi$ 已印在题干上，格子里只填数字。

23.8 术语与题干用语

日文	读音	中文	例句或说明
面積	めんせき	面积	「囲まれた部分の面積を求めよ」
囲まれた部分	かこまれたぶぶん	围成的部分	「曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた部分」
図形	ずけい	图形	「2 曲線で囲まれた図形」
共有点	きょうゆうてん	公共点（交点）	「2 曲線の共有点の $x$ 座標」
交点	こうてん	交点
接線	せっせん	切线	「原点を通る接線」
6分の1公式	ろくぶんのいちこうしき	1/6 公式	教科书正文不用这个名字，参考书和课堂上的叫法
体積	たいせき	体积	「立体の体積を求めよ」
立体	りったい	立体	「1 回転してできる立体」
断面積	だんめんせき	截面面积	「断面積を $S(x)$ とすると」
切り口	きりくち	切口（截面）	「$x$ 軸に垂直な平面で切ったときの切り口」
回転体	かいてんたい	旋转体
〜のまわりに1回転	〜のまわりにいっかいてん	绕……转一周	「$x$ 軸のまわりに 1 回転してできる立体」
円錐	えんすい	圆锥
円柱	えんちゅう	圆柱	「直円柱を平面で切る」
球	きゅう	球	「半径 $r$ の球の体積」
曲線の長さ	きょくせんのながさ	曲线的长度（弧长）	「曲線の長さ $L$ を求めよ」
媒介変数	ばいかいへんすう	参数	「媒介変数 $t$ で表された曲線」
サイクロイド	さいくろいど	摆线	一拱的长 $8a$、面积 $3\pi a^2$
アステロイド	あすてろいど	星形线	$x = a\cos^3 t$，$y = a\sin^3 t$
速度	そくど	速度（有正负）	「時刻 $t$ における速度 $v$」
速さ	はやさ	速率（速度的大小）	$\lvert v\rvert$
位置	いち	位置	「$t = 3$ における P の位置」
道のり	みちのり	路程	「P が動いた道のり」
時刻	じこく	时刻
〜で囲まれた	〜でかこまれた	由……围成的	「直線 $x = 2$ および $x$ 軸で囲まれた」
〜を2等分する	〜をにとうぶんする	把……平分	「面積を 2 等分する直線」
〜について積分する	〜についてせきぶんする	对……积分	「$y$ について積分する」

23.9 自测

1. 求抛物线 $y = x^2 - 4$ 与 $x$ 轴围成的部分的面积。
2. 求抛物线 $y = x^2$ 与直线 $y = x + 2$ 围成的部分的面积。
3. 求曲线 $x = y^2 - 1$ 与 $y$ 轴围成的部分的面积。
4. 求椭圆 $x = 3\cos t$，$y = 2\sin t$（$0 \le t \le 2\pi$）围成的面积。
5. 一个立体位于 $0 \le x \le 2$ 之间，用垂直于 $x$ 轴的平面在位置 $x$ 处截得的截面是边长为 $x$ 的正三角形。求它的体积。
6. 曲线 $y = e^x$（$0 \le x \le 1$）、$x$ 轴、$y$ 轴和直线 $x = 1$ 围成的部分绕 $x$ 轴转一周，求体积。
7. 曲线 $y = \sqrt{x}$、$y$ 轴和直线 $y = 2$ 围成的部分绕 $y$ 轴转一周，求体积。
8. 求曲线 $y = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$（$-1 \le x \le 1$）的长度。
9. 求アステロイド $x = \cos^3 t$，$y = \sin^3 t$（$0 \le t \le 2\pi$）的全长。
10. 数轴上的点以速度 $v(t) = 2t - 4$ 运动。求 $t = 0$ 到 $t = 3$ 之间位置的变化量和道のり。

答案：1. $\dfrac{32}{3}$；2. $\dfrac{9}{2}$；3. $\dfrac{4}{3}$；4. $6\pi$；5. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$；6. $\dfrac{\pi(e^2 - 1)}{2}$；7. $\dfrac{32}{5}\pi$；8. $e - \dfrac{1}{e}$；9. 6；10. 位置的变化量 $-3$，道のり 5。

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• 维基百科（日文）· 回転体：旋转体的日文术语和体积公式，查「回転体の体積」的说法时用。
• 维基百科（日文）· 弧長：曲线长度的定义和参数曲线、y = f(x) 两种公式，可对照本章 23.6 节。