第 18 章 · 式と曲線

项目	内容
シラバス项目	16. 式と曲線（数学Ｃ）：(1) 2次曲線（放物線，楕円，双曲線）、(2) 媒介変数による表示、(3) 極座標と極方程式
コース	仅コース2
国内书对应	第 30 章椭圆、第 31 章双曲线、第 32 章抛物线、第 33 章直线与圆锥曲线；参数方程、极坐标国内书没有（旧课标选修 4-4 的内容，新课标已删）
本章新内容的分量	2 次曲线的定义和性质国内都学过，差在写法（抛物线写 $y^2 = 4px$，椭圆的 $a$、$b$ 跟着 $x$、$y$ 走）、平行移动和接线公式；媒介変数表示、极坐标与极方程、用离心率统一三种曲线是全新内容，约占本章一半

椭圆、双曲线、抛物线国内练得很多，EJU 上反而要先“改口”：日本教科书的抛物线写 $y^2 = 4px$，椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 不要求 $a > b$，而且常考配方后不在原点的曲线。参数方程和极坐标在新课标里已经删掉，EJU コース2 却照考，还会接到微分、积分（サイクロイド的面积、曲线长）。丢分主要丢在三处：焦点按国内习惯放错轴，平行移动后忘了焦点和渐近线也要跟着移，消去参数后不写 $x$、$y$ 的范围。

18.1 与国内的对照

シラバス原文只列 (1)(2)(3) 三个小项；表中「平行移動」「2次曲線と直線」「離心率と準線」三行是本书按教科书内容细分的，不是シラバス原文。

シラバス小项目（日文原文）	国内书位置	相同 / 讲法不同 / 国内没有	本章哪节讲
(1) 2次曲線：放物線	国内书第 32 章	讲法不同：日本写 $y^2 = 4px$，焦点 $(p, 0)$，$p$ 可以是负数	18.2
(1) 2次曲線：楕円	国内书第 30 章	讲法不同：日本不论哪条轴长，$a^2$ 总在 $x^2$ 下面	18.2
(1) 2次曲線：双曲線	国内书第 31 章	相同，见国内书第 31 章；日本多一种写法 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = -1$	18.2
(1) 2次曲線の平行移動	无（国内书只讲中心或顶点在原点的情形）	国内没有	18.2
(1) 2次曲線と直線	国内书第 33 章 33.2 节	联立与判别式相同，见国内书第 33 章；接线公式 $\dfrac{x_1 x}{a^2} + \dfrac{y_1 y}{b^2} = 1$ 国内没有	18.3
(1) 2次曲線の離心率と準線	国内书第 30–32 章只有 $e = \dfrac{c}{a}$ 和抛物线的准线	国内没有（椭圆、双曲线的准线）	18.6
(2) 媒介変数による表示	无（旧选修 4-4，新课标已删）	国内没有	18.4
(3) 極座標と極方程式	无（旧选修 4-4，新课标已删）	国内没有	18.5、18.6

国内书第 33 章的弦长公式、中点弦、定点定值、最值范围，EJU 很少单独出大题；EJU 更爱问“配方后中心和焦点在哪”“接线方程”“参数表示的曲线是什么”这类一步一步的穴埋め。

本章五个知识点分两条线：一条是把国内学过的 2 次曲线换成日本写法（18.2），再补上平行移动和接线公式（18.3）；另一条是新的表示方法，参数表示（18.4）、极坐标（18.5），最后用离心率把三种曲线写成同一个极方程（18.6）。

18.2 2次曲線の標準形と平行移動

说明

日本的标准形：三种 2 次曲线的定义（到两焦点距离之和、之差，到焦点与准线距离相等）和国内完全一样，只是方程的写法不同。

曲线	标准形	焦点	其他
放物線（左右开口）	$y^2 = 4px$	$(p, 0)$	準線 $x = -p$，顶点在原点
放物線（上下开口）	$x^2 = 4py$	$(0, p)$	準線 $y = -p$
楕円，$a > b > 0$	$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$	$(\pm\sqrt{a^2 - b^2}, 0)$	距离和 $2a$，長軸 $2a$，短軸 $2b$
楕円，$b > a > 0$	$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$	$(0, \pm\sqrt{b^2 - a^2})$	距离和 $2b$，長軸 $2b$（在 $y$ 轴上），短軸 $2a$
双曲線（左右两支）	$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$	$(\pm\sqrt{a^2 + b^2}, 0)$	距离差的绝对值 $2a$，漸近線 $y = \pm\dfrac{b}{a}x$
双曲線（上下两支）	$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = -1$	$(0, \pm\sqrt{a^2 + b^2})$	距离差的绝对值 $2b$，漸近線同上

和国内写法相比有三处不同：

1. 抛物线的 $p$：日本的 $p$ 是焦点的坐标，可以是负数（$y^2 = -8x$ 是 $p = -2$，焦点 $(-2, 0)$）；国内 $y^2 = 2px$ 的 $p$ 是焦点到准线的距离，总是正数。同一条 $y^2 = 8x$，日本说 $p = 2$，国内说 $p = 4$，焦点都是 $(2, 0)$。
2. 椭圆的 $a$、$b$：日本 $a$ 永远在 $x^2$ 下面、$b$ 永远在 $y^2$ 下面，谁大谁就是长轴方向。国内把长半轴总叫 $a$，焦点在 $y$ 轴上时写成 $\dfrac{y^2}{a^2} + \dfrac{x^2}{b^2} = 1$。
3. 不一定用 $c$：日本教科书常直接写焦点 $(\sqrt{a^2 - b^2}, 0)$，EJU 填空也多让你填 $\sqrt{\phantom{0}}$ 里的数。

直角双曲線：漸近線互相垂直的双曲线，即 $a = b$ 的 $x^2 - y^2 = a^2$（国内叫等轴双曲线）。数学Ⅲ的分数関数 $y = \dfrac{k}{x}$ 也是直角双曲线（转了 45°）。

平行移動：把曲线 $F(x, y) = 0$ 沿 $x$ 轴方向移 $p$、沿 $y$ 轴方向移 $q$，得到的曲线是

$$F(x - p, y - q) = 0.$$

规则和第 5 章 2 次関数的平行移动完全一样：$x$ 换成 $x - p$，$y$ 换成 $y - q$。例如椭圆 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ 平移 $(2, -3)$ 得 $\dfrac{(x - 2)^2}{9} + \dfrac{(y + 3)^2}{4} = 1$。中心、顶点、焦点、准线、渐近线全部跟着平移，形状（$a$、$b$、离心率）不变。

一般形化成标准形：没有 $xy$ 项的二次方程 $Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$，对 $x$、$y$ 分别配方，就能写成某条标准形曲线平移后的样子，读出中心（顶点）和焦点。

使用场景

• 题目给出标准形方程，问焦点、顶点、准线、长轴长或渐近线：先比较 $x^2$、$y^2$ 下的分母（抛物线看一次项），再读。
• 题目给出含 $x$、$y$ 一次项的二次方程，问“这是什么曲线”“中心（焦点）在哪”：分别配方，化成平行移动的形式。
• 题目给出不在原点的焦点、准线或顶点，求抛物线方程：先在标准位置写好，再平行移动。
• 题目给出两个焦点和距离之和（差），焦点不在坐标轴上对称：中心是两焦点的中点，先求 $a$、$b$，再平移。

注意点

• 椭圆先比较 $a^2$、$b^2$ 的大小，再决定焦点在哪条轴上，不要默认在 $x$ 轴上。
• 抛物线 $y^2 = 4px$ 的 $p$ 带符号：$y^2 = -12x$ 是 $4p = -12$，$p = -3$，焦点 $(-3, 0)$，准线 $x = 3$。
• 平行移动的符号：中心 $(2, -3)$ 对应 $(x - 2)$、$(y + 3)$。读中心时取括号里数的相反数。
• 配方时提出的系数要乘回去：$4x^2 - 16x = 4(x^2 - 4x) = 4(x - 2)^2 - 16$，不是 $-4$。
• 配方后右边要化成 1。右边是 0 时是一个点（椭圆型）或两条直线（双曲线型），右边是负数时椭圆型没有图形。
• EJU 题干的说法：「焦点の座標」「準線の方程式」「長軸の長さ」「漸近線の方程式」「$x$ 軸方向に $2$，$y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動した曲線」。

证明

结论 1：焦点 $(p, 0)$、准线 $x = -p$ 的抛物线是 $y^2 = 4px$。 设 $P(x, y)$，由定义 $PF$ 等于 $P$ 到准线的距离：

$$\sqrt{(x - p)^2 + y^2} = |x + p|.$$

两边平方：$x^2 - 2px + p^2 + y^2 = x^2 + 2px + p^2$，即 $y^2 = 4px$。（关键一步：$p$ 的正负都没用到，所以 $p < 0$ 时公式照样成立，焦点在左、准线在右。）焦点到准线的距离是 $2|p|$，这就是国内的”$p$“，所以国内的 $y^2 = 2p'x$ 和日本的 $y^2 = 4px$ 是同一条曲线，$p' = 2p$。

结论 2：$b > a$ 时椭圆的焦点在 $y$ 轴上。 国内书第 30 章 30.2 节由定义推出焦点 $(\pm c, 0)$、距离和 $2a$ 的椭圆是 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{a^2 - c^2} = 1$。把 $x$、$y$ 互换、距离和改记作 $2b$，焦点 $(0, \pm c)$ 的椭圆就是 $\dfrac{x^2}{b^2 - c^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$。令 $a^2 = b^2 - c^2$，就是 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，$c = \sqrt{b^2 - a^2}$。

结论 3：平行移动的公式。 设曲线 $C$：$F(x, y) = 0$ 平移 $(p, q)$ 后得到 $C'$。点 $P(x, y)$ 在 $C'$ 上，当且仅当把它移回去的点 $(x - p, y - q)$ 在 $C$ 上（关键一步：$C'$ 上的每一点都是 $C$ 上某点移过来的，反过来看就是“退回原处”），即 $F(x - p, y - q) = 0$。焦点、准线、渐近线都是由曲线决定的点和直线，平移时当然跟着平移。

例题

例 1　（场景：由标准形读焦点）

問題　次の曲線の焦点を求めよ。また，(1) では長軸の長さを，(2) では準線の方程式を求めよ。 (1) $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{25} = 1$ (2) $x^2 = -8y$

解答　(1) $y^2$ の分母 $25$ が $16$ より大きいので，長軸は $y$ 軸上にある。$\sqrt{25 - 16} = 3$ より，焦点は $(0, 3)$，$(0, -3)$ である。長軸の長さは $2 \times 5 = 10$。

(2) $x^2 = 4py$ において $4p = -8$ であるから $p = -2$。よって焦点は $(0, -2)$，準線は $y = 2$ であり，曲線は下に開く。

中文翻译　题目：求下列曲线的焦点。另外，（1）求长轴的长，（2）求准线方程。（1）$\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{25} = 1$；（2）$x^2 = -8y$。解答：（1）$y^2$ 下的分母 $25$ 大于 $16$，长轴在 $y$ 轴上。由 $\sqrt{25 - 16} = 3$，焦点 $(0, 3)$、$(0, -3)$。长轴长 $2 \times 5 = 10$。（2）$x^2 = 4py$ 中 $4p = -8$，所以 $p = -2$。因此焦点 $(0, -2)$，准线 $y = 2$，曲线开口向下。

解说　容易卡在：（1）按国内习惯写成 $(\pm 3, 0)$。日本写法里 $a$、$b$ 不按大小排，必须先比较分母。

例 2　（场景：配方化成平行移动的形式）

問題　(1) 曲線 $4x^2 + 9y^2 - 16x + 54y + 61 = 0$ はどのような曲線か。中心と焦点を求めよ。 (2) 曲線 $x^2 - 4y^2 + 2x + 16y - 19 = 0$ はどうか。漸近線も求めよ。

解答　(1) $x$，$y$ についてそれぞれ平方完成する。

$$4(x^2 - 4x) + 9(y^2 + 6y) + 61 = 4(x - 2)^2 - 16 + 9(y + 3)^2 - 81 + 61 = 0,$$

すなわち $4(x - 2)^2 + 9(y + 3)^2 = 36$。両辺を $36$ で割ると

$$\frac{(x - 2)^2}{9} + \frac{(y + 3)^2}{4} = 1.$$

これは楕円 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ を $x$ 軸方向に $2$，$y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動したものである。もとの楕円の焦点は $(\pm\sqrt{5}, 0)$ であるから，平行移動後の中心は $(2, -3)$，焦点は $(2 + \sqrt{5}, -3)$，$(2 - \sqrt{5}, -3)$ である。

(2) $(x + 1)^2 - 1 - 4(y^2 - 4y) - 19 = (x + 1)^2 - 1 - 4(y - 2)^2 + 16 - 19 = 0$，すなわち $(x + 1)^2 - 4(y - 2)^2 = 4$。よって

$$\frac{(x + 1)^2}{4} - (y - 2)^2 = 1.$$

これは双曲線 $\dfrac{x^2}{4} - y^2 = 1$ を $x$ 軸方向に $-1$，$y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動したものである。もとの曲線の焦点は $(\pm\sqrt{5}, 0)$，漸近線は $y = \pm\dfrac{1}{2}x$ であるから，平行移動後の中心は $(-1, 2)$，焦点は $(-1 \pm \sqrt{5}, 2)$，漸近線は $y - 2 = \pm\dfrac{1}{2}(x + 1)$，すなわち $y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{5}{2}$ と $y = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}$ である。

中文翻译　题目：（1）曲线 $4x^2 + 9y^2 - 16x + 54y + 61 = 0$ 是什么曲线？求中心和焦点。（2）曲线 $x^2 - 4y^2 + 2x + 16y - 19 = 0$ 呢？再求渐近线。解答：（1）对 $x$、$y$ 分别配方。$4(x^2 - 4x) + 9(y^2 + 6y) + 61 = 4(x - 2)^2 - 16 + 9(y + 3)^2 - 81 + 61 = 0$，即 $4(x - 2)^2 + 9(y + 3)^2 = 36$。两边除以 $36$：$\dfrac{(x - 2)^2}{9} + \dfrac{(y + 3)^2}{4} = 1$。这是椭圆 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ 沿 $x$ 轴方向平移 $2$、沿 $y$ 轴方向平移 $-3$ 得到的曲线。原椭圆的焦点是 $(\pm\sqrt{5}, 0)$，所以平移后中心 $(2, -3)$，焦点 $(2 + \sqrt{5}, -3)$、$(2 - \sqrt{5}, -3)$。（2）$(x + 1)^2 - 1 - 4(y^2 - 4y) - 19 = (x + 1)^2 - 1 - 4(y - 2)^2 + 16 - 19 = 0$，即 $(x + 1)^2 - 4(y - 2)^2 = 4$。因此 $\dfrac{(x + 1)^2}{4} - (y - 2)^2 = 1$。这是双曲线 $\dfrac{x^2}{4} - y^2 = 1$ 沿 $x$ 轴方向平移 $-1$、沿 $y$ 轴方向平移 $2$ 得到的曲线。原曲线的焦点是 $(\pm\sqrt{5}, 0)$，渐近线是 $y = \pm\dfrac{1}{2}x$，所以平移后中心 $(-1, 2)$，焦点 $(-1 \pm \sqrt{5}, 2)$，渐近线 $y - 2 = \pm\dfrac{1}{2}(x + 1)$，即 $y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{5}{2}$ 和 $y = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}$。

解说　容易卡在：（2）中 $-4y^2 + 16y = -4(y^2 - 4y) = -4(y - 2)^2 + 16$，提出 $-4$ 后常数项的符号最容易错。

例 3　（场景：焦点、准线不在标准位置，求抛物线）

問題　焦点が $(3, 1)$，準線が $x = -1$ である放物線の方程式を求めよ。

解答　焦点から準線に下ろした垂線の足は $(-1, 1)$ で，頂点はその線分の中点であるから $(1, 1)$。焦点は頂点の右に $2$ の位置にあるので，原点を頂点とする放物線は $p = 2$ の $y^2 = 8x$ である。頂点を原点から $(1, 1)$ へ移すと

$$(y - 1)^2 = 8(x - 1).$$

中文翻译　题目：求焦点为 $(3, 1)$、准线为 $x = -1$ 的抛物线方程。解答：顶点是从焦点向准线所作垂线段的中点。垂足是 $(-1, 1)$，所以顶点是 $(1, 1)$。焦点在顶点右边 $2$ 处，所以顶点在原点的抛物线是 $p = 2$ 的 $y^2 = 8x$。把顶点从原点移到 $(1, 1)$：$(y - 1)^2 = 8(x - 1)$。

解说　另一种解法：直接用定义。$P(x, y)$ 到焦点的距离等于到准线的距离：$\sqrt{(x - 3)^2 + (y - 1)^2} = |x + 1|$。平方后 $x^2 - 6x + 9 + (y - 1)^2 = x^2 + 2x + 1$，整理得 $(y - 1)^2 = 8x - 8 = 8(x - 1)$。平移法不用算，适合填空；定义法不必先找顶点，焦点、准线位置不规整（比如准线是斜线）时只能用它。

例 4　（场景：两焦点和距离和，求不在原点的椭圆）

問題　$2$ 点 $(1, 0)$，$(1, 6)$ からの距離の和が $10$ である点の軌跡はどのような曲線か。その方程式を求めよ。

解答　$2$ 焦点の中点 $(1, 3)$ が中心で，$2$ 焦点は直線 $x = 1$ 上（鉛直方向）にあり，焦点と中心の距離は $3$ である。距離の和 $10 = 2 \times 5$ より長半径は $5$ で，$y$ 方向を向く。もう一方の半径は $\sqrt{25 - 9} = 4$ で $x$ 方向である。中心が原点の $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{25} = 1$ を書き，$(1, 3)$ だけ平行移動すると

$$\frac{(x - 1)^2}{16} + \frac{(y - 3)^2}{25} = 1.$$

中文翻译　题目：到两点 $(1, 0)$、$(1, 6)$ 的距离之和为 $10$ 的点的轨迹是什么曲线？求其方程。解答：两焦点的中点 $(1, 3)$ 是中心，两焦点在直线 $x = 1$ 上（竖直方向），焦点到中心的距离是 $3$。距离之和 $10 = 2 \times 5$，长半轴是 $5$，沿 $y$ 方向；另一半轴 $\sqrt{25 - 9} = 4$，沿 $x$ 方向。写出中心在原点的 $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{25} = 1$，平移 $(1, 3)$ 得 $\dfrac{(x - 1)^2}{16} + \dfrac{(y - 3)^2}{25} = 1$。

解说　容易卡在：默认焦点在 $x$ 轴上，按国内习惯把长半轴也放在 $x$ 方向。本题两焦点上下排列，长半轴在 $y$ 方向。焦点不在坐标轴上时，先求中心（两焦点的中点），再按焦点的排列方向定长轴方向。

常用推论

• $y = ax^2$ 的焦点：化成 $x^2 = \dfrac{1}{a}y$，$4p = \dfrac{1}{a}$，焦点 $\left(0, \dfrac{1}{4a}\right)$，准线 $y = -\dfrac{1}{4a}$。数学Ⅰ的 2 次関数的图像就是抛物线，焦点由此求。
• 一般形的分类：$Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$（$A$、$C$ 不全为 0）配方后，$AC > 0$ 是椭圆（$A = C$ 时是圆，也可能退化成一点或没有图形），$AC < 0$ 是双曲线（可能退化成两条相交直线），$AC = 0$ 是抛物线（可能退化成直线）。推导：配方后看 $x^2$、$y^2$ 两项的符号是否相同。
• 共轭双曲线：$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 与 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = -1$ 渐近线相同，一个左右开口，一个上下开口。推导：两者渐近线都由 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 0$ 给出。
• 椭圆是压扁的圆：圆 $x^2 + y^2 = a^2$ 在 $y$ 方向缩成 $\dfrac{b}{a}$ 倍就是 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（国内书第 30 章）。由此椭圆面积是 $\pi ab$，第 23 章用积分验证。
• 平移后的接线、焦点：先在标准位置求，再平移，比在平移后的方程上硬算省事。

易错点

• 错在哪：$\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{25} = 1$ 的焦点写成 $(\pm 3, 0)$。 为什么错：国内习惯”$a$ 是长半轴、焦点跟着 $a^2$ 走”，而日本写法 $a^2 = 16$ 在 $x^2$ 下面却是短半轴。 正确做法：比较分母，25 大，焦点在 $y$ 轴上，$(0, \pm 3)$。
• 错在哪：EJU 填「$y^2 = \fbox{A}\,x$ の焦点は $(2, 0)$」时填 4。 为什么错：用了国内的 $y^2 = 2px$（$p = 4$ 是焦准距）去想，又把 $p$ 当成焦点坐标。 正确做法：日本写法 $y^2 = 4px$，焦点 $(p, 0)$，$p = 2$，所以填 8。
• 错在哪：$\dfrac{(x + 1)^2}{4} - (y - 2)^2 = 1$ 的焦点写成 $(\pm\sqrt{5}, 0)$，或渐近线写成 $y = \pm\dfrac{1}{2}x$。 为什么错：只平移了曲线，没有平移焦点和渐近线。 正确做法：焦点 $(-1 \pm \sqrt{5}, 2)$，渐近线 $y - 2 = \pm\dfrac{1}{2}(x + 1)$。
• 错在哪：$4x^2 - 16x$ 配方成 $4(x - 2)^2 - 4$。 为什么错：$4(x - 2)^2 = 4x^2 - 16x + 16$，多出来的是 16，不是 4。 正确做法：先提系数 $4(x^2 - 4x)$，括号里配方 $(x - 2)^2 - 4$，再乘回去得 $4(x - 2)^2 - 16$。

直观理解

平行移动就是把画着曲线的透明纸整张挪动，曲线和它的焦点、准线、渐近线都画在纸上，一起挪。方程里写 $x - 2$ 而不是 $x + 2$，是因为方程描述的是“新位置上的点退回 2 格后落在原曲线上”。

日本写法也有一个好记的地方：$x^2$ 下面的数管 $x$ 方向的半径，$y^2$ 下面的数管 $y$ 方向的半径，哪个方向半径大，椭圆就朝哪个方向长，焦点也在那个方向上。

关联知识点

• 国内书第 30–32 章：三种曲线的定义、标准方程、离心率，本节只改写法。
• 国内书第 29 章：圆的一般方程配方，本节的配方是同一手法推广到椭圆、双曲线。
• 本书第 5 章 2次関数：平行移动的规则相同。
• 后续：18.3 节接线公式在标准位置推出后，用本节的平移推广；18.6 节准线、离心率也要按平移后的位置读。
• 本书第 23 章 積分の応用：椭圆面积 $\pi ab$ 的计算。

18.3 2次曲線と直線

说明

共有点：直线代入 2 次曲线得到 $x$（或 $y$）的方程，二次项系数不为 0 时用判别式 $D$ 判断：$D > 0$ 两个共有点，$D = 0$ 相切（一个接点），$D < 0$ 没有共有点。二次项系数为 0（直线平行于双曲线的渐近线，或平行于抛物线的轴）时只有一个共有点，但不是相切。这些和国内书第 33 章 33.2 节相同。

接線の公式（国内没有）：曲线上一点 $(x_1, y_1)$ 处的接线，可以直接写出。

曲线	点 $(x_1, y_1)$ 处的接线
円 $x^2 + y^2 = r^2$	$x_1 x + y_1 y = r^2$
楕円 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$	$\dfrac{x_1 x}{a^2} + \dfrac{y_1 y}{b^2} = 1$
双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$	$\dfrac{x_1 x}{a^2} - \dfrac{y_1 y}{b^2} = 1$
双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = -1$	$\dfrac{x_1 x}{a^2} - \dfrac{y_1 y}{b^2} = -1$
放物線 $y^2 = 4px$	$y_1 y = 2p(x + x_1)$

记法：方程里的 $x^2$ 换成 $x_1 x$，$y^2$ 换成 $y_1 y$，一次项 $x$ 换成 $\dfrac{x + x_1}{2}$。

已知斜率的接线：斜率为 $m$ 的直线 $y = mx + n$ 与曲线相切的条件：

曲线	相切条件
楕円 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$	$n^2 = a^2 m^2 + b^2$
双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$	$n^2 = a^2 m^2 - b^2$（需 $\lvert m \rvert > \dfrac{b}{a}$）
放物線 $y^2 = 4px$	$n = \dfrac{p}{m}$（$m \ne 0$）

在数学Ｃ里可以用判别式推出这些公式，数学Ⅲ学了微分后还能用导数推一次（第 21 章）。

使用场景

• 题目给出曲线上的点，求该点处的接线：直接套接线公式。
• 题目给出曲线外的点，求过它的接线：设接点 $(x_1, y_1)$，写出接线公式，让它过已知点，再和曲线方程联立。
• 题目给出接线的斜率（或与已知直线平行、垂直），求接线：用相切条件 $n^2 = a^2 m^2 + b^2$ 等，或代入后令 $D = 0$。
• 题目问直线（含参数）与曲线的共有点个数：代入后先看二次项系数是否为 0，再看判别式。

注意点

• 接线公式只能用于曲线上的点。把曲线外的点代进去得到的直线不是接线（叫極線）。
• 曲线平移过时，公式也要平移：椭圆 $\dfrac{(x - h)^2}{a^2} + \dfrac{(y - k)^2}{b^2} = 1$ 上点 $(x_1, y_1)$ 处的接线是 $\dfrac{(x_1 - h)(x - h)}{a^2} + \dfrac{(y_1 - k)(y - k)}{b^2} = 1$。
• 双曲线和抛物线的“只有一个共有点”不一定是相切，要先看二次项系数。
• EJU 题干的说法：「点 $(2, 1)$ における接線」（曲线上的点）、「点 $(0, 2)$ から引いた接線」（曲线外的点）、「接点の座標」「共有点の個数」「$C$ と $\ell$ が接するとき」。

证明

结论 1：椭圆的接线公式。 设 $(x_1, y_1)$ 在椭圆上，$\ell$：$\dfrac{x_1 x}{a^2} + \dfrac{y_1 y}{b^2} = 1$。显然 $\ell$ 过 $(x_1, y_1)$。对椭圆上任一点 $(x, y)$，

$$\frac{(x - x_1)^2}{a^2} + \frac{(y - y_1)^2}{b^2} = \left(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}\right) + \left(\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2}\right) - 2\left(\frac{x_1 x}{a^2} + \frac{y_1 y}{b^2}\right) = 2 - 2\left(\frac{x_1 x}{a^2} + \frac{y_1 y}{b^2}\right).$$

（关键一步：展开后两个括号都等于 1，因为两点都在椭圆上。）若 $(x, y)$ 又在 $\ell$ 上，右边是 0，左边两个平方和为 0，只能 $x = x_1$，$y = y_1$。所以 $\ell$ 与椭圆只有一个共有点，椭圆没有渐近线，这就是相切。

结论 2：抛物线的接线公式。 $(x_1, y_1)$ 在 $y^2 = 4px$ 上。对抛物线上任一点 $(x, y)$：$(y - y_1)^2 = y^2 - 2y_1 y + y_1^2 = 4px + 4px_1 - 2y_1 y = 2\{2p(x + x_1) - y_1 y\}$。若 $(x, y)$ 又在 $y_1 y = 2p(x + x_1)$ 上，则 $(y - y_1)^2 = 0$，$y = y_1$，进而 $x = x_1$。这条直线的 $x$ 系数 $2p \ne 0$，不平行于轴，所以是接线。

结论 3：椭圆的相切条件 $n^2 = a^2 m^2 + b^2$。 把 $y = mx + n$ 代入 $b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2$：

$$(b^2 + a^2 m^2)x^2 + 2a^2 mn\,x + a^2(n^2 - b^2) = 0.$$

$\dfrac{D}{4} = a^4 m^2 n^2 - (b^2 + a^2 m^2) a^2 (n^2 - b^2) = a^2 b^2 (a^2 m^2 + b^2 - n^2)$，令它为 0 即得。双曲线把 $b^2$ 换成 $-b^2$，同样推出 $n^2 = a^2 m^2 - b^2$；双曲线的接线公式可由这个条件或第 21 章的导数验证。

例题

例 1　（场景：曲线上一点的接线）

問題　楕円 $\dfrac{x^2}{8} + \dfrac{y^2}{2} = 1$ 上の点 $(2, 1)$ における接線の方程式を求めよ。

解答　点 $(2, 1)$ が楕円上にあることを確かめると，$\dfrac{4}{8} + \dfrac{1}{2} = 1$ である。接線の公式より $\dfrac{2x}{8} + \dfrac{1 \cdot y}{2} = 1$，すなわち $x + 2y = 4$。

中文翻译　题目：求椭圆 $\dfrac{x^2}{8} + \dfrac{y^2}{2} = 1$ 上点 $(2, 1)$ 处的切线方程。解答：确认点 $(2, 1)$ 在椭圆上：$\dfrac{4}{8} + \dfrac{1}{2} = 1$。由切线公式，$\dfrac{2x}{8} + \dfrac{1 \cdot y}{2} = 1$，即 $x + 2y = 4$。

解说　接线公式只能用于曲线上的点，所以先把点代进去确认。公式的记法是：方程里的 $x^2$ 换成 $x_1 x$，$y^2$ 换成 $y_1 y$，本题就是 $\dfrac{x_1 x}{8} + \dfrac{y_1 y}{2} = 1$，再代入 $(x_1, y_1) = (2, 1)$。

例 2　（场景：曲线外一点引接线）

問題　点 $A(0, 2)$ から楕円 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$ に接線を引く。接線の方程式と接点の座標を求めよ。

解答　接点を $(x_1, y_1)$ とおくと，接線は $\dfrac{x_1 x}{4} + y_1 y = 1$ と書ける。これが $A(0, 2)$ を通るから $2y_1 = 1$，すなわち $y_1 = \dfrac{1}{2}$。接点は楕円上にあるから $\dfrac{x_1^2}{4} + \dfrac{1}{4} = 1$，よって $x_1 = \pm\sqrt{3}$。

接点が $\left(\sqrt{3}, \dfrac{1}{2}\right)$ のとき，接線は $\dfrac{\sqrt{3}}{4}x + \dfrac{1}{2}y = 1$，すなわち $\sqrt{3}x + 2y = 4$。接点が $\left(-\sqrt{3}, \dfrac{1}{2}\right)$ のとき，接線は $-\sqrt{3}x + 2y = 4$ である。

中文翻译　题目：从点 $A(0, 2)$ 向椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 引切线，求切线方程和切点。解答：设切点为 $(x_1, y_1)$，切线可写成 $\dfrac{x_1 x}{4} + y_1 y = 1$。它过 $A(0, 2)$，所以 $2y_1 = 1$，即 $y_1 = \dfrac{1}{2}$。切点在椭圆上，所以 $\dfrac{x_1^2}{4} + \dfrac{1}{4} = 1$，$x_1 = \pm\sqrt{3}$。切点为 $\left(\sqrt{3}, \dfrac{1}{2}\right)$ 时，切线是 $\dfrac{\sqrt{3}}{4}x + \dfrac{1}{2}y = 1$，即 $\sqrt{3}x + 2y = 4$；切点为 $\left(-\sqrt{3}, \dfrac{1}{2}\right)$ 时，切线是 $-\sqrt{3}x + 2y = 4$。

解说　容易卡在：直接把 $A(0, 2)$ 代进公式写成 $0 \cdot x + 2y = 1$。$A$ 不在椭圆上，这条 $y = \dfrac{1}{2}$ 是两个接点的连线（极线），不是接线。

例 3　（场景：给定斜率的接线）

問題　楕円 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$ の傾きが $1$ である接線の方程式を求めよ。

解答　$y = x + n$ とおき，$x^2 + 4y^2 = 4$ に代入すると $x^2 + 4(x + n)^2 = 4$，すなわち $5x^2 + 8nx + 4n^2 - 4 = 0$。

$$\frac{D}{4} = 16n^2 - 5(4n^2 - 4) = 20 - 4n^2 = 0,$$

よって $n = \pm\sqrt{5}$。求める接線は $y = x + \sqrt{5}$ と $y = x - \sqrt{5}$ である。

中文翻译　题目：求椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 的斜率为 $1$ 的切线。解答：设 $y = x + n$，代入 $x^2 + 4y^2 = 4$：$x^2 + 4(x + n)^2 = 4$，即 $5x^2 + 8nx + 4n^2 - 4 = 0$。$\dfrac{D}{4} = 16n^2 - 5(4n^2 - 4) = 20 - 4n^2 = 0$，所以 $n = \pm\sqrt{5}$。所求切线是 $y = x + \sqrt{5}$ 和 $y = x - \sqrt{5}$。

解说　另一种解法：用相切条件 $n^2 = a^2 m^2 + b^2 = 4 \times 1 + 1 = 5$，$n = \pm\sqrt{5}$，一步出结果。填空题用公式；要求接点坐标时还是代入，因为接点就是那个重根 $x = -\dfrac{4n}{5}$。

例 4　（场景：含参数的直线与曲线的共有点个数）

問題　双曲線 $x^2 - y^2 = 1$ と直線 $y = kx + 1$ の共有点の個数を，定数 $k$ の値によって場合分けして調べよ。

解答　代入すると $x^2 - (kx + 1)^2 = 1$，すなわち

$$(1 - k^2)x^2 - 2kx - 2 = 0.$$

(1) $k = \pm 1$ のとき（$2$ 次の項の係数が $0$）：方程式は $\mp 2x - 2 = 0$ となり，解は $1$ 個である。共有点は $1$ 個で，直線は漸近線 $y = \pm x$ に平行であり，接しているのではない。

(2) $k \ne \pm 1$ のとき：$\dfrac{D}{4} = k^2 + 2(1 - k^2) = 2 - k^2$ である。 $-\sqrt{2} < k < \sqrt{2}$（$k \ne \pm 1$）のとき $2$ 個，$k = \pm\sqrt{2}$ のとき $1$ 個（接する），$k < -\sqrt{2}$ または $k > \sqrt{2}$ のとき $0$ 個である。

したがって，$|k| < \sqrt{2}$ かつ $k \ne \pm 1$ のとき $2$ 個，$k = \pm 1$ または $k = \pm\sqrt{2}$ のとき $1$ 個，$|k| > \sqrt{2}$ のとき $0$ 個である。

中文翻译　题目：讨论双曲线 $x^2 - y^2 = 1$ 与直线 $y = kx + 1$ 的共有点个数，按常数 $k$ 的值分类。解答：代入得 $x^2 - (kx + 1)^2 = 1$，即 $(1 - k^2)x^2 - 2kx - 2 = 0$。（1）$k = \pm 1$ 时（二次项系数为 $0$）：方程变为 $\mp 2x - 2 = 0$，解有 $1$ 个。共有点 $1$ 个，直线平行于渐近线 $y = \pm x$，不是相切。（2）$k \ne \pm 1$ 时：$\dfrac{D}{4} = k^2 + 2(1 - k^2) = 2 - k^2$。$-\sqrt{2} < k < \sqrt{2}$（$k \ne \pm 1$）时 $2$ 个，$k = \pm\sqrt{2}$ 时 $1$ 个（相切），$k < -\sqrt{2}$ 或 $k > \sqrt{2}$ 时 $0$ 个。所以，$|k| < \sqrt{2}$ 且 $k \ne \pm 1$ 时 $2$ 个，$k = \pm 1$ 或 $k = \pm\sqrt{2}$ 时 $1$ 个，$|k| > \sqrt{2}$ 时 $0$ 个。

解说　“只有一个共有点”有两种情形：$k = \pm 1$ 时二次项系数为 $0$，方程是一次的，只有一个解，但直线平行于渐近线，不是相切；$k = \pm\sqrt{2}$ 时判别式为 $0$，才是相切。做这类题必须先看二次项系数是否为 $0$，再算 $D$。

常用推论

• 圆的接线 $x_1 x + y_1 y = r^2$ 是椭圆公式在 $a = b = r$ 时的特例（国内书第 29 章 29.3 节用点斜式求过）。
• 斜率为 $m$ 的接线：椭圆 $y = mx \pm \sqrt{a^2 m^2 + b^2}$，双曲线 $y = mx \pm \sqrt{a^2 m^2 - b^2}$，抛物线 $y^2 = 4px$ 为 $y = mx + \dfrac{p}{m}$。推导见本节证明结论 3（抛物线代入后 $D = 16p^2 - 16mnp = 0$）。
• 極線：从曲线外一点 $(x_0, y_0)$ 引两条接线，两个接点的连线就是 $\dfrac{x_0 x}{a^2} + \dfrac{y_0 y}{b^2} = 1$。推导：两个接点 $(x_1, y_1)$、$(x_2, y_2)$ 的接线都过 $(x_0, y_0)$，即 $\dfrac{x_1 x_0}{a^2} + \dfrac{y_1 y_0}{b^2} = 1$，这正说明两个接点都满足同一个一次方程（例 2 里就是 $y = \dfrac{1}{2}$）。
• 离椭圆最近、最远的点：求椭圆上点到直线距离的最值，平移直线到与椭圆相切，切线由相切条件给出（国内书第 33 章 33.6 节）。

易错点

• 错在哪：把曲线外的点代进接线公式，当成接线。 为什么错：公式的推导用到了”$(x_1, y_1)$ 在曲线上”（证明里括号等于 1）。点不在曲线上时，得到的是两接点的连线。 正确做法：设接点 $(x_1, y_1)$，写公式，再用“过已知点”和“接点在曲线上”两个条件解出接点。
• 错在哪：双曲线与直线代入后只算 $D$，$k = \pm 1$ 时也说”$D > 0$，两个交点”。 为什么错：$k = \pm 1$ 时方程是一次的，没有判别式可言。 正确做法：先看二次项系数，为 0 时单独讨论。
• 错在哪：双曲线 $\dfrac{x^2}{4} - y^2 = 1$ 求斜率为 $\dfrac{1}{4}$ 的接线，算 $n^2 = 4 \times \dfrac{1}{16} - 1 < 0$ 后不知所措，或强行写出答案。 为什么错：斜率的绝对值不超过渐近线斜率 $\dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{2}$ 的直线不可能与双曲线相切。 正确做法：$n^2 < 0$ 说明这样的接线不存在。

直观理解

接线公式和圆的接线 $x_1 x + y_1 y = r^2$ 长得一样，因为椭圆就是压扁的圆：把圆在 $y$ 方向缩成 $\dfrac{b}{a}$ 倍，圆上点的接线也跟着缩，仍是接线，方程就从 $x_1 x + y_1 y = a^2$ 变成 $\dfrac{x_1 x}{a^2} + \dfrac{y_1 y}{b^2} = 1$。

双曲线的“一个交点”有两种：相切是直线轻轻擦过曲线；平行于渐近线是直线从远处“追”着渐近线方向穿过一支，往无穷远处去再也碰不到另一支。

关联知识点

• 国内书第 33 章 33.2 节：联立与判别式，本节的共有点判断完全相同。
• 国内书第 29 章 29.3 节：圆的接线。
• 前置：18.2 节标准形；平移后的曲线先移回标准位置再用公式。
• 后续：本书第 21 章 微分法，用导数（含参数表示的 $\dfrac{dy}{dx}$）求接线，可以验证本节公式。
• 本书第 11 章 図形と方程式：领域与最值问题常用“直线与曲线相切”定边界。

18.4 媒介変数表示

说明

媒介変数表示：曲线上的点的坐标用第三个变量 $t$ 表示：

$$x = f(t), \qquad y = g(t).$$

$t$ 叫媒介変数（参数）。从两个式子里消去 $t$，得到 $x$、$y$ 的方程（国内旧教材叫“参数方程化普通方程”）。消去后要看 $t$ 的范围限制了 $x$、$y$ 的范围没有。

常用的媒介変数表示：

曲线	媒介変数表示
円 $x^2 + y^2 = r^2$	$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$
円 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$	$x = a + r\cos\theta$，$y = b + r\sin\theta$
楕円 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$	$x = a\cos\theta$，$y = b\sin\theta$
双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$	$x = \dfrac{a}{\cos\theta}$，$y = b\tan\theta$
放物線 $y^2 = 4px$	$x = pt^2$，$y = 2pt$
サイクロイド	$x = a(\theta - \sin\theta)$，$y = a(1 - \cos\theta)$

楕円の媒介変数 $\theta$：$\theta$ 不是 $OP$ 与 $x$ 轴的夹角。以 $O$ 为圆心、$a$ 为半径画圆（補助円），圆上的点 $Q(a\cos\theta, a\sin\theta)$ 的纵坐标缩成 $\dfrac{b}{a}$ 倍（竖直地压向 $x$ 轴）就是 $P(a\cos\theta, b\sin\theta)$，$\theta$ 是 $\angle QOx$。

サイクロイド（摆线）：半径 $a$ 的圆在 $x$ 轴上不打滑地滚动，圆周上一个定点（开始时在原点）画出的曲线。$\theta$ 是圆转过的角。一拱从 $x = 0$ 到 $x = 2\pi a$，最高点 $(\pi a, 2a)$。

同一条曲线的参数表示不止一种：$x = t$，$y = t^2$ 和 $x = 2t$，$y = 4t^2$ 都是 $y = x^2$。

使用场景

• 题目给出 $x = (\ \ )\cos\theta + (\ \ )$，$y = (\ \ )\sin\theta + (\ \ )$，问是什么曲线：用 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ 消去 $\theta$，得到平移后的圆或椭圆。
• 题目给出 $x$、$y$ 都是 $\theta$ 的三角式，但不是上面的标准样子：找恒等式消去 $\theta$，并求 $x$ 的范围。
• 题目给出 $x = t + \dfrac{1}{t}$ 一类的代数式：用平方差 $(x + y)(x - y)$ 等消去 $t$。
• 求椭圆（圆）上的点使某个式子（如 $x + y$、$xy$）取最值：用 $x = a\cos\theta$，$y = b\sin\theta$ 化成 $\theta$ 的三角函数，再合成。
• 题目给出サイクロイド，问某个 $\theta$ 对应的点、最高点、与 $x$ 轴的交点：直接代入参数式。

注意点

• 消去参数后，必须检查 $x$、$y$ 的取值范围：$x = \cos\theta$，$y = \cos 2\theta$ 消去后是 $y = 2x^2 - 1$，但只取 $-1 \le x \le 1$ 的一段。
• 椭圆的 $\theta$ 是辅助圆上的角，求”$\angle POx = 60°$ 的点“时不能直接令 $\theta = 60°$。
• $x = \dfrac{a}{\cos\theta}$ 要求 $\cos\theta \ne 0$。
• サイクロイド 的两个式子：$x$ 里是减号 $\theta - \sin\theta$，$y$ 里是 $1 - \cos\theta$；$\theta = 0$ 时在原点，可以用来检查。
• EJU 题干的说法：「$\theta$ を媒介変数として $x = \cdots$，$y = \cdots$ で表される曲線」「媒介変数 $t$ を消去すると」「$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$ とする」。

证明

结论 1：标准参数表示确实在曲线上。 椭圆：$\dfrac{(a\cos\theta)^2}{a^2} + \dfrac{(b\sin\theta)^2}{b^2} = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$。双曲线：$\dfrac{1}{\cos^2\theta} - \tan^2\theta = \dfrac{1 - \sin^2\theta}{\cos^2\theta} = 1$。抛物线：$(2pt)^2 = 4p^2 t^2 = 4p \cdot pt^2$。反过来，椭圆上任一点 $(x, y)$ 满足 $\left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{b}\right)^2 = 1$，点 $\left(\dfrac{x}{a}, \dfrac{y}{b}\right)$ 在单位圆上，所以有 $\theta$ 使 $\dfrac{x}{a} = \cos\theta$，$\dfrac{y}{b} = \sin\theta$，参数表示取遍整个椭圆。

结论 2：サイクロイド的参数表示。 圆转过角 $\theta$ 时，圆与 $x$ 轴的接点从原点移到 $(a\theta, 0)$。（关键一步：不打滑，接点走过的直线距离等于圆周上转过的弧长 $a\theta$。）所以圆心 $C(a\theta, a)$。开始时 $P$ 在圆心正下方；圆向右滚动是顺时针转动，转过 $\theta$ 后，$\overrightarrow{CP}$ 从指向正下方的 $(0, -a)$ 顺时针转 $\theta$，变成 $(-a\sin\theta, -a\cos\theta)$。于是

$$x = a\theta - a\sin\theta, \qquad y = a - a\cos\theta.$$

例题

例 1　（场景：消去 $\theta$ 得到平移后的椭圆）

問題　$x = 2\cos\theta + 1$，$y = 3\sin\theta - 2$ で表される曲線は何か。

解答　$\cos\theta = \dfrac{x - 1}{2}$，$\sin\theta = \dfrac{y + 2}{3}$ を $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ に代入すると

$$\frac{(x - 1)^2}{4} + \frac{(y + 2)^2}{9} = 1.$$

中心 $(1, -2)$ の楕円で，$y$ 方向の半径 $3$ の方が長く，焦点は $(1, -2 \pm \sqrt{5})$ である。

中文翻译　题目：$x = 2\cos\theta + 1$，$y = 3\sin\theta - 2$ 表示什么曲线？解答：把 $\cos\theta = \dfrac{x - 1}{2}$，$\sin\theta = \dfrac{y + 2}{3}$ 代入 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$：$\dfrac{(x - 1)^2}{4} + \dfrac{(y + 2)^2}{9} = 1$。这是中心 $(1, -2)$ 的椭圆，$y$ 方向的半径 $3$ 较长，焦点是 $(1, -2 \pm \sqrt{5})$。

解说　消去参数的套路：把 $\cos\theta$、$\sin\theta$ 解出来，代入 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$。得到 $\dfrac{(x - h)^2}{a^2} + \dfrac{(y - k)^2}{b^2} = 1$ 时，中心是 $(h, k)$；焦点在哪条轴上要看 $a^2$、$b^2$ 哪个大，本题 $9 > 4$，焦点在 $y$ 方向。

例 2　（场景：消去参数要求范围）

問題　$x = \sin\theta + \cos\theta$，$y = \sin\theta\cos\theta$ で表される曲線は何か。

解答　$x^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta = 1 + 2y$ であるから $y = \dfrac{x^2 - 1}{2}$。

範囲：$x = \sqrt{2}\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right)$ であるから $-\sqrt{2} \leqq x \leqq \sqrt{2}$。よって曲線は放物線 $y = \dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{2}$ の $-\sqrt{2} \leqq x \leqq \sqrt{2}$ の部分である。

中文翻译　题目：$x = \sin\theta + \cos\theta$，$y = \sin\theta\cos\theta$ 表示什么曲线？解答：$x^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta = 1 + 2y$，所以 $y = \dfrac{x^2 - 1}{2}$。范围：$x = \sqrt{2}\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right)$，所以 $-\sqrt{2} \leqq x \leqq \sqrt{2}$。因此曲线是抛物线 $y = \dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{2}$ 上 $-\sqrt{2} \leqq x \leqq \sqrt{2}$ 的部分。

解说　容易卡在：只写 $y = \dfrac{x^2 - 1}{2}$。整条抛物线上 $x = 2$ 的点 $\left(2, \dfrac{3}{2}\right)$ 并不在这条曲线上。

例 3　（场景：代数式的参数，消去 $t$）

問題　$x = t + \dfrac{1}{t}$，$y = t - \dfrac{1}{t}$（$t \ne 0$）で表される曲線は何か。

解答　$x + y = 2t$，$x - y = \dfrac{2}{t}$ であるから，辺々掛けると $(x + y)(x - y) = 4$，すなわち

$$\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{4} = 1.$$

これは直角双曲線である。逆に，この双曲線上の任意の点に対して $t = \dfrac{x + y}{2}$ とおくと $\dfrac{1}{t} = \dfrac{x - y}{2}$ となり，$t$ は双曲線全体を動く（$t > 0$ が右の枝，$t < 0$ が左の枝に対応する）。

中文翻译　题目：$x = t + \dfrac{1}{t}$，$y = t - \dfrac{1}{t}$（$t \ne 0$）表示什么曲线？解答：$x + y = 2t$，$x - y = \dfrac{2}{t}$，两式相乘：$(x + y)(x - y) = 4$，即 $\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{4} = 1$。这是直角双曲线。反过来，这条双曲线上任一点取 $t = \dfrac{x + y}{2}$，则 $\dfrac{1}{t} = \dfrac{x - y}{2}$，$t$ 取遍整条双曲线（$t > 0$ 对应右支，$t < 0$ 对应左支）。

解说　消去 $t$ 的技巧是把两个式子相加、相减，得到 $2t$ 和 $\dfrac{2}{t}$，再相乘把 $t$ 消掉。消完要说明反过来曲线上的点都能取到：本题 $t = \dfrac{x + y}{2} \ne 0$（双曲线上不可能有 $x + y = 0$），所以没有多余的点。

例 4　（场景：用参数求最值）

問題　点 $P(x, y)$ が楕円 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ 上を動くとき，$x + y$ の最大値を求めよ。

解答　$x = 3\cos\theta$，$y = 2\sin\theta$ とおくと，

$$x + y = 3\cos\theta + 2\sin\theta = \sqrt{13}\sin(\theta + \alpha),$$

ただし $\sin\alpha = \dfrac{2}{\sqrt{13}}$，$\cos\alpha = \dfrac{3}{\sqrt{13}}$ である（三角関数の合成，第 13 章）。よって最大値は $\sqrt{13}$ である。

中文翻译　题目：点 $P(x, y)$ 在椭圆 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ 上运动，求 $x + y$ 的最大值。解答：设 $x = 3\cos\theta$，$y = 2\sin\theta$，则 $x + y = 3\cos\theta + 2\sin\theta = \sqrt{13}\sin(\theta + \alpha)$，其中 $\sin\alpha = \dfrac{2}{\sqrt{13}}$，$\cos\alpha = \dfrac{3}{\sqrt{13}}$（三角函数的合成，第 13 章）。所以最大值是 $\sqrt{13}$。

解说　原书这里把 $\sin\alpha$ 和 $\cos\alpha$ 写反了，已改正：展开 $\sqrt{13}\sin(\theta + \alpha) = \sqrt{13}\cos\alpha\sin\theta + \sqrt{13}\sin\alpha\cos\theta$，与 $2\sin\theta + 3\cos\theta$ 比较系数，得 $\cos\alpha = \dfrac{3}{\sqrt{13}}$，$\sin\alpha = \dfrac{2}{\sqrt{13}}$。另一种解法：$x + y = k$ 即直线 $y = -x + k$，要与椭圆有共有点，$k$ 最大时相切。由 18.3 节相切条件 $k^2 = 9 \times 1 + 4 = 13$，$k = \sqrt{13}$。合成法还能顺便求出取最值的点，几何法只在目标是一次式时好用。

例 5　（场景：サイクロイド上的点）

問題　サイクロイド $x = 2(\theta - \sin\theta)$，$y = 2(1 - \cos\theta)$ について，$\theta = \dfrac{\pi}{3}$ に対応する点の座標と，$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$ の範囲で $y$ 座標が最大となる点の座標を求めよ。

解答　$\theta = \dfrac{\pi}{3}$ のとき，$x = 2\left(\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \dfrac{2}{3}\pi - \sqrt{3}$，$y = 2\left(1 - \dfrac{1}{2}\right) = 1$ であるから，点は $\left(\dfrac{2}{3}\pi - \sqrt{3}, 1\right)$。

$y = 2(1 - \cos\theta)$ は $\cos\theta = -1$，すなわち $\theta = \pi$ のとき最大となるから，最高点は $(2\pi, 4)$ である。

中文翻译　题目：对于摆线 $x = 2(\theta - \sin\theta)$，$y = 2(1 - \cos\theta)$，求 $\theta = \dfrac{\pi}{3}$ 对应的点，以及 $0 \leqq \theta \leqq 2\pi$ 范围内 $y$ 坐标最大的点。解答：$\theta = \dfrac{\pi}{3}$ 时，$x = 2\left(\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \dfrac{2}{3}\pi - \sqrt{3}$，$y = 2\left(1 - \dfrac{1}{2}\right) = 1$，所以点是 $\left(\dfrac{2}{3}\pi - \sqrt{3}, 1\right)$。$y = 2(1 - \cos\theta)$ 在 $\cos\theta = -1$，即 $\theta = \pi$ 时最大，所以最高点是 $(2\pi, 4)$。

解说　サイクロイド 的两个式子里，$x$ 是 $\theta - \sin\theta$、$y$ 是 $1 - \cos\theta$。$\theta = 0$ 时 $(x, y) = (0, 0)$，可以用来检查参数式有没有写错。最高点在 $\cos\theta = -1$ 时取到，此时 $x = 2\pi$，正好是半拱的宽度。

常用推论

• 圆的有理表示：$x = \dfrac{1 - t^2}{1 + t^2}$，$y = \dfrac{2t}{1 + t^2}$ 表示单位圆去掉点 $(-1, 0)$。推导：$x^2 + y^2 = \dfrac{(1 - t^2)^2 + 4t^2}{(1 + t^2)^2} = 1$；$t$ 是过 $(-1, 0)$ 的直线的斜率。
• 直线的参数表示：过 $(x_0, y_0)$、方向向量 $(l, m)$ 的直线 $x = x_0 + lt$，$y = y_0 + mt$，就是第 16 章的ベクトル方程式写成分量。
• アステロイド：$x = a\cos^3\theta$，$y = a\sin^3\theta$，消去 $\theta$ 得 $x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}$。推导：$\left(\dfrac{x}{a}\right)^{\frac{2}{3}} = \cos^2\theta$，同理相加。
• 参数曲线的导数：$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$，用来求参数曲线的接线，见第 21 章。
• サイクロイド的一拱：宽 $2\pi a$、高 $2a$；它与 $x$ 轴围成的面积是 $3\pi a^2$，弧长是 $8a$，见第 23 章。

易错点

• 错在哪：$x = \cos\theta$，$y = \cos 2\theta$ 消去后答“抛物线 $y = 2x^2 - 1$”。 为什么错：$x = \cos\theta$ 只能取 $[-1, 1]$，抛物线上 $|x| > 1$ 的部分不在曲线上。 正确做法：答”$y = 2x^2 - 1$（$-1 \le x \le 1$）“，即抛物线的一段。
• 错在哪：椭圆 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ 上 $\angle POx = \dfrac{\pi}{3}$ 的点，写成 $\left(3\cos\dfrac{\pi}{3}, 2\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$。 为什么错：参数 $\theta$ 是辅助圆上的角，$P(3\cos\theta, 2\sin\theta)$ 与 $x$ 轴的夹角满足 $\tan\angle POx = \dfrac{2}{3}\tan\theta$，不等于 $\theta$。 正确做法：设 $P(r\cos\dfrac{\pi}{3}, r\sin\dfrac{\pi}{3})$ 代入椭圆方程求 $r$，或用 $\tan\theta = \dfrac{3}{2}\tan\dfrac{\pi}{3}$。
• 错在哪：サイクロイド写成 $x = a(\theta + \sin\theta)$ 或 $y = a(1 + \cos\theta)$。 为什么错：$\theta = 0$ 时点应在原点；$a(1 + \cos 0) = 2a$ 不在原点。 正确做法：记住 $x = a(\theta - \sin\theta)$，$y = a(1 - \cos\theta)$，用 $\theta = 0$ 检查。

直观理解

把参数 $t$ 想成时间：$x = f(t)$，$y = g(t)$ 告诉你每一时刻点在哪，曲线就是点走过的轨迹。消去参数等于只看脚印、不看时间，所以会丢掉“走到哪为止”的信息，这就是要补范围的原因。

サイクロイド是自行车轮上一颗反光片的轨迹：反光片贴着地面时速度为 0（那一瞬间轮子与地面接触点不动），所以曲线在 $x$ 轴上出现尖角；转到最高点时速度最大。

关联知识点

• 国内书：没有对应章（旧课标选修 4-4”坐标系与参数方程”）；国内书第 33 章 33.6 节用三角换元求最值，就是本节例 4 的方法。
• 前置：本书第 13 章 三角関数，消去参数靠 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ 和二倍角公式，求最值靠合成。
• 本书第 16 章 ベクトル：直线的ベクトル方程式就是直线的参数表示。
• 本书第 17 章 複素数平面：$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ 与圆的参数表示一致。
• 后续：本书第 21 章用参数求导数和接线，第 23 章求参数曲线围成的面积和曲线长。

18.5 極座標と極方程式

说明

極座標：平面上取一点 $O$（極）和从 $O$ 出发的射线 $OX$（始線）。点 $P$ 的位置用 $r = OP$ 和从 $OX$ 逆时针量到 $OP$ 的角 $\theta$（偏角）表示，写成 $P(r, \theta)$。偏角加减 $2\pi$ 表示同一点，题目通常限定 $0 \le \theta < 2\pi$ 或 $-\pi < \theta \le \pi$。极 $O$ 本身是 $r = 0$，$\theta$ 任意。

和直交座標的互化：极与原点重合、始线与 $x$ 轴正方向重合时，

$$x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta; \qquad r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \cos\theta = \frac{x}{r}, \quad \sin\theta = \frac{y}{r}.$$

極方程式：用 $r$、$\theta$ 的关系 $r = f(\theta)$ 或 $F(r, \theta) = 0$ 表示的曲线方程。日本教科书约定，极方程里 $r$ 可以取负值：$(r, \theta)$ 与 $(-r, \theta + \pi)$ 表示同一点。

常见图形的极方程：

图形	极方程	直角坐标
以极为圆心、半径 $a$ 的圆	$r = a$	$x^2 + y^2 = a^2$
圆心 $(a, 0)$、过极的圆	$r = 2a\cos\theta$	$x^2 + y^2 = 2ax$
圆心极坐标 $(a, \alpha)$、过极的圆	$r = 2a\cos(\theta - \alpha)$
圆心极坐标 $(r_0, \theta_0)$、半径 $a$ 的圆	$r^2 - 2r r_0\cos(\theta - \theta_0) + r_0^2 = a^2$
过极、倾角 $\alpha$ 的直线	$\theta = \alpha$
从极到直线的垂足为 $H(p, \alpha)$ 的直线	$r\cos(\theta - \alpha) = p$	$x\cos\alpha + y\sin\alpha = p$
过 $(a, 0)$ 垂直于始线的直线	$r\cos\theta = a$	$x = a$
カージオイド（心脏线）	$r = a(1 + \cos\theta)$

使用场景

• 题目给出极坐标求直角坐标，或反过来：用 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$；反向时先求 $r$，再按象限定 $\theta$。
• 题目给出极方程问是什么图形：两边乘 $r$ 或展开 $\cos(\theta - \alpha)$，凑出 $r^2$、$r\cos\theta$、$r\sin\theta$，换成 $x^2 + y^2$、$x$、$y$。
• 题目给出图形（圆心、过的点、垂足）求极方程：在三角形 $OAP$ 或直角三角形里用余弦定理、投影列式。
• 题目问过极的直线与曲线的交点、交点到极的距离：直线就是 $\theta = \alpha$，代入极方程直接得 $r$。

注意点

• 由直角坐标求 $\theta$ 不能只看 $\tan\theta = \dfrac{y}{x}$：$(-\sqrt{3}, -1)$ 和 $(\sqrt{3}, 1)$ 的 $\tan\theta$ 相同，前者 $\theta = \dfrac{7}{6}\pi$。
• 两边乘 $r$ 可能多出极点，两边平方可能多出 $r < 0$ 的部分；要回头看极是否本来就在曲线上（$r = 4\sin\theta$ 在 $\theta = 0$ 时 $r = 0$，极本来就在，所以没有多出点）。
• 极方程 $r\cos(\theta - \alpha) = p$ 中 $p > 0$ 是极到直线的距离，$\alpha$ 是垂足的方向。
• EJU 题干的说法：「極座標が $(2, \dfrac{2}{3}\pi)$ である点」「極方程式 $r = 4\sin\theta$ で表される曲線」「直交座標の方程式で表すと」「極 $O$ を通る直線」「$0 \leqq \theta < 2\pi$」。

证明

结论 1：直线的极方程。 设 $H(p, \alpha)$ 是从极 $O$ 到直线 $\ell$ 的垂足，$P(r, \theta)$ 是 $\ell$ 上任一点。$\angle POH = \theta - \alpha$（或其相反数），在直角三角形 $OHP$ 中（关键一步：$OH \perp HP$，$OH$ 是 $OP$ 在 $OH$ 方向上的投影）

$$OH = OP\cos\angle POH, \qquad p = r\cos(\theta - \alpha).$$

反过来满足这个式子的点到 $OH$ 方向的投影都是 $p$，都在 $\ell$ 上。展开 $\cos(\theta - \alpha) = \cos\theta\cos\alpha + \sin\theta\sin\alpha$，乘 $r$ 得 $x\cos\alpha + y\sin\alpha = p$。

结论 2：圆的极方程。 圆心 $A(r_0, \theta_0)$、半径 $a$，$P(r, \theta)$ 在圆上。在三角形 $OAP$ 中 $\angle AOP = \theta - \theta_0$，由余弦定理

$$AP^2 = OP^2 + OA^2 - 2 \cdot OP \cdot OA\cos(\theta - \theta_0),$$

即 $a^2 = r^2 + r_0^2 - 2r r_0\cos(\theta - \theta_0)$。圆过极时 $r_0 = a$，化成 $r^2 = 2ar\cos(\theta - \theta_0)$，除以 $r$ 得 $r = 2a\cos(\theta - \theta_0)$（$r = 0$ 时就是极，也在 $r = 2a\cos(\theta - \theta_0)$ 上，取 $\theta = \theta_0 + \dfrac{\pi}{2}$）。

结论 3：$r < 0$ 的约定。 极方程 $r = f(\theta)$ 算出 $r < 0$ 时，把点画在 $\theta$ 的反方向距离 $|r|$ 处，即 $(|r|, \theta + \pi)$。这样 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$ 对负的 $r$ 也成立（$-|r|\cos\theta = |r|\cos(\theta + \pi)$），互化公式不用改。

例题

例 1　（场景：坐标互化）

問題　(1) 極座標が $\left(2, \dfrac{2}{3}\pi\right)$ である点の直交座標を求めよ。 (2) 直交座標が $(1, -\sqrt{3})$ である点の極座標を求めよ（$0 \leqq \theta < 2\pi$）。

解答　(1) $x = 2\cos\dfrac{2}{3}\pi = -1$，$y = 2\sin\dfrac{2}{3}\pi = \sqrt{3}$ より，$(-1, \sqrt{3})$ である。

(2) $r = \sqrt{1 + 3} = 2$，$\cos\theta = \dfrac{1}{2}$，$\sin\theta = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ で，点は第 $4$ 象限にあるから $\theta = \dfrac{5}{3}\pi$。よって極座標は $\left(2, \dfrac{5}{3}\pi\right)$ である。

中文翻译　题目：（1）求极坐标为 $\left(2, \dfrac{2}{3}\pi\right)$ 的点的直角坐标。（2）求直角坐标为 $(1, -\sqrt{3})$ 的点的极坐标（$0 \leqq \theta < 2\pi$）。解答：（1）$x = 2\cos\dfrac{2}{3}\pi = -1$，$y = 2\sin\dfrac{2}{3}\pi = \sqrt{3}$，得 $(-1, \sqrt{3})$。（2）$r = \sqrt{1 + 3} = 2$，$\cos\theta = \dfrac{1}{2}$，$\sin\theta = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，点在第四象限，所以 $\theta = \dfrac{5}{3}\pi$。因此极坐标是 $\left(2, \dfrac{5}{3}\pi\right)$。

解说　由直角坐标求偏角时，不能只用 $\tan\theta = \dfrac{y}{x}$：$\tan$ 的周期是 $\pi$，还要看 $x$、$y$ 的符号定象限。本题 $\cos\theta > 0$、$\sin\theta < 0$，是第四象限的角。

例 2　（场景：极方程化直角坐标方程）

問題　次の極方程式はどのような図形を表すか。 (1) $r = 4\sin\theta$ (2) $r\cos\left(\theta - \dfrac{\pi}{3}\right) = 2$

解答　(1) 両辺に $r$ を掛けると $r^2 = 4r\sin\theta$，すなわち $x^2 + y^2 = 4y$，$x^2 + (y - 2)^2 = 4$。よって中心 $(0, 2)$，半径 $2$ の円（極を通る）である。

(2) 展開すると $r\cos\theta \cdot \dfrac{1}{2} + r\sin\theta \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 2$，すなわち $\dfrac{1}{2}x + \dfrac{\sqrt{3}}{2}y = 2$，$x + \sqrt{3}y = 4$。これは原点からの距離が $2$ で，垂線の足の方向が $\dfrac{\pi}{3}$ である直線である。

中文翻译　题目：下列极方程表示什么图形？（1）$r = 4\sin\theta$；（2）$r\cos\left(\theta - \dfrac{\pi}{3}\right) = 2$。解答：（1）两边乘 $r$：$r^2 = 4r\sin\theta$，即 $x^2 + y^2 = 4y$，$x^2 + (y - 2)^2 = 4$。所以是圆心 $(0, 2)$、半径 $2$ 的圆（过极）。（2）展开：$r\cos\theta \cdot \dfrac{1}{2} + r\sin\theta \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 2$，即 $\dfrac{1}{2}x + \dfrac{\sqrt{3}}{2}y = 2$，$x + \sqrt{3}y = 4$。这是到原点距离为 $2$、垂足方向为 $\dfrac{\pi}{3}$ 的直线。

解说　极方程化直角坐标：见到 $r$ 就两边乘 $r$，凑出 $r^2 = x^2 + y^2$、$r\cos\theta = x$、$r\sin\theta = y$。第 (1) 题乘 $r$ 后极点 $r = 0$ 本来就在圆上，不需要额外补点。第 (2) 题注意 $\cos(\theta - \alpha)$ 展开后中间是加号。

例 3　（场景：由图形求极方程）

問題　(1) 中心の極座標が $\left(3, \dfrac{\pi}{4}\right)$ で，極 $O$ を通る円の極方程式を求めよ。 (2) 極 $O$ から直線に下ろした垂線の足が $H\left(2, \dfrac{\pi}{6}\right)$ である直線の極方程式を求めよ。

解答　(1) 直径 $OB = 6$ で，$B$ の方向は $\dfrac{\pi}{4}$ である。円上の点 $P(r, \theta)$ は $\angle OPB = 90^\circ$ を満たすから，$OP = OB\cos\angle POB$，すなわち

$$r = 6\cos\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right).$$

(2) 直線の極方程式の公式より，$r\cos\left(\theta - \dfrac{\pi}{6}\right) = 2$ である。

中文翻译　题目：（1）求圆心极坐标为 $\left(3, \dfrac{\pi}{4}\right)$、过极 $O$ 的圆的极方程。（2）求从极 $O$ 向直线所作垂线的垂足为 $H\left(2, \dfrac{\pi}{6}\right)$ 的直线的极方程。解答：（1）直径 $OB = 6$，$B$ 的方向是 $\dfrac{\pi}{4}$。圆上的点 $P(r, \theta)$ 满足 $\angle OPB = 90^\circ$，所以 $OP = OB\cos\angle POB$，即 $r = 6\cos\left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right)$。（2）由直线的极方程公式，$r\cos\left(\theta - \dfrac{\pi}{6}\right) = 2$。

解说　（1）过极的圆，直径的一端是极 $O$，另一端是 $B$，圆周角 $\angle OPB = 90^\circ$，把 $OP$ 看成 $OB$ 在 $OP$ 方向的投影，就得到 $r = 2a\cos(\theta - \alpha)$。另一种解法：（1）先在直角坐标里写：圆心 $\left(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}, \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right)$、半径 $3$，$x^2 + y^2 - 3\sqrt{2}x - 3\sqrt{2}y = 0$，再代入 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，得 $r = 3\sqrt{2}(\cos\theta + \sin\theta) = 6\cos\left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right)$。几何法（直角三角形）一步写出，适合过极的圆；代入法通用，圆不过极时也能用。

例 4　（场景：过极的直线与曲线的交点）

問題　(1) 円 $r = 4\cos\theta$ と直線 $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ は極 $O$ と点 $P$ で交わる。$OP$ を求めよ。 (2) カージオイド $r = 1 + \cos\theta$（$0 \leqq \theta < 2\pi$）上で，極からの距離が $\dfrac{3}{2}$ である点をすべて求めよ。

解答　(1) $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ を代入すると $r = 4 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ であるから，$OP = 2\sqrt{3}$，$P\left(2\sqrt{3}, \dfrac{\pi}{6}\right)$ である。

(2) $1 + \cos\theta = \dfrac{3}{2}$ より $\cos\theta = \dfrac{1}{2}$，すなわち $\theta = \dfrac{\pi}{3}$ または $\dfrac{5}{3}\pi$。よって求める点は $\left(\dfrac{3}{2}, \dfrac{\pi}{3}\right)$，$\left(\dfrac{3}{2}, \dfrac{5}{3}\pi\right)$ の $2$ 点である。

中文翻译　题目：（1）圆 $r = 4\cos\theta$ 与直线 $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ 交于极 $O$ 和点 $P$，求 $OP$。（2）求心脏线 $r = 1 + \cos\theta$（$0 \leqq \theta < 2\pi$）上到极的距离为 $\dfrac{3}{2}$ 的点。解答：（1）代入 $\theta = \dfrac{\pi}{6}$：$r = 4 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$，所以 $OP = 2\sqrt{3}$，$P\left(2\sqrt{3}, \dfrac{\pi}{6}\right)$。（2）$1 + \cos\theta = \dfrac{3}{2}$，$\cos\theta = \dfrac{1}{2}$，$\theta = \dfrac{\pi}{3}$ 或 $\dfrac{5}{3}\pi$。所求的点是 $\left(\dfrac{3}{2}, \dfrac{\pi}{3}\right)$、$\left(\dfrac{3}{2}, \dfrac{5}{3}\pi\right)$ 两点。

解说　过极的直线在极坐标里就是 $\theta = \alpha$，代入极方程直接得到交点的 $r$，比化成直角坐标联立快得多。第 (2) 题要注意 $0 \leqq \theta < 2\pi$ 里 $\cos\theta = \dfrac{1}{2}$ 有两个解，对应关于始线对称的两点。

常用推论

• 两点间距离：$P_1(r_1, \theta_1)$、$P_2(r_2, \theta_2)$，$P_1P_2^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2r_1 r_2\cos(\theta_2 - \theta_1)$。推导：三角形 $OP_1P_2$ 中用余弦定理。
• 三角形面积：$\triangle OP_1P_2 = \dfrac{1}{2}r_1 r_2|\sin(\theta_2 - \theta_1)|$。推导：两边夹角的面积公式。
• $r = a\cos\theta + b\sin\theta$ 是过极的圆：乘 $r$ 得 $x^2 + y^2 = ax + by$，圆心 $\left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{b}{2}\right)$。
• 直线 $x\cos\alpha + y\sin\alpha = p$ 中 $p$ 是原点到直线的距离（ヘッセの標準形），与国内书第 28 章的点到直线距离公式一致。
• 复数的极形式 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ 中的 $r$、$\theta$ 就是点 $z$ 的极坐标（第 17 章）。

易错点

• 错在哪：$(-\sqrt{3}, -1)$ 的偏角由 $\tan\theta = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ 写成 $\dfrac{\pi}{6}$。 为什么错：$\tan$ 的周期是 $\pi$，$\dfrac{\pi}{6}$ 和 $\dfrac{7}{6}\pi$ 的 $\tan$ 相同；点在第三象限。 正确做法：同时看 $\cos\theta = \dfrac{x}{r}$ 和 $\sin\theta = \dfrac{y}{r}$ 的符号，$\theta = \dfrac{7}{6}\pi$。
• 错在哪：$r\cos\left(\theta - \dfrac{\pi}{3}\right) = 2$ 展开成 $x\cos\dfrac{\pi}{3} - y\sin\dfrac{\pi}{3} = 2$。 为什么错：$\cos(\theta - \alpha) = \cos\theta\cos\alpha + \sin\theta\sin\alpha$，减法公式里是加号。 正确做法：$\dfrac{1}{2}x + \dfrac{\sqrt{3}}{2}y = 2$。
• 错在哪：认为极方程算出 $r < 0$ 就“没有点”。 为什么错：日本教科书约定 $(r, \theta)$ 在 $r < 0$ 时表示 $(|r|, \theta + \pi)$，是一个真实存在的点。 正确做法：按约定画到反方向；只有题目明确写 $r > 0$ 时才舍去。

直观理解

直角坐标像城市的街道“往东走几条、往北走几条”，极坐标像雷达“朝哪个方向、多远”。以某点为中心的圆、过某点的直线、绕着某点转的曲线，用极坐标写最简单：圆就是 $r = a$，过极的直线就是 $\theta = \alpha$。

$r = 2a\cos\theta$ 是圆的理由一图即明：直径 $OB$ 上的圆周角是直角，所以 $OP$ 就是 $OB$ 在 $OP$ 方向上的“影子”，长 $2a\cos\theta$。

关联知识点

• 国内书：没有对应章（旧课标选修 4-4）；国内书第 28 章点到直线的距离、第 16 章余弦定理是本节证明的工具。
• 前置：本书第 13 章 三角関数（加法定理），本书第 6 章 図形と計量（余弦定理、面积公式）。
• 本书第 17 章 複素数平面：极形式与极坐标是一回事。
• 后续：18.6 节用极方程统一三种 2 次曲线。
• 后续：本书第 23 章，极方程曲线围成的面积和曲线长（カージオイド常作例子）。

18.6 離心率と2次曲線の極方程式

说明

用离心率统一定义：定点 $F$ 和不过 $F$ 的定直线 $\ell$，到 $F$ 的距离与到 $\ell$ 的距离之比为定值 $e$ 的点的轨迹：

$$\frac{PF}{PH} = e \quad (PH \text{ は } P \text{ から } \ell \text{ への距離}),$$

$0 < e < 1$ 是楕円，$e = 1$ 是放物線，$e > 1$ 是双曲線。$F$ 是焦点，$\ell$ 是準線，$e$ 是離心率。

标准形的准线：

曲线	焦点	離心率	準線
楕円 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）	$(\pm c, 0)$，$c = \sqrt{a^2 - b^2}$	$e = \dfrac{c}{a} < 1$	$x = \pm\dfrac{a^2}{c}$
双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$	$(\pm c, 0)$，$c = \sqrt{a^2 + b^2}$	$e = \dfrac{c}{a} > 1$	$x = \pm\dfrac{a^2}{c}$
放物線 $y^2 = 4px$	$(p, 0)$	$e = 1$	$x = -p$

右焦点配右准线，左焦点配左准线。椭圆的准线在椭圆外面（$\dfrac{a^2}{c} > a$），双曲线的准线在两支之间（$\dfrac{a^2}{c} < a$）。

2次曲線の極方程式：以焦点 $F$ 为极、始线沿 $x$ 轴正方向，准线为 $x = -k$（$k > 0$，在极的左边）时

$$r = \frac{ek}{1 - e\cos\theta};$$

准线为 $x = k$（在极的右边）时 $r = \dfrac{ek}{1 + e\cos\theta}$。读极方程时先把分母的常数项化成 1，$\cos\theta$ 的系数（绝对值）就是离心率。

使用场景

• 题目给出定点、定直线和距离之比，求轨迹：设 $P(x, y)$，按 $PF = e \cdot PH$ 列式平方。
• 题目给出 $r = \dfrac{A}{B + C\cos\theta}$ 形式的极方程，问是什么曲线、离心率多少：分子分母同除以 $B$ 读出 $e$；要直角坐标方程时化成 $Br = A - Cx$ 再平方。
• 题目要求以焦点为极的 2 次曲线的极方程：找 $e$ 和焦点到准线的距离 $k$，套公式，注意准线在哪边。
• 题目问过焦点的弦（焦点弦）的长度、$\dfrac{1}{FP} + \dfrac{1}{FQ}$：把 $P$、$Q$ 写成 $(r_1, \theta)$、$(r_2, \theta + \pi)$，代入极方程。

注意点

• 读离心率前，分母的常数项必须是 1：$r = \dfrac{6}{2 - \cos\theta} = \dfrac{3}{1 - \frac{1}{2}\cos\theta}$，$e = \dfrac{1}{2}$，不是 1。
• 准线在极左边用 $1 - e\cos\theta$，在右边用 $1 + e\cos\theta$；拿不准时代 $\theta = 0$ 检查：$\theta = 0$ 对应焦点右边的点。
• 日本写法里椭圆 $b > a$ 时焦点在 $y$ 轴上，离心率是 $\dfrac{\sqrt{b^2 - a^2}}{b}$，准线是 $y = \pm\dfrac{b^2}{\sqrt{b^2 - a^2}}$。
• $e > 1$ 时极方程中 $r > 0$ 的部分只给出包住焦点的一支，另一支对应 $r < 0$。
• EJU 题干的说法：「点 $F$ と直線 $\ell$ からの距離の比が $1 : 2$ である点 $P$ の軌跡」「離心率」「準線」「極を焦点とする」。

证明

结论 1：$PF = e \cdot PH$ 给出三种 2 次曲线。 取 $F$ 为原点、准线 $x = -k$。$P(x, y)$ 满足 $x^2 + y^2 = e^2(x + k)^2$，整理成

$$(1 - e^2)x^2 - 2e^2 k x + y^2 = e^2 k^2.$$

（关键一步：$x^2$ 的系数 $1 - e^2$ 的符号决定曲线类型。）$e = 1$ 时没有 $x^2$ 项，$y^2 = 2k\left(x + \dfrac{k}{2}\right)$ 是抛物线；$e < 1$ 时 $x^2$、$y^2$ 系数同正，配方后是椭圆；$e > 1$ 时异号，是双曲线（18.2 节一般形的分类）。

结论 2：椭圆的准线是 $x = \dfrac{a^2}{c}$。 $P(x, y)$ 在 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 上，$F(c, 0)$，$y^2 = b^2 - \dfrac{b^2}{a^2}x^2$，$b^2 = a^2 - c^2$：

$$PF^2 = (x - c)^2 + y^2 = \frac{c^2}{a^2}x^2 - 2cx + a^2 = \left(a - \frac{c}{a}x\right)^2.$$

$|x| \le a$，$\dfrac{c}{a} < 1$，所以 $a - \dfrac{c}{a}x > 0$，$PF = a - ex$（焦半径）。于是 $PF = e\left(\dfrac{a^2}{c} - x\right)$，括号正是 $P$ 到直线 $x = \dfrac{a^2}{c}$ 的距离。双曲线同理得 $PF = |ex - a|$。

结论 3：极方程。 极是焦点 $F$，准线 $x = -k$。$P(r, \theta)$ 到准线的距离是 $PH = r\cos\theta + k$（$P$ 在准线右侧）。$PF = r$，由 $r = e(r\cos\theta + k)$ 得 $r(1 - e\cos\theta) = ek$，即 $r = \dfrac{ek}{1 - e\cos\theta}$。准线在右边 $x = k$ 时 $PH = k - r\cos\theta$，得 $r = \dfrac{ek}{1 + e\cos\theta}$。

例题

例 1　（场景：由距离之比求轨迹）

問題　点 $F(1, 0)$ と直線 $x = 4$ からの距離の比が $1 : 2$ である点の軌跡はどのような曲線か。

解答　$P(x, y)$ とおくと，$PF : PH = 1 : 2$ より $2PF = PH$，すなわち

$$2\sqrt{(x - 1)^2 + y^2} = |x - 4|.$$

両辺を平方すると $4x^2 - 8x + 4 + 4y^2 = x^2 - 8x + 16$，$3x^2 + 4y^2 = 12$，よって

$$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1.$$

これは離心率 $e = \dfrac{1}{2}$ の楕円である。

中文翻译　题目：到点 $F(1, 0)$ 和直线 $x = 4$ 的距离之比为 $1 : 2$ 的点的轨迹是什么曲线？解答：设 $P(x, y)$，由 $PF : PH = 1 : 2$ 得 $2PF = PH$，即 $2\sqrt{(x - 1)^2 + y^2} = |x - 4|$。两边平方：$4x^2 - 8x + 4 + 4y^2 = x^2 - 8x + 16$，$3x^2 + 4y^2 = 12$，所以 $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1$。这是离心率 $e = \dfrac{1}{2}$ 的椭圆。

解说　验算：由方程 $c = 1$，$a = 2$，$e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{2}$，右准线 $x = \dfrac{a^2}{c} = 4$，与题目的焦点、准线吻合。容易卡在：把“距离之比 $1 : 2$“写成 $PF = 2PH$。$PF : PH = 1 : 2$ 表示 $PF$ 是较小的那一段，应写成 $2PF = PH$。

例 2　（场景：由极方程判断曲线）

問題　極方程式 $r = \dfrac{6}{2 - \cos\theta}$ はどのような曲線を表すか。直交座標の方程式に直せ。

解答　$r = \dfrac{3}{1 - \frac{1}{2}\cos\theta}$ であるから $e = \dfrac{1}{2}$，$ek = 3$，$k = 6$。よって焦点が極，準線が $x = -6$ の楕円である。

直交座標に直すと，$2r - r\cos\theta = 6$，$2r = x + 6$。平方して $4(x^2 + y^2) = x^2 + 12x + 36$，$3x^2 - 12x + 4y^2 = 36$，平方完成して $3(x - 2)^2 + 4y^2 = 48$，すなわち

$$\frac{(x - 2)^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1.$$

中心 $(2, 0)$，$a = 4$，$c = \sqrt{16 - 12} = 2$ で，焦点は $(0, 0)$，$(4, 0)$ である。左の焦点が極に一致し，$e = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ である。

中文翻译　题目：极方程 $r = \dfrac{6}{2 - \cos\theta}$ 表示什么曲线？化成直角坐标方程。解答：$r = \dfrac{3}{1 - \frac{1}{2}\cos\theta}$，所以 $e = \dfrac{1}{2}$，$ek = 3$，$k = 6$。这是焦点在极、准线为 $x = -6$ 的椭圆。化成直角坐标：$2r - r\cos\theta = 6$，$2r = x + 6$，平方得 $4(x^2 + y^2) = x^2 + 12x + 36$，$3x^2 - 12x + 4y^2 = 36$，配方 $3(x - 2)^2 + 4y^2 = 48$，即 $\dfrac{(x - 2)^2}{16} + \dfrac{y^2}{12} = 1$。中心 $(2, 0)$，$a = 4$，$c = \sqrt{16 - 12} = 2$，焦点 $(0, 0)$、$(4, 0)$，左焦点正是极，$e = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$。

解说　读离心率前先把分母的常数项化成 $1$：$\dfrac{6}{2 - \cos\theta} = \dfrac{3}{1 - \frac{1}{2}\cos\theta}$，$e = \dfrac{1}{2}$，不能直接把分母里的系数当成离心率。化直角坐标时先写成 $2r = x + 6$，两边都非负才可以平方。

例 3　（场景：以焦点为极写极方程）

問題　次の $2$ 次曲線について，焦点を極とする極方程式を求めよ。 (1) 焦点が極 $O$，準線が $x = -2$ である放物線 (2) 楕円 $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1$（右の焦点 $F(1, 0)$ を極とし，始線を $x$ 軸の正の向きにとる）

解答　(1) $e = 1$，$k = 2$ で，準線は極の左にあるから，$r = \dfrac{2}{1 - \cos\theta}$ である。

(2) $e = \dfrac{1}{2}$ で，右の焦点には右の準線 $x = \dfrac{a^2}{c} = 4$ が対応する。これは極 $F$ の右に $k = 3$ の距離にあるから，

$$r = \frac{\frac{1}{2} \times 3}{1 + \frac{1}{2}\cos\theta} = \frac{3}{2 + \cos\theta}.$$

中文翻译　题目：求下列二次曲线以焦点为极的极方程。（1）焦点为极 $O$、准线为 $x = -2$ 的抛物线；（2）椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1$，以右焦点 $F(1, 0)$ 为极、始线沿 $x$ 轴正方向。解答：（1）$e = 1$，$k = 2$，准线在极的左边，所以 $r = \dfrac{2}{1 - \cos\theta}$。（2）$e = \dfrac{1}{2}$，右焦点对应右准线 $x = \dfrac{a^2}{c} = 4$。它在极 $F$ 右边距离 $k = 3$ 处，所以 $r = \frac{\frac{1}{2} \times 3}{1 + \frac{1}{2}\cos\theta} = \dfrac{3}{2 + \cos\theta}$。

解说　验算：$\theta = 0$ 时 $r = 1$，对应右顶点 $(2, 0)$；$\theta = \pi$ 时 $r = 3$，对应左顶点 $(-2, 0)$，两个顶点到焦点 $F(1, 0)$ 的距离分别是 $1$ 和 $3$，正确。准线在极的左边用 $1 - e\cos\theta$，在右边用 $1 + e\cos\theta$；拿不准就代 $\theta = 0$ 看得到的是哪一侧的顶点。

例 4　（场景：焦点弦）

問題　放物線 $r = \dfrac{2}{1 - \cos\theta}$ において，焦点 $F$（極）を通る直線が放物線と $P$，$Q$ で交わるとする。$\dfrac{1}{FP} + \dfrac{1}{FQ}$ と $PQ$ の最小値を求めよ。

解答　$P(r_1, \theta)$，$Q(r_2, \theta + \pi)$ とおくと，$\cos(\theta + \pi) = -\cos\theta$ であるから

$$r_1 = \frac{2}{1 - \cos\theta}, \qquad r_2 = \frac{2}{1 + \cos\theta}.$$

よって

$$\frac{1}{FP} + \frac{1}{FQ} = \frac{1 - \cos\theta}{2} + \frac{1 + \cos\theta}{2} = 1$$

となり，直線の向きによらない。

また

$$PQ = r_1 + r_2 = \frac{2(1 + \cos\theta) + 2(1 - \cos\theta)}{1 - \cos^2\theta} = \frac{4}{\sin^2\theta}$$

で，$\theta = \dfrac{\pi}{2}$ のとき最小となり，最小値は $4$（通径）である。

中文翻译　题目：在抛物线 $r = \dfrac{2}{1 - \cos\theta}$ 中，过焦点 $F$（极）的直线与抛物线交于 $P$、$Q$。求 $\dfrac{1}{FP} + \dfrac{1}{FQ}$ 和 $PQ$ 的最小值。解答：设 $P(r_1, \theta)$，$Q(r_2, \theta + \pi)$，$\cos(\theta + \pi) = -\cos\theta$，所以 $r_1 = \dfrac{2}{1 - \cos\theta}$，$r_2 = \dfrac{2}{1 + \cos\theta}$。于是 $\dfrac{1}{FP} + \dfrac{1}{FQ} = \dfrac{1 - \cos\theta}{2} + \dfrac{1 + \cos\theta}{2} = 1$，与直线的方向无关。又 $PQ = r_1 + r_2 = \dfrac{2(1 + \cos\theta) + 2(1 - \cos\theta)}{1 - \cos^2\theta} = \dfrac{4}{\sin^2\theta}$，$\theta = \dfrac{\pi}{2}$ 时最小，最小值 $4$（通径）。

解说　另一种解法：直角坐标下这条抛物线是 $y^2 = 4(x + 1)$（顶点 $(-1, 0)$，日本写法 $p = 1$）。国内书第 32 章 32.4 节的焦点弦长 $\dfrac{2p'}{\sin^2\alpha}$（国内 $p' = 2p = 2$）同样给出 $\dfrac{4}{\sin^2\alpha}$。极坐标法不用联立、不用韦达定理，凡是“过焦点的弦”都优先考虑它；不过焦点的弦只能回到直角坐标联立。倒数和 $\dfrac{1}{FP} + \dfrac{1}{FQ} = \dfrac{2}{l}$（$l$ 是半通径）是焦点弦的通用结论，见本节常用推论。

常用推论

• 焦点弦的倒数和：$r = \dfrac{l}{1 - e\cos\theta}$ 中过焦点的弦 $PQ$ 满足 $\dfrac{1}{FP} + \dfrac{1}{FQ} = \dfrac{2}{l}$（定值），$l = ek$ 是通径的一半（半通径）。推导同例 4。
• 焦点弦长：$PQ = \dfrac{2l}{1 - e^2\cos^2\theta}$。推导：$r_1 + r_2$ 通分。
• 焦半径：椭圆 $PF = a - ex$（右焦点）、$PF' = a + ex$（左焦点），两式相加得 $2a$，正是椭圆的定义。推导见本节证明结论 2。
• 中心到准线的距离 $\dfrac{a^2}{c} = \dfrac{a}{e}$，焦点到相应准线的距离 $\dfrac{a^2}{c} - c = \dfrac{b^2}{c}$。
• 离心率与 $a$、$b$ 的关系：椭圆 $e^2 = 1 - \dfrac{b^2}{a^2}$，双曲线 $e^2 = 1 + \dfrac{b^2}{a^2}$（国内书第 30 章、第 31 章）。

易错点

• 错在哪：椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1$ 的准线写成 $x = \pm c = \pm 1$ 或 $x = \pm a = \pm 2$。 为什么错：准线在椭圆外，过焦点或顶点的竖线都不是准线。 正确做法：$x = \pm\dfrac{a^2}{c} = \pm 4$。
• 错在哪：$r = \dfrac{6}{2 - \cos\theta}$ 读出 $e = 1$，判断为抛物线。 为什么错：离心率是分母常数项为 1 时 $\cos\theta$ 的系数，这里常数项是 2。 正确做法：化成 $\dfrac{3}{1 - \frac{1}{2}\cos\theta}$，$e = \dfrac{1}{2}$，椭圆。
• 错在哪：右焦点为极的椭圆写成 $r = \dfrac{ek}{1 - e\cos\theta}$。 为什么错：右焦点对应的准线在它右边，$PH = k - r\cos\theta$，分母是加号。 正确做法：$r = \dfrac{ek}{1 + e\cos\theta}$；用 $\theta = 0$ 时是否得到离焦点近的顶点来检查。

直观理解

把焦点和准线固定，只调 $e$：$e$ 很小时准线相对很远，曲线几乎是绕焦点的圆；$e$ 增大，曲线朝远离准线的一侧拉长；$e = 1$ 时拉到无穷远，闭合的椭圆“断开”成抛物线；$e > 1$ 时再张开成双曲线。三种曲线是一家，离心率就是那一个旋钮。

极方程把这件事写成一个式子：$r = \dfrac{ek}{1 - e\cos\theta}$ 的分母 $1 - e\cos\theta$，$e < 1$ 时永远为正，$r$ 有界，曲线闭合；$e = 1$ 时 $\theta = 0$ 处分母为 0，$r$ 跑到无穷；$e > 1$ 时一部分方向分母为负，那就是另一支。

关联知识点

• 国内书第 30–32 章：离心率 $e = \dfrac{c}{a}$ 和抛物线的准线，本节补上椭圆、双曲线的准线。
• 国内书第 32 章 32.4 节：抛物线的焦点弦，本节用极方程推得更一般的结论。
• 前置：18.2 节标准形和一般形的分类，18.5 节极坐标。
• 本书第 11 章 図形と方程式：轨迹的求法，例 1 就是一道轨迹题。
• 后续：本书第 23 章，极方程表示的图形的面积。

18.7 题型与答法

旧シラバス时期的公开过去问里，コース2 几乎不考这部分：2017–2021 年公开的各回没有单独的 2 次曲线或极坐标题，参数表示只在积分大问里出现过（2017 年第 2 回 Ⅳ 用 $x = \cos\theta$，$y = \sin\theta$ 表示单位圆上的点，求圆与直角双曲线 $4xy = 1$ 围成的面积）。2026 年新シラバス把「式と曲線」单列为一项，新シラバス下的真题尚未公开；按数学Ｃ、数学Ⅲ的常见出法，它多会作为大问 Ⅰ、Ⅱ 里的一个小问（配方读中心焦点、接线、极方程互化），或在微积分大问 Ⅲ、Ⅳ 中提供一条参数曲线（サイクロイド、椭圆的参数表示），接着求接线、面积、曲线长。

誘導的典型骨架：

• 2次曲線：(1) 配方化成平行移动的形式，填中心、分母 →(2) 填焦点、长轴长或渐近线 →(3) 直线与曲线相切或共有点个数，求参数。
• 媒介変数表示：(1) 代入特定参数值求点 →(2) 消去参数或求最高点、与轴的交点 →(3)（接第 21、23 章）求 $\dfrac{dy}{dx}$、接线、面积。
• 極座標：(1) 坐标互化 →(2) 极方程化直角坐标方程，读出曲线和离心率 →(3) 过极的直线截得的弦，用 $(r_1, \theta)$、$(r_2, \theta + \pi)$ 求长度或倒数和。

填涂提醒：焦点坐标 $(1, -2 \pm 2\sqrt{3})$ 一类答案按 $\fbox{A}$、$\fbox{B}$、$\fbox{C}\sqrt{\fbox{D}}$ 分格填，题干已写出的符号不再填；$\pi$ 的系数是 1 时也要填 1；分数 $\dfrac{3}{2}$ 分子分母各占一格。

問題 1　（2次曲線の平行移動と接線）

曲線 $C$：$4x^2 + y^2 - 8x + 4y - 8 = 0$ について考える。

(1) $C$ の方程式は

$$\frac{(x - \fbox{A})^2}{\fbox{B}} + \frac{(y + \fbox{C})^2}{\fbox{DE}} = 1$$

と変形できるので，$C$ は楕円であり，長軸の長さは $\fbox{F}$ である。

(2) $C$ の焦点の座標は $(\fbox{G},\ -\fbox{H} \pm \fbox{I}\sqrt{\fbox{J}})$ である。

(3) 直線 $y = 2x + k$ が $C$ に接するのは，$k = -\fbox{K} \pm \fbox{L}\sqrt{\fbox{M}}$ のときである。

解答　(1) $4(x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) - 8 = 4(x - 1)^2 - 4 + (y + 2)^2 - 4 - 8 = 0$ より $4(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 16$，すなわち

$$\frac{(x - 1)^2}{4} + \frac{(y + 2)^2}{16} = 1.$$

よって $\fbox{A} = 1$，$\fbox{B} = 4$，$\fbox{C} = 2$，$\fbox{DE} = 16$。$y$ 方向の半径 $4$ の方が長いので，長軸の長さは $8$ であり，$\fbox{F} = 8$。

(2) 平行移動する前の $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{16} = 1$ の焦点は $(0, \pm\sqrt{16 - 4}) = (0, \pm 2\sqrt{3})$ である。これを $x$ 軸方向に $1$，$y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動すると $(1, -2 \pm 2\sqrt{3})$ となる。よって $\fbox{G} = 1$，$\fbox{H} = 2$，$\fbox{I} = 2$，$\fbox{J} = 3$。

(3) $X = x - 1$，$Y = y + 2$ とおくと，$C$ は $\dfrac{X^2}{4} + \dfrac{Y^2}{16} = 1$ となり，直線は $Y - 2 = 2(X + 1) + k$，すなわち $Y = 2X + (k + 4)$ となる。接する条件 $n^2 = a^2 m^2 + b^2$ より $(k + 4)^2 = 4 \times 4 + 16 = 32$，$k + 4 = \pm 4\sqrt{2}$，よって $k = -4 \pm 4\sqrt{2}$ である。したがって $\fbox{K} = 4$，$\fbox{L} = 4$，$\fbox{M} = 2$。

（別解：$y = 2x + k$ を元の方程式に代入すると $8x^2 + 4kx + k^2 + 4k - 8 = 0$，$\dfrac{D}{4} = 4k^2 - 8(k^2 + 4k - 8) = -4(k^2 + 8k - 16) = 0$ より，同じく $k = -4 \pm 4\sqrt{2}$。）

中文翻译　题目：考虑曲线 $C$：$4x^2 + y^2 - 8x + 4y - 8 = 0$。（1）$C$ 的方程可以变形为 $\dfrac{(x - \fbox{A})^2}{\fbox{B}} + \dfrac{(y + \fbox{C})^2}{\fbox{DE}} = 1$，所以 $C$ 是椭圆，长轴长为 $\fbox{F}$。（2）$C$ 的焦点坐标是 $(\fbox{G}, -\fbox{H} \pm \fbox{I}\sqrt{\fbox{J}})$。（3）直线 $y = 2x + k$ 与 $C$ 相切时，$k = -\fbox{K} \pm \fbox{L}\sqrt{\fbox{M}}$。解答：（1）$4(x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) - 8 = 4(x - 1)^2 - 4 + (y + 2)^2 - 4 - 8 = 0$，即 $4(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 16$，$\dfrac{(x - 1)^2}{4} + \dfrac{(y + 2)^2}{16} = 1$。所以 $\fbox{A} = 1$，$\fbox{B} = 4$，$\fbox{C} = 2$，$\fbox{DE} = 16$。$y$ 方向的半径 $4$ 较长，长轴长 $8$，$\fbox{F} = 8$。（2）平移前的 $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{16} = 1$ 的焦点是 $(0, \pm\sqrt{16 - 4}) = (0, \pm 2\sqrt{3})$。沿 $x$ 轴方向平移 $1$、沿 $y$ 轴方向平移 $-2$，得 $(1, -2 \pm 2\sqrt{3})$。所以 $\fbox{G} = 1$，$\fbox{H} = 2$，$\fbox{I} = 2$，$\fbox{J} = 3$。（3）令 $X = x - 1$，$Y = y + 2$，$C$ 变为 $\dfrac{X^2}{4} + \dfrac{Y^2}{16} = 1$，直线变为 $Y - 2 = 2(X + 1) + k$，即 $Y = 2X + (k + 4)$。由相切条件 $n^2 = a^2 m^2 + b^2$：$(k + 4)^2 = 4 \times 4 + 16 = 32$，$k + 4 = \pm 4\sqrt{2}$，所以 $k = -4 \pm 4\sqrt{2}$。因此 $\fbox{K} = 4$，$\fbox{L} = 4$，$\fbox{M} = 2$。（另解：把 $y = 2x + k$ 代入原方程得 $8x^2 + 4kx + k^2 + 4k - 8 = 0$，$\dfrac{D}{4} = 4k^2 - 8(k^2 + 4k - 8) = -4(k^2 + 8k - 16) = 0$，同样得到 $k = -4 \pm 4\sqrt{2}$。）

解说　两分钟做法：先配方读中心 $(1, -2)$ 和两个分母，长轴看较大的分母。焦点先在标准位置求，在 $y$ 方向上是 $(0, \pm 2\sqrt{3})$，再整体平移。切线用“平移到标准位置 + $n^2 = a^2m^2 + b^2$“最快，也可以直接代入算 $D$。空格判断：$\fbox{DE}$ 是两位的 $16$；$\fbox{H}$ 填 $2$，题干已经写出负号；$\fbox{I}$ 要先把 $\sqrt{12}$ 化成 $2\sqrt{3}$；$\fbox{L}$ 同理是 $\sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ 的系数 $4$。

問題 2　（媒介変数表示・サイクロイド）

$\theta$ を媒介変数として

$$x = \theta - \sin\theta, \qquad y = 1 - \cos\theta \qquad (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$$

で表される曲線を $C$ とする。

(1) $\theta = \dfrac{2}{3}\pi$ に対応する $C$ 上の点の座標は $\left(\dfrac{\fbox{A}}{\fbox{B}}\pi - \dfrac{\sqrt{\fbox{C}}}{\fbox{D}},\ \dfrac{\fbox{E}}{\fbox{F}}\right)$ である。

(2) $C$ 上の点で $y$ 座標が $\dfrac{1}{2}$ であるものに対応する $\theta$ の値は $\theta = \dfrac{\pi}{\fbox{G}}$，$\dfrac{\fbox{H}}{\fbox{I}}\pi$ である。

(3) $C$ 上の点で $y$ 座標が最大となる点の座標は $(\fbox{J}\,\pi,\ \fbox{K})$ である。また，$C$ と $x$ 軸の共有点の $x$ 座標は $0$ と $\fbox{L}\,\pi$ である。

解答　(1) $x = \dfrac{2}{3}\pi - \sin\dfrac{2}{3}\pi = \dfrac{2}{3}\pi - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$y = 1 - \cos\dfrac{2}{3}\pi = 1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$。よって $\fbox{A} = 2$，$\fbox{B} = 3$，$\fbox{C} = 3$，$\fbox{D} = 2$，$\fbox{E} = 3$，$\fbox{F} = 2$。

(2) $1 - \cos\theta = \dfrac{1}{2}$ より $\cos\theta = \dfrac{1}{2}$。$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$ の範囲で $\theta = \dfrac{\pi}{3}$，$\dfrac{5}{3}\pi$ である。よって $\fbox{G} = 3$，$\fbox{H} = 5$，$\fbox{I} = 3$。

(3) $y = 1 - \cos\theta$ は $\theta = \pi$ のとき最大で $y = 2$。このとき $x = \pi - \sin\pi = \pi$ であるから，点は $(\pi, 2)$ で $\fbox{J} = 1$，$\fbox{K} = 2$。また，$y = 0$ すなわち $\cos\theta = 1$ より $\theta = 0$ または $2\pi$ で，$x = 0$ または $2\pi$ である。よって $\fbox{L} = 2$。

中文翻译　题目：以 $\theta$ 为参数，$x = \theta - \sin\theta$，$y = 1 - \cos\theta$（$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$）表示的曲线记为 $C$。（1）$\theta = \dfrac{2}{3}\pi$ 对应的 $C$ 上的点的坐标是 $\left(\dfrac{\fbox{A}}{\fbox{B}}\pi - \dfrac{\sqrt{\fbox{C}}}{\fbox{D}}, \dfrac{\fbox{E}}{\fbox{F}}\right)$。（2）$C$ 上 $y$ 坐标为 $\dfrac{1}{2}$ 的点对应的 $\theta$ 是 $\dfrac{\pi}{\fbox{G}}$ 和 $\dfrac{\fbox{H}}{\fbox{I}}\pi$。（3）$C$ 上 $y$ 坐标最大的点是 $(\fbox{J}\,\pi, \fbox{K})$；$C$ 与 $x$ 轴的共有点的 $x$ 坐标是 $0$ 和 $\fbox{L}\,\pi$。解答：（1）$x = \dfrac{2}{3}\pi - \sin\dfrac{2}{3}\pi = \dfrac{2}{3}\pi - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$y = 1 - \cos\dfrac{2}{3}\pi = 1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$。所以 $\fbox{A} = 2$，$\fbox{B} = 3$，$\fbox{C} = 3$，$\fbox{D} = 2$，$\fbox{E} = 3$，$\fbox{F} = 2$。（2）$1 - \cos\theta = \dfrac{1}{2}$，$\cos\theta = \dfrac{1}{2}$。$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$ 中 $\theta = \dfrac{\pi}{3}$，$\dfrac{5}{3}\pi$，所以 $\fbox{G} = 3$，$\fbox{H} = 5$，$\fbox{I} = 3$。（3）$y = 1 - \cos\theta$ 在 $\theta = \pi$ 时最大，$y = 2$。此时 $x = \pi - \sin\pi = \pi$，点是 $(\pi, 2)$，$\fbox{J} = 1$，$\fbox{K} = 2$。另外 $y = 0$ 即 $\cos\theta = 1$，$\theta = 0$ 或 $2\pi$，$x = 0$ 或 $2\pi$，所以 $\fbox{L} = 2$。

解说　两分钟做法：参数表示题直接代值，$\theta = \dfrac{2}{3}\pi$ 时分母和根号里的数都出来了。$y$ 坐标给定时解 $\cos\theta$ 的方程，注意 $0 \leqq \theta \leqq 2\pi$ 里一般有两解。最高点在 $\cos\theta = -1$ 时取到。空格判断：$\fbox{J}$ 是 $\pi$ 的系数 $1$，题干只写了 $\pi$，系数 $1$ 也要填；$\fbox{H}$ 填 $5$，和 $\fbox{G}$ 的 $3$ 合成 $\dfrac{5}{3}\pi$；$\fbox{L} = 2$ 是一拱的终点 $2\pi$。

問題 3　（極座標と極方程式）

$O$ を極，$x$ 軸の正の部分を始線とする極座標を考える。

(1) 極座標が $\left(2,\ \dfrac{3}{4}\pi\right)$ である点の直交座標は $(-\sqrt{\fbox{A}},\ \sqrt{\fbox{B}})$ である。

(2) 極方程式

$$r = \frac{3}{2 - \cos\theta}$$

で表される曲線 $C$ を直交座標の方程式で表すと

$$\frac{(x - \fbox{C})^2}{\fbox{D}} + \frac{y^2}{\fbox{E}} = 1$$

であり，$C$ の離心率は $\dfrac{\fbox{F}}{\fbox{G}}$ である。

(3) 極 $O$ を通る直線が $C$ と 2 点 $P$，$Q$ で交わるとき，$\dfrac{1}{OP} + \dfrac{1}{OQ} = \dfrac{\fbox{H}}{\fbox{I}}$ である。また，線分 $PQ$ の長さの最小値は $\fbox{J}$，最大値は $\fbox{K}$ である。

解答　(1) $x = 2\cos\dfrac{3}{4}\pi = 2 \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\sqrt{2}$，$y = 2\sin\dfrac{3}{4}\pi = \sqrt{2}$。よって $\fbox{A} = 2$，$\fbox{B} = 2$。

(2) $2r - r\cos\theta = 3$，$2r = x + 3$。平方して $4x^2 + 4y^2 = x^2 + 6x + 9$，$3x^2 - 6x + 4y^2 = 9$，$3(x - 1)^2 + 4y^2 = 12$，すなわち

$$\frac{(x - 1)^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1.$$

よって $\fbox{C} = 1$，$\fbox{D} = 4$，$\fbox{E} = 3$。$a = 2$，$c = \sqrt{4 - 3} = 1$ より $e = \dfrac{1}{2}$ で，$\fbox{F} = 1$，$\fbox{G} = 2$。

(3) $P(r_1, \theta)$，$Q(r_2, \theta + \pi)$ とおくと，$r_1 = \dfrac{3}{2 - \cos\theta}$，$r_2 = \dfrac{3}{2 + \cos\theta}$ である。

$$\frac{1}{OP} + \frac{1}{OQ} = \frac{2 - \cos\theta}{3} + \frac{2 + \cos\theta}{3} = \frac{4}{3}$$

より $\fbox{H} = 4$，$\fbox{I} = 3$。

また $PQ = r_1 + r_2 = \dfrac{3(2 + \cos\theta) + 3(2 - \cos\theta)}{4 - \cos^2\theta} = \dfrac{12}{4 - \cos^2\theta}$。$0 \leqq \cos^2\theta \leqq 1$ であるから，$\cos^2\theta = 0$ のとき最小値 $3$（通径），$\cos^2\theta = 1$ のとき最大値 $4$（長軸）である。よって $\fbox{J} = 3$，$\fbox{K} = 4$。

中文翻译　题目：以 $O$ 为极、$x$ 轴正半轴为始线。（1）极坐标为 $\left(2, \dfrac{3}{4}\pi\right)$ 的点的直角坐标是 $(-\sqrt{\fbox{A}}, \sqrt{\fbox{B}})$。（2）极方程 $r = \dfrac{3}{2 - \cos\theta}$ 表示的曲线 $C$ 用直角坐标表示为 $\dfrac{(x - \fbox{C})^2}{\fbox{D}} + \dfrac{y^2}{\fbox{E}} = 1$，离心率为 $\dfrac{\fbox{F}}{\fbox{G}}$。（3）过极 $O$ 的直线与 $C$ 交于 $P$、$Q$ 两点时，$\dfrac{1}{OP} + \dfrac{1}{OQ} = \dfrac{\fbox{H}}{\fbox{I}}$；线段 $PQ$ 长的最小值是 $\fbox{J}$，最大值是 $\fbox{K}$。解答：（1）$x = 2\cos\dfrac{3}{4}\pi = 2 \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\sqrt{2}$，$y = 2\sin\dfrac{3}{4}\pi = \sqrt{2}$，所以 $\fbox{A} = 2$，$\fbox{B} = 2$。（2）$2r - r\cos\theta = 3$，$2r = x + 3$。平方：$4x^2 + 4y^2 = x^2 + 6x + 9$，$3x^2 - 6x + 4y^2 = 9$，$3(x - 1)^2 + 4y^2 = 12$，即 $\dfrac{(x - 1)^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1$。所以 $\fbox{C} = 1$，$\fbox{D} = 4$，$\fbox{E} = 3$。$a = 2$，$c = \sqrt{4 - 3} = 1$，$e = \dfrac{1}{2}$，$\fbox{F} = 1$，$\fbox{G} = 2$。（3）设 $P(r_1, \theta)$，$Q(r_2, \theta + \pi)$，$r_1 = \dfrac{3}{2 - \cos\theta}$，$r_2 = \dfrac{3}{2 + \cos\theta}$。$\dfrac{1}{OP} + \dfrac{1}{OQ} = \dfrac{2 - \cos\theta}{3} + \dfrac{2 + \cos\theta}{3} = \dfrac{4}{3}$，所以 $\fbox{H} = 4$，$\fbox{I} = 3$。又 $PQ = r_1 + r_2 = \dfrac{3(2 + \cos\theta) + 3(2 - \cos\theta)}{4 - \cos^2\theta} = \dfrac{12}{4 - \cos^2\theta}$。$0 \leqq \cos^2\theta \leqq 1$，$\cos^2\theta = 0$ 时最小值 $3$（通径），$\cos^2\theta = 1$ 时最大值 $4$（长轴）。所以 $\fbox{J} = 3$，$\fbox{K} = 4$。

解说　两分钟做法：极坐标互化直接代 $x = r\cos\theta$、$y = r\sin\theta$；极方程化直角坐标先写成 $2r = x + 3$ 再平方。离心率既可以从化成标准形后的 $a$、$c$ 算，也可以从 $r = \dfrac{\frac{3}{2}}{1 - \frac{1}{2}\cos\theta}$ 直接读出 $e = \dfrac{1}{2}$。过极的弦用 $(r_1, \theta)$、$(r_2, \theta + \pi)$，倒数和是定值，弦长的最小值是通径 $3$、最大值是长轴 $4$。空格判断：$\fbox{A}$、$\fbox{B}$ 题干已写出负号和根号，只填 $2$、$2$；$\fbox{E}$ 是 $y^2$ 的分母 $3$，别和 $x^2$ 的分母 $4$ 换位。

18.8 术语与题干用语

表中「補助円」「極線」是参考书常用的叫法，教科书正文不一定用。

日文	读音	中文	例句或说明
2次曲線	にじきょくせん	二次曲线（圆锥曲线）	放物線・楕円・双曲線の総称
放物線	ほうぶつせん	抛物线	「放物線 $y^2 = 4px$ の焦点」
楕円	だえん	椭圆	「楕円 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$」
双曲線	そうきょくせん	双曲线
直角双曲線	ちょっかくそうきょくせん	等轴双曲线	漸近線が直交する双曲線
焦点	しょうてん	焦点	「焦点の座標を求めよ」
準線	じゅんせん	准线	「準線の方程式」
頂点	ちょうてん	顶点
中心	ちゅうしん	中心	楕円・双曲線の中心
長軸	ちょうじく	长轴	「長軸の長さ」
短軸	たんじく	短轴
漸近線	ぜんきんせん	渐近线	「漸近線の方程式」
離心率	りしんりつ	离心率	「$C$ の離心率は $\dfrac{1}{2}$ である」
平行移動	へいこういどう	平移	「$x$ 軸方向に 2，$y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動する」
接線	せっせん	切线	「点 $(2, 1)$ における接線」
接点	せってん	切点	「接点の座標」
接する	せっする	相切	「直線が $C$ に接するとき」
共有点	きょうゆうてん	公共点（交点）	「共有点の個数」
〜から引いた接線	〜からひいたせっせん	从……引的切线	「点 $A$ から $C$ に引いた接線」
媒介変数	ばいかいへんすう	参数	「$\theta$ を媒介変数として」
媒介変数表示	ばいかいへんすうひょうじ	参数表示（参数方程）
消去する	しょうきょする	消去	「$t$ を消去すると」
サイクロイド	さいくろいど	摆线	$x = a(\theta - \sin\theta)$，$y = a(1 - \cos\theta)$
アステロイド	あすてろいど	星形线
補助円	ほじょえん	辅助圆	楕円の媒介変数 $\theta$ を表す円
極座標	きょくざひょう	极坐标	「極座標が $(2, \dfrac{\pi}{3})$ である点」
極	きょく	极点	「極 $O$ を通る直線」
始線	しせん	极轴	国内叫极轴，日本叫始線
偏角	へんかく	极角（辐角）	複素数の偏角と同じ語
動径	どうけい	动径（射线 $OP$）	「$x$ 軸の正の部分から角 $\theta$ だけ回転した動径」（2019 年第 1 回コース2 Ⅲ），指射线，不指长度
極方程式	きょくほうていしき	极坐标方程	「極方程式 $r = 2\cos\theta$」
直交座標	ちょっこうざひょう	直角坐标	「直交座標の方程式で表すと」
カージオイド	かーじおいど	心脏线	$r = a(1 + \cos\theta)$
軌跡	きせき	轨迹	「点 $P$ の軌跡を求めよ」
〜で表される曲線	〜であらわされるきょくせん	……表示的曲线	「極方程式 $r = 4\sin\theta$ で表される曲線」
〜と変形できる	〜とへんけいできる	可以变形为……	配方の問題でよく使う
〜に対応する	〜にたいおうする	……所对应的	「$\theta = \dfrac{\pi}{3}$ に対応する点」

18.9 自测

1. 求椭圆 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{25} = 1$ 的焦点坐标和长轴长。
2. 把 $x^2 + 4y^2 + 6x - 8y + 9 = 0$ 化成标准形，求中心和焦点。
3. 求抛物线 $(y - 2)^2 = 8(x + 1)$ 的焦点和准线。
4. 求双曲线 $\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{9} = 1$ 上点 $(4, 3\sqrt{3})$ 处的接线。
5. 椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 与直线 $y = x + n$ 有共有点，求 $n$ 的范围。
6. 消去 $\theta$：$x = 3\cos\theta - 1$，$y = 2\sin\theta$。
7. $x = \cos\theta$，$y = \cos 2\theta$ 表示什么曲线？
8. サイクロイド $x = 3(\theta - \sin\theta)$，$y = 3(1 - \cos\theta)$ 的一拱宽多少？最高点的 $y$ 坐标是多少？
9. 极坐标 $\left(4, \dfrac{7}{6}\pi\right)$ 化成直角坐标；直角坐标 $(-2, 2)$ 化成极坐标（$0 \le \theta < 2\pi$）。
10. 极方程 $r = 2\cos\theta + 2\sin\theta$ 表示什么图形？
11. 写出焦点为极、准线为 $x = -3$、离心率为 2 的 2 次曲线的极方程。
12. 求到点 $F(2, 0)$ 的距离是到直线 $x = \dfrac{1}{2}$ 的距离的 2 倍的点的轨迹。

答案：1. $(0, \pm 4)$，10；2. $\dfrac{(x + 3)^2}{4} + (y - 1)^2 = 1$，中心 $(-3, 1)$，焦点 $(-3 \pm \sqrt{3}, 1)$；3. 焦点 $(1, 2)$，准线 $x = -3$；4. $\sqrt{3}x - y = \sqrt{3}$；5. $-\sqrt{5} \le n \le \sqrt{5}$；6. $\dfrac{(x + 1)^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$；7. 抛物线 $y = 2x^2 - 1$ 上 $-1 \le x \le 1$ 的部分；8. $6\pi$，6；9. $(-2\sqrt{3}, -2)$，$\left(2\sqrt{2}, \dfrac{3}{4}\pi\right)$；10. 圆心 $(1, 1)$、半径 $\sqrt{2}$ 的圆（过极）；11. $r = \dfrac{6}{1 - 2\cos\theta}$（双曲线）；12. 双曲线 $x^2 - \dfrac{y^2}{3} = 1$。

18.10 深入阅读

• JASSO · 日本留学試験 数学シラバス：官方出题范围原文，第 16 项「式と曲線」列出 2次曲線、媒介変数による表示、極座標と極方程式三个小项。
• 维基百科（日文）· 円錐曲線：2 次曲线的日文术语、离心率与准线的统一定义、极方程，查日文说法时用。
• 维基百科（日文）· サイクロイド：摆线的参数表示、面积 3πa² 和弧长 8a 的由来，第 23 章还会用到。
• 维基百科（日文）· 極座標系：极坐标与直交座標的互化、常见曲线的極方程式。