第 15 章 · 確率分布

项目	内容
シラバス项目	13. 確率分布（数学Ⅰ，数学Ｂ）：(1) 確率変数と確率分布、(2) 期待値，分散，標準偏差、(3) 共分散，相関係数、(4) 確率変数の変換、(5) 確率変数の和と期待値
コース	只考コース2；2026 年度第 1 回起新增的大项目
国内书对应	国内书第 36 章 36.2、36.3 节（分布列、均值、方差、$aX+b$）；第 38 章 38.2 节（样本相关系数）；第 21 章（事件的独立性）
本章新内容的分量	一半相同、一半要补。分布、期待値、分散、$aX+b$ 国内都学过，只是记号不同（$V(X)$ 而不是 $D(X)$）；确率变数的和 $E(X+Y)$、独立时的 $E(XY)$ 与 $V(X+Y)$（补充）、确率变数的共分散（补充）国内没有讲；数据的共分散国内只藏在相关系数公式里

国内选择性必修第三册学过离散型随机变量的分布列、均值和方差，这一章的前半段对中国学生是“换记号”。EJU 把它作为 2026 年新增的第 13 项放进コース2，范围比国内多两块：两个确率变数的和的期待値，以及共分散・相関係数（シラバス指的是数学Ⅰ 的数据共分散）；本章另把独立时分散相加、确率变数的共分散作为补充讲。到本书写作时 JASSO 还没有公布这一项的样题或过去问，本章所有例题和“题型与答法”的题都是自编的。 预计丢分在三处：把 $V(X+Y) = V(X) + V(Y)$ 用在不独立的场合、$V(aX+b)$ 忘了平方、共分散的符号和单位换算弄错。

15.1 与国内的对照

シラバス小项目（日文原文）	国内书位置	相同 / 讲法不同 / 国内没有	本章哪节讲
(1) 確率変数と確率分布	国内书第 36 章 36.2 节“分布列”	相同，记号和叫法不同（分布列 = 確率分布，表格多一列「計」）	15.2
(2) 期待値，分散，標準偏差	国内书第 36 章 36.3 节	讲法不同：均值叫「期待値」，方差记 $V(X)$，$V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2$ 写大括号	15.2
(3) 共分散，相関係数	国内书第 38 章 38.2 节只有样本相关系数 $r$ 的公式，没有单独讲“协方差”	讲法不同（数据的，シラバス所指）；国内没有（确率变数的，补充）	15.4
(4) 確率変数の変換	国内书第 36 章 36.3 节 $E(aX+b)$、$D(aX+b)$	相同，见国内书第 36 章 36.3 节；本章补“标准化”这一用法	15.2
(5) 確率変数の和と期待値	无	国内没有：同時分布、$E(X+Y) = E(X) + E(Y)$；独立时 $E(XY) = E(X)E(Y)$、$V(X+Y) = V(X) + V(Y)$ 为补充（シラバス未单列，了解即可）	15.3

关于 (3)，要注意一件事：シラバス第 13 项标注的是「数学Ⅰ，数学Ｂ」。在日本现行教科书里，共分散和相関係数只出现在数学Ⅰ「データの分析」，对象是一组数据（$n$ 对数值），记号是 $s_{xy}$，不是确率变数；数学Ｂ「統計的な推測」的指导项目是“確率変数と確率分布、期待値と分散、確率変数の変換、確率変数の和と期待値、独立な確率変数と期待値・分散、二項分布、正規分布”（数研出版《数学Ｂ》的单元划分），没有共分散。所以 (3) 标「数学Ⅰ」，指的是数据的共分散、相関係数，这是必会内容。确率变数的共分散是本章的补充（シラバス未单列，了解即可）：它和数据的共分散算法结构完全一样，又能补全不独立时的 $V(X+Y)$，所以 15.4 节一起讲。

关于 (5)，シラバス小项目只写「確率変数の和と期待値」。日本数学Ｂ 教科书把“確率変数の和と期待値”和“独立な確率変数と期待値・分散”（独立时积的期待値、和的分散）分成两个指导项目，シラバス只列了前一个。所以 $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$ 是必会；独立时 $E(XY) = E(X)E(Y)$、$V(X+Y) = V(X) + V(Y)$ 本章标为补充（シラバス未单列，了解即可），它们在日本教科书里紧挨着讲，推导也只多一步，花的时间不多。

另外，シラバス第 13 项没有列二项分布、正規分布、统计推断。二项分布的概率本身可以作为「反復試行」（本书第 7 章）考到，它的期待値 $np$ 和分散 $np(1-p)$ 可以用 15.3 节“和”的方法推出来，本章作为常用推论给出。

15.2 期待値・分散の記号と確率変数の変換

说明

确率变数与确率分布：试验的结果对应一个数 $X$，$X$ 叫確率変数（确率变数，国内叫随机变量）。$X$ 取各个值的概率列成表，叫確率分布（国内叫分布列），也说「$X$ の確率分布」。日本教科书的表格最右边多一列「計」（合计），写 1：

$X$	$x_1$	$x_2$	$\cdots$	$x_n$	計
$P$	$p_1$	$p_2$	$\cdots$	$p_n$	$1$

$X$ 取 $a$ 的概率写 $P(X = a)$，$X$ 在 $a$ 到 $b$ 之间的概率写 $P(a \le X \le b)$，和国内一样；日文题干把 $\le$ 写成 $\leqq$（≦）。

期待値・分散・標準偏差：定义和国内书第 36 章 36.3 节完全相同，只是名称和记号不同。

量	国内	日本・EJU	定义
均值	均值、数学期望 $E(X)$	期待値 $E(X)$，也写 $m$	$\displaystyle\sum x_i p_i$
方差	方差 $D(X)$	分散 $V(X)$	$\displaystyle\sum (x_i - m)^2 p_i$
标准差	标准差 $\sigma(X)$	標準偏差 $\sigma(X)$	$\sqrt{V(X)}$

$V$ 来自英语 variance。分散的计算公式日本教科书写成

$$V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2,$$

$\{E(X)\}^2$ 用大括号，表示“期待値的平方”，以区别于 $E(X^2)$（“平方的期待値”）。

确率变数的变换（国内书第 36 章 36.3 节已讲）：$a$、$b$ 是常数，$Y = aX + b$ 时

$$E(aX + b) = aE(X) + b, \qquad V(aX + b) = a^2 V(X), \qquad \sigma(aX + b) = |a|\sigma(X).$$

标准化：令

$$Z = \frac{X - m}{\sigma} \qquad (m = E(X),\ \sigma = \sigma(X) > 0),$$

则 $E(Z) = 0$，$V(Z) = 1$。把任意的确率变数变成“期待値 0、標準偏差 1”的形式，叫標準化。反过来，要把 $X$ 变成期待値 $M$、標準偏差 $S$ 的 $Y$，取 $Y = S \cdot Z + M$。偏差值（偏差値，期待値 50、標準偏差 10）就是这样定义的。

使用场景

• 题目给出试验，要求「$X$ の確率分布」「期待値」「分散」「標準偏差」：列表（带「計」），用 $V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2$ 算分散。
• 题目说「$Y = aX + b$」「得点を……に変換する」，或要把 $X$ 变成期待値、標準偏差都指定的量：用变换的三个公式，不必重新列 $Y$ 的分布。
• 确率分布里含未知的值或概率，题目给出期待値、分散的值：列关于未知数的方程。

注意点

• EJU 题干用 $V(X)$，不用 $D(X)$；“均值”一律说「期待値」（也叫「平均」）。答案栏里不会出现 $D$。
• $\{E(X)\}^2$ 和 $E(X^2)$ 不同，后者是 $\sum x_i^2 p_i$。
• 標準偏差是 $|a|$ 倍，分散是 $a^2$ 倍；$a < 0$ 时標準偏差仍是正数。
• 分散的答案常是分数，標準偏差常带根号：按答题卡规则化成最简根式、分母有理化（本书第 2 章）。
• 期待値在数学Ａ 里就出现了（本书第 7 章），那里只要求算期待値；分散、標準偏差、变换是第 13 项才有的。
• EJU 题干的说法：「確率変数 $X$ の期待値を $E(X)$，分散を $V(X)$，標準偏差を $\sigma(X)$ で表す」「$X$ の確率分布は次の表のようになる」「$X$ のとり得る値」。

证明

$E(aX+b) = aE(X) + b$、$V(aX+b) = a^2V(X)$ 和 $V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2$ 的证明见国内书第 36 章 36.3 节证明结论 1–3，这里只补两条。

结论 1：$\sigma(aX + b) = |a|\sigma(X)$。 由 $V(aX+b) = a^2V(X)$，两边开平方：$\sigma(aX+b) = \sqrt{a^2 V(X)} = |a|\sqrt{V(X)} = |a|\sigma(X)$。（关键一步：$\sqrt{a^2} = |a|$，不是 $a$。）

结论 2：标准化后 $E(Z) = 0$，$V(Z) = 1$。 $Z = \dfrac{1}{\sigma}X - \dfrac{m}{\sigma}$ 是 $aX + b$ 的形式，$a = \dfrac{1}{\sigma}$，$b = -\dfrac{m}{\sigma}$。所以

$$E(Z) = \frac{1}{\sigma}m - \frac{m}{\sigma} = 0, \qquad V(Z) = \frac{1}{\sigma^2}V(X) = \frac{\sigma^2}{\sigma^2} = 1.$$

例题

例 1　（场景：列确率分布，求期待値、分散、標準偏差）

問題　$1$，$2$，$3$，$4$，$5$ の数字が $1$ つずつ書かれた $5$ 枚のカードから同時に $2$ 枚を取り出し，取り出したカードの数字のうち大きい方を $X$ とする。$X$ の確率分布，$E(X)$，$V(X)$，$\sigma(X)$，および $P(X \geqq 4)$ を求めよ。

解答　取り出し方は全部で ${}_5\mathrm{C}_2 = 10$ 通りである。大きい方の数が $k$ であるとき，もう $1$ 枚は $1, 2, \dots, k - 1$ の $k - 1$ 通りから選べる。よって $X$ の確率分布は次の表のようになる。

$X$	$2$	$3$	$4$	$5$	計
$P$	$\dfrac{1}{10}$	$\dfrac{2}{10}$	$\dfrac{3}{10}$	$\dfrac{4}{10}$	$1$

$$E(X) = \frac{2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 4}{10} = \frac{40}{10} = 4,$$ $$E(X^2) = \frac{4 \cdot 1 + 9 \cdot 2 + 16 \cdot 3 + 25 \cdot 4}{10} = \frac{170}{10} = 17,$$ $$V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2 = 17 - 16 = 1, \qquad \sigma(X) = 1.$$

また $P(X \geqq 4) = \dfrac{3}{10} + \dfrac{4}{10} = \dfrac{7}{10}$。

中文翻译　题目：从写有 $1$、$2$、$3$、$4$、$5$ 的 $5$ 张卡片中同时取出 $2$ 张，取出的两个数中较大的记为 $X$。求 $X$ 的确率分布、$E(X)$、$V(X)$、$\sigma(X)$，以及 $P(X \geqq 4)$。解答：取法共 ${}_5\mathrm{C}_2 = 10$ 种。较大的数为 $k$ 时，另一张从 $1, 2, \dots, k - 1$ 的 $k - 1$ 个数中取。所以 $X$ 的确率分布为：$X$ 取 $2$、$3$、$4$、$5$，概率依次是 $\dfrac{1}{10}$、$\dfrac{2}{10}$、$\dfrac{3}{10}$、$\dfrac{4}{10}$，合计 $1$。$E(X) = \frac{2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 4}{10} = \frac{40}{10} = 4$，$E(X^2) = \frac{4 \cdot 1 + 9 \cdot 2 + 16 \cdot 3 + 25 \cdot 4}{10} = \frac{170}{10} = 17$，$V(X) = 17 - 16 = 1$，$\sigma(X) = 1$。又 $P(X \geqq 4) = \dfrac{3}{10} + \dfrac{4}{10} = \dfrac{7}{10}$。

解说　组合数中文写作 $\mathrm{C}_5^2$，日文写作 ${}_5\mathrm{C}_2$，读法相同。列分布时先把“较大的数是 $k$“有几种取法写清楚，再统一除以总数 $10$；表格最右列的「計」写 $1$，用来检查概率之和。

例 2　（场景：变换与标准化）

問題　例 1 の $X$ を用いる。(1) $Y = 3X - 5$ の期待値，分散，標準偏差を求めよ。(2) $W = aX + b$ の期待値が $50$，標準偏差が $10$ となるような定数 $a$（$a > 0$），$b$ を求めよ。

解答　(1) $E(Y) = 3 \cdot 4 - 5 = 7$，$V(Y) = 3^2 \cdot 1 = 9$，$\sigma(Y) = 3 \cdot 1 = 3$。

(2) $\sigma(W) = |a|\sigma(X) = a$ であるから $a = 10$。また $E(W) = aE(X) + b = 40 + b = 50$ より $b = 10$。よって $a = 10$，$b = 10$ である。

中文翻译　题目：沿用例 1 的 $X$。（1）求 $Y = 3X - 5$ 的期待値、分散、標準偏差。（2）求常数 $a$（$a > 0$）、$b$，使 $W = aX + b$ 的期待値是 $50$、標準偏差是 $10$。解答：（1）$E(Y) = 3 \cdot 4 - 5 = 7$，$V(Y) = 3^2 \cdot 1 = 9$，$\sigma(Y) = 3 \cdot 1 = 3$。（2）$\sigma(W) = |a|\sigma(X) = a$，所以 $a = 10$。又 $E(W) = aE(X) + b = 40 + b = 50$，所以 $b = 10$。因此 $a = 10$，$b = 10$。

解说　另一种解法：先标准化再放大。$Z = \dfrac{X - 4}{1}$ 的期待値为 $0$、標準偏差为 $1$，$W = 10Z + 50 = 10(X - 4) + 50 = 10X + 10$。题目明说“变成期待値 $M$、標準偏差 $S$“时，直接写 $W = S \cdot \dfrac{X - m}{\sigma} + M$ 最快；题目只给 $Y = aX + b$ 的条件求 $a$、$b$ 时，列两个方程更直接。

例 3　（场景：由期待値、分散反求未知数）

問題　確率変数 $X$ は $1$ と $a$（$a > 1$）の $2$ つの値だけをとり，$P(X = 1) = \dfrac{2}{3}$，$P(X = a) = \dfrac{1}{3}$ である。$V(X) = 2$ であるとき，$a$ と $E(X)$ を求めよ。

解答　$X$ の期待値と $E(X^2)$ は次のようになる。

$$E(X) = \frac{2 + a}{3}, \qquad E(X^2) = \frac{2 + a^2}{3},$$ $$V(X) = \frac{2 + a^2}{3} - \frac{(2 + a)^2}{9} = \frac{6 + 3a^2 - 4 - 4a - a^2}{9} = \frac{2(a - 1)^2}{9}.$$

$\dfrac{2(a - 1)^2}{9} = 2$ より $(a - 1)^2 = 9$。$a > 1$ であるから $a = 4$ で，$E(X) = 2$ である。

中文翻译　题目：确率变数 $X$ 只取 $1$ 和 $a$（$a > 1$）两个值，$P(X = 1) = \dfrac{2}{3}$，$P(X = a) = \dfrac{1}{3}$。已知 $V(X) = 2$，求 $a$ 和 $E(X)$。解答：$X$ 的期待値和 $E(X^2)$ 为 $E(X) = \frac{2 + a}{3}$，$E(X^2) = \frac{2 + a^2}{3}$，$V(X) = \frac{2 + a^2}{3} - \frac{(2 + a)^2}{9} = \frac{6 + 3a^2 - 4 - 4a - a^2}{9} = \frac{2(a - 1)^2}{9}$。由 $\dfrac{2(a - 1)^2}{9} = 2$ 得 $(a - 1)^2 = 9$。因为 $a > 1$，所以 $a = 4$，$E(X) = 2$。

解说　容易卡在：$\{E(X)\}^2$ 展开时漏乘分母 $9$，或把 $(2 + a)^2$ 展开错。先通分再展开，最后化成完全平方，方程就很好解。

常用推论

• $E(X^2) = V(X) + \{E(X)\}^2$：已知期待値和分散时求 $E(X^2)$。由 $V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2$ 移项。
• 偏差値：$T = 10 \cdot \dfrac{X - m}{\sigma} + 50$，期待値 50、標準偏差 10。由本节证明结论 2 和变换公式。
• 取两个值的确率变数：$X$ 以概率 $p$ 取 $a$、以概率 $1-p$ 取 $b$ 时，$V(X) = p(1-p)(a-b)^2$。推导：$X = b + (a - b)I$，$I$ 是 0–1 的两点分布，$V(I) = p(1-p)$，再用 $V(aX+b) = a^2V(X)$。例 3 中 $p = \dfrac{1}{3}$，$V = \dfrac{2}{9}(a-1)^2$，与上面一致。

易错点

• 错在哪：$V(X) = 2$，写 $\sigma(-3X + 1) = -3\sqrt{2}$。 为什么错：標準偏差是平方根，一定不小于 0；$\sqrt{a^2} = |a|$。 正确做法：$\sigma(-3X+1) = |-3|\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$，$V(-3X+1) = 9 \times 2 = 18$。
• 错在哪：把 $V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2$ 记成 $V(X) = E(X^2) - E(X^2)$，或把 $\{E(X)\}^2$ 算成 $E(X)$。 为什么错：大括号外的平方是对期待値平方；$E(X^2)$ 是先平方再求期待値，两者一般不等，差正是分散。 正确做法：分两行写，先算 $E(X)$ 和 $E(X^2)$，再相减。
• 错在哪：看到 $V(X)$ 不知道是什么，或者答题时写成 $D(X)$。 为什么错：EJU 用日本记号，$V(X)$ 就是国内的 $D(X)$。 正确做法：记住对应：期待値 $E$ = 均值，分散 $V$ = 方差，標準偏差 $\sigma$ = 标准差。

直观理解

国内书第 36 章 36.3 节“把概率当砝码”的图景完全适用：期待値是支点，分散是砝码离支点的远近。标准化就是两步：先把支点平移到 0（减 $m$），再把尺子的刻度改成“一个標準偏差为一格”（除以 $\sigma$）。偏差値 60 的意思是“比平均高一格”，不管原来的满分是多少。

关联知识点

• 国内书第 36 章 36.2、36.3 节：分布列、均值、方差、线性变换的定义和证明都在那里，本节只换记号。
• 前置：本书第 7 章 場合の数と確率：求每个 $P(X = x_i)$ 用的是 ${}_n\mathrm{C}_r$、反復試行、条件付き確率。
• 后续：15.3 节把一个确率变数的期待値、分散推广到两个确率变数的和。
• 本书第 2 章 答题卡与记号：分散、標準偏差的答案按分数、根式的填涂规则写。

15.3 確率変数の和と期待値

说明

同時分布：两个确率变数 $X$、$Y$ 一起考虑时，把每一对 $(X, Y) = (x_i, y_j)$ 的概率 $p_{ij} = P(X = x_i,\ Y = y_j)$ 列成二维表，叫 $X$ 与 $Y$ 的同時分布（联合分布）。表的每一行相加得 $X$ 的确率分布，每一列相加得 $Y$ 的确率分布：

$X \backslash Y$	$y_1$	$y_2$	計
$x_1$	$p_{11}$	$p_{12}$	$P(X = x_1)$
$x_2$	$p_{21}$	$p_{22}$	$P(X = x_2)$
計	$P(Y = y_1)$	$P(Y = y_2)$	$1$

和的期待値：对任意两个确率变数（不论是否独立），

$$E(X + Y) = E(X) + E(Y), \qquad E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y).$$

三个以上同样：$E(X_1 + X_2 + \dots + X_n) = E(X_1) + E(X_2) + \dots + E(X_n)$。

确率变数的独立：对所有的 $x_i$、$y_j$ 都有

$$P(X = x_i,\ Y = y_j) = P(X = x_i)\,P(Y = y_j)$$

时，说 $X$ 与 $Y$ 互いに独立（相互独立）。也就是同時分布表里每一格都等于“行合计 × 列合计”。两个互不影响的试验（掷骰子和抛硬币、有放回地取两次）得到的确率变数是独立的。

独立时的积与和的分散（补充，シラバス未单列，了解即可）：$X$ 与 $Y$ 独立时，

$$E(XY) = E(X)E(Y), \qquad V(X + Y) = V(X) + V(Y).$$

更一般地，独立时 $V(aX + bY) = a^2V(X) + b^2V(Y)$。注意 $V(X - Y) = V(X) + V(Y)$，是加号。

不独立时 $V(X + Y)$ 要多一项，见 15.4 节：$V(X+Y) = V(X) + V(Y) + 2\,\mathrm{Cov}(X, Y)$。

使用场景

• 求两个（或多个）确率变数之和的期待値，比如两次取出的数之和、两人得分之和，哪怕是不放回、不独立：直接把期待値相加。
• （补充）两个独立的试验，求积的期待値、和或差的分散：用 $E(XY) = E(X)E(Y)$、$V(X \pm Y) = V(X) + V(Y)$。
• 给出同時分布表，问是否独立，或求 $X + Y$ 的分布、期待値、分散：逐格检查“格 = 行合计 × 列合计”，不独立就从表直接算。
• 求“成功的次数”“一致的个数”的期待値，直接列分布很麻烦：把它拆成每次是否成功的 0–1 确率变数之和，各自的期待値相加。

注意点

• $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ 不需要独立；$E(XY) = E(X)E(Y)$ 和 $V(X+Y) = V(X) + V(Y)$ 需要独立。这是本节最重要的区别。
• 独立要对每一格都成立，有一格不满足就不独立。
• $X + Y$ 的分散不能写成 $V(X) + V(Y) +$ 常数，也不能用 $(\sigma(X) + \sigma(Y))^2$；独立时相加的是分散，不是標準偏差：$\sigma(X + Y) = \sqrt{V(X) + V(Y)}$。
• 不放回地抽取时，第 1 次、第 2 次的结果不独立，但“第 2 次的期待値等于第 1 次的期待値”（每张卡在第 2 次被取到的概率相同），和的期待値照样相加。
• EJU 题干的说法：「$X$ と $Y$ は互いに独立である」「$X + Y$ の期待値」「$X$ と $Y$ の同時分布」「$Z = X + 2Y$ とおく」。

证明

结论 1：$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$。 设 $p_{ij} = P(X = x_i,\ Y = y_j)$，$p_i = \sum_j p_{ij}$，$q_j = \sum_i p_{ij}$。$X + Y$ 在 $(x_i, y_j)$ 时取 $x_i + y_j$，所以

$$E(X + Y) = \sum_i \sum_j (x_i + y_j)p_{ij} = \sum_i x_i \sum_j p_{ij} + \sum_j y_j \sum_i p_{ij} = \sum_i x_i p_i + \sum_j y_j q_j = E(X) + E(Y).$$

（关键一步：把 $x_i$ 那一部分先对 $j$ 求和，得到的正好是行合计 $p_i$；这一步没有用到独立。）如果 $X + Y$ 的不同 $(i, j)$ 取同一个值，把它们合并再算期待値，结果一样，因为只是把同类项归在一起。$E(aX + bY)$ 同理。

结论 2（补充）：独立时 $E(XY) = E(X)E(Y)$。 独立时 $p_{ij} = p_i q_j$，

$$E(XY) = \sum_i \sum_j x_i y_j p_i q_j = \Big(\sum_i x_i p_i\Big)\Big(\sum_j y_j q_j\Big) = E(X)E(Y).$$

（关键一步：$p_{ij}$ 能拆成 $p_i q_j$，二重和才能拆成两个和的积。不独立时这一步不成立。）

结论 3（补充）：$V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2\{E(XY) - E(X)E(Y)\}$，独立时最后一项为 0。 由 $V = E(\text{平方}) - \{E\}^2$ 和结论 1：

$$\begin{aligned} V(X + Y) &= E(X^2 + 2XY + Y^2) - \{E(X) + E(Y)\}^2 \\ &= E(X^2) + 2E(XY) + E(Y^2) - \{E(X)\}^2 - 2E(X)E(Y) - \{E(Y)\}^2 \\ &= V(X) + V(Y) + 2\{E(XY) - E(X)E(Y)\}. \end{aligned}$$

独立时由结论 2 括号为 0，得 $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$。

例题

例 1　（场景：不独立也能把期待値相加）

問題　$1$，$2$，$3$，$4$，$5$ の数字が $1$ つずつ書かれた $5$ 枚のカードから，もとに戻さずに $1$ 枚ずつ続けて $2$ 枚を取り出す。$1$ 枚目の数を $X$，$2$ 枚目の数を $Y$ とするとき，$E(X + Y)$ を求めよ。

解答　$X$ は $1$ から $5$ までの値をそれぞれ $\dfrac{1}{5}$ の確率でとるから，$E(X) = 3$ である。$2$ 枚目のカードについても，どのカードが $2$ 枚目になる確率も $\dfrac{1}{5}$ である（$5$ 枚のカードを一列に並べれば，どのカードも $2$ 番目に来る機会は等しい）から，$E(Y) = 3$ である。よって

$$E(X + Y) = E(X) + E(Y) = 6.$$

中文翻译　题目：从写有 $1$、$2$、$3$、$4$、$5$ 的 $5$ 张卡片中，不放回地依次取出 $2$ 张，第 $1$ 张的数为 $X$，第 $2$ 张的数为 $Y$。求 $E(X + Y)$。解答：$X$ 以 $\dfrac{1}{5}$ 的概率分别取 $1$ 到 $5$，所以 $E(X) = 3$。第 $2$ 张卡片也是每一张成为第 $2$ 张的概率都是 $\dfrac{1}{5}$（把 $5$ 张卡排成一列，每张排在第 $2$ 位的机会相同），所以 $E(Y) = 3$。因此 $E(X + Y) = E(X) + E(Y) = 6$。

解说　$X$、$Y$ 不独立（$X = 1$ 时 $Y$ 不可能是 $1$），但和的期待値公式照样成立；和的期待値不需要独立，这是 15.3 节最重要的区别。验算：所有 $20$ 种有序取法中，每个数在第 $1$ 位、第 $2$ 位各出现 $4$ 次，和的总数是 $2 \times 4 \times 15 = 120$，$\dfrac{120}{20} = 6$。

例 2　（场景：独立时积的期待値、和与差的分散；补充内容）

問題　大きいさいころと小さいさいころをそれぞれ $1$ 回ずつ投げ，大きいさいころの出た目を $X$，小さいさいころの出た目を $Y$ とする。$E(XY)$，$V(X + Y)$，$V(2X - Y)$ を求めよ。

解答　$X$ と $Y$ は互いに独立で，$E(X) = E(Y) = \dfrac{7}{2}$，$V(X) = V(Y) = \dfrac{35}{12}$ である。よって

$$E(XY) = E(X)E(Y) = \frac{49}{4}, \qquad V(X + Y) = V(X) + V(Y) = \frac{35}{6},$$ $$V(2X - Y) = 2^2V(X) + (-1)^2V(Y) = 5 \cdot \frac{35}{12} = \frac{175}{12}.$$

中文翻译　题目：大、小两个骰子各掷一次，大的点数为 $X$，小的点数为 $Y$。求 $E(XY)$、$V(X + Y)$、$V(2X - Y)$。解答：$X$ 与 $Y$ 相互独立，$E(X) = E(Y) = \dfrac{7}{2}$，$V(X) = V(Y) = \dfrac{35}{12}$。所以 $E(XY) = E(X)E(Y) = \frac{49}{4}$，$V(X + Y) = V(X) + V(Y) = \frac{35}{6}$，$V(2X - Y) = 2^2V(X) + (-1)^2V(Y) = 5 \cdot \frac{35}{12} = \frac{175}{12}$。

解说　$E(X) = E(Y) = \dfrac{7}{2}$、$V(X) = V(Y) = \dfrac{35}{12}$ 的算法见国内书第 36 章 36.3 节例 1。另一种解法：$V(X + Y)$ 也可以列出 $X + Y$ 的分布（$2$ 到 $12$，概率 $\dfrac{1}{36}, \dfrac{2}{36}, \dots, \dfrac{6}{36}, \dots, \dfrac{1}{36}$）直接算，结果同样是 $\dfrac{35}{6}$，但要算 $11$ 项。独立时用公式只要两步；不独立又没有共分散可用时，才回到“列分布直接算”。

例 3　（场景：由同時分布判断独立，求和的分散）

問題　$X$ と $Y$ はともに $0$ と $1$ の値だけをとり，同時分布は次の表のとおりである。

$X \backslash Y$	$0$	$1$	計
$0$	$\dfrac{3}{10}$	$\dfrac{1}{10}$	$\dfrac{2}{5}$
$1$	$\dfrac{1}{10}$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{3}{5}$
計	$\dfrac{2}{5}$	$\dfrac{3}{5}$	$1$

$X$ と $Y$ は互いに独立か。また，$V(X + Y)$ を求め，$V(X) + V(Y)$ と比較せよ。

解答　$P(X = 0,\ Y = 0) = \dfrac{3}{10}$ であるが，$P(X = 0)P(Y = 0) = \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{25}$ で，これと等しくない。よって $X$ と $Y$ は独立でない。

$X + Y$ が $0$，$1$，$2$ の値をとる確率は，それぞれ $\dfrac{3}{10}$，$\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{5}$，$\dfrac{1}{2}$ である。よって

$$E(X + Y) = \frac{1}{5} + 2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{6}{5}, \qquad E\big((X+Y)^2\big) = \frac{1}{5} + 4 \cdot \frac{1}{2} = \frac{11}{5},$$ $$V(X + Y) = \frac{11}{5} - \frac{36}{25} = \frac{19}{25}.$$

一方 $V(X) = V(Y) = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{25}$ であるから，$V(X) + V(Y) = \dfrac{12}{25}$ であり，$V(X + Y) = \dfrac{19}{25}$ とは異なる。差 $\dfrac{7}{25}$ は

$$2\{E(XY) - E(X)E(Y)\} = 2\left(\frac{1}{2} - \frac{9}{25}\right) = \frac{7}{25}$$

に一致する。

中文翻译　题目：$X$ 与 $Y$ 都只取 $0$ 和 $1$，同時分布如下：$P(X = 0,\ Y = 0) = \dfrac{3}{10}$，$P(X = 0,\ Y = 1) = \dfrac{1}{10}$，$P(X = 1,\ Y = 0) = \dfrac{1}{10}$，$P(X = 1,\ Y = 1) = \dfrac{1}{2}$；行合计依次为 $\dfrac{2}{5}$、$\dfrac{3}{5}$，列合计依次为 $\dfrac{2}{5}$、$\dfrac{3}{5}$，总计为 $1$。$X$ 与 $Y$ 独立吗？求 $V(X + Y)$，并与 $V(X) + V(Y)$ 比较。解答：$P(X = 0,\ Y = 0) = \dfrac{3}{10}$，而 $P(X = 0)P(Y = 0) = \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{25}$，两者不相等，所以 $X$ 与 $Y$ 不独立。$X + Y$ 取 $0$、$1$、$2$ 的概率分别为 $\dfrac{3}{10}$、$\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{5}$、$\dfrac{1}{2}$。所以 $E(X + Y) = \frac{1}{5} + 2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{6}{5}$，$E\big((X+Y)^2\big) = \frac{1}{5} + 4 \cdot \frac{1}{2} = \frac{11}{5}$，$V(X + Y) = \frac{11}{5} - \frac{36}{25} = \frac{19}{25}$。另一方面 $V(X) = V(Y) = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{25}$，所以 $V(X) + V(Y) = \dfrac{12}{25}$，与 $V(X + Y) = \dfrac{19}{25}$ 不同。差 $\dfrac{7}{25}$ 等于 $2\{E(XY) - E(X)E(Y)\} = 2\left(\frac{1}{2} - \frac{9}{25}\right) = \frac{7}{25}$。

解说　容易卡在：直接写 $V(X+Y) = \dfrac{12}{25}$。先判断独立，不独立就从表算。只要找到一格“格 ≠ 行合计 × 列合计”，就说明不独立（要说明独立，则每一格都要相等）；多出来的 $\dfrac{7}{25}$ 正是 15.3 节结论 3 里的 $2\{E(XY) - E(X)E(Y)\}$，可以用来验算。

例 4　（场景：拆成 0–1 确率变数之和）

問題　$4$ 通の手紙を，あて名の書かれた $4$ つの封筒に $1$ 通ずつでたらめに入れる。正しい封筒に入った手紙の通数を $X$ とするとき，$E(X)$ を求めよ。

解答　$k$ 番目の手紙が正しい封筒に入るとき $I_k = 1$，そうでないとき $I_k = 0$（$k = 1, 2, 3, 4$）とおくと，$X = I_1 + I_2 + I_3 + I_4$ である。$k$ 番目の手紙は $4$ つの封筒のどれに入る確率も等しいから，$P(I_k = 1) = \dfrac{1}{4}$，$E(I_k) = \dfrac{1}{4}$ である。よって

$$E(X) = E(I_1) + E(I_2) + E(I_3) + E(I_4) = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1.$$

中文翻译　题目：把 $4$ 封信随机装进写好地址的 $4$ 个信封，每个信封装一封。装对的信的封数记为 $X$，求 $E(X)$。解答：设第 $k$ 封信装对时 $I_k = 1$，否则 $I_k = 0$（$k = 1, 2, 3, 4$），则 $X = I_1 + I_2 + I_3 + I_4$。第 $k$ 封信装进 $4$ 个信封中任何一个的机会相同，所以 $P(I_k = 1) = \dfrac{1}{4}$，$E(I_k) = \dfrac{1}{4}$。因此 $E(X) = E(I_1) + E(I_2) + E(I_3) + E(I_4) = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1$。

解说　$I_1, \dots, I_4$ 不独立（$3$ 封装对时，第 $4$ 封一定也对），但和的期待値仍可相加。容易卡在：想先列出 $X$ 的分布（$X$ 取 $0$、$1$、$2$、$4$，不能取 $3$），计算量大且容易漏。只问期待値时，拆成 0–1 变数之和最省事。

常用推论

• 二项分布的期待値和分散：$n$ 次反復試行，每次成功概率 $p$，成功次数 $X = I_1 + \dots + I_n$，各 $I_k$ 独立，$E(I_k) = p$，$V(I_k) = p(1 - p)$，所以 $E(X) = np$，$V(X) = np(1 - p)$。由本节结论 1、3（三个以上的独立确率变数，分散同样相加）。国内书第 36 章 36.4 节用组合数推导过同一结果。
• 同一个确率分布独立重复 $n$ 次，和 $S = X_1 + \dots + X_n$ 满足 $E(S) = nE(X)$，$V(S) = nV(X)$；平均 $\bar{X} = \dfrac{S}{n}$ 满足 $E(\bar{X}) = E(X)$，$V(\bar{X}) = \dfrac{V(X)}{n}$。由结论 1、3 和 $V(aX) = a^2V(X)$。
• 独立时 $V(X - Y) = V(X) + V(Y)$，$V(aX + bY) = a^2V(X) + b^2V(Y)$。由结论 3，把 $Y$ 换成 $-Y$ 或 $bY$。

易错点

• 错在哪：不放回地取卡片，认为“不独立，所以 $E(X + Y) \ne E(X) + E(Y)$”，去列 20 种情况。 为什么错：和的期待値公式的证明没有用到独立（结论 1 的关键一步）。 正确做法：求和的期待値永远直接相加；只有求积的期待値、和的分散时才要看独立。
• 错在哪：独立时写 $V(X - Y) = V(X) - V(Y)$。 为什么错：$V(-Y) = (-1)^2V(Y) = V(Y)$，减去一个确率变数并不会让波动变小。 正确做法：$V(X - Y) = V(X) + V(Y)$。
• 错在哪：$X$、$Y$ 独立，$\sigma(X) = 3$，$\sigma(Y) = 4$，写 $\sigma(X + Y) = 7$。 为什么错：独立时相加的是分散，不是標準偏差。 正确做法：$V(X + Y) = 9 + 16 = 25$，$\sigma(X + Y) = 5$。
• 错在哪：同時分布表只检查一格满足 $p_{ij} = p_i q_j$ 就说独立。 为什么错：独立要求每一格都成立。 正确做法：逐格检查；只要有一格不相等就不独立（2 行 2 列的表，有一格相等时其余三格也自动相等，但一般的表要全查）。

直观理解

和的期待値可以按“总量”来想：两人各自平均得 3 分和 5 分，两人合计平均就是 8 分，不管两人的得分有没有关联。

和的分散则取决于两者“会不会一起偏”。独立时，$X$ 偏大的时候 $Y$ 有时偏大有时偏小，两边的偏差部分抵消，所以合起来的分散只是各自分散相加，標準偏差像直角三角形的斜边一样按 $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ 合成，而不是 $3 + 4 = 7$。如果 $X$ 偏大时 $Y$ 也倾向偏大（例 3），偏差叠加，分散比 $V(X) + V(Y)$ 大；反之更小。这个“一起偏”的程度就是 15.4 节的共分散。

关联知识点

• 前置：15.2 节一个确率变数的期待値、分散。
• 前置：国内书第 21 章 事件的独立性；确率变数的独立就是“每一对事件 $X = x_i$、$Y = y_j$ 都独立”。
• 国内书第 36 章 36.4 节：二项分布的均值 $np$、方差 $np(1-p)$，本节用“和”重新推出。
• 本书第 7 章 場合の数と確率：反復試行；第 7 章的期待値问题有很多可以用本节“拆成 0–1 变数”来做。
• 后续：15.4 节共分散，补全不独立时的 $V(X + Y)$。

15.4 共分散と相関係数

说明

数据的共分散与相关系数（数学Ⅰ「データの分析」）：$n$ 对数据 $(x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)$，平均分别为 $\bar{x}$、$\bar{y}$。

• 分散：$s_x^2 = \dfrac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2$，標準偏差 $s_x$；$y$ 同样。
• 共分散：

$$s_{xy} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = \overline{xy} - \bar{x}\,\bar{y},$$

其中 $\overline{xy} = \dfrac{1}{n}\sum x_i y_i$ 是“积的平均”。

• 相関係数：

$$r = \frac{s_{xy}}{s_x s_y}.$$

国内书第 38 章 38.2 节的样本相关系数就是这个 $r$（分子分母同时约去了 $\dfrac{1}{n}$），只是国内没有给分子单独起名字。日本教科书把分子叫共分散，单独算、单独考。

确率变数的共分散与相关系数（补充，シラバス未单列，了解即可）：把“平均”换成“期待値”。日本高中教科书不讲确率变数的共分散，没有统一的高中记号；大学教材通常写 $\mathrm{Cov}(X, Y)$，也有写 $\sigma_{XY}$ 的，本书用 $\mathrm{Cov}(X, Y)$。EJU 若出这类题，题干会给出名称或公式（如「$E(XY) - E(X)E(Y)$ を $X$ と $Y$ の共分散という」），照题干的记号作答即可。数据的共分散则统一写 $s_{xy}$。

$$\mathrm{Cov}(X, Y) = E\big((X - E(X))(Y - E(Y))\big) = E(XY) - E(X)E(Y),$$ $$\rho = \frac{\mathrm{Cov}(X, Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}.$$

$E(XY)$ 用同時分布算：$E(XY) = \sum_i \sum_j x_i y_j p_{ij}$。

性质（数据、确率变数都成立）：

• $-1 \le r \le 1$；$|r| = 1$ 当且仅当数据点全在一条直线上。
• 共分散为正：一个偏大时另一个也倾向偏大（正の相関）；为负：负の相関。
• 变换：$u = ax + b$，$v = cy + d$ 时，$s_{uv} = ac\,s_{xy}$；相关系数 $r_{uv} = r$（$ac > 0$）或 $-r$（$ac < 0$）。
• 独立的确率变数，共分散为 0；但共分散为 0 不一定独立。
• 与 15.3 节的联系：$V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2\,\mathrm{Cov}(X, Y)$。

使用场景

• 题目给一张数据表（5 个人的两科分数等），求共分散、相関係数：列偏差表，或用 $\overline{xy} - \bar{x}\,\bar{y}$。
• 题目给同時分布（或从取球、掷骰子的试验中自己列出），求共分散、相関係数：先算 $E(XY)$，再减 $E(X)E(Y)$。
• 数据换单位、加常数（“每个分数加 5 分”“cm 改成 m”“$u = 2x + 1$”）后求新的共分散、相关系数：用变换性质，不重新算。
• 判断两个确率变数是否独立、共分散是否为 0，或已知共分散求 $V(X + Y)$：用“独立 ⇒ 共分散 0”及其反例、$V(X+Y)$ 的一般公式。

注意点

• 数学Ⅰ 的分散、共分散都除以 $n$（不是 $n - 1$），与国内书第 20 章一致。
• 共分散有单位（$x$ 的单位 × $y$ 的单位），换单位会变；相関係数没有单位，换单位不变，只可能变号。
• 求相関係数时，分母是两个標準偏差之积，不是分散之积。
• 答案常含根号：$r = \dfrac{3}{\sqrt{15}}$ 要有理化为 $\dfrac{\sqrt{15}}{5}$。
• 共分散为 0 只说明“没有线性关系”，不说明独立。
• EJU 题干的说法：「$x$ と $y$ の共分散」「相関係数を求めよ」「正の相関がある」「$X$ と $Y$ の共分散は $E(XY) - E(X)E(Y)$ で求められる」。

证明

结论 1：$s_{xy} = \overline{xy} - \bar{x}\,\bar{y}$。 展开：

$$\frac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = \frac{1}{n}\sum x_i y_i - \bar{y}\cdot\frac{1}{n}\sum x_i - \bar{x}\cdot\frac{1}{n}\sum y_i + \bar{x}\,\bar{y} = \overline{xy} - \bar{x}\,\bar{y} - \bar{x}\,\bar{y} + \bar{x}\,\bar{y}.$$

（关键一步：$\dfrac{1}{n}\sum x_i = \bar{x}$。）确率变数的 $\mathrm{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$ 证法相同，把平均换成期待値，用 15.3 节结论 1。

结论 2：$-1 \le r \le 1$。 记 $a_i = x_i - \bar{x}$，$b_i = y_i - \bar{y}$。对任意实数 $t$，

$$\frac{1}{n}\sum (t a_i + b_i)^2 = s_x^2\,t^2 + 2s_{xy}\,t + s_y^2 \ge 0.$$

（关键一步：平方和不小于 0，所以这个关于 $t$ 的二次式恒非负，判别式 $\le 0$。）$s_x > 0$ 时，判别式 $4s_{xy}^2 - 4s_x^2 s_y^2 \le 0$，即 $s_{xy}^2 \le s_x^2 s_y^2$，$|r| \le 1$。等号成立当且仅当有 $t$ 使所有 $t a_i + b_i = 0$，即所有点在一条直线上。确率变数同理。

结论 3：变换。 $u_i = a x_i + b$ 的平均是 $a\bar{x} + b$，偏差 $u_i - \bar{u} = a(x_i - \bar{x})$；同样 $v_i - \bar{v} = c(y_i - \bar{y})$。所以 $s_{uv} = ac\,s_{xy}$，$s_u = |a|s_x$，$s_v = |c|s_y$，

$$r_{uv} = \frac{ac\,s_{xy}}{|a||c|\,s_x s_y} = \frac{ac}{|ac|}\,r.$$

结论 4：独立 ⇒ 共分散 0。 由 15.3 节结论 2，$E(XY) = E(X)E(Y)$，所以 $\mathrm{Cov}(X, Y) = 0$。反过来不成立，见例 4。

例题

例 1　（场景：数据的共分散与相関係数）

問題　$5$ 人の生徒の $2$ 回の小テストの得点は次の表のとおりである。$x$ と $y$ の共分散 $s_{xy}$ と相関係数 $r$ を求めよ。

生徒	A	B	C	D	E
$x$	1	2	3	4	5
$y$	2	4	5	4	5

解答　$\bar{x} = 3$，$\bar{y} = \dfrac{20}{5} = 4$ である。偏差の表を作ると次のようになる。

	A	B	C	D	E	合計
$x - \bar{x}$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y - \bar{y}$	$-2$	$0$	$1$	$0$	$1$
$(x - \bar{x})^2$	4	1	0	1	4	10
$(y - \bar{y})^2$	4	0	1	0	1	6
$(x - \bar{x})(y - \bar{y})$	4	0	0	0	2	6

$s_x^2 = \dfrac{10}{5} = 2$，$s_y^2 = \dfrac{6}{5}$，$s_{xy} = \dfrac{6}{5}$ である。よって

$$r = \frac{\frac{6}{5}}{\sqrt{2}\sqrt{\frac{6}{5}}} = \frac{6}{\sqrt{60}} = \frac{6}{2\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{5} \approx 0.77.$$

中文翻译　题目：$5$ 名学生的两次小测验得分如下：A、B、C、D、E 的 $x$ 依次为 $1$、$2$、$3$、$4$、$5$，$y$ 依次为 $2$、$4$、$5$、$4$、$5$。求 $x$ 与 $y$ 的共分散 $s_{xy}$ 和相関係数 $r$。解答：$\bar{x} = 3$，$\bar{y} = \dfrac{20}{5} = 4$。列偏差表：$x - \bar{x}$ 依次为 $-2$、$-1$、$0$、$1$、$2$；$y - \bar{y}$ 依次为 $-2$、$0$、$1$、$0$、$1$；$(x - \bar{x})^2$ 依次为 $4$、$1$、$0$、$1$、$4$，合计 $10$；$(y - \bar{y})^2$ 依次为 $4$、$0$、$1$、$0$、$1$，合计 $6$；$(x - \bar{x})(y - \bar{y})$ 依次为 $4$、$0$、$0$、$0$、$2$，合计 $6$。$s_x^2 = \dfrac{10}{5} = 2$，$s_y^2 = \dfrac{6}{5}$，$s_{xy} = \dfrac{6}{5}$。所以 $r = \frac{\frac{6}{5}}{\sqrt{2}\sqrt{\frac{6}{5}}} = \frac{6}{\sqrt{60}} = \frac{6}{2\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{5} \approx 0.77$。

解说　另一种解法：用 $s_{xy} = \overline{xy} - \bar{x}\,\bar{y}$。$\sum x_i y_i = 2 + 8 + 15 + 16 + 25 = 66$，$\overline{xy} = \dfrac{66}{5}$，$s_{xy} = \dfrac{66}{5} - 12 = \dfrac{6}{5}$。平均是整数时偏差表更清楚，也顺便得到分散；平均是分数、或题目已经给出 $\sum x_i y_i$ 时，用公式更快。验算：$|r| \le 1$，$0.77 < 1$，合理。

例 2　（场景：由同時分布求确率变数的共分散）

問題　袋の中に赤玉 $3$ 個と白玉 $2$ 個が入っている。この袋から玉を $1$ 個ずつ $2$ 回，取り出した玉はもとに戻さずに取り出す。$1$ 回目に赤玉が出たとき $X = 1$，白玉が出たとき $X = 0$ とし，$2$ 回目に赤玉が出たとき $Y = 1$，白玉が出たとき $Y = 0$ とする。$\mathrm{Cov}(X, Y)$，相関係数 $\rho$，$V(X + Y)$ を求めよ。

解答　同時分布は次の表のようになる（取り出し方は全部で $5 \cdot 4 = 20$ 通りある）。

$X \backslash Y$	$0$	$1$	計
$0$	$\dfrac{1}{10}$	$\dfrac{3}{10}$	$\dfrac{2}{5}$
$1$	$\dfrac{3}{10}$	$\dfrac{3}{10}$	$\dfrac{3}{5}$
計	$\dfrac{2}{5}$	$\dfrac{3}{5}$	$1$

例えば $P(X = 1,\ Y = 1) = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{10}$ である。

$E(X) = E(Y) = \dfrac{3}{5}$，$V(X) = V(Y) = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{25}$ である。$XY$ は $(1, 1)$ のときだけ $1$ をとるから，$E(XY) = \dfrac{3}{10}$ である。よって

$$\mathrm{Cov}(X, Y) = \frac{3}{10} - \frac{9}{25} = -\frac{3}{50}, \qquad \rho = \frac{-\frac{3}{50}}{\frac{6}{25}} = -\frac{1}{4},$$ $$V(X + Y) = \frac{6}{25} + \frac{6}{25} + 2 \cdot \left(-\frac{3}{50}\right) = \frac{9}{25}.$$

中文翻译　题目：袋中有红球 $3$ 个、白球 $2$ 个。从袋中每次取 $1$ 个，不放回，共取 $2$ 次。第 $1$ 次是红球时 $X = 1$，白球时 $X = 0$；第 $2$ 次是红球时 $Y = 1$，白球时 $Y = 0$。求 $\mathrm{Cov}(X, Y)$、相関係数 $\rho$ 和 $V(X + Y)$。解答：同時分布如下（取法共 $5 \cdot 4 = 20$ 种）：$P(X = 0,\ Y = 0) = \dfrac{1}{10}$，$P(X = 0,\ Y = 1) = \dfrac{3}{10}$，$P(X = 1,\ Y = 0) = \dfrac{3}{10}$，$P(X = 1,\ Y = 1) = \dfrac{3}{10}$；行合计依次为 $\dfrac{2}{5}$、$\dfrac{3}{5}$，列合计依次为 $\dfrac{2}{5}$、$\dfrac{3}{5}$，总计为 $1$。例如 $P(X = 1,\ Y = 1) = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{10}$。$E(X) = E(Y) = \dfrac{3}{5}$，$V(X) = V(Y) = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{25}$。$XY$ 只在 $(1, 1)$ 时取 $1$，所以 $E(XY) = \dfrac{3}{10}$。因此 $\mathrm{Cov}(X, Y) = \frac{3}{10} - \frac{9}{25} = -\frac{3}{50}$，$\rho = \frac{-\frac{3}{50}}{\frac{6}{25}} = -\frac{1}{4}$，$V(X + Y) = \frac{6}{25} + \frac{6}{25} + 2 \cdot \left(-\frac{3}{50}\right) = \frac{9}{25}$。

解说　共分散为负：第 $1$ 个取到红球后，袋里红球变少，第 $2$ 个更不容易是红球。另一种解法：$X + Y$ 是取到的红球个数，直接列分布：$0$ 个 $\dfrac{1}{10}$，$1$ 个 $\dfrac{6}{10}$，$2$ 个 $\dfrac{3}{10}$。$E = \dfrac{6}{5}$，$E(\text{平方}) = \dfrac{6}{10} + \dfrac{12}{10} = \dfrac{9}{5}$，$V = \dfrac{9}{5} - \dfrac{36}{25} = \dfrac{9}{25}$，一致。只求 $V(X + Y)$ 时直接列分布也很快；题目分步问共分散、相関係数时按共分散的路线走。

例 3　（场景：变换后的共分散与相関係数）

問題　例 1 のデータについて，$u = 2x + 1$，$v = -y + 10$ とおく。$u$ と $v$ の共分散と相関係数を求めよ。

解答　本節の証明結論 3 より，$s_{uv} = 2 \cdot (-1) \cdot s_{xy} = -2 \cdot \dfrac{6}{5} = -\dfrac{12}{5}$ である。$ac = -2 < 0$ であるから相関係数の符号が変わり，$r_{uv} = -\dfrac{\sqrt{15}}{5}$ である。

中文翻译　题目：沿用例 1 的数据，令 $u = 2x + 1$，$v = -y + 10$。求 $u$ 与 $v$ 的共分散和相関係数。解答：由 15.4 节结论 3，$s_{uv} = 2 \cdot (-1) \cdot s_{xy} = -2 \cdot \dfrac{6}{5} = -\dfrac{12}{5}$。$ac = -2 < 0$，相関係数变号：$r_{uv} = -\dfrac{\sqrt{15}}{5}$。

解说　容易卡在：以为加上常数 $1$、$10$ 也会改变共分散。加常数只平移，偏差不变。一般地，$u = ax + b$、$v = cy + d$ 时 $s_{uv} = ac\,s_{xy}$，相関係数只随 $ac$ 的符号变号，绝对值不变。

例 4　（场景：共分散为 0 却不独立）

問題　$X$ は $-1$，$0$，$1$ の値をそれぞれ $\dfrac{1}{3}$ の確率でとり，$Y = X^2$ とする。$\mathrm{Cov}(X, Y)$ を求めよ。また，$X$ と $Y$ は互いに独立か。

解答　$E(X) = -1 \cdot \dfrac{1}{3} + 0 \cdot \dfrac{1}{3} + 1 \cdot \dfrac{1}{3} = 0$ である。$XY = X^3$ は $-1$，$0$，$1$ の値をそれぞれ $\dfrac{1}{3}$ の確率でとるから，$E(XY) = 0$ である。よって

$$\mathrm{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0 - 0 \cdot E(Y) = 0.$$

一方 $P(X = 0,\ Y = 0) = \dfrac{1}{3}$ であるが，$P(X = 0)P(Y = 0) = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{9}$ で，これと等しくない。よって $X$ と $Y$ は独立でない。

中文翻译　题目：$X$ 以相同的概率 $\dfrac{1}{3}$ 取 $-1$、$0$、$1$，$Y = X^2$。求 $\mathrm{Cov}(X, Y)$，$X$ 与 $Y$ 独立吗？解答：$E(X) = -1 \cdot \dfrac{1}{3} + 0 \cdot \dfrac{1}{3} + 1 \cdot \dfrac{1}{3} = 0$。$XY = X^3$ 以 $\dfrac{1}{3}$ 的概率分别取 $-1$、$0$、$1$，所以 $E(XY) = 0$。因此 $\mathrm{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0 - 0 \cdot E(Y) = 0$。但 $P(X = 0,\ Y = 0) = \dfrac{1}{3}$，而 $P(X = 0)P(Y = 0) = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{9}$，不相等，所以 $X$ 与 $Y$ 不独立。

解说　$Y$ 完全由 $X$ 决定，只是关系不是直线，共分散看不出来。共分散只衡量线性关系：“独立 ⇒ 共分散为 $0$“成立，反过来不成立；判断独立只能回到定义，逐格检查同時分布。

常用推论

• $V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2\,\mathrm{Cov}(X, Y)$，$V(X - Y) = V(X) + V(Y) - 2\,\mathrm{Cov}(X, Y)$。推导见 15.3 节证明结论 3。
• $\mathrm{Cov}(X, X) = V(X)$，$X$ 与自己的相关系数是 1。由定义。
• 不放回地从 $N$ 个里取两次（$N$ 个中有若干个“成功”），两次的 0–1 变数的相关系数是 $-\dfrac{1}{N - 1}$。例 2 中 $N = 5$，$\rho = -\dfrac{1}{4}$。推导：照例 2 一般化，$\mathrm{Cov} = -\dfrac{p(1-p)}{N - 1}$。
• 数据都加同一个常数、乘同一个正数，相关系数不变。由结论 3。

易错点

• 错在哪：相関係数算成 $r = \dfrac{s_{xy}}{s_x^2 s_y^2}$。 为什么错：分母是標準偏差之积，用分散会使 $r$ 的值随单位变化，也不再在 $-1$ 到 $1$ 之间。 正确做法：$r = \dfrac{s_{xy}}{s_x s_y}$，算完检查 $|r| \le 1$。
• 错在哪：$u = 2x + 1$，$v = -y + 10$，写 $r_{uv} = 2 \times (-1) \times r$。 为什么错：共分散变成 $ac$ 倍，但標準偏差也变成 $|a|$、$|c|$ 倍，相除后只剩符号。 正确做法：共分散乘 $ac$；相関係数只看 $ac$ 的正负，绝对值不变。
• 错在哪：算出共分散为 0，就说”$X$ 与 $Y$ 独立”。 为什么错：共分散只衡量线性关系，例 4 中 $Y = X^2$ 完全依赖 $X$，共分散却是 0。 正确做法：判断独立要逐格检查同時分布；“独立 ⇒ 共分散 0”只能单向使用。
• 错在哪：数据的分散除以 $n - 1$。 为什么错：日本数学Ⅰ 和国内高中都用 $\dfrac{1}{n}$；除以 $n - 1$ 是大学统计里的“不偏分散”。 正确做法：EJU 按 $\dfrac{1}{n}$ 算。

直观理解

以平均点 $(\bar{x}, \bar{y})$ 为中心画十字线，把散点图分成四块（见上图）。右上块和左下块的点，两个偏差同号，乘积为正；左上块和右下块乘积为负。共分散就是这些乘积的平均：点多集中在右上、左下，共分散为正，散点呈“左下到右上”的走势。相関係数再除以两个標準偏差，把“横向尺度”“纵向尺度”统一成“一个標準偏差一格”，所以与单位无关，只描述走势的强弱。

关联知识点

• 国内书第 38 章 38.2 节：样本相关系数 $r$ 的公式与本节的 $\dfrac{s_{xy}}{s_x s_y}$ 是同一个量；国内的“相关 ≠ 因果”等讨论同样适用。
• 国内书第 20 章：数据的平均数、方差（除以 $n$）。
• 前置：15.3 节同時分布、$E(XY)$ 与独立。
• 后续：15.3 节结论 3 的一般形式 $V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2\,\mathrm{Cov}(X, Y)$。
• 本书第 5 章 2次関数：$|r| \le 1$ 的证明用的是“二次式恒非负则判别式 $\le 0$”。

15.5 题型与答法

第 13 项是 2026 年新增的，到本书写作时 JASSO 没有公布这一项的样题，也没有过去问，下面的题型分析和三道题全部是按 EJU 现有大问的誘導型填空格式自编的，实际出法要等 2026 年度试题公开后对照。本书的编法是：和第 7 章 場合の数と確率连在一起，前半用组合计数求出确率分布，后半求期待値、分散，再做变换或求和；共分散配一张小数据表或一张 2 × 2 的同時分布表。

誘導的典型骨架：

• 一个确率变数：(1) 求某个 $P(X = k)$ →(2) 求 $E(X)$、$V(X)$、$\sigma(X)$ →(3) 对 $Y = aX + b$ 求期待値、分散，或反求 $a$、$b$。
• 两个确率变数之和：(1) 各自的期待値、分散 →(2) 说明独立 →(3) 求 $E(X + Y)$、$V(aX + bY)$、$E(XY)$。
• 共分散：(1) 同時分布或数据表 →(2) $E(XY)$ 或 $\overline{xy}$ →(3) 共分散、相関係数，或 $V(X + Y)$。

填涂提醒：分数的负号在分子（$-\dfrac{1}{5}$ 填进 $\dfrac{\fbox{AB}}{\fbox{C}}$ 是「－」「1」「5」）；分数要约到最简；標準偏差的根号内取最小的自然数；分母有理化。

問題 1　（確率分布・期待値・分散・変換）

1 から 6 までの数字が 1 つずつ書かれた 6 枚のカードから同時に 2 枚を取り出し，取り出したカードの数字のうち小さい方を $X$ とする。

(1) $P(X = 2) = \dfrac{\fbox{A}}{\fbox{BC}}$ である。

(2) $X$ の期待値は $E(X) = \dfrac{\fbox{D}}{\fbox{E}}$，分散は $V(X) = \dfrac{\fbox{FG}}{\fbox{H}}$，標準偏差は $\sigma(X) = \dfrac{\sqrt{\fbox{IJ}}}{\fbox{K}}$ である。

(3) 確率変数 $Y$ を $Y = 3X - 2$ で定めると，$E(Y) = \fbox{L}$，$V(Y) = \fbox{MN}$ である。

解答　(1) 取り出し方は全部で ${}_6\mathrm{C}_2 = 15$ 通りある。小さい方の数が $k$ であるとき，もう $1$ 枚は $k + 1, \dots, 6$ の $6 - k$ 通りから選べる。

$X$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	計
$P$	$\dfrac{5}{15}$	$\dfrac{4}{15}$	$\dfrac{3}{15}$	$\dfrac{2}{15}$	$\dfrac{1}{15}$	$1$

よって $P(X = 2) = \dfrac{4}{15}$ で，$\fbox{A} = 4$，$\fbox{BC} = 1, 5$ である。

(2)

$$E(X) = \frac{5 + 8 + 9 + 8 + 5}{15} = \frac{35}{15} = \frac{7}{3}, \qquad E(X^2) = \frac{5 + 16 + 27 + 32 + 25}{15} = \frac{105}{15} = 7,$$ $$V(X) = 7 - \frac{49}{9} = \frac{14}{9}, \qquad \sigma(X) = \frac{\sqrt{14}}{3}.$$

よって $\fbox{D} = 7$，$\fbox{E} = 3$，$\fbox{FG} = 1, 4$，$\fbox{H} = 9$，$\fbox{IJ} = 1, 4$，$\fbox{K} = 3$ である。

(3) $E(Y) = 3 \cdot \dfrac{7}{3} - 2 = 5$，$V(Y) = 3^2 \cdot \dfrac{14}{9} = 14$ である。よって $\fbox{L} = 5$，$\fbox{MN} = 1, 4$ である。

中文翻译　题目：从分别写有 1 到 6 的 6 张卡片中同时取出 2 张，取出的两个数中较小的记为 $X$。（1）$P(X = 2) = \dfrac{\fbox{A}}{\fbox{BC}}$。（2）$X$ 的期待値是 $E(X) = \dfrac{\fbox{D}}{\fbox{E}}$，分散是 $V(X) = \dfrac{\fbox{FG}}{\fbox{H}}$，標準偏差是 $\sigma(X) = \dfrac{\sqrt{\fbox{IJ}}}{\fbox{K}}$。（3）定义 $Y = 3X - 2$，则 $E(Y) = \fbox{L}$，$V(Y) = \fbox{MN}$。解答：（1）取法共 ${}_6\mathrm{C}_2 = 15$ 种。较小的数为 $k$ 时，另一张从 $k + 1, \dots, 6$ 的 $6 - k$ 个数中取：$X$ 取 $1$、$2$、$3$、$4$、$5$，概率依次为 $\dfrac{5}{15}$、$\dfrac{4}{15}$、$\dfrac{3}{15}$、$\dfrac{2}{15}$、$\dfrac{1}{15}$，合计 $1$。所以 $P(X = 2) = \dfrac{4}{15}$，$\fbox{A} = 4$，$\fbox{BC} = 1, 5$。（2）$E(X) = \frac{5 + 8 + 9 + 8 + 5}{15} = \frac{35}{15} = \frac{7}{3}$，$E(X^2) = \frac{5 + 16 + 27 + 32 + 25}{15} = \frac{105}{15} = 7$，$V(X) = 7 - \frac{49}{9} = \frac{14}{9}$，$\sigma(X) = \frac{\sqrt{14}}{3}$。所以 $\fbox{D} = 7$，$\fbox{E} = 3$，$\fbox{FG} = 1, 4$，$\fbox{H} = 9$，$\fbox{IJ} = 1, 4$，$\fbox{K} = 3$。（3）$E(Y) = 3 \cdot \dfrac{7}{3} - 2 = 5$，$V(Y) = 3^2 \cdot \dfrac{14}{9} = 14$，所以 $\fbox{L} = 5$，$\fbox{MN} = 1, 4$。

解说　两分钟做法：先写 $X$ 的分布（$k$ 时有 $6 - k$ 种），$P(X = 2)$ 直接在表里看；期待値、分散用 $E(X) = \dfrac{35}{15}$、$E(X^2) = 7$ 算；最后套变换公式 $E(3X - 2) = 3E(X) - 2$、$V(3X - 2) = 9V(X)$。空格判断：$\fbox{BC}$ 是分母 $15$ 的两位；$\fbox{D}$、$\fbox{E}$ 是约分后的 $\dfrac{7}{3}$；$\fbox{FG}$、$\fbox{IJ}$、$\fbox{MN}$ 都是 $1, 4$，$\fbox{H}$ 是 $9$，$\fbox{K}$ 是 $3$；$\fbox{L}$ 是 $5$。本题没有选项，全是填空；容易错在 $\fbox{MN}$：分散乘 $3^2 = 9$，常数 $-2$ 不影响分散，所以 $V(Y) = 14$。

問題 2　（確率変数の和と独立；(2) の $V(Z)$ と (3) は補充内容を使う）

1 個のさいころを 1 回投げて出た目を $X$ とし，それとは別に 1 枚の硬貨を 3 回投げて表が出た回数を $Y$ とする。$X$ と $Y$ は互いに独立である。なお，$E(X) = \dfrac{7}{2}$，$V(X) = \dfrac{35}{12}$ である。

(1) $Y$ の期待値は $E(Y) = \dfrac{\fbox{A}}{\fbox{B}}$，分散は $V(Y) = \dfrac{\fbox{C}}{\fbox{D}}$ である。

(2) $Z = X + 2Y$ とおくと，$E(Z) = \dfrac{\fbox{EF}}{\fbox{G}}$，$V(Z) = \dfrac{\fbox{HI}}{\fbox{JK}}$ である。

(3) $E(XY) = \dfrac{\fbox{LM}}{\fbox{N}}$ である。

解答　(1) $k$ 回目に表が出たとき $I_k = 1$，裏が出たとき $I_k = 0$ とおくと，$Y = I_1 + I_2 + I_3$ で，$I_1$，$I_2$，$I_3$ は互いに独立である。$E(I_k) = \dfrac{1}{2}$，$V(I_k) = \dfrac{1}{4}$ であるから

$$E(Y) = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}, \qquad V(Y) = 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.$$

よって $\fbox{A} = 3$，$\fbox{B} = 2$，$\fbox{C} = 3$，$\fbox{D} = 4$ である。

(2) $E(Z) = E(X) + 2E(Y) = \dfrac{7}{2} + 2 \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{13}{2}$ である。$X$ と $Y$ は独立であるから

$$V(Z) = V(X) + 2^2V(Y) = \frac{35}{12} + 4 \cdot \frac{3}{4} = \frac{35}{12} + 3 = \frac{71}{12}.$$

よって $\fbox{EF} = 1, 3$，$\fbox{G} = 2$，$\fbox{HI} = 7, 1$，$\fbox{JK} = 1, 2$ である。

(3) $X$ と $Y$ は独立であるから，$E(XY) = E(X)E(Y) = \dfrac{7}{2} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{21}{4}$ である。よって $\fbox{LM} = 2, 1$，$\fbox{N} = 4$ である。

中文翻译　题目：掷一颗骰子一次，点数为 $X$；另外把一枚硬币抛 3 次，正面朝上的次数为 $Y$。$X$ 与 $Y$ 相互独立。已知 $E(X) = \dfrac{7}{2}$，$V(X) = \dfrac{35}{12}$。（1）$Y$ 的期待値是 $E(Y) = \dfrac{\fbox{A}}{\fbox{B}}$，分散是 $V(Y) = \dfrac{\fbox{C}}{\fbox{D}}$。（2）令 $Z = X + 2Y$，则 $E(Z) = \dfrac{\fbox{EF}}{\fbox{G}}$，$V(Z) = \dfrac{\fbox{HI}}{\fbox{JK}}$。（3）$E(XY) = \dfrac{\fbox{LM}}{\fbox{N}}$。解答：（1）设第 $k$ 次正面时 $I_k = 1$，否则 $I_k = 0$，则 $Y = I_1 + I_2 + I_3$，且 $I_1$、$I_2$、$I_3$ 相互独立。$E(I_k) = \dfrac{1}{2}$，$V(I_k) = \dfrac{1}{4}$，所以 $E(Y) = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$，$V(Y) = 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$。因此 $\fbox{A} = 3$，$\fbox{B} = 2$，$\fbox{C} = 3$，$\fbox{D} = 4$。（2）$E(Z) = E(X) + 2E(Y) = \dfrac{7}{2} + 2 \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{13}{2}$。$X$ 与 $Y$ 独立，所以 $V(Z) = V(X) + 2^2V(Y) = \frac{35}{12} + 4 \cdot \frac{3}{4} = \frac{35}{12} + 3 = \frac{71}{12}$。因此 $\fbox{EF} = 1, 3$，$\fbox{G} = 2$，$\fbox{HI} = 7, 1$，$\fbox{JK} = 1, 2$。（3）$X$ 与 $Y$ 独立，所以 $E(XY) = E(X)E(Y) = \dfrac{7}{2} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{21}{4}$，因此 $\fbox{LM} = 2, 1$，$\fbox{N} = 4$。

解说　两分钟做法：$Y$ 是反復試行的成功次数，直接写 $E(Y) = np = \dfrac{3}{2}$、$V(Y) = np(1 - p) = \dfrac{3}{4}$；$Z = X + 2Y$ 用 $E$ 的线性性和独立时分散相加，$V(2Y) = 4V(Y)$。空格判断：$\fbox{EF}$、$\fbox{HI}$、$\fbox{LM}$ 都是两位数；$\fbox{HI}$ 填 $7, 1$，是 $\dfrac{71}{12}$ 的分子，$\fbox{JK}$ 填 $1, 2$，是分母。本题没有选项，全是填空；容易错在 $\fbox{HI}$：把 $V(Z)$ 写成 $\dfrac{35}{12} + 2 \cdot \dfrac{3}{4}$，忘了 $2Y$ 的分散要乘 $2^2 = 4$。也可以列出 $Y$ 的分布（$0$、$1$、$2$、$3$ 的概率为 $\dfrac{1}{8}, \dfrac{3}{8}, \dfrac{3}{8}, \dfrac{1}{8}$）验算。

問題 3　（共分散・相関係数）

袋の中に赤玉 4 個と白玉 2 個が入っている。この袋から玉を 1 個ずつ 2 回，取り出した玉はもとに戻さずに取り出す。1 回目に赤玉が出たとき $X = 1$，白玉が出たとき $X = 0$ とし，2 回目に赤玉が出たとき $Y = 1$，白玉が出たとき $Y = 0$ とする。

(1) $E(X) = E(Y) = \dfrac{\fbox{A}}{\fbox{B}}$，$V(X) = V(Y) = \dfrac{\fbox{C}}{\fbox{D}}$ である。

(2) $E(XY) = \dfrac{\fbox{E}}{\fbox{F}}$ であるから，$X$ と $Y$ の共分散は $\dfrac{\fbox{GH}}{\fbox{IJ}}$，相関係数は $\dfrac{\fbox{KL}}{\fbox{M}}$ である。

(3) 取り出した赤玉の個数 $X + Y$ の分散は $\dfrac{\fbox{NO}}{\fbox{PQ}}$ である。

解答　(1) $P(X = 1) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ である。$2$ 回目もどの球が取り出される確率も等しいから，$P(Y = 1) = \dfrac{2}{3}$ である。よって $E(X) = E(Y) = \dfrac{2}{3}$，$V(X) = V(Y) = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{9}$ であり，$\fbox{A} = 2$，$\fbox{B} = 3$，$\fbox{C} = 2$，$\fbox{D} = 9$ である。

(2) $E(XY) = P(X = 1,\ Y = 1) = \dfrac{4}{6} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{5}$ である。よって

$$\mathrm{Cov}(X, Y) = \frac{2}{5} - \frac{4}{9} = -\frac{2}{45}, \qquad \rho = \frac{-\frac{2}{45}}{\frac{2}{9}} = -\frac{1}{5}.$$

したがって $\fbox{E} = 2$，$\fbox{F} = 5$，$\fbox{GH}$ には「－」と「$2$」，$\fbox{IJ} = 4, 5$，$\fbox{KL}$ には「－」と「$1$」，$\fbox{M} = 5$ を入れる。

(3) $V(X + Y) = \dfrac{2}{9} + \dfrac{2}{9} + 2 \cdot \left(-\dfrac{2}{45}\right) = \dfrac{20}{45} - \dfrac{4}{45} = \dfrac{16}{45}$ である。よって $\fbox{NO} = 1, 6$，$\fbox{PQ} = 4, 5$ である。

中文翻译　题目：袋中有红球 4 个、白球 2 个。每次取 1 个，不放回，共取 2 次。第 1 次是红球时 $X = 1$，白球时 $X = 0$；第 2 次是红球时 $Y = 1$，白球时 $Y = 0$。（1）$E(X) = E(Y) = \dfrac{\fbox{A}}{\fbox{B}}$，$V(X) = V(Y) = \dfrac{\fbox{C}}{\fbox{D}}$。（2）$E(XY) = \dfrac{\fbox{E}}{\fbox{F}}$，所以 $X$ 与 $Y$ 的共分散是 $\dfrac{\fbox{GH}}{\fbox{IJ}}$，相関係数是 $\dfrac{\fbox{KL}}{\fbox{M}}$。（3）取出的红球个数 $X + Y$ 的分散是 $\dfrac{\fbox{NO}}{\fbox{PQ}}$。解答：（1）$P(X = 1) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$。第 2 次取到每个球的机会也相同，所以 $P(Y = 1) = \dfrac{2}{3}$。因此 $E(X) = E(Y) = \dfrac{2}{3}$，$V(X) = V(Y) = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{9}$，$\fbox{A} = 2$，$\fbox{B} = 3$，$\fbox{C} = 2$，$\fbox{D} = 9$。（2）$E(XY) = P(X = 1,\ Y = 1) = \dfrac{4}{6} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{5}$。所以 $\mathrm{Cov}(X, Y) = \frac{2}{5} - \frac{4}{9} = -\frac{2}{45}$，$\rho = \frac{-\frac{2}{45}}{\frac{2}{9}} = -\frac{1}{5}$。因此 $\fbox{E} = 2$，$\fbox{F} = 5$，$\fbox{GH}$ 填「－」和「$2$」，$\fbox{IJ} = 4, 5$，$\fbox{KL}$ 填「－」和「$1$」，$\fbox{M} = 5$。（3）$V(X + Y) = \dfrac{2}{9} + \dfrac{2}{9} + 2 \cdot \left(-\dfrac{2}{45}\right) = \dfrac{20}{45} - \dfrac{4}{45} = \dfrac{16}{45}$，$\fbox{NO} = 1, 6$，$\fbox{PQ} = 4, 5$。

解说　两分钟做法：不放回取球时，第 2 次取到红球的概率与第 1 次相同，都是 $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$，不必列同時分布；$E(XY)$ 就是 $P(X = 1,\ Y = 1) = \dfrac{4}{6} \cdot \dfrac{3}{5}$；$V(X + Y)$ 用 $V(X) + V(Y) + 2\mathrm{Cov}(X, Y)$。空格判断：$\fbox{GH}$、$\fbox{KL}$ 的负号占一格，填在分子里（「－」「2」和「－」「1」）；$\fbox{NO}$ 是 $\dfrac{16}{45}$ 的分子两位，$\fbox{PQ}$ 是分母两位。本题没有选项，全是填空；容易错在 $\fbox{GH}$：第 1 次取到红球会让第 2 次取到红球的概率变小，共分散应为负，别写成正的 $\dfrac{2}{45}$。验算：红球个数 $0$、$1$、$2$ 的概率为 $\dfrac{1}{15}$、$\dfrac{8}{15}$、$\dfrac{6}{15}$，期待値 $\dfrac{20}{15} = \dfrac{4}{3}$，平方的期待値 $\dfrac{8 + 24}{15} = \dfrac{32}{15}$，分散 $\dfrac{32}{15} - \dfrac{16}{9} = \dfrac{16}{45}$。

15.6 术语与题干用语

日文	读音	中文	例句或说明
確率変数	かくりつへんすう	随机变量	「確率変数 $X$ のとり得る値は 1，2，3 である」
確率分布	かくりつぶんぷ	概率分布（分布列）	「$X$ の確率分布を求めよ」
とり得る値	とりうるあたい	可能取的值
計	けい	合计	確率分布表の最右列
期待値	きたいち	均值（数学期望）	「$X$ の期待値 $E(X)$」；「平均」とも言う
分散	ぶんさん	方差	$V(X)$，国内の $D(X)$
標準偏差	ひょうじゅんへんさ	标准差	$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$
偏差	へんさ	偏差	$x - \bar{x}$
標準化	ひょうじゅんか	标准化	$Z = \dfrac{X - m}{\sigma}$
偏差値	へんさち	偏差值	期待値 50，標準偏差 10 に変換した値
確率変数の変換	かくりつへんすうのへんかん	随机变量的变换	$Y = aX + b$
同時分布	どうじぶんぷ	联合分布	「$X$ と $Y$ の同時分布は次の表のようになる」
互いに独立	たがいにどくりつ	相互独立	「$X$ と $Y$ は互いに独立である」
確率変数の和	かくりつへんすうのわ	随机变量的和	$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$
共分散	きょうぶんさん	协方差	「$x$ と $y$ の共分散 $s_{xy}$」；确率变数的共分散高中教科书不讲，大学写 $\mathrm{Cov}(X, Y)$
相関係数	そうかんけいすう	相关系数	「相関係数 $r$ を求めよ」
正の相関	せいのそうかん	正相关	「$x$ と $y$ の間には正の相関がある」
負の相関	ふのそうかん	负相关
散布図	さんぷず	散点图
データの分析	データのぶんせき	数据分析	数学Ⅰ の単元名
硬貨	こうか	硬币	「硬貨を 3 回投げて表が出た回数」
表・裏	おもて・うら	正面、反面
もとに戻さずに	もとにもどさずに	不放回	「取り出した玉はもとに戻さずに」
同時に取り出す	どうじにとりだす	同时取出	「6 枚のカードから同時に 2 枚を取り出す」
〜とおく	〜とおく	设……，令……	「$Z = X + 2Y$ とおく」
〜で定める	〜でさだめる	用……定义	「$Y = 3X - 2$ で定める」

15.7 自测

1. 确率变数 $X$ 取 0、1、2 的概率分别为 $\dfrac{1}{4}$、$\dfrac{1}{2}$、$\dfrac{1}{4}$，求 $V(X)$ 和 $\sigma(X)$。
2. $E(X) = 3$，$V(X) = 4$，$Y = -2X + 5$。求 $E(Y)$、$V(Y)$、$\sigma(Y)$。
3. 从写有 1、2、3、4 的 4 张卡片中不放回地依次取 2 张，数分别为 $X$、$Y$，求 $E(X + Y)$。
4. 大、小两个骰子各掷一次，点数为 $X$、$Y$，求 $V(X - Y)$。
5. 3 组数据 $(x, y) = (1, 3), (2, 1), (3, 2)$，求共分散 $s_{xy}$ 和相関係数 $r$。
6. $\mathrm{Cov}(X, Y) = 2$，相関係数为 $0.4$。$U = 3X + 1$，$W = -2Y$，求 $\mathrm{Cov}(U, W)$ 和 $U$、$W$ 的相关系数。

答案：1. $V(X) = \dfrac{1}{2}$，$\sigma(X) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$；2. $E(Y) = -1$，$V(Y) = 16$，$\sigma(Y) = 4$；3. 5；4. $\dfrac{35}{6}$；5. $s_{xy} = -\dfrac{1}{3}$，$r = -\dfrac{1}{2}$；6. $\mathrm{Cov}(U, W) = -12$，相关系数 $-0.4$。

15.8 深入阅读

• JASSO · 日本留学試験 数学シラバス：官方出题范围原文，第 13 项「確率分布」列出本章的五个小项目，2026 年度起适用。
• JASSO · 基礎学力科目シラバス改訂について：2025 年 2 月公布的改订说明，写明コース2 新增「確率分布」一项。
• 维基百科（日文）· 共分散：共分散的定义、E(XY) − E(X)E(Y) 的形式和与独立的关系，查日文说法时用。
• 维基百科（日文）· 期待値：期待値的定义和线性性 E(X + Y) = E(X) + E(Y)，以及独立时积的期待値。