第 11 章 · 図形と方程式

项目	内容
シラバス项目	9. 図形と方程式（数学Ⅱ）：(1) 点と直線（① 点の座標 ② 直線の方程式 ③ 点と直線の距離）、(2) 円（① 円の方程式 ② 円と直線の関係）、(3) 軌跡と領域（① 軌跡と方程式 ② 不等式の表す領域）
コース	只考コース2
国内书对应	国内书第 28 章 直线的方程、第 29 章 圆的方程
本章新内容的分量	中等。直线和圆两边基本相同；内分点・外分点要换成 $m : n$ 的坐标公式，轨迹要按日本的答法重新练，不等式表示的区域和用区域求最值是国内新课标删掉的内容，要从头学

直线和圆的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系，国内书第 28、29 章已经讲全，EJU 考的也是这些。差别在三处：日本教科书把线段的内分点・外分点写成公式直接用；軌跡要答成“以某点为中心、半径某的圆”，并且要管参数带来的范围；不等式の表す領域和“用区域求最大最小”（旧课标叫线性规划）在国内新课标里已经没有了。丢分主要丢在：外分点公式符号写反，轨迹忘了限制 $x$ 的范围，区域题把直线的上方、下方判断反。

11.1 与国内的对照

シラバス小项目（日文原文）	国内书位置	相同 / 讲法不同 / 国内没有	本章哪节讲
(1) ① 点の座標	国内书第 28 章 28.5 节中点坐标公式；第 15 章 15.2 节常用推论有重心坐标和定比分点（向量式 $\overrightarrow{AP} = \lambda\overrightarrow{PB}$），第 14 章 14.4 节有分点向量公式	讲法不同：国内用向量和参数 $\lambda$ 写分点，放在常用推论里；日本把内分点、外分点按 $m : n$ 写成坐标公式，分开记、直接用	11.2
(1) ② 直線の方程式	国内书第 28 章 28.2 至 28.4 节	相同，见国内书第 28 章	不展开
(1) ③ 点と直線の距離	国内书第 28 章 28.5 节	相同，见国内书第 28 章	不展开
(2) ① 円の方程式	国内书第 29 章 29.2 节	相同，见国内书第 29 章	不展开
(2) ② 円と直線の関係	国内书第 29 章 29.3、29.4 节	相同，见国内书第 29 章；EJU 的问法见 11.6 问题 3	11.6
(3) ① 軌跡と方程式	国内书第 29 章 29.2 节例 6 和常用推论（阿波罗尼斯圆）	讲法不同：日本单列成一节，要求验证“逆に”、答成图形、处理参数的范围	11.3
(3) ② 不等式の表す領域	无（旧课标必修 5”二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题”，新课标已删）	国内没有	11.4、11.5

直线和圆的写法有几处小习惯要知道，但不影响解题：日本教科书常用一般形 $ax + by + c = 0$ 讨论平行和垂直（$a_1b_2 - a_2b_1 = 0$ 平行或重合，$a_1a_2 + b_1b_2 = 0$ 垂直）；圆上点 $(x_1, y_1)$ 处的切线 $x_1x + y_1y = r^2$ 作为公式直接用；直线与圆的位置关系既用判别式 $D$，也用圆心到直线的距离 $d$，题干写「共有点をもつ」「接する」「異なる 2 点で交わる」。这些在 11.7 节的术语表里列出。

11.2 内分点・外分点

说明

内分：点 $P$ 在线段 $AB$ 上，且 $AP : PB = m : n$（$m > 0$，$n > 0$），就说 $P$ 把线段 $AB$ 内分成 $m : n$，$P$ 叫内分点。

外分：点 $Q$ 在线段 $AB$ 的延长线上，且 $AQ : QB = m : n$（$m > 0$，$n > 0$，$m \ne n$），就说 $Q$ 把线段 $AB$ 外分成 $m : n$，$Q$ 叫外分点。$m > n$ 时 $Q$ 在 $B$ 的外侧，$m < n$ 时 $Q$ 在 $A$ 的外侧；$m = n$ 时没有外分点。

公式：$A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$。

$$\text{内分点}\ \left(\frac{nx_1 + mx_2}{m + n},\ \frac{ny_1 + my_2}{m + n}\right), \qquad \text{外分点}\ \left(\frac{-nx_1 + mx_2}{m - n},\ \frac{-ny_1 + my_2}{m - n}\right).$$

外分点公式就是把内分点公式里的 $n$ 换成 $-n$。数轴上的点只看横坐标，公式相同。

中点是 $1 : 1$ 的内分点，即国内书第 28 章 28.5 节的中点公式。

三角形的重心：$A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$，$C(x_3, y_3)$，重心 $G$ 的坐标是

$$G\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3},\ \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right).$$

使用场景

• 题目给出“把线段 $AB$ 内分（外分）成 $m : n$ 的点”：直接套公式求坐标。
• 已知分点和一个端点，反求另一个端点：把公式当方程解，或者用向量倍数关系。
• 三角形的重心，或者已知两个顶点和重心求第三个顶点。
• 轨迹题里“点 $P$ 把线段 $AQ$ 分成 $m : n$，$Q$ 在某曲线上运动”：用分点公式把 $Q$ 的坐标用 $P$ 的坐标表示，再代入（衔接 11.3 节）。

注意点

• 公式里 $m$ 配的是远端 $B$ 的坐标，$n$ 配的是 $A$ 的坐标：内分点靠近 $A$ 时（$m < n$），$A$ 的权重 $n$ 大。
• 外分点公式的分母是 $m - n$，可以是负数。$m < n$ 时也可以分子分母同乘 $-1$，写成 $\left(\dfrac{nx_1 - mx_2}{n - m}, \dfrac{ny_1 - my_2}{n - m}\right)$，结果一样。
• 记号：日本教科书写点 $A(x_1, y_1)$，内分点、外分点常记作 $P$、$Q$；重心记作 $G$。
• EJU 题干的说法：「線分 $AB$ を $2 : 1$ に内分する点」「$3 : 1$ に外分する点」「三角形 $ABC$ の重心」。

证明

数轴上的内分点：$A$、$B$、$P$ 的坐标是 $a$、$b$、$p$，不妨设 $a < b$。$P$ 在 $A$、$B$ 之间，$AP = p - a$，$PB = b - p$。由 $AP : PB = m : n$，

$$n(p - a) = m(b - p), \qquad (m + n)p = na + mb, \qquad p = \frac{na + mb}{m + n}.$$

数轴上的外分点（$m > n$）：$Q$ 在 $B$ 的右侧，$AQ = q - a$，$QB = q - b$。由 $AQ : QB = m : n$，

$$n(q - a) = m(q - b), \qquad (m - n)q = -na + mb, \qquad q = \frac{-na + mb}{m - n}.$$

$m < n$ 时 $Q$ 在 $A$ 的左侧，$AQ = a - q$，$QB = b - q$，由 $n(a - q) = m(b - q)$ 整理得到同一个式子。$a > b$ 时把数轴反过来看，推导相同。

（关键一步：外分时 $Q$ 在线段外，$AQ$ 与 $QB$ 不再是“一段加一段等于全长”，而是“一段减一段”，所以 $n$ 前面变成了负号。）

平面上：过 $A$、$P$、$B$ 分别作 $x$ 轴的垂线，垂足把 $x$ 轴上的线段按同样的比分开（平行线截线段成比例），所以横坐标满足数轴上的公式；纵坐标同理。也可以用向量：$\overrightarrow{OP} = \dfrac{n\overrightarrow{OA} + m\overrightarrow{OB}}{m + n}$，见国内书第 15 章。

重心：$BC$ 的中点 $M\left(\dfrac{x_2 + x_3}{2}, \dfrac{y_2 + y_3}{2}\right)$，重心 $G$ 把中线 $AM$ 内分成 $2 : 1$（本书第 9 章），由内分点公式，横坐标为

$$\frac{1 \cdot x_1 + 2 \cdot \frac{x_2 + x_3}{2}}{2 + 1} = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3},$$

纵坐标同理。

例题

例 1　（场景：直接求内分点、外分点）

問題　$A(-2, 3)$，$B(4, -6)$ とする。線分 $AB$ の $2 : 1$ 内分点 $P$，$2 : 1$ 外分点 $Q$，$1 : 2$ 外分点 $R$ の座標を求めよ。

解答　$P$：$m = 2$，$n = 1$ として $P\left(\dfrac{1 \cdot (-2) + 2 \cdot 4}{3},\ \dfrac{1 \cdot 3 + 2 \cdot (-6)}{3}\right) = (2, -3)$。

$Q$：外分で $m = 2$，$n = 1$，分母は $m - n = 1$。 $Q\left(\dfrac{-1 \cdot (-2) + 2 \cdot 4}{1},\ \dfrac{-1 \cdot 3 + 2 \cdot (-6)}{1}\right) = (10, -15)$。

$R$：外分で $m = 1$，$n = 2$，分母は $m - n = -1$。 $R\left(\dfrac{-2 \cdot (-2) + 1 \cdot 4}{-1},\ \dfrac{-2 \cdot 3 + 1 \cdot (-6)}{-1}\right) = (-8, 12)$。

中文翻译　题目：$A(-2, 3)$，$B(4, -6)$。求线段 $AB$ 的 $2 : 1$ 内分点 $P$、$2 : 1$ 外分点 $Q$、$1 : 2$ 外分点 $R$ 的坐标。解答：$P$：$m = 2$，$n = 1$，$P\left(\dfrac{1 \cdot (-2) + 2 \cdot 4}{3},\ \dfrac{1 \cdot 3 + 2 \cdot (-6)}{3}\right) = (2, -3)$。$Q$：外分，$m = 2$，$n = 1$，分母 $m - n = 1$，$Q\left(\dfrac{-1 \cdot (-2) + 2 \cdot 4}{1},\ \dfrac{-1 \cdot 3 + 2 \cdot (-6)}{1}\right) = (10, -15)$。$R$：外分，$m = 1$，$n = 2$，分母 $m - n = -1$，$R\left(\dfrac{-2 \cdot (-2) + 1 \cdot 4}{-1},\ \dfrac{-2 \cdot 3 + 1 \cdot (-6)}{-1}\right) = (-8, 12)$。

解说　容易卡在：$R$ 的分母是 $-1$，忘了除以负数，得到 $(8, -12)$。$R$ 应该在 $A$ 的外侧，而 $(8, -12)$ 在 $B$ 那一边，画个草图就能发现。另一种解法：用向量的倍数。$\overrightarrow{AB} = (6, -9)$。$Q$ 在 $B$ 外侧且 $AQ = 2QB$，所以 $AQ = 2AB$，$Q = A + 2\overrightarrow{AB} = (10, -15)$。$R$ 在 $A$ 外侧且 $RB = 2RA$，所以 $RA = AB$，$R = A - \overrightarrow{AB} = (-8, 12)$。比是 $2 : 1$、$1 : 2$ 这类简单比时，向量倍数心算更快；比复杂时套公式不容易错。

例 2　（场景：已知外分点反求端点）

問題　点 $A(1, 2)$ と，線分 $AB$ の $3 : 1$ 外分点 $C(7, -4)$ が与えられている。$B$ を求めよ。

解答　$B(x, y)$ とおく。外分点の公式より $\dfrac{-1 \cdot 1 + 3x}{3 - 1} = 7$，$\dfrac{-1 \cdot 2 + 3y}{3 - 1} = -4$。 よって $3x = 15$，$3y = -6$，すなわち $B(5, -2)$ である。

中文翻译　题目：点 $A(1, 2)$，线段 $AB$ 的 $3 : 1$ 外分点是 $C(7, -4)$，求 $B$。解答：设 $B(x, y)$。由外分点公式，$\dfrac{-1 \cdot 1 + 3x}{3 - 1} = 7$，$\dfrac{-1 \cdot 2 + 3y}{3 - 1} = -4$。得 $3x = 15$，$3y = -6$，即 $B(5, -2)$。

解说　验算：$\overrightarrow{AB} = (4, -4)$，$\overrightarrow{AC} = (6, -6) = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}$，$AC : CB = \dfrac{3}{2} : \dfrac{1}{2} = 3 : 1$，$C$ 在 $B$ 外侧，符合。外分点公式的分母是 $m - n$，分子里 $n$ 的符号也要变；已知外分点反求端点时，把 $B$ 的坐标设为未知数代入即可。

例 3　（场景：重心）

問題　$\triangle ABC$ において $A(2, 5)$，$B(-3, 1)$，重心 $G(1, 2)$ である。頂点 $C$ を求めよ。

解答　$C(x, y)$ とおくと，$\dfrac{2 + (-3) + x}{3} = 1$，$\dfrac{5 + 1 + y}{3} = 2$。よって $x = 4$，$y = 0$，$C(4, 0)$ である。

中文翻译　题目：三角形 $ABC$ 中 $A(2, 5)$，$B(-3, 1)$，重心是 $G(1, 2)$。求顶点 $C$。解答：设 $C(x, y)$，$\dfrac{2 + (-3) + x}{3} = 1$，$\dfrac{5 + 1 + y}{3} = 2$，得 $x = 4$，$y = 0$，$C(4, 0)$。

解说　重心的坐标是三个顶点坐标的平均值：$G\left(\dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \dfrac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)$。已知重心和两个顶点求第三个时，把重心坐标乘 $3$ 再减去已知两个顶点的坐标即可。

例 4　（场景：分点用在轨迹里）

問題　点 $A(6, 0)$ とし，点 $Q$ が円 $x^2 + y^2 = 9$ 上を動く。線分 $AQ$ の $1 : 2$ 内分点 $P$ の軌跡を求めよ。

解答　$P(x, y)$，$Q(s, t)$ とおくと $s^2 + t^2 = 9$ である。$P$ は $AQ$ を $1 : 2$ に内分するから，$A$ の重みは $2$ で， $x = \dfrac{2 \cdot 6 + 1 \cdot s}{3}$，$y = \dfrac{2 \cdot 0 + 1 \cdot t}{3}$。 よって $s = 3x - 12$，$t = 3y$。$s^2 + t^2 = 9$ に代入すると $(3x - 12)^2 + 9y^2 = 9$，すなわち $(x - 4)^2 + y^2 = 1$。

中文翻译　题目：点 $A(6, 0)$，点 $Q$ 在圆 $x^2 + y^2 = 9$ 上运动。求线段 $AQ$ 的 $1 : 2$ 内分点 $P$ 的轨迹。解答：设 $P(x, y)$，$Q(s, t)$，$s^2 + t^2 = 9$。$P$ 把 $AQ$ 内分成 $1 : 2$，$A$ 的权重是 $2$，$x = \dfrac{2 \cdot 6 + 1 \cdot s}{3}$，$y = \dfrac{2 \cdot 0 + 1 \cdot t}{3}$。所以 $s = 3x - 12$，$t = 3y$。代入 $s^2 + t^2 = 9$：$(3x - 12)^2 + 9y^2 = 9$，即 $(x - 4)^2 + y^2 = 1$。反过来，这个圆上任一点 $P(x, y)$ 对应的 $Q(3x - 12, 3y)$ 都在圆 $x^2 + y^2 = 9$ 上。所求轨迹是点 $(4, 0)$ 为中心、半径 $1$ 的圆。

解说　轨迹题三步：设动点 $P(x, y)$ 和参数点 $Q(s, t)$，用 $x$、$y$ 表示 $s$、$t$，再代回 $Q$ 满足的条件。最后要说明反过来也成立，即轨迹上的每一点都能由某个 $Q$ 得到。分点的权重不要弄反：$AP : PQ = 1 : 2$ 时 $A$ 的权重是 $2$。

常用推论

• 外分点 = 把内分点公式的 $n$ 换成 $-n$。只记内分点公式就够了。
• 三角形 $ABC$ 三边 $AB$、$BC$、$CA$ 的 $m : n$ 内分点组成的三角形，重心与三角形 $ABC$ 的重心相同。推导：三个内分点坐标相加，等于 $\dfrac{(n + m)(x_1 + x_2 + x_3)}{m + n} = x_1 + x_2 + x_3$，纵坐标同理。
• 平行四边形 $ABCD$ 的第四个顶点：$D = A + C - B$（坐标分别相加减）。推导：两条对角线的中点重合，$\dfrac{A + C}{2} = \dfrac{B + D}{2}$。
• 点 $A$ 关于点 $M$ 的对称点 $A'$：$M$ 是 $AA'$ 的中点，$A' = 2M - A$。

易错点

• 错在哪：$2 : 1$ 内分点写成 $\left(\dfrac{2x_1 + x_2}{3}, \dfrac{2y_1 + y_2}{3}\right)$。 为什么错：$m$ 应配 $B$ 的坐标。$AP : PB = 2 : 1$ 时 $P$ 靠近 $B$，$B$ 的权重应该大。 正确做法：记成“交叉相乘”：$m$ 乘 $x_2$，$n$ 乘 $x_1$。写完看一眼分点是不是靠近该靠近的端点。
• 错在哪：外分点公式的分母写成 $m + n$，或者分子写成 $nx_1 + mx_2$。 为什么错：外分时 $Q$ 在线段外，长度关系是相减，两个符号都要变。 正确做法：在内分点公式里把 $n$ 整个换成 $-n$，分子分母一起变。
• 错在哪：把”$2 : 1$ 外分“和”$1 : 2$ 外分“当成同一个点。 为什么错：前者在 $B$ 的外侧，后者在 $A$ 的外侧，例 1 中一个是 $(10, -15)$，一个是 $(-8, 12)$。 正确做法：$m > n$ 在 $B$ 外侧，$m < n$ 在 $A$ 外侧，先定位置再算。

直观理解

分点是两个端点的加权平均：内分点 $\dfrac{nA + mB}{m + n}$ 里两个权重都是正的，结果落在 $A$、$B$ 之间，离谁近谁的权重就大，像跷跷板的支点。外分点 $\dfrac{-nA + mB}{m - n}$ 里有一个权重是负的，相当于把 $A$ “往反方向推”，结果被推到线段外面。

关联知识点

• 前置：国内书第 28 章 28.5 节，中点坐标公式是 $1 : 1$ 内分点。
• 前置：国内书第 15 章 15.2 节常用推论的定比分点 $\overrightarrow{OP} = \dfrac{\overrightarrow{OA} + \lambda\overrightarrow{OB}}{1 + \lambda}$，取 $\lambda = \dfrac{m}{n}$ 就是 $\overrightarrow{OP} = \dfrac{n\overrightarrow{OA} + m\overrightarrow{OB}}{m + n}$，取 $\lambda = -\dfrac{m}{n}$ 就是外分点。
• 本书第 9 章 図形の性質：重心把中线分成 $2 : 1$；三角形内角平分线把对边分成两邻边之比，外角平分线给出外分点。
• 本书第 16 章 ベクトル：位置ベクトル的分点公式与本节完全对应，空间也一样。
• 后续：11.3 节，阿波罗尼斯圆的直径两端就是内分点和外分点。

11.3 軌跡と方程式

说明

軌跡：满足某个条件的点的全体所成的图形，叫做满足这个条件的点的軌跡。

求轨迹分四步：

1. 设动点 $P(x, y)$，把条件写成 $x$、$y$ 的关系式。
2. 化简，认出图形（直线、圆、抛物线等）。
3. 逆に（反过来）：检查这个图形上的每一点都满足条件。不满足的点要去掉（“除外点”），参数有范围时还要算出 $x$ 或 $y$ 的范围。
4. 答成图形：「点 $(8, 0)$ を中心とする半径 4 の円」「直線 $y = 2x$ の $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ の部分」。只写方程不写图形，在日本的記述式答案里算不完整。

条件里有另一个动点或参数时：设出它（如 $Q(s, t)$ 或参数 $t$），用 $x$、$y$ 把它表示出来，代入它满足的式子，把它消掉。参数的范围会变成 $x$ 的范围，这一步最容易漏。

アポロニウスの円（阿波罗尼斯圆）：到两个定点 $A$、$B$ 的距离之比 $PA : PB = m : n$（$m \ne n$）的点 $P$ 的轨迹是一个圆，它以线段 $AB$ 的 $m : n$ 内分点和 $m : n$ 外分点为直径的两端。$m = n$ 时轨迹是线段 $AB$ 的垂直平分线。

使用场景

• 条件是“到两个定点的距离相等”或“距离之比一定”：轨迹是垂直平分线或アポロニウスの円，直接用距离公式列式。
• 曲线（抛物线、圆）的方程里含参数 $t$，问顶点或圆心随 $t$ 怎样运动：把顶点写成 $(f(t), g(t))$，消去 $t$，由 $t$ 的范围定 $x$ 的范围。
• 两条含参数的直线的交点随参数运动：解出交点或直接从两个方程消去参数，最后检查有没有到不了的点。

注意点

• 「軌跡を求めよ」要答图形；「軌跡の方程式を求めよ」只要方程。EJU 是填空，通常给出图形的框架让你填中心、半径或方程的系数，但范围的端点也会出空格。
• 两边平方时要确认两边都非负，否则不是等价变形。距离天然非负，所以 $PA = 2PB \iff PA^2 = 4PB^2$ 是等价的。
• 消参后得到的方程常比真正的轨迹“大”：要么 $x$ 有范围，要么有个别点到不了。11.3 节的例 2、例 3、例 4 各是一种情况。
• 圆的方程含参数时，先保证它真的是圆（半径的平方大于 0），这本身会给参数一个范围。

证明

アポロニウスの円：把 $A$ 放在原点，$B$ 放在 $(d, 0)$（$d > 0$）。$P(x, y)$ 满足 $PA : PB = m : n$，即 $nPA = mPB$。两边非负，平方等价：

$$n^2(x^2 + y^2) = m^2\{(x - d)^2 + y^2\}.$$

整理得 $(m^2 - n^2)(x^2 + y^2) - 2m^2dx + m^2d^2 = 0$。（关键一步：$m \ne n$，所以可以除以 $m^2 - n^2$，$x^2$、$y^2$ 的系数变成 1，没有 $xy$ 项，这就是圆的一般形。）

$$x^2 + y^2 - \frac{2m^2d}{m^2 - n^2}x + \frac{m^2d^2}{m^2 - n^2} = 0.$$

配方，圆心 $\left(\dfrac{m^2d}{m^2 - n^2}, 0\right)$，半径的平方

$$\left(\frac{m^2d}{m^2 - n^2}\right)^2 - \frac{m^2d^2}{m^2 - n^2} = \frac{m^2d^2\{m^2 - (m^2 - n^2)\}}{(m^2 - n^2)^2} = \frac{m^2n^2d^2}{(m^2 - n^2)^2},$$

半径 $\dfrac{mnd}{|m^2 - n^2|}$。另一方面，内分点 $I$ 的横坐标 $\dfrac{md}{m + n}$，外分点 $E$ 的横坐标 $\dfrac{md}{m - n}$，二者的中点是

$$\frac{1}{2}\left(\frac{md}{m + n} + \frac{md}{m - n}\right) = \frac{m^2d}{m^2 - n^2},$$

正是圆心；二者距离的一半是 $\dfrac{1}{2}\left|\dfrac{md}{m - n} - \dfrac{md}{m + n}\right| = \dfrac{mnd}{|m^2 - n^2|}$，正是半径。所以 $IE$ 是这个圆的直径。上面每一步都可逆，圆上每一点都满足条件，不需要去掉点。

例题

例 1　（场景：距离之比一定）

問題　$2$ 点 $A(0, 0)$，$B(6, 0)$ に対して，$PA : PB = 2 : 1$ を満たす点 $P$ の軌跡を求めよ。

解答　$P(x, y)$ とおく。$PA = 2PB$ で両辺とも負でないから，平方して $x^2 + y^2 = 4\{(x - 6)^2 + y^2\}$。 展開すると $x^2 + y^2 = 4x^2 - 48x + 144 + 4y^2$，すなわち $3x^2 + 3y^2 - 48x + 144 = 0$，$x^2 + y^2 - 16x + 48 = 0$，よって $(x - 8)^2 + y^2 = 16$。

中文翻译　题目：两点 $A(0, 0)$，$B(6, 0)$。求满足 $PA : PB = 2 : 1$ 的点 $P$ 的轨迹。解答：设 $P(x, y)$。$PA = 2PB$，两边非负，平方：$x^2 + y^2 = 4\{(x - 6)^2 + y^2\}$。展开：$x^2 + y^2 = 4x^2 - 48x + 144 + 4y^2$，即 $3x^2 + 3y^2 - 48x + 144 = 0$，$x^2 + y^2 - 16x + 48 = 0$，$(x - 8)^2 + y^2 = 16$。反过来，这个圆上的点都满足 $PA^2 = 4PB^2$，因而 $PA = 2PB$。所求轨迹是点 $(8, 0)$ 为中心、半径 $4$ 的圆。

解说　另一种解法：用阿波罗尼斯圆的结论。$AB$ 的 $2 : 1$ 内分点 $\dfrac{1 \cdot 0 + 2 \cdot 6}{3} = 4$，外分点 $\dfrac{-1 \cdot 0 + 2 \cdot 6}{2 - 1} = 12$，以 $(4, 0)$、$(12, 0)$ 为直径两端，圆心 $(8, 0)$，半径 $4$。填空题直接用这条结论，一行就够；記述式答案仍按主解法列式。容易卡在：$PA : PB = 2 : 1$ 写成 $2PA = PB$。应写成 $\dfrac{PA}{PB} = \dfrac{2}{1}$ 再去分母，得到 $PA = 2PB$。

例 2　（场景：抛物线顶点随参数运动）

問題　$t$ がすべての正の実数を動くとき，放物線 $y = x^2 - 2tx + 2t + 3$ の頂点の軌跡を求めよ。

解答　平方完成すると $y = (x - t)^2 - t^2 + 2t + 3$ で，頂点は $(t, -t^2 + 2t + 3)$。頂点を $(x, y)$ とおくと $x = t$，$y = -t^2 + 2t + 3$。 $t$ を消去して $y = -x^2 + 2x + 3$。$t > 0$ であるから $x > 0$ である。

中文翻译　题目：$t$ 取所有正实数时，抛物线 $y = x^2 - 2tx + 2t + 3$ 的顶点的轨迹是什么？解答：配方：$y = (x - t)^2 - t^2 + 2t + 3$，顶点 $(t, -t^2 + 2t + 3)$。设顶点为 $(x, y)$：$x = t$，$y = -t^2 + 2t + 3$。消去 $t$：$y = -x^2 + 2x + 3$。$t > 0$，所以 $x > 0$。反过来，抛物线 $y = -x^2 + 2x + 3$ 上 $x > 0$ 的任一点，取 $t = x$ 就是对应的顶点。所求轨迹是抛物线 $y = -x^2 + 2x + 3$ 的 $x > 0$ 部分。

解说　容易卡在：只写 $y = -x^2 + 2x + 3$，漏掉 $x > 0$。点 $(0, 3)$ 和 $x < 0$ 的部分都到不了。参数有范围时，消去参数前先把参数范围翻译成 $x$（或 $y$）的范围，答案里要写”〜の部分”。

例 3　（场景：两条含参数直线的交点）

問題　$t$ を実数とし，直線 $\ell_1 : tx - y = 0$ と直線 $\ell_2 : x + ty - 2 = 0$ の交点を $P$ とする。$t$ が変化するとき，$P$ の軌跡を求めよ。

解答　$P(x, y)$ とおくと，$P$ は $tx - y = 0$ ①，$x + ty - 2 = 0$ ② を同時に満たす。

$x = 0$ とすると，① より $y = 0$ だが，$(0, 0)$ を ② に代入すると $-2 \ne 0$ で矛盾する。よって $x \ne 0$ で，① より $t = \dfrac{y}{x}$。これを ② に代入すると $x + \dfrac{y^2}{x} - 2 = 0$，$x^2 + y^2 - 2x = 0$，$(x - 1)^2 + y^2 = 1$。

中文翻译　题目：$t$ 是实数，直线 $\ell_1 : tx - y = 0$ 与直线 $\ell_2 : x + ty - 2 = 0$ 的交点为 $P$。$t$ 变化时，求 $P$ 的轨迹。解答：设 $P(x, y)$，它同时满足 $tx - y = 0$ ①，$x + ty - 2 = 0$ ②。若 $x = 0$，由 ① 得 $y = 0$，但 $(0, 0)$ 代入 ② 得 $-2 \ne 0$，矛盾。所以 $x \ne 0$，由 ① 得 $t = \dfrac{y}{x}$，代入 ②：$x + \dfrac{y^2}{x} - 2 = 0$，$x^2 + y^2 - 2x = 0$，$(x - 1)^2 + y^2 = 1$。反过来，这个圆上 $x \ne 0$ 的点 $(x, y)$，取 $t = \dfrac{y}{x}$，① 显然成立，② 由圆的方程两边除以 $x$ 得到，所以都是交点。圆上 $x = 0$ 的点只有原点，它不是交点。所求轨迹是点 $(1, 0)$ 为中心、半径 $1$ 的圆，但要去掉原点。

解说　另一种解法：$\ell_1$ 的法向量 $(t, -1)$ 与 $\ell_2$ 的法向量 $(1, t)$ 的内积是 $t - t = 0$，两直线总是垂直。$\ell_1$ 总过原点 $O$，$\ell_2$ 总过点 $A(2, 0)$，所以 $\angle OPA = 90^\circ$，$P$ 在以 $OA$ 为直径的圆上。再看哪些点到不了：$\ell_1$ 永远不是竖直线 $x = 0$，所以 $P$ 不会是原点。几何法先看出“两条直线各过一个定点且互相垂直”，就不用消参；看不出来时消参是通用办法。消参时除以 $x$ 前必须单独讨论 $x = 0$，最后用“逆に”检查是否有要剔除的点。

例 4　（场景：圆的中心随参数运动）

問題　$a$ を実数とし，方程式 $x^2 + y^2 - 2ax - 4ay + 6a^2 - 2 = 0$ が円を表す。$a$ の範囲と，円の中心の軌跡を求めよ。

解答　平方完成すると $(x - a)^2 + (y - 2a)^2 = 2 - a^2$。 円を表すためには $2 - a^2 > 0$，すなわち $-\sqrt{2} < a < \sqrt{2}$ である。中心は $(a, 2a)$ で，これを $(x, y)$ とおくと $x = a$，$y = 2a$。$a$ を消去して $y = 2x$，範囲は $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$。

中文翻译　题目：$a$ 是实数，方程 $x^2 + y^2 - 2ax - 4ay + 6a^2 - 2 = 0$ 表示圆。求 $a$ 的范围，以及圆心的轨迹。解答：配方：$(x - a)^2 + (y - 2a)^2 = 2 - a^2$。表示圆，要求 $2 - a^2 > 0$，即 $-\sqrt{2} < a < \sqrt{2}$。圆心 $(a, 2a)$，设为 $(x, y)$：$x = a$，$y = 2a$，消去 $a$ 得 $y = 2x$，范围 $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$。所求轨迹是直线 $y = 2x$ 的 $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ 部分（线段，不含两端）。

解说　“表示圆”的条件是配方后右边为正：$r^2 = 2 - a^2 > 0$。这个条件同时给出了参数范围，轨迹只能取这段范围对应的部分。只写 $y = 2x$ 会多出两端以外的点。

常用推论

• $PA : PB = m : n$（$m \ne n$）的轨迹：以 $AB$ 的 $m : n$ 内分点和外分点为直径两端的圆。推导见本节证明。
• 两条直线分别过定点 $A$、$B$ 且总互相垂直，交点的轨迹在以 $AB$ 为直径的圆上；有没有除外点，看哪条直线取不到哪个方向。推导见例 3 另一种解法。
• 抛物线 $y = x^2 + px + q$ 的 $p$、$q$ 是同一参数的一次式时，顶点 $\left(-\dfrac{p}{2}, q - \dfrac{p^2}{4}\right)$ 的轨迹是抛物线（或直线）的一部分，范围由参数的范围决定。推导：配方后消参，如例 2。
• 动点 $Q$ 在曲线 $F(x, y) = 0$ 上，$P$ 由 $Q$ 线性确定（中点、分点、平移）：解出 $Q =$（$P$ 的式子），代入 $F = 0$ 即得 $P$ 的轨迹。推导：11.2 节例 4。

易错点

• 错在哪：参数有范围（$t > 0$、表示圆的条件）却把消参后的整条曲线当答案。 为什么错：$x$ 由参数决定，参数到不了的值 $x$ 也到不了。 正确做法：消参前先写下参数的范围，把它换成 $x$（或 $y$）的范围，写进答案「〜の部分」。
• 错在哪：消参时直接除以 $x$（如例 3 的 $t = \dfrac{y}{x}$），不讨论 $x = 0$。 为什么错：除以 0 不合法，$x = 0$ 的情形可能有解，也可能是要去掉的点。 正确做法：除之前单独看 $x = 0$；最后“逆に”检查圆上 $x = 0$ 的点是不是轨迹上的点。
• 错在哪：$PA : PB = 2 : 1$ 写成 $2PA = PB$。 为什么错：$PA : PB = m : n$ 等价于 $nPA = mPB$，内项积等于外项积，写反就成了 $1 : 2$ 的圆。 正确做法：写成 $\dfrac{PA}{PB} = \dfrac{2}{1}$ 再去分母，或用“靠近谁、离谁远”检查：$PA = 2PB$ 的点离 $B$ 更近，圆应该包着 $B$。

直观理解

轨迹就是把条件当成一张“筛子”：平面上所有的点都过一遍，留下来的点组成一个图形。列方程是在描述筛子，“逆に”是在确认筛子没有多放进来或漏掉点。

アポロニウスの円可以用角平分线看：$P$ 在圆上时，$PI$ 平分 $\angle APB$（内角平分线定理，$AI : IB = PA : PB$），$PE$ 平分它的外角，内外角平分线互相垂直，所以 $\angle IPE = 90°$，$P$ 在以 $IE$ 为直径的圆上（见上图）。

关联知识点

• 前置：国内书第 29 章 29.2 节，求轨迹方程和代入法（例 6），阿波罗尼斯圆（常用推论）；本节补的是日本的答法和参数范围。
• 前置：11.2 节内分点、外分点。
• 前置：本书第 9 章 図形の性質，角平分线定理，给出アポロニウスの円的几何解释。
• 常一起考：本书第 5 章 2次関数，含参数抛物线的顶点。
• 后续：本书第 18 章 式と曲線，媒介変数表示的消参，方法与本节相同。
• 后续：本书第 17 章 複素数平面，$|z - \alpha| = 2|z - \beta|$ 也是アポロニウスの円。

11.4 不等式の表す領域

说明

满足一个（或几个）$x$、$y$ 的不等式的点 $(x, y)$ 的全体，叫做这个不等式表示的領域。

基本的四种：

不等式	领域
$y > f(x)$	曲线 $y = f(x)$ 的上方（上側）
$y < f(x)$	曲线 $y = f(x)$ 的下方（下側）
$(x - a)^2 + (y - b)^2 < r^2$	圆的内部
$(x - a)^2 + (y - b)^2 > r^2$	圆的外部

$x > k$ 是竖直线 $x = k$ 的右侧，$x < k$ 是左侧。不等号带等号（$\ge$、$\le$）时含边界线，不带时不含边界线。

直线 $ax + by + c > 0$：$b > 0$ 时化成 $y > -\dfrac{a}{b}x - \dfrac{c}{b}$，是直线上方；$b < 0$ 时两边除以负数，不等号反向，是直线下方。

連立不等式：几个不等式同时成立，领域是各自领域的公共部分。

积的形式 $AB > 0$：等价于”$A > 0$ 且 $B > 0$“或”$A < 0$ 且 $B < 0$“，领域是两种情况的并。$AB < 0$ 则取一正一负。两条边界线把平面分成四块，相邻两块的积符号相反，领域像棋盘一样隔块选取。

判断用“代入一点”：边界线把平面分成几块，每一块里式子的符号不变。取一个不在边界上的方便的点（常用原点）代进去，就知道它所在的那一块满不满足。

使用场景

• 画一个不等式表示的领域，或者判断某个点在不在领域里。
• 联立不等式表示的领域：圆和直线围成的部分、多边形区域，常接着求面积或最值（11.5 节）。
• 积的形式，如 $(x + y - 2)(x - y) < 0$：拆成两组联立，取并集。
• 命题的真假、必要条件和充分条件：把条件 $p$、$q$ 画成领域 $P$、$Q$，看谁包含谁。

注意点

• 直线写成一般形时，先看 $y$ 的系数的符号，再说上方下方；或者直接代原点判断。
• 题目的图里，领域通常画成「斜線部分」，并注明「境界線を含む」或「境界線を含まない」。EJU 有时给出 ⓪ 到 ⑨ 几个不等式组，让你选哪一个表示图中的领域，判断要点就是每条边界线的上下和含不含边界。
• 圆的一般形 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F < 0$ 先配方成标准形再判断内外。
• 领域与命题：$p \Rightarrow q$ 为真，等价于 $p$ 的领域包含于 $q$ 的领域（$P \subseteq Q$）。这和本书第 4 章用集合判断命题是同一件事。

证明

$y > f(x)$ 是上方：固定 $x = x_0$，竖直线 $x = x_0$ 与曲线交于点 $(x_0, f(x_0))$。这条竖直线上满足 $y > f(x_0)$ 的点正是交点上面的部分。让 $x_0$ 取遍定义域，这些“上面的部分”合起来就是曲线的上方。

圆的内部：$(x - a)^2 + (y - b)^2 < r^2$ 就是点 $(x, y)$ 到圆心 $(a, b)$ 的距离小于 $r$，即在圆内。

每一块里符号不变（高中层面的说明）：式子 $F(x, y)$ 是多项式，值随点连续变化。一块区域里任取两点，用不穿过边界线的路径连起来，路径上 $F$ 始终不等于 0；若两端符号相反，中途必须经过 0（介值的想法），矛盾。（关键一步：符号只能在 $F = 0$ 的边界线上改变。严格的说明要用到多元函数的连续性，属于大学内容。）所以代一个点就能判断整块。

积的形式：两个实数之积为正，当且仅当两者同号；为负，当且仅当两者异号。这是实数乘法的符号法则。

例题

例 1　（场景：画一条直线分出的领域，判断点）

問題　不等式 $2x - 3y + 6 > 0$ はどのような領域を表すか。また，点 $(1, 2)$ はその領域に含まれるか。

解答　$-3y > -2x - 6$ の両辺を $-3$ で割り，不等号の向きを変える。 $y < \dfrac{2}{3}x + 2$。 よって領域は直線 $y = \dfrac{2}{3}x + 2$ の下方で，境界線を含まない。点 $(1, 2)$ については $2 \times 1 - 3 \times 2 + 6 = 2 > 0$ であるから，領域に含まれる。

中文翻译　题目：不等式 $2x - 3y + 6 > 0$ 表示什么领域？点 $(1, 2)$ 在不在里面？解答：$-3y > -2x - 6$，两边除以 $-3$，不等号反向：$y < \dfrac{2}{3}x + 2$。领域是直线 $y = \dfrac{2}{3}x + 2$ 的下方，不含边界线。点 $(1, 2)$：$2 \times 1 - 3 \times 2 + 6 = 2 > 0$，在领域内。

解说　另一种解法：代原点。$2 \times 0 - 3 \times 0 + 6 = 6 > 0$，原点满足，所以领域是直线含原点的那一侧；原点在直线 $y = \dfrac{2}{3}x + 2$ 的下方，领域就是下方。代点不用操心除以负数要不要变号，适合系数复杂时；化成 $y$ 的形式适合要画图时。容易卡在：看到”$> 0$“就说是直线上方；$y$ 的系数是负的，化成 $y$ 的形式时不等号反向，实际是下方。

例 2　（场景：联立不等式，圆与直线）

問題　連立不等式 $x^2 + y^2 \leqq 4$，$y \geqq x$ が表す領域の面積を求めよ。

解答　$x^2 + y^2 \leqq 4$ は原点を中心とする半径 $2$ の円の内部（境界を含む），$y \geqq x$ は直線 $y = x$ の上側（境界を含む）。直線 $y = x$ は円の中心を通り，円面を $2$ 等分するから，求める領域は上側の半円面で，面積は $\dfrac{1}{2} \times \pi \times 2^2 = 2\pi$。

中文翻译　题目：求联立不等式 $x^2 + y^2 \leqq 4$，$y \geqq x$ 表示的领域的面积。解答：$x^2 + y^2 \leqq 4$ 是圆心原点、半径 $2$ 的圆的内部（含边界），$y \geqq x$ 是直线 $y = x$ 的上方（含边界）。直线 $y = x$ 过圆心，把圆面分成两半，所求领域是上方的半圆面，面积 $\dfrac{1}{2} \times \pi \times 2^2 = 2\pi$。

解说　$\leqq$、$\geqq$ 含边界，$<$、$>$ 不含边界；面积计算不受边界线影响，但画图和一、二分的判断要注意。直线过圆心时正好平分圆面，半圆面积是 $\dfrac{1}{2}\pi r^2$。

例 3　（场景：积的形式）

問題　不等式 $(x + y - 2)(x - y) < 0$ が表す領域を図示せよ。

解答　積が負であるから，$2$ つの因数は異符号である。

$x + y - 2 > 0$ かつ $x - y < 0$ のとき：$y > -x + 2$ かつ $y > x$ で，$2$ 直線の交点 $(1, 1)$ より上の部分。

$x + y - 2 < 0$ かつ $x - y > 0$ のとき：$y < -x + 2$ かつ $y < x$ で，$(1, 1)$ より下の部分。

よって求める領域はこの $2$ つの部分の和集合で，境界線は含まない（$2$ 直線も交点 $(1, 1)$ も含まない）。

中文翻译　题目：图示不等式 $(x + y - 2)(x - y) < 0$ 表示的领域。解答：积为负，两个因式异号。$x + y - 2 > 0$ 且 $x - y < 0$：$y > -x + 2$ 且 $y > x$，两条直线的上方都满足，是两线交点 $(1, 1)$ 上面的那一块；$x + y - 2 < 0$ 且 $x - y > 0$：$y < -x + 2$ 且 $y < x$，是 $(1, 1)$ 下面的那一块。所求领域是这两块的并，不含边界线（两条直线都不含，交点 $(1, 1)$ 也不含）。

解说　验算：$(1, 3)$ 代入，$(2) \times (-2) = -4 < 0$，在领域内；$(3, 1)$ 代入，$(2) \times (2) = 4 > 0$，不在，和“隔块选取”一致。积的形式有两种符号组合，漏一种就少一块；两条不含边界的直线，其交点也不含。

例 4　（场景：用领域判断充分条件）

問題　実数 $x$，$y$ の条件 $p : x^2 + y^2 \leqq 2$，$q : x + y \leqq 2$ について，$p$ は $q$ であるための何条件か。

解答　$p$ の領域 $P$ は原点を中心とする半径 $\sqrt{2}$ の円面，$q$ の領域 $Q$ は直線 $x + y = 2$ の下側（境界を含む）である。原点から直線 $x + y - 2 = 0$ までの距離は $\dfrac{|-2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ で半径に等しく，直線は円と $(1, 1)$ で接する。円面はすべて直線の下側にあるから $P \subseteq Q$ で，$p \Rightarrow q$ は真である。

逆に，$(0, -5)$ は $q$ を満たすが $p$ を満たさないから，$q \Rightarrow p$ は偽。よって $p$ は $q$ であるための十分条件であるが，必要条件でない。

中文翻译　题目：实数 $x$、$y$ 的条件 $p : x^2 + y^2 \leqq 2$，$q : x + y \leqq 2$。$p$ 是 $q$ 的什么条件？解答：$p$ 的领域 $P$ 是圆心原点、半径 $\sqrt{2}$ 的圆面；$q$ 的领域 $Q$ 是直线 $x + y = 2$ 的下方（含边界）。原点到直线 $x + y - 2 = 0$ 的距离是 $\dfrac{|-2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$，等于半径，直线与圆相切于 $(1, 1)$，圆面整个在直线的下方，所以 $P \subseteq Q$，$p \Rightarrow q$ 为真。反过来，$(0, -5)$ 满足 $q$ 不满足 $p$，$q \Rightarrow p$ 为假。所以 $p$ 是 $q$ 的充分条件但不是必要条件。

解说　另一种解法：代数证明 $p \Rightarrow q$。$(x + y)^2 \leqq (x + y)^2 + (x - y)^2 = 2(x^2 + y^2) \leqq 4$，所以 $x + y \leqq 2$。代数法适合写证明；领域法一眼看出包含关系，判断必要充分条件时更快。$p \Rightarrow q$ 为真等价于 $P \subseteq Q$，这是用领域判断条件的依据。

常用推论

• $ax + by + c$ 在直线 $ax + by + c = 0$ 的同一侧符号相同，两侧相反。推导：本节证明“每一块里符号不变”。由此，两点 $(x_1, y_1)$、$(x_2, y_2)$ 在直线两侧 $\iff (ax_1 + by_1 + c)(ax_2 + by_2 + c) < 0$。
• $|x| + |y| \le a$（$a > 0$）是以 $(\pm a, 0)$、$(0, \pm a)$ 为顶点的正方形（菱形摆放），面积 $2a^2$。推导：分四个象限去掉绝对值，各得一条线段。
• $p \Rightarrow q$ 为真 $\iff P \subseteq Q$。推导：$P \subseteq Q$ 就是“满足 $p$ 的点都满足 $q$”。

易错点

• 错在哪：$2x - 3y + 6 > 0$ 看到”$> 0$“就说是直线上方。 为什么错：$y$ 的系数是负的，化成 $y$ 的形式时不等号反向，实际是下方。 正确做法：化成 $y > \cdots$ 或 $y < \cdots$ 再判断，或者代原点。
• 错在哪：$(x + y - 2)(x - y) < 0$ 只取了”$x + y - 2 > 0$ 且 $x - y < 0$“一种。 为什么错：积为负有两种符号组合，漏一种就少一块。 正确做法：两种组合都写出来，结果是隔块的两块；用代点验算。
• 错在哪：领域图里边界线的含与不含没有说明，或者 $<$ 的领域把边界画成实线。 为什么错：$<$、$>$ 不含边界，$\le$、$\ge$ 含边界；选择题常常只差这一点。 正确做法：每条边界线单独看对应的不等号；两条不含的边界的交点也不含。

直观理解

把式子 $F(x, y)$ 的值想成地面的高度，边界线 $F = 0$ 是海岸线：一边是陆地（$F > 0$），一边是海（$F < 0$）。要知道某块是陆是海，站上去看一眼（代一个点）就行。积的形式是两条海岸线交叉，四块地陆海相间。

关联知识点

• 前置：国内书第 4 章，一元二次不等式的解集；本节是它在平面上的推广。
• 前置：国内书第 28 章、第 29 章，直线和圆的方程，点到直线的距离（例 4）。
• 前置：本书第 4 章 集合と命題，必要条件、充分条件，用集合的包含关系判断。
• 后续：11.5 节，在领域上求最大最小。
• 后续：本书第 23 章 積分の応用，曲线围成的领域的面积。

11.5 領域と最大・最小

说明

点 $(x, y)$ 在领域 $D$ 里移动，求式子 $f(x, y)$ 的最大值、最小值。方法是设 $f(x, y) = k$，把它看成随 $k$ 变化的一族图形：

• 这族图形与 $D$ 有公共点时，$k$ 才是 $f$ 能取到的值；
• 让图形移动，找出与 $D$ 还有公共点的 $k$ 的最大和最小，就是所求。

常见的 $f$ 和对应的图形：

$f(x, y)$	设 $= k$ 后的图形	看什么
$ax + by$	一族平行直线 $y = -\dfrac{a}{b}x + \dfrac{k}{b}$	$y$ 截距 $\dfrac{k}{b}$ 的大小
$\dfrac{y}{x}$ 或 $\dfrac{y - q}{x - p}$	过定点的直线	斜率 $k$
$x^2 + y^2$ 或 $(x - p)^2 + (y - q)^2$	同心圆	半径的平方 $k$

领域是多边形时，$ax + by$ 的最值在顶点取到；领域的边界有圆弧时，最值可能在直线与圆弧相切的地方取到。这一套在旧课标里叫“线性规划”，日本教科书放在「領域と最大・最小」里。

使用场景

• 联立一次不等式（多边形领域），求 $ax + by$ 的最值，包括“原料有限、利润最大”一类应用题：平移直线，看顶点。
• 领域边界含圆弧，求 $ax + by$ 的最值：用相切（圆心到直线的距离等于半径），并和边界的端点比较。
• 求 $\dfrac{y}{x}$ 或 $\dfrac{y - q}{x - p}$ 的范围：看成过定点的直线的斜率。
• 求 $x^2 + y^2$ 的最值：看成原点到领域内的点的距离的平方。

注意点

• 直线族 $ax + by = k$ 中，$b > 0$ 时 $k$ 越大直线越靠上；$b < 0$ 时反过来，$k$ 越大直线越靠下。
• 目标直线的斜率与某条边的斜率相同时，最大值（或最小值）在整条边上取到，不止一点。EJU 爱问“只在某一个顶点取最大”的条件（11.6 问题 2）。
• 应用题要求整数解时，顶点不是格点就要在顶点附近找格点比较，不能直接四舍五入。
• 领域无界时，可能没有最大值（或最小值），要说明。
• EJU 题干：「点 $(x, y)$ が領域 $D$ を動くとき，$x + y$ の最大値は」「$x + y = k$ とおくと」。

证明

多边形领域上 $ax + by$ 的最值在顶点取到（高中层面的说明）：设 $b > 0$。$ax + by = k$ 是斜率 $-\dfrac{a}{b}$、截距 $\dfrac{k}{b}$ 的直线，$k$ 越大直线越往上平移。从领域的上方往下平移，第一次碰到领域时 $k$ 最大。（关键一步：多边形是凸的、边界由线段组成，直线平移过来最先碰到的一定是某个顶点，或者与某条边重合；与边重合时，这条边的两个端点也是顶点。）所以只需比较各顶点处的值。$b < 0$ 时上下反过来；$b = 0$ 时直线竖直，左右平移，结论相同。领域不是凸多边形时，先碰到的仍是顶点，但要在所有顶点里比较。

圆上 $ax + by$ 的最值：圆 $(x - p)^2 + (y - q)^2 = r^2$ 与直线 $ax + by = k$ 有公共点 $\iff$ 圆心到直线的距离 $\le r$，即

$$\frac{|ap + bq - k|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \le r \iff ap + bq - r\sqrt{a^2 + b^2} \le k \le ap + bq + r\sqrt{a^2 + b^2}.$$

两端在相切时取到。

例题

例 1　（场景：多边形领域上的一次式）

問題　点 $(x, y)$ が $x \geqq 0$，$y \geqq 0$，$x + 2y \leqq 8$，$3x + y \leqq 9$ を満たす。$x + y$ の最大値を求めよ。

解答　領域は四角形で，頂点は $(0, 0)$，$(3, 0)$，$(0, 4)$，および $x + 2y = 8$ と $3x + y = 9$ の交点である。第 $2$ 式より $y = 9 - 3x$ を第 $1$ 式に代入すると $x + 18 - 6x = 8$，$x = 2$，$y = 3$。

$x + y = k$，すなわち $y = -x + k$ とおく。傾き $-1$，切片 $k$ で，$2$ つの斜辺の傾き $-\dfrac{1}{2}$ と $-3$ の間にある。よって直線を上へ動かすと，最後に領域を離れる点は $2$ 辺の交点 $(2, 3)$ である。最大値は $k = 2 + 3 = 5$（$x = 2$，$y = 3$）。

中文翻译　题目：点 $(x, y)$ 满足 $x \geqq 0$，$y \geqq 0$，$x + 2y \leqq 8$，$3x + y \leqq 9$。求 $x + y$ 的最大值。解答：领域是四边形，顶点 $(0, 0)$、$(3, 0)$、$(0, 4)$，以及 $x + 2y = 8$ 与 $3x + y = 9$ 的交点：由第二式 $y = 9 - 3x$，代入第一式 $x + 18 - 6x = 8$，$x = 2$，$y = 3$。设 $x + y = k$，即 $y = -x + k$，斜率 $-1$、截距 $k$。两条斜边的斜率是 $-\dfrac{1}{2}$ 和 $-3$，$-1$ 在它们之间，所以直线向上平移，最后离开领域的点是两边的交点 $(2, 3)$。最大值 $k = 2 + 3 = 5$（$x = 2$，$y = 3$）。

解说　另一种解法：直接比较四个顶点：$0$、$3$、$4$、$5$，最大是 $5$。顶点少时代值比较最快；要讨论“在哪个顶点取最大”随系数怎样变化时，用斜率比较。目标直线的斜率夹在哪两条边的斜率之间，最大值就在那两条边的交点取到。

例 2　（场景：边界含圆弧）

問題　点 $(x, y)$ が $x^2 + y^2 \leqq 5$，$y \geqq 0$ を満たす。$2x + y$ の最大値と最小値を求めよ。

解答　領域は上半円面（境界を含む）。$2x + y = k$，すなわち $y = -2x + k$ とおく。

最大：直線を上から下へ動かすと，まず円弧に接する。接するとき，中心から直線までの距離は $\dfrac{|k|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$ で，$k = 5$（正の方をとる）。接点は，原点を通り直線に垂直な直線 $y = \dfrac{1}{2}x$ と $2x + y = 5$ の交点 $(2, 1)$ で，$y = 1 \geqq 0$ より領域内にある。最大値は $5$（$x = 2$，$y = 1$）。

最小：$k = -5$ の接点は $(-2, -1)$ で，$y < 0$ より領域内にない。直線を下へ動かすと，最後に領域を離れる点は下辺の左端 $(-\sqrt{5}, 0)$ である。最小値は $-2\sqrt{5}$（$x = -\sqrt{5}$，$y = 0$）。

中文翻译　题目：点 $(x, y)$ 满足 $x^2 + y^2 \leqq 5$，$y \geqq 0$。求 $2x + y$ 的最大值和最小值。解答：领域是上半圆面（含边界）。设 $2x + y = k$，即 $y = -2x + k$。最大：直线从上方往下平移，先碰到圆弧。相切时圆心到直线的距离 $\dfrac{|k|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$，$k = 5$（取正）。切点是过原点、垂直于直线的直线 $y = \dfrac{1}{2}x$ 与 $2x + y = 5$ 的交点 $(2, 1)$，$y = 1 \geqq 0$，在领域里。最大值 $5$（$x = 2$，$y = 1$）。最小：$k = -5$ 的切点是 $(-2, -1)$，$y < 0$，不在领域里。直线往下平移，最后离开领域的点是下边界的左端 $(-\sqrt{5}, 0)$，最小值 $-2\sqrt{5}$（$x = -\sqrt{5}$，$y = 0$）。

解说　容易卡在：最小值也照搬相切，答 $-5$。切点必须在领域里才算数。另一种解法：设 $x = \sqrt{5}\cos\theta$，$y = \sqrt{5}\sin\theta$（$0 \leqq \theta \leqq \pi$）先看圆弧，$2x + y = 5\sin(\theta + \alpha)$ 型的合成（本书第 13 章）；再单独看下边界线段 $y = 0$，$-\sqrt{5} \leqq x \leqq \sqrt{5}$ 上 $2x$ 的范围。三角合成适合只在圆周上动的题；领域里有直边时，平移直线的图更直观。

例 3　（场景：$\dfrac{y}{x}$ 的范围）

問題　点 $P(x, y)$ が $A(1, 1)$，$B(5, 2)$，$C(2, 4)$ を頂点とする三角形の周および内部を動く。$\dfrac{y}{x}$ の値の範囲を求めよ。

解答　三角形の内部では $x \geqq 1 > 0$ であるから，$\dfrac{y}{x}$ は直線 $OP$ の傾きである。原点を通る直線を回転させ，三角形と共有点をもつ範囲を考えると，傾きの最大・最小は頂点で取る。 $\dfrac{y}{x}\Big|_A = 1$，$\dfrac{y}{x}\Big|_B = \dfrac{2}{5}$，$\dfrac{y}{x}\Big|_C = 2$。 よって $\dfrac{2}{5} \leqq \dfrac{y}{x} \leqq 2$。

中文翻译　题目：点 $P(x, y)$ 在以 $A(1, 1)$、$B(5, 2)$、$C(2, 4)$ 为顶点的三角形的周上及内部移动。求 $\dfrac{y}{x}$ 的取值范围。解答：三角形里 $x \geqq 1 > 0$，$\dfrac{y}{x}$ 是直线 $OP$ 的斜率。直线绕原点转动，与三角形有公共点时斜率最大、最小都在顶点取到：$\dfrac{y}{x}\Big|_A = 1$，$\dfrac{y}{x}\Big|_B = \dfrac{2}{5}$，$\dfrac{y}{x}\Big|_C = 2$。所以 $\dfrac{2}{5} \leqq \dfrac{y}{x} \leqq 2$。

解说　$\dfrac{y}{x}$ 是点 $(x, y)$ 与原点连线的斜率；$\dfrac{y - q}{x - p}$ 则是与点 $(p, q)$ 连线的斜率。求这类分式的范围，把分子分母看成过定点的直线，转动直线找与领域的公共部分。本题三角形的 $x$ 坐标都大于 $0$，所以斜率不会越过无穷大。

例 4　（场景：$x^2 + y^2$ 的最小值）

問題　点 $(x, y)$ が $x \geqq 0$，$y \geqq 0$，$x + 2y \geqq 4$ を満たす。$x^2 + y^2$ の最小値を求めよ。

解答　$x^2 + y^2$ は原点から点 $(x, y)$ までの距離の平方である。領域は直線 $x + 2y = 4$ の上側で第 $1$ 象限にある部分であり，原点は領域にないから，最も近い点は直線 $x + 2y = 4$ 上にある。原点からこの直線までの距離は $\dfrac{4}{\sqrt{5}}$ で，垂足は $y = 2x$ と $x + 2y = 4$ の交点 $\left(\dfrac{4}{5}, \dfrac{8}{5}\right)$ であり，第 $1$ 象限にあって領域に属する。よって最小値は $\left(\dfrac{4}{\sqrt{5}}\right)^2 = \dfrac{16}{5}$。 領域は有界でないから，$x^2 + y^2$ に最大値はない。

中文翻译　题目：点 $(x, y)$ 满足 $x \geqq 0$，$y \geqq 0$，$x + 2y \geqq 4$。求 $x^2 + y^2$ 的最小值。解答：$x^2 + y^2$ 是原点到点 $(x, y)$ 距离的平方。领域是直线 $x + 2y = 4$ 的上方在第一象限的部分，原点不在领域里，最近的点在直线 $x + 2y = 4$ 上。原点到这条直线的距离 $\dfrac{4}{\sqrt{5}}$，垂足是 $y = 2x$ 与 $x + 2y = 4$ 的交点 $\left(\dfrac{4}{5}, \dfrac{8}{5}\right)$，在第一象限，属于领域。最小值 $\left(\dfrac{4}{\sqrt{5}}\right)^2 = \dfrac{16}{5}$。领域无界，$x^2 + y^2$ 没有最大值。

解说　$x^2 + y^2$ 看成“同心圆的半径平方”，最小半径就是原点到领域的最近距离。用点到直线的距离公式前，要先确认垂足落在领域内；本题垂足在第一象限，符合 $x \geqq 0$、$y \geqq 0$。领域无界时只有最小值、没有最大值。

例 5　（场景：应用题，整数解）

問題　製品 P は $1$ 個作るのに原料甲 $1$ kg，乙 $3$ kg と，利益 $3$ 千円を要する。製品 Q は $1$ 個作るのに甲 $2$ kg，乙 $1$ kg と，利益 $2$ 千円を要する。甲は最大 $9$ kg，乙は最大 $10$ kg 使える。P，Q をそれぞれ何個（整数）作ると利益が最大になるか。

解答　P を $x$ 個，Q を $y$ 個作るとすると， $x \geqq 0$，$y \geqq 0$，$x + 2y \leqq 9$，$3x + y \leqq 10$ で，利益は $3x + 2y$（千円）である。$2$ つの斜辺の交点は，$y = 10 - 3x$ を $x + 2(10 - 3x) = 9$ に代入して $x = \dfrac{11}{5}$，$y = \dfrac{17}{5}$。目的直線の傾き $-\dfrac{3}{2}$ は $2$ 辺の傾き $-\dfrac{1}{2}$ と $-3$ の間にあるから，整数条件を無視すると最大はこの頂点で，値は $\dfrac{33}{5} + \dfrac{34}{5} = \dfrac{67}{5} = 13.4$。

しかし頂点は格子点でない。頂点近くの格子点を調べる。$(2, 3)$：$2 + 6 = 8 \leqq 9$，$6 + 3 = 9 \leqq 10$ で実行可能，利益 $12$。$(3, 1)$：利益 $11$。$(1, 4)$：利益 $11$。$(2, 4)$：$2 + 8 = 10 > 9$ で不可。$(3, 2)$：$9 + 2 = 11 > 10$ で不可。利益が $12$ を超えるには $13$ しかないが，$3x + 2y = 13$ の非負整数解 $(1, 5)$，$(3, 2)$ はいずれも実行不可能である。よって P を $2$ 個，Q を $3$ 個作るとき，利益は最大 $12$ 千円である。

中文翻译　题目：制品 P 每个需要原料甲 $1$ kg、乙 $3$ kg，利润 $3$ 千円；制品 Q 每个需要甲 $2$ kg、乙 $1$ kg，利润 $2$ 千円。原料甲最多 $9$ kg，乙最多 $10$ kg。P、Q 各生产几个（整数）利润最大？解答：设 P 生产 $x$ 个，Q 生产 $y$ 个：$x \geqq 0$，$y \geqq 0$，$x + 2y \leqq 9$，$3x + y \leqq 10$，利润 $3x + 2y$（千円）。两条斜边的交点：$y = 10 - 3x$ 代入 $x + 2(10 - 3x) = 9$，$x = \dfrac{11}{5}$，$y = \dfrac{17}{5}$。目标直线斜率 $-\dfrac{3}{2}$ 在两边斜率 $-\dfrac{1}{2}$ 与 $-3$ 之间，不考虑整数时最大在这个顶点，值 $\dfrac{33}{5} + \dfrac{34}{5} = \dfrac{67}{5} = 13.4$。但顶点不是格点。看顶点附近的格点：$(2, 3)$：$2 + 6 = 8 \leqq 9$，$6 + 3 = 9 \leqq 10$，可行，利润 $12$；$(3, 1)$：利润 $11$；$(1, 4)$：利润 $11$；$(2, 4)$：$2 + 8 = 10 > 9$，不可行；$(3, 2)$：$9 + 2 = 11 > 10$，不可行。利润要超过 $12$ 只能是 $13$（$13.4$ 以下的整数），$3x + 2y = 13$ 的非负整数解 $(1, 5)$、$(3, 2)$ 都不可行。所以 P 生产 $2$ 个、Q 生产 $3$ 个，利润最大 $12$ 千円。

解说　整数规划题：先按实数求顶点和最大值，再在顶点附近逐个检查可行的格点；不要四舍五入顶点，也不要假设“最靠近顶点的格点一定最优”。最后要说明比当前最优更大的整数值都取不到（本题利润 $13$ 无可行解），才能确认 $12$ 是最大值。

常用推论

• 多边形领域上 $ax + by$ 的最大、最小在顶点取到；比较目标直线的斜率和各边的斜率，就知道是哪个顶点。推导：本节证明。
• 圆 $(x - p)^2 + (y - q)^2 \le r^2$ 上，$ax + by$ 的最大值 $ap + bq + r\sqrt{a^2 + b^2}$，最小值 $ap + bq - r\sqrt{a^2 + b^2}$。推导：本节证明，相切时取到。
• $\dfrac{y - q}{x - p}$ 是点 $(p, q)$ 与 $(x, y)$ 连线的斜率；$(x - p)^2 + (y - q)^2$ 是两点距离的平方。推导：斜率和距离的定义。
• 圆 $x^2 + y^2 = r^2$ 上 $ax + by$ 的最大值 $r\sqrt{a^2 + b^2}$，就是三角函数合成的振幅。推导：上面第二条取 $p = q = 0$。

易错点

• 错在哪：$x - 2y = k$ 在领域上求最大，找截距最大的顶点。 为什么错：$y = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{k}{2}$，截距是 $-\dfrac{k}{2}$，$k$ 最大时截距最小。 正确做法：写出截距与 $k$ 的关系再判断方向；拿不准就把各顶点代进去比较。
• 错在哪：领域有圆弧边界，最大最小都用相切求。 为什么错：切点可能不在领域里（例 2 的 $(-2, -1)$）。 正确做法：求出切点后检查它在不在领域里；不在就比较边界的端点。
• 错在哪：整数条件下把非整数顶点四舍五入当答案。 为什么错：四舍五入后的点可能不满足约束（例 5 的 $(2, 3)$ 碰巧可行，但 $(3, 2)$ 就不可行），也可能不是最优。 正确做法：在顶点附近逐个检查可行的格点，再确认比它更大的整数值都取不到。

直观理解

把目标 $ax + by = k$ 想成一把尺子，只能平行移动。领域是一块纸板。把尺子从远处推过来，第一次碰到纸板时的位置给出一个极端值，从另一边推过来给出另一个。纸板是多边形，尺子先碰到的总是角；纸板有圆边，尺子可能贴着圆边碰上。

关联知识点

• 前置：11.4 节不等式表示的领域。
• 前置：国内书第 28 章 28.5 节点到直线的距离，国内书第 29 章 29.3 节直线与圆相切的条件。
• 常一起考：国内书第 3 章基本不等式，有些 $x^2 + y^2$、$xy$ 的最值两种方法都能做。
• 常一起考：本书第 13 章 三角関数の合成，圆上 $ax + by$ 的最值（例 2 另一种解法）。
• 后续：本书第 21 章 微分法，领域边界是曲线时，切线斜率用导数求。

11.6 题型与答法

コース2 的図形と方程式可以单独出，也可以和 2 次関数、三角関数、微分法（切线、面积）结合：前半问求直线和圆的交点、切线、距离，后半问求轨迹或在领域里求最值。下面的誘導骨架按シラバス范围和本章题型归纳，不是对过去问的逐年统计。

誘導的典型骨架：

• アポロニウスの円：(1) 求内分点、外分点 →(2) 写出圆的方程（中心、半径）→(3) 圆上点到直线的距离、三角形面积的最值。
• 領域と最大・最小：(1) 求边界线的交点（顶点）→(2) 一次式的最大值 →(3) 系数含参数时，最大值在哪个顶点取到 →(4) 距离的平方的最小值。
• 円と直線・軌跡：(1) 用判别式 $D$ 或距离 $d$ 求相交的条件、切点 →(2) 弦长 →(3) 弦的中点的轨迹及其范围。

填涂提醒：轨迹答成「〜の部分」时，范围的端点也是空格；直线 $y = -x$ 的系数 $-1$ 要填「－」「1」两格；分数的负号放在分子。

問題 1　（アポロニウスの円）

座標平面上に $2$ 点 $A(0, 0)$，$B(9, 0)$ がある。$AP : PB = 2 : 1$ を満たす点 $P$ の軌跡を $C$ とする。

(1) 線分 $AB$ を $2 : 1$ に内分する点の $x$ 座標は $\fbox{A}$，外分する点の $x$ 座標は $\fbox{BC}$ である。

(2) $C$ は円 $(x - \fbox{DE})^2 + y^2 = \fbox{FG}$ である。

(3) 点 $P$ が $C$ 上を動くとき，三角形 $PAB$ の面積の最大値は $\fbox{HI}$ である。

(4) 点 $P$ が $C$ 上を動くとき，$P$ と直線 $3x + 4y + 4 = 0$ の距離の最小値は $\fbox{J}$，最大値は $\fbox{KL}$ である。

解答　(1) 内分点は $\dfrac{1 \cdot 0 + 2 \cdot 9}{3} = 6$，外分点は $\dfrac{-1 \cdot 0 + 2 \cdot 9}{2 - 1} = 18$。よって $\fbox{A} = 6$，$\fbox{BC} = 1, 8$。

(2) 円は $(6, 0)$，$(18, 0)$ を直径の両端とするから，中心 $(12, 0)$，半径 $6$，すなわち $(x - 12)^2 + y^2 = 36$。よって $\fbox{DE} = 1, 2$，$\fbox{FG} = 3, 6$。

(3) 底辺 $AB = 9$，高さは $P$ から $x$ 軸までの距離で，最大は半径 $6$。面積の最大値は $\dfrac{1}{2} \times 9 \times 6 = 27$ で，$\fbox{HI} = 2, 7$。

(4) 中心 $(12, 0)$ から直線までの距離は $\dfrac{|36 + 0 + 4|}{5} = 8 > 6$ で，直線は円の外にある。最小値は $8 - 6 = 2$，最大値は $8 + 6 = 14$。よって $\fbox{J} = 2$，$\fbox{KL} = 1, 4$。

中文翻译　题目：坐标平面上有两点 $A(0, 0)$、$B(9, 0)$，满足 $AP : PB = 2 : 1$ 的点 $P$ 的轨迹记为 $C$。（1）线段 $AB$ 的 $2 : 1$ 内分点的横坐标是 $\fbox{A}$，外分点的横坐标是 $\fbox{BC}$。（2）$C$ 是圆 $(x - \fbox{DE})^2 + y^2 = \fbox{FG}$。（3）$P$ 在 $C$ 上运动时，三角形 $PAB$ 面积的最大值是 $\fbox{HI}$。（4）$P$ 在 $C$ 上运动时，$P$ 到直线 $3x + 4y + 4 = 0$ 的距离的最小值是 $\fbox{J}$，最大值是 $\fbox{KL}$。解答：（1）内分点 $\dfrac{1 \cdot 0 + 2 \cdot 9}{3} = 6$；外分点 $\dfrac{-1 \cdot 0 + 2 \cdot 9}{2 - 1} = 18$，$\fbox{A} = 6$，$\fbox{BC} = 1, 8$。（2）圆以 $(6, 0)$、$(18, 0)$ 为直径两端，圆心 $(12, 0)$，半径 $6$：$(x - 12)^2 + y^2 = 36$，$\fbox{DE} = 1, 2$，$\fbox{FG} = 3, 6$。（3）底 $AB = 9$，高是 $P$ 到 $x$ 轴的距离，最大为半径 $6$，面积最大 $\dfrac{1}{2} \times 9 \times 6 = 27$，$\fbox{HI} = 2, 7$。（4）圆心 $(12, 0)$ 到直线的距离 $\dfrac{|36 + 0 + 4|}{5} = 8 > 6$，直线在圆外。最小值 $8 - 6 = 2$，最大值 $8 + 6 = 14$，$\fbox{J} = 2$，$\fbox{KL} = 1, 4$。

解说　阿波罗尼斯圆的直径两端就是内分点和外分点；求出圆心、半径后，圆上的最值问题就化成“圆心到直线的距离 ± 半径”。空格判断：$\fbox{FG}$ 填的是半径的平方 $36$，不是半径 $6$；$\fbox{BC}$ 是 $18$ 两位。第 (4) 问直线在圆外，最小值是距离减半径，最大值是距离加半径。

問題 2　（領域と最大・最小）

連立不等式 $x \geqq 0$，$y \geqq 0$，$2x + y \leqq 10$，$x + 3y \leqq 15$ の表す領域を $D$ とする。

(1) $2$ 直線 $2x + y = 10$，$x + 3y = 15$ の交点の座標は $(\fbox{A}, \fbox{B})$ である。

(2) 点 $(x, y)$ が $D$ を動くとき，$x + y$ の最大値は $\fbox{C}$ である。

(3) $a$ を正の定数とする。点 $(x, y)$ が $D$ を動くとき，$ax + y$ が点 $(\fbox{A}, \fbox{B})$ においてのみ最大となるような $a$ の値の範囲は $\dfrac{\fbox{D}}{\fbox{E}} < a < \fbox{F}$ である。

(4) 点 $(x, y)$ が $D$ を動くとき，$(x - 4)^2 + (y - 4)^2$ の最小値は $\dfrac{\fbox{G}}{\fbox{H}}$ であり，そのときの点の座標は $\left(\dfrac{\fbox{IJ}}{\fbox{K}}, \dfrac{\fbox{LM}}{\fbox{N}}\right)$ である。

解答　(1) $y = 10 - 2x$ を $x + 3y = 15$ に代入すると $x + 30 - 6x = 15$，$x = 3$，$y = 4$。よって $\fbox{A} = 3$，$\fbox{B} = 4$。

(2) 頂点は $(0, 0)$，$(5, 0)$，$(3, 4)$，$(0, 5)$ で，$x + y$ の値はそれぞれ $0$，$5$，$7$，$5$。最大値は $7$ で，$\fbox{C} = 7$。

(3) $ax + y = k$ すなわち $y = -ax + k$ の傾きは $-a$。$(3, 4)$ だけで最大になるには，$-a$ が $2$ 辺の傾き $-2$（辺 $2x + y = 10$）と $-\dfrac{1}{3}$（辺 $x + 3y = 15$）の間に厳密に収まる必要がある：$-2 < -a < -\dfrac{1}{3}$，すなわち $\dfrac{1}{3} < a < 2$。端点 $a = \dfrac{1}{3}$，$a = 2$ では最大が辺全体で取れてしまい，「$1$ 点だけ」にならない。よって $\fbox{D} = 1$，$\fbox{E} = 3$，$\fbox{F} = 2$。

(4) 点 $(4, 4)$ は $2 \cdot 4 + 4 = 12 > 10$ で $D$ の外にある。最も近い点は辺 $2x + y = 10$ 上にあり，距離は $\dfrac{|8 + 4 - 10|}{\sqrt{5}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}}$，平方は $\dfrac{4}{5}$。垂足は $(4, 4)$ から法線方向 $(2, 1)$ に $-\dfrac{2}{5}$ 倍だけ進んだ点で，$\left(4 - \dfrac{4}{5}, 4 - \dfrac{2}{5}\right) = \left(\dfrac{16}{5}, \dfrac{18}{5}\right)$。これは $\dfrac{16}{5} + \dfrac{54}{5} = 14 \leqq 15$ を満たし，$D$ の边上にある。よって $\fbox{G} = 4$，$\fbox{H} = 5$，$\fbox{IJ} = 1, 6$，$\fbox{K} = 5$，$\fbox{LM} = 1, 8$，$\fbox{N} = 5$。

中文翻译　题目：联立不等式 $x \geqq 0$，$y \geqq 0$，$2x + y \leqq 10$，$x + 3y \leqq 15$ 表示的领域记为 $D$。（1）两直线 $2x + y = 10$、$x + 3y = 15$ 的交点是 $(\fbox{A}, \fbox{B})$。（2）点 $(x, y)$ 在 $D$ 中运动时，$x + y$ 的最大值是 $\fbox{C}$。（3）$a$ 是正的常数。点 $(x, y)$ 在 $D$ 中运动时，使 $ax + y$ 只在点 $(\fbox{A}, \fbox{B})$ 处取最大值的 $a$ 的范围是 $\dfrac{\fbox{D}}{\fbox{E}} < a < \fbox{F}$。（4）点 $(x, y)$ 在 $D$ 中运动时，$(x - 4)^2 + (y - 4)^2$ 的最小值是 $\dfrac{\fbox{G}}{\fbox{H}}$，此时点的坐标是 $\left(\dfrac{\fbox{IJ}}{\fbox{K}}, \dfrac{\fbox{LM}}{\fbox{N}}\right)$。解答：（1）$y = 10 - 2x$ 代入 $x + 3y = 15$：$x + 30 - 6x = 15$，$x = 3$，$y = 4$，$\fbox{A} = 3$，$\fbox{B} = 4$。（2）顶点 $(0, 0)$、$(5, 0)$、$(3, 4)$、$(0, 5)$，$x + y$ 分别为 $0$、$5$、$7$、$5$，最大 $7$，$\fbox{C} = 7$。（3）$ax + y = k$ 即 $y = -ax + k$，斜率 $-a$。只在 $(3, 4)$ 取最大，要求 $-a$ 严格介于两条边的斜率 $-2$ 与 $-\dfrac{1}{3}$ 之间：$-2 < -a < -\dfrac{1}{3}$，即 $\dfrac{1}{3} < a < 2$，所以 $\fbox{D} = 1$，$\fbox{E} = 3$，$\fbox{F} = 2$。端点 $a = \dfrac{1}{3}$ 或 $a = 2$ 时，最大值在整条边上取到，不是“只在一点”。（4）点 $(4, 4)$ 满足 $2 \cdot 4 + 4 = 12 > 10$，在 $D$ 外。离它最近的点在边 $2x + y = 10$ 上：距离 $\dfrac{|8 + 4 - 10|}{\sqrt{5}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}}$，平方 $\dfrac{4}{5}$。垂足：从 $(4, 4)$ 沿法向量 $(2, 1)$ 走 $-\dfrac{2}{5}$ 倍，得 $\left(4 - \dfrac{4}{5}, 4 - \dfrac{2}{5}\right) = \left(\dfrac{16}{5}, \dfrac{18}{5}\right)$。检查它在 $D$ 里：$\dfrac{16}{5} + \dfrac{54}{5} = 14 \leqq 15$，且坐标为正，在 $D$ 的边上。最小值 $\dfrac{4}{5}$，所以 $\fbox{G} = 4$，$\fbox{H} = 5$，$\fbox{IJ} = 1, 6$，$\fbox{K} = 5$，$\fbox{LM} = 1, 8$，$\fbox{N} = 5$。

解说　两分钟做法：领域题先求顶点，一次式的最值比较目标直线的斜率与各边斜率；“只在某顶点取最大”要求斜率严格夹在相邻两边之间，等号时整条边都取到最大值。距离平方的最小值化成“定点到领域的最近点”，垂足要检查是否在领域内。空格判断：$\fbox{IJ}$、$\fbox{LM}$ 是分子两位，$\fbox{K}$、$\fbox{N}$ 是分母 $5$。

問題 3　（円と直線・軌跡）

円 $C : x^2 + y^2 = 8$ と直線 $\ell : y = x + k$ がある。

(1) $C$ と $\ell$ が異なる $2$ 点で交わるような $k$ の値の範囲は $-\fbox{A} < k < \fbox{B}$ である。また，$\ell$ が $C$ に接するのは $k = \pm \fbox{A}$ のときであり，$k = \fbox{A}$ のときの接点の座標は $(\fbox{CD}, \fbox{E})$ である。

(2) $k = 2$ のとき，$C$ が $\ell$ から切り取る線分の長さは $\fbox{F}\sqrt{\fbox{G}}$ である。

(3) $k$ が (1) の範囲を動くとき，$C$ と $\ell$ の $2$ つの交点を結ぶ線分の中点 $M$ の座標は $\left(-\dfrac{k}{\fbox{H}}, \dfrac{k}{\fbox{I}}\right)$ であり，$M$ の軌跡は直線 $y = \fbox{JK}\,x$ の $-\fbox{L} < x < \fbox{M}$ の部分である。

解答　(1) 代入すると $x^2 + (x + k)^2 = 8$，$2x^2 + 2kx + k^2 - 8 = 0$。判別式は $\dfrac{D}{4} = k^2 - 2(k^2 - 8) = 16 - k^2 > 0$ より $-4 < k < 4$。相切するのは $k = \pm 4$ のときで，$k = 4$ のとき方程式は $2x^2 + 8x + 8 = 0$，$x = -2$，$y = 2$，接点は $(-2, 2)$。よって $\fbox{A} = 4$，$\fbox{B} = 4$，$\fbox{CD}$ には「－」と「2」，$\fbox{E} = 2$。

(2) 中心から直線 $x - y + 2 = 0$ までの距離は $\dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ で，弦の長さは $2\sqrt{8 - 2} = 2\sqrt{6}$。よって $\fbox{F} = 2$，$\fbox{G} = 6$。

(3) $2$ つの交点の $x$ 座標の和は $-k$（解と係数の関係）であるから，中点の $x$ 座標は $-\dfrac{k}{2}$，$y$ 座標は $-\dfrac{k}{2} + k = \dfrac{k}{2}$。$M(x, y)$ とおくと $x = -\dfrac{k}{2}$，$y = \dfrac{k}{2}$ で，$k$ を消去して $y = -x$。$-4 < k < 4$ を $x = -\dfrac{k}{2}$ の範囲に直すと $-2 < x < 2$。よって $\fbox{H} = 2$，$\fbox{I} = 2$，$\fbox{JK}$ には「－」と「1」，$\fbox{L} = 2$，$\fbox{M} = 2$。

中文翻译　题目：有圆 $C : x^2 + y^2 = 8$ 和直线 $\ell : y = x + k$。（1）$C$ 与 $\ell$ 交于不同两点的 $k$ 的范围是 $-\fbox{A} < k < \fbox{B}$；$\ell$ 与 $C$ 相切时 $k = \pm\fbox{A}$，$k = \fbox{A}$ 时切点坐标是 $(\fbox{CD}, \fbox{E})$。（2）$k = 2$ 时，$C$ 截直线 $\ell$ 所得的弦长是 $\fbox{F}\sqrt{\fbox{G}}$。（3）$k$ 在（1）的范围内变化时，两个交点连线的中点 $M$ 的坐标是 $\left(-\dfrac{k}{\fbox{H}}, \dfrac{k}{\fbox{I}}\right)$，$M$ 的轨迹是直线 $y = \fbox{JK}\,x$ 上 $-\fbox{L} < x < \fbox{M}$ 的部分。解答：（1）代入：$x^2 + (x + k)^2 = 8$，$2x^2 + 2kx + k^2 - 8 = 0$。判别式 $\dfrac{D}{4} = k^2 - 2(k^2 - 8) = 16 - k^2 > 0$，$-4 < k < 4$。相切时 $k = \pm 4$；$k = 4$ 时方程为 $2x^2 + 8x + 8 = 0$，$x = -2$，$y = 2$，切点 $(-2, 2)$，所以 $\fbox{A} = 4$，$\fbox{B} = 4$，$\fbox{CD}$ 填「－」和「2」，$\fbox{E} = 2$。（2）圆心到直线 $x - y + 2 = 0$ 的距离 $\dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$，弦长 $2\sqrt{8 - 2} = 2\sqrt{6}$，$\fbox{F} = 2$，$\fbox{G} = 6$。（3）两交点的横坐标之和 $= -k$（解と係数の関係），中点横坐标 $-\dfrac{k}{2}$，纵坐标 $-\dfrac{k}{2} + k = \dfrac{k}{2}$。设 $M(x, y)$：$x = -\dfrac{k}{2}$，$y = \dfrac{k}{2}$，消去 $k$ 得 $y = -x$。$-4 < k < 4$ 换成 $x = -\dfrac{k}{2}$ 的范围：$-2 < x < 2$，所以 $\fbox{H} = 2$，$\fbox{I} = 2$，$\fbox{JK}$ 填「－」和「1」，$\fbox{L} = 2$，$\fbox{M} = 2$。

解说　两分钟做法：圆的弦问题先比较“圆心到直线的距离”与半径；弦长用 $2\sqrt{r^2 - d^2}$；中点轨迹用解与系数的关系求横坐标，再消去参数，最后把参数范围翻译成 $x$ 的范围。空格判断：$\fbox{CD}$、$\fbox{JK}$ 是负数，负号各占一格；$\fbox{JK}$ 的系数 $1$ 也要填；$\fbox{M} = 2$ 是范围端点，不能漏。

11.7 术语与题干用语

日文	读音	中文	例句或说明
座標平面	ざひょうへいめん	坐标平面	「座標平面上に 2 点 $A$，$B$ がある」
内分する	ないぶんする	内分	「線分 $AB$ を $2 : 1$ に内分する点」
外分する	がいぶんする	外分	「線分 $AB$ を $3 : 1$ に外分する点」
内分点	ないぶんてん	内分点
外分点	がいぶんてん	外分点
中点	ちゅうてん	中点	「線分 $PQ$ の中点 $M$」
重心	じゅうしん	重心	「三角形 $ABC$ の重心 $G$」
垂直二等分線	すいちょくにとうぶんせん	垂直平分线	「線分 $AB$ の垂直二等分線」
点と直線の距離	てんとちょくせんのきょり	点到直线的距离
円の方程式	えんのほうていしき	圆的方程
中心	ちゅうしん	圆心	「点 $(8, 0)$ を中心とする半径 4 の円」
半径	はんけい	半径
共有点	きょうゆうてん	公共点	「円と直線が共有点をもつ」
異なる 2 点で交わる	ことなるにてんでまじわる	交于不同两点	相交
接する	せっする	相切	「直線が円に接する」
接線	せっせん	切线	「点 $(1, 2)$ における接線」
接点	せってん	切点
切り取る線分の長さ	きりとるせんぶんのながさ	截得的弦长	「円 $C$ が直線 $\ell$ から切り取る線分の長さ」
判別式	はんべつしき	判别式	记作 $D$，不写 $\Delta$
軌跡	きせき	轨迹	「点 $P$ の軌跡を求めよ」
軌跡の方程式	きせきのほうていしき	轨迹方程	只要方程时的说法
アポロニウスの円	あぽろにうすのえん	阿波罗尼斯圆	距离之比一定的点的轨迹
媒介変数	ばいかいへんすう	参数	「$t$ を媒介変数とする」
消去する	しょうきょする	消去	「$t$ を消去すると」
〜の部分	〜のぶぶん	……的部分	「直線 $y = 2x$ の $x > 0$ の部分」
ただし〜を除く	ただし〜をのぞく	但除去……	「ただし原点を除く」
逆に	ぎゃくに	反过来	轨迹验证时的固定说法
領域	りょういき	区域、领域	「不等式の表す領域」
境界線	きょうかいせん	边界线	「境界線を含む」「境界線を含まない」
斜線部分	しゃせんぶぶん	阴影部分	图中画斜线的部分
上側	うえがわ	上方	「直線の上側」
下側	したがわ	下方
内部	ないぶ	内部	「円の内部」
外部	がいぶ	外部
連立不等式	れんりつふとうしき	不等式组
〜を動くとき	〜をうごくとき	在……中运动时	「点 $(x, y)$ が領域 $D$ を動くとき」
〜とおく	〜とおく	设……	「$x + y = k$ とおく」
〜においてのみ	〜においてのみ	只在……处	「点 $(3, 4)$ においてのみ最大となる」
十分条件	じゅうぶんじょうけん	充分条件	领域的包含关系判断

11.8 自测

1. $A(-1, 4)$，$B(5, -2)$。求线段 $AB$ 的 $1 : 2$ 内分点和 $3 : 1$ 外分点。
2. 三角形 $ABC$ 中 $A(1, 2)$，$B(4, -1)$，重心是 $(2, 2)$，求 $C$。
3. 两点 $A(0, 0)$，$B(3, 0)$，求满足 $PA : PB = 1 : 2$ 的点 $P$ 的轨迹。
4. $t \ge 0$ 变化时，求抛物线 $y = x^2 - 2(t - 1)x + t^2$ 的顶点的轨迹。
5. 点 $(2, 1)$ 在不在不等式 $x^2 + y^2 - 4x + 2y < 0$ 表示的领域里？这个领域是什么图形？
6. 求不等式 $|x| + |y| \le 2$ 表示的领域的面积。
7. 点 $(x, y)$ 满足 $x \ge 0$，$y \ge 0$，$x + y \le 4$，$x + 3y \le 6$，求 $2x + 3y$ 的最大值。
8. 点 $(x, y)$ 满足 $x^2 + y^2 \le 1$，求 $3x + 4y$ 的最大值和最小值。

答案：1. $(1, 2)$，$(8, -5)$；2. $(1, 5)$；3. 点 $(-1, 0)$ 为中心、半径 2 的圆；4. 直线 $y = 2x + 1$ 上 $x \ge -1$ 的部分；5. 在，领域是圆 $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 5$ 的内部（不含边界）；6. 8；7. 9（$x = 3$，$y = 1$）；8. 最大 5，最小 $-5$。

11.9 深入阅读

• JASSO · 日本留学試験 数学シラバス：官方出题范围原文，第 9 项「図形と方程式」列出点与直线、圆、轨迹与领域三组小项目。
• 维基百科（日文）· アポロニウスの円：距离之比一定的点的轨迹，日文的定义、证明和与内分点外分点的关系。
• 维基百科（日文）· 線形計画法：本章“用领域求最大最小”背后的线性规划，看它在高中之外怎样推广。