第 21 章 · 微分法

项目	内容
シラバス项目	19. 微分法（数学Ⅱ，数学Ⅲ）：(1) 導関数（① 微分係数と導関数 ② 関数の和・差・積・商の導関数 ③ 合成関数の導関数，逆関数の導関数 ④ 三角関数・指数関数・対数関数の導関数 ⑤ 第n次導関数）、(2) 導関数の応用（① 接線 ② 関数の値の変化 ③ 関数の最大と最小 ④ 関数のグラフ ⑤ 速度，加速度 ⑥ 近似式）
コース	只考コース2
国内书对应	国内书第 24 章（导数的概念与运算）、第 25 章（导数的应用）
本章新内容的分量	一半相同，一半新。求导法则、切线、单调性、极值、最值国内都学过；一般复合函数和反函数求导、第 $n$ 次导数、凹凸与拐点、平面运动的速度加速度、近似式国内没有

国内学生对导数并不陌生：求导、切线、单调性、极值、最值，国内书第 24、25 章都讲过，而且国内导数大题的难度不低于 EJU。差别在范围上：国内课标的复合函数只到 $f(ax + b)$，三角、指数、对数函数的导数只给结论；日本数学Ⅲ要会一般的链式法则、反函数求导、对数微分法，还要用第 2 次导数判断凹凸、画出带渐近线的完整图像。EJU コース2 几乎每回都有一个大问以微分为主，或者把微分当作积分大问的前半段。丢分主要丢在三处：$\log$ 当成常用对数，复合两层以上时漏乘内层导数，增减表只写 $f'$ 不写 $f''$ 导致凹凸判断错。

21.1 与国内的对照

シラバス小项目（日文原文）	国内书位置	相同 / 讲法不同 / 国内没有	本章哪节讲
(1) ① 微分係数と導関数	国内书第 24 章 24.2、24.3 节	相同，见国内书第 24 章；日本把增量写成 $h$，并单独讲“可导与连续”	21.2（只讲可导与连续、记号）
(1) ② 関数の和・差・積・商の導関数	国内书第 24 章 24.5 节	相同（法则和证明都相同）；日本多用 $\dfrac{dy}{dx}$ 记号，三个函数的积、负整数次幂常用	21.2
(1) ③ 合成関数の導関数，逆関数の導関数	国内书第 24 章 24.6 节只有 $f(ax + b)$	国内没有（一般链式法则、反函数求导、对数微分法）	21.3
(1) ④ 三角関数・指数関数・対数関数の導関数	国内书第 24 章 24.4 节	讲法不同：公式相同，国内只给直观说明；日本用极限完整证明，并多一个 $(\tan x)'$ 和 $(\log\lvert x\rvert)'$	21.4
(1) ⑤ 第n次導関数	无	国内没有	21.5
(2) ① 接線	国内书第 24 章 24.3 节	相同，见国内书第 24 章；日本还考法線（法线），以及参数曲线、隐函数曲线的切线	21.3 常用推论
(2) ② 関数の値の変化	国内书第 25 章 25.2 节	增减部分相同；日本数学Ⅲ 正式讲平均値の定理（国内书只在证明里提到拉格朗日中值定理）	21.6
(2) ③ 関数の最大と最小	国内书第 25 章 25.3 节	相同，见国内书第 25 章；日本必写増減表	21.7（第 2 次导数判定极值）
(2) ④ 関数のグラフ	无（国内书第 25 章只用 $f'$ 画草图）	国内没有（凹凸、変曲点、漸近線、完整的増減表）	21.7
(2) ⑤ 速度，加速度	国内书第 24 章 24.3 节只有直线运动的瞬时速度	直线运动相同；平面运动的速度、加速度国内没有	21.8
(2) ⑥ 近似式	无	国内没有	21.9

本章记号：讲解时自然对数照国内写 $\ln x$；EJU 题干一律写 $\log x$，不写底就是自然对数（第 2 章）。看到 EJU 题里的 $(\log x)' = \dfrac{1}{x}$，就是国内的 $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$。

本章八个知识点的顺序：先补齐求导工具（21.2–21.5），再讲应用（21.6–21.9）。求导工具是第 22、23 章积分的前提：积分的换元、分部都是把求导法则倒过来用。

21.2 微分可能と連続・積と商の導関数

说明

微分係数：日本教科书把增量写成 $h$：

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}.$$

这个极限存在（是一个有限的数）时，说 $f(x)$ 在 $x = a$ 微分可能（可导）。它和国内书第 24 章 24.3 节的 $\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 完全是一回事。也常写成 $\displaystyle f'(a) = \lim_{x \to a}\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$（令 $x = a + h$）。

導関数の記法：$f(x)$ 的导函数写作

$$f'(x), \quad y', \quad \frac{dy}{dx}, \quad \frac{d}{dx}f(x).$$

求导函数叫「微分する」。$\dfrac{dy}{dx}$ 读作「ディーワイディーエックス」，在链式法则（21.3）里最好用，EJU 题干也常用。

微分可能と連続：$f(x)$ 在 $x = a$ 可导，则在 $x = a$ 连续，即 $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$（连续的定义见本书第 20 章）。反过来不成立：$f(x) = |x|$ 在 $x = 0$ 连续，但不可导。

積・商の導関数（与国内书相同，日本习惯用花括号）：

$$\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x),$$ $$\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}, \qquad \left\{\frac{1}{g(x)}\right\}' = -\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}.$$

三个函数的积：$\{f(x)g(x)h(x)\}' = f'gh + fg'h + fgh'$，每次只对一个求导，其余不动。

負の整数乗：$n$ 是正整数时 $(x^{-n})' = -nx^{-n-1}$，所以 $(x^n)' = nx^{n-1}$ 对一切整数 $n$ 成立（$x \ne 0$）。

使用场景

• 分段函数、含绝对值的函数，问在分界点是否可导，或已知可导求参数：先看连续，再看左右两侧的微分系数是否相等。
• 极限式里出现 $f(a + 2h) - f(a - h)$、$\dfrac{f(x) - f(a)}{x - a}$ 这类结构，并已知 $f'(a)$：凑成微分系数的定义。
• 分式函数求导：题目里出现 $\dfrac{x^2 + 1}{x - 1}$、$\dfrac{1}{x^3}$ 这类式子。
• 多个因式相乘、只求某一点的导数：题目里出现 $x(x - 1)(x - 2)\cdots$。

注意点

• 判断分界点可导，先查连续。不连续一定不可导，不用再算微分系数；连续了也不一定可导，还要比较两侧的极限。
• 定义里 $h$ 可正可负。$h \to +0$ 和 $h \to -0$ 的极限都要存在且相等，分段函数要分开算。
• 商的法则分子是减号，顺序不能反；分母是 $\{g(x)\}^2$，日本写法 $\{g(x)\}^2$ 用花括号，不写 $g^2(x)$（以免和合成函数 $g(g(x))$ 混淆）。
• 能约分、拆开的分式先化简再求导，计算量小得多。
• EJU 题干的说法：「$x = 1$ で微分可能であるとき」「$f'(a)$ を用いて表せ」「次の関数を微分せよ」。

证明

结论 1：微分可能ならば連続。 设 $f(x)$ 在 $x = a$ 可导。$x \ne a$ 时

$$f(x) - f(a) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \cdot (x - a).$$

（关键一步：乘一个 $x - a$ 再除一个 $x - a$，把差拆成“微分系数 × 趋于 0 的量”。）$x \to a$ 时前一个因子趋于 $f'(a)$（有限），后一个趋于 0，所以 $f(x) - f(a) \to f'(a) \cdot 0 = 0$，即 $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$。

$|x|$ 在 0 处不可导：$h > 0$ 时 $\dfrac{|h| - 0}{h} = 1$，$h < 0$ 时等于 $-1$，左右极限不相等。

结论 2：積の導関数。

$$\frac{f(x + h)g(x + h) - f(x)g(x)}{h} = \frac{f(x + h) - f(x)}{h}\,g(x + h) + f(x)\,\frac{g(x + h) - g(x)}{h}.$$

（关键一步：分子减去再加上 $f(x)g(x + h)$。）$h \to 0$ 时，第一项的分式趋于 $f'(x)$；$g(x + h) \to g(x)$ 用的正是结论 1（$g$ 可导所以连续）；第二项的分式趋于 $g'(x)$。所以 $\{fg\}' = f'g + fg'$。三个函数的积：$\{fgh\}' = \{(fg)h\}' = (fg)'h + (fg)h' = f'gh + fg'h + fgh'$。

结论 3：商の導関数。 先算 $\dfrac{1}{g}$：

$$\frac{1}{h}\left\{\frac{1}{g(x + h)} - \frac{1}{g(x)}\right\} = -\frac{g(x + h) - g(x)}{h} \cdot \frac{1}{g(x + h)g(x)} \to -\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}.$$

这里又用了 $g(x + h) \to g(x)$（结论 1），并且 $g(x) \ne 0$ 保证 $h$ 很小时 $g(x + h) \ne 0$。再把 $\dfrac{f}{g}$ 看成 $f \cdot \dfrac{1}{g}$，用积的法则：$\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'}{g} - \dfrac{fg'}{g^2} = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$。

结论 4：$(x^{-n})' = -nx^{-n-1}$。 用结论 3 中 $\dfrac{1}{g}$ 的公式，$g = x^n$：$\left(\dfrac{1}{x^n}\right)' = -\dfrac{nx^{n-1}}{x^{2n}} = -nx^{-n-1}$。

国内书第 24 章 24.5 节也有积和商的推导，那里“可导一定连续”只在括号里带过；日本数学Ⅲ 把它作为定理单独证明，因为后面判断分段函数是否可导要用。

例题

例 1　（场景：分段函数在分界点可导，求参数）

問題　関数 $f(x) = \begin{cases} x^2 & (x \leqq 1) \\ ax + b & (x > 1) \end{cases}$ が $x = 1$ で微分可能であるとき，定数 $a$，$b$ の値を求めよ。

解答　微分可能ならば連続であるから，$\displaystyle\lim_{x \to 1+0}(ax + b) = a + b$ が $f(1) = 1$ に等しい。よって $a + b = 1$ … ①

$h > 0$ のとき $\dfrac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \dfrac{a(1 + h) + b - 1}{h} = \dfrac{ah + (a + b - 1)}{h} = a$（①による）。 $h < 0$ のとき $\dfrac{(1 + h)^2 - 1}{h} = 2 + h \to 2$。 右側の微分係数と左側の微分係数が一致するから $a = 2$。①より $b = -1$。 したがって $a = 2$，$b = -1$ である。

中文翻译　题目：函数 $f(x) = \begin{cases} x^2 & (x \leqq 1) \\ ax + b & (x > 1) \end{cases}$ 在 $x = 1$ 处可导，求常数 $a$、$b$ 的值。解答：可导必连续，所以 $\displaystyle\lim_{x \to 1+0}(ax + b) = a + b$ 要等于 $f(1) = 1$，得 $a + b = 1$ … ①。$h > 0$ 时，$\dfrac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \dfrac{a(1 + h) + b - 1}{h} = \dfrac{ah + (a + b - 1)}{h} = a$（由 ①）；$h < 0$ 时，$\dfrac{(1 + h)^2 - 1}{h} = 2 + h \to 2$。右侧导数与左侧导数相等，所以 $a = 2$，由 ① 得 $b = -1$。因此 $a = 2$，$b = -1$。

解说　容易卡在：只令两侧导数 $2x$ 和 $a$ 相等得 $a = 2$，忘了连续条件，$b$ 求不出来。可导必连续，先列连续条件 $a + b = 1$，再列左右微分系数相等 $a = 2$，两个条件一起用。

例 2　（场景：凑微分系数的定义）

問題　関数 $f(x)$ は $x = a$ で微分可能である。$\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(a + 2h) - f(a - h)}{h}$ を $f'(a)$ を用いて表せ。

解答　分子に $f(a)$ を加えて引く：

$$\frac{f(a + 2h) - f(a - h)}{h} = 2 \cdot \frac{f(a + 2h) - f(a)}{2h} + \frac{f(a - h) - f(a)}{-h}.$$

$h \to 0$ のとき $2h \to 0$，$-h \to 0$ で，$2$ つの分数はともに $f'(a)$ に近づく。したがって極限は $2f'(a) + f'(a) = 3f'(a)$ である。

中文翻译　题目：函数 $f(x)$ 在 $x = a$ 处可导。用 $f'(a)$ 表示 $\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(a + 2h) - f(a - h)}{h}$。解答：分子加上再减去 $f(a)$：$\dfrac{f(a + 2h) - f(a - h)}{h} = 2 \cdot \dfrac{f(a + 2h) - f(a)}{2h} + \dfrac{f(a - h) - f(a)}{-h}$。$h \to 0$ 时 $2h \to 0$，$-h \to 0$，两个分式都趋于 $f'(a)$。所以极限是 $2f'(a) + f'(a) = 3f'(a)$。

解说　容易卡在：第二项的分母要凑成 $-h$（和 $f$ 里的增量一致），符号最容易弄反。也可以记一般式 $\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(a + ph) - f(a + qh)}{h} = (p - q)f'(a)$，本题 $p = 2$，$q = -1$，答案 $3f'(a)$。

例 3　（场景：分式函数求导）

問題　$y = \dfrac{x^2 + 1}{x - 1}$ を微分せよ。

解答　商の導関数の公式より

$$y' = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 1) \cdot 1}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}.$$

中文翻译　题目：求 $y = \dfrac{x^2 + 1}{x - 1}$ 的导数。解答：由商的导数公式，$y' = \dfrac{2x(x - 1) - (x^2 + 1) \cdot 1}{(x - 1)^2} = \dfrac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}$。

解说　另一种解法：先做多项式除法（本书第 10 章）：$\dfrac{x^2 + 1}{x - 1} = x + 1 + \dfrac{2}{x - 1}$，于是 $y' = 1 - \dfrac{2}{(x - 1)^2} = \dfrac{(x - 1)^2 - 2}{(x - 1)^2} = \dfrac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}$。分子次数不低于分母时，先除再求导省事，还顺便得到斜渐近线 $y = x + 1$（21.7 节）；分子次数低时直接用商的法则。

例 4　（场景：多个因式之积在一点的导数）

問題　$f(x) = x(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)$ のとき，$f'(0)$ を求めよ。

解答　$f(x) = x \cdot g(x)$，$g(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)$ とおく。積の導関数の公式より $f'(x) = g(x) + xg'(x)$ であるから，

$$f'(0) = g(0) + 0 = (-1)(-2)(-3)(-4) = 24.$$

よって $f'(0) = 24$ である。

中文翻译　题目：$f(x) = x(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)$，求 $f'(0)$。解答：设 $f(x) = x \cdot g(x)$，$g(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)$。由积的导数公式 $f'(x) = g(x) + xg'(x)$，所以 $f'(0) = g(0) + 0 = (-1)(-2)(-3)(-4) = 24$，即 $f'(0) = 24$。

解说　另一种解法：直接用定义，$f(0) = 0$：$f'(0) = \lim_{h \to 0}\dfrac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0}(h - 1)(h - 2)(h - 3)(h - 4) = 24$。两种都不用把五次式展开。只求一点处的导数时，定义法最直接；要求导函数本身时用积的法则。

常用推论

• $x = a$ 处的可导条件（分段函数）：$f(x) = \begin{cases} g(x) & (x \le a) \\ k(x) & (x > a) \end{cases}$，$g$、$k$ 都可导时，在 $x = a$ 可导 $\iff$ $g(a) = k(a)$ 且 $g'(a) = k'(a)$。推导见例 1：连续给前一个条件，两侧极限相等给后一个。
• $\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(a + ph) - f(a + qh)}{h} = (p - q)f'(a)$。推导同例 2，减去再加上 $f(a)$。
• $\displaystyle\lim_{x \to a}\frac{x^n f(a) - a^n f(x)}{x - a} = na^{n-1}f(a) - a^n f'(a)$：分子减去再加上 $a^n f(a)$，拆成 $f(a)\dfrac{x^n - a^n}{x - a} - a^n\dfrac{f(x) - f(a)}{x - a}$。
• $\{f(x)^2\}' = 2f(x)f'(x)$：积的法则取 $g = f$，也是 21.3 节链式法则的特例。

易错点

• 错在哪：认为 $f(x)$ 在 $x = a$ 连续就一定可导。 为什么错：连续只说明曲线不断开，可导还要求不能有“尖角”。$|x|$ 在 0 处连续，左右斜率是 $-1$ 和 $1$，不可导。 正确做法：可导 ⇒ 连续，反过来不成立。判断可导要算微分系数。
• 错在哪：分段函数只令两段的导函数在分界点相等，就说可导。 为什么错：两段的导函数相等，曲线也可能在分界点断开（比如 $x^2$ 和 $2x + 5$），断开的地方不连续，也就不可导。 正确做法：先列连续条件，再列导数相等的条件，两个一起解。
• 错在哪：$\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(a - h) - f(a)}{h}$ 写成 $f'(a)$。 为什么错：$f$ 里的增量是 $-h$，分母却是 $h$，差一个负号。 正确做法：分母凑成和增量相同的 $-h$，结果是 $-f'(a)$。

直观理解

可导就是“放大看是直线”：把曲线在点 $(a, f(a))$ 附近不断放大，可导的曲线越看越像一条直线，这条直线就是切线；$|x|$ 在原点放大多少倍都还是一个尖角，所以没有切线。连续是“笔不离纸”，可导是“笔不离纸，而且不拐急弯”。例 1 的图里，$y = 2x - 1$ 正好是 $y = x^2$ 在 $(1, 1)$ 处的切线，两段接得天衣无缝。

关联知识点

• 国内书第 24 章 24.3 节：导数的定义与几何意义；24.5 节：和差积商法则，证明与本节相同。
• 本书第 20 章 極限：左右极限、连续的定义，是本节判定可导的前提。
• 本书第 10 章 いろいろな式：多项式除法，例 3 的另一种解法用到。
• 后续：21.3 节链式法则；21.7 节的斜渐近线。

21.3 合成関数・逆関数の導関数

说明

合成関数の導関数（链式法则）：$y = f(u)$，$u = g(x)$ 都可导，则 $y = f(g(x))$ 可导，且

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}, \qquad \text{即} \quad \{f(g(x))\}' = f'(g(x))\,g'(x).$$

国内只学了内层是 $ax + b$ 的情形；这里内层可以是任何可导函数，也可以套好几层：$y = f(u)$，$u = g(v)$，$v = h(x)$ 时 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dv}\cdot\dfrac{dv}{dx}$。

最常用的几种形式：

形式	导数
$\{f(x)\}^n$	$n\{f(x)\}^{n-1}f'(x)$
$\sqrt{f(x)}$	$\dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$
$\sin f(x)$	$f'(x)\cos f(x)$
$e^{f(x)}$	$f'(x)e^{f(x)}$
$\ln\lvert f(x)\rvert$	$\dfrac{f'(x)}{f(x)}$

逆関数の導関数：$y = f^{-1}(x)$ 是 $f$ 的反函数（本书第 19 章），也就是 $x = f(y)$。若 $\dfrac{dx}{dy} \ne 0$，则

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\dfrac{dx}{dy}}.$$

点的写法：$f(a) = b$ 时，$(f^{-1})'(b) = \dfrac{1}{f'(a)}$。

対数微分法：函数是很多因式的积、商、幂，或者形如 $x^x$（底和指数都含 $x$）时，先两边取自然对数（取绝对值保证真数为正），再两边对 $x$ 求导：$\ln|y|$ 的导数是 $\dfrac{y'}{y}$。由此得到实数指数的幂函数公式：$x > 0$，$\alpha$ 为实数时 $(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}$。

媒介変数表示・陰関数の導関数：曲线写成 $x = f(t)$，$y = g(t)$ 时，$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$；曲线写成 $x^2 + y^2 = 25$ 这样的方程时，把 $y$ 看作 $x$ 的函数，两边对 $x$ 求导，$y^2$ 的导数是 $2y\,y'$。这两种都是链式法则的直接应用，见常用推论。

使用场景

• 内层不是一次函数的复合：题目里出现 $(x^2 + 1)^5$、$\sin^3 x$、$e^{-x^2}$、$\ln(x^2 + 1)$。
• 根式和分式套在一起：题目里出现 $\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$、$\sqrt{\dfrac{1 - x}{1 + x}}$。
• 给出 $f(x)$，问反函数在某点的导数，而反函数写不出来：题目里出现 $f(x) = x^3 + 3x + 1$ 的逆関数 $g(x)$，求 $g'(5)$。
• 底和指数都含 $x$，或很多因式的积商：题目里出现 $x^x$、$x^{\sin x}$、$\dfrac{(x + 1)^3}{(x + 2)^2(x + 3)}$。
• 曲线用参数或方程给出，求切线：题目里出现 $x = 2\cos t$，$y = \sin t$，或 $x^2 + y^2 = 25$。

注意点

• 求导从最外层往里剥，每剥一层乘一次这一层内部的导数，直到剥到 $x$ 为止。$\sin^2 3x = (\sin 3x)^2$ 有三层：平方、正弦、$3x$。
• $\sin^n x$ 指 $(\sin x)^n$，$\sin x^n$ 指 $\sin(x^n)$，日本教科书写法与国内相同，但 EJU 题干里两种都会出现，看清楚。
• 反函数的导数在对应的点取倒数：求 $(f^{-1})'(b)$，要先解 $f(a) = b$ 找到 $a$，再算 $\dfrac{1}{f'(a)}$，不是 $\dfrac{1}{f'(b)}$。
• 对数微分法取对数前要保证真数为正，否则取绝对值，$\ln|y|$ 的导数仍是 $\dfrac{y'}{y}$（21.4 节）。
• EJU 写法：$\log|f(x)|$，$\{f(x)\}^n$；题干「逆関数を $g(x)$ とする」「$\dfrac{dy}{dx}$ を $t$ の式で表せ」。

证明

结论 1：合成関数の導関数。 国内书第 24 章 24.6 节说明过：直接写 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\Delta y}{\Delta u}\cdot\dfrac{\Delta u}{\Delta x}$ 时，$\Delta u$ 可能等于 0，不能做分母。下面的写法绕开了这一点，高中知识就能完整证明。

设 $u = g(x)$，$\Delta u = g(x + h) - g(x)$。定义

$$\varphi(k) = \begin{cases} \dfrac{f(u + k) - f(u)}{k} & (k \ne 0) \\ f'(u) & (k = 0) \end{cases}$$

由 $f$ 在 $u$ 可导，$\displaystyle\lim_{k \to 0}\varphi(k) = f'(u) = \varphi(0)$。而且无论 $k$ 是否为 0，都有

$$f(u + k) - f(u) = \varphi(k) \cdot k.$$

（关键一步：$k = 0$ 时两边都是 0，所以这个等式不用除以 $k$，对 $k = 0$ 也成立。）取 $k = \Delta u$：

$$\frac{f(g(x + h)) - f(g(x))}{h} = \varphi(\Delta u) \cdot \frac{\Delta u}{h}.$$

$h \to 0$ 时，$g$ 可导所以连续，$\Delta u \to 0$，$\varphi(\Delta u) \to f'(u)$；$\dfrac{\Delta u}{h} \to g'(x)$。所以 $\{f(g(x))\}' = f'(g(x))g'(x)$。日本教科书一般给出 $\dfrac{\Delta y}{\Delta u}\cdot\dfrac{\Delta u}{\Delta x}$ 的说明，并注明 $\Delta u \ne 0$ 的假设；上面是去掉这个假设的写法。

结论 2：逆関数の導関数。 $y = f^{-1}(x)$，即 $x = f(y)$。$x$ 有增量 $\Delta x \ne 0$ 时，$y$ 的增量 $\Delta y \ne 0$（反函数是一一对应，$x$ 变了 $y$ 一定变）。所以可以写

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{1}{\dfrac{\Delta x}{\Delta y}}.$$

$\Delta x \to 0$ 时 $\Delta y \to 0$（连续函数的反函数连续，日本教科书承认这一点），分母 $\dfrac{\Delta x}{\Delta y} \to \dfrac{dx}{dy} = f'(y) \ne 0$。所以 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{dx/dy}$。

结论 3：$(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}$（$x > 0$，$\alpha$ 为实数）。 $y = x^\alpha$，两边取对数：$\ln y = \alpha \ln x$。两边对 $x$ 求导，左边用链式法则：

$$\frac{y'}{y} = \frac{\alpha}{x}, \qquad y' = \alpha \cdot \frac{x^\alpha}{x} = \alpha x^{\alpha - 1}.$$

这补上了国内书第 24 章 24.4 节“指数是一般实数时教材直接给出”的那一步（用到 21.4 节的 $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$）。

例题

例 1　（场景：内层不是一次函数）

問題　次の関数を微分せよ。 (1) $y = (x^2 + 1)^5$ (2) $y = \sin^3 x$ (3) $y = e^{-x^2}$ (4) $y = \ln(x^2 + 1)$

解答　合成関数の導関数の公式を用いる。 (1) $y' = 5(x^2 + 1)^4 \cdot 2x = 10x(x^2 + 1)^4$。 (2) $y' = 3\sin^2 x \cdot \cos x$。 (3) $y' = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2xe^{-x^2}$。 (4) $y' = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$。

中文翻译　题目：求下列函数的导数。（1）$y = (x^2 + 1)^5$；（2）$y = \sin^3 x$；（3）$y = e^{-x^2}$；（4）$y = \ln(x^2 + 1)$。解答：用复合函数求导公式。（1）$y' = 5(x^2 + 1)^4 \cdot 2x = 10x(x^2 + 1)^4$。（2）$y' = 3\sin^2 x \cdot \cos x$。（3）$y' = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2xe^{-x^2}$。（4）$y' = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$。

解说　容易卡在：(1) 写成 $5(x^2 + 1)^4$，漏乘 $2x$。从最外层往里剥，每剥一层乘一次这一层内部的导数：$\sin^3 x$ 有三层（平方、正弦、$x$），$e^{-x^2}$ 也要乘指数层 $x^2$ 的导数 $-2x$。

例 2　（场景：根式和分式套在一起）

問題　$y = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ を微分せよ。

解答　$(\sqrt{x^2 + 1})' = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ である。商の導関数の公式より

$$y' = \frac{\sqrt{x^2 + 1} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1} = \frac{(x^2 + 1) - x^2}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{1}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}}.$$

（$2$ つ目の等号は，分子と分母に $\sqrt{x^2 + 1}$ を掛けた。）

中文翻译　题目：求 $y = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ 的导数。解答：$(\sqrt{x^2 + 1})' = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$。由商的导数公式，$y' = \dfrac{\sqrt{x^2 + 1} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1} = \dfrac{(x^2 + 1) - x^2}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}} = \dfrac{1}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}}$。（第二个等号是分子分母同乘 $\sqrt{x^2 + 1}$。）

解说　容易卡在：商的公式分母要平方，$\sqrt{x^2 + 1}$ 平方后化成 $x^2 + 1$；分子里的 $x \cdot \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ 与 $\sqrt{x^2 + 1}$ 通分后正好消去 $x^2$。第二步分子分母同乘 $\sqrt{x^2 + 1}$ 是化简的关键。

例 3　（场景：反函数在某点的导数）

問題　$f(x) = x^3 + 3x + 1$ の逆関数を $g(x)$ とする。$g'(5)$ を求めよ。

解答　まず $g(5)$ を求める。$x^3 + 3x + 1 = 5$ を解くと $x = 1$ が満たすから，$g(5) = 1$ である。（$f'(x) = 3x^2 + 3 > 0$ より $f$ は単調に増加し，解はただ $1$ つ。したがって逆関数が存在する。）$f'(1) = 6$ であるから，逆関数の導関数の公式より

$$g'(5) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{6}.$$

中文翻译　题目：$f(x) = x^3 + 3x + 1$ 的反函数为 $g(x)$，求 $g'(5)$。解答：先求 $g(5)$。解 $x^3 + 3x + 1 = 5$，$x = 1$ 满足，所以 $g(5) = 1$。（$f'(x) = 3x^2 + 3 > 0$，$f$ 单调递增，解唯一，因此反函数存在。）$f'(1) = 6$，由反函数的导数公式，$g'(5) = \dfrac{1}{f'(1)} = \dfrac{1}{6}$。

解说　容易卡在：直接算 $\dfrac{1}{f'(5)} = \dfrac{1}{78}$。$g$ 在 5 处的切线对应的是 $f$ 在 1 处的切线。求 $(f^{-1})'(b)$，要先解 $f(a) = b$ 找到 $a$，再算 $\dfrac{1}{f'(a)}$，不是 $\dfrac{1}{f'(b)}$。

例 4　（场景：底和指数都含 $x$）

問題　$y = x^x$（$x > 0$）を微分せよ。

解答　両辺の自然対数をとると $\ln y = x\ln x$。両辺を $x$ で微分すると

$$\frac{y'}{y} = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1, \qquad y' = x^x(\ln x + 1).$$

中文翻译　题目：求 $y = x^x$（$x > 0$）的导数。解答：两边取自然对数，$\ln y = x\ln x$。两边对 $x$ 求导：$\dfrac{y'}{y} = \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} = \ln x + 1$，$y' = x^x(\ln x + 1)$。

解说　另一种解法：$x^x = e^{x\ln x}$，用链式法则：$y' = e^{x\ln x}(x\ln x)' = x^x(\ln x + 1)$。两种写法本质相同；EJU 题干若写「両辺の自然対数をとって」就按对数微分法写，自己算时化成 $e$ 的幂更直接。容易卡在：把 $x^x$ 当幂函数得 $x \cdot x^{x - 1}$，或当指数函数得 $x^x\ln x$，两种都只对了一半。

例 5　（场景：参数曲线或方程给出的曲线的切线）

問題　(1) 楕円 $x = 2\cos t$，$y = \sin t$ 上の $t = \dfrac{\pi}{4}$ に対応する点における接線の方程式を求めよ。 (2) 円 $x^2 + y^2 = 25$ 上の点 $(3, 4)$ における接線の傾きを求めよ。

解答　(1) $\dfrac{dx}{dt} = -2\sin t$，$\dfrac{dy}{dt} = \cos t$ であるから，$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\cos t}{-2\sin t}$。 $t = \dfrac{\pi}{4}$ のとき傾きは $-\dfrac{1}{2}$，点は $\left(\sqrt{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$。接線は $y - \dfrac{\sqrt{2}}{2} = -\dfrac{1}{2}(x - \sqrt{2})$，すなわち $y = -\dfrac{1}{2}x + \sqrt{2}$。

(2) 両辺を $x$ で微分すると $2x + 2yy' = 0$，よって $y' = -\dfrac{x}{y}$。点 $(3, 4)$ において $y' = -\dfrac{3}{4}$。

中文翻译　题目：（1）求椭圆 $x = 2\cos t$，$y = \sin t$ 上与 $t = \dfrac{\pi}{4}$ 对应的点处的切线方程。（2）求圆 $x^2 + y^2 = 25$ 上点 $(3, 4)$ 处的切线斜率。解答：（1）$\dfrac{dx}{dt} = -2\sin t$，$\dfrac{dy}{dt} = \cos t$，所以 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\cos t}{-2\sin t}$。$t = \dfrac{\pi}{4}$ 时斜率 $-\dfrac{1}{2}$，点是 $\left(\sqrt{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$。切线：$y - \dfrac{\sqrt{2}}{2} = -\dfrac{1}{2}(x - \sqrt{2})$，即 $y = -\dfrac{1}{2}x + \sqrt{2}$。（2）两边对 $x$ 求导：$2x + 2yy' = 0$，$y' = -\dfrac{x}{y}$。在 $(3, 4)$ 处 $y' = -\dfrac{3}{4}$。

解说　另一种解法：(2) 用几何：圆的切线垂直于半径，半径斜率 $\dfrac{4}{3}$，切线斜率 $-\dfrac{3}{4}$。圆用几何更快；椭圆、一般曲线没有这样的性质，只能用隐函数求导。参数曲线的 $\dfrac{dy}{dx}$ 是 $\dfrac{dy}{dt}$ 除以 $\dfrac{dx}{dt}$，分子是 $y$ 的导数，别写反。

常用推论

• 媒介変数表示の導関数：$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$（$\dfrac{dx}{dt} \ne 0$）。推导：$y$ 是 $t$ 的函数，$t$ 又是 $x$ 的函数（$x = f(t)$ 的反函数），链式法则加反函数求导：$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{dt}\cdot\dfrac{dt}{dx} = \dfrac{dy}{dt} \Big/ \dfrac{dx}{dt}$。
• 陰関数の導関数：$y^n$ 对 $x$ 求导得 $ny^{n-1}y'$。推导：链式法则，外层 $u^n$，内层 $y(x)$。
• 法線：曲线 $y = f(x)$ 上点 $(a, f(a))$ 处的法线（过切点、垂直于切线的直线）是 $y - f(a) = -\dfrac{1}{f'(a)}(x - a)$（$f'(a) \ne 0$）。推导：两直线垂直，斜率之积为 $-1$。
• $(\sqrt[n]{x})' = \dfrac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$：结论 3 取 $\alpha = \dfrac{1}{n}$；也可以由 $x = y^n$ 用反函数求导得到。
• 对数微分法求积商：$y = \dfrac{(x + 1)^3}{(x + 2)^2}$ 时 $\dfrac{y'}{y} = \dfrac{3}{x + 1} - \dfrac{2}{x + 2}$，乘回 $y$ 即可。

易错点

• 错在哪：$(\sin^2 3x)' = 2\sin 3x\cos 3x$。 为什么错：三层复合只乘了两层，漏了最内层 $3x$ 的导数 3。 正确做法：$2\sin 3x \cdot \cos 3x \cdot 3 = 3\sin 6x$。
• 错在哪：$f(x) = x^3 + 3x + 1$ 的反函数 $g$，算 $g'(5) = \dfrac{1}{f'(5)}$。 为什么错：$g'(5)$ 对应 $f$ 图像上纵坐标为 5 的点，即 $x = 1$ 处，不是 $x = 5$ 处。 正确做法：先解 $f(a) = 5$ 得 $a = 1$，再算 $\dfrac{1}{f'(1)}$。
• 错在哪：参数曲线写成 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dx/dt}{dy/dt}$。 为什么错：分子分母颠倒，求出来的是 $\dfrac{dx}{dy}$。 正确做法：$\dfrac{dy}{dx}$ 的分子是 $y$，所以分子是 $\dfrac{dy}{dt}$。像分数一样“约掉 $dt$“来记。

直观理解

链式法则是“倍率相乘”：$x$ 动一点，$u$ 动 $g'(x)$ 倍；$u$ 动一点，$y$ 又动 $f'(u)$ 倍，所以 $y$ 对 $x$ 是 $f'(u)g'(x)$ 倍。像三个咬合的齿轮，第一个转一圈第二个转 2 圈，第二个转一圈第三个转 3 圈，第一个转一圈第三个就转 6 圈。

反函数是把图像沿 $y = x$ 翻过去，横纵坐标对调，切线的“竖着走 / 横着走”也对调，斜率变成倒数。

关联知识点

• 国内书第 24 章 24.6 节：$f(ax + b)$ 的求导，是本节链式法则的特例。
• 国内书第 24 章 24.4 节：$(\ln x)'$ 用“关于 $y = x$ 对称、斜率取倒数”说明，本节结论 2 是它的严格版本。
• 本书第 19 章 関数：反函数、合成函数的定义。
• 本书第 18 章 式と曲線：媒介変数表示（摆线、椭圆的参数式）的切线就用本节的推论。
• 后续：本书第 22 章置換積分法就是链式法则倒过来用。

21.4 三角関数・指数関数・対数関数の導関数

说明

函数	导函数	EJU 写法
$\sin x$	$\cos x$	同
$\cos x$	$-\sin x$	同
$\tan x$	$\dfrac{1}{\cos^2 x}$	同
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$	$(\log x)' = \dfrac{1}{x}$
$\ln\lvert x\rvert$	$\dfrac{1}{x}$	$(\log\lvert x\rvert)' = \dfrac{1}{x}$
$\log_a x$	$\dfrac{1}{x\ln a}$	$(\log_a x)' = \dfrac{1}{x\log a}$
$e^x$	$e^x$	同
$a^x$	$a^x\ln a$	$(a^x)' = a^x\log a$

表里的 $a > 0$，$a \ne 1$；三角函数的 $x$ 是弧度（本书第 13 章）。

公式本身国内书第 24 章 24.4 节都有，但那里 $e^x$、$\ln x$ 只做了数值观察和几何说明。日本数学Ⅲ 的推导顺序是：先在第 20 章 20.6 节证明（或定义）两个极限

$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1, \qquad \lim_{h \to 0}(1 + h)^{\frac{1}{h}} = e,$$

然后先推对数函数的导数，再用反函数求导推出指数函数的导数。这和国内“先指数、后对数”的顺序相反。

使用场景

• 极限式其实是某个函数的微分系数：题目里出现 $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^{2x} - 1}{x}$、$\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1 + 3x)}{x}$。
• 含 $\tan x$ 或三角函数的复合：题目里出现 $\tan^2 x$、$\ln(\cos x)$。
• 对数的真数可能为负：题目里出现 $\ln|x^2 - 1|$，或定义域包含负数的对数函数。
• 底数不是 $e$ 的指数、对数：题目里出现 $2^{x^2}$、$\log_2(x^2 + 1)$。

注意点

• EJU コース2 的题里 $\log x$ 是自然对数，求导得 $\dfrac{1}{x}$，不要当成以 10 为底。題目若写「ただし，log は自然対数とする」更明确；写 $\log_{10}$ 时才是常用对数。
• $(\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}$ 在日本作为公式直接用；国内教材不列，要用商的法则推。也可写成 $1 + \tan^2 x$。
• $\ln|x|$ 的导数和 $\ln x$ 一样是 $\dfrac{1}{x}$，区别只在定义域：前者 $x \ne 0$，后者 $x > 0$。这一条是第 22 章积分 $\displaystyle\int\frac{1}{x}\,dx = \log|x| + C$ 的来源。
• $(a^x)' = a^x\ln a$，不是 $xa^{x - 1}$；$(\log_a x)'$ 的 $\ln a$ 在分母上。
• 三角函数的公式只在弧度制下成立。角度制下 $(\sin x°)' = \dfrac{\pi}{180}\cos x°$。

证明

结论 1：$(\sin x)' = \cos x$，$(\cos x)' = -\sin x$。 日本教科书用和积互化公式（本书第 13 章）：

$$\sin(x + h) - \sin x = 2\cos\left(x + \frac{h}{2}\right)\sin\frac{h}{2}.$$

所以

$$\frac{\sin(x + h) - \sin x}{h} = \cos\left(x + \frac{h}{2}\right) \cdot \frac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}.$$

（关键一步：分母的 $h$ 写成 $2 \cdot \dfrac{h}{2}$，和分子的 2 约掉，凑出 $\dfrac{\sin\theta}{\theta}$ 的形式。）$h \to 0$ 时 $\dfrac{h}{2} \to 0$，后一个因子趋于 1，前一个趋于 $\cos x$（余弦函数连续）。所以 $(\sin x)' = \cos x$。余弦同理：$\cos(x + h) - \cos x = -2\sin\left(x + \dfrac{h}{2}\right)\sin\dfrac{h}{2}$，得 $(\cos x)' = -\sin x$。

和国内书的写法相比，这里只用一个极限 $\dfrac{\sin\theta}{\theta} \to 1$，不需要另证 $\dfrac{\cos h - 1}{h} \to 0$。

结论 2：$(\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}$。 商的法则：

$$\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)' = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}.$$

结论 3：$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$。 $x > 0$。

$$\frac{\ln(x + h) - \ln x}{h} = \frac{1}{h}\ln\left(1 + \frac{h}{x}\right) = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{h}\ln\left(1 + \frac{h}{x}\right) = \frac{1}{x}\ln\left(1 + \frac{h}{x}\right)^{\frac{x}{h}}.$$

（关键一步：令 $k = \dfrac{h}{x}$，$h \to 0$ 时 $k \to 0$，括号变成 $(1 + k)^{\frac{1}{k}}$，正是 $e$ 的定义式。）所以极限是 $\dfrac{1}{x}\ln e = \dfrac{1}{x}$。这里用到 $\ln$ 的连续性，可以把极限移进对数里面。

结论 4：$(\ln|x|)' = \dfrac{1}{x}$。 $x > 0$ 时就是结论 3。$x < 0$ 时 $\ln|x| = \ln(-x)$，链式法则：$\dfrac{1}{-x}\cdot(-1) = \dfrac{1}{x}$。

结论 5：$(\log_a x)' = \dfrac{1}{x\ln a}$。 换底公式 $\log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a}$，$\dfrac{1}{\ln a}$ 是常数。

结论 6：$(e^x)' = e^x$。 $y = e^x$ 的反函数是 $x = \ln y$。由 21.3 节结论 2：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\dfrac{dx}{dy}} = \frac{1}{\dfrac{1}{y}} = y = e^x.$$

结论 7：$(a^x)' = a^x\ln a$。 $a^x = e^{x\ln a}$，链式法则：$(e^{x\ln a})' = e^{x\ln a}\cdot\ln a = a^x\ln a$。

国内书说“严格证明属于大学数学分析”的部分，在日本高中是这样处理的：$e$ 的极限 $\displaystyle\lim_{h \to 0}(1 + h)^{\frac{1}{h}}$ 存在当作事实承认（第 20 章），其余全部严格推出。

例题

例 1　（场景：极限式其实是微分系数）

問題　次の極限を求めよ。 (1) $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^{2x} - 1}{x}$ (2) $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1 + 3x)}{x}$

解答　(1) $f(x) = e^{2x}$ とおくと $f(0) = 1$。与式は $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = f'(0)$ である。$f'(x) = 2e^{2x}$ であるから，与式 $= 2$。 (2) $g(x) = \ln(1 + 3x)$ とおくと $g(0) = 0$。与式は $g'(0)$ である。$g'(x) = \dfrac{3}{1 + 3x}$ であるから，与式 $= 3$。

中文翻译　题目：求下列极限。（1）$\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^{2x} - 1}{x}$；（2）$\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1 + 3x)}{x}$。解答：（1）设 $f(x) = e^{2x}$，$f(0) = 1$。原式是 $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = f'(0)$。$f'(x) = 2e^{2x}$，所以原式 $= 2$。（2）设 $g(x) = \ln(1 + 3x)$，$g(0) = 0$。原式是 $g'(0)$。$g'(x) = \dfrac{3}{1 + 3x}$，所以原式 $= 3$。

解说　另一种解法：(2) 用 $e$ 的定义：$\dfrac{\ln(1 + 3x)}{x} = 3\ln(1 + 3x)^{\frac{1}{3x}} \to 3\ln e = 3$。看出“分子在 $x = 0$ 处为 0、分母是 $x - a$“就用微分系数，最快；形状像 $(1 + h)^{\frac{1}{h}}$ 时用定义式，第 20 章的极限题多用这种。

例 2　（场景：含 $\tan$ 或三角函数的复合）

問題　次の関数を微分せよ。 (1) $y = \tan^2 x$ (2) $y = \ln(\cos x)$（$0 < x < \dfrac{\pi}{2}$）

解答　(1) $y' = 2\tan x \cdot \dfrac{1}{\cos^2 x} = \dfrac{2\sin x}{\cos^3 x}$。 (2) $y' = \dfrac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x$。

中文翻译　题目：求下列函数的导数。（1）$y = \tan^2 x$；（2）$y = \ln(\cos x)$（$0 < x < \dfrac{\pi}{2}$）。解答：（1）$y' = 2\tan x \cdot \dfrac{1}{\cos^2 x} = \dfrac{2\sin x}{\cos^3 x}$。（2）$y' = \dfrac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x$。

解说　(1) 是两层复合：$(\tan x)^2$ 的外层是平方，内层是 $\tan x$，还要再乘 $(\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}$，答案化成 $\dfrac{2\sin x}{\cos^3 x}$。(2) 的 $\ln(\cos x)$ 定义域要求 $\cos x > 0$，题设 $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ 正好保证这一点；答案化成 $-\tan x$ 更简洁。

例 3　（场景：对数的真数可能为负）

問題　$y = \ln|x^2 - 1|$ を微分せよ。

解答　$(\ln|f(x)|)' = \dfrac{f'(x)}{f(x)}$ を用いる。

$$y' = \frac{2x}{x^2 - 1} \quad (x \ne \pm 1).$$

中文翻译　题目：求 $y = \ln|x^2 - 1|$ 的导数。解答：用 $(\ln|f(x)|)' = \dfrac{f'(x)}{f(x)}$，得 $y' = \dfrac{2x}{x^2 - 1}$（$x \ne \pm 1$）。

解说　不用分 $|x| > 1$ 和 $|x| < 1$ 两种情况讨论，结论 4 已经把负数的情形包括进去。容易卡在：真数含绝对值时不敢直接套公式；只要 $f(x) \ne 0$，$(\ln|f(x)|)' = \dfrac{f'(x)}{f(x)}$ 都成立。

例 4　（场景：底不是 $e$）

問題　次の関数を微分せよ。 (1) $y = 2^{x^2}$ (2) $y = \log_2(x^2 + 1)$

解答　(1) $y' = 2^{x^2}\ln 2 \cdot 2x = 2x \cdot 2^{x^2}\ln 2$。 (2) $y' = \dfrac{2x}{(x^2 + 1)\ln 2}$。

中文翻译　题目：求下列函数的导数。（1）$y = 2^{x^2}$；（2）$y = \log_2(x^2 + 1)$。解答：（1）$y' = 2^{x^2}\ln 2 \cdot 2x = 2x \cdot 2^{x^2}\ln 2$。（2）$y' = \dfrac{2x}{(x^2 + 1)\ln 2}$。

解说　容易卡在：(1) 写成 $x^2 \cdot 2^{x^2 - 1}$，把指数函数当成幂函数。$(a^x)' = a^x\ln a$，这里外层是 $2^u$，还要乘内层 $u = x^2$ 的导数 $2x$；(2) 的 $\ln 2$ 在分母上。

常用推论

• $\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{e^h - 1}{h} = 1$，$\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\ln(1 + h)}{h} = 1$。推导：分别是 $e^x$ 和 $\ln(1 + x)$ 在 $x = 0$ 处的微分系数（例 1 的方法）。
• $(\tan x)' = 1 + \tan^2 x$。推导：$\dfrac{1}{\cos^2 x} = \dfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}$。
• $\left(\dfrac{1}{\tan x}\right)' = -\dfrac{1}{\sin^2 x}$。推导：$\dfrac{\cos x}{\sin x}$ 用商的法则。
• $\{\ln|f(x)|\}' = \dfrac{f'(x)}{f(x)}$。推导：结论 4 加链式法则。第 22 章 $\displaystyle\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \log|f(x)| + C$ 就是它反过来。
• $(e^{ax}\sin bx)' = e^{ax}(a\sin bx + b\cos bx)$。推导：积的法则加链式法则。积分 $e^{ax}\sin bx$ 时要用。

易错点

• 错在哪：EJU 题里 $(\log x)'$ 写成 $\dfrac{1}{x\log 10}$。 为什么错：把数学Ⅲ 的 $\log$ 当成了常用对数。 正确做法：コース2 的微积分题里 $\log x$ 就是 $\ln x$，$(\log x)' = \dfrac{1}{x}$。
• 错在哪：$(\tan x)' = \dfrac{1}{\sin^2 x}$ 或 $-\dfrac{1}{\cos^2 x}$。 为什么错：和 $\left(\dfrac{1}{\tan x}\right)'$ 记混了。 正确做法：$\tan x$ 在 $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 上递增，导数必须为正，分母是 $\cos^2 x$。
• 错在哪：$(3^x)' = x \cdot 3^{x - 1}$。 为什么错：自变量在指数上，是指数函数，不能用幂函数公式。 正确做法：$(3^x)' = 3^x\ln 3$。

直观理解

$y = \sin x$ 的图像在每一点的斜率，连起来正好是 $y = \cos x$ 的图像：$x = 0$ 处 $\sin$ 上升最快，斜率 1，正是 $\cos 0$；$x = \dfrac{\pi}{2}$ 处 $\sin$ 到顶，斜率 0，正是 $\cos\dfrac{\pi}{2}$。

$e$ 的地位：$(1 + h)^{\frac{1}{h}}$ 描述“每次增长一点点、增长无数次”的复利结果。以 $e$ 为底，指数函数的增长速度恰好等于它自己的值，所以 $(e^x)' = e^x$；换别的底就要多乘一个 $\ln a$ 来校正。

关联知识点

• 国内书第 24 章 24.4 节：同一张公式表，那里 $e^x$、$\ln x$ 只做说明，本节给出证明。
• 本书第 20 章 極限：$\dfrac{\sin x}{x} \to 1$ 和 $e$ 的定义式，是本节全部证明的起点。
• 本书第 13 章 三角関数：和积互化公式、弧度制。
• 本书第 12 章 指数関数・対数関数：换底公式；EJU 的 $\log$ 记号。
• 后续：本书第 22 章 积分公式表就是本节表格倒过来读。

21.5 第 n 次導関数

说明

$f'(x)$ 再求导得到第 2 次導関数，写作

$$f''(x), \quad y'', \quad \frac{d^2y}{dx^2}, \quad \frac{d^2}{dx^2}f(x).$$

再求导是第 3 次導関数 $f'''(x)$、$y'''$、$\dfrac{d^3y}{dx^3}$。一般地，求导 $n$ 次得到第 $n$ 次導関数 $f^{(n)}(x)$、$y^{(n)}$、$\dfrac{d^ny}{dx^n}$。第 4 次起写成 $f^{(4)}(x)$，不再加撇。

常见函数的第 $n$ 次导数：

函数	第 $n$ 次导数
$x^m$（$m$ 为正整数）	$n \le m$ 时 $\dfrac{m!}{(m - n)!}x^{m - n}$；$n > m$ 时 0
$e^{ax}$	$a^ne^{ax}$
$\sin x$	$\sin\left(x + \dfrac{n\pi}{2}\right)$
$\cos x$	$\cos\left(x + \dfrac{n\pi}{2}\right)$
$\ln x$	$\dfrac{(-1)^{n-1}(n - 1)!}{x^n}$
$\dfrac{1}{x}$	$\dfrac{(-1)^nn!}{x^{n+1}}$

使用场景

• 求第 $n$ 次导数的一般形式：先算前三四次找规律，再用数学归纳法（本书第 14 章）证明。题目里出现「$y^{(n)}$ を求めよ」「$f^{(n)}(x)$ を推測し，証明せよ」。
• 三角函数的高次导数：题目里出现 $(\sin 2x)^{(10)}$，利用每求导 4 次回到原样。
• 验证某个函数满足含 $y''$、$y'$、$y$ 的等式：题目里出现「$y'' + 2y' + 2y = 0$ を満たすことを示せ」。
• 由一点处的各阶导数值定多项式的系数：题目给出 $f(0)$、$f'(0)$、$f''(0)$、$f'''(0)$。

注意点

• $f^{(n)}(x)$ 的括号不能省：$f^n(x)$ 通常指 $\{f(x)\}^n$。
• $y = f(x)$ 在一点的 $f''(a)$ 是先求出 $f''(x)$ 再代入 $a$，不是对 $f'(a)$（一个数）求导。
• $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ 的 2 写在 $d$ 的右上和 $x$ 的右上，位置不对称，这是固定写法。
• 参数曲线的第 2 次导数：$\dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{dx}\right) = \dfrac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}$，不等于 $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$。

证明

结论 1：$(\sin x)^{(n)} = \sin\left(x + \dfrac{n\pi}{2}\right)$。 用数学归纳法。$n = 1$：$(\sin x)' = \cos x = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)$，成立。设 $n = k$ 时成立，则

$$(\sin x)^{(k+1)} = \left\{\sin\left(x + \frac{k\pi}{2}\right)\right\}' = \cos\left(x + \frac{k\pi}{2}\right) = \sin\left(x + \frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(x + \frac{(k + 1)\pi}{2}\right).$$

（关键一步：$\cos\theta = \sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right)$，每求导一次相当于把角加上 $\dfrac{\pi}{2}$。）$\cos x$ 同理。

结论 2：$(\ln x)^{(n)} = \dfrac{(-1)^{n-1}(n - 1)!}{x^n}$。 $n = 1$：$\dfrac{1}{x}$，成立。设 $n = k$ 时成立，则

$$(\ln x)^{(k+1)} = (-1)^{k-1}(k - 1)! \cdot (x^{-k})' = (-1)^{k-1}(k - 1)! \cdot (-k)x^{-k-1} = \frac{(-1)^k k!}{x^{k+1}}.$$

结论 3：$(e^{ax})^{(n)} = a^ne^{ax}$。 每求导一次乘一个 $a$（链式法则），归纳即得。

结论 4：$x^m$。 每求导一次，指数下降 1，系数乘上原来的指数：$m(m - 1)\cdots(m - n + 1) = \dfrac{m!}{(m - n)!}$。求导 $m$ 次得常数 $m!$，再求导为 0。

例题

例 1　（场景：求第 $n$ 次导数的一般形式）

問題　$y = xe^x$ のとき，$y^{(n)}$ を求めよ。

解答　$y' = e^x + xe^x = (x + 1)e^x$，$y'' = e^x + (x + 1)e^x = (x + 2)e^x$ であるから，$y^{(n)} = (x + n)e^x$ と推測できる。

数学的帰納法で示す。$n = 1$ のときは $y' = (x + 1)e^x$ で成り立つ。$n = k$ のとき $y^{(k)} = (x + k)e^x$ が成り立つと仮定すると， $y^{(k+1)} = e^x + (x + k)e^x = (x + k + 1)e^x$。 よって $n = k + 1$ のときも成り立つ。したがって $y^{(n)} = (x + n)e^x$ である。

中文翻译　题目：$y = xe^x$，求 $y^{(n)}$。解答：$y' = e^x + xe^x = (x + 1)e^x$，$y'' = e^x + (x + 1)e^x = (x + 2)e^x$，推测 $y^{(n)} = (x + n)e^x$。用数学归纳法证明：$n = 1$ 时成立。设 $n = k$ 时 $y^{(k)} = (x + k)e^x$ 成立，则 $y^{(k+1)} = e^x + (x + k)e^x = (x + k + 1)e^x$，$n = k + 1$ 也成立。所以 $y^{(n)} = (x + n)e^x$。

解说　先算前两三次找规律，再证明猜出的形式；EJU 题干写「推測し，数学的帰納法で証明せよ」时要写出归纳的两步。注意 $(x + n)e^x$ 里 $x$ 的系数始终是 1，只有常数项随求导次数加 1，这是 $(x + k)e^x$ 求导后 $e^x$ 项与 $xe^x$ 项合并的结果。

例 2　（场景：三角函数的高次导数）

問題　$(\sin 2x)^{(10)}$ を求めよ。

解答　$1$ 回微分するごとに $2$ を掛け，角に $\dfrac{\pi}{2}$ を加える：

$$(\sin 2x)^{(10)} = 2^{10}\sin\left(2x + \frac{10\pi}{2}\right) = 1024\sin(2x + 5\pi) = -1024\sin 2x.$$

中文翻译　题目：求 $(\sin 2x)^{(10)}$。解答：每求导一次乘 $2$，并把角加 $\dfrac{\pi}{2}$：$(\sin 2x)^{(10)} = 2^{10}\sin\left(2x + \dfrac{10\pi}{2}\right) = 1024\sin(2x + 5\pi) = -1024\sin 2x$。

解说　另一种解法：数循环。$\sin 2x \to 2\cos 2x \to -4\sin 2x \to -8\cos 2x \to 16\sin 2x$，每 4 次回到 $\sin 2x$、系数乘 $2^4$。$10 = 4 \times 2 + 2$，第 8 次是 $2^8\sin 2x$，再走两步得 $-2^{10}\sin 2x$。用公式一步到位；忘了公式时数循环，不会出错。

例 3　（场景：验证满足含导数的等式）

問題　$y = e^{-x}\sin x$ が $y'' + 2y' + 2y = 0$ を満たすことを示せ。

解答

$$y' = -e^{-x}\sin x + e^{-x}\cos x = e^{-x}(\cos x - \sin x),$$ $$y'' = -e^{-x}(\cos x - \sin x) + e^{-x}(-\sin x - \cos x) = -2e^{-x}\cos x.$$

これらを代入すると $-2e^{-x}\cos x + 2e^{-x}(\cos x - \sin x) + 2e^{-x}\sin x = 0$。 したがって $y'' + 2y' + 2y = 0$ が成り立つ。

中文翻译　题目：证明 $y = e^{-x}\sin x$ 满足 $y'' + 2y' + 2y = 0$。解答：$y' = -e^{-x}\sin x + e^{-x}\cos x = e^{-x}(\cos x - \sin x)$，$y'' = -e^{-x}(\cos x - \sin x) + e^{-x}(-\sin x - \cos x) = -2e^{-x}\cos x$。代入得 $-2e^{-x}\cos x + 2e^{-x}(\cos x - \sin x) + 2e^{-x}\sin x = 0$。因此 $y'' + 2y' + 2y = 0$。

解说　求 $y''$ 时，$y'$ 的两项都是 $e^{-x}$ 与三角函数的积，各用一次积的法则；合并时 $\sin x$ 项正好抵消，只剩 $-2e^{-x}\cos x$。代入前先把 $y'$、$y''$、$y$ 都写成 $e^{-x}$ 的倍数，核对符号最不容易错。

例 4　（场景：由各阶导数值定多项式系数）

問題　$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ が $f(0) = 1$，$f'(0) = 2$，$f''(0) = 6$，$f'''(0) = 12$ を満たすとき，$f(x)$ を求めよ。

解答　$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$，$f''(x) = 6ax + 2b$，$f'''(x) = 6a$ である。$x = 0$ を代入すると $d = 1$，$c = 2$，$2b = 6$，$6a = 12$。 よって $a = 2$，$b = 3$，$c = 2$，$d = 1$，すなわち $f(x) = 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1$ である。

中文翻译　题目：$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ 满足 $f(0) = 1$，$f'(0) = 2$，$f''(0) = 6$，$f'''(0) = 12$，求 $f(x)$。解答：$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$，$f''(x) = 6ax + 2b$，$f'''(x) = 6a$。代入 $x = 0$：$d = 1$，$c = 2$，$2b = 6$，$6a = 12$。所以 $a = 2$，$b = 3$，$c = 2$，$d = 1$，即 $f(x) = 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1$。

解说　规律：$x^k$ 的系数是 $\dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}$。本题 $f'''(0) = 12$ 给出 $a = \dfrac{12}{3!} = 2$，$f''(0) = 6$ 给出 $b = \dfrac{6}{2!} = 3$，$f'(0) = 2$ 给出 $c = 2$，$f(0) = 1$ 给出 $d = 1$。代入 $x = 0$ 时高次项都消失，只剩当前阶的系数，一次解一个。

常用推论

• 多项式的系数：$f(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{m} a_kx^k$ 时 $a_k = \dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}$。推导：对 $x^k$ 求导 $k$ 次得 $k!$，比它低次的项早变成 0，高次的项代入 0 后为 0（例 4）。
• $\sin$、$\cos$ 的 4 次循环：$(\sin x)^{(4)} = \sin x$，$(\cos x)^{(4)} = \cos x$。推导：结论 1 取 $n = 4$，角加 $2\pi$。
• 积的第 2 次导数：$(fg)'' = f''g + 2f'g' + fg''$。推导：对 $(fg)' = f'g + fg'$ 再用一次积的法则。系数 1、2、1 和二项式系数一样。
• $\left(\dfrac{1}{x + a}\right)^{(n)} = \dfrac{(-1)^nn!}{(x + a)^{n+1}}$。推导：同结论 2 的归纳。

易错点

• 错在哪：$(\cos x)^{(3)} = -\sin x$。 为什么错：循环记错。$\cos x \to -\sin x \to -\cos x \to \sin x$，第 3 次是 $\sin x$。 正确做法：用 $\cos\left(x + \dfrac{3\pi}{2}\right) = \sin x$ 核对，或写出循环。
• 错在哪：$(e^{3x})^{(n)} = e^{3x}$ 或 $3e^{3x}$。 为什么错：每求导一次都乘一次 3，不是只乘一次。 正确做法：$3^ne^{3x}$。
• 错在哪：$(\ln x)^{(n)}$ 写成 $\dfrac{(-1)^nn!}{x^n}$。 为什么错：第 1 次导数 $\dfrac{1}{x}$ 是正的，阶乘和符号都比 $\dfrac{1}{x}$ 的第 $n$ 次导数少一步。 正确做法：代 $n = 1$ 检查：$\dfrac{(-1)^0 0!}{x} = \dfrac{1}{x}$，对。

直观理解

第 1 次导数说“函数往哪个方向走、走多快”，第 2 次导数说“这个速度本身在变大还是变小”，也就是图像怎么弯（21.7 节）、运动物体的加速度（21.8 节）。

$\sin x$ 每求导一次，图像向左平移 $\dfrac{\pi}{2}$，平移四次回到原位：

关联知识点

• 本书第 14 章 数列：数学的帰納法，证明第 $n$ 次导数的一般形式。
• 本书第 10 章 いろいろな式：二项式定理，积的高次导数系数与它相同。
• 后续：21.7 节用 $f''$ 判断凹凸；21.8 节加速度是位置的第 2 次导数。
• 国内书没有对应内容；国内书第 24 章 24.3 节只在物理意义里提到“速度对时间的导数是加速度”。

21.6 平均値の定理

说明

平均値の定理（拉格朗日中值定理）：函数 $f(x)$ 在 $a \le x \le b$ 上连续，在 $a < x < b$ 内可导，则存在 $c$ 使

$$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c), \qquad a < c < b.$$

左边是连接 $A(a, f(a))$、$B(b, f(b))$ 的弦的斜率，右边是 $x = c$ 处的切线斜率。定理说：一定有一点的切线和弦平行。

另一种写法：$f(b) = f(a) + f'(c)(b - a)$，或者令 $b = a + h$，$c = a + \theta h$（$0 < \theta < 1$）。

ロルの定理（罗尔定理）：上面再加上 $f(a) = f(b)$，则存在 $c$（$a < c < b$）使 $f'(c) = 0$。这是平均値の定理的特殊情形，也是证明它的工具。

国内书第 25 章 25.2 节只在“单调性判定的严格证明”里提到拉格朗日中值定理；日本数学Ⅲ 正式讲它，并用来证明不等式和求极限。

使用场景

• 给出具体函数和区间，求满足定理的 $c$：题目里出现「平均値の定理を満たす $c$ の値を求めよ」。
• 证明含 $f(b) - f(a)$ 的不等式：题目里出现 $\ln b - \ln a$、$e^b - e^a$、$\sin b - \sin a$ 与 $b - a$ 比大小。
• 求形如 $\dfrac{f(x) - f(\text{另一个式子})}{x - \text{另一个式子}}$ 的极限：题目里出现 $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^x - e^{\sin x}}{x - \sin x}$。

注意点

• 两个条件缺一不可：闭区间上连续，开区间内可导。$|x|$ 在 $-1 \le x \le 1$ 上弦是水平的，但没有水平切线，因为 0 处不可导。
• 定理只保证 $c$ 存在，不告诉 $c$ 在哪里；$c$ 严格在 $a$、$b$ 之间，不能取端点。
• 证明不等式时，关键是对 $f'(c)$ 用 $a < c < b$ 放缩，需要 $f'$ 单调。

证明

ロルの定理。 $f$ 在闭区间上连续，所以有最大值和最小值（国内书第 25 章 25.3 节的最值定理，高中承认不证）。若最大值、最小值都等于 $f(a)$，$f$ 是常数，任何 $c$ 都满足 $f'(c) = 0$。否则最大值或最小值至少有一个在区间内部某点 $c$ 取到，不妨设是最大值。$h > 0$ 时 $\dfrac{f(c + h) - f(c)}{h} \le 0$，$h < 0$ 时 $\ge 0$。（关键一步：最大值点处，右侧差商不大于 0、左侧不小于 0，而两侧极限都等于 $f'(c)$。）所以 $f'(c) \le 0$ 且 $f'(c) \ge 0$，即 $f'(c) = 0$。

平均値の定理。 设 $k = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$，作

$$g(x) = f(x) - k(x - a).$$

$g(a) = f(a)$，$g(b) = f(b) - (f(b) - f(a)) = f(a)$。（关键一步：减掉弦的“倾斜部分”，让两端一样高，就能用罗尔定理。）由ロルの定理，存在 $c$ 使 $g'(c) = f'(c) - k = 0$，即 $f'(c) = k$。

例题

例 1　（场景：求满足定理的 $c$）

問題　$f(x) = x^3$，$0 \leqq x \leqq 3$ において，平均値の定理を満たす $c$ を求めよ。

解答　$\dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \dfrac{27}{3} = 9$，$f'(c) = 3c^2$ であるから，$3c^2 = 9$，$c = \pm\sqrt{3}$。$0 < c < 3$ であるから，$c = \sqrt{3}$ である。

中文翻译　题目：$f(x) = x^3$，在 $0 \leqq x \leqq 3$ 上，求满足中值定理的 $c$。解答：$\dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \dfrac{27}{3} = 9$，$f'(c) = 3c^2$，所以 $3c^2 = 9$，$c = \pm\sqrt{3}$。因为 $0 < c < 3$，$c = \sqrt{3}$。

解说　容易卡在：得 $c = \pm\sqrt{3}$，两个都写上。定理要求 $a < c < b$，$-\sqrt{3}$ 不在区间内，只取 $\sqrt{3}$。用定理前先检查闭区间上连续、开区间内可导两个条件。

例 2　（场景：证明含差的不等式）

問題　$0 < a < b$ のとき，$\dfrac{b - a}{b} < \ln b - \ln a < \dfrac{b - a}{a}$ が成り立つことを示せ。

解答　$f(x) = \ln x$ は $a \leqq x \leqq b$ で連続，$a < x < b$ で微分可能であるから，平均値の定理より，$a < c < b$ を満たす $c$ が存在して

$$\frac{\ln b - \ln a}{b - a} = \frac{1}{c}.$$

$a < c < b$ より $\dfrac{1}{b} < \dfrac{1}{c} < \dfrac{1}{a}$，すなわち $\dfrac{1}{b} < \dfrac{\ln b - \ln a}{b - a} < \dfrac{1}{a}$ である。各辺に正の数 $b - a$ を掛けると，求める不等式を得る。

中文翻译　题目：$0 < a < b$ 时，证明 $\dfrac{b - a}{b} < \ln b - \ln a < \dfrac{b - a}{a}$。解答：$f(x) = \ln x$ 在 $a \leqq x \leqq b$ 上连续，在 $a < x < b$ 内可导，由中值定理，存在 $c$（$a < c < b$）使 $\dfrac{\ln b - \ln a}{b - a} = \dfrac{1}{c}$。由 $a < c < b$ 得 $\dfrac{1}{b} < \dfrac{1}{c} < \dfrac{1}{a}$，即 $\dfrac{1}{b} < \dfrac{\ln b - \ln a}{b - a} < \dfrac{1}{a}$。各边乘正数 $b - a$ 即得。

解说　另一种解法：令 $t = \dfrac{b}{a} > 1$，不等式变成 $1 - \dfrac{1}{t} < \ln t < t - 1$，再分别构造函数求导证明（国内书第 25 章 25.4 节的方法）。平均値の定理一步给出两边；构造函数法要做两次，但不依赖新定理，国内学生更熟。容易卡在：正数取倒数，不等号方向要反过来。

例 3　（场景：用平均値の定理求极限）

問題　$\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^x - e^{\sin x}}{x - \sin x}$ を求めよ。

解答　$x \ne 0$ のとき $x \ne \sin x$ である。$f(t) = e^t$ に対して，$\sin x$ と $x$ の間で平均値の定理を用いると，両者の間にある $c$ が存在して

$$\frac{e^x - e^{\sin x}}{x - \sin x} = e^c.$$

$x \to 0$ のとき $x \to 0$，$\sin x \to 0$ で，間に挟まれた $c \to 0$ であるから，極限は $e^0 = 1$ である。

中文翻译　题目：求 $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^x - e^{\sin x}}{x - \sin x}$。解答：$x \ne 0$ 时 $x \ne \sin x$。对 $f(t) = e^t$ 在 $\sin x$ 与 $x$ 之间用中值定理，存在介于两者之间的 $c$ 使 $\dfrac{e^x - e^{\sin x}}{x - \sin x} = e^c$。$x \to 0$ 时 $x \to 0$，$\sin x \to 0$，夹在中间的 $c \to 0$，所以极限是 $e^0 = 1$。

解说　容易卡在：想直接代入得 $\dfrac{0}{0}$。分子分母都是“同一个函数在两点的差”和“两点的差”，正是平均値の定理的形状。用定理前要确认 $f(t) = e^t$ 在两端点之间连续、可导，再让两端点同时趋于 0，由夹逼得 $c \to 0$。

常用推论

• $f'(x) = 0$ 恒成立则 $f$ 是常数：任取 $x_1 < x_2$，$f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1) = 0$。
• $f'(x) > 0$ 则 $f$ 递增：$f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1) > 0$。这是国内书第 25 章 25.2 节判定定理的证明。
• $|\sin b - \sin a| \le |b - a|$：$\sin b - \sin a = \cos c\,(b - a)$，$|\cos c| \le 1$。
• $f'(x) = g'(x)$ 恒成立则 $f(x) = g(x) + C$：对 $f - g$ 用第一条。这是第 22 章不定积分“加常数 $C$“的根据。

易错点

• 错在哪：例 1 得 $c = \pm\sqrt{3}$，两个都写上。 为什么错：定理要求 $a < c < b$。 正确做法：只取区间内的 $\sqrt{3}$。
• 错在哪：对 $f(x) = \dfrac{1}{x}$ 在 $-1 \le x \le 1$ 上用平均値の定理。 为什么错：$x = 0$ 处函数没有定义，不连续，条件不满足。 正确做法：用定理前先检查连续和可导两个条件。
• 错在哪：例 2 中由 $a < c < b$ 写成 $\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{c} < \dfrac{1}{b}$。 为什么错：正数取倒数，不等号方向要反过来。 正确做法：$\dfrac{1}{b} < \dfrac{1}{c} < \dfrac{1}{a}$。

直观理解

开车从 A 地到 B 地，平均时速 60 公里，那么途中一定有某个时刻，速度表正好指在 60。平均速度是弦的斜率，某时刻的速度是切线斜率。把弦 $AB$ 平行地往上（或往下）推，最后离开曲线的那一点，切线就和 $AB$ 平行。

关联知识点

• 国内书第 25 章 25.2 节：单调性判定定理的严格证明用的就是本节定理；25.3 节：闭区间上的最值定理，是ロルの定理的前提。
• 国内书第 25 章 25.4 节：构造函数证明不等式，可以和本节例 2 对照。
• 本书第 20 章 極限：夹在中间的量的极限（例 3）。
• 后续：本书第 22 章 不定积分的常数 $C$。

21.7 曲線の凹凸と変曲点・グラフの概形

说明

凹凸：在某个区间上

• $f''(x) > 0$ 时，曲线 $y = f(x)$ 下に凸（向下凸出，像碗口朝上），切线斜率随 $x$ 增大而增大；
• $f''(x) < 0$ 时，曲线上に凸（向上凸出，像碗口朝下），切线斜率随 $x$ 增大而减小。

注意中文说法容易混：国内有的书把“下凸”叫“凹函数”，也有反过来叫的。本书一律用日文的「下に凸」「上に凸」，看图是“往哪边鼓出来”。

変曲点（拐点）：曲线的凹凸在这一点改变，这一点就叫変曲点。$f''(x)$ 存在时，$(a, f(a))$ 是変曲点的必要条件是 $f''(a) = 0$；还要 $f''$ 在 $a$ 两侧变号才是。

第 2 次導関数による極値の判定：$f'(a) = 0$ 时，

• $f''(a) > 0$ ⇒ $f(a)$ 是極小値；
• $f''(a) < 0$ ⇒ $f(a)$ 是極大値；
• $f''(a) = 0$ ⇒ 判定不了，回到增减表看 $f'$ 的符号。

漸近線（渐近线）：

• 竖直的：$\displaystyle\lim_{x \to a \pm 0} f(x) = \pm\infty$ 时，$x = a$ 是渐近线；
• 斜的或水平的：$\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty}\{f(x) - (px + q)\} = 0$ 时，$y = px + q$ 是渐近线。求法：$p = \displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x}$，$q = \displaystyle\lim_{x \to \infty}\{f(x) - px\}$。$p = 0$ 时是水平渐近线。

グラフの概形（图像的大致形状）：把 $f'$、$f''$ 的符号写进同一张増減表，加上渐近线和与坐标轴的交点，就能画出完整的图。日本教科书在増減表的 $y$ 一行用弯箭头表示“增且下凸”“增且上凸”等四种状态；本书写成”↗ 下凸“这样的文字。

使用场景

• 求凹凸的区间和変曲点：题目里出现「曲線の凹凸を調べ，変曲点を求めよ」。
• 画出完整的图像（有渐近线的分式函数、指数对数函数）：题目里出现「グラフの概形をかけ」，或要你从图像判断方程实数解的个数。
• 求极值时 $f'$ 的符号不好判断：用 $f''(a)$ 的符号直接判定，常见于三角函数。
• 证明曲线在切线上方或在弦的上方：题目里出现 $e^x \ge x + 1$、$\sin x \ge \dfrac{2}{\pi}x$ 这类不等式。

注意点

• $f''(a) = 0$ 不一定是変曲点：$y = x^4$ 在 0 处 $f'' = 0$，但两侧都是 $f'' > 0$，没有改变凹凸。
• 変曲点写成坐标 $(a, f(a))$，EJU 填空常让填 $x$ 坐标和 $y$ 坐标两部分。
• 増減表要同时列 $f'$ 和 $f''$ 两行，“増加”和“凹凸”是两件独立的事：增函数可以下凸（$e^x$）也可以上凸（$\ln x$）。
• 先确定定义域，再找竖直渐近线（分母为 0 处、$\ln$ 的真数趋于 0 处）。
• 求 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} xe^{-x} = 0$、$\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{\ln x}{x} = 0$ 这类极限时，EJU 题干通常会给出，或在誘導中让你先求（本书第 20 章）。

证明

结论 1：$f''(x) > 0$ 时曲线在切线的上方（下に凸）。 日本教科书以”$f'(x)$ 递增“作为下に凸的含义，从而得到”曲线在每一点的切线之上”。设区间内任意一点 $a$，切线为 $y = f(a) + f'(a)(x - a)$。令

$$g(x) = f(x) - \{f(a) + f'(a)(x - a)\}, \qquad g'(x) = f'(x) - f'(a).$$

$f'' > 0$ 所以 $f'$ 递增：$x > a$ 时 $g'(x) > 0$，$x < a$ 时 $g'(x) < 0$。（关键一步：$g$ 在 $a$ 处由减变增，$a$ 是 $g$ 的最小值点。）所以 $g(x) \ge g(a) = 0$，曲线不低于切线，等号只在 $x = a$。$f'' < 0$ 时同理，曲线在切线下方。

结论 2：第 2 次導関数による極値の判定。 $f'(a) = 0$，$f''(a) > 0$。$f''(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f'(a + h) - f'(a)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{f'(a + h)}{h} > 0$，所以 $|h|$ 很小时 $\dfrac{f'(a + h)}{h} > 0$：$h > 0$ 时 $f'(a + h) > 0$，$h < 0$ 时 $f'(a + h) < 0$。$f'$ 在 $a$ 处由负变正，$f(a)$ 是極小値。$f''(a) < 0$ 同理。

结论 3：渐近线公式。 若 $f(x) - (px + q) \to 0$，则 $\dfrac{f(x)}{x} - p - \dfrac{q}{x} \to 0$，而 $\dfrac{q}{x} \to 0$，所以 $p = \displaystyle\lim\frac{f(x)}{x}$；再由 $f(x) - px \to q$ 得 $q$。

例题

例 1　（场景：凹凸区间和変曲点）

問題　曲線 $y = x^4 - 4x^3$ の凹凸を調べ，変曲点を求めよ。

解答　$y' = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3)$，$y'' = 12x^2 - 24x = 12x(x - 2)$ である。

$x$	$\cdots$	0	$\cdots$	2	$\cdots$
$y''$	$+$	0	$-$	0	$+$
$y$	下に凸	0	上に凸	$-16$	下に凸

$x < 0$，$x > 2$ のとき下に凸，$0 < x < 2$ のとき上に凸である。変曲点は $(0, 0)$ と $(2, -16)$ である。

中文翻译　题目：求曲线 $y = x^4 - 4x^3$ 的凹凸和拐点。解答：$y' = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3)$，$y'' = 12x^2 - 24x = 12x(x - 2)$。增减表：$x < 0$ 时 $y'' > 0$，$x = 0$ 时 $y'' = 0$、$y = 0$；$0 < x < 2$ 时 $y'' < 0$；$x = 2$ 时 $y'' = 0$、$y = -16$；$x > 2$ 时 $y'' > 0$。所以 $x < 0$、$x > 2$ 时下凸，$0 < x < 2$ 时上凸。拐点是 $(0, 0)$ 和 $(2, -16)$。

解说　$(0, 0)$ 处 $y' = 0$，但 $y'$ 在 0 两侧都是负的，不是极值点：这是“切线水平的変曲点”。$y'' = 0$ 只是変曲点的必要条件，还要 $y''$ 在两侧变号；$x = 0$ 处 $y''$ 由正变负，所以是変曲点。

例 2　（场景：画出带渐近线的完整图像）

問題　$y = \dfrac{x^2}{x - 1}$ のグラフの概形をかけ。

解答

1. 定義域は $x \ne 1$。割り算をすると $y = x + 1 + \dfrac{1}{x - 1}$。
2. $y' = 1 - \dfrac{1}{(x - 1)^2} = \dfrac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}$ であるから，$y' = 0$ より $x = 0, 2$。
3. $y'' = \dfrac{2}{(x - 1)^3}$ は $x > 1$ のとき正，$x < 1$ のとき負である。変曲点はない（$x = 1$ は定義域にない）。
4. 漸近線：$x \to 1 + 0$ のとき $y \to +\infty$，$x \to 1 - 0$ のとき $y \to -\infty$ であるから $x = 1$ は漸近線。$y - (x + 1) = \dfrac{1}{x - 1} \to 0$（$x \to \pm\infty$）であるから $y = x + 1$ も漸近線。

$x$	$\cdots$	0	$\cdots$	(1)	$\cdots$	2	$\cdots$
$y'$	$+$	0	$-$		$-$	0	$+$
$y''$	$-$	$-$	$-$		$+$	$+$	$+$
$y$	↗ 上凸	極大 0	↘ 上凸		↘ 下凸	極小 4	↗ 下凸

中文翻译　题目：画出 $y = \dfrac{x^2}{x - 1}$ 的图像概形。解答：（1）定义域 $x \ne 1$，做除法得 $y = x + 1 + \dfrac{1}{x - 1}$。（2）$y' = 1 - \dfrac{1}{(x - 1)^2} = \dfrac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}$，$y' = 0$ 得 $x = 0, 2$。（3）$y'' = \dfrac{2}{(x - 1)^3}$，$x > 1$ 时为正，$x < 1$ 时为负，没有拐点（$x = 1$ 不在定义域内）。（4）渐近线：$x \to 1 + 0$ 时 $y \to +\infty$，$x \to 1 - 0$ 时 $y \to -\infty$，$x = 1$ 是渐近线；$y - (x + 1) = \dfrac{1}{x - 1} \to 0$（$x \to \pm\infty$），$y = x + 1$ 也是渐近线。增减表：$x < 0$ 时 $y' > 0$、$y'' < 0$（增，上凸），$x = 0$ 时极大值 $0$；$0 < x < 1$ 时 $y' < 0$、$y'' < 0$（减，上凸）；$1 < x < 2$ 时 $y' < 0$、$y'' > 0$（减，下凸）；$x = 2$ 时极小值 $4$；$x > 2$ 时 $y' > 0$、$y'' > 0$（增，下凸）。

解说　容易卡在：漏掉斜渐近线。分子次数比分母高一次的分式函数，先做除法，商就是斜渐近线。$x = 1$ 不在定义域内，图像在那里断开，两侧分别趋于 $-\infty$ 和 $+\infty$，增减表里用 $(1)$ 隔开。

例 3　（场景：用 $f''$ 判定极值）

問題　$f(x) = x - 2\sin x$（$0 < x < 2\pi$）の極値を求めよ。

解答　$f'(x) = 1 - 2\cos x = 0$ より $\cos x = \dfrac{1}{2}$，$x = \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{3}$。$f''(x) = 2\sin x$ である。

$f''\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} > 0$ であるから，$f(x)$ は $x = \dfrac{\pi}{3}$ で極小値 $f\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\pi}{3} - \sqrt{3}$ をとる。

$f''\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) = -\sqrt{3} < 0$ であるから，$f(x)$ は $x = \dfrac{5\pi}{3}$ で極大値 $f\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) = \dfrac{5\pi}{3} + \sqrt{3}$ をとる。

中文翻译　题目：求 $f(x) = x - 2\sin x$（$0 < x < 2\pi$）的极值。解答：$f'(x) = 1 - 2\cos x = 0$，$\cos x = \dfrac{1}{2}$，$x = \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{3}$。$f''(x) = 2\sin x$。$f''\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} > 0$，所以 $f(x)$ 在 $x = \dfrac{\pi}{3}$ 取极小值 $f\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\pi}{3} - \sqrt{3}$。$f''\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) = -\sqrt{3} < 0$，所以 $f(x)$ 在 $x = \dfrac{5\pi}{3}$ 取极大值 $f\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) = \dfrac{5\pi}{3} + \sqrt{3}$。

解说　另一种解法：列增减表看 $1 - 2\cos x$ 的符号：$0 < x < \dfrac{\pi}{3}$ 时 $\cos x > \dfrac{1}{2}$，$f' < 0$；$\dfrac{\pi}{3} < x < \dfrac{5\pi}{3}$ 时 $f' > 0$；之后 $f' < 0$。结论相同。$f'$ 的符号难判断（三角函数、超越函数）时用 $f''$ 快；EJU 要求画増減表的题，仍按增减表写。

例 4　（场景：曲线在弦的上方）

問題　$0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}$ のとき，$\sin x \geqq \dfrac{2}{\pi}x$ が成り立つことを示せ。

解答　$g(x) = \sin x - \dfrac{2}{\pi}x$ とおくと，$g(0) = 0$，$g\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0$ である。 $g''(x) = -\sin x \leqq 0$ であるから，$g'(x) = \cos x - \dfrac{2}{\pi}$ は減少する。 $g'(0) = 1 - \dfrac{2}{\pi} > 0$，$g'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = -\dfrac{2}{\pi} < 0$ であるから，$g'$ は区間内にちょうど $1$ つ零点 $c$ をもつ。よって $g$ は $0 \leqq x \leqq c$ で増加し，$c \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}$ で減少する。両端で $g = 0$ であるから，$g(x) \geqq 0$，すなわち $\sin x \geqq \dfrac{2}{\pi}x$ が成り立つ。

中文翻译　题目：证明 $0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}$ 时 $\sin x \geqq \dfrac{2}{\pi}x$。解答：设 $g(x) = \sin x - \dfrac{2}{\pi}x$，$g(0) = 0$，$g\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0$。$g''(x) = -\sin x \leqq 0$，所以 $g'(x) = \cos x - \dfrac{2}{\pi}$ 递减。$g'(0) = 1 - \dfrac{2}{\pi} > 0$，$g'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = -\dfrac{2}{\pi} < 0$，所以 $g'$ 在区间内恰有一个零点 $c$：$g$ 在 $0 \leqq x \leqq c$ 递增，在 $c \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}$ 递减。两端都是 0，所以 $g(x) \geqq 0$，即 $\sin x \geqq \dfrac{2}{\pi}x$。

解说　几何上：$y = \sin x$ 在这一段上凸，曲线在连接 $(0, 0)$ 和 $\left(\dfrac{\pi}{2}, 1\right)$ 的弦的上方，而弦就是 $y = \dfrac{2}{\pi}x$。用 $g''$ 的符号定 $g'$ 的增减，再定 $g'$ 的零点个数，最后看两端值，这是证明曲线与弦位置关系的标准三步。

常用推论

• 曲线与切线的位置：下に凸的区间上曲线在切线上方，上に凸的区间上在切线下方。推导：证明的结论 1。$e^x \ge x + 1$、$\ln x \le x - 1$ 都是它的特例（切点分别是 $(0, 1)$、$(1, 0)$）。
• 曲线与弦的位置：上に凸的区间上曲线在弦的上方，下に凸时在弦的下方。推导：同例 4。
• 3 次函数的変曲点是对称中心：$y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ 的変曲点在 $x = -\dfrac{b}{3a}$ 处，图像关于它中心对称。推导：$y'' = 6ax + 2b = 0$；平移到変曲点后函数变成 $aX^3 + pX$，是奇函数。
• 切线穿过曲线的点就是変曲点：変曲点处的切线一侧在曲线上方、另一侧在下方。推导：两侧凹凸相反，用结论 1。

易错点

• 错在哪：$y = x^4$ 在 $x = 0$ 处 $y'' = 0$，说 $(0, 0)$ 是変曲点。 为什么错：$y'' = 12x^2$ 在 0 两侧都为正，凹凸没有改变。 正确做法：解 $f'' = 0$ 后还要检查 $f''$ 是否变号。
• 错在哪：把「下に凸」翻译成“凸函数”，再按国内某本书的“凸函数”定义理解，方向弄反。 为什么错：中文“凹”“凸”的叫法不统一。 正确做法：只认图像：下に凸 = 往下鼓、碗口朝上 = $f'' > 0$。
• 错在哪：例 2 增减表里把 $x = 1$ 当成普通的点，左右连起来画。 为什么错：$x = 1$ 不在定义域内，图像在那里断开，两侧分别趋于 $-\infty$ 和 $+\infty$。 正确做法：増減表里写成”(1)“或画斜线隔开，图上画出竖直渐近线。

直观理解

开车沿曲线从左往右走：方向盘往左打（逆时针转）是下に凸，往右打是上に凸，方向盘回正、换方向的那一瞬间就是変曲点。$f''$ 是“切线斜率的变化率”，也就是方向盘打的方向。

关联知识点

• 国内书第 25 章 25.2、25.3 节：增减和极值（只用 $f'$），本节加上 $f''$ 一行。
• 国内书第 25 章 25.5 节：零点个数要看图像，本节的完整图像让判断更可靠（题型与答法问题 2）。
• 本书第 20 章 極限：渐近线要算 $x \to \pm\infty$ 和 $x \to a \pm 0$ 的极限。
• 本书第 19 章 関数：分数函数 $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ 的渐近线是本节的特例。
• 后续：本书第 23 章 求面积、体积前先画图，用的就是本节方法。

21.8 速度・加速度

说明

直线上的运动：点 P 在数轴上运动，时刻 $t$ 的坐标是 $x = f(t)$。

$$v = \frac{dx}{dt} = f'(t), \qquad \alpha = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2} = f''(t).$$

$v$ 叫速度（有正负，正表示向数轴正方向运动），$|v|$ 叫速さ（速率）；$\alpha$ 叫加速度。

平面上の運動：点 P$(x, y)$ 的坐标是时刻 $t$ 的函数。

$$\vec{v} = \left(\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}\right), \qquad |\vec{v}| = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2},$$ $$\vec{\alpha} = \left(\frac{d^2x}{dt^2}, \frac{d^2y}{dt^2}\right), \qquad |\vec{\alpha}| = \sqrt{\left(\frac{d^2x}{dt^2}\right)^2 + \left(\frac{d^2y}{dt^2}\right)^2}.$$

$\vec{v}$ 叫速度ベクトル，方向是运动轨迹的切线方向；$|\vec{v}|$ 是速さ。$\vec{\alpha}$ 叫加速度ベクトル。

等速円運動：$x = r\cos\omega t$，$y = r\sin\omega t$（$r > 0$，$\omega > 0$）。速さ $r\omega$，加速度的大小 $r\omega^2$，方向指向圆心。

時間的変化率：一个量随时间变化时，它对 $t$ 的导数叫变化率；两个相关的量（如球的半径和体积），变化率用链式法则联系：$\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dr}\cdot\dfrac{dr}{dt}$。

使用场景

• 直线运动，求速度为 0、改变方向的时刻和加速度：题目里出现「数直線上を動く点 P の時刻 $t$ における座標」。
• 平面运动，求速度ベクトル、速さ：题目里出现 $x = e^t\cos t$，$y = e^t\sin t$ 这类参数式，问的是「速さ」或「速度の大きさ」（数学Ⅲ里两种说法都用）。
• 圆周运动：题目里出现 $x = r\cos\omega t$，$y = r\sin\omega t$。
• 两个相关量的变化率：题目里出现“以每秒 $a$ 的速度注水”“半径每秒增加”这类描述，问某一时刻另一个量的变化速度。

注意点

• 「速度」有正负（或方向），「速さ」是大小，永远不为负。2017–2021 年公开过去问里没有考过速度、速さ，EJU 题干用哪个词无从比对，两个词都要认得；问「速さ」时答案要取绝对值或向量的长度。
• 物体“改变方向”是 $v$ 变号的时刻，不只是 $v = 0$ 的时刻（$v$ 可能等于 0 但不变号）。
• 平面运动的速さ是向量的长度，不是 $\dfrac{dx}{dt} + \dfrac{dy}{dt}$。
• 加速度的大小一般不等于“速さ的导数”：等速円運動速さ不变，但加速度不为 0（方向在变）。
• 数学Ⅲ 的写法：向量带箭头 $\vec{v}$；「時刻 $t$ における速度」「速さの最大値」。

证明

结论 1：速度ベクトル沿切线方向。 由 21.3 节，轨迹在该点的切线斜率是 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$，与向量 $\left(\dfrac{dx}{dt}, \dfrac{dy}{dt}\right)$ 的斜率相同（$\dfrac{dx}{dt} = 0$ 时两者都是竖直方向）。所以 $\vec{v}$ 与切线平行。

结论 2：等速円運動。 $x = r\cos\omega t$，$y = r\sin\omega t$：

$$\vec{v} = (-r\omega\sin\omega t,\ r\omega\cos\omega t), \qquad |\vec{v}| = r\omega\sqrt{\sin^2\omega t + \cos^2\omega t} = r\omega,$$ $$\vec{\alpha} = (-r\omega^2\cos\omega t,\ -r\omega^2\sin\omega t) = -\omega^2(x, y).$$

（关键一步：加速度正好是位置向量 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ 的 $-\omega^2$ 倍，所以方向从 P 指向圆心 O。）大小 $\omega^2 r$。

例题

例 1　（场景：直线运动）

問題　数直線上を動く点 P の時刻 $t$（$t \geqq 0$）における座標が $x = t^3 - 6t^2 + 9t$ である。P が運動の向きを変える時刻，および $t = 2$ における速度と加速度を求めよ。

解答　$v = \dfrac{dx}{dt} = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t - 1)(t - 3)$，$\alpha = \dfrac{dv}{dt} = 6t - 12$ である。$v$ は $t = 1$，$t = 3$ で符号を変える（$0 \leqq t < 1$ で正，$1 < t < 3$ で負，$t > 3$ で正）。したがって P は $t = 1$ と $t = 3$ で運動の向きを変える。$t = 2$ のとき $v = 12 - 24 + 9 = -3$，$\alpha = 0$ である。

中文翻译　题目：数轴上的点 P 在时刻 $t$（$t \geqq 0$）的坐标是 $x = t^3 - 6t^2 + 9t$。求 P 改变运动方向的时刻，以及 $t = 2$ 时的速度和加速度。解答：$v = \dfrac{dx}{dt} = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t - 1)(t - 3)$，$\alpha = \dfrac{dv}{dt} = 6t - 12$。$v$ 在 $t = 1$、$t = 3$ 处变号（$0 \leqq t < 1$ 时正，$1 < t < 3$ 时负，$t > 3$ 时正），所以 P 在 $t = 1$ 和 $t = 3$ 时改变运动方向。$t = 2$ 时 $v = 12 - 24 + 9 = -3$，$\alpha = 0$。

解说　容易卡在：问“速さ”时回答 $-3$。速さ是速度的绝对值，$t = 2$ 时速度 $-3$，速さ 3。物体“改变方向”是 $v$ 变号（由正变负或由负变正）的时刻，不只是 $v = 0$ 的时刻。

例 2　（场景：平面运动的速度与速さ）

問題　点 P の座標が $x = e^t\cos t$，$y = e^t\sin t$ で与えられている。時刻 $t$ における P の速さを求めよ。また，速度ベクトル $\vec{v}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ のなす角を求めよ。

解答

$$\frac{dx}{dt} = e^t(\cos t - \sin t), \qquad \frac{dy}{dt} = e^t(\sin t + \cos t).$$ $$|\vec{v}| = e^t\sqrt{(\cos t - \sin t)^2 + (\sin t + \cos t)^2} = e^t\sqrt{2} = \sqrt{2}e^t.$$

$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}| = e^t$ で，内積は $\vec{v} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}} = e^{2t}\{(\cos t - \sin t)\cos t + (\sin t + \cos t)\sin t\} = e^{2t}$。 なす角 $\theta$ は $\cos\theta = \dfrac{e^{2t}}{\sqrt{2}e^t \cdot e^t} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ を満たすから，$\theta = \dfrac{\pi}{4}$ である（$t$ によらない）。

中文翻译　题目：点 P 的坐标 $x = e^t\cos t$，$y = e^t\sin t$。求时刻 $t$ 的速率，并求速度向量 $\vec{v}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ 所成的角。解答：$\dfrac{dx}{dt} = e^t(\cos t - \sin t)$，$\dfrac{dy}{dt} = e^t(\sin t + \cos t)$。$|\vec{v}| = e^t\sqrt{(\cos t - \sin t)^2 + (\sin t + \cos t)^2} = e^t\sqrt{2} = \sqrt{2}e^t$。$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}| = e^t$，内积 $\vec{v} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}} = e^{2t}\{(\cos t - \sin t)\cos t + (\sin t + \cos t)\sin t\} = e^{2t}$。夹角 $\theta$ 满足 $\cos\theta = \dfrac{e^{2t}}{\sqrt{2}e^t \cdot e^t} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$，$\theta = \dfrac{\pi}{4}$，与 $t$ 无关。

解说　速さ是速度向量的长度，不是 $\dfrac{dx}{dt} + \dfrac{dy}{dt}$。夹角用内积 $\cos\theta = \dfrac{\vec{v} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}}{|\vec{v}||\overrightarrow{\mathrm{OP}}|}$；这里 $\vec{v}$ 的长度是 $\sqrt{2}e^t$，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ 的长度是 $e^t$，指数因子正好约掉，所以角度与 $t$ 无关。

例 3　（场景：圆周运动）

問題　点 P の座標が $x = 3\cos 2t$，$y = 3\sin 2t$ で与えられている。P の速さと加速度の大きさを求めよ。

解答　$r = 3$，$\omega = 2$ であるから，速さは $r\omega = 6$，加速度の大きさは $r\omega^2 = 12$ である。加速度の向きは原点を向く。

中文翻译　题目：点 P 的坐标 $x = 3\cos 2t$，$y = 3\sin 2t$。求速率和加速度的大小。解答：$r = 3$，$\omega = 2$，速率 $r\omega = 6$，加速度的大小 $r\omega^2 = 12$，方向指向原点。

解说　等速円運動速さ不变，但加速度不为 0：加速度是速度向量的变化率，方向在变。分量逐个求二阶导也能得到同样结果：$\vec{\alpha} = (-12\cos 2t, -12\sin 2t)$，大小 $12$，方向与位置向量相反。

例 4　（场景：相关量的变化率）

問題　球形の風船に空気を入れる。体積が毎秒 $100\ \text{cm}^3$ 増えるとき，半径が $5\ \text{cm}$ のときの半径の増加率を求めよ。

解答　$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ の両辺を $t$ で微分すると $\dfrac{dV}{dt} = 4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$ である。$\dfrac{dV}{dt} = 100$，$r = 5$ を代入すると $100 = 100\pi\dfrac{dr}{dt}$，よって $\dfrac{dr}{dt} = \dfrac{1}{\pi}$（cm/秒）である。

中文翻译　题目：向球形气球里充气，体积每秒增加 $100\ \text{cm}^3$。半径为 $5\ \text{cm}$ 时，半径每秒增加多少？解答：$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ 两边对 $t$ 求导，$\dfrac{dV}{dt} = 4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$。代入 $\dfrac{dV}{dt} = 100$，$r = 5$：$100 = 100\pi\dfrac{dr}{dt}$，$\dfrac{dr}{dt} = \dfrac{1}{\pi}$（cm/秒）。

解说　容易卡在：先求出 $r$ 关于 $t$ 的式子再求导。没必要，直接对关系式两边对 $t$ 求导。半径和体积通过 $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ 联系，两者的变化率用链式法则相连。

常用推论

• 速さと道のり：直线运动从 $t = a$ 到 $t = b$ 走过的路程是 $\displaystyle\int_a^b |v|\,dt$，平面运动是 $\displaystyle\int_a^b |\vec{v}|\,dt$（本书第 23 章曲线的长度）。推导：路程对时间的变化率是速さ。
• 速度ベクトルと接線：参数曲线在一点的切线方向向量就是 $\left(\dfrac{dx}{dt}, \dfrac{dy}{dt}\right)$。推导：证明的结论 1。
• 等速円運動の加速度 $= -\omega^2\overrightarrow{\mathrm{OP}}$。推导：证明的结论 2。

易错点

• 错在哪：例 1 问“速さ”，回答 $-3$。 为什么错：速さ是速度的绝对值。 正确做法：$t = 2$ 时速度 $-3$，速さ 3。
• 错在哪：平面运动的速さ写成 $\left|\dfrac{dx}{dt}\right| + \left|\dfrac{dy}{dt}\right|$。 为什么错：速度是向量，大小要用勾股定理。 正确做法：$\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}$。
• 错在哪：等速円運動速さ不变，所以说加速度为 0。 为什么错：加速度是速度向量的变化率，方向变了也有加速度。 正确做法：分量逐个求二阶导，得 $|\vec{\alpha}| = r\omega^2$。

直观理解

速度ベクトル是“此刻往哪走、走多快”，箭头贴着轨迹的切线；加速度ベクトル是“速度向量本身怎么变”。绕圈跑步时速度大小不变，但方向时刻在转，必须有一个指向圆心的“拉力”，这就是向心加速度。

关联知识点

• 国内书第 24 章 24.2、24.3 节：直线运动的瞬时速度，物理意义里提到加速度。
• 本书第 16 章 ベクトル：速度、加速度都是向量，夹角用内积（例 2）。
• 本书第 18 章 式と曲線：媒介変数表示的曲线（摆线、螺线）就是点运动的轨迹。
• 后续：本书第 23 章 道のり和曲线的长度是速さ的积分。

21.9 近似式

说明

$f(x)$ 在 $x = a$ 可导，$h$ 很小（接近 0）时

$$f(a + h) \approx f(a) + f'(a)h.$$

这叫 1 次近似式。$a = 0$、$h$ 写成 $x$ 时：

$$f(x) \approx f(0) + f'(0)x \quad (x \text{ が } 0 \text{ に近いとき}).$$

常用的几个（$x$ 接近 0）：

函数	近似式
$(1 + x)^p$	$1 + px$
$\sqrt{1 + x}$	$1 + \dfrac{x}{2}$
$\sin x$	$x$
$\tan x$	$x$
$e^x$	$1 + x$
$\ln(1 + x)$	$x$

微小变化：$y = f(x)$，$x$ 的变化量 $\Delta x$ 很小时，$y$ 的变化量 $\Delta y \approx f'(x)\Delta x$。

使用场景

• 求根式、幂的近似值：题目里出现 $\sqrt{1.02}$、$\sqrt[3]{8.06}$、$1.001^{10}$。
• 三角函数在非特殊角处的近似值：题目里出现 $\sin 31°$、$\cos 59°$，给出 $\pi$、$\sqrt{3}$ 的近似值。
• 估计一个量的微小变化：题目里出现“半径增加 1%，体积大约增加百分之几”。

注意点

• 近似式的关键是把数凑成 $f(a + h)$ 的形式，$a$ 取能算出精确值的点，$h$ 要小：$\sqrt[3]{8.06}$ 取 $a = 8$，$h = 0.06$。
• 角度必须换成弧度：$1° = \dfrac{\pi}{180} \approx 0.01745$。
• 近似值有误差：下に凸的函数用切线近似会偏小，上に凸会偏大（21.7 节：曲线在切线的上方或下方）。
• EJU 题干的说法：「$h$ が十分小さいとき」「1 次の近似式」「近似値を小数第 3 位まで求めよ」。

证明

由微分系数的定义，

$$\lim_{h \to 0}\frac{f(a + h) - f(a)}{h} = f'(a).$$

记 $\varepsilon(h) = \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h} - f'(a)$，则 $\varepsilon(h) \to 0$，且

$$f(a + h) = f(a) + f'(a)h + \varepsilon(h)h.$$

（关键一步：误差项是 $\varepsilon(h)h$，两个趋于 0 的量相乘，比 $h$ 本身更快地趋于 0。）$h$ 很小时略去误差项，得近似式。表中各式是 $f(0) + f'(0)x$ 的具体计算：例如 $f(x) = (1 + x)^p$，$f(0) = 1$，$f'(0) = p$，得 $1 + px$。

例题

例 1　（场景：根式的近似值）

問題　$\sqrt[3]{8.06}$ の近似値を求めよ。

解答　$\sqrt[3]{8.06} = \sqrt[3]{8(1 + 0.0075)} = 2(1 + 0.0075)^{\frac{1}{3}} \approx 2\left(1 + \dfrac{0.0075}{3}\right) = 2 \times 1.0025 = 2.005$。

（真値は $2.00498\cdots$。）

中文翻译　题目：求 $\sqrt[3]{8.06}$ 的近似值。解答：$\sqrt[3]{8.06} = \sqrt[3]{8(1 + 0.0075)} = 2(1 + 0.0075)^{\frac{1}{3}} \approx 2\left(1 + \dfrac{0.0075}{3}\right) = 2 \times 1.0025 = 2.005$。（真值 $2.00498\cdots$。）

解说　另一种解法：直接用 $f(x) = \sqrt[3]{x}$，$a = 8$，$h = 0.06$：$f'(x) = \dfrac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$，$f'(8) = \dfrac{1}{12}$，$\sqrt[3]{8.06} \approx 2 + \dfrac{0.06}{12} = 2.005$。提出因数化成 $(1 + x)^p$ 适合记住公式的人，直接用 $f(a + h)$ 不用记表；两者结果相同。

例 2　（场景：三角函数的近似值）

問題　$\pi = 3.14$，$\sqrt{3} = 1.732$ とする。$\sin 31^\circ$ の近似値を小数第 $3$ 位まで求めよ。

解答　$31^\circ = 30^\circ + 1^\circ$，$1^\circ = \dfrac{\pi}{180}$ である。$f(x) = \sin x$，$a = \dfrac{\pi}{6}$，$h = \dfrac{\pi}{180}$ として

$$\sin 31^\circ \approx \sin\frac{\pi}{6} + \cos\frac{\pi}{6} \cdot \frac{\pi}{180} = 0.5 + \frac{1.732}{2} \times \frac{3.14}{180} \approx 0.5 + 0.0151 = 0.515.$$

（真値は $0.51504\cdots$。）

中文翻译　题目：$\pi = 3.14$，$\sqrt{3} = 1.732$，求 $\sin 31^\circ$ 的近似值（小数第 3 位）。解答：$31^\circ = 30^\circ + 1^\circ$，$1^\circ = \dfrac{\pi}{180}$。$f(x) = \sin x$，$a = \dfrac{\pi}{6}$，$h = \dfrac{\pi}{180}$：$\sin 31^\circ \approx \sin\dfrac{\pi}{6} + \cos\dfrac{\pi}{6} \cdot \dfrac{\pi}{180} = 0.5 + \dfrac{1.732}{2} \times \dfrac{3.14}{180} \approx 0.5 + 0.0151 = 0.515$。（真值 $0.51504\cdots$。）

解说　容易卡在：$h$ 直接取 1。三角函数的导数公式只在弧度下成立，$1^\circ$ 必须换成 $\dfrac{\pi}{180}$。近似值按题目要求的位数写，多保留的位数没有意义。

例 3　（场景：微小变化的估计）

問題　球の半径が $1\%$ 増えるとき，体積はおよそ何 $\%$ 増えるか。

解答　$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ より $\Delta V \approx V'\Delta r = 4\pi r^2\Delta r$。

$$\frac{\Delta V}{V} \approx \frac{4\pi r^2\Delta r}{\frac{4}{3}\pi r^3} = 3 \cdot \frac{\Delta r}{r} = 3 \times 1\% = 3\%.$$

よっておよそ $3\%$ 増える。

中文翻译　题目：球的半径增加 $1\%$，体积大约增加百分之几？解答：$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$，$\Delta V \approx V'\Delta r = 4\pi r^2\Delta r$。$\dfrac{\Delta V}{V} \approx \dfrac{4\pi r^2\Delta r}{\frac{4}{3}\pi r^3} = 3 \cdot \dfrac{\Delta r}{r} = 3 \times 1\% = 3\%$。所以大约增加 $3\%$。

解说　相对变化：$y = x^n$ 时 $\dfrac{\Delta y}{y} \approx n\dfrac{\Delta x}{x}$，所以半径增加 $1\%$ 时体积增加约 $3\%$。这一步只在 $\Delta r$ 很小时成立；精确值是 $(1.01)^3 - 1 = 3.0301\%$，近似式取的是线性主部。

常用推论

• $(1 + x)^p \approx 1 + px$（$p$ 为任意实数）：$p = \dfrac{1}{2}$ 得 $\sqrt{1 + x} \approx 1 + \dfrac{x}{2}$，$p = -1$ 得 $\dfrac{1}{1 + x} \approx 1 - x$。推导：$f(0) + f'(0)x$。
• 相对变化：$y = x^n$ 时 $\dfrac{\Delta y}{y} \approx n\dfrac{\Delta x}{x}$。推导：同例 3，$\Delta y \approx nx^{n-1}\Delta x$，再除以 $y = x^n$。
• 切线就是 1 次近似：$y = f(a) + f'(a)(x - a)$ 是切线方程，近似式就是“用切线代替曲线”。

易错点

• 错在哪：$\sqrt{4.03} \approx 1 + \dfrac{4.03}{2}$。 为什么错：$(1 + x)^p \approx 1 + px$ 只在 $x$ 接近 0 时成立，这里”$x$“是 3.03，一点也不小。 正确做法：先提出 4：$\sqrt{4.03} = 2\sqrt{1 + 0.0075} \approx 2(1 + 0.00375) = 2.0075$。
• 错在哪：$\sin 31° \approx 0.5 + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times 1$。 为什么错：角度没换成弧度。 正确做法：$h = \dfrac{\pi}{180}$。
• 错在哪：以为近似式的结果是精确值，多保留几位小数。 为什么错：近似式本身有误差（$\varepsilon(h)h$），多出的位数没有意义。 正确做法：按题目要求的位数写，EJU 填空会规定格数。

直观理解

把曲线在切点附近放大，几乎就是切线。近似式就是“在切点附近，用直线代替曲线”：$h$ 越小，两者差得越少。图里 $y = \sqrt{x}$ 是上に凸的，切线 $y = \dfrac{x + 1}{2}$ 在曲线上方，所以近似值略大于真值：$\sqrt{1.02} \approx 1.01$，真值 $1.00995\cdots$。

关联知识点

• 国内书第 24 章 24.3 节：切线方程，近似式就是切线。
• 21.7 节：凹凸决定近似值偏大还是偏小。
• 本书第 12 章 指数関数・対数関数：常用对数表的近似计算思想相近。
• 物理中的小角近似 $\sin\theta \approx \theta$（单摆）就是本节的 $\sin x \approx x$。

21.10 题型与答法

EJU コース2 的微分多出现在大问 Ⅲ 或 Ⅳ（公开过去问：2018 年第 2 回 Ⅲ、Ⅳ，2019 年第 1 回 Ⅳ，2020 年第 2 回 Ⅲ，2021 年第 1 回 Ⅲ；都是旧シラバス下的题），常和别的内容绑在一起：和指数、对数函数换元一起（2021 年第 1 回コース2 Ⅲ），或者先求导画增减表、再求面积（衔接第 22、23 章积分）。单独考“求导”的小题少，求导是誘導的第一步。

誘導的典型骨架：

• 函数的增减与图像：(1) 求 $f'(x)$，因式分解 →(2) 増減表，极值 →(3) 求 $f''(x)$，变曲点或凹凸的范围 →(4) 用图像数方程 $f(x) = k$ 的实数解个数，或求最大最小。
• 切线：(1) 求曲线上某点的切线、法线 →(2) 过曲线外一点的切线（设切点 $t$）→(3) 切线与曲线围成的面积（第 23 章）。
• 参数曲线、运动：(1) 求 $\dfrac{dx}{dt}$、$\dfrac{dy}{dt}$ →(2) 速さ、切线 →(3) 道のり（第 23 章）。

填涂提醒：$e$、$\pi$ 是题干里写好的字母，格子里只填数字，如 $\dfrac{\fbox{D}}{e^{\fbox{E}}}$ 填 4 和 2；$\log$ 一律是自然对数；指数、系数是 1 也要填出来。

問題 1　（導関数の計算・接線・逆関数）

ただし，$\log$ は自然対数とする。

(1) $y = (x^2 + 1)^3$ を微分すると $y' = \fbox{A}\,x(x^2 + 1)^{\fbox{B}}$ である。

(2) $y = \sin^2 3x$ を微分すると $y' = \fbox{C}\sin\fbox{D}\,x$ である。

(3) 曲線 $y = x\log x$ 上の点 $(e,\ e)$ における接線の方程式は $y = \fbox{E}\,x - e$ であり，法線の方程式は $y = -\dfrac{1}{\fbox{F}}\,x + \dfrac{\fbox{G}}{\fbox{H}}\,e$ である。

(4) 関数 $f(x) = x^3 + x$ の逆関数を $g(x)$ とする。$g(2) = \fbox{I}$ であり，$g'(2) = \dfrac{\fbox{J}}{\fbox{K}}$ である。

解答　(1) $y' = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2$ であるから，$\fbox{A} = 6$，$\fbox{B} = 2$。

(2) $y' = 2\sin 3x \cdot \cos 3x \cdot 3 = 6\sin 3x\cos 3x = 3\sin 6x$ であるから，$\fbox{C} = 3$，$\fbox{D} = 6$。

(3) $y' = \log x + 1$ であるから，$x = e$ のとき $y' = 2$。接線は $y - e = 2(x - e)$，すなわち $y = 2x - e$。法線の傾きは $-\dfrac{1}{2}$ で，$y - e = -\dfrac{1}{2}(x - e)$，すなわち $y = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}e$ である。よって $\fbox{E} = 2$，$\fbox{F} = 2$，$\fbox{G} = 3$，$\fbox{H} = 2$。

(4) $f(1) = 2$ であるから $g(2) = 1$。$f'(x) = 3x^2 + 1$ より $f'(1) = 4$ で，$g'(2) = \dfrac{1}{f'(1)} = \dfrac{1}{4}$ である。よって $\fbox{I} = 1$，$\fbox{J} = 1$，$\fbox{K} = 4$。

中文翻译　题目：其中 $\log$ 是自然对数。（1）对 $y = (x^2 + 1)^3$ 求导得 $y' = \fbox{A}\,x(x^2 + 1)^{\fbox{B}}$。（2）对 $y = \sin^2 3x$ 求导得 $y' = \fbox{C}\sin\fbox{D}\,x$。（3）曲线 $y = x\log x$ 上点 $(e, e)$ 处的切线方程是 $y = \fbox{E}\,x - e$，法线方程是 $y = -\dfrac{1}{\fbox{F}}\,x + \dfrac{\fbox{G}}{\fbox{H}}\,e$。（4）设函数 $f(x) = x^3 + x$ 的反函数为 $g(x)$，则 $g(2) = \fbox{I}$，$g'(2) = \dfrac{\fbox{J}}{\fbox{K}}$。解答：（1）$y' = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2$，所以 $\fbox{A} = 6$，$\fbox{B} = 2$。（2）$y' = 2\sin 3x \cdot \cos 3x \cdot 3 = 6\sin 3x\cos 3x = 3\sin 6x$，所以 $\fbox{C} = 3$，$\fbox{D} = 6$。（3）$y' = \log x + 1$，$x = e$ 时 $y' = 2$。切线 $y - e = 2(x - e)$，即 $y = 2x - e$。法线斜率 $-\dfrac{1}{2}$：$y - e = -\dfrac{1}{2}(x - e)$，即 $y = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}e$。所以 $\fbox{E} = 2$，$\fbox{F} = 2$，$\fbox{G} = 3$，$\fbox{H} = 2$。（4）$f(1) = 2$，所以 $g(2) = 1$。$f'(x) = 3x^2 + 1$，$f'(1) = 4$，$g'(2) = \dfrac{1}{f'(1)} = \dfrac{1}{4}$，所以 $\fbox{I} = 1$，$\fbox{J} = 1$，$\fbox{K} = 4$。

解说　两分钟做法：四问都是套公式。(1) 外层三次方、内层 $x^2 + 1$，别漏乘 $2x$。(2) 三层复合，$2\sin 3x \cdot \cos 3x \cdot 3$，再用二倍角公式化成 $3\sin 6x$，$\fbox{C}$ 填 3、$\fbox{D}$ 填 6。(3) $(\log x)' = \dfrac{1}{x}$（自然对数），$x = e$ 处斜率为 2；法线斜率是切线斜率的负倒数 $-\dfrac{1}{2}$，$\fbox{G}$、$\fbox{H}$ 填 3、2。(4) 先解 $f(a) = 2$ 得 $a = 1$，再算 $\dfrac{1}{f'(1)}$；$\fbox{J}$ 的分子 1 也要填。空格判断：$\fbox{A}$ 是系数 6；$\fbox{F}$ 是法线斜率的分母 2；$\fbox{I}$ 是 $g(2)$ 的值 1。

問題 2　（関数のグラフ：増減・凹凸・実数解の個数）

関数 $f(x) = x^2e^{-x}$ について考える。

(1) $f'(x) = -x(x - \fbox{A})e^{-x}$ であるから，$f(x)$ は $x = 0$ で極小値 $\fbox{B}$ をとり，$x = \fbox{C}$ で極大値 $\dfrac{\fbox{D}}{e^{\fbox{E}}}$ をとる。

(2) $f''(x) = (x^2 - \fbox{F}\,x + \fbox{G})e^{-x}$ であるから，曲線 $y = f(x)$ の変曲点の $x$ 座標は $\fbox{H} \pm \sqrt{\fbox{I}}$ である。曲線 $y = f(x)$ が上に凸となる $x$ の値の範囲は $\fbox{J} - \sqrt{\fbox{K}} < x < \fbox{L} + \sqrt{\fbox{M}}$ である。

(3) $\displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x) = \fbox{N}$ であることを用いると，$x$ の方程式 $x^2e^{-x} = k$ が異なる 3 個の実数解をもつような定数 $k$ の値の範囲は $\fbox{O} < k < \dfrac{\fbox{P}}{e^{\fbox{Q}}}$ である。

解答　(1) $f'(x) = 2xe^{-x} - x^2e^{-x} = (2x - x^2)e^{-x} = -x(x - 2)e^{-x}$。$e^{-x} > 0$ であるから，$f'$ の符号は $-x(x - 2)$ で決まる：$x < 0$ のとき負，$0 < x < 2$ のとき正，$x > 2$ のとき負。よって極小値 $f(0) = 0$，極大値 $f(2) = 4e^{-2} = \dfrac{4}{e^2}$ である。したがって $\fbox{A} = 2$，$\fbox{B} = 0$，$\fbox{C} = 2$，$\fbox{D} = 4$，$\fbox{E} = 2$。

(2) $f''(x) = (2 - 2x)e^{-x} - (2x - x^2)e^{-x} = (x^2 - 4x + 2)e^{-x}$。$x^2 - 4x + 2 = 0$ より $x = 2 \pm \sqrt{2}$ で，両側で $f''$ が変号するから，どちらも変曲点である。$f'' < 0$（上に凸）となるのは $2$ 根の間：$2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$。したがって $\fbox{F} = 4$，$\fbox{G} = 2$，$\fbox{H} = 2$，$\fbox{I} = 2$，$\fbox{J} = 2$，$\fbox{K} = 2$，$\fbox{L} = 2$，$\fbox{M} = 2$。

(3) $x \to \infty$ のとき $f(x) \to 0$（$e^x$ は $x^2$ より速く増大する；EJU の誘導ではこの極限が与えられることが多い），$x \to -\infty$ のとき $f(x) \to \infty$。増減は，$x < 0$ で $\infty$ から $0$ まで減り，$0 < x < 2$ で $\dfrac{4}{e^2}$ まで増え，$x > 2$ で $0$ に向かって減る（$0$ には達しない）。水平線 $y = k$ と曲線が $3$ 点で交わるのは $0 < k < \dfrac{4}{e^2}$ のときである。したがって $\fbox{N} = 0$，$\fbox{O} = 0$，$\fbox{P} = 4$，$\fbox{Q} = 2$。

中文翻译　题目：考虑函数 $f(x) = x^2e^{-x}$。（1）因为 $f'(x) = -x(x - \fbox{A})e^{-x}$，$f(x)$ 在 $x = 0$ 取极小值 $\fbox{B}$，在 $x = \fbox{C}$ 取极大值 $\dfrac{\fbox{D}}{e^{\fbox{E}}}$。（2）因为 $f''(x) = (x^2 - \fbox{F}\,x + \fbox{G})e^{-x}$，曲线 $y = f(x)$ 的拐点横坐标是 $\fbox{H} \pm \sqrt{\fbox{I}}$。曲线 $y = f(x)$ 上凸的 $x$ 的范围是 $\fbox{J} - \sqrt{\fbox{K}} < x < \fbox{L} + \sqrt{\fbox{M}}$。（3）利用 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x) = \fbox{N}$，关于 $x$ 的方程 $x^2e^{-x} = k$ 有 3 个不同实数解时，常数 $k$ 的范围是 $\fbox{O} < k < \dfrac{\fbox{P}}{e^{\fbox{Q}}}$。解答：（1）$f'(x) = 2xe^{-x} - x^2e^{-x} = (2x - x^2)e^{-x} = -x(x - 2)e^{-x}$。$e^{-x} > 0$，$f'$ 的符号由 $-x(x - 2)$ 决定：$x < 0$ 时负，$0 < x < 2$ 时正，$x > 2$ 时负。极小值 $f(0) = 0$，极大值 $f(2) = 4e^{-2} = \dfrac{4}{e^2}$。所以 $\fbox{A} = 2$，$\fbox{B} = 0$，$\fbox{C} = 2$，$\fbox{D} = 4$，$\fbox{E} = 2$。（2）$f''(x) = (2 - 2x)e^{-x} - (2x - x^2)e^{-x} = (x^2 - 4x + 2)e^{-x}$。$x^2 - 4x + 2 = 0$ 得 $x = 2 \pm \sqrt{2}$，两侧 $f''$ 变号，都是拐点。$f'' < 0$（上凸）在两根之间：$2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$。所以 $\fbox{F} = 4$，$\fbox{G} = 2$，$\fbox{H} = 2$，$\fbox{I} = 2$，$\fbox{J} = 2$，$\fbox{K} = 2$，$\fbox{L} = 2$，$\fbox{M} = 2$。（3）$x \to \infty$ 时 $f(x) \to 0$（$e^x$ 比 $x^2$ 增长快；EJU 的诱导中通常直接给出这个极限），$x \to -\infty$ 时 $f(x) \to \infty$。增减：$x < 0$ 时从 $\infty$ 减到 $0$，$0 < x < 2$ 时增到 $\dfrac{4}{e^2}$，$x > 2$ 时减向 $0$（取不到 $0$）。水平线 $y = k$ 与曲线有 3 个交点当且仅当 $0 < k < \dfrac{4}{e^2}$。所以 $\fbox{N} = 0$，$\fbox{O} = 0$，$\fbox{P} = 4$，$\fbox{Q} = 2$。

解说　两分钟做法：先求导、因式分解定增减，再求二阶导、解二次方程定凹凸，最后用图像数交点。(1) $f' = -x(x - 2)e^{-x}$，$\fbox{A}$ 填 2；极小值 $f(0) = 0$，极大值 $f(2) = \dfrac{4}{e^2}$，$\fbox{B}$、$\fbox{C}$、$\fbox{D}$、$\fbox{E}$ 依次填 0、2、4、2。(2) $f'' = (x^2 - 4x + 2)e^{-x}$，$\fbox{F}$、$\fbox{G}$ 填 4、2；拐点 $x = 2 \pm \sqrt{2}$，$\fbox{H}$、$\fbox{I}$ 都填 2；上凸在两根之间，$\fbox{J}$ 到 $\fbox{M}$ 全填 2。(3) $x \to \infty$ 时 $f \to 0$，$\fbox{N}$ 填 0；3 个解要求水平线穿过极小值与极大值之间，$\fbox{O} = 0$，$\fbox{P} = 4$，$\fbox{Q} = 2$。空格判断：$\fbox{N}$、$\fbox{O}$ 的 0 也要填；$k = \dfrac{4}{e^2}$ 时只有 2 个解，端点不含。

問題 3　（速度・加速度，近似式）

(1) 座標平面上を動く点 P の時刻 $t$ における座標 $(x,\ y)$ が

$$x = t - \sin t, \qquad y = 1 - \cos t$$

で与えられている。時刻 $t$ における P の速さは $\fbox{A}\left|\sin\dfrac{t}{\fbox{B}}\right|$ である。$0 \leqq t \leqq 2\pi$ において，速さは $t = \fbox{C}\,\pi$ のとき最大値 $\fbox{D}$ をとる。また，P の加速度の大きさは $t$ によらず $\fbox{E}$ である。

(2) $h$ が十分小さいとき，$\sqrt[3]{1 + h}$ の 1 次の近似式は $1 + \dfrac{h}{\fbox{F}}$ である。これを用いると，$\sqrt[3]{1003}$ の近似値は $\fbox{GH}.\fbox{IJ}$ である。

解答　(1) $\dfrac{dx}{dt} = 1 - \cos t$，$\dfrac{dy}{dt} = \sin t$ であるから

$$|\vec{v}| = \sqrt{(1 - \cos t)^2 + \sin^2 t} = \sqrt{2 - 2\cos t} = \sqrt{4\sin^2\frac{t}{2}} = 2\left|\sin\frac{t}{2}\right|.$$

（半角の公式 $1 - \cos t = 2\sin^2\dfrac{t}{2}$ を用いた。）よって $\fbox{A} = 2$，$\fbox{B} = 2$。 $0 \leqq t \leqq 2\pi$ のとき $\dfrac{t}{2}$ は $0$ から $\pi$ までを動き，$\sin\dfrac{t}{2}$ は $t = \pi$ のとき最大値 $1$ をとる。したがって速さの最大値は $2$ で，$\fbox{C} = 1$，$\fbox{D} = 2$。 加速度は $\left(\dfrac{d^2x}{dt^2}, \dfrac{d^2y}{dt^2}\right) = (\sin t, \cos t)$ で，大きさは $\sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t} = 1$ である。よって $\fbox{E} = 1$。

(2) $(1 + h)^{\frac{1}{3}} \approx 1 + \dfrac{h}{3}$ であるから $\fbox{F} = 3$。 $\sqrt[3]{1003} = \sqrt[3]{1000 \times 1.003} = 10(1 + 0.003)^{\frac{1}{3}} \approx 10(1 + 0.001) = 10.01$ である。よって $\fbox{GH} = 1, 0$，$\fbox{IJ} = 0, 1$。

中文翻译　题目：（1）在坐标平面上运动的点 P 在时刻 $t$ 的坐标是 $x = t - \sin t$，$y = 1 - \cos t$。时刻 $t$ 时 P 的速率是 $\fbox{A}\left|\sin\dfrac{t}{\fbox{B}}\right|$。在 $0 \leqq t \leqq 2\pi$ 内，速率在 $t = \fbox{C}\,\pi$ 时取最大值 $\fbox{D}$。另外，P 的加速度大小与 $t$ 无关，等于 $\fbox{E}$。（2）$h$ 充分小时，$\sqrt[3]{1 + h}$ 的一次近似式是 $1 + \dfrac{h}{\fbox{F}}$。用它求 $\sqrt[3]{1003}$ 的近似值是 $\fbox{GH}.\fbox{IJ}$。解答：（1）$\dfrac{dx}{dt} = 1 - \cos t$，$\dfrac{dy}{dt} = \sin t$，$|\vec{v}| = \sqrt{(1 - \cos t)^2 + \sin^2 t} = \sqrt{2 - 2\cos t} = \sqrt{4\sin^2\dfrac{t}{2}} = 2\left|\sin\dfrac{t}{2}\right|$。（用了半角公式 $1 - \cos t = 2\sin^2\dfrac{t}{2}$。）所以 $\fbox{A} = 2$，$\fbox{B} = 2$。$0 \leqq t \leqq 2\pi$ 时 $\dfrac{t}{2}$ 从 $0$ 变到 $\pi$，$\sin\dfrac{t}{2}$ 在 $t = \pi$ 时取最大值 1，所以速率的最大值是 2，$\fbox{C} = 1$，$\fbox{D} = 2$。加速度是 $\left(\dfrac{d^2x}{dt^2}, \dfrac{d^2y}{dt^2}\right) = (\sin t, \cos t)$，大小 $\sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t} = 1$，所以 $\fbox{E} = 1$。（2）$(1 + h)^{\frac{1}{3}} \approx 1 + \dfrac{h}{3}$，所以 $\fbox{F} = 3$。$\sqrt[3]{1003} = \sqrt[3]{1000 \times 1.003} = 10(1 + 0.003)^{\frac{1}{3}} \approx 10(1 + 0.001) = 10.01$，所以 $\fbox{GH} = 1, 0$，$\fbox{IJ} = 0, 1$。

解说　两分钟做法：(1) 先求 $\dfrac{dx}{dt}$、$\dfrac{dy}{dt}$，用半角公式把根号拆开，得 $2\left|\sin\dfrac{t}{2}\right|$，$\fbox{A}$、$\fbox{B}$ 都填 2；速さ的最大值看 $\sin\dfrac{t}{2}$ 在 $0 \leqq t \leqq 2\pi$ 上的最大值 1，$t = \pi$ 时取到，$\fbox{C} = 1$，$\fbox{D} = 2$；加速度逐分量求二阶导，大小恒为 1，$\fbox{E} = 1$。(2) 近似式 $\sqrt[3]{1 + h} \approx 1 + \dfrac{h}{3}$，$\fbox{F} = 3$；$\sqrt[3]{1003} = 10\sqrt[3]{1.003}$，近似值是 $10.01$，$\fbox{GH}$ 填 1、0，$\fbox{IJ}$ 填 0、1。空格判断：$\fbox{C}$ 的系数 1 也要填；$\fbox{IJ}$ 小数点后的 0 也要填。

21.11 术语与题干用语

日文	读音	中文	例句或说明
微分係数	びぶんけいすう	导数（某一点处的导数值）	「$x = a$ における微分係数 $f'(a)$」
導関数	どうかんすう	导函数	「次の関数の導関数を求めよ」
微分する	びぶんする	求导	「$y = x\log x$ を微分すると」
微分可能	びぶんかのう	可导	「$x = 1$ で微分可能であるための条件」
連続	れんぞく	连续	「微分可能ならば連続である」
積の導関数	せきのどうかんすう	积的导数
商の導関数	しょうのどうかんすう	商的导数
合成関数	ごうせいかんすう	复合函数	「合成関数の微分法」
逆関数	ぎゃくかんすう	反函数	「$f(x)$ の逆関数を $g(x)$ とする」
対数微分法	たいすうびぶんほう	对数求导法	「両辺の自然対数をとって微分する」
自然対数	しぜんたいすう	自然对数	「ただし，log は自然対数とする」
媒介変数	ばいかいへんすう	参数	「媒介変数 $t$ を用いて表された曲線」
第2次導関数	だいにじどうかんすう	二阶导数	$f''(x)$，$\dfrac{d^2y}{dx^2}$
第 $n$ 次導関数	だいえぬじどうかんすう	$n$ 阶导数	$f^{(n)}(x)$
平均値の定理	へいきんちのていり	拉格朗日中值定理	「平均値の定理を用いて示せ」
ロルの定理	ろるのていり	罗尔定理
増減表	ぞうげんひょう	增减表（单调性表）	「増減表をかくと次のようになる」
極大値・極小値	きょくだいち・きょくしょうち	极大值、极小值	「$x = 2$ で極大値をとる」
極値	きょくち	极值
単調に増加する	たんちょうにぞうかする	单调递增	「$x \geqq 0$ で単調に増加する」
凹凸	おうとつ	凹凸性	「曲線の凹凸を調べよ」
下に凸	したにとつ	下凸（碗口朝上，$f'' > 0$）	「$x > 1$ で下に凸である」
上に凸	うえにとつ	上凸（碗口朝下，$f'' < 0$）
変曲点	へんきょくてん	拐点	「変曲点の座標を求めよ」
漸近線	ぜんきんせん	渐近线	「直線 $y = x + 1$ はこの曲線の漸近線である」
グラフの概形	ぐらふのがいけい	图像的大致形状	「$y = f(x)$ のグラフの概形をかけ」
接線	せっせん	切线	「点 $(e, e)$ における接線」
法線	ほうせん	法线	接線に垂直で接点を通る直線
接点	せってん	切点	「接点の $x$ 座標を $t$ とおく」
速度	そくど	速度（有正负或方向）	「時刻 $t$ における速度」
速さ	はやさ	速率（速度的大小）	「P の速さの最大値」
加速度	かそくど	加速度	「加速度の大きさ」
数直線上を動く点	すうちょくせんじょうをうごくてん	在数轴上运动的点
近似式	きんじしき	近似公式	「1 次の近似式」
近似値	きんじち	近似值	「$\sqrt{1.02}$ の近似値を求めよ」
〜が十分小さいとき	〜がじゅうぶんちいさいとき	……充分小时	「$h$ が十分小さいとき」
〜によらず	〜によらず	与……无关	「加速度の大きさは $t$ によらず一定」
異なる 3 個の実数解	ことなるさんこのじっすうかい	3 个不同实数解	「方程式が異なる 3 個の実数解をもつ」

21.12 自测

1. 函数 $f(x) = \begin{cases} x^2 & (x \le 2) \\ ax + b & (x > 2) \end{cases}$ 在 $x = 2$ 可导，求 $a$、$b$。
2. $f'(1) = 2$，求 $\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(1 + h) - f(1 - h)}{h}$。
3. 求 $y = \sqrt{1 - x^2}$ 的导数。
4. $f(x) = x^3 + 2x$ 的反函数为 $g(x)$，求 $g'(3)$。
5. 求 $y = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$ 的导数（化到最简）。
6. 求 $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1 + 2x)}{x}$。
7. 求 $(e^{3x})^{(n)}$ 和 $(\cos x)^{(2027)}$。
8. 对 $f(x) = \ln x$ 在 $1 \le x \le e$ 上用平均値の定理，求 $c$。
9. 求曲线 $y = x^4 - 6x^2$ 的変曲点。
10. 求 $y = \dfrac{x^2 + 1}{x}$ 的渐近线。
11. 数轴上的点 $x = t^3 - 3t$（$t \ge 0$），求速度为 0 的时刻和这时的加速度。
12. 点 P$(2t,\ t^2)$，求 $t = 1$ 时的速さ。
13. 用近似式求 $\sqrt{9.06}$ 的近似值。

答案：1. $a = 4$，$b = -4$；2. 4；3. $-\dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$；4. $\dfrac{1}{5}$；5. $\dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$；6. 2；7. $3^ne^{3x}$，$\sin x$；8. $c = e - 1$；9. $(1, -5)$ 和 $(-1, -5)$；10. $x = 0$ 和 $y = x$；11. $t = 1$，加速度 6；12. $2\sqrt{2}$；13. 3.01。

21.13 深入阅读

• JASSO · 日本留学試験 数学シラバス：官方出题范围原文，第 19 项「微分法」列出本章的全部小项目（コース2）。
• JASSO · 過去問題サンプル：官方公开的过去问，コース2 的大问 Ⅲ、Ⅳ 常以求导、増減表开头，可以对照本章的誘導骨架。
• 维基百科（日文）· 変曲点：変曲点、凹凸的日文定义和例子，查日文术语时用。
• 维基百科（日文）· 平均値の定理：平均値の定理和ロルの定理的陈述、证明与图示。