第 12 章 · 指数関数・対数関数

项目	内容
シラバス项目	10. 指数関数・対数関数（数学Ⅱ）：(1) 指数関数（① 指数の拡張 ② 指数関数とそのグラフ）、(2) 対数関数（① 対数の性質 ② 対数関数とそのグラフ ③ 常用対数）
コース	仅コース2
国内书对应	国内书第 8 章（指数与指数函数）、第 9 章（对数与对数函数）
本章新内容的分量	小。运算法则、图像、性质和国内完全相同；要补的是常用对数的三类应用、日本的对数记号，以及换元成 2 次函数的誘導题

指数、对数在国内是必修一的内容，运算和图像都学得很扎实，EJU 不会在这里考出国内没见过的公式。差别在三处：一是日本不用 $\lg$、$\ln$，コース2 的题里 $\log$ 不写底时指自然对数；二是「常用対数」是シラバス的正式小项目，位数、最高位的数字、小数第几位出现非零数字都会考，国内只把位数当一道例题；三是 EJU 特别喜欢“设 $t = 2^x$（或 $t = \log_2 x$），化成 $t$ 的 2 次函数求最值”这种一步一步引导的题。丢分主要丢在：$t$ 的范围没有跟着 $x$ 的范围求，除以负的对数值时不等号没变向，最高位的数字和小数位数差 1。

12.1 与国内的对照

シラバス小项目（日文原文）	国内书位置	相同 / 讲法不同 / 国内没有	本章哪节讲
(1) ① 指数の拡張	国内书第 8 章 8.2、8.3 节	相同，见国内书第 8 章	不另讲，术语见 12.6
(1) ② 指数関数とそのグラフ	国内书第 8 章 8.4 节	相同；换元求最值 EJU 考得更深	12.4
(2) ① 対数の性質	国内书第 9 章 9.2–9.4 节	讲法不同（记号）	12.3
(2) ② 対数関数とそのグラフ	国内书第 9 章 9.5、9.6 节	相同；“真数条件”是日本解题的固定第一步	12.3、12.4
(2) ③ 常用対数	国内书第 9 章 9.3 节例 4（只有位数）	讲法不同	12.2

根式、分数指数幂、指数运算性质、指数函数和对数函数的图像与单调性、换底公式、反函数，国内书讲的和日本教科书一样，本章不再重复。本章三个知识点：常用对数的应用（12.2），对数的记号和真数条件（12.3），换元化成 2 次函数（12.4）。

12.2 常用対数の応用（桁数・最高位の数字・小数第何位）

说明

常用対数：以 10 为底的对数 $\log_{10} N$。国内写成 $\lg N$，日本总是写出底数 10。题目会给出几个常用对数的近似值，最常见的是

$$\log_{10} 2 = 0.3010, \qquad \log_{10} 3 = 0.4771, \qquad \log_{10} 7 = 0.8451.$$

由它们可以推出 $\log_{10} 4 = 0.6020$，$\log_{10} 5 = 1 - \log_{10} 2 = 0.6990$，$\log_{10} 6 = 0.7781$，$\log_{10} 8 = 0.9030$，$\log_{10} 9 = 0.9542$。

常用对数在 EJU 里有三类用法，核心都是“夹在 10 的两个相邻整数次幂之间”。

1. 整数的位数（桁数）：正整数 $N$ 是 $n$ 位数，当且仅当

$$10^{n-1} \le N < 10^n \iff n - 1 \le \log_{10} N < n.$$

所以 $N$ 的位数等于 $\log_{10} N$ 的整数部分加 1。

2. 最高位的数字：把 $\log_{10} N$ 写成整数部分加小数部分，$\log_{10} N = k + \alpha$（$k$ 是整数，$0 \le \alpha < 1$），则 $N = 10^k \cdot 10^\alpha$，$1 \le 10^\alpha < 10$。最高位的数字是 $m$，当且仅当

$$m \le 10^\alpha < m + 1 \iff \log_{10} m \le \alpha < \log_{10}(m + 1).$$

也就是看小数部分 $\alpha$ 落在 $\log_{10} 1, \log_{10} 2, \dots, \log_{10} 10$ 这几个点隔出的哪一段里。

3. 小数第几位出现非零数字：$0 < N < 1$ 时，$N$ 的小数第 $n$ 位第一次出现不是 0 的数字，当且仅当

$$10^{-n} \le N < 10^{-n+1} \iff -n \le \log_{10} N < -n + 1.$$

例如 $0.00347$：$10^{-3} \le 0.00347 < 10^{-2}$，小数第 3 位第一次出现非零数字 3。这时最高位（第一个非零数字）也照第 2 条求：把 $\log_{10} N$ 写成 $-n + \alpha$，$0 \le \alpha < 1$，再看 $\alpha$。

使用场景

• 题目问「$3^{40}$ は何桁の整数か」：取常用对数，看整数部分。
• 题目问「最高位の数字を求めよ」：取常用对数，看小数部分夹在哪两个 $\log_{10} m$ 之间。
• 题目问「小数第何位に初めて 0 でない数字が現れるか」：取常用对数，结果是负数，写成“负整数 + 小数部分”。
• 题目反过来问「$2^n$ が 10 桁の数となる $n$ をすべて求めよ」：把位数条件写成关于 $n$ 的不等式。
• 题目问「初めて 0.01 より小さくなるのは何回目か」「何年後に 2 倍を超えるか」：两边取常用对数，解关于 $n$ 的一次不等式。

注意点

• 题干写「ただし，$\log_{10} 2 = 0.3010$，$\log_{10} 3 = 0.4771$ とする」，就把这些值当成准确值来算。EJU 的数值会设计得离边界足够远，不必担心近似误差。
• 含 5 的数要用 $\log_{10} 5 = 1 - \log_{10} 2$，含 $1.5$、$0.9$ 这类小数要先化成 2、3、5、10 的乘除：$1.5 = \dfrac{3}{2}$，$0.9 = \dfrac{3^2}{10}$。
• 负的对数写成“整数部分 + 小数部分”时，小数部分必须在 0 和 1 之间：$-3.3285 = -4 + 0.6715$，不是 $-3 - 0.3285$。
• 解 $n \log_{10} 0.9 < -2$ 这类不等式时，$\log_{10} 0.9$ 是负数，两边除以它不等号要反向。
• 求“最小的自然数 $n$“时，解出 $n > 43.66\cdots$ 后取 $n = 44$，不是 43。
• EJU 题干的说法：「〜は何桁の整数か」「最高位の数字」「小数第何位に初めて 0 でない数字が現れるか」「一の位の数字」。

证明

结论 1：位数的条件。 $n$ 位正整数中最小的是 $10^{n-1}$（1 后面 $n - 1$ 个 0），最大的是 $10^n - 1$（$n$ 个 9），所以 $N$ 是 $n$ 位数当且仅当 $10^{n-1} \le N < 10^n$。$y = \log_{10} x$ 在 $x > 0$ 上单调递增（国内书第 9 章 9.5 节），不等式两边取常用对数不改变方向，得 $n - 1 \le \log_{10} N < n$。

结论 2：最高位的数字。 设 $\log_{10} N = k + \alpha$，$k$ 是整数，$0 \le \alpha < 1$，则 $N = 10^k \cdot 10^\alpha$。（关键一步：乘 $10^k$ 只是移动小数点，不改变各位数字，所以 $N$ 的最高位数字就是 $10^\alpha$ 的整数部分。）$0 \le \alpha < 1$ 保证 $1 \le 10^\alpha < 10$，$10^\alpha$ 的整数部分是 1 到 9 中的某个 $m$，即 $m \le 10^\alpha < m + 1$，取对数得 $\log_{10} m \le \alpha < \log_{10}(m + 1)$。

结论 3：小数第几位。 $0 < N < 1$ 时，小数第 $n$ 位第一次出现非零数字，等价于 $N$ 的小数点后前 $n - 1$ 位都是 0、第 $n$ 位不是 0，即 $0.\underbrace{0 \cdots 0}_{n-1}1 \le N < 0.\underbrace{0 \cdots 0}_{n-2}1$，也就是 $10^{-n} \le N < 10^{-(n-1)}$，取对数即得。

例题

例 1　（场景：求位数）

問題　$\log_{10} 3 = 0.4771$ とする。$3^{40}$ は何桁の整数か。

解答　$\log_{10} 3^{40} = 40 \log_{10} 3 = 40 \times 0.4771 = 19.084$。よって $19 \leqq \log_{10} 3^{40} < 20$，すなわち $10^{19} \leqq 3^{40} < 10^{20}$ であるから，$3^{40}$ は $20$ 桁の整数である。

中文翻译　题目：设 $\log_{10} 3 = 0.4771$。$3^{40}$ 是几位整数？解答：$\log_{10} 3^{40} = 40 \log_{10} 3 = 40 \times 0.4771 = 19.084$。所以 $19 \le \log_{10} 3^{40} < 20$，即 $10^{19} \le 3^{40} < 10^{20}$，$3^{40}$ 是 20 位数。

解说　容易卡在：答成 19 位。$10^{19}$ 本身是 1 后面 19 个 0，已经是 20 位数。位数等于常用对数的整数部分加 1。

例 2　（场景：求最高位的数字）

問題　$\log_{10} 2 = 0.3010$，$\log_{10} 3 = 0.4771$ とする。$6^{30}$ の桁数と最高位の数字を求めよ。

解答　$\log_{10} 6 = \log_{10} 2 + \log_{10} 3 = 0.7781$ であるから，

$$\log_{10} 6^{30} = 30 \times 0.7781 = 23.343.$$

整数部分は $23$ であるから，$6^{30}$ は $24$ 桁の整数である。小数部分 $\alpha = 0.343$ について

$$\log_{10} 2 = 0.3010 \leqq 0.343 < 0.4771 = \log_{10} 3$$

であるから，$2 \leqq 10^{0.343} < 3$。よって $6^{30} = 10^{23} \times 10^{0.343}$ の最高位の数字は $2$ である。

中文翻译　题目：设 $\log_{10} 2 = 0.3010$，$\log_{10} 3 = 0.4771$。求 $6^{30}$ 的位数和最高位数字。解答：$\log_{10} 6 = \log_{10} 2 + \log_{10} 3 = 0.7781$，$\log_{10} 6^{30} = 30 \times 0.7781 = 23.343$。整数部分是 $23$，所以 $6^{30}$ 是 24 位整数。小数部分 $\alpha = 0.343$，而 $\log_{10} 2 = 0.3010 \le 0.343 < 0.4771 = \log_{10} 3$，所以 $2 \le 10^{0.343} < 3$。因此 $6^{30} = 10^{23} \times 10^{0.343}$ 的最高位数字是 2。

解说　位数看常用对数的整数部分：$23 + 1 = 24$。最高位看小数部分落在哪两个 $\log_{10} m$ 之间：$0.343$ 在 $\log_{10} 2$ 和 $\log_{10} 3$ 之间，所以是 2。两件事都用同一个 $\log_{10} 6^{30}$，先算对数值，再分开看整数部分和小数部分。

例 3　（场景：小数第几位出现非零数字）

問題　$\log_{10} 2 = 0.3010$，$\log_{10} 3 = 0.4771$ とする。$0.6^{15}$ を小数で表したとき，小数第何位に初めて $0$ でない数字が現れるか。また，その数字を求めよ。

解答　$0.6 = \dfrac{2 \times 3}{10}$ であるから，$\log_{10} 0.6 = 0.3010 + 0.4771 - 1 = -0.2219$。

$$\log_{10} 0.6^{15} = 15 \times (-0.2219) = -3.3285.$$

$-4 \leqq -3.3285 < -3$ であるから，$10^{-4} \leqq 0.6^{15} < 10^{-3}$。よって小数第 $4$ 位に初めて $0$ でない数字が現れる。

さらに $-3.3285$ を $-4 + 0.6715$ と書き，小数部分 $0.6715$ について

$$\log_{10} 4 = 0.6020 \leqq 0.6715 < 0.6990 = \log_{10} 5$$

であるから，その数字は $4$ である。

中文翻译　题目：设 $\log_{10} 2 = 0.3010$，$\log_{10} 3 = 0.4771$。$0.6^{15}$ 写成小数时，在小数第几位第一次出现非零数字？并求这个数字。解答：$0.6 = \dfrac{2 \times 3}{10}$，$\log_{10} 0.6 = 0.3010 + 0.4771 - 1 = -0.2219$。$\log_{10} 0.6^{15} = 15 \times (-0.2219) = -3.3285$。因为 $-4 \le -3.3285 < -3$，所以 $10^{-4} \le 0.6^{15} < 10^{-3}$，小数第 4 位第一次出现非零数字。再把 $-3.3285$ 写成 $-4 + 0.6715$，小数部分 $0.6715$ 满足 $\log_{10} 4 = 0.6020 \le 0.6715 < 0.6990 = \log_{10} 5$，所以这个数字是 4。

解说　容易卡在：把 $-3.3285$ 的小数部分当成 $0.3285$，得出数字 2。小数部分必须让整数部分是 $-4$，即 $-3.3285 = -4 + 0.6715$，用 $0.6715$ 去和 $\log_{10} m$ 比较。验算：实际 $0.6^{15} = 0.000470\cdots$，确实是小数第 4 位首次出现非零数字，首位数字 4。

例 4　（场景：由位数反求指数）

問題　$\log_{10} 2 = 0.3010$ とする。$2^n$ が $10$ 桁の整数となる自然数 $n$ をすべて求めよ。

解答　$2^n$ が $10$ 桁の整数となるための条件は $9 \leqq \log_{10} 2^n < 10$，すなわち $9 \leqq 0.3010n < 10$ である。

$$\frac{9}{0.3010} = 29.90\cdots, \qquad \frac{10}{0.3010} = 33.22\cdots$$

であるから，$29.90\cdots \leqq n < 33.22\cdots$。$n$ は自然数であるから，$n = 30, 31, 32, 33$ である。

中文翻译　题目：设 $\log_{10} 2 = 0.3010$。求使 $2^n$ 成为 10 位整数的所有自然数 $n$。解答：$2^n$ 是 10 位整数的条件是 $9 \le \log_{10} 2^n < 10$，即 $9 \le 0.3010n < 10$。$\dfrac{9}{0.3010} = 29.90\cdots$，$\dfrac{10}{0.3010} = 33.22\cdots$，所以 $29.90\cdots \le n < 33.22\cdots$。$n$ 是自然数，故 $n = 30, 31, 32, 33$。

解说　方法：把“10 位数”写成 $9 \le \log_{10} N < 10$，代入 $N = 2^n$，解关于 $n$ 的一次不等式。下限 $29.90\cdots$ 往上取到 $30$，上限 $33.22\cdots$ 往下取到 $33$，两端都取区间内的整数。另一种解法：用 $2^{10} = 1024$ 估算。$2^{30} = 1024^3 \approx 1.07 \times 10^9$，是 10 位数；$2^{29}$ 是它的一半，约 $5.4 \times 10^8$，是 9 位数。$2^{33} = 8 \times 2^{30} \approx 8.6 \times 10^9$，还是 10 位数；$2^{34} \approx 1.7 \times 10^{10}$，是 11 位数。所以 $n = 30, 31, 32, 33$。底数是 2 时这个估算很快，适合检查答案；题目给的是一般的底数，或要求按誘導填空时，还是用常用对数。

例 5　（场景：初めて〜より小さくなる）

問題　$\log_{10} 3 = 0.4771$ とする。$0.9^n < 0.01$ を満たす最小の自然数 $n$ を求めよ。

解答　両辺の常用対数をとる。底 $10$ は $1$ より大きいから，不等号の向きは変わらない。

$$n \log_{10} 0.9 < \log_{10} 0.01 = -2.$$

$\log_{10} 0.9 = \log_{10} \dfrac{3^2}{10} = 2 \times 0.4771 - 1 = -0.0458$ は負であるから，両辺を $-0.0458$ で割ると不等号の向きが変わり，

$$n > \frac{2}{0.0458} = 43.66\cdots.$$

よって，最小の自然数は $n = 44$ である。

中文翻译　题目：设 $\log_{10} 3 = 0.4771$。求满足 $0.9^n < 0.01$ 的最小自然数 $n$。解答：两边取常用对数。底 10 大于 1，不等号方向不变：$n \log_{10} 0.9 < \log_{10} 0.01 = -2$。$\log_{10} 0.9 = \log_{10} \dfrac{3^2}{10} = 2 \times 0.4771 - 1 = -0.0458$ 是负数，两边除以 $-0.0458$，不等号反向：$n > \dfrac{2}{0.0458} = 43.66\cdots$。所以最小自然数 $n = 44$。

解说　容易卡在：除以负数忘了变号，写成 $n < 43.66\cdots$。$0.9^n$ 随 $n$ 增大而减小，所以一旦小于 $0.01$，之后都更小，“最小”取 $44$ 而不是 $43$。判断符号：$0 < 0.9 < 1$，所以 $\log_{10} 0.9 < 0$，除以它一定要变向。

常用推论

• $N$ 的位数 $=$ $\log_{10} N$ 的整数部分 $+ 1$（$N \ge 1$）。推导：本节证明结论 1。
• $N^k$ 的位数只需算 $k \log_{10} N$；$\dfrac{1}{N^k}$ 的小数位数用 $-k \log_{10} N$。推导：幂的对数等于指数乘对数（国内书第 9 章 9.3 节）。
• $a^n$ 第一次超过 $M$（$a > 1$）：$n > \dfrac{\log_{10} M}{\log_{10} a}$ 的最小自然数；$a^n$ 第一次小于 $M$（$0 < a < 1$）：同样的分式，但因为除以负数，仍是 $n > \dfrac{\log_{10} M}{\log_{10} a}$。推导：例 5。
• 一の位的数字不用对数，而是看除以 10 的余数的周期：$3^n$ 的个位按 3、9、7、1 循环，$3^{40}$ 的个位是 1。推导见本书第 8 章 8.3 节“高次幂的余数”。EJU 常把“位数、最高位、个位”放在同一道题里。

易错点

• 错在哪：$\log_{10} 3^{40} = 19.084$，答“19 位”。 为什么错：$10^{19}$ 是 20 位数，位数比对数的整数部分多 1。 正确做法：$n - 1 \le \log_{10} N < n$，整数部分加 1。
• 错在哪：$\log_{10} 0.6^{15} = -3.3285$，答“小数第 3 位”。 为什么错：$-3.3285 < -3$，说明 $0.6^{15} < 10^{-3} = 0.001$，小数第 3 位还是 0。 正确做法：找满足 $-n \le \log_{10} N < -n + 1$ 的 $n$，这里 $n = 4$。
• 错在哪：求最高位时用对数的整数部分或者负数的“表面小数部分”去比较。 为什么错：决定数字的是 $0 \le \alpha < 1$ 的小数部分，负数要先写成“更小的整数 + 正的小数”。 正确做法：$-3.3285 = -4 + 0.6715$，用 $0.6715$ 去比。
• 错在哪：$n \log_{10} 0.9 < -2$ 两边除以 $\log_{10} 0.9$，得 $n < 43.66\cdots$。 为什么错：$0 < 0.9 < 1$，$\log_{10} 0.9 < 0$，除以负数不等号要反向。 正确做法：先判断对数的正负，再除。

直观理解

把数轴上的刻度按常用对数排（国内书第 9 章 9.3 节“直观理解”的对数刻度）：每乘一次 10，就往右走一整格。一个数的常用对数，整数部分说的是“走了几整格”，也就是有多少位；小数部分说的是“在这一格里走到了哪儿”，而一格里面 2、3、……、9 的位置是固定的（上图），所以小数部分决定最高位的数字。

计算器上的科学计数法 $2.21 \times 10^{23}$ 就是这件事：$10^{23}$ 那部分来自整数部分 23，$2.21$ 那部分来自小数部分 $0.343$（$10^{0.343} \approx 2.20$）。

关联知识点

• 前置：国内书第 9 章 9.3 节（对数的运算性质、位数的例题）和 9.5 节（对数函数单调递增）。
• 本书第 8 章 8.6 节：$n$ 进制的位数条件 $n^{k-1} \le N < n^k$ 和本节 10 进制的位数条件同构；个位数字用第 8 章 8.3 节的余数周期。
• 本书第 14 章 数列：等比数列“第几项开始超过某值”、复利问题，最后都化成本节例 5 的不等式。
• 本书第 2 章：位数、小数位数都是填一两个格的整数，按答题卡规则填。

12.3 対数の記号と真数条件

说明

日本的对数记号：

内容	日本（教科书、EJU）	国内
常用对数	$\log_{10} x$（「常用対数」）	$\lg x$
自然对数	数学Ⅲ 起写 $\log x$，底 $e$ 省略（「自然対数」）；也有写 $\log_e x$ 的	$\ln x$
一般的对数	$\log_a x$，数学Ⅱ 里底数一律写出	$\log_a x$
底、真数	「底」「真数」	底数、真数

所以 EJU コース2 里出现不写底的 $\log x$，指的是以 $e$ 为底的自然对数，不是以 10 为底。题干通常会注明「ただし，$\log$ は自然対数とする」，英文版注明 “where log is the natural logarithm”。$e = 2.71828\cdots$ 日本叫「ネイピア数」，导数 $(\log x)' = \dfrac{1}{x}$ 见本书第 21 章。

真数条件と底の条件：$\log_a M$ 有意义，要求

$$a > 0, \quad a \ne 1 \quad (\text{底の条件}), \qquad M > 0 \quad (\text{真数条件}).$$

这和国内的“对数有意义的条件”完全相同（国内书第 9 章 9.2 节），只是日本教科书把“先写真数条件”当成解对数方程、对数不等式的固定第一步，答案里也常有「真数は正であるから」这句话。

解的写法：日本的答案和题干不用区间记号，范围写成不等式。对数不等式的解写成「$2 < x \leqq 3$」，不写 $(2, 3]$。

使用场景

• 题干里有不写底的 $\log x$（多在微积分题里）：按自然对数理解，$\log e = 1$，$\log 1 = 0$，$e^{\log a} = a$。
• 解对数方程：先写真数条件（和底的条件），合并成一个对数后去掉 $\log$，最后用条件筛选。
• 底数含未知数的对数方程：底的条件 $x > 0$，$x \ne 1$ 也要写。
• 解对数不等式：先写真数条件，化成同底，看底大于 1 还是在 0 和 1 之间决定是否变号，答案写成不等式。

注意点

• コース2 的同一道题里可能既有 $\log_{10}$（常用对数，底写出来）又有 $\log$（自然对数，底不写），看清有没有下标。
• 自然对数的底数 $e > 1$，所以 $\log x$ 单调递增，$\log x > 0 \iff x > 1$。
• 方程两边是同底的对数时，底是 2、10 还是 $e$ 都不影响：$\log M = \log N \iff M = N$（$M, N > 0$）。
• 真数条件在合并对数之前求，用原来每个对数的真数来写；合并后再求会把定义域放大。
• 底在 0 和 1 之间时不等号反向，这和国内相同；日本题常把底写成分数，如 $\log_{\frac{1}{2}} x$。
• EJU 题干的说法：「ただし，$\log$ は自然対数とする」「真数は正であるから」「底の変換公式を用いると」「〜を満たす $x$ の値の範囲は」。

证明

$\log$ 不写底指自然对数是日本数学Ⅲ 的约定，不是定理，没有证明。

同底对数相等则真数相等：$a > 0$，$a \ne 1$ 时 $y = \log_a x$ 在 $x > 0$ 上单调（$a > 1$ 递增，$0 < a < 1$ 递减），单调函数是一一对应，所以 $\log_a M = \log_a N$ 推出 $M = N$。（关键一步：单调性保证不同的真数对应不同的对数值。）这对 $a = 10$、$a = e$ 一样成立，所以题目里底是什么不影响这一步。

为什么真数条件要在合并前写：$\log_a M + \log_a N = \log_a MN$ 只在 $M > 0$ 且 $N > 0$ 时成立；而 $MN > 0$ 还包括 $M < 0$、$N < 0$ 的情况，所以合并后的式子定义域更大，会多出不满足原方程的解。

例题

例 1　（场景：读懂自然对数的记号）

問題　ただし，$\log$ は自然対数とする。$\log e^3 + 2\log \sqrt{e} - e^{\log 2}$ の値を求めよ。

解答　$\log$ は $e$ を底とする対数である。 $\log e^3 = 3$， $2\log \sqrt{e} = 2 \times \dfrac{1}{2} = 1$， $e^{\log 2} = 2$（対数恒等式 $a^{\log_a M} = M$）。 よって，与式 $= 3 + 1 - 2 = 2$ である。

中文翻译　题目：设 $\log$ 为自然对数。求 $\log e^3 + 2\log \sqrt{e} - e^{\log 2}$ 的值。解答：$\log$ 是以 $e$ 为底的对数。$\log e^3 = 3$；$2\log \sqrt{e} = 2 \times \dfrac{1}{2} = 1$；$e^{\log 2} = 2$（对数恒等式 $a^{\log_a M} = M$）。所以原式 $= 3 + 1 - 2 = 2$。

解说　容易卡在：把 $\log$ 当成以 10 为底，去算 $\log_{10} e^3$。日本数学Ⅲ约定不写底的 $\log$ 是自然对数，$\log e = 1$。三条化简分别用 $\log_a a^k = k$、$\log_a \sqrt{a} = \dfrac{1}{2}$ 和对数恒等式 $a^{\log_a M} = M$。

例 2　（场景：对数方程，先写真数条件）

問題　ただし，$\log$ は自然対数とする。方程式 $\log x + \log(x - 1) = \log 6$ を解け。

解答　真数は正であるから，$x > 0$ かつ $x - 1 > 0$，すなわち $x > 1$ である。 左辺をまとめると $\log x(x - 1) = \log 6$。よって $x(x - 1) = 6$，$x^2 - x - 6 = 0$，$(x - 3)(x + 2) = 0$，すなわち $x = 3$ または $x = -2$。 真数条件 $x > 1$ より，解は $x = 3$ である。

中文翻译　题目：设 $\log$ 为自然对数。解方程 $\log x + \log(x - 1) = \log 6$。解答：真数为正，所以 $x > 0$ 且 $x - 1 > 0$，即 $x > 1$。左边合并：$\log x(x - 1) = \log 6$。所以 $x(x - 1) = 6$，$x^2 - x - 6 = 0$，$(x - 3)(x + 2) = 0$，即 $x = 3$ 或 $x = -2$。由真数条件 $x > 1$，解是 $x = 3$。

解说　容易卡在：解出 $x = 3$、$x = -2$ 就两个都写。$x = -2$ 时 $\log x$ 无意义，是合并对数后定义域扩大带来的增根，必须用第一步的真数条件筛掉。底是 $e$ 还是 10 都不影响这道题：两边同底，去掉 $\log$ 就行。

例 3　（场景：底数含未知数）

問題　方程式 $\log_x (x + 6) = 2$ を解け。

解答　底の条件は $x > 0$ かつ $x \ne 1$，真数条件は $x + 6 > 0$ である。合わせると $x > 0$ かつ $x \ne 1$ である。 対数の定義より $x^2 = x + 6$，すなわち $x^2 - x - 6 = 0$，$x = 3$ または $x = -2$。条件を満たすのは $x = 3$ である。

中文翻译　题目：解方程 $\log_x (x + 6) = 2$。解答：底的条件是 $x > 0$ 且 $x \ne 1$，真数条件是 $x + 6 > 0$，合起来是 $x > 0$ 且 $x \ne 1$。由对数定义，$x^2 = x + 6$，即 $x^2 - x - 6 = 0$，$x = 3$ 或 $x = -2$。满足条件的是 $x = 3$。

解说　容易卡在：只写真数条件 $x > -6$，漏了底的条件，把 $x = -2$ 留下。底数里有未知数时，底的条件 $x > 0$、$x \ne 1$ 要和真数条件一起写。另一种解法：用换底公式写成常用对数，$\dfrac{\log_{10}(x + 6)}{\log_{10} x} = 2$，即 $\log_{10}(x + 6) = 2\log_{10} x = \log_{10} x^2$，同样得 $x + 6 = x^2$。直接用定义只要一步，适合左边只有一个对数的题；换底适合方程里有好几个不同底的对数、必须先统一底的题。

例 4　（场景：对数不等式，答案写成不等式）

問題　不等式 $\log_{\frac{1}{2}}(x - 1) + \log_{\frac{1}{2}}(x - 2) \geqq -1$ を解け。

解答　真数は正であるから，$x - 1 > 0$ かつ $x - 2 > 0$，すなわち $x > 2$ である。 左辺をまとめ，右辺を同じ底の対数で書くと，$-1 = \log_{\frac{1}{2}} 2$ であるから，

$$\log_{\frac{1}{2}} (x - 1)(x - 2) \geqq \log_{\frac{1}{2}} 2.$$

底 $\dfrac{1}{2}$ は $0$ と $1$ の間にあるから，$y = \log_{\frac{1}{2}} x$ は減少関数で，不等号の向きが変わる。

$$(x - 1)(x - 2) \leqq 2, \qquad x^2 - 3x \leqq 0, \qquad 0 \leqq x \leqq 3.$$

真数条件 $x > 2$ との共通部分をとると $2 < x \leqq 3$。よって，解は $2 < x \leqq 3$ である。

中文翻译　题目：解不等式 $\log_{\frac{1}{2}}(x - 1) + \log_{\frac{1}{2}}(x - 2) \geqq -1$。解答：真数为正，所以 $x - 1 > 0$ 且 $x - 2 > 0$，即 $x > 2$。左边合并，右边写成同底对数，$-1 = \log_{\frac{1}{2}} 2$，得 $\log_{\frac{1}{2}} (x - 1)(x - 2) \ge \log_{\frac{1}{2}} 2$。底 $\dfrac{1}{2}$ 在 0 和 1 之间，$y = \log_{\frac{1}{2}} x$ 递减，不等号反向：$(x - 1)(x - 2) \le 2$，$x^2 - 3x \le 0$，$0 \le x \le 3$。与真数条件 $x > 2$ 取公共部分，得 $2 < x \le 3$。所以解是 $2 < x \le 3$。

解说　容易卡在：忘了真数条件，答成 $0 \le x \le 3$。$x = 2$ 时 $\log_{\frac{1}{2}}(x - 2)$ 无意义，$x < 2$ 更不行，所以必须和 $x > 2$ 取交集。按日本的写法，范围答成不等式「$2 < x \leqq 3$」，不写区间 $(2, 3]$。

常用推论

• 自然对数的常用值：$\log 1 = 0$，$\log e = 1$，$\log e^k = k$，$e^{\log a} = a$（$a > 0$）。推导：对数的定义。
• 换底公式写成自然对数或常用对数都可以：$\log_a b = \dfrac{\log b}{\log a} = \dfrac{\log_{10} b}{\log_{10} a}$。推导：国内书第 9 章 9.4 节。
• $\log_{10} x$ 与 $\log x$ 只差一个常数倍：$\log_{10} x = \dfrac{\log x}{\log 10}$，所以两者的增减、正负、零点完全一样。推导：上一条取 $a = 10$。

易错点

• 错在哪：コース2 的题里看到 $\log x$，当成 $\log_{10} x$ 来算导数或数值。 为什么错：日本数学Ⅲ 约定不写底的 $\log$ 是自然对数。 正确做法：看到 $\log x$ 就想 $\ln x$；需要常用对数时题目一定写出 $\log_{10}$。
• 错在哪：例 2 解出 $x = 3$ 或 $x = -2$，两个都写。 为什么错：$x = -2$ 时 $\log x$ 无意义，是合并对数后定义域扩大带来的增根。 正确做法：动笔第一行先写真数条件，最后用它筛选。
• 错在哪：例 3 只写真数条件 $x > -6$，漏了底的条件，把 $x = -2$ 留下。 为什么错：底数也必须大于 0 且不等于 1。 正确做法：底里有未知数时，底的条件和真数条件一起写。
• 错在哪：答案写成区间 $(2, 3]$。 为什么错：EJU 是填空格的考试，题干一律用不等式问范围（如「$\fbox{A} < x \leqq \fbox{B}$」），写区间会对不上空格。 正确做法：习惯用不等式写范围，留意哪一端带等号。

直观理解

$\log$ 不写底，就像“米”不写单位换算：在微积分里以 $e$ 为底最自然（$(\log x)' = \dfrac{1}{x}$ 最干净），所以日本把它当作默认；常用对数是为了算位数，用到时特意写出 10。$\log_{10} x$ 和 $\log x$ 的图像形状一样，只是纵向缩放了 $\log 10 \approx 2.30$ 倍。

真数条件可以想成“对数只认正数”：$\log_a M$ 问的是”$a$ 的几次方等于 $M$“，正数 $a$ 的任何次方都是正数，所以 $M$ 不是正数时这个问题没有答案。

关联知识点

• 前置：国内书第 9 章 9.2 节（对数有意义的条件、对数恒等式）、9.4 节（换底公式）、9.5 节（对数不等式）。
• 本书第 2 章：$\log$ 的记号、≦ ≧ 和用不等式写范围，是全书通用的约定。
• 本书第 21 章 微分法、第 22 章 積分法：$(\log x)' = \dfrac{1}{x}$、$\displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx = \log|x| + C$，那里的 $\log$ 都是自然对数。
• 本书第 19 章 関数：$y = e^x$ 与 $y = \log x$ 互为逆関数。

12.4 置き換えによる最大・最小（2次関数への帰着）

说明

EJU 最常见的指数、对数大题是：把式子里的 $2^x$ 或 $\log_2 x$ 设成 $t$，化成 $t$ 的 2 次函数，再按第 5 章的方法求最值或讨论方程的解的个数。国内书第 8 章 8.4 节例 6 讲过最基本的一种，EJU 的誘導会多走几步。常见的三种置き換え：

式子里出现	设	$t$ 的范围（$x$ 取全体实数时）	化成
$4^x$ 和 $2^x$	$t = 2^x$	$t > 0$	$4^x = t^2$
$4^x + 4^{-x}$ 和 $2^x + 2^{-x}$	$t = 2^x + 2^{-x}$	$t \ge 2$	$4^x + 4^{-x} = t^2 - 2$
$(\log_2 x)^2$ 和 $\log_2 x$、$\log_2 4x$ 等	$t = \log_2 x$	$t$ 取全体实数	$\log_2 4x = t + 2$

$x$ 有范围时，$t$ 的范围要跟着算：$t = 2^x$ 和 $t = \log_2 x$ 都单调递增，把 $x$ 的两端代进去就得到 $t$ 的两端。

一个 $t$ 对应几个 $x$：$t = 2^x$、$t = \log_2 x$ 是一一对应，一个 $t$ 对应一个 $x$。$t = 2^x + 2^{-x}$ 不是：$t = 2$ 只对应 $x = 0$，$t > 2$ 对应两个互为相反数的 $x$。讨论方程解的个数时这一点决定答案。

使用场景

• 式子里同时有 $4^x$（或 $9^x$）和 $2^x$（或 $3^x$），在给定的 $x$ 范围内求最大值、最小值：设 $t = 2^x$，先求 $t$ 的范围。
• 式子里有 $a^x + a^{-x}$ 和 $a^{2x} + a^{-2x}$：设 $t = a^x + a^{-x}$，由相加平均と相乗平均の関係得 $t \ge 2$。
• 式子里有 $(\log_2 x)^2$、$\log_2 \dfrac{x}{8}$、$\log_2 4x$ 之类：设 $t = \log_2 x$，每个对数都写成 $t$ 的一次式。
• 题目问指数方程「異なる 2 つの実数解をもつ」的参数范围：换元后看 2 次方程在 $t > 0$ 范围内有几个解。
• 已知 $xy$ 为定值（或 $x$、$y$ 的关系），求 $\log_2 x \cdot \log_2 y$ 的最值：设 $s = \log_2 x$，用条件把 $\log_2 y$ 写成 $s$ 的式子。

注意点

• 设 $t$ 之后第一件事是写出 $t$ 的范围；$t = 2^x$ 至少有 $t > 0$。
• 题目要「最小値とそのときの $x$ の値」，求出 $t$ 后还要回到 $x$：$2^x = 4$ 得 $x = 2$；$\log_2 x = \dfrac{1}{2}$ 得 $x = \sqrt{2}$。
• 2 次函数的最值要比较对称轴和 $t$ 的区间（本书第 5 章）；端点处的最大值要两端都算再比较。
• $4^{-x} = \left(2^{-x}\right)^2$，$2^{x+2} = 4 \cdot 2^x$，$\log_2 \dfrac{x}{8} = \log_2 x - 3$：变形时系数、常数容易出错，写完代一个值验算。
• EJU 题干的说法：「$t = 2^x$ とおく」「$t$ のとりうる値の範囲は」「$y$ を $t$ の式で表すと」「最小値をとるときの $x$ の値は」「異なる実数解の個数」。

证明

结论 1：$t = 2^x + 2^{-x} \ge 2$，等号当且仅当 $x = 0$。 $2^x > 0$，$2^{-x} > 0$，由相加平均と相乗平均の関係（国内书第 3 章 3.4 节“基本不等式”）：

$$2^x + 2^{-x} \ge 2\sqrt{2^x \cdot 2^{-x}} = 2\sqrt{1} = 2.$$

（关键一步：$2^x \cdot 2^{-x} = 1$ 是常数，基本不等式才给出常数下界。）等号成立当且仅当 $2^x = 2^{-x}$，即 $x = 0$。

结论 2：$4^x + 4^{-x} = t^2 - 2$。 $t^2 = (2^x + 2^{-x})^2 = 4^x + 2 \cdot 2^x \cdot 2^{-x} + 4^{-x} = 4^x + 4^{-x} + 2$。

结论 3：$t > 2$ 时恰有两个 $x$。 设 $u = 2^x > 0$，$u + \dfrac{1}{u} = t$，即 $u^2 - tu + 1 = 0$。判别式 $t^2 - 4 > 0$，两根之和 $t > 0$，两根之积 $1 > 0$，所以有两个不同的正根 $u_1$、$u_2$，且 $u_1 u_2 = 1$。各对应一个 $x$：$x_1 = \log_2 u_1$，$x_2 = \log_2 u_2 = -x_1$。$t = 2$ 时重根 $u = 1$，只对应 $x = 0$。

结论 4：换元不改变最值。 $x$ 在给定范围里变化时，$t$ 恰好取遍算出来的范围（$t = 2^x$ 连续且单调），所以”$y$ 关于 $x$ 的最值“等于”$y$ 关于 $t$ 在这个范围上的最值”。如果把 $t$ 的范围写大了，就可能取到 $x$ 实际取不到的值，这就是 $t$ 的范围必须先求的原因。

例题

例 1　（场景：$4^x$ 与 $2^x$，给定 $x$ 的范围）

問題　関数 $y = 4^x - 2^{x+3} + 10$（$-1 \leqq x \leqq 3$）の最大値と最小値，およびそのときの $x$ の値を求めよ。

解答　$t = 2^x$ とおく。$2^x$ は増加関数であるから，$-1 \leqq x \leqq 3$ のとき $\dfrac{1}{2} \leqq t \leqq 8$ である。$4^x = t^2$，$2^{x+3} = 8t$ であるから，

$$y = t^2 - 8t + 10 = (t - 4)^2 - 6.$$

軸 $t = 4$ は区間 $\dfrac{1}{2} \leqq t \leqq 8$ 内にあるから，$t = 4$ のとき最小値 $-6$ をとる。$2^x = 4$ より $x = 2$ である。 両端では，$t = \dfrac{1}{2}$ のとき $y = \dfrac{1}{4} - 4 + 10 = \dfrac{25}{4}$，$t = 8$ のとき $y = 64 - 64 + 10 = 10$ である。よって $t = 8$ のとき最大値 $10$ をとる。$2^x = 8$ より $x = 3$ である。 したがって，$x = 3$ のとき最大値 $10$，$x = 2$ のとき最小値 $-6$ である。

中文翻译　题目：求函数 $y = 4^x - 2^{x+3} + 10$（$-1 \le x \le 3$）的最大值、最小值及此时 $x$ 的值。解答：设 $t = 2^x$。$2^x$ 递增，$-1 \le x \le 3$ 时 $\dfrac{1}{2} \le t \le 8$。$4^x = t^2$，$2^{x+3} = 8t$，所以 $y = t^2 - 8t + 10 = (t - 4)^2 - 6$。对称轴 $t = 4$ 在区间 $\dfrac{1}{2} \le t \le 8$ 内，$t = 4$ 时取最小值 $-6$，$2^x = 4$ 得 $x = 2$。两端：$t = \dfrac{1}{2}$ 时 $y = \dfrac{1}{4} - 4 + 10 = \dfrac{25}{4}$；$t = 8$ 时 $y = 64 - 64 + 10 = 10$。所以 $t = 8$ 时取最大值 $10$，$2^x = 8$ 得 $x = 3$。因此 $x = 3$ 时最大值 $10$，$x = 2$ 时最小值 $-6$。

解说　换元三步：设 $t = 2^x$，把 $x$ 的范围代入 $2^x$ 求出 $t$ 的范围，再把 $y$ 写成 $t$ 的二次式。容易卡在：照抄 $-1 \le t \le 3$；$t = 2^x$ 递增，两端代入得 $\dfrac{1}{2} \le t \le 8$。最大、最小要比较对称轴和区间的相对位置：对称轴 $t = 4$ 在区间内，最小值在顶点；最大值比较两端，$t = 8$ 处更大。

例 2　（场景：$2^x + 2^{-x}$ 型）

問題　関数 $y = 4^x + 4^{-x} - 6(2^x + 2^{-x}) + 10$ の最小値と，そのときの $x$ の値を求めよ。

解答　$t = 2^x + 2^{-x}$ とおく。相加平均と相乗平均の関係より $t \geqq 2$ である。また $4^x + 4^{-x} = t^2 - 2$ であるから，

$$y = t^2 - 2 - 6t + 10 = t^2 - 6t + 8 = (t - 3)^2 - 1.$$

軸 $t = 3$ は $t \geqq 2$ の範囲内にあるから，$t = 3$ のとき最小値 $-1$ をとる。 $t = 3$ のとき，$2^x + 2^{-x} = 3$ である。$u = 2^x$ とおくと $u^2 - 3u + 1 = 0$，$u = \dfrac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$（いずれも正）である。よって

$$x = \log_2 \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \qquad x = \log_2 \frac{3 - \sqrt{5}}{2}.$$

これらの $2$ つの値は互いに反数である（$2$ つの $u$ の積が $1$ であるから）。

中文翻译　题目：求函数 $y = 4^x + 4^{-x} - 6(2^x + 2^{-x}) + 10$ 的最小值及此时 $x$ 的值。解答：设 $t = 2^x + 2^{-x}$。由基本不等式 $t \ge 2$。又 $4^x + 4^{-x} = t^2 - 2$，所以 $y = t^2 - 2 - 6t + 10 = t^2 - 6t + 8 = (t - 3)^2 - 1$。对称轴 $t = 3$ 在 $t \ge 2$ 内，$t = 3$ 时最小值 $-1$。此时 $2^x + 2^{-x} = 3$。设 $u = 2^x$，$u^2 - 3u + 1 = 0$，$u = \dfrac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$（都是正数）。所以 $x = \log_2 \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}$，$x = \log_2 \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}$。这两个值互为相反数（两个 $u$ 的积为 $1$）。

解说　容易卡在：以为 $t \ge 2$ 时最小值一定在 $t = 2$ 处。对称轴 $t = 3$ 在范围内，最小值在顶点，$t = 2$ 处只是 $y = 0$。另一种解法（求 $t$ 的范围）：不用基本不等式，配方 $2^x + 2^{-x} - 2 = \left(2^{\frac{x}{2}} - 2^{-\frac{x}{2}}\right)^2 \ge 0$，得 $t \ge 2$，等号在 $2^{\frac{x}{2}} = 2^{-\frac{x}{2}}$ 即 $x = 0$ 时成立。基本不等式一行就够，适合记住了相加相乗的同学；配方不需要任何定理，适合记不清基本不等式条件的时候，也顺便看出等号条件。

例 3　（场景：对数的换元）

問題　関数 $y = \log_2 \dfrac{x}{2} \cdot \log_2 \dfrac{x}{8}$（$\dfrac{1}{2} \leqq x \leqq 16$）の最大値と最小値を求めよ。

解答　真数 $\dfrac{x}{2}$，$\dfrac{x}{8}$ は $x > 0$ のとき正であるから，条件を満たす。$t = \log_2 x$ とおくと，$\dfrac{1}{2} \leqq x \leqq 16$ のとき $-1 \leqq t \leqq 4$ である。

$$\log_2 \frac{x}{2} = t - 1, \qquad \log_2 \frac{x}{8} = t - 3$$

であるから，

$$y = (t - 1)(t - 3) = t^2 - 4t + 3 = (t - 2)^2 - 1.$$

$t = 2$ のとき最小値 $-1$ をとる。$\log_2 x = 2$ より $x = 4$ である。 両端では，$t = -1$ のとき $y = 8$，$t = 4$ のとき $y = 3$ である。よって $t = -1$ のとき最大値 $8$ をとる。$\log_2 x = -1$ より $x = \dfrac{1}{2}$ である。 したがって，$x = 4$ のとき最小値 $-1$，$x = \dfrac{1}{2}$ のとき最大値 $8$ である。

中文翻译　题目：求函数 $y = \log_2 \dfrac{x}{2} \cdot \log_2 \dfrac{x}{8}$（$\dfrac{1}{2} \le x \le 16$）的最大值和最小值。解答：真数 $\dfrac{x}{2}$、$\dfrac{x}{8}$ 在 $x > 0$ 时为正，满足条件。设 $t = \log_2 x$，$\dfrac{1}{2} \le x \le 16$ 时 $-1 \le t \le 4$。$\log_2 \dfrac{x}{2} = t - 1$，$\log_2 \dfrac{x}{8} = t - 3$，所以 $y = (t - 1)(t - 3) = t^2 - 4t + 3 = (t - 2)^2 - 1$。$t = 2$ 时取最小值 $-1$，$\log_2 x = 2$ 得 $x = 4$。两端：$t = -1$ 时 $y = 8$，$t = 4$ 时 $y = 3$。所以 $t = -1$ 时取最大值 $8$，$\log_2 x = -1$ 得 $x = \dfrac{1}{2}$。因此 $x = 4$ 时最小值 $-1$，$x = \dfrac{1}{2}$ 时最大值 $8$。

解说　容易卡在：只算了右端 $t = 4$，以为 $x$ 越大 $y$ 越大。开口向上的抛物线，最大值在离对称轴更远的一端：对称轴 $t = 2$ 离 $-1$ 有 3，离 4 只有 2，所以最大值在左端。$t$ 的范围由 $t = \log_2 x$ 递增、代入 $x$ 的两端得到；最后要把 $t$ 换回 $x$。

例 4　（场景：指数方程的实数解个数）

問題　$x$ の方程式 $4^x - 2^{x+2} + a = 0$ が異なる $2$ つの実数解をもつような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

解答　$t = 2^x$ とおくと $t > 0$ で，方程式は $t^2 - 4t + a = 0$ となる。$t = 2^x$ は $1$ 対 $1$ の対応であるから，もとの方程式が異なる $2$ つの実数解をもつのは，この $2$ 次方程式が異なる $2$ つの正の解をもつときである。 $g(t) = t^2 - 4t + a$ とおくと，軸は $t = 2 > 0$ である。$t > 0$ の範囲で $t$ 軸と $2$ 点で交わる条件は， 頂点が $t$ 軸より下にあること：$g(2) = a - 4 < 0$，すなわち $a < 4$； $t = 0$ における値が正であること：$g(0) = a > 0$。 よって $0 < a < 4$ である。

中文翻译　题目：求使关于 $x$ 的方程 $4^x - 2^{x+2} + a = 0$ 有两个不同实数解的常数 $a$ 的范围。解答：设 $t = 2^x$（$t > 0$），方程化为 $t^2 - 4t + a = 0$。$t = 2^x$ 是一一对应，所以原方程有两个不同实数解，当且仅当这个二次方程有两个不同的正根。设 $g(t) = t^2 - 4t + a$，对称轴 $t = 2 > 0$。在 $t > 0$ 上与 $t$ 轴有两个交点的条件：顶点在 $t$ 轴下方，$g(2) = a - 4 < 0$，即 $a < 4$；$t = 0$ 处函数值为正，$g(0) = a > 0$。所以 $0 < a < 4$。

解说　容易卡在：只写判别式 $16 - 4a > 0$，得 $a < 4$，忘了两根都要正。例如 $a = -5$ 时 $t^2 - 4t - 5 = 0$ 的根是 $5$ 和 $-1$，$t = -1$ 不对应任何 $x$，原方程只有一个解。换元后要把“原方程两个解”翻译成“二次方程两个正根”，用对称轴、顶点、端点的值三条一起判断（本书第 5 章）。

例 5　（场景：条件下对数之积的最值）

問題　$x \geqq 1$，$y \geqq 1$，$xy = 16$ のとき，$\log_2 x \cdot \log_2 y$ の最大値とそのときの $x$，$y$ の値を求めよ。

解答　$s = \log_2 x$ とおく。条件 $xy = 16$ の両辺の $2$ を底とする対数をとると，$\log_2 x + \log_2 y = 4$ であるから，$\log_2 y = 4 - s$ である。$x \geqq 1$ より $s \geqq 0$，$y \geqq 1$ より $4 - s \geqq 0$ であるから，$0 \leqq s \leqq 4$ である。

$$\log_2 x \cdot \log_2 y = s(4 - s) = -(s - 2)^2 + 4.$$

よって $s = 2$ のとき最大値 $4$ をとり，このとき $x = 4$，$y = 4$ である。

中文翻译　题目：$x \ge 1$，$y \ge 1$，$xy = 16$ 时，求 $\log_2 x \cdot \log_2 y$ 的最大值及此时 $x$、$y$ 的值。解答：设 $s = \log_2 x$。对条件 $xy = 16$ 两边取以 2 为底的对数，$\log_2 x + \log_2 y = 4$，所以 $\log_2 y = 4 - s$。$x \ge 1$ 给出 $s \ge 0$，$y \ge 1$ 给出 $4 - s \ge 0$，所以 $0 \le s \le 4$。$\log_2 x \cdot \log_2 y = s(4 - s) = -(s - 2)^2 + 4$。所以 $s = 2$ 时取最大值 $4$，此时 $x = 4$，$y = 4$。

解说　两件事：用条件把 $\log_2 y$ 写成 $4 - s$，再用 $x \ge 1$、$y \ge 1$ 定出 $s$ 的范围。$s$ 的范围不能省略：没有 $0 \le s \le 4$ 就不知道顶点 $s = 2$ 在不在范围内。配方后 $-(s - 2)^2 + 4$ 开口向下，顶点就是最大值。最后回到 $x$、$y$：$\log_2 x = 2$ 得 $x = 4$，$\log_2 y = 2$ 得 $y = 4$。

常用推论

• $t = a^x + a^{-x}$（$a > 0$，$a \ne 1$）：$t \ge 2$，$a^{2x} + a^{-2x} = t^2 - 2$，$a^{3x} + a^{-3x} = t^3 - 3t$。推导：本节结论 1、2；第三条由 $t^3 = a^{3x} + a^{-3x} + 3(a^x + a^{-x})$ 得到。
• $s = a^x - a^{-x}$ 可以取一切实数，而且随 $x$ 单调变化（$a > 1$ 时递增），$a^{2x} + a^{-2x} = s^2 + 2$。推导：$s^2 = a^{2x} - 2 + a^{-2x}$；$a > 1$ 时 $a^x$ 递增、$a^{-x}$ 递减，差递增。
• 指数方程 $a^{2x} + p a^x + q = 0$ 的实数解个数 $=$ 2 次方程 $t^2 + pt + q = 0$ 的正根个数。推导：$t = a^x$ 是 $\mathbf{R}$ 到 $t > 0$ 的一一对应（例 4）。
• $\log_a x$ 型的换元 $t = \log_a x$ 也是一一对应（$x > 0$ 对应全体实数 $t$），所以对数方程的解的个数等于换元后方程的实根个数（不必限制正负）。

易错点

• 错在哪：例 1 换元后仍写 $-1 \le t \le 3$。 为什么错：$t$ 的范围要由 $t = 2^x$ 算，不是照抄 $x$ 的范围。 正确做法：把 $x$ 的两端代入 $2^x$，得 $\dfrac{1}{2} \le t \le 8$。
• 错在哪：例 2 设 $t = 2^x + 2^{-x}$ 后只写 $t > 0$。 为什么错：$t$ 实际取不到 $0 < t < 2$ 的值，范围写大了，若对称轴在 $0 < t < 2$ 内就会得到错误的最小值。 正确做法：用基本不等式或配方得 $t \ge 2$。
• 错在哪：例 4 只要求判别式大于 0。 为什么错：$t = 2^x$ 必须为正，负根不对应任何 $x$。 正确做法：转化成“2 次方程在 $t > 0$ 上有两个不同的根”，用顶点和端点的函数值（第 5 章）判断。
• 错在哪：求出 $t = 2$ 就答”$x = 2$“（例 3 的最小值处）。 为什么错：$t = \log_2 x = 2$ 对应 $x = 2^2 = 4$。 正确做法：每次求出 $t$ 后单独写一行”回到 $x$“。

直观理解

换元是在给 $x$ 轴“换刻度”。$t = 2^x$ 把 $x$ 轴上 $-1$ 到 $3$ 这一段拉成 $t$ 轴上 $\dfrac{1}{2}$ 到 $8$ 这一段，次序不变，只是疏密变了；函数在新刻度下变成熟悉的抛物线，最高点、最低点在哪里一目了然，再按刻度换回去。

$t = 2^x + 2^{-x}$ 则像把 $x$ 轴从中间对折：$x$ 和 $-x$ 被叠到同一个 $t$ 上，所以除了折痕 $x = 0$（$t = 2$）之外，每个 $t$ 都对应两个 $x$（上面第一张图的两个绿点）。

关联知识点

• 前置：国内书第 8 章 8.4 节例 6（$t = 2^x$ 换元求值域）、国内书第 9 章 9.2 节例 4（指数方程换元）。
• 前置：本书第 5 章 2次関数：对称轴和区间的位置关系决定最值；2 次方程根的分布。
• 前置：国内书第 3 章 3.4 节、本书第 10 章：相加平均と相乗平均の関係给出 $t \ge 2$。
• 后续：本书第 21 章 微分法：换元后得到 $t$ 的 3 次函数时（如 $8^x$ 与 $2^x$ 并存），要用导数求最值。
• 本书第 13 章 三角関数：$t = \sin x + \cos x$ 的换元和本节 $t = 2^x + 2^{-x}$ 是同一个思路：先求 $t$ 的范围，再化成 2 次函数。

12.5 题型与答法

查 2014–2021 年公开的 13 回コース2 过去问（2014–2016 年各两回，2017、2018 年各两回，2019 年第 1 回，2020 年第 2 回，2021 年第 1 回），指数对数没有出现在 Ⅰ 的小问里，而是出现在 Ⅱ～Ⅳ 的大问里，而且几乎都和别的单元连在一起：

• 2014 年第 2 回 Ⅲ：$e^{2x} - ae^x + b = 0$，设 $t = e^x$ 化成 2 次方程，两个解用对数表示，再求 $a$ 的最小值；这是唯一一道以指数对数为主的整道大问。
• 2016 年第 2 回 Ⅱ：漸化式两边取常用对数，设 $b_n = \log_{10} a_n$ 化成线性漸化式。
• 2016 年第 2 回 Ⅳ 問1：先解 $\log_{\frac{1}{3}} x$ 的 2 次不等式，再设 $t = \log_3 x$，化成 3 次函数用导数求最大值。
• 2017 年第 1 回 Ⅲ：$y = \dfrac{2^{x^2}}{5^{3x}}$ 求导，再用 $\log_{10} 2 = 0.301$ 解 $y > 1000$。
• 2021 年第 1 回 Ⅲ：设 $t = 2^x + 2^{-x}$，把含 $8^x$、$4^x$ 的式子化成 $t$ 的 3 次函数，用导数求最小值。

其余各回里，$\log$ 只在微积分题中作为自然对数出现。所以要准备两件事：换元后接 2 次函数或 3 次函数（3 次时用第 21 章的导数），以及常用对数和数列、不等式的结合。本章 12.2、12.4 的小题在考试里一般是大问中间的一步。

誘導的典型骨架：

• 常用对数：(1) 用给定的 $\log_{10} 2$、$\log_{10} 3$ 算出 $\log_{10} N$ →(2) 位数 →(3) 最高位的数字，或者反过来解“第几次开始超过”。
• 指数换元：(1)「$t = 2^x + 2^{-x}$ とおくと $t \geqq \fbox{A}$」→(2) 把 $y$ 写成 $t$ 的 2 次式 →(3) 最值和取最值时 $2^x$ 的值。
• 对数换元：(1) 真数条件和 $t$ 的范围 →(2) $y$ 写成 $t$ 的 2 次式 →(3) 最大、最小值和对应的 $x$。

填涂提醒：位数、小数位数都是整数，两位数占两格；分数形式的最小值负号填在分子的第一格（$-\dfrac{25}{4}$ 填成「－」「2」「5」和「4」）；$2^x = 2 \pm \sqrt{3}$ 这类答案根号里填最小的自然数。

問題 1　（常用対数）

$\log_{10} 2 = 0.3010$，$\log_{10} 3 = 0.4771$ とする。

(1) $18^{30}$ は $\fbox{AB}$ 桁の整数であり，その最高位の数字は $\fbox{C}$ である。

(2) $\left(\dfrac{5}{9}\right)^{10}$ を小数で表すと，小数第 $\fbox{D}$ 位に初めて 0 でない数字が現れ，その数字は $\fbox{E}$ である。

(3) $1.5^n > 10000$ を満たす最小の自然数 $n$ は $\fbox{FG}$ である。

解答　(1) $\log_{10} 18 = \log_{10} (2 \times 3^2) = 0.3010 + 2 \times 0.4771 = 1.2552$，

$$\log_{10} 18^{30} = 30 \times 1.2552 = 37.656.$$

整数部分は $37$ であるから，$18^{30}$ は $38$ 桁の整数で，$\fbox{AB} = 3, 8$。小数部分 $0.656$ について，$\log_{10} 4 = 0.6020 \leqq 0.656 < 0.6990 = \log_{10} 5$ であるから，最高位の数字は $4$ で，$\fbox{C} = 4$。

(2) $\log_{10} \dfrac{5}{9} = (1 - 0.3010) - 2 \times 0.4771 = 0.6990 - 0.9542 = -0.2552$，

$$\log_{10} \left(\frac{5}{9}\right)^{10} = -2.552 = -3 + 0.448.$$

$-3 \leqq -2.552 < -2$ であるから，小数第 $3$ 位に初めて $0$ でない数字が現れ，$\fbox{D} = 3$。小数部分 $0.448$ について，$\log_{10} 2 = 0.3010 \leqq 0.448 < 0.4771 = \log_{10} 3$ であるから，その数字は $2$ で，$\fbox{E} = 2$。

(3) $\log_{10} 1.5 = \log_{10} \dfrac{3}{2} = 0.4771 - 0.3010 = 0.1761 > 0$。両辺の常用対数をとると $0.1761n > 4$，すなわち $n > \dfrac{4}{0.1761} = 22.71\cdots$。よって，最小の自然数は $n = 23$ で，$\fbox{FG} = 2, 3$。

中文翻译　题目：设 $\log_{10} 2 = 0.3010$，$\log_{10} 3 = 0.4771$。（1）$18^{30}$ 是 $\fbox{AB}$ 位整数，最高位数字是 $\fbox{C}$。（2）$\left(\dfrac{5}{9}\right)^{10}$ 写成小数，在小数第 $\fbox{D}$ 位第一次出现非零数字，这个数字是 $\fbox{E}$。（3）满足 $1.5^n > 10000$ 的最小自然数 $n$ 是 $\fbox{FG}$。解答：（1）$\log_{10} 18 = \log_{10} (2 \times 3^2) = 0.3010 + 2 \times 0.4771 = 1.2552$，$\log_{10} 18^{30} = 30 \times 1.2552 = 37.656$。整数部分是 $37$，所以 $18^{30}$ 是 $38$ 位整数，$\fbox{AB} = 3, 8$。小数部分 $0.656$，$\log_{10} 4 = 0.6020 \le 0.656 < 0.6990 = \log_{10} 5$，所以最高位数字是 $4$，$\fbox{C} = 4$。（2）$\log_{10} \dfrac{5}{9} = (1 - 0.3010) - 2 \times 0.4771 = 0.6990 - 0.9542 = -0.2552$，$\log_{10} \left(\dfrac{5}{9}\right)^{10} = -2.552 = -3 + 0.448$。因为 $-3 \le -2.552 < -2$，所以小数第 $3$ 位第一次出现非零数字，$\fbox{D} = 3$。小数部分 $0.448$，$\log_{10} 2 = 0.3010 \le 0.448 < 0.4771 = \log_{10} 3$，所以这个数字是 $2$，$\fbox{E} = 2$。（3）$\log_{10} 1.5 = \log_{10} \dfrac{3}{2} = 0.4771 - 0.3010 = 0.1761 > 0$。两边取常用对数：$0.1761n > 4$，即 $n > \dfrac{4}{0.1761} = 22.71\cdots$。所以最小自然数 $n = 23$，$\fbox{FG} = 2, 3$。

解说　两分钟做法：先把 $18$、$\dfrac{5}{9}$、$1.5$ 化成 2、3、10 的乘除，取常用对数后，位数看整数部分加 1，最高位看小数部分夹在哪两个 $\log_{10} m$ 之间，小数第几位看负数落在 $10^{-n}$ 到 $10^{-n+1}$ 的哪一段。空格判断：$\fbox{AB}$ 填 $3$、$8$ 两格；$\fbox{C} = 4$；$\fbox{D} = 3$；$\fbox{E} = 2$；$\fbox{FG}$ 填 $2$、$3$ 两格。验算：$\left(\dfrac{5}{9}\right)^{10} = 0.00280\cdots$；$1.5^{22} \approx 7.5 \times 10^3 < 10000$，$1.5^{23} \approx 1.12 \times 10^4 > 10000$，最小的是 23。

問題 2　（指数関数と置き換え）

関数

$$f(x) = 9^x + 9^{-x} - 8(3^x + 3^{-x}) + 20$$

について考える。

(1) $t = 3^x + 3^{-x}$ とおくと，$t \geqq \fbox{A}$ であり，等号が成り立つのは $x = \fbox{B}$ のときである。

(2) $f(x)$ を $t$ の式で表すと $f(x) = t^2 - \fbox{C}\,t + \fbox{DE}$ である。

(3) $f(x)$ の最小値は $\fbox{F}$ であり，このとき $t = \fbox{G}$，$3^x = \fbox{H} \pm \sqrt{\fbox{I}}$ である。したがって，最小値をとる $x$ の値は 2 つあり，その和は $\fbox{J}$ である。

解答　(1) $3^x > 0$，$3^{-x} > 0$ であるから，相加平均と相乗平均の関係より $t \geqq 2\sqrt{3^x \cdot 3^{-x}} = 2$。等号が成り立つのは $3^x = 3^{-x}$，すなわち $x = 0$ のときである。よって $\fbox{A} = 2$，$\fbox{B} = 0$。

(2) $t^2 = 9^x + 2 + 9^{-x}$ であるから，$9^x + 9^{-x} = t^2 - 2$。よって $f(x) = t^2 - 2 - 8t + 20 = t^2 - 8t + 18$ で，$\fbox{C} = 8$，$\fbox{DE} = 1, 8$。

(3) $f(x) = (t - 4)^2 + 2$ で，$t = 4$ は $t \geqq 2$ の範囲内にあるから，最小値は $2$ で，$\fbox{F} = 2$，$\fbox{G} = 4$。

$3^x + 3^{-x} = 4$ のとき，$u = 3^x$ とおくと $u^2 - 4u + 1 = 0$，$u = 2 \pm \sqrt{3}$（いずれも正）である。よって $\fbox{H} = 2$，$\fbox{I} = 3$。

最小値をとる $x$ の値を $x_1$，$x_2$ とすると，$3^{x_1} \cdot 3^{x_2} = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 1$ である。よって $3^{x_1 + x_2} = 1$，すなわち $x_1 + x_2 = 0$ で，$\fbox{J} = 0$。

中文翻译　题目：考虑函数 $f(x) = 9^x + 9^{-x} - 8(3^x + 3^{-x}) + 20$。（1）设 $t = 3^x + 3^{-x}$，则 $t \ge \fbox{A}$，等号在 $x = \fbox{B}$ 时成立。（2）用 $t$ 表示，$f(x) = t^2 - \fbox{C}\,t + \fbox{DE}$。（3）$f(x)$ 的最小值是 $\fbox{F}$，此时 $t = \fbox{G}$，$3^x = \fbox{H} \pm \sqrt{\fbox{I}}$。所以取最小值的 $x$ 有两个，它们的和是 $\fbox{J}$。解答：（1）$3^x > 0$，$3^{-x} > 0$，由基本不等式 $t \ge 2\sqrt{3^x \cdot 3^{-x}} = 2$。等号在 $3^x = 3^{-x}$，即 $x = 0$ 时成立，$\fbox{A} = 2$，$\fbox{B} = 0$。（2）$t^2 = 9^x + 2 + 9^{-x}$，所以 $9^x + 9^{-x} = t^2 - 2$，$f(x) = t^2 - 2 - 8t + 20 = t^2 - 8t + 18$，$\fbox{C} = 8$，$\fbox{DE} = 1, 8$。（3）$f(x) = (t - 4)^2 + 2$，$t = 4$ 在 $t \ge 2$ 内，最小值 $2$，$\fbox{F} = 2$，$\fbox{G} = 4$。$3^x + 3^{-x} = 4$ 时，设 $u = 3^x$，$u^2 - 4u + 1 = 0$，$u = 2 \pm \sqrt{3}$（都是正数），$\fbox{H} = 2$，$\fbox{I} = 3$。设取最小值的 $x$ 为 $x_1$、$x_2$，$3^{x_1} \cdot 3^{x_2} = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 1$，所以 $3^{x_1 + x_2} = 1$，$x_1 + x_2 = 0$，$\fbox{J} = 0$。

解说　两分钟做法：见到 $9^x$ 和 $3^x$ 同时出现，就设 $t = 3^x + 3^{-x}$；用 $t^2 = 9^x + 2 + 9^{-x}$ 把 $f(x)$ 化成 $t$ 的二次式，配方 $(t - 4)^2 + 2$。空格判断：$\fbox{A} = 2$（基本不等式的下界，不是 0）；$\fbox{B} = 0$（等号条件 $3^x = 3^{-x}$）；$\fbox{C} = 8$；$\fbox{DE}$ 填 $1$、$8$ 两格；$\fbox{F} = 2$；$\fbox{G} = 4$；$\fbox{H} = 2$，$\fbox{I} = 3$（根号里填 $3$）；$\fbox{J} = 0$。$\fbox{J}$ 不用分别求两个 $x$：两个 $3^x$ 的积是 $1$，所以两个 $x$ 互为相反数，和是 0。

問題 3　（対数関数と置き換え）

関数

$$f(x) = \log_2 4x \cdot \log_2 \frac{x}{8} \quad \left(\frac{1}{2} \leqq x \leqq 8\right)$$

を考える。

(1) $t = \log_2 x$ とおくと，$t$ のとりうる値の範囲は $-\fbox{A} \leqq t \leqq \fbox{B}$ であり，$f(x) = t^2 - t - \fbox{C}$ である。

(2) $f(x)$ の最小値は $\dfrac{\fbox{DEF}}{\fbox{G}}$ であり，このとき $x = \sqrt{\fbox{H}}$ である。

(3) $f(x)$ の最大値は $\fbox{I}$ であり，このとき $x = \fbox{J}$ である。

解答　(1) $\log_2 x$ は増加関数であるから，$\dfrac{1}{2} \leqq x \leqq 8$ のとき $-1 \leqq t \leqq 3$ で，$\fbox{A} = 1$，$\fbox{B} = 3$。

$\log_2 4x = 2 + t$，$\log_2 \dfrac{x}{8} = t - 3$ であるから，$f(x) = (t + 2)(t - 3) = t^2 - t - 6$ で，$\fbox{C} = 6$。

(2) $f(x) = \left(t - \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{25}{4}$ で，軸 $t = \dfrac{1}{2}$ は区間 $-1 \leqq t \leqq 3$ 内にあるから，最小値は $-\dfrac{25}{4}$ である。よって $\fbox{DEF}$ は「－」「2」「5」，$\fbox{G} = 4$。

このとき $\log_2 x = \dfrac{1}{2}$，すなわち $x = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$ である。よって $\fbox{H} = 2$。

(3) 両端では，$t = -1$ のとき $f = 1 + 1 - 6 = -4$，$t = 3$ のとき $f = 9 - 3 - 6 = 0$ である。よって最大値は $0$ で，$\fbox{I} = 0$。このとき $t = 3$，すなわち $x = 8$ で，$\fbox{J} = 8$。

中文翻译　题目：考虑函数 $f(x) = \log_2 4x \cdot \log_2 \dfrac{x}{8}$（$\dfrac{1}{2} \le x \le 8$）。（1）设 $t = \log_2 x$，$t$ 的取值范围是 $-\fbox{A} \le t \le \fbox{B}$，$f(x) = t^2 - t - \fbox{C}$。（2）$f(x)$ 的最小值是 $\dfrac{\fbox{DEF}}{\fbox{G}}$，此时 $x = \sqrt{\fbox{H}}$。（3）$f(x)$ 的最大值是 $\fbox{I}$，此时 $x = \fbox{J}$。解答：（1）$\log_2 x$ 递增，$\dfrac{1}{2} \le x \le 8$ 时 $-1 \le t \le 3$，$\fbox{A} = 1$，$\fbox{B} = 3$。$\log_2 4x = 2 + t$，$\log_2 \dfrac{x}{8} = t - 3$，所以 $f(x) = (t + 2)(t - 3) = t^2 - t - 6$，$\fbox{C} = 6$。（2）$f(x) = \left(t - \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{25}{4}$，对称轴 $t = \dfrac{1}{2}$ 在区间 $-1 \le t \le 3$ 内，最小值 $-\dfrac{25}{4}$，$\fbox{DEF}$ 填「－」「2」「5」，$\fbox{G} = 4$。此时 $\log_2 x = \dfrac{1}{2}$，即 $x = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$，$\fbox{H} = 2$。（3）两端：$t = -1$ 时 $f = 1 + 1 - 6 = -4$；$t = 3$ 时 $f = 9 - 3 - 6 = 0$。所以最大值是 $0$，$\fbox{I} = 0$，此时 $t = 3$，即 $x = 8$，$\fbox{J} = 8$。

解说　两分钟做法：见到 $\log_2 x$ 和 $\log_2 4x$、$\log_2 \dfrac{x}{8}$，设 $t = \log_2 x$，先把每个对数写成 $t$ 的一次式，再乘开成二次式。$t$ 的范围由 $x$ 的范围代入 $\log_2 x$ 得到。空格判断：$\fbox{A} = 1$（题干已写负号）；$\fbox{B} = 3$；$\fbox{C} = 6$；$\fbox{DEF}$ 是分子 $25$，负号占第一格，$\fbox{G} = 4$；$\fbox{H} = 2$（根号里是 $x^2 = 2$）；$\fbox{I} = 0$；$\fbox{J} = 8$。最大值在离对称轴更远的端点：对称轴 $t = \dfrac{1}{2}$ 离 $-1$ 有 $1.5$，离 $3$ 有 $2.5$，所以最大值在右端 $t = 3$。

12.6 术语与题干用语

日文	读音	中文	例句或说明
指数	しすう	指数	「指数を有理数に拡張する」
指数の拡張	しすうのかくちょう	指数的推广	整数指数 → 有理数指数 → 实数指数
累乗	るいじょう	乘方、幂	$a^n$ を $a$ の累乗という
累乗根	るいじょうこん	$n$ 次方根	$\sqrt[n]{a}$ を「$a$ の $n$ 乗根」という
指数法則	しすうほうそく	指数运算法则	$a^r a^s = a^{r+s}$
指数関数	しすうかんすう	指数函数	「指数関数 $y = 2^x$ のグラフ」
対数	たいすう	对数	「2 を底とする 8 の対数」
底	てい	底数	「底を 2 にそろえる」
真数	しんすう	真数	「真数は正であるから」
真数条件	しんすうじょうけん	真数大于 0 的条件	解答の最初に書く
底の変換公式	ていのへんかんこうしき	换底公式	「底の変換公式を用いると」
対数関数	たいすうかんすう	对数函数	「対数関数 $y = \log_2 x$」
常用対数	じょうようたいすう	常用对数	$\log_{10} x$（国内写 $\lg x$）
自然対数	しぜんたいすう	自然对数	「ただし，$\log$ は自然対数とする」
ネイピア数	ねいぴあすう	自然常数 $e$	$e = 2.71828\cdots$
常用対数表	じょうようたいすうひょう	常用对数表	教科書の巻末にある
桁数	けたすう	位数	「$3^{40}$ は何桁の整数か」
最高位の数字	さいこういのすうじ	最高位数字（首位数字）	「$6^{30}$ の最高位の数字」
一の位	いちのくらい	个位	「一の位の数字を求めよ」
小数第 $n$ 位	しょうすうだいえぬい	小数点后第 $n$ 位	「小数第何位に初めて 0 でない数字が現れるか」
整数部分	せいすうぶぶん	整数部分	「$\log_{10} N$ の整数部分」
置き換える	おきかえる	换元	「$2^x = t$ と置き換える」
〜とおく	〜とおく	设……	「$t = \log_2 x$ とおく」
とりうる値の範囲	とりうるあたいのはんい	取值范围	「$t$ のとりうる値の範囲を求めよ」
最大値・最小値	さいだいち・さいしょうち	最大值、最小值	「最小値をとるときの $x$ の値」
相加平均と相乗平均の関係	そうかへいきんとそうじょうへいきんのかんけい	基本不等式（算术平均 ≥ 几何平均）	$t = 2^x + 2^{-x} \geqq 2$ の根拠
等号が成り立つ	とうごうがなりたつ	等号成立	「等号が成り立つのは $x = 0$ のとき」
異なる 2 つの実数解	ことなるふたつのじっすうかい	两个不同的实数解	「異なる 2 つの実数解をもつ」
単調に増加する	たんちょうにぞうかする	单调递增	「底が 1 より大きいとき単調に増加する」
漸近線	ぜんきんせん	渐近线	$y = 2^x$ のグラフの漸近線は $x$ 軸

12.7 自测

1. 设 $\log_{10} 2 = 0.3010$。$5^{30}$ 是几位数？最高位数字是几？
2. 设 $\log_{10} 2 = 0.3010$。$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{30}$ 写成小数，在小数第几位第一次出现非零数字？
3. 设 $\log_{10} 2 = 0.3010$。使 $2^n$ 是 15 位数的自然数 $n$ 有几个？
4. 解方程 $\log_2 (x + 2) + \log_2 (x - 1) = 2$。
5. 解不等式 $\log_{\frac{1}{3}} (x - 1) > -2$，答案用不等式写。
6. 设 $\log$ 为自然对数，求 $2\log \sqrt{e} + \log \dfrac{1}{e^3}$。
7. 求 $y = 4^x - 2^{x+2}$（$0 \le x \le 2$）的最大值和最小值。
8. 求 $y = 4^x + 4^{-x} - 4(2^x + 2^{-x})$ 的最小值及此时 $x$ 的值。
9. 求 $y = (\log_3 x)^2 - \log_3 x^2$（$\dfrac{1}{3} \le x \le 27$）的最大值和最小值，并写出取到时的 $x$。

答案：1. 21 位，最高位 9；2. 小数第 10 位；3. 3 个（$n = 47, 48, 49$）；4. $x = 2$；5. $1 < x < 10$；6. $-2$；7. 最大值 0（$x = 2$），最小值 $-4$（$x = 1$）；8. 最小值 $-6$，$x = 0$；9. 最大值 3（$x = \dfrac{1}{3}$ 和 $x = 27$），最小值 $-1$（$x = 3$）。

12.8 深入阅读

• JASSO · 日本留学試験 数学シラバス：官方出题范围原文，第 10 项「指数関数・対数関数」列出本章的全部小项目，其中「常用対数」单列。
• JASSO · 過去問題サンプル：官方公开的过去问，2021 年第 1 回コース2 Ⅲ 是指数换元接微分的大题，可以看誘導的写法。
• 维基百科（日文）· 常用対数：常用对数的日文定义、桁数与常用对数表的关系，查日文说法时用。
• 维基百科（日文）· 対数：底、真数、自然対数等日文术语，以及 log 不写底时在各领域的约定。