第 3 章 · 運動の表し方とさまざまな力

项目	内容
シラバス项目	Ⅰ 力学 1. 運動と力 (1) 運動の表し方，(2) さまざまな力，(3) 力のつり合い
国内书对应	第 2 章 运动的描述（相对速度只讲同一直线）；第 3 章 匀变速直线运动；第 4 章 相互作用；第 5 章 共点力的平衡；第 9 章 抛体运动（斜抛只作“了解”）
本章新内容的分量	不多，但都是丢分点：相对运动从一维扩到二维矢量并加上相对加速度；斜方投射补齐到达距离、最高点、轨迹方程的全套公式；力和受力图的日语说法（抗力・張力）；液体和气体给物体的压力与浮力（国内高中不讲）
过去问出现次数	20 回共 17 題（每回平均 0.85 題）：13 回有題（4 回各 2 題、9 回各 1 題），7 回没有

这一章覆盖シラバス Ⅰ 1 的前三项：怎么描述运动、有哪些力、力怎么平衡。国内已经学过位移、速度、加速度、匀变速直线运动、平抛、三种常见力和共点力的平衡，这些在 EJU 里原样考，本章只在对照表里指路。EJU 多出来的是四块：相対速度・相対加速度要用二维矢量算，斜方投射要会写轨迹方程并处理“落点不在同一高度”，题干里的「抗力」「張力」和受力图的画法要认得，还有国内的空白——液体や気体から受ける力（压力与浮力）。丢分最多的是方向：相对速度忘了矢量相减、斜抛把水平与竖直分量弄反、浮力把排开的体积当物体全体积。

3.1 与国内的对照

シラバス小項目（日文原文）	国内书位置	相同 / 讲法不同 / 国内没有	本章哪节讲
位置，変位，速度，加速度	国内书第 2 章 2.3–2.5 节	相同	见国内书；本章不重讲
相対運動	国内书第 2 章 2.2 节（只讲同一直线）	讲法不同：EJU 用二维矢量相减，还要相対加速度	3.2
落体の運動	国内书第 3 章 3.6 节自由落体与竖直上抛	相同	见国内书；3.6 节练日文题面
水平投射	国内书第 9 章 9.2、9.3 节	相同	见国内书；3.6 节练日文题面
斜方投射	国内书第 9 章 9.4 节（课标只要求“了解”）	讲法不同：EJU 要轨迹方程、全套公式、落点低于抛出点的处理	3.3
力，重力，摩擦力，弾性力	国内书第 4 章 4.2–4.4 节	相同	见国内书
抗力	国内书第 4 章 4.4、4.6 节（分开叫支持力、摩擦力）	讲法不同：日本把面から受ける力总称「抗力」，再分成垂直抗力与摩擦力	3.4
張力	国内书第 4 章 4.3 节（叫拉力）	讲法不同：记号写 $T$ 或 $S$，题干说「糸は軽くて伸び縮みしない」	3.4
液体や気体から受ける力	无（初中讲过浮力，高中不再讲）	国内没有	3.5
力の合成・分解，力のつり合い	国内书第 4 章 4.5 节、第 5 章	相同	见国内书；3.6 节练日文题面

本章四个知识点的顺序：先把相对运动从一维扩到二维（3.2），再补齐斜方投射的全套公式（3.3），然后统一力的日语说法和受力图（3.4），最后补上国内高中没讲的壓力与浮力（3.5）。国内书第 2、3、4、5、9 章讲过的运动学定义、匀变速公式、三种常见力、共点力平衡、平抛规律，这里一律不重抄，只写 EJU 多出来的那一截。

3.2 相対速度と相対加速度

说明

相対速度（相对速度）：换一个参考系看同一个运动。以 B 为参考系看 A，A 的速度是

$$\vec{v}_{A/B} = \vec{v}_A - \vec{v}_B$$

这是矢量式：不是把两个速度的大小相减，而是把 $\vec{v}_B$ 反向后再与 $\vec{v}_A$ 相加。图 3.1 的三角形就是这件事：从 $\vec{v}_B$ 的箭头末端指向 $\vec{v}_A$ 的箭头末端的矢量，正是 $\vec{v}_{A/B}$。

同一直线上的情形国内书第 2 章 2.2 节已经讲过：同向取差、反向取和，各速度带正负号代入。EJU 把这条推广到平面：两个速度成角 $\varphi$ 时，相对速度的大小用余弦定理

$$v_{A/B} = \sqrt{v_A^2 + v_B^2 - 2v_Av_B\cos\varphi}$$

相対加速度（相对加速度）：同理，

$$\vec{a}_{A/B} = \vec{a}_A - \vec{a}_B$$

它只由两个加速度决定，和力无关。要注意的是：运动学上这个差总是成立；但若要以加速的 B 为参考系列运动方程，B 系不是惯性系，还要加上惯性力 $-m\vec{a}_B$（第 7 章）。本章只用它的运动学一面：描述“从 B 看 A 怎么动”。

国内的写法是“被观测对象在前、参考系在后”（$\vec{v}_{AB} = \vec{v}_A - \vec{v}_B$，以 B 为参考系看 A），添字的前一个是被观测的对象。

使用场景

• 两个物体（两个人、两条船、雨滴和人）成角度运动，题目问「A から見た B の速度」或「B に対する A の速度」 → 相対速度 → 画速度三角形，用矢量减法求大小和方向，直角时用三平方，一般角用余弦定理。
• 两个物体的加速度不同（加速的台车与台上的物体、电梯与电梯里的人），问“从其中一个看另一个怎样加速”“多长时间滑到某处” → 相対加速度 → 先写出 $\vec{a}_A - \vec{a}_B$，再用相对初速度、相对位移套匀变速公式。

注意点

• 相対速度的大小不是两个速度大小的差。只有两个速度同向或反向（一维）时，大小才等于差或和。
• 方向由矢量减法定，不由“谁快谁慢”定。A 比 B 快，A 相对 B 的速度也不一定沿 A 的方向。
• 相対加速度与相对速度要用同一个参考系配套使用：相对初速度是 $t = 0$ 时两物体速度之差，不能默认是零。
• 相对位移也按矢量差算：以 B 为参考系，A 的位移是 $\vec{x}_A - \vec{x}_B$。
• 日文题干里「A から見た B」「B に対する A」「A に対する B の相対速度」都是换参考系，先圈出观测者再动笔。

日本教科书多把观测者写在前面（$v_{AB}=v_B-v_A$，A から見た B）；也有资料用相反约定，做题时先看题干有没有定义，答案里写清「A から見た B を $v_{AB}$ とすると」。

• 国内的添字与日本的添字顺序相反（见“说明”最后一段），做日文题时不要照搬国内习惯。

推导

相对速度：在地面参考系里，某时刻 A、B 的位置矢量是 $\vec{r}_A$、$\vec{r}_B$。以 B 为原点看 A，A 的位置是

$$\vec{r}_{A/B} = \vec{r}_A - \vec{r}_B$$

两边对时间求导，就得到 $\vec{v}_{A/B} = \vec{v}_A - \vec{v}_B$。（关键一步：牛顿力学里同一段时间间隔在两个参考系中相同，长度也相同，所以位置之差可以直接对时间求导；接近光速时这一点不成立。）

矢量三角形：把 $\vec{v}_B$ 平移到 $\vec{v}_A$ 的起点并反向，与 $\vec{v}_A$ 首尾相接，合矢量就是 $\vec{v}_A - \vec{v}_B$；也可以从 $\vec{v}_B$ 的末端向 $\vec{v}_A$ 的末端引一条矢量，它等于 $\vec{v}_A - \vec{v}_B$，因为 $\vec{v}_B + (\vec{v}_A - \vec{v}_B) = \vec{v}_A$。

相对加速度：把相对速度再对时间求导，$\vec{a}_{A/B} = \mathrm{d}\vec{v}_{A/B}/\mathrm{d}t = \vec{a}_A - \vec{a}_B$。这里不需要两物体相遇或接触，只要在同一个惯性系里量出各自的加速度即可。

例题

例 1　（场景：两个速度成直角 → 相对速度的矢量三角形 → 大小用三平方、方向用正切）

問題　東向きに 4.0 m/s の速さで歩いている人 A と，北向きに 3.0 m/s の速さで歩いている人 B がいる。B から見た A の速度について，大きさと向きの組み合わせとして正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

	①	②	③	④
大きさ	1.0 m/s	5.0 m/s	5.0 m/s	7.0 m/s
向き	東向き	東から北へ 37°	東から南へ 37°	東向き

解答　B から見た A の速度は，A の速度から B の速度をベクトルとして引いたものである。東向きを $x$ 軸の正の向き，北向きを $y$ 軸の正の向きとすると，$\vec{v}_A = (4.0,\ 0)$，$\vec{v}_B = (0,\ 3.0)$ なので

$$\vec{v}_{A/B} = (4.0,\ 0) - (0,\ 3.0) = (4.0,\ -3.0)\ \mathrm{m/s}$$

大きさは $\sqrt{4.0^2 + 3.0^2} = 5.0\ \mathrm{m/s}$，向きは東から南へ $\tan^{-1}\dfrac{3.0}{4.0} = 37^\circ$ の向き。検算：A は東へ，B は北へ進むので，B から見ると A は南向きの成分をもつはずで，向きが東から南になっている。　答　③

中文翻译　题目：人 A 以 4.0 m/s 向东走，人 B 以 3.0 m/s 向北走。问：从 B 看 A 的速度，大小和方向的组合哪个正确？从①～④中选一个。解答：从 B 看 A 的速度，是 A 的速度减去 B 的速度（矢量相减）。取东为 $x$ 轴正方向、北为 $y$ 轴正方向，则 $\vec{v}_A = (4.0,\ 0)$，$\vec{v}_B = (0,\ 3.0)$，所以 $\vec{v}_{A/B} = (4.0,\ -3.0)\ \mathrm{m/s}$。大小为 $\sqrt{4.0^2 + 3.0^2} = 5.0\ \mathrm{m/s}$，方向为东偏南 $\tan^{-1}\dfrac{3.0}{4.0} = 37^\circ$。检验：A 向东、B 向北，从 B 看 A 应带向南的分量，方向是东偏南。答案 ③。

解说　用到的是本节“说明”里的矢量减法：相对速度是 $\vec{v}_A - \vec{v}_B$，不是大小相减。容易卡在：直接把 4.0 和 3.0 相减得 1.0，忘了方向也要一起减。选项排除：① 1.0 是两个速度大小之差；④ 7.0 是大小之和；② 5.0 指向东北，那是 $\vec{v}_A + \vec{v}_B$（符号弄反）；③ 5.0 指向东南才是差。四个选项正好对应四种算法，不用算方向也能靠“应该是差不是和”筛掉两个。另一种解法：用余弦定理，两个速度夹角 $90^\circ$，$v = \sqrt{4.0^2 + 3.0^2 - 2 \times 4.0 \times 3.0\cos 90^\circ} = 5.0\ \mathrm{m/s}$，方向和上面一致；速度不成直角时余弦定理比分解成分量更快。

例 2　（场景：加速的台车与台上的物体 → 相对加速度 = 加速度之差 → 相对初速度为零的匀变速）

問題　なめらかな水平面上を，台車 A が右向きに一定の加速度 2.0 m/s² で運動している。A の上面もなめらかで，A の上に置かれた小球 B は水平方向の力を受けない。時刻 $t = 0$ の瞬間，B の速度は A の速度と等しかった。この後，B が A の上面を A に対して左向きに 1.0 m 移動するのに要する時間は何 s か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，A の上面はじゅうぶん長いものとする。

①　0.50　　②　1.0　　③　1.4　　④　2.0

解答　B は水平方向に力を受けないので，床に対する B の加速度は 0 である。A の加速度は右向きに 2.0 m/s² なので，A から見た B の相対加速度は左向きに

$$2.0 - 0 = 2.0\ \mathrm{m/s^2}$$

$t = 0$ で両者の速度が等しいので，相対初速度は 0。A に対する B の変位の大きさが 1.0 m になるまでの時間を $t$ とすると

$$1.0 = \frac{1}{2} \cdot 2.0 \cdot t^2 \quad \therefore\ t = 1.0\ \mathrm{s}$$

検算：$t = 1.0\ \mathrm{s}$ の間に相対速度は 0 から 2.0 m/s まで増え，平均の相対速度は 1.0 m/s。$1.0\ \mathrm{m/s} \times 1.0\ \mathrm{s} = 1.0\ \mathrm{m}$ で一致する。　答　②

中文翻译　题目：光滑水平面上，台车 A 以 2.0 m/s² 向右做匀加速运动。A 的上表面也光滑，放在 A 上的小球 B 不受水平方向的力。在 $t = 0$ 的瞬间，B 的速度与 A 的速度相等。此后 B 相对 A 向左移动 1.0 m 需要多少秒？从①～④中选最合适的值。解答：B 不受水平力，所以相对地面的加速度为 0。A 的加速度向右 2.0 m/s²，因此从 A 看 B 的相对加速度向左，为 $2.0 - 0 = 2.0\ \mathrm{m/s^2}$。$t = 0$ 时两者速度相等，相对初速度为 0。设 B 相对 A 的位移达到 1.0 m 所需时间为 $t$，则 $1.0 = \dfrac{1}{2} \cdot 2.0 \cdot t^2$，得 $t = 1.0\ \mathrm{s}$。检验：1.0 s 内相对速度从 0 增到 2.0 m/s，平均相对速度 1.0 m/s，乘 1.0 s 得 1.0 m，一致。答案 ②。

解说　用到的是本节“相対加速度”和“相对初速度”两条。容易卡在：以为 B 在台车上就跟着 A 一起加速；B 不受水平力，加速度为 0，所以相对加速度就是 $-a_A$。选项排除：① 0.50 是用 $1.0 = 2.0 \times t$ 直接除（漏了 $\dfrac{1}{2}$）；③ 1.4 和 ④ 2.0 是把相对加速度误当成 1.0 或 0.50 算出的 $\sqrt{2L/a}$。两分钟做法：先判断各物体在惯性系里的加速度，再相减，最后确认相对初速度。

常用推论

• 同一直线上：同向时相对速度大小为 $|v_A - v_B|$，反向时为 $v_A + v_B$；各速度带正负号代入（国内书第 2 章 2.2 节）。
• 两个速度成直角时，相对速度大小用三平方；成任意角 $\varphi$ 时用余弦定理 $v = \sqrt{v_A^2 + v_B^2 - 2v_Av_B\cos\varphi}$。
• 相対加速度为常量时，相对运动也是匀变速：$x_{\text{相対}} = v_{\text{相対}0}t + \dfrac{1}{2}a_{\text{相対}}t^2$。相对初速度为零时就是 $\dfrac{1}{2}a_{\text{相対}}t^2$。
• 两物体加速度相同（$\vec{a}_A = \vec{a}_B$）时相对加速度为零，两者的速度差保持不变；自由落体中的两个物体、同一辆车上的两个乘客都属于这种情形。
• 雨滴与人的相对速度决定伞的倾斜方向：雨竖直下落、人以 $v$ 水平走时，人看到的雨速斜向后下方，$\tan\theta = \dfrac{v}{v_{\text{雨}}}$。教材没有，考试常用，条件是雨速恒定、无风。
• 追及相遇问题以前车为参考系，就是把两个运动变成一个相对运动（国内书第 3 章 3.5 节），一维情形不必再记新公式。

易错点

• 错在哪：相对速度的大小直接用两个速度大小相减。 为什么错：速度是矢量，方向不同时相减的结果不是大小之差；只有一维同向时才对。 正确做法：先画两个速度矢量，再把被减的那个反向相加，或分解成分量相减。
• 错在哪：添字看反，把「A から見た B」当成“B 相对 A”。 为什么错：日本的添字前一个是观测者，国内的前一个是被观测对象，顺序相反。 正确做法：先圈出「〜から見た」，把观测者的速度定为减数，再用矢量减。
• 错在哪：算相对加速度时忘了相对初速度也要取差。 为什么错：相对运动是匀变速，需要相对初速度和相对加速度两个量；只算加速度就套 $\dfrac{1}{2}at^2$，等于默认相对初速度为零。 正确做法：先写出 $t = 0$ 时两物体的速度并相减，再列相对运动的方程。

直观理解

坐在行驶的火车里看窗外的树，树在往后跑；看旁边并行的另一列车，如果两车速度相同，会觉得自己没动。雨中人跑得越快，雨点打得越斜。相对速度就是“换个座位看同一个世界”，世界没变，描述变了。

关联知识点

• 前置：国内书第 2 章 2.2 节质点与参考系（一维相对速度）、2.4 节速度的矢量性；第 8 章 8.3 节运动的合成与分解（速度按平行四边形合成）。
• 后续：本书 3.3 节斜方投射（把运动分解成两个方向）；第 7 章 円運動と慣性力（在加速参考系里列运动方程要加惯性力，正是相对加速度这一条的动力学版本）。
• 常一起考：国内书第 3 章追及与相遇（相対速度为零是相遇或追上的条件）、第 8 章 8.4 节小船渡河（船速与水速的矢量合成，和相对速度是同一套三角形）。

3.3 斜方投射

说明

斜方投射（斜抛）：以仰角 $\theta$（初速度与水平方向的夹角）抛出，只受重力。国内书第 9 章 9.4 节已给出三个公式，EJU 在此基础上还要轨迹方程和处理落点高度不同的情形，所以这一节把全套工具补齐。

取抛出点为原点，水平方向为 $x$ 轴，竖直向上为 $y$ 轴。水平方向匀速，竖直方向是初速度 $v_0\sin\theta$ 的竖直上抛：

$$x = v_0\cos\theta \cdot t, \qquad y = v_0\sin\theta \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$$ $$v_x = v_0\cos\theta, \qquad v_y = v_0\sin\theta - gt$$

最高点：$v_y = 0$，到达时间 $t_1 = \dfrac{v_0\sin\theta}{g}$，高度

$$H = \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}$$

最高点的速度是 $v_0\cos\theta$，水平方向，不为零；加速度仍是 $g$。

落回抛出点所在水平面时的飞行时间与水平到达距离：

$$T = \frac{2v_0\sin\theta}{g}, \qquad R = \frac{v_0^2\sin 2\theta}{g} = \frac{2v_0^2\sin\theta\cos\theta}{g}$$

日本教科书把 $R$ 叫水平到達距離（国内叫射程）。这三个公式只适用于“落点与抛出点等高”。

轨迹の式（轨迹方程）：从 $x = v_0\cos\theta \cdot t$ 解出 $t = \dfrac{x}{v_0\cos\theta}$，代入 $y$ 的式子，消去 $t$：

$$y = \tan\theta \cdot x - \frac{g}{2v_0^2\cos^2\theta}x^2$$

这是一条开口向下的抛物线，过原点，原点处切线斜率 $\tan\theta$。它不含时间，适合回答“能不能越过某个障碍”“是否经过某点”这类问题。用 $\dfrac{1}{\cos^2\theta} = 1 + \tan^2\theta$ 还可写成

$$y = x\tan\theta - \frac{gx^2}{2v_0^2}(1 + \tan^2\theta)$$

这是关于 $\tan\theta$ 的二次式：给定通过点 $(x, y)$，一般有两个仰角能经过该点。

落点低于抛出点：设落点比抛出点低 $h$，令 $y = -h$，解 $-\dfrac{1}{2}gt^2 + v_0\sin\theta \cdot t + h = 0$，取正根

$$t = \frac{v_0\sin\theta + \sqrt{v_0^2\sin^2\theta + 2gh}}{g}$$

再代回 $x = v_0\cos\theta \cdot t$ 求水平距离。此时不能用 $R = \dfrac{v_0^2\sin 2\theta}{g}$。

使用场景

• 从地面斜向上抛出、又落回同一水平面，问飞行时间、最高点、水平到达距离 → 斜方投射的三个公式 → 先分解初速度，或直接用 $T$、$H$、$R$ 的公式；比较不同仰角时看 $\sin 2\theta$。
• 轨迹要经过某个点、越过某个障碍，或落点比抛出点低（从楼顶、崖上抛出） → 轨迹の式或 $y = -h$ → 消去时间，用 $x$、$y$ 的方程；落点低时解二次方程取正根。

注意点

• 三个公式（$T$、$H$、$R$）只在落点与抛出点等高时成立。从高处抛出、落到低处时，用 $y = -h$ 重新解时间。
• 轨迹の式的分母是 $2v_0^2\cos^2\theta$，两个地方容易错：漏掉因子 2、把 $\cos^2\theta$ 写成 $\sin^2\theta$ 或 $\cos\theta$。
• 最高点速度不为零，是 $v_0\cos\theta$；“最高点速度为 0”只对竖直上抛成立。
• 仰角 $\theta$ 从水平方向量起。题干说「水平方向と角 $\theta$ をなす向き」时不要从竖直方向量。
• 水平到达距离最大对应 $\theta = 45^\circ$（落点等高的情形）；从高处抛出、落点更低时，最远的角度小于 $45^\circ$，不能套 $45^\circ$ 的结论。
• 日本记号：水平到達距離 $R$；国内的“射程”在日文题里不出现，读题时认「水平到達距離」「到達距離」。
• 斜方投射是水平投射的推广：$\theta = 0$ 时轨迹式变成 $y = -\dfrac{gx^2}{2v_0^2}$，正是平抛（国内书第 9 章 9.2 节）。

推导

三个公式：最高点 $v_y = 0$ 给出 $t_1 = \dfrac{v_0\sin\theta}{g}$；代入 $y$ 得 $H = \dfrac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}$。落回同一高度时 $y = 0$，$t\left(v_0\sin\theta - \dfrac{1}{2}gt\right) = 0$，非零解 $T = \dfrac{2v_0\sin\theta}{g}$。水平方向匀速，$R = v_0\cos\theta \cdot T = \dfrac{2v_0^2\sin\theta\cos\theta}{g} = \dfrac{v_0^2\sin 2\theta}{g}$。（关键一步：用二倍角公式 $2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta$，见《高中数学知识点梳理》第 13 章；$\sin 2\theta$ 在 $\theta = 45^\circ$ 时最大，所以落点等高时 $45^\circ$ 射得最远，最大距离 $\dfrac{v_0^2}{g}$。又因 $\sin 2\theta = \sin(180^\circ - 2\theta)$，互余的两个仰角到达距离相同。）

轨迹の式：把 $t = \dfrac{x}{v_0\cos\theta}$ 代入 $y = v_0\sin\theta \cdot t - \dfrac{1}{2}gt^2$：

$$y = v_0\sin\theta \cdot \frac{x}{v_0\cos\theta} - \frac{1}{2}g\left(\frac{x}{v_0\cos\theta}\right)^2 = x\tan\theta - \frac{gx^2}{2v_0^2\cos^2\theta}$$

（关键一步：第二项里的 $t$ 是平方，代换后分母出现 $\cos^2\theta$，这是最容易漏的地方。）轨迹是抛物线，因为 $y$ 是 $x$ 的二次函数，二次项系数 $-\dfrac{g}{2v_0^2\cos^2\theta} < 0$。

落点低于抛出点：竖直方向是匀变速，取向上为正，$y = -h$：

$$-\frac{1}{2}gt^2 + v_0\sin\theta \cdot t + h = 0$$

解二次方程，取正根 $t = \dfrac{v_0\sin\theta + \sqrt{v_0^2\sin^2\theta + 2gh}}{g}$。根号内的 $2gh$ 来自高度差，$h = 0$ 时回到 $T = \dfrac{2v_0\sin\theta}{g}$，可用来检查公式。

例题

例 1　（场景：落回同一水平面的斜方投射 → 三个公式 → 数值题）

問題　水平な地面から，小球を初速度の大きさ 20 m/s，水平方向と角 30° をなす向きに投げ出した。小球が再び地面に達するまでに水平方向に進む距離は何 m か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，重力加速度の大きさを 9.8 m/s² とし，空気の抵抗は無視できるものとする。

①　20　　②　35　　③　41　　④　71

解答　初速度を水平方向と鉛直方向に分解すると，$v_x = 20\cos 30^\circ = 17.3\ \mathrm{m/s}$，$v_{y0} = 20\sin 30^\circ = 10\ \mathrm{m/s}$。鉛直方向は初速度 10 m/s の投げ上げで，地面に戻るまでの時間は

$$T = \frac{2v_{y0}}{g} = \frac{2 \times 10}{9.8} = 2.04\ \mathrm{s}$$

水平方向は等速なので，水平到達距離は

$$R = v_xT = 17.3 \times 2.04 = 35\ \mathrm{m}$$

検算：公式 $R = \dfrac{v_0^2\sin 2\theta}{g} = \dfrac{20^2 \times \sin 60^\circ}{9.8} = \dfrac{400 \times 0.866}{9.8} = 35\ \mathrm{m}$ と一致。$45^\circ$ なら $R = \dfrac{v_0^2}{g} = 41\ \mathrm{m}$ で最大だから，$30^\circ$ の 35 m はそれより小さい。　答　②

中文翻译　题目：从水平地面以 20 m/s、与水平方向成 30° 的方向抛出小球。小球再次落到地面时，水平方向前进了多少米？从①～④中选最合适的值。重力加速度取 9.8 m/s²，空气阻力可忽略。解答：把初速度分解为水平分量 $v_x = 20\cos 30^\circ = 17.3\ \mathrm{m/s}$、竖直分量 $v_{y0} = 20\sin 30^\circ = 10\ \mathrm{m/s}$。竖直方向是初速度 10 m/s 的竖直上抛，回到地面的时间为 $T = \dfrac{2v_{y0}}{g} = \dfrac{2 \times 10}{9.8} = 2.04\ \mathrm{s}$。水平方向匀速，水平射程为 $R = v_xT = 17.3 \times 2.04 = 35\ \mathrm{m}$。检验：用公式 $R = \dfrac{v_0^2\sin 2\theta}{g} = \dfrac{400 \times 0.866}{9.8} = 35\ \mathrm{m}$，一致；45° 时最大射程为 $\dfrac{v_0^2}{g} = 41\ \mathrm{m}$，30° 的 35 m 比它小。答案 ②。

解说　用到的是本节三个公式：先由竖直方向求时间，再乘水平速度。容易卡在：把 $v_0 = 20\ \mathrm{m/s}$ 整个当成竖直初速度，或忘了水平速度是 $v_0\cos\theta$。选项排除：① 20 是用 $\sin\theta$ 代替 $\sin 2\theta$ 的结果（$400 \times 0.5/9.8 = 20$）；③ 41 是 $45^\circ$ 时的最大到达距离；④ 71 是把飞行时间当成 $\dfrac{2v_0}{g}$（漏了 $\sin\theta$）。② 是唯一同时用对 $\sin$ 和 $\cos$ 的值。另一种解法：先求最高点 $H = \dfrac{(v_0\sin\theta)^2}{2g} = 5.1\ \mathrm{m}$，再用推论 $\dfrac{H}{R} = \dfrac{\tan\theta}{4}$，得 $R = \dfrac{4H}{\tan 30^\circ} = \dfrac{4 \times 5.1}{0.577} = 35\ \mathrm{m}$；只问到达距离、又容易算最高点时好用。

例 2　（场景：轨迹要经过给定点 → 消去时间写轨迹方程 → 字母式选项）

問題　水平な地面から，小球を初速度の大きさ $v_0$，水平方向と角 $\theta$ をなす向きに投げ出した。投げ出した点を原点とし，水平方向に $x$ 軸，鉛直上向きに $y$ 軸をとるとき，小球の軌跡を表す式として正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，空気の抵抗は無視できるものとする。

①　$y = \tan\theta \cdot x - \dfrac{gx^2}{2v_0^2\sin^2\theta}$

②　$y = \sin\theta \cdot x - \dfrac{gx^2}{2v_0^2\cos^2\theta}$

③　$y = \tan\theta \cdot x - \dfrac{gx^2}{v_0^2\cos^2\theta}$

④　$y = \tan\theta \cdot x - \dfrac{gx^2}{2v_0^2\cos^2\theta}$

解答　水平方向は等速なので，$x = v_0\cos\theta \cdot t$ より

$$t = \frac{x}{v_0\cos\theta}$$

鉛直方向は $y = v_0\sin\theta \cdot t - \dfrac{1}{2}gt^2$。これに $t$ を代入すると

$$y = v_0\sin\theta \cdot \frac{x}{v_0\cos\theta} - \frac{1}{2}g\left(\frac{x}{v_0\cos\theta}\right)^2 = x\tan\theta - \frac{gx^2}{2v_0^2\cos^2\theta}$$

検算：$\theta \to 0$ とすると $y = -\dfrac{gx^2}{2v_0^2}$ で水平投射の式になり，$\theta = 90^\circ$ では $x = 0$（真上に投げると水平には進まない）となる。また頂点の $x$ 座標は $\dfrac{v_0^2\sin\theta\cos\theta}{g}$ で，到達距離の半分になる。　答　④

中文翻译　题目：从水平地面以初速度 $v_0$、与水平方向成角 $\theta$ 抛出小球。以抛出点为原点，水平方向为 $x$ 轴、竖直向上为 $y$ 轴，问小球的轨迹方程哪个正确？空气阻力可忽略。解答：水平方向匀速，$x = v_0\cos\theta \cdot t$，所以 $t = \dfrac{x}{v_0\cos\theta}$。竖直方向 $y = v_0\sin\theta \cdot t - \dfrac{1}{2}gt^2$，代入 $t$ 得 $y = x\tan\theta - \dfrac{gx^2}{2v_0^2\cos^2\theta}$。检验：$\theta \to 0$ 时化为平抛的 $y = -\dfrac{gx^2}{2v_0^2}$；$\theta = 90^\circ$ 时 $x = 0$（竖直上抛不水平前进）；顶点的 $x$ 坐标是 $\dfrac{v_0^2\sin\theta\cos\theta}{g}$，恰好是射程的一半。答案 ④。

解说　用到的是“轨迹の式”的推导：从水平方向的式子解出 $t$ 再代入竖直方向。容易卡在：代入时 $t$ 在第二项里是平方，忘了分母也要平方，于是写成 $\cos\theta$（③ 就是这样）。选项排除：① 把 $\cos^2\theta$ 换成 $\sin^2\theta$；② 的线性项写成 $\sin\theta \cdot x$，正确应是 $\tan\theta \cdot x$；③ 漏了因子 2；只有 ④ 全对。再用顶点核对：④ 的顶点横坐标是 $\dfrac{v_0^2\sin\theta\cos\theta}{g}$，正好是水平到达距离的一半，符合抛物线的对称性。

常用推论

• 最高点高度与水平到达距离之比：$\dfrac{H}{R} = \dfrac{\tan\theta}{4}$。教材没有，考试常用；条件是落点与抛出点等高。知道 $H$ 和 $\theta$ 可秒算 $R$，反之亦然。
• 落点等高时，$45^\circ$ 的水平到达距离最大，为 $\dfrac{v_0^2}{g}$；互余的两个仰角（如 $30^\circ$ 与 $60^\circ$）到达距离相同。
• 斜方投射的飞行时间（落点等高）等于同初速度竖直上抛时间的 2 倍，即 $T = \dfrac{2v_0\sin\theta}{g}$。
• 轨迹式写成 $y = x\tan\theta - \dfrac{gx^2}{2v_0^2}(1 + \tan^2\theta)$ 后，给定通过点 $(x, y)$ 就是关于 $\tan\theta$ 的二次方程；判别式大于零时有两个仰角，等于零时只有一个（恰好擦过该点）。
• 从高处抛出、落点更低时，水平距离最大的仰角小于 $45^\circ$；不要直接套 $45^\circ$ 最远。
• 斜方投射的最高点、到达距离都可以用能量守恒核对：$H$ 处动能 $\dfrac{1}{2}m(v_0\cos\theta)^2$，与抛出点相差 $mgH$（第 6 章）。

易错点

• 错在哪：落点比抛出点低时仍用 $R = \dfrac{v_0^2\sin 2\theta}{g}$。 为什么错：这个公式是令 $y = 0$ 得到的，落点低于抛出点时竖直位移不为零，飞行时间变长。 正确做法：令 $y = -h$ 解出时间，再乘 $v_0\cos\theta$；或直接用轨迹式令 $y = -h$。
• 错在哪：轨迹式写成 $y = \tan\theta \cdot x - \dfrac{gx^2}{2v_0^2\cos\theta}$（分母只平方了 $v_0$）。 为什么错：$t = \dfrac{x}{v_0\cos\theta}$ 在第二项里要平方，$v_0$ 和 $\cos\theta$ 都要平方。 正确做法：先把 $t$ 的表达式整个括起来再平方，或记“分母是 $2v_0^2\cos^2\theta$”。
• 错在哪：认为最高点速度为零。 为什么错：只有竖直分速度为零，水平分速度 $v_0\cos\theta$ 一直不变。 正确做法：把速度分成两个分量看，最高点速度水平、大小为 $v_0\cos\theta$，加速度仍是 $g$。
• 错在哪：把仰角从竖直方向量。 为什么错：题干「水平方向と角 $\theta$ をなす」明确从水平方向量；量错后 $\sin$、$\cos$ 全部互换。 正确做法：在图上画出水平线和初速度，角标在水平线与初速度之间。

直观理解

斜方投射就是“横向匀速 + 竖向竖直上抛”两个运动的合成：横向每秒走同样远，竖向先减速上升、再加速下降。频闪照片上，小球在水平方向间隔相等，在竖直方向间隔先变密后变疏，合起来就是抛物线。投篮、掷铅球、跳远都是这个模型；仰角 45° 最远，是因为此时初速度分给水平和竖直的比例“最划算”。

关联知识点

• 前置：国内书第 9 章 9.2、9.3 节平抛（轨迹与分解方法）、9.4 节斜抛的三个公式；第 3 章 3.6 节竖直上抛；第 8 章 8.3 节运动的合成与分解。
• 后续：本书 3.2 节相对速度（把斜抛放进另一个运动的参考系里看）；第 6 章 エネルギーと運動量（用能量守恒求最高点速度）；第 5 章 運動の法則（有空气阻力时轨迹不对称，定性）。
• 常一起考：国内书第 9 章 9.3 节斜面上的平抛（把斜面写成 $y = x\tan\alpha$，与轨迹式联立，和本节“轨迹经过某点”是同一做法）；《高中数学知识点梳理》第 13 章三角函数的二倍角公式。

3.4 抗力・張力と力の図示

说明

国内书第 4 章把力分成重力、弹力、摩擦力，第 5 章讲共点力的平衡。日本教科书用的是另一套叫法，物理内容相同，术语要先对上：

日文	记号	说明
重力	$mg$	竖直向下，作用点在重心
垂直抗力	$N$	接触面垂直地推物体，方向垂直接触面、指向物体外
摩擦力	$f$	沿接触面，阻碍相对滑动或相对滑动的趋势
抗力	—	面から受ける力の総称：垂直抗力与摩擦力的合力
張力	$T$ 或 $S$	绳（糸）对物体的拉力，沿绳指向绳收缩的方向
弾性力	$F = kx$	弹簧的弹力，沿弹簧、指向原长方向
浮力	$\rho Vg$	流体给物体的竖直向上的力（3.5 节）

抗力（面から受ける力）：物体压着面时，面给物体的力不止一个方向：垂直于面的垂直抗力 $N$，沿面的摩擦力 $f$。日本教科书把这两个力的合力叫抗力。面がなめらか（光滑）时 $f = 0$，抗力就是垂直抗力。EJU 题干里的「抗力」多数出现在光滑面的情境中，这时它与「垂直抗力」同义；遇到粗糙面、又明确问「抗力」时，才把两个分量合成。

張力（张力）：绳对物体的拉力，方向沿绳、指向绳的内部（绳只能拉不能推）。「糸は軽くて伸び縮みしない」是 EJU 最常见的条件句：绳的质量可忽略、长度不变，于是同一根绳上各处的张力大小相等；跨过轻而光滑的滑轮时，两侧张力也相等。绳“松弛”（たるむ）的临界就是张力为零。

力の図示（画受力图）：日本题的图和国内一样，约定是

• 力用带箭头的矢量表示，箭头起点画在作用点上，长度按同一比例表示大小；
• 每个力都要能说出施力物体；找不到施力物体的力不存在；
• 作用力与反作用力画在两个不同的物体上，不能画进同一个受力图；
• 重力画在重心，支持力、摩擦力画在接触点（或接触面中点），绳的张力画在系绳处；
• 分解出的分力、辅助线用灰色虚线，实际的力用红色实线（本书图的约定）。

国内书第 4 章 4.6 节“受力分析的方法”给了完整的步骤（先重力、再弹力、再摩擦力，逐个找施力物体），这里不重抄；EJU 多出来的是「抗力」「張力」两个词和上面的作图约定。

使用场景

• 物体同时受面给的力和绳给的力（球靠着墙用绳吊住、斜面上用绳拉住），问某个力的大小或方向 → 共点力平衡 → 画出三个力，沿绳方向和垂直绳方向（或沿斜面方向和垂直斜面方向）分解，两个方向各列一个平衡式。
• 几个物体用绳连接、或用绳悬挂，问绳的张力（或张力之比） → 張力 → 同一根轻绳张力相等，结点或物体处按水平、竖直分解。

注意点

• 「抗力」的范围：日本教科书多把面から受ける力（垂直抗力与摩擦力的合力）叫抗力，也有只把垂直抗力叫抗力的写法。看题：面がなめらかなら两者相同；面が粗く、题里同时出现「垂直抗力」和「摩擦力」时，「抗力」指它们的合力。

「抗力」多数教科书指面から受ける力（垂直抗力与摩擦力的合力），也有只指垂直抗力的写法；按题目用词判断。

• 垂直抗力的大小不一定等于 $mg$：斜面上是 $mg\cos\theta$，被斜向拉着时会减小，有竖直加速度时也会变。永远由垂直于面的方向上的平衡（或运动方程）决定。
• 垂直抗力不是重力的反作用力。重力的施力物体是地球，垂直抗力的施力物体是面；重力的反作用力是物体吸引地球的力。
• 绳只能拉，不能推；绳的张力方向沿绳、指向绳的内部。绳松弛时张力为零，这是“绳刚好不松”的临界条件。
• 张力记号日本写 $T$ 或 $S$，同一题里可能混用；国内多写 $F_T$。题干里「糸の張力の大きさ」就是“绳的拉力大小”。
• 「なめらかな面」= 无摩擦，只画垂直抗力；「粗い面」= 有摩擦，垂直抗力和摩擦力都要画。「軽い糸」「軽い滑車」= 质量可忽略。
• 画图时不要把“物体对桌面的压力”和“桌面对物体的支持力”画在同一个物体上：它们是一对作用力与反作用力，作用在两个物体上。

推导

抗力 = 垂直抗力 + 摩擦力：面给物体的接触力实际是一个力，它的方向一般不与面垂直。把这个力沿面的法线方向和切线方向分解，法线分量叫垂直抗力 $N$，切线分量叫摩擦力 $f$，两者的合力就是抗力：

$$R = \sqrt{N^2 + f^2}, \qquad \tan\varphi = \frac{f}{N}$$

其中 $\varphi$ 是抗力与法线的夹角（摩擦角）。光滑面上 $f = 0$，$R = N$。

同一根轻绳的张力相等：取绳的一小段，质量为 $\Delta m$，两端受张力 $T_1$、$T_2$，沿绳方向的运动方程是 $\Delta m \cdot a = T_2 - T_1$。绳“轻”就是 $\Delta m \to 0$，只要加速度不是无限大，就有 $T_1 = T_2$。滑轮两侧相等还需要“滑轮轻且光滑”：滑轮的质量为零时转动不需要力矩，绳与滑轮之间没有摩擦时两侧张力才能相等。

三力平衡的图解法：三个力平衡时，把它们首尾相接，矢量三角形闭合（合力为零）；若三个力不平行，它们的作用线必交于一点。解题时任选一个方向分解，或直接用三角形的正弦定理。

例题

例 1　（场景：面给的力与绳的力同时作用 → 三力平衡 → 沿竖直、水平分解）

問題　図のように，なめらかな鉛直な壁に小球を接してつるした。糸は壁の上方の点から小球につながれ，鉛直方向と角 $\theta$ をなしている。小球の質量を $m$，重力加速度の大きさを $g$ とする。糸の張力の大きさ $S$ はどのように表されるか。正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，糸は軽くて伸び縮みしないものとする。

①　$mg\cos\theta$　　②　$\dfrac{mg}{\cos\theta}$　　③　$mg\sin\theta$　　④　$mg\tan\theta$

解答　小球にはたらく力は，重力 $mg$（鉛直下向き），糸の張力 $S$（糸の方向），壁からの垂直抗力 $N$（壁に垂直で右向き）の 3 つである。鉛直方向のつり合いより

$$S\cos\theta = mg \quad \therefore\ S = \frac{mg}{\cos\theta}$$

水平方向のつり合いより $N = S\sin\theta = mg\tan\theta$。検算：$\theta \to 0$（糸が鉛直）なら $S \to mg$，$\theta \to 90^\circ$（糸が水平に近い）なら $S \to \infty$ で，糸を水平に近づけるほど大きな張力が必要になる。　答　②

中文翻译　题目：如图，小球靠着光滑的竖直墙面用绳吊住。绳从墙上方的一点连到小球，与竖直方向成角 $\theta$。小球质量为 $m$，重力加速度为 $g$。问：绳的张力大小 $S$ 怎么表示？从①～④中选一个正确的。绳轻且不伸缩。解答：小球受三个力：重力 $mg$（竖直向下）、绳的张力 $S$（沿绳）、墙的垂直抗力 $N$（垂直于墙，向右）。竖直方向平衡：$S\cos\theta = mg$，所以 $S = \dfrac{mg}{\cos\theta}$。水平方向平衡：$N = S\sin\theta = mg\tan\theta$。检验：$\theta \to 0$（绳竖直）时 $S \to mg$；$\theta \to 90^\circ$（绳接近水平）时 $S \to \infty$，绳越接近水平需要的张力越大。答案 ②。

解说　用到的是本节“三力平衡”和“张力沿绳”两条。容易卡在：把 $S$ 的竖直分量写成 $S\sin\theta$，于是得到 $S = \dfrac{mg}{\sin\theta}$（选项里没有，但会算错方向）。选项排除：用极限 $\theta \to 0$，绳竖直时张力应等于重力 $mg$，① 给 $mg$ 但 $\theta \to 90^\circ$ 时 ① 趋于 0（应为无穷大），排除；③④ 在 $\theta \to 0$ 时都趋于 0，排除；只有 ② 在 $\theta \to 0$ 时趋于 $mg$、$\theta \to 90^\circ$ 时发散。另一种解法：三个力构成直角三角形，$mg$ 与 $N$ 垂直，$S$ 是斜边，$S$ 与 $mg$ 的夹角为 $\theta$，直接读 $\cos\theta = \dfrac{mg}{S}$，一步得出 $S = \dfrac{mg}{\cos\theta}$；分解法适合力多、角度多的题，力的三角形适合三力题。

例 2　（场景：两根绳悬挂同一物体 → 张力的水平分量相等 → 用角度比求张力比）

問題　天井から 2 本の軽い糸で質量 $m$ のおもりをつるした。2 本の糸は，鉛直方向とそれぞれ 30°，60° の角をなしている。2 本の糸の張力の大きさの比 $T_1 : T_2$ として正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，糸は軽くて伸び縮みしないものとする。

①　$1 : \sqrt{3}$　　②　$\sqrt{3} : 1$　　③　$3 : 1$　　④　$1 : 3$

解答　おもりにはたらく力は，重力 $mg$ と 2 本の糸の張力 $T_1$，$T_2$ の 3 つ。水平方向のつり合いより

$$T_1\sin 30^\circ = T_2\sin 60^\circ \quad \therefore\ \frac{T_1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}T_2 \quad \therefore\ T_1 = \sqrt{3}T_2$$

よって $T_1 : T_2 = \sqrt{3} : 1$。鉛直方向は $T_1\cos 30^\circ + T_2\cos 60^\circ = mg$ で，$T_2 = \dfrac{mg}{2}$，$T_1 = \dfrac{\sqrt{3}mg}{2}$ となる。検算：鉛直に近い糸（30°）のほうが大きな張力をもつので，$T_1 > T_2$ でなければならない。　答　②

中文翻译　题目：用两根轻绳从天花板悬挂质量 $m$ 的重物，两根绳与竖直方向分别成 30°、60°。问：两根绳的张力大小之比 $T_1 : T_2$ 哪个正确？绳轻且不伸缩。解答：重物受重力 $mg$ 和两根绳的张力 $T_1$、$T_2$ 三个力。水平方向平衡：$T_1\sin 30^\circ = T_2\sin 60^\circ$，即 $\dfrac{T_1}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}T_2$，所以 $T_1 = \sqrt{3}T_2$，$T_1 : T_2 = \sqrt{3} : 1$。竖直方向 $T_1\cos 30^\circ + T_2\cos 60^\circ = mg$，得 $T_2 = \dfrac{mg}{2}$，$T_1 = \dfrac{\sqrt{3}mg}{2}$。检验：越接近竖直的绳（30°）张力越大，应有 $T_1 > T_2$。答案 ②。

解说　用到的是“张力沿绳”和“水平方向平衡”。容易卡在：把两根绳的角度都从水平方向量，$\sin$、$\cos$ 互换。选项排除：① 方向反了；③ 3:1 是把比值又平方了一次（$\sqrt{3}^2$）；④ 是 ③ 的反向。两分钟做法：两绳张力的水平分量相等，所以 $T \propto \dfrac{1}{\sin\theta}$（$\theta$ 是与竖直方向的角），$T_1 : T_2 = \sin 60^\circ : \sin 30^\circ = \sqrt{3} : 1$，不用列竖直方向就能选。

常用推论

• 光滑斜面上（静止或沿斜面滑动）的物体：$N = mg\cos\theta$，沿斜面方向的合力是 $mg\sin\theta$（无其他力时）。教材常推，考试直接用，条件是斜面固定、物体只受重力与斜面支持力。
• 物体被斜向拉着时，垂直抗力会变：拉力与水平方向成 $\alpha$ 角、大小 $F$ 时，$N = mg - F\sin\alpha$（向上拉）或 $N = mg + F\sin\alpha$（向下压）。教材没有，考试常用，条件是拉力的竖直分量向上或向下。
• 两根绳悬挂同一物体、与竖直方向成 $\theta_1$、$\theta_2$ 时，$\dfrac{T_1}{T_2} = \dfrac{\sin\theta_2}{\sin\theta_1}$（水平分量相等）。
• 轻绳跨过轻而光滑的定滑轮，两侧张力相等；绳子松弛的临界是 $T = 0$（绳刚好拉直但无力）。
• 三个不平行的力平衡时，作用线交于一点；力的矢量三角形闭合，可用正弦定理求未知力。
• 面がなめらかなら抗力就是垂直抗力；粗糙面上抗力的方向偏离法线，偏角 $\varphi$ 满足 $\tan\varphi = \dfrac{f}{N} \le \mu$（静止时）。

易错点

• 错在哪：把垂直抗力一律写成 $mg$。 为什么错：垂直抗力由垂直于面的方向上的平衡决定，斜面、斜向拉力、竖直加速度都会改变它。 正确做法：先判断垂直于面的方向有没有加速度和别的分力，再列该方向的平衡式或运动方程。
• 错在哪：粗面上只画垂直抗力，忘了摩擦力，认为“抗力就是支持力”。 为什么错：面给的力一般不与面垂直；摩擦力也是面给的力，粗糙面上两者都要画（或合成一个抗力）。 正确做法：先看面是否光滑；粗糙面按“垂直抗力 + 摩擦力”画，需要合力时再合成。
• 错在哪：把作用力与反作用力画在同一个受力图里，或把“物体对桌面的压力”当成物体受的力。 为什么错：受力图只画作用在研究对象上的力，作用力与反作用力作用在不同物体上。 正确做法：画图前先写“研究对象是……”，每画一个力就找它的施力物体。
• 错在哪：绳的张力方向画反，或认为绳能推物体。 为什么错：绳只能拉，张力沿绳指向绳的内部（把物体拉向绳）。 正确做法：先画绳，张力箭头从物体沿绳指向绳的另一端。

直观理解

用手压桌面，桌面也在压手，这就是垂直抗力；手在桌面上往前推，桌面还会给一个向后的摩擦力，两个力的合力就是“抗力”。用绳提东西，绳越长越接近竖直越省力；两根绳吊同一盏灯，绳张得越开，张力越大，肩上的包带越宽越舒服也是同一个道理。

关联知识点

• 前置：国内书第 4 章 4.3 节弹力、4.4 节摩擦力、4.5 节力的合成与分解、4.6 节受力分析的方法；第 5 章共点力的平衡。
• 后续：本书 3.5 节液体や気体から受ける力（浮力也是“流体给的力”）；第 4 章 剛体にはたらく力のつり合い（力的作用点在哪里开始变得重要）；第 5 章 運動の法則（把合力与加速度连起来）；第 7 章 円運動（向心力由张力、抗力、重力等提供）。
• 常一起考：国内书第 5 章 5.6 节平衡中的临界与极值（“绳刚好松弛”“支持力为零”正是本节张力和垂直抗力的临界值）。

3.5 液体や気体から受ける力

说明

国内高中不讲流体的压力与浮力（初中讲过浮力），这一节从定义补起。

圧力（压强）：垂直作用在面积 $S$ 上的力 $F$ 与面积之比，

$$p = \frac{F}{S}$$

单位是 $\mathrm{Pa} = \mathrm{N/m^2}$。流体（液体和气体）的压强向各个方向都有，且在同一深度处各方向的压强相同；流体对接触面的力总是垂直于面。

大气圧：空气的重量产生的压强，地面附近约 $1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$。日文题里记 $p_0$，用到时在「ただし」句里给出。

水圧（液体中の圧力）：在水面下深度 $h$ 处，

$$p = p_0 + \rho g h$$

其中 $\rho$ 是液体的密度，$p_0$ 是液面上的大气压。压强只由深度决定，与容器形状、水的多少无关。

浮力：流体给浸在其中的物体的竖直向上的力，大小等于物体排开的流体所受的重力（アルキメデスの原理）：

$$F_{\text{浮}} = \rho V g$$

$\rho$ 是流体的密度，$V$ 是物体浸在流体中的体积（排开的体积）。浮力产生的原因是物体上面和下面的压强差：下表面更深，受到的向上的压力更大。

浮体（漂浮）：物体只有一部分浸在流体中时，浸入的体积 $V_{\text{浸}}$ 满足

$$\rho_{\text{物}}Vg = \rho_{\text{流体}}V_{\text{浸}}g \quad \therefore\ \frac{V_{\text{浸}}}{V} = \frac{\rho_{\text{物}}}{\rho_{\text{流体}}}$$

見かけの重さ（视重）：在流体中用弹簧测力计（ばねばかり）吊住物体，读数等于重力减去浮力：$W' = \rho_{\text{物}}Vg - \rho_{\text{流体}}Vg$。气体也产生浮力，只是空气密度小（约 $1.2\ \mathrm{kg/m^3}$），一般可以忽略。

使用场景

• 给出深度、面积、密度，问某处的压强或面受到的压力 → 水圧の式 $p = p_0 + \rho g h$ 与 $F = pS$ → 先算压强（别忘了大气压），再乘面积。
• 物体浸在液体（或气体）中，用弹簧测力计吊着、漂浮、或完全浸没，问浮力、读数、浸入比例 → アルキメデスの原理 → 先算排开体积，再乘 $\rho g$；漂浮时浮力等于重力。

注意点

• 深度 $h$ 从液面往下量，不是从容器底往上量；同一深度各点压强相同，与容器粗细无关。
• 压强公式 $p = p_0 + \rho g h$ 里的 $p_0$ 不能漏。题目常写「大気圧を $p_0$ とする」，数值题给定 $1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$。
• 浮力与物体所在深度无关（只要全部浸没）、与物体的材质和形状无关，只与流体密度和排开体积有关。
• 漂浮时 $V$ 要取浸入部分的体积，不能取物体全体积；完全浸没时两者才相等。
• 物体下表面与容器底紧密接触（中间没有流体）时，流体不能进入底部，浮力为零。这是“浮力消失”的经典判断。
• 单位：$\rho$ 用 $\mathrm{kg/m^3}$，$V$ 用 $\mathrm{m^3}$，$S$ 用 $\mathrm{m^2}$，$h$ 用 $\mathrm{m}$；$1\ \mathrm{cm^2} = 1.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^2}$，$1\ \mathrm{cm^3} = 1.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{m^3}$，数值题常在这里设陷阱。
• 日文术语：圧力（压强）、水圧、大気圧、浮力、密度、体積、断面積、ばねばかり（弹簧测力计）、アルキメデスの原理。

推导

$p = p_0 + \rho g h$：在液体内取一个底面积 $S$、高 $h$ 的竖直液柱，液面与柱底之间的液体。液柱受三个力：上表面向下的大气压力 $p_0S$，下表面向上的压力 $pS$，以及液柱自身的重力 $\rho g h S$。液柱静止，竖直方向平衡：

$$pS = p_0S + \rho g h S \quad \therefore\ p = p_0 + \rho g h$$

（关键一步：把“压强”换成“力”来列平衡，$F = pS$ 把压强和重力连起来。）

$F_{\text{浮}} = \rho V g$：先看一个高 $H$、底面积 $S$ 的长方体完全浸没，上表面深 $h_1$、下表面深 $h_2 = h_1 + H$。上表面受向下的压力 $p_1S$，下表面受向上的压力 $p_2S$，侧面受力互相抵消。浮力为

$$F_{\text{浮}} = (p_2 - p_1)S = \rho g(h_2 - h_1)S = \rho g H S = \rho V g$$

一般形状可以用“把物体切成许多竖直细柱”的办法叠加，结果相同，这就是アルキメデスの原理：浮力等于排开的流体的重力。推导中 $p_0$ 在上下表面的压力里互相抵消，所以浮力与大气压无关。

浮体条件：漂浮时竖直方向平衡，浮力等于重力，$\rho_{\text{流体}}V_{\text{浸}}g = \rho_{\text{物}}Vg$，得浸入比例 $\dfrac{\rho_{\text{物}}}{\rho_{\text{流体}}}$。

例题

例 1　（场景：给深度和面积，问面受到的流体力 → 先算压强再乘面积 → 数值题）

問題　水深 2.0 m の水中に，面積 0.10 m² の水平な板を置いた。板が水から受ける力の大きさは何 N か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，大気圧を $1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$，水の密度を $1.0 \times 10^3\ \mathrm{kg/m^3}$，重力加速度の大きさを 9.8 m/s² とし，板の厚さは無視できるものとする。

①　$1.0 \times 10^4$　　②　$2.0 \times 10^3$　　③　$1.2 \times 10^4$　　④　$1.2 \times 10^5$

解答　深さ 2.0 m での水の圧力は

$$p = p_0 + \rho g h = 1.0 \times 10^5 + 1.0 \times 10^3 \times 9.8 \times 2.0 = 1.0 \times 10^5 + 1.96 \times 10^4 = 1.2 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$$

板が受ける力は $F = pS$ より

$$F = 1.2 \times 10^5 \times 0.10 = 1.2 \times 10^4\ \mathrm{N}$$

検算：水だけによる圧力 $\rho g h = 2.0 \times 10^4\ \mathrm{Pa}$ は大气圧の約 5 分の 1。合計 $1.2 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$ に $0.10\ \mathrm{m^2}$ を掛けて $1.2 \times 10^4\ \mathrm{N}$ で，桁は妥当。　答　③

中文翻译　题目：在水深 2.0 m 处放一块面积 0.10 m² 的水平板。板受到的水的压力是多少牛？从①～④中选最合适的值。大气压取 $1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$，水密度取 $1.0 \times 10^3\ \mathrm{kg/m^3}$，重力加速度取 9.8 m/s²，板厚可忽略。解答：深 2.0 m 处水的压强 $p = p_0 + \rho g h = 1.0 \times 10^5 + 1.0 \times 10^3 \times 9.8 \times 2.0 = 1.2 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$。板受的力 $F = pS = 1.2 \times 10^5 \times 0.10 = 1.2 \times 10^4\ \mathrm{N}$。检验：水自身产生的压强 $2.0 \times 10^4\ \mathrm{Pa}$ 约为大气压的五分之一，合计 $1.2 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$ 乘 0.10 m² 得 $1.2 \times 10^4\ \mathrm{N}$，数量级合理。答案 ③。

解说　用到的是本节“压强”和 $F = pS$。容易卡在：忘了加大气压，只算 $\rho g h$；或者算完压强就选，忘了乘面积。选项排除：② $2.0 \times 10^3$ 是只用 $\rho g h$ 再乘面积（忘了大气压）；④ $1.2 \times 10^5$ 是压强本身（忘了乘面积）；① $1.0 \times 10^4$ 是只用大气压乘面积。两分钟做法：先写 $p = p_0 + \rho g h$ 算出总压强，再乘面积，最后用“数量级”核对：$10^5\ \mathrm{Pa} \times 0.1\ \mathrm{m^2} = 10^4\ \mathrm{N}$。

例 2　（场景：弹簧测力计吊着物体浸没在液体中 → 重力、浮力、张力三力平衡 → 数值题）

問題　密度 $2.7 \times 10^3\ \mathrm{kg/m^3}$，体積 $1.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^3}$ の物体を，ばねばかりにつるして水中に完全に沈めた。ばねばかりの示す値は何 N か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，水の密度を $1.0 \times 10^3\ \mathrm{kg/m^3}$，重力加速度の大きさを 9.8 m/s² とし，空気の浮力は無視できるものとする。

①　0.98　　②　1.7　　③　2.6　　④　3.6

解答　物体にはたらく力は，重力 $W$，水からの浮力 $F_{\text{浮}}$，ばねばかりの拉力 $T$ の 3 つ。重力は

$$W = \rho_{\text{物}}Vg = 2.7 \times 10^3 \times 1.0 \times 10^{-4} \times 9.8 = 2.646\ \mathrm{N}$$

浮力は物体が排开した水の重さで

$$F_{\text{浮}} = \rho_{\text{水}}Vg = 1.0 \times 10^3 \times 1.0 \times 10^{-4} \times 9.8 = 0.98\ \mathrm{N}$$

鉛直方向のつり合い $T + F_{\text{浮}} = W$ より

$$T = 2.646 - 0.98 = 1.666\ \mathrm{N} \approx 1.7\ \mathrm{N}$$

検算：見かけの重さは $(\rho_{\text{物}} - \rho_{\text{水}})Vg = 1.7 \times 10^3 \times 1.0 \times 10^{-4} \times 9.8 = 1.7\ \mathrm{N}$ で一致。　答　②

中文翻译　题目：把密度 $2.7 \times 10^3\ \mathrm{kg/m^3}$、体积 $1.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^3}$ 的物体挂在弹簧测力计下，完全浸入水中。弹簧测力计的示数是多少牛？从①～④中选最合适的值。水密度取 $1.0 \times 10^3\ \mathrm{kg/m^3}$，重力加速度取 9.8 m/s²，空气浮力可忽略。解答：物体受重力 $W$、水的浮力 $F_{\text{浮}}$、弹簧测力计的拉力 $T$ 三个力。重力 $W = 2.7 \times 10^3 \times 1.0 \times 10^{-4} \times 9.8 = 2.646\ \mathrm{N}$；浮力 $F_{\text{浮}} = 1.0 \times 10^3 \times 1.0 \times 10^{-4} \times 9.8 = 0.98\ \mathrm{N}$。竖直方向平衡 $T + F_{\text{浮}} = W$，所以 $T = 2.646 - 0.98 = 1.666\ \mathrm{N} \approx 1.7\ \mathrm{N}$。检验：视重 $(\rho_{\text{物}} - \rho_{\text{水}})Vg = 1.7\ \mathrm{N}$，一致。答案 ②。

解说　用到的是“浮力 = 排开流体的重力”和三力平衡。容易卡在：把浮力当成“物体重力的一部分”直接相减，却用错体积；或忘了物体在水中还受绳的拉力。选项排除：① 0.98 是浮力本身；③ 2.6 是空气中称得的重量；④ 3.6 是把浮力加在重力上（方向弄反）。另一种解法：直接用公式 $T = (\rho_{\text{物}} - \rho_{\text{水}})Vg$，$T = (2.7 - 1.0) \times 10^3 \times 1.0 \times 10^{-4} \times 9.8 = 1.7\ \mathrm{N}$；先算两项重力的差，比分别算再相减少一步。

常用推论

• 视重 $W' = (\rho_{\text{物}} - \rho_{\text{流体}})Vg$。教材没有，考试常用，条件是物体完全浸没、用测力计吊着。
• 漂浮物体的浸入比例 $\dfrac{V_{\text{浸}}}{V} = \dfrac{\rho_{\text{物}}}{\rho_{\text{流体}}}$。冰（约 $0.92 \times 10^3\ \mathrm{kg/m^3}$）浮在水上时约九成浸在水里。
• 两种液体中同一物体的浮力之比等于两种液体的密度之比（排开体积相同时）。
• 液体中某点的压强 $p = p_0 + \rho g h$；同一深度各方向压强相同，与容器形状无关。
• 压强单位换算：$1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa} = 1.0 \times 10^3\ \mathrm{hPa}$，约等于 1 个大气压；$1\ \mathrm{Pa} = 1\ \mathrm{N/m^2}$。
• 气体也有浮力：空气中物体受到的浮力约为 $\rho_{\text{空气}}Vg$，$\rho_{\text{空气}} \approx 1.2\ \mathrm{kg/m^3}$，通常可以忽略；气球、飞艇靠它升空。

易错点

• 错在哪：压强公式里的 $h$ 从容器底往上量。 为什么错：压强由上方流体的重量产生，深度必须从液面往下量。 正确做法：在图上先画液面，再从液面竖直量到所求位置；深度相同则压强相同。
• 错在哪：计算浮力时把物体的全体积代进去，而物体是漂浮的。 为什么错：浮力只由排开的流体体积决定，漂浮时只有一部分浸入。 正确做法：先判断浸没还是漂浮；漂浮时用 $V_{\text{浸}}$，或直接用“浮力 = 重力”反求。
• 错在哪：算水中压强时漏掉大气压。 为什么错：水面之上还有大气压着，液体内部的压强是两者之和。 正确做法：看到「大気圧を $p_0$ とする」就写 $p = p_0 + \rho g h$；题目只要“水による圧力”时才只算 $\rho g h$。
• 错在哪：认为浮力随深度增大。 为什么错：完全浸没后，上下表面的压强差只由高度差 $H$ 决定，与深度无关。 正确做法：浮力 $= \rho V g$，$V$ 不变则浮力不变。

直观理解

泡澡时觉得身体变轻，是因为水把人往上托；死海里人浮得高，因为盐水密度大，浸入一点就能排开足够重的水。冰山露出一角，是因为冰的密度比水小，九成在水下。用弹簧测力计在水里称物体，示数比在空气中小的那部分，正好等于排开水的重量。

关联知识点

• 前置：初中物理的浮力与密度；国内书第 4 章 4.2 节重力 $G = mg$、第 5 章共点力的平衡（三力平衡的列式方法）。
• 后续：本书 3.4 节抗力与张力（浮力也是面/流体给的力，受力图的画法相同）；第 5 章 運動の法則（浮力与其他力共同作用时的加速度）；第 8 章 単振動（浮体被压下后做简谐运动）；第 11 章 気体の性質（大气压与气体分子运动论）。
• 常一起考：本书第 6 章 仕事とエネルギー（把浮体压下过程中外力做的功，2012 年第 2 回第 4 題就是浮体下压的功—能图）；国内书第 21 章机械振动里浮体振动的回复力。

3.6 题型与答法

第 3 章的内容都在大問 Ⅰ（力学）里出现。据 20 回公开过去问，本章共 17 題（每回平均 0.85 題）：13 回有題（4 回各 2 題、9 回各 1 題），7 回没有。形式上字母式略多于数值，抛体运动（尤其斜方投射）和力のつり合い出现得最多：2011 年第 1 回第 4 題考斜方投射越过障碍的条件，2019 年第 1 回第 2 題考斜向下抛的落点条件，2010 年第 1 回第 2 題用弹簧测力计和浮力求密度。速度图像与运动学公式也常和后面的牛顿定律、能量题连在一起考。

两分钟做法：

1. 抛体先分解：水平匀速、竖直匀变速。问时间找竖直方向，问距离用水平速度乘时间。
2. 平衡题先画力：重力最后分解，光滑面只画垂直抗力，绳沿绳画张力；一个未知力对应一个方向的平衡式。
3. 字母式选项用极限核对：$\theta \to 0$、$h \to 0$、$m \to \infty$；数值题先估数量级，再对有效数字。

問題 1　（投げ上げ：屋上から投げ上げて地面まで）

地上から高さ 10 m のビルの屋上から，小球を鉛直上向きに 14 m/s で投げ上げた。小球が地面に達するまでの時間は何 s か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，重力加速度の大きさを 9.8 m/s² とし，空気の抵抗は無視できるものとする。

①　1.4　　②　2.9　　③　3.4　　④　4.3

解答　屋上を原点とし，鉛直上向きを正とする。小球の高さは

$$y = 14t - \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2 = 14t - 4.9t^2$$

地面は $y = -10\ \mathrm{m}$ なので

$$-10 = 14t - 4.9t^2 \quad \therefore\ 4.9t^2 - 14t - 10 = 0$$ $$t = \frac{14 + \sqrt{14^2 + 4 \times 4.9 \times 10}}{2 \times 4.9} = \frac{14 + \sqrt{196 + 196}}{9.8} = \frac{14 + 19.8}{9.8} = 3.4\ \mathrm{s}$$

（負の根は過去にさかのぼる解なので捨てる。）検算：最高点までの時間は $\dfrac{14}{9.8} = 1.4\ \mathrm{s}$，最高点は屋上から $\dfrac{14^2}{2 \times 9.8} = 10\ \mathrm{m}$ 上，すなわち地面から 20 m。そこから自由落下すると $\sqrt{\dfrac{2 \times 20}{9.8}} = 2.0\ \mathrm{s}$。$1.4 + 2.0 = 3.4\ \mathrm{s}$ で一致。　答　③

中文翻译　题目：从离地 10 m 的楼顶以 14 m/s 竖直向上抛出小球。小球到达地面需要多少秒？从①～④中选最合适的值。重力加速度取 9.8 m/s²，空气阻力可忽略。解答：以楼顶为原点、竖直向上为正，小球高度 $y = 14t - 4.9t^2$。地面为 $y = -10\ \mathrm{m}$，所以 $-10 = 14t - 4.9t^2$，即 $4.9t^2 - 14t - 10 = 0$，解得 $t = \dfrac{14 + \sqrt{196 + 196}}{9.8} = \dfrac{14 + 19.8}{9.8} = 3.4\ \mathrm{s}$（负根舍去）。检验：到最高点用 1.4 s，最高点在楼顶上方 $\dfrac{14^2}{2 \times 9.8} = 10\ \mathrm{m}$，即离地 20 m；从那里自由下落需 $\sqrt{\dfrac{2 \times 20}{9.8}} = 2.0\ \mathrm{s}$，合计 3.4 s，一致。答案 ③。

解说　两分钟做法：整段用同一个坐标（楼顶为原点、向上为正），地面写成 $y = -10$，解一个二次方程；不要分成“上升、下降”两段各算一次。选项排除：① 1.4 是到最高点的时间；② 2.9 是回到楼顶（$y = 0$）的时间；④ 4.3 是把上升时间和回到楼顶的时间相加的错误拼法。用“最高点到地面 20 m 自由落体 2.0 s”可以快速核对 3.4 s。

問題 2　（斜面上用糸で引いて静止：張力と垂直抗力の組み合わせ）

なめらかな斜面上に質量 $m$ の物体を置き，斜面に沿って上向きに糸で引いて静止させた。斜面と水平面のなす角は 30° である。糸の張力の大きさ $T$ と，斜面が物体から受ける垂直抗力の大きさ $N$ の組み合わせとして正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，糸は軽くて伸び縮みしないものとし，重力加速度の大きさを $g$ とする。

	①	②	③	④
$T$	$\dfrac{1}{2}mg$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}mg$	$\dfrac{1}{2}mg$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}mg$
$N$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}mg$	$\dfrac{1}{2}mg$	$mg$	$mg$

解答　物体にはたらく力は，重力 $mg$，糸の張力 $T$（斜面に沿って上向き），斜面からの垂直抗力 $N$（斜面に垂直）の 3 つ。重力を斜面方向と斜面に垂直な方向に分解すると，斜面方向は $mg\sin 30^\circ$，垂直方向は $mg\cos 30^\circ$。それぞれの方向のつり合いより

$$T = mg\sin 30^\circ = \frac{1}{2}mg, \qquad N = mg\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}mg$$

検算：$\theta \to 0$（水平面）なら $T \to 0$，$N \to mg$；$\theta \to 90^\circ$（鉛直面）なら $T \to mg$，$N \to 0$。$\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$，$\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ がこの両方を満たす。　答　①

中文翻译　题目：在光滑斜面上放质量 $m$ 的物体，用绳沿斜面向上拉，使物体静止。斜面与水平面成 30°。问：绳的张力 $T$ 与斜面给物体的垂直抗力 $N$ 的组合哪个正确？绳轻且不伸缩，重力加速度为 $g$。解答：物体受重力 $mg$、绳的张力 $T$（沿斜面向上）、斜面的垂直抗力 $N$（垂直斜面）三个力。把重力分解到沿斜面和垂直斜面两个方向，分别为 $mg\sin 30^\circ$ 和 $mg\cos 30^\circ$。两个方向的平衡给出 $T = mg\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}mg$，$N = mg\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}mg$。检验：$\theta \to 0$ 时 $T \to 0$、$N \to mg$；$\theta \to 90^\circ$ 时 $T \to mg$、$N \to 0$，只有 $\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$、$\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 同时满足。答案 ①。

解说　两分钟做法：沿斜面和垂直斜面建轴，重力分解一次，两个方向各一个方程；不要沿水平、竖直建轴（那样 $T$ 和 $N$ 都带角度，要多算一步）。选项排除：② 把 $\sin$、$\cos$ 互换；③④ 让 $N = mg$，忘了斜面上垂直抗力小于重力；用 $\theta \to 0$ 的极限可以一次排除 ③④（水平面上 $T$ 应为零），再用 $\theta \to 90^\circ$ 排除 ②。

問題 3　（水平投射：从崖上水平抛出，求水平距离）

高さ 20 m の崖の上から，小球を水平方向に 14 m/s で投げ出した。小球が地面に達するまでに水平方向に進む距離は何 m か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，重力加速度の大きさを 9.8 m/s² とし，空気の抵抗は無視できるものとする。

①　14　　②　20　　③　28　　④　57

解答　水平投射では，鉛直方向は自由落下，水平方向は等速である。鉛直方向について

$$20 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2 \quad \therefore\ t = \sqrt{\frac{2 \times 20}{9.8}} = 2.0\ \mathrm{s}$$

水平方向の速さは 14 m/s のままなので

$$x = 14 \times 2.0 = 28\ \mathrm{m}$$

検算：落下時間は高さだけで決まり，初速度によらない。$2.0\ \mathrm{s}$ は「20 m を自由落下する時間」として妥当。　答　③

中文翻译　题目：从高 20 m 的崖顶以 14 m/s 水平抛出小球。小球到达地面前水平方向前进多少米？从①～④中选最合适的值。重力加速度取 9.8 m/s²，空气阻力可忽略。解答：平抛运动中竖直方向是自由落体，水平方向匀速。竖直方向 $20 = \dfrac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$，得 $t = \sqrt{\dfrac{2 \times 20}{9.8}} = 2.0\ \mathrm{s}$。水平速度保持 14 m/s，所以 $x = 14 \times 2.0 = 28\ \mathrm{m}$。检验：下落时间只由高度决定，与初速度无关；2.0 s 作为 20 m 自由落体的时间合理。答案 ③。

解说　两分钟做法：先竖直求时间，再水平求距离，两步各用一个公式。选项排除：① 14 是把 $t = \dfrac{v}{g} = 1.4\ \mathrm{s}$ 当成下落时间；② 20 是把高度当成水平距离；④ 57 是忘了开平方，用 $t = \dfrac{2h}{g} = 4.1\ \mathrm{s}$ 算出的。平抛题的“时间只由高度决定”这一点，也是排除含 $v_0$ 的时间选项的依据。

3.7 术语与题干用语

日文	读音	中文	例句或说明
変位	へんい	位移	変位はベクトルである
速度	そくど	速度	東向きに 4.0 m/s の速度
加速度	かそくど	加速度	右向きに 2.0 m/s² の加速度
相対速度	そうたいそくど	相对速度	B から見た A の相対速度
相対加速度	そうたいかそくど	相对加速度	相対加速度は加速度の差で与えられる
成分	せいぶん	分量	速度の水平成分と鉛直成分
合成・分解	ごうせい・ぶんかい	合成、分解	重力を斜面方向と垂直方向に分解する
斜方投射	しゃほうとうしゃ	斜抛	斜方投射の軌跡は放物線になる
水平投射	すいへいとうしゃ	平抛	水平投射では鉛直方向は自由落下
放物線	ほうぶつせん	抛物线	小球の軌跡は放物線をえがく
最高点	さいこうてん	最高点	最高点では鉛直方向の速度が 0
水平到達距離	すいへいとうたつきょり	水平射程	水平到達距離は $\sin 2\theta$ に比例する
抗力	こうりょく	抗力（面给物体的力）	面から受ける抗力
垂直抗力	すいちょくこうりょく	垂直抗力（法向支持力）	床からの垂直抗力 $N$
張力	ちょうりょく	张力	糸の張力 $S$
弾性力	だんせいりょく	弹力	ばねの弾性力は $F = kx$
静止摩擦力	せいしまさつりょく	静摩擦力	静止摩擦力はつり合いから求める
動摩擦力	どうまさつりょく	滑动摩擦力	動摩擦力は $\mu'N$
浮力	ふりょく	浮力	水からの浮力は $\rho Vg$
圧力	あつりょく	压强	水の圧力は深さで決まる
大気圧	たいきあつ	大气压	大気圧を $p_0$ とする
水圧	すいあつ	水压	水圧は $p_0 + \rho gh$
密度	みつど	密度	水の密度は $1.0 \times 10^3\ \mathrm{kg/m^3}$
断面積	だんめんせき	横截面积	面積 $S$ の板が受ける力
ばねばかり	ばねばかり	弹簧测力计	ばねばかりにつるして水中に沈める
なめらかな	なめらかな	光滑的	なめらかな壁・なめらかな斜面
粗い	あらい	粗糙的	粗い床の上ですべらせる
軽い糸	かるいいと	轻绳	糸は軽くて伸び縮みしない
伸び縮みしない	のびちぢみしない	不伸缩	糸は軽くて伸び縮みしないものとする
小球	しょうきゅう	小球	小球を静かに放す
投げ上げる	なげあげる	竖直上抛	小球を鉛直上向きに投げ上げる
投げ出す	なげだす	抛出	水平方向に投げ出す
〜から見た	〜からみた	从……看	B から見た A の速度
〜をなす	〜をなす	与……成（角）	水平方向と 30° をなす向きに投げ出す
じゅうぶん時間がたった後	じゅうぶんじかんがたったあと	经过足够长时间后	终端速度の問題で使う

3.8 自测

1. 東向きに 6.0 m/s で歩く人 A を，北向きに 8.0 m/s で歩く人 B から見たとき，A の速度の大きさは何 m/s か。　（东向 6.0 m/s 的 A，被北向 8.0 m/s 的 B 看，A 的速度大小是多少？）
2. 右向きに加速度 3.0 m/s² で運動する物体 A と，右向きに加速度 1.0 m/s² で運動する物体 B がある。B から見た A の相対加速度はどちら向きに何 m/s² か。　（A 向右加速度 3.0 m/s²，B 向右 1.0 m/s²，从 B 看 A 的相对加速度向哪边、多大？）
3. 小球を初速度 20 m/s，水平方向と 30° をなす向きに投げ出した。最高点の高さ，水平到達距離，飛行時間を求めよ。ただし，重力加速度の大きさを 9.8 m/s² とする。　（以 20 m/s、与水平成 30° 抛出小球，求最高点高度、水平射程、飞行时间，$g = 9.8$。）
4. 初速度の大きさ $v_0$，水平方向と角 $\theta$ の斜方投射で，投げ出した点を原点とし，水平方向に $x$ 軸，鉛直上向きに $y$ 軸をとる。軌跡を表す式を書け。　（斜抛初速度 $v_0$、仰角 $\theta$，以抛出点为原点、水平为 $x$ 轴、竖直向上为 $y$ 轴，写出轨迹方程。）
5. 質量 2.0 kg の物体を粗い水平な床に置き，水平方向から 30° 上方に 10 N の力で引いたところ，物体は一定の速さですべった。床から物体が受ける垂直抗力の大きさと，抗力（垂直抗力と動摩擦力の合力）の大きさを求めよ。ただし，重力加速度の大きさを 9.8 m/s² とする。　（质量 2.0 kg 的物体放在粗糙水平地面上，用与水平成 30°、10 N 的力拉，物体匀速滑动。求地面给物体的垂直抗力和抗力（垂直抗力与滑动摩擦力的合力）的大小，$g = 9.8$。）
6. 体積 $2.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^3}$ の物体を水に完全に沈めたとき，浮力の大きさは何 N か。水の密度を $1.0 \times 10^3\ \mathrm{kg/m^3}$，重力加速度の大きさを 9.8 m/s² とする。　（体积 $2.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^3}$ 的物体完全浸入水中，浮力多大？水密度 $1.0 \times 10^3\ \mathrm{kg/m^3}$，$g = 9.8$。）
7. 水深 5.0 m の水圧（大気圧を除く）は何 Pa か。水の密度を $1.0 \times 10^3\ \mathrm{kg/m^3}$，重力加速度の大きさを 9.8 m/s² とする。　（水深 5.0 m 处水自身产生的压强是多少帕？水密度 $1.0 \times 10^3\ \mathrm{kg/m^3}$，$g = 9.8$。）

答案：1. $10\ \mathrm{m/s}$（向きは東から南へ 53°）　2. 右向きに $2.0\ \mathrm{m/s^2}$　3. 最高点 $5.1\ \mathrm{m}$，水平到達距離 $35\ \mathrm{m}$，飛行時間 $2.0\ \mathrm{s}$　4. $y = \tan\theta \cdot x - \dfrac{gx^2}{2v_0^2\cos^2\theta}$　5. 垂直抗力 $N = 2.0 \times 9.8 - 10\sin 30^\circ = 14.6 \approx 15\ \mathrm{N}$，動摩擦力 $f = 10\cos 30^\circ = 8.7\ \mathrm{N}$，抗力 $\sqrt{14.6^2 + 8.7^2} \approx 17\ \mathrm{N}$　6. $2.0\ \mathrm{N}$　7. $4.9 \times 10^4\ \mathrm{Pa}$

3.9 深入阅读

• JASSO · 理科（物理）シラバス：本章对应「運動の表し方」「さまざまな力」「力のつり合い」：相対運動、落体・水平投射・斜方投射、力の合成・分解。
• 维基百科（日文）· 斜方投射：斜抛运动的日文名称、到达距离和最高点的公式，查日文说法时用。
• PhET · 抛体运动：改变初速度和仰角，观察轨迹、最高点和射程，配合本章的斜方投射公式。
• 维基百科（日文）· 相対速度：相对速度的日文定义和添字约定（A から見た B），注意与国内添字顺序相反。