第 11 章 · 気体の性質

项目	内容
シラバス项目	Ⅱ 熱 2. 気体の性質：(1) 理想気体の状態方程式，(2) 気体分子の運動，(3) 気体の状態変化
国内书对应	第 32 章 气体、固体和液体；第 33 章 热力学定律
本章新内容的分量	7 个知识点：3 个讲法不同（状态方程式的摩尔形式、分子运动论的完整推导、温度与平均动能），3 个国内没有（内能公式、摩尔比热、断热变化的泊松式），1 个把国内分散讲的内容汇总成表（四种状态变化）
过去问出现次数	20 回共 22 次（每回平均 1.1 次）

国内书第 32 章讲了气体实验定律、状态方程的比例形式和 p-V 图像，第 33 章讲了热力学第一定律，但都停在“理想气体内能只与温度有关”这种定性说法上。EJU 要求把分子运动论推到底：从分子撞壁推出 $p = \dfrac{Nm\overline{v^2}}{3V}$，再和 $pV = NkT$ 合起来得到 $\overline{\dfrac12 mv^2} = \dfrac32 kT$，然后给出单原子、二原子分子内能的公式、摩尔比热和四种状态变化的完整表格。断热变化的泊松式国内高中基本不讲。丢分主要丢在三处：温度忘了换成绝对温度，$W$ 与 $W'$ 的符号混，等温线和断热线分不清。

11.1 与国内的对照

シラバス小項目和术语（日文原文）	国内书位置	相同 / 讲法不同 / 国内没有	本章哪节讲
ボイルの法則	第 32 章 32.4 节	相同，见国内书	11.2、11.7 直接用
シャルルの法則	第 32 章 32.5 节	相同，见国内书	11.7 直接用
ボイル・シャルルの法則	第 32 章 32.5、32.6 节	相同，见国内书	11.2
理想気体の状態方程式	第 32 章 32.6 节	讲法不同：国内以 $\dfrac{pV}{T} = C$ 为主，$pV = nRT$ 只作补充；EJU 以 $pV = nRT$ 为主，用モル数、気体定数、ボルツマン定数	11.2
気体分子の運動と圧力	第 32 章 32.8 节	讲法不同：国内只作定性解释和半定量说明，$p = \dfrac{2}{3}n\bar{E}_{\text{k}}$ 注明大学；EJU 要求完整推导 $p = \dfrac{Nm\overline{v^2}}{3V}$	11.3
気体分子の運動と絶対温度	第 31 章、第 32 章 32.8 节	讲法不同：国内说“温度是分子平均动能的标志”，EJU 给出 $\overline{\dfrac12 mv^2} = \dfrac32 kT$ 并用来算二乗平均速度	11.4
気体の内部エネルギー	第 33 章 33.3 节	国内没有公式：只说理想气体内能只与温度有关，不给 $\dfrac32 nRT$、$\dfrac52 nRT$	11.5
単原子分子	无	国内没有	11.5
二原子分子	无	国内没有	11.5
定積変化	第 32 章 32.5 节、第 33 章 33.3 节	讲法不同：国内分开讲查理定律和第一定律，EJU 把 $W$、$Q$、$\Delta U$ 汇总成表，用 $nC_V\Delta T$	11.7
定圧変化	第 32 章 32.5 节、第 33 章 33.3 节	讲法不同：同上，EJU 用 $nC_p\Delta T$ 和 $W' = p\Delta V$	11.7
等温変化	第 32 章 32.4 节、第 33 章 33.3 节	相同内容，讲法不同：EJU 把等温线的功、热、内能变化放进同一张表	11.7
断熱変化	第 33 章 33.2、33.3 节	国内没有泊松式：国内只讲绝热时 $\Delta U = W$，不给 $pV^\gamma$ 一定	11.8
モル比熱	无	国内没有：国内只有比热容 $c$，单位 $\mathrm{J/(kg \cdot K)}$，没有摩尔比热	11.6

11.2 理想気体の状態方程式

说明

理想気体（理想气体）：分子本身的大小和分子间距离相比可以忽略，除碰撞外分子间没有作用力，因此没有分子势能；分子与分子、分子与器壁的碰撞都是弹性碰撞。实际气体在压强不太大、温度不太低时可以看成理想气体。国内书第 32 章 32.6 节已经讲过这个模型，这里不再重复。

理想気体の状態方程式（理想气体状态方程）：设气体的物质的量为 $n$（单位 $\mathrm{mol}$），则

$$pV = nRT$$

其中 $R$ 是気体定数（气体常量）：

$$R = 8.31\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$$

若气体的分子数为 $N$，阿伏伽德罗常数为 $N_{\mathrm A} = 6.02 \times 10^{23}\ \mathrm{/mol}$，则 $n = \dfrac{N}{N_{\mathrm A}}$，状态方程可以写成

$$pV = NkT, \qquad k = \frac{R}{N_{\mathrm A}} = 1.38 \times 10^{-23}\ \mathrm{J/K}$$

$k$ 叫ボルツマン定数（玻尔兹曼常量）。

质量和摩尔质量的关系是 $n = \dfrac{m}{M}$，其中 $M$ 是モル質量（摩尔质量），单位 $\mathrm{g/mol}$ 或 $\mathrm{kg/mol}$。

国内书的主式是比例形式 $\dfrac{pV}{T} = C$，适合“一定质量”的气体。EJU 的主式是 $pV = nRT$，把物质的量 $n$ 写在方程里：气体漏掉一部分、或往容器里再充气时，只要每个状态用各自的 $n$，方程照样能用。

標準状態（标准状态）：$0\ ^\circ\mathrm{C}$（$273\ \mathrm{K}$）、$1.013 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$ 时，$1\ \mathrm{mol}$ 理想气体的体积是 $22.4\ \mathrm{L} = 22.4 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^3}$。这个数在估算题里很有用。

使用场景

• 题目给物质的量（或质量、摩尔质量）和一个状态的两个参量，求第三个参量 → 理想气体模型 → 先把温度换成 $\mathrm{K}$，再用 $pV = nRT$。
• 题目给分子数、密度、摩尔质量等“微观或质量”信息 → 用 $pV = NkT$ 或 $N = nN_{\mathrm A}$ → 先求 $n$，再换算分子数或摩尔质量。

注意点

• 温度必须用绝对温度 $T = t + 273\ \mathrm{K}$。国内书第 32 章 32.2 节已经强调过，EJU 题里给 $27\ ^\circ\mathrm{C}$ 就是 $300\ \mathrm{K}$，给 $87\ ^\circ\mathrm{C}$ 就是 $360\ \mathrm{K}$，都是为了让比值好看。
• $R = 8.31\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$ 对应 $p$ 用 $\mathrm{Pa}$、$V$ 用 $\mathrm{m^3}$。$1\ \mathrm{L} = 10^{-3}\ \mathrm{m^3}$，$1\ \mathrm{atm} = 1.013 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$。用 $\mathrm{L}$ 或 $\mathrm{atm}$ 代入而不换算，是数值题最常见的错。
• 质量用 $\mathrm{g}$ 时，$M$ 用 $\mathrm{g/mol}$，$n = m/M$ 照样得到 $\mathrm{mol}$；但代入 $pV = nRT$ 时 $n$ 已经是 $\mathrm{mol}$，不用再管质量单位。不要一边把质量换成 $\mathrm{kg}$、一边又把 $M$ 写成 $\mathrm{g/mol}$。
• 状态方程对变质量过程也能用，但 $n$ 要取“当前状态”的物质的量。国内书里”$\dfrac{pV}{T}$ 正比于质量“的推论，就是 $n$ 变了的意思。
• 状态方程只描述平衡态。气体在剧烈变化中途没有统一的压强和温度，不能对“中途某一瞬间”直接用。

推导

从比例形式到摩尔形式：国内书第 32 章 32.6 节已经由玻意耳定律和盖-吕萨克定律推出，一定质量的气体满足

$$\frac{pV}{T} = C$$

$C$ 与气体的种类和质量有关。现在看 $1\ \mathrm{mol}$ 的任意理想气体。在标准状态 $p_0 = 1.013 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$、$V_0 = 22.4 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^3}$、$T_0 = 273\ \mathrm{K}$ 下，

$$C = \frac{p_0V_0}{T_0} = \frac{1.013 \times 10^5 \times 22.4 \times 10^{-3}}{273} \approx 8.31\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$$

这个常数与气体种类无关，记作 $R$。所以 $1\ \mathrm{mol}$ 时 $\dfrac{pV}{T} = R$；$n\ \mathrm{mol}$ 时，把气体看成 $n$ 份 $1\ \mathrm{mol}$ 合在一起，比例常数变成 $nR$：

$$\frac{pV}{T} = nR \quad\Rightarrow\quad pV = nRT$$

关键一步：阿伏伽德罗定律说，同温同压下同体积的气体含有相同的分子数。所以 $1\ \mathrm{mol}$ 的任何理想气体在标准状态下的体积都相同，$C$ 才可能与种类无关。

从摩尔形式到分子形式：把 $n = \dfrac{N}{N_{\mathrm A}}$ 代入 $pV = nRT$：

$$pV = \frac{N}{N_{\mathrm A}}RT = N\left(\frac{R}{N_{\mathrm A}}\right)T = NkT$$

其中 $k = \dfrac{R}{N_{\mathrm A}} = \dfrac{8.31}{6.02 \times 10^{23}} \approx 1.38 \times 10^{-23}\ \mathrm{J/K}$。这个形式在分子运动论里和 $p = \dfrac{Nm\overline{v^2}}{3V}$ 对照，下一节马上用到。

例题

例 1　（场景：给物质的量和一个状态的两个参量，求体积 → $pV = nRT$，温度先换 K）

問題　容積を自由に変えられるシリンダーに，理想気体 $2.0\ \mathrm{mol}$ を入れた。温度を $27\ ^\circ\mathrm{C}$ に保ち，圧力を $1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$ にした。ただし，気体定数を $R = 8.31\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$ とする。

問　このときの気体の体積 $V$ は何 $\mathrm{m^3}$ か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$2.5 \times 10^{-2}\ \mathrm{m^3}$　　②　$5.0 \times 10^{-2}\ \mathrm{m^3}$　　③　$1.0 \times 10^{-1}\ \mathrm{m^3}$　　④　$2.0 \times 10^{-1}\ \mathrm{m^3}$

解答　温度は $T = 27 + 273 = 300\ \mathrm{K}$ である。理想気体の状態方程式 $pV = nRT$ より

$$V = \frac{nRT}{p} = \frac{2.0 \times 8.31 \times 300}{1.0 \times 10^5} = 4.986 \times 10^{-2}\ \mathrm{m^3} \approx 5.0 \times 10^{-2}\ \mathrm{m^3}$$

検算：$1\ \mathrm{mol}$ は $0\ ^\circ\mathrm{C}$、$1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$ で $22.4\ \mathrm{L}$。$2\ \mathrm{mol}$、$300\ \mathrm{K}$ なら $22.4 \times 2 \times \dfrac{300}{273} \approx 49\ \mathrm{L}$ で，$5.0 \times 10^{-2}\ \mathrm{m^3} = 50\ \mathrm{L}$ と一致する。　答　②

中文翻译　题目：一个容积可自由变化的汽缸中装入 $2.0\ \mathrm{mol}$ 理想气体，保持温度 $27\ ^\circ\mathrm{C}$，压强为 $1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$。气体常量 $R = 8.31\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$。问：此时气体体积 $V$ 是多少 $\mathrm{m^3}$？从①～④中选最合适的值。

解答：温度 $T = 27 + 273 = 300\ \mathrm{K}$。由理想气体状态方程 $pV = nRT$，得 $V = \dfrac{nRT}{p} = \dfrac{2.0 \times 8.31 \times 300}{1.0 \times 10^5} = 4.986 \times 10^{-2}\ \mathrm{m^3} \approx 5.0 \times 10^{-2}\ \mathrm{m^3}$。检验：$1\ \mathrm{mol}$ 在 $0\ ^\circ\mathrm{C}$、$1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$ 下是 $22.4\ \mathrm{L}$；$2\ \mathrm{mol}$、$300\ \mathrm{K}$ 时 $22.4 \times 2 \times \dfrac{300}{273} \approx 49\ \mathrm{L}$，与 $50\ \mathrm{L}$ 一致。答案 ②。

解说　用的就是本节的状态方程 $pV = nRT$。容易卡在：直接把 $27$ 代进 $T$，或者忘了把体积从 $\mathrm{L}$ 换成 $\mathrm{m^3}$。选项排除：$R$ 的量级决定 $2\ \mathrm{mol}$、$300\ \mathrm{K}$、$10^5\ \mathrm{Pa}$ 下体积约几十升，也就是 $10^{-2}\ \mathrm{m^3}$ 量级，③④ 先排除；① 是把 $n$ 当成 $1\ \mathrm{mol}$ 的结果。

例 2　（场景：给质量、体积、压强、温度，求分子数和摩尔质量 → 先求 $n$，再用 $N = nN_{\mathrm A}$ 和 $M = m/n$）

問題　容積 $1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^3}$ の容器に，ある理想気体が $1.2\ \mathrm{g}$ 入っている。温度を $27\ ^\circ\mathrm{C}$，圧力を $1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$ に保った。ただし，気体定数を $R = 8.31\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$，アボガドロ定数を $N_{\mathrm A} = 6.0 \times 10^{23}\ \mathrm{/mol}$ とする。

問　この気体の分子数 $N$ とモル質量 $M$ の組み合わせとして最も適当なものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

	①	②	③	④
$N$	$2.4 \times 10^{22}$	$2.4 \times 10^{22}$	$4.8 \times 10^{22}$	$4.8 \times 10^{22}$
$M$	$2.8 \times 10^1\ \mathrm{g/mol}$	$3.0 \times 10^1\ \mathrm{g/mol}$	$3.0 \times 10^1\ \mathrm{g/mol}$	$6.0 \times 10^1\ \mathrm{g/mol}$

解答　温度は $T = 300\ \mathrm{K}$。状態方程式 $pV = nRT$ より

$$n = \frac{pV}{RT} = \frac{1.0 \times 10^5 \times 1.0 \times 10^{-3}}{8.31 \times 300} \approx 4.01 \times 10^{-2}\ \mathrm{mol}$$

分子数は

$$N = nN_{\mathrm A} = 4.01 \times 10^{-2} \times 6.0 \times 10^{23} \approx 2.4 \times 10^{22}$$

モル質量は

$$M = \frac{m}{n} = \frac{1.2}{4.01 \times 10^{-2}} \approx 3.0 \times 10^1\ \mathrm{g/mol}$$

検算：空気の平均モル質量は約 $29\ \mathrm{g/mol}$ で，窒素 $28$ と酸素 $32$ の混合物として妥当である。　答　②

中文翻译　题目：容积 $1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^3}$ 的容器中装有 $1.2\ \mathrm{g}$ 某种理想气体，保持温度 $27\ ^\circ\mathrm{C}$、压强 $1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$。气体常量 $R = 8.31\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$，阿伏伽德罗常量 $N_{\mathrm A} = 6.0 \times 10^{23}\ \mathrm{/mol}$。问：这种气体的分子数 $N$ 与摩尔质量 $M$ 的组合，从①～④中选最合适的。

解答：温度 $T = 300\ \mathrm{K}$。由 $pV = nRT$ 得 $n = \dfrac{pV}{RT} = \dfrac{1.0 \times 10^5 \times 1.0 \times 10^{-3}}{8.31 \times 300} \approx 4.01 \times 10^{-2}\ \mathrm{mol}$。分子数 $N = nN_{\mathrm A} \approx 2.4 \times 10^{22}$。摩尔质量 $M = \dfrac{m}{n} = \dfrac{1.2}{4.01 \times 10^{-2}} \approx 3.0 \times 10^1\ \mathrm{g/mol}$。检验：空气的平均摩尔质量约 $29\ \mathrm{g/mol}$，作为氮气和氧气的混合物是合理的。答案 ②。

解说　用到的是本节的两个换算：$n = \dfrac{pV}{RT}$ 和 $N = nN_{\mathrm A}$、$M = \dfrac{m}{n}$。容易卡在：把 $1.2\ \mathrm{g}$ 直接当成 $n$，或者把 $\mathrm{g}$ 和 $\mathrm{kg}$ 混用。选项排除：$M$ 的量级一眼可判，气体摩尔质量一般在 $2$ 到 $100\ \mathrm{g/mol}$ 之间，④ 的 $60\ \mathrm{g/mol}$ 虽然可能但分子数配的是 $4.8 \times 10^{22}$，与 $n \approx 0.04\ \mathrm{mol}$ 不符；$n \approx 0.04\ \mathrm{mol}$ 对应 $N \approx 2.4 \times 10^{22}$，① 的 $M = 28$ 与 $1.2\ \mathrm{g}/0.04\ \mathrm{mol} = 30$ 差一点，是故意用氮气 $28$ 设的干扰项。

常用推论

• 密度 $\rho = \dfrac{m}{V} = \dfrac{pM}{RT}$。同温同压下，两种气体的密度比等于摩尔质量比。这个式子在判断“哪种气体重”的题里一步出答案。
• 同温、同压、同体积的两种气体含有相同的分子数（阿伏伽德罗定律）；同温、同压下同体积的气体质量比等于摩尔质量比。
• 一定质量的气体，$\dfrac{pV}{T}$ 是定值；写成 $pV = nRT$ 时 $n$ 不变。这是国内书比例形式的另一种说法。
• 混合气体（不发生反应）的总压强等于各成分分压之和（道尔顿分压定律）：$p = p_1 + p_2 + \cdots$，每种成分各自满足 $p_iV = n_iRT$。
• 标准状态下 $1\ \mathrm{mol}$ 气体的体积是 $22.4\ \mathrm{L}$；由此可以快速估算 $n$、$N$ 或密度。

易错点

• 错在哪：把摄氏温度直接代入 $pV = nRT$。 为什么错：状态方程里的 $T$ 是绝对温度，$27\ ^\circ\mathrm{C}$ 必须写成 $300\ \mathrm{K}$；用 $27$ 代入会使结果差十倍以上。 正确做法：看到温度先写 $T = t + 273\ \mathrm{K}$，再代公式。
• 错在哪：压强用 $\mathrm{atm}$、体积用 $\mathrm{L}$ 代入，$R$ 却用 $8.31\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$。 为什么错：$R$ 的数值和单位是配套的，$\mathrm{J} = \mathrm{Pa \cdot m^3}$，只有 $p$ 用 $\mathrm{Pa}$、$V$ 用 $\mathrm{m^3}$ 才对得上。 正确做法：统一换成国际单位；$1\ \mathrm{L} = 10^{-3}\ \mathrm{m^3}$，$1\ \mathrm{atm} = 1.013 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$。
• 错在哪：认为 $pV = nRT$ 只适用于一定质量的气体。 为什么错：国内书的 $\dfrac{pV}{T} = C$ 才要求质量不变；$pV = nRT$ 里 $n$ 是显式写出的，漏气、充气时每个状态用各自的 $n$ 即可。 正确做法：变质量问题先确定“研究的是哪一时刻的多少气体”，再代 $n$。

直观理解

把 $pV = nRT$ 想成一个账本：左边是“压强乘体积”，右边是“分子数乘绝对温度再乘一个换算常数”。温度越高、分子越多，同样的体积下压强越大；压强不变时，温度越高体积越大。国内书的 $\dfrac{pV}{T} = C$ 是“同一批分子”的账本，$pV = nRT$ 则把“分子有多少”也写进了账本。

关联知识点

• 前置：国内书第 32 章 32.4 节玻意耳定律、32.5 节查理定律和盖-吕萨克定律、32.6 节理想气体状态方程；32.2 节温度和温标。
• 后续：本书 11.3 节气体分子运动论（把 $pV = NkT$ 和微观压强公式对照），11.7 节状态变化，11.8 节断热变化。
• 常一起考：本书第 10 章热力学第一定律；国内书第 33 章 33.3 节。

11.3 気体分子運動論と圧力

说明

気体分子運動論（气体分子运动论）：从“气体由大量做无规则运动的分子组成”这一模型出发，解释压强、温度这些宏观量。模型有三条假设：

1. 分子本身的大小比分子间距离小得多，可以看成质点；
2. 除碰撞外，分子间没有作用力；
3. 分子之间、分子与器壁之间的碰撞都是弹性碰撞。

圧力の式（压强公式）：设容器体积为 $V$，其中有 $N$ 个分子，每个分子质量为 $m$，分子速率平方的平均值为 $\overline{v^2}$，则气体对器壁的压强为

$$p = \frac{Nm\overline{v^2}}{3V}$$

若分子数密度为 $n = \dfrac{N}{V}$（本节用 $n$ 表示分子数密度，单位 $\mathrm{m^{-3}}$，与 11.2 节的物质的量 $n$ 不是同一个量），则

$$p = \frac{1}{3}nm\overline{v^2} = \frac{2}{3}n\overline{\left(\frac12 mv^2\right)}$$

也就是说，压强由两个因素决定：分子数密度 $n$ 和分子的平均平动动能 $\overline{\dfrac12 mv^2}$。

二乗平均速度（方均根速度）：$\sqrt{\overline{v^2}}$，记作 $v_{\mathrm{rms}}$。注意它不是平均速度 $\bar{v}$：分子向各个方向运动，平均速度为零，但速度平方的平均值不为零。

$\overline{v^2}$ 和 $\overline{\left(\dfrac12 mv^2\right)}$ 都是对大量分子取的平均，单个分子的速率可大可小，下一次碰撞后还会变。

使用场景

• 题目给分子数 $N$、分子质量 $m$、体积 $V$ 和 $\overline{v^2}$，求压强 → 分子运动论模型 → $p = \dfrac{Nm\overline{v^2}}{3V}$，或者先算数密度 $n = \dfrac{N}{V}$ 再用 $p = \dfrac13 nm\overline{v^2}$。
• 题目给压强 $p$ 和气体密度 $\rho$（或数密度 $n$ 与分子质量 $m$），求 $\overline{v^2}$ 或二乗平均速度 → 由 $p = \dfrac13\rho\overline{v^2}$ → $\overline{v^2} = \dfrac{3p}{\rho}$，$v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\dfrac{3p}{\rho}}$。

注意点

• $\overline{v^2}$ 是“先平方再平均”，$(\bar{v})^2$ 是“先平均再平方”，两者一般不相等。气体分子的平均速度 $\bar{v} = 0$（方向随机），但 $\overline{v^2} > 0$。
• 公式里的 $3$ 来自三个方向。推导时先算一个方向（$x$ 方向）的压强，再用各方向平均相等的对称性把 $\overline{v_x^2}$ 换成 $\dfrac13\overline{v^2}$。
• 压强公式是统计结果，只对大量分子成立。容器里只有几个分子时，“压强”这个概念本身就没有意义。
• 公式假设分子与壁的碰撞是弹性的。分子撞壁后速率不变，只是方向反向；这是理想气体模型的一部分。
• 同温下，不同气体分子的平均平动动能相同（11.4 节），所以只要数密度相同，压强就与分子质量无关。质量大的分子运动慢，但每次碰撞的冲量大，两个效果抵消。
• 本节和 11.4 节里 $n$ 表示分子数密度（$\mathrm{m^{-3}}$），11.2、11.5 节里 $n$ 表示物质的量（$\mathrm{mol}$）。同一个字母两种用法，靠单位区分，做题时看清题目给的是哪一个。

推导

模型：边长 $L$ 的立方体容器，体积 $V = L^3$，里面有 $N$ 个质量为 $m$ 的分子。分子与器壁弹性碰撞，除此之外不受力。

第一步：一个分子对一面墙的平均力。看一个分子，设它撞向右侧墙壁时速度的 $x$ 分量为 $v_x$（朝右为正）。弹性碰撞后 $x$ 分量变成 $-v_x$，动量变化为

$$\Delta p_x = m(-v_x) - mv_x = -2mv_x$$

墙给分子的冲量为 $-2mv_x$，由牛顿第三定律，分子给墙的冲量为 $2mv_x$（朝右）。分子在左右两壁之间来回，连续两次撞同一面墙之间走过的 $x$ 方向距离是 $2L$，时间是

$$\Delta t = \frac{2L}{v_x}$$

所以这个分子对墙的平均力为

$$f = \frac{2mv_x}{\Delta t} = \frac{2mv_x}{2L/v_x} = \frac{mv_x^2}{L}$$

第二步：所有分子对墙的总力。$N$ 个分子各自贡献 $\dfrac{mv_{ix}^2}{L}$，总力是

$$F = \sum_{i=1}^{N} \frac{mv_{ix}^2}{L} = \frac{Nm}{L}\overline{v_x^2}$$

第三步：压强。墙的面积是 $L^2$，所以

$$p = \frac{F}{L^2} = \frac{Nm\overline{v_x^2}}{L^3} = \frac{Nm\overline{v_x^2}}{V}$$

第四步：用对称性换成 $\overline{v^2}$。分子的速度满足 $v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2$。气体是各向同性的，三个方向的平均值相等：

$$\overline{v_x^2} = \overline{v_y^2} = \overline{v_z^2} = \frac{1}{3}\overline{v^2}$$

代入第三步：

$$p = \frac{Nm}{V} \cdot \frac{1}{3}\overline{v^2} = \frac{Nm\overline{v^2}}{3V}$$

关键一步：速率 $v$ 在推导里出现两次效果——每次碰撞的冲量正比于 $v_x$，单位时间碰撞的次数也正比于 $v_x$，所以最后出现的是 $v_x^2$，而不是 $v_x$。这一步是理解“为什么压强正比于分子平均动能”的关键。

写成数密度形式：令 $n = \dfrac{N}{V}$，则 $p = \dfrac13 nm\overline{v^2} = \dfrac23 n\overline{\left(\dfrac12 mv^2\right)}$。式中 $\overline{\left(\dfrac12 mv^2\right)}$ 是分子的平均平动动能。这个式子把宏观压强和微观动能直接连了起来，下一节再和 $pV = NkT$ 对照。

例题

例 1　（场景：给分子数、分子质量、体积和 $\overline{v^2}$，求压强 → $p = \dfrac{Nm\overline{v^2}}{3V}$）

問題　体積 $V = 2.0 \times 10^{-2}\ \mathrm{m^3}$ の立方体の容器に，質量 $m = 3.3 \times 10^{-27}\ \mathrm{kg}$ の分子を $N = 6.0 \times 10^{23}$ 個入れた。分子の速度の $2$ 乗の平均を $\overline{v^2} = 1.0 \times 10^6\ \mathrm{m^2/s^2}$ とする。

問　容器の壁に生じる圧力 $p$ は何 $\mathrm{Pa}$ か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$1.1 \times 10^4\ \mathrm{Pa}$　　②　$3.3 \times 10^4\ \mathrm{Pa}$　　③　$9.9 \times 10^4\ \mathrm{Pa}$　　④　$3.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$

解答　分子運動論の圧力の式

$$p = \frac{Nm\overline{v^2}}{3V}$$

に代入する。

$$p = \frac{6.0 \times 10^{23} \times 3.3 \times 10^{-27} \times 1.0 \times 10^6}{3 \times 2.0 \times 10^{-2}} = 3.3 \times 10^4\ \mathrm{Pa}$$

検算：数密度は $n = \dfrac{N}{V} = 3.0 \times 10^{25}\ \mathrm{m^{-3}}$。$p = \dfrac13 nm\overline{v^2} = \dfrac13 \times 3.0 \times 10^{25} \times 3.3 \times 10^{-27} \times 1.0 \times 10^6 = 3.3 \times 10^4\ \mathrm{Pa}$ で一致する。　答　②

中文翻译　题目：体积 $V = 2.0 \times 10^{-2}\ \mathrm{m^3}$ 的立方体容器中，装有 $N = 6.0 \times 10^{23}$ 个质量为 $m = 3.3 \times 10^{-27}\ \mathrm{kg}$ 的分子，分子速度平方的平均值 $\overline{v^2} = 1.0 \times 10^6\ \mathrm{m^2/s^2}$。问：容器壁受到的压强 $p$ 是多少 $\mathrm{Pa}$？从①～④中选最合适的值。

解答：代入分子运动论的压强公式 $p = \dfrac{Nm\overline{v^2}}{3V} = \dfrac{6.0 \times 10^{23} \times 3.3 \times 10^{-27} \times 1.0 \times 10^6}{3 \times 2.0 \times 10^{-2}} = 3.3 \times 10^4\ \mathrm{Pa}$。检验：数密度 $n = \dfrac{N}{V} = 3.0 \times 10^{25}\ \mathrm{m^{-3}}$，$p = \dfrac13 nm\overline{v^2} = 3.3 \times 10^4\ \mathrm{Pa}$，一致。答案 ②。

解说　用的就是本节推导出的 $p = \dfrac{Nm\overline{v^2}}{3V}$。容易卡在：忘记除以 $3$，或者把 $\overline{v^2}$ 当成 $\bar{v}$。选项排除：① 是漏掉因子 $3$（$3.3 \times 10^4$ 除以 $3$ 得 $1.1 \times 10^4$）；③ 是分子分母颠倒、把 $3$ 乘到了结果上；④ 是漏掉体积的 $10^{-2}$ 量级。按 $10^5\ \mathrm{Pa}$ 的大气压作对比，$3.3 \times 10^4\ \mathrm{Pa}$ 是合理量级。

例 2　（场景：给压强和密度，求二乗平均速度 → $p = \dfrac13\rho\overline{v^2}$）

問題　温度 $T$，圧力 $p$ の理想気体がある。この気体の密度を $\rho$ とする。気体分子の二乗平均速度 $\sqrt{\overline{v^2}}$ を表す式として正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$\sqrt{\dfrac{3p}{\rho}}$　　②　$\sqrt{\dfrac{p}{3\rho}}$　　③　$\sqrt{\dfrac{3\rho}{p}}$　　④　$\sqrt{\dfrac{p}{\rho}}$

解答　質量 $m$ の分子が $N$ 個，体積 $V$ の容器にあるとすると，密度は $\rho = \dfrac{Nm}{V}$。圧力の式 $p = \dfrac{Nm\overline{v^2}}{3V}$ は

$$p = \frac{1}{3}\rho\overline{v^2}$$

と書ける。これを $\overline{v^2}$ について解くと

$$\overline{v^2} = \frac{3p}{\rho} \quad\therefore\quad \sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{\frac{3p}{\rho}}$$

検算：次元は $\sqrt{\dfrac{\mathrm{Pa}}{\mathrm{kg/m^3}}} = \sqrt{\dfrac{\mathrm{kg/(m \cdot s^2)}}{\mathrm{kg/m^3}}} = \sqrt{\dfrac{\mathrm{m^2}}{\mathrm{s^2}}} = \mathrm{m/s}$ で，速度の次元をもつ。　答　①

中文翻译　题目：温度 $T$、压强 $p$ 的理想气体，密度为 $\rho$。表示气体分子方均根速度 $\sqrt{\overline{v^2}}$ 的式子，从①～④中选一个正确的。

解答：设质量为 $m$ 的分子有 $N$ 个，体积为 $V$，则密度 $\rho = \dfrac{Nm}{V}$。压强公式 $p = \dfrac{Nm\overline{v^2}}{3V}$ 可写成 $p = \dfrac13\rho\overline{v^2}$，解得 $\overline{v^2} = \dfrac{3p}{\rho}$，所以 $\sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{\dfrac{3p}{\rho}}$。检验：量纲为 $\sqrt{\dfrac{\mathrm{Pa}}{\mathrm{kg/m^3}}} = \mathrm{m/s}$，是速度的量纲。答案 ①。

解说　用到的是 $p = \dfrac13 nm\overline{v^2}$ 中”$nm = \rho$“这一步。容易卡在：把 $N/V$ 和 $m$ 分开时漏掉一个，导致根号里多一个或少一个 $3$。选项排除：用特殊值检验，若 $\rho$ 很大（分子很密），同样压强下分子应该运动得慢，所以 $\sqrt{\overline{v^2}}$ 应随 $\rho$ 增大而减小，只有 ① 满足；③ 随 $\rho$ 增大而增大，方向反了；②④ 缺因子 $3$，用量纲无法排除，但可以用 $p = \rho RT/M$ 和 11.4 节的 $v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{3RT/M}$ 对照，确认系数是 $3$。

常用推论

• $p = \dfrac13\rho\overline{v^2}$：压强只由密度和分子速度平方的平均值决定，与分子质量单独无关（质量已经包含在密度里）。
• $v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\dfrac{3p}{\rho}}$：知道压强和密度就能求方均根速度。
• 同温、同数密度下，不同气体的压强相同；同温、同压下，不同气体的数密度相同（阿伏伽德罗定律的微观版本）。
• $\overline{\left(\dfrac12 mv^2\right)} = \dfrac{3p}{2n}$：由 $p = \dfrac23 n\overline{\left(\dfrac12 mv^2\right)}$ 直接解出，可用于从压强和数密度反求平均动能。

易错点

• 错在哪：把 $\overline{v^2}$ 写成 $(\bar{v})^2$。 为什么错：分子向各个方向运动，$\bar{v} = 0$，而 $\overline{v^2}$ 是正数；两者完全不同。压强公式里需要的是速度平方的平均值。 正确做法：先平方每个分子的速率，再对所有分子求平均；方均根速度写成 $\sqrt{\overline{v^2}}$。
• 错在哪：推导时忘记除以 $3$，写成 $p = \dfrac{Nm\overline{v^2}}{V}$。 为什么错：$p = \dfrac{Nm\overline{v_x^2}}{V}$ 只是一个方向的贡献；三个方向的平均值相等，每个方向占 $\dfrac13$。 正确做法：记住 $p = \dfrac13 nm\overline{v^2}$，其中 $n$ 是数密度。
• 错在哪：认为分子质量越大，同温下压强越大。 为什么错：同温下不同气体分子的平均平动动能相同，质量大的分子速度小，每次碰撞的冲量大但碰撞次数少，两个效果抵消；压强只与数密度和平均动能有关。 正确做法：比较压强先看数密度和温度（平均动能），不要只看分子质量。

直观理解

把分子撞壁想成雨点打伞：雨点越重、越快，每一滴的冲击越大；雨越密，单位时间打到的雨点越多。压强就是这两者的乘积。分子运动论的推导把“每一滴的冲击”（$mv_x$）和“单位时间打多少滴”（$v_x$）都算进去，所以最后出现 $mv_x^2$。三个方向平分，才有了分母的 $3$。

关联知识点

• 前置：国内书第 32 章 32.8 节气体压强的微观解释（定性和半定量）；第 31 章分子动理论、分子速率分布。
• 前置：国内书第 19 章动量定理（单个分子撞壁的冲量）。
• 后续：本书 11.4 节温度与分子平均动能，11.5 节气体内能。
• 常一起考：本书 11.2 节状态方程的分子形式 $pV = NkT$。

11.4 絶対温度と分子の平均運動エネルギー

说明

把 11.3 节的微观压强公式和 11.2 节的宏观状态方程 $pV = NkT$ 放在一起，就得到温度和分子运动的关系：

$$\overline{\left(\frac12 mv^2\right)} = \frac{3}{2}kT$$

分子的平均平动动能只由绝对温度决定，与气体的种类、分子质量无关。 温度是大量分子平均平动动能的标志：温度越高，分子的平均平动动能越大。

由此还可以得到二乗平均速度：

$$v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$$

其中 $m$ 是一个分子的质量，$M$ 是摩尔质量（$M = mN_{\mathrm A}$）。同温下，摩尔质量越大的气体，分子运动得越慢。

使用场景

• 同温下比较不同气体的平均平动动能、二乗平均速度 → 温度相同 → 平均平动动能相同；$v_{\mathrm{rms}} \propto \dfrac{1}{\sqrt{M}}$ → 摩尔质量小的速度大。
• 给温度和摩尔质量，求二乗平均速度 → $v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\dfrac{3RT}{M}}$，温度用 $\mathrm{K}$，$M$ 用 $\mathrm{kg/mol}$。

注意点

• 温度必须用绝对温度。$27\ ^\circ\mathrm{C}$ 是 $300\ \mathrm{K}$，不是 $27$。
• $\overline{\left(\dfrac12 mv^2\right)}$ 是平动动能。二原子分子还有转动动能，11.5 节会加上；这里比较“温度与平动动能”时只算平动。
• 同温下不同气体分子的平均平动动能相同，但平均速率不同：轻的分子快，重的分子慢。不要因为“动能相同”就认为“速度相同”。
• 温度是统计量，说“一个分子的温度”没有意义；温度升高也不代表每个分子的速率都增大，只是平均值增大。
• $v_{\mathrm{rms}}$ 是方均根速度，不是平均速率。两者数值接近但不同，EJU 题里出现 $\sqrt{\overline{v^2}}$ 就用方均根。

推导

从两个压强公式消去 $p$：11.2 节得到

$$pV = NkT$$

11.3 节得到

$$pV = \frac{1}{3}Nm\overline{v^2}$$

两式右边相等：

$$\frac{1}{3}Nm\overline{v^2} = NkT$$

两边除以 $N$，再乘以 $\dfrac32$：

$$\frac{1}{2}m\overline{v^2} = \frac{3}{2}kT$$

即

$$\overline{\left(\frac12 mv^2\right)} = \frac{3}{2}kT$$

关键一步：这一步把“宏观的温度”和“微观的平均平动动能”等同起来。左边是力学量，右边是热学量，连接的桥梁是理想气体状态方程和分子运动论的压强公式。两个公式都只对理想气体成立，所以这个关系也只在理想气体模型里严格成立。

从平均动能到方均根速度：

$$\frac{1}{2}m\overline{v^2} = \frac{3}{2}kT \quad\Rightarrow\quad \overline{v^2} = \frac{3kT}{m}$$

开平方得 $v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\dfrac{3kT}{m}}$。把 $k = \dfrac{R}{N_{\mathrm A}}$、$m = \dfrac{M}{N_{\mathrm A}}$ 代入：

$$v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$$

绝对零度的意义：按照这个关系，$T = 0\ \mathrm{K}$ 时分子的平均平动动能为零。经典模型到这里为止；实际上绝对零度附近量子效应出现，分子仍有零点振动，不能真正静止。高中只要求知道“绝对零度是低温的极限，不能达到”。

例题

例 1　（场景：同温比较两种气体 → 平均平动动能相同，方均根速度与 $\sqrt{M}$ 成反比）

問題　同じ温度 $300\ \mathrm{K}$ の水素分子（モル質量 $2.0\ \mathrm{g/mol}$）と酸素分子（モル質量 $32\ \mathrm{g/mol}$）がある。気体定数を $R = 8.31\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$ とする。

問　分子の平均運動エネルギーと二乗平均速度について，正しい組み合わせを次の①～④の中から一つ選びなさい。

	①	②	③	④
平均運動エネルギー	水素の方が大きい	等しい	等しい	水素の方が大きい
二乗平均速度	水素の方が大きい	水素の方が大きい	酸素の方が大きい	等しい

解答　分子の平均運動エネルギーは $\dfrac32 kT$ で，温度だけで決まる。温度が同じなので，水素分子と酸素分子の平均運動エネルギーは等しい。

二乗平均速度は $v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\dfrac{3RT}{M}}$ で，同温ではモル質量の平方根に反比例する。水素のモル質量は酸素の $\dfrac{1}{16}$ なので，水素の二乗平均速度は酸素の $\sqrt{16} = 4$ 倍である。

検算：$v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\dfrac{3 \times 8.31 \times 300}{2.0 \times 10^{-3}}} \approx 1.9 \times 10^3\ \mathrm{m/s}$（水素），酸素は $\sqrt{\dfrac{3 \times 8.31 \times 300}{32 \times 10^{-3}}} \approx 4.8 \times 10^2\ \mathrm{m/s}$，比は約 $4$。　答　②

中文翻译　题目：有温度同为 $300\ \mathrm{K}$ 的氢分子（摩尔质量 $2.0\ \mathrm{g/mol}$）和氧分子（摩尔质量 $32\ \mathrm{g/mol}$）。气体常量 $R = 8.31\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$。问：关于分子平均动能和方均根速度，从①～④中选出正确的组合。

解答：分子平均动能是 $\dfrac32 kT$，只由温度决定，所以氢分子和氧分子相同。方均根速度 $v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\dfrac{3RT}{M}}$，同温下与摩尔质量的平方根成反比。氢的摩尔质量是氧的 $\dfrac{1}{16}$，所以氢的方均根速度是氧的 $\sqrt{16} = 4$ 倍。检验：氢约 $1.9 \times 10^3\ \mathrm{m/s}$，氧约 $4.8 \times 10^2\ \mathrm{m/s}$，比值约 $4$。答案 ②。

解说　用到的是本节两条：平均平动动能只由 $T$ 决定；$v_{\mathrm{rms}} \propto \dfrac{1}{\sqrt{M}}$。容易卡在：认为重的氧分子动能大，或者认为动能相同则速度相同。选项排除：平均动能只看温度，③④ 先排除；剩下 ①② 的分歧在速度，摩尔质量小的氢速度大，① 的速度项说氧大，排除。

例 2　（场景：给温度和摩尔质量，求方均根速度 → $v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\dfrac{3RT}{M}}$）

問題　温度 $27\ ^\circ\mathrm{C}$ の窒素分子（モル質量 $28\ \mathrm{g/mol}$）の二乗平均速度は何 $\mathrm{m/s}$ か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，気体定数を $R = 8.31\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$ とする。

①　$1.9 \times 10^2\ \mathrm{m/s}$　　②　$3.0 \times 10^2\ \mathrm{m/s}$　　③　$5.2 \times 10^2\ \mathrm{m/s}$　　④　$1.9 \times 10^3\ \mathrm{m/s}$

解答　温度は $T = 27 + 273 = 300\ \mathrm{K}$，モル質量は $M = 28\ \mathrm{g/mol} = 2.8 \times 10^{-2}\ \mathrm{kg/mol}$。二乗平均速度の式

$$v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$$

より

$$v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\frac{3 \times 8.31 \times 300}{2.8 \times 10^{-2}}} = \sqrt{2.67 \times 10^5} \approx 5.2 \times 10^2\ \mathrm{m/s}$$

検算：常温の空気中の分子は数百 $\mathrm{m/s}$ の速さで運動している，という一般的な値と一致する。　答　③

中文翻译　题目：温度 $27\ ^\circ\mathrm{C}$ 的氮分子（摩尔质量 $28\ \mathrm{g/mol}$）的方均根速度是多少 $\mathrm{m/s}$？从①～④中选最合适的值。气体常量 $R = 8.31\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$。

解答：温度 $T = 27 + 273 = 300\ \mathrm{K}$，摩尔质量 $M = 28\ \mathrm{g/mol} = 2.8 \times 10^{-2}\ \mathrm{kg/mol}$。由 $v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\dfrac{3RT}{M}} = \sqrt{\dfrac{3 \times 8.31 \times 300}{2.8 \times 10^{-2}}} = \sqrt{2.67 \times 10^5} \approx 5.2 \times 10^2\ \mathrm{m/s}$。检验：与常温空气中分子以数百 $\mathrm{m/s}$ 运动的常见数值一致。答案 ③。

解说　用到的是 $v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\dfrac{3RT}{M}}$。容易卡在：$M$ 用 $\mathrm{g/mol}$ 直接代入，导致结果差 $\sqrt{1000} \approx 32$ 倍；或者温度用 $27$。选项排除：② 是漏掉因子 $3$ 的结果（$\sqrt{8.31 \times 300/0.028} \approx 3.0 \times 10^2$）；① 是量级错误的干扰项；④ 是水素在 $300\ \mathrm{K}$ 的方均根速度，属于“记错气体”的干扰项。

常用推论

• $\overline{\left(\dfrac12 mv^2\right)} = \dfrac32 kT$：同温下任何理想气体分子的平均平动动能相同。
• $v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\dfrac{3RT}{M}}$：同温下 $v_{\mathrm{rms}}$ 与 $\sqrt{M}$ 成反比；同种气体 $v_{\mathrm{rms}} \propto \sqrt{T}$。
• 常温（$300\ \mathrm{K}$）下，空气分子的方均根速度约 $5 \times 10^2\ \mathrm{m/s}$；氢分子约 $1.9 \times 10^3\ \mathrm{m/s}$。
• 由 $pV = NkT$ 得 $p = \dfrac{N}{V}kT$：同温同压下，数密度相同；结合 $p = \dfrac13 nm\overline{v^2}$，可以从宏观量反求微观平均动能。
• 两种气体同温时，$\dfrac{v_{\mathrm{rms,1}}}{v_{\mathrm{rms,2}}} = \sqrt{\dfrac{M_2}{M_1}}$。

易错点

• 错在哪：把 $27\ ^\circ\mathrm{C}$ 直接代入 $v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\dfrac{3RT}{M}}$。 为什么错：温度必须是绝对温度；用 $27$ 代入会得到完全错误的量级。 正确做法：先写 $T = t + 273\ \mathrm{K}$，再开方。
• 错在哪：认为同温下重的气体分子运动得快，因为“动能相同、质量大所以速度大”。 为什么错：动能相同时，质量越大速度越小，$v = \sqrt{2E/m}$；把反比关系记成了正比。 正确做法：同温下 $v_{\mathrm{rms}} \propto \dfrac{1}{\sqrt{M}}$，摩尔质量小的快。
• 错在哪：把分子平均平动动能相同说成“分子平均动能相同”。 为什么错：二原子分子还有转动动能；平动动能相同是温度相同的结果，但总动能（内能）还包括转动，单原子与二原子不同（11.5 节）。 正确做法：比较温度时用“平均平动动能”；比较内能时要把转动也算进去。

直观理解

温度像“分子的平均活跃程度”。同样温度下，氢分子轻，跑得快；氧分子重，跑得慢，但两者的平均平动动能一样。就像同样金额的钱，买便宜的东西数量多，买贵的东西数量少，总额相同。

关联知识点

• 前置：本书 11.3 节分子运动论的压强公式；11.2 节状态方程。
• 前置：国内书第 31 章分子动理论，温度是分子平均动能的标志。
• 后续：本书 11.5 节气体内能（加上转动动能），11.6 节摩尔比热。
• 常一起考：同温下不同气体的平均动能、方均根速度比较；与 11.5 节内能公式结合出选择题。

11.5 気体の内部エネルギー

说明

内部エネルギー（内能） $U$：气体所有分子的热运动动能与分子势能的总和。理想气体分子间没有作用力，没有分子势能，所以内能就是所有分子动能的总和。

単原子分子（单原子分子）：分子只有平动，每个分子的平均动能为 $\dfrac32 kT$。$N$ 个分子的内能为

$$U = N \cdot \frac{3}{2}kT = \frac{3}{2}nRT$$

二原子分子（双原子分子）：常温下分子除了平动，还有绕两个轴的转动。每个转动自由度贡献 $\dfrac12 kT$，加上三个平动自由度，每个分子的平均动能为 $\dfrac52 kT$。所以

$$U = \frac{5}{2}nRT$$

（$n$ 为物质的量，$T$ 为绝对温度。）

自由度（自由度）：确定分子运动状态所需的独立坐标数。单原子分子有 $3$ 个平动自由度；二原子分子有 $3$ 个平动自由度和 $2$ 个转动自由度，共 $5$ 个；温度很高时还会出现振动自由度，高中不讨论。**等分配则（能量均分定理）**说，每个自由度平均分到 $\dfrac12 kT$ 的能量。

理想气体的内能只由物质的量和温度决定，与体积、压强无关。写成

$$U = nC_VT$$

其中 $C_V$ 是定积摩尔比热（11.6 节）。

使用场景

• 题目给单原子或二原子气体、物质的量和温度，求内能 → 用 $U = \dfrac32 nRT$ 或 $U = \dfrac52 nRT$，温度用 $\mathrm{K}$。
• 题目给温度变化，求内能变化 → 理想气体 → $\Delta U = nC_V\Delta T$，与过程路径无关；单原子用 $\dfrac32 nR\Delta T$，二原子用 $\dfrac52 nR\Delta T$。

注意点

• 单原子与二原子的区别只在系数：$\dfrac32$ 和 $\dfrac52$。EJU 题里如果只说“理想気体”而没说是单原子还是二原子，通常会在题干或选项中给出分子种类；没有给出时按单原子处理，或者看选项判断。
• $U$ 是总内能，单位 $\mathrm{J}$；每个分子的平均动能是 $\dfrac32 kT$ 或 $\dfrac52 kT$，单位 $\mathrm{J}$，不要混。
• 二原子分子的 $\dfrac52$ 只在常温附近成立。温度极高时振动被激发，系数会变大；温度极低时转动被冻结，系数会接近 $\dfrac32$。高中和 EJU 只考常温下的 $\dfrac52$。
• 理想气体内能只与 $T$ 有关，所以等温变化 $\Delta U = 0$，与体积怎样变无关。实际气体分子间有作用力，内能还与体积有关，不能套这个结论。
• 内能 $U$ 是状态量，热量 $Q$ 是过程量。可以说“气体内能是多少”，不能说“气体含有多少热量”。

推导

单原子分子：11.4 节已经得到每个分子的平均平动动能

$$\overline{\left(\frac12 mv^2\right)} = \frac{3}{2}kT$$

单原子分子没有转动，内能就是 $N$ 个分子的平动动能之和：

$$U = N \cdot \frac{3}{2}kT = \frac{3}{2}(Nk)T$$

由 $Nk = nR$，得

$$U = \frac{3}{2}nRT$$

二原子分子：除了三个平动自由度，还有两个转动自由度（绕垂直于分子轴的两个轴转动；绕分子轴自身的转动惯量太小，常温下不激发）。每个自由度平均 $\dfrac12 kT$，所以每个分子的平均能量为

$$3 \times \frac{1}{2}kT + 2 \times \frac{1}{2}kT = \frac{5}{2}kT$$

于是

$$U = N \cdot \frac{5}{2}kT = \frac{5}{2}nRT$$

关键一步：平动动能和温度的关系已经由 11.4 节给出；二原子分子多出来的部分是转动动能，它同样按自由度均分。把“每个分子的能量”乘以分子数，就得到内能。

为什么与体积无关：理想气体分子间没有作用力，改变体积不改变分子势能（本来就没有），也不改变温度时分子动能，所以内能不变。国内书第 33 章 33.3 节用焦耳的自由膨胀实验说明过这一点。

例题

例 1　（场景：单原子分子，给 $n$ 和 $T$ 求内能 → $U = \dfrac32 nRT$）

問題　単原子分子理想気体 $2.0\ \mathrm{mol}$ が温度 $300\ \mathrm{K}$ にある。気体定数を $R = 8.31\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$ とする。

問　この気体の内部エネルギー $U$ は何 $\mathrm{J}$ か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$2.5 \times 10^3\ \mathrm{J}$　　②　$5.0 \times 10^3\ \mathrm{J}$　　③　$7.5 \times 10^3\ \mathrm{J}$　　④　$1.2 \times 10^4\ \mathrm{J}$

解答　単原子分子理想気体の内部エネルギーは

$$U = \frac{3}{2}nRT$$

より

$$U = \frac{3}{2} \times 2.0 \times 8.31 \times 300 = 7.479 \times 10^3\ \mathrm{J} \approx 7.5 \times 10^3\ \mathrm{J}$$

検算：$1\ \mathrm{mol}$ あたり $\dfrac32 R \times 300 \approx 3.7 \times 10^3\ \mathrm{J}$，$2\ \mathrm{mol}$ で $7.5 \times 10^3\ \mathrm{J}$。　答　③

中文翻译　题目：$2.0\ \mathrm{mol}$ 单原子分子理想气体处于 $300\ \mathrm{K}$。气体常量 $R = 8.31\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$。问：该气体的内能 $U$ 是多少 $\mathrm{J}$？从①～④中选最合适的值。

解答：单原子分子理想气体的内能 $U = \dfrac32 nRT = \dfrac32 \times 2.0 \times 8.31 \times 300 = 7.479 \times 10^3\ \mathrm{J} \approx 7.5 \times 10^3\ \mathrm{J}$。检验：每摩尔约 $\dfrac32 R \times 300 \approx 3.7 \times 10^3\ \mathrm{J}$，$2\ \mathrm{mol}$ 为 $7.5 \times 10^3\ \mathrm{J}$。答案 ③。

解说　用的是本节单原子内能公式。容易卡在：忘记乘 $n$，直接算 $1\ \mathrm{mol}$ 的 $3.7 \times 10^3\ \mathrm{J}$；或者把 $\dfrac32$ 写成 $\dfrac52$。选项排除：① 是把 $n$ 当成 $1\ \mathrm{mol}$ 又漏掉 $\dfrac32$（只剩 $nRT$ 的一半）；② 是漏掉 $\dfrac32$ 的 $nRT$；④ 是二原子公式 $\dfrac52 nRT$ 的结果 $1.2 \times 10^4\ \mathrm{J}$；③ 才是单原子 $2\ \mathrm{mol}$ 的值。

例 2　（场景：二原子分子，给温度变化求内能变化 → $\Delta U = \dfrac52 nR\Delta T$）

問題　二原子分子理想気体 $1.0\ \mathrm{mol}$ の温度を $300\ \mathrm{K}$ から $600\ \mathrm{K}$ まで上げた。気体定数を $R = 8.31\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$ とする。

問　この気体の内部エネルギーの増加 $\Delta U$ は何 $\mathrm{J}$ か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$2.5 \times 10^3\ \mathrm{J}$　　②　$3.7 \times 10^3\ \mathrm{J}$　　③　$6.2 \times 10^3\ \mathrm{J}$　　④　$1.2 \times 10^4\ \mathrm{J}$

解答　二原子分子理想気体の内部エネルギーは $U = \dfrac52 nRT$。温度変化は $\Delta T = 600 - 300 = 300\ \mathrm{K}$ なので

$$\Delta U = \frac{5}{2}nR\Delta T = \frac{5}{2} \times 1.0 \times 8.31 \times 300 = 6.2325 \times 10^3\ \mathrm{J} \approx 6.2 \times 10^3\ \mathrm{J}$$

検算：$1\ \mathrm{mol}$、$300\ \mathrm{K}$ の二原子分子の内部エネルギーは $\dfrac52 \times 8.31 \times 300 \approx 6.2 \times 10^3\ \mathrm{J}$。$600\ \mathrm{K}$ では $1.2 \times 10^4\ \mathrm{J}$，差は $6.2 \times 10^3\ \mathrm{J}$。　答　③

中文翻译　题目：将 $1.0\ \mathrm{mol}$ 双原子分子理想气体从 $300\ \mathrm{K}$ 加热到 $600\ \mathrm{K}$。气体常量 $R = 8.31\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$。问：该气体内能增加量 $\Delta U$ 是多少 $\mathrm{J}$？从①～④中选最合适的值。

解答：双原子分子理想气体内能 $U = \dfrac52 nRT$。温度变化 $\Delta T = 600 - 300 = 300\ \mathrm{K}$，所以 $\Delta U = \dfrac52 nR\Delta T = \dfrac52 \times 1.0 \times 8.31 \times 300 = 6.2325 \times 10^3\ \mathrm{J} \approx 6.2 \times 10^3\ \mathrm{J}$。检验：$300\ \mathrm{K}$ 时内能约 $6.2 \times 10^3\ \mathrm{J}$，$600\ \mathrm{K}$ 时约 $1.2 \times 10^4\ \mathrm{J}$，差为 $6.2 \times 10^3\ \mathrm{J}$。答案 ③。

解说　用的是二原子内能公式和“内能只与温度有关”。容易卡在：用单原子的 $\dfrac32$，得到 $3.7 \times 10^3\ \mathrm{J}$（选项②）；或者忘记温度差是 $300\ \mathrm{K}$，直接把 $600$ 代入。选项排除：① 是漏掉 $\dfrac52$ 的 $nR\Delta T$；② 是单原子公式；④ 是 $600\ \mathrm{K}$ 时的总内能；③ 是变化量。

常用推论

• $U = nC_VT$：单原子 $C_V = \dfrac32 R$，二原子 $C_V = \dfrac52 R$。
• $\Delta U = nC_V\Delta T$：理想气体任何过程都成立，只要初末温度确定；不依赖路径。
• 同温、同物质的量时，二原子分子内能是单原子的 $\dfrac53$ 倍。
• 等温变化 $\Delta U = 0$；循环回到原状态 $\Delta U = 0$。
• 由 $U = \dfrac32 nRT = \dfrac32 pV$（单原子）或 $U = \dfrac52 pV$（二原子），可以在给 $p$、$V$ 时直接算内能。

易错点

• 错在哪：对二原子分子也用 $U = \dfrac32 nRT$。 为什么错：二原子分子除了平动还有转动，每个分子多出 $2 \times \dfrac12 kT = kT$ 的转动动能，系数是 $\dfrac52$。 正确做法：先判断分子是单原子还是二原子，再选系数；题目没给时看选项或题干中的气体种类。
• 错在哪：认为内能变化与过程有关，等压和等容升温同样温度时 $\Delta U$ 不同。 为什么错：理想气体内能只由温度决定，初末温度相同则 $\Delta U$ 相同；不同的只是吸收的热量和做功。 正确做法：算 $\Delta U$ 只看初末温度，用 $nC_V\Delta T$；算 $Q$ 才看过程。
• 错在哪：把“内能”和“热量”混为一谈，说“气体含有多少热量”。 为什么错：内能是状态量，热量是过程量；热量只在传热过程中才有意义。 正确做法：说“内能是多少焦耳”“吸收了多少热量”，不说“含有热量”。

直观理解

内能像一个班级的“总精力”：单原子分子的学生只会跑（平动），二原子分子的学生还会转（转动），同样温度下后者每人多一份转动的精力，所以全班总精力更大。温度升高，每个人的平均精力都增加，总精力按比例上升。

关联知识点

• 前置：本书 11.4 节温度与分子平均平动动能；11.2 节状态方程。
• 前置：国内书第 33 章 33.3 节理想气体内能只与温度有关（定性）。
• 后续：本书 11.6 节摩尔比热（$C_V$ 就是从这里来的），11.7 节状态变化的 $\Delta U$，11.8 节断热变化。
• 常一起考：本书第 10 章热力学第一定律；国内书第 33 章 33.3 节。

11.6 モル比熱

说明

モル比熱（摩尔比热）：$1\ \mathrm{mol}$ 的物质温度升高 $1\ \mathrm{K}$ 所吸收的热量。气体在不同过程中吸热不同，所以摩尔比热要分过程定义。

定積モル比熱（定容摩尔比热） $C_V$：体积不变时的摩尔比热。

$$C_V = \frac{1}{n}\frac{Q_V}{\Delta T}$$

定圧モル比熱（定压摩尔比热） $C_p$：压强不变时的摩尔比热。

$$C_p = \frac{1}{n}\frac{Q_p}{\Delta T}$$

对理想气体：

分子种类	$C_V$	$C_p$	$\gamma = \dfrac{C_p}{C_V}$
単原子分子	$\dfrac32 R \approx 12.5\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$	$\dfrac52 R \approx 20.8\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$	$\dfrac53 \approx 1.67$
二原子分子	$\dfrac52 R \approx 20.8\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$	$\dfrac72 R \approx 29.1\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$	$\dfrac75 = 1.40$

マイヤーの関係（迈耶关系）：

$$C_p - C_V = R$$

这个关系对任何理想气体都成立，与单原子、二原子无关。

比熱容量（比热容） $c$：国内书用的“比热容”，单位 $\mathrm{J/(kg \cdot K)}$，是 $1\ \mathrm{kg}$ 物质温度升高 $1\ \mathrm{K}$ 吸收的热量。摩尔比热与比热容的关系是 $C = Mc$，其中 $M$ 是摩尔质量。国内书第 32 章 32.2 节讲的是 $c$，EJU 用的是 $C_V$、$C_p$，单位是 $\mathrm{J/(mol \cdot K)}$，不要混。

使用场景

• 定容加热或冷却，求吸收（放出）的热量 → $Q = nC_V\Delta T$ → 单原子用 $\dfrac32 R$，二原子用 $\dfrac52 R$；同时 $\Delta U = Q$、$W = 0$。
• 定压加热或冷却，求热量、做功或内能变化 → $Q = nC_p\Delta T$，$W' = p\Delta V = nR\Delta T$，$\Delta U = nC_V\Delta T$ → 三者满足 $\Delta U = Q - W'$。

注意点

• $C_V$、$C_p$ 是每摩尔的，单位 $\mathrm{J/(mol \cdot K)}$；国内的比热容 $c$ 是每千克的，单位 $\mathrm{J/(kg \cdot K)}$。题目里出现 $\mathrm{J/(g \cdot K)}$ 时是比热容，不要套 $C_V$。
• $C_p > C_V$，因为定压加热时气体一边升温一边膨胀，吸收的热量有一部分变成了对外做的功；定容加热时体积不变，吸收的热量全部变成内能。
• 对理想气体，$C_p - C_V = R$，不是 $nR$。$n$ 摩尔的差是 $nR$，但摩尔比热本身的差是 $R$。
• $Q = nC\Delta T$ 只适用于该过程中 $C$ 不变的情形。理想气体的 $C_V$、$C_p$ 在常温附近是常数，所以可以直接用。
• 单原子分子的 $C_V = \dfrac32 R$ 与内能公式 $U = \dfrac32 nRT$ 是同一件事的两种写法；二原子同理。

推导

定容摩尔比热：体积不变，气体不做功，外界也不对气体做功，$W = 0$。热力学第一定律 $\Delta U = Q + W$ 给出

$$Q_V = \Delta U = nC_V\Delta T$$

另一方面，单原子理想气体的内能 $U = \dfrac32 nRT$，温度升高 $\Delta T$ 时

$$\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$$

两式比较：

$$nC_V\Delta T = \frac{3}{2}nR\Delta T \quad\Rightarrow\quad C_V = \frac{3}{2}R$$

二原子分子用 $U = \dfrac52 nRT$，同样得到 $C_V = \dfrac52 R$。

定压摩尔比热与迈耶关系：压强不变，气体膨胀 $\Delta V$，外界对气体做的功为

$$W = -p\Delta V = -nR\Delta T$$

（最后一步用了 $pV = nRT$，压强不变时 $p\Delta V = nR\Delta T$。）热力学第一定律：

$$Q_p = \Delta U - W = nC_V\Delta T + nR\Delta T = n(C_V + R)\Delta T$$

而 $Q_p = nC_p\Delta T$，所以

$$C_p = C_V + R$$

关键一步：定压时，吸收的热量要同时支付“升温”和“对外做功”两笔账；定容时只支付“升温”一笔账。两笔账的差正好是 $nR\Delta T$，除以 $n\Delta T$ 就是 $R$。

$\gamma$ 的值：单原子 $\gamma = \dfrac{C_p}{C_V} = \dfrac{5/2}{3/2} = \dfrac53$；二原子 $\gamma = \dfrac{7/2}{5/2} = \dfrac75$。这个量在 11.8 节断热变化的泊松式里出现。

例题

例 1　（场景：定容加热，求吸收热量 → $Q = nC_V\Delta T$）

問題　単原子分子理想気体 $2.0\ \mathrm{mol}$ を，体積一定のまま $300\ \mathrm{K}$ から $400\ \mathrm{K}$ まで加熱した。気体定数を $R = 8.31\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$ とする。

問　このとき気体が吸収した熱量 $Q$ は何 $\mathrm{J}$ か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$1.2 \times 10^3\ \mathrm{J}$　　②　$2.5 \times 10^3\ \mathrm{J}$　　③　$4.2 \times 10^3\ \mathrm{J}$　　④　$5.8 \times 10^3\ \mathrm{J}$

解答　定積変化では $W = 0$ なので，吸収した熱量はすべて内部エネルギーの増加になる。単原子分子の定積モル比熱は $C_V = \dfrac32 R$。$\Delta T = 400 - 300 = 100\ \mathrm{K}$ より

$$Q = nC_V\Delta T = 2.0 \times \frac{3}{2} \times 8.31 \times 100 = 2.493 \times 10^3\ \mathrm{J} \approx 2.5 \times 10^3\ \mathrm{J}$$

検算：$\Delta U = \dfrac32 nR\Delta T = 2.5 \times 10^3\ \mathrm{J}$，$W = 0$ なので $Q = \Delta U$ で一致する。　答　②

中文翻译　题目：将 $2.0\ \mathrm{mol}$ 单原子分子理想气体在体积不变的情况下从 $300\ \mathrm{K}$ 加热到 $400\ \mathrm{K}$。气体常量 $R = 8.31\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$。问：气体吸收的热量 $Q$ 是多少 $\mathrm{J}$？从①～④中选最合适的值。

解答：定容变化中 $W = 0$，吸收的热量全部变为内能增加。单原子分子定容摩尔比热 $C_V = \dfrac32 R$，$\Delta T = 100\ \mathrm{K}$，所以 $Q = nC_V\Delta T = 2.0 \times \dfrac32 \times 8.31 \times 100 = 2.493 \times 10^3\ \mathrm{J} \approx 2.5 \times 10^3\ \mathrm{J}$。检验：$\Delta U = \dfrac32 nR\Delta T = 2.5 \times 10^3\ \mathrm{J}$，$W = 0$，$Q = \Delta U$，一致。答案 ②。

解说　用的是 $Q = nC_V\Delta T$ 和“定容 $W = 0$”。容易卡在：用定压的 $C_p = \dfrac52 R$，得到约 $4.2 \times 10^3\ \mathrm{J}$（选项③）。选项排除：① 是把 $n$ 当成 $1\ \mathrm{mol}$ 的结果；③ 是定压加热的结果；④ 是 $2\ \mathrm{mol}$ 用二原子的 $\dfrac72 R$ 的结果。

例 2　（场景：定压加热，求做功和吸热 → $W' = nR\Delta T$，$Q = nC_p\Delta T$）

問題　二原子分子理想気体 $1.0\ \mathrm{mol}$ を，圧力一定のまま $300\ \mathrm{K}$ から $400\ \mathrm{K}$ まで加熱した。気体定数を $R = 8.31\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$ とする。

問　気体がした仕事 $W'$ と，気体が吸収した熱量 $Q$ の組み合わせとして最も適当なものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

	①	②	③	④
$W'$	$8.3 \times 10^2\ \mathrm{J}$	$8.3 \times 10^2\ \mathrm{J}$	$1.2 \times 10^3\ \mathrm{J}$	$1.7 \times 10^3\ \mathrm{J}$
$Q$	$2.1 \times 10^3\ \mathrm{J}$	$2.9 \times 10^3\ \mathrm{J}$	$2.9 \times 10^3\ \mathrm{J}$	$2.9 \times 10^3\ \mathrm{J}$

解答　定圧変化で気体がした仕事は

$$W' = p\Delta V = nR\Delta T = 1.0 \times 8.31 \times 100 = 8.31 \times 10^2\ \mathrm{J} \approx 8.3 \times 10^2\ \mathrm{J}$$

二原子分子の定圧モル比熱は $C_p = \dfrac72 R$。吸収した熱量は

$$Q = nC_p\Delta T = 1.0 \times \frac{7}{2} \times 8.31 \times 100 = 2.9085 \times 10^3\ \mathrm{J} \approx 2.9 \times 10^3\ \mathrm{J}$$

検算：$\Delta U = nC_V\Delta T = 1.0 \times \dfrac52 \times 8.31 \times 100 \approx 2.1 \times 10^3\ \mathrm{J}$。$Q = \Delta U + W' \approx 2.1 \times 10^3 + 0.83 \times 10^3 = 2.9 \times 10^3\ \mathrm{J}$ で一致する。　答　②

中文翻译　题目：将 $1.0\ \mathrm{mol}$ 双原子分子理想气体在压强不变的情况下从 $300\ \mathrm{K}$ 加热到 $400\ \mathrm{K}$。气体常量 $R = 8.31\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$。问：气体对外做的功 $W'$ 与吸收的热量 $Q$ 的组合，从①～④中选最合适的。

解答：定压变化中气体对外做功 $W' = p\Delta V = nR\Delta T = 1.0 \times 8.31 \times 100 = 8.31 \times 10^2\ \mathrm{J} \approx 8.3 \times 10^2\ \mathrm{J}$。双原子分子定压摩尔比热 $C_p = \dfrac72 R$，吸收热量 $Q = nC_p\Delta T = 1.0 \times \dfrac72 \times 8.31 \times 100 = 2.9085 \times 10^3\ \mathrm{J} \approx 2.9 \times 10^3\ \mathrm{J}$。检验：$\Delta U = nC_V\Delta T \approx 2.1 \times 10^3\ \mathrm{J}$，$Q = \Delta U + W' \approx 2.9 \times 10^3\ \mathrm{J}$，一致。答案 ②。

解说　用的是定压变化的三个量：$W' = nR\Delta T$、$Q = nC_p\Delta T$、$\Delta U = nC_V\Delta T$。容易卡在：把 $Q$ 误算成 $\Delta U$（选项①），忘了定压时还要对外做功；或者把 $W'$ 算成 $nC_V\Delta T$。选项排除：$W'$ 只由 $nR\Delta T$ 决定，③④ 的 $W'$ 不对（③ 用了 $\dfrac32R\Delta T$，④ 用了 $2R\Delta T$），先排除；① 的 $Q = 2.1 \times 10^3\ \mathrm{J}$ 是 $\Delta U$，不是吸热。

常用推论

• $C_p - C_V = R$；$\gamma = \dfrac{C_p}{C_V} = 1 + \dfrac{R}{C_V}$。
• 单原子：$C_V = 12.5$，$C_p = 20.8\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$；二原子：$C_V = 20.8$，$C_p = 29.1\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$。
• 同温升 $\Delta T$、同物质的量时，$\dfrac{Q_p}{Q_V} = \dfrac{C_p}{C_V} = \gamma$。
• 定容：$Q = \Delta U$；定压：$Q = \Delta U + W'$，其中 $W' = nR\Delta T$。
• 摩尔比热与比热容的关系 $C = Mc$；国内书的 $c$ 要乘以摩尔质量才能变成 $C$。

易错点

• 错在哪：定压加热时用 $C_V$ 算热量。 为什么错：定压时气体膨胀对外做功，吸收的热量比定容时多；用 $C_V$ 会少算 $nR\Delta T$。 正确做法：先看过程：体积不变用 $C_V$，压强不变用 $C_p$。
• 错在哪：把迈耶关系写成 $C_p - C_V = nR$。 为什么错：$C_p$、$C_V$ 是每摩尔的量，差是 $R$；$n$ 摩尔的差才是 $nR$。 正确做法：记住 $C_p - C_V = R$，与 $n$ 无关。
• 错在哪：把国内的比热容 $c = 4.2 \times 10^3\ \mathrm{J/(kg \cdot K)}$ 当成摩尔比热代入 $Q = nC\Delta T$。 为什么错：两者单位不同，相差一个摩尔质量；直接代入会使结果差几十倍。 正确做法：题目给 $\mathrm{J/(kg \cdot K)}$ 或 $\mathrm{J/(g \cdot K)}$ 时用 $Q = mc\Delta T$；给 $\mathrm{J/(mol \cdot K)}$ 时用 $Q = nC\Delta T$。

直观理解

把定容加热想成“关着盖子加热”：吸收的热全部用来让分子运动得更快，温度上升得快。定压加热是“活塞可以自由移动”：一边加热一边推开活塞，热量有一部分变成了对外做的功，所以同样升温需要更多的热。$C_p - C_V = R$ 就是这笔“推开活塞的账”。

关联知识点

• 前置：本书 11.5 节内能公式；11.4 节温度与平均动能。
• 前置：国内书第 32 章 32.2 节比热容 $c$；第 33 章 33.3 节热力学第一定律。
• 后续：本书 11.7 节四种状态变化的热量计算，11.8 节断热变化（$\gamma = C_p/C_V$）。
• 常一起考：定压、定容过程的 $Q$、$W$、$\Delta U$ 比较；与 p-V 图结合。

11.7 気体の状態変化

说明

気体の状態変化（气体状态变化）：一定量的理想气体从一个状态变到另一个状态。EJU 常考四种特殊过程：定容变化、定压变化、等温变化、绝热变化。

先约定符号（和本书第 10 章、国内书第 33 章一致）：

• $\Delta U = Q + W$，其中 $W$ 是外界对气体做的功；
• 气体对外做的功记作 $W' = -W$；
• $Q > 0$ 表示吸热，$Q < 0$ 表示放热；
• $\Delta U > 0$ 表示内能增加（理想气体温度升高）。

日本部分教科书写成 $Q = \Delta U + W'$，其中 $W'$ 是气体对外做的功。两式等价，只是把 $W'$ 写在等号右边；做题时先确认题目用的是哪一种，再代符号。

p-V 図（p-V 图）：横轴体积 $V$，纵轴压强 $p$。图线上一点代表一个平衡态，一段线代表一个过程。图线下的面积等于气体对外做的功 $W'$（体积增大时为正，减小时为负）；这是国内书第 33 章 33.3 节讲过的面积法。

四种过程的对照表：

状态变化	不变的量	外界对气体做的功 $W$	吸收的热量 $Q$	内能变化 $\Delta U$	p-V 图上的形状
定積変化（等容）	$V$	$0$	$nC_V\Delta T$	$nC_V\Delta T$	竖直线
定圧変化（等压）	$p$	$-p\Delta V = -nR\Delta T$	$nC_p\Delta T$	$nC_V\Delta T$	水平线
等温変化（等温）	$T$	$-W'$（面积取负）	$W' = -W$	$0$	双曲线 $pV =$ 一定
断熱変化（绝热）	$Q = 0$	$\Delta U = nC_V\Delta T$	$0$	$nC_V\Delta T$	比等温线更陡的曲线

等温线与断热线的区别：从同一状态出发膨胀，等温线满足 $pV =$ 一定；断热线满足 $pV^\gamma =$ 一定（11.8 节）。因为 $\gamma > 1$，断热线下降得更快，在等温线的下方。绝热膨胀时气体对外做功、内能减少、温度降低，所以压强比等温膨胀时更低。

使用场景

• 题目给 p-V 图，判断各段是什么过程，比较功、热、内能的变化 → 看图线的形状（竖直、水平、双曲线、更陡的曲线）→ 用表定 $W$、$Q$、$\Delta U$ 的符号和大小；面积给功，温度看 $pV$。
• 题目给定过程（文字或图）要求计算 $Q$、$W$、$\Delta U$ 中的一个或几个 → 先判断过程 → 定容、定压用 $nC_V\Delta T$、$nC_p\Delta T$，等温用 $\Delta U = 0$，断热用 $Q = 0$，再用 $\Delta U = Q + W$ 补全。

注意点

• 等温变化不是“没有热交换”：等温膨胀时 $\Delta U = 0$，但气体对外做功，必须吸收同样多的热量，$Q = W'$。断热变化才是 $Q = 0$，此时温度一定变。
• 定圧变化的功是 $W = -p\Delta V$，不是 $W = p\Delta V$。$p\Delta V$ 是气体对外做的功 $W'$，符号相反。国内书里“气体对外做功 $200\ \mathrm{J}$“要代成 $W = -200\ \mathrm{J}$。
• 定積变化 $W = 0$，吸收的热量全部变成内能：$Q = \Delta U$。
• 等温变化的功没有简单的 $p\Delta V$ 公式（压强在变），EJU 题通常用 p-V 图面积或只问符号；高中不要求 $pV$ 曲线的积分公式。
• 循环过程回到原状态，$\Delta U = 0$，所以 $Q = -W = W'_{\text{净}}$；净功的绝对值等于闭合图线围成的面积，顺时针为正、逆时针为负。
• 只有理想气体才能用 $\Delta U = nC_V\Delta T$ 判断内能变化；实际气体、液体、固体不适用。

推导

p-V 图面积为什么是功：设气体压强为 $p$，活塞面积为 $S$，气体推动活塞移动一小段 $\Delta l$。气体对活塞的力 $F = pS$，做的功

$$W' = F\Delta l = pS\Delta l = p\Delta V$$

如果压强在变化，把整个过程分成许多小段，每一小段内压强几乎不变，这一小段的功是 $p\Delta V$，就是 p-V 图上一个窄矩形的面积；所有窄矩形加起来，就是图线下的面积。这就是“面积 = 气体对外做的功”的来历。外界对气体做的功是 $W = -W'$。

四种过程的关系：

• 定積：$\Delta V = 0$，所以 $W' = 0$、$W = 0$。$\Delta U = Q$，$Q = nC_V\Delta T$。
• 定圧：$W' = p\Delta V = nR\Delta T$，$W = -nR\Delta T$。$Q = nC_p\Delta T$，$\Delta U = nC_V\Delta T$，且 $Q = \Delta U + W'$。
• 等温：理想气体内能只与温度有关，$\Delta U = 0$。由 $\Delta U = Q + W$ 得 $Q = -W = W'$：气体对外做多少功，就从外界吸收多少热。
• 断熱：$Q = 0$。由 $\Delta U = Q + W$ 得 $\Delta U = W$：外界对气体做的功全部变成内能；气体对外做功时，内能减少，温度降低。

等温线与断热线哪个更陡：等温膨胀时 $p = \dfrac{nRT}{V}$，$T$ 不变，$p \propto \dfrac1V$。断热膨胀时，气体对外做功、内能减少、温度降低，$p$ 除了随 $V$ 增大而减小，还因为 $T$ 降低而额外减小，所以断热线下降得更快。定量关系是 $pV^\gamma =$ 一定，$\gamma > 1$，下一节给出。

循环过程：回到初态时 $\Delta U = 0$（内能是状态量），所以 $Q = -W = W'_{\text{净}}$。闭合图线围成的面积等于净功的大小；顺时针循环气体净对外做功，逆时针循环外界净对气体做功。

例题

例 1　（场景：p-V 图上的等压膨胀，求功和热量 → 面积求 $W'$，$Q = nC_p\Delta T$）

問題　図のように，単原子分子理想気体を状態 A（$V = 1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^3}$，$p = 1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$）から状態 B（$V = 3.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^3}$，$p = 1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$）まで等圧膨張させた。気体定数を $R = 8.31\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$ とする。

問　気体がした仕事 $W'$ と，気体が吸収した熱量 $Q$ の組み合わせとして最も適当なものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

	①	②	③	④
$W'$	$2.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$	$2.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$	$3.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$	$5.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$
$Q$	$3.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$	$5.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$	$5.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$	$2.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$

解答　等圧膨張なので，気体がした仕事は p-V 図の矩形の面積：

$$W' = p\Delta V = 1.0 \times 10^5 \times (3.0 - 1.0) \times 10^{-3} = 2.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$$

単原子分子の定圧モル比熱は $C_p = \dfrac52 R$。$\Delta T$ は状態方程式から

$$\Delta T = \frac{p\Delta V}{nR}$$

なので，$n$ は約分されて

$$Q = nC_p\Delta T = n \cdot \frac{5}{2}R \cdot \frac{p\Delta V}{nR} = \frac{5}{2}p\Delta V = \frac{5}{2} \times 2.0 \times 10^2 = 5.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$$

検算：$\Delta U = \dfrac32 p\Delta V = 3.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$，$Q = \Delta U + W' = 3.0 \times 10^2 + 2.0 \times 10^2 = 5.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$ で一致する。　答　②

中文翻译　题目：如图，将单原子分子理想气体从状态 A（$V = 1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^3}$，$p = 1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$）等压膨胀到状态 B（$V = 3.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^3}$，$p = 1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$）。气体常量 $R = 8.31\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$。问：气体对外做的功 $W'$ 与吸收的热量 $Q$ 的组合，从①～④中选最合适的。

解答：等压膨胀，气体对外做功等于 p-V 图中矩形的面积：$W' = p\Delta V = 1.0 \times 10^5 \times 2.0 \times 10^{-3} = 2.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$。单原子分子定压摩尔比热 $C_p = \dfrac52 R$，由状态方程 $\Delta T = \dfrac{p\Delta V}{nR}$，得 $Q = nC_p\Delta T = \dfrac52 p\Delta V = 5.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$。检验：$\Delta U = \dfrac32 p\Delta V = 3.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$，$Q = \Delta U + W' = 5.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$，一致。答案 ②。

解说　用到的是“p-V 图面积 = 气体对外做的功”和定压热量 $Q = nC_p\Delta T$。容易卡在：把 $W'$ 和 $W$ 的符号弄反，或者用 $C_V$ 算 $Q$ 得 $3.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$（选项①）。选项排除：$W'$ 的面积只与 $p\Delta V$ 有关，③④ 的 $W'$ 不对；① 的 $Q = \Delta U$，是定容的算法；② 同时满足 $W'$ 和 $Q$。

例 2　（场景：等温压缩，判断 $\Delta U$、$Q$、$W$ 的符号 → $\Delta U = 0$，$Q = W$）

問題　理想気体を等温圧縮した。このときの内部エネルギーの変化 $\Delta U$，気体が放出する熱量 $Q_{\text{out}}$，外界が気体にする仕事 $W$ の関係として正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$\Delta U > 0$，$Q_{\text{out}} = W + \Delta U$

②　$\Delta U = 0$，$Q_{\text{out}} = W$

③　$\Delta U = 0$，$Q_{\text{out}} < W$

④　$\Delta U < 0$，$Q_{\text{out}} = W$

解答　理想気体の内部エネルギーは温度だけで決まる。等温変化では温度が変わらないので

$$\Delta U = 0$$

熱力学第 1 法則 $\Delta U = Q + W$ より

$$Q = -W$$

等温圧縮では外界が気体に正の仕事をする（$W > 0$），したがって $Q < 0$，すなわち気体は熱を放出する。放出する熱量を $Q_{\text{out}} = -Q$ と書けば

$$Q_{\text{out}} = W$$

検算：圧縮で外界がした仕事がすべて熱として外へ出るので，内部エネルギーは変わらない。　答　②

中文翻译　题目：将理想气体等温压缩。此时内能变化 $\Delta U$、气体放出的热量 $Q_{\text{out}}$、外界对气体做的功 $W$ 之间的关系，从①～④中选一个正确的。

解答：理想气体内能只由温度决定，等温变化温度不变，所以 $\Delta U = 0$。由热力学第一定律 $\Delta U = Q + W$ 得 $Q = -W$。等温压缩时外界对气体做正功（$W > 0$），所以 $Q < 0$，即气体放热。放出热量 $Q_{\text{out}} = -Q = W$。检验：压缩时外界做的功全部作为热量放出，内能不变。答案 ②。

解说　用到的是“理想气体内能只看温度”和热力学第一定律。容易卡在：认为等温就是没有热交换，把等温和绝热混为一谈。选项排除：等温 $\Delta U = 0$，①④ 先排除；剩下 ②③ 的分歧在 $Q_{\text{out}}$ 与 $W$ 的大小，第一定律给的是等号，不是不等号，③ 错。另一种解法：用能量记账，外界做的功 $W$ 全部以热的形式离开气体，所以放出的热正好等于 $W$，不用列式也能判断。

常用推论

• 等温：$\Delta U = 0$，$Q = W' = -W$；气体对外做功多少，就吸收多少热。
• 定積：$W = 0$，$Q = \Delta U = nC_V\Delta T$。
• 定圧：$W = -p\Delta V$，$W' = p\Delta V = nR\Delta T$，$Q = nC_p\Delta T$，$\Delta U = nC_V\Delta T$。
• 断熱：$Q = 0$，$\Delta U = W = nC_V\Delta T$；气体对外做功时内能减少、温度降低。
• 循环：$\Delta U = 0$，$Q = W'_{\text{净}}$；净功等于闭合图线围成的面积，顺时针为正、逆时针为负。
• p-V 图上，等温线是 $pV =$ 一定的双曲线，断热线是 $pV^\gamma =$ 一定的更陡曲线；定压是水平线，定积是竖直线。

易错点

• 错在哪：把等温变化说成“不吸热也不放热”。 为什么错：等温变化只是温度不变、内能不变；气体膨胀对外做功时必须吸热，压缩时外界做功、气体放热。不吸热也不放热的是断热变化。 正确做法：等温看 $\Delta U = 0$，断热看 $Q = 0$，两者不要混。
• 错在哪：定压膨胀时把外界对气体做的功写成 $W = p\Delta V > 0$。 为什么错：气体膨胀时气体对外做功，外界对气体做负功；$p\Delta V$ 是气体对外做的功 $W'$。 正确做法：先判断体积增大还是减小；增大时 $W < 0$，$W' > 0$。
• 错在哪：认为断热膨胀时温度不变，因为“没有热交换”。 为什么错：断热时 $Q = 0$，但气体对外做功，$\Delta U = W < 0$，内能减少，温度降低。没有热交换不等于没有能量变化。 正确做法：断热过程用 $\Delta U = W$ 和 $\Delta U = nC_V\Delta T$ 判断温度变化。

直观理解

p-V 图是气体状态的“地图”：竖着走是定容，横着走是定压，沿着双曲线走是等温，沿着更陡的曲线走是断热。图线下的面积是气体对外做的功，图线离原点越远（$pV$ 越大）温度越高。四种过程的热、功、内能变化，都可以从这张地图上读出来。

关联知识点

• 前置：本书 11.5 节内能公式，11.6 节摩尔比热；11.2 节状态方程。
• 前置：国内书第 32 章 32.4–32.7 节气体实验定律和图像；第 33 章 33.3 节热力学第一定律、p-V 图面积。
• 后续：本书 11.8 节断热变化和泊松式。
• 常一起考：本书第 10 章热与温度；p-V 图循环、热机效率（第 10 章）。

11.8 断熱変化とポアソンの式

说明

断熱変化（绝热变化）：气体与外界没有热交换的过程，$Q = 0$。绝热容器中进行的缓慢过程，或进行得很快、来不及交换热量的过程（如打气筒压缩空气），都可以看成断热变化。

由热力学第一定律 $\Delta U = Q + W$，断热时

$$\Delta U = W$$

外界对气体做的功全部变成内能；气体对外做功时，内能减少。

ポアソンの式（泊松公式）：理想气体准静态断热变化中，压强和体积满足

$$pV^\gamma = \text{一定}$$

其中 $\gamma = \dfrac{C_p}{C_V}$ 是比热比。由 $pV = nRT$ 还可以写成

$$TV^{\gamma-1} = \text{一定}, \qquad T^\gamma p^{1-\gamma} = \text{一定}$$

$\gamma$ 的值：单原子分子 $\gamma = \dfrac53 \approx 1.67$；二原子分子 $\gamma = \dfrac75 = 1.40$。

断热线与等温线：从同一状态出发，断热线比等温线陡。等温膨胀时温度不变；断热膨胀时气体对外做功、内能减少、温度降低，压强下降得更多。所以断热线在等温线的下方。

适用条件：泊松公式只适用于准静态（可逆）的断热变化，即过程进行得足够慢，气体在每一步都接近平衡态（压强、温度在容器内均匀）。气体向真空自由膨胀不是准静态过程，不能用 $pV^\gamma =$ 一定。

使用场景

• 题目给断热变化前后的体积（或压强），求另一状态的压强、体积或温度 → 断热模型 → 用 $pV^\gamma =$ 一定或 $TV^{\gamma-1} =$ 一定；先判断分子是单原子还是二原子，选对 $\gamma$。
• 题目给断热压缩或膨胀，求外界做的功、内能变化、温度变化 → $Q = 0$ → $\Delta U = W = nC_V\Delta T$；温度变化由 $\Delta U$ 或 $TV^{\gamma-1}$ 求。

注意点

• 泊松公式里的 $\gamma$ 由分子种类决定：单原子 $\dfrac53$，二原子 $\dfrac75$。题目没说时，看气体名称（He、Ar 是单原子；H$_2$、O$_2$、N$_2$ 是二原子）。
• 断热变化中 $Q = 0$，但 $\Delta U$ 不一定为零：断热压缩温度升高，断热膨胀温度降低。不要把“绝热”理解成“温度不变”。
• 不要把断热过程和等温过程混用：等温用 $pV =$ 一定，断热用 $pV^\gamma =$ 一定。两式的区别只在指数 $\gamma$。
• 泊松公式不能用于自由膨胀（气体向真空膨胀）。自由膨胀时 $W = 0$、$Q = 0$，所以 $\Delta U = 0$，理想气体温度不变；但过程不是准静态，中间压强没有定义，不能用 $pV^\gamma$。
• 断热膨胀时气体对外做功，$W' > 0$、$W < 0$、$\Delta U < 0$；断热压缩时反过来。符号要和 11.7 节的约定一致。
• 计算温度比时，用 $TV^{\gamma-1} =$ 一定更方便；计算压强比时，用 $pV^\gamma =$ 一定。

推导

说明：泊松公式的严格推导要用到微分和积分（把过程分成无穷多小段，对 $\mathrm{d}U = -p\,\mathrm{d}V$ 积分），超出高中和 EJU 的要求。本书按 spec 只给出结论和使用条件，不推导。下面给一个帮助理解的思路和检验。

思路（不要求掌握）：断热过程中 $Q = 0$，所以 $\Delta U = W$。取一小段过程，外界对气体做的功 $W = -p\Delta V$，内能变化 $\Delta U = nC_V\Delta T$，于是

$$nC_V\Delta T = -p\Delta V$$

再用 $pV = nRT$ 把 $\Delta T$ 换成 $\Delta(pV)$，把无穷多小段加起来（积分），就得到

$$pV^\gamma = \text{一定}, \qquad \gamma = \frac{C_p}{C_V}$$

这一步的数学超出范围，记住结论即可。

用等温极限检验：如果 $\gamma = 1$，泊松式变成 $pV =$ 一定，正是等温线。实际气体的 $\gamma > 1$，所以断热线比等温线陡：从同一点出发膨胀同样的体积，断热线的压强更低。这个极限检验可以帮助记住“断热更陡”。

由 $pV^\gamma$ 推出另外两式：由 $pV = nRT$ 得 $p = \dfrac{nRT}{V}$，代入 $pV^\gamma =$ 一定：

$$\frac{nRT}{V} \cdot V^\gamma = nRT \cdot V^{\gamma-1} = \text{一定}$$

$nR$ 是常数，所以 $TV^{\gamma-1} =$ 一定。同理，由 $V = \dfrac{nRT}{p}$ 代入 $pV^\gamma$：

$$p\left(\frac{nRT}{p}\right)^\gamma = \text{一定} \quad\Rightarrow\quad p^{1-\gamma}T^\gamma = \text{一定}$$

断热膨胀为什么降温：断热膨胀时气体对外做功（$W' > 0$），但 $Q = 0$，所以内能减少（$\Delta U = -W' < 0$），温度降低。微观上看，分子撞在向外移动的活塞上，反弹后的速率变小，平均动能减小。

例题

例 1　（场景：断热膨胀，给体积比求温度和压强比 → $TV^{\gamma-1}$、$pV^\gamma$）

問題　単原子分子理想気体 $1.0\ \mathrm{mol}$ を，温度 $300\ \mathrm{K}$，体積 $V$ の状態から断熱膨張させ，体積を $8V$ にした。単原子分子の比熱比を $\gamma = \dfrac53$ とする。

問　温度 $T'$ と，圧力の比 $\dfrac{p'}{p}$ の組み合わせとして正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

	①	②	③	④
$T'$	$75\ \mathrm{K}$	$75\ \mathrm{K}$	$150\ \mathrm{K}$	$300\ \mathrm{K}$
$\dfrac{p'}{p}$	$\dfrac{1}{32}$	$\dfrac{1}{8}$	$\dfrac{1}{32}$	$\dfrac{1}{8}$

解答　断熱変化では $TV^{\gamma-1} =$ 一定。$\gamma - 1 = \dfrac53 - 1 = \dfrac23$ なので

$$T' = T\left(\frac{V}{8V}\right)^{2/3} = 300 \times \left(\frac{1}{8}\right)^{2/3} = 300 \times \frac{1}{4} = 75\ \mathrm{K}$$

圧力は $pV^\gamma =$ 一定より

$$\frac{p'}{p} = \left(\frac{V}{8V}\right)^{5/3} = \left(\frac{1}{8}\right)^{5/3} = \frac{1}{32}$$

検算：$p'V' = nRT'$ より $\dfrac{p'}{p} \cdot \dfrac{V'}{V} = \dfrac{T'}{T}$。左辺は $\dfrac{1}{32} \times 8 = \dfrac14$，右辺は $\dfrac{75}{300} = \dfrac14$ で一致する。　答　①

中文翻译　题目：将 $1.0\ \mathrm{mol}$ 单原子分子理想气体从温度 $300\ \mathrm{K}$、体积 $V$ 的状态绝热膨胀到体积 $8V$。单原子分子比热比 $\gamma = \dfrac53$。问：温度 $T'$ 与压强比 $\dfrac{p'}{p}$ 的组合，从①～④中选正确的。

解答：绝热变化中 $TV^{\gamma-1} =$ 一定，$\gamma - 1 = \dfrac23$，所以 $T' = 300 \times \left(\dfrac{1}{8}\right)^{2/3} = 300 \times \dfrac14 = 75\ \mathrm{K}$。由 $pV^\gamma =$ 一定，$\dfrac{p'}{p} = \left(\dfrac{1}{8}\right)^{5/3} = \dfrac{1}{32}$。检验：由 $p'V' = nRT'$，$\dfrac{p'}{p} \cdot \dfrac{V'}{V} = \dfrac{T'}{T}$；左边 $\dfrac{1}{32} \times 8 = \dfrac14$，右边 $\dfrac{75}{300} = \dfrac14$，一致。答案 ①。

解说　用到的是泊松式的两个变形：$TV^{\gamma-1}$ 和 $pV^\gamma$。容易卡在：指数用错，把 $\gamma - 1$ 写成 $\gamma$，或者把 $\left(\dfrac18\right)^{2/3}$ 算成 $\dfrac18$。选项排除：$T'$ 只由 $TV^{\gamma-1}$ 决定，③④ 先排除；剩下 ①② 的 $T'$ 都是 $75\ \mathrm{K}$，压强比用 $pV^\gamma$，体积变为 $8$ 倍、$\gamma = \dfrac53$，指数 $\dfrac53$ 给出 $\dfrac{1}{32}$，不是 $\dfrac18$，② 排除。

例 2　（场景：断热压缩，求外界做的功 → $Q = 0$，$W = \Delta U = nC_V\Delta T$）

問題　単原子分子理想気体 $2.0\ \mathrm{mol}$ を断熱圧縮し，温度を $300\ \mathrm{K}$ から $400\ \mathrm{K}$ にした。気体定数を $R = 8.31\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$ とする。

問　気体がされた仕事 $W$ は何 $\mathrm{J}$ か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$0\ \mathrm{J}$　　②　$2.5 \times 10^3\ \mathrm{J}$　　③　$-2.5 \times 10^3\ \mathrm{J}$　　④　$4.2 \times 10^3\ \mathrm{J}$

解答　断熱変化では $Q = 0$。熱力学第 1 法則 $\Delta U = Q + W$ より

$$W = \Delta U$$

単原子分子理想気体の内部エネルギーは $U = \dfrac32 nRT$ なので

$$W = \Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T = \frac{3}{2} \times 2.0 \times 8.31 \times (400 - 300) = 2.493 \times 10^3\ \mathrm{J} \approx 2.5 \times 10^3\ \mathrm{J}$$

検算：断熱圧縮では外界が気体に仕事をするので $W > 0$，温度が上がるので $\Delta U > 0$，符号も一致する。　答　②

中文翻译　题目：将 $2.0\ \mathrm{mol}$ 单原子分子理想气体绝热压缩，温度从 $300\ \mathrm{K}$ 升到 $400\ \mathrm{K}$。气体常量 $R = 8.31\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$。问：外界对气体做的功 $W$ 是多少 $\mathrm{J}$？从①～④中选最合适的值。

解答：绝热变化中 $Q = 0$，由热力学第一定律 $\Delta U = Q + W$ 得 $W = \Delta U$。单原子分子理想气体内能 $U = \dfrac32 nRT$，所以 $W = \Delta U = \dfrac32 nR\Delta T = \dfrac32 \times 2.0 \times 8.31 \times 100 = 2.493 \times 10^3\ \mathrm{J} \approx 2.5 \times 10^3\ \mathrm{J}$。检验：绝热压缩时外界对气体做正功，温度升高、$\Delta U > 0$，符号一致。答案 ②。

解说　用到的是断热 $Q = 0$ 和 $\Delta U = nC_V\Delta T$。容易卡在：认为断热就是不做功，选 $0$；或者把“气体被做的功”和“气体对外做的功”符号弄反，选 $-2.5 \times 10^3\ \mathrm{J}$。选项排除：断热压缩温度升高，内能一定增加，$W = \Delta U > 0$，①③ 排除；④ 是二原子分子用 $\dfrac52$ 的结果。

常用推论

• $pV^\gamma =$ 一定；$TV^{\gamma-1} =$ 一定；$T^\gamma p^{1-\gamma} =$ 一定。三式等价，按已知量和未知量选用。
• 断热膨胀：$V$ 增大 → $T$ 降低、$p$ 降低；断热压缩：$V$ 减小 → $T$ 升高、$p$ 升高。
• 同一状态下，断热线的斜率比等温线陡，陡的倍率与 $\gamma$ 有关；$\gamma = 1$ 时退化为等温线。
• 断热过程的功：$W = \Delta U = nC_V\Delta T$；气体对外做的功 $W' = -W = -nC_V\Delta T$。
• 单原子 $\gamma = \dfrac53$，二原子 $\gamma = \dfrac75$；$\gamma$ 越大，断热线越陡。

易错点

• 错在哪：断热变化用 $pV =$ 一定。 为什么错：$pV =$ 一定是等温变化的规律；断热时温度在变，必须用 $pV^\gamma =$ 一定。 正确做法：先看题目说的是等温还是断热，再选指数：等温指数 $1$，断热指数 $\gamma$。
• 错在哪：把泊松公式用在气体向真空自由膨胀上。 为什么错：自由膨胀不是准静态过程，中间状态没有统一的压强和温度，$pV^\gamma$ 的推导前提不成立；自由膨胀时 $W = 0$、$Q = 0$，温度不变。 正确做法：只有“缓慢的断热压缩或膨胀”才能用泊松式；自由膨胀单独用第一定律判断。
• 错在哪：认为断热变化温度不变。 为什么错：断热只是 $Q = 0$，内能仍可通过做功改变；膨胀降温、压缩升温。 正确做法：用 $\Delta U = W$ 和 $\Delta U = nC_V\Delta T$ 判断温度变化方向。
• 错在哪：二原子气体用 $\gamma = \dfrac53$。 为什么错：$\gamma = \dfrac{C_p}{C_V}$，二原子是 $\dfrac{7/2}{5/2} = \dfrac75$，单原子才是 $\dfrac53$。 正确做法：先判断分子种类，再选 $\gamma$。

直观理解

给自行车打气时，气筒会发热：活塞快速压缩空气，来不及散热，外界做的功变成内能，温度升高。喷雾罐用久了会变凉：气体迅速膨胀，对外做功，内能减少，温度降低。断热线在 p-V 图上比等温线陡，就是“膨胀时还要额外降温”的几何表现。

关联知识点

• 前置：本书 11.6 节摩尔比热和 $\gamma$；11.7 节四种状态变化、热力学第一定律。
• 前置：国内书第 33 章 33.2 节绝热过程 $\Delta U = W$；33.3 节热力学第一定律。
• 后续：本书第 10 章热机、热效率（断热过程在循环里出现）。
• 常一起考：p-V 图上等温线与断热线的比较；断热压缩求功和温度变化。

11.9 题型与答法

気体の性質在 EJU 里出现在大問 Ⅱ（熱）中，和「熱と温度・熱と仕事」（第 10 章）一起考。据 20 回公开过去问，本章内容共出现 22 次（每回平均 1.1 次）：其中 2 题的 6 回，1 题的 10 回，没有出现的 4 回。形式以数值计算和 p-V 图读图为主，也有分子运动论的概念选择题和字母式题。数值题的数据和选项都是两位有效数字，$R = 8.31\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$ 通常在「ただし」句里给出。

两分钟做法：

1. 先判断过程：定积、定压、等温、断热，各对应一组公式；p-V 图看线的形状。
2. 温度一律换成 $\mathrm{K}$；压强、体积统一成 $\mathrm{Pa}$、$\mathrm{m^3}$。
3. 求内能变化用 $nC_V\Delta T$（单原子 $\dfrac32$，二原子 $\dfrac52$）；求功看面积或 $p\Delta V$；求热量用第一定律补。
4. 字母式题用量纲和特殊值排除：体积趋于零、温度相同、$\gamma = 1$ 等极限情形。

問題 1　（状態方程式の数値計算：容器の圧力）

容積 $2.0 \times 10^{-2}\ \mathrm{m^3}$ の容器に，窒素 $1.0\ \mathrm{mol}$ を封入し，温度を $27\ ^\circ\mathrm{C}$ に保った。ただし，気体定数を $R = 8.31\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$ とする。

問　容器内の圧力 $p$ は何 $\mathrm{Pa}$ か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$6.2 \times 10^4\ \mathrm{Pa}$　　②　$1.2 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$　　③　$2.5 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$　　④　$3.7 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$

解答　温度は $T = 27 + 273 = 300\ \mathrm{K}$。状態方程式 $pV = nRT$ より

$$p = \frac{nRT}{V} = \frac{1.0 \times 8.31 \times 300}{2.0 \times 10^{-2}} = 1.2465 \times 10^5\ \mathrm{Pa} \approx 1.2 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$$

検算：$1\ \mathrm{mol}$ を $20\ \mathrm{L}$ に入れたときの圧力は，標準状態の $22.4\ \mathrm{L}$ より少し高く，温度も $300\ \mathrm{K}$ と高いので，$1\ \mathrm{atm}$ より少し大きい $1.2 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$ 程度が妥当。　答　②

中文翻译　题目：在容积 $2.0 \times 10^{-2}\ \mathrm{m^3}$ 的容器中封入 $1.0\ \mathrm{mol}$ 氮气，保持温度 $27\ ^\circ\mathrm{C}$。气体常量 $R = 8.31\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$。问：容器内压强 $p$ 是多少 $\mathrm{Pa}$？从①～④中选最合适的值。

解答：温度 $T = 27 + 273 = 300\ \mathrm{K}$。由状态方程 $pV = nRT$，$p = \dfrac{nRT}{V} = \dfrac{1.0 \times 8.31 \times 300}{2.0 \times 10^{-2}} = 1.2465 \times 10^5\ \mathrm{Pa} \approx 1.2 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$。检验：$1\ \mathrm{mol}$ 气体装在 $20\ \mathrm{L}$ 中，比标准状态的 $22.4\ \mathrm{L}$ 略小，温度 $300\ \mathrm{K}$ 又高于 $273\ \mathrm{K}$，所以压强应略大于 $1\ \mathrm{atm}$，约 $1.2 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$ 合理。答案 ②。

解说　两分钟做法：看到“容器容积 + 物质的量 + 温度”直接写 $p = \dfrac{nRT}{V}$，温度先换 K。选项排除：$1\ \mathrm{atm} \approx 1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$，$20\ \mathrm{L}$ 比 $22.4\ \mathrm{L}$ 小、$300\ \mathrm{K}$ 比 $273\ \mathrm{K}$ 高，两个因素都使压强略大于 $1\ \mathrm{atm}$，② 最接近；① 小于大气压，③④ 是 ${10^5}$ 的两倍以上，数量级不符。

問題 2　（p-V 図の矩形循環：正味の仕事と熱）

図のように，理想気体が A → B → C → D → A の順に 1 循環した。各状態の圧力と体積は図のとおりである。

問　1 循環で気体がする仕事 $W'$ と，気体が正味に吸収する熱量 $Q$ の組み合わせとして正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$W' = 1.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$，$Q = 1.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$

②　$W' = -1.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$，$Q = -1.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$

③　$W' = 1.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$，$Q = -1.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$

④　$W' = -1.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$，$Q = 1.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$

解答　1 循環して元の状態に戻るので，内部エネルギーの変化は $\Delta U = 0$。熱力学第 1 法則 $\Delta U = Q + W$ より $Q = -W = W'$。すなわち，吸収した熱の総和は気体がした仕事に等しい。

図の循環 A → B → C → D → A は反時計回りである。p-V 図の閉曲線の面積は

$$(2.0 - 1.0) \times 10^{-3} \times (2.0 - 1.0) \times 10^5 = 1.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$$

反時計回りでは，気体がした仕事は負になる（外界が正味で気体に仕事をする）。よって

$$W' = -1.0 \times 10^2\ \mathrm{J}, \qquad Q = W' = -1.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$$

検算：$Q < 0$ は，1 循環で正味では熱を放出することを意味する。外界がした仕事 $1.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$ が熱として外へ出る，と読める。　答　②

中文翻译　题目：如图，理想气体按 A → B → C → D → A 的顺序完成一次循环，各状态的压强和体积如图。问：一次循环中气体对外做的功 $W'$ 与吸收热量的总和 $Q$ 的组合，从①～④中选正确的。

解答：一次循环回到原状态，内能变化 $\Delta U = 0$。由热力学第一定律 $\Delta U = Q + W$ 得 $Q = -W = W'$，即净吸收的热量等于气体对外做的功。图中 A → B → C → D → A 是逆时针方向。p-V 图闭合曲线围成的面积是 $(2.0 - 1.0) \times 10^{-3} \times (2.0 - 1.0) \times 10^5 = 1.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$。逆时针时气体对外做的功为负（外界净对气体做功），所以 $W' = -1.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$，$Q = W' = -1.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$。检验：$Q < 0$ 表示一次循环净放热；外界做的 $1.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$ 功以热的形式放出。答案 ②。

解说　两分钟做法：循环题先写 $\Delta U = 0$，于是 $Q = W'$，两个量一定同号；再看面积和绕行方向。选项排除：③④ 的 $W'$ 与 $Q$ 异号，与 $\Delta U = 0$ 矛盾，先排除；剩下 ①② 只差符号，看方向：A → B → C → D → A 是逆时针，气体净对外做功为负，② 正确。另一种解法：逐段算功——A→B 等压膨胀 $W' = p\Delta V = +1.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$，B→C 定容 $W' = 0$，C→D 等压压缩 $W' = -2.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$，D→A 定容 $W' = 0$，合计 $-1.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$；再对每段求热量相加，得同样的净热。逐段法适合题目还问某一段吸放热的情形。

問題 3　（分子運動論：同温の単原子・二原子気体の比較）

同じ温度，同じ体積の容器に，単原子分子理想気体のヘリウムと二原子分子理想気体の酸素をそれぞれ $1.0\ \mathrm{mol}$ ずつ入れた。

問　分子の平均運動エネルギー，圧力，内部エネルギーについて，正しい記述を次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　平均運動エネルギーも圧力も等しいが，内部エネルギーは酸素の方が大きい。

②　平均運動エネルギーは等しいが，圧力はヘリウムの方が大きい。

③　平均運動エネルギーも圧力も内部エネルギーも等しい。

④　平均運動エネルギーは酸素の方が大きく，内部エネルギーも酸素の方が大きい。

解答　温度が同じなので，分子の平均運動エネルギー $\dfrac32 kT$ は等しい。物質量と体積も同じで，状態方程式 $pV = nRT$ より圧力も等しい。

内部エネルギーは，単原子分子では $U = \dfrac32 nRT$，二原子分子では $U = \dfrac52 nRT$。同じ $n$、同じ $T$ なら，二原子分子の酸素の方が $\dfrac53$ 倍大きい。

よって，平均運動エネルギーと圧力は等しく，内部エネルギーは酸素の方が大きい。　答　①

中文翻译　题目：在温度相同、体积相同的容器中，分别放入 $1.0\ \mathrm{mol}$ 单原子分子理想气体氦和 $1.0\ \mathrm{mol}$ 双原子分子理想气体氧。问：关于分子平均动能、压强、内能，从①～④中选出正确的说法。

解答：温度相同，所以分子平均平动动能 $\dfrac32 kT$ 相同。物质的量和体积也相同，由状态方程 $pV = nRT$，压强也相同。内能方面，单原子分子 $U = \dfrac32 nRT$，双原子分子 $U = \dfrac52 nRT$；同样的 $n$、同样的 $T$，双原子分子的氧是氦的 $\dfrac53$ 倍。所以平均动能和压强相同，内能氧更大。答案 ①。

解说　两分钟做法：先分开三件事——平均平动动能只看 $T$；压强看 $n$、$T$、$V$；内能还要看分子种类（$\dfrac32$ 还是 $\dfrac52$）。选项排除：温度相同，平均动能相同，④ 先排除；同 $n$、同 $V$、同 $T$ 压强相同，② 排除；内能二原子更大，③ 排除。这道题把 11.4、11.5 两节串起来，是本章最常见的概念组合题。

11.10 术语与题干用语

日文	读音	中文	例句或说明
理想気体	りそうきたい	理想气体	「理想気体とみなしてよい。」
状態方程式	じょうたいほうていしき	状态方程	「理想気体の状態方程式より」
物質量	ぶっしつりょう	物质的量	「物質量 $n$ は何 mol か。」
モル	もる	摩尔	「$2.0\ \mathrm{mol}$ の気体」
気体定数	きたいていすう	气体常量	「気体定数を $R = 8.31\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$ とする。」
ボイルの法則	ぼいるのほうそく	玻意耳定律	「温度一定のとき，ボイルの法則が成り立つ。」
シャルルの法則	しゃるるのほうそく	查理定律	「体積一定のとき，シャルルの法則より」
ボイル・シャルルの法則	ぼいる・しゃるるのほうそく	玻意耳-查理定律	「ボイル・シャルルの法則より，$\dfrac{pV}{T}$ は一定。」
気体分子運動論	きたいぶんしうんどうろん	气体分子运动论	「気体分子運動論のモデルでは」
分子数密度	ぶんしすうみつど	分子数密度	「分子数密度 $n = \dfrac{N}{V}$」
二乗平均速度	にじょうへいきんそくど	方均根速度	「分子の二乗平均速度を求めよ。」
平均運動エネルギー	へいきんうんどうえねるぎー	平均动能	「分子の平均運動エネルギーは $\dfrac32 kT$」
単原子分子	たんげんしぶんし	单原子分子	「単原子分子理想気体では $U = \dfrac32 nRT$」
二原子分子	にげんしぶんし	双原子分子	「二原子分子では回転の自由度を考慮する。」
内部エネルギー	ないぶえねるぎー	内能	「内部エネルギーの変化 $\Delta U$ を求めよ。」
モル比熱	もるひねつ	摩尔比热	「定圧モル比熱 $C_p$」
定積モル比熱	ていせきもるひねつ	定容摩尔比热	「$C_V = \dfrac32 R$」
定圧モル比熱	ていあつもるひねつ	定压摩尔比热	「$C_p - C_V = R$」
定積変化	ていせきへんか	等容变化	「定積変化では気体がする仕事は $0$。」
定圧変化	ていあつへんか	等压变化	「定圧変化では $W' = p\Delta V$。」
等温変化	とうおんへんか	等温变化	「等温変化では $\Delta U = 0$。」
断熱変化	だんねつへんか	绝热变化	「断熱変化では $Q = 0$。」
ポアソンの式	ぽあそんのしき	泊松公式	「断熱変化では $pV^\gamma$ が一定（ポアソンの式）。」
比熱比	ひねつひ	比热比	「$\gamma = \dfrac{C_p}{C_V}$ を比熱比という。」
気体がした仕事	きたいがしたしごと	气体对外做的功	「気体がした仕事 $W'$ は面積で求まる。」
気体がされた仕事	きたいがされたしごと	外界对气体做的功	「断熱圧縮で気体がされた仕事 $W$」
熱力学第 1 法則	ねつりきがくだいいちほうそく	热力学第一定律	「$\Delta U = Q + W$（$W$ は気体がされた仕事）」
絶対温度	ぜったいおんど	绝对温度	「絶対温度 $T$ を用いる。」
検算	けんざん	验算	「検算：次元は速度の次元をもつ。」
最も適当な値	もっともてきとうなあたい	最合适的值	「最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。」

11.11 自测

問 1　$1.0\ \mathrm{mol}$ の理想気体を，$27\ ^\circ\mathrm{C}$，$2.0 \times 10^{-2}\ \mathrm{m^3}$ の状態に保った。圧力は何 $\mathrm{Pa}$ か。$R = 8.31\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$ とする。 （$1.0\ \mathrm{mol}$ 理想气体保持 $27\ ^\circ\mathrm{C}$、$2.0 \times 10^{-2}\ \mathrm{m^3}$，求压强。）

問 2　分子数密度 $2.0 \times 10^{25}\ \mathrm{m^{-3}}$，分子質量 $5.0 \times 10^{-26}\ \mathrm{kg}$，$\overline{v^2} = 1.0 \times 10^6\ \mathrm{m^2/s^2}$ の気体の圧力は何 $\mathrm{Pa}$ か。 （分子数密度 $2.0 \times 10^{25}\ \mathrm{m^{-3}}$、分子质量 $5.0 \times 10^{-26}\ \mathrm{kg}$、$\overline{v^2} = 1.0 \times 10^6\ \mathrm{m^2/s^2}$，求压强。）

問 3　同じ温度の水素分子と酸素分子では，分子の平均運動エネルギーの比と二乗平均速度の比はそれぞれどうなるか。 （同温的氢分子和氧分子，平均动能之比和方均根速度之比各是多少。）

問 4　単原子分子理想気体 $1.0\ \mathrm{mol}$ と二原子分子理想気体 $1.0\ \mathrm{mol}$ が，ともに $300\ \mathrm{K}$ にある。内部エネルギーはそれぞれ何 $\mathrm{J}$ か。$R = 8.31\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$ とする。 （$1.0\ \mathrm{mol}$ 单原子与 $1.0\ \mathrm{mol}$ 双原子理想气体都在 $300\ \mathrm{K}$，内能各是多少。）

問 5　単原子分子理想気体 $1.0\ \mathrm{mol}$ を定圧加熱し，温度を $100\ \mathrm{K}$ 上げた。気体が吸収した熱量と気体がした仕事はそれぞれ何 $\mathrm{J}$ か。$R = 8.31\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$ とする。 （$1.0\ \mathrm{mol}$ 单原子理想气体定压加热，升温 $100\ \mathrm{K}$，求吸热和对外做功。）

問 6　理想気体を等温圧縮した。内部エネルギーの変化 $\Delta U$ と，気体が放出する熱量 $Q_{\text{out}}$ はそれぞれどうなるか。外界が気体にする仕事を $W$ として答えよ。 （理想气体等温压缩，内能变化和放出热量各怎样，用外界做功 $W$ 表示。）

問 7　理想気体を断熱膨張させた。温度と内部エネルギーはそれぞれどうなるか。 （理想气体绝热膨胀，温度和內能各怎样。）

問 8　二原子分子理想気体の比熱比 $\gamma$ はいくらか。また，断熱変化で体積を $2$ 倍にしたとき，圧力は何倍になるか。$\left(\dfrac12\right)^{7/5}$ の形で答えてよい。 （双原子分子理想气体的比热比是多少；绝热膨胀到 $2$ 倍体积，压强变为几倍。）

問 9　単原子分子理想気体 $1.0\ \mathrm{mol}$ を断熱圧縮し，温度を $300\ \mathrm{K}$ から $400\ \mathrm{K}$ にした。気体がされた仕事は何 $\mathrm{J}$ か。$R = 8.31\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$ とする。 （$1.0\ \mathrm{mol}$ 单原子理想气体绝热压缩，温度从 $300\ \mathrm{K}$ 升到 $400\ \mathrm{K}$，求外界做功。）

答案：1. $1.2 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$　2. $3.3 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$　3. 平均动能比 $1:1$，方均根速度比 $4:1$（氢是 $4$ 倍）　4. 单原子 $3.7 \times 10^3\ \mathrm{J}$，双原子 $6.2 \times 10^3\ \mathrm{J}$　5. 吸热 $2.1 \times 10^3\ \mathrm{J}$，对外做功 $8.3 \times 10^2\ \mathrm{J}$　6. $\Delta U = 0$，$Q_{\text{out}} = W$　7. 温度下降，内能减少　8. $\gamma = \dfrac75$，压强变为 $\left(\dfrac12\right)^{7/5}$ 倍　9. $1.2 \times 10^3\ \mathrm{J}$

11.12 深入阅读

• JASSO · 理科（物理）シラバス：本章对应「気体の性質」：理想気体の状態方程式、気体分子の運動、気体の状態変化、モル比熱。
• 维基百科（日文）· 気体分子運動論：分子运动论压强公式的推导和 $\overline{\frac12 mv^2}=\frac32 kT$ 的日文说明。
• PhET · 气体性质：改变体积、温度、粒子数，观察压强变化，配合状态方程和 p-V 图。
• 维基百科（日文）· モル比熱：定积、定压摩尔热容和 $C_p-C_V=R$ 的日文表述。