第 15 章 · 電場と電位

项目	内容
シラバス项目	Ⅳ 電気と磁気 1. 電場 (1)–(4)：静電気力（物体の帯電，電荷，電気量，電気量保存の法則，クーロンの法則），電場（電場，点電荷のまわりの電場，電場の重ね合わせ，電気力線），電位（静電気力による位置エネルギー，電位と電位差，点電荷のまわりの電位，等電位面），電場の中の物体（電場中の導体，静電誘導，静電遮蔽，接地，電場中の不導体，誘電分極）
国内书对应	第 15 章 静电场的力的性质：15.2 电荷与电荷守恒、15.3 库仑定律、15.4 电场强度、15.5 点电荷的场强与场强的叠加、15.6 电场线、15.7 带电体在电场中的平衡、15.8 静电平衡与静电现象；第 16 章 静电场的能的性质：16.2 电势能与电势、16.3 电势差、16.4 电势差与电场强度的关系、16.5 等势面
本章新内容的分量	以讲法不同为主，另有两块国内没有。国内学过库仑定律、场强叠加、电场线、电势能、电势差和等势面，但不给点电荷的电位公式 $V=k_0\dfrac{Q}{r}$，也不讲电介质；日本教科书先定义電位 $V$，再由 $U=qV$ 写出位置エネルギー，一様電場的电位差写 $V=Ed$，导体部分把「接地」单列。国内没有的两块是：点电荷电位的公式与叠加、誘電分極。
过去问出现次数	20 回共 31 次（每回平均 1.6 次）

国内书把电场的“力”和“能”分成两章讲，场强给到了 $E=k\dfrac{Q}{r^2}$，匀强电场给到了 $U=Ed$，但没有给点电荷的电位公式，也没有讲电介质。EJU 的「電位」部分几乎每题都要用 $V=k_0\dfrac{Q}{r}$ 和 $U=qV$；导体题常考「接地」后电荷怎么分布，不导体题则考「誘電分極」的方向。丢分集中在三处：电位的正负号、把电位的叠加当成矢量叠加、接地以后以为导体不再带电。

15.1 与国内的对照

シラバス小項目（日文原文）	国内书位置	相同 / 讲法不同 / 国内没有	本章哪节讲
物体の帯電，電荷，電気量，電気量保存の法則	国内书第 15 章 15.2	相同（术语：帯電＝起电，電気量＝电荷量）	引用国内书 15.2
クーロンの法則	国内书第 15 章 15.3	相同	引用国内书 15.3
電場，点電荷のまわりの電場，電場の重ね合わせ	国内书第 15 章 15.4、15.5	相同（国内叫“电场强度”“场强的叠加”）	引用国内书 15.4、15.5
電気力線	国内书第 15 章 15.6	相同	15.2 插图、题型与答法
静電気力による位置エネルギー	国内书第 16 章 16.2（电势能 $E_{\text{p}}$）	讲法不同：国内先讲电势能再定义电势；日本先定义電位 $V$，再由 $U=qV$ 得位置エネルギー。记号 $E_{\text{p}}\to U$	15.3
電位と電位差	国内书第 16 章 16.2、16.3（电势 $\varphi$、电势差 $U$）	讲法不同：日本用 $V$ 表示電位和電位差，国内用 $\varphi$ 和 $U$；电位的零点日本默认无限远	15.3
点電荷のまわりの電位	国内书第 16 章没有给公式，只有电势的定义和 $U=Ed$	国内没有公式	15.2
等電位面	国内书第 16 章 16.5	相同	15.4
一様電場での仕事 $W=qEd$（シラバス含在電位差里）	国内书第 16 章 16.2、16.4（$W=qEd$、$U=Ed$）	讲法不同：日本写 $V=Ed$，电位差用 $V$；「一様電場」＝匀强电场	15.4
電場中の導体，静電誘導	国内书第 15 章 15.8（静电平衡）	讲法不同：国内叫“静电平衡”，日本叫「静電誘導」；内部场强为零、表面垂直、等位体相同	15.5
静電遮蔽	国内书第 15 章 15.8（静电屏蔽）	相同（术语：静電遮蔽＝静电屏蔽）	15.5
接地	国内书第 15 章 15.8 只在静电屏蔽里提一句“空腔导体接地”	讲法不同：EJU 把「接地」单列，要求判断接地后的电荷分布与电位为零	15.5
電場中の不導体，誘電分極	国内没有	国内没有	15.6

本章五个知识点的顺序：先建立点电荷的电位公式和电位的叠加（15.2），再写位置能量 $U=qV$ 和电位差 $W=qV$（15.3）；然后把匀强电场中的工作 $W=qEd$、电位差 $V=Ed$ 和等位面整理成日本写法（15.4）；最后处理电场中的物体：导体（15.5）和不导体（15.6）。国内学过的库仑定律、场强叠加、电场线和带电体的平衡不展开，只在对照表里引用，并在“题型与答法”里用日文题面练一遍。

15.2 点電荷のまわりの電位

说明

電位（电位）：单位正电荷在电场中某点具有的静電気力による位置エネルギー。若电荷 $q$ 在该点的位置能量为 $U$，则该点的电位是

$$V=\frac{U}{q}$$

单位是伏特（$\mathrm{V}$），$1\ \mathrm{V}=1\ \mathrm{J/C}$。电位是标量，有正负：正值表示比零点高，负值表示比零点低。

零点的取法：日本教科书和 EJU 题目默认取无限远为电位零点，题面写「無限遠点を電位の基準とする」。也常取大地为零，接地导体的电位就是 $0\ \mathrm{V}$（15.5 节）。电位差与零点的取法无关。

点電荷のまわりの電位：真空中电荷量为 $Q$ 的点电荷，在距它 $r$ 处的电位是

$$V=k_0\frac{Q}{r}$$

其中 $k_0$ 是クーロン定数（库仑常量），$k_0=9.0\times10^9\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}$。

$Q$ 带符号：$Q>0$ 时周围电位为正，$Q<0$ 时周围电位为负。这一点和场强公式不同：$E=k_0\dfrac{|Q|}{r^2}$ 里 $Q$ 取绝对值，方向另外判断；电位公式里 $Q$ 必须带符号代入。

電位の重ね合わせ：几个点电荷同时存在时，某点的电位等于各电荷单独存在时在该点电位的代数和：

$$V=V_1+V_2+\cdots=k_0\frac{Q_1}{r_1}+k_0\frac{Q_2}{r_2}+\cdots$$

电位是标量，直接带符号相加，不画平行四边形。这是电位比场强好用的地方：叠加场强要先分解再合成，叠加电位只要做加减法。

等電位面（等势面）：电位相同的点连成的面。点电荷周围的等位面是以点电荷为中心的同心球面。等位面与电场线处处垂直，沿电场线方向电位降低。

使用场景

• 题目给一个点电荷的电量和某点到它的距离，问该点电位，或反过来由电位求距离、求电荷量 → 电位由点电荷和距离决定 → $V=k_0\dfrac{Q}{r}$，$Q$ 带符号，$r$ 从电荷中心算起。
• 两个或几个点电荷同时存在，问某点电位、比较两点电位，或找电位为零的点 → 电位是标量 → 各点电荷的 $k_0\dfrac{Q}{r}$ 带符号相加，不用管方向。

注意点

• 电位公式里的 $Q$ 带符号，场强公式里的 $Q$ 取绝对值。负电荷周围的电位是负的，$r$ 越小负得越多（越低），但场强大小随 $r$ 减小而增大。
• 电位是标量，叠加时用代数和。不要画平行四边形，也不要把 $k_0\dfrac{Q}{r}$ 当矢量分解。
• 电位为零的地方，场强不一定为零。等量异号电荷连线的中点，电位为 0，但两个电荷在该点产生的场强同向，合场强不为 0。
• $r$ 是到点电荷中心的距离。点电荷是理想模型，$r$ 小到和带电体本身的尺寸相当时公式失效。
• 记号：日本用 $V$ 表示電位，国内用 $\varphi$；日本用 $U$ 表示静電気力による位置エネルギー，国内用 $E_{\text{p}}$。国内书里的 $U$ 是电势差，同一个字母在中日两国含义不同，读题时按日文题面的定义走。

推导

为什么点电荷周围的电位是 $k_0\dfrac{Q}{r}$：把单位正电荷从无限远缓慢移到距 $Q$ 为 $r$ 的点，外力要克服静電気力做功，这份功就是该点的电位。以 $Q>0$ 为例，静電気力沿连线向外，外力必须向内，大小为 $k_0\dfrac{Q}{x^2}$（$x$ 是移动途中到 $Q$ 的距离）。外力做的功

$$V=\int_{\infty}^{r}\left(-k_0\frac{Q}{x^2}\right)dx =\left[k_0\frac{Q}{x}\right]_{\infty}^{r} =k_0\frac{Q}{r}$$

（关键一步：积分上限是 $r$、下限是无限远；把 $x=\infty$ 代入时 $k_0Q/x\to0$，所以结果只剩 $k_0Q/r$。$Q<0$ 时静電気力指向 $Q$，外力方向反过来，但 $Q$ 带符号代入后结果仍是 $k_0Q/r$，符号自动正确。）

为什么电位可以标量相加：把一个电荷 $q$ 放在几个点电荷的场中，它受到的总静電気力是各力的矢量和，总位置能量却是各位置能量的代数和——因为能量是标量，几种“高度”叠在一起就是高度相加。把总位置能量除以 $q$，就得到电位的代数和。这一步和场强的叠加（矢量）形成对照，是本节最重要的区别。

例题

例 1　（场景：一个点电荷周围某点的电位 → 直接代 $V=k_0\dfrac{Q}{r}$，$Q$ 带符号）

問題　真空中に，電気量 $Q=+2.0\times10^{-9}\ \mathrm{C}$ の点電荷がある。点電荷から $0.30\ \mathrm{m}$ 離れた点 P の電位は何 V か。ただし，無限遠点を電位の基準とし，クーロン定数を $k_0=9.0\times10^9\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}$ とする。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$6.0\ \mathrm{V}$　　②　$18\ \mathrm{V}$　　③　$6.0\times10^1\ \mathrm{V}$　　④　$1.8\times10^2\ \mathrm{V}$

解答　点電荷のまわりの電位は $V=k_0\dfrac{Q}{r}$ で与えられる。$Q=+2.0\times10^{-9}\ \mathrm{C}$，$r=0.30\ \mathrm{m}$ を代入すると

$$V=\frac{9.0\times10^9\times2.0\times10^{-9}}{0.30} =\frac{18}{0.30}=6.0\times10^1\ \mathrm{V}$$

検算：$k_0Q=18\ \mathrm{V\cdot m}$ は距離 $1\ \mathrm{m}$ での電位。距離 $0.30\ \mathrm{m}$ ではその $1/0.30\approx3.3$ 倍になり，$6.0\times10^1\ \mathrm{V}$ は妥当である。　答　③

中文翻译　题目：真空中有一点电荷，电荷量 $Q=+2.0\times10^{-9}\ \mathrm{C}$。距它 $0.30\ \mathrm{m}$ 的 P 点电位是多少 V？以无限远点为电位零点，库仑常量 $k_0=9.0\times10^9\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}$。从①～④中选最合适的值。

解答：点电荷周围的电位是 $V=k_0\dfrac{Q}{r}$。代入 $Q=+2.0\times10^{-9}\ \mathrm{C}$、$r=0.30\ \mathrm{m}$，得 $V=\dfrac{9.0\times10^9\times2.0\times10^{-9}}{0.30}=6.0\times10^1\ \mathrm{V}$。检验：$k_0Q=18\ \mathrm{V\cdot m}$ 是距离 $1\ \mathrm{m}$ 处的电位；距离 $0.30\ \mathrm{m}$ 时是它的约 3.3 倍，结果合理。答案 ③。

解说　用到本节“点电荷周围的电位”一条：$V=k_0Q/r$，$Q$ 带符号。容易卡在：把 $Q$ 取绝对值，那是场强公式的做法；本题 $Q>0$ 看不出差别，换成负电荷就会丢符号。选项排除：① 是把 $r$ 当成 $3.0\ \mathrm{m}$，② 是把距离当成 $1\ \mathrm{m}$ 的结果，④ 是把 $0.30$ 当成 $0.10$ 的结果。数量级核对：$10^9\times10^{-9}$ 相消，只剩 $18/0.30$。

例 2　（场景：两个点电荷的电位叠加 → 标量和，带符号相加）

問題　図のように，一直線上に $+Q$ の点電荷と $-Q$ の点電荷が距離 $2a$ をへだてて置かれている。$+Q$ から $\dfrac{a}{2}$ 離れた点 P の電位はどのように表されるか。ただし，無限遠点を電位の基準とし，クーロン定数を $k_0$ とする。正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$0$　　②　$\dfrac{k_0Q}{3a}$　　③　$\dfrac{2k_0Q}{3a}$　　④　$\dfrac{4k_0Q}{3a}$

解答　電位はスカラーなので，各点電荷が P につくる電位をそのまま足せばよい。$+Q$ から P までの距離は $\dfrac{a}{2}$，$-Q$ から P までの距離は $2a-\dfrac{a}{2}=\dfrac{3a}{2}$。よって

$$V_P=k_0\frac{+Q}{a/2}+k_0\frac{-Q}{3a/2} =\frac{2k_0Q}{a}-\frac{2k_0Q}{3a} =\frac{4k_0Q}{3a}$$

検算：P は $+Q$ に近いので $+Q$ の寄与が勝ち，電位は正になる。中点（$+Q$ から $a$）では二つの寄与が等しく $0$ になり，$+Q$ に近づくほど大きくなる。　答　④

中文翻译　题目：如图，同一直线上有 $+Q$ 和 $-Q$ 两个点电荷，相距 $2a$。距 $+Q$ 为 $\dfrac{a}{2}$ 的 P 点电位怎么表示？以无限远点为电位零点，库仑常量为 $k_0$。从①～④中选一个正确的。

解答：电位是标量，把各点电荷在 P 点产生的电位直接相加即可。$+Q$ 到 P 的距离是 $\dfrac{a}{2}$，$-Q$ 到 P 的距离是 $2a-\dfrac{a}{2}=\dfrac{3a}{2}$。所以 $V_P=k_0\dfrac{+Q}{a/2}+k_0\dfrac{-Q}{3a/2}=\dfrac{2k_0Q}{a}-\dfrac{2k_0Q}{3a}=\dfrac{4k_0Q}{3a}$。检验：P 离 $+Q$ 近，$+Q$ 的贡献占优，电位为正；中点处两项相等，电位为 0。答案 ④。

解说　用到“电位的叠加是标量和”：与场强的矢量叠加不同，这里直接把带符号的 $k_0Q/r$ 相加。容易卡在：把两个电位当矢量合成，或忘记 $-Q$ 的电位是负的。选项排除：中点电位为 0，P 在 $+Q$ 一侧，电位应为正，① 排除；② 是把 $+Q$ 的距离误写成 $3a$ 的结果，③ 只算了 $-Q$ 一项的大小。另一种解法：先写出一般位置 $x$（到 $+Q$ 的距离）的电位 $V=k_0Q\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2a-x}\right)$，再代入 $x=\dfrac{a}{2}$，适合题目同时问“电位为零的点”的情形。

常用推论

• 等量异号电荷连线的中垂线上，任意一点的电位都是 0（到两个电荷距离相等，两项大小相等、符号相反）。教材没有，考试常用；成立条件是两个电荷等量异号、取无限远为零点。
• 同号电荷之间没有电位为零的点；异号电荷的连线上有一个电位为零的点，位置靠近电量小的一侧（$|Q_1|\neq|Q_2|$ 时）。
• 等量同号电荷相距 $2a$ 时，连线中点的电位是 $\dfrac{2k_0Q}{a}$，是连线上电位的极小值（正电荷情形）。
• 电位的叠加是代数和；场强的叠加是矢量和。同一个点可以电位为 0 而场强不为 0，也可以场强为 0 而电位不为 0（等量同号电荷的中点）。

易错点

• 错在哪：把 $V=k_0\dfrac{Q}{r}$ 里的 $Q$ 取绝对值，认为负电荷周围的电位也是正的。 为什么错：电位是标量，正负来自电荷的正负；取绝对值就把“深坑”画成了“高山”。 正确做法：$Q$ 带符号代入，先由 $Q$ 的正负定电位的正负，再算大小。
• 错在哪：几个点电荷的电位按矢量合成，画平行四边形。 为什么错：电位是能量除以电荷，能量是标量；只有场强才是矢量。 正确做法：把各点的 $k_0\dfrac{Q_i}{r_i}$ 带符号相加，得到代数和。
• 错在哪：认为电位为 0 的点场强也为 0。 为什么错：电位和场强描述电场的两个不同方面，一个看能量，一个看力；等量异号电荷的中点电位为 0，但两个场强同向叠加，合场强不为 0。 正确做法：分别判断：电位看 $k_0\dfrac{Q}{r}$ 的代数和，场强看矢量和。

直观理解

把无限远想象成海平面，电位就是“海拔”。正电荷周围是一座高山，越靠近山顶（$r$ 越小）海拔越高；负电荷周围是一个深坑，越靠近坑底电位越低（负得越多）。电场线指向海拔下降最快的方向，等位面就是等高线：沿等高线走，电位不变，静電気力不做功。几个点电荷的电位叠加，等于把几座山、几个坑的高度直接相加，不用管方向——这就是电位比场强好算的原因。

关联知识点

• 前置：国内书第 15 章 15.3 库仑定律（$F=k\dfrac{q_1q_2}{r^2}$）；国内书第 15 章 15.5 点电荷的场强（$E=k\dfrac{Q}{r^2}$，与本节对照）；国内书第 16 章 16.2 电势能与电势（电位的定义 $V=U/q$）。
• 后续：本书 15.3 静電気力による位置エネルギー与電位差；15.4 一様電場与等位面；15.5 电场中的导体（导体是等位体，内部电位处处相等）。
• 常一起考：国内书第 15 章 15.6 电场线（等位面与电场线垂直）；《高中数学知识点梳理》第 1 章矢量（场强叠加用平行四边形，电位叠加不用）。

15.3 静電気力による位置エネルギーと電位差

说明

静電気力による位置エネルギー（静电势能）：电荷 $q$ 在电位为 $V$ 的点具有的位置能量。日本教科书写

$$U=qV$$

国内写 $E_{\text{p}}=q\varphi$，含义相同，只是记号不同。$q$、$V$ 都带符号代入：正电荷在高电位处位置能量大，负电荷在高电位处位置能量反而小。

電位差（电位差）：两点电位的差。从 A 到 B 的电位差记作

$$V_{AB}=V_A-V_B$$

日本题面常直接把这个差写作 $V$：「A，B 間の電位差を $V$ とする」。国内写 $U_{AB}=\varphi_A-\varphi_B$，同一个量，记号不同。

静電気力がする仕事：电荷 $q$ 从 A 移到 B，静電気力做的功

$$W_{AB}=q(V_A-V_B)=qV_{AB}$$

这个式子对任何静电场都成立，不要求匀强电场。静電気力做功与路径无关，所以位置能量的减少量等于静電気力做的功：

$$W_{AB}=U_A-U_B$$

静電気力做正功，位置能量减少；做负功，位置能量增加。

只有静電気力做功时的能量守恒：

$$qV_A+\frac{1}{2}mv_A^2=qV_B+\frac{1}{2}mv_B^2$$

这是力学里“重力势能＋动能守恒”在电场中的对应：把 $mgh$ 换成 $qV$。国内书第 12–14 章的动能定理照样能用。

使用场景

• 已知两点的电位和电荷的正负，比较电荷在两点位置能量的大小，或求位置能量的变化 → $U=qV$，$q$、$V$ 都带符号 → 正电荷在高电位处能量大，负电荷在高电位处能量小。
• 电场不是匀强电场（点电荷的场、不规则电场），已知两点的电位差，求移动电荷时静電気力做的功或末速度 → 不能用 $W=qEd$ → 用 $W=q(V_A-V_B)$，需要速度时再补动能定理。

注意点

• $U=qV$ 里 $q$ 必须带符号。$q=-2\ \mathrm{C}$ 放在 $V=10\ \mathrm{V}$ 处，$U=-20\ \mathrm{J}$；放在 $V=-10\ \mathrm{V}$ 处，$U=+20\ \mathrm{J}$，后者反而更大。
• 电位差的下标顺序不能颠倒：$V_{AB}=V_A-V_B$，$V_{BA}=-V_{AB}$。求功时电荷从哪点到哪点，就用哪个顺序。
• 日本记号：電位 $V$、電位差 $V$、位置エネルギー $U$；国内记号：电势 $\varphi$、电势差 $U$、电势能 $E_{\text{p}}$。国内书里的 $U$ 是电位差，日本书里的 $U$ 是位置能量，读题时先看清定义。
• $W=qEd$ 只适用于匀强电场；$W=q(V_A-V_B)$ 适用于任何电场。题目没说是匀强电场时，优先用后者。
• 位置能量和电位都与零点有关，电位差和功与零点无关。换零点时所有点的电位同加同一个常数，两点之差不变。

推导

从电位到位置能量：电位的定义就是“单位电荷的位置能量” $V=\dfrac{U}{q}$（15.2 节），两边乘 $q$ 立刻得到 $U=qV$。这一步没有新物理，只是把定义反过来用；关键是 $q$ 带符号。

为什么静電気力做的功等于 $q(V_A-V_B)$：由 $U_A=qV_A$、$U_B=qV_B$，位置能量的减少量是

$$U_A-U_B=qV_A-qV_B=q(V_A-V_B)$$

而静電気力做功与路径无关（15.2 节推导的电位只与位置有关，正是这个原因），做的功恰好等于位置能量的减少量，所以 $W_{AB}=q(V_A-V_B)$。

（关键一步：$U_A$ 和 $U_B$ 必须对同一个零点计算。两点电位相减时，零点的影响抵消，所以 $W_{AB}$ 和 $V_{AB}$ 都与零点无关。这也是为什么这个式子对任何电场都成立，不要求匀强。）

例题

例 1　（场景：已知两点电位，比较正电荷的位置能量并求功 → $U=qV$、$W=qV$，全部带符号）

問題　電位が $V_A=+20\ \mathrm{V}$ の点 A と，電位が $V_B=-10\ \mathrm{V}$ の点 B がある。電気量 $q=+2.0\times10^{-9}\ \mathrm{C}$ の点電荷を A から B へ移すとき，静電気力がする仕事と，A，B における静電気力による位置エネルギーの大小関係として正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

	静電気力がする仕事	位置エネルギー
①	$+6.0\times10^{-8}\ \mathrm{J}$	A のほうが大きい
②	$+6.0\times10^{-8}\ \mathrm{J}$	B のほうが大きい
③	$-6.0\times10^{-8}\ \mathrm{J}$	A のほうが大きい
④	$-6.0\times10^{-8}\ \mathrm{J}$	B のほうが大きい

解答　静電気力がする仕事は $W=q(V_A-V_B)$。$q=+2.0\times10^{-9}\ \mathrm{C}$，$V_A-V_B=20-(-10)=30\ \mathrm{V}$ より

$$W=2.0\times10^{-9}\times30=+6.0\times10^{-8}\ \mathrm{J}$$

位置エネルギーは $U=qV$ より

$$U_A=2.0\times10^{-9}\times20=+4.0\times10^{-8}\ \mathrm{J},\qquad U_B=2.0\times10^{-9}\times(-10)=-2.0\times10^{-8}\ \mathrm{J}$$

よって A のほうが大きい。検算：正電荷が高電位から低電位へ移ると，静電気力は正の仕事をし，位置エネルギーは減少する。$U_A>U_B$ と一致する。　答　①

中文翻译　题目：有两个点，A 点电位 $V_A=+20\ \mathrm{V}$，B 点电位 $V_B=-10\ \mathrm{V}$。把电荷量 $q=+2.0\times10^{-9}\ \mathrm{C}$ 的点电荷从 A 移到 B，静电力做的功，以及 A、B 两点静电势能的大小关系，选正确的组合。① 功 $+6.0\times10^{-8}\ \mathrm{J}$，A 处势能大；② 功 $+6.0\times10^{-8}\ \mathrm{J}$，B 处势能大；③ 功 $-6.0\times10^{-8}\ \mathrm{J}$，A 处势能大；④ 功 $-6.0\times10^{-8}\ \mathrm{J}$，B 处势能大。

解答：静电力做的功 $W=q(V_A-V_B)=2.0\times10^{-9}\times30=+6.0\times10^{-8}\ \mathrm{J}$。势能 $U=qV$：$U_A=+4.0\times10^{-8}\ \mathrm{J}$，$U_B=-2.0\times10^{-8}\ \mathrm{J}$，所以 A 处大。检验：正电荷从高电位移到低电位，静电力做正功，势能减少，与 $U_A>U_B$ 一致。答案 ①。

解说　用到 $W=q(V_A-V_B)$ 和 $U=qV$ 两条，核心是“三个量都带符号”。容易卡在：算 $V_A-V_B$ 时写成 $V_B-V_A$，功的符号就反了。选项排除：先算功的符号，正电荷顺着电位降低的方向移动，静电力做正功，③④ 排除；再比势能，正电荷在高电位处势能大，② 排除。另一种解法：直接用 $W=U_A-U_B=4.0\times10^{-8}-(-2.0\times10^{-8})=+6.0\times10^{-8}\ \mathrm{J}$，两种算法互相核对。

例 2　（场景：非匀强电场中求静电力做的功 → 用 $W=q(V_A-V_B)$，不用 $qEd$）

問題　点電荷のまわりの電場の中に，電位が $300\ \mathrm{V}$ の点 A と，電位が $100\ \mathrm{V}$ の点 B がある。電気量 $q=-2.0\times10^{-6}\ \mathrm{C}$ の点電荷を A から B へゆっくり移すとき，静電気力がする仕事は何 J か。ただし，無限遠点を電位の基準とする。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$-4.0\times10^{-4}\ \mathrm{J}$　　②　$-2.0\times10^{-4}\ \mathrm{J}$　　③　$+2.0\times10^{-4}\ \mathrm{J}$　　④　$+4.0\times10^{-4}\ \mathrm{J}$

解答　点電荷のまわりの電場は一様でないので，$W=qEd$ は使えない。電位差を用いて $W=q(V_A-V_B)$。$V_A-V_B=300-100=200\ \mathrm{V}$，$q=-2.0\times10^{-6}\ \mathrm{C}$ より

$$W=-2.0\times10^{-6}\times200=-4.0\times10^{-4}\ \mathrm{J}$$

検算：負電荷は高電位の A から低電位の B へ移ると，静電気力（B 向き）と逆向きに動くので，静電気力は負の仕事をする。符号と一致する。　答　①

中文翻译　题目：点电荷周围的电场中，A 点电位 $300\ \mathrm{V}$，B 点电位 $100\ \mathrm{V}$。把电荷量 $q=-2.0\times10^{-6}\ \mathrm{C}$ 的点电荷从 A 缓慢移到 B，静电力做多少 J 的功？以无限远点为电位零点。从①～④中选最合适的值。

解答：点电荷周围的电场不是匀强电场，不能用 $W=qEd$，要用电位差 $W=q(V_A-V_B)$。$V_A-V_B=300-100=200\ \mathrm{V}$，$q=-2.0\times10^{-6}\ \mathrm{C}$，所以 $W=-2.0\times10^{-6}\times200=-4.0\times10^{-4}\ \mathrm{J}$。检验：负电荷从高电位移到低电位，位移与静电力方向相反，静电力做负功，符号一致。答案 ①。

解说　题目没给距离和场强，只给电位，就是提示用 $W=q(V_A-V_B)$。容易卡在：看见“点电荷”就用 $E=k_0Q/r^2$ 和 $F=qE$ 去算，但 $r$ 和 $Q$ 都没给；或者漏掉 $q$ 的负号。选项排除：负电荷逆着静电力移动，功为负，③④ 排除；$200\times2.0=400$，数量级是 $10^{-4}$，② 是少乘了 2。注意“ゆっくり移す”只说明外力与静電力平衡，不影响静電気力做功的值。

常用推论

• 只有静電気力做功时，$qV_A+\dfrac{1}{2}mv_A^2=qV_B+\dfrac{1}{2}mv_B^2$。教材没有单列，考试常用；成立条件是没有重力、阻力等其他力做功，或把它们并入总功。
• 带电粒子经过电位差 $V$ 加速（从静止开始），末速度 $v=\sqrt{\dfrac{2qV}{m}}$。教材没有单列，考试常用；条件是初速度为零、只受静電気力。
• 电子伏特：$1\ \mathrm{eV}=1.6\times10^{-19}\ \mathrm{J}$，是一个电子经过 $1\ \mathrm{V}$ 电位差时静電気力做的功。EJU 选项有时用 $\mathrm{eV}$。
• 位置能量的变化 $\Delta U=q\Delta V$；静電気力做的功 $W=-\Delta U$。判断符号时看“静電気力方向与位移方向”，比套公式快。

易错点

• 错在哪：$U=qV$ 里只代电荷量的大小，不带符号。 为什么错：负电荷在高电位处位置能量小，不带符号就得不出这个结论。 正确做法：$q$ 和 $V$ 都带符号代入；或者先算大小，再用“正电荷高电位处能量大、负电荷相反”判符号。
• 错在哪：把电位差写成 $V_B-V_A$，或把日本记号 $U$ 当成国内的电位差。 为什么错：下标顺序决定符号；中日两国的 $U$ 含义不同，混用会整体差一个负号。 正确做法：先写 $V_{AB}=V_A-V_B$；读日本题时把 $U$ 认作位置能量，把 $V$ 认作电位或电位差。
• 错在哪：在点电荷的电场中用 $W=qEd$ 求功。 为什么错：$E$ 沿连线变化，不是恒力，$W=qEd$ 只适用于匀强电场。 正确做法：非匀强电场用 $W=q(V_A-V_B)$；只有平行板间的匀强电场才用 $qEd$。

直观理解

把电位想成海拔，电荷量想成“体重”，位置能量就是“体重×海拔”。正电荷像普通物体：海拔越高，势能越大。负电荷像“负体重”的怪物：海拔越高，势能反而越小，所以它总想往高处跑（往高电位跑）。静電気力做功就是势能减少的那部分，和重力做功完全同构。这样记：$U=qV$ 是把 $mgh$ 里的 $mg$ 换成 $q$、$h$ 换成 $V$。

关联知识点

• 前置：本书 15.2 点電荷のまわりの電位（$V=k_0\dfrac{Q}{r}$）；国内书第 16 章 16.2 电势能与电势（$E_{\text{p}}=q\varphi$）；国内书第 16 章 16.3 电势差（$W=qU$）。
• 后续：本书 15.4 一様電場での仕事（$W=qEd$ 与 $V=Ed$）；15.5 电场中的导体（导体内部等电位，电位差为零）；第 16 章 コンデンサー（$W=qV$ 与静電エネルギー）。
• 常一起考：国内书第 13 章动能定理（$qV_A-qV_B=\Delta K$）；国内书第 14 章重力势能与功能关系（势能与功的对应关系）。

15.4 一様電場での仕事と等電位面

说明

一様電場（匀强电场）：各点场强大小相等、方向相同的电场。两块靠得很近、带等量异号电荷的平行金属板之间（边缘附近除外）就是匀强电场。日本教科书写「一様な電場」或「一様電場」，国内写“匀强电场”。

一様電場での仕事：电荷 $q$ 沿场强方向移动距离 $d$ 时，静電気力是恒力 $qE$，做的功

$$W=qEd$$

如果位移 $\vec{s}$ 与场强方向成角 $\theta$，只有沿场强方向的分量做功：

$$W=qEs\cos\theta=qEd$$

其中 $d=s\cos\theta$ 是位移沿场强方向的投影。垂直场强方向移动时 $d=0$，静電気力不做功。

电位差与场强：把上面两种功的写法合起来（$W=qEd$ 与 $W=qV$），得到匀强电场中

$$V=Ed,\qquad E=\frac{V}{d}$$

$V$ 是沿场强方向相距 $d$ 的两点间的电位差，$d$ 是沿场强方向的距离，不是两点的直线距离。日本写 $V=Ed$，国内写 $U=Ed$。

等電位面：匀强电场的等位面是一组与电场线垂直的平行平面。电场线从高电位指向低电位，且指向电位降低最快的方向。电场线密的地方等位面也密，同样距离上电位差大。

场强的单位：由 $E=V/d$，场强也可用 $\mathrm{V/m}$ 表示，$1\ \mathrm{V/m}=1\ \mathrm{N/C}$。

使用场景

• 匀强电场中电荷沿任意方向从一点移到另一点，问静電気力做的功或两点的电位差 → 把位移投影到场强方向 → $W=qEd$、$V=Ed$，$d$ 取投影，不是两点距离。
• 平行板间给了电压和板距，问场强、某点电位，或判断等位面的形状 → 匀强电场 → $E=\dfrac{V}{d}$，沿场强方向电位均匀变化，等位面与极板平行。

注意点

• $d$ 是沿场强方向的距离（投影），不是两点间的直线距离。两点连线与场强成 $\theta$ 时 $d=s\cos\theta$；连线垂直场强时 $d=0$，两点等位。
• $V=Ed$ 和 $W=qEd$ 只适用于匀强电场。点电荷的场、不规则场只能用 $W=q(V_A-V_B)$，$V=Ed$ 定量失效。
• 公式只给大小。电位哪边高，看电场线方向：沿电场线方向电位降低。
• 等位面与电场线垂直，不是平行。匀强电场的等位面是平行于极板的平面；点电荷的等位面是同心球面。
• 场强方向是电位降低最快的方向；沿任意方向走同样距离，沿场强方向电位降得最多。“最快”说的是方向，不是大小。

推导

为什么 $V=Ed$：在匀强电场中把电荷 $q$ 从 A 沿场强方向移到 B，距离为 $d$。用“力”的语言写功：静電気力是恒力 $qE$，位移与力同向，做功 $W=qEd$。用“能”的语言写同一个功：$W=q(V_A-V_B)$（15.3 节，对任何电场都成立）。两式相等，消去 $q$：

$$qEd=q(V_A-V_B)\quad\Rightarrow\quad V_A-V_B=Ed$$

（关键一步：同一次移动的同一个功，用两种语言各写一遍。这一步把电场强度的描述和电位的描述连起来，也是“场强单位可以是 $\mathrm{V/m}$“的来源。）

位移斜着时：把位移分解成沿场强方向的分量 $s\cos\theta$ 和垂直方向的分量 $s\sin\theta$。垂直分量上静電気力不做功，所以 $W=qE\cdot s\cos\theta=qEd$。这也是“功只由始末位置决定”在匀强电场中的具体表现。

例题

例 1　（场景：匀强电场中沿斜向移动电荷 → 把位移投影到场强方向，$W=qEd$）

問題　図のように，水平右向きの一様な電場の中に点 A，B がある。電場の強さを $E=2.0\times10^2\ \mathrm{V/m}$，AB の長さを $0.30\ \mathrm{m}$，AB と電場のなす角を $60^\circ$ とする。電気量 $q=+1.0\times10^{-6}\ \mathrm{C}$ の点電荷を A から B へ移すとき，静電気力がする仕事は何 J か。ただし，電場は一様で，空気の抵抗は無視できるものとする。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$1.5\times10^{-5}\ \mathrm{J}$　　②　$3.0\times10^{-5}\ \mathrm{J}$　　③　$5.2\times10^{-5}\ \mathrm{J}$　　④　$6.0\times10^{-5}\ \mathrm{J}$

解答　一様な電場では静電気力は一定で，仕事は電場方向の変位だけで決まる。AB の電場方向の成分は $d=0.30\cos60^\circ=0.30\times0.50=0.15\ \mathrm{m}$。よって

$$W=qEd=1.0\times10^{-6}\times2.0\times10^2\times0.15=3.0\times10^{-5}\ \mathrm{J}$$

検算：A，B 間の電位差は $V=Ed=2.0\times10^2\times0.15=30\ \mathrm{V}$。$W=qV=1.0\times10^{-6}\times30=3.0\times10^{-5}\ \mathrm{J}$ で一致する。　答　②

中文翻译　题目：如图，水平向右的匀强电场中有 A、B 两点。场强 $E=2.0\times10^2\ \mathrm{V/m}$，AB 长 $0.30\ \mathrm{m}$，AB 与电场方向成 $60^\circ$。把电荷量 $q=+1.0\times10^{-6}\ \mathrm{C}$ 的点电荷从 A 移到 B，静电力做多少 J 的功？电场为匀强电场，忽略空气阻力。从①～④中选最合适的值。

解答：匀强电场中静电力是恒力，功只由沿电场方向的位移决定。AB 沿电场方向的分量 $d=0.30\cos60^\circ=0.15\ \mathrm{m}$。所以 $W=qEd=1.0\times10^{-6}\times2.0\times10^2\times0.15=3.0\times10^{-5}\ \mathrm{J}$。检验：A、B 间电位差 $V=Ed=30\ \mathrm{V}$，$W=qV=3.0\times10^{-5}\ \mathrm{J}$，一致。答案 ②。

解说　用到”$d$ 是沿场强方向的投影“这一条。容易卡在：把 AB 的直线距离 $0.30\ \mathrm{m}$ 直接当 $d$，得 $6.0\times10^{-5}\ \mathrm{J}$（选项 ④）。选项排除：斜着走比沿场强方向走近，但沿场强方向的有效距离短，功应比 $qE\times0.30$ 小，④ 先排除；用 $\sin60^\circ$ 会得 $5.2\times10^{-5}\ \mathrm{J}$（③），比 $qE\times0.30$ 小得不够；① 是把 $\cos60^\circ$ 用了两次。另一种解法：先算 $V_A-V_B=Ed=30\ \mathrm{V}$，再用 $W=q(V_A-V_B)$，不用记 $qEd$ 也能做。

例 2　（场景：平行板间电压求场强与某点电位 → $E=V/d$，电位沿场强方向均匀变化）

問題　図のように，間隔 $d$ の平行板極板間に電位差 $V$ を加えた。上の極板の電位を $+V$，下の極板を接地して電位を $0$ とする。極板間は一様な電場で，上の極板から $\dfrac{d}{3}$ だけ下の点 P の電位と，極板間の電場の強さの組み合わせとして正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，極板は十分に広く，端の影響は無視できるものとする。

	電場の強さ	P の電位
①	$\dfrac{V}{d}$	$\dfrac{V}{3}$
②	$\dfrac{V}{d}$	$\dfrac{2V}{3}$
③	$\dfrac{d}{V}$	$\dfrac{V}{3}$
④	$\dfrac{V}{d}$	$\dfrac{V}{2}$

解答　一様な電場では $E=\dfrac{V}{d}$ で，電場は上から下を向く。電位は下の極板（$0\ \mathrm{V}$）から上へ向かって，$1\ \mathrm{m}$ あたり $E$ ずつ高くなる。P は下の極板から $d-\dfrac{d}{3}=\dfrac{2d}{3}$ の高さにあるので

$$V_P=E\times\frac{2d}{3}=\frac{V}{d}\times\frac{2d}{3}=\frac{2V}{3}$$

検算：上極板から $\dfrac{d}{3}$ 下がった点なので，上極板の $V$ から $E\times\dfrac{d}{3}=\dfrac{V}{3}$ だけ下がり，$V-\dfrac{V}{3}=\dfrac{2V}{3}$。　答　②

中文翻译　题目：如图，间距为 $d$ 的平行板间加电压 $V$。上板电位 $+V$，下板接地电位为 0。板间为匀强电场，求距上板 $\dfrac{d}{3}$ 的 P 点电位与板间场强的组合。极板足够大，忽略边缘效应。① 场强 $\dfrac{V}{d}$，P 电位 $\dfrac{V}{3}$；② 场强 $\dfrac{V}{d}$，P 电位 $\dfrac{2V}{3}$；③ 场强 $\dfrac{d}{V}$，P 电位 $\dfrac{V}{3}$；④ 场强 $\dfrac{V}{d}$，P 电位 $\dfrac{V}{2}$。

解答：匀强电场 $E=\dfrac{V}{d}$，方向从上到下。电位从下板（0 V）向上每米升高 $E$。P 距下板 $d-\dfrac{d}{3}=\dfrac{2d}{3}$，所以 $V_P=E\times\dfrac{2d}{3}=\dfrac{2V}{3}$。检验：从上板往下走 $\dfrac{d}{3}$，电位下降 $\dfrac{V}{3}$，$V-\dfrac{V}{3}=\dfrac{2V}{3}$，一致。答案 ②。

解说　用到 $E=V/d$ 和“沿场强方向电位均匀变化”。容易卡在：把 P 到上板的距离 $\dfrac{d}{3}$ 直接乘 $E$ 得 $\dfrac{V}{3}$（①），忘了下板才是 0 V。选项排除：场强是电压除以距离，量纲是 V/m，③ 的 $d/V$ 量纲反了，先排除；P 在板间偏上，电位应高于 $\dfrac{V}{2}$，④ 排除；剩下的差别在 $\dfrac{d}{3}$ 和 $\dfrac{2d}{3}$。另一种解法：把电位想成“海拔”，下板是海平面，上板是 $V$，P 在上板下方 $\dfrac{d}{3}$ 处，海拔就是 $\dfrac{2V}{3}$。

常用推论

• 沿垂直电场方向移动电荷，静電気力不做功，两点等位。教材没有单列，考试常用；条件是该方向上电场均匀。
• 匀强电场中，沿任意一条不与场强垂直的直线，电位均匀变化：等距离的两段电位差相等。教材没有，考试常用；这是“等分法”找等位点的依据。
• 两条平行且相等的线段，两端电位差相等：若 $AB\parallel DC$ 且 $AB=DC$，则 $V_A-V_B=V_D-V_C$。常用于在电场中补全等位线。
• 平行板间的场强 $E=\dfrac{V}{d}$，$d$ 是板间距；插入电介质后场强变为原来的 $\dfrac{1}{\varepsilon_{\text r}}$（第 16 章）。

易错点

• 错在哪：$V=Ed$ 里的 $d$ 用两点间的直线距离。 为什么错：只有沿场强方向的位移才产生电位差，斜着走直线距离大，但有效距离是投影。 正确做法：先求位移在场强方向的投影 $s\cos\theta$，再代入。
• 错在哪：把等位面画成与电场线平行，或认为沿等位面走电位会变。 为什么错：等位面与电场线垂直，沿等位面走电位不变，静電気力不做功。 正确做法：记住“电场线⊥等位面”，匀强电场的等位面平行于极板。
• 错在哪：用 $W=qEd$ 时把 $q$ 的正负丢掉，或把 $d$ 的符号弄反。 为什么错：$q$ 带符号、$d$ 有方向，两者一起决定功的正负。 正确做法：先规定正方向（通常取场强方向），$q$ 和位移的投影都带符号代入；或用 $W=q(V_A-V_B)$ 核对。

直观理解

匀强电场像一块均匀倾斜的斜坡，电位像海拔。沿斜坡最陡的方向（场强方向）走，海拔变化最快；横着走（垂直场强），海拔不变，这就是等位线。等位面是等高线，电场线是指向坡下的最陡方向线，两者必然垂直。$V=Ed$ 就是“坡度×水平距离＝高度差”：$E$ 是坡度，$d$ 是沿坡方向的距离。

关联知识点

• 前置：本书 15.2 電位（$V$ 的定义）；15.3 位置エネルギー与電位差（$W=q(V_A-V_B)$）；国内书第 16 章 16.4 电势差与电场强度的关系（$U=Ed$）；16.5 等势面。
• 后续：本书 15.5 电场中的导体（导体表面是等位面，内部无电位差）；第 16 章 コンデンサー（平行板间的 $E=V/d$、插入介质后的变化）。
• 常一起考：国内书第 15 章 15.4 电场强度（$E$ 的单位 $\mathrm{V/m}$ 与 $\mathrm{N/C}$ 的换算）；国内书第 16 章 16.5 等势面（由等势面判断场强方向）。

15.5 電場中の導体

说明

静電誘導（静电感应）：把导体放进电场，导体内的自由电子受静電気力而定向移动，使导体两侧出现等量异号的感应电荷。感应电荷在导体内部产生的电场与外电场方向相反，移动一直进行到两者在导体内部完全抵消为止。这个过程极短，可以认为导体放进电场后立即达到这个状态。

静电平衡时导体的特点：

• 导体内部合场强处处为零：外电场与感应电荷的电场在内部完全抵消。
• 导体表面处的场强方向与表面垂直。
• 整个导体是等位体：内部场强为零，任何两点间没有电位差，表面是等位面。
• 净电荷只分布在外表面，内部没有净电荷。外表面越尖锐的地方电荷越密集，附近场强越大（尖端放电）。

静電遮蔽（静电屏蔽）：处于静电平衡的空腔导体，腔内不受外部电场的影响。金属壳、金属网罩都能屏蔽外电场。若空腔内有电荷，空腔的内表面感应出等量异号电荷，外表面出现等量同号电荷，外部仍有电场；把外壳接地，外表面的电荷导入大地，外部才不受腔内电荷的影响。

接地（接地、接大地）：把导体与大地用导线连接。大地可以看作一个极大的导体，电位取为 $0\ \mathrm{V}$。接地后：

• 导体的电位等于大地的电位，即 $0\ \mathrm{V}$。
• 导体上多余的电荷可以流入大地（或从大地流入电子），直到导体满足“内部场强为零、表面等位”的平衡条件。
• 接地不是“导体不带电”：接地导体的电位为零，但表面仍可能有感应电荷，只是净电荷的分布发生了变化。

接地导体球壳的例子：中空金属球壳中心放一个 $+q$ 的点电荷。不接地时，内表面感应 $-q$，外表面感应 $+q$，外部有电场。把球壳接地后，外表面的 $+q$ 流入大地，外表面电荷变为 0，球壳外部没有电场——这就是接地带来的屏蔽效果。

使用场景

• 不带电的导体放在带电体或外电场旁，问感应电荷的分布、导体内部某点的合场强、导体是不是等位体 → 静電誘導 → 近端异种、远端同种，内部合场强为零，整体等位。
• 空腔导体（金属球壳、金属网罩）内有电荷或外有电场，问内表面、外表面的电荷和接地后的变化 → 静電遮蔽与接地 → 内表面感应异种电荷，外表面同种电荷；接地后外表面电荷流入大地，外部场消失。

注意点

• “导体内部场强为零”指合场强为零。外电场依然存在，只是被感应电荷的电场抵消了，不能因此说“外电场进不去导体”。
• 接地后导体的电位为 0，不等于电荷为 0。判断接地后带多少电，看“接地前外表面有多少电荷、哪些能流入大地”。
• 静电平衡的结论只适用于导体。不导体（电介质）内部场强不为零，只是被削弱（15.6 节）。
• 导体是等位体，所以导体内部和表面没有电位差；但导体与外部空间之间可以有电位差。接地导体与大地之间电位差为零。
• 尖端放电是导体尖端附近场强大、使空气电离而失去电荷的现象；避雷针利用它把雷云的电荷逐步导入大地。

推导

为什么导体内部场强为零（反证）：假设静电平衡时导体内部某点场强不为零，那里的自由电子就会受静電気力而移动，电荷分布还在变化，导体就不是平衡状态。所以只要处于静电平衡，内部合场强必然处处为零。

（关键一步：导体内有大量可以自由移动的电子，只要有一点点电场，它们就会动。“静电平衡”的定义是电荷不再定向移动，两者合在一起，内部场强只能是零。不导体内没有自由电子，这个推理不成立。）

为什么导体是等位体：导体内部场强处处为零，沿导体内部任意路径移动电荷，静電気力都不做功，任意两点的电位差为零。所以整个导体（包括表面）电位相同，表面是等位面，表面场强与表面垂直。

接地时发生了什么：大地是导体，电位取 0。接地后导体与大地成为同一个等位体，导体电位被“钉”在 0 V。如果导体上有多余的正电荷，它会排斥同种电荷，电荷沿导线流入大地，直到导体表面电荷重新分布、满足平衡条件为止。对中心有 $+q$ 的球壳，外表面的 $+q$ 流入大地，外表面电荷变为 0；内表面的 $-q$ 被中心的 $+q$ 吸引，不能流走，留在内表面。

例题

例 1　（场景：不带电导体靠近带电体 → 静電誘導的电荷分布与内部场强）

問題　図のように，帯電していない金属球を，正に帯電した棒の左側に近づけて置いた。十分に時間がたった後の金属球の状態として最も適当なものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，金属球と棒は接触しないものとする。

①　棒に近い側が正，遠い側が負に帯電し，内部の電場は 0 である。 ②　棒に近い側が負，遠い側が正に帯電し，内部の電場は 0 である。 ③　棒に近い側が負，遠い側が正に帯電し，内部の電場は一様でない。 ④　金属球全体が負に帯電し，内部の電場は 0 である。

解答　棒の正電荷が金属球の自由電子を引き寄せるので，電子は棒に近い側へ移動する。したがって棒に近い側が負，遠い側が正に帯電する。静電誘導が終わると，金属球内部では棒の電場と誘導電荷の電場が打ち消し合い，電場は 0 になる。金属球全体は等電位になる。　答　②

中文翻译　题目：如图，把不带电的金属球放在带正电的棒左侧附近。足够长时间后，金属球的状态是什么？金属球与棒不接触。① 靠近棒的一侧带正电，远离棒的一侧带负电，内部场强为 0；② 靠近棒的一侧带负电，远离棒的一侧带正电，内部场强为 0；③ 靠近棒的一侧带负电，远离棒的一侧带正电，内部场强不均匀；④ 金属球整体带负电，内部场强为 0。

解答：棒上的正电荷吸引金属球中的自由电子，电子向靠近棒的一侧移动。所以靠近棒的一侧带负电，远离棒的一侧带正电。静电感应结束后，金属球内部棒产生的电场与感应电荷的电场互相抵消，合场强为 0，整个金属球是等位体。答案 ②。

解说　用到“静電誘導：近端异种、远端同种”和“内部合场强为零”。容易卡在：以为正电荷被吸引过去，其实移动的是自由电子。选项排除：① 把两侧符号弄反；③ 错在“内部场强不均匀”，静电平衡后内部合场强必须为零；④ 错在“整体带负电”，金属球原来不带电，感应电荷只是重新分布，总量仍为零。

例 2　（场景：接地金属球壳内有电荷 → 内表面、外表面电荷与外部场强）

問題　図のように，中空の金属球殻の中心に，電気量 $+q$ の点電荷を置き，球殻を接地した。十分に時間がたった後，球殻の内表面と外表面の電気量，および球殻の外側の電場について，正しい組み合わせを次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，球殻は十分に薄く，外部に他の電荷はないものとする。

	内表面の電気量	外表面の電気量	球殻の外側の電場
①	$-q$	$+q$	0 でない
②	$-q$	$0$	$0$
③	$+q$	$-q$	0 でない
④	$0$	$0$	$0$

解答　中心の $+q$ の電場による静電誘導で，内表面には $-q$ が現れる。接地していないときは外表面に $+q$ が現れるが，接地すると外表面の $+q$ は大地へ流れ，外表面の電気量は 0 になる。球殻の外側には電荷がないので，外部の電場は 0 になる。　答　②

中文翻译　题目：如图，在空心金属球壳的中心放电荷量 $+q$ 的点电荷，把球壳接地。足够长时间后，球壳内表面、外表面的电荷量以及球壳外侧的电场，选正确的组合。球壳足够薄，外部没有其他电荷。① 内表面 $-q$，外表面 $+q$，外部场强不为 0；② 内表面 $-q$，外表面 0，外部场强为 0；③ 内表面 $+q$，外表面 $-q$，外部场强不为 0；④ 内表面 0，外表面 0，外部场强为 0。

解答：中心 $+q$ 的电场产生静电感应，内表面出现 $-q$。不接地时外表面出现 $+q$；接地后外表面的 $+q$ 流入大地，外表面电荷为 0。球壳外侧没有电荷，外部电场为 0。答案 ②。

解说　用到“静電遮蔽 + 接地”：内表面的 $-q$ 被中心的 $+q$ 束缚，不能流走；外表面的 $+q$ 被大地“接管”，流入大地。容易卡在：以为接地后所有电荷都跑光（④ 就是这样错的），其实内表面的 $-q$ 还在。选项排除：内表面必须与中心电荷异号，③④ 排除；不接地时外表面才是 $+q$，① 是忘了接地的结果。另一种解法：把接地理解为“球壳外部不能有电场线”，外部场强为 0 要求外表面电荷为 0，再由内表面感应 $-q$ 即可。

常用推论

• 导体内部感应电荷产生的场强 $\vec{E}'=-\vec{E}_0$（$\vec{E}_0$ 是外电荷在该点的场强）：大小相等、方向相反。求“感应电荷在某点的场强”时，只需算外电荷的场强再反向。
• 接地导体的电位为 $0\ \mathrm{V}$，可以作为列式的边界条件。教材没有单列，考试常用；条件是导体确实与大地相连，且大地取为电位零点。
• 半径为 $R$、电荷量为 $Q$ 的孤立导体球，表面和内部的电位都是 $k_0\dfrac{Q}{R}$，外部与点电荷的电位相同。教材没有单列，考试常用；条件是球外没有其他电荷。
• 导体表面的电荷面密度与表面曲率有关：尖端处电荷密集、场强大，容易发生尖端放电。

易错点

• 错在哪：认为接地后导体就不再带电，或认为接地会把导体上的电荷全部放掉。 为什么错：接地只把导体电位固定为 0，被异种电荷束缚的感应电荷不能流走。 正确做法：先判断哪些电荷能流入大地（外表面、未被束缚的），再判断内表面或近端的感应电荷是否保留。
• 错在哪：把“内部场强为零”理解成“外电场不存在”或“空腔内也没有电场”。 为什么错：为零的是合场强；外电场被感应电荷抵消。空腔内有电荷时，腔内仍有电场。 正确做法：分别画外电场和感应电荷的电场，再看它们的合场强；空腔内部按腔内电荷单独判断。
• 错在哪：把静电屏蔽的结论套到不导体上，认为不导体内部场强也为零。 为什么错：不导体没有自由电子，电荷不能自由移动，只能发生微观的誘電分極。 正确做法：导体内部场强为零，不导体内部场强只是减弱（15.6 节）。

直观理解

导体内部有大量自由电子，像一群可以自由走动的人。外面一有电场，他们就整体挪动，直到自己产生的电场把外电场在内部完全抵消——这是“以阵型抵消外力”的过程。接地相当于给这群人开了一扇通向大地的门：多余的电荷可以走出去，但被中心电荷牢牢拉住的电子不会走。金属网罩、汽车金属车身、屏蔽服都是利用这个原理：外面电场再强，里面的人不受影响。

关联知识点

• 前置：本书 15.2 電位（导体是等位体）；15.4 等電位面（导体表面是等位面）；国内书第 15 章 15.8 静电平衡与静电现象（静电平衡的条件、静电屏蔽、尖端放电）。
• 后续：本书 15.6 电场中的不导体（与导体对照）；第 16 章 コンデンサー（平行板间的电场、接地极板的电荷变化）。
• 常一起考：国内书第 16 章 16.5 等势面（导体表面是等势面）；国内书第 15 章 15.5 点电荷的场强（求感应电荷场强时要先算外电荷的场强）。

15.6 電場中の不導体と誘電分極

说明

不導体（绝缘体）：内部几乎没有可以自由移动的电荷，电荷不能像在导体中那样整体移动。日本教科书也叫誘電体（电介质）。国内高中不讲电介质，这一节是全新的内容。

誘電分極（电介质极化）：把不导体放进电场，分子内部的正负电荷会在电场力作用下发生微小偏移：正电荷沿电场方向偏，负电荷逆电场方向偏；如果是极性分子，分子整体会转向电场方向。结果是不导体的两个表面出现电荷：电场进入的一侧（靠近高电位的一侧）出现负电荷，电场离开的一侧（靠近低电位的一侧）出现正电荷。这些电荷被束缚在分子上，不能自由移动，叫分極電荷（束缚电荷）。

分極電荷的作用：分極電荷在电介质内部产生一个与外电场方向相反的电场 $\vec{E}'$，使内部合场强减弱：

$$E=E_0-E'<E_0$$

但分極電荷不能像导体中的自由电子那样一直移动到把外电场完全抵消，所以不导体内部场强不为零，只是变弱。对于充满平行板之间的电介质，内部场强变为

$$E=\frac{E_0}{\varepsilon_{\text r}}$$

其中 $\varepsilon_{\text r}$ 是比誘電率（相对介电常数），空气约为 1，水、玻璃等较大。这个式子和电容器的电容 $C=\varepsilon\dfrac{S}{d}$ 在第 16 章还会用到。

不导体也会被带电体吸引：带电体靠近不导体时，不导体发生誘電分極，靠近带电体的一侧出现异种电荷，远离的一侧出现同种电荷。异种电荷更近、吸引力更大，所以不带电的纸屑、水流会被带电的棒吸过去。

使用场景

• 不导体板放进匀强电场，问两个表面出现什么电荷、内部场强比外部大还是小 → 誘電分極 → 电场进入的一侧为负、离开的一侧为正，内部场强减弱但不为零。
• 带电体靠近不带电的绝缘体（纸屑、水流、塑料尺），问为什么会被吸引 → 誘電分極 → 近端异种电荷、远端同种电荷，近端吸引占优。

注意点

• 不导体内部的场强不为零，只是比外电场弱。这是和导体最关键的区别：导体内部合场强为零，不导体内部只是减弱。
• 分極電荷是束缚电荷，不能像自由电子那样流走，也不能通过接地导走。接地对不导体的分極状态几乎没有影响。
• 分極的方向：电场由左向右时，左表面为负、右表面为正。判断时想“正电荷顺着电场方向偏，负电荷逆着电场方向偏”。
• 不导体被吸引，不是因为“带了电”，而是因为分極后近端异种电荷的吸引力大于远端同种电荷的排斥力。整体不带电的绝缘体也会被带电体吸引。
• 比誘電率 $\varepsilon_{\text r}\ge1$，真空中等于 1，空气近似为 1。EJU 只做定性判断，不给复杂计算。

推导

为什么内部场强减弱但不为零：设外电场为 $E_0$。电介质分子分極后，两个表面出现面密度为 $\sigma'$ 的分極電荷（一侧正、一侧负），它们在介质内部产生的电场 $E'$ 与外电场方向相反。合场强 $E=E_0-E'$。如果分極電荷能像导体中的自由电荷那样无限移动，$E'$ 会一直增大到等于 $E_0$，内部场强变为零；但不导体的电荷被束缚在分子上，偏移量有限，$E'$ 只能达到某个小于 $E_0$ 的值，所以内部场强减弱而不为零。

（关键一步：导体与不导体的区别不在“有没有电荷”，而在“电荷能不能自由移动”。能自由移动，就抵消到零；不能自由移动，就只能部分抵消。定量关系 $E=E_0/\varepsilon_{\text r}$ 由分極電荷的面密度决定，高中直接给出结论。）

为什么带电体能吸引不带电的绝缘体：分極后近端出现异种电荷、远端出现同种电荷。库仑力随距离增大而减小，近端的吸引力大于远端的排斥力，合力指向带电体。所以即使绝缘体整体不带电，也会被吸引。这个推理对导体同样成立，只是导体分極更彻底。

例题

例 1　（场景：不导体板放入匀强电场 → 判断分極电荷的符号与内部场强）

問題　図のように，水平右向きの一様な電場の中に，不導体（誘電体）の板を電場に垂直に置いた。十分に時間がたった後の，板の左側の表面と右側の表面に現れる電荷，および板の内部の電場の強さについて，正しい組み合わせを次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，板は十分に広く，端の影響は無視できるものとする。

	左の表面	右の表面	内部の電場の強さ
①	$+$	$-$	外部より強い
②	$-$	$+$	外部と同じ
③	$-$	$+$	外部より弱い
④	$+$	$-$	$0$

解答　電場は右向きなので，不導体の分子内の正電荷は右へ，負電荷は左へ偏る。よって左の表面に負の分極電荷，右の表面に正の分極電荷が現れる。分極電荷は内部に左向きの電場をつくり，外部の電場を弱める。しかし分極電荷は自由に動けないので，内部の電場は 0 にはならず，外部より弱いままである。　答　③

中文翻译　题目：如图，把不导体（电介质）板垂直放入水平向右的匀强电场中。足够长时间后，板左表面、右表面出现的电荷以及板内电场强度，选正确的组合。板足够大，忽略边缘效应。① 左正右负，内部比外部强；② 左负右正，内部与外部相同；③ 左负右正，内部比外部弱；④ 左正右负，内部为 0。

解答：电场向右，不导体分子内的正电荷向右偏、负电荷向左偏。所以左表面出现负的分极电荷，右表面出现正的分极电荷。分极电荷在内部产生向左的电场，削弱外电场。但分极电荷不能自由移动，内部场强不会变为 0，只是比外部弱。答案 ③。

解说　用到“誘電分極的方向”和“内部场强减弱但不为零”。容易卡在：把不导体当成导体，选 ④（内部为 0）。选项排除：正电荷顺电场方向偏，右表面必为正，①④ 的右表面为负，先排除；② 认为内部场强不变，忽略了分極電荷的反向电场。记住一句话：“导体抵消到零，不导体只削弱。”

例 2　（场景：带电体吸引不带电的绝缘体 → 用誘電分極解释）

問題　帯電した塩ビの棒を，細かくちぎった紙片に近づけると，紙片が棒に引き寄せられて跳びつく。紙片が引き寄せられる理由として最も適当なものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，紙片は不導体で，はじめは帯電していないものとする。

①　紙は導体なので，棒の電荷が紙に移動するから。 ②　紙が誘電分極し，棒に近い側に棒と異種の電荷が現れるから。 ③　紙がもともと帯電しているから。 ④　紙の質量が小さいので，万有引力が静電気力より大きくなるから。

解答　棒の電荷の電場によって紙が誘電分極し，棒に近い側には棒と異種の電荷，遠い側には同種の電荷が現れる。異種の電荷は近いので引力が大きく，同種の電荷の斥力より勝る。よって紙は棒に引き寄せられる。　答　②

中文翻译　题目：把带电的聚氯乙烯棒靠近撕碎的纸片，纸片会被棒吸引而跳上去。纸片被吸引的理由，选最合适的一项。纸片是不导体，最初不带电。① 纸是导体，棒的电荷移动到纸上；② 纸发生电介质极化，靠近棒的一侧出现与棒异种的电荷；③ 纸本来就带电；④ 纸的质量小，所以万有引力比静电力大。

解答：棒的电荷产生的电场使纸发生电介质极化，靠近棒的一侧出现与棒异种的电荷，远离棒的一侧出现同种电荷。异种电荷距离近，吸引力大于同种电荷的排斥力，所以纸被棒吸引。答案 ②。

解说　这是誘電分極在生活中的直接应用。容易卡在：以为“不带电的东西不会被吸引”，其实分極后近端异种电荷占优，整体不带电也会被吸引。选项排除：纸是不导体，① 错在“导体内电荷移动”；③ 与题设“不带电”矛盾；④ 万有引力远小于静电力，方向也不对。另一种解法：把纸片想成许多小电偶极子，靠近棒的一端转向异种电荷，整片纸就被吸过去。

常用推论

• 电介质的介电常数 $\varepsilon=\varepsilon_{\text r}\varepsilon_0$，其中 $\varepsilon_0$ 是真空的介电常数。教材没有单列，考试常用；第 16 章电容器的 $C=\varepsilon\dfrac{S}{d}$ 会用到。
• 平行板间充满电介质后，场强变为 $\dfrac{E_0}{\varepsilon_{\text r}}$，电压也变为原来的 $\dfrac{1}{\varepsilon_{\text r}}$（电荷量不变时）。教材没有单列，考试常用；这是电容器插入介质后电容变大的原因。
• 不导体靠近带电体时，无论带电体带正电还是负电，都会被吸引（分極后近端总是异种电荷）。条件是物体足够轻，能克服重力。

易错点

• 错在哪：认为不导体内部场强为零，把不导体当导体。 为什么错：不导体的电荷被束缚，分極只能部分抵消外电场，不能完全抵消。 正确做法：导体内部合场强为零；不导体内部场强为 $\dfrac{E_0}{\varepsilon_{\text r}}$，只是减弱。
• 错在哪：认为接地能把不导体的分極电荷导走，或认为不导体接地后内部场强为零。 为什么错：分極電荷是束缚电荷，不能自由移动，接地没有可流走的自由电荷。 正确做法：接地只对导体有意义；不导体的分極状态由外电场和分子结构决定。
• 错在哪：把分極电荷的符号记反（以为电场进入的一侧是正电荷）。 为什么错：正电荷顺电场方向偏，负电荷逆电场方向偏，电场进入的一侧留下负电荷。 正确做法：画一个分子，正电荷往电场方向挪、负电荷往反方向挪，再看两个表面。

直观理解

不导体像一群被弹簧拴住的住户：外面一有电场，每家的正负电荷只能在自己的分子里挪一小步，不能整栋搬走。挪动之后，迎风的一面露出负电荷、背风的一面露出正电荷，这些电荷产生的“回风”把外电场削弱了一部分，但永远吹不散外电场。导体则像没有拴绳的人群，可以一直走到把外电场完全挡住。带电的棒吸引纸屑，就是纸屑里的“住户”被棒重新排列后，近端异种电荷把整片纸拉过去。

关联知识点

• 前置：本书 15.5 電場中の導体（导体与不导体的对照）；国内书第 15 章 15.4 电场强度（外电场 $E_0$ 的概念）。
• 后续：本书第 16 章 コンデンサー（誘電体、電気容量 $C=\varepsilon\dfrac{S}{d}$、介电常数）；第 16 章还会用到“插入介质后场强减弱”这个结论。
• 常一起考：国内书第 15 章 15.8 静电平衡与静电现象（只讲导体，可与本节对照）；国内书第 15 章 15.2 电荷与电荷守恒（摩擦起电与带电体吸引轻小物体）。

15.7 题型与答法

電場と電位在 EJU 里出现在大問 Ⅳ（電気と磁気）的前半，形式以字母式和组合题为主。据 20 回公开过去问，本章内容共出现 31 次（每回平均 1.6 次），是电磁气部分仅次于电流与磁场的第二高频章。2021 年第 1 回 Ⅳ 問 1 考的是正方形四顶点上的点电荷（一个顶点的合力为零，求电量比），是“场强叠加 + 对称性”的典型。过去问里本章的考点集中在：库仑力作用下的平衡、点电荷场强的叠加、电场线与等位面的判断、匀强电场中的功和电位差。

两分钟做法：

1. 先看是“力”还是“能”：求力、场强用矢量叠加；求功、电位、能量用代数和。
2. 点电荷的题先标出每个电荷到目标点的距离，$E=k_0\dfrac{|Q|}{r^2}$ 判方向，$V=k_0\dfrac{Q}{r}$ 带符号相加。
3. 匀强电场先写 $E=\dfrac{V}{d}$ 或 $W=qEd$，$d$ 取沿场强方向的投影。
4. 导体题先问“内部场强为零、整体等位、电荷在外表面”；出现“接地”就把导体电位设为 0。
5. 选项核对：量纲（V、N/C、J）、特殊值（$r$ 相等、$\theta=0$、电荷为零）、对称性（成对抵消）。

問題 1　（正方形顶点的点电荷：中心场强为零，对称性消去对角两项）

次の図のように，一辺の長さ $a$ の正方形 ABCD があり，頂点 A，B，C にそれぞれ $+Q$，$-Q$，$+Q$ の点電荷を固定した。頂点 D に電気量 $q$ の点電荷を置いたとき，正方形の中心 O の電場が 0 になった。ただし，クーロン定数を $k_0$ とする。

問　$q$ はどのように表されるか。正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$+Q$　　②　$-Q$　　③　$+\sqrt{2}Q$　　④　$-\sqrt{2}Q$

解答　O から四つの頂点までの距離はすべて等しい。A と C はともに対角の位置にあり，電気量がともに $+Q$ なので，O につくる電場は大きさが等しく向きが反対で，打ち消し合う。残るのは B の $-Q$ が O につくる電場で，向きは O から B の向きである。これを打ち消すには，D の電荷が O につくる電場が O から D の向きでなければならない。負電荷は O から D の向きの電場をつくるので $q<0$。距離が等しいので大きさは $|q|=Q$。よって $q=-Q$。　答　②

中文翻译　题目：如图，边长 $a$ 的正方形 ABCD，顶点 A、B、C 分别固定 $+Q$、$-Q$、$+Q$ 的点电荷。在顶点 D 放电荷量 $q$ 的点电荷时，正方形中心 O 的电场为 0。库仑常量为 $k_0$。问：$q$ 怎么表示？从①～④中选一个正确的。① $+Q$；② $-Q$；③ $+\sqrt{2}Q$；④ $-\sqrt{2}Q$。

解答：O 到四个顶点的距离都相等。A、C 位于对角，电荷量都是 $+Q$，在 O 产生的电场大小相等、方向相反，互相抵消。剩下 B 的 $-Q$ 在 O 产生的电场，方向从 O 指向 B。要抵消它，D 的电荷在 O 产生的电场必须从 O 指向 D。负电荷产生的电场指向自己，所以 $q<0$；距离相等，大小 $|q|=Q$。因此 $q=-Q$。答案 ②。

解说　两分钟做法：先找对称性。A、C 同号且在对角，场强直接抵消；只剩下 B 和 D 这一对对角。B 是 $-Q$，要让 O 的合场强为零，D 必须在反方向产生同样大的场强——距离相同，所以电荷等大；方向要求 D 为负。选项排除：A、C 抵消后合场强不为零，D 的电荷必须提供大小等于 B 的场强，距离又相同，所以 $|q|=Q$，③④ 的 $\sqrt2$ 来自把对角距离当边长，排除。

問題 2　（一様電場中で糸につるした帯電球のつり合い）

次の図のように，質量 $m$，電気量 $q$（$q>0$）の小さな球を軽い糸で天井からつるし，水平右向きの一様な電場をかけたところ，糸は鉛直から角 $\theta$ だけ傾いて球は静止した。ただし，重力加速度の大きさを $g$ とする。

問　電場の強さ $E$ はどのように表されるか。正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$\dfrac{mg\sin\theta}{q}$　　②　$\dfrac{mg\tan\theta}{q}$　　③　$\dfrac{mg}{q\tan\theta}$　　④　$\dfrac{qmg}{\tan\theta}$

解答　球にはたらく力は，重力 $mg$（鉛直下向き），静電気力 $qE$（右向き），糸の張力 $T$（糸の向き）の 3 つである。つり合いより

$$T\sin\theta=qE,\qquad T\cos\theta=mg$$

辺々を割ると

$$\tan\theta=\frac{qE}{mg}\quad\Rightarrow\quad E=\frac{mg\tan\theta}{q}$$

検算：$\theta\to0$ で $E\to0$（電場が弱ければ糸は鉛直）；$\theta\to90^\circ$ で $E\to\infty$（糸を水平にするには無限大の電場が要る）。次元は $\dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}$ で正しい。　答　②

中文翻译　题目：如图，把质量 $m$、电荷量 $q$（$q>0$）的小球用轻线悬挂在天花板上，加水平向右的匀强电场后，线偏离竖直方向 $\theta$ 角，小球静止。重力加速度为 $g$。问：场强 $E$ 怎么表示？从①～④中选一个正确的。① $\dfrac{mg\sin\theta}{q}$；② $\dfrac{mg\tan\theta}{q}$；③ $\dfrac{mg}{q\tan\theta}$；④ $\dfrac{qmg}{\tan\theta}$。

解答：小球受三个力：重力 $mg$（竖直向下）、静电力 $qE$（向右）、线的张力 $T$（沿线方向）。由平衡条件，水平方向 $T\sin\theta=qE$，竖直方向 $T\cos\theta=mg$。两式相除得 $\tan\theta=\dfrac{qE}{mg}$，所以 $E=\dfrac{mg\tan\theta}{q}$。检验：$\theta\to0$ 时 $E\to0$；$\theta\to90^\circ$ 时 $E\to\infty$；量纲为 N/C，正确。答案 ②。

解说　这是“电场力＋重力＋张力”的三力平衡，和国内书第 15 章 15.7 带电体在电场中的平衡是同一套路，只是题面换成日文。两分钟做法：画受力图，水平竖直分解，消去张力 $T$。容易卡在：把 $qE$ 画成沿糸方向，或把 $\sin$、$\cos$ 用反。选项排除：用极限 $\theta\to0$，$E$ 应为 0，③④ 在 $\theta\to0$ 时发散，排除；① 在 $\theta=90^\circ$ 时只给有限值，也不对。另一种解法：把重力和静電力合成，合力必须沿糸的反方向，$\tan\theta=\dfrac{qE}{mg}$ 一步可得。

問題 3　（点電荷のまわりの等電位面：電位と電場の比較）

次の図のように，正の点電荷 $+Q$ のまわりに電気力線と等電位面が描かれている。同じ等電位面上の 2 点 A，B と，内側の等電位面上の点 C がある。ただし，無限遠点を電位の基準とする。

問　A，B，C の電位の大小と電場の強さの大小の組み合わせとして正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

	電位	電場の強さ
①	$V_A=V_B>V_C$	$E_A=E_B<E_C$
②	$V_A=V_B>V_C$	$E_A=E_B>E_C$
③	$V_A=V_B<V_C$	$E_A=E_B<E_C$
④	$V_A>V_B>V_C$	$E_A>E_B>E_C$

解答　等電位面上の点は電位が等しいので $V_A=V_B$。正の点電荷の電位は $V=k_0\dfrac{Q}{r}$ で，$r$ が小さいほど大きい。C は内側の等電位面上にあるので $V_C>V_A$。電場の強さは $E=k_0\dfrac{Q}{r^2}$ で，$r$ が小さいほど強いので $E_C>E_A=E_B$。　答　①

中文翻译　题目：如图，正点电荷 $+Q$ 周围画出电场线和等位面。A、B 在同一条等位面上，C 在内侧的等位面上。以无限远点为电位零点。问：A、B、C 的电位大小和电场强度大小的组合，选正确的。① $V_A=V_B>V_C$，$E_A=E_B<E_C$；② $V_A=V_B>V_C$，$E_A=E_B>E_C$；③ $V_A=V_B<V_C$，$E_A=E_B<E_C$；④ $V_A>V_B>V_C$，$E_A>E_B>E_C$。

解答：同一条等位面上电位相等，$V_A=V_B$。正点电荷的电位 $V=k_0\dfrac{Q}{r}$，$r$ 越小越大，C 在内侧，所以 $V_C>V_A$。场强 $E=k_0\dfrac{Q}{r^2}$，$r$ 越小越强，所以 $E_C>E_A=E_B$。答案 ①。

解说　等位面就是“电位相同的点的集合”，同一条线上电位必相等，这是最快的排除依据（④ 先排除）。点电荷的电位和场强都随 $r$ 减小而增大，但一个是 $1/r$、一个是 $1/r^2$，强弱顺序一致：越靠近正电荷，电位越高、场强越强。选项排除：C 在内侧，电位应比 A、B 高，③ 把大小关系弄反；② 把场强关系弄反。另一种解法：沿电场线方向电位降低，从 C 沿电场线向外走到 A、B 所在的等位面，电位一路降低，所以 $V_C>V_A$；电场线密的地方场强大，C 附近电场线更密，$E_C$ 更大。

15.8 术语与题干用语

日文	读音	中文	例句或说明
電場	でんば	电场	一様な電場の中に点電荷を置く。
電位	でんい	电位	無限遠点を電位の基準とする。
電位差	でんいさ	电位差	A，B 間の電位差を $V$ とする。
静電気力	せいでんきりょく	静电力	静電気力がする仕事を求めよ。
クーロンの法則	クーロンのほうそく	库仑定律	クーロンの法則より，力を求める。
クーロン定数	クーロンていすう	库仑常量	クーロン定数を $k_0$ とする。
電気量	でんきりょう	电荷量	電気量 $q$ の点電荷を置く。
点電荷	てんでんか	点电荷	点電荷のまわりの電位。
電気力線	でんきりきせん	电场线	電気力線は正電荷から出て負電荷に入る。
等電位面	とうでんいめん	等位面	等電位面は電気力線に垂直である。
一様な電場	いちようなでんば	匀强电场	平行板の間は一様な電場になる。
静電気力による位置エネルギー	せいでんきりょくによるいちエネルギー	静电势能	位置エネルギーは $U=qV$ で表される。
静電誘導	せいでんゆうどう	静电感应	静電誘導によって金属球の両側に電荷が現れる。
静電遮蔽	せいでんしゃへい	静电屏蔽	金属の網で静電遮蔽する。
接地	せっち	接地	金属球殻を接地すると電位が 0 になる。
誘導電荷	ゆうどうでんか	感应电荷	導体の表面に誘導電荷が現れる。
誘電分極	ゆうでんぶんきょく	电介质极化	不導体は誘電分極によって内部の電場が弱まる。
不導体	ふどうたい	不导体、绝缘体	不導体は電荷を自由に移動させない。
誘電体	ゆうでんたい	电介质	誘電体を電場の中に置く。
分極電荷	ぶんきょくでんか	分极电荷、束缚电荷	分極電荷は自由に動けない。
比誘電率	ひゆうでんりつ	相对介电常数	比誘電率が大きいほど内部の電場は弱い。

15.9 自测

1　無限遠点を電位の基準とする。電気量 $-Q$ の点電荷から距離 $r$ の点の電位はいくらか。

（以无限远点为电位零点，负点电荷 $-Q$ 周围距离 $r$ 处的电位是多少？）

2　電位 $100\ \mathrm{V}$ の点から電位 $300\ \mathrm{V}$ の点へ，電気量 $+2.0\times10^{-9}\ \mathrm{C}$ の点電荷を移すとき，静電気力がする仕事はいくらか。

（把电荷量 $+2.0\times10^{-9}\ \mathrm{C}$ 的点电荷从电位 $100\ \mathrm{V}$ 的点移到 $300\ \mathrm{V}$ 的点，静电力做多少功？）

3　一様な電場の中を，電場に垂直な方向に距離 $d$ だけ離れた 2 点の電位差はいくらか。

（匀强电场中，沿垂直电场方向相距 $d$ 的两点电位差是多少？）

4　間隔 $0.10\ \mathrm{m}$ の平行板極板間に $5.0\times10^2\ \mathrm{V}$ の電位差を加えた。極板間の電場の強さは何 V/m か。

（间距 $0.10\ \mathrm{m}$ 的平行板间加 $5.0\times10^2\ \mathrm{V}$ 电位差，板间场强是多少 V/m？）

5　帯電していない金属球に，正に帯電した棒を近づけた。金属球の棒から遠い側にはどのような電荷が現れるか。

（把带正电的棒靠近不带电的金属球，金属球远离棒的一侧出现什么电荷？）

6　中空の金属球殻の内部に $+q$ の点電荷を置き，球殻を接地しないとき，球殻の外表面の電気量はいくらか。

（空心金属球壳内部放 $+q$ 的点电荷，球壳不接地时，外表面电荷量是多少？）

7　不導体を一様な電場の中に置くと，内部の電場の強さはどうなるか。

（把不导体放入匀强电场，内部电场强度怎样变化？）

8　正の点電荷のまわりの等電位面はどのような形か。

（正点电荷周围的等位面是什么形状？）

答案：1　$-\dfrac{k_0Q}{r}$　2　$-4.0\times10^{-7}\ \mathrm{J}$　3　$0\ \mathrm{V}$　4　$5.0\times10^3\ \mathrm{V/m}$　5　正の電荷　6　$+q$　7　外部より弱くなるが 0 にはならない　8　点電荷を中心とする同心球面

15.10 深入阅读

• JASSO · 理科（物理）シラバス：本章对应「電場」：静電気力、クーロンの法則、電場、電気力線、電位、等電位面、電場中の導体・不導体。
• 维基百科（日文）· 電場：電場的日文定义、点电荷的场强、电场线的画法，配合本章 15.2 节。
• 维基百科（日文）· 電位：電位、電位差和点电荷电位的日文表述，配合本章 15.2–15.4 节。
• PhET · 电荷与电场：拖动正负电荷看电场线和等位面，配合本章 15.2、15.4 节。