第 10 章 · 熱と温度・熱と仕事

项目	内容
シラバス项目	Ⅱ 熱 1. 熱と温度 (1) 熱と温度，(2) 物質の状態，(3) 熱と仕事
国内书对应	第 31 章 31.6 节（温度、分子动能与内能）；第 32 章 32.2 节（温度与温标）；第 33 章（热力学第一、第二定律）
本章新内容的分量	约一半新：熱量の保存、比熱与潜熱的定量计算、熱膨張，国内高中没有或只在初中出现过；热力学第一、第二定律国内书第 33 章讲过，但日本写法 $Q = \Delta U + W'$ 和熱効率要新学
过去问出现次数	20 回共 38 題（每回平均 1.9 題），仅次于能量动量章（39 題），属于高频

国内高中在热学上分两条线：一条是分子动理论，讲温度是分子平均动能的标志、内能是什么；另一条是热力学定律，讲 $\Delta U = W + Q$ 和第二定律。比热、潜热、热膨胀这些“算热量”的内容，高中书只在国内初中出现过，日本高中却要求用 $\mathrm{J/(g \cdot K)}$ 做定量计算。EJU 的熱大問通常有三题：A 题多是热量保存、比热或加热曲线，B、C 题多是气体状态变化、$p$-$V$ 图和热力学第一定律。中国学生丢分主要丢在三处：含相变的混合问题不先判断冰有没有全部熔化；第一定律的 $W$、$Q$ 正负号弄反；热效率的分母用错。

10.1 与国内的对照

シラバス小項目（日文原文）	国内书位置	相同 / 讲法不同 / 国内没有	本章哪节讲
熱運動・熱平衡・温度・絶対温度	国内书第 31 章 31.6 节（温度与内能）；第 32 章 32.2 节（温度与温标、热平衡）	相同，见国内书；本章只复习	—
熱量	国内书第 33 章 33.2 节（热量是过程量）	相同概念；日本用 $\mathrm{J/(g \cdot K)}$ 计算	10.2
熱容量・比熱（比熱容量）	国内书第 33 章 33.2 节注意点只出现 $Q = cm\Delta t$，高中不展开；初中讲过比热容	讲法不同：日本把熱容量 $C$ 单列，比热单位用 $\mathrm{J/(g \cdot K)}$	10.2
熱量の保存	国内初中讲过同种物质混合，高中书没有	讲法不同：EJU 常考混合、容器热容量和含相变的判断	10.3
物質の三態・融点・沸点	国内书第 31 章 31.6 节（熔化、沸腾时温度不变）；第 32 章 32.9 节（晶体有熔点）	相同，见国内书	10.4
融解熱・蒸発熱・潜熱	国内书第 31 章 31.6 节只定性（吸热增加分子势能）	讲法不同：EJU 给数值，用 $Q = mL$ 计算	10.4
熱膨張	无（初中“热胀冷缩”只定性）	国内没有	10.5
熱と仕事・内部エネルギー	国内书第 33 章 33.2、33.3 节	相同，记号不同	10.6
熱力学第1法則	国内书第 33 章 33.3 节（$\Delta U = W + Q$）	讲法不同：日本写 $\Delta U = Q + W$，部分教科书用 $Q = \Delta U + W'$	10.6
不可逆変化・熱力学第2法則	国内书第 33 章 33.5 节	相同，定性，EJU 常作选项	10.8
熱機関・熱効率	国内初中“热机效率”；高中书没有	讲法不同：EJU 用 $e = W_{\text{out}}/Q_{\text{in}}$ 计算	10.7

本章的顺序：先学热量、热容量和比热的算法（10.2），再学热平衡和含相变的混合问题（10.3），然后是潜热和加热曲线（10.4）、热膨胀（10.5），接着是热力学第一定律（10.6）、热机和热效率（10.7），最后是不可逆变化和第二定律（10.8）。国内书第 31、32 章讲过的分子动理论、温标和热平衡，本章不再展开。

10.2 熱量・熱容量・比熱

说明

熱量（热量） $Q$：物体之间因为温度差而转移的内能的多少，单位焦耳 $\mathrm{J}$。热量是过程量，只能说“吸收”“放出”了多少热量，不能说物体“含有”多少热量。国内书第 33 章 33.2 节已经讲过这一点，EJU 的概念题也常考。

熱容量（热容量） $C$：一个物体（或容器）温度升高 $1\ \mathrm{K}$ 所吸收的热量，单位 $\mathrm{J/K}$。热容量是物体的属性，同一个物体质量变了，热容量就变。

比熱（比热） $c$：单位质量的某种物质温度升高 $1\ \mathrm{K}$ 所吸收的热量，单位 $\mathrm{J/(g \cdot K)}$。比热是物质的属性，和物体的质量无关。日本高中和 EJU 的数值题习惯把质量用 $\mathrm{g}$、比热用 $\mathrm{J/(g \cdot K)}$，这样 $m$ 和 $c$ 的单位直接配套，不用把 $\mathrm{g}$ 换成 $\mathrm{kg}$。

热量、热容量和比热的关系：

$$Q = mc\Delta T,\qquad Q = C\Delta T,\qquad C = mc$$

其中 $\Delta T$ 是温度变化。温度用摄氏度 $t$ 还是热力学温度 $T$ 都可以，因为温度差的数值相同：$\Delta T = \Delta t$。例如从 $20\ \mathrm{^\circ C}$ 升到 $80\ \mathrm{^\circ C}$，$\Delta T = 60\ \mathrm{K}$，不是 $80\ \mathrm{K}$。

几种常见物质的比热（$\mathrm{J/(g \cdot K)}$）：

物质	水	氷	銅	鉄	アルミニウム
比熱	4.2	2.1	0.39	0.45	0.88

水的比热特别大，是本章很多“水升温慢、放热多”现象的根据。

使用场景

• 题目给出质量、比热（或容器的热容量）和温度变化，求吸收或放出的热量 → 水等内容物用 $Q = mc\Delta T$，容器用 $Q = C\Delta T$，最后相加。

注意点

• 比热的单位是 $\mathrm{J/(g \cdot K)}$，不是 $\mathrm{J/(kg \cdot K)}$。$1\ \mathrm{J/(g \cdot K)} = 10^3\ \mathrm{J/(kg \cdot K)}$，看到国内习惯的 $\mathrm{J/(kg \cdot {}^\circ C)}$ 要先把数值除以 $10^3$ 再代入。
• 温度变化是“末温减初温”，不是末温本身。$80\ \mathrm{^\circ C}$ 的水降到 $20\ \mathrm{^\circ C}$，放出的热量按 $60\ \mathrm{K}$ 算。
• 容器也要吸热。题目说“容器の熱容量を $210\ \mathrm{J/K}$ とする”时，容器的热量 $Q = C\Delta T$ 不能漏；说“容器の熱容量は無視できる”时才不计。
• 热量是过程量。选项里出现“物体含有的热量”这类说法，直接判错。
• 比热是物质属性：质量加倍，热容量加倍，比热不变。
• 水的比热 $4.2\ \mathrm{J/(g \cdot K)}$ 表示 $1\ \mathrm{g}$ 水升高 $1\ \mathrm{K}$ 要吸 $4.2\ \mathrm{J}$；这个数在 EJU 题里通常在「ただし」句中给出。

推导

比热的定义：实验上，把质量 $m$ 的某种物质加热，测出它升高 $\Delta T$ 所需的热量 $Q$，发现 $Q$ 与 $m$、$\Delta T$ 都成正比，比例系数只由物质种类决定。把这个比例系数叫比热：

$$c = \frac{Q}{m\Delta T}\quad\Longrightarrow\quad Q = mc\Delta T$$

热容量：把整个物体看成一个整体，定义 $C = Q/\Delta T$。因为 $Q = mc\Delta T$，所以 $C = mc$。容器的热容量 $C$ 可以折算成“相当于多少克水”：$m_{\text{eq}} = C/c_{\text{水}}$，例如 $C = 210\ \mathrm{J/K}$ 相当于 $210/4.2 = 50\ \mathrm{g}$ 水。这个折算在 10.3 的混合问题里很好用。

为什么摄氏度差和开尔文差相同：$T = t + 273$，两温度相减时 $273$ 抵消，所以 $\Delta T = \Delta t$。因此 $Q = mc\Delta T$ 里代摄氏度差或开尔文差都可以，但代温度本身不行。

例题

例 1　（场景：给质量、比热和温度变化，容器另有热容量 → 分别算热量再相加）

問題　銅製の容器に水 300 g を入れて，全体の温度を 20 ℃ から 80 ℃ まで上げたい。ただし，水の比熱を 4.2 J/(g·K)，銅の比熱を 0.39 J/(g·K)，容器の質量を 100 g とし，容器と水の温度は常に等しく，熱は外部に逃げないものとする。容器と水が受け取る熱量の合計は何 J か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$9.4 \times 10^3\ \mathrm{J}$　　②　$7.6 \times 10^4\ \mathrm{J}$　　③　$7.8 \times 10^4\ \mathrm{J}$　　④　$1.3 \times 10^5\ \mathrm{J}$

解答　水が受け取る熱量は

$$Q_{\text{水}} = 300 \times 4.2 \times (80 - 20)\ \mathrm{J} = 7.56 \times 10^4\ \mathrm{J}$$

銅の容器が受け取る熱量は

$$Q_{\text{銅}} = 100 \times 0.39 \times 60\ \mathrm{J} = 2.34 \times 10^3\ \mathrm{J}$$

合計は

$$Q = 7.56 \times 10^4 + 0.234 \times 10^4\ \mathrm{J} = 7.794 \times 10^4\ \mathrm{J} \approx 7.8 \times 10^4\ \mathrm{J}$$

検算：水だけで約 $7.6 \times 10^4\ \mathrm{J}$，銅の容器は水の $1/3$ の質量で比熱が約 $1/10$ なので，容器の寄与は $1$ 割弱。　答　③

中文翻译　题目：在铜制容器中装入 300 g 水，要把整体温度从 20 ℃ 升到 80 ℃。水的比热为 4.2 J/(g·K)，铜的比热为 0.39 J/(g·K)，容器质量为 100 g，容器和水温度始终相同，热不向外部散失。容器和水吸收的热量合计是多少 J？从①～④中选最合适的值。解答：水吸收的热量 $Q_{\text{水}} = 300 \times 4.2 \times 60 = 7.56 \times 10^4\ \mathrm{J}$；铜容器吸收的热量 $Q_{\text{銅}} = 100 \times 0.39 \times 60 = 2.34 \times 10^3\ \mathrm{J}$；合计 $7.794 \times 10^4\ \mathrm{J} \approx 7.8 \times 10^4\ \mathrm{J}$。检验：水约 $7.6 \times 10^4\ \mathrm{J}$，铜容器质量是水的 $1/3$、比热约 $1/10$，容器贡献不到一成。答案 ③。

解说　用到本节的两条：水用 $Q = mc\Delta T$，容器用 $Q = C\Delta T$（这里 $C = mc$），最后相加。容易卡在单位：题给的是 $\mathrm{J/(g \cdot K)}$，质量也是 $\mathrm{g}$，直接乘即可，不要换成 $\mathrm{kg}$。选项排除：① 把水的比热错用成铜的；② 只算了水；④ 把温度差当成 $100\ \mathrm{K}$ 算；③ 才是加上容器后的值。另一种解法：把铜容器折算成水，$m_{\text{eq}} = 100 \times 0.39/4.2 = 9.3\ \mathrm{g}$，总等效水量 $309\ \mathrm{g}$，$Q = 309 \times 4.2 \times 60 \approx 7.8 \times 10^4\ \mathrm{J}$，适合心算核对。

常用推论

• $C = mc$。同一个物体，质量加倍，热容量加倍；比热不变。
• 容器的热容量可折算成“等效水量” $m_{\text{eq}} = C/c_{\text{水}}$，混合问题里把它并进水的质量，式子更短。
• 同种物质、温度变化相同时，热量与质量成正比；同质量、同温度变化时，热量与比热成正比。
• 教材没有，考试常用：水的比热约为常见金属的 $5$–$10$ 倍，所以同样吸热，水的温度变化小。这是“水作冷却剂”“海边昼夜温差小”的定量根据。

易错点

• 错在哪：把 $\mathrm{J/(g \cdot K)}$ 当成 $\mathrm{J/(kg \cdot K)}$，或者把质量从 $\mathrm{g}$ 换成 $\mathrm{kg}$ 时又乘了一次 $10^3$。 为什么错：$\mathrm{J/(g \cdot K)}$ 和 $\mathrm{J/(kg \cdot K)}$ 差 $10^3$ 倍；单位和质量的单位必须配套，都用 $\mathrm{g}$ 就不用换算。 正确做法：看到比热单位是 $\mathrm{J/(g \cdot K)}$，质量就用 $\mathrm{g}$；看到 $\mathrm{J/(kg \cdot K)}$，质量再用 $\mathrm{kg}$。
• 错在哪：温度变化用末温或初温代替温差。 为什么错：热量正比于温度变化，不是温度本身；$80\ \mathrm{^\circ C}$ 的水降到 $20\ \mathrm{^\circ C}$ 放出的热量按 $60\ \mathrm{K}$ 算，不是 $80\ \mathrm{K}$。 正确做法：先写 $\Delta T = T_{\text{末}} - T_{\text{初}}$（或初减末，取正），再代入。
• 错在哪：只算水，漏掉容器吸收的热量。 为什么错：容器和水的温度一起升高，容器也吸热；题目给了容器的质量或热容量，就是提醒你要算。 正确做法：把系统分成“水”和“容器”两部分，分别写 $Q$，再相加；或把容器折算成等效水量。

直观理解

同样用火烧一壶水和一块铁，水升温慢得多，因为水的比热大。海边白天海水吸热升温慢，晚上放热降温也慢，所以沿海地区昼夜温差比内陆小。记法：比热就是“这种物质升温有多费热”。

关联知识点

• 前置：国内书第 31 章 31.6 节（温度、内能）、第 33 章 33.2 节（热量是过程量）；国内初中比热容。
• 后续：本书 10.3 節 熱量の保存，10.4 節 潜熱，10.6 節 熱力学第 1 法則。
• 常一起考：第 11 章 気体の性質（气体的定压、定积摩尔热容）；第 6 章 エネルギーと運動量（功与能的单位换算）。

10.3 熱量の保存

说明

熱量の保存（热量守恒）：在一个与外界没有热交换的系统里，高温物体放出的热量等于低温物体和容器吸收的热量，最后所有物体达到热平衡，温度相同。

$$Q_{\text{放}} = Q_{\text{吸}}$$

或写成

$$m_1c_1(T_1 - t) = m_2c_2(t - T_2) + C(t - T_2)$$

其中 $T_1$ 是高温物体的初温，$T_2$ 是低温物体的初温，$t$ 是共同的终温，$C$ 是容器的热容量。

含相变的混合：冰水混合时，终温不一定是 $0\ \mathrm{^\circ C}$ 以上的某个值。正确做法是先比较：

• 低温物体（或水）能提供的热量 $Q_{\text{可供}}$；
• 冰全部熔化所需要的热量 $Q_{\text{必要}} = m_{\text{冰}}L_{\text{融解}}$。

若 $Q_{\text{可供}} < Q_{\text{必要}}$，冰不会全部熔化，终温保持 $0\ \mathrm{^\circ C}$，只能熔化一部分；若 $Q_{\text{可供}} > Q_{\text{必要}}$，冰全部熔化，再继续升温，剩下的热量用于加热全部的水。

使用场景

• 两种温度的物质（水和水、金属和水）混合，没有相变 → 列 $Q_{\text{放}} = Q_{\text{吸}}$，求终温、比热或质量。
• 混合中有冰熔化或水凝固 → 先算“可供热”和“全部相变所需热”，判断终态，再列方程。

注意点

• 容器有热容量时，$Q_{\text{吸}}$ 里要加 $C(t - T_2)$；题目说“断熱容器”只保证没有热损失，不等于容器热容量为零，要看有没有给 $C$。
• 终温必须合理：只有 $0\ \mathrm{^\circ C}$ 的冰和水混合，终温不会低于 $0\ \mathrm{^\circ C}$；只有 $100\ \mathrm{^\circ C}$ 以下的水，终温不会高于 $100\ \mathrm{^\circ C}$。解出 $t < 0\ \mathrm{^\circ C}$ 或 $t > 100\ \mathrm{^\circ C}$，说明相变判断错了。
• 冰的初温不是 $0\ \mathrm{^\circ C}$ 时，先算冰升温到 $0\ \mathrm{^\circ C}$ 需要的热量，再算熔化。
• 相变过程中温度不变，不能用 $mc\Delta T$ 算熔化热；熔化热用 $Q = mL$。
• 质量用 $\mathrm{g}$ 时，比热用 $\mathrm{J/(g \cdot K)}$，潜热用 $\mathrm{J/g}$，三者配套。
• 题目说“热损失忽略”“断熱”时，才可以认为 $Q_{\text{放}} = Q_{\text{吸}}$。

推导

热平衡方程：系统与外界绝热，总热量不丢失。高温物体放出的热量全部被低温物体和容器吸收：

$$Q_{\text{放}} = Q_{\text{吸}}$$

代入 $Q = mc\Delta T$ 和 $Q = C\Delta T$，得

$$m_1c_1(T_1 - t) = m_2c_2(t - T_2) + C(t - T_2)$$

这是一个关于 $t$ 的一次方程，解出 $t$ 即可。

含相变的判断：设冰的质量为 $m_{\text{冰}}$，初温 $0\ \mathrm{^\circ C}$；水的质量为 $m_{\text{水}}$，初温 $T_{\text{水}} > 0\ \mathrm{^\circ C}$。水降到 $0\ \mathrm{^\circ C}$ 能放出的热量

$$Q_{\text{可供}} = m_{\text{水}}c_{\text{水}}T_{\text{水}}$$

冰全部熔化需要

$$Q_{\text{必要}} = m_{\text{冰}}L_{\text{融解}}$$

比较两者：$Q_{\text{可供}} < Q_{\text{必要}}$ 时，终温 $0\ \mathrm{^\circ C}$，熔化的冰 $m = Q_{\text{可供}}/L_{\text{融解}}$；$Q_{\text{可供}} > Q_{\text{必要}}$ 时，冰全部熔化，剩余热量 $Q_{\text{可供}} - Q_{\text{必要}}$ 用来把总质量 $m_{\text{水}} + m_{\text{冰}}$ 的水从 $0\ \mathrm{^\circ C}$ 加热到 $t$。

为什么终温相同：温度不同的物体接触，热量从高温物体流向低温物体，直到温度相同、没有净热流，即热平衡。这是 10.3 节方程的依据。

例题

例 1　（场景：不同温度的水混合，容器有热容量 → 列热平衡方程）

問題　断熱容器に 80 ℃ の水 100 g と 20 ℃ の水 150 g を入れてよくかき混ぜた。ただし，水の比熱を 4.2 J/(g·K)，容器の熱容量を 210 J/K とし，容器も水と同じ温度になり，熱は外部に逃げないものとする。全体の温度は何 ℃ になるか。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　36 ℃　　②　40 ℃　　③　44 ℃　　④　56 ℃

解答　全体の温度を $t$ とすると，高温の水が失う熱量は，低温の水と容器が得る熱量に等しい。

$$100 \times 4.2 \times (80 - t) = 150 \times 4.2 \times (t - 20) + 210 \times (t - 20)$$

左辺と右辺を整理すると

$$420(80 - t) = 840(t - 20)$$ $$33600 - 420t = 840t - 16800$$ $$50400 = 1260t \quad\therefore\ t = 40\ \mathrm{^\circ C}$$

検算：容器の熱容量 $210\ \mathrm{J/K}$ は水 $50\ \mathrm{g}$ に相当する。水 $100\ \mathrm{g}$（$80\ \mathrm{^\circ C}$）と水 $200\ \mathrm{g}$（$20\ \mathrm{^\circ C}$）を混ぜたのと同じで，$t = (100 \times 80 + 200 \times 20)/300 = 40\ \mathrm{^\circ C}$。　答　②

中文翻译　题目：在绝热容器中放入 80 ℃ 的水 100 g 和 20 ℃ 的水 150 g，充分搅拌。水的比热为 4.2 J/(g·K)，容器热容量为 210 J/K，容器与水同温，热不向外散失。整体温度是多少 ℃？从①～④中选最合适的值。解答：设整体温度为 $t$，高温水放出的热量等于低温水和容器吸收的热量：$100 \times 4.2 \times (80 - t) = 150 \times 4.2 \times (t - 20) + 210 \times (t - 20)$。整理得 $420(80 - t) = 840(t - 20)$，$33600 - 420t = 840t - 16800$，$50400 = 1260t$，所以 $t = 40\ \mathrm{^\circ C}$。检验：容器热容量 210 J/K 相当于 50 g 水，等同于 100 g 的 80 ℃ 水和 200 g 的 20 ℃ 水混合，$(100 \times 80 + 200 \times 20)/300 = 40\ \mathrm{^\circ C}$。答案 ②。

解说　用到本节的热平衡方程。容易卡在容器一项：$210 \times (t - 20)$ 是容器吸收的热量，不是 $210 \times t$。选项排除：① 36 ℃ 是把容器当成 100 g 水算的结果；③ 44 ℃ 漏了容器；④ 56 ℃ 把两杯水的质量比弄反且漏了容器。另一种解法：把容器折算成 $210/4.2 = 50\ \mathrm{g}$ 水，问题变成 100 g 的 80 ℃ 水和 200 g 的 20 ℃ 水混合，直接加权平均，30 秒可得 40 ℃。

例 2　（场景：冰水混合，先判断冰是否全部熔化 → 有剩余冰）

問題　断熱容器に 0 ℃ の氷 100 g と 40 ℃ の水 150 g を入れてよくかき混ぜた。ただし，水の比熱を 4.2 J/(g·K)，氷の融解熱を $3.3 \times 10^2\ \mathrm{J/g}$ とし，熱は外部に逃げないものとする。氷が残るとき，残る氷の質量は何 g か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　24 g　　②　50 g　　③　76 g　　④　92 g

解答　水 150 g が $0\ \mathrm{^\circ C}$ までに放出できる熱量は

$$Q_{\text{可供}} = 150 \times 4.2 \times 40\ \mathrm{J} = 2.52 \times 10^4\ \mathrm{J}$$

氷 100 g を全部融かすのに必要な熱量は

$$Q_{\text{必要}} = 100 \times 3.3 \times 10^2\ \mathrm{J} = 3.3 \times 10^4\ \mathrm{J}$$

$Q_{\text{可供}} < Q_{\text{必要}}$ なので，氷はすべては融けず，全体の温度は $0\ \mathrm{^\circ C}$ のままである。融ける氷の質量を $m$ とすると

$$m \times 3.3 \times 10^2 = 2.52 \times 10^4 \quad\therefore\ m = 76.36\ \mathrm{g}$$

残る氷の質量は

$$100 - 76.36\ \mathrm{g} \approx 24\ \mathrm{g}$$

検算：融けた氷 $76\ \mathrm{g}$ が水 $150\ \mathrm{g}$ の熱をちょうど使い切る。もし氷が全部融けたとすると，水の温度は $0\ \mathrm{^\circ C}$ より低くなってしまい，不合理である。　答　①

中文翻译　题目：在绝热容器中放入 0 ℃ 的冰 100 g 和 40 ℃ 的水 150 g，充分搅拌。水的比热为 4.2 J/(g·K)，冰的熔化热为 $3.3 \times 10^2\ \mathrm{J/g}$，热不向外散失。冰有剩余时，剩余冰的质量是多少 g？从①～④中选最合适的值。解答：150 g 水降到 0 ℃ 能放出 $Q_{\text{可供}} = 150 \times 4.2 \times 40 = 2.52 \times 10^4\ \mathrm{J}$；100 g 冰全部熔化需要 $Q_{\text{必要}} = 100 \times 3.3 \times 10^2 = 3.3 \times 10^4\ \mathrm{J}$。因为 $Q_{\text{可供}} < Q_{\text{必要}}$，冰不会全部熔化，整体温度保持 0 ℃。设熔化的冰为 $m$，$m \times 3.3 \times 10^2 = 2.52 \times 10^4$，得 $m = 76.36\ \mathrm{g}$。剩余冰 $100 - 76.36 \approx 24\ \mathrm{g}$。检验：熔化的 76 g 冰恰好用完 150 g 水的热量；若假设冰全部熔化，水温会低于 0 ℃，不合理。答案 ①。

解说　本节最重要的一步是“先判断、再列式”。容易卡在直接设终温 $t$ 列方程，把冰全部熔化当前提；一旦 $Q_{\text{可供}}$ 不够，方程解出的 $t$ 是负的，没有物理意义。选项排除：③ 76 g 是熔化的冰，不是剩余的冰；② 50 g 是质量一半，没有根据；④ 92 g 是把熔化热当成 $3.3 \times 10^3\ \mathrm{J/g}$ 算出的剩余量。

常用推论

• 容器热容量可折算成等效水量 $m_{\text{eq}} = C/c_{\text{水}}$，混合问题可少算一项。
• 同种物质、无相变的两份水混合，终温是质量加权平均：$t = (m_1T_1 + m_2T_2)/(m_1 + m_2)$。
• 含相变时，先比较 $Q_{\text{可供}}$ 和 $Q_{\text{必要}}$；教材没有，考试常用。比较的结果决定终态是“冰水共存 $0\ \mathrm{^\circ C}$“还是”全部熔化后继续升温”。
• 只要容器里有冰和水共存，温度一定是 $0\ \mathrm{^\circ C}$（标准大气压），直到冰全部熔化或水全部凝固。

易错点

• 错在哪：不判断冰是否全部熔化，直接假设终温高于 $0\ \mathrm{^\circ C}$ 列方程。 为什么错：冰全部熔化需要大量潜热，水的显热可能不够；假设不成立时，方程的解没有物理意义。 正确做法：先算 $Q_{\text{可供}}$ 和 $Q_{\text{必要}}$，比较后再决定终态。
• 错在哪：把熔化热也用 $mc\Delta T$ 算，认为 $0\ \mathrm{^\circ C}$ 的冰变成 $0\ \mathrm{^\circ C}$ 的水不吸热。 为什么错：相变过程中温度不变，吸收的热量用于改变分子势能，必须用 $Q = mL$。 正确做法：相变段单独用 $Q = mL$，温度变化段才用 $Q = mc\Delta T$。
• 错在哪：漏掉容器热容量，或把容器的质量当成水的质量。 为什么错：容器和水一起升温，容器也吸热；容器的热容量 $C$ 和水的 $mc$ 不能混。 正确做法：把容器单列一项 $C(t - T_2)$，或折算成等效水量。

直观理解

热咖啡里加冷牛奶，整杯会降到某个中间温度；冰块放进饮料，只要还有冰，饮料就一直保持在 $0\ \mathrm{^\circ C}$ 附近。热量守恒就是“高温物体失去的，等于低温物体得到的”，中间没有凭空产生或消失。

关联知识点

• 前置：本书 10.2 節 熱量・熱容量・比熱；国内书第 31 章 31.6 节（熔化吸热）、第 33 章 33.2 节（热量）。
• 后续：本书 10.4 節 潜熱，10.6 節 熱力学第 1 法則。
• 常一起考：第 11 章 気体の性質（气体状态变化中的热交换）；国内初中混合问题。

10.4 潜熱

说明

物質の三態（物质三态）：固体、液体、气体。固体变成液体叫融解，液体变成气体叫蒸発（在液体内部和表面同时剧烈发生叫沸騰）。对应的温度叫融点和沸点。标准大气压下，冰的融点是 $0\ \mathrm{^\circ C}$，水的沸点是 $100\ \mathrm{^\circ C}$。

潜熱（潜热）：物质在温度不变的相变过程中吸收或放出的热量。单位质量的潜热叫比潜热，EJU 题里直接叫融解熱（熔化热）和蒸発熱（汽化热），单位 $\mathrm{J/g}$ 或 $\mathrm{J/kg}$。

$$Q = mL$$

其中 $m$ 是发生相变的质量，$L$ 是潜热。冰的融解热约为 $3.3 \times 10^2\ \mathrm{J/g}$，水在 $100\ \mathrm{^\circ C}$ 的蒸発熱约为 $2.3 \times 10^3\ \mathrm{J/g}$。蒸発熱大约是融解熱的 $7$ 倍。

为什么相变时温度不变：加热提供的能量用来克服分子间的引力、增大分子势能，而不是增大分子平均动能；温度是分子平均动能的标志，所以温度不变（国内书第 31 章 31.6 节已从内能角度讲过）。

加热曲线：把一定质量的物质用恒定功率加热，画温度—时间图像，会看到“升温的斜线”和“温度不变的平台”交替出现。冰升温、冰熔化、水升温、水沸腾、水蒸气升温，对应五段；两个平台就是熔化热和汽化热。

使用场景

• 题目给出加热曲线或恒功率电热器，求某段吸收的热量、所需时间或潜热 → 分段处理：升温段用 $Q = mc\Delta T$，相变段用 $Q = mL$，再用 $Q = Pt$ 求时间。

注意点

• 融解熱、蒸発熱的单位常是 $\mathrm{J/g}$，和质量 $\mathrm{g}$ 配套；如果是 $\mathrm{J/kg}$，质量要换成 $\mathrm{kg}$。
• 相变平台的长度与潜热成正比：同一热源、同样质量，蒸発平台比融解平台长得多（约 $7$ 倍）。
• $0\ \mathrm{^\circ C}$ 的冰化成 $0\ \mathrm{^\circ C}$ 的水要吸 $3.3 \times 10^2\ \mathrm{J/g}$，温度计上看不出变化，但内能增加了。
• $100\ \mathrm{^\circ C}$ 的水蒸气比 $100\ \mathrm{^\circ C}$ 的水烫伤更严重，因为水蒸气液化时放出 $2.3 \times 10^3\ \mathrm{J/g}$ 的蒸発熱。
• 「蒸発」和「沸騰」不同：蒸発在任何温度下都可以发生在液体表面；沸騰在沸点、液体内部和表面同时发生。EJU 的蒸発熱通常指沸点处的汽化热。
• 加热曲线的斜率：同一热源、同样质量，$\Delta T/\Delta t = P/(mc)$，比热越小，斜率越陡。

推导

潜热的定义：实验发现，晶体熔化或液体沸腾时，温度保持不变，但必须持续吸热；吸收的热量与质量成正比：

$$Q = mL$$

比例系数 $L$ 叫比潜热（融解熱或蒸発熱）。

加热曲线为什么有平台：设电热器功率为 $P$，质量为 $m$。升温段，$P\Delta t = mc\Delta T$，所以斜率

$$\frac{\Delta T}{\Delta t} = \frac{P}{mc}$$

相变段，温度不变，$P\Delta t = mL$，平台长度

$$\Delta t = \frac{mL}{P}$$

所以同一物质、同一功率下，平台长度与潜热成正比；冰的熔化平台比水的升温段“平”得多，蒸発平台又比熔化平台长约 $7$ 倍（$L_{\text{蒸発}}/L_{\text{融解}} \approx 2.3 \times 10^3 / 3.3 \times 10^2 \approx 7$）。

为什么温度不变：相变时分子排列方式改变，分子势能变化；加热提供的能量主要用来克服分子间引力，分子平均动能不变，温度不变。这也是“潜热”这个名字的来源：热量“潜藏”在物态变化里，温度计显示不出来。

例题

例 1　（场景：恒功率加热冰，加热曲线分两段 → 求熔化所需时间）

問題　次の図のように，−10 ℃ の氷 100 g を電力 210 W の電熱器で加熱した。氷がすべて融けて 0 ℃ の水になるまで何 s かかるか。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，氷の比熱を 2.1 J/(g·K)，氷の融解熱を $3.3 \times 10^2\ \mathrm{J/g}$ とし，電熱器の熱はすべて氷と水に伝わり，外部に逃げないものとする。

①　$1.0 \times 10^2\ \mathrm{s}$　　②　$1.7 \times 10^2\ \mathrm{s}$　　③　$2.5 \times 10^2\ \mathrm{s}$　　④　$3.5 \times 10^2\ \mathrm{s}$

解答　氷を $-10\ \mathrm{^\circ C}$ から $0\ \mathrm{^\circ C}$ まで温める熱量は

$$Q_1 = 100 \times 2.1 \times 10\ \mathrm{J} = 2.1 \times 10^3\ \mathrm{J}$$

氷を融かす熱量は

$$Q_2 = 100 \times 3.3 \times 10^2\ \mathrm{J} = 3.3 \times 10^4\ \mathrm{J}$$

合計は

$$Q = Q_1 + Q_2 = 3.51 \times 10^4\ \mathrm{J}$$

電熱器の電力が $210\ \mathrm{W}$ なので，かかる時間は

$$t = \frac{Q}{P} = \frac{3.51 \times 10^4}{210}\ \mathrm{s} = 167\ \mathrm{s} \approx 1.7 \times 10^2\ \mathrm{s}$$

検算：融解だけで $3.3 \times 10^4/210 \approx 157\ \mathrm{s}$，氷を温めるのに約 $10\ \mathrm{s}$，合計約 $167\ \mathrm{s}$。融解が時間の大部分を占めるのは，融解熱が大きいためである。　答　②

中文翻译　题目：如图，用功率 210 W 的电热器加热 −10 ℃ 的冰 100 g。冰全部熔化成 0 ℃ 的水需要多少 s？从①～④中选最合适的值。冰的比热为 2.1 J/(g·K)，冰的熔化热为 $3.3 \times 10^2\ \mathrm{J/g}$，电热器的热全部传给冰和水，不向外部散失。解答：把冰从 −10 ℃ 升到 0 ℃ 需要 $Q_1 = 100 \times 2.1 \times 10 = 2.1 \times 10^3\ \mathrm{J}$；熔化需要 $Q_2 = 100 \times 3.3 \times 10^2 = 3.3 \times 10^4\ \mathrm{J}$；合计 $Q = 3.51 \times 10^4\ \mathrm{J}$。电热器功率 210 W，时间 $t = Q/P = 3.51 \times 10^4/210 = 167\ \mathrm{s} \approx 1.7 \times 10^2\ \mathrm{s}$。检验：熔化本身约 157 s，冰升温约 10 s，合计约 167 s；熔化占大部分时间，因为熔化热很大。答案 ②。

解说　用到本节的分段算法：升温段 $Q = mc\Delta T$，相变段 $Q = mL$，再用 $Q = Pt$。容易卡在把熔化段也用 $mc\Delta T$ 算：$0\ \mathrm{^\circ C}$ 的冰和 $0\ \mathrm{^\circ C}$ 的水温差为零，会算出熔化不吸热，明显错误。选项排除：①③④ 都是分段热量或功率用错得到的值；关键是熔化段必须用 $Q = mL$，不能用 $mc\Delta T$，也不能漏掉冰升温段。

常用推论

• 同一热源、同样质量，平台长度比为 $L_{\text{蒸発}} : L_{\text{融解}} \approx 2.3 \times 10^3 : 3.3 \times 10^2 \approx 7 : 1$。
• 加热曲线的斜率与比热成反比：冰的比热约为水的一半，所以冰升温段比水升温段陡。
• 水蒸气烫伤比开水严重：$100\ \mathrm{^\circ C}$ 的水蒸气先液化成 $100\ \mathrm{^\circ C}$ 的水，放出 $2.3 \times 10^3\ \mathrm{J/g}$，再降温继续放热。
• 教材没有，考试常用：冰水混合物在 $0\ \mathrm{^\circ C}$ 时，吸收的热量先用于熔化冰，温度不上升；有冰剩余时，温度不会高于 $0\ \mathrm{^\circ C}$。

易错点

• 错在哪：把相变段也用 $Q = mc\Delta T$ 算。 为什么错：相变时温度不变，$\Delta T = 0$，会得出吸收热量为零的荒谬结果；相变吸热必须用 $Q = mL$。 正确做法：先判断哪一段是相变，相变段用 $Q = mL$，升温段用 $Q = mc\Delta T$。
• 错在哪：忘记冰从负温升到 $0\ \mathrm{^\circ C}$ 的那一段热量。 为什么错：冰的初温低于 $0\ \mathrm{^\circ C}$ 时，先要吸收显热升温，再吸收潜热熔化；漏掉第一段，时间算少。 正确做法：画加热曲线，把升温段和平台段都列出来，逐段算 $Q$ 再相加。
• 错在哪：把融解熱和蒸発熱的数值用反，或认为蒸発熱比融解熱小。 为什么错：汽化要完全克服分子间引力，需要的能量比熔化多，蒸発熱约为融解熱的 $7$ 倍。 正确做法：记住水的 $L_{\text{融解}} \approx 3.3 \times 10^2\ \mathrm{J/g}$，$L_{\text{蒸発}} \approx 2.3 \times 10^3\ \mathrm{J/g}$，后者大一个数量级。

直观理解

冰在 $0\ \mathrm{^\circ C}$ 融化时，温度计不动，但冰一直在变小；这期间吸收的热量都用来拆开分子间的“架子”，没有变成分子运动。出汗时汗水蒸发吸热，所以觉得凉快；水蒸气遇到皮肤液化放热，所以蒸汽烫伤更厉害。

关联知识点

• 前置：国内书第 31 章 31.6 节（熔化、沸腾时温度不变，吸热增加分子势能）；本书 10.2 節 比熱。
• 后续：本书 10.5 節 熱膨張，10.6 節 熱力学第 1 法則（相变时内能变化）。
• 常一起考：第 11 章 気体の性質（沸腾、蒸发与饱和蒸汽压）；第 10.3 節 含相变的混合。

10.5 熱膨張

说明

熱膨張（热膨胀）：温度升高时，物体内部分子平均间距增大，物体的长度、面积、体积都变大。固体、液体、气体都有热膨胀，气体的膨胀最明显。

線膨張率（线膨胀率） $\alpha$：温度每升高 $1\ \mathrm{K}$，物体长度相对原长的增加量。长度为 $l_0$ 的物体，温度升高 $\Delta t$ 后，伸长量为

$$\Delta l = \alpha l_0 \Delta t$$

膨胀后的长度

$$l = l_0(1 + \alpha\Delta t)$$

$\alpha$ 的单位是 $\mathrm{1/K}$（或 $\mathrm{1/{}^\circ C}$），数值很小。常见的线膨胀率：鉄 $1.2 \times 10^{-5}\ \mathrm{K^{-1}}$，銅 $1.7 \times 10^{-5}\ \mathrm{K^{-1}}$，アルミニウム $2.3 \times 10^{-5}\ \mathrm{K^{-1}}$，ガラス约 $0.9 \times 10^{-5}\ \mathrm{K^{-1}}$。

体膨張率（体膨胀率） $\beta$：温度每升高 $1\ \mathrm{K}$，体积相对原体积的增加量。对各向同性的固体，近似有

$$\beta \approx 3\alpha$$

使用场景

• 题目给原长、线膨胀率和温度变化，求伸长量，或判断预留的间隙是否足够 → $\Delta l = \alpha l_0\Delta t$，再和间隙比较。

注意点

• $\Delta t$ 是温度变化，不是末温。$10\ \mathrm{^\circ C}$ 到 $40\ \mathrm{^\circ C}$，$\Delta t = 30\ \mathrm{K}$。
• $\alpha$ 的单位 $\mathrm{1/K}$ 和 $\mathrm{1/{}^\circ C}$ 数值相同，因为温度差相同。
• 用原长 $l_0$ 乘，不是膨胀后的长度；$\alpha$ 很小，两者差别可以忽略，但概念上要用原长。
• 各向同性的固体，体膨胀率约为线膨胀率的 $3$ 倍；不能把 $\alpha$ 直接当 $\beta$ 用。
• 带孔的物体加热时，孔也会变大，不是变小。可以把孔想象成“填满同样金属的实心部分”，整体膨胀时孔跟着膨胀。
• 水在 $0$–$4\ \mathrm{^\circ C}$ 之间反常膨胀（温度升高体积反而减小），这是例外，EJU 热膨胀计算一般不给水。

推导

线膨胀公式：实验发现，温度变化不大时，伸长量 $\Delta l$ 与原长 $l_0$、温度变化 $\Delta t$ 都成正比：

$$\Delta l \propto l_0\Delta t\quad\Longrightarrow\quad \Delta l = \alpha l_0\Delta t$$

比例系数 $\alpha$ 就是线膨胀率。膨胀后的长度 $l = l_0 + \Delta l = l_0(1 + \alpha\Delta t)$。

体膨胀与线膨胀的关系：设一个边长为 $l_0$ 的立方体，温度升高 $\Delta t$ 后，每边变为 $l_0(1 + \alpha\Delta t)$。体积

$$V = l_0^3(1 + \alpha\Delta t)^3 = V_0(1 + 3\alpha\Delta t + 3\alpha^2\Delta t^2 + \alpha^3\Delta t^3)$$

因为 $\alpha \sim 10^{-5}$，$\alpha\Delta t \ll 1$，高次项可以忽略，所以

$$V \approx V_0(1 + 3\alpha\Delta t)$$

与 $V = V_0(1 + \beta\Delta t)$ 比较，得 $\beta \approx 3\alpha$。

为什么会有热膨胀：温度升高，分子平均动能增大，分子在平衡位置附近的振动幅度增大，平均间距变大，宏观上表现为长度、体积增加。这不是“分子本身变大”，而是“分子之间的平均距离变大”。

例题

例 1　（场景：铁轨温度升高，求伸长量 → 线膨胀公式）

問題　長さ 20.0 m の鉄のレールがある。気温が 10 ℃ から 40 ℃ に上がったとき，レールの伸びは何 mm か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，鉄の線膨張率を $1.2 \times 10^{-5}\ \mathrm{K^{-1}}$ とし，レールの温度は気温と同じになるものとする。

①　2.4 mm　　②　4.8 mm　　③　7.2 mm　　④　12 mm

解答　温度変化は

$$\Delta t = 40 - 10 = 30\ \mathrm{K}$$

伸びは

$$\Delta l = \alpha l_0\Delta t = 1.2 \times 10^{-5} \times 20.0 \times 30\ \mathrm{m} = 7.2 \times 10^{-3}\ \mathrm{m} = 7.2\ \mathrm{mm}$$

検算：$20\ \mathrm{m}$ のレールが $30\ \mathrm{K}$ で $7\ \mathrm{mm}$ 伸びる。線膨張率が $10^{-5}$ の桁なので，伸びは長さの $10^{-4}$ 倍程度，すなわち $2\ \mathrm{mm}$ 台から $10\ \mathrm{mm}$ 台，妥当である。　答　③

中文翻译　题目：有一段长 20.0 m 的铁轨。气温从 10 ℃ 升到 40 ℃ 时，铁轨伸长多少 mm？从①～④中选最合适的值。铁的线膨胀率为 $1.2 \times 10^{-5}\ \mathrm{K^{-1}}$，铁轨温度与气温相同。解答：温度变化 $\Delta t = 40 - 10 = 30\ \mathrm{K}$。伸长量 $\Delta l = \alpha l_0\Delta t = 1.2 \times 10^{-5} \times 20.0 \times 30 = 7.2 \times 10^{-3}\ \mathrm{m} = 7.2\ \mathrm{mm}$。检验：20 m 的铁轨在 30 K 下伸长约 7 mm；线膨胀率是 $10^{-5}$ 量级，伸长为原长的 $10^{-4}$ 倍左右，合理。答案 ③。

解说　用到本节的 $\Delta l = \alpha l_0\Delta t$。容易卡在温度差：用 $40\ \mathrm{K}$ 或 $10\ \mathrm{K}$ 都会错。选项排除：① 用 $\Delta t = 10\ \mathrm{K}$；② 用 $\Delta t = 20\ \mathrm{K}$；④ 用 $\Delta t = 50\ \mathrm{K}$（把 $10 + 40$ 当成温差）。另一种解法：先算相对伸长 $\Delta l/l_0 = 1.2 \times 10^{-5} \times 30 = 3.6 \times 10^{-4}$，再乘 $20\ \mathrm{m}$，得 $7.2\ \mathrm{mm}$，适合不用记公式顺序时核对。

常用推论

• 体膨胀率 $\beta \approx 3\alpha$（各向同性固体）。
• 两种金属的线膨胀率不同，粘在一起做成双金属片，升温时会向膨胀小的一侧弯曲，可作温度开关。
• 长桥、铁轨要留伸缩缝，缝隙至少要有 $\Delta l$ 的余量；否则夏天会拱起。
• 教材没有，考试常用：带孔的金属板加热，孔也按同样的线膨胀率变大；金属环加热后内径变大，能套过更大的轴。

易错点

• 错在哪：把线膨胀率 $\alpha$ 当成伸长量，忘记乘原长和温度变化。 为什么错：$\alpha$ 是“每单位长度、每开尔文”的相对伸长，不是绝对伸长；$\Delta l = \alpha l_0\Delta t$ 三个量缺一不可。 正确做法：先写 $\Delta l = \alpha l_0\Delta t$，再代入，最后检查单位：$\mathrm{1/K} \times \mathrm{m} \times \mathrm{K} = \mathrm{m}$。
• 错在哪：温度变化用末温或初温。 为什么错：热膨胀由温度变化决定，不是由温度本身决定；$10\ \mathrm{^\circ C}$ 到 $40\ \mathrm{^\circ C}$ 是 $30\ \mathrm{K}$。 正确做法：先算 $\Delta t = t_{\text{末}} - t_{\text{初}}$，再代入。
• 错在哪：认为带孔的物体加热后孔会变小。 为什么错：孔周围的金属同样膨胀，孔的各方向尺寸都按 $\alpha$ 增大；可以把它看成“孔里填满了同样的金属”。 正确做法：孔按实心物体处理，加热后孔径变大；金属环加热后内径变大。

直观理解

夏天柏油路面会鼓起来，所以水泥路面要切成一块一块、留缝；铁轨之间也留缝，否则热胀时会互相挤压、扭曲。玻璃杯突然倒进开水容易裂，是因为内壁先膨胀、外壁还没膨胀，产生应力。

关联知识点

• 前置：本书 10.2 節 比熱（温度变化）；国内初中“热胀冷缩”的定性知识。
• 后续：本书 10.6 節 熱力学第 1 法則（气体膨胀做功）；第 11 章 気体の性質（气体状态变化）。
• 数学：近似 $(1 + x)^3 \approx 1 + 3x$（$x$ 很小时），见《高中数学知识点梳理》函数与导数部分。

10.6 熱力学第 1 法則

说明

内部エネルギー（内能） $U$：物体内部所有分子热运动动能和分子势能的总和。内能是状态量，由温度、体积、物态和物质的量决定。对理想气体，分子间没有作用力，分子势能不计，内能只由温度决定（第 11 章）。

改变内能有两种方式：热传递（传递热量 $Q$）和做功（外界对气体做功 $W$）。热力学第一定律说，内能的变化等于两者之和：

$$\Delta U = Q + W$$

符号约定（日本高中和本书一致）：

• $Q > 0$：气体吸收热量；$Q < 0$：气体放出热量。
• $W > 0$：外界对气体做功（压缩）；$W < 0$：气体对外做功（膨胀）。

日本的部分教科书把热力学第一定律写成

$$Q = \Delta U + W'$$

其中 $W'$ 是气体对外做的功，$W' = -W$。两种写法是同一个式子移项，代入时不要混用：题干说「外部からされた仕事 $W$」就用 $\Delta U = Q + W$；说「気体がした仕事 $W'$」就用 $\Delta U = Q - W'$。EJU 两种说法都出现过，读题时先圈出“谁对谁做功”。

$p$-$V$ 图上的功：气体对外做的功 $W'$ 等于 $p$-$V$ 图里过程曲线下方的面积（带正负号）；外界对气体做的功 $W = -W'$。膨胀时 $W' > 0$，$W < 0$；压缩时 $W' < 0$，$W > 0$。定积变化 $W' = 0$；等压变化 $W' = p\Delta V$；循环过程 $W'$ 是闭合曲线围成的面积，顺时针为正。

体积单位要换算：$1\ \mathrm{L} = 10^{-3}\ \mathrm{m^3}$，$1\ \mathrm{Pa \cdot m^3} = 1\ \mathrm{J}$。

使用场景

• 题目用文字给出吸放热和做功，求内能变化或温度变化 → 先定正负号，再代 $\Delta U = Q + W$。
• 题目给 $p$-$V$ 图上的过程，求功、热量或内能变化 → 先由面积求 $W'$，取 $W = -W'$，再代第一定律。

注意点

• $W$ 是“气体被做的功”，不是“气体做的功”。气体膨胀时 $W < 0$，压缩时 $W > 0$，这是最容易反的地方。
• $Q$ 是“气体吸收的热量”，放热取负。题目说“放出 $1.5 \times 10^2\ \mathrm{J}$”，代 $Q = -1.5 \times 10^2\ \mathrm{J}$。
• 日本部分教科书用 $Q = \Delta U + W'$（$W'$ 为气体对外做的功）。两种写法结果相同，但 $W$ 和 $W'$ 差一个负号，不能把题干给的数直接套错公式。
• 理想气体的内能只看温度：温度不变，$\Delta U = 0$；温度升高，$\Delta U > 0$。这一点和第 11 章的气体状态变化一起考。
• 绝热过程 $Q = 0$，$\Delta U = W$（或 $\Delta U = -W'$）；等温过程（理想气体）$\Delta U = 0$，$Q = W'$。
• 循环过程回到原状态，$\Delta U = 0$，所以净吸热等于对外做的净功：$Q_{\text{in}} - Q_{\text{out}} = W'$。
• $p$-$V$ 图的面积是功，不是内能变化；不要把“面积大”直接当成“内能增加多”。
• 体积用 $\mathrm{L}$ 时，先换成 $10^{-3}\ \mathrm{m^3}$，否则功会差 $10^3$ 倍。

推导

第一定律的来历：焦耳的实验表明，做功和热传递都能改变物体的内能，而且两者可以按固定的比例互相转化。把热量和功的单位统一成焦耳后，能量守恒写成

$$\Delta U = Q + W$$

即“内能的增加 = 吸收的热量 + 外界对物体做的功”。

等压过程的功：气体在压强 $p$ 下体积从 $V_1$ 变到 $V_2$，气体对外做的功

$$W' = p(V_2 - V_1) = p\Delta V$$

外界对气体做的功 $W = -p\Delta V$。在 $p$-$V$ 图上，这是一条水平线下的矩形面积。

一般过程的功：把过程分成很多小段，每段压强近似不变，功为 $p\Delta V$，累加得

$$W' = \int_{V_1}^{V_2} p\,dV$$

即过程曲线下方的面积。面积在 $V$ 轴上方（膨胀）为正，压缩为负。

与日本写法的关系：由 $W' = -W$，$\Delta U = Q + W$ 可以写成 $\Delta U = Q - W'$，移项得 $Q = \Delta U + W'$。日本部分教科书直接用后一种形式，好处是 $W'$ 的符号与“气体对外做功”的直觉一致；本书统一用 $\Delta U = Q + W$，在解题时按题干说法转换。

例题

例 1　（场景：文字给出压缩做功和放热 → 定符号代公式）

問題　気体を圧縮するとき，外部から気体に $2.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$ の仕事をし，気体は $1.5 \times 10^2\ \mathrm{J}$ の熱を放出した。気体の内部エネルギーの変化は何 J か。正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$-3.5 \times 10^2\ \mathrm{J}$　　②　$-5.0 \times 10^1\ \mathrm{J}$　　③　$+5.0 \times 10^1\ \mathrm{J}$　　④　$+3.5 \times 10^2\ \mathrm{J}$

解答　外部からされた仕事は $W = +2.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$，放出した熱は $Q = -1.5 \times 10^2\ \mathrm{J}$ である。熱力学第1法則より

$$\Delta U = Q + W = (-1.5 \times 10^2) + (2.0 \times 10^2)\ \mathrm{J} = +5.0 \times 10^1\ \mathrm{J}$$

すなわち，内部エネルギーは $5.0 \times 10^1\ \mathrm{J}$ 増加する。　答　③

中文翻译　题目：压缩气体时，外界对气体做 $2.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$ 的功，气体放出 $1.5 \times 10^2\ \mathrm{J}$ 的热。气体内能变化是多少 J？从①～④中选正确的。解答：外界对气体做的功 $W = +2.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$，放出的热 $Q = -1.5 \times 10^2\ \mathrm{J}$。由热力学第一定律 $\Delta U = Q + W = -1.5 \times 10^2 + 2.0 \times 10^2 = +5.0 \times 10^1\ \mathrm{J}$，即内能增加 $5.0 \times 10^1\ \mathrm{J}$。答案 ③。

解说　用到本节的正负号约定。容易卡在：气体被压缩，$W$ 取正；气体放热，$Q$ 取负，两个符号不能都按“大小”相加。选项排除：① 把两个大小相加且取负；② 把 $W$ 当成负、$Q$ 当成正；④ 把两个大小相加。另一种解法：题干若改写为“気体がした仕事 $W' = -2.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$”，就用 $\Delta U = Q - W' = -1.5 \times 10^2 - (-2.0 \times 10^2) = +5.0 \times 10^1\ \mathrm{J}$，结果相同。

例 2　（场景：$p$-$V$ 图直线过程 → 面积求功，再求内能变化）

問題　次の図のように，理想気体の状態が A（$2.0\ \mathrm{L}$，$1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$）から B（$4.0\ \mathrm{L}$，$2.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$）まで直線的に変化した。この過程で気体が吸収した熱量が $8.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$ のとき，気体の内部エネルギーの変化は何 J か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$2.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$　　②　$3.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$　　③　$5.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$　　④　$1.1 \times 10^3\ \mathrm{J}$

解答　気体がした仕事 $W'$ は，$p$-$V$ 図の台形の面積に等しい。

$$W' = \frac{1}{2}(1.0 \times 10^5 + 2.0 \times 10^5) \times (4.0 - 2.0) \times 10^{-3}\ \mathrm{J} = 3.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$$

外部からされた仕事は $W = -W' = -3.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$。吸収した熱は $Q = +8.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$ なので

$$\Delta U = Q + W = 8.0 \times 10^2 - 3.0 \times 10^2\ \mathrm{J} = 5.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$$

検算：体積が増えているので，気体は外部に正の仕事をしている。吸収した熱の一部が仕事に使われ，残りが内部エネルギーの増加になる。$500 + 300 = 800$ で，熱量の収支が合う。　答　③

中文翻译　题目：如图，理想气体从 A（2.0 L，$1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$）直线变化到 B（4.0 L，$2.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$）。这一过程中气体吸收的热量为 $8.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$ 时，气体内能变化是多少 J？从①～④中选最合适的值。解答：气体对外做的功 $W'$ 等于 p-V 图中梯形的面积：$W' = \frac{1}{2}(1.0 \times 10^5 + 2.0 \times 10^5) \times (4.0 - 2.0) \times 10^{-3} = 3.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$。外界对气体做的功 $W = -W' = -3.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$。吸收的热 $Q = +8.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$，所以 $\Delta U = Q + W = 8.0 \times 10^2 - 3.0 \times 10^2 = 5.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$。检验：体积增大，气体对外做正功；吸收的热一部分用于做功，一部分增加内能，$500 + 300 = 800$，热量收支吻合。答案 ③。

解说　用到本节的两条：$p$-$V$ 图面积是气体对外做的功 $W'$，第一定律里的 $W = -W'$。容易卡在：直接把面积 $300\ \mathrm{J}$ 当成内能变化，或者把 $W'$ 的符号取正后仍用 $\Delta U = Q + W$，得 $1100\ \mathrm{J}$。选项排除：① 只用低压 $1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$ 乘体积变化，得 $200\ \mathrm{J}$；② 把面积 $300\ \mathrm{J}$ 当成内能变化；④ 把 $W'$ 当成 $+300\ \mathrm{J}$ 代入第一定律。另一种解法：直接用日本教科书形式 $\Delta U = Q - W' = 800 - 300 = 500\ \mathrm{J}$，一步到位，适合题干用「気体がした仕事」的说法。

常用推论

• 定积变化：$W' = 0$，$\Delta U = Q$；吸热全部用于增加内能。
• 等压变化：$W' = p\Delta V$，$Q = \Delta U + p\Delta V$。
• 绝热变化：$Q = 0$，$\Delta U = W = -W'$；气体绝热膨胀对外做功，内能减小、温度降低。
• 等温变化（理想气体）：$\Delta U = 0$，$Q = W'$；吸收的热全部变成功。
• 循环过程：$\Delta U = 0$，$Q_{\text{in}} - Q_{\text{out}} = W'$；净吸热等于对外做的净功。
• 教材没有，考试常用：$p$-$V$ 图上顺时针循环，气体对外做正功；逆时针循环，外界对气体做正功。面积相同，符号相反。

易错点

• 错在哪：把 $W$ 当成“气体对外做的功”，膨胀时取正。 为什么错：本书和日本多数教科书的 $\Delta U = Q + W$ 里，$W$ 是外界对气体做的功；气体膨胀对外做功时，$W$ 应为负。 正确做法：先问“谁对谁做功”；外界对气体做功取正，气体对外做功取负。题干说「気体がした仕事 $W'$」时，用 $\Delta U = Q - W'$。
• 错在哪：放热时 $Q$ 仍取正。 为什么错：$Q$ 的正负表示吸热还是放热；放出热量使内能减少，$Q$ 必须取负。 正确做法：吸热 $Q > 0$，放热 $Q < 0$；题目说“放出”就加负号。
• 错在哪：把 $p$-$V$ 图的面积直接当成内能变化。 为什么错：面积是功，不是内能；内能变化还要加上热量 $Q$。 正确做法：先由面积求 $W'$（或 $W$），再代第一定律求 $\Delta U$。
• 错在哪：体积用 $\mathrm{L}$ 直接乘压强。 为什么错：$1\ \mathrm{L} = 10^{-3}\ \mathrm{m^3}$，不换算会使功差 $10^3$ 倍。 正确做法：先把体积换成 $\mathrm{m^3}$，再算 $p\Delta V$。

直观理解

把内能想成银行账户：$Q$ 是热传递存进来的钱，$W$ 是外界做功存进来的钱，$W'$ 是气体对外花出去的钱。账户余额的变化 $\Delta U$ 等于存进来的减去花出去的。循环一圈回到原状态，余额不变，存进来的净额等于花出去的工作。

关联知识点

• 前置：国内书第 33 章 33.2、33.3 节（$\Delta U = W + Q$）；国内书第 31 章 31.6 节（内能）。
• 后续：本书 10.7 節 熱機関と熱効率，10.8 節 不可逆変化と第 2 法則；第 11 章 気体の性質（气体状态变化、摩尔热容）。
• 常一起考：第 6 章 エネルギーと運動量（功与能）；第 11 章 $p$-$V$ 图循环。

10.7 熱機関と熱効率

说明

熱機関（热机）：把热量转化为功的装置。它从高温熱源吸收热量 $Q_{\text{in}}$，一部分转化为对外做的功 $W_{\text{out}}$，其余 $Q_{\text{out}}$ 向低温熱源放出，然后回到初状态，循环工作。蒸汽机、汽油机、发电厂的汽轮机都是热机。

一个循环回到初状态，内能变化为零：

$$\Delta U = 0\quad\Longrightarrow\quad Q_{\text{in}} - Q_{\text{out}} = W_{\text{out}}$$

熱効率（热效率）：热机对外做的功与从高温热源吸收的热量之比：

$$e = \frac{W_{\text{out}}}{Q_{\text{in}}} = \frac{Q_{\text{in}} - Q_{\text{out}}}{Q_{\text{in}}} = 1 - \frac{Q_{\text{out}}}{Q_{\text{in}}}$$

$e$ 没有单位，常用百分数表示。因为 $Q_{\text{out}} > 0$，所以 $e < 1$；热效率不可能达到 $100\ \%$（原因见 10.8 节）。

本书用 $W_{\text{out}}$ 表示热机对外做的净功，避免和 10.6 节“外界对气体做的功 $W$“混淆。有的书写 $e = W/Q_{\text{in}}$，其中的 $W$ 指热机对外做的功，和 10.6 的 $W$ 不是同一个量。

使用场景

• 题目给出热机的能量流（从高温热源吸热、向低温热源放热）或 $p$-$V$ 循环图，求净功、热效率或未知热量 → 先用能量守恒求 $W_{\text{out}}$，再用 $e = W_{\text{out}}/Q_{\text{in}}$。

注意点

• 热效率的分母是 $Q_{\text{in}}$（从高温热源吸收的总热量），不是 $Q_{\text{out}}$，也不是净热量 $Q_{\text{in}} - Q_{\text{out}}$。
• $W_{\text{out}}$ 是一个循环的净功，不是某一阶段的功；$p$-$V$ 循环里等于闭合曲线围成的面积。
• $p$-$V$ 循环顺时针时，气体对外做正功；逆时针时外界对气体做正功，热机效率无意义（那是制冷机或热泵）。
• 热效率不是“燃料完全燃烧的能量利用率”；EJU 定义的分母是热机从高温热源吸收的热量。
• 热机必须同时有高温热源和低温热源；只有单一热源的热机不可能循环做功（10.8 节）。
• 冰箱、空调是热机反向运行，消耗功把热从低温搬到高温，不套 $e = W_{\text{out}}/Q_{\text{in}}$。

推导

一个循环的能量收支：热机工作一个循环后回到初状态，内能不变，$\Delta U = 0$。由第一定律

$$0 = Q_{\text{in}} - Q_{\text{out}} - W_{\text{out}}$$

所以

$$W_{\text{out}} = Q_{\text{in}} - Q_{\text{out}}$$

热效率：按定义

$$e = \frac{W_{\text{out}}}{Q_{\text{in}}} = \frac{Q_{\text{in}} - Q_{\text{out}}}{Q_{\text{in}}} = 1 - \frac{Q_{\text{out}}}{Q_{\text{in}}}$$

因为 $Q_{\text{out}} > 0$，所以 $e < 1$。要提高效率，就要在同样的 $Q_{\text{in}}$ 下减少 $Q_{\text{out}}$；但 $Q_{\text{out}}$ 不可能为零，否则违反第二定律。

$p$-$V$ 循环的净功：循环在 $p$-$V$ 图上是一个闭合曲线。膨胀阶段气体对外做正功，压缩阶段外界对气体做正功；两者相抵，净功等于闭合曲线围成的面积。顺时针循环，膨胀时的压强高于压缩时，净功为正；逆时针则相反。

例题

例 1　（场景：热机能量流，给吸热和放热 → 求热效率）

問題　次の図のように，熱機関が 1 サイクルの間に高温熱源から $5.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$ の熱を吸収し，低温熱源へ $3.5 \times 10^2\ \mathrm{J}$ の熱を放出した。この熱機関の熱効率は何 % か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　15 %　　②　30 %　　③　35 %　　④　70 %

解答　1 サイクルで気体が外部にする仕事は

$$W_{\text{out}} = Q_{\text{in}} - Q_{\text{out}} = 5.0 \times 10^2 - 3.5 \times 10^2\ \mathrm{J} = 1.5 \times 10^2\ \mathrm{J}$$

熱効率は

$$e = \frac{W_{\text{out}}}{Q_{\text{in}}} = \frac{1.5 \times 10^2}{5.0 \times 10^2} = 0.30 = 30\ \%$$

検算：$Q_{\text{in}} = W_{\text{out}} + Q_{\text{out}} = 150 + 350 = 500\ \mathrm{J}$ で，エネルギーの収支が合う。　答　②

中文翻译　题目：如图，热机在 1 个循环中从高温热源吸收 $5.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$ 的热，向低温热源放出 $3.5 \times 10^2\ \mathrm{J}$ 的热。这个热机的热效率是多少 %？从①～④中选最合适的值。解答：1 个循环中气体对外做的功 $W_{\text{out}} = Q_{\text{in}} - Q_{\text{out}} = 5.0 \times 10^2 - 3.5 \times 10^2 = 1.5 \times 10^2\ \mathrm{J}$。热效率 $e = W_{\text{out}}/Q_{\text{in}} = 1.5 \times 10^2/5.0 \times 10^2 = 0.30 = 30\ \%$。检验：$150 + 350 = 500\ \mathrm{J}$，能量收支吻合。答案 ②。

解说　用到本节的两条：一个循环 $\Delta U = 0$，所以 $W_{\text{out}} = Q_{\text{in}} - Q_{\text{out}}$；热效率的分母是 $Q_{\text{in}}$。容易卡在分母：用 $Q_{\text{out}}$ 会得 $150/350 \approx 43\ \%$，用总热量 $Q_{\text{in}} + Q_{\text{out}}$ 会得 $150/850 \approx 18\ \%$。选项排除：① $15\ \%$ 是把 $W_{\text{out}}$ 除以 $Q_{\text{in}} + Q_{\text{out}}$；③ $35\ \%$ 是把 $Q_{\text{out}}$ 除以 $Q_{\text{in}} + Q_{\text{out}}$；④ $70\ \%$ 是 $Q_{\text{out}}/Q_{\text{in}}$。

常用推论

• $e = 1 - Q_{\text{out}}/Q_{\text{in}}$；同样 $Q_{\text{in}}$ 下，$Q_{\text{out}}$ 越小，效率越高。
• 已知 $e$ 和 $Q_{\text{in}}$，可求 $Q_{\text{out}} = Q_{\text{in}}(1 - e)$；教材没有，考试常用。
• $p$-$V$ 循环的净功等于闭合曲线面积；顺时针为正，逆时针为负。
• 热机必须向低温热源放热，$Q_{\text{out}} > 0$，所以 $e < 1$；这不是技术问题，而是第二定律的限制。
• 实际热机的效率：汽油机约 $20$–$30\ \%$，柴油机约 $30$–$40\ \%$，燃气轮机联合循环可超过 $50\ \%$，但都远小于 $100\ \%$。

易错点

• 错在哪：热效率的分母用 $Q_{\text{out}}$ 或 $Q_{\text{in}} + Q_{\text{out}}$。 为什么错：热效率衡量的是“吸收的热中有多少变成了功”，分母必须是吸收的热 $Q_{\text{in}}$。 正确做法：先写 $e = W_{\text{out}}/Q_{\text{in}}$，再确认 $Q_{\text{in}}$ 是“从高温热源吸收的总热量”。
• 错在哪：把 $p$-$V$ 图的面积当成 $Q_{\text{in}}$。 为什么错：面积是净功 $W_{\text{out}}$，不是吸热；吸热还要由各段的热量收支求。 正确做法：面积求 $W_{\text{out}}$，再找 $Q_{\text{in}}$，最后代入效率公式。
• 错在哪：认为热效率低只是因为摩擦，改进技术就能达到 $100\ \%$。 为什么错：即使没有摩擦、过程可逆，热机也必须向低温热源放热，$e < 1$；这是第二定律的限制。 正确做法：把“摩擦损失”和“第二定律限制”分开；理想热机的效率也小于 $100\ \%$。

直观理解

热机像水车：高处的水（高温热源）流下来推动水车做功，但水不能全部留在高处，总有一部分流到低处（低温热源）。效率就是“做的功 / 从高处取走的水”。想让水车一直转，必须高低两个水位；只有一个水位，水车转不起来。

关联知识点

• 前置：本书 10.6 節 熱力学第 1 法則；国内初中“热机”、国内书第 33 章 33.5 节（第二类永动机）。
• 后续：本书 10.8 節 不可逆変化と第 2 法則；第 11 章 気体の性質（$p$-$V$ 循环）。
• 常一起考：第 2 章 组合选择题（热机与冰箱的能量流）；第 6 章 功与能。

10.8 不可逆変化と熱力学第 2 法則

说明

可逆変化（可逆变化）：一个过程可以沿相反方向进行，并且外界不留下任何变化，叫可逆变化。这是一种理想极限：过程必须无限缓慢（准静态）、没有摩擦、没有有限温差下的热传导。实际过程做不到。

不可逆変化（不可逆变化）：实际发生的过程都有方向性，反方向不会自发发生，或者要在外界留下变化。例如：

• 摩擦生热：机械能变成内能，反过来，内能不会自发全部变回机械能；
• 热传导：热量自发从高温物体传到低温物体，不会自发从低温传到高温；
• 气体自由膨胀：气体向真空膨胀后，不会自发缩回；
• 墨水滴入水中扩散，不会自发聚回一滴。

熱力学第2法則（热力学第二定律）：两种常用的表述：

1. 克劳修斯表述：热量不可能自发地从低温物体传到高温物体（不引起其他变化）。
2. 开尔文表述：不可能从单一热源吸热，把它全部变成功，而不引起其他变化。也就是说，热效率 $100\ \%$ 的热机（第二类永动机）不可能造成。

冰箱为什么不违反第二定律：冰箱把热量从低温搬到高温，但消耗了电能，外界留下了变化（发电厂排热等），所以不违反“不引起其他变化”的条件。第二定律禁止的是“自发”和“不引起其他变化”。

使用场景

• 概念选择题：判断哪些说法正确、哪些现象违反第二定律 → 抓住两个关键词：“自发”和“不引起其他变化”；热机必须有低温热源，效率不可能 $100\ \%$。

注意点

• 第二定律不是第一定律的推论。第一定律管“能量守恒”，第二定律管“过程的方向”；满足能量守恒的过程也可能不发生。
• “不可逆”不是“不能反向”，而是“反向时外界会留下变化”。例如冰箱可以让热从低温到高温，但要耗电。
• 第二类永动机不违反第一定律（能量守恒），它违反的是第二定律；第一类永动机违反第一定律。
• 热效率 $100\ \%$ 与“从单一热源吸热全部变功”等价，都是第二定律禁止的。
• EJU 只考定性判断，不要求熵的计算；不要引入教材没有的熵公式。
• 一切实际宏观过程都是不可逆的；可逆过程只是理想模型。

推导

第二定律没有像第一定律那样的简单公式，高中阶段用逻辑推理理解两条表述的等价性：

热传导的方向性：如果热量能自发从低温传到高温，就可以用低温热源的热量去加热高温热源，再让热机从高温热源吸热做功，循环下去，等于从单一低温热源不断取热做功，违反开尔文表述。所以克劳修斯表述和开尔文表述是等价的。

热效率为什么小于 $100\ \%$：如果 $e = 100\ \%$，则 $Q_{\text{out}} = 0$，热机只从高温热源吸热、全部变成功，不需要低温热源。这正是开尔文表述禁止的第二类永动机。所以对任何热机，$Q_{\text{out}} > 0$，$e < 1$。

可逆过程为什么是极限：实际过程总有摩擦（机械能变内能）和有限温差下的热传导（热从高温到低温）。这些过程反向进行时，需要外界做功或留下变化，所以不可逆。只有无限缓慢、无摩擦、无温差的过程才可逆，是理想极限。

例题

例 1　（场景：判断关于不可逆变化和第二定律的说法）

問題　熱力学第2法則に関する記述として正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　高温物体から低温物体へ熱が自然に移動する現象は，不可逆変化である。

②　低温物体から高温物体へ熱を移すには外部から仕事を加えればよく，このとき熱力学第2法則に反する。

③　摩擦によって生じた熱をすべて仕事に変える熱機関をつくることができる。

④　熱効率が 100 % の熱機関は，熱力学第1法則に反するのでつくれない。

解答　① は正しい。熱は高温から低温へ一方向に自然に移動し，外部に変化を残さずに逆向きに戻すことはできないから，不可逆変化である。② は誤り。冷蔵庫のように外部から仕事を加えれば熱を低温から高温へ移せる。これは第二法則に反しない。③ は誤り。摩擦熱をすべて仕事に変える装置は第二種永動機であり，第二法則に反する。④ は誤り。熱効率 $100\ \%$ は第二法則に反するのであって，第一法則には反しない。　答　①

中文翻译　题目：关于热力学第二定律，选出正确的说法。① 热从高温物体自然传到低温物体的现象是不可逆变化。② 要把热从低温物体移到高温物体，只要外界做功即可，这违反热力学第二定律。③ 可以造出把摩擦产生的热全部变成功的机器。④ 热效率 100 % 的热机违反热力学第一定律，所以造不出来。解答：① 正确。热自然地从高温向低温单向传递，不留下外界变化就无法逆向进行，是不可逆变化。② 错误。像冰箱那样加功就可以把热从低温搬到高温，不违反第二定律。③ 错误。把摩擦热全部变成功是第二类永动机，违反第二定律。④ 错误。热效率 100 % 违反的是第二定律，不是第一定律。答案 ①。

解说　本节是概念题，不套五步。容易卡在把两条定律混在一起：第一定律管能量守恒，第二定律管方向。选项排除：② 错在“违反第二定律”，冰箱有外界做功；③ 是第二类永动机，违反第二定律；④ 错在“违反第一定律”，应改为第二定律。① 是热传导方向性的直接表述。

常用推论

• 一切实际宏观过程都是不可逆的；可逆过程是理想极限。
• 热机必须向低温热源放热，$Q_{\text{out}} > 0$，$e < 1$。
• 两个温度不同的物体接触，热从高温流向低温，终温介于两者之间。
• 教材没有，考试常用：“冰箱违反第二定律”“热效率 100 % 可能”“第二类永动机违反第一定律”这三句话都是错的，可以当选项排除的口诀。

易错点

• 错在哪：认为第二定律说“能量不守恒”或不能量守恒。 为什么错：第二定律以第一定律（能量守恒）为前提，它说的是能量转化的方向，不是数量。 正确做法：先确认能量收支守恒，再判断过程能否自发进行。
• 错在哪：认为冰箱把热从低温搬到高温，违反第二定律。 为什么错：第二定律禁止的是“不引起其他变化”的自发过程；冰箱消耗了电能，外界留下了变化。 正确做法：看有没有外界做功或留下变化；有，就不违反。
• 错在哪：认为第二类永动机违反第一定律。 为什么错：第二类永动机能量守恒，只是把热全部变成功，违反的是第二定律；第一类永动机才是违反第一定律。 正确做法：第一类永动机“无中生有”，第二类永动机“有热无冷”；前者违反第一定律，后者违反第二定律。
• 错在哪：认为没有摩擦就一定能可逆。 为什么错：可逆还要求过程无限缓慢、没有有限温差下的热传导；实际过程很难同时满足。 正确做法：把可逆当理想模型，实际过程按不可逆处理。

直观理解

墨水在水里扩散后不会自己聚回一滴，热咖啡放久了只会变凉、不会自己变热，碎了的杯子不会自己复原。这些日常现象都说明宏观过程有方向，这就是第二定律。热机必须排出废热，就像水车必须让水流到低处。

关联知识点

• 前置：本书 10.6 節 熱力学第 1 法則，10.7 節 熱機関と熱効率；国内书第 33 章 33.4 节（第一类永动机）、33.5 节（第二定律）。
• 后续：第 11 章 気体の性質（不可逆过程、绝热变化）。
• 常一起考：第 1 章 与国内的对照（第二定律的说法）；第 2 章 概念选择题的排除法。

10.9 题型与答法

熱と温度・熱と仕事在 EJU 的 Ⅱ 熱 大問里出现，据 20 回公开过去问共 38 次（每回平均 1.9 次），是出现次数最多的两章之一，属于高频。Ⅱ 熱 通常有三题：A 题多是热量保存、比热或加热曲线，B、C 题多是气体状态变化、$p$-$V$ 图和热力学第一定律；本章常和第 11 章 気体の性質 一起考。形式以数值题和字母式题为主，也常有“正しいものを一つ選びなさい”的概念题。

两分钟做法：

1. 先看有没有相变：算“可供热”和“全部相变所需热”，比较后决定终态；不要一上来就设终温。
2. 第一定律先定系统，再定 $Q$、$W$ 的正负；$p$-$V$ 图上的功看面积，膨胀取 $W < 0$。
3. 热效率的分母是 $Q_{\text{in}}$，不是 $Q_{\text{out}}$，也不是净热。
4. 数值题统一单位：$\mathrm{L} \to 10^{-3}\ \mathrm{m^3}$，$\mathrm{g}$ 与 $\mathrm{J/(g \cdot K)}$ 配套。

問題 1　（金属球を水に入れて比熱を求める）

断熱容器に 20 ℃ の水 200 g を入れ，100 ℃ に熱した金属球 100 g を静かに入れてよくかき混ぜたところ，全体の温度は 25 ℃ になった。ただし，水の比熱を 4.2 J/(g·K)，容器の熱容量は無視できるものとし，熱は外部に逃げないものとする。金属の比熱は何 J/(g·K) か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　0.28 J/(g·K)　　②　0.56 J/(g·K)　　③　1.1 J/(g·K)　　④　2.1 J/(g·K)

解答　金属球が失った熱量は，水が得た熱量に等しい。金属の比熱を $c$ とすると

$$100 \times c \times (100 - 25) = 200 \times 4.2 \times (25 - 20)$$ $$7500c = 4200 \quad\therefore\ c = 0.56\ \mathrm{J/(g \cdot K)}$$

検算：水が得た熱量は $200 \times 4.2 \times 5 = 4200\ \mathrm{J}$。金属球は $100\ \mathrm{g}$ で $75\ \mathrm{K}$ 下がるので，$mc = 4200/75 = 56\ \mathrm{J/K}$，$c = 56/100 = 0.56\ \mathrm{J/(g \cdot K)}$。水の $mc = 840\ \mathrm{J/K}$ の $1/15$ で，温度降下が $15$ 倍という収支にも合う。　答　②

中文翻译　题目：在绝热容器中放入 20 ℃ 的水 200 g，把加热到 100 ℃ 的金属球 100 g 轻轻放入并充分搅拌，整体温度变为 25 ℃。水的比热为 4.2 J/(g·K)，容器热容量忽略不计，热不向外散失。金属的比热是多少 J/(g·K)？从①～④中选最合适的值。解答：金属球放出的热量等于水吸收的热量。设金属比热为 $c$，$100 \times c \times (100 - 25) = 200 \times 4.2 \times (25 - 20)$，$7500c = 4200$，$c = 0.56\ \mathrm{J/(g \cdot K)}$。检验：水吸热 $200 \times 4.2 \times 5 = 4200\ \mathrm{J}$，金属的 $100 \times 75 = 7500\ \mathrm{g \cdot K}$，$4200/7500 = 0.56$。答案 ②。

解说　两分钟做法：先写“金属放热 = 水吸热”，再把已知量按 $mc\Delta T$ 排好，未知的 $c$ 一次解出。容易卡在温度变化：金属是 $100 - 25 = 75\ \mathrm{K}$，水是 $25 - 20 = 5\ \mathrm{K}$。选项排除：① 0.28 是分母用了水的质量 200 g；③ 1.1 是分母用了金属质量的一半；④ 2.1 是冰的比热。答案的量级：金属比热通常小于水，$0.56$ 合理。

問題 2　（$p$-$V$ 図の長方形サイクル → 仕事と熱効率）

次の図のように，理想気体が A → B → C → D → A の順に 1 サイクルをした。A→B は圧力 $2.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$ の等圧膨張，B→C は体積 $3.0\ \mathrm{L}$ の定積変化，C→D は圧力 $1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$ の等圧圧縮，D→A は体積 $1.0\ \mathrm{L}$ の定積変化である。1 サイクルの間に気体が吸収する熱量の合計が $8.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$ のとき，この熱機関の熱効率は何 % か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　20 %　　②　25 %　　③　33 %　　④　50 %

解答　気体が 1 サイクルで外部にする仕事 $W_{\text{out}}$ は，$p$-$V$ 図の長方形の面積に等しい。

$$W_{\text{out}} = (2.0 \times 10^5 - 1.0 \times 10^5) \times (3.0 - 1.0) \times 10^{-3}\ \mathrm{J} = 2.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$$

熱効率は

$$e = \frac{W_{\text{out}}}{Q_{\text{in}}} = \frac{2.0 \times 10^2}{8.0 \times 10^2} = 0.25 = 25\ \%$$

検算：長方形の面積は $1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa} \times 2.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^3} = 200\ \mathrm{J}$。吸熱 $800\ \mathrm{J}$ のうち $200\ \mathrm{J}$ が仕事，残り $600\ \mathrm{J}$ が低温熱源への放熱。　答　②

中文翻译　题目：如图，理想气体按 A → B → C → D → A 的顺序完成 1 个循环。A→B 是压强 $2.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$ 的等压膨胀，B→C 是体积 3.0 L 的定积变化，C→D 是压强 $1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$ 的等压压缩，D→A 是体积 1.0 L 的定积变化。1 个循环中气体吸收的热量合计为 $8.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$ 时，这个热机的热效率是多少 %？从①～④中选最合适的值。解答：气体在 1 个循环中对外做的功 $W_{\text{out}}$ 等于 p-V 图中长方形的面积：$W_{\text{out}} = (2.0 \times 10^5 - 1.0 \times 10^5) \times (3.0 - 1.0) \times 10^{-3} = 2.0 \times 10^2\ \mathrm{J}$。热效率 $e = W_{\text{out}}/Q_{\text{in}} = 2.0 \times 10^2/8.0 \times 10^2 = 0.25 = 25\ \%$。检验：长方形面积 $1.0 \times 10^5 \times 2.0 \times 10^{-3} = 200\ \mathrm{J}$；吸热 800 J 中 200 J 变成功，其余 600 J 放给低温热源。答案 ②。

解说　两分钟做法：先看循环方向（顺时针，净功为正），再用“面积 = 净功”；热效率分母用题目给的吸热合计。容易卡在把 $p$-$V$ 图面积当成 $Q_{\text{in}}$，或者把体积单位 L 直接乘。选项排除：③ 33 % 是 $200/600$；④ 50 % 是 $200/400$；① 20 % 是面积或分母算错得到的值。另一种解法：先算净功 200 J，再由 $Q_{\text{out}} = Q_{\text{in}} - W_{\text{out}} = 600\ \mathrm{J}$，$e = 1 - 600/800 = 25\ \%$，可作核对。

問題 3　（100 ℃ の水蒸気を水に混ぜる → 蒸発熱と熱平衡）

断熱容器に 20 ℃ の水 200 g を入れ，100 ℃ の水蒸気 10 g を吹き込んでよくかき混ぜた。ただし，水の比熱を 4.2 J/(g·K)，水の蒸発熱を $2.3 \times 10^3\ \mathrm{J/g}$ とし，熱は外部に逃げず，水蒸気はすべて凝縮するものとする。全体の温度は何 ℃ になるか。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　47 ℃　　②　50 ℃　　③　55 ℃　　④　77 ℃

解答　水蒸気 10 g が凝縮して $100\ \mathrm{^\circ C}$ の水になり，さらに $t\ \mathrm{^\circ C}$ まで冷えるときに放出する熱量は

$$Q_{\text{放}} = 10 \times 2.3 \times 10^3 + 10 \times 4.2 \times (100 - t)$$

水 200 g が $20\ \mathrm{^\circ C}$ から $t\ \mathrm{^\circ C}$ までに吸収する熱量は

$$Q_{\text{吸}} = 200 \times 4.2 \times (t - 20)$$

$Q_{\text{放}} = Q_{\text{吸}}$ より

$$23000 + 4200 - 42t = 840(t - 20)$$ $$27200 - 42t = 840t - 16800$$ $$44000 = 882t \quad\therefore\ t = 49.9\ \mathrm{^\circ C} \approx 50\ \mathrm{^\circ C}$$

検算：$50\ \mathrm{^\circ C}$ のとき，水蒸気側の放熱は $23000 + 2100 = 25100\ \mathrm{J}$，水側の吸熱は $200 \times 4.2 \times 30 = 25200\ \mathrm{J}$，ほぼ等しい。　答　②

中文翻译　题目：在绝热容器中放入 20 ℃ 的水 200 g，吹入 100 ℃ 的水蒸气 10 g 并充分搅拌。水的比热为 4.2 J/(g·K)，水的蒸发热为 $2.3 \times 10^3\ \mathrm{J/g}$，热不向外散失，水蒸气全部凝结。整体温度是多少 ℃？从①～④中选最合适的值。解答：10 g 水蒸气凝结成 100 ℃ 的水，再降温到 $t$ ℃，放出热量 $Q_{\text{放}} = 10 \times 2.3 \times 10^3 + 10 \times 4.2 \times (100 - t)$；200 g 水从 20 ℃ 升到 $t$ ℃ 吸热 $Q_{\text{吸}} = 200 \times 4.2 \times (t - 20)$。由 $Q_{\text{放}} = Q_{\text{吸}}$ 得 $23000 + 4200 - 42t = 840(t - 20)$，$44000 = 882t$，$t = 49.9\ \mathrm{^\circ C} \approx 50\ \mathrm{^\circ C}$。检验：50 ℃ 时放热 $23000 + 2100 = 25100\ \mathrm{J}$，吸热 $200 \times 4.2 \times 30 = 25200\ \mathrm{J}$，几乎相等。答案 ②。

解说　两分钟做法：把水蒸气的过程拆成“凝结（$Q = mL$）+ 降温（$Q = mc\Delta T$）“两段，再和水吸热列平衡。容易卡在只算凝结热、忘了凝结后的水还会从 100 ℃ 降到终温；或者把蒸発熱当成 $2.3 \times 10^2$。选项排除：① 47 ℃ 是漏了凝结水继续降温的放热；③ 55 ℃ 是热量分配算错；④ 77 ℃ 是把水的质量当成 100 g。

10.10 术语与题干用语

日文	读音	中文	例句或说明
熱量	ねつりょう	热量	「水が吸収した熱量は何 J か。」
熱容量	ねつようりょう	热容量	「容器の熱容量を $210\ \mathrm{J/K}$ とする。」
比熱	ひねつ	比热	「水の比熱を $4.2\ \mathrm{J/(g \cdot K)}$ とする。」
熱平衡	ねつへいこう	热平衡	「じゅうぶん時間がたつと熱平衡になる。」
熱量の保存	ねつりょうのほぞん	热量守恒	「熱量の保存より，$Q_{\text{放}} = Q_{\text{吸}}$。」
融解熱	ゆうかいねつ	熔化热	「氷の融解熱を $3.3 \times 10^2\ \mathrm{J/g}$ とする。」
蒸発熱	じょうはつねつ	汽化热	「水の蒸発熱は $2.3 \times 10^3\ \mathrm{J/g}$ である。」
潜熱	せんねつ	潜热	「融解熱と蒸発熱をまとめて潜熱という。」
熱膨張	ねつぼうちょう	热膨胀	「熱膨張によるレールの伸びを考える。」
線膨張率	せんぼうちょうりつ	线膨胀率	「鉄の線膨張率を $1.2 \times 10^{-5}\ \mathrm{K^{-1}}$ とする。」
内部エネルギー	ないぶエネルギー	内能	「気体の内部エネルギーの変化を求めよ。」
熱力学第1法則	ねつりきがくだいいちほうそく	热力学第一定律	「熱力学第1法則より，$\Delta U = Q + W$。」
熱力学第2法則	ねつりきがくだいにほうそく	热力学第二定律	「熱力学第2法則により，熱効率は $100\ \%$ にならない。」
熱機関	ねつきかん	热机	「熱機関が 1 サイクルでする仕事。」
熱効率	ねつこうりつ	热效率	「熱効率は何 % か。」
高温熱源	こうおんねつげん	高温热源	「高温熱源から熱を吸収する。」
低温熱源	ていおんねつげん	低温热源	「低温熱源へ熱を放出する。」
不可逆変化	ふかぎゃくへんか	不可逆变化	「摩擦熱が発生する現象は不可逆変化である。」
可逆変化	かぎゃくへんか	可逆变化	「可逆変化は理想的な極限である。」
気体がした仕事	きたいがしたしごと	气体对外做的功	「気体がした仕事 $W'$ を用いると，$\Delta U = Q - W'$。」
気体にした仕事	きたいにしたしごと	外界对气体做的功	「外部から気体にした仕事 $W$ を用いると，$\Delta U = Q + W$。」
断熱	だんねつ	绝热	「断熱変化では $Q = 0$。」
定積変化	ていせきへんか	定积变化	「定積変化では $W' = 0$。」
等圧変化	とうあつへんか	等压变化	「等圧変化では $W' = p\Delta V$。」
等温変化	とうおんへんか	等温变化	「等温変化では，理想気体の $\Delta U = 0$。」

10.11 自测

1. 質量 200 g の水の温度を 10 K 上げるのに必要な熱量は何 J か。ただし，水の比熱を 4.2 J/(g·K) とする。 中文：质量 200 g 的水温度升高 10 K 需要多少热量？水的比热为 4.2 J/(g·K)。

2. 熱容量 84 J/K の容器の温度を 20 K 上げるのに必要な熱量は何 J か。 中文：热容量为 84 J/K 的容器温度升高 20 K 需要多少热量？

3. 80 ℃ の水 100 g と 20 ℃ の水 100 g を混ぜると何 ℃ になるか。ただし，熱損失と容器の熱容量は無視する。 中文：80 ℃ 的水 100 g 和 20 ℃ 的水 100 g 混合后温度是多少 ℃？热损失和容器热容量忽略不计。

4. 0 ℃ の氷 50 g を 20 ℃ の水 100 g に入れると，氷はすべて融けるか。融けない場合，残る氷の質量は何 g か。ただし，水の比熱を 4.2 J/(g·K)，氷の融解熱を $3.3 \times 10^2\ \mathrm{J/g}$ とする。 中文：把 0 ℃ 的冰 50 g 放入 20 ℃ 的水 100 g 中，冰会全部熔化吗？不会全部熔化时，剩余冰的质量是多少 g？水的比热为 4.2 J/(g·K)，冰的熔化热为 $3.3 \times 10^2\ \mathrm{J/g}$。

5. 0 ℃ の氷 20 g をすべて融かすのに必要な熱量は何 J か。ただし，氷の融解熱を $3.3 \times 10^2\ \mathrm{J/g}$ とする。 中文：使 0 ℃ 的冰 20 g 全部熔化需要多少热量？冰的熔化热为 $3.3 \times 10^2\ \mathrm{J/g}$。

6. 100 ℃ の水 10 g がすべて水蒸気になるのに必要な熱量は何 J か。ただし，水の蒸発熱を $2.3 \times 10^3\ \mathrm{J/g}$ とする。 中文：100 ℃ 的水 10 g 全部变成水蒸气需要多少热量？水的汽化热为 $2.3 \times 10^3\ \mathrm{J/g}$。

7. 長さ 10 m の銅の棒の温度を 50 K 上げたときの伸びは何 mm か。ただし，銅の線膨張率を $1.7 \times 10^{-5}\ \mathrm{K^{-1}}$ とする。 中文：长 10 m 的铜棒温度升高 50 K 时伸长多少 mm？铜的线膨胀率为 $1.7 \times 10^{-5}\ \mathrm{K^{-1}}$。

8. 気体が外部から 100 J の仕事をされ，同時に 60 J の熱を放出した。内部エネルギーの変化は何 J か。 中文：气体被外界做 100 J 的功，同时放出 60 J 的热，内能变化是多少 J？

9. 気体が 80 J の熱を吸収し，外部に 30 J の仕事をした。内部エネルギーの変化は何 J か。 中文：气体吸收 80 J 的热，对外做 30 J 的功，内能变化是多少 J？

10. 熱機関が 1 サイクルで 400 J の熱を吸収し，240 J の熱を放出した。熱効率は何 % か。 中文：热机在 1 个循环中吸收 400 J 的热，放出 240 J 的热，热效率是多少 %？

11. 「熱効率 100 % の熱機関は，熱力学第1法則に反する」は正しいか。 中文：“热效率 100 % 的热机违反热力学第一定律”这句话正确吗？

答案：1. $8.4 \times 10^3\ \mathrm{J}$　2. $1.7 \times 10^3\ \mathrm{J}$　3. $50\ \mathrm{^\circ C}$　4. すべては融けない。融ける氷は約 $25\ \mathrm{g}$，残る氷は約 $25\ \mathrm{g}$　5. $6.6 \times 10^3\ \mathrm{J}$　6. $2.3 \times 10^4\ \mathrm{J}$　7. $8.5\ \mathrm{mm}$　8. $+40\ \mathrm{J}$　9. $+50\ \mathrm{J}$　10. $40\ \%$　11. 誤り。第二法則に反する。

10.12 深入阅读

• JASSO · 理科（物理）シラバス：本章对应「熱と温度」：熱量、熱容量、比熱、潜熱、熱膨張、熱力学第 1 法則、熱機関と熱効率。
• 维基百科（日文）· 熱力学第一法則：第一定律的日文写法 ΔU = Q + W 和符号约定，配合本章注意点。
• PhET · 能量形式与变化：观察热量、功和内能之间的转换，理解第一定律的各项。
• 维基百科（日文）· 比熱：比热的日文定义和 J/(g·K) 单位，查比热表时用。