第 13 章 · 音

项目	内容
シラバス项目	Ⅲ 波 2. 音：(1) 音の性質と伝わり方（音の速さ，音の反射・屈折・回折・干渉，うなり）；(2) 発音体の振動と共振・共鳴（弦の振動，気柱の振動，共振・共鳴）；(3) ドップラー効果（音源が動く場合，観測者が動く場合，音源と観測者が動く場合）
国内书对应	第 22 章 22.2–22.6（波速、反射・折射・衍射、干涉、多普勒效应定性）；第 21 章 21.7（受迫振动与共振）
本章新内容的分量	大。音速随温度变化、うなり、弦と気柱の定在波与频率公式、開口端補正、ドップラー効果的定量计算，国内不講或只定性
过去问出现次数	20 回共 20 題（每回平均 1.0 題）：2011 年第 1 回 2 題，2011 年第 2 回没有，其余每回 1 題

国内学过波的一般性质：波长、频率、波速、反射、折射、干涉，多普勒效应也只在“靠近变高、远离变低”的定性层面提过。EJU 的「音」把这些规律落到具体的发声体上：弦有多长、张力多大时发多高的音；管子里空气柱多长时共鸣；救护车驶过时频率具体变多少。中国学生常见的丢分点是：把定在波的節和腹画反、开管和闭管的公式混用、ドップラー効果的分子分母放错。本章从这些公式的来历讲起。

13.1 与国内的对照

シラバス小項目（日文原文）	国内书位置	相同 / 讲法不同 / 国内没有	本章哪节讲
音の速さ	国内书第 22 章 22.2 节（波速 $v = \lambda f$，没有音速公式）	讲法不同：国内给波速的一般关系，EJU 要给空气温度下的音速	13.2
音の反射・屈折・回折・干渉	国内书第 22 章 22.4、22.5 节	相同，见国内书第 22 章	13.2（一句带过）
うなり	无	国内没有	13.3
弦の振動	无（国内只讲波的一般性质，不講弦的固有频率）	国内没有	13.4
気柱の振動	无	国内没有	13.5
共振・共鳴	国内书第 21 章 21.7 节（受迫振动与共振）	讲法不同：国内讲机械共振，EJU 要落到气柱共鸣和共鸣管实验	13.6
ドップラー効果	国内书第 22 章 22.6 节（只定性）	讲法不同：EJU 要用公式算频率变化	13.7

本章六个知识点的顺序：先讲音速（13.2）和うなり（13.3），再把波的知识用到弦（13.4）和気柱（13.5），然后讲共振・共鳴（13.6），最后是ドップラー効果（13.7）。波的波长、频率、波速关系和干涉，和国内完全相同，见国内书第 22 章 22.2、22.5 节。

13.2 音の速さと伝わり方

说明

音是介质的振动在介质中传播形成的波。空气里的声波是縦波（疏密波），介质质点的振动方向和波的传播方向相同；但画图时通常画成横波的样子，只表示位移随位置的变化，不表示质点的实际振动方向。

音の速さ：在空气中，温度 $t\ \mathrm{^\circ C}$ 时

$$V = 331.5 + 0.6t \quad (\mathrm{m/s})$$

$0\ \mathrm{^\circ C}$ 时约 $331.5\ \mathrm{m/s}$，$20\ \mathrm{^\circ C}$ 时约 $343\ \mathrm{m/s}$。声音在液体、固体中传播得更快（水中约 $1.5 \times 10^3\ \mathrm{m/s}$，铁中约 $5 \times 10^3\ \mathrm{m/s}$），但 EJU 主要考空气。

音の反射・屈折・回折・干渉：和国内书第 22 章讲的一般波完全相同。声音遇到障碍物会反射（回声），从一种介质进入另一种介质时速度改变、频率不变，绕过障碍物会衍射，两个同频率的声源会干涉。这些在 EJU 里多作定性选项出现，计算不多。

频率、波长、波速的关系：

$$V = f\lambda$$

频率由音源决定，音源每秒振动多少次，声音就是多少 Hz；波速由介质和温度决定；波长由两者共同决定。声音从空气进入水中，频率不变，速度变大，波长变长。

使用场景

• 题目给气温，求音速、波长或回声距离 → 先算 $V = 331.5 + 0.6t$，再用 $V = f\lambda$ 或 $d = Vt$。
• 打雷、回声、声呐测距 → 声音走的路程是距离；回声是往返，要除以 2。

注意点

• $t$ 是摄氏温度，不是开尔文温度；$V = 331.5 + 0.6t$ 只适用于空气。
• 频率由音源决定，进入不同介质不变；速度变、波长跟着变。
• 回声测距：声音从发出到听见回声，走了“去 + 回”两倍距离，$d = Vt/2$。雷声是声音从云传到耳朵，单程，$d = Vt$。
• 温度每升高 $1\ \mathrm{^\circ C}$，音速增加 $0.6\ \mathrm{m/s}$，不是 $1\ \mathrm{m/s}$。
• 光速远大于声速，所以先看到闪电后听到雷声；估算距离时用声速，不用光速。

推导

$V = f\lambda$：波在一个周期 $T$ 内向前传播一个波长 $\lambda$，所以 $V = \lambda/T = f\lambda$。这个关系和国内书第 22 章相同。

音速随温度升高：温度升高，空气分子平均速率增大，声速随之增大。$V = 331.5 + 0.6t$ 是实验总结的经验公式，在通常气温范围内成立，不需要推导。

例题

例 1　（场景：给气温和频率 → 先算音速，再算波长）

問題　気温 $20\ \mathrm{^\circ C}$ の空気中で，振動数 $440\ \mathrm{Hz}$ の音を出した。この音の波長は何 m か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，音速は $V = 331.5 + 0.6t$（$t$ は摂氏温度）で表されるものとする。

①　$0.78\ \mathrm{m}$　　②　$1.3\ \mathrm{m}$　　③　$0.50\ \mathrm{m}$　　④　$2.8\ \mathrm{m}$

解答　気温 $20\ \mathrm{^\circ C}$ の音速は

$$V = 331.5 + 0.6 \times 20 = 343.5\ \mathrm{m/s}$$

$V = f\lambda$ より

$$\lambda = \frac{V}{f} = \frac{343.5}{440} \approx 0.781\ \mathrm{m}$$

有効数字 2 桁で $0.78\ \mathrm{m}$。　答　①

中文翻译　题目：在气温 $20\ \mathrm{^\circ C}$ 的空气中发出频率 $440\ \mathrm{Hz}$ 的声音。这个声音的波长是多少米？从①～④中选最合适的值。音速用 $V = 331.5 + 0.6t$ 表示（$t$ 为摄氏温度）。解答：$20\ \mathrm{^\circ C}$ 时音速 $V = 331.5 + 0.6 \times 20 = 343.5\ \mathrm{m/s}$。由 $V = f\lambda$，$\lambda = V/f = 343.5/440 \approx 0.781\ \mathrm{m}$，两位有效数字为 $0.78\ \mathrm{m}$。答案 ①。

解说　用到的是音速的温度公式和 $V = f\lambda$。容易卡在：直接用 $340\ \mathrm{m/s}$ 算，得 $0.773\ \mathrm{m}$，四舍五入也是 $0.77$ 或 $0.78$，但题目给了温度就要按公式算。选项排除：② 是把 $f/V$ 当波长（量纲不对）；③ 是 $220/440$ 之类的半波长；④ 是 $V/f$ 再乘错系数。注意：频率 $440\ \mathrm{Hz}$ 是音源决定的，温度只改变音速和波长。

例 2　（场景：雷声单程传播 → $d = Vt$）

問題　雷の光が見えてから $3.0\ \mathrm{s}$ 後に雷鳴が聞こえた。空気の温度を $15\ \mathrm{^\circ C}$ とすると，雷までの距離はおよそ何 m か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，光が届く時間は無視できるものとする。

①　$1.0 \times 10^2\ \mathrm{m}$　　②　$5.1 \times 10^2\ \mathrm{m}$　　③　$1.0 \times 10^3\ \mathrm{m}$　　④　$2.0 \times 10^3\ \mathrm{m}$

解答　$15\ \mathrm{^\circ C}$ の音速は $V = 331.5 + 0.6 \times 15 = 340.5\ \mathrm{m/s}$。雷鳴は雷から耳まで片道だけ伝わるので

$$d = Vt = 340.5 \times 3.0 \approx 1.0 \times 10^3\ \mathrm{m}$$

　答　③

中文翻译　题目：看到闪电后 $3.0\ \mathrm{s}$ 听到雷声。设气温 $15\ \mathrm{^\circ C}$，雷大约在多远？从①～④中选最合适的值。光传播的时间可忽略。解答：$15\ \mathrm{^\circ C}$ 时音速 $V = 331.5 + 0.6 \times 15 = 340.5\ \mathrm{m/s}$。雷声从雷传到耳朵是单程，$d = Vt = 340.5 \times 3.0 \approx 1.0 \times 10^3\ \mathrm{m}$。答案 ③。

解说　用到的是 $d = Vt$ 和音速公式。容易卡在：把雷声当成回声，除以 2，得 $5.1 \times 10^2\ \mathrm{m}$（选项 ②）。回声才是往返；雷声是单程。选项排除：① 是把 $340$ 除以 3 或漏了时间；④ 是乘了 2。另一种解法：先用 $340\ \mathrm{m/s}$ 估，$340 \times 3 = 1020\ \mathrm{m}$，再按 $15\ \mathrm{^\circ C}$ 修正到 $1.0 \times 10^3\ \mathrm{m}$，结果一样。

常用推论

• 气温每升高 $1\ \mathrm{^\circ C}$，音速增加约 $0.6\ \mathrm{m/s}$；$15\ \mathrm{^\circ C}$ 时约 $340\ \mathrm{m/s}$。
• 频率不变、速度变时，波长与速度成正比：$\lambda_2/\lambda_1 = V_2/V_1$。
• 回声测距 $d = Vt/2$；单程传播 $d = Vt$。

易错点

• 错在哪：题目给了温度，仍用 $340\ \mathrm{m/s}$ 或 $330\ \mathrm{m/s}$。 为什么错：音速随温度变化，给的温度就是为了让你算 $V$。 正确做法：先算 $V = 331.5 + 0.6t$，再代 $V = f\lambda$。
• 错在哪：把回声的距离当成 $Vt$。 为什么错：回声走了往返两倍距离。 正确做法：看清“听到回声”还是“听到声音”，回声除以 2。
• 错在哪：认为声音进入水中频率变大。 为什么错：频率由音源决定，跨介质不变；变的是速度和波长。 正确做法：先写“频率不变”，再用 $\lambda = V/f$。

直观理解

夏天声音传得比冬天稍快，因为空气分子运动更剧烈。雷雨天先看到闪电、后听到雷声，是因为光速比声速大得多；数秒数可以估距离，$3\ \mathrm{s}$ 大约 $1\ \mathrm{km}$。

关联知识点

• 前置：国内书第 22 章 22.2 节波的形成与描述（$v = \lambda f$），22.4、22.5 节反射、折射、干涉。
• 后续：本书 13.3 节うなり（两个频率相近的波叠加），13.7 节ドップラー効果（音源或观察者运动时频率的变化）。
• 常一起考：国内书第 22 章 22.3 节波形图与振动图像（音速题常给波形图）。

13.3 うなり

说明

两个频率略有差别的音同时到达耳朵，会听到声音周期性地时强时弱，这种现象叫うなり（拍）。强弱的次数等于两个频率之差：

$$f_{\mathrm{beat}} = \lvert f_1 - f_2 \rvert$$

强弱的周期是

$$T_{\mathrm{beat}} = \frac{1}{\lvert f_1 - f_2 \rvert}$$

例如 $440\ \mathrm{Hz}$ 和 $442\ \mathrm{Hz}$ 的两个音叉同时响，每秒听到 2 次强弱变化。

为什么是差值：两个正弦波叠加，合成波的振幅被一个频率为 $\lvert f_1 - f_2 \rvert$ 的包络调制；包络每变化一次，声音强弱一次。频率差越大，强弱变化越快；差到十几 Hz 以上，人耳就分不出强弱，只听到两个音。

使用场景

• 两个音叉、两根弦或两个音源同时发声，问每秒听到几次强弱 → 直接算频率差。
• 已知一个音叉的频率和拍频，问另一个音叉的频率 → 有“高一点”和“低一点”两个可能，$f_2 = f_1 \pm f_{\mathrm{beat}}$。

注意点

• 拍频是两个频率之差，不是和，也不是平均值。
• 只给拍频时，未知频率有两个可能值；题目通常再给“另一个音叉频率稍高”或“加负载后拍频变大”之类的条件来定。
• 拍频是声音强弱的次数，不是一个新的音高；不要把它当成“听到了差频的声音”。
• 两个频率相差太大（超过十几 Hz）时，听不到明显的うなり，只听到两个独立的音。

推导

设两个声波到达耳朵的压强变化为

$$p = p_0\sin 2\pi f_1 t + p_0\sin 2\pi f_2 t$$

用和差化积：

$$p = 2p_0\cos\left(2\pi\frac{f_1 - f_2}{2}t\right)\sin\left(2\pi\frac{f_1 + f_2}{2}t\right)$$

括号里的正弦是频率为 $(f_1 + f_2)/2$ 的振动，前面的余弦是缓慢变化的振幅包络。包络的绝对值每秒钟变化 $\lvert f_1 - f_2 \rvert$ 次，所以拍频是 $\lvert f_1 - f_2 \rvert$。（关键一步：包络的频率是频率差的一半，但取绝对值后每周期出现两次强弱，所以拍频等于频率差。）

例题

例 3　（场景：两个音叉频率已知 → 直接算拍频）

問題　振動数 $440\ \mathrm{Hz}$ の音叉と $442\ \mathrm{Hz}$ の音叉を同時に鳴らした。1 秒間に何回のうなりが聞こえるか。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　1 回　　②　2 回　　③　3 回　　④　4 回

解答　うなりの回数は 2 つの振動数の差である。

$$f_{\mathrm{beat}} = \lvert 442 - 440 \rvert = 2\ \mathrm{Hz}$$

よって 1 秒間に 2 回。　答　②

中文翻译　题目：频率 $440\ \mathrm{Hz}$ 的音叉和 $442\ \mathrm{Hz}$ 的音叉同时发声，每秒听到几次拍？从①～④中选最合适的值。解答：拍频等于两个频率之差，$f_{\mathrm{beat}} = |442 - 440| = 2\ \mathrm{Hz}$，每秒 2 次。答案 ②。

解说　用到的是 $f_{\mathrm{beat}} = \lvert f_1 - f_2 \rvert$。容易卡在：把两个频率相加或取平均。选项排除：1 是把差值除以 2；3 是算成了 $442 - 439$；4 是把差值乘 2。注意：拍频的单位是 Hz，但它描述的是“每秒强弱几次”，不是音高。

例 4　（场景：已知一个音叉和拍频 → 未知频率有两个可能）

問題　振動数 $512\ \mathrm{Hz}$ の音叉と，振動数がわからない音叉を同時に鳴らすと，1 秒間に 3 回のうなりが聞こえた。未知の音叉の振動数としてありうるものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$509\ \mathrm{Hz}$ のみ　　②　$515\ \mathrm{Hz}$ のみ　　③　$509\ \mathrm{Hz}$ または $515\ \mathrm{Hz}$　　④　$512\ \mathrm{Hz}$

解答　うなりの回数は振動数の差の絶対値なので

$$\lvert f - 512 \rvert = 3$$

よって $f = 512 - 3 = 509\ \mathrm{Hz}$ または $f = 512 + 3 = 515\ \mathrm{Hz}$。どちらでも 3 回のうなりが聞こえる。　答　③

中文翻译　题目：频率 $512\ \mathrm{Hz}$ 的音叉和一个未知频率的音叉同时发声，每秒听到 3 次拍。未知音叉的频率可能是多少？从①～④中选一个。解答：拍频是频率差的绝对值，$|f - 512| = 3$，所以 $f = 509\ \mathrm{Hz}$ 或 $515\ \mathrm{Hz}$，两种都可能。答案 ③。

解说　用到的是拍频公式的绝对值。容易卡在：只写 $512 + 3$，忘了还有低 3 Hz 的可能。选项排除：① 和 ② 都只给一个可能；④ 的 $512\ \mathrm{Hz}$ 差为零，不会产生拍。补充：如果题目加一句“未知音叉上加了点负载后拍频变大”，负载使频率降低，若原来在 $515$，降低后靠近 $512$，拍频变小；若原来在 $509$，降低后远离 $512$，拍频变大。据此可以定出是哪一个。

常用推论

• 拍频 $f_{\mathrm{beat}} = \lvert f_1 - f_2 \rvert$；拍频的周期 $T = 1/f_{\mathrm{beat}}$。
• 未知频率 $f_2 = f_1 \pm f_{\mathrm{beat}}$，两个可能；用“加负载后拍频变大/变小”来定。
• 两个频率越接近，拍频越小，强弱变化越慢。

易错点

• 错在哪：把拍频写成 $f_1 + f_2$ 或 $(f_1 + f_2)/2$。 为什么错：强弱变化来自两个频率的差，不是和。 正确做法：先写 $\lvert f_1 - f_2 \rvert$，再代入。
• 错在哪：只给一个未知频率。 为什么错：绝对值方程有两个解，高于和低于已知频率都可能。 正确做法：写 $\pm$，再看题目的附加条件。
• 错在哪：把拍频的周期当成频率差。 为什么错：周期和频率互为倒数。 正确做法：$T = 1/\lvert f_1 - f_2 \rvert$。

直观理解

两个频率几乎一样的音叉一起响，声音像“哇——哇——“地起伏；差 2 Hz 就是每秒”哇“两次。频率差越大，“哇”得越快；差得太大，就听不出起伏了。

关联知识点

• 前置：国内书第 22 章 22.5 节波的干涉（两个同频率波的叠加）；本节把“同频率”放宽到“频率略有差别”。
• 后续：本书 13.6 节共振・共鳴（共鸣的强弱也和频率接近程度有关）。
• 常一起考：国内书第 22 章 22.3 节波形图（给两个波形，判断拍频）。

13.4 弦の振動

说明

两端固定的弦（吉他、小提琴的弦）拨动后，弦上形成定在波（定常波）：两端是節（不动点），中间有若干腹（振幅最大的点）。弦长 $L$ 和波长 $\lambda$ 的关系是

$$L = \frac{n\lambda}{2} \quad (n = 1, 2, 3, \ldots)$$

即 $\lambda_n = 2L/n$。对应的频率

$$f_n = \frac{V}{\lambda_n} = \frac{nV}{2L}$$

$n = 1$ 叫基本振動（基频），$n = 2, 3, \ldots$ 叫2 倍振動、3 倍振動（泛音）。弦上波的速度由張力 $S$ 和線密度 $\rho$（单位长度的质量，$\mathrm{kg/m}$）决定：

$$V = \sqrt{\frac{S}{\rho}}$$

所以

$$f_n = \frac{n}{2L}\sqrt{\frac{S}{\rho}}$$

频率与哪些量有关：$f_n$ 与 $n$ 成正比，与弦长 $L$ 成反比，与张力的平方根成正比，与线密度的平方根成反比。弦越短、越紧、越细，音越高。

使用场景

• 给弦长、张力、线密度，求基频或某个泛音的频率 → 先算 $V = \sqrt{S/\rho}$，再用 $f_n = nV/(2L)$。
• 改变张力、长度或线密度，问频率变成几倍 → 用比例关系，不必重算。

注意点

• 弦的两端都是固定端，都是節；不要把一端当腹。
• $n$ 是正整数，$n = 1$ 是基频，$n = 2$ 是 2 倍频，不是“第二个泛音”的编号混淆；本书按 $n$ 倍振動称呼。
• $S$ 是张力（单位 N），不是弦的横截面积；$\rho$ 是线密度（kg/m），不是体积密度（kg/m³）。
• 弦上波速 $V = \sqrt{S/\rho}$ 与拨动的频率无关；频率由弦长和波速决定。
• 弦的振动频率公式不适用于气柱；气柱的边界条件不同（13.5 节）。

推导

波长条件：两端固定，端点必须是節。相邻两个節之间是半个波长，所以弦长 $L$ 必须是半波长的整数倍：$L = n\lambda/2$。

频率：由 $V = f\lambda$ 得 $f_n = V/\lambda_n = nV/(2L)$。

波速：弦上横波的速度由张力和线密度决定，$V = \sqrt{S/\rho}$。这个公式的推导涉及弦的微元受力，高中不要求；记住它并会用来比较即可。

例题

例 5　（场景：给弦长、张力、线密度 → 求基频）

問題　長さ $1.0\ \mathrm{m}$ の弦の両端を固定し，張力を $100\ \mathrm{N}$ にした。弦の線密度が $1.0 \times 10^{-2}\ \mathrm{kg/m}$ であるとき，基本振動の振動数は何 Hz か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$25\ \mathrm{Hz}$　　②　$50\ \mathrm{Hz}$　　③　$100\ \mathrm{Hz}$　　④　$200\ \mathrm{Hz}$

解答　弦を伝わる波の速さは

$$V = \sqrt{\frac{S}{\rho}} = \sqrt{\frac{100}{1.0 \times 10^{-2}}} = \sqrt{1.0 \times 10^4} = 1.0 \times 10^2\ \mathrm{m/s}$$

基本振動では $L = \lambda/2$，$\lambda = 2L = 2.0\ \mathrm{m}$。よって

$$f_1 = \frac{V}{\lambda} = \frac{1.0 \times 10^2}{2.0} = 50\ \mathrm{Hz}$$

　答　②

中文翻译　题目：长 $1.0\ \mathrm{m}$ 的弦两端固定，张力 $100\ \mathrm{N}$，线密度 $1.0 \times 10^{-2}\ \mathrm{kg/m}$，求基频。从①～④中选最合适的值。解答：弦上波速 $V = \sqrt{S/\rho} = \sqrt{100/(1.0 \times 10^{-2})} = 1.0 \times 10^2\ \mathrm{m/s}$。基频时 $L = \lambda/2$，$\lambda = 2.0\ \mathrm{m}$，$f_1 = V/\lambda = 50\ \mathrm{Hz}$。答案 ②。

解说　用到的是 $V = \sqrt{S/\rho}$ 和 $f_1 = V/(2L)$。容易卡在：把 $\rho$ 当成体积密度，或者忘了开平方。选项排除：① 是把 $V$ 除以 4；③ 是忘了 $L = \lambda/2$，直接用 $\lambda = L$；④ 是把 $V$ 乘 2。注意：$S$ 是张力，不是弦的粗细；线密度的单位是 kg/m。

例 6　（场景：张力和长度同时改变 → 用比例关系）

問題　ある弦の張力を 4 倍にし，弦の長さを $\dfrac{1}{2}$ 倍にした。基本振動の振動数はもとの何倍になるか。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，線密度は変わらないものとする。

①　$2$ 倍　　②　$4$ 倍　　③　$8$ 倍　　④　$\dfrac{1}{4}$ 倍

解答　$f_1 = \dfrac{1}{2L}\sqrt{\dfrac{S}{\rho}}$。張力を 4 倍にすると $\sqrt{S}$ が 2 倍，長さを $\dfrac{1}{2}$ 倍にすると $1/L$ が 2 倍になる。よって

$$f_1' = 2 \times 2 f_1 = 4f_1$$

　答　②

中文翻译　题目：把弦的张力变为 4 倍、长度变为 $\dfrac{1}{2}$，线密度不变，基频变为原来的几倍？从①～④中选最合适的值。解答：$f_1 = \dfrac{1}{2L}\sqrt{S/\rho}$。张力 4 倍使 $\sqrt{S}$ 变为 2 倍，长度变为 $\dfrac{1}{2}$ 使 $1/L$ 变为 2 倍，所以 $f_1' = 4f_1$。答案 ②。

解说　用到的是 $f_1 \propto \sqrt{S}/(L\sqrt{\rho})$。容易卡在：把张力的 4 倍直接当成频率的 4 倍，忘了开平方；或者把长度减半当成频率减半。选项排除：① 只算了一个 2 倍；③ 是把 4 倍开方后又乘了 4；④ 是把长度关系弄反。另一种解法：先算新的波速 $V' = 2V$，新的基频 $f_1' = V'/(2 \cdot L/2) = 2V/L = 4f_1$，结果相同。

常用推论

• 两端固定弦：$f_n = n f_1$，$f_2 = 2f_1$，$f_3 = 3f_1$；频率是基频的整数倍。
• $f_1 = \dfrac{1}{2L}\sqrt{\dfrac{S}{\rho}}$：长度减半，频率加倍；张力 4 倍，频率加倍；线密度 4 倍，频率减半。
• 相邻两泛音的频率差都等于 $f_1$。

易错点

• 错在哪：对所有的 $n$ 都用 $L = \lambda/2$。 为什么错：$L = n\lambda/2$，第 $n$ 个振动的波长是 $2L/n$，不是 $2L$。 正确做法：先写 $\lambda_n = 2L/n$，再算 $f_n = V/\lambda_n$。
• 错在哪：把张力 $S$ 当成弦的横截面积。 为什么错：$S$ 在公式里是张力，单位 N；横截面积影响线密度。 正确做法：看清题目给的是“張力”还是“断面積”。
• 错在哪：线密度用 kg/m³ 代入。 为什么错：$\rho$ 是单位长度的质量（kg/m），不是体积密度。 正确做法：题目给密度和截面积时，先算 $\rho =$ 密度 $\times$ 截面积。

直观理解

吉他上按弦的位置越靠近琴身，振动的弦越短，音越高；拧紧琴弦（增大张力），音也变高；换一根更细的弦（线密度小），音更高。弦的两端被琴码和琴枕固定，所以两端一定是節。

关联知识点

• 前置：国内书第 22 章 22.2 节波速 $v = \lambda f$；本书 12 章定在波（如果已读）。
• 后续：本书 13.5 节気柱の振動（边界条件不同，但都用“定在波 + 波长条件”）。
• 常一起考：国内书第 22 章 22.3 节波形图（给弦的波形，判断節、腹或波长）。

13.5 気柱の振動

说明

管中的空气柱振动时，在两端的开口和闭口处形成不同的边界条件，由此决定能形成哪些定在波。

開管（两端都开口）：两端都是腹（空气可以自由振动，位移最大），中间可以有節。波长条件

$$L = \frac{n\lambda}{2} \quad (n = 1, 2, 3, \ldots)$$

频率

$$f_n = \frac{nV}{2L}$$

开管可以发出基频和所有整数倍泛音（$f_1, 2f_1, 3f_1, \ldots$）。

閉管（一端闭、一端开口）：闭端是節（空气不能动），开口端是腹。波长条件

$$L = \frac{(2n-1)\lambda}{4} \quad (n = 1, 2, 3, \ldots)$$

频率

$$f_n = \frac{(2n-1)V}{4L}$$

闭管只能发出奇数倍泛音：$f_1, 3f_1, 5f_1, \ldots$，没有 $2f_1$、$4f_1$。

開口端補正：开口端的腹实际上略在管口外，管的有效长度比实际长度长一点。开口端半径 $r$ 时，补正量约为

$$\Delta L \approx 0.6r$$

精确计算时用有效长度 $L + \Delta L$（两端都开口时两端都要补正）。

使用场景

• 给管长和音速，求开管或闭管的基频、泛音 → 用对应的波长条件。
• 比较同长的开管和闭管 → 开管基频是闭管基频的 2 倍。
• 开口端补正：给管径和管长，求修正后的频率 → 用 $L + 0.6r$。

注意点

• 开管两端都是腹；闭管闭端是節、开口端是腹。画图时先定端点，再数半波长。
• 开管有全部整数倍泛音；闭管只有奇数倍。看到“闭管”就不要写 $2f_1$。
• 同长时 $f_{\text{开}1} = 2f_{\text{闭}1}$，因为开管 $L = \lambda/2$，闭管 $L = \lambda/4$。
• 开口端补正只加在开口端；闭端不加。
• 气柱的频率还随音速变，温度升高时频率升高（管长不变）。

推导

开管：两端都是腹，相邻两个腹之间是半个波长。管长 $L$ 等于 $n$ 个半波长：$L = n\lambda/2$，所以 $\lambda_n = 2L/n$，$f_n = V/\lambda_n = nV/(2L)$。

闭管：闭端是節、开口端是腹，从節到相邻的腹是四分之一波长。管长 $L$ 等于奇数个四分之一波长：$L = (2n-1)\lambda/4$，所以 $\lambda_n = 4L/(2n-1)$，$f_n = (2n-1)V/(4L)$。

开口端补正：开口端附近的空气不是突然自由，腹的位置略在管口外，等效于管长增加 $\Delta L \approx 0.6r$。这是经验公式，高中不要求推导。

例题

例 7　（场景：同长的开管和闭管 → 比较基频）

問題　長さ $0.50\ \mathrm{m}$ の開管と閉管がある。音速を $340\ \mathrm{m/s}$ とするとき，開管の基本振動の振動数は閉管の基本振動の振動数の何倍か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$\dfrac{1}{2}$ 倍　　②　$1$ 倍　　③　$2$ 倍　　④　$4$ 倍

解答　開管の基本振動は $L = \lambda/2$，$\lambda = 2L$，$f_{\text{開}1} = V/(2L)$。閉管の基本振動は $L = \lambda/4$，$\lambda = 4L$，$f_{\text{閉}1} = V/(4L)$。よって

$$\frac{f_{\text{開}1}}{f_{\text{閉}1}} = \frac{V/(2L)}{V/(4L)} = 2$$

　答　③

中文翻译　题目：有长 $0.50\ \mathrm{m}$ 的开管和闭管，音速 $340\ \mathrm{m/s}$，开管基频是闭管基频的几倍？从①～④中选最合适的值。解答：开管基频 $f_{\text{开}1} = V/(2L)$，闭管基频 $f_{\text{闭}1} = V/(4L)$，比值为 2。答案 ③。

解说　用到的是开管 $L = \lambda/2$、闭管 $L = \lambda/4$。容易卡在：把两者都用开管公式，得 1 倍（选项 ②）；或者把闭管当成开管的一半（选项 ①）。选项排除：④ 是把长度关系弄成了 4 倍。注意：题目问的是比值，管长和音速的具体数值会约掉，不用真的算出 Hz。

例 8　（场景：闭管的泛音 → 只有奇数倍）

問題　長さ $0.50\ \mathrm{m}$ の閉管の基本振動の振動数が $170\ \mathrm{Hz}$ であるとき，この閉管で生じる 3 倍振動の振動数は何 Hz か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$170\ \mathrm{Hz}$　　②　$340\ \mathrm{Hz}$　　③　$510\ \mathrm{Hz}$　　④　$680\ \mathrm{Hz}$

解答　閉管の振動数は奇数倍：$f_n = (2n-1)f_1$。3 倍振動は $2n-1 = 3$，すなわち $n = 2$ のときで

$$f = 3f_1 = 3 \times 170 = 510\ \mathrm{Hz}$$

　答　③

中文翻译　题目：长 $0.50\ \mathrm{m}$ 的闭管基频为 $170\ \mathrm{Hz}$，这个闭管的 3 倍振动频率是多少 Hz？从①～④中选最合适的值。解答：闭管频率是奇数倍，$f = 3f_1 = 3 \times 170 = 510\ \mathrm{Hz}$。答案 ③。

解说　用到的是闭管只有奇数倍泛音。容易卡在：以为泛音是 $2f_1 = 340\ \mathrm{Hz}$（选项 ②），但闭管没有 2 倍振动。选项排除：① 是基频；④ 是 4 倍，也不是闭管的泛音。注意：闭管的 3 倍振动是第二个可能的振动（$n = 2$），不是“第三个泛音”。

例 9　（场景：开口端补正 → 有效长度变长）

問題　長さ $0.20\ \mathrm{m}$，半径 $2.0\ \mathrm{cm}$ の閉管の基本振動の振動数を求めたい。音速を $340\ \mathrm{m/s}$，開口端補正を $\Delta L = 0.6r$ とするとき，最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$3.4 \times 10^2\ \mathrm{Hz}$　　②　$4.0 \times 10^2\ \mathrm{Hz}$　　③　$4.3 \times 10^2\ \mathrm{Hz}$　　④　$8.5 \times 10^2\ \mathrm{Hz}$

解答　$r = 2.0\ \mathrm{cm} = 2.0 \times 10^{-2}\ \mathrm{m}$，$\Delta L = 0.6 \times 2.0 \times 10^{-2} = 1.2 \times 10^{-2}\ \mathrm{m}$。有効長は

$$L_{\mathrm{eff}} = 0.20 + 0.012 = 0.212\ \mathrm{m}$$

閉管の基本振動は $L_{\mathrm{eff}} = \lambda/4$，$\lambda = 4L_{\mathrm{eff}}$。よって

$$f_1 = \frac{V}{\lambda} = \frac{340}{4 \times 0.212} \approx 4.0 \times 10^2\ \mathrm{Hz}$$

　答　②

中文翻译　题目：长 $0.20\ \mathrm{m}$、半径 $2.0\ \mathrm{cm}$ 的闭管，音速 $340\ \mathrm{m/s}$，开口端补正 $\Delta L = 0.6r$，求基频。从①～④中选最合适的值。解答：$r = 2.0 \times 10^{-2}\ \mathrm{m}$，$\Delta L = 1.2 \times 10^{-2}\ \mathrm{m}$，有效长度 $0.212\ \mathrm{m}$。闭管基频 $\lambda = 4L_{\mathrm{eff}}$，$f = 340/(4 \times 0.212) \approx 4.0 \times 10^2\ \mathrm{Hz}$。答案 ②。

解说　用到的是闭管基频公式加开口端补正。容易卡在：忘了补正，用 $0.20\ \mathrm{m}$ 算得 $425\ \mathrm{Hz}$，四舍五入到 $4.3 \times 10^2\ \mathrm{Hz}$（选项 ③），这是不补正的结果。选项排除：① 是开管公式 $V/(2L)$ 的结果；④ 是忘了 $L = \lambda/4$。注意：补正只加在开口端，闭端不加。

常用推论

• 开管 $f_n = nV/(2L)$；闭管 $f_n = (2n-1)V/(4L)$。
• 同长时 $f_{\text{开}1} = 2f_{\text{闭}1}$；开管有全部整数倍泛音，闭管只有奇数倍。
• 开口端补正 $\Delta L \approx 0.6r$，有效长度 $L + \Delta L$；两端开管两端都补。
• 共鸣管中相邻两次共鸣的长度差为 $\lambda/2$，所以 $\lambda = 2\Delta L_{\text{共鸣}}$，$V = f\lambda$。

易错点

• 错在哪：闭管也用 $L = n\lambda/2$。 为什么错：闭端是節、开口端是腹，从節到腹是 $\lambda/4$，只能取奇数倍。 正确做法：先画端点（節还是腹），再数四分之一波长。
• 错在哪：闭管写出 $2f_1$、$4f_1$。 为什么错：闭管没有偶数倍泛音。 正确做法：闭管只写 $f_1, 3f_1, 5f_1, \ldots$。
• 错在哪：开口端补正加到闭端，或两端开管只补一端。 为什么错：补正来自开口端的辐射，只加在开口端；两端开管两端都有开口。 正确做法：看清哪端开口，逐个加 $0.6r$。

直观理解

往瓶口吹气，瓶里的空气柱振动发声；水装得越多，空气柱越短，音越高。开管像两端都通的笛子，闭管像一端堵住的瓶子；闭管只能发出奇数次泛音，所以音色和开管不同。

关联知识点

• 前置：本书 13.4 节弦の振動（定在波的波长条件）；国内书第 22 章 22.2 节波速。
• 后续：本书 13.6 节共振・共鳴（气柱的共鸣）。
• 常一起考：本书 13.4 节（弦与气柱的频率比），13.6 节（共鸣管测音速）。

13.6 共振・共鳴

说明

共振（共鳴）：一个振动系统受到周期性的驱动力，当驱动力的频率等于系统的固有频率时，振幅达到最大，这种现象叫共振；声音的共振叫共鳴。

受迫振动：系统在驱动力作用下的振动。稳定后，受迫振动的频率等于驱动力的频率，与系统的固有频率无关；但振幅取决于驱动力频率与固有频率的接近程度。两者相等时振幅最大。

气柱的共鳴：把振动的音叉放在管口，改变管中空气柱的长度，当空气柱的固有频率等于音叉频率时，听到的声音最响。利用这个现象可以测声速：找到两次共鸣的水面位置，它们相差 $\lambda/2$。

使用场景

• 音叉 + 共鸣管：给两次共鸣的位置，求波长、频率或音速 → 长度差 = $\lambda/2$，$V = f\lambda$。
• 判断哪种情况下发生共鸣 → 驱动频率 = 固有频率；与驱动力的强弱无关。

注意点

• 共鸣的条件是频率相等，不是“声音大”或“距离近”。
• 受迫振动的频率等于驱动力频率；只有振幅在共振时最大。
• 共鸣管中相邻两次共鸣的长度差是 $\lambda/2$，不是 $\lambda$；因为闭管每次增加半个波长。
• 开口端补正会改变有效长度，精确实验里要修正。
• 共振曲线以驱动频率为横轴、振幅为纵轴，峰值在固有频率处；阻尼越大峰值越低、越宽。

推导

受迫振动：系统同时受回复力和周期性驱动力。稳定后位移按驱动力的频率变化，振幅 $A$ 与驱动频率 $f$ 的关系是一条峰值曲线：

$$A(f) \text{ 在 } f = f_0 \text{ 时最大}$$

$f_0$ 是固有频率。驱动力频率远离 $f_0$ 时，振幅变小。（关键一步：共振不是“驱动力最大”，而是“驱动力频率最接近固有频率”。）

共鸣管测声速：闭管空气柱的固有频率 $f = (2n-1)V/(4L)$。改变长度 $L$ 使 $f$ 等于音叉频率，得到一系列共鸣长度。相邻两次共鸣对应的 $(2n-1)$ 相差 2，长度差为

$$\Delta L = \frac{\lambda}{2}$$

所以 $\lambda = 2\Delta L$，$V = f\lambda$。

例题

例 10　（场景：共鸣管两次共鸣 → 求音速）

問題　振動数 $500\ \mathrm{Hz}$ の音叉を共鳴管の口の上方で鳴らしながら，管の中の水面を下げていったところ，長さ $0.17\ \mathrm{m}$ と $0.51\ \mathrm{m}$ のところで共鳴した。音速は何 m/s か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$1.7 \times 10^2\ \mathrm{m/s}$　　②　$3.4 \times 10^2\ \mathrm{m/s}$　　③　$5.1 \times 10^2\ \mathrm{m/s}$　　④　$6.8 \times 10^2\ \mathrm{m/s}$

解答　隣り合う共鳴の長さの差は $\lambda/2$ なので

$$\frac{\lambda}{2} = 0.51 - 0.17 = 0.34\ \mathrm{m} \quad \therefore\ \lambda = 0.68\ \mathrm{m}$$

よって

$$V = f\lambda = 500 \times 0.68 = 3.4 \times 10^2\ \mathrm{m/s}$$

　答　②

中文翻译　题目：频率 $500\ \mathrm{Hz}$ 的音叉在共鸣管口上方发声，使管内水面下降，在 $0.17\ \mathrm{m}$ 和 $0.51\ \mathrm{m}$ 处共鸣。求音速。从①～④中选最合适的值。解答：相邻两次共鸣的长度差是 $\lambda/2$，$0.51 - 0.17 = 0.34\ \mathrm{m}$，$\lambda = 0.68\ \mathrm{m}$，$V = f\lambda = 500 \times 0.68 = 3.4 \times 10^2\ \mathrm{m/s}$。答案 ②。

解说　用到的是共鸣管中相邻共鸣长度差 $\lambda/2$。容易卡在：把长度差直接当成波长，得 $V = 500 \times 0.34 = 170\ \mathrm{m/s}$（选项 ①）。选项排除：③ 是把两个长度相加当波长；④ 是把长度差乘 2 后忘了频率关系。注意：共鸣管是闭管（水面封住下端），所以相邻共鸣差半个波长；这个结论不适用于两端开口的管子。

例 11　（场景：判断共鸣条件 → 频率相等）

問題　振動数 $440\ \mathrm{Hz}$ の音叉の近くに，固有振動数がそれぞれ $220\ \mathrm{Hz}$，$440\ \mathrm{Hz}$，$660\ \mathrm{Hz}$ の 3 本の管がある。音叉を鳴らしたとき，共鳴する管はどれか。正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$220\ \mathrm{Hz}$ の管のみ　　②　$440\ \mathrm{Hz}$ の管のみ　　③　$440\ \mathrm{Hz}$ と $660\ \mathrm{Hz}$ の管　　④　3 本すべて

解答　共鳴的条件は，駆動力の振動数が管の固有振動数に等しいことである。音叉は $440\ \mathrm{Hz}$ なので，共鳴するのは $440\ \mathrm{Hz}$ の管のみ。　答　②

中文翻译　题目：频率 $440\ \mathrm{Hz}$ 的音叉旁有固有频率分别为 $220\ \mathrm{Hz}$、$440\ \mathrm{Hz}$、$660\ \mathrm{Hz}$ 的三根管。音叉发声时哪根管共鸣？从①～④中选一个。解答：共鸣条件是驱动频率等于管的固有频率，音叉是 $440\ \mathrm{Hz}$，所以只有 $440\ \mathrm{Hz}$ 的管共鸣。答案 ②。

解说　用到的是共鸣条件“驱动频率 = 固有频率”。容易卡在：以为 $220\ \mathrm{Hz}$ 或 $660\ \mathrm{Hz}$ 是 $440$ 的整数倍也会共鸣；整数倍频率不会引起基频共振（可能激起泛音，但题目问的是固有频率）。选项排除：① 的频率是音叉的一半；③ 的 $660\ \mathrm{Hz}$ 不是 $440\ \mathrm{Hz}$；④ 更不对。注意：共振看的是频率相等，不是频率成整数比。

常用推论

• 共鸣条件：驱动频率 = 固有频率；共振时振幅最大。
• 受迫振动的频率等于驱动频率，与固有频率无关。
• 共鸣管（闭管）相邻两次共鸣长度差 $\lambda/2$；$\lambda = 2\Delta L$，$V = f\lambda$。
• 阻尼越大，共振峰越低、越宽。

易错点

• 错在哪：认为驱动力越大越容易共鸣。 为什么错：共鸣看频率是否相等，不看力的大小。 正确做法：先比较频率，再看振幅。
• 错在哪：把共鸣管相邻长度差当成波长。 为什么错：闭管相邻共鸣差半个波长。 正确做法：$\lambda = 2\Delta L$，再算 $V = f\lambda$。
• 错在哪：认为受迫振动的频率等于固有频率。 为什么错：稳定后受迫振动按驱动频率振动，只有振幅在共振时最大。 正确做法：区分“振动频率”和“振幅最大”。

直观理解

推秋千时，每次都在秋千荡回来时推，秋千越荡越高；推的节奏（驱动频率）和秋千的自然节奏（固有频率）一致，就是共振。推得太快或太慢，秋千都荡不高。

关联知识点

• 前置：国内书第 21 章 21.7 节受迫振动与共振；本书 13.5 节気柱の振動。
• 后续：本书 13.7 节ドップラー効果（与共鸣无直接关系，但同属声学应用）。
• 常一起考：本书 13.5 节（开管、闭管的固有频率），13.4 节（弦的固有频率）。

13.7 ドップラー効果

说明

ドップラー効果：音源和观测者之间有相对运动时，观测者听到的频率与音源发出的频率不同。靠近时听到的频率变高，远离时变低。

设音速为 $V$，音源频率为 $f$，音源速度为 $v_s$，观测者速度为 $v_o$（都相对于空气），则：

情形	观测者听到的频率
音源靠近静止的观测者	$f' = \dfrac{V}{V - v_s}f$
音源远离静止的观测者	$f' = \dfrac{V}{V + v_s}f$
观测者靠近静止的音源	$f' = \dfrac{V + v_o}{V}f$
观测者远离静止的音源	$f' = \dfrac{V - v_o}{V}f$
两者相向运动	$f' = \dfrac{V + v_o}{V - v_s}f$
两者相互远离	$f' = \dfrac{V - v_o}{V + v_s}f$

为什么音源动和观测者动不一样：音源运动改变的是波长（波面被压缩或拉开），观测者运动改变的是接收速度（单位时间遇到多少个波面）。两者都动时，两个效应同时起作用。

反射的情况：声音遇到运动的墙壁反射，可以把反射面看成“先接收、再发射”的观测者和新音源，频率变化两次。例如墙壁以 $v_w$ 靠近静止音源，反射频率为

$$f' = \frac{V + v_w}{V - v_w}f$$

使用场景

• 救护车、警车驶过，问靠近时和远离时听到的频率 → 用对应的公式。
• 音源或观测者之一运动，给速度、频率、音速，求观测频率 → 先判断谁动、靠近还是远离，再选公式。
• 两者都动 → 分子乘观测者的因子，分母除音源的因子。

注意点

• 音源发出的频率不变；变的是观测者接收到的频率。
• 公式里的速度都是相对于空气的；如果题目说“风”，高中不处理，题目一般不提。
• 靠近时分子变大或分母变小，频率变高；远离时相反。先判断“靠近还是远离”，再选符号，不要死记。
• 观测者运动不改变波长，只改变接收速度；音源运动改变波长。这是两类公式不同的原因。
• 反射面运动时频率变化两次，不是一次；把反射面先当观测者，再当音源。
• 声源速度不能超过音速（$v_s < V$）；超过时公式失效（马赫波，不在 EJU 范围）。

推导

音源靠近静止观测者：音源以 $v_s$ 靠近，每个周期 $T = 1/f$ 内向前移动 $v_sT$，波长被压缩为

$$\lambda' = \lambda - v_sT = \frac{V - v_s}{f}$$

观测者静止，接收速度是 $V$，所以

$$f' = \frac{V}{\lambda'} = \frac{V}{V - v_s}f$$

观测者靠近静止音源：波长不变 $\lambda = V/f$，观测者以 $v_o$ 迎着波运动，单位时间遇到的波面数增加，相对速度 $V + v_o$，所以

$$f' = \frac{V + v_o}{\lambda} = \frac{V + v_o}{V}f$$

两者都动：把两个因子乘起来，得到表中的公式。（关键一步：音源动改波长，观测者动改相对速度，两者的物理机制不同。）

例题

例 12　（场景：音源靠近静止观测者 → 分母变小）

問題　振動数 $600\ \mathrm{Hz}$ のサイレンを鳴らした救急車が，静止している観測者に $30\ \mathrm{m/s}$ の速さで近づいている。観測者が聞く音の振動数は何 Hz か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，音速を $340\ \mathrm{m/s}$ とする。

①　$5.5 \times 10^2\ \mathrm{Hz}$　　②　$6.0 \times 10^2\ \mathrm{Hz}$　　③　$6.6 \times 10^2\ \mathrm{Hz}$　　④　$7.1 \times 10^2\ \mathrm{Hz}$

解答　音源が観測者に近づくので

$$f' = \frac{V}{V - v_s}f = \frac{340}{340 - 30} \times 600 = \frac{340}{310} \times 600 \approx 6.6 \times 10^2\ \mathrm{Hz}$$

　答　③

中文翻译　题目：频率 $600\ \mathrm{Hz}$ 的救护车鸣笛以 $30\ \mathrm{m/s}$ 靠近静止的观测者，观测者听到的频率是多少 Hz？音速 $340\ \mathrm{m/s}$。从①～④中选最合适的值。解答：音源靠近，$f' = \dfrac{V}{V-v_s}f = \dfrac{340}{310} \times 600 \approx 6.6 \times 10^2\ \mathrm{Hz}$。答案 ③。

解说　用到的是音源靠近的公式。容易卡在：把 $v_s$ 加到分子上，得 $f' = 600 \times 370/340 \approx 6.5 \times 10^2\ \mathrm{Hz}$，接近 ③ 但物理机制错了；或者用 $V/(V+v_s)$ 得 $5.5 \times 10^2\ \mathrm{Hz}$（选项 ①）。选项排除：② 是没有多普勒效应；④ 是分子分母都加错。注意：音源靠近时波长变短，分母是 $V - v_s$。

例 13　（场景：观测者靠近静止音源 → 分子变大）

問題　振動数 $600\ \mathrm{Hz}$ の静止した音源に，観測者が $20\ \mathrm{m/s}$ の速さで近づいている。観測者が聞く音の振動数は何 Hz か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，音速を $340\ \mathrm{m/s}$ とする。

①　$5.6 \times 10^2\ \mathrm{Hz}$　　②　$6.0 \times 10^2\ \mathrm{Hz}$　　③　$6.4 \times 10^2\ \mathrm{Hz}$　　④　$6.8 \times 10^2\ \mathrm{Hz}$

解答　音源は静止，観測者が近づくので

$$f' = \frac{V + v_o}{V}f = \frac{340 + 20}{340} \times 600 = \frac{360}{340} \times 600 \approx 6.4 \times 10^2\ \mathrm{Hz}$$

　答　③

中文翻译　题目：频率 $600\ \mathrm{Hz}$ 的静止音源，观测者以 $20\ \mathrm{m/s}$ 靠近，听到的频率是多少 Hz？音速 $340\ \mathrm{m/s}$。从①～④中选最合适的值。解答：观测者靠近，$f' = \dfrac{V+v_o}{V}f = \dfrac{360}{340} \times 600 \approx 6.4 \times 10^2\ \mathrm{Hz}$。答案 ③。

解说　用到的是观测者靠近的公式。容易卡在：把观测者速度放进分母，得 $600 \times 340/320 \approx 6.4 \times 10^2\ \mathrm{Hz}$，数值接近但公式错了；或者用远离的符号得 $5.6 \times 10^2\ \mathrm{Hz}$（选项 ①）。选项排除：② 是没有多普勒效应；④ 是速度加倍。注意：观测者运动不改变波长，只改变接收速度，所以 $v_o$ 在分子。

例 14　（场景：两者相向运动 → 两个因子）

問題　振動数 $600\ \mathrm{Hz}$ の音源が $30\ \mathrm{m/s}$ で観測者に近づき，同時に観測者が $20\ \mathrm{m/s}$ で音源に近づいている。観測者が聞く音の振動数は何 Hz か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，音速を $340\ \mathrm{m/s}$ とする。

①　$6.4 \times 10^2\ \mathrm{Hz}$　　②　$6.6 \times 10^2\ \mathrm{Hz}$　　③　$7.0 \times 10^2\ \mathrm{Hz}$　　④　$7.4 \times 10^2\ \mathrm{Hz}$

解答　両方が近づくので

$$f' = \frac{V + v_o}{V - v_s}f = \frac{340 + 20}{340 - 30} \times 600 = \frac{360}{310} \times 600 \approx 7.0 \times 10^2\ \mathrm{Hz}$$

　答　③

中文翻译　题目：频率 $600\ \mathrm{Hz}$ 的音源以 $30\ \mathrm{m/s}$ 靠近观测者，观测者同时以 $20\ \mathrm{m/s}$ 靠近音源，听到的频率是多少 Hz？音速 $340\ \mathrm{m/s}$。从①～④中选最合适的值。解答：两者相向，$f' = \dfrac{V+v_o}{V-v_s}f = \dfrac{360}{310} \times 600 \approx 7.0 \times 10^2\ \mathrm{Hz}$。答案 ③。

解说　用到的是两者都动的公式。容易卡在：只算一个效应，得 $6.4 \times 10^2$ 或 $6.6 \times 10^2$（选项 ①、②）；或者把两个速度都放到分子或分母。选项排除：④ 是速度相加后算错。注意：两者相向时，分子乘观测者因子、分母除音源因子；两个效应都让频率变高。

常用推论

• 靠近时频率变高，远离时变低；先判断方向，再选公式。
• 音源动：$f' = \dfrac{V}{V \mp v_s}f$（靠近取减号，远离取加号）。
• 观测者动：$f' = \dfrac{V \pm v_o}{V}f$（靠近取加号，远离取减号）。
• 两者都动：分子用观测者因子，分母用音源因子。
• 反射面运动：频率变化两次，$f' = \dfrac{V \pm v_w}{V \mp v_w}f$。
• 速度远小于音速时，$\dfrac{\Delta f}{f} \approx \dfrac{v}{V}$（靠近时）。

易错点

• 错在哪：把音源速度放进分子，观测者速度放进分母。 为什么错：音源动改波长（分母），观测者动改接收速度（分子）。 正确做法：先问“谁在动”，再选公式。
• 错在哪：靠近时用 $V + v_s$ 作分母。 为什么错：靠近时波长变短，分母应是 $V - v_s$。 正确做法：靠近使频率变高，分子变大或分母变小，检查结果是否大于 $f$。
• 错在哪：反射面运动只算一次多普勒效应。 为什么错：反射面先接收再发射，频率变化两次。 正确做法：先当观测者算接收频率，再当音源算反射频率。

直观理解

救护车鸣笛驶近时音调高，驶过后音调突然变低，这就是多普勒效应。音源迎面而来时，波面被压密，波长变短，所以听到的频率高；远离时波面被拉开，频率低。

关联知识点

• 前置：本书 13.2 节音の速さ（$V = f\lambda$），国内书第 22 章 22.6 节多普勒效应定性。
• 后续：本书第 14 章光（光的ドップラー効果不在 EJU 范围，但同一思想）。
• 常一起考：本书 13.3 节うなり（两个频率接近时的强弱），13.6 节共振（频率匹配）。

13.8 题型与答法

音在 EJU 里通常出现在大問 Ⅲ（波）的后半，和波的性质、光的折射轮流出题。题型以字母式和数值为主：给弦长、张力、线密度求频率；给开管、闭管求泛音比；给共鸣管两次共鸣求音速；给音源、观测者的速度求多普勒频率。据 20 回公开过去问，本章内容共出现 20 次（每回平均 1.0 次）：2011 年第 1 回 2 题，2011 年第 2 回没有，其余每回 1 题。

两分钟做法：

1. 先看清是弦、气柱还是多普勒；三类的公式不同。
2. 弦：先算 $V = \sqrt{S/\rho}$，再 $f_n = nV/(2L)$；开管 $nV/(2L)$，闭管 $(2n-1)V/(4L)$。
3. 多普勒：先判断谁动、靠近还是远离，再选分子分母；算完检查“靠近应比 $f$ 大”。
4. 用极限核对：$v_s \to 0$ 时 $f' \to f$；闭管没有偶数倍；开管基频是闭管的两倍。

問題 1　（弦と気柱の振動数の比）

長さ $L$ の弦を両端固定で張り，基本振動を出した。同じ長さ $L$ の開管の基本振動の振動数は，この弦の基本振動の振動数の何倍か。最も適当なものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，弦を伝わる波の速さを $V_{\text{弦}}$，空気中の音速を $V_{\text{音}}$ とする。

①　$\dfrac{V_{\text{弦}}}{2V_{\text{音}}}$　　②　$\dfrac{V_{\text{音}}}{V_{\text{弦}}}$　　③　$\dfrac{2V_{\text{音}}}{V_{\text{弦}}}$　　④　$\dfrac{V_{\text{音}}}{2V_{\text{弦}}}$

解答　弦の基本振動は $f_{\text{弦}} = \dfrac{V_{\text{弦}}}{2L}$。開管の基本振動は $f_{\text{開}} = \dfrac{V_{\text{音}}}{2L}$。よって

$$\frac{f_{\text{開}}}{f_{\text{弦}}} = \frac{V_{\text{音}}/(2L)}{V_{\text{弦}}/(2L)} = \frac{V_{\text{音}}}{V_{\text{弦}}}$$

　答　②

中文翻译　题目：长 $L$ 的弦两端固定，发出基频。同长 $L$ 的开管基频是这根弦基频的几倍？弦上波速 $V_{\text{弦}}$，空气中声速 $V_{\text{音}}$。从①～④中选一个。解答：弦基频 $f_{\text{弦}} = V_{\text{弦}}/(2L)$，开管基频 $f_{\text{开}} = V_{\text{音}}/(2L)$，比值为 $V_{\text{音}}/V_{\text{弦}}$。答案 ②。

解说　两分钟做法：两者都是 $L = \lambda/2$，所以频率比就是波速比。容易卡在：以为弦和开管的波长条件不同；其实两端固定弦和两端开口管在基频时都是 $L = \lambda/2$，只是波速不同。选项排除：① 和 ④ 多除了 2；③ 多乘了 2。

問題 2　（ドップラー効果の数値）

振動数 $500\ \mathrm{Hz}$ の音源が，静止している観測者から $40\ \mathrm{m/s}$ の速さで遠ざかっている。観測者が聞く音の振動数は何 Hz か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，音速を $340\ \mathrm{m/s}$ とする。

①　$4.4 \times 10^2\ \mathrm{Hz}$　　②　$4.7 \times 10^2\ \mathrm{Hz}$　　③　$5.0 \times 10^2\ \mathrm{Hz}$　　④　$5.3 \times 10^2\ \mathrm{Hz}$

解答　音源が遠ざかるので

$$f' = \frac{V}{V + v_s}f = \frac{340}{340 + 40} \times 500 = \frac{340}{380} \times 500 \approx 4.47 \times 10^2\ \mathrm{Hz}$$

有効数字 2 桁で $4.5 \times 10^2\ \mathrm{Hz}$……選択肢に $4.5$ がないので，最も近い $4.4 \times 10^2\ \mathrm{Hz}$ を選ぶ。　答　①

中文翻译　题目：频率 $500\ \mathrm{Hz}$ 的音源以 $40\ \mathrm{m/s}$ 远离静止观测者，观测者听到的频率是多少 Hz？音速 $340\ \mathrm{m/s}$。从①～④中选最合适的值。解答：音源远离，$f' = \dfrac{V}{V+v_s}f = \dfrac{340}{380} \times 500 \approx 4.47 \times 10^2\ \mathrm{Hz}$，取两位为 $4.5 \times 10^2\ \mathrm{Hz}$，选项中最接近的是 $4.4 \times 10^2\ \mathrm{Hz}$。答案 ①。

解说　两分钟做法：远离 → 分母是 $V + v_s$ → 结果小于 $500$。容易卡在：用靠近的公式得 $5.7 \times 10^2\ \mathrm{Hz}$，选项里没有；或者把 $40$ 放进分子。选项排除：③ 是没有多普勒效应；④ 是变大，方向错；② 是分母用了 $V + 2v_s$ 之类的错算。

問題 3　（うなりで未知の振動数を決める）

振動数 $480\ \mathrm{Hz}$ の音叉と未知の音叉を同時に鳴らすと，1 秒間に 4 回のうなりが聞こえた。未知の音叉に少しおもりをつけると，うなりの回数が増えた。未知の音叉の振動数は何 Hz か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$476\ \mathrm{Hz}$　　②　$484\ \mathrm{Hz}$　　③　$480\ \mathrm{Hz}$　　④　$488\ \mathrm{Hz}$

解答　うなりの回数が 4 回なので，未知の振動数は $480 \pm 4 = 476$ または $484\ \mathrm{Hz}$。おもりをつけると振動数は下がる。$484\ \mathrm{Hz}$ から下がると $480$ に近づき，うなりの回数は減る；$476\ \mathrm{Hz}$ から下がると $480$ から遠ざかり，うなりの回数は増える。問題では増えたので，未知の振動数は $476\ \mathrm{Hz}$。　答　①

中文翻译　题目：频率 $480\ \mathrm{Hz}$ 的音叉和未知音叉同时发声，每秒 4 次拍。给未知音叉加一点负载后，拍变多。未知音叉的频率是多少 Hz？从①～④中选最合适的值。解答：拍频 4 次，未知频率可能是 $480 \pm 4 = 476$ 或 $484\ \mathrm{Hz}$。加负载使频率降低：$484$ 降低会接近 $480$，拍变少；$476$ 降低会远离 $480$，拍变多。题中说拍变多，所以是 $476\ \mathrm{Hz}$。答案 ①。

解说　两分钟做法：先写 $\pm 4$ 的两个可能，再用“加负载降低频率”判断方向。容易卡在：忘了负载使频率降低，或者只看拍频不看变化方向。选项排除：② 是另一个可能；③ 差为零；④ 差 8 Hz，不是 4 Hz。注意：加负载（或加蜡）使振动变慢、频率降低，这是判断方向的依据。

13.9 术语与题干用语

日文	读音	中文	例句或说明
音	おと	声音	音の速さ：音速
音速	おんそく	音速	気温 $20\ \mathrm{^\circ C}$ での音速
振動数	しんどうすう	频率	振動数 $440\ \mathrm{Hz}$ の音叉
波長	はちょう	波长	波長は何 m か
うなり	うなり	拍、拍频	1 秒間に 3 回のうなりが聞こえる
弦	げん	弦	弦の振動、弦を伝わる波
張力	ちょうりょく	张力	弦の張力を 4 倍にする
線密度	せんみつど	线密度	弦の線密度 $\rho$
定在波（定常波）	ていざいは（ていじょうは）	驻波	弦に定在波ができる
節	ふし	波节	両端は節になる
腹	はら	波腹	開口端は腹になる
基本振動	きほんしんどう	基频振动	基本振動の振動数 $f_1$
倍振動	ばいしんどう	倍频振动	2 倍振動、3 倍振動
開管	かいかん	开管	両端が開いた管
閉管	へいかん	闭管	一端が閉じた管
気柱	きちゅう	气柱	気柱の振動
開口端補正	かいこうたんほせい	开口端补正	開口端補正 $\Delta L = 0.6r$
共鳴	きょうめい	共鸣	音叉と気柱が共鳴する
共振	きょうしん	共振	共振曲線のピーク
ドップラー効果	ドップラーこうか	多普勒效应	救急車のサイレンの音
音源	おんげん	声源	音源が観測者に近づく
観測者	かんそくしゃ	观测者	静止している観測者
近づく・遠ざかる	ちかづく・とおざかる	靠近、远离	音源が近づくとき
反射	はんしゃ	反射	音の反射
屈折	くっせつ	折射	音の屈折
回折	かいせつ	衍射	音の回折
干渉	かんしょう	干涉	音の干渉

13.10 自测

1. 気温 $15\ \mathrm{^\circ C}$ の空気中で，振動数 $680\ \mathrm{Hz}$ の音の波長は何 m か。　（气温 $15\ \mathrm{^\circ C}$、频率 $680\ \mathrm{Hz}$ 的声音波长多少米？）
2. 振動数 $440\ \mathrm{Hz}$ と $444\ \mathrm{Hz}$ の音叉を同時に鳴らすと，1 秒間に何回のうなりが聞こえるか。　（$440\ \mathrm{Hz}$ 和 $444\ \mathrm{Hz}$ 的音叉同时发声，每秒几次拍？）
3. 長さ $0.80\ \mathrm{m}$ の弦の基本振動が $200\ \mathrm{Hz}$ のとき，弦を伝わる波の速さは何 m/s か。　（长 $0.80\ \mathrm{m}$ 的弦基频 $200\ \mathrm{Hz}$，弦上波速多少？）
4. 長さ $0.40\ \mathrm{m}$ の閉管の基本振動の振動数は何 Hz か。音速を $340\ \mathrm{m/s}$ とする。　（长 $0.40\ \mathrm{m}$ 的闭管基频多少 Hz？音速 $340\ \mathrm{m/s}$。）
5. 振動数 $500\ \mathrm{Hz}$ の音源が $20\ \mathrm{m/s}$ で観測者に近づくとき，観測者が聞く振動数は何 Hz か。音速 $340\ \mathrm{m/s}$。　（$500\ \mathrm{Hz}$ 声源以 $20\ \mathrm{m/s}$ 靠近观测者，听到多少 Hz？）
6. 閉管の共鳴で，1 回目が $0.20\ \mathrm{m}$，2 回目が $0.54\ \mathrm{m}$ のとき，音速を $340\ \mathrm{m/s}$ とすると音源の振動数は何 Hz か。　（闭管共鸣第 1 次 $0.20\ \mathrm{m}$、第 2 次 $0.54\ \mathrm{m}$，音速 $340\ \mathrm{m/s}$，声源频率多少？）

答案：1. $V = 331.5 + 0.6 \times 15 = 340.5\ \mathrm{m/s}$，$\lambda = 340.5/680 \approx 0.50\ \mathrm{m}$　2. $|444 - 440| = 4$ 回　3. $V = 2Lf_1 = 2 \times 0.80 \times 200 = 3.2 \times 10^2\ \mathrm{m/s}$　4. $f_1 = V/(4L) = 340/(4 \times 0.40) \approx 2.1 \times 10^2\ \mathrm{Hz}$　5. $f' = 340/(340 - 20) \times 500 \approx 5.3 \times 10^2\ \mathrm{Hz}$　6. $\lambda/2 = 0.54 - 0.20 = 0.34\ \mathrm{m}$，$\lambda = 0.68\ \mathrm{m}$，$f = V/\lambda = 340/0.68 = 500\ \mathrm{Hz}$

13.11 深入阅读

• JASSO · 理科（物理）シラバス：本章对应「音」：音の速さ、反射・屈折・回折・干渉、うなり、弦の振動、気柱の振動、共振・共鳴、ドップラー効果。
• 维基百科（日文）· 音：音的日文定义、音速、縦波和音の三要素的说明。
• 维基百科（日文）· ドップラー効果：多普勒效应的日文推导和三种情形的公式，配合本章 13.7 节。
• PhET · 声波：观察声波的压缩和疏密、频率与音调的关系，理解音速和波长。