第 5 章 · 運動の法則と抵抗を受ける運動

项目	内容
シラバス项目	Ⅰ 1.(5) 運動の法則：ニュートンの運動の 3 法則，力の単位と運動方程式，単位系と次元；Ⅰ 1.(6) 摩擦や空気の抵抗を受ける運動：静止摩擦力，動摩擦力，空気の抵抗と終端速度
国内书对应	第 1 章 1.2（单位制）、第 4 章 4.4（摩擦力）、第 6 章（牛顿运动定律）、第 7 章（连接体、临界、多过程）
本章新内容的分量	日本写法 $ma=F$、束縛条件、次元（量纲）排除选项、動摩擦係数 $\mu'$ 的记号、空気の抵抗と終端速度（国内没有）
过去问出现次数	20 回共 25 次（每回平均 1.25 次）

国内已经学过牛顿三定律、摩擦力和连接体，EJU 这一章没有新规律，考的是把同样的规律写成日本的样子：运动方程写成 $ma=F$（左边 $ma$，右边合力），解答里明写「束縛条件より」，摩擦系数分成静止摩擦係数 $\mu$ 和動摩擦係数 $\mu'$。据 20 回公开过去问，本章内容共出现 25 次（每回平均 1.25 次），是力学大問 Ⅰ 的常客；连接体、叠放物体的静摩擦临界、斜面上的往复运动反复出现，还考过油中沉降的收尾速度。丢分主要丢在三处：日本写法不熟导致正负号错、不知道先用次元排除选项、把 $N$ 一律当成 $mg$。

5.1 与国内的对照

シラバス小項目和术语（日文原文）	国内书位置	相同 / 讲法不同 / 国内没有	本章哪节讲
運動の法則：ニュートンの運動の 3 法則（慣性の法則，運動方程式，作用・反作用の法則）	国内书第 6 章 6.2–6.4	相同。名称和内容一致；日本多把运动方程写成 $ma=F$	5.2
力の単位と運動方程式	国内书第 6 章 6.3、第 1 章 1.2	讲法不同。国内先写 $F=ma$；日本先由 $1\ \mathrm{N}$ 的定义引出 $ma=F$	5.2
単位系と次元	国内书第 1 章 1.2（国际单位制、单位检验）	讲法不同。国内叫“单位检验”，日本把「次元」作为独立考点，用来排除选项	5.3
静止摩擦力・最大静止摩擦力（静止摩擦係数 $\mu$）	国内书第 4 章 4.4	讲法不同。日本用 $\mu$ 表示静止摩擦系数，最大静止摩擦力 $f_{\max}=\mu N$	5.4
動摩擦力（動摩擦係数 $\mu'$）	国内书第 4 章 4.4	讲法不同。日本用带撇的 $\mu'$，動摩擦力 $f'=\mu'N$；国内两个系数都写 $\mu$	5.4
空気の抵抗と終端速度	国内没有。第 4 章 4.2 只说明空气阻力不能忽略时自由落体公式不能用	国内没有	5.5
連接体（糸・接触・滑車）	国内书第 7 章 7.2	相同。EJU 解答要写「束縛条件より」，滑轮题常和斜面、摩擦组合	5.6、5.7
摩擦力を含む運動（斜面上の上滑り・下滑り，往復）	国内书第 7 章 7.4、7.5	相同。EJU 常以数值题或 $v$-$t$ 图考	5.4、5.7、题型与答法

5.2 運動方程式の立て方

说明

運動方程式（运动方程）：物体的质量为 $m$，加速度为 $\vec{a}$，所受力的合力为 $\vec{F}$，则

$$m\vec{a} = \vec{F}$$

日本高中教科书多把 $ma$ 写在左边，国内写 $F_{\text{合}} = ma$，两条是同一条式子的移项。EJU 的解答按「運動方程式より $ma=F$」列式，要习惯这个顺序。列标量式前先取正方向，把矢量的方向换成符号：

$$ma = F$$

这里的 $F$ 是合力，不是某一个力。

ニュートンの運動の 3 法則（牛顿三定律）：国内书第 6 章已经讲过，内容相同。第一定律（慣性の法則）：合力为零时，物体保持静止或匀速直线运动。第二定律就是上面的运动方程。第三定律（作用・反作用の法則）：A 对 B 的力和 B 对 A 的力大小相等、方向相反、在同一直线上，分别作用在两个物体上。

力の単位（力的单位）：使质量 $1\ \mathrm{kg}$ 的物体产生 $1\ \mathrm{m/s^2}$ 加速度的力定为 $1\ \mathrm{N}$：

$$1\ \mathrm{N} = 1\ \mathrm{kg} \times 1\ \mathrm{m/s^2} = 1\ \mathrm{kg \cdot m/s^2}$$

所以 $m$ 用 $\mathrm{kg}$、$a$ 用 $\mathrm{m/s^2}$ 代入时，$F$ 自然是 $\mathrm{N}$，不用再换系数。

列式的两种常用形式：

• 物体沿一条直线运动：取加速度方向为正，$ma = F_1 - F_2 + \cdots$。
• 物体在斜面上运动：沿斜面方向和垂直斜面方向分解。垂直方向没有加速度，$0 = N - mg\cos\theta$；沿斜面方向 $ma = mg\sin\theta - f$。
• 竖直方向有加速度：取向上为正，$ma = N - mg$（或 $ma = T - mg$）。

日本解答里的固定说法是「物体にはたらく力は…」「運動方程式より」「鉛直上向きを正とすると」。

使用场景

• 题目给出一个物体所受的几个力（重力、支持力、绳的拉力、摩擦力），问加速度或其中某个力 → 单物体模型 → 画受力图，取加速度方向为正，沿运动方向列 $ma=F$；垂直方向列平衡，先求 $N$ 再算摩擦力。
• 题目出现电梯、体重计、升降、吊绳，问示数或张力 → 竖直方向有加速度的模型 → 取向上为正，$ma=N-mg$（或 $ma=T-mg$）；加速度向上是超重，向下是失重。

注意点

• $F$ 是合力。先把所有力找全再列式，漏一个力是最常见的错。
• 正方向取定后，与正方向相反的矢量代负值；算出的 $a<0$ 表示实际方向与假设相反，不必重新列式。
• 垂直方向的「つり合い」不是因为速度为零。竖直上抛到最高点时速度为零，但加速度仍是 $g$，合力不为零。
• 体重计的读数等于人对体重计的压力，也等于体重计对人的垂直抗力 $N$，不是重力 $mg$；只有静止或匀速运动时才等于 $mg$。
• EJU 数值题取 $g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$，字母式题写 $g$；列式前把所有量换成国际单位。

推导

从实验到 $ma=F$：保持质量一定，改变力的大小，加速度与力成正比，$a \propto F$；保持力一定，改变质量，加速度与质量成反比，$a \propto 1/m$。合起来

$$a = k\frac{F}{m}$$

$k$ 是比例常数。规定使 $1\ \mathrm{kg}$ 的物体产生 $1\ \mathrm{m/s^2}$ 加速度的力为 $1\ \mathrm{N}$，就使 $k=1$，得到 $ma=F$。（关键一步：单位的选择可以把比例常数变成 1，这也是「力の単位と運動方程式」放在一起讲的原因。）

为什么可以按方向分解：$\vec{F}=m\vec{a}$ 是矢量式，在互相垂直的两个方向上分别成立。垂直方向没有加速度时，该方向的合力为零。斜面上沿斜面和垂直斜面分解，就是把这个矢量式写成两个标量式。

为什么日本写 $ma=F$：只是移项，数值完全相同。左边 $ma$ 是“质量乘加速度”，右边写合力，和力的平衡式 $0=F$ 形式统一；$a=0$ 时自然退化成力的平衡。

例题

例 1　（场景：单个物体在斜面上运动，问加速度的大小和方向）

問題　次の図のように，水平面と角 $30^\circ$ をなすなめらかな斜面がある。質量 $2.0\ \mathrm{kg}$ の物体に斜面上向きの初速度を与えたところ，物体は斜面上を上向きに滑った。重力加速度の大きさを $9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。

問　物体が斜面上を上向きに滑っているときの加速度の大きさと向きはどうなるか。正しい組み合わせを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

	①	②	③	④
大きさ	$4.9\ \mathrm{m/s^2}$	$4.9\ \mathrm{m/s^2}$	$8.5\ \mathrm{m/s^2}$	$9.8\ \mathrm{m/s^2}$
向き	斜面下向き	斜面上向き	斜面下向き	斜面下向き

解答　物体にはたらく力は，重力 $mg$ と斜面からの垂直抗力 $N$ の 2 つである。斜面に沿って下向きを正とすると，運動方程式は

$$ma = mg\sin 30^\circ$$

より

$$a = g\sin 30^\circ = 9.8 \times 0.50 = 4.9\ \mathrm{m/s^2}$$

向きは斜面下向きである。検算：なめらかなので斜面方向には重力の成分だけがはたらき，$mg\sin 30^\circ < mg$ より $4.9 < 9.8$ で，上向きに滑っていても加速度は下向き（減速）である。　答　①

中文翻译　题目：如图，有一个与水平面成 $30^\circ$ 角的光滑斜面。使质量 $2.0\ \mathrm{kg}$ 的物体以沿斜面向上的初速度滑动，物体沿斜面向上滑行。重力加速度大小为 $9.8\ \mathrm{m/s^2}$。问：物体沿斜面向上滑动时，加速度的大小和方向是什么？从①～④中选出正确的组合（① 大小 $4.9$、方向沿斜面向下；② 大小 $4.9$、方向沿斜面向上；③ 大小 $8.5$、方向沿斜面向下；④ 大小 $9.8$、方向沿斜面向下）。

解答：物体受两个力：重力 $mg$ 和斜面的支持力 $N$。取沿斜面向下为正方向，运动方程为 $ma = mg\sin 30^\circ$，所以 $a = g\sin 30^\circ = 9.8 \times 0.50 = 4.9\ \mathrm{m/s^2}$，方向沿斜面向下。检验：斜面光滑，沿斜面方向只有重力的分量；$mg\sin 30^\circ < mg$，所以 $4.9 < 9.8$，即使物体向上滑，加速度也向下，物体在减速。答案 ①。

解说　用到的是「说明」里的第一句：$ma=F$ 中的 $F$ 是沿运动方向的合力。容易卡在：物体向上滑，就以为加速度也向上；加速度由合力决定，与速度方向无关。选项排除：先看大小，斜面方向只有 $mg\sin 30^\circ$，不可能是 $g=9.8$，④排除；$8.5$ 是 $g\cos 30^\circ$，是把垂直分量错当成沿斜面分量，③排除；剩下 ①② 只差方向，上滑时合力向下，选 ①。

例 2　（场景：电梯里的体重计，竖直方向有加速度，判断超重失重）

問題　次の図のように，エレベーターの中に質量 $50\ \mathrm{kg}$ の人がのっている。エレベーターが鉛直上向きに大きさ $2.0\ \mathrm{m/s^2}$ の加速度で上昇しているとき，人が体重計から受ける垂直抗力の大きさは何 N か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，重力加速度の大きさを $9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。

①　$3.9 \times 10^2\ \mathrm{N}$　　②　$4.9 \times 10^2\ \mathrm{N}$　　③　$5.9 \times 10^2\ \mathrm{N}$　　④　$6.0 \times 10^2\ \mathrm{N}$

解答　人にはたらく力は，重力 $mg$（鉛直下向き）と体重計からの垂直抗力 $N$（鉛直上向き）の 2 つである。鉛直上向きを正とすると，運動方程式は

$$ma = N - mg$$

より

$$N = m(g+a) = 50 \times (9.8 + 2.0) = 5.9 \times 10^2\ \mathrm{N}$$

検算：上向きに加速しているので $N$ は重力 $mg = 4.9 \times 10^2\ \mathrm{N}$ より大きいはずである。$5.9 \times 10^2 > 4.9 \times 10^2$ で，体重計の読みが大きくなっている。　答　③

中文翻译　题目：如图，电梯中站着质量 $50\ \mathrm{kg}$ 的人。电梯以 $2.0\ \mathrm{m/s^2}$ 的加速度竖直向上上升时，人受到体重计的支持力大小是多少 N？从①～④中选最合适的值。其中重力加速度大小为 $9.8\ \mathrm{m/s^2}$。

解答：人受两个力：重力 $mg$（竖直向下）和体重计的支持力 $N$（竖直向上）。取竖直向上为正方向，运动方程为 $ma = N - mg$，所以 $N = m(g+a) = 50 \times (9.8+2.0) = 5.9 \times 10^2\ \mathrm{N}$。检验：向上加速，$N$ 应大于重力 $mg = 4.9 \times 10^2\ \mathrm{N}$。$5.9 \times 10^2 > 4.9 \times 10^2$，是超重。答案 ③。

解说　用到的是「说明」里的竖直方向形式 $ma=N-mg$，以及「注意点」里“读数等于支持力”。容易卡在：把体重计的读数当成重力 $mg$，直接选 ②；读数随加速度变，只有静止或匀速时才等于 $mg$。选项排除：加速度向上，读数一定大于 $4.9 \times 10^2\ \mathrm{N}$，①②排除；④ $6.0 \times 10^2$ 是用 $g=10$ 算的，题目给的是 $9.8$，排除。另一种解法：用超重的结论 $N=m(g+a)$ 直接代入，不必每次列方程；但要先确认加速度方向向上，方向反了要改成 $m(g-a)$。

常用推论

• 合力为零 ⇔ $a=0$ ⇔ 物体保持静止或匀速直线运动（惯性定律）。
• 加速度相同的连接体可以整体列 $Ma=F_{\text{外}}$，内力不出现（5.6 节）。
• 超重：$N=m(g+a)$；失重：$N=m(g-a)$；加速度向下且 $a=g$ 时完全失重，$N=0$。条件：加速度沿竖直方向，$N$ 是支持力或拉力。
• 同一根轻绳跨过光滑定滑轮，两端张力大小相等（5.7 节）。

易错点

• 错在哪：把某一个力（如绳的拉力）当成合力代进 $ma=F$。 为什么错：$F$ 是合力，加速度由所有力的合力决定；只代一个力，等于漏掉了重力或摩擦力。 正确做法：先画受力图，把力找全，再合成或分解。
• 错在哪：看速度方向判断超重失重。 为什么错：超重失重由加速度方向决定，与速度方向无关；减速上升（加速度向下）是失重，加速下降也是失重。 正确做法：先定加速度方向，取向上为正列 $ma=N-mg$，看 $N$ 比 $mg$ 大还是小。
• 错在哪：斜面题把 $N$ 写成 $mg$。 为什么错：斜面上重力垂直于斜面的分量是 $mg\cos\theta$，$N=mg\cos\theta$；只有水平面才等于 $mg$。 正确做法：垂直斜面方向列平衡，先求 $N$，再算摩擦力。

直观理解

电梯里的体重计：电梯静止时读数是 $mg$；启动上升（加速度向上）读数变大，是超重；启动下降（加速度向下）读数变小，是失重；钢缆断了（加速度 $g$ 向下）读数变成零。记法：$ma=F$ 是“合力等于质量乘加速度”的记账，加速度是结果，不是原因。

关联知识点

• 前置：国内书第 6 章 6.3 牛顿第二定律、6.5 超重与失重；国内书第 4 章 4.6 受力分析。
• 后续：本书 5.4 摩擦力、5.5 空气阻力、5.6 连接体、5.7 滑轮；本书第 7 章惯性力（电梯里的惯性力）。
• 常一起考：国内书第 3 章匀变速直线运动（由 $a$ 求 $v$、$x$）；本书第 6 章动能定理（变力问题改用能量）。

5.3 単位系と次元

说明

単位系（单位制）：国际单位制（SI）选定七个基本量，力学只用长度、质量、时间三个基本単位：$\mathrm{m}$、$\mathrm{kg}$、$\mathrm{s}$。其余单位由公式从基本单位导出，叫組立単位（导出单位）：

物理量	导出式	組立単位	用基本単位表示
速度	$v=\dfrac{x}{t}$	$\mathrm{m/s}$	$\mathrm{m \cdot s^{-1}}$
加速度	$a=\dfrac{v}{t}$	$\mathrm{m/s^2}$	$\mathrm{m \cdot s^{-2}}$
力	$F=ma$	$\mathrm{N}$	$\mathrm{kg \cdot m \cdot s^{-2}}$
仕事	$W=Fx$	$\mathrm{J}$	$\mathrm{kg \cdot m^2 \cdot s^{-2}}$
仕事率	$P=\dfrac{W}{t}$	$\mathrm{W}$	$\mathrm{kg \cdot m^2 \cdot s^{-3}}$
圧力	$p=\dfrac{F}{S}$	$\mathrm{Pa}$	$\mathrm{kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-2}}$

次元（量纲）：把物理量用基本量 $L$（长度）、$M$（质量）、$T$（时间）的幂表示，幂指数叫次元。例如

$$[v] = LT^{-1},\quad [a] = LT^{-2},\quad [F] = MLT^{-2}$$ $$[W] = ML^2T^{-2},\quad [P] = ML^2T^{-3},\quad [p] = ML^{-1}T^{-2}$$

摩擦系数 $\mu$、$\mu'$、恢复系数 $e$、角度都是无量纲量（次元为 $1$）。

次元の一致（量纲一致）：正确的物理公式，等号两边的次元相同；相加减的各项次元也相同；$\sin$、$\cos$、$\exp$、$\log$ 里面的量必须无量纲。

国内高中把这件事叫“单位检验”，日本把它叫「次元」，并且是 EJU 字母式选择题的固定排除方法：选项的次元不对，公式再像也一定错。

使用场景

• 字母式选择题，选项是几个形式相近的公式（含根号、倒数、$\sin$、$\cos$）→ 把每个选项换成基本单位或次元 → 与所求量次元不同的排除，剩下一两个再判断。
• 公式里有未知的比例系数或指数（如 $F=kv^n$），或问某个系数的单位 → 用次元列方程，定出指数和单位；指数函数里的指数必须无量纲，也能用来定系数。

注意点

• 次元相同只是必要条件，不是充分条件：$v=gt$ 和 $v=gt/2$ 次元都对，系数不同。次元法只能排除，不能确认。
• $\mathrm{N}$、$\mathrm{J}$、$\mathrm{W}$、$\mathrm{Pa}$ 都是組立単位，不是基本単位；比较时先拆成 $\mathrm{kg}$、$\mathrm{m}$、$\mathrm{s}$。
• 不同次元的量不能相加减；等式两边、加减的各项都要同次元。
• 角度用弧度时无量纲；$\mu$、$\mu'$、$e$ 也无量纲，不能给它们安单位。
• 日文的「次元」不要和「単位」混：$\mathrm{J}$ 和 $\mathrm{N \cdot m}$ 的单位写法不同，但次元相同。

推导

力的次元：由 $F=ma$，$[F]=[m][a]=M \cdot LT^{-2}=MLT^{-2}$。所以 $\mathrm{N}=\mathrm{kg \cdot m/s^2}$。

单摆的周期：周期 $T$ 只由绳长 $l$（次元 $L$）和重力加速度 $g$（次元 $LT^{-2}$）决定，设 $T \propto l^a g^b$。两边的次元必须相同：

$$T^1 = L^a (LT^{-2})^b$$

比较指数：$a+b=0$，$-2b=1$，得 $b=-\dfrac{1}{2}$，$a=\dfrac{1}{2}$，所以 $T \propto \sqrt{\dfrac{l}{g}}$。（关键一步：次元法只能定幂次，定不了 $2\pi$ 这样的无量纲常数，所以只能排除选项，不能直接写出完整公式。）

阻力系数 $k$ 的单位：$F=kv$，则

$$[k] = \frac{[F]}{[v]} = \frac{MLT^{-2}}{LT^{-1}} = MT^{-1}$$

即 $\mathrm{kg/s}$。指数函数 $v=v_t(1-e^{-kt/m})$ 中，$kt/m$ 必须无量纲，$k$ 的单位也正好使 $kt/m$ 无量纲。

例题

例 1　（场景：选项是形式相近的公式，用次元排除）

問題　長さ $l$ の糸の一端を固定し，他端に小さなおもりをつけて振り子を作る。この振り子の周期 $T$ は，$l$ と重力加速度 $g$ だけで決まるとする。$T$ を表す式として正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$　　②　$2\pi\sqrt{\dfrac{g}{l}}$　　③　$2\pi\dfrac{l}{g}$　　④　$2\pi\dfrac{g}{l}$

解答　次元で考える。$[l]=L$，$[g]=LT^{-2}$ であるから，

$$\left[\sqrt{\frac{l}{g}}\right] = \sqrt{\frac{L}{LT^{-2}}} = T$$

②は $T^{-1}$，③は $T^2$，④は $T^{-2}$ の次元をもち，周期の次元 $T$ にならない。したがって①だけが候補として残る。$2\pi$ は無次元の定数で，次元からは決まらない。　答　①

中文翻译　题目：把长为 $l$ 的绳的一端固定，另一端挂一个小重物做成单摆。设这个摆的周期 $T$ 只由 $l$ 和重力加速度 $g$ 决定。表示 $T$ 的式子中，正确的是哪一个？从①～④中选一个。

解答：用次元（量纲）考虑。$[l]=L$，$[g]=LT^{-2}$，所以 $\sqrt{l/g}$ 的次元是 $\sqrt{L/(LT^{-2})}=T$。②是 $T^{-1}$，③是 $T^2$，④是 $T^{-2}$，都不是周期的次元 $T$。因此只剩①是候选。$2\pi$ 是无量纲常数，次元无法确定它。答案 ①。

解说　用到的是「说明」里的次元表：先写出已知量的次元，再看选项的次元能不能组成所求量。容易卡在：看到 $\sqrt{}$ 就以为一定对；根号里分子分母颠倒，次元就从 $T$ 变成 $T^{-1}$。选项排除：②和④的次元分别是 $T^{-1}$、$T^{-2}$，③是 $T^2$，只有①是 $T$。注意次元法只能排除，$2\pi$ 这个系数定不了；单摆公式在第 8 章正式推导。

例 2　（场景：公式里有未知系数，用次元求系数的单位）

問題　速さ $v$ に比例する空気の抵抗 $F = kv$ がはたらくとき，比例定数 $k$ の単位として正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$\mathrm{kg/s}$　　②　$\mathrm{kg \cdot m/s}$　　③　$\mathrm{kg \cdot s/m}$　　④　$\mathrm{kg/(m \cdot s)}$

解答　$F$ の次元は $MLT^{-2}$，$v$ の次元は $LT^{-1}$ であるから，

$$[k] = \frac{[F]}{[v]} = \frac{MLT^{-2}}{LT^{-1}} = MT^{-1}$$

これは $\mathrm{kg/s}$ である。検算：$kv$ の単位は $\mathrm{(kg/s) \times (m/s) = kg \cdot m/s^2 = N}$ となり，力の単位に一致する。　答　①

中文翻译　题目：当物体受到与速度 $v$ 成正比的空气阻力 $F=kv$ 时，比例常数 $k$ 的单位中，正确的是哪一个？从①～④中选一个。

解答：$F$ 的次元是 $MLT^{-2}$，$v$ 的次元是 $LT^{-1}$，所以 $[k]=[F]/[v]=(MLT^{-2})/(LT^{-1})=MT^{-1}$，即 $\mathrm{kg/s}$。检验：$kv$ 的单位是 $\mathrm{(kg/s) \times (m/s)=kg \cdot m/s^2=N}$，与力的单位一致。答案 ①。

解说　用到的是「推导」里的 $[k]=[F]/[v]$，以及“把組立単位拆成基本単位”这条。容易卡在：把 $k$ 的单位想成力的单位 $\mathrm{N}$；$k$ 是每单位速度对应的力，单位里要除以速度。选项排除：② $\mathrm{kg \cdot m/s}$ 多了一个 $\mathrm{m}$，③、④ 的 $\mathrm{s}$ 在分子或分母里位置不对，代入 $kv$ 都得不到 $\mathrm{N}$。这个 $k$ 就是 5.5 节终端速度公式里的 $k$。

常用推论

• 只由质量 $m$（$M$）和弹簧劲度系数 $k$（$MT^{-2}$）决定的周期只能是 $\sqrt{m/k}$（$T$），见第 8 章。
• $F=kv$ 的 $k$ 单位是 $\mathrm{kg/s}$；$F=kv^2$ 的 $k$ 单位是 $\mathrm{kg/m}$。
• 终端速度 $v_t=\dfrac{mg}{k}$ 的次元是 $LT^{-1}$，即速度。
• 次元检查三步：把各量拆成基本量 → 比较两边的指数 → 不同就排除。

易错点

• 错在哪：把次元相同当成公式正确。 为什么错：次元只定幂次，定不了 $2\pi$、$\dfrac{1}{2}$、$\sin$ 还是 $\cos$；$T=2\pi\sqrt{l/g}$ 和 $T=\sqrt{l/g}$ 次元相同，数值差 $2\pi$ 倍。 正确做法：先用次元排除，剩下的用物理条件、特殊值或实验确认。
• 错在哪：把 $\mathrm{N}$ 当基本単位，或把 $\mathrm{kg}$ 和 $\mathrm{N}$ 混用。 为什么错：$\mathrm{N}$ 是組立単位 $\mathrm{kg \cdot m/s^2}$；不拆开，$\mathrm{N}$ 和 $\mathrm{kg}$ 约不掉。 正确做法：全部拆成 $\mathrm{kg}$、$\mathrm{m}$、$\mathrm{s}$ 再比较。
• 错在哪：给摩擦系数或角度加单位。 为什么错：它们是无量纲量，$\mu$ 是两个力之比，弧度是两个长度之比。 正确做法：答案只写数值，不加单位。

直观理解

次元是物理量的“身份证”：几个长度、几个质量、几个时间。选项的身份证不对，公式长得再像也一定错；身份证对了，还要再查系数。考场上先看次元，常常能在十秒内排除两个选项。

关联知识点

• 前置：国内书第 1 章 1.2 国际单位制、单位检验。
• 后续：本书 5.5 节（$k$ 的单位、指数衰减）、第 6 章（$\mathrm{J}$、$\mathrm{W}$ 的换算）、第 15 章（电场、电势的单位）。
• 常一起考：字母式选择题的选项排除；本书第 2 章答题策略里的“次元、特殊值、极限”三种核对。

5.4 静止摩擦力と動摩擦力

说明

摩擦力：两个接触面之间有相对运动或相对运动的趋势时，接触面阻碍相对运动的力。物体静止时的摩擦力叫静止摩擦力 $f$，滑动时的叫動摩擦力 $f'$。

最大静止摩擦力：静摩擦力能增大的最大值，与垂直抗力成正比：

$$f_{\max} = \mu N$$

$\mu$ 是静止摩擦係数（静摩擦因数），无量纲。静摩擦力的大小不是固定值，在 $0 \le f \le f_{\max}$ 之间，由平衡条件或运动方程决定。

動摩擦力：物体滑动时受到的摩擦力，大小基本不变：

$$f' = \mu' N$$

$\mu'$ 是動摩擦係数（动摩擦因数），无量纲。一般 $\mu' < \mu$，题目只给一个系数时，按 $f_{\max} \approx \mu N$ 处理。

垂直抗力 $N$：接触面垂直作用于物体的力。斜面上 $N=mg\cos\theta$；斜向上拉时 $N=mg-F\sin\theta$；有竖直加速度时 $N$ 也会变。$N$ 不一定等于 $mg$。

方向：摩擦力阻碍相对运动（或趋势），与相对运动方向相反。静摩擦力的方向由趋势判断，可以和物体的运动方向相同（传送带把货物往前送，货物受的静摩擦力向前）。

日本的记号：静止摩擦係数 $\mu$，動摩擦係数 $\mu'$（带撇）。国内两个系数都写 $\mu$，滑动摩擦力写 $f=\mu F_N$。EJU 选项里 $\mu$ 和 $\mu'$ 常同时出现，要看清哪一个。

使用场景

• 物体静止、恰好要滑动，或问“μ 至少多大”“力最大多大才能保持静止” → 静摩擦模型 → 先假设物体静止，由平衡条件求需要的静摩擦力，再和 $f_{\max}=\mu N$ 比较；临界取等号。
• 物体已经在滑动（斜面上下滑、水平面上滑行、斜向拉着走）→ 动摩擦模型 → 先由垂直方向求 $N$，再用 $f'=\mu'N$，沿运动方向列 $ma=F$。

注意点

• 静摩擦力不能用 $\mu N$ 算（除非恰好达到最大）；先判断物体是否真的滑动。
• $N$ 不一定是 $mg$：斜面上 $N=mg\cos\theta$；斜向上拉时 $N=mg-F\sin\theta$；竖直方向有加速度时 $N=m(g\pm a)$。
• $\mu' < \mu$ 是一般规律；题目若只给一个系数且不分静止、滑动，按同一数值处理，并看清题意。
• 摩擦力方向看“相对”：传送带上的货物、叠放物体的上层，摩擦力可以是动力。
• 日本的「垂直抗力」就是国内的“支持力”；日本的「抗力」是垂直抗力与摩擦力的合力（第 3 章）。

推导

实验依据：用弹簧测力计水平拉木块，拉力从零逐渐增大。木块不动时，静摩擦力等于拉力，随拉力增大；拉力增大到某一值时木块突然滑动，这个最大值 $f_{\max}$ 与 $N$ 成正比，比例系数为 $\mu$。滑动后摩擦力略小、基本不变，比例系数为 $\mu'$。（关键一步：静摩擦力是“被动”的，大小随外力变化，只有最大值才由 $\mu N$ 给出。）

斜面上的临界：物体在斜面上恰好静止时，沿斜面方向

$$mg\sin\theta = f_{\max} = \mu mg\cos\theta \quad \therefore\ \mu = \tan\theta$$

与质量无关。这个角叫摩擦角。

上滑和下滑的加速度：上滑时摩擦力沿斜面向下，下滑时沿斜面向上，所以

$$a_{\text{上}} = g(\sin\theta+\mu'\cos\theta),\qquad a_{\text{下}} = g(\sin\theta-\mu'\cos\theta)$$

下滑能发生的条件是 $\tan\theta>\mu'$。

例题

例 1　（场景：斜面上恰好静止，求静摩擦系数的最小值）

問題　次の図のように，水平面と角 $30^\circ$ をなす粗い斜面上に質量 $m$ の物体を置いたところ，物体は静止したままだった。物体と斜面の間の静止摩擦係数を $\mu$ とするとき，物体が静止するために $\mu$ が満たすべき最小値として最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，物体にはたらく最大静止摩擦力は $\mu N$ と表されるものとする。

①　$0.50$　　②　$0.58$　　③　$0.87$　　④　$1.7$

解答　物体にはたらく力は，重力 $mg$，斜面からの垂直抗力 $N$，斜面に沿って上向きの静止摩擦力 $f$ である。垂直方向のつり合いより

$$N = mg\cos 30^\circ$$

斜面方向のつり合いより

$$f = mg\sin 30^\circ$$

静止している条件は $f \le f_{\max} = \mu N$ であるから，

$$mg\sin 30^\circ \le \mu mg\cos 30^\circ$$ $$\mu \ge \tan 30^\circ = 0.577\ldots$$

よって最小値は $0.58$。検算：$\mu=0.58$ のとき最大静止摩擦力は $0.58 \times mg\cos 30^\circ = 0.50mg$ で，重力の斜面方向の成分 $mg\sin 30^\circ=0.50mg$ とちょうど等しい。　答　②

中文翻译　题目：如图，把质量 $m$ 的物体放在与水平面成 $30^\circ$ 角的粗糙斜面上，物体保持静止。设物体与斜面间的静摩擦因数为 $\mu$，物体保持静止时 $\mu$ 的最小值是多少？从①～④中选最合适的值。其中物体所受的最大静摩擦力可表示为 $\mu N$。

解答：物体受三个力：重力 $mg$、斜面的支持力 $N$、沿斜面向上的静摩擦力 $f$。垂直斜面方向平衡，得 $N=mg\cos30^\circ$；沿斜面方向平衡，得 $f=mg\sin30^\circ$。静止条件是 $f \le f_{\max}=\mu N$，即 $mg\sin30^\circ \le \mu mg\cos30^\circ$，所以 $\mu \ge \tan30^\circ=0.577\ldots$，最小值为 $0.58$。检验：$\mu=0.58$ 时最大静摩擦力为 $0.58 \times mg\cos30^\circ=0.50mg$，恰好等于重力沿斜面的分量 $mg\sin30^\circ=0.50mg$。答案 ②。

解说　用到的是「说明」里的静摩擦条件 $f \le \mu N$ 和「推导」里的斜面临界 $\mu=\tan\theta$。容易卡在：把“静止”当成“摩擦力等于 $\mu N$”；静止时摩擦力由平衡条件决定，$\mu N$ 只是上限，临界才取等号。选项排除：$0.50=\sin30^\circ$，$0.87=\cos30^\circ$，$1.7=1/\tan30^\circ$，都是把 $\sin$、$\cos$ 或倒数弄错的结果；$\mu=\tan30^\circ$ 才同时消去 $mg$ 和 $N$。另一种解法：直接记斜面临界 $\mu=\tan\theta$，一步得 $0.58$；但题目若还有别的外力，必须回到 $f \le \mu N$ 重新列式。

例 2　（场景：水平面上斜向上拉，动摩擦，$N$ 不等于 $mg$）

問題　次の図のように，水平面上に質量 $4.0\ \mathrm{kg}$ の物体を置き，水平方向と角 $30^\circ$ をなす向きに大きさ $20\ \mathrm{N}$ の力で引いた。物体と水平面の間の動摩擦係数を $0.20$，重力加速度の大きさを $9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。物体の加速度の大きさは何 $\mathrm{m/s^2}$ か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$2.0$　　②　$2.4$　　③　$2.9$　　④　$5.0$

解答　物体にはたらく力は，重力 $mg$，垂直抗力 $N$，引く力 $F$，動摩擦力 $f'$ である。鉛直方向のつり合いより

$$N + F\sin 30^\circ = mg$$ $$N = 4.0 \times 9.8 - 20 \times 0.50 = 29.2\ \mathrm{N}$$

動摩擦力は

$$f' = \mu' N = 0.20 \times 29.2 = 5.84\ \mathrm{N}$$

水平方向の運動方程式は

$$ma = F\cos 30^\circ - f'$$

より

$$a = \frac{20 \times 0.866 - 5.84}{4.0} = \frac{11.48}{4.0} = 2.87\ \mathrm{m/s^2}$$

よって $2.9\ \mathrm{m/s^2}$。検算：もし $N=mg$ とすると $f'=7.84\ \mathrm{N}$，$a=2.4\ \mathrm{m/s^2}$ になるが，斜め上に引くと $N$ が減って摩擦力も減るので，加速度は $2.4$ より大きいはずである。　答　③

中文翻译　题目：如图，在水平面上放一个质量 $4.0\ \mathrm{kg}$ 的物体，用与水平方向成 $30^\circ$ 角、大小 $20\ \mathrm{N}$ 的力拉它。物体与水平面间的动摩擦因数为 $0.20$，重力加速度大小为 $9.8\ \mathrm{m/s^2}$。物体的加速度大小是多少 $\mathrm{m/s^2}$？从①～④中选最合适的值。

解答：物体受四个力：重力 $mg$、支持力 $N$、拉力 $F$、动摩擦力 $f'$。竖直方向平衡：$N+F\sin30^\circ=mg$，所以 $N=4.0 \times 9.8-20 \times 0.50=29.2\ \mathrm{N}$。动摩擦力 $f'=\mu'N=0.20 \times 29.2=5.84\ \mathrm{N}$。水平方向运动方程：$ma=F\cos30^\circ-f'$，所以 $a=(20 \times 0.866-5.84)/4.0=2.87\ \mathrm{m/s^2}$，即 $2.9\ \mathrm{m/s^2}$。检验：若把 $N$ 当成 $mg$，$f'=7.84\ \mathrm{N}$，$a=2.4\ \mathrm{m/s^2}$；斜向上的拉力减小了 $N$，摩擦力也随之减小，加速度应大于 $2.4$，所以 $2.9$ 合理。答案 ③。

解说　用到的是「说明」里”$N$ 不一定等于 $mg$“和「注意点」里的斜向拉力情形。容易卡在：直接写 $N=mg$，把 $F\sin30^\circ$ 忘了；拉力的竖直分量向上，帮助支持力托住物体，所以 $N$ 变小。选项排除：$2.0=\mu'g$（忘了拉力的水平分量），$2.4$ 是漏掉 $F\sin30^\circ$ 的结果，$5.0=F/m$ 是漏掉摩擦力，都被排除。

常用推论

• 斜面上恰好静止或匀速下滑：$\mu=\tan\theta$（摩擦角）。
• 水平面上以初速度 $v_0$ 滑行：$a=\mu'g$，滑行距离 $x=\dfrac{v_0^2}{2\mu'g}$。
• 斜面上滑：$a=g(\sin\theta+\mu'\cos\theta)$；下滑（能下滑时）：$a=g(\sin\theta-\mu'\cos\theta)$，条件 $\tan\theta>\mu'$。
• 叠放物体一起加速：上层靠静摩擦力，最大加速度 $a_{\max}=\mu g$；地面光滑时整体最大外力 $F_{\max}=(m_1+m_2)\mu g$。

易错点

• 错在哪：物体静止时也用 $f=\mu N$ 算摩擦力。 为什么错：静摩擦力随外力变化，$\mu N$ 只是上限；用上限算会得出“摩擦力比推力还大”的怪结果。 正确做法：先假设物体静止，用平衡条件求 $f$，再检查是否超过 $\mu N$。
• 错在哪：斜面上把 $N$ 写成 $mg$。 为什么错：重力垂直斜面的分量只有 $mg\cos\theta$，$N$ 与它平衡。 正确做法：垂直斜面方向列平衡，$N=mg\cos\theta$，再算 $f'=\mu'N$。
• 错在哪：认为摩擦力方向总与运动方向相反。 为什么错：摩擦力阻碍的是相对运动；传送带上的货物受静摩擦力向前，是动力。 正确做法：先找接触面间的相对运动（或趋势）方向。

直观理解

推箱子：开始推不动，推力多大静摩擦力就多大；推到某一刻箱子突然动了，这个临界就是最大静摩擦力；动起来后反而轻一点，因为动摩擦力略小于最大静摩擦力。记法：静摩擦“随遇而安”，动摩擦“按 $\mu'N$ 收费”。

关联知识点

• 前置：国内书第 4 章 4.4 摩擦力、4.6 受力分析。
• 后续：本书 5.6 连接体（叠放、绳拉）、5.7 滑轮与斜面、第 6 章摩擦生热。
• 常一起考：国内书第 7 章 7.4 临界问题、7.5 多过程（斜面上滑再下滑）。

5.5 空気の抵抗と終端速度

说明

空気の抵抗（空气阻力）：物体在空气或液体中运动时受到的阻力，方向与速度方向相反。速度不太大时，大小与速度成正比：

$$F = kv$$

$k$ 是比例常数，单位是 $\mathrm{kg/s}$（5.3 节）。速度很大时，阻力常用 $F=kv^2$。

終端速度（终端速度）：物体下落时速度增大，阻力也增大，合力 $mg-kv$ 减小，加速度减小。当

$$mg = kv_t$$

时加速度为零，速度不再增大，这个最大速度叫終端速度：

$$v_t = \frac{mg}{k}$$

$v$-$t$ 图：从原点出发，初始斜率是 $g$，斜率逐渐减小，曲线向上凸，最后以 $v=v_t$ 为水平渐近线。理论上永远达不到 $v_t$，只能说“无限接近”。

运动方程：取向下为正，

$$m\frac{dv}{dt} = mg - kv$$

这是变加速运动，加速度随速度变化，不能用等加速度公式。

使用场景

• 雨滴、跳伞、油中沉降的球，题目说「じゅうぶん時間がたった後」「一定の速さになった」→ 已达終端速度 → 令 $a=0$，$mg=kv_t$（液体中还要减去浮力）。
• 题目问下落途中某个速度时的加速度，或给 $v$-$t$ 图问图线形状 → 用 $a=g-\dfrac{k}{m}v$ 或看斜率 → 斜率是加速度，越来越小；水平渐近线是終端速度；面积是位移。

注意点

• 变加速问题不能用 $v=gt$、$x=\dfrac{1}{2}gt^2$；只有初始瞬间 $a=g$，终端 $a=0$。
• 終端速度是最大速度，不是零；此时合力为零，不是速度为零。
• 阻力方向与速度方向相反；物体上升时阻力也向下，和重力同向，减速更快。
• 液体中还要考虑浮力：若液体密度为 $\rho$、物体体积为 $V$，则 $v_t=\dfrac{mg-\rho Vg}{k}$，题目给密度时不要漏。
• 「じゅうぶん時間がたった後」是固定句式，等价于“已达終端速度”；「一定の速さで落下している」也是同一个意思。

推导

終端速度：終端时速度不变，加速度为零，合力为零：

$$mg - kv_t = 0 \quad \therefore\ v_t = \frac{mg}{k}$$

（关键一步：求終端速度不需要解微分方程，只要令 $a=0$。）

速度随时间的变化：令 $v_t=\dfrac{mg}{k}$，运动方程可写成

$$\frac{dv}{dt} = \frac{k}{m}(v_t-v)$$

解得

$$v = v_t\left(1-e^{-\frac{k}{m}t}\right)$$

$t=0$ 时 $v=0$；$t\to\infty$ 时 $v\to v_t$。加速度是

$$a = \frac{dv}{dt} = ge^{-\frac{k}{m}t}$$

时间常数 $\dfrac{m}{k}$：经过这段时间，速度达到 $v_t$ 的约 $63\%$；经过 $\dfrac{3m}{k}$，达到约 $95\%$。

阻力与速度平方成正比时：$mg=kv_t^2$，所以 $v_t=\sqrt{\dfrac{mg}{k}}$。

例题

例 1　（场景：经过足够长时间后达到终端速度，求终端速度）

問題　次の図のように，質量 $0.20\ \mathrm{kg}$ の雨滴が，空気中を落下している。雨滴にはたらく空気の抵抗の大きさは，速さ $v$ に比例し，$F=kv$（$k=0.050\ \mathrm{kg/s}$）と表される。落下開始からじゅうぶん時間がたった後，雨滴は一定の速さになった。このときの速さは何 $\mathrm{m/s}$ か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，重力加速度の大きさを $9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。

①　$9.8$　　②　$20$　　③　$39$　　④　$98$

解答　じゅうぶん時間がたつと加速度は 0 になり，合力も 0 になる。このときの速さを $v_t$ とすると，

$$mg = kv_t$$

より

$$v_t = \frac{mg}{k} = \frac{0.20 \times 9.8}{0.050} = 39.2\ \mathrm{m/s}$$

よって $39\ \mathrm{m/s}$。検算：$k$ の単位は $\mathrm{kg/s}$ なので，$kv_t$ の単位は $\mathrm{(kg/s)\times(m/s)=N}$ で力になる。$0.050 \times 39 = 1.96\ \mathrm{N}$ は $mg=0.20 \times 9.8=1.96\ \mathrm{N}$ に等しい。　答　③

中文翻译　题目：如图，质量 $0.20\ \mathrm{kg}$ 的雨滴在空气中下落。雨滴所受空气阻力的大小与速度 $v$ 成正比，可表示为 $F=kv$（$k=0.050\ \mathrm{kg/s}$）。从开始下落经过足够长时间后，雨滴变成匀速下落。这时雨滴的速度是多少 $\mathrm{m/s}$？从①～④中选最合适的值。其中重力加速度大小为 $9.8\ \mathrm{m/s^2}$。

解答：经过足够长时间后加速度为 0，合力也为 0。设此时速度为 $v_t$，则 $mg=kv_t$，所以 $v_t=\dfrac{mg}{k}=\dfrac{0.20 \times 9.8}{0.050}=39.2\ \mathrm{m/s}$，即 $39\ \mathrm{m/s}$。检验：$k$ 的单位是 $\mathrm{kg/s}$，$kv_t$ 的单位是 $\mathrm{(kg/s)\times(m/s)=N}$，是力；$0.050 \times 39=1.96\ \mathrm{N}$ 等于 $mg=0.20 \times 9.8=1.96\ \mathrm{N}$。答案 ③。

解说　用到的是「说明」里的終端速度条件 $mg=kv_t$。容易卡在：用 $v=gt$ 估算，认为时间越长速度越大；阻力随速度增大，加速度越来越小，速度趋近一个上限。选项排除：$9.8$ 是 $g$ 的数值，$20$ 是 $mg$ 的数值，$98$ 是把 $k$ 当成 $0.020$ 或漏掉小数点；只有 $39$ 满足 $kv=mg$。另一种解法：先写 $v_t=\dfrac{mg}{k}$ 再代数，比先求时间快得多；题目问“足够长时间后”一律用合力为零。

例 2　（场景：下落途中速度为终端速度的一半，求此时的加速度）

問題　質量 $0.20\ \mathrm{kg}$ の雨滴が落下している。空気の抵抗は $F=kv$（$k=0.050\ \mathrm{kg/s}$）で表され，終端速度は $39\ \mathrm{m/s}$ である。雨滴の速さが終端速度の半分になったとき，雨滴の加速度の大きさは何 $\mathrm{m/s^2}$ か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，重力加速度の大きさを $9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。

①　$0$　　②　$4.9$　　③　$7.4$　　④　$9.8$

解答　鉛直下向きを正とすると，運動方程式は

$$ma = mg - kv$$

両辺を $m$ で割ると

$$a = g - \frac{k}{m}v$$

$v=\dfrac{v_t}{2}$ のとき，$v_t=\dfrac{mg}{k}$ より $\dfrac{k}{m}v=\dfrac{g}{2}$ であるから，

$$a = g - \frac{g}{2} = \frac{g}{2} = 4.9\ \mathrm{m/s^2}$$

検算：$v=0$ のとき $a=g$，$v=v_t$ のとき $a=0$。速度が半分なら加速度も半分の $4.9\ \mathrm{m/s^2}$ で，両端の値に合う。　答　②

中文翻译　题目：质量 $0.20\ \mathrm{kg}$ 的雨滴正在下落。空气阻力可表示为 $F=kv$（$k=0.050\ \mathrm{kg/s}$），终端速度为 $39\ \mathrm{m/s}$。当雨滴的速度变为终端速度的一半时，雨滴的加速度大小是多少 $\mathrm{m/s^2}$？从①～④中选最合适的值。其中重力加速度大小为 $9.8\ \mathrm{m/s^2}$。

解答：取竖直向下为正方向，运动方程为 $ma=mg-kv$。两边除以 $m$，得 $a=g-\dfrac{k}{m}v$。当 $v=\dfrac{v_t}{2}$ 时，由 $v_t=\dfrac{mg}{k}$ 得 $\dfrac{k}{m}v=\dfrac{g}{2}$，所以 $a=g-\dfrac{g}{2}=\dfrac{g}{2}=4.9\ \mathrm{m/s^2}$。检验：$v=0$ 时 $a=g$，$v=v_t$ 时 $a=0$；速度为一半时加速度也恰为一半，与两端吻合。答案 ②。

解说　用到的是把运动方程改写成 $a=g-\dfrac{k}{m}v$ 的形式，以及“终端时 $kv_t=mg$“这条关系。容易卡在：直接代 $v=19.5\ \mathrm{m/s}$ 算 $kv$，再除以 $m$，数字多、容易错；先用 $v_t$ 把 $\dfrac{k}{m}$ 换掉，只剩 $g/2$。选项排除：$0$ 是终端时的加速度，$9.8$ 是初始加速度，$7.4$ 没有对应的简单比例，排除。

常用推论

• $v_t=\dfrac{mg}{k}$；阻力与速度平方成正比时 $v_t=\sqrt{\dfrac{mg}{k}}$。
• 终端时阻力的功率 $P=kv_t^2=mgv_t$（第 6 章）。
• 速度达到 $0.63v_t$ 约用时 $\dfrac{m}{k}$，达到 $0.95v_t$ 约用时 $\dfrac{3m}{k}$。
• 任意速度 $v$ 时的加速度 $a=g\left(1-\dfrac{v}{v_t}\right)$（阻力与速度成正比时）。

易错点

• 错在哪：用 $v=gt$ 求终端速度或落地速度。 为什么错：阻力随速度增大，加速度不是 $g$，是变加速运动；$v=gt$ 只在没有阻力时成立。 正确做法：终端令 $a=0$；要过程量用运动方程或能量。
• 错在哪：认为終端速度时加速度最大、合力最大。 为什么错：終端是速度最大、加速度为零、合力为零；加速度最大在刚下落、速度为零的瞬间。 正确做法：画 $v$-$t$ 图，看斜率趋近于零。
• 错在哪：认为阻力方向总向上。 为什么错：阻力与速度方向相反；物体上升时速度向上，阻力向下，和重力同向。 正确做法：先定速度方向，再画阻力。

直观理解

跳伞：刚跳出时速度小、阻力小，近似自由落体；速度增大阻力增大，加速度减小；打开伞后 $k$ 突然变大，终端速度变小，人减速到新的、更小的匀速。$v$-$t$ 图是一条条渐近线高度不同的曲线。

关联知识点

• 前置：本书 5.2 运动方程、5.3 次元（$k$ 的单位）。
• 后续：本书第 6 章功率（$P=mgv_t$）；国内书第 4 章 4.2 只说明空气阻力不能忽略时自由落体公式不能用。
• 常一起考：EJU 力学大問 Ⅰ 的收尾速度题（数值或字母式），常问终端速度、终端时阻力的功率、$v$-$t$ 图的形状。

5.6 連接体

说明

連接体（连接体）：两个或几个物体用绳、接触面或滑轮连在一起运动。国内叫“连接体”，日本教科书和 EJU 题干常用「つないだ」「一体となって」等说法。

整体法：几个物体的加速度相同时，把它们看成一个质量为 $m_1+m_2+\cdots$ 的整体，只分析外力：

$$(m_1+m_2+\cdots)a = F_{\text{外}}$$

物体之间的绳张力、相互压力、静摩擦力都是内力，在整体方程里成对抵消，不出现。

隔离法：要求物体之间的力时，把其中一个物体单独取出，列它的运动方程：

$$m_i a = F_i$$

隔离受力少的那个物体，方程最简单。

日本解答的说法：「A と B を一体とみなすと」「A に着目すると」「運動方程式より」。EJU 的解答不写“整体法”“隔离法”这样的名词，而是直接写这两句。

内力的分配：地面光滑、用绳拉两个物体时，绳的张力

$$T = \frac{m_{\text{后}}}{m_{\text{前}}+m_{\text{后}}}F$$

其中 $F$ 作用在“前”面的物体上。两个物体与地面的动摩擦因数相同时，结论不变。

使用场景

• 几个物体靠在一起或用绳串在一起，加速度相同，问加速度和物体之间的力 → 连接体模型 → 整体法求 $a$，隔离受力少的物体求内力。 叠放物体一起运动、问能一起运动的最大外力，是同一套整体法与隔离法：上层靠静摩擦力，临界 $a_{\max}=\mu g$；先隔离上层求 $a_{\max}$，再整体求 $F_{\max}$。这个情形在 5.4 节常用推论和 5.8 节問題 2 里练，本节只展开第一种场景。

注意点

• 整体法要求加速度相同（大小和方向都相同）。滑轮两侧的物体加速度方向不同，不能直接加质量（5.7 节）。
• 求内力必须隔离；隔离受力少的物体，方程少。
• 绳的张力对整体是内力，对单个物体是外力；整体方程里不出现张力。
• 有摩擦时整体法仍可用，但要算对每个摩擦力；两物体 $\mu$ 不同时，内力分配不再是简单的质量比。
• 「軽くて伸び縮みしない糸」表示绳的质量不计、张力处处相等；「なめらかな面」表示没有摩擦。

推导

两物体一前一后：A（质量 $m_A$）在前，B（质量 $m_B$）在后，用绳相连，拉力 $F$ 作用在 A 上，地面光滑。整体：

$$(m_A+m_B)a = F \quad \therefore\ a = \frac{F}{m_A+m_B}$$

隔离后面的 B（绳的张力 $T$ 是它唯一的水平力）：

$$m_B a = T \quad \therefore\ T = \frac{m_B}{m_A+m_B}F$$

（关键一步：张力只负责加速后面的物体，所以比 $F$ 小；$F$ 还要加速前面的 A。）

有相同动摩擦因数时：整体 $F-\mu'(m_A+m_B)g=(m_A+m_B)a$；隔离 B，$T-\mu'm_Bg=m_Ba$。两式联立，$T$ 仍然是 $\dfrac{m_B}{m_A+m_B}F$，摩擦项正好按质量分配。

三个物体接触：相邻接触力等于“后方总质量除以总质量再乘 $F$”，逐段隔离即可。

例题

例 1　（场景：两个物体用绳连接，整体求加速度、隔离求张力）

問題　次の図のように，なめらかな水平面上に，質量 $2.0\ \mathrm{kg}$ の物体 A と質量 $3.0\ \mathrm{kg}$ の物体 B を軽い糸で結んで置き，B を水平右向きに大きさ $10\ \mathrm{N}$ の力で引いた。糸の張力の大きさは何 N か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$2.0\ \mathrm{N}$　　②　$4.0\ \mathrm{N}$　　③　$6.0\ \mathrm{N}$　　④　$10\ \mathrm{N}$

解答　A と B を一体とみなすと，水平方向の外力は引く力 $F=10\ \mathrm{N}$ だけである。加速度を $a$ とすると，

$$(2.0+3.0)a = 10$$

より $a=2.0\ \mathrm{m/s^2}$。次に A に着目すると，水平方向にはたらく力は糸の張力 $T$ だけなので，

$$2.0 \times 2.0 = T$$

より $T=4.0\ \mathrm{N}$。検算：B について $10-T=3.0 \times 2.0=6.0\ \mathrm{N}$ で，$T=4.0\ \mathrm{N}$ と一致する。　答　②

中文翻译　题目：如图，在光滑水平面上，把质量 $2.0\ \mathrm{kg}$ 的物体 A 和质量 $3.0\ \mathrm{kg}$ 的物体 B 用轻绳连接放置，用水平向右、大小 $10\ \mathrm{N}$ 的力拉 B。绳的张力大小是多少 N？从①～④中选最合适的值。

解答：把 A 和 B 看成一个整体，水平方向的外力只有拉力 $F=10\ \mathrm{N}$。设加速度为 $a$，则 $(2.0+3.0)a=10$，得 $a=2.0\ \mathrm{m/s^2}$。再隔离 A，水平方向只有绳的张力 $T$，所以 $2.0 \times 2.0=T$，得 $T=4.0\ \mathrm{N}$。检验：对 B，$10-T=3.0 \times 2.0=6.0\ \mathrm{N}$，与 $T=4.0\ \mathrm{N}$ 一致。答案 ②。

解说　用到的是「说明」里整体法求 $a$、隔离法求内力的分工。容易卡在：用整体法求出 $a$ 后，忘了换研究对象，直接把 $F=10\ \mathrm{N}$ 当成张力。选项排除：$6.0\ \mathrm{N}$ 是 B 受到的合力（$F-T$），$10\ \mathrm{N}$ 是外力，$2.0\ \mathrm{N}$ 是拿 $a$ 当力；张力只加速后面的 A，应为 $4.0\ \mathrm{N}$。另一种解法：直接套内力分配 $T=\dfrac{m_{\text{后}}}{m_{\text{总}}}F=\dfrac{2.0}{5.0}\times10=4.0\ \mathrm{N}$，一步得出；但只适用于“加速度相同、外力作用在前方物体”的情形。

常用推论

• 两物体一前一后，外力 $F$ 作用在前者：$T=\dfrac{m_{\text{后}}}{m_{\text{总}}}F$。
• 三个物体接触：相邻接触力等于“后方总质量除以总质量乘 $F$”。
• 叠放：上层最大加速度 $\mu g$，整体最大外力 $(m_1+m_2)\mu g$（地面光滑）。
• 加速度不同时，系统方程 $\vec{F}_{\text{外}}=m_1\vec{a}_1+m_2\vec{a}_2+\cdots$（国内讲过，EJU 少用）。

易错点

• 错在哪：对滑轮两侧的物体用整体法，把质量直接相加。 为什么错：加速度方向不同，不能看成一个加速度相同的整体；绳的张力方向也相反。 正确做法：分别隔离，用束縛条件（5.7 节）。
• 错在哪：求绳张力时用整体方程。 为什么错：张力对整体是内力，不出现在整体方程里；整体方程只能求 $a$。 正确做法：隔离受力少的物体。
• 错在哪：认为绳张力等于拉力 $F$。 为什么错：张力只加速后面的物体，比 $F$ 小；$F$ 还要加速前面的物体。 正确做法：$T=\dfrac{m_{\text{后}}}{m_{\text{总}}}F$，或隔离后逐个列式。

直观理解

一列火车：整体法看整列车的加速度（只看车头的牵引力和总阻力），隔离法看车厢之间的挂钩力（挂钩只拉后面的车厢）。求加速度看整体，求挂钩力看后面拖的部分。

关联知识点

• 前置：国内书第 7 章 7.2 连接体、第 5 章整体法与隔离法。
• 后续：本书 5.7 束縛条件与滑车、第 6 章动量（碰撞前后系统）。
• 常一起考：EJU 大問 Ⅰ 的连接体题，常和斜面、摩擦、滑轮组合。

5.7 束縛条件と滑車

说明

束縛条件（约束条件）：绳长不变、物体保持接触等限制，给各物体的位移、速度、加速度加上关系。轻绳不可伸长时，绳两端沿绳方向的位移大小相等，所以速度、加速度大小也相等：

$$a_1 = a_2 \quad (\text{沿绳方向})$$

定滑車（定滑轮）：只改变绳的方向，不改变张力的大小。轻绳、光滑滑轮两侧的张力相等：

$$T_1 = T_2$$

動滑車（动滑轮）：绳的一端固定，另一端拉，重物挂在动滑轮上。轻动滑轮平衡时，两段绳各承担一半：

$$2T = mg$$

绳端移动的距离是重物移动距离的 2 倍（省力费距离）。

列式步骤：先定每个物体沿绳的运动方向，分别列 $ma=F$；张力 $T$ 大小相同，加速度大小相同；两式相加消去 $T$，先求 $a$，再回代求 $T$。若算出的 $a<0$，实际方向与假设相反。

使用场景

• 定滑轮两侧悬挂两个物体（阿特伍德机），或一侧斜面、一侧悬挂 → 滑轮连接体模型 → 束縛条件：加速度大小相同、方向沿各自的绳 → 分别列式，相加消去 $T$。
• 动滑轮（重物挂动滑轮、绳端拉）→ 动滑轮模型 → 平衡时 $2T=mg$；有加速度时 $2T-mg=ma$；绳端的位移、速度、加速度是重物的 2 倍。

注意点

• 每个物体取自己的运动方向为正，不要用同一个坐标方向硬套。
• 张力大小相同的前提是轻绳、光滑滑轮；有质量的绳或粗糙滑轮不成立。
• 加速度大小相同、方向不同；不能像 5.6 节那样直接把质量相加用整体法。
• 结果 $a<0$ 只表示方向反了，张力 $T$ 仍然为正；不要因为负号把 $T$ 也取负。
• 动滑轮绳端移动距离是重物的 2 倍，速度、加速度也是 2 倍关系。

推导

为什么两端加速度大小相等：设绳长为 $l$，两端到滑轮的距离为 $x_1$、$x_2$，则 $x_1+x_2+\text{（绕过滑轮的部分）}=l$。绳长不变，两端距离的变化量满足

$$\Delta x_1 + \Delta x_2 = 0 \quad \therefore\ |\Delta x_1| = |\Delta x_2|$$

对时间求导两次，速度、加速度的大小也相等。（关键一步：约束给的是“大小相等、方向沿绳”，不是“方向相同”。）

定滑轮的阿特伍德机：设 $m_2>m_1$，$m_2$ 向下、$m_1$ 向上，加速度大小同为 $a$。分别列式：

$$m_2a = m_2g - T,\qquad m_1a = T - m_1g$$

两式相加消去 $T$：

$$(m_1+m_2)a = (m_2-m_1)g$$ $$a = \frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}g,\qquad T = \frac{2m_1m_2}{m_1+m_2}g$$

斜面与悬挂：质量 $m_1$ 在倾角 $\theta$ 的斜面上，质量 $m_2$ 悬挂。设 $m_1$ 沿斜面向下、$m_2$ 向上：

$$m_1a = m_1g\sin\theta - T,\qquad m_2a = T - m_2g$$

相加得

$$a = \frac{m_1\sin\theta-m_2}{m_1+m_2}g$$

动滑車：轻动滑轮受两段绳的张力 $T$ 向上、重物的重力 $mg$ 向下。向上加速时

$$ma = 2T - mg$$

绳端拉出的长度是重物上升高度的 2 倍。

例题

例 1　（场景：定滑轮两侧悬挂两个物体，求张力）

問題　次の図のように，定滑車にかけた軽い糸の両端に，質量 $2.0\ \mathrm{kg}$ のおもり A と質量 $3.0\ \mathrm{kg}$ のおもり B をつるした。おもりを静かに放したとき，糸の張力の大きさは何 N か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，糸は軽くて伸び縮みせず，滑車はなめらかで軽いものとし，重力加速度の大きさを $9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。

①　$20\ \mathrm{N}$　　②　$24\ \mathrm{N}$　　③　$25\ \mathrm{N}$　　④　$29\ \mathrm{N}$

解答　B は下向き，A は上向きに，同じ大きさの加速度 $a$ で動く（束縛条件）。それぞれの運動方程式は，B について

$$3.0a = 3.0 \times 9.8 - T$$

A について

$$2.0a = T - 2.0 \times 9.8$$

2 式を加えると

$$5.0a = (3.0-2.0)\times 9.8 = 9.8$$

より $a=1.96\ \mathrm{m/s^2}$。A の式に代入して

$$T = 2.0 \times (9.8+1.96) = 23.52\ \mathrm{N}$$

よって $24\ \mathrm{N}$。検算：$T$ は A の重力 $20\ \mathrm{N}$ より大きく，B の重力 $29\ \mathrm{N}$ より小さい。B について $29.4-23.5=5.9\ \mathrm{N}=3.0 \times 1.96$ で，運動方程式を満たす。　答　②

中文翻译　题目：如图，定滑轮上挂一根轻绳，两端分别挂质量 $2.0\ \mathrm{kg}$ 的重物 A 和质量 $3.0\ \mathrm{kg}$ 的重物 B。静止释放后，绳的张力大小是多少 N？从①～④中选最合适的值。其中绳轻且不可伸长，滑轮光滑且轻，重力加速度大小为 $9.8\ \mathrm{m/s^2}$。

解答：B 向下、A 向上，以相同大小的加速度 $a$ 运动（约束条件）。分别列运动方程：对 B，$3.0a=3.0 \times 9.8-T$；对 A，$2.0a=T-2.0 \times 9.8$。两式相加得 $5.0a=(3.0-2.0)\times 9.8=9.8$，所以 $a=1.96\ \mathrm{m/s^2}$。代入 A 的式子得 $T=2.0 \times (9.8+1.96)=23.52\ \mathrm{N}$，即 $24\ \mathrm{N}$。检验：$T$ 大于 A 的重力 $20\ \mathrm{N}$、小于 B 的重力 $29\ \mathrm{N}$；对 B，$29.4-23.5=5.9\ \mathrm{N}=3.0 \times 1.96$，满足运动方程。答案 ②。

解说　用到的是「说明」里的定滑轮张力相等和「推导」里的阿特伍德机公式。容易卡在：认为张力等于较重物体的重力 $29\ \mathrm{N}$；较重物体也在向下加速，张力一定小于它的重力。选项排除：$20\ \mathrm{N}$ 是 A 的重力，$29\ \mathrm{N}$ 是 B 的重力，$25\ \mathrm{N}$ 是把两个重力取平均（$24.7$ 四舍五入），都不满足两个运动方程；只有 $24\ \mathrm{N}$ 在两者之间且能同时满足。另一种解法：直接套 $T=\dfrac{2m_1m_2}{m_1+m_2}g=\dfrac{2 \times 2.0 \times 3.0}{5.0}\times 9.8=23.52\ \mathrm{N}$，一步得出；考试时若记得公式可用来核对。

例 2　（场景：斜面与悬挂通过定滑轮相连，求加速度）

問題　次の図のように，水平面と角 $30^\circ$ をなすなめらかな斜面の上端に定滑車を取り付け，斜面上の質量 $4.0\ \mathrm{kg}$ の物体 A と，滑車を通した糸でつるした質量 $1.0\ \mathrm{kg}$ の物体 B を結んだ。A を静かに放したとき，B の加速度の大きさは何 $\mathrm{m/s^2}$ か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，糸は軽くて伸び縮みせず，滑車はなめらかで軽いものとし，重力加速度の大きさを $9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。

①　$1.0$　　②　$2.0$　　③　$3.9$　　④　$4.9$

解答　A は斜面下向き，B は上向きに，同じ大きさの加速度 $a$ で動く（束縛条件）。A について斜面下向きを正とすると

$$4.0a = 4.0 \times 9.8 \times \sin 30^\circ - T$$

B について上向きを正とすると

$$1.0a = T - 1.0 \times 9.8$$

2 式を加えると

$$5.0a = 19.6 - 9.8 = 9.8$$

より $a=1.96\ \mathrm{m/s^2}$。よって $2.0\ \mathrm{m/s^2}$。検算：$T=1.0 \times (9.8+1.96)=11.76\ \mathrm{N}$，A について $19.6-11.76=7.84\ \mathrm{N}=4.0 \times 1.96$ で一致する。　答　②

中文翻译　题目：如图，在与水平面成 $30^\circ$ 角的光滑斜面顶端装一个定滑轮，斜面上的质量 $4.0\ \mathrm{kg}$ 的物体 A 与挂在滑轮另一侧的质量 $1.0\ \mathrm{kg}$ 的物体 B 用绳连接。静止释放 A 时，B 的加速度大小是多少 $\mathrm{m/s^2}$？从①～④中选最合适的值。其中绳轻且不可伸长，滑轮光滑且轻，重力加速度大小为 $9.8\ \mathrm{m/s^2}$。

解答：A 沿斜面向下、B 向上，以相同大小的加速度 $a$ 运动（约束条件）。对 A，取沿斜面向下为正：$4.0a=4.0 \times 9.8 \times \sin30^\circ-T$。对 B，取向上为正：$1.0a=T-1.0 \times 9.8$。两式相加得 $5.0a=19.6-9.8=9.8$，所以 $a=1.96\ \mathrm{m/s^2}$，即 $2.0\ \mathrm{m/s^2}$。检验：$T=1.0 \times (9.8+1.96)=11.76\ \mathrm{N}$；对 A，$19.6-11.76=7.84\ \mathrm{N}=4.0 \times 1.96$，一致。答案 ②。

解说　用到的是「推导」里的斜面与悬挂公式，以及“相加消去 $T$”。容易卡在：把 A 的加速度方向取成沿斜面向上，或者忘了重力沿斜面的分量要乘 $\sin30^\circ$。选项排除：$1.0$ 是把两个重力之差除以总质量后又除以 $2$，$3.9$ 是忘了 $\sin30^\circ$ 的某种组合，$4.9$ 是 $g/2$（只算 A 的一半重力）；只有 $2.0$ 满足两个方程。

常用推论

• 阿特伍德机：$a=\dfrac{|m_2-m_1|}{m_1+m_2}g$，$T=\dfrac{2m_1m_2}{m_1+m_2}g$；$m_1=m_2$ 时 $a=0$，$T=mg$。
• 斜面与悬挂：$a=\dfrac{m_1\sin\theta-m_2}{m_1+m_2}g$（$m_1$ 在斜面上，$m_2$ 悬挂；正表示 $m_1$ 下滑），$T=\dfrac{m_1m_2(1+\sin\theta)}{m_1+m_2}g$。
• 动滑轮：平衡时 $2T=mg$；向上加速时 $2T-mg=ma$；绳端位移是重物的 2 倍。
• 定滑轮只改变方向，不省力；动滑轮省一半力，费一倍距离。

易错点

• 错在哪：把滑轮两侧物体的加速度方向当成相同，直接用整体法。 为什么错：一个上升、一个下降，方向相反；整体法要求加速度相同（方向也相同）。 正确做法：分别隔离，取各自运动方向为正，用束縛条件“加速度大小相同”。
• 错在哪：认为绳张力等于较重物体的重力。 为什么错：较重物体也在加速，$T=m_2(g-a)<m_2g$；只有静止或匀速时才等于重力。 正确做法：列两个运动方程，联立求 $T$。
• 错在哪：动滑轮平衡时写 $T=mg$。 为什么错：两段绳各承担一半，$2T=mg$。 正确做法：数一数动滑轮上有几段绳支撑。

直观理解

定滑轮像“改变方向的杠杆”，只改方向不省力；动滑轮像“两人抬一物”，两段绳各出一半力，但绳要拉两倍长。记法：定滑轮 $T$ 不变，动滑轮 $2T$ 抬物。

关联知识点

• 前置：本书 5.2 运动方程、5.6 整体法与隔离法；国内书第 7 章 7.2。
• 后续：本书第 6 章功的原理（动滑轮省力费距离）、第 7 章惯性力（电梯）。
• 常一起考：EJU 大問 Ⅰ 的滑轮连接体，常和斜面、摩擦组合；2017 年第 2 回、2021 年第 1 回都考过滑轮或斜面连接体。

5.8 题型与答法

本章内容在 EJU 里出现在大問 Ⅰ（力学）的前半，形式以字母式为主，也常有数值题：连接体、叠放物体的静摩擦临界、斜面上的往复运动最多，数值题多问加速度、张力、动摩擦系数或收尾速度，$g$ 取 $9.8\ \mathrm{m/s^2}$，数据和选项是两位有效数字。据 20 回公开过去问，本章内容共出现 25 次（每回平均 1.25 次）。

两分钟做法：

1. 先看选项的次元或单位，排除明显不对的式子；字母式题常常能排除两个。
2. 画受力图，确定研究对象，取加速度方向为正，写 $ma=F$；连接体先整体求 $a$，再隔离求内力；滑轮题写束縛条件。
3. 临界问题找“某个力恰好为零”或“静摩擦达到最大”；收尾速度令 $a=0$。

問題 1　（三物体连接体，求内部接触力之比）

問題　次の図のように，なめらかな水平面上に，質量 $m$，$2m$，$3m$ の 3 つの物体をこの順に一直線上に並べて置き，質量 $m$ の物体を水平右向きに大きさ $F$ の力で押した。3 つの物体は一体となって運動した。質量 $m$ の物体と質量 $2m$ の物体の間にはたらく力の大きさ $F_1$ と，質量 $2m$ の物体と質量 $3m$ の物体の間にはたらく力の大きさ $F_2$ の比 $F_1:F_2$ として正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$3:5$　　②　$5:3$　　③　$5:2$　　④　$2:3$

解答　3 つの物体を一体とみなすと，全質量は $6m$，外力は $F$ だけなので

$$6ma = F \quad \therefore\ a = \frac{F}{6m}$$

$F_1$ は質量 $2m$ と $3m$ の物体を合わせて加速する力なので，

$$F_1 = (2m+3m)a = 5m \cdot \frac{F}{6m} = \frac{5}{6}F$$

$F_2$ は質量 $3m$ の物体だけを加速する力なので，

$$F_2 = 3m \cdot \frac{F}{6m} = \frac{1}{2}F$$

よって

$$F_1:F_2 = \frac{5}{6}:\frac{1}{2} = 5:3$$

検算：$F_1$ は $5m$ を加速し，$F_2$ は $3m$ を加速するので，$F_1>F_2$ でなければならない。$5:3$ はこれを満たす。　答　②

中文翻译　题目：如图，在光滑水平面上，把质量 $m$、$2m$、$3m$ 的三个物体按这个顺序排成一条直线，用水平向右、大小 $F$ 的力推质量 $m$ 的物体。三个物体一起运动。质量 $m$ 与 $2m$ 的物体之间的力大小 $F_1$，和质量 $2m$ 与 $3m$ 的物体之间的力大小 $F_2$，比值 $F_1:F_2$ 是哪一个？从①～④中选一个。

解答：把三个物体看成整体，总质量 $6m$，外力只有 $F$，所以 $6ma=F$，$a=F/(6m)$。$F_1$ 负责加速 $2m$ 和 $3m$ 两个物体，所以 $F_1=(2m+3m)a=5m \cdot F/(6m)=5F/6$。$F_2$ 只负责加速 $3m$ 的物体，所以 $F_2=3m \cdot F/(6m)=F/2$。因此 $F_1:F_2=5/6:1/2=5:3$。检验：$F_1$ 加速 $5m$，$F_2$ 加速 $3m$，应有 $F_1>F_2$，$5:3$ 满足。答案 ②。

解说　两分钟做法：整体求 $a$，再从右往左逐段隔离，接触力等于“该力后方总质量乘 $a$”。选项排除：$F_1$ 要推动 $5m$，$F_2$ 只推动 $3m$，所以 $F_1>F_2$，① $3:5$ 和④ $2:3$ 先排除；③ $5:2$ 是忘了 $F_2$ 只对应 $3m$。另一种解法：直接按“后方质量比”写 $F_1:F_2=5m:3m=5:3$，不写 $a$，十秒得出；前提是地面光滑、外力作用在最前面的物体上。

問題 2　（叠放物体，求一起运动的最大拉力，数值）

問題　次の図のように，なめらかな水平面上に質量 $2.0\ \mathrm{kg}$ の台 B を置き，その上に質量 $1.0\ \mathrm{kg}$ の物体 A をのせた。A と B の間の静止摩擦係数を $0.20$ とし，B を水平右向きに大きさ $F$ の力で引く。A と B が一体となって運動するための $F$ の最大値は何 N か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，重力加速度の大きさを $9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。

①　$2.0\ \mathrm{N}$　　②　$3.9\ \mathrm{N}$　　③　$5.9\ \mathrm{N}$　　④　$7.8\ \mathrm{N}$

解答　A と B が一体となって運動するとき，A の加速度は B と同じ $a$ である。A を加速する力は，A と B の間の静止摩擦力 $f$ だけである。A の質量は $1.0\ \mathrm{kg}$ なので，

$$1.0a = f$$

$f$ の最大値は $f_{\max}=\mu N=\mu m_A g$ であるから，

$$f_{\max} = 0.20 \times 1.0 \times 9.8 = 1.96\ \mathrm{N}$$

よって一体運動できる最大加速度は

$$a_{\max} = \frac{f_{\max}}{m_A} = \mu g = 0.20 \times 9.8 = 1.96\ \mathrm{m/s^2}$$

全体を一体とみなすと，最大の外力は

$$F_{\max} = (m_A+m_B)a_{\max} = 3.0 \times 1.96 = 5.88\ \mathrm{N}$$

よって $5.9\ \mathrm{N}$。検算：$F=5.9\ \mathrm{N}$ のとき $a=1.96\ \mathrm{m/s^2}$，A に必要な力は $1.96\ \mathrm{N}$ で，最大静止摩擦力にちょうど等しい。これ以上引くと A が B の上ですべる。　答　③

中文翻译　题目：如图，在光滑水平面上放质量 $2.0\ \mathrm{kg}$ 的台 B，B 上面放质量 $1.0\ \mathrm{kg}$ 的物体 A。A 与 B 间的静摩擦因数为 $0.20$，用水平向右、大小 $F$ 的力拉 B。A 与 B 一起运动时 $F$ 的最大值是多少 N？从①～④中选最合适的值。其中重力加速度大小为 $9.8\ \mathrm{m/s^2}$。

解答：A 与 B 一起运动时，A 的加速度与 B 相同，为 $a$。使 A 加速的力只有 A、B 间的静摩擦力 $f$。A 的质量为 $1.0\ \mathrm{kg}$，所以 $1.0a=f$。$f$ 的最大值为 $f_{\max}=\mu N=\mu m_A g=0.20 \times 1.0 \times 9.8=1.96\ \mathrm{N}$。因此能一起运动的最大加速度 $a_{\max}=f_{\max}/m_A=\mu g=1.96\ \mathrm{m/s^2}$。把整体看成一体，最大外力 $F_{\max}=(m_A+m_B)a_{\max}=3.0 \times 1.96=5.88\ \mathrm{N}$，即 $5.9\ \mathrm{N}$。检验：$F=5.9\ \mathrm{N}$ 时 $a=1.96\ \mathrm{m/s^2}$，A 所需的力为 $1.96\ \mathrm{N}$，恰好等于最大静摩擦力；再大 A 就会在 B 上滑动。答案 ③。

解说　两分钟做法：看到“一起运动”“最大力”，先隔离上面受力少的 A，临界是静摩擦达到最大；求出 $a_{\max}=\mu g$，再整体求 $F_{\max}=(m_A+m_B)\mu g$。选项排除：$2.0\ \mathrm{N}$ 是最大静摩擦力本身（不是外力），$3.9\ \mathrm{N}$ 是误用 B 的质量算 $\mu m_B g$，$7.8\ \mathrm{N}$ 是把 $3.9$ 又乘了 2；只有 $5.9\ \mathrm{N}$ 等于总质量乘 $\mu g$。

問題 3　（斜面上滑再下滑，求回到出发点的速度，数值）

問題　水平面と角 $30^\circ$ をなす粗い斜面がある。斜面上の点 P から，物体を斜面上向きに初速度 $7.0\ \mathrm{m/s}$ で滑らせたところ，物体は斜面上を上昇し，最高点に達した後，同じ斜面を下滑して点 P に戻ってきた。物体と斜面の間の動摩擦係数を $0.25$ とするとき，物体が点 P に戻ってきたときの速さは何 $\mathrm{m/s}$ か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，重力加速度の大きさを $9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。

①　$2.8$　　②　$4.4$　　③　$6.1$　　④　$7.0$

解答　上昇中，斜面下向きを正とすると，運動方程式は

$$ma_{\text{上}} = mg\sin 30^\circ + \mu'mg\cos 30^\circ$$

より

$$a_{\text{上}} = 9.8 \times (0.50 + 0.25 \times 0.866) = 7.02\ \mathrm{m/s^2}$$

上昇する距離 $x$ は，$v^2-v_0^2=2ax$ で $v=0$ として

$$x = \frac{v_0^2}{2a_{\text{上}}} = \frac{7.0^2}{2 \times 7.02} = 3.49\ \mathrm{m}$$

下降中，斜面下向きを正とすると，摩擦力は斜面下向きなので

$$ma_{\text{下}} = mg\sin 30^\circ - \mu'mg\cos 30^\circ$$

より

$$a_{\text{下}} = 9.8 \times (0.50 - 0.25 \times 0.866) = 2.78\ \mathrm{m/s^2}$$

点 P に戻ったときの速さ $v$ は

$$v = \sqrt{2a_{\text{下}}x} = \sqrt{2 \times 2.78 \times 3.49} = 4.40\ \mathrm{m/s}$$

よって $4.4\ \mathrm{m/s}$。検算：$\tan 30^\circ=0.577>\mu'=0.25$ なので，物体は最高点から下滑できる。摩擦力で力学的エネルギーが失われるから，戻ったときの速さは初速度 $7.0\ \mathrm{m/s}$ より小さい。　答　②

中文翻译　题目：有一个与水平面成 $30^\circ$ 角的粗糙斜面。从斜面上的 P 点使物体以沿斜面向上的初速度 $7.0\ \mathrm{m/s}$ 滑动，物体沿斜面上升，到达最高点后沿同一斜面下滑，回到 P 点。物体与斜面间的动摩擦因数为 $0.25$ 时，物体回到 P 点时的速度是多少 $\mathrm{m/s}$？从①～④中选最合适的值。其中重力加速度大小为 $9.8\ \mathrm{m/s^2}$。

解答：上滑时取沿斜面向下为正，运动方程为 $ma_{\text{上}}=mg\sin30^\circ+\mu'mg\cos30^\circ$，所以 $a_{\text{上}}=9.8 \times (0.50+0.25 \times 0.866)=7.02\ \mathrm{m/s^2}$。上滑距离 $x$ 由 $v^2-v_0^2=2ax$ 令 $v=0$ 得 $x=v_0^2/(2a_{\text{上}})=7.0^2/(2 \times 7.02)=3.49\ \mathrm{m}$。下滑时取沿斜面向下为正，摩擦力沿斜面向上，所以 $ma_{\text{下}}=mg\sin30^\circ-\mu'mg\cos30^\circ$，$a_{\text{下}}=9.8 \times (0.50-0.25 \times 0.866)=2.78\ \mathrm{m/s^2}$。回到 P 点时的速度 $v=\sqrt{2a_{\text{下}}x}=\sqrt{2 \times 2.78 \times 3.49}=4.40\ \mathrm{m/s}$，即 $4.4\ \mathrm{m/s}$。检验：$\tan30^\circ=0.577>\mu'=0.25$，物体能从最高点下滑；摩擦力消耗机械能，回到 P 点的速度应小于初速度 $7.0\ \mathrm{m/s}$。答案 ②。

解说　两分钟做法：上滑和下滑分两段，各自求加速度；上滑距离用 $v^2-v_0^2=2ax$；下滑再用一次求末速度。选项排除：$7.0\ \mathrm{m/s}$ 是无摩擦时回到原点的速度（机械能守恒），$2.8$ 是下滑加速度的数值（量纲碰巧像速度），$6.1$ 是用 $\cos30^\circ$ 代替 $\sin30^\circ$ 的错误；只有 $4.4$ 比 $7.0$ 小且能从上滑距离算出。另一种解法：不用先求 $x$。上滑和下滑的距离相同，由 $v^2=2ax$ 得

$$\frac{v^2}{v_0^2} = \frac{a_{\text{下}}}{a_{\text{上}}} = \frac{\sin\theta-\mu'\cos\theta}{\sin\theta+\mu'\cos\theta}$$

代入得 $v=7.0 \times \sqrt{\dfrac{0.2835}{0.7165}} = 4.40\ \mathrm{m/s}$，一步得出，适合选项差距大、只要选答案的场合。

5.9 术语与题干用语

日文	读音	中文	例句或说明
運動方程式	うんどうほうていしき	运动方程	「運動方程式より，$ma=F$」
慣性の法則	かんせいのほうそく	惯性定律	「慣性の法則により，力がはたらかない物体は等速直線運動を続ける」
作用・反作用の法則	さよう・はんさようのほうそく	作用与反作用定律	「作用・反作用の法則より，糸が物体を引く力と物体が糸を引く力は等しい」
単位系	たんいけい	单位制	「国際単位系（SI）では」
基本単位	きほんたんい	基本单位	$\mathrm{m}$、$\mathrm{kg}$、$\mathrm{s}$
組立単位	くみたてたんい	导出单位	$\mathrm{N}$、$\mathrm{J}$、$\mathrm{W}$、$\mathrm{Pa}$
次元	じげん	量纲	「右辺の次元は $LT^{-1}$ である」
静止摩擦力	せいしまさつりょく	静摩擦力	「静止摩擦力は外力とつり合う」
最大静止摩擦力	さいだいせいしまさつりょく	最大静摩擦力	「最大静止摩擦力は $\mu N$ と表される」
動摩擦力	どうまさつりょく	滑动摩擦力	「動摩擦力は $\mu'N$ である」
静止摩擦係数	せいしまさつけいすう	静摩擦因数	「静止摩擦係数を $\mu$ とする」
動摩擦係数	どうまさつけいすう	动摩擦因数	「動摩擦係数を $\mu'$ とする」
垂直抗力	すいちょくこうりょく	支持力（法向力）	「面から受ける垂直抗力 $N$」
張力	ちょうりょく	拉力、张力	「糸の張力の大きさ $T$」
空気の抵抗	くうきのていこう	空气阻力	「空気の抵抗は速さに比例する」
終端速度	しゅうたんそくど	终端速度	「終端速度に達する」
束縛条件	そくばくじょうけん	约束条件	「束縛条件より，A と B の加速度の大きさは等しい」
定滑車	ていかっしゃ	定滑轮	「定滑車にかけた糸」
動滑車	どうかっしゃ	动滑轮	「動滑車に重物をつるす」
なめらかな面	なめらかなめん	光滑面	「なめらかな水平面上に」
軽くて伸び縮みしない糸	かるくてのびちぢみしないいと	轻质不可伸长的绳	张力处处相等的前提
じゅうぶん時間がたった後	じゅうぶんじかんがたったあと	经过足够长时间后	等价于“已达終端速度”
一体とみなす	いったいとみなす	看成一个整体	「A と B を一体とみなすと」
着目する	ちゃくもくする	着眼于、隔离	「A に着目すると」
はたらく	はたらく	作用（于）	「物体にはたらく力は…」
一定の速さで	いっていのはやさで	以恒定速度	「一定の速さで落下している」

5.10 自测

1. 質量 $2.0\ \mathrm{kg}$ の物体に，水平右向きに $6.0\ \mathrm{N}$，水平左向きに $2.0\ \mathrm{N}$ の力がはたらく。物体の加速度の大きさと向きを求めよ。 中文：质量 $2.0\ \mathrm{kg}$ 的物体受水平向右 $6.0\ \mathrm{N}$、水平向左 $2.0\ \mathrm{N}$ 的力，求加速度的大小和方向。

2. 次の量の次元を，基本量 $L$，$M$，$T$ を用いて表せ。(1) 運動量　(2) 仕事率 中文：用基本量 $L$、$M$、$T$ 表示下列量的量纲：(1) 动量　(2) 功率。

3. 水平面上の質量 $5.0\ \mathrm{kg}$ の物体に，水平方向に $12\ \mathrm{N}$ の力を加えた。物体と面の間の最大静止摩擦力を $15\ \mathrm{N}$，動摩擦係数を $0.20$，重力加速度の大きさを $9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。物体は動くか。動かない場合，摩擦力の大きさを求めよ。 中文：在水平面上对质量 $5.0\ \mathrm{kg}$ 的物体施加水平 $12\ \mathrm{N}$ 的力。物体与面间的最大静摩擦力为 $15\ \mathrm{N}$，动摩擦因数为 $0.20$，重力加速度大小为 $9.8\ \mathrm{m/s^2}$。物体是否运动？不运动时，求摩擦力的大小。

4. 終端速度で落下している物体の加速度の大きさと，はたらく合力の大きさを求めよ。 中文：求以终端速度下落的物体的加速度大小和所受合力大小。

5. なめらかな水平面上で，質量 $2.0\ \mathrm{kg}$ の物体と質量 $3.0\ \mathrm{kg}$ の物体を糸で結び，$3.0\ \mathrm{kg}$ の物体を水平に $10\ \mathrm{N}$ の力で引く。糸の張力の大きさを求めよ。 中文：在光滑水平面上，把质量 $2.0\ \mathrm{kg}$ 和质量 $3.0\ \mathrm{kg}$ 的物体用绳连接，用水平 $10\ \mathrm{N}$ 的力拉 $3.0\ \mathrm{kg}$ 的物体，求绳的张力大小。

6. 定滑車にかけた糸の両端に，質量 $1.0\ \mathrm{kg}$ と $2.0\ \mathrm{kg}$ のおもりをつるし，静かに放した。おもりの加速度の大きさを求めよ。ただし，重力加速度の大きさを $9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。 中文：在定滑轮上的绳两端挂质量 $1.0\ \mathrm{kg}$ 和 $2.0\ \mathrm{kg}$ 的重物，静止释放，求重物的加速度大小。重力加速度大小为 $9.8\ \mathrm{m/s^2}$。

答案：1. $2.0\ \mathrm{m/s^2}$，右向き　2. (1) $MLT^{-1}$　(2) $ML^2T^{-3}$　3. 動かない，摩擦力 $12\ \mathrm{N}$　4. 加速度 $0$，合力 $0$　5. $4.0\ \mathrm{N}$　6. $3.3\ \mathrm{m/s^2}$

5.11 深入阅读

• JASSO · 理科（物理）シラバス：本章对应「運動の法則」（運動の 3 法則、力の単位と運動方程式、単位系と次元）和「摩擦や空気の抵抗を受ける運動」（静止摩擦力、動摩擦力、空気の抵抗と終端速度）。
• 维基百科（日文）· 摩擦力：静止摩擦力、動摩擦力、静止摩擦係数 μ 和動摩擦係数 μ’ 的日文定义和记号。
• 维基百科（日文）· 終端速度：終端速度的日文表述、阻力与速度成正比的模型，配合本章 5.5 节的 v-t 图渐近。
• PhET · 力和运动：基础：拖动物体、改变力和摩擦，观察加速度随合力变化，配合本章 5.2 节和 5.4 节。