第 7 章 · 円運動と慣性力

項目	内容
シラバス項目	Ⅰ 3.(1) 等速円運動（速度と角速度、周期と回転数、加速度と向心力、等速でない円運動の向心力）／3.(2) 慣性力（慣性力、遠心力）
国内书对应	第 10 章 圆周运动（10.2–10.7）、第 6 章 牛顿运动定律（超重与失重）
本章新内容的分量	等速でない円運動の任意点の扱い（法線方向と接線方向の分解）、慣性力・遠心力による非慣性系の解法が中心。等速円運動の公式（$v = r\omega$、$T = 2\pi/\omega$）は復習として引用するだけ。
过去问出现次数	17 次（20 回，每回平均 0.85 次）

国内书第 10 章已经讲过等速圆周运动的全套公式、向心力和竖直面内最高点、最低点的临界问题，这部分 EJU 也照用，本章不再重抄。EJU 多考的是国内书没展开的两块：一是在竖直圆、球面、圆弧槽的任意位置列半径方向的方程（速度大小在变，加速度要分成法向和切向）；二是日本教材里的慣性力・遠心力，用非惯性系解题，并与惯性系对照。丢分主要丢在三处：把向心力当成一个独立的力画进受力图；速度变了就以为 $v^2/r$ 不能用；惯性和离心力的方向、大小弄反。

7.1 与国内的对照

シラバス小項目（日文原文）	国内书位置	相同 / 讲法不同 / 国内没有	本章哪节讲
速度と角速度，周期と回転数	国内书第 10 章 10.2 描述圆周运动的物理量	相同	不展开，7.2 节直接引用
加速度と向心力（等速円運動）	国内书第 10 章 10.3 向心加速度、10.4 向心力	相同	不展开，7.2 节直接引用
等速でない円運動の向心力	国内书第 10 章 10.6 竖直面内的圆周运动（只在最高点、最低点列径向方程）	讲法不同：国内把变速圆周运动拆成最高点、最低点两个特例；日本在任意点把加速度分成法線方向と接線方向	7.2
慣性力	国内书第 6 章 牛顿运动定律（超重与失重只讲视重，不引入惯性力）	国内没有：惯性力不作为力引入	7.3、7.5
遠心力	国内书第 10 章 10.5 水平面内的圆周运动、10.7 离心现象（定性解释，明确说惯性系中不存在离心力）	讲法不同：日本在旋转系里把远心力当作惯性力使用，与惯性系解法并列	7.4、7.5

7.2 等速でない円運動の向心力

说明

等速円運動の復習（国内书第 10 章）：速さ $v$、半径 $r$、角速度 $\omega$ の等速円運動では、加速度は常に円の中心を向き、大きさは

$$a = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r$$

この加速度を向心加速度、これを生じさせる合力の半径方向成分を向心力という。等速円運動では速さが変わらないので、合力は常に中心を向く（接線方向の力はない）。

等速でない円運動：速さが変わる円運動では、加速度を二つの成分に分ける。

• 法線方向（半径方向）の加速度 $a_n$：向きは常に中心向き、大きさ $a_n = \dfrac{v^2}{r}$。その瞬間の曲率半径が $r$ なので、等速円運動と同じ式がそのまま使える。
• 接線方向の加速度 $a_t$：速さの変化率で、$a_t = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$（瞬間的には $a_t = \dfrac{dv}{dt}$）。

合力も同じように分解する。半径方向の合力が向心力で

$$F_n = m\frac{v^2}{r}$$

接線方向の合力が速さを変える力で、$F_t = m a_t$。向心力は新しい種類の力ではなく、合力の半径方向成分である。

合力は中心を向かない：速さが変わる瞬間は $F_t \ne 0$ なので、合力 $\vec F$ は半径方向から接線方向へ傾く。合力がちょうど中心を向くのは等速円運動のときだけである。

使用场景

• 鉛直面内の円運動で、ある点での張力や速さを問う（最下点だけでなく任意の点も）→ その点で半径方向の運動方程式を立て、速さは力学的エネルギー保存から求める → $F_n = m\dfrac{v^2}{r}$。
• 小球が球面や円筒面をすべり、途中で面から離れる条件を問う → 離れる瞬間は垂直抗力 $N = 0$ → 半径方向の式に $N = 0$ を代入し、エネルギー保存と連立する。

注意点

• $a_n = \dfrac{v^2}{r}$ は等速でなくても各瞬間に成り立つ。$r$ はその点での軌道の曲率半径で、円軌道なら半径そのもの。
• 半径方向の正は常に中心向き。最高点では下向き、最下点では上向きに取る。接線方向は運動の向きを正に取る。
• 速さが変わる問題では、半径方向の式だけでは未知数が足りない。接線方向の式かエネルギー保存をもう一本使う。
• 向心力を「物体にはたらく力」として受力図に書き加えてはいけない。向心力は合力の成分で、実際の力（重力、張力、垂直抗力、摩擦力）を分解した結果である。
• 日文题干里的「法線方向」就是国内说的半径方向，「接線方向」就是切线方向；「等速でない円運動」就是变速圆周运动。

推导

なぜ $a_n = v^2/r$ か（等速円運動の場合）：微小時間 $\Delta t$ の間に、速度ベクトルは大きさを変えずに向きだけ $\Delta\theta$ 変わる。速度ベクトルの変化 $\Delta \vec v$ の大きさは $v\Delta\theta$、向きは中心向きである。よって

$$a_n = \frac{|\Delta \vec v|}{\Delta t} = v\frac{\Delta\theta}{\Delta t} = v\omega = \frac{v^2}{r}$$

等速でない場合も同じ式が使える理由：加速度は「その瞬間の速度の変化率」で決まる。速度の向きの変化率は、その瞬間に通る曲線の曲率半径 $r$ だけで決まり、$v^2/r$ になる。速さの変化は接線方向の加速度として別に加わる。だから

$$\vec a = \vec a_n + \vec a_t, \qquad a_n = \frac{v^2}{r}, \quad a_t = \frac{dv}{dt}$$

（关键一步：把「圆周运动」换成「任意曲线运动」来看：$v^2/r$ 是轨迹弯曲所需的法向加速度，$r$ 是曲率半径；圆只是 $r$ 恒定的特例。）

半径方向の運動方程式：半径方向の合力を $F_n$（中心向き正）とすると

$$F_n = m\frac{v^2}{r}$$

これが等速でない円運動でも使える「向心力の式」である。

例题

例 1　（场景：水平から放した振り子 → 最下点の張力 → 半径方向の式＋エネルギー保存）

問題　次の図のように，長さ $L$ の軽くて伸び縮みしない糸の一端を固定し，他端に質量 $m$ の小球をつけた。糸を水平にまっすぐ張った位置から小球を静かにはなしたところ，小球は鉛直面内で円運動を始めた。重力加速度の大きさを $g$ とし，空気の抵抗は無視できるものとする。

問　小球が最下点を通過するとき，糸の張力の大きさ $T$ はどのように表されるか。正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$mg$　　②　$2mg$　　③　$3mg$　　④　$4mg$

解答　最下点での小球にはたらく力は，重力 $mg$（鉛直下向き）と糸の張力 $T$（鉛直上向き）である。最下点では中心が小球の真上にあり，半径方向は鉛直上向きなので，中心向きを正として

$$T - mg = m\frac{v^2}{L}$$

速さ $v$ は，水平の位置から最下点まで $L$ だけ下がる間の力学的エネルギー保存より

$$\frac{1}{2}mv^2 = mgL \quad \therefore\ v^2 = 2gL$$

これを代入して

$$T = mg + m\frac{2gL}{L} = 3mg$$

検算：最下点では重力も張力も半径方向で，張力は重力より $mv^2/L = 2mg$ だけ大きい。$v = 0$ なら $T = mg$ でつり合い，それより大きいのは妥当。　答　③

中文翻译　题目：如图，长 $L$ 的轻质不可伸长细绳一端固定，另一端系质量 $m$ 的小球。把绳水平拉直后从静止释放小球，小球在竖直面内做圆周运动。重力加速度大小为 $g$，空气阻力可忽略。问：小球通过最低点时，绳的张力大小 $T$ 怎么表示？从①～④中选一个正确的。

解答：最低点小球受重力 $mg$（竖直向下）和绳的张力 $T$（竖直向上）。最低点圆心在小球正上方，半径方向竖直向上，取指向圆心为正：$T - mg = m\dfrac{v^2}{L}$。速度由从水平位置到最低点下降 $L$ 的机械能守恒求得：$\dfrac{1}{2}mv^2 = mgL$，即 $v^2 = 2gL$。代入得 $T = mg + m\dfrac{2gL}{L} = 3mg$。检验：最低点重力和张力都沿半径方向，张力比重力大 $mv^2/L = 2mg$；若 $v = 0$ 则 $T = mg$ 平衡，比它大是合理的。答案 ③。

解说　用到的是本节“说明”里的两条：最下点取指向圆心为正列半径方向的方程；速さ由能量守恒求。容易卡在：直接把 $T = mg$ 或 $T = 2mg$ 当答案，忘了向心加速度那一项。选项排除：$v = 0$ 的极限给出 $T = mg$，所以答案不可能小于 $mg$，① 是下界；从水平释放时 $v^2 = 2gL$，向心项正好是 $2mg$，所以 $T = 3mg$。另一种解法：用动能定理 $mgL = \dfrac{1}{2}mv^2$ 同样得到 $v^2 = 2gL$；本题只有重力做功，两种说法等价。

例 2　（场景：なめらかな半球面をすべる小球 → 面から離れる条件 → $N = 0$）

問題　次の図のように，半径 $R$ のなめらかな半球面の頂点に質量 $m$ の小球を置き，静かにはなした。小球は半球面上をすべり，ある点で面から離れた。重力加速度の大きさを $g$ とし，空気の抵抗は無視できるものとする。

問　小球が面から離れるのは，頂点から鉛直下向きにどれだけ下がった点か。正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$\dfrac{R}{6}$　　②　$\dfrac{R}{3}$　　③　$\dfrac{R}{2}$　　④　$\dfrac{2R}{3}$

解答　頂点から測った半径と鉛直線のなす角を $\theta$ とする。この点で小球にはたらく力は，重力 $mg$ と垂直抗力 $N$（半径方向外向き）である。中心向きを正として半径方向の運動方程式は

$$mg\cos\theta - N = m\frac{v^2}{R}$$

面から離れる瞬間は $N = 0$ なので

$$mg\cos\theta = m\frac{v^2}{R} \quad \therefore\ v^2 = gR\cos\theta$$

頂点からこの点までに下がった高さは $R(1-\cos\theta)$。力学的エネルギー保存より

$$\frac{1}{2}mv^2 = mgR(1-\cos\theta)$$

$v^2$ を代入して

$$\frac{1}{2}gR\cos\theta = gR(1-\cos\theta) \quad \therefore\ \cos\theta = \frac{2}{3}$$

したがって下がった高さは

$$R(1-\cos\theta) = R\left(1-\frac{2}{3}\right) = \frac{R}{3}$$

検算：$\theta = 0$（頂点）では $N = mg > 0$，$\theta$ が大きくなると $N$ は減り，$\cos\theta = 2/3$ で零になる。頂点から $R/3$ 下がった点はまだ上半分にあり，妥当。　答　②

中文翻译　题目：如图，在半径 $R$ 的光滑半球面顶点放质量 $m$ 的小球，从静止释放。小球沿球面下滑，在某点离开球面。重力加速度大小为 $g$，空气阻力可忽略。问：小球离开球面时，从顶点竖直向下移动了多远？从①～④中选一个正确的。

解答：设从顶点量起的半径与竖直线的夹角为 $\theta$。该点小球受重力 $mg$ 和支持力 $N$（沿半径向外）。取指向球心为正，半径方向运动方程：$mg\cos\theta - N = m\dfrac{v^2}{R}$。离开瞬间 $N = 0$，得 $v^2 = gR\cos\theta$。从顶点到该点下降的高度为 $R(1-\cos\theta)$，机械能守恒：$\dfrac{1}{2}mv^2 = mgR(1-\cos\theta)$。代入 $v^2$：$\dfrac{1}{2}gR\cos\theta = gR(1-\cos\theta)$，得 $\cos\theta = \dfrac{2}{3}$。所以下降高度 $R(1-\cos\theta) = \dfrac{R}{3}$。检验：$\theta = 0$ 时 $N = mg > 0$；$\theta$ 增大 $N$ 减小，$\cos\theta = 2/3$ 时为零；该点还在上半球，合理。答案 ②。

解说　用到的是本节“使用场景”第二条：离开面的临界是 $N = 0$，此时重力沿半径的分量恰好提供向心力。容易卡在：以为离开点是“速度为零”或“到了水平直径处”；其实是支持力先减到零。选项排除：$\theta = 0$ 时 $N = mg$，$\theta = 90^\circ$ 时 $\cos\theta = 0$ 代回会得 $v = 0$ 且 $N = -mg$，物理上早已离开，所以答案必在 $0$ 与 $R$ 之间；再用 $\cos\theta = 2/3$ 得 $R/3$。另一种解法：把重力分解为径向的 $mg\cos\theta$ 和切向的 $mg\sin\theta$；径向列 $mg\cos\theta - N = mv^2/R$，切向的 $mg\sin\theta$ 使速さ增大，与能量守恒一致。

常用推论

• 面から離れる条件は $N = 0$。外側をすべる物体が角度 $\theta$ で離れるとき、$\cos\theta = \dfrac{v^2}{gR}$ が成り立つ（教材没有，考试常用；条件：なめらかな球面・円筒面の外側、速さはその点の値）。
• 糸がたるむ条件は $T = 0$。鉛直面内で糸がたるむ点も同じ形の式で求まる（教材没有，考试常用）。
• 鉛直面内の同じ円周上の最高点と最下点で、張力の差は $6mg$。国内书第 10 章 10.6 已推导：两点各列径向方程，再用能量守恒 $v_{\text{下}}^2 = v_{\text{上}}^2 + 4gR$ 相减。
• 最下点で速さ $v_0$ を与えて軽い糸で鉛直面内を回すとき、最高点まで到達する条件は $v_0 \ge \sqrt{5gR}$。国内书 10.6 的最高点条件 $v_{\text{上}} \ge \sqrt{gR}$ 加能量守恒即得。

易错点

• 错在哪：速度大小变了，就以为 $a = v^2/r$ 不能用，或者想换成平均速度。 为什么错：$v^2/r$ 是法向加速度，由该瞬间的速さ和曲率半径决定，与速さ是否变化无关。 正确做法：每一瞬间都用该点的 $v$ 代入 $v^2/r$；速さ的变化另外用 $a_t = dv/dt$ 或能量守恒处理。
• 错在哪：在受力图上画一个“向心力”，和重力、张力并列。 为什么错：向心力不是物体受到的实际力，是实际力的合力沿半径方向的分量；画上去会把同一个效果算两次。 正确做法：只画重力、张力、垂直抗力、摩擦力，再把它们沿半径方向和切线方向分解。
• 错在哪：在最高点、最低点以外的位置，把重力直接当成向心力。 为什么错：只有最高点和最低点重力才沿半径方向；其他位置重力有切向分量，径向只是 $mg\cos\theta$ 的一部分。 正确做法：先画半径，把重力分解成径向和切向，径向列 $F_n = mv^2/r$。

直观理解

车在弯道上一边转弯一边加速时，人感到座椅斜着推自己：座椅的力既改变方向又改变快慢。等速转弯时座椅只把人往圆心推；一踩油门，座椅的力就向后倾，合力不再指向圆心。过山车在最高点最“轻”、在最低点最“重”，正是因为径向方程里重力的方向和向心加速度的方向有时相同、有时相反。

关联知识点

• 前置：国内书第 10 章 10.3 向心加速度、10.4 向心力、10.6 竖直面内的圆周运动；本书第 6 章 エネルギーと運動量（力学的エネルギー保存）。
• 后续：本书 7.3 慣性力、7.4 遠心力、第 8 章 単振動（等速円運動の正射影）、第 9 章 万有引力（円軌道の向心力）。
• 常一起考：国内书第 13 章 动能定理、第 14 章 机械能守恒（求任意点的速さ）。

7.3 慣性力

说明

慣性系と非慣性系：地面（正確には太陽に対して静止または等速直線運動をする系）のように、ニュートンの運動法則がそのまま成り立つ座標系を慣性系という。慣性系に対して加速度 $\vec a$ で運動する座標系では、物体の加速度が慣性系での値と違って見えるので、そのままでは運動方程式が成り立たない。このような系を非慣性系という。

慣性力：非慣性系でも運動方程式を使えるように、見かけの力を一つ加える。質量 $m$ の物体に

$$\vec F_{\text{慣}} = -m\vec a$$

を加える。$\vec a$ は系の加速度（物体の加速度ではない）。この力を慣性力（見かけの力）という。向きは系の加速度と逆向き、大きさは $ma$ である。

性質：

• 慣性力は実際の力ではない。施力物体がないし、反作用もない。
• 質量に比例するので、重力と同じように扱える（7.5 節の見かけの重力）。
• 慣性系では慣性力は存在しない。非慣性系の中だけで使う。

例：上向きに加速度 $a$ で上昇するエレベーターの中では、物体に下向きの慣性力 $ma$ がはたらく。下向きに加速度 $a$ で下降するときは、上向きの慣性力 $ma$ がはたらく。

使用场景

• エレベーターが加速・減速するとき、体重計の目盛りやばねばかりの示す値を問う → 非慣性系で慣性力 $ma$ を加えて力のつり合い → 見かけの重さ $N = m(g \pm a)$。
• 加速度で走る電車・台車の床の上の物体が床に対して静止しているとき、摩擦力を問う → 非慣性系では慣性力と静止摩擦力がつり合う → $f = ma$；慣性系では摩擦力が物体を加速していると見る。

注意点

• 慣性力の大きさは $ma$。$m$ は物体の質量、$a$ は系（床・エレベーター・電車）の加速度で、物体の加速度と混同しない。
• 慣性力の向きは系の加速度と逆向き。上昇加速なら下向き、下降加速なら上向き。
• 慣性力に反作用はない。物体が床を押す力の反作用は床が物体を押す力（垂直抗力）であって、慣性力の反作用ではない。
• 同じ問題を慣性系と非慣性系の両方で解けるが、一つの式の中で両方を混ぜない。慣性系なら慣性力を書かない、非慣性系なら慣性力を書く。
• エレベーターの中で「体重が減った」と感じるのは、重力が減ったのでも質量が減ったのでもない。垂直抗力（体重計が押す力）が変わっただけである。
• 日文题干里的「慣性力」就是惯性力，「見かけの力」是假想力，「非慣性系」是非惯性系。

推导

非慣性系で運動方程式が成り立たない例：上向きに加速度 $a$ で上昇するエレベーターの中の、質量 $m$ の物体を考える。慣性系（地面）から見ると、物体の加速度は上向き $a$。物体にはたらく力は重力 $mg$（下向き）と垂直抗力 $N$（上向き）だから

$$N - mg = ma \quad \therefore\ N = m(g+a)$$

次にエレベーターの中（非慣性系）から見る。物体は静止しているのに、力は $N$（上）と $mg$（下）だけで、合力は $N - mg = ma \ne 0$。静止なら合力ゼロのはずなので、運動方程式が成り立たない。そこで下向きに慣性力 $ma$ を加えると

$$N - mg - ma = 0 \quad \therefore\ N = m(g+a)$$

同じ結果になる。（关键一步：加的是「物体の質量 × 系の加速度」的相反量，不是物体自己的加速度。）

一般の導出：慣性系での加速度を $\vec a_{\text{慣}}$、非慣性系の加速度を $\vec a_{\text{系}}$、非慣性系から見た物体の加速度を $\vec a'$ とすると

$$\vec a_{\text{慣}} = \vec a_{\text{系}} + \vec a'$$

慣性系の運動方程式 $m\vec a_{\text{慣}} = \vec F$ に代入して

$$m\vec a' = \vec F - m\vec a_{\text{系}}$$

右辺の $-m\vec a_{\text{系}}$ が慣性力である。（关键一步：加速度の合成則から、系の加速度の分だけ余分な項が出る。）

例题

例 1　（场景：上昇加速するエレベーター → 体重計の目盛り → 慣性力を加えたつり合い）

問題　次の図のように，質量 $50\ \mathrm{kg}$ の人がエレベーターの中の体重計に乗っている。エレベーターが鉛直上向きに大きさ $2.0\ \mathrm{m/s^2}$ の加速度で上昇しているとき，体重計が人を押す力の大きさは何 N か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，重力加速度の大きさを $9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。

①　$3.9 \times 10^2\ \mathrm{N}$　　②　$4.9 \times 10^2\ \mathrm{N}$　　③　$5.9 \times 10^2\ \mathrm{N}$　　④　$6.9 \times 10^2\ \mathrm{N}$

解答　エレベーターの中（非慣性系）から見ると，人は静止している。人にはたらく力は，重力 $mg$（鉛直下向き），体重計からの垂直抗力 $N$（鉛直上向き），そして上向きの加速度 $a$ に対する下向きの慣性力 $ma$ である。力のつり合いより

$$N - mg - ma = 0 \quad \therefore\ N = m(g+a)$$

数値を代入して

$$N = 50 \times (9.8 + 2.0) = 50 \times 11.8 = 5.9 \times 10^2\ \mathrm{N}$$

検算：慣性系（地面）から見れば，上向きを正として $N - mg = ma$，同じ式になる。$a = 0$ なら $N = mg = 4.9 \times 10^2\ \mathrm{N}$。上向きに加速すると床が人をより強く押すので，$N$ は $mg$ より大きく，計算値は妥当。　答　③

中文翻译　题目：如图，质量 $50\ \mathrm{kg}$ 的人站在电梯内的体重计上。电梯以大小 $2.0\ \mathrm{m/s^2}$ 的加速度竖直向上运动时，体重计对人的支持力是多少 N？从①～④中选最合适的值。重力加速度大小取 $9.8\ \mathrm{m/s^2}$。

解答：从电梯中（非惯性系）看，人静止。人受重力 $mg$（竖直向下）、体重计的支持力 $N$（竖直向上），以及相对向上加速度 $a$ 的向下惯性力 $ma$。由力平衡：$N - mg - ma = 0$，所以 $N = m(g+a) = 50 \times (9.8 + 2.0) = 5.9 \times 10^2\ \mathrm{N}$。检验：从惯性系（地面）看，取向上为正，$N - mg = ma$，同样得这个式子。$a = 0$ 时 $N = mg = 4.9 \times 10^2\ \mathrm{N}$；向上加速时地板推人更有力，$N$ 应大于 $mg$，结果合理。答案 ③。

解说　用到的是本节“使用场景”第一条：加速的电梯里，视重 $N = m(g+a)$。容易卡在：把 $a$ 的方向搞反，算成 $m(g-a) = 3.9 \times 10^2$（选项①就是给这个错误准备的）。选项排除：$a = 0$ 的极限是 $4.9 \times 10^2\ \mathrm{N}$，向上加速只会让它更大，所以①②先排除；$m(g+a)$ 只比 $mg$ 大 $ma = 50 \times 2.0 = 1.0 \times 10^2\ \mathrm{N}$，即 $4.9 + 1.0 = 5.9$，选③。④ $6.9 \times 10^2$ 是把 $a$ 当成 $2a$ 加进去的结果。另一种解法：直接用惯性系列 $N - mg = ma$，不必画惯性力；两种系答案相同，考场上选一种写清楚即可。

例 2　（场景：加速する台車の上の物体 → 慣性力と静止摩擦力のつり合い → $f = ma$）

問題　次の図のように，水平な床の上を一定の加速度 $a$ で右向きに進む台車がある。台車の水平な床の上に質量 $m$ の物体を置いたところ，物体は台車の床に対して静止したままだった。物体と台車の床の間の静止摩擦係数を $\mu$，重力加速度の大きさを $g$ とする。このとき，物体にはたらく静止摩擦力の大きさはどのように表されるか。正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$ma$　　②　$m(g+a)$　　③　$m(g-a)$　　④　$\mu mg$

解答　台車と一緒に動く座標系（非慣性系）から見ると，物体は静止している。物体にはたらく力は，重力 $mg$（下向き），床からの垂直抗力 $N$（上向き），静止摩擦力 $f$（右向き），そして台車の加速度 $a$ と逆向き（左向き）の慣性力 $ma$ である。水平方向の力のつり合いより

$$f = ma$$

検算：慣性系（地面）から見ると，物体は台車と同じ加速度 $a$ で右向きに運動している。水平方向の力は静止摩擦力だけなので，運動方程式 $f = ma$ となり，同じ結果。　答　①

中文翻译　题目：如图，水平地面上有一辆以恒定加速度 $a$ 向右运动的台车。把质量 $m$ 的物体放在台车的水平地板上，物体相对台车保持静止。物体与台车地板间的静摩擦因数为 $\mu$，重力加速度大小为 $g$。问：物体所受静摩擦力的大小怎么表示？从①～④中选一个正确的。

解答：从与台车一起运动的坐标系（非惯性系）看，物体静止。物体受重力 $mg$（向下）、地板支持力 $N$（向上）、静摩擦力 $f$（向右），以及方向与台车加速度相反（向左）的惯性力 $ma$。水平方向力平衡：$f = ma$。检验：从惯性系（地面）看，物体以加速度 $a$ 向右运动，水平方向只有静摩擦力，运动方程 $f = ma$，结果相同。答案 ①。

解说　用到的是“使用场景”第二条：非惯性系里惯性力与静摩擦力平衡。容易卡在：看到静摩擦因数为 $\mu$ 就写 $\mu mg$——$\mu mg$ 是最大静摩擦力，只有“恰好要滑”时实际摩擦力才等于它；本题物体只是跟着台车走，摩擦力由 $ma$ 决定。选项排除：取 $a = 0$ 的极限，台车匀速时物体不需要摩擦力，$f = 0$；只有 ① 在 $a = 0$ 时为零，②③④ 都不为零。$\mu mg$ 还是“不滑”的条件 $ma \le \mu mg$ 里的上限，不是实际值。

常用推论

• 鉛直方向の加速度 $a$ の系では、見かけの重力加速度は上向き加速で $g' = g + a$、下向き加速で $g' = g - a$（7.5 節）。
• 電車・台車の床の上の物体が滑らない条件は $ma \le \mu mg$、すなわち $a \le \mu g$（教材没有，考试常用；条件：水平な床、物体が床に対して静止、静止摩擦のみ）。
• エレベーターが自由落下（下向き $a = g$）すると $g' = 0$ で見かけの無重力になる。国際宇宙ステーションの中も同じ理由（第 9 章）。
• 慣性力は質量に比例するので、同じ非慣性系の中ではすべての物体に同じ加速度の効果を与える。だから「重力の向きが変わった」ように見える（見かけの重力）。

易错点

• 错在哪：把惯性力当成物体受到的、真实存在的力，给它找施力物体。 为什么错：惯性力是非惯性系里为了沿用牛顿定律而引入的修正项，没有施力物体，也没有反作用。 正确做法：只在非惯性系里写它；换回惯性系就删掉。
• 错在哪：电梯向下运动就以为视重变小。 为什么错：视重由加速度方向决定，不由速度方向决定。向下加速（速度可上可下）时惯性力向上，视重变小；向下减速时加速度向上，视重变大。 正确做法：先判断加速度的方向，再定惯性力的方向。
• 错在哪：同一道题里，列式时既写惯性力又用惯性系的加速度。 为什么错：两种系对应两套方程，混用会把同一个加速度算两次。 正确做法：开头声明用哪个系；用非惯性系就把惯性力和物体相对系的加速度写全，用惯性系就不写惯性力。

直观理解

公交车突然启动，站着的人向后仰：脚被地板带着向前，上身由于惯性保持原来的静止状态。在车上看，好像有一个向后的力把人推倒——这就是惯性力。电梯启动时脚底发沉（向上加速），停下时脚底发轻（向下加速）；失重感来自加速度，不来自重力消失。

关联知识点

• 前置：国内书第 6 章 牛顿运动定律（超重与失重只讲视重，不引入惯性力）、第 7 章 牛顿定律的应用（连接体、临界问题）；本书第 5 章 運動の法則と抵抗を受ける運動。
• 后续：本书 7.4 遠心力、7.5 見かけの重力と解法の使い分け、第 9 章 万有引力（無重量状態）。
• 常一起考：国内书第 10 章 10.7 离心现象（惯性系里解释“向外甩”）。

7.4 遠心力

说明

回転する座標系：角速度 $\omega$ で回転する円盤（ターンテーブル）に固定した座標系は非慣性系である。この系の中で回転軸から距離 $r$ の位置に静止している物体は、慣性系から見ると半径 $r$、角速度 $\omega$ の等速円運動をしており、中心向きの加速度 $\omega^2 r$ をもつ。

遠心力：回転系の中で静止している物体には、慣性系での向心加速度に対応して、中心から外向きに大きさ

$$F_{\text{遠}} = m\omega^2 r = m\frac{v^2}{r}$$

の慣性力を加える。これが遠心力である。$r$ は回転軸からの距離（円の中心からの距離）である。

二つの見方：

• 慣性系（地面）：物体にはたらく実際の力の合力が向心力 $m\omega^2 r$ になり、物体は円運動する。
• 回転系（円盤）：物体は静止。実際の力と遠心力 $m\omega^2 r$ がつり合う。

どちらでも同じ答えになる。遠心力は慣性力の一種で、実際の力ではない。国内书第 10 章 10.7 说“惯性系中不存在离心力”，日本教材则在旋转系里正式引入远心力，两种说法并不矛盾：用哪个系，就按哪个系的规则画力。

使用场景

• 回転する円盤（ターンテーブル）の上に置いた物体が滑らずに回る条件、または限界の角速度を問う → 慣性系では静止摩擦力が向心力、回転系では遠心力と摩擦力がつり合う → $m\omega^2 r \le \mu mg$。
• 糸でつないだ物体を回転させる（円盤上、または回転いすの上）→ 張力が向心力；回転系では張力と遠心力のつり合い → $S = m\omega^2 r$。

注意点

• 遠心力の $r$ は回転軸までの垂直距離。円錐振り子では糸の長さ $L$ ではなく、$r = L\sin\theta$。
• 遠心力と向心力は作用反作用ではない。向心力は実際の力の合力（またはその成分）、遠心力は同じ物体を別の座標系で見た見かけの力。作用反作用は二つの物体の間で働く。
• 慣性系では遠心力を書かない。回転系では遠心力を書く代わりに、物体を静止としてつり合いを立てる。
• 回転系で物体が回転系に対して動くとコリオリ力もはたらくが、高校では回転系に対して静止している問題だけを扱う。
• 遠心力は回転軸に垂直で外向き。回転軸の上では $r = 0$ で遠心力はゼロ。
• 日文题干里的「遠心力」就是离心力，「ターンテーブル」是转台，「円盤」是圆盘。

推导

慣性系から見る：ターンテーブル上の物体が滑らずに角速度 $\omega$ で回転している。物体にはたらく水平方向の力は静止摩擦力 $f$ だけで、これが向心力になる。

$$f = m\omega^2 r$$

滑らない条件は $f \le \mu mg$ だから

$$m\omega^2 r \le \mu mg \quad \therefore\ \omega \le \sqrt{\frac{\mu g}{r}}$$

回転系から見る：物体は円盤に対して静止している。物体にはたらく力は、静止摩擦力 $f$（中心向き）と遠心力 $m\omega^2 r$（外向き）。つり合いより

$$f = m\omega^2 r$$

同じ式になる。（关键一步：回転系では物体の加速度がゼロなので、遠心力を加えた力のつり合いとして書ける。）

円錐振り子：長さ $L$ の糸の先の小球が、糸を鉛直から角 $\theta$ だけ傾けて、水平面内で半径 $r = L\sin\theta$ の円を描く。慣性系では、張力 $S$ の水平成分が向心力、鉛直成分が重力とつり合う：

$$S\sin\theta = m\omega^2 r, \qquad S\cos\theta = mg$$

第 2 式から $S = \dfrac{mg}{\cos\theta}$。第 1 式に $r = L\sin\theta$ を代入して

$$S\sin\theta = m\omega^2 L\sin\theta \quad \therefore\ \omega^2 = \frac{S}{mL} = \frac{g}{L\cos\theta}$$

回転系では、遠心力 $m\omega^2 r$ と張力 $S$、重力 $mg$ のつり合いから同じ式になる。

例题

例 1　（场景：ターンテーブル上の物体 → 滑らない限界の角速度 → $\omega \le \sqrt{\mu g/r}$）

問題　次の図のように，水平な円盤の上に質量 $m$ の小さな物体を，回転軸から $0.50\ \mathrm{m}$ の位置に置いた。円盤をゆっくり回転させ，角速度をしだいに大きくしていくと，ある角速度で物体は円盤の上をすべり始めた。物体と円盤の間の静止摩擦係数を $0.20$，重力加速度の大きさを $9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。物体がすべり始めるときの角速度は何 rad/s か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$1.4\ \mathrm{rad/s}$　　②　$2.0\ \mathrm{rad/s}$　　③　$2.8\ \mathrm{rad/s}$　　④　$4.4\ \mathrm{rad/s}$

解答　物体が滑らずに回転しているとき，水平方向で物体にはたらく力は静止摩擦力だけで，これが向心力になる。回転軸から $r$，角速度 $\omega$ とすると

$$f = m\omega^2 r$$

すべり始める限界では $f$ が最大静止摩擦力 $\mu mg$ に等しいので

$$m\omega^2 r = \mu mg \quad \therefore\ \omega = \sqrt{\frac{\mu g}{r}}$$

数値を代入して

$$\omega = \sqrt{\frac{0.20 \times 9.8}{0.50}} = \sqrt{3.92} \approx 2.0\ \mathrm{rad/s}$$

検算：$\omega$ を大きくすると必要な向心力は $\omega^2$ に比例して増える。$\mu g/r = 3.92$ なので $\omega = 2.0$ で必要な力が最大摩擦力に達する。　答　②

中文翻译　题目：如图，在水平圆盘上，把质量 $m$ 的小物体放在离转轴 $0.50\ \mathrm{m}$ 的位置。缓慢转动圆盘并逐渐增大角速度，在某个角速度时物体开始滑动。物体与圆盘间的静摩擦因数为 $0.20$，重力加速度大小取 $9.8\ \mathrm{m/s^2}$。问：物体开始滑动时的角速度是多少 rad/s？从①～④中选最合适的值。

解答：物体不打滑地转动时，水平方向只受静摩擦力，它提供向心力：$f = m\omega^2 r$。开始滑动的临界是 $f$ 等于最大静摩擦力 $\mu mg$：$m\omega^2 r = \mu mg$，所以 $\omega = \sqrt{\dfrac{\mu g}{r}} = \sqrt{\dfrac{0.20 \times 9.8}{0.50}} = \sqrt{3.92} \approx 2.0\ \mathrm{rad/s}$。检验：角速度增大时所需向心力按 $\omega^2$ 增大，$\mu g/r = 3.92$，所以 $\omega = 2.0$ 时所需力达到最大摩擦力。答案 ②。

解说　用到的是本节“使用场景”第一条：不打滑的临界是静摩擦力达到最大值。容易卡在：把 $r$ 代成直径，或忘了开平方。选项排除：① $1.4$ 是用直径 $1.0\ \mathrm{m}$ 代入 $\sqrt{\mu g/r}$ 的结果；③ $2.8$ 是把分子多乘了 $2$；④ $4.4$ 是忘了乘 $\mu$（$\sqrt{g/r} = 4.4$）。正确值 $\sqrt{3.92}$ 约 $2.0$，选②。

例 2　（场景：回転する円盤上で糸につないだ物体 → 張力が向心力／回転系では遠心力とつり合う）

問題　次の図のように，水平な円盤の中心に一端を固定した長さ $r$ の軽い糸の他端に，質量 $m$ の小球をつけた。円盤を角速度 $\omega$ で回転させると，小球は円盤に対して静止したまま，中心から距離 $r$ の円周上を回った。糸は水平に保たれている。このとき，糸の張力の大きさ $S$ はどのように表されるか。正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，小球と円盤の間の摩擦は無視できるものとする。

①　$m\omega r$　　②　$m\omega^2 r$　　③　$m\dfrac{\omega^2}{r}$　　④　$m\omega^2 r + mg$

解答　慣性系（地面）から見ると，小球は半径 $r$、角速度 $\omega$ の等速円運動をしている。水平方向で小球にはたらく力は糸の張力 $S$ だけで，これが向心力になる。中心向きを正として

$$S = m\omega^2 r$$

検算：回転系（円盤）から見ると，小球は静止している。小球には中心向きの張力 $S$ と，外向きの遠心力 $m\omega^2 r$ がはたらき，つり合う。同じ結果。　答　②

中文翻译　题目：如图，在水平圆盘的中心固定一根长 $r$ 的轻绳的一端，另一端系质量 $m$ 的小球。让圆盘以角速度 $\omega$ 转动，小球相对圆盘静止，在离中心 $r$ 的圆周上运动，绳保持水平。问：绳的张力大小 $S$ 怎么表示？从①～④中选一个正确的。小球与圆盘间的摩擦可忽略。

解答：从惯性系（地面）看，小球做半径 $r$、角速度 $\omega$ 的匀速圆周运动。水平方向小球只受绳的张力 $S$，它提供向心力：$S = m\omega^2 r$。检验：从旋转系（圆盘）看，小球静止，受向中心的张力 $S$ 和向外的离心力 $m\omega^2 r$，二者平衡，结果相同。答案 ②。

解说　用到的是“使用场景”第二条和“说明”里的两种看法。容易卡在：把角速度公式写成 $m\omega r$（少了平方）或 $m\omega^2/r$（$r$ 的位置错）。选项排除：用单位检查，$m\omega^2 r$ 的单位是 $\mathrm{kg \cdot s^{-2} \cdot m = N}$；① 是 $\mathrm{kg \cdot m/s}$（动量单位），③ 是 $\mathrm{kg/s^2}$，都不对；④ 的 $mg$ 沿竖直方向，不影响水平方向的向心力，也排除。另一种解法：在旋转系里写 $S - m\omega^2 r = 0$，一步得到；适合同时问“绳会不会断”的题。

常用推论

• 回転する円盤上の物体が滑らない条件：$\omega \le \sqrt{\dfrac{\mu g}{r}}$（教材没有，考试常用；条件：水平な円盤、物体は中心から $r$、静止摩擦のみ）。
• 円錐振り子：張力 $S = \dfrac{mg}{\cos\theta}$，$\omega = \sqrt{\dfrac{g}{L\cos\theta}}$，周期 $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L\cos\theta}{g}}$（7.5 節で両方の系から導く）。
• 遠心力の大きさは $m\omega^2 r$。$r$ は回転軸からの距離で、回転軸の上ではゼロ。
• 回転系で静止している問題は、遠心力と実際の力のつり合いで解ける。物体が回転系に対して動く問題は、慣性系に戻って運動方程式を立てるほうが安全。

易错点

• 错在哪：认为离心力和向心力是一对作用力与反作用力。 为什么错：作用力与反作用力作用在两个不同物体上；向心力和离心力是同一物体在两个坐标系里的两种说法，且离心力是假想力。 正确做法：要问“谁对谁”：向心力的施力物体是绳子、摩擦力等；离心力没有施力物体。
• 错在哪：在惯性系里画离心力，说“离心力和向心力平衡”。 为什么错：惯性系里物体在做圆周运动，合力不为零，恰好等于向心力；再画离心力就多了一个力。 正确做法：惯性系列 $F_{\text{合}} = m\omega^2 r$；旋转系才写离心力，且物体静止。
• 错在哪：把 $r$ 取成物体到圆心的直线距离以外的量，例如圆锥摆的绳长。 为什么错：离心力的 $r$ 是到旋转轴的垂直距离；圆锥摆的半径是 $L\sin\theta$。 正确做法：先画出旋转轴，再从物体向轴作垂线，垂线长度就是 $r$。

直观理解

旋转木马上的人感到被向外推，其实是木马的地板和靠背把人往中心推；在旋转的坐标系里看，像是有一个向外的力。洗衣机脱水时，水滴与衣服的附着力不足以提供向心力，水从桶壁的小孔飞出——在旋转的桶看来，是离心力把水甩出去。两种说法描述同一件事。

关联知识点

• 前置：国内书第 10 章 10.5 水平面内的圆周运动（圆锥摆、转盘）、10.7 离心现象；本书 7.3 慣性力。
• 后续：本书 7.5 見かけの重力と解法の使い分け、第 9 章 万有引力（衛星の円運動は慣性系で解く）。
• 常一起考：国内书第 5 章 共点力的平衡（旋转系里的三力平衡）、第 6 章 牛顿运动定律（摩擦力）。

7.5 見かけの重力と解法の使い分け

说明

見かけの重力：加速度 $\vec a$ の非慣性系では、すべての物体に慣性力 $-m\vec a$ がはたらく。重力 $m\vec g$ と慣性力を合成したものを見かけの重力といい、その加速度を見かけの重力加速度 $\vec g'$ という：

$$m\vec g' = m\vec g - m\vec a \quad \therefore\ \vec g' = \vec g - \vec a$$

物体は、この見かけの重力の方向に糸が沿い、水面が垂直になる、というふうに振る舞う。

• 鉛直上向きの加速度 $a$：$g' = g + a$（下向き）
• 鉛直下向きの加速度 $a$：$g' = g - a$（下向き）
• 水平方向の加速度 $a$：$g' = \sqrt{g^2 + a^2}$、鉛直から角 $\theta$（$\tan\theta = a/g$）だけ傾く。

解法の使い分け：

• 慣性系（地面）：実際の力だけで運動方程式を立てる。物体が加速度をもつので、つり合いではない。
• 非慣性系（加速する乗り物・回転系）：慣性力（遠心力）を加え、物体がその系で静止・つり合っているとして式を立てる。
• 同じ問題はどちらでも解ける。計算が短いほうを選び、一つの式に両方を混ぜない。回転系で静止している問題は非慣性系が楽；物体が系に対して動く問題は慣性系が安全。

使用场景

• 水平に加速する電車の中で糸につるした小球が静止するとき、糸の傾きや張力を問う → 見かけの重力の方向に糸が沿う → $\tan\theta = a/g$，$S = m\sqrt{g^2 + a^2}$。
• 円錐振り子のように、回転系で見ると物体が静止している問題 → 回転系なら遠心力と張力・重力のつり合い、慣性系なら張力の水平成分が向心力 → どちらでも同じ式になる。

注意点

• 見かけの重力は「重力と慣性力の合力」。加速度系の中では、糸の方向・水面・気泡の動く向きがすべて見かけの重力で決まる。
• 自由落下するエレベーターでは $\vec g' = 0$：中は見かけの無重力。物を放しても床に落ちない（床も同じ加速度で落ちる）。
• 水平加速の電車では、見かけの重力は鉛直から加速度と逆向きに傾く。右に加速する電車では、糸は左に傾く（車内から見て）。
• 回転系では、見かけの重力に遠心力が加わるので、糸の方向は実際の鉛直とは一致しない。円錐振り子の糸は回転軸から傾き、その傾きは遠心力と重力の比で決まる。
• 慣性系と非慣性系の答えは一致する。一致しないときは、慣性力の向きか大きさを間違えている。

推导

水平加速の電車内の振り子：右向きに加速度 $a$ で走る電車の中で、長さ $L$ の糸でつるした質量 $m$ の小球が、電車に対して角 $\theta$ 傾いて静止している。

慣性系（地面）から見る：小球は電車と同じ加速度 $a$ で右向きに運動している。糸の張力を $S$ とすると

$$S\sin\theta = ma \quad (\text{水平方向}), \qquad S\cos\theta = mg \quad (\text{鉛直方向})$$

2 式を割ると

$$\tan\theta = \frac{a}{g}, \qquad S = m\sqrt{g^2 + a^2}$$

非慣性系（電車）から見る：小球は静止している。左向きの慣性力 $ma$ を加えると

$$S\sin\theta = ma, \qquad S\cos\theta = mg$$

同じ式になる。（关键一步：慣性系では小球に加速度があるので式の右辺が $ma$；非慣性系では小球が静止なので右辺はゼロだが、左辺に慣性力が加わる。移項すれば同じ式。）

円錐振り子の両方の解き方：7.4 節の「推导」参照。慣性系では張力の水平成分が向心力、回転系では遠心力と張力・重力のつり合い。どちらも $\omega^2 = \dfrac{g}{L\cos\theta}$ になる。

例题

例 1　（场景：水平に加速する電車のつり下げ振り子 → 見かけの重力の傾き → $\tan\theta = a/g$）

問題　次の図のように，水平な軌道の上を右向きに大きさ $2.0\ \mathrm{m/s^2}$ の加速度で走る電車の中に，天井から長さ $L$ の軽い糸で質量 $m$ の小球をつるした。小球は電車に対して静止し，糸は鉛直から角 $\theta$ だけ傾いた。角 $\theta$ はおよそ何度か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，重力加速度の大きさを $9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。

①　$6.0^\circ$　　②　$12^\circ$　　③　$24^\circ$　　④　$78^\circ$

解答　電車の中（非慣性系）から見ると，小球は静止している。小球にはたらく力は，重力 $mg$（鉛直下向き），糸の張力 $S$（糸の方向），そして電車の加速度と逆向き（左向き）の慣性力 $ma$ である。糸の方向は，重力と慣性力を合成した見かけの重力の方向に一致する。鉛直方向と糸のなす角を $\theta$ とすると，力のつり合いより

$$S\sin\theta = ma, \qquad S\cos\theta = mg$$

辺々を割って

$$\tan\theta = \frac{a}{g} = \frac{2.0}{9.8} \approx 0.204$$

よって $\theta \approx 12^\circ$。

検算：$a = 0$ なら $\theta = 0$（鉛直），加速度が大きいほど傾きが大きい。$\tan\theta = 0.204$ は $11^\circ$ と $12^\circ$ の間で，$12^\circ$ が最も近い。　答　②

中文翻译　题目：如图，在水平轨道上以 $2.0\ \mathrm{m/s^2}$ 的加速度向右行驶的电车中，用长 $L$ 的轻绳把质量 $m$ 的小球吊在天花板上。小球相对电车静止，绳从竖直方向倾斜角 $\theta$。问：角 $\theta$ 大约是多少度？从①～④中选最合适的值。重力加速度大小取 $9.8\ \mathrm{m/s^2}$。

解答：从电车中（非惯性系）看，小球静止。小球受重力 $mg$（竖直向下）、绳的张力 $S$（沿绳方向），以及与电车加速度相反（向左）的惯性力 $ma$。绳的方向与重力、惯性力的合力（视重）方向一致。设绳与竖直方向夹角为 $\theta$，由力平衡：$S\sin\theta = ma$，$S\cos\theta = mg$，相除得 $\tan\theta = \dfrac{a}{g} = \dfrac{2.0}{9.8} \approx 0.204$，所以 $\theta \approx 12^\circ$。检验：$a = 0$ 时 $\theta = 0$；加速度越大倾角越大；$\tan\theta = 0.204$ 在 $11^\circ$ 与 $12^\circ$ 之间，最接近 $12^\circ$。答案 ②。

解说　用到的是本节“说明”里的表观重力：绳沿重力与惯性力的合力方向。容易卡在：把 $\tan\theta$ 写成 $g/a$，得到 $78^\circ$（选项④）。选项排除：$a = 0$ 时 $\theta = 0$，$a$ 增大 $\theta$ 增大但小于 $90^\circ$；$a \ll g$ 时 $\theta \approx a/g$（弧度）$\approx 0.20\ \mathrm{rad} \approx 12^\circ$。① $6.0^\circ$ 是把 $a$ 除以 $2g$，③ $24^\circ$ 是把 $a$ 乘以 $2$ 再除 $g$ 的结果。另一种解法：在惯性系里，小球有向右的加速度 $a$，$S\sin\theta = ma$、$S\cos\theta = mg$，同样得 $\tan\theta = a/g$；两系结果一致。

例 2　（场景：円錐振り子 → 回転系のつり合いと慣性系の向心力 → 同じ式）

問題　次の図のように，長さ $L$ の軽い糸の一端を固定し，他端に質量 $m$ の小球をつけて，糸が鉛直線と角 $\theta$ をなすように保ちながら，小球を水平面内で角速度 $\omega$ の等速円運動させた。重力加速度の大きさを $g$ とする。この円運動の周期 $T$ はどのように表されるか。正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$　　②　$2\pi\sqrt{\dfrac{L\cos\theta}{g}}$　　③　$2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g\cos\theta}}$　　④　$2\pi\sqrt{\dfrac{L\sin\theta}{g}}$

解答　円運動の半径は $r = L\sin\theta$。慣性系（地面）から見ると，小球にはたらく力は重力 $mg$ と張力 $S$ で，張力の水平成分が向心力，鉛直成分が重力とつり合う。

$$S\sin\theta = m\omega^2 r, \qquad S\cos\theta = mg$$

第 2 式より $S = \dfrac{mg}{\cos\theta}$。これを第 1 式に代入し，$r = L\sin\theta$ を使って

$$\frac{mg}{\cos\theta}\sin\theta = m\omega^2 L\sin\theta \quad \therefore\ \omega^2 = \frac{g}{L\cos\theta}$$

周期は $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$ だから

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L\cos\theta}{g}}$$

検算：$\theta \to 0$ では $T \to 2\pi\sqrt{L/g}$（単振り子の微小振動の周期，第 8 章）と一致する。回転系から見ても，遠心力 $m\omega^2 r$ と張力・重力のつり合いから同じ式になる。　答　②

中文翻译　题目：如图，长 $L$ 的轻绳一端固定，另一端系质量 $m$ 的小球，保持绳与竖直线成角 $\theta$，使小球在水平面内以角速度 $\omega$ 做匀速圆周运动。重力加速度大小为 $g$。问：这个圆周运动的周期 $T$ 怎么表示？从①～④中选一个正确的。

解答：圆周半径 $r = L\sin\theta$。从惯性系（地面）看，小球受重力 $mg$ 和张力 $S$，张力的水平分量提供向心力，竖直分量与重力平衡：$S\sin\theta = m\omega^2 r$，$S\cos\theta = mg$。由第二式 $S = \dfrac{mg}{\cos\theta}$，代入第一式并用 $r = L\sin\theta$：$\dfrac{mg}{\cos\theta}\sin\theta = m\omega^2 L\sin\theta$，得 $\omega^2 = \dfrac{g}{L\cos\theta}$。周期 $T = \dfrac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\dfrac{L\cos\theta}{g}}$。检验：$\theta \to 0$ 时 $T \to 2\pi\sqrt{L/g}$，与单摆小振动周期（第 8 章）一致。从旋转系看，离心力与张力、重力平衡，也得同一式。答案 ②。

解说　用到的是“使用场景”第二条：同一问题两种坐标系都能解。容易卡在：把半径写成 $L$ 而不是 $L\sin\theta$，得到 ③ 或 ④。选项排除：① 与 $\theta$ 无关，显然不对；④ 在 $\theta = 0$ 时给出 $T = 0$，而 $\theta \to 0$ 应回到单摆周期，排除；② 和 ③ 在 $\theta \to 0$ 时都回到 $2\pi\sqrt{L/g}$，再看 $\theta \to 90^\circ$：实际 $\omega \to \infty$、$T \to 0$，② 给出 $0$，③ 发散，所以选 ②。

常用推论

• 水平加速の系では、糸の傾き $\tan\theta = a/g$，張力 $S = m\sqrt{g^2 + a^2}$（教材没有，考试常用；条件：小球が系に対して静止）。
• 円錐振り子の周期 $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L\cos\theta}{g}}$，張力 $S = \dfrac{mg}{\cos\theta}$；$\theta \to 0$ で単振り子の周期に一致する（第 8 章）。
• 自由落下の系では $g' = 0$：見かけの無重力。加速度 $a = g$ 下向きのとき、物を放しても系内では静止したまま。
• 回転系で静止している問題は非慣性系（遠心力＋つり合い）が速い；物体が系に対して動く問題は慣性系（運動方程式）が安全。一つの式に両方を混ぜない。

易错点

• 错在哪：把表观重力当成“重力变小或变大”，方向仍竖直。 为什么错：表观重力是重力与惯性力的矢量和，水平加速时方向会倾斜。 正确做法：画出 $\vec g$ 和 $-\vec a$，用平行四边形合成，方向和大小一起求。
• 错在哪：在非惯性系里写“物体受合力为零”，却漏掉惯性力。 为什么错：非惯性系里物体静止的条件是“实际力 + 惯性力 = 0”；漏掉惯性力就会得出合力不为零却静止的矛盾。 正确做法：先声明坐标系，再把惯性力画全。
• 错在哪：认为电梯自由下落时重力消失了，所以人不受力。 为什么错：重力仍在，只是惯性力恰好抵消了它，人相对电梯静止（视重为零）。 正确做法：区分“实际重力”和“表观重力”；失重是视重为零，不是重力为零。

直观理解

在加速的公交车里，拉环向后倾；在旋转的太空舱里，人贴在外壁上，像有了“重力”。两者都是惯性力的效果：加速度系里的“下”不是地球的“下”，而是重力与惯性力合力的方向。宇航员在空间站里漂浮，不是因为那里没有重力，而是因为空间站和他们一起“自由落体”。

关联知识点

• 前置：本书 7.3 慣性力、7.4 遠心力；国内书第 10 章 10.5 水平面内的圆周运动（圆锥摆）、10.6 竖直面内的圆周运动。
• 后续：本书第 8 章 単振動（単振り子の周期）、第 9 章 万有引力（無重量状態・宇宙ステーション）。
• 常一起考：国内书第 6 章 牛顿运动定律（超重与失重）、第 5 章 共点力的平衡（三力平衡求角）。

7.6 题型与答法

圆运动与惯性力出现在 EJU 大問 Ⅰ（力学）的后半，G・問 7 前后。据 20 回公开过去问，本章内容共出现 17 次（每回平均 0.85 次）：2013 年第 2 回、2016 年第 1 回各 2 题，13 回各 1 题，5 回没有出现。形式以字母式为主，数值题只有 3 题（2013 年第 2 回、2015 年第 1 回、2020 年第 2 回）。考得最多的是竖直面内的圆运动（最高点、最低点的张力，离开面的条件）和圆锥摆（周期、张力、角速度），2011 年第 1 回、2018 年第 2 回、2021 年第 1 回都考了圆锥摆；惯性力单独出现较少，多以振动台或加速度系里的视重形式出现。国内书第 10 章学过的等速圆周运动公式（$v = r\omega$、$T = 2\pi/\omega$）是这些题的第一步，必须两分钟内写出来。

两分钟做法：

1. 画圆，标出圆心、半径和要求的那个点；半径方向取指向圆心为正。
2. 半径方向列 $F_n = mv^2/r$；速さが変わる問題は能量守恒再补一条。
3. 非慣性系の題：先声明用哪个系，画惯性力或远心力，再写平衡；拿不准就用惯性系验算一遍。

問題 1　（等速円運動の基本：周期・速さ・向心加速度）

半径 $0.50\ \mathrm{m}$ の円周上を，小球が一定の速さで回っている。小球の周期は $0.50\ \mathrm{s}$ である。小球の速さと向心加速度の大きさの組み合わせとして最も適当なものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，円周率を $3.14$ とする。

	速さ	向心加速度の大きさ
①	$3.1\ \mathrm{m/s}$	$39\ \mathrm{m/s^2}$
②	$3.1\ \mathrm{m/s}$	$79\ \mathrm{m/s^2}$
③	$6.3\ \mathrm{m/s}$	$39\ \mathrm{m/s^2}$
④	$6.3\ \mathrm{m/s}$	$79\ \mathrm{m/s^2}$

解答　等速円運動では，速さは $v = \dfrac{2\pi r}{T}$，向心加速度の大きさは $a = \dfrac{v^2}{r}$ で与えられる。数値を代入して

$$v = \frac{2 \times 3.14 \times 0.50}{0.50} = 6.28 \approx 6.3\ \mathrm{m/s}$$ $$a = \frac{v^2}{r} = \frac{(6.28)^2}{0.50} \approx 79\ \mathrm{m/s^2}$$

検算：$v = r\omega$，$\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 12.6\ \mathrm{rad/s}$ からも $v \approx 6.3\ \mathrm{m/s}$。$a = \omega^2 r$ も同じ値になる。　答　④

中文翻译　题目：小球在半径 $0.50\ \mathrm{m}$ 的圆周上以恒定速率运动，周期为 $0.50\ \mathrm{s}$。小球的速度大小与向心加速度大小的组合，哪个最合适？从①～④中选一个。圆周率取 $3.14$。

解答：匀速圆周运动中，速度 $v = \dfrac{2\pi r}{T}$，向心加速度 $a = \dfrac{v^2}{r}$。代入：$v = \dfrac{2 \times 3.14 \times 0.50}{0.50} = 6.28 \approx 6.3\ \mathrm{m/s}$；$a = \dfrac{(6.28)^2}{0.50} \approx 79\ \mathrm{m/s^2}$。检验：由 $v = r\omega$、$\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 12.6\ \mathrm{rad/s}$ 也得 $v \approx 6.3\ \mathrm{m/s}$；$a = \omega^2 r$ 同样。答案 ④。

解说　两分钟做法：先由周期求 $\omega = 2\pi/T$，再用 $v = r\omega$、$a = \omega^2 r$ 一步算完，比先算 $v$ 再平方快。选项排除：$3.1$ 是 $6.3$ 的一半，对应把半径当直径；$39$ 是 $79$ 的一半，也是同一个错误。$v$ 和 $a$ 的平方关系是捆绑的：$v$ 错一半，$a$ 就错四分之一，所以看到 $3.1$ 与 $39$、$6.3$ 与 $79$ 这两对就能锁定。

两个错误都来自半径和直径混淆：把 0.50 m 当直径，$v$ 变成 $3.1\ \mathrm{m/s}$；把 $v^2/r$ 的 $r$ 取成直径 1.0 m，$a$ 变成 $39\ \mathrm{m/s^2}$。所以 3.1 与 39、6.3 与 79 这两对分别是两种错误，正确的组合只有 6.3 与 79。

問題 2　（鉛直面内の円運動：最高点の臨界条件＋エネルギー保存）

長さ $R$ の軽い糸の一端を固定し，他端に質量 $m$ の小球をつけて鉛直面内で円運動させる。小球が最高点を通過するために，最下点で与える速さ $v_0$ の最小値はどのように表されるか。正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，重力加速度の大きさを $g$ とする。

①　$\sqrt{gR}$　　②　$\sqrt{3gR}$　　③　$\sqrt{5gR}$　　④　$\sqrt{7gR}$

解答　最高点で糸がたるまない条件は，最高点の速さを $v_1$，張力を $S_1$ として

$$mg + S_1 = m\frac{v_1^2}{R}, \qquad S_1 \ge 0$$

より $v_1 \ge \sqrt{gR}$。最下点の速さ $v_0$ との間には，高さの差 $2R$ の力学的エネルギー保存より

$$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + mg \cdot 2R$$

$v_1^2 \ge gR$ を代入して

$$v_0^2 \ge gR + 4gR = 5gR \quad \therefore\ v_0 \ge \sqrt{5gR}$$

検算：$v_0 = \sqrt{5gR}$ のとき最高点で $S_1 = 0$，ぎりぎり糸がたるまない。これより小さければ最高点に届く前にたるむ。　答　③

中文翻译　题目：长 $R$ 的轻绳一端固定，另一端系质量 $m$ 的小球，在竖直面内做圆周运动。为使小球通过最高点，在最低点给它的速度 $v_0$ 的最小值怎么表示？从①～④中选一个正确的。重力加速度大小为 $g$。

解答：最高点绳不松弛的条件：设最高点速度为 $v_1$、张力为 $S_1$，$mg + S_1 = m\dfrac{v_1^2}{R}$，且 $S_1 \ge 0$，所以 $v_1 \ge \sqrt{gR}$。最低点速度 $v_0$ 与最高点速度之间，高度差 $2R$，机械能守恒：$\dfrac{1}{2}mv_0^2 = \dfrac{1}{2}mv_1^2 + mg \cdot 2R$。代入 $v_1^2 \ge gR$：$v_0^2 \ge gR + 4gR = 5gR$，即 $v_0 \ge \sqrt{5gR}$。检验：$v_0 = \sqrt{5gR}$ 时最高点 $S_1 = 0$，恰好不松弛；更小则到不了最高点就松弛。答案 ③。

解说　两分钟做法：记住「最高点 $\sqrt{gR}$，最低点 $\sqrt{5gR}$」这一对，考试直接选；推导只用两步——最高点临界和能量守恒。选项排除：① 是最高点的临界速度，不是最低点的；② 是把能量方程两边的 $\frac12$ 都漏掉，得到 $v_0^2=v_1^2+2gR=3gR$；④ 是把高度差当成 $3R$。用极限检查：$R\to0$ 时 $v_0\to0$，四个都满足；只有 $\sqrt{5}$ 的系数能和最高点条件自洽。

問題 3　（慣性力：上昇中のエレベーターの三つの状態）

エレベーターに乗った人が体重計に乗っている。エレベーターが，(A) 上向きに加速しながら上昇しているとき，(B) 一定の速さで上昇しているとき，(C) 上向きに減速しながら上昇しているときの，体重計が人を押す力の大きさをそれぞれ $N_A$，$N_B$，$N_C$ とする。これらの大小関係として正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，重力加速度の大きさを $g$ とする。

①　$N_A > N_B > N_C$　　②　$N_A > N_C > N_B$　　③　$N_C > N_B > N_A$　　④　$N_B > N_A > N_C$

解答　人にはたらく力は，重力 $mg$（下向き），垂直抗力 $N$（上向き），そして加速度と逆向きの慣性力である。上向きを正とすると，慣性力は $-ma$（$a$ は上向きの加速度）。力のつり合いより

$$N - mg - ma = 0 \quad \therefore\ N = m(g+a)$$

(A) 上向きに加速：$a > 0$ なので $N_A = m(g+a) > mg$。 (B) 等速：$a = 0$ なので $N_B = mg$。 (C) 上向きに減速：加速度は下向きなので $a < 0$，$N_C = m(g+a) < mg$。

よって $N_A > N_B > N_C$。　答　①

中文翻译　题目：电梯里的人站在体重计上。电梯在 (A) 向上加速上升、(B) 匀速上升、(C) 向上减速上升 三种情况下，体重计对人的支持力大小分别为 $N_A$、$N_B$、$N_C$。它们的大小关系哪个正确？从①～④中选一个。重力加速度大小为 $g$。

解答：人受重力 $mg$（向下）、支持力 $N$（向上），以及与加速度反向的惯性力。取向上为正，惯性力为 $-ma$（$a$ 为向上的加速度）。力平衡：$N - mg - ma = 0$，即 $N = m(g+a)$。(A) 向上加速：$a > 0$，$N_A = m(g+a) > mg$；(B) 匀速：$a = 0$，$N_B = mg$；(C) 向上减速：加速度向下，$a < 0$，$N_C = m(g+a) < mg$。所以 $N_A > N_B > N_C$。答案 ①。

解说　两分钟做法：只判断加速度方向——向上则视重大，向下则视重小，匀速则等于重力。易错点：把“向上运动”当成“向上加速”，C 虽然向上运动但加速度向下，视重最小。选项排除：只要确定 A 最大、C 最小，就只剩 ①。另一种解法：用惯性系看，A 有向上加速度，$N - mg = ma$；B 加速度为零；C 加速度向下，$N - mg = -m|a|$，同样得到 ①，不必画惯性力。

7.7 术语与题干用语

日文	读音	中文	例句或说明
等速円運動	とうそくえんうんどう	匀速圆周运动	「等速円運動では，向心力の大きさは一定である。」
等速でない円運動	とうそくでないえんうんどう	变速圆周运动	「等速でない円運動では，合力は中心を向かない。」
角速度	かくそくど	角速度	「角速度 $\omega$ で回転する。」
周期	しゅうき	周期	「周期 $T$ は $T = 2\pi/\omega$ である。」
回転数	かいてんすう	转速	「1 秒間の回転数を $n$ とすると，$\omega = 2\pi n$ である。」
向心力	こうしんりょく	向心力	「重力が向心力となる。」
向心加速度	こうしんかそくど	向心加速度	「向心加速度の大きさは $v^2/r$ である。」
法線方向	ほうせんほうこう	法线方向	「法線方向の運動方程式を立てる。」
接線方向	せっせんほうこう	切线方向	「接線方向にはたらく力が速さを変える。」
接線加速度	せっせんかそくど	切向加速度	「接線加速度は $dv/dt$ である。」
慣性力	かんせいりょく	惯性力	「慣性力の大きさは $ma$ である。」
遠心力	えんしんりょく	离心力	「回転系では遠心力を加える。」
慣性系	かんせいけい	惯性系	「地面は慣性系とみなせる。」
非慣性系	ひかんせいけい	非惯性系	「加速する電車は非慣性系である。」
見かけの重力	みかけのじゅうりょく	视重、表观重力	「見かけの重力の方向に糸が傾く。」
垂直抗力	すいちょくこうりょく	支持力（法向力）	「垂直抗力 $N$ が $0$ になる。」
張力	ちょうりょく	张力	「糸の張力 $S$ を求める。」
静止摩擦力	せいしぼうりょく	静摩擦力	「静止摩擦力が向心力になる。」
静止摩擦係数	せいしぼうりょくけいすう	静摩擦因数	「静止摩擦係数を $\mu$ とする。」
円錐振り子	えんすいふりこ	圆锥摆	「円錐振り子の周期を求める。」
最高点	さいこうてん	最高点	「最高点で糸がたるまない条件を求める。」
最下点	さいかてん	最低点	「最下点での張力を求める。」
糸がたるむ	いとがたるむ	绳松弛	「張力が $0$ になると糸がたるむ。」
面から離れる	めんからはなれる	离开面	「垂直抗力が $0$ になる点で面から離れる。」
なめらかな面	なめらかなめん	光滑面	「なめらかな半球面上をすべる。」
ターンテーブル	たーんてーぶる	转台	「ターンテーブルの上に物体を置く。」
十分時間がたった後	じゅうぶんじかんがたったあと	足够长时间后	「十分時間がたった後，小球は静止した。」
無視できる	むしできる	可忽略	「空気の抵抗は無視できるものとする。」
ただし	ただし	但是（条件句开头）	「ただし，重力加速度の大きさを $g$ とする。」
〜ものとする	ものとする	设定为	「糸は軽くて伸び縮みしないものとする。」

7.8 自测

1. 長さ $L$ の糸でつるした小球を，糸が鉛直と $60^\circ$ をなす位置から静かにはなした。最下点での速さを $g$，$L$ を用いて表せ。 长 $L$ 的绳悬挂小球，从绳与竖直成 $60^\circ$ 的位置静止释放。用 $g$、$L$ 表示最低点的速度。
2. 長さ $L$ の軽い糸の先の小球を，最下点で速さ $v_0$ で鉛直上向きに打ち出した。小球が最高点まで糸をたるませずに到達するための $v_0$ の条件を表せ。 长 $L$ 的轻绳末端的小球，在最低点以速度 $v_0$ 竖直向上打出。小球到达最高点且绳不松弛时 $v_0$ 的条件。
3. 上向きに大きさ $1.0\ \mathrm{m/s^2}$ の加速度で上昇するエレベーターの中で，質量 $60\ \mathrm{kg}$ の人が体重計に乗っている。体重計が人を押す力の大きさは何 N か。重力加速度の大きさを $9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。 电梯以 $1.0\ \mathrm{m/s^2}$ 的加速度向上运动，质量 $60\ \mathrm{kg}$ 的人站在体重计上。体重计对人的支持力是多少 N？重力加速度取 $9.8\ \mathrm{m/s^2}$。
4. 一定の加速度 $a$ で水平に走る電車の中で，天井からつるした小球が糸を鉛直から角 $\theta$ 傾けて静止している。$\tan\theta$ を $a$，$g$ で表せ。 以恒定加速度 $a$ 水平行驶的电车中，吊在天花板上的小球静止时绳与竖直成角 $\theta$。用 $a$、$g$ 表示 $\tan\theta$。
5. 半径 $0.40\ \mathrm{m}$ の水平な円盤の上に物体を置き，角速度をしだいに大きくする。物体と円盤の間の静止摩擦係数を $0.25$，重力加速度の大きさを $9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とするとき，物体がすべり始める角速度は何 rad/s か。 在半径 $0.40\ \mathrm{m}$ 的水平圆盘上放物体，逐渐增大角速度。静摩擦因数 $0.25$，重力加速度取 $9.8\ \mathrm{m/s^2}$，物体开始滑动时的角速度是多少 rad/s？
6. 長さ $L$ の糸でつるした小球を，糸が鉛直と角 $\theta$ をなすように保って水平面内で等速円運動させた。糸の張力 $S$ を $m$，$g$，$\theta$ で表せ。 长 $L$ 的绳悬挂小球，保持绳与竖直成角 $\theta$，使小球在水平面内做匀速圆周运动。用 $m$、$g$、$\theta$ 表示绳的张力 $S$。
7. 水平に大きさ $2.0\ \mathrm{m/s^2}$ の加速度で走る電車の中で，天井からつるした小球の糸が鉛直から傾く角を $\theta$ とする。$\tan\theta$ の値を求めよ。重力加速度の大きさを $9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。 电车以 $2.0\ \mathrm{m/s^2}$ 的水平加速度行驶，吊在天花板上的小球的绳与竖直成角 $\theta$。求 $\tan\theta$。重力加速度取 $9.8\ \mathrm{m/s^2}$。
8. 自由落下しているエレベーターの中での，見かけの重力加速度の大きさはいくらか。 自由下落的电梯中，视重加速度的大小是多少？

答案：1. $v = \sqrt{gL}$　2. $v_0 \ge \sqrt{5gL}$　3. $6.5 \times 10^2\ \mathrm{N}$　4. $\tan\theta = \dfrac{a}{g}$　5. $2.5\ \mathrm{rad/s}$　6. $S = \dfrac{mg}{\cos\theta}$　7. $0.20$　8. $0$

7.9 深入阅读

• JASSO · 理科（物理）シラバス：本章对应「等速円運動」和「慣性力」：速度と角速度、周期と回転数、加速度と向心力、等速でない円運動の向心力、慣性力、遠心力。
• JASSO · 物理シラバス PDF（2026 年度第 1 回試験から適用）：シラバス原文。Ⅰ 3.(1)(2) の小項目名を確認するとき。
• 维基百科（日文）· 慣性力：慣性力の定義、見かけの力であること、遠心力との関係の日文表述。
• 维基百科（日文）· 等速円運動：等速円運動の速度・加速度・向心力の日文定義、等速でない円運動への言及。