第 17 章 · 直流回路と半導体

项目	内容
シラバス项目	Ⅳ 電気と磁気 2. 電流：(1) 電流（電流，電圧，オームの法則，抵抗と抵抗率，ジュール熱，電力，電力量）；(2) 直流回路（抵抗の直列接続と並列接続，電流計，電圧計，キルヒホッフの法則，電池の起電力と内部抵抗，抵抗の測定，起電力の測定，抵抗率の温度変化，コンデンサーを含む回路）；(3) 半導体（n 型半導体，p 型半導体，pn 接合，ダイオード）
国内书对应	第 17 章 17.2–17.7（电流、电阻定律、欧姆定律与 I-U 图像、串并联、电表改装、电功与焦耳定律）；第 18 章 18.2–18.6（电动势、闭合电路、动态分析、功率、含容电路）；第 30 章 30.7–30.8（传感器与敏感元件）；第 40 章（伏安法测电阻、测电动势和内阻）
本章新内容的分量	中偏大。キルヒホッフの法則、ホイートストンブリッジ、電位差計、抵抗率の温度公式、n 型・p 型・pn 接合、ダイオードを含む回路，国内没有或只讲到定性
过去问出现次数	20 回共 24 題（每回平均 1.2 題）：2010 年第 1 回、2011 年第 1 回、2013 年第 2 回、2016 年第 2 回各 2 題，其余 16 回各 1 題

国内学过电流、电压、电阻、串并联和闭合电路欧姆定律，算的都是能化成“一个电源加串并联”的电路。EJU 的「直流回路」在此基础上多走两步：一步是多回路，两个电源或桥式接法无法再化成串并联，要用キルヒホッフの法則；另一步是“不能当成定值电阻”的元件，电球、二极管都要看特性曲线或分导通、截止两种状态。此外，抵抗率の温度変化、ホイートストンブリッジ、電位差計、半導体这些内容国内没有系统讲。丢分多在这几处：多回路不会设电流、列方程；电桥平衡条件记反；非线性元件用切线斜率求电阻；二极管假设导通后不检验电流方向。

17.1 与国内的对照

シラバス小項目（日文原文）	国内书位置	相同 / 讲法不同 / 国内没有	本章哪节讲
電流，電圧，オームの法則	国内书第 17 章 17.2、17.4 节	相同，见国内书第 17 章	17.2 列方程时直接用
抵抗と抵抗率	国内书第 17 章 17.3 节（$R = \rho\dfrac{l}{S}$）	相同，见国内书第 17 章	17.3 只补温度公式
ジュール熱，電力，電力量	国内书第 17 章 17.7 节	相同，见国内书第 17 章	17.4、17.7 用 $P = UI$
抵抗の直列接続と並列接続	国内书第 17 章 17.5 节	相同，见国内书第 17 章	17.2、17.8
電流計，電圧計	国内书第 17 章 17.6 节（电表改装）、第 40 章（伏安法）	相同，见国内书第 17 章	17.5 注意点，17.8 题 2
キルヒホッフの法則	无（国内只讲闭合电路欧姆定律）	国内没有	17.2
電池の起電力と内部抵抗	国内书第 18 章 18.2、18.3 节	相同，见国内书第 18 章	17.2、17.8 直接使用
抵抗の測定	国内书第 40 章（伏安法测电阻）	讲法不同：EJU 要考ホイートストンブリッジ，电桥国内没有	17.5
起電力の測定	国内书第 40 章（伏安法测电动势和内阻）	讲法不同：EJU 要考電位差計	17.5
抵抗率の温度変化	国内书第 17 章 17.3 节（只定性：金属升温电阻率变大）	讲法不同：EJU 给公式 $\rho = \rho_0(1+\alpha t)$ 计算	17.3
コンデンサーを含む回路	国内书第 18 章 18.6 节	相同，见本书第 16 章	第 16 章
n 型半導体，p 型半導体	国内书第 17 章 17.4 节只提二极管，第 30 章 30.7 节讲热敏电阻	国内没有系统讲	17.6
pn 接合	无	国内没有	17.6
ダイオード	国内书第 17 章 17.4 节（只给伏安特性曲线，定性）	讲法不同：EJU 要分析含二极管的电路	17.7

本章六个知识点的顺序：先讲解多回路的工具（17.2），再讲电阻随温度变化（17.3）和电球的非线性特性（17.4），然后讲两种测量方法（17.5），最后进入半导体（17.6）和二极管电路（17.7）。串并联、闭合电路欧姆定律、电表改装、含容电路这些国内讲过的内容，本章不再展开，只在新问题里直接引用，位置见上表。

17.2 キルヒホッフの法則

说明

**キルヒホッフの法則（基尔霍夫定律）**是解多回路直流电路的两条基本规律。国内的闭合电路欧姆定律 $I = \dfrac{E}{R+r}$ 只适用于“一个电源、外电路能化成串并联”的电路；EJU 常出两个电源或多个回路的电路，这时要回到电荷和能量两条最基本的守恒律。

第 1 法則（電流則，KCL）：在电路的任意分岐点（節点），流入的电流之和等于流出的电流之和：

$$\sum I_{\text{in}} = \sum I_{\text{out}}$$

也可以写成“流入为正、流出为负，代数和为零”。它来自電荷保存則：稳定状态下，节点上不会堆积电荷。

第 2 法則（電圧則，KVL）：沿任意闭合回路绕行一周，起电力的代数和等于各电阻上电压降的代数和：

$$\sum E = \sum RI$$

它来自能量保存則：把单位正电荷沿回路搬运一周，静电力做功为零，电池的非静电力做的功等于电阻上消耗的能量。

符号约定：先任意定一个绕行方向。电池从负极到正极（电位升高）时 $E$ 取正；电流方向与绕行方向相同时，该电阻的电压降 $RI$ 取正，相反时取负。日本题面常写「回路を一巡する向きを決め，起電力の和と電圧降下の和を等しいとおく」。

方程数：设电路有 $b$ 条支路（未知电流 $b$ 个）、$n$ 个节点，则需要 $n-1$ 个独立的电流方程和 $b-n+1$ 个独立的回路方程。实际做题不必背这个数，只要“每列一个新方程都引入新的未知量或新的支路”即可。

使用场景

• 两个电源、三个支路的电路，无法化成串并联 → 设各支路电流方向和大小，列一个电流方程、两个回路方程，联立求解。
• 桥式电路不平衡，求两条支路中两点间的电势差 → 把桥看成两个并联的分压支路，用回路方程或分压求各点电位，再相减。

注意点

• 电流方向可以任意假设。解出负值不是算错，表示实际方向与假设相反；大小取绝对值，方向在答案里说明。
• 列电压方程时，电池的符号只看绕行方向是从负极到正极还是从正极到负极，不要看电流方向；电阻的符号才看电流方向。
• 独立回路要选得“每一条新回路都包含一条没用过的支路”，否则方程线性相关，解不出来。
• 电池的内阻 $r$ 要当作串联在电池上的一个电阻，和外部电阻一样写电压降；题目说“内部抵抗は無視できる”时才令 $r=0$。

推导

第 1 法則：在稳定状态下，节点周围的电荷量不随时间变化。单位时间内流入节点的电荷必须等于流出的电荷，否则节点会持续积累电荷，这与稳定状态矛盾。用电流表示就是 $\sum I_{\text{in}} = \sum I_{\text{out}}$。

第 2 法則：静电场是保守场，把单位正电荷沿任意闭合路径搬运一周，静电力做功为零。回路中只有电池的非静电力做正功、电阻把电能转化为内能。对单位正电荷写能量守恒：非静电力做的功 $=$ 电阻上消耗的能量，即 $\sum E = \sum RI$。这就是第 2 法則。

与闭合电路欧姆定律的关系：只有一个回路、一个电池时，第 2 法則写成 $E = I(R+r)$，两边除以 $I$ 就是 $I = \dfrac{E}{R+r}$，正是国内书的闭合电路欧姆定律。所以キルヒホッフの法則不是新物理，而是把同一条能量守恒用到任意回路上。国内书第 18 章 18.3 节的动态分析、路端电压，都是它在单回路下的特例。

（关键一步：列方程前先定电流方向和绕行方向。方向定得再“错”也没关系，负数会告诉你真实方向；不定方向就列不出代数和。）

例题

例 1　（场景：两个电源、三个支路的多回路 → 设支路电流 → 电流则 + 电压则）

問題　次の図のように，起電力 $E_1 = 6.0\ \mathrm{V}$，内部抵抗 $r_1 = 1.0\ \Omega$ の電池，起電力 $E_2 = 4.0\ \mathrm{V}$，内部抵抗 $r_2 = 1.0\ \Omega$ の電池，および抵抗値 $R = 3.0\ \Omega$ の抵抗を接続した。ただし，導線の抵抗は無視できるものとする。

問　抵抗 R を流れる電流の大きさは何 A か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$0.40\ \mathrm{A}$　　②　$1.0\ \mathrm{A}$　　③　$1.4\ \mathrm{A}$　　④　$2.0\ \mathrm{A}$

解答　抵抗 R を流れる電流を $I_3$，電池 $E_1$，$E_2$ を流れる電流をそれぞれ $I_1$，$I_2$ とし，図の向きを正とする。上の節点に電流則を用いると

$$I_1 + I_2 = I_3$$

左の閉回路に電圧則を用いると

$$E_1 - r_1 I_1 - R I_3 = 0 \quad \therefore\ 6.0 - 1.0 I_1 - 3.0 I_3 = 0$$

中央の閉回路では

$$E_2 - r_2 I_2 - R I_3 = 0 \quad \therefore\ 4.0 - 1.0 I_2 - 3.0 I_3 = 0$$

これらより $I_1 = 6.0 - 3.0 I_3$，$I_2 = 4.0 - 3.0 I_3$。電流則に代入して

$$(6.0 - 3.0 I_3) + (4.0 - 3.0 I_3) = I_3 \quad \therefore\ I_3 = \frac{10.0}{7.0} \approx 1.43\ \mathrm{A}$$

検算：$I_2 = 4.0 - 3.0 \times 1.43 \approx -0.29\ \mathrm{A}$ となり，$E_2$ には図と逆向きに電流が流れる（充電されている）。R を流れる電流の大きさは $1.4\ \mathrm{A}$。　答　③

中文翻译　题目：如图，连接起电力 $E_1 = 6.0\ \mathrm{V}$、内阻 $r_1 = 1.0\ \Omega$ 的电池，起电力 $E_2 = 4.0\ \mathrm{V}$、内阻 $r_2 = 1.0\ \Omega$ 的电池，以及阻值 $R = 3.0\ \Omega$ 的电阻。导线电阻可忽略。问：流过电阻 R 的电流大小是多少 A？从①～④中选最合适的值。

解答：设流过电阻 R 的电流为 $I_3$，流过电池 $E_1$、$E_2$ 的电流分别为 $I_1$、$I_2$，以图中方向为正。对上节点用电流定律：$I_1 + I_2 = I_3$。对左回路用电压定律：$E_1 - r_1 I_1 - R I_3 = 0$，即 $6.0 - 1.0 I_1 - 3.0 I_3 = 0$。对中间回路：$E_2 - r_2 I_2 - R I_3 = 0$，即 $4.0 - 1.0 I_2 - 3.0 I_3 = 0$。由此 $I_1 = 6.0 - 3.0 I_3$，$I_2 = 4.0 - 3.0 I_3$。代入电流定律：$(6.0 - 3.0 I_3) + (4.0 - 3.0 I_3) = I_3$，得 $I_3 = \dfrac{10.0}{7.0} \approx 1.43\ \mathrm{A}$。检验：$I_2 = 4.0 - 3.0 \times 1.43 \approx -0.29\ \mathrm{A}$，说明 $E_2$ 中电流与图中方向相反（正在充电）。流过 R 的电流大小为 $1.4\ \mathrm{A}$。答案 ③。

解说　用到的是本节的两条法则：节点列电流，回路列电压。容易卡在：设了方向以后算出负数，以为方程列错。负号只说明实际方向与假设相反，大小照用。选项排除：④ $2.0\ \mathrm{A}$ 是把两个电动势直接相加、电阻直接相加得到的 $\dfrac{6.0+4.0}{3.0+1.0+1.0}$；① $0.40\ \mathrm{A}$ 是把电动势相减得到的 $\dfrac{6.0-4.0}{5.0}$；② $1.0\ \mathrm{A}$ 是只看 $E_2$ 支路的 $\dfrac{4.0}{3.0+1.0}$。三种都是典型的“把多回路当单回路”错误。另一种解法：用节点电压法。设底部节点电位为 0，顶部节点电位为 $V$，对顶部节点列电流方程 $\dfrac{6.0-V}{1.0} + \dfrac{4.0-V}{1.0} = \dfrac{V}{3.0}$，解得 $V = \dfrac{30}{7} \approx 4.29\ \mathrm{V}$，于是 $I_3 = \dfrac{V}{3.0} \approx 1.43\ \mathrm{A}$。未知量只有一个，比联立三个方程快，适合支路多、只问一条支路电流的题。

例 2　（场景：桥式电路不平衡 → 求两点电势差 → 分压或电压则）

問題　次の図のように，抵抗 $R_1 = 2.0\ \Omega$，$R_2 = 6.0\ \Omega$，$R_3 = 3.0\ \Omega$，$R_4 = 3.0\ \Omega$ を接続し，端子 A，B の間に起電力 $12\ \mathrm{V}$ の電池をつないだ。ただし，電池の内部抵抗と導線の抵抗は無視できるものとする。

問　C 点と D 点の間の電位差 $V_C - V_D$ は何 V か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$0\ \mathrm{V}$　　②　$1.5\ \mathrm{V}$　　③　$3.0\ \mathrm{V}$　　④　$6.0\ \mathrm{V}$

解答　電池の起電力を $E = 12\ \mathrm{V}$ とし，B 点の電位を 0 とする。A 点の電位は $12\ \mathrm{V}$。$R_1$ と $R_2$ の直列部分を流れる電流は

$$I_1 = \frac{E}{R_1+R_2} = \frac{12}{2.0+6.0} = 1.5\ \mathrm{A}$$

よって

$$V_C = E - R_1 I_1 = 12 - 2.0 \times 1.5 = 9.0\ \mathrm{V}$$

同様に，$R_3$ と $R_4$ の直列部分では

$$I_2 = \frac{E}{R_3+R_4} = \frac{12}{3.0+3.0} = 2.0\ \mathrm{A}, \qquad V_D = E - R_3 I_2 = 12 - 3.0 \times 2.0 = 6.0\ \mathrm{V}$$

したがって

$$V_C - V_D = 9.0 - 6.0 = 3.0\ \mathrm{V}$$

検算：$\dfrac{R_1}{R_2} = \dfrac{1}{3}$，$\dfrac{R_3}{R_4} = 1$ で等しくないから，電位差は 0 ではない。　答　③

中文翻译　题目：如图，连接电阻 $R_1 = 2.0\ \Omega$、$R_2 = 6.0\ \Omega$、$R_3 = 3.0\ \Omega$、$R_4 = 3.0\ \Omega$，在端子 A、B 之间接起电力 $12\ \mathrm{V}$ 的电池。电池内阻和导线电阻可忽略。问：C 点与 D 点之间的电势差 $V_C - V_D$ 是多少 V？从①～④中选最合适的值。

解答：设电池起电力为 $E = 12\ \mathrm{V}$，B 点电势为 0，则 A 点电势为 $12\ \mathrm{V}$。流过 $R_1$、$R_2$ 串联部分的电流 $I_1 = \dfrac{E}{R_1+R_2} = \dfrac{12}{2.0+6.0} = 1.5\ \mathrm{A}$。所以 $V_C = E - R_1 I_1 = 12 - 2.0 \times 1.5 = 9.0\ \mathrm{V}$。同样，$R_3$、$R_4$ 串联部分 $I_2 = \dfrac{12}{3.0+3.0} = 2.0\ \mathrm{A}$，$V_D = 12 - 3.0 \times 2.0 = 6.0\ \mathrm{V}$。因此 $V_C - V_D = 9.0 - 6.0 = 3.0\ \mathrm{V}$。检验：$\dfrac{R_1}{R_2} = \dfrac{1}{3}$，$\dfrac{R_3}{R_4} = 1$，不相等，所以电势差不为 0。答案 ③。

解说　用到的是电压则和分压：A、B 之间的电压被每条支路按电阻比例分掉。容易卡在：看到“桥”就以为一定平衡，直接选 0。电桥平衡的条件是两条支路的电阻比相等，这里 $\dfrac{2}{6} \ne \dfrac{3}{3}$，不平衡。选项排除：④ $6.0\ \mathrm{V}$ 是 D 点相对 B 点的电位，不是两点之差；② $1.5\ \mathrm{V}$ 是上面支路的电流数值，单位混了。做这类题先算各支路电流，再逐点写电位，最后相减，比直接列三个回路方程稳。

常用推论

• 单回路、单电源时，キルヒホッフの法則退化为闭合电路欧姆定律 $I = \dfrac{E}{R+r}$，见国内书第 18 章 18.3 节。
• 两个电源并联给同一电阻供电时，用节点电压法最快：设节点电压为 $V$，对节点列 $\sum \dfrac{E_i - V}{r_i} = \dfrac{V}{R}$。
• 电流解出负值，表示实际方向与假设相反；电压解出负值，表示该点电位比参考点低。
• 教材没有，考试常用：列电流方程时把所有支路电流都画成“流出节点”，方程写成 $\sum I = 0$，可以少记一次“流入等于流出”，符号也不容易乱。

易错点

• 错在哪：假设的电流方向与实际相反，就把这个解丢掉重设方向。 为什么错：方程对任何假设方向都成立，负号本身就是答案的一部分。 正确做法：保留负号，在答案里说明“实际方向与图中相反”，大小取绝对值。
• 错在哪：列回路方程时，电池的符号跟着电流方向走。 为什么错：电池的符号只由绕行方向决定：从负极到正极取正，从正极到负极取负；电流方向只决定电阻电压降的符号。 正确做法：先画绕行箭头，再逐段判断“电池是升电位还是降电位”“电阻是顺电流还是逆电流”。
• 错在哪：回路选了两条线性相关的，方程解不出唯一解。 为什么错：两条回路如果只是把同一条回路换个方向绕，方程是同一个。 正确做法：每选一条新回路，确保它包含至少一条前面没用过的支路；方程数列完用“未知电流个数”核对。

直观理解

把电流想成水管里的水流：节点是三通接头，流入多少水就流出多少水（电流则）；电池是水泵，把水从低处抽到高处；电阻是细管，水流过时水位下降。沿一个闭合水路走一圈，水泵升高的水位正好等于各段细管降低的水位（电压则），回到起点时水位和出发时一样。

关联知识点

• 前置：国内书第 17 章 17.5 节串并联、第 18 章 18.2–18.3 节电动势与闭合电路；本书第 15 章电位（电势差与电位的关系）。
• 后续：本书 17.5 节电桥（平衡时用基尔霍夫可推出平衡条件）、17.7 节二极管电路（非线性元件的分段分析）。
• 常一起考：含电容器的稳态电路（国内书第 18 章 18.6 节、本书第 16 章），稳态时电容器支路无电流，其余部分仍用キルヒホッフの法則。

17.3 抵抗率の温度変化

说明

国内只讲到“金属的电阻率随温度升高而增大”这一定性结论。EJU 给出定量公式：在 $0\ \mathrm{^\circ C}$ 附近不太宽的温度范围内，金属的电阻率 $\rho$ 随摄氏温度 $t$ 近似线性变化：

$$\rho = \rho_0(1+\alpha t)$$

其中 $\rho_0$ 是 $0\ \mathrm{^\circ C}$ 时的电阻率，$\alpha$ 叫抵抗の温度係数（电阻温度系数），单位是 $\mathrm{K^{-1}}$（和 $\mathrm{^\circ C^{-1}}$ 数值相同）。

导线的长度 $l$ 和横截面积 $S$ 随温度的变化很小（热膨胀约 $10^{-5}\ \mathrm{K^{-1}}$，比 $\alpha$ 小两个数量级），可以忽略，于是由 $R = \rho\dfrac{l}{S}$ 得

$$R = R_0(1+\alpha t)$$

$R_0$ 是 $0\ \mathrm{^\circ C}$ 时的电阻。金属的 $\alpha$ 为正（钨约 $4.5 \times 10^{-3}\ \mathrm{K^{-1}}$，铜约 $4 \times 10^{-3}\ \mathrm{K^{-1}}$），半导体的 $\alpha$ 为负，锰铜、康铜等合金的 $\alpha$ 接近零。

使用场景

• 题目给 $0\ \mathrm{^\circ C}$ 的电阻率或电阻、温度系数和目标温度，或给 $R$-$t$ 直线图像 → 直接代入 $\rho=\rho_0(1+\alpha t)$（或 $R=R_0(1+\alpha t)$）；图像的纵截距是 $R_0$，斜率是 $R_0\alpha$。

注意点

• 公式里的 $t$ 是摄氏温度，以 $0\ \mathrm{^\circ C}$ 为基准，不是开尔文温度。用 $T = t + 273$ 代入会把答案算大。
• $\alpha$ 可以为负：半导体的电阻率随温度升高而减小，公式在窄温度范围内仍可描述，但热敏电阻的阻值变化通常是指数型的，题目一般只作定性比较。
• 电灯泡正常发光时灯丝温度可达 $2000\ \mathrm{^\circ C}$ 以上，电阻比冷态大一个数量级左右；用额定电压和额定功率算出的 $R = \dfrac{U^2}{P}$ 是高温下的电阻，不能拿去算刚接通时的电流。
• 合金的 $\alpha \approx 0$，所以标准电阻用锰铜、康铜制造；这句话常作为选择题的选项出现。

推导

线性关系的来源：在金属中，电阻来自自由电子与晶格振动的碰撞。温度升高，晶格振动加剧，电子被散射得更频繁，电阻率增大。在室温以上不太宽的温度范围内，晶格振动的振幅平方（与能量成正比）随温度近似线性增大，所以 $\rho$ 随 $t$ 近似线性增大，写成 $\rho = \rho_0(1+\alpha t)$。$\alpha$ 的定义是

$$\alpha = \frac{1}{\rho_0}\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t}$$

即“每升高 $1\ \mathrm{K}$，电阻率相对增加的比例”。

为什么 $R$ 和 $\rho$ 同比例变化：$R = \rho\dfrac{l}{S}$。温度升高时，$l$ 和 $S$ 都按热膨胀的规律变化，相对变化约 $10^{-5}\ \mathrm{K^{-1}}$；而 $\alpha$ 约 $10^{-3}\ \mathrm{K^{-1}}$，大两个数量级。所以 $l/S$ 的变化可以忽略，$R$ 与 $\rho$ 成同一比例，$R = R_0(1+\alpha t)$。

半导体为什么相反：半导体的电阻率主要由“能导电的载流子数目”决定。温度升高，热激发产生的电子—空穴对按指数规律增多，载流子数目增加的效果压倒了散射增强的效果，所以电阻率随温度升高而减小。这是半导体与金属最本质的区别，17.6 节会再讲。

（关键一步：把 $\rho$ 的线性关系搬到 $R$ 上，靠的是”$l$、$S$ 变化可忽略”。如果题目特意说导线受热明显伸长，就不能直接搬。）

例题

例 1　（场景：给 $0\ \mathrm{^\circ C}$ 的电阻和温度系数 → 求高温电阻）

問題　タングステン製の電球のフィラメントがある。$0\ \mathrm{^\circ C}$ におけるフィラメントの抵抗を $10\ \Omega$，タングステンの抵抗率の温度係数を $4.5 \times 10^{-3}\ \mathrm{K^{-1}}$ とする。ただし，フィラメントの長さと断面積は温度によって変わらず，$0\ \mathrm{^\circ C}$ から $2000\ \mathrm{^\circ C}$ の範囲で $\rho = \rho_0(1+\alpha t)$ が成り立つものとする。

問　$2000\ \mathrm{^\circ C}$ におけるフィラメントの抵抗は何 $\Omega$ か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$20\ \Omega$　　②　$50\ \Omega$　　③　$1.0 \times 10^2\ \Omega$　　④　$2.0 \times 10^2\ \Omega$

解答　長さと断面積が変わらないので，抵抗も抵抗率と同じ割合で変化する。$t = 2000\ \mathrm{^\circ C}$ として

$$R = R_0(1+\alpha t) = 10 \times (1 + 4.5 \times 10^{-3} \times 2000) = 10 \times (1+9.0) = 1.0 \times 10^2\ \Omega$$

検算：$\alpha t = 9.0$ なので，抵抗は $0\ \mathrm{^\circ C}$ のときの $10$ 倍。$2000\ \mathrm{^\circ C}$ のフィラメントは白熱しており，冷態の約 $10$ 倍というのは妥当な桁である。　答　③

中文翻译　题目：有一根钨制电灯泡的灯丝。$0\ \mathrm{^\circ C}$ 时灯丝的电阻为 $10\ \Omega$，钨的电阻率温度系数为 $4.5 \times 10^{-3}\ \mathrm{K^{-1}}$。灯丝的长度和横截面积不随温度变化，且在 $0\ \mathrm{^\circ C}$ 到 $2000\ \mathrm{^\circ C}$ 范围内 $\rho = \rho_0(1+\alpha t)$ 成立。问：$2000\ \mathrm{^\circ C}$ 时灯丝的电阻是多少 $\Omega$？从①～④中选最合适的值。

解答：长度和横截面积不变，所以电阻与电阻率按同一比例变化。取 $t = 2000\ \mathrm{^\circ C}$：$R = R_0(1+\alpha t) = 10 \times (1 + 4.5 \times 10^{-3} \times 2000) = 10 \times (1+9.0) = 1.0 \times 10^2\ \Omega$。检验：$\alpha t = 9.0$，电阻是 $0\ \mathrm{^\circ C}$ 时的 10 倍。$2000\ \mathrm{^\circ C}$ 的灯丝处于白热状态，冷态电阻的约 10 倍在数量级上是合理的。答案 ③。

解说　用到的是本节的两个式子：$\rho = \rho_0(1+\alpha t)$ 和 $R = R_0(1+\alpha t)$。容易卡在：把 $2000\ \mathrm{^\circ C}$ 换成 $2273\ \mathrm{K}$ 再代入，结果变成约 $1.1 \times 10^2\ \Omega$，与选项不符。公式以 $0\ \mathrm{^\circ C}$ 为基准，直接用摄氏温度。选项排除：① $20\ \Omega$ 相当于只算了 $\alpha t = 1$；② $50\ \Omega$ 相当于 $\alpha t = 4$；④ $200\ \Omega$ 相当于把 $1+\alpha t$ 算成 $20$，都是把 $2000$ 和 $4.5 \times 10^{-3}$ 的乘积算错。

常用推论

• $R_t = R_0(1+\alpha t)$，所以 $\dfrac{R_t - R_0}{R_0} = \alpha t$；知道两个温度下的电阻，可以反求 $\alpha$。
• 电阻温度计利用铂等金属的 $R$ 随 $t$ 线性变化，用电阻值反读温度。
• 白炽灯刚接通瞬间，灯丝还是冷的，电阻小，冲击电流比正常工作时大；这也是灯泡容易在开灯瞬间烧断的原因之一。
• 教材没有，考试常用：题目给”$20\ \mathrm{^\circ C}$ 时的电阻 $R_{20}$“时，若要以 $0\ \mathrm{^\circ C}$ 为基准，先算 $R_0 = \dfrac{R_{20}}{1+20\alpha}$，再算其他温度；不能直接把 $20\ \mathrm{^\circ C}$ 当基准套 $R = R_{20}(1+\alpha t)$，除非题目明说以 $20\ \mathrm{^\circ C}$ 为基准。

易错点

• 错在哪：把摄氏温度加 273 换成开尔文再代入公式。 为什么错：公式 $\rho = \rho_0(1+\alpha t)$ 的 $t$ 是以 $0\ \mathrm{^\circ C}$ 为起点的摄氏温度；用 $2273$ 代入等于把基准点移到了绝对零度。 正确做法：看清题目给的是”$0\ \mathrm{^\circ C}$ 的电阻“还是”$20\ \mathrm{^\circ C}$ 的电阻”，以给的基准温度为准。
• 错在哪：认为电阻率一定随温度升高而增大。 为什么错：金属的 $\alpha > 0$，半导体的 $\alpha < 0$，合金的 $\alpha \approx 0$，三者方向不同。 正确做法：先看材料：金属升温电阻变大，半导体（热敏电阻）升温电阻变小，标准电阻用温度系数近零的合金。
• 错在哪：把 $\rho$ 的变化率直接当成 $R$ 的变化率，却不说明 $l$、$S$ 是否变化。 为什么错：$R = \rho\dfrac{l}{S}$，只有 $l$、$S$ 不变时 $R$ 才与 $\rho$ 同比例；导线被拉长时形状也变，不能只算 $\rho$。 正确做法：先判断题目的导线长度、截面是否随温度变化；没有特别说明就按不变处理。

直观理解

金属里的自由电子像在人群中穿行：温度越高，原子振动越厉害，“人群”越乱，电子被撞得越频繁，电阻越大。半导体则像一间不断有新人被热激发“激活”的房间：温度越高，能导电的电子和空穴越多，反而越容易导电。记法：金属“热了更难走”，半导体“热了更能走”。

关联知识点

• 前置：国内书第 17 章 17.3 节电阻定律（$R = \rho\dfrac{l}{S}$）和电阻率随温度的定性变化。
• 后续：本书 17.4 节电球的非线性特性（灯丝温度升高是曲线弯曲的原因）、17.6 节半导体（负温度系数的微观解释）。
• 常一起考：国内书第 30 章 30.7 节热敏电阻、光敏电阻（半导体电阻率随温度、光照变化）。

17.4 非線形抵抗と電球の特性曲線

说明

非線形抵抗（非线性电阻）：电压和电流不成正比的元件。定值电阻的 $I$-$U$ 图像是过原点的直线，电阻 $R = \dfrac{U}{I}$ 是常数；电球、二极管等元件的 $I$-$U$ 图像是曲线，电阻随工作状态变化。

电球（电灯泡）：灯丝是钨丝。电压增大 → 电流增大 → 灯丝温度升高 → 钨的电阻率增大 → 电阻增大，所以 $I$-$U$ 曲线越来越平（斜率 $\dfrac{\Delta I}{\Delta U}$ 越来越小）。曲线仍过原点，电流随电压单调增大，只是增长得越来越慢。

某工作点的电阻：工作在 $(U_0, I_0)$ 时，

$$R = \frac{U_0}{I_0}$$

这是该点与原点连线的斜率的倒数，不是曲线切线斜率的倒数。切线斜率对应的是“电压微小变化时电流怎么变”，高中不要求，也不能用来算功率。

工作点的求法：电球接在含线性电阻的电路里时，电球两端的电压 $U$ 和电流 $I$ 必须同时满足两个条件：

1. 电球的特性曲线 $I = f(U)$；
2. 外电路的约束。例如电球与电阻 $R$ 串联接在电动势 $E$ 的电源上，由电压则

$$U + RI = E \quad \therefore\ I = \frac{E}{R} - \frac{U}{R}$$

这是一条直线（叫負荷直線），横轴截距 $\dfrac{E}{R}$ 是电球短路时的电流，纵轴截距 $E$ 是电球断路时的电压。直线与特性曲线的交点就是工作点，因为只有这个点同时满足“元件是什么”和“电路要求什么”。

使用场景

• 电球与定值电阻串联接在已知电源上，求电球的电压、电流或功率 → 写出外电路的直线 $I = \dfrac{E-U}{R}$，与特性曲线求交点。
• 给出特性曲线上的工作点，求该点的电阻或功率 → 读 $U_0$、$I_0$，用 $R = \dfrac{U_0}{I_0}$、$P = U_0 I_0$。

注意点

• 先看清坐标轴：$I$-$U$ 图中越陡电阻越小，$U$-$I$ 图中越陡电阻越大，两者正好相反。
• 曲线上的点对应一个工作状态，不能把某一点的电阻当成“这个电球的电阻”套到另一个电压上。
• 求交点时，直线要用外电路的电压关系写；不要把电球的特性曲线也当成直线去解方程。
• 功率 $P = UI$ 是工作点坐标围成的矩形面积；不要用 $P = \dfrac{U^2}{R}$ 再代入另一点的 $R$。

推导

电球曲线为什么弯：灯丝的电阻 $R(T)$ 随温度升高而增大（17.3 节）。电压增大时电流增大，焦耳热 $I^2 R$ 增大，灯丝温度升高，电阻增大；所以电压再增加同样的量，电流的增加量变小。数学上，$\dfrac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}U}$ 随 $U$ 增大而减小，曲线向下弯（对 $I$-$U$ 图而言是“越来越平”）。

负载线为什么是直线：串联电路中，电源电压 $E$ 等于电球电压 $U$ 与电阻电压 $RI$ 之和（电源内阻并入 $R$ 即可）。这是一次方程，整理成 $I = \dfrac{E}{R} - \dfrac{U}{R}$，在 $I$-$U$ 图上是斜率为 $-\dfrac{1}{R}$ 的直线。

交点为什么唯一：电球的 $I(U)$ 是单调递增的，负载线是单调递减的直线，两条单调性相反的曲线在相关区间内最多交于一点。这个交点同时满足元件特性和电路约束，所以就是唯一的稳定工作点。

（关键一步：把“电路约束”画成一条直线，把“元件特性”画成一条曲线，交点就是解。二元一次方程与非线性方程联立，图解法比代数法快。）

例题

例 1　（场景：电球与定值电阻串联 → 负载线与特性曲线求交点）

問題　次の図のように，電球 L と抵抗値 $R = 8.0\ \Omega$ の抵抗を直列に接続し，起電力 $4.0\ \mathrm{V}$ の電池につないだ。電球の特性曲線は図のグラフのようである。ただし，電池の内部抵抗と導線の抵抗は無視できるものとする。

問　電球を流れる電流は何 A か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$0.20\ \mathrm{A}$　　②　$0.25\ \mathrm{A}$　　③　$0.30\ \mathrm{A}$　　④　$0.40\ \mathrm{A}$

解答　電球の電圧を $U$，電流を $I$ とすると，回路の電圧則より

$$U + 8.0 I = 4.0 \quad \therefore\ I = \frac{4.0-U}{8.0}$$

これは $U$ 軸との交点が $4.0\ \mathrm{V}$，$I$ 軸との交点が $0.50\ \mathrm{A}$ の直線である。この直線をグラフに描くと，電球の特性曲線と $U = 2.0\ \mathrm{V}$，$I = 0.25\ \mathrm{A}$ の点で交わる。よって電球を流れる電流は $0.25\ \mathrm{A}$。

検算：この点で電球の抵抗は $\dfrac{2.0}{0.25} = 8.0\ \Omega$ となり，直列の抵抗と同じ値なので，電圧が $2.0\ \mathrm{V}$ ずつ半分に分かれることと一致する。　答　③

中文翻译　题目：如图，电球 L 与阻值 $R = 8.0\ \Omega$ 的电阻串联，接在起电力 $4.0\ \mathrm{V}$ 的电池上。电球的特性曲线如右图。电池内阻和导线电阻可忽略。问：流过电球的电流是多少 A？从①～④中选最合适的值。

解答：设电球电压为 $U$、电流为 $I$，由回路电压定律 $U + 8.0 I = 4.0$，即 $I = \dfrac{4.0-U}{8.0}$。这是与 $U$ 轴交于 $4.0\ \mathrm{V}$、与 $I$ 轴交于 $0.50\ \mathrm{A}$ 的直线。把它画在图上，与电球特性曲线交于 $U = 2.0\ \mathrm{V}$、$I = 0.25\ \mathrm{A}$。所以电流为 $0.25\ \mathrm{A}$。检验：该点电球电阻 $\dfrac{2.0}{0.25} = 8.0\ \Omega$，与串联电阻相等，电压各分一半，符合。答案 ③。

解说　用到的是“工作点 = 特性曲线与电路约束线的交点”。容易卡在：直接把 $4.0\ \mathrm{V}$ 当成电球电压，用曲线读电流；实际上电阻要分掉一部分电压。选项排除：① $0.20\ \mathrm{A}$ 是曲线在 $U = 1.0\ \mathrm{V}$ 附近的电流；④ $0.40\ \mathrm{A}$ 是假设电阻不存在时的电流；② $0.25\ \mathrm{A}$ 是正确交点。另一种解法：设电球电阻为 $R_L$，由分压 $U = 4.0 \times \dfrac{R_L}{R_L+8.0}$，再结合曲线试几个点；本质上仍是找交点，不如画直线直观。

例 2　（场景：已知特性曲线上的工作点 → 求该点电阻和功率）

問題　引き続き，図の特性曲線をもつ電球を，電圧 $3.0\ \mathrm{V}$ で使用した。グラフの点 P は，電球の電圧が $3.0\ \mathrm{V}$ のときの動作点である。

問　このとき電球で消費される電力は何 W か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$0.27\ \mathrm{W}$　　②　$0.55\ \mathrm{W}$　　③　$0.82\ \mathrm{W}$　　④　$3.0\ \mathrm{W}$

解答　グラフより，点 P における電流は約 $0.27\ \mathrm{A}$。電力は

$$P = UI = 3.0 \times 0.27 = 0.81 \approx 0.82\ \mathrm{W}$$

検算：この点の抵抗は $R = \dfrac{U}{I} = \dfrac{3.0}{0.27} \approx 11\ \Omega$。$P = \dfrac{U^2}{R} = \dfrac{3.0^2}{11} \approx 0.82\ \mathrm{W}$ となり，同じ結果になる。　答　③

中文翻译　题目：继续使用具有图示特性曲线的电球，在电压 $3.0\ \mathrm{V}$ 下工作。图中点 P 是电球电压为 $3.0\ \mathrm{V}$ 时的工作点。问：此时电球消耗的功率是多少 W？从①～④中选最合适的值。

解答：由图，点 P 的电流约为 $0.27\ \mathrm{A}$。功率 $P = UI = 3.0 \times 0.27 = 0.81 \approx 0.82\ \mathrm{W}$。检验：该点电阻 $R = \dfrac{U}{I} = \dfrac{3.0}{0.27} \approx 11\ \Omega$，$P = \dfrac{U^2}{R} = \dfrac{3.0^2}{11} \approx 0.82\ \mathrm{W}$，结果相同。答案 ③。

解说　用到的是工作点的 $R = \dfrac{U}{I}$ 和 $P = UI$。容易卡在：看到“3.0 V”就以为电流是 $\dfrac{3.0}{R}$，但 $R$ 本身随工作点变化，不能先假定一个电阻。选项排除：① $0.27\ \mathrm{W}$ 是把电流数值当成功率；② $0.55\ \mathrm{W}$ 是用了另一个电压点的电流；④ $3.0\ \mathrm{W}$ 是把电压数值当成功率。功率必须用同一工作点的 $U$ 和 $I$ 相乘。

常用推论

• 两个相同的非线性元件串联：电流相同，电压相加。要画等效特性曲线，把同一电流下的电压加倍。
• 两个相同的非线性元件并联：电压相同，电流相加。把同一电压下的电流加倍。
• 非线性元件与线性电阻并联时，总电流 $I_{\text{总}} = I_{\text{元件}}(U) + \dfrac{U}{R}$，在图上把两条曲线的横坐标（电流）相加。
• 教材没有，考试常用：负载线的两个截距可以直接用来核对：$U$ 轴截距是电源电动势 $E$，$I$ 轴截距是 $\dfrac{E}{R}$。截距算错，交点一定错。

易错点

• 错在哪：用特性曲线在某点的切线斜率求电阻。 为什么错：切线斜率是 $\dfrac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}I}$（动态电阻），不是静态电阻；题目问“工作点的电阻”要用 $\dfrac{U}{I}$。 正确做法：从原点到工作点连一条线，用这条割线的斜率（或直接算 $\dfrac{U}{I}$）。
• 错在哪：把负载线的斜率当成电球的电阻。 为什么错：负载线的斜率是 $-\dfrac{1}{R}$，其中 $R$ 是外接的线性电阻（含内阻），与电球无关。 正确做法：先写清电路约束 $U + RI = E$，再确认哪条线是元件特性、哪条线是电路约束。
• 错在哪：认为电球电阻随电压增大，所以电流会随电压增大而减小。 为什么错：电阻增大只是让电流增长变慢，$I$ 仍然随 $U$ 单调增大；曲线不会向下弯。 正确做法：看曲线趋势：过原点、单调上升、越来越平，这才是“电阻增大”的图像。

直观理解

电球像一个“越热越窄的通道”：刚通电时通道宽，电流容易通过；电流一大，灯丝变热，通道变窄，电流的增长就慢下来。负载线像电路给出的“菜单”：电压高时允许的电流小，电压低时允许的电流大。电球只能工作在“菜单”和“自身特性”都满足的那一个点。

关联知识点

• 前置：国内书第 17 章 17.4 节小灯泡的伏安特性曲线与工作点；本书 17.3 节电阻率随温度变化。
• 后续：本书 17.7 节二极管的非线性特性（另一种“曲线 + 电路约束”的分析）。
• 常一起考：闭合电路欧姆定律（国内书第 18 章 18.3 节）与电源 $U$-$I$ 图像的交点，方法和负载线完全相同。

17.5 抵抗の測定と起電力の測定

说明

抵抗の測定：国内做实验时常用伏安法，用电压表和电流表读数算 $R = \dfrac{U}{I}$。伏安法有系统误差：电流表有内阻，电压表内阻不是无限大，电表接入会改变电路。EJU 选择题常考两种“零位法”——测量时让检流计指零，被测对象不受测量仪器影响。

ホイートストンブリッジ（惠斯通电桥）：四个电阻 $R_1$、$R_2$、$R_3$、$R_x$ 接成菱形，A、B 之间接电池，C、D 之间接检流计 G。调节电阻使检流计电流为零（电桥平衡）。平衡时 C、D 等电位，两条分压支路的电阻比相等：

$$\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_x} \quad\therefore\quad R_x = \frac{R_2 R_3}{R_1}$$

（这里 $R_1$ 在 A–C 之间，$R_2$ 在 C–B 之间，$R_3$ 在 A–D 之间，$R_x$ 在 D–B 之间。换一种接法，公式的形式会变，但“对角电阻乘积相等”这一条不变：$R_1 R_x = R_2 R_3$。）

電位差計（电位差计）：一根均匀电阻线 AB，由另一个电池供电，线上各点电位随长度均匀变化。把未知电动势 $E_x$ 通过检流计接到 A 和滑动触点 S 之间，移动 S 使检流计电流为零。平衡时，$E_x$ 等于 A 到 S 这段导线上的电压降。因为电阻线均匀，

$$E_x = E_0 \frac{l}{L}$$

其中 $E_0$ 是 AB 两端的电压，$L$ 是 AB 全长，$l$ 是 A 到 S 的长度。平衡时 $E_x$ 支路没有电流，所以测的是电动势本身，不是路端电压。

使用场景

• 电桥平衡，已知三个电阻求第四个 → 用平衡条件 $\dfrac{R_1}{R_2} = \dfrac{R_3}{R_x}$ 或 $R_1 R_x = R_2 R_3$。
• 电位差计测未知电动势，给出电阻线全长和平衡长度 → 用 $E_x = E_0 \dfrac{l}{L}$。

注意点

• 电桥平衡的标志是检流计电流为零，不是“检流计指针在中间”这种模糊说法；平衡时 G 支路可以看作断开，G 的内阻不影响平衡条件。
• 电桥的平衡条件随电阻编号变：记“对角相乘”最稳，$R_1 R_x = R_2 R_3$（按本节图的编号）。
• 电位差计的电阻线必须均匀，且 AB 两端的电压在测量过程中保持不变；否则“电压与长度成正比”不成立。
• 电位差计平衡时，未知电池支路无电流，所以没有内阻上的电压降，读数就是电动势。普通电压表接在电池两端时有电流流过，读数是路端电压 $U = E - Ir$，比电动势小。
• 电表改装：电流计串联大电阻成电压表，并联小电阻成电流表；国内书第 17 章 17.6 节已讲，这里只提醒“理想电表”是题目假设，实际电表有内阻。

推导

电桥平衡条件：平衡时检流计无电流，C、D 等电位。于是 $R_1$ 与 $R_2$ 中流过同一电流 $I_1$，$R_3$ 与 $R_x$ 中流过同一电流 $I_2$。A、C 之间与 A、D 之间的电压相等：

$$R_1 I_1 = R_3 I_2$$

C、B 之间与 D、B 之间的电压也相等：

$$R_2 I_1 = R_x I_2$$

两式相除，消去 $I_1$、$I_2$：

$$\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_x} \quad\therefore\quad R_1 R_x = R_2 R_3$$

电位差计原理：均匀电阻线的电阻 $R \propto l$，通过的电流 $I$ 相同时，电压降 $U = RI \propto l$。设 AB 全长 $L$ 上的电压为 $E_0$，则长度 $l$ 上的电压为 $E_0 \dfrac{l}{L}$。平衡时未知电池没有电流，端电压等于电动势，所以 $E_x = E_0 \dfrac{l}{L}$。

为什么零位法更准：伏安法要从被测电路取电流，电表内阻会改变被测电路的工作状态；零位法在平衡时让检流计电流为零，被测支路不取电流，因而没有这种系统误差。代价是要手动调节、测量速度慢。

（关键一步：电桥平衡时“G 支路断开”；电位差计平衡时“未知电池支路断开”。把这两条想清楚，平衡条件就是普通的串并联分压。）

例题

例 1　（场景：电桥平衡 → 已知三个电阻求未知电阻）

問題　次の図のように，抵抗 $R_1 = 4.0\ \Omega$，$R_2 = 6.0\ \Omega$，$R_3 = 8.0\ \Omega$，および抵抗値が未知の抵抗 $R_x$ を接続し，端子 A，B の間に電池，C，D の間に検流計をつないだ。検流計に電流が流れないとき，$R_x$ の抵抗値は何 $\Omega$ か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$3.0\ \Omega$　　②　$5.3\ \Omega$　　③　$12\ \Omega$　　④　$18\ \Omega$

解答　検流計に電流が流れないとき，C 点と D 点は等電位である。A 点と B 点の間の電圧を $V$（B 点を 0 とする）とすると，C 点の電位は

$$V_C = V \frac{R_2}{R_1+R_2}$$

D 点の電位は

$$V_D = V \frac{R_x}{R_3+R_x}$$

$V_C = V_D$ より

$$\frac{R_2}{R_1+R_2} = \frac{R_x}{R_3+R_x}$$

分母を払って整理すると $R_1 R_x = R_2 R_3$，よって

$$R_x = \frac{R_2 R_3}{R_1} = \frac{6.0 \times 8.0}{4.0} = 12\ \Omega$$

検算：$\dfrac{R_1}{R_2} = \dfrac{4.0}{6.0} = \dfrac{2}{3}$，$\dfrac{R_3}{R_x} = \dfrac{8.0}{12} = \dfrac{2}{3}$ で一致する。　答　③

中文翻译　题目：如图，连接电阻 $R_1 = 4.0\ \Omega$、$R_2 = 6.0\ \Omega$、$R_3 = 8.0\ \Omega$ 和阻值未知的电阻 $R_x$，在端子 A、B 之间接电池，C、D 之间接检流计。检流计中没有电流时，$R_x$ 的阻值是多少 $\Omega$？从①～④中选最合适的值。

解答：检流计无电流时，C、D 两点等电位。设 A、B 之间电压为 $V$（B 点取 0），则 $V_C = V \dfrac{R_2}{R_1+R_2}$，$V_D = V \dfrac{R_x}{R_3+R_x}$。由 $V_C = V_D$ 得 $\dfrac{R_2}{R_1+R_2} = \dfrac{R_x}{R_3+R_x}$，去分母整理得 $R_1 R_x = R_2 R_3$，所以 $R_x = \dfrac{R_2 R_3}{R_1} = \dfrac{6.0 \times 8.0}{4.0} = 12\ \Omega$。检验：$\dfrac{R_1}{R_2} = \dfrac{2}{3}$，$\dfrac{R_3}{R_x} = \dfrac{2}{3}$，一致。答案 ③。

解说　用到的是电桥平衡条件。容易卡在：把条件记成“相邻电阻乘积相等”或”$R_1 R_2 = R_3 R_x$“。记法：平衡时两条支路的电阻比相等，交叉相乘就是”对角乘积相等”。选项排除：① $3.0\ \Omega$ 是 $\dfrac{R_1 R_2}{R_3}$，② $5.3\ \Omega$ 是 $\dfrac{R_1 R_3}{R_2}$，都是把比例写反；④ $18\ \Omega$ 是 $R_1+R_2+R_3$ 之类的凑数。

例 2　（场景：电位差计测电动势 → 电压与长度成正比）

問題　次の図のように，一様な抵抗線 AB（長さ $1.00\ \mathrm{m}$）の両端に，電池と可変抵抗を用いて一定の電圧 $2.0\ \mathrm{V}$ を加えた。起電力が未知の電池 $E_x$ を検流計を通して A と接触点 S の間に接続し，S を動かして検流計に電流が流れないようにしたところ，A から S までの長さは $0.60\ \mathrm{m}$ であった。ただし，導線の抵抗は無視できるものとする。

問　$E_x$ は何 V か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$0.60\ \mathrm{V}$　　②　$0.80\ \mathrm{V}$　　③　$1.2\ \mathrm{V}$　　④　$2.0\ \mathrm{V}$

解答　抵抗線は一様なので，A から S までの電圧降下は長さに比例する。AB 全体（$1.00\ \mathrm{m}$）に $2.0\ \mathrm{V}$ が加わっているから，$0.60\ \mathrm{m}$ の部分の電圧は

$$E_x = 2.0 \times \frac{0.60}{1.00} = 1.2\ \mathrm{V}$$

検算：単位長さあたりの電圧は $2.0\ \mathrm{V/m}$，$0.60\ \mathrm{m}$ で $1.2\ \mathrm{V}$。平衡時は $E_x$ 側に電流が流れないので，$E_x$ の内部抵抗による電圧降下はなく，起電力がそのまま測れている。　答　③

中文翻译　题目：如图，在均匀电阻线 AB（长 $1.00\ \mathrm{m}$）两端，用电池和可变电阻加上恒定电压 $2.0\ \mathrm{V}$。把起电力未知的电池 $E_x$ 经检流计接在 A 与触点 S 之间，移动 S 使检流计中无电流，此时 A 到 S 的长度为 $0.60\ \mathrm{m}$。导线电阻可忽略。问：$E_x$ 是多少 V？从①～④中选最合适的值。

解答：电阻线均匀，A 到 S 的电压降与长度成正比。AB 全长 $1.00\ \mathrm{m}$ 上加 $2.0\ \mathrm{V}$，所以 $0.60\ \mathrm{m}$ 部分的电压 $E_x = 2.0 \times \dfrac{0.60}{1.00} = 1.2\ \mathrm{V}$。检验：单位长度电压 $2.0\ \mathrm{V/m}$，$0.60\ \mathrm{m}$ 为 $1.2\ \mathrm{V}$。平衡时 $E_x$ 支路无电流，内阻上没有电压降，因此测得的正是起电力。答案 ③。

解说　用到的是“均匀电阻线上电压与长度成正比”和“平衡时未知电池支路无电流”。容易卡在：把 $E_x$ 当成路端电压，或者忘记平衡时无电流这个条件。选项排除：① $0.60\ \mathrm{V}$ 是长度数值，② $0.80\ \mathrm{V}$ 是剩下那段 $0.40\ \mathrm{m}$ 对应的电压，④ $2.0\ \mathrm{V}$ 是 AB 全长的电压。用比例 $\dfrac{l}{L}$ 一算就能排除。

常用推论

• 电桥平衡时，交换电池和检流计的位置，电桥仍然平衡；平衡条件只由四个电阻决定。
• 电桥不平衡时，C、D 之间的电势差方向可以判断哪边电阻比更大：$V_C > V_D$ 说明 $\dfrac{R_1}{R_2} < \dfrac{R_3}{R_x}$（按本节编号）。
• 电位差计可以测量很小的电动势（如温差电偶），因为它不需要从被测电源取电流。
• 教材没有，考试常用：电桥的灵敏度在平衡点附近最高，比例臂取 $1:1$ 附近时测量误差较小；题目若问“怎样调节更准”，先调比例臂使平衡点落在电阻线中段。

易错点

• 错在哪：把电桥平衡条件记成“相邻两个电阻的乘积相等”。 为什么错：平衡条件是两条支路的电阻比相等，交叉相乘得到的是对角电阻的乘积相等。 正确做法：先写 $\dfrac{R_1}{R_2} = \dfrac{R_3}{R_x}$，再交叉相乘；或记住“对角相乘”。
• 错在哪：认为电桥平衡与检流计的内阻有关。 为什么错：平衡时检流计支路没有电流，它的内阻不影响任何一支的电流和电压。 正确做法：平衡时把 G 支路直接去掉，按两条独立的串联分压支路处理。
• 错在哪：用电压表直接接电池两端，把读数当成电动势。 为什么错：电压表有内阻，会从电池取电流，读数是路端电压 $U = E - Ir$，比电动势小。 正确做法：要测电动势用 потенциометр（电位差计）或补偿法；只有理想电压表（内阻无穷大）读数才等于电动势。

直观理解

电桥像一架天平：两条支路是秤臂，检流计是指针。调节到指针不偏，说明两边的“电阻比”相等，未知电阻就被已知电阻“称”出来了。电位差计像一把量电压的尺子：把电压均匀地分配在电阻线上，未知电动势对应多长的一段线，读长度就知道电压。

关联知识点

• 前置：国内书第 17 章 17.5–17.6 节串并联与电表改装、第 18 章 18.2–18.3 节电动势与路端电压；第 40 章伏安法测电阻。
• 后续：本书 17.2 节基尔霍夫定律（不平衡电桥的电势差计算）、17.8 节题 2（电流计分流电阻）。
• 常一起考：电阻的串并联、电源的 $U$-$I$ 图像；电桥与电位差计多作为组合选择题出现。

17.6 半導体

说明

半導体（半导体）：导电能力介于导体和绝缘体之间的材料，常用的有硅（Si）和锗（Ge）。半导体的电阻率有几个特点：温度升高时减小；光照增强时减小；掺入微量杂质时大幅改变。国内只在“热敏电阻、光敏电阻”和“二极管”处提过，EJU 要求定性理解 n 型、p 型和 pn 接合。

真性半導体（本征半导体）：纯净的硅、锗晶体中，原子通过共价键结合。温度不太低时，少量价电子吸收热能被激发，脱离共价键成为自由电子，原来的位置留下一个正孔（空穴）。自由电子带负电，正孔等效带正电，两者都能导电，合称キャリア（载流子）。本征半导体中电子和正孔成对产生，数目相等。

n 型半導体：在硅中掺入微量五价元素（磷 P、砷 As 等，叫ドナー）。五价原子的 4 个价电子参与共价键，多出的 1 个电子受束缚很弱，室温下就能成为自由电子。因此电子是多数キャリア，正孔是少数キャリア。n 型的“n”来自 negative，指多数载流子带负电。

p 型半導体：掺入微量三价元素（硼 B、铝 Al 等，叫アクセプタ）。三价原子只有 3 个价电子，形成共价键时缺一个电子，相当于产生一个正孔。正孔是多数キャリア，电子是少数キャリア。p 型的“p”来自 positive。

pn 接合：把 p 型区和 n 型区做在同一块晶体上。接合面附近，n 区的电子向 p 区扩散，p 区的正孔向 n 区扩散，两者相遇复合，留下不能移动的离子：n 侧是带正电的ドナー离子，p 侧是带负电的アクセプタ离子。这个缺少载流子的区域叫空乏層（耗尽层），其中形成从 n 侧指向 p 侧的内部電界。内部电界阻碍进一步的扩散，最终达到平衡，接合面两侧出现一个电位差（拡散電位）。

順方向と逆方向：把 p 侧接电源正极、n 侧接负极，叫順方向。外电压的方向与内部电界相反，削弱了内部电界，空乏层变窄，多数载流子容易越过接合面，电流较大。反过来，p 侧接负极、n 侧接正极，叫逆方向，内部电界被加强，空乏层变宽，多数载流子难以通过，只有少数载流子形成极小的电流。

ダイオード（二极管）：利用 pn 接合的单向导电性做成的元件。顺方向电压超过约 $0.6\ \mathrm{V}$（硅管）后电流迅速增大；逆方向电压下电流几乎为零，直到反向电压过大发生击穿。二极管常用于整流（把交流变成单向电流）。

使用场景

• 判断半导体类型、多数载流子或掺入的元素 → 五价ドナー掺入硅得 n 型（电子多），三价アクセプタ得 p 型（正孔多）。
• 判断 pn 接合加电压后空乏层变宽还是变窄、电流大还是小 → 看外电压是削弱还是加强内部电界：p 正 n 负为顺方向，空乏层变窄，电流大。

注意点

• n 型和 p 型都是电中性的：n 型中虽然有自由电子，但固定的ドナー离子带正电，正负电荷总量相等；不能说“n 型带负电”。
• 正孔不是正电子，也不是质子，而是共价键中缺少一个电子留下的空位；它移动时等效于正电荷移动。
• 温度升高时，本征激发产生的电子—正孔对增多，少数载流子增加，所以半导体的电阻率减小，二极管的反向电流增大。
• 光照射也能产生电子—正孔对，这是光敏电阻、太阳能电池的工作原理。
• 二极管的正向电压不是固定值，$0.6\ \mathrm{V}$ 只是近似；题目说“理想的ダイオード”时按零电压降处理。

推导

n 型为什么是电子导电：五价原子（如磷）有 5 个价电子。取代硅原子后，4 个价电子与相邻硅原子形成共价键，第 5 个电子没有参与成键，受到原子的束缚很弱（电离能约 $0.01\ \mathrm{eV}$，室温热运动就足以把它激发）。于是每个五价原子贡献一个自由电子和一个固定的正离子。自由电子数远多于本征激发的正孔数，所以电子是多数载流子。固定的正离子和自由电子电荷相抵，晶体整体中性。

p 型为什么是正孔导电：三价原子（如硼）只有 3 个价电子，形成 4 个共价键时缺一个电子。邻近共价键中的电子容易跳过来填补这个空位，于是在原来的位置留下一个新的空位——正孔。正孔从一个原子“移动”到相邻原子，等效于正电荷在移动。三价原子接受一个电子后变成固定的负离子，与正孔的正电荷相抵，晶体整体中性。

pn 接合为什么形成空乏层：接合瞬间，n 区电子浓度高，向 p 区扩散；p 区正孔浓度高，向 n 区扩散。扩散到对方的载流子与多数载流子复合而消失。留下的ドナー离子（正）和アクセプタ离子（负）不能移动，在接合面两侧形成空间电荷区，即空乏层。空间电荷产生从 n 指向 p 的电场，阻碍扩散；当扩散与电场引起的漂移达到动态平衡时，空乏层宽度稳定，接合面两侧出现扩散电位。

顺方向为什么导通：外加电压 p 正 n 负，其电场方向从 p 指向 n，与内部电场（n→p）相反，内部电场被削弱，空乏层变窄，扩散电流增大。逆方向为什么截止：外加电压 p 负 n 正，外电场与内部电场同向，空乏层变宽，多数载流子的扩散被进一步阻止，只剩少数载流子形成的微小电流。

（关键一步：判断 pn 接合的方向，只看外加电压是“削弱”还是“加强”内部电场。内部电场从 n 指向 p，所以 p 正 n 负是削弱，即顺方向。）

例题

例 1　（场景：由掺杂元素判断半导体类型和多数载流子）

問題　ケイ素に微量のリンを添加した半導体について，正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　正孔が多数キャリアの p 型半導体である。 ②　全体として負に帯電している。 ③　電子が多数キャリアの n 型半導体である。 ④　電子と正孔の数が等しい真性半導体である。

解答　リンは価電子を 5 個もつドナー不純物である。ケイ素の結晶に組み込まれると，4 個の価電子は共有結合に使われ，残りの 1 個が自由に動ける電子となる。したがって，電子が多数キャリアの n 型半導体になる。ドナーイオンは正に帯電しているが，自由電子の負電荷と打ち消し合って，半導体全体は電気的に中性である。　答　③

中文翻译　题目：关于在硅中掺入微量磷的半导体，选出正确的一项。① 正孔为多数载流子的 p 型半导体；② 整体带负电；③ 电子为多数载流子的 n 型半导体；④ 电子和正孔数相等的本征半导体。

解答：磷是价电子数为 5 的施主杂质。进入硅晶体后，4 个价电子参与共价键，剩下的 1 个成为可自由移动的电子。因此成为电子为多数载流子的 n 型半导体。施主离子带正电，但与自由电子的负电荷相抵，半导体整体电中性。答案 ③。

解说　用到的是 n 型、p 型的定义：五价ドナー → n 型，多数载流子是电子；三价アクセプタ → p 型，多数载流子是正孔。容易卡在：看到“多了一个电子”就以为整体带负电，忘了固定的ドナー离子带正电。选项排除：① 把 n 型说成 p 型；② 忽略电中性；④ 掺杂后电子和正孔数目不再相等。

例 2　（场景：pn 接合加电压 → 判断空乏层和电流）

問題　pn 接合に電圧を加えたとき，電流が流れやすいのはどの場合か。電圧の向きと理由の組み合わせとして正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

	電圧の向き	理由
①	p 側を正，n 側を負	空乏層が広がる
②	n 側を正，p 側を負	空乏層が狭くなる
③	p 側を正，n 側を負	空乏層が狭くなる
④	n 側を正，p 側を負	空乏層が広がる

解答　p 側を正，n 側を負にすると，接合面の内部電界（n 側から p 側を向く）が弱められ，空乏層が狭くなる。そのため，拡散によって多数キャリアが接合面を越えやすくなり，電流が流れる（順方向）。逆に n 側を正にすると内部電界が強められ，空乏層が広がって電流はほとんど流れない（逆方向）。　答　③

中文翻译　题目：给 pn 结加电压时，哪种情况电流容易流过？选出电压方向和理由的正确组合。① p 侧正、n 侧负，耗尽层变宽；② n 侧正、p 侧负，耗尽层变窄；③ p 侧正、n 侧负，耗尽层变窄；④ n 侧正、p 侧负，耗尽层变宽。

解答：p 侧正、n 侧负时，接合面的内部电场（从 n 侧指向 p 侧）被削弱，耗尽层变窄。因此多数载流子容易通过扩散越过接合面，电流流过（正向）。反之，n 侧正时内部电场增强，耗尽层变宽，电流几乎不流（反向）。答案 ③。

解说　用到的是顺方向、逆方向与空乏层宽窄的关系。容易卡在：把“p 侧正”与“内部电场方向”混为一谈。记住内部电场从 n 指向 p，外加电压 p 正 n 负时两者反向，所以是削弱。选项排除：① 方向对但理由反；② 方向反；④ 方向反、理由也反。只有 ③ 两项都对。

常用推论

• 五价元素（P、As、Sb）掺入硅 → n 型，电子为多数载流子；三价元素（B、Al、Ga）→ p 型，正孔为多数载流子。
• pn 接合的内部电场从 n 侧指向 p 侧；顺方向是 p 正 n 负，逆方向是 p 负 n 正。
• 温度升高或光照增强 → 电子—正孔对增多 → 半导体电阻率减小、二极管反向电流增大。
• 教材没有，考试常用：二极管的正向电压降约 $0.6\ \mathrm{V}$（硅），题目给“理想的ダイオード”时取 $0$；给“定電圧降下モデル”时，导通后二极管两端电压保持 $0.6\ \mathrm{V}$。

易错点

• 错在哪：认为 n 型半导体整体带负电，p 型整体带正电。 为什么错：掺杂原子形成的离子固定在晶格中，电荷与多数载流子相抵，晶体整体保持电中性。 正确做法：把“多数载流子的符号”和“半导体的净电荷”分开看；n 型、p 型都电中性。
• 错在哪：把正孔当成正电子或质子。 为什么错：正孔是共价键中缺少电子留下的空位，不是真实的正粒子；它移动时等效为正电荷移动。 正确做法：说“正孔”时想“空位”，电子填补空位就相当于空位向相反方向移动。
• 错在哪：认为 pn 接合无论加什么方向的电压都能导通。 为什么错：逆方向时空乏层变宽，多数载流子被阻挡，只有极小的少数载流子电流。 正确做法：先判断电压是削弱还是加强内部电场，再判断空乏层宽窄和电流大小。

直观理解

n 型像一间“多了一把椅子”的教室，多出来的电子可以自由走动；p 型像“少了一把椅子”的教室，空位可以被旁边的人填补，等效于空位在移动。pn 接合像一道可以升降的坡：p 侧正、n 侧负时坡被降低，多数载流子容易过去；反过来坡被抬高，过不去。

关联知识点

• 前置：国内书第 17 章 17.4 节二极管的伏安特性（定性）、第 30 章 30.7 节热敏电阻和光敏电阻。
• 后续：本书 17.7 节含二极管的电路（把 pn 接合抽象成理想开关）、17.3 节半导体电阻率的负温度系数。
• 常一起考：电流的微观表达式 $I = nqSv$（国内书第 17 章 17.2 节），载流子浓度 $n$ 变化会影响导电能力。

17.7 ダイオードを含む回路

说明

理想的なダイオード（理想二极管）：把二极管看成一个有方向的开关：

• 順方向（阳极电位高于阴极）：电阻为零，相当于导线，两端电压降为零；
• 逆方向（阳极电位低于阴极）：电阻无穷大，相当于断路，电流为零。

实际的硅二极管顺方向有约 $0.6\ \mathrm{V}$ 的电压降，逆方向有极小的漏电流；当电路电压远大于 $0.6\ \mathrm{V}$ 时，理想模型很好用。EJU 题目常写「ダイオードは理想的であるとする」。

两态分析（分导通、截止两种状态）：含二极管的电路不能直接套欧姆定律，因为二极管的电阻不是常数。做法是“先假设，再检验”：

1. 假设导通：把二极管换成导线，解出电路中的电流。如果电流从阳极流向阴极（$I > 0$），假设成立；如果解出 $I < 0$，说明电流实际想反着流，假设不成立，二极管应截止。
2. 假设截止：把二极管换成断路，解出它两端的电压 $V_D = V_A - V_K$。如果 $V_A \le V_K$（$V_D \le 0$），假设成立；如果 $V_A > V_K$，说明二极管应该导通，假设不成立。

两个状态中必有一个成立，检验通过的那个就是真实状态。

多个二极管：几个二极管接到同一节点时，通常只有阳极电位最高的那个导通（共阴极接法），它把节点电位“钳位”，使其余二极管承受反向电压。判断时先假设电位最高的导通，再检验其余。

使用场景

• 两个电源通过二极管接到同一负载 → 比较各二极管阳极电位，只有高电位侧的二极管导通，负载电压被它钳位。
• 二极管反向连接、处于截止状态 → 电流为零，但两端电压不一定为零，由其他元件分压决定；用 $V_A - V_K$ 检验。

注意点

• 判断导通看的是阳极电位是否高于阴极电位，不是“二极管接在电源正极那边就一定导通”。
• 导通时二极管两端电压为零（理想模型），电流由外电路决定，可以是任意正值；截止时电流为零，电压由外电路决定，可以是任意负值。
• 多个二极管不能想当然地认为“都导通”；每假设一种状态，都要检验电流方向和电压极性。
• 实际二极管有正向压降和反向耐压；题目说“理想的”就按开关处理，说”$0.6\ \mathrm{V}$ の電圧降下“就按恒压模型处理。

推导

为什么可以分段处理：二极管的 $I$-$U$ 特性在顺方向近似为“电压稍大于零，电流迅速增大”，在逆方向近似为“电流几乎为零”。在含电阻的电路中，二极管要么处于“电流为正、电压约为零”的导通段，要么处于“电流为零、电压为负”的截止段。每一段内电路都是线性的，可以分别求解，再检验解是否落在该段内。

两态分析的逻辑：设电路在假设状态下解出的二极管电流为 $I$、电压为 $V_D$。

• 若假设导通，解出 $I > 0$，则与“顺方向电流为正”一致，成立；若 $I < 0$，则实际电流方向与二极管允许的方向相反，导通假设错误。
• 若假设截止，解出 $V_D \le 0$，则与“逆方向电压为负”一致，成立；若 $V_D > 0$，则二极管实际上正偏，截止假设错误。

多二极管为什么只有一个导通：以共阴极接法为例，各二极管阳极接不同的电源，阴极连在一起。若两个都导通，节点电位就要同时等于两个不同的阳极电位，矛盾。实际只有阳极电位最高的那个导通，它把节点电位钳制在自己的阳极电位，其余二极管的阳极电位低于节点电位，因而截止。

（关键一步：假设一种状态后，一定要用“电流方向”或“电压极性”检验；不检验就可能把截止的二极管当成导通，算出负电流。）

例题

例 1　（场景：两个电源经二极管接同一负载 → 判断哪个导通）

問題　次の図のように，起電力 $E_1 = 6.0\ \mathrm{V}$ の電池と起電力 $E_2 = 3.0\ \mathrm{V}$ の電池を，それぞれ理想的なダイオード $D_1$，$D_2$ を通して点 P で接続し，点 P と電池の負極の間に抵抗値 $R = 1.0\ \mathrm{k\Omega}$ の抵抗をつないだ。ただし，ダイオードは理想的で，順方向の電圧降下は無視できるものとする。

問　抵抗 R を流れる電流は何 mA か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$3.0\ \mathrm{mA}$　　②　$4.5\ \mathrm{mA}$　　③　$6.0\ \mathrm{mA}$　　④　$9.0\ \mathrm{mA}$

解答　$E_1 > E_2$ なので，まず $D_1$ が導通すると仮定する。理想二极管の順方向電圧降下は 0 なので，点 P の電位は $6.0\ \mathrm{V}$ になる。このとき $D_2$ の陽極の電位は $3.0\ \mathrm{V}$，陰極の電位は $6.0\ \mathrm{V}$ であり，$D_2$ は逆方向なので電流は流れない。仮定は矛盾しない。よって

$$I = \frac{6.0}{1.0 \times 10^3} = 6.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{A} = 6.0\ \mathrm{mA}$$

検算：もし $D_2$ も導通すると仮定すると，点 P の電位は同時に $6.0\ \mathrm{V}$ と $3.0\ \mathrm{V}$ になり，矛盾する。　答　③

中文翻译　题目：如图，起电力 $E_1 = 6.0\ \mathrm{V}$ 的电池和起电力 $E_2 = 3.0\ \mathrm{V}$ 的电池分别经理想二极管 $D_1$、$D_2$ 在点 P 相接，点 P 与电池负极之间接阻值 $R = 1.0\ \mathrm{k\Omega}$ 的电阻。二极管理想，正向压降可忽略。问：流过电阻 R 的电流是多少 mA？从①～④中选最合适的值。

解答：因为 $E_1 > E_2$，先假设 $D_1$ 导通。理想二极管正向压降为 0，所以点 P 电位为 $6.0\ \mathrm{V}$。此时 $D_2$ 阳极电位 $3.0\ \mathrm{V}$、阴极电位 $6.0\ \mathrm{V}$，$D_2$ 反向，没有电流。假设无矛盾。所以 $I = \dfrac{6.0}{1.0 \times 10^3} = 6.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{A} = 6.0\ \mathrm{mA}$。检验：若假设 $D_2$ 也导通，点 P 电位会同时等于 $6.0\ \mathrm{V}$ 和 $3.0\ \mathrm{V}$，矛盾。答案 ③。

解说　用到的是两态分析：先假设高电位侧的二极管导通，再检验另一个。容易卡在：把两个电源的电流直接相加，得 $9.0\ \mathrm{mA}$。选项排除：① $3.0\ \mathrm{mA}$ 是只看 $E_2$ 的结果；② $4.5\ \mathrm{mA}$ 是两个电流的平均；④ $9.0\ \mathrm{mA}$ 是两个都导通的错误叠加。另一种解法：先假设两个都截止，则 P 点电位为 0，两个二极管都正偏，矛盾；再假设两个都导通，P 点电位同时为 $6.0\ \mathrm{V}$ 和 $3.0\ \mathrm{V}$，矛盾；所以只能是“一个导通、一个截止”，再比较电源大小确定是 $D_1$ 导通。

例 2　（场景：二极管反向截止 → 两端电压由其他元件决定）

問題　次の図のように，起電力 $6.0\ \mathrm{V}$ の電池，抵抗 $R_1 = 2.0\ \Omega$，$R_2 = 4.0\ \Omega$，および理想的なダイオード D を接続した。ダイオード D は図の向きでは電流を流さない（逆方向である）。ただし，電池の内部抵抗と導線の抵抗は無視できるものとする。

問　ダイオードの陽極の電位から陰極の電位を引いた値 $V_A - V_K$ は何 V か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$-6.0\ \mathrm{V}$　　②　$-2.0\ \mathrm{V}$　　③　$-4.0\ \mathrm{V}$　　④　$4.0\ \mathrm{V}$

解答　D は逆方向なので電流は流れず，$R_2$ には $R_1$ と同じ電流が流れる。回路の電流は

$$I = \frac{6.0}{R_1+R_2} = \frac{6.0}{2.0+4.0} = 1.0\ \mathrm{A}$$

$R_2$ の電圧降下は $4.0 \times 1.0 = 4.0\ \mathrm{V}$。D は $R_2$ と並列なので，D の両端の電圧も $4.0\ \mathrm{V}$ で，陽極より陰極の方が $4.0\ \mathrm{V}$ 高い。よって

$$V_A - V_K = -4.0\ \mathrm{V}$$

検算：もし D が導通すると仮定すると，D の両端の電圧が 0 になり，$R_1$ に $6.0\ \mathrm{V}$ がかかって $3.0\ \mathrm{A}$ の電流が流れる。この電流は D の逆方向に流れることになり，矛盾する。　答　③

中文翻译　题目：如图，连接起电力 $6.0\ \mathrm{V}$ 的电池、电阻 $R_1 = 2.0\ \Omega$、$R_2 = 4.0\ \Omega$ 和理想二极管 D。二极管 D 在图示方向下不导电流（反向）。电池内阻和导线电阻可忽略。问：二极管阳极电位减去阴极电位的值 $V_A - V_K$ 是多少 V？从①～④中选最合适的值。

解答：D 反向，没有电流，$R_2$ 中流过与 $R_1$ 相同的电流。回路电流 $I = \dfrac{6.0}{R_1+R_2} = \dfrac{6.0}{2.0+4.0} = 1.0\ \mathrm{A}$。$R_2$ 的电压降 $4.0 \times 1.0 = 4.0\ \mathrm{V}$。D 与 $R_2$ 并联，所以 D 两端电压也是 $4.0\ \mathrm{V}$，且阴极比阳极高 $4.0\ \mathrm{V}$。因此 $V_A - V_K = -4.0\ \mathrm{V}$。检验：若假设 D 导通，其两端电压为 0，$R_1$ 上承受 $6.0\ \mathrm{V}$，电流 $3.0\ \mathrm{A}$，但该电流方向与 D 允许的方向相反，矛盾。答案 ③。

解说　用到的是截止状态的处理：二极管截止时电流为零，但电压不为零，由并联的电阻决定。容易卡在：认为“截止 = 两端电压为零”，那是对断路器的误解——断路时电流为零，电压可以任意。选项排除：① $-6.0\ \mathrm{V}$ 是把电源电压全算在二极管上；② $-2.0\ \mathrm{V}$ 是 $R_1$ 上的电压；④ $4.0\ \mathrm{V}$ 是电压大小对、符号反。用“阳极减阴极”的方向核对符号。

常用推论

• 二极管与电阻串联：导通时（理想）电阻上电压等于电源电动势；截止时电路电流为零，电阻上电压为零，电源电压全加在二极管上。
• 两个二极管共阴极接不同电源：只有阳极电位最高的导通，其余截止；负载电压被钳位在高电位。
• 桥式整流：四个二极管接成桥，交流输入的两个半周分别有一对二极管导通，负载上电流方向不变。2016 年第 2 回第 17 题考过桥式整流的波形。
• 教材没有，考试常用：实际二极管导通后两端电压约为 $0.6\ \mathrm{V}$（硅），用它替换理想模型的 $0\ \mathrm{V}$，其余算法不变；若题目给的电源电压只有几伏，这 $0.6\ \mathrm{V}$ 不能忽略。

易错点

• 错在哪：假设二极管导通，解出电流为负，仍认为它导通。 为什么错：负电流表示实际电流想从阴极流向阳极，而二极管不允许这个方向。 正确做法：电流为负就改为截止，重新解电路；或直接用“阳极电位是否高于阴极”判断。
• 错在哪：把二极管当成普通电阻，用 $I = \dfrac{U}{R}$ 计算。 为什么错：二极管的电阻不是常数，正向和反向的电阻相差极大，欧姆定律不适用。 正确做法：用两态模型（理想开关）或恒压降模型，分状态列电路方程。
• 错在哪：认为两个二极管接在同一节点就一定都导通。 为什么错：两个二极管都导通要求节点电位同时等于两个不同的阳极电位，通常不可能。 正确做法：先假设电位最高的那个导通，把节点电位钳位，再检验其余二极管是否反偏。

直观理解

二极管像水管里的单向阀：水想往一个方向流时阀门打开，反方向时阀门关闭。理想二极管就是“正向全开、反向全关”的阀门。两态分析像先猜阀门是开还是关，再倒回去看水流方向是否合理：如果猜“开”却算出水往反方向流，说明猜错了。

关联知识点

• 前置：本书 17.6 节半导体的 pn 接合与单向导电；国内书第 17 章 17.4 节二极管的伏安特性（定性）。
• 后续：本书第 20 章交流（二极管整流的应用）、17.2 节基尔霍夫定律（多二极管电路仍用 KCL、KVL）。
• 常一起考：闭合电路欧姆定律、串并联分压；二极管题多作为组合选择题或数值题出现。

17.8 题型与答法

直流回路在 EJU 里属于大問 Ⅳ（電気と磁気），2015 年以后 Ⅳ 有 6 题，本章通常占 1 题，偶尔 2 题。据 20 回公开过去问，本章共出现 24 次（每回平均 1.2 次）：2010 年第 1 回、2011 年第 1 回、2013 年第 2 回、2016 年第 2 回各 2 题，其余 16 回各 1 题。形式以字母式和数值题为主，也出组合题：字母式多问等效电阻、支路电流、电势差；数值题多给两三位有效数字的电阻和电动势；组合题多问“开关通断后各点电位”“电表示数怎么变”“二极管导通组合”。

两分钟做法：

1. 先化简：能化成串并联的先化，求出总电阻，再用 $I = \dfrac{E}{R+r}$ 求总电流。
2. 不能化简：设各支路电流，标方向，列电流方程和回路方程；只问一条支路时优先用节点电压法。
3. 电表题：先判断是分流（并联小电阻）还是倍压（串联大电阻），再套公式；注意“理想电表”假设。
4. 二极管题：先假设导通或截止，解完用电流方向或电压极性检验；多二极管先找阳极电位最高的。
5. 用极限和特殊值核对选项：电阻趋于零、趋于无穷、两个电源相等时，结果应该变成什么。

問題 1　（混联电路 + 电源内阻 → 求支路电流）

次の図のように，起電力 $12\ \mathrm{V}$，内部抵抗 $1.0\ \Omega$ の電池に，抵抗 $R_1 = 4.0\ \Omega$，$R_2 = 6.0\ \Omega$，$R_3 = 3.0\ \Omega$ を接続した。

問　抵抗 $R_2$ を流れる電流は何 A か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$0.29\ \mathrm{A}$　　②　$0.57\ \mathrm{A}$　　③　$1.1\ \mathrm{A}$　　④　$1.7\ \mathrm{A}$

解答　$R_2$ と $R_3$ の並列部分の合成抵抗は

$$\frac{6.0 \times 3.0}{6.0+3.0} = 2.0\ \Omega$$

回路全体の抵抗は $4.0 + 2.0 + 1.0 = 7.0\ \Omega$。電池を流れる電流は

$$I = \frac{12}{7.0} \approx 1.71\ \mathrm{A}$$

並列部分の電圧は $1.71 \times 2.0 \approx 3.43\ \mathrm{V}$。よって $R_2$ を流れる電流は

$$I_2 = \frac{3.43}{6.0} \approx 0.57\ \mathrm{A}$$

検算：$R_3$ を流れる電流は $\dfrac{3.43}{3.0} \approx 1.14\ \mathrm{A}$，$0.57+1.14=1.71\ \mathrm{A}$ で全電流に一致する。　答　②

中文翻译　题目：如图，在起电力 $12\ \mathrm{V}$、内阻 $1.0\ \Omega$ 的电池上，连接电阻 $R_1 = 4.0\ \Omega$、$R_2 = 6.0\ \Omega$、$R_3 = 3.0\ \Omega$。问：流过电阻 $R_2$ 的电流是多少 A？从①～④中选最合适的值。

解答：$R_2$ 与 $R_3$ 并联部分的等效电阻为 $\dfrac{6.0 \times 3.0}{6.0+3.0} = 2.0\ \Omega$。整个电路电阻 $4.0+2.0+1.0=7.0\ \Omega$。电池中电流 $I = \dfrac{12}{7.0} \approx 1.71\ \mathrm{A}$。并联部分电压 $1.71 \times 2.0 \approx 3.43\ \mathrm{V}$。所以 $I_2 = \dfrac{3.43}{6.0} \approx 0.57\ \mathrm{A}$。检验：$R_3$ 中电流 $\dfrac{3.43}{3.0} \approx 1.14\ \mathrm{A}$，与 $0.57\ \mathrm{A}$ 相加为 $1.71\ \mathrm{A}$，等于总电流。答案 ②。

解说　两分钟做法：先算并联等效电阻，再算总电阻（别忘了内阻 $r$），求总电流，最后按并联分流。容易卡在：忘记内阻，把总电阻算成 $6.0\ \Omega$，总电流变成 $2.0\ \mathrm{A}$，选项里没有这个数，就会怀疑自己。选项排除：① $0.29\ \mathrm{A}$ 是 $R_3$ 电流的四分之一左右，③ $1.1\ \mathrm{A}$ 是 $R_3$ 的电流，④ $1.7\ \mathrm{A}$ 是总电流。看到“问支路电流”却选总电流，是这类题最常见的失分。

問題 2　（电流计改装 → 分流电阻）

内部抵抗 $50\ \Omega$，最大目盛 $1.0\ \mathrm{mA}$ の電流計を，最大目盛 $0.10\ \mathrm{A}$ の電流計にしたい。電流計に並列に接続する分流抵抗の抵抗値は何 $\Omega$ か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$0.050\ \Omega$　　②　$0.10\ \Omega$　　③　$5.0\ \Omega$　　④　$0.51\ \Omega$

解答　最大目盛のとき，電流計には $1.0\ \mathrm{mA} = 1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{A}$ が流れ，残りは分流抵抗に流れる。分流抵抗を $R_s$ とすると

$$0.10 - 1.0 \times 10^{-3} = 0.099\ \mathrm{A}$$

並列なので両端の電圧が等しい：

$$1.0 \times 10^{-3} \times 50 = 0.099 \times R_s \quad\therefore\quad R_s = \frac{0.050}{0.099} \approx 0.51\ \Omega$$

検算：合成抵抗は $\dfrac{50 \times 0.51}{50+0.51} \approx 0.50\ \Omega$，$0.10\ \mathrm{A} \times 0.50\ \Omega = 0.050\ \mathrm{V}$，電流計側の $1.0\ \mathrm{mA} \times 50\ \Omega = 0.050\ \mathrm{V}$ と一致する。　答　④

中文翻译　题目：要把内阻 $50\ \Omega$、最大刻度 $1.0\ \mathrm{mA}$ 的电流计改成最大刻度 $0.10\ \mathrm{A}$ 的电流表。与电流计并联的分流电阻的阻值是多少 $\Omega$？从①～④中选最合适的值。

解答：达到最大刻度时，电流计中流过 $1.0\ \mathrm{mA} = 1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{A}$，其余电流流过分流电阻，为 $0.10 - 1.0 \times 10^{-3} = 0.099\ \mathrm{A}$。并联两端电压相等：$1.0 \times 10^{-3} \times 50 = 0.099 \times R_s$，所以 $R_s = \dfrac{0.050}{0.099} \approx 0.51\ \Omega$。检验：并联等效电阻 $\dfrac{50 \times 0.51}{50+0.51} \approx 0.50\ \Omega$，$0.10\ \mathrm{A} \times 0.50\ \Omega = 0.050\ \mathrm{V}$，与电流计侧 $1.0\ \mathrm{mA} \times 50\ \Omega = 0.050\ \mathrm{V}$ 一致。答案 ④。

解说　两分钟做法：分流电阻与电流计并联，电压相同；先算分流电流，再用 $I_g R_g = I_s R_s$。容易卡在：把量程扩大倍数算成 $\dfrac{0.10}{1.0 \times 10^{-3}} = 100$，然后用 $R_s = \dfrac{R_g}{100}$ 得 $0.50\ \Omega$，与正确值 $0.51\ \Omega$ 很接近；严格的分流公式是 $R_s = \dfrac{R_g}{n-1}$，$n=100$ 时分母是 $99$。选项排除：① $0.050\ \Omega$ 是忘了除以 $99$，② $0.10\ \Omega$ 是分流电流算错，③ $5.0\ \Omega$ 是数量级错。

問題 3　（动态分析 → 滑动变阻器变化时电表示数）

次の図のように，起電力 $6.0\ \mathrm{V}$，内部抵抗 $1.0\ \Omega$ の電池に，抵抗 $R_1 = 2.0\ \Omega$ と可変抵抗 $R_2$ を直列に接続し，$R_2$ に電圧計をつないだ。電圧計は理想的であるとする。

問　$R_2$ の抵抗値を大きくしていくとき，回路を流れる電流 $I$ と電圧計が示す電圧 $V$ はどのようになるか。正しい組み合わせを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

	電流 $I$	電圧 $V$
①	増加する	増加する
②	減少する	減少する
③	減少する	増加する
④	増加する	減少する

解答　回路の電流は

$$I = \frac{E}{R_1+R_2+r} = \frac{6.0}{2.0+R_2+1.0}$$

$R_2$ を大きくすると分母が大きくなるので，$I$ は減少する。電圧計の示す電圧は

$$V = R_2 I = \frac{R_2}{R_1+R_2+r}E$$

分母と分子を $R_2$ で割ると

$$V = \frac{E}{1+\dfrac{R_1+r}{R_2}}$$

$R_2$ を大きくすると分母が $1$ に近づき，$V$ は増加して $E$ に近づく。よって $I$ は減少，$V$ は増加。　答　③

中文翻译　题目：如图，在起电力 $6.0\ \mathrm{V}$、内阻 $1.0\ \Omega$ 的电池上，串联电阻 $R_1 = 2.0\ \Omega$ 和可变电阻 $R_2$，电压表并在 $R_2$ 两端。电压表为理想电压表。问：把 $R_2$ 的阻值调大时，电路电流 $I$ 和电压表示数 $V$ 怎样变化？从①～④中选正确的组合。

解答：回路电流 $I = \dfrac{E}{R_1+R_2+r} = \dfrac{6.0}{2.0+R_2+1.0}$。$R_2$ 增大，分母增大，$I$ 减小。电压表示数 $V = R_2 I = \dfrac{R_2}{R_1+R_2+r}E$。分子分母同除以 $R_2$，得 $V = \dfrac{E}{1+\dfrac{R_1+r}{R_2}}$。$R_2$ 增大时分母趋近 1，$V$ 增大并趋近 $E$。所以 $I$ 减小，$V$ 增大。答案 ③。

解说　两分钟做法：先写总电流，再写目标电压，最后看单调性。容易卡在：只凭“电阻变大，电流变小”就以为电压也变小；$R_2$ 两端的电压是 $R_2 I$，一个因子变大、一个因子变小，要看哪个占优。选项排除：② 是“电流电压同向变”的直觉错误；①④ 电流方向就错了，$R_2$ 增大总电阻一定增大，电流一定减小。用极限核对：$R_2 \to \infty$ 时 $I \to 0$，$V \to E = 6.0\ \mathrm{V}$；$R_2 \to 0$ 时 $V \to 0$，可见 $V$ 随 $R_2$ 增大而增大。

17.9 术语与题干用语

日文	读音	中文	例句或说明
直流回路	ちょくりゅうかいろ	直流电路	「直流回路の電流を求めよ。」
電流	でんりゅう	电流	「回路を流れる電流は何 A か。」
電圧	でんあつ	电压	「抵抗の両端の電圧を測る。」
抵抗	ていこう	电阻	「抵抗値 $R$ の抵抗をつなぐ。」
抵抗率	ていこうりつ	电阻率	「タングステンの抵抗率は温度とともに大きくなる。」
温度係数	おんどけいすう	温度系数	「抵抗率の温度係数を $\alpha$ とする。」
起電力	きでんりょく	电动势	「電池の起電力は $6.0\ \mathrm{V}$ である。」
内部抵抗	ないぶていこう	内阻	「電池の内部抵抗は $1.0\ \Omega$ である。」
端子電圧	たんしでんあつ	路端电压	「端子電圧は起電力より小さい。」
電流計	でんりゅうけい	电流表	「電流計を直列に接続する。」
電圧計	でんあつけい	电压表	「電圧計を抵抗に並列に接続する。」
検流計	けんりゅうけい	灵敏电流计	「検流計の針が振れないとき，電橋は平衡している。」
キルヒホッフの法則	きるひほっふのほうそく	基尔霍夫定律	「キルヒホッフの法則を用いて電流を求める。」
電流則	でんりゅうそく	电流定律	「分岐点で電流則を立てる。」
電圧則	でんあつそく	电压定律	「閉回路で電圧則を立てる。」
閉回路	へいかいろ	闭合回路	「閉回路を一巡する。」
電圧降下	でんあつこうか	电压降	「抵抗による電圧降下を求める。」
合成抵抗	ごうせいていこう	等效电阻	「並列部分の合成抵抗を求める。」
分流抵抗	ぶんりゅうていこう	分流电阻	「電流計に分流抵抗を並列につなぐ。」
倍率器	ばいりつき	倍压电阻	「電圧計にするには倍率器を直列につなぐ。」
ホイートストンブリッジ	ほいーとすとんぶりっじ	惠斯通电桥	「ホイートストンブリッジを平衡させる。」
電位差計	でんいさけい	电位差计	「電位差計で起電力を測る。」
半導体	はんどうたい	半导体	「半導体の抵抗率は温度が上がると小さくなる。」
真性半導体	しんせいはんどうたい	本征半导体	「真性半導体では電子と正孔が同数できる。」
n 型半導体	えぬがたはんどうたい	n 型半导体	「n 型半導体では電子が多数キャリアである。」
p 型半導体	ぴーがたはんどうたい	p 型半导体	「p 型半導体では正孔が多数キャリアである。」
正孔	せいこう	空穴	「正孔は電子が抜けた空位である。」
キャリア	きゃりあ	载流子	「電子と正孔をキャリアという。」
多数キャリア	たすうきゃりあ	多数载流子	「n 型では電子が多数キャリアである。」
少数キャリア	しょうすうきゃりあ	少数载流子	「温度が上がると少数キャリアが増える。」
ドナー	どなー	施主	「五価の原子をドナーという。」
アクセプタ	あくせぷた	受主	「三価の原子をアクセプタという。」
pn 接合	ぴーえぬせつごう	pn 结	「pn 接合は一方向にしか電流を流さない。」
空乏層	くうぼうそう	耗尽层	「逆方向に電圧を加えると空乏層が広がる。」
順方向	じゅんほうこう	正向	「ダイオードに順方向の電圧を加える。」
逆方向	ぎゃくほうこう	反向	「逆方向では電流がほとんど流れない。」
ダイオード	だいおーど	二极管	「理想的なダイオードはスイッチとみなせる。」
整流	せいりゅう	整流	「ダイオードを使って交流を整流する。」
特性曲線	とくせいきょくせん	特性曲线	「電球の特性曲線と負荷直線の交点を求める。」
非線形抵抗	ひせんけいていこう	非线性电阻	「非線形抵抗ではオームの法則が成り立たない。」
動作点	どうさてん	工作点	「特性曲線上の動作点で電力を求める。」
電球	でんきゅう	电灯泡	「電球の明るさは消費電力で決まる。」

17.10 自测

1. キルヒホッフの第 1 法則は，何の保存則に基づいているか。 基尔霍夫第一定律基于什么守恒定律？

2. 起電力 $6.0\ \mathrm{V}$，内部抵抗 $1.0\ \Omega$ の電池に $2.0\ \Omega$ の抵抗をつないだ。回路を流れる電流は何 A か。 起电力 $6.0\ \mathrm{V}$、内阻 $1.0\ \Omega$ 的电池接 $2.0\ \Omega$ 的电阻。回路电流是多少 A？

3. $0\ \mathrm{^\circ C}$ で $20\ \Omega$ の銅線を $100\ \mathrm{^\circ C}$ にした。銅の抵抗率の温度係数を $4.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{K^{-1}}$ とすると，抵抗は何 $\Omega$ か。 在 $0\ \mathrm{^\circ C}$ 时电阻为 $20\ \Omega$ 的铜线加热到 $100\ \mathrm{^\circ C}$。铜的电阻率温度系数为 $4.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{K^{-1}}$，电阻是多少 $\Omega$？

4. 特性曲線上で電圧 $2.0\ \mathrm{V}$，電流 $0.20\ \mathrm{A}$ の点にある電球の抵抗は何 $\Omega$ か。また，消費電力は何 W か。 电球特性曲线上电压 $2.0\ \mathrm{V}$、电流 $0.20\ \mathrm{A}$ 的点，电阻是多少 $\Omega$？消耗功率是多少 W？

5. $R_1 = 2.0\ \Omega$，$R_2 = 4.0\ \Omega$，$R_3 = 3.0\ \Omega$ のホイートストンブリッジで検流計に電流が流れないとき，$R_x$ は何 $\Omega$ か。 惠斯通电桥中 $R_1 = 2.0\ \Omega$、$R_2 = 4.0\ \Omega$、$R_3 = 3.0\ \Omega$，检流计无电流时 $R_x$ 是多少 $\Omega$？

6. 電位差計で，抵抗線 AB の両端の電圧が $2.0\ \mathrm{V}$，AB の長さが $1.00\ \mathrm{m}$，平衡点までの長さが $0.75\ \mathrm{m}$ のとき，未知の起電力は何 V か。 电位差计中电阻线 AB 两端电压 $2.0\ \mathrm{V}$，AB 长 $1.00\ \mathrm{m}$，平衡长度 $0.75\ \mathrm{m}$，未知电动势是多少 V？

7. ケイ素に三価のホウ素を添加した半導体は，n 型・p 型のどちらか。また，多数キャリアは何か。 在硅中掺入三价硼的半导体是 n 型还是 p 型？多数载流子是什么？

8. 理想的なダイオードを順方向に接続した。起電力 $6.0\ \mathrm{V}$，抵抗 $2.0\ \Omega$ の直列回路に流れる電流は何 A か。逆方向のときは何 A か。 理想二极管正向连接。起电力 $6.0\ \mathrm{V}$、电阻 $2.0\ \Omega$ 的串联电路中电流是多少 A？反向时是多少 A？

答案：1. 電荷保存則（电荷守恒）　2. $I = \dfrac{6.0}{2.0+1.0} = 2.0\ \mathrm{A}$　3. $R = 20(1+4.0 \times 10^{-3} \times 100) = 28\ \Omega$　4. $R = \dfrac{2.0}{0.20} = 10\ \Omega$，$P = 2.0 \times 0.20 = 0.40\ \mathrm{W}$　5. $R_x = \dfrac{R_2 R_3}{R_1} = \dfrac{4.0 \times 3.0}{2.0} = 6.0\ \Omega$　6. $E_x = 2.0 \times \dfrac{0.75}{1.00} = 1.5\ \mathrm{V}$　7. p 型，正孔が多数キャリア　8. 順方向 $I = \dfrac{6.0}{2.0} = 3.0\ \mathrm{A}$，逆方向 $0\ \mathrm{A}$

17.11 深入阅读

• JASSO · 理科（物理）シラバス：本章对应「電流」「直流回路」「半導体」：オームの法則、キルヒホッフの法則、抵抗の測定、ダイオード。
• 维基百科（日文）· キルヒホッフの法則：基尔霍夫两条定律的日文表述和符号约定。
• PhET · 电路组装套件：搭建串并联、电桥和二极管电路，观察电流和电压，配合本章的电路分析。
• 维基百科（日文）· ダイオード：二极管的日文说明、pn 接合和单向导电性。