第 16 章 · コンデンサー

项目	内容
シラバス项目	Ⅳ 電気と磁気 1. 電場 (5) コンデンサー：コンデンサー，電気容量，誘電体，コンデンサーに蓄えられる静電エネルギー，コンデンサーの接続；另含 Ⅳ 2.(2) コンデンサーを含む回路（开关切换、充放电、焦耳热）
国内书对应	第 16 章 16.6 节（电容器与电容、两类动态分析）；第 18 章 18.6 节（含容电路）
本章新内容的分量	大。日本记号 $C=\varepsilon S/d$、$\varepsilon=\varepsilon_r\varepsilon_0$，静电能量公式，直列・並列合成容量，含容电路的焦耳热和充电过程，極板間引力，国内没有或只定性
过去问出现次数	20 回共 20 題（每回平均 1.0 題）：2012 年第 1 回、2014 年第 1 回各 2 題，2011 年第 2 回、2013 年第 2 回没有，其余每回 1 題

国内学过电容器：$C=Q/U$ 是定义式，平行板电容由 $\varepsilon_r$、$S$、$d$ 决定，还练过“接电源 $U$ 不变、断开电源 $Q$ 不变”的两类动态分析。EJU 把同一套内容换成日本记号 $C=\varepsilon S/d$，并且补上国内不要求的四块：静电能量、直列・並列合成容量、含容电路里的电荷再分配与焦耳热、極板間引力。中国学生常丢分的地方是：把 $4\pi k$ 和 $\varepsilon_0$ 混着用、能量公式漏掉 $\dfrac12$、开关切换后仍用“电压不变”、连接两个带电电容器时误用能量守恒。

16.1 与国内的对照

シラバス小項目（日文原文）	国内书位置	相同 / 讲法不同 / 国内没有	本章哪节讲
コンデンサー，電気容量	国内书第 16 章 16.6 节	讲法不同：国内 $C=Q/U$、$C=\dfrac{\varepsilon_r S}{4\pi kd}$，电压记 $U$；日本 $C=\varepsilon\dfrac{S}{d}$，$\varepsilon=\varepsilon_r\varepsilon_0$，电压记 $V$	16.2
誘電体	国内书第 16 章 16.6 节（动态分析里提到插入介质）	讲法不同：日本用比誘電率定量算 $C$、$V$、$E$ 的变化，还要会插入金属板	16.3
コンデンサーに蓄えられる静電エネルギー	国内书第 16 章 16.6 节直观理解（只提 $Q$-$U$ 图面积，课标不要求公式）	国内没有	16.4
コンデンサーの接続	无	国内没有	16.5
コンデンサーを含む回路	国内书第 18 章 18.6 节（含容电路）	相同为主；EJU 还要焦耳热和充电过程的定性图像	16.6、16.7
極板間の引力	无	国内没有（补充）	16.8

七个知识点的顺序：先把 $C=Q/V$ 和 $C=\varepsilon S/d$ 讲清（16.2），再看插入介质、金属板后各量怎么变（16.3），接着算储存的能量（16.4），然后是直列・並列接続（16.5）、含容电路（16.6）、充放电与焦耳热（16.7），最后补充極板間引力（16.8）。国内讲过的两类动态分析，本章只在 16.3 里换记号重述，不重复展开。

16.2 コンデンサーと電気容量

说明

コンデンサー（电容器）：两块彼此绝缘、靠得很近的导体（極板）组成。把两极板分别接到电源正负极上，两板带上等量异种电荷，这个过程叫充電；用导线把两板接通，正负电荷中和，叫放電。

電気量 $Q$：一个极板所带电荷量的绝对值。两板电荷等量异种，相加为零，所以不说“两板共带多少电”。

電気容量（电容）$C$：电容器所带电荷量 $Q$ 与两板间电压 $V$ 之比：

$$C = \frac{Q}{V}$$

单位是法拉 $\mathrm{F}$，$1\ \mathrm{F}=1\ \mathrm{C/V}$。常用单位 $\mu\mathrm{F}=10^{-6}\ \mathrm{F}$、$\mathrm{pF}=10^{-12}\ \mathrm{F}$。$C$ 由电容器本身决定，与带不带电、带多少电无关；不带电的电容器电容也不是零。

平行板电容器的电容：

$$C = \varepsilon\frac{S}{d} = \varepsilon_r\varepsilon_0\frac{S}{d}$$

$S$ 是两板正对面积，$d$ 是板间距离，$\varepsilon_r$ 是电介质的比誘電率（真空为 1），$\varepsilon_0$ 是真空の誘電率，$\varepsilon_0=8.9\times10^{-12}\ \mathrm{F/m}$。$\varepsilon=\varepsilon_r\varepsilon_0$ 叫介质的誘電率（有单位，$\mathrm{F/m}$），$\varepsilon_r$ 没有单位。

板间电场：两板间（边缘附近除外）是匀强电场，

$$E = \frac{V}{d}$$

把 $V=Ed$ 代入 $C=Q/V$，得

$$Q = CV = \varepsilon SE$$

所以 $Q$ 不变时 $E=\dfrac{Q}{\varepsilon S}$，只由电荷面密度决定，与 $d$ 无关。

使用场景

• 题目给电荷量和电压（或给电容和电压），求另一个量，或做 $\mu\mathrm{F}$、$\mathrm{pF}$ 换算 → 定义式 $C=Q/V$，$Q=CV$。
• 题目给平行板的面积、间距、介质，求电容或反求 $S$、$d$、$\varepsilon_r$ → 决定式 $C=\varepsilon\dfrac{S}{d}$，再用 $E=V/d$。

注意点

• 国内把电压记作 $U$，日本教科书和 EJU 记作 $V$。本章公式统一用 $V$；静电能量用 $U$，看到 $U$ 时先看清是哪一个。
• 国内的 $C=\dfrac{\varepsilon_r S}{4\pi kd}$ 和日本的 $C=\dfrac{\varepsilon_r\varepsilon_0 S}{d}$ 是同一个式子，因为 $\varepsilon_0=\dfrac{1}{4\pi k}$。EJU 题面不会给 $k$，只会给 $\varepsilon_0$，要用日本写法。
• $\varepsilon_r$ 是纯数，$\varepsilon$ 和 $\varepsilon_0$ 有单位 $\mathrm{F/m}$。代入前先把 $\mu\mathrm{F}$ 换成 $10^{-6}\ \mathrm{F}$、$\mathrm{mm}$ 换成 $\mathrm{m}$。
• $Q$ 是一个极板的电荷量，不是两板之和，也不是两倍。
• 平行板公式忽略边缘效应，只在板间距离远小于板的大小时成立。

推导

$C=Q/V$ 的实验依据：把同一个电容器接到不同电压的电源上，测每次的电荷量，发现 $Q$ 与 $V$ 成正比，比值 $Q/V$ 不变；换一个电容器，比值改变。这个比值就用来描述电容器“容纳电荷的本领”，定义为电容。所以 $C=Q/V$ 是定义式，不是决定式。

$C=\varepsilon S/d$ 的实验依据：给平行板电容器充电后断开电源，用静电计测两板间电压。增大 $d$，电压变大，说明 $C$ 变小；减小正对面积 $S$，电压变大，$C$ 变小；插入电介质，电压变小，$C$ 变大。精确实验得到 $C\propto\dfrac{\varepsilon_r S}{d}$，比例系数写成 $\varepsilon_0$，即 $C=\varepsilon_r\varepsilon_0\dfrac{S}{d}$。理论推导要用高斯定理（大学内容），高中直接用。

$E=V/d$：匀强电场中，把电荷 $q$ 从一板移到另一板，电场力做功 $qV=qEd$，所以 $E=V/d$。（关键一步：$d$ 是沿电场方向的距离，两板平行时就是板间距离。）

例题

例 1　（场景：给电荷量和电压求电容 → 定义式 $C=Q/V$，注意单位换算）

問題　平行板コンデンサーに $3.0\times10^{-5}\ \mathrm{C}$ の電気量を蓄えたとき，極板間の電圧は $12\ \mathrm{V}$ であった。このコンデンサーの電気容量は何 $\mu\mathrm{F}$ か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$0.25\ \mu\mathrm{F}$　　②　$2.5\ \mu\mathrm{F}$　　③　$3.6\ \mu\mathrm{F}$　　④　$4.0\ \mu\mathrm{F}$

解答　電気容量は $C=\dfrac{Q}{V}$ で与えられる。$Q=3.0\times10^{-5}\ \mathrm{C}$，$V=12\ \mathrm{V}$ より

$$C = \frac{3.0\times10^{-5}}{12}\ \mathrm{F} = 2.5\times10^{-6}\ \mathrm{F} = 2.5\ \mu\mathrm{F}$$

検算：$CV=2.5\times10^{-6}\times12=3.0\times10^{-5}\ \mathrm{C}$ となり，与えた電気量に一致する。　答　②

中文翻译　题目：平行板电容器蓄有 $3.0\times10^{-5}\ \mathrm{C}$ 的电荷量时，板间电压为 $12\ \mathrm{V}$。这个电容器的电容是多少 $\mu\mathrm{F}$？从①～④中选最合适的值。解答：电容由 $C=Q/V$ 给出，$C=3.0\times10^{-5}/12\ \mathrm{F}=2.5\times10^{-6}\ \mathrm{F}=2.5\ \mu\mathrm{F}$。检验：$CV=2.5\times10^{-6}\times12=3.0\times10^{-5}\ \mathrm{C}$，与给出的电荷量一致。答案 ②。

解说　用到本节“说明”里的定义式 $C=Q/V$。容易卡在：算出 $2.5\times10^{-6}$ 后忘记 $10^{-6}$ 就是 $\mu$，把答案写成 $2.5\times10^{-6}\ \mu\mathrm{F}$。选项排除：③ 是 $Q$ 乘 $V$ 的结果 $3.6\times10^{-4}$，把定义式记成了乘法；① 是数量级差 10 倍；④ 是把 $12/3.0=4.0$ 直接拿来用、丢掉了 $10^{-5}$。

例 2　（场景：给平行板的面积和间距求电容 → 决定式 $C=\varepsilon S/d$）

問題　面積 $2.0\times10^{-2}\ \mathrm{m^2}$，間隔 $1.0\times10^{-3}\ \mathrm{m}$ の平行板コンデンサーがある。極板間が真空のとき，このコンデンサーの電気容量は何 $\mathrm{pF}$ か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，真空の誘電率を $8.9\times10^{-12}\ \mathrm{F/m}$ とする。

①　$1.8\times10^2\ \mathrm{pF}$　　②　$1.8\times10^1\ \mathrm{pF}$　　③　$3.6\times10^2\ \mathrm{pF}$　　④　$9.0\times10^2\ \mathrm{pF}$

解答　真空なので $\varepsilon=\varepsilon_0$。平行板コンデンサーの電気容量は

$$C = \varepsilon_0\frac{S}{d} = 8.9\times10^{-12}\times\frac{2.0\times10^{-2}}{1.0\times10^{-3}}\ \mathrm{F} = 1.78\times10^{-10}\ \mathrm{F} = 1.8\times10^2\ \mathrm{pF}$$

検算：$\mathrm{pF}$ 是 $10^{-12}\ \mathrm{F}$，$1.78\times10^{-10}\ \mathrm{F}=178\ \mathrm{pF}$，取两位有效数字为 $1.8\times10^2\ \mathrm{pF}$。　答　①

中文翻译　题目：面积 $2.0\times10^{-2}\ \mathrm{m^2}$、间距 $1.0\times10^{-3}\ \mathrm{m}$ 的平行板电容器，板间为真空时电容是多少 $\mathrm{pF}$？真空介电常数取 $8.9\times10^{-12}\ \mathrm{F/m}$。从①～④中选最合适的值。解答：真空中 $\varepsilon=\varepsilon_0$，$C=\varepsilon_0 S/d=8.9\times10^{-12}\times2.0\times10^{-2}/(1.0\times10^{-3})\ \mathrm{F}=1.78\times10^{-10}\ \mathrm{F}=1.8\times10^2\ \mathrm{pF}$。检验：$\mathrm{pF}$ 是 $10^{-12}\ \mathrm{F}$，$178\ \mathrm{pF}$ 取两位为 $1.8\times10^2\ \mathrm{pF}$。答案 ①。

解说　用到决定式 $C=\varepsilon S/d$。容易卡在：面积和间距的 $10$ 的幂次没有先化简，$\dfrac{2.0\times10^{-2}}{1.0\times10^{-3}}=20$，再乘 $8.9\times10^{-12}$ 就得到 $1.78\times10^{-10}$。选项排除：② 是 $10$ 的幂次差一位；③ 是把面积当成 $4.0\times10^{-2}$ 或漏了除以 2；④ 是用 $S/d$ 时把间距当成了 $10^{-4}$ 量级。另一种解法：先算 $C=\varepsilon_0\times20$，再记 $8.9\times20=178$，直接得 $1.8\times10^2\ \mathrm{pF}$，比一路带 $10$ 的幂次更快，适合选择题。

常用推论

• $Q=CV$；电压变化 $\Delta V$ 时 $\Delta Q=C\Delta V$（电容不变）。
• $E=\dfrac{V}{d}=\dfrac{Q}{\varepsilon S}$。电荷量不变时，改变板间距离 $E$ 不变，这是 16.3、16.4 许多结论的来源。
• 平行板电容器 $C\propto\varepsilon_r$、$C\propto S$、$C\propto\dfrac1d$。三个量同时变时，用比例式一次算倍数。
• 单位换算：$1\ \mathrm{F}=10^6\ \mu\mathrm{F}=10^{12}\ \mathrm{pF}$；$1\ \mathrm{mm}=10^{-3}\ \mathrm{m}$，$1\ \mathrm{cm^2}=10^{-4}\ \mathrm{m^2}$。

易错点

• 错在哪：认为电荷量 $Q$ 越大，电容 $C$ 越大。 为什么错：把定义式当成了决定式。$Q$ 增大时 $V$ 同比例增大，比值 $Q/V$ 不变。 正确做法：电容只看 $\varepsilon_r$、$S$、$d$；$Q$ 和 $V$ 由电路和电容共同决定。
• 错在哪：把两板电荷量相加，得到 0 或 $2Q$。 为什么错：两板带等量异种电荷，代数和为零；定义里的 $Q$ 只是一块板的电荷量绝对值。 正确做法：题目说“电容器带电量 $Q$“时，直接取一个极板的绝对值。
• 错在哪：把 $\varepsilon_r$ 当成有单位的量，或把 $\varepsilon_0$ 和 $\varepsilon$ 混用。 为什么错：$\varepsilon_r$ 是相对介电常数，纯数；$\varepsilon=\varepsilon_r\varepsilon_0$ 才有 $\mathrm{F/m}$ 的单位。 正确做法：先写 $\varepsilon=\varepsilon_r\varepsilon_0$，再代入 $C=\varepsilon S/d$；检查单位 $\mathrm{F/m}\cdot\mathrm{m^2/m}=\mathrm{F}$。

直观理解

电容器像圆柱形水桶：电荷量 $Q$ 是水量，电压 $V$ 是水深，电容 $C$ 是桶的底面积。同样水深，底面积大的桶装得多；桶的粗细由桶本身决定，与装了多少水无关。$Q$-$V$ 图是过原点的直线，斜率是 $C$，图线下的三角形面积是 $\dfrac12 QV$，正好是电容器储存的能量（16.4 节）。

关联知识点

• 前置：国内书第 16 章 16.4 节 $E=U/d$（匀强电场），16.6 节电容器与电容。
• 前置：本书第 15 章電場と電位（电场强度、电位差、匀强电场）。
• 后续：本书 16.3 誘電体と金属板の挿入，16.4 静電エネルギー，16.5 コンデンサーの接続。
• 后续：本书第 17 章直流回路（コンデンサーを含む回路）。
• 常一起考：国内书第 18 章 18.6 节含容电路（稳定后电容支路断路）。

16.3 誘電体と金属板の挿入

说明

誘電体（电介质）：绝缘体。放入电场后发生誘電分極，表面出现束缚电荷，在介质内部产生与外电场反向的电场，使介质内的合场强减弱为真空时的 $\dfrac{1}{\varepsilon_r}$：

$$E = \frac{E_0}{\varepsilon_r}$$

（这里的 $E_0$ 是极板电荷不变时真空中的场强。若接电源保持 $V$ 不变，极板电荷会随介质增多，$E=\dfrac{V}{d}$ 不变。）

所以平行板电容器极板间充满比誘電率 $\varepsilon_r$ 的介质后，电容变为

$$C = \varepsilon_r\varepsilon_0\frac{S}{d} = \varepsilon_r C_0$$

$C_0$ 是同样尺寸、板间为真空时的电容。

插入金属板：金属内部电场为零，整块金属是等势体。在间距 $d$ 的两板间插入厚度 $t$（$t<d$）、与极板平行的金属板，电压只降在两侧的空气隙上，等效板间距离变为 $d-t$：

$$C' = \varepsilon_0\frac{S}{d-t}$$

部分填充介质：插入厚度 $t$、面积与极板相同的介质板（不接触极板），可以看成“空气层 $d-t$“和”介质层 $t$“两个电容器串联：

$$\frac{1}{C'} = \frac{d-t}{\varepsilon_0 S} + \frac{t}{\varepsilon S} \quad\Rightarrow\quad C' = \frac{\varepsilon_0 S}{d-t+\dfrac{t}{\varepsilon_r}}$$

（这条是补充，教材不一定给，考试常用。）

使用场景

• 充电后断开电源（$Q$ 不变），插入介质、金属板或改变 $d$ → $C$ 变，$V=Q/C$ 变，$E=V/d$ 变（充满介质时 $E$ 变为 $\dfrac{1}{\varepsilon_r}$；只插金属板时空气隙中 $E$ 不变）。
• 一直接在电源上（$V$ 不变），插入介质、金属板或改变 $d$ → $C$ 变，$Q=CV$ 变，$E=V/d$ 或 $E=\dfrac{V}{d-t}$ 变。

注意点

• 第一步永远是判断不变量：接着电源 $V$ 不变，充电后断开 $Q$ 不变。判断错，后面全错。
• 充满介质、$Q$ 不变时：$C$ 变 $\varepsilon_r$ 倍，$V$ 变 $\dfrac{1}{\varepsilon_r}$，$E$ 变 $\dfrac{1}{\varepsilon_r}$；$V$ 不变时：$C$ 变 $\varepsilon_r$ 倍，$Q$ 变 $\varepsilon_r$ 倍，$E=\dfrac{V}{d}$ 不变。
• 金属板不是介质，不能用 $\varepsilon_r$；它只是把有效距离减小 $t$。金属板若碰到一块极板，相当于那块极板变厚，公式仍是 $d-t$；若同时碰到两块极板，电容器被短路。
• 插入金属板、$V$ 不变时，空气隙中的电场是 $\dfrac{V}{d-t}$，比原来的 $\dfrac{V}{d}$ 大，因为同样的电压加在更短的距離上。
• 介质板只填一部分时用串联模型；题目说“充满”才可以直接乘 $\varepsilon_r$。

推导

为什么介质使电容增大 $\varepsilon_r$ 倍：介质在外电场中极化，表面出现与极板电荷相反的束缚电荷，它产生的电场与外电场方向相反，使介质内合场强减弱为 $E=\dfrac{E_0}{\varepsilon_r}$。若极板电荷 $Q$ 不变，则 $V=Ed$ 变为原来的 $\dfrac{1}{\varepsilon_r}$，由 $C=Q/V$，$C$ 变为 $\varepsilon_r$ 倍。（关键一步：$Q$ 不变，$V$ 减小，所以 $C$ 增大。）

金属板的等效距离：金属内部 $E=0$，从一块极板到另一块极板的电压等于两段空气隙上的电压之和。空气隙总厚度 $d-t$，电场在其中均匀，$V=E(d-t)$。若 $Q$ 不变，空气隙中 $E=\dfrac{Q}{\varepsilon_0 S}$ 与原来相同，$V$ 变为 $E(d-t)$，所以 $C'=\dfrac{Q}{V}=\dfrac{\varepsilon_0 S}{d-t}$。也可以把金属板看成厚度 $t$ 的“无限大介电常数”层，用串联公式取 $\varepsilon_r\to\infty$，同样得到 $d-t$。

部分填充的串联公式：空气层和介质层中电位移（可理解为电荷面密度）相同，两层的电压相加：$V=E_0(d-t)+E t$，其中 $E_0=\dfrac{Q}{\varepsilon_0 S}$，$E=\dfrac{Q}{\varepsilon S}$。所以 $V=\dfrac{Q}{\varepsilon_0 S}(d-t)+\dfrac{Q}{\varepsilon S}t$，$C'=\dfrac{Q}{V}$ 即上式。

例题

例 3　（场景：断开电源后充满介质 → $Q$ 不变，求 $V$、$E$ 的变化）

問題　面積 $S$，間隔 $d$ の平行板コンデンサーを，電圧 $V_0$ の電池で充電した後，電池を外した。次に，極板間を比誘電率 $\varepsilon_r$ の誘電体で満たした。極板間の電圧 $V$ と，極板間の電場の強さ $E$ の組合せとして正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

	①	②	③	④
$V$	$\dfrac{V_0}{\varepsilon_r}$	$\dfrac{V_0}{\varepsilon_r}$	$\varepsilon_r V_0$	$\varepsilon_r V_0$
$E$	$\dfrac{V_0}{\varepsilon_r d}$	$\dfrac{\varepsilon_r V_0}{d}$	$\dfrac{V_0}{\varepsilon_r d}$	$\dfrac{\varepsilon_r V_0}{d}$

解答　電池を外したので，コンデンサーの電気量 $Q$ は一定である。真空のとき $C_0=\varepsilon_0\dfrac{S}{d}$，$Q=C_0V_0$。介质充满后 $C=\varepsilon_r C_0$ なので

$$V = \frac{Q}{C} = \frac{C_0V_0}{\varepsilon_r C_0} = \frac{V_0}{\varepsilon_r}, \qquad E = \frac{V}{d} = \frac{V_0}{\varepsilon_r d}$$

検算：$\varepsilon_r=1$（真空）とすると $V=V_0$，$E=\dfrac{V_0}{d}$ に戻る。　答　①

中文翻译　题目：面积 $S$、间距 $d$ 的平行板电容器用电压 $V_0$ 充电后断开电源，再把板间充满相对介电常数 $\varepsilon_r$ 的电介质。板间电压 $V$ 和电场强度 $E$ 的正确组合是哪一个？从①～④中选。解答：断开电源后电荷量 $Q$ 不变，真空中 $C_0=\varepsilon_0 S/d$，$Q=C_0V_0$；充满介质后 $C=\varepsilon_r C_0$，所以 $V=Q/C=V_0/\varepsilon_r$，$E=V/d=V_0/(\varepsilon_r d)$。检验：$\varepsilon_r=1$ 时回到 $V_0$、$V_0/d$。答案 ①。

解说　用到本节“断开电源 $Q$ 不变”这一条。容易卡在：看到“插入介质，电容变大”，就以为电压也变大；$Q$ 不变时电容变大，电压反而变小。选项排除：③④ 的电压变大，是把它当成“接电源、$V$ 不变”的情形；② 的电场没有跟着电压一起减小，忘了 $E=V/d$。

例 4　（场景：接电源时插入金属板 → $V$ 不变，有效距离 $d-t$）

問題　面積 $S$，間隔 $d$ の平行板コンデンサーが，起電力 $V$ の電池に接続されている。極板間に，厚さ $t$（$0<t<d$）の金属板を，極板と平行に，極板に触れないように挿入した。挿入後の電気容量 $C'$ と，金属板と極板の間の電場の強さ $E'$ の組合せとして正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，極板間は真空とし，真空の誘電率を $\varepsilon_0$ とする。

①　$C'=\dfrac{\varepsilon_0 S}{d-t}$，$E'=\dfrac{V}{d-t}$　　②　$C'=\dfrac{\varepsilon_0 S}{d-t}$，$E'=\dfrac{V}{d}$

③　$C'=\dfrac{\varepsilon_0 S}{d}$，$E'=\dfrac{V}{d-t}$　　④　$C'=\dfrac{\varepsilon_0 S}{d+t}$，$E'=\dfrac{V}{d+t}$

解答　金属板内部电场为零，金属板是等势体，所以极板间的电压只分配在两侧的空气隙上，空气隙总厚度为 $d-t$。電気容量は，実効的な間隔が $d-t$ の平行板コンデンサーと同じで

$$C' = \frac{\varepsilon_0 S}{d-t}$$

電池につないだままなので，極板間の電圧は $V$ のまま。空気隙の中は一様な電場で，その強さは

$$E' = \frac{V}{d-t}$$

検算：$t\to0$ とすると $C'\to\dfrac{\varepsilon_0 S}{d}$，$E'\to\dfrac{V}{d}$ となり，金属板がないときに戻る。　答　①

中文翻译　题目：面积 $S$、间距 $d$ 的平行板电容器接在电动势为 $V$ 的电源上。在板间平行插入厚度 $t$（$0<t<d$）、不接触极板的金属板。插入后的电容 $C'$ 和金属板与极板之间电场强度 $E'$ 的正确组合是哪一个？板间为真空，真空介电常数 $\varepsilon_0$。解答：金属板内部电场为零，是等势体，电压只分配在两侧空隙上，空隙总厚度 $d-t$。电容与有效间距为 $d-t$ 的平行板电容器相同，$C'=\varepsilon_0 S/(d-t)$。接在电源上，板间电压仍为 $V$，空隙中是匀强电场，$E'=V/(d-t)$。检验：$t\to0$ 时回到无金属板的情形。答案 ①。

解说　用到“金属板内部 $E=0$、等效距离 $d-t$“这一条。容易卡在：把金属板当成 $\varepsilon_r$ 很大的介质，或者认为插入金属板后电压仍按 $d$ 分配。选项排除：② 的电容对了，但电场仍用 $V/d$，忘了电压只降在更短的空隙上；③ 完全没考虑金属板；④ 把厚度加到了间距上。另一种解法：把金属板看成两个空气隙串联，每个间隙的电容为 $\dfrac{\varepsilon_0 S}{d_1}$、$\dfrac{\varepsilon_0 S}{d_2}$，串联后 $\dfrac{1}{C'}=\dfrac{d_1+d_2}{\varepsilon_0 S}=\dfrac{d-t}{\varepsilon_0 S}$。间隙厚度不必相等，结论一样，适合金属板不放在正中间的情形。

常用推论

• 充满介质、$Q$ 不变：$C$ 变 $\varepsilon_r$ 倍，$V$、$E$、$U$ 都变 $\dfrac{1}{\varepsilon_r}$。
• 充满介质、$V$ 不变：$C$、$Q$、$U$ 变 $\varepsilon_r$ 倍，$E=\dfrac{V}{d}$ 不变。
• 插入厚度 $t$ 的金属板：$C'=\dfrac{d}{d-t}C$；$V$ 不变时空气隙中 $E'=\dfrac{d}{d-t}E$，$Q'=\dfrac{d}{d-t}Q$；$Q$ 不变时 $E$ 不变，$V'=\dfrac{d-t}{d}V$。
• 插入厚度 $t$ 的介质板（不接触极板）：$C'=\dfrac{\varepsilon_0 S}{d-t+\dfrac{t}{\varepsilon_r}}$。教材没有，考试常用；$t=d$ 时退回 $\varepsilon_r C_0$。

易错点

• 错在哪：不判断“接着电源”还是“断开电源”，直接套 $C$ 变大、$V$ 变小。 为什么错：$V$ 不变和 $Q$ 不变是两个完全不同的约束，变化方向可能相反。 正确做法：先在草稿上写“接电源：$V$ 不变”或“断开：$Q$ 不变”，再往下推。
• 错在哪：把金属板当成介质，用 $\varepsilon_r$ 去算。 为什么错：金属内部电场为零、是等势体，不储存电场能；介质内部仍有电场，只是减弱。 正确做法：金属板只把有效距离改为 $d-t$；介质才用 $\varepsilon_r$。
• 错在哪：认为只要插入介质，板间电场一定变小。 为什么错：接着电源时 $V$ 不变、$d$ 不变，$E=V/d$ 不变（宏观平均场）；只有断开电源、$Q$ 不变时 $E$ 才变为 $\dfrac{1}{\varepsilon_r}$。 正确做法：先看 $E=\dfrac{V}{d}$ 里的 $V$、$d$ 哪个变；或者用 $E=\dfrac{Q}{\varepsilon S}$ 看 $Q$、$\varepsilon$。

直观理解

介质像放在两块磁铁之间的一块软铁：它自己被极化，产生反向的“抵抗场”，把合场削弱。金属板则像在两块极板之间塞进一块等势的“垫块”，板间距离被它占去 $t$，剩下的空隙才承担电压。记法：介质改的是 $\varepsilon$，金属板改的是 $d$；介质让电容乘 $\varepsilon_r$，金属板让电容乘 $\dfrac{d}{d-t}$。

关联知识点

• 前置：本书第 15 章電場の中の物体（誘電分極、静電誘導、导体内部电场为零）。
• 前置：本书 16.2 コンデンサーと電気容量（$C=\varepsilon S/d$，$E=V/d$）。
• 后续：本书 16.4 静電エネルギー（插入介质后能量怎么变）。
• 常一起考：国内书第 16 章 16.6 节的两类动态分析（内容相同，记号不同）。

16.4 静電エネルギー

说明

电容器充电后储存的能量叫静電エネルギー（静电能量），用 $U$ 表示：

$$U = \frac12 QV = \frac12 CV^2 = \frac{Q^2}{2C}$$

单位是焦耳 $\mathrm{J}$。三个式子等价，用哪一个取决于题目给的是 $Q$、$V$ 还是 $C$，以及哪个量不变。

充电过程中能量去了哪里：把电荷从一块极板搬到另一块，要克服电场力做功。电压从 0 升到 $V$ 的过程中，每次搬的电荷面对的电压不同，平均电压是 $\dfrac{V}{2}$，所以总功

$$W = Q\cdot\frac{V}{2} = \frac12 QV$$

这就是储存的静電エネルギー。电池做的功是 $QV$（电荷 $Q$ 通过电动势 $V$），比储存的能量多一倍，另一半在充电过程中以焦耳热的形式耗散在导线和电阻上。

使用场景

• 题目给电容和电压（或电荷量），求储存的能量，或求电压变化后能量的变化 → 直接代入 $U=\dfrac12 CV^2$、$U=\dfrac{Q^2}{2C}$。
• 插入介质、改变板间距离后比较能量，或问能量如何转化 → 先判断 $Q$ 不变还是 $V$ 不变，再选含该不变量的式子。

注意点

• 三个式子都带 $\dfrac12$。用 $QV$ 或 $CV^2$ 会得到两倍。
• 判断能量变化先看不变量：$Q$ 不变用 $U=\dfrac{Q^2}{2C}$（$C$ 变大，$U$ 变小）；$V$ 不变用 $U=\dfrac12 CV^2$（$C$ 变大，$U$ 变大）。
• 断开电源、插入介质，能量减少的部分不是“消失”了，而是电场对介质做功（介质被吸入），或通过外力做功、发热转化掉。
• 接电源、插入介质，能量增加的部分由电池提供；电池做的功是能量增加量的两倍，另一半变焦耳热。
• 电容器放电时，储存的能量全部转化为电阻的焦耳热（16.7 节）。

推导

$U=\dfrac12 QV$：设某时刻极板电荷量为 $q$，电压为 $v=\dfrac{q}{C}$。再把 $dq$ 的电荷从一板搬到另一板，外力（电源）做功 $dW=v\,dq=\dfrac{q}{C}dq$。从 0 充到 $Q$：

$$U = \int_0^Q \frac{q}{C}\,dq = \frac{Q^2}{2C}$$

用 $Q=CV$ 代入，得 $U=\dfrac12 CV^2=\dfrac12 QV$。在 $Q$-$V$ 图上，$v\,dq$ 是图线下的窄条面积，积分就是三角形的面积 $\dfrac12 QV$。（关键一步：电压随电荷增加，不能用最后的 $V$ 乘全部 $Q$，要用平均电压。）

接电源插入介质时的能量账：$V$ 不变，$C$ 变为 $\varepsilon_r C$，$U$ 变为 $\varepsilon_r U$，增加量 $\Delta U=(\varepsilon_r-1)U$。电荷增加 $\Delta Q=(\varepsilon_r-1)CV$，电池做功 $W=V\Delta Q=(\varepsilon_r-1)CV^2=2\Delta U$。所以 $\Delta U$ 储存起来，另外 $\Delta U$ 变焦耳热。这是“充放电总有能量损耗”的一个例子，16.7 节还会用到。

例题

例 5　（场景：给电容和电压求储存的能量 → $U=\dfrac12 CV^2$）

問題　電気容量 $20\ \mu\mathrm{F}$ のコンデンサーを，電圧 $100\ \mathrm{V}$ で充電した。このコンデンサーに蓄えられる静電エネルギーは何 $\mathrm{J}$ か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$1.0\times10^{-3}\ \mathrm{J}$　　②　$1.0\times10^{-1}\ \mathrm{J}$　　③　$2.0\times10^{-1}\ \mathrm{J}$　　④　$2.0\times10^{-3}\ \mathrm{J}$

解答　静電エネルギーは

$$U = \frac12 CV^2 = \frac12 \times 20\times10^{-6}\times(100)^2\ \mathrm{J} = 1.0\times10^{-1}\ \mathrm{J}$$

検算：$Q=CV=20\times10^{-6}\times100=2.0\times10^{-3}\ \mathrm{C}$，$\dfrac12 QV=\dfrac12\times2.0\times10^{-3}\times100=1.0\times10^{-1}\ \mathrm{J}$，一致する。　答　②

中文翻译　题目：把电容 $20\ \mu\mathrm{F}$ 的电容器充电到电压 $100\ \mathrm{V}$，储存的静电能量是多少 $\mathrm{J}$？从①～④中选最合适的值。解答：$U=\dfrac12 CV^2=\dfrac12\times20\times10^{-6}\times100^2\ \mathrm{J}=1.0\times10^{-1}\ \mathrm{J}$。检验：$Q=CV=2.0\times10^{-3}\ \mathrm{C}$，$\dfrac12 QV=1.0\times10^{-1}\ \mathrm{J}$，一致。答案 ②。

解说　用到本节 $U=\dfrac12 CV^2$。容易卡在：$100^2=1.0\times10^4$ 与 $20\times10^{-6}$ 相乘后忘记 $\dfrac12$。选项排除：③ 是 $CV^2$，漏了 $\dfrac12$；④ 是电荷量 $Q=2.0\times10^{-3}\ \mathrm{C}$，单位和量都不是能量；① 是单位换算时多除 100，把 $100^2$ 当成 $10^2$。

例 6　（场景：接电源时插入介质 → $V$ 不变，比较能量）

問題　電気容量 $C$ のコンデンサーが，電圧 $V$ の電池に接続されている。極板間を比誘電率 $\varepsilon_r$ の誘電体で満たしたとき，コンデンサーに蓄えられる静電エネルギーは，操作前の何倍になるか。最も適当なものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$\dfrac{1}{\varepsilon_r}$　　②　$1$　　③　$\varepsilon_r$　　④　$\varepsilon_r^2$

解答　電池に接続したままなので，極板間の電圧 $V$ は一定。介质充满后，電気容量は $C'=\varepsilon_r C$ になる。静電エネルギーは

$$U' = \frac12 C'V^2 = \frac12 \varepsilon_r CV^2 = \varepsilon_r U$$

よって $\varepsilon_r$ 倍。検算：$\varepsilon_r=1$（真空）なら $1$ 倍になり，式と一致する。　答　③

中文翻译　题目：电容 $C$ 的电容器接在电压 $V$ 的电源上。把板间充满相对介电常数 $\varepsilon_r$ 的电介质后，储存的静电能量是操作前的多少倍？从①～④中选。解答：接在电源上，电压 $V$ 不变；充满介质后 $C'=\varepsilon_r C$，$U'=\dfrac12 C'V^2=\varepsilon_r U$，所以是 $\varepsilon_r$ 倍。检验：$\varepsilon_r=1$ 时为 1 倍，与式子一致。答案 ③。

解说　用到“接电源 $V$ 不变，$U=\dfrac12 CV^2$”。容易卡在：把“插入介质电容变大”直接套到 $U=\dfrac{Q^2}{2C}$ 上，得到能量变小；那个式子适用于 $Q$ 不变（断开电源）的情形。选项排除：① 是断开电源时的结果；② 认为能量不变，忘了 $C$ 变了；④ 是把 $C$ 和 $V$ 都乘了 $\varepsilon_r$。另一种解法：先算电荷增加 $\Delta Q=(\varepsilon_r-1)CV$，电池做功 $W=V\Delta Q=2(\varepsilon_r-1)U$，储存增加 $(\varepsilon_r-1)U$，另一半发热；能量比仍是 $\varepsilon_r$，还能顺便回答“焦耳热多少”。

常用推论

• $U=\dfrac12 QV=\dfrac12 CV^2=\dfrac{Q^2}{2C}$。已知任意两个量就能算，选含不变量的式子比较变化最方便。
• 从零充电到 $V$：电池做功 $QV=CV^2$，储存 $\dfrac12 CV^2$，焦耳热 $\dfrac12 CV^2$，效率最多 $50\%$。
• 断开电源插入介质：$U'=\dfrac{U}{\varepsilon_r}$，减少的能量转化为对介质做的功或热量。
• 接电源插入介质：$U'=\varepsilon_r U$，电池做功是能量增加量的两倍。
• 电容器通过电阻放电：储存的能量全部变为电阻的焦耳热，$Q_J=\dfrac12 CV^2$。

易错点

• 错在哪：用 $U=QV$ 或 $U=CV^2$，漏掉 $\dfrac12$。 为什么错：充电时电压从 0 逐渐升到 $V$，不是一开始就满电压；积分得到的是三角形面积。 正确做法：记 $Q$-$V$ 图下的三角形，或记三个式子都带 $\dfrac12$。
• 错在哪：判断能量变化时用错不变量，接电源却用 $U=\dfrac{Q^2}{2C}$。 为什么错：接电源时 $Q$ 会随 $C$ 变，不是不变量；断开时才是 $Q$ 不变。 正确做法：先写”$V$ 不变“或”$Q$ 不变”，再选含这个量的公式。
• 错在哪：认为断开电源插入介质后，减少的能量凭空消失了。 为什么错：电场对介质有吸引力，介质被吸入时获得动能，或外力做负功把能量取走，最终还会发热。 正确做法：用能量守恒记账：$U_{\text{初}}=U_{\text{末}}+W_{\text{机械}}+Q_{\text{热}}$。

直观理解

$Q$-$V$ 图下的三角形面积就是储存的能量：底是 $Q$，高是 $V$，面积 $\dfrac12 QV$。充电像用打气筒给轮胎打气：越往后压进去越费劲（电压越高），平均用力只有最后的一半，所以做的功是“最后压强乘总气量”的一半。另一半在打气过程中变成热，摸一摸气筒就明白。

关联知识点

• 前置：本书 16.2 コンデンサーと電気容量（$Q=CV$，$E=V/d$），16.3 誘電体と金属板の挿入（$C$ 的变化）。
• 前置：国内书第 16 章 16.6 节直观理解（$Q$-$U$ 图面积，课标不要求公式）。
• 后续：本书 16.7 充放電とジュール熱（能量守恒的主角）。
• 后续：本书第 6 章エネルギーと運動量（功与能量变化的一般记账方式）。
• 常一起考：平行板动态分析（16.3）和含容电路（16.6）里顺带问能量。

16.5 コンデンサーの接続

说明

並列接続（并联）：几个电容器接在同样的两点之间，电压相同，总电荷量等于各电容器电荷量之和：

$$C = C_1 + C_2 + \cdots$$

直列接続（串联）：几个电容器首尾相接，中间部分与外界绝缘，各电容器带同样的电荷量 $Q$，总电压等于各电压之和：

$$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \cdots$$

两个电容器串联时常用

$$C = \frac{C_1C_2}{C_1 + C_2}$$

合成容量（等效电容）：把整个连接看成一个电容器时的电容。并联越接越大，串联越接越小，和电阻的规律相反。

已带电的电容器互相连接：连接后电荷在极板间重新分配，最终各电容器电压相同（并联）。用電気量保存則：与外界绝缘的那部分极板上的总电荷量不变。

$$V' = \frac{Q_1 + Q_2}{C_1 + C_2}$$

同号极板相连取和，异号极板相连取差（方向相反时先定正负）。能量不守恒，一部分变成焦耳热（16.7 节）。

使用场景

• 给几个电容器组成的串并联电路，求合成容量、某个电容器的电压或电荷量 → 先并联合成、再串联合成；串联用“电荷量相同”，并联用“电压相同”。
• 已带电的电容器与另一个电容器连接，求最终电压、各电荷量 → 电量守恒定总电荷，合成容量定电压。

注意点

• 串联各电容器电荷量相同，前提是这组电容器最初都不带电、中间连接部分与外界绝缘。若中间部分本来带电，要先算中间极板的总电荷。
• 串联时电容大的分到的电压小：$V_1=\dfrac{C_2}{C_1+C_2}V$，和电阻串联的分压规律相反。
• 并联时电容大的带电量多：$Q_1=C_1V$，正比于电容。
• 连接两个带电电容器时，电荷守恒，能量不守恒；不要用能量守恒求最终电压。
• 两个电容器异号极板相连时，总电荷量是两者之差，先判断最终极板极性是否反转。

推导

并联：各电容器电压都是 $V$，$Q_1=C_1V$，$Q_2=C_2V$，总电荷 $Q=Q_1+Q_2=(C_1+C_2)V$，所以 $C=C_1+C_2$。

串联：中间两块极板用导线相连并与外界绝缘，总电荷为零，所以两块极板带等量异种电荷，每个电容器电荷量都是 $Q$。电压 $V_1=\dfrac{Q}{C_1}$，$V_2=\dfrac{Q}{C_2}$，总电压 $V=Q\left(\dfrac{1}{C_1}+\dfrac{1}{C_2}\right)$，所以 $\dfrac{1}{C}=\dfrac{1}{C_1}+\dfrac{1}{C_2}$。（关键一步：串联的“相同量”是电荷量，不是电压。）

连接后的电压：连接前两电容器电荷量 $Q_1$、$Q_2$，连接后相当于并联，总电荷 $Q_1+Q_2$ 分布在 $C_1+C_2$ 上，所以 $V'=\dfrac{Q_1+Q_2}{C_1+C_2}$。若异号极板相连，$Q_1$、$Q_2$ 取相反符号相加，取绝对值作最终电压。

例题

例 7　（场景：两个电容器分别串联、并联接同一电压 → 求电压和电荷量）

問題　図のように，電気容量 $2.0\ \mu\mathrm{F}$ のコンデンサー $C_1$ と，$3.0\ \mu\mathrm{F}$ のコンデンサー $C_2$ がある。(a) のように直列に接続して電圧 $12\ \mathrm{V}$ を加えたとき，$C_1$ の両端の電圧 $V_1$ は何 $\mathrm{V}$ か。また，(b) のように並列に接続して $12\ \mathrm{V}$ を加えたとき，$C_1$ に蓄えられる電気量 $Q_1$ は何 $\mathrm{C}$ か。最も適当な組合せを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

	①	②	③	④
$V_1$	$4.8\ \mathrm{V}$	$7.2\ \mathrm{V}$	$7.2\ \mathrm{V}$	$4.8\ \mathrm{V}$
$Q_1$	$2.4\times10^{-5}\ \mathrm{C}$	$2.4\times10^{-5}\ \mathrm{C}$	$3.6\times10^{-5}\ \mathrm{C}$	$3.6\times10^{-5}\ \mathrm{C}$

解答　(a) 直列の合成容量は

$$C_{\text{s}} = \frac{C_1C_2}{C_1+C_2} = \frac{2.0\times3.0}{2.0+3.0}\ \mu\mathrm{F} = 1.2\ \mu\mathrm{F}$$

直列なので両方に同じ電気量 $Q=C_{\text{s}}V=1.2\times10^{-6}\times12=1.44\times10^{-5}\ \mathrm{C}$ が蓄えられる。よって

$$V_1 = \frac{Q}{C_1} = \frac{1.44\times10^{-5}}{2.0\times10^{-6}}\ \mathrm{V} = 7.2\ \mathrm{V}$$

(b) 並列なので $C_1$ の電圧も $12\ \mathrm{V}$。$Q_1=C_1V=2.0\times10^{-6}\times12=2.4\times10^{-5}\ \mathrm{C}$。

検算：(a) で $V_2=\dfrac{Q}{C_2}=4.8\ \mathrm{V}$，$V_1+V_2=12\ \mathrm{V}$，一致する。　答　②

中文翻译　题目：如图，有电容 $2.0\ \mu\mathrm{F}$ 的电容器 $C_1$ 和 $3.0\ \mu\mathrm{F}$ 的 $C_2$。(a) 串联接 $12\ \mathrm{V}$ 时，$C_1$ 两端电压 $V_1$ 是多少 $\mathrm{V}$？(b) 并联接 $12\ \mathrm{V}$ 时，$C_1$ 的电荷量 $Q_1$ 是多少 $\mathrm{C}$？从①～④中选最合适的组合。解答：(a) 串联合成电容 $C_s=2.0\times3.0/(2.0+3.0)=1.2\ \mu\mathrm{F}$，电荷量 $Q=C_sV=1.44\times10^{-5}\ \mathrm{C}$，$V_1=Q/C_1=7.2\ \mathrm{V}$。(b) 并联电压都是 $12\ \mathrm{V}$，$Q_1=C_1V=2.4\times10^{-5}\ \mathrm{C}$。检验：$V_2=Q/C_2=4.8\ \mathrm{V}$，$V_1+V_2=12\ \mathrm{V}$。答案 ②。

解说　用到“串联电荷量相同、并联电压相同”两条。容易卡在：串联分压按电容正比，算出 $V_1=4.8\ \mathrm{V}$；实际上电容大的分到的电压小。选项排除：① 把串联分压弄反；③④ 的 $Q_1$ 用了串联时的电荷量或把 $C_2$ 也算了进去。

例 8　（场景：已带电的电容器与不带电的电容器连接 → 电荷守恒求最终电压）

問題　図のように，電気容量 $2.0\ \mu\mathrm{F}$ のコンデンサー $C_1$ を電圧 $10\ \mathrm{V}$ で充電し，電気容量 $3.0\ \mu\mathrm{F}$ のコンデンサー $C_2$（はじめ帯電していない）に，スイッチ $S$ を通して接続した。十分に時間がたった後，$C_1$ の両端の電圧は何 $\mathrm{V}$ か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$2.5\ \mathrm{V}$　　②　$4.0\ \mathrm{V}$　　③　$5.0\ \mathrm{V}$　　④　$10\ \mathrm{V}$

解答　接続前，$C_1$ の電気量は $Q=C_1V_0=2.0\times10^{-6}\times10=2.0\times10^{-5}\ \mathrm{C}$。接続後は並列になり，全体の電気量は保存されるので $Q_{\text{全}}=2.0\times10^{-5}\ \mathrm{C}$。合成容量は $C_1+C_2=5.0\ \mu\mathrm{F}$。よって

$$V' = \frac{Q_{\text{全}}}{C_1+C_2} = \frac{2.0\times10^{-5}}{5.0\times10^{-6}}\ \mathrm{V} = 4.0\ \mathrm{V}$$

検算：$Q_1=C_1V'=8.0\times10^{-6}\ \mathrm{C}$，$Q_2=C_2V'=1.2\times10^{-5}\ \mathrm{C}$，和が $2.0\times10^{-5}\ \mathrm{C}$ に一致する。　答　②

中文翻译　题目：如图，把电容 $2.0\ \mu\mathrm{F}$ 的 $C_1$ 充电到 $10\ \mathrm{V}$，通过开关 $S$ 与电容 $3.0\ \mu\mathrm{F}$、原来不带电的 $C_2$ 连接。足够长时间后 $C_1$ 两端电压是多少 $\mathrm{V}$？从①～④中选。解答：连接前 $Q=C_1V_0=2.0\times10^{-5}\ \mathrm{C}$；连接后并联，总电荷守恒，$Q_{\text{总}}=2.0\times10^{-5}\ \mathrm{C}$，总电容 $5.0\ \mu\mathrm{F}$，$V'=Q_{\text{总}}/(C_1+C_2)=4.0\ \mathrm{V}$。检验：$Q_1=8.0\times10^{-6}\ \mathrm{C}$，$Q_2=1.2\times10^{-5}\ \mathrm{C}$，和为 $2.0\times10^{-5}\ \mathrm{C}$。答案 ②。

解说　用到本节“连接后电荷守恒”。容易卡在：用能量守恒算最终电压，会得到错误答案；连接过程中有电流通过导线，能量变成热。选项排除：③ 是把 $10\ \mathrm{V}$ 按电容平均成 $5.0\ \mathrm{V}$；① 是把电压按电容反比分配；④ 认为不带电的 $C_2$ 不影响 $C_1$。

常用推论

• 两个串联：$C=\dfrac{C_1C_2}{C_1+C_2}$；$n$ 个相同电容 $C_0$ 串联，$C=\dfrac{C_0}{n}$。
• 两个并联：$C=C_1+C_2$；$n$ 个相同电容并联，$C=nC_0$。
• 串联分压：$V_1=\dfrac{C_2}{C_1+C_2}V$，$V_2=\dfrac{C_1}{C_1+C_2}V$；电容大的分得少。
• 连接同号带电的电容器：$V'=\dfrac{Q_1+Q_2}{C_1+C_2}$；异号相连：$V'=\dfrac{|Q_1-Q_2|}{C_1+C_2}$，并注意最终极性。
• 已带电电容器与不带电电容器连接，最终电压一定比原来低，电荷按电容正比分配。

易错点

• 错在哪：把串联的电容相加，并联的电容取倒数和。 为什么错：把电容当成了电阻。电容并联相当于极板面积相加，串联相当于板间距离相加，规律和电阻相反。 正确做法：并联直接相加，串联取倒数和；记“并大串小”。
• 错在哪：串联时按电容正比分配电压，认为电容大的分压多。 为什么错：串联电荷量相同，$V=Q/C$，电容越大电压越小。 正确做法：先求共同电荷量 $Q=C_{\text{合}}V$，再逐个算 $V_i=Q/C_i$。
• 错在哪：连接两个带电电容器时用能量守恒求最终电压。 为什么错：连接过程中有电流，导线上发热，静电能减少；只有电荷守恒，能量不守恒。 正确做法：用总电荷量除以总电容；能量差另算焦耳热（16.7 节）。

直观理解

并联像两个底面积不同的水桶并排放在同一水位下：水面一样高（电压相同），总水量是两桶之和，底面积相加（电容相加）。串联像两个水桶上下叠放、中间用管子连通且与外界隔绝：通过的水量相同（电荷量相同），水面高度差相加（电压相加），桶越细（电容越小）水位差越大。

关联知识点

• 前置：本书 16.2 コンデンサーと電気容量（$Q=CV$）。
• 前置：国内书第 16 章 16.6 节电容器与电容。
• 后续：本书 16.6 コンデンサーを含む回路，16.7 充放電とジュール熱。
• 后续：本书第 17 章直流回路（电阻的串并联与电容的串并联对比）。
• 常一起考：国内书第 18 章 18.6 节含容电路（稳定后电容支路断路）。

16.6 コンデンサーを含む回路

说明

定常状態（稳定状态）：电路接通、经过足够长时间后，电容器充电完毕，极板电荷量不再变化，电容器所在支路没有电流。这时：

• 计算其余电路的电流时，把电容器支路当作断路去掉；
• 与电容器串联的电阻上没有电流，电压降为零，两端等电势；
• 电容器两端的电压，等于它两个极板所接的两点之间的电压。

开关切换：开关闭合或断开后，电路从一个稳定状态经过一个充放电过程，到达另一个稳定状态。要求“通过某电阻的电荷量”，就分别求前后两个状态下电容器的电压 $V_1$、$V_2$，再用

$$\Delta Q = C|V_2 - V_1|$$

若前后极板极性不变，流过的电荷量就是 $\Delta Q$；若极性反转，一块板要先放掉原来的 $Q_1$ 再充上相反的 $Q_2$，流过的电荷量是 $Q_1+Q_2=C(V_1+V_2)$。

电压的找法：先去掉电容器支路，算出其余电路各点的电势（或各电阻的电压），再看电容器的两块极板分别接在哪两点，两点电压差就是 $V_C$。

使用场景

• 电路稳定，求电容器的电压、电荷量，或板间带电微粒的受力 → 去掉电容支路，先算其余电路的电流和各电阻电压，再找电容两极板对应的节点电压。
• 开关通断后，求通过某电阻或电容器支路的电荷量 → 分别求前后两个稳定状态的电容器电压，判断极性，用 $\Delta Q=C|V_2-V_1|$。

注意点

• “稳定后”才有电容支路无电流；开关刚闭合、电路刚变化时，电容支路有充电电流。
• 与电容器串联的电阻不影响稳定后的电压，只影响充放电的快慢。
• 电容器的电压不等于电动势，也不等于与它串联的电阻的电压（那是零），而是它并联的那部分电路的电压。
• 开关切换前后要分别判断哪块极板电势高。极性不变时相减，反转时相加，这是最容易错的一步。
• 电路里同时有电动势 $E$ 和电场强度 $E$ 时，看清符号；必要时把电场强度写成 $\dfrac{V}{d}$。

推导

为什么稳定后电容支路没有电流：设电容器支路两端电压为 $V_{\text{支}}$，电容器电压为 $V_C$，支路电阻为 $R$。若 $V_C<V_{\text{支}}$，就有电流 $I=\dfrac{V_{\text{支}}-V_C}{R}$ 给电容器充电，$Q$ 增大，$V_C=\dfrac{Q}{C}$ 随之增大；$V_C$ 增大到等于 $V_{\text{支}}$ 时，电流为零，充电结束。所以稳定后 $V_C=V_{\text{支}}$，支路无电流。（关键一步：充电结束的条件是电容器电压追上支路两端电压。）

$\Delta Q$ 为什么等于 $C\Delta V$：电容不变，$Q=CV$，所以 $Q_2-Q_1=C(V_2-V_1)$。这些电荷只能经由与极板相连的导线进出，因此通过串联电阻的电荷量就是 $|\Delta Q|$。极性反转时，极板上的电荷从 $+Q_1$ 变成 $-Q_2$，变化量的大小是 $Q_1+Q_2$。

例题

例 9　（场景：稳定后求电容器的电荷量 → 电容支路当断路）

問題　図のように，起電力 $14\ \mathrm{V}$，内部抵抗 $1.0\ \Omega$ の電池に，抵抗 $R_1=3.0\ \Omega$，$R_2=6.0\ \Omega$，電気容量 $10\ \mu\mathrm{F}$ のコンデンサー，およびスイッチ $S$ を接続した。スイッチ $S$ は開いている。十分に時間がたった後，コンデンサーに蓄えられている電気量は何 $\mathrm{C}$ か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$5.6\times10^{-5}\ \mathrm{C}$　　②　$8.4\times10^{-5}\ \mathrm{C}$　　③　$1.2\times10^{-4}\ \mathrm{C}$　　④　$1.4\times10^{-4}\ \mathrm{C}$

解答　十分に時間がたつと，コンデンサーに電流は流れない。コンデンサーを外して考えると，電池・$R_1$・$R_2$ の直列回路で，電流は

$$I = \frac{E}{R_1+R_2+r} = \frac{14}{3.0+6.0+1.0}\ \mathrm{A} = 1.4\ \mathrm{A}$$

コンデンサーは $R_2$ と並列なので，その電圧は $R_2$ の電圧に等しい：

$$V_C = IR_2 = 1.4\times6.0\ \mathrm{V} = 8.4\ \mathrm{V}$$

よって $Q=CV_C=10\times10^{-6}\times8.4=8.4\times10^{-5}\ \mathrm{C}$。

検算：$R_2$ の電圧 $8.4\ \mathrm{V}$ は，電池の端子電圧 $14-1.4\times1.0=12.6\ \mathrm{V}$ のうち $R_1$ の $4.2\ \mathrm{V}$ を引いた値で，一致する。　答　②

中文翻译　题目：如图，电动势 $14\ \mathrm{V}$、内阻 $1.0\ \Omega$ 的电池，接电阻 $R_1=3.0\ \Omega$、$R_2=6.0\ \Omega$、电容 $10\ \mu\mathrm{F}$ 的电容器和开关 $S$。$S$ 断开。足够长时间后，电容器所带电荷量是多少 $\mathrm{C}$？从①～④中选。解答：稳定后电容支路无电流，去掉电容器，电池、$R_1$、$R_2$ 串联，$I=14/(3.0+6.0+1.0)=1.4\ \mathrm{A}$。电容器与 $R_2$ 并联，$V_C=IR_2=8.4\ \mathrm{V}$，$Q=CV_C=8.4\times10^{-5}\ \mathrm{C}$。检验：$R_2$ 的电压等于端电压 $12.6\ \mathrm{V}$ 减去 $R_1$ 的 $4.2\ \mathrm{V}$，一致。答案 ②。

解说　用到“稳定后电容支路断路”这一条。容易卡在：把电容器当成电阻，和 $R_2$ 并联后算出一个不存在的电流；或者让电容器的电压等于电动势 $14\ \mathrm{V}$。选项排除：① 是 $1.4\times4.0$，把 $R_1$ 和 $R_2$ 的电压弄反；③ 是用 $14\ \mathrm{V}$ 直接乘电容；④ 是用 $Q=CE$ 直接乘电动势 $14\ \mathrm{V}$，忘了电容器只分到 $R_2$ 的电压。

例 10　（场景：开关闭合前后求充入电容器的电荷量 → 两个稳定状态）

問題　例 9 の回路で，スイッチ $S$ を閉じた。十分に時間がたつまでに，コンデンサーの上極板に流れ込む電気量は何 $\mathrm{C}$ か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$1.8\times10^{-5}\ \mathrm{C}$　　②　$3.6\times10^{-5}\ \mathrm{C}$　　③　$4.8\times10^{-5}\ \mathrm{C}$　　④　$1.2\times10^{-4}\ \mathrm{C}$

解答　$S$ を閉じると $R_1$ が短絡され，電池・$R_2$ の直列回路になる。新しい定常状態では

$$I' = \frac{E}{R_2+r} = \frac{14}{6.0+1.0}\ \mathrm{A} = 2.0\ \mathrm{A}, \qquad V_C' = I'R_2 = 2.0\times6.0\ \mathrm{V} = 12\ \mathrm{V}$$

電気量は $Q'=CV_C'=10\times10^{-6}\times12=1.2\times10^{-4}\ \mathrm{C}$。はじめは $Q=8.4\times10^{-5}\ \mathrm{C}$ だったので，増えた分が上極板に流れ込む：

$$\Delta Q = Q' - Q = 1.2\times10^{-4}-8.4\times10^{-5} = 3.6\times10^{-5}\ \mathrm{C}$$

検算：$C(V_C'-V_C)=10\times10^{-6}\times(12-8.4)=3.6\times10^{-5}\ \mathrm{C}$，一致する。前後とも上極板は正なので，向きは上極板へ流れ込む向きで変わらない。　答　②

中文翻译　题目：在例 9 的电路中闭合开关 $S$。到足够长时间为止，流入电容器上极板的电荷量是多少 $\mathrm{C}$？从①～④中选。解答：闭合 $S$ 后 $R_1$ 被短路，电路为电池与 $R_2$ 串联，$I'=14/(6.0+1.0)=2.0\ \mathrm{A}$，$V_C'=I'R_2=12\ \mathrm{V}$，$Q'=CV_C'=1.2\times10^{-4}\ \mathrm{C}$。原来 $Q=8.4\times10^{-5}\ \mathrm{C}$，流入上极板的电荷量 $\Delta Q=Q'-Q=3.6\times10^{-5}\ \mathrm{C}$。检验：$C(V_C'-V_C)=3.6\times10^{-5}\ \mathrm{C}$，一致。前后上极板都带正电，方向不变。答案 ②。

解说　用到“开关前后两个稳定状态 + $\Delta Q=C\Delta V$”。容易卡在：以为 $R_1$ 被短路后总电阻变小、路端电压变小，所以电容器电压也变小；实际上 $R_2$ 现在独占路端电压，电压反而增大。选项排除：① 是正确值的一半，把电压差 $3.6\ \mathrm{V}$ 当成了 $1.8\ \mathrm{V}$；③ 是把前后电压相加；④ 是只算了闭合后的总电荷量，忘了减去原来的。另一种解法：直接用 $\Delta Q=C(V_C'-V_C)$，不必先算 $Q$、$Q'$ 两个值；先判断极性不变，再代电压差，少写一步，适合选择题。

常用推论

• 稳定后电容器支路当断路；与电容器串联的电阻两端电压为零。
• 电容器电压等于它两个极板所接节点之间的电压，也就是与它并联的那部分电路的电压。
• $\Delta Q=C|V_2-V_1|$；极性反转时 $\Delta Q=C(V_1+V_2)$。
• 开关切换后，若电容器两端电压增大，电荷经支路流入；电压减小则流出。
• 含电容器的电路里，电源的端电压会随外电阻变，但电容器只认它并联的那部分电压。

易错点

• 错在哪：稳定后仍认为电容器支路有电流，或让与电容器串联的电阻分电压。 为什么错：稳定后极板电荷不再变化，没有电荷流动；没有电流，串联电阻上 $U=IR=0$。 正确做法：先把电容器支路整条去掉，算其余电路，再把电容器接回两个节点。
• 错在哪：认为电容器接在电源上，电压就等于电动势。 为什么错：电源有内阻，路端电压是 $E-Ir$；电容器还可能只并联在某一个电阻上。 正确做法：找出电容器两极板接在哪两个节点，求这两点的电压差。
• 错在哪：开关前后极板极性反转，仍用 $\Delta Q=C|V_2-V_1|$ 相减。 为什么错：一块板从 $+Q_1$ 变成 $-Q_2$，要先放掉 $Q_1$ 再充上 $Q_2$，流过的电荷量是两者之和。 正确做法：前后各判断一次哪块板电势高；同号相减，异号相加。

直观理解

电容器像接在水管旁边的一个带弹性膜的水箱：管道两端有压强差时，水流入或流出水箱，直到箱内压强等于接口处的压强，然后停止流动。稳定时水箱支路没有水流，“水位”（电压）等于接口处的压强差；接口压强一变，就有一定量的水（$\Delta Q$）流进或流出。

关联知识点

• 前置：本书 16.2 コンデンサーと電気容量，16.5 コンデンサーの接続。
• 前置：本书第 15 章電位と電位差（求两点间电压）。
• 后续：本书 16.7 充放電とジュール熱（切换过程中的能量）。
• 后续：本书第 17 章直流回路（闭合电路欧姆定律、基尔霍夫定律）。
• 常一起考：国内书第 18 章 18.6 节含容电路（内容相同，国内用 $U$，日本用 $V$）。

16.7 充放電とジュール熱

说明

充电过程：把未带电的电容器通过电阻 $R$ 接到电动势 $V$ 的电源上，开关闭合瞬间，电容器电压为零，电流最大 $I_0=\dfrac{V}{R}$；随着电荷积累，电容器电压升高，电流减小；足够长时间后 $I=0$，$V_C=V$，$Q=CV$。电荷量和电流随时间按指数规律变化：

$$Q(t)=CV\left(1-e^{-\frac{t}{RC}}\right), \qquad I(t)=\frac{V}{R}e^{-\frac{t}{RC}}$$

$RC$ 叫时间常数，决定充放电快慢（EJU 只考定性，不要求算 $RC$）。

放电过程：已充电的电容器通过电阻放电，电流从 $I_0=\dfrac{V_0}{R}$ 逐渐减小到零，电荷量从 $Q_0=CV_0$ 减小到零，同样按指数规律。

焦耳热：充放电过程中电流通过电阻，产生焦耳热。用能量守恒算：

• 放电：电容器减少的静電エネルギー全部变成热，$Q_J=\dfrac12 CV_0^2$。
• 充电（从零到 $V$）：电池做功 $QV=CV^2$，储存 $\dfrac12 CV^2$，焦耳热 $Q_J=\dfrac12 CV^2$。
• 两个电容器连接：$Q_J=U_{\text{初}}-U_{\text{末}}$。

关键结论：焦耳热由初末状态的能量差（以及电池做功）决定，与电阻 $R$ 的大小无关；$R$ 只影响充放电的快慢。这是因为 $R$ 大时电流小，但充放电时间按同样比例变长，$I^2R$ 对时间的积分不变。

使用场景

• 给电容、电阻、电源，问充电或放电过程中电流、电压、电荷量随时间怎么变，或求最终值 → 定性用“电流逐渐减小到零、电压逐渐趋近电源电压”，最终值用 $Q=CV$。
• 求充放电过程中电阻上的焦耳热，或两个电容器连接后损失的 energy → 用能量守恒：电池做功、静电能变化、焦耳热三者记账。

注意点

• 充电过程中电容支路有电流，不能当断路；只有“十分に時間がたった後”才是断路。
• 焦耳热与 $R$ 无关，但 $R$ 越大，充放电越慢，达到稳定需要的时间越长。
• 充电时电池做的功总大于储存的能量；从零充满时，焦耳热恰好等于储存的能量，效率 50%。
• 放电时电容器电压逐渐减小，电流方向与充电时相反；电流大小越来越小。
• 两个电容器连接时，电荷守恒，能量不守恒；损失的 energy 全部（在理想情况下）变成电阻和导线的焦耳热。

推导

充电的定性过程：开关闭合瞬间 $V_C=0$，全部电动势加在电阻上，$I_0=\dfrac{V}{R}$。随着电荷流入，$V_C=\dfrac{Q}{C}$ 增大，电阻上的电压 $V-V_C$ 减小，电流 $I=\dfrac{V-V_C}{R}$ 减小。当 $V_C=V$ 时电流为零，充电结束。数学上解得指数函数 $Q=CV(1-e^{-t/RC})$，高中只要求知道“越来越慢，趋近 $CV$”。

充电的焦耳热：电池做的功 $W=QV=CV^2$；电容器储存 $U=\dfrac12 CV^2$；由能量守恒，$Q_J=W-U=\dfrac12 CV^2$。与 $R$ 无关。（关键一步：电池搬电荷 $Q$ 时，每个电荷都通过完整的电动势 $V$，所以做功是 $QV$，不是 $\dfrac12 QV$。）

两个电容器连接的焦耳热：初态 $U_i=\dfrac12 C_1V_1^2+\dfrac12 C_2V_2^2$，末态共同电压 $V'=\dfrac{C_1V_1+C_2V_2}{C_1+C_2}$，$U_f=\dfrac12(C_1+C_2)V'^2$。相减得

$$Q_J = \frac12\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}(V_1-V_2)^2$$

若 $C_2$ 原来不带电（$V_2=0$），$Q_J=\dfrac12\dfrac{C_1C_2}{C_1+C_2}V_1^2$。

例题

例 11　（场景：给电阻和电容，求充电结束时的焦耳热 → 能量守恒）

問題　図のように，起電力 $12\ \mathrm{V}$ の電池，抵抗 $1.0\ \mathrm{M\Omega}$，電気容量 $5.0\ \mu\mathrm{F}$ のコンデンサー，スイッチ $S$ を直列に接続した。はじめコンデンサーは帯電していない。スイッチ $S$ を閉じ，十分に時間がたった。この間に抵抗で発生するジュール熱は何 $\mathrm{J}$ か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，電池の内部抵抗は無視できるものとする。

①　$1.8\times10^{-4}\ \mathrm{J}$　　②　$3.6\times10^{-4}\ \mathrm{J}$　　③　$7.2\times10^{-4}\ \mathrm{J}$　　④　$6.0\times10^{-5}\ \mathrm{J}$

解答　十分に時間がたつと電流は 0 になり，コンデンサーの電圧は電池の起電力 $12\ \mathrm{V}$ に等しくなる。電気量は

$$Q = CV = 5.0\times10^{-6}\times12 = 6.0\times10^{-5}\ \mathrm{C}$$

電池がした仕事は $W=QV=6.0\times10^{-5}\times12=7.2\times10^{-4}\ \mathrm{J}$。コンデンサーに蓄えられた静電エネルギーは

$$U = \frac12 QV = \frac12\times6.0\times10^{-5}\times12 = 3.6\times10^{-4}\ \mathrm{J}$$

エネルギー保存則より，ジュール熱は

$$Q_J = W - U = 7.2\times10^{-4}-3.6\times10^{-4} = 3.6\times10^{-4}\ \mathrm{J}$$

検算：充電効率は $\dfrac{U}{W}=50\%$，抵抗の大きさによらず一定。　答　②

中文翻译　题目：如图，电动势 $12\ \mathrm{V}$ 的电池、电阻 $1.0\ \mathrm{M\Omega}$、电容 $5.0\ \mu\mathrm{F}$ 的电容器和开关 $S$ 串联。电容器原来不带电。闭合 $S$，足够长时间后，这期间电阻上产生的焦耳热是多少 $\mathrm{J}$？电池内阻不计。从①～④中选。解答：足够长时间后电流为零，电容器电压等于 $12\ \mathrm{V}$，$Q=CV=6.0\times10^{-5}\ \mathrm{C}$。电池做功 $W=QV=7.2\times10^{-4}\ \mathrm{J}$，储存 $U=\dfrac12 QV=3.6\times10^{-4}\ \mathrm{J}$，焦耳热 $Q_J=W-U=3.6\times10^{-4}\ \mathrm{J}$。检验：充电效率 50%，与电阻大小无关。答案 ②。

解说　用到“充电的焦耳热等于电池做功减去储存能量”。容易卡在：直接用 $Q_J=I^2Rt$ 算，但 $I$ 随时间变，高中没有积分工具；必须用能量守恒。选项排除：③ 是电池做的总功，忘了减去储存的能量；① 是储存能量的一半；④ 是电荷量，单位都不对。

例 12　（场景：两个电容器通过电阻连接 → 能量差求焦耳热）

問題　図のように，電気容量 $4.0\ \mu\mathrm{F}$ のコンデンサー $C_1$ を電圧 $10\ \mathrm{V}$ で充電し，電気容量 $6.0\ \mu\mathrm{F}$ のコンデンサー $C_2$（はじめ帯電していない）に，抵抗 $R$ を通して接続した。十分に時間がたつまでに，抵抗 $R$ で発生するジュール熱は何 $\mathrm{J}$ か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$8.0\times10^{-5}\ \mathrm{J}$　　②　$1.2\times10^{-4}\ \mathrm{J}$　　③　$2.0\times10^{-4}\ \mathrm{J}$　　④　$6.0\times10^{-5}\ \mathrm{J}$

解答　接続前の電気量は $Q=C_1V_0=4.0\times10^{-6}\times10=4.0\times10^{-5}\ \mathrm{C}$。接続後の共通電圧は，電気量保存則より

$$V' = \frac{Q}{C_1+C_2} = \frac{4.0\times10^{-5}}{10\times10^{-6}}\ \mathrm{V} = 4.0\ \mathrm{V}$$

初めの静電エネルギーは

$$U_i = \frac12 C_1V_0^2 = \frac12\times4.0\times10^{-6}\times10^2 = 2.0\times10^{-4}\ \mathrm{J}$$

終わりの静電エネルギーは

$$U_f = \frac12 (C_1+C_2)V'^2 = \frac12\times10\times10^{-6}\times4.0^2 = 8.0\times10^{-5}\ \mathrm{J}$$

エネルギー保存則より，ジュール熱は

$$Q_J = U_i - U_f = 2.0\times10^{-4}-8.0\times10^{-5} = 1.2\times10^{-4}\ \mathrm{J}$$

検算：$Q_J=\dfrac12\dfrac{C_1C_2}{C_1+C_2}V_0^2=\dfrac12\times\dfrac{4.0\times6.0}{10}\times10^{-6}\times100=1.2\times10^{-4}\ \mathrm{J}$，一致する。　答　②

中文翻译　题目：如图，把电容 $4.0\ \mu\mathrm{F}$ 的 $C_1$ 充电到 $10\ \mathrm{V}$，通过电阻 $R$ 与电容 $6.0\ \mu\mathrm{F}$、原来不带电的 $C_2$ 连接。到足够长时间为止，电阻 $R$ 上产生的焦耳热是多少 $\mathrm{J}$？从①～④中选。解答：连接前 $Q=C_1V_0=4.0\times10^{-5}\ \mathrm{C}$；连接后共同电压 $V'=Q/(C_1+C_2)=4.0\ \mathrm{V}$。初态 $U_i=\dfrac12 C_1V_0^2=2.0\times10^{-4}\ \mathrm{J}$，末态 $U_f=\dfrac12(C_1+C_2)V'^2=8.0\times10^{-5}\ \mathrm{J}$，焦耳热 $Q_J=U_i-U_f=1.2\times10^{-4}\ \mathrm{J}$。检验：用两电容公式算也是 $1.2\times10^{-4}\ \mathrm{J}$。答案 ②。

解说　用到“连接过程电荷守恒、能量差变焦耳热”。容易卡在：认为电阻 $R$ 越大焦耳热越多；实际上 $R$ 只影响时间，总热量由初末能量差决定。选项排除：③ 是初态能量，忘了减去末态；① 是末态能量；④ 是初末能量之差再乘 $\dfrac12$，重复用了 $\dfrac12$。

常用推论

• 从零充电到 $V$：$Q_J=\dfrac12 CV^2$，与 $R$ 无关；充电效率最多 $50\%$。
• 放电到零：$Q_J=\dfrac12 CV_0^2$，与 $R$ 无关。
• 两个电容器连接：$Q_J=\dfrac12\dfrac{C_1C_2}{C_1+C_2}(V_1-V_2)^2$。
• $R$ 只决定充放电快慢，不决定总焦耳热；时间常数 $RC$ 越大，过程越慢。
• 充电过程中，电流 $I=\dfrac{V-V_C}{R}$ 随 $V_C$ 增大而减小，最后为零。

易错点

• 错在哪：认为电阻 $R$ 越大，充电时产生的焦耳热越多。 为什么错：$R$ 大时电流小，但充电时间按同样比例变长，$I^2R$ 对时间的积分不变；总热量由电池做功和储存能量之差决定。 正确做法：用能量守恒算总热量；只有问“发热功率”或“某时刻的热”时才与 $R$ 有关。
• 错在哪：认为充电时电池做的功全部变成静电能。 为什么错：电池搬电荷 $Q$ 做功 $QV$，而储存只有 $\dfrac12 QV$，另一半在充电过程中发热。 正确做法：记充电效率最多 $50\%$；用 $W=QV$、$U=\dfrac12 QV$ 分别算。
• 错在哪：两个电容器连接后，用能量守恒求最终电压。 为什么错：连接过程中有电流通过电阻，能量变成热，静电能减少；只有电荷守恒。 正确做法：先用 $V'=\dfrac{Q_1+Q_2}{C_1+C_2}$ 求电压，再用初末能量差求热。

直观理解

充电像用细管给水箱注水：开始时水箱空，水压差最大，水流最急；水位越高，水流越慢，最后水位与水源齐平，水流停止。细管（大电阻）只让这个过程变慢，不改变最后的水位，也不改变“水源做的总功”和“水箱最终存的水”之差。这个差值就是管子里摩擦产生的热。

关联知识点

• 前置：本书 16.4 静電エネルギー（$U=\dfrac12 CV^2$、能量记账）。
• 前置：本书 16.5 コンデンサーの接続（电荷守恒、合成容量），16.6 コンデンサーを含む回路（稳定状态）。
• 后续：本书第 17 章直流回路（ジュール熱、電力、闭合电路欧姆定律）。
• 后续：本书第 20 章交流（コンデンサーのリアクタンス、振動回路）。
• 常一起考：国内书第 18 章 18.6 节含容电路（$\Delta Q$ 的计算），国内不讲焦耳热的定量。

16.8 極板間の引力

说明

带等量异种电荷的两块极板互相吸引。极板间的引力大小为

$$F = \frac{Q^2}{2\varepsilon S} = \frac{\varepsilon S V^2}{2d^2} = \frac{CV^2}{2d}$$

方向始终是互相吸引（使板间距离减小）。

为什么有 $\dfrac12$：每块极板处在“另一块极板产生的电场”中，而不是处在两板共同产生的合电场中。一块极板单独产生的电场是 $E_1=\dfrac{Q}{2\varepsilon S}$，另一块极板受的力 $F=QE_1=\dfrac{Q^2}{2\varepsilon S}$。若用合电场 $E=\dfrac{Q}{\varepsilon S}$ 算 $F=QE$，就把力算成了两倍。

能量角度看：断开电源（$Q$ 不变），把极板拉开 $\Delta d$，外力做功等于静电能增加量：

$$W_{\text{外}} = \Delta U = F\Delta d$$

因为 $Q$ 不变时 $F$ 与 $d$ 无关，所以 $W_{\text{外}}=F\Delta d$ 可以直接用。

使用场景

• 求极板间引力、把极板拉开所需的力或功，或判断极板间带电微粒的受力 → 用 $F=\dfrac{Q^2}{2\varepsilon S}$（$Q$ 不变）或 $F=\dfrac{\varepsilon SV^2}{2d^2}$（$V$ 不变），再用功与能量变化的关系。

注意点

• $F$ 的式子里有 $\dfrac12$，根源是“只算另一块极板的电场”；用 $F=QE$（$E$ 为合场强）会得到两倍。
• 断开电源（$Q$ 不变）时，$F$ 与板间距离 $d$ 无关；接电源（$V$ 不变）时，$F\propto\dfrac{1}{d^2}$，距离越大引力越小。
• 把极板拉开时外力做正功，静电能增加（$Q$ 不变）；把极板靠近时电场力做正功，静电能减少。
• 接电源拉开极板时，电池也参与做功，外力做的功不等于静电能的增加量，要用完整能量账。
• 引力很小，实际电容器上通常只有 $10^{-3}\ \mathrm{N}$ 量级以下；题目可能取较大的电容和电压，按公式算即可。

推导

用一块极板的电场：极板上的电荷面密度 $\sigma=\dfrac{Q}{S}$。一块无限大带电板产生的匀强电场大小为 $E_1=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon}=\dfrac{Q}{2\varepsilon S}$，方向垂直板面。另一块极板带电荷 $Q$，处在这个电场中，受力

$$F = QE_1 = \frac{Q^2}{2\varepsilon S}$$

两块极板受到的力大小相等、方向相反，互相吸引。（关键一步：$E_1$ 只是一块板的电场，不是两板之间的合电场 $\dfrac{Q}{\varepsilon S}$。）

用能量推导（$Q$ 不变）：$U=\dfrac{Q^2}{2C}=\dfrac{Q^2 d}{2\varepsilon S}$。把 $d$ 增大 $dd$，静电能增加 $dU=\dfrac{Q^2}{2\varepsilon S}dd$。外力克服引力做功 $F\,dd$，所以 $F=\dfrac{dU}{dd}=\dfrac{Q^2}{2\varepsilon S}$。结果与直接算力一致。

接电源（$V$ 不变）：$U=\dfrac12 CV^2=\dfrac{\varepsilon S V^2}{2d}$。把 $d$ 增大 $dd$，静电能减少 $|dU|=\dfrac{\varepsilon S V^2}{2d^2}dd$；同时电荷减少，电池回收能量，回收量是 $|dU|$ 的两倍。外力做的功加上静电能减少量，正好等于电池回收的能量，整理后引力大小仍是 $F=\dfrac{\varepsilon S V^2}{2d^2}$。这个推导说明：$V$ 不变时不能简单用 $F=\dfrac{dU}{dd}$，要算上电池。

例题

例 13　（场景：断开电源，求极板间引力和拉开极板所需的功）

問題　面積 $S$，間隔 $1.0\ \mathrm{mm}$ の平行板コンデンサーを，電圧 $100\ \mathrm{V}$ で充電した後，電池を外した。このコンデンサーの電気容量は $2.0\ \mu\mathrm{F}$ である。極板間にはたらく引力の大きさ $F$ と，極板間隔を $2.0\ \mathrm{mm}$ にするのに必要な仕事 $W$ の組合せとして最も適当なものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，極板間は真空とし，真空の誘電率を $8.9\times10^{-12}\ \mathrm{F/m}$ とする。

	①	②	③	④
$F$	$10\ \mathrm{N}$	$20\ \mathrm{N}$	$10\ \mathrm{N}$	$5.0\ \mathrm{N}$
$W$	$1.0\times10^{-2}\ \mathrm{J}$	$1.0\times10^{-2}\ \mathrm{J}$	$2.0\times10^{-2}\ \mathrm{J}$	$1.0\times10^{-2}\ \mathrm{J}$

解答　充電後の電気量は

$$Q = CV = 2.0\times10^{-6}\times100 = 2.0\times10^{-4}\ \mathrm{C}$$

真空の平行板では $C=\dfrac{\varepsilon_0 S}{d}$ なので $\varepsilon_0 S=Cd=2.0\times10^{-6}\times1.0\times10^{-3}=2.0\times10^{-9}\ \mathrm{F\cdot m}$。引力は

$$F = \frac{Q^2}{2\varepsilon_0 S} = \frac{(2.0\times10^{-4})^2}{2\times2.0\times10^{-9}}\ \mathrm{N} = \frac{4.0\times10^{-8}}{4.0\times10^{-9}}\ \mathrm{N} = 10\ \mathrm{N}$$

電池を外しているので $Q$ 一定，$F$ は間隔によらず一定。間隔を $1.0\ \mathrm{mm}$ から $2.0\ \mathrm{mm}$ にするのに必要な仕事は

$$W = F\Delta d = 10\times(2.0-1.0)\times10^{-3}\ \mathrm{J} = 1.0\times10^{-2}\ \mathrm{J}$$

検算：静電エネルギーで確かめる。初め $U_i=\dfrac12 CV^2=\dfrac12\times2.0\times10^{-6}\times100^2=1.0\times10^{-2}\ \mathrm{J}$。間隔を 2 倍にすると $C'=1.0\ \mu\mathrm{F}$，$U_f=\dfrac{Q^2}{2C'}=\dfrac{(2.0\times10^{-4})^2}{2\times1.0\times10^{-6}}=2.0\times10^{-2}\ \mathrm{J}$。増加量 $1.0\times10^{-2}\ \mathrm{J}$ が外力の仕事に一致する。　答　①

中文翻译　题目：面积 $S$、间距 $1.0\ \mathrm{mm}$ 的平行板电容器充电到 $100\ \mathrm{V}$ 后断开电源，电容为 $2.0\ \mu\mathrm{F}$。极板间引力 $F$ 与把间距变为 $2.0\ \mathrm{mm}$ 所需功 $W$ 的正确组合是哪一个？板间为真空，真空介电常数 $8.9\times10^{-12}\ \mathrm{F/m}$。从①～④中选。解答：$Q=CV=2.0\times10^{-4}\ \mathrm{C}$，$\varepsilon_0 S=Cd=2.0\times10^{-9}\ \mathrm{F\cdot m}$，$F=Q^2/(2\varepsilon_0 S)=10\ \mathrm{N}$。断开电源 $Q$ 不变，$F$ 与间距无关，$W=F\Delta d=10\times1.0\times10^{-3}=1.0\times10^{-2}\ \mathrm{J}$。检验：初态 $U_i=1.0\times10^{-2}\ \mathrm{J}$，间距加倍后 $C'=1.0\ \mu\mathrm{F}$，$U_f=2.0\times10^{-2}\ \mathrm{J}$，增加量与外力功一致。答案 ①。

解说　用到 $F=\dfrac{Q^2}{2\varepsilon S}$ 和 $W=F\Delta d$。容易卡在：用 $F=QE$ 且 $E=\dfrac{V}{d}$，算出 $2Q V/d$ 之类的两倍值；或者把间距变化当成 $2d$，多算一倍功。选项排除：② 是忘了 $\dfrac12$；③ 是把功算成 $F\times2d$；④ 是引力又除以 2。另一种解法：直接用能量差 $W=U_f-U_i=\dfrac{Q^2}{2}\left(\dfrac{1}{C'}-\dfrac{1}{C}\right)$，不必先求 $F$；适合只问功、不问力的题。

常用推论

• $F=\dfrac{Q^2}{2\varepsilon S}=\dfrac{\varepsilon SV^2}{2d^2}=\dfrac{CV^2}{2d}$，三个式子用 $Q=CV$、$C=\dfrac{\varepsilon S}{d}$ 互推。
• 断开电源（$Q$ 不变）：$F$ 与 $d$ 无关；拉开 $\Delta d$ 做功 $F\Delta d=\Delta U$。
• 接电源（$V$ 不变）：$F\propto\dfrac{1}{d^2}$；拉开时外力做功，电池回收部分能量，静电能变化不等于外力功。
• 引力方向总是使板间距离减小；介质会被吸入极板间，也是同一类力。
• 电场力做正功时静电能减少，做负功时静电能增加；接电源时要加上电池的能量。

易错点

• 错在哪：用 $F=QE$，其中 $E=\dfrac{Q}{\varepsilon S}$ 是两板间的合电场，得到 $F=\dfrac{Q^2}{\varepsilon S}$，是正确答案的两倍。 为什么错：一块极板不会对自己施加力；它只受另一块极板电场的力，而另一块极板的电场是合电场的一半。 正确做法：用 $E_1=\dfrac{Q}{2\varepsilon S}$，或直接记带 $\dfrac12$ 的公式。
• 错在哪：认为接电源时极板间引力与距离无关。 为什么错：$V$ 不变时 $E=\dfrac{V}{d}$ 随 $d$ 变，$F\propto\dfrac{1}{d^2}$；只有 $Q$ 不变时 $E=\dfrac{Q}{\varepsilon S}$ 才与 $d$ 无关。 正确做法：先判断 $Q$ 不变还是 $V$ 不变，再选对应的 $F$ 表达式。
• 错在哪：把拉开极板的外力功直接等于 $\Delta U$，接电源时也这样用。 为什么错：接电源时电池也做功（或回收能量），能量账里还有电池这一项。 正确做法：断开电源时 $W_{\text{外}}=\Delta U$；接电源时用 $W_{\text{外}}+W_{\text{电池}}=\Delta U$。

直观理解

两块带异种电荷的极板像两块异极相对的磁铁，总是互相吸引。每块板“感觉”到的只是对方产生的电场，对方电场的强度是两板之间合电场的一半，所以力也带 $\dfrac12$。把两块板拉开就像拉开两块磁铁，要克服吸引力做功；松手时它们会互相撞上，静电能变成动能和热。

关联知识点

• 前置：本书第 15 章電場（点电荷、匀强电场、电场线）。
• 前置：本书 16.2 コンデンサーと電気容量（$C=\varepsilon S/d$），16.4 静電エネルギー（$U=\dfrac12 CV^2$）。
• 后续：本书第 17 章直流回路（含容电路中的力学问题）。
• 常一起考：平行板动态分析（16.3）中判断介质被吸入、极板受力方向。

16.9 题型与答法

コンデンサー在 EJU 里几乎每回都出现，固定在 Ⅳ（電気と磁気）大問：多和電場・電位一起出在 B 問 2，也有和直流回路一起出在 C 問 3、D 問 4。形式字母式和数值各半：字母式多问“插入介质后 $C$、$Q$、$V$、$E$、$U$ 怎么变”，数值题多问电荷量、电压、焦耳热。据 20 回公开过去问，本章内容共出现 20 次（每回平均 1.0 次）：2012 年第 1 回、2014 年第 1 回各 2 题，2011 年第 2 回、2013 年第 2 回没有，其余每回 1 题。

两分钟做法：

1. 先写不变量：接电源”$V$ 不变”，断开电源”$Q$ 不变”。这一步错了后面全错。
2. 平行板：$C=\dfrac{\varepsilon S}{d}$ → $Q=CV$ → $E=\dfrac{V}{d}$（或 $E=\dfrac{Q}{\varepsilon S}$）。插入金属板用 $d-t$，插入介质乘 $\varepsilon_r$。
3. 电路：稳定后电容支路当断路，先算其余电路的电流和电压，再找电容器两极板接在哪两点。
4. 能量：充电、放电、两电容器连接的焦耳热都用能量守恒；$R$ 只影响时间，不影响总热量。
5. 用极限核对：$\varepsilon_r=1$、$t=0$、$d$ 变大、$C_2\to0$ 等特殊情形代进去，看选项是否合理。

問題 1　（電池につないだまま誘電体を挿入）

面積 $S$，間隔 $d$ の平行板コンデンサーが，電圧 $V$ の電池に接続されている。極板間を比誘電率 $2.0$ の誘電体で満たした。電気容量 $C$，電気量 $Q$，極板間の電場の強さ $E$，静電エネルギー $U$ は，それぞれ操作前の何倍になるか。正しい組合せを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

	①	②	③	④
$C$	$2.0$	$2.0$	$2.0$	$2.0$
$Q$	$2.0$	$1.0$	$2.0$	$1.0$
$E$	$1.0$	$1.0$	$2.0$	$0.50$
$U$	$2.0$	$2.0$	$2.0$	$0.50$

解答　電池につないだままなので，極板間の電圧 $V$ は一定。誘電体を満たすと $C=\varepsilon_r\varepsilon_0\dfrac{S}{d}$ より $C$ は $2.0$ 倍。$Q=CV$ より $Q$ も $2.0$ 倍。$E=\dfrac{V}{d}$ は $V$、$d$ とも変わらないので $1.0$ 倍（変わらない）。$U=\dfrac12 CV^2$ より $U$ は $2.0$ 倍。　答　①

中文翻译　题目：面积 $S$、间距 $d$ 的平行板电容器接在电压 $V$ 的电源上。板间充满相对介电常数 $2.0$ 的电介质。电容 $C$、电荷量 $Q$、电场强度 $E$、静电能量 $U$ 分别是操作前的多少倍？从①～④中选正确组合。解答：接在电源上，电压 $V$ 不变。$C=\varepsilon_r\varepsilon_0 S/d$，$C$ 变为 $2.0$ 倍；$Q=CV$，$Q$ 也变为 $2.0$ 倍；$E=V/d$ 中 $V$、$d$ 都不变，$E$ 不变（$1.0$ 倍）；$U=\dfrac12 CV^2$，$U$ 变为 $2.0$ 倍。答案 ①。

解说　这是”$V$ 不变“的标准题，两分钟做法：先写 $V$ 不变，再按 $C$、$Q$、$E$、$U$ 的顺序逐个推。容易卡在：把 $E$ 也乘 $\varepsilon_r$；那是 $Q$ 不变时的结论。选项排除：③ 的 $E$ 变大，是断开电源的错误结论；② 认为 $Q$ 不变；④ 把 $E$、$U$ 都当成变小。

問題 2　（充電したコンデンサーを別のコンデンサーにつなぐ）

電気容量 $6.0\ \mu\mathrm{F}$ のコンデンサー $C_1$ を電圧 $9.0\ \mathrm{V}$ で充電し，電気容量 $3.0\ \mu\mathrm{F}$ のコンデンサー $C_2$（はじめ帯電していない）に，抵抗を通して接続した。十分に時間がたった後の $C_1$ の電圧と，この間に抵抗で発生するジュール熱の組合せとして最も適当なものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

	①	②	③	④
電圧	$6.0\ \mathrm{V}$	$6.0\ \mathrm{V}$	$3.0\ \mathrm{V}$	$9.0\ \mathrm{V}$
ジュール熱	$8.1\times10^{-5}\ \mathrm{J}$	$2.4\times10^{-4}\ \mathrm{J}$	$8.1\times10^{-5}\ \mathrm{J}$	$0\ \mathrm{J}$

解答　接続前の電気量は $Q=C_1V_0=6.0\times10^{-6}\times9.0=5.4\times10^{-5}\ \mathrm{C}$。接続後は並列で，電気量保存則より共通電圧は

$$V' = \frac{Q}{C_1+C_2} = \frac{5.4\times10^{-5}}{9.0\times10^{-6}}\ \mathrm{V} = 6.0\ \mathrm{V}$$

初めの静電エネルギー $U_i=\dfrac12 C_1V_0^2=\dfrac12\times6.0\times10^{-6}\times9.0^2=2.43\times10^{-4}\ \mathrm{J}$。終わりは $U_f=\dfrac12(C_1+C_2)V'^2=\dfrac12\times9.0\times10^{-6}\times6.0^2=1.62\times10^{-4}\ \mathrm{J}$。ジュール熱は

$$Q_J = U_i-U_f = 2.43\times10^{-4}-1.62\times10^{-4} = 8.1\times10^{-5}\ \mathrm{J}$$

検算：$\dfrac12\dfrac{C_1C_2}{C_1+C_2}V_0^2=\dfrac12\times\dfrac{6.0\times3.0}{9.0}\times10^{-6}\times9.0^2=8.1\times10^{-5}\ \mathrm{J}$，一致する。　答　①

中文翻译　题目：把电容 $6.0\ \mu\mathrm{F}$ 的 $C_1$ 充电到 $9.0\ \mathrm{V}$，通过电阻与电容 $3.0\ \mu\mathrm{F}$、原来不带电的 $C_2$ 连接。足够长时间后 $C_1$ 的电压与这期间电阻上产生的焦耳热的正确组合是哪一个？从①～④中选。解答：连接前 $Q=C_1V_0=5.4\times10^{-5}\ \mathrm{C}$，连接后并联，$V'=Q/(C_1+C_2)=6.0\ \mathrm{V}$。初态 $U_i=2.43\times10^{-4}\ \mathrm{J}$，末态 $U_f=1.62\times10^{-4}\ \mathrm{J}$，焦耳热 $Q_J=8.1\times10^{-5}\ \mathrm{J}$。检验：两电容公式也算得 $8.1\times10^{-5}\ \mathrm{J}$。答案 ①。

解说　两分钟做法：先电荷守恒求 $V'$，再能量差求热，两步都用 $Q=CV$。容易卡在：用能量守恒求 $V'$，会得到 $7.3\ \mathrm{V}$ 左右，选项里没有；或者忘了 $C_1$ 的电压会降到 $6.0\ \mathrm{V}$。选项排除：② 的 $2.4\times10^{-4}\ \mathrm{J}$ 约等于初态总能量，忘了减末态；③ 的 $3.0\ \mathrm{V}$ 是把电压按电容正比分配；④ 认为电阻为零、没有热，实际上电荷重新分配一定有能量损失。

問題 3　（電池を外して極板を離す）

面積 $S$，間隔 $d$ の平行板コンデンサーを電圧 $V$ で充電した後，電池を外した。次に，極板間隔を $2d$ にした。電気量 $Q$，電圧 $V'$，電場の強さ $E'$，静電エネルギー $U'$ は，それぞれ操作前の何倍になるか。正しい組合せを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

	①	②	③	④
$Q$	$1$	$1$	$2$	$1$
$V'$	$2$	$1$	$2$	$0.50$
$E'$	$1$	$2$	$1$	$1$
$U'$	$2$	$1$	$2$	$0.50$

解答　電池を外したので $Q$ は一定（$1$ 倍）。$C=\dfrac{\varepsilon_0 S}{d}$ より $d$ を $2$ 倍にすると $C$ は $\dfrac12$ 倍。$V=\dfrac{Q}{C}$ より $V'$ は $2$ 倍。$E=\dfrac{Q}{\varepsilon_0 S}$ は $Q$、$S$ が変わらないので $1$ 倍（変わらない）。$U=\dfrac{Q^2}{2C}$ より $U'$ は $2$ 倍。　答　①

中文翻译　题目：面积 $S$、间距 $d$ 的平行板电容器充电到电压 $V$ 后断开电源，再把板间距变为 $2d$。电荷量 $Q$、电压 $V'$、电场强度 $E'$、静电能量 $U'$ 分别是原来的多少倍？从①～④中选正确组合。解答：断开电源，$Q$ 不变（$1$ 倍）。$C=\varepsilon_0 S/d$，间距变 $2d$ 时 $C$ 变为 $\dfrac12$ 倍；$V=Q/C$，$V'$ 变为 $2$ 倍；$E=Q/(\varepsilon_0 S)$ 与 $d$ 无关，$E'$ 不变（$1$ 倍）；$U=Q^2/(2C)$，$U'$ 变为 $2$ 倍。答案 ①。

解说　这是”$Q$ 不变、只改 $d$“的标准题，两分钟做法：写 $Q$ 不变 → $C\propto1/d$ → $V=Q/C$ → $E=Q/(\varepsilon_0 S)$ 不变 → $U=Q^2/(2C)$。容易卡在：以为拉开极板电场变弱；$Q$ 不变时面电荷密度不变，电场不变。选项排除：② 的 $E'$ 变大、$U'$ 不变，是接电源时的结论；③ 认为 $Q$ 会变；④ 把 $V'$ 和 $C$ 的变化弄反。

16.10 术语与题干用语

日文	读音	中文	例句或说明
コンデンサー	コンデンサー	电容器	平行板コンデンサー
電気容量	でんきようりょう	电容	電気容量 $C$ は何 $\mu\mathrm{F}$ か
極板	きょくばん	极板	極板間の距離 $d$
極板間隔	きょくばんかんかく	板间距	極板間隔を 2 倍にする
誘電体	ゆうでんたい	电介质	比誘電率 $\varepsilon_r$ の誘電体
比誘電率	ひゆうでんりつ	相对介电常数	比誘電率 $2.0$ の誘電体で満たす
真空の誘電率	しんくうのゆうでんりつ	真空介电常数	真空の誘電率 $\varepsilon_0$
静電エネルギー	せいでんエネルギー	静电能量	蓄えられる静電エネルギー $U$
充電	じゅうでん	充电	コンデンサーを充電する
放電	ほうでん	放电	抵抗を通して放電する
直列接続	ちょくれつせつぞく	串联	二つのコンデンサーを直列に接続する
並列接続	へいれつせつぞく	并联	並列に接続すると電圧が等しい
合成容量	ごうせいようりょう	等效电容、合成电容	合成容量は何 $\mu\mathrm{F}$ か
電気量保存則	でんきりょうほぞんそく	电荷守恒定律	電気量保存則より
スイッチを閉じる	スイッチをとじる	闭合开关	スイッチ $S$ を閉じる
スイッチを開く	スイッチをひらく	断开开关	スイッチ $S$ を開く
十分に時間がたった後	じゅうぶんにじかんがたったあと	足够长时间后	十分に時間がたった後，電流は零になる
ジュール熱	ジュールねつ	焦耳热	抵抗で発生するジュール熱
起電力	きでんりょく	电动势	起電力 $V$ の電池
内部抵抗	ないぶていこう	内阻	内部抵抗 $r$ の電池
極板間の引力	きょくばんかんのいんりょく	极板间引力	極板間にはたらく引力 $F$
電場の強さ	でんばのつよさ	电场强度	極板間の電場の強さ $E$
一様な電場	いちようなでんば	匀强电场	極板間は一様な電場とみなせる
帯電	たいでん	带电	はじめ帯電していない
検算	けんざん	验算	検算：単位と向きを確かめる

16.11 自测

1. 電気容量 $4.0\ \mu\mathrm{F}$ のコンデンサーに $50\ \mathrm{V}$ の電圧を加えると，蓄えられる電気量は何 $\mathrm{C}$ か。　（电容 $4.0\ \mu\mathrm{F}$ 的电容器加 $50\ \mathrm{V}$ 电压，电荷量多少？）
2. 面積 $1.0\times10^{-2}\ \mathrm{m^2}$，間隔 $2.0\times10^{-3}\ \mathrm{m}$ の平行板コンデンサーの極板間が真空のとき，電気容量は何 $\mathrm{F}$ か。真空の誘電率を $8.9\times10^{-12}\ \mathrm{F/m}$ とする。　（平行板电容器面积 $1.0\times10^{-2}\ \mathrm{m^2}$、间距 $2.0\times10^{-3}\ \mathrm{m}$，真空中电容多少？）
3. 電池を外した後，極板間を比誘電率 $3.0$ の誘電体で満たすと，極板間の電圧は操作前の何倍になるか。　（断开电源后充满相对介电常数 $3.0$ 的介质，电压变为原来的几倍？）
4. 電気容量 $2.0\ \mu\mathrm{F}$ のコンデンサーを $100\ \mathrm{V}$ で充電したとき，蓄えられる静電エネルギーは何 $\mathrm{J}$ か。　（电容 $2.0\ \mu\mathrm{F}$ 充电到 $100\ \mathrm{V}$，静电能量多少？）
5. 電気容量 $3.0\ \mu\mathrm{F}$ と $6.0\ \mu\mathrm{F}$ のコンデンサーを直列に接続したとき，合成容量は何 $\mu\mathrm{F}$ か。　（$3.0\ \mu\mathrm{F}$ 与 $6.0\ \mu\mathrm{F}$ 串联，合成电容多少？）
6. 電気容量 $2.0\ \mu\mathrm{F}$ のコンデンサーを $12\ \mathrm{V}$ で充電し，帯電していない $4.0\ \mu\mathrm{F}$ のコンデンサーに並列に接続した。十分に時間がたった後の電圧は何 $\mathrm{V}$ か。　（$2.0\ \mu\mathrm{F}$ 充电到 $12\ \mathrm{V}$ 后与不带电的 $4.0\ \mu\mathrm{F}$ 并联，最终电压多少？）
7. 起電力 $10\ \mathrm{V}$，内部抵抗 $1.0\ \Omega$ の電池に $4.0\ \Omega$ の抵抗とコンデンサーを直列に接続した。十分に時間がたった後，コンデンサーの両端の電圧は何 $\mathrm{V}$ か。　（电动势 $10\ \mathrm{V}$、内阻 $1.0\ \Omega$ 的电池与 $4.0\ \Omega$ 电阻、电容器串联，稳定后电容器电压多少？）
8. 上のコンデンサーの電気容量が $5.0\ \mu\mathrm{F}$ のとき，蓄えられる電気量は何 $\mathrm{C}$ か。　（上题电容器电容 $5.0\ \mu\mathrm{F}$，电荷量多少？）
9. 電気容量 $100\ \mu\mathrm{F}$ のコンデンサーを $20\ \mathrm{V}$ で充電した後，抵抗を通して放電させた。抵抗で発生するジュール熱は何 $\mathrm{J}$ か。　（$100\ \mu\mathrm{F}$ 充电到 $20\ \mathrm{V}$ 后经电阻放电，焦耳热多少？）
10. 電気容量 $1.0\ \mu\mathrm{F}$，極板間隔 $0.50\ \mathrm{mm}$ のコンデンサーを $200\ \mathrm{V}$ で充電した後，電池を外した。極板間にはたらく引力の大きさは何 $\mathrm{N}$ か。真空の誘電率を $8.9\times10^{-12}\ \mathrm{F/m}$ とする。　（电容 $1.0\ \mu\mathrm{F}$、间距 $0.50\ \mathrm{mm}$ 的电容器充电到 $200\ \mathrm{V}$ 后断开，极板间引力多少？）

答案：1. $Q=CV=4.0\times10^{-6}\times50=2.0\times10^{-4}\ \mathrm{C}$　2. $C=\varepsilon_0 S/d=8.9\times10^{-12}\times1.0\times10^{-2}/(2.0\times10^{-3})\approx4.4\times10^{-11}\ \mathrm{F}$　3. $\dfrac{1}{3.0}$ 倍　4. $U=\dfrac12 CV^2=\dfrac12\times2.0\times10^{-6}\times100^2=1.0\times10^{-2}\ \mathrm{J}$　5. $C=\dfrac{3.0\times6.0}{3.0+6.0}=2.0\ \mu\mathrm{F}$　6. $Q=2.0\times10^{-6}\times12=2.4\times10^{-5}\ \mathrm{C}$，$V'=\dfrac{Q}{(2.0+4.0)\times10^{-6}}=4.0\ \mathrm{V}$　7. $I=10/(4.0+1.0)=2.0\ \mathrm{A}$，$V_C=IR=8.0\ \mathrm{V}$　8. $Q=5.0\times10^{-6}\times8.0=4.0\times10^{-5}\ \mathrm{C}$　9. $Q_J=\dfrac12 CV^2=\dfrac12\times100\times10^{-6}\times20^2=2.0\times10^{-2}\ \mathrm{J}$　10. $Q=CV=2.0\times10^{-4}\ \mathrm{C}$，$\varepsilon_0 S=Cd=5.0\times10^{-10}\ \mathrm{F\cdot m}$，$F=Q^2/(2\varepsilon_0 S)=40\ \mathrm{N}$

16.12 深入阅读

• JASSO · 理科（物理）シラバス：本章对应「コンデンサー」：電気容量、誘電体、静電エネルギー、コンデンサーの接続；「コンデンサーを含む回路」在 Ⅳ 2.(2)。
• 维基百科（日文）· コンデンサー：电容器的日文定义、平行板电容公式、介质和串并联接法的说明。
• 维基百科（日文）· 静電容量：電気容量 $C=Q/V$ 的日文表述，以及平行板电容器 $C=\varepsilon S/d$ 的推导。
• PhET · 电容器实验：改变极板面积、间距和介质，观察电容、电压和储存能量的变化。