第 21 章 · 原子

项目	内容
シラバス项目	Ⅴ 原子：1.(1) 電子（放電，陰極線，電子，比電荷，電気素量）；1.(2) 粒子性と波動性（光電効果，光子，Ｘ線，コンプトン効果，ブラッグ反射，物質波，電子線の干渉と回折）；2.(1) 原子の構造（原子核，水素原子のスペクトル，ボーアの原子模型，エネルギー準位）；2.(2) 原子核（原子核の構成，同位体，原子質量単位，原子量，原子核の崩壊，放射線，放射能，半減期，核反応，核エネルギー，質量とエネルギーの等価性）；2.(3) 素粒子（素粒子，4 つの基本的力）
国内书对应	第 34 章（电子、α 散射、氢光谱、玻尔模型、能级）；第 35 章 35.3–35.7 节（光电效应、光子、康普顿效应定性、物质波）；第 36 章（原子核、衰变、半衰期、结合能、基本粒子）
本章新内容的分量	中。国内学过原子结构和原子核的大部分内容；EJU 多出来的是日本记号的比電荷、Ｘ線的连续谱与特性谱、コンプトン効果的定量关系、ブラッグ反射，以及用 $\mathrm{u}$ 和 $931.5\ \mathrm{MeV}$ 算结合能
过去问出现次数	20 回共 11 題（每回平均 0.55 題）：全部集中在 2015 年以后的 11 回，2010–2014 的 9 回没有原子題

国内把原子物理拆成三章：电子的发现、α 散射、氢光谱和玻尔模型（第 34 章），光电效应和物质波（第 35 章），原子核、衰变和结合能（第 36 章）。EJU 的「原子」只有大問 Ⅴ 的一題，大部分考点和国内相同，真正需要展开的是五处：比電荷的日本记号与电场偏转公式、Ｘ線谱、コンプトン効果的定量推导、ブラッグ反射，以及用 $\mathrm{u}$ 和 $931.5\ \mathrm{MeV}$ 算结合能。中国学生的丢分点不在概念，而在日文术语和单位：把「比電荷」当成电荷量、把「電気素量」和「電気量」混用、算 Ｘ 線最短波长时忘了 $e$、用 $\mathrm{u}$ 算能量时又去乘 $c^2$。本章只展开这五处，相同的内容在 21.1 的表里指回国内书。

21.1 与国内的对照

シラバス小項目（日文原文）	国内书位置	相同 / 讲法不同 / 国内没有	本章哪节讲
放電・陰極線・電子	国内书第 34 章 34.2 节	相同，见国内书第 34 章 34.2 节	21.2（一句带过）
比電荷	国内书第 34 章 34.2 节（国内叫比荷 $q/m$）	讲法不同：日本叫比電荷 $e/m$，EJU 还会给电场中的偏转量 $y$ 让求 $e/m$	21.2
電気素量	国内书第 34 章 34.2 节、第 15 章 15.2 节（密立根油滴实验）	相同，见国内书第 34 章 34.2 节	21.2（注意点）
光電効果・光子	国内书第 35 章 35.3–35.5 节	相同，见国内书第 35 章	—（引用）
Ｘ線	无（国内只在光电效应的背景里提到伦琴射线）	国内没有	21.3
コンプトン効果	国内书第 35 章 35.6 节（只定性）	讲法不同：国内不讲波长变化的公式，EJU 要定量	21.4
ブラッグ反射	无	国内没有	21.5
物質波・電子線の干渉と回折	国内书第 35 章 35.7 节	相同，见国内书第 35 章 35.7 节	—（引用）
原子核・水素原子のスペクトル・ボーアの原子模型・エネルギー準位	国内书第 34 章 34.3–34.6 节	相同，见国内书第 34 章	21.7（題 1 复习）
原子核の構成・同位体・原子量	国内书第 36 章 36.2 节	相同，见国内书第 36 章 36.2 节	—（引用）
原子核の崩壊・放射線・放射能・半減期	国内书第 36 章 36.4–36.6 节	相同，见国内书第 36 章	21.7（題 2 复习）
核反応・核エネルギー	国内书第 36 章 36.3、36.8 节	相同，见国内书第 36 章	21.7（題 3 复习）
原子質量単位・質量とエネルギーの等価性	国内书第 36 章 36.7 节	讲法不同：日本把 $1\ \mathrm{u}=931.5\ \mathrm{MeV}$ 作为换算主轴，题面直接用 $\mathrm{u}$ 给质量	21.6
素粒子・4 つの基本的力	国内书第 36 章 36.9、36.7 节	相同，见国内书第 36 章 36.9 节	—（引用）

本章的顺序：先讲电子的比電荷（21.2），再讲 Ｘ 線（21.3），由 Ｘ 線引出コンプトン効果（21.4）和ブラッグ反射（21.5），最后回到原子核的质量单位与结合能（21.6）。光电效应、物质波、玻尔模型、半衰期、核反应这些和国内相同的内容不设知识点，只在 21.7 的题里复习日文题面。素粒子与 4 つの基本的力国内书第 36 章 36.9、36.7 节讲过：粒子分强子、轻子、规范玻色子等，四种基本力是万有引力、电磁力、强相互作用、弱相互作用；EJU 只作概念选项，本章不再展开。原子结构（α 粒子散射到核式模型）国内书第 34 章 34.3 节讲过，EJU 也只作定性选项；下图把日文题面里的说法集中一遍。

21.2 比電荷の測定

说明

比電荷（ひでんか）：带电粒子的电荷量与质量之比。日本教科书对电子写 $\dfrac{e}{m}$，国内叫比荷，写作 $\dfrac{q}{m}$。单位是 $\mathrm{C/kg}$。电子的比電荷约为 $1.76\times10^{11}\ \mathrm{C/kg}$。

トムソンの実験（1897 年）：汤姆孙让阴极射线（陰極線）通过正交的电场和磁场，射线不偏转时，电场力和洛伦兹力平衡：

$$eE = evB \quad\therefore\quad v = \frac{E}{B}$$

这一步测出了电子的速度，与电子的电荷量、质量都无关。然后撤去磁场（或撤去电场），只留一个场让射线偏转：只留磁场时做圆周运动，由 $evB = m\dfrac{v^2}{r}$ 得

$$\frac{e}{m} = \frac{v}{Br} = \frac{E}{B^2r}$$

只留电场时做类平抛运动，由偏转量 $y$ 也能求比電荷（推导见本节）。汤姆孙换不同材料的阴极、不同气体，测得的比電荷都一样，说明这种带负电的粒子是各种物质共有的，后来叫電子。国内书第 34 章 34.2 节已经讲过这段历史，这里只把日本记号和电场偏转公式补齐。

電気素量（でんきそりょう）：电子电荷量的绝对值，是电荷的最小单位。美国物理学家密立根（ミリカン）从 1909 年起用油滴实验测得，任何带电体的电荷量都是它的整数倍，即电荷量子化：

$$q = ne, \quad e = 1.6\times10^{-19}\ \mathrm{C}$$

日本把 $e$ 叫電気素量，把一般的电荷量叫電気量；国内分别叫元电荷和电荷量。测出比電荷 $\dfrac{e}{m}$ 和電気素量 $e$ 后，两者相除就得到电子质量 $m_{\mathrm e} = \dfrac{e}{e/m} \approx 9.1\times10^{-31}\ \mathrm{kg}$。

使用场景

• 题目给正交电磁场中直进、再给某一种偏转（磁场的半径 $r$ 或电场的偏转量 $y$）→ 先用 $v=\dfrac{E}{B}$ 测速度，再用 $r$ 或 $y$ 求 $\dfrac{e}{m}$；给的是电场偏转量时用 $\dfrac{e}{m}=\dfrac{2yE}{B^2l^2}$。

注意点

• 比電荷是 $\dfrac{e}{m}$，不是电荷量 $e$。汤姆孙测的是比電荷，密立根测的是電気素量，两人两件事，不要混。
• 电场偏转公式 $y=\dfrac{eE}{2m}\left(\dfrac{l}{v}\right)^2$ 的条件是：电子初速度垂直于电场、板间电场匀强、重力忽略、极板外无场。板长是沿初速度方向的长度 $l$，不是板间距。
• 直进条件 $v=\dfrac{E}{B}$ 与粒子的电荷量、质量、正负都无关，只选速度。电子带负电，电场力和洛伦兹力的方向要按负电荷判断。
• 日本题面里「比電荷」就是国内的比荷，「電気素量」就是元电荷；「電気量」才是一般的电荷量。读题时不要看到「電気」就当成 $e$。
• 电子质量不能用 $m=\dfrac{q}{v}$ 之类的运动学关系求，必须先用偏转求 $\dfrac{e}{m}$，再除以 $e$。

推导

测速度：电子在正交电磁场中直进，垂直方向的合力为零。电场力 $eE$ 与洛伦兹力 $evB$ 大小相等、方向相反，所以 $eE=evB$，电荷量 $e$ 约掉，得 $v=\dfrac{E}{B}$。

只留磁场求比電荷：洛伦兹力提供向心力，$evB=\dfrac{mv^2}{r}$，得 $\dfrac{e}{m}=\dfrac{v}{Br}$。代入 $v=\dfrac{E}{B}$，得 $\dfrac{e}{m}=\dfrac{E}{B^2r}$。右边全是可测量：$E$ 由极板电压和间距算出，$B$ 由线圈电流算出，$r$ 由偏转量算出。

只留电场求比電荷：设板长 $l$，电子以速度 $v$ 沿板的中线射入。电场方向的加速度 $a=\dfrac{eE}{m}$，通过电场的时间 $t=\dfrac{l}{v}$，偏转量

$$y = \frac{1}{2}at^2 = \frac{eE}{2m}\left(\frac{l}{v}\right)^2$$

代入 $v=\dfrac{E}{B}$：

$$y = \frac{eE}{2m}\cdot\frac{B^2l^2}{E^2} = \frac{eB^2l^2}{2mE} \quad\therefore\quad \frac{e}{m} = \frac{2yE}{B^2l^2}$$

（关键一步：时间用 $t=\dfrac{l}{v}$，$v$ 是直进时测出的速度，不是电子被电场加速后的速度。若电子先经电压 $V_0$ 加速再进入偏转板，$v$ 要用 $\dfrac{1}{2}mv^2=eV_0$ 另行计算。）

例题

例 1　（场景：正交电磁场中直进测速度 → 只留电场看偏转量 → 求比電荷）

問題　次の図のように，陰極線を電場と磁場に垂直に射入したところ，電場による力と磁場による力がつり合って直進した。次に，磁場だけを除いて電場だけで偏向させたところ，長さ $l$ の電場中を通る間に $y$ だけ偏向した。電場の強さを $E$，磁束密度の大きさを $B$ とする。電子の比電荷 $\dfrac{e}{m}$ はどのように表されるか。正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，電子の初速度は電場・磁場に垂直で，重力の影響は無視できるものとする。

①　$\dfrac{2yE}{B^2l^2}$　　②　$\dfrac{yE}{B^2l^2}$　　③　$\dfrac{2yB^2}{El^2}$　　④　$\dfrac{yB^2}{El^2}$

解答　電子にはたらく電場による力の大きさは $eE$，磁場によるローレンツ力の大きさは $evB$ である。直進しているとき，この 2 力はつり合っているので

$$eE = evB \quad\therefore\quad v = \frac{E}{B}$$

磁場を除くと，電子は電場から $eE$ の力を受け，加速度

$$a = \frac{eE}{m}$$

で曲げられる。電場中を通過する時間は $t=\dfrac{l}{v}$ なので，偏向の大きさは

$$y = \frac{1}{2}at^2 = \frac{eE}{2m}\left(\frac{l}{v}\right)^2$$

$v=\dfrac{E}{B}$ を代入して

$$y = \frac{eB^2l^2}{2mE} \quad\therefore\quad \frac{e}{m} = \frac{2yE}{B^2l^2}$$

検算：右辺の単位は $\dfrac{\mathrm{m}\cdot\mathrm{V/m}}{\mathrm{T^2}\cdot\mathrm{m^2}}=\mathrm{C/kg}$ になる。偏り $y$ が大きいほど，また電場 $E$ が強いほど曲がりやすいので比電荷が大きい，と整合する。　答　①

中文翻译　题目：如图，把阴极射线垂直射入电场和磁场，电场力和磁场力平衡，射线直进。然后只去掉磁场，让射线只受电场偏转，通过长 $l$ 的电场区域时偏转了 $y$。设电场强度为 $E$，磁感应强度大小为 $B$。电子的比荷 $\dfrac{e}{m}$ 怎么表示？从①～④中选一个正确的。电子初速度垂直于电场和磁场，重力影响可忽略。

解答：电子所受电场力大小为 $eE$，洛伦兹力大小为 $evB$。直进时两力平衡，$eE=evB$，得 $v=\dfrac{E}{B}$。去掉磁场后，电子受 $eE$ 的力，加速度 $a=\dfrac{eE}{m}$。通过电场的时间 $t=\dfrac{l}{v}$，偏转量 $y=\dfrac{1}{2}at^2=\dfrac{eE}{2m}\left(\dfrac{l}{v}\right)^2$。代入 $v=\dfrac{E}{B}$，得 $y=\dfrac{eB^2l^2}{2mE}$，所以 $\dfrac{e}{m}=\dfrac{2yE}{B^2l^2}$。检验：右边单位是 $\mathrm{C/kg}$；偏转越大、电场越强，说明比荷越大，和物理图像一致。答案 ①。

解说　用到的是本节推导的两步：先让两个场平衡测速度，再关掉一个场看偏转。容易卡在：把偏转时间写成 $t=\dfrac{l}{v}$ 时，$v$ 用了电子在电场中加速后的速度；这里的 $v$ 是直进时测出的初速度，全程不变。选项排除：② 漏了 $y=\dfrac{1}{2}at^2$ 的 $\dfrac{1}{2}$；③④ 把 $E$ 和 $B$ 的位置颠倒了，量纲就不对（$\dfrac{B^2}{E}$ 不是 $\mathrm{C/kg}$ 的组合），不用算也能排除。另一种解法：若题目给的是只留磁场时的圆周半径 $r$，直接用 $\dfrac{e}{m}=\dfrac{E}{B^2r}$，少一步偏转公式。

常用推论

• 只留磁场：$\dfrac{e}{m}=\dfrac{E}{B^2r}$；只留电场：$\dfrac{e}{m}=\dfrac{2yE}{B^2l^2}$。两式都要求先用直进条件测出 $v=\dfrac{E}{B}$。
• 电子先经电压 $V_0$ 加速：$\dfrac{1}{2}mv^2=eV_0$，得 $v=\sqrt{\dfrac{2eV_0}{m}}$，可与直进条件联立消去 $v$。
• 电子的比電荷约 $1.76\times10^{11}\ \mathrm{C/kg}$；由 $e=1.6\times10^{-19}\ \mathrm{C}$ 得 $m_{\mathrm e}\approx9.1\times10^{-31}\ \mathrm{kg}$。质子质量约为电子的 1836 倍。
• 电荷量子化：任何带电体的电荷量都是 $e$ 的整数倍，$q=ne$（$n$ 为整数）。

易错点

• 错在哪：认为汤姆孙测出了电气素量，或认为密立根测出了比電荷。 为什么错：把「发现电子」和「测电子电荷量」当成一件事。偏转实验只能把 $e$ 和 $m$ 绑在一起测出比值，分不开。 正确做法：记成两句：汤姆孙 1897 年测比電荷、发现电子；密立根油滴实验测電気素量。
• 错在哪：电场偏转用 $y=at^2$，漏了 $\dfrac{1}{2}$。 为什么错：把匀加速直线运动的位移公式记成了 $at^2$；电场方向初速度为零，是初速为零的匀加速，位移应为 $\dfrac{1}{2}at^2$。 正确做法：沿初速度方向匀速 $t=\dfrac{l}{v}$，沿电场方向初速为零，$y=\dfrac{1}{2}at^2$。
• 错在哪：把「電気量」和「電気素量」都当成 $e$。 为什么错：日文里两个词只差一个字，含义不同。電気量是带电体的电荷量 $q$，電気素量是元电荷 $e$。 正确做法：看到「電気素量」才用 $1.6\times10^{-19}\ \mathrm{C}$；看到「電気量」用 $q=ne$。
• 错在哪：判断电子受力方向时按正电荷用左手定则。 为什么错：左手定则四指指正电荷运动方向（电流方向），电子带负电，受力方向与正电荷相反。 正确做法：四指指电子运动的反方向，或先按正电荷判断再把方向反过来。

直观理解

汤姆孙的办法像给车测速：先让两股风从侧面等力对吹，车走直线，由两股风的强度算出车速；再关掉一股风，看车被吹偏多少。偏得越厉害，说明同样的风推得动它，它越「轻」，$\dfrac{e}{m}$ 越大。比電荷是「单位质量带多少电」，不是「带多少电」。

关联知识点

• 前置：国内书第 34 章 34.2 节电子的发现、第 15 章 15.2 节元电荷、第 26 章洛伦兹力与复合场。
• 前置：本书第 15 章電場と電位（电场力、加速电压）、第 18 章電流と磁場（洛伦兹力、圆周运动半径）。
• 后续：本书 21.3 节 Ｘ 線，高速电子撞击靶产生 Ｘ 線，用的也是加速电压和电子动能。
• 常一起考：电场中的偏转、磁场中的圆周运动、质谱仪（第 18 章）。

21.3 Ｘ線

说明

Ｘ線：高速电子撞击金属靶时发出的一种波长很短的电磁波，波长约 $10^{-11}$ 到 $10^{-8}\ \mathrm{m}$。产生 Ｘ 線的装置叫 Ｘ線管：阴极（陰極）发出的电子经加速电压 $V$ 加速，打在对陰極（金属靶）上。

連続Ｘ線：电子进入靶内，在原子核附近受到很强的减速，损失的动能以光子形式放出。这种辐射叫制動放射，它的光谱是连续的：各种波长的光子都有，但波长有一个下限 $\lambda_0$，叫最短波長。一个电子把全部动能 $eV$ 一次交给一个光子时，光子能量最大、波长最短：

$$eV = h\nu_{\max} = \frac{hc}{\lambda_0} \quad\therefore\quad \lambda_0 = \frac{hc}{eV}$$

特性Ｘ線：加速电压足够高时，电子把靶原子内层的一个电子打出，外层电子跳下来填补，放出能量等于两能级差的光子：

$$h\nu = E_{\text{上}} - E_{\text{下}}$$

这些光子的波长由靶原子的能级结构决定，在连续谱上表现为几条尖锐的线，叫特性Ｘ線。换靶材，特性线的位置变；改变加速电压，特性线的位置不变，只是强度变，连续谱的最短波长跟着变。

使用场景

• 题目给 Ｘ 線管的加速电压，求最短波长、最大频率或最大光子能量；或给 Ｘ 線谱图，问加速电压、靶材改变时谱线怎么变 → 连续谱的最短波长由 $V$ 决定（$\lambda_0=\dfrac{hc}{eV}$），特性线的位置由靶材决定。

注意点

• 加速电压 $V$ 是阴极和靶之间的电压，电子获得的动能是 $eV$，不是 $\dfrac{1}{2}eV$，也不是 $eV/2$。$V$ 用伏特，$\lambda_0$ 用米。
• $\lambda_0$ 是连续谱最短的波长（对应最大频率、最大光子能量），不是强度最大的那个波长。谱图的峰在 $\lambda_0$ 右边。
• 增大加速电压，$\lambda_0$ 变短，连续谱整体增强、向短波方向扩展；特性线的位置不动。只有 $V$ 高到能激发内层电子时，特性线才出现。
• 换靶材，特性线的位置变，$\lambda_0$ 不变（$V$ 不变时）。特性线是靶原子的「指纹」，可用来做元素分析。
• Ｘ 線是电磁波，不是电子流；它在电场、磁场中不偏转。题面说「Ｘ線を照射する」是照光，不是打电子。

推导

最短波长：设一个电子把全部动能 $eV$ 交给一个光子。光子能量 $h\nu=\dfrac{hc}{\lambda}$，所以

$$\frac{hc}{\lambda_0} = eV \quad\therefore\quad \lambda_0 = \frac{hc}{eV}$$

（关键一步：能量守恒。电子可能多次碰撞、分几次交出能量，每次放出的光子能量都小于 $eV$；只有「一次交完」的极端情形给出最大光子能量，对应最短波长。所以连续谱有一个短波极限，而不是在 $\lambda_0$ 处截止后什么都没有。）

特性线：靶原子内层电子被击出后留下一个空位，外层电子跃迁下来填补，能量差以光子形式放出。能级是分立的，所以光子能量、波长也是分立的，形成线状谱。不同元素的能级结构不同，特性线的波长就不同。

数值换算：$\dfrac{hc}{e}=1.24\times10^{-6}\ \mathrm{V\cdot m}$，所以

$$\lambda_0 = \frac{1.24\times10^{-6}}{V}\ \mathrm{m}$$

$V$ 以伏特代入。例如 $V=1.0\times10^4\ \mathrm{V}$ 时，$\lambda_0=1.24\times10^{-10}\ \mathrm{m}$。

例题

例 1　（场景：给两条不同加速电压下的 Ｘ 線谱 → 判断最短波长和特性线怎么变）

問題　図は，あるＸ線管で加速電圧を $V_1$，$V_2$（$V_1<V_2$）に変えたときのＸ線のスペクトルを模式的に示したものである。対陰極の物質は変えていない。Ｘ線のスペクトルについて，正しいものを次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$V$ を大きくすると，連続Ｘ線の最短波長は短くなり，特性Ｘ線の波長は変わらない。 ②　$V$ を大きくすると，連続Ｘ線の最短波長は長くなり，特性Ｘ線の波長も長くなる。 ③　対陰極の物質を変えると，連続Ｘ線の最短波長が変わり，特性Ｘ線の波長は変わらない。 ④　対陰極の物質を変えても，連続Ｘ線の最短波長も特性Ｘ線の波長も変わらない。

解答　連続Ｘ線の最短波長は，電子が運動エネルギー $eV$ をすべて 1 個の光子に与えたときの波長で

$$\lambda_0 = \frac{hc}{eV}$$

である。$V$ を大きくすると $\lambda_0$ は短くなる。特性Ｘ線は，対陰極の原子のエネルギー準位の差に対応する光子で，その波長は対陰極の物質だけで決まり，加速電圧を変えても変わらない。よって①が正しい。　答　①

中文翻译　题目：如图是某 Ｘ 線管把加速电压改为 $V_1$、$V_2$（$V_1<V_2$）时 Ｘ 線谱的示意图。靶材没有改变。关于 Ｘ 線谱，从①～④中选一个正确的。① 增大 $V$，连续 Ｘ 線的最短波长变短，特性 Ｘ 線的波长不变。② 增大 $V$，最短波长变长，特性 Ｘ 線的波长也变长。③ 改变靶材，连续 Ｘ 線的最短波长改变，特性 Ｘ 線的波长不变。④ 改变靶材，最短波长和特性 Ｘ 線的波长都不变。

解答：连续 Ｘ 線的最短波长是电子把动能 $eV$ 全部交给一个光子时的波长，$\lambda_0=\dfrac{hc}{eV}$。增大 $V$，$\lambda_0$ 变短。特性 Ｘ 線是靶原子能级差对应的光子，波长只由靶材决定，改变加速电压不变。所以①正确。答案 ①。

解说　用到的是本节的两条：$\lambda_0=\dfrac{hc}{eV}$ 和特性线由靶材能级差决定。容易卡在：把「最短波长」和「谱线最强处」混为一谈，看到图中 $V_2$ 的整条曲线更高，就以为所有波长都变了。选项排除：② 把 $V$ 与 $\lambda_0$ 的关系说反；③ 把靶材的作用安到了连续谱上，换靶材时 $\lambda_0$ 由 $V$ 决定，不变；④ 说靶材什么都不影响，特性线明明由靶材决定。看图时先找每条曲线与横轴的交点（$\lambda_0$），再看竖线（特性线）的位置。

常用推论

• $\lambda_0=\dfrac{hc}{eV}=\dfrac{1.24\times10^{-6}}{V}\ \mathrm{m}$（$V$ 以伏特代入）。
• 最大光子能量 $eV$，最大频率 $\nu_{\max}=\dfrac{eV}{h}$；这两个量只由加速电压决定。
• 特性 Ｘ 線的波长由靶材的能级差决定，与加速电压无关；电压只影响它的强度。
• 加速电压越高，连续谱越强、最短波长越短；靶材的原子序数越大，特性线越向短波方向移动（莫塞莱定律，高中只作定性了解）。

易错点

• 错在哪：把连续谱强度最大的波长当成 $\lambda_0$。 为什么错：图中曲线有一个峰，峰在 $\lambda_0$ 右边；$\lambda_0$ 是曲线与横轴的交点，不是峰。 正确做法：先找曲线最左端的截止点，再用 $\lambda_0=\dfrac{hc}{eV}$ 核对。
• 错在哪：认为增大加速电压，特性 Ｘ 線的波长变短。 为什么错：把特性线当成连续谱的一部分。特性线来自靶原子的能级差，能级差与外加电压无关。 正确做法：分两件事判断：连续谱看 $V$，特性线看靶材。
• 错在哪：算 $\lambda_0$ 时用 $h\nu=eV$ 却把 $V$ 当成 kV 直接代入。 为什么错：$e$ 的单位是库仑，$V$ 必须是伏特，$eV$ 才是焦耳；用 kV 会差 1000 倍。 正确做法：先把 kV 换成 V，再用 $\lambda_0=\dfrac{1.24\times10^{-6}}{V}$。
• 错在哪：认为 Ｘ 線在电场或磁场中会像电子束一样偏转。 为什么错：Ｘ 線是电磁波，不带电；会偏转的是产生 Ｘ 線的电子束。 正确做法：看到「Ｘ線」按光子处理，看到「陰極線」「電子線」才按带电粒子处理。

直观理解

电子撞靶像汽车急刹车：连续 Ｘ 線是刹车过程中各种「吱吱声」的混合，最短波长是「一脚踩死」、把全部动能一次变成一个光子的极端情形；特性 Ｘ 線是靶原子内层电子被撞出后，外层电子掉下来时发出的固定音高，像每种元素自己的指纹。

关联知识点

• 前置：国内书第 35 章 35.3–35.4 节光子能量 $E=h\nu$、光电效应；第 34 章 34.5–34.6 节能级与跃迁。
• 前置：本书第 15 章電場と電位（电子经电压加速，$eV=\dfrac{1}{2}mv^2$）。
• 后续：本书 21.4 节コンプトン効果（Ｘ 線光子与电子碰撞）、21.5 节ブラッグ反射（Ｘ 線的波动性）。
• 常一起考：光电效应、能级跃迁、物质波（第 35 章）。

21.4 コンプトン効果

说明

コンプトン効果（康普顿效应，1923 年）：用单色 Ｘ 線照射石墨等物质，散射出来的 Ｘ 線中，除了与入射波长 $\lambda$ 相同的成分，还有波长大于 $\lambda$ 的成分。散射角 $\theta$ 越大，波长变长越多。经典电磁理论认为散射光的频率应与入射光相同，解释不了这个现象。

光子说の説明：把 Ｘ 線看成光子，光子与石墨中几乎自由的电子发生弹性碰撞。光子有能量 $\dfrac{hc}{\lambda}$，也有动量 $\dfrac{h}{\lambda}$。碰撞中能量守恒、动量守恒：光子把一部分能量和动量交给电子，自身能量减小、频率降低、波长变长；电子反冲，获得动能。

波长变化：设入射波长 $\lambda$，散射角 $\theta$ 方向的散射波长 $\lambda'$，电子质量 $m$，则

$$\Delta\lambda = \lambda' - \lambda = \frac{h}{mc}(1-\cos\theta)$$

其中 $\dfrac{h}{mc}=2.43\times10^{-12}\ \mathrm{m}$，叫コンプトン波長。$\theta=0$ 时 $\Delta\lambda=0$；$\theta=90^\circ$ 时 $\Delta\lambda=\dfrac{h}{mc}$；$\theta=180^\circ$ 时 $\Delta\lambda=\dfrac{2h}{mc}$，波长变化最大。

国内书第 35 章 35.6 节只定性讲了「波长变长」，没有给这个公式。EJU 的题可能直接问波长变化、散射光能量或反冲电子的动能，所以这里把推导补上。

使用场景

• 题目给入射波长和散射角，求散射光波长、波长变化、光子损失的能量或电子动能；比较不同散射角 → 先用 $\Delta\lambda=\dfrac{h}{mc}(1-\cos heta)$ 求 $\lambda'$，再用能量差；$heta$ 越大 $\Delta\lambda$ 越大，$heta=180^\circ$ 时最大，为 $\dfrac{2h}{mc}$。

注意点

• 公式里的 $\theta$ 是散射光子的方向与入射方向的夹角，$0\le\theta\le180^\circ$。题面给「散乱角」就是这个角，不要和晶体反射的掠射角混。
• $\Delta\lambda$ 只由散射角决定，与入射波长无关。入射波长越短（Ｘ 線、γ 線），$\Delta\lambda$ 相对越大，效应越明显；可见光的 $\Delta\lambda$ 相对波长可以忽略。
• 散射光子的速度仍是 $c$，变的是频率、波长、能量和动量。不要类比宏观小球「撞后变慢」。
• 光子损失的能量全部变成反冲电子的动能（电子原来近似静止）：$K=\dfrac{hc}{\lambda}-\dfrac{hc}{\lambda'}$。
• 散射光里仍有原波长 $\lambda$ 的成分，来自与原子内层束缚很紧的电子；波长变长的成分来自与近乎自由的电子碰撞。题目问「波长变长的成分」时才用 $\Delta\lambda$ 公式。

推导

设入射光子动量 $p_0=\dfrac{h}{\lambda}$，散射光子动量 $p'=\dfrac{h}{\lambda'}$，电子反冲动量 $p_{\mathrm e}$，电子动能 $K$。

能量守恒：

$$\frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda'} + K \quad\therefore\quad K = hc\left(\frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\lambda'}\right)$$

动量守恒（矢量）：

$$\vec{p}_0 = \vec{p}' + \vec{p}_{\mathrm e}$$

由余弦定理，

$$p_{\mathrm e}^2 = p_0^2 + p'^2 - 2p_0p'\cos\theta = \left(\frac{h}{\lambda}\right)^2 + \left(\frac{h}{\lambda'}\right)^2 - 2\frac{h^2}{\lambda\lambda'}\cos\theta$$

电子的相对论能量关系：

$$(K+mc^2)^2 = (p_{\mathrm e}c)^2 + (mc^2)^2 \quad\therefore\quad p_{\mathrm e}^2c^2 = K^2 + 2Kmc^2$$

把 $K$ 和 $p_{\mathrm e}^2$ 代入，两边消去 $\dfrac{h^2}{\lambda^2}$、$\dfrac{h^2}{\lambda'^2}$，整理得

$$mc(\lambda'-\lambda) = h(1-\cos\theta) \quad\therefore\quad \Delta\lambda = \frac{h}{mc}(1-\cos\theta)$$

（关键一步：电子可能被撞到接近光速，必须用相对论的能量关系；若用 $K=\dfrac{p^2}{2m}$，会得到错误的系数。）

例题

例 1　（场景：给入射波长和散射角 → 用コンプトン公式求散射波长）

問題　波長 $\lambda$ のＸ線が，静止している自由電子によって散乱角 $\theta$ の方向に散乱された。散乱されたＸ線の波長 $\lambda'$ はどのように表されるか。正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，$h$ をプランク定数，$m$ を電子の質量，$c$ を光の速さとする。

①　$\lambda + \dfrac{h}{mc}(1-\cos\theta)$　　②　$\lambda - \dfrac{h}{mc}(1-\cos\theta)$

③　$\lambda + \dfrac{h}{mc}(1+\cos\theta)$　　④　$\lambda + \dfrac{h}{mc}\sin\theta$

解答　入射光子のエネルギーは $\dfrac{hc}{\lambda}$，運動量の大きさは $\dfrac{h}{\lambda}$ である。散乱後，光子のエネルギーを $\dfrac{hc}{\lambda'}$，運動量を $\dfrac{h}{\lambda'}$，電子の運動エネルギーを $K$，運動量を $p_{\mathrm e}$ とすると，エネルギー保存と運動量保存より

$$\frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda'} + K, \qquad \vec{p}_0 = \vec{p}' + \vec{p}_{\mathrm e}$$

電子について相対論的な関係 $(K+mc^2)^2=(p_{\mathrm e}c)^2+(mc^2)^2$ を用い，運動量の式から

$$p_{\mathrm e}^2 = \left(\frac{h}{\lambda}\right)^2 + \left(\frac{h}{\lambda'}\right)^2 - 2\frac{h^2}{\lambda\lambda'}\cos\theta$$

これを整理すると

$$\lambda' - \lambda = \frac{h}{mc}(1-\cos\theta) \quad\therefore\quad \lambda' = \lambda + \frac{h}{mc}(1-\cos\theta)$$

検算：$\theta=0$ のとき右辺は $\lambda$ で，前方散乱では波長が変わらない。$\theta=180^\circ$ のとき $\lambda'=\lambda+\dfrac{2h}{mc}$ で，後方散乱が最大の変化になる。　答　①

中文翻译　题目：波长 $\lambda$ 的 Ｘ 線被静止的自由电子散射到散射角 $\theta$ 的方向。散射后的 Ｘ 線波长 $\lambda'$ 怎么表示？从①～④中选一个正确的。$h$ 为普朗克常量，$m$ 为电子质量，$c$ 为光速。

解答：入射光子能量 $\dfrac{hc}{\lambda}$，动量大小 $\dfrac{h}{\lambda}$。散射后光子能量 $\dfrac{hc}{\lambda'}$、动量 $\dfrac{h}{\lambda'}$，电子动能 $K$、动量 $p_{\mathrm e}$。由能量守恒和动量守恒，$\dfrac{hc}{\lambda}=\dfrac{hc}{\lambda'}+K$，$\vec{p}_0=\vec{p}'+\vec{p}_{\mathrm e}$。电子用相对论关系 $(K+mc^2)^2=(p_{\mathrm e}c)^2+(mc^2)^2$，由动量式得 $p_{\mathrm e}^2=\left(\dfrac{h}{\lambda}\right)^2+\left(\dfrac{h}{\lambda'}\right)^2-2\dfrac{h^2}{\lambda\lambda'}\cos\theta$。整理得 $\lambda'-\lambda=\dfrac{h}{mc}(1-\cos\theta)$，所以 $\lambda'=\lambda+\dfrac{h}{mc}(1-\cos\theta)$。检验：$\theta=0$ 时 $\lambda'=\lambda$，前方散射波长不变；$\theta=180^\circ$ 时 $\lambda'=\lambda+\dfrac{2h}{mc}$，变化最大。答案 ①。

解说　用到的是本节推导的コンプトン公式。容易卡在：只写能量守恒，忘了动量也是矢量，电子反冲带走的动量要用余弦定理；另外电子可能接近光速，动能不能用 $\dfrac{p^2}{2m}$。选项排除：用特殊角最快。$\theta=0$ 时波长应不变，② 得 $\lambda-\dfrac{h}{mc}\cdot0=\lambda$，① 也得 $\lambda$，暂时分不出；$\theta=90^\circ$ 时 $\cos\theta=0$，③ 多了一项 $\dfrac{h}{mc}$，排除；$\theta=180^\circ$ 时 $\cos\theta=-1$，④ 的 $\sin180^\circ=0$ 给出不变，与「后向散射变化最大」矛盾，排除；② 给出变短，也排除。只剩 ①。

常用推论

• $\Delta\lambda=\dfrac{h}{mc}(1-\cos\theta)=2.43\times10^{-12}(1-\cos\theta)\ \mathrm{m}$。
• $\theta=90^\circ$：$\Delta\lambda=2.4\times10^{-12}\ \mathrm{m}$；$\theta=180^\circ$：$\Delta\lambda=4.9\times10^{-12}\ \mathrm{m}$。
• 反冲电子动能 $K=hc\left(\dfrac{1}{\lambda}-\dfrac{1}{\lambda'}\right)$；光子损失多少能量，电子就得到多少动能。
• 散射光子的动量 $p'=\dfrac{h}{\lambda'}$，比入射光子小；速度仍是 $c$。
• 可见光的波长约 $10^{-7}\ \mathrm{m}$，$\Delta\lambda$ 只有 $10^{-12}\ \mathrm{m}$ 量级，相对变化可以忽略；Ｘ 線波长短，效应才明显。

易错点

• 错在哪：用 $p=mv$ 求光子动量，或认为光子没有静止质量就没有动量。 为什么错：把宏观物体的动量公式套到光子上。光子没有静止质量，动量由 $p=\dfrac{h}{\lambda}$ 给出。 正确做法：光子一律用 $E=\dfrac{hc}{\lambda}$、$p=\dfrac{h}{\lambda}$。
• 错在哪：认为康普顿散射后光子速度变小。 为什么错：类比台球碰撞，被撞后变慢。光子在真空中的速度恒为 $c$。 正确做法：光子能量减少体现为频率降低、波长变长，速度不变。
• 错在哪：只列能量守恒，不列动量守恒，或把动量当标量直接相减。 为什么错：光子和电子不在一条直线上，动量是矢量，必须用矢量三角形或余弦定理。 正确做法：先画动量三角形，再用余弦定理；能量守恒和动量守恒两条都要用。
• 错在哪：认为散射后所有光子的波长都变长。 为什么错：石墨中还有束缚很紧的内层电子，与它们碰撞相当于与整个原子碰撞，波长基本不变。 正确做法：题面问「波长变长的成分」时才用 $\Delta\lambda$ 公式；原波长成分仍然存在。

直观理解

光子撞电子像台球撞台球：撞完后光子「轻了」（能量、动量变小），但它不会「慢下来」；「轻了」的表现是频率变低、波长变长。散射角越大，光子让给电子的能量越多，波长变得越长；擦边而过（$\theta=0$）时几乎不交换能量，波长不变。

关联知识点

• 前置：国内书第 35 章 35.6 节康普顿效应的定性说明、光子动量 $p=\dfrac{h}{\lambda}$；第 19、20 章动量与动量守恒。
• 前置：本书第 6 章エネルギーと運動量（碰撞中的能量、动量守恒）。
• 后续：本书 21.5 节ブラッグ反射，Ｘ 線的波动性；第 35 章物质波，把 $p=\dfrac{h}{\lambda}$ 用到实物粒子。
• 常一起考：光电效应（光子能量）、物质波（光子动量与电子波长）。

21.5 ブラッグ反射

说明

ブラッグ反射：Ｘ 線照射晶体时，晶体中规则排列的原子面（結晶面）像一层层半透明的镜子，Ｘ 線在每个面上都发生反射。相邻两个晶面反射的波要强加，必须满足特定的角度条件，这个条件叫ブラッグの条件：

$$2d\sin\theta = n\lambda \quad (n=1,2,3,\ldots)$$

其中 $d$ 是相邻晶面的面間隔，$\theta$ 是 Ｘ 線与晶面的夹角（掠射角，不是与法线的夹角），$n$ 是反射的级数，$\lambda$ 是 Ｘ 線的波长。

为什么能用来测波长：Ｘ 線的波长（$10^{-11}$ 到 $10^{-8}\ \mathrm{m}$）和晶体的面間隔（$10^{-10}\ \mathrm{m}$ 量级）差不多，晶体就是天然的三维衍射光栅。已知晶体的 $d$，测出发生强反射的 $\theta$，就能算出 $\lambda$；反过来，已知 $\lambda$，测 $\theta$ 就能求 $d$，这是分析晶体结构的基本方法。国内书没有讲布拉格反射，EJU 的题多是一步套公式。

使用场景

• 题目给面間隔 $d$、掠射角 $\theta$ 和级数 $n$，求波长 $\lambda$；或给 $\lambda$、$\theta$ 求 $d$ → 直接套 $2d\sin\theta=n\lambda$，注意 $\theta$ 是与晶面的夹角。

注意点

• $\theta$ 是 Ｘ 線与晶面的夹角。如果题目给的是与晶面法线的夹角 $\alpha$，要换成 $\theta=90^\circ-\alpha$，条件变成 $2d\cos\alpha=n\lambda$。
• $n$ 是正整数，$n=1$ 叫 1 次反射（第一级）。同一组晶面、同一个波长，可以有多个满足条件的 $\theta$，分别对应 $n=1,2,3,\ldots$。
• 反射光与晶面的夹角也等于 $\theta$（镜面反射），入射光、反射光在晶面法线的两侧。
• 条件 $2d\sin\theta=n\lambda$ 要求 $\sin\theta\le1$，所以 $n\lambda\le2d$。波长太长（$\lambda>2d$）时，连 $n=1$ 也无法满足，观察不到反射。
• $d$ 是相邻平行晶面的间距，不是原子直径，也不是晶格常数（晶格常数要按晶面方向换算）。

推导

设相邻两个晶面的间距为 $d$，Ｘ 線以掠射角 $\theta$ 入射。上晶面的反射点记为 A，下晶面的反射点记为 B。下晶面的射线比上晶面的射线多走的路程，等于「从 A 沿入射方向到 B」再「从 B 沿反射方向回到上晶面」的两段之和在波前方向上的投影。由几何关系，这段行路差为

$$\Delta L = 2d\sin\theta$$

两束反射波同相的条件是行路差等于波长的整数倍：

$$2d\sin\theta = n\lambda$$

（关键一步：行路差是 $2d\sin\theta$，不是 $2d\cos\theta$。因为 $\theta$ 从晶面量起，垂直方向的 $d$ 要投影到射线方向，投影因子是 $\sin\theta$；若从法线量角，才用 $\cos$。）

为什么是「反射」而不是「折射」：Ｘ 線在晶体中穿透很深，每个晶面都散射一点；只有在满足 Bragg 条件的角度，各层散射波才同相叠加，形成强的反射束。其他角度散射波互相抵消，所以只在特定角度看到反射。

例题

例 1　（场景：给晶面间距和掠射角 → 套布拉格条件求波长）

問題　図のように，面間隔 $d$ の結晶面に波長 $\lambda$ のＸ線をすれすれの角 $\theta$ で入射させた。隣り合う結晶面で反射されたＸ線が強め合うための条件として正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，$n$ は正の整数とする。

①　$2d\sin\theta = n\lambda$　　②　$2d\cos\theta = n\lambda$

③　$d\sin\theta = n\lambda$　　④　$2d\tan\theta = n\lambda$

解答　隣り合う結晶面で反射されるＸ線の行路差は，図の幾何から $2d\sin\theta$ である。これが波長の整数倍になるとき，反射波は同位相で重なり強め合う。よって

$$2d\sin\theta = n\lambda \quad (n=1,2,3,\ldots)$$

検算：$\theta=0$ では行路差が 0 で，すべての面からの反射が同位相になる。$\theta$ を大きくすると行路差が増え，同じ $n$ に対する反射角も大きくなる。　答　①

中文翻译　题目：如图，波长 $\lambda$ 的 Ｘ 線以掠射角 $\theta$ 入射到面间距为 $d$ 的晶面上。相邻晶面反射的 Ｘ 線相互加强的条件是什么？从①～④中选一个正确的。$n$ 为正整数。① $2d\sin\theta=n\lambda$；② $2d\cos\theta=n\lambda$；③ $d\sin\theta=n\lambda$；④ $2d\tan\theta=n\lambda$。

解答：相邻晶面反射的 Ｘ 線行路差由几何关系为 $2d\sin\theta$。它等于波长的整数倍时，反射波同相叠加而加强。所以 $2d\sin\theta=n\lambda$（$n=1,2,3,\ldots$）。检验：$\theta=0$ 时行路差为 0，所有晶面的反射同相；$\theta$ 增大，行路差增大，同一级 $n$ 的反射角也增大。答案 ①。

解说　用到的是布拉格条件。容易卡在：把 $\theta$ 当成与法线的夹角，写成 $2d\cos\theta$。选项排除：② 是 $\theta$ 从法线量时的写法，题面明确「すれすれの角」，即与晶面的夹角，排除；③ 漏了「上下两个面往返」的因子 2；④ 用 $\tan$ 没有几何依据，行路差是长度在射线方向的投影，只会出现 $\sin$ 或 $\cos$。记住一句话：θ 从面量，用 sin；从法线量，用 cos。

常用推论

• $d=\dfrac{n\lambda}{2\sin\theta}$：已知波长和反射角，求晶面间距。
• $\lambda=\dfrac{2d\sin\theta}{n}$：已知晶体，测 Ｘ 線波长。
• 能观察到的最大波长对应 $n=1$、$\theta\to90^\circ$，即 $\lambda<2d$。
• 同一波长、同一组晶面，第 $n$ 级反射角满足 $\sin\theta_n=\dfrac{n\lambda}{2d}$；级数越高，反射角越大。
• 电子衍射、中子衍射也服从类似的布拉格条件，只是波长由粒子的动量决定（物质波）。

易错点

• 错在哪：把 $\theta$ 当成入射光与法线的夹角，写成 $2d\cos\theta$。 为什么错：光学里入射角习惯从法线量，布拉格反射的 $\theta$ 却从晶面量，两者互余。 正确做法：先看题面「すれすれの角」「結晶面との角」，从面量就用 $\sin$；给的是法线角才用 $\cos$。
• 错在哪：忘记级数 $n$，一律用 $n=1$。 为什么错：题目说「2 次の反射」时，行路差等于 $2\lambda$，不是 $\lambda$。 正确做法：先确认级数，再代入；求波长时 $\lambda=\dfrac{2d\sin\theta}{n}$。
• 错在哪：认为任何角度的 Ｘ 線都会从晶体反射。 为什么错：每个晶面都散射，但只有满足 Bragg 条件的角度才同相加强，其他角度互相抵消。 正确做法：把 Bragg 条件当成「反射发生的条件」，不是「反射光的方向公式」。
• 错在哪：把面間隔 $d$ 当成原子直径或晶格常数。 为什么错：$d$ 是相邻平行晶面的垂直距离，和晶格常数差一个与晶面方向有关的因子。 正确做法：题目给 $d$ 就直接用；只给晶格常数时，先按晶面方向换算。

直观理解

把两层晶面想成两面半透明的镜子：光照到第一面，一部分反射；透过去的光走一段路，碰到第二面再反射回来。第二面的光多走了「下去再上来」的一段，长度是 $2d\sin\theta$。这段正好等于一个波长、两个波长……时，两束反射光步调一致，叠加变亮；否则互相抵消。转动晶体，就是在调这段路的长短，所以只在特定角度看到反射。

关联知识点

• 前置：国内书第 24 章光的波动性（干涉、衍射、光程差）；本书第 12 章波の性質（重ね合わせ、干渉）。
• 前置：本书 21.3 节 Ｘ 線（波长与晶体面间距同量级，才能衍射）。
• 后续：本书第 35 章物质波、電子線の干渉と回折（电子衍射也用布拉格条件分析）。
• 常一起考：光的干涉、衍射光栅、晶体结构。

21.6 原子質量単位と結合エネルギー

说明

原子質量単位（$\mathrm{u}$）：以碳 12 原子 ${}^{12}_{6}\mathrm{C}$ 的质量的 $\dfrac{1}{12}$ 为 1 个原子質量単位，记作 $1\ \mathrm{u}$。数值上

$$1\ \mathrm{u} = 1.6605\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$$

原子量：以 $\mathrm{u}$ 为单位表示的原子的平均质量。质子质量约 $1.0073\ \mathrm{u}$，中子质量约 $1.0087\ \mathrm{u}$，电子质量约 $0.00055\ \mathrm{u}$。

質量欠損：原子核的质量小于组成它的核子质量之和，差值叫質量欠損：

$$\Delta m = Zm_{\mathrm p} + (A-Z)m_{\mathrm n} - M_{\text{核}}$$

其中 $Z$ 是质子数，$A-Z$ 是中子数，$M_{\text{核}}$ 是原子核质量。质量亏损对应的能量就是結合エネルギー：

$$\Delta E = \Delta m\,c^2$$

$1\ \mathrm{u}$ 对应的能量：把 $1\ \mathrm{u}$ 的质量按质能方程换算，

$$1\ \mathrm{u} \leftrightarrow 931.5\ \mathrm{MeV}$$

所以质量用 $\mathrm{u}$ 给出时，直接乘 $931.5$ 就得到 $\mathrm{MeV}$：

$$\Delta E[\mathrm{MeV}] = \Delta m[\mathrm{u}] \times 931.5$$

国内书第 36 章 36.7 节已经讲过质量亏损、质能方程和比结合能，推导和曲线都在那里。这里只把日本题面的写法补齐：日本教材把 $\mathrm{u}$ 和 $931.5\ \mathrm{MeV}$ 作为换算主轴，题面常直接给「質量 $1.0073\ \mathrm{u}$」这样的数据，要求换成 $\mathrm{MeV}$。

核子 1 個あたりの結合エネルギー（国内叫比结合能）：結合エネルギー除以核子数 $A$。这个量越大，核越稳定。中等质量的核（铁附近）最大，约 $8.8\ \mathrm{MeV}$；轻核和重核都较小，所以重核裂变、轻核聚变都放能。

使用场景

• 题目给质子、中子和原子核的质量（单位 $\mathrm{u}$），求質量欠損、結合エネルギー或比结合能；给核反应前后各粒子的质量，求释放的核能 → 先算 $\Delta m$，再乘 $931.5\ \mathrm{MeV}$（比结合能再除以 $A$）；核反应用反应前总质量减反应后总质量。

注意点

• 质量单位是 $\mathrm{u}$ 时乘 $931.5\ \mathrm{MeV}$；质量单位是 $\mathrm{kg}$ 时用 $\Delta E=\Delta mc^2$，得到焦耳。两种换算不能混：$\mathrm{u}$ 配 $931.5\ \mathrm{MeV}$，$\mathrm{kg}$ 配 $c^2=9\times10^{16}\ \mathrm{m^2/s^2}$。
• 结合能大不等于稳定。铀核的结合能很大（核子多），但核子平均结合能比铁小，不如铁稳定。比较稳定性看核子 1 個あたりの結合エネルギー。
• 質量欠損不是「质量数减少」。核反应前后质量数 $A$ 守恒，减少的是静止质量，对应放出的能量。
• 题目给的是原子质量还是原子核质量要看清。同一道题里统一用一种；用原子质量时，两边的电子质量会抵消。
• 日本教材用「質量欠損」，国内用「质量亏损」，是同一个量；「結合エネルギー」就是结合能。

推导

$1\ \mathrm{u}$ 为什么对应 $931.5\ \mathrm{MeV}$：由质能方程，

$$\Delta E = \Delta m\,c^2 = 1.6605\times10^{-27}\times(3.0\times10^8)^2\ \mathrm{J} \approx 1.49\times10^{-10}\ \mathrm{J}$$

再用 $1\ \mathrm{MeV}=1.6\times10^{-13}\ \mathrm{J}$ 换算：

$$\frac{1.49\times10^{-10}}{1.6\times10^{-13}}\ \mathrm{MeV} \approx 931\ \mathrm{MeV}$$

用更精确的常数（$1\ \mathrm{u}=1.66054\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$、$c=2.9979\times10^8\ \mathrm{m/s}$、$1\ \mathrm{MeV}=1.6022\times10^{-13}\ \mathrm{J}$）得到 $931.5\ \mathrm{MeV}$。题目给了 $931.5$ 就直接用，不要自己用三位有效数字的常数重算。

結合エネルギー与質量欠損：自由核子结合成核时，系统的能量减少 $\Delta E$，质量相应减少 $\Delta m=\dfrac{\Delta E}{c^2}$。反过来，把核拆成自由核子要补回这份能量，所以結合エネルギー $\Delta E=\Delta mc^2$。推导来自狭义相对论，高中只要求会用。

放能反应：反应前总质量 $-$ 反应后总质量 $>0$ 时放能。等价地，生成物的結合エネルギー之和大于反应物的結合エネルギー之和：

$$\Delta E_{\text{放出}} = E_{\text{結合，生成物}} - E_{\text{結合，反応物}}$$

（关键一步：核子总数不变，所以可以先把反应物拆成自由核子，再结合成生成物；拆要花能量，结合会放能量，两者之差就是净放出的能量。）

例题

例 1　（场景：给核子与原子核的 $\mathrm{u}$ 质量 → 求質量欠損和結合エネルギー）

問題　ヘリウム原子核 ${}^{4}_{2}\mathrm{He}$ は，2 個の陽子と 2 個の中性子からできている。陽子の質量を $1.0073\ \mathrm{u}$，中性子の質量を $1.0087\ \mathrm{u}$，ヘリウム原子核の質量を $4.0026\ \mathrm{u}$ とし，$1\ \mathrm{u}$ を $931.5\ \mathrm{MeV}$ に換算するものとする。ヘリウム原子核の結合エネルギーは何 $\mathrm{MeV}$ か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$6.8\ \mathrm{MeV}$　　②　$27\ \mathrm{MeV}$　　③　$55\ \mathrm{MeV}$　　④　$2.7\times10^{2}\ \mathrm{MeV}$

解答　ヘリウム原子核は陽子 2 個と中性子 2 個からなるので，質量欠損は

$$\Delta m = 2\times1.0073 + 2\times1.0087 - 4.0026 = 0.0294\ \mathrm{u}$$

結合エネルギーは

$$\Delta E = 0.0294\times931.5 \approx 27\ \mathrm{MeV}$$

検算：核子 1 個あたりでは $\dfrac{27}{4}\approx6.8\ \mathrm{MeV}$ で，ヘリウム付近の値として妥当。　答　②

中文翻译　题目：氦核 ${}^{4}_{2}\mathrm{He}$ 由 2 个质子和 2 个中子组成。质子质量 $1.0073\ \mathrm{u}$，中子质量 $1.0087\ \mathrm{u}$，氦核质量 $4.0026\ \mathrm{u}$，$1\ \mathrm{u}$ 换算为 $931.5\ \mathrm{MeV}$。氦核的结合能是多少 $\mathrm{MeV}$？从①～④中选最合适的值。① $6.8\ \mathrm{MeV}$；② $27\ \mathrm{MeV}$；③ $55\ \mathrm{MeV}$；④ $2.7\times10^{2}\ \mathrm{MeV}$。

解答：氦核由 2 个质子和 2 个中子组成，质量亏损 $\Delta m=2\times1.0073+2\times1.0087-4.0026=0.0294\ \mathrm{u}$。结合能 $\Delta E=0.0294\times931.5\approx27\ \mathrm{MeV}$。检验：每个核子约 $27/4\approx6.8\ \mathrm{MeV}$，与氦附近的值相符。答案 ②。

解说　用到的是質量欠損和 $1\ \mathrm{u}=931.5\ \mathrm{MeV}$。容易卡在：把 $\mathrm{u}$ 当成 $\mathrm{kg}$，又去乘 $c^2=9\times10^{16}$，得到荒唐的大数（选项 ④ 就是单位混用的结果）。选项排除：① $6.8\ \mathrm{MeV}$ 是核子平均结合能，题目问的是整个核的结合能，要乘 4；③ 是把 2 个质子或 2 个中子的系数弄成了 4 个；④ 是 $\mathrm{u}$ 与 $\mathrm{kg}$ 混用。先估：4 个核子、每个约 $7\ \mathrm{MeV}$，总数应是 $20$ 到 $30\ \mathrm{MeV}$，只有 ② 在这个范围。

常用推论

• $\Delta E[\mathrm{MeV}]=\Delta m[\mathrm{u}]\times931.5$；$1\ \mathrm{MeV}=1.6\times10^{-13}\ \mathrm{J}$。
• 核子 1 個あたりの結合エネルギー：铁附近最大约 $8.8\ \mathrm{MeV}$；氦约 $7.1\ \mathrm{MeV}$；铀 235 约 $7.6\ \mathrm{MeV}$；氘约 $1.1\ \mathrm{MeV}$。
• 放出的核能 $=$ 生成物結合エネルギー之和 $-$ 反应物結合エネルギー之和；结合能 $=$ 核子平均结合能 $\times A$。
• 质量亏损只占原子核总质量的约 $1\%$ 以下；结合能大的核，质量亏损也大。
• 太阳的聚变、核电站的裂变，都是朝「核子平均结合能更大」的方向走，所以放能。

易错点

• 错在哪：质量用 $\mathrm{u}$，却乘 $c^2=9\times10^{16}$ 求能量。 为什么错：单位不统一。$\mathrm{u}$ 不是 $\mathrm{kg}$，乘 $\mathrm{m^2/s^2}$ 得到的数没有物理意义。 正确做法：$\mathrm{u}$ 配 $931.5\ \mathrm{MeV}$；$\mathrm{kg}$ 配 $c^2$，得焦耳。
• 错在哪：认为结合能越大，原子核越稳定。 为什么错：结合能是全部核子的总账，核子越多总数越大。铀的结合能远大于铁，但铀会衰变。 正确做法：比较稳定性看核子 1 個あたりの結合エネルギー。
• 错在哪：把質量欠損当成「质量数减少了」。 为什么错：质量数 $A$ 在核反应中守恒；减少的是静止质量，对应放出的能量。 正确做法：分别算质量数（守恒）和质量（亏损），两本账不要混。
• 错在哪：题目给原子质量，却按原子核质量代入，或反过来。 为什么错：原子质量包含核外电子，原子核质量不包含；混用会多算或少算电子质量。 正确做法：同一道题统一用一种质量；用原子质量时，反应前后电子数相同，电子质量自动抵消。

直观理解

结合能像「拆房费」：把一座房子（原子核）拆成一块块砖（核子）要花的钱。核子平均结合能是「每块砖的拆费」，越贵说明砖粘得越牢。$1\ \mathrm{u}$ 是质量币，$931.5\ \mathrm{MeV}$ 是它和能量币的汇率；看到 $\mathrm{u}$ 就用这个汇率，看到 $\mathrm{kg}$ 才用 $E=mc^2$ 现算。

关联知识点

• 前置：国内书第 36 章 36.7 节质量亏损、质能方程、比结合能曲线；第 11 章相对论初步。
• 前置：国内书第 36 章 36.2 节原子核的组成、同位素、原子量。
• 后续：本书 21.7 节核反应题；国内书第 36 章 36.8 节裂变、聚变。
• 常一起考：半衰期、核反应方程、光子能量（Ｘ 線、γ 線）。

21.7 题型与答法

原子在 EJU 里固定出现在大問 Ⅴ，据 20 回公开过去问，本章内容共出现 11 次（每回平均 0.55 次）：全部集中在 2015 年以后的 11 回，2010–2014 的 9 回没有原子題。形式以字母式和数值为主，也有组合题；内容多是国内学过的玻尔模型与能级、半衰期、核反应、物质波，差异项（Ｘ 線、コンプトン、ブラッグ、比電荷）偶尔出现。两分钟做法：

1. 先看问的是「光子」「电子」还是「原子核」，分别用 $E=hc/\lambda$、$eV=\dfrac{1}{2}mv^2$、$\Delta E=\Delta mc^2$。
2. 能级题先画能级图，标出跃迁的上下两态，$\Delta E=h\nu=\dfrac{hc}{\lambda}$。
3. 半衰期题先数过了几个半衰期，$N=N_0\left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/T}$。
4. 核反应题先配平质量数和电荷数，再判断 α、β 次数。

問題 1　（ボーア模型：$n=3\to2$ の遷移で出る光子の波長）

次の図は，水素原子のエネルギー準位を模式的に示したものである。$n=3$ の励起状態にある水素原子が $n=2$ の状態に移るときに放出する光子の波長は何 m か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，$h=6.6\times10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}$，$c=3.0\times10^8\ \mathrm{m/s}$，$1\ \mathrm{eV}=1.6\times10^{-19}\ \mathrm{J}$ とし，水素原子のエネルギー準位は $E_n=-\dfrac{13.6}{n^2}\ \mathrm{eV}$ で表されるものとする。

①　$3.3\times10^{-7}\ \mathrm{m}$　　②　$6.6\times10^{-7}\ \mathrm{m}$　　③　$6.6\times10^{-8}\ \mathrm{m}$　　④　$1.2\times10^{-6}\ \mathrm{m}$

解答　$n=3$ と $n=2$ のエネルギーは

$$E_3 = -\frac{13.6}{3^2} = -1.51\ \mathrm{eV}, \qquad E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -3.40\ \mathrm{eV}$$

遷移で放出される光子のエネルギーは

$$\Delta E = E_3 - E_2 = -1.51 - (-3.40) = 1.89\ \mathrm{eV}$$

これをジュールに換えると $\Delta E=1.89\times1.6\times10^{-19}=3.02\times10^{-19}\ \mathrm{J}$。$\Delta E=\dfrac{hc}{\lambda}$ より

$$\lambda = \frac{hc}{\Delta E} = \frac{6.6\times10^{-34}\times3.0\times10^8}{3.02\times10^{-19}} \approx 6.6\times10^{-7}\ \mathrm{m}$$

検算：可視光の波長は $4\times10^{-7}$ から $7\times10^{-7}\ \mathrm{m}$ 程度で，$6.6\times10^{-7}\ \mathrm{m}$ は赤い光（Hα 線）として妥当。　答　②

中文翻译　题目：如图是氢原子能级的示意图。处于 $n=3$ 激发态的氢原子跃迁到 $n=2$ 态时放出的光子波长是多少米？从①～④中选最合适的值。$h=6.6\times10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}$，$c=3.0\times10^8\ \mathrm{m/s}$，$1\ \mathrm{eV}=1.6\times10^{-19}\ \mathrm{J}$，氢原子能级 $E_n=-\dfrac{13.6}{n^2}\ \mathrm{eV}$。① $3.3\times10^{-7}\ \mathrm{m}$；② $6.6\times10^{-7}\ \mathrm{m}$；③ $6.6\times10^{-8}\ \mathrm{m}$；④ $1.2\times10^{-6}\ \mathrm{m}$。

解答：$E_3=-13.6/9=-1.51\ \mathrm{eV}$，$E_2=-13.6/4=-3.40\ \mathrm{eV}$。跃迁放出的光子能量 $\Delta E=E_3-E_2=1.89\ \mathrm{eV}=3.02\times10^{-19}\ \mathrm{J}$。由 $\Delta E=\dfrac{hc}{\lambda}$，$\lambda=\dfrac{hc}{\Delta E}=\dfrac{6.6\times10^{-34}\times3.0\times10^8}{3.02\times10^{-19}}\approx6.6\times10^{-7}\ \mathrm{m}$。检验：可见光波长约 $4\times10^{-7}$ 到 $7\times10^{-7}\ \mathrm{m}$，$6.6\times10^{-7}\ \mathrm{m}$ 是红光（Hα 线），合理。答案 ②。

解说　两分钟做法：先算两能级差，再套 $\lambda=\dfrac{hc}{\Delta E}$，不用管电子轨道。容易卡在：能级是负的，$E_3-E_2$ 要用「大数减小数」的绝对值，$1.51-3.40$ 取绝对值才是 $1.89$；另外 $13.6\ \mathrm{eV}$ 要先换成焦耳再和 $h$、$c$ 一起算。选项排除：① 是把 $\Delta E$ 多乘了 2；③ 少了一个数量级；④ 是把 $n=3\to1$ 的跃迁（约 $1.0\times10^{-7}\ \mathrm{m}$ 的紫外）拿来算的结果，和 $3\to2$ 的可见光不符。

問題 2　（半減期：$32$ 日後に残る核の数）

ある放射性同位体の半減期は $8.0$ 日である。この同位体の原子核がはじめ $4.0\times10^8$ 個あった。$32$ 日後に残っている原子核の数はおよそ何個か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，壊変は半減期の統計的法則に従うものとする。

①　$1.0\times10^8$ 個　　②　$5.0\times10^7$ 個　　③　$2.5\times10^7$ 個　　④　$1.3\times10^7$ 個

解答　$32$ 日は半減期 $8.0$ 日の

$$\frac{32}{8.0} = 4$$

倍，すなわち 4 半減期である。残る核の数は

$$N = N_0\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T} = 4.0\times10^8\times\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{4.0\times10^8}{16} = 2.5\times10^7\ \text{個}$$

検算：1 半減期で半分、2 半減期で $\dfrac{1}{4}$、3 半減期で $\dfrac{1}{8}$、4 半減期で $\dfrac{1}{16}$，逐次半分にして $2.5\times10^7$ と一致する。　答　③

中文翻译　题目：某放射性同位素的半衰期为 $8.0$ 天。开始时该同位素的原子核有 $4.0\times10^8$ 个。$32$ 天后大约还剩多少个原子核？从①～④中选最合适的值。衰变服从半衰期的统计规律。① $1.0\times10^8$ 个；② $5.0\times10^7$ 个；③ $2.5\times10^7$ 个；④ $1.3\times10^7$ 个。

解答：$32$ 天是半衰期 $8.0$ 天的 $32/8.0=4$ 倍，即 4 个半衰期。剩余核数 $N=N_0\left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/T}=4.0\times10^8\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^4=4.0\times10^8/16=2.5\times10^7$ 个。检验：每过一个半衰期减半，4 次后为 $1/16$，与答案一致。答案 ③。

解说　两分钟做法：先算 $t/T$，必须是整数或简单分数；每过一个半衰期乘 $\dfrac{1}{2}$。容易卡在：把「过了 32 天」当成「过了 32 个半衰期」，或把剩余数当成已衰变数。选项排除：① 是 2 个半衰期（$1/4$）的结果；② 是 3 个半衰期（$1/8$）；④ 是 5 个半衰期（$1/32$，约 $1.25\times10^7$，四舍五入成 $1.3\times10^7$）。数半衰期的个数，是这类题唯一要小心的地方。

問題 3　（核反応：α 崩壊と β 崩壊の回数）

${}^{238}_{92}\mathrm{U}$ は，α 崩壊と β 崩壊を繰り返して最終的に ${}^{206}_{82}\mathrm{Pb}$ になる。この間に起こる α 崩壊と β 崩壊の回数の組み合わせとして正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

	①	②	③	④
α 崩壊の回数	6	8	8	10
β 崩壊の回数	4	6	4	6

解答　α 崩壊では質量数が 4 減り，電荷数（原子番号）が 2 減る。β 崩壊では質量数は変わらず，電荷数が 1 増える。α 崩壊の回数を $a$，β 崩壊の回数を $b$ とすると，質量数と電荷数の保存より

$$238 - 4a = 206, \qquad 92 - 2a + b = 82$$

第 1 式より $4a=32$，$a=8$。これを第 2 式に代入して

$$92 - 16 + b = 82 \quad\therefore\quad b = 6$$

よって α 崩壊 8 回，β 崩壊 6 回。検算：質量数 $238-4\times8=206$，電荷数 $92-2\times8+6=82$，両方とも鉛の値に一致する。　答　②

中文翻译　题目：${}^{238}_{92}\mathrm{U}$ 经过多次 α 衰变和 β 衰变，最终变成 ${}^{206}_{82}\mathrm{Pb}$。这期间 α 衰变和 β 衰变的次数组合，从①～④中选一个正确的。① α 6 次、β 4 次；② α 8 次、β 6 次；③ α 8 次、β 4 次；④ α 10 次、β 6 次。

解答：α 衰变质量数减 4、电荷数减 2；β 衰变质量数不变、电荷数加 1。设 α 衰变 $a$ 次、β 衰变 $b$ 次，由质量数和电荷数守恒：$238-4a=206$，$92-2a+b=82$。第一式得 $a=8$，代入第二式得 $b=6$。所以 α 衰变 8 次、β 衰变 6 次。检验：质量数 $238-32=206$，电荷数 $92-16+6=82$，都与铅一致。答案 ②。

解说　两分钟做法：先只看质量数，α 衰变次数 $a=\dfrac{238-206}{4}=8$，一步定下；再看电荷数补 β 次数。容易卡在：把 β 衰变的电荷数变化方向弄反（β 是电子，电荷数加 1，不是减 1）。选项排除：质量数只由 α 决定，$a$ 必须是 8，①④ 先排除；剩下 ②③ 只差 β 次数，代电荷数 $92-16+b=82$ 得 $b=6$，选 ②。这类题不要一上来就写核反应方程，先算总量最快。

21.8 术语与题干用语

日文	读音	中文	例句或说明
陰極線	いんきょくせん	阴极射线	陰極線を電場と磁場に垂直に射入する。
放電	ほうでん	放电	放電管の中で陰極線が発生する。
比電荷	ひでんか	比荷（$e/m$）	電子の比電荷を測定する。
電気素量	でんきそりょう	元电荷 $e$	電気素量は $1.6\times10^{-19}\ \mathrm{C}$ である。
電気量	でんきりょう	电荷量 $q$	油滴の電気量は電気素量の整数倍である。
連続Ｘ線	れんぞくエックスせん	连续 Ｘ 線	連続Ｘ線の最短波長を求める。
特性Ｘ線	とくせいエックスせん	特性 Ｘ 線	特性Ｘ線の波長は対陰極の物質で決まる。
加速電圧	かそくでんあつ	加速电压	加速電圧を大きくすると最短波長は短くなる。
対陰極	たいいんきょく	对阴极（靶）	対陰極の物質を変えると特性線が変わる。
コンプトン効果	コンプトンこうか	康普顿效应	コンプトン効果では散乱光の波長が長くなる。
散乱角	さんらんかく	散射角	散乱角 $\theta$ が大きいほど波長の変化が大きい。
反跳電子	はんちょうでんし	反冲电子	反跳電子の運動エネルギーを求める。
ブラッグ反射	ブラッグはんしゃ	布拉格反射	ブラッグ反射の条件は $2d\sin\theta=n\lambda$。
結晶面	けっしょうめん	晶面	Ｘ線を結晶面にすれすれの角で入射させる。
面間隔	めんかんかく	面间距	面間隔 $d$ の結晶面。
原子質量単位	げんししつりょうたんい	原子质量单位 $\mathrm{u}$	陽子の質量は $1.0073\ \mathrm{u}$ である。
質量欠損	しつりょうけっそん	质量亏损	質量欠損に $931.5\ \mathrm{MeV/u}$ を掛ける。
結合エネルギー	けつごうエネルギー	结合能	ヘリウム核の結合エネルギーを求める。
核子	かくし	核子	核子 1 個あたりの結合エネルギー。
半減期	はんげんき	半衰期	半減期 $8.0$ 日の同位体。
壊変	かいへん	衰变	壊変は半減期の統計的法則に従う。
原子核	げんしかく	原子核	原子核は陽子と中性子からなる。
陽子	ようし	质子	陽子の質量は $1.0073\ \mathrm{u}$。
中性子	ちゅうせいし	中子	中性子の質量は $1.0087\ \mathrm{u}$。
エネルギー準位	エネルギーじゅんい	能级	水素原子のエネルギー準位。
光子	こうし	光子	遷移で光子を放出する。
物質波	ぶっしつは	物质波	電子の物質波の波長。
干渉	かんしょう	干涉	電子線の干渉。
回折	かいせつ	衍射	電子線の回折。
素粒子	そりゅうし	基本粒子	素粒子と 4 つの基本的力。
4 つの基本的力	よっつのきほんてきりょく	四种基本力	重力、電磁気力、強い力、弱い力。
放射線	ほうしゃせん	放射线	α線、β線、γ線を放射線という。
〜はどのように表されるか。	—	〜怎么表示？	$T$ はどのように表されるか。正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。
〜は何 m か。最も適当な値を，…	—	〜是多少 m？选最合适的值	波長は何 m か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。
正しい組み合わせを，…	—	选正确的组合	α 崩壊と β 崩壊の回数の組み合わせとして正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。
ただし，…とする。	—	设……	ただし，電子の初速度は電場に垂直で，重力の影響は無視できるものとする。
じゅうぶん時間がたった後	じゅうぶんじかんがたったあと	经过足够长时间后	ただし，じゅうぶん時間がたった後とする。
〜に移るとき	—	跃迁到〜时	$n=3$ の状態から $n=2$ の状態に移るとき。

21.9 自测

1. 電圧 $V=1.0\times10^3\ \mathrm{V}$ で加速した電子の速さはおよそ何 $\mathrm{m/s}$ か。ただし，$e/m=1.8\times10^{11}\ \mathrm{C/kg}$ とし，電子の初速度は 0 とする。 中文：电压 $V=1.0\times10^3\ \mathrm{V}$ 加速的电子速度约多少？$e/m=1.8\times10^{11}\ \mathrm{C/kg}$，初速度为 0。

2. 油滴実験で観測された次の電気量のうち，電気素量の整数倍としてありえないものはどれか。$4.8\times10^{-19}\ \mathrm{C}$，$6.4\times10^{-19}\ \mathrm{C}$，$5.6\times10^{-19}\ \mathrm{C}$，$8.0\times10^{-19}\ \mathrm{C}$。 中文：下列油滴电荷量中，不可能是元电荷整数倍的是哪个？

3. 加速電圧 $2.0\times10^4\ \mathrm{V}$ のＸ線管で発生する連続Ｘ線の最短波長は何 m か。ただし，$h=6.6\times10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}$，$c=3.0\times10^8\ \mathrm{m/s}$，$e=1.6\times10^{-19}\ \mathrm{C}$ とする。 中文：加速电压 $2.0\times10^4\ \mathrm{V}$ 的 Ｘ 線管产生的连续 Ｘ 線最短波长是多少米？

4. 特性Ｘ線の波長を決めるものは何か。 中文：决定特性 Ｘ 線波长的是什么？

5. コンプトン散乱で，散乱角が $180^\circ$ のときの波長の変化 $\Delta\lambda$ は何 m か。ただし，$h=6.6\times10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}$，$m=9.1\times10^{-31}\ \mathrm{kg}$，$c=3.0\times10^8\ \mathrm{m/s}$ とする。 中文：康普顿散射中，散射角为 $180^\circ$ 时波长变化 $\Delta\lambda$ 是多少米？

6. コンプトン散乱後の光子のエネルギーは，入射光子のエネルギーより大きいか，小さいか。 中文：康普顿散射后的光子能量比入射光子大还是小？

7. 面間隔 $d=2.8\times10^{-10}\ \mathrm{m}$ の結晶面に，Ｘ線をすれすれの角 $30^\circ$ で入射させた。1 次の反射が起こるときの波長は何 m か。 中文：面间距 $d=2.8\times10^{-10}\ \mathrm{m}$ 的晶面，Ｘ 線以掠射角 $30^\circ$ 入射，发生 1 级反射时的波长是多少米？

8. ブラッグ反射の条件 $2d\sin\theta=n\lambda$ で，$\theta$ は何と何の間の角か。 中文：布拉格条件中的 $\theta$ 是哪两者之间的夹角？

9. $1\ \mathrm{u}$ は何 $\mathrm{MeV}$ のエネルギーに相当するか。 中文：$1\ \mathrm{u}$ 相当于多少 $\mathrm{MeV}$ 的能量？

10. 質量欠損が $0.020\ \mathrm{u}$ の原子核の結合エネルギーは何 $\mathrm{MeV}$ か。ただし，$1\ \mathrm{u}=931.5\ \mathrm{MeV}$ とする。 中文：质量亏损为 $0.020\ \mathrm{u}$ 的原子核，结合能是多少 $\mathrm{MeV}$？

答案：1 $1.9\times10^7\ \mathrm{m/s}$；2 $5.6\times10^{-19}\ \mathrm{C}$；3 $6.2\times10^{-11}\ \mathrm{m}$；4 対陰極の物質（のエネルギー準位）；5 $4.8\times10^{-12}\ \mathrm{m}$；6 小さい；7 $2.8\times10^{-10}\ \mathrm{m}$；8 入射Ｘ線と結晶面；9 $931.5\ \mathrm{MeV}$；10 $19\ \mathrm{MeV}$。

21.10 深入阅读

• JASSO · 理科（物理）シラバス：本章对应「原子」：電子と光（比電荷、電気素量、Ｘ線、コンプトン効果、ブラッグ反射）、原子と原子核、素粒子と 4 つの基本的力。
• 维基百科（日文）· X線：Ｘ線的日文名称、発生原理、連続Ｘ線和特性Ｘ線的区别，配合本章 21.3 节。
• 维基百科（日文）· コンプトン効果：康普顿效应的日文说明、波长变化公式和散射角的关系，配合本章 21.4 节。
• 维基百科（日文）· ブラッグの法則：布拉格条件的日文推导、面间距和掠射角的定义，配合本章 21.5 节。