第 20 章 · 交流と電磁波

项目	内容
シラバス项目	Ⅳ 電気と磁気 4. 電磁誘導と電磁波 (3) 交流：交流の発生，交流電圧，交流電流，位相，周波数，角周波数，抵抗を流れる交流，実効値；(4) 交流回路：コイルのリアクタンスと位相差，コンデンサーのリアクタンスと位相差，消費電力，交流回路のインピーダンス，共振回路，振動回路；(5) 電磁波：電磁波，電磁波の発生，電磁波の性質，電磁波の種類
国内书对应	第 29 章 交变电流（29.2 交变电流的产生、29.3 周期与频率、29.4 有效值）、第 30 章 电磁振荡、电磁波与传感器（30.2 LC 振荡、30.3 振荡周期、30.4 电磁波、30.6 电磁波谱）
本章新内容的分量	以国内没有的内容为主：线圈和电容器的リアクタンス、电压与电流的位相差、含相位差的平均功率、RLC 串联的インピーダンス、共振回路；位相与日本记号属于讲法不同。実効値、LC 自由振荡、電磁波国内已讲，只引用
过去问出现次数	20 回共 2 題（每回平均 0.1 題）：2010 年第 1 回变压器电压电流比图像，2013 年第 2 回交流频率对功率的影响；其余 18 回没有

国内书第 29 章讲过交流电的产生、周期、有效值和变压器，第 30 章讲过 LC 振荡和电磁波。EJU 在「交流回路」里加了一块国内高中不讲的定量内容：线圈和电容器的リアクタンス、电压与电流的位相差、含相位差的平均功率、RLC 串联的インピーダンス、共振。过去 20 回公开过去问里本章只有 2 題（每回平均 0.1 題），出现频率很低；不要把它当成必考章，先把直流电路和电磁感应学扎实，再花时间拿这一两分。丢分主要在三处：把 $X_L$、$X_C$ 当电阻直接相加；用峰值算功率；把「進む」「遅れる」的方向记反。電磁波只在 20.1 的对照表里引用国内书，不再展开。

20.1 与国内的对照

シラバス小項目（日文原文）	国内书位置	相同 / 讲法不同 / 国内没有	本章哪节讲
交流の発生	国内书第 29 章 29.2 交变电流的产生	相同（日本也叫「交流の発生」，线圈在磁场中转动）	20.2（引用）
交流電圧，交流電流	国内书第 29 章 29.2、29.3	相同（国内写 $u$、$i$，日本写 $v$、$i$）	20.2
位相	国内书第 29 章没有单列；第 21 章简谐运动、第 22 章波有相位和相位差	讲法不同：EJU 用位相差描述交流电压和电流的先后	20.2
周波数，角周波数	国内书第 29 章 29.3（$f$、$\omega=2\pi f$）	相同（日本叫「角周波数」）	20.2
抵抗を流れる交流	国内书第 29 章 29.2 讲了瞬时值也满足欧姆定律，没有把「同相」单列	讲法不同：EJU 以电阻为相位基准	20.2
実効値	国内书第 29 章 29.4	相同（日本记号 $V_{\mathrm e}$、$I_{\mathrm e}$）	20.4（引用国内书 29.4）
コイルのリアクタンスと位相差	国内没有	国内没有	20.3
コンデンサーのリアクタンスと位相差	国内没有	国内没有	20.3
消費電力	国内书第 29 章 29.4 只讲电阻的 $I^2R$，没有含相位差的平均功率	讲法不同	20.4
交流回路のインピーダンス	国内没有	国内没有	20.5
共振回路	国内没有（第 30 章 30.3 的 LC 自由振荡频率不是共振）	国内没有	20.6
振動回路	国内书第 30 章 30.2、30.3	相同（LC 自由振荡，周期公式相同）	20.6（引用国内书 30.2、30.3）
電磁波，電磁波の発生，電磁波の性質	国内书第 30 章 30.4（麦克斯韦理论、电磁波的性质）	相同	—（见国内书第 30 章 30.4）
電磁波の種類	国内书第 30 章 30.6 电磁波谱	相同	—（见国内书第 30 章 30.6）

本章的知识点只写 20.2–20.6 五节。表里写「相同」的内容不再展开；第 19 章已经讲过自感、互感、变压器，本章也不重复。2010 年第 1 回的变压器题虽然归在本章频率表里，考的还是第 19 章的变压器公式，只是和交流电的有效值一起出现。

20.2 交流の表し方と位相

说明

交流（交流电流、交流电压）：大小和方向随时间周期性变化的电流、电压。日本教科书把瞬时值写 $v$、$i$，最大值（振幅）写 $V_{\mathrm m}$、$I_{\mathrm m}$，実効値写 $V_{\mathrm e}$、$I_{\mathrm e}$。正弦交流的电压和电流写成

$$v = V_{\mathrm m}\sin\omega t, \qquad i = I_{\mathrm m}\sin(\omega t + \phi)$$

其中 $\omega$ 是角周波数（角频率），单位 $\mathrm{rad/s}$；$f$ 是周波数（频率），单位 $\mathrm{Hz}$，两者满足

$$\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}, \qquad f = \frac{1}{T}$$

実効値：让交流电和某一直流电分别通过同一个电阻，在相同时间内产生的热量相同时，这个直流电的值就叫交流电的実効値。正弦交流有

$$V_{\mathrm e} = \frac{V_{\mathrm m}}{\sqrt2}, \qquad I_{\mathrm e} = \frac{I_{\mathrm m}}{\sqrt2}$$

电压表、电流表的示数，用电器的额定值，算功率和热量，用的都是実効値。国内书第 29 章 29.4 已经详细讲过有效值的定义和非正弦波形的算法，这里只把它当作已知。

位相：$\omega t + \phi$ 叫位相，$\phi$ 是 $t=0$ 时的位相（初相）。两个同频率的交流量，位相之差叫位相差。电压 $v = V_{\mathrm m}\sin\omega t$ 和电流 $i = I_{\mathrm m}\sin(\omega t + \phi)$ 的位相差就是 $\phi$：

• $\phi > 0$：电流的位相比电压大，电流超前（進む）；
• $\phi < 0$：电流的位相比电压小，电流滞后（遅れる）；
• $\phi = 0$：电压和电流同相。

纯电阻：任何时刻都满足 $v = Ri$，所以 $i = \dfrac{v}{R}$，电压和电流同相（$\phi = 0$）。実効値之间也满足 $V_{\mathrm e} = RI_{\mathrm e}$。电阻是本章比较线圈、电容器的基准。

国内写法与日本记号对照：

量	日本记号	国内记号
瞬时值	$v$、$i$	$u$、$i$
最大值（峰值）	$V_{\mathrm m}$、$I_{\mathrm m}$	$U_{\mathrm m}$、$I_{\mathrm m}$
有效值	$V_{\mathrm e}$、$I_{\mathrm e}$	$U$、$I$
角频率	$\omega$（角周波数）	$\omega$
频率	$f$（周波数）	$f$

使用场景

• 给电压、电流的表达式或图像，问频率、角周波数、実効値、位相差 → 与 $v=V_{\mathrm m}\sin\omega t$、$i=I_{\mathrm m}\sin(\omega t+\phi)$ 对照 → 读出 $\omega$、$V_{\mathrm m}$、$I_{\mathrm m}$、$\phi$，由 $f=\dfrac{\omega}{2\pi}$、$V_{\mathrm e}=\dfrac{V_{\mathrm m}}{\sqrt2}$ 求值，由 $\phi$ 的符号判断超前还是滞后。
• 纯电阻电路，问电流表达式或电压、电流的关系 → 同相，瞬时值也满足 $i=\dfrac{v}{R}$ → 峰值、有效值都满足欧姆定律，不加相位差。

注意点

• $\omega$ 和 $f$ 不是一回事：$\omega$ 的单位是 $\mathrm{rad/s}$，$f$ 的单位是 $\mathrm{Hz}$。日本题干写「角周波数」时给的是 $\omega$，写「周波数」时给的是 $f$。
• 表达式里的系数是最大值，不是実効値。看到 $v=20\sin100\pi t$，実効值是 $14\ \mathrm{V}$，不是 $20\ \mathrm{V}$。
• 位相差只对同频率的两个量有定义；不同频率的电压、电流不能直接说「超前多少」。
• 「遅れる」是电流的最大值比电压的最大值晚出现；从表达式看，$\sin(\omega t-\phi)$ 里的负号就是滞后。不要只看 $\phi$ 的绝对值，方向更重要。
• 日文题干里的「電圧の位相に対する電流の位相」读作“电流相对电压的相位”；答题时先确定以谁为基准。

推导

$\omega=2\pi f$：交流电完成一次周期性变化，相位增加 $2\pi$，所用的时间是周期 $T$，所以 $\omega T = 2\pi$，即 $\omega=\dfrac{2\pi}{T}=2\pi f$。这和圆周运动里角速度与周期的关系一样（本书第 7 章）。

実効値 $V_{\mathrm e}=\dfrac{V_{\mathrm m}}{\sqrt2}$：以电流为例，$i=I_{\mathrm m}\sin\omega t$，电阻 $R$ 上的瞬时功率 $p=i^2R=I_{\mathrm m}^2R\sin^2\omega t$。一个周期内 $\sin^2\omega t$ 的平均值是 $\dfrac12$（国内书第 29 章 29.4 用图像说明过），所以平均功率

$$P = \frac12 I_{\mathrm m}^2R = \left(\frac{I_{\mathrm m}}{\sqrt2}\right)^2R = I_{\mathrm e}^2R$$

可见 $I_{\mathrm e}=\dfrac{I_{\mathrm m}}{\sqrt2}$。电压同样。

电阻的同相：$v=Ri$ 是瞬时值关系。把 $v=V_{\mathrm m}\sin\omega t$ 代入，得 $i=\dfrac{V_{\mathrm m}}{R}\sin\omega t$，和 $v$ 的相位相同；幅值 $I_{\mathrm m}=\dfrac{V_{\mathrm m}}{R}$，两边除以 $\sqrt2$ 得 $I_{\mathrm e}=\dfrac{V_{\mathrm e}}{R}$。

例题

例 1　（场景：给电压、电流的瞬时值表达式 → 读频率、実効值和位相差）

問題　ある交流回路において，電源の電圧 $v$ と回路を流れる電流 $i$ は，それぞれ

$$v = 20\sin 100\pi t\ \mathrm{V}, \qquad i = 2.0\sin\left(100\pi t - \frac{\pi}{4}\right)\ \mathrm{A}$$

で表される。ただし，$t$ は秒で表すものとする。

問　この交流の周波数 $f$，電圧の実効値 $V_{\mathrm e}$，電流の位相の電圧に対する遅れ・進みの組合せとして最も適当なものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

	①	②	③	④
$f$	50 Hz	50 Hz	50 Hz	100 Hz
$V_{\mathrm e}$	14 V	20 V	14 V	14 V
位相	$\dfrac{\pi}{4}$ 遅れる	$\dfrac{\pi}{4}$ 遅れる	$\dfrac{\pi}{4}$ 進む	$\dfrac{\pi}{4}$ 遅れる

解答　$v=20\sin100\pi t$ と標準形 $v=V_{\mathrm m}\sin\omega t$ を比べると，$\omega=100\pi\ \mathrm{rad/s}$，$V_{\mathrm m}=20\ \mathrm{V}$。したがって

$$f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{100\pi}{2\pi}=50\ \mathrm{Hz}, \qquad V_{\mathrm e}=\frac{V_{\mathrm m}}{\sqrt2}=\frac{20}{\sqrt2}=14\ \mathrm{V}$$

電流の位相は $\omega t-\dfrac{\pi}{4}$ で，電圧の位相 $\omega t$ より $\dfrac{\pi}{4}$ 小さい。位相が小さいほど同じ値になる時刻が遅いので，電流は電圧より $\dfrac{\pi}{4}$ 遅れる。　答　①

中文翻译　题目：某交流电路中，电源电压 $v$ 和电流 $i$ 分别为 $v=20\sin100\pi t$ V、$i=2.0\sin(100\pi t-\pi/4)$ A，$t$ 以秒计。问：频率 $f$、电压有效值 $V_{\mathrm e}$、电流相对电压的滞后或超前的组合，从①～④中选最适当的。 解答：与标准形 $v=V_{\mathrm m}\sin\omega t$ 对比，$\omega=100\pi$ rad/s，$V_{\mathrm m}=20$ V，所以 $f=100\pi/(2\pi)=50$ Hz，$V_{\mathrm e}=20/\sqrt2=14$ V。电流的相位是 $\omega t-\pi/4$，比电压的相位小 $\pi/4$；相位小的时刻更晚，所以电流比电压滞后 $\pi/4$。答案 ①。

解说　用到的是本节“说明”里的三件事：$\omega$ 与 $f$ 的关系、実効值与最大值的关系、位相差的符号。容易卡在：把表达式里的 $100\pi$ 当频率，或者把系数 $20$ 当実効值。选项排除：② 的 $20\ \mathrm{V}$ 是最大值；③ 的“進む”方向反了；④ 的 $100\ \mathrm{Hz}$ 是把角周波数当频率。三个干扰项各对应一种典型错误，不需要算完就能排除两个。

例 2　（场景：纯电阻电路 → 电压与电流同相 → 写电流表达式）

問題　抵抗値 $R$ の抵抗に，電圧 $v=V_{\mathrm m}\sin\omega t$ の交流電源をつないだ。抵抗を流れる電流 $i$ を表す式として正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$i=\dfrac{V_{\mathrm m}}{R}\sin\omega t$　　②　$i=\dfrac{V_{\mathrm m}}{\sqrt2 R}\sin\omega t$

③　$i=\dfrac{V_{\mathrm m}}{R}\sin\left(\omega t-\dfrac{\pi}{2}\right)$　　④　$i=\dfrac{\sqrt2 V_{\mathrm m}}{R}\sin\left(\omega t+\dfrac{\pi}{2}\right)$

解答　抵抗では，いつでもオームの法則 $v=Ri$ が成り立つ。したがって

$$i=\frac{v}{R}=\frac{V_{\mathrm m}}{R}\sin\omega t$$

であり，電圧と電流は同位相である。　答　①

中文翻译　题目：电阻值为 $R$ 的电阻接在电压 $v=V_{\mathrm m}\sin\omega t$ 的交流电源上。表示电阻中电流 $i$ 的式子，从①～④中选一个正确的。 解答：电阻在任何时刻都满足欧姆定律 $v=Ri$，所以 $i=v/R=(V_{\mathrm m}/R)\sin\omega t$，电压与电流同相。答案 ①。

解说　纯电阻没有相位差，这是本章的基准。② 把最大值换成了有效值，但表达式里的系数必须是最大值；③④ 加了 $\pi/2$ 的相位差，那是线圈和电容器才有的。两分钟做法：看到“抵抗”就先写 $i=v/R$，相位不动。

常用推论

• 位相差与时间差：相位差 $|\phi|$ 对应的时间差 $\Delta t=\dfrac{|\phi|}{2\pi}T$。$\phi=\dfrac{\pi}{2}$ 就是四分之一周期。
• 正弦交流的実効值才可以用“最大值除以 $\sqrt2$”；方波、半波等非正弦波形要按国内书第 29 章 29.4 的热效应定义算。
• 电表读数、铭牌、额定功率都用実効值；电容器的耐压值要和最大值（峰值）比。
• 角周波数 $\omega=2\pi f$。题目给 $f$ 时，代入 $X_L=\omega L$、$X_C=\dfrac{1}{\omega C}$ 前先乘 $2\pi$。

易错点

• 错在哪：把角周波数 $\omega$ 当成频率 $f$。 为什么错：$\omega$ 是每秒相位增加的弧度，$f$ 是每秒完成的周期数，两者差 $2\pi$ 倍。 正确做法：先看单位。$\mathrm{rad/s}$ 是 $\omega$，$\mathrm{Hz}$ 是 $f$；由 $\omega$ 求 $f$ 时除以 $2\pi$。
• 错在哪：把表达式里的系数（最大值）当成実効值。 为什么错：表达式 $v=V_{\mathrm m}\sin\omega t$ 的系数是峰值；电表示数和功率用的是実効值，正弦时要把峰值除以 $\sqrt2$。 正确做法：看到 $v=20\sin\cdots$，先写 $V_{\mathrm m}=20\ \mathrm{V}$，再写 $V_{\mathrm e}=14\ \mathrm{V}$。
• 错在哪：把「進む」「遅れる」的方向弄反。 为什么错：$\sin(\omega t-\phi)$ 的最大值比 $\sin\omega t$ 晚出现，是滞后；表达式里的负号容易和“数值小”混在一起。 正确做法：先定基准（通常以电压为基准），看电流的相位比电压大还是小；或比较两者最大值出现的时刻。

直观理解

两个人绕跑道跑，角速度相同，只是起跑时一个领先一个落后：位相差就是起跑时的角度差，时间差等于角度差除以角速度。交流电压和电流也可以看成两个以相同角速度旋转的矢量，它们的夹角保持不变；这个“旋转矢量”就是 20.5 节的相量图。电阻的电压和电流始终同向，夹角为零；线圈和电容器的夹角是 $\dfrac{\pi}{2}$，只是谁在前谁在后不同（20.3 节）。

关联知识点

• 国内书第 29 章 29.2 交变电流的产生、29.3 周期与频率、29.4 有效值。
• 本书 8.2 変位・速度・加速度（単振動的位相、角振動数）、12.3 位相（波的两点相位差）、第 19 章電磁誘導（自感、变压器）。
• 后续：20.3 リアクタンスと位相差、20.4 消費電力、20.5 インピーダンス、20.6 共振回路と振動回路。
• 《高中数学知识点梳理》第 12 章三角函数的图像与性质（$\sin(\omega t+\phi)$ 的图像平移）。

20.3 コイルとコンデンサーのリアクタンス

说明

リアクタンス（电抗）：线圈和电容器对交流的阻碍作用，用 $X$ 表示，单位 $\mathrm{\Omega}$。它不是电阻，不消耗能量，只和电源交换能量。

コイル（线圈）：线圈的自感电动势阻碍电流变化。设电流 $i=I_{\mathrm m}\sin\omega t$，则线圈两端的电压为

$$v_L = \omega L I_{\mathrm m}\cos\omega t = V_{\mathrm m}\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right)$$

电压的最大值 $V_{\mathrm m}=\omega LI_{\mathrm m}$，所以线圈的リアクタンス是

$$X_L = \omega L$$

実効值之间满足 $V_{\mathrm e}=X_LI_{\mathrm e}$。线圈的电压比电流超前 $\dfrac{\pi}{2}$，也就是电流比电压滞后 $\dfrac{\pi}{2}$。$X_L$ 与频率成正比：频率越高，阻碍越大；直流 $f=0$ 时 $X_L=0$，线圈相当于导线。

コンデンサー（电容器）：电容器两端的电压 $v$ 与电荷 $q$ 满足 $q=Cv$，电流是电荷的变化率。设电压 $v=V_{\mathrm m}\sin\omega t$，则

$$i = \frac{\Delta q}{\Delta t} = C\frac{\Delta v}{\Delta t} = \omega C V_{\mathrm m}\cos\omega t = I_{\mathrm m}\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right)$$

电流的最大值 $I_{\mathrm m}=\omega CV_{\mathrm m}$，所以电容器的リアクタンス是

$$X_C = \frac{1}{\omega C}$$

実効值之间满足 $V_{\mathrm e}=X_CI_{\mathrm e}$。电容器的电流比电压超前 $\dfrac{\pi}{2}$。$X_C$ 与频率成反比：频率越高，阻碍越小；直流 $f=0$ 时 $X_C$ 趋于无限大，电容器相当于断路。

素子	リアクタンス	電圧と電流の位相	周波数を上げると
コイル	$X_L=\omega L$	電圧が電流より $\dfrac{\pi}{2}$ 進む	$X_L$ 增大，电流减小
コンデンサー	$X_C=\dfrac{1}{\omega C}$	電流が電圧より $\dfrac{\pi}{2}$ 進む	$X_C$ 减小，电流增大

国内书第 29 章只讲了电阻电路，线圈和电容器的这种定量关系国内没有；国内书第 30 章 30.2 的 LC 振荡里用到了“线圈阻碍电流变化、电容器充放电”，但没给出リアクタンス公式。

使用场景

• 线圈接在交流电源上，给 $L$、$f$（或 $\omega$）、电压，求 $X_L$、$I_{\mathrm e}$，或问频率变化时电流怎么变 → $X_L=\omega L$，$I_{\mathrm e}=\dfrac{V_{\mathrm e}}{X_L}$ → 频率升高，$X_L$ 增大，电流减小；电压超前电流 $\dfrac{\pi}{2}$。
• 电容器接在交流电源上，给 $C$、$f$、电压，求 $X_C$、$I_{\mathrm e}$，或问频率变化时电流怎么变 → $X_C=\dfrac{1}{\omega C}$，$I_{\mathrm e}=\dfrac{V_{\mathrm e}}{X_C}$ → 频率升高，$X_C$ 减小，电流增大；电流超前电压 $\dfrac{\pi}{2}$。

注意点

• リアクタンス不是电阻：理想线圈和电容器不消耗平均功率，只把能量存进去再还回来。含线圈电阻的实际线圈另当别论。
• $X_L$ 与 $X_C$ 随频率的变化方向相反：一个成正比，一个成反比。判断“频率升高时电流变大还是变小”时，先看是线圈还是电容器。
• 相位差是“电压与电流”之间的，说「進む」「遅れる」时主语要清楚：线圈是电压超前，电容器是电流超前。
• $V_{\mathrm e}=XI_{\mathrm e}$ 只对正弦交流成立；有相位差时，瞬时值之间不成正比。
• 日本记号用 $X_L$、$X_C$，单位 $\mathrm{\Omega}$；不要把リアクタンス叫「抵抗」。
• 计算前统一单位：$L$ 用 $\mathrm{H}$，$C$ 用 $\mathrm{F}$，$\omega$ 用 $\mathrm{rad/s}$。$1\ \mathrm{mH}=10^{-3}\ \mathrm{H}$，$1\ \mu\mathrm{F}=10^{-6}\ \mathrm{F}$，$1\ \mathrm{pF}=10^{-12}\ \mathrm{F}$。

推导

线圈的 $X_L=\omega L$：线圈的自感电动势大小为 $L\dfrac{\Delta i}{\Delta t}$，外加电压与它平衡，所以 $v_L=L\dfrac{\Delta i}{\Delta t}$。把 $i=I_{\mathrm m}\sin\omega t$ 代入，$\sin$ 的变化率是 $\omega\cos\omega t$：

$$v_L = L\cdot I_{\mathrm m}\omega\cos\omega t = \omega LI_{\mathrm m}\cos\omega t$$

而 $\cos\omega t=\sin\left(\omega t+\dfrac{\pi}{2}\right)$，所以电压的位相比电流大 $\dfrac{\pi}{2}$，电压超前。比较最大值得 $V_{\mathrm m}=\omega LI_{\mathrm m}$，两边除以 $\sqrt2$ 得 $V_{\mathrm e}=\omega LI_{\mathrm e}$，即 $X_L=\omega L$。

（关键一步：电流是正弦，电压是它的变化率，$\sin$ 的变化率是 $\cos$，而 $\cos$ 比 $\sin$ 超前四分之一周期。所以“电压超前”不是硬记的，是求导带来的。）

电容器的 $X_C=\dfrac{1}{\omega C}$：$q=Cv$，电流 $i=\dfrac{\Delta q}{\Delta t}=C\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$。把 $v=V_{\mathrm m}\sin\omega t$ 代入：

$$i = C\cdot V_{\mathrm m}\omega\cos\omega t = \omega CV_{\mathrm m}\cos\omega t$$

$\cos$ 比 $\sin$ 超前 $\dfrac{\pi}{2}$，所以电流超前电压 $\dfrac{\pi}{2}$。比较最大值得 $I_{\mathrm m}=\omega CV_{\mathrm m}$，即 $V_{\mathrm m}=\dfrac{1}{\omega C}I_{\mathrm m}$，所以 $X_C=\dfrac{1}{\omega C}$。

（关键一步：这次是电流等于电压的变化率，求导让电流超前；线圈是电压等于电流的变化率，求导让电压超前。两者正好相反。）

例题

例 1　（场景：线圈接交流 → 求リアクタンス和电流）

問題　自己インダクタンス $L=0.20\ \mathrm{H}$ のコイルに，周波数 $f=50\ \mathrm{Hz}$，実効値 $V_{\mathrm e}=20\ \mathrm{V}$ の交流電圧を加えた。コイルのリアクタンス $X_L$ と，流れる電流の実効値 $I_{\mathrm e}$ の組合せとして最も適当なものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，コイルの抵抗は無視できるものとする。

①　$63\ \mathrm{\Omega}$，$0.32\ \mathrm{A}$　　②　$63\ \mathrm{\Omega}$，$0.45\ \mathrm{A}$

③　$10\ \mathrm{\Omega}$，$2.0\ \mathrm{A}$　　④　$0.63\ \mathrm{\Omega}$，$32\ \mathrm{A}$

解答　$X_L=2\pi fL=2\pi\times50\times0.20=20\pi\approx63\ \mathrm{\Omega}$。交流的欧姆定律 $V_{\mathrm e}=X_LI_{\mathrm e}$ より

$$I_{\mathrm e}=\frac{V_{\mathrm e}}{X_L}=\frac{20}{63}\approx0.32\ \mathrm{A}$$

検算：$\omega=2\pi f=100\pi\ \mathrm{rad/s}$，$X_L=\omega L=100\pi\times0.20=20\pi$，一致する。　答　①

中文翻译　题目：自感系数 $L=0.20$ H 的线圈接在频率 $f=50$ Hz、有效值 $V_{\mathrm e}=20$ V 的交流电压上。线圈的电抗 $X_L$ 与电流有效值 $I_{\mathrm e}$ 的组合，从①～④中选最适当的。线圈电阻可忽略。 解答：$X_L=2\pi fL=2\pi\times50\times0.20=20\pi\approx63\ \Omega$。由交流欧姆定律 $V_{\mathrm e}=X_LI_{\mathrm e}$，$I_{\mathrm e}=20/63\approx0.32$ A。检验：$\omega=100\pi$ rad/s，$X_L=\omega L=20\pi$，一致。答案 ①。

解说　用到的是本节线圈的 $X_L=\omega L$。容易卡在：把 $f=50$ 直接当 $\omega$，得到 $X_L=10\ \Omega$，对应选项 ③。② 的 $0.45\ \mathrm{A}$ 是用峰值 $28\ \mathrm{V}$ 算的；④ 是小数点错位。两分钟做法：先由 $f$ 算 $\omega=2\pi f$，再乘 $L$。

例 2　（场景：电容器接交流 → 求リアクタンス、电流和相位）

問題　電気容量 $C=5.0\ \mu\mathrm{F}$ のコンデンサーに，周波数 $f=50\ \mathrm{Hz}$，実効値 $V_{\mathrm e}=20\ \mathrm{V}$ の交流電圧を加えた。コンデンサーのリアクタンス $X_C$，流れる電流の実効値 $I_{\mathrm e}$，電流の位相の電圧に対する進み・遅れの組合せとして最も適当なものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

	①	②	③	④
$X_C$	$6.4\times10^2\ \mathrm{\Omega}$	$6.4\times10^2\ \mathrm{\Omega}$	$6.4\times10^2\ \mathrm{\Omega}$	$1.6\times10^2\ \mathrm{\Omega}$
$I_{\mathrm e}$	$3.1\times10^{-2}\ \mathrm{A}$	$3.1\times10^{-2}\ \mathrm{A}$	$3.1\times10^{-1}\ \mathrm{A}$	$1.3\times10^{-1}\ \mathrm{A}$
位相	$\dfrac{\pi}{2}$ 進む	$\dfrac{\pi}{2}$ 遅れる	$\dfrac{\pi}{2}$ 進む	$\dfrac{\pi}{2}$ 進む

解答　$X_C=\dfrac{1}{2\pi fC}=\dfrac{1}{2\pi\times50\times5.0\times10^{-6}}\approx6.4\times10^2\ \mathrm{\Omega}$。电流的実効値は

$$I_{\mathrm e}=\frac{V_{\mathrm e}}{X_C}=\frac{20}{6.4\times10^2}\approx3.1\times10^{-2}\ \mathrm{A}$$

コンデンサーでは，電流が電圧より位相が $\dfrac{\pi}{2}$ 進む。　答　①

中文翻译　题目：电容 $C=5.0\ \mu\mathrm{F}$ 的电容器接在频率 $f=50$ Hz、有效值 $V_{\mathrm e}=20$ V 的交流电压上。电抗 $X_C$、电流有效值 $I_{\mathrm e}$、电流相对电压的超前或滞后的组合，从①～④中选最适当的。 解答：$X_C=1/(2\pi fC)=1/(2\pi\times50\times5.0\times10^{-6})\approx6.4\times10^2\ \Omega$。$I_{\mathrm e}=V_{\mathrm e}/X_C=20/(6.4\times10^2)\approx3.1\times10^{-2}$ A。电容器中电流比电压超前 $\pi/2$。答案 ①。

解说　用到的是本节电容器的 $X_C=\dfrac{1}{\omega C}$ 和“电流超前”。容易卡在：把 $1/(\omega C)$ 和 $\omega L$ 的变化方向记反，或者把 $5.0\ \mu\mathrm{F}$ 直接写成 $5.0\ \mathrm{F}$。选项排除：② 的相位方向反了；③ 的电流大了 10 倍（$\mu$ 没有换算）；④ 的 $X_C$ 对应 $C=20\ \mu\mathrm{F}$。另一种解法：先算 $\omega=100\pi$，再算 $\omega C=100\pi\times5.0\times10^{-6}\approx1.6\times10^{-3}\ \mathrm{S}$，取倒数得 $X_C\approx6.4\times10^2\ \Omega$，和直接代公式一样。

常用推论

• 串联时，线圈电压和电容器电压相位相反（相差 $\pi$），总电抗是 $X_L-X_C$，不是 $X_L+X_C$。这是 20.5 节阻抗公式的来源。
• 频率变为 $k$ 倍：$X_L$ 变为 $kX_L$，$X_C$ 变为 $\dfrac{X_C}{k}$；乘积 $X_LX_C=\dfrac{L}{C}$ 与频率无关。
• 直流极限：线圈 $X_L=0$ 相当于导线，电容器 $X_C\to\infty$ 相当于断路。高频极限相反：线圈阻碍大，电容器阻碍小。（教材没有，考试常用）
• 相位差 $\dfrac{\pi}{2}$ 对应四分之一周期的时间差。
• 线圈的“电流滞后”像质量块的惯性，电容器的“电流超前”像弹簧先被压缩或拉伸；两者都不耗能。

易错点

• 错在哪：把 $X_L$、$X_C$ 当电阻直接相加。 为什么错：串联时线圈电压和电容器电压相位相反，先抵消再合成；直接相加会把抵消算成叠加。 正确做法：先判断相位，再按 20.5 节的 $Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}$ 合成。
• 错在哪：认为线圈、电容器也消耗功率。 为什么错：理想元件的电压和电流相位差 $\dfrac{\pi}{2}$，一个周期内平均功率为零，能量只是存进去又还回来。 正确做法：算平均功率只用电阻部分，$P=I_{\mathrm e}^2R$（20.4 节）。
• 错在哪：把相位方向记反。 为什么错：线圈是“电压超前电流”，电容器是“电流超前电压”，两者的主语不同。 正确做法：记“线圈阻碍电流变化，电流跟不上”；“电容器先充电才有电压，电流先走”。
• 错在哪：用频率 $f$ 直接代 $X_L=fL$、$X_C=\dfrac{1}{fC}$。 为什么错：公式里是角周波数 $\omega=2\pi f$，少乘 $2\pi$ 会差约 6 倍。 正确做法：先把 $f$ 换成 $\omega=2\pi f$，再代入公式。

直观理解

线圈像水管里水轮机的惯性：水流想加速或减速，水轮机都阻碍它变化；频率越高，水流变化越快，阻碍越大。电容器像水管中间的弹性膜：水要流过去，先得把膜撑开；频率越高，膜来回变形的时间越短，同样的压力变化对应更大的流量，所以阻碍越小。直流时水轮不转（线圈通），膜被撑到固定位置（电容器断）。

关联知识点

• 国内书第 29 章 29.2、29.4；第 30 章 30.2（LC 振荡中电容器的充放电、线圈的自感）。
• 本书第 19 章電磁誘導（自感 $V=-L\dfrac{\Delta I}{\Delta t}$、线圈能量 $\dfrac12LI^2$）、第 16 章コンデンサー（$C=\varepsilon\dfrac{S}{d}$、静电能量 $\dfrac12CV^2$）。
• 后续：20.4 消費電力、20.5 インピーダンス、20.6 共振回路と振動回路。
• 《高中数学知识点梳理》第 12 章三角函数的图像与性质（$\sin$ 与 $\cos$ 相差 $\dfrac{\pi}{2}$）。

20.4 消費電力

说明

消費電力（平均功率）：交流电路里，瞬时功率 $p=vi$ 随时间变化，日本教科书说的「消費電力」通常指一个周期内的平均功率，用 $P$ 表示。设电压、电流为

$$v = V_{\mathrm m}\sin\omega t, \qquad i = I_{\mathrm m}\sin(\omega t-\phi)$$

则平均功率为

$$P = V_{\mathrm e}I_{\mathrm e}\cos\phi$$

其中 $\cos\phi$ 叫力率（功率因数），$\phi$ 是电压与电流的位相差。

只有电阻消耗能量：理想线圈和电容器的电压、电流位相差为 $\dfrac{\pi}{2}$，$\cos\dfrac{\pi}{2}=0$，一个周期内的平均功率为零。它们把能量存进去又还回来，不把电能变成热。

• 纯电阻：$\phi=0$，$\cos\phi=1$，$P=V_{\mathrm e}I_{\mathrm e}=I_{\mathrm e}^2R=\dfrac{V_{\mathrm e}^2}{R}$（国内书第 29 章 29.4）。
• 纯线圈或纯电容器：$\phi=\pm\dfrac{\pi}{2}$，$P=0$。
• RLC 串联电路：只有电阻耗能，$P=I_{\mathrm e}^2R$；电源提供的 $V_{\mathrm e}I_{\mathrm e}$ 中，只有乘以 $\cos\phi$ 的部分被消耗。

频率改变时功率怎么变：电源的有效电压通常不变，但频率改变会让 $X_L$ 或 $X_C$ 改变，从而改变电流 $I_{\mathrm e}$，所以功率跟着变。这是 2013 年第 2 回考过的类型：电阻和线圈（或电容器）串联，频率升高，线圈使电流减小、电容器使电流增大，灯的亮度随之变化。

使用场景

• 给交流电压、电流的表达式（含位相差），求平均功率 → $P=V_{\mathrm e}I_{\mathrm e}\cos\phi$ → 先把峰值换成有效值，再取 $\cos\phi$；若给的是纯电阻，直接用 $P=I_{\mathrm e}^2R$。
• 给含电阻和线圈（或电容器）的电路，问频率变化时功率、灯泡亮度怎么变 → 先由 $X_L=\omega L$、$X_C=\dfrac{1}{\omega C}$ 判断频率升高时电抗变大还是变小 → 再判断电流 → 用 $P=I_{\mathrm e}^2R$ 判断功率。

注意点

• 功率要用有效值算，不能用峰值；若题给的是 $v=V_{\mathrm m}\sin\omega t$，先写 $V_{\mathrm e}=\dfrac{V_{\mathrm m}}{\sqrt2}$。
• $\cos\phi$ 里的 $\phi$ 是电压与电流的位相差，不是电压的初相；先确定电压、电流的相位差再取 $\cos$。
• 线圈、电容器的瞬时功率不为零，它们和电源之间来回交换能量；只是一个周期的平均值为零。说“线圈不耗能”指的是理想线圈，实际线圈有电阻。
• 频率改变时，不能只盯电压：电源有效值不变，电流可能变，功率可能变；也不能只盯电抗，电阻上的功率是 $I_{\mathrm e}^2R$。
• 白炽灯、电阻器的额定功率按有效值给出；保险丝的熔断电流也按有效值。

推导

瞬时功率

$$p = vi = V_{\mathrm m}I_{\mathrm m}\sin\omega t\sin(\omega t-\phi)$$

用积化和差 $\sin A\sin B=\dfrac12[\cos(A-B)-\cos(A+B)]$：

$$p = \frac12V_{\mathrm m}I_{\mathrm m}\left[\cos\phi-\cos(2\omega t-\phi)\right]$$

第二项 $\cos(2\omega t-\phi)$ 在一个周期内正负各半，平均值为零（它的周期是 $\dfrac{T}{2}$）。所以平均功率

$$P = \frac12V_{\mathrm m}I_{\mathrm m}\cos\phi = \frac{V_{\mathrm m}}{\sqrt2}\cdot\frac{I_{\mathrm m}}{\sqrt2}\cos\phi = V_{\mathrm e}I_{\mathrm e}\cos\phi$$

（关键一步：$\cos(2\omega t-\phi)$ 在一个周期内的平均值为零；剩下的常数项就是平均功率。$\cos\phi$ 是电压和电流“同向”的程度。）

纯电阻 $\phi=0$，$P=V_{\mathrm e}I_{\mathrm e}$；纯线圈或纯电容器 $\phi=\pm\dfrac{\pi}{2}$，$\cos\phi=0$，$P=0$。

例题

例 1　（场景：给电压、电流的瞬时值表达式 → 用有效值和力率求平均功率）

問題　ある交流回路に，電圧 $v=100\sqrt2\sin100\pi t\ \mathrm{V}$ を加えたところ，電流 $i=2.0\sqrt2\sin\left(100\pi t-\dfrac{\pi}{3}\right)\ \mathrm{A}$ が流れた。この回路の消費電力 $P$ は何 W か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$1.0\times10^2\ \mathrm{W}$　　②　$2.0\times10^2\ \mathrm{W}$　　③　$1.7\times10^2\ \mathrm{W}$　　④　$0\ \mathrm{W}$

解答　実効値は

$$V_{\mathrm e}=\frac{100\sqrt2}{\sqrt2}=100\ \mathrm{V}, \qquad I_{\mathrm e}=\frac{2.0\sqrt2}{\sqrt2}=2.0\ \mathrm{A}$$

位相差は $\phi=\dfrac{\pi}{3}$ なので

$$P=V_{\mathrm e}I_{\mathrm e}\cos\phi=100\times2.0\times\cos\frac{\pi}{3}=100\times2.0\times0.50=1.0\times10^2\ \mathrm{W}$$

検算：$\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12$，$V_{\mathrm e}I_{\mathrm e}=200\ \mathrm{W}$ 的一半被消耗。　答　①

中文翻译　题目：某交流电路加电压 $v=100\sqrt2\sin100\pi t$ V，流过的电流为 $i=2.0\sqrt2\sin(100\pi t-\pi/3)$ A。这个电路的消耗功率 $P$ 是多少 W？从①～④中选最适当的值。 解答：有效值 $V_{\mathrm e}=100$ V、$I_{\mathrm e}=2.0$ A；位相差 $\phi=\pi/3$，所以 $P=100\times2.0\times\cos(\pi/3)=100$ W。检验：$\cos(\pi/3)=1/2$，$V_{\mathrm e}I_{\mathrm e}=200$ W 的一半被消耗。答案 ①。

解说　用到的是本节的平均功率公式 $P=V_{\mathrm e}I_{\mathrm e}\cos\phi$。容易卡在：直接用峰值算 $100\sqrt2\times2.0\sqrt2=400\ \mathrm{W}$，或者忘了 $\cos\phi$ 得 $200\ \mathrm{W}$。选项排除：② 是 $V_{\mathrm e}I_{\mathrm e}$，忘了力率；③ 是用了 $\sin\dfrac{\pi}{3}=0.87$；④ 是把电路当成纯电抗。另一种解法：先算瞬时功率 $p=vi$，用积化和差看它的平均值，得到的常数项就是 $100\ \mathrm{W}$；适合题目同时问瞬时功率最大值的情形。

例 2　（场景：频率改变 → 电抗改变 → 电流和功率改变）

問題　図のように，交流電源に，電球とコンデンサーを直列につないだ回路 A と，電球とコイルを直列につないだ回路 B がある。どちらの電球も同じ抵抗値をもち，電源の実効値は一定である。電源の周波数を高くしたとき，電球の明るさはそれぞれどうなるか。正しい組合せを，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，コイルの抵抗は無視できるものとする。

	①	②	③	④
回路 A（コンデンサー）	明るくなる	暗くなる	明るくなる	変わらない
回路 B（コイル）	暗くなる	明るくなる	明るくなる	暗くなる

解答　回路 A では，周波数が高くなると $X_C=\dfrac{1}{2\pi fC}$ が小さくなる。回路全体のインピーダンスが小さくなり，電流の実効値が大きくなるので，電球の消費電力 $P=I_{\mathrm e}^2R$ が増え，明るくなる。回路 B では，$X_L=2\pi fL$ が大きくなるので電流が小さくなり，暗くなる。　答　①

中文翻译　题目：如图，交流电源接有两个电路：回路 A 是电灯与电容器串联，回路 B 是电灯与线圈串联。两个电灯电阻相同，电源有效值一定。电源频率升高时，两个电灯的亮度分别怎样变化？从①～④中选正确的组合。线圈电阻可忽略。 解答：回路 A 中频率升高，$X_C=1/(2\pi fC)$ 变小，整个电路的阻抗变小，电流有效值变大，电灯功率 $P=I_{\mathrm e}^2R$ 增大，变亮。回路 B 中 $X_L=2\pi fL$ 变大，电流变小，变暗。答案 ①。

解说　这是“频率 → 电抗 → 电流 → 功率”的连锁判断，2013 年第 2 回考的就是这个类型。容易卡在：只判断电抗变大变小，忘了电抗变化对电流的影响还要看整个串联电路。选项排除：只要记住“电容器高频容易通过、线圈高频难以通过”，就能直接选 ①；③ 把两者都当成容易通过，④ 把两者都当成难以通过。

常用推论

• RLC 串联电路中，平均功率总是 $P=I_{\mathrm e}^2R$；$R$ 是电路中唯一耗能的元件（电容器的介质损耗、线圈的电阻另算）。
• 力率 $\cos\phi=\dfrac{R}{Z}$，所以 $P=V_{\mathrm e}I_{\mathrm e}\cos\phi=I_{\mathrm e}^2R$。阻抗三角形和功率三角形相似。
• 纯电抗元件的平均功率为零，但瞬时功率的最大值不为零：$\dfrac12V_{\mathrm m}I_{\mathrm m}$，能量在电源和元件之间来回交换。
• 频率改变时，若电源有效值一定，电阻与线圈串联的功率随频率升高而减小，电阻与电容器串联的功率随频率升高而增大（在未发生共振的简单情形下）。
• 计算焦耳热用有效值：$Q=I_{\mathrm e}^2Rt$；计算电荷量才用平均值（国内书第 29 章 29.3、29.4）。

易错点

• 错在哪：用峰值算功率，或漏掉 $\dfrac12$。 为什么错：$P=\dfrac12V_{\mathrm m}I_{\mathrm m}\cos\phi$，用峰值时必须带 $\dfrac12$；用有效值时才是 $V_{\mathrm e}I_{\mathrm e}\cos\phi$。 正确做法：先把所有量换成有效值，再用 $P=V_{\mathrm e}I_{\mathrm e}\cos\phi$。
• 错在哪：把 $V_{\mathrm e}I_{\mathrm e}$ 直接当成消耗功率。 为什么错：电压和电流有相位差时，乘积里只有 $\cos\phi$ 的部分是有功功率；纯电抗时平均功率为零。 正确做法：先求位相差 $\phi$，再乘 $\cos\phi$；或直接用 $P=I_{\mathrm e}^2R$。
• 错在哪：认为“电压不变，频率变了功率也不变”。 为什么错：频率改变电抗，电抗改变电流，电阻上的功率 $I_{\mathrm e}^2R$ 跟着变。 正确做法：按“频率 → 电抗 → 阻抗 → 电流 → 功率”的顺序判断。

直观理解

推秋千时，推力方向和秋千速度方向一致，才把能量送给秋千；如果推力方向和速度方向垂直，推得再大，一个周期内平均做功也为零。位相差 $\phi$ 就是“推力与速度的夹角”，$\cos\phi$ 是有用的成分。电阻像摩擦，力和速度同向，能量全部变成热；理想线圈、电容器像弹簧，能量存进去又还回来。

关联知识点

• 国内书第 29 章 29.4 有效值（功率、热量用有效值）、第 17 章电功率与焦耳定律。
• 本书 20.2 実効値と位相、20.3 リアクタンス、20.5 インピーダンス（$\cos\phi=R/Z$）、20.6 共振（共振时力率为 1，功率最大）。
• 《高中数学知识点梳理》第 13 章三角恒等变换（积化和差、$\cos$ 的平均值）。

20.5 RLC 直列回路のインピーダンス

说明

インピーダンス（阻抗）：交流电路中电阻和电抗合起来对电流的阻碍作用，用 $Z$ 表示，单位 $\mathrm{\Omega}$。RLC 串联电路中，电流处处相同，各元件两端的电压有效值分别是

$$V_R=RI_{\mathrm e}, \qquad V_L=X_LI_{\mathrm e}, \qquad V_C=X_CI_{\mathrm e}$$

$V_R$ 与电流同相，$V_L$ 比电流超前 $\dfrac{\pi}{2}$，$V_C$ 比电流滞后 $\dfrac{\pi}{2}$。用相量合成（20.5 的图）：

$$V_{\mathrm e}=\sqrt{V_R^2+(V_L-V_C)^2}=I_{\mathrm e}\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}$$

所以

$$Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}, \qquad I_{\mathrm e}=\frac{V_{\mathrm e}}{Z}$$

其中 $X_L-X_C$ 叫合成リアクタンス。位相差由

$$\tan\phi=\frac{X_L-X_C}{R}$$

给出，$\phi$ 是电压相对电流的位相差：

• $X_L>X_C$：$\phi>0$，电压超前电流，电路呈誘導性；
• $X_C>X_L$：$\phi<0$，电压滞后电流，电路呈容量性；
• $X_L=X_C$：$\phi=0$，电压与电流同相，这就是 20.6 节的共振。

使用场景

• 给 $R$、$L$、$C$、$\omega$（或 $f$）和电源电压，求 $Z$、$I_{\mathrm e}$，或各元件两端的电压 → 先算 $X_L=\omega L$、$X_C=\dfrac{1}{\omega C}$，再算 $Z$，再算 $I_{\mathrm e}$，最后用 $V_R=RI_{\mathrm e}$、$V_L=X_LI_{\mathrm e}$、$V_C=X_CI_{\mathrm e}$。
• 给各元件两端的电压（或相位关系），求电源电压或判断电路呈感性还是容性 → 用相量合成 $V_{\mathrm e}=\sqrt{V_R^2+(V_L-V_C)^2}$；$V_L>V_C$ 时电压超前，$V_C>V_L$ 时电压滞后。

注意点

• $Z$ 不是 $R+X_L+X_C$。线圈电压和电容器电压反相，先相减，再和电阻电压按直角合成。
• 串联电路中各元件电压的瞬时值相加，但有效值不能直接相加；有效值要按相位合成。$V_{\mathrm e}\ne V_R+V_L+V_C$。
• 分压公式在交流里要带相位：$V_R=RI_{\mathrm e}$、$V_L=X_LI_{\mathrm e}$、$V_C=X_CI_{\mathrm e}$，先求共同的 $I_{\mathrm e}$ 最稳妥。
• 共振时 $X_L=X_C$，$Z=R$ 最小，电流最大；但 $V_L$、$V_C$ 不为零，而且可能大于电源电压。
• 计算前统一单位：$L$ 用 $\mathrm{H}$，$C$ 用 $\mathrm{F}$，$\omega$ 用 $\mathrm{rad/s}$，$R$ 用 $\mathrm{\Omega}$。

推导

相量合成：串联电路电流相同，以电流 $I$ 为基准。$V_R$ 与 $I$ 同向，长度 $RI_{\mathrm e}$；$V_L$ 逆时针转 $\dfrac{\pi}{2}$，长度 $X_LI_{\mathrm e}$；$V_C$ 顺时针转 $\dfrac{\pi}{2}$，长度 $X_CI_{\mathrm e}$。$V_L$ 和 $V_C$ 在同一直线上、方向相反，先合成 $V_L-V_C$，再与 $V_R$ 合成。$V_R$ 与 $V_L-V_C$ 垂直，所以

$$V_{\mathrm e}=\sqrt{V_R^2+(V_L-V_C)^2}$$

代入 $V_R=RI_{\mathrm e}$、$V_L-V_C=(X_L-X_C)I_{\mathrm e}$，得

$$V_{\mathrm e}=I_{\mathrm e}\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}=I_{\mathrm e}Z$$

（关键一步：$V_L$ 和 $V_C$ 方向相反，先相减；$V_R$ 与它们的合力垂直，所以用勾股定理，不是直接相加。）

位相差：从相量图看，$\tan\phi=\dfrac{V_L-V_C}{V_R}=\dfrac{X_L-X_C}{R}$。$X_L>X_C$ 时 $V_L-V_C$ 向上，电压超前；$X_C>X_L$ 时向下，电压滞后。

例题

例 1　（场景：给 R、L、C 和角周波数 → 求阻抗和电流）

問題　図のように，抵抗値 $R=40\ \mathrm{\Omega}$ の抵抗，自己インダクタンス $L=0.50\ \mathrm{H}$ のコイル，電気容量 $C=5.0\times10^{-4}\ \mathrm{F}$ のコンデンサーを直列に接続し，角周波数 $\omega=1.0\times10^2\ \mathrm{rad/s}$，実効値 $V_{\mathrm e}=10\ \mathrm{V}$ の交流電源につないだ。回路のインピーダンス $Z$ と，流れる電流の実効値 $I_{\mathrm e}$ の組合せとして最も適当なものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，コイルの抵抗は無視できるものとする。

①　$50\ \mathrm{\Omega}$，$0.20\ \mathrm{A}$　　②　$70\ \mathrm{\Omega}$，$0.14\ \mathrm{A}$

③　$50\ \mathrm{\Omega}$，$0.50\ \mathrm{A}$　　④　$30\ \mathrm{\Omega}$，$0.33\ \mathrm{A}$

解答　$X_L=\omega L=1.0\times10^2\times0.50=50\ \mathrm{\Omega}$，$X_C=\dfrac{1}{\omega C}=\dfrac{1}{1.0\times10^2\times5.0\times10^{-4}}=20\ \mathrm{\Omega}$。したがって

$$Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}=\sqrt{40^2+(50-20)^2}=\sqrt{40^2+30^2}=50\ \mathrm{\Omega}$$ $$I_{\mathrm e}=\frac{V_{\mathrm e}}{Z}=\frac{10}{50}=0.20\ \mathrm{A}$$

検算：$40$、$30$、$50$ 是 $3:4:5$ 的直角三角形。$X_L>X_C$ なので，電圧は電流より進む。　答　①

中文翻译　题目：如图，电阻 $R=40\ \Omega$、自感 $L=0.50$ H 的线圈、电容 $C=5.0\times10^{-4}$ F 的电容器串联，接在角频率 $\omega=1.0\times10^2$ rad/s、有效值 $V_{\mathrm e}=10$ V 的交流电源上。阻抗 $Z$ 与电流有效值 $I_{\mathrm e}$ 的组合，从①～④中选最适当的。线圈电阻可忽略。 解答：$X_L=\omega L=50\ \Omega$，$X_C=1/(\omega C)=20\ \Omega$。所以 $Z=\sqrt{40^2+(50-20)^2}=\sqrt{40^2+30^2}=50\ \Omega$，$I_{\mathrm e}=10/50=0.20$ A。检验：40、30、50 是 3:4:5 直角三角形；$X_L>X_C$，电压超前电流。答案 ①。

解说　用到的是本节阻抗公式。容易卡在：把 $X_L$ 和 $X_C$ 直接相加得 $70\ \Omega$（选项 ②），或者只取差值忘了电阻（选项 ④）。选项排除：③ 的 $0.50\ \mathrm{A}$ 是把 $V_{\mathrm e}$ 除以 $R$ 的结果，忽略了电抗；② 是把电抗相加。两分钟做法：先画 $40$ 和 $30$ 的直角三角形，看出斜边 $50$。

例 2　（场景：给各元件两端的电压 → 相量合成求电源电压和相位）

問題　RLC 直列回路において，抵抗，コイル，コンデンサーの両端の電圧の実効値を測定したところ，それぞれ $V_R=30\ \mathrm{V}$，$V_L=40\ \mathrm{V}$，$V_C=40\ \mathrm{V}$ であった。電源電圧の実効値と，電源電圧の電流に対する位相の関係の組合せとして最も適当なものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$30\ \mathrm{V}$，同位相　　②　$1.1\times10^2\ \mathrm{V}$，同位相

③　$50\ \mathrm{V}$，電圧が電流より進む　　④　$30\ \mathrm{V}$，電圧が電流より遅れる

解答　直列回路では電流が共通なので，$V_R$ は電流と同位相，$V_L$ は $\dfrac{\pi}{2}$ 進み，$V_C$ は $\dfrac{\pi}{2}$ 遅れる。$V_L$ と $V_C$ は逆位相で大きさが等しいので打ち消し合う。よって

$$V_{\mathrm e}=\sqrt{V_R^2+(V_L-V_C)^2}=\sqrt{30^2+(40-40)^2}=30\ \mathrm{V}$$

電源電圧は $V_R$ と同位相なので，電流とも同位相。　答　①

中文翻译　题目：RLC 串联电路中，测得电阻、线圈、电容器两端电压的有效值分别为 $V_R=30$ V、$V_L=40$ V、$V_C=40$ V。电源电压有效值与电源电压相对电流的相位关系的组合，从①～④中选最适当的。 解答：串联电路电流相同，$V_R$ 与电流同相，$V_L$ 超前 $\pi/2$，$V_C$ 滞后 $\pi/2$。$V_L$ 与 $V_C$ 反相且大小相等，互相抵消，所以 $V_{\mathrm e}=\sqrt{30^2+(40-40)^2}=30$ V。电源电压与 $V_R$ 同相，因此与电流同相。答案 ①。

解说　用到的是“有效值按相位合成，不能直接相加”。容易卡在：把三个电压相加得 $110\ \mathrm{V}$（选项 ②），或者只拿 $V_R$ 和 $V_L$ 合成得 $50\ \mathrm{V}$（选项 ③）。这里 $V_L=V_C$，正好是共振状态，所以电源电压只有 $V_R$。选项排除：② 是直接相加；③ 忘了 $V_C$ 的抵消；④ 的相位方向反了。

常用推论

• 阻抗三角形：水平边 $R$，竖直边 $X_L-X_C$，斜边 $Z$；$\cos\phi=\dfrac{R}{Z}$，$\sin\phi=\dfrac{X_L-X_C}{Z}$。
• 共振时 $X_L=X_C$，$Z=R$ 最小，$I_{\mathrm e}=\dfrac{V_{\mathrm e}}{R}$ 最大，电压与电流同相，力率为 1。
• 各元件电压：$V_R=RI_{\mathrm e}$，$V_L=X_LI_{\mathrm e}$，$V_C=X_CI_{\mathrm e}$；共振时 $V_L=V_C$，可以大于电源电压。
• 直流极限：电容器断路，$I_{\mathrm e}=0$；高频极限：线圈断路，$I_{\mathrm e}\to0$。两种情况功率都趋于零。
• 串联电路电流相同，所以“谁的阻抗大，谁两端电压大”；但电抗电压之间有相位差，不能直接比有效值的代数和。

易错点

• 错在哪：把 $R$、$X_L$、$X_C$ 直接相加当阻抗。 为什么错：$X_L$ 和 $X_C$ 的电压反相，先相减；电阻电压与它们垂直，要用勾股定理。 正确做法：先算 $X_L-X_C$，再算 $Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}$。
• 错在哪：把各元件电压的有效值直接相加。 为什么错：电压有相位差，有效值不能代数相加；只有瞬时值才满足基尔霍夫电压定律。 正确做法：以电流为基准画相量图，$V_L$ 和 $V_C$ 先抵消，再与 $V_R$ 合成。
• 错在哪：判断感性、容性时看反。 为什么错：$X_L>X_C$ 时线圈的电压占优，电压超前电流，是感性；反过来是容性。 正确做法：先算 $X_L-X_C$ 的符号，再判断电压超前还是滞后。
• 错在哪：用频率 $f$ 直接算 $X_L=fL$、$X_C=\dfrac{1}{fC}$。 为什么错：公式里是 $\omega=2\pi f$。 正确做法：先由 $f$ 求 $\omega$，再代公式。

直观理解

把电流看成基准方向。电阻电压和电流同向，画成水平边；线圈电压逆时针转 $90^\circ$，向上；电容器电压顺时针转 $90^\circ$，向下。两个竖直分量一上一下，先抵消，剩下的和水平边组成直角三角形，斜边就是电源电压。各边同时除以电流，就得到阻抗三角形：$R$、$X_L-X_C$、$Z$。串联电路“电流一样”，所以电压三角形和阻抗三角形相似。

关联知识点

• 本书 20.3 コイルとコンデンサーのリアクタンス、20.4 消費電力（$P=I_{\mathrm e}^2R$）、20.6 共振回路と振動回路。
• 国内书第 29 章 29.4 有效值（电表读数、功率用有效值）。
• 《高中数学知识点梳理》第 14 章平面向量的概念与线性运算（相量的合成）、第 12 章三角函数的图像与性质（$\sin$ 与 $\cos$ 的相位差）。

20.6 共振回路と振動回路

说明

共振回路（串联共振）：RLC 串联电路中，当线圈的リアクタンス和电容器的リアクタンス相等时，

$$X_L=X_C \quad\Longrightarrow\quad \omega_0L=\frac{1}{\omega_0C} \quad\Longrightarrow\quad \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$ $$f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$$

这个频率叫共振周波数。共振时：

• $Z=\sqrt{R^2+0}=R$，阻抗最小；
• 电流最大，$I_{\mathrm e}=\dfrac{V_{\mathrm e}}{R}$；
• $V_L$ 和 $V_C$ 大小相等、相位相反，互相抵消；
• 电源电压全部加在电阻上，电压与电流同相，力率为 1。

振動回路（LC 自由振荡）：由线圈 $L$ 和电容器 $C$ 组成的闭合回路，电容器充电后接通，电荷和电流来回振荡。国内书第 30 章 30.2 讲了四个阶段和能量转换，30.3 给了周期公式：

$$T=2\pi\sqrt{LC}, \qquad f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$$

这个频率叫固有振動数。理想情况下没有电阻、不向外辐射，振幅不变，能量在电容器的电场能和线圈的磁场能之间来回转换。

两者的区别：共振回路是“外加电源的频率等于固有频率”时的强迫共振，电流由电源维持；振動回路是“没有外电源”的自由振荡，靠最初充的电维持。公式相同，因为两者都取决于 $L$ 和 $C$ 的平衡：$L$ 越大，电流变化越慢；$C$ 越大，充放电越慢。

国内书第 30 章 30.2、30.3 已经讲过 LC 振荡的过程和 $T=2\pi\sqrt{LC}$，本节不重复过程判断，只把“共振”和“自由振荡”放在一起对照，并练习 EJU 的公式题。

使用场景

• RLC 串联电路，问共振频率、共振时的电流或电压，或问哪个频率下电流最大 → $f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$，$Z=R$，$I_{\mathrm e}=\dfrac{V_{\mathrm e}}{R}$；共振时 $V_L=V_C$，可大于电源电压。
• LC 振動回路，问周期、频率、能量转换或某时刻的电流、电荷 → $T=2\pi\sqrt{LC}$；用能量守恒 $\dfrac12CV_0^2=\dfrac12LI_{\mathrm m}^2$ 求最大电流；过程判断引用国内书第 30 章 30.2。

注意点

• 共振频率公式里的 $f_0$ 和 $\omega_0$ 差 $2\pi$：$f_0=\dfrac{\omega_0}{2\pi}$。题目问“周波数”时给 $f_0$，问“角周波数”时给 $\omega_0$。
• 共振时 $V_L$、$V_C$ 不为零，而是大小相等、相位相反；它们可以大于电源电压，不能把 $V_L$、$V_C$ 当成分压后的部分直接相加。
• 改变 $R$ 不改变共振频率，只改变共振曲线的尖锐程度和最大电流；$f_0$ 只由 $L$、$C$ 决定。
• 振動回路是自由振荡，共振回路是强迫振荡；题目说“共振”时通常有交流电源，说“振動回路”时通常没有电源。
• 实际线圈有电阻，自由振荡会逐渐衰减；$T=2\pi\sqrt{LC}$ 是电阻很小时的近似。
• 单位换算：$1\ \mu\mathrm{F}=10^{-6}\ \mathrm{F}$，$1\ \mathrm{pF}=10^{-12}\ \mathrm{F}$，$1\ \mathrm{mH}=10^{-3}\ \mathrm{H}$。

推导

共振频率：共振时 $X_L=X_C$，即

$$\omega L=\frac{1}{\omega C} \quad\Longrightarrow\quad \omega^2=\frac{1}{LC} \quad\Longrightarrow\quad \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$

再由 $f_0=\dfrac{\omega_0}{2\pi}$ 得 $f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$。此时 $X_L-X_C=0$，$Z=\sqrt{R^2}=R$，电流最大。

振動回路的周期：国内书第 30 章 30.3 用弹簧振子类比给出。对应关系是：电荷 $q$ 对应位移 $x$，电流 $i$ 对应速度 $v$，自感 $L$ 对应质量 $m$（惯性），$\dfrac{1}{C}$ 对应劲度系数 $k$（回复的强弱）。弹簧振子的周期 $T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$，把 $m\to L$、$k\to\dfrac{1}{C}$ 代进去，得

$$T=2\pi\sqrt{LC}$$

严格推导要解 $L\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}+\dfrac{q}{C}=0$，和 $m\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}+kx=0$ 同形，是大学内容；高中只要求会用公式和判断能量转换。

能量守恒求最大电流：电容器充电到电压 $V_0$ 时，电场能 $\dfrac12CV_0^2$；电流最大 $I_{\mathrm m}$ 时，电场能为零，磁场能 $\dfrac12LI_{\mathrm m}^2$。无阻尼时二者相等：

$$\frac12CV_0^2=\frac12LI_{\mathrm m}^2 \quad\Longrightarrow\quad I_{\mathrm m}=V_0\sqrt{\frac{C}{L}}$$

例题

例 1　（场景：RLC 串联共振 → 求共振频率和线圈电压）

問題　図のように，抵抗値 $R=20\ \mathrm{\Omega}$ の抵抗，自己インダクタンス $L=0.10\ \mathrm{H}$ のコイル，電気容量 $C=10\ \mu\mathrm{F}$ のコンデンサーを直列に接続し，実効値 $V_{\mathrm e}=10\ \mathrm{V}$ の交流電源につないだ。この回路が共振しているときの共振周波数 $f_0$ と，コイルの両端の電圧の実効値 $V_L$ の組合せとして最も適当なものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，コイルの抵抗は無視できるものとする。

①　$1.6\times10^2\ \mathrm{Hz}$，$50\ \mathrm{V}$　　②　$1.6\times10^2\ \mathrm{Hz}$，$10\ \mathrm{V}$

③　$1.6\times10^3\ \mathrm{Hz}$，$50\ \mathrm{V}$　　④　$1.6\times10^2\ \mathrm{Hz}$，$5.0\ \mathrm{V}$

解答　共振周波数は

$$f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}=\frac{1}{2\pi\sqrt{0.10\times10\times10^{-6}}}=\frac{1}{2\pi\times10^{-3}}\approx1.6\times10^2\ \mathrm{Hz}$$

共振時は $X_L=X_C$ で，インピーダンスは $Z=R=20\ \mathrm{\Omega}$。電流は $I_{\mathrm e}=\dfrac{10}{20}=0.50\ \mathrm{A}$。$\omega_0=2\pi f_0=1.0\times10^3\ \mathrm{rad/s}$ なので $X_L=\omega_0L=1.0\times10^3\times0.10=1.0\times10^2\ \mathrm{\Omega}$，よって

$$V_L=X_LI_{\mathrm e}=1.0\times10^2\times0.50=50\ \mathrm{V}$$

検算：共振時は $V_C$ も $50\ \mathrm{V}$ で，位相が逆なので打ち消し合う。残るのは $V_R=RI_{\mathrm e}=20\times0.50=10\ \mathrm{V}$ で，電源電圧と一致する。　答　①

中文翻译　题目：如图，电阻 $R=20\ \Omega$、自感 $L=0.10$ H 的线圈、电容 $C=10\ \mu\mathrm{F}$ 的电容器串联，接在有效值 $V_{\mathrm e}=10$ V 的交流电源上。共振时共振频率 $f_0$ 与线圈两端电压有效值 $V_L$ 的组合，从①～④中选最适当的。线圈电阻可忽略。 解答：$f_0=1/(2\pi\sqrt{LC})=1/(2\pi\sqrt{0.10\times10\times10^{-6}})=1/(2\pi\times10^{-3})\approx1.6\times10^2$ Hz。共振时 $X_L=X_C$，$Z=R=20\ \Omega$，$I_{\mathrm e}=10/20=0.50$ A。$\omega_0=1.0\times10^3$ rad/s，$X_L=\omega_0L=1.0\times10^2\ \Omega$，所以 $V_L=1.0\times10^2\times0.50=50$ V。检验：$V_C$ 也是 50 V，反相抵消；剩下 $V_R=20\times0.50=10$ V，与电源电压一致。答案 ①。

解说　用到的是共振条件 $X_L=X_C$ 和 $f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$。容易卡在：以为共振时线圈电压为零（②），或者以为 $V_L$ 不能大于电源电压（④）。实际上 $V_L$、$V_C$ 可以比电源电压大很多，只要它们互相抵消。③ 的 $1.6\times10^3\ \mathrm{Hz}$ 是 $\omega_0$ 误当 $f_0$。另一种解法：先由 $f_0$ 算 $\omega_0=2\pi f_0$，再算 $X_L$、$I_{\mathrm e}$，步骤略多，但每一步都不容易混。

例 2　（场景：LC 振動回路 → 求周期和最大电流）

問題　図のように，自己インダクタンス $L=0.10\ \mathrm{H}$ のコイルと，電気容量 $C=10\ \mu\mathrm{F}$ のコンデンサーからなる振動回路がある。コンデンサーを電圧 $V_0=10\ \mathrm{V}$ で充電した後，スイッチを閉じて振動を始めさせた。この振動回路の周期 $T$ と，電流の最大値 $I_{\mathrm m}$ の組合せとして最も適当なものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，コイルの抵抗は無視できるものとする。

①　$6.3\times10^{-3}\ \mathrm{s}$，$0.10\ \mathrm{A}$　　②　$6.3\times10^{-3}\ \mathrm{s}$，$0.010\ \mathrm{A}$

③　$6.3\times10^{-2}\ \mathrm{s}$，$0.10\ \mathrm{A}$　　④　$1.6\times10^{-3}\ \mathrm{s}$，$0.10\ \mathrm{A}$

解答　$T=2\pi\sqrt{LC}=2\pi\sqrt{0.10\times10\times10^{-6}}=2\pi\times10^{-3}\approx6.3\times10^{-3}\ \mathrm{s}$。エネルギー保存より，充電直後の電場のエネルギーと，電流最大のときの磁場のエネルギーが等しい：

$$\frac12CV_0^2=\frac12LI_{\mathrm m}^2$$ $$I_{\mathrm m}=V_0\sqrt{\frac{C}{L}}=10\times\sqrt{\frac{10\times10^{-6}}{0.10}}=10\times\sqrt{1.0\times10^{-4}}=0.10\ \mathrm{A}$$

検算：$T/4$ が最初に電流最大になる時刻で，$1.6\times10^{-3}\ \mathrm{s}$。④ はこの値。　答　①

中文翻译　题目：如图，自感 $L=0.10$ H 的线圈与电容 $C=10\ \mu\mathrm{F}$ 的电容器组成振荡电路。电容器充电到电压 $V_0=10$ V 后闭合开关，开始振荡。周期 $T$ 与电流最大值 $I_{\mathrm m}$ 的组合，从①～④中选最适当的。线圈电阻可忽略。 解答：$T=2\pi\sqrt{LC}=2\pi\sqrt{0.10\times10\times10^{-6}}=2\pi\times10^{-3}\approx6.3\times10^{-3}$ s。由能量守恒，$\dfrac12CV_0^2=\dfrac12LI_{\mathrm m}^2$，所以 $I_{\mathrm m}=V_0\sqrt{C/L}=10\times\sqrt{10\times10^{-6}/0.10}=10\times\sqrt{1.0\times10^{-4}}=0.10$ A。检验：第一次电流最大在 $T/4=1.6\times10^{-3}$ s，④ 是这个值。答案 ①。

解说　用到的是振動回路的 $T=2\pi\sqrt{LC}$ 和能量守恒。容易卡在：把 $T$ 算成 $T/4$（④），或者能量式里把 $C$、$L$ 放反。② 的 $0.010\ \mathrm{A}$ 是漏了 $\sqrt{}$ 里的 $10^{-4}$ 的开方。国内书第 30 章 30.3 已经讲过这个公式，这里只要会代数和换算单位。

常用推论

• 共振频率只由 $L$、$C$ 决定：$f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$。$L$ 或 $C$ 变为 4 倍，$f_0$ 变为一半；变为 $\dfrac14$，$f_0$ 变为 2 倍。
• 共振时电流最大、阻抗最小（$Z=R$），但 $V_L$、$V_C$ 可能远大于电源电压；它们大小相等、相位相反。
• 振動回路的能量守恒：$\dfrac12Cv^2+\dfrac12Li^2=\dfrac12CV_0^2$，电场能和磁场能都按 $\dfrac{T}{2}$ 变化。
• 振動回路的周期与充电电压、电流振幅无关（和弹簧振子的周期与振幅无关一样）。
• 实际有电阻时，自由振荡的振幅逐渐减小，但周期仍近似为 $2\pi\sqrt{LC}$；电阻较小时可以用。

易错点

• 错在哪：把共振频率 $f_0$ 和角周波数 $\omega_0$ 弄混。 为什么错：$\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ 是角周波数，$f_0=\dfrac{\omega_0}{2\pi}$ 才是频率。 正确做法：先看题目问的是「周波数」还是「角周波数」；算完后检查单位，$\mathrm{Hz}$ 对应 $f_0$，$\mathrm{rad/s}$ 对应 $\omega_0$。
• 错在哪：认为共振时 $V_L$、$V_C$ 为零。 为什么错：共振时 $X_L=X_C$，电流最大，$V_L=X_LI_{\mathrm e}$、$V_C=X_CI_{\mathrm e}$ 都很大；它们相位相反，互相抵消，所以电源电压只等于 $V_R$。 正确做法：先算 $I_{\mathrm e}=\dfrac{V_{\mathrm e}}{R}$，再分别算 $V_L$、$V_C$；不要以为“抵消”就是“为零”。
• 错在哪：认为改变 $R$ 会改变共振频率。 为什么错：共振条件 $X_L=X_C$ 里没有 $R$；$R$ 只影响共振时的电流大小和曲线的尖锐程度。 正确做法：$f_0$ 只看 $L$、$C$；$R$ 用来算 $I_{\mathrm e}$ 和 $V_L$、$V_C$。
• 错在哪：把 LC 自由振荡的周期公式和共振频率公式当成两个不同的公式。 为什么错：两者都是 $f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$，只是物理情境不同（自由振荡与强迫共振）。 正确做法：记一个式子，按题目情境解释。

直观理解

共振像推秋千：每次都在秋千荡回来时推，推的频率和秋千的固有频率一致，秋千越荡越高；RLC 电路里电源频率和 $L$、$C$ 的固有频率一致，电流最大。振動回路像没人推的秋千，自己来回荡，周期由“绳长”（$L$、$C$）决定，和最初推多高（充电电压）无关。共振曲线像一座山，山顶在 $f_0$；电阻越小，山越尖。

关联知识点

• 国内书第 30 章 30.2 LC 振荡过程、30.3 振荡的周期和频率；第 29 章 29.4 有效值。
• 本书第 19 章電磁誘導（自感、线圈能量）、第 16 章コンデンサー（电容、静电能量）、20.3 リアクタンス、20.4 消費電力、20.5 インピーダンス。
• 《高中数学知识点梳理》第 12 章三角函数的图像与性质（正弦、余弦的周期）。

20.7 题型与答法

交流在 EJU 里出现在大問 Ⅳ（電気と磁気）的最后，常和电磁感应、变压器一起出现。据 20 回公开过去问，本章内容共 2 題（每回平均 0.1 題）：2010 年第 1 回考变压器电压电流比图像，2013 年第 2 回考频率对功率的影响；其余 18 回没有。频率很低，复习时先保证直流电路和电磁感应不丢分，再来看这一章。已出现的两題都是组合题，问“大小和相位”“变亮还是变暗”的配对；字母式和数值题都可能出现。

两分钟做法：

1. 先把 $f$ 换成 $\omega=2\pi f$，算 $X_L=\omega L$、$X_C=\dfrac{1}{\omega C}$；纯电阻、纯线圈、纯电容器的相位直接写。
2. 串联电路先算 $Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}$，再算 $I_{\mathrm e}=\dfrac{V_{\mathrm e}}{Z}$；功率用 $P=I_{\mathrm e}^2R$，不要用 $V_{\mathrm e}I_{\mathrm e}$ 代替。
3. 用极限核对选项：$f\to0$ 时线圈短路、电容器断路；$f\to\infty$ 时相反；共振时 $X_L=X_C$、$Z=R$ 最小。

問題 1　（交流の発生と実効値：回転するコイル）

磁束密度の大きさ $B=0.50\ \mathrm{T}$ の一様な磁場中で，面積 $S=1.0\times10^{-2}\ \mathrm{m^2}$，巻数 $N=100$ のコイルを，磁場に垂直な軸のまわりに角速度 $\omega=100\pi\ \mathrm{rad/s}$ で一定の速さで回転させた。

問　コイルに生じる誘導起電力の実効値 $E_{\mathrm e}$ と周波数 $f$ の組合せとして最も適当なものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$50\ \mathrm{Hz}$，$1.1\times10^2\ \mathrm{V}$　　②　$50\ \mathrm{Hz}$，$1.6\times10^2\ \mathrm{V}$

③　$100\ \mathrm{Hz}$，$1.1\times10^2\ \mathrm{V}$　　④　$50\ \mathrm{Hz}$，$78\ \mathrm{V}$

解答　誘導起電力の最大値は

$$E_{\mathrm m}=NBS\omega=100\times0.50\times1.0\times10^{-2}\times100\pi=50\pi\approx1.6\times10^2\ \mathrm{V}$$

実効値は $E_{\mathrm e}=\dfrac{E_{\mathrm m}}{\sqrt2}\approx\dfrac{157}{1.41}\approx1.1\times10^2\ \mathrm{V}$。周波数は $f=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{100\pi}{2\pi}=50\ \mathrm{Hz}$。　答　①

中文翻译　题目：在磁感应强度 $B=0.50$ T 的匀强磁场中，面积 $S=1.0\times10^{-2}$ m²、匝数 $N=100$ 的线圈绕垂直于磁场的轴以角速度 $\omega=100\pi$ rad/s 匀速转动。问：线圈中感应电动势的有效值 $E_{\mathrm e}$ 与频率 $f$ 的组合，从①～④中选最适当的。 解答：感应电动势最大值 $E_{\mathrm m}=NBS\omega=100\times0.50\times1.0\times10^{-2}\times100\pi=50\pi\approx1.6\times10^2$ V。有效值 $E_{\mathrm e}=E_{\mathrm m}/\sqrt2\approx157/1.41\approx1.1\times10^2$ V。频率 $f=\omega/(2\pi)=50$ Hz。答案 ①。

解说　这是国内书第 29 章 29.2、29.4 的相同内容，EJU 只是换成日本记号 $E_{\mathrm e}$。两分钟做法：先写 $E_{\mathrm m}=NBS\omega$，再除以 $\sqrt2$，频率由 $\omega/(2\pi)$ 得。选项排除：② 是最大值；③ 把 $\omega$ 当频率；④ 是 $E_{\mathrm m}/2$ 之类的半值错误。注意 $E_{\mathrm m}$ 和 $E_{\mathrm e}$ 的单位都是 $\mathrm{V}$，不要因为数字不同就以为单位换了。

問題 2　（電磁波の性質：概念判断）

電磁波についての記述として最も適当なものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　電磁波は，真空中を伝わるために空気などの媒質を必要とする。

②　電磁波は横波であり，電場の振動方向と磁場の振動方向は互いに垂直である。

③　電磁波の速さは，振動数に比例して大きくなる。

④　電磁波は，電場だけが空間を伝わる波である。

解答　電磁波は，周期的に変化する電場と磁場が互いに誘導し合って伝わる波で，真空中でも伝わる。電場・磁場・進行方向は互いに垂直で，横波である。真空中の速さは振動数によらず $c=3.0\times10^8\ \mathrm{m/s}$ である。　答　②

中文翻译　题目：关于电磁波的叙述，从①～④中选最适当的一个。 ① 电磁波在真空中传播需要空气等介质。② 电磁波是横波，电场振动方向与磁场振动方向互相垂直。③ 电磁波的速度与频率成正比。④ 电磁波是只有电场在空间传播的波。 解答：电磁波是周期性变化的电场和磁场互相感应传播的波，真空中也能传播；电场、磁场、传播方向两两垂直，是横波；真空中速度与频率无关，为 $c=3.0\times10^8$ m/s。答案 ②。

解说　这是国内书第 30 章 30.4 的相同内容，只在对照表里引用。选项排除：① 错在“需要介质”；③ 错在“与频率成正比”，真空中速度是常数；④ 错在“只有电场”，电磁波是电场和磁场一起传播。两分钟做法：把电磁波和机械波列表比较——是否需要介质、横波还是纵波、真空中速度是否恒定。

問題 3　（周波数と消費電力：R とコイルの直列回路）

抵抗値 $R=40\ \mathrm{\Omega}$ の抵抗と自己インダクタンス $L$ のコイルを直列に接続し，実効値 $V_{\mathrm e}$ が一定の交流電源につないだ。周波数 $f$ のとき，コイルのリアクタンスは $R$ に等しかった。周波数を $2f$ にしたとき，抵抗の消費電力は，周波数 $f$ のときの何倍になるか。最も適当なものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，コイルの抵抗は無視できるものとする。

①　$\dfrac{2}{5}$　　②　$\dfrac{1}{2}$　　③　$\dfrac{4}{5}$　　④　$2$

解答　周波数 $f$ のとき $X_L=R$ なので，インピーダンスは

$$Z_1=\sqrt{R^2+R^2}=\sqrt2R$$

消費電力は $P_1=\dfrac{V_{\mathrm e}^2R}{Z_1^2}=\dfrac{V_{\mathrm e}^2R}{2R^2}=\dfrac{V_{\mathrm e}^2}{2R}$。周波数を $2f$ にすると $X_L$ は $2R$ になるので

$$Z_2=\sqrt{R^2+(2R)^2}=\sqrt5R, \qquad P_2=\frac{V_{\mathrm e}^2R}{5R^2}=\frac{V_{\mathrm e}^2}{5R}$$

よって

$$\frac{P_2}{P_1}=\frac{1/5}{1/2}=\frac{2}{5}$$

検算：周波数を上げると $X_L$ が増えて電流が減るので，電力は下がる。④ 是增加，先排除。　答　①

中文翻译　题目：电阻 $R=40\ \Omega$ 的电阻与自感 $L$ 的线圈串联，接在有效值 $V_{\mathrm e}$ 一定的交流电源上。频率为 $f$ 时，线圈的电抗等于 $R$。频率变为 $2f$ 时，电阻的消耗功率是频率 $f$ 时的几倍？从①～④中选最适当的。线圈电阻可忽略。 解答：频率 $f$ 时 $X_L=R$，阻抗 $Z_1=\sqrt{R^2+R^2}=\sqrt2R$，功率 $P_1=V_{\mathrm e}^2R/Z_1^2=V_{\mathrm e}^2/(2R)$。频率 $2f$ 时 $X_L=2R$，$Z_2=\sqrt{R^2+(2R)^2}=\sqrt5R$，$P_2=V_{\mathrm e}^2R/(5R^2)=V_{\mathrm e}^2/(5R)$。所以 $P_2/P_1=(1/5)/(1/2)=2/5$。检验：频率升高，$X_L$ 增大，电流减小，功率下降，④ 排除。答案 ①。

解说　这是 2013 年第 2 回“频率对功率的影响”的同一套路，只是把定性判断换成定量比例。两分钟做法：写出 $P=\dfrac{V_{\mathrm e}^2R}{R^2+X_L^2}$，把 $X_L$ 从 $R$ 换成 $2R$，比例直接是 $\dfrac{R^2+R^2}{R^2+4R^2}=\dfrac25$。选项排除：② 是只算了一次方；③ 是分子分母弄反；④ 是以为频率升高功率增大。

20.8 术语与题干用语

日文	读音	中文	例句或说明
交流	こうりゅう	交流	交流電源につなぐ
直流	ちょくりゅう	直流	直流ではコイルは導線と同じはたらきをする
瞬時値	しゅんじち	瞬时值	電圧の瞬時値 $v$
最大値	さいだいち	最大值（峰值）	電圧の最大値 $V_{\mathrm m}$
実効値	じっこうち	有效值	実効値 $V_{\mathrm e}$，$I_{\mathrm e}$
位相	いそう	相位	電流の位相は電圧より $\dfrac{\pi}{2}$ 遅れる
位相差	いそうさ	相位差	電圧と電流の位相差を求めよ
周波数	しゅうはすう	频率	周波数 $f=50\ \mathrm{Hz}$
角周波数	かくしゅうはすう	角频率	角周波数 $\omega=2\pi f$
リアクタンス	リアクタンス	电抗	コイルのリアクタンス $X_L=\omega L$
インピーダンス	インピーダンス	阻抗	回路のインピーダンス $Z$
消費電力	しょうひでんりょく	消耗功率（平均功率）	消費電力 $P=V_{\mathrm e}I_{\mathrm e}\cos\phi$
力率	りきりつ	功率因数	力率 $\cos\phi$
共振	きょうしん	共振	共振周波数 $f_0$
共振回路	きょうしんかいろ	共振电路	RLC 直列共振回路
振動回路	しんどうかいろ	振荡电路	LC 振動回路の周期
固有振動数	こゆうしんどうすう	固有频率	振動回路の固有振動数
電磁波	でんじは	电磁波	電磁波は横波である
電場 / 磁場	でんば / じば	电场 / 磁场	電場と磁場は互いに垂直
媒質	ばいしつ	介质	電磁波は媒質を必要としない
遅れる / 進む	おくれる / すすむ	滞后 / 超前	電流は電圧より $\dfrac{\pi}{2}$ 遅れる
ただし，…とする	ただし	设……	ただし，コイルの抵抗は無視できるものとする。

20.9 自测

1. $v=10\sin100\pi t\ \mathrm{V}$ で表される交流電圧の実効値と周波数を求めよ。　（求 $v=10\sin100\pi t$ V 表示的交流电压的有效值和频率。）
2. $v=100\sin100\pi t\ \mathrm{V}$，$i=2.0\sin\left(100\pi t+\dfrac{\pi}{6}\right)\ \mathrm{A}$ のとき，電流の位相は電圧よりどちらにどれだけずれているか。　（电压 $v=100\sin100\pi t$ V、电流 $i=2.0\sin(100\pi t+\pi/6)$ A 时，电流的相位相对电压向哪边差多少？）
3. 自己インダクタンス $0.10\ \mathrm{H}$ のコイルに周波数 $50\ \mathrm{Hz}$ の交流を流したときのリアクタンスと，電気容量 $10\ \mu\mathrm{F}$ のコンデンサーに同じ周波数の交流を加えたときのリアクタンスをそれぞれ求めよ。　（自感 $0.10$ H 的线圈通以 $50$ Hz 交流时的电抗，以及电容 $10\ \mu\mathrm{F}$ 的电容器加同样频率交流时的电抗。）
4. コイルとコンデンサーに直流を流したとき，それぞれどのようなはたらきをするか。　（线圈和电容器通直流时，各自起什么作用？）
5. 抵抗値 $20\ \mathrm{\Omega}$ の抵抗に実効値 $1.5\ \mathrm{A}$ の交流電流が流れている。この抵抗の消費電力を求めよ。また，理想的なコイルとコンデンサーの消費電力はいくらか。　（电阻 $20\ \Omega$ 中流过有效值 $1.5$ A 的交流电流，求该电阻的消耗功率。理想线圈和电容器的消耗功率各是多少？）
6. $R=30\ \mathrm{\Omega}$，$X_L=40\ \mathrm{\Omega}$，$X_C=0$ の直列回路のインピーダンスを求めよ。また，実効値 $100\ \mathrm{V}$ の交流電源をつないだときの電流の実効値を求めよ。　（$R=30\ \Omega$、$X_L=40\ \Omega$、$X_C=0$ 的串联电路的阻抗；接有效值 $100$ V 交流电源时的电流有效值。）
7. $L=0.20\ \mathrm{H}$，$C=5.0\ \mu\mathrm{F}$ の振動回路の固有振動数と周期を求めよ。　（$L=0.20$ H、$C=5.0\ \mu\mathrm{F}$ 的振荡电路的固有频率和周期。）
8. 振動回路の電気容量を 4 倍にすると，周期は何倍になるか。　（振荡电路的电容变为 4 倍，周期变为几倍？）

答案：1. 実効値 $7.1\ \mathrm{V}$，周波数 $50\ \mathrm{Hz}$　2. 電流が電圧より $\dfrac{\pi}{6}$ 進んでいる　3. コイル $31\ \mathrm{\Omega}$，コンデンサー $3.2\times10^2\ \mathrm{\Omega}$　4. コイルは導線と同じ（$X_L=0$），コンデンサーは断路（$X_C\to\infty$）　5. $P=I_{\mathrm e}^2R=1.5^2\times20=45\ \mathrm{W}$；理想コイルとコンデンサーはともに $0\ \mathrm{W}$　6. $Z=\sqrt{30^2+40^2}=50\ \mathrm{\Omega}$，$I_{\mathrm e}=100/50=2.0\ \mathrm{A}$　7. $f_0=1/(2\pi\sqrt{LC})\approx1.6\times10^2\ \mathrm{Hz}$，$T=1/f_0\approx6.3\times10^{-3}\ \mathrm{s}$　8. $T=2\pi\sqrt{LC}$ より $2$ 倍

20.10 深入阅读

• JASSO · 理科（物理）シラバス：本章对应「交流と電磁波」：交流の発生、実効値、リアクタンス、交流回路、共振回路、電磁波。
• 维基百科（日文）· 交流：交流的日文定义、波形、実効値和位相。
• PhET · 电路组装套件（交流）：搭建 RLC 串联电路，观察交流电压电流的相位差和共振。
• 维基百科（日文）· インピーダンス：阻抗的日文说明和 RLC 串联电路的 $Z$ 公式。