第 12 章 · 波の性質

项目	内容
シラバス项目	Ⅲ 1 波（(1) 波の性質、(2) 波の伝わり方とその表し方、(3) 重ね合わせの原理とホイヘンスの原理）
国内书对应	第 22 章 机械波（22.2–22.5 节）
本章新内容的分量	正弦波の式、位相、波のエネルギー、自由端・固定端反射、定在波、ホイヘンスの原理与折射的定量计算
过去问出现次数	20 回共 20 次（每回平均 1.0 次）

国内书把波讲成“振动的传播”：波长、频率、波速、波形图、干涉，这些 EJU 也考，而且考得不少。国内没讲或只提了一句的是：用正弦波の式写波、算两点的相位差、自由端和固定端的反射、定在波的節和腹、用ホイヘンスの原理算折射。EJU 的波题以波形图为中心，常把“读图、写式、算相位”放在一道题里，丢分多半不是不会，而是符号写反、把節的间距当成波长、折射角量错了地方。

12.1 与国内的对照

シラバス小項目和术语（日文原文）	国内书位置	相同 / 讲法不同 / 国内没有	本章哪节讲
波の性質（波動，媒質，波源，横波と縦波）	第 22 章 22.2 节	相同	只在 12.1 引用，不展开
波の伝わり方とその表し方（波形，振幅，周期，振動数，波長，波の速さ）	第 22 章 22.2–22.3 节	相同	只在 12.1 引用，12.2 用式子重写
正弦波	第 22 章 22.2–22.3 节	讲法不同：国内只要求认波形，EJU 要求写式子	12.2
位相	第 22 章 22.3 节推导提到；第 21 章简谐运动有相位	讲法不同：EJU 要算两点相位差和时间差	12.3
波のエネルギー	第 22 章 22.2 节只说“传递能量”	讲法不同：EJU 要定性比较大小	12.4
重ね合わせの原理，干渉	第 22 章 22.5 节	相同	引用国内书，不重抄
定在波（定常波），節，腹	国内没有（只讲两个波源的干涉）	国内没有	12.6
反射の法則	第 22 章 22.4 节	相同（反射角等于入射角）	12.5 引用，重点讲端点相位
自由端・固定端での反射	国内没有	国内没有	12.5
ホイヘンスの原理	第 22 章 22.4 节定性介绍	讲法不同：EJU 要用它推折射定律并计算	12.7
屈折の法則	第 22 章 22.4 节只作了解，不用于计算	讲法不同：EJU 要求 $\dfrac{\sin i}{\sin r}=\dfrac{v_1}{v_2}$ 的计算	12.7
回折	第 22 章 22.4 节	相同	引用国内书，不重抄

12.2 正弦波の式

说明

正弦波（正弦波）：波源做简谐运动时，介质中各点也依次做简谐运动，任一时刻的波形是一条正弦曲线。国内书用波形图描述它；EJU 还要求把它写成位移 $y$ 关于位置 $x$ 和时间 $t$ 的式子。

设波沿 $x$ 轴正方向传播，波源在原点 $O$，$t=0$ 时波源在平衡位置向 $y$ 轴正方向运动，振幅 $A$，周期 $T$，波长 $\lambda$。则任意位置 $x$、任意时刻 $t$ 的位移为

$$y = A\sin 2\pi\left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right)$$

这个式子叫正弦波の式（国内叫波动方程，高中课标不要求）。式中 $x$ 是质点平衡位置的坐标，不是质点走过的路程；$y$ 是质点离开平衡位置的位移。

位相是正弦符号里的整个角

$$\phi = 2\pi\left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right)$$

它表示该质点正处在振动的哪个阶段。相位每增加 $2\pi$，质点完成一次全振动；相位相同的两点，位移和速度都相同。

初相：如果 $t=0$ 时波源不在平衡位置，或者不向 $y$ 轴正方向运动，就要在括号里加一个初相 $\phi_0$：

$$y = A\sin\left\{2\pi\left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right) + \phi_0\right\}$$

EJU 题通常会明确给出”$t=0$ に原点は上向きに振動している“这类条件，按条件定 $\phi_0$ 即可。

使用场景

• 题目给出振幅、周期、波长和传播方向，要求写波的式子 → 先定传播方向决定 $x$ 前的符号，再按 $t=0$ 时原点的振动方向定初相 → 直接套 $y=A\sin 2\pi\left(\dfrac{t}{T}\mp\dfrac{x}{\lambda}\right)$。
• 题目给出波的式子，问某时刻某点的位移、速度方向，或某点第一次到达波峰的时刻 → 把 $x$、$t$ 代入求相位，再看正弦值和它的变化趋势 → 不要重新画图，先算相位最快。

注意点

• 传播方向的符号：向 $x$ 轴正方向传播时 $x$ 前是负号，写 $\dfrac{t}{T}-\dfrac{x}{\lambda}$；向负方向传播时是正号，写 $\dfrac{t}{T}+\dfrac{x}{\lambda}$。记法是”$x$ 越大，振动越晚，相位越落后”。
• $x$ 的含义：式中的 $x$ 是质点平衡位置的坐标。波传播的距离是 $v\Delta t$，不是 $x$。题目问“波传到某点”用 $x/v$，问“某点位移”才把 $x$ 代入式子。
• 初相不能丢：$t=0$ 时原点在正最大位移，式子应是余弦型，或者写成 $\sin\left(2\pi\dfrac{t}{T}+\dfrac{\pi}{2}\right)$。直接套没有初相的式子，整条波形会平移错。
• 日文题干里「波は $x$ 軸の正の向きに進む」「原点 O は $t=0$ で上向きに振動している」是定符号和初相的两句话，读题时先圈出来。

推导

为什么是 $t-\dfrac{x}{v}$：波源在原点，它的振动是 $y(0,t)=A\sin\dfrac{2\pi t}{T}$。振动从原点传到 $x$ 处需要时间 $\dfrac{x}{v}$，所以 $x$ 处的质点在时刻 $t$ 的振动，就是波源在时刻 $t-\dfrac{x}{v}$ 的振动：

$$y(x,t)=A\sin\frac{2\pi}{T}\left(t-\frac{x}{v}\right)$$

再用 $v=\dfrac{\lambda}{T}$，把 $\dfrac{x}{v}=\dfrac{xT}{\lambda}$ 代入，得到

$$y=A\sin 2\pi\left(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda}\right)$$

（关键一步：波传到 $x$ 处要晚 $\dfrac{x}{v}$，所以把波源的振动“倒退”这段时间，即把 $t$ 换成 $t-\dfrac{x}{v}$。）

向 $x$ 轴负方向传播时，$x$ 处的振动比原点早出现，把 $t$ 换成 $t+\dfrac{x}{v}$，式子里就是 $+\dfrac{x}{\lambda}$。

例题

例 1　（场景：给振幅、周期、波长和传播方向 → 写正弦波の式 → 定符号和初相）

問題　次の図のように，$x$ 軸の正の向きに進む正弦波がある。振幅は $0.20\ \mathrm{m}$，周期は $0.40\ \mathrm{s}$，波長は $1.6\ \mathrm{m}$ である。$t=0$ のとき，原点 O の質点は平衡位置にあり，$y$ 軸の正の向きに振動している。ただし，変位 $y$ と位置 $x$ は $\mathrm{m}$，時間 $t$ は $\mathrm{s}$ で表すものとする。

問　この波を表す式として正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$y=0.20\sin 2\pi\left(\dfrac{t}{0.40}-\dfrac{x}{1.6}\right)$

②　$y=0.20\sin 2\pi\left(\dfrac{t}{0.40}+\dfrac{x}{1.6}\right)$

③　$y=0.20\sin 2\pi\left(\dfrac{x}{1.6}-\dfrac{t}{0.40}\right)$

④　$y=0.20\sin 2\pi\left(\dfrac{x}{1.6}+\dfrac{t}{0.40}\right)$

解答　波は $x$ 軸の正の向きに進むので，位相は $2\pi\left(\dfrac{t}{T}-\dfrac{x}{\lambda}\right)$ の形である。$T=0.40\ \mathrm{s}$，$\lambda=1.6\ \mathrm{m}$ を代入すると

$$y=0.20\sin 2\pi\left(\frac{t}{0.40}-\frac{x}{1.6}\right)$$

検算：$x=0$ では $y=0.20\sin\dfrac{2\pi t}{0.40}$ となり，$t=0$ で $y=0$，その直後に正になる。$x=1.6\ \mathrm{m}$ では位相が $2\pi$ だけ遅れ，原点と同じ振動をする。　答　①

中文翻译　题目：如图，有一列沿 $x$ 轴正方向传播的正弦波，振幅 $0.20\ \mathrm{m}$，周期 $0.40\ \mathrm{s}$，波长 $1.6\ \mathrm{m}$。$t=0$ 时原点 O 的质点在平衡位置，向 $y$ 轴正方向振动。其中位移 $y$ 和位置 $x$ 用 $\mathrm{m}$、时间 $t$ 用 $\mathrm{s}$ 表示。问：表示这列波的式子，从①～④中选一个正确的。

解答：波沿 $x$ 轴正方向传播，所以相位是 $2\pi\left(\dfrac{t}{T}-\dfrac{x}{\lambda}\right)$ 的形式。代入 $T=0.40\ \mathrm{s}$、$\lambda=1.6\ \mathrm{m}$，得 $y=0.20\sin 2\pi\left(\dfrac{t}{0.40}-\dfrac{x}{1.6}\right)$。检验：$x=0$ 时 $y=0.20\sin\dfrac{2\pi t}{0.40}$，$t=0$ 时 $y=0$，随后为正；$x=1.6\ \mathrm{m}$ 处相位落后 $2\pi$，与原点振动相同。答案 ①。

解说　用到的是本节“注意点”的第一条：传播方向决定 $x$ 前的符号。容易卡在：看到“正方向”就以为 $x$ 前是正号，其实正方向传播对应的是 $t-\dfrac{x}{v}$，$x$ 前是负号。选项排除：②是向负方向传播的式子；③把 $x$ 和 $t$ 的位置写反了，量纲都不对（$\dfrac{x}{\lambda}$ 和 $\dfrac{t}{T}$ 都是无量纲，但物理意义相反）；④既反了方向又反了 $x$、$t$。用 $x=1.6\ \mathrm{m}$ 处与原点同相这一条，可以一步排除②④。

例 2　（场景：给波的式子 → 代入相位求某时刻某点的位移）

問題　正弦波の変位が $y=0.20\sin 2\pi\left(\dfrac{t}{0.40}-\dfrac{x}{1.6}\right)$ で表されるとき，$t=0.10\ \mathrm{s}$，$x=0.60\ \mathrm{m}$ における変位 $y$ は何 m か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，$y$ と $x$ は $\mathrm{m}$，$t$ は $\mathrm{s}$ で表すものとする。

①　$0.14$　　②　$-0.14$　　③　$0.20$　　④　$-0.20$

解答　位相は

$$2\pi\left(\frac{0.10}{0.40}-\frac{0.60}{1.6}\right)=2\pi(0.25-0.375)=-\frac{\pi}{4}$$

なので

$$y=0.20\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-0.20\times\frac{\sqrt{2}}{2}\approx-0.14\ \mathrm{m}$$

検算：$x=0.60\ \mathrm{m}$ は原点から $\dfrac{3}{8}\lambda$ の点，$t=0.10\ \mathrm{s}$ は $\dfrac{T}{4}$。位相は $-\dfrac{\pi}{4}$ で，変位は負，大きさは振幅より小さい。　答　②

中文翻译　题目：正弦波的位移用 $y=0.20\sin 2\pi\left(\dfrac{t}{0.40}-\dfrac{x}{1.6}\right)$ 表示时，$t=0.10\ \mathrm{s}$、$x=0.60\ \mathrm{m}$ 处的位移 $y$ 是多少 m？从①～④中选最合适的值。其中 $y$、$x$ 用 $\mathrm{m}$，$t$ 用 $\mathrm{s}$ 表示。

解答：相位为 $2\pi\left(\dfrac{0.10}{0.40}-\dfrac{0.60}{1.6}\right)=2\pi(0.25-0.375)=-\dfrac{\pi}{4}$，所以 $y=0.20\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-0.20\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx-0.14\ \mathrm{m}$。检验：$x=0.60\ \mathrm{m}$ 是离原点 $\dfrac{3}{8}\lambda$ 的点，$t=0.10\ \mathrm{s}$ 是 $\dfrac{T}{4}$，相位为 $-\dfrac{\pi}{4}$，位移为负且大小小于振幅。答案 ②。

解说　用到的是本节“说明”里的相位定义。容易卡在：把 $x=0.60\ \mathrm{m}$ 直接当成“波传播了 $0.60\ \mathrm{m}$“去算时间，忘了它只是质点平衡位置的坐标。选项排除：相位 $-\dfrac{\pi}{4}$ 的正弦值是 $-0.707$，乘 $0.20$ 得 $-0.14$，不是振幅 $0.20$；符号为负，①③排除。另一种解法：先算 $t=0.10\ \mathrm{s}$ 时波形整体向右平移 $v\Delta t=\dfrac{\lambda}{T}\cdot0.10=0.40\ \mathrm{m}$，看 $x=0.60\ \mathrm{m}$ 处对应原波形 $x=0.20\ \mathrm{m}$ 的位移，也能得到负值；代入相位法更快。

常用推论

• 同一时刻，相距 $\Delta x$ 的两点相位差 $\Delta\phi=2\pi\dfrac{\Delta x}{\lambda}$：相距 $\lambda$ 同相，相距 $\dfrac{\lambda}{2}$ 反相（12.3 节）。
• 经过 $\Delta t$，波形沿传播方向平移 $v\Delta t$；经过一个周期平移一个波长，波形恢复原样。
• 质点的振动速度不是波速：波速是波形推进的速度，在同一均匀介质中不变；质点速度随时间变化，两者不能混。
• 若把式子写成 $y=A\sin(\omega t-kx)$，则 $\omega=\dfrac{2\pi}{T}$、$k=\dfrac{2\pi}{\lambda}$、$v=\dfrac{\omega}{k}$。教材没有，考试常用；给字母式选项时用它对符号。

易错点

• 错在哪：波向 $x$ 轴正方向传播，却写成 $\dfrac{t}{T}+\dfrac{x}{\lambda}$。 为什么错：$x$ 越大，振动越晚，相位应越落后；加号表示越远越早，方向反了。 正确做法：向正方向传播用减号；用”$x=\lambda$ 处与原点同相“核对。
• 错在哪：把式中的 $x$ 当成波传播的距离。 为什么错：$x$ 是质点平衡位置的坐标；波传播的距离是 $v\Delta t$，两者含义不同。 正确做法：问位移时代入坐标 $x$，问“波传到哪”时用 $v\Delta t$。
• 错在哪：$t=0$ 时波源不在平衡位置，仍直接套没有初相的式子。 为什么错：$\sin$ 的零点不对，整条波形会平移错。 正确做法：先按题意定初相，或者把波源从平衡位置向上振动的时刻选作 $t=0$。

直观理解

波是“延迟的振动”：每个质点都在复制波源的运动，只是晚了 $\dfrac{x}{v}$。式子就是把波源的 $t$ 换成 $t-\dfrac{x}{v}$。相位像一条进度条，每转 $2\pi$ 完成一次全振动；波形图是某一时刻的集体照，振动图像是一个质点的录像（国内书 22.3）。

关联知识点

• 国内书第 22 章 22.2 节波的形成与描述、22.3 节波形图与振动图像（推导里出现过这个式子，但课标不要求）。
• 国内书第 21 章简谐运动的振动表达式和相位。
• 本书 12.3 位相、12.6 定在波、第 13 章音（弦和气柱的振动）。
• 数学：三角函数图象，见《高中数学知识点梳理》第 12 章。

12.3 位相

说明

位相（相位）：正弦波の式里的角 $\phi=2\pi\left(\dfrac{t}{T}-\dfrac{x}{\lambda}\right)$。它描述质点此刻处在振动的哪个阶段：相位为 $0$ 时在平衡位置向上，相位为 $\dfrac{\pi}{2}$ 时在正最大位移，相位为 $\pi$ 时回到平衡位置向下。

位相差：同一时刻，位置 $x_1$、$x_2$ 两点的相位之差。设 $\Delta x=x_2-x_1$，则

$$\Delta\phi=2\pi\frac{\Delta x}{\lambda}$$

$\Delta x=n\lambda$（$n$ 为整数）时，$\Delta\phi=2n\pi$，两点同位相：位移和速度时刻相同。$\Delta x=(2n+1)\dfrac{\lambda}{2}$ 时，$\Delta\phi=(2n+1)\pi$，两点逆位相：位移大小相等、方向相反。

时间差：同一个振动状态从 $x_1$ 传到 $x_2$ 需要的时间是

$$\Delta t=\frac{\Delta x}{v}=\frac{\Delta x}{\lambda}T$$

也就是说，波传播一个波长需要的时间是一个周期，相位正好变化 $2\pi$。

使用场景

• 题目给出波长和两点间的距离，问两点的相位差、是同相还是反相，或者问同一振动状态从一点传到另一点的时间 → 先用 $\Delta\phi=2\pi\dfrac{\Delta x}{\lambda}$ 算相位差，再用 $\Delta t=\dfrac{\Delta x}{v}=\dfrac{\Delta x}{\lambda}T$ 算时间 → 两个量可以互相核对，因为 $\Delta\phi=2\pi\dfrac{\Delta t}{T}$。

注意点

• 相位差用两点平衡位置的距离 $\Delta x$，不是两点的坐标之和。题目说“A 在 $x=0.50\ \mathrm{m}$，B 在 $x=1.0\ \mathrm{m}$”，就用 $\Delta x=0.50\ \mathrm{m}$。
• 位移相同不等于同相。正弦曲线上，相位 $\theta$ 和 $\pi-\theta$ 的位移相同，但速度方向相反。判断“振动状态相同”要看位移和速度都相同，即相位差为 $2\pi$ 的整数倍。
• 相位差通常取绝对值，写成 $0$ 到 $2\pi$ 之间的量；题目问“何 rad”时，$\dfrac{\pi}{2}$、$\pi$ 这类特殊角要写出来，不要只写小数。
• 时间差 $\Delta t=\dfrac{\Delta x}{v}$，不是 $\dfrac{\Delta x}{\lambda}$。后者的单位是“个周期”，还要乘 $T$ 才是时间。

推导

由式子推相位差：同一时刻 $t$，两点的相位分别是

$$\phi_1=2\pi\left(\frac{t}{T}-\frac{x_1}{\lambda}\right),\qquad \phi_2=2\pi\left(\frac{t}{T}-\frac{x_2}{\lambda}\right)$$

相减，$t$ 消掉：

$$\Delta\phi=\phi_1-\phi_2=2\pi\frac{x_2-x_1}{\lambda}=2\pi\frac{\Delta x}{\lambda}$$

（关键一步：同一时刻比较，$t$ 项相同，相位差只由位置差决定。）

由时间差推相位差：$x_2$ 处的振动比 $x_1$ 处晚 $\Delta t=\dfrac{\Delta x}{v}$。在这段时间里，相位增加了 $2\pi\dfrac{\Delta t}{T}$，所以

$$\Delta\phi=2\pi\frac{\Delta t}{T}=2\pi\frac{\Delta x}{vT}=2\pi\frac{\Delta x}{\lambda}$$

两种算法结果相同，因为 $vT=\lambda$。

例题

例 1　（场景：给波长、波速和两点距离 → 算相位差与传播时间 → 组合判断）

問題　波が $x$ 軸の正の向きに速さ $4.0\ \mathrm{m/s}$ で進んでいる。波長は $2.0\ \mathrm{m}$ である。$x$ 軸上の 2 点 A，B は $0.50\ \mathrm{m}$ 離れており，B は A より波源から遠い。ただし，波の振動数は一定とする。

問　A と B の間の位相差と，同じ振動状態が A から B へ伝わるのにかかる時間の組み合わせとして正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

	位相差	時間
①	$\dfrac{\pi}{4}$	$0.13\ \mathrm{s}$
②	$\dfrac{\pi}{2}$	$0.13\ \mathrm{s}$
③	$\dfrac{\pi}{2}$	$0.25\ \mathrm{s}$
④	$\pi$	$0.25\ \mathrm{s}$

解答　位相差は

$$\Delta\phi=2\pi\frac{\Delta x}{\lambda}=2\pi\frac{0.50}{2.0}=\frac{\pi}{2}$$

同じ振動状態が伝わる時間は

$$\Delta t=\frac{\Delta x}{v}=\frac{0.50}{4.0}=0.125\ \mathrm{s}\approx0.13\ \mathrm{s}$$

検算：$T=\dfrac{\lambda}{v}=\dfrac{2.0}{4.0}=0.50\ \mathrm{s}$ で，$\Delta t=\dfrac{T}{4}=0.125\ \mathrm{s}$。位相差 $\dfrac{\pi}{2}$ は $\dfrac{1}{4}$ 周期に対応し，一致する。　答　②

中文翻译　题目：波沿 $x$ 轴正方向以 $4.0\ \mathrm{m/s}$ 传播，波长 $2.0\ \mathrm{m}$。$x$ 轴上的 A、B 两点相距 $0.50\ \mathrm{m}$，B 比 A 离波源远。频率一定。问：A、B 间的相位差与同一振动状态从 A 传到 B 所用时间的组合，从①～④中选正确的。

解答：相位差 $\Delta\phi=2\pi\dfrac{\Delta x}{\lambda}=2\pi\dfrac{0.50}{2.0}=\dfrac{\pi}{2}$。传播时间 $\Delta t=\dfrac{\Delta x}{v}=\dfrac{0.50}{4.0}=0.125\ \mathrm{s}\approx0.13\ \mathrm{s}$。检验：$T=\dfrac{\lambda}{v}=0.50\ \mathrm{s}$，$\Delta t=\dfrac{T}{4}=0.125\ \mathrm{s}$，与相位差 $\dfrac{\pi}{2}$ 对应。答案 ②。

解说　用到的是本节“说明”里的两个公式。容易卡在：把 $0.50\ \mathrm{m}$ 除以波长 $2.0\ \mathrm{m}$ 得 $0.25$，直接当成”$0.25$ 秒”；$0.25$ 是周期的倍数，要乘 $T=0.50\ \mathrm{s}$ 才是时间。选项排除：①②的时间 $0.13\ \mathrm{s}$ 对应 $\dfrac{T}{4}$，相位差应是 $\dfrac{\pi}{2}$，所以①排除；③④的时间 $0.25\ \mathrm{s}=\dfrac{T}{2}$，相位差应是 $\pi$，所以③排除；④的相位差对但时间错。

常用推论

• 相距 $\dfrac{\lambda}{2}$ 的两点反相，相距 $\dfrac{\lambda}{4}$ 的两点相位差 $\dfrac{\pi}{2}$。
• $\Delta\phi=2\pi\dfrac{\Delta t}{T}$，所以 $\Delta t=T\dfrac{\Delta x}{\lambda}$；波传一个波长用的时间正好是一个周期。
• 波形上相邻的波峰和波谷相距 $\dfrac{\lambda}{2}$，相位差 $\pi$。
• 某点第一次到达波峰的时间 $=$ 波传到该点的时间 $\dfrac{x}{v}$ $+$ 从平衡位置向上到波峰的时间 $\dfrac{T}{4}$（波源从平衡位置向上起振时）。教材没有，考试常用；波源起振方向不同时要换成相应的四分之一周期。

易错点

• 错在哪：把 $\dfrac{\Delta x}{\lambda}$ 直接当成相位差，忘了乘 $2\pi$。 为什么错：一个波长对应 $2\pi$，不是 $1$。 正确做法：先写 $\Delta\phi=2\pi\dfrac{\Delta x}{\lambda}$，再代数值。
• 错在哪：看到两点位移相同，就判断两点同相。 为什么错：相位 $\theta$ 和 $\pi-\theta$ 的位移相同，但速度方向相反，振动状态不同。 正确做法：同相要求位移和速度都相同，即相位差为 $2\pi$ 的整数倍。
• 错在哪：把时间差写成 $\dfrac{\Delta x}{\lambda}$。 为什么错：$\dfrac{\Delta x}{\lambda}$ 的单位是“个周期”，不是秒。 正确做法：用 $\Delta t=\dfrac{\Delta x}{v}=T\dfrac{\Delta x}{\lambda}$，再乘周期。

直观理解

相位是“振动进度”。同相就是两点同步上下，反相就是一点向上、另一点向下。波每传一个波长，相位转一圈 $2\pi$；所以“隔半个波长”的两点正好你上我下。

关联知识点

• 国内书第 22 章 22.3 节波形图上判断振动方向，第 21 章简谐运动的相位。
• 本书 12.2 正弦波の式、12.6 定在波（節两侧相位相反）、12.7 折射（频率不变、波长改变，相位差要按新波长算）。

12.4 波のエネルギー

说明

波传递的是能量和振动状态，不是介质本身。介质中的质点只在各自的平衡位置附近振动，不随波向前移动。沿绳传播的波把波源的能量一站一站传下去，绳上的标记点仍留在原处上下振动。

波的能量与振幅：介质中每个小质点的振动能量，和简谐运动的能量一样，与振幅的平方成正比。因此在同一介质、同一频率下，

$$E\propto A^2$$

振幅变为 2 倍，能量变为 4 倍；振幅变为 $\dfrac{1}{2}$，能量变为 $\dfrac{1}{4}$。

波的能量与频率：同样的振幅，频率越高，质点振动越快，能量也越大。严格地说，简谐波的能量与 $A^2f^2$ 成正比；EJU 只要求定性判断“振幅越大、频率越高，波的能量越大”。

波的能量与传播：波在传播方向上把能量从一处带到另一处。两列波叠加时，能量在空间上重新分布（干涉加强处能量大、减弱处能量小），但总能量守恒。

使用场景

• 概念题比较两列波的能量大小，或判断“波传播时质点是否随波移动”“能量向哪个方向传” → 用 $E\propto A^2$（同频率）比较振幅，频率不同时再考虑频率 → 先看振幅，再看频率，最后看传播方向。

注意点

• 能量与振幅的平方成正比，不是与振幅成正比。振幅加倍，能量是 4 倍，这是最常考的一条。
• 波传播时，介质质点不随波迁移。质点的位移、速度随时间变，但平衡位置不变。
• 振幅相同的两列波，频率越高，能量越大；频率相同的两列波，振幅越大，能量越大。题目只给振幅时，默认频率相同。
• 定在波（12.6 节）不向外传播能量：两列反向传播的波，能量流互相抵消，平均来说没有能量通过。

推导

从简谐运动的能量推：国内书第 21 章讲过，弹簧振子的能量

$$E=\frac{1}{2}kA^2$$

与振幅的平方成正比。介质中的每个小质点都被相邻质点带着做受迫振动，也可以看成一个小的振子：它的最大速度 $v_{\max}=\dfrac{2\pi}{T}A$，最大动能

$$E_{\max}=\frac{1}{2}m v_{\max}^2=\frac{1}{2}m\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2A^2$$

所以在质量、周期都相同的条件下，$E\propto A^2$；周期越短（频率越高），同样的振幅下能量越大。

（关键一步：把“波的能量”化成“每个小质点的振动能量”，再用简谐运动的 $E\propto A^2$。这是定性结论的定量依据，EJU 不要求推导。）

例题

例 1　（场景：概念判断题 → 比较振幅、频率与能量 → 排除错误说法）

問題　正弦波のエネルギーについての記述として最も適当なものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　振幅を 2 倍にすると，波のエネルギーは 2 倍になる。

②　振幅を 2 倍にすると，波のエネルギーは 4 倍になる。

③　波が媒質中を伝わるとき，媒質の質点は波とともに移動する。

④　振動数を 2 倍にすると，振幅が同じであれば，波のエネルギーは変わらない。

解答　波のエネルギーは，同じ振動数なら振幅の 2 乗に比例する。振幅を 2 倍にするとエネルギーは $2^2=4$ 倍になる。波が伝わるのは振動状態とエネルギーであり，媒質の質点は平衡位置のまわりを振動するだけで移動しない。振動数が高いほど，同じ振幅でも運ぶエネルギーは大きい。検算：振幅を半分にするとエネルギーは $\dfrac{1}{4}$ になるので，②の「4 倍」とつじつまが合う。　答　②

中文翻译　题目：关于正弦波的能量，下列哪种说法最合适？①振幅变为 2 倍，波的能量变为 2 倍。②振幅变为 2 倍，波的能量变为 4 倍。③波在介质中传播时，介质质点随波一起移动。④频率变为 2 倍，振幅相同时波的能量不变。

解答：波的能量在频率相同时与振幅的平方成正比，振幅变为 2 倍，能量变为 $2^2=4$ 倍。波传播的是振动状态和能量，介质质点在平衡位置附近振动，不移动。频率越高，同样振幅下携带的能量越大。检验：振幅减半时能量变为四分之一，与②的“4 倍”一致。答案 ②。

解说　用到的是本节“说明”里的两条：$E\propto A^2$ 和质点不随波迁移。容易卡在：把“振幅 2 倍”直接当成“能量 2 倍”，忘了平方。选项排除：③是典型的“波就是物质往前流”的错误；④忽略频率对能量的影响；①是②的干扰项，只差平方。这类概念题不配图，靠两条结论直接判断。

常用推论

• 同频率时 $E\propto A^2$：振幅比 $2:1$，能量比 $4:1$；振幅比 $3:1$，能量比 $9:1$。
• 同振幅时，频率越高，波的能量越大（定性）。
• 波传播能量和振动状态，不传播介质；质点不随波迁移。
• 干涉加强点能量大、减弱点能量小，但总能量守恒。

易错点

• 错在哪：认为波的能量与振幅成正比。 为什么错：简谐运动的能量与振幅的平方成正比，不是一次方。 正确做法：先平方再比较；振幅加倍，能量四倍。
• 错在哪：认为波传播时质点随波一起向前移动。 为什么错：质点只在平衡位置附近振动，向前传的是振动状态和能量。 正确做法：把“波”和“介质”分开看，质点不迁移。
• 错在哪：认为频率不影响波的能量。 为什么错：同样振幅下，频率越高，质点振动越快，能量越大。 正确做法：比较能量时先看振幅，再看频率；题目只给振幅时默认频率相同。

直观理解

振幅是“摆得多大”，能量像“摆动得多猛”：摆幅加倍，能量四倍，和弹簧振子一样。波像一条传送带把能量送出去，介质像一排滚轮，只在原地转，不跟着走。

关联知识点

• 国内书第 21 章简谐运动的能量 $E=\dfrac{1}{2}kA^2$、第 22 章 22.2 节“波传递能量”。
• 本书 12.2 正弦波の式、12.6 定在波（平均不传能量）、12.7 折射（频率不变）。

12.5 反射（自由端・固定端）

说明

反射の法則：波遇到两种介质的界面会返回原介质。入射线、反射线、法线在同一平面内，反射线与入射线分居法线两侧，反射角等于入射角。国内书第 22 章 22.4 节讲过，这里不再重复。

EJU 多考的是绳上脉冲在端点反射时的相位变化，按端点的两种情形分：

• 自由端（自由端）：端点可以自由上下移动，例如绳端系一个轻环套在光滑竖直杆上。反射波与入射波同位相，反射波的正立、倒立与入射波相同。端点处是定在波的腹，振幅最大。
• 固定端（固定端）：端点被固定，不能移动，例如绳端系在墙上。反射波与入射波逆位相（相位差 $\pi$），反射波上下颠倒。端点处位移始终为零，是定在波的節。

反射前后在同一种介质中，所以波速、波长、频率都不变；理想情形下振幅也不变。

使用场景

• 题目给出一段绳上的脉冲、端点类型（固定或自由）和传播方向，问反射波的形状、某时刻某点的位移，或反射波与入射波叠加后的波形 → 先判断端点：固定端反相、自由端同相 → 再让反射波沿相反方向传播，画出波形 → 用“固定端位移恒为零、自由端位移最大”核对。

注意点

• 只有固定端才反相。自由端反射不反相，反射脉冲仍是正立的。把“反射一定上下颠倒”当成普遍规律是常见的错误。
• 反射波的传播方向与入射波相反，这是方向变了；固定端改变的是相位，两件事不要混。
• 同一种介质中反射，波速、波长、频率都不变。只有波进入另一种介质（折射）时，波速和波长才变，频率不变。
• 日文题干里「固定端で反射する」「自由端で反射する」要第一时间标在图上；「端点の変位」问的是绳端本身，不是远处的点。

推导

固定端为什么反相：固定端的位移必须始终为零。设入射波到达端点时的位移为 $y_{\text{入}}$，反射波在端点的位移为 $y_{\text{反}}$，叠加后

$$y_{\text{入}}+y_{\text{反}}=0$$

在任意时刻都成立，所以 $y_{\text{反}}=-y_{\text{入}}$。反射波与入射波大小相等、符号相反，即逆位相（相位差 $\pi$）。

自由端为什么不反相：自由端可以自由移动，端点处没有横向的回复力，绳在端点处的斜率保持为零（绳端是水平的）。满足这个边界条件的反射波与入射波同号，叠加后端点位移为 $2y_{\text{入}}$，是入射波位移的 2 倍，所以自由端是腹。严格的证明要用波的边界条件，高中只要求记住结论并会用。

（关键一步：固定端给的是“位移为零”的边界条件，所以反射波取负号；自由端给的是“端点自由”的边界条件，反射波不取负号。）

例题

例 1　（场景：固定端与自由端反射 → 判断反射波相位和端点位移 → 组合选择）

問題　次の図のように，ロープの一端にパルス波を送り，他端で反射させた。他端が固定されている場合と，自由に動ける場合について，反射波の位相と端点の変位の組み合わせとして正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，反射によるエネルギーの損失はないものとする。

	固定端の反射波	自由端の反射波	固定端での端点の変位
①	同位相	逆位相	常に 0
②	逆位相	同位相	常に 0
③	逆位相	同位相	最大
④	同位相	同位相	最大

解答　固定端では端点の変位が常に 0 でなければならない。入射波と反射波の変位の和が常に 0 になるためには，反射波は入射波と逆位相でなければならない。自由端では端点は自由に動けるので，反射波は入射波と同位相で，端点は大きく動く。検算：固定端の反射波を入射波と同じ向きにすると，端点の変位が 2 倍になり，固定端の条件に反する。　答　②

中文翻译　题目：如图，在绳的一端送入一个脉冲波，让它在另一端反射。另一端固定和可以自由移动两种情形下，反射波的相位与端点位移的组合，从①～④中选正确的。反射没有能量损失。

解答：固定端处端点位移必须始终为 0；入射波与反射波位移之和始终为 0，所以反射波与入射波反相。自由端可以自由移动，反射波与入射波同相，端点振幅很大。检验：若固定端的反射波与入射波同向，端点位移会变成 2 倍，违反固定端的条件。答案 ②。

解说　用到的是本节“说明”里的两条边界条件。容易卡在：把“固定”理解成“波被挡住、不能反射”，其实固定端反射最强，只是相位反了。选项排除：①把固定端和自由端的相位对调了；③的相位对，但固定端位移不可能“最大”；④两端都同相，固定端不成立。用“固定端位移恒为零”这一条，可以直接排除③④。

常用推论

• 固定端反射后，端点必为定在波的節；自由端反射后，端点必为腹（12.6 节）。
• 反射波与入射波叠加，形成定在波；固定端情形下，入射波与反射波在端点处反相。
• 脉冲在长为 $L$ 的绳上往返一次的时间是 $\dfrac{2L}{v}$（同种介质，波速不变）。
• 同种介质中反射，频率、波长、波速都不变；反射波振幅在理想情形下等于入射波。

易错点

• 错在哪：认为波反射后一定反相。 为什么错：只有固定端反射才反相；自由端反射与入射波同相。 正确做法：先看端点类型，固定端反相、自由端同相。
• 错在哪：认为反射后波长或频率改变。 为什么错：反射前后在同一种介质中，波速不变，频率由波源决定，波长也不变。 正确做法：只有波进入另一种介质（折射）时，波速和波长才变，频率不变。
• 错在哪：认为固定端把波“挡住”了，反射后波消失。 为什么错：固定端反射最强，波返回原介质继续传播，只是相位反转。 正确做法：画出反射波，沿相反方向继续传播。

直观理解

固定端像撞墙：绳端被按住不能动，脉冲弹回来时上下颠倒。自由端像甩鞭子的末梢：末端自由甩过去，反射脉冲不颠倒。把绳端想象成一面镜子，固定端是“倒像”，自由端是“正像”。

关联知识点

• 国内书第 22 章 22.4 节反射定律（只讲反射角等于入射角，不讲端点相位）。
• 本书 12.6 定在波、第 13 章音（气柱两端的固定/开放条件）、12.7 折射。

12.6 定在波（節・腹）

说明

定在波（驻波，也叫定常波）：两列振幅相同、频率相同、波长相同、传播方向相反的波叠加，形成的波形不再向前移动，只在原地上下振动。绳的一端固定、另一端被周期性地抖动，反射波与入射波叠加，就是最常见的定在波。

适当选取原点，使 $x=0$ 为節，定在波的位移可以写成

$$y=2A\sin\frac{2\pi x}{\lambda}\cos\frac{2\pi t}{T}$$

節（波节）：振幅始终为零的点。由 $\sin\dfrac{2\pi x}{\lambda}=0$ 得

$$x=n\frac{\lambda}{2}\qquad(n=0,1,2,\dots)$$

腹（波腹）：振幅最大的点，振幅为 $2A$。由 $\left|\sin\dfrac{2\pi x}{\lambda}\right|=1$ 得

$$x=(2n+1)\frac{\lambda}{4}\qquad(n=0,1,2,\dots)$$

由此得到本章最常用的三个距离关系：

• 相邻两个節的间距是 $\dfrac{\lambda}{2}$；
• 相邻两个腹的间距也是 $\dfrac{\lambda}{2}$；
• 節到相邻腹的间距是 $\dfrac{\lambda}{4}$。

边界条件：固定端必须是節（位移恒为零），自由端必须是腹（位移最大）。两端固定的弦，两端都是節；一端固定一端自由的弦，固定端是節、自由端是腹。

能量：定在波不向外传播能量。两列反向传播的波，一列向右送能量，一列向左送能量，平均来说互相抵消；能量只在節和腹之间来回转换。

使用场景

• 题目给出相邻節（或相邻腹）的间距，求波长，或问節到腹的距离 → 用“相邻節间距 $=\dfrac{\lambda}{2}$、節到腹 $=\dfrac{\lambda}{4}$” → 先由间距定出 $\lambda$，再回答其他距离。
• 题目给出一段弦的长度和两端条件，问能形成几个腹、几个節，或求定在波的波长 → 先看边界是固定端还是自由端 → 两端固定时 $L=n\dfrac{\lambda}{2}$，一端固定一端自由时 $L=(2n-1)\dfrac{\lambda}{4}$ → 数腹的个数就是数 $\dfrac{\lambda}{2}$ 的区间数（两端固定时）。

注意点

• 相邻節的间距是 $\dfrac{\lambda}{2}$，不是 $\lambda$。相隔一个節的两个節之间才是 $\lambda$。这是定在波题最常见的失分点。
• 節处位移始终为零，速度也始终为零；腹处振幅最大，经过平衡位置时速度最大。不要把“腹”理解成“位移一直最大”。
• 定在波不是“波停下来了”，而是两列波叠加后，波形不向前移动。介质质点仍在振动。
• 固定端是節、自由端是腹。题目说“一端固定一端自由”时，波长关系是 $L=(2n-1)\dfrac{\lambda}{4}$，不是 $L=n\dfrac{\lambda}{2}$。
• 日文「節」读ふし，「腹」读はら；「定在波」也写「定常波」，EJU 两种写法都可能出现。

推导

由叠加原理推式子：设入射波沿 $x$ 轴正方向、反射波沿负方向，振幅都是 $A$：

$$y_1=A\sin 2\pi\left(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda}\right),\qquad y_2=-A\sin 2\pi\left(\frac{t}{T}+\frac{x}{\lambda}\right)$$

这里取固定端反射，所以 $y_2$ 前有负号（12.5 节）。叠加得

$$y=y_1+y_2=-2A\sin\frac{2\pi x}{\lambda}\cos\frac{2\pi t}{T}$$

（关键一步：用和差化积 $\sin(\alpha-\beta)-\sin(\alpha+\beta)=-2\cos\alpha\sin\beta$。结果里 $x$ 和 $t$ 分离：空间部分 $\sin\dfrac{2\pi x}{\lambda}$ 决定各点的振幅，时间部分 $\cos\dfrac{2\pi t}{T}$ 决定所有点同步地上下。）

由 $\left|\sin\dfrac{2\pi x}{\lambda}\right|$ 的取值，立刻得到節在 $x=n\dfrac{\lambda}{2}$、腹在 $x=(2n+1)\dfrac{\lambda}{4}$，相邻節的间距是 $\dfrac{\lambda}{2}$。

为什么固定端是節、自由端是腹：固定端位移恒为零，叠加后也必须为零，所以固定端落在節上；自由端位移最大，落在腹上。反过来，题目给出“某点是節/腹”，也可以判断该端是固定还是自由。

例题

例 1　（场景：给相邻節的间距 → 求波长和節到腹的距离 → 组合选择）

問題　定在波において，隣り合う節の間隔が $0.30\ \mathrm{m}$ であった。波長と，節から最も近い腹までの距離の組み合わせとして正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

	波長	節から腹まで
①	$0.15\ \mathrm{m}$	$0.075\ \mathrm{m}$
②	$0.30\ \mathrm{m}$	$0.15\ \mathrm{m}$
③	$0.60\ \mathrm{m}$	$0.15\ \mathrm{m}$
④	$0.60\ \mathrm{m}$	$0.30\ \mathrm{m}$

解答　隣り合う節の間隔は $\dfrac{\lambda}{2}$ なので

$$\frac{\lambda}{2}=0.30\ \mathrm{m}\quad\therefore\ \lambda=0.60\ \mathrm{m}$$

節から最も近い腹までの距離は $\dfrac{\lambda}{4}=0.15\ \mathrm{m}$。検算：節と腹は $\dfrac{\lambda}{4}$ ずつ交互に並ぶので，節の間隔 $\dfrac{\lambda}{2}$ の半分が節と腹の距離になる。　答　③

中文翻译　题目：定在波中相邻两个節的间距为 $0.30\ \mathrm{m}$。波长与節到最近腹的距离的组合，从①～④中选正确的。解答：相邻節的间距是 $\dfrac{\lambda}{2}$，所以 $\dfrac{\lambda}{2}=0.30\ \mathrm{m}$，$\lambda=0.60\ \mathrm{m}$。節到最近腹的距离是 $\dfrac{\lambda}{4}=0.15\ \mathrm{m}$。检验：節和腹每隔 $\dfrac{\lambda}{4}$ 交替出现，節间距的一半就是節到腹的距离。答案 ③。

解说　用到的是本节“说明”里的三个距离关系。容易卡在：把相邻節的间距直接当成波长，选②。选项排除：①把间距当波长后又除以 2，连错两步；②是“间距 $=\lambda$“的典型错误；④的波长对，但節到腹写成了 $\dfrac{\lambda}{2}$。记住”節—腹—節“依次相隔 $\dfrac{\lambda}{4}$，可以一步排除④。

例 2　（场景：两端固定弦的定在波 → 由腹的个数求波长 → 数区间）

問題　長さ $1.2\ \mathrm{m}$ の弦を両端で固定し，定在波を生じさせたところ，腹が 3 個できた。この定在波の波長は何 m か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$0.30$　　②　$0.40$　　③　$0.80$　　④　$1.2$

解答　両端固定の弦では，端が節になり，隣り合う節の間隔は $\dfrac{\lambda}{2}$ である。腹が 3 個できるとき，弦は $\dfrac{\lambda}{2}$ の区間が 3 個並ぶので

$$1.2=3\times\frac{\lambda}{2}\quad\therefore\ \lambda=0.80\ \mathrm{m}$$

検算：$\dfrac{\lambda}{2}=0.40\ \mathrm{m}$ で，節は両端を含めて 4 個，腹は 3 個。　答　③

中文翻译　题目：长 $1.2\ \mathrm{m}$ 的弦两端固定，形成定在波，出现了 3 个腹。这列定在波的波长是多少 m？从①～④中选最合适的值。解答：两端固定的弦，端点都是節，相邻節的间距是 $\dfrac{\lambda}{2}$。有 3 个腹时，弦上排列着 3 段 $\dfrac{\lambda}{2}$，所以 $1.2=3\times\dfrac{\lambda}{2}$，$\lambda=0.80\ \mathrm{m}$。检验：$\dfrac{\lambda}{2}=0.40\ \mathrm{m}$，包括两端在内共有 4 个節、3 个腹。答案 ③。

解说　用到的是本节“使用场景”的第二条：两端固定时 $L=n\dfrac{\lambda}{2}$，$n$ 就是腹的个数。容易卡在：把“3 个腹”当成“3 个波长”，选④。选项排除：①是把 $1.2$ 除以 4 个節；②是把 $\dfrac{\lambda}{2}$ 当波长；④是把腹的个数当波长的个数。另一种解法：先数節。3 个腹对应 4 个節，節的间距是 $1.2\div3=0.40\ \mathrm{m}$，所以 $\lambda=2\times0.40=0.80\ \mathrm{m}$。数節比数腹更不容易错，因为两端都是節。

常用推论

• 两端固定的弦：$L=n\dfrac{\lambda}{2}$，$\lambda_n=\dfrac{2L}{n}$，$f_n=\dfrac{nv}{2L}$（第 13 章详讲）。
• 一端固定一端自由：$L=(2n-1)\dfrac{\lambda}{4}$，$\lambda_n=\dfrac{4L}{2n-1}$。
• 相邻两个節之间各点同相，跨过節则反相。
• 定在波的平均能量流为零；腹处振幅为 $2A$，節处振幅为 $0$。

易错点

• 错在哪：把相邻節的间距当成波长。 为什么错：相邻節之间是半个波长，隔一个節的两个節之间才是一个波长。 正确做法：$\lambda=2\times$（相邻節间距）；用“節—腹—節”依次相隔 $\dfrac{\lambda}{4}$ 核对。
• 错在哪：认为定在波也把能量向前传播。 为什么错：两列反向传播的波，能量流方向相反，平均互相抵消。 正确做法：定在波不传能量，能量在節腹之间来回转换。
• 错在哪：认为自由端也是節。 为什么错：自由端可以自由移动，位移最大，是腹；固定端不能动，才是節。 正确做法：先看端点条件，固定端标節、自由端标腹。

直观理解

两个人分别抖动绳的两端，波形“驻”在原地，只有上下振动：不动的点是節，摆得最大的点是腹。吉他弦发声时，弦上的波就是定在波；按住不同的品，改变的是弦长，也就是改变了定在波的波长（第 13 章）。

关联知识点

• 国内书第 22 章 22.5 节干涉（两个波源的叠加，没有讲定在波）。
• 本书 12.5 反射（定在波由入射波和反射波叠加而成）、12.7 折射、第 13 章音（弦和气柱的定在波）。
• 国内书第 21 章简谐运动（每个质点的振动）。

12.7 ホイヘンスの原理と屈折の法則

说明

波面と波線：同一时刻振动情况相同的点连成的面叫波面（波前），与波面垂直、表示传播方向的线叫波線。平面波的波面是平面，波线是互相平行的直线。

ホイヘンスの原理（惠更斯原理）：波面上的每一点，都可以看作发射球面子波的新波源；经过一段时间 $\Delta t$ 后，这些子波的包络面就是新的波面。用它能统一解释反射、折射和衍射。

屈折の法則（折射定律）：波从介质 1 斜射入介质 2 时，频率不变，波速和波长改变，传播方向发生偏折。设入射角为 $i$、折射角为 $r$（都从法线量起），则

$$\frac{\sin i}{\sin r}=\frac{v_1}{v_2}=\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$$

其中 $v_1$、$v_2$ 是两种介质中的波速，$\lambda_1$、$\lambda_2$ 是对应的波长。

偏折方向：从波速大的介质进入波速小的介质（$v_2<v_1$）时，$\sin r<\sin i$，$r<i$，波线向法线偏折；反之，从波速小的介质进入波速大的介质时，波线远离法线。

使用场景

• 题目给出两种介质中的波速和入射角，求折射角、波速比或波长比；或者给出波面图、波线图，问折射后波面的疏密和波线的偏折方向 → 先用 $\dfrac{\sin i}{\sin r}=\dfrac{v_1}{v_2}=\dfrac{\lambda_1}{\lambda_2}$ 算角或比值，再用频率不变、$\lambda=\dfrac{v}{f}$ 判断波面疏密和偏折方向 → 最后用“速度大的一边角大”核对。

注意点

• 折射角是波线与法线的夹角，不是与界面的夹角。题目给的角如果标在界面和波线之间，要先换成与法线的夹角。
• 频率不变是折射的核心：频率由波源决定，进入新介质后不变；波速由介质决定；波长 $\lambda=\dfrac{v}{f}$ 随波速改变。
• 比例不要写反：$\dfrac{\sin i}{\sin r}=\dfrac{v_1}{v_2}$，入射侧的量和入射侧对应。记不住时用“速度大的一边角大”核对。
• 垂直入射（$i=0$）时 $r=0$，传播方向不变，但波速和波长仍然改变。
• 日文「入射角」「屈折角」「法線」都是相对法线定义的；「境界面」是两种介质的分界面。

推导

用ホイヘンスの原理推折射定律：平面波的波前 $AB$ 斜射到界面，$A$ 端先到达界面。从 $A$ 到达界面开始计时，经过 $\Delta t$，$B$ 端在介质 1 中走了

$$BC=v_1\Delta t$$

到达界面上的 $C$ 点；同一段时间里，$A$ 点作为新的子波源，在介质 2 中发出的子波走了

$$AD=v_2\Delta t$$

新的波前是过 $C$ 点、与 $A$ 的子波相切的直线 $CD$。

在直角三角形 $ABC$ 和 $ADC$ 中，斜边 $AC$ 公共。入射角 $i$ 是 $AB$ 与界面的夹角，也等于 $\angle ACB$；折射角 $r$ 等于 $\angle CAD$。于是

$$\sin i=\frac{BC}{AC}=\frac{v_1\Delta t}{AC},\qquad \sin r=\frac{AD}{AC}=\frac{v_2\Delta t}{AC}$$

两式相除：

$$\frac{\sin i}{\sin r}=\frac{v_1}{v_2}$$

（关键一步：两束波用的时间 $\Delta t$ 相同，但速度不同，所以走过的距离不同；公共斜边 $AC$ 把两个距离变成两个角的正弦。）

再用 $v=\lambda f$、频率 $f$ 不变，得到 $\dfrac{\lambda_1}{\lambda_2}=\dfrac{v_1}{v_2}$。

例题

例 1　（场景：水波从深水区进入浅水区 → 给波速和入射角求折射角 → 用折射定律）

問題　水深の異なる 2 つの領域を水波が進んでいる。領域 1 での波の速さは $1.6\ \mathrm{m/s}$，領域 2 では $1.2\ \mathrm{m/s}$ である。領域 1 から境界面に $45^\circ$ の入射角で入射した水波の，領域 2 での屈折角はおよそ何度か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，振動数は一定とする。

①　$25^\circ$　　②　$32^\circ$　　③　$45^\circ$　　④　$58^\circ$

解答　屈折の法則より

$$\frac{\sin i}{\sin r}=\frac{v_1}{v_2}$$

したがって

$$\sin r=\frac{v_2}{v_1}\sin i=\frac{1.2}{1.6}\sin 45^\circ=0.75\times0.707\approx0.53$$

$r\approx32^\circ$。検算：$v_2<v_1$ なので屈折角は入射角より小さい。$32^\circ<45^\circ$ で条件を満たす。　答　②

中文翻译　题目：水波在深度不同的两个区域中传播。区域 1 的波速为 $1.6\ \mathrm{m/s}$，区域 2 为 $1.2\ \mathrm{m/s}$。水波从区域 1 以 $45^\circ$ 的入射角射向界面，在区域 2 的折射角大约是多少度？从①～④中选最合适的值。频率一定。解答：由折射定律 $\dfrac{\sin i}{\sin r}=\dfrac{v_1}{v_2}$，得 $\sin r=\dfrac{v_2}{v_1}\sin i=\dfrac{1.2}{1.6}\sin45^\circ=0.75\times0.707\approx0.53$，所以 $r\approx32^\circ$。检验：$v_2<v_1$，折射角应小于入射角，$32^\circ<45^\circ$ 满足。答案 ②。

解说　用到的是本节“说明”里的折射定律。容易卡在：把比例写成 $\dfrac{v_2}{v_1}$ 放在左边，或者把 $45^\circ$ 当成折射角。选项排除：先判断“速度变小、角变小”，③④（不小于 $45^\circ$）直接排除；①的 $25^\circ$ 对应 $\sin r\approx0.42$，算出来是 $0.53$，排除。另一种解法：用 $\lambda_1:\lambda_2=v_1:v_2=4:3$，折射后波长变短，波面变密，角向法线靠，估算也在 $30^\circ$ 附近；精确值仍要用正弦。

常用推论

• $v_2<v_1$ 时 $r<i$，波线靠近法线；$v_2>v_1$ 时 $r>i$，波线远离法线。
• $\dfrac{\lambda_1}{\lambda_2}=\dfrac{v_1}{v_2}$，频率 $f$ 不变；波速小的介质中波长小、波面密。
• 垂直入射时 $i=0$、$r=0$，传播方向不变，但波速和波长仍改变。
• 水波的波速随水深减小而减小，所以水波从深水进入浅水时向法线偏折。教材没有，考试常用；题目给“深水区、浅水区”时用它判断偏折方向。

易错点

• 错在哪：把折射角量成波线与界面的夹角。 为什么错：入射角和折射角都是从法线量起的，不是从界面量起。 正确做法：先画法线，再把角标在波线与法线之间；题目给界面夹角时先换成 $90^\circ-$ 该角。
• 错在哪：认为折射后频率改变。 为什么错：频率由波源决定，进入新介质后不变；变的是波速和波长。 正确做法：用 $f$ 不变、$\lambda=\dfrac{v}{f}$ 算新波长。
• 错在哪：把比例写成 $\dfrac{\sin i}{\sin r}=\dfrac{v_2}{v_1}$。 为什么错：入射侧的量和入射侧对应，速度比写反了。 正确做法：记“速度大的一边角大”，算完用这个条件核对；比例写成 $\dfrac{v_1}{v_2}$。

直观理解

一排人牵手斜着走进泥地：先踏进泥地的一侧走得慢，整排人就会转向法线。惠更斯原理说的是，波面上的每一点都是一个小波源，新波面是所有小圆的包络；折射就是“一边走得慢、一边走得快”造成的转向。

关联知识点

• 国内书第 22 章 22.4 节（定性介绍惠更斯原理和折射，不用于计算）。
• 本书 12.5 反射（反射定律也可用惠更斯原理推）、第 14 章光（折射、全反射、透镜）。
• 国内书第 23 章光的折射（光路可逆、折射率）。

12.8 题型与答法

波の性質在 EJU 里出现在大問 Ⅲ（波）的 A 部分，通常 1 题，偶尔 2 题。据 20 回公开过去问，本章内容共出现 20 次（每回平均 1.0 次）：2011 年第 2 回 2 题，2011 年第 1 回没有出现，其余 18 回各 1 题。形式以波形图为中心，字母式、数值、组合都出现过：读波长、周期、波速，判断质点的振动方向，由波形写波的式子；也考固定端・自由端的反射波形、定在波的節・腹、水波跨区域的折射。

两分钟做法：

1. 先看横轴：是 $x$ 就是波形图（许多质点在同一时刻），是 $t$ 就是振动图像（一个质点在许多时刻）。
2. 波形图上判断振动方向，用同侧法：传播方向的箭头和振动方向的箭头画在曲线的同一侧。
3. 定在波先找節：相邻節的间距是 $\dfrac{\lambda}{2}$，節到腹是 $\dfrac{\lambda}{4}$。
4. 折射先判断速度大小：速度大的一边角大；比例用 $\dfrac{\sin i}{\sin r}=\dfrac{v_1}{v_2}$。

問題 1　（波形図：波の周期と質点の振動方向）

次の図のように，$x$ 軸の正の向きに速さ $4.0\ \mathrm{m/s}$ で進む正弦波の，$t=0$ における波形が示されている。波長は $8.0\ \mathrm{m}$，振幅は $0.20\ \mathrm{m}$ である。点 P は $x=1.0\ \mathrm{m}$ にある。

問　この波の周期と，$t=0$ における点 P の振動方向の組み合わせとして正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

	周期	点 P の振動方向
①	$2.0\ \mathrm{s}$	上向き
②	$2.0\ \mathrm{s}$	下向き
③	$4.0\ \mathrm{s}$	上向き
④	$4.0\ \mathrm{s}$	下向き

解答　周期は

$$T=\frac{\lambda}{v}=\frac{8.0}{4.0}=2.0\ \mathrm{s}$$

点 P は $x=1.0\ \mathrm{m}$ にあり，波形は P の位置で右上がりである。波が $x$ 軸の正の向きに進むので，P は下向きに振動する（同側法）。検算：$\dfrac{T}{4}=0.50\ \mathrm{s}$ 後，波形は $2.0\ \mathrm{m}$ 右へずれる。P の位置の変位は，もとの $x=-1.0\ \mathrm{m}$ の変位になり，正から負へ変わる。　答　②

中文翻译　题目：如图，沿 $x$ 轴正方向以 $4.0\ \mathrm{m/s}$ 传播的正弦波在 $t=0$ 的波形如图，波长 $8.0\ \mathrm{m}$，振幅 $0.20\ \mathrm{m}$，点 P 在 $x=1.0\ \mathrm{m}$。问：这列波的周期与 $t=0$ 时点 P 振动方向的组合，从①～④中选正确的。解答：$T=\dfrac{\lambda}{v}=\dfrac{8.0}{4.0}=2.0\ \mathrm{s}$。P 在 $x=1.0\ \mathrm{m}$，该处波形向右上升；波沿 $x$ 轴正方向传播，所以 P 向下振动（同侧法）。检验：$\dfrac{T}{4}=0.50\ \mathrm{s}$ 后波形右移 $2.0\ \mathrm{m}$，P 处的位移等于原来 $x=-1.0\ \mathrm{m}$ 处的位移，由正变负。答案 ②。

解说　两分钟做法：先由 $T=\dfrac{\lambda}{v}$ 定周期，只剩两个选项；再用同侧法定方向。容易卡在：把“波向右传”当成“质点也向右动”，质点只在竖直方向振动。选项排除：$T=2.0\ \mathrm{s}$ 排除③④；P 处波形右升，波向右传时该点向下，排除①。如果记不清同侧法，用平移法：把波形向右挪一点，P 处变低，也是向下。

問題 2　（定在波：弦の長さと節の間隔から波長・節の数を求める）

長さ $1.5\ \mathrm{m}$ の弦を両端で固定し，定在波を生じさせた。隣り合う節の間隔は $0.50\ \mathrm{m}$ であった。波長と，弦上の節の数の組み合わせとして正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，節の数は両端の節も含めて数えるものとする。

	波長	節の数
①	$0.50\ \mathrm{m}$	3
②	$1.0\ \mathrm{m}$	4
③	$1.0\ \mathrm{m}$	3
④	$1.5\ \mathrm{m}$	4

解答　隣り合う節の間隔は $\dfrac{\lambda}{2}$ なので

$$\lambda=2\times0.50=1.0\ \mathrm{m}$$

弦の長さは

$$\frac{L}{\lambda/2}=\frac{1.5}{0.50}=3$$

なので，$\dfrac{\lambda}{2}$ の区間が 3 個ある。節の数は区間の数より 1 多く，両端も節なので $3+1=4$ 個。検算：節は $0$，$0.50$，$1.0$，$1.5\ \mathrm{m}$ の 4 個。　答　②

中文翻译　题目：长 $1.5\ \mathrm{m}$ 的弦两端固定，形成定在波，相邻節的间距为 $0.50\ \mathrm{m}$。波长与弦上節的数量的组合，从①～④中选正确的。其中節的数量包括两端的節。解答：相邻節的间距是 $\dfrac{\lambda}{2}$，所以 $\lambda=2\times0.50=1.0\ \mathrm{m}$。弦长 $\dfrac{L}{\lambda/2}=\dfrac{1.5}{0.50}=3$，即有 3 段 $\dfrac{\lambda}{2}$。節的数量比段数多 1，两端也是節，所以 $3+1=4$ 个。检验：節在 $0$、$0.50$、$1.0$、$1.5\ \mathrm{m}$ 四处。答案 ②。

解说　两分钟做法：節间距乘 2 得波长；弦长除以半波长得段数；两端固定时段数加 1 就是節数。容易卡在：把“節の数”数成腹的个数，选③。选项排除：①把節间距当波长；④把弦长当波长；③的波长对，但節数少算了两端中的一个。先画一条弦、标出两端和中间的两个節，四个点一目了然。

問題 3　（水波の屈折：屈折角の正弦を求める）

水深の異なる 2 つの領域を水波が進んでいる。領域 1 での波の速さは $2.0\ \mathrm{m/s}$，領域 2 では $1.5\ \mathrm{m/s}$ である。領域 1 から境界面に $60^\circ$ の入射角で入射した水波の，領域 2 での屈折角の正弦 $\sin r$ はいくらか。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，振動数は一定とする。

①　$0.43$　　②　$0.50$　　③　$0.65$　　④　$0.87$

解答　屈折の法則より

$$\frac{\sin i}{\sin r}=\frac{v_1}{v_2}$$

したがって

$$\sin r=\frac{v_2}{v_1}\sin i=\frac{1.5}{2.0}\sin 60^\circ=0.75\times0.866\approx0.65$$

検算：$v_2<v_1$ なので $r<i$，$\sin r<\sin 60^\circ=0.87$。$0.65<0.87$ で条件を満たす。　答　③

中文翻译　题目：水波在深度不同的两个区域中传播。区域 1 的波速为 $2.0\ \mathrm{m/s}$，区域 2 为 $1.5\ \mathrm{m/s}$。水波从区域 1 以 $60^\circ$ 的入射角射向界面，在区域 2 的折射角正弦 $\sin r$ 是多少？从①～④中选最合适的值。频率一定。解答：由折射定律 $\dfrac{\sin i}{\sin r}=\dfrac{v_1}{v_2}$，得 $\sin r=\dfrac{v_2}{v_1}\sin i=\dfrac{1.5}{2.0}\sin60^\circ=0.75\times0.866\approx0.65$。检验：$v_2<v_1$，所以 $r<i$，$\sin r<\sin60^\circ=0.87$，$0.65<0.87$ 满足。答案 ③。

解说　两分钟做法：先判断速度变小、角变小，$\sin r$ 一定小于 $0.87$；再用 $0.75\times0.866$ 估算。容易卡在：把比例写成 $\dfrac{v_1}{v_2}$，算成 $1.33\times0.866>1$，发现超出 1 才知道反了。选项排除：④是 $\sin60^\circ$ 本身，等于没有折射；②是 $0.5$，对应把 $0.75$ 当成 $\dfrac{1}{2}$ 一类的心算错误；①是 $0.43$，对应比例倒过来乘错。用“速度大的一边角大”可以立刻排除④。

12.9 术语与题干用语

日文	读音	中文	例句或说明
波動	はどう	波动	波動は媒質中を伝わる。
媒質	ばいしつ	介质	波は媒質の質点を振動させる。
波源	はげん	波源	波源の振動数が波の振動数を決める。
横波	よこなみ	横波	繩を伝わる波は横波である。
縦波	たてなみ	纵波	音波は縦波である。
波形	はけい	波形	波形図から波長を読み取る。
振幅	しんぷく	振幅	振幅は $0.20\ \mathrm{m}$ である。
周期	しゅうき	周期	周期は $0.40\ \mathrm{s}$ である。
振動数	しんどうすう	频率	振動数は周期の逆数である。
波長	はちょう	波长	波長は $1.6\ \mathrm{m}$ である。
波の速さ	なみのはやさ	波速	波の速さは $v=\lambda f$ で表される。
正弦波	せいげんぱ	正弦波	正弦波の式を書け。
位相	いそう	相位	2 点の位相差を求めよ。
同位相	どういそう	同相	波長だけ離れた 2 点は同位相である。
逆位相	ぎゃくいそう	反相	固定端で反射すると逆位相になる。
波のエネルギー	なみのえねるぎー	波的能量	波のエネルギーは振幅の 2 乗に比例する。
自由端	じゆうたん	自由端	自由端では反射波は同位相である。
固定端	こていたん	固定端	固定端では端点の変位は常に 0 である。
反射波	はんしゃは	反射波	反射波は入射波と逆向きに進む。
定在波	ていざいは	驻波	定在波の節と腹を求めよ。
定常波	ていじょうは	驻波	定在波と同じ意味で使われる。
節	ふし	波节	隣り合う節の間隔は $\dfrac{\lambda}{2}$ である。
腹	はら	波腹	腹では振幅が最大になる。
波面	はめん	波前	波面は波線に垂直である。
波線	はせん	波线	波線は波の進む向きを表す。
ホイヘンスの原理	ホイヘンスのげんり	惠更斯原理	ホイヘンスの原理で屈折を説明する。
屈折の法則	くっせつのほうそく	折射定律	屈折の法則より $\sin r$ を求める。
入射角	にゅうしゃかく	入射角	入射角は法線との角である。
屈折角	くっせつかく	折射角	屈折角は入射角より小さい。
法線	ほうせん	法线	法線は境界面に垂直である。
山	やま	波峰	山の位置では変位が正の最大である。
谷	たに	波谷	谷の位置では変位が負の最大である。
変位	へんい	位移	変位 $y$ を求めよ。
平衡位置	へいこういち	平衡位置	質点は平衡位置のまわりを振動する。

12.10 自测

1. 振幅 $0.10\ \mathrm{m}$，周期 $0.50\ \mathrm{s}$，波長 $2.0\ \mathrm{m}$ の正弦波が $x$ 軸の正の向きに進む。$t=0$ で原点は平衡位置にあり，上向きに振動している。波の式を書け。 振幅 $0.10\ \mathrm{m}$、周期 $0.50\ \mathrm{s}$、波长 $2.0\ \mathrm{m}$ 的正弦波沿 $x$ 轴正方向传播。$t=0$ 时原点在平衡位置向上振动。写出波的式子。

2. 上の式で，$t=0.25\ \mathrm{s}$，$x=0.50\ \mathrm{m}$ の変位は何 m か。 在上面的式子中，$t=0.25\ \mathrm{s}$、$x=0.50\ \mathrm{m}$ 处的位移是多少 m？

3. 波長 $4.0\ \mathrm{m}$ の波で，$1.0\ \mathrm{m}$ 離れた 2 点の位相差は何 rad か。 波长为 $4.0\ \mathrm{m}$ 的波，相距 $1.0\ \mathrm{m}$ 的两点相位差是多少 rad？

4. 速さ $2.0\ \mathrm{m/s}$ の波で，$0.50\ \mathrm{m}$ 離れた 2 点を同じ振動状態が伝わる時間は何 s か。 波速 $2.0\ \mathrm{m/s}$ 的波，同一振动状态传过相距 $0.50\ \mathrm{m}$ 的两点需要多少 s？

5. 振幅を 3 倍にすると，波のエネルギーは何倍になるか。 振幅变为 3 倍，波的能量变为几倍？

6. 波が伝わるとき，媒質の質点は波とともに移動するか。 波传播时，介质质点会随波一起移动吗？

7. 固定端で反射した波の位相は，入射波と比べてどうなるか。 在固定端反射的波，相位与入射波相比怎样？

8. 自由端で反射するとき，端点は節と腹のどちらになるか。 在自由端反射时，端点是節还是腹？

9. 定在波で，隣り合う腹の間隔が $0.20\ \mathrm{m}$ のとき，波長は何 m か。 定在波中相邻腹的间距为 $0.20\ \mathrm{m}$ 时，波长是多少 m？

10. 節から隣の腹までの距離が $0.10\ \mathrm{m}$ のとき，波長は何 m か。 節到相邻腹的距离为 $0.10\ \mathrm{m}$ 时，波长是多少 m？

11. 領域 1 の波速 $3.0\ \mathrm{m/s}$，領域 2 の波速 $2.0\ \mathrm{m/s}$，入射角 $30^\circ$ のとき，$\sin r$ はいくらか。 区域 1 波速 $3.0\ \mathrm{m/s}$，区域 2 波速 $2.0\ \mathrm{m/s}$，入射角 $30^\circ$ 时，$\sin r$ 是多少？

12. 波が速い媒質から遅い媒質へ進むとき，屈折角は入射角より大きいか小さいか。 波从波速大的介质进入波速小的介质时，折射角比入射角大还是小？

答案：12.2 1. $y=0.10\sin 2\pi\left(\dfrac{t}{0.50}-\dfrac{x}{2.0}\right)$；2. $0.10\ \mathrm{m}$。12.3 1. $\dfrac{\pi}{2}$；2. $0.25\ \mathrm{s}$。12.4 1. 9 倍；2. 不移动。12.5 1. 逆相（差 $\pi$）；2. 腹。12.6 1. $0.40\ \mathrm{m}$；2. $0.40\ \mathrm{m}$。12.7 1. $0.33$；2. 小（靠近法线）。

12.11 深入阅读

• JASSO · 理科（物理）シラバス：本章对应「波の性質」：波動、媒質、横波と縦波、波形、位相、重ね合わせ、定在波、反射・屈折・回折。
• 维基百科（日文）· 波：波的日文定义、横波与纵波、波长频率波速的关系。
• PhET · 绳波：抖动绳子看波的行进、反射和叠加，配合本章的波形图和定在波。
• 维基百科（日文）· 定在波：驻波的日文说明、節和腹的位置、两端固定和自由端的边界条件。