第 18 章 · 電流と磁場

项目	内容
シラバス项目	Ⅳ 電気と磁気 3. 電流と磁場：(1) 磁場（磁石，磁極，磁気力，磁気量，磁場，磁力線，磁化，磁性体，磁束密度，透磁率，磁束）；(2) 電流がつくる磁場（直線電流がつくる磁場，円形電流がつくる磁場，ソレノイドの電流がつくる磁場）；(3) 電流が磁場から受ける力（直線電流が磁場から受ける力，平行電流が及ぼし合う力）；(4) ローレンツ力（ローレンツ力，磁場中の荷電粒子の運動，ホール効果）
国内书对应	第 25 章 25.2–25.7；第 26 章 26.2–26.3、26.5
本章新内容的分量	大。日本特有的磁気量 $m$、磁場 $H$、磁束密度 $B = \mu H$、透磁率 $\mu$（国内只学 $B$）；电流磁场的三个定量公式（国内只定性）；平行电流的力的大小；磁性体的分类；洛伦兹力与国内相同
过去问出现次数	20 回共 35 題（每回平均 1.8 題，高频章）

国内学过磁感线、安培定则、安培力 $F = BIL\sin\theta$ 和洛伦兹力，方向判断和带电粒子在磁场中的圆周运动都做过不少。EJU 的「電流と磁場」多出一套日本的记号：磁場 $H$ 和磁束密度 $B$ 是两个量，中间隔着透磁率 $\mu$；电流产生的磁场不能只判断方向，还要用 $H = \dfrac{I}{2\pi r}$、$H = \dfrac{I}{2r}$、$H = nI$ 算大小；平行电流除了“同向相吸”，还要算单位长度上的力。据 20 回公开过去问，本章共出现 35 題（每回平均 1.8 題），是电磁部分出现最多的一章，但不能说每回必有。中国学生丢分主要丢在三处：$H$ 和 $B$ 混用、右手和左手用反、三个电流磁场公式的分母记混。

18.1 与国内的对照

シラバス小項目（日文原文）	国内书位置	相同 / 讲法不同 / 国内没有	本章哪节讲
磁石，磁極，磁気力	国内书第 25 章 25.2 节（磁极间的相互作用只作定性）	讲法不同：国内不引入磁気量，日本把磁极看成磁荷，用 $F = mH$ 和磁気量间的库仑定律	18.2
磁気量	无	国内没有	18.2
磁場	国内书第 25 章 25.2 节（国内的“磁场”指 $B$）	讲法不同：日本把 $H$ 叫磁場（の強さ），$B$ 另叫磁束密度	18.2
磁力線	国内书第 25 章 25.2 节	相同，见国内书第 25 章	18.2（一句带过）
磁束密度	国内书第 25 章 25.3 节（磁感应强度 $B$）	讲法不同：国内只定义 $B$，日本还要求 $B = \mu H$ 和透磁率	18.2
透磁率	无	国内没有	18.2
磁束	国内书第 25 章 25.4 节（磁通量 $\Phi = BS$）	相同，见国内书第 25 章	18.2（一句带过）
磁化，磁性体	国内书第 25 章 25.2 节（分子电流假说、磁化与退磁）	讲法不同：国内用分子电流解释，日本按強磁性体・常磁性体・反磁性体分类，用比透磁率判断	18.3
直線電流がつくる磁場	国内书第 25 章 25.2 节（只用安培定则判断方向）	讲法不同：EJU 要算 $H = \dfrac{I}{2\pi r}$ 和 $B = \mu H$	18.4
円形電流がつくる磁場	国内书第 25 章 25.2 节（定性）	讲法不同：EJU 要算中心处 $H = \dfrac{I}{2r}$	18.4
ソレノイドの電流がつくる磁場	国内书第 25 章 25.2 节（定性）	讲法不同：EJU 要算内部 $H = nI$	18.4
直線電流が磁場から受ける力	国内书第 25 章 25.5 节（安培力）	相同：$F = IBL\sin\theta$，日本也写 $F = IBL\sin\theta$；日本还要求会用 $B = \mu H$ 换成 $H$	18.5
平行電流が及ぼし合う力	国内书第 25 章 25.7 节（只判断同向相吸、反向相斥）	讲法不同：EJU 要算单位长度上的力 $\dfrac{F}{L} = \dfrac{\mu I_1 I_2}{2\pi d}$	18.5
ローレンツ力	国内书第 26 章 26.2 节	相同，见国内书第 26 章	18.6
磁場中の荷電粒子の運動	国内书第 26 章 26.3 节	相同，见国内书第 26 章	18.6
ホール効果	国内书第 26 章 26.5 节（霍尔效应）	相同，见国内书第 26 章；EJU 只考定性	18.6（一段带过）

本章的顺序按日本教科书的讲法：先立磁気量、磁場 $H$、磁束密度 $B$ 和透磁率（18.2），再讲磁性体（18.3），然后讲电流怎样产生磁场（18.4），磁场怎样对电流施力、平行电流之间怎样相互作用（18.5），最后讲磁场对单个运动电荷的力（18.6）。洛伦兹力和带电粒子在匀强磁场中的圆周运动，国内书第 26 章已经讲透，本章只把记号换成日本的写法、补上 EJU 的题干样式。

18.2 磁気量と磁場（H・B・μ）

说明

磁石と磁極：磁石の两端是 磁極，N 极和 S 极。同名磁极相斥，异名磁极相吸。日本教科书把磁极看成一种“磁荷”，叫 磁気量 $m$，单位是 $\mathrm{Wb}$（韦伯）。N 极的磁気量为正，S 极为负。磁気量是一个模型：单独存在的磁极（磁気単極子）并没有被发现，细长磁石的一端可以近似看成点磁极。

磁気力：两个点磁极之间的力，和电荷之间的库仑定律同形：

$$F = \frac{m_1 m_2}{4\pi\mu r^2}$$

同号相斥，异号相吸。$\mu$ 是介质的 透磁率（磁导率），真空中记作 $\mu_0$。

磁場 $H$：把磁気量 $m$ 的磁极放在磁场中，它受到的力是

$$F = mH$$

这里的 $H$ 叫 磁場の強さ（磁场强度），单位是 $\mathrm{A/m}$。$H$ 由磁石或电流产生，描述“磁场的源有多强”，和检验用的磁极无关。点磁极 $m$ 在介质中产生的磁場是

$$H = \frac{m}{4\pi\mu r^2}$$

磁力線：画出来表示磁场方向的曲线，曲线上每一点的切线方向是该点的磁场方向，疏密表示强弱。磁力線是闭合曲线，磁石外部从 N 极出发回到 S 极，内部从 S 极到 N 极。这部分和国内书第 25 章 25.2 节完全相同。

磁束密度 $B$：实际穿过单位面积的磁束，叫 磁束密度，单位是 $\mathrm{T}$（特斯拉）。在介质中，磁場 $H$ 和磁束密度 $B$ 由 透磁率 $\mu$ 联系起来：

$$B = \mu H$$

真空中的透磁率是

$$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \mathrm{N/A^2}$$

介质中写 $\mu = \mu_r \mu_0$，$\mu_r$ 叫 比透磁率（相对磁导率），真空和空气的 $\mu_r$ 约为 $1$。国内只学 $B$（叫磁感应强度），日本把 $H$ 和 $B$ 分开：$H$ 的单位是 $\mathrm{A/m}$，$B$ 的单位是 $\mathrm{T}$，看到单位就能分清。

磁束 $\Phi$：穿过某个面的磁束，$\Phi = BS$（$B$ 垂直面时），单位是 $\mathrm{Wb}$。$1\ \mathrm{Wb} = 1\ \mathrm{T \cdot m^2}$。国内书第 25 章 25.4 节叫磁通量，公式和单位完全相同。

使用场景

• 题目给出磁場 $H$ 和材料的比透磁率 $\mu_r$，问磁束密度 $B$ → 先求 $\mu = \mu_r \mu_0$，再用 $B = \mu H$；真空时直接用 $B = \mu_0 H$。
• 题目给出磁気量 $m$ 和它受到的磁気力 $F$，问磁場 $H$ → 用定义式 $F = mH$；给的是点磁极和距离时，用 $H = \dfrac{m}{4\pi\mu r^2}$。

注意点

• $H$ 和 $B$ 是两个量。日本题干里的「磁場」多半指 $H$，问「磁束密度」才是 $B$。看单位：$\mathrm{A/m}$ 是 $H$，$\mathrm{T}$ 是 $B$。
• 磁気量 $m$ 的单位是 $\mathrm{Wb}$，不是 $\mathrm{T}$；磁束 $\Phi$ 的单位也是 $\mathrm{Wb}$，两者不要和 $B$ 的 $\mathrm{T}$ 混。
• $\mu_r$ 没有单位；$\mu$ 的单位和 $\mu_0$ 相同，是 $\mathrm{N/A^2}$。
• 磁気量是模型，磁极不能单独取出。把磁石切成两段，每段仍有 N 极和 S 极，不会得到单独的 N 极。
• $B = \mu H$ 在真空和弱磁性体中成立；强磁性体的 $\mu$ 不是常数，EJU 只作定性处理（18.3）。
• 磁束 $\Phi = BS$ 只适用于 $B$ 和面垂直的情形；斜着穿过时用 $\Phi = BS\cos\theta$，和国内磁通量一样。

推导

为什么用 $F = mH$ 定义 $H$：和电场用 $E = \dfrac{F}{q}$ 定义一样。把同一个检验磁极放到磁场中不同位置，受到的力不同，说明各点的磁场强弱不同；在同一个位置换用不同磁気量的磁极，力 $F$ 和 $m$ 成正比，比值 $\dfrac{F}{m}$ 只和位置有关。这个比值就定义为该点的磁場 $H$。单位是 $\mathrm{N/Wb} = \mathrm{N/(T \cdot m^2)} = \mathrm{A/m}$。

点磁极的磁場 $H = \dfrac{m}{4\pi\mu r^2}$：由磁気量间的库仑定律，点磁极 $m_1$ 对 $m_2$ 的力是 $F = \dfrac{m_1 m_2}{4\pi\mu r^2}$。把 $m_2$ 看成检验磁极，由 $H = \dfrac{F}{m_2}$ 得 $H = \dfrac{m_1}{4\pi\mu r^2}$。这个式子和点电荷的电场 $E = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon r^2}$ 一一对应：磁気量对应电荷，$\mu$ 对应 $\varepsilon$，$H$ 对应 $E$。

为什么 $B = \mu H$：磁場 $H$ 是“源”产生的，磁束密度 $B$ 是介质中实际穿过的磁束。介质被磁化后，内部的小磁区（18.3）顺着外场排列，产生附加磁场，使 $B$ 比真空时增大（强磁性体）或略微减小（反磁性体）。比例系数就是透磁率 $\mu$。写成 $\mu = \mu_r \mu_0$，$\mu_r$ 表示介质相对于真空放大或缩小了多少倍。

磁束 $\Phi = BS$ 和单位 $\mathrm{Wb}$：磁束密度是“单位面积穿过的磁束”，所以穿过面积 $S$ 的磁束是 $BS$。由 $B = \mu H$，$H$ 的单位 $\mathrm{A/m}$ 乘 $\mu$ 的单位 $\mathrm{N/A^2}$ 得 $\mathrm{N/(A \cdot m)} = \mathrm{T}$；再乘面积 $\mathrm{m^2}$ 得 $\mathrm{N \cdot m/A} = \mathrm{Wb}$。磁気量 $m$ 也用 $\mathrm{Wb}$，因为一个磁极发出的磁束总数就是 $m$。

例题

例 1　（场景：给 $H$ 和 $\mu_r$ → 先求 $\mu$，再算 $B$）

問題　鉄心にコイルを巻き，電流を流したところ，鉄心中の磁場の強さは $H = 2.0 \times 10^2\ \mathrm{A/m}$ であった。鉄の比透磁率を $5.0 \times 10^3$，真空の透磁率を $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \mathrm{N/A^2}$ とする。

問　鉄心中の磁束密度の大きさ $B$ は何 T か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$1.3\ \mathrm{T}$　　②　$2.5 \times 10^{-1}\ \mathrm{T}$　　③　$5.0 \times 10^{-5}\ \mathrm{T}$　　④　$6.3 \times 10^{-1}\ \mathrm{T}$

解答　鉄の透磁率は $\mu = \mu_r \mu_0$ である。磁束密度は $B = \mu H$ より

$$B = \mu_r \mu_0 H = 5.0 \times 10^3 \times 4\pi \times 10^{-7} \times 2.0 \times 10^2 \approx 1.26\ \mathrm{T}$$

有効数字 2 桁で $1.3\ \mathrm{T}$。検算：真空なら $B_0 = \mu_0 H \approx 2.5 \times 10^{-1}\ \mathrm{T}$ で，鉄心では比透磁率の分だけ大きくなる。　答　①

中文翻译　题目：在铁心上绕线圈并通电，铁心中的磁场强度 $H = 2.0 \times 10^2\ \mathrm{A/m}$。铁的比透磁率为 $5.0 \times 10^3$，真空磁导率 $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \mathrm{N/A^2}$。问：铁心中磁感应强度 $B$ 是多少 T？从①～④中选最合适的值。解答：$\mu = \mu_r\mu_0$，$B = \mu H = 5.0 \times 10^3 \times 4\pi \times 10^{-7} \times 2.0 \times 10^2 \approx 1.26\ \mathrm{T}$，两位有效数字为 $1.3\ \mathrm{T}$。检验：真空时 $B_0 = \mu_0 H \approx 2.5 \times 10^{-1}\ \mathrm{T}$，铁心中大 $\mu_r$ 倍。答案 ①。

解说　用到的是 18.2 的 $B = \mu H$ 和 $\mu = \mu_r\mu_0$。容易卡在只乘 $\mu_0$ 忘了 $\mu_r$，或者把 $\mu_r$ 除进去。选项排除：② 是真空值 $\mu_0 H$，③ 是除以 $\mu_r$ 的结果，④ 是把 $4\pi$ 当成 $2\pi$ 算出的值；只有 ① 同时用了 $\mu_0$ 和 $\mu_r$。单位核对：$\mathrm{N/A^2} \times \mathrm{A/m} = \mathrm{N/(A \cdot m)} = \mathrm{T}$。

例 2　（场景：给 $m$ 和 $F$ → 用定义式 $F = mH$ 求 $H$）

問題　一様な磁場の中に，点磁極とみなせる磁気量 $m = 4.0 \times 10^{-5}\ \mathrm{Wb}$ の磁極を置いたところ，磁極にはたらく力の大きさは $F = 1.0 \times 10^{-1}\ \mathrm{N}$ であった。

問　この磁場の強さ $H$ は何 A/m か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$2.5 \times 10^3\ \mathrm{A/m}$　　②　$4.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{A/m}$　　③　$2.5 \times 10^2\ \mathrm{A/m}$　　④　$2.0 \times 10^3\ \mathrm{A/m}$

解答　磁場の強さの定義 $F = mH$ より

$$H = \frac{F}{m} = \frac{1.0 \times 10^{-1}}{4.0 \times 10^{-5}} = 2.5 \times 10^3\ \mathrm{A/m}$$

検算：$mH = 4.0 \times 10^{-5} \times 2.5 \times 10^3 = 1.0 \times 10^{-1}\ \mathrm{N}$ で，もとの力に戻る。　答　①

中文翻译　题目：在匀强磁场中放一个可视为点磁极、磁気量 $m = 4.0 \times 10^{-5}\ \mathrm{Wb}$ 的磁极，磁极受到的力为 $F = 1.0 \times 10^{-1}\ \mathrm{N}$。问：这个磁场的强度 $H$ 是多少 A/m？从①～④中选最合适的值。解答：由定义 $F = mH$ 得 $H = F/m = 1.0 \times 10^{-1}/(4.0 \times 10^{-5}) = 2.5 \times 10^3\ \mathrm{A/m}$。检验：$mH = 1.0 \times 10^{-1}\ \mathrm{N}$，回到原来的力。答案 ①。

解说　用到的是 18.2 的磁場定义 $F = mH$。容易卡在把 $m$ 和 $H$ 相乘、相除弄反，或者把 $10^{-5}$ 的指数抄错。选项排除：② 是 $m/F$，③ 是指数差一位，④ 是除以 $4\pi$ 的错误结果；只有 ① 满足 $F = mH$。注意 $m$ 的单位是 $\mathrm{Wb}$，$H$ 的单位是 $\mathrm{A/m}$，两者相乘才是 $\mathrm{N}$。

常用推论

• 真空中的磁束密度：$B = \mu_0 H$；介质中：$B = \mu_r \mu_0 H$。做题先看有没有“鉄心”“比透磁率”这类词。
• 点磁极的磁場：$H = \dfrac{m}{4\pi\mu r^2}$，真空时 $H = \dfrac{m}{4\pi\mu_0 r^2}$。两个点磁极之间的力：$F = \dfrac{m_1 m_2}{4\pi\mu r^2}$（教材公式，EJU 很少单独计算）。
• 磁束：$\Phi = BS$（$B$ 垂直面），斜穿过面时 $\Phi = BS\cos\theta$；单位 $\mathrm{Wb} = \mathrm{T \cdot m^2}$。和国内书第 25 章 25.4 节的磁通量完全相同。
• 单位换算：$1\ \mathrm{T} = 1\ \mathrm{Wb/m^2} = 1\ \mathrm{N/(A \cdot m)}$；$1\ \mathrm{Wb} = 1\ \mathrm{T \cdot m^2}$；$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \mathrm{N/A^2}$。
• 磁力線是闭合曲线，磁束線也是闭合曲线；在真空中两者形状相同，在介质中磁束線更密（$B$ 更大）。

易错点

• 错在哪：把 $H$ 和 $B$ 当成同一个量，看到「磁場」就代 $\mu_0$ 算 $B$，或者把单位 $\mathrm{A/m}$ 写成 $\mathrm{T}$。 为什么错：日本体系里 $H$ 描述源，$B$ 描述介质中的实际磁束，两者差一个 $\mu$；国内只学 $B$，容易把 $H$ 也当成 $B$。 正确做法：先看题目问的是「磁場の強さ」还是「磁束密度」，再看单位；$H$ 用 $\mathrm{A/m}$，$B$ 用 $\mathrm{T}$，中间用 $B = \mu H$ 连接。
• 错在哪：算铁心中的 $B$ 时只用 $B = \mu_0 H$，忘了乘比透磁率。 为什么错：$\mu_0$ 是真空的透磁率，铁心的 $\mu$ 是 $\mu_r\mu_0$，比真空大几千倍。 正确做法：先写 $\mu = \mu_r\mu_0$，再代 $B = \mu H$；题目给了 $\mu_r$ 就一定用得上。
• 错在哪：把磁気量 $m$、磁束 $\Phi$ 的单位都写成 $\mathrm{T}$，或者把 $\mathrm{Wb}$ 和 $\mathrm{T}$ 混用。 为什么错：$\mathrm{T}$ 是磁束密度的单位，$\mathrm{Wb}$ 是磁束和磁気量的单位；$1\ \mathrm{Wb} = 1\ \mathrm{T \cdot m^2}$，差一个面积。 正确做法：列式前先把每个量的单位写在旁边，用单位核对公式：$mH$ 得 $\mathrm{Wb \cdot A/m} = \mathrm{N}$，$BS$ 得 $\mathrm{T \cdot m^2} = \mathrm{Wb}$。

直观理解

把 $H$ 想成“磁场的推动力”，把 $B$ 想成“实际穿过去的磁束有多少”。同样大的 $H$，在空气里只能产生很小的 $B$；在铁心里，磁区顺着外场排列，磁束被集中，$B$ 就大得多。这就像同样的电压加在不同介质上，实际通过的电流不同：$H$ 像电压，$B$ 像电流，$\mu$ 像电导率。磁力線画得越密，$B$ 越大；铁心里的磁力線比外部密得多。

关联知识点

• 国内对应：国内书第 25 章 25.2 节磁场与磁感线、25.3 节磁感应强度、25.4 节磁通量。
• 后续：本书 18.3 磁性体（$\mu_r$ 的物理来源）、18.4 电流产生的磁场（$H$ 的另一个来源）、第 19 章电磁感应（$\Phi = BS$ 的变化产生感应电动势）。
• 常一起考：18.4 的电流磁场公式求出 $H$ 后，再用 $B = \mu H$ 换成 $B$；第 19 章的磁束 $\Phi$ 计算。

18.3 磁性体

说明

磁性体：放在磁场中会被磁化、从而改变周围磁场的物质。磁化的微观原因是物质内部存在许多微小的 磁区（磁畴），每个磁区相当于一个小磁针；没有外场时磁区方向杂乱，磁效应互相抵消；加上外场后磁区顺着外场排列，物质整体显出磁性。

按磁化的强弱和方向，日本教科书把磁性体分成三类：

种类	代表物质	比透磁率 $\mu_r$	磁化的特点
強磁性体	鉄、ニッケル、コバルト	数百到数千以上	与外场同向强烈磁化，$B$ 大幅增大
常磁性体	アルミニウム、空気	略大于 $1$	与外场同向，磁化很弱
反磁性体	銅、水、ビスマス	略小于 $1$	与外场反向，磁化很弱，$B$ 略微减小

磁化と透磁率：磁化使介质内部的磁束密度变成 $B = \mu H = \mu_r\mu_0 H$。強磁性体的 $\mu_r$ 很大，所以铁心能把磁束集中到内部，电磁铁、变压器都用铁心。软铁容易磁化也容易退磁，适合做电磁铁的铁心；硬磁性材料磁化后不容易退磁，适合做永久磁石。

永久磁石：磁化后磁区方向保持一致的強磁性体。加热到高温或猛烈撞击会使磁区重新杂乱，磁性减弱甚至消失（国内书第 25 章 25.2 节的退磁）。

使用场景

• 题目问某种材料放进磁场后，内部的磁束密度比外部大还是小，或者问 $\mu_r$ 大于 $1$ 还是小于 $1$ → 先判断它是強磁性体、常磁性体还是反磁性体 → 铁、镍、钴是強磁性体，$B$ 变大；铜、水是反磁性体，$B$ 略微变小；铝、空气是常磁性体，几乎不变。

注意点

• 磁性体不等于磁石。铁本身平时不是磁石，只有被磁化后（磁区方向一致）才对外显磁性；电磁铁断电后软铁会退磁。
• 反磁性体不是“没有磁性”，而是磁化方向和外场相反，$\mu_r$ 略小于 $1$，$B$ 比真空时略小。效果很弱，肉眼看不出来。
• 強磁性体的 $\mu_r$ 不是常数，随 $H$ 变化，还有磁滞；$B = \mu H$ 在强磁性体里只是近似。EJU 只考“铁心使 $B$ 变大”这种定性判断，不考磁滞回线。
• 磁区方向一致的区域越大，磁化越强；高温（超过居里温度）或撞击会让磁区重新杂乱，永久磁石会退磁。
• 磁性体放入磁场后，磁力線会向磁性体内部集中；铁心的形状会影响磁束走向（磁気回路）。

推导

为什么铁心能增大 $B$：介质中的磁束密度严格写是 $B = \mu_0(H + M)$，$M$ 是磁化强度，表示磁区排列产生的附加磁场。強磁性体中 $M$ 很大且与外场同向，所以 $B$ 远大于 $\mu_0 H$；把 $\mu_0(H+M)$ 写成 $\mu H$，就得到 $\mu = \mu_r\mu_0$，$\mu_r$ 很大。反磁性体中 $M$ 与外场反向，$B$ 略小于 $\mu_0 H$，$\mu_r$ 略小于 $1$。

为什么磁束集中在铁心：磁力線在两种介质的分界面上会发生“折射”，$\mu$ 大的介质会把磁力線拉向自己。铁心的 $\mu$ 比空气大几千倍，磁力線几乎都从铁心内部通过，所以铁心内的 $B$ 大、铁心外的 $B$ 小。变压器和电磁铁用闭合铁心，就是让磁束尽量走铁心、不散到空气里。

磁区模型：没有外场时，各磁区方向随机，矢量和为零，铁不显磁性；加外场后，与外场方向接近的磁区长大，其他磁区转向，整体磁化强度 $M$ 增大；外场撤去后，软铁的磁区重新杂乱，硬磁性材料的部分磁区仍保持方向，留下剩磁。

例题

例 1　（场景：铁和铜放入磁场 → 判断 $B$ 变大还是变小）

問題　鉄の棒と銅の棒を，それぞれ同じ強さの一様な磁場の中に置いた。棒の中の磁束密度について，正しい組み合わせを，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，外部の磁場の強さは同じとする。

	①	②	③	④
鉄	外部より大きくなる	外部より大きくなる	外部より小さくなる	外部と同じ
銅	外部より大きくなる	外部より小さくなる	外部より大きくなる	外部より小さくなる

解答　鉄は強磁性体で，比透磁率が $1$ よりはるかに大きい。磁化によって磁束密度は外部より大きくなる。銅は反磁性体で，比透磁率は $1$ よりわずかに小さい。磁化は外部磁場と逆向きで，磁束密度は外部よりわずかに小さくなる。　答　②

中文翻译　题目：把铁棒和铜棒分别放进同样强的匀强磁场中。关于棒中磁感应强度，选出正确的组合。外部磁场强度相同。选项见表：铁/铜分别“比外部大”“比外部小”“与外部相同”的组合。解答：铁是铁磁体，相对磁导率远大于 1，磁化使磁感应强度比外部大；铜是抗磁体，相对磁导率略小于 1，磁化方向与外场相反，磁感应强度比外部略小。答案 ②。

解说　用到的是 18.3 的三种磁性体分类。容易卡在把铜当成“没有磁性”，以为 $B$ 不变；反磁性体的 $\mu_r$ 虽然只小一点点，但方向是反的，$B$ 确实略小。选项排除：① 把铜也当成强磁性体，③ 把铁的方向弄反，④ 把铜当成真空；只有 ② 符合“铁远大于 1、铜略小于 1”。

常用推论

• 強磁性体：$\mu_r \gg 1$，$B$ 大幅增大；常磁性体：$\mu_r \gtrsim 1$，几乎不变；反磁性体：$\mu_r \lesssim 1$，略微减小。
• 电磁铁的铁心用软铁：通电时 $\mu_r$ 大、$B$ 强，断电后容易退磁。
• 永久磁石用硬磁性材料：磁化后剩磁大，不容易退磁。
• 铁心能把磁束集中，磁束主要走 $\mu$ 大的路径；闭合铁心可以减少漏磁。
• 温度升高到居里温度以上，強磁性体变成常磁性体，永久磁石失去磁性（定性）。

易错点

• 错在哪：认为“磁性体就是磁石”，铁一定吸引铁钉。 为什么错：未被磁化的铁内部磁区杂乱，不对外产生磁场；只有磁化后才是磁石。 正确做法：先问“它被磁化了吗”；电磁铁断电后的软铁、普通铁钉都不是永久磁石。
• 错在哪：认为反磁性体“没有磁性”，放入磁场后 $B$ 不变。 为什么错：反磁性体的磁化方向与外场相反，$\mu_r$ 略小于 $1$，$B$ 会比真空时略小。 正确做法：记住三类磁性体的 $\mu_r$ 大小顺序：強磁性体 $\gg 1$，常磁性体略大于 $1$，反磁性体略小于 $1$。
• 错在哪：对強磁性体也直接用 $B = \mu H$ 算，以为 $\mu$ 是一个固定的常数。 为什么错：強磁性体的 $\mu$ 随 $H$ 变化，还有磁滞，$B$ 和 $H$ 不成正比。 正确做法：定量计算只用 $B = \mu H$ 处理真空、空气和弱磁性体；強磁性体只作”$B$ 变大“的定性判断。

直观理解

把磁性体想成一群小磁针（磁区）。没有外场时，小磁针指向四面八方，互相抵消；加上外场后，它们像听到口令一样转向外场方向，整体就显出磁性。铁里的“小磁针”很大、很容易转动，所以铁心能把磁力線大量吸进去；铜里的“小磁针”只轻轻反向偏一点，效果微乎其微。敲打或加热相当于把队伍打乱，磁性就减弱。

关联知识点

• 国内对应：国内书第 25 章 25.2 节的分子电流假说、磁化与退磁。
• 前置：本书 18.2 的 $B = \mu H$ 和 $\mu_r$。
• 后续：本书 18.4 电磁铁与螺线管、第 19 章电磁感应（铁心增强磁束变化）。
• 常一起考：18.4 的螺线管内部 $B = \mu nI$，加了铁心后 $\mu$ 变大、$B$ 变大。

18.4 電流がつくる磁場

说明

电流周围会产生磁场。日本教科书把三种典型电流的磁场公式直接给出，EJU 要求会算大小，方向用 右ねじの法則（安培右手螺旋定则）判断。

直線電流がつくる磁場：长直导线中电流为 $I$，到导线距离 $r$ 处的磁場

$$H = \frac{I}{2\pi r}$$

磁束密度是 $B = \mu H = \dfrac{\mu I}{2\pi r}$，真空中 $B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$。磁力線是以导线为圆心的同心圆。方向：右手握住导线，拇指指电流方向，四指的环绕方向就是磁力線方向。

円形電流がつくる磁場：半径为 $r$ 的圆形线圈中电流为 $I$，圆心处的磁場

$$H = \frac{I}{2r}$$

磁束密度 $B = \dfrac{\mu I}{2r}$，真空中 $B = \dfrac{\mu_0 I}{2r}$。如果是 $N$ 匝的圆形线圈，圆心处 $H = \dfrac{NI}{2r}$。方向：右手四指顺着电流环绕方向，拇指指圆心处磁场的方向（也就是线圈的 N 极方向）。

ソレノイドの電流がつくる磁場：长螺线管单位长度有 $n$ 匝线圈（总匝数 $N$，长 $L$，$n = \dfrac{N}{L}$），电流为 $I$，内部（两端附近除外）的磁場

$$H = nI = \frac{NI}{L}$$

磁束密度 $B = \mu nI = \dfrac{\mu NI}{L}$，真空中 $B = \mu_0 nI$。螺线管内部是匀强磁场，外部磁场很弱，形状像条形磁铁。方向：右手握住螺线管，四指顺电流方向，拇指指内部磁场方向（N 极）。

磁場の重ね合わせ：几个电流同时存在时，某点的磁場是各电流单独产生的磁場的矢量和。方向相同的相加，相反的相减；两根平行同向电流之间的磁场会互相减弱，外侧增强。

使用场景

• 长直导线周围某点，给电流和距离，问 $H$ 或 $B$ → 用 $H = \dfrac{I}{2\pi r}$，需要 $B$ 时再乘 $\mu$；方向用右手定则。
• 圆形线圈中心，给半径和电流，问 $H$ 或 $B$ → 用 $H = \dfrac{I}{2r}$（$N$ 匝用 $\dfrac{NI}{2r}$）。
• 螺线管内部，给总匝数、长度和电流，问 $H$ 或 $B$ → 先求 $n = \dfrac{N}{L}$，再用 $H = nI$；有铁心时再乘 $\mu = \mu_r\mu_0$。

注意点

• 直線電流的分母是 $2\pi r$，円形電流的分母是 $2r$，不要混。前者来自圆周的周长，后者来自圆环的几何。
• ソレノイドの $n$ 是单位长度的匝数，不是总匝数 $N$；题目给总匝数和长度时，先算 $n = \dfrac{N}{L}$。
• 方向用右手：直导线拇指指电流，円形電流和ソレノイド四指顺电流。判断力才用左手（18.5），两只手不要混。
• 公式里的 $\mu$ 是导线周围介质的透磁率；真空用 $\mu_0$，有铁心用 $\mu_r\mu_0$。EJU 多数题是真空，题目会给 $\mu_0$。
• 螺线管内部只在“两端附近除外”时是匀强磁场；靠近端部磁力線发散，$B$ 变小。
• 磁場叠加是矢量叠加，不能把大小直接相加；先判断各电流在该点的磁场方向，再合成。

推导

直線電流の $H = \dfrac{I}{2\pi r}$：由对称性，磁力線是以导线为圆心的同心圆，同一圆周上 $H$ 的大小相等、方向沿切线。取半径为 $r$ 的圆周作为闭合路径，安培の法則（発展）说：沿闭合路径的 $H$ 之和等于穿过路径的电流，即 $H \cdot 2\pi r = I$。所以 $H = \dfrac{I}{2\pi r}$。这个式子说明 $H$ 和距离成反比，离导线越远磁场越弱。

円形電流の $H = \dfrac{I}{2r}$：把圆形电流分成许多小段，每一小段在圆心产生的磁场方向都相同（垂直于线圈平面），大小与段长成正比；沿整个圆周叠加，得到 $H = \dfrac{I}{2r}$。这个结果可以用毕奥–萨伐尔定律积分证明，高中把它当公式使用。$N$ 匝线圈相当于 $N$ 个圆环串联，磁场叠加为 $H = \dfrac{NI}{2r}$。

ソレノイドの $H = nI$：取一个一边在螺线管内部、一边在外部的长方形闭合路径，长边平行于轴线、长度为 $L$。内部 $H$ 沿轴线且大小恒定，外部 $H$ 很弱可忽略，所以沿路径的 $H$ 之和约为 $H L$。路径包围的电流是 $nL \cdot I$（$nL$ 匝，每匝电流 $I$）。由安培の法則 $H L = nLI$，得 $H = nI$。

$B = \mu H$：三种电流的 $H$ 求出后，磁束密度统一用 $B = \mu H$ 计算；真空中 $\mu = \mu_0$，有铁心时 $\mu = \mu_r\mu_0$。

例题

例 1　（场景：直線電流 → 用 $H = \dfrac{I}{2\pi r}$ 求 $B$）

問題　次の図のように，紙面内に置いた長い直線導線に，図の向きに電流 $I = 10\ \mathrm{A}$ が流れている。導線から距離 $r = 0.20\ \mathrm{m}$ の点 P における磁束密度の大きさ $B$ は何 T か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，真空の透磁率を $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \mathrm{N/A^2}$ とする。

①　$1.0 \times 10^{-5}\ \mathrm{T}$　　②　$2.0 \times 10^{-5}\ \mathrm{T}$　　③　$5.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{T}$　　④　$1.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{T}$

解答　直線電流のつくる磁場の強さは $H = \dfrac{I}{2\pi r}$，磁束密度は $B = \mu_0 H$ より

$$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 10}{2\pi \times 0.20} = 1.0 \times 10^{-5}\ \mathrm{T}$$

検算：$H = \dfrac{10}{2\pi \times 0.20} \approx 8.0\ \mathrm{A/m}$，$B = \mu_0 H \approx 1.0 \times 10^{-5}\ \mathrm{T}$。　答　①

中文翻译　题目：如图，纸面内放置的长直导线中通有图示方向的电流 $I = 10\ \mathrm{A}$。导线外距离 $r = 0.20\ \mathrm{m}$ 的点 P 处，磁感应强度 $B$ 是多少 T？真空磁导率 $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \mathrm{N/A^2}$。从①～④中选最合适的值。解答：直导线产生的磁场强度 $H = I/(2\pi r)$，磁感应强度 $B = \mu_0 H = \mu_0 I/(2\pi r) = 1.0 \times 10^{-5}\ \mathrm{T}$。检验：$H \approx 8.0\ \mathrm{A/m}$，$B \approx 1.0 \times 10^{-5}\ \mathrm{T}$。答案 ①。

解说　用到的是 18.4 的直線電流公式。容易卡在分母写成 $2r$（那是円形電流），或者忘乘 $\mu_0$ 直接拿 $H$ 当 $B$。选项排除：② 是分母用了 $\pi r$，③ 是距离用了 $0.40\ \mathrm{m}$，④ 是距离用了 $0.020\ \mathrm{m}$；只有 ① 对。方向不在这道题里问，但要知道：电流向上、P 在右侧时，P 处的 $B$ 垂直纸面向里。

例 2　（场景：円形電流 → 圆心用 $H = \dfrac{I}{2r}$）

問題　次の図のように，半径 $r = 0.10\ \mathrm{m}$ の円形コイルに，図の向きに電流 $I = 2.0\ \mathrm{A}$ が流れている。コイルの中心 O における磁束密度の大きさ $B$ は何 T か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，真空の透磁率を $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \mathrm{N/A^2}$ とする。

①　$1.3 \times 10^{-5}\ \mathrm{T}$　　②　$2.5 \times 10^{-5}\ \mathrm{T}$　　③　$6.3 \times 10^{-6}\ \mathrm{T}$　　④　$1.3 \times 10^{-4}\ \mathrm{T}$

解答　円形電流の中心の磁場の強さは $H = \dfrac{I}{2r}$，磁束密度は $B = \mu_0 H$ より

$$B = \frac{\mu_0 I}{2r} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 2.0}{2 \times 0.10} = 1.26 \times 10^{-5}\ \mathrm{T}$$

有効数字 2 桁で $1.3 \times 10^{-5}\ \mathrm{T}$。検算：$H = \dfrac{2.0}{0.20} = 10\ \mathrm{A/m}$，$B = 4\pi \times 10^{-7} \times 10 = 1.26 \times 10^{-5}\ \mathrm{T}$。　答　①

中文翻译　题目：如图，半径 $r = 0.10\ \mathrm{m}$ 的圆形线圈中通有图示方向的电流 $I = 2.0\ \mathrm{A}$。圆心 O 处磁感应强度 $B$ 是多少 T？真空磁导率 $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \mathrm{N/A^2}$。从①～④中选最合适的值。解答：圆形电流中心的磁场强度 $H = I/(2r)$，$B = \mu_0 H = \mu_0 I/(2r) = 1.26 \times 10^{-5}\ \mathrm{T}$，两位有效数字为 $1.3 \times 10^{-5}\ \mathrm{T}$。检验：$H = 10\ \mathrm{A/m}$，$B = 1.26 \times 10^{-5}\ \mathrm{T}$。答案 ①。

解说　用到的是 18.4 的円形電流公式。容易卡在把分母写成 $2\pi r$（那是直線電流），或者忘乘 $\mu_0$。选项排除：② 是分母漏了 2，③ 是分母用了 $4r$，④ 是半径用了 $0.010\ \mathrm{m}$；只有 ① 对。方向：图中电流从上往下看是顺时针，圆心处的 $B$ 垂直纸面向里。

例 3　（场景：ソレノイド → 先求 $n$，再用 $H = nI$）

問題　長さ $L = 0.50\ \mathrm{m}$，巻数 $N = 1.0 \times 10^3$ 回のソレノイドに，電流 $I = 1.0\ \mathrm{A}$ を流した。ソレノイドの内部（両端からじゅうぶん離れた点）における磁束密度の大きさ $B$ は何 T か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，真空の透磁率を $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \mathrm{N/A^2}$ とする。

①　$2.5 \times 10^{-3}\ \mathrm{T}$　　②　$1.3 \times 10^{-3}\ \mathrm{T}$　　③　$5.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{T}$　　④　$2.5 \times 10^{-2}\ \mathrm{T}$

解答　単位長さあたりの巻数は

$$n = \frac{N}{L} = \frac{1.0 \times 10^3}{0.50} = 2.0 \times 10^3\ \text{回/m}$$

内部の磁場の強さは $H = nI = 2.0 \times 10^3 \times 1.0 = 2.0 \times 10^3\ \mathrm{A/m}$。磁束密度は

$$B = \mu_0 H = 4\pi \times 10^{-7} \times 2.0 \times 10^3 \approx 2.5 \times 10^{-3}\ \mathrm{T}$$

検算：$B = \mu_0 \dfrac{NI}{L} = 4\pi \times 10^{-7} \times \dfrac{1.0 \times 10^3 \times 1.0}{0.50} \approx 2.5 \times 10^{-3}\ \mathrm{T}$。　答　①

中文翻译　题目：长 $L = 0.50\ \mathrm{m}$、匝数 $N = 1.0 \times 10^3$ 的螺线管中通有电流 $I = 1.0\ \mathrm{A}$。螺线管内部（离两端足够远）磁感应强度 $B$ 是多少 T？真空磁导率 $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \mathrm{N/A^2}$。从①～④中选最合适的值。解答：单位长度匝数 $n = N/L = 2.0 \times 10^3\ \text{回/m}$，内部磁场强度 $H = nI = 2.0 \times 10^3\ \mathrm{A/m}$，$B = \mu_0 H \approx 2.5 \times 10^{-3}\ \mathrm{T}$。检验：$B = \mu_0 NI/L \approx 2.5 \times 10^{-3}\ \mathrm{T}$。答案 ①。

解说　用到的是 18.4 的ソレノイド公式。容易卡在把总匝数 $N$ 当成 $n$ 直接乘，忘了除以长度 $L$。选项排除：② 是忘了除以 $L$ 的结果（$n = N$），③ 是电流用了 $2.0\ \mathrm{A}$，④ 是指数多了一位；只有 ① 对。内部磁场方向：右手四指顺电流，拇指指向内部 $B$ 的方向。

常用推论

• 直線電流：$H = \dfrac{I}{2\pi r}$，$B = \dfrac{\mu I}{2\pi r}$；离导线越远越弱，与 $r$ 成反比。
• 円形電流の中心：$H = \dfrac{I}{2r}$，$B = \dfrac{\mu I}{2r}$；$N$ 匝线圈 $H = \dfrac{NI}{2r}$，$B = \dfrac{\mu NI}{2r}$。
• ソレノイド内部：$H = nI = \dfrac{NI}{L}$，$B = \mu nI = \dfrac{\mu NI}{L}$；内部匀强，外部很弱。
• 磁場の重ね合わせ：同向相加、反向相减；两根同向平行电流之间的磁场减弱，外侧增强。
• 有铁心时把 $\mu_0$ 换成 $\mu = \mu_r\mu_0$，$B$ 放大 $\mu_r$ 倍；$H$ 由电流和几何决定，不因铁心改变（理想情形）。
• 磁場为零的点：两根平行电流之间（电流同向时）或外侧（电流反向时），令两个磁場大小相等、方向相反。

易错点

• 错在哪：直線電流用 $H = \dfrac{I}{2r}$，円形電流用 $H = \dfrac{I}{2\pi r}$，两个分母记反。 为什么错：直線電流的磁力線是圆周，周长 $2\pi r$ 进入分母；円形電流中心到各小段的距离都是半径 $r$，没有 $2\pi$。 正确做法：记“直线有周长 $2\pi r$，圆环只有 $2r$”；做题时先画磁力线，看是同心圆还是圆环。
• 错在哪：ソレノイドで $H = NI$，把总匝数当成单位长度匝数。 为什么错：$n$ 是单位长度的匝数，总匝数 $N$ 要除以长度 $L$ 才是 $n$。 正确做法：先写 $n = \dfrac{N}{L}$，再代 $H = nI$；题目给“長さ”和“巻数”时，$n$ 一定要自己算。
• 错在哪：判断电流的磁场方向时用左手，或者把直导线和螺线管的右手用法弄混。 为什么错：磁场由电流产生，用右手螺旋；力由磁场和电流产生，才用左手。 正确做法：直导线“拇指电流、四指磁场”；円形電流和ソレノイド“四指电流、拇指磁场”；看到“力”才换左手。

直观理解

磁力線的疏密就是磁场的强弱。直导线周围的磁力線是一圈圈同心圆，离导线越远圈越大、越稀，所以 $H$ 随 $r$ 减小。円形電流把所有小段的磁场都堆到圆心，圆心处磁力線最密。ソレノイド把许多圆环排成一排，内部各圈的磁场方向相同、互相加强，所以内部是匀强的；外部各圈的磁场方向不一致，互相抵消，所以很弱。右手定则就是“电流往哪边拧，磁场就往哪边转”。

关联知识点

• 国内对应：国内书第 25 章 25.2 节的安培定则和电流的磁场（只定性）。
• 前置：本书 18.2 的 $B = \mu H$、18.3 的磁性体与铁心。
• 后续：本书 18.5 电流在磁场中受力、18.6 洛伦兹力、第 19 章电磁感应、第 20 章交流（コイルのリアクタンス）。
• 常一起考：先用 18.4 求某点的 $H$，再用 18.5 的 $F = IBL$ 求力；两根电流的磁场叠加求“磁场为零的点”。

18.5 電流が磁場から受ける力と平行電流

说明

直線電流が磁場から受ける力：匀强磁场中，长 $L$ 的直导线通电流 $I$，导线与磁束密度 $B$ 的夹角为 $\theta$，受到的力

$$F = IBL\sin\theta$$

$I \perp B$ 时 $F = IBL$ 最大；$I \parallel B$ 时 $F = 0$。方向用 フレミングの左手の法則：中指指电流方向，人差指指磁场方向，拇指指力的方向。力同时垂直于电流和磁场。用磁場 $H$ 表示时，$B = \mu H$，所以

$$F = \mu H I L \sin\theta$$

平行電流が及ぼし合う力：两根平行长直导线，间距 $d$，电流分别为 $I_1$、$I_2$。电流同向时相吸，反向时相斥。长度为 $L$ 的一段导线受到的力

$$F = \frac{\mu I_1 I_2 L}{2\pi d}$$

单位长度上的力是

$$\frac{F}{L} = \frac{\mu I_1 I_2}{2\pi d}$$

真空中 $\mu = \mu_0$。这个力是一对作用力与反作用力，大小总相等，与 $I_1$、$I_2$ 是否相等无关。

アンペアの定義（历史）：真空中相距 $1\ \mathrm{m}$ 的两根无限长平行导线通以相等的恒定电流，每米长度上的力为 $2 \times 10^{-7}\ \mathrm{N}$ 时，电流为 $1\ \mathrm{A}$。2019 年起安培改用元电荷定义，这个关系只作为历史知识。

使用场景

• 匀强磁场中的一段直导线（或导体棒），给 $B$、$I$、$L$ 和角度，问力的大小或平衡条件 → 用 $F = IBL\sin\theta$，方向用左手定则；平衡时把安培力当成普通力，列力的平衡式。
• 两根平行导线，给电流和间距，问单位长度上的力的大小和方向 → 用 $\dfrac{F}{L} = \dfrac{\mu I_1 I_2}{2\pi d}$，方向用“同向相吸、反向相斥”。

注意点

• 判断电流受力用左手，判断电流产生的磁场用右手。两只手的分工是本章最容易错的地方。
• $\theta$ 是电流方向与磁束密度方向的夹角，不是导线与水平面的夹角；导线垂直磁场时 $\sin\theta = 1$。
• 安培力一定同时垂直于 $I$ 和 $B$，不会沿着磁力线；这和电场力沿着电场线不同。
• 平行电流“同向相吸”和电荷“同种相斥”正好相反，不要类比。两根导线之间的力是相互作用力，大小相等、方向相反。
• 公式里的 $B$ 是导线所在处的外部磁场，不包括导线自己产生的磁场；导线自己的磁场对自己没有合力。
• 用 $H$ 给条件时，先换成 $B = \mu H$ 再代 $F = IBL\sin\theta$，不要直接把 $H$ 当 $B$。

推导

$F = IBL$：由磁束密度的定义 $B = \dfrac{F}{IL}$（$I \perp B$）直接变形得到。当导线与磁场成 $\theta$ 角时，把 $B$ 分解成沿导线的分量 $B\cos\theta$ 和垂直导线的分量 $B\sin\theta$；平行分量不产生力，垂直分量产生 $F = I(B\sin\theta)L = IBL\sin\theta$。

平行电流的力：先求导线 1 在导线 2 处产生的磁场。由 18.4，$B_1 = \dfrac{\mu I_1}{2\pi d}$，方向垂直于导线 2。导线 2 的电流 $I_2$ 在这个磁场中受的力 $F_2 = B_1 I_2 L = \dfrac{\mu I_1 I_2 L}{2\pi d}$。由作用反作用，导线 1 也受同样大的力。方向：先用右手定则求导线 1 在导线 2 处的磁场方向，再用左手定则求导线 2 的受力方向；电流同向时，这个力指向导线 1，所以相吸。电流反向时，磁场方向不变、电流方向反了，力也反向，所以相斥。

$F = \mu H I L\sin\theta$：把 $B = \mu H$ 代入 $F = IBL\sin\theta$ 即可。铁心等介质中，若导线处在 $\mu$ 的介质里，用这个式子；EJU 多数题是真空，$\mu = \mu_0$。

例题

例 1　（场景：两根平行电流 → 单位长度的力的大小和方向）

問題　間隔 $d = 0.20\ \mathrm{m}$ で平行に置いた 2 本の長い直線導線 A，B に，同じ向きにそれぞれ $I_1 = 4.0\ \mathrm{A}$，$I_2 = 6.0\ \mathrm{A}$ の電流が流れている。導線 1 m あたりにはたらく力の大きさと向きの組み合わせとして正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，真空の透磁率を $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \mathrm{N/A^2}$ とする。

	①	②	③	④
大きさ	$2.4 \times 10^{-5}\ \mathrm{N/m}$	$2.4 \times 10^{-5}\ \mathrm{N/m}$	$4.8 \times 10^{-5}\ \mathrm{N/m}$	$1.0 \times 10^{-5}\ \mathrm{N/m}$
向き	互いに引き合う	互いに反発する	互いに引き合う	互いに反発する

解答　導線 A が導線 B の位置につくる磁束密度は $B_1 = \dfrac{\mu_0 I_1}{2\pi d}$。導線 B の長さ $L$ の部分が受ける力は $F = B_1 I_2 L$ なので，単位長さあたりの力は

$$\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 4.0 \times 6.0}{2\pi \times 0.20} = 2.4 \times 10^{-5}\ \mathrm{N/m}$$

向き：電流が同向きなので，右手定則で A が B の位置につくる磁場を求め，左手定則で B の受力方向を求めると，B は A の側へ引かれる。同様に A も B の側へ引かれる。よって互いに引き合う。　答　①

中文翻译　题目：两根长直导线 A、B 平行放置，间距 $d = 0.20\ \mathrm{m}$，通有同向电流 $I_1 = 4.0\ \mathrm{A}$、$I_2 = 6.0\ \mathrm{A}$。每米导线受到的力的大小和方向，正确组合是哪个？真空磁导率 $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \mathrm{N/A^2}$。从①～④中选。解答：A 在 B 处产生的磁感应强度 $B_1 = \mu_0 I_1/(2\pi d)$，B 的 $L$ 长度受力 $F = B_1 I_2 L$，单位长度受力 $F/L = \mu_0 I_1 I_2/(2\pi d) = 2.4 \times 10^{-5}\ \mathrm{N/m}$。方向：电流同向，用右手定则求 A 在 B 处的磁场，再用左手定则求 B 受力，B 被拉向 A；同理 A 也被拉向 B，所以互相吸引。答案 ①。

解说　用到的是 18.5 的平行电流公式和“同向相吸”。容易卡在：把 $I_1$、$I_2$ 相加而不是相乘；把间距 $d$ 写成 $2d$；忘记同向相吸、按电荷“同种相斥”判断成反发。选项排除：③ 是分母漏了 2（或 $I$ 用了 $8.0\ \mathrm{A}$），④ 是电流用了 $I_1 + I_2 = 10\ \mathrm{A}$；② 方向错。单位核对：$\mathrm{N/A^2} \times \mathrm{A^2/m} = \mathrm{N/m}$。

例 2　（场景：匀强磁场中悬挂的导体棒 → 安培力与重力、张力的平衡）

問題　次の図のように，長さ $l = 0.20\ \mathrm{m}$，質量 $m = 5.0 \times 10^{-2}\ \mathrm{kg}$ の導体棒を，2 本の軽い糸で水平に吊るした。棒を紙面に垂直に保ったまま，鉛直上向きの一様な磁束密度 $B$ の中に置き，棒に紙面の裏向きに電流 $I = 2.0\ \mathrm{A}$ を流したところ，糸が鉛直方向から角 $\theta = 30^\circ$ だけ傾いて静止した。重力加速度の大きさを $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。

問　$B$ の大きさは何 T か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$0.71\ \mathrm{T}$　　②　$0.61\ \mathrm{T}$　　③　$1.2\ \mathrm{T}$　　④　$0.35\ \mathrm{T}$

解答　導体棒にはたらく力は，重力 $mg$（鉛直下向き），2 本の糸の張力の合力 $T$（糸の向き），磁場から受ける力 $F = I l B$（水平）である。力のつり合いより

$$T\sin\theta = F, \qquad T\cos\theta = mg$$

辺々を割ると $F = mg\tan\theta$。$F = I l B$ より

$$B = \frac{mg\tan\theta}{I l} = \frac{5.0 \times 10^{-2} \times 9.8 \times \tan 30^\circ}{2.0 \times 0.20} \approx 0.71\ \mathrm{T}$$

検算：$\theta = 0$ なら $B = 0$（电流为零或磁场为零时棒不偏）；$\theta$ 越大需要的 $B$ 越大，0.71 T 在永磁体可达范围内。　答　①

中文翻译　题目：如图，长 $l = 0.20\ \mathrm{m}$、质量 $m = 5.0 \times 10^{-2}\ \mathrm{kg}$ 的导体棒用两根轻糸水平悬挂。棒保持垂直纸面，放在竖直向上的匀强磁束密度 $B$ 中，通以垂直纸面向里的电流 $I = 2.0\ \mathrm{A}$，糸从竖直方向倾斜 $\theta = 30^\circ$ 后静止。重力加速度 $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$。问：$B$ 是多少 T？从①～④中选。解答：棒受重力 $mg$（竖直向下）、两根糸的合力 $T$（沿糸方向）、安培力 $F = IlB$（水平）。平衡：$T\sin\theta = F$，$T\cos\theta = mg$，相除得 $F = mg\tan\theta$。所以 $B = mg\tan\theta/(Il) = 5.0 \times 10^{-2} \times 9.8 \times \tan 30^\circ/(2.0 \times 0.20) \approx 0.71\ \mathrm{T}$。检验：$\theta = 0$ 时 $B = 0$；$\theta$ 越大所需 $B$ 越大，0.71 T 在永磁体可达范围内。答案 ①。

解说　用到的是 18.5 的 $F = IlB$ 和力的平衡。容易卡在：把安培力方向画成竖直方向（应水平，因为 $I$ 垂直纸面、$B$ 竖直，$F$ 同时垂直于两者）；或者把 $\tan\theta$ 写成 $\sin\theta$。选项排除：② 是用 $\sin\theta$ 算的，③ 是忘了安培力里的 $I$ 或 $l$ 的因子 2，④ 是把分母多乘了 2；只有 ① 对。另一种解法：画力三角形，$F$ 与 $mg$ 垂直，合力沿糸方向，$\tan\theta = \dfrac{F}{mg}$，一步得到 $F = mg\tan\theta$，不必列两个方程。

常用推论

• 匀强磁场中的直导线：$F = IBL\sin\theta = \mu H I L\sin\theta$；$I \perp B$ 时 $F = IBL$，$I \parallel B$ 时 $F = 0$。
• 平行电流单位长度的力：$\dfrac{F}{L} = \dfrac{\mu I_1 I_2}{2\pi d}$，真空中 $\dfrac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}$；同向相吸、反向相斥。
• 三根以上平行导线：先两两求力，再按矢量合成；同向电流之间的力是吸引力，反向是排斥力。
• アンペアの定義（历史）：真空中相距 $1\ \mathrm{m}$ 的两根无限长平行导线通 $1\ \mathrm{A}$ 电流时，每米受力 $2 \times 10^{-7}\ \mathrm{N}$（教材没有，考试常用，作为数量级核对）。
• 导体棒悬挂在竖直磁场中偏转 $\theta$：$B = \dfrac{mg\tan\theta}{Il}$；若磁场水平、导体棒水平，则安培力竖直，平衡式换成 $B = \dfrac{mg}{Il}$（电流方向要使得力向上）。

易错点

• 错在哪：判断安培力方向时用右手，或者把“电流产生磁场”的右手定则和“电流受力”的左手定则混在一起。 为什么错：磁场由电流产生用右手螺旋；磁场对电流的力用左手（フレミングの左手の法則）。 正确做法：先判断题目问的是“磁场方向”还是“力的方向”；磁场用右手，力用左手。左手定则：中指电流、人差指磁场、拇指力。
• 错在哪：认为两根平行导线“同向电流相斥”，因为“同种电荷相斥”。 为什么错：电流之间的磁力与电荷的库仑力机制不同；同向电流在对方位置产生的磁场，使对方受到的力指向对方，所以相吸。 正确做法：记住“同向相吸、反向相斥”，并用右手定则 + 左手定则各推一次，推过一遍就不会记反。
• 错在哪：平行电流的力公式里把 $I_1 I_2$ 写成 $I_1 + I_2$，或者把间距 $d$ 写成 $2d$、忘了 $2\pi$。 为什么错：力来自 $B_1 I_2 L$，$B_1$ 和 $I_1$ 成正比、$F$ 和 $I_2$ 成正比，所以是乘积；$B_1$ 的分母是 $2\pi d$。 正确做法：先写 $B_1 = \dfrac{\mu I_1}{2\pi d}$，再写 $F = B_1 I_2 L$，一步一步代入，不要背整个公式。

直观理解

两根同向电流之间的磁场方向相反，互相抵消，磁场变弱；两根导线的外侧磁场方向相同，互相加强。磁力线像有弹性一样，会从磁场强的地方把导线往磁场弱的地方推，于是两根导线被推到一起，表现为相吸。反向电流之间的磁场在中间加强，导线被推向两侧，表现为相斥。安培力总是垂直于电流和磁场，就像一只手从侧面推导线。

关联知识点

• 国内对应：国内书第 25 章 25.5 节安培力、25.6 节安培力作用下的平衡与加速、25.7 节电流间的相互作用；第 5 章共点力的平衡。
• 前置：本书 18.4 的电流磁场三公式。
• 后续：本书 18.6 洛伦兹力（安培力是大量运动电荷受洛伦兹力的宏观表现）、第 19 章电磁感应（导体棒在磁场中运动受安培力）。
• 常一起考：先求电流产生的 $B$，再求另一根电流受到的力；导体棒在磁场中的平衡与偏转。

18.6 ローレンツ力と荷電粒子の運動

说明

ローレンツ力：运动电荷在磁场中受到的力。电荷量为 $q$（取绝对值），速度为 $v$，磁束密度为 $B$，速度与磁场的夹角为 $\theta$ 时

$$F = qvB\sin\theta$$

$v \perp B$ 时 $F = qvB$；$v \parallel B$ 时 $F = 0$。方向用 フレミングの左手の法則：中指指正电荷的运动方向，人差指指磁场方向，拇指指洛伦兹力方向。负电荷（电子）的受力方向与正电荷相反：把中指指向电子运动的反方向，或者先按正电荷判断再反向。

磁場中の荷電粒子の運動：不计重力时，

• $v \parallel B$：不受洛伦兹力，做匀速直线运动；
• $v \perp B$：洛伦兹力提供向心力，做 等速円運動：

$$qvB = \frac{mv^2}{r} \quad\Rightarrow\quad r = \frac{mv}{qB}, \qquad T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi m}{qB}$$

半径与速度成正比，周期与速度、半径无关，只由比荷 $\dfrac{q}{m}$ 和 $B$ 决定。这部分和国内书第 26 章 26.2、26.3 节完全相同，只是记号从国内的 $E_{\text{k}}$ 等换成日本写法。

ホール効果：电流流过的导体或半导体放在磁场中，电流和磁场都垂直的方向上会出现电位差，叫 ホール効果，这个电位差叫 ホール電圧。原因是运动电荷受洛伦兹力，向一侧偏转，在侧面堆积，直到产生的电场力与洛伦兹力平衡。电荷担体是正孔（p 型半導体）还是电子（n 型半導体），决定哪一侧电位高；因此霍尔电压的正负可以判断载流子的种类。国内书第 26 章 26.5 节讲过，EJU 只考定性判断。

使用场景

• 带电粒子垂直进入匀强磁场，给 $q$、$m$、$v$（或加速电压 $V$）和 $B$，问半径、周期、运动时间 → 用 $r = \dfrac{mv}{qB}$、$T = \dfrac{2\pi m}{qB}$；经电压 $V$ 加速时先用 $qV = \dfrac{1}{2}mv^2$ 求 $v$。

注意点

• 先看电荷正负。电子带负电，受力方向与正电荷相反；用左手定则时，中指要指电子运动的反方向。
• $v \parallel B$ 时洛伦兹力为零，粒子做匀速直线运动，不要套 $r = \dfrac{mv}{qB}$。
• 半径公式里的 $v$ 是垂直于 $B$ 的速度分量；$v$ 与 $B$ 斜交时，只有 $v\sin\theta$ 参与圆周运动，平行分量做匀速直线运动，合起来是螺旋线。
• 洛伦兹力始终垂直于速度，不做功，粒子的动能和速率不变；它只改变运动方向，不改变速度大小。
• 周期 $T = \dfrac{2\pi m}{qB}$ 与速度无关，这是回旋加速器能工作的基础；速度接近光速时质量变化，周期不再恒定（EJU 不考相对论）。
• ホール効果の电位高低：p 型半導体（正孔）和 n 型半導体（电子）相反；先判断载流子的运动方向，再用左手定则判断受力方向。

推导

$r = \dfrac{mv}{qB}$ 和 $T = \dfrac{2\pi m}{qB}$：$v \perp B$ 时，洛伦兹力大小 $qvB$ 不变，方向始终垂直于速度，正好提供匀速圆周运动的向心力：

$$qvB = m\frac{v^2}{r}$$

解得 $r = \dfrac{mv}{qB}$。周期 $T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi}{v}\cdot\dfrac{mv}{qB} = \dfrac{2\pi m}{qB}$，$v$ 约掉，所以周期与速度无关。

经电压加速后的半径：由动能定理 $qV = \dfrac{1}{2}mv^2$，得 $v = \sqrt{\dfrac{2qV}{m}}$，代入半径公式：

$$r = \frac{m}{qB}\sqrt{\frac{2qV}{m}} = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mV}{q}}$$

ホール電圧：设导体薄片宽 $w$、厚 $d$（$d$ 沿磁场方向），电流 $I$ 沿长度方向，磁场 $B$ 垂直薄片。载流子电荷 $q$、数密度 $n$、漂移速度 $v$，则 $I = nqv(wd)$。洛伦兹力 $qvB$ 与霍尔电场力 $qE$ 平衡时 $E = vB$，霍尔电压 $V_H = Ew = vBw$。代入 $v = \dfrac{I}{nqwd}$，得

$$V_H = \frac{IB}{nqd}$$

$w$ 约掉，$d$ 是沿磁场方向的厚度。正孔和电子的 $q$ 符号相反，霍尔电压的极性相反。

例题

例 1　（场景：经电压加速后垂直进入匀强磁场 → 求圆轨道半径）

問題　次の図のように，電圧 $V = 2.0 \times 10^3\ \mathrm{V}$ で加速した陽子を，紙面に垂直に裏向きの一様な磁束密度 $B = 0.50\ \mathrm{T}$ の磁場に，紙面内で磁場に垂直に入射させた。陽子の電荷を $e = 1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$，質量を $m = 1.67 \times 10^{-27}\ \mathrm{kg}$ とする。

問　陽子の円軌道の半径は何 m か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$1.3 \times 10^{-2}\ \mathrm{m}$　　②　$6.5 \times 10^{-3}\ \mathrm{m}$　　③　$9.1 \times 10^{-3}\ \mathrm{m}$　　④　$2.6 \times 10^{-2}\ \mathrm{m}$

解答　加速された陽子の速さ $v$ は，$eV = \dfrac{1}{2}mv^2$ より

$$v = \sqrt{\frac{2eV}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 2.0 \times 10^3}{1.67 \times 10^{-27}}} \approx 6.2 \times 10^5\ \mathrm{m/s}$$

ローレンツ力が向心力になるので，$evB = \dfrac{mv^2}{r}$ より

$$r = \frac{mv}{eB} = \frac{1.67 \times 10^{-27} \times 6.2 \times 10^5}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.50} \approx 1.3 \times 10^{-2}\ \mathrm{m}$$

検算：$r = \dfrac{1}{B}\sqrt{\dfrac{2mV}{e}} = \dfrac{1}{0.50}\sqrt{\dfrac{2 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 2.0 \times 10^3}{1.6 \times 10^{-19}}} \approx 1.3 \times 10^{-2}\ \mathrm{m}$。　答　①

中文翻译　题目：如图，质子经电压 $V = 2.0 \times 10^3\ \mathrm{V}$ 加速后，在纸面内垂直射入垂直纸面向里的匀强磁束密度 $B = 0.50\ \mathrm{T}$ 的磁场。质子电荷 $e = 1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$，质量 $m = 1.67 \times 10^{-27}\ \mathrm{kg}$。问：质子圆轨道半径是多少 m？从①～④中选最合适的值。解答：由 $eV = \dfrac{1}{2}mv^2$ 得 $v = \sqrt{2eV/m} \approx 6.2 \times 10^5\ \mathrm{m/s}$。洛伦兹力提供向心力，$evB = mv^2/r$，所以 $r = mv/(eB) \approx 1.3 \times 10^{-2}\ \mathrm{m}$。检验：$r = \sqrt{2mV/e}/B \approx 1.3 \times 10^{-2}\ \mathrm{m}$。答案 ①。

解说　用到的是 18.6 的 $r = \dfrac{mv}{qB}$ 和加速电压的动能定理。容易卡在：忘掉 $\sqrt{2}$ 中的 2，或者求出 $v$ 后忘除 $B$。选项排除：② 是忘除 $B$ 的结果，③ 是根号里漏了 2，④ 是半径多乘了 2；只有 ① 对。方向：质子带正电，速度向右、磁场向里，由左手定则受力向上，所以圆轨道向上弯。

常用推论

• 半径：$r = \dfrac{mv}{qB} = \dfrac{p}{qB} = \dfrac{\sqrt{2mK}}{qB}$（$K$ 为动能，日本写 $K$；国内写 $E_{\text{k}}$）。
• 经电压 $V$ 加速：$r = \dfrac{1}{B}\sqrt{\dfrac{2mV}{q}}$。
• 周期：$T = \dfrac{2\pi m}{qB}$，与速度、半径无关；频率 $f = \dfrac{qB}{2\pi m}$。
• 洛伦兹力不做功：速率和动能不变，只改变方向；求速度用动能定理时洛伦兹力不出现。
• ホール電圧：$V_H = \dfrac{IB}{nqd}$，$d$ 是沿磁场方向的厚度；正孔和电子的极性相反。EJU 多考定性，公式知道更好。
• 比荷 $\dfrac{q}{m}$ 越大，半径越小、周期越短；质子、氘核、$\alpha$ 粒子在同一磁场中的半径和周期比，按 $\dfrac{m}{q}$ 比较。

易错点

• 错在哪：判断电子受力方向时，直接把电子的运动方向当中指方向，忘了负电荷要反向。 为什么错：左手定则的中指指正电荷的运动方向；电子带负电，受力方向与正电荷相反。 正确做法：先按正电荷判断，再把结果反向；或者把中指指向电子运动的反方向。判断完可以用“受力指向圆心”核对。
• 错在哪：粒子速度与磁场平行时，仍然用 $F = qvB$ 算力，或者用 $r = \dfrac{mv}{qB}$ 算半径。 为什么错：$v \parallel B$ 时 $\sin\theta = 0$，洛伦兹力为零，粒子做匀速直线运动，没有圆周运动。 正确做法：先看 $v$ 和 $B$ 的夹角；只有垂直分量 $v\sin\theta$ 产生洛伦兹力，平行分量不受力。
• 错在哪：认为洛伦兹力会改变粒子的速率或动能，或者把洛伦兹力当成恒力处理。 为什么错：洛伦兹力始终垂直于速度，不做功；速度方向变，力的方向也跟着变，不是恒力。 正确做法：用“洛伦兹力不做功”判断速率不变；圆周运动中只把它当向心力，不要分解成切向力。

直观理解

洛伦兹力像一根始终垂直于速度的绳子，拉着粒子拐弯，但从不沿着运动方向推，所以只改变方向、不改变快慢。速度越快，需要的向心力越大，半径也越大；磁场越强、电荷越大，拐得越急，半径越小。周期与速度无关，就像操场跑道：跑得快的人半径大，但跑一圈的时间可能一样。霍尔效应像一群人被推着走，磁场从侧面把他们推向一边，直到边上堆积的电荷产生的电场把他们推回来，达到平衡。

关联知识点

• 国内对应：国内书第 26 章 26.2 节洛伦兹力、26.3 节匀强磁场中的匀速圆周运动、26.5 节速度选择器与霍尔效应。
• 前置：本书 18.5 安培力（安培力是洛伦兹力的宏观表现）、国内书第 10 章向心力、第 13 章动能定理。
• 后续：本书第 19 章电磁感应（ローレンツ力と誘導起電力）、第 21 章原子（磁场中的电子）。
• 常一起考：电场加速 + 磁场偏转；同一磁场中不同粒子的半径、周期比；霍尔电压的极性判断。

18.7 题型与答法

電流と磁場在 EJU 里出现在大問 Ⅳ（電気と磁気），一次 1–2 題，字母式和组合题为主，数值题也不少。据 20 回公开过去问，本章共 35 題（每回平均 1.8 題），是电磁部分出现最多的一章，但不能说每回必有。常和电场、电容器、电磁感应放在同一个大問里：先用电流磁场公式求 $B$，再求力或感应电动势；或者给两根平行电流，问磁场为零的位置。

两分钟做法：

1. 先分清题目问的是磁场（右手）还是力（左手），$H$ 还是 $B$。
2. 电流磁场先画磁力线定方向，再代三个公式之一；两根以上电流先分别求磁场，再矢量合成。
3. 平行电流先判断同向相吸、反向相斥，再代 $\dfrac{F}{L} = \dfrac{\mu I_1 I_2}{2\pi d}$。
4. 带电粒子先看 $v$ 与 $B$ 是否垂直，垂直才用 $r = \dfrac{mv}{qB}$；负电荷记得反向。

問題 1　（两根平行电流：磁场为零的位置）

次の図のように，紙面に垂直に貫く 2 本の長い直線導線 A，B が，間隔 $d$ で平行に置かれている。A，B には，どちらも紙面の表向きに，それぞれ $I$，$2I$ の電流が流れている。A と B を結ぶ直線上で，磁場の強さが 0 になる点はどこか。最も適当なものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　A から B の向きに $\dfrac{d}{3}$ の点 ②　A から B の向きに $\dfrac{d}{2}$ の点 ③　B から A の向きに $\dfrac{d}{3}$ の点 ④　2 本の導線の外側で，A から $d$ の点

解答　2 本の電流は同向きなので，A と B の間では 2 つの磁場が逆向きになり，打ち消し合う可能性がある。外側では 2 つの磁場が同じ向きになり，0 にならない。A から B の向きに距離 $x$ の点で磁場が 0 になるとすると

$$\frac{I}{2\pi x} = \frac{2I}{2\pi(d - x)}$$

両辺を整理すると $d - x = 2x$，$x = \dfrac{d}{3}$。検算：A に近いほど A の磁場が強いので，電流の小さい A に近い側で打ち消し合う。$x = \dfrac{d}{3}$ は A 寄りで，つじつまが合う。　答　①

中文翻译　题目：如图，两根垂直穿过纸面的长直导线 A、B 平行放置，间距 $d$。A、B 中都通有垂直纸面向外的电流，大小分别为 $I$、$2I$。在 A、B 的连线上，磁场强度为零的点在哪里？从①～④中选最合适的。解答：两电流同向，A、B 之间的两个磁场方向相反，可能抵消；外侧两个磁场同向，不会为零。设从 A 向 B 距离 $x$ 处磁场为零，则 $I/(2\pi x) = 2I/[2\pi(d-x)]$，解得 $x = d/3$。检验：A 的电流小，零点应靠近 A，$x = d/3$ 符合。答案 ①。

解说　两分钟做法：同向电流的零点一定在两根导线之间，先排除 ④；零点靠近电流小的一根，A 的电流是 $I$、B 是 $2I$，所以靠近 A，排除 ③；再用 $B \propto I/r$ 列式，得 $x = d/3$，不是中点，排除 ②。容易卡在：把“同向电流”误判成外侧有零点，或者忘记磁场大小与距离成反比。选项 ② 是误以为两电流相等；③ 是把靠近的一侧弄反。

問題 2　（电场加速 + 磁场圆周运动：半径的字母式）

質量 $m$，電荷 $q$ の荷電粒子を，電圧 $V$ で静止状態から加速し，一様な磁束密度 $B$ の磁場に，磁場に垂直に入射させた。粒子の円軌道の半径 $r$ はどのように表されるか。正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，粒子は光速よりじゅうぶん遅く，相対論的効果は無視できるものとする。

①　$\dfrac{1}{B}\sqrt{\dfrac{2mV}{q}}$　　②　$\dfrac{1}{B}\sqrt{\dfrac{mV}{q}}$　　③　$\dfrac{2}{B}\sqrt{\dfrac{mV}{q}}$　　④　$\dfrac{1}{B}\sqrt{\dfrac{2qV}{m}}$

解答　加速の段階では，電場がした仕事が運動エネルギーになる：

$$qV = \frac{1}{2}mv^2 \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$$

磁場中ではローレンツ力が向心力になる：

$$qvB = \frac{mv^2}{r} \quad\Rightarrow\quad r = \frac{mv}{qB}$$

$v$ を代入すると

$$r = \frac{m}{qB}\sqrt{\frac{2qV}{m}} = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mV}{q}}$$

検算：次元は $\dfrac{1}{\mathrm{T}}\sqrt{\dfrac{\mathrm{kg \cdot V}}{\mathrm{C}}} = \dfrac{1}{\mathrm{T}}\sqrt{\dfrac{\mathrm{kg \cdot J/C}}{\mathrm{C}}} = \mathrm{m}$，正しい。　答　①

中文翻译　题目：质量 $m$、电荷 $q$ 的带电粒子从静止经电压 $V$ 加速后，垂直射入匀强磁束密度 $B$ 的磁场。粒子的圆轨道半径 $r$ 怎么表示？从①～④中选正确的。粒子速度远小于光速，忽略相对论效应。解答：加速阶段 $qV = \dfrac{1}{2}mv^2$，得 $v = \sqrt{2qV/m}$；磁场中 $qvB = mv^2/r$，得 $r = mv/(qB)$。代入 $v$ 得 $r = \dfrac{1}{B}\sqrt{\dfrac{2mV}{q}}$。检验：量纲为 m，正确。答案 ①。

解说　两分钟做法：先写 $r = \dfrac{mv}{qB}$，再用 $v = \sqrt{2qV/m}$ 替换，注意根号里的 $2$ 和 $m/q$ 的位置。选项排除：② 漏了根号里的 2；③ 把 2 提到根号外；④ 把 $m$ 和 $q$ 的位置弄反。也可以用”$r$ 与 $\sqrt{m/q}$ 成正比“快速判断：$m$ 在分子、$q$ 在分母，只有 ① 符合。另一种解法：由 $r = \dfrac{\sqrt{2mK}}{qB}$，$K = qV$，直接得 $r = \dfrac{\sqrt{2mqV}}{qB} = \dfrac{1}{B}\sqrt{\dfrac{2mV}{q}}$。

問題 3　（同一磁场中不同粒子的半径比、周期比）

陽子と $\alpha$ 粒子を，同じ電圧で静止状態から加速し，同じ一様な磁束密度 $B$ の磁場に垂直に入射させた。陽子の質量を $m_{\mathrm p}$，電荷を $e$，$\alpha$ 粒子の質量を $4m_{\mathrm p}$，電荷を $2e$ とする。円軌道の半径の比 $r_{\mathrm p} : r_\alpha$ と，周期の比 $T_{\mathrm p} : T_\alpha$ の組み合わせとして正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

	①	②	③	④
$r_{\mathrm p} : r_\alpha$	$1 : \sqrt{2}$	$1 : 2$	$\sqrt{2} : 1$	$1 : \sqrt{2}$
$T_{\mathrm p} : T_\alpha$	$1 : 2$	$1 : \sqrt{2}$	$1 : 2$	$2 : 1$

解答　同じ電圧で加速すると，$qV = \dfrac{1}{2}mv^2$ より $v = \sqrt{\dfrac{2qV}{m}}$。半径は $r = \dfrac{mv}{qB} = \dfrac{1}{B}\sqrt{\dfrac{2mV}{q}}$ なので，$r \propto \sqrt{\dfrac{m}{q}}$。

$$\frac{r_{\mathrm p}}{r_\alpha} = \sqrt{\frac{m_{\mathrm p}/e}{4m_{\mathrm p}/(2e)}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

周期は $T = \dfrac{2\pi m}{qB}$ なので，$T \propto \dfrac{m}{q}$。

$$\frac{T_{\mathrm p}}{T_\alpha} = \frac{m_{\mathrm p}/e}{4m_{\mathrm p}/(2e)} = \frac{1}{2}$$

よって $r_{\mathrm p} : r_\alpha = 1 : \sqrt{2}$，$T_{\mathrm p} : T_\alpha = 1 : 2$。　答　①

中文翻译　题目：质子和 $\alpha$ 粒子从静止经相同电压加速后，垂直射入相同的匀强磁束密度 $B$。质子质量 $m_{\mathrm p}$、电荷 $e$，$\alpha$ 粒子质量 $4m_{\mathrm p}$、电荷 $2e$。圆轨道半径之比 $r_{\mathrm p}:r_\alpha$ 与周期之比 $T_{\mathrm p}:T_\alpha$ 的正确组合是哪个？从①～④中选。解答：相同电压加速，$qV = \dfrac{1}{2}mv^2$，$v = \sqrt{2qV/m}$；半径 $r = mv/(qB) = \sqrt{2mV/q}/B$，所以 $r \propto \sqrt{m/q}$，$r_{\mathrm p}/r_\alpha = \sqrt{(m_{\mathrm p}/e)/(4m_{\mathrm p}/2e)} = 1/\sqrt{2}$。周期 $T = 2\pi m/(qB)$，$T \propto m/q$，$T_{\mathrm p}/T_\alpha = (m_{\mathrm p}/e)/(4m_{\mathrm p}/2e) = 1/2$。所以半径比 $1:\sqrt{2}$，周期比 $1:2$。答案 ①。

解说　两分钟做法：先分清“相同电压加速”用 $r \propto \sqrt{m/q}$，不是 $r \propto m/q$；周期与速度无关，直接 $T \propto m/q$。$\alpha$ 粒子的 $m/q$ 是质子的 2 倍，所以半径是 $\sqrt{2}$ 倍、周期是 2 倍。选项排除：② 把半径比当成 $m/q$ 比；③ 把半径比倒过来；④ 把周期比倒过来。注意：如果题目说“相同速度”入射，半径比就变成 $m/q$ 比，不再是 $\sqrt{m/q}$，先看题目“相同”的是什么。

18.8 术语与题干用语

日文	读音	中文	例句或说明
磁気量	じきりょう	磁荷（磁极强度）	磁気量 $m$ の磁極
磁極	じきょく	磁极	N 極と S 極
磁気力	じきりょく	磁力	磁気力は磁極間に働く
磁場	じば	磁场（$H$）	磁場の強さ $H$
磁束密度	じそくみつど	磁感应强度（$B$）	磁束密度の大きさ $B$
透磁率	とうじりつ	磁导率	真空の透磁率 $\mu_0$
比透磁率	ひとうじりつ	相对磁导率	鉄の比透磁率は大きい
磁束	じそく	磁通量	磁束 $\Phi = BS$
磁力線	じりょくせん	磁感线	磁力線の向き
磁化	じか	磁化	鉄が磁化される
磁性体	じせいたい	磁性材料	強磁性体・常磁性体・反磁性体
強磁性体	きょうじせいたい	铁磁体	鉄、ニッケル、コバルト
常磁性体	じょうじせいたい	顺磁体	アルミニウム、空気
反磁性体	はんじせいたい	抗磁体	銅、水、ビスマス
直線電流	ちょくせんでんりゅう	直线电流	直線電流がつくる磁場
円形電流	えんけいでんりゅう	圆形电流	円形電流の中心の磁場
ソレノイド	それのいど	螺线管	ソレノイドの内部は一様
巻数	まきすう	匝数	巻数 $N$
単位長さあたりの巻数	たんいながさあたりのまきすう	单位长度匝数	$n = N/L$
右ねじの法則	みぎねじのほうそく	右手螺旋定则	電流の向きから磁場の向きを決める
フレミングの左手の法則	ふれみんぐのひだりてのほうそく	弗莱明左手定则	電流が磁場から受ける力の向き
平行電流	へいこうでんりゅう	平行电流	平行電流が及ぼし合う力
ローレンツ力	ろーれんつりょく	洛伦兹力	荷電粒子にはたらくローレンツ力
荷電粒子	かでんりゅうし	带电粒子	磁場中の荷電粒子の運動
等速円運動	とうそくえんうんどう	匀速圆周运动	ローレンツ力を向心力とする等速円運動
ホール効果	ほーるこうか	霍尔效应	ホール効果で電位差が生じる
ホール電圧	ほーるでんあつ	霍尔电压	ホール電圧の向き
一様な磁場	いちようなじば	匀强磁场	一様な磁束密度 $B$
紙面に垂直	しめんにすいちょく	垂直于纸面	紙面に垂直に裏向き
検算	けんざん	验算	検算すると，もとの式に戻る

题干里常见的固定说法：

日文说法	中文	说明
〜はどのように表されるか。正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。	〜怎么表示？从①～④中选一个正确的。	字母式题的标准问法
〜は何 T か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。	〜是多少 T？从①～④中选最合适的值。	数值题，数据和选项两位有效数字
正しい組み合わせを，次の①～④の中から一つ選びなさい。	从①～④中选出正确的组合。	大小与方向、两个判断的配对
ただし，真空の透磁率を $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \mathrm{N/A^2}$ とする。	设真空磁导率为……	条件集中在「ただし」句里
磁場の向きはどうなるか。	磁场方向如何？	用右手定则判断
電流が磁場から受ける力の向きはどうなるか。	电流受到的磁场力方向如何？	用左手定则判断

18.9 自测

1. 真空の透磁率を $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \mathrm{N/A^2}$ とする。磁場の強さ $H = 5.0 \times 10^2\ \mathrm{A/m}$ のとき，磁束密度 $B$ は何 T か。　（真空磁导率 $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \mathrm{N/A^2}$，磁场强度 $H = 5.0 \times 10^2\ \mathrm{A/m}$ 时，磁感应强度 $B$ 是多少 T？）
2. 点磁極とみなせる磁気量 $m = 2.0 \times 10^{-5}\ \mathrm{Wb}$ の磁極が，一様な磁場から $F = 1.0 \times 10^{-1}\ \mathrm{N}$ の力を受けた。この磁場の強さ $H$ は何 A/m か。　（可视为点磁极的磁気量 $m = 2.0 \times 10^{-5}\ \mathrm{Wb}$ 的磁极，在匀强磁场中受 $F = 1.0 \times 10^{-1}\ \mathrm{N}$ 的力。磁场强度 $H$ 是多少 A/m？）
3. 鉄と銅では，同じ外部磁場の中に置いたとき，内部の磁束密度が外部より大きくなるのはどちらか。　（铁和铜放入相同 external 磁场时，哪个内部磁感应强度比外部大？）
4. 長い直線導線に $I = 5.0\ \mathrm{A}$ の電流が流れている。導線から $r = 0.10\ \mathrm{m}$ の点の磁場の強さ $H$ は何 A/m か。　（长直导线通 $I = 5.0\ \mathrm{A}$ 电流，离导线 $r = 0.10\ \mathrm{m}$ 处的磁场强度 $H$ 是多少 A/m？）
5. 半径 $r = 0.050\ \mathrm{m}$ の円形コイルに $I = 3.0\ \mathrm{A}$ の電流が流れている。中心の磁束密度 $B$ は何 T か。真空の透磁率を $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \mathrm{N/A^2}$ とする。　（半径 $r = 0.050\ \mathrm{m}$ 的圆形线圈通 $I = 3.0\ \mathrm{A}$ 电流，中心磁感应强度 $B$ 是多少 T？真空磁导率……）
6. 長さ $L = 0.20\ \mathrm{m}$，巻数 $N = 400$ 回のソレノイドに $I = 0.50\ \mathrm{A}$ の電流を流した。内部の磁場の強さ $H$ は何 A/m か。　（长 $L = 0.20\ \mathrm{m}$、匝数 $N = 400$ 的螺线管通 $I = 0.50\ \mathrm{A}$ 电流，内部磁场强度 $H$ 是多少 A/m？）
7. 間隔 $d = 0.10\ \mathrm{m}$ の 2 本の平行導線に，同向きに $I_1 = 2.0\ \mathrm{A}$，$I_2 = 3.0\ \mathrm{A}$ の電流が流れている。1 m あたりにはたらく力の大きさは何 N/m か。真空の透磁率を $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \mathrm{N/A^2}$ とする。　（间距 $d = 0.10\ \mathrm{m}$ 的两根平行导线通同向电流 $I_1 = 2.0\ \mathrm{A}$、$I_2 = 3.0\ \mathrm{A}$，每米受力多少 N/m？）
8. 磁束密度 $B = 0.20\ \mathrm{T}$ の一様な磁場に垂直に，速さ $v = 1.0 \times 10^6\ \mathrm{m/s}$ で電子を入射させた。電子の電荷の大きさを $e = 1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$ とする。電子にはたらくローレンツ力の大きさは何 N か。　（电子以 $v = 1.0 \times 10^6\ \mathrm{m/s}$ 垂直进入 $B = 0.20\ \mathrm{T}$ 的匀强磁场，洛伦兹力多少 N？）

答案：1. $B = \mu_0 H = 4\pi \times 10^{-7} \times 5.0 \times 10^2 \approx 6.3 \times 10^{-4}\ \mathrm{T}$　2. $H = F/m = 1.0 \times 10^{-1}/(2.0 \times 10^{-5}) = 5.0 \times 10^3\ \mathrm{A/m}$　3. 鉄（強磁性体で $\mu_r \gg 1$；銅は反磁性体で $\mu_r < 1$）　4. $H = I/(2\pi r) = 5.0/(2\pi \times 0.10) \approx 8.0\ \mathrm{A/m}$　5. $B = \mu_0 I/(2r) = 4\pi \times 10^{-7} \times 3.0/(2 \times 0.050) \approx 3.8 \times 10^{-5}\ \mathrm{T}$　6. $n = N/L = 400/0.20 = 2.0 \times 10^3\ \text{回/m}$，$H = nI = 1.0 \times 10^3\ \mathrm{A/m}$　7. $F/L = \mu_0 I_1 I_2/(2\pi d) = 4\pi \times 10^{-7} \times 2.0 \times 3.0/(2\pi \times 0.10) = 1.2 \times 10^{-5}\ \mathrm{N/m}$　8. $F = evB = 1.6 \times 10^{-19} \times 1.0 \times 10^6 \times 0.20 = 3.2 \times 10^{-14}\ \mathrm{N}$

18.10 深入阅读

• JASSO · 理科（物理）シラバス：本章对应「電流と磁場」：磁場、磁束密度、電流がつくる磁場、電流が磁場から受ける力、ローレンツ力。
• 维基百科（日文）· 磁場：磁場 $H$ 与磁束密度 $B$、透磁率 $\mu$ 的日文说明，配合本章的日本记号。
• PhET · 磁铁和指南针：观察磁力线、电流的磁场和电磁铁，理解右手定则。
• 维基百科（日文）· ローレンツ力：洛伦兹力的日文定义和带电粒子在磁场中的圆周运动。