第 9 章 · 万有引力

项目	内容
シラバス项目	Ⅰ 力学 3. さまざまな力と運動 (4) 万有引力：惑星の運動（ケプラーの法則），万有引力，重力，万有引力による位置エネルギー，力学的エネルギーの保存
国内书对应	第 11 章 万有引力与航天：11.2 开普勒定律，11.3 万有引力定律（含重力与万有引力），11.4 天体质量与密度，11.5 卫星的运动参量，11.6 三种宇宙速度与变轨
本章新内容的分量	以讲法不同为主。国内给出万有引力定律、开普勒定律、卫星参量和三种宇宙速度的数值，但不给引力势能公式 $U=-\dfrac{GMm}{r}$，也不用能量守恒处理轨道和逃逸；EJU 要求用引力势能求椭圆轨道两点的速度、求脱出速度，并用面積速度写开普勒第二定律。重力与万有引力的差别只作定性要求
过去问出现次数	20 回共 7 題（每回平均 0.35 題）：2011 年第 2 回至 2012 年第 2 回连续 3 回各 1 題，2017 年两回、2019 年第 1 回、2020 年第 2 回各 1 題，其余 13 回没有

国内书第 11 章已经把万有引力定律、开普勒定律、卫星参量和三种宇宙速度讲得很完整，EJU 的「万有引力」和这些内容大部分重合。真正的差别在能量：日本高中物理给出万有引力による位置エネルギー $U=-\dfrac{GMm}{r}$，并用它求脱出速度和椭圆轨道上两点的速度；国内只在变轨的注意点里提一句“要用到引力势能，高中不要求”。另一个差别是面積速度的写法，EJU 题面常用这个词，国内只写“相等时间扫过相等面积”。本章只写这几处国内没讲或讲法不同的内容；万有引力定律本身、卫星的圆轨道参量、变轨，见国内书第 11 章。

9.1 与国内的对照

シラバス小項目（日文原文）	国内书位置	相同 / 讲法不同 / 国内没有	本章哪节讲
惑星の運動（ケプラーの法則）	国内书第 11 章 11.2（三条定律、$v_1r_1=v_2r_2$、第三定律）	讲法不同：国内用“相等时间扫过相等面积”的文字，EJU 常用「面積速度」$\dfrac{1}{2}rv\sin\theta$ 的写法，并要求用它求速度比	9.4
万有引力	国内书第 11 章 11.3（定律、$G$、$GM=gR^2$、质点与均匀球体模型）	相同	引用国内书 11.3
重力	国内书第 11 章 11.3（万有引力的一个分力提供自转向心力，两极与赤道）	相同：国内讲了定性结论；EJU 只考定性判断，不要求分解矢量	9.5
万有引力による位置エネルギー	国内书第 11 章 11.6 注意点只提“要用到引力势能，高中不要求”	国内没有公式	9.2
力学的エネルギーの保存	国内书第 11 章 11.6 只在变轨中定性讲机械能变化，不用能量守恒列式	讲法不同：EJU 要求用 $E=\dfrac{1}{2}mv^2-\dfrac{GMm}{r}$ 求脱出速度和椭圆轨道两点的速度	9.3
（円軌道の衛星参量，シラバス归在万有引力下）	国内书第 11 章 11.5（$v$、$\omega$、$T$、$a$ 与 $r$ 的关系，同步卫星）	相同	题型与答法引用

本章四个知识点的顺序：先建立引力势能（9.2），再用它写机械能守恒并求脱出速度（9.3）；然后把开普勒定律整理成面積速度和第三定律的写法（9.4）；最后回到“重力到底是不是万有引力”这个定性问题上（9.5）。国内书讲过的万有引力定律、卫星圆轨道参量、变轨和三种宇宙速度的数值，不再展开，只在题型与答法里用日文题面练一遍。

9.2 万有引力による位置エネルギー

说明

万有引力による位置エネルギー（引力势能）：把无限远定为势能零点时，质量 $m$ 的物体在距中心天体（质量 $M$）中心 $r$ 处，具有的势能为

$$U = -\frac{GMm}{r}$$

其中 $G$ 是万有引力常量。单位是 $\mathrm{J}$，和国内的重力势能一样。

为什么是负的：无限远处引力为零，把那里定为 0。物体从无限远被引力拉向中心天体的过程中，引力做正功，势能减少，所以有限距离处的势能都比 0 小，只能取负值。$r$ 越小，负得越多，势能越低。这正像把小球放进一个漏斗：越靠近漏斗底，位置越低。

和国内 $mgh$ 的关系：国内的重力势能 $mgh$ 只在地球表面附近成立，而且零点是任意选的。EJU 的 $U=-\dfrac{GMm}{r}$ 以无限远为零点，适用于任意距离。两者并不矛盾：在地表附近，两者只差一个常数，而真正有物理意义的是势能的差。

设地球半径为 $R$，把物体从地表移到高 $h$ 处，势能增加

$$\Delta U = U(R+h)-U(R) = GMm\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{R+h}\right) = \frac{GMmh}{R(R+h)}$$

当 $h \ll R$ 时，$R(R+h) \approx R^2$，再用 $GM=gR^2$，得

$$\Delta U \approx \frac{GMmh}{R^2} = mgh$$

这就是国内的重力势能公式。关键一步：$mgh$ 是势能差，不是势能本身；在 EJU 里，只要题目出现“無限遠を基準とする”或距离与星球半径可比，就必须用 $-\dfrac{GMm}{r}$。

使用场景

• 题目明确“無限遠を位置エネルギーの基準とする”，求某点的势能，或求两点间的势能差 → 直接代 $U=-\dfrac{GMm}{r}$，$r$ 取到中心天体的中心距离 → 两点相减。
• 题目把物体从地表移到高空，或从高空落回地表，问引力做的功或外力做的功 → 势能差 → $W_{\text{引力}}=U_1-U_2$，$W_{\text{外力}}=\Delta U$；高度与 $R$ 可比时不能用 $mgh$。

注意点

• $r$ 是到中心天体中心的距离。卫星离地面高 $h$，$r=R+h$，不是 $h$。
• $U$ 在有限距离处一定是负的；$r$ 增大时 $U$ 增大（从负值趋近 0），不要因为“负得少”就以为势能减小。
• 势能属于物体和中心天体组成的系统，说“物体的势能”是简略说法。中心天体固定不动时，把它当成物体一方的势能来处理没有问题。
• 势能的绝对值没有物理意义，改变零点只是给所有势能加同一个常数；但 EJU 题一旦指定“無限遠が基準”，就要按这个零点算，否则答案的符号和大小都会错。
• 日本教科书用「位置エネルギー」，国内叫“势能”；「万有引力による位置エネルギー」就是国内的“引力势能”。
• 地表处的势能可以写成 $U(R)=-\dfrac{GMm}{R}=-mgR$（用了 $GM=gR^2$），这个形式在求脱出速度时很方便。

推导

由功求势能：引力大小 $F=\dfrac{GMm}{x^2}$，方向指向中心。把物体从距离 $x$ 移到 $x+\Delta x$（$\Delta x>0$）时，引力方向与位移方向相反，引力做负功，势能增加。反过来，从无限远移到 $r$，引力做正功，势能从 0 降到 $U(r)$。

严格计算要对变力做功求和（$F$-$x$ 图线下面积）。引力与距离平方成反比，从 $r$ 到无限远的 $F$-$x$ 图下面积是 $\dfrac{GMm}{r}$，所以

$$U(r)-U(\infty) = -\frac{GMm}{r}$$

取 $U(\infty)=0$，就得到 $U(r)=-\dfrac{GMm}{r}$。高中阶段记住这个结果和“无限远为零、势能为负”两点即可。

地表附近的近似：把上面的 $\Delta U$ 展开。$h \ll R$ 时

$$\Delta U = GMm\frac{h}{R(R+h)} \approx \frac{GMm}{R^2}h = mgh$$

（关键一步：$GM/R^2$ 正是地表的重力加速度 $g$。这说明 $mgh$ 是引力势能在小高度下的近似，不是另一个规律。）

例题

例 1　（场景：把物体从地表移到高 $R$ 处，求外力做的功 → 用势能差，不用 $mgh$）

問題　地球の質量を $M$，半径を $R$，万有引力定数を $G$ とする。質量 $m$ の物体を，地球の表面から高さ $R$ の地点まで，ゆっくりと持ち上げた。無限遠を万有引力による位置エネルギーの基準とする。地球の自転と空気の抵抗は無視できるものとする。

問　このとき外力がした仕事 $W$ はどのように表されるか。正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$\dfrac{GMm}{2R}$　　②　$\dfrac{GMm}{R}$　　③　$\dfrac{3GMm}{2R}$　　④　$\dfrac{2GMm}{R}$

解答　地表は $r=R$，高さ $R$ の地点は $r=2R$ である。それぞれの位置エネルギーは

$$U(R)=-\frac{GMm}{R},\qquad U(2R)=-\frac{GMm}{2R}$$

ゆっくり持ち上げるので，外力の仕事は位置エネルギーの増加に等しい。

$$W=U(2R)-U(R)=-\frac{GMm}{2R}+\frac{GMm}{R}=\frac{GMm}{2R}$$

検算：高さが $R$ に比べてじゅうぶん小さければ $W \approx mgh=mgR=\dfrac{GMm}{R}$ だが，今回は高さが $R$ と同じ大きさなので，重力が弱くなる分だけ仕事は半分になる。　答　①

中文翻译　题目：地球质量为 $M$、半径为 $R$，万有引力常量为 $G$。把质量 $m$ 的物体从地球表面缓慢举到高 $R$ 处，以无限远为引力势能零点，忽略地球自转和空气阻力。问：外力做的功 $W$ 怎么表示？从①～④中选一个正确的。 解答：地表 $r=R$，高 $R$ 处 $r=2R$，两处势能分别为 $U(R)=-\dfrac{GMm}{R}$、$U(2R)=-\dfrac{GMm}{2R}$。缓慢举高时外力做功等于势能增加，$W=U(2R)-U(R)=\dfrac{GMm}{2R}$。检验：高度远小于 $R$ 时 $W\approx mgh=mgR=\dfrac{GMm}{R}$；这次高度和 $R$ 同量级，重力变弱，功只有一半。答案 ①。

解说　用到的是本节“说明”里的势能差公式。容易卡在：直接把 $h=R$ 代进 $mgh$，得到 $\dfrac{GMm}{R}$（选项 ②）。$mgh$ 只适用于高度远小于星球半径的情形，高度和半径可比时必须用 $-\dfrac{GMm}{r}$ 相减。选项 ③ 是把 $U(R)$ 的符号弄反后相加，选项 ④ 是忘了势能差里的 $\dfrac{1}{2}$。另一种解法：用 $W=\displaystyle\int_R^{2R}\frac{GMm}{r^2}\,dr$ 直接对变力做积分，结果相同；EJU 不要求积分，但可以用来核对。

例 2　（场景：从无限远落到某距离，求引力做的功 → 功等于势能减少）

問題　地球の質量を $M=6.0\times10^{24}\ \mathrm{kg}$，半径を $R=6.4\times10^6\ \mathrm{m}$，万有引力定数を $G=6.7\times10^{-11}\ \mathrm{N\cdot m^2/kg^2}$ とする。質量 $5.0\times10^2\ \mathrm{kg}$ の物体を無限遠から，地球の中心から距離 $2R$ の地点まで運ぶとき，万有引力が物体にする仕事 $W$ は何 J か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$1.6\times10^{10}\ \mathrm{J}$　　②　$-1.6\times10^{10}\ \mathrm{J}$　　③　$3.1\times10^{10}\ \mathrm{J}$　　④　$1.6\times10^{9}\ \mathrm{J}$

解答　無限遠での位置エネルギーは 0，距離 $2R$ での位置エネルギーは

$$U(2R)=-\frac{GMm}{2R} =-\frac{(6.7\times10^{-11})\times(6.0\times10^{24})\times(5.0\times10^{2})}{2\times6.4\times10^{6}} \approx -1.6\times10^{10}\ \mathrm{J}$$

万有引力がする仕事は位置エネルギーの減少に等しい。

$$W=-[U(2R)-U(\infty)]=0-(-1.6\times10^{10})=1.6\times10^{10}\ \mathrm{J}$$

検算：引力は物体を地球の方向へ引く。無限遠から近づく向きと引力の向きが同じなので，仕事は正でなければならない。　答　①

中文翻译　题目：地球质量 $M=6.0\times10^{24}\ \mathrm{kg}$，半径 $R=6.4\times10^6\ \mathrm{m}$，万有引力常量 $G=6.7\times10^{-11}\ \mathrm{N\cdot m^2/kg^2}$。把质量 $5.0\times10^2\ \mathrm{kg}$ 的物体从无限远运到距地心 $2R$ 处，万有引力对物体做的功 $W$ 是多少 J？从①～④中选最合适的值。 解答：无限远处势能为 0，$2R$ 处势能 $U(2R)=-\dfrac{GMm}{2R}\approx-1.6\times10^{10}\ \mathrm{J}$。万有引力做的功等于势能减少，$W=0-(-1.6\times10^{10})=1.6\times10^{10}\ \mathrm{J}$。检验：引力指向地球，物体从无限远靠近，位移方向与引力方向相同，功应为正。答案 ①。

解说　用到的是“引力做功等于势能减少”这一条。容易卡在符号：先算出的 $U(2R)$ 是负的，功是 $-$势能变化，两个负号合起来才是正。选项 ② 是直接把势能当成功，选项 ③ 是漏了 $\dfrac{1}{2}$，选项 ④ 是数量级算错（少了一个 10）。数值题先把 $G$、$M$、$m$、$r$ 的数量级写在一起，再算系数，能避免这种错。

常用推论

• 两点间的势能差：$U_2-U_1=GMm\left(\dfrac{1}{r_1}-\dfrac{1}{r_2}\right)$。$r_2>r_1$ 时为正，势能升高。
• 引力做的功 $W_{\text{引力}}=U_1-U_2$；外力缓慢搬运时 $W_{\text{外力}}=U_2-U_1$。两者只差符号，判断符号时看“引力方向与位移方向”最快。
• 地表势能 $U(R)=-\dfrac{GMm}{R}=-mgR$。求脱出速度、求地表附近的能量时常用。
• 近地表小高度：$\Delta U=mgh$，其中 $h \ll R$。这是近似，高度与 $R$ 可比时误差很大。
• 圆轨道上 $U=-2K$，$E=-K$（9.3 节）。教材没有单独列，但由 $U=-\dfrac{GMm}{r}$ 和 $K=\dfrac{GMm}{2r}$ 一眼可得，考试常用。

易错点

• 错在哪：把 $U=-\dfrac{GMm}{r}$ 写成正的，或认为 $r$ 越大势能越小。 为什么错：无限远是零点，引力把物体往里拉，有限距离处势能必须低于零点；$r$ 越大越接近 0，势能是增大的。 正确做法：先写“无限远处 $U=0$”，再判断有限距离处 $U<0$，最后比较两点时用差值。
• 错在哪：卫星离地高 $h$，就把 $r$ 写成 $h$。 为什么错：万有引力的 $r$ 是到地心的距离，地球半径不能忽略；$h$ 只是到地表的距离。 正确做法：先画一条从地心到卫星的线，标出 $R$ 和 $h$，写 $r=R+h$ 再代公式。
• 错在哪：高度很大时仍用 $mgh$ 算势能变化。 为什么错：$g$ 随高度减小，$mgh$ 默认 $g$ 不变；高度与 $R$ 可比时，实际势能差比 $mgh$ 小。 正确做法：看到“無限遠が基準”或高度与 $R$ 可比，一律用 $-\dfrac{GMm}{r}$ 相减；只有 $h \ll R$ 才用 $mgh$。

直观理解

把引力势能想成一口井：无限远是井口的地面，势能为 0；越靠近地球，井壁越陡，势能越低（负得越多）。物体要离开地球，就是要把井里的球推到井口，必须补上它缺的那部分能量。井越深（星球质量越大、半径越小），爬出去越费劲，这就是脱出速度的来源。国内学的 $mgh$ 只是井底附近一小段近似看成斜坡。

关联知识点

• 前置：国内书第 11 章 11.3 万有引力定律（$F=\dfrac{GMm}{r^2}$、$GM=gR^2$）；国内书第 12 章 功和能（功是能量转化的量度）。
• 后续：本书 9.3 节万有引力下的机械能守恒（用势能求速度、脱出速度）；9.4 节面積速度（椭圆轨道上速度与距离的关系）。
• 常一起考：本书 9.5 节重力与万有引力（地表势能 $U=-mgR$ 与 $mg=G\dfrac{Mm}{R^2}$ 的配合）。

9.3 万有引力のもとでの力学的エネルギーの保存

说明

力学的エネルギー（机械能）：动能加势能。在万有引力作用下，物体只受引力（或还受其他力但其他力不做功）时，机械能守恒：

$$E=K+U=\frac{1}{2}mv^2-\frac{GMm}{r}=\text{一定}$$

这个式子是本章解题的主干：知道某一点的 $r$ 和 $v$，就能求机械能；知道机械能和另一点的 $r$，就能求那一点的 $v$。

圆轨道的能量：圆轨道上万有引力提供向心力，

$$\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r} \quad\Rightarrow\quad K=\frac{1}{2}mv^2=\frac{GMm}{2r}$$

于是

$$E=K+U=\frac{GMm}{2r}-\frac{GMm}{r}=-\frac{GMm}{2r}$$

圆轨道的机械能是负的，$K=-E$，$U=2E$，$|U|=2K$。这三个比例在选择题里出现得很多。

椭圆轨道：椭圆轨道上 $r$ 和 $v$ 都在变，但 $E$ 不变。$r$ 小的地方（近日点）$U$ 小（负得多），$K$ 就大，速度快；$r$ 大的地方（远日点）$K$ 小，速度慢。这就是“近快远慢”的能量解释。

三种轨道与能量的符号：

• $E<0$：物体被引力束缚，轨道是圆或椭圆；
• $E=0$：恰好能到达无限远，轨道是抛物线；
• $E>0$：能到达无限远且还有剩余动能，轨道是双曲线。

EJU 只考圆和椭圆，但”$E=0$ 恰好逃脱“这个临界条件必须掌握。

脱出速度（逃逸速度）：从星球表面（半径 $R$）发射，恰好能到无限远（到无限远时速率为 0）的最小初速度 $v_e$。此时表面的机械能为 0：

$$\frac{1}{2}mv_e^2-\frac{GMm}{R}=0 \quad\Rightarrow\quad v_e=\sqrt{\frac{2GM}{R}}=\sqrt{2gR}$$

其中用了 $GM=gR^2$。地球的 $v_e \approx 11\ \mathrm{km/s}$，正好是第一宇宙速度 $v_1=\sqrt{gR}\approx 7.9\ \mathrm{km/s}$ 的 $\sqrt{2}$ 倍。

使用场景

• 圆轨道卫星，问动能、势能、机械能，或问它们的比值、随 $r$ 的变化 → 用 $K=\dfrac{GMm}{2r}$、$U=-\dfrac{GMm}{r}$、$E=-\dfrac{GMm}{2r}$，三者都只由 $r$ 决定，与卫星质量无关（比值与 $m$ 无关）。
• 从星球表面或高空发射，问脱出速度、问能否逃离 → 用 $E=0$ 的临界条件，或比较初动能与势能井的深度 → $v_e=\sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$，$r$ 是发射点到球心的距离。
• 椭圆轨道上已知一点的速度和距离，求另一点的速度 → 机械能守恒 → $\dfrac{1}{2}mv_1^2-\dfrac{GMm}{r_1}=\dfrac{1}{2}mv_2^2-\dfrac{GMm}{r_2}$。若还知道速度方向与半径垂直，也可用 9.4 的面積速度。

注意点

• 机械能守恒的条件是“只有引力做功”。空气阻力、发动机点火、大气摩擦都会改变机械能；有这些时要另算功。
• $E=-\dfrac{GMm}{2r}$ 只对圆轨道成立；椭圆轨道要用 $-\dfrac{GMm}{2a}$（$a$ 是半长轴），或直接用两点的能量相等。
• 脱出速度是“从表面发射”的速度。从高 $h$ 处发射，$r=R+h$，需要的速度小；从越高的地方逃逸越省力。
• 第一宇宙速度 $7.9\ \mathrm{km/s}$ 是圆轨道环绕速度，不是脱出速度；脱出速度是它的 $\sqrt{2}$ 倍，约 $11\ \mathrm{km/s}$。
• 发射速度在 $v_1$ 和 $v_e$ 之间时，物体沿椭圆轨道绕地球运动，发射点是近地点；超过 $v_e$ 才脱离地球。
• 用能量守恒时，$r$ 一律取到中心天体的中心；在地表发射时 $r=R$，不要漏掉星球半径。

推导

圆轨道能量：由 $\dfrac{GMm}{r^2}=\dfrac{mv^2}{r}$ 得 $v^2=\dfrac{GM}{r}$，所以 $K=\dfrac{1}{2}mv^2=\dfrac{GMm}{2r}$。再加上 $U=-\dfrac{GMm}{r}$，得 $E=-\dfrac{GMm}{2r}$。

脱出速度：设发射速度为 $v_e$，到无限远时速率为 0。表面机械能等于无限远机械能：

$$\frac{1}{2}mv_e^2-\frac{GMm}{R}=0+0$$

所以 $v_e=\sqrt{\dfrac{2GM}{R}}$。再用 $mg=\dfrac{GMm}{R^2}$ 即 $GM=gR^2$，得 $v_e=\sqrt{2gR}$。

（关键一步：为什么“到无限远时速率为 0”对应最小发射速度？发射速度再小，物体到不了无限远就会折返；再大，到无限远还有剩余动能。恰好逃脱就是“刚好到井口，速度刚好用完”。）

椭圆轨道的能量：椭圆轨道上只有引力做功，所以 $E$ 处处相等。设近地点距离 $r_1$、速度 $v_1$，远地点距离 $r_2$、速度 $v_2$，则

$$\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{GMm}{r_1} = \frac{1}{2}mv_2^2-\frac{GMm}{r_2}$$

这就是例 3 列出的方程。若要把它写成 $E=-\dfrac{GMm}{2a}$，需要知道半长轴 $a$；这个结果可以由上式结合面積速度推出，高中不要求推导，但可以直接用（见常用推论）。

例题

例 1　（场景：圆轨道卫星的能量 → 向心力关系 + 势能）

問題　地球の質量を $M$，万有引力定数を $G$ とする。質量 $m$ の人工衛星が，地球の中心から距離 $r$ の円軌道を速さ $v$ で周回している。地球の自転と空気の抵抗は無視できるものとする。

問　この衛星の力学的エネルギー $E$ はどのように表されるか。正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$-\dfrac{GMm}{2r}$　　②　$\dfrac{GMm}{2r}$　　③　$-\dfrac{GMm}{r}$　　④　$-\dfrac{2GMm}{r}$

解答　円運動の向心力は万有引力なので

$$\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r} \quad\Rightarrow\quad K=\frac{1}{2}mv^2=\frac{GMm}{2r}$$

位置エネルギーは $U=-\dfrac{GMm}{r}$。よって

$$E=K+U=\frac{GMm}{2r}-\frac{GMm}{r}=-\frac{GMm}{2r}$$

検算：$r$ が大きいほど $E$ は 0 に近づく。無限遠で静止するとき $E=0$ だから，それより内側では $E<0$ でなければならない。　答　①

中文翻译　题目：地球质量 $M$，万有引力常量 $G$。质量 $m$ 的人造卫星在距地心 $r$ 的圆轨道上以速率 $v$ 绕行，忽略地球自转和空气阻力。问：卫星的机械能 $E$ 怎么表示？从①～④中选一个正确的。 解答：圆运动的向心力由万有引力提供，$\dfrac{GMm}{r^2}=\dfrac{mv^2}{r}$，所以 $K=\dfrac{GMm}{2r}$。势能 $U=-\dfrac{GMm}{r}$，故 $E=K+U=-\dfrac{GMm}{2r}$。检验：$r$ 越大 $E$ 越接近 0；无限远静止时 $E=0$，内侧必须为负。答案 ①。

解说　用到的是本节“圆轨道的能量”三条：$K=\dfrac{GMm}{2r}$、$U=-\dfrac{GMm}{r}$、$E=-\dfrac{GMm}{2r}$。容易卡在：忘了势能是负的，把 $K+U$ 算成 $\dfrac{3GMm}{2r}$。选项 ② 就是漏掉负号，选项 ③ 只算了势能，选项 ④ 是符号和系数都错。记住 $K:U:E=1:-2:-1$，一眼就能选。

例 2　（场景：从星球表面发射，求脱出速度 → $E=0$ 的临界）

問題　質量 $M$，半径 $R$ の惑星の表面から，質量 $m$ の物体を打ち上げる。惑星表面での重力加速度の大きさを $g$，万有引力定数を $G$ とする。空気の抵抗は無視できるものとする。

問　物体が惑星の引力を振り切って無限遠まで行くために必要な最小の初速度 $v_e$ はどのように表されるか。正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$\sqrt{gR}$　　②　$\sqrt{2gR}$　　③　$\sqrt{\dfrac{gR}{2}}$　　④　$2\sqrt{gR}$

解答　表面での力学的エネルギーは

$$E=\frac{1}{2}mv_e^2-\frac{GMm}{R}$$

無限遠で速さが 0 以上ならよいので，最小のとき無限遠でのエネルギーを 0 とおく。

$$\frac{1}{2}mv_e^2-\frac{GMm}{R}=0 \quad\Rightarrow\quad v_e=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$$

表面では $mg=\dfrac{GMm}{R^2}$ より $GM=gR^2$，したがって

$$v_e=\sqrt{2gR}$$

検算：第一宇宙速度 $v_1=\sqrt{gR}$ の $\sqrt{2}$ 倍。地球では約 $11\ \mathrm{km/s}$ で，国内书第 11 章の第二宇宙速度と一致する。　答　②

中文翻译　题目：从质量 $M$、半径 $R$ 的行星表面发射质量 $m$ 的物体。表面重力加速度大小为 $g$，万有引力常量为 $G$，忽略空气阻力。问：物体要挣脱引力到达无限远，所需的最小初速度 $v_e$ 怎么表示？从①～④中选一个正确的。 解答：表面机械能 $E=\dfrac{1}{2}mv_e^2-\dfrac{GMm}{R}$。到无限远速率不小于 0，最小值对应无限远处能量为 0：$\dfrac{1}{2}mv_e^2-\dfrac{GMm}{R}=0$，得 $v_e=\sqrt{\dfrac{2GM}{R}}$。表面 $mg=\dfrac{GMm}{R^2}$，即 $GM=gR^2$，所以 $v_e=\sqrt{2gR}$。检验：它是第一宇宙速度 $\sqrt{gR}$ 的 $\sqrt{2}$ 倍，地球约 $11\ \mathrm{km/s}$，与国内书第 11 章的第二宇宙速度一致。答案 ②。

解说　用到的是”$E=0$ 恰好逃脱”。容易卡在：把第一宇宙速度 $\sqrt{gR}$ 当成脱出速度（选项 ①），或把 $\sqrt{2}$ 放到分母（选项 ③）。选项 ④ 是忘了开方。判断时记住“脱出速度 = 环绕速度 × $\sqrt{2}$“最快。另一种解法：从能量角度看，表面势能井的深度是 $\dfrac{GMm}{R}$，初动能至少要等于这个深度，$\dfrac{1}{2}mv_e^2=\dfrac{GMm}{R}$，同样得到 $v_e=\sqrt{2gR}$。

例 3　（场景：椭圆轨道两点速度 → 力学的エネルギー保存）

問題　地球の質量を $M$，万有引力定数を $G$ とする。質量 $m$ の探査機が地球のまわりを楕円軌道で運動している。近地点での地球中心からの距離は $r_1$，速さは $v_1$，遠地点での距離は $r_2$ である。空気の抵抗や他の天体の影響は無視できるものとする。

問　遠地点での速さ $v_2$ はどのように表されるか。正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$\sqrt{v_1^2+2GM\left(\dfrac{1}{r_1}-\dfrac{1}{r_2}\right)}$ ②　$\sqrt{v_1^2-2GM\left(\dfrac{1}{r_1}-\dfrac{1}{r_2}\right)}$ ③　$\sqrt{v_1^2-GM\left(\dfrac{1}{r_1}-\dfrac{1}{r_2}\right)}$ ④　$\sqrt{v_1^2+GM\left(\dfrac{1}{r_1}-\dfrac{1}{r_2}\right)}$

解答　近地点と遠地点で力学的エネルギーは等しい。

$$\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{GMm}{r_1} = \frac{1}{2}mv_2^2-\frac{GMm}{r_2}$$

$m$ を払って $v_2^2$ について解くと

$$v_2^2=v_1^2-2GM\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)$$

したがって

$$v_2=\sqrt{v_1^2-2GM\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)}$$

検算：$r_2=r_1$ とすると $v_2=v_1$（円軌道）。$r_2>r_1$ では $v_2<v_1$ となり，近地点のほうが速い。　答　②

中文翻译　题目：地球质量 $M$，万有引力常量 $G$。质量 $m$ 的探测器沿椭圆轨道绕地球运动，近地点到地心距离 $r_1$、速率 $v_1$，远地点距离 $r_2$，忽略空气阻力和其他天体影响。问：远地点速率 $v_2$ 怎么表示？从①～④中选一个正确的。 解答：近地点和远地点机械能相等，$\dfrac{1}{2}mv_1^2-\dfrac{GMm}{r_1}=\dfrac{1}{2}mv_2^2-\dfrac{GMm}{r_2}$。约去 $m$ 解出 $v_2^2=v_1^2-2GM\left(\dfrac{1}{r_1}-\dfrac{1}{r_2}\right)$，所以 $v_2=\sqrt{v_1^2-2GM\left(\dfrac{1}{r_1}-\dfrac{1}{r_2}\right)}$。检验：$r_2=r_1$ 时 $v_2=v_1$；$r_2>r_1$ 时 $v_2<v_1$，近地点更快。答案 ②。

解说　用到的是本节“椭圆轨道”的能量守恒。容易卡在符号：从近地点到远地点，势能增加，动能减少，所以 $v_2^2$ 里应是“减去一个正数”。选项 ① 把符号弄反，③④ 漏了因子 2。用极限 $r_2=r_1$ 检查，只有 ② 在圆轨道极限下成立。另一种解法：若题目还给出近地点、远地点速度都垂直于半径，可用 9.4 节的面積速度 $v_1r_1=v_2r_2$ 直接得 $v_2=\dfrac{v_1r_1}{r_2}$；本题没有说 $v_2$ 的方向，用能量守恒更稳妥。

常用推论

• 圆轨道：$K=\dfrac{GMm}{2r}$，$U=-\dfrac{GMm}{r}$，$E=-\dfrac{GMm}{2r}$；$K:U:E=1:-2:-1$。
• 椭圆轨道：$E=-\dfrac{GMm}{2a}$，$a$ 是半长轴。教材没有单独列，考试常用；由 $E$ 与 $a$ 的关系可快速判断“半长轴相同的椭圆和圆轨道周期相同”。
• 任意轨道上两点的速度与距离满足 $\dfrac{1}{2}v_1^2-\dfrac{GM}{r_1}=\dfrac{1}{2}v_2^2-\dfrac{GM}{r_2}$。这是最通用的写法，不依赖轨道形状。
• 脱出速度 $v_e=\sqrt{\dfrac{2GM}{r}}=\sqrt{2gR}$（从半径 $R$ 的表面发射）；它是同高度圆轨道环绕速度的 $\sqrt{2}$ 倍。
• 从高 $h$ 处逃逸所需速度 $v=\sqrt{\dfrac{2GM}{R+h}}$，比从表面发射小。教材没有单独列，但由 $E=0$ 直接可得，考试常用。
• 圆轨道半径越大，$K$、$|U|$、$|E|$ 都越小，但 $E$ 越接近 0（机械能增大）。

易错点

• 错在哪：算圆轨道能量时用 $E=K+U$，却把 $U$ 写成正的，得到 $\dfrac{3GMm}{2r}$。 为什么错：引力势能以无限远为零，有限距离处为负；$K$ 是正的，$U$ 是负的，两者部分抵消。 正确做法：先写 $U=-\dfrac{GMm}{r}$，再相加；记住 $K:U:E=1:-2:-1$。
• 错在哪：把第一宇宙速度 $7.9\ \mathrm{km/s}$ 当成脱出速度。 为什么错：第一宇宙速度是“贴着地表做圆轨道”的速度，物体还在引力束缚内；脱出要额外克服势能井，速度是它的 $\sqrt{2}$ 倍。 正确做法：区分“环绕”和“逃脱”：环绕用 $E=-\dfrac{GMm}{2r}$，逃脱用 $E=0$。
• 错在哪：用能量守恒时把发射点的高度 $h$ 直接当成 $r$。 为什么错：势能公式的 $r$ 是到地心的距离，地表发射时 $r=R$，高空发射时 $r=R+h$。 正确做法：先写 $r=R+h$，再代 $U=-\dfrac{GMm}{r}$；从表面发射时 $h=0$。

直观理解

引力势能像一口井，机械能是“球的总能量”。球在井里的总能量是负的，越靠近井底负得越多。圆轨道上的球以固定高度绕井壁转，动能正好是势能绝对值的一半。要给球足够的能量让它爬到井口（无限远），至少要补到总能量为 0，这就是脱出速度。椭圆轨道上的球在井壁上上下下，近处快、远处慢，但总能量不变。

关联知识点

• 前置：本书 9.2 节引力势能；国内书第 11 章 11.3 万有引力定律、11.5 卫星圆轨道参量；国内书第 12 章 动能定理和机械能守恒。
• 后续：本书 9.4 节面積速度（椭圆轨道上速度方向与距离的关系）；9.5 节重力与万有引力（地表势能 $U=-mgR$）。
• 常一起考：国内书第 11 章 11.6 三种宇宙速度（本节给公式和推导，国内书给数值和轨道分类）。

9.4 ケプラーの法則と面積速度

说明

ケプラーの法則（开普勒定律）：描述行星绕太阳运动的三条经验规律，也适用于卫星绕行星。

1. 第一定律（轨道定律）：行星沿椭圆轨道运动，太阳在一个焦点上。
2. 第二定律（面積定律）：行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等。
3. 第三定律（周期定律）：半长轴 $a$ 的三次方与周期 $T$ 的二次方之比，对绕同一中心天体的所有天体都相同：

$$\frac{a^3}{T^2}=\frac{GM}{4\pi^2}$$

$M$ 是中心天体的质量。国内书第 11 章 11.2 已经讲过三条定律，这里只补 EJU 题面常用的面積速度写法。

面積速度（面积速度）：单位时间内行星与太阳连线扫过的面积，记作

$$\frac{dS}{dt}=\frac{1}{2}rv\sin\theta$$

其中 $r$ 是行星到太阳的距离，$v$ 是速度大小，$\theta$ 是速度方向与“太阳到行星的连线”之间的夹角。第二定律就是说：面積速度一定。

近日点、远日点的速度比：在近日点和远日点，速度都垂直于连线，$\theta=90^\circ$，$\sin\theta=1$。由面積速度相等得

$$\frac{1}{2}r_1v_1=\frac{1}{2}r_2v_2 \quad\Rightarrow\quad v_1r_1=v_2r_2$$

即 $v_1:v_2=r_2:r_1$。距离越近，速度越大。

和角动量的关系：面積速度一定，本质上是角动量守恒。行星受到的引力始终指向太阳，对太阳的力矩为零，所以角动量 $mrv\sin\theta$ 不变。教材没有用角动量这个说法，但“引力是有心力量，面積速度不变”这句话考试里常用来做定性判断。

使用场景

• 题目给出椭圆轨道上某点的距离、速度和速度与连线的夹角，求另一点的速度 → 面積速度相等 → $\dfrac{1}{2}r_1v_1\sin\theta_1=\dfrac{1}{2}r_2v_2\sin\theta_2$。在近日点、远日点夹角是 $90^\circ$，直接 $v_1r_1=v_2r_2$。
• 题目给两个天体绕同一中心天体的半长轴（或圆轨道半径）和其中一个周期，求另一个周期 → 第三定律 $\dfrac{a^3}{T^2}$ 相同 → 列比例。
• 题目问“相等时间内扫过的面积”、“近日点快还是远日点快”、“面积速度怎么变” → 第二定律 → 面積速度不变，近快远慢。

注意点

• 面積速度公式里的 $\theta$ 是速度方向与连线的夹角，不是速度与水平方向的夹角；在近日点、远日点才是 $90^\circ$。
• $v_1r_1=v_2r_2$ 只在近日点和远日点成立。椭圆上其他点速度不垂直于连线，必须带 $\sin\theta$，不能直接用。
• 第三定律的比值只对同一中心天体相同。地球卫星和月球可以比（都绕地球），地球卫星和火星卫星不能直接比。
• 第三定律里的 $a$ 是半长轴，不是近日点距离，也不是远日点距离。椭圆有 $a=\dfrac{r_{\text{近}}+r_{\text{远}}}{2}$。
• 圆轨道是椭圆的特例，$a$ 就是半径 $r$，第三定律写成 $\dfrac{r^3}{T^2}=\dfrac{GM}{4\pi^2}$。
• 行星用「近日点」「遠日点」，卫星用「近地点」「遠地点」；EJU 题面会按对象换词。

推导

面積速度公式：在极短时间 $\Delta t$ 内，行星走过的弧长约为 $v\Delta t$。把太阳到行星的连线扫过的图形近似看成三角形，两边是 $r$ 和 $v\Delta t$，夹角是 $\theta$，面积

$$\Delta S=\frac{1}{2}r(v\Delta t)\sin\theta$$

两边除以 $\Delta t$，得 $\dfrac{dS}{dt}=\dfrac{1}{2}rv\sin\theta$。第二定律说这个值不随时间变。

（关键一步：为什么可以把扇形当三角形？$\Delta t$ 很短时，弧近似为直线，扇形近似为三角形。这和国内书 11.2 推导 $v_1r_1=v_2r_2$ 用的是同一个近似。）

第三定律：先把行星轨道看成半径为 $r$ 的圆，太阳质量 $M$，行星质量 $m$。万有引力提供向心力：

$$\frac{GMm}{r^2}=m\frac{4\pi^2}{T^2}r \quad\Rightarrow\quad \frac{r^3}{T^2}=\frac{GM}{4\pi^2}$$

右边只含中心天体质量 $M$，与行星无关。椭圆轨道把 $r$ 换成半长轴 $a$，结果相同（严格证明要用椭圆积分，高中不要求）。

由面積速度推速度比：近日点、远日点速度都垂直于连线，$\sin\theta=1$。面積速度相等：

$$\frac{1}{2}r_1v_1=\frac{1}{2}r_2v_2 \quad\Rightarrow\quad \frac{v_1}{v_2}=\frac{r_2}{r_1}$$

例题

例 1　（场景：已知近日点速度和某点的方向角 → 面積速度求该点速度）

問題　惑星が太陽のまわりを楕円軌道で運動している。近日点 P で，太陽からの距離は $r_1$，速さは $v_1$ である。楕円上の点 Q で，太陽からの距離は $r_2$，速度が太陽と Q を結ぶ線となす角は $\theta$ である。

問　Q での速さ $v_2$ はどのように表されるか。正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$\dfrac{r_1v_1}{r_2\sin\theta}$　　②　$\dfrac{r_1v_1}{r_2\cos\theta}$　　③　$\dfrac{r_2v_1}{r_1\sin\theta}$　　④　$\dfrac{r_1v_1\sin\theta}{r_2}$

解答　近日点では速度が太陽とを結ぶ線に垂直なので，面積速度は

$$\frac{1}{2}r_1v_1$$

点 Q での面積速度は

$$\frac{1}{2}r_2v_2\sin\theta$$

面積速度は一定なので，両者を等しいとおく。

$$\frac{1}{2}r_1v_1=\frac{1}{2}r_2v_2\sin\theta \quad\Rightarrow\quad v_2=\frac{r_1v_1}{r_2\sin\theta}$$

検算：$\theta=90^\circ$ のとき（Q が遠日点なら）$v_2=\dfrac{r_1v_1}{r_2}$，近いほど速い。$\theta$ が小さいほど，同じ面積速度を稼ぐためにより大きい速さが必要。　答　①

中文翻译　题目：行星沿椭圆轨道绕太阳运动。近日点 P 到太阳距离 $r_1$、速率 $v_1$。椭圆上点 Q 到太阳距离 $r_2$，速度与太阳到 Q 的连线成角 $\theta$。问：Q 点速率 $v_2$ 怎么表示？从①～④中选一个正确的。 解答：近日点速度垂直于连线，面积速度 $\dfrac{1}{2}r_1v_1$；Q 点面积速度 $\dfrac{1}{2}r_2v_2\sin\theta$。面积速度一定，故 $\dfrac{1}{2}r_1v_1=\dfrac{1}{2}r_2v_2\sin\theta$，得 $v_2=\dfrac{r_1v_1}{r_2\sin\theta}$。检验：$\theta=90^\circ$ 时 $v_2=\dfrac{r_1v_1}{r_2}$，越近越快；$\theta$ 越小，需要越大速率才能维持同样的面积速度。答案 ①。

解说　用到的是面積速度公式和“面積速度一定”。容易卡在把 $\theta$ 当成速度与水平方向的夹角，或把 $\sin$ 写成 $\cos$。选项 ② 是 $\sin/\cos$ 混淆，③ 是 $r_1$、$r_2$ 颠倒，④ 把 $\sin\theta$ 放错位置。用 $\theta=90^\circ$ 的特殊值检查：此时应回到 $v_2=\dfrac{r_1v_1}{r_2}$，只有 ① 满足。另一种解法：用角动量守恒 $mrv\sin\theta=\text{一定}$，约去 $m$ 后和面積速度是同一个式子；记不住面積速度时，用“速度的垂直分量 × 距离”来想。

例 2　（场景：同一中心天体，半长轴比 → 第三定律求周期）

問題　地球のまわりを回る二つの人工衛星 A，B がある。A は半径 $r$ の円軌道を周期 $T$ で回っている。B は半長軸 $4r$ の楕円軌道を回っている。

問　B の周期はどのように表されるか。正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$2T$　　②　$4T$　　③　$8T$　　④　$16T$

解答　どちらも地球のまわりの運動なので，ケプラーの第三法則

$$\frac{a^3}{T^2}=\frac{GM}{4\pi^2}$$

の右辺は同じ。A は $a_A=r$，B は $a_B=4r$ なので

$$\frac{(4r)^3}{T_B^2}=\frac{r^3}{T^2} \quad\Rightarrow\quad T_B^2=4^3T^2=64T^2 \quad\Rightarrow\quad T_B=8T$$

検算：半長軸が 4 倍なら周期は $4^{3/2}=8$ 倍。円軌道の $T \propto r^{3/2}$ と同じ関係。　答　③

中文翻译　题目：两颗人造卫星绕地球运动。A 在半径 $r$ 的圆轨道上，周期 $T$；B 在半长轴 $4r$ 的椭圆轨道上。问：B 的周期怎么表示？从①～④中选一个正确的。 解答：两者都绕地球，开普勒第三定律 $\dfrac{a^3}{T^2}=\dfrac{GM}{4\pi^2}$ 右边相同。A 的 $a_A=r$，B 的 $a_B=4r$，故 $\dfrac{(4r)^3}{T_B^2}=\dfrac{r^3}{T^2}$，得 $T_B^2=64T^2$，$T_B=8T$。检验：半长轴 4 倍，周期 $4^{3/2}=8$ 倍，与圆轨道的 $T\propto r^{3/2}$ 一致。答案 ③。

解说　用到的是第三定律“同一中心天体 $k$ 相同”。容易卡在：把半长轴 4 倍直接当成周期 4 倍（选项 ②），忘了周期是 $\dfrac{3}{2}$ 次方。选项 ① 是误用 $T\propto a$，④ 是平方关系。记住“半长轴 4 倍 → 周期 8 倍”，是 EJU 常设的选项。

例 3　（场景：判斷面積速度與近快遠慢 → 第二定律的定性判斷）

問題　惑星が太陽のまわりを楕円軌道で運動している。次の記述のうち，正しいものを一つ選びなさい。

①　惑星の速さは軌道上のどこでも一定である。 ②　惑星と太陽を結ぶ線が単位時間に掃く面積は，近日点で最も大きい。 ③　惑星と太陽を結ぶ線が単位時間に掃く面積は，軌道上のどこでも等しい。 ④　惑星の速さは遠日点で最も大きい。

解答　ケプラーの第二法則より，惑星と太陽を結ぶ線が単位時間に掃く面積（面積速度）は，軌道上のどこでも等しい。したがって ③ が正しい。近日点では距離が小さいので，同じ面積速度を保つには速さが大きく，遠日点では速さが小さい。①④ は誤り。② も誤りで，面積速度は一定であって近日点だけ大きいのではない。　答　③

中文翻译　题目：行星沿椭圆轨道绕太阳运动。下列说法中正确的是哪一个？①行星速率在轨道上处处相同；②行星与太阳连线单位时间扫过的面积在近日点最大；③行星与太阳连线单位时间扫过的面积在轨道上处处相等；④行星速率在远日点最大。 解答：由开普勒第二定律，行星与太阳连线单位时间扫过的面积（面积速度）在轨道上处处相等，所以③正确。近日点距离小，要维持同样的面积速度，速率就大；远日点速率小。①④错误；②也错误，面积速度是恒定的，并非只在近日点大。答案 ③。

解说　这是概念判断题，不套五步。容易卡在：把“近日点速度快”和“近日点面积速度大”混为一谈。面积速度是“面积/时间”，第二定律说它不变；速度大是因为距离短，两者相乘（再乘 $\sin\theta$）仍不变。选项 ② 是最常见的错误，把“近快远慢”错误地搬到面积速度上。

常用推论

• 面積速度 $\dfrac{1}{2}rv\sin\theta$ 一定；近日点、远日点 $\theta=90^\circ$，所以 $v_1r_1=v_2r_2$。
• 第三定律 $\dfrac{a^3}{T^2}=\dfrac{GM}{4\pi^2}$；同一中心天体，$\dfrac{a^3}{T^2}$ 相同。
• 半长轴相同的椭圆轨道和圆轨道，周期相同。变轨问题求椭圆轨道的运行时间，就用这一条。
• 圆轨道 $T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM}}$；椭圆轨道把 $r$ 换成 $a$。
• 角动量 $mrv\sin\theta$ 守恒（教材没有用这个名词，考试常用；和面積速度守恒是同一件事）。
• 近日点、远日点的速度比 $\dfrac{v_1}{v_2}=\dfrac{r_2}{r_1}$，只在长轴两端成立。

易错点

• 错在哪：在椭圆轨道上任意一点都用 $v_1r_1=v_2r_2$。 为什么错：只有近日点、远日点速度才垂直于连线，$\sin\theta=1$；其他点 $\theta\ne90^\circ$，必须带 $\sin\theta$。 正确做法：先判断“速度是否垂直于连线”；不确定时用 $\dfrac{1}{2}rv\sin\theta$ 的一般式。
• 错在哪：拿绕地球的卫星和绕太阳的行星比 $\dfrac{a^3}{T^2}$。 为什么错：第三定律的比值由中心天体质量决定，中心天体不同，比值不同。 正确做法：先问“绕谁转”；只有中心天体相同才能列比例。
• 错在哪：把半长轴 $a$ 当成近日点距离 $r_1$。 为什么错：$a$ 是长轴的一半，$a=\dfrac{r_1+r_2}{2}$，不等于任何一端的距离。 正确做法：题目给近日点、远日点距离时，先算 $a=\dfrac{r_1+r_2}{2}$，再代入第三定律。

直观理解

行星在椭圆轨道上跑，离太阳近时“力臂短”，但速度快；离太阳远时“力臂长”，速度慢。两者乘起来刚好不变，所以相同时间扫过的面积相同——像一把张开的扇子，近处扇面短而宽，远处扇面长而窄，面积却一样。第三定律则像“赛道越大，一圈越久”：半长轴变为 4 倍，周期变为 8 倍。

关联知识点

• 前置：国内书第 11 章 11.2 开普勒定律、11.5 卫星圆轨道参量；《高中数学知识点梳理》第 30 章椭圆（焦点、长轴、半长轴）。
• 后续：本书 9.3 节机械能守恒（椭圆轨道两点的速度）；9.5 节重力与万有引力。
• 常一起考：国内书第 11 章 11.6 变轨（椭圆转移轨道的周期和时间）。

9.5 重力と万有引力

说明

万有引力与重力不是同一个力。地球对物体的万有引力 $F=G\dfrac{Mm}{r^2}$ 指向地心。物体随地球自转，需要指向地轴的向心力。这个向心力由万有引力的一部分提供，剩下的部分表现为重力 $mg$（更准确地说，是物体压支持面或拉弹簧秤的力）。

• 两极：物体在自转轴上，不需要向心力，所以重力等于万有引力，$mg=G\dfrac{Mm}{R^2}$，重力最大。
• 赤道：万有引力、向心力、重力在同一直线上，向心力指向地轴（也就是地心方向），所以

$$mg=G\frac{Mm}{R^2}-mR\omega^2$$

重力最小。$\omega$ 是地球自转的角速度，$R$ 是地球半径。

• 其他纬度：向心力指向地轴，万有引力指向地心，两者不在一条直线上，重力的大小介于两极和赤道之间，方向也不严格指向地心。EJU 只要求定性判断，不要求分解矢量。

自转的影响有多大：赤道上 $mR\omega^2$ 只有 $G\dfrac{Mm}{R^2}$ 的约 $0.3\%$。所以题目不说“考虑自转”时，可以认为 $mg=G\dfrac{Mm}{R^2}$，即 $GM=gR^2$。这正是国内书第 11 章 11.3 的“黄金代换”。

高度的影响：离地面高 $h$ 处，重力加速度

$$g_h=\frac{GM}{(R+h)^2}=g\frac{R^2}{(R+h)^2}$$

随高度按平方反比减小，不是线性减小。

卫星内的无重量：卫星绕地球做圆周运动时，万有引力全部用来提供向心力，卫星内的物体也以同样的加速度运动，物体对支持面没有压力，弹簧秤示数为 0。这叫無重量状態（失重状态）。重力并没有消失，只是全部变成了向心力。

使用场景

• 题目比较两极、赤道或不同纬度的重力大小，或问“地球自转加快，赤道上的物体重力怎么变” → 万有引力分解 → 两极 $mg=F$，赤道 $mg=F-mR\omega^2$ → 自转越快，赤道重力越小。
• 题目给出地表 $g$ 和地球半径，求高 $h$ 处的重力加速度，或问卫星内的物体为什么漂浮 → $g_h=g\dfrac{R^2}{(R+h)^2}$；卫星内万有引力全部提供向心力 → 無重量。

注意点

• 重力是万有引力的一部分（赤道）或全部（两极），不是另一个独立的力。国内书第 11 章 11.3 已经讲过这个分解，EJU 只考定性。
• 赤道上 $mg=G\dfrac{Mm}{R^2}-mR\omega^2$；两极 $mg=G\dfrac{Mm}{R^2}$。不要在两极也减去 $mR\omega^2$。
• 自转的影响约 $0.3\%$，一般计算中用 $GM=gR^2$ 忽略它；但题目明确问“自转的影响”时不能忽略。
• 卫星内的“无重量”不是“没有重力”，而是重力全部提供向心力，物体对支持面没有压力。
• $g_h$ 按平方反比减小；高度 $h=R$ 时 $g_h=\dfrac{g}{4}$，不是 $\dfrac{g}{2}$。
• EJU 题面常用「重力加速度の大きさを $g$ とする」；这里的 $g$ 已经包含了自转的修正（地表测量值），不要再减一次向心力。

推导

赤道上的重力：物体随地球自转做圆周运动，圆心在地轴上。在赤道，圆心就是地心，向心力指向地心。物体受万有引力 $F=G\dfrac{Mm}{R^2}$ 和支持力 $N$。合力提供向心力：

$$F-N=mR\omega^2 \quad\Rightarrow\quad N=F-mR\omega^2$$

重力 $mg$ 是物体压支持面的力，大小等于 $N$，所以 $mg=G\dfrac{Mm}{R^2}-mR\omega^2$。

两极：物体在自转轴上，$r=0$，向心力为 0，所以 $N=F$，$mg=G\dfrac{Mm}{R^2}$。

高度 $h$ 处的 $g_h$：不计自转，重力等于万有引力：

$$mg_h=G\frac{Mm}{(R+h)^2} \quad\Rightarrow\quad g_h=\frac{GM}{(R+h)^2}$$

再用 $GM=gR^2$，得 $g_h=g\dfrac{R^2}{(R+h)^2}$。

（关键一步：$g$ 是地表值，$R$ 是地球半径；分子是 $R^2$，不是 $(R+h)^2$。写成 $g_h=g\dfrac{R^2}{(R+h)^2}$ 可以避免记错。）

例题

例 1　（场景：赤道上的重力 → 万有引力减去自转向心力）

問題　地球の質量を $M$，半径を $R$，自転の角速度を $\omega$，万有引力定数を $G$ とする。赤道上に質量 $m$ の物体を置く。地球の自転以外の影響は無視できるものとする。

問　赤道で物体にはたらく重力の大きさ $mg$ はどのように表されるか。正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$\dfrac{GMm}{R^2}+mR\omega^2$　　②　$\dfrac{GMm}{R^2}-mR\omega^2$　　③　$\dfrac{GMm}{R^2}-\dfrac{1}{2}mR\omega^2$　　④　$mR\omega^2-\dfrac{GMm}{R^2}$

解答　赤道では，万有引力 $G\dfrac{Mm}{R^2}$ が地心を向き，自転の向心力 $mR\omega^2$ も地心を向く。重力は万有引力から向心力の分を差し引いたものである。

$$mg=G\frac{Mm}{R^2}-mR\omega^2$$

検算：$\omega=0$（自転停止）なら $mg=G\dfrac{Mm}{R^2}$，極での値に一致する。$\omega$ が大きいほど赤道の重力は小さくなる。　答　②

中文翻译　题目：地球质量 $M$、半径 $R$、自转角速度 $\omega$，万有引力常量 $G$。在赤道上放质量 $m$ 的物体，忽略地球自转以外的影响。问：赤道上物体所受重力大小 $mg$ 怎么表示？从①～④中选一个正确的。 解答：赤道上万有引力 $\dfrac{GMm}{R^2}$ 指向地心，自转所需向心力 $mR\omega^2$ 也指向地心。重力是万有引力减去向心力，$mg=\dfrac{GMm}{R^2}-mR\omega^2$。检验：$\omega=0$ 时回到 $\dfrac{GMm}{R^2}$，与两极一致；$\omega$ 越大，赤道重力越小。答案 ②。

解说　用到的是“赤道上万有引力、向心力、重力共线”这一条。容易卡在：以为向心力是额外的力，把两项相加（选项 ①）。向心力是万有引力的一个分力，不是另一个来源，所以是减法。选项 ③ 是漏了因子，④ 是顺序反了。用 $\omega=0$ 的极限检查，只有 ② 回到万有引力。

例 2　（场景：卫星内的无重量 → 万有引力全部提供向心力）

問題　人工衛星が地球のまわりを円軌道で周回している。衛星内で物体を静かに放すと，物体は衛星内に浮いたままになる。

問　この理由として最も適当なものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　衛星内では万有引力がはたらかないから。 ②　地球の引力と物体にはたらく遠心力がつり合うから。 ③　物体にはたらく万有引力が，すべて物体の向心力として使われるから。 ④　衛星の速さが大きく，物体の質量が見かけ上 0 になるから。

解答　衛星も物体も同じ円軌道を同じ速さで回っており，必要な向心力はどちらも万有引力でまかなわれる。物体にはたらく万有引力がすべて向心力になるので，物体を支える力（見かけの重力）は 0 になる。これを無重量状態という。

検算：衛星の運動方程式は $G\dfrac{Mm}{r^2}=m\dfrac{v^2}{r}$，物体の運動方程式も同じ形。両者の加速度が等しいので，物体は衛星に対して静止したままである。　答　③

中文翻译　题目：人造卫星沿圆轨道绕地球运行。在卫星内轻轻释放一个物体，物体悬浮在卫星内。问：最合适的理由是哪一个？①卫星内没有万有引力；②地球引力与物体所受离心力平衡；③物体所受万有引力全部用作向心力；④卫星速度很大，物体质量看起来变成 0。 解答：卫星和物体沿同一圆轨道以同一速率运动，所需的向心力都由万有引力提供。物体所受万有引力全部变成向心力，支持力（视重）为 0，这叫失重状态。检验：卫星的运动方程是 $\dfrac{GMm}{r^2}=m\dfrac{v^2}{r}$，物体也一样，加速度相同，所以物体相对卫星静止。答案 ③。

解说　这是概念题，不套五步。容易卡在：把“失重”理解成“没有重力”（选项 ①），或把卫星参考系里的离心力当成真实力（选项 ②）。判断的关键是“万有引力全部提供向心力”；卫星内的物体和卫星有相同的加速度，彼此之间没有支持力。选项 ④ 是“质量随速度变”的相对论误解，EJU 不考。

常用推论

• 赤道：$mg=G\dfrac{Mm}{R^2}-mR\omega^2$；两极：$mg=G\dfrac{Mm}{R^2}$。其他纬度介于两者之间。
• 赤道的自转修正约 $0.3\%$，一般计算忽略，用 $GM=gR^2$。
• 高度 $h$ 处：$g_h=g\dfrac{R^2}{(R+h)^2}$；$h=R$ 时 $g_h=\dfrac{g}{4}$。
• 地球自转加快，赤道重力减小；当 $mR\omega^2$ 等于 $G\dfrac{Mm}{R^2}$ 时，赤道上的物体“飘起来”，此时 $\omega=\sqrt{\dfrac{GM}{R^3}}$，对应的环绕速度就是第一宇宙速度。教材没有单独列，考试常用。
• 卫星内无重量：$N=0$，万有引力全部提供向心力；不是重力消失。

易错点

• 错在哪：认为重力就是万有引力，两极和赤道一样大。 为什么错：赤道上的物体需要向心力，万有引力要分出一部分；两极不需要向心力，重力才等于万有引力。 正确做法：先看物体是否随地球自转；赤道减 $mR\omega^2$，两极不减。
• 错在哪：认为卫星里没有重力，所以物体飘起来。 为什么错：卫星所在高度仍有万有引力，而且正是它提供向心力；物体飘起来是因为没有支持力，不是没有引力。 正确做法：说“万有引力全部提供向心力，视重为 0”，不说“重力为 0”。
• 错在哪：算高度 $h$ 处的 $g_h$ 时用 $g_h=g\dfrac{R}{R+h}$。 为什么错：万有引力与距离平方成反比，不是一次方。 正确做法：用 $g_h=g\dfrac{R^2}{(R+h)^2}$，并用 $h=R$ 时 $g_h=\dfrac{g}{4}$ 检查。

直观理解

地球像一个转动的转盘，赤道在转盘边缘，转得最快，需要的向心力最大，所以那里的重力被“分掉”得最多；两极在转轴上，几乎不转，重力最大。卫星里的物体则像电梯自由下落：电梯和里面的人一起下落，人对地板没有压力，感觉“飘”起来。地球卫星就是一直在“自由下落”，只是同时向前飞，永远落不到地面。

关联知识点

• 前置：国内书第 11 章 11.3 重力与万有引力（万有引力的分解、$GM=gR^2$）；本书第 7 章 円運動と慣性力（向心力、遠心力）；国内书第 10 章 圆周运动。
• 后续：本书 9.3 节机械能守恒（地表势能 $U=-mgR$）；第 7 章惯性力（卫星参考系里的离心力）。
• 常一起考：国内书第 11 章 11.5 卫星参量（卫星内的失重、同步卫星）。

9.6 题型与答法

万有引力在 EJU 里出现在大問 Ⅰ（力学）的最后一个小题，通常是 F・問 6 的位置，一次最多一题。据 20 回公开过去问，本章内容共出现 7 次（每回平均 0.35 次）：2011 年第 2 回、2012 年第 1 回、2012 年第 2 回各 1 题，2017 年第 1 回、2017 年第 2 回、2019 年第 1 回、2020 年第 2 回各 1 题，其余 13 回没有出现。形式以字母式为主（7 题中 6 题字母式，1 题数值），这 7 题的考点有卫星圆轨道、开普勒第三定律、椭圆轨道两点的速度和万有引力随高度的变化；脱出速度和引力势能本身还没有单独出过大题，但它们是理解椭圆轨道和变轨的基础。

两分钟做法：

1. 先判断“绕谁转”：中心天体是谁，$r$ 从中心算起，还是从表面算起。
2. 圆轨道先写“万有引力 = 向心力”，需要能量时再补 $U=-\dfrac{GMm}{r}$、$E=-\dfrac{GMm}{2r}$。
3. 椭圆轨道优先用面積速度 $rv\sin\theta$ 或第三定律；涉及速度大小变化时用机械能守恒。
4. 选项核对：量纲（速度、周期、能量）、特殊值（$r_2=r_1$、$\theta=90^\circ$、$h=0$）、极限（$r\to\infty$）。

問題 1　（地表上方 $R$ 处的圆轨道：用 $g$、$R$ 表周期）

地球の半径を $R$，地表での重力加速度の大きさを $g$ とする。地球のまわりを，地球の中心から距離 $2R$ の円軌道で周回する人工衛星がある。地球の自転と空気の抵抗は無視できるものとする。

問　この衛星の周期 $T$ はどのように表されるか。正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$2\pi\sqrt{\dfrac{R}{g}}$　　②　$4\pi\sqrt{\dfrac{2R}{g}}$　　③　$2\pi\sqrt{\dfrac{2R}{g}}$　　④　$4\pi\sqrt{\dfrac{R}{2g}}$

解答　円運動の向心力は万有引力。地表では $GM=gR^2$ なので，距離 $2R$ では

$$\frac{GMm}{(2R)^2}=\frac{mv^2}{2R} \quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{\frac{GM}{2R}}=\sqrt{\frac{gR}{2}}$$

周期は

$$T=\frac{2\pi(2R)}{v} =4\pi R\sqrt{\frac{2}{gR}} =4\pi\sqrt{\frac{2R}{g}}$$

検算：地表すれすれ（$r=R$）なら $T=2\pi\sqrt{\dfrac{R}{g}}$。今回は $r=2R$ で，ケプラー第三法則より周期は $2^{3/2}=2.8$ 倍。$4\pi\sqrt{\dfrac{2R}{g}}$ と $2\pi\sqrt{\dfrac{R}{g}}$ の比は $2\sqrt{2}=2.8$ で，一致する。　答　②

中文翻译　题目：地球半径 $R$，地表重力加速度 $g$。人造卫星在距地心 $2R$ 的圆轨道上绕地球运行，忽略自转和空气阻力。问：卫星周期 $T$ 怎么表示？从①～④中选一个正确的。 解答：向心力由万有引力提供。地表 $GM=gR^2$，距离 $2R$ 处 $\dfrac{GMm}{(2R)^2}=\dfrac{mv^2}{2R}$，得 $v=\sqrt{\dfrac{gR}{2}}$。周期 $T=\dfrac{2\pi(2R)}{v}=4\pi\sqrt{\dfrac{2R}{g}}$。检验：贴地圆轨道 $T=2\pi\sqrt{\dfrac{R}{g}}$；半径 2 倍时周期应为 $2^{3/2}=2.8$ 倍，两者比 $2\sqrt2=2.8$，一致。答案 ②。

解说　这是“圆轨道 + 黄金代换”的标准题，两分钟做法：先写 $v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}$，用 $GM=gR^2$ 换成 $g$、$R$，再写 $T=\dfrac{2\pi r}{v}$。容易卡在：把 $r$ 写成 $R$（选项 ①），或忘了 $T$ 里的 $2\pi r$ 而只用 $r$。选项 ③ 是漏了 $r=2R$ 带来的因子 2，④ 是把 $\dfrac{2R}{g}$ 写成 $\dfrac{R}{2g}$。用“半径 2 倍、周期 2.8 倍”核对最快。

問題 2　（近地卫星周期数值）

地球の半径を $R=6.4\times10^6\ \mathrm{m}$，地表での重力加速度の大きさを $g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。地球の表面すれすれを円軌道で周回する人工衛星の周期は何分か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$60$ 分　　②　$85$ 分　　③　$1.2\times10^2$ 分　　④　$1.4\times10^3$ 分

解答　軌道半径は $r \approx R$。$GM=gR^2$ より

$$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{gR} =\sqrt{9.8\times6.4\times10^6} \approx 7.9\times10^3\ \mathrm{m/s}$$

周期は

$$T=\frac{2\pi R}{v} =\frac{2\pi\times6.4\times10^6}{7.9\times10^3} \approx 5.1\times10^3\ \mathrm{s} \approx 85\ \mathrm{min}$$

検算：$85$ 分は約 $1.4$ 時間。地表すれすれの軌道は地球衛星の中で最も周期が短い。　答　②

中文翻译　题目：地球半径 $R=6.4\times10^6\ \mathrm{m}$，地表重力加速度 $g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$。贴近地球表面沿圆轨道运行的卫星周期是多少分钟？从①～④中选最合适的值。 解答：轨道半径约等于 $R$。由 $GM=gR^2$ 得 $v=\sqrt{gR}=\sqrt{9.8\times6.4\times10^6}\approx7.9\times10^3\ \mathrm{m/s}$。周期 $T=\dfrac{2\pi R}{v}=\dfrac{2\pi\times6.4\times10^6}{7.9\times10^3}\approx5.1\times10^3\ \mathrm{s}\approx85$ 分。检验：85 分约 1.4 小时；贴地轨道是地球卫星中周期最短的。答案 ②。

解说　数值题先把 $v$ 算出来，再算 $T$，不要一步代到底，容易按错计算器。$2\pi R$ 是轨道周长，$v$ 是速率。选项 ① 是把 $2\pi$ 漏掉一半，③ 是把小时和分钟弄混，④ 是 24 小时（同步卫星）的数量级。估算：$R=6.4\times10^3\ \mathrm{km}$，周长约 $4.0\times10^4\ \mathrm{km}$，除以 $7.9\ \mathrm{km/s}$ 约 $5.1\times10^3\ \mathrm{s}$，即 85 分。

問題 3　（椭圆转移轨道：第三定律求时间）

地球のまわりを半径 $r$ の円軌道で周回する人工衛星を，半径 $3r$ の円軌道へ移したい。二つの円軌道に接する楕円軌道（近地点距離 $r$，遠地点距離 $3r$）を半周して移るものとする。半径 $r$ の円軌道での周期を $T$ とする。

問　移るのに要する時間はどのように表されるか。正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$\sqrt{2}T$　　②　$2T$　　③　$2\sqrt{2}T$　　④　$4T$

解答　楕円軌道の半長軸は

$$a=\frac{r+3r}{2}=2r$$

ケプラーの第三法則より，楕円軌道の周期 $T'$ は

$$\frac{T'^2}{T^2}=\frac{a^3}{r^3}=2^3=8 \quad\Rightarrow\quad T'=2\sqrt{2}T$$

半周するので，要する時間は

$$t=\frac{T'}{2}=\sqrt{2}T$$

検算：半径 $3r$ の円軌道の周期は $3^{3/2}T=3\sqrt{3}T\approx5.2T$。楕円軌道の周期 $2\sqrt{2}T\approx2.8T$ は，内側の $T$ と外側の $5.2T$ の間にある。　答　①

中文翻译　题目：要把沿半径 $r$ 圆轨道运行的人造卫星移到半径 $3r$ 的圆轨道。用与两圆轨道相切的椭圆轨道（近地点距离 $r$、远地点距离 $3r$）走半圈。半径 $r$ 圆轨道的周期为 $T$。问：转移需要的时间怎么表示？从①～④中选一个正确的。 解答：椭圆半长轴 $a=\dfrac{r+3r}{2}=2r$。由开普勒第三定律 $\dfrac{T'^2}{T^2}=\dfrac{a^3}{r^3}=8$，得 $T'=2\sqrt2 T$。走半圈，时间 $t=\dfrac{T'}{2}=\sqrt2 T$。检验：半径 $3r$ 圆轨道周期 $3\sqrt3 T\approx5.2T$，椭圆周期 $2\sqrt2 T\approx2.8T$，在内外两圆轨道之间。答案 ①。

解说　这是“变轨 + 第三定律”的组合题。两分钟做法：先求半长轴 $a=\dfrac{r_1+r_2}{2}$，再用 $\dfrac{T'}{T}=\left(\dfrac{a}{r}\right)^{3/2}$，最后别忘了“半周要除以 2”。容易卡在：把转移时间当成整个椭圆周期（选项 ③），或把半长轴算成 $3r-r=2r$ 后直接当半径（碰巧数值相同，但概念错）。选项 ② 是误以为 $T\propto a$，④ 是平方关系。

9.7 术语与题干用语

日文	读音	中文	例句或说明
万有引力	ばんゆういんりょく	万有引力	万有引力はすべての物体の間にはたらく。
引力	いんりょく	引力	地球が物体を引く力。
重力	じゅうりょく	重力	赤道では重力が極より少し小さい。
位置エネルギー	いちエネルギー	势能	無限遠を位置エネルギーの基準とする。
力学的エネルギー	りきがくてきエネルギー	机械能	力学的エネルギーは保存される。
面積速度	めんせきそくど	面积速度	面積速度は一定である。
ケプラーの法則	ケプラーのほうそく	开普勒定律	ケプラーの第三法則より，周期を求める。
近日点	きんじつてん	近日点	近日点では速さが最大になる。
遠日点	えんじつてん	远日点	遠日点では速さが最小になる。
近地点	きんちてん	近地点	人工衛星の近地点。
遠地点	えんちてん	远地点	人工衛星の遠地点。
脱出速度	だっしゅつそくど	逃逸速度	脱出速度は第一宇宙速度の $\sqrt{2}$ 倍。
軌道半径	きどうはんけい	轨道半径	軌道半径は地球の中心から測る。
周回	しゅうかい	绕行	地球のまわりを周回する。
無重量	むじゅうりょう	失重	衛星内は無重量状態になる。
自転	じてん	自转	地球の自転による影響。
赤道	せきどう	赤道	赤道上では遠心力が最大。
極	きょく	极	極では重力が最大。
焦点	しょうてん	焦点	太陽は楕円の焦点にある。
半長軸	はんちょうじく	半长轴	楕円軌道の半長軸 $a$。

题干固定说法：

• 「無限遠を位置エネルギーの基準とする。」——以无限远为势能零点。
• 「地球の自転と空気の抵抗は無視できるものとする。」——忽略地球自转和空气阻力。
• 「〜はどのように表されるか。正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。」——字母式题的固定问法。
• 「〜は何 J か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。」——数值题的固定问法。
• 「〜の大小関係はどうなるか。正しいものを，…」——比较大小的问法。
• 「面積速度は一定である。」——EJU 题面常直接给这句话，用它列式。
• 「地球の中心から距離 $r$ の円軌道」——$r$ 已经是从地心算起，不要再加 $R$。
• 「地表すれすれを周回する」——$r \approx R$，近地卫星。

9.8 自测

1　無限遠を位置エネルギーの基準とする。地球の中心から距離 $2R$（$R$ は地球半径）にある質量 $m$ の物体の万有引力による位置エネルギーはどれか。① $-\dfrac{GMm}{2R}$　② $-\dfrac{GMm}{R}$　③ $\dfrac{GMm}{2R}$　④ $-\dfrac{2GMm}{R}$

（以无限远为势能零点，距地心 $2R$ 处质量 $m$ 的物体，引力势能是哪一个？）

2　地表にある質量 $m$ の物体を，無限遠まで運ぶのに必要な最小の仕事はいくらか。地球の質量を $M$，半径を $R$，万有引力定数を $G$ とする。

（把地表质量 $m$ 的物体运到无限远，至少需要做多少功？）

3　質量 $m$ の人工衛星が，地球の中心から距離 $r$ の円軌道を周回している。この衛星の力学的エネルギーはどれか。① $-\dfrac{GMm}{2r}$　② $\dfrac{GMm}{2r}$　③ $-\dfrac{GMm}{r}$　④ $-\dfrac{2GMm}{r}$

（质量 $m$ 的卫星在距地心 $r$ 的圆轨道上运行，它的机械能是哪一个？）

4　ある惑星の脱出速度は，その惑星の第一宇宙速度の何倍か。

（某行星的逃逸速度是该行星第一宇宙速度的多少倍？）

5　惑星が楕円軌道で太陽のまわりを運動している。近日点距離が $r$，遠日点距離が $3r$ のとき，近日点と遠日点の速さの比 $v_{\text{近}}:v_{\text{遠}}$ はいくらか。

（行星沿椭圆轨道绕太阳运动，近日点距离 $r$、远日点距离 $3r$，近日点与远日点速率之比是多少？）

6　同じ中心天体のまわりを回る二つの衛星がある。一方の軌道の半長軸が $r$，他方の半長軸が $4r$ のとき，周期の比はいくらか。

（绕同一中心天体的两颗卫星，一个半长轴 $r$，另一个 $4r$，周期之比是多少？）

7　地球の赤道と極では，同じ物体にはたらく重力が大きいのはどちらか。

（在地球赤道和极，同一物体所受重力较大的是哪里？）

8　人工衛星内で物体が浮いたままになるのはなぜか。最も適当なものを選べ。① 万有引力がはたらかないから　② 万有引力がすべて向心力として使われるから　③ 物体の質量が 0 になるから　④ 遠心力が重力より大きいから

（卫星内物体为什么悬浮？选出最合适的理由。）

答案：1 ①　2 $\dfrac{GMm}{R}$　3 ①　4 $\sqrt{2}$ 倍　5 $3:1$　6 $1:8$　7 極　8 ②

9.9 深入阅读

• JASSO · 理科（物理）シラバス：本章对应「万有引力」：惑星の運動（ケプラーの法則），万有引力，重力，万有引力による位置エネルギー，力学的エネルギーの保存。
• 维基百科（日文）· 万有引力：万有引力定律、引力势能和脱出速度的日文表述，配合本章 9.2、9.3 节。
• 维基百科（日文）· ケプラーの法則：三条定律的日文原文、面積速度一定和第三定律的公式，配合本章 9.4 节。
• PhET · 重力和轨道：拖动初速度看圆轨道、椭圆轨道和逃脱轨道，配合本章 9.3、9.4 节。