第 14 章 · 光

项目	内容
シラバス项目	Ⅲ 波 3. 光：(1) 光の性質（可視光，白色光，単色光，光と色，スペクトル，分散，偏光）；(2) 光の伝わり方（光の速さ，光の反射・屈折，全反射，光の散乱，レンズ，球面鏡）；(3) 光の回折と干渉（回折，干渉，ヤングの実験，回折格子，薄膜による干渉，空気層による干渉）
国内书对应	第 23 章（23.2 折射定律与折射率、23.3 光的色散、23.4 全反射、23.5 光路问题）；第 24 章（24.2 光的双缝干涉、24.3 薄膜干涉、24.4 光的衍射、24.5 光的偏振）
本章新内容的分量	大。国内没有：レンズの式与作图、球面鏡、回折格子の式、光の散乱；讲法不同：薄膜干渉与空気層の干渉（EJU 要用反射の位相変化和光路差写清明暗条件）
过去问出现次数	20 回共 20 次（每回平均 1.0 次）：每回 1 题，固定在大問 Ⅲ 的 C・問3

国内学过折射、全反射、色散、双缝干涉、薄膜干涉的定性、衍射和偏振。EJU 在这些基础上加了两块国内没有的内容：レンズの式与球面鏡、回折格子の式，还有只作定性要求的光の散乱；薄膜和空气层干涉则要求用反射时的位相变化和光路差写出明暗条件。EJU 的光题固定在大問 Ⅲ 的最后一题（C・問3），20 回里每回 1 题，最常见的是全反射临界角和干涉条纹；丢分多在符号和单位：$b$ 的负号、$d$ 的换算、$2nd$ 忘了乘 $n$。

14.1 与国内的对照

シラバス小項目和术语（日文原文）	国内书位置	相同 / 讲法不同 / 国内没有	本章哪节讲
可視光，白色光，単色光，光と色，スペクトル	国内书第 23 章 23.3 节、第 24 章 24.2 节	相同	只在 14.1 引用，不展开
分散	国内书第 23 章 23.3 节	相同	只在 14.1 引用；14.8 练一道
偏光	国内书第 24 章 24.5 节	相同	只在 14.1 引用，不展开
光の速さ	国内书第 23 章 23.2 节（$n = c/v$）	相同	只在 14.1 引用
光の反射・屈折	国内书第 23 章 23.2、23.5 节	相同	只在 14.1 引用
全反射	国内书第 23 章 23.4 节	相同	只在 14.1 引用；14.8 练一道
光の散乱	国内没有	国内没有	14.2
レンズ	国内没有（第 24 章 24.3 节只在牛顿环里提到平凸透镜，不讲成像）	国内没有	14.3
球面鏡	国内没有	国内没有	14.4
回折	国内书第 24 章 24.4 节	相同	只在 14.1 引用
干渉，ヤングの実験	国内书第 24 章 24.2 节	相同	只在 14.1 引用；14.8 练一道
回折格子	国内书第 24 章 24.4 节只定性提到衍射光栅，没有公式	讲法不同：EJU 要用 $d\sin\theta = m\lambda$ 计算	14.5
薄膜による干渉	国内书第 24 章 24.3 节（等厚干涉、增透膜；反射的相位变化课标不要求）	讲法不同：EJU 要用反射の位相変化和光路差写条件	14.6
空気層による干渉	国内书第 24 章 24.3 节（空气劈尖、牛顿环的定性；不含相位变化和环半径）	讲法不同：EJU 要含位相变化的明暗条件和环半径	14.7

本章六个知识点的顺序按シラバス：先讲光的散乱（14.2），再讲成像的レンズ（14.3）和球面鏡（14.4），然后讲回折格子（14.5），最后讲薄膜（14.6）和空气层（14.7）的干涉。可視光、白色光、スペクトル、分散、偏光、光速、反射・屈折、全反射、回折、ヤングの実験都和国内相同，引用国内书，不重抄。

14.2 光の散乱

说明

光の散乱（光的散射）：光在介质中传播时，遇到分子、尘埃、水滴等微粒子，方向改变、向四面八方散开的现象。散射不是反射，也不是折射：微粒子把入射光的一部分向各个方向重新辐射出去。

散乱の強さと波長：微粒子的直径比光的波长小得多时（空气分子等），散射的强度大致与波长的 4 次方成反比。波长短的蓝光被散射得强，波长长的红光被散射得弱。

• 空が青い：太阳光中的蓝光被大气分子强烈散射，从四面八方进入眼睛。
• 夕日が赤い：太阳光从地平线方向射来，穿过大气的路径长，蓝光在途中大部分被散射掉，剩下的红光和橙光进入眼睛。
• 雲が白い：水滴的直径比可见光波长大，散射强度几乎与波长无关，各色光一起被散射，所以呈白色。

理想模型：微粒子是球形，粒径和波长的关系决定散射的强弱。EJU 只要求定性，不要求散射强度的公式。

使用场景

• 题目问天空为什么蓝、夕阳为什么红、云为什么白，或给几种现象问哪个是散射 → 光の散乱 → 微粒子把光送往四方，短波长更容易被散射；光穿过的路径越长，短波长损失得越多。

注意点

• 天空蓝不是大气把其他颜色吸收了，而是蓝光被散射后进入眼睛。
• 夕阳红不是红光新产生出来，而是蓝光在长路径上被散射掉了。
• 「短波长更容易散射」成立的条件是粒径远小于波长。水滴那样粒径大于波长的微粒子，各色光散射得差不多，看起来是白色。
• 分散（棱镜）和散射是两回事：分散是折射率随频率变化，散射是微粒子把光改变方向。
• 散射破坏了光的直线传播，但 EJU 只要求定性判断，不要求计算强度。

推导

为什么短波长更容易被散射：微粒子中的电子在光的电场驱动下振动，向各个方向发出次级波。光的频率越高（波长越短），电子振动越快，辐射出的次级波越强，散射强度大致与 $1/\lambda^4$ 成正比。严格推导要用电磁学，高中只记这个结论。

天空蓝和夕阳红：太阳光穿过大气层时，路径越长，短波长被散射掉的比例越大。天顶方向路径短，蓝光散射到眼中，天空呈蓝色；地平线方向路径长，蓝光大部分被散射掉，剩下红橙光，所以夕阳偏红。

云为什么白：水滴的直径远大于可见光波长，各色光的散射强度相近，合起来就是白色。雾、云的白都是这个原因。

例题

例 1　（场景：给出几种现象 → 判断哪个是光の散乱 → 用「微粒子把光送往四方」识别）

問題　次の現象のうち，光の散乱によるものとして最も適当なものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　雨上がりの空に虹が見える。 ②　晴れた日の空が青く見える。 ③　プールの水が実際より浅く見える。 ④　シャボン膜が虹色に見える。

解答　②では，太陽光のうち波長の短い青い光が大気中の分子で強く散乱され，四方から目に届くため，空が青く見える。①は水滴による屈折と分散，③は光の屈折，④は薄膜による干渉である。　答　②

中文翻译　题目：下列现象中，最符合光の散乱的是哪一个？从①～④中选一个。①雨后天空出现彩虹。②晴天的天空看起来是蓝色。③游泳池的水看起来比实际浅。④肥皂膜看起来呈彩虹色。解答：②中，太阳光里波长短的蓝光被大气分子强烈散射，从四面八方进入眼睛，所以天空呈蓝色。①是水滴引起的折射和色散，③是光的折射，④是薄膜干涉。答案 ②。

解说　用到的是本节「散乱の強さと波長」：短波长更容易被微粒子散射。容易卡在：把天空蓝想成大气吸收了其他颜色。选项排除：虹是折射加色散，池水变浅是折射，肥皂膜彩色是薄膜干涉，都不是「微粒子把光送往四方」。

常用推论

• 短波长（蓝、紫）比长波长（红）更容易被小颗粒散射；天空蓝、夕阳红、云白都用这一条解释。
• 散射强度与粒径有关：粒径远小于波长时波长依赖强，粒径远大于波长时各色散射相近、呈白色。
• 雾天远处景物发白、发灰，是水滴和尘埃的散射叠加。
• 散射不是反射和折射，不能用反射定律、折射定律计算。

易错点

• 错在哪：认为天空蓝是因为大气吸收了红光。 为什么错：吸收和散射是两种机制；天空的蓝光是被散射到眼睛里，不是剩下的。 正确做法：用「短波长被散射得强」解释天空蓝和夕阳红。
• 错在哪：认为云白是因为云里的水滴反射了所有颜色的光。 为什么错：水滴的散射在各色之间差别很小，合起来才是白色；不是镜面反射。 正确做法：粒径大于波长时，散射强度与波长关系不大。
• 错在哪：把彩虹、肥皂膜彩色也归为散射。 为什么错：彩虹是水滴中的折射和色散，肥皂膜彩色是薄膜干涉。 正确做法：散射的关键词是「微粒子把光送往四方」，不是分光。

直观理解

把光想成一群人往一个方向走，空气中的分子像路边的小石头：波长短的蓝光像脚步急的人，一碰就四散；波长长的红光像脚步慢的人，不太容易被碰偏。太阳在天顶时，蓝光四散到我们眼里，天空是蓝的；太阳在地平线时，光要穿过厚厚的大气，蓝光在路上就散光了，剩下红光走到我们眼里。

一句话记法：短波长爱散射，天蓝夕红云白。

关联知识点

• 前置：国内书第 23 章 23.3 节色散（折射率随频率变化，和散射区分）。
• 前置：本书 12.4 节波的衍射（波遇到障碍物改变方向，和散射区分）。
• 后续：本书 14.6 节薄膜干渉（另一种让不同颜色分开的机制）。
• 常一起考：国内书第 24 章 24.4 节衍射（彩色条纹的成因辨析）。

14.3 レンズ

说明

レンズ（透镜）：用透明介质做成、两个面都是球面（或一面是球面、一面是平面）的光学元件。中间厚、边缘薄的叫凸レンズ（凸透镜），对光有会聚作用；中间薄、边缘厚的叫凹レンズ（凹透镜），对光有发散作用。通过透镜中心 $O$（光心）且垂直于透镜面的直线叫光軸（主光轴）。

焦点と焦点距離：平行于光轴的光，经凸透镜后通过光轴上的焦点 $F$；经凹透镜后，折射光线的反向延长线通过焦点。焦点到光心的距离叫焦点距離 $f$（焦距）。凸透镜 $f > 0$，凹透镜 $f < 0$。

レンズの式（透镜公式）：设物体到透镜的距离为 $a$（物体距離，恒为正），像到透镜的距离为 $b$（像距離），则

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}$$

符号约定：実像（实像） $b > 0$，像在透镜的另一侧；虚像（虚像） $b < 0$，像与物体在同一侧。倍率 $m$ 为

$$m = \frac{\lvert b \rvert}{a}$$

实像倒立，虚像正立。

作図の三本の光線：

1. 平行于光轴的光 → 经凸透镜后过焦点 $F$；经凹透镜后，反向延长线过焦点。
2. 过焦点 $F$ 的光 → 经凸透镜后平行于光轴。
3. 过光心 $O$ 的光 → 方向不变。

凸レンズの像：$a > 2f$ 时成倒立缩小的实像；$a = 2f$ 时成倒立等大的实像；$f < a < 2f$ 时成倒立放大的实像；$a = f$ 时不成像（折射光平行）；$a < f$ 时成正立放大的虚像。凹レンズの像：恒成正立缩小的虚像。

理想模型：薄透镜（厚度忽略）、近轴光线（靠近光轴的光）、单色光（不考虑色差）。

使用场景

• 凸透镜给出 $a$ 和 $f$，问像的位置 $b$、倍率 $m$、实像还是虚像 → レンズの式与倍率 → $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{f}$，$m = \dfrac{\lvert b \rvert}{a}$，由 $b$ 的符号判断实虚。
• 物体在焦点内（$a < f$），或使用凹透镜 → 虚像 → $b < 0$、正立；作图时取折射光反向延长线的交点。

注意点

• $a$ 恒为正。$b > 0$ 是实像（透镜另一侧），$b < 0$ 是虚像（物体同侧）；$f > 0$ 凸，$f < 0$ 凹。
• 实像能映在屏幕上，虚像不能。
• 倍率是 $m = \dfrac{\lvert b \rvert}{a}$，不是 $\dfrac{a}{\lvert b \rvert}$；实像倒立，虚像正立。
• 凸透镜在 $a < f$ 时也成虚像；$a = f$ 时像在无穷远，题目里说「像ができない」。
• 凹透镜恒成虚像、正立、缩小，放大镜不能用凹透镜。
• 作图时，实像是折射光实际相交的点；虚像是折射光反向延长线的交点，要用虚线。
• 日文题干里「焦点の内側」= $a < f$，「焦点の外側」= $a > f$；「レンズの前方」是物体所在的一侧。
• 透镜也有色差（不同颜色的焦距不同），EJU 不要求定量，题目里遇到再说。

推导

レンズの式：用相似三角形。物体高 $h$，像高 $h'$，物距 $a$，像距 $b$（实像，$b > 0$）。

• 过光心的光线：$\dfrac{h'}{h} = \dfrac{b}{a}$。
• 平行于光轴的光线：经透镜后过焦点 $F$。由相似三角形，$\dfrac{h'}{h} = \dfrac{b - f}{f}$。

两式相等：

$$\frac{b}{a} = \frac{b - f}{f}$$

交叉相乘得 $bf = a(b - f)$，即 $af = b(a - f)$，两边除以 $abf$：

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}$$

（关键一步：两条光线给出同一个高度比 $h'/h$，只是一条用 $a$、$b$ 表示，另一条用 $f$、$b$ 表示，所以可以相等。）

虚像（$b < 0$）和凹透镜（$f < 0$）时，把 $b$、$f$ 按符号代入，式子同样成立；作图时用反向延长线。

倍率：由过光心的光线，$m = \dfrac{h'}{h} = \dfrac{\lvert b \rvert}{a}$。

例题

例 1　（场景：凸透镜、$a > f$ → 实像 → レンズの式与倍率）

問題　焦点距離 $10\ \mathrm{cm}$ の凸レンズの前方 $30\ \mathrm{cm}$ の位置に，光軸に垂直に物体を置いた。像の位置と倍率の組み合わせとして正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　レンズの反対側 $15\ \mathrm{cm}$，倍率 $0.50$ ②　レンズの反対側 $15\ \mathrm{cm}$，倍率 $2.0$ ③　物体と同じ側 $15\ \mathrm{cm}$，倍率 $0.50$ ④　レンズの反対側 $30\ \mathrm{cm}$，倍率 $1.0$

解答　レンズの式より

$$\frac{1}{b} = \frac{1}{f} - \frac{1}{a} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30}\ \mathrm{cm^{-1}}$$

よって $b = 15\ \mathrm{cm} > 0$，レンズの反対側に実像ができる。倍率は

$$m = \frac{\lvert b \rvert}{a} = \frac{15}{30} = 0.50$$

実像なので倒立。検算：$a > 2f = 20\ \mathrm{cm}$ なので，像は $f < b < 2f$ の範囲にでき，縮小する。　答　①

中文翻译　题目：在焦距 $10\ \mathrm{cm}$ 的凸透镜前方 $30\ \mathrm{cm}$ 处，垂直于光轴放一个物体。像的位置和倍率的组合，哪个正确？①透镜另一侧 $15\ \mathrm{cm}$，倍率 $0.50$；②透镜另一侧 $15\ \mathrm{cm}$，倍率 $2.0$；③物体同侧 $15\ \mathrm{cm}$，倍率 $0.50$；④透镜另一侧 $30\ \mathrm{cm}$，倍率 $1.0$。解答：由透镜公式 $1/b = 1/f - 1/a = 1/10 - 1/30 = 2/30\ \mathrm{cm^{-1}}$，得 $b = 15\ \mathrm{cm} > 0$，在透镜另一侧成实像。倍率 $m = \lvert b \rvert/a = 15/30 = 0.50$。实像是倒立。检验：$a > 2f = 20\ \mathrm{cm}$，所以像在 $f < b < 2f$ 范围内，是缩小的。答案 ①。

解说　用到的是本节「レンズの式」和符号约定：$b > 0$ 为实像，在透镜另一侧。容易卡在：把 $b$ 的正负和像的实虚弄反，或者倍率写成 $a/b$。选项排除：$a = 30\ \mathrm{cm} > 2f$，像应在 $f$ 和 $2f$ 之间（$10 < b < 20$），只有 ①② 可能；实像倒立，倍率小于 1，选 ①。另一种解法：用作图法，平行于光轴的光过焦点、过光心的光直进，两条折射光在透镜另一侧相交，交点到透镜的距离约为焦距的 1.5 倍，直接读出 $b \approx 15\ \mathrm{cm}$、像高约为物高的一半。

例 2　（场景：凸透镜、$a < f$ → 虚像 → $b < 0$、正立放大）

問題　焦点距離 $12\ \mathrm{cm}$ の凸レンズの前方 $6.0\ \mathrm{cm}$ の位置に，光軸に垂直に物体を置いた。像の位置と像の種類の組み合わせとして正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　物体と同じ側 $12\ \mathrm{cm}$，正立，倍率 $2.0$ ②　レンズの反対側 $12\ \mathrm{cm}$，倒立，倍率 $2.0$ ③　物体と同じ側 $6.0\ \mathrm{cm}$，正立，倍率 $1.0$ ④　物体と同じ側 $12\ \mathrm{cm}$，正立，倍率 $0.50$

解答　$f = 12\ \mathrm{cm}$，$a = 6.0\ \mathrm{cm}$ より

$$\frac{1}{b} = \frac{1}{12} - \frac{1}{6.0} = \frac{1 - 2}{12} = -\frac{1}{12}\ \mathrm{cm^{-1}}$$

よって $b = -12\ \mathrm{cm}$。$b < 0$ なので，物体と同じ側に虚像ができる。倍率は

$$m = \frac{\lvert b \rvert}{a} = \frac{12}{6.0} = 2.0$$

虚像なので正立。検算：$a < f$ のとき凸レンズは拡大鏡として働き，正立の拡大虚像ができる。　答　①

中文翻译　题目：在焦距 $12\ \mathrm{cm}$ 的凸透镜前方 $6.0\ \mathrm{cm}$ 处，垂直于光轴放一个物体。像的位置和像的种类的组合，哪个正确？①物体同侧 $12\ \mathrm{cm}$，正立，倍率 $2.0$；②透镜另一侧 $12\ \mathrm{cm}$，倒立，倍率 $2.0$；③物体同侧 $6.0\ \mathrm{cm}$，正立，倍率 $1.0$；④物体同侧 $12\ \mathrm{cm}$，正立，倍率 $0.50$。解答：$f = 12\ \mathrm{cm}$，$a = 6.0\ \mathrm{cm}$，$1/b = 1/12 - 1/6.0 = -1/12\ \mathrm{cm^{-1}}$，所以 $b = -12\ \mathrm{cm}$。$b < 0$，在物体同侧成虚像。倍率 $m = \lvert b \rvert/a = 12/6.0 = 2.0$。虚像是正立。检验：$a < f$ 时凸透镜起放大镜作用，成正立放大的虚像。答案 ①。

解说　用到的是 $b < 0$ 表示虚像、像与物体同侧。容易卡在：算出 $b = -12\ \mathrm{cm}$ 后不知道负号的含义，或者把虚像说成倒立。选项排除：$a < f$ 一定是虚像、正立、放大，②倒立、③倍率 1.0、④缩小都不对。另一种解法：作图，平行于光轴的光折射后过焦点，过光心的光直进；两条折射光在透镜右侧发散，反向延长线在物体同侧相交，交点比物体更远、更高。

常用推论

• 凸透镜：$a > 2f$ 缩小倒立实像；$a = 2f$ 等大倒立实像；$f < a < 2f$ 放大倒立实像；$a = f$ 不成像；$a < f$ 放大正立虚像。
• 凹透镜：$f < 0$，$b = \dfrac{af}{a - f}$ 恒为负（分母 $a - f > 0$、分子 $af < 0$），所以恒成缩小正立虚像。
• 放大镜：$a < f$，$m = \dfrac{f}{f - a}$（由 $m = \dfrac{\lvert b \rvert}{a}$、$b = \dfrac{af}{a - f}$ 推出）。
• 实像与虚像的判别：$b > 0$ 实像，$b < 0$ 虚像；实像倒立可投影，虚像正立不可投影。

易错点

• 错在哪：认为 $b$ 为负是「像在透镜后面」或「没有像」。 为什么错：这里的正负是相对于物体所在侧而言；负号表示虚像，与物体同侧。 正确做法：先定 $a$、$f$ 的符号，算出 $b$，$b > 0$ 实像、$b < 0$ 虚像。
• 错在哪：倍率写成 $a/b$ 或忘记取绝对值。 为什么错：倍率是像高与物高之比，由过光心的光线得 $h'/h = \lvert b \rvert/a$。 正确做法：$m = \lvert b \rvert/a$，实像倒立、虚像正立。
• 错在哪：认为凸透镜一定成实像。 为什么错：$a < f$ 时折射光发散，反向延长线才相交，成虚像。 正确做法：先比较 $a$ 和 $f$；$a < f$ 用虚像的作图和符号。

直观理解

凸透镜像「把光收拢的漏斗」：平行光收于焦点，物体在焦点外，光在另一侧真实相交，成实像；物体在焦点内，光还没收拢就发散了，只能「倒着看」到虚像。凹透镜像「把光推开的坡」：光一进去就发散，永远收不拢，所以总是缩小的正立虚像。

一句话记法：焦点外实像倒立，焦点内虚像正立；凹透镜永远虚像。

关联知识点

• 前置：国内书第 23 章 23.2 节折射定律（透镜靠两次折射成像）；《高中数学知识点梳理》第 16 章解三角形（相似三角形）。
• 后续：本书 14.4 节球面鏡（同一套公式和符号）、14.6 节薄膜干渉（透镜表面的增透膜）。
• 常一起考：国内书第 24 章 24.3 节牛顿环中的平凸透镜；第 23 章 23.3 节色散（透镜的色差）。

14.4 球面鏡

说明

球面鏡（球面镜）：反射面是球面的一部分的镜子。反射面为凹面的叫凹面鏡（凹面镜），对光有会聚作用；反射面为凸面的叫凸面鏡（凸面镜），对光有发散作用。

焦点と曲率半径：平行于光轴的光，经凹面镜反射后通过光轴上的焦点 $F$；经凸面镜反射后，反射光的反向延长线通过焦点。焦点到镜面顶点 $O$ 的距离叫焦点距離 $f$。球面的半径叫曲率半径 $r$，近轴光线下

$$f = \frac{r}{2}$$

凹面鏡 $f > 0$，凸面鏡 $f < 0$。

球面鏡の式：与透镜公式同形，

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}$$

$a$ 为物体到镜面的距离（正），$b$ 为像到镜面的距离。符号约定：実像 $b > 0$，像在镜前（与物体同侧）；虚像 $b < 0$，像在镜后。倍率 $m = \dfrac{\lvert b \rvert}{a}$。凹面鏡在 $a > f$ 时成倒立实像，$a < f$ 时成正立放大虚像；凸面鏡恒成正立缩小虚像。

作図の光線：

1. 平行于光轴的光 → 凹面镜反射后过焦点；凸面镜反射后，反向延长线过焦点。
2. 过焦点的光 → 凹面镜反射后平行于光轴。
3. 过球心 $C$ 的光 → 沿半径入射，垂直射到镜面，沿原路返回。
4. 射向镜面顶点 $O$ 的光 → 以光轴为对称轴反射。

理想模型：近轴光线、镜面口径远小于曲率半径（忽略球面像差）。

使用场景

• 凹面镜或凸面镜给出 $a$、$f$（或 $r$），问像的位置、倍率、实虚，或用作图题 → 球面鏡の式 $\dfrac1a+\dfrac1b=\dfrac1f$，$f=\dfrac r2$；凸面镜恒成虚像、正立、缩小；作图用平行光、过焦点、过球心三条光线。

注意点

• 凹面镜的实像在镜前（物体同侧）；透镜的实像在透镜另一侧。$b > 0$ 的含义相反，不要混。
• $f = r/2$ 是近轴近似；$r$ 是曲率半径，$f$ 是它的一半。
• 凸面镜的焦点在镜后（虚焦点），$f < 0$。
• 凹面镜在 $a < f$ 时也成虚像（正立放大）；$a = f$ 时像在无穷远。
• 过球心 $C$ 的光垂直入射，反射后沿原路返回，作图时最省事。
• 球面鏡の式与透镜公式同形，但 $b$ 的正方向相反：镜前为正（实像），镜后为负（虚像）。

推导

$f = r/2$：设平行于光轴的光入射到凹面镜的 $P$ 点，球心 $C$，顶点 $O$。法线是半径 $CP$。入射光平行于光轴，所以入射角（与 $CP$ 的夹角）等于 $\angle PCO$。反射角与入射角相等，在三角形 $PCF$ 中 $\angle FPC = \angle PCF$，所以 $PF = CF$。近轴光线下 $P$ 靠近 $O$，$PF \approx OF$，于是 $CF \approx OF$，$F$ 是 $CO$ 的中点：

$$f = \frac{r}{2}$$

球面鏡の式：推导与透镜相同，用两条光线列相似三角形。过顶点的光给出 $h'/h = b/a$；平行于光轴的光反射后过 $F$，给出 $h'/h = (b - f)/f$。两式相等，整理得

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}$$

（关键一步：凹面镜的实像与物体在镜的同一侧，$b$ 从镜面量起，所以相似三角形的边仍是 $b$ 和 $b - f$；虚像和凸面镜按符号代入。）虚像（$b < 0$）和凸面镜（$f < 0$）时，式子同样成立。

例题

例 1　（场景：凹面鏡、$a > f$ → 实像 → 球面鏡の式与倍率）

問題　焦点距離 $8.0\ \mathrm{cm}$ の凹面鏡の前方 $24\ \mathrm{cm}$ の位置に，光軸に垂直に物体を置いた。像の位置と像の種類の組み合わせとして正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　鏡の前方 $12\ \mathrm{cm}$，倒立，倍率 $0.50$ ②　鏡の後方 $12\ \mathrm{cm}$，正立，倍率 $0.50$ ③　鏡の前方 $12\ \mathrm{cm}$，正立，倍率 $2.0$ ④　鏡の前方 $24\ \mathrm{cm}$，倒立，倍率 $1.0$

解答　球面鏡の式より

$$\frac{1}{b} = \frac{1}{f} - \frac{1}{a} = \frac{1}{8.0} - \frac{1}{24} = \frac{3 - 1}{24} = \frac{2}{24}\ \mathrm{cm^{-1}}$$

よって $b = 12\ \mathrm{cm} > 0$。凹面鏡では $b > 0$ は鏡の前方（物体と同じ側）の実像を表す。倍率は

$$m = \frac{\lvert b \rvert}{a} = \frac{12}{24} = 0.50$$

実像なので倒立。検算：$a > 2f = 16\ \mathrm{cm}$ なので，像は $f < b < 2f$ の範囲にでき，縮小する。　答　①

中文翻译　题目：在焦距 $8.0\ \mathrm{cm}$ 的凹面镜前方 $24\ \mathrm{cm}$ 处，垂直于光轴放一个物体。像的位置和像的种类的组合，哪个正确？①镜前 $12\ \mathrm{cm}$，倒立，倍率 $0.50$；②镜后 $12\ \mathrm{cm}$，正立，倍率 $0.50$；③镜前 $12\ \mathrm{cm}$，正立，倍率 $2.0$；④镜前 $24\ \mathrm{cm}$，倒立，倍率 $1.0$。解答：由球面镜公式 $1/b = 1/f - 1/a = 1/8.0 - 1/24 = 2/24\ \mathrm{cm^{-1}}$，得 $b = 12\ \mathrm{cm} > 0$。凹面镜中 $b > 0$ 表示镜前（物体同侧）的实像。倍率 $m = \lvert b \rvert/a = 12/24 = 0.50$。实像是倒立。检验：$a > 2f = 16\ \mathrm{cm}$，像在 $f < b < 2f$ 范围内，是缩小的。答案 ①。

解说　用到的是「凹面镜 $b > 0$ 为镜前实像」这一符号约定，和透镜相反。容易卡在：把凹面镜的实像画到镜后，或者把 $b > 0$ 当成虚像。选项排除：$a = 24\ \mathrm{cm} > 2f$，实像应在 $f$ 和 $2f$ 之间（$8 < b < 16$），且倒立缩小，只有 ①。另一种解法：作图，平行于光轴的光反射后过 $F$，过 $F$ 的光反射后平行于光轴，两条反射光在镜前相交于 $12\ \mathrm{cm}$ 处，像高为物高的一半。

常用推论

• 凹面鏡：$a > 2f$ 缩小倒立实像；$a = 2f$ 等大倒立实像；$f < a < 2f$ 放大倒立实像；$a = f$ 像在无穷远；$a < f$ 放大正立虚像（镜后）。
• 凸面鏡：$f < 0$，$b = \dfrac{af}{a - f}$ 恒为负，恒成正立缩小虚像；视野比同口径平面镜大，用作后视镜和道路反光镜。
• 凹面鏡的用途：手电筒、汽车前灯、太阳灶、反射式望远镜（光源在焦点时反射光平行射出；平行光会聚到焦点）。
• 球面鏡の式与透镜公式同形，记一套符号规则即可：$a > 0$；实像 $b > 0$；凹 $f > 0$，凸 $f < 0$。

易错点

• 错在哪：把凹面镜的实像画在镜后。 为什么错：镜子反射光，实像由实际反射光相交而成，只能在镜前（物体同侧）。 正确做法：凹面镜 $b > 0$ 画在镜前；凸面镜和虚像 $b < 0$ 画在镜后。
• 错在哪：认为凸面镜也能成实像。 为什么错：凸面镜使光发散，反射光不会实际相交，只能反向延长成虚像。 正确做法：凸面镜恒为正立缩小虚像，$f < 0$、$b < 0$。
• 错在哪：把 $f = r/2$ 中的 $r$ 当成焦距。 为什么错：$r$ 是曲率半径（球心到镜面的距离），焦点在球心和顶点中间。 正确做法：先由 $r$ 求 $f = r/2$，再代入球面镜公式。

直观理解

凹面镜像「向内凹的碗」，平行光落进去被收拢到焦点；物体在焦点外，反射光在碗前真实相交，成倒立实像；物体在焦点内，反射光还没收拢就发散，只能看到正立放大的虚像。凸面镜像「向外鼓的盾」，光一碰就散开，永远收不拢，所以总是缩小的正立虚像。

一句话记法：凹镜焦点外实像，凸镜永远虚像。

关联知识点

• 前置：国内书第 23 章 23.2 节光的反射定律（入射角等于反射角）；本书 14.3 节レンズ（公式同形，符号相反）。
• 后续：本书 14.5 节回折格子、14.6 节薄膜干渉（都用光路差和相位）。
• 常一起考：国内书第 23 章 23.4 节全反射（镜面反射与全反射的区别）。

14.5 回折格子

说明

回折格子（衍射光栅）：在透明板上等间隔地刻出大量平行细缝（或刻痕）的光学元件。相邻两条缝的间距叫格子定数 $d$（光栅常量）。若每 $1\ \mathrm{mm}$ 有 $N$ 条缝，则

$$d = \frac{1}{N}$$

回折の条件：平行光垂直射入回折格子时，相邻两缝发出的光在偏折角 $\theta$ 方向的光路差为 $d\sin\theta$。它们加强的条件是

$$d\sin\theta = m\lambda \quad (m = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$$

$m$ 叫次数（$m = 0$ 是中央，$m = 1$ 是 1 次，依此类推）。满足这个方向的光形成细而亮的明線。

ヤングの実験との関係：双缝干涉是 $N = 2$ 的情形，条件也是 $d\sin\theta = m\lambda$；国内书的条纹间距 $\Delta x = \dfrac{l}{d}\lambda$ 是 $\theta$ 很小时的近似。回折格子缝数多，明线更细更锐，适合精确测波长。

白色光の回折：同一个 $m$ 的明线，波长越长，$\sin\theta = \dfrac{m\lambda}{d}$ 越大，偏折角越大。所以中央（$m = 0$）是白色，两侧按紫→红的顺序排列，红色在最外侧。

理想模型：缝很细（缝宽远小于 $d$）、平行光、透射型回折格子；不考虑缝宽带来的单缝衍射包络。

使用场景

• 已知 $d$（或每毫米的缝数 $N$）和 $\lambda$，求 $\theta$、级数或颜色顺序；问最多能看到几级、缝数增多有什么变化 → $d\sin\theta=m\lambda$，$\lvert\sin\theta\rvert\le1$；$\lambda$ 大则 $\theta$ 大，缝数增多明线变细变亮。

注意点

• $d$ 是相邻缝的间距（格子定数），不是缝宽。$N$ 条/mm 时 $d = \dfrac{1}{N}\ \mathrm{mm} = \dfrac{10^{-3}}{N}\ \mathrm{m}$。
• $\theta$ 是回折光与格子面法线的夹角，不是与格子面的夹角。
• $m$ 是整数，$m = 0$ 是中央；$m$ 取负表示另一侧的对称明线。
• 单位：$d$、$\lambda$ 都用 $\mathrm{m}$；$1\ \mathrm{nm} = 10^{-9}\ \mathrm{m}$，$1\ \mathrm{mm} = 10^{-3}\ \mathrm{m}$。
• $\lvert \sin\theta \rvert \le 1$ 限制了最高次数：$m_{\max} = \left\lfloor \dfrac{d}{\lambda} \right\rfloor$。
• 回折格子的明线是细锐的亮线；单缝衍射的中央亮纹很宽，两者不同。
• 白色光的中央明线是白色（各色 $\theta = 0$ 重合），两侧才是彩色。

推导

$d\sin\theta = m\lambda$：光垂直射入格子，相邻两缝到同一远处方向 $\theta$ 的光线近似平行。从一条缝向另一条缝的光线作垂线，多走的一段是 $d\sin\theta$（直角三角形，斜边 $d$，对角 $\theta$）。两光加强的条件是光路差为波长整数倍：

$$d\sin\theta = m\lambda$$

（关键一步：光路差只由缝间距 $d$ 和方向 $\theta$ 决定，与缝到屏的距离无关；远处光线近似平行，才能把光路差写成 $d\sin\theta$。）

白色光红色在外：由 $d\sin\theta = m\lambda$，同一 $m$ 下 $\lambda$ 越大 $\sin\theta$ 越大，所以红光的 $\theta$ 最大，在最外侧；紫光最小，靠近中央。

明线为什么细锐：$N$ 条缝的光要全部同相加强，方向必须严格满足 $d\sin\theta = m\lambda$；方向稍微偏离，各缝的光就逐渐错开相位、相互抵消。$N$ 越大，允许的偏离越小，明线越细。

例题

例 1　（场景：已知格子定数和波长 → 求 1 次回折角 → $d\sin\theta = m\lambda$）

問題　$1\ \mathrm{mm}$ あたり $500$ 本のスリットをもつ回折格子に，波長 $600\ \mathrm{nm}$ の単色光を垂直に入射した。1 次の明線の回折角 $\theta$ はおよそ何度か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$17^\circ$　　②　$25^\circ$　　③　$30^\circ$　　④　$37^\circ$

解答　格子定数は

$$d = \frac{1\ \mathrm{mm}}{500} = \frac{1.0 \times 10^{-3}}{500}\ \mathrm{m} = 2.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{m}$$

1 次（$m = 1$）の条件 $d\sin\theta = \lambda$ より

$$\sin\theta = \frac{\lambda}{d} = \frac{600 \times 10^{-9}}{2.0 \times 10^{-6}} = 0.30$$

$\sin\theta = 0.30$ となる角は約 $17^\circ$。　答　①

中文翻译　题目：每 $1\ \mathrm{mm}$ 有 $500$ 条缝的回折格子，垂直入射波长 $600\ \mathrm{nm}$ 的单色光。1 级明线的回折角 $\theta$ 大约是多少度？①$17^\circ$；②$25^\circ$；③$30^\circ$；④$37^\circ$。解答：格子定数 $d = 1\ \mathrm{mm}/500 = 2.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{m}$。1 级（$m = 1$）条件 $d\sin\theta = \lambda$，所以 $\sin\theta = 600 \times 10^{-9}/(2.0 \times 10^{-6}) = 0.30$，对应角约 $17^\circ$。答案 ①。

解说　用到的是 $d\sin\theta = m\lambda$ 和格子定数的换算：$N$ 条/mm 时 $d = 10^{-3}/N\ \mathrm{m}$。容易卡在：把 $500$ 条/mm 直接当成 $d = 500\ \mathrm{nm}$，或者忘了 nm 到 m 的换算。选项排除：$\sin 30^\circ = 0.50$ 对应 $d = 1.2\ \mathrm{\mu m}$，$\sin 37^\circ = 0.60$ 对应 $d = 1.0\ \mathrm{\mu m}$，都不对；$\sin 17^\circ \approx 0.29$，最接近 0.30。

常用推论

• $d\sin\theta = m\lambda$：已知三者中的两个求第三个；$m = 0$ 是中央明线，$m = 1, 2, \cdots$ 是两侧的 1 级、2 级。
• 最高次数 $m_{\max} = \left\lfloor \dfrac{d}{\lambda} \right\rfloor$（因为 $\sin\theta \le 1$）。
• 白色光：同一级中红光偏折最大（最外侧），紫光最小（最靠近中央）；中央明线是白色。
• 双缝干涉的 $\Delta x = \dfrac{l}{d}\lambda$ 是 $d\sin\theta = m\lambda$ 在小角度下的近似；回折格子通常角度较大，直接用 $\sin$。
• 缝数 $N$ 越大，明线越细越亮，测量波长越精确。

易错点

• 错在哪：把每毫米的缝数 $N$ 当成格子定数 $d$。 为什么错：$d$ 是相邻缝的间距，$N$ 是单位长度内的缝数，两者互为倒数。 正确做法：$d = \dfrac{1}{N}$，并统一到米。
• 错在哪：$\theta$ 取成回折光与格子面的夹角。 为什么错：公式里的 $\theta$ 是从法线量起的偏折角。 正确做法：先画法线，再从法线量 $\theta$。
• 错在哪：认为白色光中紫光偏折最大。 为什么错：由 $\sin\theta = m\lambda/d$，波长越长偏折越大，红光的 $\theta$ 最大。 正确做法：红在外、紫在内；中央白色。

直观理解

回折格子像「一排等间距的士兵同时踏步」：只有大家到达远处的步调完全一致（光路差为整数个波长）的方向，才会齐声加强；其他方向互相抵消。缝越多，「齐步」的条件越苛刻，所以明线越细。白色光像不同步长的队伍，同一级里步长大的红光拐得最远。

一句话记法：d sinθ = mλ，红在外、紫在内。

关联知识点

• 前置：国内书第 24 章 24.2 节双缝干涉（光路差、加强条件）；24.4 节衍射（光栅的定性介绍）。
• 前置：本书 12.6 节定在波与干涉（光路差、相干条件）。
• 后续：本书第 21 章 X 線のブラッグ反射 $2d\sin\theta = n\lambda$（同一类光路差条件）。
• 常一起考：国内书第 23 章 23.3 节色散（白光分光的颜色顺序）。

14.6 薄膜による干渉

说明

薄膜による干渉（薄膜干涉）：光照射到厚度为 $d$、折射率为 $n$ 的透明薄膜上，膜的上表面和下表面各反射一部分光，这两束反射光来自同一入射光，是相干光，叠加产生干涉。肥皂膜、油膜、镜头上的增透膜都是例子。

光路差：光在膜中往返一次，路程为 $2d$；膜中的波长为 $\dfrac{\lambda}{n}$（$\lambda$ 为真空中的波长）。所以两束反射光的光路差为

$$2nd$$

反射時の位相変化：光从折射率小的介质射向折射率大的介质，在界面反射时相位改变 $\pi$（相当于多走半个波长）；从折射率大的介质射向折射率小的介质反射时，相位不变。这和国内书第 22 章波的固定端反射、自由端反射是同一件事：固定端反射有半波损失，自由端没有。

膜が空気中にある場合（シャボン膜など，$n > 1$）：上表面（空気→膜，$n$ 增大）反射有 $\pi$ 的相位变化；下表面（膜→空気，$n$ 减小）没有。因此反射光：

• 加强（明）：$2nd = \left(m + \dfrac{1}{2}\right)\lambda$，$m = 0, 1, 2, \cdots$
• 减弱（暗）：$2nd = m\lambda$，$m = 0, 1, 2, \cdots$

$m = 0$ 时 $d = 0$，即膜极薄处反射光减弱，看起来是暗的（肥皂膜顶部的黑斑）。

上下反射的相位变化相同的情形：例如玻璃（$n \approx 1.5$）上的氟化镁增透膜（$n = 1.38$），上表面（空気→膜）和下表面（膜→ガラス）都有 $\pi$ 的相位变化，两者的相位差抵消。这时条件反过来：

• 加强：$2nd = m\lambda$
• 减弱：$2nd = \left(m + \dfrac{1}{2}\right)\lambda$

反射减弱时，能量转到透射光，透射光加强。反射防止膜的最小厚度就是由减弱条件 $2nd = \dfrac{\lambda}{2}$ 得 $d = \dfrac{\lambda}{4n}$。

理想模型：光垂直入射（或近似垂直），膜的两表面平行，薄膜足够薄（厚度与波长同量级），忽略多次反射。

使用场景

• 已知膜厚 $d$、折射率 $n$、波长 $\lambda$，问反射光加强还是减弱、最小膜厚，或解释肥皂膜、油膜、增透膜 → 光路差 $2nd$ 加反射相位变化，先数上下表面各有几次 $\pi$，再列条件；增透膜最小 $d=\dfrac{\lambda}{4n}$。

注意点

• 光路差是 $2nd$，不是 $2d$：膜中波长是 $\lambda/n$，往返 $2d$ 相当于 $2nd/\lambda$ 个波长。
• 相位变化的口诀：从光疏到光密反射，相位变 $\pi$；从光密到光疏反射，不变。
• 上下两个表面的相位变化相同（都是 $\pi$ 或都不变）时，相位差抵消，加强和减弱的条件互换。
• 肥皂膜极薄处是暗的，因为 $d \approx 0$ 时 $2nd \approx 0$，但上表面反射有 $\pi$，两束光反相。
• 增透膜的 $d = \dfrac{\lambda}{4n}$ 是最小厚度；$\lambda$ 用真空（空气）中的波长。
• 反射减弱等于透射增强，能量守恒；不要说「增透膜把光吃掉了」。
• 薄膜太厚（远大于波长）时，普通光的相干性变差，条纹看不清。

推导

光路差 $2nd$：膜中波长 $\lambda' = \dfrac{\lambda}{n}$。光在膜中往返 $2d$，走过的波长数为 $\dfrac{2d}{\lambda'} = \dfrac{2nd}{\lambda}$。所以光路差（折算到真空）为 $2nd$。

相位变化 $\pi$：光从光疏介质射向光密介质，反射时相当于固定端反射，相位改变 $\pi$；从光密到光疏，相当于自由端反射，相位不变（国内书第 22 章）。两束反射光的相位差为

$$\Delta\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot 2nd + \Delta\phi_{\text{反射}}$$

其中 $\Delta\phi_{\text{反射}}$ 是上下表面反射相位变化之差：上变下不变时为 $\pi$，上下都变或都不变时为 $0$。

肥皂膜（上变下不变）：

• 加强：$\dfrac{2\pi}{\lambda} \cdot 2nd + \pi = 2\pi m$，即 $2nd = \left(m - \dfrac{1}{2}\right)\lambda$，与 $2nd = \left(m + \dfrac{1}{2}\right)\lambda$ 是同一组（$m$ 取整数）。
• 减弱：$\dfrac{2\pi}{\lambda} \cdot 2nd + \pi = 2\pi\left(m + \dfrac{1}{2}\right)$，即 $2nd = m\lambda$。

增透膜（上下都变）：$\Delta\phi_{\text{反射}} = 0$。

• 减弱：$\dfrac{2\pi}{\lambda} \cdot 2nd = 2\pi\left(m + \dfrac{1}{2}\right)$，即 $2nd = \left(m + \dfrac{1}{2}\right)\lambda$。
• 最小厚度：$m = 0$，$2nd = \dfrac{\lambda}{2}$，得 $d = \dfrac{\lambda}{4n}$。

例题

例 1　（场景：空气中的肥皂膜 → 上表面反射有 π、下表面没有 → 求反射光减弱的条件 → 最小膜厚）

問題　空気中に置いたシャボン膜（屈折率 $1.33$）に，波長 $600\ \mathrm{nm}$ の単色光を垂直に当てる。反射光が弱め合うための膜の最小の厚さは何 m か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$1.1 \times 10^{-7}\ \mathrm{m}$　　②　$2.3 \times 10^{-7}\ \mathrm{m}$　　③　$3.0 \times 10^{-7}\ \mathrm{m}$　　④　$4.5 \times 10^{-7}\ \mathrm{m}$

解答　空気中では，膜の上表面（空気→膜）で反射する光は位相が $\pi$ 変わり，下表面（膜→空気）で反射する光は位相が変わらない。したがって，反射光が弱め合う条件は

$$2nd = m\lambda \quad (m = 0, 1, 2, \cdots)$$

$m = 0$ は $d = 0$（膜がない）なので，最小の正の厚さは $m = 1$：

$$d = \frac{\lambda}{2n} = \frac{600 \times 10^{-9}}{2 \times 1.33}\ \mathrm{m} \approx 2.3 \times 10^{-7}\ \mathrm{m}$$

検算：$2nd = 2 \times 1.33 \times 2.26 \times 10^{-7}\ \mathrm{m} \approx 6.0 \times 10^{-7}\ \mathrm{m} = \lambda$。上表面の $\pi$ と合わせて位相差は $2\pi$ の整数倍になり，弱め合う。　答　②

中文翻译　题目：空气中放置的肥皂膜（折射率 $1.33$），垂直入射波长 $600\ \mathrm{nm}$ 的单色光。反射光减弱所需的最小膜厚是多少 m？①$1.1 \times 10^{-7}\ \mathrm{m}$；②$2.3 \times 10^{-7}\ \mathrm{m}$；③$3.0 \times 10^{-7}\ \mathrm{m}$；④$4.5 \times 10^{-7}\ \mathrm{m}$。解答：在空气中，膜上表面（空气→膜）反射的光相位改变 $\pi$，下表面（膜→空气）反射的光相位不变。所以反射光减弱的条件是 $2nd = m\lambda$（$m = 0, 1, 2, \cdots$）。$m = 0$ 对应 $d = 0$（没有膜），最小正厚度取 $m = 1$：$d = \lambda/(2n) = 600 \times 10^{-9}/(2 \times 1.33)\ \mathrm{m} \approx 2.3 \times 10^{-7}\ \mathrm{m}$。检验：$2nd = 2 \times 1.33 \times 2.26 \times 10^{-7} \approx 6.0 \times 10^{-7}\ \mathrm{m} = \lambda$，加上上表面的 $\pi$，相位差为 $2\pi$ 的整数倍，减弱。答案 ②。

解说　用到的是本节两条：光路差 $2nd$，以及「空气→膜反射有 $\pi$、膜→空气没有」。容易卡在：直接用 $d = \lambda/2$ 得 $3.0 \times 10^{-7}\ \mathrm{m}$（忘了除以 $n$），或者用增透膜的 $d = \lambda/(4n)$ 得 $1.1 \times 10^{-7}\ \mathrm{m}$（那是上下都有 $\pi$ 时的减弱条件）。选项排除：$4.5 \times 10^{-7}\ \mathrm{m}$ 是 $3\lambda/(2n)$，对应加强。另一种解法：先写相位差 $\Delta\phi = 2\pi \cdot 2nd/\lambda + \pi$，令它等于 $(2m + 1)\pi$，同样得 $2nd = m\lambda$；符号清楚，适合上下相位变化不同的题。

常用推论

• 薄膜反射光：先数上下表面各有几次 $\pi$。上变下不变（肥皂膜）：加强 $2nd = \left(m + \dfrac{1}{2}\right)\lambda$，减弱 $2nd = m\lambda$。上下都变或都不变：加强 $2nd = m\lambda$，减弱 $2nd = \left(m + \dfrac{1}{2}\right)\lambda$。
• 增透膜最小厚度 $d = \dfrac{\lambda}{4n}$；反射防止膜按人眼最敏感的绿光（约 $550\ \mathrm{nm}$）设计。
• 膜厚 $d$ 增大时，同一波长下明暗交替；白光照射时不同波长的加强条件不同，出现彩色。
• 透射光与反射光互补：反射加强处透射减弱，反之亦然。
• 薄膜干涉是「等厚线」：厚度相同的地方亮暗相同（14.7 节展开）。

易错点

• 错在哪：光路差写成 $2d$，忘了乘折射率 $n$。 为什么错：膜中波长是 $\lambda/n$，同样几何路程对应的波长数变多。 正确做法：光路差 $2nd$，再和 $\lambda$ 比较。
• 错在哪：不判断反射相位变化，直接套 $2nd = m\lambda$ 或 $2nd = \left(m + \dfrac{1}{2}\right)\lambda$。 为什么错：相位变化取决于光从光疏还是光密介质反射，上下不同，条件会互换。 正确做法：先写「上表面 $\pi$、下表面 $0$」或相反，再列相位差。
• 错在哪：认为增透膜使光能消失。 为什么错：反射减弱，能量转到透射光，总能量守恒。 正确做法：反射减弱等于透射增强；增透膜只对特定波长有效。
• 错在哪：把 $m = 0$ 的肥皂膜条件当成「厚度为 0 时有亮纹」。 为什么错：$d = 0$ 时 $2nd = 0$，但上表面反射有 $\pi$，两束光反相，是暗的。 正确做法：肥皂膜极薄处是暗的；$m = 0$ 的暗条件对应 $d = 0$。

直观理解

薄膜干涉像「一束光分成两束，一束在膜的上表面就回头，另一束钻进膜里、在下表面回头」。后一束多走了膜的两倍厚度，但膜里的波长变短了，所以多走的「波长数」是 $2nd/\lambda$。再加上上表面回头时相位翻了半个波长，两束光的账要一起算。

一句话记法：光路差 2nd，反射看疏密：疏→密翻半波；两束的账合起来是整数个波长就同相。

关联知识点

• 前置：国内书第 24 章 24.3 节薄膜干涉（等厚干涉、增透膜）；第 22 章波的反射（固定端、自由端，半波损失）。
• 前置：本书 12.5 节自由端・固定端反射（相位变化）。
• 后续：本书 14.7 节空気層による干渉（薄膜干涉的等厚情形）。
• 常一起考：国内书第 24 章 24.4 节衍射（彩色条纹的成因辨析）。

14.7 空気層による干渉

说明

空気層による干渉（空气层干涉）：两块玻璃板之间、或透镜与玻璃板之间夹着一层很薄的空气，光在空气层的上表面和下表面各反射一次，两束反射光干涉。空气的折射率约为 $1$，所以光路差就是 $2d$（$d$ 是该处空气层的厚度）。

反射の位相：空气层的上表面是玻璃→空气（光密→光疏），反射相位不变；下表面是空气→玻璃（光疏→光密），反射相位变 $\pi$。所以反射光：

• 减弱（暗）：$2d = m\lambda$，$m = 0, 1, 2, \cdots$
• 加强（明）：$2d = \left(m + \dfrac{1}{2}\right)\lambda$，$m = 0, 1, 2, \cdots$

$d = 0$ 处（接触边、牛顿环中心）是暗的。

くさび形空気層（楔形空气层）：两块平板玻璃一端接触，另一端夹一根细丝或薄片，中间形成楔形空气层。空气层厚度 $d$ 随位置均匀增大，所以条纹是平行于接触边的等间距直条纹。相邻两条明线（或暗线）对应的厚度差为 $\dfrac{\lambda}{2}$。设楔角为 $\theta$，条纹间距为

$$\Delta x = \frac{\lambda}{2\tan\theta} \approx \frac{\lambda}{2\theta}$$

若空气层充满折射率为 $n$ 的液体，则波长为 $\dfrac{\lambda}{n}$，条纹间距变为 $\dfrac{\lambda}{2n\theta}$，条纹变密。

ニュートンリング（牛顿环）：把曲率半径 $R$ 很大的平凸透镜的凸面朝下放在平板玻璃上，空气层厚度从中心向外增大。厚度为 $e$ 处的半径 $r$ 满足

$$e \approx \frac{r^2}{2R}$$

所以条纹是以接触点为中心的同心圆环。由 $2e = \left(m + \dfrac{1}{2}\right)\lambda$（明环）和 $2e = m\lambda$（暗环）得

$$r_{\text{明}} = \sqrt{\left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda R}, \qquad r_{\text{暗}} = \sqrt{m\lambda R}$$

（$m = 0, 1, 2, \cdots$；暗环 $m = 0$ 是中心点）。厚度随 $r^2$ 增长，所以环内疏外密；$R$ 越大越疏，$\lambda$ 越短越密。

理想模型：空气层很薄、光垂直入射、空气折射率为 $1$、近轴。

使用场景

• くさび形空気層、ニュートンリング、空气层充液体、检查平面度 → 相邻条纹的厚度差为 $\dfrac{\lambda}{2}$，$\Delta x=\dfrac{\lambda}{2 heta}$；牛顿环中心暗、内疏外密；充液体后波长变为 $\dfrac{\lambda}{n}$；条纹弯曲方向判断凹凸。

注意点

• 干涉的是空气层上下表面的反射光，不是玻璃板的上下表面；玻璃板太厚，条纹看不见。
• 空气层上表面（玻璃→空气）相位不变，下表面（空气→玻璃）相位变 $\pi$，所以接触边、中心是暗的。
• くさび形条纹平行于接触边；牛顿环是同心圆。两者都是等厚线。
• 相邻明线的厚度差是 $\lambda/2$（空气层中）；充液体后是 $\lambda/(2n)$。
• 牛顿环内疏外密：$e \propto r^2$，越往外厚度增加越快。
• 数条纹时，接触边是暗线；用「间隔数 = 板长/条纹间距」计算最稳妥，不要从「第几条」开始数错。
• 白色光照射时，中心暗，外侧出现彩色环。

推导

くさび形：空气层厚 $d$ 处，下表面反射光比上表面多走 $2d$；下表面反射有 $\pi$，所以：

• 弱め合い：$2d = m\lambda$；
• 強め合い：$2d = \left(m + \dfrac{1}{2}\right)\lambda$。

相邻明线对应 $2d$ 增加 $\lambda$，即 $d$ 增加 $\dfrac{\lambda}{2}$。设条纹间距 $\Delta x$，楔角 $\theta$，则 $\Delta x \tan\theta = \dfrac{\lambda}{2}$，

$$\Delta x = \frac{\lambda}{2\tan\theta} \approx \frac{\lambda}{2\theta}$$

细丝直径：从接触边到细丝，厚度从 $0$ 增到 $D$，间隔数 $N = \dfrac{L}{\Delta x}$，所以

$$D = N \cdot \frac{\lambda}{2} = \frac{L\lambda}{2\Delta x}$$

牛顿环：由几何关系 $R^2 = r^2 + (R - e)^2$，展开得 $r^2 = 2Re - e^2$。$e \ll R$，略去 $e^2$，得 $e \approx \dfrac{r^2}{2R}$。

• 明环：$2e = \left(m + \dfrac{1}{2}\right)\lambda$，即 $\dfrac{r^2}{R} = \left(m + \dfrac{1}{2}\right)\lambda$，所以 $r = \sqrt{\left(m + \dfrac{1}{2}\right)\lambda R}$。
• 暗环：$2e = m\lambda$，所以 $r = \sqrt{m\lambda R}$；$m = 0$ 是中心暗斑。

由 $r \propto \sqrt{m}$，相邻环的半径差随 $m$ 增大而减小，所以内疏外密。

例题

例 1　（场景：くさび形空気層 → 明线间距与厚度差 λ/2 → 求细丝直径）

問題　長さ $4.0\ \mathrm{cm}$ の 2 枚のガラス板を一端で接触させ，他端に細い針金を挟んでくさび形の空気層をつくった。波長 $480\ \mathrm{nm}$ の単色光を垂直に当てると，接触辺に平行な明線が等間隔に見え，隣り合う明線の間隔は $0.80\ \mathrm{mm}$ であった。針金の直径は何 m か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$6.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{m}$　　②　$1.2 \times 10^{-5}\ \mathrm{m}$　　③　$2.4 \times 10^{-5}\ \mathrm{m}$　　④　$4.8 \times 10^{-5}\ \mathrm{m}$

解答　空気層の下表面で反射する光は位相が $\pi$ 変わり，上表面では変わらない。明線の条件は $2d = \left(m + \dfrac{1}{2}\right)\lambda$。隣り合う明線では空気層の厚さが $\dfrac{\lambda}{2}$ だけ増える。接触辺から針金までの間隔の数は

$$N = \frac{L}{\Delta x} = \frac{4.0 \times 10^{-2}}{0.80 \times 10^{-3}} = 50$$

針金の直径は

$$D = N \cdot \frac{\lambda}{2} = 50 \times \frac{480 \times 10^{-9}}{2}\ \mathrm{m} = 1.2 \times 10^{-5}\ \mathrm{m}$$

　答　②

中文翻译　题目：长 $4.0\ \mathrm{cm}$ 的两块玻璃板一端接触，另一端夹一根细金属丝，形成楔形空气层。垂直入射波长 $480\ \mathrm{nm}$ 的单色光，看到平行于接触边的等间距明线，相邻明线间距 $0.80\ \mathrm{mm}$。金属丝直径是多少 m？①$6.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{m}$；②$1.2 \times 10^{-5}\ \mathrm{m}$；③$2.4 \times 10^{-5}\ \mathrm{m}$；④$4.8 \times 10^{-5}\ \mathrm{m}$。解答：空气层下表面反射光相位改变 $\pi$，上表面不变。明线条件 $2d = (m+1/2)\lambda$。相邻明线对应的空气层厚度增加 $\lambda/2$。从接触边到金属丝的间隔数 $N = L/\Delta x = 4.0 \times 10^{-2}/(0.80 \times 10^{-3}) = 50$。金属丝直径 $D = N\lambda/2 = 50 \times 240 \times 10^{-9}\ \mathrm{m} = 1.2 \times 10^{-5}\ \mathrm{m}$。答案 ②。

解说　用到的是「相邻明线厚度差 $\lambda/2$」和「接触边是暗线、明线从 $\lambda/4$ 开始」。容易卡在：把 $N$ 算成 $L/\Delta x + 1$（多算一条），或者忘了空气层下表面的 $\pi$、把接触边当成明线。选项排除：$6.0 \times 10^{-6}$ 是用了 $\lambda/4$，$2.4 \times 10^{-5}$ 是忘了除以 2，$4.8 \times 10^{-5}$ 是用了 $\lambda$ 而不是 $\lambda/2$。

例 2　（场景：ニュートンリング → 中心明暗、环的疏密 → 判断）

問題　平凸レンズの凸面を下にして平らなガラス板に載せ，上から単色光を当てると，ニュートンリングが見えた。ニュートンリングについて正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　中心は明るい。 ②　環は等間隔に並ぶ。 ③　曲率半径の大きいレンズに変えると，環の間隔は広くなる。 ④　波長の短い光に変えると，環の間隔は広くなる。

解答　中心では空気層の厚さが $0$ で，下表面（空気→ガラス）の反射で位相が $\pi$ 変わるため，中心は暗い。空気層の厚さは $e \approx \dfrac{r^2}{2R}$ で，外側ほど急に増えるので，環は内疏外密になる。$R$ が大きいと厚さの増加が緩やかになり，環の間隔は広くなる。$\lambda$ が短いと，同じ厚さの差 $\dfrac{\lambda}{2}$ に対応する半径の差が小さくなり，環は密になる。よって ③。　答　③

中文翻译　题目：把平凸透镜凸面朝下放在平板玻璃上，从上方照射单色光，看到牛顿环。关于牛顿环，正确的是哪一个？①中心是亮的。②环等间距排列。③换成曲率半径更大的透镜，环的间距变宽。④换成波长更短的光，环的间距变宽。解答：中心处空气层厚度为 $0$，下表面（空气→玻璃）反射相位改变 $\pi$，所以中心是暗的。空气层厚度 $e \approx r^2/(2R)$，越往外增加越快，所以环内疏外密。$R$ 越大，厚度增加越平缓，环的间距越宽。$\lambda$ 越短，同样的厚度差 $\lambda/2$ 对应的半径差越小，环越密。因此选③。答案 ③。

解说　用到的是「空气层下表面有 $\pi$」和 $e \approx r^2/(2R)$。容易卡在：认为中心厚度为 0 所以是亮的，忘了反射相位变化；或者把内疏外密记反。选项排除：①中心暗；②环内疏外密，不等间距；④波长越短越密，不是越宽。另一种解法：由 $r_{\text{明}} = \sqrt{\left(m + \dfrac{1}{2}\right)\lambda R}$ 看比例：$R$ 增大，$r$ 按 $\sqrt{R}$ 增大，间距变宽；$\lambda$ 减小，$r$ 按 $\sqrt{\lambda}$ 减小，间距变窄。

常用推论

• くさび形：相邻明线厚度差 $\lambda/2$，间距 $\Delta x = \dfrac{\lambda}{2\theta}$；细丝直径 $D = \dfrac{L\lambda}{2\Delta x}$；充液体后 $\Delta x' = \dfrac{\Delta x}{n}$。
• 牛顿环：中心暗；明环 $r = \sqrt{\left(m + \dfrac{1}{2}\right)\lambda R}$，暗环 $r = \sqrt{m\lambda R}$；内疏外密；$R$ 大则疏，$\lambda$ 短则密。
• 检查平面度：条纹弯向接触边（薄的一侧）是凹陷，弯离接触边是凸起（国内书第 24 章 24.3 节）。
• 白色光：中心暗，外侧彩色；同一级环中红光在外、紫光在内。

易错点

• 错在哪：认为干涉发生在玻璃板的上下表面。 为什么错：玻璃板太厚，两表面反射光的光程差远大于相干长度，条纹密得看不见；真正起作用的是很薄的空气层。 正确做法：认准「空气层」的上下表面。
• 错在哪：认为牛顿环中心是亮的（厚度为 0，光程差为 0）。 为什么错：忽略了空气层下表面反射的 $\pi$ 相位变化；光程差为 0 时两束光反相。 正确做法：中心暗；同理肥皂膜极薄处暗。
• 错在哪：认为牛顿环等间距。 为什么错：厚度随 $r^2$ 增长，越往外增加越快，环越密。 正确做法：内疏外密；用 $r \propto \sqrt{m}$ 判断。
• 错在哪：くさび形中把接触边当成第一条明线。 为什么错：接触边 $d = 0$，满足 $2d = 0 = m\lambda$，是暗线。 正确做法：接触边是暗线，第一条明线在 $d = \lambda/4$ 处。

直观理解

空气层干涉就是「看厚度」：每一条明线（或暗线）都是一条等厚线，相邻两条之间厚度差半个波长。くさび形像「斜坡」，等厚线是平行于坡底的直线；牛顿环像「碗底」，等厚线是一圈圈同心圆，越往外坡越陡，圈越密。

一句话记法：等厚线，半波长一级；接触处暗，外密内疏。

关联知识点

• 前置：本书 14.6 节薄膜干渉（光路差与反射相位变化）；国内书第 24 章 24.3 节空气劈尖、牛顿环的定性。
• 前置：国内书第 23 章 23.2 节折射率与波长（液体中波长 $\lambda/n$）。
• 后续：本书第 21 章ブラッグ反射（晶体中晶面的等厚干涉，同一类条件）。
• 常一起考：国内书第 24 章 24.4 节衍射（彩色条纹成因辨析）。

14.8 题型与答法

光在 EJU 里固定在 大問 Ⅲ（波）的最后一题（C・問3），和波的性质、音一起构成 3 题。形式以数值和组合为主：全反射临界角、双缝或薄膜的条纹、色散的颜色顺序。据 20 回公开过去问，本章内容共出现 20 次（每回平均 1.0 次），每回 1 题；其中干涉 8 题、全反射和折射 7 题，其余是色散和透镜。

两分钟做法：

1. 先认题：问「临界角、全反射」还是「条纹、光路差」，还是「像」。
2. 全反射：先看方向（光密→光疏才有全反射），再写 $\sin C = \dfrac{n_{\text{疏}}}{n_{\text{密}}}$；多层介质逐层用折射定律。
3. 干涉：先写光路差（双缝 $d\sin\theta$ 或 $\dfrac{d}{l}x$；薄膜 $2nd$；空气层 $2d$），再写反射相位变化，最后列明暗条件。
4. 透镜和球面镜：先定符号（凸凹、实虚），再 $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{f}$、$m = \dfrac{\lvert b \rvert}{a}$；用「$a < f$ 虚像」核对。
5. 选项核对：单位（nm、mm 换成 m）、极限（$d \to 0$ 时暗、$a \to \infty$ 时 $b \to f$）、颜色顺序（红在外）。

問題 1　（光密→光疏の全反射：臨界角と入射角の比較）

問題　屈折率 $1.50$ のガラスの中から，屈折率 $1.30$ の液体との境界面へ光が進む。臨界角 $C$ と，入射角 $50^\circ$ で境界面に入射したとき全反射するかどうかの組み合わせとして正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$C \approx 60^\circ$，全反射しない ②　$C \approx 60^\circ$，全反射する ③　$C \approx 50^\circ$，全反射する ④　$C \approx 42^\circ$，全反射しない

解答　光が光密媒質（ガラス）から光疏媒質（液体）へ進むとき，入射角が臨界角を超えると全反射する。臨界角は

$$\sin C = \frac{n_{\text{液体}}}{n_{\text{ガラス}}} = \frac{1.30}{1.50} \approx 0.867$$

$C \approx 60^\circ$。入射角 $50^\circ$ は $C$ より小さいので，屈折して液体中へ出て行き，全反射しない。　答　①

中文翻译　题目：光从折射率 $1.50$ 的玻璃射向与折射率 $1.30$ 的液体的界面。临界角 $C$ 和入射角 $50^\circ$ 时是否全反射的组合，哪个正确？①$C \approx 60^\circ$，不全反射；②$C \approx 60^\circ$，全反射；③$C \approx 50^\circ$，全反射；④$C \approx 42^\circ$，不全反射。解答：光从光密介质（玻璃）射向光疏介质（液体），入射角超过临界角时全反射。$\sin C = n_{\text{液体}}/n_{\text{玻璃}} = 1.30/1.50 \approx 0.867$，$C \approx 60^\circ$。入射角 $50^\circ$ 小于 $C$，光折射进入液体，不全反射。答案 ①。

解说　两分钟做法：先看方向（光密→光疏才有全反射），再用 $\sin C = \dfrac{n_{\text{疏}}}{n_{\text{密}}}$。容易卡在：把折射率比写反，得 $\sin C = 1.15 > 1$，无解；或者不比较 $50^\circ$ 和 $C$ 就选「全反射」。选项排除：③ 的 $50^\circ$ 是用空气的 $n = 1$ 算的（$\sin C = 1/1.30$），④ 的 $42^\circ$ 是 $\sin C = 1/1.50$；② 方向判断错。

問題 2　（ヤングの実験：空気中と水中の縞間隔）

問題　空気中で，間隔 $d = 0.20\ \mathrm{mm}$ の二重スリットに波長 $\lambda = 600\ \mathrm{nm}$ の単色光を当て，スリットから $1.0\ \mathrm{m}$ 離したスクリーンに干渉縞をつくった。次に，装置全体を水（屈折率 $1.33$）の中に移した。空気中の縞間隔と水中の縞間隔の組み合わせとして最も適当なものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$3.0\ \mathrm{mm}$，$2.3\ \mathrm{mm}$ ②　$3.0\ \mathrm{mm}$，$4.0\ \mathrm{mm}$ ③　$1.5\ \mathrm{mm}$，$1.1\ \mathrm{mm}$ ④　$3.0\ \mathrm{mm}$，$3.0\ \mathrm{mm}$

解答　空気中の縞間隔は

$$\Delta x = \frac{l}{d}\lambda = \frac{1.0 \times 600 \times 10^{-9}}{0.20 \times 10^{-3}}\ \mathrm{m} = 3.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m} = 3.0\ \mathrm{mm}$$

水中では光の波長が $\lambda' = \dfrac{\lambda}{n}$ になるので

$$\Delta x' = \frac{l}{d}\lambda' = \frac{\Delta x}{n} = \frac{3.0}{1.33}\ \mathrm{mm} \approx 2.3\ \mathrm{mm}$$

　答　①

中文翻译　题目：空气中，间距 $d = 0.20\ \mathrm{mm}$ 的双缝被波长 $600\ \mathrm{nm}$ 的单色光照射，在距双缝 $1.0\ \mathrm{m}$ 的屏上形成干涉条纹。然后把整个装置移入水中（折射率 $1.33$）。空气中与水中条纹间距的组合，哪个最合适？①$3.0\ \mathrm{mm}$，$2.3\ \mathrm{mm}$；②$3.0\ \mathrm{mm}$，$4.0\ \mathrm{mm}$；③$1.5\ \mathrm{mm}$，$1.1\ \mathrm{mm}$；④$3.0\ \mathrm{mm}$，$3.0\ \mathrm{mm}$。解答：空气中 $\Delta x = l\lambda/d = 1.0 \times 600 \times 10^{-9}/(0.20 \times 10^{-3}) = 3.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m} = 3.0\ \mathrm{mm}$。水中波长 $\lambda' = \lambda/n$，所以 $\Delta x' = \Delta x/n = 3.0/1.33 \approx 2.3\ \mathrm{mm}$。答案 ①。

解说　两分钟做法：先算空气中的 $\Delta x$，再利用 $\Delta x \propto \lambda$、水中 $\lambda' = \lambda/n$，直接除以 $n$。容易卡在：以为水的折射率让条纹变宽（乘 $n$）；或者单位没换成米。选项排除：② 是乘了 $1.33$；③ 是把 $d$ 当成 $0.40\ \mathrm{mm}$；④ 是没有考虑介质。另一种解法：从光程差条件 $d\sin\theta = m\lambda'$ 出发，小角度下 $\Delta x = \dfrac{l\lambda'}{d}$，结论相同；用比例法最快。

問題 3　（白色光の分散：屈折率、速さ、臨界角の比較）

問題　白色光をガラスのプリズムに入射すると，スクリーン上に赤から紫までのスペクトルが現れる。この現象について正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　赤い光ほどガラス中の屈折率が大きく，プリズムで大きく曲がる。 ②　紫い光ほどガラス中の屈折率が大きく，プリズムで大きく曲がる。 ③　赤い光ほどガラス中の速さが小さく，臨界角が小さい。 ④　紫い光ほどガラス中の速さが大きく，臨界角が大きい。

解答　同じ媒質では，振動数の大きい（波長の短い）紫い光ほど屈折率が大きい。したがって，プリズムでの偏折が最も大きく，$v = \dfrac{c}{n}$ よりガラス中の速さは最も小さい。臨界角は $\sin C = \dfrac{1}{n}$ より最も小さい。よって ②。　答　②

中文翻译　题目：白光射入玻璃棱镜，在屏上出现从红到紫的光谱。关于这个现象，正确的是哪一个？①红光在玻璃中的折射率更大，在棱镜中偏折更大。②紫光在玻璃中的折射率更大，在棱镜中偏折更大。③红光在玻璃中的速度更小，临界角更小。④紫光在玻璃中的速度更大，临界角更大。解答：同一介质中，频率大（波长短）的紫光折射率更大，所以棱镜中偏折最大；由 $v = c/n$，玻璃中速度最小；由 $\sin C = 1/n$，临界角最小。因此选②。答案 ②。

解说　国内书第 23 章 23.3 节已讲过色散，这里只练日文题面和快速判断。两分钟做法：记一句「紫最折、最慢、临界角最小」。选项排除：①③④ 都把红紫关系弄反；③ 还把速度和临界角的方向说反了（折射率大对应速度小、临界角小，紫光才满足）。注意：白光经棱镜后紫光最靠近底边，红光偏折最小，不要记反。

14.9 术语与题干用语

日文	读音	中文	例句或说明
光	ひかり	光	光の速さ、光の反射
可視光	かしこう	可见光	可視光の波長は約 400〜760 nm
白色光	はくしょくこう	白光	白色光をプリズムに入射する
単色光	たんしょくこう	单色光	波長 600 nm の単色光
スペクトル	スペクトル	光谱	連続スペクトル、線スペクトル
分散	ぶんさん	色散	プリズムによる光の分散
偏光	へんこう	偏振	偏光板を通すと光の振動方向がそろう
屈折	くっせつ	折射	光の屈折の法則
屈折率	くっせつりつ	折射率	ガラスの屈折率は約 1.5
全反射	ぜんはんしゃ	全反射	光が空気中へ出られなくなる
臨界角	りんかいかく	临界角	臨界角を超えると全反射する
散乱	さんらん	散射	空が青いのは光の散乱による
レンズ	レンズ	透镜	凸レンズ、凹レンズ
凸レンズ	とつレンズ	凸透镜	凸レンズで実像をつくる
凹レンズ	おうレンズ	凹透镜	凹レンズは光を発散させる
焦点	しょうてん	焦点	焦点距離 10 cm
焦点距離	しょうてんきょり	焦距	焦点距離 $f$
光軸	こうじく	主光轴	光軸に平行な光
物体距離	ぶったいきょり	物距	物体距離 $a$
像距離	ぞうきょり	像距	像距離 $b$
実像	じつぞう	实像	スクリーンに映る実像
虚像	きょぞう	虚像	レンズを通して見える虚像
倍率	ばいりつ	放大率	倍率 $m = \dfrac{\lvert b \rvert}{a}$
球面鏡	きゅうめんきょう	球面镜	凹面鏡と凸面鏡
凹面鏡	おうめんきょう	凹面镜	凹面鏡で光を集める
凸面鏡	とつめんきょう	凸面镜	カーブミラーは凸面鏡
曲率半径	きょくりつはんけい	曲率半径	曲率半径 $r$、焦点距離 $f = r/2$
回折	かいせつ	衍射	光の回折
干渉	かんしょう	干涉	薄膜による干渉
ヤングの実験	ヤングのじっけん	杨氏实验	二重スリットによる干渉
回折格子	かいせつこうし	衍射光栅	回折格子の格子定数 $d$
格子定数	こうしていすう	光栅常量	$d\sin\theta = m\lambda$
スリット	スリット	缝	二重スリット、スリット間隔
薄膜	うすまく	薄膜	シャボン膜は薄膜の例
光路差	こうろさ	光程差	光路差 $2nd$
位相	いそう	相位	反射による位相の変化
強め合う	つよめあう	加强	反射光が強め合う条件
弱め合う	よわめあう	减弱	反射光が弱め合う条件
くさび形空気層	くさびがたくうきそう	楔形空气层	くさび形空気層の干渉縞
ニュートンリング	ニュートンリング	牛顿环	ニュートンリングの中心は暗い
明線	めいせん	明纹	明線の間隔
暗線	あんせん	暗纹	接触辺は暗線になる
縞	しま	条纹	干渉縞
反射防止膜	はんしゃぼうしまく	增透膜	レンズの反射防止膜

14.10 自测

1. 空が青く見えるのは，太陽光のうちどの色の光が強く散乱されるからか。　（天空呈蓝色，是因为太阳光中哪种颜色的光被强烈散射？）
2. 焦点距離 $10\ \mathrm{cm}$ の凸レンズの前方 $15\ \mathrm{cm}$ に物体を置くと，像はどこにできるか。また倍率はいくらか。　（焦距 $10\ \mathrm{cm}$ 的凸透镜前方 $15\ \mathrm{cm}$ 放物体，像在哪里？倍率多少？）
3. 焦点距離 $-10\ \mathrm{cm}$ の凹レンズの前方 $20\ \mathrm{cm}$ に物体を置くと，像はどこにできるか。　（焦距 $-10\ \mathrm{cm}$ 的凹透镜前方 $20\ \mathrm{cm}$ 放物体，像在哪里？）
4. 焦点距離 $10\ \mathrm{cm}$ の凹面鏡の前方 $15\ \mathrm{cm}$ に物体を置くと，像はどこにできるか。　（焦距 $10\ \mathrm{cm}$ 的凹面镜前方 $15\ \mathrm{cm}$ 放物体，像在哪里？）
5. $1\ \mathrm{mm}$ あたり $1000$ 本のスリットをもつ回折格子に，波長 $500\ \mathrm{nm}$ の光を垂直に入射した。1 次の回折角はいくらか。　（每毫米 1000 条缝的回折格子，垂直入射 500 nm 光，1 级衍射角多少？）
6. 空気中のシャボン膜（屈折率 $1.33$）に，波長 $600\ \mathrm{nm}$ の光を垂直に当てる。反射光が強め合う最小の膜厚はいくらか。　（空气中肥皂膜 n = 1.33，垂直入射 600 nm 光，反射光加强的最小膜厚？）
7. くさび形空気層に波長 $600\ \mathrm{nm}$ の光を当てたとき，楔角が $1.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{rad}$ なら，明線の間隔はいくらか。　（楔形空气层，600 nm 光，楔角 1.0e-4 rad，明线间距？）
8. ニュートンリングの中心は明るいか暗いか。また，環は内側と外側のどちらが密か。　（牛顿环中心明还是暗？环内侧还是外侧密？）

答案：1. 波長の短い青い光　2. $\dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{10} - \dfrac{1}{15} = \dfrac{1}{30}$，$b = 30\ \mathrm{cm}$（レンズの反対側），$m = 2.0$，実像倒立　3. $\dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{-10} - \dfrac{1}{20} = -\dfrac{3}{20}$，$b \approx -6.7\ \mathrm{cm}$（物体と同じ側），虚像正立，$m \approx 0.33$　4. $\dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{10} - \dfrac{1}{15} = \dfrac{1}{30}$，$b = 30\ \mathrm{cm}$（鏡の前），実像倒立，$m = 2.0$　5. $d = 1.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{m}$，$\sin\theta = 500 \times 10^{-9}/(1.0 \times 10^{-6}) = 0.50$，$\theta = 30^\circ$　6. 強め合う条件 $2nd = \left(m + \dfrac{1}{2}\right)\lambda$，最小 $m = 0$：$d = \dfrac{\lambda}{4n} = \dfrac{600 \times 10^{-9}}{4 \times 1.33}\ \mathrm{m} \approx 1.1 \times 10^{-7}\ \mathrm{m}$　7. $\Delta x = \dfrac{\lambda}{2\theta} = \dfrac{600 \times 10^{-9}}{2 \times 1.0 \times 10^{-4}}\ \mathrm{m} = 3.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m} = 3.0\ \mathrm{mm}$　8. 中心は暗い。外側が密（内疏外密）。

14.11 深入阅读

• JASSO · 理科（物理）シラバス：本章对应「光」：可視光、白色光、スペクトル、分散、偏光、反射・屈折、全反射、レンズ、球面鏡、回折、干渉。
• 维基百科（日文）· レンズ：透镜的日文说明、レンズの式 $1/a+1/b=1/f$ 和符号约定。
• PhET · 几何光学：拖动物体和透镜，观察实像、虚像、焦点和光线，配合本章的透镜作图。
• 维基百科（日文）· 回折格子：衍射光栅的日文说明和 $d\sin\theta=m\lambda$ 的推导。