第 6 章 · エネルギーと運動量

シラバス項目	Ⅰ 2 エネルギーと運動量（仕事と運動エネルギー、位置エネルギー、力学的エネルギーの保存、運動量と力積、衝突と力学的エネルギー）
国内书对应	第 12–14、19、20 章
本章新内容的分量	仕事の原理、弾性力による位置エネルギー与 $K$-$x$ 图像、反発係数 $e$、衝突の速度公式、分裂と合体（含二维）
过去问出现次数	20 回共 39 次，每回平均 1.95 次，全书最高频章

国内学过功、功率、动能定理、机械能守恒、动量定理和动量守恒，这些是本章的地基。EJU 在这块加的是日本教科书特有的整理方式：仕事の原理把杠杆、滑轮、斜面统一成“省力不省功”；碰撞不再只分“弹性/非弹性”，而是用反発係数 $e$ 统一写速度公式；分裂と合体作为动量守恒的两大基本型，二维也考。本章是过去问里出现最多的一章，丢分主要不在概念，而在 $e$ 的符号、斜碰时只乘法线分量、二维动量忘记分方向。

6.1 与国内的对照

シラバス小項目・术语（日文原文）	国内书位置	相同 / 讲法不同 / 国内没有	本章哪节讲
仕事の原理	第 12 章没有单列；初中讲过“使用机械不省功”	国内没有（高中）	6.2
仕事率	第 12 章 12.5 节	相同	不展开
運動エネルギー	第 13 章 13.2 节	相同（日本记 $K$，国内记 $E_{\mathrm k}$）	6.4
重力による位置エネルギー	第 14 章 14.2 节	相同（日本记 $U$）	不展开
弾性力による位置エネルギー	第 14 章 14.3 节	讲法不同（国内课标只定性、题给公式；EJU 要会推导和直接用）	6.3
力学的エネルギーの保存	第 14 章 14.4–14.5 节	相同	不展开
運動量と力積	第 19 章	相同	不展开
運動量保存則	第 20 章 20.2 节	相同	不展开
分裂と合体	第 20 章 20.4、20.6 节	讲法不同（国内分“完全非弹性”“反冲与爆炸”，只讲一维；日本合成“分裂・合体”两种基本型，二维也考）	6.7
反発係数（はねかえり係数）	国内没有	国内没有	6.5
弾性衝突・非弾性衝突	第 20 章 20.3–20.4 节	讲法不同（国内按动能是否损失分类，不给 $e$；日本用 $e$ 统一写速度公式）	6.6
（题型）$K$-$x$ 图像	第 1 章 1.4 节图像、第 13 章 13.3 节动能定理	讲法不同（EJU 常出图像选择题）	6.4

6.2 仕事の原理

说明

仕事の原理（功的原理）：使用任何理想机械（杠杆、滑轮、斜面）时，省力不省功。力可以减小，但力的作用点移动的距离按同样比例增大，力和距离的乘积不变。

国内初中讲过“使用任何机械都不省功”，高中没有单列；日本物理基礎把它列为一个小項目，和杠杆、滑轮、斜面一起考。「仕事」就是国内的“功”，$W = Fs\cos\theta$（国内书第 12 章 12.2 节）。仕事の原理讨论的是理想机械：绳轻且不伸缩、滑轮光滑且质量不计、杠杆轻且无摩擦。

三种基本机械的结论：

• 杠杆（てこ）：$F_1l_1 = F_2l_2$。力臂长的一边力小，但移动的距离按 $l$ 的比例变大。
• 动滑車（動滑車）：有 $n$ 段绳承担重物时，$F = \dfrac{mg}{n}$，绳端拉过的距离 $s = nh$。
• 斜面：光滑斜面上缓慢推物体，$F = mg\sin\theta$；沿斜面推 $L$ 和竖直举高 $h = L\sin\theta$ 做的功相同。

使用场景

• 题目给滑轮（定滑轮、动滑轮、滑轮组），问拉力、绳端移动距离、做功 → 先数承担重物的绳段数 $n$ → $F = \dfrac{mg}{n}$，$s = nh$，$W = mgh$。
• 题目给斜面或杠杆，问“省力多少”“做功多少” → 比较力和距离的乘积，或直接用 $W = mgh$ 核对（只受重力时）。

注意点

• 仕事の原理只对理想机械成立。实际机械有摩擦、滑轮有质量，$W_{\text{out}} < W_{\text{in}}$，效率 $\eta = \dfrac{W_{\text{out}}}{W_{\text{in}}}$。日文题里的「滑車はなめらかで，質量は無視できる」就是理想机械。
• 省力一定费距离；费力的机械（钓鱼竿、镊子）省距离。判断“省不省功”只看 $Fs$，不看 $F$。
• 斜面的 $F = mg\sin\theta$ 只在光滑斜面、缓慢（匀速）推时成立；有摩擦时还要加上摩擦力。
• 仕事の原理里的 $s$ 是力的作用点移动的距离，不是物体重心移动的距离。动滑轮上绳端移动的距离是重物上升高度的 2 倍，就是这个区别。

推导

杠杆：杠杆绕支点转过很小的角 $\theta$，两端到支点的距离为 $l_1$、$l_2$，两端移动的弧长分别为 $s_1 = l_1\theta$、$s_2 = l_2\theta$。平衡条件 $F_1l_1 = F_2l_2$ 两边同乘 $\theta$，得 $F_1s_1 = F_2s_2$，两边做的功相等。

动滑車：重物上升 $h$，动滑轮两侧的绳各缩短 $h$，所以绳端被拉过 $2h$。理想滑轮绳的张力处处相等，两侧各以 $F$ 向上拉，$2F = mg$，所以 $F = \dfrac{mg}{2}$。于是 $F \times 2h = mgh$。

斜面：光滑斜面长 $L$、高 $h$、倾角 $\theta$，$\sin\theta = \dfrac{h}{L}$。缓慢推上去，沿斜面的力 $F = mg\sin\theta = \dfrac{mgh}{L}$，做的功 $FL = mgh$，和直接竖直举高 $h$ 相同。

（关键一步：三种机械都是“力变小、距离变大”，乘积不变；这个乘积就是功。）

例题

例 1　（场景：动滑轮提重物 → 数绳段 → $F = mg/n$、$s = nh$、$W = mgh$）

問題　図のように，軽くて伸び縮みしない糸の一端を天井に固定し，糸を動滑車にかけ，さらに天井の定滑車を通して，他端を鉛直下向きに引く。動滑車には質量 $5.0\ \mathrm{kg}$ のおもりをつるす。糸の他端を大きさ $F$ の力で引き，おもりをゆっくり $2.0\ \mathrm{m}$ 持ち上げた。滑車はなめらかで，質量は無視できるものとする。ただし，重力加速度の大きさを $9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。

問　糸を引く力の大きさ $F$，糸を引いた長さ $s$，$F$ がした仕事 $W$ の組合せとして最も適当なものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

	$F$	$s$	$W$
①	25 N	4.0 m	98 J
②	25 N	2.0 m	49 J
③	49 N	4.0 m	2.0×10² J
④	49 N	2.0 m	98 J

解答　動滑車とおもりを一つの物体とみなす。これを支える糸は 2 本で，どちらも同じ張力 $F$ で引かれる。ゆっくり持ち上げているので，上向きの力 $2F$ と下向きの重力 $mg$ がつり合う。

$$2F = mg \quad \therefore\ F = \frac{mg}{2} = \frac{5.0 \times 9.8}{2} = 24.5\ \mathrm{N} \approx 25\ \mathrm{N}$$

おもりが $h = 2.0\ \mathrm{m}$ 上がるとき，動滑車の両側の糸がそれぞれ $h$ だけ短くなるので，糸を引く長さは $s = 2h = 4.0\ \mathrm{m}$。仕事は

$$W = Fs = 24.5 \times 4.0 = 98\ \mathrm{J}$$

これは $mgh = 5.0 \times 9.8 \times 2.0 = 98\ \mathrm{J}$ に等しく，仕事の原理が成り立っている。検算：$F$ は $mg$ の半分，$s$ は $h$ の 2 倍で，積は $mgh$ のまま。　答　①

中文翻译　题目：如图，轻质不可伸长的绳一端固定在天花板上，绳绕过动滑轮，再经天花板上的定滑轮，另一端竖直向下拉。动滑轮下挂质量 5.0 kg 的重物。用大小 F 的力拉绳的另一端，把重物缓慢提升 2.0 m。滑轮光滑，质量不计。重力加速度大小取 9.8 m/s²。问：拉力 F、拉绳长度 s、F 做的功 W 的组合，哪个最合适？从①～④中选一个。

解答：把动滑轮和重物看成一个物体。支撑它的绳有两段，张力都是 F。缓慢提升，向上的力 2F 与向下的重力 mg 平衡，得 F = mg/2 = 24.5 N ≈ 25 N。重物上升 h = 2.0 m 时，动滑轮两侧的绳各缩短 h，所以拉绳长度为 s = 2h = 4.0 m。功 W = Fs = 98 J，等于 mgh，符合功的原理。检验：F 是 mg 的一半，s 是 h 的两倍，乘积不变。答案 ①。

解说　用到的是本节“说明”里的动滑轮结论：两段绳承担重物，力减半、距离加倍。容易卡在：把重物上升的高度当成绳端移动的距离，算出 $W = 24.5 \times 2.0 = 49\ \mathrm{J}$，正好是选项 ②。选项排除：由功的原理，$W$ 必须等于 $mgh = 98\ \mathrm{J}$，③④ 的 $F = 49\ \mathrm{N}$ 是没有把力减半，先排除；② 的功不对；只剩 ①。另一种解法：先用仕事の原理直接写 $W = mgh = 98\ \mathrm{J}$，再由 $s = 2h = 4.0\ \mathrm{m}$ 反求 $F = W/s = 25\ \mathrm{N}$。功的原理题先算功，往往比先算力快。

例 2　（场景：光滑斜面推物体 → 力小距离长 → $FL = mgh$）

問題　図のように，水平面と角 $\theta$ をなす長さ $L$ のなめらかな斜面がある。質量 $m$ の物体を斜面に沿ってゆっくり押し上げ，斜面の下端から上端まで移動させた。斜面の高さを $h$ とする。ただし，重力加速度の大きさを $g$ とする。

問　押す力の大きさ $F$ と，$F$ がした仕事 $W$ の組合せとして正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$F = mg\sin\theta$，$W = mgh$ ②　$F = mg\cos\theta$，$W = mgh$ ③　$F = mg\sin\theta$，$W = mgL$ ④　$F = mg\tan\theta$，$W = mgh$

解答　斜面に沿う方向の力のつり合いより，押す力は重力の斜面方向の成分と等しい。

$$F = mg\sin\theta$$

移動距離は斜面に沿って $L$ なので，仕事は

$$W = FL = mgL\sin\theta = mgh$$

検算：$\theta = 90^\circ$ のとき $F = mg$，$W = mgh$ となり，直接持ち上げた場合に一致する。　答　①

中文翻译　题目：如图，有与水平面成角 θ、长 L 的光滑斜面。把质量 m 的物体沿斜面缓慢推到顶端，斜面高 h。重力加速度大小为 g。问：推力 F 与 F 做的功 W 的组合，哪个正确？从①～④中选一个。

解答：沿斜面方向力的平衡，推力等于重力沿斜面的分量，F = mg sinθ。移动距离为沿斜面的 L，所以 W = FL = mgL sinθ = mgh。检验：θ = 90° 时 F = mg、W = mgh，与直接竖直提升一致。答案 ①。

解说　用到的是仕事の原理：斜面的力小了（$mg\sin\theta < mg$），但距离变长（$L > h$），功还是 $mgh$。容易卡在：把重力沿斜面的分量写成 $mg\cos\theta$，或者把距离写成 $h$。选项排除：用 $\theta = 90^\circ$ 的极限，$\cos 90^\circ = 0$，② 的力为零，不可能；$\tan 90^\circ$ 发散，④ 不可能；③ 的功 $mgL$ 在 $\theta = 90^\circ$ 时比 $mgh$ 大，也不对；只剩 ①。

常用推论

• 理想机械：$F_{\text{in}}s_{\text{in}} = F_{\text{out}}s_{\text{out}}$；实际机械的效率 $\eta = \dfrac{W_{\text{out}}}{W_{\text{in}}} < 1$（教材没有，考试常用；条件：题目给效率或说明有摩擦）。
• 滑轮组有 $n$ 段绳承担重物：$F = \dfrac{mg}{n}$，$s = nh$（教材没有，考试常用；条件：轻绳、光滑滑轮、各绳段互相平行）。
• 只受重力时，沿任何光滑路径从高度 $h_1$ 到 $h_2$，重力做功都是 $mg(h_1 - h_2)$，与路径无关（国内书第 14 章 14.2 节）。斜面的功等于 $mgh$ 就是这个结论。

易错点

• 错在哪：认为动滑轮既省力又省功，算成 $W = \dfrac{mg}{2}\cdot h$。 为什么错：把绳端移动的距离当成了重物上升的高度；省力靠的是多拉一倍的绳长。 正确做法：先数绳段数，绳端距离 $s = nh$，再算 $W = Fs$，结果等于 $mgh$。
• 错在哪：斜面越缓，认为做功越少。 为什么错：力小了，但移动距离变长，乘积不变；功只由高度差决定。 正确做法：直接用 $W = mgh$ 核对，或算 $FL$。
• 错在哪：把“省力”和“省功”混为一谈。 为什么错：仕事の原理说的正是“省力不省功”。 正确做法：分别回答两个问题：力是 $\dfrac{mg}{n}$，功是 $mgh$。

直观理解

把同样的砖搬到二楼，走楼梯（斜面）比竖直吊上去省力，但要走更长的路；用动滑轮也是“多拉绳子换小力”。机械只是把“大力短距离”换成了“小力长距离”，总的“力气账”不变。杠杆也一样：力臂长的一头轻轻压，但要走一大段弧。

关联知识点

• 前置：国内书第 12 章 12.2 节功的定义 $W = Fl\cos\alpha$。
• 前置：国内书第 4 章 4.4 节力矩平衡（杠杆）；本书 4.4 节剛体のつり合い。
• 后续：本书 6.3 节弹性势能、6.6 节碰撞中的能量；国内书第 14 章机械能守恒。
• 常一起考：第 5 章滑轮连接体的加速度（力与距离的关系反过来用）。

6.3 弾性力による位置エネルギー

说明

弾性力による位置エネルギー（弹性势能）：弹簧发生弹性形变时储存的能量。日本记 $U$，国内记 $E_{\text p}$。取自然长度（原长）时 $U = 0$，形变量为 $x$（伸长或压缩）时

$$U = \frac{1}{2}kx^2$$

$k$ 是ばね定数（劲度系数），单位 $\mathrm{N/m}$。国内书第 14 章 14.3 节给了这个公式，但课标只要求定性了解，高考题通常把公式写在题里；EJU 要求直接使用，并且常从 $F$-$x$ 图像的面积推出来。

弹力是保守力：弹力做的功只与初末形变量有关，

$$W_{\text{弹}} = -\Delta U = \frac{1}{2}kx_1^2 - \frac{1}{2}kx_2^2$$

使用场景

• 弹簧压缩或伸长后释放物体，问物体离开弹簧时的速度、最大动能 → 只有弹力做功 → $\dfrac{1}{2}kx^2 = \dfrac{1}{2}mv^2$。
• 物体沿光滑面滑下再压缩弹簧，或落到竖直弹簧上，问最大压缩量 → 重力势能、弹性势能、动能相互转化 → 全程机械能守恒，列一个式子。

注意点

• $x$ 是形变量（自然长度与实际长度之差），不是弹簧长度，也不是物体的位移。
• 伸长 $x$ 和压缩 $x$ 的弹性势能相同，都是 $\dfrac{1}{2}kx^2$；弹性势能不会为负。
• 日本记号：$U$（位置エネルギー）、$k$（ばね定数）；国内记号：$E_{\text p}$、劲度系数。日文题里的「自然長から $x$ だけ縮めた」就是“从原长压缩了 $x$”。
• 弹性势能属于弹簧和物体组成的系统；轻弹簧质量不计，动能不计。

推导

用 $F$-$x$ 图像的面积：弹力的大小 $F = kx$，随形变量 $x$ 线性增大。把弹簧从自然长度缓慢拉长到 $x$，外力与弹力平衡，外力 $F = kx$，$F$-$x$ 图线是从原点出发的直线，图线下的三角形面积就是外力做的功：

$$W = \frac{1}{2} \cdot x \cdot kx = \frac{1}{2}kx^2$$

缓慢拉动时动能不变，外力做的功全部储存为弹性势能，所以 $U = \dfrac{1}{2}kx^2$。

用平均力：弹力从 0 均匀增大到 $kx$，平均力 $\bar F = \dfrac{kx}{2}$，功 $W = \bar Fx = \dfrac{1}{2}kx^2$。

（关键一步：弹力是变力，不能用 $Fx = kx^2$；均匀变化时可以用平均力，平均力是一半。）

例题

例 1　（场景：水平弹簧压缩后释放 → 弹性势能全部变成动能）

問題　図のように，なめらかな水平面上で，ばね定数 $k = 2.0 \times 10^2\ \mathrm{N/m}$ の軽いばねの一端を壁に固定し，他端に質量 $m = 0.50\ \mathrm{kg}$ の物体を押し当てて，自然長から $x = 0.10\ \mathrm{m}$ だけ縮めた。手を放すと，物体はばねから離れて運動した。ばねは弾性限度内にあり，ばねの質量は無視できるものとする。

問　物体がばねから離れるときの速さ $v$ は何 m/s か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　2.0 m/s　　②　1.0 m/s　　③　4.0 m/s　　④　0.50 m/s

解答　ばねが縮んでいる間，物体には水平方向にばねの力だけがはたらく。ばねの弾性力による位置エネルギーがすべて物体の運動エネルギーに変わる。

$$\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}mv^2$$ $$v = x\sqrt{\frac{k}{m}} = 0.10 \times \sqrt{\frac{2.0 \times 10^2}{0.50}} = 0.10 \times 20 = 2.0\ \mathrm{m/s}$$

検算：$\dfrac{1}{2}kx^2 = \dfrac{1}{2} \times 2.0 \times 10^2 \times 0.10^2 = 1.0\ \mathrm{J}$，$\dfrac{1}{2}mv^2 = \dfrac{1}{2} \times 0.50 \times 2.0^2 = 1.0\ \mathrm{J}$ で一致。　答　①

中文翻译　题目：如图，光滑水平面上，劲度系数 k = 2.0×10² N/m 的轻弹簧一端固定在墙上，另一端被质量 m = 0.50 kg 的物体压住，从原长压缩了 x = 0.10 m。放手后物体离开弹簧运动。弹簧在弹性限度内，质量不计。问：物体离开弹簧时的速率 v 是多少 m/s？从①～④中选最合适的值。

解答：弹簧压缩期间，物体水平方向只受弹簧力。弹性势能全部转化为动能：½kx² = ½mv²，v = x√(k/m) = 0.10×20 = 2.0 m/s。检验：弹性势能 1.0 J，动能 1.0 J，一致。答案 ①。

解说　用到的是本节“说明”里的 $U = \dfrac{1}{2}kx^2$ 和机械能守恒（只有弹力做功）。容易卡在：用 $W = kx \cdot x = kx^2$，算出 $v = 2.8\ \mathrm{m/s}$（选项里没有，但说明方法错了）。选项排除：能量是 $1.0\ \mathrm{J}$，质量 $0.50\ \mathrm{kg}$，$\dfrac{1}{2}mv^2 = 1.0$ 给出 $v = 2.0$，不用记公式也能算；② 是忘了开方，③ 是忘了 $\dfrac{1}{2}$，④ 是用了 $x = 0.10$ 直接当速度。

例 2　（场景：光滑曲面滑下压缩弹簧 → 重力势能变成弹性势能）

問題　図のように，なめらかな面が水平面につながっている。質量 $m = 0.20\ \mathrm{kg}$ の小球を，水平面から高さ $h = 1.0\ \mathrm{m}$ の点から静かに放した。小球は面を滑り降り，水平面上のばね定数 $k = 2.0 \times 10^2\ \mathrm{N/m}$ の軽いばねに当たって，最大で $x$ だけ縮めた。ただし，重力加速度の大きさを $9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とし，摩擦は無視できるものとする。

問　ばねの最大の縮み $x$ は何 m か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　0.14 m　　②　0.20 m　　③　0.28 m　　④　0.10 m

解答　小球、ばね、地球の系では，重力とばねの弾性力だけが仕事をするので，力学的エネルギーが保存する。はじめの重力による位置エネルギーが，ばねが最大に縮んだときの弾性力による位置エネルギーに等しい。

$$mgh = \frac{1}{2}kx^2$$ $$x = \sqrt{\frac{2mgh}{k}} = \sqrt{\frac{2 \times 0.20 \times 9.8 \times 1.0}{2.0 \times 10^2}} = \sqrt{0.0196} = 0.14\ \mathrm{m}$$

検算：$mgh = 1.96\ \mathrm{J}$，$\dfrac{1}{2}kx^2 = \dfrac{1}{2} \times 2.0 \times 10^2 \times 0.0196 = 1.96\ \mathrm{J}$。　答　①

中文翻译　题目：如图，光滑曲面与水平面相接。把质量 m = 0.20 kg 的小球从距水平面高 h = 1.0 m 处静止释放。小球沿曲面滑下，撞上水平面上劲度系数 k = 2.0×10² N/m 的轻弹簧，最大压缩 x。重力加速度取 9.8 m/s²，摩擦不计。问：弹簧的最大压缩量 x 是多少 m？从①～④中选最合适的值。

解答：小球、弹簧和地球组成的系统，只有重力和弹力做功，机械能守恒。初始重力势能等于最大压缩时的弹性势能：mgh = ½kx²，x = √(2mgh/k) = √(2×0.20×9.8×1.0 / 2.0×10²) = √0.0196 = 0.14 m。检验：mgh = 1.96 J，½kx² = 1.96 J。答案 ①。

解说　用到的是全程机械能守恒：从释放到最大压缩，重力势能减少 $mgh$，弹性势能增加 $\dfrac{1}{2}kx^2$，动能初末都为零。容易卡在：忘记小球在水平面上压缩弹簧时高度不变，误以为还要加一段重力势能；或者把 $x$ 写成 $\dfrac{2mgh}{k}$ 忘了开方。选项排除：$x$ 与 $\sqrt{h}$ 成正比，$h$ 变成 4 倍 $x$ 才翻倍，② 的 0.20 是把 $h$ 翻倍的结果，不对；能量核对 $1.96\ \mathrm{J}$ 直接支持 ①。

常用推论

• 形变量变为 $n$ 倍，弹性势能变为 $n^2$ 倍（条件：弹性限度内，$k$ 不变）。
• 同一弹簧，伸长 $x$ 与压缩 $x$ 的弹性势能相同；从 $+x$ 到 $-x$，弹力做功为零（教材没有，考试常用）。
• 弹性势能全部转化为动能时，$v = x\sqrt{\dfrac{k}{m}}$，与形变量 $x$ 成正比（教材没有，考试常用；条件：水平光滑面）。
• 竖直弹簧的最大压缩量问题：从弹簧自然长度上方 $h$ 处自由落下，最大压缩 $x$ 满足 $mg(h+x) = \dfrac{1}{2}kx^2$，注意压缩过程中重力仍在做功（教材没有，考试常用）。

易错点

• 错在哪：把 $x$ 当成弹簧的总长度代入 $\dfrac{1}{2}kx^2$。 为什么错：势能由形变量决定，原长时势能为零。 正确做法：先算形变量等于现长减自然长，再代入。
• 错在哪：用 $W = kx \cdot x = kx^2$ 算弹力的功。 为什么错：$W = Fs$ 只适用于恒力，弹力从 0 增大到 $kx$。 正确做法：用 $F$-$x$ 图面积，或平均力 $\dfrac{kx}{2}$。
• 错在哪：物体压缩弹簧到最短时，以为速度最大。 为什么错：速度最大在合力为零处，不是形变最大处。 正确做法：先看合力方向，再判断加速还是减速。

直观理解

弹簧像弹夹：压得越深，存的能量越多，而且按平方增长——形变量翻倍，能量变四倍。$F$-$x$ 图上的三角形面积就是“存进去的能量”。拉伸和压缩在能量上完全对称，像把弹夹往两边压都一样。

关联知识点

• 前置：国内书第 14 章 14.3 节弹性势能（公式和定性）；国内书第 4 章 4.3 节胡克定律。
• 前置：国内书第 1 章 1.4 节 $F$-$x$ 图像面积表示功。
• 后续：本书 6.4 节 $K$-$x$ 图像；第 8 章 8.7 节単振動のエネルギー（动能与弹性势能互相转化）。
• 常一起考：国内书第 14 章 14.4–14.5 节机械能守恒（弹簧和物体组成的系统）。

6.4 運動エネルギーと位置のグラフ（K-x 画像）

说明

$K$-$x$ 图像：以位置 $x$ 为横轴、动能 $K$ 为纵轴画出的图像。EJU 常用它考弹簧、摩擦和多过程问题：给装置让选图像，或给图像问某个量。運動エネルギー日本记 $K$，国内记 $E_{\text k}$。

读图的两条基本关系：

1. 斜率等于合力。一小段位移 $\Delta x$ 内，合力做的功 $\Delta K = F_{\text{合}}\Delta x$，所以

$$\frac{\Delta K}{\Delta x} = F_{\text{合}}$$

斜率正，合力沿 $+x$；斜率负，合力沿 $-x$；斜率的绝对值是合力大小。

2. 形状由力的变化决定。合力为恒力（重力、摩擦力、恒定拉力）时，$K$-$x$ 是直线；合力随 $x$ 线性变化（弹力 $F = -kx$）时，$K$-$x$ 是抛物线。

使用场景

• 题目给 $K$-$x$ 图像，问摩擦力、弹簧劲度系数、某点的速度 → 斜率给合力，$K = \dfrac{1}{2}mv^2$ 给速度。
• 题目给装置（弹簧推出物体、粗糙面、斜面），问 $K$-$x$ 图像是哪一个 → 分段看合力：弹簧作用段是抛物线，离开后是直线（有摩擦）或水平线（光滑）。

注意点

• $K$ 是标量，$K \ge 0$；图线不能画到横轴下方。图像选择题里“穿过横轴”的选项一定错。
• 斜率的正负表示合力方向，不表示速度方向。物体沿 $+x$ 运动时，斜率负说明合力向左（减速）。
• $K$-$x$ 图像的斜率是合力；$F$-$x$ 图像的面积才是功。两个图像不要混：$K$-$x$ 看斜率，$F$-$x$ 看面积。
• 横轴原点不一定是弹簧自然长度处，要看题目怎么定义 $x$；图像的起点可以不在纵轴上。
• 图线的转折点对应合力突变的位置，例如物体离开弹簧、进入粗糙面。

推导

斜率等于合力：由动能定理，一小段位移 $\Delta x$ 内 $\Delta K = F_{\text{合}}\Delta x$，两边除以 $\Delta x$ 得 $\dfrac{\Delta K}{\Delta x} = F_{\text{合}}$。

弹簧推出物体：取自然长度处为 $x = 0$，弹簧被压缩 $d$，物体在 $-d \le x \le 0$ 内受弹力 $F = -kx$（$x < 0$ 时力沿 $+x$）。由 $\dfrac{\Delta K}{\Delta x} = -kx$ 积分（或由能量守恒）得

$$K(x) = \frac{1}{2}kd^2 - \frac{1}{2}kx^2$$

这是开口向下的抛物线，$x = 0$ 处 $K$ 最大。

离开弹簧后：只有动摩擦力 $f = \mu'mg$，合力为 $-f$，斜率是负常数，$K$ 随 $x$ 线性减小，直到 $K = 0$ 停止。

（关键一步：分段找合力——弹力随 $x$ 变，摩擦力不变——图像形状就定了。）

例题

例 1　（场景：弹簧推出后进入粗糙面 → 选 $K$-$x$ 图像）

問題　図のように，なめらかな水平面上で，ばね定数 $k$ の軽いばねの一端を壁に固定し，他端に質量 $m$ の物体を押し当てて，自然長の位置から $d$ だけ縮めた。自然長の位置を原点 O とし，右向きを $x$ 軸の正の向きとする。手を放すと，物体は $x$ 軸の正の向きに運動し，原点 O でばねから離れる。$x > 0$ の面はあらく，動摩擦係数を $\mu'$ とする。物体はやがて止まった。

問　物体の運動エネルギー $K$ と位置 $x$ の関係を表すグラフとして最も適当なものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

解答　ばねが物体を押している区間 $-d \le x \le 0$ では，ばねの弾性力がする仕事だけが $K$ を増やす。力学的エネルギー保存より

$$K = \frac{1}{2}kd^2 - \frac{1}{2}kx^2$$

これは上に凸の放物線で，$x = 0$ で最大になる。原点を過ぎると物体はばねから離れ，動摩擦力だけが仕事をする。摩擦力は一定なので，$K$ は一定の割合で減少し，グラフは直線になる。$K = 0$ で物体は止まる。よって，放物線で増えてから直線で減り，$K = 0$ で終わる ① が正しい。　答　①

中文翻译　题目：如图，光滑水平面上，劲度系数 k 的轻弹簧一端固定在墙上，另一端被质量 m 的物体压住，从原长位置压缩了 d。取原长位置为原点 O，右为 x 轴正方向。放手后物体沿 x 轴正方向运动，在原点 O 离开弹簧。x > 0 的面粗糙，动摩擦系数为 μ’。物体最终停下。问：表示物体动能 K 与位置 x 关系的图像，哪个最合适？从①～④中选一个。

解答：弹簧推物体的区间 -d ≤ x ≤ 0 内，只有弹力做功使 K 增加。由机械能守恒 K = ½kd² − ½kx²，是开口向下的抛物线，在 x = 0 最大。过原点后物体离开弹簧，只有动摩擦力做功。摩擦力恒定，K 均匀减小，图像是直线。K = 0 时物体停下。所以图像先以抛物线上升、再以直线下降、在 K = 0 结束，① 正确。答案 ①。

解说　用到的是本节“说明”里的两条：$K$-$x$ 的斜率是合力，形状由力是否恒定决定。容易卡在：把离开弹簧后的水平线（光滑）当成正确答案 ②，忽略了题目说的「あらい面」。选项排除：弹簧作用段弹力随 $x$ 变，$K$-$x$ 是曲线，③ 的直线先排除；离开后摩擦力恒定，$K$ 应直线下降，② 的水平线排除；动能不能为负，④ 穿过横轴，排除；只剩 ①。

例 2　（场景：给 $K$-$x$ 直线图 → 斜率求摩擦力 → 求动摩擦系数）

問題　あらい水平面上をすべる質量 $m = 0.50\ \mathrm{kg}$ の物体がある。物体の運動エネルギー $K$ と，ある点から測った位置 $x$ の関係は，図のような直線で表された。物体にはたらく動摩擦力の大きさは一定である。ただし，重力加速度の大きさを $9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。

問　物体と面の間の動摩擦係数 $\mu'$ はいくらか。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　0.41　　②　0.20　　③　0.82　　④　0.10

解答　$K$-$x$ グラフの傾きは，物体にはたらく合力に等しい。$x$ 軸の正の向きに運動しているので，合力は動摩擦力 $-f$ である。

$$-f = \frac{0 - 4.0}{2.0 - 0} = -2.0\ \mathrm{N} \quad \therefore\ f = 2.0\ \mathrm{N}$$

動摩擦力は $f = \mu'mg$ なので

$$\mu' = \frac{f}{mg} = \frac{2.0}{0.50 \times 9.8} = 0.408 \approx 0.41$$

検算：$K$ の減少量 $4.0\ \mathrm{J}$ は，摩擦力のした仕事 $f \times 2.0\ \mathrm{m} = 4.0\ \mathrm{J}$ に等しい。　答　①

中文翻译　题目：粗糙水平面上滑行的质量 m = 0.50 kg 的物体，其动能 K 与从某点量起的位置 x 的关系如图中直线所示。物体所受动摩擦力大小一定。重力加速度取 9.8 m/s²。问：物体与面之间的动摩擦系数 μ’ 是多少？从①～④中选最合适的值。

解答：K-x 图像的斜率等于物体所受合力。物体沿 x 轴正方向运动，合力为动摩擦力 −f。−f = (0 − 4.0)/(2.0 − 0) = −2.0 N，所以 f = 2.0 N。动摩擦力 f = μ’mg，所以 μ’ = 2.0/(0.50×9.8) = 0.408 ≈ 0.41。检验：K 的减少量 4.0 J 等于摩擦力做的功 2.0 N × 2.0 m = 4.0 J。答案 ①。

解说　用到的是“斜率等于合力”这一条。容易卡在：把斜率当成速度（$4.0/2.0 = 2.0$ 当成速度），或者把 $K$ 的减少量当成合力的功却忘了除以位移。选项排除：$K$ 从 4.0 J 降到 0，位移 2.0 m，合力大小必须是 $2.0\ \mathrm{N}$；$mg = 4.9\ \mathrm{N}$，$\mu' = 2.0/4.9 \approx 0.41$，② 是把 $f$ 当成 $1.0\ \mathrm{N}$，③ 是把 $mg$ 当成 $9.8\ \mathrm{N}$ 时的结果，④ 差一个因子 4。另一种解法：直接用能量，$K$ 的减少量等于摩擦力做功，$4.0 = \mu'mg \times 2.0$，一步得 $\mu' = 0.41$，不必求斜率。

常用推论

• $K$-$x$ 图线斜率等于合力；直线段对应恒力，抛物线对应随 $x$ 线性变化的力（教材没有，考试常用）。
• 光滑面上离开弹簧后 $K$ 不变，$K$-$x$ 是水平线；有摩擦时是下降直线（教材没有，考试常用；条件：水平面）。
• 已知 $K$-$x$ 图像，任意点的速度 $v = \sqrt{\dfrac{2K}{m}}$；动能最大处速度最大（教材没有，考试常用）。
• 机械能守恒时 $K + U = E$，$K$-$x$ 图线是 $U$-$x$ 图线上下翻转后平移（教材没有，考试常用）。

易错点

• 错在哪：把 $K$-$x$ 图像的斜率当成速度或力的大小，用错对象。 为什么错：斜率是 $\dfrac{\Delta K}{\Delta x}$，由动能定理它等于合力，不是速度。 正确做法：先写 $\Delta K = F_{\text{合}}\Delta x$，再读斜率。
• 错在哪：认为离开弹簧后 $K$ 一定不变。 为什么错：只有光滑面才不变；有摩擦力时 $K$ 线性减小。 正确做法：看题目有没有「あらい面」「動摩擦係数」。
• 错在哪：把 $K$-$x$ 图像画成可以取负值。 为什么错：动能是 $\dfrac{1}{2}mv^2 \ge 0$，物体在 $K = 0$ 处停止。 正确做法：图像到 $K = 0$ 就结束，不能穿过横轴。

直观理解

$K$-$x$ 图像像一本“能量存折”：斜率是每一米“进账”或“支出”的力。弹簧推着走时，推力越来越小，存折涨得越来越慢（抛物线变平）；离开弹簧后摩擦力固定，存折按固定速率往下掉（直线）；余额到零就停了，不会变成负数。

关联知识点

• 前置：国内书第 13 章 13.3 节动能定理 $W_{\text{合}} = \Delta E_{\text k}$。
• 前置：国内书第 1 章 1.4 节图像斜率与面积的读法。
• 本书 6.3 节弹性势能（抛物线的来源）。
• 后续：第 8 章 8.7 节简谐运动的能量（$K$、$U$ 随 $x$ 变化）。

6.5 反発係数（はねかえり係数）

说明

反発係数（はねかえり係数，恢复系数） $e$：两个物体碰撞前后，分离速度与接近速度之比。取一维，速度带正负号，

$$e = -\frac{v_1' - v_2'}{v_1 - v_2} = \frac{v_2' - v_1'}{v_1 - v_2}$$

分子是碰后的相对速度（分离速度），分母是碰前的相对速度（接近速度），负号保证 $e \ge 0$。$e$ 由材料和形状决定，与质量、速度无关。

范围与意义：

• $0 \le e \le 1$。
• $e = 1$：弾性衝突（完全弹性碰撞），相对速度大小不变、方向反转，动能不损失。
• $0 < e < 1$：非弾性衝突，分离速度小于接近速度，动能损失。
• $e = 0$：完全非弾性衝突，碰后不分离（共速），动能损失最大。

与固定面碰撞时面不动，$v_2 = v_2' = 0$，$e = \dfrac{v_1'}{v_1}$（速率之比，方向相反）。

使用场景

• 小球落到水平面后反弹，给下落高度和反弹高度，求 $e$ 和损失的能量 → 由 $v = \sqrt{2gh}$ 得 $e = \sqrt{\dfrac{h'}{h}}$。
• 小球斜着撞到光滑壁或斜面，求碰后速度 → 垂直于接触面的分量乘 $e$ 反向，平行于接触面的分量不变。

注意点

• 公式里的速度必须带方向。取碰前 1 追 2 的方向为正，$v_1 - v_2 > 0$；碰后若 1 被弹回，$v_1' < 0$。
• $e$ 是“分离速度除以接近速度”，不是“碰后速度除以碰前速度”；只有对固定面，两者才一致（因为另一物体速度为零）。
• $e$ 不能大于 1（除非题目特别说明有能量输入）；$e$ 越小，能量损失越多。
• 斜碰时只有垂直于接触面的分量乘 $e$，平行分量不变；这是“面光滑”的条件。
• 反弹高度 $h' = e^2h$，不是 $eh$；能量损失比例是 $1 - e^2$，不是 $1 - e$。

推导

从高度比求 $e$：小球从高度 $h$ 自由落下，到地面时速 $v = \sqrt{2gh}$；反弹时速 $v' = \sqrt{2gh'}$。地面不动，$e = \dfrac{v'}{v} = \sqrt{\dfrac{h'}{h}}$。

能量损失：碰前机械能 $mgh$，碰后 $mgh'$，损失

$$\Delta E = mgh - mgh' = mgh(1 - e^2)$$

损失比例 $1 - e^2$。

斜碰：把速度分解为垂直面的分量 $v_\perp$ 和平行面的分量 $v_\parallel$。光滑面没有平行方向的力，$v_\parallel$ 不变；垂直方向按 $e$ 反弹，$v_\perp' = ev_\perp$。$e = 1$ 时入射角等于反射角，就是光的反射定律。

两体的一般能量损失（教材没有，考试常用）：

$$\Delta E = \frac{1}{2}\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}(1 - e^2)(v_1 - v_2)^2$$

$e = 1$ 时为 0，$e = 0$ 时最大。推导见 6.6 节。

例题

例 1　（场景：落体反弹 → 高度比求 $e$ → 能量损失比例）

問題　図のように，小球を床から高さ $h = 2.0\ \mathrm{m}$ の点から静かに放したところ，床で跳ね返って，高さ $h' = 1.2\ \mathrm{m}$ まで上がった。空気の抵抗は無視できるものとする。ただし，重力加速度の大きさを $9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。

問　小球と床の間の反発係数 $e$ と，衝突で失われた力学的エネルギーの割合として最も適当なものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

	$e$	失われた力学的エネルギーの割合
①	0.77	40%
②	0.60	40%
③	0.77	60%
④	0.60	60%

解答　床に当たる直前の速さを $v$，跳ね返った直後の速さを $v'$ とすると，$v = \sqrt{2gh}$，$v' = \sqrt{2gh'}$。床は動かないので，反発係数は

$$e = \frac{v'}{v} = \sqrt{\frac{h'}{h}} = \sqrt{\frac{1.2}{2.0}} = \sqrt{0.60} \approx 0.77$$

力学的エネルギーは，はじめ $mgh$，跳ね返った後は $mgh'$ なので，失われた割合は

$$\frac{mgh - mgh'}{mgh} = 1 - \frac{h'}{h} = 1 - 0.60 = 0.40$$

すなわち 40%。検算：$e^2 = 0.60$ なので，失われる割合は $1 - e^2 = 0.40$。　答　①

中文翻译　题目：如图，把小球从距床面高 h = 2.0 m 处静止释放，小球在床面反弹，升到高 h’ = 1.2 m。空气阻力不计。重力加速度取 9.8 m/s²。问：小球与床面之间的恢复系数 e、碰撞中损失的机械能比例，哪个最合适？从①～④中选一个。

解答：设撞床前速率为 v、反弹后速率为 v’，则 v = √(2gh)，v’ = √(2gh’)。床不动，恢复系数 e = v’/v = √(h’/h) = √(1.2/2.0) = √0.60 ≈ 0.77。机械能开始为 mgh，反弹后为 mgh’，损失比例为 (mgh − mgh’)/mgh = 1 − h’/h = 1 − 0.60 = 0.40，即 40%。检验：e² = 0.60，损失比例为 1 − e² = 0.40。答案 ①。

解说　用到的是本节“说明”里的 $e = \sqrt{h'/h}$ 和损失比例 $1 - e^2$。容易卡在：把高度比 $0.60$ 直接当成 $e$（选项 ②④）。选项排除：$e$ 是速度比，要开方，所以 $e = 0.77$ 而不是 0.60，②④ 先排除；能量损失是 $1 - 0.60 = 40\%$，不是 60%，③ 排除；只剩 ①。另一种解法：先算能量。损失的比例只与 $e^2$ 有关，$e^2 = h'/h = 0.60$，损失 $40\%$；再由 $e = \sqrt{0.60}$ 得 0.77。

例 2　（场景：斜碰光滑斜面 → 法线分量乘 $e$、平行分量不变）

問題　図のように，水平面と角 $30^\circ$ をなすなめらかな斜面に，小球が水平方向から速さ $8.0\ \mathrm{m/s}$ で当たった。斜面と小球の間の反発係数を $e = 0.50$ とする。斜面はなめらかなので，斜面に平行な方向の速度の成分は衝突で変化しないものとする。

問　衝突直後の，斜面に沿う方向の速さと斜面に垂直な方向の速さの組合せとして最も適当なものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　6.9 m/s，2.0 m/s ②　6.9 m/s，4.0 m/s ③　4.0 m/s，2.0 m/s ④　8.0 m/s，2.0 m/s

解答　衝突前の速度を，斜面に沿う方向と斜面に垂直な方向に分解する。水平方向と斜面のなす角が $30^\circ$ なので，

$$v_{\parallel} = 8.0\cos 30^\circ = 6.93\ \mathrm{m/s}, \qquad v_{\perp} = 8.0\sin 30^\circ = 4.0\ \mathrm{m/s}$$

斜面に平行な成分は変わらない。垂直な成分は向きが逆になり，大きさは $e$ 倍になる。

$$v_{\parallel}' = 6.9\ \mathrm{m/s}, \qquad v_{\perp}' = ev_{\perp} = 0.50 \times 4.0 = 2.0\ \mathrm{m/s}$$

検算：$e = 1$ なら垂直成分は 4.0 m/s のまま（入射角と反射角が等しい）。$e = 0.50$ では半分になる。　答　①

中文翻译　题目：如图，小球以水平方向速率 8.0 m/s 撞上与水平面成 30° 角的光滑斜面。斜面与小球的恢复系数 e = 0.50。斜面光滑，所以平行于斜面的速度分量在碰撞中不变。问：碰撞后沿斜面方向的速率与垂直斜面方向的速率的组合，哪个最合适？从①～④中选一个。

解答：把碰撞前速度分解为沿斜面方向和垂直斜面方向。水平方向与斜面成 30° 角，所以 v∥ = 8.0 cos30° = 6.93 m/s，v⊥ = 8.0 sin30° = 4.0 m/s。平行斜面的分量不变；垂直分量方向反转，大小为 e 倍：v∥’ = 6.9 m/s，v⊥’ = 0.50×4.0 = 2.0 m/s。检验：e = 1 时垂直分量保持 4.0 m/s（入射角等于反射角）；e = 0.50 时减半。答案 ①。

解说　用到的是“斜碰只有法线分量乘 $e$“这一条。容易卡在：把整个速度乘 $e$，或者把 $\sin$、$\cos$ 用反。选项排除：平行分量不受 $e$ 影响，必须还是 $8.0\cos 30^\circ = 6.9\ \mathrm{m/s}$，③④ 先排除；垂直分量从 4.0 减半到 2.0，② 没变，排除；只剩 ①。

常用推论

• 同一小球在同一水平面上连续反弹，第 $n$ 次反弹高度 $h_n = e^{2n}h_0$（教材没有，考试常用；条件：空气阻力忽略）。
• 每次碰撞损失当前机械能的 $1 - e^2$；总损失趋近于全部（教材没有，考试常用）。
• 对固定光滑面斜碰：$v_\parallel$ 不变，$v_\perp' = ev_\perp$；反弹方向与面的夹角满足 $\tan\theta' = e\tan\theta$（教材没有，考试常用）。
• 两体碰撞的损失公式用约化质量 $\mu = \dfrac{m_1m_2}{m_1+m_2}$ 写：$\Delta E = \dfrac{1}{2}\mu(1 - e^2)(v_1 - v_2)^2$（教材没有，考试常用）。

易错点

• 错在哪：用 $e = \dfrac{h'}{h}$ 求反弹高度比。 为什么错：高度与速度的平方成正比，$h' = e^2h$。 正确做法：先写 $e = \dfrac{v'}{v} = \sqrt{\dfrac{h'}{h}}$，再平方。
• 错在哪：斜碰时把整个速度乘 $e$。 为什么错：只有垂直面方向的分量受恢复系数影响，平行分量不变。 正确做法：先分解，再分别处理。
• 错在哪：把 $e$ 当成能量损失的比例。 为什么错：$e$ 是速度比；能量损失比例是 $1 - e^2$。 正确做法：碰前碰后各算一次动能，或直接记 $1 - e^2$。

直观理解

$e$ 衡量“弹回来的劲”：$e = 1$ 像钢球落在钢板上，几乎原速弹回；$e = 0$ 像橡皮泥落地，不弹；$e \approx 0.7$ 像篮球落地，每次弹回一半左右的高度（$0.7^2 \approx 0.49$）。斜着撞墙面时，只有“撞进去”的那个方向被弹回，沿着墙面的方向继续滑，所以反弹方向会改变。

关联知识点

• 前置：国内书第 20 章 20.3–20.4 节碰撞的分类（动能是否损失）。
• 本书 6.6 节用 $e$ 写碰撞速度公式。
• 国内书第 9 章抛体运动（反弹后做抛体运动，速度分解）。
• 常一起考：国内书第 14 章机械能守恒（反弹高度、能量损失）。

6.6 弾性衝突・非弾性衝突

说明

用反発係数统一处理碰撞：一维碰撞有两个式子。

1. 運動量保存則：

$$m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_1' + m_2v_2'$$

2. 反発係数の定義：

$$e = -\frac{v_1' - v_2'}{v_1 - v_2}$$

联立解得

$$v_1' = \frac{(m_1 - em_2)v_1 + (1+e)m_2v_2}{m_1 + m_2}, \qquad v_2' = \frac{(1+e)m_1v_1 + (m_2 - em_1)v_2}{m_1 + m_2}$$

• $e = 1$：弾性衝突，动能守恒；$v_2 = 0$ 时回到国内书的 $v_1' = \dfrac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v_1$、$v_2' = \dfrac{2m_1}{m_1 + m_2}v_1$。
• $0 < e < 1$：非弾性衝突，动能减少。
• $e = 0$：完全非弾性衝突，$v_1' = v_2' = \dfrac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 + m_2}$。

国内书第 20 章按“动能是否守恒”分类，只给 $e = 1$ 的公式；日本题常直接给 $e$，要求用上面两个式子联立。背一般式不如列两个方程稳，字母多时容易记错。

使用场景

• 题目给两物体的质量、初速度和反発係数，问碰后速度 → 列动量守恒和 $e$ 的定义式，联立求解。
• 题目说「粘在一起」「一体となって」→ 完全非弾性，$e = 0$，直接用共速公式和能量损失。

注意点

• 一般式只适用于一维对心碰撞；二维要分方向列动量守恒，$e$ 只用于法线方向。
• 速度带符号；先规定正方向，再代入。算出的负号表示方向相反。
• $e = 1$ 时动能守恒，$e < 1$ 时动能减少；不能用“动量守恒加机械能守恒”处理 $e < 1$。
• 碰撞后要检查结果是否符合实际：后面的物体不能穿过前面的物体。
• 完全非弾性碰撞的动能损失最大，但动量始终守恒。

推导

由动量守恒和 $e$ 的定义联立。先把 $e$ 的定义式写成

$$v_2' - v_1' = e(v_1 - v_2)$$

与动量守恒式

$$m_1v_1' + m_2v_2' = m_1v_1 + m_2v_2$$

组成二元一次方程组，解出 $v_1'$、$v_2'$ 即得上面的公式。

$e = 1$ 时动能守恒：把 $v_2' - v_1' = v_1 - v_2$ 代入动量守恒，可以验证碰前碰后动能相等；反过来，动能守恒加动量守恒也能推出相对速度大小不变。

能量损失：把一般式代入

$$\Delta E = \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 - \frac{1}{2}m_1v_1'^2 - \frac{1}{2}m_2v_2'^2$$

化简得

$$\Delta E = \frac{1}{2}\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}(1 - e^2)(v_1 - v_2)^2$$

（关键一步：损失只取决于相对速度 $v_1 - v_2$，与两物体各自的初速度大小无关；$e = 1$ 时为 0，$e = 0$ 时最大。）

例题

例 1　（场景：一般 $e$ 的一维碰撞 → 动量守恒加 $e$ 式联立）

問題　なめらかな水平面上で，質量 $m$ の小球 A が速さ $v$ で，静止している質量 $2m$ の小球 B に一直線上で衝突した。衝突は一次元で，反発係数を $e = 0.50$ とする。A の初速度の向きを正とする。ただし，小球は質点とみなす。

問　衝突直後の A，B の速度 $v_{\mathrm A}'$，$v_{\mathrm B}'$ の組合せとして正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$v_{\mathrm A}' = 0$，$v_{\mathrm B}' = \dfrac{1}{2}v$ ②　$v_{\mathrm A}' = -\dfrac{1}{3}v$，$v_{\mathrm B}' = \dfrac{2}{3}v$ ③　$v_{\mathrm A}' = \dfrac{1}{3}v$，$v_{\mathrm B}' = \dfrac{1}{3}v$ ④　$v_{\mathrm A}' = -\dfrac{1}{2}v$，$v_{\mathrm B}' = \dfrac{1}{2}v$

解答　運動量保存則より

$$mv = mv_{\mathrm A}' + 2mv_{\mathrm B}' \quad \therefore\ v = v_{\mathrm A}' + 2v_{\mathrm B}'$$

反発係数の式より

$$e = -\frac{v_{\mathrm A}' - v_{\mathrm B}'}{v - 0} = 0.50 \quad \therefore\ v_{\mathrm B}' - v_{\mathrm A}' = 0.50v$$

2 式を連立して，$v_{\mathrm A}' = 0$，$v_{\mathrm B}' = 0.50v$。検算：$e = -\dfrac{0 - 0.50v}{v} = 0.50$。運動量は $0 + 2m \times 0.50v = mv$ で保存。　答　①

中文翻译　题目：光滑水平面上，质量 m 的小球 A 以速率 v 与静止的质量 2m 的小球 B 在一条直线上碰撞。碰撞是一维的，恢复系数 e = 0.50。A 的初速度方向为正。小球视为质点。问：碰撞后 A、B 的速度 v_A’、v_B’ 的组合，哪个正确？从①～④中选一个。

解答：由动量守恒 mv = mv_A’ + 2mv_B’，即 v = v_A’ + 2v_B’。由恢复系数 e = −(v_A’ − v_B’)/(v − 0) = 0.50，即 v_B’ − v_A’ = 0.50v。两式联立得 v_A’ = 0，v_B’ = 0.50v。检验：e = −(0 − 0.50v)/v = 0.50；动量 0 + 2m×0.50v = mv，守恒。答案 ①。

解说　用到的是本节“说明”里的两个式子。容易卡在：直接套国内书 $e=1$ 的公式，得到 ②；或者只看动量守恒，得到 ③（两个都 $v/3$，动量确实守恒，但 $e=0$）。选项排除：④ 的动量是 $-\dfrac{1}{2}mv + 2m\cdot\dfrac{1}{2}v = \dfrac{1}{2}mv$，不守恒，先排除；② 是弹性碰撞的结果，$e=1$；③ 的 $e=0$（共速）；题目给 $e=0.50$，只剩 ①。另一种解法：直接代一般式 $v_{\mathrm A}' = \dfrac{(m_1-em_2)v_1+(1+e)m_2v_2}{m_1+m_2}$，$v_{\mathrm B}' = \dfrac{(1+e)m_1v_1+(m_2-em_1)v_2}{m_1+m_2}$，取 $m_1=m$、$m_2=2m$、$v_2=0$、$e=0.50$，得 $v_{\mathrm A}'=0$、$v_{\mathrm B}'=0.50v$。

例 2　（场景：完全非弹性 → 共速加能量损失）

問題　なめらかな水平面上で，質量 $2.0\ \mathrm{kg}$ の物体 A が速さ $3.0\ \mathrm{m/s}$ で，静止している質量 $1.0\ \mathrm{kg}$ の物体 B に衝突し，衝突後は A と B は一体となって運動した。

問　衝突後の共通の速さと，衝突で失われた力学的エネルギーとして最も適当なものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　2.0 m/s，3.0 J ②　1.5 m/s，3.0 J ③　2.0 m/s，6.0 J ④　3.0 m/s，9.0 J

解答　完全非弾性衝突なので，運動量保存則より

$$2.0 \times 3.0 = (2.0 + 1.0)V \quad \therefore\ V = 2.0\ \mathrm{m/s}$$

衝突前の運動エネルギーは $\dfrac{1}{2} \times 2.0 \times 3.0^2 = 9.0\ \mathrm{J}$，衝突後は $\dfrac{1}{2} \times 3.0 \times 2.0^2 = 6.0\ \mathrm{J}$。失われたエネルギーは

$$9.0 - 6.0 = 3.0\ \mathrm{J}$$

検算：$e = 0$ のときの損失 $\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\cdot\dfrac{1}{2}m_1v_1^2 = \dfrac{1}{3} \times 9.0 = 3.0\ \mathrm{J}$。　答　①

中文翻译　题目：光滑水平面上，质量 2.0 kg 的物体 A 以速率 3.0 m/s 撞上静止的质量 1.0 kg 的物体 B，碰撞后 A、B 成为一体运动。问：碰撞后的共同速率与碰撞中损失的机械能，哪个最合适？从①～④中选一个。

解答：完全非弹性碰撞，由动量守恒 2.0×3.0 = (2.0+1.0)V，得 V = 2.0 m/s。碰撞前动能 ½×2.0×3.0² = 9.0 J，碰撞后 ½×3.0×2.0² = 6.0 J，损失 9.0 − 6.0 = 3.0 J。检验：e = 0 时的损失 (m₂/(m₁+m₂))×½m₁v₁² = (1/3)×9.0 = 3.0 J。答案 ①。

解说　用到的是 $e = 0$ 的合体公式。容易卡在：用能量守恒求速度，得到 $V = 3.0\ \mathrm{m/s}$（④），但碰撞中动能减少，能量不守恒；或者把质量比弄反，得到 $1.5\ \mathrm{m/s}$（②）。选项排除：动量必须守恒，$2.0 \times 3.0 = 6.0\ \mathrm{kg \cdot m/s}$，碰后总质量 3.0 kg，速度只能是 2.0 m/s，②④ 先排除；损失 $9.0 - 6.0 = 3.0\ \mathrm{J}$，③ 的 6.0 J 是碰后动能，不是损失，排除；只剩 ①。

常用推论

• 等质量弹性碰撞（$e = 1$，$v_2 = 0$）：交换速度，$v_1' = 0$、$v_2' = v_1$（国内书第 20 章）。
• 完全非弾性（$e = 0$）一动一静：$V = \dfrac{m_1}{m_1+m_2}v_1$，损失 $\Delta E = \dfrac{m_2}{m_1+m_2}\cdot\dfrac{1}{2}m_1v_1^2$（国内书第 20 章 20.4 节）。
• 一般两体损失 $\Delta E = \dfrac{1}{2}\mu(1 - e^2)(v_1 - v_2)^2$，其中 $\mu = \dfrac{m_1m_2}{m_1+m_2}$（教材没有，考试常用）。
• $e = 1$ 时相对速度大小不变、方向反转（教材没有，考试常用）。
• 质量相差悬殊：轻球撞重墙（$m_2 \gg m_1$，$e = 1$）几乎原速反弹；重球撞轻球，轻球以约 $2v_1$ 飞出（国内书第 20 章）。

易错点

• 错在哪：非弹性碰撞也用“动量守恒加动能守恒”两个方程。 为什么错：非弹性碰撞有动能损失，动能不守恒。 正确做法：第二个方程用 $e$ 的定义，不用动能守恒。
• 错在哪：$e$ 的式子里漏掉负号，或把 $v_1 - v_2$ 写成 $v_2 - v_1$。 为什么错：$e$ 是分离速度除以接近速度，必须为正。 正确做法：先写接近速度 $v_1 - v_2 > 0$，再写分离速度 $v_2' - v_1'$，两者相除。
• 错在哪：完全非弹性碰撞求出共同速度后，又用机械能守恒求别的量。 为什么错：碰撞瞬间有动能变成内能，机械能不守恒；碰后的运动阶段才可能守恒。 正确做法：分阶段——碰撞阶段用动量守恒，碰后阶段再用能量守恒或动能定理。

直观理解

$e$ 像一个“弹性旋钮”：$e = 1$ 时碰前碰后的相对速度完全反弹，动能一点不少；$e = 0$ 时两物体黏在一起，相对速度被完全吃掉，损失最大；中间的 $e$ 按比例保留相对速度。动量守恒管“总账”，$e$ 管“相对运动损失多少”。

关联知识点

• 前置：国内书第 20 章 20.2 节动量守恒、20.3–20.4 节弹性碰撞与非弹性碰撞。
• 本书 6.5 节反発係数（定义和能量损失）。
• 本书 6.7 节分裂と合体（$e = 0$ 的合体是碰撞的极限情形）。
• 常一起考：国内书第 19 章动量定理（碰撞中的力積）。

6.7 分裂と合体

说明

分裂と合体：日本教科书把动量守恒的典型问题分成两类。

• 合体：两个物体碰后粘在一起，以共同速度运动。这是完全非弾性碰撞（$e = 0$），动量守恒，动能减少。
• 分裂：一个物体在内力作用下分成几块（爆炸、反冲、弹簧弹开）。动量守恒，动能增加（化学能、弹性势能转化而来）。

国内书第 20 章把“完全非弹性碰撞”和“反冲与爆炸”分开讲，只讲一维；EJU 把它们作为一对基本型，二维也考——动量是矢量，二维时分 $x$、$y$ 两个方向分别守恒。

使用场景

• 人跳上车、子弹打入木块、两物体粘在一起 → 合体 → 用 $m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1+m_2)V$，再求力積或能量损失。
• 物体炸成两块、弹簧弹开两物体、抛出物体后自身反冲，或二维的分裂与斜碰合体 → 分裂或二维合体 → 总动量守恒，分 $x$、$y$ 列式，方向用 $\tan\theta = \dfrac{p_y}{p_x}$。

注意点

• 合体和分裂的内力远大于外力（碰撞、爆炸时间极短），所以动量守恒；重力、摩擦力在极短时间内的冲量可忽略。
• 动量守恒是矢量式；二维时两个方向各一个方程，不能把速度大小直接相加。
• 合体动能减少，分裂动能增加；两者都不能用机械能守恒处理瞬间过程。
• 题目说“相对于……“的速度，要先换成对地速度，或统一到同一参考系。
• 原来静止、分成两块时，两块动量大小相等、方向相反；分成三块或原来在运动时，一般不共线，要按矢量算。

推导

合体：动量守恒

$$m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1+m_2)V \quad \therefore\ V = \frac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 + m_2}$$

能量损失为 $e = 0$ 时的损失公式（6.6 节）：$\Delta E = \dfrac{1}{2}\dfrac{m_1m_2}{m_1+m_2}(v_1 - v_2)^2$。

分裂（原来静止）：$0 = m_1\vec v_1 + m_2\vec v_2$，所以 $\vec v_2 = -\dfrac{m_1}{m_2}\vec v_1$；两块动量大小相等 $p = m_1v_1 = m_2v_2$，动能

$$K = \frac{p^2}{2m_1} + \frac{p^2}{2m_2}$$

来自内部能量。

二维分裂：原来动量 $\vec p$，分裂后 $\vec p = \vec p_1 + \vec p_2$，分量式为

$$p_x = p_{1x} + p_{2x}, \qquad p_y = p_{1y} + p_{2y}$$

（关键一步：二维问题先建坐标，把所有动量分解，再分别列式；不要直接对速度大小用一维公式。）

例题

例 1　（场景：人跳上静止台车 → 合体 → 共同速度加力積）

問題　図のように，質量 $60\ \mathrm{kg}$ の人が，静止している質量 $40\ \mathrm{kg}$ の台車に，水平方向に速さ $5.0\ \mathrm{m/s}$ で飛び乗った。人は台車に対して静止し，台車は水平面上を運動した。台車と面の間の摩擦は無視できるものとする。

問　人が飛び乗った後の台車の速さと，このとき台車が人から受けた力積の大きさとして最も適当なものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　3.0 m/s，1.2×10² N·s ②　3.0 m/s，2.0×10² N·s ③　2.0 m/s，1.2×10² N·s ④　2.0 m/s，3.0×10² N·s

解答　人と台車を一つの系とみなす。水平方向の外力はないので，運動量が保存する。

$$60 \times 5.0 = (60 + 40)V \quad \therefore\ V = 3.0\ \mathrm{m/s}$$

台車の運動量の変化は $40 \times 3.0 - 0 = 1.2 \times 10^2\ \mathrm{kg \cdot m/s}$。力積は運動量の変化に等しいので，大きさは $1.2 \times 10^2\ \mathrm{N \cdot s}$。検算：人の運動量の変化は $60 \times 3.0 - 60 \times 5.0 = -1.2 \times 10^2\ \mathrm{kg \cdot m/s}$ で，台車の変化と逆向き・同じ大きさ。　答　①

中文翻译　题目：如图，质量 60 kg 的人以水平方向速率 5.0 m/s 跳上静止的质量 40 kg 的台车。人相对台车静止，台车在水平面上运动。台车与面之间的摩擦不计。问：人跳上后台车的速率，以及此时台车受到的人的冲量大小，哪个最合适？从①～④中选一个。

解答：把人车看成一个系统。水平方向没有外力，动量守恒：60×5.0 = (60+40)V，得 V = 3.0 m/s。台车动量变化为 40×3.0 − 0 = 1.2×10² kg·m/s。冲量等于动量变化，大小为 1.2×10² N·s。检验：人的动量变化为 60×3.0 − 60×5.0 = −1.2×10² kg·m/s，与台车的变化方向相反、大小相同。答案 ①。

解说　用到的是合体的动量守恒和力積等于动量变化。容易卡在：只用人上车的动量算台车速度，写成 $60 \times 5.0 = 40V$，得到 $7.5\ \mathrm{m/s}$；或者把力積算成人和台车总动量变化（$2.4 \times 10^2$）。选项排除：动量 300 kg·m/s，总质量 100 kg，速度只能是 3.0 m/s，③④ 先排除；台车自己的动量变化只有 $40 \times 3.0 = 120$，② 的 200 是人的初动量，不是台车受力積，排除；只剩 ①。

例 2　（场景：二维分裂 → 分方向列动量守恒）

問題　図のように，質量 $3.0\ \mathrm{kg}$ の物体が，$x$ 軸の正の向きに速さ $4.0\ \mathrm{m/s}$ で運動している。この物体が内部の力で質量 $2.0\ \mathrm{kg}$ と $1.0\ \mathrm{kg}$ の二つに分裂し，$2.0\ \mathrm{kg}$ の部分は $y$ 軸の正の向きに速さ $3.0\ \mathrm{m/s}$ で運動した。

問　$1.0\ \mathrm{kg}$ の部分の速さと向きとして最も適当なものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。向きは $x$ 軸の正の向きから測った角で表す。

①　1.3×10¹ m/s，$x$ 軸の正の向きから下方に 27° ②　1.1×10¹ m/s，$x$ 軸の正の向きから下方に 27° ③　1.3×10¹ m/s，$x$ 軸の正の向きから下方に 63° ④　6.0 m/s，$x$ 軸の正の向きから下方に 45°

解答　分裂の前後で運動量が保存する。$x$ 方向と $y$ 方向に分けて考える。分裂前の運動量は

$$p_x = 3.0 \times 4.0 = 12\ \mathrm{kg \cdot m/s}, \qquad p_y = 0$$

$2.0\ \mathrm{kg}$ の部分の運動量は $y$ 方向に $2.0 \times 3.0 = 6.0\ \mathrm{kg \cdot m/s}$。したがって $1.0\ \mathrm{kg}$ の部分の運動量は

$$p_x' = 12\ \mathrm{kg \cdot m/s}, \qquad p_y' = -6.0\ \mathrm{kg \cdot m/s}$$

速さは

$$v = \sqrt{12^2 + (-6.0)^2} = \sqrt{180} \approx 13\ \mathrm{m/s} = 1.3 \times 10^1\ \mathrm{m/s}$$

向きは $x$ 軸の正の向きから下方に角 $\theta$ とすると

$$\tan\theta = \frac{6.0}{12} = 0.50 \quad \therefore\ \theta \approx 27^\circ$$

検算：$x$ 方向は $12 = 0 + 12$，$y$ 方向は $0 = 6.0 - 6.0$ で保存。　答　①

中文翻译　题目：如图，质量 3.0 kg 的物体沿 x 轴正方向以速率 4.0 m/s 运动。该物体在内力作用下分裂为质量 2.0 kg 和 1.0 kg 的两部分，2.0 kg 的部分沿 y 轴正方向以速率 3.0 m/s 运动。问：1.0 kg 部分的速率和方向，哪个最合适？方向用从 x 轴正方向量起的角表示。从①～④中选一个。

解答：分裂前后动量守恒。分 x、y 方向考虑。分裂前动量 p_x = 3.0×4.0 = 12 kg·m/s，p_y = 0。2.0 kg 部分的动量沿 y 方向为 2.0×3.0 = 6.0 kg·m/s。因此 1.0 kg 部分的动量为 p_x’ = 12 kg·m/s，p_y’ = −6.0 kg·m/s。速率 v = √(12²+(−6.0)²) = √180 ≈ 13 m/s = 1.3×10¹ m/s。设方向为从 x 轴正方向向下角 θ，tanθ = 6.0/12 = 0.50，θ ≈ 27°。检验：x 方向 12 = 0 + 12，y 方向 0 = 6.0 − 6.0，守恒。答案 ①。

解说　用到的是二维动量守恒的分量式。容易卡在：把速度大小直接相加或相减，或者只列 $y$ 方向。选项排除：$x$ 方向动量必须全部由 $1.0\ \mathrm{kg}$ 部分带走，$p_x' = 12$，速度的 $x$ 分量是 $12\ \mathrm{m/s}$，所以总速率一定大于 $12$，④ 的 6.0 先排除；② 的 $1.1 \times 10^1$ 小于 $x$ 分量，也不可能；③ 的角是把 $\tan\theta$ 写成了 $12/6.0$ 的倒数，角度应是 27° 而不是 63°；只剩 ①。

常用推论

• 合体（完全非弾性）的动能损失 $\Delta E = \dfrac{1}{2}\dfrac{m_1m_2}{m_1+m_2}(v_1 - v_2)^2$（教材没有，考试常用；条件：一维、$e = 0$）。
• 原来静止分裂成两块：速度与质量成反比，$m_1v_1 = m_2v_2$；动能与质量成反比，$K_1:K_2 = m_2:m_1$（教材没有，考试常用）。
• 爆炸后各块系统的质心保持原来的运动状态（教材没有，考试常用；条件：外力冲量可忽略）。
• 二维合体：$V_x = \dfrac{m_1v_{1x} + m_2v_{2x}}{m_1+m_2}$，$V_y$ 同理；合体后的方向 $\tan\theta = \dfrac{V_y}{V_x}$（教材没有，考试常用）。

易错点

• 错在哪：合体后用机械能守恒求共同速度。 为什么错：合体瞬间动能减少，机械能不守恒。 正确做法：用动量守恒求共同速度，再单独算能量损失。
• 错在哪：二维分裂只列一个方向的动量守恒，或把速度大小直接相加。 为什么错：动量是矢量，两个方向都要守恒。 正确做法：建 $x$、$y$ 轴，分别列式，最后合成。
• 错在哪：分裂后认为动能不变，以为动量守恒能量也守恒。 为什么错：分裂时内部能量转化成动能，动能增加。 正确做法：碰前碰后各算一次动能，差值来自内部能量。

直观理解

合体像两辆小车撞在一起用胶水粘住：总“运动量”不变，但相对运动的能量变成了热和变形。分裂像爆竹炸开：原来静止时总动量为零，碎块向相反方向飞，动能来自火药。二维时，把总动量想成一根箭头，分裂后的两根箭头首尾相接正好拼回原来的箭头。

关联知识点

• 前置：国内书第 20 章 20.4 节完全非弹性碰撞、20.6 节反冲与爆炸。
• 本书 6.6 节碰撞速度公式（$e = 0$ 的合体）。
• 常一起考：国内书第 9 章抛体运动（爆炸后各块做平抛或斜抛）、第 19 章动量定理（合体过程中的力積）。

6.8 题型与答法

エネルギーと運動量在 EJU 里主要出现在大問 Ⅰ（力学），常和斜面、弹簧、摩擦、碰撞一起考；字母式和数值式都有，数值题给 $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$、数据和选项两位有效数字。据 20 回公开过去问，本章内容共出现 39 次（每回平均 1.95 次），是全书最高频的一章，每回 1–3 题。

两分钟做法：

1. 先分段：碰撞、爆炸瞬间用动量守恒；之后的上滑、下滑、压缩弹簧用能量；有摩擦时优先动能定理。
2. 写式子前先规定正方向，速度全部带符号；二维先建 $x$、$y$ 轴。
3. 求出结果后用极限或特殊值核对：摩擦为零、质量相等、$e = 1$ 或 $e = 0$，看结果是否回到熟悉的情形。

問題 1　（粗い水平面上で、力と摩擦力がする仕事）

水平面上に置かれた質量 $2.0\ \mathrm{kg}$ の物体に，水平方向に大きさ $10\ \mathrm{N}$ の力を加え，$5.0\ \mathrm{m}$ 動かした。物体と面の間の動摩擦係数を $0.20$ とする。ただし，重力加速度の大きさを $9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。

問　物体の速さは何 m/s か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　5.5 m/s　　②　7.1 m/s　　③　4.4 m/s　　④　3.0 m/s

解答　物体にはたらく水平方向の力は，引く力 $10\ \mathrm{N}$ と動摩擦力 $f$ である。垂直抗力の大きさは $N = mg = 2.0 \times 9.8 = 19.6\ \mathrm{N}$ なので，

$$f = \mu'N = 0.20 \times 19.6 = 3.92\ \mathrm{N}$$

合力は $10 - 3.92 = 6.08\ \mathrm{N}$。合力のした仕事は

$$W = (10 - 3.92) \times 5.0 = 30.4\ \mathrm{J}$$

动能定理より $\dfrac{1}{2}mv^2 = W$：

$$v = \sqrt{\frac{2W}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 30.4}{2.0}} = \sqrt{30.4} \approx 5.5\ \mathrm{m/s}$$

検算：摩擦がなければ $v = \sqrt{\dfrac{2 \times 10 \times 5.0}{2.0}} = 7.1\ \mathrm{m/s}$；摩擦がある分だけ小さい。　答　①

中文翻译　题目：水平面上质量 2.0 kg 的物体受水平方向大小 10 N 的力，移动了 5.0 m。物体与面之间的动摩擦系数为 0.20。重力加速度取 9.8 m/s²。问：物体的速率是多少 m/s？从①～④中选最合适的值。

解答：物体水平方向受拉力 10 N 和动摩擦力 f。支持力 N = mg = 2.0×9.8 = 19.6 N，所以 f = μ’N = 0.20×19.6 = 3.92 N。合力为 10 − 3.92 = 6.08 N，合力做的功 W = 6.08×5.0 = 30.4 J。由动能定理 ½mv² = W，v = √(2×30.4/2.0) = √30.4 ≈ 5.5 m/s。检验：没有摩擦时 v = √(2×10×5.0/2.0) = 7.1 m/s，有摩擦时更小。答案 ①。

解说　两分钟做法：先求支持力，再求摩擦力，最后用“合力功等于动能变化”一步到位。容易卡在：忘记摩擦力，直接算 $10 \times 5.0 = 50\ \mathrm{J}$，得 $7.1\ \mathrm{m/s}$（②）。选项排除：有摩擦时速度一定小于无摩擦的 7.1 m/s，② 排除；③ 4.4 是只算摩擦力做功的结果，方向反了；④ 3.0 是时间或加速度算错的结果；只剩 ①。

問題 2　（なめらかな斜面からあらい水平面へ、力学的エネルギーの保存）

図のように，水平面と $30^\circ$ をなすなめらかな斜面がある。質量 $2.0\ \mathrm{kg}$ の物体を，斜面上の高さ $1.8\ \mathrm{m}$ の点から静かに放した。物体は斜面を滑り降り，なめらかにつながった水平面に移った。水平面と物体の間の動摩擦係数を $0.20$ とする。ただし，重力加速度の大きさを $9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。

問　物体が水平面に移ってから止まるまでに進む距離は何 m か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　9.0 m　　②　4.5 m　　③　1.8 m　　④　3.6 m

解答　斜面はなめらかなので，水平面に移る直前の速さを $v$ とすると，力学的エネルギー保存より $\dfrac{1}{2}mv^2 = mgh$。水平面上では動摩擦力だけが仕事をし，止まるまでに進む距離を $d$ とすると，

$$0 - \frac{1}{2}mv^2 = -\mu'mgd$$

$\dfrac{1}{2}mv^2 = mgh$ を代入して

$$mgh = \mu'mgd \quad \therefore\ d = \frac{h}{\mu'} = \frac{1.8}{0.20} = 9.0\ \mathrm{m}$$

検算：質量 $m$ と $g$ が約分で消える。摩擦係数が半分なら距離は 2 倍。　答　①

中文翻译　题目：如图，有与水平面成 30° 的光滑斜面。把质量 2.0 kg 的物体从斜面上高 1.8 m 处静止释放。物体沿斜面滑下，进入平滑连接的水平面。水平面与物体之间的动摩擦系数为 0.20。重力加速度取 9.8 m/s²。问：物体进入水平面后到停止所前进的距离是多少 m？从①～④中选最合适的值。

解答：斜面光滑，设进入水平面前速率为 v，由机械能守恒 ½mv² = mgh。水平面上只有动摩擦力做功，设滑行距离 d 后停止，则 0 − ½mv² = −μ’mgd。代入 ½mv² = mgh，得 mgh = μ’mgd，所以 d = h/μ’ = 1.8/0.20 = 9.0 m。检验：质量 m 和 g 约去；摩擦系数减半，距离加倍。答案 ①。

解说　两分钟做法：分两段，斜面段只记“高度变速度”，水平段用“动能被摩擦力磨光”。容易卡在：把斜面长当成水平距离，或者多乘一个 $\sin 30^\circ$。选项排除：结果与质量、$g$、斜面倾角都无关，只由 $h$ 和 $\mu'$ 决定；$h/\mu' = 9.0$，② 4.5 是 $h\sin 30^\circ/\mu'$，③ 1.8 是忘了除以 $\mu'$，④ 3.6 是 $2h$，都排除。

問題 3　（壁に垂直に当たる球、力積と運動量）

図のように，質量 $0.50\ \mathrm{kg}$ の小球が，なめらかな壁に垂直に速さ $8.0\ \mathrm{m/s}$ で当たり，同じ直線上を速さ $6.0\ \mathrm{m/s}$ で跳ね返った。小球と壁が接触していた時間は $0.10\ \mathrm{s}$ であった。

問　小球が壁から受けた平均の力の大きさは何 N か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　70 N　　②　10 N　　③　40 N　　④　7.0 N

解答　壁から離れる向きを正とすると，衝突前の速度は $-8.0\ \mathrm{m/s}$，衝突後は $+6.0\ \mathrm{m/s}$。運動量の変化は

$$\Delta p = mv' - mv = 0.50 \times 6.0 - 0.50 \times (-8.0) = 7.0\ \mathrm{kg \cdot m/s}$$

力積 $F\Delta t = \Delta p$ より

$$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{7.0}{0.10} = 70\ \mathrm{N}$$

向きは壁から離れる向き。検算：速さの変化の合計は $6.0 + 8.0 = 14\ \mathrm{m/s}$，$0.50 \times 14 = 7.0$，$7.0/0.10 = 70$。　答　①

中文翻译　题目：如图，质量 0.50 kg 的小球垂直撞上光滑墙壁，速率 8.0 m/s，沿同一直线以速率 6.0 m/s 反弹。小球与墙接触时间为 0.10 s。问：小球受到墙的平均力大小是多少 N？从①～④中选最合适的值。

解答：取离开墙的方向为正，碰撞前速度为 −8.0 m/s，碰撞后为 +6.0 m/s。动量变化 Δp = mv’ − mv = 0.50×6.0 − 0.50×(−8.0) = 7.0 kg·m/s。由冲量 FΔt = Δp，F = 7.0/0.10 = 70 N，方向离开墙。检验：速率变化合计 6.0 + 8.0 = 14 m/s，0.50×14 = 7.0，7.0/0.10 = 70。答案 ①。

解说　两分钟做法：动量是矢量，反弹时速度变号，变化量是“两个速率相加”乘质量，再除以接触时间。容易卡在：用 $8.0 - 6.0 = 2.0$ 算变化量，得 $10\ \mathrm{N}$（②）。选项排除：速度反向，变化量必须相加，② 排除；④ 是只算了动量变化 $7.0$ 没除以时间；③ 40 N 是用了 $8.0\ \mathrm{m/s}$ 或 $4.0$ 的错误组合；只剩 ①。

6.9 术语与题干用语

日文	读音	中文	例句或说明
仕事	しごと	功	「仕事の原理」
仕事率	しごとりつ	功率	「仕事率 $P$ は何 W か」
仕事の原理	しごとのげんり	功的原理	「動滑車を使っても仕事は変わらない」
運動エネルギー	うんどうエネルギー	动能	日本记 $K$，国内记 $E_{\mathrm k}$
位置エネルギー	いちエネルギー	势能	日本记 $U$
重力による位置エネルギー	じゅうりょくによるいちエネルギー	重力势能	$U = mgh$
弾性力による位置エネルギー	だんせいりょくによるいちエネルギー	弹性势能	$\dfrac{1}{2}kx^2$
ばね定数	ばねていすう	劲度系数	「ばね定数 $k$」
自然長	しぜんちょう	原长	「自然長から $x$ だけ縮めた」
力学的エネルギー	りきがくてきエネルギー	机械能	「力学的エネルギー保存則」
運動量	うんどうりょう	动量	「運動量の大きさ」
力積	りきせき	冲量	「壁から受けた力積」
運動量保存則	うんどうりょうほぞんそく	动量守恒定律	「運動量保存則より」
反発係数	はんぱつけいすう	恢复系数	也叫「はねかえり係数」
はねかえり係数	はねかえりけいすう	恢复系数	シラバス原文的括号写法
弾性衝突	だんせいしょうとつ	弹性碰撞	$e = 1$
非弾性衝突	ひだんせいしょうとつ	非弹性碰撞	$0 \le e < 1$
完全非弾性衝突	かんぜんひだんせいしょうとつ	完全非弹性碰撞	$e = 0$，合体
分裂	ぶんれつ	分裂	「二つに分裂した」
合体	がったい	合体	「一体となって運動した」
一体となって	いったいとなって	成为一体	「衝突後は一体となって運動した」
なめらかな面	なめらかなめん	光滑面	无摩擦
あらい面	あらいめん	粗糙面	有摩擦
失われた力学的エネルギー	うしなわれたりきがくてきエネルギー	损失的机械能	「衝突で失われた力学的エネルギー」
速さ	はやさ	速率	标量
速度	そくど	速度	矢量，带方向
向き	むき	方向	「速度の向き」
大きさ	おおきさ	大小	「力の大きさ」

6.10 自测

1. 動滑車を使って質量 $4.0\ \mathrm{kg}$ のおもりを $1.0\ \mathrm{m}$ 持ち上げるとき，糸を引く力の大きさと糸を引く距離を求めなさい。ただし，重力加速度の大きさを $9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。 （用动滑轮把质量 4.0 kg 的重物提升 1.0 m，求拉力大小和拉绳距离。）
2. ばね定数 $1.0 \times 10^2\ \mathrm{N/m}$ のばねを自然長から $0.20\ \mathrm{m}$ 縮めたとき，弾性力による位置エネルギーはいくらか。 （把劲度系数 1.0×10² N/m 的弹簧从原长压缩 0.20 m，弹性势能是多少？）
3. 物体の運動エネルギー $K$ と位置 $x$ のグラフの傾きは何を表すか。 （动能 K 与位置 x 的图像，斜率表示什么？）
4. 小球を高さ $1.8\ \mathrm{m}$ から落としたところ，$0.80\ \mathrm{m}$ の高さまで跳ね返った。反発係数はいくらか。 （小球从高 1.8 m 落下，反弹到 0.80 m 高，恢复系数是多少？）
5. 質量 $1.0\ \mathrm{kg}$ の物体が速さ $4.0\ \mathrm{m/s}$ で静止している質量 $1.0\ \mathrm{kg}$ の物体に衝突し，一体となった。共通の速さはいくらか。 （质量 1.0 kg 的物体以 4.0 m/s 撞上静止的质量 1.0 kg 的物体并成为一体，共同速率是多少？）
6. 静止していた物体が質量 $2.0\ \mathrm{kg}$ と $1.0\ \mathrm{kg}$ の二つに分裂し，$1.0\ \mathrm{kg}$ の部分が速さ $6.0\ \mathrm{m/s}$ で飛んだ。$2.0\ \mathrm{kg}$ の部分の速さはいくらか。 （静止的物体分裂为质量 2.0 kg 和 1.0 kg 的两部分，1.0 kg 的部分以 6.0 m/s 飞出，2.0 kg 的部分速率是多少？）

答案：1. 力 20 N，距离 2.0 m　2. 2.0 J　3. 合力　4. 0.67　5. 2.0 m/s　6. 3.0 m/s，与 1.0 kg 部分方向相反

6.11 深入阅读

• JASSO · 理科（物理）シラバス：本章对应「エネルギーと運動量」：仕事と運動エネルギー、位置エネルギー、力学的エネルギーの保存、運動量と力積、衝突。
• 维基百科（日文）· 反発係数：恢复系数的日文定义、0 ≤ e ≤ 1 和弹性/非弹性碰撞的分类。
• PhET · 能量滑板竞技场：拖动滑板看动能、势能和摩擦生热的变化，配合本章的机械能守恒。
• 维基百科（日文）· 運動量保存則：动量守恒的日文表述、分裂和合体的写法。