第 19 章 · 電磁誘導

项目	内容
シラバス项目	Ⅳ 電気と磁気 4. 電磁誘導と電磁波：(1) 電磁誘導の法則（電磁誘導，レンツの法則，ファラデーの電磁誘導の法則，導体が磁場を横切るときの誘導起電力，ローレンツ力と誘導起電力，渦電流）；(2) 自己誘導，相互誘導（自己誘導，自己インダクタンス，コイルに蓄えられるエネルギー，相互誘導，相互インダクタンス，変圧器）
国内书对应	第 27 章（电磁感应现象与楞次定律）；第 28 章 28.2–28.5（法拉第定律、导体切割、自感与互感、涡流）；第 29 章 29.5（变压器）
本章新内容的分量	小。国内已讲电磁感应、楞次定律、导体棒切割、涡流和变压器；新的是日本带负号的公式写法、自己インダクタンス与 $V=-L\dfrac{\Delta I}{\Delta t}$、コイルに蓄えられるエネルギー $\dfrac{1}{2}LI^2$、相互インダクタンス $M$
过去问出现次数	20 回共 9 題（每回平均 0.45 題），都出在大問 Ⅳ 的最后一道

国内在选择性必修第二册学过电磁感应：用楞次定律判断方向，用法拉第定律 $E=n\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}$ 算大小，还有导体棒切割、自感、涡流和变压器。EJU 的电磁诱导题放在大問 Ⅳ 的最后（F・問6），和电流的磁场、安培力同属一个大問，组合选择占多数：先判断感应电流的方向，再判断受力方向或大小。中国学生丢分主要有两处：一是日本教材把方向写进公式的负号，$V=-n\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}$、$V=-L\dfrac{\Delta I}{\Delta t}$，国内学生不习惯；二是自感、互感、线圈能量的公式国内只定性，EJU 要会算。本章先补这几块，国内讲过的部分只引用，最后用日文题面练方向判断。

19.1 与国内的对照

シラバス小項目（日文原文）	国内书位置	相同 / 讲法不同 / 国内没有	本章哪节讲
電磁誘導	国内书第 27 章 27.2 节	相同	19.2（一句带过）
レンツの法則	国内书第 27 章 27.4、27.5 节	相同	19.2（方向判断用，引用）
ファラデーの電磁誘導の法則	国内书第 28 章 28.2 节	讲法不同：国内写大小 $E=n\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}$，方向另用楞次定律；日本写 $V=-n\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}$，负号把方向也写进公式	19.2
導体が磁場を横切るときの誘導起電力	国内书第 28 章 28.3 节	相同，见国内书第 28 章 28.3 节（日本记号 $V=vBl$，长度写小写 $l$）	19.2 例 2，19.6 問題 2
ローレンツ力と誘導起電力	国内书第 28 章 28.3 节推导	相同	19.2 推导（引用）
渦電流	国内书第 28 章 28.5 节	相同	19.6 問題 3
自己誘導	国内书第 28 章 28.4 节	讲法不同：国内只讲现象和大小，日本写 $V=-L\dfrac{\Delta I}{\Delta t}$	19.3
自己インダクタンス	国内书第 28 章 28.4 节（叫自感系数）	讲法不同：名称、记号（$L$）和单位（亨利）	19.3
コイルに蓄えられるエネルギー	国内书第 28 章 28.4 节只提磁场能，不给公式	国内没有（课标不要求公式）	19.4
相互誘導	国内书第 28 章 28.4 节（定性）	讲法不同：EJU 要写公式 $V=-M\dfrac{\Delta I}{\Delta t}$	19.5
相互インダクタンス	无	国内没有	19.5
変圧器	国内书第 29 章 29.5 节	相同，见国内书第 29 章 29.5 节	19.5 例 2，19.6

本章四个知识点：19.2 法拉第定律的日本写法（导体棒和洛伦兹力是相同项，引用国内书第 28 章 28.3 节）；19.3 自己誘導と自己インダクタンス；19.4 コイルに蓄えられるエネルギー；19.5 相互誘導と相互インダクタンス。变压器是互感的应用，楞次定律、涡电流和导体棒切割国内都讲过，不重讲，在 19.6 节用日文题面练。

19.2 ファラデーの電磁誘導の法則

说明

電磁誘導：穿过闭合回路的磁通量发生变化时，回路中产生感应电流的现象。产生的电流叫誘導電流，产生它的电动势叫誘導起電力。产生条件和楞次定律见国内书第 27 章 27.2、27.4 节。

磁束（磁通量）：匀强磁场中，面积 $S$ 的平面与磁场垂直时

$$\Phi = BS$$

平面法线与磁场成 $\theta$ 角时 $\Phi = BS\cos\theta$。单位是韦伯 $\mathrm{Wb}$。磁通量可以理解为穿过这个面的磁感线的净条数。

ファラデーの電磁誘導の法則：线圈中感应电动势的大小与穿过线圈的磁通量的变化率成正比。日本教材把方向和大小写在一个式子里：

$$V = -n\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$$

其中 $n$ 是线圈的巻き数（匝数），$\Phi$ 是穿过一匝的磁通量，$V$ 是感应电动势。负号表示レンツの法則：感应电动势产生的电流，其磁场总是阻碍引起感应电流的磁通量的变化。磁通量增加时，感应磁场与原磁场反向（増反）；减少时同向（減同）。

導体棒の誘導起電力：长为 $l$ 的直导体棒在匀强磁场中运动，$B$、$l$、$v$ 两两垂直时

$$V = vBl$$

方向用右手の法則：让磁感线垂直穿入手心，拇指指向导体运动方向，四指指向感应电流的方向。国内书第 28 章 28.3 节写 $E=BLv$，讲法相同，只是记号不同。

ローレンツ力による説明：棒中的自由电荷随棒一起运动，受到洛伦兹力 $qvB$。电荷在棒两端积累，形成电场，当电场力与洛伦兹力平衡时 $qE_{\text{場}} = qvB$，两端电势差 $V = E_{\text{場}}l = vBl$。推动电荷的非静电力就是洛伦兹力沿棒方向的分力。

使用场景

• 线圈不动，穿过它的磁通量随时间变化（磁石靠近或远离、线圈中电流变化、磁场本身变化）→ 用 $V=-n\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}$ 算大小，用「増反減同」定向。
• 导体棒在磁场中切割磁感线（导轨上的棒、转动的棒）→ 用 $V=vBl$（绕一端转动时 $V=\dfrac{1}{2}Bl^2\omega$）算大小，用右手定则定向。

注意点

• 日本教材用 $V$ 表示誘導起電力，国内写 $E$；负号只表示方向，题目问「大きさ」时取绝对值。
• $\Phi$ 是穿过一匝的磁通量，$n$ 是总匝数，不要重复乘 $n$。
• $V=vBl$ 要求 $B$、$l$、$v$ 两两垂直。不垂直时取垂直分量；$l$ 是有效长度（国内书第 28 章 28.3 节）。
• 日文题里导体棒的长度写小写 $l$，不要和自感系数的 $L$ 混。$B$ 是磁束密度，不是磁場 $H$（第 18 章），本节公式一律用 $B$。
• $\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}$ 是一段时间内的平均变化率；$V=vBl$ 代入瞬时速度时给瞬时值。EJU 题给「一様に変化」时，平均值和瞬时值相同。
• 回路不闭合时也有感应电动势，只是没有感应电流；组合题问「電流の向き」时先确认回路闭合。

推导

法拉第定律：设线圈面积 $S$ 不变，磁束密度垂直于线圈，在 $\Delta t$ 内增加 $\Delta B$。则

$$\Delta\Phi = S\Delta B, \qquad |V| = n\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = nS\frac{\Delta B}{\Delta t}$$

若磁通量增加，感应电流产生的磁场要阻碍增加，所以感应磁场与原磁场反向；若减少则同向。把「阻碍」写成代数和，就是 $V=-n\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}$。关键一步：负号不是「电动势为负」，而是「感应电动势的方向总与磁通量变化的方向相反」，即楞次定律。

导体棒公式：棒在 $\Delta t$ 内移动 $v\Delta t$，扫过的面积 $\Delta S = lv\Delta t$，回路磁通量增加 $\Delta\Phi = B\Delta S = Blv\Delta t$，所以 $|V| = \dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t} = vBl$。

由洛伦兹力推出：棒中电荷 $q$ 随棒以速度 $v$ 运动，受洛伦兹力 $qvB$，沿棒方向。电荷积累到一定程度，棒内电场力与洛伦兹力平衡，$qE_{\text{場}} = qvB$，所以 $V = E_{\text{場}}l = vBl$。关键一步：这里洛伦兹力就是「非静电力」，它把单位电荷从棒的一端搬到另一端做的功就是电动势。磁场变化引起的电动势（线圈不动）不能这样解释，推动电荷的是变化磁场产生的感生电场（第 20 章）。

例题

例 1　（场景：磁通量一様に増加 → ファラデー則の負号で大きさと向きを決める）

問題　図のように，面積 $S$ のコイルを，紙面に垂直に裏向きの一様な磁場の中に置き，コイルの両端を抵抗 $R$ に接続した。磁束密度の大きさが $\Delta t$ の間に $\Delta B$ だけ一様に増加した。このときコイルに生じる誘導起電力の大きさ $V$ と，抵抗を流れる電流の向きの組み合わせとして正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，コイルは 1 巻きで，コイルの自己インダクタンスは無視できるものとする。

①　$V = S\dfrac{\Delta B}{\Delta t}$，反時計回り ②　$V = S\dfrac{\Delta B}{\Delta t}$，時計回り ③　$V = \dfrac{\Delta B}{S\Delta t}$，反時計回り ④　$V = \dfrac{\Delta B}{S\Delta t}$，時計回り

解答　コイルを貫く磁束は $\Phi = BS$ なので，$\Delta t$ の間の磁束の変化は $\Delta\Phi = S\Delta B$。ファラデーの電磁誘導の法則より

$$V = \left|-\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right| = S\frac{\Delta B}{\Delta t}$$

向きはレンツの法則で決める。磁場は裏向きで，その大きさが増加するので，誘導電流は表向きの磁場をつくる向きに流れる。コイルを表から見て，これは反時計回りである。検算：$\Delta B$ が大きいほど，また $\Delta t$ が小さいほど起電力が大きい。　答　①

中文翻译　题目：如图，面积 $S$ 的单匝线圈放在垂直纸面向里的匀强磁场中，两端接电阻 $R$。磁感应强度的大小在 $\Delta t$ 内均匀增加 $\Delta B$。问：线圈中产生的感应电动势大小 $V$ 与电阻中电流方向的组合，哪个正确？线圈为 1 匝，自感可忽略。解答：穿过线圈的磁通量 $\Phi=BS$，变化量 $\Delta\Phi=S\Delta B$。由法拉第电磁感应定律，$V=|-\Delta\Phi/\Delta t|=S\Delta B/\Delta t$。方向由楞次定律：磁场向里且增大，感应电流要产生向外的磁场，从纸面向外看为逆时针。检验：$\Delta B$ 越大、$\Delta t$ 越小，电动势越大。答案 ①。

解说　用到的是本节的 $V=-n\Delta\Phi/\Delta t$ 和楞次定律。容易卡在：把 $\Delta B$ 当成磁通量，或者忘了 $\Phi=BS$ 里的面积。选项排除：③④ 的量纲不对（$\Delta B/(S\Delta t)$ 不是 V）；①② 只差方向，用「增反」：原磁场向里且增强，感应磁场向外，电流逆时针。另一种解法：先不管方向，算大小排除③④，再用右手螺旋定则由感应磁场方向反推电流方向。

例 2　（场景：導体棒が磁場を横切る → $V=vBl$ と右手の法則）

問題　図のように，間隔 $l$ の 2 本のなめらかな平行レールを水平に置き，レールの左端に抵抗 $R$ を接続した。レール上に長さ $l$ の導体棒をレールに垂直に置き，紙面に垂直に裏向きの一様な磁場中で，導体棒をレールに沿って一定の速さ $v$ で右向きに動かした。導体棒に生じる誘導起電力の大きさ $V$ と，導体棒を流れる電流の向きの組み合わせとして正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，導体棒とレールの抵抗，および摩擦は無視できるものとする。

①　$V = vBl$，導体棒の中を上向き ②　$V = vBl$，導体棒の中を下向き ③　$V = \dfrac{vB}{l}$，導体棒の中を上向き ④　$V = \dfrac{vB}{l}$，導体棒の中を下向き

解答　導体棒は磁場を横切って動くので，誘導起電力の大きさは

$$V = vBl$$

向きは右手の法則：磁場が手のひらに垂直に入るように右手を向け，親指を導体棒の速度の向き（右）にすると，四指の向きが誘導電流の向きになる。電流は導体棒の中を上向きに流れる。検算：$v$、$B$、$l$ のどれかを 2 倍にすると起電力も 2 倍になる。　答　①

中文翻译　题目：如图，两条间距 $l$ 的光滑平行导轨水平放置，左端接电阻 $R$。导轨上垂直放一根长 $l$ 的导体棒，在垂直纸面向里的匀强磁场中，让棒沿导轨以恒定速度 $v$ 向右运动。问：棒中感应电动势大小 $V$ 与棒中电流方向的组合，哪个正确？棒、导轨电阻及摩擦均忽略。解答：棒切割磁感线，$V=vBl$。方向用右手定则：让磁场垂直穿入手心，拇指指向速度方向（右），四指指向感应电流方向，棒中电流向上。检验：$v$、$B$、$l$ 任一变为 2 倍，电动势也变为 2 倍。答案 ①。

解说　用到的是 $V=vBl$ 和右手定则（国内书第 28 章 28.3 节）。容易卡在：把 $l$ 放到分母，或者用左手定则判断感应电流（左手定则管安培力，右手定则管切割生电）。选项排除：③④ 量纲不对；①② 只差方向，用右手定则定出向上。注意：日本教材写 $V=vBl$，长度用小写 $l$，与后面自感的 $L$ 区分开。

常用推论

• 磁束密度垂直于面积 $S$ 的线圈、在 $\Delta t$ 内变化 $\Delta B$ 时，$|V| = nS\dfrac{\Delta B}{\Delta t}$。
• 导体棒平动切割 $V=vBl$；绕一端在垂直于磁场的平面内转动 $V=\dfrac{1}{2}Bl^2\omega$（国内书第 28 章 28.3 节）。
• 闭合回路中通过的电荷量 $q = n\dfrac{\Delta\Phi}{R_{\text{総}}}$，与时间无关（国内书第 28 章 28.2 节）；EJU 组合题里常用来判断「通过多少电荷」。
• 方向判断四步：原磁通量方向 → 增加还是减少 → 感应电流的磁场方向（増反減同）→ 右手螺旋定则由磁场方向反推电流方向。

易错点

• 错在哪：把负号当成「电动势的大小为负」，算大小也带着负号。 为什么错：负号只表示方向，大小是绝对值。 正确做法：先写 $|V|=n\dfrac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}$ 算大小，再用楞次定律单独定向。
• 错在哪：把 $\Delta\Phi$ 当成 $\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}$，直接用磁通量的变化量算电动势。 为什么错：电动势由变化率决定，同样的 $\Delta\Phi$ 在更长时间内完成，电动势更小。 正确做法：先算 $\Delta\Phi$，再除以 $\Delta t$；题给「一様に変化」时才能用平均值。
• 错在哪：$B$、$l$、$v$ 不垂直时硬套 $V=vBl$。 为什么错：只有垂直于 $B$ 的速度分量切割磁感线，只有垂直于 $v$ 的长度分量有效。 正确做法：分解速度或取有效长度（国内书第 28 章 28.3 节）。

直观理解

把磁通量想成穿过一个绳圈的磁感线根数。磁感线根数变了，绳圈就「不愿意」，感应电流会建立一个磁场来抵抗这个变化：根数变多就往外推，变少就往里补。负号就是这种「抵抗」的数学写法，所以磁通量增加和减少时电流方向相反。

导体棒切割磁感线，可以想成棒每秒扫过多少根磁感线：扫过的面积是 $lv$，单位时间扫过的磁通量就是 $B l v$，这就是电动势。

关联知识点

• 前置：国内书第 27 章 27.2–27.5 节（电磁感应现象、右手定则、楞次定律、来拒去留）；第 28 章 28.2 节（法拉第定律）。
• 前置：本书第 18 章（磁束密度 $B$、磁場 $H$、安培力、右手螺旋定则）。
• 后续：本书 19.3 节自己誘導（把 $\Phi$ 换成线圈自己的电流产生的磁通量），19.5 节相互誘導，第 20 章交流发电机的 $e=E_{\text{m}}\sin\omega t$。
• 常一起考：国内书第 28 章 28.6、28.7 节（感应电路、导体棒的动力学与能量），EJU 的组合题常把电动势、电流方向、安培力方向放在一起。

19.3 自己誘導と自己インダクタンス

说明

自己誘導：线圈自身的电流变化时，穿过线圈自己的磁通量随之变化，线圈中产生感应电动势。这个电动势叫自己誘導起電力，它总是阻碍线圈中电流的变化（楞次定律）：电流增大时与电流反向，电流减小时与电流同向。

自己インダクタンス（自感系数）：线圈中电流为 $I$ 时，穿过线圈的磁通链数（匝数乘每匝磁通量）与 $I$ 成正比，比例系数记作 $L$：

$$n\Phi = LI$$

$L$ 由线圈的形状、大小、匝数和有没有铁芯决定，与电流大小无关。单位是ヘンリー $\mathrm{H}$：

$$1\ \mathrm{H} = 1\ \mathrm{V \cdot s/A} = 1\ \mathrm{Wb/A}$$

自己誘導起電力：

$$V = -L\frac{\Delta I}{\Delta t}$$

负号同样表示方向：电流增加时 $V$ 与电流反向，电流减小时 $V$ 与电流同向（増反減同）。国内书第 28 章 28.4 节写 $E_{\text{自}}=L\dfrac{\Delta I}{\Delta t}$，只给大小；日本教材用上面的负号写法。

线圈中的电流不能突变：如果电流在极短时间 $\Delta t \to 0$ 内变化有限值，$V=-L\dfrac{\Delta I}{\Delta t}$ 会趋于无穷大，这不可能。所以线圈中的电流只能连续变化。断电时开关处出现电火花、与线圈并联的灯泡闪亮一下，都是这个「电流不能突变」的表现（国内书第 28 章 28.4 节）。

使用场景

• 含线圈的电路中开关闭合、断开，或电阻改变，使线圈电流增大或减小 → 用 $|V|=L\left|\dfrac{\Delta I}{\Delta t}\right|$ 算大小，用「増反減同」定向。
• 给出电流随时间变化的图像，问某区间的自感电动势 → 图线的斜率就是 $\dfrac{\Delta I}{\Delta t}$，乘 $L$ 得电动势大小，再由电流增减定向。

注意点

• $L$ 是线圈本身的属性，与电流大小无关；有铁芯时 $L$ 大得多。铁芯饱和后 $L$ 不再是常数，高中题一般不涉及。
• 负号只表示方向，问大小时取绝对值；不要写成「电动势为负所以电流为负」。
• 「阻碍」不是「阻止」：电流照样变化，只是变慢了。线圈中的电流不能突变，但线圈两端的电压可以突变。
• $\dfrac{\Delta I}{\Delta t}$ 是平均变化率；电流-时间图线是直线时，它等于斜率；图线弯曲时，某时刻的瞬时电动势用该时刻的切线斜率。
• 日本教材用 $V$ 表示起電力，国内写 $E_{\text{自}}$；日本教材把自感系数叫自己インダクタンス，国内叫自感系数，符号都是 $L$。
• 稳态时理想线圈（电阻为零）相当于一根导线，两端电压为零，但其中仍有电流和磁场能。

推导

自己誘導の式：设穿过一匝的磁通量 $\Phi$ 与电流 $I$ 成正比，写成 $n\Phi = LI$。电流变化 $\Delta I$ 时，磁通链数变化 $\Delta(n\Phi) = L\Delta I$。由法拉第定律

$$V = -\frac{\Delta(n\Phi)}{\Delta t} = -L\frac{\Delta I}{\Delta t}$$

关键一步：$\Phi \propto I$ 成立的条件是没有铁芯饱和，磁场只由这个线圈的电流产生。所以自感电动势本质上还是法拉第定律，只是磁通量的变化由线圈自己的电流造成。

为什么电流不能突变：若 $\Delta I$ 是有限值而 $\Delta t \to 0$，则 $\left|V\right| = L\left|\dfrac{\Delta I}{\Delta t}\right| \to \infty$。电源电压有限，不可能产生无穷大的电动势，所以 $I$ 必须连续变化。这也说明 $L$ 像电路里的「惯性」：$L$ 越大，电流越难改变。

$L$ 的物理意义：$L = \dfrac{n\Phi}{I}$，即单位电流产生的磁通链数。线圈越长、截面积越大、匝数越多、有铁芯，$L$ 越大。

例题

例 1　（场景：スイッチを閉じて電流が一様に増加 → 自己誘導起電力の大きさと向き）

問題　図のように，直流電源，スイッチ S，抵抗 $R$，自己インダクタンス $L$ のコイル，電流計を直列に接続した回路がある。スイッチ S を閉じると，コイルを流れる電流は 0 から $I$ まで $\Delta t$ の間に一様に増加した。この間，コイルに生じる自己誘導起電力の大きさ $V$ と向きの組み合わせとして正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，コイルの抵抗は無視できるものとする。

①　$V = L\dfrac{\Delta I}{\Delta t}$，電流と逆向き ②　$V = L\dfrac{\Delta I}{\Delta t}$，電流と同じ向き ③　$V = \dfrac{L\Delta t}{I}$，電流と逆向き ④　$V = \dfrac{L\Delta t}{I}$，電流と同じ向き

解答　電流が一様に増加するので，変化率は $\dfrac{\Delta I}{\Delta t} = \dfrac{I}{\Delta t}$。自己誘導起電力の大きさは

$$V = L\frac{\Delta I}{\Delta t}$$

電流が増加するとき，自己誘導起電力は電流の増加を妨げる向き，すなわち電流と逆向きに生じる。検算：$L$ が大きいほど，また $\Delta t$ が短いほど起電力が大きい。　答　①

中文翻译　题目：如图，直流电源、开关 S、电阻 $R$、自感系数 $L$ 的线圈和电流计串联。闭合开关后，线圈中的电流在 $\Delta t$ 内从 0 均匀增大到 $I$。问：这段时间内线圈中自感电动势的大小 $V$ 与方向的组合，哪个正确？线圈电阻忽略。解答：电流均匀增大，变化率 $\Delta I/\Delta t=I/\Delta t$，所以 $V=LI/\Delta t$。电流增大时，自感电动势阻碍电流增大，方向与电流相反。检验：$L$ 越大、$\Delta t$ 越短，电动势越大。答案 ①。

解说　用到的是 $V=-L\Delta I/\Delta t$ 和「増反減同」。容易卡在：电流增大时以为自感电动势「帮助」电流增大。选项排除：③④ 量纲不对；①② 只差方向，电流增大 → 反向。注意：日本教材用 $V$ 表示起電力，国内写 $E_{\text{自}}$；负号只表方向，问大小时取绝对值。

例 2　（场景：電流-時間グラフの傾きから自己誘導起電力を求める）

問題　自己インダクタンス $L$ のコイルに流れる電流が，図のように変化した。電流が 0 から $I_0$ まで増加する区間と，$I_0$ から 0 まで減少する区間に生じる自己誘導起電力の大きさの比 $V_1:V_2$ として正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，電流はそれぞれの区間で一様に変化し，$t_2=2t_1$ とする。

①　$2:1$　　②　$1:2$　　③　$4:1$　　④　$1:1$

解答　自己誘導起電力の大きさは，電流-時間グラフの傾きの大きさに $L$ を掛けたものである。増加区間の傾きは $\dfrac{I_0}{t_1}$，減少区間の傾きの大きさは $\dfrac{I_0}{t_2}=\dfrac{I_0}{2t_1}$。よって

$$V_1:V_2 = \frac{I_0}{t_1}:\frac{I_0}{2t_1} = 2:1$$

検算：減少区間は同じ電流変化を 2 倍の時間で行うので，変化率は半分。　答　①

中文翻译　题目：自感系数 $L$ 的线圈中电流按图变化。问：电流从 0 增大到 $I_0$ 的区间与从 $I_0$ 减小到 0 的区间，自感电动势大小之比 $V_1:V_2$ 是多少？电流在各区间内均匀变化，$t_2=2t_1$。解答：自感电动势大小等于 $L$ 乘电流-时间图斜率的绝对值。增大区间的斜率 $I_0/t_1$，减小区间的斜率大小 $I_0/t_2=I_0/(2t_1)$，所以 $V_1:V_2=2:1$。检验：减小段用两倍时间完成同样的电流变化，变化率是一半。答案 ①。

解说　用到的是 $V=-L\Delta I/\Delta t$：图线的斜率就是 $\Delta I/\Delta t$。容易卡在：看电流大小而不是斜率，误以为 $I_0$ 处电动势最大（其实 $I_0$ 处斜率可以为零）。选项排除：② 把两段的斜率比弄反；③ 把时间比平方；④ 以为两段电流变化相同所以电动势相同。另一种解法：设 $t_1=1$、$t_2=2$、$I_0=2$，则斜率分别为 2 和 1，比 $2:1$，与字母无关。

常用推论

• 电流变化率恒定时，自感电动势恒定；电流-时间图线是直线时，直接用斜率乘 $L$。
• 稳态时理想线圈相当于导线（电阻为零）；有直流电阻 $R_L$ 的线圈稳态时相当于电阻 $R_L$。
• 断电瞬间，线圈相当于一个电流为 $I$ 的电源，电流方向不变，大小从 $I$ 开始逐渐减小（国内书第 28 章 28.4 节）。
• 自感电动势的方向永远是「増反減同」：电流增大时反向，减小时同向。

易错点

• 错在哪：认为自感电动势总是与电流反向。 为什么错：把「阻碍变化」理解成「反抗电流」。电流减小时，自感电动势与电流同向，帮它维持。 正确做法：先判断电流是增大还是减小，再按「増反減同」定向。
• 错在哪：认为自感系数 $L$ 与电流大小有关，电流大时 $L$ 大。 为什么错：$L$ 由线圈的形状、匝数、铁芯决定，与电流无关（铁芯饱和除外）。 正确做法：把 $L$ 当作线圈的固有属性，像质量一样。
• 错在哪：断开开关后，认为线圈中的电流立即变为零。 为什么错：线圈中的电流不能突变，必须通过某个闭合回路逐渐减小；没有通路时会在开关处击穿空气形成火花。 正确做法：先找断开后线圈还能走的回路，再分析回路中的电流。

直观理解

线圈像电路里的「惯性」：质量大的物体速度不能突变，自感系数大的线圈电流不能突变。通电时它「慢慢加速」，断电时它「还要往前冲一会儿」，冲的方向不变。$L$ 就是线圈的「质量」，电流就是它的「速度」。

关联知识点

• 前置：国内书第 28 章 28.4 节（自感现象、通电和断电自感、闪亮条件）。
• 前置：本书 19.2 节法拉第定律（把磁通量换成 $LI$ 就得到自感公式）。
• 后续：本书 19.4 节线圈能量，第 20 章 RL 电路的感抗和相位差。
• 类比：国内书第 6 章牛顿第一定律与惯性（「电流不能突变」和「速度不能突变」是同一种图景）。

19.4 コイルに蓄えられるエネルギー

说明

通电线圈周围有磁场，磁场中储存着能量。把电流从 0 增大到 $I$ 的过程中，电源要克服自感电动势做功，这部分功变成线圈的磁気エネルギー。对自感系数为 $L$、电流为 $I$ 的线圈，储存的能量是

$$U = \frac{1}{2}LI^2$$

单位是焦耳 $\mathrm{J}$。国内书第 28 章 28.4 节只说明「断电后灯泡还能亮一会儿，能量来自线圈储存的磁场能」，没有给公式；EJU 的シラバス明确列出「コイルに蓄えられるエネルギー」，要会算。

这个公式和电容器的静电能 $U=\dfrac{1}{2}CV^2=\dfrac{Q^2}{2C}$（第 16 章）形式对应：把 $L$ 换成 $C$，把 $I$ 换成 $V$。但两个公式不能混用。

使用场景

• 给出线圈的自感系数 $L$ 和稳态电流 $I$，求储存的能量；或给电流变化前后的值，求能量的增加量或减少量 → 用 $U=\dfrac{1}{2}LI^2$，变化量用 $\Delta U=\dfrac{1}{2}L(I_2^2-I_1^2)$。

注意点

• $I$ 是当前的电流，不是电流的变化量 $\Delta I$；能量与 $I$ 的平方成正比。
• 电流变为 2 倍，储存的能量变为 4 倍；但能量的增加量不是原来的 4 倍，要用初末能量作差。
• 电流减小时，线圈释放能量；释放的能量可能变成灯泡的光和热、电阻的焦耳热，或开关处的火花。
• 有铁芯且铁芯饱和时，$L$ 随电流变化，$U=\dfrac{1}{2}LI^2$ 不能直接使用；高中题一般不涉及。
• 线圈的能量是磁场能，不是「电子的动能」；它与电容器的电场能是两种不同的储能方式。

推导

线性增大电流的情形：设电流在时间 $t$ 内从 0 均匀增大到 $I$。自感电动势的大小恒为 $L\dfrac{I}{t}$，方向与电流相反；电源克服它做功。这段时间内的平均电流是 $\dfrac{I}{2}$，所以电源额外做的功

$$W = \left(L\frac{I}{t}\right) \times \frac{I}{2} \times t = \frac{1}{2}LI^2$$

这部分功全部变成线圈的磁场能。

一般情形：电流为 $i$ 时，在很短时间 $\mathrm{d}t$ 内增加 $\mathrm{d}i$，克服自感电动势的功 $\mathrm{d}W = L i\,\mathrm{d}i$。从 0 积分到 $I$：

$$W = \int_0^I L i\,\mathrm{d}i = \frac{1}{2}LI^2$$

关键一步：不能用「平均电动势乘总电流」算，因为电流和电动势都在变；要用平均电流 $\dfrac{I}{2}$（电流随时间线性增大时），或积分。能量储存在线圈周围的磁场中，断电时再释放出来。

例题

例 1　（场景：電流を変化させたときの蓄えられるエネルギーの増加量）

問題　自己インダクタンス $L=0.50\ \mathrm{H}$ のコイルに流れる電流を $2.0\ \mathrm{A}$ から $4.0\ \mathrm{A}$ まで増加させた。この間にコイルに蓄えられるエネルギーの増加量は何 J か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$1.0\ \mathrm{J}$　　②　$3.0\ \mathrm{J}$　　③　$4.0\ \mathrm{J}$　　④　$5.0\ \mathrm{J}$

解答　コイルに蓄えられるエネルギーは $U=\dfrac{1}{2}LI^2$。増加量は

$$\Delta U = \frac{1}{2}L(I_2^2-I_1^2) = \frac{1}{2} \times 0.50 \times (4.0^2-2.0^2) = 3.0\ \mathrm{J}$$

検算：$4.0\ \mathrm{A}$ のとき $4.0\ \mathrm{J}$，$2.0\ \mathrm{A}$ のとき $1.0\ \mathrm{J}$，差が $3.0\ \mathrm{J}$。　答　②

中文翻译　题目：把自感系数 $L=0.50\ \mathrm{H}$ 的线圈中的电流从 $2.0\ \mathrm{A}$ 增大到 $4.0\ \mathrm{A}$。问：这段时间内线圈储存的能量增加多少 J？从①～④中选最合适的值。解答：线圈储能 $U=\dfrac{1}{2}LI^2$。增加量 $\Delta U=\dfrac{1}{2}\times0.50\times(4.0^2-2.0^2)=3.0\ \mathrm{J}$。检验：4.0 A 时储能 4.0 J，2.0 A 时 1.0 J，差 3.0 J。答案 ②。

解说　用到的是 $U=\dfrac{1}{2}LI^2$。容易卡在：把 $\Delta I=2.0\ \mathrm{A}$ 直接代入，得 $\dfrac{1}{2}L(\Delta I)^2=1.0\ \mathrm{J}$（选项 ①）。选项排除：③ 是只算末态储能 $\dfrac{1}{2}LI_2^2=4.0\ \mathrm{J}$；④ 是把初末储能相加 $1.0+4.0=5.0\ \mathrm{J}$。注意：能量与电流的平方成正比，电流从 2 A 到 4 A 变为 2 倍，末态能量是初态的 4 倍，但增加量不是 4 倍。

常用推论

• 能量变化 $\Delta U=\dfrac{1}{2}L(I_2^2-I_1^2)$；电流增大时为正，减小时为负（释放能量）。
• 电流加倍，储能变为 4 倍；电流减半，储能变为 $\dfrac{1}{4}$。
• 断电时线圈释放的能量约为 $\dfrac{1}{2}LI^2$，这是灯泡闪亮、开关打火能量的来源。
• 与电容器对比：电容器储能 $\dfrac{1}{2}CV^2$，线圈储能 $\dfrac{1}{2}LI^2$；$L$ 对应 $C$，$I$ 对应 $V$。

易错点

• 错在哪：用 $\dfrac{1}{2}L(\Delta I)^2$ 算能量变化。 为什么错：能量与电流的平方成正比，不是与电流变化量的平方成正比；$\dfrac{1}{2}L(\Delta I)^2$ 没有物理意义。 正确做法：分别算初态和末态能量，再作差。
• 错在哪：认为线圈储能与电流成正比。 为什么错：公式是 $U=\dfrac{1}{2}LI^2$，与 $I^2$ 成正比。 正确做法：先平方再乘 $\dfrac{1}{2}L$；比较倍数时用平方关系。
• 错在哪：把线圈储能和电阻的焦耳热混在一起，认为电流减小时「能量消失了」。 为什么错：能量守恒，线圈释放的磁场能变成其他形式的能量（热、光、火花）。 正确做法：写能量守恒，指出能量去了哪里。

直观理解

线圈像一个储存磁能的「水库」：电流是水位，磁场是水。水位越高（电流越大），储存的能量越多，而且与电流的平方成正比。断电时水库放水，能量通过灯泡、电阻或火花释放出来。

关联知识点

• 前置：本书 19.3 节自己誘導（$L$ 和 $V=-L\Delta I/\Delta t$）。
• 前置：本书第 16 章电容器的静电能 $\dfrac{1}{2}CV^2$（形式对比）。
• 后续：第 20 章 RL 电路（通电、断电过程中能量如何分配）。
• 常一起考：国内书第 28 章 28.7 节电磁感应中的能量（克服安培力做的功等于焦耳热）。

19.5 相互誘導と相互インダクタンス

说明

相互誘導：两个互相靠近的线圈 A、B，A 中的电流变化时，穿过 B 的磁通量随之变化，B 中产生感应电动势。这种现象叫相互誘導，产生的电动势叫相互誘導起電力。

相互インダクタンス（互感系数）：线圈 A 中电流为 $I_1$ 时，穿过线圈 B 的磁通链数与 $I_1$ 成正比，比例系数记作 $M$：

$$n_2\Phi_2 = MI_1$$

$M$ 由两个线圈的形状、大小、匝数、相对位置和铁芯决定，与电流大小无关。单位和自己インダクタンス相同，也是亨利 $\mathrm{H}$。

相互誘導起電力：

$$V_2 = -M\frac{\Delta I_1}{\Delta t}$$

负号表示方向：B 中的感应电动势要阻碍 A 中电流变化引起的磁通量变化。具体极性还和两个线圈的绕向有关；EJU 题一般只问大小，或给图说明绕向。

変圧器（变压器）：互感最重要的应用。闭合铁芯上绕两个线圈，一次コイル（原线圈，匝数 $n_1$）接交流电源，二次コイル（副线圈，匝数 $n_2$）接负载。理想变压器（无漏磁、线圈无电阻、铁芯无损耗）的三个关系：

$$\frac{V_1}{V_2} = \frac{n_1}{n_2}, \qquad V_1I_1 = V_2I_2, \qquad \frac{I_1}{I_2} = \frac{n_2}{n_1}$$

第三个式子只适用于一个副线圈。详细的动态分析、互感器、远距离输电见国内书第 29 章 29.5 节，本章只把互感公式用到变压器上。

使用场景

• 两个线圈靠近，其中一个的电流变化，求另一个线圈中感应电动势的大小 → 用 $V=M\left|\dfrac{\Delta I_1}{\Delta t}\right|$。
• 理想变压器给匝数、一次电压和负载，求二次电压、二次电流、一次电流 → 先电压比，再由负载求 $I_2$，最后由功率守恒或电流比求 $I_1$（国内书第 29 章 29.5 节）。

注意点

• $M$ 与电流大小无关，只由两个线圈的几何关系和铁芯决定；两个线圈离得越远、漏磁越多，$M$ 越小。
• 负号只表示方向，问大小时取绝对值；变压器题通常只问电压、电流的大小，不问极性。
• 变压器只能改变变化的电压和电流，对恒定直流不起作用；它不改变交流的频率。
• 理想变压器没有能量损失，$P_{\text{入}}=P_{\text{出}}$；实际变压器有铜损和铁损，效率小于 1。
• 电流比 $\dfrac{I_1}{I_2}=\dfrac{n_2}{n_1}$ 只适用于一个副线圈；多个副线圈时用功率关系 $V_1I_1=V_2I_2+V_3I_3+\cdots$。
• 变压器公式里的 $V_1$ 是一次线圈两端的电压，不一定等于电源电压；一次回路中串有电阻或灯泡时要先扣除。

推导

相互誘導の式：设 A 中电流 $I_1$ 产生的、穿过 B 的磁通链数与 $I_1$ 成正比，$n_2\Phi_2=MI_1$。A 的电流变化 $\Delta I_1$ 时，B 的磁通链数变化 $\Delta(n_2\Phi_2)=M\Delta I_1$。由法拉第定律

$$V_2 = -\frac{\Delta(n_2\Phi_2)}{\Delta t} = -M\frac{\Delta I_1}{\Delta t}$$

変圧器の電圧比：理想变压器没有漏磁，铁芯中同一束磁通量穿过一次、二次线圈的每一匝，所以每一匝的磁通量变化率 $\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}$ 相同。由法拉第定律，一次、二次线圈的感应电动势大小分别为

$$V_1 = n_1\left|\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right|, \qquad V_2 = n_2\left|\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right|$$

两式相除得 $\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{n_1}{n_2}$。关键一步：闭合铁芯把磁感线几乎全部约束在铁芯里，两线圈「穿过同一束磁感线」；没有铁芯或漏磁大时，这个比不成立。

电流比：理想变压器无能量损失，$V_1I_1=V_2I_2$。代入电压比得 $\dfrac{I_1}{I_2}=\dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{n_2}{n_1}$。

例题

例 1　（场景：一方のコイルの電流変化 → 相互誘導起電力）

問題　図のように，鉄心にコイル A とコイル B を巻いた。コイル A に流れる電流を $\Delta t$ の間に $\Delta I$ だけ一様に増加させた。コイル A と B の間の相互インダクタンスを $M$ とすると，コイル B に生じる誘導起電力の大きさ $V$ はどのように表されるか。正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$M\dfrac{\Delta I}{\Delta t}$　　②　$M\dfrac{\Delta t}{\Delta I}$　　③　$\dfrac{\Delta I}{M\Delta t}$　　④　$M\Delta I\Delta t$

解答　コイル A の電流の変化によって，コイル B を貫く磁束が変化する。相互インダクタンス $M$ を用いると，B に生じる誘導起電力の大きさは

$$V = M\frac{\Delta I}{\Delta t}$$

検算：A の電流変化が速いほど，また $M$ が大きいほど起電力が大きい。　答　①

中文翻译　题目：如图，铁心上绕线圈 A 和 B。让 A 中电流在 $\Delta t$ 内均匀增加 $\Delta I$。设 A、B 间互感系数为 $M$，问 B 中感应电动势大小 $V$ 怎么表示？从①～④中选。解答：A 中电流变化引起穿过 B 的磁通量变化，$V=M\Delta I/\Delta t$。检验：A 中电流变化越快、$M$ 越大，电动势越大。答案 ①。

解说　用到的是相互誘導公式 $V=-M\dfrac{\Delta I_1}{\Delta t}$（取大小）。容易卡在：把 $\Delta I$ 当成 A 的电流本身，或者把时间放到分子。选项排除：②③ 量纲不对（$M$ 的单位是 $\mathrm{H}=\mathrm{V\cdot s/A}$，只有 ① 得 V）；④ 多乘了 $\Delta t$。注意：$M$ 只由两个线圈的形状、相对位置和铁芯决定，与电流大小无关。

例 2　（场景：理想変圧器の電圧・電流）

問題　理想的な変圧器の一次コイルの巻き数が $n_1=4.0\times10^2$，二次コイルの巻き数が $n_2=1.0\times10^2$ である。一次コイルに交流電圧を加え，その電圧の実効値を $V_1=1.0\times10^2\ \mathrm{V}$ とした。二次コイルに抵抗 $R=5.0\ \mathrm{\Omega}$ を接続したとき，二次コイルを流れる電流 $I_2$ と一次コイルを流れる電流 $I_1$ の組み合わせとして最も適当なものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$I_2=5.0\ \mathrm{A}$，$I_1=1.3\ \mathrm{A}$ ②　$I_2=5.0\ \mathrm{A}$，$I_1=20\ \mathrm{A}$ ③　$I_2=0.20\ \mathrm{A}$，$I_1=5.0\ \mathrm{A}$ ④　$I_2=1.3\ \mathrm{A}$，$I_1=5.0\ \mathrm{A}$

解答　理想的な変圧器では，電圧は巻き数に比例する。

$$V_2 = \frac{n_2}{n_1}V_1 = \frac{1.0\times10^2}{4.0\times10^2} \times 1.0\times10^2 = 25\ \mathrm{V}$$

二次コイルの電流は $I_2=\dfrac{V_2}{R}=\dfrac{25}{5.0}=5.0\ \mathrm{A}$。電力が保存されるので $V_1I_1=V_2I_2$，または電流は巻き数に反比例するので

$$I_1 = \frac{n_2}{n_1}I_2 = \frac{1}{4}\times5.0 = 1.25\ \mathrm{A} \approx 1.3\ \mathrm{A}$$

検算：$V_1I_1=1.0\times10^2\times1.25=1.25\times10^2\ \mathrm{W}$，$V_2I_2=25\times5.0=1.25\times10^2\ \mathrm{W}$，一致する。　答　①

中文翻译　题目：理想变压器一次线圈匝数 $n_1=4.0\times10^2$，二次线圈匝数 $n_2=1.0\times10^2$。一次线圈加交流电压，其有效值 $V_1=1.0\times10^2\ \mathrm{V}$；二次线圈接电阻 $R=5.0\ \Omega$。问二次电流 $I_2$ 与一次电流 $I_1$ 的组合，哪个最合适？解答：理想变压器电压与匝数成正比，$V_2=(n_2/n_1)V_1=25\ \mathrm{V}$。$I_2=V_2/R=5.0\ \mathrm{A}$。功率守恒 $V_1I_1=V_2I_2$，或电流与匝数成反比，$I_1=(n_2/n_1)I_2=1.25\ \mathrm{A}\approx1.3\ \mathrm{A}$。检验：两侧功率都是 $1.25\times10^2\ \mathrm{W}$。答案 ①。

解说　用到的是本节的互感公式在理想变压器上的结论，详细推导见国内书第 29 章 29.5 节。容易卡在：电流比也按匝数正比，得 $I_1=20\ \mathrm{A}$（选项 ②）。选项排除：③ 把电压比和电流比都用反；④ 把 $I_1$、$I_2$ 对调。注意：题目给的是有效值，变压器公式对有效值成立；第 20 章会讲有效值的定义。

常用推论

• 相互インダクタンスは対称：A 对 B 的 $M$ 和 B 对 A 的 $M$ 相同。
• 理想变压器 $V_1I_1=V_2I_2$；升压变压器 $n_2>n_1$ 时电压升高、电流减小，降压相反。
• 变压器不改变频率；二次电压的频率等于一次电压的频率。
• 一次线圈接恒定直流时，铁芯中的磁通量不变，二次线圈没有感应电动势。

易错点

• 错在哪：认为相互誘導起電力与 A 中电流的大小成正比。 为什么错：感应电动势由磁通量的变化率决定，与 A 中电流的变化率成正比，不是与电流本身成正比。 正确做法：先求 $\dfrac{\Delta I_1}{\Delta t}$，再乘 $M$。
• 错在哪：变压器电流比也按匝数正比，$\dfrac{I_1}{I_2}=\dfrac{n_1}{n_2}$。 为什么错：电压与匝数成正比，功率守恒导致电流与匝数成反比。 正确做法：先写电压比，再用 $V_1I_1=V_2I_2$ 推电流比；或用 $\dfrac{I_1}{I_2}=\dfrac{n_2}{n_1}$。
• 错在哪：认为变压器能把恒定直流升压或降压。 为什么错：直流电流产生的磁通量不变，二次线圈没有感应电动势。 正确做法：先确认电源是交流或电流在变化，再用变压器公式。

直观理解

两个靠近的线圈像两个挨着的秋千：一个摆起来，另一个会被带着摆，但摆得慢一些、幅度小一些。铁芯像把两个秋千连起来的绳子，让磁通量尽可能多地穿过两个线圈。变压器像齿轮：匝数比就是「齿数比」，电压按匝数比升高，电流按匝数比降低，功率不变。

关联知识点

• 前置：本书 19.3 节自己誘導（把「自己的电流」换成「另一个线圈的电流」）；19.4 节线圈能量。
• 前置：国内书第 28 章 28.4 节互感现象（定性）；第 29 章 29.5 节变压器（电压、电流、动态分析）。
• 后续：本书第 20 章交流（有效值、感抗、变压器在交流电路中的工作）。
• 常一起考：本书第 18 章电磁铁、磁束密度 $B$ 与磁場 $H$（铁芯的作用）。

19.6 题型与答法

電磁誘導在 EJU 里出现在大問 Ⅳ 的最后（F・問6），和电流的磁场、安培力同属大問 Ⅳ。据 20 回公开过去问，本章内容共出现 9 次（每回平均 0.45 次），其中组合选择 6 題、字母式 3 題；考点集中在磁石とコイル、导轨上的导体棒、变化磁场中的线圈、感应电流与受力的方向组合。题目本身不难，难在方向：方向判断错，组合题就全错。

两分钟做法：

1. 先找磁通量变化的原因：$B$ 变、面积 $S$ 变、还是角度变。
2. 定方向：楞次定律「増反減同」→ 感应电流的磁场方向 → 右手螺旋定则；导体棒直接用右手定则。
3. 定大小：$V=n\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}$ 或 $V=vBl$；组合题先分别定方向和大小，再对选项。
4. 用「来拒去留」核对力：磁石靠近时线圈排斥，远离时吸引；导体棒受到的安培力阻碍相对运动。

問題 1　（磁石をコイルに近づける：電流の向きと力の向き）

図のように，水平に置いたコイルの真上に，棒磁石の N 極を下にして置いた。磁石をコイルに近づけるとき，コイルに流れる誘導電流の向きと，コイルが磁石から受ける力の向きの組み合わせとして正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，電流の向きはコイルを上から見た向きで答えるものとする。

①　上から見て反時計回り，下向き ②　上から見て反時計回り，上向き ③　上から見て時計回り，下向き ④　上から見て時計回り，上向き

解答　磁石の N 極を下にして近づけると，コイルを貫く下向きの磁束が増加する。レンツの法則により，誘導電流は上向きの磁場をつくる向きに流れる。上から見て，これは反時計回りである。また，コイルの上端には N 極が現れ，近づいてくる N 極と反発するので，コイルが磁石から受ける力は下向きである。検算：来拒去留，近づけると反発する。　答　①

中文翻译　题目：如图，水平放置的线圈正上方放一根 N 极朝下的条形磁铁。把磁铁靠近线圈时，问线圈中感应电流的方向与线圈受到磁铁作用力的方向，组合哪个正确？电流方向按从上往下看回答。解答：N 极朝下靠近，穿过线圈向下的磁通量增加。由楞次定律，感应电流产生向上的磁场；从上往下看为逆时针。线圈上端出现 N 极，与靠近的 N 极相斥，所以线圈受到的力向下。检验：来拒去留，靠近时排斥。答案 ①。

解说　两分钟做法：先看磁通量方向（向下）和增减（增加），用「增反」定感应磁场（向上），再用右手螺旋定则定电流（从上往下看逆时针），最后用「来拒去留」定力（排斥，线圈受力向下）。容易卡在：把「感应电流的磁场」和「原磁场」混成一个，以为感应磁场也向下。选项排除：② 力方向反了；③④ 电流方向反了。注意：磁铁靠近时，线圈受到的力与磁铁运动方向相反；磁铁远离时相反。

問題 2　（導体棒を一定の速さで動かす：磁場から受ける力）

図のように，間隔 $l$ の 2 本のなめらかな平行レールを水平に置き，レールの右端に抵抗 $R$ を接続した。レール上に長さ $l$ の導体棒をレールに垂直に置き，紙面に垂直に裏向きの一様な磁場中で，導体棒をレールに沿って一定の速さ $v$ で右向きに動かした。導体棒が磁場から受ける力の大きさ $F$ はどのように表されるか。正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。ただし，導体棒とレールの抵抗，および摩擦は無視できるものとする。

①　$\dfrac{B^2l^2v}{R}$　　②　$\dfrac{B^2lv}{R}$　　③　$\dfrac{Blv}{R}$　　④　$B^2l^2vR$

解答　導体棒に生じる誘導起電力は $V=Blv$，回路を流れる電流は $I=\dfrac{V}{R}=\dfrac{Blv}{R}$。導体棒が磁場から受ける力の大きさは $F=BIl$ なので

$$F = B \cdot \frac{Blv}{R} \cdot l = \frac{B^2l^2v}{R}$$

向きは，電流の向きと磁場の向きから左手の法則で求められ，導体棒の運動を妨げる向き（左向き）になる。検算：$v$ を 2 倍にすると $F$ も 2 倍。　答　①

中文翻译　题目：如图，两条间距 $l$ 的光滑平行导轨水平放置，右端接电阻 $R$。导轨上垂直放一根长 $l$ 的导体棒，在垂直纸面向里的匀强磁场中，让棒以恒定速度 $v$ 向右运动。问：棒受到的磁场力大小 $F$ 怎么表示？棒、导轨电阻及摩擦忽略。解答：感应电动势 $V=Blv$，电流 $I=V/R=Blv/R$，安培力 $F=BIl=B^2l^2v/R$。方向由左手定则判断，与运动方向相反（向左）。检验：$v$ 加倍，$F$ 也加倍。答案 ①。

解说　两分钟做法：先 $V=Blv$，再 $I=V/R$，最后 $F=BIl$，三步连乘得 $B^2l^2v/R$；方向用「阻碍相对运动」直接判左，不必每次都用左手定则。容易卡在：只算到电流就选 ③，忘了再乘 $Bl$。选项排除：② 少一个 $l$（量纲不对）；④ 把 $R$ 乘到分子，量纲不对。注意：这是电磁感应与安培力结合的典型题，EJU 的组合题常把「电流方向」和「受力方向」一起问。

問題 3　（渦電流と電磁阻尼）

図のように，金属板でできた振り子を，磁場の中を通過するように振らせた。金属板に生じる渦電流について，正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　金属板が磁場に出入りするとき，渦電流による磁場は，常に外部の磁場と同じ向きになる。 ②　金属板が磁場に入るときと出るときで，渦電流の向きは同じである。 ③　金属板に細いスリットを多数入れると，振り子の振動の減衰は小さくなる。 ④　金属板が磁場の中で静止しているときも，渦電流は流れ続ける。

解答　金属板が磁場に出入りすると，板を貫く磁束が変化し，板の中に渦電流が流れる。渦電流による磁場は，レンツの法則により磁束の変化を妨げる向きになるので，外部の磁場と同じ向きとは限らない（①は誤り）。入るときと出るときでは磁束の増減が逆なので，渦電流の向きも逆になる（②は誤り）。板に細いスリットを入れると，渦電流の通路が細く区切られ，渦電流が流れにくくなる。そのため磁場から受ける力が小さくなり，振動の減衰は小さくなる（③は正しい）。磁場の中で静止していると磁束が変化しないので，渦電流は流れない（④は誤り）。　答　③

中文翻译　题目：如图，让金属板做的摆通过磁场区域摆动。关于金属板中产生的涡电流，哪个说法正确？① 金属板进出磁场时，涡电流产生的磁场总与外部磁场同向。② 金属板进入和离开磁场时，涡电流方向相同。③ 在金属板上开许多细缝，摆动的衰减会变小。④ 金属板静止在磁场中时，涡电流也持续流动。解答：进出磁场时穿过金属板的磁通量变化，产生涡电流。由楞次定律，涡电流的磁场阻碍磁通量变化，不一定与外部磁场同向，①错。进入和离开时磁通量增减相反，涡电流方向也相反，②错。开细缝会切断涡电流通路，涡电流变小，磁场力变小，衰减变小，③对。静止时磁通量不变，没有涡电流，④错。答案 ③。

解说　两分钟做法：涡电流题抓住两句：磁通量变化才有涡电流；涡电流的效果总是阻碍磁通量变化（宏观上阻碍相对运动）。① 错在「常に同じ」；② 错在增减压反；④ 错在静止无变化。③ 是变压器铁心用硅钢片叠成的同一道理。选项排除：如果记得「来拒去留」，② 立刻可排除——进出时受力方向相反，电流方向也相反。

19.7 术语与题干用语

日文	读音	中文	例句或说明
電磁誘導	でんじゆうどう	电磁感应	電磁誘導によって電流が流れる
誘導電流	ゆうどうでんりゅう	感应电流	誘導電流の向きを答えよ
誘導起電力	ゆうどうきでんりょく	感应电动势	誘導起電力の大きさ $V$
レンツの法則	レンツのほうそく	楞次定律	レンツの法則により向きを決める
ファラデーの電磁誘導の法則	ファラデーのでんじゆうどうのほうそく	法拉第电磁感应定律	$V=-n\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}$
磁束	じそく	磁通量	コイルを貫く磁束
磁束密度	じそくみつど	磁感应强度	一様な磁束密度 $B$ の磁場
巻き数	まきすう	匝数	一次コイルの巻き数 $n_1$
右手の法則	みぎてのほうそく	右手定则	導体棒の誘導電流の向き
ローレンツ力	ローレンツりょく	洛伦兹力	ローレンツ力と誘導起電力
渦電流	うずでんりゅう	涡电流	金属板に渦電流が流れる
自己誘導	じこゆうどう	自感	自己誘導による起電力
自己インダクタンス	じこインダクタンス	自感系数	自己インダクタンス $L$
相互誘導	そうごゆうどう	互感	相互誘導で電圧を変える
相互インダクタンス	そうごインダクタンス	互感系数	相互インダクタンス $M$
変圧器	へんあつき	变压器	理想的な変圧器
一次コイル	いちじコイル	原线圈	一次コイルの巻き数
二次コイル	にじコイル	副线圈	二次コイルに抵抗をつなぐ
鉄心	てっしん	铁芯	鉄心にコイルを巻く
ヘンリー	ヘンリー	亨利	$1\ \mathrm{H}=1\ \mathrm{V\cdot s/A}$
実効値	じっこうち	有效值	交流電圧の実効値 $V_1$
検流計	けんりゅうけい	灵敏电流计	検流計の針が振れる
近づける・遠ざける	ちかづける・とおざける	靠近、远离	磁石をコイルに近づける
一様な	いちような	均匀的	一様な磁場
裏向き・表向き	うらむき・おもてむき	向里、向外	紙面に垂直に裏向きの磁場
なめらかな	なめらかな	光滑的	なめらかな平行レール
無視できる	むしできる	可忽略	摩擦は無視できるものとする
じゅうぶん時間がたった後	じゅうぶんじかんがたったあと	经过足够长时间后	题干固定说法

19.8 自测

1. 面積 $2.0\times10^{-2}\ \mathrm{m^2}$ のコイル 100 巻きを貫く磁束密度が，0.20 s の間に $0.10\ \mathrm{T}$ 一様に増加した。誘導起電力の大きさは何 V か。　（面积 $2.0\times10^{-2}\ \mathrm{m^2}$ 的 100 匝线圈，磁感应强度在 0.20 s 内均匀增加 $0.10\ \mathrm{T}$，感应电动势多少 V？）
2. 長さ $0.20\ \mathrm{m}$ の導体棒が，磁束密度 $0.50\ \mathrm{T}$ の一様な磁場中を，棒に垂直な向きに $3.0\ \mathrm{m/s}$ で動く。誘導起電力の大きさは何 V か。　（长 $0.20\ \mathrm{m}$ 的导体棒在 $0.50\ \mathrm{T}$ 的匀强磁场中以 $3.0\ \mathrm{m/s}$ 垂直切割磁感线，感应电动势多少 V？）
3. 自己インダクタンス $0.40\ \mathrm{H}$ のコイルの電流が，0.10 s の間に $0.50\ \mathrm{A}$ 増加した。自己誘導起電力の大きさは何 V か。また向きは電流に対してどうか。　（自感系数 $0.40\ \mathrm{H}$ 的线圈电流在 0.10 s 内增加 $0.50\ \mathrm{A}$，自感电动势多少 V？方向与电流什么关系？）
4. 自己インダクタンス $2.0\ \mathrm{H}$ のコイルの電流が，0.50 s の間に $3.0\ \mathrm{A}$ から $1.0\ \mathrm{A}$ に一様に減少した。自己誘導起電力の大きさは何 V か。向きは電流と同じか逆向きか。　（自感系数 $2.0\ \mathrm{H}$ 的线圈电流在 0.50 s 内从 $3.0\ \mathrm{A}$ 均匀减小到 $1.0\ \mathrm{A}$，自感电动势多少 V？方向与电流相同还是相反？）
5. 自己インダクタンス $0.20\ \mathrm{H}$ のコイルに $5.0\ \mathrm{A}$ の電流が流れている。蓄えられているエネルギーは何 J か。　（自感系数 $0.20\ \mathrm{H}$ 的线圈通 $5.0\ \mathrm{A}$ 电流，储存能量多少 J？）
6. 相互インダクタンス $0.30\ \mathrm{H}$ の二つのコイルがある。一方の電流が 0.10 s の間に $0.20\ \mathrm{A}$ 変化したとき，他方に生じる誘導起電力の大きさは何 V か。　（互感系数 $0.30\ \mathrm{H}$ 的两个线圈，一方电流在 0.10 s 内变化 $0.20\ \mathrm{A}$，另一方感应电动势多少 V？）
7. 理想的な変圧器で，一次コイルの巻き数が 1000 回，二次コイルが 50 回である。一次コイルに 200 V の交流電圧を加えると，二次コイルの電圧は何 V か。　（理想变压器一次线圈 1000 匝、二次线圈 50 匝，一次加 200 V 交流电压，二次电压多少 V？）

答案：1. $V=nS\dfrac{\Delta B}{\Delta t}=100\times2.0\times10^{-2}\times\dfrac{0.10}{0.20}=1.0\ \mathrm{V}$　2. $V=vBl=3.0\times0.50\times0.20=0.30\ \mathrm{V}$　3. $V=L\dfrac{\Delta I}{\Delta t}=0.40\times\dfrac{0.50}{0.10}=2.0\ \mathrm{V}$，电流增加，方向与电流相反　4. $V=2.0\times\dfrac{2.0}{0.50}=8.0\ \mathrm{V}$，电流减小，方向与电流相同　5. $U=\dfrac{1}{2}LI^2=\dfrac{1}{2}\times0.20\times5.0^2=2.5\ \mathrm{J}$　6. $V=M\dfrac{\Delta I}{\Delta t}=0.30\times\dfrac{0.20}{0.10}=0.60\ \mathrm{V}$　7. $V_2=\dfrac{n_2}{n_1}V_1=\dfrac{50}{1000}\times200=10\ \mathrm{V}$

19.9 深入阅读

• JASSO · 理科（物理）シラバス：本章对应「電磁誘導の法則」和「自己誘導，相互誘導」：電磁誘導，レンツの法則，ファラデーの電磁誘導の法則，渦電流，自己インダクタンス，コイルに蓄えられるエネルギー，相互インダクタンス，変圧器。
• 维基百科（日文）· 電磁誘導：电磁感应的日文说明、法拉第定律的负号写法、楞次定律和导体棒切割的推导。
• 维基百科（日文）· インダクタンス：自己インダクタンス和相互インダクタンス的定义、亨利、线圈储能公式，配合本章 19.3–19.5 节。
• PhET · 法拉第定律：拖动磁铁穿过线圈，观察感应电流的方向和大小随磁通量变化率的变化，理解楞次定律。