第 4 章 · 剛体にはたらく力のつり合い

项目	内容
シラバス项目	Ⅰ 力学 1. 運動と力 (4) 剛体にはたらく力のつり合い：力のモーメント，合力，偶力，剛体のつり合い，重心
国内书对应	第 5 章 共点力的平衡（只讲共点力，没有力矩）；第 4 章 4.2 重力与重心（只讲重心的概念和悬挂法）
本章新内容的分量	全新。力矩、平行力的合成、力偶、刚体平衡的两个条件、重心的计算、倾倒与滑动的判断，国内高中物理都不讲，要从定义学起
过去问出现次数	20 回共 13 題（每回平均 0.65 題）：2013 年第 1 回 2 題，11 回各 1 題，8 回没有

国内高中只讲共点力的平衡：几个力的作用线交于一点，合力为零就平衡。日本高中物理的「剛体」部分多了一个维度：力作用在物体的不同位置，物体会不会转动？这就要用力のモーメント（力矩）。EJU 的力学六题里，杠杆、梯子、悬挂的杆、叠放的板这类题常以剛体のつり合い出现，中国学生最容易在三个地方丢分：不会算力臂（把力到支点的距离当成力臂）、不知道对哪个点列力矩、重心算错位置。本章把这些从定义讲起。

4.1 与国内的对照

シラバス小項目（日文原文）	国内书位置	相同 / 讲法不同 / 国内没有	本章哪节讲
力のモーメント	无（初中讲过杠杆原理，高中不讲力矩）	国内没有	4.2
合力（平行な 2 力の合力）	国内书第 4 章 4.5 节只讲共点力的合成	国内没有	4.3
偶力	无	国内没有	4.3
剛体のつり合い	国内书第 5 章只讲共点力的平衡（合力为零）	国内没有	4.4
重心	国内书第 4 章 4.2 节（概念、规则物体的重心、悬挂法）	讲法不同：国内不算重心的位置，EJU 要会用分割法和“负质量”法算	4.5
（倒れる・すべるの判定，シラバス没单列，是剛体のつり合い的典型考法）	无	国内没有	4.6

本章五个知识点的顺序：先学力矩怎么算（4.2），再学平行力怎么合成、什么是力偶（4.3），然后是刚体平衡的两个条件和解题步骤（4.4），重心的求法（4.5），最后把这些用到“物体会倒还是会滑”的判断上（4.6）。共点力的受力分析、力的合成与分解、摩擦力的规律，和国内完全相同，见国内书第 4、5 章。

4.2 力のモーメント

说明

剛体（刚体）：有大小、受力后不变形的物体。国内书里的“质点”忽略大小，所有力都作用在一点上；刚体不能这样处理，力作用在哪里会影响它转不转。

力のモーメント（力矩）：力使物体绕某点（或某轴）转动的效果，用 $M$ 表示：

$$M = F \times l$$

其中 $F$ 是力的大小，$l$ 是腕の長さ（力臂）：从转动中心 $O$ 到力的作用線（沿力的方向把力延长成一条直线）的垂直距离。单位是 $\mathrm{N \cdot m}$。

力斜着作用时，设作用点到 $O$ 的距离为 $d$，力与 $\overrightarrow{OP}$ 的夹角为 $\theta$，则 $l = d\sin\theta$，所以

$$M = Fd\sin\theta$$

也可以把力分解成沿 $\overrightarrow{OP}$ 的分量 $F\cos\theta$（力臂为零，没有力矩）和垂直于 $\overrightarrow{OP}$ 的分量 $F\sin\theta$（力臂为 $d$），得到同样的结果。

正负号：日本教科书的约定是反時計回り（逆时针）为正，時計回り（顺时针）为负。几个力同时作用时，总力矩是各力矩的代数和：

$$M = M_1 + M_2 + \cdots$$

使用场景

• 题目给了力的大小、作用点和转动中心，作用线和力臂互相垂直（竖直的杆受水平力、水平的杆受竖直力）→ 力臂就是作用点到中心的距离 → 直接 $M = Fl$，几个力时带正负号相加。
• 力斜着作用在杆上，或者杆是倾斜的 → 先画作用线再作垂线 → $M = Fd\sin\theta$，或把力分解成垂直于杆的分量。

注意点

• 力臂是中心到作用线的距离，不是到作用点的距离。只有力和 $\overrightarrow{OP}$ 垂直时两者才相等。
• 作用线通过转动中心的力，力矩为零。这是选转动中心的依据（4.4 节）：对未知力的作用点列力矩，这个未知力就不出现。
• 力沿作用线滑动，力矩不变。所以题目里“力作用在杆的哪一点”不重要，重要的是作用线在哪。
• 日文题干里「$O$ のまわりの力のモーメント」就是“对 $O$ 点的力矩”；「反時計回りを正とする」要照办，答案的正负号跟着这个约定走。

推导

为什么力矩等于力乘力臂：从杠杆原理出发。初中学过，杠杆平衡时 $F_1 l_1 = F_2 l_2$，这里 $l_1$、$l_2$ 是支点到两个力作用线的距离。把”$F \times l$“看成一个力让杠杆转动的本领，杠杆平衡就是两边的本领相等。日本教科书把这个量定义为力のモーメント，并用实验确认：挂在杆上不同位置的砝码，只要 $F \times l$ 的代数和为零，杆就不转。

$M = Fd\sin\theta$：作用点 $P$ 到中心 $O$ 的距离为 $d$，力与 $\overrightarrow{OP}$ 的夹角为 $\theta$。从 $O$ 向作用线作垂线，垂线段和 $OP$、作用线的一段构成直角三角形，斜边 $d$，对角 $\theta$，所以垂线段长 $l = d\sin\theta$。（关键一步：力臂是直角三角形里 $\theta$ 的对边，不是邻边，所以是 $\sin$ 不是 $\cos$。）

严格说，力矩是矢量 $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$（矢量积），方向垂直于 $\vec{r}$ 和 $\vec{F}$ 所在的平面，大小正是 $rF\sin\theta$。高中只讨论平面问题，矢量只有“垂直纸面向外（逆时针）“和”向里（顺时针）“两种，所以用正负号就够了。

例题

例 1　（场景：几个力的作用线都和杆垂直 → 力臂就是距离 → 带正负号相加）

問題　次の図のように，水平な軽い棒 OA の端 O を支点とし，O から 2.0 m の点 A に鉛直下向きに大きさ 10 N の力を，O から 0.50 m の点 B に鉛直上向きに大きさ 30 N の力を加えた。

問　O のまわりの力のモーメントの和の大きさと向きはどうなるか。正しい組み合わせを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

	①	②	③	④
大きさ	5.0 N·m	5.0 N·m	35 N·m	35 N·m
向き	時計回り	反時計回り	時計回り	反時計回り

解答　どちらの力も棒に垂直なので，腕の長さは O からの距離に等しい。反時計回りを正とすると，A の力（下向き）は棒を時計回りに回すので負，B の力（上向き）は反時計回りに回すので正。

$$M = -10 \times 2.0 + 30 \times 0.50 = -20 + 15 = -5.0\ \mathrm{N \cdot m}$$

負なので時計回り，大きさ 5.0 N·m。検算：大きい力 30 N は腕が短く，小さい力 10 N は腕が長いので，どちらが勝つかは計算しないとわからない。20 と 15 を比べて下向きの力が勝つ。　答　①

中文翻译　题目：如图，水平轻杆 OB 以 O 端为支点，在离 O 2.0 m 的 A 点加竖直向下的力 10 N，在离 O 0.50 m 的 B 点加竖直向上的力 30 N。问：对 O 点的力矩之和的大小和方向是什么？从①～④中选出正确的组合。

解答：两个力都和杆垂直，力臂等于到 O 的距离。取逆时针为正，A 点向下的力使杆顺时针转，取负；B 点向上的力使杆逆时针转，取正。$M = -10 \times 2.0 + 30 \times 0.50 = -5.0\ \mathrm{N \cdot m}$。负值表示顺时针，大小 5.0 N·m。检验：大的力力臂短，小的力力臂长，谁占优要算了才知道，20 比 15 大，向下的力占优。答案 ①。

解说　用到的是本节“说明”里的两条：力臂是到作用线的距离，这里恰好等于到作用点的距离；几个力的力矩带正负号相加。容易卡在：两个力方向相反，就以为力矩也直接相减成 $30 - 10$，忘了各自乘力臂。选项排除：③④ 的 35 是 $20 + 15$，两个力矩同号才会相加，但一个向上一个向下显然转向相反，先排除；剩下 ①② 只差方向，看哪个力矩大。

例 2　（场景：杆倾斜、力竖直 → 先画作用线再找力臂 → $M = Fd\sin\theta$ 或分解力）

問題　次の図のように，長さ $L$ の軽い棒 OA の端 O を支点とし，棒を水平から角 $\theta$ だけ傾けて固定した。端 A に鉛直下向きに大きさ $F$ の力を加える。

問　この力の O のまわりのモーメントの大きさはどのように表されるか。正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$FL$　　②　$FL\sin\theta$　　③　$FL\cos\theta$　　④　$FL\tan\theta$

解答　力の作用線は A を通る鉛直線である。O からこの鉛直線におろした垂線の長さが腕の長さで，これは O と A の水平方向の距離 $L\cos\theta$ に等しい。よって

$$M = F \times L\cos\theta = FL\cos\theta$$

検算：$\theta = 0$（棒が水平）のとき腕は $L$ になり $M = FL$，$\theta = 90^\circ$（棒が鉛直）のとき作用線が O を通り $M = 0$。$\cos\theta$ だけがこの両方を満たす。　答　③

中文翻译　题目：如图，长 $L$ 的轻杆 OA 以 O 为支点，杆与水平方向成 $\theta$ 角固定。在 A 端加竖直向下的力 $F$。问：这个力对 O 点的力矩大小怎么表示？从①～④中选一个正确的。

解答：力的作用线是过 A 的竖直线。从 O 向这条竖直线作垂线，垂线段的长度就是力臂，等于 O、A 的水平距离 $L\cos\theta$。所以 $M = FL\cos\theta$。检验：$\theta = 0$（杆水平）时力臂是 $L$，$M = FL$；$\theta = 90^\circ$（杆竖直）时作用线过 O，$M = 0$。只有 $\cos\theta$ 同时满足这两条。答案 ③。

解说　用到的是“说明”里的 $M = Fd\sin\theta$：这里力与杆的夹角是 $90^\circ - \theta$，$\sin(90^\circ - \theta) = \cos\theta$。容易卡在：看到角 $\theta$ 就写 $\sin\theta$。选项排除：用极限情形，杆竖直时力矩应为零，②④ 在 $\theta = 90^\circ$ 时不为零（④ 还发散），① 与角无关，都排除，不用画图也能选 ③。另一种解法：把 $F$ 分解成沿杆的分量 $F\sin\theta$（作用线过 O，力矩为零）和垂直于杆的分量 $F\cos\theta$（力臂 $L$），$M = F\cos\theta \cdot L$。力多、角度多的题分解更快；只有一个力时直接找力臂更直观。

常用推论

• 力沿作用线移动，力矩不变；作用线过转动中心的力，力矩为零。这是“对未知力的作用点列力矩”这一解题习惯的依据。
• 两个大小相等、方向相反、不在一条直线上的力（偶力），对任何一点的力矩都是 $Fd$（$d$ 是两条作用线的距离），见 4.3 节。
• 均匀杆的重力可以看成集中在杆的中点（重心）上的一个力，算力矩时用中点到作用线的距离做力臂。

易错点

• 错在哪：把转动中心到作用点的距离当成力臂。 为什么错：力矩看的是力的作用线离中心多远，力斜着作用时作用线比作用点更靠近中心。 正确做法：先沿力的方向画出作用线，再从中心向作用线作垂线。
• 错在哪：几个力的力矩不分正负，全部相加。 为什么错：顺时针和逆时针的力矩互相抵消，相加会把“抵消”算成“叠加”。 正确做法：先写「反時計回りを正とする」，逐个判断每个力让物体往哪边转。
• 错在哪：认为合力为零的物体一定不转。 为什么错：偶力的合力为零，但力矩不为零，物体会转（4.3 节）。 正确做法：平衡要同时查合力和合力矩（4.4 节）。

直观理解

拧螺母时手握在扳手的远端省力，握在近端费力：同样的力，力臂越长，力矩越大。推门时推在门边（离合页远）轻松，推在合页旁边推不动：作用线离转轴越近，力矩越小。记法：力矩 = 力 × “力的作用线离转轴有多远”。

关联知识点

• 前置：国内书第 4 章 4.5 节力的合成与分解（分解力求力矩的分量）；《高中数学知识点梳理》第 11 章三角函数（$\sin$、$\cos$ 与直角三角形）。
• 后续：本书 4.3 节平行力的合成与偶力，4.4 节剛体のつり合い，4.5 节重心，4.6 节倒れる・すべる。
• 常一起考：国内书第 5 章共点力的平衡（力的平衡条件和力矩条件一起列）。

4.3 平行な力の合力と偶力

说明

同向平行力的合力：两个平行、同向的力 $F_1$、$F_2$，合力大小 $F = F_1 + F_2$，方向相同，作用线在两力作用线之间，把它们之间的距离按 $l_1 : l_2 = F_2 : F_1$ 内分（离大的力近），即

$$F_1 l_1 = F_2 l_2$$

反向平行力的合力：$F_1 > F_2$ 方向相反时，合力大小 $F = F_1 - F_2$，方向与 $F_1$ 相同，作用线在两力作用线之外、$F_1$ 的外侧，仍满足 $F_1 l_1 = F_2 l_2$（外分）。

这两条都来自一个要求：合力对任何一点的力矩等于各分力力矩之和。

偶力（力偶）：大小相等、方向相反、作用线不重合的一对力。合力为零，所以不能再合成一个力；但它让物体转动，偶力のモーメント为

$$N = Fd$$

$d$ 是两条作用线之间的距离。这个力矩对任何一点都一样大，不依赖转动中心的选取。

使用场景

• 两个人抬一根杆、杆上挂着重物，或者一根杆搁在两个支点上，问每个人（每个支点）承担多少 → 把重物（或杆的重力）分解成两个平行的力 → $F_1 l_1 = F_2 l_2$，$F_1 + F_2 = W$。
• 用两只手反向拧方向盘、水龙头，或题目明说“偶力” → 偶力 → 力矩 $Fd$，和转动中心无关。

注意点

• 平行力合成只对同一平面内平行的力成立；不平行的力按平行四边形定则合成（国内书第 4 章 4.5 节）。
• 合力的作用线位置是算出来的，不是在两力中间。离大的力近，比例关系是“反比”：$l_1 : l_2 = F_2 : F_1$。
• 偶力的两个力大小相等，所以写「偶力のモーメント」时不要再乘 2，$N = Fd$ 里的 $F$ 是一个力的大小。
• 日文里「合力の作用線」问的是位置，常让你填“从 A 端算起多远”；读清是从哪端算。

推导

同向平行力合力的位置：设两个力都竖直向下，作用点 A、B 相距 $l$。合力 $F$ 应当与两个力对任何一点的转动效果相同。取合力的作用点 C 为转动中心，合力对 C 的力矩为零，所以两个分力对 C 的力矩之和也为零：

$$F_1 \cdot AC = F_2 \cdot BC$$

（关键一步：合力对自己作用点的力矩是零，这一条把“位置”变成了一个方程。）再由平动效果相同得 $F = F_1 + F_2$。

反向平行力：同样取合力作用点 C 为中心，$F_1 \cdot AC = F_2 \cdot BC$ 仍成立，但两个力对 C 的转向要相反，C 必须在 A、B 连线的延长线上、靠大的力 $F_1$ 一侧。

偶力的力矩与中心无关：两个力 $F$ 和 $-F$，作用线相距 $d$。任取一点 O，设 O 到两条作用线的距离分别为 $x$ 和 $x + d$（O 在两线同一侧）。力矩之和为 $F(x + d) - Fx = Fd$，$x$ 消掉了。O 在两线之间时同样算出 $Fd$。

例题

例 3　（场景：两人抬杆、杆上有重物 → 平行力分解 → $F_1 l_1 = F_2 l_2$）

問題　次の図のように，長さ 3.0 m の軽い棒 AB の両端を A さんと B さんが持ち，水平に保っている。棒の A から 1.0 m の点 P に重さ 120 N の荷物をつるした。

問　A さんと B さんが棒に加える鉛直上向きの力の大きさ $F_{\mathrm A}$，$F_{\mathrm B}$ はそれぞれ何 N か。正しい組み合わせを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

	①	②	③	④
$F_{\mathrm A}$	40 N	60 N	80 N	90 N
$F_{\mathrm B}$	80 N	60 N	40 N	30 N

解答　棒にはたらく力は，荷物の重さ 120 N（P，下向き）と $F_{\mathrm A}$（A，上向き），$F_{\mathrm B}$（B，上向き）。A のまわりのモーメントのつり合いより，反時計回りを正として

$$F_{\mathrm B} \times 3.0 - 120 \times 1.0 = 0 \quad \therefore\ F_{\mathrm B} = 40\ \mathrm{N}$$

鉛直方向の力のつり合いより $F_{\mathrm A} = 120 - 40 = 80\ \mathrm{N}$。検算：荷物は A に近いので A さんのほうが重く感じるはず。$80 : 40 = 2 : 1$ は距離の逆比 $2.0 : 1.0$ に一致する。　答　③

中文翻译　题目：如图，长 3.0 m 的轻杆 AB，两端分别由 A、B 两人托住，保持水平。在离 A 端 1.0 m 的 P 点挂一个 120 N 的重物。问：两人对杆施加的竖直向上的力 $F_{\mathrm A}$、$F_{\mathrm B}$ 各是多少牛？从①～④中选出正确的组合。

解答：杆受三个力：重物的重力 120 N（P 点，向下）、$F_{\mathrm A}$（A 点，向上）、$F_{\mathrm B}$（B 点，向上）。对 A 点列力矩平衡，取逆时针为正：$F_{\mathrm B} \times 3.0 - 120 \times 1.0 = 0$，$F_{\mathrm B} = 40\ \mathrm{N}$。竖直方向力的平衡：$F_{\mathrm A} = 120 - 40 = 80\ \mathrm{N}$。检验：重物离 A 近，A 应更吃力；$80 : 40 = 2 : 1$ 正好是距离的反比 $2.0 : 1.0$。答案 ③。

解说　用到的是“说明”里平行力的分解：$F_{\mathrm A} \cdot AP = F_{\mathrm B} \cdot PB$，$F_{\mathrm A} + F_{\mathrm B} = 120$。容易卡在：以为“平分”，各 60 N（选项 ②），忘了重物不在中点。选项排除：离重物近的人用力大，所以 $F_{\mathrm A} > F_{\mathrm B}$，①② 排除；再看比例 $2 : 1$ 对应 ③。另一种解法：直接用反比 $F_{\mathrm A} : F_{\mathrm B} = PB : AP = 2.0 : 1.0$，总和 120 N，得 80 N 和 40 N。只有一个重物时反比最快；杆自身有重量或挂多个重物时，对支点列力矩更不容易乱。

例 4　（场景：两只手反向转方向盘 → 偶力 → $N = Fd$）

問題　次の図のように，半径 0.20 m のハンドルの直径の両端を両手で持ち，それぞれ接線方向に大きさ 5.0 N の互いに逆向きの力を加えてハンドルを回した。

問　この偶力のモーメントの大きさは何 N·m か。最も適当な値を，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　0　　②　1.0 N·m　　③　2.0 N·m　　④　4.0 N·m

解答　2 つの力は大きさが等しく逆向きで，作用線の間の距離は直径 $d = 0.40\ \mathrm{m}$。偶力のモーメントは

$$N = Fd = 5.0 \times 0.40 = 2.0\ \mathrm{N \cdot m}$$

検算：中心のまわりで各力のモーメントを足しても $5.0 \times 0.20 \times 2 = 2.0\ \mathrm{N \cdot m}$ で一致する。　答　③

中文翻译　题目：如图，双手握住半径 0.20 m 的方向盘直径的两端，各沿切线方向施加 5.0 N、方向相反的力使方向盘转动。问：这个力偶的力矩大小是多少 N·m？从①～④中选最合适的值。

解答：两个力大小相等、方向相反，作用线之间的距离是直径 $d = 0.40\ \mathrm{m}$。力偶的力矩 $N = Fd = 5.0 \times 0.40 = 2.0\ \mathrm{N \cdot m}$。检验：对圆心分别算两个力的力矩再相加，$5.0 \times 0.20 \times 2 = 2.0\ \mathrm{N \cdot m}$，一致。答案 ③。

解说　用到的是“说明”里偶力のモーメント $N = Fd$，$d$ 是两作用线的距离（直径），不是半径。容易卡在：用半径 0.20 m 得 1.0 N·m（选项 ②），或者又乘了 2 个力得 4.0 N·m（选项 ④）。选项排除：① 的 0 是合力不是力矩，排除；剩下的看 $d$ 取直径还是半径。

常用推论

• 均匀杆搁在两个支点上，重物离哪个支点近，哪个支点的支持力大，两支持力之比等于到重物距离的反比（例 3）。
• 偶力只能用偶力平衡，不能用一个力平衡；偶力的力矩与转动中心无关，所以题目不说对哪点求力矩时，直接 $Fd$。
• 两个同向平行力的合力作用点在两力之间，离大的力近；两力相等时在正中间。

易错点

• 错在哪：平行力合力的位置取在两力正中间。 为什么错：只有两力相等时才在中间，一般按反比内分。 正确做法：写 $F_1 l_1 = F_2 l_2$ 再解位置。
• 错在哪：偶力的力矩写成 $2Fd$ 或 $F \cdot \frac{d}{2}$。 为什么错：$N = Fd$ 已经把两个力都算进去了，$d$ 是两作用线的距离。 正确做法：对任意一点算两个力矩再相加验证一次。
• 错在哪：把反向平行力的合力位置算到两力之间。 为什么错：反向的两个力对两力之间任一点的力矩同号，不可能抵消成合力的作用点。 正确做法：合力在大的力的外侧，用 $F_1 l_1 = F_2 l_2$ 外分。

直观理解

抬担架：伤员的重心离谁近，谁更累；两头重量之比就是距离的反比。拧水龙头：两根手指一推一拉，手没有把水龙头整体推走（合力为零），水龙头却转了（力矩不为零），这就是偶力。

关联知识点

• 前置：本书 4.2 节力のモーメント；国内书第 4 章 4.5 节力的合成与分解。
• 后续：本书 4.4 节剛体のつり合い（平行力的题都可以改用力矩平衡解），4.5 节重心（重心就是各部分重力这组平行力的合力作用点）。
• 常一起考：国内书第 5 章 5.3 节整体法与隔离法（多个物体叠放时先整体再隔离）。

4.4 剛体のつり合い

说明

刚体平衡（静止或匀速平动且不转动）要同时满足两个条件：

1. 力のつり合い：合力为零。平面问题写成两个分量式 $\sum F_x = 0$，$\sum F_y = 0$。
2. 力のモーメントのつり合い：对任意一点的力矩代数和为零，$\sum M = 0$。

第二条里的“任意一点”是关键：合力已经为零时，对一个点力矩为零，对其他所有点也为零。所以转动中心可以随便选，选在未知力最多的作用点上最省事。

三力平衡的几何条件：刚体只受三个不平行的力而平衡时，三个力的作用线必交于一点（否则对交点的力矩不为零）。三个力都平行时也可以平衡（例 3 的杆）。

解题步骤：

1. 画出刚体受的全部力，重力画在重心上；铰链、粗糙面给的力方向未知时，先按两个分量画。
2. 选转动中心（未知力的作用点），列 $\sum M = 0$。
3. 需要时再列 $\sum F_x = 0$、$\sum F_y = 0$。
4. 检验：量纲、极限情形。

使用场景

• 杆的一端用铰链固定在墙上、另一端用绳拉住；或杆搁在两个支点上 → 未知力集中在铰链或支点 → 对铰链（支点）列力矩，一步得到绳的拉力。
• 梯子靠在墙上，或杆斜靠着台阶，问地面的摩擦力、墙的作用力或最小摩擦系数 → 未知力有三个以上 → 力矩平衡加两个方向的力平衡，联立。

注意点

• 力矩平衡可以对任何点列，但同一道题里只要列一个点的力矩方程就够了（第二个点的方程和力的平衡不独立）。想多列一个点的力矩来代替力的平衡方程也可以。
• 铰链（蝶番）对杆的力方向未知，不要猜方向；分成水平、竖直两个分量，算出来是负的就反向。
• 「なめらかな壁」只给垂直于墙面的力，没有摩擦；「粗い床」给支持力和摩擦力。
• 梯子问题里摩擦力是静摩擦，大小由平衡方程算出，只在“恰好不滑”时才等于 $\mu N$。

推导

为什么合力为零时，对任意点的力矩都相同：取两个中心 O 和 O’，$\overrightarrow{OO'} = \vec{s}$。每个力对 O’ 的力矩等于对 O 的力矩减去 $\vec{s}$ 与该力的叉乘；把所有力加起来，多出来的那一项是 $\vec{s}$ 与合力的叉乘，合力为零则这一项为零。（关键一步：平动平衡保证了“换中心不改变总力矩”，所以第二个条件只需对一点验证。）

三力共点：设三个力 $\vec{F}_1$、$\vec{F}_2$、$\vec{F}_3$ 平衡，前两个作用线交于点 P。对 P 列力矩：$\vec{F}_1$、$\vec{F}_2$ 的作用线过 P，力矩为零，于是 $\vec{F}_3$ 对 P 的力矩也必须为零，即 $\vec{F}_3$ 的作用线过 P。

例题

例 5　（场景：杆一端铰链、另一端绳拉 → 对铰链列力矩 → 一步得绳的拉力）

問題　次の図のように，長さ $L$，質量 $m$ の一様な棒 AB の端 A を壁に取り付けた蝶番で支え，端 B に付けた糸で棒を水平に保った。糸は鉛直上向きに張られている。重力加速度の大きさを $g$ とする。

問　糸の張力の大きさ $T$ はどのように表されるか。正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$\dfrac{1}{4}mg$　　②　$\dfrac{1}{2}mg$　　③　$mg$　　④　$2mg$

解答　棒にはたらく力は，重力 $mg$（棒の中点，鉛直下向き），糸の張力 $T$（端 B，鉛直上向き），蝶番からの力（端 A）の 3 つである。蝶番からの力の大きさも向きもわからないので，A のまわりの力のモーメントのつり合いを考える。反時計回りを正とすると

$$T \cdot L - mg \cdot \frac{L}{2} = 0 \quad \therefore\ T = \frac{1}{2}mg$$

検算：$T$ は $mg$ の次元をもち，棒が一様なら張力は重力の半分になるはずである。　答　②

中文翻译　题目：如图，长 $L$、质量 $m$ 的均匀杆 AB，A 端用铰链固定在墙上，B 端系一根绳使杆保持水平，绳竖直向上。重力加速度大小为 $g$。问：绳的拉力大小 $T$ 怎么表示？从①～④中选一个正确的。

解答：杆受三个力：重力 $mg$（作用在杆中点，竖直向下）、绳的拉力 $T$（B 端，竖直向上）、铰链对杆的力（A 端）。铰链的力大小方向都未知，所以对 A 点列力矩平衡。取逆时针为正：$T \cdot L - mg \cdot \dfrac{L}{2} = 0$，得 $T = \dfrac{1}{2}mg$。检验：$T$ 的量纲和 $mg$ 相同；杆均匀时拉力应是重力的一半。答案 ②。

解说　用到的是本节“说明”里的第二个条件：对任一点力矩代数和为零，并按“选未知力的作用点”选了 A。容易卡在：不知道对哪个点列力矩；记住选铰链，它的力就不出现在方程里。选项排除：$T$ 不可能大于 $mg$（否则杆会向上转），④ 先排除；想象杆的质量全集中在 B 端的极限，$T \to mg$，可见答案在 0 和 $mg$ 之间，①② 都可能，要算一次才能定。另一种解法：对 B 点列力矩，得铰链竖直分力 $N_y = \dfrac{1}{2}mg$，再由竖直方向力的平衡 $T + N_y = mg$ 得 $T$；多算一步，适合题目同时问铰链受力的情形。

例 6　（场景：梯子靠墙 → 三个以上未知力 → 力矩平衡加力的平衡联立）

問題　次の図のように，長さ $L$，質量 $m$ の一様なはしごを，なめらかな鉛直の壁に立てかけた。はしごの下端 A は粗い水平な床の上にあり，はしごは床と角 $\theta$ をなして静止している。重力加速度の大きさを $g$ とする。

問　壁がはしごに及ぼす力の大きさ $R$ はどのように表されるか。正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$\dfrac{mg\tan\theta}{2}$　　②　$\dfrac{mg}{2\tan\theta}$　　③　$\dfrac{mg}{\tan\theta}$　　④　$\dfrac{mg\cos\theta}{2}$

解答　はしごにはたらく力は，重力 $mg$（中点，鉛直下向き），壁からの垂直抗力 $R$（上端 B，水平），床からの垂直抗力 $N$（下端 A，鉛直上向き），床からの静止摩擦力 $f$（下端 A，水平）の 4 つ。$N$ と $f$ の作用点 A のまわりのモーメントのつり合いより，反時計回りを正として

$$R \cdot L\sin\theta - mg \cdot \frac{L}{2}\cos\theta = 0 \quad \therefore\ R = \frac{mg}{2\tan\theta}$$

検算：$\theta \to 90^\circ$（はしごが鉛直に近い）のとき $R \to 0$，壁はほとんど押されない。$\theta$ が小さいほど $R$ は大きくなり，寝かせたはしごほど壁を強く押す。　答　②

中文翻译　题目：如图，长 $L$、质量 $m$ 的均匀梯子靠在光滑的竖直墙上。梯子下端 A 放在粗糙的水平地面上，梯子与地面成 $\theta$ 角静止。重力加速度大小为 $g$。问：墙对梯子的作用力大小 $R$ 怎么表示？从①～④中选一个正确的。

解答：梯子受四个力：重力 $mg$（中点，竖直向下）、墙的弹力 $R$（上端 B，水平）、地面的支持力 $N$（下端 A，竖直向上）、地面的静摩擦力 $f$（下端 A，水平）。对 $N$ 和 $f$ 的作用点 A 列力矩平衡，取逆时针为正：$R \cdot L\sin\theta - mg \cdot \dfrac{L}{2}\cos\theta = 0$，得 $R = \dfrac{mg}{2\tan\theta}$。检验：$\theta \to 90^\circ$（梯子接近竖直）时 $R \to 0$，墙几乎不受力；$\theta$ 越小 $R$ 越大，越躺平的梯子越用力压墙。答案 ②。

解说　用到的是本节的解题步骤：画全四个力，对未知力最多的 A 点列力矩，一个方程就解出 $R$。力臂是容易错的地方：$R$ 水平，力臂是 B 的高度 $L\sin\theta$；$mg$ 竖直，力臂是中点的水平距离 $\dfrac{L}{2}\cos\theta$。容易卡在：两个力臂的 $\sin$、$\cos$ 弄反。选项排除：梯子竖直时墙不受力，① 在 $\theta \to 90^\circ$ 时发散、④ 不为零但不发散，而 ② ③ 都趋于零；再看系数，重力作用在中点，分母里应有 2。另一种解法：三力共点。把 $N$ 和 $f$ 合成一个力，它和 $R$、$mg$ 三力平衡，作用线必交于一点，即过中点的竖直线与过 B 的水平线的交点；由几何得地面合力的方向，再分解。题目问地面合力的方向时这条路最快，问 $R$ 时不如直接列力矩。

例 7　（场景：杆一端铰链、另一端绳斜拉 → 对铰链列力矩求绳的拉力，再用力的平衡求铰链的力）

問題　次の図のように，長さ $L$，質量 $m$ の一様な棒 AB の端 A を壁の蝶番で支え，端 B に付けた糸を壁の点 C に結んで棒を水平に保った。糸と棒のなす角は $30^\circ$ である。重力加速度の大きさを $g$ とする。

問　蝶番が棒に及ぼす力の大きさはどのように表されるか。正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$\dfrac{1}{2}mg$　　②　$\dfrac{\sqrt{3}}{2}mg$　　③　$mg$　　④　$2mg$

解答　まず A のまわりのモーメントのつり合いから糸の張力 $T$ を求める。$T$ の棒に垂直な成分は $T\sin 30^\circ$ で，腕の長さは $L$：

$$T\sin 30^\circ \cdot L - mg \cdot \frac{L}{2} = 0 \quad \therefore\ T = mg$$

次に蝶番からの力を水平成分 $H$（壁から離れる向きを正），鉛直成分 $V$（上向きを正）とおき，力のつり合いを立てる。糸は B を壁の側（左）かつ上に引くので

$$H - T\cos 30^\circ = 0,\qquad V + T\sin 30^\circ - mg = 0$$ $$H = \frac{\sqrt{3}}{2}mg,\qquad V = \frac{1}{2}mg,\qquad \sqrt{H^2 + V^2} = mg$$

検算：$H$，$V$ とも $mg$ の次元をもつ。蝶番の力の向きは水平から $\tan^{-1}\dfrac{V}{H} = 30^\circ$ 上向きで，糸の作用線と重力の作用線の交点を通る（三力の作用線が一点で交わる）。　答　③

中文翻译　题目：如图，长 $L$、质量 $m$ 的均匀杆 AB，A 端用墙上的铰链支撑，B 端的绳系到墙上的 C 点，使杆保持水平。绳与杆的夹角为 $30^\circ$。重力加速度大小为 $g$。问：铰链对杆的作用力大小怎么表示？从①～④中选一个正确的。

解答：先对 A 点列力矩平衡求绳的拉力 $T$。$T$ 垂直于杆的分量是 $T\sin 30^\circ$，力臂为 $L$：$T\sin 30^\circ \cdot L - mg \cdot \dfrac{L}{2} = 0$，得 $T = mg$。再设铰链的力的水平分量为 $H$（背离墙为正）、竖直分量为 $V$（向上为正），列力的平衡。绳把 B 向墙的一侧（左）并向上拉，所以 $H - T\cos 30^\circ = 0$，$V + T\sin 30^\circ - mg = 0$，得 $H = \dfrac{\sqrt{3}}{2}mg$，$V = \dfrac{1}{2}mg$，合力大小 $\sqrt{H^2 + V^2} = mg$。检验：$H$、$V$ 的量纲都是 $mg$；铰链力的方向与水平成 $\tan^{-1}\dfrac{V}{H} = 30^\circ$ 向上，它的作用线过绳的作用线和重力作用线的交点（三力共点）。答案 ③。

解说　用到的是两个平衡条件一起上：力矩平衡解绳，力的平衡解铰链。容易卡在：绳斜着拉时力臂怎么取，这里把 $T$ 分解成沿杆和垂直于杆两个分量最省事，沿杆的分量过 A 没有力矩。选项排除：对铰链力的大小没有现成的极限可用，但三力共点能快速定方向：绳的作用线和过中点的竖直线相交于 B 正上方的某点，A 到交点的连线与水平成 $30^\circ$（由对称，交点在 B 的正上方、高度 $\dfrac{L}{2}\tan 30^\circ$……算出来恰好 $30^\circ$），所以铰链力与绳的拉力关于竖直线对称，大小相等，等于 $T = mg$。另一种解法：直接用三力共点，铰链力、绳的拉力、重力三条作用线交于一点，画出力的三角形：两条斜边与竖直边各成 $30^\circ$，是等腰三角形，铰链力 $=$ 绳的拉力 $= mg$（由竖直方向 $2T\sin 30^\circ = mg$）。只问大小、角度又好算时用几何最快；角度不特殊时老老实实分解。

常用推论

• 均匀杆一端铰链、另一端竖直绳，绳的拉力是重力的一半（例 5）；绳与杆成角 $\alpha$ 时，拉力是 $\dfrac{mg}{2\sin\alpha}$。
• 梯子靠光滑墙：墙的弹力 $R = \dfrac{mg}{2\tan\theta}$，地面摩擦力 $f = R$，地面支持力 $N = mg$；不滑的条件 $\mu \ge \dfrac{1}{2\tan\theta}$（例 6 和 4.6 节）。
• 三个不平行的力平衡，作用线共点；其中两个力的方向已知时，第三个力的方向由几何决定。

易错点

• 错在哪：只列力的平衡，不列力矩平衡，方程不够解不出。 为什么错：刚体多了“转不转”这一条件，未知力的个数也多了。 正确做法：刚体题先问自己“对哪个点列力矩”。
• 错在哪：列力矩时把力臂取成杆长，不管力的方向。 为什么错：力臂是中心到作用线的距离，斜着的力要乘 $\sin$ 或 $\cos$。 正确做法：先分解力，或先画作用线。
• 错在哪：铰链的力先猜一个方向（比如沿杆），列出的方程自相矛盾。 为什么错：铰链的力方向由其他力决定，一般既不沿杆也不竖直。 正确做法：分成 $H$、$V$ 两个分量，算完再合成。

直观理解

一根杆不转，等于“顺时针的本领”和“逆时针的本领”打平；一根杆不动，等于各方向的推拉打平。两件事各管各的，所以要两套方程。选转动中心的口诀：不想算的力，就把中心放在它脚下。

关联知识点

• 前置：本书 4.2 节力のモーメント；国内书第 5 章 5.2 节共点力的平衡条件（力的平衡部分完全相同），第 4 章 4.4 节摩擦力（梯子问题的静摩擦）。
• 后续：本书 4.6 节倒れる・すべる（平衡被破坏的临界），第 9 章万有引力无直接关系。
• 常一起考：国内书第 5 章 5.6 节平衡中的临界与极值（梯子“恰好不滑”用 $f = \mu N$）；本书第 5 章运動の法則（杆开始转动时的加速度不在 EJU 范围内，只考临界平衡）。

4.5 重心

说明

重心：物体各部分所受重力（一组平行力）的合力的作用点。物体以任何姿态放置，重力的作用线都通过重心。

规则的均匀物体：重心在几何中心（均匀杆的中点、均匀圆板的圆心、均匀矩形板的对角线交点）。

分割法：把物体分成几个重心已知的部分，质量 $m_1, m_2, \ldots$，重心坐标 $x_1, x_2, \ldots$，整体的重心是加权平均：

$$x_{\mathrm G} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + \cdots}{m_1 + m_2 + \cdots},\qquad y_{\mathrm G} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + \cdots}{m_1 + m_2 + \cdots}$$

均匀薄板用面积代替质量，均匀杆用长度代替质量。

挖空（くり抜き）：从物体上挖掉一块，可以把挖掉的部分当成负质量代入分割法。

悬挂法：把物体悬挂起来静止时，重心在悬线的延长线上；换一个点再挂一次，两条线的交点就是重心（国内书第 4 章 4.2 节）。重心可以在物体之外（圆环、L 形板）。

使用场景

• 两根杆拼成 L 形、T 形，或几块板拼在一起 → 分割法 → 各部分的质量乘重心坐标再加权平均。
• 均匀圆板、方板上挖掉一个圆或一个方 → 负质量法 → 挖掉部分的质量取负代入分割法。

注意点

• 坐标原点可以任选，但同一道题里所有部分用同一个原点；结果是重心相对这个原点的位置。
• 均匀薄板按面积加权，不是按边长；圆的面积与半径的平方成正比，挖掉半径一半的圆只去掉四分之一的质量。
• 挖空后的重心在挖掉部分的另一侧，离圆心的距离比直觉的小。
• 日文题干里「一様な」就是“均匀的”；「重心の位置」常问“从某端算起多远”或“离圆心多远”。

推导

分割法为什么是加权平均：各部分的重力 $m_1 g, m_2 g, \ldots$ 是一组同向平行力，合力 $Mg$ 的作用线位置由“合力对任一点的力矩等于各力力矩之和”确定。对原点列力矩：$Mg \cdot x_{\mathrm G} = m_1 g x_1 + m_2 g x_2 + \cdots$，两边约去 $g$ 得公式。（关键一步：重心是平行力的合力作用点，4.3 节的 $F_1 l_1 = F_2 l_2$ 推广到多个力就是加权平均。）

负质量法：完整物体 = 剩余部分 + 挖掉部分。完整物体的重心公式里，把挖掉部分移到等号另一边，就相当于剩余部分的重心计算中挖掉部分以负质量参加。

例题

例 8　（场景：两根杆拼成 L 形 → 分割法 → 加权平均）

問題　次の図のように，長さ $2a$ の一様な棒 AB と長さ $a$ の一様な棒 BC を点 B で直角につないで L 字形の物体を作った。2 本の棒は同じ材質で太さも等しい。A を原点，AB の向きを $x$ 軸，BC の向きを $y$ 軸とする。

問　この物体の重心の座標 $(x_{\mathrm G},\ y_{\mathrm G})$ はどのように表されるか。正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$\left(\dfrac{4}{3}a,\ \dfrac{1}{6}a\right)$　　②　$\left(a,\ \dfrac{1}{4}a\right)$　　③　$\left(\dfrac{3}{2}a,\ \dfrac{1}{4}a\right)$　　④　$\left(\dfrac{4}{3}a,\ \dfrac{1}{2}a\right)$

解答　同じ材質・太さなので質量は長さに比例する。AB の質量を $2m$，BC の質量を $m$ とおく。AB の重心は中点 $(a,\ 0)$，BC の重心は中点 $(2a,\ \dfrac{a}{2})$。

$$x_{\mathrm G} = \frac{2m \cdot a + m \cdot 2a}{3m} = \frac{4}{3}a,\qquad y_{\mathrm G} = \frac{2m \cdot 0 + m \cdot \dfrac{a}{2}}{3m} = \frac{1}{6}a$$

検算：$x_{\mathrm G}$ は AB の重心 $a$ と BC の重心 $2a$ の間にあり，質量の大きい AB 側に寄っている。$y_{\mathrm G}$ は BC の重心 $\dfrac{a}{2}$ の 3 分の 1（BC は全体の 3 分の 1 の質量）。　答　①

中文翻译　题目：如图，长 $2a$ 的均匀杆 AB 和长 $a$ 的均匀杆 BC 在 B 点垂直连接成 L 形。两杆材质相同、粗细相同。以 A 为原点，AB 方向为 $x$ 轴，BC 方向为 $y$ 轴。问：这个物体的重心坐标 $(x_{\mathrm G},\ y_{\mathrm G})$ 怎么表示？从①～④中选一个正确的。

解答：材质和粗细相同，质量与长度成正比。设 AB 质量 $2m$，BC 质量 $m$。AB 的重心在中点 $(a,\ 0)$，BC 的重心在中点 $(2a,\ \dfrac{a}{2})$。$x_{\mathrm G} = \dfrac{2m \cdot a + m \cdot 2a}{3m} = \dfrac{4}{3}a$，$y_{\mathrm G} = \dfrac{m \cdot \dfrac{a}{2}}{3m} = \dfrac{1}{6}a$。检验：$x_{\mathrm G}$ 在两杆重心 $a$ 和 $2a$ 之间，偏向质量大的 AB 一侧；$y_{\mathrm G}$ 是 BC 重心高度的三分之一，因为 BC 占总质量的三分之一。答案 ①。

解说　用到的是“说明”里的分割法：先写出每部分的质量和重心，再加权平均。容易卡在：把两杆的重心简单取平均（得 $(\dfrac{3}{2}a, \dfrac{1}{4}a)$，选项 ③），忘了按质量加权。选项排除：重心必须偏向 AB，$x_{\mathrm G} < \dfrac{3}{2}a$，③ 排除；$y_{\mathrm G}$ 是 BC 重心高度 $\dfrac{a}{2}$ 乘质量占比 $\dfrac{1}{3}$，④ 的 $\dfrac{1}{2}a$ 等于 BC 自己的重心高度，不可能。

例 9　（场景：圆板上挖掉一个圆 → 负质量法）

問題　次の図のように，半径 $R$ の一様な円板から，半径 $\dfrac{R}{2}$ の円板をくり抜いた。くり抜いた円の中心 P は，もとの円板の中心 O から $\dfrac{R}{2}$ の距離にある。

問　残った部分の重心 G は，O からどれだけ離れているか。正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$\dfrac{R}{6}$　　②　$\dfrac{R}{4}$　　③　$\dfrac{R}{3}$　　④　$\dfrac{R}{2}$

解答　一様な円板の質量は面積に比例する。もとの円板の質量を $M$ とすると，くり抜いた部分の質量は $\dfrac{M}{4}$，残った部分は $\dfrac{3M}{4}$。O を原点，OP の向きを正として，「残った部分 ＋ くり抜いた部分 ＝ もとの円板」の重心の関係を書くと

$$\frac{3M}{4} \cdot x_{\mathrm G} + \frac{M}{4} \cdot \frac{R}{2} = M \cdot 0 \quad \therefore\ x_{\mathrm G} = -\frac{R}{6}$$

負号は G が P と反対側にあることを表す。距離は $\dfrac{R}{6}$。検算：くり抜いた質量は全体の 4 分の 1 だけなので，重心のずれは $\dfrac{R}{2}$ よりずっと小さいはず。　答　①

中文翻译　题目：如图，从半径 $R$ 的均匀圆板上挖去一个半径 $\dfrac{R}{2}$ 的圆板。挖去的圆的中心 P 离原圆板中心 O 的距离为 $\dfrac{R}{2}$。问：剩余部分的重心 G 离 O 多远？从①～④中选一个正确的。

解答：均匀圆板的质量与面积成正比。设原圆板质量 $M$，挖去部分质量 $\dfrac{M}{4}$，剩余 $\dfrac{3M}{4}$。以 O 为原点，OP 方向为正，写“剩余部分 + 挖去部分 = 原圆板”的重心关系：$\dfrac{3M}{4} x_{\mathrm G} + \dfrac{M}{4} \cdot \dfrac{R}{2} = 0$，得 $x_{\mathrm G} = -\dfrac{R}{6}$。负号表示 G 在 P 的另一侧，距离 $\dfrac{R}{6}$。检验：挖去的质量只占四分之一，重心偏移应远小于 $\dfrac{R}{2}$。答案 ①。

解说　用到的是“说明”里的负质量法，写成“剩余 + 挖去 = 完整”更不容易错符号。容易卡在：挖去的质量按半径比算成 $\dfrac{M}{2}$（面积应按半径平方）；或忘了剩余部分的质量是 $\dfrac{3M}{4}$ 而用 $M$。选项排除：④ 的 $\dfrac{R}{2}$ 是挖去部分自己的位置，排除；重心偏移等于“挖去质量占剩余质量的比例”乘 $\dfrac{R}{2}$，即 $\dfrac{1}{3} \times \dfrac{R}{2}$，只有 ①。

常用推论

• L 形、T 形均匀细杆的重心：各段按长度加权；重心可能落在物体之外。
• 均匀圆板挖去半径 $r$、中心离 O 为 $d$ 的小圆后，重心离 O 的距离为 $\dfrac{r^2 d}{R^2 - r^2}$，在小圆的另一侧（例 9 中 $r = \dfrac{R}{2}$，$d = \dfrac{R}{2}$，得 $\dfrac{R}{6}$）。
• 两个物体组成的系统，重心在两重心连线上，把连线按质量反比内分。

易错点

• 错在哪：几部分的重心取算术平均。 为什么错：重心是按质量加权的平均，质量大的部分拉得更近。 正确做法：每一项都写成“质量 × 坐标”。
• 错在哪：均匀板按边长或半径加权。 为什么错：板的质量正比于面积，面积正比于长度的平方。 正确做法：圆板用 $\pi r^2$，方板用边长的平方。
• 错在哪：挖空后的重心算到挖空的一侧。 为什么错：挖掉一块等于少了那边的重量，重心往另一边跑。 正确做法：用负质量代入，由符号判断方向。

直观理解

重心是“把物体挂在哪一点它能平着不转”的那个点，也是物体所有重量可以当作集中在一起的点。拼接的物体，重心往重的那头跑；挖空的物体，重心往没挖的那头跑。

关联知识点

• 前置：本书 4.3 节平行力的合成（重心是平行力的合力作用点）；国内书第 4 章 4.2 节重力与重心（概念和悬挂法）。
• 后续：本书 4.6 节倒れる・すべる（重心的位置决定会不会倒）；第 6 章エネルギー（重力势能用重心高度算）。
• 常一起考：本书 4.4 节剛体のつり合い（重力作用在重心，先定重心才能列力矩）。

4.6 倒れるか，すべるか

说明

放在斜面或水平面上的物体受到推力、或斜面逐渐变陡时，可能先すべる（滑动），也可能先倒れる（倾倒）。两者的条件分开算，哪个先达到就先发生哪个。

倾倒的条件：重心的竖直线（重力的作用线）越出支持面的边缘。临界时，地面的支持力集中作用在即将翘起的那条边上，对这条边的力矩为零。

斜面上的箱子（宽 $a$、高 $b$、均匀，静摩擦系数 $\mu$）：

• 开始滑动：$\tan\theta = \mu$（国内书第 5 章 5.6 节）。
• 开始倾倒：重力作用线过下边缘，$\tan\theta = \dfrac{a}{b}$。
• $\mu < \dfrac{a}{b}$ 时先滑，$\mu > \dfrac{a}{b}$ 时先倒。

水平面上推箱子（在高度 $h$ 处施水平力 $F$）：开始滑动 $F = \mu mg$；开始倾倒时对前下边缘列力矩 $Fh = mg\dfrac{a}{2}$，即 $F = \dfrac{mga}{2h}$。

伸出桌边的板：板能伸出桌边的最大长度由“重心恰在桌边上方”决定；板上再放重物时，对桌边列力矩。

使用场景

• 斜面逐渐变陡，问先滑还是先倒、或问临界角 → 分别算 $\tan\theta = \mu$ 和 $\tan\theta = \dfrac{a}{b}$ → 小的先发生。
• 板伸出桌边、上面还放重物，问最多伸出多少 → 对桌边列力矩，支持力集中在桌边 → 重物力矩等于板重力矩。

注意点

• 倾倒的临界是“支持力集中在一条边上”，不是支持力为零；箱子仍然受支持力，只是作用点移到了边缘。
• 倾倒绕的是低的那条边（斜面上是下边缘，被推时是前边缘）。
• 两个临界条件互相独立：算滑动时不管高度，算倾倒时不管摩擦系数（但倾倒前提是没有先滑走）。
• 「倒れる」「転倒する」都是倾倒；「すべり出す」是开始滑动。

推导

斜面上的倾倒临界：箱子受重力 $mg$（重心，竖直向下）、支持力 $N$ 和摩擦力 $f$（都作用在底面）。斜面变陡时，支持力的作用点逐渐向下边缘移动（这样才能和重力平衡力矩）。到达下边缘后无法再移，再陡一点箱子就绕下边缘翻倒。临界时重力作用线恰过下边缘：从重心（底面中心上方 $\dfrac{b}{2}$ 处）向下的竖直线，到下边缘的水平偏移是 $\dfrac{a}{2}$，所以 $\tan\theta = \dfrac{a/2}{b/2} = \dfrac{a}{b}$。（关键一步：支持力的作用点可以在底面内移动，这就是为什么没倒之前箱子仍能平衡。）

推箱子的倾倒临界：对前下边缘 E 列力矩，支持力和摩擦力都作用在 E，力矩为零，只剩 $F$（力臂 $h$，使箱子向前翻）和 $mg$（力臂 $\dfrac{a}{2}$，使箱子回落）：$Fh = mg\dfrac{a}{2}$。

例题

例 10　（场景：斜面变陡 → 比较 $\mu$ 和 $\dfrac{a}{b}$ → 哪个小先发生）

問題　次の図のように，幅 0.60 m，高さ 1.0 m の一様な直方体の箱を斜面の上に置き，斜面の傾きの角 $\theta$ をゆっくり大きくしていく。箱と斜面の間の静止摩擦係数を 0.50 とする。

問　$\theta$ を大きくしていくと，箱はすべり出すか，倒れるか。また，そのときの $\tan\theta$ の値はいくらか。正しい組み合わせを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

	①	②	③	④
起こること	すべり出す	すべり出す	倒れる	倒れる
$\tan\theta$	0.50	0.60	0.50	0.60

解答　すべり出す条件は $mg\sin\theta = \mu mg\cos\theta$，すなわち $\tan\theta = \mu = 0.50$。倒れる条件は重心を通る鉛直線が下側の辺を通ること，すなわち $\tan\theta = \dfrac{a}{b} = \dfrac{0.60}{1.0} = 0.60$。$\theta$ を 0 から大きくすると $\tan\theta$ は先に 0.50 に達するので，箱は倒れる前にすべり出す。検算：背の高い箱（$b$ 大）ほど $\dfrac{a}{b}$ が小さく倒れやすい。この箱は幅に対して高さが 1.7 倍しかなく，摩擦も小さいので，すべるほうが先になるのは自然。　答　①

中文翻译　题目：如图，宽 0.60 m、高 1.0 m 的均匀长方体箱子放在斜面上，斜面倾角 $\theta$ 缓慢增大。箱子与斜面间的静摩擦系数为 0.50。问：$\theta$ 增大时，箱子是先开始滑动还是先倾倒？此时 $\tan\theta$ 的值是多少？从①～④中选出正确的组合。

解答：开始滑动的条件是 $mg\sin\theta = \mu mg\cos\theta$，即 $\tan\theta = \mu = 0.50$。倾倒的条件是过重心的竖直线通过下边缘，即 $\tan\theta = \dfrac{a}{b} = \dfrac{0.60}{1.0} = 0.60$。$\theta$ 从 0 增大时 $\tan\theta$ 先到 0.50，所以箱子在倾倒之前先滑动。检验：箱子越高（$b$ 越大），$\dfrac{a}{b}$ 越小越容易倒；这个箱子高只有宽的 1.7 倍，摩擦又小，先滑是自然的。答案 ①。

解说　用到的是“说明”里的两个临界条件，各算各的再比大小。容易卡在：以为倒不倒和摩擦有关，或者滑不滑和高度有关；两个条件互不相关。选项排除：$\tan\theta$ 的两个候选值分别对应滑（$\mu$）和倒（$\dfrac{a}{b}$），②③ 把条件配错了，直接排除；剩下比 0.50 和 0.60 哪个小。

例 11　（场景：板伸出桌边、端点放重物 → 对桌边列力矩）

問題　次の図のように，長さ $L$，質量 $m$ の一様な板を水平な台の上に置き，板の一端を台の端から長さ $x$ だけ外に出した。その一端に質量 $\dfrac{m}{2}$ のおもりをのせる。重力加速度の大きさを $g$ とする。

問　板が傾かないための $x$ の最大値はどのように表されるか。正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$\dfrac{L}{4}$　　②　$\dfrac{L}{3}$　　③　$\dfrac{L}{2}$　　④　$\dfrac{2L}{3}$

解答　傾き始める限界では，台からの垂直抗力は台の端 E に集中する。E のまわりのモーメントのつり合いを考える。板の重心は板の中点で，E から台の内側に $\dfrac{L}{2} - x$ の位置にある。おもりは E から外側に $x$。反時計回りを正とすると

$$mg\left(\frac{L}{2} - x\right) - \frac{m}{2}g \cdot x = 0 \quad \therefore\ x = \frac{L}{3}$$

検算：おもりがなければ $x = \dfrac{L}{2}$（重心が台の端に来るまで）で，おもりをのせると出せる長さは短くなるはず。$\dfrac{L}{3} < \dfrac{L}{2}$ で合っている。　答　②

中文翻译　题目：如图，长 $L$、质量 $m$ 的均匀板放在水平台面上，板的一端伸出台边长度 $x$。在这一端放一个质量 $\dfrac{m}{2}$ 的重物。重力加速度大小为 $g$。问：板不倾倒时 $x$ 的最大值怎么表示？从①～④中选一个正确的。

解答：开始倾倒的临界状态下，台面的支持力集中在台边 E。对 E 列力矩平衡。板的重心在板的中点，在 E 内侧 $\dfrac{L}{2} - x$ 处；重物在 E 外侧 $x$ 处。取逆时针为正：$mg\left(\dfrac{L}{2} - x\right) - \dfrac{m}{2}g \cdot x = 0$，得 $x = \dfrac{L}{3}$。检验：没有重物时 $x = \dfrac{L}{2}$（重心到台边为止），放上重物后能伸出的长度应变短，$\dfrac{L}{3} < \dfrac{L}{2}$，合理。答案 ②。

解说　用到的是“倾倒的临界是支持力集中在边缘”这一条，于是只剩两个重力的力矩。容易卡在：不知道支持力在哪里，于是多了一个未知量；记住临界时它在边上。选项排除：无重物时最多 $\dfrac{L}{2}$，有重物只能更短，③④ 排除；再看重物质量是板的一半，力矩平衡 $\left(\dfrac{L}{2} - x\right) = \dfrac{x}{2}$ 给出 $\dfrac{L}{3}$。

常用推论

• 斜面上均匀长方体：$\mu < \dfrac{a}{b}$ 先滑，$\mu > \dfrac{a}{b}$ 先倒；两者相等时同时发生。
• 水平推箱子：推得越高越容易倒，推力达到 $\dfrac{mga}{2h}$ 就翻；$\mu < \dfrac{a}{2h}$ 时先滑。
• 均匀板单独伸出桌边最多 $\dfrac{L}{2}$；端点放质量 $m'$ 的重物时最多 $\dfrac{mL}{2(m + m')}$（例 11 中 $m' = \dfrac{m}{2}$，得 $\dfrac{L}{3}$）。

易错点

• 错在哪：认为倾倒时支持力为零。 为什么错：箱子没有离开斜面，支持力仍然存在，只是作用点移到了边缘。 正确做法：对翘起的那条边列力矩，让支持力和摩擦力的力矩为零。
• 错在哪：用 $\tan\theta = \mu$ 判断倒不倒。 为什么错：倒不倒只看重心位置和底面宽度，和摩擦无关。 正确做法：倾倒看 $\dfrac{a}{b}$，滑动看 $\mu$，分别算。
• 错在哪：板伸出桌边的题，把板的重力算在桌边外侧。 为什么错：重心在板的中点，伸出不到一半时中点仍在桌面上方。 正确做法：先标出重心相对桌边的位置，再定力臂的方向。

直观理解

东西放得稳不稳，看重心的竖直线落不落在“脚”的范围内：落在里面就稳，落到外面就倒。矮而宽的东西难倒，高而窄的东西易倒；摩擦大的东西不滑但可能倒，摩擦小的东西先滑走。

关联知识点

• 前置：本书 4.4 节剛体のつり合い，4.5 节重心；国内书第 5 章 5.6 节平衡中的临界与极值（滑动的临界 $\tan\theta = \mu$）。
• 后续：本书第 7 章円運動（转弯的车会不会翻，也是重心竖直线和支持面的关系）。
• 常一起考：国内书第 4 章 4.4 节摩擦力（最大静摩擦力）。

4.7 题型与答法

剛体のつり合い在 EJU 里出现在大問 Ⅰ（力学）里，一次最多一题，形式以字母式为主：给一根均匀杆（棒）或梯子，问某个力的大小、作用线的位置或平衡的条件；数值题多是重心位置或“先滑还是先倒”。据 20 回公开过去问，本章内容共出现 13 次（每回平均 0.65 次）：2013 年第 1 回 2 题，其余 11 回各 1 题，8 回没有出现。

两分钟做法：

1. 画力，重力画在重心上，铰链的力拆成两个分量，光滑面只画垂直力。
2. 对未知力最多的点列力矩，一步解出要问的量；需要时再补力的平衡。
3. 用极限情形核对选项：杆竖直、角为零、质量趋于零。

問題 1　（棒を 2 点で支える：どこまでおもりを置けるか）

次の図のように，長さ $L$，質量 $m$ の一様な棒 AB を，端 A から $\dfrac{L}{4}$ の点 P と端 B の 2 か所で下から支え，水平に保った。端 A に質量 $m'$ のおもりをのせる。重力加速度の大きさを $g$ とする。

問　棒が傾かないための $m'$ の最大値はどのように表されるか。正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$\dfrac{m}{2}$　　②　$m$　　③　$2m$　　④　$3m$

解答　おもりを重くすると，棒は P を支点にして A 側が下がろうとし，B での垂直抗力 $N_{\mathrm B}$ が減っていく。傾き始める限界は $N_{\mathrm B} = 0$ のとき。P のまわりのモーメントのつり合いより，反時計回りを正として（A が左，B が右）

$$m'g \cdot \frac{L}{4} - mg \cdot \frac{L}{4} + N_{\mathrm B} \cdot \frac{3L}{4} = 0$$

$N_{\mathrm B} = 0$ とおくと $m' = m$。検算：棒の重心 P から右に $\dfrac{L}{4}$，おもりは左に $\dfrac{L}{4}$ で腕が等しいので，質量も等しいときに釣り合う。　答　②

中文翻译　题目：如图，长 $L$、质量 $m$ 的均匀杆 AB，由离 A 端 $\dfrac{L}{4}$ 的 P 点和 B 端两处从下方支撑，保持水平。在 A 端放质量 $m'$ 的重物。重力加速度大小为 $g$。问：杆不倾倒时 $m'$ 的最大值怎么表示？从①～④中选一个正确的。

解答：重物加重时，杆会以 P 为支点、A 侧下沉，B 处的支持力 $N_{\mathrm B}$ 减小。开始倾倒的临界是 $N_{\mathrm B} = 0$。对 P 列力矩平衡，取逆时针为正（A 在左，B 在右）：$m'g \cdot \dfrac{L}{4} - mg \cdot \dfrac{L}{4} + N_{\mathrm B} \cdot \dfrac{3L}{4} = 0$。令 $N_{\mathrm B} = 0$ 得 $m' = m$。检验：杆的重心在 P 右侧 $\dfrac{L}{4}$，重物在 P 左侧 $\dfrac{L}{4}$，力臂相等，质量相等时恰好平衡。答案 ②。

解说　这是“临界 = 某个支持力为零”的套路，和 4.6 节板伸出桌边是同一个思路。两分钟做法：看到“傾かない最大”立刻想到远端支持力为零，对近端支点列力矩。选项排除：重心和重物到 P 的距离相等，所以 $m' = m$ 一眼可见；①③④ 都是把距离比弄错的结果。

問題 2　（段差を乗り越える円柱）

次の図のように，半径 $r$，質量 $m$ の一様な円柱を水平な床の上に置き，高さ $h$（$h < r$）の段差に押し当てた。円柱の中心軸に水平方向の力 $F$ を加えて，円柱を段差に乗り上げさせたい。重力加速度の大きさを $g$ とする。

問　円柱が段差に乗り上がり始めるときの $F$ の大きさはどのように表されるか。正しいものを，次の①～④の中から一つ選びなさい。

①　$\dfrac{mg(r - h)}{\sqrt{2rh - h^2}}$　　②　$\dfrac{mg\sqrt{2rh - h^2}}{r - h}$　　③　$\dfrac{mgh}{r - h}$　　④　$\dfrac{mg\sqrt{2rh - h^2}}{r}$

解答　乗り上がり始める限界では，床からの垂直抗力が 0 になり，円柱にはたらく力は重力 $mg$，段差の角 E からの力，および $F$ の 3 つ。E からの力のモーメントが 0 になる E のまわりで考える。中心 O から E までの鉛直距離は $r - h$，水平距離は $\sqrt{r^2 - (r - h)^2} = \sqrt{2rh - h^2}$。$F$ の腕は $r - h$，$mg$ の腕は $\sqrt{2rh - h^2}$ なので

$$F(r - h) = mg\sqrt{2rh - h^2} \quad \therefore\ F = \frac{mg\sqrt{2rh - h^2}}{r - h}$$

検算：$h \to 0$ のとき $F \to 0$（段差がなければ力はいらない），$h \to r$ のとき $F \to \infty$（半径と同じ高さの段差は水平に押しても乗り上げられない）。　答　②

中文翻译　题目：如图，半径 $r$、质量 $m$ 的均匀圆柱放在水平地面上，顶在高 $h$（$h < r$）的台阶上。在圆柱的中心轴上施加水平力 $F$，想让圆柱爬上台阶。重力加速度大小为 $g$。问：圆柱开始爬上台阶时 $F$ 的大小怎么表示？从①～④中选一个正确的。

解答：开始爬上的临界状态下，地面的支持力变为 0，圆柱只受重力 $mg$、台阶棱角 E 的力和 $F$。对 E 列力矩，E 的力不出现。中心 O 到 E 的竖直距离是 $r - h$，水平距离是 $\sqrt{r^2 - (r - h)^2} = \sqrt{2rh - h^2}$。$F$ 的力臂是 $r - h$，$mg$ 的力臂是 $\sqrt{2rh - h^2}$，所以 $F(r - h) = mg\sqrt{2rh - h^2}$，$F = \dfrac{mg\sqrt{2rh - h^2}}{r - h}$。检验：$h \to 0$ 时 $F \to 0$（没有台阶不需要力）；$h \to r$ 时 $F \to \infty$（台阶和半径一样高，水平推不上去）。答案 ②。

解说　两分钟做法：临界时地面支持力为零，对台阶棱角列力矩，只剩 $F$ 和 $mg$ 两个力矩；力臂用勾股定理。选项排除：$h \to r$ 时 $F$ 应发散，③④ 的分母在 $h = r$ 时 ③ 发散但 $h \to 0$ 时 ③ 不趋于零，④ 在 $h \to r$ 时不发散，①在 $h \to 0$ 时发散，全部排除，只剩 ②。两个极限一起用，不算也能选。

4.8 术语与题干用语

日文	读音	中文	例句或说明
剛体	ごうたい	刚体	大きさがあり，力を加えても変形しない物体
力のモーメント	ちからのモーメント	力矩	O のまわりの力のモーメント：对 O 点的力矩
腕の長さ	うでのながさ	力臂	回転軸から力の作用線までの距離
作用線	さようせん	作用线	力の向きに引いた直線
反時計回り・時計回り	はんとけいまわり・とけいまわり	逆时针、顺时针	反時計回りを正とする：取逆时针为正
偶力	ぐうりょく	力偶	大きさが等しく逆向きで作用線が異なる 2 力
剛体のつり合い	ごうたいのつりあい	刚体平衡	力のつり合いとモーメントのつり合い
重心	じゅうしん	重心	一様な棒の重心は中点
一様な	いちような	均匀的	一様な棒・一様な円板
蝶番	ちょうつがい	铰链	壁に取り付けた蝶番で支える
はしご	はしご	梯子	壁に立てかけたはしご
垂直抗力	すいちょくこうりょく	支持力	床からの垂直抗力 $N$；也简称「抗力」
静止摩擦係数	せいしまさつけいすう	静摩擦系数	記号 $\mu$（動摩擦係数は $\mu'$）
なめらかな・粗い	なめらかな・あらい	光滑的、粗糙的	なめらかな壁（无摩擦）、粗い床（有摩擦）
倒れる・転倒する	たおれる・てんとうする	倾倒	箱が倒れる
すべり出す	すべりだす	开始滑动	箱がすべり出す
くり抜く	くりぬく	挖空	円板をくり抜く
段差	だんさ	台阶、高度差	段差に乗り上げる：爬上台阶
〜のまわりの	〜のまわりの	绕……、对……点的	A のまわりのモーメントのつり合い
水平に保つ	すいへいにたもつ	保持水平	糸で棒を水平に保った
〜が傾かないための	〜がかたむかないための	为使……不倾斜	棒が傾かないための $x$ の最大値

4.9 自测

1. 長さ 1.5 m の軽い棒の一端を支点とし，他端に棒と $60^\circ$ をなす向きに 20 N の力を加えた。支点のまわりの力のモーメントの大きさは何 N·m か。　（长 1.5 m 的轻杆一端为支点，另一端加一个与杆成 $60^\circ$、大小 20 N 的力，求对支点的力矩大小。）
2. 長さ 4.0 m の軽い棒を両端で支え，一端から 1.0 m の点に 60 N の荷物をつるした。荷物に近いほうの端が受ける力は何 N か。　（长 4.0 m 的轻杆两端支撑，离一端 1.0 m 处挂 60 N 的重物，靠近重物的那端受力多少牛？）
3. 直径 0.50 m のハンドルを，直径の両端に 4.0 N の逆向きの力を加えて回す。偶力のモーメントは何 N·m か。　（直径 0.50 m 的方向盘，直径两端各加 4.0 N 反向的力，力偶的力矩是多少？）
4. 長さ $L$，質量 $m$ の一様な棒の一端を蝶番で壁に取り付け，他端を棒と $45^\circ$ をなす糸で引いて棒を水平に保つ。糸の張力はいくらか。　（长 $L$、质量 $m$ 的均匀杆一端铰链固定，另一端用与杆成 $45^\circ$ 的绳拉住保持水平，绳的拉力是多少？）
5. 長さ $3a$ の一様な棒の一端に，長さ $a$ の同じ棒を直角につないだ。重心は，長い棒の自由端から長い棒に沿って測ってどこにあるか。　（长 $3a$ 的均匀杆一端垂直接一根长 $a$ 的同样的杆，重心沿长杆从自由端量起在哪里？）
6. 幅 0.40 m，高さ 1.2 m の一様な箱を斜面に置く。静止摩擦係数が 0.40 のとき，傾きを増すと先に起こるのはすべりか転倒か。　（宽 0.40 m、高 1.2 m 的均匀箱子放在斜面上，静摩擦系数 0.40，倾角增大时先滑还是先倒？）

答案：1. $20 \times 1.5 \times \sin 60^\circ \approx 26\ \mathrm{N \cdot m}$　2. 45 N（远端 15 N）　3. 2.0 N·m　4. $\dfrac{mg}{2\sin 45^\circ} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}mg$　5. 沿长杆离自由端 $\dfrac{3a \cdot \frac{3a}{2} + a \cdot 3a}{4a} = \dfrac{15}{8}a$，并偏离长杆 $\dfrac{a}{8}$　6. $\dfrac{a}{b} = \dfrac{1}{3} < \mu = 0.40$，先倒

4.10 深入阅读

• JASSO · 理科（物理）シラバス：官方出题范围原文，本章对应「剛体にはたらく力のつり合い」：力のモーメント、合力、偶力、剛体のつり合い、重心。
• 维基百科（日文）· 力のモーメント：力矩的日文定义、腕の長さ的说法和反時計回りを正とする符号约定，查术语时用。
• 维基百科（日文）· 剛体：剛体のつり合い的两个条件（力のつり合い、力のモーメントのつり合い）的日文表述。
• PhET · 平衡实验：在跷跷板上放重物，看力矩平衡和重心位置，理解力臂和图 4.1 的定义。