第 1 章 · 物理量、单位与图像

项目	内容
课标主题	必修 1 · 机械运动与物理模型（矢量和标量）；相互作用与运动定律（国际单位制）；贯穿全书的图像与估算方法
人教版（2019）	必修第一册 第一章 1.2”时间 位移”（矢量和标量）、第四章 4.4”力学单位制”；图像散见各章
考试地位	单位制、矢量很少单独成题，常作为选择题的一个选项；图像的斜率和面积几乎每卷都用（运动图像、电学图像、F-x 图像）；估算偶考
前置知识	初中物理的速度、力、密度；数学的一次函数和直线斜率（见《高中数学知识点梳理》第 28 章）

这一章不讲哪一种运动，而是讲后面每一章都要用的四样工具：单位、方向、图像、数量级。物理题丢分，很多不是因为不会，而是因为单位没换算、方向没取正、图像只会看点不会看斜率和面积、算出一个离谱的数自己看不出来。本章把这四样一次讲清楚，后面各章直接用。

1.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
1.2 物理量与国际单位制	七个基本单位，其余单位由公式导出；列式前统一成国际单位，算完用单位检验	选择题偶考概念；计算题处处要用
1.3 矢量与标量	有方向、按平行四边形定则合成的是矢量；一条直线上的矢量用正负号表示方向	必用，丢方向是最常见的失分
1.4 图像的斜率和面积	斜率是“纵轴量 ÷ 横轴量”，面积是“纵轴量 × 横轴量”，各自对应一个物理量	必考，运动图像、电学图像题的核心
1.5 估算与数量级	建简化模型、取常识数值、只保留数量级；也用来检验答案	偶考估算题；检验答案时处处要用

1.2 物理量与国际单位制

说明

物理量由数值和单位两部分组成，如 $v = 20\ \mathrm{m/s}$。只写数值不写单位，这个量就没有意义。

国际单位制（SI） 选定七个基本量，它们的单位叫基本单位：

基本量	符号	基本单位	单位符号
长度	$l$	米	$\mathrm{m}$
质量	$m$	千克	$\mathrm{kg}$
时间	$t$	秒	$\mathrm{s}$
电流	$I$	安培	$\mathrm{A}$
热力学温度	$T$	开尔文	$\mathrm{K}$
物质的量	$n$	摩尔	$\mathrm{mol}$
发光强度	$I_{\text{v}}$	坎德拉	$\mathrm{cd}$

力学只用前三个：米、千克、秒。

导出单位：其余物理量的单位都由定义式或规律从基本单位推出来。常用的几个：

物理量	由哪个式子导出	导出单位	用基本单位表示
速度	$v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$	$\mathrm{m/s}$	$\mathrm{m \cdot s^{-1}}$
加速度	$a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$	$\mathrm{m/s^2}$	$\mathrm{m \cdot s^{-2}}$
力	$F = ma$	牛顿 $\mathrm{N}$	$\mathrm{kg \cdot m \cdot s^{-2}}$
功、能	$W = Fx$	焦耳 $\mathrm{J}$	$\mathrm{kg \cdot m^2 \cdot s^{-2}}$
功率	$P = \dfrac{W}{t}$	瓦特 $\mathrm{W}$	$\mathrm{kg \cdot m^2 \cdot s^{-3}}$
压强	$p = \dfrac{F}{S}$	帕斯卡 $\mathrm{Pa}$	$\mathrm{kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-2}}$
电荷量	$q = It$	库仑 $\mathrm{C}$	$\mathrm{A \cdot s}$

单位制：基本单位和导出单位合在一起叫单位制。国际单位制是其中一种；厘米、克、千米每时、千瓦时这些是常用的非国际单位，列式前要换算。

单位检验：一个正确的物理公式，等号两边的单位必须相同；相加减的各项单位也必须相同。

使用场景

• 题目给的数据单位不统一（$\mathrm{km/h}$、$\mathrm{g}$、$\mathrm{cm}$、$\mathrm{min}$）→ 看成“同一个物理量换了单位” → 列式前全部换成国际单位，答案自然是国际单位。
• 要判断一个公式或表达式写得对不对（选择题给几个表达式、自己推导的结果没把握）→ 把每个字母换成它的单位 → 两边单位不同的一定错。
• 选择题问哪些是基本单位、哪些是导出单位、哪些不是国际单位 → 对照七个基本单位 → 牛顿、焦耳、瓦特这些有名字的单位都是导出单位。

注意点

• “基本单位”和“国际单位”不是一回事。牛顿是国际单位，但不是基本单位；厘米是基本量长度的单位，但不是国际单位。
• 千克是基本单位，克不是。质量换算最常错：$500\ \mathrm{g} = 0.5\ \mathrm{kg}$。
• 速度换算：$1\ \mathrm{m/s} = 3.6\ \mathrm{km/h}$。$72\ \mathrm{km/h} = 20\ \mathrm{m/s}$，$36\ \mathrm{km/h} = 10\ \mathrm{m/s}$。
• 单位检验只能查出“一定错”，查不出“一定对”：$2\pi$、$\dfrac{1}{2}$ 这类纯数字没有单位，写错了单位也看不出来。
• 角度在公式里用弧度 $\mathrm{rad}$，它是两个长度之比，单位检验时当作纯数字。

推导

导出单位是怎样“导出”的：以力为例。牛顿第二定律 $F = ma$ 规定了力的大小。让质量 $1\ \mathrm{kg}$ 的物体产生 $1\ \mathrm{m/s^2}$ 加速度的力，就定为 $1\ \mathrm{N}$：

$$1\ \mathrm{N} = 1\ \mathrm{kg} \times 1\ \mathrm{m/s^2} = 1\ \mathrm{kg \cdot m/s^2}$$

（关键一步：公式 $F = ma$ 在规定数值关系的同时，也规定了单位关系。式子两边的数要相等，单位也就跟着“相等”，所以力的单位只能是 $\mathrm{kg \cdot m/s^2}$。）

功的单位接着由 $W = Fx$ 导出：$1\ \mathrm{J} = 1\ \mathrm{N \cdot m} = 1\ \mathrm{kg \cdot m^2/s^2}$。每个新单位都靠一个公式接到已有的单位上，追到最后都是基本单位。

为什么单位检验有效：物理公式表示的是物理量之间的关系，不只是数之间的关系。如果等号两边单位不同，比如左边是秒、右边是米，那么改用另一种单位（把米换成厘米）时，右边的数变成 100 倍，左边不变，等式就不成立了。真正的物理规律不会因为换单位而失效，所以两边单位必须相同。

例题

例 1　（场景：单位不统一）汽车以 $72\ \mathrm{km/h}$ 的速度行驶，紧急刹车后做匀减速直线运动，加速度大小为 $5\ \mathrm{m/s^2}$，求刹车后汽车滑行的距离。

解：

研究对象：汽车，看成质点。

过程划分：只有一个过程，从开始刹车到停下，匀减速直线运动。

分析：已知初速度、末速度（0）和加速度，求位移，不涉及时间，用速度位移关系（第 3 章）。先换单位：$v_0 = 72\ \mathrm{km/h} = \dfrac{72}{3.6}\ \mathrm{m/s} = 20\ \mathrm{m/s}$。

列式求解：取初速度方向为正方向，则 $a = -5\ \mathrm{m/s^2}$。由 $v^2 - v_0^2 = 2ax$：

$$x = \frac{v^2 - v_0^2}{2a} = \frac{0 - 20^2}{2 \times (-5)}\ \mathrm{m} = 40\ \mathrm{m}$$

检验：单位：$\dfrac{(\mathrm{m/s})^2}{\mathrm{m/s^2}} = \mathrm{m}$，对。量级：汽车高速刹车滑行几十米，合理。

容易卡在：直接把 72 代进去，得到 $518.4\ \mathrm{m}$，比一个足球场还长，一检验就知道错了。

例 2　（场景：用单位判断公式对错）某同学推导弹簧振子的周期，得到 $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{k}{m}}$，其中 $k$ 是劲度系数（单位 $\mathrm{N/m}$），$m$ 是质量。用单位判断这个结果是否正确。

解：

判断依据：周期的单位是 $\mathrm{s}$，等号右边的单位必须也是 $\mathrm{s}$。

右边：$2\pi$ 是纯数字。$k$ 的单位 $\mathrm{N/m} = \dfrac{\mathrm{kg \cdot m/s^2}}{\mathrm{m}} = \mathrm{kg/s^2}$，所以

$$\sqrt{\frac{k}{m}} \text{ 的单位} = \sqrt{\frac{\mathrm{kg/s^2}}{\mathrm{kg}}} = \sqrt{\mathrm{s^{-2}}} = \mathrm{s^{-1}}$$

右边是 $\mathrm{s^{-1}}$，不是 $\mathrm{s}$，所以结果一定错。把根号里倒过来，$\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ 的单位正好是 $\mathrm{s}$。正确的公式是 $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$。高中一般只要求记单摆的周期公式（第 21 章），这个式子不用记，这里只用来练单位检验。

容易卡在：牛顿不拆成基本单位，$\mathrm{N/m}$ 和 $\mathrm{kg}$ 约不掉。单位检验时，把导出单位都拆成米、千克、秒。

例 3　（场景：基本单位的辨认）下列单位中，属于国际单位制基本单位的是（　）。

A. 牛顿　B. 千克　C. 焦耳　D. 千米

解：B。

判断依据：国际单位制的基本单位只有七个，力学里是米、千克、秒。

牛顿、焦耳是国际单位，但是由 $F = ma$、$W = Fx$ 导出的，属于导出单位；千米是长度的单位，但不是国际单位（国际单位是米）。

常用推论

• 速度换算：$v(\mathrm{m/s}) = \dfrac{v(\mathrm{km/h})}{3.6}$。由 $1\ \mathrm{km/h} = \dfrac{1000\ \mathrm{m}}{3600\ \mathrm{s}}$ 得出。
• 所有量都用国际单位代入，算出的结果一定是国际单位，中途不用写单位，最后补上即可（例 1 就是这样算的）。
• 单位检验可以反过来用：已知某个量只和几个量有关，可以由单位“凑”出它的形式（例 2 中周期只能是 $\sqrt{m/k}$ 乘一个纯数字）。纯数字是多少，单位定不了，要靠推导或实验。

易错点

• 错在哪：质量用克、长度用厘米直接代入 $F = ma$，算出的力当成牛顿。 为什么错：$1\ \mathrm{N}$ 是按千克和米定义的，用克和厘米代入，算出的数不是牛顿数。 正确做法：列式前把所有量换成国际单位。
• 错在哪：认为“国际单位”就是“基本单位”，选择题里把牛顿选成基本单位。 为什么错：基本单位只有七个，牛顿是由 $F = ma$ 导出的。 正确做法：记住力学的三个基本单位：米、千克、秒。其他带名字的单位（牛、焦、瓦、帕、库）都是导出单位。
• 错在哪：单位检验通过，就认为公式一定对。 为什么错：$x = v_0t + at^2$ 和 $x = v_0t + \dfrac{1}{2}at^2$ 单位都对，但前者错了。纯数字因子单位查不出来。 正确做法：单位检验用来排除错误，确认正确要靠推导。

直观理解

单位就像货币。人民币和美元不能直接相加，要先换成同一种；物理量也一样，米和厘米、千米每时和米每秒，要先换成同一种单位才能放进一个式子里。七个基本单位是“本位币”，其余单位都是用公式从它们“兑换”出来的。

关联知识点

• 后续：第 3 章匀变速直线运动的公式，代入前统一单位。
• 后续：第 6 章牛顿第二定律，力的单位牛顿由它定义。
• 后续：第 12 章功和功率，焦耳、瓦特的导出。
• 后续：第 37 章实验基础，测量结果的单位和有效数字。

1.3 矢量与标量

说明

矢量：既有大小又有方向，相加时遵从平行四边形定则（或三角形定则）的物理量。如位移、速度、加速度、力、动量、电场强度、磁感应强度。

标量：只有大小、没有方向，相加时按代数法则的物理量。如路程、时间、质量、功、能量、温度。

位移和路程：

• 位移是从初位置指向末位置的有向线段，是矢量，大小是两点间的直线距离。
• 路程是物体运动轨迹的长度，是标量。
• 只有物体做单向直线运动时，位移的大小才等于路程；其他情况下，位移的大小小于路程。

矢量的表示：

• 作图时用带箭头的线段：长度表示大小，箭头表示方向。
• 书写时字母上加箭头，如 $\vec{F}$、$\vec{v}$；只说大小时写 $F$、$v$。
• 一条直线上的矢量，先规定一个正方向，与正方向相同的取正值，相反的取负值。这时正负号只表示方向，不表示大小：$-5\ \mathrm{m/s}$ 比 $3\ \mathrm{m/s}$ 快。

矢量的合成：两个矢量 $\vec{A}$、$\vec{B}$ 合成时，以它们为邻边作平行四边形，从公共起点出发的对角线就是合矢量。等价地，把 $\vec{B}$ 平移到 $\vec{A}$ 的末端，从 $\vec{A}$ 的起点指向 $\vec{B}$ 的末端，就是合矢量（三角形定则）。

矢量的差：$\Delta\vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$，即 $\vec{v}_1 + \Delta\vec{v} = \vec{v}_2$。速度变化量也是矢量，方向就是加速度的方向。

使用场景

• 物体沿曲线运动或在直线上往返，问位移、路程 → 位移看初、末位置，路程看轨迹 → 位移是有向线段，路程是轨迹长度。
• 几个矢量在一条直线上（竖直上抛、反弹、往返）→ 一维矢量 → 先取正方向，每个量带正负号代入，结果的正负号就是方向。
• 两个矢量不在一条直线上（两个力成角度、两个分速度）→ 矢量合成 → 平行四边形定则，或分解到两个垂直方向再合成。
• 选择题问某个量是不是矢量 → 看它相加时是否遵从平行四边形定则 → 只有大小加方向还不够。

注意点

• 规定正方向后，所有同一直线上的矢量都按这个方向定正负，中途不能换。题目没规定的，一般取初速度方向为正。
• 矢量的答案必须写方向。“加速度为 $-2\ \mathrm{m/s^2}$“要说明”负号表示与正方向相反”，或者直接写“大小 $2\ \mathrm{m/s^2}$，方向与初速度相反”。
• 电流有方向，但它是标量：两条导线的电流在节点处汇合，总电流是代数相加，不按平行四边形定则。
• 有正负的不一定是矢量：温度 $-5\ ^\circ\mathrm{C}$、功 $-10\ \mathrm{J}$、电势 $-3\ \mathrm{V}$ 都是标量，正负号表示大小或做功的性质，不表示方向。
• 两个矢量相等，要求大小相等且方向相同。匀速圆周运动的速度大小不变，但方向一直在变，所以速度在变。

推导

平行四边形定则从哪里来：先看位移。一个人从 $O$ 走到 $P$（位移 $\vec{A}$），再从 $P$ 走到 $Q$（位移 $\vec{B}$），他总的位置变化就是从 $O$ 到 $Q$。这就是三角形定则：$\vec{A} + \vec{B} = \overrightarrow{OQ}$。

把 $\vec{B}$ 平移回起点 $O$，以 $\vec{A}$、$\vec{B}$ 为邻边作平行四边形，$\overrightarrow{OQ}$ 正好是对角线。所以两种画法等价。

（关键一步：位移只由初、末位置决定，和中间怎么走无关，所以“先 $\vec{A}$ 后 $\vec{B}$“和”直接从 $O$ 到 $Q$“是同一个位移。）

速度、加速度、力为什么也这样合成？速度是位移除以时间，位移按平行四边形合成，速度也就跟着这样合成。力的合成法则来自实验：用两个弹簧测力计成角度拉橡皮条，再用一个测力计把橡皮条拉到同一位置，三个力的图示恰好构成平行四边形（第 38 章的实验“探究两个互成角度的力的合成规律”）。

一条直线上为什么能用正负号：直线上的矢量只有两个方向。规定一个为正，矢量就可以用一个带符号的数表示，平行四边形退化成首尾相接的线段，合成就变成代数相加。

例题

例 1　（场景：位移与路程）运动员沿半径 $R = 10\ \mathrm{m}$ 的半圆形跑道从 $A$ 跑到 $B$（$A$、$B$ 是直径的两端），求他的路程和位移（$\pi$ 取 3.14）。

解：

判断依据：路程看轨迹长度，位移看初、末位置。

路程是半圆弧长：$s = \pi R = 3.14 \times 10\ \mathrm{m} = 31.4\ \mathrm{m}$。

位移是从 $A$ 到 $B$ 的有向线段，大小等于直径：$x = 2R = 20\ \mathrm{m}$，方向由 $A$ 指向 $B$。

图见本节“说明”。如果他跑完整一圈回到 $A$，路程是 $2\pi R = 62.8\ \mathrm{m}$，位移是 0。

例 2　（场景：一条直线上的矢量）小球以 $8\ \mathrm{m/s}$ 的速度竖直落到地面，以 $6\ \mathrm{m/s}$ 的速度竖直弹起，与地面接触的时间为 $0.1\ \mathrm{s}$。求小球与地面接触过程中速度的变化量和平均加速度。

解：

研究对象：小球。

过程划分：只看与地面接触的 $0.1\ \mathrm{s}$，初速度向下，末速度向上。

分析：初、末速度在同一条竖直线上，方向相反，是一维矢量问题，必须先取正方向。

列式求解：取竖直向上为正方向，则 $v_1 = -8\ \mathrm{m/s}$，$v_2 = 6\ \mathrm{m/s}$。

$$\Delta v = v_2 - v_1 = 6\ \mathrm{m/s} - (-8\ \mathrm{m/s}) = 14\ \mathrm{m/s}$$ $$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{14}{0.1}\ \mathrm{m/s^2} = 140\ \mathrm{m/s^2}$$

结果为正，速度变化量大小 $14\ \mathrm{m/s}$、平均加速度大小 $140\ \mathrm{m/s^2}$，方向都竖直向上。

检验：单位对。方向：地面对球的作用把球往上推，加速度向上，合理。量级：碰撞时间很短，加速度很大，是重力加速度的十几倍，合理。

容易卡在：直接用 $6 - 8 = -2\ \mathrm{m/s}$，忘了两个速度方向相反。

例 3　（场景：不在一条直线上的矢量合成）一个物体同时受到两个力：$F_1 = 3\ \mathrm{N}$，水平向东；$F_2 = 4\ \mathrm{N}$，水平向北。求合力的大小和方向（$\sin 37^\circ = 0.6$，$\cos 37^\circ = 0.8$）。

解：

研究对象：物体受的两个力。

过程划分：不涉及过程，只做一次合成。

分析：两个力互相垂直，用平行四边形定则，平行四边形是矩形，合力是对角线。

列式求解：合力大小

$$F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{3^2 + 4^2}\ \mathrm{N} = 5\ \mathrm{N}$$

设合力与正东方向的夹角为 $\theta$，$\tan\theta = \dfrac{F_2}{F_1} = \dfrac{4}{3}$。由 $\sin 53^\circ = \cos 37^\circ = 0.8$、$\cos 53^\circ = \sin 37^\circ = 0.6$ 得 $\tan 53^\circ = \dfrac{4}{3}$，所以 $\theta = 53^\circ$。合力 $5\ \mathrm{N}$，方向东偏北 $53^\circ$。

检验：合力介于 $|F_1 - F_2| = 1\ \mathrm{N}$ 和 $F_1 + F_2 = 7\ \mathrm{N}$ 之间，合理。方向偏向较大的 $F_2$ 一侧（$53^\circ > 45^\circ$），合理。

另一种解法：把两个力看成坐标：东为 $x$ 轴、北为 $y$ 轴，$\vec{F_1} = (3, 0)$，$\vec{F_2} = (0, 4)$，合力 $\vec{F} = (3, 4)$，大小 $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。两个力不垂直、或者有三个以上的力时，这种“分解到坐标轴再合成”的办法（正交分解，第 4 章）比画平行四边形方便得多；只有两个力时，直接画平行四边形更直观。

例 4　（场景：判断是否为矢量）下列物理量中，属于矢量的是（　）。

A. 路程　B. 电流　C. 加速度　D. 功

解：C。

判断依据：矢量要有方向，并且相加遵从平行四边形定则。

路程、功只有大小，是标量。电流虽然有方向，但电路中汇合的电流是代数相加，不按平行四边形定则，所以是标量。加速度有方向，按平行四边形定则合成，是矢量。

常用推论

• 两个矢量合成，合矢量的大小范围是 $|A - B| \le |\vec{A} + \vec{B}| \le A + B$；同向时最大，反向时最小。由三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边得出。
• 两个大小相等、夹角 $120^\circ$ 的矢量，合矢量和它们一样大，方向在角平分线上。作图可见平行四边形是两个等边三角形拼成的菱形。
• 两个垂直矢量合成：大小 $\sqrt{A^2 + B^2}$，与 $\vec{A}$ 的夹角 $\theta$ 满足 $\tan\theta = \dfrac{B}{A}$（例 3）。
• 物体做单向直线运动时，位移大小等于路程；只要有往返或拐弯，位移大小一定小于路程。

易错点

• 错在哪：竖直上抛、反弹这类题，速度直接用大小相减。 为什么错：直觉把速度当成“快慢”，忘了它有方向。例 2 中速度由向下变成向上，变化量比两个速度的大小都大。 正确做法：同一直线上的矢量，先写“取……为正方向”，每个量带符号代入。
• 错在哪：认为 $-5\ \mathrm{m/s}$ 比 $3\ \mathrm{m/s}$ 慢。 为什么错：负号表示方向和正方向相反，不表示“小”。 正确做法：比较快慢看绝对值，$5\ \mathrm{m/s}$ 更快。
• 错在哪：认为有正负号的量都是矢量（功、电势），有方向的量都是矢量（电流）。 为什么错：判断矢量的标准是“合成时遵从平行四边形定则”。功的正负表示力是动力还是阻力；电流的方向只是代数相加时的符号。 正确做法：遇到不熟悉的量，问一句“它怎么相加”。
• 错在哪：认为两个力合成，合力一定比分力大。 为什么错：合力在 $|F_1 - F_2|$ 和 $F_1 + F_2$ 之间，两个力夹角大于 $120^\circ$ 时，合力比两个分力都小（大小相等时）。 正确做法：用平行四边形作图判断，不凭“加起来就变大”的直觉。

直观理解

位移是“直升机看到的变化”：只看从哪儿到哪儿；路程是“计步器记下的距离”：走过多少算多少。

矢量相加就是“接着走”：先走 $\vec{A}$，再从终点走 $\vec{B}$，最后离起点多远、在哪个方向，就是合矢量。

关联知识点

• 前置：平面向量的加法、减法和数乘，见《高中数学知识点梳理》第 14 章；坐标运算见第 15 章。物理的矢量运算和数学的向量运算是同一套规则。
• 后续：第 2 章位移、速度、加速度的定义都是矢量。
• 后续：第 4 章力的合成与分解、正交分解。
• 后续：第 8 章运动的合成与分解，速度按平行四边形定则合成。
• 后续：第 19、20 章动量是矢量，动量守恒要先取正方向。

1.4 图像的斜率和面积

说明

物理里画的图像，横轴和纵轴都是物理量。读图除了看点，还要看两样东西：

• 斜率：图线上两点的 $\dfrac{\Delta(\text{纵轴量})}{\Delta(\text{横轴量})}$。如果“纵轴量除以横轴量”是某个物理量的定义，斜率就是这个物理量。
• 面积：图线与横轴围成的面积，等于“纵轴量乘横轴量”的累积。如果这个乘积是某个物理量，面积就是这个物理量。

斜率的单位是纵轴单位除以横轴单位，面积的单位是纵轴单位乘横轴单位，算的时候按坐标轴上的刻度，不按图上的厘米。

图像	斜率表示	面积表示	详见
$x$-$t$	速度 $v$	（无意义）	第 2 章
$v$-$t$	加速度 $a$	位移 $x$	第 2、3 章
$a$-$t$	（很少用）	速度变化量 $\Delta v$	第 3 章
$F$-$x$	（弹簧为劲度系数 $k$）	力做的功 $W$	第 4、12 章
$F$-$t$	（很少用）	冲量 $I$	第 19 章
$P$-$t$	（很少用）	功 $W$	第 12 章
$I$-$t$	（很少用）	电荷量 $q$	第 16、17 章
$U$-$I$（电阻）	电阻 $R$	（很少用）	第 17 章
$U$-$I$（电源）	斜率的绝对值是内阻 $r$，纵截距是电动势 $E$	（很少用）	第 18 章
$\Phi$-$t$	感应电动势 $E$（单匝）	（无意义）	第 28 章

曲线图像：两点连线的斜率是这段时间内的平均值；某点切线的斜率是该时刻的瞬时值。

截距：图线与纵轴的交点，常表示初始值（如 $v$-$t$ 图的纵截距是初速度）。

使用场景

• 给出 $v$-$t$ 图像，问加速度或判断运动性质 → 斜率 = 加速度 → 直线说明加速度不变，倾斜方向说明加速度的方向。
• 给出 $v$-$t$ 图像，问某段时间的位移 → 面积 = 位移 → 把面积拆成三角形、矩形、梯形分块算，横轴下方的面积取负。
• 图线是曲线，问某一时刻的瞬时量 → 切线斜率 → 过该点作切线，读切线上两个点算斜率。
• 力随位移变化（弹簧弹力、变力），问力做的功 → $F$-$x$ 图面积 = 功 → 不能用 $W = Fx$ 直接算，因为 $F$ 不是恒力。

注意点

• 先看清横轴、纵轴分别是什么量。$x$-$t$ 图和 $v$-$t$ 图外形可以一模一样，意义完全不同：$x$-$t$ 图上的水平线表示静止，$v$-$t$ 图上的水平线表示匀速。
• 斜率、面积都按坐标刻度和单位算。纵轴单位是 $\mathrm{km}$、横轴是 $\mathrm{h}$ 时，斜率的单位是 $\mathrm{km/h}$。
• $v$-$t$ 图在横轴下方的部分，速度为负，对应的位移也为负。求位移时上下面积相减；求路程时上下面积都取正相加。
• 图像不是轨迹。$x$-$t$ 图是曲线，物体可能在做直线运动，曲线只表示位置随时间变化得不均匀。
• 不是每种图像的斜率和面积都有意义，要看“纵轴量 ÷ 横轴量”“纵轴量 × 横轴量”能不能组成一个物理量。

推导

为什么 $v$-$t$ 图的斜率是加速度：加速度定义为 $a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$。$v$-$t$ 图上两点间的纵坐标差是 $\Delta v$，横坐标差是 $\Delta t$，斜率 $\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$ 正是这段时间的平均加速度。两点无限靠近时，割线变成切线，切线斜率就是瞬时加速度。

为什么 $v$-$t$ 图的面积是位移（微元法）：

1. 匀速运动时，$v$-$t$ 图是水平线，位移 $x = vt$，正好是矩形面积。
2. 速度变化时，把时间分成许多小段 $\Delta t$。每一小段时间很短，速度几乎不变，这一小段的位移约等于 $v \cdot \Delta t$，就是一个窄矩形的面积。
3. 把所有窄矩形加起来，得到总位移的近似值。小段分得越细，窄矩形拼成的阶梯形越接近图线下的图形。

（关键一步：第 2 步“每一小段时间内速度几乎不变”。$\Delta t$ 足够小时，这个近似引起的误差可以小到任意程度，所以极限情况下，面积就等于位移。）

严格的说法要用到定积分 $x = \int v\,\mathrm{d}t$，高中课标不要求；用微元法理解就够了。同样的道理，凡是“纵轴量 × 横轴量”有物理意义的图像，面积都表示那个量的累积（$F$-$x$ 图面积是功，$I$-$t$ 图面积是电荷量）。

例题

例 1　（场景：$v$-$t$ 图求加速度）某物体运动的 $v$-$t$ 图像如图所示。求 $0 \sim 3\ \mathrm{s}$ 和 $3 \sim 5\ \mathrm{s}$ 内的加速度，并说明物体在这两段时间里做什么运动。

解：

研究对象：物体。

过程划分：$0 \sim 3\ \mathrm{s}$ 图线倾斜，$3 \sim 5\ \mathrm{s}$ 图线水平，分两段。

分析：$v$-$t$ 图的斜率是加速度。

列式求解：$0 \sim 3\ \mathrm{s}$：

$$a_1 = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{8 - 2}{3 - 0}\ \mathrm{m/s^2} = 2\ \mathrm{m/s^2}$$

斜率为正且不变，物体做匀加速直线运动，加速度方向与速度方向相同。

$3 \sim 5\ \mathrm{s}$：图线水平，斜率为 0，$a_2 = 0$，物体做匀速直线运动，速度 $8\ \mathrm{m/s}$。

检验：$a_1$ 的单位 $\dfrac{\mathrm{m/s}}{\mathrm{s}} = \mathrm{m/s^2}$，对。

例 2　（场景：$v$-$t$ 图求位移）一辆电动车由静止出发，$v$-$t$ 图像如图所示。求 $0 \sim 5\ \mathrm{s}$ 内的位移。

解：

研究对象：电动车。

过程划分：加速（$0 \sim 2\ \mathrm{s}$）、匀速（$2 \sim 4\ \mathrm{s}$）、减速（$4 \sim 5\ \mathrm{s}$）三段。

分析：位移是图线与 $t$ 轴围成的面积，三段分别是三角形、矩形、三角形。

列式求解：

$$x = \frac{1}{2} \times 2 \times 4\ \mathrm{m} + 2 \times 4\ \mathrm{m} + \frac{1}{2} \times 1 \times 4\ \mathrm{m} = 4\ \mathrm{m} + 8\ \mathrm{m} + 2\ \mathrm{m} = 14\ \mathrm{m}$$

速度始终为正，位移方向与运动方向相同。

检验：最大速度 $4\ \mathrm{m/s}$ 跑 $5\ \mathrm{s}$ 最多 $20\ \mathrm{m}$，实际 $14\ \mathrm{m}$ 小于它，合理。

另一种解法：整个图形是梯形，上底 $2\ \mathrm{s}$（$2 \sim 4\ \mathrm{s}$），下底 $5\ \mathrm{s}$，高 $4\ \mathrm{m/s}$，面积 $\dfrac{(2 + 5) \times 4}{2}\ \mathrm{m} = 14\ \mathrm{m}$。图形规则时直接用梯形公式最快；分段的面积各有用处时（比如问“减速阶段走了多远”），分块算更清楚。

例 3　（场景：曲线图像求瞬时量）物体做直线运动，位置随时间的关系是 $x = t^2$（$x$ 的单位为 $\mathrm{m}$，$t$ 的单位为 $\mathrm{s}$），$x$-$t$ 图像如图所示，过 $t = 2\ \mathrm{s}$ 对应点的切线经过点 $(1\ \mathrm{s}, 0)$。求 $t = 2\ \mathrm{s}$ 时的瞬时速度，以及 $0 \sim 2\ \mathrm{s}$ 内的平均速度。

解：

研究对象：物体。

过程划分：只看 $0 \sim 2\ \mathrm{s}$。

分析：$x$-$t$ 图线是曲线，速度在变。某时刻的瞬时速度是该点切线的斜率；一段时间的平均速度是两端点连线的斜率。

列式求解：切线经过 $(1, 0)$ 和 $(2, 4)$，瞬时速度

$$v_2 = \frac{4 - 0}{2 - 1}\ \mathrm{m/s} = 4\ \mathrm{m/s}$$

$0 \sim 2\ \mathrm{s}$ 的平均速度是 $(0, 0)$ 和 $(2, 4)$ 连线的斜率：

$$\bar{v} = \frac{4 - 0}{2 - 0}\ \mathrm{m/s} = 2\ \mathrm{m/s}$$

检验：图线越来越陡，物体越来越快，所以 $t = 2\ \mathrm{s}$ 的瞬时速度大于前 $2\ \mathrm{s}$ 的平均速度，$4 > 2$，合理。

容易卡在：把瞬时速度算成 $\dfrac{x}{t} = \dfrac{4}{2}\ \mathrm{m/s}$。那是原点到该点连线的斜率，是平均速度。

另一种解法：$x = t^2$ 对比匀变速运动的 $x = v_0t + \dfrac{1}{2}at^2$（第 3 章），得 $v_0 = 0$、$a = 2\ \mathrm{m/s^2}$，所以 $v_2 = at = 4\ \mathrm{m/s}$。已知函数关系时代公式更快；只给图像不给式子时，只能画切线。学过导数的也可以求 $\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = 2t$（《高中数学知识点梳理》第 24 章），切线斜率就是导数。

例 4　（场景：变力做功）弹簧的劲度系数 $k = 200\ \mathrm{N/m}$，用手把它从原长缓慢拉长 $0.1\ \mathrm{m}$。求这个过程中拉力做的功。

解：

研究对象：弹簧的拉力。

过程划分：从原长到伸长 $0.1\ \mathrm{m}$，一个过程。“缓慢”表示每一时刻拉力都等于弹力 $F = kx$。

分析：拉力随伸长量增大，是变力，不能直接用 $W = Fx$。画 $F$-$x$ 图像，面积就是功。

列式求解：伸长 $0.1\ \mathrm{m}$ 时拉力 $F = kx = 200 \times 0.1\ \mathrm{N} = 20\ \mathrm{N}$。图线下是三角形：

$$W = \frac{1}{2} \times 0.1 \times 20\ \mathrm{J} = 1\ \mathrm{J}$$

检验：单位 $\mathrm{m} \times \mathrm{N} = \mathrm{J}$，对。如果误用最大拉力乘位移，得 $2\ \mathrm{J}$，正好是三角形外接矩形的面积，大了一倍，说明三角形是对的。

容易卡在：用 $W = Fx = 20 \times 0.1\ \mathrm{J}$。$W = Fx$ 只适用于恒力。

常用推论

• $v$-$t$ 图上，两条图线的交点表示此刻速度相同，不是相遇；相遇要看位移相等（第 3 章追及问题）。
• $x$-$t$ 图上，两条图线的交点才表示相遇。
• 匀变速直线运动的 $v$-$t$ 图是倾斜直线，梯形面积 $\dfrac{(v_0 + v) t}{2}$ 就是位移，由此得 $\bar{v} = \dfrac{v_0 + v}{2}$（第 3 章）。
• 弹簧从原长伸长 $x$，弹力做功的大小 $\dfrac{1}{2}kx^2$，即弹性势能（第 14 章）。由例 4 的三角形面积 $\dfrac{1}{2} \cdot x \cdot kx$ 得出。

易错点

• 错在哪：$v$-$t$ 图线向下倾斜，就认为物体在往回走。 为什么错：图线向下表示速度在减小，只要还在横轴上方，速度仍为正，物体仍在向前走。 正确做法：运动方向看 $v$ 的正负（在横轴上方还是下方），加速还是减速看速度大小变大还是变小。
• 错在哪：把 $x$-$t$ 图像当成运动轨迹，看到曲线就以为物体在做曲线运动。 为什么错：$x$-$t$ 图只画了一个方向上的位置，横轴是时间不是空间。 正确做法：$x$-$t$、$v$-$t$ 图像只能描述直线运动，图线是曲线说明速度（或加速度）在变。
• 错在哪：求 $v$-$t$ 图围成的路程时，把横轴下方的面积当负数和上方相减。 为什么错：位移有正负，路程没有。上下相减得到的是位移。 正确做法：问位移时上正下负相加，问路程时全取正相加。
• 错在哪：用 $\dfrac{x}{t}$ 算曲线 $x$-$t$ 图上某点的瞬时速度。 为什么错：$\dfrac{x}{t}$ 是原点到该点连线的斜率，是从 $0$ 到 $t$ 的平均速度。 正确做法：瞬时速度看切线斜率（例 3）。

直观理解

斜率回答“变得多快”，面积回答“累积了多少”。看到一张新图像，先问两句：纵轴除以横轴是什么？纵轴乘横轴是什么？能说出名字的，就是斜率和面积的物理意义。

关联知识点

• 前置：直线的斜率，见《高中数学知识点梳理》第 28 章；切线和导数，见第 24 章。
• 后续：第 2 章 $x$-$t$、$v$-$t$ 图像；第 3 章用 $v$-$t$ 图推导匀变速运动的位移公式。
• 后续：第 12 章变力做功；第 19 章 $F$-$t$ 图像与冲量。
• 后续：第 17、18 章 $U$-$I$ 图像；第 28 章 $\Phi$-$t$ 图像。
• 常一起考：第 37 章实验基础的图像法处理数据，斜率和截距求物理量。

1.5 估算与数量级

说明

数量级：把一个量写成科学记数法 $a \times 10^n$（$1 \le a < 10$），$10^n$ 就是它的数量级。地球半径约 $6.4 \times 10^6\ \mathrm{m}$，数量级是 $10^6\ \mathrm{m}$。

估算：不要求精确，只求出数量级或一两位有效数字。三步：

1. 建简化模型：人看成长方体或圆柱，房间看成长方体，复杂运动看成匀速或匀变速。
2. 取常识数值：用下表这类生活中的数据，取一位有效数字就够。
3. 只保留数量级：中间结果四舍五入，最后写成 $a \times 10^n$。

常用的参考值（估算时用）：

对象	参考值
中学生	身高约 $1.7\ \mathrm{m}$，质量约 $50 \sim 60\ \mathrm{kg}$，一只脚底面积约 $0.02\ \mathrm{m^2}$
步行、骑车、汽车	约 $1\ \mathrm{m/s}$、$5\ \mathrm{m/s}$、$20\ \mathrm{m/s}$
一层楼高	约 $3\ \mathrm{m}$
空气、水的密度	约 $1.3\ \mathrm{kg/m^3}$、$1.0 \times 10^3\ \mathrm{kg/m^3}$
大气压	约 $1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$
地球半径、地月距离	约 $6.4 \times 10^6\ \mathrm{m}$、$3.8 \times 10^8\ \mathrm{m}$
原子、原子核直径	约 $10^{-10}\ \mathrm{m}$、$10^{-15}\ \mathrm{m}$

附录 C 有更完整的表。

使用场景

• 题目说“估算”“约为”“最接近”，没给全数据 → 需要自己补数据 → 建简化模型，用常识取值，算到一位有效数字。
• 算出答案后不知道对不对 → 和生活常识比数量级 → 量级离谱的一定错了，回头查单位和公式。
• 选择题的几个选项相差 10 倍以上 → 只需定数量级 → 粗算即可，不必精确。

注意点

• 估算的数据要符合常识，不能为了好算乱取：中学生质量取 $50\ \mathrm{kg}$ 可以，取 $5\ \mathrm{kg}$ 不行。
• 估算题的答案只要数量级对、一两位有效数字合理就算对，写成“约 $2 \times 10^2\ \mathrm{kg}$”，不要写成 $185.76\ \mathrm{kg}$ 这样假装精确。
• 数量级的“四舍五入”有两种约定：本书按科学记数法 $a \times 10^n$ 取 $10^n$；有的资料以 $\sqrt{10} \approx 3.16$ 为界进位（$4 \times 10^2$ 记作 $10^3$ 量级）。选择题一般选项差距大，两种约定不影响答案。
• 检验答案时，量级合理不代表答案对，量级离谱则一定错。

推导

为什么只取一位有效数字也能得到正确的数量级：

估算时每个数据只取一位有效数字，相对误差可能有百分之几十，比如真实值 $1.29$ 取成 $1.3$，误差很小；真实值 $56$ 取成 $50$ 或 $60$，误差约 $10\%$。几个数相乘除，结果的相对误差大致是各个数相对误差之和（取对数后，乘除变成加减，误差跟着相加）。

（关键一步：要改变数量级，结果必须偏差约 10 倍，也就是相对误差接近 $900\%$ 或 $-90\%$。三四个因子各差 $20\%$，总误差也才百分之几十，远不足以改变数量级。）

所以只要模型合理、数据符合常识，一位有效数字的估算能得到正确的数量级。反过来，如果模型错了（比如把教室高度当成 $30\ \mathrm{m}$），数量级就会错。

例题

例 1　（场景：估算题，需要自己补数据）估算一间普通教室里空气的质量。

解：

研究对象：教室里的空气。

过程划分：不涉及过程。

分析：质量 = 密度 × 体积。教室看成长方体，长约 $8\ \mathrm{m}$、宽约 $6\ \mathrm{m}$、高约 $3\ \mathrm{m}$；空气密度约 $1.3\ \mathrm{kg/m^3}$。

列式求解：

$$m = \rho V \approx 1.3 \times (8 \times 6 \times 3)\ \mathrm{kg} = 1.3 \times 144\ \mathrm{kg} \approx 2 \times 10^2\ \mathrm{kg}$$

检验：两百千克相当于三四个成年人，比直觉重，但空气体积有一百多立方米，合理。数量级是 $10^2\ \mathrm{kg}$。

例 2　（场景：用数量级检验答案）某同学计算“从 $3\ \mathrm{m}$ 高处由静止落下的物体落地时的速度”，得到 $77\ \mathrm{m/s}$（不计空气阻力，$g$ 取 $10\ \mathrm{m/s^2}$）。判断这个结果是否合理，若不合理，找出错误并求出正确结果。

解：

研究对象：下落的物体。

过程划分：一个过程，自由落体。

分析：$77\ \mathrm{m/s}$ 约合 $277\ \mathrm{km/h}$，是高铁的速度，从一层楼的高度落下不可能这么快，结果不合理。由 $v^2 = 2gh$，$77^2 \approx 6000$，相当于 $h \approx 300\ \mathrm{m}$，可见该同学把高度多算了 100 倍，很可能是把 $3\ \mathrm{m}$ 当成 $300\ \mathrm{cm}$ 直接代入了。

列式求解：

$$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 3}\ \mathrm{m/s} = \sqrt{60}\ \mathrm{m/s} \approx 7.7\ \mathrm{m/s}$$

检验：约 $28\ \mathrm{km/h}$，和从一楼窗台跳下落地的感受差不多，合理。

容易卡在：算出数就交卷，不和常识比一比。

例 3　（场景：选项相差 10 倍以上，只定数量级）一个中学生双脚站立时，对水平地面的压强最接近（　）。

A. $10^2\ \mathrm{Pa}$　B. $10^4\ \mathrm{Pa}$　C. $10^6\ \mathrm{Pa}$　D. $10^8\ \mathrm{Pa}$

解：B。

判断依据：选项相差 100 倍，只需估出数量级。

中学生质量取 $50\ \mathrm{kg}$，重力约 $500\ \mathrm{N}$；一只脚底面积约 $0.02\ \mathrm{m^2}$，两只约 $0.04\ \mathrm{m^2}$。

$$p = \frac{F}{S} \approx \frac{500}{0.04}\ \mathrm{Pa} \approx 1 \times 10^4\ \mathrm{Pa}$$

常用推论

• 乘除运算的结果，数量级约等于各因子数量级的乘除：$10^2 \times 10^{-1} = 10^1$。所以估算时可以先只算 10 的指数，再修正系数。
• 估算结果用一到两位有效数字表示即可，有效数字的规则见第 37 章。
• 微观量（分子、原子）的估算，常用“把一个分子看成小立方体或小球、一个挨一个排列”的模型，第 31 章估算分子大小、第 42 章油膜法实验都用这个模型。

易错点

• 错在哪：估算时取了不合常识的数据，比如人的质量取 $500\ \mathrm{kg}$、教室高 $10\ \mathrm{m}$。 为什么错：估算的可靠性全靠模型和数据合理，一个数据错 10 倍，数量级就错了。 正确做法：用参考值表里的常识数据，取完问自己一句“现实里是这样吗”。
• 错在哪：估算题写一长串小数。 为什么错：输入数据只有一位有效数字，结果不可能更精确，多写的位数没有意义。 正确做法：写成 $a \times 10^n$，$a$ 保留一两位。
• 错在哪：算出离谱的结果（人跑步的速度 $300\ \mathrm{m/s}$、物体质量 $10^{-5}\ \mathrm{kg}$）不检查。 为什么错：离谱的数量级几乎总是单位没换算或公式记错。 正确做法：每道计算题最后一步都和常识比一下数量级（本书例题的“检验”一步）。

直观理解

估算像“目测”：不用尺子，也能说出一棵树大概十米、不是一百米。物理学家常说“先算数量级，再算精确值”：数量级对了，方向就对了；数量级错了，再精确也没用。

关联知识点

• 前置：1.2 节单位换算，估算前也要统一单位。
• 后续：第 11 章天体质量、密度的估算。
• 后续：第 31 章分子大小、阿伏加德罗常数的估算；第 42 章油膜法估测分子大小。
• 后续：第 37 章有效数字。
• 常一起考：附录 C 常数和数量级表。

1.6 知识点之间的关系

本章四个知识点各管一件事，合起来是解计算题的“规矩”：列式前统一单位（1.2），同一直线上的矢量先取正方向、不在一条直线上的按平行四边形合成（1.3），图像题先问斜率和面积是什么（1.4），算完用单位和数量级检验（1.2、1.5）。本书每道计算题的五步解答，第三步“分析”用到前三个知识点，第五步“检验”用到第一个和第四个。

1.7 自测

1. 一列火车的速度是 $108\ \mathrm{km/h}$，合多少 $\mathrm{m/s}$？
2. 下列单位中，属于国际单位制中导出单位的是（　）。A. 千克　B. 秒　C. 牛顿　D. 米
3. 用单位判断：自由落体运动的时间 $t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}$ 和 $t = \sqrt{\dfrac{2g}{h}}$，哪个可能正确？
4. 一个人从 $A$ 点向东走 $40\ \mathrm{m}$，再向北走 $30\ \mathrm{m}$ 到达 $B$ 点，求他的路程和位移大小。
5. 足球以 $10\ \mathrm{m/s}$ 的速度飞来，被运动员以 $20\ \mathrm{m/s}$ 的速度反向踢回，作用时间 $0.1\ \mathrm{s}$。求足球的平均加速度大小和方向。
6. 物体的 $v$-$t$ 图像是一条从 $(0, 10\ \mathrm{m/s})$ 到 $(5\ \mathrm{s}, 0)$ 的直线，求加速度和 $0 \sim 5\ \mathrm{s}$ 内的位移。
7. 估算一个普通中学生的体积（人体密度与水接近）。

答案：1. $30\ \mathrm{m/s}$；2. C；3. $\sqrt{2h/g}$（单位是 $\mathrm{s}$，另一个是 $\mathrm{s^{-1}}$）；4. 路程 $70\ \mathrm{m}$，位移大小 $50\ \mathrm{m}$；5. $300\ \mathrm{m/s^2}$，方向与踢回的方向相同；6. 加速度 $-2\ \mathrm{m/s^2}$（与初速度方向相反），位移 $25\ \mathrm{m}$；7. 约 $5 \times 10^{-2}\ \mathrm{m^3}$（质量取 $50\ \mathrm{kg}$）。

1.8 深入阅读

• 国际计量局 · 国际单位制（SI）：国际单位制的官方说明，七个基本单位的现行定义（英文）。
• PhET · 矢量加法：拖动箭头看矢量合成和分解，平行四边形定则和分量一目了然。
• 国家中小学智慧教育平台：教育部主办，有按人教版章节排列的高中物理同步课程和教材电子版。