第 14 章 · 机械能守恒与能量守恒

项目	内容
课标主题	必修 2 · 机械能及其守恒定律（理解重力势能，知道重力势能的变化与重力做功的关系；定性了解弹性势能；理解机械能守恒定律，能用它分析生产生活中的问题）；必修 3 · 能源与可持续发展（知道不同形式的能量可互相转化，转化过程中能量总量保持不变，能量转化有方向性；了解可再生能源和不可再生能源的分类，认识能源的过度开发和利用对环境的影响）
人教版（2019）	必修第二册 第八章“机械能守恒定律”：2 重力势能；4 机械能守恒定律；5 实验“验证机械能守恒定律”见第 39 章。必修第三册 第十二章“电能 能量守恒定律”：4 能源与可持续发展
考试地位	机械能守恒和功能关系是力学计算题的主干，常和圆周运动、平抛、动量一起考；选择题常考机械能是否守恒、“哪个力做功对应哪种能量变化”、摩擦生热；能源只偶考概念
前置知识	第 12 章功的计算；第 13 章动能定理；第 4 章 4.3 胡克定律；第 1 章 1.4 $F$-$x$ 图像的面积；第 10 章竖直面内的圆周运动

上一章的动能定理已经能解大部分力学题，这一章再给两件更省事的工具：一是把重力、弹力做的功改记成“势能的减少”，于是只有这两种力做功时，动能和势能此消彼长、总量不变，列一个式子就出结果；二是“功能关系”，哪个力做功对应哪种能量变化，一一对号。丢分主要丢在三处：不先判断守恒条件就照用；几个物体连在一起时只盯住一个物体，误以为它的机械能守恒；摩擦生热用了对地位移而不是相对位移。

14.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
14.2 重力势能	$E_{\text{p}} = mgh$，$h$ 相对参考平面；重力做功只看高度差，$W_G = -\Delta E_{\text{p}}$	常考，多作为大题的一步
14.3 弹性势能	弹簧形变越大势能越大，$E_{\text{p}} = \dfrac{1}{2}kx^2$；弹力做功 $W_{\text{弹}} = -\Delta E_{\text{p}}$	常考；多数题不给公式，靠能量守恒间接求
14.4 机械能守恒定律	只有重力或弹力做功时，动能和势能之和不变；三种表达式	必考
14.5 系统的机械能守恒	绳、杆、弹簧连着的几个物体，单个不守恒、整体守恒；先找速度关系	常考，大题主力
14.6 功能关系	合力做功↔动能，重力做功↔重力势能，其他力做功↔机械能，摩擦生热 $Q = fs_{\text{相对}}$	必考，选择题和大题都有
14.7 能量守恒定律与能源	能量只会转化和转移，总量不变；转化有方向性，能源要节约	偶考概念和效率计算

14.2 重力势能

说明

重力势能：物体由于被举高而具有的能量。

$$E_{\text{p}} = mgh$$

• $h$ 是物体重心相对参考平面的高度。参考平面上 $E_{\text{p}} = 0$；物体在它上方 $h$ 取正，$E_{\text{p}} > 0$；在它下方 $h$ 取负，$E_{\text{p}} < 0$。
• 重力势能是标量，正负表示比参考平面上多还是少，$-4\ \mathrm{J} < 2\ \mathrm{J}$。
• 单位焦耳 $\mathrm{J}$，和功相同。

相对性：同一位置的重力势能随参考平面而变；但两个位置之间的重力势能变化 $\Delta E_{\text{p}} = mg\Delta h$ 与参考平面无关。题目没指定时，可以自选参考平面，一般选地面或过程中的最低点。

重力做功与路径无关：物体从高度 $h_1$ 运动到 $h_2$，不论走什么路线，重力做的功都是

$$W_G = mg(h_1 - h_2) = mgh_1 - mgh_2$$

重力做功与重力势能变化的关系：

$$W_G = E_{\text{p}1} - E_{\text{p}2} = -\Delta E_{\text{p}}$$

物体下降，重力做正功，重力势能减少；物体上升，重力做负功（物体克服重力做功），重力势能增加。

系统性：重力势能是地球和物体组成的系统共有的，习惯上说“物体的重力势能”。

理想模型：$g$ 视为常量（地面附近、高度变化远小于地球半径）。高度变化可以和地球半径相比时，要用万有引力势能（第 11 章，高中只定性了解）。

使用场景

• 题目指定参考平面（“以桌面为参考平面”“取地面处重力势能为零”），问某位置的重力势能或两位置之间的变化 → 质点，$g$ 不变 → $E_{\text{p}} = mgh$，参考平面下方 $h$ 取负；变化量只看高度差。
• 物体沿斜面、曲面、台阶等不同路线从一处到另一处，问重力做的功 → 重力是恒力，做功与路径无关 → $W_G = mg(h_1 - h_2)$，不管路程多长。
• 链条、软绳、液柱这类不能看成质点的物体，形状变了，问重力势能变化 → 看重心 → 分成几段，每段重心高度变化乘这段的重力，再相加。

注意点

• $h$ 是重心的高度，不是物体底部或顶部的高度。
• 计算前写明参考平面。问“变化量”或“重力做功”时，参考平面随便选，结果一样；问“某处的重力势能”时，答案依赖参考平面。
• 符号：$\Delta E_{\text{p}} = E_{\text{p}2} - E_{\text{p}1}$，末减初。下降时 $\Delta E_{\text{p}} < 0$，此时 $W_G > 0$。
• “克服重力做功 $10\ \mathrm{J}$“就是 $W_G = -10\ \mathrm{J}$，重力势能增加 $10\ \mathrm{J}$。
• 重力势能的变化只由重力做功决定，和有没有别的力、物体是否加速无关。

推导

课本的推导分三步：

1. 竖直下落：从 $h_1$ 落到 $h_2$，重力与位移同向，$W_G = mg(h_1 - h_2)$。
2. 沿斜面下滑：斜面倾角 $\theta$，物体沿斜面滑过 $l$，重力与位移夹角 $90^\circ - \theta$，$W_G = mgl\cos(90^\circ - \theta) = mgl\sin\theta = mg(h_1 - h_2)$，与竖直下落相同。
3. 沿任意曲线：把曲线分成许多很短的小段，每一小段都近似为一个小斜面。每个小斜面上重力做功等于 $mg$ 乘这一小段的高度差 $\Delta h_i$，全部相加：

$$W_G = mg\Delta h_1 + mg\Delta h_2 + \cdots = mg(h_1 - h_2)$$

（关键一步：重力的大小和方向处处相同，每一小段做功只取决于这一小段的竖直高度差，水平走多远都不做功。各段高度差加起来，中间的高度全部消掉，只剩起点和终点。）

严格的说法是重力做功的线积分与路径无关，这样的力叫保守力，大学力学里证明；高中用微元法理解即可。正因为做功与路径无关，才能定义一个“只看位置”的量 $E_{\text{p}} = mgh$，使 $W_G = E_{\text{p}1} - E_{\text{p}2}$。摩擦力做功和路径有关，所以没有“摩擦势能”。

例题

例 1　（场景：指定参考平面）桌面离地 $0.8\ \mathrm{m}$，质量 $0.5\ \mathrm{kg}$ 的小球从桌面上方 $1.2\ \mathrm{m}$ 的 $A$ 点落到地面上的 $B$ 点，如图。分别以桌面和地面为参考平面，求小球在 $A$、$B$ 两点的重力势能，以及从 $A$ 到 $B$ 重力势能的变化。

解：

研究对象：小球，看成质点。

过程划分：只看初位置 $A$ 和末位置 $B$。

分析：重力势能 $E_{\text{p}} = mgh$，$h$ 相对参考平面，下方取负。$mg = 5\ \mathrm{N}$。

列式求解：

以桌面为参考平面：$h_A = 1.2\ \mathrm{m}$，$h_B = -0.8\ \mathrm{m}$。

$$E_{\text{p}A} = 5 \times 1.2\ \mathrm{J} = 6\ \mathrm{J}, \quad E_{\text{p}B} = 5 \times (-0.8)\ \mathrm{J} = -4\ \mathrm{J}, \quad \Delta E_{\text{p}} = -4\ \mathrm{J} - 6\ \mathrm{J} = -10\ \mathrm{J}$$

以地面为参考平面：$h_A = 2.0\ \mathrm{m}$，$h_B = 0$。

$$E_{\text{p}A} = 5 \times 2.0\ \mathrm{J} = 10\ \mathrm{J}, \quad E_{\text{p}B} = 0, \quad \Delta E_{\text{p}} = 0 - 10\ \mathrm{J} = -10\ \mathrm{J}$$

两种参考平面下，重力势能都减少 $10\ \mathrm{J}$。

检验：重力做功 $W_G = mg(h_A - h_B) = 5 \times 2.0\ \mathrm{J} = 10\ \mathrm{J}$，正好等于 $-\Delta E_{\text{p}}$，对。

容易卡在：以桌面为参考平面时，$B$ 点的 $h$ 忘了取负，得出 $E_{\text{p}B} = 4\ \mathrm{J}$，变化量就成了 $-2\ \mathrm{J}$。

例 2　（场景：不同路线的重力做功）质量 $60\ \mathrm{kg}$ 的滑雪者从 $A$ 点沿弯曲的雪道滑到 $B$ 点，雪道全长 $100\ \mathrm{m}$，$A$ 比 $B$ 高 $20\ \mathrm{m}$。求这一过程中重力做的功和重力势能的变化。如果改走一条更长的盘山路线到 $B$，答案变不变？

解：

研究对象：滑雪者。

过程划分：一个过程，从 $A$ 到 $B$。

分析：重力做功与路径无关，只看高度差。雪道长 $100\ \mathrm{m}$ 是多余条件。

列式求解：

$$W_G = mg(h_A - h_B) = 60 \times 10 \times 20\ \mathrm{J} = 1.2 \times 10^4\ \mathrm{J}$$

$\Delta E_{\text{p}} = -W_G = -1.2 \times 10^4\ \mathrm{J}$，重力势能减少 $1.2 \times 10^4\ \mathrm{J}$。改走盘山路线，起点终点不变，答案不变。

检验：单位 $\mathrm{kg \cdot m/s^2 \cdot m} = \mathrm{J}$，对。符号：下降，重力做正功，势能减少，对。

容易卡在：把路程 $100\ \mathrm{m}$ 当成重力方向的位移代进去，得出 $6 \times 10^4\ \mathrm{J}$。

例 3　（场景：链条的重心）长 $1.2\ \mathrm{m}$、质量 $1.2\ \mathrm{kg}$ 的均匀链条放在光滑水平桌面上，有 $\dfrac{1}{3}$ 垂在桌边外，如图。把垂下的部分缓慢拉回桌面，链条的重力势能增加多少？手至少做多少功？

解：

研究对象：链条，不能看成一个质点，分成桌上和垂下两段。

过程划分：一个过程，垂下部分被拉回桌面；桌上那段高度不变。

分析：只有垂下那段的重心高度变了。它长 $0.4\ \mathrm{m}$，质量 $m' = 0.4\ \mathrm{kg}$，重心在桌面下 $0.2\ \mathrm{m}$，拉回后重心在桌面上（链条粗细不计）。

列式求解：以桌面为参考平面：

$$\Delta E_{\text{p}} = m'g \times 0 - m'g \times (-0.2) = 0.4 \times 10 \times 0.2\ \mathrm{J} = 0.8\ \mathrm{J}$$

“缓慢”拉回，动能始终几乎为零；桌面光滑，没有摩擦。手做的功全部变成重力势能，至少做功 $0.8\ \mathrm{J}$。

检验：如果整条链条都垂下再拉回，重心升高 $0.6\ \mathrm{m}$，需要 $1.2 \times 10 \times 0.6\ \mathrm{J} = 7.2\ \mathrm{J}$。现在只有三分之一垂下，质量和重心深度都只有三分之一，所需的功是它的 $\dfrac{1}{9}$，$7.2 \div 9 = 0.8$，对。

容易卡在：用整条链条的质量乘 $0.4\ \mathrm{m}$，或者用垂下部分乘它的全长 $0.4\ \mathrm{m}$。高度要用重心，质量要用变了位置的那一段。

常用推论

• 重力做功与路径无关，所以物体沿任何路线回到原处，重力做功之和为零。
• 均匀的链条、绳子、液柱，重心在几何中点：竖直悬挂长 $L$ 的一段，重心在上端下方 $\dfrac{L}{2}$ 处（例 3）。
• 一个物体上升 $h$，克服重力做功 $mgh$，不论匀速、加速还是减速；“缓慢”提升时外力做功也等于 $mgh$（动能不变，见 14.6 节）。

易错点

• 错在哪：认为重力势能为负就说明“没有势能”或“势能很小可以忽略”。 为什么错：负号只表示比参考平面低。换一个参考平面，同一位置可以是正的。 正确做法：比较大小时带符号比；算变化量时末减初，符号自然出来。
• 错在哪：重力做功用路程算，路线弯曲时“累计走了多远就算多远”。 为什么错：直觉里“走得越远越累”，把人体消耗的能量和重力做的功混在一起。重力只在竖直方向做功，水平走一万米重力也不做功。 正确做法：只看起点和终点的高度差。
• 错在哪：链条、绳子、液体的重力势能用整体质量乘某一端的高度。 为什么错：$E_{\text{p}} = mgh$ 里的 $h$ 是重心高度。形状改变时，各部分高度变化不同。 正确做法：分段，每段用自己的质量和重心高度变化。

直观理解

把重力势能想成“存在高处的能量”：搬上楼花了多少功，就存进去多少；下楼时重力把它还回来。存和取只看楼层差，不看楼梯绕了几圈。参考平面就是“记账的零点”，零点选在哪，余额数字会变，但存取的数额不变。

关联知识点

• 前置：第 12 章功的定义 $W = Fl\cos\alpha$，推导重力做功要用它。
• 前置：第 4 章 4.2 重心，$h$ 按重心算。
• 后续：14.4 节机械能守恒，重力势能是机械能的一部分。
• 后续：第 16 章电势能，静电力做功也与路径无关，$W_{\text{电}} = -\Delta E_{\text{p}}$ 是同一套写法。
• 后续：第 11 章万有引力，高度变化很大时引力势能（定性）。

14.3 弹性势能

说明

弹性势能：发生弹性形变的物体，各部分之间有弹力作用而具有的能量。高中主要研究轻弹簧。

弹簧的弹性势能与形变量 $x$（伸长或压缩的长度）和劲度系数 $k$ 有关：$x$ 越大、$k$ 越大，弹性势能越大。取弹簧原长时弹性势能为零：

$$E_{\text{p}} = \frac{1}{2}kx^2$$

弹力做功与弹性势能变化的关系（和重力完全相同的写法）：

$$W_{\text{弹}} = E_{\text{p}1} - E_{\text{p}2} = -\Delta E_{\text{p}}$$

弹簧恢复原长的过程中，弹力做正功，弹性势能减少；形变加大的过程中，弹力做负功，弹性势能增加。

理想模型：轻弹簧（质量不计），在弹性限度内（胡克定律成立）。

课标对弹性势能只要求“定性了解”。$E_{\text{p}} = \dfrac{1}{2}kx^2$ 高考一般在题目给出时使用；不给时，弹性势能通常靠能量守恒间接求（见例 2）。

使用场景

• 题目给出劲度系数和形变量（或给出公式 $E_{\text{p}} = \dfrac{1}{2}kx^2$），问弹性势能或弹力做功 → 轻弹簧，弹性限度内 → 代公式，$x$ 用形变量；弹力做功 $= -\Delta E_{\text{p}}$。
• 题目不给 $k$ 或不给公式，问“弹簧的最大弹性势能”“弹簧储存了多少能量” → 弹簧和物体组成的系统 → 用机械能守恒或动能定理，由动能、重力势能的变化反推弹性势能。
• 问弹簧从压缩到原长再到伸长，弹性势能怎么变 → 看形变量的大小怎么变 → 形变量增大，势能增大；回到原长时最小（为零）。

注意点

• $x$ 是形变量，不是弹簧长度，也不是物体的位移（弹簧两端都动时尤其要注意）。
• 伸长 $x$ 和压缩 $x$ 的弹性势能相同，都是 $\dfrac{1}{2}kx^2$，弹性势能不会是负的（以原长为零时）。
• 形变量从 $x_1$ 变到 $x_2$，弹性势能变化 $\dfrac{1}{2}k(x_2^2 - x_1^2)$，不是 $\dfrac{1}{2}k(x_2 - x_1)^2$。
• 弹力是变力，不能用 $W = Fx$ 算它的功，要用 $F$-$x$ 图面积或 $-\Delta E_{\text{p}}$。

推导

由 $F$-$x$ 图像的面积得 $\dfrac{1}{2}kx^2$：第 1 章 1.4 节例 4 已经算过，把弹簧从原长缓慢拉长 $x$，拉力 $F = kx$ 随 $x$ 线性增大，$F$-$x$ 图线下是三角形，拉力做功

$$W = \frac{1}{2} \cdot x \cdot kx = \frac{1}{2}kx^2$$

（关键一步：“缓慢”拉动时弹簧动能始终为零，手做的功全部储存为弹性势能，所以 $E_{\text{p}} = W$。同时，弹簧弹力和拉力大小相等、方向相反，弹力做功 $-\dfrac{1}{2}kx^2$，正好是 $-\Delta E_{\text{p}}$。）

形变量从 $x_1$ 增大到 $x_2$ 时，面积是梯形，等于两个三角形之差：

$$\Delta E_{\text{p}} = \frac{1}{2}kx_2^2 - \frac{1}{2}kx_1^2$$

这个面积的说法是微元法（第 1 章 1.4 节），严格写是 $\int_{x_1}^{x_2} kx\,\mathrm{d}x$，用到大学的定积分。弹力和重力一样是保守力，做功只与初末形变量有关，所以能定义弹性势能。

例题

例 1　（场景：给出 $k$ 和形变量）劲度系数 $k = 200\ \mathrm{N/m}$ 的轻弹簧。（1）把它从伸长 $0.05\ \mathrm{m}$ 拉到伸长 $0.15\ \mathrm{m}$，弹性势能变化多少？弹力做功多少？（2）若从压缩 $0.1\ \mathrm{m}$ 变为伸长 $0.1\ \mathrm{m}$，弹力做功多少？（弹性势能 $E_{\text{p}} = \dfrac{1}{2}kx^2$）

解：

研究对象：弹簧。

过程划分：（1）（2）各一个过程，只看初末形变量。

分析：用 $E_{\text{p}} = \dfrac{1}{2}kx^2$ 求初末势能，$W_{\text{弹}} = -\Delta E_{\text{p}}$。图像见本节“推导”。

列式求解：（1）

$$\Delta E_{\text{p}} = \frac{1}{2} \times 200 \times (0.15^2 - 0.05^2)\ \mathrm{J} = 100 \times 0.02\ \mathrm{J} = 2\ \mathrm{J}$$

弹性势能增加 $2\ \mathrm{J}$，弹力做功 $W_{\text{弹}} = -2\ \mathrm{J}$。

（2）初、末形变量都是 $0.1\ \mathrm{m}$，弹性势能相等，$\Delta E_{\text{p}} = 0$，弹力做功为零：前半段（压缩到原长）弹力做正功，后半段（原长到伸长）做负功，两者抵消。

检验：（1）用梯形面积核对：$x = 0.05\ \mathrm{m}$ 时 $F = 10\ \mathrm{N}$，$x = 0.15\ \mathrm{m}$ 时 $F = 30\ \mathrm{N}$，面积 $\dfrac{(10 + 30) \times 0.1}{2}\ \mathrm{J} = 2\ \mathrm{J}$，对。

容易卡在：（1）用 $\dfrac{1}{2}k(0.15 - 0.05)^2 = 1\ \mathrm{J}$。弹性势能和 $x^2$ 成正比，不能先减再平方。

例 2　（场景：不给公式，间接求弹性势能）光滑水平面上，质量 $0.2\ \mathrm{kg}$ 的小球以 $3\ \mathrm{m/s}$ 的速度向左运动，压缩左端固定在墙上的轻弹簧，如图。求弹簧的最大弹性势能。若弹簧的劲度系数 $k = 180\ \mathrm{N/m}$，最大压缩量是多少？

解：

研究对象：小球和弹簧组成的系统。

过程划分：从小球接触弹簧到速度减为零（弹簧压缩最大）。

分析：水平面光滑，竖直方向重力和支持力不做功，只有弹簧弹力做功，系统机械能守恒（14.4 节）。小球的动能全部变成弹性势能。

列式求解：

$$E_{\text{p,max}} = \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2} \times 0.2 \times 3^2\ \mathrm{J} = 0.9\ \mathrm{J}$$

由 $\dfrac{1}{2}kx^2 = 0.9\ \mathrm{J}$：$x^2 = \dfrac{2 \times 0.9}{180}\ \mathrm{m^2} = 0.01\ \mathrm{m^2}$，$x = 0.1\ \mathrm{m}$。

检验：单位对。量级：$0.2\ \mathrm{kg}$ 的小球、几米每秒，压缩十厘米左右，合理。

容易卡在：以为要先求弹力再求功。弹力是变力，绕开它，直接看能量的去向。

例 3　（场景：判断弹性势能怎么变）小球从竖直轻弹簧正上方自由落下，从接触弹簧到把弹簧压缩到最短的过程中，下列说法正确的是（　）。

A. 弹簧的弹性势能先增大后减小　B. 弹簧的弹性势能一直增大　C. 小球的动能一直减小　D. 小球的动能先增大后减小

解：BD。

判断依据：弹性势能只看形变量；动能的增减看合力做功（第 13 章）。

接触后弹簧一直被压缩，形变量一直增大，弹性势能一直增大，B 对 A 错。刚接触时弹力小于重力，合力向下，小球继续加速；弹力增大到等于重力时速度最大；之后弹力大于重力，小球减速到零。所以动能先增大后减小，D 对 C 错。

常用推论

• 同一根弹簧，伸长 $x$ 和压缩 $x$ 时弹性势能相等。两个形变量相同的位置之间，弹力做功为零（例 1（2））。由 $E_{\text{p}} = \dfrac{1}{2}kx^2$ 只和 $x^2$ 有关得出。
• 形变量变为原来的 $n$ 倍，弹性势能变为 $n^2$ 倍。
• 物体落到竖直弹簧上，速度最大的位置在弹力等于重力处（$kx_0 = mg$），不在刚接触弹簧时，也不在最低点（例 3）。

易错点

• 错在哪：认为弹簧伸长时弹性势能为正、压缩时为负。 为什么错：把形变量当成带方向的位移代入，又忘了平方。弹性势能只和形变量的大小有关。 正确做法：以原长为零，伸长、压缩的弹性势能都是正的。
• 错在哪：用弹力乘形变量 $kx \cdot x$ 算弹性势能。 为什么错：$W = Fx$ 只适用于恒力；弹力从零逐渐增大到 $kx$，平均只有一半。 正确做法：用 $F$-$x$ 图的三角形面积，得 $\dfrac{1}{2}kx^2$。
• 错在哪：小球一接触弹簧就认为开始减速。 为什么错：直觉“受到阻挡就变慢”。实际上刚接触时弹力很小，合力仍向下。 正确做法：比较弹力和重力，合力方向决定加速还是减速。

直观理解

弹簧像一个“能量弹夹”：压得越狠，存得越多，而且多得更快（形变量翻倍，能量变四倍）。$F$-$x$ 图上那块三角形面积，就是弹夹里装的能量。

关联知识点

• 前置：第 4 章 4.3 胡克定律 $F = kx$。
• 前置：第 1 章 1.4 节 $F$-$x$ 图面积是功（例 4 正是本节的推导）。
• 后续：14.5 节弹簧系统的机械能守恒。
• 后续：第 20 章弹簧连接两物体的碰撞，弹簧最短时两物体共速、弹性势能最大。
• 后续：第 21 章简谐运动的能量，弹簧振子动能和弹性势能相互转化。
• 实验：第 38 章“探究弹簧弹力与形变量的关系”测 $k$。

14.4 机械能守恒定律

说明

机械能：动能、重力势能和弹性势能的总和，$E = E_{\text{k}} + E_{\text{p}}$。

机械能守恒定律：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。

守恒条件（满足其一即可）：

1. 只受重力（或弹簧弹力），如自由落体、抛体运动。
2. 还受别的力，但别的力不做功，如沿光滑曲面滑动（支持力始终垂直于速度）、绳系小球摆动（拉力始终垂直于速度）。
3. 系统内只有重力和弹力做功，其他内力做功之和为零，如轻绳、轻杆连接的物体（14.5 节）。

三种表达式：

表达式	写法	要不要选参考平面	适合
守恒式	$E_{\text{k}1} + E_{\text{p}1} = E_{\text{k}2} + E_{\text{p}2}$	要	单个物体，初末状态清楚
转化式	$\Delta E_{\text{k}} = -\Delta E_{\text{p}}$（动能增加量 = 势能减少量）	不要	只关心高度差，最常用
转移式	$\Delta E_A = -\Delta E_B$（$A$ 增加的机械能 = $B$ 减少的机械能）	不要	两个物体组成的系统（14.5 节）

只有重力做功的单个物体，转化式就是

$$\frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2 = mg(h_1 - h_2)$$

使用场景

• 物体沿光滑斜面、光滑曲面、光滑轨道运动，或不计阻力地下落、上抛 → 只有重力做功（支持力垂直于速度）→ 机械能守恒，转化式求速度或高度，不管轨道形状。
• 绳系小球摆动、小球在光滑竖直圆轨道内运动，问某点的速度或绳的拉力、轨道的压力 → 拉力、支持力不做功 → 机械能守恒求速度，再在该点用向心力公式（第 10 章）求力。
• 抛体运动只问落地速度的大小，不问方向和时间 → 只有重力做功 → 机械能守恒，结果与抛出方向无关。
• 选择题问“机械能是否守恒” → 判断条件 → 看除重力、弹簧弹力外有没有别的力做功；研究对象是单个物体还是系统要分清。

注意点

• 守恒条件是“只有重力或弹力做功”，不是“只受重力或弹力”。受了支持力、拉力，只要它们不做功，照样守恒。
• 守恒条件不是“合力为零”。匀速下落的降落伞合力为零，但阻力做负功，机械能减少；自由落体合力不为零，机械能却守恒。
• 这里的“弹力”指弹簧这类发生弹性形变的物体的弹力，并且弹簧要算在系统内。物体单独作研究对象时，弹簧弹力对它做功，物体的机械能不守恒；物体和弹簧合起来才守恒。
• 用守恒式要先写参考平面；用转化式不用，但要分清“增加量”和“减少量”的符号。
• 有其他力做功、但做功之和为零时，初末机械能相等，过程中机械能可能先变后变回，不算满足守恒条件。
• 绳突然绷紧、两物体碰撞粘在一起这类过程，机械能有损失，不守恒（第 20 章）。

推导

课本从动能定理推出：物体沿光滑曲面从位置 1 滑到位置 2，只有重力做功。

由动能定理（第 13 章）：

$$W_G = E_{\text{k}2} - E_{\text{k}1}$$

由重力做功与重力势能的关系（14.2 节）：

$$W_G = E_{\text{p}1} - E_{\text{p}2}$$

两式右边相等：

$$E_{\text{k}2} - E_{\text{k}1} = E_{\text{p}1} - E_{\text{p}2} \quad \Rightarrow \quad E_{\text{k}1} + E_{\text{p}1} = E_{\text{k}2} + E_{\text{p}2}$$

（关键一步：同一个重力做的功，从“运动”一侧看是动能的变化，从“位置”一侧看是势能的减少，把这两种说法连起来就是守恒。这一步要求只有重力做功：若还有摩擦力做功，动能定理左边多了 $W_f$，两式就接不上。）

把重力换成弹簧弹力，用 14.3 节的 $W_{\text{弹}} = -\Delta E_{\text{p}}$，同样成立。实验验证见第 39 章“验证机械能守恒定律”：用打点计时器测重物下落的速度，比较 $\dfrac{1}{2}v^2$ 与 $gh$。

例题

例 1　（场景：光滑曲面）小球从光滑轨道上离最低点 $O$ 高 $1.8\ \mathrm{m}$ 的 $A$ 点由静止滑下，经过最低点 $O$ 后冲上另一侧，如图。求小球经过 $O$ 点的速度，以及到达另一侧高 $1.0\ \mathrm{m}$ 的 $B$ 点时的速度大小。

解：

研究对象：小球。

过程划分：$A \to O$，$O \to B$；也可以把 $A \to B$ 看成一个过程。

分析：小球受重力和轨道支持力，支持力始终垂直于速度不做功，只有重力做功，机械能守恒。用转化式，不必选参考平面。

列式求解：$A \to O$：$\dfrac{1}{2}mv_O^2 = mgh_A$，

$$v_O = \sqrt{2gh_A} = \sqrt{2 \times 10 \times 1.8}\ \mathrm{m/s} = 6\ \mathrm{m/s}$$

$A \to B$：下降高度 $h_A - h_B = 0.8\ \mathrm{m}$，$\dfrac{1}{2}mv_B^2 = mg(h_A - h_B)$，

$$v_B = \sqrt{2 \times 10 \times 0.8}\ \mathrm{m/s} = 4\ \mathrm{m/s}$$

检验：质量 $m$ 约掉了，结果与质量无关，与自由下落同样高度的速度相同，合理。$v_B < v_O$，$B$ 比 $O$ 高，合理。

容易卡在：想用牛顿定律分段算，曲面上加速度一直在变，算不下去。曲面题优先想能量。

例 2　（场景：绳系小球摆动）长 $0.8\ \mathrm{m}$ 的轻绳一端固定在 $O$ 点，另一端系质量 $0.5\ \mathrm{kg}$ 的小球。把绳拉到水平位置，由静止释放小球，如图。求小球摆到最低点时的速度和绳的拉力（不计空气阻力）。

解：

研究对象：小球。

过程划分：（1）从水平位置摆到最低点，求速度；（2）在最低点这一瞬间，求拉力。

分析：（1）绳的拉力始终沿半径，与速度垂直，不做功，只有重力做功，机械能守恒。（2）最低点小球做圆周运动，拉力和重力的合力提供向心力，受力如图。

列式求解：（1）下降高度等于绳长 $L$：

$$\frac{1}{2}mv^2 = mgL, \quad v = \sqrt{2gL} = \sqrt{2 \times 10 \times 0.8}\ \mathrm{m/s} = 4\ \mathrm{m/s}$$

方向水平。

（2）取竖直向上（指向圆心）为正方向：

$$T - mg = m\frac{v^2}{L}, \quad T = 0.5 \times 10\ \mathrm{N} + 0.5 \times \frac{4^2}{0.8}\ \mathrm{N} = 5\ \mathrm{N} + 10\ \mathrm{N} = 15\ \mathrm{N}$$

拉力 $15\ \mathrm{N}$，竖直向上。

检验：$T = 3mg$，与绳长无关，这是常用推论（见下）。拉力大于重力，因为最低点需要向上的向心力，合理。

容易卡在：（2）以为最低点“平衡”，$T = mg$。最低点速度最大，正在做圆周运动，合力指向圆心，不为零。

例 3　（场景：竖直圆轨道的临界）光滑轨道由倾斜部分和半径 $R = 0.4\ \mathrm{m}$ 的竖直圆环组成，如图。质量 $0.1\ \mathrm{kg}$ 的小球从高 $h$ 处由静止释放，恰好能通过圆环最高点 $C$。求 $h$，以及小球经过圆环最低点时对轨道的压力。

解：

研究对象：小球。

过程划分：（1）在最高点 $C$ 这一瞬间，找临界速度；（2）从 $A$ 到 $C$，机械能守恒；（3）从 $A$ 到最低点，再在最低点求压力。

分析：轨道光滑，支持力不做功，机械能守恒。“恰好通过”最高点，指轨道对球的压力为零，只有重力提供向心力（第 10 章）。

列式求解：（1）在 $C$ 点：$mg = m\dfrac{v_C^2}{R}$，$v_C^2 = gR$。

（2）$A \to C$，以最低点所在水平面为参考平面：

$$mgh = mg \cdot 2R + \frac{1}{2}mv_C^2 = 2mgR + \frac{1}{2}mgR$$ $$h = 2.5R = 2.5 \times 0.4\ \mathrm{m} = 1.0\ \mathrm{m}$$

（3）$A \to$ 最低点：$v^2 = 2gh = 20\ \mathrm{m^2/s^2}$。在最低点，取竖直向上为正方向：

$$F_{\text{N}} - mg = m\frac{v^2}{R}, \quad F_{\text{N}} = 0.1 \times 10\ \mathrm{N} + 0.1 \times \frac{20}{0.4}\ \mathrm{N} = 6\ \mathrm{N}$$

由牛顿第三定律，小球对轨道的压力 $6\ \mathrm{N}$，竖直向下。

检验：$F_{\text{N}} = 6mg$，与常用推论一致。$h = 2.5R$ 比圆环最高点 $2R$ 还高，因为到最高点时还要保留速度，合理。

容易卡在：以为“恰好通过”就是在最高点速度为零。轻绳或轨道内侧的情形，速度为零时球早已脱离轨道掉下来了。

例 4　（场景：抛体只问速度大小）从离地 $15\ \mathrm{m}$ 高的楼顶，以 $10\ \mathrm{m/s}$ 的速率把小球抛出，不计空气阻力。分别求水平抛出、斜向上抛出、斜向下抛出时小球落地的速度大小。

解：

研究对象：小球。

过程划分：一个过程，从抛出到落地。

分析：抛出后只受重力，机械能守恒。初动能和下落高度都与抛出方向无关，所以落地速度大小也与方向无关。

列式求解：

$$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv_0^2 + mgh, \quad v = \sqrt{v_0^2 + 2gh} = \sqrt{10^2 + 2 \times 10 \times 15}\ \mathrm{m/s} = 20\ \mathrm{m/s}$$

三种抛法落地速度大小都是 $20\ \mathrm{m/s}$，只是方向和飞行时间不同。

检验：$v > v_0$，下落过程重力做正功，合理。$h = 0$ 时 $v = v_0$，特殊情形对。

另一种解法：以水平抛出为例，用平抛运动的分解（第 9 章）：竖直方向 $v_y^2 = 2gh = 300\ \mathrm{m^2/s^2}$，水平方向 $v_x = 10\ \mathrm{m/s}$，$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{400}\ \mathrm{m/s} = 20\ \mathrm{m/s}$。斜抛还要再分解初速度，更麻烦。只问速度大小时，机械能守恒一步出结果；要问方向、时间、水平距离时，才需要分解。

例 5　（场景：判断机械能是否守恒）下列过程中，研究对象的机械能守恒的是（　）。

A. 跳伞运动员打开伞后匀速下降　B. 木块沿光滑斜面下滑　C. 货物被起重机匀速吊起　D. 光滑水平面上，小球压缩弹簧的过程中，小球和弹簧组成的系统

解：BD。

判断依据：只有重力或弹簧弹力做功时机械能守恒；研究对象包括弹簧时，弹力是系统内力。

A：空气阻力做负功，机械能减少（动能不变、重力势能减少）。B：支持力垂直于斜面，不做功，只有重力做功，守恒。C：拉力做正功，机械能增加（动能不变、重力势能增加）。D：只有弹簧弹力做功，系统机械能守恒；如果只看小球，弹力对它做负功，小球的机械能减少。

常用推论

• 自由落体或沿光滑轨道由静止下降 $h$，速度 $v = \sqrt{2gh}$，与质量、轨道形状无关（例 1）。
• 绳长 $L$ 的摆球从水平位置由静止释放，到最低点 $v = \sqrt{2gL}$，绳拉力 $T = 3mg$，与绳长无关（例 2 推导）。从与竖直方向成 $\theta$ 角释放时，$T = mg(3 - 2\cos\theta)$：由 $\dfrac{1}{2}mv^2 = mgL(1 - \cos\theta)$ 和 $T - mg = m\dfrac{v^2}{L}$ 得出。
• 光滑竖直圆轨道（轨道内侧或轻绳）：恰好过最高点要 $v_{\text{高}} = \sqrt{gR}$，对应最低点速度 $\sqrt{5gR}$，由静止释放的高度 $h = 2.5R$；此时最低点压力 $6mg$（例 3）。
• 只有重力做功时，同一高度处的速度大小相同：上抛和落回原处速度大小相等；从同一高度以相同速率向不同方向抛出，落地速度大小相同（例 4）。

易错点

• 错在哪：认为“合力为零”或“匀速运动”时机械能守恒。 为什么错：把“机械能守恒”和“动能不变”混为一谈。匀速下降动能不变，但重力势能在减少。 正确做法：看除重力、弹力外有没有力做功，与合力是否为零无关（例 5 的 A、C）。
• 错在哪：物体压缩弹簧时，说“物体的机械能守恒”。 为什么错：弹簧弹力是外力，对物体做负功；守恒的是物体和弹簧组成的系统。 正确做法：用守恒定律前先写“以……组成的系统为研究对象”。
• 错在哪：竖直圆轨道“恰好过最高点”取 $v = 0$。 为什么错：直觉以为“刚好爬上去”就是速度为零，忽略了圆周运动需要向心力。 正确做法：轻绳、轨道内侧的情形，最高点至少要 $mg$ 提供向心力，$v \ge \sqrt{gR}$；轻杆、管道才可以 $v = 0$（第 10 章）。

直观理解

想象一个只有高度刻度的“能量水桶”：总水量（机械能）固定，倒进“动能杯”多一点，“势能杯”就少一点。只有重力和弹力负责倒水；摩擦、拉力这些“外人”一插手，就有水漏出去或被灌进来。

自由下落时，动能和重力势能随高度的变化是两条直线，一升一降，加起来是一条水平线：

关联知识点

• 前置：第 13 章动能定理，机械能守恒由它推出。
• 前置：14.2、14.3 节重力势能和弹性势能。
• 常一起考：第 10 章竖直面内的圆周运动，机械能守恒求速度、向心力公式求力。
• 常一起考：第 9 章平抛运动，只问速度大小时用能量。
• 后续：第 20 章动量与能量的综合，弹性碰撞中动能守恒。
• 后续：第 21 章简谐运动的能量；第 39 章实验“验证机械能守恒定律”。

14.5 系统的机械能守恒

说明

几个物体用轻绳、轻杆、弹簧连在一起，或者叠放、接触，作为一个系统研究。系统的机械能是各物体的动能、重力势能加上弹簧的弹性势能。

系统机械能守恒的条件：系统外只有重力做功，系统内只有弹簧弹力做功，其他内力（轻绳拉力、轻杆弹力、光滑接触面间的弹力）做功之和为零。

为什么单个物体不守恒而系统守恒：轻绳跨过滑轮连着 $A$、$B$，绳对 $A$ 做负功、对 $B$ 做正功，单看 $A$ 或 $B$ 机械能都在变；但轻绳不可伸长、不储存能量，两个功大小相等、正负相反，加起来为零，系统的机械能不变。

三种写法（14.4 节的表达式用于系统）：

• 守恒式：$E_{\text{k}A1} + E_{\text{k}B1} + E_{\text{p}1} = E_{\text{k}A2} + E_{\text{k}B2} + E_{\text{p}2}$
• 转化式：系统动能增加量 = 系统势能减少量
• 转移式：$\Delta E_A = -\Delta E_B$，$A$ 机械能增加多少，$B$ 就减少多少

速度关系：几个物体的速度通常不独立，要先找出关系再代入能量式：

连接方式	速度关系
轻绳跨过定滑轮，两端沿绳运动	速率相等
轻杆绕固定轴转动	角速度相同，$v \propto r$
绳或杆端点运动方向不沿绳（杆）	沿绳（杆）方向的分速度相等（第 8 章关联速度）
弹簧连接的两物体，弹簧最长或最短时	两物体速度相同

理想模型：轻绳（不可伸长、质量不计）、轻杆（不形变、质量不计）、光滑滑轮、轻弹簧。

使用场景

• 轻绳跨过光滑定滑轮连接两物体（一个下落带动另一个上升或在光滑平面上滑动），问速度 → 系统，绳的拉力做功之和为零 → 系统动能增加 = 系统重力势能减少，两物体速率相等。
• 轻杆连接两个小球绕固定轴转动，问某位置的速度或杆对球做的功 → 系统机械能守恒，角速度相同 → 先用 $v \propto r$ 统一速度，再列守恒式；单个球用动能定理求杆做的功。
• 物体与弹簧组成的系统（落到竖直弹簧上、压缩水平弹簧），问最大压缩量、最大弹性势能 → 重力、弹力做功，系统守恒 → 重力势能、动能、弹性势能三者之和不变。

注意点

• 先写“以……组成的系统为研究对象”。单个物体的机械能在变，不要对单个物体写守恒式。
• 绳子要始终绷紧。如果中途绳松弛再突然绷紧，绷紧瞬间有机械能损失，绷紧前后要分开处理。
• 滑轮、桌面不光滑时，摩擦力做功，系统机械能不守恒，要改用 14.6 节的功能关系。
• 系统各物体的高度变化不同，各自算各自的重力势能变化，注意有的升、有的降。
• 杆对单个球的力不一定沿杆，也不一定不做功；只有对整个系统，杆的力做功之和才为零。

推导

轻绳连接的两物体，绳的拉力做功之和为零：轻绳质量不计，同一根绳上张力处处为 $T$（光滑滑轮）。设 $A$ 沿绳方向向下移动 $\Delta s$，因为绳不可伸长，$B$ 沿绳方向向上移动同样的 $\Delta s$。绳对 $A$ 的拉力向上，做功 $-T\Delta s$；对 $B$ 的拉力向上，做功 $+T\Delta s$。两者相加为零。

（关键一步：“绳不可伸长”保证两端沿绳的位移相等，“轻绳 + 光滑滑轮”保证两端拉力大小相等。两条中缺一条，比如绳有弹性或滑轮有摩擦，功就不再抵消。）

对系统中每个物体写动能定理，再把各式相加，内力做功之和为零而消掉，只剩重力和弹簧弹力做功，再按 14.4 节的方法换成势能变化，就得到系统的机械能守恒。

例题

例 1　（场景：轻绳跨过定滑轮）质量 $m_A = 3\ \mathrm{kg}$ 和 $m_B = 2\ \mathrm{kg}$ 的两个物体用轻绳跨过光滑定滑轮连接，开始时两物体静止，绳绷直，如图。释放后，$A$ 下降 $1\ \mathrm{m}$ 时（$B$ 未碰到滑轮），求 $A$ 的速度，以及这一过程中 $B$ 的机械能变化。

解：

研究对象：$A$、$B$ 和轻绳组成的系统。

过程划分：一个过程，$A$ 从静止下降 $h = 1\ \mathrm{m}$，$B$ 同时上升 $1\ \mathrm{m}$。

分析：滑轮光滑，绳的拉力对 $A$、$B$ 做功之和为零，只有重力做功，系统机械能守恒。两物体沿绳运动，速率相等，设为 $v$。

列式求解：系统重力势能减少 = 系统动能增加：

$$m_Agh - m_Bgh = \frac{1}{2}(m_A + m_B)v^2$$ $$(3 - 2) \times 10 \times 1 = \frac{1}{2} \times 5 \times v^2, \quad v = 2\ \mathrm{m/s}$$

$A$ 的速度 $2\ \mathrm{m/s}$，竖直向下。

$B$ 的机械能变化：

$$\Delta E_B = m_Bgh + \frac{1}{2}m_Bv^2 = 20\ \mathrm{J} + 4\ \mathrm{J} = 24\ \mathrm{J}$$

$B$ 的机械能增加 $24\ \mathrm{J}$。

检验：$A$ 的机械能变化 $\Delta E_A = -m_Agh + \dfrac{1}{2}m_Av^2 = -30\ \mathrm{J} + 6\ \mathrm{J} = -24\ \mathrm{J}$，正好是 $-\Delta E_B$（转移式），对。$B$ 的机械能增加，是绳的拉力对它做了正功 $24\ \mathrm{J}$。

容易卡在：只对 $A$ 写 $m_Agh = \dfrac{1}{2}m_Av^2$，得 $v = \sqrt{20}\ \mathrm{m/s}$。$A$ 还要拖着 $B$，绳的拉力对 $A$ 做负功，$A$ 的机械能不守恒。

另一种解法：牛顿第二定律整体法（第 7 章连接体）。把 $A$、$B$ 看成整体，沿绳方向合力 $(m_A - m_B)g = 10\ \mathrm{N}$，$a = \dfrac{10}{5}\ \mathrm{m/s^2} = 2\ \mathrm{m/s^2}$，由 $v^2 = 2ah$ 得 $v = 2\ \mathrm{m/s}$。力是恒力、问时间或加速度时，牛顿定律直接；只问速度、或者路径弯曲（如一个物体在曲面上）时，能量法不必管中间过程，更省事。

例 2　（场景：轻杆连接两球转动）长 $L = 1.5\ \mathrm{m}$ 的轻杆可绕一端 $O$ 在竖直面内无摩擦转动，杆的中点和另一端分别固定质量都是 $1\ \mathrm{kg}$ 的小球 $A$、$B$。把杆拉到水平位置由静止释放，如图。求杆转到竖直位置时两球的速度，以及这一过程中杆对 $B$ 球做的功。

解：

研究对象：$A$、$B$ 和轻杆组成的系统；求杆做功时单独看 $B$。

过程划分：一个过程，杆从水平转到竖直。

分析：转轴无摩擦，只有重力做功，系统机械能守恒。杆对单个球的力不一定沿杆，会对球做功，所以单个球的机械能不守恒。两球角速度相同，$v_B = 2v_A$。$A$ 下降 $\dfrac{L}{2} = 0.75\ \mathrm{m}$，$B$ 下降 $L = 1.5\ \mathrm{m}$。

列式求解：系统重力势能减少 = 系统动能增加：

$$mg\frac{L}{2} + mgL = \frac{1}{2}mv_A^2 + \frac{1}{2}m(2v_A)^2$$ $$10 \times 0.75 + 10 \times 1.5 = 2.5v_A^2, \quad v_A^2 = 9, \quad v_A = 3\ \mathrm{m/s}, \quad v_B = 6\ \mathrm{m/s}$$

两球速度都水平向左（与转动方向一致）。

对 $B$ 用动能定理：$W_{\text{杆}} + mgL = \dfrac{1}{2}mv_B^2$，

$$W_{\text{杆}} = \frac{1}{2} \times 1 \times 6^2\ \mathrm{J} - 1 \times 10 \times 1.5\ \mathrm{J} = 18\ \mathrm{J} - 15\ \mathrm{J} = 3\ \mathrm{J}$$

杆对 $B$ 做正功 $3\ \mathrm{J}$。

检验：同理杆对 $A$ 做功 $\dfrac{1}{2} \times 1 \times 3^2\ \mathrm{J} - 1 \times 10 \times 0.75\ \mathrm{J} = -3\ \mathrm{J}$，两者之和为零，符合“内力做功之和为零”。若 $B$ 单独摆下，$v = \sqrt{2gL} = \sqrt{30}\ \mathrm{m/s} \approx 5.5\ \mathrm{m/s}$，现在 $6\ \mathrm{m/s}$ 更快，是 $A$ 通过杆“帮”了 $B$，合理。

容易卡在：以为杆的力沿杆、不做功，对每个球分别用 $v = \sqrt{2gh}$。

例 3　（场景：物体与弹簧组成的系统）劲度系数 $k = 300\ \mathrm{N/m}$ 的轻弹簧竖直固定在地面上，质量 $1\ \mathrm{kg}$ 的小球从弹簧上端正上方 $0.4\ \mathrm{m}$ 处由静止落下，如图。求弹簧的最大压缩量和最大弹性势能（不计空气阻力，弹性势能 $E_{\text{p}} = \dfrac{1}{2}kx^2$）。

解：

研究对象：小球和弹簧组成的系统。

过程划分：①释放 → ②刚接触弹簧（自由落体）→ ③压缩到最低点。只关心初末状态时可以把①到③看成一个过程。

分析：只有重力和弹簧弹力做功，系统机械能守恒。①和③小球速度都为零；从①到③小球下降 $h + x$，重力势能全部变成弹性势能。

列式求解：

$$mg(h + x) = \frac{1}{2}kx^2, \quad 10(0.4 + x) = 150x^2$$

整理得 $15x^2 - x - 0.4 = 0$，

$$x = \frac{1 + \sqrt{1 + 24}}{30}\ \mathrm{m} = \frac{1 + 5}{30}\ \mathrm{m} = 0.2\ \mathrm{m}$$

（负根舍去。）最大弹性势能 $E_{\text{p}} = \dfrac{1}{2} \times 300 \times 0.2^2\ \mathrm{J} = 6\ \mathrm{J}$。

检验：$mg(h + x) = 10 \times 0.6\ \mathrm{J} = 6\ \mathrm{J}$，两边相等，对。最低点弹力 $kx = 60\ \mathrm{N}$，远大于重力 $10\ \mathrm{N}$，所以小球随后会被弹起，合理。

容易卡在：重力势能只算 $mgh$，漏了压缩弹簧那段 $x$ 里小球还在下降。

常用推论

• 轻绳跨过光滑定滑轮的两物体由静止释放，$A$ 下降 $h$ 时 $v = \sqrt{\dfrac{2(m_A - m_B)gh}{m_A + m_B}}$。由例 1 的式子解出；和牛顿定律算出的 $a = \dfrac{(m_A - m_B)g}{m_A + m_B}$ 一致。
• 系统机械能守恒时，系统内力对各物体做功之和为零：一个物体的机械能增加多少，另一个就减少多少（例 1、例 2 的检验）。
• 小球落到竖直弹簧上，最低点时弹力大于重力（$kx > mg$），合力向上；最大速度在 $kx_0 = mg$ 处。

易错点

• 错在哪：对连接体中的单个物体写机械能守恒。 为什么错：直觉以为“绳子只是传力，不影响能量”。其实绳的拉力对每个物体都做功，只是对系统做功之和为零。 正确做法：以系统为研究对象写守恒式；要求单个物体的能量变化，再对它用动能定理。
• 错在哪：轻杆连接两球时，认为两球速度相等。 为什么错：把“连在一起”误当成“一起平动”。绕轴转动时角速度相同，线速度和半径成正比。 正确做法：转动用 $v = \omega r$ 找速度关系；平动的绳连接体才速率相等。
• 错在哪：小球落到弹簧上时，重力势能的下降高度只算到刚接触弹簧。 为什么错：压缩弹簧的过程中小球还在下降，重力还在做功。 正确做法：下降高度 = 自由落下的高度 + 弹簧压缩量。

直观理解

系统像几个人共用一个钱包：绳和杆只是在钱包里“转账”，$A$ 少的正好是 $B$ 多的，总额不变。单看一个人的账目，钱在变；看整个钱包，钱没变。

关联知识点

• 前置：14.4 节机械能守恒定律及三种表达式。
• 前置：第 8 章关联速度，绳、杆端点速度的分解。
• 前置：第 7 章连接体，同一题的牛顿定律解法。
• 后续：第 20 章弹簧连接两物体的碰撞，动量守恒和系统机械能守恒一起用。
• 常一起考：第 10 章圆周运动，轻杆、轻绳连接物体在竖直面内转动。

14.6 功能关系

说明

功是能量转化的量度：做了多少功，就有多少能量从一种形式转化成另一种形式。每一种力做功，对应一种确定的能量变化：

做功的力	对应的能量变化	关系式	详见
合力（所有力）	动能变化	$W_{\text{合}} = \Delta E_{\text{k}}$	第 13 章动能定理
重力	重力势能变化	$W_G = -\Delta E_{\text{p}}$	14.2 节
弹簧弹力	弹性势能变化	$W_{\text{弹}} = -\Delta E_{\text{p}}$	14.3 节
除重力、弹簧弹力以外的其他力	机械能变化	$W_{\text{其他}} = \Delta E$	本节
一对滑动摩擦力（做功之和）	内能增加（摩擦生热）	$Q = fs_{\text{相对}}$	本节
静电力	电势能变化	$W_{\text{电}} = -\Delta E_{\text{p电}}$	第 16 章
克服安培力做功	电能（再转化为焦耳热）	$W_{\text{克安}} = E_{\text{电}}$	第 28 章

$s_{\text{相对}}$ 是两个物体之间的相对路程（一直同向相对滑动时就是相对位移的大小）。

理想模型：滑动摩擦力大小不变（$f = \mu F_{\text{N}}$）；摩擦产生的热全部算作系统的内能。

使用场景

• 除重力、弹力外还有拉力、阻力、摩擦力做功，问“机械能变化了多少”或已知机械能变化求这个力 → 功能关系 → $W_{\text{其他}} = \Delta E$。
• 两个物体之间有相对滑动（传送带上的物块、木板上的滑块），问产生的热量或电动机多做的功 → 一对滑动摩擦力 → $Q = fs_{\text{相对}}$，相对位移用两物体对地位移相减或 $v$-$t$ 图面积差求。
• 选择题给出某个过程的受力或加速度，问“动能、重力势能、机械能各变化多少” → 功能关系表一一对号 → 合力做功看动能，重力做功看重力势能，其他力做功看机械能。

注意点

• 每一条关系都是“某个力的功 ↔ 某个能量的变化”，不能张冠李戴：合力做功对应的是动能，不是机械能。
• $W_{\text{其他}} = \Delta E$ 里的“其他力”不含重力和弹簧弹力；摩擦力、拉力、空气阻力、绳对单个物体的拉力都算“其他力”。
• 摩擦生热只看相对路程，不看对地位移；静摩擦力没有相对滑动，不生热。
• 单个滑动摩擦力做的功可正可负（第 12 章），但一对滑动摩擦力做功之和一定是负的，等于 $-fs_{\text{相对}}$。
• 传送带上，电动机多做的功 = 物块增加的机械能 + 摩擦生热。

推导

$W_{\text{其他}} = \Delta E$：由动能定理，所有力做功之和等于动能变化：

$$W_G + W_{\text{弹}} + W_{\text{其他}} = \Delta E_{\text{k}}$$

把 $W_G = -\Delta E_{\text{p重}}$、$W_{\text{弹}} = -\Delta E_{\text{p弹}}$ 代入，移项：

$$W_{\text{其他}} = \Delta E_{\text{k}} + \Delta E_{\text{p重}} + \Delta E_{\text{p弹}} = \Delta E$$

（关键一步：重力、弹力的功已经“换算”成了势能，挪到等号右边和动能并在一起成了机械能，剩下没换算的就是“其他力”。$W_{\text{其他}} = 0$ 时正是机械能守恒，所以机械能守恒是功能关系的特例。）

$Q = fs_{\text{相对}}$：木块在木板上滑动，木块对地位移 $x_1$，木板对地位移 $x_2$（同向）。木板对木块的摩擦力与木块运动方向相反，做功 $-fx_1$；木块对木板的摩擦力与木板运动方向相同，做功 $+fx_2$。两者之和

$$W_{\text{一对}} = -fx_1 + fx_2 = -f(x_1 - x_2) = -fs_{\text{相对}}$$

（关键一步：一对作用力和反作用力大小相等、方向相反，但两个物体的位移不同，所以功不抵消；少掉的这部分机械能变成了接触面的内能。）

例题

例 1　（场景：其他力做功与机械能变化）用竖直向上的拉力把质量 $2\ \mathrm{kg}$ 的物体由静止开始以 $2\ \mathrm{m/s^2}$ 的加速度匀加速提升 $5\ \mathrm{m}$，不计空气阻力。求这一过程中物体动能、重力势能和机械能的变化。

解：

研究对象：物体。

过程划分：一个过程，匀加速上升 $5\ \mathrm{m}$。

分析：受拉力 $F$ 和重力 $G$，如图。合力做功对应动能，重力做功对应重力势能，拉力（其他力）做功对应机械能。

列式求解：取竖直向上为正方向。由牛顿第二定律 $F - mg = ma$，$F = m(g + a) = 2 \times 12\ \mathrm{N} = 24\ \mathrm{N}$。

动能变化：$\Delta E_{\text{k}} = W_{\text{合}} = mah = 2 \times 2 \times 5\ \mathrm{J} = 20\ \mathrm{J}$，增加 $20\ \mathrm{J}$。

重力势能变化：$\Delta E_{\text{p}} = -W_G = mgh = 2 \times 10 \times 5\ \mathrm{J} = 100\ \mathrm{J}$，增加 $100\ \mathrm{J}$。

机械能变化：$\Delta E = W_F = Fh = 24 \times 5\ \mathrm{J} = 120\ \mathrm{J}$，增加 $120\ \mathrm{J}$。

检验：$20\ \mathrm{J} + 100\ \mathrm{J} = 120\ \mathrm{J}$，动能和重力势能的增加量之和等于机械能的增加量，对。

容易卡在：把拉力做的功当成动能的增加。拉力做的功有一部分去抬高物体了。

例 2　（场景：传送带上的摩擦生热）水平传送带以 $v = 2\ \mathrm{m/s}$ 的速度匀速运行，把质量 $1\ \mathrm{kg}$ 的物块无初速度地轻放在传送带左端，物块与传送带间的动摩擦因数 $\mu = 0.2$，传送带足够长。求物块与传送带相对滑动过程中产生的热量，以及电动机因放上物块而多做的功。

解：

研究对象：物块；求热量时看物块和传送带之间的相对运动。

过程划分：（1）物块从静止加速到 $2\ \mathrm{m/s}$，有相对滑动；（2）之后与传送带共速，无相对滑动，不再生热。只需算过程（1）。

分析：物块受向右的滑动摩擦力 $f = \mu mg = 2\ \mathrm{N}$，加速度 $a = \mu g = 2\ \mathrm{m/s^2}$。生热 $Q = fs_{\text{相对}}$，要先求出物块和传送带各自的对地位移。

列式求解：加速时间 $t = \dfrac{v}{a} = 1\ \mathrm{s}$。

物块位移 $x_1 = \dfrac{v}{2}t = 1\ \mathrm{m}$，传送带位移 $x_2 = vt = 2\ \mathrm{m}$，$s_{\text{相对}} = x_2 - x_1 = 1\ \mathrm{m}$。

$$Q = fs_{\text{相对}} = 2 \times 1\ \mathrm{J} = 2\ \mathrm{J}$$

电动机多做的功 = 物块增加的动能 + 生热：

$$W = \frac{1}{2}mv^2 + Q = 2\ \mathrm{J} + 2\ \mathrm{J} = 4\ \mathrm{J}$$

检验：另算：传送带要保持匀速，电动机多提供的力等于摩擦力 $2\ \mathrm{N}$，传送带走了 $2\ \mathrm{m}$，多做功 $2 \times 2\ \mathrm{J} = 4\ \mathrm{J}$，一致。

容易卡在：用物块的对地位移 $1\ \mathrm{m}$ 算热量，碰巧数值相同；换一个题目（物块有初速度）就会错。

另一种解法：$v$-$t$ 图像法。画出物块和传送带的 $v$-$t$ 图，两条图线之间的面积就是相对位移：

三角形面积 $\dfrac{1}{2} \times 1 \times 2\ \mathrm{m} = 1\ \mathrm{m}$，$Q = 2\ \mathrm{J}$。物块和传送带速度变化复杂（多段加减速、传送带也在变速）时，画图算面积差最不容易漏；过程简单时直接列位移式也很快。

例 3　（场景：木板上的滑块）质量 $M = 2\ \mathrm{kg}$ 的长木板静止在光滑水平地面上，质量 $m = 1\ \mathrm{kg}$ 的滑块以 $v_0 = 3\ \mathrm{m/s}$ 的速度滑上木板左端，两者间动摩擦因数 $\mu = 0.2$，木板足够长。求两者共速时的速度、滑块在木板上滑行的距离和产生的热量。

解：

研究对象：滑块、木板分别隔离求运动；求热量看两者组成的系统。

过程划分：一个过程，从滑上木板到两者共速，之后一起匀速，不再生热。

分析：摩擦力 $f = \mu mg = 2\ \mathrm{N}$。滑块受摩擦力向左，减速，$a_1 = \dfrac{f}{m} = 2\ \mathrm{m/s^2}$；木板受摩擦力向右，加速，$a_2 = \dfrac{f}{M} = 1\ \mathrm{m/s^2}$。地面光滑，木板只受这一个水平力。

列式求解：取向右为正方向。共速时 $v_0 - a_1t = a_2t$，$3 - 2t = t$，$t = 1\ \mathrm{s}$，共同速度 $v = 1\ \mathrm{m/s}$，向右。

滑块位移 $x_1 = \dfrac{v_0 + v}{2}t = 2\ \mathrm{m}$，木板位移 $x_2 = \dfrac{v}{2}t = 0.5\ \mathrm{m}$，相对滑行 $s_{\text{相对}} = x_1 - x_2 = 1.5\ \mathrm{m}$。

$$Q = fs_{\text{相对}} = 2 \times 1.5\ \mathrm{J} = 3\ \mathrm{J}$$

检验：系统动能减少 $\dfrac{1}{2} \times 1 \times 3^2\ \mathrm{J} - \dfrac{1}{2} \times 3 \times 1^2\ \mathrm{J} = 4.5\ \mathrm{J} - 1.5\ \mathrm{J} = 3\ \mathrm{J}$，正好等于生热，能量守恒，对。

容易卡在：用滑块的对地位移 $2\ \mathrm{m}$ 算热量，得 $4\ \mathrm{J}$，比系统损失的动能还多，不可能。共速也可以用动量守恒一步求出（第 20 章）。

例 4　（场景：功能关系对号入座）质量 $1\ \mathrm{kg}$ 的物体从高处由静止竖直下落，受空气阻力作用，加速度大小为 $8\ \mathrm{m/s^2}$。下落 $10\ \mathrm{m}$ 的过程中，下列说法正确的是（　）。

A. 重力势能减少 $80\ \mathrm{J}$　B. 动能增加 $80\ \mathrm{J}$　C. 机械能减少 $20\ \mathrm{J}$　D. 机械能减少 $80\ \mathrm{J}$

解：BC。

判断依据：重力做功对应重力势能，合力做功对应动能，阻力（其他力）做功对应机械能。

重力做功 $mgh = 100\ \mathrm{J}$，重力势能减少 $100\ \mathrm{J}$，A 错。合力 $ma = 8\ \mathrm{N}$，做功 $80\ \mathrm{J}$，动能增加 $80\ \mathrm{J}$，B 对。阻力 $f = mg - ma = 2\ \mathrm{N}$，做功 $-20\ \mathrm{J}$，机械能减少 $20\ \mathrm{J}$，C 对 D 错。也可以直接算：势能减 $100$、动能加 $80$，机械能净减 $20$。

常用推论

• 物体“缓慢”移动（动能不变）时，外力做功 = 势能的增加 + 摩擦生热。
• 只有重力和某一个力 $F$ 做功时，$F$ 做的功等于机械能的变化：$F$ 做正功机械能增加，做负功机械能减少（例 1、例 4）。
• 传送带把物块从静止带到与传送带共速（水平、物块初速为零），物块获得的动能和摩擦生热相等，都是 $\dfrac{1}{2}mv^2$；电动机多做的功是 $mv^2$。由例 2：物块位移 $\dfrac{vt}{2}$，传送带位移 $vt$，相对位移恰好等于物块位移。
• 滑块冲上光滑地面上的木板直到共速，摩擦生热 = 系统动能的减少（例 3 的检验）。

易错点

• 错在哪：摩擦生热用 $f$ 乘物体的对地位移。 为什么错：把单个摩擦力做的功当成生热。热是两个接触面“互相摩擦”产生的，只和它们之间滑了多远有关。 正确做法：$Q = fs_{\text{相对}}$，先求两个物体的对地位移再相减（同向时）或相加（反向时）。
• 错在哪：合力做的功说成机械能的变化，或拉力做的功说成动能的变化。 为什么错：功能关系一一对应，记混了对象。 正确做法：对照本节的表：合力 ↔ 动能，重力 ↔ 重力势能，其他力 ↔ 机械能。
• 错在哪：静摩擦力做功也算生热。 为什么错：静摩擦时两接触面没有相对滑动，$s_{\text{相对}} = 0$。静摩擦力可以做功，但只是在物体间传递机械能。 正确做法：只有滑动摩擦才生热。

直观理解

功能关系像“分账”：每种力管一本账。合力管动能账，重力管重力势能账，弹力管弹性势能账，其他力管机械能总账。摩擦是一个“漏斗”，一对滑动摩擦力合起来总是把机械能漏成内能，漏多少看两个面互相滑了多远。

关联知识点

• 前置：第 13 章动能定理，功能关系从它推出。
• 前置：第 12 章摩擦力做功的正负；第 4 章 4.4 滑动摩擦力 $f = \mu F_{\text{N}}$。
• 常一起考：第 7 章传送带、板块的运动分析。
• 后续：第 16 章静电力做功与电势能；第 28 章电磁感应中的能量转化。
• 后续：第 20 章碰撞和板块问题中，用动量守恒求共速，再用功能关系求生热。
• 后续：第 33 章热力学第一定律，内能变化与做功、热传递的关系。

14.7 能量守恒定律与能源

说明

能量的形式：机械能、内能、电能、化学能、光能、核能等。各种形式的能量可以相互转化，如电动机把电能转化为机械能，燃料燃烧把化学能转化为内能。

能量守恒定律：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变。

用来解题时写成：

$$\Delta E_{\text{减}} = \Delta E_{\text{增}}$$

即某些形式的能量减少的总量，等于另一些形式的能量增加的总量。

能量耗散与方向性：能量在转化过程中总量不变，但最终常变成周围环境的内能，散失后很难再收集起来利用，这叫能量耗散。能量的转化有方向性：机械能可以全部转化为内能，内能却不能自发地全部转化为机械能而不引起其他变化（第 33 章热力学第二定律）。所以能量守恒，但可利用的能源会减少，仍要节约能源。

效率：

$$\eta = \frac{E_{\text{有用}}}{E_{\text{总}}} \times 100\% = \frac{P_{\text{有用}}}{P_{\text{总}}} \times 100\%$$

由于能量耗散，实际机械的效率总小于 $100\%$。

能源的分类：

分类方法	类别	例子
能否直接从自然界获得	一次能源	煤、石油、天然气、水能、风能、太阳能、核燃料
	二次能源	电能、汽油、焦炭、氢能（由一次能源加工转换而来）
能否在短期内从自然界得到补充	可再生能源	水能、风能、太阳能、生物质能
	不可再生能源	煤、石油、天然气、核燃料

化石能源（煤、石油、天然气）燃烧排放二氧化碳等，带来温室效应、酸雨和大气污染。可持续发展要求提高能源利用效率、开发利用清洁的可再生能源。

使用场景

• 过程中有多种能量转化（机械能、内能、电能），问某一种能量或效率（水电站、风力发电、电动机提升重物）→ 能量守恒 → 列“减少的总量 = 增加的总量”，有用部分乘效率。
• 选择题问能量转化的方向、能源的分类、永动机能否制成、“能量守恒为什么还要节约能源” → 概念判断 → 能量守恒 + 能量耗散和方向性 + 能源分类表。

注意点

• 能量守恒定律对一切过程都成立，没有条件；机械能守恒有条件，是能量守恒在“只有重力、弹力做功”时的特例。
• 列式时先找出哪些能量减少、哪些增加，不要漏掉内能（摩擦、碰撞、电流发热）。
• “能量守恒”不等于“能源用不完”：能量总量不变，但耗散成环境内能后品质降低、难以利用。
• 能源分类的两种标准不要混：一次、二次看能否直接从自然界获得，可再生、不可再生看能否短期补充。电能是二次能源；核燃料（铀）是不可再生的一次能源。

推导

能量守恒定律不是由别的定律推出来的，它是大量实验和生产实践的总结，至今没有发现例外。

实验依据：19 世纪 40 年代，迈尔、焦耳、亥姆霍兹等人从不同角度各自得出了能量守恒的思想。其中焦耳用多种方法测量“做多少功能产生多少热”，例如让下落的重物带动水中的叶轮转动，搅动使水温升高，测出机械功与产生热量的比值，各种方法得到的比值基本相同（热功当量）。

（关键一步：不论用摩擦、搅拌、压缩气体还是电流发热，消耗同样多的功总是产生同样多的热，说明功和热是同一种东西（能量）的不同形式，可以按固定比例换算，总量不变。）

永动机不可能制成：不消耗能量而能不断对外做功的机器（第一类永动机）违背能量守恒定律，所以不可能制成。

例题

例 1　（场景：多种能量转化与效率）某小型水电站，水从高处流下的落差为 $20\ \mathrm{m}$，每秒流过水轮机的水的质量为 $5 \times 10^3\ \mathrm{kg}$，水的动能变化不计。若发电机把水减少的重力势能的 $60\%$ 转化为电能，求发电功率。

解：

研究对象：每秒流过水轮机的水。

过程划分：一个过程，水下落 $20\ \mathrm{m}$，重力势能转化为电能（其余变成内能等散失）。

分析：能量守恒。每秒减少的重力势能是总能量，乘效率得到每秒的电能，就是发电功率。

列式求解：每秒水减少的重力势能

$$E = mgh = 5 \times 10^3 \times 10 \times 20\ \mathrm{J} = 1 \times 10^6\ \mathrm{J}$$

发电功率

$$P = \frac{\eta E}{t} = \frac{0.6 \times 1 \times 10^6\ \mathrm{J}}{1\ \mathrm{s}} = 6 \times 10^5\ \mathrm{W} = 600\ \mathrm{kW}$$

检验：单位 $\mathrm{J/s} = \mathrm{W}$，对。量级：每秒 5 吨水、落差 20 米的小水电站，几百千瓦，合理。

容易卡在：把“每秒流过的水量”当成总质量，忘了功率是每秒的能量。

例 2　（场景：概念判断）下列说法正确的是（　）。

A. 能量是守恒的，所以不必节约能源　B. 太阳能、风能、水能都是可再生能源　C. 第一类永动机不可能制成，因为它违背能量守恒定律　D. 石油和天然气是可再生能源

解：BC。

判断依据：能量守恒，但转化有方向性，可利用的能源会因耗散而减少；可再生与否看能否在短期内从自然界得到补充。

A 错：能量耗散后变成环境的内能，难以再利用，能源仍需节约。B 对：太阳能、风能、水能可以不断得到补充。C 对：不消耗能量却持续对外做功，违背能量守恒。D 错：石油、天然气形成要上百万年，是不可再生能源。

常用推论

• 机械能守恒是能量守恒的特例：只有重力、弹力做功时，没有机械能和其他形式能量之间的转化。
• 有摩擦的系统：系统减少的机械能 = 摩擦产生的内能 $Q = fs_{\text{相对}}$（14.6 节）。
• 功率型问题（水电站、风力发电）：每秒流过的流体质量 × 每千克的能量 × 效率 = 输出功率。风能问题中，每秒通过面积 $S$ 的空气质量是 $\rho Sv$，动能是 $\dfrac{1}{2}\rho Sv^3$。

易错点

• 错在哪：认为“能量守恒”和“机械能守恒”是一回事，有摩擦时说“能量不守恒”。 为什么错：有摩擦时机械能减少，但减少的部分变成了内能，总能量仍然守恒。 正确做法：说“机械能不守恒，能量守恒”，并把内能算进去。
• 错在哪：认为能量守恒就不会有能源危机。 为什么错：直觉把“能量”和“能源”混为一谈。能源是可以方便利用的能量，用过以后耗散成低品质的内能。 正确做法：区分能量（总量守恒）和能源（可利用的能量，会减少）。
• 错在哪：认为电能是一次能源，或者认为核能是可再生能源。 为什么错：电能要由其他能源转换而来；核燃料在地球上储量有限，不能短期内补充。 正确做法：按两条标准分别判断：能不能直接取自自然界，能不能短期补充。

直观理解

能量像钱，只会换手、换币种，总数不变；但每花一次都要交一点“手续费”，最后都变成散在环境里的热，捡不回来。所以钱（能量）不会少，能花的钱（能源）会越来越少。

关联知识点

• 前置：14.4、14.6 节，机械能守恒和功能关系是能量守恒在力学里的具体形式。
• 后续：第 17 章电功与电热、第 18 章电源的功率和效率，电路中的能量守恒。
• 后续：第 28 章电磁感应中的能量转化；第 29 章远距离输电的损耗。
• 后续：第 33 章热力学第一定律（能量守恒的热学形式）和第二定律（方向性）。
• 后续：第 36 章核能、质量亏损和核电站。

14.8 知识点之间的关系

拿到一道力学能量题，先做受力分析，看哪些力做功，再决定用哪条规律：只有重力、弹力做功，用机械能守恒，一个物体用 14.4 节，几个物体连着用 14.5 节；还有别的力做功，求速度用动能定理，求机械能变化或产热用 14.6 节的功能关系。势能怎么算回到 14.2、14.3 节；有电能、内能等参与时，用 14.7 节的能量守恒统一记账。

14.9 自测

1. 质量 $2\ \mathrm{kg}$ 的物体从离地 $5\ \mathrm{m}$ 处落到离地 $1\ \mathrm{m}$ 处，求重力做的功和重力势能的变化。
2. 长 $2\ \mathrm{m}$、质量 $3\ \mathrm{kg}$ 的均匀软绳平放在水平地面上，提起一端使它刚好竖直离地，重力势能增加多少？
3. 劲度系数 $500\ \mathrm{N/m}$ 的弹簧被压缩 $0.2\ \mathrm{m}$，弹性势能是多少（$E_{\text{p}} = \dfrac{1}{2}kx^2$）？再压缩到 $0.4\ \mathrm{m}$，弹性势能变为原来的几倍？
4. 小球从高 $3.2\ \mathrm{m}$ 的光滑曲面顶端由静止滑下，求到达底端时的速度大小。
5. 以 $10\ \mathrm{m/s}$ 的初速度竖直上抛一个小球，不计空气阻力，以抛出点为参考平面，小球在多高处动能等于重力势能？
6. 质量 $3\ \mathrm{kg}$ 和 $1\ \mathrm{kg}$ 的两物体用轻绳跨过光滑定滑轮连接，由静止释放，重物下降 $0.4\ \mathrm{m}$ 时速度多大？
7. 质量 $2\ \mathrm{kg}$ 的物体在竖直拉力作用下匀速上升 $3\ \mathrm{m}$，物体的机械能变化多少？
8. 滑块在木板上滑动，滑动摩擦力 $4\ \mathrm{N}$，滑块对地位移 $1.5\ \mathrm{m}$，木板对地位移 $1\ \mathrm{m}$（同向），求产生的热量。
9. 第一类永动机不可能制成，是因为它违背了什么定律？电能是一次能源还是二次能源？

答案：1. 重力做功 $80\ \mathrm{J}$，重力势能减少 $80\ \mathrm{J}$；2. $30\ \mathrm{J}$；3. $10\ \mathrm{J}$，4 倍；4. $8\ \mathrm{m/s}$；5. $2.5\ \mathrm{m}$；6. $2\ \mathrm{m/s}$；7. 增加 $60\ \mathrm{J}$；8. $2\ \mathrm{J}$；9. 能量守恒定律，二次能源。

14.10 深入阅读

• PhET · 能量滑板公园：基础：改变轨道形状和摩擦，实时看动能、重力势能、内能的柱状图，体会机械能守恒和摩擦生热。
• PhET · 质量与弹簧：弹簧振子的能量图，看动能、重力势能和弹性势能怎样相互转化。
• 维基百科 · 能量守恒定律：能量守恒定律的表述、历史（迈尔、焦耳、亥姆霍兹）和永动机为什么不可能。