第 38 章 · 力学实验（一）

项目	内容
课标主题	必修 1 的四个学生必做实验：测量做直线运动物体的瞬时速度；探究弹簧弹力与形变量的关系；探究两个互成角度的力的合成规律；探究加速度与物体受力、物体质量的关系
人教版（2019）	必修第一册 第一章 1.3”位置变化快慢的描述——速度”（测量纸带的平均速度和瞬时速度）、第二章 2.1”实验：探究小车速度随时间变化的规律”；第三章 3.1”重力与弹力”（探究弹簧弹力与形变量的关系）、3.4”力的合成和分解”（探究两个互成角度的力的合成规律）；第四章 4.2”实验：探究加速度与力、质量的关系”
考试地位	力学实验题几乎每卷一道。纸带求速度和加速度是基本功，常嵌在别的实验里考；探究加速度与力、质量的关系最常考，平衡摩擦力、槽码质量远小于小车质量、图像不过原点或弯曲是固定考点；弹簧和力的合成两个实验常考图像截距、等效替代和操作要求
前置知识	第 2 章速度、第 3 章中间时刻速度和 $\Delta x = aT^2$；第 4 章胡克定律、力的合成；第 6 章牛顿第二定律、第 7 章连接体；第 37 章读数、误差、数据处理和实验设计思路

这四个实验都在必修一，原理不难，难在“为什么要这样做”：为什么先接通电源再释放，为什么两次要拉到同一个 $O$ 点，为什么要平衡摩擦力、槽码为什么要轻。高考实验题很少问“实验目的是什么”，而是问这些操作背后的道理，以及图像不过原点、弯曲时该怎么解释。读数、误差、逐差法、化曲为直在第 37 章已讲，本章只引用。

38.1 实验一览

实验	测什么或探究什么	方法归类
38.2 测量做直线运动物体的瞬时速度	用纸带（或光电门）测各时刻的瞬时速度，作 $v$-$t$ 图，求加速度	极限思想（很短时间的平均速度近似瞬时速度）；逐差法、图像法（第 37 章 37.4）
38.3 探究弹簧弹力与形变量的关系	弹力 $F$ 与伸长量 $x$ 是否成正比，求劲度系数 $k$	二力平衡转换（钩码重力代替弹力）；图像法，看斜率和截距
38.4 探究两个互成角度的力的合成规律	两个力的合力与这两个力的关系是否满足平行四边形定则	等效替代（第 37 章 37.5）；力的图示
38.5 探究加速度与物体受力、物体质量的关系	$a$ 与 $F$、$a$ 与 $m$ 的关系，得出牛顿第二定律	控制变量（第 37 章 37.5）；化曲为直（$a$-$\dfrac{1}{M}$）

38.2 测量做直线运动物体的瞬时速度

目的与原理

目的：用打点计时器打出的纸带，测出小车在各时刻的瞬时速度，作 $v$-$t$ 图像，判断小车是否做匀变速直线运动，并求加速度。

原理一：很短时间内的平均速度近似等于瞬时速度。瞬时速度是 $\Delta t \to 0$ 时平均速度的极限（第 2 章 2.4）。纸带上取某点两侧很近的两点，它们之间的平均速度就可以当作该点的瞬时速度。

原理二：匀变速直线运动中，一段时间中间时刻的瞬时速度等于这段时间的平均速度（第 3 章 3.5）。所以对匀变速运动，这个“近似”其实是精确的：

$$v_n = \frac{x_n + x_{n+1}}{2T}$$

其中 $x_n$、$x_{n+1}$ 是计数点 $n$ 两侧相邻的两段位移，$T$ 是相邻计数点的时间间隔。

原理三：由速度求加速度。各点速度描在 $v$-$t$ 图上，若在一条直线上，说明是匀变速直线运动，斜率就是加速度。也可以不算速度，直接用 $\Delta x = aT^2$ 和逐差法（第 37 章 37.4）：

$$a = \frac{(x_4 + x_5 + x_6) - (x_1 + x_2 + x_3)}{9T^2}$$

光电门：另一种测瞬时速度的装置。物体上装宽度为 $d$ 的遮光条，遮光条经过光电门时挡住光线，计时器记下挡光时间 $\Delta t$，$v = \dfrac{d}{\Delta t}$ 就是这一小段的平均速度，$d$ 很窄时近似为通过光电门时的瞬时速度。

器材与装置

打点计时器（电磁打点计时器或电火花计时器）、交流电源、纸带、复写纸（电火花计时器用墨粉纸盘）、一端带滑轮的长木板、小车、细绳、槽码、刻度尺、导线。

关键器材的选择：

• 打点计时器用交流电：它靠交流电周期性地吸引振片（电磁式）或放电（电火花式）打点，直流电打不出点。电磁打点计时器接约 $8\ \mathrm{V}$ 低压交流，电火花计时器接 $220\ \mathrm{V}$ 交流（第 37 章 37.2）。电火花计时器的纸带受的阻力小，打出的点也更清晰。
• 刻度尺用毫米刻度尺，估读到 $0.1\ \mathrm{mm}$；量程要能一次量完整条纸带，不要分段量。
• 槽码不宜太重也不宜太轻：太重，小车加速太快，纸带上点太少；太轻，点太密，位移差太小，测量的相对误差大。

步骤

1. 把长木板平放在实验桌上，带滑轮的一端伸出桌面；把打点计时器固定在另一端，连好电源。（伸出桌面，槽码才能竖直下落。）
2. 细绳一端拴在小车上，跨过滑轮，另一端挂适量槽码；纸带穿过打点计时器的限位孔，压在复写纸下面，一端固定在小车后面。（限位孔让纸带走直线，点打在一条线上。）
3. 把小车停在靠近打点计时器的位置。（让纸带尽量多地被打上点，充分利用纸带。）
4. 先接通电源，待打点稳定后再释放小车。（先释放的话，纸带开头一段没打上点，或者打点计时器刚启动时打点不稳。）
5. 小车到达滑轮前按住它，断开电源，取下纸带。（防止小车撞上滑轮、槽码落地；打完就断电，避免打点计时器长时间工作发热。）
6. 换上新纸带，重复两三次。选一条点迹清晰的纸带，舍掉开头过于密集的点，从清晰处起选计数点，一般每 5 个间隔取一个，$T = 0.1\ \mathrm{s}$。
7. 用刻度尺一次测出各计数点到计数点 0 的距离 $d_1, d_2, \ldots$，再相减得各段位移 $x_k = d_k - d_{k-1}$。（只读一次起点，避免分段量时每段都带一个读数误差。）

数据处理

列表：

计数点	0	1	2	3	4	5	6
到 0 点距离 $d/\mathrm{cm}$	0	$d_1$	$d_2$	$d_3$	$d_4$	$d_5$	$d_6$
时刻 $t/\mathrm{s}$	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6
瞬时速度 $v/(\mathrm{m \cdot s^{-1}})$	—	$\dfrac{d_2 - d_0}{2T}$	$\dfrac{d_3 - d_1}{2T}$	$\dfrac{d_4 - d_2}{2T}$	$\dfrac{d_5 - d_3}{2T}$	$\dfrac{d_6 - d_4}{2T}$	—

两端的计数点 0 和 6 只有一侧有位移，不能用中间时刻法求速度。

图像法：以 $t$ 为横轴、$v$ 为纵轴描点，画一条直线让点均匀分布在两侧。

• 点在一条直线上，说明小车做匀变速直线运动。
• 斜率是加速度 $a$；在直线上取相距较远的两点算 $\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$。
• 纵截距是计数点 0（$t = 0$）时的速度。

逐差法：直接用各段位移求加速度，六段时用 $a = \dfrac{(x_4 + x_5 + x_6) - (x_1 + x_2 + x_3)}{9T^2}$。题目给的是到 0 点的距离时，$(x_4 + x_5 + x_6) - (x_1 + x_2 + x_3) = (d_6 - d_3) - d_3 = d_6 - 2d_3$，不用逐段相减。

光电门：两个光电门测出 $v_1 = \dfrac{d}{\Delta t_1}$、$v_2 = \dfrac{d}{\Delta t_2}$，两门间距 $L$，由 $v_2^2 - v_1^2 = 2aL$（第 3 章 3.4）求 $a$。

误差分析

系统误差：

• 电源频率不准：实际频率高于 $50\ \mathrm{Hz}$ 时，实际打点周期小于 $0.02\ \mathrm{s}$，计算仍用 $T = 0.1\ \mathrm{s}$，时间算长了，速度和加速度的测量值都偏小；实际频率偏低则偏大。减小办法：核实电源频率，按实际频率算 $T$。
• 光电门的遮光条有宽度：$\dfrac{d}{\Delta t}$ 是挡光这段时间的平均速度，不是严格的瞬时速度。遮光条越窄越接近。

偶然误差：

• 用刻度尺测距离时的估读误差。减小办法：计数点间隔取大些（每 5 个间隔取一个），一次测出各点到 0 点的距离。
• 描点作图的误差。减小办法：多取几个点，用直线拟合，舍去明显偏离的点。

不影响结果的因素：纸带与限位孔的摩擦、木板不光滑，只改变小车本身怎么运动（加速度小一些），不影响“测出的就是这条纸带记录的运动”。这个实验只测运动，不需要平衡摩擦力，也不要求槽码质量远小于小车质量，这两点在 38.5 才需要。

注意事项

• 先接通电源，后释放小车；打完先断电，再取纸带。理由见步骤 4、5。
• 释放前小车应靠近打点计时器，充分利用纸带。
• 细绳与木板平行，小车运动平稳，加速度不变。
• 舍去开头密集、模糊的点，从点迹清晰处开始取计数点。
• 测距离时刻度尺不要逐段移动，一次读出各点到起点的距离。
• 弄清“每隔 4 个点取一个计数点”和“每 5 个点取一个计数点”都是 $T = 0.1\ \mathrm{s}$（第 37 章 37.2）。

例题

例 1　（场景：纸带求瞬时速度和加速度）用频率为 $50\ \mathrm{Hz}$ 的打点计时器研究小车的运动，得到一条纸带如图，0 到 6 为计数点，相邻两计数点之间还有 4 个点未画出。测得各计数点到 0 点的距离如下表。

计数点	1	2	3	4	5	6
$d/\mathrm{cm}$	1.21	3.21	6.00	9.61	14.01	19.20

（1）相邻计数点间的时间间隔 $T$ 是多少？（2）求打计数点 2 时小车的速度。（3）用逐差法求小车的加速度（保留两位有效数字）。（4）若实验时电源的实际频率是 $51\ \mathrm{Hz}$，而计算时仍按 $50\ \mathrm{Hz}$，加速度的测量值偏大还是偏小？

解：

研究对象：小车（纸带记录了它的运动）。

过程划分：六段连续相等时间间隔 $T$ 内的运动。

分析：各段位移 $x_k = d_k - d_{k-1}$：$1.21$、$2.00$、$2.79$、$3.61$、$4.40$、$5.19$（单位 $\mathrm{cm}$），相邻差约为 $0.80\ \mathrm{cm}$，基本相等，小车做匀加速直线运动。计数点 2 是 1 到 3 这段时间的中间时刻，用中间时刻速度；加速度用逐差法。

列式求解：

（1）相邻计数点之间有 5 个打点间隔，$T = 5 \times 0.02\ \mathrm{s} = 0.1\ \mathrm{s}$。

（2）

$$v_2 = \frac{d_3 - d_1}{2T} = \frac{(6.00 - 1.21) \times 10^{-2}}{2 \times 0.1}\ \mathrm{m/s} \approx 0.24\ \mathrm{m/s}$$

（3）

$$a = \frac{(x_4 + x_5 + x_6) - (x_1 + x_2 + x_3)}{9T^2} = \frac{d_6 - 2d_3}{9T^2} = \frac{(19.20 - 2 \times 6.00) \times 10^{-2}}{9 \times 0.1^2}\ \mathrm{m/s^2} = 0.80\ \mathrm{m/s^2}$$

方向与小车运动方向相同。

（4）实际打点周期 $\dfrac{1}{51}\ \mathrm{s}$ 小于 $0.02\ \mathrm{s}$，实际的 $T$ 比 $0.1\ \mathrm{s}$ 小。$T$ 在分母上，代入偏大的 $T$，算出的 $a$ 偏小（第 37 章 37.3 的“看量在公式里的位置”）。

检验：由 $\Delta x = aT^2 = 0.80 \times 0.01\ \mathrm{m} = 0.80\ \mathrm{cm}$，与相邻位移差一致。量级：桌面上的小车，零点几米每二次方秒，合理。

容易卡在：（3）分母写成 $3T^2$；或把 $d_k$ 当成各段位移直接代入逐差公式。题目给“到 0 点的距离”时，先换成各段位移，或者用 $d_6 - 2d_3$。

另一种解法：算出计数点 1 到 5 的速度：$0.16$、$0.24$、$0.32$、$0.40$、$0.48\ \mathrm{m/s}$，作 $v$-$t$ 图（下图），五个点在一条直线上，取直线上的 $(0, 0.08)$ 和 $(0.5\ \mathrm{s}, 0.48\ \mathrm{m/s})$，斜率 $a = \dfrac{0.48 - 0.08}{0.5}\ \mathrm{m/s^2} = 0.80\ \mathrm{m/s^2}$，纵截距 $0.08\ \mathrm{m/s}$ 是打计数点 0 时的速度。题目要求“作出 $v$-$t$ 图像”或要判断是不是匀变速时用图像法；只要一个加速度数值时，逐差法更快。

例 2　（场景：光电门测速度和加速度）如图，气垫导轨上的滑块装有宽度 $d = 5.00\ \mathrm{mm}$ 的遮光条，在牵引下做匀加速直线运动，先后通过相距 $L = 0.300\ \mathrm{m}$ 的光电门 1、2，挡光时间分别为 $\Delta t_1 = 25.0\ \mathrm{ms}$、$\Delta t_2 = 12.5\ \mathrm{ms}$。（1）求滑块通过两个光电门时的速度；（2）求滑块的加速度；（3）为了使测得的速度更接近瞬时速度，遮光条应宽一些还是窄一些？

解：

研究对象：滑块。

过程划分：从光电门 1 到光电门 2，一段匀加速直线运动。

分析：遮光条经过光电门的时间很短，用 $\dfrac{d}{\Delta t}$ 近似表示通过光电门时的速度；两个速度和距离 $L$ 已知，不涉及时间，用速度位移关系 $v_2^2 - v_1^2 = 2aL$。

列式求解：（1）

$$v_1 = \frac{d}{\Delta t_1} = \frac{5.00 \times 10^{-3}}{25.0 \times 10^{-3}}\ \mathrm{m/s} = 0.200\ \mathrm{m/s},\quad v_2 = \frac{5.00 \times 10^{-3}}{12.5 \times 10^{-3}}\ \mathrm{m/s} = 0.400\ \mathrm{m/s}$$

（2）

$$a = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2L} = \frac{0.400^2 - 0.200^2}{2 \times 0.300}\ \mathrm{m/s^2} = 0.200\ \mathrm{m/s^2}$$

方向与运动方向相同。

（3）窄一些。$\dfrac{d}{\Delta t}$ 是遮光条通过光电门这段时间的平均速度，$d$ 越窄，$\Delta t$ 越短，平均速度越接近瞬时速度。

检验：单位全部换成国际单位后代入；速度变大，加速度为正，与“匀加速”一致。

容易卡在：毫米、毫秒没换算就代入，恰好 $\dfrac{\mathrm{mm}}{\mathrm{ms}} = \mathrm{m/s}$，速度碰巧没错，但 $L$ 用厘米代入加速度就错了。统一换成国际单位最稳。

易错点

• 错在哪：先释放小车，再接通电源。 为什么错：觉得先后差不了多少。打点计时器启动要一瞬间，小车起步时最慢、点最密，这段恰好没打上或打得不稳，纸带前段废掉，有时整条纸带上点都很少。 正确做法：先接通电源，待打点稳定后再释放小车。
• 错在哪：用计数点 0 两侧的位移求 $v_0$，或用 $\dfrac{x_1}{T}$ 当作计数点 1 的速度。 为什么错：$\dfrac{x_1}{T}$ 是 0 到 1 这段的平均速度，等于这段中间时刻的速度，不是端点 1 的速度。 正确做法：计数点 $n$ 的速度用它两侧相邻两段：$v_n = \dfrac{x_n + x_{n+1}}{2T}$；首尾两个计数点用 $v$-$t$ 图像的截距或 $v = v_0 + at$ 推出来。
• 错在哪：认为这个实验要平衡摩擦力、要求槽码质量远小于小车质量。 为什么错：把本实验和 38.5 混在一起。这里只测“纸带记录下来的运动”，小车受多大的力、怎么受力都不影响测量。 正确做法：本实验只要求小车做匀变速运动、纸带点迹清晰；平衡摩擦力和 $m \ll M$ 是探究 $a$ 与 $F$、$m$ 关系时为了“让槽码重力等于小车受的合力”才要求的。

关联知识点

• 前置：第 2 章 2.4 瞬时速度（平均速度的极限）、2.6 $v$-$t$ 图像的斜率；第 3 章 3.4 速度位移关系、3.5 中间时刻速度和 $\Delta x = aT^2$。
• 前置：第 37 章 37.2 打点计时器的读数、37.4 逐差法和图像法。
• 同类实验：第 39 章验证机械能守恒定律（纸带求瞬时速度，方法相同）；第 41 章验证动量守恒定律（光电门或纸带测碰撞前后的速度）。
• 后续：38.5 探究加速度与力、质量的关系，加速度就用本实验的纸带方法测。

38.3 探究弹簧弹力与形变量的关系

目的与原理

目的：探究弹簧弹力 $F$ 与伸长量 $x$ 的关系，求弹簧的劲度系数 $k$。

原理：弹簧竖直悬挂，下端挂钩码，钩码静止时，弹簧对钩码的拉力与钩码的重力二力平衡，所以弹簧弹力 $F$ 等于所挂钩码的重力 $mg$（转换：难测的弹力换成好测的重力）。用刻度尺量出弹簧长度 $L$，伸长量 $x = L - L_0$，$L_0$ 是弹簧不挂钩码时的长度（原长）。

改变钩码个数，测多组 $(F, x)$，作 $F$-$x$ 图像。若是过原点的直线，说明 $F \propto x$，即胡克定律（第 4 章 4.3）：

$$F = kx$$

直线的斜率就是劲度系数 $k$。

器材与装置

铁架台、弹簧、钩码若干（每个质量已知，如 $50\ \mathrm{g}$）、毫米刻度尺、坐标纸、铅笔。

关键器材的选择：

• 刻度尺竖直固定，紧靠弹簧，刻度面对着指针，读数时视线和指针相平，减小视差。可以用重垂线检查刻度尺是否竖直。
• 钩码的总重不能使弹簧超过弹性限度：先估计弹簧能承受多大的力，钩码逐个加，不要一次挂太多。
• 弹簧选轻质弹簧：弹簧自身的重力会使它竖直悬挂时已经伸长一些，用竖直悬挂时的长度作原长可以消掉这一影响（见误差分析）。

步骤

1. 把弹簧上端固定在铁架台的横杆上，竖直悬挂；刻度尺竖直固定在弹簧旁边。（弹簧和刻度尺都竖直，量的才是沿弹力方向的长度。）
2. 弹簧竖直悬挂、不挂钩码时，读出指针对应的刻度，即原长 $L_0$。（竖直悬挂时测原长，弹簧自重带来的伸长已经包含在 $L_0$ 里。）
3. 挂上一个钩码，静止后读出弹簧长度 $L_1$，记下钩码重力 $F_1$。（静止时才二力平衡，弹力才等于重力。）
4. 逐个增加钩码，分别记下 $F_2, F_3, \ldots$ 和对应的 $L_2, L_3, \ldots$，测 6 组以上。（数据点多，作图时才能看出是不是直线。）
5. 算出各次的伸长量 $x = L - L_0$，填入表格。
6. 以 $F$ 为纵轴、$x$ 为横轴描点，作出图像，求斜率。
7. 取下钩码，整理器材。

数据处理

列表：

次数	1	2	3	4	5	6
钩码重力 $F/\mathrm{N}$
弹簧长度 $L/\mathrm{cm}$
伸长量 $x/\mathrm{cm}$

图像法（第 37 章 37.4）：

• $F$-$x$ 图像：纵轴 $F$、横轴 $x$。点在一条过原点的直线上，说明 $F \propto x$；斜率 $k = \dfrac{\Delta F}{\Delta x}$，横轴用厘米时要先换成米再算 $\mathrm{N/m}$。
• $F$-$L$ 图像（横轴直接用弹簧长度）：由 $F = k(L - L_0)$，图线是一条不过原点的直线，横截距是原长 $L_0$，斜率仍是 $k$。不用一个个算伸长量，题目常这样给。

图像不过原点或弯曲的原因：

图像特征	原因	对 $k$ 的影响
交横轴正半轴（图中乙），$F = 0$ 时 $x = x_0 > 0$	原长是把弹簧平放在桌上量的，竖直悬挂后弹簧在自重作用下已伸长 $x_0$，每个伸长量都多算了 $x_0$	斜率不变，$k$ 不受影响
交纵轴正半轴，$x = 0$ 时 $F > 0$	钩码重力之外还有恒定的拉力（如挂钩、托盘的重力没计入 $F$），或横轴用的伸长量少算了一截	斜率不变，$k$ 不受影响
末端向横轴弯曲（图中甲的末端）	弹力太大，超过了弹簧的弹性限度，胡克定律不再成立	用直线段求 $k$，弯曲段舍去

误差分析

系统误差：

• 弹簧自重：竖直悬挂时弹簧自身重力使它伸长。若原长按平放测量，伸长量整体偏大一个常量，图像平移，斜率不变，$k$ 的测量不受影响；若用某一组数据直接算 $k = \dfrac{F}{x}$，则 $x$ 偏大，$k$ 偏小。减小办法：竖直悬挂时测原长，或用图像的斜率求 $k$。
• 钩码质量不准：钩码的标称质量与实际不符，$F$ 整体偏大或偏小。减小办法：用天平核对钩码质量。

偶然误差：

• 读弹簧长度的误差（视线不平、弹簧还在晃动时读数）。减小办法：静止后读数，视线与指针相平。
• 描点作图的误差。减小办法：多测几组，使数据分布在较大范围内，用直线拟合。

注意事项

• 钩码不能挂太多，弹簧不能超过弹性限度；作图时发现末端弯曲，弯曲段数据不能用来求 $k$。
• 每次都要等钩码静止后再读数，此时弹力才等于钩码重力。
• 读数时视线与指针（或弹簧下端）相平，刻度尺估读到 $0.1\ \mathrm{mm}$（第 37 章 37.2）。
• 每次增加的钩码尽量相同，使数据点在图上分布均匀。
• 描点后用一条直线拟合，让点均匀分布在直线两侧，不要连成折线；明显偏离的点舍去。
• 横轴是伸长量还是弹簧长度，先看清楚，两者的截距意义不同。

例题

例 1　（场景：读数和 $F$-$L$ 图像求原长、劲度系数）某同学按图装置实验，每个钩码质量 $50\ \mathrm{g}$，$g$ 取 $10\ \mathrm{m/s^2}$。依次挂 1 到 7 个钩码，记录指针所指的刻度 $L$ 如下表。其中挂 4 个钩码时，指针恰好对准刻度尺的 $14\ \mathrm{cm}$ 刻线，表中空着。

钩码个数	1	2	3	4	5	6	7
$F/\mathrm{N}$	0.5	1.0	1.5	2.0	2.5	3.0	3.5
$L/\mathrm{cm}$	11.02	11.98	13.01		14.98	16.01	17.80

（1）表中空格应填多少？（2）作 $F$-$L$ 图像，求弹簧的原长和劲度系数。（3）第 7 组数据有什么问题？处理数据时应如何对待？

解：

研究对象：弹簧。

过程划分：不涉及过程，每组数据都是一个平衡状态。

分析：（1）是读数，毫米刻度尺以厘米为单位读到小数点后两位。（2）由 $F = k(L - L_0)$，$F$-$L$ 图像的横截距是 $L_0$，斜率是 $k$。（3）看第 7 组在不在直线上。

列式求解：

（1）$14.00\ \mathrm{cm}$。正好对准刻线，估读位写 0（第 37 章 37.2）。

（2）描点后，前 6 组在一条直线上，直线与横轴交于 $L_0 = 10.0\ \mathrm{cm}$。在直线上取 $(10.0\ \mathrm{cm}, 0)$ 和 $(16.0\ \mathrm{cm}, 3.0\ \mathrm{N})$：

$$k = \frac{\Delta F}{\Delta L} = \frac{3.0 - 0}{(16.0 - 10.0) \times 10^{-2}}\ \mathrm{N/m} = 50\ \mathrm{N/m}$$

（3）按前 6 组的规律，$F = 3.5\ \mathrm{N}$ 时 $L$ 应为 $10.0\ \mathrm{cm} + \dfrac{3.5}{50}\ \mathrm{m} = 17.0\ \mathrm{cm}$，实测 $17.80\ \mathrm{cm}$，伸长得比正比关系多，点落到直线右下方：弹簧已超过弹性限度。这组数据不符合胡克定律的适用条件，求 $k$ 时舍去。

检验：代回第 3 组：$F = 50 \times (0.1301 - 0.100)\ \mathrm{N} \approx 1.5\ \mathrm{N}$，与表中一致。实验室弹簧的劲度系数几十牛每米，合理。

容易卡在：（2）用厘米直接算出 $0.5$，忘了换成米；或者用第 7 组数据参与连线，把直线拉偏。

另一种解法：（2）也可以先算伸长量 $x = L - L_0$ 再作 $F$-$x$ 图像，但这要先知道 $L_0$。题目没有单独给原长时，$F$-$L$ 图像一张图同时得到 $L_0$ 和 $k$，更省事；题目给了原长、要求“作 $F$-$x$ 图像”时，按 $F$-$x$ 作。

例 2　（场景：用图像比较两根弹簧）用两根不同的轻弹簧 a、b 做实验，得到弹力 $F$ 与弹簧长度 $L$ 的关系图像如图。下列说法正确的是（　）。

A. a 的原长比 b 的长 B. a 的劲度系数比 b 的大 C. 弹簧的弹力与弹簧的长度成正比 D. 弹力相同时，a 的伸长量比 b 的大

解：B。

判断依据：$F$-$L$ 图像的横截距是原长，斜率是劲度系数。

a 的横截距 $2\ \mathrm{cm}$，b 的 $4\ \mathrm{cm}$，a 的原长短，A 错。a 的斜率 $\dfrac{3\ \mathrm{N}}{6\ \mathrm{cm}} = 50\ \mathrm{N/m}$，b 的斜率 $\dfrac{2\ \mathrm{N}}{8\ \mathrm{cm}} = 25\ \mathrm{N/m}$，a 的劲度系数大，B 对。图线不过原点，弹力与伸长量成正比，不与长度成正比，C 错。弹力相同时，$x = \dfrac{F}{k}$，$k$ 大的伸长量小，a 的伸长量小，D 错。

例 3　（场景：图像不过原点的原因）某同学先把弹簧平放在水平桌面上测出原长 $L_0$，再把弹簧竖直悬挂，挂上钩码测长度 $L$，以 $x = L - L_0$ 为横轴、钩码重力 $F$ 为纵轴作图。他得到的图像是 38.3 数据处理图中的甲还是乙？用这条图线的斜率求出的 $k$ 比真实值偏大、偏小还是相等？

解：乙；相等。

判断依据：弹簧自重使竖直悬挂时的长度比平放时长；伸长量的系统偏差只改变截距，不改变斜率（第 37 章 37.4 常用推论）。

竖直悬挂、还没挂钩码时，弹簧在自重作用下已伸长了 $x_0$，此时 $F = 0$ 而 $x = x_0$，图线交横轴于 $x_0$，是乙。挂钩码后弹簧的实际伸长量（相对于竖直悬挂时的长度）是 $x - x_0$，$F = k(x - x_0)$，斜率仍是 $k$，求出的劲度系数等于真实值。

容易卡在：觉得“多算了伸长量，$k$ 就偏小”。那是用单组数据 $\dfrac{F}{x}$ 算 $k$ 时的结论；用图像的斜率，平移不影响。

易错点

• 错在哪：以弹簧长度 $L$ 为横轴作图，得到不过原点的直线，就认为“弹力与形变量不成正比”。 为什么错：把长度当成了形变量。胡克定律说的是弹力与伸长量成正比，不是与长度成正比。 正确做法：$F$-$L$ 图线是 $F = k(L - L_0)$，横截距是原长，斜率是 $k$；只有 $F$-$x$ 图线才应该过原点。
• 错在哪：钩码挂上去就读数，或者手托着钩码读数。 为什么错：弹簧弹力等于钩码重力，前提是钩码静止、二力平衡；晃动时弹力时大时小。 正确做法：每次挂好后等钩码静止，再读指针位置。
• 错在哪：图像末端弯曲，仍把所有点连成一条直线（或一条曲线）求 $k$。 为什么错：超过弹性限度后胡克定律不成立，那些点不属于”$F = kx$“这个规律。 正确做法：只用直线段的数据求斜率，弯曲段舍去，并在结论中说明”在弹性限度内”。

关联知识点

• 前置：第 4 章 4.3 弹力与胡克定律（本实验是它的实验依据）；第 5 章 5.2 二力平衡（弹力等于钩码重力）。
• 前置：第 37 章 37.2 刻度尺读数、37.4 图像法（例 2 就是本实验的数据）。
• 后续：第 14 章 14.3 弹性势能，$F$-$x$ 图像下的面积是弹力做的功。
• 同类实验：用图像截距和斜率求两个量的，还有第 40 章测量电源的电动势和内阻（$U$-$I$ 图像的纵截距和斜率）、第 41 章用单摆测重力加速度（$T^2$-$L$ 图像）。

38.4 探究两个互成角度的力的合成规律

目的与原理

目的：探究两个互成角度的力与它们的合力之间满足什么关系，验证力的平行四边形定则。

原理：等效替代（第 37 章 37.5）。橡皮条一端固定在 $A$ 点，另一端系一个结点 $O$：

• 用两个弹簧测力计互成角度地拉，把结点拉到某一位置 $O$，两个力 $F_1$、$F_2$ 共同使橡皮条发生了某个确定的形变（伸长量和方向都确定）。
• 再用一个弹簧测力计单独拉，把结点拉到同一位置 $O$，这个力 $F'$ 使橡皮条发生的形变与前面完全相同，所以 $F'$ 就是 $F_1$、$F_2$ 的合力（实际测出的合力）。

以 $F_1$、$F_2$ 为邻边作平行四边形，对角线 $F$ 是按平行四边形定则作出的合力（理论值）。比较 $F$ 与 $F'$：在误差允许的范围内大小相等、方向相同，就说明力的合成遵循平行四边形定则（第 4 章 4.5）。

器材与装置

方木板、白纸、图钉（若干）、橡皮条、细绳套（两个）、弹簧测力计（两个）、三角板、刻度尺、铅笔。

关键器材的选择：

• 两只弹簧测力计要相同，使用前校准：先调零；再把两只测力计钩在一起对拉，示数相同才能用。示数不同说明有一只不准，会带来系统误差。
• 细绳套要长一些：细绳越长，沿绳描出的两点可以相距越远，记录的方向越准。
• 测力计量程适当：拉力尽量大一些（但不超过量程），读数的相对误差小；两个力不能都很小。

步骤

1. 用图钉把白纸钉在方木板上，再把橡皮条的一端固定在白纸上的 $A$ 点，另一端拴上两根细绳套。
2. 用两只弹簧测力计分别钩住细绳套，互成角度地拉橡皮条，使结点伸长到某一位置 $O$。用铅笔记下 $O$ 点的位置、两只测力计的读数 $F_1$、$F_2$，以及两根细绳的方向（在每根细绳下方相距较远处描两个点）。（三样都要记：力是矢量，大小和方向缺一不可；$O$ 点是下一步“效果相同”的标准。）
3. 只用一只弹簧测力计，通过细绳套把结点拉到同一位置 $O$，记下读数 $F'$ 和细绳的方向。（同一位置，橡皮条的伸长量和方向都相同，作用效果才相同。）
4. 选定标度，从 $O$ 点出发，用力的图示画出 $F_1$、$F_2$ 和 $F'$。（用同一标度，长短才能比较。）
5. 以 $F_1$、$F_2$ 为邻边作平行四边形，画出对角线 $F$。
6. 比较 $F$ 与 $F'$ 的大小和方向。
7. 改变两个力的大小和夹角，重做几次。（只做一次，可能是巧合；不同的夹角都符合，才能得出普遍规律。）

数据处理

数据处理就是作力的图示：同一标度、同一起点 $O$，画出 $F_1$、$F_2$、$F'$，再按平行四边形作出 $F$。

看图的两个要点：

• $F'$ 一定沿 $AO$ 方向：一个测力计拉时，结点 $O$ 只受橡皮条拉力和这个力，二力平衡，$F'$ 必与橡皮条在一条直线上。作图得到的 $F$ 有作图和测量误差，不一定正好沿 $AO$。题目问“哪个是用一个测力计拉时的力”，就看哪个沿 $AO$。
• 结论：$F$ 与 $F'$ 在误差范围内大小相等、方向相同，说明两个互成角度的力的合力遵循平行四边形定则。

误差分析

系统误差：

• 弹簧测力计不准：零点没调好，或两只测力计本身示数不一致。减小办法：使用前调零、两只对拉校准。

偶然误差：

• 读数误差：测力计读数估读不准。减小办法：拉力适当大些，读数时视线正对刻度。
• 方向记录误差：沿细绳描的两点离得太近，画出的方向偏差大。减小办法：细绳长些，描的两点相距远些。
• 作图误差：标度选得太小，图太小，量出的长度和角度误差大。减小办法：选合适的标度，使图尽量大；用三角板作平行线。
• 测力计与木板不平行：拉力有垂直木板的分量，或测力计外壳与木板摩擦，读数不等于在纸面内的拉力。减小办法：测力计、细绳、橡皮条都与木板平行。

不影响结果的操作：

• 细绳套换成橡皮条：只要能记下方向、测力计读数不变，结论不变。细绳只是传递力、标出方向。
• 两次实验之间（不同组）$O$ 点位置可以不同；只有同一组里，两个测力计拉和一个测力计拉，$O$ 点必须相同。

注意事项

• 同一组实验中，两次都要把结点拉到同一位置 $O$。只要求“橡皮条伸长相同长度”是不够的，方向也要相同。
• 弹簧测力计、细绳、橡皮条都与木板平行，拉力沿测力计的轴线方向，测力计外壳不要与木板、纸面摩擦。
• 两个分力的夹角不宜太大也不宜太小，一般在 $60^\circ$ 到 $120^\circ$ 之间：太小，平行四边形又窄又长，对角线作不准；太大，合力很小，相对误差大。不要求一定是 $90^\circ$。
• 拉力不超过测力计量程，也不要太小。
• 记录方向时在细绳下方描两个相距较远的点，不要用笔沿细绳画线（会拨动细绳）。
• 作图时 $F_1$、$F_2$、$F'$ 用同一标度，箭头标清楚。

例题

例 1　（场景：测力计读数和作力的图示）在“探究两个互成角度的力的合成规律”实验中：

（1）用两只弹簧测力计拉时，其中一只的示数为 $F_1 = 3.00\ \mathrm{N}$，另一只的指针位置如图甲所示（刻度单位为 $\mathrm{N}$，最小分度 $0.1\ \mathrm{N}$），读出 $F_2$。

（2）某同学按标度 $1\ \mathrm{cm}$ 表示 $1\ \mathrm{N}$ 作出力的图示如图乙，$F'$ 是只用一只测力计把结点拉到 $O$ 时的力，读数为 $4.90\ \mathrm{N}$。图中 $F$ 是怎样得到的？量得 $F$ 的长度约 $4.7\ \mathrm{cm}$，$F$ 约多大？

（3）图中 $F$ 和 $F'$ 哪一个一定沿 $AO$ 方向？为什么？

（4）根据作图结果，可以得出什么结论？

解：（1）$4.00\ \mathrm{N}$；（2）以 $F_1$、$F_2$ 为邻边作平行四边形，$F$ 是过 $O$ 的对角线，约 $4.7\ \mathrm{N}$；（3）$F'$；（4）在误差允许范围内，合力与分力满足平行四边形定则。

判断依据：测力计按最小分度的下一位估读；$F$ 是按平行四边形定则作出的理论值，$F'$ 是用等效替代测出的实际合力。

（1）最小分度 $0.1\ \mathrm{N}$，估读到 $0.01\ \mathrm{N}$。指针正对 $4\ \mathrm{N}$ 刻线，估读位是 0，读作 $4.00\ \mathrm{N}$（第 37 章 37.2）。

（2）从 $O$ 点出发、按同一标度画出 $F_1$、$F_2$，以它们为邻边作平行四边形，从 $O$ 出发的对角线就是 $F$。按标度 $1\ \mathrm{cm}$ 表示 $1\ \mathrm{N}$，$F \approx 4.7\ \mathrm{N}$。

（3）$F'$。只用一只测力计拉时，结点 $O$ 受橡皮条的拉力和这只测力计的拉力，二力平衡，两力共线，所以 $F'$ 一定沿橡皮条 $AO$ 的方向。$F$ 是作图得到的，带有读数、描方向和作图的误差，与 $AO$ 方向略有偏差（图中约 $2^\circ$）。

（4）$F$ 与 $F'$ 大小相差约 $\dfrac{4.90 - 4.7}{4.90} \approx 4\%$，方向相差约 $2^\circ$，在误差范围内相同，说明两个互成角度的力的合成遵循平行四边形定则。

容易卡在：（1）写成 $4\ \mathrm{N}$ 或 $4.0\ \mathrm{N}$，丢了估读位；（3）以为作图得到的 $F$ 才“标准”，应该沿 $AO$。实际测出来的 $F'$ 由二力平衡决定方向，作图的 $F$ 才带误差。

例 2　（场景：判断操作要求）关于本实验，下列说法正确的是（　）。

A. 两次拉橡皮条时，只要橡皮条伸长的长度相同即可，结点不必拉到同一位置 B. 拉橡皮条时，弹簧测力计、橡皮条和细绳都应与木板平行 C. 两只测力计拉时，两细绳的夹角必须取 $90^\circ$，便于算出合力 D. 记录细绳方向时，应在细绳下方描出相距较远的两个点 E. 把两根细绳换成两根橡皮条，实验结论不受影响

解：BDE。

判断依据：等效替代要求作用效果完全相同（大小和方向）；减小误差靠“平行、远点、合适夹角”。

A 错：伸长量相同只保证橡皮条拉力大小相同，方向可能不同，效果不同；必须拉到同一位置 $O$。B 对：不平行时拉力有一部分不在纸面内，或测力计外壳与木板摩擦，读数不是纸面内的拉力。C 错：本实验探究的是一般规律，夹角任意，$60^\circ$ 到 $120^\circ$ 之间较好；取 $90^\circ$ 不是必须的。D 对：两点相距越远，画出的方向越准。E 对：细绳的作用是传递拉力、标出方向，换成橡皮条，只要方向能描出、测力计读数照读，结论不变。

易错点

• 错在哪：用一只测力计拉时，只要求橡皮条伸长到相同长度。 为什么错：把“效果相同”理解成“伸长量相同”。力的作用效果由大小和方向共同决定，伸长量相同但方向不同，就不是同一个形变。 正确做法：两次都把结点拉到同一位置 $O$，伸长量和方向同时相同。
• 错在哪：只记两只测力计的读数，不记细绳方向，或者用很短的细绳描方向。 为什么错：把力当成了标量。没有方向就无法作平行四边形；方向描得不准，作出的合力方向也不准。 正确做法：同时记 $O$ 点位置、两个读数、两个方向；细绳长一些，在细绳下方描两个相距较远的点。
• 错在哪：认为图中沿 $AO$ 方向的是作图得到的合力 $F$。 为什么错：觉得理论值才是“准确”的。实际上一只测力计拉时，二力平衡决定了 $F'$ 必沿 $AO$；作图值 $F$ 带着读数和作图误差。 正确做法：沿 $AO$ 方向的一定是实际测出的合力 $F'$；偏离 $AO$ 的是作图得到的 $F$。

关联知识点

• 前置：第 4 章 4.5 力的合成与分解（本实验是平行四边形定则的实验依据）；第 5 章 5.2 二力平衡（$F'$ 为什么沿 $AO$）。
• 前置：第 37 章 37.5 等效替代法、37.2 弹簧测力计的读数（与刻度尺相同，估读到最小分度的下一位）。
• 后续：第 5 章 5.4 动态平衡的图解法，“保持 $O$ 点和一个分力方向不变，转动另一个分力”是本实验的常见变式。
• 同类实验：用等效替代的还有替代法测电阻（第 37 章 37.5 例 2）。
• 数学工具：平行四边形法则即向量加法，见《高中数学知识点梳理》第 14 章；用余弦定理算合力大小，见第 16 章。

38.5 探究加速度与物体受力、物体质量的关系

目的与原理

目的：探究加速度 $a$ 与物体所受合力 $F$、物体质量 $M$ 的定量关系（得出牛顿第二定律，第 6 章 6.3）。

原理一：控制变量（第 37 章 37.5）。$a$ 可能同时与 $F$、$M$ 有关，分两步：保持小车质量 $M$ 不变，改变拉力 $F$，研究 $a$ 与 $F$ 的关系；保持 $F$ 不变，改变 $M$，研究 $a$ 与 $M$ 的关系。

原理二：怎么测 $a$、$F$、$M$。

• $a$：小车拖着纸带，用 38.2 的方法（逐差法或 $v$-$t$ 图像）求。
• $M$：用天平称小车（含车上砝码）的质量。
• $F$：小车受的合力难以直接测，用槽码的重力 $mg$ 代替。要让这个代替成立，需要两个条件：

1. 平衡摩擦力：小车还受木板的摩擦力和纸带的阻力。把木板不带滑轮的一端垫高，使小车重力沿木板向下的分力 $Mg\sin\theta$ 恰好与这些阻力抵消。这样挂上槽码后，绳的拉力 $T$ 就是小车受的合力。

2. 槽码质量 $m$ 远小于小车质量 $M$：槽码加速下落，绳的拉力 $T$ 小于槽码重力 $mg$。第 7 章 7.2 已推出：

$$T = \frac{mg}{1 + \dfrac{m}{M}}$$

只有 $m \ll M$ 时 $T \approx mg$，才能用槽码重力代替拉力。

原理三：化曲为直（第 37 章 37.4）。$a$-$M$ 图像是曲线，看不出是不是反比；改作 $a$-$\dfrac{1}{M}$ 图像，若是过原点的直线，就说明 $a \propto \dfrac{1}{M}$。

器材与装置

一端带滑轮的长木板、垫块、小车、打点计时器、交流电源、纸带、细绳、槽码、砝码（放在小车上改变质量）、天平、刻度尺。

关键器材的选择：

• 槽码选质量小的，总质量远小于小车（含砝码）的质量；$\dfrac{m}{M}$ 就是用 $mg$ 代替拉力的相对误差（见误差分析）。
• 滑轮高度可调：调节滑轮高度，使细绳与木板平行。
• 天平：称小车、砝码和槽码的质量；$F$、$M$ 都要定量。

步骤

1. 用天平称出小车的质量 $M$ 和槽码的质量 $m$，记录。
2. 按图装好器材，先不挂槽码。调节滑轮高度，使细绳与木板平行。（绳不平行时，拉力有垂直木板的分量，改变了压力和摩擦力，拉力也不全沿运动方向。）
3. 平衡摩擦力：在木板不带滑轮的一端下面垫垫块，不挂槽码，小车后面连好纸带，接通电源，轻推小车，观察纸带上的点迹。点迹均匀（间距相等），说明小车做匀速运动，摩擦力已被平衡；点越来越密就把垫块向里移（增大倾角），越来越疏就向外移。（要连着纸带平衡，因为纸带与限位孔的摩擦也要一并抵消；不挂槽码，因为要平衡的是“阻力”，不是拉力。）
4. 保持 $M$ 不变，改变 $F$：挂上槽码，小车靠近打点计时器，先接通电源后释放小车，打出纸带；改变槽码个数，重复，测 5 组以上。每次在纸带上注明对应的槽码质量。
5. 保持 $F$ 不变，改变 $M$：槽码个数不变，在小车上加放砝码改变小车质量，重复打纸带，测 5 组以上。改变小车质量后不需要重新平衡摩擦力（理由见注意事项）。
6. 用逐差法求出每条纸带对应的加速度，填入表格，作 $a$-$F$ 和 $a$-$\dfrac{1}{M}$ 图像。

数据处理

表一：$M$ 一定

次数	1	2	3	4	5
槽码重力 $F/\mathrm{N}$
加速度 $a/(\mathrm{m \cdot s^{-2}})$

表二：$F$ 一定

次数	1	2	3	4	5
小车质量 $M/\mathrm{kg}$
$\dfrac{1}{M}/\mathrm{kg^{-1}}$
加速度 $a/(\mathrm{m \cdot s^{-2}})$

图像：

• $a$-$F$ 图像：点在过原点的直线上，说明 $M$ 一定时 $a \propto F$；斜率是 $\dfrac{1}{M}$。
• $a$-$\dfrac{1}{M}$ 图像：点在过原点的直线上，说明 $F$ 一定时 $a \propto \dfrac{1}{M}$；斜率是 $F$。不画 $a$-$M$ 图像，是因为它是双曲线的一支，肉眼分不出是不是反比（第 6 章 6.3 推导、第 37 章 37.4）。

$a$-$F$ 图像不过原点或弯曲的原因：

图像特征	原因	怎么改
甲：交横轴正半轴，$F$ 不为零时 $a = 0$	没有平衡摩擦力或平衡不足（倾角太小）：拉力要先克服一部分摩擦，小车才开始加速	适当增大木板倾角，重新平衡
乙：交纵轴正半轴，$F = 0$ 时 $a > 0$	平衡摩擦力过度（倾角太大）：不挂槽码时 $Mg\sin\theta$ 已大于阻力，小车自己就会加速	适当减小木板倾角，重新平衡
丙：$F$ 较大时向横轴弯曲	槽码质量不再远小于小车质量：$F = mg$ 越大，实际拉力 $T$ 比 $mg$ 小得越多，$a$ 跟不上直线	减小槽码质量；或改用力传感器直接测拉力

$a$-$\dfrac{1}{M}$ 图像也会弯：$F$ 一定时，$\dfrac{1}{M}$ 越大（小车越轻），$m \ll M$ 越不满足，图线末端向横轴弯曲。

误差分析

系统误差：

• 用 $mg$ 代替拉力 $T$：$T = \dfrac{Mmg}{M + m} < mg$，测量值（$mg$）偏大，相对误差 $\dfrac{mg - T}{T} = \dfrac{m}{M}$。$m$ 越大，偏差越大，表现为 $a$-$F$ 图像末端弯曲。减小办法：使 $m \ll M$；或用力传感器、弹簧测力计直接测绳的拉力，这时不再需要 $m \ll M$（仍需平衡摩擦力）。
• 平衡摩擦力不准：不足或过度，图像不过原点（见上表）。减小办法：仔细平衡，以纸带点迹均匀为准。

偶然误差：

• 测量纸带上的距离、称质量的读数误差。
• 描点作图的误差。
• 减小办法：多测几组，用逐差法求 $a$，用图像法处理。

不影响结果的因素：改变小车质量后不重新平衡摩擦力，不影响结果（见注意事项）。

注意事项

• 平衡摩擦力时不挂槽码，但要连着纸带并接通电源打点，以纸带点迹均匀判断匀速。理由：要抵消的是木板摩擦和纸带阻力，不是拉力；看纸带比用眼睛看小车准。
• 改变小车质量后不需要重新平衡摩擦力：平衡时 $Mg\sin\theta = \mu Mg\cos\theta$，即 $\tan\theta = \mu$，与 $M$ 无关。（纸带阻力不随小车质量改变，严格说会有微小偏差，实验中忽略。）
• 细绳与木板平行，拉力才沿运动方向，且不改变小车对木板的压力。
• 槽码质量远小于小车质量，否则不能用 $mg$ 代替拉力。
• 每次实验，小车从靠近打点计时器处释放，先接通电源后释放小车，小车到达滑轮前按住。
• 作图时，若个别点明显偏离直线，舍去；图像不过原点时，先查平衡摩擦力。

例题

例 1　（场景：补全步骤、分析图像偏差、估算系统误差）用图示装置探究加速度与力的关系。

（1）平衡摩擦力时，下列操作正确的是（　）。 A. 挂上槽码，调节木板倾角，使小车能匀速下滑 B. 不挂槽码，小车后面连上纸带，接通电源，轻推小车，使纸带上打出的点间距相等 C. 不挂槽码，也不连纸带，轻推小车，目测小车做匀速运动

（2）甲、乙两位同学各自作出 $a$-$F$ 图像，分别如 38.5 数据处理图中的甲、乙所示。分别说明原因和改进办法。

（3）丙同学平衡摩擦力正确，但所用小车质量 $M = 0.40\ \mathrm{kg}$，最后一次所挂槽码质量 $m = 0.10\ \mathrm{kg}$，图像末端明显弯曲（图中丙）。求这次绳的实际拉力 $T$，以及用 $mg$ 代替 $T$ 的相对误差（$g$ 取 $10\ \mathrm{m/s^2}$）。

解：

研究对象：（1）（2）平衡摩擦力时的小车；（3）小车和槽码组成的连接体。

过程划分：（3）挂上槽码后，小车和槽码一起由静止开始做匀加速运动，一个过程。

分析：

（1）平衡摩擦力是要抵消木板摩擦和纸带阻力，所以不挂槽码，但要连纸带；是否匀速以纸带点迹为准。

（2）图线交横轴：拉力达到某个值小车才开始加速，说明有一部分拉力用来克服摩擦，摩擦力没平衡掉。图线交纵轴：没有拉力时小车已经有加速度，说明重力沿斜面的分力大于阻力，平衡过度。

（3）平衡摩擦力后，小车受的合力就是绳的拉力 $T$。槽码加速下落，$T < mg$。用整体法求加速度，再隔离小车求 $T$（第 7 章 7.2）。

列式求解：

（1）B。

（2）甲：没有平衡摩擦力或平衡不足，木板倾角偏小，应适当增大倾角重新平衡。乙：平衡摩擦力过度，木板倾角偏大，应适当减小倾角重新平衡。

（3）取槽码下落方向（对小车是沿绳方向）为正方向。整体沿绳方向：

$$a = \frac{mg}{M + m} = \frac{0.10 \times 10}{0.40 + 0.10}\ \mathrm{m/s^2} = 2.0\ \mathrm{m/s^2}$$

隔离小车：

$$T = Ma = 0.40 \times 2.0\ \mathrm{N} = 0.80\ \mathrm{N}$$

$mg = 1.0\ \mathrm{N}$，用它代替 $T$，相对误差

$$\frac{mg - T}{T} = \frac{1.0 - 0.80}{0.80} = 25\%$$

也就是 $\dfrac{m}{M} = \dfrac{0.10}{0.40} = 25\%$。

检验：$m \to 0$ 时 $T \to mg$，误差趋于零，与”$m \ll M$ 时可以代替“一致。$25\%$ 的偏差在图上很明显，正是末端弯曲的原因。

容易卡在：（1）选 A，以为平衡摩擦力要“挂着槽码平衡”；（3）以为 $T = mg$，算不出偏差。

另一种解法：（3）不必分步：$\dfrac{mg - T}{T} = \dfrac{mg}{T} - 1 = \dfrac{M + m}{M} - 1 = \dfrac{m}{M}$，直接得 $25\%$。只问相对误差时用这个结论最快；要求 $T$ 的数值时按整体、隔离两步算。

例 2　（场景：$a$-$\dfrac{1}{M}$ 图像处理数据）保持槽码质量不变，改变小车质量 $M$，测得数据如下表。

$M/\mathrm{kg}$	1.00	0.50	0.40	0.25	0.20
$a/(\mathrm{m \cdot s^{-2}})$	0.10	0.21	0.25	0.40	0.49

（1）为了直观地判断 $a$ 与 $M$ 的关系，应作 $a$-$M$ 图像还是 $a$-$\dfrac{1}{M}$ 图像？为什么？（2）作出图像，由图求小车受的拉力，并估算所挂槽码的质量（$g$ 取 $10\ \mathrm{m/s^2}$）。（3）若继续减小小车质量（$\dfrac{1}{M}$ 继续增大），图线会怎样？

解：

研究对象：小车。

过程划分：每组数据对应一次匀加速运动，不需要分段。

分析：（1）若 $a \propto \dfrac{1}{M}$，$a$-$M$ 图像是双曲线，难以判断；$a$-$\dfrac{1}{M}$ 图像是过原点的直线，一眼可判断（化曲为直）。（2）$a = \dfrac{F}{M}$，$a$-$\dfrac{1}{M}$ 图像的斜率就是拉力 $F$；拉力近似等于槽码重力 $mg$。（3）看 $m \ll M$ 是否还成立。

列式求解：

（1）作 $a$-$\dfrac{1}{M}$ 图像。

（2）$\dfrac{1}{M}$ 依次为 $1.0$、$2.0$、$2.5$、$4.0$、$5.0\ \mathrm{kg^{-1}}$。描点后五个点在一条过原点的直线附近，取直线上的 $(0, 0)$ 和 $(5.0\ \mathrm{kg^{-1}}, 0.50\ \mathrm{m/s^2})$：

$$F = k = \frac{0.50}{5.0}\ \mathrm{N} = 0.10\ \mathrm{N}$$

槽码质量 $m \approx \dfrac{F}{g} = \dfrac{0.10}{10}\ \mathrm{kg} = 0.010\ \mathrm{kg} = 10\ \mathrm{g}$。

（3）$M$ 越来越小时，$m \ll M$ 不再满足，实际拉力 $T = \dfrac{mg}{1 + \dfrac{m}{M}}$ 明显小于 $mg$，加速度 $a = \dfrac{mg}{M + m}$ 比 $\dfrac{mg}{M}$ 小，图线末端向横轴方向弯曲。

检验：单位：$\dfrac{\mathrm{m/s^2}}{\mathrm{kg^{-1}}} = \mathrm{kg \cdot m/s^2} = \mathrm{N}$，斜率确实是力。$m = 10\ \mathrm{g}$，最小的小车质量 $200\ \mathrm{g}$，$\dfrac{m}{M} = 5\%$，数据范围内近似成立，所以表中的点还在直线上。

容易卡在：（2）直接用某一组数据 $F = Ma$ 计算，比如 $0.20 \times 0.49\ \mathrm{N} = 0.098\ \mathrm{N}$，碰巧接近，但没用到图像法“所有点一起平均”的好处，也看不出数据是否符合规律。

易错点

• 错在哪：平衡摩擦力时挂着槽码，或不连纸带。 为什么错：把“平衡摩擦力”理解成“让小车在实验状态下匀速”。要平衡的是摩擦和纸带阻力，挂了槽码就把拉力也“平衡”掉了；不连纸带，纸带阻力没被抵消。 正确做法：不挂槽码、连好纸带、接通电源，轻推小车，纸带点迹均匀即可。
• 错在哪：每次改变小车质量后都重新平衡摩擦力。 为什么错：直觉上“小车变重了，摩擦力变大了，要重新平衡”。摩擦力是变大了，但重力沿斜面的分力也同比例变大，$\tan\theta = \mu$ 与质量无关。 正确做法：平衡一次即可；只有换了木板、改变了倾角才要重新平衡。
• 错在哪：认为平衡了摩擦力，就可以用槽码重力代替拉力，不管槽码多重。 为什么错：把两个条件混成一个。平衡摩擦力只保证“拉力 = 合力”；“拉力 ≈ 槽码重力”还要 $m \ll M$，因为槽码自己也在加速，绳拉力小于它的重力（“挂着的物体拉力等于重力”的直觉只在静止或匀速时成立）。 正确做法：两个条件都要满足；用力传感器直接测拉力时，才可以不要求 $m \ll M$。
• 错在哪：$a$-$F$ 图像交横轴，说成“平衡摩擦力过度”。 为什么错：没想清楚截距的物理意义。交横轴是“有拉力却没加速度”，拉力被没平衡掉的摩擦抵消了，是平衡不足。 正确做法：先读截距的意思：$F$ 轴截距表示“还需多大的力才开始动”→ 平衡不足；$a$ 轴截距表示“没拉力也在加速”→ 平衡过度。

关联知识点

• 前置：第 6 章 6.3 牛顿第二定律（本实验是它的实验依据，6.3 推导只讲了结论怎么得出）。
• 前置：第 7 章 7.2 连接体：$T = \dfrac{mg}{1 + \dfrac{m}{M}}$，槽码质量远小于小车质量的推导就在那里。
• 前置：38.2 用纸带测加速度；第 37 章 37.5 控制变量法、37.4 化曲为直。
• 前置：第 4 章 4.4 摩擦力、4.5 力的分解（平衡摩擦力时 $Mg\sin\theta = \mu Mg\cos\theta$）。
• 同类实验：控制变量法还用在第 39 章探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系。
• 常一起考：气垫导轨加光电门（38.2 例 2）测加速度的变式；用力传感器测拉力的改进方案。

38.6 自测

1. 纸带上相邻计数点间还有 4 个点未画出（$50\ \mathrm{Hz}$），计数点 1、2 之间距离 $3.00\ \mathrm{cm}$，2、3 之间 $3.40\ \mathrm{cm}$。求打计数点 2 时的速度和小车的加速度。
2. 用打点计时器测小车速度的实验中，是否需要平衡摩擦力？是否需要槽码质量远小于小车质量？
3. 探究弹簧弹力与形变量的关系时，以弹簧长度 $L$ 为横轴、弹力 $F$ 为纵轴作图，得到一条直线，与横轴交于 $8.0\ \mathrm{cm}$，过点 $(12.0\ \mathrm{cm}, 2.0\ \mathrm{N})$。弹簧的原长和劲度系数各是多少？
4. 弹簧的 $F$-$x$ 图像在 $x$ 较大时向横轴弯曲，原因是什么？
5. 在探究力的合成规律的实验中，用一只测力计拉时为什么必须把结点拉到同一位置 $O$？这体现了哪种实验方法？
6. 力的合成实验中，两只测力计拉时夹角为 $90^\circ$，$F_1 = 3.00\ \mathrm{N}$、$F_2 = 4.00\ \mathrm{N}$。若保持 $O$ 点位置和 $F_1$ 的方向不变，缓慢转动 $F_2$ 的方向，使两力的夹角从 $90^\circ$ 逐渐变大，$F_1$ 和 $F_2$ 的大小分别如何变化？
7. 探究 $a$ 与 $F$ 的关系时，作出的 $a$-$F$ 图线交纵轴正半轴，原因是什么？
8. 探究 $a$ 与 $M$ 的关系时，为什么作 $a$-$\dfrac{1}{M}$ 图像而不作 $a$-$M$ 图像？

答案：1. $0.32\ \mathrm{m/s}$，$0.40\ \mathrm{m/s^2}$；2. 都不需要；3. $8.0\ \mathrm{cm}$，$50\ \mathrm{N/m}$；4. 超过了弹簧的弹性限度；5. 两次作用效果相同，一只测力计的拉力才是两个力的合力，等效替代法；6. $F_1$ 变大，$F_2$ 变大（合力 $5.00\ \mathrm{N}$ 不变，$F_1$ 方向不变，用图解法，第 5 章 5.4）；7. 平衡摩擦力过度（木板倾角过大）；8. $a$-$M$ 图像是曲线，难以判断是否成反比，$a$-$\dfrac{1}{M}$ 图像是过原点的直线，便于判断（化曲为直）。

38.7 深入阅读

• PhET · 胡克定律：拉伸、压缩弹簧，同时显示弹力和伸长量，串联、并联两根弹簧比较劲度系数。
• PhET · 力与运动：基础：改变推力、质量和摩擦，看加速度怎么变，对应探究加速度与力、质量关系的控制变量思路。
• PhET · 矢量加法：拖动两个矢量，看平行四边形和合矢量随夹角、大小变化，帮助理解力的合成实验的作图。
• 国家中小学智慧教育平台：教育部主办，有人教版必修第一册各实验节的同步课程视频，可看打点计时器、平衡摩擦力等操作演示。