第 15 章 · 静电场的力的性质

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课标主题	必修 3 · 静电场（静电现象与电荷守恒；点电荷模型与库仑定律；电场强度与电场线；静电的利用与防护）
人教版（2019）	必修第三册 第九章“静电场及其应用”：1 电荷；2 库仑定律；3 电场　电场强度；4 静电的防止与利用
考试地位	选择题常考：场强的叠加（等量同种、等量异种电荷）、由电场线判断场强和受力、库仑力作用下的平衡；计算题很少只考本章，常和第 16 章电势、带电粒子的加速偏转一起考；静电平衡、静电现象偶考
前置知识	第 1 章 1.3 矢量合成；第 4 章受力分析、力的合成与分解；第 5 章共点力的平衡；第 6 章牛顿第二定律

这一章讲电荷之间怎样用力、电场怎样描述。新东西不多：一个库仑定律，一个场强的定义，剩下的都是老办法。库仑力、电场力不过是受力图里多出来的一个力，平衡和加速照第 5、6 章做；场强是矢量，几个电荷的场照第 1 章的平行四边形合成。丢分的地方也就在这里：方向判断反了（负电荷受力与场强相反）、叠加时把矢量当标量加、把电场线当成粒子的轨迹。

15.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
15.2 电荷与电荷守恒	起电都是电荷转移，总量不变；任何带电体的电荷量都是元电荷 $e$ 的整数倍	偶考，常作选择题的一个选项；接触后分电荷是库仑定律题的第一步
15.3 库仑定律	真空中两个静止点电荷之间的力 $F = k\dfrac{q_1 q_2}{r^2}$，沿连线，同斥异吸	常考，多和平衡、叠加一起出
15.4 电场强度	$E = \dfrac{F}{q}$，由电场本身决定；正电荷受力方向就是场强方向	必考概念，计算处处要用 $F = qE$
15.5 点电荷的场强与场强的叠加	点电荷 $E = k\dfrac{Q}{r^2}$；几个电荷的场按平行四边形定则叠加	常考，等量同种、等量异种电荷的场是高频题
15.6 电场线	切线方向是场强方向，疏密表示强弱；不是轨迹	常考，由电场线和轨迹判断受力、加速度
15.7 带电体在电场中的平衡	静电力加进受力图，照第 5 章列平衡方程	常考，选择题和计算题都有
15.8 静电平衡与静电现象	静电平衡的导体内部场强处处为零；尖端放电、静电屏蔽	偶考，多为选择题

15.2 电荷与电荷守恒

说明

两种电荷：用丝绸摩擦过的玻璃棒带的电叫正电荷，用毛皮摩擦过的橡胶棒带的电叫负电荷。同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。

电荷量：电荷的多少，符号 $q$ 或 $Q$，单位库仑（$\mathrm{C}$）。正电荷的电荷量取正值，负电荷取负值。

物质的电结构（本节的模型）：原子由带正电的原子核和带负电的电子组成，通常正负电荷等量，原子呈电中性。金属里有一部分电子能脱离原子在整块金属内自由移动，叫自由电子；绝缘体里几乎没有能自由移动的电荷。

三种起电方式，本质都是电子的转移：

方式	过程	结果
摩擦起电	两种不同材料摩擦，电子从束缚弱的一方转移到束缚强的一方	两物体带等量异号电荷
感应起电	带电体靠近导体（不接触），导体中的自由电子受吸引或排斥而移动	导体近端带异号电荷、远端带同号电荷，总电荷量不变
接触起电	带电体与导体接触，电荷在两者之间重新分配	两个完全相同的导体球接触后分开，各带总电荷量的一半

电荷守恒定律：电荷既不会创生，也不会消灭，只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分；在转移过程中，电荷的总量保持不变。更一般的说法：一个与外界没有电荷交换的系统，电荷的代数和保持不变。

元电荷：最小的电荷量，等于一个电子（或质子）电荷量的绝对值：

$$e = 1.60 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$$

任何带电体的电荷量都是 $e$ 的整数倍：$q = ne$（$n$ 为整数）。元电荷的数值最早由美国物理学家密立根用油滴实验测得。

比荷：带电粒子的电荷量与质量之比 $\dfrac{q}{m}$。电子的比荷约为 $1.76 \times 10^{11}\ \mathrm{C/kg}$。

使用场景

• 两个相同的金属球接触后分开，问各带多少电荷 → 接触起电 → 先把两球电荷量带符号相加（异号先中和），再平分。
• 带电体靠近导体但不接触，问导体两端带什么电、验电器金属箔怎样 → 感应起电 → 近端异号、远端同号；分开导体或接地的先后决定最后是否带电。
• 问某个电荷量是否可能、转移了多少个电子 → 元电荷 → $q = ne$，$n$ 必须是整数。
• 判断起电过程中电荷是“产生”还是“转移”、哪个物体得到电子 → 电荷守恒 → 只有转移，得电子的带负电，失电子的带正电。

注意点

• 接触后“平分”只对完全相同的导体球成立。大小、形状不同的导体接触后，电荷按形状分配，高中不要求计算。
• 带符号相加：$+3q$ 和 $-q$ 接触，总电荷 $+2q$，各分 $+q$，不是各分 $+2q$。
• 能移动的是电子（金属中）。说“正电荷从 A 移到 B”只是等效说法，实际是电子从 B 移到 A。
• 感应起电只能使导体带电，绝缘体靠近带电体只发生极化（分子内正负电荷轻微错开），不能分离出净电荷。
• 一个电子的电荷量是 $-e$，元电荷 $e$ 本身是正值，它是一个电荷量的数值，不是一种粒子。

推导

电荷守恒是实验总结出的基本规律，不是从别的规律推出来的。至今没有发现任何违反它的过程，连原子核反应、粒子的产生和湮灭（第 36 章），反应前后电荷的代数和也不变。

为什么相同的导体球接触后平分电荷：两球接触后成为一个导体，电荷在它表面重新分布，直到不再移动。两球形状、大小、材料完全相同，连成一体后关于接触点对称。

（关键一步：两球完全对称，电荷没有理由偏向哪一个，所以分开后各带一半。这个对称性论证只对“完全相同”成立。库仑正是用这个办法得到 $q$、$\dfrac{q}{2}$、$\dfrac{q}{4}$ 这些已知比例的电荷量，见 15.3 节推导。）

元电荷的测定：密立根在 1909 年前后开始用油滴实验测量电荷量：让带电的小油滴在两块平行金属板间的电场中悬浮（电场力等于重力，原理见 15.7 节），由电场强度和油滴质量算出油滴的电荷量。测了大量油滴，发现电荷量总是某个最小值的整数倍，这个最小值就是元电荷。

例题

例 1　（场景：接触后分电荷）两个完全相同的金属小球 $A$、$B$，$A$ 带电荷量 $+3.2 \times 10^{-9}\ \mathrm{C}$，$B$ 带电荷量 $-1.6 \times 10^{-9}\ \mathrm{C}$。让两球接触后再分开，求：（1）两球各带多少电荷；（2）接触过程中转移了多少个电子，是从哪个球转移到哪个球。

解：

研究对象：$A$、$B$ 两球组成的系统。

过程划分：一个过程，接触后电荷重新分配。

分析：两球与外界没有电荷交换，总电荷量守恒；两球完全相同，接触后平分。

列式求解：（1）总电荷量

$$Q = q_A + q_B = (+3.2 \times 10^{-9}\ \mathrm{C}) + (-1.6 \times 10^{-9}\ \mathrm{C}) = +1.6 \times 10^{-9}\ \mathrm{C}$$

平分后 $q_A' = q_B' = +0.8 \times 10^{-9}\ \mathrm{C} = +8.0 \times 10^{-10}\ \mathrm{C}$。

（2）$B$ 的电荷量由 $-1.6 \times 10^{-9}\ \mathrm{C}$ 变为 $+0.8 \times 10^{-9}\ \mathrm{C}$，增加了 $2.4 \times 10^{-9}\ \mathrm{C}$。能移动的是电子，$B$ 带的正电变多，说明 $B$ 失去了电子：

$$n = \frac{\Delta q}{e} = \frac{2.4 \times 10^{-9}}{1.60 \times 10^{-19}} = 1.5 \times 10^{10}$$

$1.5 \times 10^{10}$ 个电子从 $B$ 转移到 $A$。

检验：$A$ 的电荷量由 $+3.2 \times 10^{-9}\ \mathrm{C}$ 变为 $+0.8 \times 10^{-9}\ \mathrm{C}$，减少 $2.4 \times 10^{-9}\ \mathrm{C}$，正好是得到这么多电子，和 $B$ 的变化对得上，总量守恒。

容易卡在：直接把两个电荷量的大小相加再平分，得 $2.4 \times 10^{-9}\ \mathrm{C}$，忘了异号电荷先中和。

例 2　（场景：感应起电）导体 $A$、$B$ 装在绝缘支架上并互相接触，原来都不带电。把带正电的小球 $C$ 移近 $A$（不接触），如图。（1）此时 $A$、$B$ 两端各带什么电？（2）保持 $C$ 不动，先把 $A$、$B$ 分开，再移走 $C$，$A$、$B$ 各带什么电？（3）若先移走 $C$，再把 $A$、$B$ 分开，结果如何？

解：

判断依据：感应起电是导体内自由电子在外电荷作用下移动，近端异号、远端同号，$A$、$B$ 合起来电荷总量始终为零。

（1）$C$ 带正电，吸引 $A$、$B$ 中的自由电子向近端 $A$ 移动，$A$ 带负电，$B$ 带等量的正电。

（2）先分开，电子被“锁”在 $A$ 上，再移走 $C$ 也回不去：$A$ 带负电，$B$ 带等量正电。

（3）先移走 $C$，吸引电子的力没了，电子重新均匀分布，正负中和，再分开时 $A$、$B$ 都不带电。

容易卡在：（3）以为“已经感应过了”就会带电。感应电荷靠外电荷维持，外电荷一撤，没分开的导体立即恢复中性。

例 3　（场景：元电荷）下列带电体的电荷量，不可能的是（　）。

A. $3.2 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$　B. $4.0 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$　C. $6.4 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$　D. $1.6 \times 10^{-17}\ \mathrm{C}$

解：B。

判断依据：电荷量必须是元电荷 $e = 1.60 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$ 的整数倍。

A 是 $2e$，C 是 $4e$，D 是 $100e$，都可能；B 是 $2.5e$，不是整数倍，不可能。

例 4　（场景：起电的本质）用丝绸摩擦玻璃棒，玻璃棒带正电。下列说法正确的是（　）。

A. 摩擦创造了正电荷　B. 玻璃棒带正电是因为得到了正电荷　C. 玻璃棒上的一部分电子转移到了丝绸上，丝绸带等量的负电　D. 摩擦后玻璃棒和丝绸的电荷总量增加了

解：C。

判断依据：电荷守恒，起电只是电子的转移。

摩擦时玻璃棒失去电子，正电荷“多出来”，所以带正电；丝绸得到同样多的电子，带等量负电。电荷没有创生（A、D 错），移动的是电子不是正电荷（B 错）。

常用推论

• 两个完全相同的金属球，电荷量 $q_1$、$q_2$（带符号），接触后各带 $\dfrac{q_1 + q_2}{2}$。由电荷守恒加对称平分得出（例 1）。
• 感应起电“近异远同”；导体接地时，大地就是“远端”，导体只留下与外电荷异号的电荷（例如带正电的 $C$ 靠近导体，用手摸一下导体再松开，移走 $C$ 后导体带负电）。
• 摩擦起电的两个物体总是带等量异号电荷。由电荷守恒得出：系统原来不带电，转移后代数和仍为零。

易错点

• 错在哪：带正电的物体靠近验电器，认为金属箔上也带正电是因为“正电荷跑过去了”。 为什么错：直觉以为电荷像流体一样从带电体“流”到附近的物体。没接触时电荷不会跨过空气（不放电时），金属箔带正电是因为箔上的电子被吸到了验电器顶端的金属球上。 正确做法：凡是导体中的电荷移动，都按“电子移动”来分析，再说正负。
• 错在哪：异号电荷的两个相同金属球接触，各带“电荷量大小之和的一半”。 为什么错：把电荷量当成没有正负的“多少”。正负电荷相遇要先中和。 正确做法：带符号相加再平分：$+5q$ 和 $-q$ 接触后各带 $+2q$。
• 错在哪：感应起电时先移走带电体、再分开导体，以为导体两部分仍带电。 为什么错：感应电荷要靠外电荷的吸引和排斥维持，外电荷一撤，电子回到原处。 正确做法：要让导体留下电荷，必须在外电荷还在时先分开（或先断开接地）。

直观理解

电荷像钱：只能转账，不能印钞。摩擦是一方付款一方收款，两方账面一正一负；两个相同的钱包合在一起再分开，各拿总数的一半，欠款要先抵掉。元电荷就是“一分钱”，账上不会出现半分。

关联知识点

• 后续：15.3 节库仑定律，接触后分电荷再求力是常见的组合。
• 后续：15.8 节静电平衡，感应起电在导体上达到稳定的状态就是静电平衡。
• 后续：第 34 章原子结构，电子的发现和原子核式结构是“物质的电结构”的来源。
• 后续：第 36 章核反应方程，书写时电荷数守恒就是电荷守恒定律。

15.3 库仑定律

说明

点电荷（本节的理想模型）：带电体的大小、形状对相互作用的影响可以忽略时，把它看成一个带电的点。通常要求带电体的尺寸远小于它们之间的距离。和质点一样，是否能看成点电荷看问题本身，不看带电体的绝对大小。

库仑定律：真空中两个静止的点电荷之间的相互作用力，跟它们电荷量的乘积成正比，跟它们距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。同种电荷相斥，异种电荷相吸。

大小（标量式，电荷量代绝对值）：

$$F = k\frac{q_1 q_2}{r^2}$$

其中静电力常量

$$k = 9.0 \times 10^9\ \mathrm{N \cdot m^2/C^2}$$

方向：沿两电荷的连线，由“同斥异吸”判断。

两个电荷受的力：$q_1$ 对 $q_2$ 的力和 $q_2$ 对 $q_1$ 的力是一对作用力与反作用力（第 6 章牛顿第三定律），大小相等、方向相反，与两电荷的电荷量是否相等无关。

静电力的叠加：一个点电荷同时受几个点电荷的作用时，它受的合力等于各个点电荷单独对它的作用力的矢量和，按平行四边形定则合成。

使用场景

• 两个点电荷，求相互作用力的大小，或电荷量、距离改变后力变为几倍 → 点电荷 → 库仑定律；求倍数时列比例式，常量约掉。
• 两个相同金属球接触后放回原处，问力的变化 → 先电荷守恒分电荷，再库仑定律 → 注意力的性质可能由引力变斥力。
• 三个及以上点电荷，求其中一个受的合力 → 每一对用库仑定律求大小、判方向 → 按平行四边形定则合成（静电力叠加）。
• 物理学史题问库仑定律的实验 → 库仑扭秤 → 放大法、控制变量、接触平分得电荷量比例。

注意点

• 适用条件：真空中（空气中近似可用）、静止的、点电荷。两个带电金属球离得很近时不能看成点电荷：同种电荷相斥，电荷偏向两球的外侧，实际距离变大，力小于 $k\dfrac{q_1 q_2}{r^2}$（$r$ 是球心距）；异种电荷相吸，电荷偏向内侧，力大于这个值。
• 不能由公式得出”$r \to 0$ 时 $F \to \infty$“。$r$ 很小时带电体已不能看成点电荷，公式不再适用。
• 计算大小时电荷量代绝对值，方向单独判断。如果带符号代入，结果的正负只表示斥力（正）还是引力（负），不表示坐标方向，容易混，本书一律代绝对值。
• 单位：电荷量用 $\mathrm{C}$，距离用 $\mathrm{m}$，力才是 $\mathrm{N}$。题目常给 $\mathrm{cm}$、$\mu\mathrm{C}$（$1\ \mu\mathrm{C} = 10^{-6}\ \mathrm{C}$）、$\mathrm{nC}$（$1\ \mathrm{nC} = 10^{-9}\ \mathrm{C}$），先换算。
• 均匀带电的球体或球壳，对球外的电荷作用时可以看成电荷集中在球心的点电荷，$r$ 取球心距。

推导

库仑定律是实验规律，实验依据是库仑扭秤。1785 年，法国物理学家库仑用自制的扭秤测量同种电荷之间的斥力，得出了这个定律。

装置：一根细银丝下端吊一根绝缘横杆，杆的一端是带电的金属小球 $A$，另一端是使横杆平衡的小球。把另一个带电小球 $C$ 插到 $A$ 旁边，$A$、$C$ 带同种电荷而相斥，横杆转动，银丝随之扭转。转动顶部的旋钮使银丝反向扭转，把 $A$ 拉回到指定位置，由旋钮转过的角度就知道斥力的大小（银丝的扭转角与扭力成正比）。

两个困难和库仑的办法：

1. 力太小：电荷之间的力很微弱，直接测不出。细银丝很容易扭转，很小的力就能转过可读的角度，这是放大法。（关键一步：把难测的小力转化为容易读出的扭转角。）
2. 电荷量没法测：当时没有电荷量的单位，更没有测量电荷量的仪器。库仑把带电金属球和一个完全相同的不带电金属球接触，电荷量就变成原来的一半，再接触一次变成四分之一（15.2 节）。他不知道电荷量是多少，但知道它们的比例。（关键一步：只要比例准确，就能检验 $F$ 与 $q_1 q_2$ 是否成正比，不需要知道电荷量的绝对值。）

控制变量：

• 电荷量不变，改变 $A$、$C$ 的距离：距离变为 $\dfrac{1}{2}$，扭转角变为约 4 倍，得 $F \propto \dfrac{1}{r^2}$。
• 距离不变，用接触法把一个球的电荷量减半：力也减半，得 $F \propto q_1 q_2$。

合起来就是 $F = k\dfrac{q_1 q_2}{r^2}$。比例系数 $k$ 要等电荷量的单位定义之后才能测定，库仑本人没有测出它的数值。

库仑定律和万有引力定律形式相同，都是平方反比。两者的区别：静电力有引力也有斥力，万有引力只有引力；同样两个质子之间，静电力约是万有引力的 $10^{36}$ 倍，所以研究带电微观粒子时一般不计万有引力。

严格地说，“$r$ 的指数恰好是 2”在更精密的实验里得到了高精度的验证；从电场的高斯定理推出库仑定律要用到矢量微积分，是大学电磁学的内容。

例题

例 1　（场景：求库仑力，及距离改变后的倍数）真空中两个点电荷，$q_1 = +4.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{C}$，$q_2 = -2.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{C}$，相距 $r = 0.30\ \mathrm{m}$。（1）求它们之间的库仑力；（2）若距离增大到 $0.60\ \mathrm{m}$，力变为多大？

解：

研究对象：两个点电荷。

过程划分：两个状态，距离 $0.30\ \mathrm{m}$ 和 $0.60\ \mathrm{m}$。

分析：真空中的点电荷，用库仑定律。电荷量代绝对值，方向由异种电荷相吸判断。

列式求解：（1）

$$F = k\frac{q_1 q_2}{r^2} = 9.0 \times 10^9 \times \frac{4.0 \times 10^{-6} \times 2.0 \times 10^{-6}}{0.30^2}\ \mathrm{N} = 0.80\ \mathrm{N}$$

两电荷异号，是引力：$q_1$ 受的力沿连线指向 $q_2$，$q_2$ 受的力沿连线指向 $q_1$，大小都是 $0.80\ \mathrm{N}$。

（2）$F \propto \dfrac{1}{r^2}$，距离变为 2 倍，力变为 $\dfrac{1}{4}$：$F' = 0.20\ \mathrm{N}$，仍为引力。

检验：单位：$\dfrac{\mathrm{N \cdot m^2/C^2} \times \mathrm{C^2}}{\mathrm{m^2}} = \mathrm{N}$，对。量级：微库级的电荷相距几十厘米，力在零点几牛，和课本例题同一量级。

另一种解法：（2）不必重新代数，直接写比例式 $\dfrac{F'}{F} = \dfrac{r^2}{r'^2} = \dfrac{1}{4}$。只问倍数的题，比例式最快，还不用担心 $k$ 和指数算错；要求具体数值时才代入 $k$。

例 2　（场景：接触后放回原处）两个完全相同的金属小球分别带 $+5q$ 和 $-q$ 的电荷量，相距 $r$ 时（$r$ 远大于小球半径）相互作用力大小为 $F$。将两球接触后放回原处，相互作用力变为多大？是引力还是斥力？

解：

研究对象：两个金属小球。

过程划分：接触前、接触后放回两个状态，中间是接触分电荷的过程。

分析：先用电荷守恒加平分求接触后的电荷量，再用库仑定律比较。$r$ 远大于球半径，两球可看成点电荷。

列式求解：接触前 $F = k\dfrac{5q \cdot q}{r^2} = \dfrac{5kq^2}{r^2}$，引力。

接触后各带 $\dfrac{5q + (-q)}{2} = +2q$：

$$F' = k\frac{2q \cdot 2q}{r^2} = \frac{4kq^2}{r^2} = \frac{4}{5}F$$

两球都带正电，变为斥力。

检验：总电荷量 $+4q$ 前后相同，守恒。特殊情形：若原来带 $+q$ 和 $-q$，接触后都不带电，力变为零，代入公式 $\dfrac{q + (-q)}{2} = 0$ 也对得上。

容易卡在：忘了异号先中和，算成各带 $3q$，得 $\dfrac{9}{5}F$。

例 3　（场景：三个点电荷，求合力）三个点电荷固定在边长 $0.30\ \mathrm{m}$ 的等边三角形的三个顶点上：$A$ 带 $+1.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{C}$，$B$ 带 $-1.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{C}$，$C$ 带 $+1.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{C}$。求 $C$ 受的静电力的合力。

解：

研究对象：点电荷 $C$。

过程划分：不涉及过程，静止状态下求合力。

分析：$C$ 受两个力：$A$ 对它的斥力 $F_A$，沿 $AC$ 方向背离 $A$；$B$ 对它的引力 $F_B$，沿 $CB$ 方向指向 $B$。两力大小相等，用平行四边形定则合成。

列式求解：两个力的大小

$$F_A = F_B = k\frac{q^2}{r^2} = 9.0 \times 10^9 \times \frac{(1.0 \times 10^{-6})^2}{0.30^2}\ \mathrm{N} = 0.10\ \mathrm{N}$$

$F_A$ 沿 $AC$ 方向，与 $AB$ 成 $60^\circ$ 斜向上；$F_B$ 沿 $CB$ 方向，与 $AB$ 成 $60^\circ$ 斜向下。两力夹角 $120^\circ$，大小相等，合力和分力一样大，方向在两力夹角的平分线上（第 1 章 1.3 常用推论），即平行于 $AB$、由 $A$ 指向 $B$ 的方向：

$$F = 0.10\ \mathrm{N}$$

检验：竖直方向：$F_A$ 向上分量 $0.10 \sin 60^\circ$，$F_B$ 向下分量 $0.10 \sin 60^\circ$，抵消；水平方向：两个都向右，各 $0.10 \cos 60^\circ = 0.05\ \mathrm{N}$，合计 $0.10\ \mathrm{N}$，与上面一致。

容易卡在：$F_B$ 的方向。引力指向施力电荷 $B$，是沿 $CB$ 从 $C$ 指向 $B$，不是沿 $BC$ 向外。

另一种解法：正交分解（上面的检验就是）。两力等大、夹角 $120^\circ$ 这种特殊角，直接用菱形的结论最快；夹角或大小不特殊时，正交分解更稳妥。

例 4　（场景：物理学史）关于库仑扭秤实验，下列说法正确的是（　）。

A. 库仑用扭秤实验测出了元电荷的数值　B. 库仑用扭秤实验测出了静电力常量 $k$ 的数值　C. 库仑利用“两个相同金属球接触后平分电荷”得到不同比例的电荷量，研究了力与电荷量的关系　D. 库仑在实验中直接测量了小球所带的电荷量

解：C。

判断依据：库仑扭秤实验用放大法测力、用接触平分法得到电荷量的比例，当时不能测量电荷量。

元电荷是密立根用油滴实验测的（A 错）；当时没有电荷量的单位，$k$ 无从测起（B 错）；电荷量无法直接测量，只能靠接触平分得到比例（C 对、D 错）。

常用推论

• 只问倍数时：$F \propto q_1 q_2$，$F \propto \dfrac{1}{r^2}$。距离变为 $n$ 倍，力变为 $\dfrac{1}{n^2}$；两个电荷量都变为 $n$ 倍，力变为 $n^2$ 倍。由库仑定律直接得出。
• 两个相同金属球带同种电荷，接触后放回原处，斥力不变或变大（电荷量相等时不变）；带异种电荷，接触后的力可能变大、变小或为零。由 $\left(\dfrac{q_1 + q_2}{2}\right)^2 \ge q_1 q_2$（同号时，均值不等式）得出，见《高中数学知识点梳理》第 3 章。
• 两个等大的力夹角 $120^\circ$ 合力等于分力，三个等大互成 $120^\circ$ 的力合力为零。正三角形顶点上的电荷问题常用（例 3）。

易错点

• 错在哪：认为电荷量大的电荷对电荷量小的电荷作用力大。 为什么错：直觉以为“大的欺负小的”。两电荷之间的力是作用力与反作用力，公式里 $q_1 q_2$ 是对称的。 正确做法：两个点电荷受的库仑力永远等大反向，各自的加速度才因质量不同而不同。
• 错在哪：由 $F = k\dfrac{q_1 q_2}{r^2}$ 推出“两个带电球靠得非常近时，力趋于无穷大”。 为什么错：把公式当成无条件的数学关系。$r$ 小到和球的大小相当时，带电体不再是点电荷。 正确做法：先判断能不能看成点电荷；不能时只能定性分析（同种电荷力偏小，异种偏大）。
• 错在哪：把电荷量连同负号代入，算出 $F = -0.8\ \mathrm{N}$，就说“力的方向沿负方向”。 为什么错：库仑定律的大小公式里，负号只表示是引力，和坐标系的正方向无关。 正确做法：电荷量代绝对值算大小，方向看同斥异吸，再在图上标出。

直观理解

库仑定律和万有引力是“一家人”：都与距离的平方成反比。可以想象电荷向四周均匀“发出”作用，距离加倍，作用分摊到 4 倍大的球面上，每处只剩 $\dfrac{1}{4}$。不同的是，万有引力只吸不斥，电荷有正负，所以能相斥，也能互相抵消。

关联知识点

• 前置：第 4 章力的合成与分解，几个库仑力的合成和其他力一样。
• 前置：第 6 章牛顿第三定律，两个电荷之间的力是相互作用力。
• 后续：15.4、15.5 节由库仑定律定义电场强度、推出点电荷的场强公式。
• 后续：15.7 节库仑力作用下的平衡。
• 常一起考：第 11 章万有引力定律，同为平方反比定律，常放在一起比较。
• 后续：第 34 章 $\alpha$ 粒子散射，$\alpha$ 粒子受原子核的库仑斥力而偏转。

15.4 电场强度

说明

电场：电荷周围存在的一种特殊物质。电荷之间的相互作用是通过电场发生的：$A$ 的电场对 $B$ 有力，$B$ 的电场对 $A$ 有力。电场看不见摸不着，但它对放入其中的电荷有力的作用，这是电场最基本的性质。静止电荷产生的电场叫静电场。

试探电荷：用来检验电场的电荷。它的电荷量要足够小（不影响原来的电场），体积要足够小（能确定电场中某一点）。产生电场的电荷叫场源电荷。

电场强度（场强）：放入电场中某点的试探电荷受的静电力 $F$ 与它的电荷量 $q$ 之比，叫这一点的电场强度：

$$E = \frac{F}{q}$$

单位：牛每库（$\mathrm{N/C}$），学了电势差后也写作伏每米（$\mathrm{V/m}$，第 16 章），$1\ \mathrm{N/C} = 1\ \mathrm{V/m}$。

方向：规定为正电荷在该点受的静电力的方向。负电荷受力方向与场强方向相反。

矢量式和标量式：

$$\vec{F} = q\vec{E}$$

$q$ 带符号：$q > 0$ 时 $\vec{F}$ 与 $\vec{E}$ 同向，$q < 0$ 时反向。只算大小时写 $F = |q|E$。

比值定义：$E$ 由电场本身决定，与放不放试探电荷、放多大的试探电荷都无关。放入 $2q$，受力变为 $2F$，比值不变；把试探电荷拿走，该点场强依然存在。这种用两个量之比定义新物理量的方法叫比值定义法，速度 $v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$、密度 $\rho = \dfrac{m}{V}$、电阻 $R = \dfrac{U}{I}$（第 17 章）都是这样定义的。

匀强电场：各点场强大小相等、方向相同的电场。两块靠得很近、带等量异号电荷的平行金属板之间（边缘附近除外）的电场就是匀强电场。电荷在匀强电场中受的电场力是恒力。

使用场景

• 已知某点放入的试探电荷受的力，求该点场强；或已知场强，求另一个电荷在该点受的力 → 场强由电场决定、与试探电荷无关 → $E = \dfrac{F}{q}$，$F = qE$。
• 负电荷（电子、负离子、带负电的油滴）在电场中，问受力方向 → 负电荷受力与场强反向 → $\vec{F} = q\vec{E}$ 带符号。
• 带电体在匀强电场中由静止释放或运动，问加速度、速度 → 电场力是恒力 → $F = qE$ 加牛顿第二定律（第 6 章），按匀变速直线运动处理（第 3 章）。
• 选择题问 $E = \dfrac{F}{q}$ 的物理意义 → 比值定义 → $E$ 与 $F$、$q$ 无关，只由电场决定。

注意点

• $E = \dfrac{F}{q}$ 是定义式，适用于任何电场；但不能说”$E$ 与 $F$ 成正比、与 $q$ 成反比”。
• 方向只按正电荷规定。求负电荷受力，先求出 $E$ 的方向，再反过来。
• 电子、质子、$\alpha$ 粒子、离子这类基本粒子，在电场中受的重力远小于电场力，一般不计重力；带电小球、油滴、尘埃的重力一般不能忽略，题目没说不计就要画出来。
• 计算 $F = qE$ 时，$E$ 是原来的电场在该点的场强，不包括电荷 $q$ 自己产生的场。电荷对自己没有作用力。
• 场强是矢量，“某两点场强相同”要求大小、方向都相同。

推导

为什么 $\dfrac{F}{q}$ 能描述电场：把不同的试探电荷放在电场中同一点，实验发现它们受的力与电荷量成正比：$q$ 加倍，$F$ 也加倍。所以比值 $\dfrac{F}{q}$ 对这一点是个定值，换一点则一般不同。

（关键一步：同一点 $F \propto q$。这是实验事实；对点电荷的场也可以由库仑定律直接看出：$F = k\dfrac{Qq}{r^2}$ 中，$Q$、$r$ 不变时 $F$ 与 $q$ 成正比。正因为比值与 $q$ 无关，它才反映电场本身的强弱，而不是试探电荷的性质。）

比值定义的思路：一个物理量（力）由两个因素（场和电荷）共同决定，除掉其中一个因素（电荷量），剩下的就只反映另一个因素（场）。

匀强电场中的运动：电场力 $F = qE$ 恒定，若只受电场力，由牛顿第二定律 $a = \dfrac{qE}{m}$ 也恒定，初速度为零或与电场方向在一条直线上时，就是匀变速直线运动，第 3 章的公式全部可用。

例题

例 1　（场景：由试探电荷求场强，再换电荷求力）在电场中 $P$ 点放一个电荷量 $q_1 = +2.0 \times 10^{-8}\ \mathrm{C}$ 的试探电荷，它受的静电力为 $4.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{N}$，方向水平向右。（1）求 $P$ 点的场强；（2）把 $q_1$ 换成 $q_2 = +5.0 \times 10^{-8}\ \mathrm{C}$ 的电荷，它受的静电力多大？（3）把电荷拿走，$P$ 点的场强是多少？

解：

研究对象：$P$ 点的电场，以及放在 $P$ 点的电荷。

过程划分：三个情形，电场本身不变。

分析：场强由电场决定，先用 $q_1$ 求出 $E$，换电荷时 $E$ 不变，用 $F = qE$。

列式求解：（1）

$$E = \frac{F_1}{q_1} = \frac{4.0 \times 10^{-4}}{2.0 \times 10^{-8}}\ \mathrm{N/C} = 2.0 \times 10^4\ \mathrm{N/C}$$

$q_1$ 是正电荷，场强方向与它的受力方向相同，水平向右。

（2）$F_2 = q_2 E = 5.0 \times 10^{-8} \times 2.0 \times 10^4\ \mathrm{N} = 1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{N}$，正电荷，方向水平向右。

（3）场强与试探电荷无关，仍为 $2.0 \times 10^4\ \mathrm{N/C}$，水平向右。

检验：$\dfrac{F_2}{F_1} = \dfrac{1.0 \times 10^{-3}}{4.0 \times 10^{-4}} = 2.5 = \dfrac{q_2}{q_1}$，力与电荷量成正比，对。

例 2　（场景：负电荷的受力方向）两块水平放置的平行金属板之间是竖直向上的匀强电场，场强 $E = 1.0 \times 10^3\ \mathrm{N/C}$。一个电子在两板间由静止释放，求它受的电场力和加速度（电子电荷量 $e = 1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$，质量 $m = 9.1 \times 10^{-31}\ \mathrm{kg}$）。

解：

研究对象：电子。

过程划分：一个过程，从静止开始在匀强电场中运动。

分析：电子带负电，受的电场力与场强方向相反，竖直向下。电子是基本粒子，重力可以忽略（下面检验）。

列式求解：电场力大小

$$F = eE = 1.6 \times 10^{-19} \times 1.0 \times 10^3\ \mathrm{N} = 1.6 \times 10^{-16}\ \mathrm{N}$$

方向竖直向下。由牛顿第二定律

$$a = \frac{F}{m} = \frac{1.6 \times 10^{-16}}{9.1 \times 10^{-31}}\ \mathrm{m/s^2} \approx 1.8 \times 10^{14}\ \mathrm{m/s^2}$$

方向竖直向下，电子向下面带正电的极板做匀加速直线运动。

检验：电子重力 $mg = 9.1 \times 10^{-30}\ \mathrm{N}$，约为电场力的 $6 \times 10^{-14}$ 倍，忽略重力完全合理。方向：电子被吸向正极板，与“电场线从正极板指向负极板”一致。

容易卡在：按场强方向画电场力，得出电子向上运动。

例 3　（场景：匀强电场中带电体的加速运动）光滑绝缘水平面上有一个质量 $m = 0.020\ \mathrm{kg}$、电荷量 $q = +4.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{C}$ 的小物块，处在水平向右、场强 $E = 1.0 \times 10^4\ \mathrm{N/C}$ 的匀强电场中。物块由静止释放，求 $3\ \mathrm{s}$ 末的速度和 $3\ \mathrm{s}$ 内的位移。

解：

研究对象：小物块。

过程划分：一个过程，从静止开始运动 $3\ \mathrm{s}$。

分析：物块受重力、支持力和电场力。竖直方向重力与支持力平衡；水平方向只有电场力，向右，是恒力。

列式求解：取向右为正方向。

$$a = \frac{qE}{m} = \frac{4.0 \times 10^{-6} \times 1.0 \times 10^4}{0.020}\ \mathrm{m/s^2} = 2.0\ \mathrm{m/s^2}$$ $$v = at = 2.0 \times 3\ \mathrm{m/s} = 6.0\ \mathrm{m/s}，\quad x = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2} \times 2.0 \times 3^2\ \mathrm{m} = 9.0\ \mathrm{m}$$

速度和位移的方向都水平向右。

检验：单位：$\dfrac{\mathrm{C} \cdot \mathrm{N/C}}{\mathrm{kg}} = \mathrm{N/kg} = \mathrm{m/s^2}$，对。电场力 $0.04\ \mathrm{N}$，物块重 $0.2\ \mathrm{N}$，加速度是 $g$ 的五分之一，量级合理。

另一种解法：动能定理（第 13 章）求速度：$qEx = \dfrac{1}{2}mv^2$。已知时间时用牛顿定律加运动学最直接；已知位移、求速度而不问时间时，动能定理一步到位。

例 4　（场景：比值定义的理解）关于电场强度的定义式 $E = \dfrac{F}{q}$，下列说法正确的是（　）。

A. $E$ 与 $F$ 成正比，与 $q$ 成反比　B. 某点不放试探电荷，该点场强为零　C. 某点放入负电荷时场强方向与放入正电荷时相反　D. 某点场强的大小和方向与放入的试探电荷无关

解：D。

判断依据：$E = \dfrac{F}{q}$ 是比值定义式，场强只由电场本身决定。

A 把定义式当成了决定式；B 场强在不在与有没有试探电荷无关；C 放入负电荷，变的是电荷的受力方向，场强方向不变。

常用推论

• 基本粒子（电子、质子、$\alpha$ 粒子、离子）在电场中一般不计重力；带电小球、液滴、尘埃一般要计重力。由例 2 的量级比较得出：电子的电场力约是重力的 $2 \times 10^{13}$ 倍。
• 只受电场力、在匀强电场中由静止释放的带电粒子，沿电场线做匀加速直线运动，$a = \dfrac{qE}{m}$，正电荷顺着电场线、负电荷逆着电场线。由 $\vec{F} = q\vec{E}$ 和牛顿第二定律得出。
• 匀强电场中带电体的加速度只与比荷 $\dfrac{q}{m}$ 有关：$a = \dfrac{q}{m}E$。比荷相同的粒子在同一电场中加速度相同。

易错点

• 错在哪：由 $E = \dfrac{F}{q}$ 得出“试探电荷电荷量越大，该点场强越小”。 为什么错：把数学上的反比当成了物理上的因果。$q$ 变大时 $F$ 同比变大，比值不变。 正确做法：比值定义的量（$E$、$R$、$\rho$）只由对象本身决定，看定义式时问“分子分母是不是同比变化”。
• 错在哪：负电荷受的电场力画成和场强同向。 为什么错：直觉把“场强方向”当成“所有电荷被推的方向”。场强方向只是按正电荷规定的。 正确做法：先判断电荷正负，负电荷的力画反向；列式时写 $\vec{F} = q\vec{E}$ 带符号检查。
• 错在哪：带电小球在电场中的题，只画电场力和拉力，漏了重力。 为什么错：把“带电粒子不计重力”的习惯搬到了宏观小球上。 正确做法：粒子（电子、质子、离子）不计重力；小球、油滴、液滴计重力，题目明确说“不计重力”的除外。

直观理解

把电场想成一张“标价牌”：空间每一点都标着一个数（每库仑电荷在这里受多少牛的力）和一个方向。电荷走进来，按自己带的“库仑数”付账：$F = qE$。标价牌在电荷来之前就挂在那里，不会因为谁来了而改价。

关联知识点

• 前置：第 6 章牛顿第二定律，电场中带电体的加速度。
• 后续：15.5 节点电荷的场强公式由本节定义推出。
• 后续：第 16 章电势差与场强的关系 $U = Ed$，以及带电粒子在电场中的加速和偏转。
• 后续：第 26 章洛伦兹力，速度选择器中电场力与洛伦兹力平衡。
• 常一起考：第 13 章动能定理，电场力做功 $qEd$。

15.5 点电荷的场强与场强的叠加

说明

点电荷的场强：真空中电荷量为 $Q$ 的点电荷，在距离它 $r$ 处产生的场强大小

$$E = k\frac{Q}{r^2}$$

$Q$ 代绝对值。方向：$Q$ 为正电荷时沿连线背离 $Q$；$Q$ 为负电荷时沿连线指向 $Q$。

以 $Q$ 为球心的同一球面上，场强大小处处相等，方向不同，所以点电荷的电场不是匀强电场。

两个公式的区别：

公式	性质	适用范围	$E$ 由什么决定
$E = \dfrac{F}{q}$	定义式	任何电场	电场本身；$q$ 是试探电荷
$E = k\dfrac{Q}{r^2}$	决定式	真空中点电荷的电场	场源电荷 $Q$ 和距离 $r$；$Q$ 是场源电荷

场强的叠加：几个点电荷同时存在时，空间某点的场强等于各个点电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和：

$$\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \cdots$$

均匀带电球：均匀带电的球体或球壳，在球外某点产生的场强，等于把全部电荷集中在球心的点电荷产生的场强。均匀带电球壳内部场强处处为零。

使用场景

• 求点电荷周围某点的场强，或比较两点场强 → 真空中的点电荷 → $E = k\dfrac{Q}{r^2}$，$E \propto \dfrac{1}{r^2}$。
• 两个点电荷连线上（或延长线上）某点的合场强，或找场强为零的点 → 各场强在同一直线上 → 取正方向，代数相加。
• 两个点电荷连线的中垂线上，或其他不在连线上的点 → 两个场强成角度 → 平行四边形定则或正交分解，等量电荷时用对称性。
• 多个电荷对称分布（正多边形顶点、圆环），求中心的场强 → 对称位置的场强成对抵消 → 只算没被抵消的部分。

注意点

• 叠加的是矢量，不是大小。先画出每个电荷在该点的场强方向，再合成。
• $E = k\dfrac{Q}{r^2}$ 里的 $Q$ 是产生电场的电荷，$r$ 是该点到场源电荷的距离；不要和试探电荷 $q$ 混淆。
• 公式只适用于真空中（空气中近似）的点电荷，$r \to 0$ 时公式失效，不能说场强趋于无穷大。
• 正方向的约定：在连线上计算时，先写“取由 $A$ 指向 $B$ 为正方向”，每个场强带符号代入。
• 场强为零的点：两个同种电荷之间才有，靠近电荷量小的一方；两个异种电荷时在连线外侧，靠近电荷量小的一方。

推导

点电荷的场强公式：在点电荷 $Q$ 的电场中，距 $Q$ 为 $r$ 处放试探电荷 $q$，由库仑定律它受力 $F = k\dfrac{Qq}{r^2}$，代入定义式：

$$E = \frac{F}{q} = \frac{kQq/r^2}{q} = k\frac{Q}{r^2}$$

（关键一步：$q$ 被约掉。这正好说明场强与试探电荷无关，只由场源电荷 $Q$ 和位置 $r$ 决定。）

方向：$Q$ 为正时，正的试探电荷受斥力背离 $Q$，所以场强背离 $Q$；$Q$ 为负时，正的试探电荷受引力指向 $Q$，场强指向 $Q$。

叠加原理从哪里来：实验表明，一个电荷受另一个电荷的力，不因第三个电荷的存在而改变，几个电荷对它的力按矢量相加（15.3 节静电力的叠加）。把力的叠加 $\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \cdots$ 两边同除以 $q$，就得到场强的叠加。

均匀带电球外的场强：严格证明要用大学的高斯定理（或对球面电荷积分）。高中直接记结论，它和“均匀球体对外的万有引力可以看成质量集中在球心”是同一个数学结果。

例题

例 1　（场景：点电荷的场强）真空中有一个电荷量 $Q = +4.0 \times 10^{-8}\ \mathrm{C}$ 的点电荷，$A$、$B$ 两点在同一条过 $Q$ 的直线上，距 $Q$ 分别为 $0.30\ \mathrm{m}$ 和 $0.60\ \mathrm{m}$。求 $A$、$B$ 两点的场强。若在 $B$ 点放一个电荷量 $-2.0 \times 10^{-9}\ \mathrm{C}$ 的点电荷，它受的力多大、方向如何？

解：

研究对象：点电荷 $Q$ 的电场中的 $A$、$B$ 两点。

过程划分：不涉及过程。

分析：场源是点电荷，用 $E = k\dfrac{Q}{r^2}$；$Q$ 为正，场强背离 $Q$。

列式求解：

$$E_A = k\frac{Q}{r_A^2} = 9.0 \times 10^9 \times \frac{4.0 \times 10^{-8}}{0.30^2}\ \mathrm{N/C} = 4.0 \times 10^3\ \mathrm{N/C}$$ $$E_B = k\frac{Q}{r_B^2} = 9.0 \times 10^9 \times \frac{4.0 \times 10^{-8}}{0.60^2}\ \mathrm{N/C} = 1.0 \times 10^3\ \mathrm{N/C}$$

方向都沿直线背离 $Q$。

$B$ 点的负电荷受力 $F = |q|E_B = 2.0 \times 10^{-9} \times 1.0 \times 10^3\ \mathrm{N} = 2.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{N}$，方向与 $E_B$ 相反，沿直线指向 $Q$。

检验：距离加倍，场强变为 $\dfrac{1}{4}$，$\dfrac{1.0 \times 10^3}{4.0 \times 10^3} = \dfrac{1}{4}$，对。受力方向：正负电荷相吸，指向 $Q$，与库仑定律直接判断一致。

例 2　（场景：连线上的合场强与场强为零的点）真空中 $A$、$B$ 两点相距 $0.30\ \mathrm{m}$，$A$ 处固定点电荷 $+4Q$，$B$ 处固定点电荷 $-Q$，$Q = 1.0 \times 10^{-9}\ \mathrm{C}$。（1）求 $A$、$B$ 连线中点 $M$ 的场强；（2）在 $A$、$B$ 所在直线上，哪一点的场强为零？

解：

研究对象：$A$、$B$ 两个点电荷的电场。

过程划分：不涉及过程，两问分别求某点场强。

分析：所求的点都在 $A$、$B$ 所在的直线上，两个场强共线，取正方向代数相加。

列式求解：取由 $A$ 指向 $B$ 为正方向。

（1）$M$ 到 $A$、$B$ 的距离都是 $0.15\ \mathrm{m}$。$A$ 为正电荷，在 $M$ 的场强背离 $A$，沿正方向；$B$ 为负电荷，在 $M$ 的场强指向 $B$，也沿正方向：

$$E_A = k\frac{4Q}{r^2} = 9.0 \times 10^9 \times \frac{4.0 \times 10^{-9}}{0.15^2}\ \mathrm{N/C} = 1.6 \times 10^3\ \mathrm{N/C}$$ $$E_B = k\frac{Q}{r^2} = 9.0 \times 10^9 \times \frac{1.0 \times 10^{-9}}{0.15^2}\ \mathrm{N/C} = 4.0 \times 10^2\ \mathrm{N/C}$$ $$E_M = E_A + E_B = 2.0 \times 10^3\ \mathrm{N/C}$$

方向由 $A$ 指向 $B$。

（2）先定位置：在 $A$、$B$ 之间，两个场强都沿正方向，不能抵消；在 $A$ 左侧，离 $+4Q$ 近而离 $-Q$ 远，$+4Q$ 的场强总是更大，不能抵消；只能在 $B$ 右侧。设该点 $P$ 在 $B$ 右侧 $x$ 处，$A$ 的场强向右、$B$ 的场强向左，令大小相等：

$$k\frac{4Q}{(0.30 + x)^2} = k\frac{Q}{x^2} \quad\Rightarrow\quad 0.30 + x = 2x \quad\Rightarrow\quad x = 0.30\ \mathrm{m}$$

场强为零的点在 $B$ 的外侧、距 $B$ $0.30\ \mathrm{m}$（距 $A$ $0.60\ \mathrm{m}$）。

检验：$P$ 点 $E_A = k\dfrac{4Q}{0.60^2}$，$E_B = k\dfrac{Q}{0.30^2}$，$\dfrac{4}{0.36} = \dfrac{1}{0.09}$，相等，对。$P$ 靠近电荷量小的 $B$，符合“靠近小的一方”。

容易卡在：（2）直接在 $A$、$B$ 之间列方程，解出一个点来。先判断区域，再列式。

例 3　（场景：中垂线上的场强叠加）真空中 $A$、$B$ 两点相距 $0.60\ \mathrm{m}$，$O$ 为 $AB$ 中点，$P$ 在 $AB$ 的中垂线上，$OP = 0.40\ \mathrm{m}$。（1）$A$、$B$ 处各放一个电荷量 $+1.0 \times 10^{-8}\ \mathrm{C}$ 的点电荷，求 $P$ 点的场强；（2）把 $B$ 处的电荷换成 $-1.0 \times 10^{-8}\ \mathrm{C}$，再求 $P$ 点的场强。

解：

研究对象：$P$ 点的电场。

过程划分：两种电荷分布，分别计算。

分析：$PA = PB = \sqrt{0.30^2 + 0.40^2}\ \mathrm{m} = 0.50\ \mathrm{m}$，两个电荷在 $P$ 点的场强大小相等，方向不在一条直线上，用平行四边形定则；利用对称性，把每个场强分解到平行于 $AB$ 和沿中垂线两个方向。设 $PA$ 与中垂线的夹角为 $\alpha$，$\sin\alpha = \dfrac{0.30}{0.50} = 0.6$，$\cos\alpha = \dfrac{0.40}{0.50} = 0.8$。

列式求解：每个电荷在 $P$ 点的场强大小

$$E_1 = k\frac{q}{r^2} = 9.0 \times 10^9 \times \frac{1.0 \times 10^{-8}}{0.50^2}\ \mathrm{N/C} = 360\ \mathrm{N/C}$$

（1）两个正电荷：$E_A$ 背离 $A$，$E_B$ 背离 $B$。平行于 $AB$ 的分量一左一右抵消，沿中垂线的分量都背离 $O$：

$$E = 2E_1\cos\alpha = 2 \times 360 \times 0.8\ \mathrm{N/C} = 576\ \mathrm{N/C} \approx 5.8 \times 10^2\ \mathrm{N/C}$$

方向沿中垂线，背离 $O$（由 $O$ 指向 $P$ 的方向）。

（2）$B$ 换成负电荷：$E_B$ 改为指向 $B$。这时沿中垂线的分量一上一下抵消，平行于 $AB$ 的分量都由 $A$ 指向 $B$：

$$E = 2E_1\sin\alpha = 2 \times 360 \times 0.6\ \mathrm{N/C} = 432\ \mathrm{N/C} \approx 4.3 \times 10^2\ \mathrm{N/C}$$

方向平行于 $AB$，由 $A$ 指向 $B$（由正电荷一侧指向负电荷一侧）。

检验：特殊情形：$P$ 移到 $O$ 点（$\alpha = 90^\circ$），同种电荷时 $\cos\alpha = 0$，$E = 0$，与“等量同种电荷连线中点场强为零”一致；异种电荷时 $E$ 最大，方向指向负电荷，也一致。

容易卡在：两个场强大小都是 $360\ \mathrm{N/C}$，直接相加得 $720\ \mathrm{N/C}$。成角度的矢量不能直接加大小。

另一种解法：用平行四边形作图。两个等大的场强构成菱形，合场强沿对角线，大小等于 $2E_1$ 乘以“半个夹角的余弦”。（1）中两场强各与中垂线成 $\alpha$，合场强 $2E_1\cos\alpha$；（2）中各与 $AB$ 方向成 $90^\circ - \alpha$，合场强 $2E_1\cos(90^\circ - \alpha) = 2E_1\sin\alpha$。等大的两个矢量用菱形一步写出；大小不等时只能正交分解。

例 4　（场景：对称分布的电荷）边长为 $a$ 的正方形 $ABCD$ 的四个顶点上各固定一个点电荷，$A$、$B$、$C$ 处为 $+q$，$D$ 处为 $-q$，$A$、$C$ 是一条对角线的两端，$B$、$D$ 是另一条对角线的两端。求正方形中心 $O$ 点的场强。

解：

研究对象：中心 $O$ 点的电场。

过程划分：不涉及过程。

分析：四个电荷到 $O$ 的距离都是 $r = \dfrac{\sqrt{2}}{2}a$，每个电荷在 $O$ 产生的场强大小都是 $E_0 = k\dfrac{q}{r^2} = \dfrac{2kq}{a^2}$。$A$、$C$ 是对角的同种等量电荷，在 $O$ 的场强等大反向，抵消。剩下 $B$、$D$。

列式求解：$B$ 带正电，在 $O$ 的场强背离 $B$，沿 $BD$ 指向 $D$；$D$ 带负电，在 $O$ 的场强指向 $D$。两个场强同向：

$$E = 2E_0 = \frac{4kq}{a^2}$$

方向沿对角线由 $O$ 指向 $D$。

检验：若 $D$ 也换成 $+q$，四个电荷完全对称，$E$ 应为零：$B$、$D$ 的场强也抵消，对。

另一种解法：把 $D$ 处的 $-q$ 看成”$+q$ 与 $-2q$ 叠在一起”。四个 $+q$ 在中心的场强为零，只剩 $-2q$：$E = k\dfrac{2q}{r^2} = \dfrac{4kq}{a^2}$，指向 $D$。只有一个电荷“不对称”时，这种“补成对称再减去”的办法最快；电荷分布杂乱时，还是逐对抵消。

常用推论

• 等量同种电荷：连线中点场强为零；连线上从中点向两侧场强增大；中垂线上中点为零、无穷远也为零，中间某处有最大值，方向沿中垂线背离连线（正电荷时）。由例 3（1）$E = 2E_1\cos\alpha$ 可见：$P$ 在中点时 $\cos\alpha = 0$，很远时 $E_1 \to 0$。
• 等量异种电荷：中垂线上各点场强方向都平行于连线、指向负电荷一侧，中点场强最大，向外逐渐减小；连线上中点场强最小（但不为零），方向由正电荷指向负电荷。由例 3（2）$E = 2E_1\sin\alpha$，$P$ 离中点越远，$E_1$ 和 $\sin\alpha$ 都越小。
• 两个点电荷连线上场强为零的点：同种电荷在两者之间，异种电荷在连线外侧；都靠近电荷量较小的那个。由例 2 的区域判断得出。
• 对称分布的电荷，中心场强为零；破坏一处对称，就“补上再减去”（例 4 另一种解法）。

易错点

• 错在哪：两个电荷在某点的场强大小分别是 $E_1$、$E_2$，合场强写成 $E_1 + E_2$。 为什么错：把场强当成标量，“两个电荷的场叠在一起就更强”。等量同种电荷的中点，两个场强一样大，合起来却是零。 正确做法：先在图上画出每个场强的方向，同一直线取正方向带符号相加，不在同一直线按平行四边形定则。
• 错在哪：在 $E = k\dfrac{Q}{r^2}$ 里代入试探电荷的电荷量。 为什么错：两个公式里都有一个“电荷”，混了。 正确做法：$E = \dfrac{F}{q}$ 的 $q$ 是放进去检验的电荷，$E = k\dfrac{Q}{r^2}$ 的 $Q$ 是产生电场的电荷。
• 错在哪：找场强为零的点时不分区域，直接在两电荷之间列方程。 为什么错：异种电荷之间两个场强同向，不可能抵消，解出的点是假的（方程只比较了大小，没管方向）。 正确做法：先判断哪个区域两个场强反向，再在那个区域里列“大小相等”。

直观理解

每个电荷都在空间里“画”一套自己的箭头，箭头长短按 $\dfrac{1}{r^2}$ 变。几个电荷在一起，每一点上把各自的箭头首尾相接，接出来的那一支就是合场强。对称的地方，箭头成对抵消，这是做叠加题最省力的突破口。

关联知识点

• 前置：第 1 章 1.3 矢量合成；平面向量的加法和坐标运算，见《高中数学知识点梳理》第 14、15 章。
• 前置：15.3 节库仑定律，点电荷场强公式由它推出。
• 后续：15.6 节电场线，是这些叠加结果的直观画法。
• 后续：第 16 章等量同种、等量异种电荷的电势分布，常与本节的场强分布放在同一道选择题里。
• 常一起考：第 11 章均匀球体的万有引力，“质量集中在球心”与“电荷集中在球心”是同一个结论。

15.6 电场线

说明

电场线：在电场中画出的一些有方向的曲线，曲线上每一点的切线方向表示该点的场强方向，曲线的疏密表示场强的大小。电场线是英国物理学家法拉第为形象描述电场而引入的，它不是真实存在的线。

电场线的特点：

• 从正电荷（或无穷远）出发，终止于负电荷（或无穷远）。静电场的电场线不闭合。
• 任意两条电场线不相交（每一点的场强只有一个方向）。
• 同一幅图中，电场线越密，场强越大。
• 电场线不是带电粒子的运动轨迹。

几种典型电场的电场线：

电场	电场线的形状	要记的特征
正点电荷	由电荷向外发散的射线	越近越密；同一球面上大小相等、方向不同
负点电荷	由四周指向电荷的射线	同上，方向向内
等量同种电荷	从两电荷向外，中间互相排开	连线中点场强为零；中垂线上方向沿中垂线
等量异种电荷	由正电荷弯向负电荷	中垂线上方向都平行于连线、指向负电荷；中垂线与电场线处处垂直
匀强电场	等间距平行直线	各处场强大小、方向都相同

使用场景

• 给出电场线分布图，比较两点场强的大小、判断方向 → 电场线的疏密和切线 → 密处场强大，切线方向为场强方向。
• 由电场线判断带电粒子受力方向、加速度大小 → $\vec{F} = q\vec{E}$ → 正电荷受力沿切线方向，负电荷相反；电场线越密，加速度越大（只受电场力时）。
• 给出电场线和粒子的运动轨迹，判断粒子电性、受力方向 → 曲线运动的合力指向轨迹凹侧（第 8 章）→ 力沿电场线（或反向），与凹侧一致的方向就是受力方向，再与场强方向比较定电性。
• 选择题考电场线的性质（能否相交、是否是轨迹、是否真实存在）→ 电场线的定义和特点。

注意点

• 只有一条电场线时，看不出疏密，无法比较两点场强的大小（可能是匀强电场，也可能不是）。
• 两条电场线之间的空白处也有电场，只是没画线；电场线的条数是人为选定的。
• 电场线是曲线时，带电粒子的轨迹一般不沿电场线。轨迹与电场线重合要同时满足三个条件：电场线是直线；粒子初速度为零或初速度沿电场线；粒子只受电场力（或其他力的合力也沿这条直线）。
• 匀强电场的电场线必须是等间距的平行直线，平行但间距不等的不是匀强电场（实际上也不存在）。

推导

电场线是描述电场的一种画法，本身没有需要推导的规律。下面说明它的两条规则为什么成立。

为什么电场线不相交：电场中每一点的场强是确定的，只有一个方向。如果两条电场线在某点相交，该点就有两条切线、两个场强方向，矛盾。

为什么疏密能表示强弱（以点电荷为例）：从点电荷 $Q$ 均匀地画出 $N$ 条电场线。在半径为 $r$ 的球面上，这 $N$ 条线穿过面积 $4\pi r^2$，单位面积上的条数为

$$\frac{N}{4\pi r^2} \propto \frac{1}{r^2}$$

而场强 $E = k\dfrac{Q}{r^2}$ 也与 $\dfrac{1}{r^2}$ 成正比。

（关键一步：电场线的“面密度”和场强随距离按同样的 $\dfrac{1}{r^2}$ 变化，所以只要电场线在空间里不凭空增减，疏密就能准确反映场强大小。这恰好依赖于库仑定律的平方反比；对一般的静电场，严格的说法是大学的高斯定理。）

例题

例 1　（场景：由电场线比较场强）如图为等量异种电荷的电场线，$A$ 为两电荷连线的中点，$B$ 为中垂线上的一点。下列说法正确的是（　）。

A. $A$ 点场强比 $B$ 点大，两点场强方向相同　B. $A$ 点场强比 $B$ 点小　C. $A$、$B$ 两点场强方向相反　D. 把一个负电荷放在 $B$ 点，它受的电场力水平向右

解：A。

判断依据：疏密表示大小，切线方向表示场强方向；负电荷受力与场强反向。

$A$ 处电场线比 $B$ 处密，$E_A > E_B$。中垂线上各点场强都平行于连线、由正电荷一侧指向负电荷一侧，即水平向右，$A$、$B$ 方向相同（A 对，B、C 错）。负电荷在 $B$ 点受力与场强相反，水平向左（D 错）。

例 2　（场景：由电场线判断受力方向和加速度）仍用例 1 的图。把一个电子分别放在 $A$ 点和 $B$ 点由静止释放，只受电场力。（1）电子刚释放时受力方向如何？（2）在哪一点释放，刚释放时的加速度较大？（3）从 $B$ 点释放后，电子会沿着经过 $B$ 的那条电场线运动吗？

解：

判断依据：$\vec{F} = q\vec{E}$，电子带负电，受力与切线方向相反；只受电场力时 $a = \dfrac{eE}{m}$，电场线越密加速度越大。

（1）$A$、$B$ 两点场强都水平向右，电子受力都水平向左。

（2）$A$ 处电场线较密，$E_A > E_B$，在 $A$ 点释放时加速度较大。

（3）不会。经过 $B$ 的电场线是曲线，电子从静止开始先沿切线反方向（向左）运动。要沿着一条弯曲的线走，必须有垂直于速度的力使它转弯，而电子受的力始终沿电场线的切线，开始时就与速度共线，提供不了这个转弯的力，所以电子会偏离这条电场线。

容易卡在：（3）凭“顺着线走”的直觉说“会”。电场线是直线时才会沿线运动（本节常用推论）。

例 3　（场景：由轨迹和电场线判断受力和电性）图中实线是某电场的电场线，箭头表示场强方向；虚线是一个带电粒子只在电场力作用下的运动轨迹，$M$、$N$ 是轨迹上的两点。判断：（1）粒子带什么电；（2）粒子在 $M$、$N$ 哪一点的加速度大。

解：

判断依据：做曲线运动的物体，合力指向轨迹的凹侧；只受电场力时，合力就是电场力，沿电场线的切线方向（或反方向）。

（1）轨迹向右弯，凹侧朝右，粒子受的电场力指向右侧，与电场线的箭头方向一致（大致沿电场线向外）。受力与场强同向，粒子带正电。

（2）$M$ 点处电场线比 $N$ 点密，$E_M > E_N$，粒子受力 $F = qE$ 在 $M$ 点大，加速度 $a = \dfrac{qE}{m}$ 也在 $M$ 点大。

容易卡在：（1）想知道粒子是从 $M$ 到 $N$ 还是从 $N$ 到 $M$。受力方向只由凹侧决定，与运动方向无关，两种走法结论一样。

例 4　（场景：电场线的性质）下列关于电场线的说法，正确的是（　）。

A. 电场线是电场中实际存在的线　B. 只受电场力作用的带电粒子，一定沿电场线运动　C. 电场线越密的地方，同一电荷受的电场力越大　D. 在电场中，两条电场线可以相交

解：C。

判断依据：电场线是假想的曲线，疏密表示场强大小，切线表示场强方向，任意两条不相交。

A 错，电场线是法拉第为描述电场引入的；B 错，电场线是曲线或粒子有横向初速度时，轨迹不沿电场线；C 对，场强大则 $F = qE$ 大；D 错，相交处场强会有两个方向。

常用推论

• 电场线是直线、带电粒子由静止释放且只受电场力时，粒子沿电场线运动。由受力与速度在一条直线上（第 8 章曲线运动的条件）得出；电场线是曲线时不成立（例 2）。
• 由轨迹判断电性的固定做法：凹侧定力的方向，力与电场线箭头同向为正电荷、反向为负电荷；疏密定加速度大小。
• 等量异种电荷的中垂线与电场线处处垂直，沿中垂线移动电荷时电场力不做功（第 16 章：中垂线是等势线）。

易错点

• 错在哪：认为带电粒子一定沿电场线运动，电场线就是轨迹。 为什么错：把“力的方向”当成“运动方向”，这是“力是维持运动的原因”的直觉在作怪。力决定的是加速度方向，速度方向还取决于初速度。例 3 中粒子的轨迹就和电场线相交。 正确做法：轨迹由初速度和受力共同决定，只有电场线是直线、初速度沿电场线或为零时，轨迹才沿电场线。
• 错在哪：只给一条直的电场线，根据“箭头指向”判断“沿电场线方向场强越来越小”。 为什么错：一条电场线看不出疏密。沿电场线方向，场强可能增大、减小或不变；减小的是电势（第 16 章），不是场强。 正确做法：一条电场线只能判断场强方向，大小要靠其他条件（场源、疏密）。
• 错在哪：认为没画电场线的地方没有电场。 为什么错：电场线只是抽样画几条，就像地图上只画几条等高线。 正确做法：只要在电场范围内，每一点都有场强，画线只是方便看。

直观理解

电场线像天气图上的风向线：线的走向告诉你“风”往哪边吹（正电荷被推的方向），线挤在一起的地方“风”大。但风向线不是某片树叶的飞行路线，树叶还有自己原来的速度。

关联知识点

• 前置：15.5 节场强的叠加，各种电场线的形状都是叠加的结果。
• 前置：第 8 章曲线运动的条件，合力指向轨迹凹侧。
• 后续：第 16 章等势面与电场线处处垂直，沿电场线方向电势降低。
• 后续：第 25 章磁感线，画法和规则相似，但磁感线是闭合的。

15.7 带电体在电场中的平衡

说明

带电体在电场中静止或做匀速直线运动时，处于平衡状态，所受合力为零：

$$\vec{F}_{\text{合}} = 0$$

用正交分解时写成两个标量式：

$$F_{x\text{合}} = 0，\quad F_{y\text{合}} = 0$$

这和第 5 章的共点力平衡完全相同，只是受力图里多了静电力：

• 在电场中：电场力 $\vec{F} = q\vec{E}$，匀强电场里是恒力；
• 与其他点电荷之间：库仑力 $F = k\dfrac{q_1 q_2}{r^2}$，沿连线，同斥异吸。

本节用到的理想模型：带电小球看成点电荷（质点），绝缘细线是轻绳（质量不计、只能沿绳拉），接触面光滑或已知动摩擦因数。

使用场景

• 带电小球用绝缘细线悬挂在匀强电场中静止，求偏角、场强或拉力 → 三力平衡（重力、电场力、拉力）→ 合成法或正交分解，$\tan\theta = \dfrac{qE}{mg}$（电场水平时）。
• 两个带电小球用细线悬挂，互相排斥而张开 → 每个球受重力、拉力、库仑力 → 隔离一个球列平衡方程，库仑力由几何关系定距离。
• 三个点电荷在一条直线上，只受彼此的库仑力，都处于平衡 → 每个电荷受的两个库仑力等大反向 → 两同夹异、两大夹小、近小远大。
• 要使带电小球静止在某位置（细线方向已定），求所需的最小场强 → 动态平衡的极值（第 5 章）→ 力的矢量三角形，电场力垂直于细线时最小。

注意点

• 带电小球的重力不能忽略。只有电子、质子等粒子才不计重力。
• 先判断电荷正负，再定电场力方向：负电荷受力与场强反向。题目问“电荷带什么电”时，常由受力需要的方向倒推。
• 两个带电体之间的库仑力是相互作用力：两球电荷量不相等，受的库仑力仍然等大反向。
• 库仑力的大小与距离有关，带电体移动后距离变了，库仑力随之改变，不能当恒力处理；匀强电场的电场力才是恒力。
• 细线只能提供沿线方向的拉力，杆、斜面、地面的弹力方向按第 4 章判断。

推导

平衡条件 $\vec{F}_{\text{合}} = 0$ 见第 5 章。本节两个常用结论的推导：

悬挂小球的偏角：质量 $m$、电荷量 $+q$ 的小球用细线悬挂在水平向右的匀强电场 $E$ 中，静止时细线与竖直方向成 $\theta$。小球受重力 $mg$（竖直向下）、电场力 $qE$（水平向右）、拉力 $T$（沿线斜向上）。正交分解：

$$T\sin\theta = qE，\quad T\cos\theta = mg$$

两式相除得

$$\tan\theta = \frac{qE}{mg}$$

（关键一步：重力和电场力都是恒力，它们的合力也是恒力，拉力必须与这个合力等大反向，所以细线方向就是“重力与电场力的合力”的反方向。把 $mg$ 和 $qE$ 合成为一个“等效重力”，以后第 16 章、第 10 章的“等效最高点”都用这个思路。）

三个自由点电荷共线平衡：$A$、$B$ 两个电荷量分别为 $q_A$、$q_B$ 的点电荷相距 $L$，放入第三个电荷 $C$，要求三个都平衡。

• $C$ 受 $A$、$B$ 的力必须反向。若 $A$、$B$ 同号，$C$ 在两者之间；若异号，$C$ 在两者外侧。
• 再看 $A$：它受 $B$ 的力和 $C$ 的力必须反向。$A$、$B$ 同号时 $B$ 推开 $A$，$C$ 就必须拉回 $A$，所以 $C$ 与 $A$、$B$ 异号。
• $C$ 平衡要求 $k\dfrac{q_A q_C}{x^2} = k\dfrac{q_B q_C}{(L - x)^2}$，$C$ 离电荷量小的一方更近。

合起来就是口诀“两同夹异、两大夹小、近小远大”：两边电荷同号，中间夹一个异号的；中间那个电荷量最小；中间电荷离电荷量小的那个近。

例题

例 1　（场景：悬挂小球在匀强电场中静止）质量 $m = 4.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{kg}$、电荷量 $q = +3.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{C}$ 的小球，用绝缘细线悬挂在水平向右的匀强电场中，场强 $E = 1.0 \times 10^4\ \mathrm{N/C}$。求小球静止时细线与竖直方向的夹角和细线的拉力（$\sin 37^\circ = 0.6$，$\cos 37^\circ = 0.8$）。

解：

研究对象：小球。

过程划分：只有静止状态。

分析：小球受三个力：重力 $mg$ 竖直向下；电场力 $qE$，小球带正电，水平向右；细线拉力 $T$ 沿线斜向左上。小球向右偏。

列式求解：

$$mg = 4.0 \times 10^{-3} \times 10\ \mathrm{N} = 0.040\ \mathrm{N}，\quad qE = 3.0 \times 10^{-6} \times 1.0 \times 10^4\ \mathrm{N} = 0.030\ \mathrm{N}$$

由本节推导 $\tan\theta = \dfrac{qE}{mg} = \dfrac{0.030}{0.040} = 0.75$，$\theta = 37^\circ$，小球偏向右侧（电场方向一侧）。

$$T = \frac{mg}{\cos\theta} = \frac{0.040}{0.8}\ \mathrm{N} = 0.050\ \mathrm{N}$$

方向沿细线指向悬点。

检验：$T = \sqrt{(mg)^2 + (qE)^2} = \sqrt{0.040^2 + 0.030^2}\ \mathrm{N} = 0.050\ \mathrm{N}$，与上面一致。特殊情形：$E = 0$ 时 $\theta = 0$、$T = mg$，对。

另一种解法：力的矢量三角形。三力平衡时三个力首尾相接成封闭三角形：$mg = 0.040\ \mathrm{N}$ 和 $qE = 0.030\ \mathrm{N}$ 互相垂直，是直角边，$T$ 是斜边，$3 : 4 : 5$ 的直角三角形，$T = 0.050\ \mathrm{N}$、$\tan\theta = \dfrac{3}{4}$ 一眼看出。三个力、其中两个垂直时，矢量三角形比正交分解快；四个以上的力用正交分解。

例 2　（场景：两个带电小球悬挂互相排斥）两个完全相同的带电小球 $A$、$B$，质量都是 $m = 1.2 \times 10^{-3}\ \mathrm{kg}$，带等量同种电荷，用长 $L = 0.25\ \mathrm{m}$ 的绝缘细线挂在同一点 $O$。静止时两线与竖直方向的夹角都是 $37^\circ$。求每个小球的电荷量和细线的拉力（小球可看成点电荷）。

解：

研究对象：隔离小球 $B$。

过程划分：只有静止状态。

分析：$B$ 受重力 $mg$（竖直向下）、$A$ 对它的库仑斥力 $F$（沿 $AB$ 连线水平向右）、细线拉力 $T$（沿线指向 $O$）。两球之间的距离由几何关系求出：$r = 2L\sin 37^\circ$。

列式求解：两球距离

$$r = 2L\sin 37^\circ = 2 \times 0.25 \times 0.6\ \mathrm{m} = 0.30\ \mathrm{m}$$

由平衡（同例 1 的推导）：

$$F = mg\tan 37^\circ = 1.2 \times 10^{-3} \times 10 \times 0.75\ \mathrm{N} = 9.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{N}$$

由库仑定律 $F = k\dfrac{q^2}{r^2}$：

$$q = r\sqrt{\frac{F}{k}} = 0.30 \times \sqrt{\frac{9.0 \times 10^{-3}}{9.0 \times 10^9}}\ \mathrm{C} = 0.30 \times 1.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{C} = 3.0 \times 10^{-7}\ \mathrm{C}$$

拉力

$$T = \frac{mg}{\cos 37^\circ} = \frac{1.2 \times 10^{-2}}{0.8}\ \mathrm{N} = 1.5 \times 10^{-2}\ \mathrm{N}$$

方向沿细线指向 $O$。两球可能都带正电，也可能都带负电，题目条件定不了符号。

检验：单位：$\mathrm{m} \times \sqrt{\dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{N \cdot m^2/C^2}}} = \mathrm{m} \times \dfrac{\mathrm{C}}{\mathrm{m}} = \mathrm{C}$，对。量级：$10^{-7}\ \mathrm{C}$ 是摩擦起电能达到的量级，合理。

容易卡在：距离 $r$ 用成线长 $L$。库仑定律里的 $r$ 是两球之间的距离，要由几何关系求。

例 3　（场景：三个自由点电荷共线平衡）光滑绝缘水平面上，点电荷 $A$ 带 $+9.0 \times 10^{-9}\ \mathrm{C}$，点电荷 $B$ 带 $+3.6 \times 10^{-8}\ \mathrm{C}$，相距 $0.30\ \mathrm{m}$，两者都可以自由移动。要引入第三个点电荷 $C$，使三个电荷都处于平衡状态。求 $C$ 的位置、电性和电荷量。

解：

研究对象：先 $C$，再 $A$。

过程划分：只有平衡状态。

分析：$A$、$B$ 同号，$C$ 受的两个力要反向，$C$ 必须在 $A$、$B$ 之间；$A$ 受 $B$ 的斥力向左，$C$ 对 $A$ 的力必须向右（拉向 $C$），所以 $C$ 带负电。

列式求解：设 $C$ 距 $A$ 为 $x$，电荷量大小为 $q_C$。$C$ 平衡：

$$k\frac{q_A q_C}{x^2} = k\frac{q_B q_C}{(0.30 - x)^2} \quad\Rightarrow\quad \frac{0.30 - x}{x} = \sqrt{\frac{q_B}{q_A}} = \sqrt{\frac{3.6 \times 10^{-8}}{9.0 \times 10^{-9}}} = 2$$

得 $x = 0.10\ \mathrm{m}$。

$A$ 平衡：$C$ 对 $A$ 的引力等于 $B$ 对 $A$ 的斥力：

$$k\frac{q_A q_C}{0.10^2} = k\frac{q_A q_B}{0.30^2} \quad\Rightarrow\quad q_C = q_B \times \frac{0.10^2}{0.30^2} = \frac{3.6 \times 10^{-8}}{9}\ \mathrm{C} = 4.0 \times 10^{-9}\ \mathrm{C}$$

$C$ 带负电，电荷量 $4.0 \times 10^{-9}\ \mathrm{C}$，放在 $A$、$B$ 连线上、距 $A$ $0.10\ \mathrm{m}$ 处。

检验：$B$ 平衡：$A$ 对 $B$ 的斥力 $\propto \dfrac{9.0 \times 10^{-9}}{0.30^2} = 1.0 \times 10^{-7}$，$C$ 对 $B$ 的引力 $\propto \dfrac{4.0 \times 10^{-9}}{0.20^2} = 1.0 \times 10^{-7}$，相等，$B$ 也平衡，对。符合口诀：两同夹异、$C$ 最小、靠近较小的 $A$。

容易卡在：只列 $C$ 的平衡，求出位置后就停下，或者以为 $C$ 的电荷量可以任意。$C$ 的平衡只定位置，$A$（或 $B$）的平衡才定电荷量。

例 4　（场景：所需的最小场强）质量 $m = 4.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{kg}$、电荷量 $q = +2.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{C}$ 的小球用绝缘细线悬挂。要加一个匀强电场，使小球静止时细线向右偏离竖直方向 $37^\circ$，所加电场的场强最小是多少？方向如何？

解：

研究对象：小球。

过程划分：只有静止状态。

分析：小球受重力（大小、方向都确定）、拉力（方向沿细线确定，大小不定）、电场力（大小、方向都待定）。三力平衡，画力的矢量三角形：重力是固定的一边，拉力的方向线固定，电场力从重力的末端连到拉力方向线上。点到直线的距离以垂线段最短，电场力垂直于细线时最小。

列式求解：电场力的最小值

$$F_{\min} = mg\sin 37^\circ = 4.0 \times 10^{-3} \times 10 \times 0.6\ \mathrm{N} = 2.4 \times 10^{-2}\ \mathrm{N}$$ $$E_{\min} = \frac{F_{\min}}{q} = \frac{2.4 \times 10^{-2}}{2.0 \times 10^{-6}}\ \mathrm{N/C} = 1.2 \times 10^4\ \mathrm{N/C}$$

小球带正电，场强方向与电场力相同：垂直于细线斜向右上，与水平方向成 $37^\circ$。

检验：此时拉力 $T = mg\cos 37^\circ = 0.032\ \mathrm{N}$，$T^2 + F^2 = 0.032^2 + 0.024^2 = 0.040^2 = (mg)^2$，三力构成直角三角形，对。若电场水平（例 1 的情形），需要 $qE = mg\tan 37^\circ = 0.030\ \mathrm{N}$，比 $0.024\ \mathrm{N}$ 大，说明水平方向不是最省的。

容易卡在：默认电场是水平的，求出 $E = \dfrac{mg\tan 37^\circ}{q}$。题目问“最小”，电场方向是可以选的。

常用推论

• 悬挂在水平匀强电场中的带电小球：$\tan\theta = \dfrac{qE}{mg}$，$T = \sqrt{(mg)^2 + (qE)^2}$。由本节推导得出。
• 两个带电小球挂在同一点互相排斥：每个球的偏角满足 $\tan\theta = \dfrac{F}{mg}$，库仑力等大，所以质量大的偏角小，偏角与各自的电荷量无关（电荷量只影响两者共同的库仑力）。由例 2 的平衡式和牛顿第三定律得出。
• 三个自由点电荷共线平衡：两同夹异、两大夹小、近小远大（本节推导）。若 $A$、$B$ 固定，只要求 $C$ 平衡，则 $C$ 的位置不变，电性和电荷量任意。
• 三力平衡中一个力恒定、一个力方向不变，第三个力垂直于方向不变的那个力时最小（第 5 章图解法）。

易错点

• 错在哪：带电小球在电场中平衡，受力图漏画重力。 为什么错：把“粒子不计重力”套到了宏观小球上。 正确做法：小球、油滴、尘埃都画重力，题目明说不计的除外。
• 错在哪：两个带电小球悬挂，认为电荷量大的那个偏角大。 为什么错：直觉以为“电荷多就推得狠”。两球间的库仑力是相互作用力，大小总相等。 正确做法：偏角只看 $\dfrac{F}{mg}$，库仑力相同时由质量决定。
• 错在哪：三个自由电荷共线平衡，只让中间那个平衡就算完成。 为什么错：三个电荷“都平衡”是三个条件（其中两个独立），只用一个条件定不了全部未知量。 正确做法：中间电荷的平衡定位置，两端任一个电荷的平衡定中间电荷的电荷量，最后用第三个检验。

直观理解

在受力图眼里，电场力和库仑力没有任何特权，它们就是“又一个力”：方向按电荷正负和场强（或同斥异吸）定，大小按 $qE$ 或 $k\dfrac{q_1 q_2}{r^2}$ 算，然后整张图交给第 5 章。匀强电场中，重力和电场力可以合成一个“等效重力”，小球就像在一个“斜的重力场”里，细线指向“等效的竖直方向”。

关联知识点

• 前置：第 4 章受力分析；第 5 章共点力平衡、整体法与隔离法、动态平衡的图解法。
• 后续：第 16 章带电粒子在电场中的运动，平衡被打破后就是加速和偏转。
• 后续：第 10 章竖直面内圆周运动的“等效最高点”，在电场加重力场中做圆周运动时用等效重力。
• 后续：第 26 章速度选择器、第 28 章导体棒受安培力平衡，思路相同，只是换了力。
• 常一起考：15.2 节元电荷，密立根油滴实验就是油滴在电场中平衡。

15.8 静电平衡与静电现象

说明

静电平衡：把导体放进电场，导体内的自由电子受电场力而定向移动，使导体两侧出现等量异号的感应电荷。感应电荷在导体内部产生的电场 $\vec{E}'$ 与外电场 $\vec{E}_0$ 方向相反，移动一直进行到两者在导体内部完全抵消为止。这时导体内的自由电子不再定向移动，导体处于静电平衡状态。这个过程极短，可以认为导体放进电场后立即达到静电平衡。

静电平衡状态的导体的特点：

• 导体内部场强处处为零：$\vec{E}_{\text{合}} = \vec{E}_0 + \vec{E}' = 0$。注意是合场强为零，外电场和感应电荷的电场各自都不为零。
• 导体表面处的场强方向与表面垂直。
• 导体上的净电荷只分布在外表面，内部没有净电荷。
• 外表面越尖锐（弯曲得越厉害）的地方，电荷越密集，附近的场强越大。
• 整个导体是等势体（第 16 章）。

尖端放电：导体尖端附近场强很大，能使周围的空气电离，与尖端电荷异号的离子被吸到尖端上，与尖端上的电荷中和，相当于尖端失去电荷。避雷针就利用了尖端放电：带电的云层靠近建筑物时，避雷针尖端放电，把电荷逐渐导入大地，避免强烈的放电（雷击）击中建筑物。高压设备的导体表面要做得光滑，就是为了防止尖端放电造成电能损失。

静电屏蔽：静电平衡时，空腔导体（金属壳、金属网罩）的腔内不受外部电场的影响。用途：电子仪器外面加金属罩，通信电缆外面包一层金属网，高压带电作业的工人穿含金属丝的屏蔽服，雷雨天待在汽车（金属车身）里比待在旷野安全。若空腔内有电荷，把空腔导体接地，外部也不受腔内电荷的影响。

静电的利用与防止：

利用	原理	防止	原理
静电除尘	粉尘带电后被吸到电极上	油罐车拖一条接地的铁链	及时把摩擦产生的电荷导入大地
静电喷漆	带电的油漆微粒被吸到工件上，喷得均匀	印染、造纸车间保持空气湿润	潮湿空气导电，静电容易散失
静电复印	带电的硒鼓吸附墨粉	飞机轮胎用导电橡胶	着陆时把机身电荷导入地面

使用场景

• 导体放在点电荷或外电场旁，求导体内部某点感应电荷产生的场强 → 静电平衡，内部合场强为零 → $\vec{E}' = -\vec{E}_0$：大小等于外电荷在该点的场强，方向相反。
• 判断导体上电荷的分布、接地后带电情况、空腔内外表面带什么电 → 静电平衡的电荷分布 → 净电荷在外表面，近异远同，接地后远端是大地。
• 生活中的静电现象（避雷针、屏蔽服、油罐车、雷雨天避险）→ 尖端放电、静电屏蔽、导走静电 → 对照原理判断。

注意点

• “内部场强为零”指合场强为零，外电场依然穿过导体所在的空间，只是被感应电荷的电场抵消了。
• 静电平衡的结论只适用于导体，对绝缘体不成立。
• 感应电荷在导体内部某点的场强 $\vec{E}'$，只要求它与外电荷的场强 $\vec{E}_0$ 等大反向，与导体的形状无关；但感应电荷在导体外部的场强很难计算，高中不要求。
• 空腔导体内若有电荷，空腔的内表面感应出等量异号电荷，外表面出现等量同号电荷，外部仍有电场；只有外壳接地，外表面电荷导入大地，外部才不受影响。
• 尖端放电是“失去电荷”的过程，不要说成“尖端吸引了闪电”：避雷针的主要作用是在雷云电荷积累时持续放电、把电荷引入大地。

推导

为什么静电平衡的导体内部场强为零（反证）：假设某时刻导体内部某点场强不为零，那里的自由电子就会受电场力而移动，电荷分布还在变化，导体就不是静电平衡状态。所以，只要处于静电平衡，内部场强必然处处为零。

（关键一步：导体内有大量可以自由移动的电子，只要有一点点电场，它们就会动。静电平衡的定义是“电荷不再定向移动”，两者合在一起，内部场强只能是零。绝缘体内没有自由电子，所以不满足这一推理。）

为什么表面场强与表面垂直：如果表面处场强有沿表面方向的分量，表面上的自由电子就会沿表面移动，不是平衡状态。

为什么净电荷只在外表面：假如导体内部某处有净电荷，由点电荷场强公式，它附近的场强不为零，与“内部场强为零”矛盾。严格的证明要用到大学的高斯定理。

为什么尖端电荷密集：定性地看，导体表面的电荷互相排斥，都尽量往外“挤”，在弯曲得厉害的尖端处更容易聚集。定量的说法要用到电势（第 16 章）：静电平衡的导体是等势体，用细导线连接的两个半径不同的导体球，电势相等时，半径小的球表面电荷面密度大，场强也大，所以曲率大的尖端场强大。

法拉第的实验：1836 年，法拉第做了一个用金属箔包裹的房间，人带着验电器进去，外面加高压使金属箔放电，房间里的验电器毫无反应。这类金属壳后来叫做“法拉第笼”，是静电屏蔽的经典演示。

例题

例 1　（场景：求感应电荷在导体内部的场强）一个电荷量 $Q = +2.0 \times 10^{-9}\ \mathrm{C}$ 的点电荷旁放一根不带电的金属棒，棒与 $Q$ 在同一直线上，棒的中点 $O$ 到 $Q$ 的距离为 $0.30\ \mathrm{m}$。棒达到静电平衡后，求棒上感应电荷在 $O$ 点产生的场强。

解：

研究对象：金属棒内的 $O$ 点。

过程划分：只看静电平衡后的状态。

分析：静电平衡时棒内合场强为零，$O$ 点的合场强由 $Q$ 的场强 $E_Q$ 和感应电荷的场强 $E'$ 组成，两者等大反向。感应电荷分布复杂，直接算不出，但 $E_Q$ 可以用点电荷公式算。

列式求解：

$$E_Q = k\frac{Q}{r^2} = 9.0 \times 10^9 \times \frac{2.0 \times 10^{-9}}{0.30^2}\ \mathrm{N/C} = 2.0 \times 10^2\ \mathrm{N/C}$$

方向背离 $Q$。由 $\vec{E}' = -\vec{E}_Q$，感应电荷在 $O$ 点的场强大小为 $2.0 \times 10^2\ \mathrm{N/C}$，方向沿直线指向 $Q$。

检验：方向：近端感应负电荷、远端感应正电荷，它们在中间 $O$ 点产生的场强由正（远端）指向负（近端），即指向 $Q$，与结果一致。

容易卡在：以为“导体内部场强为零”，就说感应电荷的场强也为零。为零的是合场强。

例 2　（场景：空腔导体的电荷分布与接地）一个不带电的金属球壳，在球心处放一个电荷量为 $+q$ 的点电荷（不与球壳接触）。（1）静电平衡后，球壳内表面、外表面各带什么电、多少电荷量？球壳外有没有电场？（2）把球壳接地后又断开，再求内、外表面的电荷。

解：

判断依据：静电平衡的导体内部（球壳的金属里）场强为零；电荷守恒。

（1）球壳金属内场强为零，要求球壳内表面的感应电荷正好“挡住” $+q$ 的电场，内表面带 $-q$。球壳原来不带电，由电荷守恒，外表面带 $+q$。外表面有电荷，球壳外有电场，从外面看就像球心处有一个 $+q$。

（2）接地时，外表面的 $+q$ 被导入大地（大地的电子流上来把它中和），内表面的 $-q$ 被腔内的 $+q$ 吸引着不动。断开后：内表面 $-q$，外表面不带电，球壳外的场强为零，腔内电荷对外界不再有影响。

容易卡在：（2）以为接地后球壳完全不带电。被腔内电荷“拉住”的内表面电荷导不走。

例 3　（场景：生活中的静电现象）下列说法错误的是（　）。

A. 高大建筑物顶上安装避雷针，利用的是尖端放电　B. 高压带电作业的工人穿用金属丝织成的工作服，利用的是静电屏蔽　C. 油罐车尾部拖一条铁链接触地面，是为了把车上积累的静电导入大地　D. 雷雨天在空旷的野外，躲到孤立的大树下避雨最安全

解：D。

判断依据：对照尖端放电、静电屏蔽、导走静电三个原理。

A、B、C 都正确。D 错：孤立的大树是旷野中的高点，容易遭雷击，雷电流经树干和地面时会伤及树下的人；雷雨天应躲进有避雷设施的建筑或汽车（金属车身能起屏蔽作用）里。

常用推论

• 导体内某点感应电荷的场强，与外电荷（可以是几个电荷的合场强）在该点的场强等大反向。由内部合场强为零得出（例 1）。
• 空腔导体（不接地）：腔内放 $+q$，内表面带 $-q$，外表面带 $+q$（若球壳原来带电 $Q$，外表面带 $Q + q$）；腔内电荷移动位置，外表面的电荷分布不变（球壳时仍均匀分布）。由内部场强为零加电荷守恒得出（例 2）。
• 导体接地，接地点的电荷来去由大地供给，等于把“远端”移到了地球上；分析时先断开再撤外电荷，导体才会带电（15.2 节）。

易错点

• 错在哪：认为静电平衡时，导体内部没有电场，所以外电场穿不进导体。 为什么错：把“合场强为零”理解成“什么场都没有”。外电场照样存在，只是被感应电荷的场抵消了。 正确做法：内部合场强为零；分开说外电场 $E_0$ 和感应电场 $E'$ 时，两者等大反向，都不为零。
• 错在哪：认为金属壳屏蔽外电场，是因为金属“挡住了”电场线。 为什么错：直觉把电场想成光，被不透明的东西挡住。实际上是金属壳表面感应电荷的电场在腔内与外电场抵消。 正确做法：屏蔽靠的是导体中自由电荷的重新分布，任何导体（金属网也可以）都能起作用，绝缘外壳不行。
• 错在哪：认为避雷针是把雷“吸过来”的，越尖越危险。 为什么错：只记住了“尖端电荷多、场强大”，没想到这会使尖端持续放电。 正确做法：避雷针在雷云下持续放电，中和、导走电荷；即使发生雷击，电流也经避雷针和接地线入地，不经过建筑物。

直观理解

导体里的自由电子像一群“维持秩序的人”：外面来了电场，他们立刻调整站位（感应电荷），直到在导体内部把外电场完全抵消。只要还有一点电场，他们就继续动，所以静止下来的那一刻，内部一定是零场强。金属壳把这件事做在了外表面，壳里面就成了“无风区”。

关联知识点

• 前置：15.2 节感应起电，静电平衡就是感应起电的稳定状态。
• 前置：15.5 节场强的叠加，内部合场强为零就是外场和感应场叠加为零。
• 后续：第 16 章静电平衡的导体是等势体，表面是等势面。
• 后续：第 16 章电容器，两块导体板上的电荷分布在相对的内表面。
• 常一起考：15.4 节匀强电场，平行金属板间的电场。

15.9 知识点之间的关系

本章七个知识点围着一件事转：电荷之间的力。15.2 节说清电荷从哪来、怎么分；15.3 节给出两个点电荷之间的力；15.4 节把“力”拆成“场”和“电荷”，$F = qE$；15.5 节用叠加求出各种电荷分布的场；15.6 节把场画成电场线；15.7 节把电场力放进受力图解平衡问题；15.8 节讲导体在电场中自动达到的平衡。拿到题目，按下面的过程选择图判断该用哪一条。

15.10 自测

1. 两个完全相同的金属小球，分别带 $+6q$ 和 $-2q$ 的电荷，接触后分开，各带多少电荷？
2. 真空中两个点电荷相距 $r$ 时库仑力为 $F$。若两者电荷量都变为原来的 2 倍，距离变为原来的 $\dfrac{1}{2}$，库仑力变为多少？
3. 在电场中某点放一个电荷量 $-3.0 \times 10^{-9}\ \mathrm{C}$ 的点电荷，它受的电场力为 $6.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{N}$，方向向左。求该点场强的大小和方向。
4. 真空中点电荷 $Q = -9.0 \times 10^{-9}\ \mathrm{C}$，求距它 $0.30\ \mathrm{m}$ 处的场强大小和方向。
5. 真空中 $A$、$B$ 两处分别固定点电荷 $+Q$ 和 $+4Q$，相距 $0.30\ \mathrm{m}$。连线上场强为零的点在哪里？
6. 下列说法正确的是（　）。A. 电场线是带电粒子的运动轨迹　B. 电场线的切线方向就是负电荷的受力方向　C. 电场线越密，场强越大　D. 匀强电场的电场线可以是间距不等的平行线
7. 质量 $3.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{kg}$、电荷量 $-1.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{C}$ 的小球，用细线挂在水平匀强电场中，静止时细线向右偏离竖直方向 $45^\circ$。求场强的大小和方向。
8. 两个带电小球用等长细线挂在同一点，质量分别为 $m_1$、$m_2$（$m_1 > m_2$），电荷量分别为 $q_1$、$q_2$（$q_1 > q_2$）。哪个球的悬线偏离竖直方向的角度大？
9. 一个不带电的金属球放在点电荷 $Q = +1.0 \times 10^{-9}\ \mathrm{C}$ 旁，球心距 $Q$ $0.30\ \mathrm{m}$。静电平衡后，感应电荷在球心处产生的场强多大、方向如何？

答案：1. 各带 $+2q$；2. $16F$；3. $2.0 \times 10^3\ \mathrm{N/C}$，方向向右；4. $9.0 \times 10^2\ \mathrm{N/C}$，方向指向 $Q$；5. 在 $A$、$B$ 之间距 $A$ $0.10\ \mathrm{m}$ 处；6. C；7. $3.0 \times 10^4\ \mathrm{N/C}$，水平向左（负电荷受力向右）；8. 质量小的 $m_2$ 偏角大（与电荷量无关）；9. $1.0 \times 10^2\ \mathrm{N/C}$，方向指向 $Q$。

15.11 深入阅读

• PhET · 电荷和场：随手摆放正负电荷，看各点场强箭头和电场线怎样变化，等量同种、等量异种电荷的场一目了然。
• PhET · 库仑定律：改变两个电荷的电荷量和距离，读出库仑力，验证力与电荷量乘积成正比、与距离平方成反比。
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• 维基百科 · 法拉第笼：法拉第笼的构造、静电屏蔽的原理和生活中的应用。