第 35 章 · 波粒二象性

项目	内容
课标主题	必修 3 · 电磁场与电磁波初步（3.3.6 知道光是一种电磁波，知道光的能量是不连续的，初步了解微观世界的量子化特征）；选择性必修 3 · 波粒二象性（3.4.1 通过实验了解光电效应现象，知道爱因斯坦光电效应方程及其意义，能根据实验结论说明光的波粒二象性；3.4.2 知道实物粒子具有波动性，了解微观世界的量子化特征，体会量子论的建立对人们认识物质世界的影响）
人教版（2019）	必修第三册 第十三章 13.5”能量量子化”（必修三先学初步）；选择性必修第三册 第四章 4.1”普朗克黑体辐射理论”、4.2”光电效应”（含康普顿效应和光子的动量、光的波粒二象性）、4.5”粒子的波动性和量子力学的建立”（选择性必修再深入；4.3、4.4 原子结构见第 34 章）
考试地位	常考，多为选择题：光电效应方程、三种图像（$E_{\text{k}}$-$\nu$、$I$-$U$、$U_{\text{c}}$-$\nu$）几乎每年都有一道；德布罗意波长的计算和比较常考；黑体辐射、康普顿效应、概率波和物理学史多作为选择题的选项。常和第 34 章能级跃迁放出的光子、第 16 章电场力做功一起考
前置知识	第 16 章电场力做功 $W = qU$ 与带电粒子的加速；第 19、20 章动量、动量定理和动量守恒；第 24 章光的干涉和衍射；第 30 章电磁波谱

这一章讲人们怎样发现“光是一份一份的”，又发现“电子也是波”。规律只有三个式子：$\varepsilon = h\nu$、$E_{\text{k}} = h\nu - W_0$、$\lambda = \dfrac{h}{p}$，计算不难，丢分在概念上：以为光越强电子跑得越快；分不清光强决定的是光电流、频率决定的是最大初动能；三张图像的斜率和截距记混；遏止电压和动能的单位（伏和电子伏特）换算出错。

35.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
35.2 黑体辐射与能量量子化	黑体辐射的分布只由温度决定；普朗克假设能量只能一份一份地辐射和吸收，每份 $\varepsilon = h\nu$	选择题常考概念和史实，光子能量、光子数的计算常考
35.3 光电效应的实验规律	有截止频率、有饱和电流、有遏止电压、瞬时发生；最大初动能只由频率定，与光强无关	必考概念，光电管电路常作题图
35.4 爱因斯坦光电效应方程	一个电子吸收一个光子：$E_{\text{k}} = h\nu - W_0$，$eU_{\text{c}} = E_{\text{k}}$	必考，选择题和小计算
35.5 光电效应的三种图像	$E_{\text{k}}$-$\nu$ 图斜率 $h$；$I$-$U$ 图看遏止电压和饱和电流；$U_{\text{c}}$-$\nu$ 图斜率 $\dfrac{h}{e}$；横截距都是截止频率	常考，图像选择题
35.6 光子的动量与康普顿效应	光子动量 $p = \dfrac{h}{\lambda}$；光子与电子碰撞后波长变长，说明光有粒子性	偶考概念，光压可与动量定理结合
35.7 物质波	实物粒子也有波长 $\lambda = \dfrac{h}{p}$，电子衍射证实	常考计算和比较
35.8 概率波与量子力学的建立	单个粒子落点不确定，大量粒子按波的强度分布；量子力学由海森堡、玻恩、薛定谔等人建立	偶考概念和物理学史

35.2 黑体辐射与能量量子化

说明

热辐射：一切物体都在向外辐射电磁波，辐射的强度和波长分布与物体的温度有关。温度不高时主要辐射红外线，温度升高到几百摄氏度，开始发出可见的红光，再高变成黄白色。

黑体：能够完全吸收照射到它上面的各种波长的电磁波、不反射的物体。这是一个理想模型。实际上，一个开有小孔的空腔很接近黑体：射进小孔的光在腔内多次反射，几乎出不来。黑体不一定是黑的，它自己也辐射，太阳就可以近似看成黑体。

黑体辐射的实验规律：

• 黑体辐射电磁波的强度按波长的分布只与黑体的温度有关，与材料、表面状况无关（一般物体的辐射还和材料、表面有关）。
• 温度升高时，各种波长的辐射强度都增加；辐射强度的极大值向波长较短的方向移动。

经典理论的困难：用经典电磁理论和热学推出的公式，有的在短波区与实验符合、长波区不符，有的在长波区符合、短波区给出辐射强度随波长变短无限增大（后来被称为“紫外灾难”），都无法和整条实验曲线吻合。

普朗克的能量子假设（1900 年）：振动着的带电微粒的能量只能是某一最小能量值 $\varepsilon$ 的整数倍；辐射或吸收能量时，也只能一份一份地进行。这个不可再分的最小能量值叫能量子：

$$\varepsilon = h\nu$$

$\nu$ 是电磁波的频率，$h$ 是普朗克常量，$h = 6.63 \times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}$。用这个假设推出的公式和黑体辐射的实验曲线完全吻合。

能量量子化：微观粒子的能量是分立的、不连续的，这叫能量的量子化。后来爱因斯坦把它推广到光本身：光由一份一份的光子组成，每个光子的能量 $\varepsilon = h\nu$（35.4 节）。

由 $c = \lambda\nu$，光子能量也可以写成 $\varepsilon = \dfrac{hc}{\lambda}$。

能量单位电子伏特：微观能量常用电子伏特（$\mathrm{eV}$），即一个电子经过 $1\ \mathrm{V}$ 电压加速获得的动能：

$$1\ \mathrm{eV} = 1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{C} \times 1\ \mathrm{V} = 1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{J}$$

使用场景

• 题目给出不同温度下黑体（或炽热物体）辐射强度随波长变化的曲线，问温度高低、峰值怎样移动 → 黑体模型 → 辐射分布只由温度定，温度越高曲线越高、峰值越靠短波。
• 已知光的频率或波长，问一个光子的能量，或已知光源功率问每秒发出多少光子 → 能量量子化 → $\varepsilon = h\nu = \dfrac{hc}{\lambda}$，光子数 $N = \dfrac{Pt}{\varepsilon}$。
• 选择题问能量子由谁提出、为了解释什么、能量量子化的含义 → 物理学史 → 普朗克 1900 年为解释黑体辐射提出能量子；爱因斯坦 1905 年推广为光子。

注意点

• 黑体是理想模型，“黑体”指完全吸收，不是指颜色黑。
• 黑体辐射规律“只与温度有关”只对黑体成立；一般物体的辐射还与材料种类和表面状况有关。
• 温度升高，所有波长的辐射强度都增加，不是只有短波增加；只是增加得不均匀，所以峰值左移。
• 代入 $\varepsilon = \dfrac{hc}{\lambda}$ 时，波长要化成米：$1\ \mathrm{nm} = 10^{-9}\ \mathrm{m}$。题目给的能量是 $\mathrm{eV}$ 时，与焦耳的换算是 $1\ \mathrm{eV} = 1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{J}$。
• 普朗克当时只假设“振动的带电微粒的能量是量子化的”，光本身是一份一份的，是爱因斯坦 1905 年提出的。选择题常在这里张冠李戴。

推导

黑体辐射规律来自实验：把开小孔的空腔加热到不同温度，用分光仪把小孔射出的辐射按波长分开，测出各波长的辐射强度，画成曲线，得到本节图中的一族曲线。改变空腔的材料，同一温度下曲线不变，所以说分布只由温度决定。

为什么要假设能量量子化：

1. 经典理论认为振动的带电微粒能量可以连续取任意值，按这个思路推出：波长越短，辐射越强，没有上限，与实验曲线在短波区下降的事实矛盾。
2. 普朗克假设能量只能取 $\varepsilon = h\nu$ 的整数倍。频率高（波长短）的振动，一份能量 $h\nu$ 很大，在一定温度下很难被激发，所以短波区的辐射被压了下来。
3. 由这个假设推出的公式与实验曲线在全部波段都吻合，并由实验数据定出了 $h$ 的数值。

（关键一步：第 2 步。能量一份一份时，频率越高一份越大，高频振动“凑不够”一份就不能辐射，短波端的强度自然下降。这一步高中只要求定性理解，具体公式要用到大学的统计物理，课标不要求。）

光子数公式：功率 $P$ 表示每秒发出的能量，每个光子能量 $\varepsilon$，时间 $t$ 内发出的光子数 $N = \dfrac{Pt}{\varepsilon}$。

例题

例 1　（场景：黑体辐射曲线）如图是黑体在 $6000\ \mathrm{K}$、$5000\ \mathrm{K}$、$4000\ \mathrm{K}$ 三个温度下的辐射强度随波长分布的曲线。下列说法正确的是（　）。

A. 温度升高，只有短波的辐射强度增加 B. 温度升高，辐射强度的极大值向波长较长的方向移动 C. 温度越高，各种波长的辐射强度都越大 D. 黑体辐射的强度分布还与黑体的材料有关

解：C。

判断依据：黑体辐射的分布只由温度定；温度升高，各波长强度都增加，峰值移向短波。

看本节的图：$6000\ \mathrm{K}$ 的曲线在每一个波长处都高于 $5000\ \mathrm{K}$ 的，所以 C 对、A 错；峰值从约 $0.72\ \mu\mathrm{m}$（$4000\ \mathrm{K}$）移到约 $0.48\ \mu\mathrm{m}$（$6000\ \mathrm{K}$），向短波移动，B 错；黑体辐射与材料无关，D 错。

容易卡在：把“峰值左移”理解成“长波减弱”。峰值左移是因为短波增加得更多，长波的强度其实也在增加。

例 2　（场景：光子能量与光子数）一支激光笔发出波长 $\lambda = 663\ \mathrm{nm}$ 的红光，功率 $P = 1.5\ \mathrm{mW}$。求：（1）每个光子的能量（用焦耳和电子伏特表示）；（2）激光笔每秒发出的光子数。（$h = 6.63 \times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}$，$c = 3.0 \times 10^8\ \mathrm{m/s}$）

解：

研究对象：激光笔发出的光子。

过程划分：不涉及过程，取 $1\ \mathrm{s}$ 计算。

分析：每个光子的能量由频率（波长）决定；功率是每秒发出的总能量，除以一个光子的能量就是光子数。先换单位：$\lambda = 663 \times 10^{-9}\ \mathrm{m}$，$P = 1.5 \times 10^{-3}\ \mathrm{W}$。

列式求解：（1）

$$\varepsilon = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3.0 \times 10^8}{663 \times 10^{-9}}\ \mathrm{J} = 3.0 \times 10^{-19}\ \mathrm{J}$$ $$\varepsilon = \frac{3.0 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}}\ \mathrm{eV} \approx 1.9\ \mathrm{eV}$$

（2）

$$N = \frac{Pt}{\varepsilon} = \frac{1.5 \times 10^{-3} \times 1}{3.0 \times 10^{-19}} = 5.0 \times 10^{15}$$

检验：单位：$\dfrac{\mathrm{J \cdot s} \cdot \mathrm{m/s}}{\mathrm{m}} = \mathrm{J}$，对。量级：可见光光子的能量约 $2 \sim 3\ \mathrm{eV}$，$1.9\ \mathrm{eV}$ 对应红光，合理；光子数极大，所以平时感觉不到光是一份一份的。

容易卡在：纳米和毫瓦不换算直接代入，结果差 $10^9$ 或 $10^3$ 倍。

例 3　（场景：物理学史）关于能量子和光子，下列说法正确的是（　）。

A. 普朗克为解释光电效应提出了能量子假设 B. 普朗克为解释黑体辐射提出了能量子假设，认为振动的带电微粒的能量是 $h\nu$ 的整数倍 C. 爱因斯坦为解释黑体辐射提出了光子说 D. 能量量子化是指物体的能量可以连续变化

解：B。

判断依据：普朗克（1900 年）—黑体辐射—能量子；爱因斯坦（1905 年）—光电效应—光子。

A、C 把两个人解释的现象对调了；D 说反了，量子化的意思正是能量不连续，只能取分立的值。

常用推论

• 光子能量的速算：$\varepsilon(\mathrm{eV}) \approx \dfrac{1.24 \times 10^3}{\lambda(\mathrm{nm})}$。由 $\dfrac{hc}{e} = \dfrac{6.63 \times 10^{-34} \times 3.0 \times 10^8}{1.6 \times 10^{-19}}\ \mathrm{V \cdot m} \approx 1.24 \times 10^{-6}\ \mathrm{V \cdot m}$ 得出。可见光 $400 \sim 760\ \mathrm{nm}$ 对应约 $3.1 \sim 1.6\ \mathrm{eV}$。
• 光子能量与频率成正比、与波长成反比：紫光光子的能量比红光大；X 射线、$\gamma$ 射线光子的能量远大于可见光（电磁波谱见第 30 章）。
• 同样功率的光源，波长越长，每秒发出的光子数越多：$N = \dfrac{P\lambda}{hc}$，由 $N = \dfrac{P}{\varepsilon}$ 和 $\varepsilon = \dfrac{hc}{\lambda}$ 得出。
• 黑体温度越高，辐射峰值波长越短（大学里叫维恩位移定律，$\lambda_{\text{m}}T$ 为常量，高中只要求定性）：炉火由暗红变黄白、蓝白色恒星比红色恒星表面温度高。

易错点

• 错在哪：认为黑体就是黑色的物体，或者认为黑体不辐射。 为什么错：直觉把“黑”理解成颜色。黑体的定义是完全吸收、不反射；它自己照样辐射，温度高时还很亮，太阳就近似是黑体。 正确做法：记定义“完全吸收各种波长的电磁波”，模型是开小孔的空腔。
• 错在哪：认为温度升高，长波辐射减弱，所以峰值左移。 为什么错：看峰值移动就以为是“此消彼长”。实际是各波长都增强，短波增强得更多。 正确做法：读图时比较同一波长下不同温度曲线的高低：高温曲线处处在上方。
• 错在哪：认为普朗克提出了光子说。 为什么错：两个假设都带 $h\nu$，容易混。普朗克只说振动的带电微粒的能量量子化，光本身量子化是爱因斯坦的推广。 正确做法：按“人物—现象—假设”三联记：普朗克—黑体辐射—能量子；爱因斯坦—光电效应—光子。

直观理解

能量量子化像台阶，不像斜坡：只能站在某一级上，不能站在两级之间。每一级的高度是 $h\nu$，频率越高台阶越高。$h$ 极小（$10^{-34}$ 量级），宏观的能量相当于几万亿亿级台阶，看起来就是连续的斜坡，所以日常生活中觉察不到量子化。

关联知识点

• 前置：第 30 章电磁波谱，各种电磁波的频率和波长，$c = \lambda\nu$。
• 后续：35.4 节光子说和光电效应方程，把能量子推广到光本身。
• 后续：第 34 章玻尔模型，原子的能量也是量子化的，跃迁时放出的光子能量 $h\nu = E_m - E_n$。
• 常一起考：附录 D 物理学史，普朗克、爱因斯坦、玻尔的贡献常放在同一道选择题里。

35.3 光电效应的实验规律

说明

光电效应：照射到金属表面的光，能使金属中的电子从表面逸出，这种现象叫光电效应，逸出的电子叫光电子。赫兹在 1887 年研究电磁波时最早发现了这一现象。

研究装置：光电管是一个抽成真空的玻璃管，里面有阴极 $K$（受光照射的金属）和阳极 $A$。按下图接成电路：

• 正向电压：$A$ 的电势高于 $K$，电场把光电子推向 $A$。
• 反向电压：$A$ 的电势低于 $K$，电场阻碍光电子飞向 $A$。
• 电流计的示数就是光电流，等于单位时间到达 $A$ 的光电子的电荷量。

实验规律（四条）：

1. 存在截止频率：每种金属都有一个截止频率 $\nu_{\text{c}}$（也叫极限频率）。入射光的频率低于 $\nu_{\text{c}}$ 时，无论光多强、照多久，都不发生光电效应；高于 $\nu_{\text{c}}$ 时，无论光多弱，都会发生。不同金属的截止频率不同。
2. 存在饱和电流：入射光的频率和强度一定时，正向电压增大，光电流先增大，后不再增大，达到饱和电流 $I_{\text{s}}$。频率一定时，入射光越强，饱和电流越大，即单位时间逸出的光电子越多。
3. 存在遏止电压：加反向电压时，光电流减小；反向电压达到某一值 $U_{\text{c}}$ 时，光电流恰好为零，$U_{\text{c}}$ 叫遏止电压。它满足 $eU_{\text{c}} = \dfrac{1}{2}m_{\text{e}}v_{\text{m}}^2$，$v_{\text{m}}$ 是光电子的最大初速度。遏止电压（即光电子的最大初动能）只随入射光的频率增大而增大，与光的强度无关。
4. 瞬时性：从光照射到产生光电流的时间极短，一般不超过 $10^{-9}\ \mathrm{s}$，与光的强弱无关。

逸出功：使电子脱离某种金属所需做功的最小值，叫这种金属的逸出功 $W_0$，由金属本身决定。

经典电磁理论解释不了：按经典理论，光是连续的电磁波，能量由强度（振幅）决定。那么：光足够强，任何频率都该打出电子（与规律 1 矛盾）；光越强，电子获得的能量越多，最大初动能应随光强增大（与规律 3 矛盾）；光很弱时，电子要积累一段时间才能逸出（与规律 4 矛盾）。这三处矛盾引出了爱因斯坦的光子说（35.4 节）。

使用场景

• 题目给出入射光的频率（或波长）和金属的截止频率（或极限波长、逸出功），问能否发生光电效应 → 截止频率 → 只比较 $\nu$ 与 $\nu_{\text{c}}$（或 $\lambda$ 与 $\lambda_{\text{c}}$），与光强、照射时间无关。
• 光电管电路中改变滑片位置、光的强度或频率、电源极性，问光电流、遏止电压、最大初动能怎样变 → 光电管电路 → 正向电压增大时光电流增大到饱和；光强定饱和电流；频率定遏止电压和最大初动能。
• 选择题问哪些实验事实经典理论解释不了，或光电效应的四条规律 → 实验规律 → 截止频率、最大初动能与光强无关、瞬时性三条与经典理论矛盾。

注意点

• 截止频率对应的波长叫极限波长 $\lambda_{\text{c}} = \dfrac{c}{\nu_{\text{c}}}$。能发生光电效应的条件是 $\nu \ge \nu_{\text{c}}$，换成波长是 $\lambda \le \lambda_{\text{c}}$，方向相反，别写反。
• “光强”指单位时间照到单位面积上的光能量，等于单位时间的光子数乘每个光子的能量 $h\nu$。只有在频率相同时，“光越强”才等于“光子越多”。频率不同的两束光，功率相同时，频率高的光子数反而少。
• 光电子的初动能有大有小：电子在金属内部的位置不同，逸出时克服阻碍做的功不同。遏止电压对应的是最大初动能，只有直接从表面逸出的电子才有这个最大值。
• 正向电压为零时，光电流一般不为零：光电子有初速度，一部分会自己飞到 $A$。
• 光电流为零有两种原因：频率低于截止频率，根本没有光电子；或者有光电子，但反向电压不小于遏止电压，光电子到不了 $A$。判断时先看频率。
• 遏止电压与电压表读数、滑片位置无关，是由入射光频率和金属决定的量；滑片只是用来“找”到它。

推导

规律来自实验（控制变量）：

1. 只改频率：用不同颜色的单色光照射同一种金属。红光再强也没有光电流，换成紫光一照就有，说明存在截止频率。
2. 只改电压：频率和光强不变，滑片从 $a$ 端向 $b$ 端移动，正向电压增大，光电流增大，逸出的电子越来越多地被收集到 $A$，全部收集后电流不再增大，达到饱和。
3. 只改光强：频率不变，增大光强，饱和电流增大，但把电源反接后测得的遏止电压不变。
4. 只改频率测遏止电压：换用频率更高的光，遏止电压增大。

遏止电压与最大初动能的关系（用第 16 章的动能定理）：加反向电压 $U$ 时，电子从 $K$ 飞向 $A$，电场力做负功 $-eU$。动能最大的电子刚好到不了 $A$ 时：

$$0 - E_{\text{k}} = -eU_{\text{c}} \quad \Rightarrow \quad E_{\text{k}} = eU_{\text{c}}$$

（关键一步：电流恰好为零，意味着连动能最大的那个电子也恰好在到达 $A$ 前停下。所以遏止电压量出的是最大初动能，不是平均动能。）

饱和电流与光电子数：饱和时每秒逸出的光电子全部到达 $A$，若每秒逸出 $n$ 个电子，$I_{\text{s}} = ne$，所以 $n = \dfrac{I_{\text{s}}}{e}$。

例题

例 1　（场景：判断能否发生光电效应）已知钠的截止频率约为 $5.5 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}$。下列光照射钠时，能发生光电效应的是（　）。

A. 很强的红光（$\nu = 4.3 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}$），照射 $10\ \mathrm{min}$ B. 很弱的紫光（$\nu = 7.5 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}$） C. 很强的红外线 D. 波长为 $600\ \mathrm{nm}$ 的橙光

解：B。

判断依据：能否发生光电效应只看频率是否达到截止频率，与光强、照射时间无关。

A：$4.3 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz} < 5.5 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}$，再强再久也不行。C：红外线频率比红光还低，不行。D：$\nu = \dfrac{c}{\lambda} = \dfrac{3.0 \times 10^8}{600 \times 10^{-9}}\ \mathrm{Hz} = 5.0 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}$，低于截止频率，不行。B：频率高于截止频率，再弱也立即发生。

容易卡在：D 给的是波长，要先化成频率，或者把截止频率化成极限波长 $\lambda_{\text{c}} = \dfrac{c}{\nu_{\text{c}}} \approx 545\ \mathrm{nm}$ 再比较：$600\ \mathrm{nm} > 545\ \mathrm{nm}$，不行。

例 2　（场景：光电管电路中的变化）用本节电路图研究光电效应，用某单色光照射阴极 $K$，电流计有示数。

（1）滑片 $P$ 从 $a$ 端向 $b$ 端移动，光电流怎样变化？ （2）滑片不动，频率不变、光强增大，饱和电流和遏止电压怎样变化？ （3）把电源正负极对调，滑片从 $a$ 端向 $b$ 端移动，电压表示数为 $0.80\ \mathrm{V}$ 时电流计示数恰好为零，求光电子的最大初动能。 （4）换用频率低于截止频率的光，无论滑片在哪里，电流计都没有示数，为什么？

解：

判断依据：正向电压收集光电子，饱和电流由光强定；反向电压阻挡光电子，遏止电压由频率定，$eU_{\text{c}} = E_{\text{k}}$。

（1）滑片在 $a$ 端时 $U_{AK} = 0$，光电子靠初速度飞到 $A$ 的只是一部分，电流计已有示数。滑片向 $b$ 移动，正向电压增大，到达 $A$ 的电子增多，光电流增大；全部光电子都到达 $A$ 后，光电流达到饱和，不再增大。

（2）频率不变、光强增大，每秒照到 $K$ 上的光子增多，逸出的光电子增多，饱和电流增大；每个光电子的最大初动能不变，遏止电压不变。

（3）电流恰好为零时 $U_{\text{c}} = 0.80\ \mathrm{V}$，

$$E_{\text{k}} = eU_{\text{c}} = 0.80\ \mathrm{eV} = 0.80 \times 1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{J} = 1.28 \times 10^{-19}\ \mathrm{J}$$

（4）频率低于截止频率，根本没有光电子逸出，加多大正向电压也没有电流可“收集”。

容易卡在：（3）把 $0.80\ \mathrm{V}$ 直接写成 $0.80\ \mathrm{J}$。遏止电压乘电子电荷量才是能量：$U_{\text{c}}$ 是多少伏，最大初动能就是多少电子伏特。

例 3　（场景：经典理论解释不了的事实）下列光电效应的实验事实中，不能用光的经典电磁理论解释的是（　）。

A. 入射光越强，饱和电流越大 B. 入射光的频率低于截止频率时，光再强也不能发生光电效应 C. 光电子的最大初动能与入射光的强度无关 D. 光照射后几乎立即产生光电流

解：BCD。

判断依据：经典理论认为光的能量由强度决定、可以连续积累。

A：光越强，能量越多，打出的电子越多，经典理论也能解释。B：按经典理论，光足够强总能把电子打出来，与事实矛盾。C：按经典理论，光越强，电子获得的能量越多，最大初动能应越大，与事实矛盾。D：按经典理论，弱光照射时电子需要积累能量，应有可观的时间延迟，与事实矛盾。

常用推论

• 光电效应三个“只看”：能不能发生，只看频率；光电子最大初动能和遏止电压，只看频率（和金属）；光电流的饱和值，频率一定时只看光强。
• 每秒逸出的光电子数 $n = \dfrac{I_{\text{s}}}{e}$，由 $I_{\text{s}} = ne$ 得出（见本节推导）。
• 遏止电压的数值（单位 $\mathrm{V}$）等于最大初动能的数值（单位 $\mathrm{eV}$）：$U_{\text{c}} = 2\ \mathrm{V}$ 就是 $E_{\text{k}} = 2\ \mathrm{eV}$。由 $E_{\text{k}} = eU_{\text{c}}$ 和电子伏特的定义得出。
• 能发生光电效应的条件三种写法：$\nu \ge \nu_{\text{c}}$，$\lambda \le \lambda_{\text{c}}$，$h\nu \ge W_0$。

易错点

• 错在哪：认为光照时间足够长，低频光也能产生光电效应。 为什么错：直觉把光能当成可以“攒”的水。一个电子一次只吸收一个光子，光子能量不够 $W_0$ 就逃不出来，攒不起来。 正确做法：能否发生只比较频率，与时间、光强无关。
• 错在哪：认为光越强，光电子的最大初动能越大。 为什么错：经典的“强度就是能量”的直觉。光越强只是光子越多，每个光子的能量 $h\nu$ 没变，每个电子得到的能量也没变。 正确做法：光强影响光电子的数目（饱和电流），频率影响光电子的动能（遏止电压）。
• 错在哪：认为正向电压为零时，光电流一定为零。 为什么错：忘了光电子逸出时有初速度。 正确做法：光电流为零需要加反向电压且不小于遏止电压；$I$-$U$ 图线与纵轴的交点不在原点（35.5 节）。
• 错在哪：比较“光强”时，把频率不同的两束光也说成“光越强光子越多”。 为什么错：光强等于光子数乘 $h\nu$，频率不同时不能只由光强比较光子数。 正确做法：频率相同才能说“光强大，光子多”；频率不同时先算每个光子的能量。

直观理解

把金属表面想象成一堵墙，电子在墙内，翻墙要花能量 $W_0$；光子是一颗颗扔进去的球，每颗球的能量是 $h\nu$。球的能量不够翻墙，扔多少颗都没用（截止频率）；够的话，翻过墙剩下的就是电子的动能（最大初动能只看球的能量）；扔得多，翻出来的电子就多（光强定饱和电流）；一颗球一个电子，一碰就翻（瞬时性）。

关联知识点

• 前置：第 16 章电场力做功 $W = qU$ 和带电粒子在电场中的加速、减速，用来理解遏止电压。
• 前置：第 17 章电流的定义 $I = \dfrac{q}{t}$，饱和电流与光电子数的关系。
• 常一起考：第 37 章实验基础的分压电路，光电管电路用滑动变阻器分压调节电压。
• 后续：35.4 节光电效应方程，用光子说解释这四条规律。
• 常一起考：第 30 章传感器，光电管是利用光电效应把光信号变成电信号的元件。

35.4 爱因斯坦光电效应方程

说明

光子说（爱因斯坦，1905 年）：光本身就是由一个个不可分割的能量子组成的，频率为 $\nu$ 的光的能量子为 $h\nu$。这些能量子后来叫做光子。

光电效应方程：金属中的电子吸收一个光子获得能量 $h\nu$，一部分用来克服金属的束缚做功（至少 $W_0$），剩下的成为逸出后的动能。对直接从表面逸出、做功恰为 $W_0$ 的电子，动能最大：

$$E_{\text{k}} = h\nu - W_0$$

式中 $E_{\text{k}}$ 是光电子的最大初动能，$W_0$ 是金属的逸出功。

与截止频率、遏止电压的关系：

$$W_0 = h\nu_{\text{c}}, \qquad eU_{\text{c}} = E_{\text{k}} = h\nu - W_0$$

实验验证：密立根经过多年精确测量（1916 年发表），证实了光电效应方程，并由实验测出的 $h$ 值与普朗克由黑体辐射得到的值符合得很好。爱因斯坦因发现光电效应定律获得 1921 年诺贝尔物理学奖。

理想模型：一个电子一次只吸收一个光子（高中不考虑强激光下的多光子吸收）；光子的能量一次性全部交给电子。

使用场景

• 已知入射光的频率或波长和金属的逸出功（或截止频率），问光电子的最大初动能、最大速度或遏止电压 → 一个电子吸收一个光子 → $E_{\text{k}} = h\nu - W_0$，再由 $E_{\text{k}} = \dfrac{1}{2}m_{\text{e}}v^2$ 或 $eU_{\text{c}} = E_{\text{k}}$。
• 光电子逸出后在 $A$、$K$ 间的电场中被加速或减速，问到达阳极时的动能、能否到达 → 光电效应接电场中的运动 → 先用光电效应方程求逸出时的最大初动能，再用动能定理（第 16 章）：正向电压加 $eU$，反向电压减 $eU$。
• 已知遏止电压（或最大初动能）和入射光，反求逸出功、截止频率，或换一种光再求遏止电压 → 方程反过来用 → $W_0 = h\nu - eU_{\text{c}}$，$\nu_{\text{c}} = \dfrac{W_0}{h}$。

注意点

• $E_{\text{k}}$ 是最大初动能，不是每个光电子的动能。
• $E_{\text{k}}$ 与 $\nu$ 是一次函数关系，不是正比关系：频率加倍，最大初动能变为 $2h\nu - W_0 = 2E_{\text{k}} + W_0$，比原来的 2 倍还多 $W_0$。
• 单位要统一：$h\nu$ 算出来是焦耳，$W_0$ 常给电子伏特，相减前先换成同一单位。电子伏特和焦耳的换算见 35.2 节。
• $W_0$ 只由金属决定，与入射光无关；$\nu_{\text{c}}$ 也只由金属决定。
• 方程只在 $h\nu \ge W_0$ 时有意义；算出 $E_{\text{k}} < 0$，说明不发生光电效应。
• 光电子速度一般远小于光速（几百千米每秒），可以用 $E_{\text{k}} = \dfrac{1}{2}m_{\text{e}}v^2$。

推导

由能量守恒推出方程：

1. 光子说：入射光是能量为 $h\nu$ 的光子流。
2. 一个电子只吸收一个光子，得到能量 $h\nu$。
3. 电子要从金属里出来，必须克服金属的束缚做功；直接从表面逸出的电子做功最少，等于逸出功 $W_0$。
4. 由能量守恒，逸出后的最大动能 $E_{\text{k}} = h\nu - W_0$。

（关键一步：第 2 步“一个电子只吸收一个光子”。正因为能量不能在电子身上攒，电子得到的能量只由单个光子的 $h\nu$ 决定，与光子来了多少个（光强）无关。）

用方程解释 35.3 节的四条规律：

• 截止频率：$E_{\text{k}} \ge 0$ 要求 $h\nu \ge W_0$，即 $\nu \ge \dfrac{W_0}{h} = \nu_{\text{c}}$。
• 最大初动能与光强无关：方程里没有光强，只有 $\nu$ 和 $W_0$。
• 饱和电流随光强增大：频率一定时，光越强光子越多，被吸收后逸出的电子越多。
• 瞬时性：电子一次吸收一个光子的全部能量，不需要积累时间。

例题

例 1　（场景：求最大初动能和速度）用波长 $\lambda = 300\ \mathrm{nm}$ 的紫外线照射钾，钾的逸出功 $W_0 = 2.25\ \mathrm{eV}$。求：（1）光电子的最大初动能；（2）光电子的最大速度；（3）钾的截止频率。（$h = 6.63 \times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}$，$c = 3.0 \times 10^8\ \mathrm{m/s}$，$e = 1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$，$m_{\text{e}} = 9.1 \times 10^{-31}\ \mathrm{kg}$）

解：

研究对象：从钾表面逸出的、动能最大的光电子。

过程划分：一个过程，电子吸收一个光子后逸出。

分析：用光电效应方程，先统一单位为焦耳：$W_0 = 2.25 \times 1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{J} = 3.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{J}$。

列式求解：（1）光子能量

$$h\nu = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3.0 \times 10^8}{300 \times 10^{-9}}\ \mathrm{J} = 6.63 \times 10^{-19}\ \mathrm{J}$$ $$E_{\text{k}} = h\nu - W_0 = (6.63 - 3.6) \times 10^{-19}\ \mathrm{J} \approx 3.0 \times 10^{-19}\ \mathrm{J} \approx 1.9\ \mathrm{eV}$$

（2）由 $E_{\text{k}} = \dfrac{1}{2}m_{\text{e}}v^2$：

$$v = \sqrt{\frac{2E_{\text{k}}}{m_{\text{e}}}} = \sqrt{\frac{2 \times 3.03 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}}}\ \mathrm{m/s} \approx 8.2 \times 10^5\ \mathrm{m/s}$$

（3）

$$\nu_{\text{c}} = \frac{W_0}{h} = \frac{3.6 \times 10^{-19}}{6.63 \times 10^{-34}}\ \mathrm{Hz} \approx 5.4 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}$$

检验：单位都对。量级：电子速度约光速的 $\dfrac{1}{370}$，可以用牛顿力学；入射光频率 $\dfrac{c}{\lambda} = 1.0 \times 10^{15}\ \mathrm{Hz}$ 大于截止频率，确实能发生光电效应。

容易卡在：$h\nu$ 用焦耳、$W_0$ 用电子伏特，直接相减。

另一种解法：全程用电子伏特。由 35.2 节的速算式，$h\nu \approx \dfrac{1.24 \times 10^3}{300}\ \mathrm{eV} \approx 4.13\ \mathrm{eV}$，$E_{\text{k}} = 4.13\ \mathrm{eV} - 2.25\ \mathrm{eV} \approx 1.9\ \mathrm{eV}$。逸出功、遏止电压都用电子伏特和伏特给出时，这样算最快，也不容易出错；要求速度时，最后还得换成焦耳代入 $\dfrac{1}{2}m_{\text{e}}v^2$，这时用焦耳全程算更直接。

例 2　（场景：光电子再进入电场）接例 1，钾做阴极 $K$，在 $A$、$K$ 间加正向电压 $U_{AK} = 2.0\ \mathrm{V}$。（1）求光电子到达阳极 $A$ 时的最大动能；（2）改加反向电压 $1.5\ \mathrm{V}$，到达 $A$ 的光电子的最大动能是多少？（3）反向电压至少多大时，电流计示数为零？

解：

研究对象：从 $K$ 逸出时动能最大的光电子。

过程划分：两段。第一段，吸收光子逸出，由光电效应方程得 $E_{\text{k}} = 1.9\ \mathrm{eV}$（例 1）；第二段，在 $K$、$A$ 之间的电场中运动到 $A$。

分析：第二段电子只受电场力，用动能定理（第 13、16 章），电场力做功 $W = qU_{KA}$。电子电荷量 $-e$。正向电压时 $A$ 电势高，电场力对电子做正功 $eU$；反向电压时做负功 $-eU$。用电子伏特算，电子过 $1\ \mathrm{V}$ 电压，动能变化 $1\ \mathrm{eV}$。

列式求解：（1）正向电压：

$$E_{\text{k}}' = E_{\text{k}} + eU = 1.9\ \mathrm{eV} + 2.0\ \mathrm{eV} = 3.9\ \mathrm{eV} \approx 6.2 \times 10^{-19}\ \mathrm{J}$$

（2）反向电压 $1.5\ \mathrm{V}$：

$$E_{\text{k}}'' = E_{\text{k}} - eU = 1.9\ \mathrm{eV} - 1.5\ \mathrm{eV} = 0.4\ \mathrm{eV}$$

（3）电流为零，要求动能最大的电子也到不了 $A$：$eU_{\text{c}} = E_{\text{k}}$，$U_{\text{c}} = 1.9\ \mathrm{V}$。反向电压不小于 $1.9\ \mathrm{V}$ 时电流计示数为零。

检验：（1）中初动能为零的电子到达 $A$ 时动能为 $2.0\ \mathrm{eV}$，所以到达 $A$ 的电子动能在 $2.0 \sim 3.9\ \mathrm{eV}$ 之间，合理。（3）与例 1 的 $E_{\text{k}} = 1.9\ \mathrm{eV}$ 一致。

容易卡在：正、反向电压下电场力做功的正负。看电子受力方向：$A$ 电势高时电子被拉向 $A$，做正功。

例 3　（场景：由遏止电压反求逸出功）用光子能量为 $5.0\ \mathrm{eV}$ 的紫外线照射某金属，测得遏止电压为 $2.0\ \mathrm{V}$。（1）求该金属的逸出功和截止频率；（2）改用光子能量为 $4.0\ \mathrm{eV}$ 的光照射，遏止电压是多少？（$h = 6.63 \times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}$）

解：

研究对象：动能最大的光电子。

过程划分：两次照射，各是一个过程，金属不变，所以 $W_0$ 不变。

分析：由 $eU_{\text{c}} = h\nu - W_0$ 反求 $W_0$，再用于第二次照射。

列式求解：（1）$E_{\text{k}} = eU_{\text{c}} = 2.0\ \mathrm{eV}$，

$$W_0 = h\nu - E_{\text{k}} = 5.0\ \mathrm{eV} - 2.0\ \mathrm{eV} = 3.0\ \mathrm{eV} = 4.8 \times 10^{-19}\ \mathrm{J}$$ $$\nu_{\text{c}} = \frac{W_0}{h} = \frac{4.8 \times 10^{-19}}{6.63 \times 10^{-34}}\ \mathrm{Hz} \approx 7.2 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}$$

（2）$eU_{\text{c}}' = 4.0\ \mathrm{eV} - 3.0\ \mathrm{eV} = 1.0\ \mathrm{eV}$，$U_{\text{c}}' = 1.0\ \mathrm{V}$。

检验：光子能量减少 $1.0\ \mathrm{eV}$，遏止电压减少 $1.0\ \mathrm{V}$，与”$U_{\text{c}}$ 随 $h\nu$ 一次变化、斜率为 $\dfrac{1}{e}$“一致。

容易卡在：（2）以为光子能量变成原来的 $\dfrac{4}{5}$，遏止电压也变成 $\dfrac{4}{5}$。$E_{\text{k}}$ 与 $\nu$ 不成正比。

常用推论

• 同一金属，两种频率的光照射，遏止电压之差 $U_{\text{c}2} - U_{\text{c}1} = \dfrac{h}{e}(\nu_2 - \nu_1)$，与金属无关。两式 $eU_{\text{c}} = h\nu - W_0$ 相减，$W_0$ 消去即得；这正是测普朗克常量的原理（35.5 节例 3）。
• 极限波长 $\lambda_{\text{c}} = \dfrac{hc}{W_0}$，由 $W_0 = h\nu_{\text{c}}$ 和 $\nu_{\text{c}} = \dfrac{c}{\lambda_{\text{c}}}$ 得出；速算 $\lambda_{\text{c}}(\mathrm{nm}) \approx \dfrac{1.24 \times 10^3}{W_0(\mathrm{eV})}$。
• 光电子到达阳极的最大动能 $E_{\text{k}}' = h\nu - W_0 + eU_{AK}$（$U_{AK}$ 带正负号），由光电效应方程和动能定理两步合成（例 2）。
• 用第 34 章能级跃迁放出的光子照射金属：先由 $h\nu = E_m - E_n$ 求光子能量，再代入光电效应方程。

易错点

• 错在哪：频率加倍，认为最大初动能也加倍。 为什么错：把一次函数当成正比例函数。$E_{\text{k}} = h\nu - W_0$ 有截距 $-W_0$。 正确做法：每次都完整代入方程计算，或用”$\Delta E_{\text{k}} = h\Delta\nu$“计算变化量（例 3）。
• 错在哪：把 $E_{\text{k}}$ 当成所有光电子的动能。 为什么错：方程用的是做功最少（恰为 $W_0$）的电子；内部的电子出来要多做功，动能更小。 正确做法：说“光电子的最大初动能”，遏止电压对应的也是最大值。
• 错在哪：$h\nu$ 用焦耳、$W_0$ 用电子伏特直接相减；或把遏止电压的伏特当成焦耳。 为什么错：两种能量单位相差 $1.6 \times 10^{-19}$ 倍。 正确做法：先选定一种能量单位。给的是电子伏特和伏特就全用电子伏特；要求速度时换成焦耳。
• 错在哪：光电子进入反向电场后，用 $E_{\text{k}} + eU$ 计算到达阳极的动能。 为什么错：没看清电场力对电子做正功还是负功。 正确做法：画出电场方向，电子受力与场强方向相反；力与运动同向加，反向减（例 2）。

直观理解

光电效应方程就是一笔账：收入是一个光子的 $h\nu$，必要支出是“出门费” $W_0$，余额是最大动能。光强只决定有多少个人来做这笔账，不改变每个人的余额。

关联知识点

• 前置：35.2 节能量子 $\varepsilon = h\nu$；35.3 节实验规律。
• 前置：第 13 章动能定理、第 16 章电场力做功，用于光电子在电场中的加速和减速。
• 后续：35.5 节光电效应的三种图像，都是这个方程的不同画法。
• 常一起考：第 34 章能级跃迁，跃迁放出的光子照射金属能否发生光电效应、最大初动能多大。

35.5 光电效应的三种图像

说明

三种图像都是光电效应方程 $E_{\text{k}} = h\nu - W_0$ 和 $eU_{\text{c}} = E_{\text{k}}$ 的不同画法。读图的方法和第 1 章一样：先看横纵轴，再看斜率和截距。

一、$E_{\text{k}}$-$\nu$ 图像（最大初动能与入射光频率）：

$$E_{\text{k}} = h\nu - W_0$$

读什么	物理意义
斜率	普朗克常量 $h$，对所有金属相同，所以不同金属的图线平行
横截距	截止频率 $\nu_{\text{c}}$
纵截距（延长线）	$-W_0$
图线只画在 $\nu \ge \nu_{\text{c}}$ 一段	低于截止频率不发生光电效应

二、$I$-$U$ 图像（光电流与 $A$、$K$ 间电压，横轴正半轴是正向电压，负半轴是反向电压）：

读什么	物理意义
曲线与横轴的交点 $-U_{\text{c}}$	遏止电压，$eU_{\text{c}} = E_{\text{k}}$，由频率决定
曲线右端的水平值	饱和电流 $I_{\text{s}}$，频率一定时由光强决定
与纵轴的交点不在原点	$U = 0$ 时已有光电流，光电子有初速度

同一频率、不同光强：遏止电压相同（交于横轴同一点），饱和电流不同。不同频率：频率高的遏止电压大（与横轴的交点离原点远）。

三、$U_{\text{c}}$-$\nu$ 图像（遏止电压与入射光频率）：

$$U_{\text{c}} = \frac{h}{e}\nu - \frac{W_0}{e}$$

读什么	物理意义
斜率	$\dfrac{h}{e}$，乘以 $e$ 得普朗克常量
横截距	截止频率 $\nu_{\text{c}}$
纵截距（延长线）	$-\dfrac{W_0}{e}$

使用场景

• 给出 $E_{\text{k}}$-$\nu$ 图像（一种或几种金属），问逸出功、截止频率、普朗克常量，或比较两种金属 → 一次函数图像 → 斜率 $h$，横截距 $\nu_{\text{c}}$，纵截距 $-W_0$；不同金属图线平行。
• 给出几条 $I$-$U$ 曲线，问哪束光频率高、哪束光强、光电子最大初动能多大、每秒逸出多少电子 → 光电管电路的伏安曲线 → 与横轴的交点定遏止电压和频率，水平段定饱和电流和光强。
• 给出不同频率下测得的遏止电压（表格或 $U_{\text{c}}$-$\nu$ 图），求普朗克常量、逸出功（密立根实验的思路）→ 一次函数图像 → 斜率乘 $e$ 得 $h$，横截距得 $\nu_{\text{c}}$，$W_0 = h\nu_{\text{c}}$。

注意点

• 三种图像的斜率不同：$E_{\text{k}}$-$\nu$ 图斜率是 $h$，$U_{\text{c}}$-$\nu$ 图斜率是 $\dfrac{h}{e}$，不要混。
• 读斜率按坐标轴的刻度和单位算，注意 $10^{14}\ \mathrm{Hz}$、$\mathrm{eV}$ 这类单位：纵轴是 $\mathrm{eV}$ 时，斜率先乘 $1.6 \times 10^{-19}$ 再除以频率的单位。
• $I$-$U$ 图中，“黄光强”“黄光弱”比较光强时频率相同，才能由饱和电流比较光强；不同颜色的光，饱和电流由每秒的光子数决定，而光强相同时频率高的光子数少，所以不能由饱和电流直接比较两束光的光强。
• $E_{\text{k}}$-$\nu$、$U_{\text{c}}$-$\nu$ 图的纵截距在 $\nu < \nu_{\text{c}}$ 的延长线上，是数学上的延长，物理上那一段不存在，所以画成虚线。
• 横轴若是波长 $\lambda$ 而不是频率，$E_{\text{k}}$-$\lambda$ 图像就不是直线了；遇到这类题，先把 $\lambda$ 换成 $\nu = \dfrac{c}{\lambda}$。

推导

$E_{\text{k}}$-$\nu$ 图：把光电效应方程 $E_{\text{k}} = h\nu - W_0$ 看成 $y = kx + b$，$k = h$，$b = -W_0$。令 $E_{\text{k}} = 0$，得横截距 $\nu = \dfrac{W_0}{h} = \nu_{\text{c}}$。

$U_{\text{c}}$-$\nu$ 图：由 $eU_{\text{c}} = h\nu - W_0$，两边除以 $e$：$U_{\text{c}} = \dfrac{h}{e}\nu - \dfrac{W_0}{e}$，斜率 $\dfrac{h}{e}$，横截距同样是 $\nu_{\text{c}}$。

（关键一步：斜率 $h$ 是普适常量，与金属无关；金属只通过 $W_0$ 影响截距。所以不同金属的 $E_{\text{k}}$-$\nu$ 图线一定平行，$W_0$ 大的图线在右边。）

$I$-$U$ 图的形状：

1. 反向电压 $U \ge U_{\text{c}}$ 时，连动能最大的电子也到不了 $A$，$I = 0$。
2. 反向电压从 $U_{\text{c}}$ 减小到零，再变成正向电压，能到 $A$ 的电子越来越多，$I$ 增大。
3. 正向电压足够大时，每秒逸出的 $n$ 个电子全部到达 $A$，$I = I_{\text{s}} = ne$，不再增大。

$U_{\text{c}}$ 由 $eU_{\text{c}} = h\nu - W_0$ 决定，只与频率有关；$I_{\text{s}} = ne$，$n$ 由每秒照到的光子数决定，频率一定时与光强成正比。

例题

例 1　（场景：$E_{\text{k}}$-$\nu$ 图像）某金属发生光电效应时，光电子的最大初动能 $E_{\text{k}}$ 与入射光频率 $\nu$ 的关系如图所示。求：（1）该金属的逸出功和截止频率；（2）由图求普朗克常量；（3）入射光频率为 $1.0 \times 10^{15}\ \mathrm{Hz}$ 时光电子的最大初动能；（4）另一种金属的逸出功为 $2.3\ \mathrm{eV}$，它的图线与图中图线有什么关系？（$e = 1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$）

解：

研究对象：该金属发出的、动能最大的光电子。

过程划分：不涉及过程，读图。

分析：图线就是 $E_{\text{k}} = h\nu - W_0$。横截距是截止频率，纵截距是 $-W_0$，斜率是 $h$。

列式求解：（1）纵截距 $-1.65\ \mathrm{eV}$，$W_0 = 1.65\ \mathrm{eV} = 1.65 \times 1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{J} = 2.64 \times 10^{-19}\ \mathrm{J}$；横截距 $\nu_{\text{c}} = 4.0 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}$。

（2）斜率

$$h = \frac{\Delta E_{\text{k}}}{\Delta \nu} = \frac{1.65 \times 1.6 \times 10^{-19} - 0}{(8.0 - 4.0) \times 10^{14}}\ \mathrm{J \cdot s} = 6.6 \times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}$$

（3）

$$E_{\text{k}} = h\nu - W_0 = (6.6 \times 10^{-34} \times 1.0 \times 10^{15} - 2.64 \times 10^{-19})\ \mathrm{J} = 3.96 \times 10^{-19}\ \mathrm{J} \approx 2.5\ \mathrm{eV}$$

（4）斜率都是 $h$，两条图线平行。新金属 $W_0$ 更大，图线向右平移，截止频率 $\nu_{\text{c}}' = \dfrac{2.3 \times 1.6 \times 10^{-19}}{6.6 \times 10^{-34}}\ \mathrm{Hz} \approx 5.6 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}$。

检验：$h$ 的结果与公认值 $6.63 \times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}$ 接近，读图合理。（3）中频率比 $8.0 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}$ 高，动能比 $1.65\ \mathrm{eV}$ 大，合理。

另一种解法：（2）不用斜率，直接用 $W_0 = h\nu_{\text{c}}$：$h = \dfrac{W_0}{\nu_{\text{c}}} = \dfrac{2.64 \times 10^{-19}}{4.0 \times 10^{14}}\ \mathrm{J \cdot s} = 6.6 \times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}$。两个截距都能读出时，用截距最快；图上只画了实线段、纵截距没给时，就只能取线上两点算斜率。

容易卡在：纵轴单位是 $\mathrm{eV}$，横轴单位是 $10^{14}\ \mathrm{Hz}$，算斜率时两个单位都要换回国际单位。

例 2　（场景：$I$-$U$ 图像）用同一光电管做实验，得到黄光（强）、黄光（弱）、蓝光三条光电流 $I$ 与电压 $U$ 的关系曲线，如图所示。已知 $e = 1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$。

（1）用黄光照射时，光电子的最大初动能是多少？ （2）蓝光光子的能量比黄光光子大多少电子伏特？ （3）用强黄光照射时，每秒有多少个光电子从阴极逸出？ （4）若阴极的逸出功为 $1.5\ \mathrm{eV}$，黄光光子的能量是多少？

解：

研究对象：光电管阴极逸出的光电子。

过程划分：不涉及过程，读图后各问独立计算。

分析：曲线与横轴的交点是遏止电压：黄光 $U_{\text{c}1} = 0.6\ \mathrm{V}$（强弱相同），蓝光 $U_{\text{c}2} = 1.2\ \mathrm{V}$。强黄光的饱和电流 $I_{\text{s}} = 8\ \mu\mathrm{A}$。遏止电压用于求动能（第 16 章电场力做功 $W = qU$），饱和电流用于求电子数。

列式求解：（1）

$$E_{\text{k}1} = eU_{\text{c}1} = 0.6\ \mathrm{eV} = 9.6 \times 10^{-20}\ \mathrm{J}$$

（2）同一阴极 $W_0$ 相同，由 $eU_{\text{c}} = h\nu - W_0$ 两式相减：

$$h\nu_2 - h\nu_1 = e(U_{\text{c}2} - U_{\text{c}1}) = 0.6\ \mathrm{eV}$$

（3）

$$n = \frac{I_{\text{s}}}{e} = \frac{8 \times 10^{-6}}{1.6 \times 10^{-19}}\ \mathrm{s^{-1}} = 5 \times 10^{13}\ \mathrm{s^{-1}}$$

（4）$h\nu_1 = E_{\text{k}1} + W_0 = 0.6\ \mathrm{eV} + 1.5\ \mathrm{eV} = 2.1\ \mathrm{eV}$。

检验：（4）$2.1\ \mathrm{eV}$ 对应波长 $\dfrac{1.24 \times 10^3}{2.1}\ \mathrm{nm} \approx 590\ \mathrm{nm}$，正是黄光；蓝光光子能量 $2.7\ \mathrm{eV}$，对应约 $460\ \mathrm{nm}$，是蓝光，合理。

容易卡在：（2）以为饱和电流大的光频率高。频率看与横轴的交点，饱和电流看的是光子数。

例 3　（场景：由遏止电压与频率的数据求 $h$ 和 $W_0$）用不同频率的光照射某金属，测出对应的遏止电压，描点作出 $U_{\text{c}}$-$\nu$ 图像如图，直线过 $(5.0 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}, 0)$ 和 $(9.0 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}, 1.65\ \mathrm{V})$。求普朗克常量和该金属的逸出功。（$e = 1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$）

解：

研究对象：该金属的光电子。

过程划分：不涉及过程，处理一组数据。

分析：$U_{\text{c}} = \dfrac{h}{e}\nu - \dfrac{W_0}{e}$，斜率 $k = \dfrac{h}{e}$，横截距为截止频率。

列式求解：斜率

$$k = \frac{1.65 - 0}{(9.0 - 5.0) \times 10^{14}}\ \mathrm{V \cdot s} = 4.125 \times 10^{-15}\ \mathrm{V \cdot s}$$ $$h = ke = 4.125 \times 10^{-15} \times 1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{J \cdot s} = 6.6 \times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}$$

截止频率 $\nu_{\text{c}} = 5.0 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}$，

$$W_0 = h\nu_{\text{c}} = 6.6 \times 10^{-34} \times 5.0 \times 10^{14}\ \mathrm{J} = 3.3 \times 10^{-19}\ \mathrm{J} \approx 2.1\ \mathrm{eV}$$

检验：单位：$\mathrm{V \cdot s} \times \mathrm{C} = \mathrm{J \cdot s}$，对。$h$ 与公认值接近，合理。

另一种解法：不画图，取两组数据列方程组：$e \times 0 = h \times 5.0 \times 10^{14} - W_0$，$e \times 1.65 = h \times 9.0 \times 10^{14} - W_0$，两式相减得 $h$，再回代得 $W_0$。只有两组数据时列方程组最快；数据有五六组且有误差时，用图像法把点拟合成直线，斜率和截距更可靠（第 37 章图像法），密立根当年就是这样做的。

常用推论

• $E_{\text{k}}$-$\nu$ 图和 $U_{\text{c}}$-$\nu$ 图的横截距都是截止频率 $\nu_{\text{c}}$；$I$-$U$ 图与横轴的交点是 $-U_{\text{c}}$。
• 不同金属的 $E_{\text{k}}$-$\nu$ 图线互相平行，$U_{\text{c}}$-$\nu$ 图线也互相平行；逸出功大的在右边。由斜率 $h$、$\dfrac{h}{e}$ 与金属无关得出。
• $I$-$U$ 图：同频率不同光强，曲线交于横轴同一点；频率不同，交点不同，频率高的离原点远。
• 由 $E_{\text{k}}$-$\nu$ 图的两个截距求 $h$：$h = \dfrac{W_0}{\nu_{\text{c}}}$（例 1 另一种解法）。

易错点

• 错在哪：$U_{\text{c}}$-$\nu$ 图的斜率当成 $h$。 为什么错：和 $E_{\text{k}}$-$\nu$ 图记混了。纵轴是电压不是能量，差一个因子 $e$。 正确做法：每次从方程出发写出纵轴量的表达式，再对照 $y = kx + b$。
• 错在哪：$I$-$U$ 图中认为饱和电流大的光频率高。 为什么错：“电流大就是能量大”的直觉。饱和电流反映光电子数，不反映单个电子的能量。 正确做法：比较频率看与横轴交点离原点的远近；比较光强（同频率时）看饱和电流。
• 错在哪：认为 $E_{\text{k}}$-$\nu$ 图线过原点，或把 $\nu < \nu_{\text{c}}$ 的延长线也当成实际存在。 为什么错：把一次函数当正比例函数；延长线只是为了读纵截距。 正确做法：图线从 $(\nu_{\text{c}}, 0)$ 开始，左边的虚线没有物理意义。

直观理解

三张图是同一个方程的三张“照片”：$E_{\text{k}}$-$\nu$ 和 $U_{\text{c}}$-$\nu$ 只差纵轴除了一个 $e$，所以长得一样、横截距一样；$I$-$U$ 图换了个角度，左端点告诉你频率（能量），右端的高度告诉你光强（数量）。一句话：左看频率，右看光强。

关联知识点

• 前置：第 1 章图像的斜率和截距；直线的斜率，见《高中数学知识点梳理》第 28 章。
• 前置：35.4 节光电效应方程。
• 前置：第 16 章电场力做功，$I$-$U$ 图中遏止电压与最大初动能的关系。
• 常一起考：第 37 章实验基础的图像法、化曲为直，由斜率和截距求物理量。

35.6 光子的动量与康普顿效应

说明

光子的动量：光子不仅有能量，还有动量：

$$p = \frac{h}{\lambda}$$

光子的能量 $\varepsilon = h\nu$ 和动量 $p = \dfrac{h}{\lambda}$，左边是粒子的特征量，右边是波的特征量，普朗克常量 $h$ 把两者联系起来。光子没有静止质量，不能用 $p = mv$ 计算。

康普顿效应（康普顿，1923 年）：用 X 射线照射石墨，散射出来的 X 射线中，除了与入射波长 $\lambda_0$ 相同的成分，还有波长大于 $\lambda_0$ 的成分。这种现象叫康普顿效应。我国物理学家吴有训用多种物质做了大量实验，进一步证实了这一效应的普遍性。

光子说的解释：X 射线光子与石墨中几乎自由的电子发生碰撞，遵守动量守恒和能量守恒。光子把一部分能量和动量交给电子（电子反冲），自身能量减小、频率降低、波长变长。

经典电磁理论认为散射光的频率应与入射光相同，解释不了波长变长。康普顿效应说明光子不仅有能量，还有动量，进一步证实了光的粒子性。

光的波粒二象性：

• 干涉、衍射、偏振说明光具有波动性（第 24 章）；光电效应、康普顿效应说明光具有粒子性。
• 光既有波动性，又有粒子性，叫光的波粒二象性。这里的“粒子”不是宏观的小球，“波”也不是宏观的机械波。
• 大量光子的整体行为表现出波动性，个别光子与物质作用时表现出粒子性；波长越长，波动性越明显，波长越短（频率越高），粒子性越明显。

使用场景

• 已知光的波长或功率，问光子的动量，或光照射物体产生的压力（光压）→ 光子流打在表面上 → $p = \dfrac{h}{\lambda}$，对一段时间内的光子用动量定理（第 19 章）。
• 康普顿散射后，问光子的波长、频率、能量、动量、速度怎样变化 → 光子与电子的碰撞 → 动量守恒、能量守恒：光子能量和动量减小，波长变长，速度仍为 $c$。
• 选择题给出若干现象，问哪些说明光的波动性、哪些说明粒子性，或对波粒二象性的理解 → 波粒二象性 → 干涉、衍射、偏振是波动性；光电效应、康普顿效应是粒子性。

注意点

• 光子的动量方向就是光的传播方向；碰撞问题中动量是矢量，按平行四边形定则（康普顿散射的光子和电子一般不在一条直线上）。
• 康普顿散射后光子的速度不变，仍是光速 $c$；变的是频率和波长。
• 康普顿效应中散射光里仍有原波长的成分（来自与原子内层束缚很紧的电子的散射），不是全部变长。
• “光的粒子性”不是说光是牛顿说的微粒，“波动性”也不是说光是惠更斯说的机械波。两者是光同时具有的两种属性，在不同条件下表现得明显程度不同。
• 光压题中，光被完全吸收和完全反射的结果不同：反射时动量变化是吸收时的 2 倍。

推导

光子动量的来源：由相对论，没有静止质量的粒子能量和动量满足 $\varepsilon = pc$（这一步要用到大学的相对论，高中只记结论）。代入 $\varepsilon = h\nu$ 和 $c = \lambda\nu$：

$$p = \frac{\varepsilon}{c} = \frac{h\nu}{\lambda\nu} = \frac{h}{\lambda}$$

康普顿效应的定性解释：

1. 碰撞前电子近似静止，光子动量 $p_0 = \dfrac{h}{\lambda_0}$，能量 $\dfrac{hc}{\lambda_0}$。
2. 碰撞中能量守恒：光子的一部分能量变成电子的动能，散射光子能量 $\dfrac{hc}{\lambda} < \dfrac{hc}{\lambda_0}$，所以 $\lambda > \lambda_0$。
3. 动量守恒：$\vec{p}_0 = \vec{p} + \vec{p}_{\text{e}}$，三个动量构成一个三角形（本节图），散射光子偏离原方向。

（关键一步：第 2 步。电子得到了动能，光子的能量只能减少；光子速度不能变，能量减少只能体现为频率降低、波长变长。散射角越大，交给电子的能量越多，波长变长越多，具体公式要用相对论推导，高中不要求。）

光压：功率 $P$ 的光垂直照射并被完全吸收，时间 $t$ 内照到的光子数 $N = \dfrac{Pt}{hc/\lambda}$，总动量 $N\dfrac{h}{\lambda} = \dfrac{Pt}{c}$。由动量定理，表面对光的作用力 $F = \dfrac{\Delta p}{t} = \dfrac{P}{c}$，由牛顿第三定律光对表面的压力也是 $\dfrac{P}{c}$。

例题

例 1　（场景：光子动量与光压）一束波长 $\lambda = 500\ \mathrm{nm}$、功率 $P = 3.0\ \mathrm{W}$ 的激光垂直照射到一块黑色平板上，光被完全吸收。求：（1）每个光子的动量；（2）每秒照到平板上的光子数；（3）激光对平板的压力。（$h = 6.63 \times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}$，$c = 3.0 \times 10^8\ \mathrm{m/s}$）

解：

研究对象：$1\ \mathrm{s}$ 内照到平板上的所有光子。

过程划分：一个过程，光子被吸收，动量从 $Np$ 变为零。

分析：光子流不受重力等影响，只受平板的作用力。取光的传播方向为正方向，对 $1\ \mathrm{s}$ 内的光子用动量定理（第 19 章）：$-Ft = 0 - Np$。

列式求解：（1）

$$p = \frac{h}{\lambda} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{500 \times 10^{-9}}\ \mathrm{kg \cdot m/s} \approx 1.33 \times 10^{-27}\ \mathrm{kg \cdot m/s}$$

（2）每个光子能量 $\varepsilon = pc \approx 3.98 \times 10^{-19}\ \mathrm{J}$，

$$N = \frac{Pt}{\varepsilon} = \frac{3.0 \times 1}{3.98 \times 10^{-19}} \approx 7.5 \times 10^{18}$$

（3）

$$F = \frac{Np}{t} = \frac{7.5 \times 10^{18} \times 1.33 \times 10^{-27}}{1}\ \mathrm{N} \approx 1.0 \times 10^{-8}\ \mathrm{N}$$

平板对光的作用力与光传播方向相反，由牛顿第三定律，光对平板的压力大小 $1.0 \times 10^{-8}\ \mathrm{N}$，方向沿光的传播方向。

检验：单位：$\dfrac{\mathrm{J \cdot s}}{\mathrm{m}} = \mathrm{kg \cdot m/s}$，对。与推导中的 $F = \dfrac{P}{c} = \dfrac{3.0}{3.0 \times 10^8}\ \mathrm{N} = 1.0 \times 10^{-8}\ \mathrm{N}$ 一致。量级：光压极小，所以日常感觉不到，但太空中的“太阳帆”可以靠它长期加速。

容易卡在：（3）忘了“完全吸收”的条件。若完全反射，动量从 $+Np$ 变为 $-Np$，压力加倍为 $2.0 \times 10^{-8}\ \mathrm{N}$。

例 2　（场景：康普顿散射后各量的变化）在康普顿效应中，X 射线光子与静止的自由电子碰撞后被散射。与入射光子相比，散射光子（　）。

A. 速度变小　B. 频率变大　C. 波长变长　D. 动量变大

解：C。

判断依据：碰撞中动量守恒、能量守恒，电子得到能量和动量。

光子在真空中的速度总是 $c$，A 错。光子把一部分能量给了电子，$h\nu$ 减小，频率变小，B 错；由 $\lambda = \dfrac{c}{\nu}$，波长变长，C 对；由 $p = \dfrac{h}{\lambda}$，动量变小，D 错。

容易卡在：A 选项。宏观的球碰撞后“变慢”，光子能量减少却不变慢，减少的是频率。

例 3　（场景：判断波动性与粒子性）下列现象中，说明光具有粒子性的是（　）。

A. 光的双缝干涉　B. 光电效应　C. 光的偏振　D. 康普顿效应

解：BD。

判断依据：干涉、衍射、偏振是波特有的现象；光电效应说明光子有能量 $h\nu$，康普顿效应说明光子还有动量 $\dfrac{h}{\lambda}$，都是粒子性。

偏振还说明光是横波（第 24 章），仍是波动性。

常用推论

• 光子的动量与能量：$p = \dfrac{\varepsilon}{c}$，由 $\varepsilon = h\nu$、$p = \dfrac{h}{\lambda}$、$c = \lambda\nu$ 得出。
• 光压：完全吸收时 $F = \dfrac{P}{c}$，完全反射时 $F = \dfrac{2P}{c}$（例 1 及本节推导）。
• 康普顿散射后：光子能量、频率、动量变小，波长变长，速度不变；电子获得动能和动量。
• 频率越高（波长越短）的光，粒子性越明显：$\gamma$ 射线、X 射线容易表现出粒子性；无线电波几乎只表现出波动性。

易错点

• 错在哪：用 $p = mv$ 求光子的动量，或认为光子没有质量就没有动量。 为什么错：把宏观物体的动量公式套到光子上。光子没有静止质量，动量由 $p = \dfrac{h}{\lambda}$ 给出。 正确做法：光子动量只用 $p = \dfrac{h}{\lambda}$ 或 $p = \dfrac{h\nu}{c}$。
• 错在哪：认为康普顿散射后光子速度变小。 为什么错：类比台球碰撞，被撞后变慢。光子速度恒为 $c$。 正确做法：光子能量减少体现为频率减小、波长变长。
• 错在哪：认为光有时是波、有时是粒子，两种性质互相排斥。 为什么错：用宏观的“波”和“粒子”去理解。光同时具有两种性质，只是在不同条件下哪一种表现得更明显。 正确做法：记“大量光子、长波长、传播时显波动性；个别光子、短波长、与物质作用时显粒子性”。

直观理解

光子撞电子，像台球撞台球：撞完后光子“轻了”（动量小了），但它不会“慢下来”，“轻了”的表现是颜色向红端偏、波长变长。一句话：光子吃亏，波长变长。

关联知识点

• 前置：第 19 章动量和动量定理，第 20 章动量守恒；光压用动量定理，康普顿散射用动量守恒。
• 前置：第 24 章光的干涉、衍射、偏振，光的波动性的证据。
• 后续：35.7 节物质波，德布罗意把 $p = \dfrac{h}{\lambda}$ 反过来用到实物粒子上。
• 后续：35.8 节概率波，用单个光子的双缝实验统一波动性和粒子性。

35.7 物质波

说明

德布罗意假设（1924 年）：既然光有粒子性，实物粒子（电子、质子、原子……）也应该有波动性。每一个运动的粒子都与一个对应的波相联系，这种波叫物质波，也叫德布罗意波。它的波长和频率为

$$\lambda = \frac{h}{p}, \qquad \nu = \frac{\varepsilon}{h}$$

$p$ 是粒子的动量，$\varepsilon$ 是粒子的能量。

由动能求动量：粒子速度远小于光速时，$p = mv$，且 $E_{\text{k}} = \dfrac{p^2}{2m}$，所以

$$\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{h}{\sqrt{2mE_{\text{k}}}}$$

带电粒子（电荷量 $q$）由静止经电压 $U$ 加速后 $E_{\text{k}} = qU$，$\lambda = \dfrac{h}{\sqrt{2mqU}}$。

实验证实——电子衍射（1927 年）：戴维孙和革末用电子束照射镍单晶，G. P. 汤姆孙用电子束穿过金属薄膜，都得到了电子的衍射图样，和 X 射线的衍射图样类似。衍射是波特有的现象，证实了电子具有波动性，测出的波长与 $\lambda = \dfrac{h}{p}$ 符合。后来质子、中子、原子、分子的衍射也陆续被观察到。

为什么宏观物体看不到波动性：宏观物体动量大，波长极短，远小于任何障碍物和缝的尺寸，不会发生明显衍射（明显衍射的条件见第 22 章）。

应用——电子显微镜：电子的德布罗意波长比可见光短得多，衍射现象不明显，分辨本领比光学显微镜高得多。

理想模型：粒子速度远小于光速，用 $p = mv$；接近光速的粒子要用相对论动量，高中不涉及。

使用场景

• 已知粒子的质量和速度、动能，或带电粒子的加速电压，问德布罗意波长 → 物质波 → $\lambda = \dfrac{h}{p}$，$p = mv = \sqrt{2mE_{\text{k}}}$，加速时 $E_{\text{k}} = qU$（第 16 章）。
• 比较不同粒子（电子、质子、$\alpha$ 粒子）在速度相同、动能相同或加速电压相同时的波长 → 比例问题 → 写出 $\lambda$ 与 $m$、$q$ 的关系再求比值。
• 问宏观物体（小球、子弹、人）为什么观察不到波动性，或问能否观察到某粒子的衍射 → 估算波长 → 与障碍物、晶格间距（约 $10^{-10}\ \mathrm{m}$）比较大小。

注意点

• 物质波的波长由动量决定，不由速度单独决定：速度相同的电子和质子，质子的波长短得多。
• 代入数值时质量用千克，动能用焦耳；动能给的是电子伏特，先乘 $1.6 \times 10^{-19}$。
• $\lambda = \dfrac{h}{\sqrt{2mE_{\text{k}}}}$ 只适用于速度远小于光速的粒子；光子没有静止质量，不能用这个式子，只能用 $\lambda = \dfrac{h}{p}$ 或 $\lambda = \dfrac{c}{\nu}$。
• 物质波不是机械波，也不是电磁波，不需要介质；它的意义见 35.8 节（概率波）。
• 电子衍射说明电子有波动性，不能说明电子“没有”粒子性：衍射图样是一个个电子落点累积出来的。

推导

德布罗意的类比：对光子，$\varepsilon = h\nu$，$p = \dfrac{h}{\lambda}$（35.6 节）。德布罗意认为这两个关系是普遍的，对实物粒子同样成立，把 $p = \dfrac{h}{\lambda}$ 反过来写成 $\lambda = \dfrac{h}{p}$。这是假设，不是从已有规律推出来的，要靠实验检验。

实验依据：

1. 用电压 $U$ 加速电子，算出 $\lambda = \dfrac{h}{\sqrt{2meU}}$。$U$ 为一两百伏时，$\lambda \approx 10^{-10}\ \mathrm{m}$，与晶体中原子的间距相当。
2. 晶体是天然的“光栅”，用电子束照射晶体，在特定方向上观察到强的电子束，形成衍射图样。
3. 由衍射图样和晶格间距算出的波长，与 $\dfrac{h}{p}$ 一致。

（关键一步：第 1 步算出的波长与晶格间距相当。明显衍射要求波长与障碍物尺寸差不多，所以要用晶体而不能用普通的缝；也正因为如此，直到 1927 年才在实验上观察到电子衍射。）

由加速电压求波长：由动能定理 $qU = E_{\text{k}} = \dfrac{p^2}{2m}$，得 $p = \sqrt{2mqU}$，$\lambda = \dfrac{h}{\sqrt{2mqU}}$。

例题

例 1　（场景：由加速电压求波长）电子由静止经 $U = 150\ \mathrm{V}$ 的电压加速后射向晶体，在屏上得到衍射图样。求电子的德布罗意波长，并与可见光的波长（约 $5 \times 10^{-7}\ \mathrm{m}$）比较。（$m_{\text{e}} = 9.1 \times 10^{-31}\ \mathrm{kg}$，$e = 1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$，$h = 6.63 \times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}$）

解：

研究对象：电子。

过程划分：两段。第一段在 $K$、$A$ 间被加速；第二段以加速后的动量射向晶体，表现出波长 $\lambda = \dfrac{h}{p}$。

分析：第一段电子只受电场力，用动能定理（第 16 章）$eU = \dfrac{p^2}{2m_{\text{e}}}$ 求动量；第二段用德布罗意关系。

列式求解：

$$p = \sqrt{2m_{\text{e}}eU} = \sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 150}\ \mathrm{kg \cdot m/s} \approx 6.6 \times 10^{-24}\ \mathrm{kg \cdot m/s}$$ $$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{6.6 \times 10^{-24}}\ \mathrm{m} \approx 1.0 \times 10^{-10}\ \mathrm{m}$$

$\dfrac{5 \times 10^{-7}}{1.0 \times 10^{-10}} = 5 \times 10^3$，电子的波长约为可见光的五千分之一。

检验：单位：$\dfrac{\mathrm{J \cdot s}}{\mathrm{kg \cdot m/s}} = \mathrm{m}$，对。量级：$10^{-10}\ \mathrm{m}$ 与原子间距相当，所以晶体能使它发生明显衍射，与实验一致。电子速度 $v = \dfrac{p}{m_{\text{e}}} \approx 7.3 \times 10^6\ \mathrm{m/s}$，远小于光速，用 $p = mv$ 没问题。

容易卡在：直接用 $\lambda = \dfrac{h}{mv}$，却不知道 $v$。先用动能定理求动量，绕开速度。

例 2　（场景：比较不同粒子的波长）电子和质子分别由静止经过相同的电压 $U$ 加速。已知质子质量约为电子质量的 1836 倍，二者电荷量大小相同。求电子与质子的德布罗意波长之比；若改为让一个质子和一个 $\alpha$ 粒子（质量约为质子的 4 倍，电荷量为质子的 2 倍）经相同电压加速，波长之比又是多少？

解：

研究对象：电子、质子、$\alpha$ 粒子。

过程划分：各自一个加速过程。

分析：由 $\lambda = \dfrac{h}{\sqrt{2mqU}}$，$U$ 相同时 $\lambda \propto \dfrac{1}{\sqrt{mq}}$。

列式求解：电子与质子，$q$ 相同：

$$\frac{\lambda_{\text{e}}}{\lambda_{\text{p}}} = \sqrt{\frac{m_{\text{p}}}{m_{\text{e}}}} = \sqrt{1836} \approx 43$$

质子与 $\alpha$ 粒子：

$$\frac{\lambda_{\text{p}}}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{m_{\alpha}q_{\alpha}}{m_{\text{p}}q_{\text{p}}}} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2} \approx 2.8$$

检验：质量越大、加速后动量越大，波长越短；电子最轻，波长最长，合理。

另一种解法：先比动量再比波长。$p = \sqrt{2mqU}$，电子与质子的动量之比 $\sqrt{\dfrac{m_{\text{e}}}{m_{\text{p}}}}$，波长与动量成反比，所以波长之比 $\sqrt{\dfrac{m_{\text{p}}}{m_{\text{e}}}}$。条件是“速度相同”时直接 $\lambda \propto \dfrac{1}{m}$，“动能相同”时 $\lambda \propto \dfrac{1}{\sqrt{m}}$，“电压相同”时还要算上电荷量；先写出通式再约分最稳，熟练后直接比动量更快。

例 3　（场景：宏观物体的波长）质量 $0.15\ \mathrm{kg}$ 的棒球以 $40\ \mathrm{m/s}$ 的速度飞行，求它的德布罗意波长，并说明为什么观察不到棒球的衍射。（$h = 6.63 \times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}$）

解：

研究对象：棒球。

过程划分：不涉及过程。

分析：宏观物体速度远小于光速，$p = mv$。

列式求解：

$$\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{0.15 \times 40}\ \mathrm{m} \approx 1.1 \times 10^{-34}\ \mathrm{m}$$

这个波长比原子核（约 $10^{-15}\ \mathrm{m}$）还小 $10^{19}$ 倍，找不到这么小的缝或障碍物，不可能发生明显衍射，所以棒球只表现出粒子性。

检验：单位对。结论与常识一致：球不会“绕过”门框。

常用推论

• 速度相同：$\lambda \propto \dfrac{1}{m}$；动能相同：$\lambda \propto \dfrac{1}{\sqrt{m}}$；加速电压相同：$\lambda \propto \dfrac{1}{\sqrt{mq}}$。都由 $\lambda = \dfrac{h}{p}$ 和 $p = mv = \sqrt{2mE_{\text{k}}}$ 得出。
• 电子经电压 $U$ 加速后的波长：$\lambda \approx \sqrt{\dfrac{150}{U}} \times 10^{-10}\ \mathrm{m}$（$U$ 以伏为单位）。由例 1 的结果和 $\lambda \propto \dfrac{1}{\sqrt{U}}$ 得出。
• 加速电压越高，电子波长越短，电子显微镜的分辨本领越高。
• 动量相同的粒子（不论是光子还是实物粒子）德布罗意波长相同。

易错点

• 错在哪：认为速度相同的粒子波长相同。 为什么错：波长由动量决定，与质量有关。 正确做法：先写 $\lambda = \dfrac{h}{p}$，再看题目给的是速度、动能还是电压。
• 错在哪：对光子用 $\lambda = \dfrac{h}{\sqrt{2mE_{\text{k}}}}$。 为什么错：这个式子来自 $E_{\text{k}} = \dfrac{p^2}{2m}$，只适用于有静止质量、速度远小于光速的粒子。 正确做法：光子用 $\lambda = \dfrac{hc}{\varepsilon}$。
• 错在哪：认为宏观物体没有物质波。 为什么错：凭“看不到”就断定“没有”。宏观物体也有物质波，只是波长太短，无法观察。 正确做法：说“波长太短，观察不到波动性”，不说“没有波动性”。

直观理解

动量越大，波长越短，越像粒子；动量越小，波长越长，越像波。电子很轻，几百伏一加速，波长和原子间距差不多，晶体就能让它衍射；棒球的波长短到无从观测，所以它“只是一个球”。

关联知识点

• 前置：第 16 章带电粒子在电场中的加速，$qU = E_{\text{k}}$。
• 前置：第 19 章动量 $p = mv$；第 22 章明显衍射的条件。
• 前置：35.6 节光子动量 $p = \dfrac{h}{\lambda}$。
• 后续：第 34 章玻尔模型中电子轨道的量子化，可以用“轨道周长是电子波长的整数倍”来理解（课本不要求）。
• 后续：35.8 节概率波，物质波的物理意义。

35.8 概率波与量子力学的建立

说明

单个粒子的双缝实验：让光子（或电子）一个一个地通过双缝，每次只有一个粒子在途中：

• 每个粒子落在屏上某一点，表现为粒子；落在哪一点无法预测。
• 粒子数很少时，落点看起来杂乱无章；粒子数很多时，落点的疏密形成干涉条纹，和波的干涉图样一样。

概率波：单个粒子落在哪里是随机的，但落在某处的概率是确定的：干涉条纹的亮处概率大，暗处概率小。光波和物质波都是概率波：波的强度大的地方，粒子出现的概率大。物质波的这种统计解释是玻恩在 1926 年提出的。

这样就把波粒二象性统一起来：粒子性体现在每次都是整个粒子落在一点；波动性体现在落点的概率按波的规律分布。

量子力学的建立（人教版选择性必修第三册 4.5 节）：在普朗克能量子、爱因斯坦光子说、玻尔模型和德布罗意物质波的基础上，1925 年海森堡、玻恩等人建立了矩阵力学，1926 年薛定谔建立了波动力学，两者后来被证明是等价的，统称量子力学。量子力学能解释原子光谱、化学键、固体导电等大量现象，是半导体、激光、核能等技术的理论基础。

量子力学的一个结论是：微观粒子的位置和动量不能同时被精确确定，位置越确定，动量就越不确定，反之亦然（海森堡 1927 年提出的不确定性关系）。这不是仪器不够好，而是微观粒子本身的性质。因此微观粒子没有确定的运动轨道，原子中电子的“轨道”只能理解为电子出现概率大的区域（“电子云”）。不确定性关系在课标里属于选修 3”微观世界“的”初步了解“内容，选择性必修 3 的内容要求不涉及，这里只要求知道这个结论，不做定量计算。

使用场景

• 单个光子或电子通过双缝或单缝，问落点能否预测、少量和大量粒子的图样有何不同、明暗条纹的含义 → 概率波 → 单个落点随机，落点概率按波的强度分布，大量粒子显出干涉、衍射图样。
• 选择题问量子力学由谁建立、概率波的含义、微观粒子有没有确定的轨道 → 量子力学的建立 → 矩阵力学（海森堡、玻恩等）和波动力学（薛定谔）；波的强度表示粒子出现的概率；位置和动量不能同时确定，没有确定轨道。

注意点

• 概率波不是“粒子在波里走”，也不是“很多粒子互相作用形成波”：粒子一个一个地通过，仍然得到干涉条纹，说明每个粒子都“自己”按概率波分布。
• 干涉条纹的暗处是概率很小（理想情况下为零）的地方，不是粒子“被挡住”了。
• 宏观物体也受“位置和动量不能同时确定”的限制，但 $h$ 极小，不确定的程度小到无法察觉，所以宏观物体有确定的轨道，牛顿力学适用。

推导

概率波的实验依据：

1. 用极弱的光（或电子束）做双缝实验，保证每次只有一个粒子通过装置。
2. 短时间曝光，底片上只出现几个无规则分布的点。
3. 长时间曝光，点越来越多，最后形成与普通双缝干涉相同的条纹（本节图）。

（关键一步：第 1 步保证了粒子之间没有相互作用，干涉条纹仍然出现，说明波动性是单个粒子本身的属性，体现在落点的概率分布上。）

例题

例 1　（场景：单个粒子的双缝实验）用极弱的电子束做双缝干涉实验，每次只有一个电子通过双缝。下列说法正确的是（　）。

A. 每个电子落在屏上的位置可以准确预言 B. 只有少量电子时，屏上就会出现清晰的干涉条纹 C. 大量电子落在屏上后形成干涉条纹，亮纹处电子到达的概率大 D. 干涉条纹是大量电子之间相互作用的结果

解：C。

判断依据：物质波是概率波：单个落点随机，大量落点按概率分布形成条纹。

A：单个电子的落点无法预言。B：少量电子的落点杂乱，看不出条纹（本节图左栏）。D：电子是一个一个通过的，没有相互作用，仍有条纹，说明条纹不是相互作用的结果。C 对。

例 2　（场景：量子力学的建立与微观粒子的运动）下列说法正确的是（　）。

A. 物质波强度大的地方，粒子出现的概率大 B. 微观粒子的位置和动量可以同时精确测定，只是现有仪器的精度不够 C. 原子中的电子像卫星一样沿确定的圆轨道运动 D. 量子力学是海森堡一个人在 1925 年建立的

解：A。

判断依据：物质波是概率波；微观粒子的位置和动量不能同时确定，没有确定轨道；量子力学由许多物理学家共同建立。

A 对，这是玻恩的统计解释。B 错，不能同时精确确定是微观粒子本身的性质，与仪器无关。C 错，电子没有确定的轨道，只能说在某处出现的概率，即“电子云”。D 错，1925 年海森堡、玻恩等人建立矩阵力学，1926 年薛定谔建立波动力学，量子力学是许多人共同完成的。

容易卡在：C 选项。第 34 章玻尔模型里画的圆轨道是玻尔理论的说法，量子力学建立后，“轨道”只理解为电子出现概率大的地方。

常用推论

• 粒子数少显粒子性，粒子数多显波动性；这对光子和电子都成立。
• 微观粒子没有确定的轨道，只能说它出现在某处的概率；宏观物体位置和动量的不确定程度可以忽略，所以牛顿力学的“轨道”概念适用。第 11 章牛顿力学的局限性中“不适用于微观粒子”指的就是这一点。

易错点

• 错在哪：认为单个电子不会表现出波动性，干涉条纹是大量电子“挤在一起”相互作用产生的。 为什么错：用宏观“人群”去想象。实验中电子一个一个通过，仍得到条纹。 正确做法：波动性是单个粒子的属性，体现在它落点的概率分布上。
• 错在哪：认为位置和动量不能同时确定，是测量仪器不够精确造成的。 为什么错：把它当成测量误差。仪器再好也做不到同时精确确定。 正确做法：说“微观粒子本身不能同时具有确定的位置和动量”。
• 错在哪：认为暗条纹处光子或电子“被抵消”消失了。 为什么错：把概率波想成经典波的振幅相消、能量消失。 正确做法：暗纹处是粒子到达概率小的地方，粒子总数不变，只是去了亮纹处。

直观理解

像掷骰子：一次掷出几点完全无法预言，但掷一万次后，各点出现的比例就很确定。单个电子落在哪里是“一次掷骰子”，干涉条纹是“一万次的统计表”，概率波就是这张统计表背后的规律。

关联知识点

• 前置：第 24 章光的双缝干涉和单缝衍射。
• 前置：35.6 节光的波粒二象性，35.7 节物质波。
• 后续：第 34 章原子结构中电子“轨道”的现代理解（电子云）。
• 常一起考：第 11 章牛顿力学的局限性：宏观、低速适用，微观粒子要用量子力学。

35.9 知识点之间的关系

本章的主线是三个式子：$\varepsilon = h\nu$（能量子、光子）→ $E_{\text{k}} = h\nu - W_0$（光电效应）→ $\lambda = \dfrac{h}{p}$（光子动量与物质波），由概率波统一“波”和“粒子”两种图景。做题时先看题目给的是哪个对象（黑体、金属表面的光电子、光子、实物粒子）、问的是哪个量，再选规律；光电子进入电场后的运动，接第 16 章的动能定理。

35.10 自测

1. 一盏灯发出波长 $600\ \mathrm{nm}$ 的光，功率 $6.63\ \mathrm{W}$（全部为该波长），每秒发出多少个光子？（$h = 6.63 \times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}$，$c = 3.0 \times 10^8\ \mathrm{m/s}$）
2. 温度升高时，黑体辐射强度的极大值向波长较＿＿＿的方向移动。
3. 用一束光照射某金属，能发生光电效应。若只增大光的强度，光电子的最大初动能＿＿＿，饱和电流＿＿＿。（填“增大”“减小”或“不变”）
4. 某金属的极限波长为 $500\ \mathrm{nm}$，用波长 $600\ \mathrm{nm}$ 的强光照射能否发生光电效应？
5. 某金属的逸出功为 $2.5\ \mathrm{eV}$，用光子能量为 $4.0\ \mathrm{eV}$ 的光照射，遏止电压是多少？若在 $A$、$K$ 间加 $1.0\ \mathrm{V}$ 正向电压，光电子到达阳极的最大动能是多少电子伏特？
6. 在 $U_{\text{c}}$-$\nu$ 图像中，直线的斜率表示什么？两种金属的图线有什么关系？
7. 在 $I$-$U$ 图像中，甲、乙两光的曲线与横轴交于同一点，甲的饱和电流较大。两光的频率和强度有什么关系？
8. 康普顿散射后的光子与入射光子相比，波长、频率、速度分别怎样变化？
9. 速度相同的电子和质子，谁的德布罗意波长长？动能相同时呢？
10. 用 $600\ \mathrm{V}$ 电压加速的电子，德布罗意波长约是多少？（利用 $150\ \mathrm{V}$ 时约 $1.0 \times 10^{-10}\ \mathrm{m}$）
11. 判断：电子双缝干涉实验中，亮纹处是电子到达概率大的地方。

答案：1. $2.0 \times 10^{19}$ 个；2. 短；3. 不变，增大；4. 不能（$600\ \mathrm{nm} > 500\ \mathrm{nm}$，频率低于截止频率）；5. $1.5\ \mathrm{V}$，$2.5\ \mathrm{eV}$；6. $\dfrac{h}{e}$，互相平行；7. 频率相同，甲光较强；8. 波长变长，频率变小，速度不变；9. 两种情况都是电子的波长长；10. 约 $5.0 \times 10^{-11}\ \mathrm{m}$；11. 正确。

35.11 深入阅读

• PhET · 光电效应：改变光的波长、强度和电池电压，直接看光电子是否逸出、电流和遏止电压怎样变，对照 35.3–35.5 节的三种图像。
• PhET · 黑体光谱：拖动温度滑块，看黑体辐射曲线怎样整体升高、峰值怎样移向短波，并与太阳、灯泡等实际光源对比。
• PhET · 量子波干涉：让光子、电子、中子一个一个通过双缝，看落点怎样从杂乱无章积累成干涉条纹，理解概率波。
• 维基百科 · 光电效应：光电效应的发现史、经典理论的困难、爱因斯坦的光子解释和密立根的实验验证。