第 42 章 · 选择性必修实验（二）

项目	内容
课标主题	选择性必修 2 · 电磁感应及其应用、传感器；选择性必修 3 · 固体、液体和气体。五个都是课标规定的学生必做实验
人教版（2019）	选择性必修第二册 第二章 2.1”楞次定律”（探究影响感应电流方向的因素）、第三章 3.3”变压器”（探究变压器原、副线圈电压与匝数的关系）、第五章 5.3”利用传感器制作简单的自动控制装置”；选择性必修第三册 第一章 1.2”实验：用油膜法估测油酸分子的大小”、第二章 2.2”气体的等温变化”（探究气体等温变化的规律）
考试地位	油膜法和等温气体实验在新高考卷里常考，常是一道实验题的一部分或一道选择题；热敏、光敏电阻控制电路常作为电学实验题的设计问；感应电流方向、变压器实验偶考，多考操作和误差原因
前置知识	第 37 章读数、误差、数据处理（化曲为直）、实验设计思路；第 27 章楞次定律；第 29 章变压器；第 30 章传感器；第 31 章分子的大小；第 32 章玻意耳定律

这五个实验原理都不难，规律在知识章里已经学过，实验只是“亲手验证一遍”。丢分丢在细节：没先查明电流计的偏转方向就判断电流方向，变压器实验接了直流电源，油膜法把溶液体积当成油酸体积，等温实验用手握注射器、推得太快，以及每个实验都会问的“测量值偏大还是偏小”。读数、误差、图像法这些基本功见第 37 章，本章只引用。

42.1 实验一览

实验	测什么或探究什么	方法归类
42.2 探究影响感应电流方向的因素	感应电流方向与磁铁磁场方向、磁通量增减的关系，归纳出楞次定律	归纳法；转换法（用电流计指针偏转方向显示电流方向）
42.3 探究变压器原、副线圈电压与匝数的关系	$\dfrac{U_1}{U_2}$ 与 $\dfrac{n_1}{n_2}$ 的关系	控制变量法
42.4 利用传感器制作简单的自动控制装置	用光敏电阻或热敏电阻加继电器，做光控、温控开关	转换法（把光、温度转换成电阻、电流）；电路设计
42.5 用油膜法估测油酸分子的大小	油酸分子直径 $d = \dfrac{V}{S}$	理想模型（单分子油膜、球形分子）；转换法；累积法（测 $n$ 滴的体积）
42.6 探究等温情况下一定质量气体压强与体积的关系	$p$ 与 $V$ 的关系，得到 $pV = C$	控制变量法（温度、质量不变）；图像法化曲为直

42.2 探究影响感应电流方向的因素

目的与原理

目的：找出感应电流的方向由什么决定，归纳出楞次定律（第 27 章）。

原理：把条形磁铁插入或拔出与灵敏电流计相连的线圈，线圈中的磁通量变化，产生感应电流。电流方向不能直接看见，要用电流计指针的偏转方向来显示（转换法）。所以实验的第一步，是先查明“电流从哪个接线柱流入时，指针向哪边偏”。

知道了电流从哪端流入线圈，再看线圈的绕向，用右手螺旋定则（安培定则）就能定出感应电流在线圈内部产生的磁场方向 $\vec{B}_{\text{感}}$。把它和磁铁在线圈内的磁场方向 $\vec{B}_{\text{原}}$、磁通量是增大还是减小放在一起比较，就能找出规律。

器材与装置

条形磁铁、线圈（绕向已知或看得清）、灵敏电流计（零刻度在表盘中央，指针可以向左、右两边偏）、一节干电池、大阻值的定值电阻（几十千欧）、开关、导线。

关键器材的选择理由：

• 灵敏电流计，不用普通电流表：感应电流很小（微安到毫安量级），普通电流表看不出偏转；而且普通电流表零点在左端，只能向一边偏，分不出方向。
• 查明偏转方向时串联大电阻：灵敏电流计的量程很小，直接接在干电池上，电流远超量程，会打弯指针、烧坏线圈。串联几十千欧的电阻，把电流限制在量程以内。

步骤

1. 查明偏转方向与电流方向的关系：按上面的电路图，把干电池、保护电阻、开关和电流计串联，用开关试触（一碰就断开），看指针向哪边偏。记下“电流从哪个接线柱流入，指针向哪边偏”。为什么：后面所有判断都靠指针偏转方向推电流方向，这一步不做，结论无从谈起；试触是为了万一电流过大能马上断开。
2. 看清线圈绕向，画在记录本上。为什么：知道电流从哪端流入后，要靠绕向和右手螺旋定则定出 $\vec{B}_{\text{感}}$ 的方向。
3. 把线圈和电流计连成闭合回路，按下面四种情况操作，每次记下指针偏转方向：N 极向下插入、N 极向上拔出、S 极向下插入、S 极向上拔出。为什么：磁铁磁场方向（N 或 S）和磁通量变化（插入增大、拔出减小）两个因素各有两种，四种组合都要做，才能看出感应电流方向由什么决定。
4. 由偏转方向推出线圈中的电流方向，再由绕向定出 $\vec{B}_{\text{感}}$ 的方向，填入表格。
5. 改变插入、拔出的快慢，观察偏转角度。为什么：区分“方向”和“大小”：快慢只影响偏转角度（感应电动势大小，第 28 章），不影响方向。

数据处理

本实验是定性探究，数据处理就是填表、找规律。磁铁在线圈上方，“插入”即向下运动：

操作	线圈内 $\vec{B}_{\text{原}}$ 方向	磁通量 $\Phi$	线圈内 $\vec{B}_{\text{感}}$ 方向	$\vec{B}_{\text{感}}$ 与 $\vec{B}_{\text{原}}$
N 极向下插入	向下	增大	向上	相反
N 极向上拔出	向下	减小	向下	相同
S 极向下插入	向上	增大	向下	相反
S 极向上拔出	向上	减小	向上	相同

结论：只看 $\vec{B}_{\text{原}}$ 的方向（N 还是 S），找不出规律；把 $\vec{B}_{\text{感}}$ 和 $\Phi$ 的增减放在一起看就清楚了：磁通量增大时，$\vec{B}_{\text{感}}$ 与 $\vec{B}_{\text{原}}$ 反向；磁通量减小时，两者同向。即“增反减同”：感应电流的磁场总要阻碍引起感应电流的磁通量的变化。这就是楞次定律（第 27 章）。

换个角度看：插入时线圈上端出现与磁铁下端同名的磁极，排斥磁铁；拔出时出现异名磁极，吸引磁铁。“来拒去留”，同样是阻碍。

误差分析

本实验是定性实验，不求数值，没有“偏大偏小”的问题，要防的是判断错误：

• 没有查明偏转方向，或者查明时记反了接线柱，后面的电流方向全部推反。
• 线圈绕向看错，$\vec{B}_{\text{感}}$ 方向判反。
• 磁铁运动太慢，感应电流太小，指针偏转不明显，看不清方向。办法是插拔快一些、用匝数多的线圈。

注意事项

• 灵敏电流计不能直接接电源，查明偏转方向时必须串联大电阻并试触。原因见“器材与装置”。
• 查明偏转方向时用的电流计，和后面实验用的必须是同一个，接线柱也不能换。不同电流计的偏转规律可能不同。
• 实验中磁铁插拔的速度不必相同，但要足够快，让偏转明显；要比较偏转大小时，才需要控制速度。
• 线圈连成闭合回路后不要再拆接，否则要重新确认电流从哪端流入。

例题

例 1　（考法：实验操作的理由）在“探究影响感应电流方向的因素”实验中：（1）为什么要先用干电池查明电流计指针偏转方向与电流方向的关系？（2）查明时为什么要串联一个阻值很大的电阻，并用开关试触？（3）某同学把 N 极插入线圈时指针向右偏，他由此能不能判断感应电流的磁场方向？还需要知道什么？

解：

判断依据：电流方向要靠指针偏转方向显示（转换法）；$\vec{B}_{\text{感}}$ 的方向由电流方向和线圈绕向共同决定。

（1）指针偏转方向本身不是电流方向，必须先知道“电流从哪个接线柱流入时指针向哪偏”，才能由偏转方向反推线圈中的电流方向。

（2）灵敏电流计量程很小，直接接在干电池两端会严重超量程而损坏。串联大电阻限流；试触是为了万一偏转过猛，能马上断开。

（3）不能。还需要知道：①电流从哪个接线柱流入时指针向右偏（第一步的结论）；②线圈的绕向。有了这两样，才能由右手螺旋定则定出 $\vec{B}_{\text{感}}$。

例 2　（考法：由已知的一次偏转推断其他情况）如图，线圈 A 通过开关 S、滑动变阻器 R 接在电源上，A 插在线圈 B 中，B 与灵敏电流计 G 相连。闭合开关的瞬间，发现电流计指针向右偏。电路稳定后：（1）将滑动变阻器的滑片迅速移动，使 A 中电流增大，指针向哪偏？（2）将 A 迅速从 B 中拔出，指针向哪偏？（3）A、B 都不动，滑片也不动，指针怎样？（4）断开开关的瞬间，指针向哪偏？

解：（1）向右；（2）向左；（3）指在零刻度，不偏；（4）向左。

判断依据：楞次定律（42.2 数据处理的结论）：同一个线圈 B、同一个原磁场方向，磁通量增大时感应电流方向相同，减小时相反。

闭合开关瞬间，A 中电流从无到有，B 中磁通量增大，指针右偏。以此为参照：

（1）A 中电流增大，A 的磁场增强，B 中磁通量增大，与闭合瞬间相同，向右偏。

（2）A 拔出，B 中磁通量减小，与闭合瞬间相反，向左偏。

（3）磁通量不变，没有感应电流。

（4）A 中电流从有到无，B 中磁通量减小，向左偏。

容易卡在：去推每一种情况下 B 中电流的具体绕行方向。题目给了一次“磁通量增大时向右偏”，后面只要比较“增大还是减小”就能直接得出，不必知道线圈绕向。

易错点

• 错在哪：看到 N 极插入时 $\vec{B}_{\text{感}}$ 向上、S 极插入时 $\vec{B}_{\text{感}}$ 向下，就总结“感应电流方向由磁铁的极性决定”。 为什么错：只盯着一个因素。极性和磁通量增减两个因素都在变，必须看它们的组合：同样是 N 极，插入和拔出的电流方向相反。 正确做法：把 $\vec{B}_{\text{感}}$ 与 $\vec{B}_{\text{原}}$ 比较，再和磁通量的增减对照，得到“增反减同”。
• 错在哪：把灵敏电流计直接接在干电池两端看偏转方向。 为什么错：把灵敏电流计当成普通电流表。它的量程只有微安到毫安，直接接电池会被烧坏。 正确做法：串联几十千欧的保护电阻，用开关试触。
• 错在哪：认为指针偏转方向就是线圈中的电流方向（“指针向右，电流就是顺时针”）。 为什么错：偏转方向只说明电流从电流计的哪个接线柱流入，线圈中电流怎么绕，还取决于导线怎么接、线圈怎么绕。 正确做法：由偏转方向定出电流从哪个接线柱流入电流计，再沿导线找到电流从线圈哪一端流入，结合绕向用右手螺旋定则。

关联知识点

• 依据：第 27 章楞次定律，本实验就是楞次定律的实验来源；“增反减同”“来拒去留”的推论在那里。
• 依据：第 25 章安培定则（右手螺旋定则），由电流方向定 $\vec{B}_{\text{感}}$ 的方向。
• 后续：第 28 章法拉第电磁感应定律，插拔快慢影响的是偏转大小，即感应电动势的大小。
• 方法：第 37 章 37.5 实验设计思路，用指针偏转显示电流方向是转换法；同类的“先用已知情况标定，再测未知”的做法还见于第 40 章多用电表的使用。

42.3 探究变压器原、副线圈电压与匝数的关系

目的与原理

目的：探究变压器原、副线圈的电压之比与匝数之比的关系。

原理：原线圈接交流电源，交变电流在闭合铁芯中产生交变磁通量，同一个磁通量穿过副线圈，在副线圈中产生感应电动势（互感，第 29 章）。理想变压器（没有漏磁、没有能量损失）中，每一匝线圈的感应电动势相同，所以电压与匝数成正比：

$$\frac{U_1}{U_2} = \frac{n_1}{n_2}$$

实验就是测出不同匝数下的 $U_1$、$U_2$，看它们的比是否等于匝数比。

要研究的量有两个自变量（$n_1$、$n_2$），所以用控制变量法：先保持 $n_1$ 和 $U_1$ 不变，改变 $n_2$；再保持 $n_2$ 不变，改变 $n_1$。

器材与装置

可拆变压器（两个线圈，各有几个接线柱，可选不同匝数；铁芯由 U 形部分和一根横条组成，可以拆开换线圈）、学生电源（用低压交流输出）、多用电表（用交流电压挡）两只或一只轮流测、导线。

关键器材的选择理由：

• 交流电源，不能用直流：变压器靠变化的磁通量工作。接直流时铁芯中磁通量恒定，副线圈没有感应电动势，$U_2 = 0$；而且原线圈对直流只有导线电阻，电流很大，会烧坏线圈。
• 低压：为了安全。副线圈匝数多时会升压，原线圈电压过高，副线圈两端可能出现危险电压。
• 多用电表交流电压挡：测的是交流电压的有效值。直流电压挡不能测交流。先用较大量程试测，再换到合适量程（第 37 章 37.6 量程的选择）。

步骤

1. 把两个线圈套在铁芯上，装好横条并压紧，使铁芯闭合。为什么：铁芯闭合、压紧，磁感线才能几乎全部从原线圈穿到副线圈，漏磁少。
2. 原线圈接学生电源的低压交流输出（取几伏即可），选定原线圈匝数 $n_1$（如 400 匝）。副线圈先接某一匝数 $n_2$。
3. 接通电源，用多用电表交流电压挡分别测 $U_1$、$U_2$，记入表格。为什么：$U_1$ 也要测，不能直接取电源面板上的标称值，标称值和实际输出不完全一样。
4. 断开电源，改接副线圈的接线柱，换一个 $n_2$，重复步骤 3。为什么要断电再改接：通电时拆接线圈有触电和烧坏电表的危险。
5. 保持 $n_2$ 不变，改变 $n_1$，重复测量。
6. 整理器材时先断开电源，再拆导线。

数据处理

列表比较电压比和匝数比。以 $n_1 = 400$ 匝、$U_1 = 6.0\ \mathrm{V}$ 不变为例：

$n_2$/匝	$U_2/\mathrm{V}$	$\dfrac{n_2}{n_1}$	$\dfrac{U_2}{U_1}$
200	2.9	0.50	0.48
400	5.8	1.00	0.97
800	11.5	2.00	1.92

结论：在误差允许的范围内，$\dfrac{U_1}{U_2} = \dfrac{n_1}{n_2}$。$n_2 > n_1$ 时升压，$n_2 < n_1$ 时降压。

也可以用图像法：$U_1$ 不变时，画 $U_2$-$n_2$ 图像，应是过原点的直线，斜率 $\dfrac{U_1}{n_1}$ 就是“每匝的电压”。

注意表中每一行的 $\dfrac{U_2}{U_1}$ 都略小于 $\dfrac{n_2}{n_1}$，而且偏差方向始终一样，这是系统误差，原因见误差分析。

误差分析

系统误差：实际的可拆变压器不是理想变压器，测得的 $U_2$ 总比 $\dfrac{n_2}{n_1} U_1$ 略小，即 $\dfrac{U_2}{U_1}$ 略小于 $\dfrac{n_2}{n_1}$。原因有三：

• 漏磁：原线圈产生的磁感线不是全部穿过副线圈，副线圈每匝的磁通量变化率比原线圈小，每匝的感应电动势也就小。可拆铁芯的接缝处有空隙，漏磁比一体的铁芯多。
• 铁芯发热（铁损）：交变磁通量在铁芯中产生涡流，铁芯反复磁化也要耗能，这部分能量从原线圈输入，没有传到副线圈。
• 线圈有电阻（铜损）：原线圈中的电流流过线圈本身的电阻，有电压降，真正用来“产生磁通量”的电压比 $U_1$ 小一点。

减小办法：铁芯装好、压紧；用硅钢片叠成的铁芯（课本的可拆变压器就是）减小涡流；这些办法只能减小，不能消除。

偶然误差：多用电表的读数误差（第 37 章 37.2）、电源电压的小幅波动。办法是每组读数稳定后再读，多测几组。

注意事项

• 只能用交流电源，且用低压挡。原因见“器材与装置”。
• 即使用低压，也不要用手接触裸露的导线和接线柱：副线圈匝数多时会升压，可能超过安全电压。
• 改接线圈接线柱、拆换线圈都要先断开电源。
• 多用电表用交流电压挡，先选大量程试测；测完把选择开关拨到“OFF”挡或交流电压最高挡。
• 通电时间不宜太长，测完一组就断电，避免线圈和铁芯发热改变实验条件。

例题

例 1　（考法：器材和操作）在“探究变压器原、副线圈电压与匝数的关系”实验中，下列说法正确的是（　）。

A. 原线圈可以接在学生电源的直流输出上 B. 测量电压时，多用电表应选交流电压挡 C. 为了安全，原线圈只接低压交流电源，通电时不要用手接触裸露的导线 D. 实验中先保持原线圈匝数不变，改变副线圈匝数，用的是控制变量法 E. 若把铁芯的横条拿掉，副线圈的电压会增大

解：BCD。

判断依据：变压器靠交变磁通量工作，靠闭合铁芯把磁通量引到副线圈。

A 错：直流产生恒定磁通量，副线圈没有电压，原线圈还会因电流过大而发热。B 对：测交流电压用交流挡。C 对：低压是为了安全，升压时副线圈电压可能更高。D 对。E 错：拿掉横条，铁芯不闭合，漏磁大大增加，穿过副线圈的磁通量变小，$U_2$ 变小。

例 2　（考法：数据处理和误差原因）用可拆变压器做实验，两个线圈 a、b 的匝数分别为 $n_a = 800$ 匝、$n_b = 400$ 匝，其中一个接电源作原线圈，另一个作副线圈。测得两组数据如下表，但记录时忘了哪个是原线圈。

实验次数	$U_a/\mathrm{V}$	$U_b/\mathrm{V}$
1	8.0	3.8
2	12.0	5.7

（1）判断哪个线圈是原线圈。（2）实验结果与 $\dfrac{U_1}{U_2} = \dfrac{n_1}{n_2}$ 有偏差，说出两个原因。

解：

研究对象：可拆变压器的两个线圈。

过程划分：不涉及过程，比较两种假设下的理想值和实测值。

分析：实际变压器有漏磁和能量损失，副线圈的实测电压总小于由匝数比算出的理想值，不可能大于。分别假设 a、b 为原线圈，看哪种假设符合“副线圈实测值偏小”。

列式求解：

假设 a 是原线圈：第 1 次副线圈理想电压

$$U_b' = \frac{n_b}{n_a} U_a = \frac{400}{800} \times 8.0\ \mathrm{V} = 4.0\ \mathrm{V}$$

实测 $3.8\ \mathrm{V} < 4.0\ \mathrm{V}$，符合。

假设 b 是原线圈：副线圈理想电压

$$U_a' = \frac{n_a}{n_b} U_b = \frac{800}{400} \times 3.8\ \mathrm{V} = 7.6\ \mathrm{V}$$

实测 $8.0\ \mathrm{V} > 7.6\ \mathrm{V}$，副线圈得到的电压比理想值还大，不可能。

第 2 次同样：$\dfrac{400}{800} \times 12.0\ \mathrm{V} = 6.0\ \mathrm{V} > 5.7\ \mathrm{V}$。所以 a 是原线圈。

（2）漏磁（原线圈的磁感线没有全部穿过副线圈）；铁芯中有涡流，发热损失能量；线圈有电阻，原线圈上有电压降。答出其中两条即可。

检验：两次的 $\dfrac{U_b}{U_a}$ 都是 $0.475$，比 $\dfrac{n_b}{n_a} = 0.5$ 小约 $5\%$，偏差稳定，符合系统误差的特点（第 37 章 37.3）。

容易卡在：直接算 $\dfrac{U_a}{U_b} \approx 2.1$，觉得“接近 2，两种都行”。关键是偏差的方向：副线圈电压只会偏小。

易错点

• 错在哪：认为测得 $\dfrac{U_2}{U_1}$ 与 $\dfrac{n_2}{n_1}$ 不完全相等是读数不准，多测几次取平均就能消除。 为什么错：把系统误差当成偶然误差。$U_2$ 每次都偏小，方向固定，来自漏磁和损耗，平均不掉。 正确做法：说出漏磁、铁损、铜损三个原因，结论写“在误差允许的范围内，电压比等于匝数比”。
• 错在哪：原线圈接学生电源的直流输出，发现副线圈没有电压，以为线圈断了。 为什么错：把变压器当成“把电压按比例缩放的装置”，忘了它靠电磁感应工作，只对变化的电流起作用。 正确做法：原线圈接交流；测量用交流电压挡。
• 错在哪：只测 $U_2$，原线圈电压直接用学生电源旋钮上标的数。 为什么错：学生电源的标称值和实际输出有偏差，接上负载后还会变。 正确做法：$U_1$、$U_2$ 都用电表实测。

关联知识点

• 依据：第 29 章变压器，$\dfrac{U_1}{U_2} = \dfrac{n_1}{n_2}$ 的推导和理想变压器的条件在那里；本实验得出的“实测比值略小”正好说明实际变压器不理想。
• 依据：第 28 章法拉第电磁感应定律，每匝线圈的感应电动势由磁通量的变化率决定。
• 方法：第 37 章 37.5 控制变量法；同类实验有第 38 章探究加速度与力、质量的关系，第 39 章探究向心力的影响因素。
• 读数：第 37 章 37.2 多用电表的读数。

42.4 利用传感器制作简单的自动控制装置

目的与原理

目的：用传感器元件把光照强弱、温度高低这类非电学量转换成电阻、电流的变化，再通过继电器去控制另一个电路的通断，做一个能“自己开关”的装置。高考题中常见的是光控路灯和温控（恒温箱、过热报警）。

原理：

• 光敏电阻（$R_G$）：光照越强，电阻越小（第 30 章）。
• 热敏电阻（$R_T$）：常用的负温度系数热敏电阻，温度越高，电阻越小（第 30 章）。
• 电磁继电器：一个电磁铁加一组触点。线圈中电流达到某一值时，电磁铁吸下衔铁，触点切换；电流变小后，弹簧把衔铁拉回。它让小电流的控制电路去控制大电流的工作电路，两个电路互不相连。

以光控路灯为例：控制电路是电源 $E$、光敏电阻 $R_G$、继电器线圈串联；工作电路是 $220\ \mathrm{V}$ 交流电源、路灯，经衔铁和上方的静触点接通。

• 天亮：光照强，$R_G$ 小，控制电路电流大，电磁铁把衔铁吸下，上方触点断开，灯灭。
• 天暗：$R_G$ 大，电流小，电磁铁吸不住，弹簧把衔铁拉上去，触点接通，灯亮。

控制电路中衔铁被吸下的条件是线圈电流 $I \ge I_0$（$I_0$ 是继电器的吸合电流）。设线圈电阻为 $R_0$，电源内阻不计，串联的其他电阻为 $R$：

$$I = \frac{E}{R_G + R + R_0} \ge I_0 \quad\Longrightarrow\quad R_G \le \frac{E}{I_0} - R - R_0$$

右边就是“开关灯时光敏电阻的临界值”。调节串联电阻 $R$，就能改变装置在多暗时开灯，温控装置同理。

器材与装置

光敏电阻或热敏电阻、电磁继电器、电源（控制电路用低压直流）、滑动变阻器或电阻箱（调节动作的临界点）、小灯泡或发光二极管、蜂鸣器（报警用）、开关、导线；温控还要烧杯、热水、温度计。

关键器材的选择理由：

• 为什么要继电器，不把光敏电阻直接串在路灯电路里：光敏、热敏电阻允许通过的电流很小，路灯是 $220\ \mathrm{V}$ 的大电流电路，直接串联会烧坏传感器；而且电阻随光照“逐渐”变化，灯只会逐渐变暗变亮，不能干脆地开或关。继电器把“逐渐变化的小电流”变成“开或关两种状态”。
• 串联可调电阻：同一个继电器的吸合电流 $I_0$ 是定的，调 $R$ 才能改变“在多亮（多热）时动作”。用电阻箱可以直接读出阻值，便于计算和设定。
• 工作电路的灯接在哪个触点：要“条件满足时断开”（天亮关灯、温度到了停止加热），负载接在衔铁未吸下时接通的触点上；要“条件满足时接通”（温度过高报警），接在衔铁吸下后接通的触点上。

步骤

1. 用多用电表欧姆挡测光敏电阻（或热敏电阻）在不同光照（温度）下的阻值，了解它的变化规律。为什么：只有知道 $R_G$ 或 $R_T$ 随光照、温度怎样变、变化范围多大，才能选定串联电阻和继电器。
2. 按电路图连接控制电路和工作电路，两个电路分开连，检查无误后再通电。为什么：工作电路若接市电，有触电危险；实验室里工作电路一般用低压电源和小灯泡代替。
3. 改变光照（用手或黑纸遮挡光敏电阻）或温度（把热敏电阻放入不同温度的水中，水中的热敏电阻要做好绝缘），观察继电器是否动作、灯或蜂鸣器是否按要求工作。
4. 调节滑动变阻器或电阻箱，使装置在设定的光照强度或温度下恰好动作。为什么：这一步是“标定”，决定装置在什么条件下开关。
5. 记下装置动作时的电阻箱阻值和对应的光照或温度。

数据处理

本实验是制作类实验，处理的主要是“设定临界值”的计算：

1. 由继电器的吸合电流 $I_0$、电源电动势 $E$，算出动作时控制电路的总电阻 $R_{\text{总}} = \dfrac{E}{I_0}$。
2. 由传感器的 $R$-$t$（或 $R$-光照）图像或表格，查出设定条件下传感器的阻值。
3. 串联电阻 $R = R_{\text{总}} - R_0 - R_{\text{传感器}}$（$R_0$ 为线圈电阻，电源内阻不计时）。

要改变设定值时，判断 $R$ 应调大还是调小：设定温度升高，负温度系数的 $R_T$ 临界值变小，$R$ 要调大；路灯要在更暗时才亮，$R_G$ 的临界值要变大，$R$ 要调小。

误差分析

本实验以制作为主，误差体现为“装置动作的实际条件和设定的有偏差”：

• 系统误差：电源有内阻、电动势随使用下降，实际电流比计算值小，装置在稍偏离设定值的条件下才动作（温控中，电流偏小，$R_T$ 要更小、温度要更高才吸合，实际控制温度偏高）；继电器的吸合电流和释放电流不相等（释放电流更小），所以开和关不在同一个温度，恒温箱的温度在一个小范围内来回波动。
• 偶然误差：温度计读数、光照强弱的判断、热敏电阻和水的温度没有完全一致就读数。办法是缓慢改变温度，读数前稍等片刻。

注意事项

• 控制电路用低压直流；工作电路如果接 $220\ \mathrm{V}$ 市电，要在教师指导下进行，实验室里一般用低压电源加小灯泡代替。
• 热敏电阻放入水中前要做好绝缘（套塑料薄膜或用防水型的），否则水会导电，改变电路。
• 用欧姆挡测传感器阻值时，传感器要从电路中断开（第 37 章 37.2）。
• 继电器的触点、线圈接线柱要分清：线圈接控制电路，触点接工作电路，接反了装置不工作。

例题

例 1　（考法：判断电路的工作过程）上图是光控路灯的电路。（1）白天路灯是亮还是灭？说明理由。（2）若在控制电路中再串联一个滑动变阻器，想让路灯在天色更暗一些时才亮，变阻器接入的阻值应调大还是调小？

解：（1）灭；（2）调小。

判断依据：光敏电阻光照越强电阻越小；继电器线圈电流达到吸合电流 $I_0$ 时吸下衔铁。

（1）白天光照强，$R_G$ 小，控制电路电流大于 $I_0$，衔铁被吸下，上方触点断开，路灯熄灭。

（2）路灯在 $R_G$ 大于临界值 $\dfrac{E}{I_0} - R - R_0$ 时亮。天色更暗时才亮，就是要求 $R_G$ 更大时才亮，临界值要变大，所以 $R$ 要调小。

容易卡在：直觉认为“想让灯晚点亮，就把电阻调大”。要写出临界条件，看 $R$ 在式子中的位置再判断。

例 2　（考法：设计和计算）用热敏电阻做一个恒温箱的控制电路，如图。电源电动势 $E = 6\ \mathrm{V}$，内阻不计；继电器线圈电阻 $R_0 = 100\ \mathrm{\Omega}$，线圈电流达到 $20\ \mathrm{mA}$ 时衔铁被吸下，加热器断电。热敏电阻的阻值随温度变化如下表。

$t$/℃	20	40	60	80	100
$R_T/\mathrm{\Omega}$	600	300	120	80	50

（1）要使恒温箱温度保持在 60 ℃，电阻箱 $R$ 应调为多少？（2）要把温度改设为 80 ℃，$R$ 应调为多少？

解：

研究对象：控制电路（电源、电阻箱、热敏电阻、继电器线圈串联）。

过程划分：温度从低升高：低温时 $R_T$ 大、电流小，衔铁未吸下，加热器工作；温度升到设定值时电流恰好达到 $20\ \mathrm{mA}$，衔铁吸下，加热器断电。只需看“恰好吸合”这一状态。

分析：串联电路，闭合电路欧姆定律（第 18 章），电源内阻不计：$I = \dfrac{E}{R + R_T + R_0}$。

列式求解：恰好吸合时的总电阻

$$R_{\text{总}} = \frac{E}{I_0} = \frac{6}{20 \times 10^{-3}}\ \mathrm{\Omega} = 300\ \mathrm{\Omega}$$

（1）60 ℃ 时 $R_T = 120\ \mathrm{\Omega}$：

$$R = R_{\text{总}} - R_T - R_0 = (300 - 120 - 100)\ \mathrm{\Omega} = 80\ \mathrm{\Omega}$$

（2）80 ℃ 时 $R_T = 80\ \mathrm{\Omega}$：

$$R = (300 - 80 - 100)\ \mathrm{\Omega} = 120\ \mathrm{\Omega}$$

检验：设定温度升高，$R_T$ 临界值变小，$R$ 要调大，与数据处理中的结论一致。代回（1）：温度低于 60 ℃ 时 $R_T > 120\ \mathrm{\Omega}$，电流小于 $20\ \mathrm{mA}$，加热器工作；高于 60 ℃ 时停止加热，能保持恒温。

容易卡在：忘了加线圈电阻 $R_0$，算出 $R = 180\ \mathrm{\Omega}$。

易错点

• 错在哪：把光敏电阻直接串联在路灯电路中，认为“天暗电阻大，灯就……”，结果推不出开关动作。 为什么错：把传感器当成开关。传感器只是电阻在连续变化，要有继电器把它变成“开、关”两种状态，还要把小电流和大电流电路隔开。 正确做法：分清控制电路和工作电路，传感器和继电器线圈在控制电路，负载在工作电路的触点上。
• 错在哪：负载接错触点：恒温箱的加热器接在衔铁吸下后接通的触点上。 为什么错：没有先想清“条件满足时负载要接通还是断开”。温度高时线圈电流大、衔铁吸下，加热器这时应该断电。 正确做法：先列出“条件 → 电阻 → 电流 → 衔铁状态 → 负载应处的状态”这条链，再决定接哪个触点。
• 错在哪：调节设定值时凭感觉判断电阻箱调大还是调小。 为什么错：串联电阻、传感器电阻、动作条件之间是“总电阻不变”的此消彼长关系，凭直觉容易反。 正确做法：写出临界条件 $R + R_{\text{传感器}} + R_0 = \dfrac{E}{I_0}$，看传感器的临界值要变大还是变小，$R$ 反着调。

关联知识点

• 依据：第 30 章传感器，光敏电阻、热敏电阻的特性和传感器“把非电学量转换成电学量”的作用。
• 依据：第 18 章闭合电路欧姆定律，计算控制电路的电流和临界电阻；第 17 章串联电路。
• 依据：第 25 章电流的磁场，电磁铁吸引衔铁的原理。
• 同类：第 40 章用多用电表测量电学中的物理量（测传感器的阻值）；电学实验中“测热敏电阻的 $R$-$t$ 特性”类题目也常和本实验连考。
• 方法：第 37 章 37.5 转换法；37.6 电路设计。

42.5 用油膜法估测油酸分子的大小

目的与原理

目的：估测油酸分子的直径，体会分子大小的数量级（$10^{-10}\ \mathrm{m}$）。

原理：油酸分子的一端对水有很强的亲和力，另一端没有。把一小滴油酸滴到水面上，它会在水面上尽可能散开，形成一层单分子油膜：分子一个挨一个地竖立在水面上，只有一层厚。

这时做两个理想化假设（理想模型）：①油膜是单分子层；②把油酸分子看成球形，并且一个紧挨一个地排列。于是油膜的厚度就等于分子的直径：

$$d = \frac{V}{S}$$

$V$ 是这滴油中纯油酸的体积，$S$ 是油膜的面积。

分子直径太小，不能直接测，这里把它转换成测体积和面积（转换法）。

为什么要稀释成油酸酒精溶液：一滴纯油酸的体积约 $10^{-2}\ \mathrm{mL}$，按 $d \approx 10^{-9}\ \mathrm{m}$ 算，展开成单分子层的面积约有十平方米，任何浅盘都放不下。用酒精把油酸稀释几百到几千倍，一滴溶液里的纯油酸就只有 $10^{-5}\ \mathrm{mL}$ 量级，油膜面积约一百平方厘米，正好能在浅盘里测。酒精滴到水面后溶于水、并很快挥发，不影响油膜。

纯油酸体积的换算：设溶液的浓度（纯油酸体积占溶液体积的比例）为 $\eta$，$1\ \mathrm{mL}$ 溶液有 $n$ 滴，则一滴溶液中纯油酸的体积

$$V = \frac{1}{n} \times \eta\ \ \mathrm{mL}$$

测一滴溶液的体积，是把很多滴的总体积测出来再除以滴数（累积法，第 37 章 37.5）。

器材与装置

油酸、酒精、量筒（或注射器，量溶液体积和数滴数用）、带刻度的注射器或滴管、浅盘（边长三四十厘米）、水、痱子粉或细石膏粉、玻璃板、彩笔、坐标纸（方格边长常为 $1\ \mathrm{cm}$）。

关键器材的选择理由：

• 痱子粉：油酸膜是透明的，看不见边界。在水面先均匀撒一层薄薄的痱子粉，油膜展开时把粉推开，边界就显出来了。粉要薄，厚了会阻碍油膜展开。
• 浅盘的水要有一定深度、盘要足够大：保证油膜能自由展开，不碰到盘边。
• 坐标纸：用“数格子”的办法求不规则油膜的面积。

步骤

1. 配制溶液：把一定体积的油酸加入酒精中，配成已知浓度的油酸酒精溶液（如每 $1000\ \mathrm{mL}$ 溶液中有纯油酸 $0.5\ \mathrm{mL}$）。为什么：稀释，使一滴溶液形成的油膜大小适合测量。
2. 测一滴溶液的体积：用注射器或滴管把溶液一滴一滴地滴入量筒，记下滴入 $1\ \mathrm{mL}$ 时的滴数 $n$，一滴溶液的体积为 $\dfrac{1}{n}\ \mathrm{mL}$。为什么：一滴的体积太小，直接测不准，测多滴再平均（累积法）。
3. 准备水面：浅盘里倒入约 $2\ \mathrm{cm}$ 深的水，待水面稳定后，将痱子粉均匀地撒在水面上。为什么：显示油膜边界。
4. 滴油膜：用注射器在水面上方约 $1\ \mathrm{cm}$ 处滴入一滴溶液，等油膜形状稳定。为什么：要等油酸充分散开、酒精挥发完，油膜才是单分子层，面积才不再变。
5. 描轮廓：把玻璃板盖在浅盘上，用彩笔在玻璃板上描下油膜的轮廓。
6. 求面积：把玻璃板放在坐标纸上，数出轮廓内的方格数（不足半格的舍去，多于半格的算一格），乘以每格面积，得油膜面积 $S$。
7. 计算：由溶液浓度和一滴溶液的体积算出纯油酸体积 $V$，用 $d = \dfrac{V}{S}$ 算出分子直径。

数据处理

数格子求面积：油膜轮廓不规则，用“多于半格算一格，不足半格舍去”的办法数格子。这样有的格子算多了、有的算少了，正负大体抵消，误差不大。

单位换算：体积常用 $\mathrm{mL}$，面积常用 $\mathrm{cm^2}$，计算前统一换成国际单位：$1\ \mathrm{mL} = 1\ \mathrm{cm^3} = 10^{-6}\ \mathrm{m^3}$，$1\ \mathrm{cm^2} = 10^{-4}\ \mathrm{m^2}$。结果用科学记数法，按题目要求保留一到两位有效数字。

结果的检验：算出的 $d$ 应在 $10^{-10}\ \mathrm{m}$ 到 $10^{-9}\ \mathrm{m}$ 之间（本实验只求数量级，第 1 章 1.5）。算出 $10^{-6}\ \mathrm{m}$ 或 $10^{-14}\ \mathrm{m}$，一定是单位或浓度换算错了。

误差分析

测量公式 $d = \dfrac{V}{S}$：$V$ 偏大或 $S$ 偏小，$d$ 偏大；$V$ 偏小或 $S$ 偏大，$d$ 偏小（第 37 章 37.3 偏大偏小的推法）。

情况	哪个量偏了	$d$
痱子粉撒得太厚，油膜不能充分展开	$S$ 偏小	偏大
油膜还没完全展开就描轮廓	$S$ 偏小	偏大
计算时把一滴溶液的体积当成纯油酸的体积	$V$ 偏大	偏大
数格子时舍去了所有不满一格的	$S$ 偏小	偏大
数格子时把所有不满一格的都算成一格	$S$ 偏大	偏小
测 $1\ \mathrm{mL}$ 溶液的滴数时多数了几滴	算出的每滴体积偏小，$V$ 偏小	偏小
溶液配好后久置，酒精挥发，实际浓度变大，仍按原浓度计算	实际油酸多、油膜大，$S$ 偏大；$V$ 按原浓度算，偏小	偏小

系统误差还来自模型本身：真实的油酸分子不是球，单分子膜里分子之间也有空隙，所以本实验只能“估测”数量级，不能精确测量。

偶然误差：描轮廓、数格子时的判断。用更小的方格、多做几次取平均可以减小。

注意事项

• 油酸酒精溶液要现配现用，配好后盖严，避免酒精挥发使浓度改变。
• 痱子粉要撒得薄而均匀；浅盘要洗干净，水面要稳定后再滴油。
• 滴溶液时，注射器针头离水面约 $1\ \mathrm{cm}$，不要太高，否则油滴溅开、形成不连续的油膜。
• 必须等油膜形状稳定（充分展开）后再描轮廓；描轮廓时视线垂直玻璃板。
• 实验结束后用酒精或清洁剂清洗浅盘，再用水冲洗干净，残留的油酸会影响下一次实验。

例题

例 1　（考法：计算分子直径）在“用油膜法估测油酸分子的大小”实验中，油酸酒精溶液的浓度为每 $1000\ \mathrm{mL}$ 溶液中有纯油酸 $0.5\ \mathrm{mL}$，用注射器测得 $1\ \mathrm{mL}$ 上述溶液有 50 滴。把一滴溶液滴入撒有痱子粉的水面，待油膜稳定后描下轮廓，放在边长 $1\ \mathrm{cm}$ 的方格纸上，数得轮廓内有 125 格（见数据处理中的图）。求：（1）油膜的面积；（2）一滴溶液中纯油酸的体积；（3）油酸分子的直径。

解：

研究对象：一滴油酸酒精溶液中的纯油酸，在水面上形成的单分子油膜。

过程划分：不涉及过程，分三步换算：面积、体积、直径。

分析：单分子油膜模型，厚度等于分子直径，$d = \dfrac{V}{S}$；$V$ 要用纯油酸的体积，不是溶液的体积。

列式求解：

（1）$S = 125 \times 1\ \mathrm{cm^2} = 125\ \mathrm{cm^2} = 1.25 \times 10^{-2}\ \mathrm{m^2}$。

（2）一滴溶液的体积 $\dfrac{1}{50}\ \mathrm{mL}$，其中纯油酸占 $\dfrac{0.5}{1000}$：

$$V = \frac{1}{50} \times \frac{0.5}{1000}\ \mathrm{mL} = 1 \times 10^{-5}\ \mathrm{mL} = 1 \times 10^{-11}\ \mathrm{m^3}$$

（3）

$$d = \frac{V}{S} = \frac{1 \times 10^{-11}}{1.25 \times 10^{-2}}\ \mathrm{m} = 8 \times 10^{-10}\ \mathrm{m}$$

检验：单位：$\dfrac{\mathrm{m^3}}{\mathrm{m^2}} = \mathrm{m}$。量级：$10^{-10}\ \mathrm{m}$ 到 $10^{-9}\ \mathrm{m}$ 之间，与分子大小的数量级相符（第 31 章）。

容易卡在：（2）忘了乘浓度，用溶液体积 $\dfrac{1}{50}\ \mathrm{mL}$ 去算，得 $1.6 \times 10^{-6}\ \mathrm{m}$，比分子大了三个数量级；或者 $\mathrm{mL}$ 换 $\mathrm{m^3}$ 时乘了 $10^{-3}$（那是换成升）。

例 2　（考法：误差分析）某同学用油膜法估测油酸分子直径，结果明显偏大，可能的原因是（　）。

A. 水面上痱子粉撒得太多，油膜没有充分展开 B. 计算时把一滴油酸酒精溶液的体积当成了纯油酸的体积 C. 求面积时把不足一格的方格都算作一格 D. 测 $1\ \mathrm{mL}$ 溶液的滴数时，把 49 滴数成了 50 滴 E. 油酸酒精溶液配好后放置了很久才使用

解：AB。

判断依据：$d = \dfrac{V}{S}$，$V$ 偏大或 $S$ 偏小时 $d$ 偏大。

A：油膜没展开，$S$ 偏小，$d$ 偏大，选。B：溶液体积比纯油酸体积大得多，$V$ 偏大，$d$ 偏大，选。C：$S$ 偏大，$d$ 偏小。D：滴数数多了，算出的每滴体积 $\dfrac{1}{50}\ \mathrm{mL}$ 比实际 $\dfrac{1}{49}\ \mathrm{mL}$ 小，$V$ 偏小，$d$ 偏小。E：酒精挥发，实际浓度变大，一滴里实际油酸多，油膜面积 $S$ 变大，而 $V$ 仍按原浓度算，$d$ 偏小。

容易卡在：E。要分清“实际发生了什么”（油酸多了，油膜变大）和“计算时用了什么”（按原浓度算的 $V$），测量值是用计算的 $V$ 除以实际的 $S$。

易错点

• 错在哪：用一滴油酸酒精溶液的体积除以油膜面积。 为什么错：油膜里只有油酸，酒精已经溶于水、挥发掉了。把溶液体积当成油酸体积，结果大几百到几千倍。 正确做法：$V$ = 一滴溶液的体积 × 浓度。
• 错在哪：单位换算出错：$1\ \mathrm{mL}$ 换成 $10^{-3}\ \mathrm{m^3}$，$1\ \mathrm{cm^2}$ 换成 $10^{-2}\ \mathrm{m^2}$。 为什么错：长度单位的换算比例被直接搬到了体积、面积上。$1\ \mathrm{cm} = 10^{-2}\ \mathrm{m}$，面积要平方，体积要立方。 正确做法：$1\ \mathrm{mL} = 1\ \mathrm{cm^3} = 10^{-6}\ \mathrm{m^3}$，$1\ \mathrm{cm^2} = 10^{-4}\ \mathrm{m^2}$；算完看数量级是否在 $10^{-10}\ \mathrm{m}$ 附近。
• 错在哪：认为油膜法“测出了”油酸分子的直径。 为什么错：忽略了模型假设。分子不是球，排列也不完全紧密，结果只有数量级的意义。 正确做法：说“估测”，结果保留一到两位有效数字，重点是数量级 $10^{-10}\ \mathrm{m}$。

关联知识点

• 依据：第 31 章分子动理论，分子大小的数量级、把分子看成球或立方体的模型、由摩尔体积和阿伏加德罗常数估算分子大小。
• 依据：第 1 章 1.5 估算与数量级，本实验结果的检验靠数量级。
• 方法：第 37 章 37.5 转换法（测体积和面积代替测直径）、累积法（测 $n$ 滴的总体积）；37.3 偏大偏小的推法。
• 同类：第 37 章 37.5 例 4 把细铜丝密绕求直径，也是“测总量除以个数”。

42.6 探究等温情况下一定质量气体压强与体积的关系

目的与原理

目的：保持气体的质量和温度不变，探究压强 $p$ 与体积 $V$ 的关系。

原理：用注射器的柱塞封闭一段空气作为研究对象。推拉柱塞改变体积，体积从注射器的刻度读出，压强由与注射器相连的压强传感器（或压力表）读出。气体的质量（封闭的空气不进不出）和温度（缓慢操作、不用手握）保持不变，这是控制变量法。

按玻意耳定律（第 32 章），一定质量的气体在温度不变时

$$pV = C$$

$p$-$V$ 图像是双曲线的一支，从图上很难判断是不是“反比”。改画 $p$-$\dfrac{1}{V}$ 图像，如果是一条过原点的直线，就说明 $p$ 与 $V$ 成反比（化曲为直，第 37 章 37.4）。

器材与装置

注射器（带刻度，前端用短软管接压强传感器）、压强传感器、数据采集器和计算机（或用压力表代替传感器）、铁架台、润滑油。

关键器材的选择理由：

• 注射器：既能封闭一定质量的气体，又自带体积刻度，体积直接读出，不用测长度再算。
• 压强传感器：读数快，推动柱塞后能立即显示压强，便于在温度没变时读数；也可用压力表，原理相同。
• 润滑油：涂在柱塞上，一是密封，防止漏气（保证质量不变）；二是减小摩擦，推拉平稳。
• 短而细的软管：连接管里的气体也属于研究对象，但不在注射器刻度上。管越短越细，这部分体积越小，误差越小（见例 2）。

步骤

1. 在柱塞上涂适量润滑油，把柱塞插入注射器，封闭一段空气，用软管将注射器与压强传感器连接。为什么：密封，保证气体质量不变。
2. 把注射器固定在铁架台上。为什么：实验中手不要握住注射器筒，手的温度会传给气体，使气体温度升高。
3. 记下初始状态的体积 $V$ 和压强 $p$。
4. 缓慢推动（或拉动）柱塞，改变气体体积，稳定后记下新的 $V$ 和 $p$。为什么：快速压缩时外界对气体做功，气体来不及向外散热，温度会升高（第 33 章）；缓慢推动，并且推完稍等片刻再读数，让气体和外界充分热交换，温度回到室温。
5. 重复步骤 4，测五组以上数据，体积既有压缩也可以有拉伸。

数据处理

以一组数据为例：

$V/\mathrm{mL}$	20	16	12	10	8
$p/(10^5\ \mathrm{Pa})$	1.00	1.25	1.67	2.00	2.50
$\dfrac{1}{V}/\mathrm{mL^{-1}}$	0.050	0.063	0.083	0.100	0.125
$pV/(10^5\ \mathrm{Pa \cdot mL})$	20.0	20.0	20.0	20.0	20.0

图像法：以 $\dfrac{1}{V}$ 为横轴、$p$ 为纵轴描点。各点在一条过原点的直线上，说明 $p \propto \dfrac{1}{V}$，即 $pV$ 为常量。斜率就是 $C = pV$。

图线弯曲说明什么：$p = C \cdot \dfrac{1}{V}$，斜率就是 $C$，而 $C$ 与气体的质量和温度有关（质量越大、温度越高，$C$ 越大）。

• 图线在 $\dfrac{1}{V}$ 较大（压强较大）处向下弯（斜率变小）：$C$ 变小，常见原因是漏气（压强越大越容易漏），或者温度降低。
• 图线向上弯（斜率变大）：$C$ 变大，常见原因是推得太快或用手握注射器，气体温度升高。

结论：在误差允许的范围内，一定质量的气体，温度不变时，压强与体积成反比，$pV = C$。

误差分析

系统误差：

• 漏气：气体质量减少，$pV$ 逐渐变小，$p$-$\dfrac{1}{V}$ 图线向下弯。减小办法：柱塞涂润滑油，接口接紧。
• 温度变化：推动太快、用手握注射器，气体温度升高，$pV$ 偏大，图线向上弯。减小办法：缓慢推动，稳定后读数，不用手握。
• 连接管中的气体没有计入：注射器刻度读出的 $V$ 比气体的实际体积小 $V_0$（软管和传感器内的体积）。真实关系是 $p(V + V_0) = C$，用刻度值 $V$ 计算的 $pV$ 偏小，而且压缩得越厉害（$V$ 越小），$V_0$ 占的比例越大，$p$-$\dfrac{1}{V}$ 图线在右端也略向下弯。改画 $V$-$\dfrac{1}{p}$ 图像可以把 $V_0$ 求出来（例 2）：$V = C \cdot \dfrac{1}{p} - V_0$，$V_0$ 在这张图里不让图线弯曲，只让直线下移，斜率仍是 $C$，纵截距是 $-V_0$。所以连接管体积可以忽略时用第 37 章化曲为直表里的 $p$-$\dfrac{1}{V}$ 图，要求 $V_0$ 时换用 $V$-$\dfrac{1}{p}$ 图，两张图的斜率都是 $C$。

偶然误差：注射器刻度的读数误差（第 37 章 37.2）、压强传感器示数的波动。办法是多测几组，用图像法处理。

注意事项

• 柱塞上涂润滑油，保证密封、减小摩擦。
• 推拉柱塞要缓慢，每次改变体积后稍等片刻、示数稳定后再读，保证温度不变。
• 手不要握住注射器筒，避免手的温度传给气体。
• 注射器、软管、传感器的连接处要接牢，实验中不能拔下，否则气体质量改变，前后数据不能放在一起比较。
• 压缩时体积不要太小，以免压强超过传感器量程或使柱塞冲出。

例题

例 1　（考法：数据处理和图线弯曲的原因）用注射器和压强传感器探究等温情况下气体压强与体积的关系，测得数据如数据处理中的表。（1）为什么不直接画 $p$-$V$ 图像，而要画 $p$-$\dfrac{1}{V}$ 图像？（2）由图像求 $pV$ 的值（用国际单位）。（3）另一组同学的 $p$-$\dfrac{1}{V}$ 图线在压强较大处向下弯曲，可能的原因是什么？

解：

研究对象：注射器内（连同软管内）封闭的一定质量的空气。

过程划分：缓慢压缩，各状态温度相同，看作一系列等温状态。

分析：玻意耳定律 $pV = C$。$p$-$V$ 图像是双曲线，肉眼难以判断是否反比；$p$-$\dfrac{1}{V}$ 若是过原点的直线，就能直接判定 $p \propto \dfrac{1}{V}$，斜率即 $C$。

列式求解：

（1）理由如上：化曲为直，直线容易判断，也便于由斜率求 $C$。

（2）在直线上取 $(0, 0)$ 和 $(0.125\ \mathrm{mL^{-1}},\ 2.50 \times 10^5\ \mathrm{Pa})$：

$$C = \frac{2.50 \times 10^5\ \mathrm{Pa}}{0.125\ \mathrm{mL^{-1}}} = 2.0 \times 10^6\ \mathrm{Pa \cdot mL} = 2.0 \times 10^6 \times 10^{-6}\ \mathrm{Pa \cdot m^3} = 2.0\ \mathrm{Pa \cdot m^3}$$

（3）斜率变小，即 $pV$ 变小。温度不变时，$pV$ 变小说明气体质量减少，最可能是漏气；压强越大越容易漏，所以在压强大的一端弯得明显。连接管中的气体体积没有计入，也会使右端略向下弯。

检验：单位 $\mathrm{Pa \cdot m^3} = \mathrm{N \cdot m} = \mathrm{J}$，$pV$ 有能量的量纲，合理。代回表中 $V = 10\ \mathrm{mL}$：$p = \dfrac{2.0}{10 \times 10^{-6}}\ \mathrm{Pa} = 2.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$，与表一致。

容易卡在：（3）答成“温度升高”。温度升高使 $pV$ 变大，图线向上弯，方向正好相反。

例 2　（考法：图像截距的意义）某同学实验时，注射器与压强传感器之间的连接软管较长。他以注射器刻度读出的体积 $V$ 为纵轴、$\dfrac{1}{p}$ 为横轴作图，数据如下表。

$p/(10^5\ \mathrm{Pa})$	1.00	1.20	1.50	2.00	2.40
$V/\mathrm{mL}$	22	18	14	10	8

（1）图线是否过原点？说明原因。（2）求连接软管（含传感器内部）中气体的体积 $V_0$。

解：

研究对象：注射器内和连接软管内的全部气体，总体积 $V + V_0$。

过程划分：缓慢压缩，各状态温度相同。

分析：玻意耳定律对全部气体成立：$p(V + V_0) = C$。整理成以 $\dfrac{1}{p}$ 为自变量的形式：

$$V = C \cdot \frac{1}{p} - V_0$$

$V$-$\dfrac{1}{p}$ 图像是直线，斜率 $C$，纵截距 $-V_0$。

列式求解：

（1）算出 $\dfrac{1}{p}$ 分别为 $1.00$、$0.833$、$0.667$、$0.500$、$0.417$（单位 $10^{-5}\ \mathrm{Pa^{-1}}$），描点后各点在一条直线上，但直线不过原点，延长后与纵轴交于负值。原因是注射器刻度没有包括软管里的气体，$V$ 比气体真实体积少了 $V_0$。

（2）取直线上两点 $(1.00, 22)$ 和 $(0.500, 10)$，斜率

$$C = \frac{22 - 10}{1.00 - 0.500}\ \mathrm{mL} \times 10^5\ \mathrm{Pa} = 24 \times 10^5\ \mathrm{Pa \cdot mL}$$

纵截距：$V = 24 \times \dfrac{1}{p} - V_0$，代入 $(1.00, 22)$ 得 $22 = 24 - V_0$，

$$V_0 = 2\ \mathrm{mL}$$

检验：代入另一点 $(0.417, 8)$：$24 \times 0.417 - 2 \approx 8.0$，吻合。$V_0$ 比注射器读数小一个数量级，与“软管较长”相符。

另一种解法：不作图，直接用两组数据列方程：$1.00 \times (22 + V_0) = 2.00 \times (10 + V_0)$，解得 $V_0 = 2\ \mathrm{mL}$。数据可靠、只有两组时列方程快；数据多、有偶然误差时用图像法，所有点一起参与，截距还一眼就能看出有没有“漏算的体积”。

易错点

• 错在哪：为了读数快，用手握住注射器、快速推动柱塞。 为什么错：只想着“体积变了就读”，忘了“等温”这个前提。快速压缩时外界做功使气体温度升高，手也会给气体加热，$pV$ 变大。 正确做法：注射器固定在铁架台上，缓慢推动，示数稳定后再读。
• 错在哪：$p$-$\dfrac{1}{V}$ 图线向下弯，判断为“温度升高”。 为什么错：没有分清 $C$ 随温度、质量怎样变。温度升高 $C$ 变大，图线向上弯；向下弯是 $C$ 变小，多半是漏气。 正确做法：斜率就是 $pV$，先判断 $pV$ 变大还是变小，再找原因。
• 错在哪：认为 $V$-$\dfrac{1}{p}$ 图线不过原点，就说明“压强与体积不成反比”。 为什么错：把仪器读数当成了气体的真实体积。截距是连接管中没有计入的气体体积，属于系统误差，图线是直线已经说明了 $p(V + V_0)$ 为常量。 正确做法：写出包含 $V_0$ 的关系式 $V = C \cdot \dfrac{1}{p} - V_0$，由截距求 $V_0$。

关联知识点

• 依据：第 32 章玻意耳定律（气体的等温变化）、$p$-$V$ 图像中的等温线，温度越高等温线离原点越远。
• 依据：第 33 章热力学第一定律，快速压缩时外界做功使气体内能增加、温度升高。
• 方法：第 37 章 37.4 化曲为直，同类的还有第 38 章 $a$-$\dfrac{1}{m}$ 图像、第 41 章 $T^2$-$l$ 图像；截距反映系统误差的思路，和第 41 章单摆摆长漏加半径时 $T^2$-$l$ 图线平移相同。
• 方法：第 37 章 37.5 控制变量法（保持质量、温度不变）。

42.7 自测

1. 在“探究影响感应电流方向的因素”实验中，S 极向上拔出线圈时，线圈内感应电流的磁场方向与磁铁的磁场方向相同还是相反？
2. 查明灵敏电流计指针偏转方向与电流方向的关系时，为什么要串联一个大电阻？
3. 用可拆变压器实验，原线圈 200 匝接 $6.0\ \mathrm{V}$ 交流，副线圈 400 匝，副线圈电压的测量值最可能是 $11.6\ \mathrm{V}$、$12.0\ \mathrm{V}$ 还是 $12.4\ \mathrm{V}$？
4. 变压器原线圈接学生电源的直流 $6\ \mathrm{V}$ 输出，副线圈两端电压是多少？
5. 光控路灯电路中，光敏电阻在天亮时电阻变大还是变小？继电器的衔铁是被吸下还是被弹簧拉起？
6. 恒温箱电路中，负温度系数热敏电阻与电阻箱串联，要把设定温度调高，电阻箱阻值应调大还是调小？
7. 油酸酒精溶液每 $500\ \mathrm{mL}$ 中含纯油酸 $1\ \mathrm{mL}$，$1\ \mathrm{mL}$ 溶液 100 滴，一滴形成面积 $200\ \mathrm{cm^2}$ 的油膜。估算油酸分子直径。
8. 油膜法实验中，痱子粉撒得过厚，测得的分子直径偏大还是偏小？
9. 探究气体等温变化时，为什么要缓慢推动柱塞？
10. 以 $V$（注射器读数）为纵轴、$\dfrac{1}{p}$ 为横轴作图，得到一条纵截距为 $-1.5\ \mathrm{mL}$ 的直线，截距的意义是什么？

答案：1. 相同（磁通量减小，“减同”）；2. 灵敏电流计量程很小，直接接电池会超量程损坏，串联大电阻限流；3. $11.6\ \mathrm{V}$（实际变压器有漏磁和损耗，副线圈电压略小于理想值 $12.0\ \mathrm{V}$）；4. 零；5. 变小，被吸下；6. 调大；7. $1 \times 10^{-9}\ \mathrm{m}$；8. 偏大；9. 快速压缩时外界做功使气体温度升高，缓慢推动让气体与外界充分热交换，保持温度不变；10. 连接软管和传感器中没有计入的气体体积为 $1.5\ \mathrm{mL}$。

42.8 深入阅读

• PhET · 法拉第定律：把磁铁插入、拔出线圈，看电流计指针向哪边偏、偏多大，对照本章 42.2 的四种操作。
• PhET · 气体性质：保持温度不变改变容器体积，看压强怎样变，体会等温实验为什么要控制温度和粒子数。
• 维基百科 · 继电器：电磁继电器的结构、常开和常闭触点，弄清自动控制电路里负载该接哪个触点。
• 国家中小学智慧教育平台：教育部主办，有人教版选择性必修第二、三册实验节的同步课程，可看油膜法、可拆变压器的实际操作。