第 40 章 · 电学实验

项目	内容
课标主题	必修 3 的学生必做实验：观察电容器的充、放电现象；长度的测量及其测量工具的选用；测量金属丝的电阻率；用多用电表测量电学中的物理量；测量电源的电动势和内阻
人教版（2019）	必修第三册：第十章 4”电容器的电容“中的实验；第十一章 3”实验：导体电阻率的测量”（含长度的测量及测量工具的选用）、5”实验：练习使用多用电表”；第十二章 3”实验：电池电动势和内阻的测量”
考试地位	每卷一道电学实验题几乎是定数；测电源电动势和内阻、伏安法测电阻（含电阻率）、多用电表是三大热点；电容器充放电常以 $I$-$t$ 图像面积的形式出现
前置知识	第 1 章 1.4 图像的斜率和面积；第 16 章 16.6 电容器；第 17 章电阻定律、欧姆定律、电表的改装；第 18 章闭合电路欧姆定律；第 37 章读数（37.2）、误差（37.3）、数据处理（37.4）、电路设计（37.6）

电学实验题的套路很固定：先读数，再画（补）电路，再从图像的斜率和截距求量，最后问测量值偏大还是偏小。读数规则和“量程、内外接、限流分压”三步定电路，第 37 章已经讲完，本章只引用。本章讲每个实验自己的东西：原理公式是什么、图像怎么画、误差往哪边偏。丢分最多的两处：测电动势和内阻时把电流表相对电源外接的误差说反（两种接法见 40.6 的图），用多用电表时分不清电流从哪支表笔流进流出。

40.1 实验一览

实验	测什么或探究什么	方法归类
40.2 观察电容器的充、放电现象	充放电电流的方向和变化规律；由 $I$-$t$ 图像的面积求电荷量，进而求电容	传感器记录、图像面积（转换法）
40.3 长度的测量及其测量工具的选用	用刻度尺、游标卡尺、螺旋测微器测长度、内外径、深度；按大小和精度要求选工具	直接测量；按相对误差选仪器；累积法
40.4 测量金属丝的电阻率	$\rho = \dfrac{\pi d^2 R}{4l}$ 中的 $d$、$l$、$R$	间接测量；伏安法（外接、限流）；图像法求 $R$
40.5 用多用电表测量电学中的物理量	电压、电流、电阻；二极管的极性；电路故障	仪器使用；欧姆表原理；逐段测电压找故障
40.6 测量电源的电动势和内阻	电池的 $E$ 和 $r$	伏安法 + $U$-$I$ 图像截距斜率；安阻法、伏阻法化曲为直

40.2 观察电容器的充、放电现象

目的与原理

目的：观察电容器充电、放电时电流的方向和大小怎样变化；由放电电流的 $I$-$t$ 图像估算电容器所带的电荷量，进而估算电容。

原理：

• 充电：开关拨到 1，电源经电阻 $R$ 给电容器充电，正电荷流向与电源正极相连的极板。刚开始电容器两板间没有电压，电流最大，$I_0 = \dfrac{E}{R}$（电源内阻不计）；随着极板电荷增多，电容器两端电压 $U_C$ 升高，$R$ 两端电压 $E - U_C$ 变小，电流 $I = \dfrac{E - U_C}{R}$ 逐渐减小；$U_C = E$ 时电流为零，充电结束。
• 放电：开关拨到 2，电容器经 $R$ 放电，电流方向与充电时相反。电流开始最大，$I_0 = \dfrac{U}{R}$，随着电荷减少、电压降低而减小到零。
• 面积是电荷量：$I = \dfrac{\Delta q}{\Delta t}$，在很短的时间 $\Delta t$ 内流过的电荷量 $\Delta q = I \Delta t$，就是 $I$-$t$ 图线下一个细长条的面积。把所有细条加起来，图线与 $t$ 轴围成的面积就是这段时间内流过的总电荷量（第 1 章 1.4）。放电的总电荷量就是电容器原来所带的电荷量 $Q$，于是

$$C = \frac{Q}{U}$$

$U$ 是放电前电容器两端的电压（充电充满时等于电源电压）。

电流为什么不是均匀减小，而是先快后慢：电流越大，电荷积累得越快，电压升得越快，电流就降得越快；电流小了，降得也慢。严格地说电流按指数规律 $I = I_0 e^{-t/(RC)}$ 衰减，要用大学的微分方程推出，高中不要求，只需知道 $R$ 越大、$C$ 越大，充放电越慢。

器材与装置

直流电源（几伏）、电容器（几百到几千微法的电解电容器）、定值电阻 $R$（几千欧）、单刀双掷开关、电流传感器、计算机（数据采集软件）、导线；也可以再用一个电压传感器并在电容器两端，同时记录 $U_C$-$t$ 图像。

关键器材的选择理由：

• 为什么用大电容、大电阻：充放电的快慢由 $R$ 和 $C$ 的乘积决定。几微法的小电容配几百欧的电阻，放电几毫秒就结束，传感器来不及采够点；几百微法配几千欧，放电持续几秒到几十秒，图线清楚。
• 为什么用电流传感器：普通电流表指针有惯性，只能看出“先偏转再回零”，记录不下随时间的变化；传感器每秒采几十到几百个点，直接画出 $I$-$t$ 图像。没有传感器时，可以用灵敏电流计观察电流方向和“由大变小”的现象（只做定性观察）。
• 电解电容器有正负极：正极接高电势一端，接反了会漏电甚至损坏。

步骤

1. 按电路图连接，开关 S 先断开（悬空），电解电容器的正极接电源正极一侧。为什么：接线时电路不能通电；电解电容器反接会损坏。
2. 打开计算机的采集软件，开始记录，把 S 拨到 1。观察到电流从最大值迅速下降，最后为零。为什么：先记录再拨开关，才能采到充电开始那一刻的最大电流。
3. 电流归零后，把 S 拨到 2。观察到电流反向（图线到了 $t$ 轴下方），同样从最大值逐渐减小到零。为什么：电流为零说明充电已满，此时 $U_C$ 等于电源电压，下一步算电容时 $U$ 才确定。
4. 用软件的“面积”功能，或把图线打印在方格纸上数格子，求出放电图线与 $t$ 轴围成的面积 $Q$。
5. 换不同电压的电源（或换电阻）重复，比较 $I$-$t$ 图线的变化。为什么：看 $Q$ 是否与 $U$ 成正比（验证 $C$ 不变），看 $R$ 改变时图线形状怎样变、面积是否变。

数据处理

数格子求面积：图线画在方格纸上，数出图线与 $t$ 轴围成的格数 $n$。规则：超过半格的算一格，不足半格的舍去。每一格代表的电荷量是“横向一格的时间 × 纵向一格的电流”：

$$Q = n \times \Delta t_{\text{格}} \times \Delta I_{\text{格}}$$

再由 $C = \dfrac{Q}{U}$ 求电容。

多组数据：用不同电压 $U$ 充电，测出对应的 $Q$，画 $Q$-$U$ 图像，应是过原点的直线，斜率就是 $C$（第 16 章 16.6 $C = \dfrac{Q}{U}$ 的实验依据）。

充电电压 $U/\mathrm{V}$	数得格数 $n$	电荷量 $Q/\mathrm{C}$	$\dfrac{Q}{U}/\mathrm{F}$
……	……	……	……

比较两次放电：只改变 $R$ 时，$R$ 越大，初始电流 $\dfrac{U}{R}$ 越小，图线越“矮”、越“拖得长”，但面积（$Q = CU$）不变。

误差分析

系统误差：

• 放电没有记录完：图线在后面拖得很长，电流很小时可能已经停止记录，尾巴那一块面积没算进去，$Q$ 偏小，$C$ 偏小。减小办法：等电流降到接近零再停止记录。
• 电容器漏电：电解电容器两极之间有微小的漏电流，充好的电荷会慢慢少一点，放电测得的 $Q$ 偏小。充满后尽快放电。
• $U$ 取电源标称值：电源有内阻或标称值不准时，电容器实际电压与标称值不同。可用电压传感器直接测电容器两端电压。

偶然误差：数格子时“超过半格算一格”的取舍，有时多算、有时少算，大体抵消；格子越细，误差越小。传感器的采样点有限也带来小的偶然误差。

不影响结果的：电阻 $R$ 的大小不影响 $Q$（只改变图线形状）；电流传感器本身的内阻相当于串在 $R$ 上，同样不影响面积。

注意事项

• 电解电容器的正极接电源正极一侧，电压不超过它的耐压值。原因：反接或超压会使电容器漏电、发热甚至损坏。
• 先启动记录，再拨开关。原因：充放电开始的那一刻电流最大，漏掉就测不准最大电流，面积也少了一块。
• 充电要充满（电流归零）再放电。原因：没充满，电容器电压小于电源电压，用电源电压算 $C$ 会偏小。
• 数格子时，坐标轴的单位要看清（$\mathrm{mA}$、$\mathrm{\mu A}$；$\mathrm{s}$、$\mathrm{ms}$）。原因：每格代表的电荷量差 $10^3$ 倍，最容易在这里算错数量级。

例题

例 1　（场景：数格子求电荷量和电容）用上面的电路，电源电压 $U = 8.0\ \mathrm{V}$，电阻 $R = 8.0\ \mathrm{k\Omega}$。电容器充满电后放电，电流传感器记录的 $I$-$t$ 图线如图，方格纸每小格横向 $1\ \mathrm{s}$、纵向 $0.1\ \mathrm{mA}$。（1）放电开始时的电流是多少，与图线是否相符？（2）数得图线与坐标轴围成约 32 格，求电容器充满电时所带电荷量和电容。

解：

研究对象：电容器及放电回路（电阻 $R$、电流传感器）。

过程划分：只看放电过程：从 S 拨到 2 开始，到电流为零。

分析：放电开始时电容器两端电压等于电源电压 $U$，全部加在 $R$ 上；放电的总电荷量就是电容器充满时的电荷量，等于图线下的面积。

列式求解：（1）

$$I_0 = \frac{U}{R} = \frac{8.0}{8.0 \times 10^3}\ \mathrm{A} = 1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{A} = 1.0\ \mathrm{mA}$$

与图线在 $t = 0$ 时的值相符。

（2）每格代表的电荷量

$$\Delta q = 1\ \mathrm{s} \times 0.1 \times 10^{-3}\ \mathrm{A} = 1 \times 10^{-4}\ \mathrm{C}$$ $$Q = 32 \times 1 \times 10^{-4}\ \mathrm{C} = 3.2 \times 10^{-3}\ \mathrm{C}$$ $$C = \frac{Q}{U} = \frac{3.2 \times 10^{-3}}{8.0}\ \mathrm{F} = 4.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{F} = 400\ \mathrm{\mu F}$$

检验：单位：$\mathrm{C/V} = \mathrm{F}$。量级：实验室电解电容器几百微法，合理。数格子有取舍，数成 30 到 33 格都正常，电容在 $(3.8 \sim 4.1) \times 10^{-4}\ \mathrm{F}$ 之间都算对。

容易卡在：每格电荷量忘了把毫安换成安，得出 $0.1\ \mathrm{C}$ 量级的结果；或者数格子时只数整格，漏了图线下面那些大半格。

另一种解法：不数格子，用“面积 ≈ 初始电流 × 某个时间”估算：图线下的面积等于一个高 $I_0$、宽 $RC$ 的矩形（指数衰减曲线的性质，课本不要求）。题目只要求数量级时可这样估，要求两位有效数字时还是数格子。

例 2　（场景：电流方向和图线的变化）用本实验的电路，电源电压不变。（1）充电和放电时，流过电阻 $R$ 的电流方向相同还是相反？（2）把 $R$ 换成阻值为原来 2 倍的电阻，重做放电实验，$I$-$t$ 图线的起点、形状和面积各怎样变化？（3）某同学在放电电流降到初始值的十分之一时就停止记录，用这段图线的面积算电容，结果偏大还是偏小？

解：（1）相反；（2）起点减半，图线更平缓、持续时间更长，面积不变；（3）偏小。

判断依据：充电时正电荷流向与电源正极相连的极板，放电时从这块极板流出；$I_0 = \dfrac{U}{R}$；面积等于电荷量 $Q = CU$。

（1）由电路图，充电时电流从电源正极经 1、S、$R$、传感器流向电容器上极板；放电时上极板的正电荷经传感器、$R$、S、2 流回下极板，在 $R$ 中的方向与充电时相反，所以 $I$-$t$ 图线一次在 $t$ 轴上方、一次在下方。

（2）$U$ 不变、$R$ 加倍，初始电流 $\dfrac{U}{2R}$ 减半；电流小，电荷“流得慢”，放电时间变长；电容器原来带的电荷量 $Q = CU$ 不变，所以图线下的面积不变：图线“变矮变长”。

（3）后面那段拖尾的面积没算进去，$Q$ 偏小，$C = \dfrac{Q}{U}$ 偏小。

容易卡在：（2）以为电阻大了“放出的电少了”。电阻只影响放得快慢，不影响放多少。

易错点

• 错在哪：认为充电过程中电流不变，或者电流均匀减小。 为什么错：把电容器当成普通电阻，以为电源电压不变电流就不变。电容器两端电压随电荷积累而升高，与电源“顶着”，$R$ 上的电压越来越小。 正确做法：$I = \dfrac{E - U_C}{R}$，$U_C$ 增大，$I$ 减小，而且先快后慢。
• 错在哪：用 $I$-$t$ 图线的最大电流乘总时间求电荷量。 为什么错：把“面积”当成矩形。电流一直在变，只有图线下的真实面积才是电荷量。 正确做法：数格子，或用软件求面积；超过半格算一格，不足半格舍去。
• 错在哪：认为换大电阻后放电的电荷量变少。 为什么错：直觉觉得“电阻大，过去的电少”。电阻限制的是电流（流得快慢），电容器里的电荷最后都要放完。 正确做法：$Q = CU$ 只和电容、电压有关；$R$ 只改变 $I$-$t$ 图线的形状。

关联知识点

• 实验依据：第 16 章 16.6 电容器与电容（$C = \dfrac{Q}{U}$ 的实验依据就是本实验）；第 17 章 17.2 电流的定义 $I = \dfrac{q}{t}$；第 1 章 1.4 $I$-$t$ 图像的面积是电荷量。
• 后续：第 18 章 18.6 含容电路，“开关闭合瞬间”“充电过程中”电容器支路有电流，稳定后才没有；第 30 章 LC 振荡电路中电容器反复充放电。
• 同类实验：用图像面积求量的还有第 3 章 $v$-$t$ 图像的面积求位移；用传感器把看不见的变化记录成图像的还有第 42 章利用传感器制作简单的自动控制装置。

40.3 长度的测量及其测量工具的选用

目的与原理

目的：会用毫米刻度尺、游标卡尺、螺旋测微器测长度、外径、内径和深度；能根据被测量的大小和精度要求选择合适的工具。

原理：三种工具的读数原理和读法见第 37 章 37.2，本节不重讲，只讲怎么选。选工具看两件事：

1. 量程够不够：被测量不能超过工具的量程；要测内径、深度，只有游标卡尺有对应的测量爪和深度尺。
2. 相对误差够不够小：工具读数的绝对误差 $\Delta$ 大致固定，被测量 $L$ 越小，相对误差 $\delta = \dfrac{\Delta}{L}$ 越大（第 37 章 37.3）。精度要求高、被测量又小，就要换更精密的工具。

工具	常见量程	精度	适合测
毫米刻度尺（米尺）	$0 \sim 1\ \mathrm{m}$ 左右	$1\ \mathrm{mm}$，估读到 $0.1\ \mathrm{mm}$	几厘米以上的长度：金属丝接入长度、摆线长、纸带
游标卡尺	$0 \sim 150\ \mathrm{mm}$ 左右	$0.1$、$0.05$、$0.02\ \mathrm{mm}$，不估读	几毫米到十几厘米的外径、长度，以及内径、深度
螺旋测微器（千分尺）	$0 \sim 25\ \mathrm{mm}$	$0.01\ \mathrm{mm}$，估读到 $0.001\ \mathrm{mm}$	1 毫米左右或更小的直径、厚度：金属丝直径、薄片厚度

器材与装置

毫米刻度尺、游标卡尺、螺旋测微器；被测物：金属丝、小圆柱、圆筒（或试管）、薄片等。

• 游标卡尺的三个测量部位共用一个读数：外测量爪合拢、内测量爪合拢、深度尺缩回时，读数都是零。测外径用外测量爪，测内径用内测量爪（爪伸进孔内向外撑开），测深度把主尺尾端抵住孔口、深度尺伸到孔底。
• 螺旋测微器（构造和读数见第 37 章 37.2 例 3 的图）：测砧和测微螺杆夹住被测物；先转粗调旋钮，快要接触时改转微调旋钮（测力装置），听到“咔咔”声就停；读数前可用锁紧装置固定螺杆。
• 选择理由：测金属丝直径（约零点几毫米），刻度尺相对误差太大，游标卡尺精度 $0.02 \sim 0.1\ \mathrm{mm}$ 仍嫌粗，用螺旋测微器；测金属丝长度（几十厘米），超出卡尺、千分尺的量程，用米尺就够。

步骤

1. 估计被测量的大小和精度要求，选工具。为什么：先保证量程，再看相对误差能否满足要求。
2. 检查零点：游标卡尺合拢两外测量爪，看游标零刻线是否与主尺零刻线对齐；螺旋测微器使测砧与测微螺杆接触（用微调旋钮），看可动刻度的零刻线是否对准固定刻度的基准线。不对齐时记下零点读数（零误差）。为什么：零点不准带来的是系统误差，每次测量都偏同一个量，事先记下就能修正。
3. 测量：游标卡尺测外径时，测量爪轻轻夹住被测物，测量面与被测物贴合、不歪斜，拧紧紧固螺钉后取下读数；测内径时内测量爪要在直径位置，左右微微移动找最大值。螺旋测微器用微调旋钮夹紧，听到“咔咔”声停止转动再读。为什么：夹得过紧会使被测物和卡爪变形，读数偏小；内测量爪不在直径上，量到的是弦长，偏小。
4. 多次测量：在被测物的不同位置、不同方向（如金属丝的两端和中间、每处互相垂直的两个方向）各测一次，共测 3 次以上。为什么：被测物本身不是理想圆柱（粗细不匀、截面略呈椭圆），多处测量取平均，减小偶然误差。
5. 记录数据，按读数规则写对有效数字（第 37 章 37.2）。

数据处理

测量位置	1	2	3	平均值
直径 $d/\mathrm{mm}$	……	……	……	……

• 平均值：剔除明显错误的数据（如多读了半毫米的），其余取平均（第 37 章 37.4）。
• 零误差修正：测量值 = 读数 − 零点读数。零点读数可正可负：螺旋测微器两测量面接触时读数为 $+0.020\ \mathrm{mm}$（还没转到零就接触了），每次读数都要减去 $0.020\ \mathrm{mm}$；接触时读数为 $-0.020\ \mathrm{mm}$（转过了零才接触），每次读数都要加上 $0.020\ \mathrm{mm}$。
• 累积法：被测物太细太薄，单件的相对误差太大时，测 $n$ 件的总长再除以 $n$（第 37 章 37.5 例 4，把细铜丝密绕 30 圈测总宽度）。
• 由长度求其他量：圆柱体积 $V = \dfrac{\pi d^2 h}{4}$；金属丝横截面积 $S = \dfrac{\pi d^2}{4}$。直径在公式里是平方，它的相对误差在结果中翻倍（第 37 章 37.3 常用推论），所以直径要用更精密的工具测。

误差分析

系统误差：

• 零误差：仪器零点不准，每次都偏同一个量。减小办法：测前检查零点，读数减去零点读数。
• 仪器精度：工具的最小分度决定了能准到哪一位。减小办法：按相对误差要求换精密工具。
• 测量力：卡尺夹得太紧，被测物（尤其软的、细的）被压扁，测量值偏小；螺旋测微器不用微调旋钮而直接拧粗调旋钮，同样偏小。减小办法：卡尺轻夹，千分尺听到“咔咔”声就停。
• 内径没测在直径上：量到的是弦长，偏小。减小办法：内测量爪在孔内左右微移，取最大读数。

偶然误差：估读（刻度尺、螺旋测微器）有时偏大有时偏小；被测物各处粗细不完全一样。减小办法：多位置多次测量取平均。

不影响结果的：刻度尺测长度时，物体一端不必对齐零刻线，长度是两端读数之差。

注意事项

• 游标卡尺读数前拧紧紧固螺钉，再取下读数。原因：取下时游标滑动，读数就变了。
• 游标卡尺读整毫米看游标的零刻线，不看游标尺的边缘。原因：游标尺边缘和零刻线不在同一处（第 37 章 37.2 注意点）。
• 螺旋测微器测量时用微调旋钮，不能硬拧粗调旋钮。原因：微调旋钮有测力装置，保证每次测量力相同、不压坏被测物和螺纹。
• 螺旋测微器用完，测砧和测微螺杆之间要留一点空隙。原因：热胀冷缩时两测量面互相挤压，会损坏精密螺纹。
• 测金属丝长度要测“接入电路的有效长度”，并把金属丝拉直。原因：电阻定律里的 $l$ 是电流流过的长度（40.4）。

例题

例 1　（场景：按被测对象选工具）要测下列各量，应分别选用毫米刻度尺、游标卡尺（20 分度）还是螺旋测微器？（1）一根约 $60\ \mathrm{cm}$ 长的金属丝接入电路的长度；（2）这根金属丝的直径（约 $0.5\ \mathrm{mm}$），要求读到 $0.001\ \mathrm{mm}$；（3）一个玻璃试管的内径（约 $15\ \mathrm{mm}$）；（4）一个小圆孔的深度（约 $2\ \mathrm{cm}$）。

解：（1）毫米刻度尺；（2）螺旋测微器；（3）游标卡尺（内测量爪）；（4）游标卡尺（深度尺）。

判断依据：先看量程和测量部位，再看精度要求。

（1）$60\ \mathrm{cm}$ 超出游标卡尺（约 $15\ \mathrm{cm}$）和螺旋测微器（$2.5\ \mathrm{cm}$）的量程，用刻度尺；它的相对误差约 $\dfrac{0.5\ \mathrm{mm}}{600\ \mathrm{mm}} < 0.1\%$，足够。（2）要读到 $0.001\ \mathrm{mm}$，只有螺旋测微器能做到。（3）内径只能用游标卡尺的内测量爪，螺旋测微器只能夹外面。（4）深度用游标卡尺的深度尺。

容易卡在：（3）选螺旋测微器“因为它更精确”。精度再高，测不了内径也没用；先看能不能测，再看准不准。

例 2　（场景：按相对误差要求选工具）要测一个圆筒的容积，内径约 $20\ \mathrm{mm}$，深约 $50\ \mathrm{mm}$，要求容积的相对误差不超过 $1\%$。毫米刻度尺读数的绝对误差按 $0.5\ \mathrm{mm}$ 计，20 分度游标卡尺按 $0.05\ \mathrm{mm}$ 计。（1）用刻度尺测内径能否满足要求？（2）用游标卡尺测内径和深度呢？

解：

研究对象：圆筒的容积 $V = \dfrac{\pi d^2 h}{4}$。

过程划分：不涉及过程，分别估算两种工具下容积的相对误差。

分析：乘除运算中各量的相对误差近似相加，$d$ 是平方，它的相对误差算两次（第 37 章 37.3 常用推论）：

$$\delta_V \approx 2\delta_d + \delta_h$$

列式求解：（1）刻度尺测内径：

$$\delta_d = \frac{0.5}{20} = 2.5\%,\quad 2\delta_d = 5\%$$

仅内径一项已经 $5\% > 1\%$，不能满足要求。

（2）游标卡尺测内径和深度：

$$\delta_d = \frac{0.05}{20} = 0.25\%,\quad \delta_h = \frac{0.05}{50} = 0.1\%$$ $$\delta_V \approx 2 \times 0.25\% + 0.1\% = 0.6\% < 1\%$$

满足要求。

检验：结论与直觉一致：内径小、又是平方，是误差的主要来源，必须用精密工具；深度大，相对误差本来就小。

容易卡在：只比较绝对误差，或者忘了 $d^2$ 使相对误差翻倍，用 $2.5\% + 1\% = 3.5\%$ 去比。

易错点

• 错在哪：测金属丝直径用游标卡尺，或者用刻度尺直接量一根。 为什么错：只想着“能量出来就行”，没算相对误差。直径零点几毫米，卡尺 $0.05\ \mathrm{mm}$ 的误差已是 $10\%$，在电阻率公式里还要翻倍。 正确做法：金属丝直径用螺旋测微器，或用累积法（密绕 $n$ 圈）配刻度尺。
• 错在哪：螺旋测微器有零误差时，读数直接当测量值；或者零误差的正负弄反。 为什么错：以为“零点差一点无所谓”。零误差每次都一样，是系统误差，测多少次也平均不掉。 正确做法：测量值 = 读数 − 零点读数；两测量面接触时还没转到零，零点读数为正，要减去；转过了零才接触，零点读数为负，要加上。
• 错在哪：测内径时内测量爪没撑在直径上，或测外径时把被测物夹得很紧。 为什么错：以为卡尺“夹上就准”。弦比直径短；夹紧会压变形，两种都偏小。 正确做法：内径取左右微移时的最大读数；外径轻轻夹住，测量面贴合即可。

关联知识点

• 实验依据：第 37 章 37.2 三种工具的读数；37.3 相对误差、乘除时相对误差相加；37.4 平均值法；37.5 累积法和放大法（螺旋测微器把直线位移转成转动来放大）。
• 后续：40.4 测金属丝的电阻率（螺旋测微器测直径、米尺测长度）；第 41 章用单摆测重力加速度（游标卡尺测小球直径）、用双缝干涉测光的波长（测量头的读数与螺旋测微器相同）。
• 同类实验：凡是“选仪器”的问题（电表量程，第 37 章 37.6）都是同一个思路：先安全（量程、能不能测），再精确（相对误差）。

40.4 测量金属丝的电阻率

目的与原理

目的：测定金属丝材料的电阻率 $\rho$；练习使用螺旋测微器、伏安法。

原理：由电阻定律 $R = \rho\dfrac{l}{S}$（第 17 章 17.3），横截面积 $S = \dfrac{\pi d^2}{4}$，得

$$\rho = \frac{RS}{l} = \frac{\pi d^2 R}{4l}$$

要测三个量：

量	用什么测	精度要求
直径 $d$	螺旋测微器，不同位置测 3 次取平均	最高：$d$ 是平方，相对误差翻倍
接入电路的长度 $l$	毫米刻度尺（米尺），测 3 次取平均	几十厘米，刻度尺足够
电阻 $R$	伏安法：$R = \dfrac{U}{I}$，多测几组，求平均或画 $U$-$I$ 图像	电路设计见下

器材与装置

被测金属丝（常用镍铬合金丝，几欧）、螺旋测微器、毫米刻度尺、电池组（$3\ \mathrm{V}$ 左右）、电流表（$0 \sim 0.6\ \mathrm{A}$）、电压表（$0 \sim 3\ \mathrm{V}$）、滑动变阻器（$0 \sim 10\ \mathrm{\Omega}$ 或 $0 \sim 20\ \mathrm{\Omega}$）、开关、导线。

电路按第 37 章 37.6 的三步定：

1. 量程：电源 $3\ \mathrm{V}$，电压表选 $0 \sim 3\ \mathrm{V}$；金属丝约 $5\ \mathrm{\Omega}$，最大电流约 $\dfrac{3}{5}\ \mathrm{A} = 0.6\ \mathrm{A}$，电流表选 $0 \sim 0.6\ \mathrm{A}$。
2. 外接：金属丝只有几欧，远小于 $\sqrt{R_{\text{A}} R_{\text{V}}}$（如 $\sqrt{0.1 \times 3000}\ \mathrm{\Omega} \approx 17\ \mathrm{\Omega}$），是“小电阻”，电流表外接。
3. 限流：滑动变阻器阻值和金属丝相当，限流时电压能在约 $1 \sim 3\ \mathrm{V}$ 内调节，足够测多组数据，又不要求从零开始，用限流（详细的选择过程见第 37 章 37.6 例 4）。

步骤

1. 用螺旋测微器在金属丝的三个不同位置各测一次直径，求平均值 $d$。为什么：金属丝粗细不完全均匀；先测直径是因为接入电路后不便操作。
2. 按电路图连接，开关断开，滑动变阻器滑片置于使接入电路阻值最大的一端。为什么：闭合开关瞬间电流最小，保护电表和金属丝。
3. 用米尺测量接入电路的金属丝的有效长度 $l$（两接线柱之间、被拉直的部分），测 3 次取平均。为什么：电阻定律里的 $l$ 是电流实际流过的长度，接线柱外面多出的部分没有电流。
4. 闭合开关，改变滑片位置，读出几组 $U$、$I$，记入表格；读完立即断开开关。为什么：多组数据减小偶然误差；通电时间长、电流大，金属丝发热，电阻率随温度升高而变大。
5. 拆除电路，整理器材，计算 $\rho$。

数据处理

求 $R$ 的两种办法：

1. 平均值法：每组算 $R_i = \dfrac{U_i}{I_i}$，再取平均。
2. 图像法：以 $I$ 为横轴、$U$ 为纵轴描点，画一条过原点的直线（金属丝电阻不随电压变时），斜率就是 $R$（第 37 章 37.4）。偏离直线较远的点舍去。

次数	1	2	3	4	5
$U/\mathrm{V}$	……	……	……	……	……
$I/\mathrm{A}$	……	……	……	……	……

求 $\rho$：$d$、$l$ 换成米，$R$ 用欧，代入 $\rho = \dfrac{\pi d^2 R}{4l}$，单位是 $\mathrm{\Omega \cdot m}$。

变式：$R$-$l$ 图像：用鳄鱼夹改变接入长度 $l$，测出对应的 $R$，画 $R$-$l$ 图像，斜率 $k = \dfrac{\rho}{S}$，$\rho = kS$。好处是接线柱、夹子的接触电阻只影响截距，不影响斜率（第 37 章 37.4 常用推论）。

误差分析

系统误差：

• 电流表外接：电压表分流，电流表读数偏大，$R_{\text{测}} = \dfrac{R_x R_{\text{V}}}{R_x + R_{\text{V}}} < R_x$，所以 $\rho$ 偏小（第 37 章 37.6）。金属丝电阻远小于 $R_{\text{V}}$，偏小得很少。
• 金属丝发热：电流大、通电久，温度升高，电阻变大，测得的是较高温度下的电阻率，比常温值偏大。减小办法：电流不宜超过 $0.5\ \mathrm{A}$ 左右，读完数立即断开开关。
• 长度测量：测成了整根金属丝的长度（含接线柱外的部分），$l$ 偏大，$\rho$ 偏小。

偶然误差：直径、长度、电表的读数误差。其中直径的影响最大：

$$\delta_\rho \approx 2\delta_d + \delta_R + \delta_l$$

$d$ 只有零点几毫米，相对误差本来就大，在公式里还要乘 2。减小办法：用螺旋测微器在多处测量取平均；$R$ 用图像法或多组平均。

不影响结果的：滑动变阻器的阻值、电源内阻（只影响电流的调节范围）；电流表的内阻（外接时它不在电压表测量的范围内，不影响 $\dfrac{U}{I}$）。

注意事项

• 测直径在金属丝的不同位置测，测长度在连好电路、拉直后测有效长度。原因：保证测的是电流实际流过的那段的尺寸。
• 闭合开关前，滑动变阻器滑片置于接入阻值最大处。原因：限流接法中这样电流最小，保护电路。
• 电流不宜太大，通电时间不宜太长。原因：金属丝的电阻率随温度升高而增大，发热会使测量值变大，而且各组数据不在同一温度下。
• 电流表外接、滑动变阻器限流，是“金属丝几欧、电源几伏”这一组器材下的结论；器材变了要按第 37 章 37.6 重新判断。原因：内外接取决于 $R_x$ 与电表内阻的关系，不是一成不变。

例题

例 1　（场景：数据处理求电阻率）测某金属丝的电阻率。用螺旋测微器在三个位置测得直径为 $0.499\ \mathrm{mm}$、$0.502\ \mathrm{mm}$、$0.499\ \mathrm{mm}$；用米尺测得接入电路的长度 $l = 60.00\ \mathrm{cm}$；按上图电路测得五组数据如下表。（1）用图像法求金属丝的电阻；（2）求金属丝的电阻率（保留两位有效数字）。

$I/\mathrm{A}$	0.10	0.20	0.30	0.40	0.50
$U/\mathrm{V}$	0.41	0.80	1.18	1.62	2.00

解：

研究对象：接入电路的那段金属丝。

过程划分：不涉及过程，先求 $R$，再代电阻率公式。

分析：金属丝温度变化不大时电阻不变，$U$-$I$ 图像是过原点的直线，斜率等于 $R$；$\rho = \dfrac{\pi d^2 R}{4l}$。

列式求解：直径取平均：

$$d = \frac{0.499 + 0.502 + 0.499}{3}\ \mathrm{mm} = 0.500\ \mathrm{mm}$$

（1）描点后五个点几乎在一条过原点的直线上。在直线上取远处的点 $(0.60\ \mathrm{A}, 2.40\ \mathrm{V})$：

$$R = \frac{2.40}{0.60}\ \mathrm{\Omega} = 4.0\ \mathrm{\Omega}$$

（2）

$$\rho = \frac{\pi d^2 R}{4l} = \frac{3.14 \times (0.500 \times 10^{-3})^2 \times 4.0}{4 \times 0.6000}\ \mathrm{\Omega \cdot m} \approx 1.3 \times 10^{-6}\ \mathrm{\Omega \cdot m}$$

检验：单位：$\dfrac{\mathrm{m^2 \cdot \Omega}}{\mathrm{m}} = \mathrm{\Omega \cdot m}$。量级：镍铬合金的电阻率约 $1 \times 10^{-6}\ \mathrm{\Omega \cdot m}$，铜约 $1.7 \times 10^{-8}\ \mathrm{\Omega \cdot m}$，结果说明这是合金丝，合理。

容易卡在：直径忘了换成米，或者忘了平方；把直径当半径代入 $S = \pi d^2$，结果大了 4 倍。

另一种解法：每组算 $\dfrac{U}{I}$：$4.1$、$4.0$、$3.93$、$4.05$、$4.0\ \mathrm{\Omega}$，平均约 $4.0\ \mathrm{\Omega}$，结果相同。数据都可靠时代公式取平均更快；图像法能一眼看出哪个点测错了，数据多时更稳妥。

例 2　（场景：电路接法与误差分析）上题中电流表内阻约 $0.5\ \mathrm{\Omega}$，电压表内阻约 $3\ \mathrm{k\Omega}$，金属丝电阻按 $4.0\ \mathrm{\Omega}$ 计。（1）若改用电流表内接，测得的电阻是多少，电阻率偏大还是偏小，相对误差约多大？（2）用原来的外接电路，测得的电阻率偏大还是偏小，相对误差约多大？（3）另一同学测长度时量了整根金属丝（包括接线柱外面的部分），电阻率偏大还是偏小？

解：

研究对象：测量电路（电表与金属丝）。

过程划分：比较内接、外接两种电路；再单独看长度的测量。

分析：内接时测量值 $R_x + R_{\text{A}}$，外接时测量值是 $R_x$ 与 $R_{\text{V}}$ 的并联值（第 37 章 37.6）；$\rho \propto R$，$\rho \propto \dfrac{1}{l}$。

列式求解：（1）内接：

$$R_{\text{测}} = R_x + R_{\text{A}} = 4.0\ \mathrm{\Omega} + 0.5\ \mathrm{\Omega} = 4.5\ \mathrm{\Omega}$$

偏大，相对误差 $\dfrac{0.5}{4.0} \approx 13\%$，$\rho$ 也偏大约 $13\%$。

（2）外接：

$$R_{\text{测}} = \frac{R_x R_{\text{V}}}{R_x + R_{\text{V}}} = \frac{4.0 \times 3000}{3004}\ \mathrm{\Omega} \approx 3.995\ \mathrm{\Omega}$$

偏小，相对误差约 $\dfrac{4.0}{3000} \approx 0.13\%$，$\rho$ 也偏小约 $0.13\%$，可以忽略。

（3）$l$ 测大了，在公式分母上，$\rho$ 偏小。

检验：外接误差比内接小两个数量级，印证了“小电阻用外接”。

容易卡在：（2）说“外接电流表有内阻，所以偏大”。外接时问题在电压表分流，电流读大了，电阻偏小。

易错点

• 错在哪：把 $\rho = \dfrac{\pi d^2 R}{4l}$ 写成 $\rho = \dfrac{\pi d^2 R}{l}$ 或 $\rho = \dfrac{\pi d R}{4l}$。 为什么错：$S = \pi r^2$ 与 $d = 2r$ 的换算没有落实。 正确做法：先写 $S = \pi\left(\dfrac{d}{2}\right)^2 = \dfrac{\pi d^2}{4}$，再代入 $\rho = \dfrac{RS}{l}$。
• 错在哪：测金属丝长度时测了整根，或者没拉直。 为什么错：以为“金属丝的长度”就是整根长。电阻只来自电流流过的那段。 正确做法：连好电路后，拉直，测两个接线柱之间的有效长度。
• 错在哪：为了“读数大、误差小”，把电流调到很大，长时间通电。 为什么错：只想到电表的相对误差，忘了金属丝发热会让电阻变大，这是另一种系统误差。 正确做法：电流控制在 $0.5\ \mathrm{A}$ 以下，读数后立即断开开关。

关联知识点

• 实验依据：第 17 章 17.3 电阻定律（$R = \rho\dfrac{l}{S}$，电阻率随温度的变化）、17.4 欧姆定律与 $I$-$U$ 图像。
• 方法：40.3 和第 37 章 37.2 螺旋测微器测直径；第 37 章 37.6 电路设计（外接、限流）；37.3 偏大偏小的判断。
• 同类实验：用伏安法测电阻的都是同一套电路设计：描绘小灯泡的伏安特性曲线（分压、外接）、测电表内阻；第 37 章 37.5 替代法测电阻是不受电表内阻影响的另一种方案。

40.5 用多用电表测量电学中的物理量

目的与原理

目的：会用多用电表测直流电压、直流电流和电阻；会用欧姆挡判断二极管的极性；会用多用电表查找电路故障。

原理：多用电表是一个表头 G 加上转换开关和几组电阻（第 17 章 17.6 电表的改装）：

挡位	内部结构	怎么接入
直流电流挡	表头并联小电阻	串联在被测电路中
直流电压挡	表头串联大电阻	并联在被测元件两端
欧姆挡	表头 + 表内电池 + 调零电阻	被测电阻与电路断开，接在两表笔之间

红进黑出：不论哪个挡，电流都从红表笔流进表内，从黑表笔流出。测电压、电流时，红表笔接高电势一端，表头才正向偏转。欧姆挡用的是表内电池，电流要从黑表笔流出，所以表内电池的正极接黑表笔，黑表笔的电势比红表笔高。

欧姆表的原理：表内电源 $E$、表头（满偏电流 $I_{\text{g}}$）、调零电阻 $R_0$ 和电源内阻、表头内阻串联，总电阻记为 $R_{\text{内}}$。两表笔间接入 $R_x$，由闭合电路欧姆定律（第 18 章）：

$$I = \frac{E}{R_{\text{内}} + R_x}$$

• 欧姆调零：两表笔短接（$R_x = 0$），调 $R_0$ 使指针满偏：$I_{\text{g}} = \dfrac{E}{R_{\text{内}}}$，所以调零后 $R_{\text{内}} = \dfrac{E}{I_{\text{g}}}$。满偏处标“0 Ω”，在右端。
• 中值电阻：$R_x = R_{\text{内}}$ 时 $I = \dfrac{I_{\text{g}}}{2}$，指针指在表盘正中央，所以中央刻度值 $R_{\text{中}} = R_{\text{内}}$。
• 刻度不均匀：$I$ 与 $R_x$ 不成正比，$R_x$ 越大刻线越密；两表笔断开（$R_x \to \infty$）时 $I = 0$，左端标”∞“。

判断二极管极性：二极管正向（正极电势高）导通、电阻很小，反向几乎不导电、电阻很大。欧姆挡的黑表笔接表内电源正极，所以示数小的那一次，黑表笔接的是二极管正极。

找电路故障：串联电路中某处断路时，用电压挡逐段测量：断路处两端的电压约等于电源电压（电压表通过其余完好的元件接到电源两极），完好的元件两端电压为零（没有电流）。某处短路时，短路的那段电压为零，其余部分电压变大。

器材与装置

多用电表、干电池、定值电阻若干（几十欧到几千欧）、二极管、小灯泡、开关、导线。

多用电表面板上有：表盘（最上面一排是欧姆刻度，中间是直流电压电流共用的均匀刻度）、指针定位螺丝（机械调零）、欧姆调零旋钮、选择开关、“+“和”−“插孔（红表笔插”+“，黑表笔插”−“）。

量程选择：测电压、电流先估计大小，选比估计值大、但最接近的量程，让指针偏转过半；不知道大小时先用最大量程试测。欧姆挡选倍率，使指针在中央附近（第 37 章 37.2 欧姆挡读数）。

步骤

1. 机械调零：使用前看指针是否指在左端的零刻度（电流、电压的零），不在就用小螺丝刀调指针定位螺丝。为什么：这是表头本身的零点，和欧姆调零是两回事。
2. 测直流电压：选择开关置于直流电压挡合适的量程，两表笔并联在被测元件两端，红表笔接高电势端。为什么：电压挡内阻很大，串联会使电路几乎断开；红表笔接高电势，电流才从红表笔流进。
3. 测直流电流：断开电路，把多用电表串联进去，选择开关置于直流电流挡合适的量程，使电流从红表笔流入。为什么：电流挡内阻很小，并联会把元件短路、烧表。
4. 测电阻：选择开关置于欧姆挡合适的倍率；两表笔短接，调欧姆调零旋钮使指针指在右端“0 Ω”；把待测电阻从电路中断开，两表笔接在它的两端，读数 = 示数 × 倍率；偏角太大换小倍率，太小换大倍率，换挡后重新欧姆调零。为什么：欧姆挡用表内电池，电阻在电路中会和别的元件并联，带电还可能烧表；换挡后 $R_{\text{内}}$ 变了，调零作废。
5. 判断二极管极性：欧姆挡（常用 $\times 100$ 或 $\times 1\mathrm{k}$ 挡），两表笔接二极管两端测一次，交换表笔再测一次。示数小的那次，黑表笔接的是正极。
6. 查找故障：在通电的电路中用电压挡逐段测量；或者断开电源，用欧姆挡逐段测电阻（断路处电阻无穷大）。
7. 整理：用毕选择开关置于“OFF”挡或交流电压最高挡；长期不用时取出表内电池。为什么：防止下次误用欧姆挡、电流挡去测电压而烧表；电池漏液会腐蚀电表。

数据处理

多用电表的读数规则见第 37 章 37.2：电压、电流看中间的均匀刻度，按所选量程定每格大小再估读；欧姆挡看最上面一排，示数乘倍率，一般两位有效数字。

欧姆表刻度的计算：由调零后的 $R_{\text{内}} = \dfrac{E}{I_{\text{g}}}$ 和 $I = \dfrac{E}{R_{\text{内}} + R_x}$，指针偏到满偏的 $\dfrac{1}{n}$ 时：

$$R_x = (n - 1) R_{\text{内}}$$

偏到 $\dfrac{1}{2}$ 处 $R_x = R_{\text{内}}$，$\dfrac{1}{3}$ 处 $R_x = 2R_{\text{内}}$，$\dfrac{3}{4}$ 处 $R_x = \dfrac{1}{3}R_{\text{内}}$。

故障判断的记录：列出各段电压的测量值，电压约等于电源电压的那段有断路（其余段电压为零时）。

测量点	$U_{ab}$	$U_{bc}$	$U_{ac}$
示数/V	……	……	……

误差分析

系统误差：

• 欧姆表电池老化：电动势 $E$ 变小，仍能欧姆调零时，调零后 $R_{\text{内}}' = \dfrac{E'}{I_{\text{g}}}$ 变小，而表盘刻度是按原来的 $R_{\text{内}}$ 标的，测量值偏大（推导见例 1）。电池老化到调不了零时，必须换电池。
• 电压挡的内阻：电压挡内阻不是无穷大，并在高阻元件两端时会分流，使被测部分电压降低，测量值偏小。被测电阻越大，影响越明显。
• 测电阻时手碰表笔金属部分：人体电阻和被测电阻并联，测量值偏小。

偶然误差：欧姆刻度不均匀，指针偏离中央越远，读数相对误差越大；电压、电流的估读误差。减小办法：选倍率使指针在中央附近；电压电流挡选能使指针偏转较大的量程。

不影响结果的：欧姆挡下电池内阻变大（只要还能调零）本身不影响读数，调零时一并补偿了；影响读数的是电动势变化。

注意事项

• 机械调零和欧姆调零不同：前者调指针定位螺丝，使用前做一次；后者调欧姆调零旋钮，每次选或换欧姆挡倍率后都要做。原因：一个校表头的零，一个校欧姆表的内阻。
• 测电阻前，被测电阻必须与电源、其他元件断开。原因：欧姆表靠表内电池工作，外电源会烧表或使读数无意义；与其他元件相连时测的是并联电阻。
• 测电压、电流时红表笔接高电势，电流从红表笔流入。原因：表头只能正向偏转，接反指针反偏，可能打弯。
• 不知道大小时先用大量程试测，再换合适的量程。原因：先保证安全。
• 不要用欧姆挡、电流挡去测电压。原因：两种挡位内阻小，接在电源两端相当于短路。
• 用完把选择开关置于“OFF”或交流电压最高挡。原因：下次拿起来直接测电压也不会烧表。

例题

例 1　（场景：欧姆表原理与电池老化）某欧姆表内部电源电动势 $E = 1.5\ \mathrm{V}$，表头满偏电流 $I_{\text{g}} = 1\ \mathrm{mA}$。（1）欧姆调零后，欧姆表的内阻是多少？表盘中央刻度应标多少欧？（2）测某电阻时指针指在满偏的 $\dfrac{1}{3}$ 处，该电阻多大？（3）使用一段时间后电动势降为 $1.2\ \mathrm{V}$，仍能欧姆调零，用它测一个 $1200\ \mathrm{\Omega}$ 的电阻，读数是多少，偏大还是偏小？

解：

研究对象：欧姆表内部电路与外接电阻组成的闭合电路。

过程划分：三个状态：短接调零、接 $R_x$ 测量、电池老化后调零再测量。

分析：每个状态都用闭合电路欧姆定律 $I = \dfrac{E}{R_{\text{内}} + R_x}$；表盘刻度是按 $E = 1.5\ \mathrm{V}$ 时的 $R_{\text{内}}$ 标的，电池老化后刻度不会跟着改。

列式求解：（1）调零时 $R_x = 0$，$I = I_{\text{g}}$：

$$R_{\text{内}} = \frac{E}{I_{\text{g}}} = \frac{1.5}{1 \times 10^{-3}}\ \mathrm{\Omega} = 1500\ \mathrm{\Omega}$$

中央刻度（半偏）对应 $R_x = R_{\text{内}} = 1500\ \mathrm{\Omega}$。

（2）$I = \dfrac{I_{\text{g}}}{3}$：

$$\frac{I_{\text{g}}}{3} = \frac{E}{R_{\text{内}} + R_x}$$

得 $R_x = 2R_{\text{内}} = 3000\ \mathrm{\Omega}$。

（3）老化后调零：$R_{\text{内}}' = \dfrac{1.2}{1 \times 10^{-3}}\ \mathrm{\Omega} = 1200\ \mathrm{\Omega}$。接 $1200\ \mathrm{\Omega}$ 的电阻：

$$I = \frac{1.2}{1200 + 1200}\ \mathrm{A} = 0.5 \times 10^{-3}\ \mathrm{A} = \frac{I_{\text{g}}}{2}$$

指针指在中央，表盘上中央标的是 $1500\ \mathrm{\Omega}$，读数 $1500\ \mathrm{\Omega}$，比真实值 $1200\ \mathrm{\Omega}$ 偏大。

检验：一般情况：老化后读数 $R_{\text{测}}$ 满足 $\dfrac{R_{\text{测}}}{R_{\text{内}}} = \dfrac{R_x}{R_{\text{内}}'}$，$R_{\text{内}}' < R_{\text{内}}$，所以 $R_{\text{测}} > R_x$，与本题一致。

容易卡在：（3）以为“电动势小了，电流小了，所以读数偏小”。调零已把满偏电流补回来了，问题出在内阻变了而刻度没变。

例 2　（场景：找故障、判断二极管极性）（1）如图电路，电源电动势 $3\ \mathrm{V}$，闭合开关后两灯都不亮。用多用电表直流电压挡测得 $U_{ab} = 0$，$U_{bc} = 3.0\ \mathrm{V}$，$U_{ac} = 3.0\ \mathrm{V}$。故障可能是什么？（2）若改用欧姆挡检查，应先做什么？（3）用欧姆挡测一个二极管，红表笔接 $A$ 端、黑表笔接 $B$ 端时指针偏角很大；交换表笔后偏角很小。哪端是二极管的正极？

解：（1）$L_2$ 断路；（2）断开开关（使被测部分与电源断开）；（3）$B$ 端是正极。

判断依据：串联电路断路时，断路处两端电压约等于电源电压，完好元件两端电压为零；欧姆挡的黑表笔接表内电源正极，二极管正向电阻小。

（1）两灯都不亮，电路中没有电流，是断路。$U_{ac} = 3.0\ \mathrm{V}$，说明 $a$、$c$ 经电源和开关到电源两极是通的，断点在 $a$ 到 $c$ 之间。$U_{ab} = 0$：$L_1$ 中没有电流，两端没有电压，$L_1$ 本身可能完好。$U_{bc} = 3.0\ \mathrm{V}$：电压表经 $L_1$ 和电源连通，测到电源电压，说明断点在 $b$、$c$ 之间，即 $L_2$ 断路（灯丝断了或接触不良）。

（2）欧姆挡用表内电池，被测电路必须断电；最好再把要测的灯从电路中拆下一端，免得测成并联电阻。

（3）偏角大说明电阻小，二极管正向导通。这时黑表笔接 $B$，黑表笔连着表内电源正极，电流从 $B$ 流进二极管，所以 $B$ 是正极。

容易卡在：（3）按“红表笔是正”判断，答成 $A$。欧姆挡里红表笔接的是表内电源的负极，这和“红进黑出”是一回事：电流从黑表笔出来，流过外电路，再从红表笔进去。

易错点

• 错在哪：欧姆挡测电阻时，认为红表笔电势高。 为什么错：把“红正黑负”的颜色习惯搬到了欧姆挡。电压、电流挡的电流来自外电路，红表笔接高电势；欧姆挡的电流来自表内电池，要从黑表笔流出，所以黑表笔接电池正极。 正确做法：记住“红进黑出”，三个挡位都一样；由此推出欧姆挡黑表笔电势高。
• 错在哪：测电路中某个电阻时不断开电路，直接用欧姆挡测。 为什么错：以为欧姆表“只测两表笔之间的那个电阻”。其实两表笔之间所有的通路都算，测的是并联电阻；有电源时还会烧表。 正确做法：断开电源，把待测电阻至少一端从电路中断开再测。
• 错在哪：找故障时看到某段电压为零，就判定这段断路。 为什么错：断路处没有电流，可“没有电流”的地方处处电压都为零，不一定是断点。断点两端反而有电压：电压表跨过断点，通过其余完好部分接到电源两极。 正确做法：串联电路中，电压约等于电源电压的那段有断路；完好段电压为零。
• 错在哪：电池老化后的欧姆表，判断测量值偏小。 为什么错：只看到 $E$ 变小、电流变小，忘了调零已经补偿了满偏电流，真正变的是内阻。 正确做法：调零后 $R_{\text{内}}' = \dfrac{E'}{I_{\text{g}}}$ 变小，同一电流对应的真实电阻变小，而表盘读数不变，所以偏大。

关联知识点

• 实验依据：第 17 章 17.6 电表的改装（电流挡、电压挡是表头并小电阻、串大电阻）；第 18 章 18.3 闭合电路欧姆定律（欧姆表原理）；第 37 章 37.2 多用电表的读数。
• 常一起考：第 18 章 18.4 电路的动态分析和故障分析；二极管的单向导电性也用在第 29 章半波整流。
• 同类实验：40.6 测电源电动势和内阻（同样用闭合电路欧姆定律、同样有“电池内阻变化”的问题）；第 42 章探究影响感应电流方向的因素（先用电池和电流计判断电流从哪个接线柱流进时指针向哪边偏）。

40.6 测量电源的电动势和内阻

目的与原理

目的：测定电池的电动势 $E$ 和内阻 $r$；会用 $U$-$I$ 图像和化曲为直的图像处理数据。

原理：闭合电路欧姆定律（第 18 章 18.3）$E = U + Ir$，$U$ 是路端电压，$I$ 是流过电源的电流。$E$、$r$ 两个未知数，至少要两组数据，按测量的量不同有三种方法：

方法	测什么	方程	图像
伏安法	电压表测 $U$，电流表测 $I$，滑动变阻器改变外电阻	$E = U + Ir$	$U$-$I$：纵截距 $E$，斜率的绝对值 $r$
安阻法	电流表测 $I$，电阻箱读 $R$	$E = I(R + r)$	$\dfrac{1}{I}$-$R$：斜率 $\dfrac{1}{E}$，纵截距 $\dfrac{r}{E}$
伏阻法	电压表测 $U$，电阻箱读 $R$	$E = U + \dfrac{U}{R}r$	$\dfrac{1}{U}$-$\dfrac{1}{R}$：纵截距 $\dfrac{1}{E}$，斜率 $\dfrac{r}{E}$

伏安法是课本的主方法；安阻法、伏阻法在器材缺电压表或缺电流表时用，是常考的变式。

器材与装置

待测干电池（一节，$E \approx 1.5\ \mathrm{V}$，内阻零点几欧到一欧左右；用旧电池内阻大，路端电压变化明显）、电压表（$0 \sim 3\ \mathrm{V}$）、电流表（$0 \sim 0.6\ \mathrm{A}$）、滑动变阻器（$0 \sim 20\ \mathrm{\Omega}$ 左右）、开关、导线；安阻法、伏阻法还要电阻箱。

电流表怎么接：这里的“被测对象”是电源。电流表放在电压表的测量范围之外（上图，电压表直接测电源两端电压），叫电流表相对电源外接；电流表紧挨电源、和电源一起被电压表“包”在里面（下图），叫相对电源内接。教辅里对这两种接法的叫法不统一，有的以滑动变阻器为对象，名称正好相反，做题时以电路图为准：看电压表测的是不是电源两端的电压。本章说的“相对电源内接、外接”，与 40.4 和第 37 章 37.6 测电阻时的“电流表内接、外接”是两回事：那里的对象是待测电阻，这里的对象是电源；本书凡是测 $E$、$r$ 的场合，一律写“相对电源”。

课本用相对电源外接：电源内阻只有零点几欧，和电流表内阻（零点一到零点几欧）差不多大，相对电源内接时电流表的分压会让 $r$ 的测量值成倍偏大；而电压表内阻几千欧，远大于 $r$，相对电源外接时它的分流影响很小。这和第 37 章 37.6 的“小电阻用外接”是同一个道理，被测的“小电阻”就是电源内阻。

滑动变阻器用限流接法（作可变外电阻），阻值选十几到几十欧：太大了滑片稍动电流就变化很大，太小了电流可能超过电流表量程。

步骤

1. 按课本电路连接，电流表、电压表选好量程，滑动变阻器滑片置于接入阻值最大处。为什么：闭合瞬间电流最小，保护电表和电池。
2. 闭合开关，调节滑动变阻器，使电流表有明显示数，读出 $U$、$I$，记入表格。为什么：电流太小，$U$ 几乎等于 $E$，数据集中在一处，求不准斜率。
3. 改变滑片位置，再测 5 组以上的 $U$、$I$，电流在 $0.1 \sim 0.5\ \mathrm{A}$ 范围内分布开。为什么：多组数据画图，减小偶然误差；数据分散，直线的斜率才定得准。
4. 每读完一组就断开开关，读数时再闭合。为什么：干电池大电流长时间放电会“极化”，$E$ 下降、$r$ 增大，前后数据不在同一状态。
5. 断开开关，拆除电路，用图像法处理数据。

数据处理

次数	1	2	3	4	5	6
$I/\mathrm{A}$	……	……	……	……	……	……
$U/\mathrm{V}$	……	……	……	……	……	……

联立方程法：任取两组 $(I_1, U_1)$、$(I_2, U_2)$：

$$E = U_1 + I_1 r,\quad E = U_2 + I_2 r$$

解得 $r = \dfrac{U_1 - U_2}{I_2 - I_1}$，$E = \dfrac{I_2 U_1 - I_1 U_2}{I_2 - I_1}$。只用了两组数据，偶然误差大，一般只用来检验。

$U$-$I$ 图像法（主要方法）：以 $I$ 为横轴、$U$ 为纵轴描点，画一条直线，让点均匀分布在两侧。由 $U = E - rI$：

• 纵截距（$I = 0$ 时的 $U$）是电动势 $E$；
• 斜率的绝对值是内阻：$r = \left|\dfrac{\Delta U}{\Delta I}\right|$。

干电池的 $U$ 只在 $1.0 \sim 1.5\ \mathrm{V}$ 之间变化，若纵轴从 0 开始，图线挤在上面一小条。所以纵轴常从某个值（如 $1.00\ \mathrm{V}$）开始，让图线占满坐标纸。这时图线与横轴的交点不是短路电流，但纵截距仍是 $E$（横轴从 0 开始），斜率仍按 $\left|\dfrac{\Delta U}{\Delta I}\right|$ 算（第 18 章 18.3 注意点）。

安阻法化曲为直：$E = I(R + r)$，$I$-$R$ 是曲线。两边除以 $EI$：

$$\frac{1}{I} = \frac{1}{E}R + \frac{r}{E}$$

以 $R$ 为横轴、$\dfrac{1}{I}$ 为纵轴，是直线：斜率 $k = \dfrac{1}{E}$，纵截距 $b = \dfrac{r}{E}$。所以 $E = \dfrac{1}{k}$，$r = \dfrac{b}{k}$；直线延长后与横轴交于 $R = -r$。也可以画 $R$-$\dfrac{1}{I}$ 图像：$R = E \cdot \dfrac{1}{I} - r$，斜率是 $E$，纵截距是 $-r$。

伏阻法化曲为直：$E = U + \dfrac{U}{R}r$，两边除以 $EU$：

$$\frac{1}{U} = \frac{r}{E} \cdot \frac{1}{R} + \frac{1}{E}$$

以 $\dfrac{1}{R}$ 为横轴、$\dfrac{1}{U}$ 为纵轴，是直线：纵截距 $\dfrac{1}{E}$，斜率 $\dfrac{r}{E}$。所以 $E = \dfrac{1}{b}$，$r = \dfrac{k}{b}$。

化曲为直的通用做法（第 37 章 37.4 常用推论）：把方程整理成 $y = kx + b$，让测得的量（或它的倒数）当 $y$，可调的量（或它的倒数）当 $x$，未知的 $E$、$r$ 全进 $k$ 和 $b$。

误差分析

伏安法、课本接法（电流表相对电源外接）：电压表读数就是路端电压，准确；但电压表分流，电流表读数 $I$ 比流过电源的电流小 $I_{\text{V}} = \dfrac{U}{R_{\text{V}}}$。真实关系是

$$E = U + \left(I + \frac{U}{R_{\text{V}}}\right) r$$

整理成 $U$ 与 $I$ 的关系：

$$U = \frac{R_{\text{V}}}{R_{\text{V}} + r}E - \frac{R_{\text{V}} r}{R_{\text{V}} + r}I$$

所以

$$E_{\text{测}} = \frac{R_{\text{V}}}{R_{\text{V}} + r}E < E,\quad r_{\text{测}} = \frac{R_{\text{V}} r}{R_{\text{V}} + r} < r$$

$E$、$r$ 都偏小。（关键一步：把电压表和电源看成一个“等效电源”（第 18 章 18.5 等效电源的思路）：电压表并在电源两端，等效内阻是 $r$ 与 $R_{\text{V}}$ 的并联值，等效电动势是电源断路时电压表的读数 $\dfrac{R_{\text{V}}}{R_{\text{V}} + r}E$。实验测得的正是这个等效电源的 $E$ 和 $r$。）$R_{\text{V}} \gg r$ 时偏小得很少。

图像上看：$U$ 越大，电压表分走的电流越多，测量线与真实线差得越多；$U = 0$（外电路短路）时电压表不分流，两线交于横轴。测量线绕横轴上的交点“转低了”：纵截距小，斜率小。

伏安法、电流表相对电源内接：电流表读数是流过电源的电流，准确；电压表读数比路端电压少了电流表两端的电压 $IR_{\text{A}}$。真实关系 $E = (U + IR_{\text{A}}) + Ir$，即

$$U = E - (r + R_{\text{A}})I$$

所以 $E_{\text{测}} = E$（准确），$r_{\text{测}} = r + R_{\text{A}}$（偏大）。电源内阻和 $R_{\text{A}}$ 差不多大，误差很大，一般不用；但电流表内阻已知时，用这种接法再减去 $R_{\text{A}}$，可以得到没有系统误差的 $r$。

安阻法：电流表与电阻箱串联，方程实际是 $E = I(R + R_{\text{A}} + r)$，与电流表相对电源内接一样：$E$ 准确，$r_{\text{测}} = r + R_{\text{A}}$ 偏大。已知 $R_{\text{A}}$ 可修正。

伏阻法：电压表并在电阻箱上分流，与“课本接法”一样：$E$、$r$ 都偏小。

一句话记：电压表直接并在电源上（课本接法、伏阻法），$E$、$r$ 都偏小；电流表跟电源串在电压表测量范围里（相对电源内接、安阻法），$E$ 准、$r$ 偏大。

偶然误差：电表读数；描点、画线的随意性。减小办法：多测几组、数据分散开，用图像法；画线时让点均匀分布在直线两侧，个别偏离远的点舍去。

不影响结果的：滑动变阻器的阻值（它只是让 $I$ 变化的工具）；伏安法课本接法中电流表的内阻（它不在电压表测量的范围内）。

注意事项

• 用旧一点的干电池。原因：新电池内阻很小，电流变化时路端电压几乎不变，图线太平，斜率测不准。
• 电流不要超过 $0.5\ \mathrm{A}$，读数要快，读完断开开关。原因：大电流长时间放电，电池极化，$E$ 和 $r$ 都会变化。
• 画 $U$-$I$ 图像时纵轴可以不从 0 开始，横轴从 0 开始。原因：让图线占满坐标纸，斜率求得准；横轴从 0 开始，纵截距才是 $E$。
• 由图求 $r$ 用斜率，不用“纵截距 ÷ 横轴交点”。原因：纵轴不从 0 开始时，横轴交点不是短路电流。
• 闭合开关前，滑动变阻器接入阻值最大。原因：避免电流过大损坏电流表、使电池极化。

例题

例 1　（场景：$U$-$I$ 图像求 $E$、$r$ 并分析误差）用课本接法测一节干电池的电动势和内阻，测得数据如下表。电压表内阻 $R_{\text{V}} = 3\ \mathrm{k\Omega}$。（1）作 $U$-$I$ 图像，求 $E$ 和 $r$；（2）测量值比真实值偏大还是偏小？估算真实值。

$I/\mathrm{A}$	0.10	0.20	0.30	0.40	0.50
$U/\mathrm{V}$	1.42	1.35	1.25	1.18	1.10

解：

研究对象：干电池（连同并在它两端的电压表）。

过程划分：不涉及过程，处理一组数据，再分析系统误差。

分析：$U = E - rI$，$U$-$I$ 图像是直线，纵截距为 $E$，斜率的绝对值为 $r$。课本接法中电压表分流，测得的是电压表与电源组成的等效电源，$E$、$r$ 都偏小。

列式求解：（1）描点画直线，直线与纵轴交于 $1.50\ \mathrm{V}$：$E = 1.50\ \mathrm{V}$。在直线上取 $I = 0.10\ \mathrm{A}$ 和 $0.50\ \mathrm{A}$ 两点，对应 $U$ 为 $1.42\ \mathrm{V}$ 和 $1.10\ \mathrm{V}$：

$$r = \left|\frac{\Delta U}{\Delta I}\right| = \frac{1.42 - 1.10}{0.50 - 0.10}\ \mathrm{\Omega} = 0.80\ \mathrm{\Omega}$$

（2）偏小。由 $r_{\text{测}} = \dfrac{R_{\text{V}} r}{R_{\text{V}} + r}$ 解出真实内阻：

$$r = \frac{R_{\text{V}} r_{\text{测}}}{R_{\text{V}} - r_{\text{测}}} = \frac{3000 \times 0.80}{3000 - 0.80}\ \mathrm{\Omega} \approx 0.8002\ \mathrm{\Omega}$$ $$E = \frac{R_{\text{V}} + r}{R_{\text{V}}}E_{\text{测}} = \frac{3000.8}{3000} \times 1.50\ \mathrm{V} \approx 1.5004\ \mathrm{V}$$

两者都只偏小约 $0.03\%$，远小于读数误差，可以忽略。

检验：$E$ 约 $1.5\ \mathrm{V}$ 符合一节干电池；内阻不到 $1\ \mathrm{\Omega}$ 合理。图线与横轴（$U = 1.00\ \mathrm{V}$）交于约 $0.63\ \mathrm{A}$，这不是短路电流，真正的短路电流 $\dfrac{E}{r} \approx 1.9\ \mathrm{A}$。

容易卡在：用“纵截距 ÷ 横轴交点”算内阻：$\dfrac{1.50}{0.63}\ \mathrm{\Omega} \approx 2.4\ \mathrm{\Omega}$，错了三倍。纵轴从 $1.00\ \mathrm{V}$ 开始，要用斜率。

另一种解法：直接取第 1、5 组数据联立：$E = 1.42 + 0.10r$，$E = 1.10 + 0.50r$，解得 $r = 0.80\ \mathrm{\Omega}$，$E = 1.50\ \mathrm{V}$。这道题数据规整，两组恰好在直线上，联立最快；一般数据有偏离，用图像法让所有点一起“投票”更可靠。

例 2　（场景：安阻法化曲为直）实验室没有电压表，用电流表（内阻 $R_{\text{A}} = 0.2\ \mathrm{\Omega}$）和电阻箱测两节干电池串联的电动势和内阻，电路如图。改变电阻箱阻值 $R$，读出电流 $I$，算出 $\dfrac{1}{I}$：

$R/\mathrm{\Omega}$	2.0	4.0	6.0	8.0	10.0
$\dfrac{1}{I}/\mathrm{A^{-1}}$	1.00	1.68	2.32	3.00	3.66

（1）为什么画 $\dfrac{1}{I}$-$R$ 图像而不画 $I$-$R$ 图像？（2）求电池组的电动势和内阻。

解：

研究对象：电池组与电流表、电阻箱组成的闭合电路。

过程划分：不涉及过程，处理一组数据。

分析：闭合电路欧姆定律，电流表内阻也在回路里：$E = I(R + R_{\text{A}} + r)$。$I$-$R$ 是双曲线，看不出是否符合规律，也不好求系数；整理成

$$\frac{1}{I} = \frac{1}{E}R + \frac{R_{\text{A}} + r}{E}$$

$\dfrac{1}{I}$-$R$ 是直线，斜率 $\dfrac{1}{E}$，纵截距 $\dfrac{R_{\text{A}} + r}{E}$。

列式求解：（1）化曲为直，直线才能用斜率、截距求 $E$、$r$。

（2）描点画直线，纵截距 $b \approx 0.33\ \mathrm{A^{-1}}$，直线过 $(11\ \mathrm{\Omega}, 4.0\ \mathrm{A^{-1}})$：

$$k = \frac{4.0 - 0.33}{11}\ \mathrm{A^{-1} \cdot \Omega^{-1}} \approx 0.333\ \mathrm{A^{-1} \cdot \Omega^{-1}}$$ $$E = \frac{1}{k} = 3.0\ \mathrm{V}$$ $$R_{\text{A}} + r = bE = 0.33 \times 3.0\ \mathrm{\Omega} \approx 1.0\ \mathrm{\Omega},\quad r = 1.0\ \mathrm{\Omega} - 0.2\ \mathrm{\Omega} = 0.8\ \mathrm{\Omega}$$

检验：单位：$k$ 的单位 $\mathrm{A^{-1} \cdot \Omega^{-1}} = \dfrac{1}{\mathrm{V}}$，倒数是伏特，对。两节干电池约 $3\ \mathrm{V}$，合理。直线延长与横轴交于 $R = -(R_{\text{A}} + r) = -1.0\ \mathrm{\Omega}$，与图一致。

容易卡在：直接把 $bE$ 当作内阻，答 $1.0\ \mathrm{\Omega}$。安阻法里电流表与电阻箱串联，它的内阻和电源内阻“混在一起”，已知 $R_{\text{A}}$ 就要减去；不减，测量值偏大。

另一种解法：画 $R$-$\dfrac{1}{I}$ 图像：$R = E \cdot \dfrac{1}{I} - (R_{\text{A}} + r)$，斜率直接是 $E$，纵截距是 $-(R_{\text{A}} + r)$，不用再取倒数、不用相乘。题目只问 $E$、$r$ 时这样画更省一步；题目已给定横纵轴时照题目的来。

易错点

• 错在哪：课本接法（电流表相对电源外接）说成”$E$ 准确、$r$ 偏大”。 为什么错：把测电阻的“外接偏小”和测电源的情况对不上，凭印象套了相对电源内接的结论。 正确做法：看电压表直接并在谁上：并在电源两端，电压表分流，等效电源的 $E$、$r$ 都偏小；电流表被包在电压表里，$E$ 准、$r = r_{\text{真}} + R_{\text{A}}$ 偏大。
• 错在哪：纵轴不从 0 开始的 $U$-$I$ 图像，用横轴交点当短路电流，$r = \dfrac{E}{I_{\text{交}}}$。 为什么错：习惯了坐标轴从原点开始，忘了看纵轴的起点。 正确做法：先看纵轴起点；$r$ 一律用斜率 $\left|\dfrac{\Delta U}{\Delta I}\right|$ 求。
• 错在哪：安阻法、伏阻法的图像，斜率和截距对应的量记混。 为什么错：死记“斜率是什么、截距是什么”，不从方程出发。 正确做法：每次都从 $E = I(R + r)$ 或 $E = U + \dfrac{U}{R}r$ 出发，按题目给的横纵轴整理成 $y = kx + b$，再对号入座。
• 错在哪：为了读数大，用新电池、大电流、长时间通电。 为什么错：新电池内阻小，$U$ 几乎不随 $I$ 变，图线太平；大电流长时间放电使电池极化，$E$、$r$ 在测量中变化。 正确做法：用旧电池，电流控制在 $0.5\ \mathrm{A}$ 以下，读完断开开关。

关联知识点

• 实验依据：第 18 章 18.2 电动势、18.3 闭合电路欧姆定律与电源的 $U$-$I$ 图像、18.5 等效电源的思路。
• 方法：第 37 章 37.4 图像法和化曲为直（$\dfrac{1}{I}$-$R$）；37.6 内外接的误差分析（这里被测的“小电阻”是电源内阻）；37.3 偏大偏小的推法。
• 同类实验：40.4 伏安法测电阻（同一套“哪只表把别人包进去了”的误差分析）；40.5 欧姆表原理（同样是闭合电路欧姆定律）；化曲为直的还有第 41 章单摆的 $T^2$-$L$ 图像、第 42 章等温变化的 $p$-$\dfrac{1}{V}$ 图像。

40.7 自测

1. 电容器放电的 $I$-$t$ 图线画在方格纸上，每小格横向 $0.2\ \mathrm{s}$、纵向 $0.2\ \mathrm{mA}$，图线下约 40 格，放电前电容器两端电压为 $4.0\ \mathrm{V}$。电容约多大？
2. 其他条件不变，只增大放电电阻，放电 $I$-$t$ 图线与坐标轴围成的面积怎样变化？
3. 测一根头发丝的直径（约 $0.08\ \mathrm{mm}$），手边只有毫米刻度尺，可以怎样测？
4. 螺旋测微器两测量面接触时，读数为 $-0.010\ \mathrm{mm}$。测某金属丝时读数为 $0.385\ \mathrm{mm}$，金属丝直径是多少？
5. 测金属丝电阻率时，直径的相对误差为 $1\%$，长度和电阻的相对误差各为 $0.5\%$，电阻率的相对误差约为多少？
6. 用电流表外接测金属丝的电阻，电阻率的测量值偏大还是偏小？
7. 用多用电表的直流电压挡测电压时，电流从哪支表笔流进电表？欧姆挡测电阻时，哪支表笔的电势高？
8. 欧姆表内电源电动势 $1.5\ \mathrm{V}$，调零后内阻 $150\ \mathrm{\Omega}$。测某电阻时指针指在满偏的 $\dfrac{3}{4}$ 处，该电阻多大？
9. 用伏阻法测电源电动势和内阻，画 $\dfrac{1}{U}$-$\dfrac{1}{R}$ 图像，测得纵截距 $0.50\ \mathrm{V^{-1}}$，斜率 $0.25\ \mathrm{\Omega \cdot V^{-1}}$。求 $E$ 和 $r$（不计电压表的影响）。
10. 伏安法测电源电动势和内阻，若电流表与电源串联后一起被电压表测量（电流表相对电源内接），$E$ 和 $r$ 的测量值各偏大、偏小还是准确？

答案：1. $Q = 40 \times 0.2 \times 0.2 \times 10^{-3}\ \mathrm{C} = 1.6 \times 10^{-3}\ \mathrm{C}$，$C = 4 \times 10^{-4}\ \mathrm{F}$；2. 不变（$Q = CU$）；3. 把头发在铅笔上紧密排绕几十圈，量总宽度再除以圈数（累积法）；4. $0.395\ \mathrm{mm}$；5. 约 $3\%$（$2 \times 1\% + 0.5\% + 0.5\%$）；6. 偏小；7. 红表笔流进；黑表笔电势高；8. $50\ \mathrm{\Omega}$；9. $E = 2.0\ \mathrm{V}$，$r = 0.50\ \mathrm{\Omega}$；10. $E$ 准确，$r$ 偏大（$r_{\text{测}} = r + R_{\text{A}}$）。

40.8 深入阅读

• PhET · 电路构造工具包：直流：搭一个电池、电流表、电压表和可变电阻的电路，改变电阻记录电压电流，自己画出 U-I 图像求电动势和内阻；也可用电压表逐段找断路。
• PhET · 电容器实验室：基础：改变极板面积、间距和电压，看电容器的电荷量和电容怎样变，帮助理解 C = Q/U。
• 维基百科 · 万用表：多用电表的结构、各挡位的工作原理和使用注意事项，配实物照片。
• 国家中小学智慧教育平台：教育部主办，有人教版必修第三册各实验的同步课程视频，可看多用电表、螺旋测微器的实际操作。