第 34 章 · 原子结构

项目	内容
课标主题	选择性必修 3 · 原子与原子核（本章涉及其中的原子结构部分：人类探索原子结构的历程、核式结构模型、氢原子光谱与能级）
人教版（2019）	选择性必修第三册 第四章“原子结构和波粒二象性”：3 原子的核式结构模型（含电子的发现）；4 氢原子光谱和玻尔的原子模型。同一章的 1、2、5 节（黑体辐射、光电效应、粒子的波动性）在本书第 35 章
考试地位	能级跃迁常考，多为选择题：算光子能量、数谱线条数、判断能否激发或电离；α 粒子散射的现象和结论、物理学史常作选择题的选项；汤姆孙测比荷偶尔和第 26 章复合场结合出题。依据 2023–2026 年全国卷，不足部分参考山东、广东、浙江、江苏、湖南、湖北卷
前置知识	第 10 章圆周运动的向心力；第 15 章库仑定律；第 16 章电势能和电子伏特；第 26 章带电粒子在磁场中的圆周运动、复合场；第 35 章光子能量 $E = h\nu$（同一部分，可先读本章再回看）

这一章讲人们怎样一步步看清原子的样子。主线只有一条：发现新现象 → 旧模型解释不了 → 提出新模型。电子的发现推翻了“原子不可分”，引出汤姆孙的枣糕模型；α 粒子散射的大角度偏转是枣糕模型解释不了的，引出卢瑟福的核式结构；核式结构按经典理论既不稳定、又该发连续光谱，和氢原子的线状谱矛盾，引出玻尔模型。考试丢分在两处：一是物理学史张冠李戴（把油滴实验安到汤姆孙头上，把核式结构说成由电子的发现得出）；二是能级跃迁算不清，尤其是“一群”和“一个”原子分不清，“光子”和“电子”使原子激发的条件分不清。

34.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
34.2 电子的发现	汤姆孙 1897 年用电场和磁场使阴极射线偏转，测出比荷，确认它是带负电的粒子，叫电子；原子可以再分	物理学史偶考；测比荷偶和复合场结合
34.3 α 粒子散射与核式结构	绝大多数 α 粒子直穿、少数大角度偏转、极少数被弹回；说明正电荷和几乎全部质量集中在很小的核上	现象与结论常作选择题选项
34.4 氢原子光谱	稀薄氢气发光是线状谱，可见光区的谱线波长满足巴耳末公式；经典理论解释不了	偶考
34.5 玻尔模型与能级	轨道量子化、能量量子化（定态）、跃迁时 $h\nu = E_m - E_n$；氢原子 $E_n = \dfrac{E_1}{n^2}$，$E_1 = -13.6\ \mathrm{eV}$	常考
34.6 能级跃迁、谱线条数与电离	光子能量等于两能级之差；一群原子从 $n$ 能级最多发出 $\mathrm{C}_n^2$ 种光；光子要“恰好”，电子“够就行”；电离能 $-E_n$	常考，选择题

34.2 电子的发现

说明

阴极射线：19 世纪后半叶，人们研究稀薄气体放电时发现，抽成真空的玻璃管两端加高电压，阴极会发出一种射线，使对面的玻璃管壁发出荧光。1876 年德国物理学家戈德斯坦把它叫作阴极射线。它到底是电磁波还是带电粒子流，当时争论了二十多年。

汤姆孙的实验（1897 年）：英国物理学家 J. J. 汤姆孙让阴极射线穿过电场和磁场：

• 射线在电场中向正极板一侧偏转，在磁场中按左手定则（对负电荷）偏转，说明它是带负电的粒子流，不是电磁波（电磁波不带电，在电场、磁场中不偏转）。
• 他测出了这种粒子的比荷 $\dfrac{e}{m}$，比氢离子的比荷大得多（今天的数值约为氢离子的 1800 多倍）。换不同材料的阴极、换管内的气体，测得的比荷都相同，说明这种粒子是各种物质共有的成分。后来这种粒子被叫作电子。

电子的电荷量：美国物理学家密立根在 1909 年起的一系列油滴实验中，测得油滴所带电荷量总是某个最小值的整数倍。这个最小值就是电子电荷量的大小，叫元电荷：

$$e = 1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$$

（精确值 $1.602 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$。）由比荷和 $e$ 可算出电子质量 $m_{\text{e}} \approx 9.1 \times 10^{-31}\ \mathrm{kg}$。

意义：电子是原子的组成部分，原子可以再分。原子整体是电中性的，所以原子里一定还有带正电的部分，并且原子的质量几乎全在这部分上。原子内部是什么结构，成了下一个问题。

汤姆孙的枣糕模型（1904 年）：正电荷均匀分布在整个原子球体内，电子像枣糕里的枣（或西瓜里的瓜子）一样嵌在其中。也叫“葡萄干布丁模型”“西瓜模型”。

测比荷的方法（汤姆孙方法的高中版）：

1. 在两平行极板间加电场 $E$，再加与之垂直的匀强磁场 $B$，调节到电子束不偏转。电场力与洛伦兹力平衡：$eE = evB$，得电子速度

$$v = \frac{E}{B}$$

2. 撤去电场，电子在磁场中做匀速圆周运动，测出半径 $r$。由 $evB = m\dfrac{v^2}{r}$ 得

$$\frac{e}{m} = \frac{v}{Br} = \frac{E}{B^2 r}$$

这里把电子看成只受电场力和洛伦兹力的点电荷，重力不计（电子的重力约 $10^{-29}\ \mathrm{N}$，比电场力小十几个数量级）。

使用场景

• 题目给出电子束在互相垂直的电场和磁场中不偏转，又给出只有磁场时的偏转半径，问比荷 → 速度选择器 + 磁场中的匀速圆周运动 → 先 $v = \dfrac{E}{B}$，再 $\dfrac{e}{m} = \dfrac{v}{Br}$。
• 选择题问阴极射线的本质、电子是谁发现的、电子的发现说明了什么 → 物理学史 → 汤姆孙 1897 年测比荷，说明阴极射线是带负电的粒子流、原子可再分。
• 题目给出一组油滴（或带电体）的电荷量，问哪个不可能、或求元电荷 → 电荷量子化 → 任何带电体的电荷量都是 $e$ 的整数倍。

注意点

• 发现电子、测比荷的是汤姆孙；精确测出电子电荷量的是密立根（油滴实验）。两人两件事，不要混。
• 汤姆孙测的是比荷 $\dfrac{e}{m}$，不是电荷量 $e$，也不是质量 $m$；单凭偏转实验分不开 $e$ 和 $m$。
• 电子带负电。判断洛伦兹力方向时，按负电荷用左手定则：四指指向电子运动的反方向（第 25、26 章）。
• 速度选择器只选速度，不选电性：$v = \dfrac{E}{B}$ 与粒子的电荷量、质量、正负都无关。
• 汤姆孙的枣糕模型后来被否定了，但“电子是原子的组成部分”这个结论没有错。

推导

为什么说阴极射线是粒子流而不是电磁波：电磁波不带电，在电场和磁场中都不偏转（第 30 章）。汤姆孙在真空度足够高的管子里，看到阴极射线在电场中偏向正极板，说明它带负电；又看到它在磁场中偏转，偏转方向和负电荷所受洛伦兹力一致。这两条合起来，说明阴极射线是带负电的粒子流。

比荷公式：

1. 电场和磁场同时存在、电子不偏转，说明竖直方向合力为零：

$$eE = evB \quad\Rightarrow\quad v = \frac{E}{B}$$

（关键一步：电场力和洛伦兹力都和电荷量 $e$ 成正比，平衡时 $e$ 约掉，速度只由 $E$、$B$ 决定。这样就能在不知道 $e$、$m$ 的情况下先测出速度。）

2. 撤去电场，只剩洛伦兹力，它始终与速度垂直，提供向心力（第 26 章）：

$$evB = m\frac{v^2}{r} \quad\Rightarrow\quad \frac{e}{m} = \frac{v}{Br} = \frac{E}{B^2 r}$$

右边全是可测量：$E$ 由极板电压和间距算出，$B$ 由线圈电流算出，$r$ 由偏转量算出。汤姆孙当年第二步测的是只加电场时的偏转，而不是磁场中的圆周运动，思路一样：先用两个场平衡测速度，再用一个场的偏转求比荷。

电荷量子化的实验依据（密立根油滴实验）：喷雾器喷出的小油滴因摩擦带电，在两平行板间调节电压使油滴悬浮，$qE = mg$，测出油滴质量（由它在空气中匀速下落的速度推算）就得到 $q$。测了大量油滴，$q$ 总是 $1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$ 的整数倍，从没有出现过半个。

例题

例 1　（场景：复合场测比荷）如图，两块水平放置的平行金属板间距 $d = 2.0\ \mathrm{cm}$，所加电压 $U = 360\ \mathrm{V}$，上板接正极；板间还有垂直纸面向里的匀强磁场 $B = 1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{T}$。电子束水平射入，恰好沿直线通过。撤去电场，电子束在磁场中做匀速圆周运动，测得半径 $r = 10\ \mathrm{cm}$。求电子的速度和比荷。

解：

研究对象：电子束中的一个电子，重力不计。

过程划分：两个过程。过程 1：电场和磁场都有，电子做匀速直线运动；过程 2：只有磁场，电子做匀速圆周运动。

分析：过程 1，电场向下，电子带负电，电场力 $eE$ 向上；电子向右运动、磁场向里，按负电荷用左手定则，洛伦兹力 $evB$ 向下。二力平衡（本节第 1 步）。过程 2，洛伦兹力提供向心力（本节第 2 步）。

列式求解：板间场强

$$E = \frac{U}{d} = \frac{360}{0.020}\ \mathrm{V/m} = 1.8 \times 10^4\ \mathrm{V/m}$$

过程 1：

$$v = \frac{E}{B} = \frac{1.8 \times 10^4}{1.0 \times 10^{-3}}\ \mathrm{m/s} = 1.8 \times 10^7\ \mathrm{m/s}$$

速度方向水平向右。过程 2：

$$\frac{e}{m} = \frac{v}{Br} = \frac{1.8 \times 10^7}{1.0 \times 10^{-3} \times 0.10}\ \mathrm{C/kg} = 1.8 \times 10^{11}\ \mathrm{C/kg}$$

检验：单位：$\dfrac{\mathrm{m/s}}{\mathrm{T \cdot m}}$，由 $\mathrm{T} = \dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{A \cdot m}}$ 化为 $\dfrac{\mathrm{A \cdot s}}{\mathrm{kg}} = \mathrm{C/kg}$，对。量级：和电子比荷的公认值 $1.76 \times 10^{11}\ \mathrm{C/kg}$ 一致。速度约为光速的 $6\%$，不必考虑相对论。

容易卡在：撤去电场后电子往哪偏。撤去电场后只剩向下的洛伦兹力，所以电子向下偏，轨迹圆心在入射点正下方。

例 2　（场景：电子发现的物理学史）关于电子的发现，下列说法正确的是（　）。

A. 汤姆孙通过阴极射线在电场和磁场中的偏转，确认阴极射线是带负电的粒子流，并测出了它的比荷

B. 汤姆孙用油滴实验精确测出了电子的电荷量

C. 电子的发现说明原子是不可再分的最小微粒

D. 阴极射线在磁场中会偏转，说明它是一种电磁波

解：A。

判断依据：汤姆孙发现电子、测比荷；密立根测电荷量。

B 错，油滴实验是密立根做的。C 错，电子是从各种原子里出来的，说明原子可以再分。D 错，电磁波不带电，在磁场中不偏转；会偏转恰恰说明它是带电粒子流。

例 3　（场景：电荷量子化）某同学在油滴实验中记录了四个油滴的电荷量，其中肯定记错的是（　）。

A. $3.2 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$　B. $4.8 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$　C. $5.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$　D. $8.0 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$

解：C。

判断依据：任何带电体的电荷量都是元电荷 $e = 1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$ 的整数倍。

A、B、D 分别是 $e$ 的 2、3、5 倍；C 是 $\dfrac{5.6}{1.6} = 3.5$ 倍，不是整数，不可能。

常用推论

• 速度选择器：带电粒子在正交的电场和磁场中做匀速直线运动的条件是 $v = \dfrac{E}{B}$，与电荷量、质量、电性无关（由 $qE = qvB$ 约去 $q$）。第 26 章复合场的基本结论。
• 比荷 $\dfrac{q}{m} = \dfrac{E}{B^2 r}$：先平衡后偏转的测比荷方法，质谱仪也用这个思路（第 26 章）。
• 电子比荷约 $1.76 \times 10^{11}\ \mathrm{C/kg}$，电子质量约为质子质量的 $\dfrac{1}{1836}$。估算题可直接用。

易错点

• 错在哪：认为汤姆孙测出了电子的电荷量，或认为密立根发现了电子。 为什么错：把“发现电子”和“测电子电荷量”当成一件事。汤姆孙的偏转实验只能测出比荷，$e$ 和 $m$ 分不开。 正确做法：记成两句：汤姆孙 1897 年测比荷、发现电子；密立根油滴实验测元电荷。
• 错在哪：认为“电子的发现”导出了原子的核式结构。 为什么错：按时间顺序记混了。电子的发现只说明原子可分，引出的是汤姆孙的枣糕模型；核式结构来自 α 粒子散射实验（34.3）。 正确做法：按“现象 → 模型”成对记：电子的发现 → 枣糕模型；α 粒子散射 → 核式结构；氢原子线状谱 → 玻尔模型。
• 错在哪：判断电子所受洛伦兹力方向时，按正电荷用左手定则。 为什么错：左手定则四指指的是正电荷的运动方向（电流方向）。电子带负电，电流方向与它的运动方向相反。 正确做法：四指指向电子运动的反方向，或者先按正电荷判断再把方向反过来。

直观理解

汤姆孙的思路像“先测车速，再看转弯”：两个场一推一拉、互相抵消，粒子笔直穿过，这就测出了速度；拿掉一个场，看它转多大的弯，弯越急，说明同样的力推得动它，它越“轻”（比荷越大）。

关联知识点

• 前置：第 15 章库仑力、电场力 $F = qE$；第 16 章电子伏特。
• 前置：第 26 章洛伦兹力、带电粒子在磁场中的圆周运动 $r = \dfrac{mv}{qB}$、速度选择器。
• 后续：34.3 α 粒子散射，原子里正电荷怎样分布。
• 后续：第 36 章原子核的组成，质子、中子的发现，和本节一样是“打进去看”的思路。
• 常一起考：第 26 章复合场、质谱仪。

34.3 α 粒子散射与核式结构

说明

α 粒子：某些放射性元素放出的粒子，就是氦原子核，带电荷量 $+2e$，质量约为电子的 7300 倍（第 36 章）。速度可达光速的十分之一左右。

α 粒子散射实验（1909 年）：卢瑟福指导他的助手盖革和马斯登，用 α 粒子轰击很薄的金箔，用带荧光屏的显微镜在各个方向数 α 粒子打出的闪光。整个装置放在真空中。

现象（三句话，必背）：

1. 绝大多数 α 粒子穿过金箔后，基本上仍沿原来的方向前进；
2. 少数 α 粒子发生了大角度偏转；
3. 极少数 α 粒子偏转角超过 $90^\circ$，有的几乎被“撞了回来”。

枣糕模型解释不了：如果正电荷均匀分布在整个原子里，α 粒子穿过原子时，四面八方的正电荷对它的斥力大部分互相抵消，合力很小；电子质量太小，像子弹撞上灰尘，也改变不了 α 粒子的方向。所以 α 粒子只会有很小的偏转，不可能被弹回。

卢瑟福的核式结构模型（1911 年）：原子中心有一个很小的原子核，原子的全部正电荷和几乎全部质量都集中在核里；带负电的电子在核外空间绕核运动。

现象	说明了什么
绝大多数直穿	原子内部绝大部分是“空”的
少数大角度偏转	正电荷集中在很小的区域，α 粒子离它很近时受到很大的库仑斥力
极少数被弹回	这个区域的质量远大于 α 粒子

尺度：由散射数据估算，原子核半径的数量级为 $10^{-15}\ \mathrm{m}$，原子半径的数量级为 $10^{-10}\ \mathrm{m}$，两者相差约十万倍。原子核的电荷数等于它在周期表中的原子序数。

模型的理想化：把原子核看成固定不动的点电荷（金核质量约为 α 粒子的 49 倍），α 粒子只受核的库仑斥力，核外电子的影响忽略不计。

使用场景

• 选择题给出 α 粒子散射的现象或结论，问对应关系、谁做的实验、证明了什么 → 现象与结论对应 → 三条现象分别对应“大部分是空的”“正电荷集中”“质量集中”，结论是核式结构，否定了枣糕模型。
• 题目画出 α 粒子经过原子核附近的轨迹，问受力、速度、动能、电势能的变化 → 点电荷库仑斥力下的曲线运动 → 力沿核与粒子的连线向外；离核越近，力越大，电势能越大、动能越小（第 16 章）。
• 题目给出 α 粒子的动能和点电荷电势能公式，问正碰时离核最近的距离，或估算核的大小 → 能量守恒 → 最近时动能全部转化为电势能，这个距离就是核半径的上限。

注意点

• α 粒子散射实验否定的是汤姆孙的枣糕模型，建立的是核式结构模型。它没有说明原子核由质子和中子组成（那是第 36 章的事），也没有说明电子的轨道是量子化的（那是玻尔模型）。
• “绝大多数”“少数”“极少数”三个词不能互换。考试常把“少数”改成“大多数”来设错。
• 偏转是原子核的库仑斥力造成的，不是 α 粒子和核“碰撞”接触的结果；α 粒子和电子的作用可以忽略。
• 核外电子运动的区域决定原子的大小；原子核虽小，却集中了几乎全部质量。
• 轨迹题里，α 粒子受的力始终沿核与 α 粒子的连线、背离核；曲线运动的轨迹弯向合力一侧（第 8 章），所以轨迹总是“背着核弯”。

推导

为什么大角度偏转说明正电荷高度集中（定性推理）：

1. 设原子的正电荷 $Q$ 均匀分布在半径 $R \approx 10^{-10}\ \mathrm{m}$ 的球内。α 粒子在球外时，受到的斥力最大也只有 $\dfrac{kQ \cdot 2e}{R^2}$；进到球内后，外层电荷的作用互相抵消，力反而变小。整个过程斥力都不大，作用时间又很短，α 粒子的动量几乎不变，偏转角很小。
2. 如果同样的 $Q$ 集中在半径 $r \approx 10^{-15}\ \mathrm{m}$ 的核里，α 粒子可以靠近到离核心很近的地方，此时斥力 $\dfrac{kQ \cdot 2e}{r^2}$ 比第 1 步大 $\left(\dfrac{R}{r}\right)^2 \approx 10^{10}$ 倍。

（关键一步：库仑力和距离平方成反比，电荷越集中，α 粒子能靠得越近，受到的最大斥力就越大。只有正电荷集中在极小的核里，才能产生足以把 α 粒子弹回的力。）

3. 核很小，α 粒子要恰好从核附近经过的机会很少，所以大角度偏转的只是极少数；绝大多数 α 粒子离核很远，几乎不受力，直穿过去。

卢瑟福的定量验证：卢瑟福按核式结构和库仑定律，推出了偏转角为 $\theta$ 的 α 粒子所占比例随 $\theta$ 的变化规律，盖革和马斯登 1913 年的实验数据与它符合得很好。这个公式（卢瑟福散射公式）的推导要用到大学力学中有心力场的轨道方程和积分，高中不要求。

离核最近的距离（正碰）：α 粒子正对着原子核射来，只受库仑斥力，越来越慢，速度减为零时离核最近，距离为 $d$。取无穷远为电势能零点，点电荷间电势能 $E_{\text{p}} = \dfrac{kq_1q_2}{r}$（高中不要求记，用到时题目会给出），由能量守恒：

$$E_{\text{k}0} = \frac{k \cdot 2e \cdot Ze}{d} \quad\Rightarrow\quad d = \frac{2kZe^2}{E_{\text{k}0}}$$

核的半径不会大于 $d$，否则 α 粒子会碰到核，散射规律就不再只由库仑力决定。卢瑟福正是用这种办法估出核半径的上限。

例题

例 1　（场景：现象与结论对应）关于 α 粒子散射实验，下列说法正确的是（　）。

A. α 粒子散射实验说明原子中有电子

B. 少数 α 粒子发生大角度偏转，说明原子中带正电的部分体积很小，但集中了原子几乎全部的质量

C. 绝大多数 α 粒子穿过金箔后几乎不偏转，说明金原子内部的正电荷是均匀分布的

D. α 粒子散射实验支持了汤姆孙的枣糕模型

解：B。

判断依据：三条现象各对应一条结论，合起来否定枣糕模型、建立核式结构。

A 错，电子是汤姆孙通过阴极射线发现的，α 粒子散射实验与电子无关（电子太轻，对 α 粒子几乎没有影响）。C 错，绝大多数直穿说明原子内部绝大部分是空的；均匀分布恰恰解释不了大角度偏转。D 错，大角度偏转否定了枣糕模型。

例 2　（场景：轨迹题判断受力和能量变化）（多选）如图，一个 α 粒子经过金原子核 $Q$ 附近，轨迹为图中曲线，$a$、$b$、$c$ 是轨迹上的三点，$a$、$c$ 在以 $Q$ 为圆心的同一个圆上，$b$ 是轨迹上离 $Q$ 最近的点。不计 α 粒子的重力和电子的作用，下列说法正确的是（　）。

A. α 粒子在 $b$ 点受到的库仑力最大

B. 从 $a$ 到 $b$，库仑力做负功，α 粒子的动能减小

C. α 粒子在 $a$、$c$ 两点的速度相同

D. α 粒子在 $b$ 点的电势能最小

解：AB。

判断依据：库仑斥力沿核与粒子连线向外，离核越近越大；以核为心的圆是点电荷电场的等势面（第 16 章），同一圆上电势能相等。

A 对，$b$ 离核最近，由库仑定律 $F = \dfrac{kq_1q_2}{r^2}$，受力最大。B 对，从 $a$ 到 $b$ 粒子靠近核，斥力方向与位移方向夹角大于 $90^\circ$，做负功，动能减小、电势能增大。C 错，$a$、$c$ 在同一等势面上，电势能相等，所以动能相等、速率相等，但速度方向不同（$a$ 点大致向右，$c$ 点向右上方），速度不同。D 错，$b$ 点离正电荷最近，α 粒子带正电，电势能最大。

容易卡在：C 选项“速度相同”。速度是矢量，大小和方向都相同才叫相同（第 1 章 1.3）。

例 3　（场景：正碰估算核的大小）动能为 $5.0\ \mathrm{MeV}$ 的 α 粒子正对着金原子核射去。金的原子序数 $Z = 79$，取 $k = 9.0 \times 10^9\ \mathrm{N \cdot m^2/C^2}$，$e = 1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$。已知两个点电荷 $q_1$、$q_2$ 相距 $r$ 时的电势能为 $E_{\text{p}} = \dfrac{kq_1q_2}{r}$（取无穷远为零）。把金核看成固定的点电荷，求 α 粒子离金核最近的距离，并与原子的大小比较。

解：

研究对象：α 粒子（电荷量 $2e$）。

过程划分：一个过程：从很远处（电势能为零）运动到离核最近点（速度为零）。

分析：只有库仑力做功，α 粒子的动能和电势能之和守恒。正碰时 α 粒子沿直线减速，最近点速度为零，动能全部变成电势能（本节“离核最近的距离”）。

列式求解：$E_{\text{k}0} = 5.0\ \mathrm{MeV} = 5.0 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{J} = 8.0 \times 10^{-13}\ \mathrm{J}$。

$$d = \frac{k \cdot 2e \cdot Ze}{E_{\text{k}0}} = \frac{9.0 \times 10^9 \times 2 \times 79 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{8.0 \times 10^{-13}}\ \mathrm{m} \approx 4.6 \times 10^{-14}\ \mathrm{m}$$

原子半径约 $10^{-10}\ \mathrm{m}$，$d$ 只有它的约两千分之一。金核的半径不超过 $4.6 \times 10^{-14}\ \mathrm{m}$。

检验：单位：$\dfrac{\mathrm{N \cdot m^2/C^2} \times \mathrm{C^2}}{\mathrm{J}} = \dfrac{\mathrm{N \cdot m^2}}{\mathrm{N \cdot m}} = \mathrm{m}$，对。量级：在原子（$10^{-10}\ \mathrm{m}$）和核（$10^{-15}\ \mathrm{m}$）之间，合理。

容易卡在：α 粒子的电荷量写成 $e$。α 粒子是氦核，带 $2e$。

另一种解法：用电子伏特直接算，不换焦耳。把 $E_{\text{k}0}$ 写成 $5.0 \times 10^6\ \mathrm{eV}$，即 $5.0 \times 10^6\ \mathrm{V} \times e$，代入后分子分母约掉一个 $e$：$d = \dfrac{k \cdot 2 \times 79 \times e}{5.0 \times 10^6\ \mathrm{V}} = \dfrac{9.0 \times 10^9 \times 158 \times 1.6 \times 10^{-19}}{5.0 \times 10^6}\ \mathrm{m} \approx 4.6 \times 10^{-14}\ \mathrm{m}$。能量以 $\mathrm{eV}$ 给出、算式里又有 $e$ 时，这样约掉最省事；能量以焦耳给出时，按主解法统一用国际单位更稳。

常用推论

• α 粒子离核越近，偏转角越大；正对核射来的，被弹回（偏转 $180^\circ$）。同样能量下偏转角只由“瞄准距离”决定（见本节“直观理解”的图）。
• 正碰时离核最近距离 $d = \dfrac{2kZe^2}{E_{\text{k}0}}$，α 粒子能量越大、核电荷越少，靠得越近。由本节推导的能量守恒得出。
• 原子核半径约 $10^{-15}\ \mathrm{m}$，原子半径约 $10^{-10}\ \mathrm{m}$，体积相差约 $10^{15}$ 倍。估算题可直接用。
• 轨迹题：粒子在离核最近处速度最小、电势能最大、加速度最大；在以核为心的同一圆上，速率相等。

易错点

• 错在哪：认为大角度偏转的 α 粒子是和金原子核“撞上了”。 为什么错：直觉把偏转想成台球碰撞。实际上 α 粒子从未接触核，是在很近的距离上受库仑斥力而拐弯，轨迹是一条平滑的曲线（双曲线）。 正确做法：轨迹题把核看成固定的正点电荷，按库仑力和能量守恒分析。
• 错在哪：认为偏转主要是电子造成的，或者“电子和核都有作用”。 为什么错：电子质量只有 α 粒子的约 $\dfrac{1}{7300}$，像子弹打灰尘，改变不了 α 粒子的运动。 正确做法：散射只考虑原子核的库仑斥力。
• 错在哪：把现象说成“大多数 α 粒子发生了大角度偏转”。 为什么错：把“少数”“极少数”记成“大多数”。如果大多数都大角度偏转，原子就不是“空的”。 正确做法：记住比例的直觉：核在原子里像足球场中央的一颗小玻璃球，撞上的机会极少。

直观理解

核式结构像一座体育场中央放着一颗玻璃珠：体育场是原子，玻璃珠是原子核，几乎所有的质量都在玻璃珠上，电子是看台外围飞的几只蚊子。往里扔球（α 粒子），几乎都直接穿过；只有极少数刚好擦着玻璃珠的会被猛地推开。

关联知识点

• 前置：第 15 章库仑定律；第 16 章电势能、等势面、电场力做功与电势能变化的关系。
• 前置：第 8 章曲线运动的条件，轨迹弯向合力一侧。
• 前置：34.2 枣糕模型，本节的实验否定了它。
• 后续：34.4、34.5 核式结构按经典理论不稳定，引出玻尔模型。
• 后续：第 36 章原子核的组成、质子和中子的发现、核的尺度。
• 常一起考：第 20 章动量守恒，α 粒子与核的相互作用（核不固定时）。

34.4 氢原子光谱

说明

光谱：用棱镜或光栅把光按波长（频率）展开，得到的彩色图样。

• 连续谱：各种波长的光连成一片，没有间断。炽热的固体、液体和高压气体发出连续谱，如白炽灯丝、烧红的铁块。
• 线状谱（明线光谱）：只有一条条分立的亮线。稀薄气体或金属蒸气通电或灼烧时发出线状谱。每种原子都有自己特定的一组谱线，叫这种原子的特征谱线。
• 吸收光谱：白光通过某种低温气体后，气体把它能发出的那些波长的光吸收掉，连续谱上出现暗线。暗线的位置和这种原子的明线位置一一对应。太阳光谱中的暗线（夫琅禾费线）就是太阳大气中的元素造成的。

光谱分析：根据特征谱线鉴别物质、确定化学组成。灵敏度很高，样品中某种元素含量极少也能检测出来。

氢原子光谱的实验规律：稀薄氢气放电发出的光是线状谱。可见光区有四条谱线，波长分别约为 $656\ \mathrm{nm}$（红）、$486\ \mathrm{nm}$（蓝绿）、$434\ \mathrm{nm}$（蓝紫）、$410\ \mathrm{nm}$（紫）。1885 年，瑞士中学教师巴耳末发现这些波长满足一个简单的公式，今天写成

$$\frac{1}{\lambda} = R_{\infty}\left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2}\right), \quad n = 3, 4, 5, \cdots$$

这一组谱线叫巴耳末系。$R_{\infty}$ 叫里德伯常量，实验测得 $R_{\infty} = 1.10 \times 10^7\ \mathrm{m^{-1}}$。$n$ 只能取整数，所以波长是分立的。

后来在紫外区、红外区也发现了类似的谱线系，把公式中的 $\dfrac{1}{2^2}$ 换成 $\dfrac{1}{1^2}$、$\dfrac{1}{3^2}$ 就能描述，分别叫莱曼系、帕邢系（34.5 用能级解释）。

经典理论的困难：按卢瑟福的核式结构加经典电磁理论（第 30 章），绕核运动的电子有加速度，会不断辐射电磁波，能量减少，轨道半径越来越小，最后落到核上，原子不稳定；而且电子转动的频率连续变化，辐射的光应该是连续谱。这两条都和事实矛盾：原子是稳定的，氢原子光谱是线状谱。这就是玻尔模型要解决的问题。

使用场景

• 选择题问某种光源发出什么光谱、光谱分析的依据、太阳光谱暗线的含义 → 光谱分类 → 炽热固体液体高压气体发连续谱，稀薄气体发线状谱，暗线是吸收光谱；特征谱线可以鉴别元素。
• 题目给出巴耳末公式和里德伯常量，求某条谱线的波长、谱线系中最长或最短的波长 → 巴耳末公式 → $n = 3$ 时波长最长，$n \to \infty$ 时波长最短（线系极限）。
• 选择题问核式结构遇到的困难、为什么要提出玻尔模型 → 经典电磁理论 → 原子会不稳定、光谱会连续，两条都和事实矛盾。

注意点

• 巴耳末公式里 $n$ 从 3 开始取，不能取 1、2；取 2 时 $\dfrac{1}{\lambda} = 0$，没有意义。
• $n$ 越大，$\dfrac{1}{\lambda}$ 越大，波长越短，谱线越密；$n \to \infty$ 时波长趋于极限 $\dfrac{4}{R_{\infty}} \approx 364\ \mathrm{nm}$，在紫外区。
• 巴耳末公式是从实验数据中“凑”出来的经验公式，巴耳末本人不知道它为什么成立；它的物理解释要等玻尔模型（34.5）。
• 线状谱说明原子只能发出某些特定频率的光，这是“原子能量不连续”的直接证据。
• 单位：$R_{\infty}$ 的单位是 $\mathrm{m^{-1}}$，算出的 $\dfrac{1}{\lambda}$ 也是 $\mathrm{m^{-1}}$，取倒数后得到以米为单位的波长；$1\ \mathrm{nm} = 10^{-9}\ \mathrm{m}$。

推导

本知识点的规律是实验规律，没有从更基本的原理出发的推导；这里给实验依据和“为什么能用来鉴别元素”。

实验依据：把稀薄氢气封在放电管里，两端加高电压使它发光，让光通过狭缝和棱镜（或光栅），在屏上或照相底片上得到分立的亮线。测出各条亮线的波长，就得到上面四个数值。巴耳末把它们写成 $\lambda = B\dfrac{n^2}{n^2 - 4}$（$B$ 是常量）的形式，后人改写成 $\dfrac{1}{\lambda}$ 的形式，就是今天的公式。

（关键一步：巴耳末公式能用一个常量和整数 $n$ 描述所有谱线，说明谱线不是随便分布的，背后一定有某种“整数”规律。玻尔模型给出了这个整数的含义：能级的序号。）

为什么光谱能鉴别元素：不同元素的原子结构不同，能级不同（34.5），能发出的光的频率也就不同，就像每个人的指纹不同。所以测出谱线的位置，就能知道是哪种元素。

例题

例 1　（场景：光谱的分类和光谱分析）下列说法正确的是（　）。

A. 白炽灯灯丝发出的光，其光谱是线状谱

B. 稀薄氢气通电发光，得到的是线状谱

C. 太阳光谱中有许多暗线，说明太阳内部缺少这些元素

D. 不同元素的原子，发出的线状谱是相同的

解：B。

判断依据：炽热固体发连续谱，稀薄气体发线状谱；暗线是吸收光谱，对应吸收光的那种元素。

A 错，灯丝是炽热固体，发连续谱。C 错，暗线是太阳大气中的元素吸收了相应波长的光造成的，说明太阳大气中有这些元素。D 错，每种原子有自己的特征谱线，这是光谱分析的依据。

例 2　（场景：用巴耳末公式算波长）用巴耳末公式 $\dfrac{1}{\lambda} = R_{\infty}\left(\dfrac{1}{2^2} - \dfrac{1}{n^2}\right)$（$R_{\infty} = 1.10 \times 10^7\ \mathrm{m^{-1}}$）计算巴耳末系中波长最长和最短的谱线的波长，并判断它们是否在可见光范围（约 $400 \sim 760\ \mathrm{nm}$）内。

解：

研究对象：巴耳末系的谱线。

过程划分：不涉及过程，分别取 $n = 3$ 和 $n \to \infty$。

分析：$\dfrac{1}{\lambda}$ 随 $n$ 增大而增大，所以 $n = 3$ 时 $\lambda$ 最大，$n \to \infty$ 时 $\lambda$ 最小。

列式求解：$n = 3$：

$$\frac{1}{\lambda_{\max}} = 1.10 \times 10^7 \times \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{9}\right)\ \mathrm{m^{-1}} = 1.10 \times 10^7 \times \frac{5}{36}\ \mathrm{m^{-1}}$$ $$\lambda_{\max} = \frac{36}{5 \times 1.10 \times 10^7}\ \mathrm{m} \approx 6.5 \times 10^{-7}\ \mathrm{m} = 650\ \mathrm{nm}$$

$n \to \infty$：$\dfrac{1}{n^2} \to 0$，

$$\lambda_{\min} = \frac{4}{1.10 \times 10^7}\ \mathrm{m} \approx 3.6 \times 10^{-7}\ \mathrm{m} = 360\ \mathrm{nm}$$

最长的 $650\ \mathrm{nm}$ 在可见光范围内（红光）；最短的 $360\ \mathrm{nm}$ 小于 $400\ \mathrm{nm}$，在紫外区。

检验：单位：$\dfrac{1}{\mathrm{m^{-1}}} = \mathrm{m}$，对。$650\ \mathrm{nm}$ 与实测的红线 $656\ \mathrm{nm}$ 相差约 $1\%$，是因为 $R_{\infty}$ 只取了三位有效数字（更精确的值是 $1.097 \times 10^7\ \mathrm{m^{-1}}$）。

另一种解法：用能级算（34.5、34.6）。$n = 3$ 的谱线对应电子从 $n = 3$ 跃迁到 $n = 2$，光子能量 $E_3 - E_2 = -1.51\ \mathrm{eV} - (-3.40\ \mathrm{eV}) = 1.89\ \mathrm{eV}$。由 $E = h\nu = \dfrac{hc}{\lambda}$（第 35 章）：

$$\lambda = \frac{hc}{E_3 - E_2} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3.0 \times 10^8}{1.89 \times 1.6 \times 10^{-19}}\ \mathrm{m} \approx 6.6 \times 10^{-7}\ \mathrm{m}$$

题目给了巴耳末公式和 $R_{\infty}$ 时直接代公式；题目给的是能级图时用能级差。两种算法结果在有效数字范围内一致，这正是玻尔模型能解释巴耳末公式的证据。

例 3　（场景：经典理论的困难）按照卢瑟福的核式结构模型和经典电磁理论，下列推论中与实验事实相矛盾的是（　）。

A. 原子的正电荷和几乎全部质量集中在原子核上

B. 绕核运动的电子会不断辐射电磁波，最终落到原子核上，原子不稳定

C. α 粒子穿过金箔时，绝大多数几乎不偏转

D. 原子整体呈电中性

解：B。

判断依据：经典理论加核式结构，推出“原子不稳定、光谱连续”，与“原子稳定、线状谱”的事实矛盾。

A、C、D 都与实验一致（A、C 正是核式结构的内容和依据，D 是事实）。B 推出原子不稳定，而实际上原子是稳定的，矛盾。玻尔模型的第一条假设就是为了解决这个矛盾。

常用推论

• 巴耳末系的线系极限 $\lambda_{\infty} = \dfrac{4}{R_{\infty}} \approx 365\ \mathrm{nm}$，最长波长 $\lambda_3 = \dfrac{36}{5R_{\infty}} \approx 656\ \mathrm{nm}$（用 $R_{\infty} = 1.097 \times 10^7\ \mathrm{m^{-1}}$）。由例 2 得出。
• 线状谱 ↔ 原子能量分立；连续谱 ↔ 大量原子密集相互作用（固体、液体、高压气体）。
• 某种原子能发出哪些波长的光，就能吸收哪些波长的光：明线和暗线一一对应。由能级跃迁的可逆性得出（34.6）。

易错点

• 错在哪：认为太阳光谱的暗线说明太阳上没有这些元素。 为什么错：直觉把“暗”理解成“缺少”。暗线恰恰是这些元素吸收了对应波长的光留下的。 正确做法：明线和暗线都是元素的“指纹”，看到暗线就说明光路上有这种元素（太阳大气中）。
• 错在哪：巴耳末公式中 $n$ 从 1 或 2 开始取。 为什么错：公式中的 $2^2$ 已经代表了跃迁的“终点”能级 $n = 2$，起点能级必须比它高。 正确做法：巴耳末系 $n = 3, 4, 5, \cdots$；记住它对应“落到第 2 能级”。
• 错在哪：$n$ 越大，以为谱线波长越长。 为什么错：$n$ 越大，括号里的值越大，算出的是 $\dfrac{1}{\lambda}$ 越大，波长反而越短。 正确做法：代公式前先看清左边是 $\dfrac{1}{\lambda}$。

直观理解

连续谱像一条斜坡，各个高度都能站；线状谱像一段楼梯，只有几个台阶能站。氢原子发出的光是“台阶”式的，这暗示原子内部的能量也是一级一级的台阶，这就是下一节的能级。

关联知识点

• 前置：第 23 章光的色散，棱镜把白光分成各色光；第 24 章光栅、光的波长。
• 前置：第 30 章电磁波，变速运动的电荷辐射电磁波，这是“经典理论的困难”的出发点。
• 后续：34.5、34.6 玻尔模型用能级跃迁解释巴耳末公式。
• 后续：第 35 章光子能量 $E = h\nu$，把谱线的波长和能量联系起来。

34.5 玻尔模型与能级

说明

1913 年，丹麦物理学家玻尔把普朗克的量子化思想（第 35 章）引入卢瑟福的核式结构，提出三条假设：

1. 轨道量子化：电子在库仑引力作用下绕核做圆周运动，但轨道半径不是任意的，只能取某些分立的值。电子在这些轨道上运动时，虽然有加速度，却不辐射电磁波，原子是稳定的。
2. 能量量子化（定态）：电子在不同轨道上，原子具有不同的能量。这些分立的能量值叫能级。原子处于某个能级时的稳定状态叫定态；能量最低的定态叫基态，其余的叫激发态。
3. 跃迁（频率条件）：原子从高能级 $E_m$ 跃迁到低能级 $E_n$（$m > n$）时，放出一个光子；从低能级跃迁到高能级时，吸收一个光子。光子的能量等于两个能级之差：

$$h\nu = E_m - E_n$$

$h = 6.63 \times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}$ 是普朗克常量，$\nu$ 是光的频率（第 35 章）。

氢原子的能级和轨道半径：

$$E_n = \frac{E_1}{n^2}, \quad r_n = n^2 r_1, \quad n = 1, 2, 3, \cdots$$

$E_1 = -13.6\ \mathrm{eV}$ 是基态能量，$r_1 = 0.53 \times 10^{-10}\ \mathrm{m}$ 是基态轨道半径，$n$ 叫量子数。能量以电子离核无穷远（$n \to \infty$）时为零，所以各能级都是负值，$n$ 越大能量越高、越接近零。

$n$	1	2	3	4	5	$\infty$
$E_n/\mathrm{eV}$	$-13.6$	$-3.40$	$-1.51$	$-0.85$	$-0.54$	$0$
$r_n$	$r_1$	$4r_1$	$9r_1$	$16r_1$	$25r_1$	—

能级图：用水平线表示能级，线的高低表示能量，标上 $n$ 和能量值。向下的箭头表示放出光子的跃迁，向上的表示吸收。

轨道上的动能和势能：电子在第 $n$ 条轨道上，库仑力提供向心力。取无穷远为电势能零点，动能 $E_{\text{k}n}$、电势能 $E_{\text{p}n}$ 和总能量 $E_n$ 的关系是

$$E_{\text{k}n} = -E_n, \quad E_{\text{p}n} = 2E_n$$

基态：动能 $13.6\ \mathrm{eV}$，电势能 $-27.2\ \mathrm{eV}$，总能量 $-13.6\ \mathrm{eV}$。$n$ 增大（轨道变大），动能减小，电势能和总能量增大。

单位：原子物理里能量常用电子伏特，$1\ \mathrm{eV} = 1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{J}$（第 16 章）。

玻尔理论的成功和局限：它成功解释了氢原子光谱（34.4 的巴耳末公式），算出的里德伯常量与实验相符。但它解释不了氦原子等多电子原子的光谱，因为它保留了经典的“轨道”概念。量子力学认为电子没有确定的轨道，只能说它在某处出现的概率，画出来像一团“电子云”。

使用场景

• 选择题问玻尔模型的假设、定态、基态和激发态的含义、玻尔理论的成功与局限 → 三条假设 → 轨道量子化、能量量子化、跃迁时 $h\nu = E_m - E_n$；能解释氢光谱，解释不了多电子原子。
• 题目问氢原子某一能级的能量或轨道半径 → 玻尔的氢原子公式 → $E_n = \dfrac{E_1}{n^2}$、$r_n = n^2 r_1$。
• 题目问电子跃迁后轨道半径、速度、动能、电势能、原子总能量怎么变 → 库仑力提供向心力 → $n$ 变大：半径大、速度小、动能小、电势能大、总能量大；$n$ 变小则相反。

注意点

• 能级是负值，“能量高”指的是更接近零。$-0.85\ \mathrm{eV}$ 比 $-13.6\ \mathrm{eV}$ 高。
• 能级公式 $E_n = \dfrac{E_1}{n^2}$ 和 $r_n = n^2 r_1$ 只适用于氢原子（以及只有一个电子的离子，系数不同），不能用于别的原子。
• $E_n$ 是原子（电子与核组成的系统）的能量，包括电子的动能和系统的电势能，不是电子的动能。
• 跃迁是从一个定态“跳”到另一个定态，不经过中间状态，也不能说“在两个轨道之间运动”。
• 第一条假设中“不辐射”是玻尔硬性规定的，和经典电磁理论矛盾，这正是它的“量子”之处，不是推出来的。
• 能量的零点取在 $n \to \infty$（电子刚好脱离原子、动能为零）；零点不同，各能级的数值会变，但能级差不变。

推导

能级为什么是负的，动能和势能为什么是那样的关系（只用高中的力学和电学）：

1. 电子绕核做匀速圆周运动，库仑力提供向心力（第 10、15 章）：

$$\frac{ke^2}{r^2} = m\frac{v^2}{r} \quad\Rightarrow\quad E_{\text{k}} = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{ke^2}{2r}$$

2. 取无穷远为零，电子和核之间的电势能为 $E_{\text{p}} = -\dfrac{ke^2}{r}$（异种电荷，靠近时电势能减小，所以为负；这个式子高中不要求记）。

3. 总能量

$$E = E_{\text{k}} + E_{\text{p}} = \frac{ke^2}{2r} - \frac{ke^2}{r} = -\frac{ke^2}{2r}$$

（关键一步：第 1 步的向心力方程把动能和半径联系起来，于是 $E_{\text{k}} = -E$、$E_{\text{p}} = 2E$，三者都只由 $r$ 决定。$r$ 越大，$E$ 越接近零，即越高。）

4. 玻尔假设轨道半径只能取 $r_n = n^2 r_1$（这个条件来自他提出的“角动量量子化” $mvr = n\dfrac{h}{2\pi}$，高中不要求），代入第 3 步：

$$E_n = -\frac{ke^2}{2n^2 r_1} = \frac{E_1}{n^2}$$

代入 $k = 9.0 \times 10^9\ \mathrm{N \cdot m^2/C^2}$、$e = 1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$、$r_1 = 0.53 \times 10^{-10}\ \mathrm{m}$，得 $E_1 \approx -2.2 \times 10^{-18}\ \mathrm{J} \approx -13.6\ \mathrm{eV}$。

用能级解释巴耳末公式：电子从第 $n$ 能级跃迁到第 2 能级，由第三条假设和 $\nu = \dfrac{c}{\lambda}$：

$$\frac{hc}{\lambda} = E_n - E_2 = -E_1\left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2}\right) \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{\lambda} = \frac{-E_1}{hc}\left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2}\right)$$

形式和巴耳末公式完全一样，并且 $\dfrac{-E_1}{hc} = \dfrac{13.6 \times 1.6 \times 10^{-19}}{6.63 \times 10^{-34} \times 3.0 \times 10^8}\ \mathrm{m^{-1}} \approx 1.09 \times 10^7\ \mathrm{m^{-1}}$，与实验测得的里德伯常量相符。这是玻尔模型最有力的证据。同理，落到 $n = 1$ 得莱曼系，落到 $n = 3$ 得帕邢系。

能级存在的另一个实验证据：1914 年，弗兰克和赫兹用电子碰撞汞原子，发现电子的能量只有达到某个确定值（约 $4.9\ \mathrm{eV}$）时才会被汞原子吸收，直接证明了原子能量是分立的。

例题

例 1　（场景：玻尔模型的假设与局限）关于玻尔的原子模型，下列说法正确的是（　）。

A. 电子绕核运动的轨道半径可以取任意值

B. 原子处于定态时，电子绕核运动，但不向外辐射能量

C. 原子从高能级向低能级跃迁时，放出的光子频率等于电子绕核运动的频率

D. 玻尔理论能解释所有原子的光谱

解：B。

判断依据：玻尔的三条假设：轨道量子化、定态不辐射、跃迁时 $h\nu = E_m - E_n$。

A 错，轨道是量子化的。B 对，这是第一、二条假设的内容。C 错，光子频率由两个能级之差决定，与电子绕核的频率无关（这正是玻尔和经典理论不同的地方）。D 错，玻尔理论只成功解释了氢原子光谱，解释不了多电子原子。

例 2　（场景：求某一能级的能量和轨道半径）已知氢原子基态能量 $E_1 = -13.6\ \mathrm{eV}$，基态轨道半径 $r_1 = 0.53 \times 10^{-10}\ \mathrm{m}$。求氢原子处于 $n = 3$ 的激发态时的能量（分别用 $\mathrm{eV}$ 和 $\mathrm{J}$ 表示）和电子的轨道半径。

解：

研究对象：处于 $n = 3$ 能级的氢原子。

过程划分：不涉及过程，只求一个定态的量。

分析：直接用玻尔的氢原子公式 $E_n = \dfrac{E_1}{n^2}$、$r_n = n^2 r_1$。

列式求解：

$$E_3 = \frac{-13.6}{3^2}\ \mathrm{eV} \approx -1.51\ \mathrm{eV} = -1.51 \times 1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{J} \approx -2.4 \times 10^{-19}\ \mathrm{J}$$ $$r_3 = 3^2 \times 0.53 \times 10^{-10}\ \mathrm{m} \approx 4.8 \times 10^{-10}\ \mathrm{m}$$

检验：$E_3$ 为负且比 $E_1$ 高（更接近零），对；$r_3$ 是 $r_1$ 的 9 倍，量级仍是 $10^{-10}\ \mathrm{m}$，是原子大小，合理。

容易卡在：把 $E_n = \dfrac{E_1}{n^2}$ 记成 $E_n = nE_1$ 或 $\dfrac{E_1}{n}$。可以用表里的 $E_2 = -3.40\ \mathrm{eV}$ 回代检查：$\dfrac{-13.6}{4} = -3.40$，对。

例 3　（场景：轨道变化时动能、势能、总能量的变化）已知氢原子基态轨道半径 $r_1 = 0.53 \times 10^{-10}\ \mathrm{m}$，$k = 9.0 \times 10^9\ \mathrm{N \cdot m^2/C^2}$，$e = 1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$。（1）求电子在基态轨道上的动能（用 $\mathrm{eV}$ 表示）；（2）氢原子从基态跃迁到 $n = 2$ 的激发态，电子的动能、原子的电势能和总能量各变化多少？

解：

研究对象：氢原子中的电子（及电子与核组成的系统）。

过程划分：（1）电子在 $n = 1$ 轨道上做匀速圆周运动；（2）比较 $n = 1$ 和 $n = 2$ 两个定态。

分析：库仑力提供向心力，$\dfrac{ke^2}{r^2} = m\dfrac{v^2}{r}$，得 $E_{\text{k}} = \dfrac{ke^2}{2r}$（本节推导第 1 步）。总能量 $E_n = \dfrac{E_1}{n^2}$，电势能 $E_{\text{p}} = E_n - E_{\text{k}}$。

列式求解：（1）

$$E_{\text{k}1} = \frac{ke^2}{2r_1} = \frac{9.0 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{2 \times 0.53 \times 10^{-10}}\ \mathrm{J} \approx 2.17 \times 10^{-18}\ \mathrm{J} \approx 13.6\ \mathrm{eV}$$

（2）$r_2 = 4r_1$，所以 $E_{\text{k}2} = \dfrac{E_{\text{k}1}}{4} = 3.40\ \mathrm{eV}$。总能量 $E_1 = -13.6\ \mathrm{eV}$，$E_2 = -3.40\ \mathrm{eV}$。电势能 $E_{\text{p}1} = E_1 - E_{\text{k}1} = -27.2\ \mathrm{eV}$，$E_{\text{p}2} = E_2 - E_{\text{k}2} = -6.80\ \mathrm{eV}$。

	动能	电势能	总能量
$n = 1$	$13.6\ \mathrm{eV}$	$-27.2\ \mathrm{eV}$	$-13.6\ \mathrm{eV}$
$n = 2$	$3.40\ \mathrm{eV}$	$-6.80\ \mathrm{eV}$	$-3.40\ \mathrm{eV}$
变化	减少 $10.2\ \mathrm{eV}$	增加 $20.4\ \mathrm{eV}$	增加 $10.2\ \mathrm{eV}$

检验：$E_{\text{k}1} = -E_1$，与 $E_{\text{k}} = -E$ 的结论一致。能量账：电势能增加 $20.4\ \mathrm{eV}$，其中 $10.2\ \mathrm{eV}$ 来自动能的减少，另外 $10.2\ \mathrm{eV}$ 来自吸收的光子，总能量增加 $10.2\ \mathrm{eV}$，账平。

容易卡在：以为原子吸收能量，电子就“更快”了。实际上轨道变大，库仑力变小，电子反而变慢；吸收的能量和减少的动能都变成了电势能。

另一种解法：直接用 $E_{\text{k}n} = -E_n$、$E_{\text{p}n} = 2E_n$ 两个结论，从能级表读数：$E_{\text{k}2} = 3.40\ \mathrm{eV}$，$E_{\text{p}2} = -6.80\ \mathrm{eV}$，一步写出。选择题只问“变大还是变小”时用这两个结论最快；计算题要求从 $r_1$ 算起时，按主解法列向心力方程。

常用推论

• $E_{\text{k}n} = -E_n$，$E_{\text{p}n} = 2E_n$（取无穷远为零）。由本节推导第 1–3 步得出。
• 电子跃迁到更高的轨道（$n$ 增大）：$r$ 增大，$v$ 减小，动能减小，电势能增大，总能量增大（吸收光子）；跃迁到更低的轨道相反（放出光子）。可类比卫星变轨（第 11 章）：“高轨低速大周期”，能量越高。
• 能级越高越密：$E_n$ 与 $\dfrac{1}{n^2}$ 成正比，相邻能级差 $E_{n+1} - E_n$ 随 $n$ 增大而减小。所以向同一能级跃迁的谱线，越靠近线系极限越密（34.4 的谱线图）。
• 从第 $n$ 能级跃迁到基态放出的光子，能量最大不超过 $13.6\ \mathrm{eV}$；巴耳末系光子能量在 $1.89\ \mathrm{eV}$ 到 $3.40\ \mathrm{eV}$ 之间。

易错点

• 错在哪：认为 $n$ 越大能量越小，因为 $\dfrac{13.6}{n^2}$ 越来越小。 为什么错：忘了能级带负号。$-\dfrac{13.6}{n^2}$ 随 $n$ 增大是在增大（越来越接近零）。 正确做法：在能级图上看，$n$ 越大的线越靠上，能量越高。
• 错在哪：认为原子能量越高，电子的动能越大。 为什么错：把“能量高”想成“跑得快”。总能量里还有电势能；轨道越大，库仑力越弱，电子越慢，和卫星“越高越慢”一样。 正确做法：用 $E_{\text{k}} = -E$：总能量升高（更接近零），动能就减小。
• 错在哪：把 $r_n = n^2 r_1$ 当成 $r_n = nr_1$，或者把 $E_n = \dfrac{E_1}{n^2}$ 用到其他原子上。 为什么错：记公式时没记住平方，也没记住适用范围。 正确做法：两个公式都带 $n^2$，只用于氢原子；其他原子的能级以题目给的能级图为准。

直观理解

能级像一栋楼，地面（零）在楼顶外面：底层 $n = 1$ 在地下 13.6 米，二层在地下 3.4 米，越往上楼层越挤。电子只能待在某一层，不能悬在两层之间；从高层跳到低层，多出来的能量变成一个光子飞走。

关联知识点

• 前置：第 10 章圆周运动的向心力；第 15 章库仑定律；第 16 章电势能、电子伏特。
• 前置：34.3 核式结构；34.4 氢原子光谱和经典理论的困难。
• 后续：34.6 用 $h\nu = E_m - E_n$ 计算跃迁。
• 后续：第 35 章能量量子化、光子 $E = h\nu$；物质波解释了轨道量子化（电子波在轨道上形成驻波）。
• 常一起考：第 11 章卫星变轨，“高轨低速、能量大”的规律与本节一样。

34.6 能级跃迁、谱线条数与电离

说明

放出光子：原子从高能级 $E_m$ 跃迁到低能级 $E_n$，放出一个光子，能量

$$h\nu = E_m - E_n, \quad \nu = \frac{E_m - E_n}{h}, \quad \lambda = \frac{c}{\nu} = \frac{hc}{E_m - E_n}$$

能级差越大，光子频率越高、波长越短。

吸收光子：处于低能级的原子，只吸收能量恰好等于某两个能级之差的光子，跃迁到高能级；能量不等于任何能级差的光子不被吸收（电离的情形除外，见下）。

实物粒子碰撞激发：电子等实物粒子与原子碰撞时，可以只把一部分动能交给原子。只要粒子的动能大于或等于某两个能级之差，就可能使原子跃迁，剩下的能量留给粒子自己。

电离：电子吸收能量后脱离原子核的束缚，变成自由电子，叫电离。处于第 $n$ 能级的氢原子，使它电离需要的最小能量（电离能）是

$$E_{\text{电离}} = 0 - E_n = -E_n$$

基态氢原子的电离能是 $13.6\ \mathrm{eV}$。光子能量大于或等于电离能就能使原子电离，多出来的能量变成电子的动能：$E_{\text{k}} = h\nu - (-E_n) = h\nu + E_n$。

谱线条数：

• 一群处于第 $n$ 能级的氢原子（数量很多），向低能级跃迁时，任意两个能级之间都有原子跃迁，最多能放出的光子种数是

$$\mathrm{C}_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$$

• 一个处于第 $n$ 能级的氢原子，每次跃迁至少下降一级，最多放出 $n - 1$ 种（一个一个台阶往下走：$n \to n-1 \to \cdots \to 1$）。

可见光光子的能量：可见光波长约 $400 \sim 760\ \mathrm{nm}$，光子能量约 $1.62 \sim 3.11\ \mathrm{eV}$（由 $E = \dfrac{hc}{\lambda}$ 算出）。氢原子中只有落到 $n = 2$ 的跃迁（巴耳末系）中的前几条落在这个范围里。

常用常量：$h = 6.63 \times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}$，$c = 3.0 \times 10^8\ \mathrm{m/s}$，$1\ \mathrm{eV} = 1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{J}$。

使用场景

• 给出能级图或能级公式，问从某能级跃迁到另一能级放出（吸收）光子的能量、频率、波长 → 玻尔第三条假设 → $h\nu = E_m - E_n$，再用 $\lambda = \dfrac{c}{\nu}$；能量换成焦耳再除以 $h$。
• 题目说“一群”氢原子处于第 $n$ 能级，问能放出几种光、其中频率最高（最低）的是哪种、有几种是可见光 → 两两组合 → $\mathrm{C}_n^2$ 种；频率最高的是 $n \to 1$，最低的是 $n \to n-1$；逐个算能量和 $1.62 \sim 3.11\ \mathrm{eV}$ 比较。
• 题目说“一个”氢原子处于第 $n$ 能级，问最多放出几种光 → 逐级下降 → 最多 $n - 1$ 种。
• 题目给出放出的谱线条数，反推原子被激发到了哪一能级、照射光子的能量是多少 → 由 $\mathrm{C}_n^2$ 反求 $n$ → 光子能量 $E_n - E_1$。
• 题目给出光子或电子的能量，问能否使基态（或某激发态）氢原子跃迁 → 吸收条件 → 光子：恰好等于能级差才吸收；电子等实物粒子：动能 $\ge$ 能级差即可。
• 问使原子电离需要的最小能量，或电离后电子的动能 → 电离能 → $E_{\text{电离}} = -E_n$，$E_{\text{k}} = h\nu + E_n$。

注意点

• 能级差用“高减低”，结果为正。代入负值时要带着负号算：$E_4 - E_2 = -0.85 - (-3.40) = 2.55\ \mathrm{eV}$。
• 能量用 $\mathrm{eV}$ 算差值方便，求频率、波长时必须换成焦耳再除以 $h$：$\nu = \dfrac{\Delta E(\mathrm{eV}) \times 1.6 \times 10^{-19}}{6.63 \times 10^{-34}}\ \mathrm{Hz}$。
• “一群”和“一个”要看清：一群用 $\mathrm{C}_n^2$，一个最多 $n - 1$。“最多”二字表示上限，一个原子实际可能直接跳回基态，只放出一种。
• 光子不能“分一部分”给原子：它要么被整个吸收，要么不被吸收。只有在使原子电离时，光子能量大于电离能也可以被吸收，多余的部分变成电子动能。
• 电子碰撞时可以给出一部分能量，所以电子使原子激发只要“够”，不必“恰好”。
• 原子跃迁时也可以不放光子，而以碰撞等方式交出能量；但题目说“辐射”“发光”时，就是放出光子。

推导

谱线条数为什么是 $\mathrm{C}_n^2$：一群原子数量极多，从第 $n$ 能级出发，各种可能的跃迁路径都会有原子走到。每一种光子由它的起点能级和终点能级唯一决定，所以光子的种类就是“从 $1, 2, \cdots, n$ 这 $n$ 个能级中任选两个”的方法数（组合数，见《高中数学知识点梳理》第 34 章）：

$$\mathrm{C}_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$$

（关键一步：氢原子的各能级差互不相等，所以不同的能级对给出不同频率的光子，不会重复，种数正好等于组合数。）

一个原子为什么最多 $n - 1$ 种：一个原子每次跃迁放出一个光子，能级至少下降 1。从 $n$ 降到 1 最多降 $n - 1$ 次，每次的能级对不同，所以最多 $n - 1$ 种。一步跳到底只放 1 种。

光子为什么要“恰好”、电子为什么“够就行”：光子是一个能量包，被吸收时整个能量 $h\nu$ 交给原子（第 35 章），原子只能停在某个能级上，所以 $h\nu$ 必须恰好等于某个能级差。电子和原子碰撞时，电子碰后仍然存在、可以带走剩余的动能，能量守恒写成 $E_{\text{k}} = (E_m - E_n) + E_{\text{k}}'$，只要 $E_{\text{k}} \ge E_m - E_n$ 就能满足。电离时，电子脱离原子后的动能可以取任意值，所以光子能量只要不小于电离能即可，多余的部分成为电子动能。

例题

例 1　（场景：求跃迁光子的能量、频率、波长）氢原子从 $n = 4$ 能级跃迁到 $n = 2$ 能级，求放出的光子的能量（用 $\mathrm{eV}$ 和 $\mathrm{J}$ 表示）、频率和波长，并判断它是不是可见光。（$E_4 = -0.85\ \mathrm{eV}$，$E_2 = -3.40\ \mathrm{eV}$，$h = 6.63 \times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}$，$c = 3.0 \times 10^8\ \mathrm{m/s}$）

解：

研究对象：氢原子。

过程划分：一次跃迁，从 $n = 4$ 到 $n = 2$。

分析：从高能级到低能级，放出光子，能量等于能级差（玻尔第三条假设）。

列式求解：

$$h\nu = E_4 - E_2 = -0.85\ \mathrm{eV} - (-3.40\ \mathrm{eV}) = 2.55\ \mathrm{eV} = 2.55 \times 1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{J} \approx 4.08 \times 10^{-19}\ \mathrm{J}$$ $$\nu = \frac{4.08 \times 10^{-19}}{6.63 \times 10^{-34}}\ \mathrm{Hz} \approx 6.15 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}$$ $$\lambda = \frac{c}{\nu} = \frac{3.0 \times 10^8}{6.15 \times 10^{14}}\ \mathrm{m} \approx 4.9 \times 10^{-7}\ \mathrm{m}$$

$490\ \mathrm{nm}$ 在 $400 \sim 760\ \mathrm{nm}$ 内，是可见光（蓝绿色）。也可以直接比能量：$2.55\ \mathrm{eV}$ 在 $1.62 \sim 3.11\ \mathrm{eV}$ 内。

检验：单位：$\dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{J \cdot s}} = \mathrm{s^{-1}} = \mathrm{Hz}$，对。与 34.4 节巴耳末系的 $486\ \mathrm{nm}$ 谱线对得上（$n = 4$ 对应第二条线）。

容易卡在：直接用 $2.55$ 除以 $6.63 \times 10^{-34}$。$h$ 的单位是 $\mathrm{J \cdot s}$，能量必须先换成焦耳。

例 2　（场景：一群原子的谱线条数）一群氢原子处于 $n = 4$ 的激发态。（1）它们向低能级跃迁时，最多能放出几种不同频率的光子？（2）其中频率最高和最低的光子能量各是多少？（3）其中有几种是可见光？（可见光光子能量范围约 $1.62 \sim 3.11\ \mathrm{eV}$；$E_1 = -13.6\ \mathrm{eV}$，$E_2 = -3.40\ \mathrm{eV}$，$E_3 = -1.51\ \mathrm{eV}$，$E_4 = -0.85\ \mathrm{eV}$）

解：

研究对象：一群处于 $n = 4$ 的氢原子。

过程划分：各个原子沿不同路径向低能级跃迁，所有可能的跃迁都会发生。

分析：一群原子，种数 $\mathrm{C}_4^2$；能级差最大的是 $4 \to 1$，最小的是 $4 \to 3$；把六种跃迁的能量逐个算出，与可见光范围比较。

列式求解：（1）$\mathrm{C}_4^2 = \dfrac{4 \times 3}{2} = 6$ 种。

（2）六种跃迁的光子能量：

跃迁	$4 \to 3$	$4 \to 2$	$4 \to 1$	$3 \to 2$	$3 \to 1$	$2 \to 1$
能量/$\mathrm{eV}$	$0.66$	$2.55$	$12.75$	$1.89$	$12.09$	$10.2$

频率最高的是 $4 \to 1$，$12.75\ \mathrm{eV}$；频率最低的是 $4 \to 3$，$0.66\ \mathrm{eV}$。

（3）在 $1.62 \sim 3.11\ \mathrm{eV}$ 内的是 $2.55\ \mathrm{eV}$（$4 \to 2$）和 $1.89\ \mathrm{eV}$（$3 \to 2$），共 2 种，都是落到 $n = 2$ 的巴耳末系谱线。

检验：$12.75 = 0.66 + 1.89 + 10.2$，即 $4 \to 3 \to 2 \to 1$ 三步的能量之和等于一步 $4 \to 1$，能量守恒，对。

另一种解法：不用组合数，按能级图数箭头：从 4 出发往下有 3 种（到 3、2、1），从 3 出发有 2 种，从 2 出发有 1 种，共 $3 + 2 + 1 = 6$ 种。$n$ 小时数箭头直观、还能顺便列出每一种；$n$ 大（比如 $n = 6$）时直接用 $\mathrm{C}_6^2 = 15$ 更快。

例 3　（场景：一个原子的谱线条数）一个氢原子处于 $n = 4$ 的激发态，向低能级跃迁时最多能放出几种不同频率的光子？

解：3 种。

判断依据：一个原子每次跃迁至少下降一个能级，最多放出 $n - 1$ 种。

它只有一个电子，同一时刻只能沿一条路径往下走。放出最多种的路径是 $4 \to 3 \to 2 \to 1$，三次跃迁，3 种光子。如果走 $4 \to 1$，只放 1 种；走 $4 \to 2 \to 1$，放 2 种。

例 4　（场景：由谱线条数反推能级和照射光子的能量）用某种单色光照射一群处于基态的氢原子，氢原子吸收光子后，能放出 3 种不同频率的光。求照射光的光子能量。（$E_1 = -13.6\ \mathrm{eV}$）

解：

研究对象：一群氢原子。

过程划分：两个过程：先吸收光子，从基态跃迁到某激发态 $n$；再向低能级跃迁，放出 3 种光。

分析：一群原子放出 $\mathrm{C}_n^2$ 种光，由 $\mathrm{C}_n^2 = 3$ 求出 $n$；吸收的光子能量恰好等于 $E_n - E_1$。

列式求解：$\dfrac{n(n-1)}{2} = 3$，得 $n = 3$。$E_3 = \dfrac{-13.6}{9}\ \mathrm{eV} \approx -1.51\ \mathrm{eV}$，

$$h\nu = E_3 - E_1 = -1.51\ \mathrm{eV} - (-13.6\ \mathrm{eV}) = 12.09\ \mathrm{eV}$$

检验：$12.09\ \mathrm{eV}$ 小于电离能 $13.6\ \mathrm{eV}$，不会电离，对。放出的 3 种是 $3 \to 2$、$3 \to 1$、$2 \to 1$。

容易卡在：以为只要光子能量“足够大”就行，填一个大于 $12.09\ \mathrm{eV}$ 的值。光子必须恰好等于能级差才会被吸收（34.6”说明”）。

例 5　（场景：光子和电子能否使原子激发）氢原子处于基态。分别用下列粒子与它作用：（1）能量为 $10.2\ \mathrm{eV}$ 的光子；（2）能量为 $11.0\ \mathrm{eV}$ 的光子；（3）动能为 $11.0\ \mathrm{eV}$ 的电子。判断每种情况下氢原子能否跃迁到激发态。（$E_1 = -13.6\ \mathrm{eV}$，$E_2 = -3.40\ \mathrm{eV}$，$E_3 = -1.51\ \mathrm{eV}$）

解：

判断依据：光子能量必须恰好等于能级差才被吸收；电子的动能大于或等于能级差即可，剩余的留给电子。

基态到各激发态的能级差：$E_2 - E_1 = 10.2\ \mathrm{eV}$，$E_3 - E_1 = 12.09\ \mathrm{eV}$。

（1）$10.2\ \mathrm{eV}$ 恰好等于 $E_2 - E_1$，光子被吸收，氢原子跃迁到 $n = 2$。

（2）$11.0\ \mathrm{eV}$ 不等于任何能级差（介于 $10.2$ 和 $12.09$ 之间），又小于电离能 $13.6\ \mathrm{eV}$，光子不被吸收，氢原子仍在基态。

（3）电子动能 $11.0\ \mathrm{eV} > 10.2\ \mathrm{eV}$，可以把其中 $10.2\ \mathrm{eV}$ 交给氢原子，使它跃迁到 $n = 2$，电子剩下 $0.8\ \mathrm{eV}$ 的动能；$11.0\ \mathrm{eV} < 12.09\ \mathrm{eV}$，到不了 $n = 3$。

容易卡在：（2）和（3）能量一样，结论却不同。区别在于光子是“整个交出去”，电子是“可以只交一部分”。

例 6　（场景：电离能与电离后的动能）氢原子处于 $n = 2$ 的激发态。（1）使它电离至少需要吸收多大能量的光子？这种光子的频率是多少？（2）若用能量为 $4.0\ \mathrm{eV}$ 的光子照射，电离后电子的动能是多少？（$E_2 = -3.40\ \mathrm{eV}$，$h = 6.63 \times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}$）

解：

研究对象：处于 $n = 2$ 的氢原子和它的电子。

过程划分：一个过程：吸收光子，电子脱离原子。

分析：电离就是跃迁到 $n = \infty$（能量为零）。电离能 $= 0 - E_2$；光子能量多于电离能的部分，变成电子的动能。

列式求解：（1）

$$E_{\text{电离}} = 0 - E_2 = 3.40\ \mathrm{eV}$$ $$\nu = \frac{3.40 \times 1.6 \times 10^{-19}}{6.63 \times 10^{-34}}\ \mathrm{Hz} \approx 8.2 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}$$

（2）由能量守恒：

$$E_{\text{k}} = h\nu - E_{\text{电离}} = 4.0\ \mathrm{eV} - 3.40\ \mathrm{eV} = 0.6\ \mathrm{eV}$$

检验：$8.2 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}$ 对应波长 $\dfrac{3.0 \times 10^8}{8.2 \times 10^{14}}\ \mathrm{m} \approx 3.7 \times 10^{-7}\ \mathrm{m}$，在紫外区，和 34.4 巴耳末系的线系极限（约 $364\ \mathrm{nm}$）对得上：使 $n = 2$ 的原子电离的光，正是巴耳末系极限的那种光。

容易卡在：以为 $4.0\ \mathrm{eV}$ 不等于任何能级差，光子就不被吸收。电离时光子能量只要不小于电离能即可，这是“恰好”规则的例外。

常用推论

• 一群原子从第 $n$ 能级跃迁：$n = 2, 3, 4, 5, 6$ 分别最多放出 1、3、6、10、15 种光子。由 $\mathrm{C}_n^2$ 得出。
• 同一群原子放出的光中，频率最高（波长最短）的是 $n \to 1$，频率最低（波长最长）的是 $n \to n-1$。
• 能量可加：$E_m - E_n = (E_m - E_k) + (E_k - E_n)$，所以 $\nu_{mn} = \nu_{mk} + \nu_{kn}$，但波长不能直接相加，要满足 $\dfrac{1}{\lambda_{mn}} = \dfrac{1}{\lambda_{mk}} + \dfrac{1}{\lambda_{kn}}$。由 $h\nu = \dfrac{hc}{\lambda}$ 得出。
• 基态氢原子吸收光子能跃迁的能量只有 $10.2$、$12.09$、$12.75\ \mathrm{eV}$ ……（以及 $\ge 13.6\ \mathrm{eV}$ 电离）；电子碰撞激发只需动能 $\ge 10.2\ \mathrm{eV}$。
• 氢原子发出的可见光只有巴耳末系的四条（$n = 3, 4, 5, 6$ 落到 $n = 2$）；落到 $n = 1$ 的都在紫外区，落到 $n = 3$ 及以上的都在红外区。

易错点

• 错在哪：一个处于 $n = 4$ 的氢原子，回答“最多放出 6 种光子”。 为什么错：把“一个”当成“一群”。一个原子只有一条下降路径，不能同时走所有路径。 正确做法：先圈出题目里的“一群”或“一个”：一群用 $\mathrm{C}_n^2$，一个最多 $n - 1$。
• 错在哪：认为能量大于能级差的光子都能使原子跃迁，“多余的能量原子不要”。 为什么错：把光子想成可以“分一部分”给原子的子弹。光子被吸收时整个消失，能量必须全部交给原子。 正确做法：光子：恰好等于能级差（或 $\ge$ 电离能）才吸收。电子、其他原子等实物粒子：动能 $\ge$ 能级差即可。
• 错在哪：频率算成 $\nu = \dfrac{2.55}{6.63 \times 10^{-34}}\ \mathrm{Hz}$。 为什么错：$h$ 的单位是 $\mathrm{J \cdot s}$，能量还停在电子伏特。 正确做法：先乘 $1.6 \times 10^{-19}$ 换成焦耳，再除以 $h$；或者记住 $hc \approx 1240\ \mathrm{eV \cdot nm}$，$\lambda(\mathrm{nm}) \approx \dfrac{1240}{\Delta E(\mathrm{eV})}$，直接得波长。
• 错在哪：认为波长也能像能量一样相加：$\lambda_{41} = \lambda_{43} + \lambda_{31}$。 为什么错：能量与频率成正比，与波长成反比，反比的量不能直接相加。 正确做法：能量、频率可加，波长要用倒数相加。

直观理解

跃迁就像走楼梯：从高层往低层跳，放出光子，光子的能量等于两层的高度差；一群人站在四楼往下跳，各种跳法都有人试，能看到 6 种不同的“落差”；一个人从四楼往下，最多分三步走。光子是“只收整钞的售票机”：票价（能级差）必须恰好付清，多给少给都不收；电子是“可以找零的售票员”，钱够就行。

关联知识点

• 前置：34.5 玻尔模型和能级图。
• 前置：第 16 章电子伏特与焦耳的换算；第 30 章电磁波 $c = \lambda\nu$。
• 前置：组合数 $\mathrm{C}_n^2$，见《高中数学知识点梳理》第 34 章。
• 后续：第 35 章光子能量 $E = h\nu$、光电效应：本节电离的能量关系和光电效应方程 $E_{\text{k}} = h\nu - W_0$ 形式相同。
• 前置：第 24 章的激光；它的发光原理是原子在能级间的受激辐射，用的正是本节的能级跃迁。
• 常一起考：第 35 章光电效应，氢原子跃迁放出的光照射金属，问能否发生光电效应、光电子最大初动能。

34.7 知识点之间的关系

本章前三个知识点是一条历史链：每个新现象推翻一个旧模型，引出一个新模型。后两个知识点是玻尔模型和它的应用，考试的计算几乎都落在这里。做题时先看问的是“原子长什么样、怎么发现的”，还是“氢原子发光、吸收能量”：前者按现象和结论对应，后者先画能级图，再按“放出还是吸收、光子还是电子、一群还是一个”三问选规律。

34.8 自测

1. 电子束在互相垂直的匀强电场（$E = 3.0 \times 10^4\ \mathrm{V/m}$）和匀强磁场（$B = 2.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{T}$）中沿直线运动，求电子的速度大小。
2. 提出原子核式结构模型的科学家是谁？他依据的是什么实验？测出元电荷的是谁？
3. α 粒子散射实验中，少数 α 粒子发生大角度偏转，主要原因是（　）。A. α 粒子与电子碰撞　B. α 粒子受到原子核的库仑斥力　C. α 粒子受到金原子的万有引力　D. α 粒子与原子核直接接触
4. 用巴耳末公式（$R_{\infty} = 1.10 \times 10^7\ \mathrm{m^{-1}}$）求 $n = 4$ 的谱线波长。
5. 求氢原子 $n = 5$ 能级的能量和轨道半径（$E_1 = -13.6\ \mathrm{eV}$，$r_1 = 0.53 \times 10^{-10}\ \mathrm{m}$）。
6. 氢原子的电子从 $n = 3$ 轨道跃迁到 $n = 1$ 轨道，电子的动能、原子的电势能和总能量分别怎么变？
7. 一群处于 $n = 5$ 的氢原子最多能放出几种光子？一个处于 $n = 5$ 的氢原子呢？
8. 处于基态的氢原子，分别吸收 $12.09\ \mathrm{eV}$ 和 $12.5\ \mathrm{eV}$ 的光子，结果如何？用动能为 $12.5\ \mathrm{eV}$ 的电子碰撞呢？

答案：1. $1.5 \times 10^7\ \mathrm{m/s}$；2. 卢瑟福，α 粒子散射实验；密立根（油滴实验）；3. B；4. 约 $4.8 \times 10^{-7}\ \mathrm{m}$；5. 约 $-0.54\ \mathrm{eV}$，约 $1.3 \times 10^{-9}\ \mathrm{m}$；6. 动能增大，电势能减小，总能量减小（放出光子）；7. 10 种，最多 4 种；8. $12.09\ \mathrm{eV}$ 光子被吸收，跃迁到 $n = 3$；$12.5\ \mathrm{eV}$ 光子不被吸收；$12.5\ \mathrm{eV}$ 的电子可使它跃迁到 $n = 2$ 或 $n = 3$。

34.9 深入阅读

• PhET · 卢瑟福散射：分别用枣糕模型和核式结构模型发射 α 粒子，对比轨迹，看为什么只有核式结构能产生大角度偏转。
• PhET · 氢原子模型：从台球模型、枣糕模型、行星模型到玻尔模型和薛定谔模型，逐一看各模型预言的光谱和实验光谱是否相符。
• 维基百科 · 玻尔模型：玻尔模型的三条假设、氢原子能级和轨道半径的推导（含角动量量子化），以及它的成功和局限。
• 国家中小学智慧教育平台：教育部主办，有人教版选择性必修第三册第四章“原子结构和波粒二象性”的同步课程和电子教材。