第 9 章 · 抛体运动

项目	内容
课标主题	必修 2 · 曲线运动与万有引力定律（通过实验探究并认识平抛运动的规律；会用运动的合成与分解分析平抛运动；能分析生产生活中的抛体运动）
人教版（2019）	必修第二册 第五章“抛体运动”：3 实验：探究平抛运动的特点；4 抛体运动的规律（平抛运动的速度、位移，一般的抛体运动）
考试地位	平抛常考，选择题和计算题都有，常和斜面、圆周运动、动能定理一起考；带电粒子在电场中的偏转是“类平抛”，是电场大题的固定一环；斜抛偶考，多以投篮、排球、跳远等情境出现，常用“最高点逆向看成平抛”处理
前置知识	第 3 章 3.6 自由落体与竖直上抛；第 8 章运动的合成与分解；第 1 章 1.3 矢量合成；直角三角形的三角函数（见《高中数学知识点梳理》第 11 章）

抛体运动是第一个真正“二维”的运动，但它不需要新公式：水平方向匀速，竖直方向就是第 3 章的自由落体或竖直上抛，两个方向各算各的，最后用勾股定理和正切合起来。丢分丢在三处：一是把速度方向和位移方向混成一个角；二是用合位移、合速度直接套直线运动公式；三是斜面题不知道斜面的倾角该对应“速度方向”还是“位移方向”。本章把分解的方法、两条最常用的推论和斜面上的两种落法逐个讲清。

9.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
9.2 平抛运动的规律	水平匀速 $x = v_0t$，竖直自由落体 $y = \dfrac{1}{2}gt^2$；时间只由高度决定	常考，几乎每卷都用
9.3 平抛的常用推论（含斜面上的平抛）	速度反向延长线过水平位移中点；$\tan\theta = 2\tan\alpha$；落在斜面上看位移方向，垂直打在斜面上看速度方向	常考，选择题直接用
9.4 斜抛运动（了解）	水平匀速 $v_0\cos\theta$，竖直上抛 $v_0\sin\theta$；最高点速度水平，逆向看是平抛	偶考，球类运动情境

9.2 平抛运动的规律

说明

抛体运动：以一定的初速度把物体抛出，物体只受重力的运动。理想模型：质点、忽略空气阻力、高度变化不大（$g$ 恒定）。

平抛运动：初速度 $v_0$ 沿水平方向的抛体运动。加速度恒为 $g$、竖直向下，所以它是匀变速曲线运动（加速度不变，但和速度不在一条直线上，第 8 章曲线运动的条件）。

分解方法：以抛出点 $O$ 为原点，$v_0$ 方向为 $x$ 轴正方向，竖直向下为 $y$ 轴正方向。

• 水平方向：不受力，做匀速直线运动；
• 竖直方向：初速度为零、只受重力，做自由落体运动（第 3 章 3.6 节）。

速度（$t$ 时刻）：

$$v_x = v_0, \quad v_y = gt$$ $$v = \sqrt{v_0^2 + g^2t^2}, \quad \tan\theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{gt}{v_0}$$

$\theta$ 是速度与水平方向的夹角（速度偏角）。

位移（$t$ 时间内）：

$$x = v_0t, \quad y = \frac{1}{2}gt^2$$ $$s = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \tan\alpha = \frac{y}{x} = \frac{gt}{2v_0}$$

$\alpha$ 是位移与水平方向的夹角（位移偏角）。

轨迹：从 $x = v_0t$ 解出 $t = \dfrac{x}{v_0}$，代入 $y$：

$$y = \frac{g}{2v_0^2}x^2$$

是一条顶点在抛出点、开口向下（$y$ 轴向下时写成开口沿 $y$ 正方向）的抛物线。

由高度 $h$ 定的三个量：

量	公式	由什么决定
飞行时间	$t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}$	只由高度 $h$ 决定，与 $v_0$ 无关
水平射程	$x = v_0\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$	由 $v_0$ 和 $h$ 共同决定
落地速度	$v = \sqrt{v_0^2 + 2gh}$	由 $v_0$ 和 $h$ 共同决定

矢量式与标量式：矢量式 $\vec{v} = \vec{v}_0 + \vec{g}t$、$\vec{s} = \vec{v}_0t + \dfrac{1}{2}\vec{g}t^2$；按上面取的 $x$、$y$ 轴写成分量，就是两组标量式。

类平抛：物体受恒定合力，且合力与初速度垂直，运动规律和平抛完全一样，只是 $g$ 换成 $a = \dfrac{F_{\text{合}}}{m}$。如光滑斜面上沿水平方向射出的小球、带电粒子垂直电场线射入匀强电场（第 16 章）。

使用场景

• 物体从高处被水平抛出（“水平抛出”“水平飞出”“从桌边滑落”），问落地时间、水平距离、落地速度 → 平抛 → 竖直方向由高度定时间，水平方向 $x = v_0t$，速度用勾股定理合成。
• 题目给出某时刻速度的方向（“速度与水平成 $45^\circ$”）或位移的方向 → 平抛 → 把速度或位移分解到水平、竖直两个方向，用 $\tan\theta = \dfrac{gt}{v_0}$ 或 $\tan\alpha = \dfrac{gt}{2v_0}$ 列式。
• 几个物体从不同高度、以不同初速度平抛，比较时间、初速度、落点 → 平抛 → 先比高度定时间，再由 $x = v_0t$ 比初速度。
• 有网、墙、台阶、界线等限制，问“恰好过网”“不出界”的初速度范围 → 平抛的临界 → 找到“擦网”“压线”两条临界轨迹，各用一次平抛公式。
• 物体受恒力，初速度与恒力垂直（光滑斜面上水平射出、带电粒子垂直射入匀强电场）→ 类平抛 → 先求加速度 $a = \dfrac{F_{\text{合}}}{m}$，再沿初速度方向匀速、沿合力方向初速为零匀加速。

注意点

• 平抛的两个条件：初速度水平、只受重力。初速度斜向上或斜向下的是斜抛（9.4 节）；空气阻力不能忽略的（羽毛球、降落伞）不是平抛，本节公式不能用。
• 坐标原点取在抛出点，竖直方向取向下为正，这样 $y$、$v_y$ 都是正数。如果取向上为正，$y = -\dfrac{1}{2}gt^2$，两套写法不能混用。
• 速度偏角 $\theta$ 和位移偏角 $\alpha$ 是两个不同的角：$\tan\theta = 2\tan\alpha$（9.3 节），题目说“与水平方向成某角”时，先看清说的是速度还是位移。
• 合位移 $s$ 和合速度 $v$ 不能套直线运动公式：$s \ne vt$，$s \ne \dfrac{v_0 + v}{2}t$。只有两个分运动各自是直线运动，公式只能在分方向上用。
• 平抛的轨迹在落地前一直是抛物线；落在斜面、台阶、墙上时，运动在碰撞点结束，碰撞后的运动另行分析。
• 求“落地速度”要答大小和方向，方向写成“与水平方向成 $\theta$ 角斜向下”，$\theta$ 用正切值或特殊角表示。

推导

为什么能拆成两个直线运动：

1. 受力：物体只受重力，重力竖直向下，水平方向合力为零。
2. 水平方向：合力为零，初速度为 $v_0$，由牛顿第一定律（第 6 章），水平分速度一直是 $v_0$，所以 $x = v_0t$。
3. 竖直方向：合力为 $mg$，加速度 $g$；初速度水平，竖直分速度为零，所以竖直方向是自由落体：$v_y = gt$，$y = \dfrac{1}{2}gt^2$。

（关键一步：第 3 步认为竖直方向的运动“不受水平运动影响”。这是运动的独立性（第 8 章）：重力只改变竖直分速度，不改变水平分速度。水平速度再大，竖直方向也只按 $g$ 加速。）

实验依据：两类对照实验支持这一步。

• 竖直方向：用小锤打击弹性金属片，$A$ 球被水平弹出、$B$ 球同时自由下落。改变高度和打击力度，两球总是同时落地（听声音只有一响），说明平抛的竖直分运动是自由落体。
• 水平方向：用频闪照相或描迹法记录轨迹，在轨迹上取竖直间隔之比为 $1 : 3 : 5$ 的点（对应相等时间，第 3 章 3.5 节初速为零的比例），量得它们的水平间隔相等，说明水平分运动是匀速。

具体装置、步骤和数据处理见第 39 章“探究平抛运动的特点”。

轨迹为什么是抛物线：消去 $t$ 得 $y = \dfrac{g}{2v_0^2}x^2$，$y$ 是 $x$ 的二次函数，图像是抛物线（见《高中数学知识点梳理》第 4 章）。

例题

例 1　（场景：水平抛出，求时间、距离、落地速度）从离地 $20\ \mathrm{m}$ 高的平台边缘以 $15\ \mathrm{m/s}$ 的速度水平抛出一个小球，不计空气阻力。求：（1）小球在空中飞行的时间；（2）落地点到抛出点的水平距离；（3）落地速度。

解：

研究对象：小球，看成质点。

过程划分：一个过程，从抛出到落地，平抛运动。

分析：只受重力，初速度水平。分解成水平匀速、竖直自由落体。时间由高度定（本节“由高度定的三个量”）。

列式求解：取竖直向下为 $y$ 轴正方向。

（1）由 $h = \dfrac{1}{2}gt^2$：

$$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 20}{10}}\ \mathrm{s} = 2\ \mathrm{s}$$

（2）$x = v_0t = 15 \times 2\ \mathrm{m} = 30\ \mathrm{m}$。

（3）$v_x = 15\ \mathrm{m/s}$，$v_y = gt = 20\ \mathrm{m/s}$：

$$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{15^2 + 20^2}\ \mathrm{m/s} = 25\ \mathrm{m/s}$$

$\tan\theta = \dfrac{v_y}{v_x} = \dfrac{4}{3}$，$\theta = 53^\circ$。落地速度大小 $25\ \mathrm{m/s}$，方向与水平方向成 $53^\circ$ 斜向下。

检验：单位都对。落地速度大于初速度，竖直分速度 $20\ \mathrm{m/s}$ 等于从 $20\ \mathrm{m}$ 高自由落下的速度，合理。

容易卡在：（3）只算 $v_y = 20\ \mathrm{m/s}$ 就当成落地速度，忘了还有水平分速度。

另一种解法：只问落地速度大小时，用机械能守恒（第 14 章）一步得出：$\dfrac{1}{2}mv^2 = \dfrac{1}{2}mv_0^2 + mgh$，$v = \sqrt{v_0^2 + 2gh} = \sqrt{225 + 400}\ \mathrm{m/s} = 25\ \mathrm{m/s}$。能量法不用求时间、不管路径，只要大小时最快；要方向，还得分解速度。

例 2　（场景：已知速度方向，分解速度和位移）一个物体做平抛运动，抛出后 $2\ \mathrm{s}$ 末（尚未落地）速度方向与水平方向成 $45^\circ$。求：（1）初速度；（2）$2\ \mathrm{s}$ 末速度的大小；（3）这 $2\ \mathrm{s}$ 内位移的大小和方向（$\sqrt{5} \approx 2.24$）。

解：

研究对象：物体。

过程划分：只看抛出后的前 $2\ \mathrm{s}$，平抛运动。

分析：速度方向给定，把 $2\ \mathrm{s}$ 末的速度分解：竖直分速度由时间算出，水平分速度由角度求出。位移另行分解，不能用速度的角度。

列式求解：取竖直向下为 $y$ 轴正方向。

（1）$v_y = gt = 10 \times 2\ \mathrm{m/s} = 20\ \mathrm{m/s}$。由 $\tan 45^\circ = \dfrac{v_y}{v_0} = 1$，得 $v_0 = 20\ \mathrm{m/s}$，方向水平。

（2）$v = \sqrt{20^2 + 20^2}\ \mathrm{m/s} = 20\sqrt{2}\ \mathrm{m/s} \approx 28.3\ \mathrm{m/s}$。

（3）$x = v_0t = 40\ \mathrm{m}$，$y = \dfrac{1}{2}gt^2 = 20\ \mathrm{m}$：

$$s = \sqrt{40^2 + 20^2}\ \mathrm{m} = 20\sqrt{5}\ \mathrm{m} \approx 44.8\ \mathrm{m}$$

$\tan\alpha = \dfrac{y}{x} = \dfrac{1}{2}$。位移大小约 $44.8\ \mathrm{m}$，方向与水平方向成 $\alpha$ 角斜向下，$\tan\alpha = 0.5$。

检验：$\tan\alpha = 0.5$ 正好是 $\tan 45^\circ$ 的一半，和 9.3 节的推论 $\tan\theta = 2\tan\alpha$ 一致。

容易卡在：（3）以为位移也和水平成 $45^\circ$。速度偏角和位移偏角是两回事。

例 3　（场景：比较不同高度的平抛）$A$、$B$ 两球在同一竖直线上，离地高度分别为 $h$ 和 $4h$，同时水平抛出，恰好落在地面上同一点。不计空气阻力，下列说法正确的是（　）。

A. 两球同时落地　B. $A$ 球的初速度是 $B$ 球的 2 倍　C. $A$ 球的初速度是 $B$ 球的 4 倍　D. $B$ 球的初速度是 $A$ 球的 2 倍

解：B。

判断依据：平抛的时间只由高度决定，$t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}} \propto \sqrt{h}$；水平距离相同时，初速度与时间成反比。

$t_A : t_B = \sqrt{h} : \sqrt{4h} = 1 : 2$，$B$ 球后落地，A 错。水平位移相等，$v_A t_A = v_B t_B$，所以 $v_A : v_B = t_B : t_A = 2 : 1$，B 对，C、D 错。

例 4　（场景：有临界的平抛）排球运动员在离地 $3.2\ \mathrm{m}$ 高处把球水平击出。球网离击球点的水平距离为 $3\ \mathrm{m}$，网高 $2.4\ \mathrm{m}$；对方场地的端线离击球点的水平距离为 $12\ \mathrm{m}$。不计空气阻力，要使球既能过网又不出界，求击球速度的范围。

解：

研究对象：排球，看成质点。

过程划分：一个过程，平抛。但要考虑两种临界情形：①恰好擦网顶；②恰好落在端线上。

分析：速度越大，过网越容易、越容易出界。所以最小速度由“擦网”定，最大速度由“压线”定。每种临界都是一次平抛：先由下落高度求时间，再由水平距离求速度。

列式求解：取竖直向下为 $y$ 轴正方向。

①擦网：下落高度 $3.2\ \mathrm{m} - 2.4\ \mathrm{m} = 0.8\ \mathrm{m}$，

$$t_1 = \sqrt{\frac{2 \times 0.8}{10}}\ \mathrm{s} = 0.4\ \mathrm{s}, \quad v_{\min} = \frac{3}{0.4}\ \mathrm{m/s} = 7.5\ \mathrm{m/s}$$

②压线：下落高度 $3.2\ \mathrm{m}$，

$$t_2 = \sqrt{\frac{2 \times 3.2}{10}}\ \mathrm{s} = 0.8\ \mathrm{s}, \quad v_{\max} = \frac{12}{0.8}\ \mathrm{m/s} = 15\ \mathrm{m/s}$$

击球速度范围 $7.5\ \mathrm{m/s} \le v_0 \le 15\ \mathrm{m/s}$，方向水平。

检验：以 $7.5\ \mathrm{m/s}$ 击出时，落地点在 $7.5 \times 0.8\ \mathrm{m} = 6\ \mathrm{m}$ 处，在网和端线之间，说明擦网的球不会出界，两个条件不冲突，范围成立。

容易卡在：擦网时用全部高度 $3.2\ \mathrm{m}$ 求时间。到网时球只下落了 $3.2 - 2.4 = 0.8\ \mathrm{m}$。

例 5　（场景：类平抛）倾角 $30^\circ$ 的光滑斜面，斜面上沿斜面方向的长度为 $10\ \mathrm{m}$。小球从斜面左上角 $A$ 以 $4\ \mathrm{m/s}$ 的速度沿斜面上边缘的方向（水平）射出，在斜面上运动，到达斜面底边上的 $B$ 点。求小球从 $A$ 到 $B$ 的时间和 $B$ 点离斜面左边缘的距离。

解：

研究对象：小球。

过程划分：一个过程，从 $A$ 到 $B$，始终在斜面上运动。

分析：受重力 $G$ 和斜面支持力 $F_{\text{N}}$。两者的合力沿斜面向下，大小 $mg\sin 30^\circ$，恒定；初速度沿水平方向，和合力垂直。所以小球做类平抛运动，加速度 $a = g\sin 30^\circ = 5\ \mathrm{m/s^2}$，沿斜面向下。

列式求解：沿初速度方向为 $x$ 轴，沿斜面向下为 $y$ 轴。

沿斜面向下：$L = \dfrac{1}{2}at^2$，

$$t = \sqrt{\frac{2L}{a}} = \sqrt{\frac{2 \times 10}{5}}\ \mathrm{s} = 2\ \mathrm{s}$$

沿初速度方向：$x = v_0t = 4 \times 2\ \mathrm{m} = 8\ \mathrm{m}$。

检验：$a = 5\ \mathrm{m/s^2} < g$，斜面越缓加速度越小，合理。$\theta = 90^\circ$ 时 $a = g$，回到平抛；$\theta = 0$ 时 $a = 0$，变成水平面上的匀速直线运动，特殊情形都对得上。

容易卡在：直接用 $g$ 作加速度。类平抛的”$g$“要换成合力产生的加速度，先做受力分析。

常用推论

• 时间只由高度决定：$t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}$，与初速度、质量无关。适用于落在水平地面上的平抛（落在斜面、台阶上时高度本身随 $v_0$ 变，见 9.3 节）。
• 速度变化量：$\Delta\vec{v} = \vec{g}\Delta t$，相等时间内速度变化量大小相等、方向竖直向下。由加速度恒为 $g$ 得出；水平分速度不变，变的只有竖直分速度。
• 落地速度：$v = \sqrt{v_0^2 + 2gh}$，由 $v_y^2 = 2gh$ 和勾股定理得出，也可由机械能守恒得出（例 1 另一种解法）。
• 竖直方向连续相等时间的位移之比 $1 : 3 : 5 : \cdots$，$\Delta y = gT^2$（第 3 章 3.5 节），水平方向相等时间位移相等。频闪照片、描迹实验求 $v_0$ 和 $g$ 时用（第 39 章）。
• 类平抛的一切结论（时间、偏角、推论）都照搬平抛，把 $g$ 换成 $a$（例 5）。

易错点

• 错在哪：认为水平抛出的速度越大，物体在空中飞得越久。 为什么错：直觉觉得“飞得远就飞得久”。其实飞行时间由竖直方向的自由落体决定，水平速度不影响下落。 正确做法：落在同一水平面上，时间只看高度。子弹水平射出和同时从同高处松手掉落的子弹，同时落地（不计阻力）。
• 错在哪：用合位移套 $s = \dfrac{1}{2}gt^2$，或用合速度套 $v = gt$。 为什么错：合运动是曲线运动，直线运动的公式只能用在分方向上。 正确做法：先分解，各方向分别列式，最后再合成。
• 错在哪：把“速度与水平成 $\theta$“当成”位移与水平成 $\theta$“来列式。 为什么错：速度沿轨迹的切线，位移沿抛出点到该点的连线，曲线上两者方向不同（例 2 中一个 $45^\circ$，一个 $\tan\alpha = 0.5$）。 正确做法：说速度用 $\tan\theta = \dfrac{gt}{v_0}$，说位移用 $\tan\alpha = \dfrac{gt}{2v_0}$。
• 错在哪：认为平抛运动的加速度在变，因为速度方向一直在变。 为什么错：把“速度变”和“加速度变”混为一谈。加速度看合力，合力是重力，恒定不变。 正确做法：平抛是匀变速曲线运动，加速度恒为 $g$、竖直向下。

直观理解

平抛 = “边走边掉”：水平方向像在光滑冰面上滑行，速度不变；竖直方向像从同一高度松手的球，自由下落。两个球同时出发，任何时刻都在同一高度上。

一句话记法：高度定时间，时间定一切。

关联知识点

• 前置：第 3 章 3.6 节自由落体，平抛的竖直分运动就是它。
• 前置：第 8 章运动的合成与分解、运动的独立性；平抛是它的第一个完整应用。
• 前置：第 1 章 1.3 节矢量合成；直角三角形和正切，见《高中数学知识点梳理》第 11 章；轨迹是抛物线，见第 4 章二次函数。
• 后续：第 16 章带电粒子在电场中的偏转，就是类平抛，加速度换成 $\dfrac{qE}{m}$。
• 常一起考：第 10 章圆周运动（物体从圆周最高点飞出后平抛）；第 13、14 章动能定理、机械能守恒求落地速度。
• 常一起考：第 39 章实验“探究平抛运动的特点”，用频闪照片或描迹求初速度。

9.3 平抛的常用推论（含斜面上的平抛）

说明

本节收平抛里高考最常直接用的结论，以及斜面上的两种落法。记号同 9.2 节：$\theta$ 是速度与水平方向的夹角，$\alpha$ 是位移与水平方向的夹角。

推论一：速度偏角与位移偏角

$$\tan\theta = 2\tan\alpha$$

推论二：速度的反向延长线过水平位移的中点。平抛物体运动到 $P$ 点，水平位移为 $x$，$P$ 点速度的反向延长线与 $x$ 轴交于 $Q$，则 $OQ = \dfrac{x}{2}$。

斜面上的平抛（斜面倾角为 $\theta_0$）：

情形	抓住哪个方向	关系式	结果
从斜面上抛出，又落在斜面上	位移沿斜面，位移偏角 $\alpha = \theta_0$	$\tan\theta_0 = \dfrac{gt}{2v_0}$	$t = \dfrac{2v_0\tan\theta_0}{g}$
垂直打在斜面上	速度垂直斜面，速度与竖直方向夹角为 $\theta_0$	$\tan\theta_0 = \dfrac{v_0}{gt}$	$t = \dfrac{v_0}{g\tan\theta_0}$

使用场景

• 题目同时涉及速度方向和位移方向，或只给一个角求另一个 → 平抛的偏角关系 → 用 $\tan\theta = 2\tan\alpha$，或用“反向延长线过水平位移中点”在图上找几何关系。
• 物体从斜面上（常是顶端）水平抛出，又落回斜面（“落在斜面上”“落到斜面上某点”）→ 平抛 + 位移约束 → 位移方向沿斜面，$\tan\theta_0 = \dfrac{y}{x} = \dfrac{gt}{2v_0}$。
• 物体水平抛出后“垂直打在”“垂直撞到”斜面上 → 平抛 + 速度约束 → 速度方向垂直斜面，速度与竖直方向夹角等于倾角，$\tan\theta_0 = \dfrac{v_0}{v_y}$。
• 从斜面顶端以不同初速度抛出、都落在斜面上，比较时间、落点、速度方向 → 斜面平抛的比例关系 → $t \propto v_0$，沿斜面距离 $\propto v_0^2$，落到斜面时速度方向都相同。

注意点

• 推论一、二对平抛轨迹上任意一点都成立，以抛出点为原点算。如果从中途某点开始算，那一点的速度不是水平的，推论不成立。
• 斜面题先画图判断：倾角对应的是位移方向（落在斜面上）还是速度方向（垂直打在斜面上）。前者用 $\tan\alpha$，后者用 $\tan\theta$，用反了结果差一倍以上。
• “垂直打在斜面上”时，速度与水平方向的夹角是 $90^\circ - \theta_0$，与竖直方向的夹角才是 $\theta_0$。画出速度和斜面的垂直关系，再找角。
• 落在斜面上的公式 $t = \dfrac{2v_0\tan\theta_0}{g}$ 只适用于抛出点在斜面上、落点也在斜面上。如果初速度太大，物体越过斜面底端落到水平地面上，时间就由高度决定了，要先判断落点在哪。
• 推论适用于类平抛（$g$ 换成 $a$），带电粒子在电场中的偏转常用推论二（第 16 章）。

推导

推论一：由 9.2 节，

$$\tan\theta = \frac{v_y}{v_0} = \frac{gt}{v_0}, \quad \tan\alpha = \frac{y}{x} = \frac{\frac{1}{2}gt^2}{v_0t} = \frac{gt}{2v_0}$$

所以 $\tan\theta = 2\tan\alpha$。

（关键一步：竖直位移 $y = \dfrac{1}{2}gt^2$ 是“平均竖直速度 $\dfrac{gt}{2}$ 乘时间”，而竖直速度是 $gt$，正好是平均值的 2 倍；水平方向速度不变，所以速度的“竖直与水平之比”是位移的 2 倍。）

推论二：设 $P$ 点坐标为 $(x, y)$，速度的反向延长线交 $x$ 轴于 $Q$，$Q$ 到 $P$ 正下方的水平距离为 $d$。在直角三角形中，$\tan\theta = \dfrac{y}{d}$。又 $\tan\theta = 2\tan\alpha = \dfrac{2y}{x}$，所以 $d = \dfrac{x}{2}$，$Q$ 在水平位移的中点。

落在斜面上：抛出点和落点都在斜面上，位移沿斜面，$\alpha = \theta_0$：

$$\tan\theta_0 = \frac{gt}{2v_0} \quad\Rightarrow\quad t = \frac{2v_0\tan\theta_0}{g}$$

落到斜面时的速度偏角满足 $\tan\theta = 2\tan\theta_0$，只和倾角有关，和 $v_0$ 无关。

垂直打在斜面上：速度垂直斜面。斜面与水平方向成 $\theta_0$，它的垂线与竖直方向也成 $\theta_0$（两边分别垂直的两个角相等），所以

$$\tan\theta_0 = \frac{v_0}{v_y} = \frac{v_0}{gt} \quad\Rightarrow\quad t = \frac{v_0}{g\tan\theta_0}$$

离斜面最远的时刻：从斜面上抛出又落回斜面的过程中，速度方向平行于斜面时离斜面最远（此前速度有离开斜面的分量，此后有靠近的分量）。速度偏角 $\theta = \theta_0$：$\dfrac{gt'}{v_0} = \tan\theta_0$，$t' = \dfrac{v_0\tan\theta_0}{g}$，正好是落到斜面所需时间的一半。

例题

例 1　（场景：已知速度方向求位移关系）小球从某高处水平抛出，落地点与抛出点的水平距离为 $7.5\ \mathrm{m}$，落地时速度方向与水平方向成 $53^\circ$。求抛出点的高度和初速度。

解：

研究对象：小球。

过程划分：一个过程，平抛。

分析：给了落地速度方向和水平位移，求竖直位移。用推论二：落地速度的反向延长线过水平位移中点。

列式求解：反向延长线与水平地面的交点离抛出点正下方 $\dfrac{x}{2} = 3.75\ \mathrm{m}$，在直角三角形中：

$$h = \frac{x}{2}\tan 53^\circ = 3.75 \times \frac{4}{3}\ \mathrm{m} = 5\ \mathrm{m}$$

$t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}} = 1\ \mathrm{s}$，$v_0 = \dfrac{x}{t} = 7.5\ \mathrm{m/s}$，方向水平。

检验：$v_y = gt = 10\ \mathrm{m/s}$，$\tan\theta = \dfrac{10}{7.5} = \dfrac{4}{3}$，正是 $\tan 53^\circ$，对得上。

另一种解法：直接列方程。设时间为 $t$，$v_0t = 7.5$，$\dfrac{gt}{v_0} = \dfrac{4}{3}$。两式相乘得 $gt^2 = 10$，$t = 1\ \mathrm{s}$，再求 $h = 5\ \mathrm{m}$、$v_0 = 7.5\ \mathrm{m/s}$。列方程不用记推论，但要解方程组；推论二把“角度 + 水平位移”直接变成“高度”，选择题里一步出答案。

例 2　（场景：落在斜面上）从倾角为 $37^\circ$ 的斜面顶端 $A$ 以 $10\ \mathrm{m/s}$ 的速度水平抛出一个小球，小球落在斜面上的 $B$ 点。不计空气阻力。求：（1）小球在空中的时间；（2）$A$、$B$ 间的距离；（3）抛出后多长时间小球离斜面最远（$\sin 37^\circ = 0.6$，$\cos 37^\circ = 0.8$）。

解：

研究对象：小球。

过程划分：一个过程，从 $A$ 平抛到 $B$。

分析：抛出点、落点都在斜面上，位移 $AB$ 沿斜面，位移偏角等于倾角 $37^\circ$。离斜面最远时速度平行斜面，速度偏角等于 $37^\circ$。

列式求解：取水平向右为 $x$ 轴、竖直向下为 $y$ 轴。

（1）由 $\tan 37^\circ = \dfrac{y}{x} = \dfrac{gt}{2v_0}$：

$$t = \frac{2v_0\tan 37^\circ}{g} = \frac{2 \times 10 \times 0.75}{10}\ \mathrm{s} = 1.5\ \mathrm{s}$$

（2）$x = v_0t = 15\ \mathrm{m}$，

$$AB = \frac{x}{\cos 37^\circ} = \frac{15}{0.8}\ \mathrm{m} = 18.75\ \mathrm{m}$$

（3）速度平行斜面时，$\dfrac{gt'}{v_0} = \tan 37^\circ$，$t' = \dfrac{10 \times 0.75}{10}\ \mathrm{s} = 0.75\ \mathrm{s}$。

检验：$y = \dfrac{1}{2} \times 10 \times 1.5^2\ \mathrm{m} = 11.25\ \mathrm{m}$，$\dfrac{y}{x} = 0.75 = \tan 37^\circ$，落点确实在斜面上。$t'$ 是 $t$ 的一半，符合本节“离斜面最远的时刻”的结论。

容易卡在：用速度偏角列 $\tan 37^\circ = \dfrac{gt}{v_0}$，得 $t = 0.75\ \mathrm{s}$，那是离斜面最远的时刻，不是落到斜面的时刻。

另一种解法：沿斜面和垂直斜面分解。垂直斜面方向：初速度分量 $v_0\sin 37^\circ = 6\ \mathrm{m/s}$ 离开斜面，加速度分量 $g\cos 37^\circ = 8\ \mathrm{m/s^2}$ 指向斜面，是一个“竖直上抛”：回到斜面用时 $t = \dfrac{2 \times 6}{8}\ \mathrm{s} = 1.5\ \mathrm{s}$，离斜面最远在一半时刻 $0.75\ \mathrm{s}$，最远距离 $\dfrac{6^2}{2 \times 8}\ \mathrm{m} = 2.25\ \mathrm{m}$。问时间、落点时按水平竖直分解简单；问“离斜面的最大距离”时，按斜面分解一步得出，水平竖直分解反而麻烦。

例 3　（场景：垂直打在斜面上）小球从 $O$ 点以 $6\ \mathrm{m/s}$ 的速度水平抛出，飞行一段时间后，恰好垂直撞在倾角为 $37^\circ$ 的斜面上的 $P$ 点。不计空气阻力。求小球飞行的时间、撞击斜面时的速度，以及 $O$、$P$ 两点的高度差（$\tan 37^\circ = 0.75$）。

解：

研究对象：小球。

过程划分：一个过程，从 $O$ 平抛到 $P$。

分析：速度在 $P$ 点垂直斜面。斜面与水平成 $37^\circ$，所以速度与竖直方向成 $37^\circ$。这是一个速度方向的约束，分解速度。

列式求解：取竖直向下为 $y$ 轴正方向。在 $P$ 点，

$$\tan 37^\circ = \frac{v_0}{v_y} \quad\Rightarrow\quad v_y = \frac{v_0}{\tan 37^\circ} = \frac{6}{0.75}\ \mathrm{m/s} = 8\ \mathrm{m/s}$$

$t = \dfrac{v_y}{g} = 0.8\ \mathrm{s}$。

$v = \sqrt{6^2 + 8^2}\ \mathrm{m/s} = 10\ \mathrm{m/s}$，方向垂直斜面向下（与竖直方向成 $37^\circ$）。

高度差 $h = \dfrac{1}{2}gt^2 = \dfrac{1}{2} \times 10 \times 0.8^2\ \mathrm{m} = 3.2\ \mathrm{m}$。

检验：速度与水平的夹角 $\theta$ 满足 $\tan\theta = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$，$\theta = 53^\circ = 90^\circ - 37^\circ$，速度与斜面（$37^\circ$）的夹角正好 $90^\circ$，垂直关系成立。

容易卡在：写成 $\tan 37^\circ = \dfrac{v_y}{v_0}$，即把倾角当成速度与水平的夹角。先画速度和斜面的垂直关系，再找角。

例 4　（场景：斜面平抛的比例关系）从斜面顶端先后以 $v_0$ 和 $2v_0$ 水平抛出两个小球，两球都落在斜面上。下列说法正确的是（　）。

A. 两球在空中的时间之比为 $1 : 4$　B. 两球落点到抛出点的距离之比为 $1 : 2$　C. 两球落到斜面时速度与斜面的夹角相同　D. 初速度大的球落到斜面时速度与斜面的夹角大

解：C。

判断依据：落在斜面上，$t = \dfrac{2v_0\tan\theta_0}{g} \propto v_0$；落到斜面时速度偏角满足 $\tan\theta = 2\tan\theta_0$，与 $v_0$ 无关。

时间之比 $1 : 2$，A 错。水平位移 $x = v_0t \propto v_0^2$，沿斜面距离 $\dfrac{x}{\cos\theta_0} \propto v_0^2$，比为 $1 : 4$，B 错。两球速度偏角相同，与斜面的夹角 $\theta - \theta_0$ 也相同，C 对、D 错。

常用推论

• 从斜面上抛出又落在斜面上：$t \propto v_0$，沿斜面距离 $\propto v_0^2$；落到斜面时速度方向与 $v_0$ 无关，$\tan\theta = 2\tan\theta_0$（本节推导）。
• 离斜面最远：速度平行斜面时，用时是全程的一半，$t' = \dfrac{v_0\tan\theta_0}{g}$；最远距离 $d = \dfrac{(v_0\sin\theta_0)^2}{2g\cos\theta_0}$（例 2 另一种解法）。
• 垂直打在斜面上：$t = \dfrac{v_0}{g\tan\theta_0}$，此时水平位移与竖直位移之比 $\dfrac{x}{y} = \dfrac{v_0t}{\frac{1}{2}gt^2} = 2\tan\theta_0$。
• 类平抛的推论二：带电粒子垂直射入匀强电场后飞出，速度的反向延长线与入射方向交于板长的中点，好像粒子是从两板正中间沿直线射出的（第 16 章）。

易错点

• 错在哪：落在斜面上的题，用 $\tan\theta_0 = \dfrac{gt}{v_0}$ 求时间。 为什么错：直觉觉得“斜面的角就是运动方向的角”，把位移方向和速度方向混了。落到斜面时位移沿斜面，速度并不沿斜面（速度更陡）。 正确做法：落在斜面上，抓位移：$\tan\theta_0 = \dfrac{y}{x} = \dfrac{gt}{2v_0}$。
• 错在哪：垂直打在斜面上的题，写 $\tan\theta_0 = \dfrac{v_y}{v_0}$。 为什么错：倾角 $\theta_0$ 是斜面和水平的夹角；速度垂直斜面，它和竖直方向的夹角才是 $\theta_0$。 正确做法：画出速度和斜面的垂线关系，标出 $\theta_0$ 的位置，得 $\tan\theta_0 = \dfrac{v_0}{v_y}$。
• 错在哪：认为初速度越大，落到斜面上时速度越“贴近”斜面。 为什么错：直觉觉得速度大就“飞得平”。但初速度大，下落时间也按比例变长，速度偏角只由倾角决定（例 4）。 正确做法：从斜面上抛出又落在斜面上，落地速度方向都一样。
• 错在哪：看到斜面就用 $t = \dfrac{2v_0\tan\theta_0}{g}$，不管落点在哪。 为什么错：初速度大到越过斜面底端时，落在水平地面上，时间由高度决定。 正确做法：先用斜面公式求出落点，检查它在不在斜面范围内。

直观理解

把 $P$ 点的速度看成“从水平位移中点射出的一条直线”：平抛物体在 $P$ 点的速度方向，好像它是从 $\dfrac{x}{2}$ 处沿直线飞过来的。这就是 $\tan\theta = 2\tan\alpha$ 的几何样子：从中点看 $P$ 的角，比从原点看陡一倍（正切值）。

斜面题一句话：落在斜面上看位移，垂直斜面看速度。

关联知识点

• 前置：9.2 节平抛的速度和位移分解。
• 前置：直角三角形中的角（两边分别垂直的角相等），见《高中数学知识点梳理》第 11 章。
• 后续：第 16 章带电粒子在电场中偏转，用推论二求偏转角、偏移量。
• 常一起考：第 4 章斜面上的力的分解；本节例 2 的“另一种解法”就是把重力加速度按斜面方向分解。
• 常一起考：第 13 章动能定理，求落到斜面时的动能。

9.4 斜抛运动（了解）

说明

课标要求会用运动的合成与分解分析平抛运动、能分析生产生活中的抛体运动，没有单列斜抛。斜抛用同样的分解方法处理，高考很少单独考。

斜抛运动：初速度 $v_0$ 斜向上（或斜向下）、只受重力的抛体运动。下面讲斜向上抛出，抛射角（初速度与水平方向的夹角）为 $\theta$。理想模型同平抛：质点、不计空气阻力、$g$ 恒定。

分解方法：水平方向为 $x$ 轴，竖直向上为 $y$ 轴。

• 水平方向：匀速直线运动，$v_x = v_0\cos\theta$；
• 竖直方向：初速度 $v_0\sin\theta$ 的竖直上抛运动（第 3 章 3.6 节）。

取竖直向上为正方向：

$$x = v_0\cos\theta \cdot t, \quad y = v_0\sin\theta \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$$ $$v_x = v_0\cos\theta, \quad v_y = v_0\sin\theta - gt$$

落回抛出高度时的三个特征量：

量	公式
飞行时间	$T = \dfrac{2v_0\sin\theta}{g}$
射高（最大高度）	$H = \dfrac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}$
射程	$X = \dfrac{v_0^2\sin 2\theta}{g}$

最高点：竖直分速度为零，速度水平、大小 $v_0\cos\theta$，不为零。轨迹关于最高点的竖直线对称。

逆向看：从最高点往后看是平抛；从最高点往前倒着看，也是以 $v_0\cos\theta$ 水平抛出的平抛。

使用场景

• 物体斜向上抛出（投篮、掷铅球、踢足球、跳远），落回同一高度，问时间、最大高度、水平距离 → 斜抛 → 水平匀速、竖直上抛，或直接用射高、射程公式。
• 物体“水平击中”“恰好水平越过”某点（篮球水平打在篮板上、球恰好水平飞过横杆）→ 斜抛的最高点 → 倒过来看成从该点水平抛出的平抛，用 9.2 节公式。
• 比较不同抛射角的射程、射高，或问抛射角多大时射程最远 → 斜抛的射程公式 → $X \propto \sin 2\theta$，$45^\circ$ 最远，互余的两个角射程相同。

注意点

• 竖直分运动是竖直上抛，不是自由落体；取向上为正时，$y$、$v_y$ 先正后变号，处理方法同第 3 章 3.6 节。
• 射程、射高、飞行时间三个公式只适用于落回抛出点所在的水平面。抛出点高于落点（如推铅球，出手点离地约 $2\ \mathrm{m}$）时，要按分运动列式，用 $y = -h$ 求时间。
• 最高点速度不为零，只是竖直分速度为零；最高点加速度仍是 $g$。
• 实际的炮弹、足球受空气阻力，轨迹不对称，下降段更陡，射程最远的角度小于 $45^\circ$。这种“弹道曲线”高中只要求定性了解。

推导

飞行时间：落回同一高度时 $y = 0$：$v_0\sin\theta \cdot T - \dfrac{1}{2}gT^2 = 0$，非零解 $T = \dfrac{2v_0\sin\theta}{g}$。也就是竖直上抛“上升时间 $\dfrac{v_0\sin\theta}{g}$ 的 2 倍”。

射高：竖直上抛的最大高度公式（第 3 章 3.6 节）中初速度换成 $v_0\sin\theta$：$H = \dfrac{(v_0\sin\theta)^2}{2g}$。

射程：

$$X = v_0\cos\theta \cdot T = v_0\cos\theta \cdot \frac{2v_0\sin\theta}{g} = \frac{v_0^2 \cdot 2\sin\theta\cos\theta}{g} = \frac{v_0^2\sin 2\theta}{g}$$

（关键一步：用二倍角公式 $2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta$（见《高中数学知识点梳理》第 13 章）。$\sin 2\theta$ 在 $2\theta = 90^\circ$ 时最大，所以 $\theta = 45^\circ$ 时射程最大，$X_{\max} = \dfrac{v_0^2}{g}$；又因为 $\sin 2\theta = \sin(180^\circ - 2\theta) = \sin 2(90^\circ - \theta)$，所以互余的两个抛射角射程相同。）

例题

例 1　（场景：斜抛落回同一高度）足球运动员把地面上的足球以 $20\ \mathrm{m/s}$ 的速度踢出，速度方向与水平方向成 $37^\circ$。不计空气阻力，求足球在空中飞行的时间、上升的最大高度和落地点到踢出点的距离（$\sin 37^\circ = 0.6$，$\cos 37^\circ = 0.8$）。

解：

研究对象：足球，看成质点。

过程划分：一个过程，从踢出到落回地面，斜抛运动；竖直方向又可分为上升、下降两段，两段对称。

分析：分解初速度：$v_x = 20 \times 0.8\ \mathrm{m/s} = 16\ \mathrm{m/s}$，$v_{y0} = 20 \times 0.6\ \mathrm{m/s} = 12\ \mathrm{m/s}$。水平匀速，竖直上抛。轨迹形状见本节“说明”的图。

列式求解：取竖直向上为正方向。

上升时间 $t_1 = \dfrac{v_{y0}}{g} = 1.2\ \mathrm{s}$，飞行时间 $T = 2t_1 = 2.4\ \mathrm{s}$。

最大高度 $H = \dfrac{v_{y0}^2}{2g} = \dfrac{12^2}{20}\ \mathrm{m} = 7.2\ \mathrm{m}$。

水平距离 $X = v_xT = 16 \times 2.4\ \mathrm{m} = 38.4\ \mathrm{m}$。

检验：用射程公式 $X = \dfrac{v_0^2\sin 2\theta}{g} = \dfrac{400 \times 2 \times 0.6 \times 0.8}{10}\ \mathrm{m} = 38.4\ \mathrm{m}$，一致。量级：大脚开球三四十米，合理。

例 2　（场景：最高点逆向看成平抛）某同学站在离墙 $10\ \mathrm{m}$ 处，把小球从地面附近斜向上抛出，小球恰好水平击中墙上离地 $5\ \mathrm{m}$ 高的 $B$ 点。不计空气阻力和抛出点离地高度，求抛出时速度的大小和方向。

解：

研究对象：小球。

过程划分：从 $A$ 斜抛到 $B$，$B$ 点速度水平，所以 $B$ 是斜抛的最高点。

分析：倒过来看，小球从 $B$ 以某一水平速度“平抛”，落到 $A$：下落高度 $5\ \mathrm{m}$，水平距离 $10\ \mathrm{m}$。这个“逆向平抛”落到 $A$ 的速度，大小等于实际抛出速度，方向相反。

列式求解：逆向平抛中取竖直向下为正方向。

$t = \sqrt{\dfrac{2 \times 5}{10}}\ \mathrm{s} = 1\ \mathrm{s}$，水平速度 $v_x = \dfrac{10}{1}\ \mathrm{m/s} = 10\ \mathrm{m/s}$，竖直速度 $v_y = gt = 10\ \mathrm{m/s}$。

$$v_0 = \sqrt{10^2 + 10^2}\ \mathrm{m/s} = 10\sqrt{2}\ \mathrm{m/s} \approx 14.1\ \mathrm{m/s}$$

$\tan\theta = \dfrac{v_y}{v_x} = 1$，抛出速度与水平方向成 $45^\circ$ 斜向上。

检验：正向验算：$v_0\sin 45^\circ = 10\ \mathrm{m/s}$ 竖直上抛，$1\ \mathrm{s}$ 上升 $\dfrac{10^2}{20}\ \mathrm{m} = 5\ \mathrm{m}$ 到最高点，水平走 $10\ \mathrm{m}$，正好到 $B$，一致。

另一种解法：正向列式。设抛出速度的分量为 $v_x$、$v_y$，最高点 $v_y^2 = 2gh$，得 $v_y = 10\ \mathrm{m/s}$；上升时间 $\dfrac{v_y}{g} = 1\ \mathrm{s}$，$v_x = 10\ \mathrm{m/s}$。结果相同。正向列式要先想清楚“水平击中 = 最高点”，再用竖直上抛公式；逆向平抛把问题直接变成熟悉的平抛，题目给“水平击中”“水平飞过”时逆向更快，给的是抛出速度时正向更直接。

例 3　（场景：比较抛射角）在同一水平地面上，以相同大小的速度、不同的抛射角斜向上抛出几个小球，不计空气阻力。下列说法正确的是（　）。

A. 抛射角越大，射程越大　B. 抛射角为 $30^\circ$ 和 $60^\circ$ 的两球射程相同　C. 抛射角为 $30^\circ$ 和 $60^\circ$ 的两球在空中的时间相同　D. 抛射角为 $60^\circ$ 时射程最大

解：B。

判断依据：射程 $X = \dfrac{v_0^2\sin 2\theta}{g}$，飞行时间 $T = \dfrac{2v_0\sin\theta}{g}$。

$\sin 60^\circ = \sin 120^\circ$，$30^\circ$ 和 $60^\circ$ 射程相同，B 对。$\theta = 45^\circ$ 时射程最大，A、D 错。$60^\circ$ 的竖直分速度大，飞得更高、更久，时间不同，C 错。

常用推论

• $45^\circ$ 射程最远，$X_{\max} = \dfrac{v_0^2}{g}$；互余的两个抛射角射程相同，但大角度的飞得更高、更久（本节推导）。适用条件：落回同一高度、不计空气阻力。
• 最高点逆向看成平抛：斜抛上升段倒过来就是从最高点出发的平抛，9.2、9.3 节的推论都能用（例 2）。
• 对称性：落回同一高度时，上升和下降时间相等，同一高度处速度大小相等、与水平方向夹角相同。
• 速度变化量：和平抛一样，$\Delta\vec{v} = \vec{g}\Delta t$，竖直向下；水平分速度始终不变。

易错点

• 错在哪：认为斜抛物体在最高点速度为零。 为什么错：把竖直上抛的结论照搬过来。斜抛最高点只有竖直分速度为零，水平分速度 $v_0\cos\theta$ 一直都在。 正确做法：最高点速度水平，大小 $v_0\cos\theta$；动能也不为零。
• 错在哪：抛出点高于落地点时，仍用 $X = \dfrac{v_0^2\sin 2\theta}{g}$ 和”$45^\circ$ 最远”。 为什么错：公式推导时用了“落回抛出高度”（$y = 0$），条件变了结论就不成立；推铅球的最佳出手角度小于 $45^\circ$。 正确做法：落点和抛出点不在同一高度时，按水平、竖直分运动列式，竖直方向写 $y = -h$。
• 错在哪：认为抛射角越大（越“往高处抛”），落得越远。 为什么错：抛射角大，竖直分速度大、飞得久，但水平分速度小；两者相乘，$45^\circ$ 时最大。 正确做法：用 $X \propto \sin 2\theta$ 判断。

直观理解

斜抛 = “水平匀速 + 竖直上抛”，最高点把它切成两段平抛：后半段正着看是平抛，前半段倒着看也是平抛。

关联知识点

• 前置：第 3 章 3.6 节竖直上抛，斜抛的竖直分运动就是它。
• 前置：9.2 节平抛；三角函数和二倍角公式，见《高中数学知识点梳理》第 11–13 章。
• 后续：第 13、14 章用动能定理、机械能守恒求斜抛落地速度大小，与抛射角无关。
• 后续：第 16 章带电粒子斜射入电场，分解方法相同。

9.5 知识点之间的关系

本章只有一个方法：分解成两个直线运动。拿到抛体题，先看初速度方向和受力：初速度水平、只受重力的是平抛；初速度斜向的是斜抛；受恒力且初速度与它垂直的是类平抛。再看题目给了什么约束：给高度定时间；给方向就分解速度或位移；有斜面就判断倾角对应位移还是速度；“水平击中”就逆向看成平抛。

9.6 自测

1. 从 $45\ \mathrm{m}$ 高处以 $10\ \mathrm{m/s}$ 的速度水平抛出一个物体，求落地时间和水平距离。
2. 平抛物体的初速度为 $15\ \mathrm{m/s}$，落地速度大小为 $25\ \mathrm{m/s}$，求抛出点的高度。
3. 关于平抛运动，相等时间内速度的变化量（　）。A. 大小相等，方向不同　B. 大小不等，方向相同　C. 大小相等，方向竖直向下　D. 大小、方向都在变
4. 平抛物体某时刻速度与水平方向成 $45^\circ$，此时位移与水平方向夹角的正切值是多少？
5. 从倾角 $45^\circ$ 的斜面顶端以 $5\ \mathrm{m/s}$ 的速度水平抛出一个小球，小球落在斜面上，求飞行时间。
6. 小球以 $10\ \mathrm{m/s}$ 的速度水平抛出，恰好垂直撞在倾角 $45^\circ$ 的斜面上，求飞行时间。
7. 以 $10\ \mathrm{m/s}$ 的速度、与水平方向成 $30^\circ$ 斜向上抛出一个小球，求最高点的速度和上升的最大高度。
8. 以相同速率斜向上抛出，抛射角为 $20^\circ$ 的物体与抛射角为多少的物体射程相同（落回同一高度）？

答案：1. $3\ \mathrm{s}$，$30\ \mathrm{m}$；2. $20\ \mathrm{m}$；3. C；4. $0.5$；5. $1\ \mathrm{s}$；6. $1\ \mathrm{s}$；7. $5\sqrt{3}\ \mathrm{m/s} \approx 8.7\ \mathrm{m/s}$，方向水平，$1.25\ \mathrm{m}$；8. $70^\circ$。

9.7 深入阅读

• PhET · 抛体运动：调节初速度、抛射角和高度，看轨迹、速度分量和射程怎么变，可验证 45° 射程最远。
• Khan Academy · Two-dimensional motion：抛体运动的分解、水平抛出和斜抛的视频与练习（英文）。
• 维基百科 · 抛体运动：抛体运动的分解、轨迹方程、射程公式，以及考虑空气阻力时的弹道。
• 国家中小学智慧教育平台：教育部主办，人教版必修第二册第五章“抛体运动”的同步课程和电子教材。