第 25 章 · 磁场与安培力

项目	内容
课标主题	必修 3 · 电磁场与电磁波初步（磁场、磁感应强度、磁感线、磁通量）；选择性必修 2 · 磁场（安培力的方向、大小和应用）
人教版（2019）	必修第三册 第十三章“电磁感应与电磁波初步”：1 磁场　磁感线；2 磁感应强度　磁通量。选择性必修第二册 第一章“安培力与洛伦兹力”：1 磁场对通电导线的作用力。必修三先学初步、选择性必修再深入：必修三讲磁场、磁感线、磁感应强度、磁通量，选择性必修二讲安培力的大小、方向和应用
考试地位	安培定则、左手定则判断方向几乎每卷都用，常作选择题；导体棒在安培力作用下的平衡常考，多为选择题或计算题第一问；磁通量是第 27、28 章电磁感应的基础，单独考得少；电流间的相互作用偶考
前置知识	第 1 章 1.3 矢量合成；第 4 章受力分析、正交分解；第 5 章共点力的平衡；第 6 章牛顿第二定律；第 15 章 15.4 电场强度（比值定义法）、15.6 电场线；第 17 章电流

这一章讲电流和磁场的相互作用：电流产生磁场（安培定则），磁场对电流有力（安培力、左手定则）。磁感应强度、磁感线、磁通量都可以对照第 15 章的电场来学：$B = \dfrac{F}{IL}$ 和 $E = \dfrac{F}{q}$ 一样是比值定义，磁感线和电场线一样用疏密表示强弱。新的难点只有一个：方向是立体的。磁场、电流、安培力三者互相垂直，画在纸上必须有一个“垂直纸面”（× 或 ·）。丢分几乎都在这里：左手、右手用反，立体图转不成平面图，安培力方向画成沿着磁场。

25.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
25.2 磁场与磁感线	磁场方向是小磁针 N 极的受力方向；磁感线是闭合曲线；电流的磁场用安培定则判断	必用，选择题常考方向
25.3 磁感应强度	导线垂直磁场时 $B = \dfrac{F}{IL}$，由磁场本身决定；几个磁场按矢量叠加	常考概念和叠加
25.4 磁通量	$\Phi = BS\cos\theta$，穿过面的磁感线净条数；只算有磁场的面积	单独考得少，是电磁感应的基础
25.5 安培力	$F = BIL\sin\theta$，方向用左手定则，垂直于 $B$ 和 $I$ 所在的平面	必考
25.6 安培力作用下的平衡与加速	画沿导线看的截面受力图，安培力当作一个普通的力，按第 5、6 章列式	常考，选择题和计算题都有
25.7 电流间的相互作用	平行电流同向相吸、反向相斥；环形电流可等效成小磁针	偶考，选择题

25.2 磁场与磁感线

说明

磁场：磁体和电流周围存在的一种物质。磁体与磁体、磁体与电流、电流与电流之间的作用力，都是通过磁场发生的。1820 年奥斯特发现通电导线能使旁边的小磁针偏转，第一次说明电流能产生磁场（电流的磁效应）。

磁场的方向：规定为小磁针在该点 N 极的受力方向，也就是小磁针静止时 N 极所指的方向。

磁感线：在磁场中画出的一些有方向的曲线，曲线上每一点的切线方向都是该点的磁场方向，疏密表示磁场的强弱。磁感线有四条性质：

• 磁体外部从 N 极出来、回到 S 极，内部从 S 极到 N 极，是闭合曲线（电场线不闭合，这是两者最大的区别）；
• 任意两条磁感线不相交；
• 越密的地方磁场越强；
• 磁感线是假想的线，实际不存在，可以用铁屑大致显示它的形状。

安培定则（右手螺旋定则）判断电流的磁场方向，有两种用法：

电流	怎么握	拇指表示	四指表示
直线电流	右手握住导线	电流方向	磁感线的环绕方向
环形电流、通电螺线管	右手弯曲四指，顺着电流方向环绕	环内（螺线管内部）磁感线的方向，即 N 极	电流方向

地磁场：地球本身是一个大磁体。

• 地磁 N 极在地理南极附近，地磁 S 极在地理北极附近，所以小磁针的 N 极指北。
• 地磁的两极与地理两极不重合，小磁针所指的方向与正南北方向有一个夹角，叫磁偏角。我国北宋沈括在《梦溪笔谈》里最早记载了这一现象。
• 地球外部的磁感线从地理南极附近出来，回到地理北极附近。赤道上方的地磁场水平向北；北半球的地磁场有竖直向下的分量，南半球有竖直向上的分量。
• 地表附近地磁场的磁感应强度约 $5 \times 10^{-5}\ \mathrm{T}$（随地点不同，大致在 $2.5 \times 10^{-5} \sim 6.5 \times 10^{-5}\ \mathrm{T}$ 之间）。

安培分子电流假说：安培认为，物质的分子内部存在环形电流（分子电流），每个分子电流相当于一个小磁体。未磁化的铁块中分子电流取向杂乱，磁效应互相抵消；磁化后取向大致相同，对外显出磁性。高温、猛烈撞击使取向重新变乱，磁体就会退磁。这个假说说明磁现象都是电荷运动产生的。

本节的理想模型：无限长直导线（实际导线很长、只看导线中部附近）、理想螺线管（长度远大于直径，内部是匀强磁场）。

使用场景

• 题目给出电流方向，问周围某处的磁场方向或小磁针 N 极指向（奥斯特实验、螺线管旁的小磁针）→ 电流的磁场 → 安培定则：直导线拇指指电流，环形电流和螺线管四指绕电流。
• 题目给出螺线管或环形电流的磁极、小磁针的指向，反推电流方向或电源正负极 → 安培定则反过来用 → 先由小磁针定磁场方向，再由拇指定四指。
• 问磁感线的性质、比较几处磁场的强弱 → 磁感线模型 → 切线定方向、疏密定强弱、闭合不相交。
• 涉及地磁场方向、磁化与退磁 → 地磁场模型、分子电流假说 → 地磁 N 极在地理南极附近，北半球有竖直向下的分量；磁性来自分子电流的有序排列。

注意点

• 磁场方向用 N 极定义，不是 S 极，也不是通电导线的受力方向（安培力与磁场垂直，见 25.5）。
• 小磁针在磁体内部时，N 极指向内部磁感线的方向，即从 S 极指向 N 极。螺线管内部的小磁针 N 极指向螺线管的 N 极，不是“被 N 极排斥”。
• 安培定则用右手。左手是第 25.5 节判断安培力用的，两只手不能混。三条定则的对照见第 27 章。
• 画立体的磁场时，垂直纸面向里用 $\times$，向外用 $\cdot$（想象箭的尾羽和箭头）。
• 磁感线不相交的原因：每一点的磁场方向只有一个。

推导

本知识点的规律都是实验规律，给实验依据。

奥斯特实验：把一根导线沿南北方向放在小磁针正上方。通电后小磁针转动；电流反向，小磁针反向转动；断电后小磁针回到南北方向。

（关键一步：导线沿南北方向放置。如果沿东西方向放，导线的磁场恰好和地磁场的水平分量在一条直线上，小磁针可能不转，看不到效应。奥斯特实验能做成，靠的就是这个摆放。）

结论：电流周围存在磁场，磁场方向随电流方向改变。

安培定则的实验依据：在通电直导线周围的水平板上撒铁屑，铁屑排成以导线为圆心的同心圆；在圆上不同位置放小磁针，N 极的指向沿圆周、绕向与电流方向构成右手螺旋关系。环形电流可以看成很多小段直导线弯成一圈，每一小段在环内产生的磁场方向都相同，所以环内磁场沿轴线；螺线管是许多环形电流排在一起，内部磁场互相加强，外部和条形磁铁相似。

例题

例 1　（场景：由电流判断磁场方向）把一根水平直导线沿南北方向放在静止小磁针的正上方，通以由南向北的电流。从上往下看，小磁针的 N 极向哪边偏转？

解：N 极向西偏转。

判断依据：用安培定则（直线电流）判断导线下方的磁场方向，小磁针 N 极转向该方向。

右手握住导线，拇指指向北（电流方向），四指从导线上方绕到下方。在导线正下方，四指指向西。所以导线在小磁针处产生的磁场向西，N 极向西偏转。小磁针最后停在地磁场和导线磁场的合磁场方向上（北偏西，偏多少见 25.3 例 3）。

容易卡在：把导线下方的磁场方向和上方的弄反。四指绕导线一圈，上方和下方方向相反，要看清小磁针在导线的哪一侧。

例 2　（场景：由磁极反推电流方向）一个通电螺线管水平放置，在它右端外侧的轴线上放一个小磁针，小磁针静止时 N 极指向右（背离螺线管）。问：（1）螺线管哪一端是 N 极？（2）从右向左看，螺线管中的电流沿顺时针还是逆时针？（3）把小磁针放进螺线管内部的轴线上，N 极指向哪边？

解：（1）右端；（2）逆时针；（3）向右。

判断依据：小磁针 N 极指向就是该处磁场方向；再用安培定则（螺线管）由磁场反推电流。

（1）右端外侧的磁场向右，即磁感线从右端出来，所以右端是 N 极。

（2）右手拇指指向 N 极（向右），四指弯曲的方向就是电流方向。从右端看（拇指指着观察者），四指沿逆时针方向绕。

（3）螺线管内部磁感线从 S 极到 N 极，即向右，N 极指向右。

容易卡在：第（3）问用“同名磁极相斥”推出 N 极指左。磁极间相斥相吸的规律只适合磁体外部；在内部要看磁感线方向。

例 3　（场景：磁感线的性质）关于磁感线，下列说法正确的是（　）。

A. 磁感线从磁体的 N 极出发，终止于 S 极 B. 两条磁感线可以在某点相交 C. 磁感线越密的地方，磁场越强 D. 小磁针 N 极的受力方向与该点磁感线的切线方向相反

解：C。

判断依据：磁感线的四条性质。

A 错，磁感线是闭合曲线，在磁体内部从 S 极回到 N 极，没有起点和终点。B 错，相交处会有两个磁场方向。D 错，磁感线的切线方向就是 N 极的受力方向。C 对，疏密表示强弱。

例 4　（场景：地磁场与分子电流）下列说法正确的是（　）。

A. 地理北极附近是地磁北极（N 极） B. 在北京，地磁场有竖直向下的分量 C. 赤道正上方的地磁场竖直向上 D. 磁铁受到猛烈撞击后磁性减弱，是因为分子电流消失了

解：B。

判断依据：地磁场像一个 N 极在地理南极附近的条形磁铁；磁性来自分子电流的有序排列。

A 错，地理北极附近是地磁 S 极，所以小磁针 N 极被吸引指向北。B 对，北京在北半球，磁感线从南向北、向地面“钻进去”，有竖直向下的分量。C 错，赤道上方的磁感线与地面平行，水平向北。D 错，分子电流仍然存在，只是取向变乱，磁效应互相抵消。

常用推论

• 通电螺线管、环形电流的外部磁场和条形磁铁相同，可以直接“换成”一根条形磁铁来分析（25.7 的等效法）。由本节推导：螺线管外部各圈的磁场叠加后与条形磁铁相似。
• 小磁针在磁体外部静止时，N 极指向 S 极一侧（顺着磁感线）；在磁体内部，N 极指向 N 极一侧。由“N 极指向就是磁感线方向”和磁感线内外方向相反推出。
• 通电直导线周围的磁场离导线越远越弱，与距离成反比（$B \propto \dfrac{I}{r}$）。高中不要求推导和记比例系数，题目会给出比例关系。

易错点

• 错在哪：认为磁感线从 N 极出发、到 S 极终止。 为什么错：把磁感线和电场线混为一谈。电场线从正电荷出发、终止于负电荷；磁感线没有“磁荷”可以出发，所以是闭合的。 正确做法：外部 N 到 S，内部 S 到 N，连成一圈。
• 错在哪：螺线管内部的小磁针，用“同名磁极相斥”判断它的指向。 为什么错：直觉以为磁极之间的作用规律在哪里都适用。实际上小磁针只听“所在处磁场方向”的；内部磁场从 S 指向 N。 正确做法：一律先找该点的磁感线方向，N 极顺着它。
• 错在哪：用左手判断电流的磁场。 为什么错：安培定则、左手定则名字里都有“安培”的影子，容易记混。 正确做法：记“电生磁用右手，磁对电流的力用左手”。三条定则的对照表见第 27 章。
• 错在哪：认为地磁北极在地理北极附近。 为什么错：被“北极”两个字带偏。指北针的 N 极被吸向北方，说明北方是地磁的 S 极。 正确做法：异名相吸，指北的 N 极被地磁 S 极吸引，所以地理北极附近是地磁 S 极。

直观理解

磁感线像橡皮筋圈：总是闭合的一圈一圈，从不打结交叉，挤得越紧磁场越强。安培定则就是“右手握住”：握直导线时拇指是电流、四指是磁场；握螺线管时四指是电流、拇指是 N 极。两种用法里，直的东西永远对应拇指，绕圈的东西对应四指。

关联知识点

• 前置：第 15 章 15.6 电场线。磁感线的画法和疏密的意义与电场线相同，区别是磁感线闭合。
• 后续：25.3 节磁感应强度用磁感线的疏密定量化；25.4 节磁通量就是穿过一个面的磁感线条数。
• 后续：第 26 章洛伦兹力，运动电荷相当于电流，磁场方向仍用本节的方法判断。
• 后续：第 27 章楞次定律，判断感应电流方向的最后一步要用安培定则；三条定则的对照表在第 27 章。
• 常一起考：25.5 节左手定则。一道题常先用安培定则找磁场，再用左手定则找力（25.7）。

25.3 磁感应强度

说明

定义：在磁场中垂直于磁场方向放置的一小段通电导线，所受的安培力 $F$ 跟电流 $I$ 和导线长度 $L$ 的乘积 $IL$ 的比值，叫作该处的磁感应强度：

$$B = \frac{F}{IL}\quad(I \perp B)$$

• 单位：特斯拉，简称特，符号 $\mathrm{T}$。$1\ \mathrm{T} = 1\ \dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{A \cdot m}}$。
• 方向：磁感应强度是矢量，方向就是该点的磁场方向，即小磁针 N 极的受力方向，不是导线的受力方向。
• 由磁场本身决定：与放不放导线、导线中电流多大、导线多长都无关。这和第 15 章电场强度 $E = \dfrac{F}{q}$ 一样，是比值定义法。

匀强磁场：各点磁感应强度大小、方向都相同的磁场。磁感线是间隔相同的平行直线。长直通电螺线管内部（两端附近除外）、两个靠得很近的异名磁极之间的磁场，都可以看成匀强磁场。

磁场的叠加：几个磁场同时存在时，某点的磁感应强度等于各个磁场单独在该点产生的磁感应强度的矢量和，按平行四边形定则合成（第 1 章 1.3）。

几个典型数值：地表附近地磁场约 $5 \times 10^{-5}\ \mathrm{T}$；常见永磁体表面约 $10^{-3} \sim 1\ \mathrm{T}$；医院核磁共振成像仪常用 $1.5\ \mathrm{T}$ 或 $3\ \mathrm{T}$。

使用场景

• 题目给出垂直磁场放置的导线所受的力、电流和长度，求 $B$ → 比值定义 → $B = \dfrac{F}{IL}$，只在 $I \perp B$ 时成立。
• 问 $B$ 与 $F$、$I$、$L$ 的关系，或改变电流、导线后 $B$ 变不变 → 比值定义的含义 → $B$ 由磁场决定，与检验导线无关。
• 小磁针同时处在地磁场和电流的磁场中，问它偏转的角度或合磁场 → 磁场叠加 → 分别求出各个磁场的方向，按平行四边形合成。
• 几根通电导线在某点共同产生磁场 → 磁场叠加 → 每根导线的磁场方向用安培定则定（垂直于该点与导线的连线），再矢量合成；有对称性先看抵消。

注意点

• 定义式要求导线与磁场垂直。导线与磁场平行时 $F = 0$，但不能说 $B = 0$。
• 定义里的“一小段导线”：导线要短到它所在范围内的磁场可看成均匀。匀强磁场中长度不限。
• $B$ 的方向和导线受力方向互相垂直，不在一条线上。这和电场不同：正电荷受力方向就是 $E$ 的方向。
• 叠加时用矢量合成，不能把大小直接相加。
• 单位换算：$1\ \mathrm{T} = 1\ \mathrm{N/(A \cdot m)} = 1\ \mathrm{kg/(A \cdot s^2)}$。

推导

实验依据（课本的演示实验）：把三块相同的蹄形磁铁并排放置，磁极间的磁场近似匀强，方向竖直。一根直导线水平悬挂在磁极之间，与磁场垂直。导线通电后受安培力而摆开一个角度，摆角越大，力越大。

1. 控制导线长度不变，改变电流：电流越大，摆角越大。精确测量表明 $F \propto I$。
2. 控制电流不变，改变通电导线的长度（接入一块、两块、三块磁铁之间的那段导线）：长度越长，摆角越大。精确测量表明 $F \propto L$。
3. 合起来 $F \propto IL$，即 $F = BIL$，比例系数 $B$ 只和磁场有关：换一个更强的磁体，同样的 $IL$ 受力更大，$B$ 更大。

（关键一步：第 3 步。在同一处，不管 $I$、$L$ 怎样变，$\dfrac{F}{IL}$ 都是同一个数；换个地方，这个数一般就变了。一个只随位置变、不随检验导线变的量，才能用来描述磁场本身。这和第 15 章用 $\dfrac{F}{q}$ 定义 $E$ 的思路完全相同。）

为什么必须垂直：导线和磁场平行时不受力，夹角不同受力不同（25.5）。只有规定一个确定的方向，比值才唯一。垂直时受力最大，选它作为定义条件。

例题

例 1　（场景：由受力求 $B$）在匀强磁场中，一根长 $0.2\ \mathrm{m}$ 的直导线与磁场方向垂直，通以 $2\ \mathrm{A}$ 的电流时，受到的安培力为 $0.08\ \mathrm{N}$。求磁感应强度的大小。

解：

研究对象：磁场中的那段通电导线。

过程划分：不涉及过程，导线静止在磁场中。

分析：导线与磁场垂直，满足定义式的条件，用 $B = \dfrac{F}{IL}$。

列式求解：

$$B = \frac{F}{IL} = \frac{0.08}{2 \times 0.2}\ \mathrm{T} = 0.2\ \mathrm{T}$$

检验：单位 $\dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{A \cdot m}} = \mathrm{T}$，对。量级：$0.2\ \mathrm{T}$ 是实验室磁铁的典型值，合理。

例 2　（场景：$B$ 由磁场决定）接例 1。（1）把电流增大到 $4\ \mathrm{A}$，该处的磁感应强度和导线受的力各是多少？（2）把导线转到与磁场平行，导线不受力，能否说此时该处的磁感应强度为零？

解：（1）$B = 0.2\ \mathrm{T}$ 不变，$F = 0.16\ \mathrm{N}$；（2）不能，$B$ 仍是 $0.2\ \mathrm{T}$。

判断依据：$B$ 由磁场本身决定，与检验导线的电流、长度、放法无关。

（1）磁场没有变，$B = 0.2\ \mathrm{T}$。受力 $F = BIL = 0.2 \times 4 \times 0.2\ \mathrm{N} = 0.16\ \mathrm{N}$，跟着电流变成原来的 2 倍。

（2）定义式只在导线与磁场垂直时成立。平行时不受力是导线放法造成的，磁场本身没变。

容易卡在：看到 $B = \dfrac{F}{IL}$ 就说”$B$ 与 $F$ 成正比、与 $I$ 成反比”。这是定义式，不是决定式，和 $E = \dfrac{F}{q}$ 一样。

例 3　（场景：地磁场与电流磁场的叠加）某处地磁场的水平分量 $B_{\text{地}} = 4 \times 10^{-5}\ \mathrm{T}$，方向向北。在静止的小磁针正上方沿南北方向放一根直导线，通以由南向北的电流后，导线在小磁针处产生的磁场 $B_{\text{线}} = 3 \times 10^{-5}\ \mathrm{T}$。求小磁针处的水平合磁场，以及小磁针静止时 N 极的指向（$\sin 37^\circ = 0.6$，$\cos 37^\circ = 0.8$）。

解：

研究对象：小磁针所在处的磁场。

过程划分：不涉及过程，求通电后的稳定指向。

分析：由 25.2 例 1，导线在正下方产生的磁场向西。两个磁场互相垂直，按平行四边形定则合成；小磁针 N 极最后指向合磁场的方向。

列式求解：

$$B = \sqrt{B_{\text{地}}^2 + B_{\text{线}}^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} \times 10^{-5}\ \mathrm{T} = 5 \times 10^{-5}\ \mathrm{T}$$

设合磁场与正北方向夹角为 $\alpha$，$\tan\alpha = \dfrac{B_{\text{线}}}{B_{\text{地}}} = \dfrac{3}{4}$，$\alpha = 37^\circ$。合磁场 $5 \times 10^{-5}\ \mathrm{T}$，方向北偏西 $37^\circ$；小磁针 N 极指向北偏西 $37^\circ$。

检验：合磁场介于 $1 \times 10^{-5}\ \mathrm{T}$ 和 $7 \times 10^{-5}\ \mathrm{T}$ 之间，合理。方向偏向西但仍以北为主（$37^\circ < 45^\circ$），因为地磁场较大，合理。

容易卡在：以为小磁针会转到导线磁场的方向（正西）。小磁针只指向合磁场。

例 4　（场景：几根导线的磁场叠加）两根垂直纸面的长直导线 $A$、$B$ 相距 $2a$，电流大小相等，都垂直纸面向外。$C$ 点与 $A$、$B$ 构成等边三角形，$O$ 是 $AB$ 的中点。已知每根导线在 $C$ 点产生的磁感应强度大小都是 $B_0$。求 $C$ 点和 $O$ 点的合磁感应强度。

解：

研究对象：$C$、$O$ 两点的磁场。

过程划分：不涉及过程，两个点分别合成。

分析：电流向外，由安培定则，磁感线是以导线为圆心的逆时针同心圆，每根导线在某点的磁场垂直于该点与导线的连线。在 $C$ 点：$B_A$ 垂直于 $AC$，$B_B$ 垂直于 $BC$，两者大小都是 $B_0$，夹角 $60^\circ$。

列式求解：取由 $B$ 指向 $A$ 为 $x$ 轴正方向（图中向左），竖直向上为 $y$ 轴正方向。$B_A$ 的方向与 $x$ 轴正方向成 $30^\circ$、斜向上；$B_B$ 与 $x$ 轴正方向成 $30^\circ$、斜向下。

$$B_x = 2B_0\cos 30^\circ = \sqrt{3}B_0,\qquad B_y = B_0\sin 30^\circ - B_0\sin 30^\circ = 0$$

$C$ 点合磁感应强度大小 $\sqrt{3}B_0$，方向平行于 $AB$、由 $B$ 指向 $A$。

$O$ 点：$A$ 在 $O$ 点的磁场垂直于 $AO$ 向上，$B$ 在 $O$ 点的磁场垂直于 $BO$ 向下；两根导线到 $O$ 的距离相等、电流相等，磁场大小相等，方向相反，合磁感应强度为零。

检验：两个夹角 $60^\circ$ 的等大矢量，合矢量是 $\sqrt{3}$ 倍，介于 $0$ 和 $2B_0$ 之间，合理。

容易卡在：把直导线的磁场方向画成沿着导线与该点的连线（当成电场那样“背离”）。电流的磁场是绕着导线的，方向与连线垂直。

另一种解法：用对称性。图形关于 $AB$ 的中垂线对称，两根导线电流相同，所以 $C$ 点合磁场必定垂直于这条中垂线，即平行于 $AB$；只需把每个分量在 $AB$ 方向的投影相加：$2B_0\cos 30^\circ = \sqrt{3}B_0$。有对称性时先判断合矢量的方向、只算一个方向的分量，最省事；没有对称性时才老老实实正交分解。

常用推论

• 两根平行导线电流相等、同向，在连线中点的合磁场为零；电流反向，中点合磁场是单根的 2 倍。由 $B \propto \dfrac{I}{r}$ 和本节例 4 的方法推出。
• 通电导线与磁场平行时不受力，所以“导线不受力”不能推出”$B = 0$“（例 2）。
• 小磁针在两个垂直磁场中的偏角满足 $\tan\alpha = \dfrac{B_{\text{线}}}{B_{\text{地}}}$。用小磁针偏角测电流的“正切电流计”就是这个原理（例 3）。

易错点

• 错在哪：由 $B = \dfrac{F}{IL}$ 得出”$B$ 与 $F$ 成正比、与 $IL$ 成反比”。 为什么错：把定义式当成决定式。直觉把等号当成“因果”，以为右边变了左边就变。 正确做法：$B$ 由磁场决定；$I$ 或 $L$ 变了，$F$ 跟着变，比值不变（例 2）。
• 错在哪：认为 $B$ 的方向就是通电导线的受力方向。 为什么错：照搬电场里”$E$ 的方向就是正电荷受力方向”。 正确做法：$B$ 的方向是小磁针 N 极的受力方向；导线受力与 $B$ 垂直（25.5）。
• 错在哪：磁场叠加时把大小直接相加，如例 3 得 $7 \times 10^{-5}\ \mathrm{T}$。 为什么错：忘了 $B$ 是矢量。 正确做法：先定每个磁场的方向，再按平行四边形合成。

直观理解

$B$ 是磁场的“强度计读数”：放一小段垂直的通电导线进去，看每 $1\ \mathrm{A}$、每 $1\ \mathrm{m}$ 受多大的力。读数属于这个地方，不属于这段导线。$B$ 和 $E$ 的定义可以并排记：$E$ 是“单位电荷受的力”，$B$ 是“单位电流元（$IL$）受的最大力”。

关联知识点

• 前置：第 15 章 15.4 电场强度，同样的比值定义法；第 1 章 1.3 矢量合成。
• 前置：平面向量的加法与正交分解，见《高中数学知识点梳理》第 14、15 章；三角函数值见第 11–13 章。
• 后续：25.4 节磁通量 $\Phi = BS$；25.5 节安培力 $F = BIL$。
• 后续：第 26 章洛伦兹力 $F = qvB$，$B$ 的意义相同。
• 常一起考：25.2 节安培定则，叠加题必须先用它定每个磁场的方向。

25.4 磁通量

说明

定义：在匀强磁场 $B$ 中，有一个与磁场方向垂直的平面，面积为 $S$，则 $B$ 与 $S$ 的乘积叫作穿过这个面的磁通量：

$$\Phi = BS\quad(S \perp B)$$

平面与“垂直于磁场的平面”成 $\theta$ 角（也就是平面的法线与 $B$ 成 $\theta$ 角）时：

$$\Phi = BS\cos\theta = BS_{\perp}$$

其中 $S_{\perp} = S\cos\theta$ 是平面在垂直于磁场方向上的投影面积。也可以把 $B$ 分解，只有垂直于平面的分量 $B\cos\theta$ 穿过平面：$\Phi = (B\cos\theta)S$。

• 单位：韦伯，简称韦，符号 $\mathrm{Wb}$。$1\ \mathrm{Wb} = 1\ \mathrm{T \cdot m^2}$。
• 物理意义：穿过这个面的磁感线条数（净条数）。由此 $B = \dfrac{\Phi}{S_{\perp}}$，磁感应强度又叫磁通密度。
• 标量，但有正负：从一面穿入为正，则从另一面穿入为负。正负不表示方向，只表示从哪一面穿过。有两个方向的磁感线同时穿过时，磁通量是两者相抵后的净值。
• 与匝数无关：$n$ 匝线圈的磁通量仍是 $BS\cos\theta$，不乘 $n$。匝数在第 28 章算感应电动势时才乘进去。
• 有效面积：只算面上有磁场的那部分面积。

本节的模型：匀强磁场、平面线圈。非匀强磁场只做定性判断（看穿过的磁感线多少）。

使用场景

• 线圈平面与磁场垂直或成某个角度，求磁通量或它的变化（线圈转动）→ 平面线圈在匀强磁场中 → $\Phi = BS\cos\theta$，$\theta$ 是线圈平面与垂直于 $B$ 的平面的夹角。
• 线圈只有一部分处在磁场中，或者磁场区域比线圈小 → 有效面积 → $S$ 取线圈与磁场区域重叠的面积。
• 线圈翻转、磁场反向，求磁通量的变化量 → 磁通量有正负 → 先规定穿入的正面，$\Delta\Phi = \Phi_2 - \Phi_1$。
• 线圈套在条形磁铁上，或处在非匀强磁场中，比较磁通量的大小 → 净磁感线条数 → 数正向和反向各有多少条，相减。

注意点

• 公式里的 $\theta$ 是平面与垂直面的夹角（或法线与 $B$ 的夹角）。题目若给的是平面与磁场方向的夹角 $\alpha$，则 $\Phi = BS\sin\alpha$。代入前先画侧视图看清是哪个角。
• 平面与磁场平行时，$\Phi = 0$。
• 线圈转过 $180^\circ$，磁感线从另一面穿入，$\Phi$ 变号，变化量的大小是 $2BS$，不是 $0$。
• 磁通量与匝数无关，与磁场外面的那部分线圈面积无关。
• 单位换算：面积用 $\mathrm{m^2}$。边长 $10\ \mathrm{cm}$ 的正方形面积是 $0.01\ \mathrm{m^2}$，不是 $0.1\ \mathrm{m^2}$。

推导

为什么 $\Phi = BS\cos\theta$：

1. 匀强磁场的磁感线是平行等距的直线。规定磁感线的画法：在垂直于磁场的单位面积上画 $B$ 条，则穿过垂直平面 $S$ 的条数是 $BS$。
2. 把平面倾斜 $\theta$ 角。从磁场方向看过去，倾斜平面“挡住”的磁感线，恰好就是它的影子（投影）挡住的那些。投影面积是 $S\cos\theta$（侧视图中，倾斜线段长 $l$，它在竖直方向的投影长 $l\cos\theta$）。
3. 所以穿过倾斜平面的磁感线条数是 $BS\cos\theta$。

（关键一步：第 2 步“穿过倾斜面的条数等于穿过投影的条数”。能这样说，是因为磁感线是平行直线：每一条穿过倾斜面的磁感线，也恰好穿过它的投影，一一对应。磁场不均匀或磁感线弯曲时，这一步就不成立。）

非匀强磁场、曲面的磁通量要把面分成许多小块，每块按匀强处理再求和，严格的写法是大学的曲面积分 $\Phi = \iint \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S}$，高中不要求。

例题

例 1　（场景：线圈与磁场成角）边长 $0.2\ \mathrm{m}$ 的正方形线圈共 100 匝，放在 $B = 0.5\ \mathrm{T}$ 的匀强磁场中，开始时线圈平面与磁场垂直。线圈绕一条边转过 $60^\circ$。求开始时和转过后的磁通量，以及这一过程中磁通量的变化量。

解：

研究对象：穿过线圈的磁通量。

过程划分：从线圈平面垂直于磁场（$\theta = 0$）到转过 $60^\circ$（$\theta = 60^\circ$），只比较初末两个状态。

分析：匀强磁场、平面线圈，用 $\Phi = BS\cos\theta$；磁通量与匝数无关。$S = 0.2^2\ \mathrm{m^2} = 0.04\ \mathrm{m^2}$。

列式求解：

$$\Phi_1 = BS = 0.5 \times 0.04\ \mathrm{Wb} = 0.02\ \mathrm{Wb}$$ $$\Phi_2 = BS\cos 60^\circ = 0.5 \times 0.04 \times 0.5\ \mathrm{Wb} = 0.01\ \mathrm{Wb}$$ $$\Delta\Phi = \Phi_2 - \Phi_1 = -0.01\ \mathrm{Wb}$$

磁通量减少了 $0.01\ \mathrm{Wb}$。

检验：转过一定角度后“迎着”磁场的有效面积变小，磁通量减小，合理。转到 $90^\circ$ 时 $\cos 90^\circ = 0$，磁通量为零，与“平面与磁场平行时没有磁感线穿过”一致。

容易卡在：把 100 匝乘进去，得到 $2\ \mathrm{Wb}$。磁通量是穿过一个面的磁感线条数，100 匝线圈围出的还是同一个面。

例 2　（场景：有效面积）匀强磁场只分布在边长 $0.2\ \mathrm{m}$ 的正方形区域内，$B = 0.4\ \mathrm{T}$，方向垂直纸面向里。一个半径 $0.2\ \mathrm{m}$、10 匝的圆形线圈与磁场区域在同一平面内，圆心在正方形中心，正方形完全在圆内。求穿过线圈的磁通量。若把线圈换成半径 $0.05\ \mathrm{m}$ 的圆（仍同心），磁通量又是多少（$\pi$ 取 3.14）？

解：

研究对象：穿过线圈的磁通量。

过程划分：不涉及过程，两种线圈分别算。

分析：线圈平面与磁场垂直，$\Phi = BS$，$S$ 取线圈与磁场区域重叠的面积。大线圈把整个磁场区域包在里面，有效面积是正方形；小线圈（半径 $0.05\ \mathrm{m}$，小于正方形半边长 $0.1\ \mathrm{m}$）整个在磁场里，有效面积是圆面积。

列式求解：大线圈：

$$\Phi_1 = BS_{\text{方}} = 0.4 \times 0.2^2\ \mathrm{Wb} = 1.6 \times 10^{-2}\ \mathrm{Wb}$$

小线圈：

$$\Phi_2 = B\pi r^2 = 0.4 \times 3.14 \times 0.05^2\ \mathrm{Wb} \approx 3.1 \times 10^{-3}\ \mathrm{Wb}$$

检验：大线圈的面积 $\pi \times 0.2^2 \approx 0.126\ \mathrm{m^2}$ 比正方形大得多，但多出来的部分没有磁场，不贡献磁通量，所以 $\Phi_1$ 只取决于磁场区的面积。匝数都没有乘，对。

容易卡在：用线圈面积 $\pi R^2$ 去算大线圈的磁通量。

例 3　（场景：线圈翻转，磁通量变号）接例 1，线圈从垂直于磁场的位置绕一条边转过 $180^\circ$，求磁通量的变化量。

解：

研究对象：穿过线圈的磁通量。

过程划分：初态线圈平面垂直于磁场，末态翻了个面，仍垂直于磁场。

分析：翻转后磁感线从线圈的另一面穿入，磁通量变号。规定初态时磁感线穿入的那一面为正面。

列式求解：$\Phi_1 = BS = 0.02\ \mathrm{Wb}$，$\Phi_2 = -BS = -0.02\ \mathrm{Wb}$。

$$\Delta\Phi = \Phi_2 - \Phi_1 = -0.04\ \mathrm{Wb}$$

磁通量变化量的大小为 $0.04\ \mathrm{Wb}$，即 $2BS$。

检验：用 $\Phi = BS\cos\theta$ 验证：$\theta = 180^\circ$ 时 $\cos 180^\circ = -1$，$\Phi_2 = -BS$，与上面一致。

容易卡在：认为转过 $180^\circ$ 后磁通量又是 $BS$，变化量为零。第 28 章求平均感应电动势时，这一步错了答案就差到零。

例 4　（场景：净磁通量的比较）两个圆形线圈 $a$、$b$ 套在条形磁铁的中部，线圈平面与磁铁垂直，$a$ 的面积比 $b$ 小。比较穿过两个线圈的磁通量 $\Phi_a$、$\Phi_b$ 的大小。

解：$\Phi_a > \Phi_b$。

判断依据：磁通量是穿过线圈的磁感线净条数。

磁铁内部的磁感线（从 S 到 N，向右）全部穿过两个线圈，条数相同。磁铁外部的磁感线从 N 极绕回 S 极，在线圈处是向左的；线圈越大，围住的向左的磁感线越多，抵消掉的越多。$b$ 比 $a$ 大，抵消得多，净磁通量反而小。

容易卡在：直觉“面积越大，磁通量越大”。这只在匀强磁场里成立；有正反两个方向的磁感线同时穿过时，要算净值。

常用推论

• 线圈平面与磁场平行，$\Phi = 0$；垂直，$\Phi$ 最大，等于 $BS$。由 $\Phi = BS\cos\theta$ 取 $\theta = 90^\circ$、$0$ 得出。
• 线圈从垂直位置转过 $180^\circ$，$|\Delta\Phi| = 2BS$（例 3）；转过 $90^\circ$，$|\Delta\Phi| = BS$。
• 套在条形磁铁中部的线圈，面积越大磁通量越小（例 4）。
• 磁通量变化的三种方式：$B$ 变、有效面积 $S$ 变、夹角 $\theta$ 变。第 27 章判断“有没有感应电流”就看这三样有没有变。

易错点

• 错在哪：把题目给的“线圈平面与磁场方向的夹角 $30^\circ$“直接代入 $\cos$，算成 $BS\cos 30^\circ$。 为什么错：公式里的 $\theta$ 是平面与垂直于磁场的平面的夹角，与”平面与磁场的夹角“互余。 正确做法：画侧视图，平面与磁场成 $\alpha$ 角时，$\Phi = BS\sin\alpha$。
• 错在哪：$n$ 匝线圈的磁通量算成 $nBS$。 为什么错：把“线圈越多圈，穿过的越多”当成直觉。实际上 100 圈围的是同一个面。 正确做法：$\Phi$ 与匝数无关；$n$ 在第 28 章算电动势时才乘。
• 错在哪：线圈翻转 $180^\circ$，认为磁通量没变。 为什么错：只看大小，忽略了穿入的面变了。 正确做法：规定正面，翻转后取负，$\Delta\Phi = -2BS$。
• 错在哪：线圈只有一部分在磁场里时，用整个线圈的面积。 为什么错：$\Phi$ 数的是磁感线，没有磁感线的地方不算。 正确做法：只算线圈与磁场区域重叠的面积。

直观理解

把磁感线想成下雨，线圈想成一只框。框正对着雨，接到的雨最多（$BS$）；框倾斜，接到的雨只有它的“影子”那么多（$BS\cos\theta$）；框侧着放，一滴也接不到。框套在磁铁上时，雨从里往外下、又从外往里下，框太大反而两边抵消。

关联知识点

• 前置：25.3 节磁感应强度；25.2 节条形磁铁的磁感线（例 4 要用内外方向相反）。
• 前置：投影长度 $l\cos\theta$，见《高中数学知识点梳理》第 11–13 章三角函数。
• 后续：第 27 章产生感应电流的条件是穿过闭合回路的磁通量发生变化。
• 后续：第 28 章法拉第电磁感应定律 $E = n\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}$，$\Delta\Phi$ 的计算就是本节的例 1、例 3。
• 后续：第 29 章交流发电机，线圈转动时 $\Phi = BS\cos\omega t$。

25.5 安培力

说明

安培力：磁场对通电导线的作用力。

大小（匀强磁场，直导线长 $L$，电流 $I$，导线与磁场方向的夹角为 $\theta$）：

$$F = BIL\sin\theta$$

• $I \perp B$（$\theta = 90^\circ$）：$F = BIL$，最大；
• $I \parallel B$（$\theta = 0$ 或 $180^\circ$）：$F = 0$；
• 一般情况：只有 $B$ 垂直于导线的分量 $B_{\perp} = B\sin\theta$ 起作用，$F = B_{\perp}IL$。

方向：左手定则。伸开左手，使拇指与其余四指垂直，并且都与手掌在同一个平面内；让磁感线从掌心垂直进入，四指指向电流方向，拇指所指的方向就是安培力的方向。

• 安培力既垂直于磁场，又垂直于电流，即垂直于 $B$ 和 $I$ 所决定的平面。
• $B$ 和 $I$ 不一定垂直，但 $F$ 一定同时垂直于两者。$B$ 与 $I$ 斜交时，让 $B$ 的垂直分量从掌心进入。

有效长度：弯曲导线在匀强磁场中（导线所在平面与磁场垂直），所受安培力等于连接导线首尾两端的直线段通以同样电流时所受的力。这条首尾连线的长度叫有效长度。闭合线圈的有效长度为零，在匀强磁场中所受安培力的合力为零。

磁电式电流表（选择性必修二第一章第 1 节的应用）：蹄形磁铁的两极和中间的圆柱形铁芯之间形成辐向磁场，线圈套在铁芯上，它的两条边始终与磁场垂直。通电后两边受等大反向的安培力，使线圈转动，转动时游丝（螺旋弹簧）产生阻碍转动的力矩。辐向磁场让安培力大小不随转角变化，线圈转过的角度 $\theta$ 与电流 $I$ 成正比，所以表盘刻度均匀。

本节的模型：匀强磁场中的直导线（或很短的一段导线，其所在处的磁场看成匀强）。

使用场景

• 导线与磁场垂直或成某个角度，求安培力的大小 → 匀强磁场中的直导线 → $F = BIL\sin\theta$，$\theta$ 是导线与磁场的夹角。
• 给出 $B$、$I$ 的方向判断安培力方向，或由受力方向反推电流、磁场方向 → 左手定则 → 磁感线穿掌心，四指指电流，拇指指力；立体问题先转成平面图。
• 导线弯成折线、半圆、圆弧，求在匀强磁场中所受的力 → 有效长度 → 用首尾连线代替整根导线。
• 问电流表、电动机为什么会转、刻度为什么均匀 → 线圈两边受力反向 → 辐向磁场中 $F = BIL$ 不随转角变。

注意点

• $\theta$ 是导线与磁场的夹角，不是导线与水平面的夹角。
• 安培力方向永远垂直于 $B$，不会沿着磁感线。这和电场力不同：电场力沿电场线。
• 左手定则用左手。用右手判断，方向正好反了。
• 判断方向前，先规定纸面内的上下左右和垂直纸面的里外（× 向里、· 向外），把立体图画成平面图：一般沿导线方向看，画导线的截面。
• 有效长度只适用于匀强磁场，并且导线所在平面与磁场垂直。

推导

$F = BIL$：由磁感应强度的定义 $B = \dfrac{F}{IL}$（$I \perp B$）直接变形得出。

$F = BIL\sin\theta$：把 $B$ 分解为沿导线的分量 $B_{\parallel} = B\cos\theta$ 和垂直导线的分量 $B_{\perp} = B\sin\theta$。

1. $B_{\parallel}$ 与导线平行，实验表明平行于磁场的通电导线不受力，所以 $B_{\parallel}$ 不产生安培力；
2. $B_{\perp}$ 与导线垂直，产生的力 $F = B_{\perp}IL = BIL\sin\theta$。

（关键一步：第 1 步“平行分量不产生力”。这是实验事实，不是推导出来的。正因为平行分量不贡献，才可以只看垂直分量。）

有效长度：把弯曲导线分成许多小段，每一小段近似为直线，长 $\Delta l$，受力 $BI\Delta l$，方向垂直于这一小段（在导线所在平面内转 $90^\circ$）。把每小段看成一个小矢量，首尾相接，它们的矢量和就是从起点指向终点的线段；每段的力都是“小矢量乘 $BI$ 再转 $90^\circ$”，所以力的矢量和也等于“首尾连线乘 $BI$ 再转 $90^\circ$”。

（关键一步：每段力的大小与段长成正比、方向与段垂直，比例系数 $BI$ 处处相同。这要求磁场是匀强的；磁场不均匀时各段的 $B$ 不同，就不能这样合并。）严格写法是大学的线积分 $\vec{F} = \int I\,\mathrm{d}\vec{l} \times \vec{B}$。

例题

例 1　（场景：导线与磁场成角，求安培力大小）在 $B = 0.4\ \mathrm{T}$ 的匀强磁场中，一根长 $0.5\ \mathrm{m}$ 的直导线与磁场方向成 $30^\circ$ 角，导线和磁场都在纸面内，导线中的电流为 $2\ \mathrm{A}$，方向见本节“推导”中的图（电流沿导线斜向右上，磁场水平向右）。求导线所受安培力的大小和方向。

解：

研究对象：通电导线。

过程划分：不涉及过程，导线静止。

分析：导线与磁场不垂直，夹角 $\theta = 30^\circ$。只有垂直导线的分量 $B_{\perp} = B\sin 30^\circ$ 产生力。方向用左手定则：让 $B_{\perp}$ 从掌心进入，四指沿电流（斜向右上），拇指垂直纸面向里。

列式求解：

$$F = BIL\sin\theta = 0.4 \times 2 \times 0.5 \times \sin 30^\circ\ \mathrm{N} = 0.2\ \mathrm{N}$$

安培力大小 $0.2\ \mathrm{N}$，方向垂直纸面向里。

检验：$0.2\ \mathrm{N}$ 小于垂直时的最大值 $BIL = 0.4\ \mathrm{N}$，合理。方向：$F$ 垂直于 $B$ 和 $I$ 所在的平面（纸面），只能是向里或向外，合理。

容易卡在：以为安培力在纸面内。$B$ 和 $I$ 都在纸面内时，力一定垂直纸面。

例 2　（场景：判断安培力方向）判断下列三种情况中，导线所受安培力的方向：（1）磁场垂直纸面向外，水平导线中电流向左；（2）磁场在纸面内竖直向上，水平导线中电流向右；（3）磁场水平向右，导线中电流也水平向右。

解：（1）竖直向上；（2）垂直纸面向外；（3）不受力。

判断依据：左手定则；导线与磁场平行时不受力。

（1）掌心朝里（让向外的磁感线穿入掌心），四指向左，拇指向上。

（2）掌心朝下（让向上的磁感线穿入），四指向右，拇指指向纸外。

（3）电流与磁场平行，$\sin 0 = 0$，$F = 0$。

容易卡在：第（2）问，磁场和电流都在纸面内，却在纸面内找力的方向。先确定“力垂直于 $B$ 和 $I$ 所在的平面”，再用手定里外。

例 3　（场景：弯曲导线的有效长度）一根导线弯成半径 $R = 0.1\ \mathrm{m}$ 的半圆 $ab$，放在 $B = 0.5\ \mathrm{T}$、垂直纸面向里的匀强磁场中，半圆所在平面与磁场垂直，导线中通以从 $a$ 到 $b$ 的电流 $I = 2\ \mathrm{A}$。求半圆导线所受安培力的大小和方向。

解：

研究对象：半圆形导线 $ab$。

过程划分：不涉及过程。

分析：弯曲导线在匀强磁场中，平面与磁场垂直，用有效长度：首尾连线是直径 $ab$，长 $2R$，电流从 $a$ 到 $b$（向右）。

列式求解：

$$F = BI \cdot 2R = 0.5 \times 2 \times 0.2\ \mathrm{N} = 0.2\ \mathrm{N}$$

方向由左手定则：磁感线向里穿入掌心，四指向右，拇指向上。安培力大小 $0.2\ \mathrm{N}$，方向垂直于 $ab$ 向上（指向半圆凸出的一侧）。

检验：半圆弧长 $\pi R \approx 0.31\ \mathrm{m}$ 比直径长，但各小段的力方向不同、部分抵消，合力只相当于 $0.2\ \mathrm{m}$ 的直导线，合理。

容易卡在：用弧长 $\pi R$ 代入，得 $0.314\ \mathrm{N}$。

例 4　（场景：电流表、电动机的原理）关于磁电式电流表，下列说法正确的是（　）。

A. 线圈所在处的磁场是匀强磁场 B. 线圈转动时，两边所受安培力的大小随转角变化 C. 线圈转过的角度与通过的电流成正比，所以表盘刻度均匀 D. 线圈中电流方向改变时，指针偏转方向不变

解：C。

判断依据：辐向磁场中，线圈两边始终与磁场垂直，受力 $F = BIL$ 大小不随转角变。

A 错，铁芯和磁极间的磁场是沿半径方向的辐向磁场，方向各处不同，不是匀强磁场；但线圈边所在处 $B$ 的大小相同。B 错，两边始终与磁场垂直，力的大小不变。C 对，安培力的力矩与 $I$ 成正比，游丝的阻力矩与转角成正比，平衡时转角与 $I$ 成正比。D 错，电流反向，安培力反向，指针反偏，所以电流表要分正负接线柱。

常用推论

• 闭合线圈在匀强磁场中所受安培力的合力为零（有效长度为零），但可能有使它转动的力矩（电动机、电流表）。由有效长度的推导得出。
• 任意形状的导线在匀强磁场中，只要首尾位置相同、平面与磁场垂直，受力就相同（例 3）。
• 导线与磁场平行不受力；导线沿磁感线放置时，不论电流多大都不受力。
• 安培力的方向总垂直于 $B$，所以在匀强磁场中，一根绕垂直于 $B$ 的轴转动的导线，安培力总在垂直于 $B$ 的平面内。

易错点

• 错在哪：认为安培力沿磁场方向，或在 $B$、$I$ 所在平面内。 为什么错：照搬电场力“沿电场线”的直觉。 正确做法：$F \perp B$ 且 $F \perp I$；$B$、$I$ 都在纸面内时，$F$ 垂直纸面（例 2）。
• 错在哪：用右手判断安培力的方向。 为什么错：安培定则用右手，记混了。 正确做法：“力”用左手。三条定则的对照见第 27 章。
• 错在哪：$F = BIL\sin\theta$ 中的 $\theta$ 取成导线与水平面的夹角或导线与竖直方向的夹角。 为什么错：$\theta$ 的定义是导线与磁场的夹角。 正确做法：先画出 $B$ 的方向，再找导线与它的夹角。
• 错在哪：弯曲导线用实际长度代入。 为什么错：各小段受力方向不同，不能直接相加。 正确做法：在匀强磁场中用首尾连线的有效长度（例 3）。

直观理解

左手定则就是“掌心迎着磁感线，四指顺着电流，拇指被推开的方向就是力”。三个方向两两垂直，像房间墙角的三条棱。记住一个具体画面最管用：磁场向里、电流向上，力向左（本节第一张图），其余情况把这个画面整体转一转就得到。

关联知识点

• 前置：25.3 节 $B = \dfrac{F}{IL}$；第 1 章 1.3 矢量分解；第 17 章电流的方向。
• 后续：25.6 节安培力作用下的平衡与加速；25.7 节电流间的相互作用。
• 后续：第 26 章洛伦兹力，安培力是导线内运动电荷所受洛伦兹力的宏观表现，方向同样用左手定则。
• 后续：第 28 章导体棒切割磁感线，感应电流受的安培力阻碍运动（电磁阻尼）。
• 常一起考：第 27 章三条定则的对照，安培定则（右手）、左手定则、右手定则在同一道题里接连使用。

25.6 安培力作用下的平衡与加速

说明

通电导体棒在磁场中，安培力只是受力图里多出来的一个力。分析方法和第 5、6 章完全相同：

1. 把立体图转成平面图：沿导体棒的方向看，画出导体棒的截面（一个小圆，标 × 或 · 表示电流方向），画出磁场方向（在纸面内的用箭头，垂直纸面的用 × 或 ·）。
2. 定安培力的方向：左手定则，$F_{\text{安}}$ 垂直于 $B$、垂直于导体棒，在截面图里垂直于磁感线。
3. 受力分析：重力、支持力或拉力、摩擦力、安培力，按第 4 章的顺序画全。
4. 列方程：静止或匀速，用平衡条件 $F_{\text{合}} = 0$（第 5 章 5.2，正交分解）；有加速度，用牛顿第二定律 $F_{\text{合}} = ma$（第 6 章）。

$$F_{\text{安}} = BIL\sin\theta$$

常见情境：

情境	安培力方向	用到的方法
导体棒在倾斜导轨上，磁场竖直	水平	第 5 章 5.2 正交分解或三力合成
导体棒在倾斜导轨上，磁场垂直斜面	沿斜面	沿斜面方向列平衡
导体棒用细线悬挂，磁场竖直	水平，细线偏离竖直	三力平衡
磁场方向变化，求最小磁感应强度	方向随 $B$ 变	第 5 章 5.4 图解法
导体棒在导轨上加速（电磁炮）	沿导轨	第 6 章牛顿第二定律
有摩擦，问电流或 $B$ 的范围	视情况	第 5 章 5.6 临界与极值

本节的理想模型：导体棒是刚性直导线，导轨光滑或给定动摩擦因数；导轨和导线的电阻、电流由题目给定。导体棒运动时会产生感应电动势使电流改变（第 28 章）。本节加速类的题都假定电流恒定（由恒流电源提供或题目说明不计这一影响）。

使用场景

• 导体棒静止在倾斜导轨上，磁场竖直或垂直斜面，求电流或 $B$ → 平衡模型 → 画截面受力图，正交分解，$F_{\text{合}} = 0$。
• 导体棒用两根细线悬挂在磁场中，通电后偏离竖直方向静止 → 三力平衡 → 重力、拉力、安培力构成闭合三角形。
• 磁场方向可以任意选取，求使导体棒静止的最小磁感应强度 → 动态平衡的极值 → 图解法：安培力垂直于支持力时最小。
• 导体棒在水平导轨上由静止加速（电磁炮、电磁轨道），电流恒定 → 匀加速直线运动 → $F_{\text{安}} - f = ma$，再用第 3 章的运动学公式。
• 导体棒与导轨间有摩擦，磁场斜着，问电流在什么范围内导体棒不动 → 临界问题 → 最大静摩擦力等于滑动摩擦力，注意安培力的竖直分量改变了压力。

注意点

• 截面图的电流方向要和原题立体图一致。换一个观察方向（从另一端看），× 和 · 互换，力的左右也互换，但物理结果不变。
• 安培力方向只由 $B$ 和 $I$ 决定，与导体棒放在斜面上还是水平面上无关。磁场竖直时安培力水平，不是沿斜面。
• $L$ 是处在磁场中、且有电流通过的那段导体的长度，一般是两导轨间距，不是导体棒的全长。
• 磁场斜着时，安培力也斜着，它的竖直分量会改变支持力，从而改变最大静摩擦力（例 5）。
• 电流恒定的假设只在本章成立。题目说“接在电动势为 $E$ 的电源上”且导体棒运动，电流会随速度变化，要用第 28 章的方法。

推导

本知识点没有新的规律，是安培力（25.5）与平衡条件（第 5 章）、牛顿第二定律（第 6 章）的组合。这里推导两个常用结论。

磁场竖直、导体棒静止在光滑斜面上（倾角 $\alpha$）：安培力水平，与重力、支持力三力平衡。沿水平和竖直方向分解：

$$F_{\text{N}}\sin\alpha = F_{\text{安}},\qquad F_{\text{N}}\cos\alpha = mg$$

两式相除得 $F_{\text{安}} = mg\tan\alpha$，即 $BIL = mg\tan\alpha$。

使导体棒静止在光滑斜面上的最小磁感应强度：设安培力与斜面的夹角为 $\varphi$（在截面图里），沿斜面方向列平衡（这个方向不含支持力）：

$$F_{\text{安}}\cos\varphi = mg\sin\alpha \quad\Rightarrow\quad F_{\text{安}} = \frac{mg\sin\alpha}{\cos\varphi}$$

$\varphi = 0$ 时 $F_{\text{安}}$ 最小，等于 $mg\sin\alpha$，即安培力沿斜面向上。由 $F_{\text{安}} \perp B$，这时 $B$ 垂直于斜面：

$$B_{\min} = \frac{mg\sin\alpha}{IL}$$

（关键一步：选沿斜面的方向列方程。支持力垂直斜面，在这个方向上没有分量，方程里只剩安培力和重力，最小值一眼看出。如果按水平、竖直分解，支持力的两个分量都会出现，要解方程组才能消掉。）

例题

例 1　（场景：倾斜导轨上的平衡，磁场竖直）两根光滑平行金属导轨与水平面成 $37^\circ$ 角，间距 $L = 0.5\ \mathrm{m}$，处在竖直向上的匀强磁场中，$B = 0.5\ \mathrm{T}$。质量 $m = 0.2\ \mathrm{kg}$ 的导体棒垂直导轨放置，通电后恰好静止。求导体棒中电流的大小和方向（$\sin 37^\circ = 0.6$，$\cos 37^\circ = 0.8$）。

解：

研究对象：导体棒。

过程划分：静止，一个平衡状态。

分析：沿导体棒方向看，画截面图。导体棒受重力 $G = mg = 2\ \mathrm{N}$（竖直向下）、支持力 $F_{\text{N}}$（垂直斜面向上）、安培力 $F_{\text{安}}$。磁场竖直，安培力水平。安培力水平，所以重力和支持力的合力也必须水平；支持力的水平分量背离斜面，这个合力就水平背离斜面，安培力必须水平指向斜面才能平衡。由左手定则，磁感线竖直向上穿入掌心、拇指水平指向斜面，四指垂直纸面向里，即电流垂直纸面向里（截面图的视角）。

列式求解：取水平向右（指向斜面）为 $x$ 轴正方向，竖直向上为 $y$ 轴正方向。支持力与竖直方向成 $37^\circ$，偏向左上方：

$$x：F_{\text{安}} - F_{\text{N}}\sin 37^\circ = 0,\qquad y：F_{\text{N}}\cos 37^\circ - mg = 0$$

解得 $F_{\text{N}} = \dfrac{mg}{\cos 37^\circ} = 2.5\ \mathrm{N}$，$F_{\text{安}} = mg\tan 37^\circ = 1.5\ \mathrm{N}$。

$$I = \frac{F_{\text{安}}}{BL} = \frac{1.5}{0.5 \times 0.5}\ \mathrm{A} = 6\ \mathrm{A}$$

电流 $6\ \mathrm{A}$，方向垂直纸面向里（按图中视角）。

检验：单位 $\dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{T \cdot m}} = \mathrm{A}$，对。特殊情形：倾角趋于零时 $\tan\alpha \to 0$，不需要安培力，$I \to 0$，合理。

容易卡在：把安培力画成沿斜面向上。磁场竖直，安培力一定水平；只有磁场垂直斜面时，安培力才沿斜面。

另一种解法：三力平衡用合成法。重力和支持力的合力与安培力等大反向，三个力首尾相接构成直角三角形：$mg$ 竖直、$F_{\text{安}}$ 水平，是两条直角边，$F_{\text{N}}$ 是斜边，与竖直边的夹角等于斜面倾角 $37^\circ$。所以 $F_{\text{安}} = mg\tan 37^\circ = 1.5\ \mathrm{N}$，一步得出。三个力的平衡用合成法（画三角形）最快；四个以上的力（有摩擦）用正交分解更稳。

例 2　（场景：细线悬挂的导体棒）长 $L = 0.4\ \mathrm{m}$、质量 $m = 0.08\ \mathrm{kg}$ 的导体棒用两根等长的绝缘细线水平悬挂，处在竖直向上、$B = 0.5\ \mathrm{T}$ 的匀强磁场中。通电后导体棒向一侧摆开，静止时细线与竖直方向成 $37^\circ$ 角。求导体棒中的电流和每根细线的拉力（$\sin 37^\circ = 0.6$，$\cos 37^\circ = 0.8$）。

解：

研究对象：导体棒。

过程划分：只看最后的静止状态。

分析：沿导体棒方向看，两根细线重合成一根，拉力合力为 $F_{\text{T}}$，沿细线；重力竖直向下；磁场竖直，安培力水平。三力平衡。图中电流垂直纸面向外，由左手定则安培力向左，棒向左摆开。

列式求解：三力平衡，安培力与重力的合力和拉力等大反向：

$$F_{\text{安}} = mg\tan 37^\circ = 0.8 \times 0.75\ \mathrm{N} = 0.6\ \mathrm{N}$$ $$I = \frac{F_{\text{安}}}{BL} = \frac{0.6}{0.5 \times 0.4}\ \mathrm{A} = 3\ \mathrm{A}$$ $$F_{\text{T}} = \frac{mg}{\cos 37^\circ} = \frac{0.8}{0.8}\ \mathrm{N} = 1.0\ \mathrm{N}$$

两根细线对称，每根拉力 $0.5\ \mathrm{N}$。

检验：拉力 $1.0\ \mathrm{N}$ 大于重力 $0.8\ \mathrm{N}$，因为细线要同时平衡重力和安培力，合理。电流反向，棒向另一侧摆开同样角度，符合对称性。

容易卡在：画立体图做受力分析，两根细线、导体棒、磁场混在一起。沿导体棒方向看，问题就变成第 5 章的“小球用细线悬挂、受水平力”。

例 3　（场景：求最小磁感应强度）光滑斜面倾角 $30^\circ$，质量 $m = 0.1\ \mathrm{kg}$、长 $L = 0.5\ \mathrm{m}$ 的导体棒水平放在斜面上，通以 $I = 2\ \mathrm{A}$ 的电流（截面图中垂直纸面向里）。要使导体棒静止，所加匀强磁场的磁感应强度最小是多少？方向如何？

解：

研究对象：导体棒。

过程划分：静止，一个平衡状态。

分析：重力大小方向都确定，支持力方向确定（垂直斜面），安培力的方向随磁场方向变。用本节推导的结论：沿斜面列平衡，安培力沿斜面向上时最小。

列式求解：沿斜面方向（取沿斜面向上为正）：$F_{\text{安}}\cos\varphi - mg\sin 30^\circ = 0$。$\varphi = 0$ 时最小：

$$F_{\text{安min}} = mg\sin 30^\circ = 1 \times 0.5\ \mathrm{N} = 0.5\ \mathrm{N}$$ $$B_{\min} = \frac{F_{\text{安min}}}{IL} = \frac{0.5}{2 \times 0.5}\ \mathrm{T} = 0.5\ \mathrm{T}$$

方向：安培力沿斜面向上，电流垂直纸面向里，由左手定则，磁感线垂直斜面向上（从斜面指向外）穿入掌心。$B_{\min} = 0.5\ \mathrm{T}$，方向垂直斜面向上。

检验：若磁场竖直（例 1 那样），需要 $F_{\text{安}} = mg\tan 30^\circ \approx 0.58\ \mathrm{N} > 0.5\ \mathrm{N}$，确实更大。最小值小于重力 $1\ \mathrm{N}$，合理。

容易卡在：以为磁场竖直或水平时最小。最小的条件是安培力与支持力垂直，即沿斜面。

另一种解法：图解法（第 5 章 5.4）。把重力 $G$、支持力、安培力首尾相接成闭合三角形：$G$ 大小方向不变，支持力只知道方向。安培力从 $G$ 的末端出发，指到支持力的方向线上；点到直线的距离以垂线段最短，所以安培力垂直于支持力（沿斜面）时最小，长度 $G\sin 30^\circ$。图解法不用列式就能看出“何时最小”，并能看出磁场转动时安培力怎样变；计算具体数值仍要用三角函数。

例 4　（场景：导轨上的加速运动）水平放置的两根平行导轨间距 $L = 0.5\ \mathrm{m}$，处在竖直向下、$B = 0.8\ \mathrm{T}$ 的匀强磁场中。质量 $m = 0.5\ \mathrm{kg}$ 的导体棒垂直导轨放置，与导轨间的动摩擦因数 $\mu = 0.2$。导轨左端接恒流电源，导体棒中电流恒为 $I = 5\ \mathrm{A}$。导体棒由静止释放，求它的加速度，以及 $2\ \mathrm{s}$ 末的速度和 $2\ \mathrm{s}$ 内的位移。

解：

研究对象：导体棒。

过程划分：一个过程，电流恒定，安培力和摩擦力都不变，导体棒做匀加速直线运动。

分析：俯视图中磁场向里（竖直向下），导体棒中电流在纸面内向下，由左手定则安培力沿导轨向右。竖直方向重力与支持力平衡，$F_{\text{N}} = mg = 5\ \mathrm{N}$。水平方向：安培力向右，滑动摩擦力向左。

列式求解：

$$F_{\text{安}} = BIL = 0.8 \times 5 \times 0.5\ \mathrm{N} = 2\ \mathrm{N},\qquad f = \mu mg = 0.2 \times 5\ \mathrm{N} = 1\ \mathrm{N}$$

取向右为正方向，由牛顿第二定律：

$$a = \frac{F_{\text{安}} - f}{m} = \frac{2 - 1}{0.5}\ \mathrm{m/s^2} = 2\ \mathrm{m/s^2}$$

$2\ \mathrm{s}$ 末：$v = at = 4\ \mathrm{m/s}$；$2\ \mathrm{s}$ 内：$x = \dfrac{1}{2}at^2 = 4\ \mathrm{m}$。加速度、速度、位移的方向都沿导轨向右。

检验：先检查能不能动：安培力 $2\ \mathrm{N}$ 大于最大静摩擦力（按滑动摩擦力算）$1\ \mathrm{N}$，能动。单位、量级合理。

容易卡在：忘记先判断能不能动。若 $F_{\text{安}} \le \mu mg$，导体棒静止，加速度为零。

例 5　（场景：有摩擦的临界问题，磁场斜着）水平导轨间距 $L = 0.4\ \mathrm{m}$，质量 $m = 0.2\ \mathrm{kg}$ 的导体棒垂直导轨放置，与导轨间的动摩擦因数 $\mu = 0.5$，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。匀强磁场 $B = 0.5\ \mathrm{T}$，方向与导体棒垂直、与水平面成 $53^\circ$ 角斜向上（见截面图），导体棒中电流垂直纸面向里。电流最大为多少时导体棒仍能静止（$\sin 53^\circ = 0.8$，$\cos 53^\circ = 0.6$）？

解：

研究对象：导体棒。

过程划分：静止，求“刚好要滑动”的临界状态。

分析：安培力垂直于 $B$，由左手定则，方向斜向右下、与竖直方向成 $53^\circ$：水平分量 $F_{\text{安}}\sin 53^\circ$ 向右，竖直分量 $F_{\text{安}}\cos 53^\circ$ 向下。导体棒受重力、支持力、安培力、静摩擦力（向左）。电流越大，水平推力越大，摩擦力达到最大值时为临界。

列式求解：取向右为 $x$ 轴正方向、向上为 $y$ 轴正方向。临界时 $f = \mu F_{\text{N}}$：

$$y：F_{\text{N}} = mg + F_{\text{安}}\cos 53^\circ = 2 + 0.6F_{\text{安}}$$ $$x：F_{\text{安}}\sin 53^\circ = \mu F_{\text{N}} \quad\Rightarrow\quad 0.8F_{\text{安}} = 0.5(2 + 0.6F_{\text{安}})$$

解得 $F_{\text{安}} = 2\ \mathrm{N}$，$I = \dfrac{F_{\text{安}}}{BL} = \dfrac{2}{0.5 \times 0.4}\ \mathrm{A} = 10\ \mathrm{A}$。

电流不超过 $10\ \mathrm{A}$ 时导体棒静止。

检验：临界时 $F_{\text{N}} = 3.2\ \mathrm{N}$，最大静摩擦力 $1.6\ \mathrm{N}$，安培力水平分量 $0.8 \times 2 = 1.6\ \mathrm{N}$，相等，对。

容易卡在：把最大静摩擦力写成 $\mu mg = 1\ \mathrm{N}$，得 $I = 6.25\ \mathrm{A}$。安培力的竖直分量压在棒上，增大了压力，最大静摩擦力也随之变大。

常用推论

• 光滑斜面（倾角 $\alpha$）上的导体棒，磁场竖直时平衡条件 $BIL = mg\tan\alpha$；磁场垂直斜面时 $BIL = mg\sin\alpha$。由本节推导得出。
• 使导体棒在光滑斜面上静止的最小磁感应强度 $B_{\min} = \dfrac{mg\sin\alpha}{IL}$，方向垂直斜面（例 3）。
• 细线悬挂、磁场竖直，导体棒偏角满足 $\tan\theta = \dfrac{BIL}{mg}$（例 2）。
• 电流恒定时，导体棒在水平导轨上做匀加速运动，$a = \dfrac{BIL - \mu mg}{m}$（例 4）。电流不恒定的情况见第 28 章。

易错点

• 错在哪：倾斜导轨上，磁场竖直时把安培力画成沿斜面。 为什么错：直觉以为“力总要沿着运动的方向”，把导体棒可能滑动的方向当成了力的方向。 正确做法：安培力只由 $B$ 和 $I$ 决定，磁场竖直则安培力水平（例 1）。
• 错在哪：斜磁场下仍用 $\mu mg$ 算最大静摩擦力。 为什么错：忽略了安培力的竖直分量改变了压力。 正确做法：先正交分解求 $F_{\text{N}}$，再算 $\mu F_{\text{N}}$（例 5）。
• 错在哪：直接在立体图上做受力分析，方向越画越乱。 为什么错：$B$、$I$、$F$ 三个方向互相垂直，立体图上很难画准。 正确做法：沿导体棒方向看，画截面图，导体棒变成一个点（× 或 ·），所有力都在纸面内。
• 错在哪：导体棒接在电源上运动，仍按电流不变计算。 为什么错：导体棒切割磁感线产生反电动势，电流随速度减小。 正确做法：题目没说电流恒定时，按第 28 章处理。

直观理解

把导体棒“竖起来看”：截面图里它就是一个点，像第 5 章的一个小物块，安培力只是外人推了它一把。斜面上的题，先问“推力是水平的还是沿斜面的”，答案全在磁场的方向里：磁场竖直推水平，磁场垂直斜面推沿斜面。

关联知识点

• 前置：第 4 章受力分析与正交分解；第 5 章 5.2 平衡条件、5.4 图解法、5.6 临界与极值。
• 前置：第 6 章牛顿第二定律；第 3 章匀变速直线运动的公式。
• 前置：直角三角形中的三角函数，见《高中数学知识点梳理》第 11–13 章。
• 后续：第 28 章电磁感应中的导体棒问题，电流随速度变化，安培力变为阻力。
• 常一起考：第 18 章闭合电路欧姆定律，电流由电源电动势和电阻求出，再算安培力。

25.7 电流间的相互作用

说明

两根平行直导线：

• 电流同向，相互吸引；
• 电流反向，相互排斥。

两根导线之间的力是一对作用力与反作用力，大小相等、方向相反，与各自电流是否相等无关（牛顿第三定律）。

电流与磁体之间：磁体对通电导线有安培力，通电导线对磁体也有大小相等、方向相反的力。求磁体受力时，先求导线受力，再用牛顿第三定律。

判断相互作用的三种方法：

方法	怎么做	适合
电流元法	用安培定则找一个电流的磁场，再用左手定则找另一个电流的受力	任何情况，最基本
等效法	环形电流、通电螺线管等效成条形磁铁（N 极由安培定则定），用磁极间的相互作用判断	线圈与磁铁、线圈与线圈
结论法	平行电流同向相吸、反向相斥；两根不平行的直导线有转到平行且电流同向的趋势	选择题快速判断

历史：1820 年奥斯特发现电流的磁效应后，安培在几个月内做实验发现了平行电流之间的相互作用。1948 年起，国际单位制曾用这种作用定义安培：真空中相距 $1\ \mathrm{m}$ 的两根无限长平行直导线，通以相等的恒定电流，每米长度上的相互作用力为 $2 \times 10^{-7}\ \mathrm{N}$ 时，电流为 $1\ \mathrm{A}$。2019 年起，安培改由固定元电荷 $e$ 的数值来定义。

使用场景

• 两根或几根平行直导线，判断相互作用的方向或某根导线所受的合力 → 平行电流模型 → 同向相吸、反向相斥，力的大小随距离增大而减小，再矢量合成。
• 矩形线框与长直导线在同一平面内，问线框所受的合力 → 电流元法 → 逐边用左手定则，近边磁场强、受力大。
• 通电导线放在磁铁附近，问磁铁受力或台秤、弹簧秤示数的变化 → 电流与磁体的相互作用 → 先求导线受力，再用牛顿第三定律。
• 环形线圈靠近磁铁或另一个线圈，判断相吸还是相斥 → 等效法 → 用安培定则把线圈换成小磁针，异名相吸、同名相斥。

注意点

• 平行导线间的作用力是相互作用力，大小总相等，即使 $I_1 \ne I_2$。
• 一根导线只受别的电流（或磁体）的磁场作用，自身电流的磁场对自身没有合力。
• “同向相吸”与电荷的“同种相斥”正好相反，不要类比。
• 等效法要先用安培定则确定线圈哪一面是 N 极，再看相对的两个磁极。
• 线框与直导线问题里，线框的两条平行于导线的边受力方向相反、大小不同；两条垂直于导线的边受力等大反向，相互抵消。

推导

平行电流同向相吸（电流元法）：两根平行导线 1、2，电流都向上（见上图）。

1. 用安培定则求导线 1 在导线 2 处的磁场：右手握导线 1，拇指向上，在导线 1 右侧四指指向纸内，所以导线 2 处的磁场垂直纸面向里。
2. 用左手定则求导线 2 的受力：磁感线（向里）穿入掌心，四指向上，拇指向左，指向导线 1。
3. 同理，导线 2 在导线 1 处的磁场向外，导线 1 受力向右，指向导线 2。

所以两根导线相互吸引。电流反向时，第 2 步四指反向，力反向，相互排斥。

（关键一步：第 1 步只用导线 1 的磁场去算导线 2 的受力。导线 2 自身的磁场环绕它自己，对它各部分的作用互相抵消，没有合力。每根导线只“感受”对方的磁场。）

两力等大反向，是牛顿第三定律的要求：两根导线组成的系统不受外力时，不能自己产生加速度。

例题

例 1　（场景：几根平行导线的合力）三根长直导线 $a$、$b$、$c$ 互相平行，垂直纸面放置，在纸面内等间距排成一条直线，相邻间距为 $d$。$a$、$b$ 中电流垂直纸面向外，$c$ 中电流垂直纸面向里，三根导线电流大小相等。已知相距 $d$ 的两根导线间的作用力大小为 $F_0$，相距 $2d$ 时为 $\dfrac{F_0}{2}$。求每根导线所受合力的大小和方向。

解：

研究对象：$a$、$b$、$c$ 三根导线，逐根分析。

过程划分：不涉及过程。

分析：同向相吸、反向相斥。$a$、$b$ 同向，相吸；$a$、$c$ 反向，相斥；$b$、$c$ 反向，相斥。力都沿三根导线的连线。

列式求解：取向右为正方向。

$b$：$a$ 吸引 $b$，向左，$-F_0$；$c$ 排斥 $b$，向左，$-F_0$。合力 $-2F_0$，即 $2F_0$，向左。

$a$：$b$ 吸引 $a$，向右，$+F_0$；$c$ 排斥 $a$，向左，$-\dfrac{F_0}{2}$。合力 $+\dfrac{F_0}{2}$，向右。

$c$：$b$ 排斥 $c$，向右，$+F_0$；$a$ 排斥 $c$，向右，$+\dfrac{F_0}{2}$。合力 $+\dfrac{3F_0}{2}$，向右。

检验：三根导线的合力之和 $\dfrac{F_0}{2} - 2F_0 + \dfrac{3F_0}{2} = 0$。三根导线组成的系统只有内力，合力必为零，对。

容易卡在：$a$、$c$ 之间的力忘了算，或把距离 $2d$ 的力也当成 $F_0$。

例 2　（场景：线框与长直导线）一根竖直长直导线中电流 $I_1$ 向上，其右侧同一平面内有一个矩形线框，线框中电流 $I_2$ 沿顺时针方向，线框靠近导线的一边与导线平行。已知靠近导线的一边受到的安培力大小为 $0.2\ \mathrm{N}$，远离导线的一边所在处的磁场是近边处的一半。求线框所受安培力的合力。

解：

研究对象：矩形线框。

过程划分：不涉及过程。

分析：由安培定则，$I_1$ 在其右侧的磁场垂直纸面向里，离导线越远越弱。线框顺时针电流：近边（左边）向上，上边向右，右边向下，下边向左。逐边用左手定则：近边受力向左（指向导线），远边受力向右，上边受力向上，下边受力向下。

列式求解：上、下两边电流相反，所处位置的磁场分布相同，受力等大反向，抵消。近边 $F_1 = 0.2\ \mathrm{N}$，向左。远边长度、电流与近边相同，磁场是一半：$F_2 = \dfrac{F_1}{2} = 0.1\ \mathrm{N}$，向右。取向左为正方向：

$$F_{\text{合}} = F_1 - F_2 = 0.2\ \mathrm{N} - 0.1\ \mathrm{N} = 0.1\ \mathrm{N}$$

线框所受合力 $0.1\ \mathrm{N}$，方向向左，指向直导线。

检验：线框整体被导线吸引，与“近边同向、离得近”占优一致，合理。

容易卡在：认为闭合线框受的合力为零。“闭合线框合力为零”只在匀强磁场中成立，这里的磁场离导线越远越弱。

另一种解法：结论法。近边电流与 $I_1$ 同向，相吸；远边与 $I_1$ 反向，相斥；近边离得近，吸引力大于排斥力，所以线框被吸向导线。只问方向的选择题用结论法几秒钟就能判断；要算合力的大小，或者线框不在导线一侧、各边情况复杂时，仍要逐边用电流元法。

例 3　（场景：电流与磁体，判断台秤示数）条形磁铁平放在台秤上，N 极在右。在磁铁中点正上方固定一根垂直纸面的长直导线，通以垂直纸面向里的电流。通电后台秤的示数如何变化？

解：示数变大。

判断依据：先求导线受力，再由牛顿第三定律得磁铁受力。

磁铁外部的磁感线从 N 极到 S 极，在磁铁中点正上方，磁场水平向左。导线中电流向里，由左手定则（磁感线向左穿入掌心，四指向里），导线受力竖直向上。由牛顿第三定律，磁铁受导线的力竖直向下，磁铁对台秤的压力增大，示数变大。

容易卡在：想直接求“导线的磁场对磁铁的力”，磁铁不是电流，不知道怎么用左手定则。磁铁受力绕不过去时，转到导线上求，再用牛顿第三定律。

例 4　（场景：线圈与磁铁，等效法）一个轻质圆形线圈用细线悬挂，线圈平面与条形磁铁的轴线垂直，磁铁的 N 极正对线圈的左侧。从左向右看（从磁铁一侧看），线圈中电流沿顺时针方向。线圈将被磁铁吸引还是排斥？

解：吸引。

判断依据：等效法，把线圈换成小磁针。

从左向右看电流顺时针。用安培定则：右手四指顺着电流弯曲（从左看顺时针），拇指指向背离观察者的方向，即向右。所以线圈内部磁场向右，线圈的右侧是 N 极，左侧（对着磁铁的一面）是 S 极。磁铁的 N 极对着线圈的 S 极，异名相吸，线圈被吸引。

容易卡在：直接对线圈各段用左手定则。条形磁铁在线圈处的磁场是发散的，方向不容易画准；等效成小磁针一步就能判断。

常用推论

• 平行电流：同向相吸、反向相斥。由本节推导得出。
• 两根不平行的直导线有转到相互平行且电流同向的趋势。由“同向相吸”推出：各段都倾向于与对方同向靠近。
• 两个同轴的环形电流（或线圈）：电流同向相吸、反向相斥。用等效法，同向时相对的两面是异名磁极。
• 平行电流间的作用力大小与距离成反比，题目一般给出比例关系（例 1、例 2）。

易错点

• 错在哪：把“同向电流相吸”类比成“同种电荷相斥”，记反了。 为什么错：电荷之间是电场力，电流之间是磁场力，规律不同。 正确做法：记不住时用电流元法现推一遍（安培定则加左手定则），只要两步。
• 错在哪：电流大的导线对电流小的导线作用力大。 为什么错：直觉以为“强的一方用力大”。 正确做法：两根导线之间的力是相互作用力，总是等大反向（牛顿第三定律）。
• 错在哪：认为闭合线框在任何磁场中所受合力都为零。 为什么错：把匀强磁场的结论推广到非匀强磁场。 正确做法：非匀强磁场中逐边求力再合成（例 2）。
• 错在哪：等效法中用左手判断线圈的磁极，把从某一面看电流顺时针的那一面当成 N 极。 为什么错：安培定则必须用右手。 正确做法：右手四指顺着电流，拇指所指是线圈的 N 极。

直观理解

两股同向的电流像同一方向行驶的两列车，彼此“拉近”；反向行驶则互相“推开”。也可以把每根导线想成一把“磁场的梳子”：同向时两把梳子在中间的齿方向相反、互相抵消，中间磁场弱、外侧强，外侧把它们往中间挤；反向时中间磁场加强，把它们往外推。

关联知识点

• 前置：25.2 节安培定则；25.5 节左手定则；第 6 章牛顿第三定律。
• 前置：第 15 章 15.3 库仑定律，对照“同种电荷相斥”与“同向电流相吸”的区别。
• 后续：第 27 章楞次定律的推广“来拒去留”，判断磁铁与感应电流之间的相互作用，也常用本节的等效法。
• 后续：第 26 章洛伦兹力，两束同向运动的电子流之间除了电场力还有磁场力。
• 常一起考：25.3 节磁场叠加，几根导线的题常同时问某点的磁场和某根导线的受力。

25.8 知识点之间的关系

本章的主线是“电流产生磁场，磁场对电流有力”。前半段（25.2–25.4）描述磁场：方向用安培定则定，强弱用 $B$ 量，穿过一个面的多少用 $\Phi$ 算。后半段（25.5–25.7）讲磁场对电流的力：单根导线用 $F = BIL\sin\theta$ 和左手定则，导体棒的平衡和加速回到第 5、6 章，两个电流之间先用安培定则再用左手定则。拿到题先问一句“题目问的是磁场还是力”，就能分到下图的某一支。

25.9 自测

1. 一个通电螺线管的右端是 N 极。从右向左看，螺线管中的电流沿顺时针还是逆时针方向？
2. 一根长 $0.5\ \mathrm{m}$ 的导线垂直于匀强磁场放置，通以 $4\ \mathrm{A}$ 的电流时受力 $0.6\ \mathrm{N}$。求 $B$。电流减为 $2\ \mathrm{A}$ 时，$B$ 和导线受力各为多少？
3. 小磁针处地磁场水平分量 $3 \times 10^{-5}\ \mathrm{T}$ 向北，另加一个向东的水平磁场后，小磁针 N 极指向北偏东 $45^\circ$。所加磁场多大？
4. 边长 $0.1\ \mathrm{m}$ 的正方形线圈共 100 匝，平面与 $B = 0.2\ \mathrm{T}$ 的匀强磁场垂直。求磁通量；线圈转过 $90^\circ$ 后，磁通量变化量的大小是多少？
5. 线圈平面与磁场方向成 $30^\circ$ 角，面积 $0.2\ \mathrm{m^2}$，$B = 0.5\ \mathrm{T}$。求磁通量。
6. $B = 0.5\ \mathrm{T}$ 的匀强磁场中，长 $0.2\ \mathrm{m}$ 的导线与磁场方向成 $30^\circ$ 角，电流 $3\ \mathrm{A}$。求安培力的大小。
7. 磁场竖直向下，一根水平导线中电流由南向北，导线受安培力的方向是什么？
8. 水平导轨间距 $0.5\ \mathrm{m}$，磁场竖直、$B = 0.4\ \mathrm{T}$，导体棒质量 $0.1\ \mathrm{kg}$，与导轨间动摩擦因数 $0.2$，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。电流至少多大时导体棒开始滑动？
9. 两根平行直导线中电流方向相反，$I_1 = 2I_2$。它们相互吸引还是排斥？导线 1 受的力是导线 2 受的力的几倍？

答案：1. 逆时针；2. $B = 0.3\ \mathrm{T}$，电流减半后 $B$ 仍为 $0.3\ \mathrm{T}$，受力 $0.3\ \mathrm{N}$；3. $3 \times 10^{-5}\ \mathrm{T}$；4. $2 \times 10^{-3}\ \mathrm{Wb}$，$2 \times 10^{-3}\ \mathrm{Wb}$；5. $0.05\ \mathrm{Wb}$；6. $0.15\ \mathrm{N}$；7. 水平向西；8. 大于 $1\ \mathrm{A}$；9. 排斥，1 倍（等大反向）。

25.10 深入阅读

• PhET · 法拉第电磁实验室：拖动条形磁铁和电磁铁，用指南针和磁场计看各处磁场的方向和强弱，改变线圈电流方向看磁极怎样翻转。
• PhET · 磁铁和指南针：条形磁铁周围摆满小磁针，直观看出磁感线的形状、磁场方向就是小磁针 N 极的指向，还有地球磁场的演示。
• 维基百科 · 地磁场：地磁场的来源、地磁极与地理极的位置关系、磁偏角和磁倾角，以及地磁场强度的典型数值。