第 31 章 · 分子动理论

项目	内容
课标主题	选择性必修 3 · 固体、液体和气体（分子动理论的基本观点及实验证据；用实验估测油酸分子的大小；分子运动速率分布的统计规律和分布图像）
人教版（2019）	选择性必修第三册 第一章“分子动理论”：分子动理论的基本内容、分子运动速率分布规律、分子动能和分子势能；本章的实验“用油膜法估测油酸分子的大小”见第 42 章
考试地位	常以一道选择题的几个选项出现：布朗运动、分子力和分子势能的图像、温度与内能、速率分布曲线；阿伏加德罗常数的估算偶考；油膜法是实验题（第 42 章）。依据 2023–2026 年全国卷和山东、广东、浙江、江苏、湖南、湖北卷的热学题
前置知识	第 1 章 1.5 估算与数量级；第 12 章功；第 13 章动能；第 14 章势能和功能关系；初中物理的“分子在不停地运动”“分子间有引力和斥力”

前面三十章讲的都是看得见的物体。这一章往下看一层：物体由大量分子组成，分子在不停地乱动，分子之间有力。热学的温度、内能、气体压强，都要从这里解释。本章计算不多，丢分几乎全在概念：把布朗运动说成分子的运动；把势能曲线和 $r$ 轴的交点当成 $r_0$；以为温度升高每个分子都变快；把物体的宏观动能算进内能。

31.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
31.2 分子的大小与阿伏加德罗常数	分子直径约 $10^{-10}\ \mathrm{m}$；$N_{\text{A}} = 6.02 \times 10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$ 把摩尔质量、摩尔体积和分子质量、分子体积连起来	偶考估算，常作选择题选项
31.3 扩散、布朗运动与热运动	扩散是分子自己在动；布朗运动是悬浮小颗粒在动，反映液体分子的无规则运动	常考选择题选项，易错
31.4 分子间的作用力	引力和斥力同时存在，都随距离增大而减小，斥力减得快；$r_0$ 处合力为零	常考，读 $F$-$r$ 图像
31.5 分子势能	分子力做正功势能减小；$r_0$ 处势能最小	常考，读 $E_{\text{p}}$-$r$ 图像
31.6 温度、分子动能与内能	温度是分子平均动能的标志；内能是所有分子动能和势能的总和	常考选择题选项，常和第 33 章一起考
31.7 分子速率分布的统计规律	中间多、两头少；温度升高，峰向速率大的一侧移动并变低	偶考，读分布曲线

31.2 分子的大小与阿伏加德罗常数

说明

物体由大量分子组成。 热学里把分子、原子、离子统称为分子。分子很小：

• 一般分子直径的数量级是 $10^{-10}\ \mathrm{m}$（第 1 章 1.5 节参考值表），质量的数量级是 $10^{-26}\ \mathrm{kg}$。
• 分子不是真的小球，“直径”只是一个估计尺度，所以分子大小只要求数量级。

阿伏加德罗常数：$1\ \mathrm{mol}$ 任何物质含有的粒子数都相同，

$$N_{\text{A}} = 6.02 \times 10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$$

（2019 年起国际单位制把它定为精确值 $6.022\ 140\ 76 \times 10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$，计算取 $6.02 \times 10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$ 或 $6.0 \times 10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$。）

$N_{\text{A}}$ 是连接宏观量和微观量的桥梁：

• 宏观量：物质的质量 $m$、体积 $V$、密度 $\rho$、摩尔质量 $M$、摩尔体积 $V_{\text{m}}$，能直接测量。
• 微观量：一个分子的质量 $m_0$、体积 $V_0$、直径 $d$、分子个数 $N$，不能直接测量。

求什么	公式	适用于
分子个数	$N = nN_{\text{A}} = \dfrac{m}{M}N_{\text{A}} = \dfrac{V}{V_{\text{m}}}N_{\text{A}}$	一切物质
一个分子的质量	$m_0 = \dfrac{M}{N_{\text{A}}}$	一切物质
一个分子的体积	$V_0 = \dfrac{V_{\text{m}}}{N_{\text{A}}} = \dfrac{M}{\rho N_{\text{A}}}$	固体、液体
一个分子占据的空间	$V_0' = \dfrac{V_{\text{m}}}{N_{\text{A}}}$	气体（不是分子本身的体积）
分子直径（小球模型）	$d = \sqrt[3]{\dfrac{6V_0}{\pi}}$	固体、液体
分子直径（立方体模型）	$d = \sqrt[3]{V_0}$	固体、液体
分子间的平均距离	$d = \sqrt[3]{V_0'}$	气体

理想模型：

• 固体、液体：分子一个挨一个紧密排列，把每个分子看成小球（直径 $d$）或小立方体（边长 $d$），分子之间的空隙忽略不计。
• 气体：分子间距离比分子本身大得多，不能看成紧密排列。把每个分子平均占据的空间看成一个小立方体，分子在立方体中心，立方体的边长就是分子间的平均距离。

宏观量和微观量之间的换算路线：

使用场景

• 题目给出质量（或体积和密度）和摩尔质量，问含有多少个分子、一个分子多重 → 宏观与微观的桥 → $N = \dfrac{m}{M}N_{\text{A}}$，$m_0 = \dfrac{M}{N_{\text{A}}}$。
• 固体、液体，问一个分子的体积或直径 → 小球或小立方体紧密排列模型 → $V_0 = \dfrac{M}{\rho N_{\text{A}}}$，再开立方求 $d$。
• 气体，问分子间的平均距离 → 每个分子占一个小立方体 → $d = \sqrt[3]{\dfrac{V_{\text{m}}}{N_{\text{A}}}}$；只能求占据的空间，求不出分子本身的大小。
• 选择题问“由哪组数据可以求出 $N_{\text{A}}$（或分子质量、分子体积）” → 把每组数据代进换算路线 → 看能不能凑出公式，气体那一条要特别小心。

注意点

• 单位：摩尔质量用 $\mathrm{kg/mol}$，水是 $18\ \mathrm{g/mol} = 1.8 \times 10^{-2}\ \mathrm{kg/mol}$；摩尔体积用 $\mathrm{m^3/mol}$，$22.4\ \mathrm{L/mol} = 2.24 \times 10^{-2}\ \mathrm{m^3/mol}$。
• $22.4\ \mathrm{L/mol}$ 只适用于标准状况（$0\ ^\circ\mathrm{C}$、$1$ 个标准大气压）下的气体，对固体、液体不适用。
• 小球模型和立方体模型算出的直径相差约 $20\%$（例 2），数量级相同。题目指定了模型就按指定的算；没指定时，固体、液体一般用小球模型。
• 气体的 $\dfrac{V_{\text{m}}}{N_{\text{A}}}$ 是每个分子平均分到的空间，气体分子本身的体积只占其中约千分之一，不能当作分子体积。
• 算出的分子直径如果不在 $10^{-10}\ \mathrm{m}$ 数量级附近，几乎一定是单位错了（克当成千克、升当成立方米）。

推导

分子质量：$1\ \mathrm{mol}$ 物质的质量是 $M$，其中有 $N_{\text{A}}$ 个分子，每个分子的质量

$$m_0 = \frac{M}{N_{\text{A}}}$$

这一步对固、液、气都成立，因为质量不管分子排得疏还是密。

分子体积：$1\ \mathrm{mol}$ 物质的体积 $V_{\text{m}} = \dfrac{M}{\rho}$。固体、液体的分子紧密排列，这个体积几乎全部由分子本身占据：

$$V_{\text{m}} \approx N_{\text{A}}V_0 \quad\Rightarrow\quad V_0 = \frac{V_{\text{m}}}{N_{\text{A}}} = \frac{M}{\rho N_{\text{A}}}$$

（关键一步：$V_{\text{m}} \approx N_{\text{A}}V_0$ 要求分子之间没有空隙。固体、液体很难压缩，说明分子已经挨得很紧，这一步成立。气体很容易压缩，分子间距约是分子直径的 10 倍，$V_{\text{m}}$ 里绝大部分是空的，所以对气体同样的除法只得到每个分子平均占据的空间。）

分子直径：小球模型 $V_0 = \dfrac{1}{6}\pi d^3$，得 $d = \sqrt[3]{\dfrac{6V_0}{\pi}}$；立方体模型 $V_0 = d^3$，得 $d = \sqrt[3]{V_0}$。

$N_{\text{A}}$ 是怎么测出来的：反过来用上面的式子。先测出分子直径（第 42 章油膜法），算出 $V_0$，再由 $N_{\text{A}} = \dfrac{V_{\text{m}}}{V_0}$ 求 $N_{\text{A}}$。20 世纪初，佩兰通过布朗运动的实验（31.3 节）测出了 $N_{\text{A}}$，和用其他方法（如 X 射线测晶体中原子的间距）得到的值一致。几种互不相干的方法得到同一个数，是“分子真实存在”的有力证据。

例题

例 1　（场景：由质量求分子个数和分子质量）一滴水的质量约为 $0.05\ \mathrm{g}$，水的摩尔质量 $M = 1.8 \times 10^{-2}\ \mathrm{kg/mol}$，$N_{\text{A}} = 6.0 \times 10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$。求一个水分子的质量和这滴水中的水分子个数（保留两位有效数字）。

解：

研究对象：这滴水和其中的水分子。

过程划分：不涉及过程。

分析：一个分子的质量用 $m_0 = \dfrac{M}{N_{\text{A}}}$；分子个数先求物质的量 $n = \dfrac{m}{M}$，再乘 $N_{\text{A}}$。先换单位：$m = 0.05\ \mathrm{g} = 5 \times 10^{-5}\ \mathrm{kg}$。

列式求解：

$$m_0 = \frac{M}{N_{\text{A}}} = \frac{1.8 \times 10^{-2}}{6.0 \times 10^{23}}\ \mathrm{kg} = 3.0 \times 10^{-26}\ \mathrm{kg}$$ $$N = \frac{m}{M}N_{\text{A}} = \frac{5 \times 10^{-5}}{1.8 \times 10^{-2}} \times 6.0 \times 10^{23} \approx 1.7 \times 10^{21}$$

检验：分子质量在 $10^{-26}\ \mathrm{kg}$ 数量级，符合常识。也可以用 $N = \dfrac{m}{m_0} = \dfrac{5 \times 10^{-5}}{3.0 \times 10^{-26}} \approx 1.7 \times 10^{21}$ 对一下，一致。

容易卡在：摩尔质量直接用 $18$ 代入，结果差 1000 倍。

例 2　（场景：固体、液体的分子直径）水的密度 $\rho = 1.0 \times 10^3\ \mathrm{kg/m^3}$，摩尔质量 $M = 1.8 \times 10^{-2}\ \mathrm{kg/mol}$，$N_{\text{A}} = 6.0 \times 10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$。把水分子看成紧密排列的小球，估算水分子的直径（$\pi$ 取 3）。

解：

研究对象：一个水分子。

过程划分：不涉及过程。

分析：液体分子紧密排列，用小球模型。先求一个分子的体积，再由球的体积公式求直径。

列式求解：

$$V_0 = \frac{M}{\rho N_{\text{A}}} = \frac{1.8 \times 10^{-2}}{1.0 \times 10^3 \times 6.0 \times 10^{23}}\ \mathrm{m^3} = 3.0 \times 10^{-29}\ \mathrm{m^3}$$ $$d = \sqrt[3]{\frac{6V_0}{\pi}} = \sqrt[3]{\frac{6 \times 3.0 \times 10^{-29}}{3}}\ \mathrm{m} = \sqrt[3]{60 \times 10^{-30}}\ \mathrm{m} \approx 3.9 \times 10^{-10}\ \mathrm{m}$$

检验：单位 $\dfrac{\mathrm{kg/mol}}{\mathrm{kg/m^3} \times \mathrm{mol^{-1}}} = \mathrm{m^3}$，对。直径在 $10^{-10}\ \mathrm{m}$ 数量级，合理。

容易卡在：开立方。把 $10^{-29}$ 凑成 $10^{-30}$ 的倍数（指数是 3 的倍数）再开，$\sqrt[3]{60} \approx 3.9$。

另一种解法：用立方体模型，$d = \sqrt[3]{V_0} = \sqrt[3]{30 \times 10^{-30}}\ \mathrm{m} \approx 3.1 \times 10^{-10}\ \mathrm{m}$。两种模型差约 $20\%$，数量级相同。只问数量级、或题目说“看成立方体”时，用立方体模型少算一步；题目说“看成球形”时只能用小球模型。

例 3　（场景：气体分子间的平均距离）标准状况下气体的摩尔体积 $V_{\text{m}} = 22.4\ \mathrm{L/mol}$，$N_{\text{A}} = 6.0 \times 10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$。估算标准状况下空气分子间的平均距离，并与分子直径（约 $3 \times 10^{-10}\ \mathrm{m}$）比较。

解：

研究对象：标准状况下的空气分子。

过程划分：不涉及过程。

分析：气体分子不是紧密排列，$\dfrac{V_{\text{m}}}{N_{\text{A}}}$ 是每个分子平均占据的空间。把它看成小立方体，边长就是平均距离（见本节“说明”的图）。换单位：$V_{\text{m}} = 2.24 \times 10^{-2}\ \mathrm{m^3/mol}$。

列式求解：

$$V_0' = \frac{V_{\text{m}}}{N_{\text{A}}} = \frac{2.24 \times 10^{-2}}{6.0 \times 10^{23}}\ \mathrm{m^3} \approx 3.7 \times 10^{-26}\ \mathrm{m^3}$$ $$d = \sqrt[3]{V_0'} = \sqrt[3]{37 \times 10^{-27}}\ \mathrm{m} \approx 3.3 \times 10^{-9}\ \mathrm{m}$$

平均距离约是分子直径的 $\dfrac{3.3 \times 10^{-9}}{3 \times 10^{-10}} \approx 11$ 倍。

检验：单位 $\mathrm{m}$，对。量级：气体密度约是液体的千分之一，同样多分子占的体积约大 1000 倍，边长约大 $\sqrt[3]{1000} = 10$ 倍，和算出的 11 倍一致。

容易卡在：把 $3.3 \times 10^{-9}\ \mathrm{m}$ 说成“空气分子的直径”。它是分子间距，不是分子大小。

例 4　（场景：由哪组数据能求 $N_{\text{A}}$）已知下列各组物理量，能求出阿伏加德罗常数的是（　）。

A. 水的摩尔质量和水分子的体积 B. 水的摩尔质量和水分子的质量 C. 氧气的摩尔体积和氧气分子的体积 D. 水的密度和水的摩尔质量

解：B。

判断依据：$N_{\text{A}}$ 等于“1 mol 的总量 ÷ 一个分子的量”，总量和单个量必须是同一种量（都是质量，或都是固液的体积）。

A：摩尔质量是质量，分子体积是体积，缺密度，凑不出。B：$N_{\text{A}} = \dfrac{M}{m_0}$，可以。C：氧气是气体，摩尔体积除以分子本身的体积不等于 $N_{\text{A}}$（分子间空隙远大于分子），不行。D：只能得到水的摩尔体积 $\dfrac{M}{\rho}$，没有微观量，不行。

常用推论

• 一般分子：直径约 $10^{-10}\ \mathrm{m}$，质量约 $10^{-26}\ \mathrm{kg}$。估算结果离这两个量级太远，先查单位。
• 标准状况下气体分子间的平均距离约 $3 \times 10^{-9}\ \mathrm{m}$，约为分子直径的 10 倍（例 3）。所以气体容易压缩，分子间的作用力可以忽略（31.4 节），这是第 32 章理想气体模型的依据。
• $1\ \mathrm{cm^3}$ 水约含 $3.3 \times 10^{22}$ 个分子（$1\ \mathrm{g}$ 除以 $18\ \mathrm{g/mol}$ 再乘 $N_{\text{A}}$）；标准状况下 $1\ \mathrm{m^3}$ 气体约含 $2.7 \times 10^{25}$ 个分子。
• $N_{\text{A}} = \dfrac{M}{m_0}$ 对一切物质成立；$N_{\text{A}} = \dfrac{V_{\text{m}}}{V_0}$ 只对固体、液体成立。

易错点

• 错在哪：气体也用 $\dfrac{V_{\text{m}}}{N_{\text{A}}}$ 当作一个分子的体积，再开立方当分子直径。 为什么错：把固体、液体的“紧密排列”模型套到了气体上。气体分子之间的空隙比分子本身大上千倍。 正确做法：气体只能求每个分子占据的空间和平均间距；分子本身的大小要用固体、液体的数据求。
• 错在哪：水的摩尔质量用 $18$ 代入，算出分子质量 $3 \times 10^{-23}\ \mathrm{kg}$。 为什么错：化学课里摩尔质量常用 $\mathrm{g/mol}$，物理公式要用国际单位 $\mathrm{kg/mol}$。 正确做法：代入前写成 $1.8 \times 10^{-2}\ \mathrm{kg/mol}$，算完和”$10^{-26}\ \mathrm{kg}$“比一比。
• 错在哪：小球模型写成 $V_0 = \dfrac{4}{3}\pi d^3$。 为什么错：$\dfrac{4}{3}\pi r^3$ 里是半径，$d$ 是直径，代错了差 8 倍。 正确做法：用直径写成 $V_0 = \dfrac{1}{6}\pi d^3$，或者先求半径再乘 2。

直观理解

$N_{\text{A}}$ 就像“一打 = 12 个”：说一打鸡蛋就是 12 个，说一摩尔分子就是 $6.02 \times 10^{23}$ 个。只是这个“打”大得惊人：一滴水里约有 $1.7 \times 10^{21}$ 个分子（例 1），让全世界 80 亿人每人每秒数一个，要数六千多年。

固体、液体的分子像一箱挤满的乒乓球，箱子体积除以球数就是一个球的体积；气体分子像操场上散开站的同学，操场面积除以人数，得到的是“每人分到的地盘”，不是人有多大。

关联知识点

• 前置：第 1 章 1.5 节估算与数量级，分子大小的参考值和“把分子看成小球或小立方体”的估算模型；1.2 节物质的量的单位摩尔是七个基本单位之一。
• 前置：开立方就是求 $\dfrac{1}{3}$ 次幂，见《高中数学知识点梳理》第 8 章。
• 后续：第 42 章“用油膜法估测油酸分子的大小”，用单分子油膜的厚度当分子直径，再结合摩尔体积可以求 $N_{\text{A}}$。
• 后续：第 32 章理想气体，“分子间距远大于分子直径”是忽略分子力和分子体积的依据。
• 常一起考：31.3 节布朗运动（佩兰由它测 $N_{\text{A}}$）；高中化学的物质的量。

31.3 扩散、布朗运动与热运动

说明

分子动理论的基本内容：物体是由大量分子组成的；分子在做永不停息的无规则运动；分子之间存在着相互作用力。此外，分子之间有空隙。

扩散现象：不同物质互相接触时，彼此进入对方的现象。

• 气体、液体、固体之间都能发生扩散，气体最快，固体最慢。
• 温度越高，扩散越快。
• 扩散是分子本身在运动造成的，是分子做无规则运动的直接证据，也说明分子之间有空隙。

布朗运动：悬浮在液体（或气体）中的微小颗粒做的永不停息的无规则运动。1827 年英国植物学家布朗在显微镜下观察水中花粉里的微粒时发现。

• 运动的是颗粒：直径约 $10^{-6}\ \mathrm{m}$ 数量级，要用显微镜才能看见，每个颗粒由大量分子组成。
• 原因：液体分子从四面八方撞击颗粒，颗粒很小时，某一瞬间各个方向的撞击不平衡，颗粒就被推向某一方；下一瞬间不平衡的方向又变了，于是颗粒无规则地运动。
• 颗粒越小、温度越高，布朗运动越明显。
• 布朗运动不是分子的运动，但它间接反映了液体分子在做无规则运动。

热运动：分子永不停息的无规则运动叫作热运动。温度越高，热运动越剧烈。热运动说的是分子；布朗运动是颗粒的运动，不叫热运动。

使用场景

• 判断某个现象能否说明分子在做无规则运动（闻到气味、墨水散开、尘土飞扬、雪花飘落）→ 区分分子的运动和宏观物体的机械运动 → 肉眼看得见的东西在动，是气流、重力造成的机械运动；两种物质自动混合才是扩散。
• 给出显微镜下颗粒位置的连线图，判断各种说法 → 布朗运动模型 → 运动的是颗粒；连线不是轨迹；原因是液体分子撞击不平衡。
• 比较扩散或布朗运动的快慢，解释“混合后总体积变小”这类现象 → 热运动与温度的关系、分子间有空隙 → 温度越高越剧烈，布朗运动还看颗粒大小。

注意点

• 布朗运动的主角是颗粒，它反映的是周围液体（或气体）分子的运动，不是颗粒内部分子的运动。
• 能在光学显微镜下看到的小颗粒才谈布朗运动。阳光里肉眼看见的灰尘翻飞，颗粒大得多，主要由气流和重力造成，不是布朗运动。
• 位置连线图是每隔一段时间（如 $30\ \mathrm{s}$）记下颗粒的位置再按顺序连起来的。两次记录之间颗粒仍在无规则运动，所以连线不是轨迹，缩短记录间隔，连线会变得更曲折。
• 布朗运动永不停息，与液体的流动、外界的振动无关；把容器密封静置很久，它也不会停。
• 做扩散实验（冷水、热水中滴墨水）要静置，不能搅拌或加热时让液体对流，否则看到的是对流，不是扩散。

推导

本知识点是实验规律，给实验依据和解释。

扩散的实验依据：

• 两个集气瓶，下面装红棕色的二氧化氮，上面装空气，中间用玻璃板隔开。抽去玻璃板后，过一段时间两瓶颜色变得均匀。（关键一步：密度大的二氧化氮放在下面。如果它仍跑到上面去，就不可能是重力造成的，只能是分子自己在运动。）
• 把磨光的铅块和金块紧压在一起，放置很长时间后切开，可以看到金和铅彼此渗入对方。固体中也会扩散，只是很慢。

布朗运动的实验依据和解释：

• 布朗起初以为花粉微粒在动是因为它“有生命”。后来人们换成无生命的颗粒（如炭粒、矿物粉末）也看到同样的运动，说明原因不在颗粒本身，而在周围的液体。
• 1905 年爱因斯坦给出布朗运动的理论，1908 年起佩兰用实验证实了这个理论，并由此测出了阿伏加德罗常数（31.2 节）。

为什么颗粒越小越明显：

1. 颗粒越小，同一时刻撞击它的分子越少，各方向的撞击越不容易互相抵消。
2. 颗粒越小，质量越小，同样大小的不平衡力产生的加速度越大。

（关键一步：第 1 条。撞击的次数越多，各方向的冲击越接近互相抵消，就像抛硬币，抛一万次正反面接近各一半，只抛几次就常常偏向一边。颗粒太大时，撞击它的分子极多，几乎完全平衡，它就不动了。）

为什么温度越高越明显：温度高，液体分子运动更剧烈，撞击更猛烈、更频繁，不平衡的程度也更大。

严格的定量理论（颗粒位移的平方随时间增长的规律）要用大学的统计物理和随机过程，高中只要求定性理解。

例题

例 1　（场景：现象能否说明分子在做无规则运动）下列现象中，能说明分子在做无规则运动的是（　）。

A. 扫地时尘土飞扬 B. 打开香水瓶，过一会儿整个房间都能闻到香味 C. 下雪时雪花在空中飞舞 D. 阳光照进屋里，看到光柱中灰尘颗粒上下翻飞

解：B。

判断依据：分子用肉眼看不见；肉眼看得见的东西在动，都是宏观物体的机械运动。

A、C、D 中尘土、雪花、灰尘都是肉眼可见的颗粒，它们的运动是由气流、重力等造成的，不是分子运动，也不是布朗运动（颗粒太大）。B 中香水分子扩散到整个房间，是分子无规则运动的结果。

例 2　（场景：布朗运动的连线图）在显微镜下观察水中悬浮的小炭粒，每隔 $30\ \mathrm{s}$ 记下一次某个炭粒的位置，按顺序连成折线，如图所示。下列说法正确的是（　）。

A. 图中折线就是炭粒的运动轨迹 B. 炭粒的运动就是水分子的热运动 C. 炭粒越小、水温越高，炭粒的无规则运动越明显 D. 炭粒的运动是由水的对流引起的

解：C。

判断依据：布朗运动是颗粒受液体分子不平衡撞击而做的无规则运动。

A 错：折线只连了每隔 $30\ \mathrm{s}$ 的位置，两次记录之间炭粒还在无规则运动，真实轨迹比折线复杂得多。B 错：运动的是炭粒（由大量分子组成），不是水分子；它只是反映了水分子的无规则运动。C 对。D 错：密封静置的液体中布朗运动照样永不停息，与对流无关。

容易卡在：B。“布朗运动反映分子的热运动”是对的，“布朗运动就是分子的热运动”是错的，差在“反映”两个字。

例 3　（场景：比较剧烈程度、解释分子间有空隙）（1）在两只相同的玻璃杯中分别装入等量的冷水和热水，静置后各轻轻滴入一滴红墨水。哪杯水中的墨水散开得快？实验时为什么要静置？（2）将 $50\ \mathrm{mL}$ 水和 $50\ \mathrm{mL}$ 酒精混合，总体积小于 $100\ \mathrm{mL}$，说明了什么？

解：

判断依据：温度越高，分子热运动越剧烈，扩散越快；分子之间有空隙。

（1）热水中的墨水散开得快。热水温度高，水分子和墨水分子的热运动更剧烈，扩散更快。静置是为了排除水流动（对流）的影响，让看到的散开只由分子运动造成。

（2）说明分子之间有空隙：两种液体混合时，一种液体的分子进入了另一种液体分子之间的空隙，总体积就小于两者之和。

常用推论

• 肉眼直接看得见的颗粒运动都不是布朗运动，也不能说明分子运动。
• 布朗运动的剧烈程度：颗粒越小、温度越高越明显。扩散的快慢：温度越高越快；同样条件下气体中最快，固体中最慢。
• 扩散是分子自身的运动（直接证据），布朗运动是颗粒的运动（间接证据），两者都说明分子在做永不停息的无规则运动。

易错点

• 错在哪：认为布朗运动就是液体分子的运动，或者是颗粒内部分子的运动。 为什么错：直觉以为“显微镜下看到的就是分子”。光学显微镜看不到分子（分子直径约 $10^{-10}\ \mathrm{m}$，比可见光波长小几千倍），看到的颗粒约 $10^{-6}\ \mathrm{m}$，是一大团分子。 正确做法：布朗运动是悬浮颗粒的运动，它反映的是周围液体分子的无规则运动。
• 错在哪：认为颗粒越大，受的撞击越多，布朗运动越明显。 为什么错：撞击越多，各方向越容易互相抵消，加上质量大，颗粒反而越“稳”。 正确做法：颗粒越小越明显，大到一定程度就看不出布朗运动了。
• 错在哪：把阳光下灰尘的翻飞、风中柳絮的飘动当成布朗运动或分子运动的证据。 为什么错：看得见就把它当微观现象。这些颗粒大，运动由气流和重力主导。 正确做法：先问“要不要显微镜才能看到”。不需要的，都是宏观的机械运动。

直观理解

布朗运动像操场上一只大气球被一群看不见的孩子从四面八方乱推：气球越小、孩子越用力（温度越高），气球晃得越厉害；如果“气球”有一栋楼那么大，四面推的力互相抵消，它就纹丝不动。我们看见的是气球在晃，由此推断有孩子在推，但看不见孩子本身。

关联知识点

• 前置：初中物理的扩散现象。
• 后续：31.6 节温度是分子平均动能的标志，“温度越高热运动越剧烈”在那里定量化。
• 后续：第 32 章气体压强的微观解释，气体分子撞击器壁产生压强，和布朗运动是同一个机制。
• 后续：第 33 章热力学第二定律，扩散是不可逆过程的例子。
• 常一起考：31.2 节阿伏加德罗常数（佩兰由布朗运动测出）；31.4 节分子间的作用力。

31.4 分子间的作用力

说明

分子之间同时存在引力和斥力，实际表现出来的分子力是它们的合力。

• 引力和斥力都随分子间距离 $r$ 的增大而减小，斥力减小得更快。
• $r = r_0$ 时，引力和斥力大小相等，分子力为零，这个位置叫平衡位置。$r_0$ 的数量级是 $10^{-10}\ \mathrm{m}$。
• $r < r_0$：斥力大于引力，分子力表现为斥力；$r$ 越小，斥力增大得越快。
• $r > r_0$：引力大于斥力，分子力表现为引力；$r$ 从 $r_0$ 增大，分子力先增大、后减小。
• $r$ 大于 $10r_0$（约 $10^{-9}\ \mathrm{m}$）时，分子力已非常微弱，可以忽略。

理想模型：只考虑两个分子，把它们看成质点；画 $F$-$r$ 图像时，本书取斥力为正、引力为负。

分子力的本质：分子由带正电的原子核和带负电的电子组成，分子力是这些电荷之间的电磁相互作用（第 15 章），不是万有引力。

使用场景

• 两分子间的距离变化，问引力、斥力、分子力各怎么变 → 两分子模型、$F$-$r$ 图像 → 引力、斥力都随 $r$ 增大而减小；合力看 $r$ 在 $r_0$ 的哪一侧。
• 解释宏观现象（固体、液体难压缩，铅块压紧后粘在一起，碎玻璃拼不起来，气体容易压缩）→ 判断分子间距离在哪一段 → 小于 $r_0$ 表现为斥力，略大于 $r_0$ 表现为引力，大于 $10r_0$ 几乎没有作用。
• 一个分子固定，另一个在分子力作用下运动，问加速度、速度怎么变 → 质点受变力 → 牛顿第二定律 $a = \dfrac{F}{m}$ 结合 $F$-$r$ 图像。

注意点

• “表现为引力”时斥力仍然存在，只是比引力小；“表现为斥力”时引力也存在。
• $r_0$ 处分子力为零，是引力和斥力相等，不是两个力都为零。
• 分子力表现为引力时，最大值出现在 $r$ 略大于 $r_0$ 的某处（图中合力曲线的最低点），不在 $r_0$ 处，也不在 $r$ 最大处。
• $F$-$r$ 图像的正负是约定，读题时先看纵轴正方向表示斥力还是引力。
• 气体分子间距约 $10r_0$ 以上，分子力可以忽略。气体难以被压到很小、打足气的轮胎很硬，是气体压强的作用（第 32 章），不是分子斥力。

推导

本知识点是实验规律，给实验依据和微观解释。

实验依据：

• 两个铅柱的端面削平、压紧后，下面能吊起重物而不分开，说明分子间有引力。
• 固体、液体很难被压缩，说明分子间有斥力。
• 固体被拉伸时产生拉回的力，被压缩时产生推开的力，两种力都存在，各在不同的距离上占上风。

为什么引力和斥力同时存在，又在 $r_0$ 处相等：两个分子靠得很近时，各自的电子云重叠，带同种电荷的部分强烈排斥，这种斥力很强，但作用距离很短；稍远一些，两个分子中正、负电荷的分布相互影响，总的效果表现为引力，它较弱，但作用距离较长。

（关键一步：两种力随距离减小的快慢不同。斥力随 $r$ 减小得快，引力减小得慢，所以一定存在某个距离 $r_0$ 让两者相等：比 $r_0$ 近，斥力占上风；比 $r_0$ 远，引力占上风。）

为什么 $r > r_0$ 时合力先增大后减小：合力在 $r_0$ 处为零，在很远处也趋于零，中间一直表现为引力，所以中间必有一个最大值。

严格计算分子力随距离变化的规律，要用大学的量子力学；高中只要求定性认识 $F$-$r$ 图像。

例题

例 1　（场景：引力、斥力、分子力随距离的变化）两个分子从相距 $0.5r_0$ 开始，距离逐渐增大到 $20r_0$。在这个过程中，分子间的引力、斥力和分子力各怎样变化？

解：

判断依据：引力、斥力都随 $r$ 增大而减小；合力看 $r$ 与 $r_0$ 的关系（$F$-$r$ 图像）。

引力和斥力都一直减小。分子力：$0.5r_0 \sim r_0$ 表现为斥力，且逐渐减小到零；$r_0$ 处为零；$r > r_0$ 后表现为引力，先增大后减小，到 $20r_0$ 时已几乎为零。

容易卡在：把“分子力”和“引力、斥力”混为一谈。引力、斥力单调减小，它们的合力却先减小、再反向增大、再减小。

例 2　（场景：用分子力解释宏观现象）下列说法正确的是（　）。

A. 固体和液体很难被压缩，说明分子间存在斥力 B. 两块铅块的端面削平后压紧，能吊起重物，说明分子间存在引力 C. 碎玻璃无法拼成一块，说明分子间只有斥力 D. 气体总能充满整个容器，说明气体分子间存在斥力

解：AB。

判断依据：分子力只在 $10r_0$（约 $10^{-9}\ \mathrm{m}$）以内明显。

A 对：固体、液体分子间距约为 $r_0$，压缩使 $r < r_0$，斥力急剧增大。B 对：铅较软，削平压紧后很多分子间距离进入引力范围。C 错：碎玻璃断面凹凸不平，拼起来时绝大多数分子间距离远大于 $10r_0$，引力太弱，不是因为有斥力。D 错：气体分子间距约 $10r_0$，分子力可以忽略，气体充满容器是因为分子在做无规则运动。

例 3　（场景：分子在分子力作用下的运动）甲分子固定在坐标原点，乙分子只受甲的分子力作用。两分子间的分子力 $F$ 与距离 $r$ 的关系如图所示（斥力为正），$b$ 点是引力最大的位置，$c$ 点 $r = r_0$。乙分子从 $a$ 点由静止释放，向甲运动。分析乙从 $a$ 经 $b$、$c$ 到 $d$ 的过程中加速度和速度怎样变化，速度在哪一点最大。

解：

研究对象：乙分子，看成质点。

过程划分：$a \to b$、$b \to c$、$c \to d$ 三段，分界点是引力最大处 $b$ 和平衡位置 $c$。

分析：乙只受分子力，加速度 $a = \dfrac{F}{m}$，大小随 $|F|$ 变化。乙向左（向甲）运动：

• $a \to b$：引力，指向甲，与运动方向相同；$|F|$ 增大。
• $b \to c$：仍是引力，与运动方向相同；$|F|$ 减小到零。
• $c \to d$：斥力，背离甲，与运动方向相反；$|F|$ 增大。

列式求解：由 $a = \dfrac{F}{m}$：

• $a \to b$：加速度增大，速度增大；
• $b \to c$：加速度减小，速度仍增大；
• $c \to d$：加速度增大，方向与运动方向相反，速度减小。

所以乙在 $c$ 点（$r = r_0$）速度最大，在 $b$ 点加速度最大（$a \to c$ 段）。

检验：特殊位置：$c$ 点分子力为零，加速度为零，正是“由加速变为减速”的转折点，速度最大合理。

容易卡在：以为加速度最大的 $b$ 点速度最大。加速度最大只说明速度增加得最快，只要加速度还和速度同向，速度就继续增大。

另一种解法：用能量看（31.5 节）。乙只受分子力，动能与分子势能之和不变；分子势能在 $r_0$ 处最小，所以动能在 $r_0$ 处最大。只问“速度何处最大”时，用能量一句话就能答出；要问加速度怎么变，只能看分子力。

常用推论

• $r = r_0$ 时分子力为零，是两分子的平衡位置；固体分子就在各自的平衡位置附近振动。
• 分子力表现为引力时，从 $r_0$ 处拉开，分子力先增大后减小；表现为斥力时，距离越小，斥力越大。
• $r \ge 10r_0$ 时分子力可以忽略，所以气体（第 32 章理想气体）不计分子力。

易错点

• 错在哪：认为 $r > r_0$ 时分子间只有引力，$r < r_0$ 时只有斥力。 为什么错：把“表现为”理解成“只有”。引力和斥力在任何距离上都同时存在。 正确做法：说“分子力表现为引力（斥力）”，意思是合力的方向，两个分力都在。
• 错在哪：认为分子间距离增大，分子力一定减小。 为什么错：引力、斥力确实都减小，但合力不单调：$r$ 从 $r_0$ 增大时，合力先增大后减小。 正确做法：分子力的变化看 $F$-$r$ 图像，分清 $r$ 在 $r_0$ 哪一侧、在引力最大处哪一侧。
• 错在哪：认为气体很难被压缩到很小、给自行车打气越来越费力，是分子斥力的作用。 为什么错：直觉把“推不动”都归为斥力。气体分子间距约 $10r_0$，分子力可忽略；费力是因为气体压强随体积减小而增大。 正确做法：气体问题用气体压强解释（第 32 章），不用分子力。

直观理解

两个分子像用一根很短的弹簧连着的两个小球：压近了（$r < r_0$），弹簧把它们推开；拉远了（$r > r_0$），弹簧把它们拉回；不压不拉（$r = r_0$），没有力。不同的是，这根“弹簧”拉到一定长度后，拉力反而变小，拉到 $10r_0$ 就相当于断了。见本节“说明”中的 $F$-$r$ 图像：图线和 $r$ 轴的交点就是 $r_0$。

关联知识点

• 前置：第 4 章 4.3 节弹力，弹力的本质就是物体形变后分子间的作用力。
• 前置：第 15 章库仑力，分子力的本质是电磁相互作用。
• 后续：31.5 节分子势能，分子力做功改变分子势能。
• 后续：第 32 章固体和液体（晶体中分子的排列、液体的表面张力来自分子间的引力），理想气体不计分子力。
• 常一起考：31.5 节分子势能，$F$-$r$ 图像和 $E_{\text{p}}$-$r$ 图像常放在同一道选择题里。

31.5 分子势能

说明

分子之间有作用力，所以由分子间的相对位置决定的能叫分子势能 $E_{\text{p}}$。

分子力做功与分子势能变化（和重力势能、弹性势能、电势能一样）：

$$W_{\text{分子力}} = -\Delta E_{\text{p}}$$

分子力做正功，分子势能减小；分子力做负功，分子势能增大。

分子势能随距离的变化：

• $r > r_0$：分子力表现为引力，$r$ 增大时引力做负功，$E_{\text{p}}$ 增大；$r$ 减小时引力做正功，$E_{\text{p}}$ 减小。
• $r < r_0$：分子力表现为斥力，$r$ 减小时斥力做负功，$E_{\text{p}}$ 增大。
• 所以 $r = r_0$ 时，分子势能最小。

零点：通常取两分子相距无穷远时 $E_{\text{p}} = 0$。这时 $r > r_0$ 的各处 $E_{\text{p}} < 0$，$r_0$ 处最小（负值最大）；$r$ 小于 $r_0$ 后 $E_{\text{p}}$ 迅速增大，在比 $r_0$ 小的某处为零，再小就为正。

宏观上：物体体积变化时分子间距离变化，分子势能随之变化，所以分子势能与物体的体积有关；物态变化（熔化、汽化）时分子势能也会变。但体积变大，分子势能不一定变大（31.6 节例 2）。

理想模型：两个分子组成的系统，常把一个分子固定。

使用场景

• 分子间距离变化，问分子势能增大还是减小 → 看分子力做功 → 分子力与相对运动方向相同做正功，$E_{\text{p}}$ 减小；相反做负功，$E_{\text{p}}$ 增大。
• 给出 $E_{\text{p}}$-$r$ 图像（或和 $F$-$r$ 图像一起），判断 $r_0$ 的位置和分子力的性质 → 最低点就是 $r_0$；最低点左边是斥力，右边是引力。
• 一个分子在另一个分子的作用下运动，问动能、势能的变化，或最大动能、最近距离 → 只有分子力做功 → 动能与分子势能之和保持不变。

注意点

• 分子势能的零点可以任意选。选无穷远为零时，$r_0$ 处 $E_{\text{p}}$ 为负；选 $r_0$ 处为零时，各处 $E_{\text{p}} \ge 0$。不管怎么选，“$r_0$ 处最小”都不变。
• $E_{\text{p}}$-$r$ 图线与 $r$ 轴的交点不是 $r_0$，$r_0$ 在图线的最低点。$F$-$r$ 图线与 $r$ 轴的交点才是 $r_0$。
• $r_0$ 处分子力为零，但分子势能不为零（取无穷远为零时），而是最小。“力为零”和“势能为零”是两回事。
• 判断 $E_{\text{p}}$ 变化只看分子力做功的正负，和分子运动的快慢无关。

推导

为什么能定义分子势能：分子力和重力、弹力一样，做的功只和两分子的起止距离有关，和中间怎么走无关，所以可以用一个只由位置决定的能来记这笔账，规定 $W = -\Delta E_{\text{p}}$（第 14 章重力势能的定义方式）。

为什么 $r_0$ 处势能最小：从 $r_0$ 出发，不管拉开还是推近，分子力都阻碍这个变化：

• 拉开（$r > r_0$）时分子力是引力，与分开的方向相反，做负功，$E_{\text{p}}$ 增大；
• 推近（$r < r_0$）时分子力是斥力，与靠近的方向相反，做负功，$E_{\text{p}}$ 增大。

（关键一步：判断功的正负只看分子力的方向和距离变化的方向是相同还是相反。在 $r_0$ 两侧，分子力都指向“回到 $r_0$”，离开 $r_0$ 一定是做负功。）

两张图像的关系：在很小的距离变化 $\Delta r$ 内，分子力可以看成不变，$\Delta E_{\text{p}} = -F\Delta r$，所以

$$F = -\frac{\Delta E_{\text{p}}}{\Delta r}$$

即 $E_{\text{p}}$-$r$ 图线切线斜率的相反数就是分子力（斥力为正）：图线下降的一段（$r < r_0$）斜率为负，$F > 0$，是斥力；上升的一段（$r > r_0$）斜率为正，是引力；最低点斜率为零，$F = 0$，正是 $r_0$。$E_{\text{p}}$-$r$ 图线上升最陡的地方，对应引力最大的位置。严格写成导数 $F = -\dfrac{\mathrm{d}E_{\text{p}}}{\mathrm{d}r}$，见《高中数学知识点梳理》第 24 章。

例题

例 1　（场景：判断分子势能的变化）两个分子从相距很远处在分子力作用下逐渐靠近，直到不能再靠近为止。在这个过程中，分子力做什么功？分子势能怎样变化？

解：

判断依据：分子力做正功，分子势能减小；做负功，分子势能增大。

$r > r_0$ 时分子力表现为引力，与靠近的方向相同，做正功，分子势能减小；$r < r_0$ 时分子力表现为斥力，与靠近的方向相反，做负功，分子势能增大。所以分子力先做正功后做负功，分子势能先减小后增大，在 $r = r_0$ 时最小。

例 2　（场景：读 $E_{\text{p}}$-$r$ 图像）两分子间的分子势能 $E_{\text{p}}$ 与距离 $r$ 的关系如图所示（取无穷远处为零），图线与 $r$ 轴交于 $r_1$，最低点的横坐标为 $r_2$。下列说法正确的是（　）。

A. $r = r_1$ 时，分子力为零 B. $r = r_2$ 时，分子力为零 C. $r < r_1$ 时，分子力表现为引力 D. $r$ 由 $r_1$ 增大到 $r_2$ 的过程中，分子力做正功

解：BD。

判断依据：$E_{\text{p}}$-$r$ 图线的最低点对应 $r_0$；斜率的相反数是分子力。

最低点 $r_2$ 就是 $r_0$，分子力为零，B 对；$r_1$ 处只是势能为零，分子力不为零（$r_1 < r_0$，表现为斥力），A 错。$r < r_1 < r_0$ 时分子力表现为斥力，C 错。$r$ 由 $r_1$ 增大到 $r_2$，分子势能减小，分子力做正功（斥力与分开的方向相同），D 对。

容易卡在：A。把“势能为零”当成“力为零”，看到图线和 $r$ 轴相交就以为是 $r_0$。

例 3　（场景：分子运动中的能量守恒）甲分子固定，乙分子从很远处以初动能 $E_{\text{k}0} = 4.0 \times 10^{-22}\ \mathrm{J}$ 向甲运动，只受甲的分子力作用。取两分子相距无穷远时分子势能为零，已知 $r = r_0$ 时分子势能为 $-1.0 \times 10^{-21}\ \mathrm{J}$。求：（1）乙分子的最大动能；（2）乙分子离甲最近时的分子势能。

解：

研究对象：甲、乙两分子组成的系统（甲固定，只看乙的动能）。

过程划分：乙从很远处运动到 $r_0$（引力做正功，加速），再到离甲最近处（斥力做负功，减速到零）。

分析：只有分子力做功，乙的动能和分子势能之和 $E$ 保持不变。开始时相距很远，$E_{\text{p}} = 0$，所以 $E = E_{\text{k}0}$。分子势能在 $r_0$ 处最小，动能就在 $r_0$ 处最大；离甲最近时速度为零，动能为零。

列式求解：（1）由 $E_{\text{k}} + E_{\text{p}} = E_{\text{k}0}$，在 $r_0$ 处：

$$E_{\text{k,max}} = E_{\text{k}0} - E_{\text{p}}(r_0) = 4.0 \times 10^{-22}\ \mathrm{J} - (-1.0 \times 10^{-21}\ \mathrm{J}) = 1.4 \times 10^{-21}\ \mathrm{J}$$

（2）离甲最近时 $E_{\text{k}} = 0$：

$$E_{\text{p}} = E_{\text{k}0} = 4.0 \times 10^{-22}\ \mathrm{J}$$

检验：最近点的势能为正，说明这个位置在势能曲线与 $r$ 轴交点的左侧，比 $r_0$ 更近，处在斥力区，和“斥力使乙减速到零”一致。量级：分子动能约 $10^{-21}\ \mathrm{J}$，与常温下分子平均动能的数量级相同，合理。

容易卡在：（1）中把 $E_{\text{p}}(r_0)$ 的负号丢掉，算成 $4.0 \times 10^{-22}\ \mathrm{J} - 1.0 \times 10^{-21}\ \mathrm{J} < 0$。

常用推论

• $r = r_0$ 时：分子力为零，分子势能最小，两者同时成立。
• $E_{\text{p}}$-$r$ 图线斜率的相反数是分子力：下降段是斥力，上升段是引力，最低点力为零。
• 两分子只在分子力作用下靠近或远离时，在 $r_0$ 处动能最大、速度最大（31.4 节例 3 的另一种解法）。

易错点

• 错在哪：把 $E_{\text{p}}$-$r$ 图线与 $r$ 轴的交点当作 $r_0$。 为什么错：把 $F$-$r$ 图像的读法照搬过来。$F$-$r$ 图像上力为零的点在 $r$ 轴上；$E_{\text{p}}$-$r$ 图像上力为零的点是斜率为零的最低点。 正确做法：读图先看纵轴是 $F$ 还是 $E_{\text{p}}$。$F$ 图找零点，$E_{\text{p}}$ 图找最低点。
• 错在哪：认为 $r_0$ 处分子力为零，所以分子势能也为零。 为什么错：力和势能是两个量。重力势能也一样：物体在地面上受重力，重力势能却可以取为零。 正确做法：$r_0$ 处力为零、势能最小；取无穷远为零时，这个最小值是负的。
• 错在哪：认为分子间距离增大，分子势能一定增大；或者物体体积越大，分子势能越大。 为什么错：只在 $r > r_0$ 时才这样。$r < r_0$ 时距离增大，斥力做正功，势能减小。冰熔化成水体积变小，分子势能却增大（31.6 节例 2）。 正确做法：先判断 $r$ 在 $r_0$ 哪一侧，再看分子力做功的正负。

直观理解

$E_{\text{p}}$-$r$ 图像像一个山谷：$r_0$ 是谷底，左边是陡峭的悬崖（斥力很强），右边是一段缓坡，一直上升到远处的平地（引力越来越弱，无穷远为零）。乙分子像一个在山谷里滚动的小球：总能量是一条水平线，小球滚到谷底最快，滚到总能量线和山坡相交的地方就停下来往回走（例 3 的图）。

关联知识点

• 前置：第 12 章功的正负；第 14 章重力势能、弹性势能，“保守力做功 $= -\Delta E_{\text{p}}$“的定义方式相同。
• 前置：31.4 节分子间的作用力和 $F$-$r$ 图像。
• 后续：31.6 节内能，分子势能是内能的一部分。
• 后续：第 16 章电势能与电势用同样的方法定义；第 32 章理想气体不计分子势能。
• 常一起考：31.4 节 $F$-$r$ 图像；第 33 章热力学第一定律（内能的变化）。

31.6 温度、分子动能与内能

说明

分子动能：分子因热运动而具有的动能。同一时刻，各个分子的速率不同，动能也不同，而且每个分子的速率都在不断变化。研究热现象时，有意义的是所有分子动能的平均值，叫分子热运动的平均动能。

温度是分子平均动能的标志：

• 温度越高，分子热运动的平均动能越大。
• 温度相同的任何物体，不管是什么物质、处于什么状态，分子平均动能都相同。
• 温度是大量分子的统计量，对单个分子谈温度没有意义。

平均动能相同、分子质量不同时，平均速率不同：由 $E_{\text{k}} = \dfrac{1}{2}mv^2$，分子质量小的平均速率大。

内能：物体中所有分子的热运动动能与分子势能的总和。

$$U = \text{所有分子的动能之和} + \text{所有分子的势能之和}$$

• 分子永不停息地运动，所以任何物体都有内能，$0\ ^\circ\mathrm{C}$ 的冰也有。
• 内能由四个因素决定：物质的量（分子个数）、温度（平均动能）、体积（分子势能）、物态。

理想气体（第 32 章）：分子间距大，不计分子力，所以没有分子势能，内能就是所有分子的动能之和。一定质量的理想气体，内能只由温度决定。

内能和机械能：机械能是物体整体的宏观动能和势能，内能是物体内部分子的能量，两者无关。物体运动得再快，只要温度不变，分子平均动能就不变。机械能可以为零，内能不可能为零。改变内能的方式（做功、热传递）见第 33 章。

使用场景

• 比较不同物体的分子平均动能或平均速率 → 看温度 → 温度相同则平均动能相同；平均动能相同时，分子质量小的平均速率大。
• 比较两个物体的内能，或判断内能怎样变化 → 分别看分子个数、温度、体积、物态 → 温度定平均动能；物态变化时温度不变，吸收或放出的热量改变的是分子势能。
• 题目把宏观运动和内能放在一起（飞行的子弹、被举高的物体、刹车生热）→ 区分机械能和内能 → 物体的宏观运动不计入内能；摩擦、碰撞中损失的机械能转化为内能。
• 一定质量的理想气体 → 没有分子势能 → 内能只看温度，温度不变内能就不变。

注意点

• 温度升高，分子平均动能增大，但不是每个分子的动能都增大（31.7 节）。
• 平均动能相同不等于平均速率相同：同温度的氢气和氧气，氢分子的平均速率大得多（例 1）。
• 温度高的物体内能不一定大：内能还和质量（分子个数）、体积、物态有关。一大桶温水的内能可以比一小杯开水大。
• 晶体熔化、液体沸腾时温度不变，平均动能不变，吸收的热量用来增加分子势能。
• 物体的宏观速度增大，宏观动能增大，但分子平均动能不变；除非通过摩擦等方式让温度升高。

推导

温度是平均动能的标志：这是从实验和微观模型得出的结论。

• 实验上：温度越高，扩散越快，布朗运动越剧烈（31.3 节），说明分子运动越剧烈；分子速率分布的测量显示，温度升高时速率大的分子所占比例增大（31.7 节）。
• 理论上：用分子撞击器壁的模型推导气体压强（第 32 章），再和气体实验定律对比，可以得出理想气体分子的平均平动动能与热力学温度成正比，$\bar{E}_{\text{k}} = \dfrac{3}{2}kT$（$k$ 为玻尔兹曼常量）。这个式子要用大学的统计物理才能完整推出，高中课标不要求，只要求定性结论。

（关键一步：温度是宏观量，测的是大量分子的整体状态，所以它只能对应大量分子的平均动能，不能对应某一个分子的动能。）

平均速率与分子质量：两种气体温度相同，平均动能相同，$\dfrac{1}{2}m_1\overline{v_1^2} = \dfrac{1}{2}m_2\overline{v_2^2}$，所以分子质量越小，速率越大，大致与 $\sqrt{m}$ 成反比。

内能由哪些因素决定：内能 = 分子个数 × 平均动能 + 分子势能的总和。分子个数由物质的量决定；平均动能由温度决定；分子势能由分子间距离决定，宏观上就是体积和物态。

物态变化时内能怎么变：$0\ ^\circ\mathrm{C}$ 的冰熔化成 $0\ ^\circ\mathrm{C}$ 的水，要吸收热量。温度不变，分子平均动能不变；由能量守恒，吸收的热量全部用来增加分子势能。所以同质量、同温度的水比冰的内能大。

例题

例 1　（场景：比较平均动能和平均速率）温度相同的氢气和氧气，下列说法正确的是（　）。

A. 两种气体分子的平均动能相同 B. 两种气体分子的平均速率相同 C. 每个氢分子的速率都比每个氧分子的速率大 D. 质量相同时，两种气体的内能相同

解：A。

判断依据：温度是分子平均动能的标志，温度相同则平均动能相同，与气体种类无关。

A 对。B 错：平均动能相同，氢分子质量只有氧分子的 $\dfrac{1}{16}$，平均速率较大（约为氧气的 4 倍）。C 错：这是平均值的比较，个别氢分子的速率可以比个别氧分子小。D 错：质量相同时氢气的分子个数是氧气的 16 倍，平均动能相同，总动能（内能）大得多。

例 2　（场景：比较内能、判断内能变化）（1）质量相同、温度都是 $100\ ^\circ\mathrm{C}$ 的水和水蒸气，哪个内能大？（2）$1\ \mathrm{kg}$、$0\ ^\circ\mathrm{C}$ 的冰熔化成 $0\ ^\circ\mathrm{C}$ 的水，分子平均动能、分子势能和内能各怎样变化？

解：

判断依据：温度决定分子平均动能；物态变化时温度不变，吸收的热量增加分子势能。

（1）水蒸气的内能大。两者温度相同，分子个数相同，分子总动能相同；水变成同温度的水蒸气要吸收热量，这部分能量增加了分子势能。

（2）温度不变，分子平均动能不变；熔化吸收热量，分子势能增大；内能增大。

容易卡在：（2）中冰熔化成水体积变小，就以为分子势能减小。分子势能和体积有关，但不是“体积越大势能越大”的简单关系（31.5 节易错点），这里要用能量守恒判断：吸了热、动能没变，势能一定增大。

例 3　（场景：区分机械能和内能）质量 $10\ \mathrm{g}$ 的子弹以 $300\ \mathrm{m/s}$ 的速度水平射入固定在地面上的木块，最后停在木块中。（1）子弹在飞行中，它的分子平均动能是否因为速度大而比静止时大？（2）求射入过程中子弹和木块的内能共增加多少（不计声音等其他能量损失）。

解：

研究对象：子弹和木块组成的系统。

过程划分：只看子弹射入木块到停下的过程。

分析：（1）分子平均动能只由温度决定，子弹整体的速度是宏观运动，不计入分子的热运动，所以飞行本身不会让分子平均动能变大。（2）木块固定，子弹的动能全部通过摩擦转化为子弹和木块的内能（第 14 章功能关系）。换单位：$m = 10\ \mathrm{g} = 0.01\ \mathrm{kg}$。

列式求解：

$$\Delta U = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 0.01 \times 300^2\ \mathrm{J} = 450\ \mathrm{J}$$

检验：单位 $\mathrm{kg \cdot m^2/s^2} = \mathrm{J}$，对。450 J 足以让几克的子弹头明显升温，符合“子弹射入木块后发烫”的常识。

例 4　（场景：理想气体的内能只看温度）一定质量的理想气体：（1）温度从 $27\ ^\circ\mathrm{C}$ 升高到 $127\ ^\circ\mathrm{C}$，内能怎样变化？（2）温度保持不变，体积被压缩为原来的一半，内能怎样变化？

解：

判断依据：理想气体没有分子势能，一定质量的理想气体，内能只由温度决定。

（1）温度升高，分子平均动能增大，分子个数不变，内能增大。

（2）温度不变，分子平均动能不变；理想气体没有分子势能，体积变化不影响内能，所以内能不变。

如果是实际气体，体积变化会改变分子势能，内能会变；题目说“理想气体”，就是告诉你不用管分子势能。

常用推论

• 温度相同，分子平均动能相同，与物质种类、状态无关。
• 一定质量的理想气体：温度升高，内能增大；温度降低，内能减小；温度不变，内能不变。这是第 33 章用热力学第一定律分析气体问题的基础。
• 同种物质、同温度下发生熔化或汽化时，吸收的热量全部用于增加分子势能，内能增大，温度不变。

易错点

• 错在哪：认为温度升高，物体内每个分子的动能都增大。 为什么错：把统计平均当成每一个。温度只对应平均值，个别分子的动能时大时小。 正确做法：说“分子平均动能增大”，不说“每个分子的动能增大”。
• 错在哪：认为温度高的物体内能一定大，或内能大的物体温度一定高。 为什么错：把内能等同于温度。内能还和分子个数、体积、物态有关。 正确做法：比较内能要同时看物质的量、温度、体积、物态四个因素。
• 错在哪：认为物体运动得越快，或举得越高，内能越大。 为什么错：把宏观的机械能和微观的内能混在一起。 正确做法：内能只看分子层面；宏观的动能和势能属于机械能，只有通过摩擦、碰撞等转化，才会使内能增加。
• 错在哪：认为同温度的不同气体，分子平均速率相同。 为什么错：温度对应的是平均动能，不是平均速率。 正确做法：平均动能相同，分子质量小的平均速率大。

直观理解

温度计读的是“分子平均有多忙”。内能是两个账户的总和：一个“动能账户”（由温度和分子个数决定），一个“势能账户”（由分子间距离决定）。

机械能和内能的区别：一节火车车厢里坐满了学生，火车开得再快，是整节车厢在动（机械能）；学生在座位上各自手舞足蹈的程度（内能）不会因为火车快而改变。

关联知识点

• 前置：第 13 章动能 $E_{\text{k}} = \dfrac{1}{2}mv^2$；31.5 节分子势能。
• 后续：第 32 章温度与温标（热力学温度 $T$ 与摄氏温度的关系）、理想气体。
• 后续：第 33 章改变内能的两种方式和热力学第一定律 $\Delta U = W + Q$。
• 常一起考：第 14 章功能关系（摩擦生热，机械能转化为内能）；31.7 节分子速率分布。

31.7 分子速率分布的统计规律

说明

统计规律：单个分子的运动是无规则的，它的速率因不断碰撞而随时变化，无法预测；但对大量分子整体来说，在一定温度下，处在各个速率区间的分子数占总分子数的百分比是确定的。这种对大量偶然事件整体起作用的规律叫统计规律。

气体分子运动的特点：气体分子间距大（31.2 节），除了碰撞以外几乎不受力，在两次碰撞之间做匀速直线运动；分子向各个方向运动的机会均等。

速率分布的规律：把速率分成许多小区间，统计每个区间内分子数所占的比例，画成曲线（纵轴是单位速率区间内的分子数占总分子数的比例），得到：

• 中间多、两头少：速率很大和很小的分子都很少，中等速率的分子最多，曲线有一个峰。
• 温度升高：速率大的分子所占比例增大，速率小的分子所占比例减小，曲线的峰向速率大的一侧移动，同时峰变低、曲线变平坦。
• 两条曲线与横轴围成的面积相等，都等于 1（$100\%$）。

理想模型：大量气体分子，温度一定（平衡状态）。

使用场景

• 给出同一种气体在两个温度下的速率分布曲线，判断哪条温度高 → 速率分布与温度的关系 → 峰在右边（速率大的一侧）、更低更平坦的那条温度高。
• 判断关于速率分布的说法（个别分子、曲线面积、峰的高低）→ 统计规律 → 规律只对大量分子成立；两条曲线下的面积相等。
• 解释容器中气体的性质（各器壁压强相等、失重环境下气体仍有压强）→ 分子向各方向运动的机会均等 → 气体压强来自分子的碰撞，不来自重力（第 32 章）。

注意点

• 温度升高，速率大的分子占比增大，但不是每个分子的速率都增大，也仍然有速率很小的分子。
• 两条曲线面积相等，所以峰向右移的同时必然变低，不会“又右又高”。
• 纵轴是比例，不是分子个数；温度变化时，分子总数不变，曲线下的总面积也不变。
• 统计规律只对大量分子成立，对少数几个分子没有意义。
• 曲线不是左右对称的：峰的右边拖得长，高速分子虽少，但速率可以很大。

推导

为什么会出现统计规律：气体分子数目极多（标准状况下 $1\ \mathrm{cm^3}$ 空气中约 $2.7 \times 10^{19}$ 个），每个分子每秒要经历非常多次碰撞，速率在不断改变。单个分子的速率不可预测，但大量分子的偶然性互相抵消，整体的比例就稳定下来，就像抛很多次硬币，正面朝上的比例总接近一半。

为什么温度升高时峰右移并变低：

1. 温度升高，分子平均动能增大（31.6 节），速率大的分子占比必然增大，曲线整体向右“挪”。
2. 所有区间的比例加起来总是 $100\%$，即曲线下的面积不变。

（关键一步：第 2 条。面积不变，曲线向右展开变宽，峰就只能变低。）

理论和实验：麦克斯韦在 1859 年用统计方法推出了气体分子速率分布的规律，后来的分子束实验直接测出了速率分布，与理论相符。分布曲线的具体函数形式要用大学的统计物理推导，高中只要求定性理解曲线的形状和随温度的变化。

例题

例 1　（场景：判断哪条曲线温度高）图中两条曲线是氧气在两个不同温度下的分子速率分布曲线。哪条曲线对应的温度较高？说明理由。

解：曲线 ① 对应的温度较高。

判断依据：温度升高时，速率大的分子占比增大，峰向速率大的一侧移动，并且变低变平坦。

曲线 ① 的峰比 ② 更靠右，表示在 ① 的温度下，速率较大的分子占的比例更大，分子平均动能更大，所以温度更高。① 的峰比 ② 低，也和“面积相等、右移必变低”一致。

容易卡在：以为峰高的温度高。峰高只说明分子速率更集中在某个值附近，温度看的是峰的位置。

例 2　（场景：判断关于统计规律的说法）关于气体分子的速率分布，下列说法正确的是（　）。

A. 温度升高，每个分子的速率都增大 B. 温度升高，速率大的分子所占的比例增大 C. 同一种气体在两个温度下的速率分布曲线与横轴围成的面积相等 D. 只要知道某个分子此刻的速率，就能预言它下一时刻的速率

解：BC。

判断依据：速率分布是大量分子的统计规律，只描述“占比”，不描述个别分子。

A 错：温度升高只是速率大的分子占比增大，个别分子的速率仍可能减小。B 对。C 对：面积表示所有分子的比例之和，都是 $100\%$。D 错：分子不断碰撞，单个分子的速率变化是偶然的，无法预言。

例 3　（场景：分子向各方向运动的机会均等）（1）一个密闭的长方体容器中装有气体，为什么容器各个面受到的气体压强都相等（不计气体重力的影响）？（2）在绕地球运行、处于完全失重状态的空间站里，密闭舱内的气体对舱壁还有压强吗？

解：

判断依据：气体压强是大量分子不断撞击器壁产生的；气体分子向各个方向运动的机会均等。

（1）分子向各个方向运动的机会均等，单位时间内撞击各个面单位面积的分子数和撞击的平均效果都相同，所以各面受到的压强相等。

（2）有。气体压强来自分子的热运动和碰撞，不来自气体的重力。完全失重时分子照样做热运动、照样撞击舱壁，所以压强依然存在（空间站舱内保持约 1 个大气压）。

常用推论

• 同一种气体：温度越高，速率分布曲线的峰越靠右、越低、越平坦；两条曲线下的面积相等。
• 气体分子向各方向运动的机会均等，所以密闭容器中气体（不计重力影响时）对各处器壁的压强相等。
• 统计规律只能回答“占多少”“平均多少”，不能回答“某个分子怎样”。

易错点

• 错在哪：认为温度升高，所有分子速率都增大，不再有低速分子。 为什么错：把统计规律当成对每个分子的规定。 正确做法：说“速率大的分子所占比例增大”；低速分子仍然存在，只是比例变小。
• 错在哪：认为温度高的那条曲线峰更高。 为什么错：直觉以为“温度高 = 数值大 = 曲线高”。面积不变，峰右移必然变低。 正确做法：看峰的位置，不看峰的高度。
• 错在哪：认为温度升高，曲线下的面积变大，因为“分子运动更剧烈了”。 为什么错：把纵轴当成分子个数或运动的剧烈程度。纵轴是比例，所有比例之和永远是 $100\%$。 正确做法：同一份气体在不同温度下，分布曲线下的面积都相同。

直观理解

速率分布像全年级一次考试的成绩分布：中等分数的人最多，很高和很低的都少。换一份更容易的卷子（温度升高），整个分布往高分挪，但年级总人数不变，所以分布变宽、峰变矮。至于某一个同学考多少分，这张图回答不了。

关联知识点

• 前置：31.6 节温度是分子平均动能的标志。
• 前置：频率分布直方图（每个区间的频率、总面积为 1），见《高中数学知识点梳理》第 20 章；速率分布曲线的形状像正态分布曲线（第 37 章），但不左右对称，不是正态分布。
• 后续：第 32 章气体压强的微观解释，压强与分子的平均动能和分子的密集程度有关。
• 后续：第 33 章热力学第二定律，宏观过程的方向性也是一种统计规律。
• 常一起考：31.6 节温度与内能。

31.8 知识点之间的关系

本章的知识点沿两条线展开：一条是“分子有多大、有多少”（31.2），用阿伏加德罗常数把宏观和微观连起来；另一条是“分子在动、分子间有力”：运动（31.3、31.7）对应分子动能，统计平均起来就是温度；力（31.4）对应分子势能（31.5）；动能和势能合起来就是内能（31.6）。做题时先看题目问的是哪一类量，再选知识点。

31.9 自测

1. 铜的摩尔质量为 $6.4 \times 10^{-2}\ \mathrm{kg/mol}$，$N_{\text{A}} = 6.0 \times 10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$，求一个铜原子的质量。
2. 标准状况下（摩尔体积 $22.4\ \mathrm{L/mol}$），$1\ \mathrm{m^3}$ 空气中约有多少个分子？（$N_{\text{A}}$ 取 $6.0 \times 10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$）
3. 判断对错：布朗运动就是液体分子的无规则运动。
4. 下列现象属于扩散的是（　）。A. 静置的清水中滴入墨水，墨水慢慢散开　B. 风吹起尘土　C. 搅拌后糖水变甜　D. 灰尘在光柱中翻飞
5. 两个分子从相距 $r_0$ 开始逐渐远离，直到相距很远，分子力怎样变化？
6. 两个分子从相距很远逐渐靠近到 $r_0$，分子力做什么功？分子势能怎样变化？
7. 质量相同的 $0\ ^\circ\mathrm{C}$ 的冰和 $0\ ^\circ\mathrm{C}$ 的水，分子平均动能哪个大？内能哪个大？
8. 一定质量的理想气体，温度不变时被压缩，内能怎样变化？
9. 同一种气体在两个温度下的速率分布曲线中，峰对应的速率较大的那条，温度较______；两条曲线与横轴围成的面积______。

答案：1. 约 $1.1 \times 10^{-25}\ \mathrm{kg}$；2. 约 $2.7 \times 10^{25}$ 个；3. 错，布朗运动是悬浮颗粒的运动，它反映液体分子的无规则运动；4. A；5. 表现为引力，先增大后减小，最后趋于零；6. 正功，分子势能减小；7. 平均动能相同，水的内能大；8. 不变；9. 高，相等。

31.10 深入阅读

• PhET · 物质的状态：看固、液、气中分子怎样运动，“相互作用势”一页可以拖动一个原子，直接看到分子势能随距离变化的曲线和 r₀ 处的最低点。
• PhET · 气体的性质：给容器里的气体加热或降温，实时显示分子速率分布的直方图，看温度升高时分布怎样右移变平。
• PhET · 扩散：抽掉隔板看两种气体互相扩散，可以改温度、分子质量和数目，比较扩散的快慢。
• 维基百科 · 布朗运动：布朗运动的发现、爱因斯坦的理论和佩兰的实验，以及它为什么是分子存在的证据。