第 2 章 · 运动的描述

项目	内容
课标主题	必修 1 · 机械运动与物理模型（质点、参考系、位移、速度、加速度）
人教版（2019）	必修第一册 第一章“运动的描述”：1”质点 参考系”、2”时间 位移”、3”位置变化快慢的描述——速度”、4”速度变化快慢的描述——加速度”
考试地位	很少单独成大题；质点、参考系、平均速度与平均速率、加速度的方向常出在选择题里；$x$-$t$、$v$-$t$ 图像几乎每卷都用，常和第 3 章匀变速运动、第 6 章牛顿定律一起考
前置知识	第 1 章矢量与标量（1.3 节）、图像的斜率和面积（1.4 节）；初中的速度 $v = \dfrac{s}{t}$

这一章给运动定下“词汇表”：在哪里（位置、参考系）、动了多少（位移）、动得多快（速度）、快慢变得多快（加速度），以及把这些画出来的两种图像。后面所有运动学和动力学都用这套词汇，词义弄混，后面整串都错。丢分最多的地方有三处：把平均速度当成速度的平均、把平均速率当成平均速度的大小；认为加速度为负就是减速；把 $x$-$t$ 图和 $v$-$t$ 图读反。

2.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
2.2 质点与参考系	形状大小对问题没影响时，把物体看成一个点；描述运动先选参考物，默认是地面	选择题常考判断；换参考系求相对速度偶考
2.3 时刻、时间间隔与位移	时刻是时间轴上的点，时间间隔是一段；位移 $\Delta x = x_2 - x_1$，只看初、末位置	选择题常考；“第 $n$ s 内”处处要用
2.4 速度	平均速度 = 位移 ÷ 时间；瞬时速度是时间取得很短时的平均速度；平均速率 = 路程 ÷ 时间	常考，平均速度与平均速率的区别、纸带求速度是高频点
2.5 加速度	$a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$，方向与 $\Delta v$ 相同；$a$ 与 $v$ 同向加速、反向减速	必考概念，常以选择题出现
2.6 $x$-$t$ 与 $v$-$t$ 图像	$x$-$t$ 斜率是速度、交点是相遇；$v$-$t$ 斜率是加速度、面积是位移、交点是速度相等	必考，选择题和计算题都用

2.2 质点与参考系

说明

机械运动：物体的空间位置随时间的变化。本章和第 3 章只讲直线运动。

质点：用一个有质量的点代替物体。它是一个理想模型：实际物体都有大小和形状，质点把它们忽略了，只保留质量和位置。

能否把物体看成质点，看一个条件：物体的形状和大小对所研究的问题影响可以忽略。和物体本身大不大无关，和研究什么问题有关。

• 研究地球绕太阳公转一周的时间：地球直径约为日地距离的万分之一，可以看成质点。
• 研究地球自转形成昼夜：要看地球表面不同地方的运动，不能看成质点。
• 物体平动（各点运动完全相同，没有转动）时，任何一点的运动都代表整体，可以看成质点。

参考系：描述物体运动时，选来作为参考、假定不动的物体。

• 同一个运动，选不同的参考系，描述可以不同。坐在行驶的火车上，以车厢为参考系，旁边的乘客静止；以地面为参考系，乘客和火车一起运动。
• 参考系可以任意选，以描述简便为原则。题目没说明时，默认以地面为参考系。

坐标系：在参考系上建立坐标系，才能定量描述位置。

• 物体沿直线运动：建立直线坐标系，规定原点、正方向和单位长度，位置用坐标 $x$ 表示。
• 物体在平面内运动：建立平面直角坐标系，位置用 $(x, y)$ 表示。

相对速度（同一直线上）：甲、乙沿同一直线运动，取同一个正方向，以乙为参考系，甲的速度是

$$v_{\text{甲对乙}} = v_{\text{甲}} - v_{\text{乙}}$$

这是标量式，各速度带正负号代入。矢量式是 $\vec{v}_{\text{甲对乙}} = \vec{v}_{\text{甲}} - \vec{v}_{\text{乙}}$，速度不在一条直线上时按矢量相减（第 8 章）。

使用场景

• 题目问某物体“能否看成质点”（研究公转还是自转、研究运动员的动作还是全程用时、火车过桥还是火车从北京到上海）→ 质点模型 → 看形状大小对这个问题有没有影响。
• 题目描述“看到……在后退”“……是静止的”，或给出诗句、生活场景，问以什么为参考系 → 参考系 → 找出那个被当作“不动”的物体。
• 物体沿直线运动，要用数字写出各点的位置 → 直线坐标系 → 先定原点和正方向，再写坐标。
• 两个物体在同一直线上运动，问“从一个物体上看另一个”有多快 → 换参考系 → 取同一个正方向，$v_{\text{甲对乙}} = v_{\text{甲}} - v_{\text{乙}}$。

注意点

• 质点不是“很小的物体”。一粒尘土研究它的旋转时不能看成质点，整个地球研究公转时可以。
• 同一个物体，研究的问题变了，能否看成质点的结论也会变。答题要针对题目问的那个问题。
• 参考系可以是运动的物体，不必是静止的；但不能选研究对象本身作参考系（自己相对自己永远静止，没有意义）。
• 比较两个物体的运动，必须选同一个参考系。
• 坐标系的原点和正方向可以任选，选法不同，各点的坐标不同，但两点间的位移不变（2.2 例 3）。
• 相对速度公式 $v_{\text{甲对乙}} = v_{\text{甲}} - v_{\text{乙}}$ 只在低速（远小于光速）下成立；接近光速时要用相对论（第 11 章提到）。高中题目都满足这个条件。

推导

为什么平动的物体可以看成质点：物体平动时，物体上任意两点的连线在运动中始终保持方向不变，所以各点在同一段时间内的位移完全相同，速度、加速度也相同。

（关键一步：各点位移相同。这样只要知道一个点怎么动，整个物体怎么动就全知道了，用一个点代表整个物体没有损失。）

物体有转动时，不同点的运动不同，只有当所研究的问题不关心这些差别（比如只问全程用时）时，才能看成质点。

相对速度公式从哪里来：在地面上建立坐标系，某时刻甲、乙的坐标分别是 $x_{\text{甲}}$、$x_{\text{乙}}$。从乙上看，甲的位置是两者坐标之差：

$$x_{\text{甲对乙}} = x_{\text{甲}} - x_{\text{乙}}$$

经过时间 $\Delta t$，两边各取变化量再除以 $\Delta t$：

$$\frac{\Delta x_{\text{甲对乙}}}{\Delta t} = \frac{\Delta x_{\text{甲}}}{\Delta t} - \frac{\Delta x_{\text{乙}}}{\Delta t} \quad\Rightarrow\quad v_{\text{甲对乙}} = v_{\text{甲}} - v_{\text{乙}}$$

（关键一步：牛顿力学里时间和长度不随参考系改变，在乙上量出的时间间隔、距离和地面上量出的相同，所以可以直接相减。接近光速时这一点不成立。）

例题

例 1　（场景：能否看成质点）下列情况中，研究对象可以看成质点的是（　）。

A. 研究跳水运动员在空中的翻转动作 B. 研究高铁从北京到上海的运行时间 C. 研究地球的昼夜交替 D. 研究乒乓球的旋转

解：B。

判断依据：形状大小对所研究的问题影响可以忽略时，才能看成质点。

A 要看运动员身体各部分怎么转，C 要看地球表面各处的位置，D 要看球的转动，都和形状有关，不能看成质点。B 中列车长几百米，京沪之间一千多千米，列车长度对运行时间的影响可以忽略，能看成质点。

例 2　（场景：找参考系）“满眼风光多闪烁，看山恰似走来迎。仔细看山山不动，是船行。“诗中”看山恰似走来迎“和”山不动“所选的参考系分别是（　）。

A. 船、山　B. 山、船　C. 船、河岸　D. 河岸、船

解：C。

判断依据：谁被当成“不动”，谁就是参考系。

“山走来迎”是说山在运动，说话人把自己乘的船当成不动的，参考系是船。“山不动，是船行”是说山静止、船在动，参考系是地面上的物体，如河岸（或山本身以外的地面）。选项 A 把“山”作为描述山的参考系，研究对象不能选自己，排除。

例 3　（场景：直线坐标系写位置）从离地面 $3\ \mathrm{m}$ 高的阳台边缘竖直向上抛出一个小球，小球上升 $5\ \mathrm{m}$ 到达最高点，然后落到阳台下方的地面上。

（1）以地面为原点、竖直向上为正方向建立坐标系，写出抛出点 $A$、最高点 $B$、落地点 $C$ 的坐标，以及从 $A$ 到 $C$ 的位移。

（2）改以抛出点为原点、竖直向上为正方向，再写一遍。

解：

研究对象：小球，看成质点。

过程划分：上升（$A \to B$）和下落（$B \to C$）两段。

分析：坐标是“相对原点的位置”，位移是“末坐标减初坐标”。画出两套坐标轴对照：

列式求解：

（1）原点在地面：$x_A = 3\ \mathrm{m}$，$x_B = 3\ \mathrm{m} + 5\ \mathrm{m} = 8\ \mathrm{m}$，$x_C = 0$。从 $A$ 到 $C$ 的位移

$$\Delta x = x_C - x_A = 0 - 3\ \mathrm{m} = -3\ \mathrm{m}$$

（2）原点在 $A$：$x'_A = 0$，$x'_B = 5\ \mathrm{m}$，$x'_C = -3\ \mathrm{m}$。位移 $\Delta x' = -3\ \mathrm{m} - 0 = -3\ \mathrm{m}$。

两种坐标系下位移都是 $-3\ \mathrm{m}$，即大小 $3\ \mathrm{m}$，方向竖直向下。

检验：位移只看初、末位置，$C$ 在 $A$ 正下方 $3\ \mathrm{m}$，和坐标原点选在哪无关，两次结果一致，对。

容易卡在：落地点的坐标在第二种坐标系里是负的，有人写成 $3\ \mathrm{m}$。在原点下方的点坐标为负。

例 4　（场景：换参考系求相对速度）在一条笔直的公路上，甲车以 $20\ \mathrm{m/s}$ 向东行驶。

（1）乙车以 $15\ \mathrm{m/s}$ 向东行驶，以乙车为参考系，甲车的速度是多少？

（2）乙车以 $15\ \mathrm{m/s}$ 向西行驶，以乙车为参考系，甲车的速度是多少？

解：

研究对象：甲车，参考系是乙车。

过程划分：只求某一时刻的速度，不涉及过程。

分析：两车在同一直线上，取向东为正方向，用 $v_{\text{甲对乙}} = v_{\text{甲}} - v_{\text{乙}}$。

列式求解：

（1）$v_{\text{甲}} = 20\ \mathrm{m/s}$，$v_{\text{乙}} = 15\ \mathrm{m/s}$：

$$v_{\text{甲对乙}} = 20\ \mathrm{m/s} - 15\ \mathrm{m/s} = 5\ \mathrm{m/s}$$

为正，方向向东。

（2）$v_{\text{乙}} = -15\ \mathrm{m/s}$：

$$v_{\text{甲对乙}} = 20\ \mathrm{m/s} - (-15\ \mathrm{m/s}) = 35\ \mathrm{m/s}$$

为正，方向向东。

检验：同向行驶，坐在乙车上看甲车慢慢超过去，$5\ \mathrm{m/s}$ 合理；相向行驶，迎面而来的车显得很快，$35\ \mathrm{m/s}$ 合理。

容易卡在：（2）中直接写 $20 - 15$，忘了乙车向西要带负号。

常用推论

• 物体做平动（不转动）时，不论多大，都可以看成质点。由本节推导：平动时各点运动相同。
• 两个物体速度相同（大小、方向都相同）时，以其中一个为参考系，另一个静止。空中加油、并排行驶、编队飞行都是这种情况。由 $v_{\text{甲对乙}} = v_{\text{甲}} - v_{\text{乙}} = 0$ 得出。
• 同一直线上，同向运动的相对速度大小是两速度大小之差，相向运动是两速度大小之和（例 4）。

易错点

• 错在哪：认为只有小物体才能看成质点，地球、火车不能。 为什么错：直觉把“质点”理解成“小东西”。能否看成质点看的是形状大小对所研究问题的影响，不看物体本身大小。地球研究公转时就是质点。 正确做法：先问“题目研究的是什么”，再问“这个问题和物体的形状、大小、转动有没有关系”。
• 错在哪：认为参考系必须是静止的物体。 为什么错：直觉认为“参考”就得“不动”。参考系是假定不动的，任何物体都可以选，运动的火车车厢也可以。 正确做法：只要选定了，就把它当作不动的来描述别的物体；题目没说就用地面。
• 错在哪：换参考系求相对速度时，把两个速度的大小直接相减。 为什么错：忽略了方向。相向运动时，大小相减得到的是错的。 正确做法：取同一个正方向，每个速度带正负号代入 $v_{\text{甲}} - v_{\text{乙}}$。

直观理解

质点就像地图导航上的那个小圆点：问“车走到哪了”，一个点就够；问“车门开没开”，点就不够了。

参考系就是“站在哪里看”：站在站台上看，火车在跑；坐在火车上看，站台在往后退。物理规律不变，变的只是描述。

关联知识点

• 后续：2.3 节，在参考系上建立坐标系，才能定义位置和位移。
• 后续：第 6 章牛顿第一定律，惯性参考系（牛顿定律成立的参考系）以地面为代表。
• 后续：第 8 章运动的合成与分解，渡河、雨滴的相对速度要按矢量相减。
• 后续：第 11 章牛顿力学的局限性，接近光速时相对速度公式不再成立。
• 常一起考：第 3 章追及与相遇问题，以前车为参考系可以把两个运动变成一个运动。

2.3 时刻、时间间隔与位移

说明

时刻：时间轴上的一个点，对应物体的一个位置。如“第 3 s 末”“第 4 s 初”“8 点整”“开始时”。

时间间隔：时间轴上的一段，对应物体的一段位移或路程。如“第 3 s 内”“前 3 s”“3 s 内”“一节课 40 分钟”。时间间隔 $\Delta t = t_2 - t_1$，是标量。

几个说法要分清：

说法	是什么	在时间轴上
第 3 s 末、第 4 s 初	时刻（同一个）	$t = 3\ \mathrm{s}$ 这一点
第 3 s 内	时间间隔，长 $1\ \mathrm{s}$	从 $t = 2\ \mathrm{s}$ 到 $t = 3\ \mathrm{s}$
前 3 s、3 s 内	时间间隔，长 $3\ \mathrm{s}$	从 $t = 0$ 到 $t = 3\ \mathrm{s}$
第 $n$ s 内	时间间隔，长 $1\ \mathrm{s}$	从 $t = (n - 1)\ \mathrm{s}$ 到 $t = n\ \mathrm{s}$

位置与位移：在直线坐标系中，物体的位置用坐标 $x$ 表示。从位置 $x_1$ 运动到 $x_2$，位移是

$$\Delta x = x_2 - x_1$$

$\Delta x$ 为正，位移沿正方向；为负，沿负方向。位移是矢量，路程是标量，两者的区别见第 1 章 1.3 节，这里不重讲。

在平面内运动时，位移是从初位置指向末位置的有向线段，大小是两点间的距离，方向用与坐标轴的夹角表示。

使用场景

• 题目出现“第 $n$ s 内”“前 $n$ s”“第 $n$ s 末（初）”，问哪段时间或哪个时刻 → 时间轴 → 点是时刻，段是时间间隔，“第 $n$ s 内”只有 $1\ \mathrm{s}$。
• 物体在一条直线上往返，给出各点坐标 → 一维坐标 → 每段位移 $\Delta x = x_{\text{末}} - x_{\text{初}}$，全程位移只看起点和终点，路程把各段长度相加。
• 物体在平面内运动（沿圆周、折线），问位移 → 有向线段 → 连起点和终点，用几何关系求长度和方向。

注意点

• “第 3 s 内”是 $1\ \mathrm{s}$，“3 s 内”是 $3\ \mathrm{s}$，差一个“第”字，差了两倍。
• 第 $n$ s 末和第 $n + 1$ s 初是同一个时刻。
• 坐标的正负表示在原点哪一侧，位移的正负表示朝哪个方向走。两者不是一回事：从 $x_1 = -5\ \mathrm{m}$ 走到 $x_2 = -2\ \mathrm{m}$，两个坐标都为负，位移 $\Delta x = 3\ \mathrm{m}$ 却为正。
• 位移和坐标原点的选法无关（2.2 例 3），和正方向的选法有关（正方向反过来，位移的符号反过来，实际方向不变）。
• 日常说的“时间”有时指时刻（“现在什么时间”），有时指时间间隔（“用了多长时间”），做题时要按意思区分。

推导

为什么位移是 $\Delta x = x_2 - x_1$：位移是从初位置指向末位置的有向线段。在直线坐标系上，这条线段的长度是 $|x_2 - x_1|$；如果 $x_2 > x_1$，箭头指向正方向，否则指向负方向。

（关键一步：$x_2 - x_1$ 这一个带符号的数，同时给出了长度（绝对值）和方向（正负号），所以一维的位移不必再另外说明方向，相减就够了。）

为什么全程位移等于各段位移之和：先从 $x_1$ 到 $x_2$，再从 $x_2$ 到 $x_3$：

$$(x_2 - x_1) + (x_3 - x_2) = x_3 - x_1$$

中间位置 $x_2$ 消掉了，全程位移只和起点、终点有关。这就是第 1 章 1.3 节三角形定则在一条直线上的特例。

例题

例 1　（场景：时刻与时间间隔）关于时间和时刻，下列说法正确的是（　）。

A. “第 5 s 内”指的是 $5\ \mathrm{s}$ 的时间 B. “第 5 s 末”和“第 6 s 初”是同一时刻 C. “前 5 s”和“第 5 s 内”是同一段时间 D. 火车 8 点 05 分开出，“8 点 05 分”是时间间隔

解：B。

判断依据：时间轴上的点是时刻，段是时间间隔。

A：“第 5 s 内”是从 $4\ \mathrm{s}$ 末到 $5\ \mathrm{s}$ 末，只有 $1\ \mathrm{s}$。C：“前 5 s”是 $0 \sim 5\ \mathrm{s}$，长 $5\ \mathrm{s}$，和“第 5 s 内”不同。D：开车的那一刻是时间轴上的点，是时刻。B 正确，二者都是 $t = 5\ \mathrm{s}$ 这一点。

例 2　（场景：直线往返，求各段位移和路程）物体沿 $x$ 轴运动，从 $A$（$x_A = 2\ \mathrm{m}$）运动到 $B$（$x_B = 8\ \mathrm{m}$），再返回到 $C$（$x_C = -4\ \mathrm{m}$）。求 $A \to B$、$B \to C$ 的位移，全程的位移和路程。

解：

研究对象：物体，看成质点。

过程划分：两段：$A \to B$ 沿正方向，$B \to C$ 沿负方向。

分析：位移用末坐标减初坐标；路程是两段长度之和，不带符号。

列式求解：

$$\Delta x_1 = x_B - x_A = 8\ \mathrm{m} - 2\ \mathrm{m} = 6\ \mathrm{m}$$ $$\Delta x_2 = x_C - x_B = -4\ \mathrm{m} - 8\ \mathrm{m} = -12\ \mathrm{m}$$

全程位移 $\Delta x = x_C - x_A = -4\ \mathrm{m} - 2\ \mathrm{m} = -6\ \mathrm{m}$，大小 $6\ \mathrm{m}$，沿 $x$ 轴负方向。也可以由两段相加：$6\ \mathrm{m} + (-12\ \mathrm{m}) = -6\ \mathrm{m}$，结果相同。

路程 $s = 6\ \mathrm{m} + 12\ \mathrm{m} = 18\ \mathrm{m}$。

检验：有往返，位移大小 $6\ \mathrm{m}$ 小于路程 $18\ \mathrm{m}$，合理。终点 $C$ 在起点 $A$ 的负方向一侧，位移为负，合理。

容易卡在：把路程算成 $|-6|\ \mathrm{m}$ 或 $6 - 12$。路程是两段长度直接相加。

例 3　（场景：平面内运动的位移）质点沿半径 $R = 2\ \mathrm{m}$ 的圆周，从 $A$ 点逆时针运动 $\dfrac{3}{4}$ 圈到达 $B$ 点。求这一过程的路程和位移（$\pi$ 取 3.14，$\sqrt{2}$ 取 1.41）。

解：

研究对象：质点。

过程划分：一个过程，沿圆周运动 $\dfrac{3}{4}$ 圈。

分析：路程是轨迹长，即 $\dfrac{3}{4}$ 个圆周；位移是从 $A$ 指向 $B$ 的有向线段，即弦 $AB$。

列式求解：路程

$$s = \frac{3}{4} \times 2\pi R = \frac{3}{4} \times 2 \times 3.14 \times 2\ \mathrm{m} = 9.42\ \mathrm{m}$$

走了 $\dfrac{3}{4}$ 圈，$OA$ 与 $OB$ 夹角 $90^\circ$，$\triangle OAB$ 是等腰直角三角形，位移大小

$$x = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2}R = 1.41 \times 2\ \mathrm{m} = 2.82\ \mathrm{m}$$

方向由 $A$ 指向 $B$。

检验：位移大小 $2.82\ \mathrm{m}$ 小于路程 $9.42\ \mathrm{m}$，也不超过直径 $4\ \mathrm{m}$（圆上两点的距离最大是直径），合理。

容易卡在：以为走了大半圈，位移就该比走 $\dfrac{1}{4}$ 圈大。其实逆时针 $\dfrac{3}{4}$ 圈和顺时针 $\dfrac{1}{4}$ 圈终点相同，位移相同。

常用推论

• “第 $n$ s 内”长 $1\ \mathrm{s}$，“前 $n$ s”长 $n\ \mathrm{s}$；第 $n$ s 内的位移 = 前 $n$ s 的位移 − 前 $n - 1$ s 的位移。第 3 章求第 $n$ s 内位移时直接用。
• 全程位移只和起点、终点有关，等于各段位移的代数和（本节推导）。
• 回到出发点，位移为零，路程不为零。
• 圆周运动中，走 $\dfrac{1}{4}$ 圈位移 $\sqrt{2}R$，半圈 $2R$，一圈 0；位移最大是直径 $2R$。

易错点

• 错在哪：把“第 3 s 内”当成 $3\ \mathrm{s}$。 为什么错：读题时把“第 3 s 内”和“3 s 内”混成一个意思。 正确做法：遇到“第”字，在时间轴上画出那一格，只有 $1\ \mathrm{s}$。
• 错在哪：认为坐标为负，位移就为负。 为什么错：把“在哪”和“往哪走”混为一谈。从 $-5\ \mathrm{m}$ 走到 $-2\ \mathrm{m}$，位移是 $+3\ \mathrm{m}$。 正确做法：位移一律用 $x_{\text{末}} - x_{\text{初}}$ 算，符号自然出来。
• 错在哪：求往返运动的路程时，把各段位移带符号相加。 为什么错：带符号相加得到的是位移。路程是标量，没有负的。 正确做法：路程把每段的长度取正后相加（例 2）。

直观理解

时刻像照片，时间间隔像视频：照片上能看出“人在哪”（位置），视频才能看出“人走了多远”（位移、路程）。

位移就是“起点到终点拉一根箭头”，中间怎么绕都不管。

关联知识点

• 前置：第 1 章 1.3 节，位移与路程的区别、矢量的正负号表示。
• 前置：2.2 节，坐标系是描述位置的前提。
• 后续：2.4 节，速度由位移和时间间隔定义。
• 后续：第 3 章，“第 $n$ s 内的位移”、相邻相等时间内的位移差 $\Delta x = aT^2$。
• 后续：第 10 章圆周运动，弧长（路程）和弦长（位移）的区别。

2.4 速度

说明

平均速度：物体的位移与发生这段位移所用时间之比。

$$\vec{\bar{v}} = \frac{\Delta \vec{x}}{\Delta t}$$

它是矢量，方向与位移方向相同。直线运动中取正方向后写成标量式 $\bar{v} = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$，正负表示方向。平均速度只能粗略描述快慢，必须说明是哪一段时间（或哪一段位移）内的。

瞬时速度：物体在某一时刻（或经过某一位置）的速度。取包含该时刻的一段很短的时间 $\Delta t$，这段时间的平均速度就是瞬时速度的近似值；$\Delta t$ 越短，越接近。

$$v = \frac{\Delta x}{\Delta t} \quad (\Delta t \to 0)$$

瞬时速度是矢量，方向就是物体此刻的运动方向（曲线运动中沿轨迹的切线方向，第 8 章）。平常说的“速度”一般指瞬时速度。汽车速度计显示的、冲过终点时的速度，都是瞬时速度。

速率：瞬时速度的大小，是标量。

平均速率：路程与所用时间之比，是标量：

$$\text{平均速率} = \frac{s}{\Delta t}$$

平均速率不是平均速度的大小。只有单向直线运动，路程等于位移大小，两者才相等；有往返或曲线运动时，平均速率大于平均速度的大小。

量	定义	矢量还是标量
平均速度	位移 ÷ 时间	矢量
瞬时速度	极短时间内的平均速度	矢量
速率	瞬时速度的大小	标量
平均速率	路程 ÷ 时间	标量

匀速直线运动：瞬时速度保持不变（大小、方向都不变）的运动，任何一段时间的平均速度都等于瞬时速度。

用打点计时器测速度（原理；操作和数据处理见第 38 章）：打点计时器接交流电源，每隔一个电源周期在纸带上打一个点，电源频率 $50\ \mathrm{Hz}$ 时，相邻两点的时间间隔是 $0.02\ \mathrm{s}$。纸带随物体运动，于是纸带上就记下了“每隔 $0.02\ \mathrm{s}$ 物体在哪”。

人教版（2019）的说法：电磁打点计时器使用交流电源，工作电压约为 $8\ \mathrm{V}$；电火花计时器使用 $220\ \mathrm{V}$ 交流电源。

• 两点间的平均速度：量出两点间距离 $\Delta x$，数出时间 $\Delta t$，$\bar{v} = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$。
• 某点的瞬时速度：取这个点两侧相邻的两点，用这一小段的平均速度近似代替该点的瞬时速度。
• 点太密时，常每隔几个点取一个计数点。“每 5 个点取一个计数点”和“相邻计数点间还有 4 个点未画出”，相邻计数点的时间间隔都是 $T = 5 \times 0.02\ \mathrm{s} = 0.1\ \mathrm{s}$。

使用场景

• 选择题问哪个是瞬时速度、哪个是平均速度 → 看说的是某一时刻（位置）还是某一段时间（位移） → 前者瞬时，后者平均。
• 给出一段运动的位移（或各点位置）和时间，问平均速度；有往返、停留或走曲线时常同时问平均速率 → 两个定义 → 平均速度 $\bar{v} = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$ 用位移，平均速率用路程，分母都是总时间（停留时间也算）。
• 分段运动，给出每段的速度，求全程平均速度 → 不能对速度求平均 → 先求总位移和总时间，再相除。
• 题目给出打点计时器的纸带，求某段的平均速度或某点的瞬时速度 → 纸带上的点记录了时刻和位置 → 定 $T$，量距离，某点速度用两侧相邻点间的平均速度。

注意点

• 平均速度必须对应具体的一段时间，不同时间段的平均速度一般不同。
• 计算平均速度、平均速率时，分母是总时间，中途停留的时间也要算进去。
• 平均速度是“总位移 ÷ 总时间”，一般不等于各段速度的平均值；只有各段时间相等时才等于各段速度的算术平均（见常用推论）。
• 纸带上的距离常以 $\mathrm{cm}$ 或 $\mathrm{mm}$ 给出，代入前换成 $\mathrm{m}$。
• 数清计数点间的时间：先看打点周期（$50\ \mathrm{Hz}$ 对应 $0.02\ \mathrm{s}$），再看相邻计数点间有几个间隔。
• 用两侧相邻点求瞬时速度，在一般变速运动中是近似；在匀变速运动中恰好精确（第 3 章“中间时刻的瞬时速度等于这段的平均速度”）。

推导

瞬时速度为什么用”$\Delta t \to 0$“来定义：在 $x$-$t$ 图上，一段时间的平均速度 $\dfrac{\Delta x}{\Delta t}$ 是两端点连线（割线）的斜率（第 1 章 1.4 节）。把后一个点逐渐向 $P$ 点靠近：

时间段	$\Delta t$	平均速度（割线斜率）
$1 \sim 3\ \mathrm{s}$	$2\ \mathrm{s}$	$\dfrac{9 - 1}{2}\ \mathrm{m/s} = 4\ \mathrm{m/s}$
$1 \sim 2\ \mathrm{s}$	$1\ \mathrm{s}$	$\dfrac{4 - 1}{1}\ \mathrm{m/s} = 3\ \mathrm{m/s}$
$1 \sim 1.1\ \mathrm{s}$	$0.1\ \mathrm{s}$	$\dfrac{1.21 - 1}{0.1}\ \mathrm{m/s} = 2.1\ \mathrm{m/s}$
$1 \sim 1.01\ \mathrm{s}$	$0.01\ \mathrm{s}$	$\dfrac{1.0201 - 1}{0.01}\ \mathrm{m/s} = 2.01\ \mathrm{m/s}$

（图线是 $x = t^2$，$x$ 单位 $\mathrm{m}$、$t$ 单位 $\mathrm{s}$。）$\Delta t$ 越小，平均速度越稳定地接近一个确定的值 $2\ \mathrm{m/s}$，这个值就是 $t = 1\ \mathrm{s}$ 时的瞬时速度，也就是切线的斜率。

（关键一步：$\Delta t$ 足够小时，这段时间里速度来不及有明显变化，平均速度和该时刻的速度之差可以小到任意程度。所以“极短时间内的平均速度”能代表“那一刻的速度”。）

这种思想叫极限思想。严格的定义是 $v = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$，即位置对时间的导数（《高中数学知识点梳理》第 24 章），物理课只要求理解极限思想。

纸带求瞬时速度为什么取两侧的点：取 $C$ 点两侧的 $B$、$D$，时间段 $B \to D$ 的中间时刻正好是 $C$。用以 $C$ 为中心的一小段时间的平均速度来代表 $C$ 的速度，比只取 $C$ 一侧（如 $C \to D$）误差小；对匀变速运动，这样取甚至没有误差（第 3 章推导）。

例题

例 1　（场景：辨认瞬时速度和平均速度）下列速度中，指瞬时速度的是（　）。

A. 子弹射出枪口时的速度是 $800\ \mathrm{m/s}$ B. 汽车从甲站到乙站的速度是 $40\ \mathrm{km/h}$ C. 某同学百米赛跑的速度是 $8\ \mathrm{m/s}$ D. 高铁全程运行的速度是 $250\ \mathrm{km/h}$

解：A。

判断依据：对应某一时刻或某一位置的是瞬时速度，对应一段时间或一段位移的是平均速度。

A 对应“枪口”这一位置，是瞬时速度。B、C、D 分别对应“甲站到乙站”“百米”“全程”，都是一段位移，是平均速度。

例 2　（场景：平均速度与平均速率）某同学从家出发，沿一条东西方向的直路向东走 $400\ \mathrm{m}$ 到书店，用时 $300\ \mathrm{s}$；在书店停留 $100\ \mathrm{s}$；再向西走 $100\ \mathrm{m}$ 到奶茶店，用时 $100\ \mathrm{s}$。求全程的平均速度和平均速率。

解：

研究对象：该同学，看成质点。

过程划分：三段：① 向东走 $300\ \mathrm{s}$；② 停留 $100\ \mathrm{s}$；③ 向西走 $100\ \mathrm{s}$。

分析：平均速度用全程位移，平均速率用全程路程，分母都是总时间 $300 + 100 + 100 = 500\ \mathrm{s}$（停留也算）。取向东为正方向，以家为原点。

列式求解：全程位移 $\Delta x = 300\ \mathrm{m} - 0 = 300\ \mathrm{m}$，路程 $s = 400\ \mathrm{m} + 100\ \mathrm{m} = 500\ \mathrm{m}$。

$$\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{300}{500}\ \mathrm{m/s} = 0.6\ \mathrm{m/s}$$

方向向东。

$$\text{平均速率} = \frac{s}{\Delta t} = \frac{500}{500}\ \mathrm{m/s} = 1\ \mathrm{m/s}$$

检验：人步行约 $1\ \mathrm{m/s}$（第 1 章 1.5 节），合理。有往返，平均速率大于平均速度的大小，合理。

容易卡在：分母漏掉停留的 $100\ \mathrm{s}$，或者把平均速度算成 $\dfrac{500}{500}$。

例 3　（场景：分段运动的全程平均速度）一辆汽车沿直线从 $A$ 开到 $B$，前一半路程的速度为 $20\ \mathrm{m/s}$，后一半路程的速度为 $30\ \mathrm{m/s}$。求全程的平均速度。

解：

研究对象：汽车，看成质点。

过程划分：两段，路程相等，各自匀速。

分析：平均速度是总位移除以总时间。两段路程相同、速度不同，所用时间不同，不能直接取 $\dfrac{20 + 30}{2}$。设每一半的路程为 $x$。

列式求解：取 $A$ 指向 $B$ 为正方向。两段用时 $t_1 = \dfrac{x}{20}$，$t_2 = \dfrac{x}{30}$（单位为 $\mathrm{s}$，$x$ 以 $\mathrm{m}$ 计）。

$$\bar{v} = \frac{2x}{t_1 + t_2} = \frac{2x}{\frac{x}{20} + \frac{x}{30}} = \frac{2x}{\frac{x}{12}}\ \mathrm{m/s} = 24\ \mathrm{m/s}$$

方向由 $A$ 指向 $B$。

检验：结果在 $20$ 和 $30$ 之间，合理；比 $25$ 偏向较慢的 $20$，因为慢的那段用的时间更长，“权重”更大，合理。

容易卡在：答 $25\ \mathrm{m/s}$。这是把两个速度当成“各占一半时间”了。

另一种解法：特殊值法。路程未给，结果和总路程无关，不妨设每一半路程 $60\ \mathrm{m}$（取 20 和 30 的公倍数，好算）：$t_1 = 3\ \mathrm{s}$，$t_2 = 2\ \mathrm{s}$，$\bar{v} = \dfrac{120}{5}\ \mathrm{m/s} = 24\ \mathrm{m/s}$。选择题、填空题里用特殊值最快；要写出一般结论（见常用推论 $\dfrac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$）或题目要求推导过程时，用字母列式。

例 4　（场景：纸带求速度）用打点计时器（电源频率 $50\ \mathrm{Hz}$）研究小车的运动，得到一条纸带，每 5 个点取一个计数点，依次记为 $A$、$B$、$C$、$D$、$E$，测得 $AB = 1.20\ \mathrm{cm}$，$BC = 1.60\ \mathrm{cm}$，$CD = 2.00\ \mathrm{cm}$，$DE = 2.40\ \mathrm{cm}$。求：（1）$A$ 到 $D$ 的平均速度；（2）打 $C$ 点时小车的瞬时速度。

解：

研究对象：小车（与纸带一起运动）。

过程划分：不必划分，只取纸带上的两段：$A \to D$ 和 $B \to D$。

分析：相邻计数点间的时间 $T = 5 \times 0.02\ \mathrm{s} = 0.1\ \mathrm{s}$。平均速度用对应段的距离除以时间；$C$ 点瞬时速度用两侧 $B$、$D$ 之间的平均速度近似。

列式求解：

（1）$AD = 1.20 + 1.60 + 2.00 = 4.80\ \mathrm{cm} = 0.0480\ \mathrm{m}$，时间 $3T = 0.3\ \mathrm{s}$：

$$\bar{v}_{AD} = \frac{0.0480}{0.3}\ \mathrm{m/s} = 0.160\ \mathrm{m/s}$$

（2）$BD = 1.60 + 2.00 = 3.60\ \mathrm{cm} = 0.0360\ \mathrm{m}$，时间 $2T = 0.2\ \mathrm{s}$：

$$v_C \approx \frac{0.0360}{0.2}\ \mathrm{m/s} = 0.180\ \mathrm{m/s}$$

两个速度方向都与小车运动方向相同。

检验：相邻间距越来越大，小车在加速，$C$ 点在 $AD$ 段的后半部分，速度比 $AD$ 段的平均速度大，$0.180 > 0.160$，合理。实验小车速度零点几米每秒，量级合理。

容易卡在：把 $T$ 当成 $0.02\ \mathrm{s}$（漏看“每 5 个点取一个计数点”），或者 $\mathrm{cm}$ 没换成 $\mathrm{m}$，答案差 100 倍。

常用推论

• 单向直线运动中，平均速率等于平均速度的大小；有往返或曲线时，平均速率大于平均速度的大小。由路程 $\ge$ 位移大小得出（第 1 章 1.3 节）。
• 两段路程相等，速度分别为 $v_1$、$v_2$（同向），全程平均速度 $\bar{v} = \dfrac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$。由例 3 把 20、30 换成字母得出。
• 两段时间相等，速度分别为 $v_1$、$v_2$（同向），全程平均速度 $\bar{v} = \dfrac{v_1 + v_2}{2}$。推导：$\bar{v} = \dfrac{v_1t + v_2t}{2t}$。
• 前两条比较：等时间的结果总不小于等路程的结果，速度不同时严格大于（因为 $(v_1 + v_2)^2 \ge 4v_1v_2$）。
• 纸带上某点的瞬时速度 ≈ 两侧相邻计数点间的平均速度：$v_n \approx \dfrac{x_n + x_{n+1}}{2T}$，匀变速运动中取等号（第 3 章）。

易错点

• 错在哪：把全程平均速度算成各段速度的平均值。 为什么错：直觉把“平均速度”字面理解成“速度的平均”。物理定义是总位移除以总时间，慢的那段花的时间多，分量更重。 正确做法：一律先求总位移、总时间，再相除（例 3）。
• 错在哪：认为平均速率就是平均速度的大小。 为什么错：瞬时速率等于瞬时速度的大小，于是类推到平均。但平均速率用路程，平均速度用位移，往返时两者不等。反例：绕操场跑一圈回到起点，平均速度为零，平均速率不为零。 正确做法：分母相同，分子一个用路程、一个用位移，分别算。
• 错在哪：认为平均速度大的物体，每一时刻都比别的物体快。 为什么错：平均速度只描述一段时间的整体效果，中间可以忽快忽慢。 正确做法：问某一时刻的快慢，看瞬时速度。
• 错在哪：纸带题把相邻计数点间的时间当成 $0.02\ \mathrm{s}$。 为什么错：$0.02\ \mathrm{s}$ 是相邻打点的间隔，计数点之间隔了好几个点。 正确做法：数间隔数，$T =$ 间隔数 $\times 0.02\ \mathrm{s}$。

直观理解

导航软件结束行程时显示的“平均速度”，就是总里程除以总用时（严格说是平均速率）；仪表盘上的速度表，显示的是瞬时速率。

在 $x$-$t$ 图上：两点连线的斜率是平均速度，一点切线的斜率是瞬时速度。把两点拉近，割线就转成切线。

关联知识点

• 前置：2.3 节位移和时间间隔，速度由它们定义。
• 前置：第 1 章 1.4 节，$x$-$t$ 图的割线斜率、切线斜率。
• 后续：2.5 节，加速度描述速度变化的快慢。
• 后续：第 3 章匀变速直线运动的平均速度 $\bar{v} = \dfrac{v_0 + v}{2}$、中间时刻速度。
• 后续：第 38 章实验“测量做直线运动物体的瞬时速度”，打点计时器的操作和数据处理。
• 前置（数学）：导数的概念与几何意义，见《高中数学知识点梳理》第 24 章，瞬时速度就是位置对时间的导数。

2.5 加速度

说明

加速度：速度的变化量与发生这一变化所用时间之比，描述速度变化的快慢。

$$\vec{a} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{\vec{v} - \vec{v}_0}{\Delta t}$$

单位 $\mathrm{m/s^2}$（米每二次方秒）。加速度是矢量，方向与速度变化量 $\Delta \vec{v}$ 的方向相同，不一定与速度方向相同。

直线运动中，取正方向（一般取初速度方向）后写成标量式：

$$a = \frac{v - v_0}{\Delta t}$$

各量带正负号代入，$a$ 的正负表示方向。

加速还是减速：直线运动中，只看 $\vec{a}$ 与 $\vec{v}$ 的方向关系：

• $\vec{a}$ 与 $\vec{v}$ 同向（标量式中 $a$、$v$ 同号）→ 速度增大，加速；
• $\vec{a}$ 与 $\vec{v}$ 反向（$a$、$v$ 异号）→ 速度减小，减速。

和 $a$ 本身是正是负无关，和 $a$ 是在变大还是变小也无关。

$\vec{a}$ 与 $\vec{v}$ 不在一条直线上时，物体做曲线运动（第 8 章）。

三个量要分清：

量	含义	回答的问题
$v$	速度	现在多快
$\Delta v$	速度变化量	一段时间里快慢变了多少
$a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$	加速度	快慢变得多快

三者的大小之间没有必然联系：速度大，加速度可以为零（高速匀速行驶）；速度为零，加速度可以不为零（竖直上抛的最高点）；速度变化量大，加速度可以小（变化用的时间很长）。

匀变速直线运动：加速度不变（大小、方向都不变）的直线运动，第 3 章专讲。$a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$ 一般给出这段时间的平均加速度；加速度不变时，平均加速度就是每一时刻的加速度。

使用场景

• 给出初速度、末速度和所用时间，问加速度 → 加速度定义 → 取初速度方向为正，$a = \dfrac{v - v_0}{\Delta t}$，结果带方向。
• 速度方向在过程中反了（上抛、反弹、往返）→ 一维矢量 → 初、末速度带相反的符号代入，不能用大小相减。
• 题目给出 $v$、$a$ 的方向（或正负号），问加速还是减速 → 方向关系 → 同向加速、反向减速，不看 $a$ 的正负。
• 选择题判断“速度大则加速度大”“速度为零则加速度为零”这类说法 → 区分 $v$、$\Delta v$、$a$ → 找一个反例情形。
• 题目说加速度“逐渐减小”或“逐渐增大”，问速度怎么变 → 仍看方向关系 → 同向时速度一直增大，只是增大得越来越慢（或越来越快）。

注意点

• 先取正方向，再代入。题目没说时，一般取初速度方向为正。
• $a$ 为负只表示加速度方向与所取正方向相反。初速度也为负时，物体在加速。
• 加速度的大小看绝对值：$-5\ \mathrm{m/s^2}$ 的加速度比 $3\ \mathrm{m/s^2}$ 的大。
• 加速度方向和速度变化量方向相同，不是和速度方向相同，也不是和位移方向相同。
• $\Delta t$ 很短的碰撞、反弹过程，加速度可以很大（第 1 章 1.3 节例 2，$140\ \mathrm{m/s^2}$）。
• 加速度由物体受的合力和质量决定（第 6 章 $a = \dfrac{F_{\text{合}}}{m}$），$a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$ 只是它的定义式和测量方法。

推导

为什么用 $\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$ 衡量“速度变化的快慢”：比较两种情况：汽车 $10\ \mathrm{s}$ 内速度从 0 增到 $20\ \mathrm{m/s}$，自行车 $2\ \mathrm{s}$ 内从 0 增到 $6\ \mathrm{m/s}$。只比 $\Delta v$，汽车大；但用的时间不同，不能直接比。把它们都折算到“每秒变化多少”：汽车 $2\ \mathrm{m/s^2}$，自行车 $3\ \mathrm{m/s^2}$，自行车的速度变得更快。

（关键一步：用 $\Delta t$ 去除，把不同的时间统一到“单位时间”上。这和速度用 $\dfrac{\Delta x}{\Delta t}$ 衡量“位置变化的快慢”是同一种做法，叫比值定义法。）

为什么 $a$、$v$ 同号就加速：由定义，经过一小段时间 $\Delta t$，速度变为

$$v' = v + a\Delta t$$

若 $v > 0$、$a > 0$，$a\Delta t > 0$，$v'$ 比 $v$ 更大，离 0 更远，速率增大；若 $v < 0$、$a < 0$，$v'$ 更负，也离 0 更远，速率同样增大。若 $a$、$v$ 异号，$a\Delta t$ 把 $v$ 往 0 拉，速率减小。

（关键一步：速率是 $|v|$，即离 0 的远近。同号相加离 0 更远，异号相加离 0 更近。所以决定加速还是减速的是“是否同号”，不是”$a$ 是正是负”。）

例题

例 1　（场景：已知初末速度和时间求加速度）（1）汽车由静止开始，经 $10\ \mathrm{s}$ 速度达到 $25\ \mathrm{m/s}$，求加速度。（2）汽车以 $20\ \mathrm{m/s}$ 行驶，紧急刹车后经 $4\ \mathrm{s}$ 停下，求加速度。

解：

研究对象：汽车。

过程划分：两问各是一个过程，都是单向直线运动。

分析：已知 $v_0$、$v$、$\Delta t$，用定义式。取汽车运动方向为正方向。

列式求解：

（1）$v_0 = 0$，$v = 25\ \mathrm{m/s}$：

$$a_1 = \frac{v - v_0}{\Delta t} = \frac{25 - 0}{10}\ \mathrm{m/s^2} = 2.5\ \mathrm{m/s^2}$$

为正，方向与运动方向相同。

（2）$v_0 = 20\ \mathrm{m/s}$，$v = 0$：

$$a_2 = \frac{0 - 20}{4}\ \mathrm{m/s^2} = -5\ \mathrm{m/s^2}$$

大小 $5\ \mathrm{m/s^2}$，方向与运动方向相反。

检验：单位 $\dfrac{\mathrm{m/s}}{\mathrm{s}} = \mathrm{m/s^2}$，对。刹车加速度比起步加速度大，符合“刹车比起步猛”的常识；家用车紧急刹车的加速度一般在 $5 \sim 8\ \mathrm{m/s^2}$，量级合理。

例 2　（场景：速度方向反了）把小球以 $20\ \mathrm{m/s}$ 的速度竖直向上抛出，$2\ \mathrm{s}$ 后到达最高点，再经 $2\ \mathrm{s}$ 回到抛出点，速度大小为 $20\ \mathrm{m/s}$、方向向下（不计空气阻力）。求：（1）$0 \sim 2\ \mathrm{s}$ 内的平均加速度；（2）$0 \sim 4\ \mathrm{s}$ 内的平均加速度。

解：

研究对象：小球。

过程划分：上升段 $0 \sim 2\ \mathrm{s}$（速度向上、逐渐减小到 0），下落段 $2 \sim 4\ \mathrm{s}$（速度向下、逐渐增大）。

分析：初、末速度都在竖直线上，取竖直向上为正方向，各速度带符号。

列式求解：

（1）$v_0 = 20\ \mathrm{m/s}$，$v_1 = 0$：

$$\bar{a}_1 = \frac{0 - 20}{2}\ \mathrm{m/s^2} = -10\ \mathrm{m/s^2}$$

（2）$v_0 = 20\ \mathrm{m/s}$，$v_2 = -20\ \mathrm{m/s}$：

$$\bar{a}_2 = \frac{-20 - 20}{4}\ \mathrm{m/s^2} = -10\ \mathrm{m/s^2}$$

两段的平均加速度都是大小 $10\ \mathrm{m/s^2}$，方向竖直向下。

检验：正好等于重力加速度 $g$，不计空气阻力时小球只受重力，加速度应始终是 $g$、向下（第 3 章自由落体），合理。

容易卡在：（2）中以为速度大小没变，$\Delta v = 0$，加速度为零。速度方向反了，$\Delta v = -40\ \mathrm{m/s}$。还有一处：在最高点速度为零，但加速度仍是 $10\ \mathrm{m/s^2}$、向下，所以小球不会停在空中。

例 3　（场景：判断加速还是减速）物体沿直线运动，取向东为正方向。下列四种情况中，物体在做减速运动的是（　）。

A. $v = 3\ \mathrm{m/s}$，$a = 2\ \mathrm{m/s^2}$ B. $v = -3\ \mathrm{m/s}$，$a = -2\ \mathrm{m/s^2}$ C. $v = -3\ \mathrm{m/s}$，$a = 2\ \mathrm{m/s^2}$ D. $v = 3\ \mathrm{m/s}$，$a = 0$

解：C。

判断依据：$a$、$v$ 同号加速，异号减速，$a = 0$ 匀速。

A 同号，加速；B 同号（都向西），加速；C 异号（速度向西、加速度向东），减速；D 匀速。

容易卡在：B 选项。$a$ 为负，就以为是减速。物体向西运动，加速度也向西，速度越来越大。

例 4　（场景：$v$、$\Delta v$、$a$ 的辨析）关于速度和加速度，下列说法正确的是（　）。

A. 物体的速度越大，加速度一定越大 B. 物体的速度为零，加速度一定为零 C. 物体的速度变化量越大，加速度一定越大 D. 物体的速度变化越快，加速度一定越大

解：D。

判断依据：加速度描述速度变化的快慢，$a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$。

A：飞机高速匀速巡航，速度很大，加速度为零。B：上抛到最高点，速度为零，加速度为 $g$（例 2）。C：$\Delta v$ 大，如果用的时间也很长，加速度可以很小（火车用几分钟加速到 $80\ \mathrm{m/s}$，加速度不到 $1\ \mathrm{m/s^2}$）。D 正是加速度的含义。

例 5　（场景：加速度在变，问速度怎么变）物体沿直线运动，加速度方向始终与速度方向相同，加速度大小逐渐减小直到零。在此过程中，物体的速度和位移怎样变化？

解：

判断依据：加速还是减速只看 $a$ 与 $v$ 的方向关系；$a$ 的大小只决定速度变化的快慢。

$a$ 与 $v$ 同向，速度一直增大；$a$ 越来越小，速度增大得越来越慢；$a$ 减到零时，速度不再变化，达到最大值，之后做匀速运动。物体一直朝同一方向运动，位移一直增大。

在 $v$-$t$ 图上，图线一直上升，但越来越平（斜率是加速度，越来越小），最后变成水平线。第 12 章“机车以恒定功率启动”（最后达到最大速度）、第 28 章“导体棒在磁场中运动”（最后达到收尾速度）都是这种图线。

容易卡在：以为“加速度减小，速度就减小”。加速度减小只是“踩油门踩得轻了”，车还在加速。

常用推论

• 直线运动中，$a$ 与 $v$ 同向加速、反向减速；与 $a$ 的正负、$a$ 是否在变无关。由本节推导 $v' = v + a\Delta t$ 得出。
• 加速度方向与速度变化量方向相同；速度方向反向时，$|\Delta v| = |v_1| + |v_2|$（例 2）。
• 速度为零的时刻，加速度可以不为零；这种时刻往往是速度反向的时刻（上抛最高点、往返的折返点）。
• 加速度方向不变、大小减小时，速度变化越来越慢，同向时最后趋于匀速（第 12 章机车以恒定功率启动达到的最大速度、第 28 章导体棒在磁场中运动的收尾速度）。

易错点

• 错在哪：认为加速度为负，物体就在减速。 为什么错：直觉把负号理解成“减”。负号只表示方向与所取正方向相反。反例：例 3 的 B，速度和加速度都向西，物体越来越快。 正确做法：比较 $a$ 和 $v$ 的符号，同号加速，异号减速。
• 错在哪：认为速度为零时，加速度也为零。 为什么错：直觉认为“停了就是没有变化”。上抛到最高点的一瞬间速度为零，但下一瞬间就向下运动了，速度在变，加速度是 $g$。 正确做法：加速度看速度“正在怎样变”，不看速度此刻的值。
• 错在哪：认为速度大，加速度就大；加速度大，速度就大。 为什么错：把“快”和“变得快”混为一谈。高速匀速的列车加速度为零；刚起步的赛车速度不大，加速度很大。 正确做法：分清 $v$、$\Delta v$、$a$ 三个量（说明里的表）。
• 错在哪：认为加速度减小，速度就减小。 为什么错：把加速度当成“速度的大小”来理解。反例：例 5，加速度减小时速度仍在增大。 正确做法：看方向关系判断增减，看加速度大小判断增减得快慢。

直观理解

速度是“位置变化的快慢”，加速度是“速度变化的快慢”，两者是同一个模子出来的：

$$v = \frac{\Delta x}{\Delta t}, \qquad a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$$

开车时，速度表的数是 $v$；脚踩油门、踩刹车有多狠，是 $a$。油门松一点（$a$ 变小），车照样在加速，只是没那么猛。

在 $v$-$t$ 图上，加速度就是图线的斜率：图线越陡，加速度越大。

关联知识点

• 前置：第 1 章 1.3 节，速度变化量 $\Delta \vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$ 是矢量差，反弹问题的平均加速度。
• 前置：2.4 节速度。
• 后续：第 3 章匀变速直线运动，$a$ 不变时的速度公式 $v = v_0 + at$ 就是本节定义式的变形。
• 后续：第 6 章牛顿第二定律，加速度由合力决定，$a = \dfrac{F_{\text{合}}}{m}$。
• 后续：第 10 章向心加速度，速度大小不变、方向在变，也有加速度。
• 常一起考：2.6 节 $v$-$t$ 图像，斜率就是加速度。

2.6 $x$-$t$ 与 $v$-$t$ 图像

说明

两种图像都只能描述直线运动，横轴都是时间。斜率和面积的一般规则见第 1 章 1.4 节，这里讲具体怎么读。

$x$-$t$ 图像（位置-时间图像）：纵轴是位置坐标 $x$。

• 图线上的点：某时刻物体在哪。
• 纵截距：$t = 0$ 时的位置（出发点）。
• 斜率：速度。斜率为正，向正方向运动；为负，向负方向运动；斜率的绝对值越大，运动越快。
• 水平线：斜率为零，静止。倾斜直线：匀速直线运动。曲线：变速运动，切线斜率是瞬时速度。
• 两条图线的交点：同一时刻在同一位置，即相遇。

$v$-$t$ 图像（速度-时间图像）：纵轴是速度 $v$。

• 图线上的点：某时刻物体的速度。纵截距：初速度。
• 图线在 $t$ 轴上方，速度为正，向正方向运动；在下方，向负方向运动；穿过 $t$ 轴的时刻，速度反向。
• 斜率：加速度。水平线：匀速；倾斜直线：匀变速（加速度不变）；曲线：加速度在变。
• 加速还是减速：看图线是在远离 $t$ 轴（速率增大，加速）还是靠近 $t$ 轴（减速），不看斜率的正负。
• 面积：位移。$t$ 轴上方的面积为正，下方为负；求位移时代数相加，求路程时都取正相加。
• 两条图线的交点：此刻速度相同，不是相遇。

两图对照：

看什么	$x$-$t$ 图	$v$-$t$ 图
纵截距	出发位置	初速度
斜率	速度	加速度
面积	无意义	位移
水平线	静止	匀速
倾斜直线	匀速	匀变速
两线交点	相遇	速度相等
运动方向	斜率的正负	图线在 $t$ 轴上方还是下方
回到出发点	图线回到初始纵坐标	上下面积相等

同一个运动的两种图像可以互相转换：$x$-$t$ 图每段的斜率，就是 $v$-$t$ 图在这段的纵坐标；$v$-$t$ 图从开始到某时刻的面积，加上出发位置，就是 $x$-$t$ 图在该时刻的纵坐标。

使用场景

• 给出 $x$-$t$ 图，问速度、运动方向、何时何地相遇、是否静止 → $x$-$t$ 图像 → 斜率是速度，交点是相遇，水平段是静止。
• 给出 $v$-$t$ 图，问运动方向何时改变、加速还是减速、何时离出发点最远、某段位移 → $v$-$t$ 图像 → 看 $t$ 轴上下、看远离还是靠近 $t$ 轴、算面积。
• 给出一种图像，要画出（或从选项中选出）同一运动的另一种图像 → 两图转换 → $x$-$t$ 的斜率变成 $v$-$t$ 的纵坐标，$v$-$t$ 的面积变成 $x$-$t$ 的纵坐标的变化。
• 文字描述了几段运动（先加速、再匀速、后减速），问总位移或平均速度 → 画 $v$-$t$ 草图 → 面积就是位移，往往比分段列式快。

注意点

• 先看纵轴是 $x$ 还是 $v$，再读图。外形相同的两张图，意义完全不同（第 1 章 1.4 节注意点）。
• $x$-$t$ 图读的是位置，求位移要用两时刻的纵坐标相减；$v$-$t$ 图求位移要算面积。
• $v$-$t$ 图在 $t$ 轴下方向上倾斜（越来越靠近 $t$ 轴）：斜率为正，速度为负，物体在减速。
• $v$-$t$ 图只能看出位移（位置的变化），看不出出发点在哪；两个物体是否相遇，要知道各自的出发位置。
• 图像是“运动随时间怎样变”，不是轨迹。直线运动的 $x$-$t$ 图可以是曲线。
• 同一张图上比较两个物体，要确认两个物体用的是同一个坐标系和同一个计时起点。

推导

$x$-$t$ 图的斜率为什么是速度：图上两点 $(t_1, x_1)$、$(t_2, x_2)$ 连线的斜率是 $\dfrac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1} = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$，正是这段时间的平均速度（2.4 节定义）。两点无限靠近时变成切线斜率，即瞬时速度（2.4 节推导的图）。

$v$-$t$ 图的斜率为什么是加速度：同理，$\dfrac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1} = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$，就是 2.5 节加速度的定义。

$v$-$t$ 图的面积为什么是位移：第 1 章 1.4 节已用微元法推导：把时间分成许多小段，每一小段速度几乎不变，位移约等于窄矩形面积 $v\Delta t$，加起来就是面积。

（关键一步：$t$ 轴下方的窄矩形，$v < 0$，$v\Delta t < 0$，面积自动带负号，对应负方向的位移。所以上下面积代数相加得到的就是总位移，不用另外判断方向。）

为什么 $v$-$t$ 图穿过 $t$ 轴时离出发点最远（物体从出发点开始一直朝一个方向运动、然后折返的情形）：穿过 $t$ 轴之前，速度为正，面积一直累加，物体一直远离出发点；穿过之后，速度为负，开始往回走，面积开始抵消。所以穿过 $t$ 轴的那一刻，累积位移最大。

例题

例 1　（场景：读 $x$-$t$ 图）甲、乙两物体沿同一直线运动，$x$-$t$ 图像如图所示：甲从原点出发，图线是过原点的直线，$6\ \mathrm{s}$ 末到达 $x = 30\ \mathrm{m}$；乙 $0 \sim 2\ \mathrm{s}$ 停在 $x = 20\ \mathrm{m}$ 处，$2\ \mathrm{s}$ 后沿直线运动，$6\ \mathrm{s}$ 末到达原点。求：（1）甲、乙各段的速度；（2）两物体何时何地相遇；（3）$0 \sim 6\ \mathrm{s}$ 内乙的位移。

解：

研究对象：甲、乙两物体。

过程划分：甲一段匀速；乙两段：$0 \sim 2\ \mathrm{s}$ 静止，$2 \sim 6\ \mathrm{s}$ 匀速。

分析：$x$-$t$ 图的斜率是速度，交点是相遇，位移用纵坐标相减。取 $x$ 轴正方向为正。

列式求解：

（1）甲：$v_{\text{甲}} = \dfrac{30 - 0}{6}\ \mathrm{m/s} = 5\ \mathrm{m/s}$，沿正方向。

乙：$0 \sim 2\ \mathrm{s}$ 图线水平，$v = 0$，静止。$2 \sim 6\ \mathrm{s}$：

$$v_{\text{乙}} = \frac{0 - 20}{6 - 2}\ \mathrm{m/s} = -5\ \mathrm{m/s}$$

大小 $5\ \mathrm{m/s}$，沿负方向。

（2）甲的位置 $x_{\text{甲}} = 5t$；乙在 $t \ge 2\ \mathrm{s}$ 时 $x_{\text{乙}} = 20 - 5(t - 2) = 30 - 5t$（$x$ 以 $\mathrm{m}$、$t$ 以 $\mathrm{s}$ 计）。相遇时位置相同：

$$5t = 30 - 5t \quad\Rightarrow\quad t = 3\ \mathrm{s}, \quad x = 15\ \mathrm{m}$$

$0 \sim 2\ \mathrm{s}$ 内甲最远到 $10\ \mathrm{m}$，没到乙所在的 $20\ \mathrm{m}$，所以只相遇一次：$3\ \mathrm{s}$ 末，在 $x = 15\ \mathrm{m}$ 处。

（3）乙的位移 $\Delta x = 0 - 20\ \mathrm{m} = -20\ \mathrm{m}$，大小 $20\ \mathrm{m}$，沿负方向。

检验：两物体相向运动，$2\ \mathrm{s}$ 末相距 $20 - 10 = 10\ \mathrm{m}$，相对速度 $10\ \mathrm{m/s}$（2.2 节），再过 $1\ \mathrm{s}$ 相遇，即 $3\ \mathrm{s}$ 末，与交点一致。

容易卡在：把乙的速度写成 $5\ \mathrm{m/s}$ 不带方向，或者把 $0 \sim 2\ \mathrm{s}$ 的水平线读成“匀速”（那是 $v$-$t$ 图的读法）。

例 2　（场景：读 $v$-$t$ 图）物体从原点出发沿 $x$ 轴运动，$v$-$t$ 图像是一条直线，$t = 0$ 时 $v = 4\ \mathrm{m/s}$，$t = 4\ \mathrm{s}$ 时 $v = -4\ \mathrm{m/s}$。求：（1）加速度；（2）运动方向何时改变，$0 \sim 2\ \mathrm{s}$ 和 $2 \sim 4\ \mathrm{s}$ 内分别加速还是减速；（3）何时离原点最远，最远多少；（4）$4\ \mathrm{s}$ 末的位置和 $0 \sim 4\ \mathrm{s}$ 内的路程。

解：

研究对象：物体。

过程划分：以 $t = 2\ \mathrm{s}$（图线穿过 $t$ 轴）为界分两段：$0 \sim 2\ \mathrm{s}$ 速度为正，$2 \sim 4\ \mathrm{s}$ 速度为负。

分析：斜率是加速度；$t$ 轴上下决定运动方向；远离还是靠近 $t$ 轴决定加速还是减速；面积是位移。

列式求解：

（1）$a = \dfrac{-4 - 4}{4}\ \mathrm{m/s^2} = -2\ \mathrm{m/s^2}$，大小 $2\ \mathrm{m/s^2}$，沿负方向，全程不变。

（2）图线在 $t = 2\ \mathrm{s}$ 穿过 $t$ 轴，此刻运动方向改变。$0 \sim 2\ \mathrm{s}$：$v > 0$、$a < 0$，异号，减速。$2 \sim 4\ \mathrm{s}$：$v < 0$、$a < 0$，同号，加速（向负方向越来越快）。

（3）$t = 2\ \mathrm{s}$ 时离原点最远，距离等于上方三角形面积：

$$x_{\max} = \frac{1}{2} \times 2 \times 4\ \mathrm{m} = 4\ \mathrm{m}$$

（4）$2 \sim 4\ \mathrm{s}$ 的面积在下方，为 $-4\ \mathrm{m}$。$4\ \mathrm{s}$ 末位置 $x = 4\ \mathrm{m} + (-4\ \mathrm{m}) = 0$，回到原点。路程 $s = 4\ \mathrm{m} + 4\ \mathrm{m} = 8\ \mathrm{m}$。

检验：上下两个三角形全等，面积相等，所以回到出发点，合理。加速度不变但运动方向变了，和竖直上抛（2.5 节例 2）是同一类运动。

容易卡在：（2）中看到 $2 \sim 4\ \mathrm{s}$ 图线“往下走”，以为在减速。图线在远离 $t$ 轴，速率在增大。

例 3　（场景：两图转换）物体从原点出发沿直线运动，$v$-$t$ 图像如图所示：$0 \sim 2\ \mathrm{s}$ 速度 $2\ \mathrm{m/s}$，$2 \sim 4\ \mathrm{s}$ 速度为零，$4 \sim 6\ \mathrm{s}$ 速度 $-1\ \mathrm{m/s}$。画出对应的 $x$-$t$ 图像。

解：

判断依据：$v$-$t$ 图每段的纵坐标就是 $x$-$t$ 图这一段的斜率；$v$-$t$ 图每段的面积就是 $x$-$t$ 图这一段纵坐标的变化。

• $0 \sim 2\ \mathrm{s}$：$v = 2\ \mathrm{m/s}$，面积 $4\ \mathrm{m}$。$x$-$t$ 图从 $(0, 0)$ 画直线到 $(2, 4)$。
• $2 \sim 4\ \mathrm{s}$：$v = 0$，静止。$x$-$t$ 图是 $x = 4\ \mathrm{m}$ 的水平线，到 $(4, 4)$。
• $4 \sim 6\ \mathrm{s}$：$v = -1\ \mathrm{m/s}$，面积 $-2\ \mathrm{m}$。$x$-$t$ 图从 $(4, 4)$ 画直线到 $(6, 2)$。

$6\ \mathrm{s}$ 末物体在 $x = 2\ \mathrm{m}$ 处，没有回到原点。

容易卡在：把 $v$-$t$ 图照原样“抄”成 $x$-$t$ 图，画成三段水平线。$v$-$t$ 图的水平线（匀速）在 $x$-$t$ 图里是倾斜直线。

例 4　（场景：多段运动画 $v$-$t$ 图求位移）汽车由静止出发，以 $2\ \mathrm{m/s^2}$ 的加速度匀加速 $5\ \mathrm{s}$，接着匀速行驶 $10\ \mathrm{s}$，最后匀减速 $5\ \mathrm{s}$ 停下。求全程的位移和平均速度。

解：

研究对象：汽车。

过程划分：三段：匀加速 $0 \sim 5\ \mathrm{s}$、匀速 $5 \sim 15\ \mathrm{s}$、匀减速 $15 \sim 20\ \mathrm{s}$。

分析：取运动方向为正方向。最大速度 $v_m = at_1 = 2 \times 5\ \mathrm{m/s} = 10\ \mathrm{m/s}$（由加速度定义 $a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$ 得 $\Delta v = a\Delta t$）。匀变速阶段的平均速度等于初、末速度的平均（第 3 章，也可由 $v$-$t$ 图的梯形面积看出），分段求位移。

列式求解：

加速段：$x_1 = \dfrac{0 + 10}{2} \times 5\ \mathrm{m} = 25\ \mathrm{m}$。

匀速段：$x_2 = 10 \times 10\ \mathrm{m} = 100\ \mathrm{m}$。

减速段：$x_3 = \dfrac{10 + 0}{2} \times 5\ \mathrm{m} = 25\ \mathrm{m}$。

$$x = x_1 + x_2 + x_3 = 150\ \mathrm{m}, \qquad \bar{v} = \frac{x}{t} = \frac{150}{20}\ \mathrm{m/s} = 7.5\ \mathrm{m/s}$$

位移和平均速度的方向都与运动方向相同。

检验：平均速度 $7.5\ \mathrm{m/s}$ 小于最大速度 $10\ \mathrm{m/s}$，合理；匀速段占一半时间，平均速度接近最大速度，合理。

另一种解法：画出 $v$-$t$ 图，它是一个梯形，上底 $10\ \mathrm{s}$（匀速段），下底 $20\ \mathrm{s}$，高 $10\ \mathrm{m/s}$，面积一步得出：

$$x = \frac{(10 + 20) \times 10}{2}\ \mathrm{m} = 150\ \mathrm{m}$$

多段运动只问总位移、平均速度时，画 $v$-$t$ 图求面积最省事，不用分段列式；要问某一段的位移、某一时刻的位置，或者某段不是匀变速时，分段列式更清楚。

常用推论

• $x$-$t$ 图的交点是相遇；$v$-$t$ 图的交点是速度相等。追及问题中，速度相等时两物体的距离最大或最小（第 3 章）。
• 物体从出发点开始运动，$v$-$t$ 图线穿过 $t$ 轴的时刻速度反向；如果此前一直朝一个方向运动，此刻离出发点最远（本节推导）。
• $v$-$t$ 图中，$t$ 轴上下的面积相等时，物体回到出发点（例 2）。
• $v$-$t$ 图线远离 $t$ 轴是加速，靠近 $t$ 轴是减速，与斜率正负无关。这是 2.5 节”$a$、$v$ 同号加速“在图上的样子。
• 加速、匀速、减速三段组成的运动，$v$-$t$ 图是梯形，位移 $= \dfrac{(\text{匀速时间} + \text{总时间}) \times v_m}{2}$（例 4 的另一种解法）。

易错点

• 错在哪：把 $x$-$t$ 图当成 $v$-$t$ 图读，看到水平线就说“匀速”。 为什么错：两种图外形相似，读图时没先看纵轴。$x$-$t$ 图的水平线表示位置不变，是静止。 正确做法：读图第一步，看纵轴是 $x$ 还是 $v$，再套对照表。
• 错在哪：认为 $v$-$t$ 图上两线的交点表示两物体相遇。 为什么错：交点只说明此刻 $v$ 相同。是否相遇要看位移，即面积，还要看出发点。 正确做法：$v$-$t$ 图判断相遇，比较两图线下面积（加上出发位置）是否相等。
• 错在哪：$v$-$t$ 图线在 $t$ 轴下方向上倾斜，认为物体在加速。 为什么错：斜率为正，就以为是加速。速度为负、加速度为正，异号，是减速。 正确做法：看图线离 $t$ 轴越来越近还是越来越远。
• 错在哪：$v$-$t$ 图线向下倾斜（仍在 $t$ 轴上方），认为物体在往回走。 为什么错：把“图线往下”理解成“往回”。只要还在 $t$ 轴上方，速度就为正，物体仍向前运动。 正确做法：运动方向只看图线在 $t$ 轴上方还是下方。

直观理解

$x$-$t$ 图是“每个时刻的位置记录”，像列车时刻表画成的折线；$v$-$t$ 图是“每个时刻的速度表读数”，像行车记录仪记下的车速曲线。

一句话记法：$x$-$t$ 看斜率（速度），$v$-$t$ 看斜率（加速度）和面积（位移）；$x$-$t$ 交点相遇，$v$-$t$ 交点等速。

关联知识点

• 前置：第 1 章 1.4 节，图像斜率和面积的一般规则、微元法。
• 前置：2.4、2.5 节，速度、加速度的定义就是两种图像斜率的来源。
• 后续：第 3 章，用 $v$-$t$ 图推导匀变速运动的位移公式，追及相遇问题。
• 后续：第 7 章多过程运动（传送带、板块），用 $v$-$t$ 图分析两个物体的相对运动。
• 后续：第 21 章简谐运动的 $x$-$t$ 图像（正弦曲线）。
• 常一起考：第 38 章实验“测量做直线运动物体的瞬时速度”，由纸带数据画 $v$-$t$ 图求加速度。

2.7 知识点之间的关系

本章五个知识点是一条链：先选参考系、建坐标系，才能写位置（2.2）；位置的变化是位移（2.3）；位移变化的快慢是速度（2.4）；速度变化的快慢是加速度（2.5）；把位置和速度随时间的变化画出来，就是两种图像（2.6），它们的斜率又把这条链串了回去。做题时，先看题目问什么，再选对应的定义或图像：

2.8 自测

1. 下列研究对象可以看成质点的是（　）。A. 研究探测器绕月飞行一周所用时间时的探测器　B. 研究花样滑冰运动员的旋转动作时的运动员　C. 研究长 $200\ \mathrm{m}$ 的火车通过一座 $100\ \mathrm{m}$ 长的桥所用时间时的火车　D. 研究风扇转动时的叶片
2. 甲、乙两人在同一列匀速行驶的火车上并肩站立，地面上的人看甲在运动，乙看甲是静止的。两种描述各以什么为参考系？
3. 下列说法中指时间间隔的是（　）。A. 第 2 s 末　B. 第 3 s 内　C. 第 4 s 初　D. 8 点整开始考试
4. 物体沿 $x$ 轴从 $x_1 = -3\ \mathrm{m}$ 运动到 $x_2 = 5\ \mathrm{m}$，再返回到 $x_3 = 1\ \mathrm{m}$。求全程的位移和路程。
5. 运动员在 $400\ \mathrm{m}$ 标准跑道上跑完一圈，用时 $50\ \mathrm{s}$，回到起点。求他的平均速度和平均速率。
6. 一辆汽车前一半时间以 $20\ \mathrm{m/s}$ 行驶，后一半时间以 $30\ \mathrm{m/s}$ 行驶（同一方向）。求全程平均速度。
7. 网球以 $20\ \mathrm{m/s}$ 的速度水平飞来，被球拍以 $30\ \mathrm{m/s}$ 的速度反向击回，作用时间 $0.05\ \mathrm{s}$。求网球的平均加速度大小和方向。
8. 取向东为正方向，物体的速度 $v = -6\ \mathrm{m/s}$，加速度 $a = -1\ \mathrm{m/s^2}$。物体在向哪个方向运动？在加速还是减速？
9. 物体的 $v$-$t$ 图像是从 $(0, -6\ \mathrm{m/s})$ 到 $(6\ \mathrm{s}, 6\ \mathrm{m/s})$ 的直线。求加速度，$0 \sim 3\ \mathrm{s}$ 内是加速还是减速，以及 $0 \sim 6\ \mathrm{s}$ 内的位移和路程。
10. $x$-$t$ 图上两条图线有交点，$v$-$t$ 图上两条图线有交点，各表示什么？

答案：1. A；2. 地面的人以地面为参考系，乙以自己（或火车）为参考系；3. B；4. 位移 $4\ \mathrm{m}$，沿 $x$ 轴正方向，路程 $12\ \mathrm{m}$；5. 平均速度 0，平均速率 $8\ \mathrm{m/s}$；6. $25\ \mathrm{m/s}$，与运动方向相同；7. $1000\ \mathrm{m/s^2}$，方向与击回的方向相同；8. 向西运动，加速；9. 加速度 $2\ \mathrm{m/s^2}$（沿正方向），$0 \sim 3\ \mathrm{s}$ 减速，位移 0，路程 $18\ \mathrm{m}$；10. $x$-$t$ 图交点表示相遇，$v$-$t$ 图交点表示速度相同。

2.9 深入阅读

• PhET · 移动的人：拖动小人或设定速度、加速度，同时看位置、速度、加速度三张随时间变化的图像，练习 x-t 和 v-t 图的对照。
• Khan Academy · 一维运动：位移、速度、加速度和运动图像的视频讲解与练习（英文）。
• 国家中小学智慧教育平台：教育部主办，有人教版必修第一册第一章“运动的描述”的同步课程和教材电子版。