第 18 章 · 闭合电路欧姆定律

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课标主题	必修 3 · 电路及其应用（闭合电路欧姆定律；电源的电动势和内阻）
人教版（2019）	必修第三册 第十二章“电能　能量守恒定律”：1 电路中的能量转化；2 闭合电路的欧姆定律；3 实验：电池电动势和内阻的测量
考试地位	选择题常考：电路的动态分析、电源的 $U$-$I$ 图像、电源输出功率、含容电路；计算题很少单独考本章，常作为电磁感应题（导体棒当电源）的电路部分出现；实验题“测量电源的电动势和内阻”常考（第 40 章）
前置知识	第 1 章 1.4 图像的斜率和截距；第 16 章电势差、电容器；第 17 章部分电路欧姆定律、串并联电路、电功和焦耳定律

第 17 章只看电路的一部分，电源两端的电压当作已知。这一章把电源本身也算进来：电源有电动势，也有内阻，外电路一变，电源两端的电压就跟着变。规律只有一条 $E = U + Ir$，题型却很多：动态分析、$U$-$I$ 图像、输出功率、含容电路。丢分的地方很集中：把电动势当成两极电压，动态分析从变化的那个电阻直接下结论，求最大功率时不分对象就套 $R = r$，电路稳定后还让电容器支路分电压。

18.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
18.2 电动势	非静电力把单位正电荷从负极移到正极做的功，$E = \dfrac{W_{\text{非}}}{q}$，由电源本身决定	选择题考概念辨析；计算时处处要用
18.3 闭合电路欧姆定律与路端电压	$E = U + Ir$；纯电阻外电路 $I = \dfrac{E}{R + r}$；外电阻越大，路端电压越大；$U$-$I$ 图像纵截距是 $E$、斜率绝对值是 $r$	必考，本章一切计算的出发点
18.4 电路的动态分析	一个电阻变化，按“局部 → 整体 → 局部”推各处电流、电压；选择题可用“串反并同”	常考选择题
18.5 电源的功率和效率	$P_{\text{总}} = EI$，$P_{\text{出}} = UI$，$\eta = \dfrac{U}{E}$；纯电阻外电路 $R = r$ 时输出功率最大，效率只有 $50\%$	常考选择题，也出现在计算题的小问里
18.6 含容电路	稳定后电容器支路没有电流，它的电压等于所并联那部分电路的电压；电路变化时 $\Delta Q = C\Delta U$	常考选择题，常和动态分析、带电微粒平衡一起考

18.2 电动势

说明

电源是把其他形式的能转化为电能的装置。电路接通后，导线和用电器中有恒定电场，正电荷在外电路从电源正极流向负极（实际移动的是电子，方向相反，效果相同）。到了负极，正电荷要回到正极才能继续循环，但电源内部的电场方向也是从正极指向负极，静电力阻碍它回去。电源内部必须有另一种力，把正电荷从负极“搬”到正极，这种力叫非静电力：干电池、蓄电池里是化学作用，发电机里是电磁作用（第 28 章）。

电动势：非静电力把正电荷从负极移送到正极所做的功 $W_{\text{非}}$，跟被移送的电荷量 $q$ 之比：

$$E = \frac{W_{\text{非}}}{q}$$

• 单位是伏特 $\mathrm{V}$，$1\ \mathrm{V} = 1\ \mathrm{J/C}$。“干电池电动势 $1.5\ \mathrm{V}$“的意思是：每移送 $1\ \mathrm{C}$ 正电荷，非静电力做功 $1.5\ \mathrm{J}$，有 $1.5\ \mathrm{J}$ 化学能转化为电能。
• 电动势由电源中非静电力的特性决定，跟电源的体积、外电路接什么都无关。
• 电动势是标量。为了说话方便，规定电源内部从负极指向正极为电动势的方向。

内阻：电源内部的导体（电解液、线圈）也有电阻，记作 $r$。电流流过电源时，内阻上也有电压降和发热。

电动势和电压的区别：两者单位相同，定义式也像，但功的来源相反。

	电动势 $E = \dfrac{W_{\text{非}}}{q}$	电压 $U = \dfrac{W_{\text{电}}}{q}$
谁做功	非静电力	静电力
能量怎么转化	其他形式的能 → 电能	电能 → 其他形式的能
由什么决定	电源本身	电源和电路共同决定

电池的容量：电池能放出的总电荷量，常用单位毫安时 $\mathrm{mA \cdot h}$，$1\ \mathrm{mA \cdot h} = 10^{-3}\ \mathrm{A} \times 3600\ \mathrm{s} = 3.6\ \mathrm{C}$。电池储存的电能 $W = Eq$。

本章的模型：电源的 $E$、$r$ 都是不变的常数。实际电池用久了，电动势下降不多，内阻却明显增大。

使用场景

• 题目问“电动势 $1.5\ \mathrm{V}$ 表示什么”，或把电动势和电压、两极电压放在一起比较 → 电源是非静电力做功的装置 → 用定义 $E = \dfrac{W_{\text{非}}}{q}$ 和上面的对比表判断。
• 题目给出电池的电动势和容量（$\mathrm{mA \cdot h}$），问储存的能量或能用多久 → 电源移送电荷时把其他能转化为电能 → $W = Eq$，$q = It$。

注意点

• 电动势不是电源两极间的电压。只有电源没有接外电路（断路）时，两极电压才等于电动势；接通后两极电压小于电动势，差值是内阻上的电压 $Ir$（18.3 节）。
• 电动势由电源本身决定。外电路电阻变化时，两极电压会变，电动势不变。新旧电池电动势差不多，旧电池用不动，是因为内阻变大了。
• 电动势有“方向”，但它是标量，和电流一样按代数相加（几节电池串联时电动势相加，见常用推论）。
• 容量 $\mathrm{mA \cdot h}$ 是电荷量的单位，不是能量的单位；能量还要乘电动势。千瓦时、瓦时才是能量单位：$1\ \mathrm{W \cdot h} = 3600\ \mathrm{J}$。

推导

为什么用比值 $\dfrac{W_{\text{非}}}{q}$ 描述电源：同一个电源，移送的电荷越多，非静电力做的功越多，两者成正比。比值不随电荷量变，只由电源内部非静电力的强弱决定，所以拿它来描述电源“把其他能转化为电能的本领”。这和第 15 章用 $\dfrac{F}{q}$ 定义场强、第 16 章用 $\dfrac{W}{q}$ 定义电势差是同一个思路。

（关键一步：比值和 $q$ 无关。正因为对一个电源，每单位电荷得到的能量是定值，这个比值才能代表电源本身。）

实验依据：一号、五号、七号干电池大小不同，用内阻很大的电压表直接接在两极，读数都约 $1.5\ \mathrm{V}$。它们的化学材料相同，非静电力的特性相同，电动势就相同；体积大的只是能移送的总电荷多（容量大）、内阻小。

电源的能量：时间 $t$ 内通过电源的电荷量 $q = It$，非静电力做功

$$W = Eq = EIt$$

这就是电源在时间 $t$ 内提供的电能。除以时间，得电源的总功率 $P_{\text{总}} = EI$（18.5 节）。

例题

例 1　（场景：电动势的意义，和电压对比）关于电源的电动势，下列说法正确的是（　）。

A. 电源的电动势就是接在电源两极间的电压表的示数 B. 电动势越大的电源，非静电力把 $1\ \mathrm{C}$ 正电荷从负极移到正极做的功越多 C. 外电路的电阻越大，电源的电动势越大 D. 电动势和电压的单位都是伏特，所以它们是同一个物理量

解：B。

判断依据：电动势的定义 $E = \dfrac{W_{\text{非}}}{q}$，由电源本身决定。

A 错：电压表接在两极，电路接通、有电流流过电源，示数是路端电压，比电动势小 $Ir$；只有电压表内阻无穷大（相当于断路）时示数才等于电动势。B 对：$q = 1\ \mathrm{C}$ 时，$W_{\text{非}} = E \times 1\ \mathrm{C}$，$E$ 越大功越多。C 错：电动势与外电路无关。D 错：电动势对应非静电力做功、其他能转化为电能，电压对应静电力做功、电能转化为其他能，物理意义不同。

容易卡在：A。实验室里“用电压表测电动势”是近似做法，电压表内阻远大于电源内阻时才近似成立（第 40 章）。

例 2　（场景：电池容量与储存的能量）某手机电池上标有”$3.7\ \mathrm{V}$　$4000\ \mathrm{mA \cdot h}$“。（1）这块电池充满后储存多少电能？（2）手机待机时平均电流为 $20\ \mathrm{mA}$，充满一次能待机多长时间？

解：

研究对象：手机电池。

过程划分：一个过程：电池从充满到放完。

分析：$3.7\ \mathrm{V}$ 是电动势，$4000\ \mathrm{mA \cdot h}$ 是能放出的总电荷量。用的是本节”$W = Eq$“和 $q = It$。

列式求解：（1）电荷量

$$q = 4000 \times 10^{-3}\ \mathrm{A} \times 3600\ \mathrm{s} = 1.44 \times 10^4\ \mathrm{C}$$

储存的电能

$$W = Eq = 3.7 \times 1.44 \times 10^4\ \mathrm{J} \approx 5.3 \times 10^4\ \mathrm{J}$$

（2）待机时间

$$t = \frac{q}{I} = \frac{4000\ \mathrm{mA \cdot h}}{20\ \mathrm{mA}} = 200\ \mathrm{h}$$

检验：单位：$\mathrm{V} \times \mathrm{C} = \mathrm{J}$，对。量级：$5.3 \times 10^4\ \mathrm{J} \approx 15\ \mathrm{W \cdot h}$，和常见手机电池标的”$14.8\ \mathrm{W \cdot h}$“一致。第（2）问直接用 $\mathrm{mA \cdot h}$ 除以 $\mathrm{mA}$，单位约成 $\mathrm{h}$，不必换成库仑。

容易卡在：把 $4000\ \mathrm{mA \cdot h}$ 当成能量，直接写“储存 $4000$ 焦”。

常用推论

• 电源总功率 $P_{\text{总}} = EI$，由 $W = EIt$ 除以 $t$ 得出（本节推导）。
• 断路时两极电压等于电动势。由 18.3 节 $U = E - Ir$，$I = 0$ 时 $U = E$。所以用内阻很大的电压表直接接在电源两极，读数近似等于电动势。
• $n$ 节相同电池（每节 $E_0$、$r_0$）串联：$E = nE_0$，$r = nr_0$。电荷依次经过每节电池，每节的非静电力都做功，功相加；内阻是串联的，也相加。
• $n$ 节相同电池并联（了解）：$E = E_0$，$r = \dfrac{r_0}{n}$。每个电荷只经过其中一节，电动势不增加；内阻是并联的。

易错点

• 错在哪：认为电动势就是电源两极间的电压。 为什么错：初中把电源当成“电压固定的东西”，没有内阻的概念。接通电路后内阻分走了一部分电压，两极电压小于电动势。 正确做法：两极电压叫路端电压 $U$，它和电动势的关系是 $E = U + Ir$；只有断路时 $U = E$。
• 错在哪：认为电动势越大的电池，储存的能量越多。 为什么错：电动势是“每库仑得到多少能量”，储存的总能量还取决于能放出多少库仑，$W = Eq$。一节 $1.5\ \mathrm{V}$ 的一号电池比 $1.5\ \mathrm{V}$ 的七号电池能量多得多。 正确做法：比较储能看 $Eq$；比较“本领”看 $E$。
• 错在哪：接上用电器后电压表示数变小，就认为电池的电动势变小了。 为什么错：示数变小是因为有了电流，内阻上分走了 $Ir$，电动势没变。 正确做法：电动势只由电源决定，外电路变化只改变路端电压。

直观理解

把电源想成水泵，电路想成一圈水管。水泵把水从低处抽到高处，抽升的高度就是电动势；水再从高处沿外面的管道流下来，推动水轮机做功，这是外电路。水泵内部的管道也有阻力，相当于内阻。电动势说的是“抽多高”，和外面接多少水轮机无关。

关联知识点

• 前置：第 16 章电势差 $U = \dfrac{W}{q}$，电动势的定义和它对照着记。
• 前置：第 17 章电流 $I = \dfrac{q}{t}$ 和电功 $W = UIt$。
• 后续：18.3 节闭合电路欧姆定律，电动势分配到内外电路。
• 后续：第 28 章感应电动势，非静电力换成洛伦兹力或感生电场的力，定义不变。
• 常一起考：第 40 章“测量电源的电动势和内阻”实验。

18.3 闭合电路欧姆定律与路端电压

说明

闭合电路由两部分组成：电源外部的外电路和电源内部的内电路。

• 路端电压 $U$：外电路两端的电压，也就是电源两极间的电压，接在电源两端的电压表读的就是它。
• 内电压 $U_{\text{内}} = Ir$：电流流过内阻产生的电压。

闭合电路的电压关系（对任何外电路都成立）：

$$E = U + Ir$$

闭合电路欧姆定律（外电路是纯电阻，总电阻为 $R$）：电流跟电源的电动势成正比，跟内、外电路的电阻之和成反比，

$$I = \frac{E}{R + r}$$

路端电压的两种写法：

$$U = E - Ir \qquad\qquad U = \frac{R}{R + r}E$$

前一种看 $U$ 随电流怎么变，后一种看 $U$ 随外电阻怎么变：

• 外电阻 $R$ 增大 → 电流 $I$ 减小 → 内电压 $Ir$ 减小 → 路端电压 $U$ 增大。
• 断路（$R \to \infty$）：$I = 0$，$U = E$。
• 短路（$R = 0$）：$U = 0$，$I_{\text{短}} = \dfrac{E}{r}$。电源内阻一般很小，短路电流很大，会烧坏电源，甚至引起火灾。

电源的 $U$-$I$ 图像：$U = E - Ir$ 是一条向下倾斜的直线（第 1 章 1.4 节的表格已列出）。

• 纵截距：$I = 0$ 时 $U = E$，即电动势。
• 斜率：$\dfrac{\Delta U}{\Delta I} = -r$，斜率的绝对值是内阻。
• 横截距：$U = 0$ 时 $I = \dfrac{E}{r}$，是短路电流。前提是纵轴从 0 开始。

模型：电源的 $E$、$r$ 不变；导线电阻不计；电表是理想电表（电流表内阻为零、电压表内阻无穷大），题目给出电表内阻时另算。

使用场景

• 已知电源的 $E$、$r$ 和外电路各电阻，求电流、各部分电压 → 纯电阻闭合电路 → 先把外电路化简成总电阻 $R$（第 17 章），再用 $I = \dfrac{E}{R + r}$、$U = E - Ir$。
• 外电阻改变两次，题目给出两组电表读数，求电源的 $E$ 和 $r$ → $E$、$r$ 是两个未知数 → 每组读数列一个 $E = U + Ir$ 或 $E = I(R + r)$，联立。
• 题目给出电源的 $U$-$I$ 图像，或把电源和电阻的 $U$-$I$ 图线画在一起 → 电源图线是 $U = E - Ir$，电阻图线是 $U = IR$ → 读纵截距和斜率得 $E$、$r$；两条图线的交点就是这个电阻接到这个电源上的工作状态。
• 外电路里有电动机、电解槽、正在充电的电池等非纯电阻 → 电能不全变成内能，$U \ne IR$ → 只能用 $E = U + Ir$ 和能量守恒分账，不能用 $I = \dfrac{E}{R + r}$。

注意点

• $E = U + Ir$ 对任何外电路都成立；$I = \dfrac{E}{R + r}$ 只对纯电阻外电路成立。外电路有电动机时，电动机两端的电压大于 $IR_{\text{M}}$（$R_{\text{M}}$ 是线圈电阻），代 $I = \dfrac{E}{R + r}$ 会把电流算大。
• 公式里的 $R$ 是外电路的总电阻，不是某一个电阻。先按第 17 章化简串并联。
• $U$-$I$ 图像的纵轴常常不从 0 开始（为了让图线占满坐标纸，第 40 章实验的数据图大多如此）。这时图线和横轴的交点不是短路电流，但斜率的绝对值仍然是内阻，纵截距仍然是电动势（横轴从 0 开始时）。
• 符号约定：本书 $E$ 表示电动势，$U$ 表示路端电压，$Ir$ 表示内电压。第 15、16 章场强也用 $E$，题目里两者同时出现时看上下文区分。
• 断路时电压表读数等于电动势，前提是电压表是理想的。实际电压表内阻有限，读数略小于 $E$。

推导

课本用能量守恒推导闭合电路欧姆定律。

设外电路是纯电阻 $R$，电路中电流为 $I$，看时间 $t$ 内的能量。

1. 电源提供的电能：通过电源的电荷量 $q = It$，非静电力做功 $W = Eq = EIt$（18.2 节）。
2. 外电路消耗的电能：纯电阻电路中电能全部转化为内能，由焦耳定律（第 17 章），$Q_{\text{外}} = I^2Rt$。
3. 内电路消耗的电能：电流流过内阻也发热，$Q_{\text{内}} = I^2rt$。
4. 能量守恒：电源提供的电能等于内外电路产生的热量之和，

$$EIt = I^2Rt + I^2rt$$

两边约去 $It$，得 $E = IR + Ir$，即

$$I = \frac{E}{R + r}$$

（关键一步：第 2 步“纯电阻电路中电能全部转化为内能”。正因为外电路只发热、不做别的功，电源给出的能量才全部写成两块焦耳热，从而得到 $E = IR + Ir$。外电路有电动机时，这一步不成立。）

外电路不是纯电阻时：外电路消耗的电能是 $UIt$（第 17 章电功），其中一部分发热、一部分变成机械能或化学能。能量守恒写成 $EIt = UIt + I^2rt$，约去 $It$ 得 $E = U + Ir$。所以电压关系 $E = U + Ir$ 普遍成立，$I = \dfrac{E}{R + r}$ 只是纯电阻时 $U = IR$ 代进去的结果。

路端电压随外电阻的变化：把 $I = \dfrac{E}{R + r}$ 代入 $U = IR$，

$$U = \frac{R}{R + r}E = \frac{E}{1 + \dfrac{r}{R}}$$

$R$ 增大时 $\dfrac{r}{R}$ 减小，$U$ 增大；$R \to \infty$ 时 $U \to E$。

例题

例 1　（场景：已知 $E$、$r$ 和外电路求电流电压）如图，电源电动势 $E = 6\ \mathrm{V}$，内阻 $r = 1\ \mathrm{\Omega}$，$R_1 = 3\ \mathrm{\Omega}$，$R_2 = 6\ \mathrm{\Omega}$。求干路电流、路端电压和通过 $R_1$、$R_2$ 的电流。

解：

研究对象：整个闭合电路。

过程划分：电路稳定，只有一个状态。

分析：外电路是 $R_1$、$R_2$ 并联，纯电阻。先求外电阻，再用闭合电路欧姆定律（本节”$I = \dfrac{E}{R + r}$“），最后回到各支路。

列式求解：外电阻

$$R = \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2} = \frac{3 \times 6}{3 + 6}\ \mathrm{\Omega} = 2\ \mathrm{\Omega}$$

干路电流

$$I = \frac{E}{R + r} = \frac{6}{2 + 1}\ \mathrm{A} = 2\ \mathrm{A}$$

路端电压 $U = E - Ir = 6\ \mathrm{V} - 2 \times 1\ \mathrm{V} = 4\ \mathrm{V}$。并联支路两端电压都等于路端电压：

$$I_1 = \frac{U}{R_1} = \frac{4}{3}\ \mathrm{A} \approx 1.33\ \mathrm{A}, \qquad I_2 = \frac{U}{R_2} = \frac{4}{6}\ \mathrm{A} \approx 0.67\ \mathrm{A}$$

检验：$I_1 + I_2 = \dfrac{4}{3}\ \mathrm{A} + \dfrac{2}{3}\ \mathrm{A} = 2\ \mathrm{A}$，等于干路电流，对。$U = IR = 2 \times 2\ \mathrm{V} = 4\ \mathrm{V}$，两种算法一致。

容易卡在：把 $E = 6\ \mathrm{V}$ 当成并联部分的电压，得 $I_1 = 2\ \mathrm{A}$。电源有内阻时，外电路分到的只是 $U = E - Ir$。

例 2　（场景：两组读数求 $E$、$r$）如图，电流表为理想电表。闭合开关 $S$，电阻箱阻值调为 $R_1 = 4\ \mathrm{\Omega}$ 时，电流表示数 $I_1 = 1.0\ \mathrm{A}$；调为 $R_2 = 9\ \mathrm{\Omega}$ 时，示数 $I_2 = 0.50\ \mathrm{A}$。求电源的电动势和内阻。

解：

研究对象：电源和电阻箱组成的闭合电路。

过程划分：两个稳定状态，电阻箱阻值不同，$E$、$r$ 相同。

分析：外电路只有电阻箱，纯电阻。每个状态用一次闭合电路欧姆定律（本节”$E = I(R + r)$“），两个方程解两个未知数。

列式求解：

$$E = I_1(R_1 + r) = 1.0 \times (4 + r)$$ $$E = I_2(R_2 + r) = 0.50 \times (9 + r)$$

两式相等：$4 + r = 4.5 + 0.5r$，得 $r = 1\ \mathrm{\Omega}$，代回得 $E = 5\ \mathrm{V}$。

检验：代入第二式：$0.50 \times (9 + 1)\ \mathrm{V} = 5\ \mathrm{V}$，对。电阻增大、电流减小，符合 $I = \dfrac{E}{R + r}$。

另一种解法：先算两次的路端电压 $U_1 = I_1R_1 = 4.0\ \mathrm{V}$，$U_2 = I_2R_2 = 4.5\ \mathrm{V}$。两组 $(I, U)$ 都在电源的 $U$-$I$ 直线上，斜率的绝对值就是内阻：$r = \left|\dfrac{U_2 - U_1}{I_2 - I_1}\right| = \dfrac{0.5}{0.5}\ \mathrm{\Omega} = 1\ \mathrm{\Omega}$，再由 $E = U_1 + I_1r = 5\ \mathrm{V}$。题目直接给出电压、电流两组读数（伏安法）时，这种“两点求斜率”最快；只给电阻和电流（安阻法）时，直接列 $E = I(R + r)$ 更省一步。实验中多测几组、画图像求 $E$、$r$ 的做法见第 40 章。

例 3　（场景：$U$-$I$ 图像）如图，直线 $a$ 是某电源的 $U$-$I$ 图线，直线 $b$ 是某定值电阻的 $U$-$I$ 图线。求电源的电动势、内阻和电阻的阻值；把这个电阻接在这个电源两端，电路中的电流和路端电压各是多少？

解：

研究对象：电源和电阻。

过程划分：不涉及过程，读图后求一个工作状态。

分析：电源图线 $U = E - Ir$：纵截距是 $E$，斜率绝对值是 $r$。电阻图线 $U = IR$：斜率是 $R$。电阻接到电源上时，电流和电压要同时满足两条图线，所以是交点（本节”$U$-$I$ 图像”）。

列式求解：由图线 $a$，纵截距 $E = 6\ \mathrm{V}$；纵轴从 0 开始，横截距 $3\ \mathrm{A}$ 是短路电流，

$$r = \frac{E}{I_{\text{短}}} = \frac{6}{3}\ \mathrm{\Omega} = 2\ \mathrm{\Omega}$$

由图线 $b$，$R = \dfrac{6}{1.5}\ \mathrm{\Omega} = 4\ \mathrm{\Omega}$。交点读得 $I = 1\ \mathrm{A}$，$U = 4\ \mathrm{V}$。

检验：用公式算：$I = \dfrac{E}{R + r} = \dfrac{6}{4 + 2}\ \mathrm{A} = 1\ \mathrm{A}$，$U = IR = 4\ \mathrm{V}$，和交点一致。

另一种解法：不读交点，直接联立 $U = 6 - 2I$ 和 $U = 4I$，得 $I = 1\ \mathrm{A}$、$U = 4\ \mathrm{V}$。图线画得准时读交点最快，选择题常这样考；交点不在格点上、读不准时，联立方程更可靠。

例 4　（场景：外电路有电动机）如图，电源电动势 $E = 12\ \mathrm{V}$，内阻 $r = 1\ \mathrm{\Omega}$，定值电阻 $R_0 = 2\ \mathrm{\Omega}$，电动机线圈电阻 $R_{\text{M}} = 0.5\ \mathrm{\Omega}$。电动机正常工作时，理想电流表示数 $I = 2\ \mathrm{A}$。求电动机两端的电压、电动机消耗的电功率和输出的机械功率。

解：

研究对象：电动机，以及它所在的闭合电路。

过程划分：电动机正常工作，电路稳定，一个状态。

分析：电动机是非纯电阻，$U_{\text{M}} \ne IR_{\text{M}}$，不能用 $I = \dfrac{E}{R + r}$。用本节”$E = U + Ir$“：路端电压分给 $R_0$ 和电动机。功率按”输入电功率 = 发热功率 + 机械功率“分账（第 17 章）。

列式求解：电动机两端的电压

$$U_{\text{M}} = E - I(r + R_0) = 12\ \mathrm{V} - 2 \times (1 + 2)\ \mathrm{V} = 6\ \mathrm{V}$$

电动机消耗的电功率 $P_{\text{入}} = U_{\text{M}}I = 6 \times 2\ \mathrm{W} = 12\ \mathrm{W}$。线圈发热功率 $P_{\text{热}} = I^2R_{\text{M}} = 2^2 \times 0.5\ \mathrm{W} = 2\ \mathrm{W}$。输出的机械功率

$$P_{\text{机}} = P_{\text{入}} - P_{\text{热}} = 12\ \mathrm{W} - 2\ \mathrm{W} = 10\ \mathrm{W}$$

检验：能量总账：电源总功率 $EI = 24\ \mathrm{W}$；内阻发热 $I^2r = 4\ \mathrm{W}$，$R_0$ 发热 $I^2R_0 = 8\ \mathrm{W}$，电动机 $12\ \mathrm{W}$，合计 $24\ \mathrm{W}$，对。如果误用 $I = \dfrac{E}{r + R_0 + R_{\text{M}}} = \dfrac{12}{3.5}\ \mathrm{A} \approx 3.4\ \mathrm{A}$，和电流表读数 $2\ \mathrm{A}$ 矛盾，说明这样做不对。

容易卡在：用 $U_{\text{M}} = IR_{\text{M}} = 1\ \mathrm{V}$。电动机转动时会产生“反电动势”（第 28 章），所以它两端的电压远大于线圈电阻上的电压。

常用推论

• 断路 $U = E$，短路 $I_{\text{短}} = \dfrac{E}{r}$。由 $U = E - Ir$ 取 $I = 0$、$U = 0$ 得出。
• 外电阻增大，干路电流减小，路端电压增大；外电阻减小，反之。由本节推导 $U = \dfrac{E}{1 + r/R}$ 得出。这是 18.4 节动态分析的出发点。
• 两组读数 $(I_1, U_1)$、$(I_2, U_2)$ 求内阻：$r = \dfrac{U_2 - U_1}{I_1 - I_2}$。由 $E = U_1 + I_1r$、$E = U_2 + I_2r$ 两式相减得出。
• 两个电源的 $U$-$I$ 图线画在一起：纵截距大的电动势大，图线陡的内阻大。
• 纯电阻接在电源上，电阻的 $U$-$I$ 图线（过原点的直线）与电源的 $U$-$I$ 图线的交点就是工作点；工作点与原点连线的斜率是外电阻 $R$。

易错点

• 错在哪：外电阻增大时，认为路端电压不变、各支路互不影响。 为什么错：家庭电路里多开一盏灯、别的灯亮度几乎不变，于是以为电源电压是固定的。那是因为电网的“内阻”相对很小；电池的内阻不能忽略，外电阻一变，电流变，内电压变，路端电压跟着变。 正确做法：题目没说“内阻不计”，就按 $U = E - Ir$ 算路端电压。
• 错在哪：外电路有电动机时用 $I = \dfrac{E}{R + r}$。 为什么错：这个式子由“电能全部变成内能”推出，电动机把大部分电能变成机械能，前提不成立（例 4）。 正确做法：非纯电阻电路用 $E = U + Ir$，功率按能量守恒分账。
• 错在哪：$U$-$I$ 图的纵轴从 $1.0\ \mathrm{V}$ 开始，把图线和横轴的交点当成短路电流，用 $r = \dfrac{E}{I_{\text{交}}}$ 算内阻。 为什么错：这时交点处 $U = 1.0\ \mathrm{V}$，不是 0，电源并没有短路。 正确做法：内阻一律用斜率算：在图线上取两个相距较远的点，$r = \left|\dfrac{\Delta U}{\Delta I}\right|$。

直观理解

沿电流方向绕电路走一圈，电势先在电源里被“抬高” $E$，再在内阻和外电阻上“降”回原处，一圈下来升降相等：$E = Ir + IR$。一句话记法：电动势被内外电路瓜分，外电阻分得越多（$R$ 越大），路端电压越接近电动势。图里的“抬高”画在一处，实际电池里电势的升高发生在电极和电解液的界面上，这里只画总效果。

关联知识点

• 前置：第 17 章部分电路欧姆定律、串并联电路的化简、焦耳定律，推导中直接用到。
• 前置：第 1 章 1.4 节图像的斜率和截距，电源 $U$-$I$ 图像是其中一行。
• 后续：18.4 节动态分析、18.5 节功率和效率都从 $I = \dfrac{E}{R + r}$ 出发。
• 后续：第 28 章电磁感应中的电路，切割磁感线的导体棒就是电源，$E = BLv$，棒的电阻是内阻。
• 常一起考：第 40 章“测量电源的电动势和内阻”，用伏安法、安阻法、伏阻法测 $E$、$r$，数据处理用 $U$-$I$ 图像；电表接法的选择见第 37 章 37.6 节。

18.4 电路的动态分析

说明

题型：电路中某一个电阻发生变化（滑动变阻器滑片移动、开关断开或闭合、光敏或热敏电阻随光照或温度变化），问各电表示数、灯泡亮度、电容器电荷量怎样变化。

主方法：“局部 → 整体 → 局部”：

1. 局部：判断变化的电阻 $R_x$ 是增大还是减小。
2. 整体：外电路总电阻 $R_{\text{外}}$ 和 $R_x$ 同向变化 → 干路电流 $I = \dfrac{E}{R_{\text{外}} + r}$ 反向变化 → 路端电压 $U = E - Ir$ 同向变化。
3. 局部：回到各部分。先看干路上的定值电阻（电流就是干路电流，已知怎么变），再求并联部分的电压，最后求各支路电流。每一步都选“有一个量不变、另一个量已知怎么变”的元件下手。

两个基本事实：

• 串并联电路中，任何一个电阻增大，总电阻都增大；任何一个减小，总电阻都减小。
• 开关断开，相当于该处电阻变为无穷大；并联电路中多闭合一条支路，相当于并联的电阻变多，总电阻减小。

电路故障：断路处电流为零；用电压表逐段测量，若某段两端电压接近电动势而其余各段电压为零，断路就在这一段（电压表跨过断点后与其余完好部分串联在电源两端）。短路处两端电压为零。

模型：电源 $E$、$r$ 不变；电表理想（电压表看作断路，电流表看作导线）；灯泡、定值电阻的阻值不随电流变化。

使用场景

• 滑片移动、开关通断、光敏或热敏电阻变化，问电表示数怎样变化 → 只有一个电阻变化的串并联电路 → 局部 → 整体 → 局部。
• 选择题同时问好几个元件（几盏灯的亮暗、几个电表）→ 只有一个电阻变化 → 用“串反并同”（常用推论）逐个判断，再用整体法核对其中一个。
• 问电压表示数的变化量与电流表示数的变化量之比 → 把电压表示数写成电流的一次函数 → 比值是这条直线的斜率，等于电压表之外、与电流表串联的那些电阻（含内阻）之和。
• 电路不工作，用电压表逐段测量找故障 → 断路或短路 → 读数接近电动势的那一段有断路（其余部分完好时），读数为零的那一段要么短路、要么不在通路上。

注意点

• 只适用于一个电阻变化。两个电阻同时变化、一个增一个减时，定性方法判断不了，要代数值算。
• 先画清楚连接关系：电压表当断路拿掉，电流表当导线，再看谁和谁串联、谁和谁并联。
• 变化的电阻自己的电流和电压不要从它自己下手判断：$R_x$ 增大时，它两端的电压增大、电流减小，用 $I_x = \dfrac{U_x}{R_x}$ 分子分母都在变，判断不了。要从定值元件绕回来：$I_x = I_{\text{总}} - I_{\text{其他支路}}$。
• 滑动变阻器两部分并联的接法（滑片和两端分别接出，两段电阻并联），滑片从一端移到另一端，总电阻先增大后减小，滑片在中点时最大，要分段讨论。
• 开关断开后，电压表接在断开的开关两端时，读数等于电动势（其余电路完好、电压表理想时）；初学者常以为“断开了就没电压”。

推导

为什么任何一个电阻增大，总电阻都增大：串联 $R = R_1 + R_2$，$R_1$ 增大，$R$ 增大。并联 $\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}$，$R_1$ 增大，$\dfrac{1}{R_1}$ 减小，$\dfrac{1}{R}$ 减小，$R$ 增大。复杂的串并联电路是一层层串、并组合起来的，每一层都满足这个规律，所以整体也满足。

“局部 → 整体 → 局部”每一步为什么能走：以例 1 的电路为例：$R_1$ 在干路，$R_2$、$R_3$ 并联，$R_3$ 增大。

1. $R_3$ 增大 → 并联部分电阻增大 → 外电阻 $R_{\text{外}}$ 增大。
2. $I_{\text{总}} = \dfrac{E}{R_{\text{外}} + r}$，分子不变、分母增大，$I_{\text{总}}$ 减小。
3. $U = E - I_{\text{总}}r$，$I_{\text{总}}$ 减小，$U$ 增大。
4. $R_1$ 是定值电阻，$U_1 = I_{\text{总}}R_1$ 减小。
5. 并联部分电压

$$U_{\text{并}} = E - I_{\text{总}}(r + R_1)$$

（关键一步：括号里 $r + R_1$ 都是不变的量，只有 $I_{\text{总}}$ 在变，所以 $I_{\text{总}}$ 减小时 $U_{\text{并}}$ 一定增大。如果直接看 $U_{\text{并}} = I_{\text{总}}R_{\text{并}}$，$I_{\text{总}}$ 减小、$R_{\text{并}}$ 增大，乘积怎么变判断不了。选“只有一个量在变”的式子，是整个方法的诀窍。）

6. $R_2$ 不变，$I_2 = \dfrac{U_{\text{并}}}{R_2}$ 增大。
7. $I_3 = I_{\text{总}} - I_2$，减数增大、被减数减小，$I_3$ 减小。

“串反并同”从哪来：上面的结果是：和 $R_3$ 串联的 $R_1$（在干路上，电流全部经过 $R_3$ 所在的并联部分），电流、电压都减小，和 $R_3$ 的变化相反；和 $R_3$ 并联的 $R_2$，电流、电压都增大，和 $R_3$ 的变化相同。高中题目的电路都是这样一层层串并联起来的，每一层按上面的方法推，结论都一样。对任意电路的严格证明，要把 $R_x$ 以外的电路看成一个等效电源（大学《电路》课程中的戴维南定理），高中不要求。

例题

例 1　（场景：滑片移动，问电表示数变化）如图，电源内阻不为零，$R_1$、$R_2$ 是定值电阻，电表均为理想电表。将滑动变阻器 $R_3$ 的滑片向使其接入阻值增大的方向移动，电压表和电流表的示数怎样变化？通过 $R_3$ 的电流怎样变化？

解：电压表示数增大，电流表示数增大，通过 $R_3$ 的电流减小。

判断依据：只有一个电阻变化，按“局部 → 整体 → 局部”推（本节主方法）。

先看连接：电压表接在电源两端，测路端电压 $U$；电流表和 $R_2$ 串联，测 $R_2$ 的电流 $I_2$；$R_2$ 支路和 $R_3$ 并联，再和干路上的 $R_1$ 串联。

• 局部：$R_3$ 增大。
• 整体：$R_{\text{外}}$ 增大 → $I_{\text{总}}$ 减小 → $U = E - I_{\text{总}}r$ 增大，电压表示数增大。
• 局部：$U_{\text{并}} = E - I_{\text{总}}(r + R_1)$ 增大 → $I_2 = \dfrac{U_{\text{并}}}{R_2}$ 增大，电流表示数增大 → $I_3 = I_{\text{总}} - I_2$ 减小。

容易卡在：从 $R_3$ 本身下手：$R_3$ 增大，“所以它的电流减小，所以干路电流减小……“第一步碰巧对了，但理由不对；问到 $R_3$ 两端电压时就会卡住。

另一种解法：串反并同。电流表所在的 $R_2$ 支路与 $R_3$ 并联，“并同”：$R_3$ 增大，电流表示数增大。电压表测路端电压，接在整个外电路两端，也与 $R_3$ 并联，“并同”：示数增大。两步就出结果。选择题用串反并同最快；计算题或需要写理由的题，用“局部 → 整体 → 局部”，每一步都有公式依据。

例 2　（场景：多个元件同时判断）如图，电源内阻不为零，三盏灯的电阻不变。将滑动变阻器 $R$ 的滑片向使其接入阻值减小的方向移动，三盏灯的亮度怎样变化？

解：$L_1$ 变亮，$L_2$ 变暗，$L_3$ 变亮。

判断依据：只有 $R$ 变化，用串反并同（本节常用推论）。$R$ 减小：

• $L_3$ 与 $R$ 在同一支路，串联，“串反”：电流增大，变亮。
• $L_1$ 在干路，电流要流过 $R$ 所在的并联部分，算串联，“串反”：电流增大，变亮。
• $L_2$ 与 $R$ 所在支路并联，“并同”：电流减小，变暗。

用整体法核对 $L_2$：$R$ 减小 → $R_{\text{外}}$ 减小 → $I_{\text{总}}$ 增大 → $U_{\text{并}} = E - I_{\text{总}}(r + R_{L_1})$ 减小 → $L_2$ 的电流减小，变暗。一致。

容易卡在：$L_1$ 不和 $R$ 直接相连，不知道算串还是算并。判断标准是：流过 $L_1$ 的电流是否全部（或部分）要流过 $R$ 所在的那一块并联电路；是，就算串联。

例 3　（场景：变化量之比）如图，电表均为理想电表，$R_1 = 2\ \mathrm{\Omega}$。移动滑动变阻器 $R$ 的滑片，电压表 $V_1$ 的示数由 $4.0\ \mathrm{V}$ 变为 $4.5\ \mathrm{V}$，电流表示数由 $1.0\ \mathrm{A}$ 变为 $0.75\ \mathrm{A}$。（1）求电源的电动势和内阻；（2）这一过程中电压表 $V_2$ 的示数变化了多少？$V_2$ 示数的变化量与电流表示数的变化量之比的绝对值是多少？

解：

研究对象：串联的闭合电路。

过程划分：滑片移动前、后两个稳定状态，$E$、$r$、$R_1$ 不变。

分析：$V_1$ 测路端电压，$U_1 = E - Ir$，是 $I$ 的一次函数，斜率为 $-r$。$V_2$ 测 $R$ 两端电压，$U_2 = E - I(r + R_1)$，斜率为 $-(r + R_1)$。用的是本节“变化量之比等于斜率”。

列式求解：（1）

$$r = \left|\frac{\Delta U_1}{\Delta I}\right| = \frac{4.5 - 4.0}{1.0 - 0.75}\ \mathrm{\Omega} = 2\ \mathrm{\Omega}$$

$E = U_1 + Ir = 4.0\ \mathrm{V} + 1.0 \times 2\ \mathrm{V} = 6.0\ \mathrm{V}$。

（2）两个状态下 $V_2$ 的示数：

$$U_2 = E - I(r + R_1): \quad 6.0 - 1.0 \times 4 = 2.0\ \mathrm{V}, \qquad 6.0 - 0.75 \times 4 = 3.0\ \mathrm{V}$$

$V_2$ 示数增大 $1.0\ \mathrm{V}$，

$$\left|\frac{\Delta U_2}{\Delta I}\right| = \frac{1.0}{0.25}\ \mathrm{\Omega} = 4\ \mathrm{\Omega} = r + R_1$$

检验：用第二个状态核对 $E$：$4.5\ \mathrm{V} + 0.75 \times 2\ \mathrm{V} = 6.0\ \mathrm{V}$，对。电流减小时 $V_1$、$V_2$ 都增大，符合“外电阻增大，路端电压增大”。$V_2$ 变化 $1.0\ \mathrm{V}$ 比 $V_1$ 变化 $0.5\ \mathrm{V}$ 大，因为 $R_1$ 上的电压同时减小了 $0.5\ \mathrm{V}$，$\Delta U_2 = \Delta U_1 + |\Delta U_{R_1}|$，合理。

容易卡在：把 $\dfrac{U_2}{I}$ 和 $\left|\dfrac{\Delta U_2}{\Delta I}\right|$ 混为一谈。$\dfrac{U_2}{I}$ 是滑动变阻器此刻的阻值，一直在变；变化量之比是一次函数的斜率，是定值。

例 4　（场景：电路故障）如图，闭合开关后两灯都不亮。用电压表测得 $U_{ab} = 0$，$U_{bc} = 6\ \mathrm{V}$，$U_{ac} = 6\ \mathrm{V}$，电源电动势为 $6\ \mathrm{V}$。若电路中只有一处故障，故障是什么？

解：$L_2$ 断路。

判断依据：断路处没有电流；电压表跨过断点时，它和其余完好部分串联在电源两端，读数接近电动势。

$U_{ac} = 6\ \mathrm{V}$，说明 $a$ 经开关、电源到 $c$ 这一段是通的，故障在 $a$、$c$ 之间。$U_{bc} = 6\ \mathrm{V}$，说明 $b$ 经 $L_1$、开关、电源到 $c$ 是通的，断点在 $b$、$c$ 之间，即 $L_2$ 断路。$U_{ab} = 0$：$L_1$ 中没有电流，两端等电势，与此一致。如果是 $L_2$ 短路，$L_1$ 应该亮，与“两灯都不亮”矛盾。

常用推论

• 串反并同：电源内阻不为零、只有一个电阻 $R_x$ 变化时，与 $R_x$ 串联（包括间接串联，如在干路上）的元件，电流、电压、功率与 $R_x$ 的变化相反；与 $R_x$ 并联（包括间接并联）的元件，电流、电压、功率与 $R_x$ 的变化相同。推导见本节“推导”。电源内阻为零时，直接接在电源两端的元件不受影响，不适用。
• 外电阻增大，干路电流减小，路端电压增大（18.3 节）。
• $\left|\dfrac{\Delta U}{\Delta I}\right| = r$（$U$ 是路端电压，$I$ 是干路电流）；电压表测串联电路中可变电阻两端的电压时，比值等于电源内阻与其余串联定值电阻之和，$\left|\dfrac{\Delta U_R}{\Delta I}\right| = r + R_{\text{串}}$。定值电阻 $\dfrac{\Delta U}{\Delta I} = R$。由 $U = E - I(r + R_{\text{串}})$ 是一次函数得出（例 3）。
• 光敏电阻光照增强阻值减小，热敏电阻（负温度系数）温度升高阻值减小，换算成”$R_x$ 减小“后按本节方法分析（第 30 章传感器）。

易错点

• 错在哪：从变化的电阻本身直接判断它的电流和电压。 为什么错：$R_x$ 变化时，它的电压和电流都在变，$I_x = \dfrac{U_x}{R_x}$ 的分子分母同时变，单看它得不出结论。 正确做法：先整体（干路电流、路端电压），再从定值元件推，最后用 $I_x = I_{\text{总}} - I_{\text{其他}}$ 或 $U_x = U - U_{\text{其他}}$ 得到 $R_x$ 本身的变化。
• 错在哪：并联支路的电阻变了，认为其他支路“互不影响”。 为什么错：初中学并联时电源当作理想的，并联各支路电压都等于电源电压。有内阻时，一条支路变化会改变干路电流和路端电压，其他支路也跟着变（例 2 的 $L_2$）。 正确做法：内阻不为零时，任何一处变化都要先经过“整体”再回到局部。
• 错在哪：两个电阻同时变化（或滑动变阻器两段并联）时套用串反并同。 为什么错：串反并同的推导前提是只有一个电阻单调变化。 正确做法：两处同时变化时代数值计算；滑动变阻器两段并联时先求并联电阻随滑片位置的变化，分段讨论。
• 错在哪：找故障时，看到某段电压为零就说这段断路。 为什么错：断路处没有电流，但断点两侧分别接在电源两极上，电压等于电动势；电压为零的是断点以外、没有电流的完好部分（例 4 的 $L_1$）。 正确做法：断路段电压接近电动势；短路段电压为零且其余用电器正常工作。

直观理解

一个电阻变大，它就“抢”到更多电压、放走更少电流：和它串联的跟着它少走电流（串反），和它并联的跟着它多分电压（并同）。整条推理像多米诺骨牌：先推倒“整体”（总电阻 → 总电流 → 路端电压），再沿着干路、支路一块块往下推。

关联知识点

• 前置：第 17 章串并联电路的电流、电压分配。
• 前置：18.3 节闭合电路欧姆定律，“整体”那一步就是它。
• 后续：第 29 章变压器的动态分析，思路相同：先确定不变量（输入电压、匝数比），再按“原线圈决定副线圈电压、副线圈负载决定原线圈电流”的顺序推。
• 后续：第 30 章传感器，光敏、热敏电阻接入电路后的分析就是本节的动态分析。
• 常一起考：18.5 节（问功率怎样变化）、18.6 节（问电容器电荷量怎样变化）。

18.5 电源的功率和效率

说明

三个功率：

功率	公式	含义
电源总功率	$P_{\text{总}} = EI$	非静电力做功的功率，其他能转化为电能的快慢
输出功率	$P_{\text{出}} = UI$	外电路消耗的功率
内阻发热功率	$P_{\text{内}} = I^2r$	电源内部的损耗

它们满足 $P_{\text{总}} = P_{\text{出}} + P_{\text{内}}$，即 $EI = UI + I^2r$，就是 18.3 节的 $E = U + Ir$ 两边乘 $I$。

电源的效率：

$$\eta = \frac{P_{\text{出}}}{P_{\text{总}}} = \frac{U}{E}$$

外电路是纯电阻 $R$ 时，$\eta = \dfrac{R}{R + r}$，外电阻越大效率越高。

纯电阻外电路的输出功率：

$$P_{\text{出}} = I^2R = \frac{E^2R}{(R + r)^2}$$

• $R = r$ 时输出功率最大，$P_{\text{max}} = \dfrac{E^2}{4r}$，此时效率 $\eta = 50\%$。
• $R < r$ 时，$R$ 增大，输出功率增大；$R > r$ 时，$R$ 增大，输出功率减小。
• 输出功率小于最大值时，有两个外电阻对应同一个输出功率，它们满足 $R_1R_2 = r^2$。

模型：电源 $E$、$r$ 不变；“$R = r$ 时最大”的结论要求外电路是纯电阻。

使用场景

• 外电阻可调，问电源输出功率的最大值、此时的外电阻和效率 → 纯电阻外电路、$E$ 和 $r$ 固定 → $P_{\text{出}} = \dfrac{E^2R}{(R + r)^2}$，$R = r$ 时最大；调不到 $r$ 时取最接近 $r$ 的值。
• 外电路由定值电阻 $R_0$ 和可变电阻 $R$ 串联，问 $R_0$ 或 $R$ 消耗的最大功率 → 定值电阻：$P_0 = I^2R_0$，电流最大时最大；可变电阻：把 $R_0$ 并入电源内阻，看成内阻 $r + R_0$ 的“等效电源” → $R = R_0 + r$ 时 $R$ 的功率最大。
• 问电源的效率，或比较同一电源接不同负载时的输出功率和效率 → $\eta = \dfrac{U}{E} = \dfrac{R}{R + r}$；在 $U$-$I$ 图上，工作点与两坐标轴围成的矩形面积 $UI$ 就是输出功率。

注意点

• “$R = r$ 时输出功率最大”说的是电源的输出功率，也就是整个外电路的功率。问某个定值电阻的最大功率，不能套这个结论。
• 最大输出功率时效率只有 $50\%$，一半能量耗在电源内部。实际供电追求高效率，外电阻远大于内阻，并不工作在最大输出功率附近。
• 等效电源法只能把与电源串联的定值电阻并入内阻。并联在电源两端的电阻也能等效，但等效电动势和内阻都会变，高中很少考。
• 可变电阻的调节范围达不到 $r$（或 $R_0 + r$）时，最大值在最接近的端点取到，因为在峰值一侧功率随电阻单调变化。
• $\eta = \dfrac{R}{R + r}$ 只对纯电阻成立；$\eta = \dfrac{U}{E}$ 普遍成立。

推导

输出功率的最大值：

$$P_{\text{出}} = \frac{E^2R}{(R + r)^2} = \frac{E^2R}{(R - r)^2 + 4Rr} = \frac{E^2}{\dfrac{(R - r)^2}{R} + 4r}$$

（关键一步：把 $(R + r)^2$ 写成 $(R - r)^2 + 4Rr$。分母里 $\dfrac{(R - r)^2}{R} \ge 0$，只有 $R = r$ 时等于零，这时分母最小、功率最大。）

所以 $R = r$ 时 $P_{\text{max}} = \dfrac{E^2}{4r}$。此时 $U = \dfrac{E}{2}$，$\eta = 50\%$。

同一输出功率的两个电阻：设 $R_1 \ne R_2$ 时输出功率相等，

$$\frac{E^2R_1}{(R_1 + r)^2} = \frac{E^2R_2}{(R_2 + r)^2}$$

交叉相乘展开：$R_1R_2^2 + 2rR_1R_2 + r^2R_1 = R_1^2R_2 + 2rR_1R_2 + r^2R_2$，整理得 $R_1R_2(R_2 - R_1) = r^2(R_2 - R_1)$。因为 $R_1 \ne R_2$，所以 $R_1R_2 = r^2$。

效率：$\eta = \dfrac{UI}{EI} = \dfrac{U}{E}$；纯电阻时 $U = IR$、$E = I(R + r)$，$\eta = \dfrac{R}{R + r} = \dfrac{1}{1 + r/R}$，随 $R$ 增大而增大。

例题

例 1　（场景：外电阻可调，求最大输出功率）如图，电源电动势 $E = 6\ \mathrm{V}$，内阻 $r = 2\ \mathrm{\Omega}$，滑动变阻器 $R$ 的最大阻值为 $10\ \mathrm{\Omega}$。（1）$R$ 调到多大时电源输出功率最大？最大值和此时的效率各是多少？（2）$R = 8\ \mathrm{\Omega}$ 时输出功率和效率各是多少？$R$ 还可以取什么值，使输出功率与此相同？

解：

研究对象：电源。

过程划分：$R$ 取不同值对应不同的稳定状态，逐个分析。

分析：外电路只有 $R$，纯电阻，用本节”$P_{\text{出}} = \dfrac{E^2R}{(R + r)^2}$，$R = r$ 时最大“和”$R_1R_2 = r^2$“。$R$ 的范围 $0 \sim 10\ \mathrm{\Omega}$ 包含 $r = 2\ \mathrm{\Omega}$。

列式求解：（1）$R = r = 2\ \mathrm{\Omega}$ 时输出功率最大：

$$P_{\text{max}} = \frac{E^2}{4r} = \frac{6^2}{4 \times 2}\ \mathrm{W} = 4.5\ \mathrm{W}$$

效率 $\eta = \dfrac{R}{R + r} = 50\%$。

（2）$R = 8\ \mathrm{\Omega}$ 时，$I = \dfrac{E}{R + r} = \dfrac{6}{10}\ \mathrm{A} = 0.6\ \mathrm{A}$，

$$P_{\text{出}} = I^2R = 0.6^2 \times 8\ \mathrm{W} = 2.88\ \mathrm{W}, \qquad \eta = \frac{8}{8 + 2} = 80\%$$

另一个阻值 $R' = \dfrac{r^2}{R} = \dfrac{4}{8}\ \mathrm{\Omega} = 0.5\ \mathrm{\Omega}$。

检验：$R' = 0.5\ \mathrm{\Omega}$ 时 $I = \dfrac{6}{2.5}\ \mathrm{A} = 2.4\ \mathrm{A}$，$P = 2.4^2 \times 0.5\ \mathrm{W} = 2.88\ \mathrm{W}$，相同，对；但效率只有 $\dfrac{0.5}{2.5} = 20\%$。两个电阻一大一小分在 $r$ 两侧，和 $P$-$R$ 图（本节“说明”）一致。

另一种解法：把输出功率写成电流的函数：$P_{\text{出}} = EI - I^2r = 6I - 2I^2$，是开口向下的二次函数，$I = \dfrac{E}{2r} = 1.5\ \mathrm{A}$ 时最大，$P_{\text{max}} = 6 \times 1.5 - 2 \times 1.5^2 = 4.5\ \mathrm{W}$，此时 $R = \dfrac{E}{I} - r = 2\ \mathrm{\Omega}$。二次函数求最值见《高中数学知识点梳理》第 4 章。这种写法不要求外电路是纯电阻（外电路有电动机也能用），适合题目给电流范围的情形；外电阻可调、问”$R$ 取多大“时，直接用 $R = r$ 更快。

例 2　（场景：定值电阻和可变电阻的最大功率）如图，电源电动势 $E = 6\ \mathrm{V}$，内阻 $r = 1\ \mathrm{\Omega}$，定值电阻 $R_0 = 2\ \mathrm{\Omega}$，滑动变阻器 $R$ 的阻值范围为 $0 \sim 10\ \mathrm{\Omega}$。（1）$R$ 取多大时 $R_0$ 的功率最大？最大是多少？（2）$R$ 取多大时 $R$ 的功率最大？最大是多少？（3）$R$ 取多大时电源的输出功率最大？

解：

研究对象：（1）$R_0$；（2）$R$；（3）电源。

过程划分：$R$ 变化，电路经历一系列稳定状态，找各自的最大值。

分析：$R_0$ 是定值电阻，$P_0 = I^2R_0$，电流越大功率越大。$R$ 是可变电阻，把 $R_0$ 并入电源，等效电源的电动势仍为 $E$，等效内阻 $r' = r + R_0 = 3\ \mathrm{\Omega}$，$R = r'$ 时 $R$ 的功率最大（本节“等效电源”）。电源的输出功率看外电阻 $R_0 + R$ 和 $r$ 的关系。

列式求解：（1）$R = 0$ 时电流最大，$I = \dfrac{E}{R_0 + r} = \dfrac{6}{3}\ \mathrm{A} = 2\ \mathrm{A}$，

$$P_{0\text{max}} = I^2R_0 = 2^2 \times 2\ \mathrm{W} = 8\ \mathrm{W}$$

（2）$R = r + R_0 = 3\ \mathrm{\Omega}$ 时，$I = \dfrac{6}{3 + 3}\ \mathrm{A} = 1\ \mathrm{A}$，

$$P_{R\text{max}} = I^2R = 1^2 \times 3\ \mathrm{W} = 3\ \mathrm{W}$$

（3）外电阻 $R_{\text{外}} = R_0 + R \ge 2\ \mathrm{\Omega}$，始终大于 $r = 1\ \mathrm{\Omega}$，在 $P$-$R$ 图峰值的右侧，外电阻越小输出功率越大，所以 $R = 0$ 时输出功率最大，为 $8\ \mathrm{W}$。

检验：（2）用公式核对：$P_{R\text{max}} = \dfrac{E^2}{4r'} = \dfrac{36}{12}\ \mathrm{W} = 3\ \mathrm{W}$，一致。（1）若误用”$R_0 = r$ 时最大”，$R_0$ 是定值根本调不了，题目问的是 $R$ 取多大，可见该结论用错了对象。

容易卡在：三问分别问的是不同元件的功率，每问先写清“谁的功率”。

例 3　（场景：效率与 $U$-$I$ 图像）如图，直线是某电源的 $U$-$I$ 图线，$a$、$b$ 是两个电阻的 $U$-$I$ 图线。分别把 $a$、$b$ 接在这个电源上，求两种情况下电源的输出功率和效率。

解：

研究对象：电源，分别接 $a$、$b$。

过程划分：两种接法，两个工作状态。

分析：工作点是电源图线与电阻图线的交点（18.3 节）。输出功率 $P_{\text{出}} = UI$，即工作点与坐标轴围成的矩形面积；效率 $\eta = \dfrac{U}{E}$（本节）。

列式求解：由电源图线，$E = 3\ \mathrm{V}$，$r = \dfrac{3}{3}\ \mathrm{\Omega} = 1\ \mathrm{\Omega}$。

接 $a$：工作点 $(1\ \mathrm{A}, 2\ \mathrm{V})$，$P_a = 2 \times 1\ \mathrm{W} = 2\ \mathrm{W}$，$\eta_a = \dfrac{2}{3} \approx 67\%$。

接 $b$：工作点 $(2\ \mathrm{A}, 1\ \mathrm{V})$，$P_b = 1 \times 2\ \mathrm{W} = 2\ \mathrm{W}$，$\eta_b = \dfrac{1}{3} \approx 33\%$。

检验：$R_a = 2\ \mathrm{\Omega}$，$R_b = 0.5\ \mathrm{\Omega}$，$R_aR_b = 1\ \mathrm{\Omega^2} = r^2$，正好符合“输出功率相同的两个电阻 $R_1R_2 = r^2$”，对。电阻大的效率高，符合 $\eta = \dfrac{R}{R + r}$。两种情况的输出功率都小于 $P_{\text{max}} = \dfrac{E^2}{4r} = 2.25\ \mathrm{W}$，合理。

常用推论

• 纯电阻外电路，$R = r$ 时 $P_{\text{max}} = \dfrac{E^2}{4r}$，$\eta = 50\%$，$U = \dfrac{E}{2}$。推导见本节。
• 输出功率相同的两个外电阻满足 $R_1R_2 = r^2$。推导见本节。
• 外电阻越大，效率越高；短路时效率为零，断路时没有输出。由 $\eta = \dfrac{R}{R + r}$ 得出。
• 等效电源：可变电阻 $R$ 与定值电阻 $R_0$ 串联接在电源上，$R = R_0 + r$ 时 $R$ 的功率最大，为 $\dfrac{E^2}{4(R_0 + r)}$。把电源和 $R_0$ 看成一个内阻为 $R_0 + r$ 的新电源，再用第一条。
• 定值电阻的功率最大 ⇔ 通过它的电流最大（$P = I^2R_0$）。
• $U$-$I$ 图上，工作点与两坐标轴围成的矩形面积是输出功率；以 $E$ 为高、$I$ 为宽的矩形面积是总功率。

易错点

• 错在哪：认为输出功率最大时效率也最高。 为什么错：直觉觉得“输出多 = 效率高”。输出功率最大时内外电阻相等，内阻消耗的功率和外电路一样多，效率只有 $50\%$；外电阻越大效率越高，但输出功率反而减小。 正确做法：输出功率看 $P$-$R$ 图（先增后减），效率看 $\eta = \dfrac{R}{R + r}$（单调增）。
• 错在哪：求定值电阻 $R_0$ 的最大功率时套用”$R_0 = r$“。 为什么错：$R = r$ 的结论是对”可调的外电阻“求最值；$R_0$ 是定值，只能通过改变别的电阻改变它的电流。 正确做法：定值电阻看电流，电流最大时功率最大（例 2 第 1 问）。
• 错在哪：认为外电阻越大，输出功率越大。 为什么错：直觉“电阻大、分到的电压大，功率就大”。电压增大的同时电流减小，$P = UI$ 先增后减。 正确做法：判断输出功率怎么变，先看外电阻在 $r$ 的哪一侧，再看是靠近还是远离 $r$。
• 错在哪：算外电阻功率时用 $P = \dfrac{E^2}{R}$。 为什么错：外电阻两端的电压是路端电压 $U$，不是电动势。 正确做法：$P_{\text{出}} = \dfrac{U^2}{R} = I^2R$，$U$、$I$ 先由闭合电路欧姆定律求出。

直观理解

$P$-$R$ 图像是一座山（本节“说明”的图），山顶在 $R = r$：外电阻太小，电流大但电压几乎全被内阻吃掉；外电阻太大，电压接近电动势但电流太小。两头输出都少，“内外相等”时最多。这和音箱要与功放“阻抗匹配”是同一个道理。

$U$-$I$ 图上看功率（例 3 的图）：工作点沿电源图线滑动，矩形面积 $UI$ 先变大后变小，工作点在线段中点（$U = \dfrac{E}{2}$）时面积最大。

关联知识点

• 前置：第 17 章电功率、焦耳定律，三个功率的公式来自那里。
• 前置：18.3 节闭合电路欧姆定律、$U$-$I$ 图像。
• 前置：《高中数学知识点梳理》第 4 章一元二次函数的最值（例 1 的另一种解法）。
• 后续：第 29 章远距离输电，输电线上的损耗 $I^2R_{\text{线}}$ 和这里的内阻损耗是同一类问题，提高电压、减小电流来提高效率。
• 后续：第 28 章电磁感应中的能量，导体棒当电源时，安培力做功、电阻发热按本节的功率分账。
• 常一起考：18.4 节动态分析（问某元件的功率怎样变化）。

18.6 含容电路

说明

电容器接在直流电路里（电容器和电容的定义见第 16 章，$Q = CU$）：

• 充放电过程中，电容器所在支路有电流，极板上的电荷量在变。
• 电路稳定后，电容器极板上的电荷量不再变化，电容器所在支路没有电流：
  • 计算电路的电流时，把电容器支路当作断路去掉；
  • 与电容器串联的电阻上没有电压降（$U = IR = 0$），两端等电势，相当于一段导线；
  • 电容器两端的电压，等于与它（连同串联电阻）并联的那部分电路两端的电压。
• 电路变化后（开关通断、滑片移动），电容器电压由 $U_1$ 变为 $U_2$，电荷量变化

$$\Delta Q = C|U_2 - U_1| \quad \text{（极性不变）}, \qquad \Delta Q = C(U_1 + U_2) \quad \text{（极性反转）}$$

这些电荷全部流过与电容器串联的那条支路。

模型：理想电容器（不漏电）；“稳定后”指充放电已经结束。

使用场景

• 电路稳定，求电容器的电压或电荷量 → 电容器支路无电流，当断路 → 先算其余电路的电流，再找电容器两端对应哪一部分电路的电压，$Q = CU$。
• 开关通断或滑片移动后，求通过某电阻的电荷量 → 前后两个稳定状态 → 分别求电容器电压，判断两次极板极性，$\Delta Q = C\Delta U$（极性反转时两电压相加）。
• 电容器两板间有带电微粒，电路变化后判断微粒怎么运动 → 平行板间是匀强电场 $E = \dfrac{U}{d}$ → 由电容器电压的变化判断电场力 $qE$ 与重力 $mg$ 的大小关系。

注意点

• 只有稳定后电容器支路才没有电流。题目问“开关闭合瞬间”“充电过程中”时，电容器支路有电流（第 40 章“观察电容器的充放电现象”）。
• 与电容器串联的电阻不影响电容器的稳定电压，只影响充放电的快慢。
• 电容器的电压不等于“与它串联的那个电阻的电压”（那是零），而是它所在支路两端的电压，也就是与这条支路并联的那部分电路的电压。
• 电路变化前后要分别判断两极板哪块电势高。极性反转时，一块板先放掉原来的电荷、再充上相反的电荷，流过的电荷量是两者之和。
• 断开电源后，电容器会通过与它并联的电阻放电，最后电荷量为零；只有电容器两端完全断开（孤立）时电荷量才保持不变（第 16 章）。
• 本节的 $E$ 有时指电动势，有时指板间场强，题目里两者同时出现时，场强常写作 $E_{\text{场}}$ 或直接用 $\dfrac{U}{d}$。

推导

为什么稳定后电容器支路没有电流：电容器接通后，电荷流到极板上，极板电荷量 $Q$ 增大，电容器电压 $U_C = \dfrac{Q}{C}$ 随之增大。设电容器支路两端的电压为 $U_{\text{支}}$，支路中串联电阻 $R$ 上的电压是 $U_{\text{支}} - U_C$，充电电流

$$I = \frac{U_{\text{支}} - U_C}{R}$$

$U_C$ 增大，电流减小；$U_C$ 增大到等于 $U_{\text{支}}$ 时，电流为零，充电结束。

（关键一步：充电结束的条件就是 $U_C = U_{\text{支}}$。所以稳定后电容器电压等于支路两端电压，串联电阻上电压为零、电流为零。）

充电电流随时间按指数规律减小，严格描述要用微分方程（大学内容），高中只要求定性：电流越来越小，最后为零。

$\Delta Q$ 为什么流过串联支路：电容器两极板上的电荷只能经由与它相连的导线进出。电路变化后，极板电荷量从 $Q_1$ 变为 $Q_2$，差值 $|Q_2 - Q_1| = C|U_2 - U_1|$ 一定从这条支路流过。极性反转时，原来带正电 $Q_1$ 的板最后带负电 $Q_2$，流过的电荷量是 $Q_1 + Q_2 = C(U_1 + U_2)$。

例题

例 1　（场景：稳定后求电容器的电荷量）如图，电源电动势 $E = 12\ \mathrm{V}$，内阻 $r = 1\ \mathrm{\Omega}$，$R_1 = 6\ \mathrm{\Omega}$，$R_2 = 5\ \mathrm{\Omega}$，$R_3 = 100\ \mathrm{\Omega}$，电容器电容 $C = 20\ \mathrm{\mu F}$。开关 $S$ 断开，电路稳定后，求电容器两端的电压、所带的电荷量，以及 $R_3$ 两端的电压。

解：

研究对象：整个电路，重点是电容器。

过程划分：$S$ 断开、电路稳定，一个状态。

分析：稳定后电容器支路没有电流，计算电流时把 $C$、$R_3$ 这条支路去掉，电路就是 $R_1$、$R_2$ 与电源串联。$R_3$ 上没有电流，没有电压，电容器电压等于 $R_2$ 两端电压（本节“稳定后”）。

列式求解：

$$I = \frac{E}{R_1 + R_2 + r} = \frac{12}{6 + 5 + 1}\ \mathrm{A} = 1\ \mathrm{A}$$

$U_C = U_2 = IR_2 = 1 \times 5\ \mathrm{V} = 5\ \mathrm{V}$，

$$Q = CU_C = 20 \times 10^{-6} \times 5\ \mathrm{C} = 1.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{C}$$

$R_3$ 中没有电流，两端电压为 0。

检验：单位 $\mathrm{F} \times \mathrm{V} = \mathrm{C}$，对。$R_3 = 100\ \mathrm{\Omega}$ 很大，但它不影响结果，因为没有电流就没有电压降。

容易卡在：把 $R_3$ 和 $R_2$ 当成并联来算外电阻，或者让 $R_3$ 和电容器分电压。

例 2　（场景：电路变化后通过电阻的电荷量）在例 1 的电路中，电路稳定后闭合开关 $S$。从闭合 $S$ 到电路再次稳定，通过 $R_3$ 的电荷量是多少？

解：

研究对象：电容器和 $R_3$ 所在的支路。

过程划分：两个稳定状态：$S$ 断开（例 1）和 $S$ 闭合。之间是电容器的充电过程。

分析：$S$ 闭合后 $R_1$ 被短路，外电路只剩 $R_2$。分别求两个状态的电容器电压，用本节”$\Delta Q = C\Delta U$“。两种状态下电流都是先经 $R_1$（或开关）再自上而下流过 $R_2$，$R_2$ 上端电势高，电容器上极板都带正电，极性不变。图见例 1。

列式求解：$S$ 闭合后

$$I' = \frac{E}{R_2 + r} = \frac{12}{5 + 1}\ \mathrm{A} = 2\ \mathrm{A}, \qquad U_C' = I'R_2 = 10\ \mathrm{V}$$

$Q' = CU_C' = 2.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{C}$。通过 $R_3$ 的电荷量

$$\Delta Q = Q' - Q = C(U_C' - U_C) = 20 \times 10^{-6} \times (10 - 5)\ \mathrm{C} = 1.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{C}$$

检验：外电阻减小，路端电压应减小（$11\ \mathrm{V} \to 10\ \mathrm{V}$），但 $R_2$ 分到的电压从 $5\ \mathrm{V}$ 增大到 $10\ \mathrm{V}$，因为 $R_1$ 被短路后 $R_2$ 独占了路端电压，合理。电容器在充电，电荷从上方经 $R_3$ 流向上极板。

容易卡在：以为 $S$ 和 $R_1$ 并联、外电阻减小，所以电容器电压也减小。$R_2$ 和 $R_1$ 是串联关系，“串反”：$R_1$ 减小（变为 0），$R_2$ 的电压增大（18.4 节）。

例 3　（场景：板间带电微粒的运动）如图，水平放置的平行板电容器并联在定值电阻 $R_1$ 两端，板间有一带负电的油滴恰好静止。将滑动变阻器 $R$ 的滑片向使其接入阻值增大的方向移动，油滴将怎样运动？

解：油滴向下做加速运动。

判断依据：电容器电压等于 $R_1$ 两端电压；板间场强 $E_{\text{场}} = \dfrac{U}{d}$（第 16 章）；静止时 $qE_{\text{场}} = mg$。

$R$ 增大 → 外电阻增大 → 干路电流 $I$ 减小 → $U_1 = IR_1$ 减小（$R_1$ 与 $R$ 串联，“串反”）→ 电容器电压减小，$d$ 不变，板间场强减小 → 向上的静电力 $qE_{\text{场}}$ 减小，小于重力 → 合力向下，油滴向下加速。

容易卡在：以为电容器“一直接在电源上，电压不变”。电容器并联在 $R_1$ 两端，电压是 $R_1$ 的电压，随电路变化。

常用推论

• 稳定后电容器所在支路当作断路，与它串联的电阻两端电压为零。推导见本节。
• 电容器电压等于与它所在支路并联的那部分电路的电压。
• 电路变化前后电荷量变化 $\Delta Q = C\Delta U$；极性反转时 $\Delta Q = C(U_1 + U_2)$。推导见本节。
• 电源断开后，电容器通过几条并联支路放电，各支路通过的电荷量与支路电阻成反比。几条支路两端电压时刻相同，电流与电阻成反比，累积的电荷量也与电阻成反比（第 1 章 1.4 节，$I$-$t$ 图面积是电荷量）。
• 电容器两端电压的变化可以用 18.4 节的串反并同判断：电容器跟着它并联的那部分电路变。

易错点

• 错在哪：稳定后仍让与电容器串联的电阻分电压，或把这条支路算进外电阻。 为什么错：直觉把电容器当成“一个电阻”。稳定后电容器支路没有电流，串联电阻上 $U = IR = 0$。 正确做法：先把电容器支路整个去掉，算出其余电路的电压，再看电容器两端接在哪两点之间。
• 错在哪：认为电容器的电压等于电动势。 为什么错：把“电容器接在电源上”理解成“直接接在电源两极上”。电容器只能分到它所并联那部分电路的电压；即使接在电源两端，有电流时也只有路端电压 $E - Ir$。 正确做法：找出电容器两极板分别接在电路的哪两点，求这两点间的电压。
• 错在哪：极板极性反转时，用 $\Delta Q = C(U_2 - U_1)$ 算流过的电荷量。 为什么错：只看了电压大小的变化，没看方向。极性反转时，一块板要先放掉 $Q_1$，再充上 $Q_2$。 正确做法：前后各判断一次哪块板电势高；同号相减，反号相加。
• 错在哪：认为有电容器的支路任何时候都没有电流。 为什么错：电容器“隔直流”说的是稳定后。开关刚闭合或电路刚变化时，电容器在充电或放电，支路里有短暂的电流。 正确做法：问“稳定后”按断路处理，问“过程中通过的电荷量”用 $\Delta Q$。

直观理解

电容器像接在水管旁边的一个带弹性薄膜的水箱：管道压强一变，水就流进或流出水箱，直到箱内压强和接口处的压强相等，然后就不再流动。稳定时水箱支路没有水流，箱里的“水位”（电压）等于它两个接口之间的压强差；接口间的压强差一变，就有一股水（$\Delta Q$）流进或流出。

关联知识点

• 前置：第 16 章电容器与电容，$Q = CU$、$E = \dfrac{U}{d}$，以及带电微粒在电场中的平衡。
• 前置：18.3 节、18.4 节，电容器电压的计算和变化都靠它们。
• 后续：第 28 章电磁感应中的含容电路，导体棒切割磁感线给电容器充电，充电电流使棒受安培力。
• 后续：第 30 章 LC 振荡，电容器反复充放电。
• 常一起考：第 40 章“观察电容器的充放电现象”，$I$-$t$ 图像的面积是电荷量（第 1 章 1.4 节）。

18.7 知识点之间的关系

本章五个知识点从一条式子长出来：18.2 节说清电动势从哪来；18.3 节用能量守恒得到 $E = U + Ir$，纯电阻时 $I = \dfrac{E}{R + r}$；18.4 节把它用在“一个电阻变化”的电路上；18.5 节把它乘上 $I$ 变成功率；18.6 节在电路里加进电容器，稳定时把电容器支路去掉，回到前面的问题。拿到题目，按下面的过程选择图判断该用哪一条。

18.8 自测

1. 某电池的电动势为 $2\ \mathrm{V}$，电路中通过 $3\ \mathrm{C}$ 的电荷量时，电源把多少焦的其他形式的能转化为电能？
2. 一块充电宝标有”$3.7\ \mathrm{V}$　$10000\ \mathrm{mA \cdot h}$“，充满后储存的能量约为多少焦？
3. 电源电动势 $E = 3\ \mathrm{V}$，内阻 $r = 0.5\ \mathrm{\Omega}$，外接 $R = 2.5\ \mathrm{\Omega}$ 的电阻。求电流和路端电压。
4. 某电源的 $U$-$I$ 图线经过 $(0, 1.50\ \mathrm{V})$ 和 $(0.50\ \mathrm{A}, 1.00\ \mathrm{V})$，求它的电动势、内阻和短路电流。
5. 电源内阻不为零，外电路是两盏并联的灯泡，每盏灯各有一个开关。断开其中一盏灯的开关，另一盏灯的亮度怎样变化？
6. 电源电动势 $E = 10\ \mathrm{V}$，内阻 $r = 2\ \mathrm{\Omega}$，外接可变电阻。电源的最大输出功率是多少？外电阻为 $8\ \mathrm{\Omega}$ 时，电源的效率是多少？
7. 电源电动势 $E = 6\ \mathrm{V}$，内阻 $r = 1\ \mathrm{\Omega}$，与 $R_1 = 2\ \mathrm{\Omega}$、$R_2 = 3\ \mathrm{\Omega}$ 串联，电容 $C = 10\ \mathrm{\mu F}$ 的电容器并联在 $R_2$ 两端。电路稳定后电容器所带的电荷量是多少？

答案：1. $6\ \mathrm{J}$；2. 约 $1.3 \times 10^5\ \mathrm{J}$（$3.7 \times 3.6 \times 10^4\ \mathrm{J}$）；3. $1\ \mathrm{A}$，$2.5\ \mathrm{V}$；4. $E = 1.50\ \mathrm{V}$，$r = 1.0\ \mathrm{\Omega}$，短路电流 $1.5\ \mathrm{A}$；5. 变亮（外电阻增大，路端电压增大）；6. $12.5\ \mathrm{W}$，$80\%$；7. $3.0 \times 10^{-5}\ \mathrm{C}$。

18.9 深入阅读

• PhET · 电路构建工具包（直流）：自己搭电池、电阻、灯泡和电表，可以给电池设内阻，直接看外电阻变化时路端电压和灯泡亮度怎样变。
• 维基百科 · 电动势：电动势的定义、非静电力的来源（化学、电磁感应等）和与电压的区别。
• 国家中小学智慧教育平台：教育部主办，有人教版必修第三册第十二章“电能　能量守恒定律”的同步课程和教材电子版。