第 19 章 · 动量与动量定理

项目	内容
课标主题	选择性必修 1 · 动量与动量守恒定律（理解冲量和动量；通过理论推导和实验，理解动量定理，能用其解释生产生活中的有关现象）
人教版（2019）	选择性必修第一册 第一章“动量守恒定律”第 1 节“动量”、第 2 节“动量定理”
考试地位	常考。选择题考缓冲、流体冲击的解释和估算；计算题里用它求平均作用力和作用时间，常和第 20 章动量守恒、第 13 章动能定理一起出现；电磁感应计算题常用它求电荷量和位移（第 28 章）
前置知识	第 1 章矢量的正负号表示和 $F$-$t$ 图像的面积；第 3 章匀变速直线运动；第 6 章牛顿第二定律；第 13 章动能定理

动量定理是牛顿第二定律的另一种写法：不看某一时刻的加速度，而看力在一段时间里的累积（冲量）把速度改变了多少（动量的变化）。凡是题目给了作用时间、问平均作用力，或者力在变、过程说不清，它往往比牛顿定律加运动学好用得多。丢分主要在三处：动量和冲量是矢量，速度反向时忘了取正方向；列式时只算了主要的力，漏了重力；流体冲击题不知道该拿什么当研究对象。

19.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
19.2 动量	$\vec{p} = m\vec{v}$，矢量，方向和速度相同；动量变化 $\Delta\vec{p} = \vec{p}_2 - \vec{p}_1$ 按矢量相减	常考概念，常和动能对比
19.3 冲量	$\vec{I} = \vec{F}\Delta t$，力对时间的累积，矢量；变力的冲量是 $F$-$t$ 图像的面积	常考，选择题居多
19.4 动量定理	合力的冲量等于动量的变化：$\vec{F}_{\text{合}}\Delta t = m\vec{v}' - m\vec{v}$	常考，计算题求平均力、作用时间
19.5 动量定理的应用：缓冲与流体冲击	动量变化一定时，作用时间越长、力越小；连续流体取 $\Delta t$ 内的一段为研究对象	选择题常考解释，计算题偶考流体

19.2 动量

说明

动量：物体的质量和速度的乘积。

$$\vec{p} = m\vec{v}$$

• 矢量，方向和速度方向相同。
• 单位：$\mathrm{kg \cdot m/s}$。
• 状态量：说动量，要说清是哪一时刻（或哪个位置）的动量。
• 速度相对哪个参考系，动量就相对哪个参考系。高中题目一律以地面为参考系。

动量的变化（动量的增量）：

$$\Delta\vec{p} = \vec{p}_2 - \vec{p}_1 = m\vec{v}_2 - m\vec{v}_1$$

按矢量相减，方向和速度变化量 $\Delta\vec{v}$ 的方向相同。

• 一条直线上（标量式）：取正方向，与正方向相同的速度取正、相反的取负，$\Delta p = mv_2 - mv_1$，结果的正负号表示 $\Delta\vec{p}$ 的方向。这和第 1 章 1.3 节例 2 求速度变化量是同一个做法，只是多乘一个质量。
• 不在一条直线上：用三角形定则，把 $\vec{p}_1$、$\vec{p}_2$ 从同一点画出，$\Delta\vec{p}$ 从 $\vec{p}_1$ 的末端指向 $\vec{p}_2$ 的末端。

动量和动能：两者都由质量和速度决定，但动量是矢量、动能是标量。大小关系：

$$E_{\text{k}} = \frac{p^2}{2m}, \qquad p = \sqrt{2mE_{\text{k}}}$$

这里的 $p$ 是动量的大小。理想模型：物体看成质点；速度远小于光速（接近光速时动量要用相对论的式子，高中不要求）。

使用场景

• 物体反弹、被击回、竖直上抛后落回（速度反向）→ 一维矢量 → 取正方向，$\Delta p = mv_2 - mv_1$，速度带符号代入。
• 物体做曲线运动（圆周运动、平抛），问两点之间的动量变化 → 二维矢量 → 画矢量三角形求 $\Delta\vec{p}$；只受恒力时也可以用 19.4 节的 $\Delta\vec{p} = \vec{F}\Delta t$。
• 已知动能求动量（或反过来），或比较两个物体的动量、动能 → 两者的大小关系 → $p = \sqrt{2mE_{\text{k}}}$。

注意点

• 求动量变化前，先写“取……为正方向”。题目没规定的，一般取初速度方向或末速度方向为正，选哪个都行，但一道题里中途不能换。
• $\Delta\vec{p}$ 是“末减初”，不是“大减小”。速度由 $8\ \mathrm{m/s}$ 向下变成 $6\ \mathrm{m/s}$ 向上，动量变化的大小是 $m \times 14\ \mathrm{m/s}$，不是 $m \times 2\ \mathrm{m/s}$。
• 动量相同要求大小和方向都相同。匀速圆周运动的物体，动量大小不变、方向时刻在变，所以动量在变。
• 动量大小不变，动能一定不变；动能不变，动量大小不变，但方向可以变。所以“动能变了，动量一定变”；“动量变了，动能不一定变”。
• 单位 $\mathrm{kg \cdot m/s}$ 和冲量的单位 $\mathrm{N \cdot s}$ 是同一个单位（19.3 节），写哪个都对。

推导

动量是定义出来的量，没有推导；这里说明为什么要定义它，以及动量和动能的关系怎样得出。

为什么要定义 $mv$：同样的速度，质量大的物体更难停下来；同样的质量，速度大的更难停下来。要让运动的物体停下，需要的“力乘时间”恰好与 $mv$ 成正比（19.4 节的动量定理）。所以 $mv$ 量的是“运动的量”：要多大的冲量才能让它停下。牛顿在《自然哲学的数学原理》（1687 年）里称它为“运动的量”，第二定律原本就是用它的变化来表述的。

$E_{\text{k}}$ 和 $p$ 的关系：

$$E_{\text{k}} = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{(mv)^2}{2m} = \frac{p^2}{2m}$$

（关键一步：把 $\dfrac{1}{2}mv^2$ 的分子分母同乘 $m$，凑出 $(mv)^2$。这里的 $p$ 只是大小，动能没有方向，所以只和动量的大小有关。）

例题

例 1　（场景：速度反向）质量 $60\ \mathrm{g}$ 的网球以 $20\ \mathrm{m/s}$ 的速度水平飞来，被球拍以 $30\ \mathrm{m/s}$ 的速度沿原直线反向击回。求击球过程中网球动量的变化。

解：

研究对象：网球。

过程划分：只看击球前后两个状态，速度在同一直线上、方向相反。

分析：一维矢量问题，先取正方向。$m = 60\ \mathrm{g} = 0.06\ \mathrm{kg}$。

列式求解：取击回方向为正方向，则 $v_1 = -20\ \mathrm{m/s}$，$v_2 = 30\ \mathrm{m/s}$。

$$\Delta p = mv_2 - mv_1 = 0.06 \times 30\ \mathrm{kg \cdot m/s} - 0.06 \times (-20)\ \mathrm{kg \cdot m/s} = 3\ \mathrm{kg \cdot m/s}$$

结果为正，动量变化大小 $3\ \mathrm{kg \cdot m/s}$，方向与击回方向相同。

检验：单位对。方向：球拍把球往回推，动量的变化应指向击回方向，对。大小比初、末动量（$1.2$、$1.8\ \mathrm{kg \cdot m/s}$）都大，这是速度反向的特点。

容易卡在：算成 $0.06 \times (30 - 20) = 0.6\ \mathrm{kg \cdot m/s}$，忘了两个速度方向相反。

例 2　（场景：曲线运动的动量变化）质量 $0.5\ \mathrm{kg}$ 的小球以 $4\ \mathrm{m/s}$ 的速率做匀速圆周运动。求小球从 $A$ 点转过四分之一圈到 $B$ 点、以及转过半圈到 $C$ 点的过程中，动量的变化。

解：

研究对象：小球。

过程划分：$A \to B$ 速度方向转过 $90^\circ$；$A \to C$ 速度方向转过 $180^\circ$。

分析：动量大小处处是 $p = mv = 0.5 \times 4\ \mathrm{kg \cdot m/s} = 2\ \mathrm{kg \cdot m/s}$，方向沿切线。初、末动量不在一条直线上，用三角形定则求差。

列式求解：$A \to B$：$\vec{p}_A$ 与 $\vec{p}_B$ 垂直，矢量三角形是等腰直角三角形，

$$|\Delta\vec{p}| = \sqrt{p_A^2 + p_B^2} = \sqrt{2^2 + 2^2}\ \mathrm{kg \cdot m/s} = 2\sqrt{2}\ \mathrm{kg \cdot m/s} \approx 2.8\ \mathrm{kg \cdot m/s}$$

方向与 $\vec{p}_A$ 成 $135^\circ$，即从图中看指向左下方（大致指向圆心一侧）。

$A \to C$：$\vec{p}_C$ 与 $\vec{p}_A$ 方向相反，一条直线上的问题。取 $\vec{p}_A$ 方向为正，

$$\Delta p = (-2)\ \mathrm{kg \cdot m/s} - 2\ \mathrm{kg \cdot m/s} = -4\ \mathrm{kg \cdot m/s}$$

大小 $4\ \mathrm{kg \cdot m/s}$，方向与小球在 $A$ 点的速度方向相反。

检验：两段过程速率都没变，动能变化为零，但动量变了，符合“动量变了，动能不一定变”。$\Delta\vec{p}$ 的方向是合力（向心力）在这段时间里的“平均方向”，指向圆心一侧，合理。

容易卡在：以为速率不变，动量就不变，得出 $\Delta p = 0$。

例 3　（场景：动量和动能的换算）甲、乙两个物体的动能相等，甲的质量是乙的 4 倍。甲、乙的动量大小之比为（　）。

A. $1:4$　B. $1:2$　C. $2:1$　D. $4:1$

解：C。

判断依据：$p = \sqrt{2mE_{\text{k}}}$，动能相同时 $p \propto \sqrt{m}$。

$$\frac{p_{\text{甲}}}{p_{\text{乙}}} = \sqrt{\frac{m_{\text{甲}}}{m_{\text{乙}}}} = \sqrt{4} = 2$$

也可以这样想：动能相同，甲的质量是乙的 4 倍，甲的速度就是乙的 $\dfrac{1}{2}$，动量 $mv$ 就是乙的 $4 \times \dfrac{1}{2} = 2$ 倍。

常用推论

• $E_{\text{k}} = \dfrac{p^2}{2m}$、$p = \sqrt{2mE_{\text{k}}}$：动量相同时，质量小的动能大；动能相同时，质量大的动量大。第 20 章碰撞、爆炸题常用。由本节推导得出。
• 速度反向时，$|\Delta p| = mv_1 + mv_2$（两个速度的大小相加再乘质量）。原速率弹回时 $|\Delta p| = 2mv$。由取正方向后代入 $\Delta p = mv_2 - mv_1$ 得出。
• 匀速圆周运动转过半圈，$|\Delta p| = 2mv$；转过一整圈，$\Delta p = 0$。例 2。

易错点

• 错在哪：速度反向时，动量变化用大小相减。 为什么错：直觉把动量当成“多少”，像质量一样只看大小。动量和速度一样有方向，例 1 中速度从向右变成向左，动量变化比初、末动量都大。 正确做法：先写“取……为正方向”，每个速度带符号代入。
• 错在哪：认为速率不变，动量就不变。 为什么错：把动量和动能混为一谈。动能只看速度大小，动量还看方向；匀速圆周运动动能不变，动量时刻在变。 正确做法：判断动量是否变化，大小和方向都要看。
• 错在哪：认为动量大的物体，动能也一定大。 为什么错：$E_{\text{k}} = \dfrac{p^2}{2m}$，还和质量有关。慢慢走的卡车动量可能比子弹大，但动能可能比子弹小。 正确做法：比较动能用 $\dfrac{p^2}{2m}$，质量不同时不能只看动量。

直观理解

动量是“停下它有多难”：同样用手去接，接一个慢慢滚来的铅球和接一个飞来的乒乓球，难度不一样，难在哪里看的就是 $mv$。动能是“它撞上去能做多少功”。一个看“要多长时间的力才能让它停”，一个看“要多长距离的力才能让它停”。

关联知识点

• 前置：第 1 章 1.3 节一条直线上的矢量用正负号表示方向，求速度变化量的做法。
• 前置：矢量的减法和三角形定则，见《高中数学知识点梳理》第 14 章。
• 前置：第 10 章匀速圆周运动，速度方向沿切线。
• 后续：19.4 节动量定理，动量的变化由合力的冲量决定。
• 后续：第 20 章动量守恒定律，碰撞、爆炸中用 $p$ 和 $E_{\text{k}}$ 的换算判断碰后速度是否合理。
• 常一起考：第 13 章动能，两者的对比常出选择题。

19.3 冲量

说明

冲量：力和力的作用时间的乘积。恒力 $\vec{F}$ 作用时间 $\Delta t$，冲量

$$\vec{I} = \vec{F}\Delta t$$

• 矢量，恒力的冲量方向与力的方向相同。
• 单位：$\mathrm{N \cdot s}$。由 $1\ \mathrm{N} = 1\ \mathrm{kg \cdot m/s^2}$，$1\ \mathrm{N \cdot s} = 1\ \mathrm{kg \cdot m/s}$，和动量的单位相同。
• 过程量：说冲量，要说清是哪个力、在哪段时间内的冲量。

变力的冲量：力的大小随时间变化（方向不变）时，冲量等于 $F$-$t$ 图像与 $t$ 轴围成的面积。这是第 1 章 1.4 节表格中”$F$-$t$ 图的面积表示冲量“那一行。力随时间均匀变化时，面积是梯形，冲量等于平均力 $\dfrac{F_1 + F_2}{2}$ 乘时间。

合力的冲量：几个力同时作用，合力的冲量等于各个力冲量的矢量和；各力都是恒力时，也等于合力乘时间：

$$\vec{I}_{\text{合}} = \vec{I}_1 + \vec{I}_2 + \cdots = \vec{F}_{\text{合}}\Delta t$$

冲量和功的区别：冲量是力对时间的累积，是矢量；功是力对位移的累积，是标量。一个力只要作用了一段时间，就有冲量，不管物体动没动、力和速度是否垂直；而功要求在力的方向上有位移。

使用场景

• 问某个恒力（包括重力、支持力这类“不做功”的力）在一段时间内的冲量 → 恒力乘时间 → $I = F\Delta t$，方向与力相同；合力的冲量用 $F_{\text{合}}\Delta t$ 或各冲量矢量相加。
• 力的大小随时间变化，给了 $F$-$t$ 图像或 $F$ 与 $t$ 的线性关系 → 变力的冲量 → 求 $F$-$t$ 图像的面积；线性变化时用平均力乘时间。
• 选择题把冲量和功放在一起问（物体静止、力和速度垂直）→ 两种累积 → 冲量看时间，功看力方向上的位移。

注意点

• 冲量和物体是否运动无关。人推墙推了 $10\ \mathrm{s}$，推力的冲量不为零；静止在桌上的书，重力的冲量随时间一直在增加。
• 求某个力的冲量，就用这个力乘时间，不能用合力。斜面上下滑的物体，重力的冲量是 $mg\Delta t$，方向竖直向下，不是 $mg\sin\theta \cdot \Delta t$。
• 恒力冲量的方向就是力的方向；变力的冲量方向要由动量定理（19.4 节）从 $\Delta\vec{p}$ 的方向判断，一般不等于某一时刻力的方向。
• 力的方向也在变（如匀速圆周运动的向心力）时，不能用“大小乘时间”求冲量，只能用动量定理由 $\Delta\vec{p}$ 求。
• 一维问题中冲量也要带正负号：取正方向后，与正方向相反的力，冲量为负。

推导

冲量是定义出来的量，这里说明变力的冲量为什么是 $F$-$t$ 图像的面积，做法和第 1 章 1.4 节”$v$-$t$ 图像的面积是位移“完全一样。

1. 恒力时，$F$-$t$ 图像是水平线，冲量 $F\Delta t$ 正好是矩形面积。
2. 力变化时，把时间分成许多小段 $\Delta t$，每一小段内力几乎不变，这一小段的冲量约为 $F\Delta t$，是一个窄矩形的面积（见 19.4 节推导中的图）。
3. 把所有窄矩形的面积加起来，就是总冲量；分得越细越准确，极限就是图线下的面积。

（关键一步：第 2 步“每一小段内力几乎不变”。时间段足够短时，这个近似的误差可以小到任意程度。）

严格的写法是 $\vec{I} = \int \vec{F}\,\mathrm{d}t$，要用到大学的定积分，高中课标不要求。

例题

例 1　（场景：恒力的冲量，含不做功的力）质量 $2\ \mathrm{kg}$ 的物块从倾角 $37^\circ$ 的光滑固定斜面上由静止滑下，求下滑 $2\ \mathrm{s}$ 内重力、支持力和合力的冲量（$\sin 37^\circ = 0.6$，$\cos 37^\circ = 0.8$）。

解：

研究对象：物块。

过程划分：只有一个过程，沿斜面匀加速下滑 $2\ \mathrm{s}$，各力都是恒力。

分析：受重力和支持力，斜面光滑无摩擦。

$G = mg = 20\ \mathrm{N}$；垂直斜面方向平衡，$F_{\text{N}} = mg\cos 37^\circ = 16\ \mathrm{N}$；合力沿斜面向下，$F_{\text{合}} = mg\sin 37^\circ = 12\ \mathrm{N}$。

列式求解：恒力的冲量等于力乘时间，方向与力相同（用本节“说明”中的 $\vec{I} = \vec{F}\Delta t$）：

• 重力：$I_G = 20 \times 2\ \mathrm{N \cdot s} = 40\ \mathrm{N \cdot s}$，竖直向下；
• 支持力：$I_{\text{N}} = 16 \times 2\ \mathrm{N \cdot s} = 32\ \mathrm{N \cdot s}$，垂直斜面向上；
• 合力：$I_{\text{合}} = 12 \times 2\ \mathrm{N \cdot s} = 24\ \mathrm{N \cdot s}$，沿斜面向下。

检验：把重力的冲量分解：沿斜面 $40 \times 0.6 = 24\ \mathrm{N \cdot s}$，垂直斜面 $40 \times 0.8 = 32\ \mathrm{N \cdot s}$，后者正好被支持力的冲量抵消，剩下 $24\ \mathrm{N \cdot s}$ 沿斜面向下，和合力的冲量一致。

容易卡在：认为支持力不做功，所以冲量也为零。支持力和速度垂直，功为零，但它作用了 $2\ \mathrm{s}$，冲量是 $32\ \mathrm{N \cdot s}$。

例 2　（场景：$F$-$t$ 图像求冲量）一个水平拉力随时间变化的图像如图所示：$0 \sim 2\ \mathrm{s}$ 内由 0 均匀增大到 $20\ \mathrm{N}$，$2 \sim 4\ \mathrm{s}$ 内保持 $20\ \mathrm{N}$，方向不变。求 $0 \sim 4\ \mathrm{s}$ 内拉力的冲量。

解：

研究对象：拉力。

过程划分：$0 \sim 2\ \mathrm{s}$ 力均匀增大，$2 \sim 4\ \mathrm{s}$ 力不变，分两段。

分析：前一段是变力，不能直接用 $F\Delta t$；冲量等于 $F$-$t$ 图像下的面积（本节“说明”）。

列式求解：

$$I = \frac{1}{2} \times 2 \times 20\ \mathrm{N \cdot s} + 2 \times 20\ \mathrm{N \cdot s} = 20\ \mathrm{N \cdot s} + 40\ \mathrm{N \cdot s} = 60\ \mathrm{N \cdot s}$$

方向与拉力方向相同。

检验：如果 $4\ \mathrm{s}$ 内一直是 $20\ \mathrm{N}$，冲量是 $80\ \mathrm{N \cdot s}$；前 $2\ \mathrm{s}$ 力较小，结果应小于 $80\ \mathrm{N \cdot s}$，$60 < 80$，合理。

另一种解法：前 $2\ \mathrm{s}$ 力随时间均匀变化，平均力 $\dfrac{0 + 20}{2}\ \mathrm{N} = 10\ \mathrm{N}$，冲量 $10 \times 2\ \mathrm{N \cdot s} = 20\ \mathrm{N \cdot s}$，再加后 $2\ \mathrm{s}$ 的 $40\ \mathrm{N \cdot s}$。力和时间成线性关系、题目没给图时，用平均力最快；关系不是线性的（曲线），只能求面积，平均力法不能用。

例 3　（场景：冲量和功的对比）用 $50\ \mathrm{N}$ 的水平力推放在水平地面上的箱子，推了 $10\ \mathrm{s}$，箱子始终没动。下列说法正确的是（　）。

A. 箱子没动，推力的冲量为零 B. 推力的冲量大小为 $500\ \mathrm{N \cdot s}$ C. 箱子所受合力的冲量大小为 $500\ \mathrm{N \cdot s}$ D. 推力做的功为 $500\ \mathrm{J}$

解：B。

判断依据：冲量是力乘时间，和物体动不动无关；功要求在力的方向上有位移。

推力的冲量 $I = 50 \times 10\ \mathrm{N \cdot s} = 500\ \mathrm{N \cdot s}$，A 错 B 对。箱子静止，合力为零，合力的冲量为零，C 错（静摩擦力的冲量和推力的冲量抵消）。箱子没有位移，推力不做功，D 错。

常用推论

• 恒力的冲量只由力和时间决定，与物体的运动状态、是否受其他力都无关。由定义 $\vec{I} = \vec{F}\Delta t$ 直接得出。
• 力随时间均匀变化时，冲量 $I = \dfrac{F_1 + F_2}{2}\Delta t$（梯形面积，例 2 另一种解法）。
• 物体静止或做匀速直线运动时，合力的冲量为零，但每个力的冲量一般不为零（例 3）。
• 物体只受重力（自由落体、竖直上抛、平抛、斜抛）时，任意 $\Delta t$ 内合力的冲量都是 $mg\Delta t$，竖直向下。19.4 节例 3 用它求平抛的动量变化。

易错点

• 错在哪：认为物体没动，力的冲量就为零。 为什么错：把冲量和功混了。“没有位移就没有功”是对的，但冲量看的是时间，不看位移。 正确做法：冲量只问“多大的力、作用了多久”。例 3 中推力的冲量是 $500\ \mathrm{N \cdot s}$。
• 错在哪：求斜面上物体重力的冲量，用重力的分力 $mg\sin\theta$ 乘时间。 为什么错：题目问的是重力的冲量，就要用整个重力。$mg\sin\theta \cdot \Delta t$ 只是重力冲量沿斜面的分量。 正确做法：哪个力的冲量就用哪个力，$I_G = mg\Delta t$，方向竖直向下。
• 错在哪：匀速圆周运动中，用向心力大小乘时间求向心力的冲量。 为什么错：$\vec{I} = \vec{F}\Delta t$ 只对恒力成立。向心力大小不变，但方向一直在变，不是恒力。转一整圈后速度回到原来的样子，动量变化为零，向心力的冲量也为零，可 $F \cdot T$ 不为零。 正确做法：方向变化的力，用动量定理由 $\Delta\vec{p}$ 求冲量（19.4 节）。

直观理解

冲量是“推了多大劲、推了多久”的乘积，就像“流量乘时间等于总水量”。$F$-$t$ 图像下的面积就是这份“总推力”：力大时间短，或者力小时间长，面积可以一样大。

关联知识点

• 前置：第 1 章 1.4 节图像的面积，$F$-$t$ 图像的面积是冲量。
• 前置：第 4 章受力分析，求冲量前先找齐每个力。
• 后续：19.4 节动量定理，合力的冲量等于动量的变化。
• 常一起考：第 12 章功。冲量是力对时间的累积，功是力对位移的累积，常放在一道选择题里对比。
• 后续：第 28 章电磁感应，安培力的冲量 $BIL\Delta t = BLq$，由电荷量求冲量。

19.4 动量定理

说明

动量定理：物体所受合力的冲量，等于物体动量的变化。

矢量式：

$$\vec{F}_{\text{合}}\Delta t = m\vec{v}' - m\vec{v} \qquad \text{即} \qquad \vec{I}_{\text{合}} = \Delta\vec{p}$$

标量式（一条直线上，先取正方向）：

$$F_{\text{合}}\Delta t = mv' - mv$$

各量带正负号代入。变力时 $F_{\text{合}}$ 是这段时间内合力的平均值（对时间的平均）。

另一种写法（牛顿第二定律的动量形式）：

$$\vec{F}_{\text{合}} = \frac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}$$

合力等于动量的变化率。

适用范围：恒力、变力，直线运动、曲线运动都成立；以地面（惯性参考系）为参考系。研究对象是一个物体（质点），也可以是几个物体组成的系统，这时 $\vec{F}_{\text{合}}$ 只算系统外的物体施加的力，系统内物体之间的相互作用力冲量成对抵消（第 20 章动量守恒由此而来）。

使用场景

• 碰撞、击打、落地反弹，给了作用时间，问平均作用力 → 把作用过程看成一段时间的受力 → $(F - mg)\Delta t = \Delta p$，一维问题取正方向。
• 已知力（恒力或分段恒力），问经过多长时间达到某速度或停下，不涉及位移和加速度 → 力对时间的累积 → 动量定理代替“牛顿定律求 $a$ 再用 $v = v_0 + at$”，多段过程可以对全程列一个式子。
• 曲线运动中只受恒力（平抛、斜抛），问一段时间的动量变化 → 动量变化等于恒力的冲量 → $\Delta\vec{p} = m\vec{g}\Delta t$，不必做矢量减法。
• 力随时间变化，给出 $F$-$t$ 图像，问末速度 → 变力的冲量 → 图像面积 $= \Delta p$。

注意点

• 合力的冲量。最常漏的是重力：落地、接球、缓冲这类竖直方向的题，地面或绳的作用力和重力都在列式里。只有作用时间极短、作用力远大于重力时，才可以忽略重力（19.5 节）。
• 矢量式。一维问题列式前写“取……为正方向”，力、速度都带符号；二维问题分解到两个方向，分别列式。
• $\Delta p$ 是“末减初”。弹回问题中末速度和初速度方向相反，符号不同。
• 速度要相对地面。物体在小车上滑动时，速度要换成对地的速度。
• 求的是平均作用力。碰撞中的力瞬间变化很大，动量定理给出的是时间平均值，最大值要比它大。
• 不涉及位移。题目既问力又问距离的，要配合动能定理或运动学。

推导

由牛顿第二定律推导（恒力）：物体质量 $m$，在恒定合力 $\vec{F}_{\text{合}}$ 作用下做匀变速运动，经过 $\Delta t$ 速度由 $\vec{v}$ 变为 $\vec{v}'$。由牛顿第二定律和加速度的定义：

$$\vec{F}_{\text{合}} = m\vec{a}, \qquad \vec{a} = \frac{\vec{v}' - \vec{v}}{\Delta t}$$

代入得

$$\vec{F}_{\text{合}} = m\frac{\vec{v}' - \vec{v}}{\Delta t}$$

两边乘 $\Delta t$：

$$\vec{F}_{\text{合}}\Delta t = m\vec{v}' - m\vec{v}$$

（关键一步：把加速度换成“速度变化除以时间”。恒力下加速度不变，平均加速度就是瞬时加速度，所以这一步是严格的。两边乘 $\Delta t$ 后，加速度消失了，式子只剩力、时间和速度，这正是它比 $F = ma$ 好用的地方。）

变力：把整段时间分成许多小段，每一小段内合力近似不变，上式对每一小段成立：$\vec{F}_i\Delta t_i = \Delta\vec{p}_i$。把所有小段相加，左边是各小段冲量之和，即总冲量（$F$-$t$ 图像下的面积）；右边各小段的动量变化首尾相接，加起来等于末动量减初动量。所以变力时动量定理照样成立。

严格推导要用到大学的积分：$\int_{t_1}^{t_2} \vec{F}\,\mathrm{d}t = \vec{p}_2 - \vec{p}_1$。

和动能定理对比：两个定理都从牛顿第二定律出发，差别只在“乘的是什么”。$F = ma$ 两边乘时间，得动量定理；两边乘位移（用 $v^2 - v_0^2 = 2ax$），得动能定理（第 13 章）。

	动量定理	动能定理
累积的是	力对时间的累积（冲量 $F\Delta t$）	力对位移的累积（功 $Fx$）
改变的是	动量 $mv$，矢量	动能 $\dfrac{1}{2}mv^2$，标量
式子是	矢量式，要取正方向	标量式，不分方向
什么时候用	涉及时间，不涉及位移	涉及位移，不涉及时间
不做功的力	有冲量，要算进去	不做功，不用算
平均力	对时间的平均	对位移的平均

例题

例 1　（场景：落地反弹求平均作用力）质量 $0.5\ \mathrm{kg}$ 的小球从离地 $5\ \mathrm{m}$ 高处由静止落下，与水平地面作用 $0.1\ \mathrm{s}$ 后竖直弹起，上升的最大高度为 $1.8\ \mathrm{m}$。不计空气阻力，求地面对小球的平均作用力。

解：

研究对象：小球。

过程划分：① 自由下落 $5\ \mathrm{m}$；② 与地面作用 $0.1\ \mathrm{s}$；③ 竖直上升 $1.8\ \mathrm{m}$。所求的力只在过程 ② 中出现。

分析：过程 ① ③ 用自由落体和竖直上抛求出着地、离地的速度；过程 ② 小球受重力 $mg$ 和地面支持力 $F_{\text{N}}$，已知时间求平均力，用动量定理。

着地速度 $v_1 = \sqrt{2gh_1} = \sqrt{2 \times 10 \times 5}\ \mathrm{m/s} = 10\ \mathrm{m/s}$，向下；离地速度 $v_2 = \sqrt{2gh_2} = \sqrt{2 \times 10 \times 1.8}\ \mathrm{m/s} = 6\ \mathrm{m/s}$，向上。

列式求解：取竖直向上为正方向，对过程 ② 用动量定理：

$$(F_{\text{N}} - mg)\Delta t = mv_2 - m(-v_1)$$ $$F_{\text{N}} = \frac{m(v_2 + v_1)}{\Delta t} + mg = \frac{0.5 \times (6 + 10)}{0.1}\ \mathrm{N} + 5\ \mathrm{N} = 85\ \mathrm{N}$$

地面对小球的平均作用力大小 $85\ \mathrm{N}$，方向竖直向上。由牛顿第三定律，小球对地面的平均压力也是 $85\ \mathrm{N}$，竖直向下。

检验：单位对。量级：作用力是重力的 17 倍，碰撞时间短、力大，合理。如果漏了重力，得到 $80\ \mathrm{N}$，相差约 $6\%$；作用时间越长，漏掉重力的误差越大。

容易卡在：速度没带符号，算成 $m(v_2 - v_1)$；或者列式只写 $F_{\text{N}}\Delta t$，漏了重力的冲量。

另一种解法：对全过程用动量定理。小球从静止释放，到最高点又静止，初、末动量都是零。重力在整个过程中都作用，下落时间 $t_1 = \sqrt{\dfrac{2h_1}{g}} = 1\ \mathrm{s}$，上升时间 $t_2 = \dfrac{v_2}{g} = 0.6\ \mathrm{s}$；支持力只在 $\Delta t = 0.1\ \mathrm{s}$ 内作用。取向上为正：

$$F_{\text{N}}\Delta t - mg(t_1 + \Delta t + t_2) = 0$$ $$F_{\text{N}} = \frac{5 \times (1 + 0.1 + 0.6)}{0.1}\ \mathrm{N} = 85\ \mathrm{N}$$

全过程法不用求中间的速度，只要各力的作用时间好求就很快；分段法每步意义清楚，题目还要问着地速度、动量变化时用分段法。

例 2　（场景：已知力求时间）质量 $2\ \mathrm{kg}$ 的物块静止在水平地面上，与地面间的动摩擦因数为 $0.2$。用 $10\ \mathrm{N}$ 的水平拉力拉物块，$3\ \mathrm{s}$ 后撤去拉力。求撤去拉力后物块还能滑行多长时间。

解：

研究对象：物块。

过程划分：① 拉力作用 $t_1 = 3\ \mathrm{s}$，匀加速；② 撤去拉力后匀减速到停下，时间 $t_2$ 待求。

分析：竖直方向 $F_{\text{N}} = mg = 20\ \mathrm{N}$，滑动摩擦力 $f = \mu F_{\text{N}} = 4\ \mathrm{N}$，两段都有，方向与运动方向相反。只问时间，不问位移，用动量定理。

列式求解：取运动方向为正方向。对全过程用动量定理，初、末速度都是零：

$$Ft_1 - f(t_1 + t_2) = 0 - 0$$ $$10 \times 3 - 4 \times (3 + t_2) = 0 \quad \Rightarrow \quad t_2 = 4.5\ \mathrm{s}$$

检验：分段核对：第一段 $a_1 = \dfrac{10 - 4}{2}\ \mathrm{m/s^2} = 3\ \mathrm{m/s^2}$，$3\ \mathrm{s}$ 末 $v = 9\ \mathrm{m/s}$；第二段 $a_2 = \dfrac{4}{2}\ \mathrm{m/s^2} = 2\ \mathrm{m/s^2}$，停下用时 $\dfrac{9}{2}\ \mathrm{s} = 4.5\ \mathrm{s}$。一致。

容易卡在：以为撤去拉力后才有摩擦力，全过程式子里摩擦力只乘了 $t_2$。

另一种解法：分两段用牛顿第二定律（第 6 章）加速度公式，就是“检验”里的算法。两种方法都不难；全程用动量定理只要一个式子，过程越多越省事，题目还问最大速度、位移时，分段法顺手。

例 3　（场景：平抛的动量变化）质量 $0.2\ \mathrm{kg}$ 的小球从离地 $20\ \mathrm{m}$ 高处以 $10\ \mathrm{m/s}$ 的速度水平抛出，不计空气阻力。求抛出后 $1\ \mathrm{s}$ 内小球动量的变化，以及 $1\ \mathrm{s}$ 末小球动量的大小。

解：

研究对象：小球。

过程划分：一个过程，平抛 $1\ \mathrm{s}$（下落 $5\ \mathrm{m}$，还没落地）。

分析：平抛中小球只受重力，重力是恒力，由动量定理，动量变化等于重力的冲量，方向竖直向下。初、末动量不在一条直线上，不必做矢量减法。

列式求解：

$$\Delta p = mg\Delta t = 0.2 \times 10 \times 1\ \mathrm{kg \cdot m/s} = 2\ \mathrm{kg \cdot m/s}$$

方向竖直向下。

$1\ \mathrm{s}$ 末水平速度 $10\ \mathrm{m/s}$，竖直速度 $gt = 10\ \mathrm{m/s}$，速度大小 $10\sqrt{2}\ \mathrm{m/s}$，动量大小

$$p = mv = 0.2 \times 10\sqrt{2}\ \mathrm{kg \cdot m/s} = 2\sqrt{2}\ \mathrm{kg \cdot m/s} \approx 2.8\ \mathrm{kg \cdot m/s}$$

检验：用矢量减法核对：初动量 $(2, 0)$，末动量 $(2, -2)$（单位 $\mathrm{kg \cdot m/s}$，向右、向上为正），差为 $(0, -2)$，大小 $2\ \mathrm{kg \cdot m/s}$、竖直向下，一致。

容易卡在：用末动量大小减初动量大小，得 $2.8 - 2 = 0.8\ \mathrm{kg \cdot m/s}$。动量是矢量，大小相减没有意义。

例 4　（场景：$F$-$t$ 图像求末速度）质量 $0.5\ \mathrm{kg}$ 的物块在光滑水平面上以 $2\ \mathrm{m/s}$ 的速度向右运动。从某时刻起，受到一个水平向左的力，力随时间变化的图像如图所示（三角形，$0.2\ \mathrm{s}$ 时最大为 $10\ \mathrm{N}$，$0.4\ \mathrm{s}$ 时减为零）。求 $0.4\ \mathrm{s}$ 末物块的速度。

解：

研究对象：物块。

过程划分：一个过程，受变力作用 $0.4\ \mathrm{s}$。

分析：水平面光滑，竖直方向重力和支持力平衡，水平方向只有这个向左的变力。变力的冲量等于 $F$-$t$ 图像的面积：$I = \dfrac{1}{2} \times 0.4 \times 10\ \mathrm{N \cdot s} = 2\ \mathrm{N \cdot s}$，方向向左。

列式求解：取向右为正方向，冲量为 $-2\ \mathrm{N \cdot s}$。由动量定理：

$$-2 = 0.5v' - 0.5 \times 2 \quad \Rightarrow \quad v' = -2\ \mathrm{m/s}$$

$0.4\ \mathrm{s}$ 末速度大小 $2\ \mathrm{m/s}$，方向向左。

检验：冲量 $2\ \mathrm{N \cdot s}$ 先用掉 $1\ \mathrm{kg \cdot m/s}$ 让物块停下，剩下的 $1\ \mathrm{kg \cdot m/s}$ 让它向左运动，$v = \dfrac{1}{0.5}\ \mathrm{m/s} = 2\ \mathrm{m/s}$，合理。速率前后相同，动能没变，这个力做的总功为零，但冲量不为零。

容易卡在：冲量的方向忘了带负号，得到 $v' = 6\ \mathrm{m/s}$。

常用推论

• $F_{\text{合}} = \dfrac{\Delta p}{\Delta t}$：合力等于动量的变化率。$p$-$t$ 图像的斜率就是合力。本节“说明”。
• 竖直方向的碰撞、缓冲：$F - mg = \dfrac{\Delta p}{\Delta t}$（取向上为正，$\Delta p$ 为正），即 $F = mg + \dfrac{\Delta p}{\Delta t}$。作用时间越短，$mg$ 所占的比例越小。例 1。
• 只受重力的物体，任意 $\Delta t$ 内 $\Delta\vec{p} = m\vec{g}\Delta t$，竖直向下，大小只和时间有关。平抛、斜抛中相等时间内动量的变化相同。例 3。
• 多段运动、初末都静止：各力冲量的代数和为零，可以对全程列一个式子（例 1、例 2 的全过程法）。
• 动量定理和动能定理都能用时，问时间选动量定理，问位移选动能定理。本节推导中的对比表。

易错点

• 错在哪：落地、接球类问题只写 $F\Delta t = \Delta p$，漏了重力。 为什么错：直觉觉得“撞击力很大，重力可以不管”，其实这要看作用时间。例 1 漏重力差 $6\%$；19.5 节例 3 安全带缓冲 $1.2\ \mathrm{s}$，漏重力会把 $1100\ \mathrm{N}$ 算成 $500\ \mathrm{N}$，差一倍多。 正确做法：动量定理用的是合力，先画受力图，把重力写进去；题目明确说“忽略重力”或作用力远大于重力时才省掉。
• 错在哪：把动量定理当成标量式，速度只代大小。 为什么错：动量定理和动能定理形式相近，容易把习惯带过来。动能定理是标量式，动量定理是矢量式。 正确做法：先取正方向，力和速度都带符号。
• 错在哪：认为物体受的合力越大，动量就越大。 为什么错：合力决定的是动量的变化率，不是动量本身，这和“合力决定加速度、不决定速度”是一回事。 正确做法：合力大，动量变得快；动量本身多大还要看初动量和时间。
• 错在哪：认为动量定理求出的就是碰撞中的最大作用力。 为什么错：碰撞中力从零迅速增大又减小，动量定理给的是时间平均值。 正确做法：题目问“平均作用力”时用动量定理；最大值要靠 $F$-$t$ 图像或其他条件。

直观理解

牛顿第二定律看“这一瞬间”，动量定理看“这一段时间”：力推了多久、推了多大，加起来（冲量）就是动量改变了多少。$F$-$t$ 图像下的面积，就是动量的变化。

记法：时间问动量，位移问动能。

关联知识点

• 前置：第 6 章牛顿第二定律，动量定理由它推出；第 3 章 $v = v_0 + at$。
• 前置：第 9 章平抛运动，例 3 的速度分解。
• 常一起考：第 13 章动能定理。同一个过程既问时间又问位移，两个定理各列一个式子。
• 后续：第 20 章动量守恒定律，对系统用动量定理，内力的冲量抵消，合外力为零时总动量不变。
• 后续：第 28 章电磁感应。导体棒受变化的安培力，用动量定理 $-B\bar{I}L\Delta t = mv' - mv$，其中 $\bar{I}\Delta t = q$，可以由速度变化求通过的电荷量，再由 $q = \dfrac{BLx}{R}$ 求位移。
• 后续：第 32 章气体压强的微观解释，分子撞击器壁的动量变化产生压力。

19.5 动量定理的应用：缓冲与流体冲击

说明

缓冲：由动量定理，物体受到的平均作用力

$$F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$$

动量的变化 $\Delta p$ 一定时，作用时间 $\Delta t$ 越长，作用力越小。这就是缓冲的原理：

• 延长时间来减小力：鸡蛋落在海绵上、跳远落入沙坑、汽车的安全气囊和安全带、运动鞋的软底、轮船靠岸处的橡胶轮胎、接球时手往回收。
• 缩短时间来增大力：锤子钉钉子、冲床冲压钢板，锤头和钉子都很硬，作用时间极短，力很大。

流体冲击：水流、气流、沙粒流这类连续的流体打到物体上，不能把“一个物体”当研究对象。做法是：取 $\Delta t$ 时间内打到物体上的那一段流体作为研究对象。流体速度为 $v$、横截面积为 $S$、密度为 $\rho$ 时，这段流体是长 $v\Delta t$ 的柱体，质量

$$\Delta m = \rho S v \Delta t$$

若流体打到物体后速度变为零（垂直方向），由动量定理，物体对流体的作用力

$$F = \frac{\Delta m \cdot v}{\Delta t} = \rho S v^2$$

由牛顿第三定律，流体对物体的冲击力大小也是 $\rho S v^2$。若流体以原速率反弹，$F = 2\rho S v^2$。

理想模型：流体是连续、均匀的柱体；冲击时间内这段流体的重力忽略不计；速度垂直于受冲击的表面。

使用场景

• 题目问“为什么要垫软垫、为什么落在沙坑里不疼、为什么玻璃杯掉在地毯上不碎” → 动量变化相同，比较作用时间 → $F = \dfrac{\Delta p}{\Delta t}$，时间长则力小。
• 水平方向的撞击、刹停（撞车、安全气囊），给出作用时间求平均力 → 水平方向动量定理 → 竖直方向的重力和支持力平衡，不进入列式。
• 竖直方向的缓冲（安全带、跳下屈膝、蹦床），作用时间较长 → 竖直方向动量定理 → 重力不能忽略，$(F - mg)\Delta t = \Delta p$。
• 水柱、风、雨滴、沙粒连续打到物体上，问冲击力或压强 → 流体柱模型 → 取 $\Delta t$ 内的柱体，$\Delta m = \rho S v \Delta t$，$F = \rho S v^2$。

注意点

• 缓冲减小的是力，不是动量的变化，也不是冲量。从同一高度落下、最终停住，落在海绵上和落在水泥地上，动量变化和冲量都一样。
• 作用时间较长（零点几秒到一秒以上）时，重力的冲量和作用力的冲量相比不能忽略。判断标准：$\dfrac{\Delta p}{\Delta t}$ 是否远大于 $mg$。
• 流体冲击中，研究对象是 $\Delta t$ 内的那一段流体，不是墙，也不是整股水流。先对流体用动量定理，再由牛顿第三定律得到流体对墙的力。
• 流体打到物体后速度怎样变化，要看题目：沿表面流走（垂直速度变为零）用 $\rho S v^2$；原速弹回用 $2\rho S v^2$；斜着打上去只算垂直分量。
• 物体本身在运动（如迎风行驶的车、逆水的船），$v$ 要用流体相对物体的速度。
• 横截面积单位换算：$1\ \mathrm{cm^2} = 10^{-4}\ \mathrm{m^2}$。

推导

缓冲：由 19.4 节动量定理，$F_{\text{合}}\Delta t = \Delta p$。初速度由下落高度决定，末速度为零（停住），$\Delta p$ 和地面软硬无关；所以 $F_{\text{合}} = \dfrac{\Delta p}{\Delta t}$ 与 $\Delta t$ 成反比。

流体冲击力 $F = \rho S v^2$：

1. 取 $\Delta t$ 时间内打到墙上的流体。这段时间里，离墙 $v\Delta t$ 以内的流体都能打到墙，它们构成长 $v\Delta t$、横截面积 $S$ 的柱体，体积 $Sv\Delta t$，质量 $\Delta m = \rho S v\Delta t$。
2. 这段流体的速度由 $v$ 变为零（垂直墙面方向）。取流体原来的运动方向为正，墙对它的作用力为 $-F$，由动量定理：

$$-F\Delta t = 0 - \Delta m \cdot v = -\rho S v^2 \Delta t$$

3. 消去 $\Delta t$，得 $F = \rho S v^2$。

（关键一步：第 1 步”$\Delta t$ 内打到墙上的，正好是离墙 $v\Delta t$ 以内的流体”。这样就把连续的流体变成了一个有确定质量的研究对象。这段流体的重力冲量 $\Delta m g \Delta t$ 和 $\Delta t^2$ 成正比，$\Delta t$ 取得很小时远小于 $F\Delta t$，所以可以忽略。）

$\Delta t$ 最后被消掉，说明它只是个辅助量，取多长都可以，结果不变。

例题

例 1　（场景：解释缓冲现象）把两个相同的鸡蛋从同一高度由静止释放，一个落在水泥地上摔碎了，一个落在海绵上完好无损，两个鸡蛋落地后都停住。下列说法正确的是（　）。

A. 落在水泥地上时，鸡蛋的动量变化较大 B. 落在水泥地上时，鸡蛋受到的冲量较大 C. 落在水泥地上时，鸡蛋的动量变化率较大 D. 落在海绵上时，鸡蛋受到的冲量较小

解：C。

判断依据：从同一高度落下，着地速度相同；最后都停住，末速度都是零。所以动量变化相同，合力的冲量也相同（A、B、D 错）。

差别在作用时间：水泥地硬，鸡蛋在极短时间内停下；海绵软，鸡蛋陷进去，停下用的时间长。由 $F = \dfrac{\Delta p}{\Delta t}$，动量的变化率（即合力）在水泥地上大得多，所以鸡蛋碎了。C 对。

例 2　（场景：水平方向的撞击）质量 $60\ \mathrm{kg}$ 的乘客坐在以 $72\ \mathrm{km/h}$ 行驶的汽车上，汽车撞到障碍物后很快停住。若乘客被安全气囊挡住，经 $0.2\ \mathrm{s}$ 停下；若没有安全气囊，乘客撞到方向盘上，经 $0.01\ \mathrm{s}$ 停下。分别求两种情况下乘客受到的水平方向的平均作用力。

解：

研究对象：乘客。

过程划分：一个过程，乘客从 $72\ \mathrm{km/h}$ 减速到零。

分析：竖直方向重力和座椅支持力平衡，不影响水平方向。水平方向只受气囊（或方向盘）的作用力，已知时间求平均力，用动量定理。$v_0 = 72\ \mathrm{km/h} = 20\ \mathrm{m/s}$。

列式求解：取汽车行驶方向为正方向，设作用力为 $-F$：

$$-F\Delta t = 0 - mv_0 \quad \Rightarrow \quad F = \frac{mv_0}{\Delta t}$$

有安全气囊：$F_1 = \dfrac{60 \times 20}{0.2}\ \mathrm{N} = 6 \times 10^3\ \mathrm{N}$；

没有安全气囊：$F_2 = \dfrac{60 \times 20}{0.01}\ \mathrm{N} = 1.2 \times 10^5\ \mathrm{N}$。

两种情况下作用力方向都与汽车行驶方向相反。

检验：$F_1$ 约为乘客体重的 10 倍，$F_2$ 约为 200 倍。作用时间相差 20 倍，力也相差 20 倍，符合 $F \propto \dfrac{1}{\Delta t}$。

容易卡在：$72$ 不换算成 $\mathrm{m/s}$ 直接代入。

另一种解法：只问两个力之比时，不用分别求：动量变化相同，$\dfrac{F_2}{F_1} = \dfrac{\Delta t_1}{\Delta t_2} = \dfrac{0.2}{0.01} = 20$。选择题只比较大小时用比例最快；要具体数值时还得列式。

例 3　（场景：竖直方向的缓冲，重力不能忽略）质量 $60\ \mathrm{kg}$ 的建筑工人系着安全带，不慎从高处跌下。安全带长 $5\ \mathrm{m}$，工人从安全带刚好伸直的位置开始自由下落，安全带伸直后又经过 $1.2\ \mathrm{s}$，工人速度减为零。求安全带对工人的平均拉力。

解：

研究对象：工人。

过程划分：① 自由下落 $5\ \mathrm{m}$，到安全带刚绷紧；② 安全带拉着工人减速 $1.2\ \mathrm{s}$ 到零。

分析：过程 ① 求出绷紧时的速度 $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 5}\ \mathrm{m/s} = 10\ \mathrm{m/s}$，向下。过程 ② 工人受安全带拉力 $F$（向上）和重力 $mg$（向下），用动量定理。作用时间 $1.2\ \mathrm{s}$ 不算短，重力必须算进去。

列式求解：取竖直向上为正方向，对过程 ②：

$$(F - mg)\Delta t = 0 - m(-v)$$ $$F = mg + \frac{mv}{\Delta t} = 600\ \mathrm{N} + \frac{60 \times 10}{1.2}\ \mathrm{N} = 1100\ \mathrm{N}$$

平均拉力大小 $1100\ \mathrm{N}$，方向竖直向上。

检验：拉力约是体重的 1.8 倍，比体重大，才能让人减速，合理。若漏掉重力，得 $500\ \mathrm{N}$，比体重还小，人根本停不下来，一看就错。

容易卡在：照搬碰撞题“忽略重力”的做法。

另一种解法：对全过程用动量定理。自由下落时间 $t_1 = \dfrac{v}{g} = 1\ \mathrm{s}$，重力作用 $t_1 + \Delta t = 2.2\ \mathrm{s}$，拉力只作用 $\Delta t = 1.2\ \mathrm{s}$，初、末动量都是零：

$$F\Delta t - mg(t_1 + \Delta t) = 0 \quad \Rightarrow \quad F = \frac{600 \times 2.2}{1.2}\ \mathrm{N} = 1100\ \mathrm{N}$$

自由下落的时间好求时，全过程法一步到位；题目还问绷紧时的速度或冲击时的动量变化，分段法更清楚。

例 4　（场景：流体冲击）消防水枪喷出的水柱横截面积为 $2\ \mathrm{cm^2}$，水流速度为 $20\ \mathrm{m/s}$，水平垂直射到竖直墙面上，之后沿墙面流下（水平方向速度变为零）。水的密度为 $1.0 \times 10^3\ \mathrm{kg/m^3}$，求水柱对墙面的冲击力。

解：

研究对象：$\Delta t$ 时间内射到墙上的那一段水柱。

过程划分：这段水柱在撞墙的过程中，水平速度由 $v$ 变为零，一个过程。

分析：$\Delta t$ 内能打到墙上的，是离墙 $v\Delta t$ 以内的水，质量 $\Delta m = \rho S v\Delta t$。水平方向只受墙的作用力 $F$（重力竖直，不影响水平方向）。$S = 2\ \mathrm{cm^2} = 2 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^2}$。

列式求解：取水流方向为正方向，墙对水的作用力为 $-F$，由动量定理：

$$-F\Delta t = 0 - \Delta m \cdot v = -\rho S v^2 \Delta t$$ $$F = \rho S v^2 = 1.0 \times 10^3 \times 2 \times 10^{-4} \times 20^2\ \mathrm{N} = 80\ \mathrm{N}$$

由牛顿第三定律，水柱对墙面的冲击力大小为 $80\ \mathrm{N}$，方向水平指向墙面（与水流方向相同）。

检验：单位 $\mathrm{kg/m^3} \times \mathrm{m^2} \times \mathrm{m^2/s^2} = \mathrm{kg \cdot m/s^2} = \mathrm{N}$，对。量级：每秒喷出的水 $\rho S v = 4\ \mathrm{kg}$，相当于一秒 4 升，是消防水枪的流量量级；$80\ \mathrm{N}$ 相当于 $8\ \mathrm{kg}$ 物体的重量，用手挡住水枪会感到明显的推力，合理。

容易卡在：不知道选谁当研究对象，或者把 $\Delta m$ 写成 $\rho S v$（漏了 $\Delta t$），单位对不上。

常用推论

• 缓冲：$\Delta p$ 一定时 $F \propto \dfrac{1}{\Delta t}$；两种情况的作用力之比等于作用时间的反比（例 2 另一种解法）。
• 竖直缓冲：$F = mg + \dfrac{m v}{\Delta t}$（$v$ 为着地速度，最终停住）。作用时间越长，$F$ 越接近 $mg$，但不会小于 $mg$。例 3。
• 流体垂直冲击后速度变为零：$F = \rho S v^2$；以原速率弹回：$F = 2\rho S v^2$。冲击力与速度的平方成正比：风速加倍，风力变为 4 倍。本节推导。
• 单位面积上的冲击力（压强）$p = \dfrac{F}{S} = \rho v^2$，与横截面积无关。用于估算雨滴、风对地面或墙面的压强。
• 已知每秒打到物体上的流体质量（质量流量）$Q$ 时，$F = Qv$。$Q = \rho S v$ 代入即得 $\rho S v^2$。

易错点

• 错在哪：认为软垫能减小鸡蛋受到的冲量。 为什么错：直觉觉得“不疼就是受到的冲击小”。其实冲量等于动量变化，由落地速度和最终状态决定，和软硬无关；软垫减小的是力。 正确做法：缓冲题先确定 $\Delta p$ 相同，再比较 $\Delta t$，结论落在“力”上。
• 错在哪：安全带、蹦床这类问题忽略重力。 为什么错：把碰撞题“作用时间极短，忽略重力”的习惯用错了地方。作用时间长时，$\dfrac{mv}{\Delta t}$ 和 $mg$ 同一量级，例 3 漏掉重力得 $500\ \mathrm{N}$，连体重都撑不住。 正确做法：先比较 $\dfrac{\Delta p}{\Delta t}$ 和 $mg$；不是远大于，就要把重力写进去。
• 错在哪：流体问题把整股水流或墙当研究对象。 为什么错：整股水流的质量说不清，墙的动量不变，都列不出式子。 正确做法：取 $\Delta t$ 内的那一段流体，$\Delta m = \rho S v\Delta t$，对它用动量定理。
• 错在哪：流体以原速率弹回，仍用 $F = \rho S v^2$。 为什么错：弹回时速度由 $v$ 变为 $-v$，动量变化是 $2\Delta m v$，不是 $\Delta m v$。 正确做法：每道题先确认流体打到物体后的速度，再算 $\Delta p$。

直观理解

接一个抛来的鸡蛋，手要顺着鸡蛋往回收：收得越久，力越小。$F$-$t$ 图像上，两种接法的面积一样（动量变化一样），一个又高又窄，一个又矮又宽（见本节推导中的图）。

流体冲击记一句：每秒打上来多少质量，乘速度，就是力（$F = Qv = \rho S v \cdot v$）。

关联知识点

• 前置：19.4 节动量定理，本节是它的直接应用。
• 前置：第 6 章牛顿第三定律，由“墙对水的力”得到“水对墙的力”。
• 后续：第 20 章反冲与火箭，喷出气体的动量变化产生推力，同样取 $\Delta t$ 内喷出的气体为研究对象。
• 后续：第 32 章气体压强的微观解释，大量分子撞击器壁，和“粒子流冲击”的模型相同。
• 后续：第 35 章康普顿效应，光子也有动量，和电子碰撞时动量变化，这是光的粒子性的证据。
• 常一起考：第 1 章 1.5 节估算，缓冲、风力、雨滴冲击常出估算题。

19.6 知识点之间的关系

19.2、19.3 节分别定义了状态量（动量）和过程量（冲量），19.4 节的动量定理把两者连起来：合力的冲量等于动量的变化。19.5 节是动量定理最常见的两类应用。拿到题目先问一句“涉及时间还是位移”：涉及时间、不涉及位移的，用动量定理；涉及位移、不涉及时间的，用第 13 章动能定理。再看对象：一个物体的撞击、缓冲，直接列式；连续流体，取 $\Delta t$ 内的柱体；两个以上物体相互作用，转入第 20 章动量守恒。

19.7 自测

1. 质量 $2\ \mathrm{kg}$ 的物体以 $3\ \mathrm{m/s}$ 的速度运动，求它的动量和动能。
2. 质量 $0.1\ \mathrm{kg}$ 的小球以 $5\ \mathrm{m/s}$ 的速度竖直落到地面，以 $3\ \mathrm{m/s}$ 的速度竖直弹起，求小球与地面作用过程中动量的变化。
3. 质量 $5\ \mathrm{kg}$ 的箱子放在水平地面上，用 $20\ \mathrm{N}$ 的水平力推 $3\ \mathrm{s}$，箱子没动。求这 $3\ \mathrm{s}$ 内推力、重力和合力的冲量。
4. 一个力的大小在 $3\ \mathrm{s}$ 内由 0 均匀增大到 $6\ \mathrm{N}$，方向不变，求这个力的冲量。
5. 质量 $1\ \mathrm{kg}$ 的物体静止在光滑水平面上，受 $4\ \mathrm{N}$ 的水平恒力作用 $2.5\ \mathrm{s}$，求末速度。
6. 质量 $0.2\ \mathrm{kg}$ 的小球做平抛运动，求任意 $0.5\ \mathrm{s}$ 内小球动量的变化。
7. 质量 $50\ \mathrm{g}$ 的鸡蛋从 $0.8\ \mathrm{m}$ 高处由静止落到海绵上，经 $0.2\ \mathrm{s}$ 停住。求海绵对鸡蛋的平均作用力。
8. 风速 $10\ \mathrm{m/s}$ 的风垂直吹到面积 $2\ \mathrm{m^2}$ 的广告牌上，吹到后速度变为零。空气密度取 $1.3\ \mathrm{kg/m^3}$，求风对广告牌的作用力。

答案：1. 动量 $6\ \mathrm{kg \cdot m/s}$（方向与速度相同），动能 $9\ \mathrm{J}$；2. $0.8\ \mathrm{kg \cdot m/s}$，竖直向上；3. 推力 $60\ \mathrm{N \cdot s}$（水平，与推力同向），重力 $150\ \mathrm{N \cdot s}$（竖直向下），合力的冲量为零；4. $9\ \mathrm{N \cdot s}$，方向与力相同；5. $10\ \mathrm{m/s}$，方向与力相同；6. $1\ \mathrm{kg \cdot m/s}$，竖直向下；7. $1.5\ \mathrm{N}$，竖直向上；8. $260\ \mathrm{N}$。

19.8 深入阅读

• PhET · 碰撞实验室：调小球的质量和速度，打开动量矢量显示，看碰撞前后每个球的动量怎样变化。
• Khan Academy · Impacts and linear momentum：动量、冲量和动量定理（impulse-momentum theorem）的视频讲解和练习（英文）。
• 维基百科 · 冲量：冲量的定义、变力冲量的积分写法，以及冲量与动量变化的关系。
• 国家中小学智慧教育平台：教育部主办，人教版选择性必修第一册第一章“动量”和“动量定理”的同步课程和电子教材。