第 39 章 · 力学实验（二）

项目	内容
课标主题	必修 2 的学生必做实验：探究平抛运动的特点；探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系；验证机械能守恒定律
人教版（2019）	必修第二册 第五章 3”实验：探究平抛运动的特点”；第六章 2”向心力”（节内的实验“探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系”）；第八章 5”实验：验证机械能守恒定律”
考试地位	力学实验题的常见来源。频闪照片或方格纸求平抛初速度和抛出点常考；验证机械能守恒的纸带处理、“动能增加量略小于势能减少量”的原因常考；向心力演示器多以控制变量法和格数之比出题
前置知识	第 9 章平抛运动的规律；第 10 章线速度与角速度、向心力；第 14 章机械能守恒定律；第 3 章 $\Delta x = aT^2$ 和中间时刻速度；第 37 章读数（打点计时器）、数据处理（图像法、化曲为直）、控制变量法

这三个实验对应必修第二册的三章知识：平抛、圆周、机械能。规律在第 9、10、14 章已经讲过，本章只讲怎么用实验把它测出来、验证出来。丢分多在细节上：把方格图上的第一个点当成抛出点，把塔轮的半径比当成角速度比，用 $v = gt$ 算纸带上的速度，说不清动能增加量为什么总比势能减少量小一点。读数、误差、图像法的一般做法见第 37 章，这里只引用。

39.1 实验一览

实验	测什么或探究什么	方法归类
39.2 探究平抛运动的特点	平抛的竖直分运动、水平分运动各是什么运动；求初速度和抛出点	对比实验（两球同时落地）；描迹或频闪记录轨迹；$\Delta y = gT^2$ 求时间间隔；$y$-$x^2$ 化曲为直
39.3 探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系	向心力 $F$ 与 $m$、$r$、$\omega$ 的关系	控制变量法；转换法（弹簧形变显示力的大小）；$F$-$\omega^2$ 化曲为直
39.4 验证机械能守恒定律	自由下落的重物，动能增加量是否等于重力势能减少量	纸带求瞬时速度；比较法；$\dfrac{v^2}{2}$-$h$ 图像斜率为 $g$

39.2 探究平抛运动的特点

目的与原理

目的：弄清平抛运动的两个分运动各是什么运动；用记录下的轨迹求平抛的初速度。

原理：平抛运动的规律（第 9 章 9.2）是“水平匀速、竖直自由落体”。实验分两步把它验证出来。

第一步，竖直方向。用小锤打击弹性金属片，$A$ 球被水平弹出，同时 $B$ 球被松开、自由下落。改变装置的高度和打击力度，多次实验，两球总是同时落地（只听到一次落地声）。这说明 $A$ 球竖直方向的运动与自由落体相同，而且与水平速度的大小无关。

第二步，水平方向。用描迹法或频闪照相记录平抛轨迹。既然竖直方向是自由落体，从抛出点起相等时间内的竖直位移之比是 $1 : 3 : 5 : \cdots$，累计的竖直位移之比是 $1 : 4 : 9 : \cdots$（第 3 章 3.5）。在轨迹上找出竖直位移之比为 $1 : 4 : 9$ 的三个点，它们对应的时刻是 $t$、$2t$、$3t$；量出它们的水平位移，如果之比是 $1 : 2 : 3$，就说明相等时间内水平位移相等，水平分运动是匀速直线运动。

求初速度：两个分运动确定以后，

$$x = v_0 t,\quad y = \frac{1}{2}gt^2$$

消去 $t$：

$$v_0 = x\sqrt{\frac{g}{2y}}$$

只要知道抛出点，量出轨迹上任一点的 $x$、$y$，就能算出 $v_0$。抛出点不知道时（频闪照片只拍到中间一段），取水平间隔相等的三个点，它们之间的时间间隔相等，设为 $T$。竖直方向是匀变速直线运动，相邻两段的竖直位移之差

$$\Delta y = gT^2$$

由此先求 $T$，再求 $v_0 = \dfrac{\Delta x}{T}$（第 9 章 9.3 的推论）。

器材与装置

• 斜槽轨道、小钢球：钢球密度大，空气阻力的影响小。
• 带竖直背板的铁架台（或竖直木板）、白纸、复写纸、图钉：背板上的白纸记录钢球撞击挡板时留下的印迹。
• 可上下移动的倾斜挡板：钢球落到挡板上，挤压复写纸在白纸上留下一个点；挡板放在不同高度，就得到轨迹上不同的点。
• 重垂线：确定竖直方向，作为 $y$ 轴，同时检查背板是否竖直。
• 刻度尺、三角板：量坐标。
• 竖直方向的对比实验另需：小锤、弹性金属片和两个相同的小球组成的装置。
• 频闪照相方案：频闪照相机（或手机连拍、录像后逐帧取图），背景用方格板或竖直放一把刻度尺作标度。

不需要秒表和天平：时间由竖直位移算出来（$y = \dfrac{1}{2}gt^2$ 或 $\Delta y = gT^2$），质量与平抛运动无关。

步骤

1. 安装斜槽，调末端水平。把钢球放在斜槽末端的水平部分，轻推一下或放在任意位置，它都能静止不动，说明末端水平。为什么：末端不水平，钢球离开时速度就不水平，做的是斜抛而不是平抛。
2. 背板竖直，固定白纸。用重垂线检查背板竖直，把白纸、复写纸固定在背板上，钢球运动的平面与背板平行、靠近而不接触。为什么：钢球蹭到背板会受摩擦；背板不竖直，记下的轨迹会变形。
3. 定坐标原点和坐标轴。原点 $O$ 取钢球在斜槽末端时球心在白纸上的投影，过 $O$ 沿重垂线画 $y$ 轴（竖直向下），过 $O$ 画垂直于 $y$ 轴的 $x$ 轴。为什么：钢球做平抛的起点是球心离开槽口的位置，坐标要从这里量起。
4. 同一位置由静止释放，打点。让钢球从斜槽上同一位置由静止滚下，撞在挡板上留下印迹；上下移动挡板，再从同一位置释放，得到第二个点……一共得到六个以上的点。为什么：每次从同一位置由静止释放，钢球到达槽口的速度才相同，各点才在同一条轨迹上。
5. 描出轨迹。取下白纸，用平滑的曲线把各点连起来，明显偏离的点舍去。为什么：每个点都有偶然误差，轨迹是一条平滑曲线，不是折线（第 37 章 37.4）。
6. 竖直方向的对比实验。用小锤打击弹性金属片，听两球落地声；改变高度、改变打击力度，重复几次。为什么：只做一次可能是巧合，改变条件仍同时落地，结论才可靠。

数据处理

方法一：抛出点已知（描迹法）。在轨迹上取几个点，量出各点的 $x$、$y$，列表计算：

点	$x/\mathrm{cm}$	$y/\mathrm{cm}$	$v_0 = x\sqrt{\dfrac{g}{2y}}$
1
2
3

各点算出的 $v_0$ 取平均。

图像法：由 $y = \dfrac{g}{2v_0^2}x^2$，$y$-$x$ 图像是抛物线，看不出系数；改画 $y$-$x^2$ 图像，是一条过原点的直线（化曲为直，第 37 章 37.4），斜率

$$k = \frac{g}{2v_0^2},\quad v_0 = \sqrt{\frac{g}{2k}}$$

$y$-$x^2$ 图像是直线，也就同时验证了轨迹是抛物线。

方法二：抛出点未知（频闪照片、方格纸）。

1. 在轨迹上取水平间隔相等的三个点 $A$、$B$、$C$，它们之间的时间间隔相等，记为 $T$。
2. 量出竖直间隔 $y_{AB}$、$y_{BC}$，由 $\Delta y = y_{BC} - y_{AB} = gT^2$ 求 $T$；频闪的频率 $f = \dfrac{1}{T}$。
3. 初速度 $v_0 = \dfrac{x_{AB}}{T}$。
4. $B$ 点的竖直分速度等于 $A$ 到 $C$ 这段时间竖直方向的平均速度（中间时刻速度，第 3 章）：$v_{By} = \dfrac{y_{AB} + y_{BC}}{2T}$。$B$ 点速度 $v_B = \sqrt{v_0^2 + v_{By}^2}$。
5. 抛出点：从抛出到 $B$ 点的时间 $t_B = \dfrac{v_{By}}{g}$，抛出点在 $B$ 点左方 $v_0 t_B$、上方 $\dfrac{1}{2}gt_B^2$ 处。

判断第一个点是不是抛出点：从它起相邻相等时间的竖直位移之比是 $1 : 3 : 5$，它才是抛出点；不是这个比例，就不是。

误差分析

系统误差：

• 斜槽末端不水平：钢球的初速度斜向上或斜向下，不是平抛，按平抛公式算出的 $v_0$ 有固定偏差。减小办法：步骤 1 的“放上去不滚”检查。
• 坐标原点取错：把斜槽末端的槽口当原点，而不是球心的投影。槽口比球心低一个小球半径 $r$，量出的 $y$ 都比真实值小 $r$。由 $v_0 = x\sqrt{\dfrac{g}{2y}}$，$y$ 在分母上，$y$ 偏小，$v_0$ 偏大（第 37 章 37.3 的推法）。用 $y$-$x^2$ 图像的斜率求 $v_0$ 不受影响：所有 $y$ 偏小同一个量，图线只是平移，斜率不变（例 2）。
• 背板不竖直、$y$ 轴不沿重垂线：$x$、$y$ 量歪，读数有固定偏差。
• 空气阻力：使水平速度略减小、竖直加速度略小于 $g$。用密度大的钢球，影响很小。

偶然误差：

• 每次释放的位置稍有差别，初速度不完全相同，各点不严格在一条轨迹上。减小办法：在斜槽上装挡条，每次从挡条处释放。
• 描点、画平滑曲线、量坐标的读数误差。减小办法：多取点；计算时选离原点较远的点，$x$、$y$ 大，相对误差小。

不影响结果的：斜槽是否光滑。摩擦每次都一样，只要从同一位置由静止释放，到达槽口的速度就相同；实验只要求“每次初速度相同”，不要求初速度等于多少。

注意事项

• 斜槽末端必须水平：保证初速度水平。
• 背板竖直、钢球运动平面与背板平行且不接触：保证轨迹在竖直面内、不受摩擦。
• 每次从斜槽上同一位置由静止释放：保证初速度每次相同。
• 释放位置高低要合适，使轨迹从白纸的左上角附近延伸到右下角附近：点分布得开，相对误差小。
• 坐标原点取钢球在槽口时球心的投影，不取槽口：避免 $y$ 普遍偏小。
• 斜槽不必光滑，也不必“平衡摩擦力”：摩擦不影响“每次初速度相同”。

例题

例 1　（场景：频闪照片求初速度、速度和抛出点）用频闪照相研究平抛运动，照片上的背景方格边长 $L = 5\ \mathrm{cm}$（已按实际尺寸换算），$A$、$B$、$C$ 是连续三次闪光时小球的位置，如图。$g$ 取 $10\ \mathrm{m/s^2}$。求：（1）闪光频率；（2）小球的初速度；（3）小球经过 $B$ 点时的速度；（4）以 $A$ 点为原点、水平向右为 $x$ 轴、竖直向下为 $y$ 轴，抛出点的坐标。

解：

研究对象：小球。

过程划分：$A \to B$、$B \to C$ 两段，水平间隔都是 3 格，所以两段时间相等，设为 $T$。

分析：水平方向匀速，竖直方向匀加速（加速度 $g$）。竖直间隔 $y_{AB} = 3L$，$y_{BC} = 5L$，相邻相等时间的位移差 $\Delta y = 2L = gT^2$。

列式求解：

（1）由 $\Delta y = gT^2$：

$$T = \sqrt{\frac{\Delta y}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 0.05}{10}}\ \mathrm{s} = 0.1\ \mathrm{s},\quad f = \frac{1}{T} = 10\ \mathrm{Hz}$$

（2）$v_0 = \dfrac{3L}{T} = \dfrac{0.15}{0.1}\ \mathrm{m/s} = 1.5\ \mathrm{m/s}$。

（3）$B$ 是 $A$ 到 $C$ 的中间时刻：

$$v_{By} = \frac{y_{AB} + y_{BC}}{2T} = \frac{0.15 + 0.25}{0.2}\ \mathrm{m/s} = 2.0\ \mathrm{m/s}$$ $$v_B = \sqrt{v_0^2 + v_{By}^2} = \sqrt{1.5^2 + 2.0^2}\ \mathrm{m/s} = 2.5\ \mathrm{m/s}$$

设速度与水平方向的夹角为 $\theta$，$\tan\theta = \dfrac{v_{By}}{v_0} = \dfrac{4}{3}$，$\theta = 53^\circ$，方向斜向右下方。

（4）从抛出到 $B$ 的时间 $t_B = \dfrac{v_{By}}{g} = 0.2\ \mathrm{s}$，即抛出点到 $B$ 经过了 $2T$，到 $A$ 经过了 $T$，$A$ 不是抛出点。抛出点在 $B$ 点左方 $v_0 t_B = 0.30\ \mathrm{m}$（6 格）、上方 $\dfrac{1}{2}gt_B^2 = 0.20\ \mathrm{m}$（4 格）。$B$ 在 $A$ 右方 3 格、下方 3 格，所以抛出点在 $A$ 左方 3 格、上方 1 格，坐标为 $(-15\ \mathrm{cm}, -5\ \mathrm{cm})$。

检验：从抛出点起 $t = T$ 时，$x = v_0 T = 0.15\ \mathrm{m}$（3 格），$y = \dfrac{1}{2}gT^2 = 0.05\ \mathrm{m}$（1 格），正好是 $A$ 点；三段竖直位移 1、3、5 格，符合从静止起的 $1 : 3 : 5$。

容易卡在：把 $A$ 当成抛出点，用 $y_{AB} = \dfrac{1}{2}gT^2$ 求 $T$，得 $T = \sqrt{0.03}\ \mathrm{s}$，再往下全错。先看竖直间隔之比：3 : 5 不是 1 : 3，$A$ 就不是抛出点。

另一种解法：（4）问用比例倒推。竖直方向从静止开始，相邻相等时间的位移之比是 $1 : 3 : 5$。$A \to B$、$B \to C$ 是 3 格、5 格，它前面还应有一段 1 格，所以抛出点在 $A$ 上方 1 格；那一段时间也是 $T$，水平也走 3 格，抛出点在 $A$ 左方 3 格。比例法不用算速度，适合方格图；数据不是整格、比例看不出来时，用速度和时间去算。

例 2　（场景：描迹法的操作、图像处理和误差）用如图所示的斜槽装置描绘平抛轨迹（图见“器材与装置”）。

（1）怎样检查斜槽末端是否水平？为什么每次要从同一位置由静止释放钢球？斜槽有摩擦，是否影响实验？

（2）以钢球在槽口时球心的投影为原点，测得轨迹上四个点的坐标如下表。作 $y$-$x^2$ 图像，求初速度（$g$ 取 $10\ \mathrm{m/s^2}$）。

$x/\mathrm{cm}$	10.0	20.0	30.0	40.0
$y/\mathrm{cm}$	1.3	5.0	11.2	20.1

（3）另一位同学把斜槽末端的槽口当作原点（槽口比球心低一个小球半径 $r = 1.0\ \mathrm{cm}$），其余都正确。他用 $x = 40.0\ \mathrm{cm}$ 的点代公式求 $v_0$，结果偏大还是偏小？如果他也用 $y$-$x^2$ 图像的斜率求，结果呢？

解：

（1）判断依据：平抛要求初速度水平；各点在同一轨迹上要求初速度相同。

把钢球放在斜槽末端的水平部分，它在任意位置都能静止，末端就是水平的。从同一位置由静止释放，钢球每次到达槽口的速度相同，打出的点才属于同一条轨迹。摩擦不影响：每次摩擦的情况都一样，到达槽口的速度仍然相同。

（2）研究对象：钢球。

过程划分：从槽口抛出后的平抛运动，一个过程。

分析：由 $x = v_0 t$、$y = \dfrac{1}{2}gt^2$ 得 $y = \dfrac{g}{2v_0^2}x^2$，$y$-$x^2$ 图像是过原点的直线，斜率 $k = \dfrac{g}{2v_0^2}$。算出 $x^2$ 分别是 $1$、$4$、$9$、$16$（单位 $10^{-2}\ \mathrm{m^2}$），描点。

列式求解：在直线上取 $(0, 0)$ 和 $(16 \times 10^{-2}\ \mathrm{m^2}, 20.0\ \mathrm{cm})$：

$$k = \frac{0.200\ \mathrm{m}}{0.16\ \mathrm{m^2}} = 1.25\ \mathrm{m^{-1}}$$ $$v_0 = \sqrt{\frac{g}{2k}} = \sqrt{\frac{10}{2 \times 1.25}}\ \mathrm{m/s} = 2.0\ \mathrm{m/s}$$

检验：单位 $\sqrt{\dfrac{\mathrm{m/s^2}}{\mathrm{m^{-1}}}} = \mathrm{m/s}$。代回：$x = 0.40\ \mathrm{m}$ 时 $t = 0.20\ \mathrm{s}$，$y = 0.20\ \mathrm{m}$，与 $20.1\ \mathrm{cm}$ 吻合。

（3）判断依据：写出测量公式 $v_0 = x\sqrt{\dfrac{g}{2y}}$，看测偏的 $y$ 在分母上（第 37 章 37.3）。

以槽口为原点，量得 $y' = 20.1\ \mathrm{cm} - 1.0\ \mathrm{cm} = 19.1\ \mathrm{cm}$，

$$v_0' = 0.400 \times \sqrt{\frac{10}{2 \times 0.191}}\ \mathrm{m/s} \approx 2.05\ \mathrm{m/s}$$

比 $2.0\ \mathrm{m/s}$ 偏大。用图像：每个 $y$ 都小 $1.0\ \mathrm{cm}$，图线整体下移（图中灰色虚线），斜率不变，求出的 $v_0$ 仍是 $2.0\ \mathrm{m/s}$，不受影响。

容易卡在：（3）只想到“原点错了，结果就不准”，说不出偏向哪边。先写公式，看 $y$ 在分母，再判断。

易错点

• 错在哪：频闪照片或方格图上，把拍到的第一个点当作抛出点，用 $y = \dfrac{1}{2}gt^2$ 求时间。 为什么错：直觉以为“照片从哪开始，运动就从哪开始”。频闪照片常常只拍到轨迹的中间一段。 正确做法：先看相邻相等时间的竖直位移之比是不是 $1 : 3 : 5$；不是，就用 $\Delta y = gT^2$ 求 $T$，不用 $y = \dfrac{1}{2}gt^2$。
• 错在哪：认为斜槽必须光滑，或者要像牛顿第二定律实验那样平衡摩擦力。 为什么错：把“初速度要准确”误当成实验要求。本实验只要求每次初速度相同，摩擦每次一样，不影响。 正确做法：斜槽末端水平、同一位置由静止释放，这两条做到即可。
• 错在哪：把描出的各点用直线段连成折线，或以斜槽槽口为坐标原点。 为什么错：前者忘了每个点都有偶然误差；后者把“槽口”当成“球离开的位置”，实际起点是球心。 正确做法：用平滑曲线连点；原点取钢球在槽口时球心的投影。

关联知识点

• 依据：第 9 章 9.2 平抛运动的规律（两个分运动、轨迹方程），9.3 平抛的常用推论（$\Delta y = gT^2$、速度方向）。
• 依据：第 3 章 3.5 初速度为零的比例 $1 : 3 : 5$、$\Delta x = aT^2$、中间时刻速度。
• 方法：第 37 章 37.4 图像法和化曲为直（$y$-$x^2$）；37.3 偏大偏小的推法。
• 同类实验：第 38 章“测量做直线运动物体的瞬时速度”，同样用“相等时间间隔的位移差”求加速度、用中间时刻求瞬时速度，只是纸带换成了频闪照片。
• 数学：轨迹 $y = \dfrac{g}{2v_0^2}x^2$ 是抛物线，见《高中数学知识点梳理》第 4 章。

39.3 探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系

目的与原理

目的：探究做匀速圆周运动的物体所需向心力 $F$ 的大小与质量 $m$、半径 $r$、角速度 $\omega$ 的关系。

原理：$F$ 与三个量都有关，用控制变量法（第 37 章 37.5）：每次只改变一个量，其余两个保持不变，分别找出 $F$ 与它的关系，最后合成 $F \propto m\omega^2 r$，即第 10 章 10.4 的 $F_{\text{n}} = m\omega^2 r$。

实验要解决两件事：

1. 怎样让两球的角速度成已知比例。两个塔轮用皮带连接，皮带不打滑时，两轮边缘的线速度相等（第 10 章 10.2 的皮带传动）：$\omega_1 r_1 = \omega_2 r_2$，所以

$$\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{r_2}{r_1}$$

$r_1$、$r_2$ 是皮带所套那一层轮盘的半径。轮盘半径之比是 $1 : 1$、$1 : 2$、$1 : 3$，角速度之比就是 $1 : 1$、$2 : 1$、$3 : 1$。

2. 怎样显示向心力的大小。小球随槽转动时，挡板对小球的弹力提供向心力。这个力通过杠杆传给测力套筒里的弹簧，弹簧被压缩，标尺上露出红白相间的等分格。弹簧的形变与力成正比，所以两边标尺露出的格数之比，就是两球所受向心力之比（转换法：把力转换成看得见的形变）。演示器只给出比值，不给出力的数值。

器材与装置

• 向心力演示器：手柄、两个变速塔轮、皮带、长槽、短槽、挡板、测力套筒和标尺。
• 质量不同的小球：两个钢球（质量相同）和一个铝球（与钢球体积相同、质量较小）。

长槽上有两个挡板位置，到转轴的距离之比为 $1 : 2$；短槽上有一个挡板位置，到转轴的距离与长槽上较近的那个相等。本章把它们记为 $A$、$B$、$C$：$A$、$C$ 到各自转轴的距离相等，$B$ 到转轴的距离是 $A$ 的 2 倍。不同型号、不同题目的编号和位置可能不同，以题图和题目说明为准。

选择理由：

• 用皮带连接两个塔轮，而不是让两个转盘各自转：手摇的转速不稳定，只有两边由同一根皮带带动，角速度之比才是确定的，与转得快慢无关。
• 只读格数之比，不读力的数值：比值与转速无关，转速有波动时比值仍然稳定。

传感器方案：用力传感器直接测拉力 $F$；在转臂上装挡光杆，用光电门测挡光时间 $\Delta t$，挡光杆宽度为 $d$、到转轴的距离为 $r'$，则挡光杆的线速度 $v = \dfrac{d}{\Delta t}$，角速度

$$\omega = \frac{v}{r'} = \frac{d}{r'\Delta t}$$

这种方案能测出 $F$ 和 $\omega$ 的数值，便于作图（例 2）。

步骤

1. 探究 $F$ 与 $m$ 的关系：皮带套在半径相等的两层轮盘上（$\omega$ 相同），钢球放在 $A$ 处、铝球放在 $C$ 处（$r$ 相同）。转动手柄，转速稳定后读两边标尺的格数。为什么：只让质量不同，格数之比就只反映质量的影响。
2. 探究 $F$ 与 $r$ 的关系：皮带仍套在半径相等的轮盘上，两个钢球分别放在 $B$ 处和 $C$ 处（半径之比 $2 : 1$）。转动，读格数。为什么：$m$、$\omega$ 相同，只让半径不同。
3. 探究 $F$ 与 $\omega$ 的关系：两个钢球分别放在 $A$ 处和 $C$ 处，皮带依次套在半径之比为 $1 : 2$、$1 : 3$ 的轮盘上（角速度之比 $2 : 1$、$3 : 1$）。转动，读格数。为什么：$m$、$r$ 相同，只让角速度不同。
4. 每种情况改变转速，重复几次。为什么：格数随转速变，比值不变，重复能确认比值稳定，减小读数的偶然误差。

数据处理

演示器：用比值得结论。

组	保持不变	改变的量之比	标尺格数之比	结论
1	$\omega$、$r$	$m_1 : m_2$	与 $m_1 : m_2$ 相同	$F \propto m$
2	$m$、$\omega$	$r_1 : r_2 = 2 : 1$	$2 : 1$	$F \propto r$
3	$m$、$r$	$\omega_1 : \omega_2 = 2 : 1$	$4 : 1$	$F \propto \omega^2$
3′	$m$、$r$	$\omega_1 : \omega_2 = 3 : 1$	$9 : 1$	$F \propto \omega^2$

合起来 $F \propto m\omega^2 r$。

传感器：用图像得结论。$m$、$r$ 不变，测多组 $F$、$\omega$。$F$-$\omega$ 图像是一条弯曲的线（抛物线的一支），看不出比例系数；改画 $F$-$\omega^2$ 图像，是过原点的直线（化曲为直，第 37 章 37.4），斜率

$$k = mr$$

同理，$F$-$r$ 图像（$m$、$\omega$ 不变）是过原点的直线，斜率 $m\omega^2$；$F$-$m$ 图像（$r$、$\omega$ 不变）是过原点的直线，斜率 $\omega^2 r$。

误差分析

系统误差：

• 皮带打滑：两轮边缘线速度不再相等，角速度之比偏离轮盘半径的反比。减小办法：皮带拉紧，转速不要太快。
• 实际半径与标称半径不同：小球压着挡板，弹簧被压缩时挡板略向外移，小球做圆周运动的半径比挡板标称位置略大；小球的半径也要算进去（半径是转轴到球心的距离）。
• 传感器方案中，光电门测的是挡光杆通过时的平均速度，$r'$ 是挡光杆到转轴的距离，不是小球的转动半径，两者混用会使 $\omega$ 算错。

偶然误差：

• 手摇转速不稳定，标尺格数上下跳动，读数不准。减小办法：转速稳定后再读，多读几次。
• 标尺只有等分格，只能估读到半格左右，比值只能粗略比较。演示器的结论是“近似成正比”，定量测量用传感器方案更好。

注意事项

• 两球的位置和皮带所套的轮盘要按控制变量选好再转：一次只能改变一个量。
• 转动手柄要匀速，转速稳定后再读格数：转速不稳，格数跳动。
• 转速不要太快：防止弹簧超过量程、小球飞出、皮带打滑。
• 皮带要套正、拉紧：保证两轮边缘线速度相等。
• 读格数时两边同时看：两边同一时刻的格数之比才有意义。

例题

例 1　（场景：演示器的控制变量和格数之比）用向心力演示器做实验。两个质量相同的钢球分别放在长槽的挡板 $A$ 处和短槽的挡板 $C$ 处，$A$、$C$ 到各自转轴的距离相等；皮带套在左、右塔轮半径之比为 $1 : 2$ 的轮盘上。（1）这一步探究的是向心力与哪个量的关系？（2）左、右两球的角速度之比是多少？（3）左、右标尺露出的格数之比约为多少？（4）若把左边的钢球移到 $B$ 处（$B$ 到转轴的距离是 $A$ 的 2 倍），其余不变，格数之比变为多少？这样做能用来探究向心力与半径的关系吗？

解：（1）角速度；（2）$2 : 1$；（3）$4 : 1$；（4）$8 : 1$，不能。

判断依据：控制变量法，每次只改变一个量；皮带传动中角速度与轮盘半径成反比；$F = m\omega^2 r$。

（1）$m$ 相同、$r$ 相同，两边轮盘半径不同，角速度不同，探究的是 $F$ 与 $\omega$ 的关系。

（2）皮带传动，边缘线速度相等，$\omega_{\text{左}} : \omega_{\text{右}} = r_{\text{右}} : r_{\text{左}} = 2 : 1$。

（3）$F \propto \omega^2$，$F_{\text{左}} : F_{\text{右}} = 2^2 : 1^2 = 4 : 1$，标尺格数之比约 $4 : 1$。

（4）左球半径变为原来的 2 倍，$F_{\text{左}} : F_{\text{右}} = (2^2 \times 2) : (1^2 \times 1) = 8 : 1$。这时半径和角速度同时不同，格数之比的变化不能单独归于半径，所以不能用来探究 $F$ 与 $r$ 的关系；要探究半径，应把皮带换到半径相等的轮盘上。

容易卡在：（2）把轮盘半径之比 $1 : 2$ 直接当成角速度之比。皮带连接时线速度相等，半径小的转得快；（3）忘了平方，答成 $2 : 1$。

例 2　（场景：传感器方案的数据处理）用力传感器和光电门探究向心力与角速度的关系。小球质量不变，做圆周运动的半径 $r = 0.20\ \mathrm{m}$。挡光杆宽度 $d = 1.0\ \mathrm{cm}$，到转轴的距离 $r' = 0.25\ \mathrm{m}$。（1）某次挡光时间 $\Delta t = 0.010\ \mathrm{s}$，求此时的角速度。（2）测得多组数据如下表，为什么要作 $F$-$\omega^2$ 图像而不是 $F$-$\omega$ 图像？（3）作图求小球的质量。

$\omega/(\mathrm{rad \cdot s^{-1}})$	2.0	4.0	6.0	8.0
$\omega^2/(\mathrm{rad^2 \cdot s^{-2}})$	4.0	16	36	64
$F/\mathrm{N}$	0.41	1.58	3.62	6.38

解：

（1）研究对象：挡光杆（与小球同轴转动，角速度相同）。

过程划分：挡光杆通过光电门的极短时间，看作匀速。

分析：$\dfrac{d}{\Delta t}$ 是挡光杆的线速度，它的半径是 $r'$，不是小球的 $r$。

列式求解：

$$v = \frac{d}{\Delta t} = \frac{0.010}{0.010}\ \mathrm{m/s} = 1.0\ \mathrm{m/s},\quad \omega = \frac{v}{r'} = \frac{1.0}{0.25}\ \mathrm{rad/s} = 4.0\ \mathrm{rad/s}$$

检验：与表中第二组的 $\omega$ 一致；单位 $\dfrac{\mathrm{m/s}}{\mathrm{m}} = \mathrm{s^{-1}}$，即 $\mathrm{rad/s}$。

（2）判断依据：化曲为直（第 37 章 37.4）。

若 $F = m\omega^2 r$ 成立，$F$-$\omega$ 图像是抛物线的一支，看不出是不是“与平方成正比”，也不好求系数；$F$-$\omega^2$ 图像应是过原点的直线，是不是直线一眼可判，斜率就是 $mr$。

（3）研究对象：小球。

过程划分：每组数据对应一次匀速圆周运动。

分析：描点后四点在一条过原点的直线上，说明 $F \propto \omega^2$；斜率 $k = mr$。

列式求解：在直线上取 $(0, 0)$ 和 $(70\ \mathrm{rad^2/s^2}, 7.0\ \mathrm{N})$：

$$k = \frac{7.0}{70}\ \mathrm{kg \cdot m} = 0.10\ \mathrm{kg \cdot m},\quad m = \frac{k}{r} = \frac{0.10}{0.20}\ \mathrm{kg} = 0.50\ \mathrm{kg}$$

检验：单位：$\dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{s^{-2}}} = \mathrm{kg \cdot m}$，除以 $\mathrm{m}$ 得 $\mathrm{kg}$。代回：$\omega = 6.0\ \mathrm{rad/s}$ 时 $F = 0.50 \times 36 \times 0.20\ \mathrm{N} = 3.6\ \mathrm{N}$，与 $3.62\ \mathrm{N}$ 吻合。

容易卡在：（1）用小球的半径 $r = 0.20\ \mathrm{m}$ 去除 $\dfrac{d}{\Delta t}$，得 $5.0\ \mathrm{rad/s}$。$\dfrac{d}{\Delta t}$ 是挡光杆的线速度，要除以挡光杆自己的半径。

易错点

• 错在哪：皮带套在半径之比 $1 : 2$ 的轮盘上，认为角速度之比也是 $1 : 2$。 为什么错：直觉以为“轮子大，转得也大”。皮带传动中两轮边缘线速度相等，$\omega = \dfrac{v}{r}$，半径大的反而转得慢。 正确做法：$\omega_1 : \omega_2 = r_2 : r_1$，先写线速度相等，再求角速度之比。
• 错在哪：角速度之比 $2 : 1$，认为标尺格数之比也是 $2 : 1$。 为什么错：把“向心力随角速度增大”当成“成正比”。$F$ 与 $\omega$ 的平方成正比。 正确做法：格数之比 $= \omega$ 之比的平方 $= 4 : 1$。
• 错在哪：为了“一次多得几组数据”，同时改变小球位置和皮带所在的轮盘。 为什么错：两个量同时变，格数之比的变化说不清是谁引起的（例 1 第（4）问）。 正确做法：每一步先写下“哪两个量不变”，只改变第三个。

关联知识点

• 依据：第 10 章 10.2 线速度与角速度的关系 $v = \omega r$、皮带传动线速度相等；10.4 向心力 $F_{\text{n}} = m\omega^2 r$（本实验是它的实验依据）。
• 方法：第 37 章 37.5 控制变量法；37.4 化曲为直（$F$-$\omega^2$）。
• 同类实验：第 38 章“探究加速度与物体受力、物体质量的关系”，同样用控制变量法，同样把 $a$-$m$ 化成 $a$-$\dfrac{1}{m}$ 来作图。
• 常一起考：第 10 章 10.5 水平面内的圆周运动，题目常以“转盘上的物块”考同一个公式。

39.4 验证机械能守恒定律

目的与原理

目的：验证只有重力做功时，物体的动能增加量等于重力势能减少量。

原理：重物拖着纸带自由下落，若空气阻力和纸带受到的摩擦可以忽略，只有重力做功，机械能守恒（第 14 章 14.4）。从静止开始下落 $h$ 时速度为 $v$，应有

$$mgh = \frac{1}{2}mv^2$$

两边的 $m$ 约去：

$$gh = \frac{1}{2}v^2$$

所以不需要测重物的质量。不从起点算时，取纸带上任意两点 $A$、$B$，验证

$$mgh_{AB} = \frac{1}{2}mv_B^2 - \frac{1}{2}mv_A^2$$

$h$ 用刻度尺在纸带上量；$v$ 用纸带求：匀变速运动中间时刻的瞬时速度等于这段时间的平均速度（第 3 章，第 37 章 37.2），打下第 $n$ 个点时

$$v_n = \frac{h_{n+1} - h_{n-1}}{2T}$$

$h_{n+1}$、$h_{n-1}$ 是第 $n+1$、$n-1$ 个点到起点的距离，$T$ 是打点周期。

（关键一步：$v$ 必须从纸带上“量”出来，不能用 $v = gt$ 或 $v = \sqrt{2gh}$ 算。这两个公式都假定了重物的加速度正好是 $g$，也就是已经假定机械能守恒；用它们算出的 $v$ 代进去，“验证”必然成功，等于循环论证。）

其他方案：用气垫导轨上的滑块和光电门（$v = \dfrac{d}{\Delta t}$），或单摆摆球经过最低点时的光电门测速，原理相同，都是比较 $\Delta E_{\text{k}}$ 与 $\Delta E_{\text{p}}$。

器材与装置

• 铁架台（带铁夹）、打点计时器及电源、纸带、复写纸：打点计时器记录下落过程（读数见第 37 章 37.2）。
• 重物（带纸带夹）：选密度大、质量较大的重锤，空气阻力和摩擦相对于重力小得多。
• 毫米刻度尺：量下落高度。
• 不需要：天平（$m$ 约去）、秒表（时间由打点周期给出）。

打点计时器优先用电火花计时器：它靠电火花放电打点，纸带受的阻力比电磁打点计时器的振针打点小。

步骤

1. 安装：打点计时器竖直固定在铁架台上，两个限位孔在同一竖直线上。为什么：限位孔不竖直，纸带下落时和限位孔摩擦大。
2. 穿纸带、挂重物：纸带穿过限位孔，下端用夹子夹住重物；手提纸带上端，让重物靠近打点计时器并保持静止。为什么：重物靠近计时器，纸带能打出更长的一段点；静止，起点速度才为零。
3. 先接通电源，再释放纸带。为什么：打点稳定后再释放，第一个点对应重物开始运动的时刻；先释放后接通，第一个点打下时重物已经有速度。
4. 断开电源，取下纸带。重复几次，得到几条纸带。
5. 选纸带：选点迹清晰的纸带。以第一个点 $O$ 为起点验证 $mgh = \dfrac{1}{2}mv^2$ 时，选第 1、2 两点间距接近 $2\ \mathrm{mm}$ 的纸带：从静止开始，第一个打点周期内下落 $\dfrac{1}{2}gT^2 = \dfrac{1}{2} \times 9.8 \times 0.02^2\ \mathrm{m} \approx 2\ \mathrm{mm}$，间距接近 $2\ \mathrm{mm}$ 说明打下 $O$ 点时重物刚好开始下落。用任意两点 $A$、$B$ 验证时，不需要这个条件。
6. 测量：在纸带上选几个点，用刻度尺量出各点到起点 $O$ 的距离 $h_1$、$h_2$……为什么：都从 $O$ 量起，一次读数一个距离，不会把各段的读数误差累加。
7. 计算：用 $v_n = \dfrac{h_{n+1} - h_{n-1}}{2T}$ 求各点速度，比较 $gh_n$ 和 $\dfrac{1}{2}v_n^2$。

数据处理

列表比较：

点	$h/\mathrm{m}$	$v/(\mathrm{m \cdot s^{-1}})$	$\dfrac{1}{2}v^2/(\mathrm{m^2 \cdot s^{-2}})$	$gh/(\mathrm{m^2 \cdot s^{-2}})$
1
2
3

在误差允许的范围内 $\dfrac{1}{2}v^2 = gh$，就验证了机械能守恒。题目给出质量时，比较 $\Delta E_{\text{p}} = mgh$ 与 $\Delta E_{\text{k}} = \dfrac{1}{2}mv^2$。

图像法：以 $h$ 为横轴、$\dfrac{1}{2}v^2$ 为纵轴描点，若是过原点的直线，且斜率在误差范围内等于 $g$，就验证了机械能守恒。改用 $v^2$-$h$ 图像，斜率应为 $2g$。图像截距不为零，提示操作上的问题（例 2）。

误差分析

系统误差：重物下落时受空气阻力，纸带与限位孔、振针之间有摩擦，一部分机械能转化为内能，所以动能增加量总是略小于重力势能减少量，$\Delta E_{\text{k}} < \Delta E_{\text{p}}$；图像法中斜率略小于 $g$。减小办法：选密度大、质量大的重物；限位孔竖直；用电火花计时器。

由这个差值还能估算平均阻力：$f h = \Delta E_{\text{p}} - \Delta E_{\text{k}}$（第 14 章 14.6 功能关系）。

偶然误差：量 $h$ 的读数误差。减小办法：各点到 $O$ 一次量出；选离 $O$ 较远的点，$h$ 大，相对误差小。

$\Delta E_{\text{k}} > \Delta E_{\text{p}}$ 不是误差，是错误。阻力只能让动能“少”，不会让它“多”。出现这种结果，常见原因有：

• 先释放纸带后接通电源，打下 $O$ 点时重物已有速度；
• 用 $v = gt$ 或 $v = \sqrt{2gh}$ 计算速度；
• 电源实际频率低于 $50\ \mathrm{Hz}$，实际打点周期比 $0.02\ \mathrm{s}$ 长，仍按 $0.02\ \mathrm{s}$ 算，$v$ 算大了。

不影响结果的：重物质量的数值（两边约去，不用测）。

注意事项

• 打点计时器竖直固定，两限位孔在同一竖直线上：减小纸带摩擦。
• 先接通电源，打点稳定后再释放纸带：保证起点速度为零。
• 释放前重物靠近打点计时器，手提纸带上端使纸带竖直：纸带用得充分，下落时不与限位孔摩擦。
• 选密度大、质量大的重物：减小阻力的相对影响。
• 速度只能用 $v_n = \dfrac{h_{n+1} - h_{n-1}}{2T}$ 从纸带上求：不能用 $v = gt$、$v = \sqrt{2gh}$。
• 以 $O$ 为起点时选第 1、2 点间距约 $2\ \mathrm{mm}$ 的纸带；用两个中间点验证时不需要。

例题

例 1　（场景：纸带求速度、比较能量、分析误差）用如图装置验证机械能守恒定律，重物质量 $m = 0.500\ \mathrm{kg}$，打点计时器电源频率 $50\ \mathrm{Hz}$，当地重力加速度 $g = 9.80\ \mathrm{m/s^2}$。选出的纸带如图，$O$ 是打下的第一个点（速度为零），$A$、$B$、$C$ 是连续打下的三个点，测得它们到 $O$ 的距离 $h_A = 15.55\ \mathrm{cm}$，$h_B = 19.20\ \mathrm{cm}$，$h_C = 23.23\ \mathrm{cm}$。（1）求打下 $B$ 点时重物的速度。（2）从 $O$ 到 $B$，重物重力势能的减少量和动能的增加量各是多少（保留三位有效数字）？（3）两者为什么不相等？（4）由此估算重物下落时受到的平均阻力。

解：

研究对象：重物（连同纸带）。

过程划分：从 $O$ 到 $B$ 一个过程，初速度为零。

分析：$B$ 是 $A$ 到 $C$ 的中间时刻，$v_B$ 等于 $AC$ 段的平均速度；$\Delta E_{\text{p}} = mgh_B$，$\Delta E_{\text{k}} = \dfrac{1}{2}mv_B^2$。

列式求解：

（1）$T = 0.02\ \mathrm{s}$：

$$v_B = \frac{h_C - h_A}{2T} = \frac{(23.23 - 15.55) \times 10^{-2}}{2 \times 0.02}\ \mathrm{m/s} = 1.92\ \mathrm{m/s}$$

（2）

$$\Delta E_{\text{p}} = mgh_B = 0.500 \times 9.80 \times 0.1920\ \mathrm{J} \approx 0.941\ \mathrm{J}$$ $$\Delta E_{\text{k}} = \frac{1}{2}mv_B^2 = \frac{1}{2} \times 0.500 \times 1.92^2\ \mathrm{J} \approx 0.922\ \mathrm{J}$$

（3）$\Delta E_{\text{k}}$ 略小于 $\Delta E_{\text{p}}$，相差约 $2\%$。重物下落时受到空气阻力，纸带与限位孔之间有摩擦，克服阻力做功，一部分机械能转化为内能。在误差允许范围内，可以认为机械能守恒。

（4）由功能关系，克服阻力做的功等于机械能的减少：

$$f h_B = \Delta E_{\text{p}} - \Delta E_{\text{k}},\quad f = \frac{0.941 - 0.922}{0.1920}\ \mathrm{N} \approx 0.10\ \mathrm{N}$$

检验：$f$ 约为重力 $4.9\ \mathrm{N}$ 的 $2\%$，量级合理。也可以由 $\Delta x = aT^2$ 核对：$(h_C - h_B) - (h_B - h_A) = 4.03\ \mathrm{cm} - 3.65\ \mathrm{cm} = 0.38\ \mathrm{cm}$，$a = \dfrac{0.0038}{0.02^2}\ \mathrm{m/s^2} = 9.5\ \mathrm{m/s^2}$，略小于 $g$，与“有阻力”一致（只用两段数据，误差较大）。

容易卡在：（1）用 $v_B = \sqrt{2gh_B}$ 算（得 $1.94\ \mathrm{m/s}$），这样算出的 $\Delta E_{\text{k}}$ 正好等于 $\Delta E_{\text{p}}$，是循环论证；用 $v_B = gt$ 算（$t = 10T = 0.20\ \mathrm{s}$，得 $1.96\ \mathrm{m/s}$）同样是先假定了加速度为 $g$，算出的 $\Delta E_{\text{k}} \approx 0.960\ \mathrm{J}$，反而比 $\Delta E_{\text{p}}$ 大。

另一种解法：（2）（3）问只为判断是否守恒时，不必代入质量，直接比较单位质量的量：$gh_B = 9.80 \times 0.1920\ \mathrm{m^2/s^2} \approx 1.88\ \mathrm{m^2/s^2}$，$\dfrac{1}{2}v_B^2 = \dfrac{1}{2} \times 1.92^2\ \mathrm{m^2/s^2} \approx 1.84\ \mathrm{m^2/s^2}$。题目没给质量、只问“是否守恒”时用这个；题目要能量的数值或要求阻力时，才代入 $m$。

例 2　（场景：图像法验证和截距的含义）某同学在纸带上取多个点，测出各点到起点 $O$ 的距离 $h$，算出对应的 $\dfrac{1}{2}v^2$，数据如下表（$g = 9.80\ \mathrm{m/s^2}$）。

$h/\mathrm{m}$	0.100	0.200	0.300	0.400
$\dfrac{1}{2}v^2/(\mathrm{m^2 \cdot s^{-2}})$	0.96	1.93	2.87	3.84

（1）作 $\dfrac{1}{2}v^2$-$h$ 图像，求斜率，说明能否验证机械能守恒。（2）另一位同学作出的图线是一条斜率差不多、但在纵轴上有正截距 $0.50\ \mathrm{m^2/s^2}$ 的直线，可能是什么原因？他的数据还能用来验证机械能守恒吗？

解：

（1）研究对象：重物。

过程划分：从 $O$ 由静止下落到各点，每个点对应一个过程。

分析：若机械能守恒，$\dfrac{1}{2}v^2 = gh$，$\dfrac{1}{2}v^2$-$h$ 图像应是过原点的直线，斜率为 $g$。

列式求解：四点在一条过原点的直线上，取 $(0, 0)$ 和 $(0.400\ \mathrm{m}, 3.84\ \mathrm{m^2/s^2})$：

$$k = \frac{3.84}{0.400}\ \mathrm{m/s^2} = 9.6\ \mathrm{m/s^2}$$

与 $g = 9.80\ \mathrm{m/s^2}$ 相差约 $2\%$，在误差允许范围内，图线过原点、斜率近似等于 $g$，验证了机械能守恒。斜率略小于 $g$，是阻力造成的系统误差。

检验：单位 $\dfrac{\mathrm{m^2/s^2}}{\mathrm{m}} = \mathrm{m/s^2}$，与 $g$ 同单位。

（2）判断依据：$\dfrac{1}{2}v^2 = \dfrac{1}{2}v_0^2 + gh$，纵截距是 $\dfrac{1}{2}v_0^2$，$v_0$ 是打下 $O$ 点时的速度。

正截距说明打下 $O$ 点时重物已有速度，$\dfrac{1}{2}v_0^2 = 0.50\ \mathrm{m^2/s^2}$，$v_0 = 1.0\ \mathrm{m/s}$。最可能的原因是先释放纸带、后接通电源。他的数据仍能用：图线的斜率不受初速度影响，斜率近似等于 $g$，同样说明 $\Delta\left(\dfrac{1}{2}v^2\right) = g\Delta h$，即机械能守恒。

容易卡在：（2）以为“图线不过原点，实验就失败了”。和第 37 章 37.4 例 3 一样，起点的偏差只改截距，斜率照样能用。

易错点

• 错在哪：用 $v = gt$ 或 $v = \sqrt{2gh}$ 计算纸带上某点的速度。 为什么错：这两个式子是自由落体的结论，已经假定只有重力做功、加速度为 $g$，正是要验证的东西。用了它，阻力的影响被掩盖，“验证”必然成功。 正确做法：用 $v_n = \dfrac{h_{n+1} - h_{n-1}}{2T}$ 从纸带上求。
• 错在哪：算出 $\Delta E_{\text{k}}$ 比 $\Delta E_{\text{p}}$ 略大，解释为“空气阻力造成的误差”。 为什么错：阻力做负功，只会让动能增加得少。$\Delta E_{\text{k}} > \Delta E_{\text{p}}$ 说明有操作或计算错误。 正确做法：检查是不是先释放后通电、是不是用了 $v = gt$、打点周期是否按实际频率算。
• 错在哪：认为本实验必须用天平测出重物质量。 为什么错：$mgh = \dfrac{1}{2}mv^2$ 两边都有 $m$，验证的是 $gh = \dfrac{1}{2}v^2$。 正确做法：不测质量，比较 $gh$ 与 $\dfrac{1}{2}v^2$；题目给了质量要算能量时再代入。

关联知识点

• 依据：第 14 章 14.4 机械能守恒定律（守恒条件、表达式）；14.6 功能关系（克服阻力做功等于机械能的减少）。
• 依据：第 3 章中间时刻速度和 $\Delta x = aT^2$；第 37 章 37.2 打点计时器、37.4 图像法（截距与斜率）。
• 同类实验：第 38 章“测量做直线运动物体的瞬时速度”，用同样的纸带求瞬时速度；第 13 章动能定理，用同样的装置可以验证“合力做功等于动能变化”。
• 常一起考：第 9 章平抛的频闪照片题有时也问“小球机械能是否守恒”，做法相同：比较 $\Delta E_{\text{k}}$ 与 $\Delta E_{\text{p}}$。

39.5 自测

1. 用频闪照相研究平抛运动，背景方格边长对应实际长度 $10\ \mathrm{cm}$。照片上相邻三个位置的水平间隔都是 2 格，竖直间隔依次是 1 格、2 格。$g$ 取 $10\ \mathrm{m/s^2}$，求小球的初速度。
2. 描迹法得到的 $y$-$x^2$ 图像是过原点的直线，斜率为 $5\ \mathrm{m^{-1}}$。$g$ 取 $10\ \mathrm{m/s^2}$，求平抛的初速度。
3. 用向心力演示器做实验，两个钢球质量相同，转动半径相同，皮带套在左、右轮盘半径之比为 $1 : 3$ 的塔轮上。左、右标尺露出的格数之比是多少？
4. 用向心力演示器探究向心力与半径的关系，应保持哪两个量不变？
5. 验证机械能守恒定律时，打点周期 $T = 0.02\ \mathrm{s}$，第 $n - 1$ 个点和第 $n + 1$ 个点到起点的距离之差为 $7.80\ \mathrm{cm}$。求打下第 $n$ 个点时重物的速度。
6. 验证机械能守恒定律的实验中，某同学发现每次算出的动能增加量都略大于重力势能减少量，写出一个可能的原因。

答案：1. $2.0\ \mathrm{m/s}$（$\Delta y = 1$ 格 $= 0.10\ \mathrm{m} = gT^2$，$T = 0.1\ \mathrm{s}$）；2. $1\ \mathrm{m/s}$；3. $9 : 1$；4. 质量和角速度；5. $1.95\ \mathrm{m/s}$；6. 先释放纸带后接通电源（或用 $v = gt$ 计算速度、电源实际频率低于 $50\ \mathrm{Hz}$）。

39.6 深入阅读

• PhET · 抛体运动：把抛射角调成 0° 做平抛，看轨迹上等时间间隔的点：水平间距相等、竖直间距按 1 : 3 : 5 增大。
• PhET · 能量滑板公园：基础：打开和关闭摩擦，对比动能与势能的柱状图，理解验证实验中动能增加量为什么略小于势能减少量。
• 维基百科 · 向心力：向心力公式及其与牛顿第二定律的关系，可对照演示器的结论 F 与 mω²r 成正比。
• 国家中小学智慧教育平台：教育部主办，有人教版必修第二册三个实验的同步课程视频，可看斜槽描迹、向心力演示器和纸带实验的实际操作。