第 37 章 · 实验基础

项目	内容
课标主题	必修与选择性必修各模块的“学生必做实验”共用的测量、数据处理和设计方法；必修 3 的“长度的测量及测量工具的选用”
人教版（2019）	散见各册实验节：必修第一册第一章（打点计时器）、第二章（纸带的数据处理）；必修第三册第十一章 11.3”实验：导体电阻率的测量”（游标卡尺、螺旋测微器、伏安法）、11.5”实验：练习使用多用电表”
考试地位	实验题每卷两道，常是一道力学、一道电学；读数、数据处理、电路设计几乎每卷都出现在其中某一问；误差分析（偏大还是偏小）常考
前置知识	第 1 章单位和图像的斜率、截距；第 3 章 $\Delta x = aT^2$；第 17 章串并联电路和电表的内阻

实验题不难在原理，而难在细节：读数少一位、漏一个零，图像连成折线，电流表接错位置，测量值偏大说成偏小，每一处都是实打实的分数。第 38–42 章的 21 个实验，用的都是本章这五样基本功：怎么读、误差从哪来、数据怎么处理、方案怎么想、电路怎么接。本章一次讲清，实验章只引用。

37.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
37.2 常用仪器的读数	需要估读的仪器读到最小分度的下一位；游标卡尺、秒表不估读；电表按最小分度定估读位	必考，实验题的第一问常是读数
37.3 误差与有效数字	系统误差有固定方向，靠改进方法减小；偶然误差有正有负，靠多次测量减小；有效数字的末位是估读位	常考误差来源和偏大偏小；有效数字处处要用
37.4 数据处理	列表、取平均、图像法求斜率截距、把曲线化成直线、纸带用逐差法	必考，几乎每道实验题都有一问
37.5 实验设计的常用思路	控制变量、等效替代、放大、累积：不能直接测的量，换个办法测	常作为选择或填空一问，也是设计新实验的依据
37.6 电学实验的电路设计	分压还是限流、内接还是外接、电表选哪个量程	电学实验题的核心，几乎每卷都考

37.2 常用仪器的读数

说明

读数的总规则：测量值由“准确数字 + 一位估读数字”组成。大多数刻度仪器，读到最小分度以后，还要在两条刻线之间估读一位，也就是估读到最小分度的下一位。估读出来的这一位不准，但有意义，要写上；正好对齐刻线时，估读位写 0，这个 0 不能省。

两类仪器不估读：一是游标卡尺，靠“哪条线对齐”读数，对齐是一个整格的判断，没有“半条线”；二是机械秒表，指针一跳一跳地走，不会停在两条刻线中间。数字式仪器（数字秒表、数字电压表）直接读显示的数。

各仪器的读法：

仪器	最小分度（精度）	读法	读到
毫米刻度尺	$1\ \mathrm{mm}$	末端刻度减起点刻度，估读一位	$0.1\ \mathrm{mm}$
游标卡尺（10 分度）	$0.1\ \mathrm{mm}$	主尺读整毫米 + 对齐格数 × 精度，不估读	$0.1\ \mathrm{mm}$
游标卡尺（20 分度）	$0.05\ \mathrm{mm}$	同上	$0.05\ \mathrm{mm}$
游标卡尺（50 分度）	$0.02\ \mathrm{mm}$	同上	$0.02\ \mathrm{mm}$
螺旋测微器（千分尺）	$0.01\ \mathrm{mm}$	固定刻度（含半毫米）+ 可动刻度格数（估读一位）× $0.01\ \mathrm{mm}$	$0.001\ \mathrm{mm}$
机械秒表	$0.1\ \mathrm{s}$	小盘读分，大盘读秒，相加，不估读	$0.1\ \mathrm{s}$
打点计时器	打点周期 $0.02\ \mathrm{s}$（电源 $50\ \mathrm{Hz}$）	数间隔算时间，用刻度尺量间距	时间按间隔数算
电流表、电压表	看量程和格数	先定量程和每格代表多少，再按下表估读	见下表
多用电表欧姆挡	刻度不均匀	指针示数 × 倍率，一般不估读	一般两位有效数字

游标卡尺：主尺按毫米刻度；游标上有 $n$ 个小格（10、20 或 50），这 $n$ 格的总长比 $n$ 毫米少 $1\ \mathrm{mm}$，所以精度是 $\dfrac{1}{n}\ \mathrm{mm}$。读数分两步：

1. 看游标的零刻线对着主尺哪里，零刻线左边最近的主尺刻线是几毫米，就是整毫米数 $a$。
2. 找游标上哪一条刻线和主尺的某条刻线对得最齐，数出它是游标的第 $k$ 条（零刻线算第 0 条），小数部分是 $k \times$ 精度。

$$L = a + k \times \frac{1}{n}\ \mathrm{mm}$$

读数以毫米为单位时，10 分度的读到小数点后一位，20 分度和 50 分度的读到小数点后两位，末位的 0 也要写。

螺旋测微器：测微螺杆的螺距是 $0.5\ \mathrm{mm}$，可动刻度一圈 50 格，转一格螺杆前进 $\dfrac{0.5}{50}\ \mathrm{mm} = 0.01\ \mathrm{mm}$。固定刻度上方是整毫米刻线，下方是半毫米刻线。读数：

$$L = \text{固定刻度读数（看半毫米刻线是否露出）} + \text{可动刻度格数（估读一位）} \times 0.01\ \mathrm{mm}$$

以毫米为单位时小数点后有三位，所以也叫千分尺。

机械秒表：小表盘是分针，大表盘是秒针。常见的秒表大表盘一圈 $30\ \mathrm{s}$，小表盘每分钟之间有一条半分钟刻线：小表盘指针没过半分钟刻线，大表盘读 $0 \sim 30\ \mathrm{s}$；过了，大表盘读 $30 \sim 60\ \mathrm{s}$ 那一圈的数。总时间 = 分钟数 × 60 s + 大表盘读数。也有大表盘一圈 $60\ \mathrm{s}$ 的秒表，表盘规格以题图为准。

打点计时器：电磁打点计时器用约 $8\ \mathrm{V}$ 的低压交流电源（旧教材和部分教辅写 $4 \sim 6\ \mathrm{V}$），电火花计时器用 $220\ \mathrm{V}$ 交流电源。电源频率 $50\ \mathrm{Hz}$ 时每隔 $0.02\ \mathrm{s}$ 打一个点。实验里常每 5 个间隔取一个计数点（“每隔 4 个点取一个计数点”或“相邻计数点间还有 4 个点未画出”），相邻计数点的时间间隔 $T = 5 \times 0.02\ \mathrm{s} = 0.1\ \mathrm{s}$。纸带的读数就是用刻度尺量出各计数点之间的距离。

电流表、电压表：先看接的是哪个量程，再看表盘一共多少格，算出每格代表多少（最小分度）。估读按最小分度的首位数字分三种：

最小分度	例子	估读方法	读到
1、0.1、0.01 …	$0 \sim 3\ \mathrm{A}$ 每格 $0.1\ \mathrm{A}$；$0 \sim 3\ \mathrm{V}$ 每格 $0.1\ \mathrm{V}$	把一格分成 10 份估读	最小分度的下一位：$0.01\ \mathrm{A}$、$0.01\ \mathrm{V}$
2、0.2、0.02 …	$0 \sim 0.6\ \mathrm{A}$ 每格 $0.02\ \mathrm{A}$	把一格分成 2 份估读（半格）	与最小分度同一位：$0.01\ \mathrm{A}$
5、0.5、0.05 …	$0 \sim 15\ \mathrm{V}$ 每格 $0.5\ \mathrm{V}$	把一格分成 5 份估读	与最小分度同一位：$0.1\ \mathrm{V}$

上表的 1/2、1/5 估读是按人教版编排的同步讲义和多数地区评分的通行做法。也有地区按“一律估读到最小分度的下一位”给分（$0 \sim 15\ \mathrm{V}$ 挡会多写一位），两种写法相差一位时，以当地的评分标准为准。

欧姆挡刻度不均匀，一般不估读，读到刻度能分辨的那一位再乘倍率，结果通常是两位有效数字；题目对位数另有要求时照题目。

多用电表：

• 测电压、电流时，表盘中间那排均匀刻度是直流电压、电流共用的。选 $10\ \mathrm{V}$ 挡就看满刻度是 10 的那一排，选 $50\ \mathrm{V}$ 挡看满刻度是 50 的那一排，读法同电压表。
• 测电阻（欧姆挡）时看最上面那排刻度。它的零点在右端（指针满偏），左端是无穷大，刻度左密右疏、不均匀。读数 = 指针示数 × 倍率（$\times 1$、$\times 10$、$\times 100$ …）。
• 欧姆挡指针在表盘中央附近时读数最准。偏角太大（指针靠右、示数很小），说明电阻小、倍率选大了，换小一挡；偏角太小，换大一挡。每次换挡都要重新欧姆调零（两表笔短接，调欧姆调零旋钮使指针指在右端的 0）。

本知识点只讲仪器怎么读；电路里电表选哪个量程、怎么接，见 37.6。

使用场景

• 用毫米刻度尺量长度（纸带间距、摆线长）→ 普通刻度仪器 → 估读到 $0.1\ \mathrm{mm}$，以厘米为单位时小数点后两位。
• 题图给游标卡尺 → 游标读数 → 主尺读整毫米，找对齐的游标刻线，乘精度，不估读。
• 题图给螺旋测微器 → 千分尺读数 → 固定刻度（看半毫米刻线）加可动刻度格数（估读一位）乘 $0.01\ \mathrm{mm}$。
• 题图给机械秒表 → 秒表读数 → 小盘读分并看是否过半分钟线，大盘读秒，相加，不估读。
• 给出纸带，问计数点间的时间或某点的瞬时速度 → 打点计时器 → $T$ 由打点周期和间隔数算，瞬时速度用相邻两段的平均速度。
• 题图给电流表、电压表表盘和所接量程 → 电表读数 → 先算每格多少，再按 1、2、5 三种分度估读。
• 题图给多用电表欧姆挡 → 欧姆表读数 → 示数乘倍率；偏角太大或太小先换挡并重新欧姆调零。

注意点

• 估读位为 0 时也要写：刻度尺读得正好在 $5.6\ \mathrm{cm}$ 刻线上，写 $5.60\ \mathrm{cm}$，不写 $5.6\ \mathrm{cm}$。
• 游标卡尺读整毫米看的是游标的零刻线，不是游标尺的左边缘。
• 螺旋测微器最容易漏掉半毫米：可动刻度边缘左边如果露出了下方的半毫米刻线，固定刻度读数要加 $0.5\ \mathrm{mm}$。
• 刻度尺测长度时，物体一端不一定对齐零刻线，长度是两端读数之差；起点读数同样要估读（正好对齐也写成 $1.00\ \mathrm{cm}$ 这样）。
• 题目要求的单位和仪器读出的单位可能不同（游标卡尺读出毫米，题目要厘米），换单位只移动小数点，有效数字位数不变。
• 电表读数前先确认接的是哪个量程，同一个表盘、同一个指针位置，量程不同读数不同。
• 多用电表的欧姆挡只能测断开电源的电阻；测电压、电流时不要用欧姆挡。
• 打点计时器的打点周期由电源频率决定，题目说频率不是 $50\ \mathrm{Hz}$ 时要重算。

推导

游标为什么能读出零点几毫米：以 10 分度为例。游标上 10 格的总长是 $9\ \mathrm{mm}$，每格 $0.9\ \mathrm{mm}$，比主尺每格短 $0.1\ \mathrm{mm}$。游标零刻线和主尺某刻线对齐时，游标第 1 条线落后主尺下一条线 $0.1\ \mathrm{mm}$，第 2 条落后 $0.2\ \mathrm{mm}$……第 $k$ 条落后 $k \times 0.1\ \mathrm{mm}$。

现在把游标向右推 $0.3\ \mathrm{mm}$，原来落后 $0.3\ \mathrm{mm}$ 的第 3 条线就正好追上主尺的刻线，和它对齐。反过来，看见第 $k$ 条对齐，就知道游标零刻线越过整毫米 $k \times 0.1\ \mathrm{mm}$。

（关键一步：每一条游标线比对应主尺线“落后”的量是 $0.1\ \mathrm{mm}$ 的整数倍，所以对齐的那一条直接告诉你超出的零头是几个 $0.1\ \mathrm{mm}$。对齐只能是某一整条，不存在“第 3.5 条对齐”，所以游标卡尺不估读。）

20 分度的游标 20 格总长 $19\ \mathrm{mm}$，每格比 $1\ \mathrm{mm}$ 短 $0.05\ \mathrm{mm}$；50 分度的 50 格总长 $49\ \mathrm{mm}$，每格短 $0.02\ \mathrm{mm}$，道理相同。有的 20 分度游标 20 格总长 $39\ \mathrm{mm}$（每格 $1.95\ \mathrm{mm}$，比 $2\ \mathrm{mm}$ 短 $0.05\ \mathrm{mm}$），精度一样是 $0.05\ \mathrm{mm}$。

螺旋测微器的放大：螺杆每转一圈前进一个螺距 $0.5\ \mathrm{mm}$。可动刻度套筒的周长有十几毫米，分成 50 格，于是螺杆前进 $0.01\ \mathrm{mm}$ 时，套筒表面转过一格，这一格的弧长有零点几毫米，人眼看得清，还能再估读十分之一格。这是用“转动”把直线上的微小位移放大了几十倍（37.5 的放大思路）。

为什么估读一位，不是两位：估读到最小分度的十分之一，人眼已经到极限，下一位完全靠猜，没有意义。电表按 2、5 分度估读到本位，是因为一格本身只代表 2 或 5 个单位，再细分到十分之一也分不清。

例题

例 1　（场景：毫米刻度尺）用毫米刻度尺测一段金属丝的长度，金属丝左端对准刻度尺的 $1\ \mathrm{cm}$ 刻线，右端正好对准 $5.6\ \mathrm{cm}$ 刻线。写出金属丝的长度。

解：$4.60\ \mathrm{cm}$。

判断依据：毫米刻度尺要估读到 $0.1\ \mathrm{mm}$，以厘米为单位读到小数点后两位。

左端读数 $1.00\ \mathrm{cm}$，右端读数 $5.60\ \mathrm{cm}$，长度 $L = 5.60\ \mathrm{cm} - 1.00\ \mathrm{cm} = 4.60\ \mathrm{cm}$。

容易卡在：写成 $4.6\ \mathrm{cm}$。正好对齐时估读位是 0，这个 0 说明“读到了 $0.1\ \mathrm{mm}$ 这一位”，省掉就变成只读到毫米。

例 2　（场景：游标卡尺）用 20 分度的游标卡尺测一个圆柱的直径，示数如图。读出直径。

解：$10.35\ \mathrm{mm}$。

判断依据：游标卡尺读数 = 主尺整毫米数 + 对齐格数 × 精度，不估读。

游标零刻线在主尺 $10\ \mathrm{mm}$ 和 $11\ \mathrm{mm}$ 之间，整毫米数 $10\ \mathrm{mm}$。20 分度的精度是 $0.05\ \mathrm{mm}$，游标第 7 条刻线对齐：

$$L = 10\ \mathrm{mm} + 7 \times 0.05\ \mathrm{mm} = 10.35\ \mathrm{mm}$$

写成厘米是 $1.035\ \mathrm{cm}$。

容易卡在：游标上的数字“5”“10”不是格数。20 分度的游标上每 2 格标一个数，标“5”的是第 10 格，表示 $0.5\ \mathrm{mm}$。数格数时从零刻线一格一格数，或者直接读对齐处的游标标值（第 7 格在 3 和 4 之间，对应 $0.35\ \mathrm{mm}$）。

例 3　（场景：螺旋测微器）用螺旋测微器测金属丝的直径，示数如图。读出直径。

解：$6.703\ \mathrm{mm}$。

判断依据：螺旋测微器读数 = 固定刻度（含半毫米）+ 可动刻度格数（估读一位）× $0.01\ \mathrm{mm}$。

固定刻度上方露出 $6\ \mathrm{mm}$，下方 $6.5\ \mathrm{mm}$ 的半毫米刻线也露出了，固定刻度读 $6.5\ \mathrm{mm}$。可动刻度第 20 格过一点，估读为 $20.3$ 格：

$$L = 6.5\ \mathrm{mm} + 20.3 \times 0.01\ \mathrm{mm} = 6.703\ \mathrm{mm}$$

容易卡在：漏掉半毫米，读成 $6.203\ \mathrm{mm}$。看可动刻度套筒左边缘，它左边露出的所有刻线都要算，上排、下排都看。估读的最后一位（$0.003$）读成 $0.002$ 或 $0.004$ 一般也算对。

例 4　（场景：机械秒表）用机械秒表测单摆 30 次全振动的时间。秒表停止时，小表盘的指针在“1”和“2”之间，且已经越过两者之间的半分钟刻线；大表盘指针指在 $38.6\ \mathrm{s}$ 处。读出时间。

解：$98.6\ \mathrm{s}$。

判断依据：秒表读数 = 小表盘分钟数 + 大表盘秒数；小表盘过了半分钟线，大表盘读 $30 \sim 60\ \mathrm{s}$ 那一圈；不估读。

小表盘读 $1\ \mathrm{min}$ 且已过半分钟，所以大表盘读 $38.6\ \mathrm{s}$（不是 $8.6\ \mathrm{s}$）。总时间 $60\ \mathrm{s} + 38.6\ \mathrm{s} = 98.6\ \mathrm{s}$。

单摆周期 $T = \dfrac{98.6}{30}\ \mathrm{s} \approx 3.29\ \mathrm{s}$。

容易卡在：没看半分钟刻线，读成 $68.6\ \mathrm{s}$。

例 5　（场景：打点计时器）用频率 $50\ \mathrm{Hz}$ 的打点计时器打出的纸带如图，0 到 6 是计数点，相邻两个计数点之间还有 4 个点未画出。测得 $x_3 = 2.40\ \mathrm{cm}$，$x_4 = 2.88\ \mathrm{cm}$。求相邻计数点间的时间间隔和打下计数点 3 时纸带的速度。

解：

研究对象：纸带（随小车运动）。

过程划分：只看计数点 2 到 4 这一段，两段相邻的、时间相等的位移。

分析：相邻计数点之间有 5 个打点间隔。匀变速直线运动中，一段时间中间时刻的瞬时速度等于这段时间的平均速度（第 3 章）。计数点 3 是 2 到 4 这段时间的中间时刻。

列式求解：时间间隔 $T = 5 \times 0.02\ \mathrm{s} = 0.1\ \mathrm{s}$。

$$v_3 = \frac{x_3 + x_4}{2T} = \frac{(2.40 + 2.88) \times 10^{-2}}{2 \times 0.1}\ \mathrm{m/s} = 0.264\ \mathrm{m/s} \approx 0.26\ \mathrm{m/s}$$

方向与纸带运动方向相同。

检验：单位换成米再算，结果是 $\mathrm{m/s}$。量级：小车在实验桌上几十厘米每秒，合理。

容易卡在：把 $T$ 当成 $0.02\ \mathrm{s}$ 或 $0.08\ \mathrm{s}$（“还有 4 个点”是 5 个间隔，不是 4 个）。

例 6　（场景：电流表、电压表）某电表表盘如图，共 30 小格，指针位置如图所示（约在第 17.6 格）。（1）作电流表用，接 $0 \sim 0.6\ \mathrm{A}$ 量程，读数是多少？（2）接 $0 \sim 3\ \mathrm{A}$ 量程呢？（3）若同样的表盘、同样的指针位置是一只电压表，接 $0 \sim 15\ \mathrm{V}$ 量程，读数是多少？

解：（1）$0.35\ \mathrm{A}$；（2）$1.76\ \mathrm{A}$；（3）$8.8\ \mathrm{V}$。

判断依据：先算每格代表多少，再按最小分度的首位是 1、2 还是 5 决定估读方法。

（1）$0.6\ \mathrm{A}$ 分 30 格，每格 $0.02\ \mathrm{A}$，首位是 2，半格估读，读到 $0.01\ \mathrm{A}$。指针过了 17 格（$0.34\ \mathrm{A}$）又过了半格，读 $0.35\ \mathrm{A}$。

（2）$3\ \mathrm{A}$ 分 30 格，每格 $0.1\ \mathrm{A}$，首位是 1，十分之一格估读，读到 $0.01\ \mathrm{A}$。17.6 格 × $0.1\ \mathrm{A}$ = $1.76\ \mathrm{A}$（读 $1.75 \sim 1.77\ \mathrm{A}$ 均可）。

（3）$15\ \mathrm{V}$ 分 30 格，每格 $0.5\ \mathrm{V}$，首位是 5，五分之一格估读，读到 $0.1\ \mathrm{V}$。17.6 格 × $0.5\ \mathrm{V}$ = $8.8\ \mathrm{V}$。

容易卡在：（1）写成 $0.352\ \mathrm{A}$。每格 $0.02\ \mathrm{A}$ 的表，把一格分十份去估是做不到的，估到 $0.01\ \mathrm{A}$（半格）已经到头。

例 7　（场景：多用电表欧姆挡）用多用电表的欧姆挡测一个电阻。先选”$\times 100$“挡，欧姆调零后测量，发现指针偏转角度很大，指在欧姆刻度”2”附近。（1）接下来应怎样操作？（2）换挡后指针指在欧姆刻度“18”处，电阻是多少？

解：（1）换”$\times 10$“挡，两表笔短接重新欧姆调零，再测；（2）$1.8 \times 10^2\ \mathrm{\Omega}$。

判断依据：欧姆挡零点在右端，偏角大说明电阻小，倍率选大了；指针在中央附近读数最准；换挡必须重新调零。

（1）“$\times 100$“挡读出约 $200\ \mathrm{\Omega}$，指针太靠右，刻度密、误差大，应换小一挡”$\times 10$“，让指针回到中央附近。换挡后欧姆表内部电路变了，原来的调零作废，要重新短接调零。

（2）$R = 18 \times 10\ \mathrm{\Omega} = 180\ \mathrm{\Omega}$，写成 $1.8 \times 10^2\ \mathrm{\Omega}$。

容易卡在：偏角大以为“电阻大”，反而换大挡。欧姆表的零在右边，和电流表、电压表正好相反。

常用推论

• 游标卡尺读数（以毫米为单位）的末位：10 分度任意数字；20 分度只能是 0 或 5；50 分度只能是偶数。读出别的数一定错了。由精度 $0.05\ \mathrm{mm}$、$0.02\ \mathrm{mm}$ 的整数倍得出。
• 螺旋测微器读数（以毫米为单位）一定有三位小数；读出两位的，一定是漏了估读位。
• 毫米刻度尺以厘米为单位读到小数点后两位，以米为单位读到小数点后四位。
• 打点计时器“每隔 4 个点取一个计数点”和“每 5 个点取一个计数点”都是 $T = 0.1\ \mathrm{s}$（$50\ \mathrm{Hz}$）。
• 欧姆挡测量时，指针在表盘中央附近（约满偏的 $\dfrac{1}{3} \sim \dfrac{2}{3}$ 范围）读数误差小；中央刻度值乘倍率等于此挡欧姆表的内阻（中值电阻），原理见第 40 章多用电表实验。

易错点

• 错在哪：刻度尺读数正好对齐刻线，写成 $4.6\ \mathrm{cm}$。 为什么错：直觉觉得“末尾的 0 没有用”。在测量里，末尾的 0 是估读位，表示读到了这一位，省掉就把精度降了十倍。 正确做法：毫米刻度尺以厘米为单位一律写到小数点后两位。
• 错在哪：游标卡尺读数也估读一位，写成 $10.352\ \mathrm{mm}$。 为什么错：把“所有仪器都估读一位”当成了铁律。游标卡尺靠对齐判断，没有两线之间的位置可估。 正确做法：游标卡尺不估读，末位按精度写（20 分度末位 0 或 5）。
• 错在哪：螺旋测微器漏读半毫米刻线。 为什么错：只看了上排整毫米刻线。半毫米刻线在基准线下方，不注意就看不见。 正确做法：读固定刻度时上下两排都看，下排露出了就加 $0.5\ \mathrm{mm}$；再用“可动刻度是在 0 附近还是在 50 附近”交叉检查。
• 错在哪：欧姆挡换挡后不重新调零，或者指针偏角大时换大挡。 为什么错：把欧姆表当成电压表，以为偏角大就是数值大。欧姆表零点在右，偏角越大电阻越小。 正确做法：偏角大换小挡，偏角小换大挡，每次换挡都短接表笔重新欧姆调零。

直观理解

读数像报时间：钟只有分针时，你会说“大约 3 点 20 分多一点”，那“多一点”就是估读。游标卡尺和机械秒表像数字钟，跳到哪个数就是哪个数，不说“多一点”。

游标卡尺是“用差来读小量”：两把刻度差一点点的尺子并排放，差就一格一格累积起来，哪里正好追平，就知道零头是几个“差”。

关联知识点

• 前置：第 1 章物理量与单位，读数要写单位，换单位只移动小数点。
• 后续：37.3 有效数字，读数的位数决定有效数字的位数。
• 后续：第 38 章测量瞬时速度（打点计时器、纸带）；第 40 章长度的测量及测量工具的选用、测量金属丝的电阻率（游标卡尺、螺旋测微器、电表）、用多用电表测量电学中的物理量；第 41 章用单摆测量重力加速度（秒表、游标卡尺）。
• 常一起考：37.6 电表量程的选择，先选对量程再读数。

37.3 误差与有效数字

说明

误差：测量值与真实值之差。任何测量都有误差，只能减小，不能消除。

$$\text{绝对误差} \ \Delta x = x_{\text{测}} - x_{\text{真}}$$ $$\text{相对误差} \ \delta = \frac{|\Delta x|}{x_{\text{真}}} \times 100\%$$

绝对误差说明差了多少，相对误差说明测得准不准。比较两次测量谁更精确，看相对误差。

误差按来源和性质分两类：

	系统误差	偶然误差
来源	实验原理不完善（电表内阻、忽略空气阻力）、仪器本身不准（砝码磨损、零点没调）、方法上的固定偏差	各种偶然因素：估读时有时偏大有时偏小、环境微小起伏、按秒表的反应时间有长有短
特点	多次测量总是偏向同一边，有确定的方向（总偏大或总偏小）	有时偏大有时偏小，没有确定方向
怎么减小	改进实验原理、校准仪器、改进方法	多次测量取平均值、用图像法处理数据
多次测量取平均能不能减小	不能	能

测量值偏大还是偏小：只有系统误差有确定的方向，所以“偏大还是偏小”问的都是系统误差。方法是写出测量公式，看哪个量测偏了、偏向哪边，再看它在公式里的位置（分子还是分母、正比还是反比）。

有效数字：测量结果中，从左边第一个不是零的数字起，到末尾的估读位为止，所有数字都叫有效数字。

• $0.0250\ \mathrm{m}$ 有 3 位有效数字：前面的 0 只表示小数点位置，不算；末尾的 0 是估读位，算。
• $2.50 \times 10^3\ \mathrm{g}$ 有 3 位有效数字。
• 换单位不改变有效数字的位数：$2.5\ \mathrm{kg}$ 写成 $2.5 \times 10^3\ \mathrm{g}$，不能写成 $2500\ \mathrm{g}$（那是 4 位）。

运算结果保留几位：高中实验题一般会说“保留两位（三位）有效数字”，照做即可。没说时，按原始数据中有效数字最少的那个的位数保留（乘除运算）。中间步骤多保留一位，最后再取舍。

使用场景

• 题目列出几种误差来源，问是系统误差还是偶然误差、怎么减小 → 看有没有固定方向 → 有方向的是系统误差，改进方法；没方向的是偶然误差，多次测量。
• 问测量值比真实值偏大还是偏小 → 系统误差的方向 → 写出测量公式，看测偏的量在公式里的位置。
• 问某个数有几位有效数字、按要求保留、换单位 → 有效数字规则 → 从第一个非零数字数到估读位；换单位用科学记数法。
• 比较两次测量（不同仪器、不同对象）哪个更精确 → 相对误差 → 绝对误差除以测量值，小的更精确。

注意点

• “误差”和“错误”不同：读错刻度、记错数、电路接错是错误，必须避免或剔除，不叫误差。
• 系统误差不能靠多测几次消除：电流表外接测电阻，测一百次、取平均，结果还是偏小。
• 判断偏大偏小时，先分清“测量值”和“真实值”分别是什么：伏安法里测量值是 $\dfrac{U}{I}$（两只表的读数之比），真实值是 $R_x$ 本身。
• 有效数字只对测量值和由测量值算出的量讲；$\pi$、$\dfrac{1}{2}$、“30 次全振动”的 30 这类准确数，不限制结果的位数。
• 估算题（第 1 章）和实验题对有效数字的要求不同：估算只要一两位，实验题按题目要求或按仪器精度。

推导

为什么多次测量取平均能减小偶然误差：设第 $i$ 次测量的结果是 $x_i = x_{\text{真}} + \varepsilon_i$，偶然误差 $\varepsilon_i$ 有正有负。取 $n$ 次的平均：

$$\bar{x} = x_{\text{真}} + \frac{\varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \cdots + \varepsilon_n}{n}$$

（关键一步：偶然误差没有固定方向，正负大体相当，加起来会互相抵消一大部分，再除以 $n$，就更小了。）

系统误差则不同：每次都偏同一个量 $\Delta$，$x_i = x_{\text{真}} + \Delta + \varepsilon_i$，平均后 $\Delta$ 一点也不少，所以平均值消不掉系统误差。

严格地说，平均值的偶然误差大约缩小为单次的 $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$，这要用到大学的概率统计（标准差）。高中只要求知道“多次测量取平均能减小偶然误差”。

偏大偏小的推法（以单摆测 $g$ 为例）：单摆周期 $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$，所以

$$g = \frac{4\pi^2 l}{T^2}$$

$l$ 在分子上：$l$ 测大了，$g$ 偏大；$l$ 测小了，$g$ 偏小。$T$ 在分母上：$T$ 测大了，$g$ 偏小；$T$ 测小了，$g$ 偏大。比如把 29 次全振动数成 30 次，用总时间除以 30，$T$ 算小了，$g$ 偏大。这种“看量在公式里的位置”的办法对所有实验通用。

有效数字为什么数到估读位：估读位已经不准，再往后的数字全无意义。所以有效数字的位数，反映了测量能准到哪一位；位数越多，相对误差越小。

例题

例 1　（场景：判断误差类型）下列误差中，属于系统误差的是（　）。

A. 用秒表计时，每次按表的反应时间有长有短 B. 打点计时器所接交流电的实际频率是 $51\ \mathrm{Hz}$，计算时仍按 $50\ \mathrm{Hz}$ C. 刻度尺估读时，有时读偏大、有时读偏小 D. 伏安法测电阻时，电压表的分流使电流表读数偏大

解：BD。

判断依据：系统误差有固定方向，偶然误差没有。

B：实际打点周期 $\dfrac{1}{51}\ \mathrm{s}$ 比 $0.02\ \mathrm{s}$ 短，按 $0.02\ \mathrm{s}$ 算，时间总是算长了，方向固定，是系统误差，校准频率可以消除。D：电压表总在分流，电流表读数总比 $R_x$ 的真实电流大，是系统误差（37.6 的外接法），改进电路可以减小。A、C 没有固定方向，是偶然误差，多次测量取平均可以减小。

例 2　（场景：偏大还是偏小）用单摆测重力加速度时，某同学用米尺测得摆线长 $0.990\ \mathrm{m}$，误把它当成摆长，没有加上小球的半径 $1.0\ \mathrm{cm}$；测得周期 $T = 2.00\ \mathrm{s}$。用公式 $g = \dfrac{4\pi^2 l}{T^2}$ 算出的 $g$ 比用正确摆长算出的偏大还是偏小？各是多少（$\pi^2$ 取 9.87）？

解：

研究对象：单摆，测量公式 $g = \dfrac{4\pi^2 l}{T^2}$。

过程划分：不涉及过程，只比较两次计算。

分析：摆长是悬点到球心的距离，应为摆线长加小球半径。$l$ 在分子上，$l$ 代小了，$g$ 偏小。

列式求解：错误摆长 $l_1 = 0.990\ \mathrm{m}$，正确摆长 $l_2 = 0.990\ \mathrm{m} + 0.010\ \mathrm{m} = 1.000\ \mathrm{m}$。

$$g_1 = \frac{4 \times 9.87 \times 0.990}{2.00^2}\ \mathrm{m/s^2} \approx 9.77\ \mathrm{m/s^2}$$ $$g_2 = \frac{4 \times 9.87 \times 1.000}{2.00^2}\ \mathrm{m/s^2} \approx 9.87\ \mathrm{m/s^2}$$

测量值偏小。

检验：$l$ 小了 $1\%$，$g$ 也小了约 $1\%$，比例一致。量级：$g$ 约 $9.8\ \mathrm{m/s^2}$，合理。

容易卡在：分不清摆长和摆线长。37.4 例 3 会看到，用图像法求斜率可以绕开这个误差。

例 3　（场景：有效数字）（1）$0.04050\ \mathrm{m}$ 有几位有效数字？（2）用 20 分度游标卡尺测得 $10.35\ \mathrm{mm}$，以米为单位写出。（3）某同学用天平称得质量 $3.0\ \mathrm{kg}$，换成克写作 $3000\ \mathrm{g}$，对吗？

解：（1）4 位；（2）$1.035 \times 10^{-2}\ \mathrm{m}$；（3）不对，应写 $3.0 \times 10^3\ \mathrm{g}$。

判断依据：从第一个非零数字数到估读位；换单位不改变有效数字位数。

（1）前面的 $0.0$ 不算，$4$、$0$、$5$、$0$ 共 4 位，末尾的 0 是估读位，要算。（2）$10.35\ \mathrm{mm}$ 是 4 位，换成米仍是 4 位：$1.035 \times 10^{-2}\ \mathrm{m}$，也可写 $0.01035\ \mathrm{m}$。（3）$3.0\ \mathrm{kg}$ 是 2 位，$3000\ \mathrm{g}$ 看上去是 4 位，夸大了精度。

例 4　（场景：用相对误差比较精确程度）用毫米刻度尺测一张课桌的长度为 $120.00\ \mathrm{cm}$，绝对误差约 $0.05\ \mathrm{cm}$；用 20 分度游标卡尺测一根铅笔的直径为 $0.800\ \mathrm{cm}$，绝对误差约 $0.005\ \mathrm{cm}$。哪次测量更精确？

解：测课桌长度更精确。

判断依据：比较精确程度看相对误差，不看绝对误差。

课桌：$\delta_1 = \dfrac{0.05}{120.00} \times 100\% \approx 0.04\%$。铅笔：$\delta_2 = \dfrac{0.005}{0.800} \times 100\% \approx 0.6\%$。$\delta_1 < \delta_2$，测课桌更精确。

容易卡在：看见游标卡尺的绝对误差小，就以为它测得更准。被测量本身很小时，再精密的仪器相对误差也可能很大，这正是 37.5”累积法“要解决的问题。

常用推论

• 测量值 = 真实值 × (1 + 相对误差)，乘除运算中各量的相对误差近似相加：$g = \dfrac{4\pi^2 l}{T^2}$ 中，$l$ 偏 $1\%$，$g$ 偏 $1\%$；$T$ 偏 $1\%$，$g$ 偏约 $2\%$（$T$ 是平方）。由取对数后乘除变加减得出（第 1 章 1.5 的推导）。所以指数高的量要测得更准，单摆实验里测周期比测摆长更要紧。
• 单摆计数的两个典型错误：把 $n$ 次全振动数成 $n + 1$ 次，$T$ 算小，$g$ 偏大；摆线上端没夹紧、摆动中摆长变长，实际 $l$ 比测量值大，$g$ 偏小。
• 有效数字位数越多，相对误差越小：$2.00\ \mathrm{cm}$ 比 $2.0\ \mathrm{cm}$ 精确十倍。

易错点

• 错在哪：认为多测几次取平均，就能消除电表内阻带来的误差。 为什么错：把所有误差都当成偶然误差。电表内阻带来的偏差每次都一样，平均不掉。 正确做法：先分系统误差、偶然误差，系统误差靠改电路、改方法（内接外接的选择、替代法、补偿法）。
• 错在哪：换单位时随手补零，$1.5\ \mathrm{m}$ 写成 $1500\ \mathrm{mm}$。 为什么错：把单位换算当成纯数学，忘了末尾的 0 在测量里是“读到了这一位”的意思。 正确做法：换成更小的单位时用科学记数法：$1.5 \times 10^3\ \mathrm{mm}$。
• 错在哪：判断偏大偏小时凭感觉，“漏加了一段长度，所以结果偏大”。 为什么错：没有写出测量公式，不知道这个量在分子还是分母。 正确做法：写出测量公式，标出测偏的量偏向哪边，再看它在公式里的位置（例 2）。

直观理解

系统误差像枪的准星歪了：打得再稳，弹孔都偏在一边，多打几枪也不会回到靶心，只能校准星。偶然误差像手抖：弹孔散在靶心周围，多打几枪取中间，就接近靶心。

关联知识点

• 前置：第 1 章 1.5 估算与数量级，相对误差在乘除中相加的道理相同。
• 后续：37.4 数据处理，取平均和图像法都是在减小偶然误差。
• 后续：37.6 电路设计，内接外接的选择就是在减小系统误差。
• 后续：第 38–42 章每个实验的“误差分析”一块，都按本节的两类误差和“偏大偏小”的推法写。

37.4 数据处理

说明

实验测得一组数据之后，常用四种方法求结果：

列表法：把数据按测量顺序列成表，表头写物理量和单位，如”$x/\mathrm{cm}$“。列表便于发现明显错误的数据（某一个数和其他的不成规律），也便于下一步取平均或描点。

平均值法：同一个量测多次，剔除明显错误的数据，其余取算术平均。用来减小偶然误差。

图像法：两个量之间有函数关系时，以一个为横轴、另一个为纵轴，描点作图。

1. 横纵轴标物理量和单位，选合适的标度，让数据点占满图纸的大部分。
2. 描点后，如果是直线关系，画一条直线，让尽量多的点落在直线上，不在线上的点均匀分布在直线两侧；明显偏离的点（多半是测错了）舍去。不能把点一个个连成折线。
3. 由图线的斜率和截距求物理量（第 1 章 1.4）。求斜率时在直线上取两个相距较远的点，不取原始数据点。

化曲为直：两个量的关系是曲线（如反比、平方）时，图上很难看出是不是这种关系，也不好求系数。改用别的组合作横轴或纵轴，让图线变成直线：

关系	直接画	改画	直线的斜率	用在
$a = \dfrac{F}{m}$（$F$ 一定）	$a$-$m$ 双曲线	$a$-$\dfrac{1}{m}$	$F$	第 38 章
$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$	$T$-$l$ 抛物线的一半	$T^2$-$l$	$\dfrac{4\pi^2}{g}$	第 41 章
$E = I(R + r)$	$I$-$R$ 曲线	$\dfrac{1}{I}$-$R$	$\dfrac{1}{E}$，纵截距 $\dfrac{r}{E}$	第 40 章
$pV = C$（等温）	$p$-$V$ 双曲线	$p$-$\dfrac{1}{V}$	$C$	第 42 章

逐差法：纸带上有连续相等时间间隔 $T$ 内的位移 $x_1, x_2, \ldots, x_6$，求加速度时，把它们分成前后两组，对应相减：

$$a = \frac{(x_4 + x_5 + x_6) - (x_1 + x_2 + x_3)}{9T^2}$$

四段时：

$$a = \frac{(x_3 + x_4) - (x_1 + x_2)}{4T^2}$$

使用场景

• 同一个量测了多次（金属丝直径在不同位置测三次、单摆周期测几次）→ 平均值法 → 先剔除明显错误的数据，再取平均。
• 两个量成线性关系（$F$-$x$、$U$-$I$），问比例系数或截距 → 图像法 → 描点、画直线，斜率和截距求物理量。
• 两个量是反比、平方根之类的曲线关系 → 化曲为直 → 换横轴或纵轴使图线成直线，再求斜率。
• 纸带给出连续相等时间间隔的位移，求加速度 → 逐差法 → 前一半位移之和与后一半之差除以 $(n/2)^2 T^2$。

注意点

• 剔除数据只能剔除“明显错误”的（读错、记错），不能为了好看挑数据。
• 图像法连线是“拟合”，直线不一定过原点，也不一定过第一个点，由数据决定。直线不过原点时，截距常常就是系统误差的线索（37.4 例 3）。
• 求斜率时用坐标轴上的刻度和单位算，不用图纸上的厘米；横轴单位是 $\mathrm{cm}$ 时，算 $\mathrm{N/m}$ 前要换成米。
• 逐差法要求位移段数是偶数；段数是奇数时，舍去最前或最后一段（通常舍去最短、相对误差最大的第一段）。
• 用逐差法时，$T$ 是相邻计数点的时间间隔，分母是 $(\text{每组段数})^2 \times T^2$。

推导

逐差法从哪里来：匀变速直线运动中，连续相等时间内的位移之差 $\Delta x = aT^2$（第 3 章）。隔三段相减，差是 $3aT^2$：

$$x_4 - x_1 = 3aT^2,\quad x_5 - x_2 = 3aT^2,\quad x_6 - x_3 = 3aT^2$$

三式相加：$(x_4 + x_5 + x_6) - (x_1 + x_2 + x_3) = 9aT^2$，即得上面的公式。

为什么不能用相邻差取平均：如果用 $x_2 - x_1$、$x_3 - x_2$、……、$x_6 - x_5$ 五个差取平均：

$$a = \frac{(x_2 - x_1) + (x_3 - x_2) + \cdots + (x_6 - x_5)}{5T^2} = \frac{x_6 - x_1}{5T^2}$$

（关键一步：中间各项正负相消，最后只剩 $x_1$ 和 $x_6$。六个数据只用上了两个，其余四个白测了，起不到“多次测量取平均”的作用。逐差法让每个数据都出现一次，都参与了平均。）

图像法为什么比代公式取平均好：每描一个点就是一次测量，一条直线同时照顾了所有点，相当于自动取了平均；偏离太远的点一眼能看出来，便于剔除；直线的截距还能暴露“零点不准”一类的系统误差。严格的拟合方法是最小二乘法，要用到大学的统计知识；高中用作图法即可。

例题

例 1　（场景：平均值法）用螺旋测微器在金属丝的三个不同位置测直径，读数为 $0.398\ \mathrm{mm}$、$0.402\ \mathrm{mm}$、$0.400\ \mathrm{mm}$；第四次读成了 $0.900\ \mathrm{mm}$。求金属丝直径的测量值。

解：$0.400\ \mathrm{mm}$。

判断依据：明显错误的数据先剔除，其余取平均。

$0.900\ \mathrm{mm}$ 比其他三次大一倍多，是读数时多读了半毫米刻线（37.2 易错点），属于错误，剔除。

$$d = \frac{0.398 + 0.402 + 0.400}{3}\ \mathrm{mm} = 0.400\ \mathrm{mm}$$

结果保留到 $0.001\ \mathrm{mm}$，和仪器读数一致。

例 2　（场景：图像法）探究弹簧弹力与伸长量的关系，测得数据如下表。作 $F$-$x$ 图像并求劲度系数。

$F/\mathrm{N}$	0.5	1.0	1.5	1.5	2.0	2.5
$x/\mathrm{cm}$	2.0	3.9	6.0	7.0	8.1	9.9

（第三、四组是两位同学在 $F = 1.5\ \mathrm{N}$ 时各读的一次。）

解：

研究对象：弹簧。

过程划分：不涉及过程，处理一组数据。

分析：胡克定律 $F = kx$，$F$-$x$ 图像应是过原点的直线，斜率就是 $k$。描点后，$(7.0\ \mathrm{cm}, 1.5\ \mathrm{N})$ 明显偏离其余各点所在的直线，舍去；其余点画一条过原点的直线，在直线上取相距较远的点 $(0, 0)$ 和 $(12\ \mathrm{cm}, 3.0\ \mathrm{N})$。

列式求解：

$$k = \frac{\Delta F}{\Delta x} = \frac{3.0 - 0}{(12 - 0) \times 10^{-2}}\ \mathrm{N/m} = 25\ \mathrm{N/m}$$

检验：单位换算：横轴是厘米，求 $k$ 时换成米。代回原数据：$F = 2.0\ \mathrm{N}$ 时 $x = \dfrac{2.0}{25}\ \mathrm{m} = 8.0\ \mathrm{cm}$，与 $8.1\ \mathrm{cm}$ 接近，合理。

容易卡在：直接用 $\dfrac{1.5}{0.070}$ 算，正好用到了错误的那组数据；或者用厘米算出 $0.25$，忘了换单位。

例 3　（场景：化曲为直）用单摆测重力加速度，改变摆长 $l$，测得对应周期 $T$，算出 $T^2$ 如下表。用图像法求 $g$（$\pi^2$ 取 9.87）。

$l/\mathrm{m}$	0.40	0.60	0.80	1.00	1.20
$T^2/\mathrm{s^2}$	1.60	2.41	3.21	4.00	4.80

解：

研究对象：单摆。

过程划分：不涉及过程，处理一组数据。

分析：$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$，$T$-$l$ 是曲线。两边平方：$T^2 = \dfrac{4\pi^2}{g} l$，$T^2$-$l$ 是过原点的直线，斜率 $k = \dfrac{4\pi^2}{g}$。

列式求解：五个点几乎都在一条过原点的直线上，取直线上的点 $(0, 0)$ 和 $(1.20\ \mathrm{m}, 4.80\ \mathrm{s^2})$：

$$k = \frac{4.80}{1.20}\ \mathrm{s^2/m} = 4.00\ \mathrm{s^2/m}$$ $$g = \frac{4\pi^2}{k} = \frac{4 \times 9.87}{4.00}\ \mathrm{m/s^2} \approx 9.87\ \mathrm{m/s^2}$$

检验：$g$ 接近 $9.8\ \mathrm{m/s^2}$，合理。单位：$\dfrac{1}{\mathrm{s^2/m}} = \mathrm{m/s^2}$，对。

另一种解法：每组数据代 $g = \dfrac{4\pi^2 l}{T^2}$ 算一个 $g$，再取平均。数据可靠、只想要一个数时可以这样算；但图像法有一个代公式没有的好处：如果所有摆长都漏加了小球半径 $r$，测量值 $l' = l - r$，那么 $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{g}(l' + r)$，图线只是向左平移（图中虚线），斜率不变，求出的 $g$ 不受影响；代公式算则每个 $g$ 都偏小（37.3 例 2）。所以有系统性的零点偏差时用图像法。

例 4　（场景：逐差法）37.2 例 5 的纸带（图见 37.2），$T = 0.1\ \mathrm{s}$，测得 $x_1 = 1.40\ \mathrm{cm}$，$x_2 = 1.89\ \mathrm{cm}$，$x_3 = 2.40\ \mathrm{cm}$，$x_4 = 2.88\ \mathrm{cm}$，$x_5 = 3.39\ \mathrm{cm}$，$x_6 = 3.90\ \mathrm{cm}$。求小车的加速度（保留两位有效数字）。

解：

研究对象：小车（纸带）。

过程划分：六段连续相等时间 $T$ 内的位移，小车做匀加速直线运动。

分析：相邻位移差大约都是 $0.5\ \mathrm{cm}$，说明是匀变速运动；六段，用逐差法，每组三段。

列式求解：

$$a = \frac{(x_4 + x_5 + x_6) - (x_1 + x_2 + x_3)}{9T^2} = \frac{(2.88 + 3.39 + 3.90) - (1.40 + 1.89 + 2.40)}{9 \times 0.1^2} \times 10^{-2}\ \mathrm{m/s^2}$$ $$a = \frac{10.17 - 5.69}{0.09} \times 10^{-2}\ \mathrm{m/s^2} \approx 0.50\ \mathrm{m/s^2}$$

方向与运动方向相同。

检验：由 $\Delta x = aT^2$，相邻位移差应约为 $0.50 \times 0.01\ \mathrm{m} = 0.50\ \mathrm{cm}$，与数据一致。

容易卡在：分母写成 $3T^2$ 或 $6T^2$。每组 3 段，分母是 $3^2 T^2 = 9T^2$。

另一种解法：用 37.2 例 5 的方法算出各计数点（1 到 5）的瞬时速度，画 $v$-$t$ 图，斜率就是加速度。描点作图更直观，能看出是不是匀变速；只要一个加速度数值时，逐差法更快。

常用推论

• 逐差法通式：$2n$ 段位移，$a = \dfrac{(x_{n+1} + \cdots + x_{2n}) - (x_1 + \cdots + x_n)}{n^2 T^2}$。由 $x_{n+i} - x_i = naT^2$ 相加得出。
• 纸带上某计数点的瞬时速度 $v_k = \dfrac{x_k + x_{k+1}}{2T}$（匀变速中间时刻速度等于平均速度，第 3 章）。
• 线性图像中，一个量的测量值整体偏移一个常量（零点误差、漏加长度），只改变截距，不改变斜率；用斜率求的量不受影响（例 3）。
• $\dfrac{1}{I}$-$R$、$\dfrac{1}{U}$-$\dfrac{1}{R}$ 这类化曲为直，先把规律写成”$y = kx + b$“的样子，看哪个组合当 $y$、哪个当 $x$，斜率和截距自然就出来了。

易错点

• 错在哪：描点后把相邻的点用线段连起来，画成折线。 为什么错：把图像当成“把点连起来”，忘了每个点都有误差，规律是那条平滑的线。 正确做法：画一条直线或平滑曲线，让点均匀分布在两侧，个别离得远的点舍去。
• 错在哪：求斜率时用图线上的两个原始数据点，甚至直接用某一个点的 $\dfrac{y}{x}$。 为什么错：原始数据点不一定在拟合直线上；$\dfrac{y}{x}$ 只在直线过原点时才是斜率。 正确做法：在拟合直线上取两个相距较远的点，用 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ 算。
• 错在哪：六段位移用相邻差取平均求加速度。 为什么错：相邻差相加时中间项全部抵消，只剩首尾两段，等于没有多次测量。 正确做法：用逐差法，前后两组对应相减。

直观理解

图像法是把很多次测量“一眼平均”：每个点各有各的偏差，一条直线从它们中间穿过，偏差就被摊平了。化曲为直是换一副“眼镜”看数据，弯的看不出规律，换成直的，一把尺子就能量出斜率。逐差法是让每个数据都“出一次场”，谁也不白测。

关联知识点

• 前置：第 1 章 1.4 图像的斜率和截距；直线方程的斜率，见《高中数学知识点梳理》第 28 章。
• 前置：第 3 章 $\Delta x = aT^2$ 和中间时刻速度，逐差法的依据。
• 后续：第 38 章测瞬时速度和加速度（逐差法）、弹簧弹力与形变量（图像法）、$a$-$\dfrac{1}{m}$（化曲为直）；第 40 章测电源电动势和内阻（$U$-$I$ 图像、$\dfrac{1}{I}$-$R$）；第 41 章单摆测 $g$（$T^2$-$l$）；第 42 章等温变化（$p$-$\dfrac{1}{V}$）。
• 常一起考：37.3 误差分析，图像截距常常揭示系统误差。

37.5 实验设计的常用思路

说明

很多物理量不能直接测，或者直接测误差太大。高中实验反复用到四种思路：

思路	做法	典型实验
控制变量法	一个量受几个因素影响时，每次只改变一个因素，其余保持不变，分别找出它和每个因素的关系	探究 $a$ 与 $F$、$m$ 的关系（第 38 章）；探究向心力与 $m$、$\omega$、$r$ 的关系（第 39 章）；探究导体电阻与长度、横截面积、材料的关系
等效替代法	用一个效果相同、便于测量的量（或物体、过程）代替原来的	探究两个互成角度的力的合成：一个力与两个力使橡皮条伸长到同一位置（第 38 章）；替代法测电阻：电阻箱代替待测电阻，电流相同则阻值相同
放大法	把不易察觉的微小量（形变、位移、转角）用光、机械或电学办法放大后再观察或测量	用激光和平面镜显示桌面的微小形变；卡文迪什扭秤测引力常量、库仑扭秤（扭转放大）；螺旋测微器（转动放大）
累积法	单个量太小，测许多个的总和再除以个数	测单摆周期测 30 至 50 次全振动的时间；把细金属丝密绕 $n$ 圈测总宽度求直径；测一张纸的厚度

另外常听到的转换法（把不易测的量转换成易测的量，如用小车的位移比替代加速度比、用油膜面积求分子直径）和这四种常常连在一起用。

使用场景

• 一个量和几个因素都有关，问应保持哪些量不变 → 控制变量法 → 改哪个因素，就只让它变，其余都固定。
• 一个量无法直接测，但能找到效果相同、可以读数的东西 → 等效替代法 → 保证“效果相同”（同一位置、同一电流），读替代物的值。
• 被测量太小，肉眼和普通仪器看不出 → 放大法 → 用光杠杆、扭转、螺旋把它放大，算出放大倍数。
• 单个量太小、单次测量相对误差大（周期、厚度、细丝直径）→ 累积法 → 测 $n$ 个的总量再除以 $n$。

注意点

• 控制变量法每次只能有一个自变量；“同时增大 $F$ 和 $m$“得不出 $a$ 与哪个有关。
• 等效替代的关键是“效果完全相同”：力的合成实验两次必须把结点拉到同一位置；替代法测电阻必须保持电源和其余电路不变，电流表示数相同。
• 放大法要知道放大倍数才能算回原来的量：光杠杆的放大倍数和镜到屏的距离有关。
• 累积法里的 $n$ 是准确数，不限制有效数字；但要数对：单摆从最低点开始计时，按下秒表时数 0，不是 1。

推导

光放大为什么灵敏：平面镜转过角度 $\theta$，镜面法线也转过 $\theta$。入射光方向不变，入射角改变 $\theta$，由反射定律，反射角也改变 $\theta$，所以反射光线转过 $2\theta$（第 23 章）。

（关键一步：反射光转角是镜转角的两倍，而且屏上光点的移动距离等于转角乘距离：屏离镜 $D$ 远，光点移动 $s \approx 2\theta D$。$D$ 取几米，一个极小的转角就能在屏上移动几毫米。）

这里用了小角度近似：弧长近似等于弦长，$\tan 2\theta \approx 2\theta$（$\theta$ 用弧度）。

累积法为什么减小误差：测单次周期，秒表的误差主要来自按表的反应时间，约 $0.1 \sim 0.2\ \mathrm{s}$，和周期本身（约 $2\ \mathrm{s}$）相比，相对误差约 $5\% \sim 10\%$。测 30 次全振动，按表的误差还是那么多，但总时间约 $60\ \mathrm{s}$，相对误差降到 $0.2\% \sim 0.3\%$。绝对误差不变，被测量大了 $n$ 倍，相对误差就小为 $\dfrac{1}{n}$。

替代法为什么不受电表内阻影响：两次接入时，电源、滑动变阻器、电流表都不变，只把 $R_x$ 换成 $R_0$。电流相同，说明两次电路的总电阻相同，而其余部分没变，所以 $R_0 = R_x$。电流表的内阻、电源内阻在两次中一样，相减时消掉了，测量值不含电表带来的系统误差（对比 37.6 伏安法的内外接误差）。

例题

例 1　（场景：控制变量法）在“探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系”实验中，要探究向心力 $F$ 与角速度 $\omega$ 的关系，应该（　）。

A. 保持 $m$、$r$ 不变，改变 $\omega$ B. 保持 $m$、$\omega$ 不变，改变 $r$ C. 同时改变 $m$ 和 $\omega$ D. 保持 $\omega$ 不变，改变 $m$ 和 $r$

解：A。

判断依据：控制变量法：研究 $F$ 与哪个量的关系，就只让那个量变，其余全部固定。

研究 $F$ 与 $\omega$ 的关系，自变量是 $\omega$，$m$ 和 $r$ 都要固定。B 研究的是 $F$ 与 $r$；C、D 同时改变了两个量，得不出单一关系。

例 2　（场景：等效替代法）用如图电路测电阻 $R_x$。先闭合 $S_1$、断开 $S_2$，调节滑动变阻器 $R$，使电流表示数为 $I$；再断开 $S_1$、闭合 $S_2$，保持 $R$ 不变，调节电阻箱 $R_0$，使电流表示数仍为 $I$，此时电阻箱读数为 $120\ \mathrm{\Omega}$。（1）$R_x$ 是多少？（2）电流表的内阻对结果有没有影响？

解：（1）$120\ \mathrm{\Omega}$；（2）没有影响。

判断依据：等效替代：两次电路中只有 $R_x$ 和 $R_0$ 不同，电流相同说明二者对电路的“效果”相同。

（1）两次电流都是 $I$，由闭合电路欧姆定律 $I = \dfrac{E}{R_x + R + R_{\text{A}} + r} = \dfrac{E}{R_0 + R + R_{\text{A}} + r}$，得 $R_x = R_0 = 120\ \mathrm{\Omega}$。

（2）$R_{\text{A}}$、电源内阻 $r$、$R$ 在两次中都一样，等式两边同时出现，消掉了，所以没有影响。这是替代法的优点：不需要知道电表内阻。它的误差主要来自电阻箱的精度和电流表读数的偶然误差。

容易卡在：第二次又去调滑动变阻器 $R$。那样两次电路的其余部分不同，“效果相同”不再成立。

例 3　（场景：放大法）用激光笔和平面镜显示微小形变：桌面上放一块平面镜，激光经镜面反射后照到距离 $D = 2\ \mathrm{m}$ 的竖直屏上。用力压桌面，镜面倾斜了 $\theta = 1 \times 10^{-3}\ \mathrm{rad}$。屏上的光点移动多远？

解：

研究对象：反射光线。

过程划分：比较镜面倾斜前后两条反射光线，一个过程。

分析：入射光不变，镜面转过 $\theta$，反射光线转过 $2\theta$（光的反射定律，第 23 章）。$2\theta$ 很小，屏上光点的移动距离近似等于以 $D$ 为半径、圆心角 $2\theta$ 的弧长。

列式求解：

$$s \approx 2\theta D = 2 \times 1 \times 10^{-3} \times 2\ \mathrm{m} = 4 \times 10^{-3}\ \mathrm{m} = 4\ \mathrm{mm}$$

检验：单位：$\mathrm{rad}$ 是纯数，结果是米。量级：镜边缘的起伏只有微米级，光点移动几毫米，眼睛看得清，说明放大有效。

容易卡在：以为反射光转过的角度等于镜面转过的角度，得 $2\ \mathrm{mm}$。

例 4　（场景：累积法）测一根细铜丝的直径。把它在铅笔上紧密排绕 $n = 30$ 圈，用毫米刻度尺量得线圈总宽度为 $2.40\ \mathrm{cm}$。求铜丝直径，并说明为什么不直接用刻度尺量一根铜丝。

解：

研究对象：细铜丝。

过程划分：不涉及过程。

分析：30 圈紧密排列，总宽度是 30 个直径之和。刻度尺读数的绝对误差约 $0.5\ \mathrm{mm}$ 量级（约为最小分度的一半），量一根不到 $1\ \mathrm{mm}$ 的铜丝，相对误差可能超过 $50\%$；量 30 根的总宽度，相对误差降为原来的 $\dfrac{1}{30}$。

列式求解：

$$d = \frac{L}{n} = \frac{2.40\ \mathrm{cm}}{30} = 0.080\ \mathrm{cm} = 0.80\ \mathrm{mm}$$

检验：普通导线的铜丝直径零点几毫米，合理。30 是准确数，结果保留和 $2.40$ 一样的三位也可以写 $0.800\ \mathrm{mm}$；但绕线是否紧密本身有误差，写两位 $0.80\ \mathrm{mm}$ 更实在。

常用推论

• 光杠杆：镜面转过 $\theta$，反射光转过 $2\theta$，屏上光点移动 $s \approx 2\theta D$。由反射定律和小角度近似得出（本节推导）。
• 累积 $n$ 次，相对误差约为单次的 $\dfrac{1}{n}$（绝对误差主要来自起止时刻或两端读数，不随 $n$ 增大）。
• 替代法的测量值不含电表内阻的系统误差；精度取决于电阻箱的精度。

易错点

• 错在哪：探究 $a$ 与 $m$ 的关系时，改变小车质量的同时也换了钩码。 为什么错：直觉上“多做几组数据总是好的”，却让两个量同时变了，不知道 $a$ 的变化是谁引起的。 正确做法：研究哪个因素，就只改变它；每次改变前先写下哪些量保持不变。
• 错在哪：力的合成实验中，用一个弹簧测力计拉时，只要求橡皮条伸长相同长度，不要求结点到同一位置。 为什么错：力的作用效果包括大小和方向，伸长相同只保证了大小，方向可能不同。 正确做法：两次都把结点拉到同一位置 $O$，“效果相同”才成立。
• 错在哪：单摆计时从按下秒表时数“1”，数到“30”停表，当作 30 次全振动。 为什么错：从 1 数到 30 只有 29 个间隔，即 29 次全振动。 正确做法：按下秒表时数“0”，数到“30”停表；或者从 1 数到 31。

直观理解

四个思路各一句话：控制变量是“一次只拧一个旋钮”；等效替代是“找个替身，效果一样就行”；放大是“让小的变大再看”；累积是“一张纸太薄，就量一整本”。

关联知识点

• 前置：37.3 相对误差，累积法和放大法都是为了减小相对误差。
• 后续：第 38 章探究加速度与力、质量的关系（控制变量），探究两个互成角度的力的合成规律（等效替代）。
• 后续：第 39 章探究向心力的影响因素（控制变量）；第 41 章单摆测 $g$（累积法测周期）；第 42 章油膜法估测分子大小（转换和累积）。
• 后续：第 11 章卡文迪什扭秤测引力常量、第 15 章库仑扭秤（放大）；第 4 章用光显示微小形变。
• 常一起考：37.6 电路设计，替代法测电阻是伏安法之外的另一种方案。

37.6 电学实验的电路设计

说明

伏安法测电阻（或描绘伏安特性曲线）的电路由两部分组成：测量电路（电流表、电压表和待测电阻怎么连）和控制电路（滑动变阻器怎么接）。设计时依次回答三个问题：

一、控制电路：限流还是分压

	限流接法	分压接法
接法	滑动变阻器的一端和滑片接入电路，与 $R_x$ 串联	滑动变阻器两端接电源，$R_x$ 接在一端和滑片之间
$R_x$ 两端电压范围（电源内阻不计）	$\dfrac{R_x}{R_x + R}E \sim E$	$0 \sim E$
优点	电路简单，耗电少	电压能从零调起，调节范围大
闭合开关前滑片的位置	使接入电路的电阻最大	使 $R_x$ 两端电压为零的一端
选用的滑动变阻器	阻值和 $R_x$ 差不多或比它大	阻值较小的（便于均匀调节）

必须用分压的三种情况：

1. 要求电压（电流）从零开始调节，或要描绘完整的伏安特性曲线（小灯泡）。
2. 滑动变阻器的最大阻值远小于 $R_x$，用限流时电压几乎调不动。
3. 用限流接法时，即使滑动变阻器阻值调到最大，电流仍超过电表量程或元件的额定电流。

都不是时，优先用限流（简单、节能）。

二、测量电路：电流表内接还是外接

	电流表外接	电流表内接
接法	电压表直接并在 $R_x$ 两端，电流表在外面	电压表并在电流表和 $R_x$ 串联的两端
哪只表不准	电流表读数 $I = I_x + I_{\text{V}}$，多了电压表的电流	电压表读数 $U = U_x + U_{\text{A}}$，多了电流表的电压
测量值	$R_{\text{测}} = \dfrac{R_x R_{\text{V}}}{R_x + R_{\text{V}}} < R_x$，偏小	$R_{\text{测}} = R_x + R_{\text{A}} > R_x$，偏大
适用	$R_x$ 远小于 $R_{\text{V}}$（小电阻）	$R_x$ 远大于 $R_{\text{A}}$（大电阻）

判断方法：

• 已知 $R_{\text{A}}$、$R_{\text{V}}$ 的大约值：$R_x > \sqrt{R_{\text{A}} R_{\text{V}}}$ 用内接，$R_x < \sqrt{R_{\text{A}} R_{\text{V}}}$ 用外接。等价地，比较 $\dfrac{R_{\text{V}}}{R_x}$ 和 $\dfrac{R_x}{R_{\text{A}}}$，前者大用外接，后者大用内接。
• 不知道电表内阻：用试触法。电压表一端固定，另一端分别接触电流表两侧的 $a$（内接）和 $b$（外接）。电流表示数变化明显（相对变化大），说明电压表分流影响大，用内接；电压表示数变化明显，说明电流表分压影响大，用外接。

口诀：“大内偏大，小外偏小”：大电阻用内接，测量值偏大；小电阻用外接，测量值偏小。

三、电表和量程的选择

按三条原则依次考虑：

1. 安全：电路中可能出现的最大电流、电压不超过电表的量程和元件的额定值。
2. 精确：在安全的前提下选小量程，使指针偏转尽量大，一般要超过满偏的 $\dfrac{1}{3}$。
3. 方便：滑动变阻器选调节起来方便的（分压选小阻值，限流选与 $R_x$ 相当的）。

估算办法：电压表量程看电源电动势（或 $R_x$ 的额定电压）；电流表量程看 $I_{\max} \approx \dfrac{E}{R_x}$ 或 $\dfrac{U_{\text{额}}}{R_x}$。量程不合适时，可以用已知内阻的电表改装（第 17 章）。

本知识点讲电表怎么选、怎么接；电表怎么读见 37.2。第 40 章各电学实验的电路只引用这里的结论。

使用场景

• 问滑动变阻器用限流还是分压（题目要求“从零开始”“多测几组”“描绘伏安特性曲线”，或给出 $R_{\text{滑}} \ll R_x$）→ 控制电路 → 算限流时的调节范围，满足要求用限流，不满足用分压。
• 已知 $R_{\text{A}}$、$R_{\text{V}}$ 和 $R_x$ 的大约值，问内接还是外接、测量值偏大偏小 → 测量电路 → 比较 $R_x$ 与 $\sqrt{R_{\text{A}} R_{\text{V}}}$。
• 不知道电表内阻，题目给出电压表接两个点时两表的读数 → 试触法 → 比较两表读数的相对变化。
• 给一组器材（几只电表、几个滑动变阻器），要求选择并画电路 → 安全、精确、方便 → 先估最大电流和电压选量程，再定内外接，再定限流分压。

注意点

• 内外接比较的是 $R_x$ 和电表内阻的关系，不是 $R_x$ 的绝对大小；同样是 $100\ \mathrm{\Omega}$，换一套电表结论可能相反。
• “电流表示数变化明显”要看相对变化 $\dfrac{\Delta I}{I}$，不是绝对变化。
• 分压接法中，$R_x$ 接在滑动变阻器的一端和滑片之间，不是两端之间。
• 测金属丝电阻率时电流不宜太大、通电时间不宜太长，否则金属丝发热、电阻变大（第 40 章）。
• 电表都是“理想电表”的题，没有内外接误差；题目给出电表内阻，就要考虑。
• 电流表内阻已知且准确时，可以用内接，再减去 $R_{\text{A}}$，得到没有系统误差的结果：$R_x = \dfrac{U}{I} - R_{\text{A}}$。

推导

外接时的测量值：电压表与 $R_x$ 并联，电压表读数就是 $R_x$ 两端的电压 $U$，准确。电流表测的是并联部分的总电流 $I = \dfrac{U}{R_x} + \dfrac{U}{R_{\text{V}}}$，比 $R_x$ 的电流大。

$$R_{\text{测}} = \frac{U}{I} = \frac{R_x R_{\text{V}}}{R_x + R_{\text{V}}} < R_x$$

测量值就是 $R_x$ 和 $R_{\text{V}}$ 的并联电阻，偏小。相对误差

$$\frac{R_x - R_{\text{测}}}{R_x} = \frac{R_x}{R_x + R_{\text{V}}} \approx \frac{R_x}{R_{\text{V}}}$$

内接时的测量值：电流表与 $R_x$ 串联，电流表读数是 $R_x$ 的电流 $I$，准确。电压表测的是两者的总电压 $U = I R_x + I R_{\text{A}}$。

$$R_{\text{测}} = \frac{U}{I} = R_x + R_{\text{A}} > R_x$$

相对误差 $\dfrac{R_{\text{A}}}{R_x}$。

临界值：两种接法相对误差相等时，$\dfrac{R_x}{R_{\text{V}}} = \dfrac{R_{\text{A}}}{R_x}$，得

$$R_x = \sqrt{R_{\text{A}} R_{\text{V}}}$$

（关键一步：外接的相对误差随 $R_x$ 增大而增大，内接的相对误差随 $R_x$ 增大而减小。两条变化方向相反，交点就是临界值：$R_x$ 比它大，内接的误差小；比它小，外接的误差小。）

限流的电压范围：滑动变阻器接入阻值为 $R'$（$0 \le R' \le R$），电源内阻不计，$R_x$ 两端电压 $U_x = \dfrac{R_x}{R_x + R'}E$。$R' = 0$ 时 $U_x = E$，$R' = R$ 时最小，为 $\dfrac{R_x}{R_x + R}E$。$R \ll R_x$ 时最小值也接近 $E$，所以几乎调不动。

分压的电压范围：滑片在 $a$ 端时，$R_x$ 两端被导线短接（$aP$ 段电阻为 0），$U_x = 0$；滑到 $b$ 端时，$R_x$ 与整个滑动变阻器并联，接在电源两端，$U_x = E$。所以范围是 $0 \sim E$。

例题

例 1　（场景：限流还是分压）用伏安法测一个约 $100\ \mathrm{\Omega}$ 的电阻 $R_x$，电源电动势 $E = 6\ \mathrm{V}$（内阻不计），滑动变阻器最大阻值 $R = 20\ \mathrm{\Omega}$。要求 $R_x$ 两端的电压能在较大范围内调节、测多组数据。滑动变阻器应采用限流还是分压接法？

解：

研究对象：$R_x$ 两端的电压调节范围。

过程划分：比较两种接法，滑片从一端滑到另一端。

分析：先算限流接法的调节范围，看够不够；不够就用分压。

列式求解：限流接法，滑动变阻器全部接入时 $R_x$ 两端电压最小：

$$U_{\min} = \frac{R_x}{R_x + R}E = \frac{100}{100 + 20} \times 6\ \mathrm{V} = 5\ \mathrm{V}$$

所以限流时 $R_x$ 两端电压只能在 $5 \sim 6\ \mathrm{V}$ 之间调，范围太小。分压接法的范围是 $0 \sim 6\ \mathrm{V}$，满足要求。应采用分压接法。

检验：$R = 20\ \mathrm{\Omega}$ 远小于 $R_x = 100\ \mathrm{\Omega}$，正是“必须用分压”的第 2 种情况，结论一致。

容易卡在：分压接法画错，把 $R_x$ 接在滑动变阻器两端 $a$、$b$ 之间，那样滑片不起作用。$R_x$ 要接在一端和滑片之间。闭合开关前，分压接法的滑片应放在 $a$ 端，使 $R_x$ 两端电压为零。

例 2　（场景：内接还是外接）用伏安法测一个约 $10\ \mathrm{\Omega}$ 的电阻，电流表内阻 $R_{\text{A}} = 0.5\ \mathrm{\Omega}$，电压表内阻 $R_{\text{V}} = 3\ \mathrm{k\Omega}$。（1）应采用电流表内接还是外接？（2）分别计算两种接法的测量值和相对误差（$R_x$ 按 $10\ \mathrm{\Omega}$ 算）。

解：

研究对象：测量电路（电流表、电压表、$R_x$）。

过程划分：不涉及过程，比较两种接法。

分析：比较 $R_x$ 与临界值 $\sqrt{R_{\text{A}} R_{\text{V}}}$。外接时测量值是 $R_x$ 与 $R_{\text{V}}$ 的并联值，内接时是 $R_x + R_{\text{A}}$。

列式求解：（1）临界值

$$\sqrt{R_{\text{A}} R_{\text{V}}} = \sqrt{0.5 \times 3000}\ \mathrm{\Omega} \approx 39\ \mathrm{\Omega}$$

$R_x = 10\ \mathrm{\Omega} < 39\ \mathrm{\Omega}$，是“小电阻”，用外接。

（2）外接：

$$R_{\text{测}} = \frac{R_x R_{\text{V}}}{R_x + R_{\text{V}}} = \frac{10 \times 3000}{3010}\ \mathrm{\Omega} \approx 9.97\ \mathrm{\Omega}$$

偏小，相对误差约 $\dfrac{0.03}{10} = 0.3\%$。

内接：$R_{\text{测}} = R_x + R_{\text{A}} = 10.5\ \mathrm{\Omega}$，偏大，相对误差 $\dfrac{0.5}{10} = 5\%$。

外接的误差小得多，与（1）的判断一致。

检验：外接偏小、内接偏大，符合“大内偏大，小外偏小”。

另一种解法：比较两个比值：$\dfrac{R_{\text{V}}}{R_x} = 300$，$\dfrac{R_x}{R_{\text{A}}} = 20$。$R_{\text{V}}$ 比 $R_x$ 大得多，电压表分流可以忽略，用外接。比值法不用开方，心算更快；临界值法在要比较好几个待测电阻时更方便，算一次临界值就能逐个判断。

例 3　（场景：试触法）电表内阻未知。按图连接，电压表一端接在 $R_x$ 右端，另一端先接 $a$，两表读数为 $2.90\ \mathrm{V}$、$2.0\ \mathrm{mA}$；再接 $b$，读数为 $2.80\ \mathrm{V}$、$2.4\ \mathrm{mA}$。应采用哪种接法？测量值是多少，比真实值偏大还是偏小？

解：

研究对象：测量电路。

过程划分：电压表接 $a$（内接）、接 $b$（外接）两种情况。

分析：比较两只表读数的相对变化。

列式求解：电压表读数的相对变化 $\dfrac{|2.80 - 2.90|}{2.90} \approx 3\%$；电流表读数的相对变化 $\dfrac{|2.4 - 2.0|}{2.0} = 20\%$。

电流表示数变化明显，说明电压表接 $b$ 时分走了可观的电流，即 $R_x$ 和 $R_{\text{V}}$ 相比不算小，应用内接（接 $a$）。测量值

$$R_{\text{测}} = \frac{2.90\ \mathrm{V}}{2.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{A}} = 1.45 \times 10^3\ \mathrm{\Omega} \approx 1.5 \times 10^3\ \mathrm{\Omega}$$

内接测量值偏大。

检验：$R_x$ 约一千多欧，是大电阻，用内接，与“大内”一致。电流读数只有两位有效数字，结果保留两位。

容易卡在：比较绝对变化：电压变了 $0.10$，电流变了 $0.4$，单位不同根本不能比。要比相对变化。

例 4　（场景：选择器材并设计电路）测一段金属丝的电阻，约 $5\ \mathrm{\Omega}$。器材：电源 $E = 3\ \mathrm{V}$（内阻很小）；电流表 $\text{A}_1$（$0 \sim 0.6\ \mathrm{A}$，内阻约 $0.1\ \mathrm{\Omega}$）、$\text{A}_2$（$0 \sim 3\ \mathrm{A}$，内阻约 $0.02\ \mathrm{\Omega}$）；电压表 $\text{V}_1$（$0 \sim 3\ \mathrm{V}$，内阻约 $3\ \mathrm{k\Omega}$）、$\text{V}_2$（$0 \sim 15\ \mathrm{V}$，内阻约 $15\ \mathrm{k\Omega}$）；滑动变阻器 $R_1$（$0 \sim 10\ \mathrm{\Omega}$，额定电流 $1\ \mathrm{A}$）、$R_2$（$0 \sim 1000\ \mathrm{\Omega}$，额定电流 $0.1\ \mathrm{A}$）；开关、导线。选择器材并确定电路。

解：$\text{A}_1$、$\text{V}_1$、$R_1$；电流表外接，滑动变阻器限流接法，电路如 37.6 例 2 的外接图。

判断依据：先安全、再精确、后方便；内外接看 $R_x$ 与 $\sqrt{R_{\text{A}} R_{\text{V}}}$；限流够用就不用分压。

电压表：电源只有 $3\ \mathrm{V}$，$R_x$ 两端电压不超过 $3\ \mathrm{V}$，选 $\text{V}_1$。用 $\text{V}_2$，指针最多偏转 $\dfrac{1}{5}$，读数误差大。

电流表：最大电流约 $\dfrac{E}{R_x} = \dfrac{3}{5}\ \mathrm{A} = 0.6\ \mathrm{A}$，选 $\text{A}_1$。用 $\text{A}_2$，指针最多偏转 $\dfrac{1}{5}$。

内外接：$\sqrt{R_{\text{A}} R_{\text{V}}} = \sqrt{0.1 \times 3000}\ \mathrm{\Omega} \approx 17\ \mathrm{\Omega}$，$R_x = 5\ \mathrm{\Omega}$ 小于它，用外接。

滑动变阻器：$R_2$ 额定电流 $0.1\ \mathrm{A}$ 太小，而且阻值比 $R_x$ 大得多，滑片稍动电流就变化很大，不便调节；选 $R_1$。用 $R_1$ 限流时，电流范围约 $\dfrac{3}{5 + 10}\ \mathrm{A} = 0.2\ \mathrm{A}$ 到 $0.6\ \mathrm{A}$，电压 $1 \sim 3\ \mathrm{V}$，能测多组数据，题目也没有“从零开始”的要求，用限流即可（实际实验中为保护金属丝，电流常控制在 $0.5\ \mathrm{A}$ 以下）。

容易卡在：选大量程“更安全”。安全够了就要讲精确，选能让指针偏转超过三分之一的量程。

常用推论

• “大内偏大，小外偏小”：$R_x > \sqrt{R_{\text{A}} R_{\text{V}}}$ 内接，测量值偏大；$R_x < \sqrt{R_{\text{A}} R_{\text{V}}}$ 外接，测量值偏小。由本节推导得出。
• 外接法测量值 = $R_x$ 与 $R_{\text{V}}$ 的并联值；内接法测量值 = $R_x + R_{\text{A}}$。已知电表内阻时可以修正。
• 限流接法 $R_x$ 两端电压的调节范围 $\dfrac{R_x}{R_x + R}E \sim E$（电源内阻不计）；$R \ll R_x$ 时几乎调不动，必须分压。
• 闭合开关前：限流接法滑片置于接入阻值最大处；分压接法滑片置于使 $R_x$ 电压为零的一端。
• 描绘小灯泡的伏安特性曲线，一定用分压（要从零开始），一般用外接（小灯泡电阻只有几欧到十几欧）。

易错点

• 错在哪：认为电阻“大”就用内接，不看电表内阻。 为什么错：把“大内小外”的“大小”当成绝对大小。它说的是和 $\sqrt{R_{\text{A}} R_{\text{V}}}$ 比。 正确做法：先算 $\sqrt{R_{\text{A}} R_{\text{V}}}$，或比较 $\dfrac{R_{\text{V}}}{R_x}$ 和 $\dfrac{R_x}{R_{\text{A}}}$。
• 错在哪：外接法测量值偏小的原因说成“电流表有内阻”。 为什么错：外接时电流表在外面，它的内阻不影响 $U$ 和 $I$ 的对应关系；问题出在电压表分流，电流表读数偏大。 正确做法：外接看电压表（分流），内接看电流表（分压）：哪只表“没被包进去”，它的内阻就是误差来源。
• 错在哪：分压接法画成 $R_x$ 和滑动变阻器两端并联，或者限流接法把滑动变阻器的两个固定端都接入。 为什么错：没有弄清滑片在两种接法中的作用：分压靠滑片取出一部分电压，限流靠滑片改变串联电阻。 正确做法：分压：电源接两个固定端，$R_x$ 接一个固定端和滑片；限流：一个固定端和滑片串入电路。
• 错在哪：选电表时只考虑“不烧表”，选了大量程。 为什么错：直觉认为量程越大越保险，忽略了偏转太小时读数的相对误差很大。 正确做法：在不超量程的前提下选小量程，让指针偏转超过满偏的三分之一。

直观理解

哪只表“把别人包进去了”，它的读数就多了一份：外接时电流表把电压表的电流也包进去了，$I$ 偏大，$R$ 偏小；内接时电压表把电流表的电压也包进去了，$U$ 偏大，$R$ 偏大。$R_x$ 小，电压表分的那点电流微不足道，用外接；$R_x$ 大，电流表分的那点电压微不足道，用内接。

限流像水龙头只能拧小一点，关不死；分压像从水箱的不同高度取水，可以从零取到满。

关联知识点

• 前置：第 17 章串并联电路、电表的改装与内阻；第 18 章闭合电路欧姆定律（限流范围、替代法）。
• 后续：第 40 章测量金属丝的电阻率（外接、限流）、测电源电动势和内阻（电流表相对电源的接法，误差分析同理）、用多用电表测量电学中的物理量。
• 后续：第 40 章描绘伏安特性曲线类问题（分压、外接）。
• 常一起考：37.2 电表读数（先选对量程再读）；37.3 偏大偏小的判断；37.5 替代法测电阻。

37.7 知识点之间的关系

一道实验题拿到手，先看它问的是哪一类，再用对应的知识点。电学实验的电路设计按“量程 → 内外接 → 限流分压”的顺序一步步定。

37.8 自测

1. 用 50 分度的游标卡尺测某物体长度，游标零刻线在主尺 $23\ \mathrm{mm}$ 和 $24\ \mathrm{mm}$ 之间，游标第 13 条刻线与主尺刻线对齐。读数是多少毫米？
2. 螺旋测微器固定刻度露出 $2\ \mathrm{mm}$，半毫米刻线未露出，可动刻度第 35.0 格对准基准线。读数是多少？
3. 一只电压表接 $0 \sim 3\ \mathrm{V}$ 量程（30 小格），指针指在第 22 格与第 23 格的正中间，读数是多少？
4. 用伏安法测电阻，外接法测得的值比真实值偏大还是偏小？这是系统误差还是偶然误差？
5. $0.03060\ \mathrm{kg}$ 有几位有效数字？
6. 纸带上四段连续相等时间间隔 $T = 0.1\ \mathrm{s}$ 的位移为 $2.0\ \mathrm{cm}$、$3.0\ \mathrm{cm}$、$4.0\ \mathrm{cm}$、$5.0\ \mathrm{cm}$，用逐差法求加速度。
7. 用测量 $n$ 次全振动总时间的方法测单摆周期，用的是哪种实验思路？
8. 待测电阻约 $2\ \mathrm{k\Omega}$，电流表内阻约 $1\ \mathrm{\Omega}$，电压表内阻约 $10\ \mathrm{k\Omega}$，应采用内接还是外接？
9. 描绘小灯泡的伏安特性曲线时，滑动变阻器应采用哪种接法，为什么？

答案：1. $23.26\ \mathrm{mm}$；2. $2.350\ \mathrm{mm}$；3. $2.25\ \mathrm{V}$；4. 偏小，系统误差；5. 4 位；6. $1.0\ \mathrm{m/s^2}$；7. 累积法；8. 内接（$\sqrt{1 \times 10^4}\ \mathrm{\Omega} = 100\ \mathrm{\Omega} < 2\ \mathrm{k\Omega}$）；9. 分压接法，电压要从零开始调节。

37.9 深入阅读

• PhET · 电路构造工具包：直流：自己搭限流、分压电路，接上电流表和电压表，看滑片移动时示数怎么变、内接外接读数差多少。
• 维基百科 · 游标卡尺：游标的构造、读数原理和不同分度的精度，配实物照片。
• 维基百科 · 有效数字：有效数字的定义、计数规则和运算中的取舍，比课本讲得更系统。
• 国家中小学智慧教育平台：教育部主办，有人教版各册实验节的同步课程视频，可看仪器的实际操作和读数演示。