第 6 章 · 牛顿运动定律

项目	内容
课标主题	必修 1 · 相互作用与运动定律（牛顿运动定律；通过实验探究加速度与力、质量的关系；超重和失重）
人教版（2019）	必修第一册 第三章 3”牛顿第三定律”；第四章“运动和力的关系”：1 牛顿第一定律，2 实验：探究加速度与力、质量的关系（见第 38 章），3 牛顿第二定律，4 力学单位制（见第 1 章 1.2），5 牛顿运动定律的应用，6 超重和失重
考试地位	必考。牛顿第二定律是整个力学的主干，几乎每卷的力学计算题都要用；第一定律、第三定律、超重失重多在选择题里考概念；两类基本问题常和第 3 章匀变速运动合成一道计算题
前置知识	第 2 章加速度；第 3 章匀变速直线运动的公式；第 4 章受力分析和正交分解；第 5 章平衡条件

第 2、3 章只描述运动，第 4、5 章只分析力，这一章把两条线接起来：力决定加速度，加速度决定运动怎样变化。丢分很少丢在 $F = ma$ 这个式子上，而是丢在三处：受力分析漏力或多画“冲力”；分不清相互作用力和平衡力；超重失重看速度方向而不看加速度方向。

6.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
6.2 牛顿第一定律与惯性	不受力（或合力为零）的物体保持静止或匀速直线运动；力改变运动状态，不维持运动；质量是惯性大小的唯一量度	选择题常考概念和物理学史
6.3 牛顿第二定律	$F_{\text{合}} = ma$，加速度由合力和质量决定，方向与合力相同	必考，力学计算题的核心
6.4 牛顿第三定律	相互作用力等大、反向、共线，作用在两个物体上；平衡力作用在同一物体上	选择题常考辨析；计算题里用来换研究对象
6.5 超重与失重	加速度向上时支持力（拉力）大于重力，叫超重；向下时小于重力，叫失重；$a = g$ 时完全失重	常考，选择题为主
6.6 两类动力学基本问题	由力求运动、由运动求力，加速度是连接两边的桥梁	必考，常和匀变速运动合成计算题

6.2 牛顿第一定律与惯性

说明

牛顿第一定律：一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态。

它说了两件事：

• 运动不需要力来维持。物体不受力时，原来静止的保持静止，原来运动的保持原来的速度（大小和方向都不变）一直运动下去。
• 力是改变物体运动状态的原因。运动状态用速度描述，“改变运动状态”就是速度变了（变快、变慢、拐弯），也就是有了加速度。所以力是产生加速度的原因。

惯性：物体保持原来匀速直线运动状态或静止状态的性质。牛顿第一定律也叫惯性定律。

• 一切物体在任何情况下都有惯性：静止的、运动的、受力的、不受力的、在地面上的、在太空中的都有。
• 质量是惯性大小的唯一量度。质量越大，运动状态越难改变。惯性和速度大小、受不受力、在什么地方都无关。

理想模型：牛顿第一定律描述的是“不受力”的理想情形。现实中不受力的物体不存在，它在现实中的对应是“合力为零”：合力为零的物体也保持静止或匀速直线运动，这就是第 5 章的平衡状态。

参考系：牛顿第一定律成立的参考系叫惯性参考系（第 2 章 2.2）。高中题目一般以地面为惯性参考系；加速运动的车厢不是惯性参考系，在车厢里看，小球没受水平力却会“自己”向后滚。

使用场景

• 选择题问“力和运动的关系”、亚里士多德和伽利略的观点、理想斜面实验 → 物理学史和第一定律的内容 → 力改变运动状态，不维持运动；理想实验是“实验事实加合理外推”。
• 生活现象（急刹车乘客前倾、拍打衣服除尘、跳远助跑、车里竖直跳起落在哪里）→ 惯性现象 → 先看物体原来的运动状态，再看哪一部分受力改变了、哪一部分由于惯性保持原状态。
• 比较谁的惯性大、问惯性会不会变（速度大、失重、太空中）→ 惯性的量度 → 只看质量。

注意点

• 惯性是性质，不是力。不能说“受到惯性作用”“惯性力”，只能说“由于惯性”“具有惯性”。受力分析时找不到施力物体的“冲力”“惯性力”一律删掉（第 4 章 4.6）。
• 惯性大小只由质量决定。“速度越大越难停下”是因为要改变的速度多，不是惯性大；同一辆车，车速 $20\ \mathrm{m/s}$ 和 $10\ \mathrm{m/s}$ 时惯性一样大。
• 牛顿第一定律不能用实验直接验证，因为不受力的物体不存在。它是在实验基础上经过推理得出的，它的推论都被实验证实了。
• 牛顿第一定律不是第二定律在 $F = 0$ 时的特例。第一定律先说明了“力是什么”（改变运动状态的原因）和“在什么参考系里谈运动”（惯性参考系），第二定律才在此基础上给出定量关系。
• 牛顿第一定律只在惯性参考系中成立。以加速的车厢为参考系分析问题，第一定律和第二定律都不能直接用；高中一律换回地面参考系。

推导

牛顿第一定律是在一系列实验和推理的基础上建立的。

亚里士多德的观点：必须有力作用在物体上，物体才能运动；没有力的作用，物体就要静止下来。这符合日常经验（推车才走，不推就停），但它没有看到停下的真正原因是摩擦阻力。

伽利略的理想斜面实验：

1. 实验事实：让小球从一个斜面上滚下，再滚上对面的斜面。斜面越光滑，小球在对面斜面上升的高度越接近原来的高度。
2. 推论：如果没有摩擦，小球将上升到原来的高度。
3. 推论：减小对面斜面的倾角，小球仍要达到原来的高度，就要在斜面上滚过更长的路程。
4. 外推：把对面的斜面放平，小球永远达不到原来的高度，就要沿水平面以不变的速度永远运动下去。

（关键一步：第 4 步。完全没有摩擦的斜面做不出来，这一步不能靠实验直接完成，它的可靠性来自第 1 步的实验事实：摩擦越小，越接近原来的高度。把这个趋势外推到摩擦为零的极限，就是“理想实验”：以可靠的实验事实为基础，抓住主要因素、忽略次要因素，经过合理推理得出结论。）

伽利略由此得出：力不是维持物体运动的原因。

笛卡儿的补充：如果运动中的物体没有受到力的作用，它将继续以同一速度沿同一直线运动，既不停下来也不偏离原来的方向。伽利略只说了“不停下来”，笛卡儿补上了“方向不变”。

牛顿的总结：牛顿在伽利略、笛卡儿等人工作的基础上，提出了惯性定律，作为他的三条运动定律中的第一条，写入 1687 年出版的《自然哲学的数学原理》。

例题

例 1　（场景：物理学史与理想实验）关于力和运动关系的研究，下列说法正确的是（　）。

A. 伽利略通过理想斜面实验得出“力是维持物体运动的原因”

B. 伽利略的理想斜面实验以可靠的实验事实为基础，经过合理外推得出结论

C. 牛顿第一定律可以用实验直接验证

D. 牛顿第一定律是牛顿第二定律在合力为零时的特例

解：B。

判断依据：理想实验 = 实验事实 + 合理外推；第一定律有它独立的意义。

A 把结论说反了，“力是维持物体运动的原因”是亚里士多德的观点，伽利略推翻的正是它。C 错，不受力的物体不存在，第一定律只能由实验加推理得出。D 错，第一定律给出了力的定性含义和惯性参考系，是第二定律的前提，不是它的特例。

容易卡在：觉得“理想实验不是真实验，所以不科学”。理想实验的每一步推理都有实验事实支撑，只是最后一步把趋势推到极限。

例 2　（场景：解释惯性现象）一列火车在平直轨道上匀速行驶，车厢里的乘客竖直向上跳起。不计空气阻力，他将落在（　）。

A. 起跳点　B. 起跳点的后方　C. 起跳点的前方　D. 无法确定，取决于车速

解：A。

判断依据：先看人原来的运动状态，再看起跳后水平方向受不受力。

起跳前，人和车一起以速度 $v$ 向前运动。起跳后，人在水平方向不受力，由于惯性，水平方向保持速度 $v$，和车厢走得一样快，所以落回起跳点。车速多大都一样，D 错。

如果火车正在加速，起跳后车厢比人走得快，人落在起跳点后方；火车减速时，人落在起跳点前方。

容易卡在：以为“人离开地板后车厢向前跑，人就落到后面”。这是忘了人起跳前就已经有和车一样的速度。

例 3　（场景：比较惯性大小）下列说法正确的是（　）。

A. 汽车速度越大越难停下来，说明速度越大惯性越大

B. 在空间站里完全失重的物体没有惯性

C. 歼击机在空战前抛掉副油箱，是为了减小惯性、提高灵活性

D. 物体只有在静止或做匀速直线运动时才有惯性

解：C。

判断依据：质量是惯性大小的唯一量度，一切物体在任何状态下都有惯性。

A 错，速度大难停下，是因为要减小的速度多，在相同阻力下要用更长时间；惯性只看质量。B 错，空间站里物体失重，但质量不变，惯性不变，推动一个大箱子照样费劲。D 错，变速运动的物体也有惯性。C 对，抛掉副油箱，质量减小，惯性减小，运动状态更容易改变。

常用推论

• 合力为零 ⇔ 物体静止或做匀速直线运动（加速度为零）。由第一定律和“力是产生加速度的原因”得出，正是第 5 章平衡条件的来源。
• 物体运动状态改变（速度大小或方向变化）⇒ 一定受到不为零的合力。匀速圆周运动速度方向在变，所以合力一定不为零（第 10 章）。
• 质量相同的物体惯性相同，与速度、受力、所处位置无关。

易错点

• 错在哪：认为物体向某个方向运动，就一定受到那个方向的力；推力撤去后物体还在向前运动，就画一个“向前的冲力”。 为什么错：这是“力是维持运动的原因”的前概念在作怪，也就是亚里士多德的观点。冰面上推出去的冰壶，离手后没有向前的力，靠惯性滑行很远。 正确做法：运动不需要力维持。受力分析时每个力都要找到施力物体，找不到的删掉。
• 错在哪：说“汽车刹车时，乘客受到惯性的作用向前倾”。 为什么错：惯性是物体的性质，不是物体受到的力，没有施力物体。 正确做法：说“乘客由于惯性，上身要保持原来的速度向前运动，而脚随车减速，所以向前倾”。
• 错在哪：认为速度越大惯性越大，或者认为失重、太空中惯性消失。 为什么错：直觉把“难停下”等同于“惯性大”。同一辆车速度不同时，用相同的力刹车，每秒钟减小的速度一样多（加速度相同），说明惯性相同；高速车难停下只是要减的速度多。 正确做法：比较惯性只比质量。

直观理解

惯性是物体的“懒”：静止的不想动，运动的不想变。质量越大越“懒”，推动一辆空购物车和一辆装满的购物车，后者难推，也难停。

力的作用不是“让物体动”，而是“让物体的速度变”。

关联知识点

• 前置：第 2 章 2.2 参考系，牛顿定律成立的参考系是惯性参考系，以地面为代表。
• 前置：第 4 章 4.6 受力分析，“冲力”“惯性力”找不到施力物体，不能画。
• 后续：第 5 章共点力的平衡，合力为零时物体静止或匀速，是第一定律的直接应用。
• 后续：本章 6.3 牛顿第二定律，给出力和加速度的定量关系。
• 后续：第 10 章圆周运动，速度方向在变，一定需要力（向心力）。
• 常一起考：附录 D 物理学史年表，亚里士多德、伽利略、笛卡儿、牛顿的观点常放在同一道选择题里。

6.3 牛顿第二定律

说明

牛顿第二定律：物体加速度的大小跟它受到的作用力成正比，跟它的质量成反比，加速度的方向跟作用力的方向相同。

矢量式：

$$\vec{F}_{\text{合}} = m\vec{a}$$

标量式（取加速度方向或某一坐标轴方向为正方向）：

$$F_{\text{合}} = ma$$

正交分解后，两个方向分别列式：

$$F_x = ma_x, \quad F_y = ma_y$$

单位：$F$ 用 $\mathrm{N}$，$m$ 用 $\mathrm{kg}$，$a$ 用 $\mathrm{m/s^2}$。$1\ \mathrm{N} = 1\ \mathrm{kg \cdot m/s^2}$，这就是牛顿这个单位的定义（第 1 章 1.2）。

四个性质：

性质	含义
矢量性	加速度的方向总与合力的方向相同，和速度方向无关
瞬时性	加速度和合力同时产生、同时变化、同时消失；合力突变，加速度立即突变，速度不能突变
同体性	$F_{\text{合}}$、$m$、$a$ 必须对应同一个研究对象（一个物体或一个整体）
独立性	每个力各自产生加速度；也可以按方向分开，$x$ 方向的合力只产生 $x$ 方向的加速度

理想模型：研究对象看成质点；牛顿第二定律只在惯性参考系中成立，适用于宏观、低速（远小于光速）的物体。

使用场景

• 单个物体受几个力（有斜向的拉力、推力），问加速度 → 质点、恒力 → 正交分解，一个轴沿加速度方向，垂直方向合力为零，沿加速度方向 $F_{\text{合}} = ma$。
• 物体在斜面上加速下滑或上滑 → 斜面上的质点 → 沿斜面、垂直斜面建轴，沿斜面方向 $F_{\text{合}} = ma$。
• 已知加速度（或物体和车厢、电梯相对静止），求某个力或某个角度 → 合力沿加速度方向 → 由 $a$ 定合力方向，再用合成法或正交分解求力。
• 选择题辨析力、质量、加速度、速度之间的关系 → 定律的含义 → 加速度由合力和质量决定，与速度无关。

注意点

• 先受力分析，再求合力。$F$ 是合力，不是某一个力。漏画摩擦力、多画“下滑力”是最常见的错误。
• 取正方向：一般取加速度方向为正。物体减速时加速度与速度反向，列式时要带负号或者把正方向取为加速度方向。
• 正交分解的轴：平衡问题让尽量多的力在轴上；有加速度时让一个轴沿加速度方向，这样垂直方向的合力为零，只有一个方向要用 $ma$（第 4 章 4.5）。
• 单位：全部用国际单位代入，质量 $500\ \mathrm{g}$ 要写成 $0.5\ \mathrm{kg}$。
• 瞬时性：撤去某个力的瞬间，加速度立即变成新的合力除以质量，速度不变。弹簧弹力不能突变而轻绳拉力可以突变，这类瞬时加速度问题见第 7 章。
• 适用范围：只在惯性参考系里用；速度接近光速时不成立（第 11 章相对论初步）；微观粒子要用量子力学（第 35 章）。

推导

牛顿第二定律是实验规律，依据是“探究加速度与力、质量的关系”实验（实验的操作、数据处理和误差分析见第 38 章，这里只说结论怎么得出）。

装置：小车放在长木板上，前端系细绳，绳跨过定滑轮挂槽码，小车后面拖纸带穿过打点计时器，由纸带求加速度。

方法：控制变量（第 37 章 37.5）。加速度可能同时和力、质量有关，就每次只改变一个量。

1. 保持小车质量 $m$ 不变，改变拉力 $F$（改变槽码个数），测加速度。以 $F$ 为横轴、$a$ 为纵轴描点，点分布在一条过原点的直线附近，说明 $a \propto F$。

2. 保持拉力 $F$ 不变，改变小车质量 $m$（在小车上加砝码），测加速度。$a$-$m$ 图像是一条曲线，看不出是不是反比；改以 $\dfrac{1}{m}$ 为横轴，点落在过原点的直线附近，说明 $a \propto \dfrac{1}{m}$。

（关键一步：第 2 步的“化曲为直”。$a$-$m$ 曲线可能是反比，也可能是别的递减关系，肉眼分不出；换成 $a$-$\dfrac{1}{m}$ 图像，是不是直线一眼就能判断（第 37 章 37.4）。）

3. 合起来：$a \propto \dfrac{F}{m}$，即 $F = kma$，$k$ 是比例系数。

4. 选单位使 $k = 1$：力的单位还没有规定时，规定“使质量 $1\ \mathrm{kg}$ 的物体产生 $1\ \mathrm{m/s^2}$ 加速度的力”为 $1\ \mathrm{N}$，代入得 $k = 1$，于是 $F = ma$。所以 $F = ma$ 只在国际单位制下成立（第 1 章 1.2 推导）。

实验中的拉力用槽码的重力代替，这要求先平衡摩擦力，并且槽码质量远小于小车质量，原因在第 7 章连接体和第 38 章误差分析中解释。

历史说明：牛顿在《自然哲学的数学原理》里写的第二定律是“运动的变化与所加的动力成正比”，“运动”指的是动量。高中用的 $F = ma$ 是它在质量不变时的形式，更一般的形式 $F = \dfrac{\Delta p}{\Delta t}$ 见第 19 章。

例题

例 1　（场景：单个物体受斜向拉力）质量 $m = 2\ \mathrm{kg}$ 的木箱放在水平地面上，木箱与地面间的动摩擦因数 $\mu = 0.5$。用大小 $F = 20\ \mathrm{N}$、与水平方向成 $37^\circ$ 斜向上的拉力拉木箱，木箱由静止开始向右运动。求木箱的加速度（$\sin 37^\circ = 0.6$，$\cos 37^\circ = 0.8$）。

解：

研究对象：木箱。

过程划分：一个过程，恒力作用下的匀加速直线运动。

分析：木箱受重力 $G$、拉力 $F$、支持力 $F_{\text{N}}$、滑动摩擦力 $f$（向左）。加速度水平向右，取水平向右为 $x$ 轴、竖直向上为 $y$ 轴，把 $F$ 正交分解。

列式求解：$y$ 方向没有加速度，合力为零：

$$F_{\text{N}} + F\sin 37^\circ - mg = 0, \quad F_{\text{N}} = 20\ \mathrm{N} - 12\ \mathrm{N} = 8\ \mathrm{N}$$

摩擦力 $f = \mu F_{\text{N}} = 0.5 \times 8\ \mathrm{N} = 4\ \mathrm{N}$。

$x$ 方向用牛顿第二定律：

$$F\cos 37^\circ - f = ma, \quad a = \frac{16 - 4}{2}\ \mathrm{m/s^2} = 6\ \mathrm{m/s^2}$$

加速度大小 $6\ \mathrm{m/s^2}$，方向水平向右。

检验：单位 $\mathrm{N/kg} = \mathrm{m/s^2}$，对。$F\sin 37^\circ = 12\ \mathrm{N} < mg = 20\ \mathrm{N}$，木箱不会离开地面，支持力为正，合理。

容易卡在：摩擦力写成 $\mu mg = 10\ \mathrm{N}$。拉力有向上的分量，压力变小了，$F_{\text{N}} \ne mg$。

例 2　（场景：斜面上加速下滑）质量 $2\ \mathrm{kg}$ 的物块从倾角 $37^\circ$ 的粗糙斜面上由静止下滑，物块与斜面间的动摩擦因数 $\mu = 0.25$。求物块的加速度（$\sin 37^\circ = 0.6$，$\cos 37^\circ = 0.8$）。

解：

研究对象：物块。

过程划分：一个过程，沿斜面向下的匀加速直线运动。

分析：物块受重力 $G$、支持力 $F_{\text{N}}$、沿斜面向上的滑动摩擦力 $f$。加速度沿斜面向下，取沿斜面向下为正方向，沿斜面和垂直斜面建轴，只需分解重力。

列式求解：垂直斜面方向合力为零：

$$F_{\text{N}} = mg\cos 37^\circ = 20 \times 0.8\ \mathrm{N} = 16\ \mathrm{N}, \quad f = \mu F_{\text{N}} = 4\ \mathrm{N}$$

沿斜面方向：

$$mg\sin 37^\circ - f = ma, \quad a = \frac{12 - 4}{2}\ \mathrm{m/s^2} = 4\ \mathrm{m/s^2}$$

加速度大小 $4\ \mathrm{m/s^2}$，方向沿斜面向下。

检验：特殊情形：光滑时 $a = g\sin 37^\circ = 6\ \mathrm{m/s^2}$，有摩擦时更小，$4 < 6$，合理。把式子化简得 $a = g(\sin 37^\circ - \mu\cos 37^\circ)$，与质量无关，所以题目给的 $2\ \mathrm{kg}$ 不影响结果。

例 3　（场景：已知加速度方向求力）在水平路面上做直线运动的车厢顶部用细线悬挂一个质量 $m = 0.4\ \mathrm{kg}$ 的小球。小球与车厢相对静止时，悬线偏离竖直方向 $37^\circ$，小球在悬点的后方（车头朝右）。求车厢的加速度和悬线的拉力，并说明车厢可能的运动情况（$\sin 37^\circ = 0.6$，$\cos 37^\circ = 0.8$）。

解：

研究对象：小球（车厢的加速度不好直接求，小球和车厢相对静止，两者加速度相同）。

过程划分：小球与车厢相对静止，加速度恒定，一个过程。

分析：小球只受重力 $G$ 和拉力 $T$。车在水平路面上运动，加速度水平，所以小球的合力也必须水平：$T$ 的竖直分量和重力抵消，水平分量提供加速度。小球偏向后方，$T$ 的水平分量指向前方（向右）。

列式求解：取水平向右为 $x$ 轴正方向、竖直向上为 $y$ 轴正方向。

$$y\text{ 方向：}\ T\cos 37^\circ = mg, \quad T = \frac{0.4 \times 10}{0.8}\ \mathrm{N} = 5\ \mathrm{N}$$ $$x\text{ 方向：}\ T\sin 37^\circ = ma, \quad a = \frac{5 \times 0.6}{0.4}\ \mathrm{m/s^2} = 7.5\ \mathrm{m/s^2}$$

加速度大小 $7.5\ \mathrm{m/s^2}$，方向水平向右。车厢可能向右加速，也可能向左减速。

检验：$a = g\tan 37^\circ = 10 \times 0.75\ \mathrm{m/s^2} = 7.5\ \mathrm{m/s^2}$，与偏角有关、与小球质量无关，合理：换一个更重的小球，偏角不变。$\theta = 0$ 时 $a = 0$，车匀速，悬线竖直，也合理。

容易卡在：只说“车厢向右加速”。加速度向右只说明速度向右在增大或者速度向左在减小，题目没给速度方向时两种都要说。

另一种解法：合成法。小球只受两个力，合力水平向右。把 $G$ 和 $T$ 首尾相接，合力 $F_{\text{合}}$ 和 $G$ 构成直角三角形，直接得 $F_{\text{合}} = mg\tan 37^\circ$，$a = g\tan 37^\circ = 7.5\ \mathrm{m/s^2}$，$T = \dfrac{mg}{\cos 37^\circ} = 5\ \mathrm{N}$。只有两个力、合力方向已知时，合成法一步出结果；三个以上的力，用正交分解更稳。

例 4　（场景：辨析力、质量、加速度、速度）下列说法正确的是（　）。

A. 由 $m = \dfrac{F}{a}$ 可知，物体的质量与它受的合力成正比，与加速度成反比

B. 物体的速度为零时，加速度一定为零

C. 物体加速度的方向一定与它受的合力方向相同

D. 物体受的合力减小，速度一定减小

解：C。

判断依据：$F_{\text{合}} = ma$ 中，加速度由合力和质量决定，方向与合力相同；速度和加速度没有直接关系。

A 错，质量是物体本身的属性，$m = \dfrac{F}{a}$ 只是一种测量方法。B 错，竖直上抛到最高点，速度为零，加速度仍为 $g$。D 错，合力减小只说明加速度减小；只要加速度和速度同向，速度仍在增大，只是增大得慢了。

常用推论

• 物块沿光滑斜面下滑或上滑：$a = g\sin\theta$，方向沿斜面向下。由例 2 令 $\mu = 0$ 得出。
• 物块沿粗糙斜面下滑：$a = g(\sin\theta - \mu\cos\theta)$；上滑：$a = g(\sin\theta + \mu\cos\theta)$，方向都沿斜面向下（例 2；6.6 节例 3）。两者都与质量无关。
• 物块在斜面上恰好匀速下滑 ⇔ $\mu = \tan\theta$。令 $a = g(\sin\theta - \mu\cos\theta) = 0$ 得出。
• 在水平面上只受滑动摩擦力减速：$a = \mu g$。由 $\mu mg = ma$ 得出。
• 车厢内悬挂的小球（或光滑斜面上和车厢相对静止的物块），偏角 $\theta$ 与加速度满足 $a = g\tan\theta$。由例 3 得出，条件是加速度水平。

易错点

• 错在哪：物体受到拉力，就用拉力除以质量求加速度。 为什么错：$F = ma$ 里的 $F$ 是合力。只盯着“主动去拉”的那个力，忽略了摩擦力和其他力。 正确做法：先画完整的受力图，求出合力（或沿加速度方向的分力之和）再代入。
• 错在哪：认为物体沿什么方向运动，加速度就沿什么方向；速度为零时，加速度也为零。 为什么错：这是把速度和加速度混为一谈。上抛的球在最高点速度为零，但重力还在，加速度为 $g$；刹车的汽车向前运动，加速度向后。 正确做法：加速度方向只看合力方向。
• 错在哪：用 $F = ma$ 时，质量用克、力用千克力，或者不同物体的力和质量混着代。 为什么错：$F = ma$ 中 $k = 1$ 是在国际单位制下规定出来的；同体性要求三个量属于同一个研究对象。 正确做法：统一国际单位；列式前写明“研究对象：……”。
• 错在哪：合力逐渐减小时，认为物体在减速。 为什么错：直觉觉得“推得越来越轻，就越来越慢”。只要合力方向和速度方向相同，物体就在加速，只是加速得越来越慢。 正确做法：看加速度（合力）和速度的方向：同向加速，反向减速；合力大小只影响速度变化的快慢。

直观理解

$a = \dfrac{F_{\text{合}}}{m}$ 读成一句话：同样的力推轻的物体，速度变得快；推重的物体，速度变得慢。合力决定“往哪边变、变多快”，至于现在跑得多快、往哪跑，它不管。

在 $v$-$t$ 图上，加速度是斜率（第 1 章 1.4）。合力为恒力时，图线是直线；合力变化时，斜率跟着变化。

关联知识点

• 前置：第 1 章 1.2 力学单位制，牛顿这个单位由 $F = ma$ 定义。
• 前置：第 2 章 2.5 加速度，$a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$ 是定义式，$a = \dfrac{F_{\text{合}}}{m}$ 是决定式。
• 前置：第 4 章 4.5 正交分解，4.6 受力分析；三角函数值见《高中数学知识点梳理》第 11–13 章。
• 后续：第 7 章连接体、瞬时加速度、临界问题、传送带和板块，都是这条定律的应用。
• 后续：第 10 章向心力，第 11 章万有引力提供向心力，都是 $F_{\text{合}} = ma$ 在圆周运动中的形式。
• 后续：第 19 章动量定理，$F = \dfrac{\Delta p}{\Delta t}$ 是第二定律更一般的形式。
• 常一起考：第 38 章“探究加速度与物体受力、物体质量的关系”实验。

6.4 牛顿第三定律

说明

牛顿第三定律：两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，作用在同一条直线上。

$$\vec{F} = -\vec{F}'$$

力是物体对物体的作用（第 4 章 4.2），所以力总是成对出现：$A$ 对 $B$ 施力，$B$ 同时对 $A$ 施力。这一对力叫作用力和反作用力，也叫相互作用力。

相互作用力的特点：

• 等大、反向、共线；
• 作用在两个不同的物体上，各自产生效果，不能互相抵消，也不能合成；
• 同时产生、同时变化、同时消失，没有先后；
• 性质相同：作用力是弹力，反作用力也是弹力；作用力是摩擦力，反作用力也是摩擦力。

相互作用力和平衡力的区别：

比较项	一对相互作用力	一对平衡力
大小、方向	等大、反向、共线	等大、反向、共线
作用对象	两个物体（$A$ 对 $B$，$B$ 对 $A$）	同一个物体
效果	分别作用在两个物体上，不能抵消	作用在同一个物体上，合力为零
性质	一定相同	不一定相同（重力和支持力）
依存关系	同时产生、同时消失	一个消失，另一个不一定消失
与运动状态的关系	无论物体静止、匀速还是加速都成立	只在物体平衡时成立

使用场景

• 选择题问某两个力是不是一对相互作用力、是不是一对平衡力 → 看施力物体和受力物体 → “$A$ 对 $B$“和”$B$ 对 $A$“是相互作用力；作用在同一物体上的等大反向的力是平衡力。
• 拔河、马拉车、鸡蛋碰石头，问“谁的力大” → 相互作用力等大 → 胜负、加速不加速，要看各自受的所有力，不看这一对力。
• 题目问“物体对地面的压力”“物体对绳的拉力”，而这个力不好直接分析 → 换研究对象 → 先求它的反作用力（地面对物体的支持力、绳对物体的拉力），再用第三定律说大小相等、方向相反。

注意点

• 判断相互作用力只有一个办法：把两个力写成“谁对谁”，看是不是”$A$ 对 $B$“和”$B$ 对 $A$“。只看等大反向会和平衡力混淆。
• 第三定律在物体加速时同样成立。马拉车加速时，马拉车的力仍等于车拉马的力。
• 用第三定律换研究对象时，答案要写全：大小相等，方向相反。压力的方向与支持力相反，竖直向下。
• 说“压力大小等于重力”必须同时用到两条：平衡条件（或 $F = ma$）得出支持力，再用第三定律得出压力。两条缺一不可，而且只在特定情形成立（水平面、竖直方向无加速度、无其他竖直外力）。
• 第三定律对接触力和非接触力都成立：地球吸引苹果，苹果也以同样大小的力吸引地球。

推导

牛顿第三定律是实验规律。

实验一：两个弹簧测力计对拉。把两个弹簧测力计 $A$、$B$ 钩在一起，用手拉 $A$，$B$ 的另一端固定或用另一只手拉。无论拉力多大、两手怎样移动，两个测力计的示数总是相等。$A$ 的示数是 $B$ 拉 $A$ 的力，$B$ 的示数是 $A$ 拉 $B$ 的力，所以这一对力大小相等，方向显然相反。

实验二：用力传感器。把两个力传感器挂钩钩在一起，连到计算机上对拉，屏幕上显示两个力随时间变化的图线。两条图线关于时间轴对称：任意时刻大小相等、方向相反；一个增大，另一个同时增大，没有先后。

（关键一步：实验二说明了“同时”。弹簧测力计只能读静态的示数，力传感器能记录变化过程，才证实了相互作用力在每一时刻都相等，而不只是最后相等。）

和第二定律的关系：第三定律不能由第一、第二定律推出，它是独立的实验规律。有了它，才能从一个物体的受力推知另一个物体的受力，把多个物体联系起来（第 7 章连接体）。

例题

例 1　（场景：区分相互作用力和平衡力）一本书静止在水平桌面上。下列说法正确的是（　）。

A. 书受的重力和桌面对书的支持力是一对相互作用力

B. 书受的重力和书对桌面的压力是一对相互作用力

C. 桌面对书的支持力和书对桌面的压力是一对相互作用力

D. 书对桌面的压力就是书受的重力

解：C。

判断依据：把每个力写成“谁对谁”：作用在同一物体上的一对是平衡力；“$A$ 对 $B$“和”$B$ 对 $A$“才是相互作用力。

• 重力 $G$：地球对书；支持力 $F_{\text{N}}$：桌面对书。两个力都作用在书上，书静止，它们是一对平衡力，A 错。
• 压力 $F_{\text{N}}'$：书对桌面。它和“桌面对书”的支持力 $F_{\text{N}}$ 正好是一对相互作用力，C 对。
• 重力的反作用力是“书对地球的吸引力”，作用在地球上，不是压力，B 错。
• 压力是书对桌面的弹力，施力物体是书、受力物体是桌面；重力的施力物体是地球、受力物体是书。两者只是大小相等，不是同一个力，D 错。

容易卡在：觉得 $G$ 和 $F_{\text{N}}$ 等大反向共线，就是相互作用力。它们作用在同一本书上，而且性质不同（一个是引力，一个是弹力）。

例 2　（场景：问“谁的力大”）马拉着车在水平路面上加速前进。下列说法正确的是（　）。

A. 马拉车的力大于车拉马的力，所以车加速前进

B. 马拉车的力与车拉马的力是一对平衡力

C. 马拉车的力等于车拉马的力，车加速是因为马拉车的力大于车受的阻力

D. 先有马拉车的力，后有车拉马的力

解：C。

判断依据：马拉车的力和车拉马的力是一对相互作用力，任何时候都等大；车怎样运动，要看车自己受的所有力。

马拉车的力 $F$ 作用在车上，车拉马的力 $F'$ 作用在马上，两者是相互作用力，等大、同时产生，A、D 错；作用在两个物体上，不是平衡力，B 错。车水平方向受 $F$ 和阻力 $f_{\text{阻}}$，$F > f_{\text{阻}}$，合力向前，所以加速，C 对。马能加速，是因为地面对马蹄的摩擦力 $f_{\text{地}}$ 大于车拉马的力 $F'$。

容易卡在：觉得“车动了，说明马的力赢了”。这是把作用在两个物体上的力放到一起比较；比较只能在同一个物体受的力之间进行。

例 3　（场景：换研究对象求压力）质量 $M = 60\ \mathrm{kg}$ 的人站在水平地面上，通过跨过定滑轮的轻绳拉一个质量 $m = 20\ \mathrm{kg}$ 的物体，使物体以 $a = 2\ \mathrm{m/s^2}$ 的加速度竖直向上加速运动。绳在人手处竖直，不计滑轮摩擦，人始终静止。求人对地面的压力。

解：

研究对象：先选物体，求绳的拉力；再选人，求地面对人的支持力；最后用第三定律换到“人对地面”。

过程划分：物体匀加速上升，人静止，一个过程。

分析：轻绳跨过光滑定滑轮，绳上各处拉力相等，记为 $T$。物体受重力和向上的拉力，加速度向上；人受重力、绳向上的拉力、地面向上的支持力，合力为零。

列式求解：

物体：取竖直向上为正方向，

$$T - mg = ma, \quad T = m(g + a) = 20 \times (10 + 2)\ \mathrm{N} = 240\ \mathrm{N}$$

人：静止，竖直方向合力为零，

$$F_{\text{N}} + T - Mg = 0, \quad F_{\text{N}} = 600\ \mathrm{N} - 240\ \mathrm{N} = 360\ \mathrm{N}$$

由牛顿第三定律，人对地面的压力 $F_{\text{压}} = F_{\text{N}} = 360\ \mathrm{N}$，方向竖直向下。

检验：物体加速上升，绳的拉力 $240\ \mathrm{N}$ 大于物体重力 $200\ \mathrm{N}$，合理。人被绳往上拉，对地面的压力比体重 $600\ \mathrm{N}$ 小，合理。

容易卡在：最后一步直接写“压力 $= F_{\text{N}} = 360\ \mathrm{N}$”，不说第三定律，也不说方向。题目问的是“人对地面”，算出来的是“地面对人”，中间必须用第三定律过渡。

常用推论

• 物体放在水平面上，竖直方向无加速度、无其他竖直外力时，压力大小等于重力。由二力平衡（$F_{\text{N}} = mg$）加第三定律得出，两步缺一不可。
• 物体对斜面的压力大小 $mg\cos\theta$（斜面上只有重力、支持力、摩擦力时）。由垂直斜面方向合力为零加第三定律得出（6.3 节例 2）。
• 作用在两个物体上的一对相互作用力，对两个物体组成的整体是内力，整体法列式时不出现（第 7 章连接体）。

易错点

• 错在哪：看到两个力等大、反向、共线，就说是一对相互作用力。 为什么错：平衡力也等大反向共线。区别只在作用对象：平衡力作用在一个物体上。 正确做法：把力写成“谁对谁”，一对相互作用力的施力物体和受力物体正好互换。
• 错在哪：拔河时认为赢的一方拉力大；鸡蛋碰石头，认为石头对鸡蛋的力大。 为什么错：直觉用“结果”去推“力的大小”。鸡蛋破了，是因为鸡蛋能承受的力小，不是它受的力大。拔河中两队受绳的拉力一样大，赢的一方是因为地面对它的最大静摩擦力大（脚下蹬得住）。 正确做法：相互作用力永远等大；谁胜谁负、谁坏谁好，看每个物体自己受的全部力和自身的承受能力。
• 错在哪：认为加速运动时第三定律不成立，“马拉车加速，马的力一定大”。 为什么错：第三定律与运动状态无关，任何情况下相互作用力都等大。加速与否看的是同一物体受的合力。 正确做法：判断运动状态时，只把作用在同一物体上的力放在一起比较。

直观理解

用手拍桌子，手也疼：你给桌子多大的力，桌子就还你多大的力。相互作用力是一对“双胞胎”，同时出生、一样大、背对背、各待在一个物体上；平衡力是两个力“作用在同一个物体上打平手”。

关联知识点

• 前置：第 4 章 4.2 力是物体对物体的作用，有施力物体就有受力物体。
• 前置：第 4 章 4.3、4.4 压力和支持力、$A$ 对 $B$ 和 $B$ 对 $A$ 的摩擦力，都是相互作用力的例子。
• 前置：第 5 章平衡条件，平衡力在那里讲；本节只强调它和相互作用力的区别。
• 后续：第 7 章连接体，第三定律把两个物体联系起来；整体法里相互作用力是内力。
• 后续：第 11 章万有引力，地球吸引卫星、卫星也吸引地球，是一对相互作用力。
• 后续：第 20 章动量守恒，相互作用力等大反向、作用时间相同，冲量等大反向，这是动量守恒的来源。

6.5 超重与失重

说明

视重：用台秤或弹簧测力计称物体时，台秤或测力计显示的示数，等于物体对支持物的压力或对悬挂物的拉力。

• 超重：物体对支持物的压力（或对悬挂物的拉力）大于物体所受重力的现象。
• 失重：物体对支持物的压力（或对悬挂物的拉力）小于物体所受重力的现象。
• 完全失重：物体对支持物的压力（或对悬挂物的拉力）等于零的现象。

判断依据：只看加速度方向，不看速度方向。取竖直向上为正方向，设物体有竖直方向的加速度 $a$，支持力（或拉力）为 $F$：

加速度方向	视重	状态	运动情况
竖直向上	$F = m(g + a) > mg$	超重	加速上升，或减速下降
竖直向下	$F = m(g - a) < mg$	失重	加速下降，或减速上升
竖直向下且 $a = g$	$F = 0$	完全失重	自由落体、竖直上抛、平抛、绕地球运行的航天器
$a = 0$	$F = mg$	既不超重也不失重	静止或匀速直线运动

上表中 $a$ 表示加速度的大小。

重力不变：超重、失重时，物体受的重力 $mg$ 没有变，变的是物体对支持物的压力（视重）。

理想模型：物体看成质点；加速度沿竖直方向（加速度斜向时，只看它的竖直分量：竖直分量向上为超重，向下为失重）。

使用场景

• 电梯、升降机、火箭发射、蹦极中，问台秤示数、测力计示数、绳的拉力 → 竖直方向的牛顿第二定律 → 取加速度方向为正，$F - mg = ma$ 或 $mg - F = ma$。
• 只问处于超重还是失重，题目同时给出速度方向和加速度方向（下蹲、起立、减速上升）→ 判断状态 → 只看加速度方向，向上超重，向下失重。
• 物体只受重力（自由落体、抛体、太空中绕地飞行）→ 完全失重 → 一切由重力产生的现象消失：液体不产生压强、物体对支持面没有压力、天平和浮力失效。
• 已知测力计或台秤的示数，问加速度、问电梯怎样运动 → 反过来用牛顿第二定律 → 由示数和重力之差求加速度，再讨论速度方向的两种可能。

注意点

• 看加速度，不看速度：减速下降是超重，减速上升是失重。只要加速度向上，不论物体往哪运动，都超重。
• 超重、失重不是“重力变大、变小”。台秤示数变了，地球对物体的引力没变。
• 列式时先取正方向，一般取加速度方向为正，这样式子里不出现负号。
• 完全失重时，物体之间仍可能有其他力（空间站里推墙，墙仍对人有弹力），只是与重力有关的压力、压强消失。
• 实际情境中加速度往往不恒定（人下蹲、蹦床），各阶段超重失重不同，要分段判断；速度最大的时刻加速度为零，此时示数等于重力。

推导

视重的公式由牛顿第二定律加第三定律得出。

以站在电梯里台秤上的人为研究对象，人受重力 $mg$（向下）和台秤的支持力 $F_{\text{N}}$（向上），设人随电梯有竖直向上的加速度 $a$。取竖直向上为正方向：

$$F_{\text{N}} - mg = ma, \quad F_{\text{N}} = m(g + a)$$

由牛顿第三定律，人对台秤的压力 $F_{\text{N}}' = F_{\text{N}} = m(g + a)$，台秤示数就是它。

（关键一步：台秤测的是人对台秤的压力，不是人受的重力。要从“台秤对人的支持力”转到“人对台秤的压力”，必须用第三定律。这也是超重失重的定义写“压力”而不写“重力”的原因。）

加速度向下时，把 $a$ 换成 $-a$，得 $F_{\text{N}} = m(g - a)$。当 $a = g$ 时，$F_{\text{N}} = 0$，完全失重。

完全失重时液体为什么不产生压强：液体内部的压强来自上方液体的重量压在下方液体上。自由下落时，上下两层液体加速度都是 $g$，上层不需要下层托着，层与层之间没有压力，所以压强消失。

例题

例 1　（场景：电梯中求示数）质量 $m = 50\ \mathrm{kg}$ 的人站在电梯内的台秤上。求下列两种情况下台秤的示数：（1）电梯向下运动，以 $2\ \mathrm{m/s^2}$ 的加速度减速；（2）电梯向下运动，以 $2\ \mathrm{m/s^2}$ 的加速度加速。

解：

研究对象：人（台秤示数是人对台秤的压力，先求台秤对人的支持力）。

过程划分：两种情况各是一个匀变速过程，分开算。

分析：人受重力 $mg$ 和支持力 $F_{\text{N}}$。（1）向下减速，加速度与速度反向，竖直向上；（2）向下加速，加速度与速度同向，竖直向下。

列式求解：

（1）取竖直向上（加速度方向）为正方向：

$$F_{\text{N}1} - mg = ma, \quad F_{\text{N}1} = 50 \times (10 + 2)\ \mathrm{N} = 600\ \mathrm{N}$$

（2）取竖直向下（加速度方向）为正方向：

$$mg - F_{\text{N}2} = ma, \quad F_{\text{N}2} = 50 \times (10 - 2)\ \mathrm{N} = 400\ \mathrm{N}$$

由牛顿第三定律，台秤示数分别为 $600\ \mathrm{N}$ 和 $400\ \mathrm{N}$。（1）超重，（2）失重。

检验：两种情况速度都向下，但加速度方向不同，示数一个大于 $500\ \mathrm{N}$、一个小于 $500\ \mathrm{N}$，说明超重失重只由加速度决定。$a = 0$ 时两式都给出 $500\ \mathrm{N}$，合理。

容易卡在：（1）看到“向下运动”就判为失重。向下减速，加速度向上，是超重。

另一种解法：等效重力加速度。在竖直加速的电梯里，物体“感觉到”的重力加速度是 $g' = g + a$（$a$ 向上）或 $g' = g - a$（$a$ 向下），示数就是 $mg'$：（1）$g' = 12\ \mathrm{m/s^2}$，示数 $600\ \mathrm{N}$；（2）$g' = 8\ \mathrm{m/s^2}$，示数 $400\ \mathrm{N}$。选择题里要很快比较几种情况的示数时用它最快；计算题要写受力分析和牛顿第二定律，还是按主解法写。

例 2　（场景：只问超重还是失重）人站在力传感器上先下蹲、静止一会儿后再起立，传感器示数 $F$ 随时间 $t$ 变化的图像如图。下列说法正确的是（　）。

A. 下蹲过程中，人一直处于失重状态

B. 下蹲过程中，人先失重后超重

C. 起立过程中，人先失重后超重

D. 示数最小时，人下蹲的速度最大

解：B。

判断依据：示数小于重力为失重，加速度向下；示数大于重力为超重，加速度向上。

下蹲：人由静止开始向下运动，先向下加速（加速度向下，失重，示数小于 $500\ \mathrm{N}$），再向下减速到停（加速度向上，超重，示数大于 $500\ \mathrm{N}$），B 对，A 错。起立：先向上加速（超重），再向上减速（失重），C 说反了。D 错，示数最小时加速度向下最大，速度还在增大；示数回到 $500\ \mathrm{N}$、加速度为零的那一刻，向下的速度才最大。

容易卡在：以为“下蹲 = 向下 = 失重”。下蹲全程速度向下，但后半段在减速，加速度向上。

例 3　（场景：完全失重）在一个装满水的塑料瓶侧壁靠近底部的地方扎一个小孔，水从孔中喷出。现让瓶子从高处由静止释放，自由下落（不计空气阻力）。下落过程中，水还会从孔中喷出吗？

解：不会。

判断依据：只受重力的物体，加速度为 $g$，处于完全失重状态，由重力产生的液体压强消失。

瓶子和水一起自由下落，加速度都是 $g$。上层的水不再压着下层的水，水对瓶壁也没有压力，小孔处的压强和外面相同，水不会喷出。这就是在空间站里液体不分层、不能用天平测质量、水滴成球形的原因。

例 4　（场景：由示数求加速度）在电梯的天花板上悬挂一个弹簧测力计，下端挂一个质量 $2\ \mathrm{kg}$ 的物体。电梯运动时，测力计的示数稳定在 $16\ \mathrm{N}$。求电梯的加速度，并说明电梯可能怎样运动。

解：

研究对象：物体（物体与电梯相对静止，加速度与电梯相同）。

过程划分：示数稳定，加速度恒定，一个过程。

分析：物体受重力 $G = mg = 20\ \mathrm{N}$ 和测力计拉力 $F = 16\ \mathrm{N}$。$F < G$，合力向下，加速度向下，失重。

列式求解：取竖直向下为正方向：

$$mg - F = ma, \quad a = \frac{20 - 16}{2}\ \mathrm{m/s^2} = 2\ \mathrm{m/s^2}$$

加速度大小 $2\ \mathrm{m/s^2}$，方向竖直向下。电梯可能加速下降，也可能减速上升。

检验：$a = 2\ \mathrm{m/s^2} < g$，示数大于零，自洽。示数比重力少 $4\ \mathrm{N}$，即少了五分之一，对应 $a = \dfrac{g}{5}$，合理。

容易卡在：只答“电梯在下降”。加速度向下的运动有两种，题目没给速度方向，都要写。

常用推论

• 视重 $F = m(g + a)$（$a$ 向上）或 $F = m(g - a)$（$a$ 向下）。由本节推导得出。
• 超重还是失重只由加速度方向决定，与速度方向无关；超重时加速上升或减速下降，失重时加速下降或减速上升。
• 物体只受重力（$a = g$，方向向下）⇒ 完全失重。所有抛体运动、绕地球运行的卫星和空间站里的物体都处于完全失重（第 9、11 章）。
• 加速度斜向时，只看竖直分量：竖直分量向上为超重，向下为失重。如沿光滑斜面下滑的物块（$a = g\sin\theta$，竖直分量向下），失重。

易错点

• 错在哪：物体向上运动就说超重，向下运动就说失重。 为什么错：把速度方向当成了加速度方向。电梯减速上升时，加速度向下，人觉得“轻飘飘”，是失重。 正确做法：先判断加速度方向（加速时与速度同向，减速时与速度反向），向上超重，向下失重。
• 错在哪：说“超重时物体的重力增大，失重时重力减小，完全失重时重力消失”。 为什么错：直觉把“秤上的读数”当成“重力”。重力是地球的吸引，$mg$ 只和 $m$、$g$ 有关；空间站里的航天员仍受重力，正是重力让他们绕地球转。 正确做法：超重失重变的是视重（对支持物的压力或对悬挂物的拉力），重力不变。
• 错在哪：示数最小（或最大）时认为速度最大。 为什么错：示数偏离重力最多时，加速度最大，速度变化最快，但速度不一定最大。 正确做法：示数等于重力、加速度为零时，速度达到最大（或最小）值（例 2）。

直观理解

坐电梯时的感觉就是答案：电梯启动上升、到底层前减速，脚底被压得紧，是超重；电梯启动下降、到顶层前减速，身体发飘，是失重。记一句“加速度向上就重，向下就轻”。

完全失重就是“大家一起自由下落”：人和秤一起以 $g$ 下落，秤托不住人，也不用托。

关联知识点

• 前置：第 4 章 4.2 重力，弹簧测力计和台秤只有在物体静止或匀速时才能测重力。
• 前置：本章 6.3 牛顿第二定律（求支持力）和 6.4 牛顿第三定律（从支持力转到压力）。
• 后续：第 9 章抛体运动，抛出的物体都处于完全失重。
• 后续：第 10 章圆周运动，汽车过拱形桥顶点失重、过凹形路面最低点超重。
• 后续：第 11 章万有引力与航天，卫星和空间站中的完全失重。
• 后续：第 21 章机械振动，弹簧振子、蹦床上的人在不同位置超重失重交替。

6.6 两类动力学基本问题

说明

动力学的问题无非两类，加速度是连接受力和运动的桥梁：

$$\text{受力情况} \xrightarrow{F_{\text{合}} = ma} a \xrightarrow{\text{运动学公式}} \text{运动情况}$$

• 第一类：由受力求运动。已知物体的受力（质量、各个力或动摩擦因数）和初始条件，求速度、位移、时间。先受力分析，用 $F_{\text{合}} = ma$ 求 $a$，再用匀变速直线运动的公式（第 3 章）求运动量。
• 第二类：由运动求力。已知物体的运动情况（初速度、时间、位移、末速度中的三个），求某个力或动摩擦因数。先用运动学公式求 $a$，再受力分析，用 $F_{\text{合}} = ma$ 求未知的力。

匀变速直线运动的公式（取初速度方向为正方向）：

$$v = v_0 + at, \quad x = v_0t + \frac{1}{2}at^2, \quad v^2 - v_0^2 = 2ax$$

多过程问题：物体受力在运动过程中改变（撤去拉力、冲上斜面后又滑下、从斜面滑到水平面），每一段的加速度不同。按受力的变化划分阶段，每段分别求 $a$；前一段的末速度是后一段的初速度。

理想模型：物体看成质点，每一段内受恒力，做匀变速直线运动。力随时间连续变化的情形高中只要求定性分析（第 7 章），或改用动能定理、动量定理（第 13、19 章）。

使用场景

• 题目给出质量、拉力、动摩擦因数等受力条件，问速度、位移、时间 → 第一类问题 → 受力分析求 $a$，再代运动学公式。
• 题目给出运动情况（“由静止开始，$5\ \mathrm{s}$ 内滑下 $50\ \mathrm{m}$”“经 $2\ \mathrm{s}$ 停下”），问阻力、拉力、动摩擦因数 → 第二类问题 → 运动学公式求 $a$，再列 $F_{\text{合}} = ma$ 求力。
• 运动中受力改变（撤去拉力、冲上斜面又滑下、进入粗糙段）→ 多过程 → 按受力变化分段，每段重新受力分析求 $a$，用速度把相邻两段接起来。

注意点

• 加速度要和研究对象、过程对应：哪个物体、哪一段的 $a$，就用这个物体在这一段的合力。
• 正方向：同一段里，受力和运动学公式用同一个正方向，一般取初速度方向或加速度方向。
• 摩擦力会变：撤去斜向拉力后，压力变了，摩擦力也跟着变；物体在斜面上由上滑变下滑，摩擦力方向反过来。每段都要重新受力分析。
• 停下以后：物体减速到零后会不会反向，要比较“使物体反向运动的力”和最大静摩擦力（第 3 章 3.2 刹车类与往返类的区别，判断依据就在这里）。题目没说最大静摩擦力时，一般认为它等于滑动摩擦力。
• 单位：全部换成国际单位，$\mathrm{km/h}$ 换成 $\mathrm{m/s}$。

推导

两类问题不是新规律，而是牛顿第二定律和运动学公式的组合。为什么一定要经过加速度？

• 牛顿第二定律只联系“力”和“加速度”，不直接给出速度和位移。
• 运动学公式只联系“加速度”和“速度、位移、时间”，不涉及力。
• 两组式子的公共量只有 $a$。所以不论从哪边出发，都要先求出 $a$，才能走到另一边。

（关键一步：两组式子里的 $a$ 是同一个量，指同一物体、同一过程的加速度。这就是为什么多过程问题必须分段：段与段之间受力不同，$a$ 不同，不能用一个 $a$ 贯穿全程。）

例题

例 1　（场景：由受力求运动，含撤力的两段过程）质量 $m = 10\ \mathrm{kg}$ 的木箱静止在水平地面上，木箱与地面间的动摩擦因数 $\mu = 0.2$。用 $F = 50\ \mathrm{N}$ 的水平拉力拉木箱，$4\ \mathrm{s}$ 后撤去拉力。求：（1）撤去拉力时木箱的速度；（2）撤去拉力后木箱还能滑行多远；（3）木箱运动的总位移。

解：

研究对象：木箱。

过程划分：阶段 1（$A \to B$）：有拉力，匀加速，$4\ \mathrm{s}$；阶段 2（$B \to C$）：撤去拉力，只受摩擦力，匀减速到停。$B$ 点的速度把两段接起来。

分析：两段竖直方向都是 $F_{\text{N}} = mg = 100\ \mathrm{N}$，滑动摩擦力 $f = \mu mg = 20\ \mathrm{N}$，方向与运动方向相反（向左）。取水平向右（运动方向）为正方向。

列式求解：

阶段 1：

$$F - f = ma_1, \quad a_1 = \frac{50 - 20}{10}\ \mathrm{m/s^2} = 3\ \mathrm{m/s^2}$$ $$v_B = a_1t_1 = 3 \times 4\ \mathrm{m/s} = 12\ \mathrm{m/s}, \quad x_1 = \frac{1}{2}a_1t_1^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times 4^2\ \mathrm{m} = 24\ \mathrm{m}$$

阶段 2：

$$-f = ma_2, \quad a_2 = -\frac{20}{10}\ \mathrm{m/s^2} = -2\ \mathrm{m/s^2}$$ $$x_2 = \frac{0 - v_B^2}{2a_2} = \frac{0 - 12^2}{2 \times (-2)}\ \mathrm{m} = 36\ \mathrm{m}$$

总位移 $x = x_1 + x_2 = 60\ \mathrm{m}$，方向与拉力方向相同。

答：（1）$12\ \mathrm{m/s}$，方向与拉力方向相同；（2）$36\ \mathrm{m}$；（3）$60\ \mathrm{m}$。

检验：单位对。阶段 2 的加速度大小 $\mu g = 2\ \mathrm{m/s^2}$，与常用推论一致。阶段 2 用时 $\dfrac{12}{2}\ \mathrm{s} = 6\ \mathrm{s}$，比阶段 1 长，因为减速的加速度比加速时小，合理。

容易卡在：撤去拉力后仍用 $a_1$，或者把摩擦力忘了，以为撤力后匀速。撤力是受力变化的分界点，必须重新求 $a$。

另一种解法：画 $v$-$t$ 图像。速度从 0 线性增到 $12\ \mathrm{m/s}$（$4\ \mathrm{s}$），再线性减到 0（$6\ \mathrm{s}$），图线与 $t$ 轴围成三角形，总位移就是面积：

$$x = \frac{1}{2} \times 10 \times 12\ \mathrm{m} = 60\ \mathrm{m}$$

只问总位移或总时间时，图像法一步出结果，还不容易漏段；要求每一段的位移和加速度时，分段列式更清楚。两者可以互相验算。

例 2　（场景：由运动求力）质量 $m = 60\ \mathrm{kg}$ 的滑雪者从倾角 $37^\circ$ 的斜坡顶端由静止开始匀加速滑下，$5\ \mathrm{s}$ 内滑下 $50\ \mathrm{m}$。求滑雪者受到的阻力（包括摩擦和空气阻力，看成沿斜坡的恒力）（$\sin 37^\circ = 0.6$，$\cos 37^\circ = 0.8$）。

解：

研究对象：滑雪者（连同滑雪板），看成质点。

过程划分：一个过程，由静止开始的匀加速直线运动。

分析：已知运动情况，属于第二类问题：先由运动学求 $a$，再由牛顿第二定律求力。滑雪者受重力 $G$、支持力 $F_{\text{N}}$、沿斜坡向上的阻力 $f$。取沿斜坡向下为正方向。

列式求解：由 $x = \dfrac{1}{2}at^2$（$v_0 = 0$）：

$$a = \frac{2x}{t^2} = \frac{2 \times 50}{5^2}\ \mathrm{m/s^2} = 4\ \mathrm{m/s^2}$$

沿斜坡方向：

$$mg\sin 37^\circ - f = ma, \quad f = 60 \times 10 \times 0.6\ \mathrm{N} - 60 \times 4\ \mathrm{N} = 360\ \mathrm{N} - 240\ \mathrm{N} = 120\ \mathrm{N}$$

阻力大小 $120\ \mathrm{N}$，方向沿斜坡向上。

检验：没有阻力时 $a = g\sin 37^\circ = 6\ \mathrm{m/s^2}$，实际 $4\ \mathrm{m/s^2}$ 更小，说明有阻力，合理。阻力是重力的五分之一，对滑雪来说量级合理。

容易卡在：直接用 $a = g\sin 37^\circ$ 求时间或位移。题目说“受阻力”，加速度要由运动情况反求。

例 3　（场景：多过程，冲上斜面后又滑下）质量 $m = 1\ \mathrm{kg}$ 的物块以 $v_0 = 8\ \mathrm{m/s}$ 的初速度从底端冲上倾角 $37^\circ$ 的足够长的粗糙斜面，物块与斜面间的动摩擦因数 $\mu = 0.25$。求：（1）物块沿斜面上滑的最大距离；（2）物块滑回斜面底端时的速度（$\sin 37^\circ = 0.6$，$\cos 37^\circ = 0.8$，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，结果可保留根号）。

解：

研究对象：物块。

过程划分：阶段 1：上滑，减速到零；阶段 2：在最高点判断能否下滑，若能，则由静止加速下滑回到底端。两段摩擦力方向相反，加速度不同。

分析：两段都受重力 $G$、支持力 $F_{\text{N}}$、滑动摩擦力 $f$。$F_{\text{N}} = mg\cos 37^\circ = 8\ \mathrm{N}$，$f = \mu F_{\text{N}} = 2\ \mathrm{N}$；重力沿斜面的分力 $mg\sin 37^\circ = 6\ \mathrm{N}$。上滑时摩擦力沿斜面向下，下滑时沿斜面向上。

列式求解：

阶段 1（取沿斜面向下为正方向，重力分力和摩擦力都沿斜面向下）：

$$mg\sin 37^\circ + f = ma_1, \quad a_1 = \frac{6 + 2}{1}\ \mathrm{m/s^2} = 8\ \mathrm{m/s^2}$$

上滑是匀减速到零，加速度大小 $8\ \mathrm{m/s^2}$，由 $v_0^2 = 2a_1x$：

$$x = \frac{v_0^2}{2a_1} = \frac{8^2}{2 \times 8}\ \mathrm{m} = 4\ \mathrm{m}$$

在最高点：重力沿斜面的分力 $6\ \mathrm{N}$ 大于最大静摩擦力 $2\ \mathrm{N}$，物块不能静止，会下滑。

阶段 2（取沿斜面向下为正方向，摩擦力沿斜面向上）：

$$mg\sin 37^\circ - f = ma_2, \quad a_2 = \frac{6 - 2}{1}\ \mathrm{m/s^2} = 4\ \mathrm{m/s^2}$$

由静止下滑 $4\ \mathrm{m}$：

$$v^2 = 2a_2x = 2 \times 4 \times 4\ \mathrm{m^2/s^2} = 32\ \mathrm{m^2/s^2}, \quad v = 4\sqrt{2}\ \mathrm{m/s} \approx 5.7\ \mathrm{m/s}$$

答：（1）$4\ \mathrm{m}$；（2）$4\sqrt{2}\ \mathrm{m/s}$（约 $5.7\ \mathrm{m/s}$），方向沿斜面向下。

检验：回到底端的速度小于出发时的 $8\ \mathrm{m/s}$，因为一上一下摩擦力始终做负功，机械能减少（第 14 章），合理。上滑时间 $\dfrac{8}{8}\ \mathrm{s} = 1\ \mathrm{s}$，下滑时间 $\dfrac{4\sqrt{2}}{4}\ \mathrm{s} = \sqrt{2}\ \mathrm{s} \approx 1.4\ \mathrm{s}$，下滑比上滑慢，和 $a_2 < a_1$ 一致。

容易卡在：两段用同一个加速度，或者上滑时把摩擦力画成沿斜面向上。摩擦力和相对运动方向相反，运动反向，摩擦力也反向。另一个卡点是忘了在最高点判断“能不能滑下来”：若 $\mu \ge \tan 37^\circ = 0.75$，物块会停在最高点。

常用推论

• 水平面上只受滑动摩擦力，以初速度 $v_0$ 减速滑行：$a = \mu g$，滑行距离 $x = \dfrac{v_0^2}{2\mu g}$，滑行时间 $t = \dfrac{v_0}{\mu g}$。与质量无关。由 $\mu mg = ma$ 和 $v_0^2 = 2ax$ 得出。
• 物块冲上粗糙斜面，到最高点后能否下滑：$\mu < \tan\theta$ 时下滑，$\mu \ge \tan\theta$ 时停住（最大静摩擦力等于滑动摩擦力时）。比较 $mg\sin\theta$ 与 $\mu mg\cos\theta$ 得出。
• 物块冲上粗糙斜面又滑回，上滑加速度大于下滑加速度，上滑时间小于下滑时间，回到底端的速度小于初速度（例 3）。
• 两段匀变速运动，第一段由静止加速、第二段减速到零：两段的平均速度都等于最大速度的一半，所以两段位移之比等于时间之比。由 $\bar{v} = \dfrac{v_0 + v}{2}$（第 3 章）得出。例 1 中 $x_1 : x_2 = 24 : 36 = 4 : 6 = t_1 : t_2$。

易错点

• 错在哪：多过程问题用一个加速度算到底。 为什么错：习惯了单过程题“一个 $a$ 用到底”。受力一变，$a$ 就变。 正确做法：画过程图，在受力变化处分段，每段写一行“本段受力：……，$a = \ldots$”。
• 错在哪：撤去斜向拉力后，摩擦力仍用原来的值。 为什么错：斜向拉力有竖直分量，撤去后压力变了，滑动摩擦力 $f = \mu F_{\text{N}}$ 也变了。 正确做法：每一段重新求压力，再求摩擦力。
• 错在哪：物体减速到零以后，不判断就直接认为它会反向运动，或者直接认为它停住。 为什么错：停下后静摩擦力能否把它“拉住”，取决于其他力和最大静摩擦力的大小比较。 正确做法：在速度为零的位置比较“使物体运动的力”与最大静摩擦力，再决定有没有下一段（例 3）。
• 错在哪：第二类问题中，用 $a = g\sin\theta$ 这类“推论”代替从运动情况求出的加速度。 为什么错：推论有条件（光滑），题目说有阻力时不成立。 正确做法：第二类问题的 $a$ 一定从题目给的运动数据算出来。

直观理解

把加速度想成一座桥：一头是“力”，一头是“运动”。由力求运动，从力那头过桥；由运动求力，从运动那头过桥。不论从哪头上，都必须踩在桥上，也就是先求出 $a$。

多过程问题像接力：每一段是一个选手，各跑各的加速度；交接棒的是速度，前一段的末速度交给后一段当初速度。$v$-$t$ 图上，每一段是一条直线，斜率各不相同，在交接处连在一起。

关联知识点

• 前置：第 3 章匀变速直线运动的速度公式、位移公式、速度位移关系，第二步求运动量全靠它们。
• 前置：第 3 章 3.2 刹车类与往返类，停下后会不会反向，由本节的受力判断决定。
• 前置：第 4 章 4.6 受力分析，第一步求合力全靠它。
• 后续：第 7 章连接体、临界问题、传送带和板块，是两类基本问题加上多个物体和多个过程。
• 后续：第 13 章动能定理，只关心始末速度和位移、不关心时间和加速度时，用动能定理往往更快。
• 后续：第 19 章动量定理，只关心时间和速度、不关心位移时，用动量定理更快。
• 常一起考：第 1 章 1.4 $v$-$t$ 图像的斜率和面积，多过程题常给图像或要求画图像。

6.7 知识点之间的关系

拿到一道动力学题，先判断合力是否为零：为零，物体静止或匀速，用第一定律和第 5 章的平衡条件；不为零，用第二定律求加速度。然后看已知的是受力还是运动，决定从哪一边过“加速度”这座桥（6.6）。加速度沿竖直方向时，台秤、测力计的示数就是超重失重问题（6.5）。题目问的力作用在别的物体上（“对地面的压力”“对绳的拉力”），最后用第三定律换研究对象（6.4）。

6.8 自测

1. 下列关于惯性的说法正确的是（　）。A. 物体速度越大，惯性越大　B. 物体受的力越大，惯性越小　C. 物体质量越大，惯性越大　D. 太空中的物体没有惯性
2. 火车在平直轨道上向右加速行驶，车厢里的乘客竖直向上跳起，他落在起跳点的哪一侧？
3. 质量 $2\ \mathrm{kg}$ 的物体放在光滑水平面上，同时受到两个互相垂直的水平力 $6\ \mathrm{N}$ 和 $8\ \mathrm{N}$，求加速度的大小。
4. 物块沿倾角 $30^\circ$ 的光滑斜面下滑，求加速度的大小和方向。
5. 人在水平地面上走路时，地面对人的摩擦力和人对地面的摩擦力是一对什么力？人站着不动时，人受的重力和地面对人的支持力是一对什么力？
6. 质量 $60\ \mathrm{kg}$ 的人站在电梯里的台秤上，电梯以 $1\ \mathrm{m/s^2}$ 的加速度加速上升，台秤示数是多少？人处于超重还是失重状态？
7. 下列情况中，人处于失重状态的是（　）。A. 电梯加速上升　B. 电梯减速下降　C. 电梯减速上升　D. 电梯匀速下降
8. 质量 $1\ \mathrm{kg}$ 的物体以 $10\ \mathrm{m/s}$ 的初速度在水平地面上滑行，动摩擦因数 $0.5$，求滑行多远停下。
9. 质量 $2\ \mathrm{kg}$ 的物体在光滑水平面上受水平拉力作用，由静止开始运动，$2\ \mathrm{s}$ 内前进 $4\ \mathrm{m}$，求拉力的大小。

答案：1. C；2. 起跳点后方（左侧）；3. $5\ \mathrm{m/s^2}$；4. $5\ \mathrm{m/s^2}$，沿斜面向下；5. 相互作用力；平衡力；6. $660\ \mathrm{N}$，超重；7. C；8. $10\ \mathrm{m}$；9. $4\ \mathrm{N}$。

6.9 深入阅读

• PhET · 力与运动基础：“加速度”一页里改变推力、质量和摩擦，看加速度怎样随合力和质量变化，直观体会 F = ma。
• 维基百科 · 牛顿运动定律：三条定律的表述、适用范围（惯性参考系、低速宏观）和《自然哲学的数学原理》中的原始写法。
• 维基百科 · 失重：自由落体、抛物线飞行和空间站中的失重现象，以及“失重不是没有重力”的解释。
• 国家中小学智慧教育平台：教育部主办，有人教版必修第一册第四章“运动和力的关系”的同步课程和教材电子版。