第 4 章 · 相互作用

项目	内容
课标主题	必修 1 · 相互作用与运动定律（认识重力、弹力与摩擦力；通过实验了解胡克定律；知道滑动摩擦和静摩擦现象，能用动摩擦因数计算滑动摩擦力；通过实验了解力的合成与分解）
人教版（2019）	必修第一册 第三章“相互作用——力”：1 重力与弹力；2 摩擦力；4 力的合成和分解。3 牛顿第三定律见第 6 章，5 共点力的平衡见第 5 章
考试地位	很少单独成大题，但几乎每道力学题、电磁学题的第一步都是受力分析；选择题常考弹力有无和方向、静摩擦力的方向和大小、合力范围
前置知识	第 1 章 1.3 矢量合成的平行四边形定则；初中的重力、弹簧测力计、摩擦力；三角函数 $\sin 37^\circ = 0.6$、$\cos 37^\circ = 0.8$

这一章认识三种常见的力，并学会把一个物体受的所有力找全、画对。力学题做错，最常见的原因不是公式记错，而是受力图画错：漏了一个摩擦力，多了一个“下滑力”，支持力的方向画歪了，静摩擦力的方向猜反了。后面第 5 到第 7 章的平衡和动力学，第 15、25、26 章带电体在场中的运动，第一步都是本章的受力分析。

4.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
4.2 重力与重心	$G = mg$，方向竖直向下；重心是重力的等效作用点，位置由形状和质量分布决定	偶考重心位置的判断；计算题处处要用 $G = mg$
4.3 弹力与胡克定律	接触且发生弹性形变才有弹力，方向垂直接触面或沿绳；弹簧弹力 $F = kx$	常考弹力有无和方向的判断；弹簧问题贯穿力学
4.4 摩擦力	滑动摩擦 $f = \mu F_{\text{N}}$；静摩擦大小由平衡或牛顿第二定律求，方向用假设法判断	必考，静摩擦力的方向和大小是选择题的高频点
4.5 力的合成与分解	合成按平行四边形定则；分解按实际效果或正交分解	必用，正交分解是列平衡方程和动力学方程的标准做法
4.6 受力分析的方法	隔离物体，按重力、弹力、摩擦力的顺序找，每个力都要有施力物体	必用，每道力学题的第一步

4.2 重力与重心

说明

力是物体对物体的作用。一个力一定同时有施力物体和受力物体，离开物体谈不上力。力是矢量，大小、方向、作用点叫力的三要素。画受力图时，用带箭头的线段表示力：起点（或终点）在作用点，箭头指向力的方向。只表示方向、长度不严格按比例的叫力的示意图，本书的受力图都是示意图。

重力：由于地球的吸引而使物体受到的力。

$$G = mg$$

• 大小：$G = mg$，$m$ 是质量，$g$ 是重力加速度。地面附近 $g \approx 9.8\ \mathrm{N/kg}$，本书取 $10\ \mathrm{N/kg}$（$1\ \mathrm{N/kg} = 1\ \mathrm{m/s^2}$）。
• 方向：竖直向下，即垂直于当地的水平面向下。不是“垂直于接触面向下”，也不严格指向地心。
• 施力物体：地球。

重心：物体各部分都受重力。从效果上看，可以认为各部分受的重力集中作用于一点，这一点叫重心。

• 质量分布均匀、形状规则的物体，重心在几何中心（均匀球的球心、均匀长方体的体对角线交点）。
• 质量分布不均匀或形状不规则的物体，重心位置和形状、质量分布都有关；薄板的重心可以用悬挂法找。
• 重心不一定在物体上：圆环、弯成 L 形的铁丝的重心都在物体外。

重心是一个等效的概念：分析物体平动时把它看成质点，重力就画在重心上；物体可以绕某点转动时（第 5 章的杠杆、翻倒），重心的位置才真正影响结果。

使用场景

• 题目给出质量，问重力，或者物体换了地点（月球、高山、两极）→ 质量不变，$g$ 变了 → 用 $G = mg$，代当地的 $g$。
• 物体的质量分布发生变化（容器里的水流出、人抬腿、车上装货）→ 重心随质量分布移动 → 看质量往哪边多了，重心就往哪边移。
• 要找不规则薄板的重心，或判断悬挂、支撑时物体的姿态 → 二力平衡 → 悬线（或支持力）的作用线一定过重心。

注意点

• 质量和重力不是一回事。质量是物体本身的属性，到哪儿都不变；重力随 $g$ 变。$g$ 在两极最大、赤道最小，随高度增加而减小，月球表面约 $1.6\ \mathrm{m/s^2}$。
• 用弹簧测力计或台秤测重力，物体必须静止（或匀速直线运动）。加速运动时示数不等于重力，那是第 6 章的超重和失重。
• 重力的方向是“竖直向下”，在斜面上也是竖直向下，不是垂直斜面。
• 重力其实是地球对物体万有引力的一部分（另一部分提供物体随地球自转的向心力），两者相差很小，高中除专门讨论外不区分（第 11 章）。

推导

重力的规律是实验结论：用弹簧测力计称不同质量的物体，重力和质量成正比，比值就是 $g$。$g$ 的单位 $\mathrm{N/kg}$ 和 $\mathrm{m/s^2}$ 相同，因为由 $F = ma$，$1\ \mathrm{N/kg} = 1\ \mathrm{kg \cdot m/s^2} / \mathrm{kg} = 1\ \mathrm{m/s^2}$；第 3 章的自由落体加速度就是这个 $g$。

悬挂法为什么能找重心：用细线把薄板吊起来，静止时薄板只受两个力：线的拉力和重力。二力平衡要求两力在同一条直线上，所以重力的作用线（过重心的竖直线）一定和悬线在同一直线上，重心就在悬线的延长线上。换一个悬点再吊一次，又得到一条过重心的直线，两条线的交点就是重心。

（关键一步：静止的物体只受两个力时，这两个力必须共线，这是二力平衡条件（第 5 章）。没有这一条，悬线的方向和重心就扯不上关系。）

例题

例 1　（场景：换了地点问重力）一名航天员的质量为 $60\ \mathrm{kg}$。求他在地面上受的重力，以及登上月球后的质量和重力（地面 $g$ 取 $10\ \mathrm{m/s^2}$，月球表面重力加速度取 $1.6\ \mathrm{m/s^2}$）。

解：

研究对象：航天员。

过程划分：不涉及过程，只比较两个地点。

分析：质量是物体的属性，不随地点变化；重力 $G = mg$ 随 $g$ 变化。

列式求解：地面上 $G_1 = mg = 60 \times 10\ \mathrm{N} = 600\ \mathrm{N}$，方向竖直向下。

月球上质量仍为 $60\ \mathrm{kg}$，重力 $G_2 = mg_{\text{月}} = 60 \times 1.6\ \mathrm{N} = 96\ \mathrm{N}$，方向竖直向下（指向月面）。

检验：$G_2$ 约为 $G_1$ 的六分之一，和“月球上的重力约为地球上的六分之一”一致。

容易卡在：以为到了月球质量也变成六分之一。台秤（测重力）的示数变了，天平（比较质量）的示数不变。

例 2　（场景：质量分布变化）一个装满水的薄壁桶，桶底有一个小孔，水从小孔慢慢流出，直到流完。在这个过程中，桶和桶内的水整体的重心位置怎样变化？（　）

A. 一直下降　B. 一直上升　C. 先下降后上升　D. 先上升后下降

解：C。

判断依据：重心的位置由质量分布决定，用 4.2 的“质量往哪边多，重心就往哪边移”。

开始时桶装满水，整体重心大约在桶的中部。水流出时，上面的水先少，下面的水还在，质量分布偏向下方，整体重心下降。水快流完时，桶内只剩很少的水，整体的重心主要由桶本身决定；水全流完，重心回到空桶的重心，也在桶的中部附近。所以重心先下降，后上升回到原来的高度附近。

例 3　（场景：用悬挂法找重心）一块形状不规则的均匀薄木板，用细线先后从板边的 $A$、$B$ 两点悬挂，静止时沿悬线在板上画出两条直线，两线交于 $O$ 点。下列说法正确的是（　）。

A. $O$ 点就是木板的重心 B. 再从第三点 $C$ 悬挂，悬线的延长线不一定过 $O$ 点 C. 若在木板上挖去一小块，重心仍在 $O$ 点 D. 木板的重心一定在木板上

解：A。

判断依据：悬挂静止时，悬线拉力和重力二力平衡、共线，悬线的延长线过重心（4.2 推导）。

两条过重心的线交于一点，这一点就是重心，A 对。从任何一点悬挂，悬线延长线都过重心，所以第三条线也过 $O$，B 错。挖去一块后质量分布变了，重心一般会移动，C 错。重心可以在物体外（圆环），D 错。图见本节“推导”。

常用推论

• 质量均匀、形状规则的物体，重心在几何中心；有对称轴的物体，重心在对称轴上。由对称性：对称轴两边的重力关于轴对称，合力的作用线只能在轴上。
• 物体被一根线悬挂（或一个点支撑）静止时，重心在悬点（支点）的正下方（正上方）。由二力平衡得出。
• 物体放在支持面上，重心的竖直线落在支持面以内才不会翻倒；重心越低、支持面越大越稳。这是第 5 章“稳度”的依据。

易错点

• 错在哪：斜面上的物体，重力画成垂直斜面向下。 为什么错：把“压在斜面上”的感觉当成重力。重力来自地球的吸引，方向和接触面无关。 正确做法：重力永远竖直向下；垂直斜面的是支持力，以及重力的一个分力（4.5）。
• 错在哪：认为重心就是物体上最重的那一点，或者重心一定在物体上。 为什么错：重心是等效作用点，不是物体的某个“部件”。圆环的重心在圆心，那里没有任何材料。 正确做法：把重心理解为“重力的作用线都要经过的那一点”，用对称性或悬挂法找。
• 错在哪：认为物体向上运动时重力变小，或落下时重力变大。 为什么错：“重”的感觉其实是支持力或拉力的大小（超重失重）。重力 $mg$ 只和质量、所在位置有关，和运动状态无关。 正确做法：只要 $m$ 和 $g$ 不变，重力就不变；电梯里台秤示数变化见第 6 章。

直观理解

重心就是“一个手指能把它顶住的那个点”：用一根手指顶住一把尺子的中点，尺子能平衡；顶在别处，尺子就向重的一边翻。悬挂法就是把这个点“吊”出来：线总是拉向重心的正上方。

关联知识点

• 前置：第 1 章 1.2 节，$\mathrm{N/kg}$ 和 $\mathrm{m/s^2}$ 是同一个单位。
• 后续：第 3 章自由落体的加速度就是 $g$。
• 后续：第 5 章二力平衡、物体的稳度；第 6 章超重与失重。
• 后续：第 11 章重力和万有引力的关系，$g$ 随高度、纬度变化的原因。
• 后续：第 14 章重力势能，高度按重心算。

4.3 弹力与胡克定律

说明

形变：物体在力的作用下形状或体积发生的变化。撤去外力后能恢复原状的叫弹性形变；形变太大，撤去外力后不能完全恢复，就超过了弹性限度。

弹力：发生弹性形变的物体，由于要恢复原状，对与它接触的物体产生的力。

• 产生条件：两物体直接接触，并且发生弹性形变（相互挤压或拉伸）。只接触不挤压，就没有弹力。
• 施力物体：发生形变的那个物体。书放在桌上，桌面对书的支持力是桌面形变产生的；书对桌面的压力是书形变产生的。
• 常见的弹力：压力、支持力、绳的拉力、弹簧的弹力、杆的弹力。

弹力的方向（指向“恢复原状”的方向）：

接触方式	弹力方向
面与面接触（书放桌上）	垂直于接触面，指向被压或被支持的物体
点与面接触（杆端顶在面上、球放在斜面上）	垂直于那个面；曲面则垂直于接触点的切面，对球而言沿半径过球心
点与点接触（杆搁在棱角上）	垂直于杆（垂直于公共切面）
轻绳	沿绳，指向绳收缩的方向；绳只能拉，不能推
轻弹簧	沿弹簧轴线，可拉可推（伸长时拉，压缩时推）
轻杆	可拉可推，方向不一定沿杆，要由平衡或运动状态确定

胡克定律：在弹性限度内，弹簧弹力的大小 $F$ 跟弹簧伸长（或缩短）的长度 $x$ 成正比。

$$F = kx$$

• $x$ 是形变量（现在的长度减原长的绝对值），不是弹簧的长度。
• $k$ 是劲度系数，单位 $\mathrm{N/m}$，由弹簧本身决定（材料、粗细、长度、匝数），和受多大的力无关。
• 矢量式：弹力方向总是指向弹簧恢复原长的方向。取伸长方向为正时，弹簧对端点的弹力写成 $F = -kx$，负号表示弹力和形变方向相反（第 21 章简谐运动的回复力就是这样写的）。

理想模型：轻绳、轻弹簧、轻杆都指质量不计。轻绳不可伸长，同一根轻绳上各处拉力相等（绳不打结、跨过光滑滑轮也一样）；轻弹簧两端的弹力大小相等。

使用场景

• 物体和别的物体接触，但看不出有没有挤压（球靠着墙、绳竖直挂着的球碰着斜面）→ 假设法 → 去掉这个接触物，看物体还能否保持原来的状态；能保持，就没有弹力。
• 杆、球、梯子和曲面、棱角、地面接触，问弹力方向 → 判断是面面、点面还是点点接触 → 按上表定方向：垂直接触面（切面），过球心。
• 题目给出弹簧的原长、现长或伸长量，问弹力或劲度系数 → 轻弹簧 → $F = kx$，$x$ 用形变量。
• 几根弹簧、几个物体串在一起 → 先找每根弹簧“承担”了谁的重量 → 隔离下面的物体或把几个物体看成整体，再对每根弹簧用 $F = kx$。

注意点

• 胡克定律只在弹性限度内成立；超过弹性限度，$F$-$x$ 图线弯曲，弹簧也回不到原长。
• $x$ 的单位换成米再代入：$k = 200\ \mathrm{N/m}$、伸长 $2\ \mathrm{cm}$ 时，$F = 200 \times 0.02\ \mathrm{N} = 4\ \mathrm{N}$。
• 弹簧可能伸长也可能压缩，题目只说“形变量为 $x$“时两种情况都要考虑。
• 轻弹簧的弹力不能突变（形变要时间），轻绳、轻杆的弹力可以突变，这是第 7 章“瞬时加速度”的关键。
• 绳一旦松弛，拉力就是零；绳不能产生推力。题目说“绳恰好伸直”，表示拉力为零。

推导

弹力从哪里来：弹力的本质是形变后分子、原子间的电磁相互作用（第 31 章分子间作用力）。桌面这样的硬物体的形变肉眼看不出来，课本用“放大法”显示：在桌面上放两面平面镜，让一束光依次被两面镜子反射到远处墙上，用力压桌面，墙上的光点明显移动，说明桌面发生了微小形变。

胡克定律的实验依据（第 38 章实验“探究弹簧弹力与形变量的关系”）：

1. 装置：弹簧竖直悬挂，旁边竖直固定刻度尺；下端挂钩码，钩码静止时弹簧弹力等于钩码重力（二力平衡）。
2. 改变钩码个数，记下每次的弹力 $F$ 和弹簧长度，算出伸长量 $x$。
3. 以 $x$ 为横轴、$F$ 为纵轴描点，数据点落在一条过原点的直线附近。

（关键一步：图线是过原点的直线，才能说 $F$ 与 $x$ 成正比。如果横轴误用弹簧总长度，图线是一条不过原点的直线，横截距是原长，斜率仍是 $k$。）

英国科学家胡克（R. Hooke）在 1678 年发表了这一规律。

例题

例 1　（场景：判断有无弹力）一个小球静止在光滑水平地面上，右侧恰好与竖直墙壁接触，如图。小球受几个力？墙对小球有没有弹力？

解：

判断依据：弹力需要挤压；接触而不确定有没有挤压，用假设法（4.3 使用场景第一条）。

假设墙对球有弹力，方向垂直墙面向左。水平方向上地面光滑，没有摩擦力，也没有别的力和这个弹力平衡，球会向左运动，和“静止”矛盾。所以墙对球没有弹力。

小球只受两个力：重力 $G$（竖直向下）和地面的支持力 $F_{\text{N}}$（竖直向上），二力平衡。

容易卡在：一看到“接触”就画弹力。接触只是弹力的必要条件，不是充分条件。

例 2　（场景：判断弹力方向）一根直杆放在光滑的半球形碗内，下端 $B$ 抵在碗的内壁上，中部搁在碗口边缘 $A$ 处，如图。画出碗对杆的弹力方向。

解：

判断依据：先看接触方式，再按 4.3 的方向表定方向。

$B$ 处：杆的端点（点）抵在碗的内表面（球面）上，属于点与曲面接触，弹力垂直于接触点的切面，也就是沿半径指向球心 $O$。

$A$ 处：碗口边缘是一个“棱”，杆的侧面搁在上面，杆是面、碗口是点，弹力垂直于杆，斜向上。

容易卡在：$A$ 处把弹力画成指向球心或竖直向上。判断依据是“谁是面”：在 $A$ 处，平直的一方是杆，所以弹力垂直于杆；在 $B$ 处，平滑的一方是碗面，所以弹力垂直于碗面。

例 3　（场景：弹簧弹力计算）一根轻弹簧原长 $10\ \mathrm{cm}$，竖直悬挂一个质量 $0.5\ \mathrm{kg}$ 的物体，静止时弹簧长 $12\ \mathrm{cm}$。（1）求弹簧的劲度系数；（2）改挂质量 $1.5\ \mathrm{kg}$ 的物体，静止时弹簧多长？（弹簧始终在弹性限度内）

解：

研究对象：挂在弹簧下的物体。

过程划分：两种悬挂情况，各自静止，分别分析。

分析：物体受重力和弹簧拉力，静止时二力平衡，弹力 $F = mg$。

列式求解：（1）$F_1 = m_1 g = 0.5 \times 10\ \mathrm{N} = 5\ \mathrm{N}$，伸长量 $x_1 = 12\ \mathrm{cm} - 10\ \mathrm{cm} = 2\ \mathrm{cm} = 0.02\ \mathrm{m}$。

$$k = \frac{F_1}{x_1} = \frac{5}{0.02}\ \mathrm{N/m} = 250\ \mathrm{N/m}$$

（2）$F_2 = m_2 g = 15\ \mathrm{N}$，$x_2 = \dfrac{F_2}{k} = \dfrac{15}{250}\ \mathrm{m} = 0.06\ \mathrm{m} = 6\ \mathrm{cm}$，弹簧长 $10\ \mathrm{cm} + 6\ \mathrm{cm} = 16\ \mathrm{cm}$。

检验：质量变为 3 倍，伸长量也变为 3 倍（$2\ \mathrm{cm} \to 6\ \mathrm{cm}$），符合正比关系。

容易卡在：用弹簧长度 $12\ \mathrm{cm}$ 代替伸长量代入 $F = kx$，或者 $\mathrm{cm}$ 没换成 $\mathrm{m}$。

例 4　（场景：多个弹簧和物体）劲度系数 $k_1 = 200\ \mathrm{N/m}$ 的弹簧上端固定，下端挂质量 $m_A = 1\ \mathrm{kg}$ 的物体 $A$；$A$ 下面再挂劲度系数 $k_2 = 100\ \mathrm{N/m}$ 的弹簧，下端挂质量 $m_B = 0.5\ \mathrm{kg}$ 的物体 $B$。两弹簧质量不计，系统静止。求两根弹簧的伸长量。

解：

研究对象：先隔离 $B$，再把 $A$、$B$ 看成整体。

过程划分：静止状态，一个状态。

分析：下面的弹簧只拉着 $B$；上面的弹簧拉着 $A$ 和它下面的一切，即 $A$、$B$ 整体（中间的弹簧是轻弹簧，不计重力）。

列式求解：隔离 $B$：$F_2 = m_B g = 5\ \mathrm{N}$，$x_2 = \dfrac{F_2}{k_2} = \dfrac{5}{100}\ \mathrm{m} = 0.05\ \mathrm{m}$。

$A$、$B$ 整体：$F_1 = (m_A + m_B) g = 15\ \mathrm{N}$，$x_1 = \dfrac{F_1}{k_1} = \dfrac{15}{200}\ \mathrm{m} = 0.075\ \mathrm{m}$。

上面的弹簧伸长 $7.5\ \mathrm{cm}$，下面的弹簧伸长 $5\ \mathrm{cm}$。

检验：上面的弹簧承担的重量多，又更“硬”，伸长量 $7.5\ \mathrm{cm}$ 和下面的 $5\ \mathrm{cm}$ 同一量级，合理。$B$ 比两弹簧都处于原长时低了 $x_1 + x_2 = 12.5\ \mathrm{cm}$。

容易卡在：上面的弹簧只算 $A$ 的重力。上面的弹簧要拉住它下面挂着的所有东西。

常用推论

• 同一根轻绳（不打结、跨过光滑滑轮或光滑钉子）各处的拉力大小相等。由轻绳质量为零：任取一段绳，两端的拉力若不相等，合力不为零而质量为零，加速度会无穷大。
• 轻弹簧两端受的力大小相等，弹簧测力计的示数等于挂钩上的拉力（与外壳受多大力无关）。理由同上。
• 劲度系数 $k$ 的弹簧剪成两等段，每段的劲度系数为 $2k$。同样的拉力下，每段只伸长原来的一半。
• 两根弹簧串联，等效劲度系数满足 $\dfrac{1}{k} = \dfrac{1}{k_1} + \dfrac{1}{k_2}$；并联（两端都连在一起、伸长相同）时 $k = k_1 + k_2$。串联时两弹簧受力相同、伸长相加；并联时伸长相同、力相加。
• 轻杆的弹力方向不一定沿杆；只有两端用光滑铰链连接、中间不受力的轻杆，弹力才沿杆。

易错点

• 错在哪：只要接触就画弹力。 为什么错：直觉把“碰到”等同于“推着”。弹力要靠形变，接触不挤压就没有形变（例 1 的墙）。 正确做法：拿不准时用假设法：去掉这个接触物，看物体的状态变不变。
• 错在哪：把支持力的方向画成竖直向上，不管接触面倾不倾斜。 为什么错：日常见得最多的是水平地面，把“支持力向上”当成规律。支持力垂直于接触面，斜面上就是斜的。 正确做法：先找接触面（或切面），弹力垂直于它。
• 错在哪：认为书对桌面的压力就是书的重力。 为什么错：两个力只是在水平桌面上静止时大小相等。压力的施力物体是书、受力物体是桌面，属于弹力；重力的施力物体是地球、受力物体是书。斜面上、加速的电梯里两者大小都不相等。 正确做法：说“大小等于重力”时，要说明依据（平衡条件加牛顿第三定律），不能说“压力就是重力”。
• 错在哪：认为杆的弹力一定沿杆。 为什么错：把轻绳的结论搬到杆上。杆能抵抗弯曲，可以产生任意方向的力；例如固定在墙上的水平杆末端挂重物，杆对重物的力竖直向上，和杆垂直。 正确做法：杆的弹力方向由平衡条件或牛顿第二定律定。

直观理解

弹力是物体“想变回原样”的反抗：被压扁的往外推，被拉长的往回拉，所以弹力总指向恢复原状的方向。弹簧是“放大版”的形变，桌面是“看不见的弹簧”。

胡克定律的 $F$-$x$ 图是一条过原点的直线，越“硬”的弹簧图线越陡；图线下的三角形面积是弹力做功的大小（第 1 章 1.4 例 4、第 14 章弹性势能）。

关联知识点

• 前置：第 1 章 1.4 节 $F$-$x$ 图像的斜率和面积。
• 后续：第 5 章平衡问题中轻绳、轻杆、弹簧的弹力；第 6 章牛顿第三定律，压力和支持力是一对相互作用力。
• 后续：第 7 章瞬时加速度，弹簧弹力不能突变而绳的拉力可以突变。
• 后续：第 14 章弹性势能 $\dfrac{1}{2}kx^2$；第 21 章弹簧振子，回复力 $F = -kx$。
• 常一起考：第 38 章实验“探究弹簧弹力与形变量的关系”。

4.4 摩擦力

说明

两个相互接触、相互挤压的物体，当它们发生相对运动或有相对运动的趋势时，在接触面上产生阻碍相对运动（或相对运动趋势）的力，叫摩擦力。

产生条件（四条缺一不可）：相互接触；相互挤压（有弹力）；接触面粗糙；有相对运动或相对运动趋势。所以有摩擦力必有弹力，有弹力不一定有摩擦力。摩擦力的方向沿接触面（与接触面相切），和该处的弹力垂直。

滑动摩擦力：物体相对接触面滑动时产生。

$$f = \mu F_{\text{N}}$$

• $F_{\text{N}}$ 是接触面间的压力（正压力），不一定等于重力。
• $\mu$ 是动摩擦因数，没有单位，由两个接触面的材料和粗糙程度决定，和接触面积、相对速度大小（一般情况下）无关。
• 方向：与相对运动的方向相反。

静摩擦力：两物体相对静止、但有相对运动的趋势时产生。

• 大小：$0 < f \le f_{\max}$，没有公式，由平衡条件或牛顿第二定律求；外力变了，静摩擦力跟着变。
• 方向：与相对运动趋势的方向相反。“趋势”用假设法找：假设接触面光滑，物体会相对对方向哪边滑，那就是趋势的方向。
• 最大静摩擦力 $f_{\max}$：静摩擦力能达到的最大值，外力超过它物体就开始滑动。$f_{\max}$ 略大于滑动摩擦力，题目没说时一般认为 $f_{\max} = \mu F_{\text{N}}$。

理想模型：题目说“光滑”，就是 $\mu = 0$，没有摩擦力。

使用场景

• 物体相对接触面滑动（拉着箱子走、木块沿斜面滑下）→ 滑动摩擦 → $f = \mu F_{\text{N}}$，先由垂直接触面方向的受力求出 $F_{\text{N}}$。
• 物体相对接触面静止，问摩擦力大小，或外力逐渐增大问“何时开始滑动”→ 静摩擦 → 由平衡条件求 $f$；与 $f_{\max}$ 比较，判断会不会滑。
• 物体相对静止但不知道摩擦力朝哪边（叠放的物块、随传送带运动的货物）→ 判断相对运动趋势 → 假设法：假设接触面光滑，看物体相对对方怎样运动。
• 物体受的外力有几种大小，静摩擦力的方向可能随之改变（斜面上的物块受推力）→ 静摩擦 → 先假设没有摩擦，看其余的力能否平衡、合力朝哪边，摩擦力就朝反方向。

注意点

• “相对”二字最重要。摩擦力阻碍的是相对运动，不一定阻碍运动：传送带把货物往前送，货物受的静摩擦力向前，是动力。
• 滑动摩擦力公式里的 $F_{\text{N}}$ 要单独求。斜向上的拉力会减小压力（4.4 例 1），斜面上 $F_{\text{N}} = mg\cos\theta$。
• 静摩擦力不能用 $\mu F_{\text{N}}$ 算，只有最大静摩擦力才和 $\mu F_{\text{N}}$ 有关。
• 静止的物体可以受滑动摩擦力（黑板擦擦黑板时，黑板受滑动摩擦力），运动的物体可以受静摩擦力（随传送带一起运动的货物）。“静”“动”指的是两接触面之间有没有相对滑动。
• 判断开始滑动时，用“外力”和 $f_{\max}$ 比；滑动以后，摩擦力换成滑动摩擦力 $\mu F_{\text{N}}$。

推导

滑动摩擦力的实验依据：把木块放在水平木板上，用弹簧测力计水平拉着它做匀速直线运动。匀速时拉力和滑动摩擦力二力平衡，测力计示数就是摩擦力的大小。

1. 在木块上加砝码，改变压力 $F_{\text{N}}$，其他条件不变：摩擦力随压力成正比增大，$f \propto F_{\text{N}}$。
2. 把木块侧放，改变接触面积，压力不变：摩擦力不变，和接触面积无关。
3. 换成毛巾面、玻璃面，压力不变：摩擦力改变，比例系数由接触面的材料和粗糙程度决定。

把比例系数记为 $\mu$，就得到 $f = \mu F_{\text{N}}$。这是用控制变量法得出的经验规律，不是从更基本的原理推出来的。

静摩擦力和最大静摩擦力的实验依据：用力传感器水平拉放在桌上的木块，拉力从零逐渐增大。木块静止时，传感器示数随拉力一起增大，说明静摩擦力随外力变化、始终和拉力相等；拉力增大到某一值时木块突然开始滑动，示数随即略有下降并稳定下来。下降前的峰值就是最大静摩擦力，稳定后的值就是滑动摩擦力。

（关键一步：静摩擦力的大小不是由材料决定的，而是由“物体要保持相对静止需要多大的力”决定的。所以它只能从平衡条件（或牛顿第二定律）反推，没有自己的公式。）

例题

例 1　（场景：滑动摩擦，压力不等于重力）质量 $10\ \mathrm{kg}$ 的木箱放在水平地面上，木箱与地面间的动摩擦因数 $\mu = 0.5$。用大小 $50\ \mathrm{N}$、与水平方向成 $37^\circ$ 斜向上的拉力拉木箱，木箱沿地面向右滑动。求木箱受的摩擦力。

解：

研究对象：木箱。

过程划分：只看滑动过程中的某一时刻，一个状态。

分析：木箱受四个力：重力 $G$、拉力 $F$、地面支持力 $F_{\text{N}}$、滑动摩擦力 $f$（与相对运动方向相反，向左）。拉力有竖直向上的分量，地面受的压力比重力小。

列式求解：木箱在竖直方向没有运动，竖直方向合力为零。取竖直向上为正方向：

$$F_{\text{N}} + F\sin 37^\circ - mg = 0$$ $$F_{\text{N}} = mg - F\sin 37^\circ = (100 - 50 \times 0.6)\ \mathrm{N} = 70\ \mathrm{N}$$

滑动摩擦力 $f = \mu F_{\text{N}} = 0.5 \times 70\ \mathrm{N} = 35\ \mathrm{N}$，方向水平向左。

检验：若拉力水平，$f = \mu mg = 50\ \mathrm{N}$；斜向上拉减小了压力，摩擦力变小，$35\ \mathrm{N} < 50\ \mathrm{N}$，合理。拉力的水平分量 $F\cos 37^\circ = 40\ \mathrm{N} > 35\ \mathrm{N}$，木箱确实能被拉着加速滑动，和题意一致。

容易卡在：直接写 $f = \mu mg = 50\ \mathrm{N}$。公式里的是压力 $F_{\text{N}}$，要先由竖直方向的平衡求出来。

例 2　（场景：静摩擦大小，外力逐渐增大）质量 $10\ \mathrm{kg}$ 的木箱放在水平地面上，木箱与地面间的最大静摩擦力为 $25\ \mathrm{N}$，动摩擦因数 $\mu = 0.2$。用水平推力推木箱，求推力分别为 $15\ \mathrm{N}$ 和 $30\ \mathrm{N}$ 时木箱受的摩擦力。

解：

研究对象：木箱。

过程划分：两种推力，分别看木箱动不动。

分析：先比较推力和最大静摩擦力，判断木箱是静止（静摩擦）还是滑动（滑动摩擦）。

列式求解：取推力方向为正方向。

$F = 15\ \mathrm{N} < f_{\max} = 25\ \mathrm{N}$，木箱静止，水平方向二力平衡，静摩擦力 $f = 15\ \mathrm{N}$，方向与推力相反。

$F = 30\ \mathrm{N} > 25\ \mathrm{N}$，木箱滑动，滑动摩擦力

$$f = \mu F_{\text{N}} = \mu mg = 0.2 \times 100\ \mathrm{N} = 20\ \mathrm{N}$$

方向与推力相反（与木箱相对地面的运动方向相反）。

检验：滑动摩擦力 $20\ \mathrm{N}$ 略小于最大静摩擦力 $25\ \mathrm{N}$，与实验事实一致。推力 $30\ \mathrm{N}$ 大于摩擦力 $20\ \mathrm{N}$，木箱加速运动，合理。

容易卡在：推力 $15\ \mathrm{N}$ 时也用 $\mu mg = 20\ \mathrm{N}$，得出“摩擦力比推力还大”的怪结论。静止时静摩擦力等于推力，不用 $\mu$ 算。

例 3　（场景：用假设法判断静摩擦方向）木板 $B$ 放在水平地面上，物块 $A$ 放在 $B$ 上，用 $F = 6\ \mathrm{N}$ 的水平力向右拉 $A$，$A$、$B$ 都保持静止。分别求 $A$ 受 $B$ 的摩擦力、$B$ 受 $A$ 的摩擦力和 $B$ 受地面的摩擦力。

解：

研究对象：先隔离 $A$，再隔离 $B$。

过程划分：静止状态，一个状态。

分析：都是静摩擦，方向用假设法（4.4 使用场景第三条），大小用二力平衡。

• $A$：假设 $A$、$B$ 之间光滑，$A$ 在 $F$ 作用下会相对 $B$ 向右滑，所以 $A$ 相对 $B$ 有向右的运动趋势，$B$ 对 $A$ 的静摩擦力 $f_{BA}$ 向左。
• $B$：假设 $B$ 与 $A$ 之间光滑，$A$ 会向右滑走，也就是 $B$ 相对 $A$ 向左；所以 $B$ 相对 $A$ 有向左的运动趋势，$A$ 对 $B$ 的静摩擦力 $f_{AB}$ 向右。$B$ 在 $f_{AB}$ 作用下有相对地面向右的趋势，地面对 $B$ 的静摩擦力 $f_{\text{地}}$ 向左。

列式求解：取向右为正方向。

$A$ 水平方向平衡：$F - f_{BA} = 0$，$f_{BA} = 6\ \mathrm{N}$，方向向左。

$f_{AB}$ 和 $f_{BA}$ 是一对相互作用力（第 6 章牛顿第三定律），$f_{AB} = 6\ \mathrm{N}$，方向向右。

$B$ 水平方向平衡：$f_{AB} - f_{\text{地}} = 0$，$f_{\text{地}} = 6\ \mathrm{N}$，方向向左。

检验：每个摩擦力都有施力物体（$B$、$A$、地面），方向都沿接触面；$A$、$B$ 各自水平方向合力为零，与静止一致。

另一种解法：求地面对 $B$ 的摩擦力时，把 $A$、$B$ 看成整体。整体水平方向只受外力 $F$ 和地面摩擦力（$A$、$B$ 之间的摩擦力是内力，相互抵消），静止时 $f_{\text{地}} = F = 6\ \mathrm{N}$，向左，一步得到。只问外界对系统的力时整体法最快；要问物体之间的力（$f_{BA}$），必须隔离。

例 4　（场景：静摩擦方向随外力改变）质量 $1\ \mathrm{kg}$ 的物块静止在倾角 $37^\circ$ 的粗糙斜面上，受到一个水平向右、指向斜面的推力 $F$，物块始终静止。分别求 $F = 5\ \mathrm{N}$ 和 $F = 10\ \mathrm{N}$ 时物块受的静摩擦力。

解：

研究对象：物块。

过程划分：两种推力，各自静止。

分析：物块受重力 $G$、推力 $F$、斜面支持力 $F_{\text{N}}$ 和静摩擦力 $f$。摩擦力沿斜面，但不知道向上还是向下。先假设没有摩擦力（斜面光滑），比较沿斜面方向的另两个分力：重力沿斜面向下的分力 $G\sin 37^\circ = 10 \times 0.6\ \mathrm{N} = 6\ \mathrm{N}$，推力沿斜面向上的分力 $F\cos 37^\circ$。哪边大，物块就有向哪边滑的趋势，摩擦力朝相反方向。

列式求解：沿斜面取向上为正方向，设静摩擦力为 $f$（正值表示沿斜面向上）。沿斜面方向平衡：

$$F\cos 37^\circ + f - mg\sin 37^\circ = 0$$

$F = 5\ \mathrm{N}$：$f = mg\sin 37^\circ - F\cos 37^\circ = 6\ \mathrm{N} - 4\ \mathrm{N} = 2\ \mathrm{N}$，为正，方向沿斜面向上。

$F = 10\ \mathrm{N}$：$f = 6\ \mathrm{N} - 8\ \mathrm{N} = -2\ \mathrm{N}$，负号表示方向沿斜面向下，大小 $2\ \mathrm{N}$。

检验：$F\cos 37^\circ = 6\ \mathrm{N}$ 即 $F = 7.5\ \mathrm{N}$ 时摩擦力为零，$F$ 从小于 $7.5\ \mathrm{N}$ 变到大于 $7.5\ \mathrm{N}$，摩擦力由沿斜面向上变为向下，符合“趋势反向、摩擦反向”。

容易卡在：一看到斜面就把摩擦力画成沿斜面向上。不确定方向时，可以先设一个方向列式，算出负值就说明实际方向相反，这和第 1 章“取正方向”的办法一样。

常用推论

• 静摩擦力的方向可以和运动方向相同（传送带送货、人走路时脚受的摩擦力向前），也可以相反、垂直（水平转盘上随盘转动的物块，静摩擦力指向圆心，第 10 章）。由“与相对运动趋势相反”推出，和物体对地的运动方向无关。
• 物体静止在倾角 $\theta$ 的斜面上、只受重力、支持力和摩擦力时：$f = mg\sin\theta$，沿斜面向上；$F_{\text{N}} = mg\cos\theta$。由沿斜面、垂直斜面两方向的平衡得出（4.5 例 3 的分解）。
• 物体恰好能沿斜面匀速下滑（只受重力、支持力、摩擦力）时，$\mu = \tan\theta$。由 $mg\sin\theta = \mu mg\cos\theta$ 得出；$\mu \ge \tan\theta$ 时，放在斜面上的物体不会自己滑下来（取 $f_{\max} = \mu F_{\text{N}}$）。
• 叠放物体一起匀速运动或静止时，判断两物体间有没有摩擦力，看其中一个物体在不考虑这个摩擦力时能否平衡；能平衡就没有摩擦力。

易错点

• 错在哪：认为摩擦力总是阻碍物体运动，方向总与运动方向相反。 为什么错：日常经验里推箱子、刹车都是摩擦力“拖后腿”。但摩擦力阻碍的是相对运动。人走路时脚向后蹬地，脚相对地面有向后的趋势，地面给脚的静摩擦力向前，正是这个力让人前进。 正确做法：先确定“相对于谁”，再找相对运动（趋势）的方向，摩擦力与它相反。
• 错在哪：静摩擦力用 $f = \mu F_{\text{N}}$ 计算。 为什么错：把滑动摩擦的公式套到所有摩擦力上。静止时摩擦力随外力变化（例 2：推力 $15\ \mathrm{N}$，摩擦力也是 $15\ \mathrm{N}$，不是 $20\ \mathrm{N}$）。 正确做法：先判断是静摩擦还是滑动摩擦；静摩擦用平衡条件或牛顿第二定律求。
• 错在哪：滑动摩擦力一律用 $\mu mg$。 为什么错：把“压力等于重力”当成通则。斜拉、斜推、斜面、竖直墙面上，压力都不等于重力；物体被压在竖直墙上时，压力是水平推力，和重力无关。 正确做法：先由垂直接触面方向的受力求 $F_{\text{N}}$。
• 错在哪：认为接触面积越大，滑动摩擦力越大。 为什么错：直觉觉得“贴得多，阻力大”。实验表明压力相同时，侧放、平放的摩擦力一样（4.4 推导第 2 步）。 正确做法：滑动摩擦力只看 $\mu$ 和 $F_{\text{N}}$。

直观理解

摩擦力是接触面“想让两边保持步调一致”的力：两边已经错开滑动了，它就用固定大小的 $\mu F_{\text{N}}$ 拖住；两边还没错开，它就“要多少给多少”，刚好让两边不错开，直到要的超过 $f_{\max}$，再也拉不住。例 2 的 $f$-$F$ 图像就是这个过程：先是过原点、斜率为 1 的斜线（要多少给多少），到顶后掉下一点，变成水平线（固定大小）。

关联知识点

• 前置：4.3 节弹力，有摩擦力必有弹力，$F_{\text{N}}$ 是弹力。
• 后续：第 5 章平衡中的静摩擦力和临界（“恰好不滑动”）；第 6 章牛顿第三定律，$f_{AB}$ 与 $f_{BA}$。
• 后续：第 7 章板块模型和传送带，摩擦力方向随相对运动改变。
• 后续：第 10 章水平转盘上的物块，静摩擦力提供向心力。
• 后续：第 12 章摩擦力做功（可正可负可为零）；第 14 章摩擦生热 $Q = fs_{\text{相对}}$。

4.5 力的合成与分解

说明

合力与分力：几个力共同作用产生的效果，如果和一个力单独作用的效果相同，这个力就叫那几个力的合力，那几个力叫这个力的分力。合力与分力是等效替代关系，不是同时存在的几个力：受力分析时画了合力，就不再画分力，反之亦然。

共点力：几个力作用在物体的同一点，或者它们的作用线交于一点。本章和第 5 章只讨论共点力。

力的合成：求几个力的合力。遵从平行四边形定则（第 1 章 1.3）：以两个分力为邻边作平行四边形，夹在两邻边之间的对角线就是合力。

两个力 $F_1$、$F_2$ 夹角为 $\theta$ 时，合力的大小（标量式）：

$$F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos\theta}$$

合力的范围：$|F_1 - F_2| \le F \le F_1 + F_2$；夹角越大，合力越小。

力的分解：求一个力的分力，是合成的逆运算，同样遵从平行四边形定则。一个力可以分解成无数对分力，要有附加条件才唯一：

已知条件	解的个数
两个分力的方向	唯一
一个分力的大小和方向	唯一
一个分力的方向和另一个分力的大小	可能 0、1 或 2 个

实际中常用两种分解：

• 按实际效果分解：看这个力产生了哪两个效果，就沿这两个方向分解。斜面上物体的重力，一个效果是使物体沿斜面下滑，一个效果是使物体压紧斜面：

$$G_1 = mg\sin\theta \quad (\text{沿斜面向下}), \qquad G_2 = mg\cos\theta \quad (\text{垂直斜面向下})$$

• 正交分解：建立直角坐标系，把每个力都分解到 $x$、$y$ 两个轴上。与 $x$ 轴夹角为 $\alpha$ 的力 $F$：

$$F_x = F\cos\alpha, \qquad F_y = F\sin\alpha$$

合力的分量是各分量的代数和：$F_{x\text{合}} = F_{1x} + F_{2x} + \cdots$，$F_{y\text{合}} = F_{1y} + F_{2y} + \cdots$，合力大小 $F_{\text{合}} = \sqrt{F_{x\text{合}}^2 + F_{y\text{合}}^2}$，方向与 $x$ 轴夹角 $\varphi$ 满足 $\tan\varphi = \dfrac{F_{y\text{合}}}{F_{x\text{合}}}$。

矢量式写作 $\vec{F}_{\text{合}} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \cdots$；正交分解就是把这一个矢量式拆成 $x$、$y$ 两个标量式。

使用场景

• 两个力成一定角度（尤其是 $60^\circ$、$90^\circ$、$120^\circ$ 这类特殊角），问合力 → 平行四边形定则 → 作图后用勾股定理、余弦公式或特殊三角形求对角线。
• 问几个力的合力范围、合力能否为零 → 合力范围 → 两力在 $|F_1 - F_2|$ 到 $F_1 + F_2$ 之间；三个力先看能否围成三角形。
• 一个力产生了两个明显的效果（斜面上的重力、斜拉的力、两根绳挂的物体）→ 按实际效果分解 → 沿两个效果的方向作平行四边形。
• 三个以上的力，或力的方向不是特殊角，要求合力或列平衡、动力学方程 → 正交分解 → 选坐标轴使尽量多的力落在轴上，各轴分量代数相加。

注意点

• 合力与分力不是同时作用在物体上的力。“斜面上的物体受重力、支持力、摩擦力和下滑力”是错的，“下滑力”是重力的分力，已经包含在重力里。
• 分力 $G_2 = mg\cos\theta$ 不是物体对斜面的压力：两者大小相等，但 $G_2$ 作用在物体上、施力物体是地球；压力作用在斜面上、施力物体是物体。
• 正交分解时坐标轴的选法：平衡问题一般让尽量多的力在轴上；有加速度时让一个轴沿加速度方向（第 6 章）。斜面问题常取沿斜面和垂直斜面为两轴。
• 角度要看清是和哪条线的夹角。和 $x$ 轴夹角 $\alpha$ 时 $F_x = F\cos\alpha$；和 $y$ 轴夹角 $\alpha$ 时 $F_x = F\sin\alpha$。
• 余弦公式里的 $\theta$ 是两个力的夹角（两力起点放在一起时张开的角），不是平行四边形的另一个内角。

推导

合成法则从哪里来：力的平行四边形定则是实验规律（第 38 章实验“探究两个互成角度的力的合成规律”）：用两个弹簧测力计互成角度拉橡皮条，把结点拉到位置 $O$，记下两个力；再用一个测力计把结点拉到同一位置 $O$，这个力就是前两个力的合力（等效替代：效果相同，橡皮条伸长的长度和方向都相同）。按同一标度作出三个力的图示，以两个分力为邻边作平行四边形，对角线和合力在误差范围内重合。

合力大小的公式：把 $F_2$ 平移到 $F_1$ 的末端（三角形定则），三个力围成三角形，$F_1$ 与平移后的 $F_2$ 之间的内角是 $180^\circ - \theta$。由余弦定理（见《高中数学知识点梳理》第 16 章）：

$$F^2 = F_1^2 + F_2^2 - 2F_1F_2\cos(180^\circ - \theta) = F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos\theta$$

（关键一步：三角形里 $F_1$ 和 $F_2$ 之间的内角是 $180^\circ - \theta$，不是 $\theta$；$\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta$，所以公式里是加号。）

$\theta = 0^\circ$ 时 $F = F_1 + F_2$，$\theta = 180^\circ$ 时 $F = |F_1 - F_2|$，$\theta = 90^\circ$ 时 $F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}$，都和直觉一致。

正交分解为什么可行：每个力都等于它的两个分力之和，$\vec{F}_i = \vec{F}_{ix} + \vec{F}_{iy}$。所有力相加时，可以先把 $x$ 方向的分力加在一起，再把 $y$ 方向的加在一起，最后两者合成。同一直线上的矢量合成是代数相加（第 1 章 1.3），所以每个轴上只需带符号相加。数学上这就是向量的坐标运算（《高中数学知识点梳理》第 15 章）。

例题

例 1　（场景：两个力成角度求合力）两个大小都是 $10\ \mathrm{N}$ 的共点力，夹角为 $60^\circ$。求合力的大小和方向（$\sqrt{3} \approx 1.73$）。

解：

研究对象：两个共点力 $F_1$、$F_2$。

过程划分：不涉及过程，一次合成。

分析：两个分力相等，平行四边形是菱形，对角线平分夹角，合力方向在两力的角平分线上。

列式求解：由余弦公式（本节“说明”）：

$$F = \sqrt{10^2 + 10^2 + 2 \times 10 \times 10 \times \cos 60^\circ}\ \mathrm{N} = \sqrt{300}\ \mathrm{N} = 10\sqrt{3}\ \mathrm{N} \approx 17.3\ \mathrm{N}$$

方向与每个分力都成 $30^\circ$ 角。

检验：合力在 $|F_1 - F_2| = 0$ 和 $F_1 + F_2 = 20\ \mathrm{N}$ 之间，合理；夹角 $60^\circ$ 不大，合力接近 $20\ \mathrm{N}$，合理。

另一种解法：菱形的对角线互相垂直平分。合力的一半是直角三角形的一条直角边：$\dfrac{F}{2} = F_1\cos 30^\circ$，所以 $F = 2F_1\cos 30^\circ = 2 \times 10 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{N} = 10\sqrt{3}\ \mathrm{N}$。两个分力相等时，用 $F = 2F_1\cos\dfrac{\theta}{2}$ 比余弦公式快，而且顺便给出了方向；两个分力不相等时，只能用余弦公式或正交分解。

例 2　（场景：合力范围）三个共点力的大小分别为 $3\ \mathrm{N}$、$4\ \mathrm{N}$、$8\ \mathrm{N}$，求它们合力的最大值和最小值。若把 $8\ \mathrm{N}$ 换成 $6\ \mathrm{N}$，最小值是多少？

解：

判断依据：三力同向时合力最大；最小值看三个力能否首尾相接围成三角形（能围成，合力可以为零）。

最大值：$3\ \mathrm{N} + 4\ \mathrm{N} + 8\ \mathrm{N} = 15\ \mathrm{N}$。

最小值：$3\ \mathrm{N}$ 和 $4\ \mathrm{N}$ 的合力范围是 $1 \sim 7\ \mathrm{N}$，最大也只有 $7\ \mathrm{N}$，抵消不了 $8\ \mathrm{N}$。让这两个力同向、与 $8\ \mathrm{N}$ 反向，合力最小，为 $8\ \mathrm{N} - 7\ \mathrm{N} = 1\ \mathrm{N}$。

换成 $6\ \mathrm{N}$ 后，$6\ \mathrm{N}$ 在 $1 \sim 7\ \mathrm{N}$ 之内，$3\ \mathrm{N}$、$4\ \mathrm{N}$ 的合力可以恰好等于 $6\ \mathrm{N}$ 且方向相反，合力最小值为 $0$。

例 3　（场景：按实际效果分解）质量 $2\ \mathrm{kg}$ 的物体静止在倾角 $\theta = 37^\circ$ 的斜面上。把重力按效果分解，求两个分力，并说明它们与物体受的摩擦力、支持力的关系。

解：

研究对象：物体的重力。

过程划分：静止状态，一个状态。

分析：重力产生两个效果：使物体沿斜面下滑，使物体压紧斜面。沿斜面向下和垂直斜面向下两个方向作平行四边形（这里是矩形）。

列式求解：$G = mg = 20\ \mathrm{N}$。$G$ 与 $G_2$ 的夹角等于斜面倾角 $\theta$（两个角的两边分别垂直）。

$$G_1 = mg\sin\theta = 20 \times 0.6\ \mathrm{N} = 12\ \mathrm{N} \quad (\text{沿斜面向下})$$ $$G_2 = mg\cos\theta = 20 \times 0.8\ \mathrm{N} = 16\ \mathrm{N} \quad (\text{垂直斜面向下})$$

物体静止，沿斜面方向静摩擦力与 $G_1$ 平衡，$f = 12\ \mathrm{N}$，沿斜面向上；垂直斜面方向支持力与 $G_2$ 平衡，$F_{\text{N}} = 16\ \mathrm{N}$，垂直斜面向上。

检验：$G_1^2 + G_2^2 = 144 + 256 = 400 = G^2$，两分力合成回到重力。$\theta \to 0$ 时 $G_1 \to 0$、$G_2 \to G$（平地上不下滑），合理。

容易卡在：分不清 $G$ 与 $G_2$ 的夹角是 $\theta$ 还是 $90^\circ - \theta$。用极端情况检验：斜面放平（$\theta = 0$），$G_2$ 应等于 $G$，所以 $G_2 = G\cos\theta$。

例 4　（场景：三个以上的力，正交分解）一个物体同时受三个共点力：$F_1 = 12\ \mathrm{N}$，向东；$F_2 = 10\ \mathrm{N}$，北偏西 $37^\circ$；$F_3 = 8\ \mathrm{N}$，向南。求合力。

解：

研究对象：三个共点力。

过程划分：不涉及过程。

分析：三个力，有一个不在特殊方向上，用正交分解。取向东为 $x$ 轴正方向、向北为 $y$ 轴正方向，$F_1$、$F_3$ 已经在轴上，只分解 $F_2$。

列式求解：$F_2$ 与 $y$ 轴（正北）夹 $37^\circ$，偏向西：

$$F_{2x} = -F_2\sin 37^\circ = -6\ \mathrm{N}, \qquad F_{2y} = F_2\cos 37^\circ = 8\ \mathrm{N}$$ $$F_{x\text{合}} = 12\ \mathrm{N} - 6\ \mathrm{N} = 6\ \mathrm{N}, \qquad F_{y\text{合}} = 8\ \mathrm{N} - 8\ \mathrm{N} = 0$$

合力大小 $6\ \mathrm{N}$，方向向东。

检验：$F_2$ 的北向分量恰好被 $F_3$ 抵消，剩下东向的 $12\ \mathrm{N}$ 被 $F_2$ 的西向分量抵消一半，合力 $6\ \mathrm{N}$ 向东，合理。

容易卡在：$F_2$ 的角度是和正北方向的夹角，$x$ 分量用 $\sin 37^\circ$ 而不是 $\cos 37^\circ$；分量向西，带负号。

常用推论

• 两个大小相等的力 $F_1$ 夹角为 $\theta$ 时，合力 $F = 2F_1\cos\dfrac{\theta}{2}$，方向在角平分线上（例 1 另一种解法）。$\theta = 120^\circ$ 时合力等于分力。
• 三个力合力的最小值：若最大的力不超过另两个力之和，最小值为零；否则最小值为“最大的力减另两个力之和”（例 2）。
• 已知合力 $F$ 和一个分力 $F_1$ 的方向（$F_1$ 与 $F$ 夹角 $\theta$），另一个分力 $F_2$ 的最小值为 $F\sin\theta$，此时 $F_2 \perp F_1$。由“点到直线的距离垂线段最短”：$F_2$ 是从 $F$ 的末端到 $F_1$ 所在直线的线段。
• 斜面上的重力分解：沿斜面 $mg\sin\theta$，垂直斜面 $mg\cos\theta$。记法：倾角为零时沿斜面的分力为零，所以沿斜面配 $\sin$。

易错点

• 错在哪：受力分析时，既画了重力，又画了“下滑力”和“对斜面的压力”。 为什么错：把分解出来的分力当成另外的力。分力是替代合力的，画了合力就不能再画分力，否则同一个力算了两遍。 正确做法：受力图只画真实的力（每个都有施力物体）；分解是列方程时的计算步骤。
• 错在哪：认为合力一定大于分力。 为什么错：直觉“加起来就变大”。两力夹角大于 $120^\circ$ 且大小相等时，合力比每个分力都小；夹角 $180^\circ$ 时合力是两力之差。 正确做法：合力大小在 $|F_1 - F_2|$ 和 $F_1 + F_2$ 之间，用平行四边形判断。
• 错在哪：把 $mg\cos\theta$ 说成“物体对斜面的压力”。 为什么错：两者大小相等，但作用对象和性质都不同：分力作用在物体上，压力作用在斜面上；分力是重力的一部分，压力是弹力。 正确做法：说“压力大小等于 $mg\cos\theta$”，并说明依据是垂直斜面方向的平衡和牛顿第三定律。
• 错在哪：正交分解时 $\sin$、$\cos$ 用反。 为什么错：死记”$x$ 用 $\cos$、$y$ 用 $\sin$“，忽略了角是从哪条轴量起的。 正确做法：邻边（夹角所在的那条轴）上的分量用 $\cos$，对边用 $\sin$；用 $0^\circ$ 的极端情况检验。

直观理解

合成是“两个人拉一根绳的效果，一个人也能做到”；分解是“一个力的效果拆给两个方向分别看”。斜面上的重力就像一个人站在滑梯上：一部分力气让他往下滑，一部分力气让他贴紧滑梯，滑梯越陡，往下滑的那部分越大。

正交分解像记账：每个力都拆成“东西”和“南北”两笔，东西一栏加起来，南北一栏加起来，最后两栏合成一个数。

关联知识点

• 前置：第 1 章 1.3 节矢量合成的平行四边形定则和三角形定则。
• 前置：平面向量的加法和坐标运算，见《高中数学知识点梳理》第 14、15 章；余弦定理见第 16 章；三角函数见第 11–13 章。
• 后续：第 5 章共点力的平衡，平衡条件就是正交分解后 $F_{x\text{合}} = 0$、$F_{y\text{合}} = 0$；动态平衡的图解法用的是力的三角形。
• 后续：第 6、7 章牛顿第二定律的正交分解；第 8 章运动的合成与分解，同一套平行四边形定则。
• 常一起考：第 38 章实验“探究两个互成角度的力的合成规律”。

4.6 受力分析的方法

说明

受力分析：把研究对象受的所有力找出来，画出受力示意图。它是解力学题的第一步，后面的平衡方程、牛顿第二定律方程都是照着受力图列的。

步骤：

1. 选研究对象，隔离出来。研究对象可以是一个物体，也可以是几个物体组成的整体。把它从周围环境中“取出来”单独画，只画它受到的力，不画它对别的物体施加的力。
2. 先画重力（场力）。地球不和物体接触也能施力，最容易被当成“不存在”或“多出来”，所以第一个画。题目里有电场、磁场时，接着画电场力、安培力、洛伦兹力（第 15、25、26 章）。
3. 再画弹力。沿研究对象的边界绕一圈，找出所有和它接触的物体（地面、墙、绳、杆、弹簧、其他物体），逐个判断有没有挤压或拉伸，有就按 4.3 的方向画。
4. 再画摩擦力。只在画了弹力的接触面上找；接触面粗糙且有相对运动（趋势）的，按 4.4 判断方向。
5. 最后画已知的外力（拉力、推力）。
6. 检查：
   • 每个力都能说出施力物体。说不出施力物体的力（“下滑力”“冲力”“向心力”“惯性力”）一定是多画的。
   • 力的个数不多不少：接触点都检查过，没有漏掉弹力和摩擦力。
   • 和运动状态相符：静止或匀速，合力必须为零；画出来的力明显合不成零，说明多画或漏画了。

整体法与隔离法：

• 隔离法：把某个物体单独取出来分析，可以求物体之间的相互作用力。
• 整体法：把几个相对静止（或加速度相同）的物体看成一个整体，只分析外界对整体的力，物体之间的力是内力，不画。
• 只问外力用整体法，问内力必须隔离；多数题两种方法配合用。具体用法见第 5 章、第 7 章。

理想模型：受力分析时一般把物体看成质点，所有力画在重心上（共点力）；需要考虑转动时（第 5 章的杆、梯子）才把力画在实际作用点。

使用场景

• 一个物体在水平面、斜面、竖直墙面上静止或运动 → 隔离这一个物体 → 按重力、弹力、摩擦力、外力的顺序画，每个接触面检查一次。
• 两个或几个物体叠放、并排、用绳连接 → 先整体后隔离（或反过来）→ 整体法求外界的力，隔离法求物体之间的力，两次受力图里相互作用的力方向相反。
• 题目中出现“冲力”“下滑力”“惯性力”一类说法，或物体在空中飞行、沿光滑面冲上去 → 检查施力物体 → 找不到施力物体的力删掉；运动方向不需要力来维持。

注意点

• 受力图只画研究对象受的力。分析 $A$ 时，“$A$ 对 $B$ 的压力”不能画在 $A$ 的图上。
• 分力和合力不重复画（4.5 注意点）。
• 不能根据运动方向画力。物体向上运动，不一定有向上的力；判断要看接触和形变，以及运动状态是否需要它（第 6 章牛顿第一定律）。
• 弹力、摩擦力都是接触力，没有接触就没有；有接触也要逐个判断（4.3 例 1）。
• 静摩擦力方向拿不准时，可以先任设一个方向列式，结果为负说明方向相反（4.4 例 4）。

推导

本知识点没有公式推导，因为它是一套方法。这里说明步骤顺序的理由：

• 为什么先画重力：重力是“不接触的力”，接下来的弹力、摩擦力都靠“找接触”来判断，重力不会在找接触时被发现，所以单独先画，免得漏掉。
• 为什么先弹力后摩擦力：摩擦力的产生条件包含“有弹力”（4.4 说明），而且滑动摩擦力的大小要用到压力 $F_{\text{N}}$。先确定弹力，摩擦力才有依据。
• 为什么用施力物体检查：力是物体对物体的作用（4.2 说明），每个真实的力都有施力物体。“下滑力”是重力的分力，“冲力”是把惯性当成了力，它们都找不到施力物体。
• 为什么要和运动状态核对：静止或匀速时合力为零（第 5 章），加速时合力沿加速度方向（第 6 章）。受力图和运动状态矛盾，说明受力图错了。

（关键一步：第 3 步“绕研究对象一周找接触”。漏力几乎都漏在这里：只看到下面的地面，没看到侧面的墙、上面压着的物体、连着的绳。）

例题

例 1　（场景：单个物体在斜面上运动）质量 $1\ \mathrm{kg}$ 的物块以某一初速度冲上倾角 $37^\circ$ 的粗糙斜面，动摩擦因数 $\mu = 0.5$。画出物块沿斜面向上滑动时的受力图，求各力的大小和合力。

解：

研究对象：物块，隔离出来。

过程划分：只看上滑过程中的某一时刻。

分析：按顺序找力。

1. 重力 $G = mg = 10\ \mathrm{N}$，竖直向下。
2. 弹力：物块只和斜面接触，受斜面支持力 $F_{\text{N}}$，垂直斜面向上。
3. 摩擦力：斜面粗糙，物块相对斜面向上滑，滑动摩擦力 $f$ 沿斜面向下。
4. 没有其他外力。物块能向上滑是因为有初速度，不需要沿斜面向上的力。

列式求解：沿斜面、垂直斜面建坐标轴。垂直斜面方向没有运动，合力为零：

$$F_{\text{N}} = mg\cos 37^\circ = 10 \times 0.8\ \mathrm{N} = 8\ \mathrm{N}$$ $$f = \mu F_{\text{N}} = 0.5 \times 8\ \mathrm{N} = 4\ \mathrm{N}$$

取沿斜面向下为正方向，合力 $F_{\text{合}} = mg\sin 37^\circ + f = 6\ \mathrm{N} + 4\ \mathrm{N} = 10\ \mathrm{N}$，方向沿斜面向下。

检验：三个力都有施力物体：地球、斜面、斜面。合力沿斜面向下而速度沿斜面向上，物块在减速，和“冲上斜面会停下来”一致。

容易卡在：给物块加一个沿斜面向上的“冲力”。物块离开推它的东西后，就没有向上的力了，向上运动靠的是惯性。

例 2　（场景：多个物体叠放）物块 $A$（$m_A = 1\ \mathrm{kg}$）放在木板 $B$（$m_B = 2\ \mathrm{kg}$）上，$B$ 放在水平地面上。用 $F = 6\ \mathrm{N}$ 的水平力向右推 $B$，$A$、$B$ 都保持静止。分别画出 $A$、$B$ 的受力图，求地面对 $B$ 的支持力和摩擦力。

解：

研究对象：先隔离 $A$，再隔离 $B$。

过程划分：静止状态。

分析：

• $A$：重力 $G_A$；只和 $B$ 接触，受 $B$ 的支持力 $F_{\text{N}A}$。$A$ 和 $B$ 之间有没有摩擦力？假设没有，$A$ 在水平方向不受力，仍能静止，所以没有摩擦力（4.4 常用推论最后一条）。$A$ 只受两个力。
• $B$：重力 $G_B$；接触物有 $A$（上面）和地面（下面）：$A$ 对 $B$ 的压力 $F_{\text{压}}$ 竖直向下，地面支持力 $F_{\text{N地}}$ 竖直向上；$A$、$B$ 间无摩擦；$B$ 在 $F$ 作用下相对地面有向右的趋势，地面摩擦力 $f_{\text{地}}$ 向左；外力 $F$ 向右。$B$ 受五个力。

列式求解：$A$：$F_{\text{N}A} = G_A = 10\ \mathrm{N}$；由牛顿第三定律，$A$ 对 $B$ 的压力 $F_{\text{压}} = 10\ \mathrm{N}$。

$B$ 竖直方向平衡，取向上为正：$F_{\text{N地}} - G_B - F_{\text{压}} = 0$，$F_{\text{N地}} = 20\ \mathrm{N} + 10\ \mathrm{N} = 30\ \mathrm{N}$，竖直向上。

$B$ 水平方向平衡：$f_{\text{地}} = F = 6\ \mathrm{N}$，水平向左。

检验：每个力都有施力物体；$A$ 受两个力、$B$ 受五个力，各自合力为零，与静止一致。

另一种解法：把 $A$、$B$ 看成整体，外力只有总重力 $30\ \mathrm{N}$、地面支持力、推力 $F$ 和地面摩擦力，$A$、$B$ 之间的力是内力不画。由平衡直接得 $F_{\text{N地}} = (m_A + m_B)g = 30\ \mathrm{N}$，$f_{\text{地}} = F = 6\ \mathrm{N}$。只求地面对系统的力时整体法一步到位；要判断 $A$、$B$ 之间有没有摩擦，还得隔离 $A$。

例 3　（场景：检查多画的力）篮球被投出后在空中飞行，不计空气阻力。下列关于篮球受力的说法正确的是（　）。

A. 受重力和手的推力 B. 受重力和向前的冲力 C. 只受重力 D. 不受力，因为它在做惯性运动

解：C。

判断依据：每个力都要有施力物体（4.6 步骤 6）。

篮球离开手后不再和手接触，手的推力不存在，A 错。“向前的冲力”找不到施力物体，篮球继续向前运动靠的是惯性，不需要力来维持，B 错。地球对篮球始终有吸引，重力一直存在，D 错。所以篮球只受重力，轨迹向下弯曲正是重力的作用（第 9 章抛体运动）。

常用推论

• 静止在水平面上、只受竖直方向外力的物体，不受摩擦力。由水平方向平衡得出：水平方向没有别的力，摩擦力只能为零。
• 叠放的物体一起静止或匀速运动时，最上面的物体若不受水平外力，它和下面物体之间没有摩擦力（例 2 的 $A$）。由隔离上面物体后水平方向的平衡得出。
• 几个物体相对静止时，地面（或外界）对整体的力只由外力决定，和内部怎么叠放无关（例 2 另一种解法）。整体法的依据：内力成对出现，合力为零。
• 一个物体受的力，若某个力换成了等效的其他几个力，受力图中只能保留一种画法（合力或分力）。

易错点

• 错在哪：给沿斜面上滑的物体画一个沿斜面向上的力，给飞出去的球画一个向前的“冲力”。 为什么错：这是“力是维持运动的原因”的前概念在作怪：看到物体向某个方向运动，就以为那个方向一定有力。伽利略的理想斜面实验和牛顿第一定律（第 6 章）都说明，运动不需要力来维持，力改变的是运动状态。 正确做法：只按“接触、形变、相对运动”找力，每个力问一句施力物体是谁。
• 错在哪：分析 $A$ 的受力时，把 $A$ 对 $B$ 的压力、$A$ 对地面的摩擦力也画进去。 为什么错：没有真正“隔离”，把相互作用的两个方向都算到 $A$ 头上。 正确做法：受力图上每个力的受力物体都必须是研究对象本身。画完逐个念一遍“某某对 $A$ 的力”。
• 错在哪：漏掉侧面的墙、上面压着的物体对研究对象的力。 为什么错：只盯着“下面的支持面”找接触，没绕一圈。 正确做法：按步骤 3，沿研究对象的边界绕一周，每个接触点都判断一次。
• 错在哪：画受力图时，把“向心力”作为一个单独的力画进去（第 10 章）。 为什么错：向心力是按效果命名的，是物体所受合力（或某个力的分力）在指向圆心方向上的部分，不是一种新的力，没有单独的施力物体。 正确做法：受力图只画按性质命名的力（重力、弹力、摩擦力、电场力等），向心力在列方程时由这些力合成。

直观理解

受力分析像“查户口”：先登记一个不用敲门就在的（重力），再挨家挨户敲门（每个接触点：有没有弹力），敲开门的再问一句（有没有摩擦力），最后核对每一位都报得出“从哪儿来”（施力物体）。

关联知识点

• 前置：4.2–4.4 节三种常见力的产生条件和方向；4.5 节力的分解。
• 后续：第 5 章共点力的平衡，受力分析后列平衡方程；整体法与隔离法、动态平衡。
• 后续：第 6 章牛顿第一定律（运动不需要力维持）和牛顿第三定律（相互作用力画在两个物体上）；第 7 章连接体、板块、传送带。
• 后续：第 10 章向心力不是单独的力；第 15、16 章电场中的带电体、第 25 章通电导线、第 26 章带电粒子，受力分析时加画电场力、安培力、洛伦兹力。
• 常一起考：第 13、14 章用动能定理、机械能守恒时，要靠受力分析判断哪些力做功。

4.7 知识点之间的关系

拿到一个力学题，本章的五个知识点按下面的顺序用：先确定研究对象，再按重力（4.2）、弹力（4.3）、摩擦力（4.4）的顺序把力找全，每个力检查施力物体（4.6）；找全以后，两个力直接合成，三个及以上的力正交分解（4.5），交给第 5 章（合力为零）或第 6 章（合力等于 $ma$）列方程。

4.8 自测

1. 质量 $5\ \mathrm{kg}$ 的物体在月球表面（$g_{\text{月}} = 1.6\ \mathrm{m/s^2}$）的质量和重力各是多少？
2. 下列关于重心的说法正确的是（　）。A. 重心一定在物体上　B. 质量分布均匀、形状规则的物体，重心在几何中心　C. 物体的重心位置与质量分布无关　D. 只有重心处受重力
3. 一根弹簧原长 $20\ \mathrm{cm}$，受 $10\ \mathrm{N}$ 拉力时长 $25\ \mathrm{cm}$。它受 $6\ \mathrm{N}$ 压力时长多少？（在弹性限度内）
4. 用竖直细绳悬挂的小球，下边缘恰好与光滑斜面接触，绳竖直，小球静止。斜面对小球有没有弹力？
5. 质量 $2\ \mathrm{kg}$ 的物块被 $F = 50\ \mathrm{N}$ 的水平力压在竖直墙上静止，物块与墙间的动摩擦因数为 $0.5$。求墙对物块的摩擦力大小和方向。
6. 人向前走路时，地面对后脚的摩擦力方向是向前还是向后？是静摩擦力还是滑动摩擦力？
7. 两个共点力 $6\ \mathrm{N}$ 和 $8\ \mathrm{N}$，夹角 $90^\circ$ 时合力多大？它们的合力可能是 $15\ \mathrm{N}$ 吗？
8. 质量 $4\ \mathrm{kg}$ 的物体静止在倾角 $30^\circ$ 的斜面上，求重力沿斜面和垂直斜面的分力。
9. 物块沿粗糙水平面向右滑行（不受其他外力），画受力图时它受几个力？分别是什么？

答案：1. 质量 $5\ \mathrm{kg}$，重力 $8\ \mathrm{N}$；2. B；3. $17\ \mathrm{cm}$（$k = 200\ \mathrm{N/m}$，压缩 $3\ \mathrm{cm}$）；4. 没有（假设有，弹力垂直斜面，有水平分量，小球不能静止）；5. $20\ \mathrm{N}$，竖直向上（静摩擦力，由竖直方向平衡 $f = mg$ 求出，不是 $\mu F = 25\ \mathrm{N}$）；6. 向前，静摩擦力；7. $10\ \mathrm{N}$，不可能（最大 $14\ \mathrm{N}$）；8. 沿斜面向下 $20\ \mathrm{N}$，垂直斜面向下 $20\sqrt{3}\ \mathrm{N} \approx 34.6\ \mathrm{N}$；9. 三个：重力、支持力、向左的滑动摩擦力。

4.9 深入阅读

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• 维基百科 · 胡克定律：胡克定律的表述、适用范围和历史（胡克 1678 年发表）。