第 32 章 · 气体、固体和液体

项目	内容
课标主题	选择性必修 3 · 固体、液体和气体
人教版（2019）	选择性必修第三册 第二章“气体、固体和液体”：2.1 温度和温标、2.2 气体的等温变化、2.3 气体的等压变化和等容变化、2.4 固体、2.5 液体；气体压强的微观解释在第一章 1.3”分子运动速率分布规律”，气体实验定律的微观解释在 2.3
考试地位	依据 2023–2026 年全国卷和山东、广东、浙江、江苏、湖南、湖北卷的概括：气体实验定律常考，多是一道计算题，情境几乎都是“活塞或液柱封闭一段气体”，常和第 33 章热力学第一定律一起考；气体图像、压强的微观解释常作选择题；固体、液体偶考概念
前置知识	初中的压强 $p = \dfrac{F}{S}$ 和液体压强 $p = \rho g h$；第 5 章共点力的平衡；第 6 章牛顿第二定律；第 31 章分子动理论（温度是分子平均动能的标志）

这一章的计算只有一条主线：选定一段气体，写出它初、末状态的压强 $p$、体积 $V$、温度 $T$，再看哪个量不变，选对应的定律。三条定律本身很好记，丢分几乎都丢在前面两步：压强求错（活塞的受力漏了大气压、液柱的高度和长度弄混），温度忘了换成热力学温度。所以本章把“求封闭气体的压强”单列成一个知识点，每条定律的例题都从这一步写起。

32.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
32.2 温度与温标	温度标志热平衡；热力学温度 $T = t + 273.15\ \mathrm{K}$，气体定律里只能用它	常作计算的第一步；概念偶考
32.3 封闭气体的压强	活塞看受力（平衡或 $F = ma$），液柱看 $p_0 \pm h$，连通液体等高处压强相等	必用，气体计算题的第一关
32.4 玻意耳定律	温度不变时 $pV$ 不变	常考，液柱转动、活塞加压、充气抽气
32.5 查理定律与盖-吕萨克定律	体积不变时 $\dfrac{p}{T}$ 不变；压强不变时 $\dfrac{V}{T}$ 不变	常考，加热、降温类计算
32.6 理想气体状态方程	三个量都变时 $\dfrac{pV}{T}$ 不变；多过程、变质量也靠它	常考，计算题的主力
32.7 气体的图像	等温线是双曲线，等容线、等压线是过原点的直线；连原点看斜率比大小	常考选择题
32.8 气体压强的微观解释	压强来自大量分子碰撞器壁，取决于分子平均动能和分子数密度	常考概念
32.9 固体与液体	晶体有确定熔点，单晶体各向异性；液体表面张力使液面收缩；浸润液体在细管中上升	偶考概念

32.2 温度与温标

说明

状态参量：描述一定质量气体状态的三个量是压强 $p$、体积 $V$、温度 $T$。其中一个量变了，至少还有一个跟着变，这一章就是找它们之间的关系。

热平衡与温度：两个系统接触，不受外界影响，经过足够长的时间，状态参量不再变化，叫达到热平衡。热平衡定律（也叫热力学第零定律）：如果两个系统分别和第三个系统达到热平衡，那么这两个系统彼此也处于热平衡。处于热平衡的系统具有一个“共同的量”，这个量就是温度。从微观上看，温度是分子平均动能的标志（第 31 章）。

温标：给温度定数值的方法。

温标	符号与单位	零点	用在哪
摄氏温标	$t$，$^\circ\mathrm{C}$	标准大气压下冰水混合物为 $0\ ^\circ\mathrm{C}$，沸水为 $100\ ^\circ\mathrm{C}$	日常生活
热力学温标	$T$，开尔文 $\mathrm{K}$	绝对零度 $0\ \mathrm{K}$	一切物理公式，尤其是气体定律

两者的换算：

$$T = t + 273.15\ \mathrm{K}$$

计算中一般取 $T = t + 273\ \mathrm{K}$。两种温标每一度的大小相同，所以温度的变化量相等：$\Delta T = \Delta t$。

绝对零度 $0\ \mathrm{K}$（即 $-273.15\ ^\circ\mathrm{C}$）是低温的极限，只能无限接近，不能达到。热力学温度是国际单位制的七个基本量之一，单位开尔文是基本单位（第 1 章）。

使用场景

• 题目给摄氏温度，要代入气体定律或做比例 → 气体状态参量 → 先换成热力学温度 $T = t + 273\ \mathrm{K}$，再代入。
• 题目问温度“升高了多少”“降低了多少” → 温度变化量 → $\Delta T = \Delta t$，两种温标的数值相同，不用换算。
• 概念题问温度计为什么能测温、两个物体接触后怎样 → 热平衡 → 接触足够久后温度相等，温度计显示的是它自己的温度。

注意点

• 气体定律中的温度必须用热力学温度。$\dfrac{p_1}{t_1} = \dfrac{p_2}{t_2}$ 用摄氏温度代入是错的，例如 $0\ ^\circ\mathrm{C}$ 时分母为零。
• “温度升高到原来的 2 倍”指热力学温度翻倍：$27\ ^\circ\mathrm{C}$（$300\ \mathrm{K}$）翻倍是 $600\ \mathrm{K}$，即 $327\ ^\circ\mathrm{C}$，不是 $54\ ^\circ\mathrm{C}$。
• 热力学温度不会是负数，写成 “$-3\ \mathrm{K}$” 一定算错了。
• 单位写 $\mathrm{K}$，不写 “$^\circ\mathrm{K}$”。
• 温度是大量分子的统计量，说“一个分子的温度”没有意义。

推导

热平衡定律从哪里来：这是对经验的总结，不是由别的定律推出来的。温度计测温靠的就是它：温度计（第三个系统）先和人体达到热平衡，读出的是温度计自己的温度；人体和温度计热平衡，所以人体也是这个温度。如果没有这条定律，“用温度计测量”就没有依据。它的地位比热力学第一、第二定律更基础，但被认识得晚，所以叫“第零定律”。

为什么要有热力学温标：用摄氏温度表示时，气体压强（体积不变）随温度的关系是 $p = p_0\left(1 + \dfrac{t}{273}\right)$，式子不是正比例（32.5 推导）。把零点移到 $-273\ ^\circ\mathrm{C}$，令 $T = t + 273$，关系就变成 $p \propto T$，所有气体定律都成为简单的正比、反比。

（关键一步：实验发现，不同气体在体积不变时，$p$-$t$ 图线延长后都交 $t$ 轴于同一点，约 $-273\ ^\circ\mathrm{C}$。这一点与气体种类无关，所以适合当作温标的零点。）

开尔文在 1848 年提出这种不依赖测温物质的温标，所以它的单位以他的名字命名。现在国际单位制用玻尔兹曼常量定义开尔文，$0\ ^\circ\mathrm{C}$ 正好是 $273.15\ \mathrm{K}$。

例题

例 1　（场景：摄氏温度要换成热力学温度）一定质量的气体，温度从 $27\ ^\circ\mathrm{C}$ 升高到 $87\ ^\circ\mathrm{C}$。求初、末状态的热力学温度，以及末、初热力学温度之比。

解：

判断依据：$T = t + 273\ \mathrm{K}$。

$T_1 = (27 + 273)\ \mathrm{K} = 300\ \mathrm{K}$，$T_2 = (87 + 273)\ \mathrm{K} = 360\ \mathrm{K}$。

$$\frac{T_2}{T_1} = \frac{360}{300} = 1.2$$

摄氏温度之比 $\dfrac{87}{27} \approx 3.2$，和热力学温度之比相差很远。气体定律里出现的比例都是热力学温度之比，所以代入前一定要换算。

例 2　（场景：温度变化量）某同学说：“气体温度从 $20\ ^\circ\mathrm{C}$ 升高到 $50\ ^\circ\mathrm{C}$，热力学温度升高了 $303\ \mathrm{K}$。“这种说法对吗？

解：不对，热力学温度升高了 $30\ \mathrm{K}$。

判断依据：两种温标每一度大小相同，$\Delta T = \Delta t$。

$\Delta t = 50\ ^\circ\mathrm{C} - 20\ ^\circ\mathrm{C} = 30\ ^\circ\mathrm{C}$，所以 $\Delta T = 30\ \mathrm{K}$。该同学把“变化量”也加了 273。换算公式里的 $273$ 只用于温度值，算差值时两边的 273 抵消了：$\Delta T = (t_2 + 273) - (t_1 + 273) = t_2 - t_1$。

例 3　（场景：热平衡）用体温计测体温时，要把体温计夹在腋下几分钟才能读数。关于其中的道理，下列说法正确的是（　）。

A. 体温计要和人体达到热平衡，读出的才等于体温 B. 体温计的温度总是比人体低，几分钟后差距可以忽略 C. 热平衡时人体和体温计的内能相等 D. 只要体温计和人体接触，读数立即等于体温

解：A。

判断依据：热平衡定律。

体温计显示的是它自己的温度，只有和人体达到热平衡，两者温度相等，读数才是体温，这需要一段时间，所以 D 错。热平衡时温度相等，不是“比人体低一点”，B 错。热平衡的标志是温度相等，内能还和质量、物质种类有关，不一定相等，C 错。

常用推论

• $\Delta T = \Delta t$：温度的变化量在两种温标下数值相同（例 2）。
• 室温 $27\ ^\circ\mathrm{C}$ 取 $300\ \mathrm{K}$，$0\ ^\circ\mathrm{C}$ 取 $273\ \mathrm{K}$，$127\ ^\circ\mathrm{C}$ 取 $400\ \mathrm{K}$，$-73\ ^\circ\mathrm{C}$ 取 $200\ \mathrm{K}$：命题人常选这几个温度，比值是整数。
• 热力学温度翻 $n$ 倍，摄氏温度变为 $nT_1 - 273$（单位 $^\circ\mathrm{C}$），由 $T = t + 273$ 直接得出。

易错点

• 错在哪：把摄氏温度直接代入 $\dfrac{p_1}{T_1} = \dfrac{p_2}{T_2}$。 为什么错：日常习惯用摄氏度，把“温度翻倍”想成摄氏度数翻倍。气体定律的正比关系只对热力学温度成立。 正确做法：代入前先写一行 $T_1 = \cdots\ \mathrm{K}$、$T_2 = \cdots\ \mathrm{K}$。
• 错在哪：温度变化量也加 273。 为什么错：把换算公式当成“凡是温度都加 273”。差值里的 273 抵消了。 正确做法：温度值加 273，温度差不加。
• 错在哪：认为热平衡时两个物体的内能相等。 为什么错：把“温度”和“热量”“内能”混为一谈。温度只代表分子平均动能，内能还和分子数、分子势能有关（第 31 章）。 正确做法：热平衡的唯一标志是温度相等。

直观理解

两种温标就像两把刻度一样、零点不同的尺子：摄氏温标的零点在冰点，热力学温标的零点在绝对零度，往下挪了 273 格。量“长度差”（温度变化）用哪把尺都一样；量“倍数”（气体定律的比例）必须用从真正零点量起的那把。

关联知识点

• 前置：第 1 章国际单位制，开尔文是基本单位。
• 前置：第 31 章分子动理论，温度是分子平均动能的标志。
• 后续：32.4–32.6 气体定律，温度一律用 $T$。
• 后续：第 33 章热力学定律，内能变化看温度变化。

32.3 封闭气体的压强

说明

气体压强：气体对器壁单位面积的压力，$p = \dfrac{F}{S}$，单位帕斯卡 $\mathrm{Pa}$。封闭气体的重力一般不计，所以同一段气体内部各处压强相等。

封闭气体的压强不能直接看出来，要通过和它接触的物体（活塞、液柱）的受力来求。高中的两类情境：

活塞封闭的气体：以活塞为研究对象，受力分析。活塞受气体对它的压力 $pS$（垂直活塞指向外）、大气对它的压力 $p_0S$、重力 $mg$，可能还有摩擦力、外力、卡环的支持力。

• 活塞静止（或缓慢移动）→ 合力为零，列平衡方程（第 5 章）。
• 活塞随容器一起加速 → 列牛顿第二定律（第 6 章）。

开口向上、活塞光滑、只受这三个力时：

$$pS = p_0S + mg \quad\Rightarrow\quad p = p_0 + \frac{mg}{S}$$

液柱封闭的气体：液柱也可以受力分析，但更快的方法是用液体压强：

• 液柱静止时，液柱下表面的压强比上表面大 $\rho g h$，$h$ 是两液面的竖直高度差。
• 连通的同种液体中，同一水平面上各点压强相等（“等高面”）。

液体是水银时，压强常用厘米汞柱（$\mathrm{cmHg}$）作单位：$h$ 厘米高的水银柱产生的压强就是 $h\ \mathrm{cmHg}$，可以直接和以 $\mathrm{cmHg}$ 为单位的大气压相加减，不用乘 $\rho g$。

大气压 $p_0$ 的取值：标准大气压

$$1\ \mathrm{atm} = 76\ \mathrm{cmHg} = 1.013 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$$

题目里通常取 $p_0 = 1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$（活塞类，用 $\mathrm{Pa}$ 算），或取 $76\ \mathrm{cmHg}$、$75\ \mathrm{cmHg}$（液柱类，用 $\mathrm{cmHg}$ 算），按题目给的用。$1\ \mathrm{cmHg} = \rho_{\text{汞}} g \times 0.01\ \mathrm{m} \approx 1.33 \times 10^3\ \mathrm{Pa}$。$1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$ 和 $76\ \mathrm{cmHg}$ 只是近似相等，一道题里选定一种单位用到底，不要混用。

使用场景

• 气缸里的活塞封闭气体，活塞静止或缓慢移动 → 以活塞（或活塞加气缸）为研究对象，受力平衡 → $\sum F = 0$，解出 $p$。
• 玻璃管里一段水银柱封闭气体，管竖直或倾斜 → 液柱上下表面压强差 → 竖直时 $p = p_0 \pm h$，倾斜时用竖直高度 $h\sin\theta$。
• U 形管、连通器，两边液面不一样高 → 连通液体的等高面 → 封闭气体所在液面的水平面上，两侧压强相等。
• 气缸、玻璃管随电梯、小车一起加速 → 活塞或液柱不平衡 → 牛顿第二定律 $\sum F = ma$。

注意点

• 活塞受力时别漏了大气压力 $p_0S$。开口一侧有大气，大气对活塞有压力，方向指向气体。
• 气体对活塞的压力垂直于活塞表面。活塞表面倾斜时，压力乘的是活塞的实际面积，竖直分量才和重力平衡，可以证明结果仍是 $p = p_0 + \dfrac{mg}{S}$（$S$ 是气缸的横截面积）。
• 液柱产生的压强看竖直高度，不看液柱长度。管倾斜角为 $\theta$（与水平面）、液柱长 $L$ 时，竖直高度是 $L\sin\theta$。
• “$\pm$“怎么取：液柱在气体上方（压着气体），气体压强比外面大，取”+“；液柱在气体下方（开口向下，靠气体和大气托着），取”−“。拿不准时对液柱做一次受力分析。
• 等高面必须在同一种连通的液体里。中间隔着气体或换了液体，就不能直接说等高处压强相等。
• 加速的系统里不能用 $p = p_0 \pm \rho g h$，因为液柱不平衡，要对液柱列牛顿第二定律。

推导

活塞的平衡方程：取开口向上的光滑气缸里的活塞为研究对象，取竖直向上为正方向。活塞受三个力：气体压力 $pS$ 向上，大气压力 $p_0S$ 向下，重力 $mg$ 向下。活塞静止，

$$pS - p_0S - mg = 0 \quad\Rightarrow\quad p = p_0 + \frac{mg}{S}$$

（关键一步：把“压强”换成“压力”。压强不是力，不能和重力相加；乘以面积变成压力后，才能进受力平衡的方程。）

液柱的压强关系：取竖直玻璃管中长 $h$、横截面积 $S$ 的液柱为研究对象，开口向上。液柱上表面受大气压力 $p_0S$ 向下，下表面受气体压力 $pS$ 向上，自身重力 $mg = \rho S h g$ 向下。液柱静止，

$$pS = p_0S + \rho S h g \quad\Rightarrow\quad p = p_0 + \rho g h$$

横截面积 $S$ 约掉了，所以结果和管的粗细无关。倾斜时液柱重力沿管方向的分力是 $\rho S L g \sin\theta$，同样得 $p = p_0 + \rho g L\sin\theta$，$L\sin\theta$ 正是竖直高度。

等高面压强相等：在连通的静止液体里取一段水平的细液柱，它两端受到的压力是水平方向上仅有的两个力，液柱静止，两端压力相等，所以压强相等。这条结论来自初中的液体压强，这里只是把它用在气体题里。

例题

例 1　（场景：活塞封闭气体，受力平衡）如图，竖直放置的气缸内用活塞封闭一段气体，活塞质量 $m = 2\ \mathrm{kg}$，横截面积 $S = 10\ \mathrm{cm^2}$，与缸壁间无摩擦，大气压 $p_0 = 1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$。分别求 (a) 气缸开口向上放在地面上、(b) 气缸开口向下悬挂时，缸内气体的压强。

解：

研究对象：活塞。

过程划分：不涉及过程，活塞静止，处于平衡状态。

分析：活塞受重力 $mg$、大气压力 $p_0S$、气体压力 $pS$，见图。(a) 中气体在活塞下方，气体压力向上，大气压力向下；(b) 中气体在活塞上方，气体压力向下，大气压力向上。

列式求解：$S = 10\ \mathrm{cm^2} = 1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^2}$，$mg = 20\ \mathrm{N}$，$p_0S = 100\ \mathrm{N}$。取竖直向上为正方向。

(a) $pS - p_0S - mg = 0$：

$$p = p_0 + \frac{mg}{S} = 1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa} + \frac{20}{1.0 \times 10^{-3}}\ \mathrm{Pa} = 1.2 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$$

(b) $p_0S - pS - mg = 0$：

$$p = p_0 - \frac{mg}{S} = 1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa} - 0.2 \times 10^5\ \mathrm{Pa} = 8.0 \times 10^4\ \mathrm{Pa}$$

检验：(a) 活塞压着气体，气体压强比大气压大；(b) 活塞靠气体内外压强差托住，气体压强比大气压小。两个结论都符合直觉。单位 $\dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m^2}} = \mathrm{Pa}$，对。

容易卡在：漏了大气压力，算成 $p = \dfrac{mg}{S} = 2 \times 10^4\ \mathrm{Pa}$。只要活塞另一侧是大气，就有 $p_0S$。

例 2　（场景：液柱封闭气体）如图，粗细均匀的玻璃管中用长 $h = 10\ \mathrm{cm}$ 的水银柱封闭一段空气，大气压 $p_0 = 76\ \mathrm{cmHg}$。求三种情况下封闭气体的压强：(a) 管竖直、开口向上；(b) 管竖直、开口向下；(c) 管开口向上、与水平面成 $30^\circ$。

解：

研究对象：水银柱，用它求封闭气体的压强。

过程划分：不涉及过程，水银柱静止。

分析：用“液柱下表面压强 = 上表面压强 + 竖直高度对应的压强”，单位都用 $\mathrm{cmHg}$。

列式求解：

(a) 水银柱上表面是大气 $p_0$，下表面是气体：$p_a = p_0 + h = (76 + 10)\ \mathrm{cmHg} = 86\ \mathrm{cmHg}$。

(b) 水银柱上表面是气体，下表面是大气：$p_0 = p_b + h$，$p_b = (76 - 10)\ \mathrm{cmHg} = 66\ \mathrm{cmHg}$。

(c) 水银柱竖直高度 $h\sin 30^\circ = 5\ \mathrm{cm}$：$p_c = p_0 + h\sin 30^\circ = (76 + 5)\ \mathrm{cmHg} = 81\ \mathrm{cmHg}$。

检验：(c) 介于 (a) 和“管水平时 $p = p_0 = 76\ \mathrm{cmHg}$“之间，倾斜角从 $0$ 增大到 $90^\circ$，压强从 $76$ 连续增大到 $86\ \mathrm{cmHg}$，合理。

容易卡在：(c) 中直接用液柱长 $10\ \mathrm{cm}$，得 $86\ \mathrm{cmHg}$。液体压强只看竖直高度。

另一种解法：对水银柱做受力分析（以 (c) 为例）。设管的横截面积为 $S$，沿管向上为正方向，水银柱受气体压力 $p_cS$（沿管向上）、大气压力 $p_0S$（沿管向下）、重力沿管的分力 $\rho S h g \sin 30^\circ$（沿管向下），管壁支持力垂直于管不进方程。$p_cS = p_0S + \rho g h S \sin 30^\circ$，得到同样的结果。直接用”$p_0 \pm$ 竖直高度“最快；液柱不平衡（有加速度）或情境不熟时，受力分析不会错。

例 3　（场景：U 形管与等高面）如图，U 形管左端封闭一段空气，右端开口，管内装有水银，右管水银面比左管高 $h = 4\ \mathrm{cm}$，大气压 $p_0 = 76\ \mathrm{cmHg}$。求左管内空气的压强。

解：

研究对象：左管内的空气；借助管中连通的水银求压强。

过程划分：不涉及过程，水银静止。

分析：过左管水银面作水平线（等高面），它与右管水银的交点处压强等于左管气体的压强。右管中这一点上方有 $h$ 高的水银柱，水银柱上方是大气。

列式求解：

$$p = p_0 + h = (76 + 4)\ \mathrm{cmHg} = 80\ \mathrm{cmHg}$$

检验：右边液面高，说明左边气体把水银往右边“顶”，左边压强大于大气压，$80 > 76$，合理。若右管液面比左管低 $4\ \mathrm{cm}$，则左管压强为 $72\ \mathrm{cmHg}$。

容易卡在：等高面选在右管液面，左管那一点在水银里还是在气体里分不清。等高面要选在封闭气体的液面上，这一水平面两侧都在同一段连通水银里。

例 4　（场景：系统加速，牛顿第二定律）例 1 (a) 中的气缸放在电梯里，电梯以 $a = 2\ \mathrm{m/s^2}$ 的加速度竖直向上加速运动，活塞相对气缸静止。求此时缸内气体的压强。

解：

研究对象：活塞。

过程划分：活塞和气缸一起以 $a$ 向上加速，不分段。

分析：活塞受力和例 1 (a) 一样，但不再平衡，合力向上，提供加速度。

列式求解：取竖直向上为正方向，由牛顿第二定律：

$$pS - p_0S - mg = ma$$ $$p = p_0 + \frac{m(g + a)}{S} = 1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa} + \frac{2 \times 12}{1.0 \times 10^{-3}}\ \mathrm{Pa} = 1.24 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$$

检验：向上加速时活塞“超重”（第 6 章），对气体压得更紧，压强比静止时的 $1.2 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$ 大，合理。$a = 0$ 时退回例 1。

容易卡在：照例 1 列平衡方程。只要容器有加速度，活塞或液柱就要列 $F_{\text{合}} = ma$。

常用推论

• 竖直管中液柱：气体在液柱下方 $p = p_0 + h$，在液柱上方 $p = p_0 - h$；管与水平面成 $\theta$ 时把 $h$ 换成 $h\sin\theta$；管水平时 $p = p_0$。由本节推导得出。
• 光滑活塞只受重力、大气压力、气体压力时：开口向上 $p = p_0 + \dfrac{mg}{S}$，开口向下 $p = p_0 - \dfrac{mg}{S}$（例 1）。
• 向上加速（或向下减速）时，把 $g$ 换成 $g + a$；向下加速时换成 $g - a$（例 4）。完全失重时液柱、活塞重力不再产生压强差，$p = p_0$。
• 两段气体中间隔着液柱时，从大气一侧“逐段加减”：每经过一段液柱，按它的竖直高度加或减一次。

易错点

• 错在哪：求活塞封闭气体的压强时漏掉大气压力。 为什么错：大气看不见，直觉里“活塞只受重力和气体的托力”。实际上开口一侧的大气一直在压着活塞，$p_0S$ 通常比重力大得多（例 1 中 $100\ \mathrm{N}$ 对 $20\ \mathrm{N}$）。 正确做法：受力分析时，活塞每个表面接触什么（气体还是大气），就画一个对应的压力。
• 错在哪：倾斜管中用液柱长度算压强。 为什么错：把“液柱多长”当成“液体多深”。液体压强由深度决定，深度是竖直距离。 正确做法：先算竖直高度 $L\sin\theta$，或对液柱沿管方向做受力分析。
• 错在哪：U 形管里在不连通的液体或不同液体之间找“等高面”。 为什么错：等高面压强相等的依据是“同一种静止液体内部水平方向受力平衡”，中间隔了气柱或换了液体，这个依据就没有了。 正确做法：只在同一段连通的同种液体中找等高面；隔着气体的，分段求。
• 错在哪：用 $\mathrm{cmHg}$ 算出的压强直接和 $\mathrm{Pa}$ 的数相加。 为什么错：单位不统一（第 1 章）。 正确做法：一道题统一用一种单位；液柱题用 $\mathrm{cmHg}$，活塞题用 $\mathrm{Pa}$，必要时用 $1\ \mathrm{cmHg} \approx 1.33 \times 10^3\ \mathrm{Pa}$ 换算。

直观理解

把封闭气体想成一根看不见的弹簧：它要顶住“压在它身上的一切”。开口向上时，它顶着大气加活塞的重量，所以压强比大气压大；开口向下时，大气在下面帮它托着活塞，它只需顶住“大气托力减去活塞重量”，所以压强比大气压小。求压强就是问：这根弹簧在顶什么？

关联知识点

• 前置：第 4 章受力分析；第 5 章共点力的平衡，活塞、液柱静止时列平衡方程。
• 前置：第 6 章牛顿第二定律、超重与失重，系统加速时用。
• 后续：32.4–32.6 每一道气体定律计算题的第一步。
• 常一起考：第 33 章热力学第一定律，等压过程气体对外做功的大小为 $p\Delta V$（第 33 章的符号约定里，外界对气体做功 $W = -p\Delta V$），$p$ 由本节方法求。

32.4 玻意耳定律

说明

玻意耳定律：一定质量的某种气体，在温度不变的情况下，压强 $p$ 与体积 $V$ 成反比：

$$pV = C \qquad \text{或} \qquad p_1V_1 = p_2V_2$$

常量 $C$ 与气体的质量、种类和温度有关。温度不变的过程叫等温过程（等温变化）。

适用模型：理想气体。实际气体在压强不太大（相对大气压）、温度不太低（相对室温）时近似遵守，高中的题目都按遵守处理。

在粗细均匀的玻璃管中，气体体积 $V = LS$，$S$ 约掉后可直接用气柱长度：

$$p_1L_1 = p_2L_2$$

使用场景

• 气缸导热良好、环境温度不变，或题目说“缓慢”压缩、拉动活塞 → 等温过程 → $p_1V_1 = p_2V_2$，压强由活塞受力求（32.3）。
• 玻璃管中液柱封闭气体，管缓慢转动（开口向上转为向下、竖直转为水平）或上下移动 → 等温过程，压强由液柱位置决定 → $p_1L_1 = p_2L_2$。
• 打气筒充气、抽气机抽气、大瓶气体分装到小瓶，气体质量在变 → 把进出的气体也算进研究对象，化成定质量的等温过程 → $p_1V_1 + p_2V_2 = pV$ 这类“分态式”。

注意点

• 前提是质量不变、温度不变。漏气、充气时质量变了，要先把研究对象选成“质量不变的那部分气体”。
• “缓慢”是等温的常用暗示：过程慢，气体有时间和外界交换热量，温度保持和环境相同。快速压缩（如打气筒猛压）不能看成等温。
• $p_1V_1 = p_2V_2$ 两边单位一致即可，不必换成国际单位：压强都用 $\mathrm{cmHg}$、体积都用 $\mathrm{cm}$（气柱长）也行。
• 液柱题中管转动后，先检查液体会不会溢出：气柱变长后，气柱加液柱的长度超过管长，就有液体流出，液柱长度和压强都要重新求。

推导

玻意耳定律是实验定律。

实验依据：用注射器（或带刻度的玻璃管）封闭一段空气，连接压强计。保持温度不变（缓慢推拉活塞、手不握注射器），记录多组压强 $p$ 和体积 $V$。画 $p$-$V$ 图是一条双曲线一样的曲线，不好判断；改画 $p$-$\dfrac{1}{V}$ 图，得到一条过原点的直线（化曲为直，第 37 章），说明 $p \propto \dfrac{1}{V}$，即 $pV$ 为常量。这个实验是第 42 章的必做实验“探究等温情况下一定质量气体压强与体积的关系”，装置和数据处理在那里讲。

（关键一步：控制变量。只有温度和质量都不变，$p$ 和 $V$ 的关系才是单纯的反比。手握注射器使气体变热、活塞漏气使质量变小，都会让 $pV$ 不再是常量。）

历史：英国的玻意耳在 1662 年发表这一规律，法国的马略特在 1676 年独立得出，所以也叫玻意耳-马略特定律。

微观解释见 32.8：温度不变，分子平均动能不变；体积减小，分子数密度增大，单位时间撞击器壁的次数增多，压强增大。

例题

例 1　（场景：活塞缓慢加压，等温）如图，导热良好的气缸开口向上竖直放置，横截面积 $S = 1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^2}$ 的光滑活塞质量 $m = 2\ \mathrm{kg}$，封闭的气柱长 $L_1 = 30\ \mathrm{cm}$。在活塞上缓慢放上质量 $M = 4\ \mathrm{kg}$ 的重物，环境温度不变，大气压 $p_0 = 1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$。求稳定后气柱的长度和活塞下降的距离。

解：

研究对象：缸内封闭的气体（质量不变）；求压强时以活塞（状态 2 以活塞和重物整体）为研究对象。

过程划分：一个过程，从状态 1 到状态 2。气缸导热、缓慢加放，温度不变，是等温过程。

分析：两个状态的压强都由活塞的平衡求（32.3）。

状态 1：$p_1 = p_0 + \dfrac{mg}{S} = 1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa} + \dfrac{20}{1.0 \times 10^{-3}}\ \mathrm{Pa} = 1.2 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$，$V_1 = L_1S$。

状态 2：$p_2 = p_0 + \dfrac{(m + M)g}{S} = 1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa} + \dfrac{60}{1.0 \times 10^{-3}}\ \mathrm{Pa} = 1.6 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$，$V_2 = L_2S$。

列式求解：由玻意耳定律 $p_1L_1S = p_2L_2S$：

$$L_2 = \frac{p_1}{p_2}L_1 = \frac{1.2}{1.6} \times 30\ \mathrm{cm} = 22.5\ \mathrm{cm}$$

活塞下降 $\Delta L = L_1 - L_2 = 7.5\ \mathrm{cm}$。

检验：压强增大，体积减小，方向对。压强变为 $\dfrac{4}{3}$ 倍，气柱变为 $\dfrac{3}{4}$，乘积不变。

容易卡在：状态 1 的压强写成 $p_0$，忘了活塞本身的重量。

例 2　（场景：液柱封闭气体，玻璃管转动）如图，长 $50\ \mathrm{cm}$、一端封闭、粗细均匀的玻璃管开口向上竖直放置，管内一段长 $15\ \mathrm{cm}$ 的水银柱封闭着长 $L_1 = 20\ \mathrm{cm}$ 的空气柱。把玻璃管缓慢倒转到开口向下竖直放置，温度不变，大气压 $p_0 = 75\ \mathrm{cmHg}$。求此时空气柱的长度。

解：

研究对象：管内封闭的空气（质量不变）。

过程划分：一个过程，缓慢倒转，温度不变，等温过程。

分析：压强由水银柱位置求（32.3）。

开口向上：水银柱压在空气上方，$p_1 = p_0 + h = (75 + 15)\ \mathrm{cmHg} = 90\ \mathrm{cmHg}$，气柱长 $L_1 = 20\ \mathrm{cm}$。

开口向下：水银柱在空气下方，$p_2 = p_0 - h = (75 - 15)\ \mathrm{cmHg} = 60\ \mathrm{cmHg}$，气柱长 $L_2$。

列式求解：由 $p_1L_1 = p_2L_2$：

$$L_2 = \frac{p_1L_1}{p_2} = \frac{90 \times 20}{60}\ \mathrm{cm} = 30\ \mathrm{cm}$$

检查是否溢出：$L_2 + h = 30\ \mathrm{cm} + 15\ \mathrm{cm} = 45\ \mathrm{cm} < 50\ \mathrm{cm}$，水银没有流出，结果成立。

检验：压强从 $90$ 降到 $60\ \mathrm{cmHg}$，体积变大，方向对；$90 \times 20 = 60 \times 30$。

容易卡在：忘了检查溢出。如果管长只有 $40\ \mathrm{cm}$，按上面算出的 $45\ \mathrm{cm} > 40\ \mathrm{cm}$，会有水银流出，就要设剩余水银柱长为 $x$，用 $p_2 = p_0 - x$、$L_2 = 40\ \mathrm{cm} - x$ 重新列方程。

例 3　（场景：充气，变质量化为定质量）篮球的容积 $V = 3\ \mathrm{L}$，球内原有压强为 $p_0 = 1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$ 的空气。用打气筒打气，每次打入压强 $p_0$、体积 $\Delta V = 0.2\ \mathrm{L}$ 的空气。要使球内压强达到 $p = 1.6 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$，需要打多少次？（打气过程温度不变，篮球容积不变）

解：

研究对象：球内原有的气体和 $n$ 次要打入的气体，合在一起。这部分气体的质量不变。

过程划分：一个过程：这部分气体从“分成两块、压强都是 $p_0$“变到”全部在球内、压强 $p$“，温度不变，等温过程。

分析：初态 $p_1 = p_0$，$V_1 = V + n\Delta V$；末态 $p_2 = p$，$V_2 = V$。

列式求解：由玻意耳定律：

$$p_0(V + n\Delta V) = pV$$ $$1.0 \times 10^5 \times (3 + 0.2n) = 1.6 \times 10^5 \times 3$$

解得 $3 + 0.2n = 4.8$，$n = 9$。

检验：$9$ 次打入 $1.8\ \mathrm{L}$，加上原有 $3\ \mathrm{L}$，共 $4.8\ \mathrm{L}$ 的常压空气压进 $3\ \mathrm{L}$，压强变为 $\dfrac{4.8}{3} = 1.6$ 倍，对。

容易卡在：只以“球内的气体”为研究对象，它的质量一直在变，不能用玻意耳定律。

另一种解法：用“分态式”：等温时，几部分气体混合，各部分的 $pV$ 相加等于混合后的 $pV$，即 $p_0V + n \cdot p_0\Delta V = pV$，一步写出同一个方程。它的依据是：温度相同时，$pV$ 与气体的质量（分子数）成正比（32.6 常用推论），所以 $pV$ 可以像质量一样相加。充气、分装、两容器连通这类题，用分态式列方程最快；初学时先用“合在一起作研究对象”想清楚为什么能这样加。

常用推论

• 均匀管中 $p_1L_1 = p_2L_2$：$V = LS$ 中的 $S$ 约掉。
• 等温分态式 $p_1V_1 + p_2V_2 + \cdots = pV$：几部分温度相同的同种气体混合（或一部分分成几部分），$pV$ 守恒。依据：温度一定时 $pV \propto$ 分子数（由 32.6 的 $\dfrac{pV}{T} \propto n$ 得出）。
• 抽气：容器体积 $V$，抽气机每次抽出 $\Delta V$，每抽一次压强变为原来的 $\dfrac{V}{V + \Delta V}$；抽 $n$ 次后 $p_n = p_0\left(\dfrac{V}{V + \Delta V}\right)^n$。每次抽气是一次等温膨胀，连乘得出。
• 等温时，气体密度 $\rho \propto p$：质量不变，$\rho = \dfrac{m}{V}$，而 $V \propto \dfrac{1}{p}$。

易错点

• 错在哪：充气、漏气时，直接对“容器内的气体”用 $p_1V_1 = p_2V_2$。 为什么错：玻意耳定律的前提是质量不变，容器内的气体质量在变。 正确做法：把进出的气体也算进来，选一部分质量不变的气体作研究对象（例 3）。
• 错在哪：管转动后不检查液柱是否溢出。 为什么错：默认液柱长度不变，算出的气柱可能已超出管长。 正确做法：算完检查“气柱长 + 液柱长 ≤ 管长”，不满足就设剩余液柱长重算（例 2）。
• 错在哪：把“快速压缩”也当成等温。 为什么错：过程太快，气体来不及向外散热，温度会升高（打气筒筒壁发热）。 正确做法：只有“缓慢”“导热良好且环境温度不变”“温度不变”这些条件才能用玻意耳定律；快速、绝热的过程要用第 33 章的热力学第一定律分析。

直观理解

把气体想成一群在盒子里乱撞的小球：盒子压小一半，小球没变快（温度不变），但挤得更密，撞墙的次数翻倍，压强翻倍。$p$-$V$ 图上，等温线是一条双曲线，温度越高的等温线离原点越远（32.7）。

关联知识点

• 前置：32.3 封闭气体的压强。
• 前置：反比例函数的图像，见《高中数学知识点梳理》第 7 章。
• 后续：32.6 理想气体状态方程，玻意耳定律是它在 $T$ 不变时的特例。
• 后续：第 42 章实验“探究等温情况下一定质量气体压强与体积的关系”。
• 常一起考：第 33 章热力学第一定律，等温过程内能不变，$W + Q = 0$。

32.5 查理定律与盖-吕萨克定律

说明

查理定律（等容变化）：一定质量的某种气体，在体积不变的情况下，压强 $p$ 与热力学温度 $T$ 成正比：

$$\frac{p}{T} = C \qquad \text{或} \qquad \frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$$

盖-吕萨克定律（等压变化）：一定质量的某种气体，在压强不变的情况下，体积 $V$ 与热力学温度 $T$ 成正比：

$$\frac{V}{T} = C \qquad \text{或} \qquad \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$$

两个定律的常量 $C$ 都和气体的质量、种类有关，查理定律的 $C$ 还和体积有关，盖-吕萨克定律的 $C$ 还和压强有关。

适用模型：理想气体。温度很低、压强很大时，实际气体偏离这两条定律，甚至液化。

使用场景

• 容器体积不变（密闭钢瓶、轮胎、被卡住的活塞、两端封闭的硬管）而温度变化 → 等容过程 → 查理定律 $\dfrac{p_1}{T_1} = \dfrac{p_2}{T_2}$。
• 活塞能自由移动、受力情况不变（活塞重力、大气压都不变），气体被加热或冷却 → 等压过程，体积变 → 盖-吕萨克定律 $\dfrac{V_1}{T_1} = \dfrac{V_2}{T_2}$。
• 水平玻璃管或液柱长度、倾角不变的管中，液柱封闭的气体被加热或冷却 → 液柱移动但压强不变，等压过程 → $\dfrac{L_1}{T_1} = \dfrac{L_2}{T_2}$。

注意点

• 温度必须用热力学温度（32.2）。
• 判断“等压”要看活塞（或液柱）的受力是否不变，而不是看活塞动不动。活塞自由滑动、没有新的外力加进来，气体压强就一直由同样的力决定，保持不变。
• 活塞碰到卡环或气缸顶部后，体积不能再变，过程就从等压变成等容，要分段处理（32.6 例 2）。
• 两条定律的名字容易记反：查理——压强（等容，$p \propto T$），盖-吕萨克——体积（等压，$V \propto T$）。课本按“等容”“等压”叫，答题时写过程名比写人名更不容易错。

推导

两条定律都是实验定律。以查理定律为例：

实验依据：把一定质量的气体封在体积不变的容器中，连接压强计，把容器放进不同温度的水浴里，记录多组摄氏温度 $t$ 和压强 $p$。画 $p$-$t$ 图得到一条倾斜直线，说明 $p$ 随 $t$ 线性变化。把直线向低温方向延长，与 $t$ 轴交于约 $-273\ ^\circ\mathrm{C}$。换不同的气体、不同的体积重做，直线斜率不同，但都交于同一点。

用摄氏温度表示：$p = p_0\left(1 + \dfrac{t}{273}\right)$，$p_0$ 是 $0\ ^\circ\mathrm{C}$ 时的压强。令 $T = t + 273$：

$$p = p_0 \cdot \frac{273 + t}{273} = \frac{p_0}{273} T$$

$\dfrac{p_0}{273}$ 是常量，所以 $p \propto T$。

（关键一步：把温度零点移到图线与横轴的交点。换了零点后，直线过原点，“线性关系”变成“正比关系”，热力学温标就是这样引入的，见 32.2。）

延长线用虚线，是因为低温段实验测不到：温度很低时，气体会液化，不再是气体，也就不遵守这条定律。

盖-吕萨克定律的实验依据相同：保持压强不变（如让活塞自由滑动），测体积随温度的变化，$V$-$t$ 图同样交 $t$ 轴于 $-273\ ^\circ\mathrm{C}$。

历史：法国的查理约在 1787 年发现气体体积随温度均匀变化，没有发表；盖-吕萨克在 1802 年发表了系统的实验结果。国内教材把等容的规律称为查理定律、等压的规律称为盖-吕萨克定律。

例题

例 1　（场景：容器体积不变，等容）一只密闭钢瓶内装有气体，在 $7\ ^\circ\mathrm{C}$ 时压强为 $1.2 \times 10^6\ \mathrm{Pa}$。钢瓶被放在烈日下，瓶内温度升到 $77\ ^\circ\mathrm{C}$。若钢瓶能承受的最大压强为 $1.6 \times 10^6\ \mathrm{Pa}$，钢瓶是否安全？

解：

研究对象：瓶内气体，质量不变。

过程划分：一个过程，钢瓶容积不变，等容过程。

分析：$T_1 = (7 + 273)\ \mathrm{K} = 280\ \mathrm{K}$，$p_1 = 1.2 \times 10^6\ \mathrm{Pa}$；$T_2 = (77 + 273)\ \mathrm{K} = 350\ \mathrm{K}$，求 $p_2$。

列式求解：由查理定律 $\dfrac{p_1}{T_1} = \dfrac{p_2}{T_2}$：

$$p_2 = \frac{T_2}{T_1}p_1 = \frac{350}{280} \times 1.2 \times 10^6\ \mathrm{Pa} = 1.5 \times 10^6\ \mathrm{Pa}$$

$1.5 \times 10^6\ \mathrm{Pa} < 1.6 \times 10^6\ \mathrm{Pa}$，钢瓶安全。

检验：温度升高，压强增大，方向对。热力学温度只增大了 $25\%$，压强也只增大 $25\%$；若误用摄氏温度，会算出压强增大到 $11$ 倍，明显不合理。

例 2　（场景：活塞自由移动，等压）如图，开口向上的气缸中，可无摩擦滑动的活塞封闭着一段气体，$27\ ^\circ\mathrm{C}$ 时气柱高 $30\ \mathrm{cm}$。把气体缓慢加热到 $127\ ^\circ\mathrm{C}$（活塞没有离开气缸），求活塞上升的高度。

解：

研究对象：缸内封闭的气体，质量不变。

过程划分：一个过程，从 $27\ ^\circ\mathrm{C}$ 到 $127\ ^\circ\mathrm{C}$。

分析：活塞受重力、大气压力、气体压力，前两个不变；活塞缓慢移动，始终平衡，所以气体压力不变，压强不变，是等压过程。$T_1 = 300\ \mathrm{K}$，$V_1 = L_1S$；$T_2 = 400\ \mathrm{K}$，$V_2 = L_2S$。

列式求解：由盖-吕萨克定律 $\dfrac{L_1S}{T_1} = \dfrac{L_2S}{T_2}$：

$$L_2 = \frac{T_2}{T_1}L_1 = \frac{400}{300} \times 30\ \mathrm{cm} = 40\ \mathrm{cm}$$

活塞上升 $\Delta L = L_2 - L_1 = 10\ \mathrm{cm}$。

检验：温度升高，体积变大，活塞上升，方向对。热力学温度变为 $\dfrac{4}{3}$ 倍，体积也是 $\dfrac{4}{3}$ 倍。

容易卡在：看到活塞在动，以为压强在变。判断压强变不变，要看活塞受的其他力变不变。

例 3　（场景：水平管中的液柱，等压）如图，水平放置的玻璃管左端封闭、右端开口，管内一段水银柱封闭着长 $L_1 = 27\ \mathrm{cm}$ 的空气柱，温度为 $27\ ^\circ\mathrm{C}$。把空气加热到 $77\ ^\circ\mathrm{C}$，水银柱没有流出。求水银柱移动的距离。

解：

研究对象：管内封闭的空气，质量不变。

过程划分：一个过程，加热。

分析：管水平，水银柱在水平方向只受两侧气体压力，平衡时管内空气压强始终等于大气压 $p_0$，是等压过程。$T_1 = 300\ \mathrm{K}$，$T_2 = 350\ \mathrm{K}$。

列式求解：由 $\dfrac{L_1}{T_1} = \dfrac{L_2}{T_2}$：

$$L_2 = \frac{T_2}{T_1}L_1 = \frac{350}{300} \times 27\ \mathrm{cm} = 31.5\ \mathrm{cm}$$

水银柱向右（向开口端）移动 $31.5\ \mathrm{cm} - 27\ \mathrm{cm} = 4.5\ \mathrm{cm}$。

检验：升温 $50\ \mathrm{K}$，约为初温的 $\dfrac{1}{6}$，气柱伸长 $27 \times \dfrac{1}{6} = 4.5\ \mathrm{cm}$，一致。

常用推论

• 等容时 $\Delta p = \dfrac{p_1}{T_1}\Delta T$；等压时 $\Delta V = \dfrac{V_1}{T_1}\Delta T$。由 $\dfrac{p}{T} = C$ 得 $\dfrac{\Delta p}{\Delta T} = C = \dfrac{p_1}{T_1}$，只问变化量时直接用。
• 液柱移动方向的判断：水平管中一段液柱隔开两段气体，原来压强相等（$p_A = p_B = p$）、温度分别为 $T_A$、$T_B$。两段气体升高相同温度 $\Delta T$ 时，先假设液柱不动（两边都等容），则 $\Delta p_A = \dfrac{p}{T_A}\Delta T$，$\Delta p_B = \dfrac{p}{T_B}\Delta T$。原来温度低的一侧压强增加得多，液柱向原来温度高的一侧移动。降温时反过来。
• 气体密度 $\rho \propto \dfrac{1}{T}$（压强不变时）：热空气密度小，所以热气球能升空。

易错点

• 错在哪：把查理定律和盖-吕萨克定律的内容记反。 为什么错：只记人名不记条件。 正确做法：答题时写“等容过程，$\dfrac{p_1}{T_1} = \dfrac{p_2}{T_2}$“或”等压过程，$\dfrac{V_1}{T_1} = \dfrac{V_2}{T_2}$“，写清条件就不会用错。
• 错在哪：认为“温度升高，压强一定增大”。 为什么错：把等容过程的结论推广到所有过程。等压过程温度升高、压强不变；体积同时大幅增大时，压强甚至可以减小。 正确做法：先判断哪个量不变，再下结论；三个量都变时用 $\dfrac{pV}{T} = C$ 判断（32.6）。
• 错在哪：活塞被卡环挡住后，继续用盖-吕萨克定律。 为什么错：卡环提供了新的力，活塞受力变了，压强不再不变；而体积不能再变，是等容。 正确做法：先判断活塞会不会碰到卡环（算出刚碰到时的温度），再分段（32.6 例 2）。

直观理解

一句话记法：温度是分子“撞得多狠”的指标。等容时，撞得越狠压强越大；等压时，要保持压强不变，撞得狠了就得把空间让大。两张图都是过原点的直线，“过原点”就是“正比”的意思，前提是横轴用热力学温度。

关联知识点

• 前置：32.2 热力学温度；32.3 封闭气体的压强。
• 前置：正比例函数的图像，过原点的直线，见《高中数学知识点梳理》第 28 章直线的方程。
• 后续：32.6 理想气体状态方程把三条定律合成一个式子。
• 常一起考：第 33 章热力学第一定律，等压膨胀时气体对外做功（大小 $p\Delta V$），同时吸热、内能增大。

32.6 理想气体状态方程

说明

理想气体：在任何温度、任何压强下都严格遵守三个气体实验定律的气体。它是一个理想模型，微观上可以这样理解：

• 分子本身的大小与分子间距离相比可以忽略，分子看成质点；
• 除碰撞外，分子之间没有相互作用力，所以没有分子势能，内能只是所有分子动能之和，只由温度和分子数决定；
• 分子与分子、分子与器壁的碰撞是弹性碰撞。

实际气体在压强不太大、温度不太低时可以看成理想气体。

理想气体状态方程：一定质量的理想气体，从状态 1 变到状态 2，

$$\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2} \qquad \text{或} \qquad \frac{pV}{T} = C$$

常量 $C$ 与气体的质量和种类有关（归根到底由物质的量决定），与 $p$、$V$、$T$ 无关。三条实验定律都是它的特例：$T$ 不变得玻意耳定律，$V$ 不变得查理定律，$p$ 不变得盖-吕萨克定律。

更完整的形式是 $pV = nRT$（$n$ 为物质的量，$R \approx 8.31\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$），人教版（2019）课本正文没有写这个式子，考试一般不要求，但用它理解”$C$ 正比于物质的量“很方便。

使用场景

• 一定质量的气体，$p$、$V$、$T$ 三个量都变了 → 理想气体 → $\dfrac{p_1V_1}{T_1} = \dfrac{p_2V_2}{T_2}$。
• 多个过程接连发生（活塞先自由移动、后碰到卡环；管先转动、后加热）→ 每段找不变量，前一段的末态是后一段的初态 → 分段用实验定律；只问首末状态时，可用状态方程直接连首末两态。
• 气体质量变化（漏气、放气、比较用掉了多少），问质量之比 → $\dfrac{pV}{T}$ 正比于气体质量 → $\dfrac{m_2}{m_1} = \dfrac{p_2V_2/T_2}{p_1V_1/T_1}$。

注意点

• 前提是一定质量的理想气体；变质量问题要先换研究对象，或用”$\dfrac{pV}{T}$ 正比于质量“的推论。
• 温度用热力学温度；$p$、$V$ 两边单位一致即可。
• 多过程题，状态方程只管首末两态，不管中间怎么走。但中间的过程决定末态的某些量（例如末态活塞是否碰到卡环），要先判断，再代入。
• 理想气体的内能只看温度，这是第 33 章用热力学第一定律分析气体过程的前提。

推导

课本由两条实验定律推出状态方程。

设一定质量的气体从状态 1（$p_1$，$V_1$，$T_1$）变到状态 2（$p_2$，$V_2$，$T_2$）。设想先让它等温变到一个中间状态 $c$，压强变为 $p_2$，体积为 $V_c$；再等压变到状态 2。

等温（1 → c），玻意耳定律：

$$p_1V_1 = p_2V_c$$

等压（c → 2），盖-吕萨克定律：

$$\frac{V_c}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$$

由第二式 $V_c = \dfrac{T_1}{T_2}V_2$，代入第一式：

$$p_1V_1 = p_2 \cdot \frac{T_1}{T_2}V_2 \quad\Rightarrow\quad \frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}$$

（关键一步：引入一个中间状态，把“三个量都变”拆成两个“只有两个量变”的过程。理想气体的状态只由 $p$、$V$、$T$ 决定，与经历的过程无关，所以设想的中间路径不影响首末状态的关系。）

例题

例 1　（场景：三个量都变）如图，长 $80\ \mathrm{cm}$、一端封闭、粗细均匀的玻璃管开口向上竖直放置，长 $25\ \mathrm{cm}$ 的水银柱封闭着长 $20\ \mathrm{cm}$ 的空气柱，温度为 $27\ ^\circ\mathrm{C}$。把管缓慢倒转为开口向下，同时环境温度升到 $87\ ^\circ\mathrm{C}$，水银没有流出。大气压 $p_0 = 75\ \mathrm{cmHg}$，求此时空气柱的长度。

解：

研究对象：管内封闭的空气，质量不变。

过程划分：只关心首末两态。倒转使压强变，升温使温度变，体积跟着变，三个量都变。

分析：

状态 1：$p_1 = p_0 + h = (75 + 25)\ \mathrm{cmHg} = 100\ \mathrm{cmHg}$，$L_1 = 20\ \mathrm{cm}$，$T_1 = 300\ \mathrm{K}$。

状态 2：$p_2 = p_0 - h = (75 - 25)\ \mathrm{cmHg} = 50\ \mathrm{cmHg}$，$L_2 = ?$，$T_2 = 360\ \mathrm{K}$。

列式求解：由 $\dfrac{p_1L_1S}{T_1} = \dfrac{p_2L_2S}{T_2}$：

$$L_2 = \frac{p_1T_2}{p_2T_1}L_1 = \frac{100 \times 360}{50 \times 300} \times 20\ \mathrm{cm} = 48\ \mathrm{cm}$$

检查是否溢出：$48\ \mathrm{cm} + 25\ \mathrm{cm} = 73\ \mathrm{cm} < 80\ \mathrm{cm}$，水银没有流出，结果成立。

检验：压强减半使气柱变为 $2$ 倍，温度变为 $1.2$ 倍使气柱再变为 $1.2$ 倍，$20 \times 2 \times 1.2 = 48$，一致。

例 2　（场景：多过程，活塞碰到卡环）如图，开口向上的气缸中，质量 $m = 2\ \mathrm{kg}$、横截面积 $S = 1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^2}$ 的光滑活塞封闭着一段气体，$27\ ^\circ\mathrm{C}$ 时气柱高 $20\ \mathrm{cm}$。气缸内壁距缸底 $25\ \mathrm{cm}$ 处（活塞下表面能到达的最高位置）有卡环。大气压 $p_0 = 1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$。把气体缓慢加热到 $177\ ^\circ\mathrm{C}$，求此时气体的压强。

解：

研究对象：缸内封闭的气体，质量不变。

过程划分：活塞碰到卡环前，活塞自由移动，等压；碰到卡环后，体积不变，等容。先判断加热到 $177\ ^\circ\mathrm{C}$ 前活塞是否会碰到卡环。

分析：

状态 1：$p_1 = p_0 + \dfrac{mg}{S} = 1.2 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$，$L_1 = 20\ \mathrm{cm}$，$T_1 = 300\ \mathrm{K}$。

状态 2（刚碰到卡环，活塞与卡环间还没有压力）：$p_2 = p_1$，$L_2 = 25\ \mathrm{cm}$，$T_2 = ?$

状态 3：$L_3 = 25\ \mathrm{cm}$，$T_3 = 450\ \mathrm{K}$，$p_3 = ?$

列式求解：1 → 2 等压，由盖-吕萨克定律：

$$T_2 = \frac{L_2}{L_1}T_1 = \frac{25}{20} \times 300\ \mathrm{K} = 375\ \mathrm{K}$$

$T_2 = 375\ \mathrm{K}$（$102\ ^\circ\mathrm{C}$）$< 450\ \mathrm{K}$，所以活塞会碰到卡环，之后等容升温。

2 → 3 等容，由查理定律：

$$p_3 = \frac{T_3}{T_2}p_2 = \frac{450}{375} \times 1.2 \times 10^5\ \mathrm{Pa} = 1.44 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$$

检验：碰到卡环后，压强比 $p_1$ 大，多出的部分由卡环对活塞向下的压力平衡：$(p_3 - p_1)S = 24\ \mathrm{N}$，卡环受力向上、对活塞的力向下，方向合理。

容易卡在：不判断是否碰到卡环，直接用等压算出 $L = 30\ \mathrm{cm}$，超出了卡环的位置。

另一种解法：判断出末态活塞在卡环处（$L_3 = 25\ \mathrm{cm}$）之后，直接用状态方程连接首末两态：

$$\frac{p_1L_1}{T_1} = \frac{p_3L_3}{T_3} \quad\Rightarrow\quad p_3 = \frac{L_1T_3}{L_3T_1}p_1 = \frac{20 \times 450}{25 \times 300} \times 1.2 \times 10^5\ \mathrm{Pa} = 1.44 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$$

只问末态时，状态方程一步到位，省去中间状态；题目还问“活塞刚碰到卡环时的温度”或要算各段的功，就要分段写。无论哪种，都要先判断末态活塞在哪里。

例 3　（场景：变质量，求用掉的比例）一瓶氧气在 $27\ ^\circ\mathrm{C}$ 时压强为 $1.2 \times 10^7\ \mathrm{Pa}$。使用一段时间后，在 $-3\ ^\circ\mathrm{C}$ 时测得瓶内压强为 $3.6 \times 10^6\ \mathrm{Pa}$。求瓶内剩下的氧气是原来的几分之几。

解：

研究对象：瓶内剩下的氧气。它的质量从头到尾不变。

过程划分：设想剩下的氧气在开始时（$27\ ^\circ\mathrm{C}$、$1.2 \times 10^7\ \mathrm{Pa}$）占体积 $V'$，后来充满整个瓶子（体积 $V$），只看这两个状态。

分析：初态 $p_1 = 1.2 \times 10^7\ \mathrm{Pa}$，$V_1 = V'$，$T_1 = 300\ \mathrm{K}$；末态 $p_2 = 3.6 \times 10^6\ \mathrm{Pa}$，$V_2 = V$，$T_2 = 270\ \mathrm{K}$。

列式求解：由状态方程：

$$V' = \frac{p_2T_1}{p_1T_2}V = \frac{3.6 \times 10^6 \times 300}{1.2 \times 10^7 \times 270}V = \frac{1}{3}V$$

开始时瓶内气体处处密度相同，剩下的氧气占瓶的 $\dfrac{1}{3}$，所以剩下的质量是原来的 $\dfrac{1}{3}$，用掉了 $\dfrac{2}{3}$。

检验：压强降为 $\dfrac{3}{10}$，如果温度不变，剩下 $\dfrac{3}{10}$；温度还降低了，同样的压强需要更多分子撑着（$\dfrac{300}{270}$ 倍），$\dfrac{3}{10} \times \dfrac{10}{9} = \dfrac{1}{3}$，一致。

容易卡在：以“瓶内气体”为研究对象用 $\dfrac{p_1V}{T_1} = \dfrac{p_2V}{T_2}$。瓶内气体质量变了，这个式子不成立。

常用推论

• $\dfrac{pV}{T}$ 正比于气体的质量（物质的量）：由 $pV = nRT$，或由例 3 的“假想体积”方法得出。所以同种气体 $\dfrac{m_2}{m_1} = \dfrac{p_2V_2T_1}{p_1V_1T_2}$。
• 分态式：几部分同种气体混合，$\dfrac{pV}{T} = \dfrac{p_1V_1}{T_1} + \dfrac{p_2V_2}{T_2} + \cdots$。由上一条推出，等温时就是 32.4 的 $pV$ 相加。
• 气体密度 $\rho \propto \dfrac{p}{T}$：由 $\rho = \dfrac{m}{V}$ 和 $\dfrac{pV}{T} \propto m$ 得出。
• 一定质量的理想气体，温度升高内能增大，温度不变内能不变，与 $p$、$V$ 怎么变无关（第 33 章常用）。

易错点

• 错在哪：多过程题不判断中间状态，直接对首末态套某一条实验定律。 为什么错：默认过程中某个量一直不变，实际上碰到卡环、液体溢出都会改变过程的性质。 正确做法：先算临界状态（刚碰卡环、刚溢出）的温度或压强，确定末态处于哪一段，再列式（例 2）。
• 错在哪：变质量问题直接用状态方程。 为什么错：状态方程的常量 $C$ 和质量有关，质量变了 $C$ 也变。 正确做法：选“剩下的气体”或“全部气体（包括进出的）“作研究对象，或用 $\dfrac{pV}{T} \propto m$ 列比例（例 3）。
• 错在哪：认为理想气体的内能和体积有关。 为什么错：实际气体的内能包含分子势能，和体积有关；理想气体忽略分子间作用力，没有分子势能。 正确做法：理想气体内能只看温度（和分子数）。

直观理解

$\dfrac{pV}{T}$ 是一段气体的“身份证号”：只要气体的质量不变，不管怎样压缩、加热、转动，这个数都不变。题目里气体经历了什么都不要紧，抓住首末两张“照片”，各写出 $p$、$V$、$T$，令 $\dfrac{pV}{T}$ 相等即可；身份证号变了，说明换了一段气体（质量变了）。

关联知识点

• 前置：32.4、32.5 三条实验定律，状态方程由它们推出。
• 前置：第 31 章分子动理论，理想气体忽略分子间作用力，内能只有分子动能。
• 后续：32.7 气体图像，图上每一点是一个状态。
• 常一起考：第 33 章热力学第一定律，状态方程求末态，第一定律算吸放热。

32.7 气体的图像

说明

一定质量的理想气体，每一个状态对应一组 $(p, V, T)$，在 $p$-$V$、$p$-$T$、$V$-$T$ 图上是一个点；一个过程是一条线。三种图上的特殊过程：

图像	等温线	等容线	等压线	比较大小的方法
$p$-$V$	双曲线的一支（$pV = C$）	竖直线	水平线	等温线离原点越远温度越高；同一点 $pV$ 越大温度越高
$p$-$\dfrac{1}{V}$	过原点的直线	竖直线	水平线	直线斜率越大温度越高
$p$-$T$	竖直线	过原点的直线（$p = \dfrac{C}{V}T$）	水平线	连原点，斜率越大体积越小
$V$-$T$	竖直线	水平线	过原点的直线（$V = \dfrac{C}{p}T$）	连原点，斜率越大压强越小

$p$-$V$ 图的图线与 $V$ 轴围成的面积等于气体对外做的功（等压时大小为 $p\Delta V$；第 33 章热力学第一定律里外界对气体做功记 $W$，膨胀时 $W = -p\Delta V$）。

使用场景

• 给出 $p$-$V$ 图，比较两个状态的温度，或判断一个过程中温度怎样变 → 等温线 → 比较 $pV$ 的乘积，或看点落在哪条等温线上。
• 给出 $p$-$T$ 图或 $V$-$T$ 图，比较两个状态的体积或压强 → 等容线、等压线过原点 → 把点和原点连起来，比较斜率。
• 给出一种图上的循环过程，要求画成另一种图或判断各段的变化 → 每段先认出是什么过程（哪个量不变）→ 在新图上找对应的形状。

注意点

• $p$-$T$、$V$-$T$ 图上的等容线、等压线过原点的前提是横轴用热力学温度。横轴用摄氏温度时，直线交 $t$ 轴于 $-273\ ^\circ\mathrm{C}$，不过原点。
• 等容线、等压线在原点附近画虚线：温度很低时气体液化，图线没有实际意义。
• 比较体积、压强要连原点，不能只看点的高低。$V$-$T$ 图上位置高的点体积大，但压强大小要看斜率。
• 一条不过原点的倾斜直线（如 $p$-$T$ 图上的斜线）不是等容线，体积在变。

推导

等温线为什么是双曲线：$T$ 不变时 $pV = C$，$p = \dfrac{C}{V}$，是反比例函数，图像是双曲线的一支（第一象限）。由 $\dfrac{pV}{T} = C'$ 得 $pV = C'T$，温度越高，乘积 $pV$ 越大，双曲线离原点越远。

等容线为什么斜率越大体积越小：由 $\dfrac{pV}{T} = C'$ 得 $p = \dfrac{C'}{V}T$。$V$ 不变时，$p$ 是 $T$ 的正比例函数，斜率 $k = \dfrac{C'}{V}$。

（关键一步：斜率 $k$ 和 $V$ 成反比，所以斜率越大，体积越小。同理，$V$-$T$ 图上等压线的斜率 $\dfrac{C'}{p}$，斜率越大，压强越小。）

对图上任意一点（不一定在某条已画出的线上），它和原点连线的斜率就是 $\dfrac{p}{T}$（或 $\dfrac{V}{T}$），等于 $\dfrac{C'}{V}$（或 $\dfrac{C'}{p}$），所以“连原点比斜率”适用于任意两点的比较。

例题

例 1　（场景：$p$-$V$ 图上判断温度）一定质量的理想气体沿 $p$-$V$ 图上的直线从状态 $A$ 变到状态 $B$，$A$ 点为 $(1\ \mathrm{L}, 3 \times 10^5\ \mathrm{Pa})$，$B$ 点为 $(3\ \mathrm{L}, 1 \times 10^5\ \mathrm{Pa})$。已知 $A$ 状态温度为 $300\ \mathrm{K}$。(1) 求 $B$ 状态的温度；(2) 从 $A$ 到 $B$ 的过程中，温度怎样变化？最高温度是多少？

解：

研究对象：这一定质量的理想气体。

过程划分：从 $A$ 沿直线到 $B$，一个过程。

分析：温度正比于 $pV$（由 $\dfrac{pV}{T} = C$），比较各点的 $pV$ 即可。以 $10^5\ \mathrm{Pa}$ 和 $\mathrm{L}$ 为单位，$p_AV_A = 3$，$p_BV_B = 3$。

列式求解：(1) $p_AV_A = p_BV_B$，所以 $T_B = T_A = 300\ \mathrm{K}$。

(2) 直线 $AB$ 的方程是 $p = 4 - V$（单位同上），线上任一点

$$pV = (4 - V)V = 4 - (V - 2)^2$$

$V$ 从 $1$ 增大到 $2$ 时 $pV$ 增大，从 $2$ 增大到 $3$ 时 $pV$ 减小，$V = 2\ \mathrm{L}$ 时（$C$ 点）最大，$pV = 4$。所以温度先升高后降低，最高温度

$$T_C = \frac{4}{3}T_A = 400\ \mathrm{K}$$

检验：图上 $A$、$B$ 都在 $pV = 3$ 的等温线上，直线 $AB$ 中间部分落在等温线外侧（离原点更远），温度更高，与计算一致。

容易卡在：以为 $A$、$B$ 温度相等，过程中温度也不变。等温过程的图线是双曲线，不是直线。

另一种解法：只用图：画出过 $A$、$B$ 的等温线 $pV = 3$，直线 $AB$ 在它的上方（外侧），说明中间各点温度都高于 $300\ \mathrm{K}$；再画与直线 $AB$ 相切的等温线，切点 $C$ 温度最高。选择题只问“温度怎样变化”时，画等温线一眼可判；要求最高温度的数值时，还是要用二次函数（《高中数学知识点梳理》第 4 章）求 $pV$ 的最大值。

例 2　（场景：$V$-$T$ 图上比较压强）一定质量的理想气体处于 $V$-$T$ 图上的 $A$（$300\ \mathrm{K}$，$2\ \mathrm{L}$）、$B$（$400\ \mathrm{K}$，$4\ \mathrm{L}$）两个状态。比较 $A$、$B$ 两状态的压强，并求 $p_A : p_B$。

解：

判断依据：$V$-$T$ 图上，点与原点连线的斜率 $\dfrac{V}{T}$ 越大，压强越小。

$A$ 的斜率 $\dfrac{2}{300} = \dfrac{1}{150}$，$B$ 的斜率 $\dfrac{4}{400} = \dfrac{1}{100}$，$B$ 的连线更陡，所以 $p_B < p_A$。

由 $p = C\dfrac{T}{V}$：

$$\frac{p_A}{p_B} = \frac{T_A/V_A}{T_B/V_B} = \frac{150}{100} = \frac{3}{2}$$

即 $p_A : p_B = 3 : 2$。

容易卡在：看到 $B$ 点更高（体积大、温度也高），就判断 $B$ 的压强大。压强要看斜率，不看高度。

例 3　（场景：图像转换）一定质量的理想气体经历如图所示的循环：$A \to B$ 等容升压，$B \to C$ 等温膨胀，$C \to A$ 等压压缩。已知 $A$ 状态 $V_A = 1\ \mathrm{L}$、$p_A = 1 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$、$T_A = 300\ \mathrm{K}$，$B$ 状态压强 $3 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$，$C$ 状态压强 $1 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$。求 $B$、$C$ 的温度和 $C$ 的体积，并把循环画在 $V$-$T$ 图上。

解：

研究对象：这一定质量的理想气体。

过程划分：三段：$A \to B$ 等容，$B \to C$ 等温，$C \to A$ 等压。

分析：逐段用对应的实验定律求未知量；在 $V$-$T$ 图上，等容是水平线，等温是竖直线，等压是过原点直线上的一段。

列式求解：$A \to B$ 等容，由查理定律：

$$T_B = \frac{p_B}{p_A}T_A = 3 \times 300\ \mathrm{K} = 900\ \mathrm{K}$$

$B \to C$ 等温：$T_C = T_B = 900\ \mathrm{K}$，由玻意耳定律 $p_BV_B = p_CV_C$：

$$V_C = \frac{p_BV_B}{p_C} = \frac{3 \times 1}{1}\ \mathrm{L} = 3\ \mathrm{L}$$

在 $V$-$T$ 图上：$A(300\ \mathrm{K}, 1\ \mathrm{L})$，$B(900\ \mathrm{K}, 1\ \mathrm{L})$，$C(900\ \mathrm{K}, 3\ \mathrm{L})$。$A \to B$ 是水平线，$B \to C$ 是竖直线，$C \to A$ 在过原点的直线 $V = \dfrac{T}{300}$ 上。

检验：$C \to A$ 等压，由盖-吕萨克定律 $\dfrac{V_C}{T_C} = \dfrac{3}{900} = \dfrac{1}{300} = \dfrac{V_A}{T_A}$，数据自洽，循环能闭合。

常用推论

• $p$-$V$ 图上任一点的温度正比于 $pV$（矩形面积）：比温度就是比“该点与两坐标轴围成的矩形面积”。
• $p$-$V$ 图上连接同一等温线上两点的直线过程，温度先升后降（例 1）。
• $p$-$T$ 图上点与原点连线越陡，体积越小；$V$-$T$ 图上连线越陡，压强越小。由本节推导得出。
• $p$-$V$ 图上沿顺时针的循环，气体对外做的净功为正（图线围成的面积），第 33 章用。

易错点

• 错在哪：在 $p$-$T$ 图上，认为位置高的点体积大或体积小。 为什么错：把图像当成“看高低”，忘了体积由斜率决定。 正确做法：$p$-$T$、$V$-$T$ 图上比较第三个量，一律连原点比斜率。
• 错在哪：横轴是摄氏温度 $t$ 时，仍认为等容线过原点。 为什么错：正比关系只对热力学温度成立。 正确做法：看清横轴是 $T$ 还是 $t$；是 $t$ 时，等容线延长后交于 $(-273\ ^\circ\mathrm{C}, 0)$，比较时连这一点。
• 错在哪：$p$-$V$ 图上两点温度相同，就认为两点之间的过程是等温的。 为什么错：等温要求过程中每一点温度都相同，图线是双曲线；直线连接时，中间温度更高（例 1）。 正确做法：判断过程中温度的变化，要看图线和等温线族的相对位置。

直观理解

三种图各有一条“直线规则”：$p$-$V$ 图的等温线弯（反比），$p$-$T$、$V$-$T$ 图的特殊线直（正比）。记一句：过原点的直线，越陡，第三个量越小。因为斜率等于“常量除以第三个量”。

关联知识点

• 前置：32.4–32.6 三条定律和状态方程。
• 前置：第 1 章图像的斜率和面积；反比例函数见《高中数学知识点梳理》第 7 章，二次函数求最值见第 4 章。
• 后续：第 33 章热力学第一定律，$p$-$V$ 图下的面积是功，结合图像判断吸热放热。
• 常一起考：第 42 章实验，$p$-$\dfrac{1}{V}$ 图像化曲为直。

32.8 气体压强的微观解释

说明

气体压强的产生：气体分子不停地做无规则运动，大量分子频繁地碰撞器壁，每次碰撞对器壁有一个冲力。单个分子的冲击是断续的，但大量分子的碰撞合起来，对器壁形成一个持续、均匀的压力。气体压强就是大量气体分子作用在器壁单位面积上的平均作用力。

决定气体压强的两个微观因素：

• 分子的平均动能（宏观上看温度）：平均动能越大，每次碰撞的冲力越大，单位时间撞得也越多；
• 分子的数密度（单位体积内的分子数，宏观上看体积）：数密度越大，单位时间撞到单位面积器壁上的分子越多。

用它解释三条实验定律：

过程	不变的量	变化	微观解释
等温（玻意耳）	平均动能	体积减小，压强增大	平均动能不变，数密度增大，单位时间单位面积上的碰撞次数增多
等容（查理）	数密度	温度升高，压强增大	数密度不变，平均动能增大，每次冲力变大、碰撞也更频繁
等压（盖-吕萨克）	压强	温度升高，体积增大	平均动能增大使压强有增大的趋势，体积增大使数密度减小，两者抵消，压强不变

模型：理想气体，分子与器壁的碰撞是弹性碰撞。

使用场景

• 选择题问“压强变化的微观原因” → 两个微观因素 → 先看温度变不变（平均动能），再看体积变不变（数密度）。
• 选择题给出某一过程，判断“单位时间撞击器壁的次数”“每次撞击的冲力”如何变 → 把宏观过程翻译成平均动能和数密度的变化 → 逐项判断。
• 比较气体压强和大气压、液体压强的来源（失重、太空中）→ 封闭气体的压强来自分子碰撞，不来自重力 → 失重时封闭气体压强不变。

注意点

• 温度是分子平均动能的标志，说的是平均。温度升高，并不是每个分子的速率都增大（第 31 章分子速率分布）。
• 封闭气体的压强由分子碰撞产生，与气体的重力无关；大气压可以看成大气层重力产生的（地面附近），这是两种不同的说法，不要混淆。所以宇宙飞船里的封闭气体，失重时压强照样存在。
• 只说“温度升高，压强增大”是不完整的，要加上“体积不变”；只说“体积减小，压强增大”要加上“温度不变”。

推导

用一个简化模型说明压强与平均动能、数密度的关系（课本只要求定性理解，这里的半定量推导帮助记住两个因素）。

1. 一个质量为 $m$ 的分子以速率 $v$ 垂直撞向器壁，弹性碰撞后以 $v$ 反弹。取离开器壁的方向为正，它的动量变化 $\Delta p = mv - (-mv) = 2mv$，所以器壁给它的冲量是 $2mv$，由牛顿第三定律，它给器壁的冲量也是 $2mv$，方向指向器壁外（动量定理，第 19 章）。
2. 单位时间内撞到面积 $S$ 上的分子数，和数密度 $n$（单位体积的分子数）成正比，也和速率 $v$ 成正比（跑得快，单位时间内能赶到器壁的分子来自更远处）。
3. 单位时间对面积 $S$ 的总冲量就是平均力 $F$，所以 $F \propto n v \cdot S \cdot 2mv$，压强 $p = \dfrac{F}{S} \propto n \cdot mv^2$。

（关键一步：第 2、3 步中速率 $v$ 出现了两次：一次在每次碰撞的冲量里，一次在碰撞的频繁程度里。所以压强和 $mv^2$，也就是分子动能成正比，而不是和速率成正比。）

更仔细地考虑分子朝各个方向运动、速率各不相同，大学物理会得到 $p = \dfrac{2}{3}n\bar{E}_{\text{k}}$（$\bar{E}_{\text{k}}$ 为分子平均动能），需要用到统计平均，高中不要求。这个式子同时说明，温度（平均动能）和数密度是决定压强的两个因素。

模拟实验：课本用豆粒模拟：把大量豆粒连续地倒在台秤盘上，秤的示数稳定在某个值；豆粒从更高处落下（速率大），或单位时间倒下的豆粒更多（数密度大），示数都增大。单个豆粒的撞击是断续的，大量豆粒合起来就是持续的压力。

例题

例 1　（场景：判断压强变化的微观原因）一定质量的气体，保持体积不变，温度升高。下列说法正确的是（　）。

A. 每个分子的速率都增大 B. 分子数密度增大 C. 分子的平均动能增大，单位时间内撞击器壁单位面积的分子数增多 D. 气体压强增大是因为分子间的斥力增大

解：C。

判断依据：等容过程，数密度不变；温度升高，平均动能增大。

温度升高是平均动能增大，个别分子的速率可能减小，A 错。体积不变，分子数不变，数密度不变，B 错。平均动能增大，分子平均速率增大，每次撞击的冲力增大，单位时间撞到单位面积器壁的分子数也增多，C 对。气体压强来自分子撞击器壁，不是分子间斥力，D 错。

例 2　（场景：把宏观过程翻译成微观量）一定质量的理想气体，温度不变、体积缓慢减小为原来的一半。关于这一过程，下列说法正确的是（　）。

A. 分子的平均动能增大 B. 每次撞击器壁的平均冲力增大 C. 单位时间内撞击器壁单位面积的分子数增大 D. 气体压强不变

解：C。

判断依据：温度不变 → 平均动能不变；体积减半 → 数密度加倍。

平均动能不变，A 错；分子平均速率不变，每次撞击的平均冲力不变，B 错。数密度加倍，单位时间撞到单位面积器壁的分子数增大，C 对。由玻意耳定律，压强加倍，D 错。

例 3　（场景：封闭气体压强与重力无关）在绕地球运行的空间站里，一只密闭容器中装有气体。下列说法正确的是（　）。

A. 空间站处于完全失重状态，容器内气体的压强为零 B. 容器内气体的压强由分子撞击器壁产生，失重时仍然存在 C. 容器内气体分子不再做热运动 D. 容器上部气体的压强比下部小

解：B。

判断依据：封闭气体的压强来自大量分子碰撞器壁，和重力无关。

完全失重只让和重力有关的现象消失（液体压强、浮力等，第 6 章），分子的热运动和碰撞照常进行，压强照样存在，A、C 错，B 对。地面上容器上下部的气体压强差来自气体重力，一般小到可以忽略；失重时这一点差别也没有了，D 错。

常用推论

• 一定质量的气体，压强的变化可以拆成两个因素：温度变化（平均动能）和体积变化（数密度）。两个因素同向时压强一定变（升温且压缩，压强增大）；反向时要用状态方程定量判断。
• 一定质量的气体，体积不变时，单位时间撞击器壁的次数只随温度变化；温度不变时，每次撞击的平均冲力不变，只有撞击次数随体积变化。由本节“说明”的两个因素直接得出。
• 等压膨胀（升温）时，单位时间撞击单位面积器壁的分子数减少：每次冲力增大了，要保持压强不变，撞击次数必须减少。

易错点

• 错在哪：认为“温度升高，每个分子的速率都增大”。 为什么错：把统计规律当成每个个体的规律。温度是大量分子平均动能的标志，分子速率一直在变，有的大有的小（第 31 章）。 正确做法：说“分子的平均动能增大”“平均速率增大”。
• 错在哪：认为气体压强是由气体的重力产生的，失重时为零。 为什么错：类比液体压强、大气压的直觉在作怪。容器里的气体质量很小，它的重力产生的压强差可以忽略，压强几乎全来自分子碰撞。 正确做法：封闭气体的压强用“分子碰撞器壁”解释，和重力无关。
• 错在哪：等压升温时认为“分子撞击器壁的次数增多”。 为什么错：只想到温度升高、分子更快，忘了体积增大使数密度减小。 正确做法：两个因素都要考虑：压强不变而冲力变大，次数一定减少。

直观理解

把压强想成下雨打在伞上的力：雨点越大越快（平均动能），每一滴打得越重；雨越密（数密度），单位时间打下来的雨点越多。伞受到的力由这两样共同决定。气体的三条定律，就是在问这两样谁变了、谁没变。

关联知识点

• 前置：第 31 章分子动理论，热运动、分子速率分布、温度的微观意义。
• 前置：第 19 章动量定理，单个分子碰撞器壁的冲量。
• 前置：第 6 章失重，和重力有关的现象在失重时消失。
• 后续：第 33 章内能与热力学第一定律，理想气体的内能是分子动能之和。

32.9 固体与液体

说明

晶体与非晶体：

	单晶体	多晶体	非晶体
外形	规则的几何外形	不规则	不规则
熔点	确定	确定	不确定（加热时逐渐变软）
物理性质	各向异性	各向同性	各向同性
例子	石英、云母、食盐颗粒、明矾	金属、岩石	玻璃、松香、沥青、蜂蜡

• 各向异性：某些物理性质（导热、导电、光学性质、强度）在不同方向上不同。云母片沿不同方向导热不同，就是单晶体的各向异性。
• 多晶体由许多取向杂乱的小晶粒组成，各个方向的性质被平均掉了，所以各向同性，但每个小晶粒仍是晶体，所以有确定的熔点。
• 微观结构：晶体内部的微粒（分子、原子、离子）按一定规则在空间周期性排列，形成空间点阵；非晶体内部的微粒排列没有规则。同一种物质可以生成不同的晶体（如碳原子排列不同，形成石墨和金刚石），在一定条件下晶体和非晶体还可以相互转化。
• 液晶：介于液体和晶体之间的状态，像液体一样能流动，又像晶体一样在某些光学性质上各向异性；外加电压能改变它的光学性质，用于液晶显示器。

液体：

• 表面张力：液体表面层里分子比内部稀疏，分子间作用力表现为引力，使液面像张紧的膜一样，有收缩到最小面积的趋势。表面张力的方向跟液面相切，并且垂直于液面上的分界线。例子：露珠和太空中的水滴呈球形（同体积下球面积最小）、水黾能停在水面上、针能浮在水面上、肥皂膜收缩。
• 浸润与不浸润：液体附着在固体表面上的现象叫浸润（水对玻璃）；不附着的叫不浸润（水银对玻璃、水对荷叶）。同一种液体对不同固体，可能浸润也可能不浸润。浸润时，液体和固体接触的附着层分子受固体的吸引较强，附着层有扩展的趋势；不浸润时附着层有收缩的趋势。
• 毛细现象：浸润液体在细管中上升、不浸润液体在细管中下降的现象。管越细，液面高度差越大。例子：毛巾吸水、灯芯吸油、植物从土壤吸水、土壤锄松后可以减少水分沿毛细管上升蒸发。

使用场景

• 判断一种物质是晶体还是非晶体、单晶体还是多晶体 → 看熔点和各向异性 → 有确定熔点的是晶体；各向异性的一定是单晶体；外形不规则不能说明是非晶体。
• 解释水滴呈球形、小昆虫停在水面、液膜收缩等现象 → 液体表面张力 → 液面有收缩趋势，表面张力沿液面切线方向。
• 解释细管中液面上升或下降、毛巾吸水 → 浸润、不浸润与毛细现象 → 浸润液体在细管中上升，不浸润液体下降，管越细越明显。

注意点

• “各向同性”不能说明是非晶体：多晶体也各向同性。判断晶体与非晶体的可靠依据是熔点。
• 单晶体只是某些物理性质各向异性，不是所有性质都各向异性。
• 表面张力是液体表面层内部分子间的引力，不是液体对固体的力，也不是重力。它的方向沿液面切线，不是垂直液面。
• 浸润与否是液体和固体两方面共同决定的，不能说“水是浸润液体”，要说“水对玻璃浸润”。

推导

本知识点没有定量推导，因为高中只要求定性了解。下面给出几个现象的微观来源。

晶体为什么有确定熔点：晶体中微粒规则排列，破坏这种排列需要的能量是确定的，所以达到某一温度后吸热只用于破坏点阵，温度不再升高，直到全部熔化。非晶体中微粒排列杂乱，各处结合的牢固程度不同，加热时逐渐变软，没有确定的熔化温度。

单晶体为什么各向异性：沿不同方向，点阵中微粒排列的疏密不同（例如某方向上微粒排得紧，另一方向上排得松），导热、导电、光的传播等就不同。

表面张力为什么存在：液体表面层的分子，一侧是液体，一侧是气体，受到液体内部分子的吸引多，受气体分子的作用很少；表面层分子比内部稀疏，分子间距离大于平衡距离 $r_0$，分子力表现为引力（第 31 章分子力曲线）。

（关键一步：表面层分子间距大于 $r_0$。由分子力曲线，距离大于 $r_0$ 时分子力表现为引力，这就是表面张力“收缩”的来源。）

例题

例 1　（场景：判断晶体与非晶体）在两块同样的薄片上各涂一层石蜡，用烧热的针尖分别接触薄片背面的中心，石蜡熔化的区域：甲片上是椭圆形，乙片上是圆形。下列说法正确的是（　）。

A. 甲一定是单晶体 B. 乙一定是非晶体 C. 乙一定是多晶体 D. 甲、乙都没有确定的熔点

解：A。

判断依据：熔化区域的形状反映导热是否各向异性。

甲片熔化区是椭圆，说明沿不同方向导热快慢不同，导热各向异性，一定是单晶体，A 对。乙片导热各向同性，可能是多晶体，也可能是非晶体，B、C 都太绝对。甲是晶体，有确定的熔点，D 错。

例 2　（场景：表面张力现象）下列现象中，主要由液体表面张力引起的是（　）。

A. 小木块漂浮在水面上 B. 水黾可以停在水面上 C. 墨水滴入清水中逐渐散开 D. 用吸管把饮料吸进嘴里

解：B。

判断依据：表面张力使液面像张紧的薄膜，有收缩的趋势。

水黾的腿把水面压得微微下凹，凹面的表面张力托住水黾，B 对。木块漂浮靠浮力，A 错；墨水散开是扩散现象（第 31 章），C 错；吸饮料靠大气压，D 错。

例 3　（场景：毛细现象）把两根粗细不同的细玻璃管分别竖直插入水中和水银中，如图。下列说法正确的是（　）。

A. 插入水中的细管，管内水面比管外低 B. 插入水银中的细管，管内水银面比管外高 C. 插入水中时，管越细，管内外水面的高度差越大 D. 毛细现象只发生在浸润液体中

解：C。

判断依据：浸润液体在细管中上升，不浸润液体下降；管越细，高度差越大。

水对玻璃浸润，管内水面升高，A 错；水银对玻璃不浸润，管内水银面降低，B 错；管越细，现象越明显，C 对；不浸润液体在细管中下降也是毛细现象，D 错。

常用推论

• 有确定熔点 ⟺ 晶体；各向异性 ⟹ 单晶体；各向同性 ⟹ 多晶体或非晶体。由本节“说明”的表格得出。
• 液面收缩到最小面积：不受其他力（太空中）的液滴呈球形，因为同体积的几何体中球的表面积最小。
• 浸润液体在细管中的液面呈凹形，不浸润液体的液面呈凸形。

易错点

• 错在哪：认为外形不规则的就是非晶体。 为什么错：用“规则外形”判断晶体的直觉忽略了多晶体，金属外形不规则，却是多晶体。 正确做法：判断晶体看有没有确定的熔点。
• 错在哪：认为单晶体所有物理性质都各向异性。 为什么错：把“某些性质不同”推广成“所有性质不同”。 正确做法：说“某些物理性质各向异性”。
• 错在哪：认为表面张力的方向垂直于液面。 为什么错：联想到“水面托住水黾”，以为力向上。表面张力沿液面切线，凹下去的液面各处的切向力合起来，才有向上的分量。 正确做法：记住“跟液面相切、垂直于分界线”。

直观理解

晶体像排好队的方阵：横着看和斜着看，人的疏密不同（各向异性）；解散方阵要一口令（确定熔点）。非晶体像散乱的人群，看哪个方向都差不多，慢慢就散了。液体表面像一层绷紧的保鲜膜：总想缩小，能托住轻小的东西。

关联知识点

• 前置：第 31 章分子动理论，分子力曲线和分子间距离。
• 后续：第 33 章热力学定律，晶体熔化吸热、温度不变，内能增加（分子势能增大）。
• 常一起考：第 31 章分子力、扩散现象，常在同一道选择题里作为不同选项出现。

32.10 知识点之间的关系

气体计算题按一条固定的路线走：选研究对象（质量不变的一段气体）→ 求压强（32.3）→ 换温度（32.2）→ 看过程，找不变量 → 选定律（32.4–32.6）。多过程先找临界状态再分段；变质量先换研究对象。图像题（32.7）和微观解释（32.8）是同一套定律换了两种说法：一种画成图，一种用分子运动讲。固体、液体（32.9）是独立的概念，常和第 31 章分子动理论放在同一道选择题里。

32.11 自测

1. 一定质量的气体温度从 $-73\ ^\circ\mathrm{C}$ 升高到 $127\ ^\circ\mathrm{C}$，热力学温度变为原来的几倍？温度升高了多少开尔文？
2. 开口向下竖直放置的玻璃管内，长 $12\ \mathrm{cm}$ 的水银柱封闭一段空气，大气压 $76\ \mathrm{cmHg}$，求空气的压强。
3. 开口向上的气缸中，光滑活塞质量 $5\ \mathrm{kg}$、横截面积 $25\ \mathrm{cm^2}$，大气压 $1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$，求缸内气体的压强。
4. 导热气缸内气体的压强为 $1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$、体积 $6\ \mathrm{L}$，温度不变，缓慢压缩到 $4\ \mathrm{L}$，求压强。
5. 汽车轮胎在 $27\ ^\circ\mathrm{C}$ 时胎压 $2.4 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$，行驶后胎内温度升到 $57\ ^\circ\mathrm{C}$，体积不变，求胎压。
6. 一定质量的理想气体，压强变为原来的 $2$ 倍，体积变为原来的 $\dfrac{1}{4}$，热力学温度变为原来的几倍？
7. $p$-$T$ 图上，一定质量气体的两个状态 $A$、$B$ 与原点连线的斜率 $k_A > k_B$，哪个状态的体积大？
8. 一定质量的理想气体等压膨胀，单位时间撞击器壁单位面积的分子数怎样变化？
9. 判断：各向同性的固体一定是非晶体。

答案：1. $2$ 倍（$200\ \mathrm{K}$ 到 $400\ \mathrm{K}$），升高 $200\ \mathrm{K}$；2. $64\ \mathrm{cmHg}$；3. $1.2 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$；4. $1.5 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$；5. $2.64 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$；6. $\dfrac{1}{2}$ 倍；7. $B$（斜率越小体积越大）；8. 减少；9. 错，多晶体也各向同性。

32.12 深入阅读

• PhET · 气体性质：固定温度、体积或压强中的一个，改另外两个，看压强计和分子运动怎么变，三个实验定律和压强的微观解释都能演示。
• PhET · 气体介绍：气体性质的简化版，适合先建立“分子撞器壁产生压强”的图景。
• 维基百科 · 理想气体状态方程：从玻意耳、查理、盖-吕萨克定律到 pV = nRT 的来历，含历史和适用条件。
• 国家中小学智慧教育平台：教育部主办，有人教版选择性必修第三册“气体、固体和液体”一章的同步课程。