第 33 章 · 热力学定律

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课标主题	选择性必修 3 · 热力学定律
人教版（2019）	选择性必修第三册 第三章“热力学定律”
考试地位	常考。热力学第一定律多和气体图像、气体实验定律一起考：选择题判断 $\Delta U$、$W$、$Q$ 的正负，计算题在求出状态参量后再问“吸热还是放热、多少”；热力学第二定律、永动机、能量守恒的发现史常作为选择题的选项
前置知识	第 12 章功；第 14 章能量守恒；第 31 章内能；第 32 章气体实验定律、理想气体和 p-V 图像；第 1 章 1.4 节图像的面积

这一章把第 14 章的能量守恒推广到热现象：内能可以靠做功改变，也可以靠热传递改变，两者合起来就是热力学第一定律 $\Delta U = W + Q$。题目本身算得不难，丢分几乎都丢在正负号上：气体膨胀时 $W$ 是负的、放热时 $Q$ 是负的。第二定律讲的是另一件事：能量守恒的过程也不一定能自发发生，热量不会自己从冷处流到热处。

33.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
33.2 功、热与内能的改变	改变内能有做功和热传递两种方式；绝热时 $\Delta U = W$，只有热传递时 $\Delta U = Q$	选择题考概念，常和第 31 章内能一起考
33.3 热力学第一定律	$\Delta U = W + Q$；外界对气体做功 $W$ 为正，气体吸热 $Q$ 为正；理想气体的 $\Delta U$ 只看温度	常考，和气体图像、气体实验定律结合
33.4 能量守恒定律与第一类永动机	能量不会凭空产生或消失；不消耗能量而不断做功的机器不可能造成	选择题偶考，常考发现史
33.5 热力学第二定律	热量不能自发地从低温物体传到高温物体；不可能从单一热源吸热全部变成功而不引起其他变化；第二类永动机不可能造成	选择题常考概念判断
33.6 热力学第二定律的微观意义与熵（初步）	自发过程总是朝微观状态数多、更无序的方向进行；熵是无序程度的量度，孤立系统的熵不减少	偶考概念

33.2 功、热与内能的改变

说明

内能是物体中所有分子的热运动动能和分子势能的总和（第 31 章）。改变物体内能有两种方式：

方式	发生的条件	能量怎样变	例子
做功	外界对物体做功，或物体对外界做功	其他形式的能（机械能、电能）和内能之间转化	搓手发热、压缩气体变热、电阻丝通电发热
热传递	物体之间（或物体各部分之间）有温度差	内能从高温物体转移到低温物体，能的形式不变	用火加热水、热水放凉、晒太阳

热量 $Q$：热传递过程中转移的内能的多少，单位焦耳 $\mathrm{J}$。热量是“过程量”，只能说物体“吸收了”“放出了”多少热量，不能说物体“含有”多少热量。

绝热过程：系统与外界没有热传递（容器用隔热材料包好，或过程进行得极快，来不及传热）。绝热过程中，内能的变化只来自做功：

$$\Delta U = W$$

$W$ 是外界对系统做的功。

只有热传递（不做功，如体积不变的容器加热）时，内能的变化等于吸收的热量：

$$\Delta U = Q$$

这两种方式在改变内能上是等效的：只看末态，分不出内能是靠做功还是靠热传递增加的。这正是下一节把两者加起来的依据。

使用场景

• 题目问某个过程靠什么改变内能（钻木取火、暖手宝、打气筒发热、冰块熔化）→ 看有没有力做功、有没有温度差 → 有力推动物体移动、发生摩擦或电流做功是做功；靠温度差是热传递。
• 题目说“绝热”“隔热”“迅速压缩（膨胀）”，给出做功求内能或温度变化 → 绝热模型 → $\Delta U = W$；水、固体的温度变化再用 $Q = cm\Delta t$ 换算。
• 题目把“温度”“热量”“内能”放在一起判断 → 区分状态量和过程量 → 温度、内能是状态量，热量和功是过程量。

注意点

• 做功改变内能是能量的转化（机械能变内能），热传递是能量的转移（内能从一个物体到另一个物体）。选择题常考这个区别。
• 热传递的方向由温度决定，不由内能决定。一小杯开水的内能可能比一大桶温水小，但热量仍从开水传给温水。
• “迅速压缩、迅速膨胀”一般当作绝热：时间太短，来不及和外界交换多少热量。“缓慢”“导热良好”则提示温度和外界相同（等温）。
• 本节的 $W$ 是外界对系统做的功。气体被压缩时 $W > 0$；气体膨胀推开外界时 $W < 0$（下一节详写符号）。
• 用 $Q = cm\Delta t$ 换算温度变化时，$c$ 是比热容，水的 $c = 4.2 \times 10^3\ \mathrm{J/(kg \cdot ^\circ C)}$；温度差用摄氏度或开尔文都一样（第 32 章温标）。

推导

做功和热传递在改变内能上等效，这是实验结论，最有名的实验是焦耳做的。

焦耳的实验：英国物理学家焦耳从 19 世纪 40 年代起用多种方法测量“做多少功能让水升温多少”。其中最有名的是叶轮搅水实验（1845 年起多次改进，1849 年把系统结果报告给英国皇家学会，论文 1850 年发表）：

1. 装置：一个包了隔热层的容器装水，水里装有叶轮；重物下落时通过绳子带动叶轮转动，叶轮搅动水。容器隔热，水和外界几乎没有热传递。
2. 测量：重物下落的高度和质量给出外界做的功 $W = mgh$；水的温度升高量给出内能的增加。
3. 控制变量：他还用电流通过浸在水中的电阻丝加热、压缩空气等方法做功，比较“同样的温升需要多少功”。
4. 结论：不论用哪种方式做功，只要是绝热过程，使同样的水升高同样的温度所需的功都相同。功和热量之间有固定的换算关系（热功当量），他得到的值约合 $4.15\ \mathrm{J/cal}$，与现代值 $4.18\ \mathrm{J/cal}$ 很接近（$1\ \mathrm{cal}$ 是使 $1\ \mathrm{g}$ 水升高 $1\ ^\circ\mathrm{C}$ 的热量）。

（关键一步：绝热条件下，只要系统的初、末状态一样，外界所做的功就一样，与做功的方式无关。这说明存在一个只由状态决定的量，它的增加量等于绝热过程中外界做的功，这个量就是内能，于是有 $\Delta U = W$。）

再看只有热传递的情形：同样的水，用加热的办法升高同样的温度，需要吸收的热量正好等于绝热时所需的功（按热功当量换算后）。所以热量也是内能变化的量度：$\Delta U = Q$。热量单位后来统一成焦耳，热功当量就不再需要单独写出。

例题

例 1　（场景：判断改变内能的方式）下列过程中，通过热传递改变物体内能的是（　）。

A. 钻木取火　B. 用打气筒打气时筒壁发热　C. 冬天把手放在暖气片上取暖　D. 电热丝通电后发热

解：C。

判断依据：有温度差、能量从高温物体转移到低温物体的是热传递；有力做功或电流做功、其他形式的能转化成内能的是做功。

A：克服摩擦做功，机械能转化为内能。B：活塞压缩筒内空气做功，空气内能增加、温度升高，再传给筒壁；筒壁发热的主要原因是做功（另有活塞与筒壁摩擦，也是做功）。C：暖气片温度高，内能转移到手上，是热传递。D：电流做功，电能转化为内能。

容易卡在：B 中筒壁发热“看起来”是被气体加热的，但追到源头，是活塞对气体做功使气体先变热。题目问的是改变内能的根本原因。

例 2　（场景：绝热过程，给出做功求温度变化）仿照焦耳实验：绝热容器里装有 $0.5\ \mathrm{kg}$ 水，两个重物共 $20\ \mathrm{kg}$，每次下落 $2.1\ \mathrm{m}$ 带动叶轮搅水，重物落到底后再匀速提起（提起时叶轮不转），共下落 20 次。重物落地时速度很小，动能不计；叶轮和容器吸收的热量不计。求水温升高多少。水的比热容 $c = 4.2 \times 10^3\ \mathrm{J/(kg \cdot ^\circ C)}$。

解：

研究对象：容器里的水（含叶轮的搅动，叶轮吸热不计）。

过程划分：20 次下落，每次都是重物的重力势能经绳子、叶轮对水做功；容器绝热，水和外界无热传递。

分析：重物动能不计，减少的重力势能全部变成对水做的功。绝热，$\Delta U = W$，再用 $Q = cm\Delta t$ 把内能增加换算成温升（本节“绝热过程”）。

列式求解：外界对水做的总功

$$W = 20 \times m_{\text{物}}gh = 20 \times 20 \times 10 \times 2.1\ \mathrm{J} = 8400\ \mathrm{J}$$

水的内能增加 $\Delta U = W = 8400\ \mathrm{J}$，相当于吸收同样多的热量，所以

$$\Delta t = \frac{\Delta U}{cm_{\text{水}}} = \frac{8400}{4.2 \times 10^3 \times 0.5}\ ^\circ\mathrm{C} = 4\ ^\circ\mathrm{C}$$

检验：单位 $\dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{J/(kg \cdot ^\circ C)} \times \mathrm{kg}} = ^\circ\mathrm{C}$，对。量级：20 千克重物下落 20 次才让半千克水升高 4 度，说明机械能“换”热的比例很小，这正是焦耳实验难做的原因（要测准零点几度的温升），合理。

容易卡在：只算一次下落的功。题目说“共下落 20 次”，功要乘 20。

例 3　（场景：区分温度、热量、内能）下列说法正确的是（　）。

A. 温度高的物体含有的热量多　B. 物体吸收热量，温度一定升高　C. 两个物体接触时，热量总是从内能大的物体传给内能小的物体　D. 物体的温度不变，它的内能也可能改变

解：D。

判断依据：热量是过程量，不能说“含有”；热传递的方向由温度决定；内能由分子动能和分子势能共同决定。

A 错：热量只在热传递过程中出现，物体不“含有”热量。B 错：晶体熔化、水沸腾时吸热但温度不变，吸收的热量增加了分子势能。C 错：热量从温度高的物体传给温度低的物体，与内能大小无关。D 对：$0\ ^\circ\mathrm{C}$ 的冰熔化成 $0\ ^\circ\mathrm{C}$ 的水，温度不变，分子势能增加，内能增加。

常用推论

• 绝热压缩，气体温度升高；绝热膨胀，气体温度降低。由 $\Delta U = W$：压缩时 $W > 0$，内能增加；膨胀时 $W < 0$，内能减少；理想气体内能减少就是温度降低（33.3 节）。例子：柴油机压缩冲程使空气温度高到能点燃柴油；打开汽水瓶盖，瓶口出现白雾（气体迅速膨胀降温，水蒸气凝结）。
• 晶体熔化、液体沸腾时吸热而温度不变，吸收的热量全部用来增加分子势能（第 31、32 章）。
• 不知道热量来自做功还是热传递时，只要知道初末状态，内能的变化就确定了：内能是状态量。

易错点

• 错在哪：说“物体温度越高，含有的热量越多”。 为什么错：日常语言把“热量”当成物体里存着的东西，其实存着的是内能。热量只描述热传递过程中转移了多少内能，没有热传递就谈不上热量。 正确做法：说“温度越高，（同一物体的）内能越大”；热量只和“吸收”“放出”连用。
• 错在哪：认为物体吸热温度一定升高、放热温度一定降低。 为什么错：直觉把“热”和“温度”画等号。物态变化时吸热只增加分子势能，温度不变；气体吸热的同时对外做功更多，温度还可能降低（33.3 节）。 正确做法：温度变化看内能（对理想气体）或看具体过程，不能只看吸放热。
• 错在哪：认为热量从内能大的物体传给内能小的物体。 为什么错：内能和物体的质量、物态都有关，内能大的物体温度不一定高。 正确做法：热传递只看温度差：从高温物体到低温物体，直到温度相同。

直观理解

把内能想成一个水池里的水。做功是用水泵从别的池子（机械能、电能）往里抽水，水换了“池子”；热传递是两个水池连通，水从高处（高温）自己流到低处（低温）。不管水从哪条路进来，池里的水位只由最后有多少水决定。

关联知识点

• 前置：第 31 章内能，内能是分子动能和分子势能的总和。
• 前置：第 12 章功；第 14 章 14.7 节能量守恒，焦耳实验也是能量守恒的实验依据。
• 后续：33.3 节把两种方式合起来，得到 $\Delta U = W + Q$。
• 常一起考：第 32 章固体和液体，物态变化中吸热温度不变。

33.3 热力学第一定律

说明

热力学第一定律：一个热力学系统的内能增量 $\Delta U$，等于外界向它传递的热量 $Q$ 与外界对它所做的功 $W$ 之和：

$$\Delta U = W + Q$$

它是能量守恒定律在热现象中的具体形式。

符号约定（最容易错的地方）：

量	取正（$> 0$）	取负（$< 0$）	为零
$W$	外界对系统做功（气体被压缩，体积减小）	系统对外界做功（气体膨胀，体积增大）	体积不变（或向真空自由膨胀）
$Q$	系统从外界吸热	系统向外界放热	绝热
$\Delta U$	内能增加（理想气体：温度升高）	内能减少（理想气体：温度降低）	内能不变（理想气体：温度不变）

一句话记：进入系统的能量为正，离开系统的为负。

理想气体的内能只与温度有关。理想气体是一种理想化模型：分子本身的大小不计，分子之间除碰撞外没有相互作用力，所以没有分子势能，内能就是所有分子热运动动能的总和；分子的平均动能只由温度决定（第 31 章）。因此，一定质量的理想气体：

• 温度升高，$\Delta U > 0$；温度降低，$\Delta U < 0$；温度不变，$\Delta U = 0$，不论体积、压强怎样变。
• 由理想气体状态方程 $\dfrac{pV}{T} = C$（第 32 章），看 $pV$ 乘积的变化就能判断温度的变化。

气体做功的计算：

• 等压过程：气体体积变化 $\Delta V$，外界对气体做功 $W = -p\Delta V$（膨胀时 $\Delta V > 0$，$W < 0$）。
• 一般过程：p-V 图线与 $V$ 轴围成的面积等于功的大小（第 1 章 1.4 节“纵轴量 × 横轴量”）；体积增大时 $W$ 取负，减小时取正。

本节建立在的模型：一定质量的气体（封闭系统，没有物质进出）；用到“内能只看温度”时还要求是理想气体。

使用场景

• 题目用文字给出“对外做功多少、吸（放）热多少”，求内能变化或其中一个量 → 热力学第一定律 → 先按符号表给每个量定正负，再代入 $\Delta U = W + Q$。
• 题目给出 p-V 图像或说“等压膨胀（压缩）”，要求功 → 图线下的面积 → 等压时 $|W| = p|\Delta V|$，再按体积增减定符号。
• 活塞、液柱封闭气体，缓慢加热或冷却，问吸放热或内能变化 → 先由活塞受力平衡求压强（第 5 章、第 32 章），等压时 $W = -p\Delta V$ → 再用 $\Delta U = W + Q$。
• 只告诉一定质量理想气体的状态变化（等温、等容、等压、绝热），判断 $\Delta U$、$W$、$Q$ 的正负 → 理想气体模型 → $\Delta U$ 看温度，$W$ 看体积，$Q$ 由 $Q = \Delta U - W$ 推出。
• 气体经过一个循环回到原状态（p-V 图上的闭合图线）→ 内能是状态量 → $\Delta U = 0$，净功大小等于闭合图线围成的面积，净吸热 $Q = -W$。

注意点

• 列式前先写符号：先判断每个量的正负，代入时带上符号。最常见的错误是把“气体对外做功 $200\ \mathrm{J}$“代成 $W = +200\ \mathrm{J}$。
• 有的资料把第一定律写成 $Q = \Delta U + W'$，其中 $W'$ 是系统对外做的功。两种写法都对，但同一道题只能用一种。本书统一用 $\Delta U = W + Q$（人教版写法），$W$ 是外界对系统做的功。
• 选对研究对象：一般选封闭的那部分气体。活塞、容器、外界大气都是“外界”。
• 气体向真空自由膨胀时，没有物体被推开，$W = 0$。如果容器还绝热，$Q = 0$，则 $\Delta U = 0$，理想气体温度不变。
• 只有理想气体才能说“内能只由温度决定”。实际气体、液体、固体的内能还与体积（分子势能）有关。
• 单位：功和热量都用焦耳。$p$ 用 $\mathrm{Pa}$，$V$ 用 $\mathrm{m^3}$，$1\ \mathrm{L} = 10^{-3}\ \mathrm{m^3}$；$p\Delta V$ 的单位 $\mathrm{Pa \cdot m^3} = \mathrm{N/m^2 \cdot m^3} = \mathrm{N \cdot m} = \mathrm{J}$。

推导

第一定律从哪里来：33.2 节已经有两个实验结论，绝热时 $\Delta U = W$，只有热传递时 $\Delta U = Q$。一般过程中两种方式同时进行，内能的改变是两者之和：

$$\Delta U = W + Q$$

（关键一步：功和热量都是“传给系统的能量”，单位都是焦耳，可以直接相加。这一步的依据就是焦耳测出的热功当量：做功和传热改变内能的效果可以按固定比例互换，统一成焦耳后比例就是 1。）

等压过程的功 $W = -p\Delta V$：设气缸中活塞面积为 $S$，气体压强 $p$ 不变，气体推动活塞向外移动 $\Delta l$。气体对活塞的力 $F = pS$，气体对外做功

$$W_{\text{对外}} = F\Delta l = pS\Delta l = p\Delta V$$

外界（活塞）对气体做的功与之等大反号：$W = -p\Delta V$。

压强变化时用面积（微元法）：把体积变化分成许多小段，每一小段内压强几乎不变，这一小段的功约为 $p\,\Delta V$，就是 p-V 图上一个窄矩形的面积；所有窄矩形加起来，就是图线下的面积（和第 1 章 1.4 节 $v$-$t$ 图面积是位移的道理一样）。严格写成 $W = -\int p\,\mathrm{d}V$，要用到定积分，高中不要求。

理想气体内能只与温度有关的实验依据：焦耳曾让气体向真空自由膨胀（绝热，$W = 0$、$Q = 0$），发现温度几乎不变；所以体积变了而内能不变，对稀薄气体，内能与体积无关。

例题

例 1　（场景：文字给出功和热，注意膨胀时 $W$ 为负）一定质量的理想气体膨胀，对外做功 $200\ \mathrm{J}$，同时从外界吸收热量 $500\ \mathrm{J}$。求气体内能的变化，并判断温度怎样变化。

解：

研究对象：这部分理想气体。

过程划分：一个过程，膨胀并吸热。

分析：按符号表定正负：气体膨胀、对外做功，能量离开气体，$W = -200\ \mathrm{J}$；吸热，能量进入气体，$Q = +500\ \mathrm{J}$。用本节 $\Delta U = W + Q$。

列式求解：

$$\Delta U = W + Q = (-200\ \mathrm{J}) + 500\ \mathrm{J} = 300\ \mathrm{J}$$

$\Delta U > 0$，内能增加 $300\ \mathrm{J}$。理想气体内能只与温度有关，所以温度升高。

检验：吸进 $500\ \mathrm{J}$，送出 $200\ \mathrm{J}$，净留下 $300\ \mathrm{J}$，和记账的直觉一致。

容易卡在：写成 $\Delta U = 200 + 500 = 700\ \mathrm{J}$。“对外做功”四个字一出现，就要想到 $W$ 取负。

例 2　（场景：等压过程求功）一定质量的理想气体，在压强 $p = 1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$ 下等压膨胀，体积从 $2.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^3}$ 增大到 $3.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^3}$，过程中吸收热量 $250\ \mathrm{J}$。求气体内能的变化。

解：

研究对象：这部分理想气体。

过程划分：一个过程，状态 A 到 B 等压膨胀。

分析：功的大小是 p-V 图线下的矩形面积；体积增大，气体对外做功，$W$ 取负。吸热，$Q = +250\ \mathrm{J}$。

列式求解：

$$W = -p\Delta V = -1.0 \times 10^5 \times (3.0 - 2.0) \times 10^{-3}\ \mathrm{J} = -100\ \mathrm{J}$$ $$\Delta U = W + Q = -100\ \mathrm{J} + 250\ \mathrm{J} = 150\ \mathrm{J}$$

内能增加 $150\ \mathrm{J}$。

检验：单位 $\mathrm{Pa \cdot m^3} = \mathrm{J}$，对。由 $\dfrac{V}{T} = C$，等压膨胀温度升高，内能应增加，$\Delta U > 0$，一致。

例 3　（场景：活塞封闭气体，先由受力求压强）如图，竖直放置的汽缸内用活塞封闭一定质量的理想气体，活塞质量 $m = 10\ \mathrm{kg}$、横截面积 $S = 50\ \mathrm{cm^2}$，可无摩擦滑动，大气压强 $p_0 = 1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$。缓慢加热气体，活塞上升 $h = 10\ \mathrm{cm}$，气体吸收热量 $Q = 120\ \mathrm{J}$。求气体内能的变化。

解：

研究对象：先以活塞为对象求压强，再以封闭气体为对象用第一定律。

过程划分：一个过程。“缓慢”说明活塞每一时刻都处于平衡，气体压强不变，是等压膨胀。

分析：活塞受三个力：大气压力 $p_0S$ 向下，重力 $mg$ 向下，气体压力 $pS$ 向上，平衡。求出 $p$ 后，$W = -p\Delta V = -pSh$。

列式求解：$S = 50\ \mathrm{cm^2} = 5 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^2}$，$h = 0.1\ \mathrm{m}$。由活塞平衡 $pS = p_0S + mg$：

$$p = p_0 + \frac{mg}{S} = 1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa} + \frac{10 \times 10}{5 \times 10^{-3}}\ \mathrm{Pa} = 1.2 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$$

外界对气体做功

$$W = -pSh = -1.2 \times 10^5 \times 5 \times 10^{-3} \times 0.1\ \mathrm{J} = -60\ \mathrm{J}$$ $$\Delta U = W + Q = -60\ \mathrm{J} + 120\ \mathrm{J} = 60\ \mathrm{J}$$

内能增加 $60\ \mathrm{J}$。

检验：等压膨胀温度升高，内能增加，一致。气体压强比大气压大 $20\%$，因为还要托住活塞，合理。

容易卡在：用大气压 $p_0$ 算功，得 $-50\ \mathrm{J}$。气体推活塞的力是 $pS$，不是 $p_0S$。

另一种解法：不求 $p$，直接算气体对外做的功去了哪里：活塞缓慢上升，动能不变，气体对活塞做的功一部分用来推开大气，$p_0Sh = 1.0 \times 10^5 \times 5 \times 10^{-3} \times 0.1\ \mathrm{J} = 50\ \mathrm{J}$，一部分用来抬高活塞，$mgh = 100 \times 0.1\ \mathrm{J} = 10\ \mathrm{J}$，共 $60\ \mathrm{J}$。所以 $W = -60\ \mathrm{J}$。题目已经要你求压强时用主解法顺手；只问能量、不问压强时，这种“功的去向”写法不用受力分析，也不容易漏掉活塞重力。

例 4　（场景：只给状态变化，判断正负）关于一定质量的理想气体，下列说法正确的是（　）。

A. 等温压缩过程中，气体放热　B. 绝热膨胀过程中，气体温度升高　C. 等容升温过程中，气体吸收的热量全部用来增加内能　D. 等压膨胀过程中，气体吸收的热量等于它对外做的功

解：AC。

判断依据：理想气体 $\Delta U$ 看温度，$W$ 看体积，$Q = \Delta U - W$。

过程	$\Delta U$	$W$	$Q = \Delta U - W$	结论
A 等温压缩	$0$	$> 0$	$< 0$	放热，A 对
B 绝热膨胀	$= W < 0$	$< 0$	$0$	内能减少，温度降低，B 错
C 等容升温	$> 0$	$0$	$= \Delta U$	吸的热全变成内能，C 对
D 等压膨胀	$> 0$（由 $\dfrac{V}{T} = C$，温度升高）	$< 0$	$= \Delta U + \lvert W \rvert$	吸热比对外做功多，D 错

容易卡在：D 中忘了等压膨胀温度会升高，以为吸的热都拿去做功了。等温膨胀才是“吸热全部用来对外做功”。

例 5　（场景：循环过程）一定质量的理想气体经历如图的循环 A→B→C→A，其中 A→B 等容，C→A 等压，B→C 在 p-V 图上是直线。求：（1）判断 A→B、C→A 两个过程气体吸热还是放热；（2）B→C 过程气体内能的变化和吸收的热量；（3）一个循环中气体对外做的净功和净吸热。

解：

研究对象：这部分理想气体。

过程划分：A→B 等容升压，B→C 膨胀且降压，C→A 等压压缩，三段。

分析：每段 $\Delta U$ 看温度（用 $pV$ 的乘积判断，$pV$ 越大温度越高），$W$ 看体积和面积，$Q = \Delta U - W$。图中一格面积 $= 10^5\ \mathrm{Pa} \times 10^{-3}\ \mathrm{m^3} = 100\ \mathrm{J}$。

列式求解：

（1）A→B：体积不变，$W = 0$；$pV$ 从 $1$ 增到 $3$（单位 $100\ \mathrm{J}$，下同），温度升高，$\Delta U > 0$，所以 $Q = \Delta U > 0$，吸热。

C→A：$pV$ 从 $3$ 减到 $1$，温度降低，$\Delta U < 0$；体积减小，$W > 0$；$Q = \Delta U - W < 0$，放热。

（2）B→C：$p_BV_B = 3 \times 1 = 3$，$p_CV_C = 1 \times 3 = 3$，$T_B = T_C$，所以 $\Delta U_{BC} = 0$。功的大小是 B→C 线段下的梯形面积：

$$|W_{BC}| = \frac{(3 + 1) \times 10^5}{2} \times 2 \times 10^{-3}\ \mathrm{J} = 400\ \mathrm{J}$$

体积增大，$W_{BC} = -400\ \mathrm{J}$，所以 $Q_{BC} = \Delta U - W = 400\ \mathrm{J}$，吸热 $400\ \mathrm{J}$。

（3）回到原状态，$\Delta U = 0$。各段的功：$W_{AB} = 0$，$W_{BC} = -400\ \mathrm{J}$，$W_{CA} = +p\Delta V = 1 \times 10^5 \times 2 \times 10^{-3}\ \mathrm{J} = +200\ \mathrm{J}$，合计

$$W = 0 - 400\ \mathrm{J} + 200\ \mathrm{J} = -200\ \mathrm{J}$$

即气体对外做净功 $200\ \mathrm{J}$；由 $0 = W + Q$，净吸热 $Q = 200\ \mathrm{J}$。

检验：循环沿顺时针走（膨胀在上面、压缩在下面），膨胀时对外做的功比压缩时外界做的功多，气体净对外做功，一致。B→C 中途 $pV$ 最大到 $2 \times 2 = 4 > 3$，温度先升后降，但首末温度相同，$\Delta U$ 只看首末，所以仍为 0。

另一种解法：净功直接等于闭合图线围成的面积：三角形面积 $\dfrac{1}{2} \times 2 \times 2$ 格 $= 2$ 格 $= 200\ \mathrm{J}$，顺时针说明气体净对外做功，$W = -200\ \mathrm{J}$，净吸热 $200\ \mathrm{J}$。只问整个循环时用面积最快；要逐段判断吸放热时，还得分段算。

常用推论

• 一定质量理想气体的几个特殊过程（由第一定律和“内能只看温度”推出，例 4 的表）：

过程	$\Delta U$	$W$	$Q$
等温	$0$	压缩 $+$、膨胀 $-$	$Q = -W$：膨胀吸热、压缩放热
等容	升温 $+$、降温 $-$	$0$	$Q = \Delta U$
等压膨胀	$+$	$-p\Delta V$	$Q = \Delta U + p\Delta V > 0$，吸热比对外做功多
等压压缩	$-$	$+p\lvert\Delta V\rvert$	放热比外界做功多
绝热	$\Delta U = W$	压缩 $+$、膨胀 $-$	$0$：压缩升温，膨胀降温

• 先看两个“一眼量”：温度变不变（定 $\Delta U$），体积变不变（定 $W$），再用 $Q = \Delta U - W$ 求第三个。$Q$ 很少能直接看出来，总是最后推。
• p-V 图上，循环沿顺时针进行，气体对外做净功、净吸热；沿逆时针，外界对气体做净功、气体净放热。净功的大小等于闭合图线围成的面积（例 5）。
• 从同一状态出发膨胀到同一体积，等压过程对外做功最多、绝热过程最少（看图线下面积：等压线最高，绝热线最低，等温线在中间）。
• 气体向真空自由膨胀，$W = 0$。

易错点

• 错在哪：气体膨胀对外做功 $100\ \mathrm{J}$，代成 $W = +100\ \mathrm{J}$。 为什么错：日常说“做了 $100\ \mathrm{J}$ 的功”都是正数，直觉不会主动加负号。但 $\Delta U = W + Q$ 里的 $W$ 指外界对气体做的功，气体对外做功时它是负的。 正确做法：代入前先写一句“膨胀，$W < 0$“或”压缩，$W > 0$“，再代数值。
• 错在哪：认为气体吸热，温度一定升高。 为什么错：吸热的同时气体可能对外做更多的功。等温膨胀吸热而温度不变；吸热 $100\ \mathrm{J}$、对外做功 $150\ \mathrm{J}$ 时内能还减少。 正确做法：温度看 $\Delta U = W + Q$ 的总账，不看单独一项。
• 错在哪：认为理想气体被压缩，体积变小，分子靠近，内能就增加。 为什么错：这是把实际物体的分子势能套到理想气体上。理想气体不计分子力，没有分子势能，体积变化本身不改变内能。等温压缩时外界做的功全部以热量形式放出，内能不变。 正确做法：理想气体的内能只看温度；体积只决定 $W$ 的正负。
• 错在哪：活塞问题用大气压 $p_0$ 算气体做的功。 为什么错：气体对活塞的推力是 $pS$，$p$ 要由活塞的受力平衡求，活塞有重量或上面有重物时 $p \ne p_0$。 正确做法：先对活塞做受力分析求 $p$（例 3），或者用“推开大气 + 抬高活塞”的功的去向来算。

直观理解

$\Delta U = W + Q$ 是一本收支账：气体的内能是存款，外界做功和吸热是两笔收入，对外做功和放热是两笔支出，收入记正、支出记负，存款的变化就是两笔数之和。

p-V 图像上，功是面积，温度看 $pV$ 的乘积。从同一状态出发膨胀时，绝热线比等温线陡：绝热膨胀不吸热，对外做功只能消耗内能，温度降低，所以压强降得比等温时快。

关联知识点

• 前置：第 1 章 1.4 节图像的面积，p-V 图线下的面积是功。
• 前置：第 32 章气体实验定律和理想气体状态方程，用来判断温度和体积的变化；p-V、p-T、V-T 图像。
• 前置：第 5 章共点力的平衡，活塞、液柱的受力平衡求气体压强。
• 前置：第 31 章内能；第 12 章功的正负。
• 后续：33.5 节热机效率，热机就是让气体循环工作，$Q_1 = W + Q_2$。
• 常一起考：第 32 章气体实验定律的计算题，最后一问常问“吸热还是放热、多少”。

33.4 能量守恒定律与第一类永动机

说明

能量守恒定律：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变。定律本身在第 14 章 14.7 节已经讲过，本节从热学的角度补充两件事：它是怎样被发现的，以及它否定了什么。

热力学第一定律是能量守恒在热现象中的形式：$\Delta U = W + Q$ 只是把“机械能、电能 ↔ 内能”（做功）和“内能 ↔ 内能”（热传递）的账写成一个式子。能量守恒定律更普遍，涵盖机械能、内能、电磁能、化学能、核能之间的一切转化。

第一类永动机：不消耗任何能量（或燃料），却能源源不断地对外做功的机器。它违背能量守恒定律，不可能制成。

发现过程（课标要求通过史实了解）：

人物	时间	贡献
迈尔（德国医生）	1842 年	从生理学（热带地区人的静脉血颜色较鲜红）想到能量的转化与守恒，最早发表这一思想，并估算了热功当量
焦耳（英国）	19 世纪 40 年代	用叶轮搅水、电流生热等多种实验精确测定热功当量，为定律提供了实验基础（33.2 节）
亥姆霍兹（德国）	1847 年	发表《论力的守恒》，把能量守恒推广到力学、热学、电磁学和生命过程，给出数学表述

使用场景

• 选择题问能量守恒定律的发现史、谁做了什么 → 物理学史 → 迈尔提出思想、焦耳做实验、亥姆霍兹系统表述，三人从不同角度独立得出。
• 题目描述一个“不用能源就能一直转下去或一直做功”的装置，问能否实现 → 第一类永动机 → 看它对外输出的能量从哪里来；找不到来源就违背能量守恒。
• 一个过程中有燃料的化学能、机械能、内能多种转化，问效率或某种能量的去向（发动机、发电） → 能量守恒 → 总能量 = 有用的能量 + 散失的能量。

注意点

• 能量守恒定律没有适用条件，至今没有发现违背它的实验；机械能守恒、热力学第一定律都是它的特例。
• 永动机“不可能”不是因为工艺不够好，而是因为违背了定律。题目问“随着科技进步能否实现”，答案仍是不能。
• 史实题要分清：迈尔最早提出思想，焦耳的贡献是实验测定热功当量，亥姆霍兹做了系统的理论表述。“能量守恒定律是焦耳一个人发现的”是错的。
• 能量守恒不等于能源用不完：能量会耗散成环境的内能，难以再利用（第 14 章 14.7 节；33.5 节解释原因）。

推导

能量守恒定律是实验和实践的总结，不由其他定律推出；第 14 章 14.7 节已给出依据。热学部分的依据就是 33.2 节的焦耳实验：不论用哪种方式做功，产生同样多的热所需的功都相同。

（关键一步：功和热按固定比例互换，说明它们是同一个量（能量）的不同表现。若这个比例会随做功方式变化，就可以“用 A 方式做功产热、再用 B 方式把热变回功”白赚能量；实验否定了这种可能。）

为什么第一类永动机造不出来：让一台机器循环工作，每转一圈回到原来的状态，内能不变，$\Delta U = 0$。由 $\Delta U = W + Q$，$W = -Q$：机器对外做的功（$-W$）只能等于它从外界吸收的热量 $Q$。不吸热（不消耗能量）却对外做功，就要求 $\Delta U = W + Q$ 不成立，所以不可能。

例题

例 1　（场景：物理学史）关于能量守恒定律的发现，下列说法正确的是（　）。

A. 能量守恒定律是焦耳一个人通过实验发现的　B. 迈尔、焦耳、亥姆霍兹等人从不同角度为发现能量守恒定律作出了贡献　C. 焦耳通过大量实验测定了热功当量，为能量守恒定律奠定了实验基础　D. 能量守恒定律是由牛顿运动定律推导出来的

解：BC。

判断依据：能量守恒定律是 19 世纪 40 年代多位科学家从不同领域独立得出的，焦耳的贡献在实验。

A 错：迈尔、亥姆霍兹也是发现者。B 对。C 对：焦耳的实验表明功和热可以按固定比例互换。D 错：它是实验总结，适用范围远超力学，不能由牛顿定律推出。

例 2　（场景：判断永动机）有人设计了一个装置：高处水槽里的水流下，冲动水轮带动发电机发电，发出的电再带动水泵把流下的水抽回高处水槽，同时还多余一部分电供照明。他认为只要第一次把水装满，装置就能一直工作下去。这个设计能否实现？为什么？

解：不能实现。

判断依据：装置循环工作，水每转一圈回到原处，自身能量不变；对外输出的电能（照明）必须有来源。

水从高处流下减少的重力势能，最多全部变成电能；把同样多的水抽回原高度，至少要消耗同样多的电能。即使没有任何损耗，发电和抽水也只能刚好抵消，没有多余的电可以照明；实际上还有摩擦、电阻发热，连自己维持运转都做不到。装置不消耗外界能量却对外做功，是第一类永动机，违背能量守恒定律。

例 3　（场景：多种能量转化与效率）一台柴油机的输出功率为 $30\ \mathrm{kW}$，工作 $1\ \mathrm{h}$ 消耗柴油 $6\ \mathrm{kg}$，柴油的热值取 $q = 4.5 \times 10^7\ \mathrm{J/kg}$。求柴油机的效率，并说明其余的能量到哪里去了。

解：

研究对象：柴油机。

过程划分：工作 $1\ \mathrm{h}$，柴油燃烧放出的热是总能量，输出的机械功是有用能量。

分析：能量守恒：燃料放出的能量 = 输出的功 + 散失的能量。效率 = 有用功 ÷ 总能量。

列式求解：柴油完全燃烧放出的热量

$$Q = mq = 6 \times 4.5 \times 10^7\ \mathrm{J} = 2.7 \times 10^8\ \mathrm{J}$$

输出的功

$$W = Pt = 3 \times 10^4 \times 3600\ \mathrm{J} = 1.08 \times 10^8\ \mathrm{J}$$ $$\eta = \frac{W}{Q} \times 100\% = \frac{1.08 \times 10^8}{2.7 \times 10^8} \times 100\% = 40\%$$

其余 $60\%$，即 $1.62 \times 10^8\ \mathrm{J}$，主要随高温废气排出、经汽缸壁和冷却水散到环境中，还有一部分克服机件摩擦变成内能。

检验：单位 $\mathrm{W \cdot s} = \mathrm{J}$，对。柴油机效率在热机里较高，常见三四成，合理。

常用推论

• 机器循环工作时 $\Delta U = 0$，对外做的功等于净吸热：$-W = Q$（本节推导）。所以任何机器想对外做功，都必须从外界获得能量。
• 热机效率 $\eta = \dfrac{W_{\text{有用}}}{Q_{\text{燃料}}} < 100\%$；“能量守恒”只说明 $\eta \le 100\%$，为什么一定 $< 100\%$ 要靠 33.5 节的第二定律。
• 机械能守恒（第 14 章）、热力学第一定律（33.3 节）、闭合电路中的能量关系（第 18 章）都是能量守恒定律在具体领域的写法。

易错点

• 错在哪：认为第一类永动机造不出来是因为摩擦太大，将来减小摩擦就能造出来。 为什么错：直觉把“永动”理解为“没有损耗地一直转”。没有摩擦的轮子确实可以一直转，但它不能对外做功；永动机的要求是不断对外输出能量，这一点和摩擦无关，违背的是能量守恒。 正确做法：判断装置时追问“输出的能量从哪里来”，而不是“损耗大不大”。
• 错在哪：把能量守恒定律的发现全归给焦耳，或者归给一个人。 为什么错：焦耳的名字出现在能量单位上，容易让人以为定律也是他提出的。 正确做法：记住“迈尔提出、焦耳实验、亥姆霍兹系统表述”。
• 错在哪：认为热力学第一定律和能量守恒定律是两个独立的定律。 为什么错：第一定律只是能量守恒在“只涉及内能、功、热”时的写法。 正确做法：把 $\Delta U = W + Q$ 读成“内能的增加 = 外界以做功和传热两种方式送进来的能量”。

直观理解

永动机就像一个从不进账、却天天往外花钱的钱包，不管设计得多巧，账上总得有一笔收入。能量守恒定律就是物理世界的“账目必须平衡”。

关联知识点

• 前置：第 14 章 14.7 节能量守恒定律与能源（定律的表述、效率、能源分类）。
• 前置：33.2 节焦耳实验；33.3 节热力学第一定律。
• 后续：33.5 节第二类永动机，它不违背能量守恒，却违背第二定律。
• 后续：第 36 章核能与质能方程，能量守恒在核反应中的形式。
• 常一起考：附录 D 物理学史年表。

33.5 热力学第二定律

说明

宏观过程的方向性：能量守恒的过程不一定都能自发发生。热量会自发地从高温物体传给低温物体，反过来却不会；运动的物体靠摩擦停下来，机械能全部变成内能，但地面上的内能不会自动聚起来让物体重新运动；墨水在清水里会自己扩散开，却不会自己聚回一滴。一切与热现象有关的宏观自然过程都有方向性，都是不可逆的。

热力学第二定律有两种等价的表述：

• 克劳修斯表述（1850 年）：热量不能自发地从低温物体传到高温物体。
• 开尔文表述（1851 年）：不可能从单一热源吸收热量，使之完全变成功，而不产生其他影响。

热机与效率：热机（蒸汽机、内燃机）从高温热源吸收热量 $Q_1$，一部分变成功 $W$，其余 $Q_2$ 放给低温热源（大气、冷却水）。由能量守恒，$Q_1 = W + Q_2$，热机效率

$$\eta = \frac{W}{Q_1} = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1}$$

开尔文表述说的就是：$Q_2$ 不可能为零，热机效率一定小于 $100\%$。

第二类永动机：从单一热源吸热、全部用来做功而不引起其他变化的热机（例如只从海水吸热就能开船）。它不违背能量守恒，但违背热力学第二定律，不可能制成。

制冷机（冰箱、空调）把热量从低温处搬到高温处，并不违背克劳修斯表述，因为它要消耗电能（外界做功），这就是“其他影响”，过程不是自发的：

$$Q_1 = W + Q_2$$

$Q_2$ 是从低温处（冷藏室）吸收的热量，$Q_1$ 是放到高温处（室内）的热量，$W$ 是压缩机消耗的电能。

能量耗散与品质降低：能量转化过程中，总量不变，但最终常变成环境的内能，按第二定律它不能再全部自发地变回机械能，所以能量的品质降低、可利用的能源减少。这是“能量守恒却仍要节约能源”的根本原因（第 14 章 14.7 节）。

使用场景

• 题目问某个过程能否自发发生、是否可逆（热传递、摩擦生热、扩散、气体向真空膨胀）→ 方向性 → 一切与热现象有关的宏观自然过程都不可逆，只能单向自发进行。
• 题目描述“从海水、空气中吸热全部用来做功”“效率 $100\%$ 的热机”，问能否实现 → 第二类永动机 → 开尔文表述：不违背能量守恒，但违背第二定律，不能实现。
• 冰箱、空调把热量从低温搬到高温，问是否违背第二定律或问各部分能量 → 克劳修斯表述加“其他影响” → 不违背，因为消耗了电能；能量关系 $Q_1 = W + Q_2$。
• 给出热机吸热、放热或做功，求效率或其中一个量 → 热机模型 → $Q_1 = W + Q_2$，$\eta = \dfrac{W}{Q_1}$。

注意点

• 两种表述里的关键词不能漏：克劳修斯表述的”自发地“，开尔文表述的”单一热源“”不产生其他影响“。去掉这些词，结论就错了：冰箱能让热量从低温传到高温（不是自发）；理想气体等温膨胀能把吸的热全部变成功（但体积变大了，产生了其他影响）。
• 第一类永动机违背能量守恒（第一定律），第二类永动机违背第二定律。选择题常把两者的“违背了什么”对调。
• 热机效率总小于 $100\%$，这是原理上的限制，不是技术问题；技术进步只能让效率更接近上限。
• 机械能可以全部变成内能（摩擦生热），内能却不能全部变成机械能而不引起其他变化。“能全部转化”的方向是单向的。
• 第二定律是统计规律，对大量分子组成的宏观系统成立，对几个分子不适用（33.6 节）。

推导

热力学第二定律和第一定律一样，是大量经验的总结，不能由其他定律推出。高中要掌握的是两种表述为什么等价：如果一种表述可以被违背，另一种也就被违背了。

由“开尔文表述被违背”推出“克劳修斯表述被违背”：

1. 假设有一台机器 A，从高温热源吸热 $Q$，全部变成功 $W = Q$，不产生其他影响（违背开尔文表述）。
2. 用这份功 $W$ 去驱动一台制冷机 B：B 从低温热源吸热 $Q_2$，向高温热源放热 $Q_1 = W + Q_2 = Q + Q_2$。
3. 把 A 和 B 看成一台机器：高温热源净得到热量 $Q_1 - Q = Q_2$，低温热源净失去 $Q_2$，没有消耗外界的功，也没有其他变化。

（关键一步：第 3 步把两台机器合起来，功在内部抵消，剩下的唯一效果是“热量 $Q_2$ 从低温物体传到了高温物体”，这正是克劳修斯表述禁止的。所以只要开尔文表述能被违背，克劳修斯表述也必然被违背。）

反过来，由“克劳修斯表述被违背”也能推出“开尔文表述被违背”（让热量自发从低温流回高温，再用一台普通热机，合起来相当于从单一热源吸热全部做功），推理类似。因此两种表述等价，它们是同一条规律的两种说法。

更一般的结论：每一种不可逆过程都可以选来表述第二定律，克劳修斯选了热传递，开尔文选了热功转化。

例题

例 1　（场景：判断过程的方向性）下列过程中，可能发生的是（　）。

A. 一杯热水放在桌上，自动变得更热，周围空气变冷　B. 在水平地面上滑行的木块，因摩擦而停下，木块和地面温度升高　C. 一滴墨水滴入清水后扩散开，过一段时间又自动聚成一滴　D. 打开香水瓶，香味散满房间后又自己全部回到瓶里

解：B。

判断依据：与热现象有关的宏观自然过程有方向性：热量自发地从高温传到低温；机械能可以全部变成内能；扩散只能自发向“散开”的方向进行。

A 的过程能量守恒，但热量自发地从低温空气传给高温热水，违背克劳修斯表述。B 是机械能变内能，可以自发发生。C、D 都是扩散的逆过程，不会自发发生。

容易卡在：A 不违背能量守恒，就以为可能发生。能量守恒是必要条件，不是充分条件。

例 2　（场景：判断第二类永动机）关于“从海水中吸收热量，全部用来推动轮船前进”的设想，下列说法正确的是（　）。

A. 违背能量守恒定律，不能实现　B. 不违背能量守恒定律，可以实现　C. 不违背能量守恒定律，但违背热力学第二定律，不能实现　D. 只要海水温度足够高，就可以实现

解：C。

判断依据：开尔文表述：不可能从单一热源吸热全部变成功而不产生其他影响。

海水的内能确实很大，吸热做功不违背能量守恒，所以 A 错。但只有海水一个热源、又要把吸来的热全部变成功，这是第二类永动机，违背第二定律，B、D 错，C 对。要从海水的内能中取得功，必须还有一个更低温的热源（如深层冷海水）来接收放出的热量 $Q_2$，这正是海洋温差发电的原理。

例 3　（场景：冰箱、空调中的能量关系）一台冰箱的压缩机工作时，每消耗 $100\ \mathrm{J}$ 电能，能从冷藏室吸走 $300\ \mathrm{J}$ 热量。（1）求这段时间冰箱向室内放出的热量；（2）把冰箱门打开，让它在一个关闭的房间里一直工作，能否使房间降温？

解：

研究对象：冰箱（制冷机）。

过程划分：取压缩机消耗 $100\ \mathrm{J}$ 电能的这段时间；冰箱循环工作，制冷剂回到原状态，内能不变。

分析：能量守恒：放到室内的热量 = 从冷藏室吸收的热量 + 消耗的电能（本节制冷机的 $Q_1 = W + Q_2$）。热量从低温冷藏室传到高温室内，因为消耗了电能，不违背第二定律。

列式求解：

（1）

$$Q_1 = W + Q_2 = 100\ \mathrm{J} + 300\ \mathrm{J} = 400\ \mathrm{J}$$

（2）不能。门打开后，冷藏室就是房间的一部分，冰箱只是把房间里的热量从一处搬到另一处：从房间吸走 $Q_2$，又向房间放出 $Q_1 = W + Q_2$，房间每次净得到 $W$。整个房间（连同冰箱）只有电能流入，没有热量流出，内能增加，温度会升高。

检验：（1）放出的热比吸走的多，多出的正好是电能，能量守恒成立。（2）空调能给房间降温，是因为它的室外机把 $Q_1$ 放到了房间外面，这和冰箱开门的情形不同，结论一致。

容易卡在：认为打开冰箱门能“放出冷气”给房间降温。冷和热不是两种东西，冰箱只能搬运热量，搬运本身还要消耗能量。

例 4　（场景：热机效率）某热机每个循环从高温热源吸收热量 $1000\ \mathrm{J}$，向低温热源放出热量 $650\ \mathrm{J}$。求每个循环对外做的功和热机的效率。若改进后放出的热量减少到 $0$，效率能达到多少？这种改进能否实现？

解：

研究对象：热机的工作物质（如气缸里的气体）。

过程划分：一个循环，工作物质回到原状态，内能不变。

分析：一个循环 $\Delta U = 0$，由能量守恒 $Q_1 = W + Q_2$；效率 $\eta = \dfrac{W}{Q_1}$。

列式求解：

$$W = Q_1 - Q_2 = 1000\ \mathrm{J} - 650\ \mathrm{J} = 350\ \mathrm{J}$$ $$\eta = \frac{W}{Q_1} \times 100\% = \frac{350}{1000} \times 100\% = 35\%$$

若 $Q_2 = 0$，则 $W = Q_1$，$\eta = 100\%$。这要求热机只从高温热源吸热、全部变成功，违背开尔文表述，不能实现。

检验：单位都是 $\mathrm{J}$，效率在 $0$ 到 $1$ 之间，合理；常见汽油机效率约二三成，柴油机约三四成，量级一致。

常用推论

• 热机效率一定小于 $100\%$；向低温热源放热 $Q_2 \ne 0$ 是热机工作的必要条件。由开尔文表述直接得出。
• 制冷机（冰箱、空调、热泵）放到高温处的热量大于从低温处吸收的热量：$Q_1 = W + Q_2 > Q_2$。所以开着门的冰箱只会让房间变热（例 3）。
• 第一类永动机违背热力学第一定律（能量守恒）；第二类永动机不违背第一定律，违背第二定律。
• “全部转化”只能单向：机械能 → 内能可以全部转化；内能 → 机械能不能全部转化而不引起其他变化。

易错点

• 错在哪：认为冰箱、空调把热量从低温传到高温，违背了热力学第二定律。 为什么错：漏看了克劳修斯表述里的“自发地”。冰箱消耗了电能，热量是被“搬”过去的，不是自己流过去的。 正确做法：判断时先问“有没有外界做功或引起其他变化”；有，就不违背。
• 错在哪：认为热力学第二定律说“热量不能从低温物体传到高温物体”。 为什么错：同上，漏掉“自发”。第二定律限制的是自发过程的方向，不是一切过程。 正确做法：背表述时把关键词当成定律的一部分一起背。
• 错在哪：认为“内能不能全部变成功”，所以理想气体等温膨胀时吸收的热量不能全部用来做功。 为什么错：等温膨胀时 $\Delta U = 0$，$Q = -W$，吸的热确实全部变成了功；但气体体积变大了，这就是“其他影响”，开尔文表述并不禁止。被禁止的是循环工作、不留任何痕迹地把单一热源的热全部变成功。 正确做法：用开尔文表述时，看是否“单一热源”且“不产生其他影响”两个条件都满足。
• 错在哪：认为第二类永动机违背能量守恒。 为什么错：它从海水、空气吸热做功，能量有来源，账是平的。 正确做法：第一类违背能量守恒，第二类违背第二定律，分开记。

直观理解

热量像水，温度像水位：水自己只会从高处往低处流（克劳修斯表述）；要把水抬到高处，就得用水泵、花电费（冰箱）。水往低处流的过程中可以推动水车做功（热机），但水必须流到低处去，不能停在原来的高度上把自己“变成”功（开尔文表述）；没有低处，水车转不起来。

关联知识点

• 前置：33.3 节热力学第一定律；33.4 节能量守恒与第一类永动机。
• 前置：第 14 章 14.7 节能量耗散和能源，“能量守恒为什么还要节约能源”在这里得到解释。
• 后续：33.6 节第二定律的微观意义和熵。
• 常一起考：33.4 节，选择题常把两类永动机放在一起判断。
• 常一起考：附录 D 物理学史年表（克劳修斯、开尔文）。

33.6 热力学第二定律的微观意义与熵（初步）

说明

宏观态和微观态：一个系统的宏观状态（温度、压强、分子在容器里大致怎样分布）可以由许多种不同的微观状态（每个分子具体在哪里、速度多大）来实现。对应的微观状态数越多，这个宏观态出现的可能性越大。

微观意义：一切自发过程，总是沿着分子热运动的无序程度增大的方向进行，也就是从微观状态数少的宏观态，变到微观状态数多的宏观态。热传递、摩擦生热、扩散、气体向真空膨胀，都是从“较有序”走向“较无序”。

熵：描述系统无序程度的物理量，用 $S$ 表示。微观状态数越多，系统越无序，熵越大。玻尔兹曼给出的关系是

$$S = k\ln\Omega$$

其中 $\Omega$ 是宏观态对应的微观状态数，$k$ 是玻尔兹曼常量。这个式子了解即可，高中不要求计算。

熵增加原理：在孤立系统（与外界既没有能量交换、也没有物质交换）中，一切自发过程总是朝熵增加的方向进行，熵不会减少。这是热力学第二定律的又一种表述。

本节建立在的模型：大量分子组成的孤立系统；结论是统计规律。

使用场景

• 选择题问某个过程中系统的熵（无序程度）是增加还是减少、过程能否自发进行 → 熵和无序程度 → 孤立系统的自发过程熵增加；熵减少的过程必须有外界参与。
• 题目给出少数几个分子在容器两部分的分布，问某种分布的概率 → 微观状态数 → 数出每种宏观态对应的微观状态数，除以总数。

注意点

• 熵增加原理只对孤立系统成立。非孤立系统的熵可以减少：水在冰箱里结冰，水的熵减少了，但冰箱向环境放热、消耗电能，冰箱、水和环境合起来的总熵仍然增加。
• “不会自发发生”在微观上是“概率极小”，不是“严格为零”。对大量分子，这个概率小到实际上永远观察不到；对几个分子，“逆过程”会经常出现，第二定律不适用于少数分子。
• 熵是状态量，和内能一样只由状态决定。
• 克劳修斯在 1865 年引入“熵”这个名称；$S = k\ln\Omega$ 的统计解释来自玻尔兹曼。

推导

用一个最简单的模型说明“自发过程朝微观状态数多的方向进行”。

模型：一个容器分成左右两半，里面有 4 个可以区分的分子 a、b、c、d，每个分子在左半边或右半边的机会相同。

1. 每个分子有“左”“右”两种可能，4 个分子共有 $2^4 = 16$ 种微观状态，每种出现的机会相同。
2. 按“左半边有几个分子”分类（这就是宏观态），用组合数数出每类有几种微观状态：左边 0、1、2、3、4 个分子，分别对应 $1$、$4$、$6$、$4$、$1$ 种。
3. “4 个分子全在左边”只有 1 种，概率 $\dfrac{1}{16}$；“左右各 2 个”有 6 种，概率 $\dfrac{6}{16}$，最大。

（关键一步：分子数增多时，“均匀分布”对应的微观状态数在总数中所占的比例迅速逼近 1，而“全部挤在一边”的概率是 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^N$。$N = 100$ 时约为 $8 \times 10^{-31}$；一个容器里的气体分子数是 $10^{23}$ 量级，这个概率小到在宇宙寿命内也见不到一次。所以气体自发均匀散开，而不会自发聚到一边。）

这就是第二定律的统计含义：系统总是从可能性小（微观状态数少、较有序）的宏观态，变到可能性大（微观状态数多、较无序）的宏观态。严格的统计力学推导要到大学的热力学与统计物理课程里学。

例题

例 1　（场景：判断熵的变化）下列说法正确的是（　）。

A. 气体向真空自由膨胀，熵增加　B. 一切过程中系统的熵都不会减少　C. 热量从高温物体自发传到低温物体，两物体组成的孤立系统总熵增加　D. 冰箱使水结成冰，说明熵增加原理在冰箱中不成立

解：AC。

判断依据：孤立系统中自发过程熵增加；非孤立系统的熵可以减少，但把外界算进来，总熵仍增加。

A 对：自由膨胀是自发过程，分子分布从挤在一边变得更分散，无序程度增大。B 错：熵增加原理只对孤立系统成立。C 对：热传递是自发过程。D 错：水不是孤立系统，冰箱消耗电能并向环境放热，水、冰箱和环境的总熵是增加的。

例 2　（场景：数微观状态）容器分成左右相等的两半，里面有 4 个可区分的气体分子，每个分子在左半边和右半边的机会相等。求：（1）4 个分子全部在左半边的概率；（2）左右各有 2 个分子的概率。若分子数增加到 100 个，全部在左半边的概率约为多少？

解：

判断依据：每种微观状态出现的机会相同，某个宏观态的概率 = 它对应的微观状态数 ÷ 微观状态总数。

总数：每个分子 2 种可能，共 $2^4 = 16$ 种。

（1）全部在左边只有 1 种，概率 $\dfrac{1}{16}$。

（2）从 4 个分子里选 2 个放左边，有 $\mathrm{C}_4^2 = 6$ 种，概率 $\dfrac{6}{16} = \dfrac{3}{8}$。

100 个分子全部在左边的概率

$$\left(\frac{1}{2}\right)^{100} \approx 7.9 \times 10^{-31}$$

几乎不可能发生。这说明分子数越多，“均匀分布”越是压倒性地占优，这就是气体自由膨胀不可逆的微观原因。

组合数 $\mathrm{C}_4^2$ 的算法见《高中数学知识点梳理》第 34 章。

常用推论

• 自发过程的方向 = 熵增加的方向 = 无序程度增大的方向（对孤立系统）。
• 局部的熵减少（结冰、生物生长、冰箱制冷）总伴随着外界更大的熵增加，所以不违背第二定律。
• 少数分子的系统不适用第二定律；第二定律是大量分子的统计规律。

易错点

• 错在哪：认为“熵永远不会减少”，看到水结冰、生命体变得有序就以为违背了第二定律。 为什么错：把“孤立系统”这个条件丢了。结冰的水、生长的生物都在和外界交换能量，不是孤立系统。 正确做法：先确认研究对象是不是孤立系统；不是的话，把外界也算进来再看总熵。
• 错在哪：认为第二定律说逆过程“绝对不可能”，因此 4 个分子也不会全部跑到一边。 为什么错：直觉把统计规律当成像能量守恒那样每次都成立的定律。4 个分子全在一边的概率有 $\dfrac{1}{16}$，经常发生。 正确做法：第二定律对大量分子成立，“不可能”的含义是概率小到实际上见不到。

直观理解

把一副按顺序排好的扑克牌洗几次，它只会越来越乱；反过来，把一副乱牌随便洗洗变回原来的顺序，几乎不可能。不是洗牌违反了什么规则，而是“乱”的排法比“整齐”的排法多得太多。分子的热运动就是一刻不停的洗牌，熵就是“乱”的程度。

关联知识点

• 前置：第 31 章分子动理论，分子热运动的无规则性；分子速率分布也是统计规律。
• 前置：33.5 节热力学第二定律的宏观表述。
• 前置：组合数见《高中数学知识点梳理》第 34 章计数原理，古典概型见第 21 章概率。
• 常一起考：33.5 节方向性的判断题，常把熵作为一个选项。

33.7 知识点之间的关系

本章的题分两类。一类问“多少”：先定研究对象（哪部分气体），温度定 $\Delta U$、体积定 $W$，用第一定律 $\Delta U = W + Q$ 求第三个，这是 33.2、33.3 节；功可以由 p-V 图面积求，压强可以由活塞受力求。另一类问“能不能”：先看是否违背能量守恒（33.4 节，第一类永动机），再看是否要求热量自发从低温到高温、或从单一热源吸热全部变成功（33.5 节，第二类永动机）；微观上，自发过程总是朝无序、熵增的方向（33.6 节）。

33.8 自测

1. 下列现象中，通过做功改变物体内能的是（　）。A. 用热水袋暖手　B. 冬天两手相互摩擦，手感到暖和　C. 太阳把水晒热　D. 冰块放进饮料里使饮料变凉
2. 绝热容器中的气体被压缩，外界对气体做功 $80\ \mathrm{J}$，气体内能变化多少？
3. 一定质量的理想气体，对外做功 $300\ \mathrm{J}$，同时放出热量 $100\ \mathrm{J}$，求内能的变化。气体温度怎样变化？
4. 一定质量的理想气体在 $2.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$ 下等压压缩，体积减小 $1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^3}$，同时放热 $500\ \mathrm{J}$，求内能的变化。
5. 一定质量的理想气体等温膨胀，对外做功 $50\ \mathrm{J}$，气体吸热还是放热，多少？
6. 判断：第一类永动机不可能制成，是因为它违背了热力学第二定律。
7. 某热机效率为 $25\%$，每个循环对外做功 $500\ \mathrm{J}$，求每个循环从高温热源吸收的热量和向低温热源放出的热量。
8. 判断：空调能把室内的热量排到温度更高的室外，所以热力学第二定律不成立。
9. 容器分成左右两半，有 3 个可区分的分子，求 3 个分子全部在左半边的概率。

答案：1. B；2. 增加 $80\ \mathrm{J}$；3. $\Delta U = -400\ \mathrm{J}$，内能减少 $400\ \mathrm{J}$，温度降低；4. $\Delta U = -300\ \mathrm{J}$（$W = +200\ \mathrm{J}$，$Q = -500\ \mathrm{J}$），内能减少 $300\ \mathrm{J}$；5. 吸热 $50\ \mathrm{J}$；6. 错，违背的是能量守恒定律（热力学第一定律）；7. 吸热 $2000\ \mathrm{J}$，放热 $1500\ \mathrm{J}$；8. 错，空调消耗了电能，热量不是自发地从低温传到高温；9. $\dfrac{1}{8}$。

33.9 深入阅读

• PhET · 气体的性质：给气体加热、压缩、保持温度或体积不变，看压强、温度和分子运动怎样变化，对照理解 ΔU、W、Q。
• PhET · 能量的形式与转化：看机械能、电能、内能之间的转化和热传递的方向，体会能量守恒和过程的方向性。
• 维基百科 · 热力学第二定律：克劳修斯表述、开尔文表述的原文和等价性，熵和统计解释的来龙去脉（超出高中部分可略读）。
• 国家中小学智慧教育平台：教育部主办，有人教版选择性必修第三册“热力学定律”一章的同步课程和电子教材。